ББК 22.34я73
П75
УДК 681.7.002 (075.8)
Авторы: М. И. Апенко, А. С. Дубовик, Г. В. Дурей ко,
А. М. Жилкин
Рецензенты: кафедра «Оптико-электронные приборы
научных исследований» МГТУ им. Н. Э. Баумана
д-р техн. наук И. В. Пейсахсон
Прикладная оптика: Учеб. для оптических специально-
П75 стей вузов/М. Я. Апенко} А. С. Дубовик, Г. В. Дурейко
и др.; Под общ. ред. А. С. Дубовика. — 2-е изд., перераб.
и доп.—М.: Машиностроение, 1992.—480 с.: ил.
Рассмотрены основы геометрической оптики, приведены ее законы,
изложены вопросы теории хроматических, монохроматических и волновых
аберраций. Дана теория и рассмотрены методы расчета оптических си¬
стем приборов различного назначения: телескопических, микроскопиче¬
ских, фотографических, проекционных и стереоскопических, а также опти¬
ческих систем оптико-электронных приборов и лазеров.
В новом издании (1-е изд. 1982 г.) увеличено число примеров, иллю¬
стрирующих теоретический материал, а также введены новые главы по
современным элементам оптики.
Для студентов оптических специальностей вузов. Может быть поле¬
зен инженерно-техническим работникам.
ISBN 5-217-01262-5
2706040000—258п
ББК 22.34я73
ISBN 5-217-01262-5
М. И. Апенко, А. С. Дубовик,
Г. В. Дурейко и др., 1992,

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время нет практически области науки
и техники, где бы не использовались оптические и оптико-элек¬
тронные приборы, которые позволяют познать новые законы
природы, служат для определения параметров и свойств мате¬
риалов и процессов, являются основой для разработки методов
контроля и автоматического управления в производстве.
Курс «Прикладная оптика», являющийся одним из основных
при подготовке специалистов в области оптического и оптико¬
электронного приборостроения, состоит из ряда разделов, знание
которых необходимо для современного инженера.
Предлагаемый учебник включает как составные части гео¬
метрическую оптику, теорию аберраций и теорию оптических
систем приборов.
Приведенные в учебнике материалы проиллюстрированы при¬
мерами решения задач и габаритных расчетов систем.
М. И. Апенко написаны гл. 1—13, А. С. Дубовиком — введе¬
ние, гл. 17, 19—23, Г. В. Дурейко — гл. 14—16, 18, А. М. Жил¬
киным — гл. 24, 25.
1*

ВВЕДЕНИЕ
Первым оптическим прибором, построенным челове¬
ком, было увеличительное стекло, или лупа.
Основные оптические законы — прямолинейное распростра¬
нение света, отражение от зеркальной поверхности и преломление
света на границе двух прозрачных сред — были установлены
опытным путем Евклидом и Аристотелем в IV—III вв. до н. э.
Значительный шаг в развитии оптики был сделан арабским
ученым Альхазеном в X в. н. э. В Европе этот труд стал известен
в XVI в., в начале которого появились также работы Леонардо
да Винчи. Этот период знаменуется связью оптики как познава¬
тельной науки с практикой. Леонардо да Винчи изучает свойства
камеры—обскуры, глаза. С его именем связано развитие фотомет¬
рии как науки, разработка станков для шлифования линз и т. п.
Первое десятилетие XVII в. характеризуется успехами в экс¬
периментах по оптике, что положило начало развитию оптиче¬
ского приборостроения. В Нидерландах очковым мастером была
изготовлена зрительная труба. Подобную трубу, опираясь на
учение о преломлении света, в дальнейшем также создал Г. Га¬
лилей (1609), сделавший с ее помощью ряд важных наблюдений
и открытий в астрономии. Вслед за трубой Г. Галилея И. Кепле¬
ром (1611) был построен телескоп с двумя двояковыпуклыми
линзами. Это позволило в дальнейшем применить сетку нитей,
а также окулярный микрометр (У. Гаскойн, 1636), который
служил для измерения малых угловых расстояний при астроно¬
мических наблюдениях.
К этому времени относится также создание простого и слож¬
ного микроскопов, которые использовались для изучения биоло¬
гических объектов.
Зарождение прикладной оптики как науки относится к началу
XVII в., когда И. Кеплер создал теорию зрительной трубы,
микроскопа и глаза (Кеплер. «Диоптрика», 1611). И. Кеплер
впервые указал, как найти изображения, даваемые линзами,
однако точного закона преломления он так и не установил. Форму¬
лировка закона преломления на основании эксперимента была
дана В. Снеллиусом (1621), а затем Р. Декарт независимо матема¬
тически вывел этот закон. Р. Декарт придает оптике геометри¬
ческое направление («Рассуждения о методе с приложениями.
Диоптрика, метеоры, геометрия», 1637).
4

Достойным преемником Р. Декарта был И. Ньютон (1643—
1727). Ему принадлежат основные формулы параксиальной оп¬
тики, формулы для определения сферической аберрации и способ
построения фокусов бесконечно тонких астигматических пучков.
Основной заслугой Ньютона является открытие дисперсии. Он
показал, что именно дисперсия вызывает нерезкость изображения
в астрономических трубах. Однако создание ахроматических
оптических систем Ньютон считал невозможным, что на длительное
время отодвинуло их появление.
Современником И. Ньютона, X. Гюйгенсом, в 1678 г. была
разработана волновая теория света, но в тех условиях эта теория
еще не могла оказать существенного влияния на дальнейшее
развитие прикладной оптики и оптического приборостроения.
Переворот в конструировании оптических приборов вызвало
создание теории геометрической оптики, которая после работ
И. Кеплера, Р. Декарта и И. Ньютона стала быстро развиваться.
В 1695 г. Д. Грегори, рассматривая человеческий глаз, где
двояковыпуклый хрусталик соприкасается с вогнуто-выпуклым
стекловидным телом (две линзы с различными показателями пре¬
ломления), предложил на таком принципе строить ахроматиче¬
ские оптические системы. Эта идея впоследствии была независимо
развита Л. Эйлером (1747) и реализована практически Д. Дол-
лондом (1758) путем сочетания двояковыпуклой линзы из крона
с вогнутой линзой из флинта. В 1784 г., уже после смерти
Л. Эйлера, профессором Петербургской академии наук Ф. Эпи-
нусом был изготовлен первый в мире ахроматический микроскоп.
Вопросы прикладной оптики и особенно конструирование
и изготовление различных оптических приборов и инструментов
занимали важное место в творческой деятельности великого
русского ученого М. В. Ломоносова, который был первым ученым,
применившим микроскоп для решения большого круга научных
задач. Из «Химических и оптических записок» М. В. Ломоносова
ясно, что им были сконструированы многие оптические инстру¬
менты: «горизонтоскоп» (перископ), «батоскоп» (инструмент для
подводных наблюдений), фотометр, ночная зрительная труба,
прожектор. В общей сложности М. В. Ломоносов построил более
10 принципиально новых оптических приборов. По размаху
и оригинальности своей деятельности Ломоносов, по словам ака¬
демика С. И. Вавилова, был «Одним из самых передовых оптиков
своего времени и безусловно первым русским творческим опто¬
техником».
Значительны также заслуги русского механика-самоучки
Н. И. Кулибина в создании оптических приборов. Им были раз¬
работаны новые способы шлифования оптических стекол для
изготовления микроскопов, телескопов и т. п.
Благодаря трудам таких русских ученых, как Л. Эйлер,
М. В. Ломоносов, Н. Фусс. Ф. Эпинус и др., Россия в XVIII в.
оказалась на передовом рубеже оптической науки и техники.
5

Именно русскими учеными в этот период была разработана и осу¬
ществлена первая в мире конструкция ахроматического микро¬
скопа, а созданная Л. Эйлером в его фундаментальной «Диоптрике»
теория аберраций оптических систем послужила основой для
дальнейшего развития оптики в XIX в. во всем мире.
Начало XIX в. связано с развитием нового направления
в геометрической оптике — с изучением действия оптических
систем вблизи их оптической оси. Это привело к созданию пара¬
ксиальной оптики, позволяющей представить оптические си¬
стемы в виде простейших схем, с помощью которых решалась
вадача нахождения изображения и габаритов оптической системы.
Кроме того, указанные законы определяли свойства идеальных
оптических систем, теория которых была оазвита К. Гауссом
(1841).
Однако теория идеальной оптической системы не давала
возможности оценить качество изображения и не позволяла
решить вопрос о влиянии конструктивных элементов линз на
значения аберраций оптических приборов. Совершенствование
модели идеальной оптической системы привело к разработке
общей теории аберраций оптических систем.
Теория аберраций оптических систем для общего случая была
разработана в конце 50-х годов XIX в. в трудах Зейделя и Петц-
валя. Разложение аберраций в ряд на основании теории эйконала
(для аберраций третьего порядка) было выполнено К. Шварц-
шильдом в 1905 г.
Разработка теории аберраций не являлась самоцелью, а была
вызвана практической необходимостью. Середина и вторая поло¬
вина XIX в. ознаменовалась бурным развитием фотографической
оптики. На повестке дня стояла задача расчета фотографических
объективов с высокой светосилой и большой разрешающей способ¬
ностью.
Вследствие повышения требований к качеству изображения,
даваемого фотообъективом, использование совокупности только
двух линз оказалось недостаточным. Появились оптические си¬
стемы из трех линз и более. Крупным событием в истории при¬
кладной оптики явилось создание Петцвалем (1840) портретного
объектива. Объектив Петцваля имел большое относительное
отверстие (1 : 3,2), в нем впервые было достигнуто одновременное
исправление сферической аберрации, комы и астигматизма при
удовлетворительных значениях хроматических аберраций.
Значительно позже, в 1865 г. А. Штейнгелем был создан
симметричный объектив-апланат, уступающий, однако, по свето¬
силе объективу Петцваля.
В 1891 г. сотрудником фирмы «Карл Цейсс» П. Рудольфом
была сделана первая попытка создания объектива-анастигмата
с большой апертурой (объектив «Протар»). В 1892 г. появилась
конструкция симметричного анастигмата с малой дисторсией
изображения.
б

К началу XX в. фотографическая оптика уже насчитывала
довольно большое число разнообразных конструкций фотообъек¬
тивов. Кроме двойных анастигматов она пополнилась трехлинзо¬
вым анастигматом типа «Триплет», разработанным в 1893 г.
Д. Тейлором; в 1900 г. Геетом был создан широкоугольный объек¬
тив «Гипергон» с углом зрения 135°; в 1902 г. П. Рудольф создал
известный четырехлинзовый объектив «Тессар».
Параллельно с теорией аберраций оптических систем разви¬
валась теория построения оптического изображения, которая
находила практическое применение. Со времен И. Кеплера
и Р. Декарта существовало мнение, что разрушающая способность
идеального оптического прибора бесконечна. Аббе и Д. Рэлей
показали, что вследствие волновой природы света предел разреша¬
ющей способности оптических систем ограничен и что подобие
между предметом и его изображением нарушается в пределах
дифракционного изображения точки. Данные физической оптики
послужили основой для создания теории оптического изобра¬
жения.
Таким образом, в рассматриваемый период произошли струк¬
турные изменения в прикладной оптике. По мере того, как рас¬
ширялась область применения оптических систем и возникала
потребность в создании оптических систем с высоким качеством
изображения, знание законов только геометрической оптики
оказалось недостаточным и возникла необходимость использова¬
ния законов физической оптики. Дальнейшее развитие теории
образования изображения связано с работой Л. И. Мандель¬
штама (1911) и Д. С. Рождественского (1940).
В начале XX столетия в России возродился интерес к оптико¬
механическому производству. Налаживается изготовление гео¬
дезических инструментов. В Межевом институте в Москве
Н.	М. Кислов впервые связывает точность визирования с раз¬
решающей способностью оптической системы и этим закладывает
метрологические основы для расчета оптических систем. Практи¬
чески его книга (1915) была одним из первых трудов по оптике
на русском языке.
В качестве обязательного курса А. И. Тудоровский в Петро¬
граде читает морским артиллерийским офицерам «Теорию опти¬
ческих приборов». В 1916 г. на фарфоровом заводе в Петрограде
начинается производство оптического стекла и создается первое
в России вычислительное бюро и физическая лаборатория по
исследованию стекла, в работах которого принимают участие
А. И. Тудоровский, А. Л. Гершун и В. С. Игнатовский. В эти же
годы в Петрограде организуется оптико-механический завод,
развившийся в настоящее время в Ленинградское оптико-механи¬
ческое объединение. После Великой Октябрьской социалистиче¬
ской революции по инициативе Д. С. Рождественского и по ука-
ванию В. И. Ленина создается Государственный оптический ин¬
7

ститут и в его составе вычислительное бюро, возглавляемое
А. И. Тудоровским.
В 20-е годы был организован ленинградский Оптико-механи-
ческий техникум, а в 1930 г. он преобразуется в Институт точной
механики и оптики. Одновременно факультеты оптического при¬
боростроения организуются в МВТУ им. Баумана и Московском
институте инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии
(МИИГАиК). Достойным продолжателем дела Н. М. Кислова
в МИИГАиКе стал Б. Ф. Фефилов, который создал теорию зри¬
тельных труб, в том числе с внутренней фокусирующей линзой.
Его учебное пособие «Прикладная оптика» было настольной кни¬
гой многих поколений оптиков и имело практическое значение
для расчета оптических систем.
В выборе принципиально правильного направления в развитии
вычислительной оптики, являющейся основой прикладной оптики
как науки, важную роль сыграли А. И. Тудоровский, Е. Г. Яхон¬
тов и Г. Г. Слюсарев. Крупные монографии: «Теория оптических
приборов» А. И. Тудоровского, «Методы расчета оптических
систем» Г. Г. Слюсарева, «Методы расчета сложных фотографи¬
ческих систем» Д. С. Волосова, «Техническая оптика» М. С. Рус-
синова, «Прикладная оптика» Б. В. Фефилова сыграли основную
роль в подготовке специалистов в области оптического приборо¬
строения.
Характерной чертой этого периода является расширение
областей применения прикладной оптики за счет практического
использования явлений природы, связанных с электромагнитным
излучением в широком диапазоне длин волн. Появляются новые
области науки и техники: инфракрасная техника, затем и новая
область приборостроения — оптико-электронные приборы. Та¬
ким образом, в развитии прикладной оптики намечаются новые
направления, на основе которых в дальнейшем возникли новые
технические науки. Этому способствовала деятельность Государ¬
ственного оптического института (ГОИ), который занимался
фундаментальными вопросами в оптике и одновременно был тесно
связан с оптико-механичеекой промышленностью, что позволяло
быстро внедрять достижения науки в практику приборостроения.
Несомненно, что приход в ГОИ таких крупных ученых, как
С. И. Вавилов, А. Н. Теренин, В. П. Линник, Д. Д. Максу¬
тов, Г. П. Кравеци и др., позволил организовать новые лаборато¬
рии и начать решение фундаментальных задач в области спек¬
трального анализа, строения вещества, люминесценции, научной
фотографии и других разделов физической оптики.
Дальнейший период (40-е годы XX в.) характеризуется пере¬
ходом прикладной оптики в комплексную техническую науку.
Большую роль в развитии прикладной оптики этого периода
сыграло создание оптико-электронного преобразователя как прин¬
ципиально нового элемента оптических систем. Здесь первенство
в развитии теории и практики принадлежит известным советским

ученым Е. К. Завойскому, М. М. Бутслову, С. Д. Фанченко.
Открытие и разработка лазеров принадлежат выдающимся совет»
ским физикам Н. Г. Басову и А. М. Прохорову, которые создали
предпосылки для основания совершенно нового направления
в оптике» имеющего большое будущее. И, наконец» открытие
голографии Р. Габором и ее дальнейшее развитие Ю. Д. Денисю-
ком дают возможность создавать оптические приборы на новейших
перспективных принципах с использованием последних дости¬
жений в области электроники и оптики.
Важной особенностью этого периода является процесс диффе¬
ренциации прикладной оптики как технической науки, проявив-
шийся в формировании целого ряда технических наук: вычисли¬
тельной, фотографической оптики» оптики микроскопов, воло¬
конной, когерентной, интегральной оптики, прикладной
нелинейной оптики, голографии и др.» а также самостоятельных
новых направлений оптического и оптико-электронного приборо¬
строения: спектральные приборы, приборы высокоскоростной
фотографии и фотоникк, микрофильмирования, оптико-электрон¬
ные приборы обнаружения, сопровождения и связи» геодезические
приборы, фотограмметрические приборы» аэрокосмическая фото¬
аппаратура и т. п.
В развитии этих новых областей и направлений большую роль
сыграли работы таких известных отечественных оптиков» как
Н.	Г. Басов, А. М. Прохоров, Ю. Н. Денисюк, В. Н. Чури-
ловский, Д. С. Волосов, М. М. Русинов, М. М. Мороз, А. Н. За-
харьевский, А. Г. Ащеулов, В. К. Прокофьев и др.
Новые направления в оптическом приборостроении связаны
с работами М. М. Мирошникова (иконика и обработка изображе¬
ния), Н. А. Валюса (растровые системы), В. Б. Вайнберга
и Д. К- Саттарова (оптика световодов), Л. А. Лазарева
и Ю. Г. Якушенкова (оптико-электронные приборы), А. С. Дубо¬
вика (оптика приборов высокоскоростной фотографии и фотоникн),
И. А. Черного (сенситометры), В. А. Панова и Л. Н. Андреева
(оптика микроскопов)» Ю. М. Климкова (оптика лазеров),
Н.	М. Нагибиной, И. В. Пейсахсона, Н. В» Скокова, К. Н. Тара¬
сова и др. (спектральные приборы).
Работы в области прикладной оптики в последние десятилетия
настолько обширны, что для их описания понадобилась бы отдель¬
ная книга. Из самых важных направлений надо указать на раз¬
витие вычислительной оптики. Автоматизация расчетов и моде¬
лирование свойств оптических систем с помощью ЭВМ ознамено¬
вали собой новый этап развития вычислительной оптики. В пос¬
леднее время силами известных оптиков Г. Г. Слюсарева,
М. М. Русинова, Д. Ю. Гальперина, А. П. Грамматина, С. А. Радио-
нова и других удалось создать алгоритм и разработать программы
для автоматизированного расчета сложных оптических систем.
Использование высокопроизводительных ЭВМ сделало воз¬
можным математическое моделирование ряда свойств оптических
9

систем, которые ранее могли быть выявлены только после изго¬
товления опытных образцов. К этим свойствам относятся распре¬
деление освещенности в изображении точки, характер передачи
модуляции, влияние рассеянного света и т. п.
Основными задачами в области разработки новых оптических
систем являются:
синтез и системное проектирование при разработке оптических
систем приборов;
создание САПР «Оптика», установление непосредственного
контакта разработчика оптической системы с ЭВМ через автома¬
тическое рабочее место (АРМ) и персональный компьютер;
автоматическая выдача с помощью ЭВМ технической докумен¬
тации, содержащей конструктивные параметры системы, оптиче¬
ские схемы, сводки и графики остаточных аберраций, допуски
на изготовление деталей и т. п.;
разработка ускоренных автоматических методов контроля ка¬
чества оптических поверхностей в процессе их изготовления;
создание автоматических методов и аппаратуры для оценки
качества изображения при использовании различных приемников
изображения;
дальнейшее развитие математических методов в прикладной
оптике, теории образования изображения, методов голографии
и когерентной оптики.
Таким образом, можно заключить, что прикладная оптика
стала комплексной технической наукой. В этом проявляется
одна из характерных особенностей современной научно-техниче¬
ской революции. Однако следует отметить и обратный процесс —
интеграцию технических наук в оптике с естественно-научными,
т. е. становление единой системы знаний в оптике.

ЧАСТЬ I
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ПОНЯТИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
1.1.	СВЯЗЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
С ВОЛНОВОЙ
Раздел физики, посвященный изучению природы
свега, законов его распространения и взаимодействия с веществом,
называется физической оптикой. Под оптическим излучением
в настоящее время понимают электромагнитное излучение с дли¬
нами волн, ограниченными переходной областью рентгеновских
лучей («1 нм) и переходной областью радиоизлучений (^1 мм).
Оптическое излучение с длинами волн 380 ... 780 нм, которое
воспринимается глазом, называется светом.
Оптическое излучение, по современным воззрениям, пред¬
ставляет собой единство двух процессов — волнового и квантового.
Такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация,
могут быть объяснены волновой природой света, а фотоэлектри¬
ческий эффект, излучение и поглощение — квантовой теорией.
Отражение, преломление и давление света легко объяснить,
пользуясь как волновой, так и квантовой теорией.
Известно, что процесс распространения световой энергии
в свободном пространстве представляет собой электромагнитные
волны, которые характеризуются колебаниями двух векторных
величин: электрической и магнитной напряженностей. Относи¬
тельно направления распространения света вектор электрической
напряженности находится в вертикальной плоскости, а вектор
магнитной напряженности — в горизонтальной плоскости, т. е.
оба вектора находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях
и изменяются периодически. Отсюда следует, что электромагнит¬
ные волны являются поперечными волнами.
Физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и дру¬
гие действия света вызываются вектором электрической напря¬
женности, поэтому этот вектор называют также световым век¬
тором.
В общем случае под поверхностью равной фазы волны понимают
геометрическое место точек, где фаза колебаний постоянна.
Длина волны, т. е. расстояние, на которое распространяется
в данной среде поверхность равной фазы волны монохроматиче¬
ского излучения за один период Т:
X ass VT = Я0/«,
И

где v — скорость света в данной среде; — длина волны света
в вакууме; п — показатель преломления среды.
Показатель преломления равен отношению скорости е распро¬
странения света в вакууме к скорости света v в среде, т. е.
п <= с/v ~ c/'kv,	(1.1)
Кроме того, показатель преломления характеризуется выраже¬
нием п —	где в и |д> — диэлектрическая и магнитная про¬
ницаемости среды. Для подавляющего большинства сред = 1
и п — |/е.
Показатель преломления характеризует оптическую плотн ость
среды по отношению к вакууму.
Квантовая (фотонная) теория рассматривает свет как поток
световых частиц — квантов (фотонов). Связь волновой характери
стики света (длины волны X) и его квантовой характеристики
(массы фотона т) описывается равенством
X — cjv ~ h/{mc)%
где h — постоянная Планка. Следовательно, движению фотона
соответствует волновой процесс с частотой v. Скорость движения
квантов в вакууме такая же, как скорость распространения
электромагнитных волн, и составляет 299 792,5 км/с.
Направление движения энергии электромагнитной волны опре¬
деляется направлением вектора Пойтинга, перпендикулярного
к вектору электрической напряженности и вектору магнитной
напряженности. В изотропных средах направление вектора Пой¬
тинга совпадает с нормалью к волновой поверхности и прини¬
мается за направление распространения пучков лучей света.
При распространении света происходит его усиление в одних
точках пространства и ослабление в других в результате наложе¬
ния двух или нескольких волн, а также отклонение его от прямо¬
линейного пути, когда свет, огибая препятствия, заходит в область
геометрической тени, т. е. имеют место интерференция и ди¬
фракция.
Однако многие оптические явления, в частности действие
большого числа оптических приборов, можно рассматривать
исходя из представления о световых лучах как направлениях
распространения энергии, которые являются нормалями к волно¬
вой поверхности. Раздел оптики, базирующийся на этом пред¬
ставлении, называется геометрической (лучевой) оптикой.
Понятие о световом луче при малых отверстиях, через которые
проходят волны вследствие дифракции, неприемлемо. Но если
диаметр светового фронта
£>»Я,	(Ь2)
то можно говорить о лучах как нормалях к волновой поверхности.
Действительно, угол отклонения лучей “ф, вызванный дифракцией,
зависит от многих факторов и для круглого отверстия выражается
формулой — 1,22К/D. При длине волны X — 0,00055 мм и диа~
12

метре отверстия (диаметре волнового фронта) 40 мм угол откло¬
нения лучей составляет всего 4". Таким отклонением в геометри-
ческой оптике можно пренебречь. Б случае расходящихся волк
(лучей) условие (1.2) выполняется. Однако для сходящихся волн,
фронт которых должен превратиться в точку, понятие о луче
теряет смысл и должно пониматься в условном смысле, так как
изображение указанной точки получается в виде дифракционного
пятна, в центре которого (кружка Эри) сосредоточено примерно
84 % всей энергии. В точках изображения радиус кривизны волны
становится равным нулю, а затем меняет знак. Поэтому вторым
условием применимости рассматриваемого понятия является
т. е. радиус кривизны волны должен быть значительно больше
длины волны.
Выполнения условий (1.2) и (1.3) достаточно для описания
распространения света в однородных средах с помощью понятия
о световом луче. Таким образом, геометрическую оптику можно
рассматривать как предельный случай физической (волновой)
оптики, когда % -> 0.
1.2.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Теория геометрической оптики основывается на сле¬
дующих законах: прямолинейного распространения света; незави¬
симого распространения света; законе отражения; законе пре¬
ломления; обратимости хода лучей (принципе обратимости);
законе сохранения энергии.
Закон прямолинейного распространения света гласит, что
свет между двумя точками в однородной и изотропной среде
(в среде, оптические свойства которой не зависят от положения
точек и направления) распространяется гю прямой, соединяющей
эти точки и называемой лучом. Закон прямолинейного распро¬
странения света нарушается, если среда является неоднородной,
а также вследствие дифракции.
Закон независимого распространения света утверждает, что
отдельные лучи не влияют друг на друга и распространяются
так, как будто других лучей не существует. Этот закон справедлив
для лучей, выходящих из различных центров излучения. Но если
лучи, выходящие из одного центра излучения (разность фаз равна
нулю), приходят в одну точку различными путями, то обнаружи¬
вается явление интерференции. Закон независимости перестает
соблюдаться также при больших интенсивностях света, дости¬
гаемых с помощью мощных лазеров.
Законы отражения и преломления свети. Для преобразования
пучков лучей света в оптических системах используется закон
отражения от полированных зеркальных поверхностей и закон
преломления света на границе прозрачных сред.
13

Рис. 1.1. Отражение луча света от Рис. 1.2. Преломление луча света
зеркальной поверхности
Закон отражения формулируется следующим образом
(рис. 1.1):
а)	падающий луч Л О, нормаль N0 к отражающей поверхности
РР в точке падения О и отраженный луч О А' находятся в одной
плоскости;
б)	угол падения е равен' углу отражения в' по абсолютной
величине, но противоположен ему по знаку.
Углы падения и отражения отсчитываются от нормали NО.
Если направление отсчета совпадает с ходом часовой стрелки,
то угол считается положительным, в противном случае — отрица¬
тельным. В оптических приборах в качестве деталей применяются
зеркала и отражательные призмы, действие которых основано
на законе отражения.
Согласно закону преломления в однородных средах, не име¬
ющих двойного лучепреломления (рис. 1.2):
а)	падающий луч Л О, нормаль МО к поверхности РР в точке
раздела сред и преломленный луч О А' находятся в одной пло¬
скости;
б)	отношение синуса угла падения е к синусу угла преломле¬
ния е' не зависит от значений этих углов, а зависит только от
свойств двух соприкасающихся сред 1,2 и для данных двух сред
есть величина постоянная:
sin e/'sin в' ~ пи = const.	(1-4)
Величина д13 называется относительным показателем пре¬
ломления второй среды относительно первой. Относительный пока¬
затель преломления ка основании (1.1) можно представить в виде
«12 = Uj/og — o»i/(ctfa) =* {ф2)!{фх) = ti%jnx — nfin.	(1.5)
Отсюда следует, что относительный показатель преломления
двух сред равен отношению их показателей преломления.
14

Заменив в (1.4) пхг с учетом (1.5), для закона преломления
получим
п sin е = n'sm в'.	(1.6)
Произведение показателя преломления среды на синус угла между
нормалью и лучом называется оптическим инвариантом.
Если углы падения и преломления малы, то формулу (1.6)
можно представить в виде пг — п'г'.
Волновая теория света дает следующее выражение для опти¬
ческого инвариаита:
v' sin с — v sin е',
где v и Vе — скорости распространения света в первой и второй
средах. Из сопоставления двух инвариантов имеем п'jn = vjv".
Отражение света можно рассматривать как частный случай
преломления, принимая во внимание, что отраженные лучи
распространяются в той же среде. В этом случае скорость рас¬
пространения света сохраняет свое абсолютное значение, но меняет
знак, поэтому согласно (1.1) можно принять, что п' — —д. Тогда
из закона преломления (1.6) получим закон отражения: —е — е'.
Показатель преломления, как это видно из (1.1), обратно
пропорционален длине волны, т. е. при увеличении длины волны
он уменьшается и определяется относительно воздуха, так как
нахождение его относительно вакуума — задача довольно слож¬
ная. Показатель преломления воздуха может быть вычислен
по формуле
лв = I + 2,9155- 10“*tf/(l -f */273),
где Н — давление, Па; t — температура воздуха в °С. При t =
= 20 °С и Я — 101 325 Па (давление 766 мм рт. ст.) показатель
преломления воздуха пъ — 1,000274 « 1,0003. Обычно показатель
преломления принимают равным единице. Только при больших
перепадах температуры и давления необходимо принимать во
внимание, что 1.
Всякое преломление света сопровождается отражением части
лучей от поверхности, разделяющей две среды с различными
показателями преломления. Весьма важное значение в практике
имеет случай, когда падающий пучок лучей полностью отражается
от границы раздела двух сред. Это явление имеет место в том
случае, когда показатель п преломления первой среды больше
показателя преломления п' второй среды, т. е. при переходе света
из более плотной среды в менее плотную (рис. 1.3). В этом случае
согласно (1.6) угол преломления е' будет больше угла падения е.
При постепенном увеличении угла в наступит момент, когда
sin е' — 1 (s' ~ 90°), т. е. преломленный луч будет скользить по
поверхности раздела. Предельное значение синуса угла падения,
когда sin е' => 1, будет
smem — rt'fn.	(1.7)
15

Рис. i.3. Полное внутреннее отра¬
жение
Когда свет переходит из сре¬
ды с показателем преломления п
в воздух, то sin em = Ifn, Если
продолжать увеличивать угол
падения так, что е > ето, то урав¬
нение (1.6) теряет смысл, так как
для sin s' получается значение
больше единицы. В этом случае
преломления не происходит и
свет полностью отражается, не
переходя из первой среды во
вторую.
Это явление называется пол¬
ным внутренним отражением,
а угол ет — предельным углом
полного внутреннего отражения.
Для стекла при п = 1,5183 угол
ет = 41,2°. Это значит, что лучи,
падающие на поверхность раз¬
дела стекло — воздух под углами больше 41,2°, не испытывают
преломления, а полностью отражаются в стекло. Если свет пе¬
реходит из стекла с п = 1,6169 в стекло с пг — 1,5183,
= 69,9°.
ТО 8
т
Явление полного внутреннего отражения находит широкое
применение в оптических приборах, например, действие многих
призм и призменных систем, а также освещение различ¬
ного рода индикаторных шкал и сеток основаны на явлении
полного внутреннего отражения. Этот же принцип исполь¬
зуется в новой области прикладной оптики — волоконной
оптике.
Принцип обратимости — один из основных. Согласно этому
принципу лучи света могут проходить по одному и тому же пути
независимо от направления. Действительно, если не учитывать
потерь вследствие поглощения, рассеяния и отражения, то все
явления, связанные с распространением света, обратимы. Если
свет в прямом ходе распространяется вдоль определенной траек¬
тории, например при отражении и преломлении, то в обратном
ходе он пройдет по той же траектории. Однако, если рассматри¬
вать более общие законы распространения пучков лучей с точки
зрения физической оптики, то вопрос обратимости значительно
усложняется. Например, явление рассеяния света необратимо
независимо от того, чем оно вызвано: дифракцией от краев диаф¬
рагмы, отражением от матовой поверхности и т. п. Таким обра¬
зом, принцип обратимости основан на геометрических законах
распространения света.
Закон сохранения энергии в геометрической оптике учиты¬
вается, когда рассматривается прохождение световой энергии
через оптические среды.
16

КЗ. ОПТИЧЕСКАЯ ДЛИНА ПУТИ.
ПРИНЦИП ФЕРМА
В основу геометрической оптики может быть положен
принцип Ферма: распространение света из одной точки в другую
происходит по такому пути, прохождение которого требует меньше
времени, чем любые другие пути между теми же точками. Этот
принцип называют также принципом наименьшего времени.
Для прохождения элементарного участка пути ds в неодно¬
родной среде требуется время dt = ds/v, где v — скорость света
на отрезке пути ds (рис. 1.4, а). Так как v — cfn, то dt — ndsfc.
Время для прохождения пути, например, от точки А до точки
Аг будет
Л'
( ~ — \ п ds.
с J
А
Произведение элементарного отрезка пути ds на показатель
преломления среды п на этом отрезке называется оптической
длиной хода светового луча в данной среде или оптической длиной
пути. Оптическая длина пути от точки А до А\ обозначаемая
через L, составит
А'
L = | п ds,	(	1.8)
Л
и время прохождения этого пути t = Ljc.
Если свет проходит путь от точки Л до Л' через k однородных
сред с показателями преломления nlt п2, nk (рис. 1.4, б), то
оптическая длина пути
L = n1sl -}- n2s8	-f-	tihSh,
ИЛИ
k
L ~ rtvsv.
(1.9)
v=l
Время на прохождение этой оптической длины пути
1
с
k
2
V=1
t — — 2 nvsv — Lfc.
(I.10)
A'
6)
Рис. 1.4. Оптическая длина пути от точки А до точки А’
а — в неоднородной среде; б — в однородной среде
17

А
А
Современное математи¬
ческое выражение принци¬
па Ферма имеет вид
А'
А
А'
Рис. 1.5. Стационарность оптической длины
пути от точки А до точки А‘
А
т. е. вариация интегра¬
ла, которым определяет¬
ся время распростране¬
ния света, и вариация интеграла, определяющего оптиче¬
ский путь, должны обращаться в нуль. Из (1.11) следует, что
время, которое требуется свету для прохождения вдоль дей¬
ствительного пути, отличается от времени, которое требовалось бы
свету для прохождения вдоль любого соседнего пути, на вели¬
чины второго порядка малости и что для действительного пути
вариация оптической длины пути равна нулю. Кроме того, равен¬
ство Ы = О является условием экстремума (минимума, макси¬
мума) или стационарности.
Следовательно, оптическая длина пути между двумя точками
может быть не только минимальной, но и максимальной, а также
стационарной — одинаковой для всех возможных путей. Ста¬
ционарность означает, что если даны две фиксированные волновые
поверхности, то оптическая длина пути для всех лучей, идущих
между этими поверхностями, должна быть постоянной независимо
от направления распространения:
Оптическая длина пути постоянна (стационарна) при отраже¬
нии лучей от внутренней поверхности эллипсоида, при прохожде¬
нии лучей через оптическую систему и т. п. Стационарность
оптического пути при переходе пучков лучей от точки А к точке Af
(рис. 1.5) может быть описана соотношением
Из принципа Ферма вытекает прямолинейность распро¬
странения лучей, законы отражения и преломления, а также
принцип обратимости, т. е. основные законы геометрической
оптики.
А'
2 Л s — const.
А
(1.12)
АМХ -f- МгА' = АО + О А' = АМ2 + М2Л' = const
или
rtjSi -j-	=	л^о	-j-	n2So	=	П\Ч	+	nis'i	~	const.
18

1.4,	ГОМОЦЕНТРИЧЕСКИЙ И АСТИГМАТИЧЕСКИЙ
ПУЧКИ ЛУЧЕЙ
Совокупность лучей света, являющихся нормалями
к волновой поверхности и заполняющих некоторый участок этой
поверхности, называется пучком лучей. От светящейся точки свет
распространяется в пространстве, образуя сферические волновые
поверхности. Совокупность лучей, выходящих из светящейся
точки и заполняющих все окружающее эту точку пространство,
образует так называемый неограниченный пучок лучей. Если на
пути лучей на некотором расстоянии от источника света поставить
непрозрачную диафрагму с отверстием, то за диафрагмой обра¬
зуется ограниченный пучок лучей, т. е. пучок в виде конуса, вер¬
шиной которого является источник света, а основанием — отвер¬
стие диафрагмы.
Пучок, все лучи которого пересекаются в одной точке, назы¬
вается гомоцентрическим пучком, а точка пересечения всех
лучей — центром этого пучка. Если лучи пучка расходятся из
его центра — светящейся точки, то такой пучок называется
расходящимся гомоцентрическим пучком; если лучи пучка идут
по направлению к его центру, т. е. пересекаются в одной точке,
то пучок называется сходящимся гомоцентрическим пучком. В слу¬
чае, когда точка схождения пучка лучей находится в бесконеч¬
ности, то гомоцентрический пучок называется параллельным.
Сходящемуся и расходящемуся гомоцентрическим пучкам соот¬
ветствуют волновые поверхности сферической формы, а парал¬
лельному — плоские волны; нормали к этим поверхностям яв¬
ляются лучами гомоцентрического пучка.
Существуют также пучки, лучи которых не пересекаются
в одной точке, т. е. не являются гомоцентрическими. Возьмем
элементарную поверхность, на которую от точечного источника
света, расположенного в бесконечности, падает бесконечно узкий
параллельный пучок лучей (рис. 1.6). Допустим, что в вертикаль¬
ной плоскости (сечение МгОМ^ радиус кривизны преломляющей
поверхности больше, чем в горизонтальной плоскости (сечение
QiOQ2)- После преломления лучи пучка, падающие на поверх¬
ности в точках Qx и пересекутся в точке F2, а лучи, падающие
Рис, 1.6. Астигматический пучок лучей
19

в точках Mi и M2t — в точке Fx. Лучи пучка, близкие к сечению
QiOQ2 (МгР1, М2Ръ), пересекутся в точках, близких к F2, и рас¬
положатся по линии F2F2FI, а лучи пучка, близкие к сечению
М1ОМ2 (Л^Л/г, Я1Р2), расположатся по линии F\F\F[. Таким
образом, узкий параллельный пучок лучей после преломления
поверхностью NxPxP^N^ дает два изображения точечного источ¬
ника света в виде элементарных отрезков, расположенных пер¬
пендикулярно друг к другу и находящихся на разных рассто¬
яниях от преломляющей поверхности. Элементарные отрезки
F{F'i и F2F2 называются фокальными линиями, а пучок лучей
такого строения называется астигматическим. Отрезок
т. е. расстояние между элементами фокальных линий, называется
астигматической разностью.
Когда астигматическая разность равна нулю, пучок лучей
становится гомоцентрическим. Если элементарный гомоцентри¬
ческий пучок лучей падает на сферическую преломляющую
поверхность так, что ось этого пучка совпадает с нормалью к по¬
верхности, т. е. кривизна этой поверхности одинакова во всех
направлениях, то после преломления этот пучок будет также гомо¬
центрическим.
Следует отметить, что понятие о световом луче как о прямой
линии неприемлемо, когда речь идет о распространении энергии
излучения, так как объемная плотность ее окажется бесконечно
большой. В действительности всегда имеет место совокупность
множества световых лучей, нормальных к некоторой волновой
поверхности и заполняющих ограниченный участок этой поверх¬
ности. Такая совокупность лучей, как указывалось, называется
пучком лучей.
1.5.	ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.
ПРЕДМЕТ И ИЗОБРАЖЕНИЕ
Оптической системой называется совокупность
оптических деталей (линз, призм, зеркал и их комбинаций),
установленных друг относительно друга в определенном порядке
в соответствии с расчетом. Назначение любой оптической системы
в большинстве случаев состоит в том, чтобы падающие на нее
гомоцентрические пучки оставались бы гомоцентрическими (или
почти гомоцентрическими) и после выхода их из системы.
Каждая оптическая деталь, входящая в систему, ограничена
преломляющими или отражающими поверхностями, которые могут
быть плоскими, сферическими, цилиндрическими, коническими,
торическими и асферическими. К асферическим поверхностям
относятся эллиптические, параболические, гиперболические,
а также поверхности, ограниченные кривыми высших порядков.
Пучки лучей, выходящие из различных точек, расположенных
впереди системы,“ проходя через различные ее части, преломляются
и отражаются в соответствии с законами геометрической оптики.
20

Неридион а ль н а я
плоскость
"ч, пн
Оптическая ось
Сагиттальная
плоскость
Рис. 1.7. Центрированная оптическая система:
Сг, С2* С3,	—	центры	преломляющих	поверхностей
Каждая преломляющая поверхность системы является границей
раздела между двумя средами с различными показателями пре¬
ломления .
Конструктивными параметрами оптической системы, если она
состоит из преломляющих и отражающих сферических поверх¬
ностей, являются радиусы кривизны гъ г2, ..., rh, расстояния du
d2, dk между этими поверхностями, показатели преломления
пъ п2, ..., nh+1 сред, составляющих систему (рис. 1.7).
Оптические системы делятся на центрированные и децентри-
рованные. Центрированными называют системы, все поверхности
которых, преломляющие и отражающие, являются поверхностями
вращения, имеющими общую нормаль (ось вращения), называ¬
емую оптической осью. Если центрированная оптическая система
состоит из сферических преломляющих и отражающих поверх¬
ностей, то оптической осью называется прямая, на которой рас¬
положены центры кривизны этих поверхностей. Децентрирован-
ными являются системы, не имеющие общей оси симметрии.
Большинство оптических систем относятся к центрированным,
поэтому в дальнейшем будут рассмотрены только эти системы.
Любая плоскость, содержащая оптическую ось системы, назы¬
вается меридиональной плоскостью. (В дальнейшем будем считать,
что меридиональной плоскостью является плоскость рисунка.)
Допустим, что из точки- Ль расположенной на оптической оси,
выходит узкий пучок лучей, образующий с оптической осью
некоторый угол (см. рис. 1.7). Этот пучок лучей называют на¬
клонным пучком. Осью этого пучка является луч A1N1. Плоскость,
перпендикулярная к меридиональной и проходящая через ось
наклонного пучка лучей, называется сагиттальной плоскостью.
21

Оптическая ось
Пространство
предметов
				"»	п.».	О			«п. м.рЕани.и
Пространство
изображении
’ ■	<	 —о  -""лД*""-
Рис. 1.8. Точечные предметы А, Вх, В2 и их изображения А', В\, В'2
Допустим, из точки А выходит расходящийся гомоцентриче¬
ский пучок лучей (рис. !.8). После прохождения оптической си¬
стемы L этот пучок сходится в одну точку А'. Центры пучков,
т. е. точки А и А' называются соответственно предметом (объек¬
том) и изображением. Предмет (точка А) и его изображение
(точка А1) являются центрами расходящихся и сходящихся сфе¬
рических волн.
Любой протяженный предмет (отрезок прямой, плоскость
и т. п.) состоит из совокупности отдельных точек, из которых
выходят гомоцентрические пучки лучей, поэтому, если система
совершенная (свободная от искажений), изображение также будет
состоять из совокупности точек, где сходятся гомоцентрические
пучки лучей. (На рис. 1.8 показаны крайние точки предмета Вг
и В2; точки В\ и В'г являются изображениями этих точек.)
Совокупность точек пространства, в котором располагаются
предметы и оптическая система, называется пространством пред¬
метов. Совокупность изображений точек пространства предметов,
определенных по законам геометрической оптики, называется
пространством изображений. Пространство изображений также
заполняет все пространство, в котором расположена оптическая
система. В случае, когда предмет находится впереди оптической
системы, то пространство, в котором расположены предмет,
а также пучки лучей, падающие на оптическую систему, назы¬
вается пространством предметов. В этом случае то пространство,
в котором находятся изображение и пучки лучей, вышедшие из
оптической системы, называют пространством изображений.
Если пучки лучей после прохождения системы сохраняют
гомоцентричность, то каждая точка пространства предметов изоб¬
ражается только одной точкой в пространстве изображений.
22

Такие изображения называются точечными или стигматиче¬
скими.
Можно представить себе на основании принципа обратимости,
что пучки лучей выходят из точки А' (см. рис. 1.8), т. е. точка А*
является предметом, тогда оптическая система L даст изображе¬
ние ее в точке А. Такие две точки, одна из которых является
изображением другой, называются сопряженными точками отно¬
сительно оптической системы. Соответственно отрезки прямой,
один из которых является изображением другого, называются
сопряженными отрезками и т. п. Таким образом, каждому лучу
в пространстве предметов будет соответствовать определенный
луч в пространстве изображений и, следовательно, каждому гомо¬
центрическому пучку лучей в пространстве предметов соответ¬
ствует гомоцентрический пучок в пространстве изображении.
Такие лучи и пучки лучей также называются сопряжен¬
ными .
Если лучи гомоцентрического пучка после выхода из опти¬
ческой системы действительно пересекаются в их гомоцентриче¬
ском центре, то эта точка называется действительной точкой,
или действительным изображением (на рис. 1.8 точка А' является
действительным изображением точки Л, а отрезок В\В'2—дей¬
ствительным изображением отрезка 51В2). Если же лучи пучка
не проходят через эту точку, а в ней пересекаются лишь продол¬
жения лучей пучка, вышедшего из оптической системы L, то
изображение А' точки А называется мнимой точкой или мнимым
изображением (рис. 1.9), Действительное изображение может быть
принято на экран, фотографическую пленку или какой-либо
другой приемник световой энергии. Мнимое изображение не
может быть получено на экране.
Основной задачей геометрической оптики является определение
простыми математическими средствами характера распростране¬
ния света в оптических системах и разработка методов их
расчета.
Рис. 1.9. Мнимое изображение Лу действительной
точки 4
23

Ьв. ПРАВИЛА ЗНАКОВ
В геометрической оптике, чтобы формулы были
пригодны для всех возможных случаев построений и расположе¬
ний элементов оптической системы, установлены определенные
правила знаков для отрезков и углов.
Правила знаков для отрезков (рис. 1.10). Отрезки, отсчи¬
тываемые вдоль оптической оси, считаются положительными, если
их направление совпадает с направлением распространения света,
и отрицательными, если их направление противоположно направ¬
лению распространения света. Обычно в геометрической оптике
принимается, что свет распространяется слева направо; эго на¬
правление считается положительным. Отрезки s, s' и радиус г
кривизны преломляющей поверхности отсчитываются от вершины
поверхности О. На рис. 1.10 отрезок s—отрицательный, а отре¬
зок s' и радиус кривизны г — положительные.
Расстояния, измеряемые вдоль лучей, составляющих с опти¬
ческой осью определенные углы, отсчитываются от точки пере¬
сечения лучей с преломляющей или отражающей поверхностью.
Если отрезки, перпендикулярные к оптической оси, направлены
вверх от нее, то они считаются положительными, если же вниз —
отрицательными.
Правила знаков для углов. Для углов а, & и <р за начальную
ось, от которой они отсчитываются, принимается оптическая ось
системы, а для углов падения е и преломления е' — нормаль
к преломляющей поверхности. Для сферической поверхности
нормалью является радиус кривизны ее. Углы а, а' и <р считаются
положительными, если они образуются вращением оптической
оси по ходу часовой стрелки, и отрицательными, если ось нужно
вращать против хода часовой стрелки. Углы е и е' между лучами
и нормалью считаются положительными, если для совмещения
нормали с лучом ее нужно вращать также по ходу часовой стрелки,
и отрицательными — если против хода часовой стрелки. На
Свет
Рис. 1.10, Иллюстрация правил знаков для отрезков и
углов
24

рис. 1.10 углы or, е и е' —отрицательные* а <р и 0' —положи¬
тельные.
Все величины, относящиеся к пространству предметов, обозна¬
чаются без индексов (3, а, е) или с индексами внизу (sb а1} ej,
а все величины, относящиеся к пространству изображений, —
со штрихами вверху (5', о', е' или о'и е().
ГЛАВА 2. ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
2.1.	СТЕКЛО ОПТИЧЕСКОЕ БЕСЦВЕТНОЕ
Стекло оптическое бесцветное — это материал» иду¬
щий на изготовление деталей оптических систем приборов, одно¬
родность и другие постоянные которого находятся в пределах,
установленных соответствующими ГОСТами и каталогом СССР —
DDR — «Оптическое стекло».
Для производства оптического стекла используются около 80
химических элементов. К основным компонентам относятся следу¬
ющие материалы: оксид кремнезема $Ю2, являющийся базовым
стеклообразующим материалом, количество которого составляет
20... 80%; борный ангидрид В203> а также оксиды алюминия
А1203, свинца РЬО, цинка ZnO, кальция СаО, натрия Na20, мышь¬
яка AszO, сурьмы Sb203, бария ВаО, магния MgO, калия К20 и др.
Оптические стекла условно делят на две группы: кроны и
флинты. Это деление сложилось исторически и связано с исправ¬
лением хроматизма — окрашиванием изображения. Флинты
имели больший показатель преломления и меньший коэффициент
дисперсии, чем кроны.
В настоящее время оптические стекла классифицируют по
типам в зависимости от химического состава и физических свойств:
крон — К; легкий крон — Л К; фосфатный крон — ФК; тяжелый
фосфатный крон — ТФК; баритовый крон — Б К; тяжелый крон —
ТК; сверхтяжелый крон — СТК; особый крон — ОК; флинт — Ф;
кронфлинт — КФ; баритовый флинт — БФ; тяжелый баритовый
флинт — ТБФ; легкий флинт — ЛФ; тяжелый флинт — ТФ; сверх¬
тяжелый флинт — СТФ; особый флинт — ОФ.
Расположение типов оптических стекол в зависимости от
показателя преломления пе и коэффициента дисперсии ve показано
на диаграмме рис. 2.1. Стекла типов ОК и ОФ могут находиться
на любом из участков полей диаграммы, занимаемых соответ¬
ственно кронами и флинтами. Кроме того, каждый тип стекла
в зависимости от состава и оптических характеристик делится
на марки.
Оптические стекла изготовляют двух серий: обычные — с ну¬
мерацией марок 1—.99; серии 100 — малотемнеющие под воздей¬
ствием ионизирующих излучений, с нумерацией марок 100—199.
25

К оптическим постоянным оп¬
тического стекла относятся пока¬
затель преломления» средняя
дисперсий, коэффициенты диспер¬
сии, относительные частные дис¬
персии и термооптические по¬
стоянные.
Показатели преломления из¬
меняются в зависимости от длины
волны непрерывно и плавно,
т. е. п — f (X).
Основным показателем опти¬
ческого стекла является показа¬
тель преломления пе для длины
волны X = 546,07 нм спектраль¬
ной линии ртути. Эта линия расположена в зеленой части спектра
вблизи области максимальной чувствительности глаза человека.
Длины волн и соответствующие им линии спектра химических
элементов, показатели преломления и другие оптические харак¬
теристики (см. каталог СССР — DDR) приведены в табл. 2.1.
Дисперсионные свойства стекла в видимой области спектра
характеризуются величиной основной средней дисперсии, опре¬
деляемой как разность показателей преломления Пр> — пС' для
длин волн 479,99 и 643,85 нм. Кроме того, оптические стекла
г*е
1,9
1,8
*,5
1 Н
’ 80 70 60 50 40 30 20 У*
Рис. 2.1. Группы оптических сте¬
кол (диаграмма пе, ve)
Таблица 2.1
Длины волн и соответствующие линии спектра
К, нм
Сим¬
вол
Элемент
Область
спектра
к, нм
Сим¬
вол
Элемент
Область
спектра
312,6
334,1
365,0
i
Hg
Ультра¬
фиолетовая
768,2
852,1
404,36
h
Фиолетовая
435,83
479,99
486,13
SF
F
Hg
Cd
H
Синяя
1 039,9
1 128,6
1 395,1
546,07
e
Hg
Зеленая
1 529,6
1 813,1
1	970,1
2	249,3
587,56
589,29
d
D
He
Na
Желтая
643,85
656,27
706,52
С
С
г
Cd
H
He
Красная
2 325,4
К
Cs
Инфра¬
красная
Hg
26

характеризуют следующими средними дисперсиями:	щ — пв,
п,р — Пс, тхт - ^хо1з,9» ^Ю1з,9	^2г49,з» ^ также коэффициентами
дисперсии:
vft - (пь ~ l)j(n{ - ns);	vg - (пе - Щпр, ~~ nc,yt
Vd = (nd lV(nF —ftc); VD *= (nD ~~ l)/(nF “ Лс);
Vl529.e ~ (%529,в	0/(^1013.9	%84»,з).
Коэффициент ve является коэффициентом основной средней
дисперсии, или основным коэффициентом дисперсии. Его назы¬
вают также числом Аббе.
Разность показателей преломления Дп — п%г — n%t для любых
других линий спектра называется частной дисперсией, а отно¬
шение частной дисперсии Ап к основной средней дисперсии п?* —
—	tic является относительной частной дисперсией, например,
(tli — nF)j(nF	Пс‘), {nF' — ne)j{nF> — пс'), (пе — ПС')/(Пр' —
—	*•*
При расчете оптических систем пользуются коэффициентом
дисперсии v = (яя0 — \)/(п%г —- fix,), где n%i и п%г ~ показатели
преломления для длин волн, ограничивающих какой-либо диапа¬
зон спектра, для которого рассчитывается оптическая система,
а л*в — показатель преломления для основной длины волны,
расположенной внутри диапазона. Например, для оптических
систем, работающих совместно с глазом, пхй соответствует пока¬
затель преломления для линии спектра е, a n%t и пх, —> показатели
преломления для линий F' и С'.
Показатель преломления для любой длины волны в диапазоне
365 ... 1013,9 нм может быть вычислен по следующей диспер¬
сионной формуле:
^	-j-	А2Х2	+	^3^-	2	+-^4^	4	+	6	-р	8-
Значения постоянных Ах — Ав приведены в каталоге для
каждой марки стекла, длина волны % берется в микрометрах.
Показатели преломления, а следовательно, и дисперсии стекла
зависят от температуры окружающей среды. При повышении
температуры показатели обычно увеличиваются. Это приводит
к тому, что при изменении температуры в оптических системах
смещается плоскость изображения и изменяются линейные раз¬
меры изображения. Чтобы учесть температурные изменения пока¬
зателей преломления, введены характеристики стекол по термо¬
оптическим постоянным.
К термооптическим характеристикам оптических стекол отно¬
сятся:
температурные изменения показателя преломления
Рабс^А) — Алабс(^/^0>
термооптическая постоянная
v(/(X) «= Ротн(^А)/(лх.	1)	®(0	~
27

термооптическая постоя иная
Г(*»10-7 = Рабе(а) + a(t)/(nx -- 1) - Wt.
В приведенных формулах п% — показатель преломления стекла
для длины волны л при t ~ 20 °С: а (0 — щ — температурный
коэффициент линейного расширения — относительное удлине¬
ние образца стекла при изменении температуры на 1°; ротн {t, X) —
—	Р t — температурное изменение относительного показателя
преломления — отношение показателя преломления при темпера¬
туре i к показателю преломления воздуха при нормальном давле¬
нии (давлении .101 325 Па) и температуре 20 °С.
Термооптическая постоянная Vt относится к условиям, когда
температура постоянная, но отличается от 20 °С, a Wt — к усло¬
виям неравномерного распределения температуры в стекле, что
имеет место в крупногабаритных оптических деталях. Термо¬
оптические постоянные даются для линий спектра F' > F, е, D, С'
и С как средние в диапазоне температур —60 ... -Ь20 °С и 20 ...
120 °С.
Оптическое стекло делят на категории и классы по следующим
показателям качества: допустимым отклонениям показателя пе
и основной средней, дисперсии nF> — пс' от значений, установ¬
ленных для всех марок, однородности партии заготовок по пока¬
зателю преломления и основной средней дисперсии, оптической
однородности, двойному лучепреломлению, бессвильности, пузыр-
ности, пропусканию.
Механические свойства оптического стекла характеризуются
прочностью, твердостью, хрупкостью и упругостью. К тепловым
свойствам стекла относятся удельная теплоемкость, теплопровод¬
ность, тепловое расширение, которое характеризуется коэффи¬
циентом линейного расширения, термостойкость, температура
спекания. Химические свойства стекла: устойчивость к действию
влажной атмосферы и устойчивость к действию реагентов. Данные
по всем указанным свойствам приведены в ГОСТах.
2.2.	СТЕКЛА ОПТИЧЕСКИЕ ЦВЕТНЫЕ.
СТЕКЛА С ОСОБЫМИ СВОЙСТВАМИ. ОРГАНИЧЕСКИЕ
СТЕКЛА. СИТАЛЛЫ
Цветные оптические стекла применяют для изго¬
товления светофильтров, ограничивающих или ослабляющих про¬
пускание света заданного спектрального состава. Оптическое цвет¬
ное стекло выпускается следующих типов: ультрафиолетовое
УФС, фиолетовое ФС, синее СС. сине-зеленое СЗС, зеленое ЗС,
желто-зеленое ЖЗС, желтое ЖС, оранжевое ОС, красное КС,
инфракрасное ИКС, пурпурное ПС, нейтральное НС, темное ТС,
бесцветное ультрафиолетовое, инфракрасное БС. В каждый тип
стекла входит несколько марок, которые обозначаются, например,
/КЗС5 желто-зеленое стекло пятое.

Основными характеристиками цветного стекла являются пока¬
затель преломления, коэффициент пропускания для различных
длин волн и оптическая плотность, определяемая густотой окра¬
шенности также для различных длин волн.
Стекло оптическое кварцевое имеет ряд очень ценных физико¬
химических свойств: прозрачность в широком диапазоне длин
волн; высокую термостойкость; малый коэффициент линейного
расширения: химическую и радиационную устойчивость. В зави¬
симости от основной области пропускания оптические кварцевые
стекла выпускают следующих марок: КУ-1, КУ-2 — прозрачные
в ультрафиолетовой области спектра; КВ, КВ-Р — прозрачные
в видимой области спектра; КИ — прозрачные в инфракрасной
области спектра. Кварцевое стекло применяется для изготовления
уголковых отражателей, призм спектральных, приборов, оболочек
источников света и других оптических деталей, подвергающихся
резким изменениям температуры.
Инфракрасные бескислородные стекла (ИКС) отличаются от
обычных стекол тем, что в их составе отсутствуют химические
соединения, содержащие кислород. Прозрачны в инфракрасной
области спектра в диапазоне 1 ... 17 мкм, имеют высокую хими¬
ческую и термическую прочность.
Люминесцирующие стекла содержат неодим, имеют узкие
полосы люминесценции, причем на полосу 1,06 мкм приходится
до 80% всей энергии люминесценции. Стекла обозначают индексом
ГЛС (генерирующее люминесцирующее стекло). Их используют
для изготовления активных элементов твердотельных лазеров
направленного излучения с длинами волн 0,9, 1,06, 1,30 мкм.
С вето рассеивающие стекла (молочные — МС) диффузно рассеи¬
вают проходящий или отраженный свет благодаря введению в их
состав соединений фтора, кремнефтористого натрия и других
соединений.
Фотохромные стекла (ФХС) обратимо изменяют свою про¬
зрачность в зависимости от значения освещенности и длительности
облучения. Основными характеристиками фотохромного стекла
являются коэффициент фотохромности Кф — величина, характе¬
ризующая уменьшение оптической плотности, и чувствитель¬
ность $ф — величина, обратная количеству освещения, необхо¬
димого для получения добавочной плотности, равной 0,2. На¬
пример, стекло марки ФХСЗ имеет Кф = 0,5 ... 0,7;	= (2 ...
5) 10“6 (лк-с)"1. Применяется ФХС для изготовления свето¬
фильтров и светозащитных очков.
Органическое стекло — это бесцветная или окрашенная пласт¬
масса. В качестве органического стекла со свойствами, близкими
к кроновым стеклам, используется метилметакрилат (плексиглас
марок СОЛ и СТ 1) и целлулоид, а со свойствами флинта — поли¬
стирол. Органическое стекло — это дешевый материал, легко
обрабатывается, формуется, склеивается, обладает высокой
прозрачностью для ультрафиолетового и видимого участков спек¬
29

тра, но имеет ряд существенных недостатков: малая механическая
и химическая устойчивость, большой коэффициент линейного
расширения. Поэтому его применяют для изготовления неответ¬
ственных оптических деталей.
Оптические ситаллы имеют особо тонкозернистую структуру
с кристаллами размером, составляющим примерно половину
длины волны видимого участка спектра. Показатели преломления
кристаллов и стеклообразного вещества, в котором они равно¬
мерно распределены, одинаковы или близки между собой, что
исключает рассеяние света на границе раздела кристалл — стекло.
Ситаллы имеют повышенную по сравнению со стеклом термо¬
стойкость, механическую прочность и твердость, коэффициент
линейного расширения близок к нулю.
Изготовляются следующие марки ситаллов: СО-115 (астро-
ситалл) — термостойкий ситалл с малым или близким к нулю
коэффициентом линейного расширения; СО-156 имеет повышенную
прозрачность в видимой области спектра, но меньшую термостой¬
кость; СО-21 — ситалл с отрицательным коэффициентом линей¬
ного расширения в диапазоне 0 ... 350 °С, что обеспечивает высо¬
кую термостойкость. Ситаллы применяются для изготовления
астрозеркал, пробных стекол, обтекателей, защитных экра¬
нов и т. п.
2.3. ОПТИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ И КЕРАМИКА
Для изготовления оптических деталей используются
естественные и искусственные кристаллы, имеющие ряд свойств,
отсутствующих у оптического стекла. К положительным свой¬
ствам кристаллов относятся пропускание излучения в ультра¬
фиолетовой и инфракрасной областях спектра, большое значение
коэффициента основной средней дисперсии при малом показателе
преломления. Оптические кристаллы обладают рядом отрица¬
тельных свойств, затрудняющих их применение: оптическая
и механическая неоднородность в различных направлениях,
двойное лучепреломление, малая твердость некоторых кристаллов,
гигроскопичность, растворимость и т. п.
Хлористый натрий (NaCl) — мягкий природный кристалл —
каменная соль. Показатель преломления для % — 2,0 мкм равен
1,52. Прозрачен в области спектра 0,250 ... 3,0 мкм, гигроскопи¬
чен, растворим в воде и глицерине. Применяется в основном для
изготовления спектральных призм в ИК-диапазоне.
Бромистый калий (КВг) — очень мягкий однородный дешевый
кристалл, п = 1,54 при % — 2,0 мкм, прозрачен в области 0,21 ...
27,0 мкм, гигроскопичен, растворим в воде и глицерине. Ис¬
пользуется для изготовления призм ИК-Диапазона.
Хлористый калий (КО) — природный сильвин, мягкий, доста¬
точно однородный, гигроскопичный, хорошо растворимый в воде,
щелочах, эфире и глицерине кристалл. Диапазон пропускания
30

3,3 ... 21,0 мкм. Применяется для конденсоров микроскопов
в УФ-диапазоне, призм в ИК-Диапазоне.
Фтористый кальций (CaF2) — природный флюорит, твердый,
очень хрупкий, дорогостоящий кристалл. При X — 2,0 мкм п —
= 1,42, прозрачен в области 1,8 ... 10,0 мкм, негигроскопичен
и практически нерастворим в воде. Применяется для изготовления
деталей микроскопов и призм спектроскопов, работающих в УФ-
и ИК-диапазонах.
Фтористый литий (LiF) — кристалл средней твердости, одно¬
родный, негигроскопичен, практически нерастворим в воде. Кри¬
сталл прозрачен в области спектра 1,8 ... 6,0 мкм, показатель
преломления при X — 2,0 мкм составляет 1,38. Используется
для изготовления деталей в УФ- и ИК-диапазонах.
Германий (Ge) — хрупкий синтетический кристалл, непро¬
зрачный в видимой области спектра, но хорошо пропускающий
излучение в диапазонах 2,0 ... 15,0 мкм и 40,0 ... 60,0 мкм. Из-за
большого показателя преломления (п — 4,12 при X = 2,0 мкм)
детали имеют большие потери на отражение при преломлении,
поэтому требуют просветления. Применяется для изготовления
деталей, работающих к ИК-области спектра.
Кремний (Si) — синтетический кристалл, довольно хрупкий,
не растворяется в воде, непрозрачный в видимой области спектра,
хорошо пропускает излучение в диапазоне 15,0 ... 22,0 мкм. По¬
казатель преломления п — 3,46 при X = 2,0 мкм. Область при¬
менения та же, что и у кристаллов германия.
Кварц кристаллический (Si03) — синтетический кристалл; при¬
родный известен под названием горный хрусталь. Он имеет слабо
выраженное двойное лучепреломление. Прозрачен в области
1,80 ... 10,0 мкм, показатель преломления п — 1,52 для обыкно¬
венного луча при X = 2,0 мкм. В воде не растворяется, исполь¬
зуется для изготовления деталей спектральных и поляризацион¬
ных приборов.
Кальцит (СаС03) — синтетический кристалл (природный —
исландский шпат), очень хрупкий и нетермостойкий. Характери¬
зуется сильно выраженным двойным лучепреломлением. Хорошо
пропускает видимую и ближнюю ИК-области, показатель пре¬
ломления для обыкновенного луча п — 1,66 при X = 0,56 мкм.
Применяется для изготовления деталей поляризационных при¬
боров.
Фтористый магний (MgF2) — природный селлаит, кристалл
средней твердости, достаточно однородный, не растворяется в воде.
Хорошо пропускает излучение в области спектра 0,1 ... 1,0 мкм,
показатель преломления п — 1,38 при X = 0,4 ... 0,7 мкм. Ис¬
пользуется для деталей спектроскопических вакуумных приборов
в УФ-области, интерференционных и интерференционно-поляриза¬
ционных фильтров.
Лейкосапфир — искусственный кристалл, беспримесный ко¬
рунд (А1208); изготовляется следующих марок: Л—У — для
31

УФ-области; Л—В — для видимой и Л—И — для ИК-областей
спектра.
Природный корунд (сапфир) — очень твердый» термостойкий
кристалл, устойчив практически против всех химикатов. Корунд
с добавкой 0,05 % хрома представляет собой рубин, применяемый
для изготовления активных тел лазеров.
Оптическая керамика — поликристаллический материал, изго¬
товляемый методом горячего прессования под большим давлением
в вакууме, обладает высокой механической прочностью и высокой
термостойкостью. Изготовляется несколько марок, прозрачных
для X — 1,0 ... 20,0 мкм (К04) и для Я = 1,0 ... 8,0 мкм (К05).
Благодаря нерастворимости в воде, хорошей обрабатываемости
и высокой устойчивости к тепловым ударам керамику используют
для изготовления окон и обтекателей ИК-приборов, подложек
интерференционных фильтров и других деталей оптических си¬
стем ряда ИК-приборов.
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
3.1.	ИДЕАЛЬНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.
ЛИНЕЙНОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ
Идеальной называется оптическая система, кото¬
рая дает стигматическое изображение любой точки пространства
предметов независимо от ее положения с помощью широких гомо¬
центрических пучков лучей. В основу теории идеальной оптиче¬
ской системы положены чисто геометрические соотношения между
точками и отрезками.
Теория идеальной оптической системы базируется на следу¬
ющих положениях:
1.	Каждой точке пространства предметов соответствует одна
и только одна точка в пространстве изображения; такие две точки
называются сопряженными точками обоих пространств. Сочетание
точек образует отрезок прямой.
Из первого положения вытекает второе положение.
2.	Каждому отрезку прямой линии пространства предметов
соответствует один и только один отрезок в пространстве изобра¬
жений; такие два отрезка называются сопряженными отрезками.
Две пересекающиеся прямые однозначно определяют положе¬
ние плоскости в пространстве, поэтому из первых двух вытекает
третье положение.
3.	Любой плоскости пространства предметов соответствует
одна и только одна плоскость в пространстве изображений; такие
две плоскости называются сопряженными плоскостями.
32

Рис. 3.1. К определению линейного увеличения идеальной си¬
стемы
Однако, когда изображение является стигматическим и пло¬
ским, оно может быть неидеальным, если оно не подобно пред¬
мету, поэтому идеальная оптическая система должна удовлет¬
ворять также четвертому условию.
4.	Изображение, расположенное на плоскости, перпендику¬
лярной оптической оси, в любой своей точке должно быть подобно
предмету, т. е. отношение размера изображения к размеру пред¬
мета yl/yi — уУуъ ~ x{fxi — ... = ро должно быть постоянным
для любой пары сопряженных точек, расположенных на отрезках
А В и А'В', или любой другой пары сопряженных отрезков
(рис. 3.1). Это отношение называется линейным увеличением иде¬
альной системы. Линейное увеличение показывает, во сколько раз
изображение больше или меньше предмета, т. е. характеризует
масштаб изображения.
Из свойств идеальной системы вытекает, что каждому гомо¬
центрическому пучку лучей пространства предметов соответ¬
ствует сопряженный с ним гомоцентрический пучок лучей в про¬
странстве изображений. Меридиональной плоскости простран¬
ства предметов соответствует сопряженная с ней меридиональная
плоскость в пространстве изображений, т. е. меридиональная
плоскость сопряжена сама с собой. Если луч в пространстве пред¬
метов идет в меридиональной плоскости, то при его прохождении
через оптическую систему он всегда будет находиться в мериди¬
ональной плоскости. (Это положение вытекает из законов отра¬
жения и преломления.) Поскольку мы рассматриваем только
центрированные системы, то очевидно, что если меридиональную
плоскость в пространстве предметов повернуть на некоторый угол
вокруг оптической оси, то сопряженная с ней плоскость в про¬
странстве изображений повернется на тот же угол.
Оптических систем, которые давали бы стигматические изобра¬
жения независимо от поперечных размеров предметов и положе¬
ния их относительно системы, не существует, за исключением
2 П/ред. Дубовика
33

некоторых частных случаев и плоских зеркал. Для создания
реальных оптических систем, которые давали бы изображения,
свободные от искажений в довольно широкой области, необходимо
знать, каким требованиям должны удовлетворять такие системы.
Поэтому и вводится понятие об идеальной системе, свободной от
всех недостатков реальных систем.
Введение такого понятия позволяет построить довольно про¬
стую общую теорию для приближенного решения различных
задач прикладной оптики. Идеальные оптические системы, обла¬
дающие указанными выше свойствами, дают возможность уста¬
новить критерий для оценки качества реальных систем, или
вернее, к чему нужно стремиться при расчете оптических систем.
Идеальная оптическая система является как бы своего рода
«эталоном» для реальных систем. Хотя эта теория является при¬
ближенной, практически вопрос об идеальных оптических си¬
стемах не ставится жестко, т. е. от реальных систем не требуется,
чтобы они давали строго стигматические изображения. Например,
системы, служащие для работы совместно с глазом, могут давать
такие погрешности в изображении, которые не замечает наш
глаз, и т. п.
Теорию идеальной оптической системы разработал Гаусс
(1777—1855), поэтому ее часто называют оптикой Гаусса, а изоб¬
ражения, даваемые такими системами, — гауссовыми изобра¬
жениями.
3.2.	КАРДИНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ГЛАВНЫЕ
И ФОКАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ФОКУСНЫЕ
РАССТОЯНИЯ
Пусть 0г0ь является идеальной оптической системой
(рис. 3.2, а). Допустим, на систему падает элементарный пучок
лучей, осью которого является луч ВгМи параллельный опти-
Свет	Свет
б)
Рис. 3.2. Кардинальные точки F, Н, Н', F', главные плоскости NH, N'H' и
фокусные расстояния идеальной оптической системы:
а — положительной; б — отрицательной
34

ческой оси А А'. После выхода из системы этому лучу будет соот¬
ветствовать один сопряженный луч, который может пойти парал¬
лельно оптической оси или пересечет ее в некоторой точке F'.
Рассмотрим второй случай, т. е. сопряженные лучи В\М\ и М\В{.
Продолжив эти лучи до их пересечения, найдем точку N'. Про¬
ведем через точку N' плоскость, перпендикулярную к оптической
оси. Точку пересечения этой плоскости с осью обозначим //'.
Лучу A0lf идущему вдоль оптической оси, в пространстве изобра¬
жений соответствует сопряженный луч OkA!, также идущий вдоль
оптической оси. (Оптическая ось является нормалью ко всем
поверхностям системы, поэтому луч вдоль нее проходит без пре¬
ломления.) Точке пересечения F' лучей M\Bi к ОкА\ сопряжен¬
ных с лучами ВгМг и ЛОх в пространстве предметов, должна
соответствовать предметная точка. Так как лучи ВгМх и АОг
параллельны между собой, то точка пересечения их находится
в бесконечности.
Точка F', являющаяся изображением бесконечно удаленной
точки, расположенной на продолжении оптической оси, называется
задним фокусом системы. Плоскость, перпендикулярная опти¬
ческой оси и содержащая отрезок N'H't называется задней главной
плоскостью, а точка Н’ — задней главной точкой.
Если проследить ход луча В2М2 параллельно оптической оси,
падающего на систему на той же высоте h, что и луч	то
найдем передний фокус F, переднюю главную плоскость NH и
переднюю главную точку Н системы.
Точка N является предметом, так как образуется пересече¬
нием лучей В\М\ и FM2r а точка N' пересечения лучей M\F'
и М2В2, сопряженных с лучами ВгМг и FM2, — изображением
точки N. Если взять лучи, падающие на систему на меньшей вы¬
соте, и лучи, образующие меньшие углы а, то для них получим
много других сопряженных точек, лежащих в плоскостях NH
и NfH\ поэтому главные плоскости являются сопряженными
плоскостями и соответственно главные точки Н и Я' также будут
сопряженными точками. Ординаты сопряженных точек N и N'
равны между собой по абсолютной величине и имеют одинаковые
знаки, поэтому линейное увеличение в главных плоскостях равно
единице, т. е. роя = +1.
Таким образом, идеальная система имеет две сопряженные
плоскости, перпендикулярные оптической оси, в которых линей¬
ное увеличение равно единице.
Расстояние от задней главной точки до заднего фокуса H'Ff —
—	f' называется задним фокусным расстоянием, а расстояние
от передней главной точки до переднего фокуса HF = —f —
передним фокусным расстоянием.
Расстояние от последней поверхности системы до заднего
фокуса OkF' = s'f' называется задним фокальным отрезком,
а расстояние от первой поверхности до переднего фокуса 0XF —
= —sF — передним фокальным отрезком.
2*
35

Положение главных точек относительно поверхностей харак¬
теризуется отрезками — координатами $и и $н'. Фокусные рас¬
стояния f и f отсчитываются от главных точек Ни Н\ а отрезки
Sf, sfc't Sh и s'h* — от поверхностей системы (на рис. 3.2, а
s'p’у Sh > 0, а f, S/?, s'h* < 0). Плоскости, перпендикулярные
оптической оси и проходящие через точки фокусов F и F't назы¬
ваются передней и задней фокальными плоскостями.
Как следует из рис. 3.2, я, f = hftg а; /' — /i/tg a'.
Главные точки tf, Н' и точки фокусов F, F' носят название
кардинальных (основных) точек системы.
Имеются системы, у которых точки фокусов являются мни¬
мыми точками, т. е. в этих точках пересекаются не сами лучи,
вышедшие из системы, а их продолжения (рис. 3.2, б). Передняя
и задняя фокальные плоскости — также мнимые плоскости.
В дальнейшем системы, задний фокус которых представляет
собой действительную точку, будем называть положительными,
а системы, задний фокус которых является мнимой точкой, —
отрицательными. Для большинства отрицательных систем f > о
и f < 0.
Задний фокус системы F\ как уже указывалось, представляет
собой точку, сопряженную с точкой, расположенной в бесконеч¬
ности пространства предметов и лежащей на продолжении опти¬
ческой оси. Очевидно, что задней фокальной плоскости соответ¬
ствует сопряженная плоскость в пространстве предметов, также
находящаяся в бесконечности. Любой точке, расположенной
в задней фокальной плоскости вне оптической оси, соответствует
сопряженная точка, находящаяся в бесконечности также вне
оптической оси. Отсюда вытекает, что задняя фокальная пло¬
скость представляет собой геометрическое место точек, в которых
пересекаются пучки параллельных между собой лучей или их
продолжения в пространстве предметов, образующих различные
углы ан с оптической осью (рис. 3.3, а). Луч, проходящий через
переднюю главную точку Н под углом ая? выйдет из системы
через заднюю главную точку #' под углом а'Нг и пересечет заднюю
фокальную плоскость в точке В'.
Передняя фокальная плоскость также является геометриче¬
ским местом точек, в которых собираются пучки параллельных
между собой лучей, идущих из пространства изображений под
различными углами а'нт. е. любая точка, расположенная в пе¬
редней фокальной плоскости, отображается точкой в пространстве
изображений, расположенной в бесконечности вне оптической
оси (рис. 3.3, б).
В связи с тем, что в главных плоскостях роЯ — 1, это дает
возможность на рис. 3.3, а совместить главные плоскости в одну
и представить идеальную оптическую систему в виде тонкой,
разделяющей две среды с показателями преломления п и п'.
Угол ан в этом случае будет являться углом падения луча е,
а угол ан* — углом преломления в'. Из рис. 3.3, а следует, что
36

Рис. 3.3. Задняя и передняя фокальные плоскости идеальной оптической си¬
стемы:
а; б — положительной; в, г — отрицательной
—/ tg s — /' tg s'. При малых углах е и г' закон преломления
(1.6) можно записать в виде п tg е = п' tg е', поэтому
f/f = —п/п\	(3.1)
т. е. отношение фокусных расстояний идеальной системы равно
отношению показателей преломления, взятому с обратным знаком.
Для системы в однородной среде, например в воздухе, п = п'
и —f — {' — переднее и заднее фокусные расстояния равны по
абсолютной величине.
Из рис. 3.3, а, б следует, что у' — f tg ан — —Г tg а'н',
У = —/ tg ан = /' tg а'Н'. При —/ = аи = а'н' размер
изображения у' = —/' tg ан = —/' tg а
На рис. 3.3, в, г показаны соответственно задняя и передняя
фокальные плоскости отрицательной системы.
3.3.	ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Свойство кардинальных точек оптической системы
используется для графического построения изображений. Если
система задана, то известно положение ее главных точек и фоку¬
сов, т. е. фокусные расстояния.
37

S)
Рис. 3.4. Построение положительной системой изобра¬
жения точки, расположенной на оптической оси
Рассмотрим способы построения изображения точки, располо¬
женной на оптической оси, отрезка прямой (предмета) положи¬
тельной и отрицательной системами.
Построение изображения точки А положительной системой
можно выполнить несколькими способами. Из точки А прово¬
дится луч AMlt образующий произвольный угол с оптической
осью (рис. 3.4, а). Чтобы найти изображение А' точки А, нужно
в пространстве изображений найти направление хода луча, сопря¬
женного с лучом АМг. Так как в главных плоскостях роН = 1,
то луч АМг выйдет из системы на той же высоте, т. е. М[Н' —
—	МгН. Из точки К пересечения луча АМгс передней фокальной
38

Нг.
В,
1 м
/ 1
^
г—
!v>
PUn
— 1
\
f !
L.'
—э*
F
плоскостью проводится луч КМ21 параллельный оптической оси,
до пересечения его с задней главной плоскостью. Сопряженный
с ним луч в пространстве изображений должен пересечь оптиче¬
скую ось в точке заднего фокуса F' системы. Так как точка К
находится в передней фокальной плоскости, то изображение ее
будет расположено в бесконечности, поэтому луч М\Л' пойдет
параллельно лучу M2F'. Точка А" пересечения луча М[А' с опти¬
ческой осью является действительным изображением точки А.
В пространстве предметов проводится луч АМг и луч FM2l
параллельный ему и проходящий через передний фокус
(рис. 3.4, б). В пространстве	д>
изображений сопряженные с
ними лучи пересекутся в точ¬
ке К\ расположенной в зад¬
ней фокальной плоскости.
Продолжив луч М\К' до пере¬
сечения его с оптической
осью, найдем точку А', яв¬
ляющуюся изображением точ¬
ки А.
Если точка А расположе¬
на между точками F и И
(рис. 3.4, б), то ее изображе¬
ние А' будет мнимой точкой.
Если точка А находится по¬
зади точки Н' (рис. 3.4, г),
то она представляет собой
мнимый предмет, а ее изо¬
бражение будет действитель¬
ной точкой А'.
Построение изображения
точки А отрицательной си¬
стемой при различных поло¬
жениях этой точки показано
на рис. 3.5. Так как в этой
системе точки фокусов F и F'
являются мнимыми точками,
а фокальные плоскости —
мнимыми плоскостями, то
в них пересекаются не сами
лучи, а продолжение лучей,
падающих на систему и вы¬
шедших из нее.
Построение изображения
предмета (отрезка прямой),
перпендикулярного оси, по¬
ложительной системой при
различных его положениях
н'
1
—
f
1
-н
Рис. 3.5. Построение отрицательной систе¬
мой изображения точки, расположенной
на оптической оси
39

Mr
М{ В
" м.
—
Н
[
1
-f
г'
в)
Рис. 3.6. Построение изображения предмета А В положительной системой при
различных его положениях:
о — предмет перед передним фокусом; б — между передним фокусом в системой; в —
в пространстве изображений
показано на рис. 3.6. Из внеосевой точки В предмета прово¬
дят два луча (рис. 3.6, а, б): луч ВМ1г параллельный
оптической оси, и луч ВМ2, проходящий через передний фокус F
системы; после прохождения оптической системы, т. е. в про¬
странстве изображений, луч, сопряженный с лучом ВМг1 пройдет
через задний F' фокус, а луч, сопряженный с ВМ2У выйдет из
точки М'ч параллельно оптической оси. Точка В’ пересечения этих
лучей является изображением точки В. Проведя через точку Вг
линию, перпендикулярную оптической оси, получим точку А' —
изображение точки А. Следовательно, отрезок А'В' является
изображением предмета АВ. (Если построить изображение точки А
указанным выше методом, то оно совпадает с точкой Л', поэтому
при построении изображения предмета АВ его не строят.)
Когда предмет АВ располагается в пространстве изображений
(рис. 3.6, б), то он является мнимым и в точке В пересекаются
продолжения лучей BtMt и FM%. В том случае, когда система
40

Рис. 3.7. Построение изображения предмета АВ отрица¬
тельной системой при различных его положениях
находится в однородной среде (—f — /'), то в пространстве пред¬
метов из точки В можно провести луч ВН, образующий угол ан
с оптической осью. В пространстве изображений сопряженный
с ним луч выйдет из задней
главной точки Н' под тем
же углом, т. е. а'н> = <х#.
При построении изобра¬
жений отрицательной си¬
стемой следует иметь в ви¬
ду, что через передний и со-
ответственно задний фоку¬
сы проходит только про¬
должение лучей (рис. 3.7).
Построение изображения
квадрата	иллюстрирует рис з g Построение изображения квадрата
рис. 3.8.	ABCD положительной системой
41

3.4.	ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ
ТОЧЕК И ОТРЕЗКОВ
Положения сопряженных точек А и Л', располо¬
женных на оптической оси, и соответственно сопряженных отрез¬
ков АВ и А'В', перпендикулярных оптической оси, определяются
относительно фокусов F и F' системы координатами ги/, а отно¬
сительно главных точек Н и #' — координатами а и а'. Коорди¬
наты z и г' отсчитывают от фокусов, а координаты о и а' от главных
точек, поэтому г<0иа<0, аг' > 0 и а! >0 (рис. 3.9).
Из треугольников ABF и FHM2 и H'M[F' и F'A'B' имеем
у! у' = —г//; yly' = —ГЫ ■
Приравняв эти выражения, найдем
22' = ft*.
(32)
Равенство (3.2) называется формулой Ньютона. Она устанав¬
ливает зависимость между координатами г иг' и фокусными
расстояниями.
Как следует из рис. 3.9, а — г + /, а' — г' + f\ откуда г —
= а_ д *' = а'
Подставляя значения гиг' в (3.2), получаем (а — /) (а —
— Г) — /Г или аГ + а'/ = аа'.
Разделив обе части этого выражения на аа\ получим
(3.3)
Выражение (3.3) называется формулой Гаусса или формулой
в отрезках вдоль оптической оси. Она позволяет определить по¬
ложение изображения (координату а'), если известны положение
предмета (координата а) и фокусные расстояния системы.
Умножая все члены формулы (3.3) на h и учитывая, что tg а —
= /i/а, tg а' = h/a, находим /' tg ос' -f f tg а — h, откуда
tg а' = — (///') tg а + ft//'.
При —f ~ /' на основании (3.2)—(3.4) получим
Свет
гг'
а а' -
tg а'
(3.4)
с/2»
— I 1
l/е — 1/Л;
tg а + Л/f'. (3 5)
Рис. 3.9. Координаты, определяющие положе¬
ние сопряженных точек и отрезков
42
Из рис. 3.9 имеем
h — a tg а = ar tg а".
Заменяя а и а' их зна¬
чениями, находим (г +
Н~/) tg а=(г'

Учитывая, что г — —yffy', z' -• —y'f'/y* получаем
fy tg а = — f# tg а'.	(3.6)
Выражение (3.6) называется формулой тангенсов или теоре¬
мой Лагранжа—Гельмгольца. Оно показывает, что для получе¬
ния идеального изображения необходимо, чтобы произведение
фокусного рассеяния, размера предмета и тангенса луча с опти¬
ческой осью в пространстве предметов было бы равно произведе¬
нию соответствующих величин в пространстве изображений с об¬
ратным знаком. Учитывая (3.1), можно записать
1 = пу tg а = rt'g' tg а'.	(3,7)
Это уравнение называют инвариантом Лагранжа—Гельмгольца.
Пример 3.1. Определить фокусные расстояния системы в воздухе, если
а = —600 мм и г‘ — 100 мм.
Решение. Расстояние от системы до изображения а' = f -j- z'. Так как си¬
стема находится в воздухе, т. е. в однородной среде, то формула Гаусса имеет
вид 1/а' — 1/а == 1 If 1/(/'	г') — 1/а.
После ее преобразования найдем квадратное уравнение
f,z -f» e'f' -f- 02' = 0, откуда
/' = — Z'J2 ± V г'Ч4 — az' .
Подставляя значения г' и а, получаем f = —50,0 ± 250,0,	— 200 мм, /? —
== —300 мм. Отсюда видно, что система может быть как положительной, так и
отрицательной.
Для положительной системы f — —200 мм; /' = 200 мм, г — а — f = —400
а' — f z' ~ 300 мм.
Для отрицательной системы f — 300 мм, /' = —300 мм, г — а — / — —900 мм,
а' =/'-}- г' — —200 мм.
3.5.	УВЕЛИЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Линейное увеличение (см. рис, 3.9). Для линейного увеличения
имеем ро = У'/*/•
Учитывая, что у'Iу = —Цг — —г'//\ можно записать
Ро = уЧу = — № = — *'//'.	(3-8)
Из (3.8)	видно,	что если г — /, то г' — /'	и	ро	=	—1,	т. е.
в сопряженных	плоскостях, расположенных	на	двойных	фокус¬
ных расстояниях от главных точек, размер изображения равен
размеру предмета по абсолютной величине и имеет обратный знак.
Напишем формулу (3.2) в виде г — ff'jz- Прибавим к обеим
частям этого равенства f и, учитывая, что а = г + /, cl — г* + f\
г' If = Г/г, найдем
а'/а = 27/ = f'/z,	(3.9)
откуда г — а}'(а, г' = a'fja. Заменив в (3.8) координаты г и г’
их значениями, для линейного увеличения получим выражение
р0	=	(3.10)
При —f — ff увеличение ро = уЧу = a fa
43

Рис. 3.10. Узловые точки N и N' идеальной системы
Угловое увеличение и узловые точки. Угловым увеличением
идеальной системы называется отношение тангенса угла а',
образованного лучом с оптической осью в пространстве изобра¬
жений, к тангенсу угла а, образованного сопряженным лучом с оп¬
тической осью в пространстве предметов, т. е.
у0 = tga'/tg а.	(3.11)
Так как (см. рис. 3.9) tg а — /г/а, tg ct' — /i/а', то ~ а1а'•
Принимая во внимание (3.9), получаем
yQ = а/а' = f/z' = z/f\	(3.12)
Из формулы	(3.12) видно, что угловое увеличение	у0	не	зави¬
сит от значения углов а и а', поэтому для данной пары сопря¬
женных точек оно имеет постоянное значение при любых значе¬
ниях этих углов. Перемножая (3.8) и (3.12), находим
YoPo — —f/f'; То = — f/(/'Pо).	(3.13)
Для	главных	плоскостей р0я — 1» поэтому угловое	увеличение
в этих плоскостях 7оЯ = —///'. Это значит, что луч В#, образую¬
щий с оптической осью угол ос#, выйдет из точки #' под углом а'н',
причем ая ф <*н' (рис. 3.10). Указанный ход луча обусловлен
тем, что точки Я и с одной стороны, и точки В и В' — с дру¬
гой, являются двумя парами сопряженных точек.
Определим положение сопряженных точек и плоскостей, для
которых угловое увеличение 70 ~ 1* Как следует из (ЗЛ2), для
этого необходимо выполнить условие
2«/'; -2 = -/.	(3.14)
Сопряженные точки N и ЛГ, для которых выполняется условие
(3.14), называются узловыми точками (рис, ЗЛО). Плоскасти,
проведенные через узловые точки N ш N' перпендикулярно к оп¬
тической оси, называются узловыми плоскостями. Передняя узло¬
вая точка N лежит правее переднего фокуса F на расстоянии zN,
равном заднему фокусному расстоянию задняя угловая точка N'
расположена левее заднего фокуса F" на расстоянии гдг», равном
44

переднему фокусному расстоянию {. Естественно, что расстояние
между узловыми точками равно расстоянию между главными точ¬
ками.
Так как уон = 1, то tg a'N' — tg а#, алг = aN, и, следова¬
тельно, сопряженные лучи, проходящие через узловые точки,
параллельны друг другу.
При —/ — f\ т. е. когда система находится в однородной
среде, например в воздухе, узловые точки совпадают с главными
точками. Свойства узловых точек можно использовать для по¬
строения изображений. Для этого проводят третий луч BN,
проходящий через переднюю узловую точку; сопряженный с ним
луч N'B' должен выйти из системы через заднюю узловую точку
под тем же углом. (В системе, расположенной в однородной среде,
лучи проводят через главные точки.)
Продольное увеличение. Если предмет (точку Лг) переместить
вдоль оптической оси на бесконечно малую величину dzy то его
изображение (точка A i) переместится на величину dz , т. е. эле¬
ментарному отрезку ЛХЛ2 вдоль оптической оси пространства пред¬
метов соответствует сопряженный с ним отрезок А{Аг (рис. 3.11).
Продольным увеличением или увеличением вдоль оптической
оси в сопряженных точках называется отношение размера изо¬
бражения dz бесконечно малого отрезка dz, расположенного на
оптической оси, к размеру этого отрезка: а0 = dz'/dz. Для опре¬
деления величин dz и dz' продифференцируем формулу Ньютона
(3.2) по переменным гиг': zdz' -f z! dz — О,
тогда
а0 — dz'/dz = — z'/z	(3.15)
Умножим	и	разделим правую часть этого	выражения	на	//' и
напишем его в следующем виде:
a0 = -(z'/f') (//z) </'//).
Заменяя отношения г'If' и f/z через р0, получаем
- пт.	(з. 16)
Из	(3.16)	видно,	что изображения	предметов,	имеющих	про¬
тяженность вдоль оптической оси системы (объемных предметов),
45

не подобны предметам, так как размеры их изображений пропор¬
циональны квадрату линейного увеличения. Изображение будет
подобно предмету только в том случае, когда р0 — —1 и —/ — /',
Если отрезки dz и dz' имеют конечные размеры, т. е. А г = г2 —
—	Zi, Az — Z2 — то, применяя дважды формулу (3.9) к каж¬
дой паре сопряженных плоскостей, находим
а0 = Az'/Az = — /^poifW/,
где р01 и р02 — линейные увеличения в сопряженных плоскостях,
определяемых координатами zi, z{ и гг, z£.
Связь между увеличениями р0, -уо и а0. Сопоставляя выраже¬
ния (3.9), (3.13) и (3.16), получаем следующие зависимости:
YoPo——///'; «о?о = Ро.
При —— f будем иметь у0Ро = 1, ?о = 1/Ро, ао = Ро, т. е. угло¬
вое увеличение есть величина, обратная линейному увеличению,
а продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения
в той же паре сопряженных точек.
Увеличения р0, у0 и а0 в фокальных плоскостях, Для предмета,
расположенного в передней фокальной плоскости, координата
z = 0. В этом случае формула Ньютона (3.9) дает значение z\
равное бесконечности, и увеличения в передней фокальной плоско¬
сти будут иметь следующие значения: р0 ~ —f/z — оо; yQ — zfff =
= 0, а0 = —z'jz z== оо.
Для задней фокальной плоскости z' — 0 и z = —оо, поэтому
Ро = —г'//' = 0, 7о = f/z' = оо, а0 = —z'fz = 0.
Видимое увеличение. Кроме приведенных выше трех увели¬
чений для оптических систем, работающих совместно с глазом,
вводится понятие о видимом увеличении.
Видимым увеличением Г называется отношение тангенса угла,
под которым наблюдается изображение, образованное оптической
системой, к тангенсу угла, под которым виден предмет невоору¬
женным глазом (рис. 3.12), т. е. Г = tg a’jig а. Из рис. 3.12 сле¬
дует: tg а = —у/p; tg а' — —у'/р'. Таким образом, Г = у'р/ур' =
—	Рор!р' * Кроме того, у — —a tg со; у’ = —a tg ш', тогда
Г =* а’р tg G»fl(apJ tg со).
46

3.6.	ИЗОБРАЖЕНИЕ НАКЛОННЫХ ПРЕДМЕТОВ
Рассмотрим действие оптической системы, если пред¬
мет образует с ее оптической осью угол а — 90° — <р (рис. 3.13).
Изображение предмета ВхВг можно построить следующим образом.
Проведем вдоль предмета ВХВ2 луч до пересечения его с передней
главной плоскостью в точке Т. Так как система идеальная, то
луч, сопряженный с лучом ВХТ, выйдет из точки Т' фон — 1).
Из точки К на луче ВХТ проведем луч КМХ, параллельный опти¬
ческой оси. Этот луч в пространстве изображений пройдет через
задний фокус системы F'. Так как точка К находится в передней
фокальной плоскости системы, то ее изображение будет в беско¬
нечности, поэтому луч Т'В\, сопряженный с лучом BiT1 выйдет
из системы параллельно лучу M'\F'. Изображение предмета В1В2
будет находиться на луче Т'В'2. Чтобы найти размер изображения,
т. е. точки В'\ и #2, из точек В\ и В2 проведем лучи В2М2 и В1М3
параллельно оптической оси. После прохождения системы лучи
M2F' и MzF\ сопряженные с лучами В2М2 й В\МъУ пройдут через
задний фокус F' и пересекут луч Т'В'2 в точках В\ и В'2.
Таким образом, В\ВГ2 является действительным изображением
предмета ВХВ2, которое образует с оптической осью угол а' --=
= 90° ф.
Для получения изображения BiB'2 можно провести также лучи
BXF и BZF через передний фокус F системы.
Из рис. 3.13 находим tg <р — —а/(ТН); tg ф' =—а'/(Т'Н').
Учитывая, что ТН — VН\ получаем tg ф* = a! tg ф/а.
На основании (3.10) a'fa = —р0/7/» тогда
tg Ф' = - Ро/' tg ф/Д	(3.17)
где р0 — линейное увеличение в плоскостях, перпендикулярных
к оптической оси и проходящих через точки Л и Л';
Ро = —//*4 =
Рис. 3.13. Изображение В\В'2 наклонного предмета ВгВг
47

Связь между углами а и а' задается равенством
tg а' — То tg о. —a tg а/а' ** — /р0//' — {« — f) Ч а//'•	(3.18j
Найдем формулы для линейного увеличения в точках Bt и В2
предмета ВхВг. Линейное увеличение в плоскостях, проходящих
через точки Л1 и В\ и точки А\ и В\ч выраженное через коорди¬
наты пространства предметов, Р01 — —ffzx. Но гх — у cos а +
+	— у cos а — //ро, поэтому
Р01~ff[y cos a — f/po] — /Ро/l/ — Po9 cos aj.	(3.19)
Линейное увеличение, выраженное через координаты про¬
странства изображений, Poi — —t\!f . Учитывая, что Z\ — z'a' —
—	у' cos a' = —Po/" — У' cos a' — —(p0/' + y' cos a'), получаем
Pci = (Po/' + У' cos a')//' Po + Г cos a’/f\	(3.20)
Формулы, аналогичные (3,19) и (3.20), получим, если рассмот¬
рим линейное увеличение роа в сопряженных плоскостях А2В2
и АЖ
Приравняв (3.19) и (3.20), найдем формулу для размера изо¬
бражения у':
У’ — f'%y cos a/К/ — р0у cos a) cos a'j.	(3.21)
Если заменить углы a и a' через ф и q/, то получим
У' = — f'ffiff sin ф/[(/ — РоУ sin ф) sin <р'].	(3.22)
В	(3.21)	и (3.22) отрезки I/, размеры изображения	которых
необходимо определить, отсчитываются от точки А (ВгА — у <С
< 0,	АВ2 —	у > 0). Наибольшее линейное увеличение	будет
иметь место	в точках В2 и £2, наименьшее — в точках	В\	и В\.
3.7.	ТОНКИЙ КОМПОНЕНТ.
СИСТЕМА ИЗ ДВУХ ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ
Большинство оптических систем состоит из несколь¬
ких частей, т. е. являются сложными системами. Каждую часть
системы можно рассматривать как отдельную оптическую систему.
Разделение сложной системы на ряд простых упрощает рассмот¬
рение ее свойств, но вместе с тем требует решения следующей за¬
дачи: дано несколько простых систем с одной общей оптической
осью, необходимо найти систему, действие которой было бы экви¬
валентно совместному действию всех заданных систем. Для этого
нужно найти положение кардинальных точек (точек фокусов и
главных точек) и фокусные расстояния эквивалентной системы.
Тонкий компонент, В дальнейшем отдельную систему, пред¬
ставляющую собой комбинацию из нескольких близко располо¬
женных друг к другу систем, будем называть компонентом.
Если толщина компоненты d -»• 0, то компонент называется бес¬
конечно тонким или просто тонким компонентом, В идеальной
48

Рис. 3.14. Ход лучей через систему из двух тонких компонентов
системе тонким будем считать компонент, в котором главные пло¬
скости совмещены в одну, т. е. когда Лн ~ 0. Это можно сделать
потому, что в главных плоскостях линейное увеличение равно еди¬
нице, следовательно, ход лучей в этом случае не изменится.
Возьмем две произвольные тонкие системы (два тонких компо¬
нента i и i + 1), расстояние между которыми	фокусные
расстояния систем известны (рис. ЗЛ4). Проведем из точки At
луч AiM.ii пересекающий j-й компонент на произвольной высоте hi.
Этот луч после прохождения /-го компонента пересечет оптиче¬
скую ось в точке A'i. Положение точки А\ можно определить по
формуле Гаусса (3.3), которую для i-го компонента напишем
в виде fifa'i + fi/щ = 1, откуда а\ = atf\l(ai —ft).
Точка А\ является предметом для (i -j- 1)-го компонента, так
как пространство изображений для t-ro компонента одновременно
является пространством предметов для (i + 1)-го компонента.
Переход к этому компоненту осуществляется по формуле ai+1 =
~~ f-f-i •
Далее, применяя формулу Гаусса для (i + 1)-го компонента,
найдем координату а\+\, т. е.
а\.(..} = в,+1/,+1/(а£+, — / f+1).
В результате расчета хода луча находятся координаты а
и а' для каждого компонента. В практике используются формулы,
в которые входят углы а и высоты h. Ha основе формулы (3.4)
для 1-го и 2-го компонентов получим
tg а,+1 = tg а\ = —ft tg CLiffi + ktffa
hi+i ~ Ы di,i+i tg ccf+i»
Координаты ai и al+i в этом случае будут а\ — hiftg а*+|;
ai+i = hi+iftg at+1.
49

Обычно для упрощения написания формул tg опускается, и
их записывают в виде
а< = hi!ai\ «ж = - fpt/f't + hifl'u
hi+l = h{ —	J	(3.23)
аж “ ” fi+lai-t-l/f'i+l + hi/f{+ U
af-H = Л/-н/а*+1*
В (3.23) отношение фокусных расстояний можно заменить
отношением показателей преломления в соответствии с (3.1),
тогда
а{ =	аж = п^/п^ + ^Ф£/п1+1;
hiJr! = h{ — ditt+iat+i'i af-f1 ~ nt+iai+i/ni+i 4- ^_КФж/Л*+Ь (3.24)
ai+1 = &£+i/ai+i,
где = n'ilf'i — rii+ilfi называется оптической силой первого
компонента, а Ф{-+1 = ni+ijfi — оптической силой второго компо¬
нента.
Если тонкие компоненты находятся в воздухе, то пс = n'i —
= Ш+1 =	1 = 1; —// = f't, — /*-н = /i-+i, и формулы (3.23),
(3.24) значительно упрощаются:
ai = hilat\ ai+i =а*-ИА;
^t+i=	ai+i “ аж ^ ^-нф»-н i
af-fl ~ ^-j-l/af-j-l	(3.25)
где Ф/ = 1 lf\ и Ф/+1 = l/f'i+i — оптические силы компонентов
в воздухе.
В формуле (3.25) высоту h% задают произвольно, следовательно,
произвольными будут и значения а, но их значения не оказывают
влияния на координаты я, поэтому (3.25) называют также форму¬
лами произвольных тангенсов.
Оптическая система, состоящая из двух компонентов, имеет
довольно широкое применение, поэтому рассмотрим ее свойства
более подробно. Если система задана, то известны фокусные рас¬
стояния компонентов и их взаимное расположение относительно
друг друга.
Для определения системы, которая по своему действию эк¬
вивалентна двум заданным компонентам, нужно найти положение
фокусов и главных плоскостей, а также ее фокусные расстояния.
Известно, что задний фокус системы есть точка, сопряженная
с бесконечно удаленной точкой в пространстве предметов, т. е,
луч, параллельный оптической оси в пространстве предметов,
пересечет оптическую ось в пространстве изображений в точке
заднего фокуса F', Поэтому для определения положения заднего
фокуса F' и фокусного расстояния f проследим ход луча ВМи
параллельного оптической оси (рис. 3.15). Для 1-го компонента
50

Рис. 3.15. Кардинальные элементы системы из двух тонких
компонентов
Н1Н\ при ах = 0 и произвольном значении высоты на основании
формул (3.24) можно записать а2 = пхах + ЛхФх/я* — h^Jn2.
Переход ко второму компоненту: h2 = hx — da2 — кг (1 —
^Фх/^г) •
Для второго компонента Я2Я2
а„ = п2а2/я3 + Л2Ф2/п3 = КФг/пг + hx{ 1 — <^i/nz)<J>Jn9 =
hx (Ф1 + Ф2 — Ф^^/л*)/**.
ИЛИ	а8Лз/^1 = Ф1 “Ь Фа Ф1Ф 2^Лч.
Фокусное расстояние эквивалентной системы /' = fti/a3, тогда
Лд//# ~ Ф^ -(- Ф2 	ФхФ^/П3.
Отношение я3//' является оптической силой всей эквивалентной
системы, поэтому
ф = Лд//' = Фх 4- фа _ фjCM/n*.	(3.26)
Расстояние от второго компонента до заднего фокуса систе¬
мы — задний фокальный отрезок идеальной системы
~ Аг/аз — (1 йф1/п2)пз/ф — /* (1	d^Di/n2).	(3.27)
Координата, определяющая положение задней главной точки
относительно второго компонента, а#' = я/?' — /'.
Если проследить ход луча ВьМЦ, параллельного оптической
оси, в обратном направлении, то для оптической силы в простран¬
стве предметов найдем
ф = — njf — фх Фг — ^ФхФ2/пг	(3.28)
51

Рис. 3.16. Ход лучей через два тонких компонента и коорди¬
наты г и г
и для переднего фокального отрезка идеальной системы получим
ap = f( 1 -d02/nt),	(3.29)
Координата ан, определяющая положение передней главной
точки относительно первого компонента Н\Н\, ан — aF — f.
Сопоставляя (3.26) и (3.28), видим, что Ф = —njf — nzjf',
т. е. оптическая сила системы пространства предметов равна
оптической силе пространства изображений.
Если проследить ход луча при аг — 0 в прямом и обратном
направлении, то с помощью формул (3.23) найдем
/ = - Л ~h~d)\ Г = тКП - h - d);
ар = /(1 -djf2);	a'F, = Г (1	- djf\);	(3.30)
aH~aF f — fd/f2\ aH' ~ aF'	f ~	f djf\.
Положение второго компонента относительно первого может
быть задано расстоянием между точками фокусов F\ и F2. Это
расстояние называется оптическим интервалом и обозначается Д.
Как следует из рис. 3.15, оптический интервал
Учитывая (3.31), для фокусных расстояний системы получим
/ =/i/2/A;	/' = -/;/'/д.	(3.32)
Положение фокусов Ff F* и главных точек Я, Я' можно опреде¬
лить также через координаты z/?, z'f , zh и z'h' (см. рис. 3.15):
Zp — cip /j •	Zpt — a'p,	/2;
zh ~2f	zh' ~ zf*	f •
Если в эти выражения подставить значения a?, aF/, f'
из (3.30) и учесть (3.31), то найдем
2p = f Л/А; г'р’ ~ —
гн - h (И -^)/,д;	=	(3-33)
Линейное увеличение системы из двух компонентов (рис. 3.16)
ро = —fjz — —г'/Г» где 2 я z' — координаты, определяющие по¬
52

ложен и я предмета н изображения относительно фокусов F и F'
системы. Выражая координаты г я г' через zi, Zf, z% и z>' и
учитывая (3.33), находим
2 = 2, — ZF = Д — / j/J)/A;
—	22 ZFf ~ (22^	/2^2)/Д*
Таким образом, линейное увеличение
Ро — fxhUfxfe ~~ 21д) = (№ + ггд)/(№).	(3.34)
Линейное увеличение может быть определено также по фор¬
мулам
Ро — У' jy — У2/У1 = (У{/У{) (У2/У2) ~ Р01Р02,
где р01 и Р02 — линейные увеличения первого и второго компо¬
нентов.
Для системы из двух компонентов, расположенных в воздухе
(—/1 = Я, —h — /2), приведенные выше формулы имеют вид
-f = /' = ШК + /2 - d] = - /{/2/Л;
ф = —. 1// = 1//' = фх + ф2 — ФХФ2^;	(3.35)
aF=f( 1 - ^Ф2) = - /' (1 - djr2) = /1(1+ /1/А);
а>, - / (1 - dCDj) = Г (1 - ВД) = /2 (1 + /5/А);
cifj ~ йр / — f'djf<2 — /jd/Д •
а},. = а'р.-Г = - fdjf[ = /^/Д;
Ро =	+	*,д]	=	-	«)/(/;/;)•
Рассмотрим частные случаи системы, состоящие из двух ком¬
понентов, получивших наибольшее распространение.
Система из двух тонких компонентов при d = 0. Если расстоя¬
ние между компонентами равно нулю, то при —/1 = {\ и —/2 = /2
оптический интервал А — — (/1 4- /2), тогда формулы (3.35) при¬
мут вид
— / — Г = /i/2/(/i + /2);
Яр, = ан —	, = 0;	(3.36)
Ро - - ГхГЖ - *, (Л + П)\ = “ Ш{ + П) + /^]//1/2-
На рис. 3.17 показан ход лучей, параллельных оптической оси,
в прямом и обратном направлениях через тонкие компоненты 1, 2.
Телеобъектив. Оптическая система, состоящая из двух компо¬
нентов, длина которой L меньше фокусного расстояния (рис. 3.18),
называется телеобъективом. В такой системе f{ >■ 0 и /2 < 0.
Для телеобъектива справедливы формулы (3.35).
Отношение фокусного расстояния к длине объектива называ¬
ется коэффициентом укорочения, т. е. Т = ff/L. Обычно в теле¬
объективах Т = 1,3, ..., 1,35.
53

Рис. 3.17. Система из двух	тонких компонентов	при	d = 0:
а — f' > 0 и /' > 0; б — f' >	0, /' < 0
Телескопическая система. Если задний фокус первого компо¬
нента совпадает с передним фокусом второго компонента, т. е.
оптический интервал А	= 0, то согласно	(3.35)
—	/ = /'=	— °о; aF = a'F,	=	оо;
аи~аНг = оо; =	/2/^1.
Такие системы, у которых оптический интервал равен нулю,
называются телескопическими или афокальными (рис. 3.19).
Линейное увеличение может быть выражено через высоты h{
и /t2, т. е. Ро — —hjhz. Угловое увеличение согласно (3.13) 70 —"
= —//(ГРо) или» учитывая, что —/ = f\ получим
Уо = -1/Ро--^2-	(3-37)
54

Рис. 3.19. Телескопические системы:
о — Кеплера; б — Галилея
Продольное увеличение
о,	= dz'/dz = - ГРШ -	= (Л//;)2-	(3.38)
Из формул для увеличений видно, что для телескопической
системы они остаются постоянными величинами.
Пучок лучей, параллельных оптической оси в пространстве
предметов, после прохождения первого компонента Н\Н\ соби¬
рается в его заднем фокусе F{ и соответственно в переднем фо¬
кусе F2 второго компонента Н2Щ. После выхода из системы лучи
пучка пойдут параллельно оптической оси, т. е. осевая точка пред¬
мета A\t расположенная в бесконечности в пространстве предме¬
тов, изображается системой также в бесконечности. Наклонный
пучок лучей в пространстве предметов, вышедший из внеосевой
точки предмета Вг, расположенной в бесконечности, и образую¬
щий с оптической осью угол <о, выйдет из системы под углом ш'
и даст изображение £2 точки'Bi, расположенной в бесконечности.
Система Н\Н{ (или первый компонент) называется объективом,
а система НъН'г (второй компонент) — окуляром. Основное наз¬
начение объектива — построить изображение предмета, распо¬
ложенного в бесконечности или на расстоянии, значительно
большем /ь Это изображение является уменьшенным и перевер¬
нутым, а располагается в задней фокальной плоскости объектива
55

Рис. 3.20. Оптическая система микроскопа
и передней фокальной плоскости окуляра. Окуляр служит для
рассматривания изображения, построенного объективом, и дает
изображение в бесконечности. Телескопическая система с поло¬
жительным окуляром, т. е. имеющая действительное промежуточ¬
ное изображение (рис. 3.19, а), называется системой Кеплера.
Телескопическая система с отрицательным окуляром дает прямое
изображение, но не имеет действительного промежуточного изо¬
бражения, она называется системой Галилея (см. рис. 3.19, б).
Оптическая система микроскопа. Если изображение, построен¬
ное первой системой (первым компонентом Н\Н\), располагается
в передней фокальной плоскости второй системы (второго компо¬
нента #2#г) и оптический интервал не равен нулю, то такая система
называется оптической системой микроскопа (рис. 3.20).
В оптической системе микроскопа предмет располагается вбли¬
зи переднего фокуса первого компонента, называемого также объ¬
ективом. Оптический интервал
С учетом (3.29) формулы (3.35) для оптической системы микро¬
скопа можно записать в следующем виде:
Так как г\ < 0, а /{ > 0 и /2 > 0, то переднее фокусное рас¬
стояние оптической системы / > 0, а заднее фокусное расстояние
/' < 0, поэтому передний фокус системы F расположен позади
(339)
—/ = /' = /&//,';
(3.40)
56

передней главной точки Я, а задний форкус F' — впереди задней
главкой плоскости Я\
Равенство zF — zx показывает, что предмет в оптической си¬
стеме микроскопа должен располагаться в передней фокальной
плоскости всей системы.
Объектив HiН{ дает увеличенное и перевернутое изображение.
Линейное увеличение объектива
001 = УЧУ - - fJh = - *;//; = - Д/Л':	(3.41)
Изображение после окуляра находится в бесконечности, так
как у' — предмет для окуляра, располагается в передней фокаль¬
ной плоскости его, и, следовательно, линейное увеличение оку¬
ляра и всей системы микроскопа равно бесконечности.
Из свойств телескопической системы и оптической системы
микроскопа вытекает, что изображение, даваемое ими, не может
быть спроецировано на экран, так как оно находится в бесконеч¬
ности. Поэтому для получения действительного изображения по¬
зади окуляра должна быть установлена оптическая система с ко¬
нечным фокусным расстоянием. Такой системой обычно является
глаз наблюдателя, зрачок которого располагается вблизи заднего
фокуса окуляра.
Пример 3.2. Оптическая система состоит из двух тонких компонентов:
—Д =	f'	= 140	мм; —/2 — f* — 200 мм;	d — 70 мм. Определить фокусные рас¬
стояния системы и	координаты ар> ар,,	аи и а'и
Решение. Кардинальные элементы оптической системы можно определить
по формулам различного вида.
1.	Фокусные расстояния и координаты ар и ар, определим по формулам
(3.25):
—	/ —	— /i7;/(/{ +	h — d) = 103*70	мм;
ар ~ f (1 — d/fz)	— — 67,41 мм;
apt — f' (1 —= 51,85 mm;
aH = aF — f = 36,29 мм; а'И, — a'F, — /' — — 51,85 мм.
Так как | ан [ -|- \ анг | ^ d> т0 370 значит, что задняя главная плоскость
расположена впереди передней главной плоскости. Расстояние между главными
плоскостями Ан ~ d -j- а'н, — ан = —18,15 мм.
2.	Фокусное расстояние /' и задний фокальный отрезок идеальной системы
найдем путем расчета хода луча при аг = 0. Примем — 20,0, тогда по форму¬
лам (3.25) получим а2	— 0,142857; А2 — Л1 —da2 — 10,0 мм; сц =
~ а2 “Ь ^2/^2 ~ 0,192857; ар, = Л2/аз ~ 51.85 мм; /' = h{fa3 = 103,70 мм;
а'н, = ар, — f — 51,85 мм.
Для вычисления а-р и проверки правильности определения /' рассчитаем
ход луча при ctj = 0 в обратном ходе лучей, для чего повернем систему на 180°.
В этом случае f\ — 200 мм и f'2 — 140 мм. При h, = 20 угол а2 == h^f\ = 0,1;
h2 — hy — da2 — 13,0; а3 = а2 -f- Л2//г ~ 0,192857; ар, — h2/a3 — 67,41 мм; / =
= ht/a3 — 103,70 мм.
4г
При возвращении системы в исходное положение найдем ар = —ар —
= —67,41 мм; f — —f' — —103,70 мм; ад — ар — f — 36,29 мм. Значения
ар, и ар совпадают с полученными выше.
57

3.8.	ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
ИЗ р ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ
Если оптическая система состоит из трех компонен¬
тов и более с конечными расстояниями между ними, т. е. является
сложной, то определение фокусных расстояний, положения ее
кардинальных точек (эквивалентной системы) и положения изо¬
бражения осуществляются путем расчета хода лучей.
Рассмотрим оптическую систему, состоящую из р тонких ком¬
понентов, фокусные расстояния которых известны; известны также
расстояния между компонентами. Для нахождения фокусных рас¬
стояний системы, фокальных отрезков и отрезков, определяющих
положение главных ее точек, рассчитывается ход луча, параллель¬
ного оптической оси (аг = 0, аг — —оо), в прямом и обратном
направлениях (рис. 3.21, а).
Применив последовательно к каждому компоненту формулы
(3.23) и (3.24), получим: dt — 0; hx — произвольно;
а2 = hjfl = ЛгФг/л2; h2 = hx — dj а2;
а3 = — /а®2//2 Н~ Л2//2 ” ^2^2/^8 “}~ Л2Фг/л®;	(3.42)
Лр = ftp—1
Vh = -fpap/f'p + Mf'p = "рар/пр+1 + WV+1 •
Если система расположена в однородной среде, то пх =
—	пг = Лз = ... = rip+i = Пр и формулы примут вид: а.\ = 0;
hi — произвольно;
«2 = Mb = h\!f\* Аг = Л1 —	«з	— «г + Л2Ф2;
liil	&	1	»
Ар - hp_x - dp_jap; ap+, = a'p = ap + ЛрФр;	(3.43)
fl/?' = hpl&p+1 =
^ =	aH'	~ aF'
Для определения a*., f и ан рассчитывается ход луча в обрат-
ном направлении. В результате расчета имеем:	— —а**, / =
—		f » аН ~ aF 	/■
Если	расчет хода луча выполнить по формулам	Гаусса, то
будут известны а{, яг, «г, Яз, ..., ар и а'р = а?-.	В	этом	случае
фокусное расстояние системы не может быть определено по фор¬
муле /' = hifa'p, так как неизвестны h\ и а'р. Запишем формулу
для /' в виде
/' - V“P = (V°2) (“г/аз) («з/а4) ■ ■ • (“Р/“р)-
Но так как h\ = а\а2; а2/а3 =	а3/а4 = Дз/яз» •••;
apja'p = dp/dp, то

8)
Рис. 3.21. Ход луча через систему из р тонких компонентов:
а — параллельного оптической оси; б — исходящего нэ осевой
точки предмета
Для определения положения и размера изображения рассчи¬
тывают ход луча из осевой точки предмета (рис. 3.21, б) по фор¬
мулам (3.42) или (3.43). При этом высота hx принимается произ¬
вольно. Если известен световой диаметр первого компонента, то
h\ — Di/2. В результате расчета будут найдены hp и ар — ар+1.
Расстояние от компонента р до изображения ар — кр/ар.
Линейное увеличение вычисляют по формуле
Напишем эту формулу в виде
Ро = — Ш') («1/02) (а2/аз) . . . (ар/ар)‘
Выразим отношения а/а' через а'/а, тогда
Р
Ро = — (/°1а2 • • ■ a'p)/(f'aia2 ■ * ■ ар) = ~ (///") П (а/а){.	(3.45)
1=1
р
При —/ = /' увеличение Ро = ccja'p или ро — 2 (й ja)i.
/=I
59

Формула (3.45) используется в том случае, когда луч рассчитан
по формуле Гаусса.
Оптическая сила системы из р тонких компонентов может быть
определена по следующим формулам: щ — 0; а2 = /i^x/n2; <х3 —
~	з “}~ ^2^2/^3 ” (М>I /	^2^2)/^8 i
Для р-го компонента = (Л1Ф1 -f Я2Ф2 -f ... ~f ЬрФр)1п'р.
Так как f' —	Ф = n'pff' = n'pap}h\, то
ф = (A^j, + А2Ф2 +■*•-(-НрФр)1к,, или Ф~ ^ 2 j jhi.
В этом случае, когда расстояние между компонентами равно
нулю,
ф= 2 of.
г=1
Пример 3.3. Дана оптическая система, состоящая из трех тонких компонен¬
тов в воздухе (объектив типа триплет). Фокусные расстояния компонентов /{ =
—	41,17мм, /2=—24,36 мм, /3 = 37,63 мм. Расстояния между компонентами
dx — 7,2 мм, d% = 8,5 мм. Предмет расположен на расстоянии ах = —500 мм,
размер предмета у — 50 мм. Определить фокусное расстояние системы, коорди¬
наты Ор, а'Рг, а'и,, положение и размер изображения.
Решение. Для определения /', a'F, и а'н, рассчитаем ход луча, параллель¬
ного оптической оси (aj = 0). Примем hx — 10,0 мм. Тогда а2 —	=	0,24-2895;
Л2 — hx — йхаг 8,251154 мм; а3 — а2 4- ^2^2 ~ —0,095822; ha = h.2 — rfaa3 =
= 9,065641 мм; а4 == а8 -}- А3Ф3 = 0,145093. Заднее фокусное расстояние
-- h1/cc4 & 68,92 мм. Координаты a'F, = h3/a4 я? 62,48; а'И, =	—	/'	—
—	—6,44 мм.
Расчет хода луча в обратном направлении дал следующие .результаты: f =
—	—68,92 мм; а& — —55,94 мм; ан — 12,98 мм.
Для определения положения и размера изображения рассчитаем ход луча,
выходящего из осевой точки предмета. При h\ ~ 10,0 мм и % = —500 мм, аг =
= —0,02. В результате расчета получено h3 — 9,429887 мм и а4 — 0,128862.
Тогда а'ъ ~hja4 яе; 73,18 мм, |30 — а5/а4— 0,155205, у' — $0у « 7,76.
Оптическая щла Ф и фокальный отрезок a’F, вычислены по формулам (3.43):
Ф = 0,0145091 (/' = 1/Ф « 68,92 мм), а'р, я* *62,48 мм.
ГЛАВА 4. ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРЕЛОМЛЯЮЩИМИ И ОТРАЖАЮЩИМИ
ПОВЕРХНОСТЯМИ
4.1.	УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИДЕАЛЬНОГО
ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Реальные оптические системы состоят из совокуп¬
ности оптических деталей, ограниченных преломляющими и от»
ражающими поверхностями различной формы. Каждая прелом¬
ляющая поверхность разделяет среды с различными показателями
преломления. Отражающие поверхности делят пространство на
части, имеющие один и тот же показатель преломления.
60

Рис. 4.1. Ход действительного луча через преломляющую поверхность:
а ~ предмет на конечном расстоянии; б — предмет в бесконечности
Отдельные лучи пучка, выходящие из различных точек пред¬
мета, преломляются и отражаются на каждой поверхности си¬
стемы в соответствии с законами геометрической оптики. Поэтому
преломляющую или отражающую поверхность можно считать
элементарной оптической системой или простейшим элементом
любой оптической системы. Чтобы реальные оптические системы
отображали отдельные точки пространства предметов стигмати¬
чески, т. е. являлись бы идеальными, необходимо выполнение
определенных условий (см. п. 3.1). Эти условия будут выполня¬
ться, если каждая поверхность системы будет отображать любую
точку и любой отрезок независимо от их положения стигматически.
Идеальное изображение точки. Анаберрационные преломляющие
поверхности. Рассмотрим, какого типа должна быть преломляю¬
щая поверхность, обеспечивающая стигматическое изображение
точки, расположенной на оптической оси. Из принципа Ферма
вытекает, что любая точка пространства предметов будет ото¬
бражаться стигматически, если оптическая длина пути лучей
света будет постоянной (стационарной) для всех лучей, выходя¬
щих из точки А и приходящих в точку А' различными путями,
т. е, когда выполняется условие
А'
п$ = const,	(4.1)
А
причем по каждому из оптических путей лучи света проходят в
соответствии с законом преломления.
Допустим, что поверхность вращения произвольной формы
разделяет две среды с показателями преломления пип'
(рис. 4Л, а). Найдем уравнение поверхности, образующей идеаль¬
ное изображение точки Л, расположенной на оптической оси.
Возьмем два луча, выходящих из точки А и являющихся
крайними лучами плоского пучка: луч АО, идущий вдоль опти¬
ческой оси, и луч АМУ образующий с оптической осью конечный
угол о. Луч AM в дальнейшем будем называть действительным
лучом. Луч АО при переходе из первой среды во вторую не будет
61

испытывать преломления, так как совпадает с нормалью к поверх¬
ности в вершине ее О. Действительный луч AM претерпит пре¬
ломление в точке М, и если п' > я, то в соответствии с законом
преломления (в'< е) пересечет оптическую ось в точке Л'. Точка А'
является действительным изображением точки А, так как она
образуется пересечением лучей МА' и 0А'9 сопряженных с лу¬
чами	AM и	АО. (Для действительного луча координаты	точек А
и А'	вдоль	оптической оси будем обозначать	через s и	S'.)
Выберем начало координат, совпадающее с вершиной прелом¬
ляющей поверхности. Координатами точки М пересечения луча
с преломляющей поверхностью будут г и у. Согласно (4.1) дол¬
жно соблюдаться равенство оптических путей АМА' и АОА\
т. е. —nt	п't' — —ns -f n's\
Из треугольников ЛАШ0.и М0МА' находим
t = У у2 + (S ~2)К f «= У у* +(§' — z)*,
поэтому
п' [Уг + (s' — г)2]1/2 — п [у% -f (2 — г)2]1/2 = n's' — ns.	(4.2)
После избавления от корней получим
[л'2	(у2 -f- (S' — г)2) — л2 (у2 -f- (5 — z)2) — (n's'	— nS)2]2 —
= 4л2 (n'Sr — ns)2 [у2 -f (s — г)2].
Для удобства преобразований введем обозначения:	а	—
= s — z; b — s'—- г; с = n's' — ns, тогда после возведения в
квадрат первой части последнего уравнения и некоторых преобра¬
зований получим
(л'2 — л2)2!/4 -f* 2 [£2л'2 (л'а — л2) — а2л2 (л/а — ла) — с2 (л'2 -f- л2)] г/2 +
(л'262 — л2а2)2 — 2с3(л2а2 -j- n'2bz)	-f- с4 = 0.	(4.3)
Выражение	(4.3) является уравнением	так называемой	ана-
беррационной поверхности вращения, т. е. поверхности, образу¬
ющей стигматическое изображение точки. Это уравнение описы¬
вает сечение поверхности четвертого порядка. Такие поверхности
называются овалами Декарта.
Анаберрационные преломляющие поверхности четвертого по¬
рядка довольно сложны в изготовлении, поэтому не получили прак¬
тического применения.
Допустим, предмет находится в бесконечности (рис. 4.1, б).
При 5 =	—оо должно соблюдаться равенство оптических путей
КМА' и	ОА',	т. е. пг + n't' = n's' или	nz + n't' — ns'	— 0.
Подставив после преобразования будем иметь
уз = 2s' (1 — л/л') 2 + [(л/л')2 — I] г2.	(4.4)
Формула (4.4) представляет собой общее уравнение кривых
второго порядка с началом координат в вершине поверхности вида
уг ~ 2рг + qz2%
где р — s' (I — п/п'); д — (njn’) 2 — 1.
62

Рис. 4.2. Анаберрационные преломляющие поверхности при = —оо:
а — эллиптическая; 6 — гиперболическая
Поверхность, как это видно из (4.4), будет эллиптической,
если q <с 0, т. е. когда п' > п. При /г = 1 из (4.4) получим
у2 = 2s' (1 — 1 /п') г — (1 — 1/я'2) г2.	(4.5)
Если обозначить 2а — большая ось эллипса, 25 — малая
ось, 2с — фокальное расстояние (расстояние между фокусами
эллипса) и е — числовой эксцентриситет, то q — 52/а2 = 1 —
— 1/л'2; р - В* 1а - Г(1 — 1/л).
Так как
е = с/сё = У1 — 52/й2 = 1/я'; S' = 5*/[а (1 — 1/л)],
то s' — /' = а (1 -f 1/л') ==а(1+^) = а+с.
Эксцентриситет эллипса равен обратной величине показателя
преломления в пространстве изображений. Изображение (точка
А') бесконечно удаленной точки А располагается во втором фо¬
кусе эллипса, т. е. точка А' является точкой заднего фокуса эл¬
липтической преломляющей поверхности (рис. 4.2, а).
Если q = (njn'Y — 1 > 0, то п > /г', т. е. показатель прелом¬
ления пространства предметов больше показателя преломления
пространства изображений, и поверхность представляет собой
гиперболоид вращения. При п' = 1 будем иметь
уг = — 2 (п — 1) Гг + (п2 — 1) г2;
е — п\ 5' = /' —а(1—е) = а с.	(4-6)
Эксцентриситет гиперболы равен показателю преломления
пространства предметов, и изображение бесконечно удаленной
точки находится в фокусе второй ветви гиперболы (рис. 4.2, б).
Для параболы q — (п/п')2 — 1=0, поэтому необходимо, чтобы
п — п , т. е. показатели преломления пространства предметов
и пространства изображений должны быть одинаковыми. В этом
случае преломления нет. Отсюда следует, что анаберрационной
преломляющей поверхности параболической формы не существует.
Идеальное изображение отрезка прямой. Оптическая система
должна отображать не только точечные предметы, но и предметы
в виде отрезков конечной длины, площадок и т. п. Поэтому уста¬
новим условие, при выполнении которого отрезок прямой будет
63

Рис. 4.3. Изображение элементарного отрезка, располо¬
женного вне оптической оси
изображаться в виде идеального отрезка. Возьмем в пространстве
предметов два луча АМХ и ВМ^ (рис. 4.3). Этим лучам в простран¬
стве изображений преломляющей поверхности будут соответство¬
вать сопряженные лучи МгАг и М2В\ Отрезок между произволь¬
ными точками А и В на лучах АМг и ВМ2 обозначим dy, который
образует с лучом АМХ угол д. В пространстве изображений точ¬
кам А и В будут соответствовать сопряженные точки А' и В', а
отрезку А В = dy — сопряженный отрезок А'В' = dy\ Прове¬
дем через точки В и В' поверхности 2 и 2', ортогональные к лу¬
чам AMlt ВМч и МгА\ М2В\ которые можно считать сфериче¬
скими волновыми поверхностями. В соответствии с (4.1) длины
оптических путей между сопряженными точками В и В' и между
точками и В[ должны быть равны между собой для всех лу¬
чей, т. е.
/{ — л£Ш2 Н~ п М2В' — nBjMj -f- ti М^В\ = nBjAJj -4- пМ^А'
-}- я A D -f- п D Sj.
Оптический, путь между точками А и А\ который обозначим
через /2, будет
/2 = nAD + nDB1 + nBlM1 + п'МгА'.
Найдем разность оптических путей, учитывая, что AD —
= dy cos Ф', A'D' = —dy cos d':
Al — i2— /j = nd#cosd + n dy cos ‘fl,/ —nDBl — n D*B\.	(4.7)
Уравнение (4.7) справедливо для случая, когда отрезки dy
и dy' имеют конечные размеры, так как никаких ограничений на
расстояния между лучами АМг и ВМ2 не накладывалось. При
переходе к бесконечно малым величинам dy и dyr значениями
nDBi и n'D'B'i можно пренебречь, так как они являются беско¬
нечно малыми величинами высшего порядка по сравнению с dy
и dy'. Будем считать, что точки А' и В' являются совершенными
изображениями точек А и В, т, е. длины оптических путей между
64

этими точками стационарны. В этом случае dy' будет идеальным
изображением отрезка dy. Действительно, для длины оптического
пути между точками В и В' (между волновыми поверхностями 2
и 2Г) S/i = 0. То же самое можно сказать относительно точек А
и А', т. е. 64 = 0. Отсюда следует, что 1± и /2 являются постоян¬
ными величинами и Л/ = dc = const, поэтому (4.7) можно
записать в виде
п dy cos О -f п' dy' cos — dc.	(4-8)
Уравнение (4.8) называется законом косинусов. Следовательно,
если точки А и В будут изображаться преломляющей поверх¬
ностью в виде точек А и В, то и бесконечно малый отрезок dy
будет изображаться в виде идеального отрезка dy'. Чтобы эле¬
ментарная площадка изображалась в виде идеальной площадки,
закон косинусов должен выполняться для двух каких-либо эле¬
ментарных отрезков, расположенных в одной плоскости.
4.2.	ИНВАРИАНТЫ ЛАГРАНЖА—ГЕЛЬМГОЛЬЦА
И ГЕРШЕЛЯ ДЛЯ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим частные случаи закона косинусов. До¬
пустим, что преломляющая поверхность изображает бесконечно
малый элемент dy — АВ плоскости, перпендикулярной к оптиче¬
ской оси А А' (рис. 4.4, а). Изображение А 'В' — dy' будет иде¬
альным, если длины оптических путей АМ^А' и ВМХВ’\ а также
АМ^А' и ВМдВ' будут отличаться друг от друга на постоянные
величины. Так как отрезки dy и dy' являются бесконечно ма¬
лыми, то можно принять, что — f>2 = Ф; \(>з =д4 = д0 и соот¬
ветственно Oj — <т2 = а; а3 — о4 = ст0.
Для пространства изображений будем иметь	=	Ф';
Щ —$4 = #6 и <у[	02 ” o', стз == СГ4 = а'0. В этом случае можно
считать, что лучи AM и АМ0 выходят из одной точки (рис. 4.4, б),
тогда закон косинусов (4.8) будет иметь вид
п dy cos # -f п' dy' cos ft' = dc;
n dycos -f n dy cos ^ = dc.
Так как dc является величиной постоянной, то для исключения
ее возьмем разность уравнений
п dy (cos & — cos д0) = п dy (cos — cos Ф
Заменим углы Ф лучей с отрезками dy и dy' углами лучей с
оптической осью а. Из рис. 4.4, б видно, что
—	0 = 90°-fa; 0' = 9О° —а';
—	— 90° + а0; ^ = 90° — o'Q,
поэтому
п dy (sin а — sin с?0) — п dy (sin а' — sin о0).	(4.9)
85

Рис. 4.4. Изображение элементарного отрезка, перпендикулярного
к оптической оси
Уравнение (4.9) в таком виде не применяют. Чтобы исключить
один из лучей, выберем начальные условия такими, при которых
углы (То и об были равны нулю, т. е. луч ЛЛГ0 идет вдоль оптиче¬
ской оси. В этом случае для (4.9) получим
п dy sin о = п' dy' sin о*.	(4.10)
Таким образом, если точки А и А' отрезков dy и dy' лежат
на оптической оси и для этих точек выполняется условие точеч¬
ного изображения, то для получения стигматического изображения
внеосевых точек В и В' отрезков АВ и А'В', а следовательно, и
идеального изображения dy' отрезка dy необходимо удовлетворить
равенство (4.10). Для этого требуется проследить ход только одного
луча, образующего конечный угол о с оптической осью.
Второй частный случай закона косинусов относится к элемен¬
тарным отрезкам, расположенным вдоль оптической оси, что рав¬
нозначно смещению отрезков dy и dy' на величины dz и dz'
(рис. 4.5, а). Разность длин оптических путей A\MiA[ и А2М2А2,
а также А\МЪА\ и Л2-М4Л2 должна быть равна постоянной ве¬
личине dc. Учитывая, что отрезки dz и dz' являются бесконечно
малыми, лучи АХМХ и А%Мг можно заменить лучом АгМ и соот¬
ветственно лучи АгМ2 и Л2М4 лучом ЛХМ0 (рис. 4.5, б). Учитывая,
что
#1 = ^2 = — °1 “ — °2 = ” а*	^1 = #2 = “ = — °2 = —
03 = 04 = —а3 = —04 = —О0;	— 03 =-а' = — а',
66

и принимая dz — dy, dz' — —dy', на основании (4.8) для лучей
АгМ и AxMq можно написать
п dz cos а — п dz cos о' = dc\ п dz cos а0 — п dz' cos Oq = dc.
Исключая dct найдем
n dz (cos о — cos c0) = ti dz' (cos o' — cos (Jq) .
Принимая Oo = ao = 0, получаем
ndz( 1 — cos o) = n' dz' (1 — cos o')
или
n dz sin3 (or/2) = n' dz' sin2 (o'/2).	(4-11)
Таким образом, если точки А я А' являются совершенными
сопряженными точками, то для получения идеального изображе¬
ния элементарного отрезка dz, расположенного вдоль оптической
оси, необходимо, чтобы выполнялось уравнение (4.11).
Уравнения (4.10) и (4.11) получены для одной преломляющей
поверхности, но они справедливы также для любой оптической
системы, состоящей из k преломляющих поверхностей (рис. 4.6).
Напишем (4.10) для системы из k преломляющих поверхностей:
1-я	поверхность «j dyl sin Oj = n\ dy\ sin
2-я	поверхность n2 dy2 sin o2 = n'2 dy2 sin o2\
k-л поверхность nk dyk sin ak = n'k dy'k sin o'k.
Известно, что пространство изображений для первой прелом¬
ляющей поверхности является пространством предметов для
А
М
Рис. 4.5. Изображение элементарного отрезка, распо¬
ложенного вдоль оптической оси
3*	67

/ 2 к
Рис. 4.6. Ход действительного луча через систему из k преломляю¬
щих поверхностей
второй преломляющей поверхности. Подобное имеет место и для
других преломляющих поверхностей» поэтому можно написать:
dy\ = dy2; g[ = а2;	п\ = п2;
dy2 = dy3; о2 -- а3;	п2 = я3;
dyk_ 1 = dyk; ak_x = ok; пм - я*.
Учитывая эти равенства и принимая dyx = dy, dyu — dy',
находим
/ = /ij sin CTj = •••==	di/ sin o^.	(4.12)
Уравнение (4.12) называется инвариантом	Лагранжа—Гельм¬
гольца для пучков лучей, образующих конечные углы а с оптиче¬
ской осью, — действительных лучей.
Линейным увеличением системы из к преломляющих поверх¬
ностей называется отношение размера изображения dy' к размеру
предмета dy. Обозначив линейное увеличение для действительных
лучей р, из (4.12) получим
р = dy /dy — пх sin (^/(/^ sin oQ.	(4.13)
Так как произведение tidy sin or должно быть постоянной ве¬
личиной как для одной преломляющей поверхности, так и для
системы из к преломляющих поверхностей, то из (4.13) следует, что
Р = rtj sin сТ|/sin а^) = const,	(4.14)
т. е., чтобы изображение элементарного отрезка, перпендикуляр¬
ного оптической оси, было бы идеальным, необходимо постоянство
линейного увеличения для любой пары сопряженных точек,
расположенных на отрезках dy и dy'.
Уравнение (4.14) известно как условие синусов или закон си¬
нусов Аббе.
Аналогичным путем на основе (4.11) для системы из k прело¬
мляющих поверхностей найдем
га I dz sin2 (Oj/2) — nk dt sin2 (cr^/2).	(4.15)
68

Уравнение (4.15) называется инвариантом или условием Гер¬
ше ля.
Таким образом, чтобы оптическая система, состоящая из к
преломляющих поверхностей, давала идеальное изображение
элементарных отрезков, необходимо выполнить следующие усло¬
вия-: во-первых, точка А, расположенная на оптической оси,
должна отображаться стигматически, и, во-вторых, для отрезка
dy, перпендикулярного оси, должно выполняться уравнение
(4.13), а для отрезка dz, расположенного вдоль оси, — уравнение
(4.15) для пучков лучей с конечными углами а.
Инварианты (4.14) и (4.15) одновременно не могут быть выпол¬
нены, поэтому нельзя получить идеальное изображение объем¬
ного предмета. Эти инварианты выполняются одновременно лишь
в случае, когда —^ к р = dy'/dy = dz'/dz = —n\ltik. При
п\ — ti'k увеличение р — —1.
Уравнения (4.14) и (4.15) не связаны с конкретным типом си¬
стемы, так как в них не входят параметры конструктивных эле¬
ментов, поэтому эти уравнения являются полными инвариантами,
характеризующими общие свойства световых пучков лучей.
Для идеальной системы инвариант Лагранжа—Гельмгольца
согласно (3.7) имеет вид
I = пху tg СХ} = nky tg ak.	(4.16)
Сопоставив (4.14) и (4.16), можно установить, что, если даже
принять dy = у, dy' — у\ а\ = Оъ a'k = сг£, эти уравнения не
совместимы, так как для конечных углов между лучом и оптиче¬
ской осыо sin сг Ф tg а. Отсюда следует, что в общем случае си¬
стема, состоящая из k преломляющих поверхностей, не может
дать идеальное изображение предметов, перпендикулярных оп¬
тической оси, если лучи пучков образуют с этой осью конечные
углы СУ.
4.3.	УВЕЛИЧЕНИЯ ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
Линейное увеличение определяется формулой (4.13).
Угловое увеличение равно отношению тангенса угла о£, обра¬
зованного действительным лучом с оптической осью в простран¬
стве изображений, к тангенсу угла olt образованного действитель¬
ным лучом и осью в пространстве предметов:
Y = tg ст^/tg <Tj.	(4.17)
Заменяя тангенсы синусами и косинусами и учитывая (4.13),
получаем
Y ~ sin o'k cos 0j/(sin Oj cos a^) = пг cos oj(nk cos cr^P).	(4.18)
Продольным увеличением называется отношение размера изо¬
бражения dz' к размеру предмета dz (рис. 4.7):
a —dz'/dz.	(4.19)
69

рли
Рис. 4.7. Продольное увеличение для действительных лу¬
чей б = dz'/dz
Из треугольников А\В\Аъ и А\ъАгк,В\и находим
tg соJ = dyjdz; tg <a'k = dy\kJdz
sin coj = dyl cos coj/dz; sin a>k = dy\ cos со'J dz'.
Для сопряженных точек Аг и Аы инвариант Лагранжа—
Гельмгольца (4.15) имеет вид
пх dy2 sin (Dj = nk dy'2k sin <*>,£.
Заменив sin ©i и sin ю* их значениями, для продольного
увеличения получим
а = dz'/dz = n'k cos <л'к dy\k dy^k/{nx cos coj dyt dy2).
Учитывая, что dyik/dyi — Рь dy^/dy^ — p2, запишем
a = n* cos	(ni	cos <Oj).
В связи с тем, что dz и dz' бесконечно малы, увеличения pj
и р2 мало отличаются друг от друга, можно принимать рх = р2,
тогда
а — п'к cos ©д р2/(nj cos ©j).	(4.20)
Считая углы ю малыми, получаем а — п$Р1пг.
Умножив (4.20) на (4.18), найдем формулу связи между уве¬
личениями
ay = р cos aj cos Фк/(cos a'k cos «Dj).
Из (4.15) для продольного увеличения имеем
а = dz/dz = пх sin2 (oxl2)l[% sin2 {ч!2)]•
Приравняв это выражение и (4.20), найдем
Р2 = (njn'bf sin2 (а,/ 2) cos ^/[sin2 (с*/2) cos ©*],
откуда
Р = (n,/nk) sin (aj/2)	cos ©,/cos <o^ j sin (o^/2).
70

Считая углы ог и щ малыми, получим
Э = ± «1 sin (с,/2)/[л* sin (<4/2)].	(4.21)
Формула (4.21) определяет линейное увеличение для пред¬
метов, расположенных вдоль оптической оси. Сопоставляя (4.21)
с (4.13), приходим к выводу, что они одновременно не могут
быть удовлетворены, поэтому, как уже указывалось, оптическая
система не может дать совершенное изображение объемного пред¬
мета.
4.4.	ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЛУЧЕЙ СФЕРИЧЕСКОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ
Большинство оптических деталей, а следовательно,
и оптических систем имеют сферические и плоские преломляющие
поверхности и сферические отражающие поверхности, поэтому
рассмотрим сначала преломление сферической поверхностью и
покажем, может ли она удовлетворять требованиям идеальной
системы (рис. 4.8).
Положение преломленного луча и точки А' будет определено,
если известна координата s' и угол &. Из рис. 4.8 имеем а =
= 8 + <р; а' — &' + ф, откуда а' = 0 — 8+8'; ф = cr — е —
Из треугольников АМС и СМА' следует
(— s г)/sin (180° + е) = rfsin (— а);
(S' —r)/sin (— в') = r/sincr',
откуда
sin e = (г — s) sin a/r; sin s' — (r — §') sin o'/г.	(4.22)
Связь между sin e и sin e' определяется законом преломления
n sin e = n' sin e', поэтому, учитывая этот закон и (4.22), для
координаты s' получим
§' = г —г sin e'/sin a == г (sin а' — sin e')/sin a';
s' — r — (r — s) n sin o/(n' sin a').	(4-23)
Из (4.23) легко получить выражение в инвариантном виде
л (г — s) sin о(г == л' (г — s') sin a'jr.
i
Рис. 4.8. Преломление действительного луча сферической
поверхностью
71

(4.24)
Формула (4.24) является инвариантом преломления Аббе для
действительного луча. Инвариант справедлив только для одной
преломляющей поверхности. При переходе ко второй поверхности
он изменяет свое значение, т. е. не является полным инвариантом.
Для координат tut' из треугольников АМС и МЛ'С (см.
рис. 4.8) по теореме косинусов получим следующие формулы:
Умножая первое выражение на /г/г, а второе — на п'/г и вычи¬
тая n/s из n'/s', получаем
n'/s' — n/s = п' sin a'/[(sin o' — sin s') г] — n sin a/[(sin a — sin e) r].
После преобразования этого выражения найдем
Формула (4.25) является уравнением действительного луча
в меридиональной плоскости сферической преломляющей поверх¬
ности.
Из уравнений (4.23) и (4.25) видно, что при заданном положении
точки А на оптической оси координата s' является функцией угла a
и, следовательно, углов е, е' и cr', поэтому с изменением угла о из¬
меняется и координата s'. Гомоцентрический пучок лучей про-
странства предметов с вершиной в точке А после преломления пе¬
рестает быть гомоцентрическим. Длины оптических путей для
осевого и действительных лучей, образующих конечные углы о
с оптической осью, не равны между собой, т. е. n's'— пйф n't' —
—	nt.
Пучки лучей с вершиной в точке А, углы которых изменяются
от нуля до некоторого значения 2<ттах, после преломления дают
картину, изображенную на рис. 4.9. В преломленных пучках лу¬
чей наблюдается определенная закономерность: лучи пучка,
составляющие с оптической осью большие углы а, после прелом¬
ления пересекают ее ближе к вершине О преломляющей поверх¬
ности. В плоскости, проведенной через точку А' перпендикулярно
оптической оси, в которой пересекаются лучи, образующие с осью
бесконечно малые углы, изображение точки А' представляет собой
кружок рассеяния радиуса А 'В' — —Ау', Это явление носит
72
Р — (г — s)2 -f- г2 — 2г (г — s) cos <р;
t,z ~ (/• — s)2 -)- га — 2г (г— s') cos ф.
Напишем (4.22) в следующем виде:
r/s = sin cr/(sin a — sin e);
r/s‘ = sin cr7(sin o' — sin e').
n'/s' — n/s — (n' — n)/r -\-n{r — s) A/(rs),
(4 25)
где

<-
		*#.
£	*
Рис. 4.9. Нарушение гомоцентричности пучка лучей
сферической преломляющей поверхностью
название сферической аберрации. Различают продольную As' =
—	s' — s' и поперечную Ду' = Да' tg сГтэх сферические аберрации.
Кроме того, при преломлении имеет место дисперсия, вследствие
чего изображение представляет собой сумму большого числа мо¬
нохроматических изображений. Эти явления подробно изучаются
в теории аберраций оптических систем.
Расчет хода действительных лучей в меридиональной пло¬
скости через систему из сферических преломляющих поверхностей,
выполняемый с помощью микрокалькуляторов типа «Электро¬
ника» по приведенным выше формулам, заключается в следующем:
при — — оо задаются и §, а затем рассчитывают
sin ev = (rv — sv) sin av/rv; sin e' = ny sin ejn'v;
<Vи = av +	— ev; s' =rv — rv sin e'/sin crv+I;	(4.26)
*v+i ~ h
где v — 1, 2, ..., k.
При Sj = —oo sin — —Я/гх.
Пример 4.1. Определить координаты для лучей, образующих с оптической
осью углы сг 0°; —2,5°; —5°. Радиус сферической поверхности г — 50 мм, рас¬
стояние от осевой точки предмета А до вершины преломляющей поверхности § ------
= —400 мм, показатели преломления п — 1, п' ~ 1,51829.
Решение. Координаты s' определим по формулам (4.26). При а — —2,5°
и s = —400 мм:
sin е = (г — §) sin a/V = — 0,3925744;	8	=	— 23,11478°;
sin е' — п sin е/я' = — 0,2585635; e' = — 14,984843°;
o' — a e' — s 15,558552°; S' — r — r sin e'/sin a' = 181,78 мм.
При a — —5° угол o' = 15,55857°, s' = 146,31 мм.
Формулу для координаты s' —s' при a = 0 найдем по (4.25). При о = О
коэффициент А = 0 и n'ls' — n/s — (п' — п)/г, поэтому
s' ~ п' /[(я' — n)lr + n/s] — 193,02 мм.
73

Продольная и поперечная сферические аберрации:
а = 2,5°; A s' = s' — s' — —11,24 мм;
А у' ~ A s' tg o' = —1,11 мм; о = —5,0°; A s' —
—	s' —s' — —46,71 мм; Ay' — A s' tg а' = —13,01 мм.
Из приведенных данных видно, что сфери»еская преломляющая поверх¬
ность нарушает гомоцентричность пучков лучей. Вместо точки в плоскости изо¬
бражения при о -*■ 0 имеют место кружки рассеяшя диаметром 2,22 мм при а =
= —2,5° и диаметром 26,02 мм при о = —5°. Е(ли рассмотреть длины оптиче¬
ских лучей — осевого и образующего с оптической осью угол а = —5°, то полу¬
чим /0 = n's' — ns — 693,07 мм и —	—	п\ — 623,14 мм. Разность длин
оптических путей А 1 — 1г—/0— —69,93 мм. Отсюда также видно, что рассмотрен¬
ная преломляющая поверхность не является атберрационной, т. е. поверхно¬
стью, дающей идеальное изображение осевой точки предмета.
Пример 4.2. По данным примера 4.1 устаношть, сохраняют ли инварианты
Лагранжа—Гельмгольца и Гершеля постоянство при изменении угла а.
Решение. Постоянство инварианта Лагранжа—Гельмгольца для предмета
на конечном расстоянии можно оценить постоянством линейного увеличения
Р = dy'ldy = п sin a/(n' sin tf) = const.
Определим для заданных углов: о 0, а = —2,5° и а = —5°. При а -► 0
sin а = а, sin а' — а', о — hjs, а' = h0/s', где h0 — бесконечно малая высота
падения луча. Подставив значения s = s, s' = §', з, о', п и п' для линейных уве¬
личений, получим
а -► 0; Р0 = р = ns'/(ns) =—0,3178;
о	= —2,5°; р = я sin ol(n' sin o') = —0,2928;
а = 5°; j$ = п sin ol(n' sin o') = —0,2140.
Определим угловые увеличения. При а-*[) по формуле (4.18) находим
70 = у = п cos о/(п' cos а'ро) =—2,0723; при а — —2,5° увеличение у =
—	п cos а/(я' cos а'р) = —2,2578 и при а = —5° у — п cos о/(п' cos o'jj) =
= —3,1825.
Таким образом, установлено, что как линейное, так и угловое увеличения
не являются постоянными величинами, следовательно, инвариант Лагранжа—
Гельмгольца не выполняется и внеосевые точки предмета не изображаются в виде
точек.
Чтобы инвариант Гершеля сохранял свое зшчение независимо от угла, не¬
обходимо выполнить условие
а = dz'ldz — п sin2 (а/2)/[я' sin2 ia'/2)] = const.
Определим продольные увеличения: при а -► 0 увеличение а0 = а =
= (п/п') (s'/s)2 = 0,1534; а = —2,5°; а = п sin! (ol2)l[nf sin2 (а'/2)] = 0,1300;
о	= —5°; a = n sin2 (a/2)t[n' sin2 (a'/2) ] = 0,06*4.
Как видно из полученных данных, продольное увеличение не является по¬
стоянной величиной, следовательно, преломляюцая поверхность не может соз¬
дать идеальное изображение предмета, располохенного вдоль оптической оси.
4.5.	АПЛАНАТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ СФЕРИЧЕСКОЙ
ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для того чтобы гомоценгрический пучок лучей,
выходящий из осевой точки предмета, сохранял гомоцентричность
и после преломления, необходимо, чтобь координата s' оставалась
бы постоянной для любых значений угла <Х Для этого в уравне-
74

Рис, 4.10. Апланатические точки сферической преломляю¬
щей поверхности
ниях для действительных лучей (4.23) и (4.25) должны выполня¬
ться следующие условия:
sin e'/sin о = const;
'4 = [cos(‘2T1)”cos (^l£)]/cos(£lTil)=const-
Указанные условия соблюдаются в трех случаях.
1.	Если для сферической преломляющей поверхности угол
о = е, то угол ф = о — е = а' — е' и сг' = е'. Согласно (4.22)
координаты
s = г (sin а — sin e)/sin о
и	,	,	(4.27)
S' = г (sin o' — sin e')/sin a'.
Отсюда видно, что
$ = s' — 0.	(4.28)
Нормаль к поверхности совпадает с оптической осью, и осевая
точка предмета Л и ее изображение А' располагаются в вершине
преломляющей поверхности О (рис. 4.10, а). Гомоцентрический
пучок лучей с центром в вершине преломляющей поверхности
после преломления остается гомоцентрическим. Радиус кривизны
поверхности в этом случае не играет никакой роли. Так как сг — е
и <у' = в', то линейное увеличение
Р — п sin <т/(л' sin o') = п sin ef(n' sin в') ~ 1 = const
остается постоянным для любых значений углов.
75

2.	Если е — е' = Q, то а — а' и луч совпадает с нормалью
к преломляющей поверхности. Из формул (4.27) следует, что
| = §' = г.	(4.29)
Лучи гомоцентрического пучка, выходящие из центра С сфе
рической поверхности или сходящиеся в этой точке, проходят
ее по направлению нормалей (радиусов кривизны) и не преломля¬
ются (не изменяют своего направления). Изображение — точка
А" —совпадает с предметом—точкой (рис. 4,10, 6).
Так как 0 — о*', линейное увеличение j$ = п sin а/(л' sin а') =
—	п/п' — const остается постоянным для любых значений с? и о'.
3.	Если е = —о-', то на основании равенства 0 — е = сг'—
—	е' — а + а' можно заключить, что s' — —а (рис. 4.10, в).
В этом случае по закону преломления можно написать —
п sin о' — п' sin s', п sin s = —п sin 0, откуда sin в = —п' X
X sin сг/л, sin е' = —п sin оЧп'. Подставив значения sin в и
sin г в (4.27), найдем
$ = г (sin о — sin e)/sin а — г (sin а 4- nf sin a/e)/sin а = г (п -J- п')/п; (4.30)
s' = г (sin о1 — sin e')/sin а' — г (sin о' -j- п sin o'jn') sin о"' = г (п + п')/п’~;
отсюда следует, что ns = n's' = г (п + пг).
Гомоцентрический пучок лучей, вышедший из точки А после
преломления, остается гомоцентрическим, так как координата S'
не зависит от значения угла о-. Изображение будет мнимым. (В
точке Л' пересекаются только продолжения преломленных лучей.)
Учитывая, что s = —а' и е' — —а, закон преломления можно
представить в следующем виде: я sin сг' — п' sin о; sin 0/sin а' =
= n/nf, поэтому линейное увеличение
Р = п sin о/(я* sin а') = (/г/л')2 — const.
Таким образом, для сферической преломляющей поверхности
имеем три пары сопряженных точек, для которых она является
анаберрационной поверхностью. Для отрезков, перпендикуляр¬
ных оптической оси и проходящих через эти точки, линейное
увеличение остается постоянным, следовательно, эти отрезки
изображаются в виде идеальных отрезков.
Точки на оптической оси, удовлетворяющие приведенным выше
условиям, называются апланатическими точками.
4.6.	ФОКУСНЫЕ РАССТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ
ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
Допустим, что на преломляющую поверхность падают
два элементарных пучка лучей, параллельных оптической оси:
один пучок идет по оптической оси, а другой — на конечной вы¬
соте h (рис. 4.11). Эти пучки лучей собираются на оптической оси
в точках F' и F', которые являются задними фокусами прелом¬
ляющей поверхности. Осевые лучи падающего и преломленного
76

Рис. 4.11. Фокусные расстояния преломляющей пси
верхности
пучков пересекаются в точках О и М, которые должны принад¬
лежать задней главной плоскости.
Если взять элементарные пучки лучей на других высотах,
то их осевые лучи будут также пересекаться в точках, расположен¬
ных на преломляющей поверхности. Очевидно, что главные пло¬
скости трансформируются в элементарные отрезки, касательные
к точкам О и М, которые одновременно являются задними глав¬
ными точками элементарных пучков лучей. Отсюда видно, что
главная плоскость преломляющей поверхности превращается
в сферу того же радиуса. Если взять элементарные пучки лучей,
идущих на разных высотах параллельно оптической оси в обратном,
направлении, то осевые лучи пучков будут пересекаться также на
преломляющей поверхности и, следовательно, передней главной
плоскости также не существует. Точки О я М являются одновре¬
менно передней и задней главными точками элементарных пучков
лучей. Так как фокусные расстояния отсчитывают от главных то¬
чек, то заднее фокусное расстояние преломляющей поверхности
для действительных лучей f — MF' = Я/sin o'.
Если проследить ход элементарного пучка лучей в обратном
направлении, то для переднего фокусного расстояния получим
f = Я/sin а.
Фокусные расстояния для действительных лучей будут из¬
меняться с изменением высоты падения Я, а следовательно, и
углов о и оЛ Для осевого луча или луча, идущего параллельно
оптической оси на бесконечно малой высоте Яо, углы во и а'о будут
также бесконечно малы, поэтому можно написать /' — Я0/Qq.
Для бесконечно малых углов еб и об расстояние от вершины О
преломляющей поверхности до точки F' согласно (4.23) будет
f'^s' — r — г&о/а'о.
Закон преломления — оптический инвариант при бесконечно
малых углах s0 и &о — имеет вид №q — n's6; s# = mjn\ Кроме
того, е0 = —ф -- —Я0/г; a'G — hQ/f\ поэтому для заднего фокус¬
ного расстояния найдем
f = rtvftn' —я) — const.	(4.31)
77

Проследив ход луча в обратном направлении на высоте h0y для
переднего фокусного расстояния получим
/ == — гп/(п' — п) ~ const.	(4-32)
Из (4.31) и (4.32) следует, что фокусные расстояния преломля¬
ющей поверхности остаются постоянными величинами только
при бесконечно малых углах а\
Если система состоят из k преломляющих поверхностей, то
в ней отсутствуют главные плоскости.
Пример 4.3. Определить фокусные расстояния преломляющей поверхности,
если л = 50 мм, п — 1, п' =? 1,51829, h -*■ 0; 5 и 20 мм.
Решение. Фокусные расстояния при h 0 определяют по формулам (4.31)
и (4.32):
f — —rn/(fl' — п) = —95,74 мм; f' = rn'!(ri — п) == 146,47 мм.
Для определения фокусных расстояний действительных лучей воспользуемся
формулами (4.26), которые при s = —оо имеют вид sin в = —hlr; sin е' =
= л sin е/п'; o'— е' — s; §■ — г — rsine'/sina'; f' = Л/sin or'.
Переднее фокусное расстояние рассчитывают по тем же формулам. При этом
преломляющую поверхность с ее средами поворачивают на 180°. В этом слу-
Ч-*
чае получим г ~ —50 мм, п = 1,51829, п =1 и f — —f\
Расчет хода лучей дал следующие результаты: h = 5,0 мм, f = —95,74 мм,
f' = 145,99 мм, h — 20 мм, f == —83,74 мм, f 138,44 мм. Разности Д/ = f — /,
А/' = /' —f', характеризующие изменения фокусных расстояний в пространстве
предметов и пространстве изображений в зависимости от высоты падения луча,
изменяются в довольно широких пределах вследствие нарушения гомоцентрич-
ности преломленных пучков лучей. Отношение f/f' = —nfn' соблюдается только
при h = 0.
4.7.	ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЛУЧЕЙ ПЛОСКОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ И ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
ПЛАСТИНОЙ
Преломление лучей плоской поверхностью. Плоскую
поверхность можно рассматривать как частный случай сфериче¬
ской, когда радиус кривизны ее равен бесконечности (г = оо).
Кроме того, углы падения и преломления равны углам, которые
луч составляет с оптической осью (рис. 4.12).
Уравнение действительного луча (4.25) для плоской поверх¬
ности с учетом того, что г — оо, е = а, е' — сг', будет иметь вид
ti'/s'— ti/s — nAjs\ А = (cos о — cos o')/coso'.	(4.33)
Отсюда s'=sn' cos o' I(n cos cr).
78

Рис. 4.13. Преломление луча плоскопараллельной
пластиной
Умножая числитель и знаменатель последнего выражения
на sin a sin or' и принимая во внимание, что sin e'/sin е =
= sin a'/sin a = n!n\ получаем
s' = stga/tga'.	(4.34)
Из (4.34) следует, что координата s' зависит от угла сг, поэтому
гомоцентрический пучок лучей после преломления на плоской по¬
верхности перестает быть гомоцентрическим. Чтобы пучок лучей
сохранял свою гомоцентричность и после преломления необхо¬
димо выполнить условие (cos or — cos a')/cos сг' = const или
tg altg o' — const, что невозможно при конечных значениях уг¬
лов (Т.
Таким образом, плоская преломляющая поверхность не может
дать стигматического изображения точки.
Линейное уравнение плоской поверхности '
= dy'/dy = я sin о{(п' sin o') = п sin е/(д' sin е') = 1
является постоянной величиной.
Преломление лучей плоскопараллельной пластиной. Рассмот¬
рим преломление действительного луча при прохождении его
через систему, состоящую из двух параллельных между собой
плоских поверхностей. Такая система представляет собой опти¬
ческую деталь, называемую плоскопараллельной пластиной
(рис. 4.13).
Применив последовательно к двум плоским поверхностям фор¬
мулу (4.34), найдем
s[ = tg a,/tg о\ = §, tg ajtg <T2;
h = S2 tg a2/tg =■ S2 a2 / ^ аз-
79

Координаты s2 и §как это видно из рис. 4.13, связаны между
собой выражением s2 = s\ — d} поэтому
h = (si — d) а2°з	= 5i ai/^ °з — d tg Vtg °'з-
Заменяя тангенсы углов	a	на	синусы и косинусы и	учитывая
закон преломления на первой	и	второй поверхностях,	получаем
s2 = Sjrt3 cos a3/(nj	cos	о2)	— dn3 cos о-з/(л2 cos a2).	(4.35)
Найдем положение точки Л £ относительно точки Ль определя-
емое координатой As, называемой продольным смещением луча.
Из рис. 4.13 следует, что Д5 =	— Si + d. Учитывая (4.35), после
преобразования находим
As = d {1 — п3 cos а3/(я3 cos o2)] —	[1 — n3 cos a3/(/tx cos 0j_)],	(4.36)
Координата As, так же как и §<>, изменяется с изменением
угла ох, следовательно, плоскопараллельная пластина также
не может дать стигматического изображения точки.
Линейное увеличение плоскопараллельной пластины
р — dy'jdy — tixsin oJ(nz sin a3)	(4.37)
изменяется с изменением угла и показателей преломления пг
и щ.
Поперечное смещение луча будет
5'==Aesina1.	(4.38)
Если пластина расположена в воздухе, то пг — /г3 — 1, пг —
= п, =■ ст3 и луч, вышедший из пластины, будет параллелен
падающему лучу. В этом случае формулы (4.35)—(4.38) имеют вид
Ц = sl—d tg о2/ tg a, =	—	d	cos	Oil	(n cos a2);
As = d[l — cos Gi/(n cosa2)] = d [ 1 — cos ojy'nF— sin2 aj,	(4.39)
z' d[ 1 —- cos oJ(n cos o2)] sin ax;
P — nx sin Ox}(nз sin as) = 1.
При малых, углах.
s2 — sl — ks — d{n — 1 )/n; z = rfoj (n — 1)jn.	(4.40)
Формулы (4.40) обычно используют при предварительном рас¬
чете оптических систем.
Расчет хода действительного луча через плоскопараллельную
пластину проводится в следующем порядке, учитывая, что аг —
—	еь erf = а2 — г'\:
tg ох = — hJSt; sin a2 — % sin ojn^;
sj = Sj tg Oj/tga2; §2 = s{ — d;	(4.41)
sin a3 = n2 sin o2/n3; s2 = n2 tg o2ltg a3.
Пример4.4. Определить координаты s' плоской преломляющей поверхности,
если S — —100 мм, h — 0; 20 к 40 мм, я — 1, п — 1,51829.
80

Решение. При h — 0, т. е. при бесконечно малых углах о и а', из (4.33)
находим s' — s' — sn'ln — —151,83 мм.
Если h = 20,0 мм, то tg о — his — —0,2, о — 11,3099°, sin о' — sin oln' ==
= —0,129169, o' = —7,42157° и Г= s tg a/tg a' = —153,54.
Для высоты h 40 мм, s' — —158,56 мм, o' = —14,1589°.
Разность координат s' и s': при h ~ 20,0 мм Л s' — s' —s' — —1,71 мм;
при h ~ 40,0 мм A s' — s' — s' — —6,73 мм.
Диаметры кружков рассеяния в плоскости изображения для высоты h — О
составляют 0,44 и 3,39 мм. Из приведенных данных видно, что плоская прелом¬
ляющая поверхность нарушает гомоцентричность пучков лучей. Осевые точки
предмета изображаются в виде кружков рассеяния. Линейное увеличение для
всех углов равно единице, изображение мнимое.
4.8.	ОТРАЖЕНИЕ ЛУЧЕЙ ОТ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Отражение лучей от поверхностей происходит в соответствии
с законом отражения е' = —е, и для этих поверхностей п' — —п.
Расстояния между отражающими поверхностями d < 0. Правила
знаков для отрезков и углов остаются такими же, как и для пре¬
ломляющих поверхностей.
Анаберрационные отражающие поверхности. Для отражающей
поверхности с учетом того, что п' = —/г, уравнение (4.2) предста¬
вим в виде
[у2 -f (s — г)2]1/2 + [у2 + (s — г)2]1/2 = 3' + 3.
После несложных преобразований найдем
gr2 = 4ss'z/(s -f S') — 4ss'z2/(s -f- s')2.	(4.42)
Формула (4.42) представляет собой уравнение кривых второго
порядка в общем виде. Обозначим р —2ss'/(s -(-5'); q ~ ~^ss'f(s +
+ S')2.
Если q < 0, то сечение поверхности представляет собой эл¬
липс, а это возможно только в том случае, когда координаты s
и s' имеют одинаковые знаки, т. е. когда отражающая поверх¬
ность является вогнутой (рис. 4.14, а). В эллиптической отра¬
жающей поверхности предмет А располагается в переднем фокусе,
а его изображение А' — в заднем фокусе.
При q > 0 координаты s и s' имеют разные знаки и поверх¬
ность будет гиперболической (рис. 4.14, б). Предмет должен на¬
ходиться в переднем фокусе гиперболы, а изображение — в зад¬
нем фокусе и является мнимым. Гиперболическая анаберрадион-
иая отражающая поверхность самостоятельного значения не
имеет и может применяться в сочетании с другими поверхностями.
Если q = 0, отражающая поверхность представляет собой
параболу, что имеет место при S — —оо. Координата s' равна
фокусному расстоянию f' параболы (рис. 4.14, в).
Таким образом, эллипсоид и гиперболоид вращения являются
анаберрационными отражающими поверхностями для предмета
на конечном расстоянии, а параболоид вращения — для предмета
в бесконечности.
81

	 '***'
Линейное увеличение для отражающих поверхностей р =
= п sin а/(п' sin сг') = —sin a/sin а' изменяется с изменением
угла а, поэтому точки А и А' не являются апланатическими и
изображение dy' элементарного отрезка dy, перпендикулярного
оптической оси, не будет идеальным.
Отражение лучей от сферических поверхностей. Уравнение
действительного луча (4.25) для сферической отражающей по¬
верхности при п' = —п, е' = —е имеет вид
1/5' + l/s = 2/г — А (г — §)/(г§),	(4.43)
.	(	а	+	е	сг'—е\| о’— е
где	А	—	f	cos	—		cos —^— ) cos —^—.
Для координаты s' согласно (4.23) можно написать
s' = г (sin а' -f sin e)/sin o' = г -j- (г — s) sin a/sin o' ;	(4.44)
линейное увеличение p — dy'/dy — —sin a/sin o'.
В вогнутом зеркале задний фокус F' является действительной
точкой, поэтому оно относится к положительным системам. В вы¬
пуклом зеркале задний фокус представляет собой мнимую точку,
и это зеркало является отрицательной системой. Ход действитель¬
ных лучей AM и ВС и построение изображений в вогнутом зер¬
кале показаны на рис. 4.15, а, на рис. 4.15, б показано то же,
но в выпуклом зеркале.
Из (4.43) и (4.44) видно, что координата s' является функцией
углов а и а', поэтому гомоцентричность пучка лучей после отра¬
жения его от сферической поверхности нарушается и осевая точка
предмета изображается в виде кружка рассеяния. Размер изобра¬
жения также изменяется “с изменением угла а.
82

п'=-п
Рис. 4.15. Отражение лучей от вогнутого и выпуклого сферических зеркал
Отражение лучей от плоской поверхности (плоского зеркала).
Для плоской отражающей поверхности (рис. 4.16) уравнение дей¬
ствительного луча имеет вид
1/§' -}- i/s = — (cos а — ‘cos а')/^ cos а').	(4.45)
Из треугольников А МО и ОМА' следует, что —е — е' = — а,
е' — а', следовательно, —а = а'. В этих треугольниках сто¬
рона МО общая, сторона АО равна стороне ОА'. В формуле (4.45)
cos (—сг) = cos о — cos а', поэтому
I/s' + 1/5 = 0; —■ s — s\	(4.46)
Линейное увеличение для плоской поверхности
Р — я sin o/(n' sin а') — — sin o/sin а' = — sin e/sin е' = 1.
Так как уравнение действительного луча и линейное увеличе¬
ние не зависят	от угла о, то гомоцентричность пучка	лучей	после
отражения	не	нарушается. Это говорит о том, что	плоская	отра¬
жающая поверхность удовле¬
творяет всем требованиям
идеальной системы.
Построение изображения
через плоскую отражающую
поверхность может быть вы¬
полнено следующим образом
(см. рис. 4.16). Допустим,
что на плоскую поверх¬
ность РР из точки А па¬
дает расходящийся пучок
лучей А МО. Луч АО падает
перпендикулярно к поверх¬
ности, поэтому его угол паде¬
ния равен нулю, и отражен¬
ный луч пойдет обратно по
направлению О А. Луч AM
Рис. 4.16. Отражение лучей от плоской
поверхности
83

после отражения пойдет по направлению МА”. Продолжив, лучи
А”М и ДО до их пересечения, найдем точку А', являющуюся изо¬
бражением точки А. Это изображение.будет мнимым, и для на¬
блюдателя, расположенного в направлении отраженных лучей,
кажется, что лучи выходят из точки А'.
Пример 4.5. Определить уравнения для анаберрационных отражающих
поверхностей, если S — —200 мм и s'= —50 мм. Вычислить также координаты у
для г = —2,5; —5,0 и —10 мм.
Решение.	*
Для анаберрационной отражающей поверхности справедливо уравнение
(4.42). Так как по условию задачи s и s< 0, то отражающая поверхность должна
быть эллиптической, тогда р =2ss'/(s -j-з') — —80,0; q =—4ss7(s-{- s')2 =
= —0,64 и уравнение эллипса имеет вид
уг = —160z — 0,64га.
Для заданных значений г координаты у соответственно равны: 19,90; 28,00
и 39,14 мм.
Проверим длины оптических путей. Длина оптического пути вдоль оптиче*
ской оси /0 ~s -f-	— —250 мм. Длина оптического пути вдоль действитель¬
ного луча при г ~ —5,0
1г — t -f- t' = —VV3 + (® —г)2 — У7 + (s'—z)2 = I— 250,0 мм.
Разность оптических путей А/ — 0. Это говорит о том, что соблюдается стационар¬
ность оптического пути и поверхность является анаберрационной для осевой точки
предмета.
Если принять 5= —-200 мм, a s' = 50 мм, то отражающая поверхность бу¬
дет гиперболической, и ее уравнение имеет вид
у* — 266,666г -f" 1,778z2.
Для гиперболы координата г > 0.
Для параболической отражающей поверхности S = —оо, s’— —50 мм,
р — 2s, q = 0, у2 = 2рг —4sz = 4f'z — —200 z.
Пример 4.6. Определить координаты s' лучей, отраженных от вогнутого
сферического зеркала, если г — —50 мм и s = —200 мм для углов о = —Г
и —10°.
Решение. При о -+ 0 из уравнения (4.43) для координаты s' найдем s'—
= s' = rs!{2s — г) — —28,57 мм.
Применяя (4.26), для сферической отражающей поверхности получим сле¬
дующие формулы:
sine = (r — s) sin o/r; е'— — е;
о' — о — 2е;
s' — г — г sin s'/sin o' = г -j- г sin e/sin а'.
Расчет хода действительных лучей дал следующие результаты: а — —Г,
s= —28,53 мм, tg а' = —0,122828, о = —10°, s' = —22,73 мм, tg о' =
—	—3,228728; диаметры кружков рассеяния соответственно 0,01 мм и 37,70 мм.
Из приведенных данных видно, что сферическая преломляющая поверхность на¬
рушает гомоцентричность пучков лучей.
4.9.	ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
НАКЛОННЫХ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
Рассмотрим преломление элементарных пучков лу¬
чей. Такого рода пучки лучей можно создать, если на преломляю¬
щей поверхности выделйть элементарную площадку, а во внеосе-
84

Рис. 4,17. Преломление элементарного наклонного пучка лучей:
а — в меридиональной плоскости; б — в сагиттальной плоскости
вой точке предмета расположить точечный источник света. На
рис. 4.17, а показан ход плоского элементарного пучка лучей в ме¬
ридиональной плоскости. Ось ВМ пучка образует с оптической
осью конечный угол со. Лучи пучка после преломления пересе¬
каются в точке В'щ. Если преломляющую поверхность повернуть
вокруг оптической оси на бесконечно малый угол, то плоский пу¬
чок ВМгМ превратится в пространственный, а точка В'т опишет
перпендикулярную к меридиональной плоскости элементарную
линию, которая является изображением точки В. Обозначим
координаты вдоль оси пучка ВМ через tmf а вдоль оси пучка
МВ'т — через tm. Координаты tm и t'm отсчитывают от точки М.
Найдем зависимость между координатами tm и t'm. Дифферен¬
цируя закон преломления по переменным е и е', находим
п cos 8 d& — п' cos е' de'.	(4.47)
Так как (см. рис. 4.17) е — » — ср и е' = а>' — <р, то ds —
= dti) — dcp, dz — dco' — dtp, где dy = MMJr = fo/г; dm —
= MD{tm; d©' - MDJtm.
85

Учитывая, что MD — dh — b cos e, MDt = dh' = b cos e', найдем
d© = b cos фпу = b cos ъ It'm\
de, — b cos Bjtm — bjr\ d& — b cos e'/tm — bfr.
Подставляя de, и de' в (4.47), получаем
n cos e (cos e/tm — l/r) = n' cos e' (cos &'/tm — l/r).
ПосДе преобразования находим
n'co$2e'lt'm — n cos2 e/fm = (n cos ъ — n cos в)/г.	(4.48)
Формула (4.48) является уравнением Юнга—Аббе элементар¬
ного наклонного пучка в меридиональной плоскости. Найдем
уравнение элементарного пучка лучей в сагиттальной плоскости,
т. е. плоскости, перпендикулярной к меридиональной и проходя¬
щей через осевой луч пучка (рис. 4.17, б). В пространстве предме¬
тов сагиттальная плоскость проходит через луч ВМ, а в простран¬
стве изображений — через луч MB'S. Точки В и B's являются точ¬
ками пересечения сагиттального пучка ВМхМг в пространстве
предметов и M\B'SM2 в пространстве изображений. Положение
точек Мх и М2 сагиттального пучка на преломляющей поверх¬
ности можно найти, если меридиональную плоскость повернуть
на угол ±d4|> вокруг оптической оси. Если преломляющую по¬
верхность повернуть вокруг точки О в плоскости чертежа на
бесконечно малый угол, то получим пространственный пучок
лучей, точка В'$ опишет линию в меридиональной плоскости,
перпендикулярной к осевому лучу пучка MB'S. Эта элементарная
линия является изображением точки В, образованным элемен¬
тарным сагиттальным пучком лучей. Обозначим координату ВМ
через tsy а координату MB'S — через t's. Из точек В и B's опустим
перпендикуляры BNX и B'N2 на нормаль МС, тогда из рис. 4.17, б
найдем BNi = ts sin в; B'SN2 = —fs sin e'; BNi/(B'sN2) —
—	NiC/(CN2) = —ts sin e/(fs sin s'), где N\C — N\M + г =
= —U cos e + t — —(4 cos e — r); CN2 = MN2 — r — t'scos e'— r,
тогда t sin e/(£ sin e') = (ts cos e — r)/(t's cos e' — г). Так как
sin e/sin e' = n'/n, to tstie (t's cos e' — r) — t'sn (£ cos e — r).
Разделив это выражение на t8fsr, после преобразований найдем
п Jts — n/ts — (п cos — п cos е)/г.	(4.49)
Формула (4.49) является уравнением Юнга—Аббе элементар¬
ного пучка лучей в сагиттальной плоскости.
Напишем (4.48) и (4.49) в виде
п cos е (l/r — cos B/im) = n cos e' (l/r - cos e'/Q;	(4.50)
n (cos e/r — l//s) = n (cos e'/V — I/t's).
Уравнения (4.50) представляют собой меридиональный и са¬
гиттальный инварианты для элементарного наклонного пучка.
Их называют также инвариантами Гульстранда.
86

Из (4.48) и (4.49) видно, что при конечных углах со и о)', а сле¬
довательно, и при конечных г и &' координаты t'm и £ для пре¬
ломляющей поверхности имеют разные значения.
Разность t's — t'm называется астигматической разностью вдоль
оси элементарных пучков лучей или астигматизмом, а сами пучки
называют астигматическими пучками.
Если tm — U — —°°» то в этом случае t'm = f'm> t'a “ /«. Со¬
гласно (4.48) и (4.49)
f' = nr COSa8 '/{n COS 8* — n COS в) !	,, _ , x
(4.51)
fs = n r/(n cos e — n cos e),
где f'm и f's представляют собой фокусные расстояния астигмати¬
ческого пучка лучей. Фокусами пучка являются элементарные
отрезки, называемые фокальными линиями.
Для плоской поверхности г = оо. В этом случае уравнения
(4.48) и (4.49) для астигматических пучков лучей имеют вид
п cosV/t*m — п cos2 е//от = 0; n'/t's — n/ts = 0.	(4.52)
Если поверхность является сферической отражающей, то
п' — —п, 8 = —е' и для (4.48) и (4.49) получим
^1^'т “Ь ~ со® ®	1/*; + l/fe = 2cose>.	(4.53)
В том случае, когда астигматизм отсутствует, tm — ts = t
и t'm — t's = t' и из (4.48) и (4.49) получаем следующее выражение
для анастигматического изображения, даваемого одной прелом¬
ляющей поверхностью:
п' sin2 в' (l/t' — n'jnt) = 0.
Это условие выполняется, если е' =0 и rtt = n't'. Если г — 0,
то это значит, что и е = 0, следовательно, осевой луч пучка про¬
ходит через центр преломляющей поверхности и не преломляется.
Условие nt = п t' аналогично (4.30), т. е. точки В я В' совпадают
с апланэтическими точками. При выполнении приведенных выше
условий преломляющая поверхность является анаберрационной
для' астигматических пучков лучей.
Из (4.52) для плоской поверхности вытекает, что должно
соблюдаться условие cos2 e/cos2 е' — 1.
Следовательно, cos е = cos г' — 1, т. е. углы падения и пре¬
ломления равны нулю и осевой луч пучка перпендикулярен
к плоской поверхности.
Для сферической отражающей поверхности стигматическое
изображение точки будет иметь место при выполнении условия
sin2 е (Iff Ijt') = 0. Отсюда следует, что е = 0, т. е. осевой
луч элементарного пучка должен совпадать с нормалью к отражаю¬
щей поверхности. Для плоской отражающей поверхности стигма¬
тическое изображение точки имеет место при любых ее положениях
относительно поверхности.
87

Координаты t'm, t's и астигматическую разность fs — t'm опре¬
деляют путем расчета хода осевого луча астигматического пучка
по формулам для действительного луча (4.26), принимая о> = о.
В результате расчета находят углы падения и преломления.
Расстояние от точки пересечения осевого луча пучка до прелом¬
ляющей поверхности принимается равным —sP.
Таким образом, наклонные элементарные пучки лучей, обра¬
зующие конечные углы с оптической осью, за исключением част¬
ных случаев, при преломлении и отражении не дают стигматиче¬
ских изображений точки.
глава 5 ОПТИКА ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
5.1.	ПАРАКСИАЛЬНЫЕ ЛУЧИ.
УРАВНЕНИЯ ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
При рассмотрении преломления и отражения лучей
поверхностями было показано, что сферические и плоские пре¬
ломляющие, а также сферические отражающие поверхности, за
исключением частных случаев, не дают стигматических изображе¬
ний, т. е. не удовлетворяют основным положениям идеальной
оптической системы. Вместо точечных изображений системы,
состоящие из такого рода поверхностей, для точек на оси дают
кружки рассеяния различных размеров, а для внеосевых точек —
фигуры рассеяния различного вида.
Для получения стигматических изображений точек, распо¬
ложенных на оптической оси, необходимо, чтобы в уравнениях
для действительных лучей (4.25), (4.33) и (4.43) соблюдались
условия
я ( о + е	с	-f б' \ /	&	-f е'	,
л = ( cos —g	cos ~2— ) /cos 	2— ^ со ’
А (cos а —• cos o')/cos o' — const;	(5.1)
„	/	a -p &	o'’ — e\ I o' — 8	,
я	= f cos	—^	cos—2— ) / C0S —2— = con
Эти условия выполняются, если углы а и е бесконечно малы.
Тогда	можно	принять i —	s = s; t' —s' ~ s'; sin о	—	a;	cos	cr	=
= 1;	cos or'	= 1;	cos [(a + e)/23 = I; cos l(a'	-f	e')/2]	—	1.
В этом случае все коэффициенты А равны нулю, и будет выпол¬
няться равенство
n't' — nt -- n's' — «S,
т. e. длина оптического пути исевого луча равна длине оптиче¬
ского пути любого другого луча, образующего с оптической осью
малый угол ст.
88

Таким образом, при бесконечно малых углах а и в, а следова¬
тельно, и углах а' и е', А = 0 и уравнения (4.25), (4.33) и (4.43)
принимают вид:
для сферической преломляющей поверхности
n'/s' — n/s — (л' — n)/r;	(5.2)
для плоской преломляющей поверхности
n'/s'—n/s — 0;	(5.3)
для сферической отражающей поверхности
1/s' + 1/s == 2 /г.	(5.4)
Как видно из (5.2)—(5.4), координата s' остается постоянной
для данной величины s, т. е. все лучи, выходящие из точки А
под любыми, но малыми углами, после преломления пересекаются
в одной точке — точке изображения А'. Следовательно, гомоцен¬
тричность пучка не нарушается, и точка предмета, расположен¬
ная на оптической оси, отображается стигматически.
Лучи, образующие малые углы о и сг' с оптической осью и
малые углы е и е' с нормалью к преломляющей поверхности,
называются парш<хиальными лучами, а область вокруг оси, внутри
которой распространяются эти лучи, — параксиальной областью.
Углы а и о' для параксиальной области в дальнейшем будем обо¬
значать а и а', как и для идеальной системы.
Формулы (5.2)—(5.4) называются уравнениями параксиальных
лучей в отрезках вдоль оси и могут быть использованы для расчета
хода лучей через преломляющие поверхности.
Таким образом, для параксиальной области имеем sin а«
« а = a, cos <т = cos а = 1. Эту область нельзя определить
однозначно. Все зависит от величины s' и от погрешности, с какой
она должна быть определена.
5.2.	ИНВАРИАНТЫ ДЛЯ ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Если в уравнении (5.2) для сферической преломляю¬
щей поверхности сгруппировать все члены, относящиеся к про¬
странству предметов в правой части, а относящиеся к простран¬
ству изображений — в левой части, то получим
Q$ = n (1/s — 1 /г) = п' (I/s' — 1 /г).	(5.5)
Эта формула^ называется инвариантом Аббе для сферической
преломляющей поверхности в параксиальной области.
Инвариант Qs может быть получен также из инварианта Аббе
(4.24)	для действительных лучей, если положить t = s = s и
l! ~t 	 _/
t = s — s .
Инвариант Qs для двух сопряженных точек, находящихся
на оптической оси, есть величина постоянная, не зависящая от
углов а и а'. С изменением положения сопряженных точек на оси
значение Qs будет изменяться; Qs изменяется также при переходе
89

от одной преломляющей поверхности к другой, поэтому не яв¬
ляется полным инвариантом.
Оптический инвариант, или закон преломления, для паракси¬
альной области имеет вид пъ — п'е'. Напишем этот инвариант для
двух преломляющих поверхностей:	л2е2	= я2е2. Вели¬
чины ti{ и Яг, как уже указывалось, относятся к одной и той же
среде, поэтому п\ — п2, но Ф е2 и знак равенства между инва¬
риантами для первой и второй поверхностей поставить нельзя.
Произведение пе сохраняет числовое значение тольксшфи пере¬
ходе через одну поверхность, т. е. также не является полным
инвариантом.
Приняв sin О) = gi = оц и sin oj, — a'k = a'k,_. для инварианта
(4.12)	получим
I = /ij dya{ — nk dy ak.	(5.6)
Выражение (5.6) является полным инвариантом Лагранжа—
Гельмгольца в параксиальной области для системы, состоящей
из k преломляющих поверхностей. Инвариант (5.6) показывает,
что отрезок прямой или элементарная площадка, перпендикуляр¬
ные к оптической оси, могут быть изображены системой прелом¬
ляющих поверхностей в виде совершенного (идеального) отрезка
или площадки.
При рассмотрении идеальной системы была получена формула
Лагранжа — Гельмгольца	'
fytga = — f'y' tga',
которая справедлива для любых значений а и а' и высот у и у',
в том числе и для параксиальной области, поэтому f dyat —
=*—f'dy'a\
Эта формула не накладывает каких-либо ограничений отно¬
сительно типа оптической системы и ее устройства, так как иде¬
альная система задается главными плоскостями, поэтому можно
считать, что указанная формула справедлива и для оптической
системы, состоящей из k преломляющих поверхностей. Напишем
ее в виде
f dy a, = — f dy'ak,	(5.7)
где f и /' — передний и задний фокусные расстояния системы.
Сопоставляя (5.6) и (5.7), приходим к отношению
///' = (5-8>
Если пространство предметов и изображений представляют
собой однородные среды, то r—f — т. е. фокусные расстояния
системы равны по абсолютной величине и обратны по знаку.
Системы, в которых щ Ф n'k, сравнительно редки, например,
устройства для подводной фотографии, иммерсионные объективы
микроскопов (щ Ф 1, n’k = 1), а также оптическая система глаза
(ll\ — 1, 1%'k 'ф 1).
90

Заменив в (5.7) отношение фокусных расстояний отношением
показателей преломления, получим инвариант Лагранжа—Гельм¬
гольца для идеальной системы
п\У tg «j = п'ьУ tg a'k. '	(5.9)
Реальные оптические системы, как было показано выше,
могут дать идеальное изображение элементарных отрезков, пер¬
пендикулярных оптической оси, при выполнении инварианта
Лагранжа—Гельмгольца (4.12), т. е.
n3 dy sin а, = nk dy' sin a'k.	(5.10)
Инварианты (5.9) и (5.10) совместимы только в том случае,
когда углы cFj = ах и o'k = а'к бесконечно малы (tg а = sin а = а)
и размеры предмета и изображения также малы. Отсюда следует,
что идеальная оптическая система осуществима только в пара¬
ксиальной области реальных систем. Следовательно, все положе¬
ния и большинство формул идеальной системы справедливы и для
параксиальной области. Поэтому для идеальной системы и па¬
раксиальной области углы лучей с оптической осью обозначаются
одинаково — через а и а': Однако уравнение (5.9) имеет большое
практическое значение, так как оно представляет собой условие,
которому должна удовлетворять оптическая система, строящая
изображения широкими гомоцентрическими пучками лучей. Из
сказанного выше можно также сделать следующий вывод: реаль¬
ную систему с конечными углами а и конечными поперечными
размерами предметов в параксиальной области можно рассматри¬
вать как идеальную систему.
5.3.	ФОКУСНЫЕ РАССТОЯНИЯ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Уравнение для параксиальных лучей преломляющей
поверхности (5.2) позволяет найти ее фокусные расстояния.
Преломляющая поверхность радиуса г разделяет две среды
с показателями преломления пип' (рис. 5.1). Из точки А, рас¬
положенной на оптической оси, проведем луч АМ\ после прелом¬
ления сопряженный с ним луч МА' в пространстве изображений
пересечет оптическую ось в точке А'. Если точку А перемещать
вдоль оптической оси по направлению к вершине О преломляю¬
щей поверхности, то сопряженная точка А' будет удаляться от
поверхности. При определенном положении точки А ее изобра¬
жение А' будет находиться на бесконечно большом расстоянии от
поверхности, т. е. луч пойдет параллельно оптической оси. Оче¬
видно, что точка F на оси, изображение которой находится в бес¬
конечности, будет передним фокусом преломляющей поверхности.
Если точка А находится на бесконечно большом расстоянии
от точки О, то луч АМЪ выходящий из этой точки, пойдет па¬
раллельно оптической оси и после преломления пересечет опти-
91

п
Рис. 5.1. Фокусные расстояния преломляющей
поверхности
ческую ось в точке F\ являющейся задним фокусом преломляю¬
щей поверхности. В параксиальной области точка М находится
на бесконечно малом расстоянии от вершины поверхности О,
поэтому можно считать, что обе главные плоскости Н и Н' совпа¬
дают и лежат в плоскости, касательной к сфере в ее вершине О,
а главные точки сферической поверхности Н и Н' совпадают
с точкой О и что OF ~ —f; OF' = f'.	*
При s' — оо уравнение параксиального луча принимает вид
n/s = —(п' — л)/г.
Так как s = /, то переднее фокусное расстояние преломляю¬
щей поверхности в параксиальной области
/ = _ т/(п' — п).	'	-(5.11)
Полагая s = —оо, s' — f't из (5.2) для заднего фокусного
расстояния преломляющей поверхности получаем
f' — rn4{nl—n).	(5.12)
Из (5.11) и (5.12) видно, что фокусные расстояния преломляю¬
щей поверхности зависят от радиуса ее кривизны и показателей
преломления. Приравняв (5.11) и (5.12), найдем f/f' = —n/n'.
Отношение показателей преломления к фокусным расстояниям,
как уже указывалось, представляет собой оптическую силу
преломляющей поверхности:
ф = — njf = n'/f' — (nr — ri)/r — const.
Оптическая сила пространства предметов равна оптической
силе пространства изображения. '
5.4.	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПАРАКСИАЛЬНЫЕ ЛУЧИ
При решении ряда задач прикладной оптики воз¬
никает необходимость расчета хода лучей через оптическую си¬
стему, состоящую из преломляющих и отражающих поверхностей.,
при конечных значениях углов и размеров предметов. Формулы,
полученные для расчета хода лучей через идеальную систему,
92

в рассматриваемом случае непригодны, так как идеальная система
задается главными плоскостями, т. е. радиусы кривизны в этих
формулах отсутствуют. Непригодны для этих целей и формулы
для параксиальных лучей вследствие малости углов и высот,
образованных этими лучами. Поэтому вводят понятие о вспомо¬
гательных параксиальных лучах.
Возьмем на оптической оси преломляющей поверхности две
пары сопряженных точек Av, Ay и jPv, P'v (рис. 5.2). Точки Av
и A'v связаны уравнением параксиальных лучей (5.2):
nvlsv — nv/sv = К — nv)/v	(5 Л3)
Обозначив расстояния от преломляющей поверхности до со¬
пряженных точек Pv и Р; через sPv и s'pv, получим уравнение для
параксиальных лучей в следующем виде:
К nv)/v	(^*14)
В параксиальной области главные плоскости совпадают между
собой и с вершиной Ov преломляющей поверхности, т. е. имеют
бесконечно малые размеры. Продолжим главные плоскости по
обе стороны оптической оси, т. е. введем фиктивные «главные»
плоскости конечных размеров для преломляющей поверхности.
Эти «главные» плоскости совпадают между собой и в сечении
дают касательную к вершине преломляющей поверхности.
На «главных»	плоскостях возьмем точки М	и	Мх,	расположен¬
ные на	конечных	высотах hv и yv. Соединим	прямыми	линиями
точку М с точками Av и A'v, а точку Мх с точками Pv и P'v. Про¬
должение прямой МгР% до пересечения с перпендикуляром к опти¬
ческой оси, проведенным через точку А„, даст точку Bv. Отрезок
Av£v — у является предметом, а сопряженный с ним отрезок
А'уВч — —у" — изображением. Ломаные линии AVMAv и ВхМхРу
называются вспомогательными параксиальными лучами.
Вспомогательные параксиальные лучи — это фиктивные лучи:
они не могут существовать в реальных оптических системах,
Рис. 5.2. Ход вспомогательных параксиальных лучей через
преломляющую поверхность
93

потому что преломляются не на поверхности, а в точках М и Мь
лежащих на фиктивных главных плоскостях.
Таким образом, замена преломляющей поверхности фиктив¬
ной главной плоскостью дает возможность оптическую систему,
заданную преломляющими поверхностями, превратить как бы
в идеальную, состоящую из того же числа поверхностей.
Несмотря на фиктивность вспомогательные лучи обладают
следующими удобными для расчетов свойствами: координаты sv,
Sv и Spv, s'vp соответствуют параксиальным лучам; углы av,
ocv, Pv, Pv и высоты hy и yv обычно не намного отличаются от углов
и высот действительных лучей, проходящих через оптическую
систему; формулы для расчета хода вспомогательных паракси¬
альных лучей значительно проще формул для действительных
лучей. Указанные особенности вспомогательных лучей дают воз¬
можность просто и быстро проводить аналитическое исследова¬
ние оптических систем в первом приближении.
«Цуч AVM, проходящий через точку предмета Av, располо¬
женную на оптической оси, и образующий с оптической осью
конечный угол av, называется первым вспомогательным пара¬
ксиальным лучом или просто первым параксиальным лучом.
Луч	идущий из точки предмета, расположенной вне опти¬
ческой оси, проходящий через точку Ру и образующий с опти¬
ческой осью конечный угол j3v, называется вторым вспомогатель¬
ным параксиальным или вторым параксиальным лучом. Эти
лучи называют также нулевыми и вспомогательными лучами
Зейделя.
Уравнением первого параксиального луча в координатах
вдоль оптической оси является формула (5.13), а для второго
параксиального луча — (5.14).
Инварианты Аббе и Лагранжа—Гельмгольца будут соответ¬
ственно равны:
для первого параксиального луча
Qs~ nv (Vsv l/rv) ~ nv 0/SV 4rv),
/ = rtjya, = nkyak;
для второго параксиального луча
Qp — 0/SPv ty^v) = nv ISPv
/ =	= n'km'kP'M.
5.5.	ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ХОДА ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
Применим уравнения (5.13) и (5.14) для системы,
состоящей из k преломляющих поверхностей (рис. 5.3).
Первый параксиальный луч рассчитывают по следующим
формулам:
94

пН~пк^1
Spff т= $p>
Рис. 5.3. Ход первого и второго параксиальных лучей через систему
из k преломляющих поверхностей
для 1-й поверхности
Vs! ~n\!S] = (п2~ nl)/rl-
Отсюда для координаты s[ найдем
S! = n2rl/[(n2~nl) + Vl/Sll = П2/[(П2 - nl)/rl + nl/Sll
Переход ко 2-й поверхности, как это видно из рис. 5.3, выпол¬
няется по формуле
Для 2-й поверхности
^2 = «з/[(«8 — пг)1Г2 + njs2 J.
Для k-й преломляющей поверхности
s'k = пУ1(п'к- nk)!rk + nk/skb
где s'k — координата, определяющая положение изображения
A'kB'k относительно последней поверхности системы.
Второй параксиальный луч на основании (5.14) рассчитывается
по формулам
s'p\ = n2/[(rt2 - п\)!г\ + П\!*Р\]\
sР2.= spi
S P2 ~ П3/1(Л3 ~ П2)/Г2 + rt2/SP2l;
sPk = nklЦЧ ~ 4)!rk + nklspkl
При расчете реальных систем используются формулы, в кото¬
рые входят углы а, р и высоты h для первого и второго паракси¬
альных лучей. Для перехода к углам и "высотам умножим все
уравнения для первого параксиального луча для каждой по-
95

верхности на’ высоты hu /i2, ...» hh:
пф-ьК —	= hx (n2 —
n3h2/s2 —	— h?. (яз — n'i)/r2'
nkhklsk “ rtA/sft = («a “ nfe)/rfe.
Из рис. 5.3 следует, что fti/sj = at; h\!s\ = a2; /i2/s2 = a3; ...;
/ift/Sfe — aft; hkfs'k — a* = a*+i- Кроме того, для формул пере¬
хода от одной поверхности к другой имеем: h2 — кг — dta2, ...,
hk — hh_x — dk_xafe. В результате для первого параксиального
луча получим систему формул:
«1 = Vsi!
a2 = njaj/ла -f-	(л2	—	nx)j{rxn%)\
hi-h-t — dxa^
a3 = n2a2/n3 -f- h2 (n3 — л2)/(г2л3);	(5.15)
ft.3 = /tg 	d2a3»
Aft = Ль-i
aft = aft+I = rtA°V"fe + К - nk)/(rknk).
Расстояние от &-й поверхности до изображения — Ай/а*.
Для определения размера изображения у' необходимо знать
линейное увеличение. Обозначив линейное увеличение для па¬
раксиальной области ро и sin °т = аь sin o'k — ak, на основании
(4.13)	получим
P0 = rtiai/№*)•	<5Л6>
Если известен размер предмета, то размер изображения у' —
= М-
Напишем формулу (5.16) в виде
Ро = (nl/nk) (al/a2) (а2/аз)- • -Ыак),
тогда, принимая во внимание, что а,1/а2 — si/si; a2/a3 — S2/S2;
a*/а* = sfe/sft, найдем
k
= (n\ink) (s\lH)(silh)---(sklsk)^(n\lrl'k) П (s7s)„.
v=i
Эта формула используется в том случае, когда первый паракси¬
альный луч рассчитывается по формулам с координатами s.
Для углового и продольного увеличения в параксиальной
области в соответствии с (4.18) и (4.23) имеем
V0 = VWPo): % =
Умножая все уравнения для второго параксиального луча
на уи г/2» •••> у\ и переходя к углам рь р2, •••, Рь получаем
= У\Is р\
Рг -	+	ух	(Щ	—	nx)t{rxnj\
96

Уг *= Ух ~ ^гРа;
Ро =* n$Jna -f 9ъ (яа — ла)/(гая3); д3= У*— d$9;
(5.17)
=■ ^ft-i ““ dk-ihl
Р* = Р*+! = «ftPft/л* + 0* (»* ~ Ч)Кгклк)-
Расстояние от последней поверхности системы до точки Р'
s'pk = fa — yk/Pk- Линейное увеличение для второго паракси¬
ального луча.Pop = «iPi/(^Pik) и координата m'k = РорШ\.
Введем в формулы (5.15) и (5.17) относительные показатели
преломления и величины, обратные радиусам кривизны, т. е.
= nt/n2; fx2 = п2/п3;pk = nfe/n£;
Px = 1/Гх* P2 ~ l/r2»* • •» Pft ^
тогда для первого параксиального луча будем иметь:
«1 = fhJhl
«V+1 —	"f*	(1	J^v)	Pv>	(5*	1®)
hv+l = hv-dvav+l; s'k = hkfa'k;
P0 = nfrfajfifc y' = pQt/,
где v = 1, 2, 3, ..., k.
Аналогичные формулы получим для второго параксиального
луча:
Pi= h/sp*
Pv+l “ P>vPv ~h Ух (1 	И-v) Pv*	(**•	19)
Уч+i — У\ ^vPv+i»
s'P, = yk/$k, P0jp = niPi/(rt*P*).
Если рассчитать ход первого параксиального луча при sx —
= —00 (аг — 0), то можно определить положение заднего фокуса
относительно последней поверхности системы — задний фокаль-
Рис. 5.4. Кардинальные элементы системы из k прелом*
ляющих поверхностей
97

ный отрезок (рис. 5.4) & — Я*/с4, заднее фокальное расстояние
/' = h{/a'k,	(5.20)
расстояние от последней поверхности системы до задней главной
точки s'h г — s'Fr —
Для определения переднего фокального отрезка и переднего
фокусного расстояния рассчитывается ход первого параксиаль-
нбго луча, параллельного оптической оси, в обратном направле¬
нии (справа налево). Для этого система поворачивается на 180°.
При возвращении системы в исходное положение находим перед-
ний фокальный отрезок sF — —s^, переднее фокусное расстоя¬
ние / = —f', расстояние от пеовой поверхности системы до перед¬
ней главной точки sH — sF — /.
Если первый параксиальный луч’ рассчитывают по формулам
с координатами s и s', то заднее фокусное расстояние определяют
по формуле
k
г = s[ (S'/S2) (S3/S3)...(S'k/Sk) = s[ П (s'/s)v,
V=2
которая может быть получена из (5.16), если учесть, что hjос2 =
= si, а2/а3 = S2/S2, щ/и'к — s*/s*. (Второй параксиальный луч
для предмета в бесконечности рассчитывают сравнительно редко.)
Если система состоит из плоских поверхностей или если в си¬
стему входят плоские поверхности, то расчет хода лучей прово¬
дится по формулам
ах = hx/sx'y av+i = m>av;
К+\ =К-dv«v+i; Ч = hklai;
Pi = yJsP’ = М»;
«,+,	-"v	f 1 '	=
Пример 5.1. Определить положение и размер изображения, создаваемого
преломляющей поверхностью/если г = 50 мм, s — —300 мм, = 1,0, па =
= 1,51829, у — 50 мм. Вычислить также фокусные расстояния поверхности.
Решение. Рассчитаем ход первого параксиального луча. Примем = 30,0 мм,
тогда a* = hx!sx = —0,1;
+ hx (л2 — пх)!{гпг) =
—	Piai -f* ^1 (1 — ^1) Р*
Так как щ = njn2 — 0,658636, р = 1/г = 0,02, то а3 = 0,138955.
Расстояние от поверхности до изображения s' = hxla2 = 215,90 мм.
Линейное увеличение Р0 = пхах/(п2а,2) = —0,473992; размер изображения
у' == $ъУ ~ —23,70 мм.
Угловое увеличение v0 = пх!(п^) ==—1,38955; угловое увеличение может
быть вычислено также по формуле "у0 = ajax == —1,38955.
Продольное увеличение а0 = п$Упх— 0,341112.
Если примем hx — 60 мм, тогда ах — —0,2, а2 = 0,27791 и Р0 = —0,473992,
т. е. угловое увеличение не зависит от угла ах и является постоянной величиной..
Фокусные расстояния преломляющей поверхности определим по формулам
(5.11) и (5.12):
/ = —гпх/(пг — я*) = —96,47 мм; f* = гп%/(пъ — я,) = 146,47 мм.
98

Оптическая сила Ф = —tijf = n^ff = 0,010366. На основании формул для
первого параксиального луча заднее фокусное расстояние /' — Лх/а2 — 1/[(1 —
—	M-i) Р1 = 146,47 мм; f/f' = —njn^ = —0,658636.
5.6.	ФОРМУЛЫ для ФОКУСНЫХ РАССТОЯНИЙ
И ПОЛОЖЕНИЯ КАРДИНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИНЗЫ
КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
Для получения изображений одиночные сферические
поверхности, за исключением отражающих, практически не при¬
меняются. Самые простые системы обычно состоят из трех про¬
зрачных сред, которые разделены двумя сферическими или одной
сферической и плоской поверхностями. В большинстве случаев
первая и третья среды имеют, одинаковые показатели преломле¬
ния. Такие системы называются линзами. Линзу можно рассма¬
тривать как сложную систему, состоящую из двух простых —
двух сферических поверхностей (рис. 5.5).
Для определения фокусного расстояния и положения карди¬
нальных точек линзы применим формулы (5.18) для первого па¬
раксиального луча при ^ = —оо:
/
«1 = 0; аа — hx (л2 — пх)1{щгх);
Н2 = ht — da2 = h1~ dhx (n2 — n1)/(n2/'1) = hx [ 1 — d (na — rt1)/(n2r1)];
a3 = п2а2/я8 + h% (n3 — n2)/(n3r2).
Подставив в эту формулу значения а2 и h2, найдем
а3
— П-,
1	■	пъ	—	пг	d	(д2	—	пг)	(Дз	—	п2П
П3Гг ~f~ nzr%	J	'
Так как a3 = Jijf', то
п2 — пх
отсюда
1/Г
п9г
+
3'1
п9 — пъ d (п2 — пх) (п3 — д2)
ЛдГ 2	^2^3^ if 2
^2^3^ 1? 2
П2Г2 (Л2 — «1> + «2^1 («3 — «а) — d («2 — %) («3 —
d
п3
(5.21)
a i —0
;
П2 ,
Рис. 5.5. Ход первого параксиального луча при
аг — 0 через линзу конечной толщины
4*
99

Оптическая сила пространства изображений
ф = Л,//' = .	4- пъ — пг , _ d	.	(5.22)
31	гг	Н	пгт\т*.
Задний фокальный отрезок s'F* = hja3.
Учитывая значения h2 и а3, получаем
s^ = /'[1 — (и2 —п,)й/(л2г,)].	(5.23)
Расстояние от второй преломляющей поверхности линзы до
задней главной точки Н'
s'w, = s'p* —/' = — /'d (л2 — «!)/(/»/,).	(5.24)
Проследив ход луча в обратном направлении, будем иметь
ая = 0;
а2 = л3а3/л2 -f- Л2 (л2 — л3)/(я2г2) = ft2 (л2 — п3)/(п2г2);
fti = ft2 + ^«2 = Л2 + ЙЛ2 (л2 — п3)/(п2г2) = А2 [ 1 ~f (л2 — л3) d/(n2r2)];
«1 = «W«i + К («1 — Пъ)1(пхгх) =
—	А, Г П*~Пя I П1~”г I rf (% ~ %) ("1-_П»Л	(5.25)
L «1^2	ПХГХ	пхщгхгг	J
Для пространства предметов ах — hjft откуда, учитывая
(5.25), находим
1 // = aJk. =	+ 3+d(n*- Пз)	.
НуГ 2	\	^1^2 Т \Г 2
Напишем это уравнение в виде
Г % —«1	|	«з~ ”з ^ (”а — ”i) (”з ~ "а) 1
L «1^1	ПуП%ГхГ%	J	’
откуда определим фокусное расстояние пространства предметов —
переднее фокусное расстояние линзы
t _	•	я-хЛд/'^/'д			..g 2g\
л2г2 (л2 — пх) + п2гх (л3 — л2) — d (п2 — пх) (п3 — л2)
Оптическая сила в пространстве предметов
ф = —nxlf = fta~rtl ■ + J0*~*3L — d	.	(5.27)
ri	ra	nzrir2
Сравнивая (5.22) и (5.27), видим, что —njf = njf' = Ф,
т. е. оптическая сила пространства предметов равна оптической
силе пространства изображений.
Расстояние от вершины первой поверхности линзы до перед¬
него фокуса — передний фокальный отрезок
*г = \/ai = f I1 + (пг - пг) dK4*)\-
Расстояние	от	вершины	первой	поверхности	до	передней
главной точки Н
SB-»y~t-fd (Я, - Я8)/(П/г).
Расстояние между главными точками
АН = d - SH +	“=	d I1 - f (n2 ~ пз)/п2г2 - v (n2 - «l)/(¥l)].
100

Таким образом, для линзы конечной толщины, расположен¬
ной в разных средах, имеем:
 *  	\г2	;	.
~ n2rt (п2 — пг) 4- щгг (п3 — пъ) — d. (nz — пх) (дя — я2) '
t, _	щпъгггг	;	.
1	пггг (п2 — пг) +. ntfy («з — Л2) — d («а — Лх) (пя — %) ’
ф = -nr/f =* п9/Г =	+ -Пз т n2 _ d	;	(5.28)
rx	г2
sp = f l1 + ^ («2 — ns)/(v«)l;
<*. = /■ [i -rf(n2 -»i)/(<yi)l;
sH = f(H~nз)<*/(я/а): sh- = —/' («2-«0rf/(n/i);
4H = d [1 - ^ ("a - ".)/(■V») - f (n2 - ni)/(Vi)\•
Нели линза находится в воздухе, то пх = п% = 1, д2 = п-
На основании (5.28) получим:
(n — 1) [n (r2 — r*) + d (ti — 1)] ’
ф = -1 ff = Iff' = (я - 1) (1/r, _ l/r2) + (A - 1)2 d/(my2);	(5.29)
SF = -^[1+ <n ~ J) d/(nr2)]> SF' = /'[!—(« — l)df(nri)I;
SH = —f' (n — 1 )df(nr2yt S'H, = — /' (n — 1) d/(nr,);
AH = d [i — /' (n — 1) (1 jrx — l/r#)/n).
Произведение	дает следующую формулу:
sFs'F, = —f' [Г— dfn],	(5.30)
которая может служить для определения $Р или если одна
из них известна.
Единицей оптической силы Ф линзы является диоптрия (дптр),
которая равна оптической силе линзы в воздухе с (Ьокусным рас¬
стоянием, равным 1 м (Ф = 1000//' дптр).
Пример 5.2. Определить фокусное расстояние и координаты sp, s'F,, sH
и s'H, линзы конечной толщины, если /-j — 100 мм, г2 = —150 мм и d = 10 мм,
пг = д3 = 1, п% = п — 1,57486 (ТК2).
Решение. Линза расположена в воздухе, поэтому, применяя формулы (5.29),
найдем
—	пГ^ -	 	—-	105,92 мм;
(п — 1) [п (r2 — rt) + d(n—\)]
sF = —fi + (« — l) ^/(лг2)1 ~ "103»34 мм;
s'F, — f' [1 — (п -г- i)/(wri)] = 102,05 мм.
Проверим координату s'F, по формуле (5.30): s'F, — —/' (/' — d/n)fsp —
= 102,05 мм.
Для координат sH и s^ имеем: sH = sF — f ~ 2,58 мм; s'H, — sF, — /' =
—	— 3,87 мм.
Расстояние между главными точками Дя — d — sH -f- sh' ~ MM*
Оптическая гила линзы Ф — 1000//' — 9.44 дптр.
101

6.7.	БЕСКОНЕЧНО ТОНКИЕ ЛИНЗЫ.
СИСТЕМЫ ИЗ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ ЛИНЗ
Бесконечно тонкой называется линза, толщина ко¬
торой очень мала по сравнению с радиусами кривизны преломляю¬
щих поверхностей. Принимая для бесконечно тонких линз, кото¬
рые в дальнейшем будем называть тонкими, d — 0, по (5.29) получим
—/ =-• /' = нгЛ(п — 1) (г, — гО);
ф = _1 If = 1 //' = (п - 1) (1 /г, - 1/г2);	(5.31)
Sp — f\ s'p» = f ; Sfj — Sjj, = 0;
Дн = 0.
Тонкие линзы задаются главными плоскостями, поэтому для
двух тонких линз, расположенных на расстоянии d друг от друга,
имеем
—/ = Г = ППКП +К- d)\
Ф = Ф^ Ф$ Ф^СГ^Й*
= - (1 - йф2)/ф = -Г (1 - d/r2);	(5.32)
4,	= (1_аФ,)/Ф = Г (1-d/fQ.
Если тонкие линзы находятся в соприкосновении, то
—1 = 1' = ппкп + НУ,
Ф = Ф^ -f- Ф2» —dp — Up, = f'.
Ход лучей через систему из I тонких линз в воздухе, если
заданы фокусные расстояния и воздушные промежутки, рассчи¬
тывают по формулам, аналогичным формулам для системы из
тонких компонентов, принимая s = a, sP = аР.
Первый параксиальный луч:
<*1 = К{ах\
аШ " ai + Н1ФГ hui = ht~	1,
ai = hi!av ai/ar y' = M-
Второй параксиальный луч:
Pi« %/ap;
Pi+1e Pi + Vi% * УU1e Vi -	1;
apr = уifill Pop — Pi/P/,
где i — 1,2, ..., L
Если тонкие линзы заданы радиусами кривизны, то расчет
хода первого и второго параксиальных лучей проводится по
формулам (5.18) и (5.19). В этом случае высоты h и у на поверх¬
ностях линзы одинаковы, т. е. h2 = hly */2 — #1 и т. д.
Оптическая сила системы из тонких линз
/
Ф-O/Ai) 2^Ф
*=1
102

Формулы для оптической силы систем называют также урав¬
нениями масштаба, так как от них зависят размер изображений
и габаритные размеры систем.
Пример 5.3. По данным примера 5.2 определить фокусные расстояния тон¬
кой линзы (d = 0).
Решение. Согласно (5.31) фокусные расстояния тонкой линзы —f— f =
—	rirdl{n — 1) (rz — ri) ] = 104,37 мм; sp = f — —-104,37 мм; s'p, = f —
=== 104,37 mm; sh — s'H, = 0.
Фокусное расстояние f' тонкой линзы по сравнению с фокусным расстоянием
линзы конечной толщины уменьшилось незначительно (~на 1,5%). Фокусное
расстояние /' можно определить также расчетом первого параксиального луча
при = —оо:	= 0, примем Нг = 30,0 мм, тогда а2 =	(1 — (яг) =
= 0,1095069; h2—kl; а3 = (i2a2 -f- h2 (1 — Ц2) Рг — 0,28743; /' = s'F, = а’ —
= hi/a9 = 104,37 мм; оптическая сила Ф = 1000//' = 9,58 дптр.
5.8.	ПЕРЕХОД ОТ ТОНКИХ ЛИНЗ
К ЛИНЗАМ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
При расчете оптических систем, учитывая требова¬
ния к качеству изображения, в большинстве случаев получают
систему, состоящую из тонких линз. Для нахождения конструк¬
тивных элементов реальной оптической системы необходимо пе¬
рейти к линзам конечной толщины.
При переходе к реальной системе наиболее целесообразно
сохранить углы первого параксиального луча а и высоту А в лин¬
зах конечной толщины такими же, как и у тонких линз.
Рассмотрим переход от тонкой линзы (рис. 5.6, а) к линзе
конечной толщины (рис. 5.6, 6). Допустим, что первый паракси¬
альный луч образует с оптической осью углы ах, а2 и а3, а орди¬
наты точек пересечения этого луча с линиями, перпендикулярными
к оптической оси и проходящими через глайные точки (главные
плоскости для идеальной линзы), равны А, причем высота А со¬
ответствует высоте падения луча на тонкую линзу.
Из рис. 5.6, б находим hj(a + s^) = h/a и hj(a' + s'w) —
= A/a'. Из этих равенств получим
h^h = 1 -f* snla* tyh — 1 + sH'la'-	(5.33)
Формулы (5.15) для первого параксиального луча тонкой
линзы в воздухе имеют вид
я<х2 —	=	h	(я	—	1)/гп;
а3 — яа2 — —Л (я — 1) г02,
откуда радиусы кривизны тонкой линзы
тox — h{n — 1)/(яа2 — а*); rw = й (я — 1)/(яаа — аз)* (5.34)
Радиусы кривизны линзы конечной толщины при тех же
углах, что и. у тонкой, линзы, будут
✓
тх — hj (я — 1 )/(яа2 — аг); г% = Л2 (я — 1)/(яа3 — а3).	(5.35)
103

п2=п
Возьмем отношение радиусов кривизны гх к г01 и г2 к г02, тогда
Г% = r^hjh; r2 = r02h2/h.	(5.36)
Учитывая (5.33), для радиусов кривизны линзы конечной
толщины получим
Г1 ~ Г01 О “Ь Stf/a)» Г2 ~ Г02 (* "Ь &Н'1а')*	(5.37)
В формулы	для s# и s'h* входят радиусы кривизны	линз	конеч¬
ной толщины,	которые неизвестны, поэтому их следует	заменить
радиусами кривизны тонких линз, т. е, принять
$н ™ soh 1=3 (п 0 d/(nrQ2)\
SH* ~ SQH' ~ f* (n ^ dl(nr0i).	(5.38)
Кроме того, необходимо определить толщину линзы, для
чего нужно знать ее световой и полный диаметры. Световой диа¬
метр Dt принимается равным 2h> а полный выбирают в зависи¬
мости от способа крепления по табл. 5.1, т. е. D — Dx 4- б.
104

Т а б л и ц а 5.1
Зависимость величины 6 от светового диаметра линзы
и способа ее крепления
Световой диаметр
линзы, им
♦
0, мы, ври
креплеввв -
вакаткой
кольцом
До 6
*
0,6
Св. 6 до 10
0,8
1,0
10 ... 18
1,0
1,5
18 ... 30
1,2
1,8
30 ... 50
1,5
2,0
50 ... 80
2,0
2,5
80 ... 120
3,0
120 ... 180
4,0
180 ... 260
5,0
260 ... 360
6,0
360 ... 500
8,0
Толщина положительной линзы (см. рис. 5.6) d — kx + t — k2t
где kx и &2 — стрелки прогиба на первой и второй поверхностях
линзы, определяемые по формуле
К = r0v - (W| r0v\)V r0v~ D2/4 -	(5.39)
Если г01 > 0, гоа < 0, то
= ^oi - У>8, - £>2/4 ;	=	ги	+	У^ - №/4 .
Толщину линзы по краю Гвыбирают в зависимости от значе¬
ния полного диаметра D из табл. 5.2. Толщина отрицательной
линзы принимается равной d = (0,06 ... 0,12) D.
При переходе от тонких линз к линзам конечной толщины
возникает погрешность, обусловленная тем, что координаты
и sH' и стрелки прогиба и вычисляют по радиусам кривизны
тонкой линзы. Но эта погрешность обычно невелика, и ею можно
пренебречь.
Таблица 5.2
Наименьшая толщина t линзы по ее краю
Диаметр линза, мм
i, мм
Диаметр линзы, мм
i, мм
До 6
1,0
Св. 80 до 120
3,0
Св. 6 до 10
1,2
120 ... 180
4,0
10 ... 18
1,5
180 ... 260
5,0
18 ... 30
1,8
260 ... 360
6,0
30 ... 50
2,0
360 ... 500
7,0
50 ... 80
2,5
105

Зная координаты s0h и sqh' и толщину линзы, по формулам
(5.37) вычисляют радиусы кривизны линзы конечной толщины.
Радиусы кривизны гх и г2 линзы конечной толщины можно вы¬
числить также по формулам (5.35), предварительно определив
высоты h± и hz (см. рис. 5.6, б). Высота Ь,г принимается равной
DJ2, a h2 = hx — da2. Как следует из рис. 5.6, 5, s* = a — s#,
$2 — a' -}- s'h'• Координаты a я a' находят как результат расчета
системы, состоящей из тонких линз.
Иногда приходится решать обратную задачу — отдельную
линзу или систему из линз конечной толщины преобразовать
в систему из тонких линз. Для этого сначала рассчитывают ход
первого параксиального луча и определяют углы а, затем, при¬
нимая = h2 — DJ2, по формулам (5.35) вычисляют радиусы
кривизны тонких линз. Радиусы кривизны тонких линз можно
определить также по формулам (5.37), предварительно вычислив
Sh, s'h*, a и ci'.
При изменении входного отверстия системы встает задача
преобразования данной системы с линзами конечной толщины
в другую действующую аналогично исходной систему, также
с линзами конечной толщины. Такую задачу решают следующим
образом: преобразуют исходную систему сначала в эквивалент¬
ную ей систему с тонкими линзами, а затем полученную систему
преобразуют в систему с линзами конечной толщины.
Пример 5.4. Определить радиусы кривизны линз конечной толщины, если
конструктивные элементы компонента из двух тонких линз соответственно равны:
г01 = 114,412 мм; г02 = —81,0677 мм; г03 = '—66,2285 мм; г04 = —111,560 мм;
di — d2 = ds = 0; пх = ns = пь == 1; п2 = 1,518296; л4 = 1,761714;	— —оо,
fix — hz — И# = hi = 16 мм;( /' = 160,00 мм.
Решение. Для определения толщин линз найдем сначала углы а первого
параксиального луча с оптической осью. Расчет этого луча при = —оо по фор¬
мулам (5.18) дал следующие результаты: аг = 0; а2 = 0,047739; а8 — 0,174775;
а4 =—0,005248; аб = 0,1.
Полный диаметр линз D=2/i-)-6=D1-j-S = 34,0 мм.
В соответствии с (5.39) стрелки прогиба: kt— 1,38 мм; &а = —1,51 мм; ka =
= 1,62 мм.
Толщина положительной линзы ах — кг-\- t ~ kz — 6,47 ж 7,0 мм, где t —
= 3,0 мм. Расстояние между линзами — воздушный промежуток d2 — k2 — k3 =
= 0,11 мм, но, учитывая прокладки по краю линз, примем d2 = 0,3 мм. Толщина
отрицательной линзы d3 = 0,1 D — 3,4 мм.
Радиусы кривизны линз конечной толщины определяют по формулам вида
(5.35), т е.
\ = К К+1 - лу)/К+1%+1 - nv“,); К* = К~ dvav+i-
В эти формулы подставляют углы а для тонких линз. В результате вычислений
получено:	114,412	мм; га =—79,375 Мм; г8 = —64,411 мм; /4 =
= —108,623 мм.
Радиусы кривизны линз конечной толщины могут быть вычислены также
по формулам rv = /v0v.
Фокусное расстояние компонента с этими радиусами кривизны равно
159,86 мм. Фокусное расстояние уменьшилось незначительно (на 0,09%) вслед¬
ствие того, что стрелки прогиба определялись по радиусам для тонких линз.
106

При изготовлении линз в соответствии с ГОСТ 1807—75 принимают гг —
= 114,29 мм; г2 = —79,43 мм; гя — —64,43 мм; г4 = —108,64 мм.
Фокусное расстояние с этими радиусами кривизны равно 159,98 мм, т. е.
соответствует заданному.
5.9.	СФЕРИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО
*
Уравнение первого параксиального луча для сфе¬
рической отражающей поверхности, т. е. сферического зеркала*
имеет вид 1/s' + 1/s = 2г.
Для определения фокусных расстояний сферического зеркала
воспользуемся уравнениями (5.11) и (5.12) для сферической пре¬
ломляющей поверхности, т. е.
/ = —пг/(п' — п); /' = п'гЦп’ — л).
Так как для отражающей поверхности п' = —д, то
/ = /' = г/2.	(5.40)
В сферическом зеркале фокусное расстояние пространства
предметов равно фокусному расстоянию пространства изображе¬
ний как по абсолютной величине, так и по знаку. Это значит,
что фокусы F и F' совпадают и располагаются на середине между
центром С сферы и ее вершиной О (рис. 5.7). Обе фиктивные
главные плоскости также совпадают между собой и проходят
через вершину отражающей поверхности. При соблюдении из¬
вестного правила знаков фокусное расстояние вогнутого зеркала
будет отрицательным, а
выпуклого — положитель¬
ным.
Учитывая, что г = 2/',
запишем уравнение пер¬
вого параксиального луча:
l/s' +l/s= 1//'.	(5.41)
Аналогичное уравне¬
ние можно написать и для
второго параксиального
луча
lfs'p. + llsp = llf'. (5.42)
Умножив (5.41) на h,
а (5.42) на у, найдем урав¬
нения для первого и вто¬
рого параксиальных лу¬
чей, выраженные через
углы аир:
а2 ai = Л//'; Pa + Pi ~ у!Г.	Рис. 5.7. Ход первого и второго параксиаль
(5.43)	ных лучей в сферическом зеркале
107

Формула Гаусса для сферического зеркала 1/а' + 1/а — 1//'.
Для сферической отражающей поверхности а = s и а' = s',
поэтому формула Гаусса и уравнение для первого параксиаль¬
ного луча имеют одинаковый вид.
Инварианты Лагранжа;—Гельмгольца для первого и второго
параксиальных лучей: уаг — —у'&%\ т$г = —т'р2-
Линейные увеличения: ро — —аг/а2; jJ01> — —Рх/Ра-
ГЛАВА 6. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
6.1. ДИАФРАГМЫ
При рассмотрении теории идеальной системы ее
поперечные размеры не принимались во внимание. Отдельные
части реальной оптической системы, к которым относятся линзы
и их совокупность, зеркала, призмы, плоскопараллельные пла¬
стины, сетки и другие компоненты, имеют определенные попереч¬
ные размеры, которые ограничивают ширину пучков лучей, про¬
ходящих через оптическую систему. Кроме того, в оптических
системах приходится ставить специальные преграды в виде свето¬
непроницаемых деталей с отверстиями, центрированными отно¬
сительно оптической оси. Все части оптической системы (спе¬
циальные преграды, оправы линз и других деталей),'ограничи¬
вающие размеры пучков лучей, проходящих через оптическую
систему, называются диафрагмами. Диафрагмы могут быть круг¬
лыми, квадратными, прямоугольными и т. п. Форма диафрагмы
зависит от назначения системы. В большинстве случаев они имеют
круглую форму. Диафрагмы круглой формы в некоторых системах
имеют переменный диаметр (в фотообъективах).
Диафрагмы, устанавливаемые в оптических системах, или
оправы оптических деталей предназначены: для ограничения
пучков лучей, выходящих из осевых точек предмета, а также
из точек предмета, расположенных вне оптической оси; ограни¬
чения изображаемого оптической системой пространства; умень¬
шения количества рассеянного света; для специальных целей.
В качестве специальных служат диафрагмы, срезающие часть
пучков лучей, имеющих большие аберрации, т. е. диафрагмы,
улучшающие качество изображения, вращающиеся диафрагмы,
прерывисто пропускающие свет на приемник энергии, и т. п.
Ограничение пучков лучей, проходящих через оптическую
систему, имеет важные последствия не только геометрического,
но и физического характера: диафрагмы определяют количество
световой энергии, проходящей через оптическую систему; на¬
личие диафрагм вызывает дифракцию, которая определяет предел
108

разрешения оптической системы, т. е. тот предел, когда близко
расположенные точки предметной плоскости изображаются раз¬
дельно.	ч
Таким образом, ясное понимание процесса ограничения све¬
товых пучков лучей совершенно необходимо при создании и для
использования оптических систем и приборов.
Если оптическая система работает совместно с глазом, то его
зрачок играет роль одной из диафрагм, положение и размер кото¬
рой следует принимать во внимание. При рассмотрении ограни¬
чения пучков лучей в оптических системах считают, что эти си¬
стемы являются идеальными.
в.2. АПЕРТУРНАЯ ДИАФРАГМА.
ВХОДНОЙ И ВЫХОДНОЙ ЗРАЧКИ
Рассмотрим ограничение пучков лучей, выходящих
из осевой точки предмета, — осевых пучков. На рис. 6.1 показана
оптическая система, представляющая собой тонкий компонент или
одиночную линзу в круглой оправе. Из осевой точки А пред¬
мета через компонент пройдет пучок лучей,- заключенных в ко¬
нусе, основанием которого является диаметр оправы компонента,
а вершиной — точка А. Оправа компонента, являющаяся диафраг¬
мой, ограничивает как падающий на компонент, так и выходящий
из него пучок лучей. Плоский угол раскрытия пучка в простран¬
стве предметов 2 tg ал — £>ад/я, а в пространстве изображений
2 tg су А' = DbpJa'j где £>ад — диаметр диафрагмы — световой
диаметр D оправы компонента.
Материальная диафрагма, ограничивающая пучки лучей, вы¬
ходящих из осевой точки предмета, называется апертурной диа¬
фрагмой (на рис. 6.1 апертурной диафрагмой является оправа
компонента).
Допустим, впереди компонента L на расстоянии аР = аАД
помещена диафрагма РгРа, центр которой расположен на оптиче¬
ской оси (рис. 6.2, а). Из точки А через диафрагму РгР% пройдет
пучок лучей с угловым отверстием 2 tg аА — £>ад/(Др — а)>
Рис. 6.1. Ограничение пучков лучей в компоненте
109

Рис. 6.2. Ограничение пучков лучей:
а — диафрагма Р,РЯ расположена впередн компонента; б —•
диафрагма Р^Р^ расположена позади компонента
где £)ад — диаметр диафрагмы РгР2• Этот пучок лучей, пройдя
диафрагму РгР2, попадает затем на компонент L. Чтобы пучок
лучей прошел через компонент без ограничений, необходимо вы¬
полнить условие Dl >> 2a tg вА, где DL — световой диаметр
компонента. Если это условие выполняется, то диафрагмой,
ограничивающей пучок лучей как в пространстве предметов,
так и в пространстве изображений, т. е. апертурной диафрагмой,
является диафрагма Pj.P2> Однако, если в пространстве предметов
осевой пучок лучей ограничивает непосредственно диафрагма
jPjP2, то в пространстве изображений его ограничивает мнимое
изображение Р{Р% диафрагмы Р1Р2, построенное компонентом L.
(Сказанное справедливо для случая, когда осевая точка А на¬
ходится сравнительно далеко от компонента, т. е. когда 2огА < 2о.
ПО

Если точку А приближать к компоненту, то наступит такой мо¬
мент, когда 2ал > 2а и ограничивать пучок лучей будет свето¬
вой диаметр компонента. В этом случае отпадает необходимость
в диафрагме РХРЪ.)
Если материальная диафрагма Р{Р'2 установлена между ком¬
понентом и точкой А' (рис. 6.2, б) и ее диаметр £>АД ■С Dl, то
она будет ограничивать осевой пучок лучей, проходящий через
компонент L (рис. 6.2, б), как в пространстве предметов, так и
в пространстве изображений. Следовательно, диафрагма Р[Р'2
будет апертурной. При таком расположении апертурной диа¬
фрагмы необходимо обратить внимание на следующую особен¬
ность. Диафрагма Р{Р2 расположена в пространстве изображений
компонента L, поэтому ее можно считать действительным изобра¬
жением, расположенным на расстоянии аР' от компонента L.
Если в пространстве изображений осевой пучок лучей ограничи¬
вает диафрагма Р\РГ2, то в пространстве предметов его ограничи¬
вает изображение РгР3, построенное компонентом L. Это изобра¬
жение относится к пространству предметов и представляет собой
мнимый предмет. (В этом случае диафрагма Р1Р2 остается апер¬
турной независимо от положения точки А на оптической оси.)
Если сначала в точках А (см. рис. 6.2) установить точечные источ¬
ники света, а наблюдения вести из точек А', а затем источники
света перенести в точки А' и наблюдать их из точки Л, то будут
видны светлые кружки, называемые зрачками.
Рассмотренные выше случаи расположения апертурной диа¬
фрагмы, наиболее часто встречающиеся в практике оптического
приборостроения, дают основания сформулировать следующие
определения для зрачков.
Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в про¬
странстве предметов, образованное частью оптической системы,
находящейся перед апертурной диафрагмой, или апертурная
диафрагма, расположенная в пространстве предметов, называется
входным зрачком системы.
Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в про¬
странстве изображений, образованное частью оптической системы,
находящейся после апертурной диафрагмы, или апертурная диа¬
фрагма, расположенная в пространстве изображений, называется
выходным зрачком системы.
В соответствии с этими определениями на рис. 6.1 апертурной
диафрагмой, входным и выходным зрачками являются световые
диаметры оправ компонентов. На рис. 6.2, а входным зрачком
служит апертурная диафрагма ЯгР2, так как в пространстве пред¬
метов она непосредственно ограничивает осевой пучок лучей,
а выходным зрачком — ее мнимое изображение Р[Р'2.
Положение выходного зрачка может быть определено по фор¬
муле Гаусса, так как предметом в данном случае является апер¬
турная диафрагма. Для системы в однородной среде а'р- =
= aPf /(/ -J- ар).
Ш

ч
Рис. 6.3. Ограничение пучков лучей в системе из двух компонентов
Линейное увеличение, отнесенное к зрачкам, будем называть
линейным увеличением в зрачках и в дальнейшем обозначать
Pop*
Ро/> ~ ap'iap 1=3 ^/^дд ~ D'/D>
где D' — размер изображения — диаметр выходного зрачка;
D = £*ад ~ размер предмета, равный диаметру апертурной диа¬
фрагмы, т. е. диаметру входного зрачка.
Диаметр выходного зрачка £)
Входным зрачком в схеме на рис. 6.2, б служит мнимое изобра¬
жение Р1Р2 апертурной диафрагмы Р\Р'2> т. е. мнимый предмет,
а выходным зрачком — сама апертурная диафрагма. Коорди¬
ната аР, определяющая положение входного зрачка,
Qp ~cip,f j(J Яр*);
линейное увеличение в зрачках р0р в Яр'/яр ^ DarID =*
диаметр входного зрачка D — D 7Рор-
Рассмотрим систему, состоящую из двух тонких компонен¬
тов L± и расположенных на расстоянии d друг от друга
(рис. 6.3). В этой системе обобщены рассмотренные выше случаи.
Допустим, между компонентами установлена диафрагма Р1Р2,
диаметр которой ВАД значительно меньше диаметров компонен¬
тов Lt и L2, т. е. она является апертурной диафрагмой. Пучок
лучей, вышедших из осевой точки Аг предмета, ограничивается
диаметром оправы первого компонента Lt. Однако после прохо¬
ждения первого компонента часть пучка будет срезана диафраг¬
мой Р\Р2, и через второй компонент он пройдет без ограничений,
112

так как Оад Dl9- Со стороны пространства предметов, т. е.
точки Alt представляется, что пучок лучей, проходящих через
систему, ограничивается не самой диафрагмой Р'хР^ а ее изобра¬
жением, построенным первым компонентом в обратном ходе лучей.
Это изображение располагается на расстоянии аР от первого
компонента и является мнимым предметом. Со стороны простран¬
ства изображений, т. е. точки А2, осевой пучок лучей ограни¬
чивается также не самой диафрагмой Р[Р2, а ее изображением
P'iPl, построенным вторым компонентом. Таким обратим, изобра¬
жение Р\Р% апертурной диафрагмы Р\Р2У построенное первым
компонентом, относится к пространству предметов системы и яв¬
ляется входным зрачком системы; изображение Р"\Р1 апертурной
диафрагмы Р1Р2, построенное вторым компонентом, относится
к пространству изображений и является выходным зрачком
системы.
Обычно положение апертурной диафрагмы относительно пер¬
вого компонента или передней части системы задается коорди¬
натой аАд или расстоянием sAд от последней поверхности части
системы, расположенной перед апертурной диафрагмой, до апер¬
турной диафрагмы. Для определения положения входного зрачка
нужно найти изображение апертурной диафрагмы через часть
оптической системы, расположенной перед этой диафрагмой (ем.
рис. 6.3). В данном случае адд — аР, поэтому на основании фор¬
мулы Гаусса расстояние от первого компонента до плоскости
входного зрачка будет аР — a'Pf[/(f{ — аР). Расстояние от апер¬
турной диафрагмы до второго компонента аР' = аР — d.
Для определения положения выходного зрачка необходимо
найти изображение апертурной диафрагмы через часть системы,
расположенной позади нее. Из формулы Гаусса для второго ком¬
понента имеем аР' = a'p'felifz -j- tfp').
Апертурная диафрагма, входной и выходной зрачки взаимно
сопряжены: входной зрачок и апертурная диафрагма — черев
первый компонент (переднюю часть системы); выходной зрачок и
апертурная диафрагма — через второй компонент; входной и
выходной зрачки сопряжены друг с другом относительно всей
системы. Следовательно, выходной зрачок Р\РЪ является изобра¬
жением входного зрачка РХР% и наоборот.
Линейное увеличение во входном зрачке
Pop 1 == ар/ар — ^ад/^*
линейное увеличение в выходном зрачке
Pop2 — ар'1ар' ~ ^7-^дд-
Для первого компонента диаметр, апертурной диафрагмы од¬
новременно является и диаметром действительного изображения,
а для второго компонента — диаметром действительного пред¬
мета. Линейное увеличение в зрачках
Pop = P»piPepa = 070.	(6-1)
ИЗ

Если луч, выходящий из осевой точки предмета, проходит
через край входного зрачка, или если его продолжение про¬
ходит через край входного зрачка то такой луч называется апер¬
турным лучом пространства предметов.
Луч, проходящий через край выходного зрачка, или луч,
продолжение которого проходит через край выходного зрачка и
осевую точку изображения, называется апертурным лучом про¬
странства изображений (на рис. 6.3 АгРг — апертурный луч
пространства предметов, а Р\А'2 — апертурный луч Урространства
изображений).
Апертурные лучи являются сопряженными лучами и в слож¬
ной системе в пространстве, где расположена апертурная диа¬
фрагма, проходят через ее края.
Угол Од между оптической осью и апертурным лучом назы¬
вается апертурным углом пространства предметов. -Угол о'д'
между оптической осью и апертурным лучом называется апер¬
турным углом в пространстве изображений.
Для апертурных углов из рис. 6.3 имеем
tgoA=D/(2p) = Я/РК-вр)];
tg 0'А, = D'/(2p') = D'f[2 (a'2-a'p,)l
где р — расстояние от центра входного зрачка до осевой точки
предмета; р' — расстояние от центра выходного зрачка до осевой
точки изображения.
Апертурные углы связаны зависимостью
tg «А' * Уо °а = ni tg 0а/("зРо),
и при пг — п9 получим
tg о'А, = tg СГд/Ро.
Абсолютное значение отношения диаметра входного зрачка
к заднему фокусному расстоянию называется относительным
отверстием, т. е*. £)//' = 1//С-
Величина, обратная относительному отверстию, называется
диафрагменным числом К ~ f'/D.
Произведение показателя преломления на абсолютное значе¬
ние синуса апертурного угла А = пх | sin <тА | называется число¬
вой апертурой пространства предметов. Соответственно А' —
= л* | sin ад'| является числовой апертурой в пространстве
изображений.
Обычно положение и диаметр апертурной диафрагмы уста¬
навливаются оптиком-конструктором при разработке системы
в зависимости от ее назначения. В этом случае определение поло¬
жения и диаметров зрачков не представляет трудностей. Однако
в практике возможны случаи, когда система имеет несколько
диафрагм, а какая из них является апертурной, неизвестно.
Из рассмотренных выше схем расположения апертурной диа¬
фрагмы видно, что из всех диафрагм или их изображений диа-
114

-р
Pf
Рис. 6.4. Ход наклонного пучка лучей
фрагма (или изображение какой-либо диафрагмы), являющаяся
входным зрачком, видна из осевой точки предмета под наимень¬
шим углом. Соответственно диафрагма (или изображение диа¬
фрагмы), являющаяся выходным зрачком, будет видна из осевой
точки изображения также под наименьшим углом. Поэтому для
определения входного зрачка необходимо построить изображения
всех оправ линз и диафрагм через ту часть системы, которая рас¬
положена перед этими диафрагмами. Все полученные изображе¬
ния относятся к пространству предметов. Для нахождения вы¬
ходного зрачка необходимо найти положение и размеры изобра¬
жений всех диафрагм через часть оптической системы, располо¬
женную позади диафрагмы; эти изображения относятся к про¬
странству изображений.
Та из диафрагм (или изображение диафрагмы), которая видна
из осевой точки предмета под наименьшим углом, будет входным
зрачком, а диафрагма (или изображение диафрагмы), видимая
из осевой точки изображения под наименьшим углом, будет
выходным зрачком системы. Материальная диафрагма, изобра¬
жение которой в пространстве предметов является . входным
зрачком, а в пространстве изображений — выходным зрачком,
будет апертурной диафрагмой.
Апертурная диафрагма, а следовательно, входной и выходной
зрачки ограничивают не только осевые пучки лучей, но и пучки
лучей, выходящие из внеосевых точек предмета, т. е. наклонные
пучки лучей (рис. 6.4).
Лучи, выходящие из внеосевой точки дредмета Въ, сначала
идут по направлению к входному зрачку PiP2f затем, проходя
первый компонент Li, апертурную диафрагму Р\Р2 и второй ком¬
понент L2, собираются в точке В%, как бы рыходя из выходного
зрачка Р1Р2. Такой ход лучей обусловлен тем, что точки Pi
и Р[ и соответственно точки Рч и Р'2 являются сопряженными точ¬
ками относительно первого компонента, аналогично точки Р{
115

а)
Рис. 6.5. Телецентрический ход лучей
и Р2 и соответственно точки Р'ч и Р\ — относительно второго ком¬
понента. Поэтому луч ВХР, проходящий в пространстве пред¬
метов через точку Р, — центр входного зрачка, после преломле¬
ния первым компонентом должен пройти через точку Ра — центр
апертурной диафрагмы и после преломления в компоненте L2
идти таким образом, как если бы он выходил из точки P' — центра
выходного зрачка.
Пучок лучей, выходящих из внеосевой точки М предметной
плоскости и опирающихся на входной зрачок, не весь пройдет
через систему: часть пучка будет ограничиваться оправой пер¬
вого компонента.
Лучи, выходящие из крайних внеосевых точек предмета и
проходящие через центр апертурной диафрагмы, а следовательно,
и через центры входного и выходного зрачков, называются глав¬
ными лучами. На рис. 6.4 луч ВгР является главным лучом про¬
странства предметов, а луч Р'В'2 — главным лучом пространства
изображений. Лучи ВХРХ и ВХР2 являются соответственно верх¬
ним и нижним лучами.
Если система задана главными плоскостями или преломляю¬
щими поверхностями, то при определении положения и диа¬
метров зрачков используются формулы для первого и второго
параксиальных лучей. В этом случае второй параксиальный луч —
это луч, проходящий через центр входного зрачка. Первому
параксиальному лучу в реальных системах, если он проходит
через край входного зрачка, будет соответствовать апертурный
луч, а второму параксиальному лучу, если он выходит из крайней
точки предмета, — главный луч.
Представляет интерес случай, когда апертурная диафрагма
располагается в фокальных плоскостях системы. Если апертур¬
ная диафрагма АД помещена в задней фокальной плоскости опти¬
ческой системы, то она одновременно будет и выходным зрачком
(рис. 6.5, а). Входной зрачок в пространстве предметов будет
находиться в бесконечности. Главные лучи в пространстве изо¬
бражений проходят через центр Р' апертурной диафрагмы, т. е.
через задний фокус F' системы, а главные лучи в пространстве
предметов идут параллельно оптической оси. Такой ход главных
116

лучей называется телецентрическим со стороны предмета. Если
в плоскости изображения поместить измерительную шкалу, то
независимо от смещения предмета вдоль оптической оси измерен¬
ный размер изображения будет одинаковым. Поэтому телецен-
трический ход лучей со стороны предмета находит широкое при¬
менение в отсчетных микроскопах, шкаловых микроскопах и
микроскопах-микрометрах, которыми снабжены измерительные
приборы различного рода.
Если апертурную диафрагму АД, следовательно, и входной
зрачок Р поместить в передней фокальной плоскости, то выходной
зрачок будет находиться в бесконечности пространства изображе¬
ний (рис. 6.5, б).
Ход главных лучей в этом случае называется телецентриче¬
ским со стороны пространства изображений, который исполь¬
зуется в оптических системах с дальномерными устройст¬
вами.
Пример 6.1. Определить положение и диаметры зрачков в системе из двух
компонентов, если —fx — f[ = 120 мм, —/2 = /2 = 150 мм, адд = 25 мм,1>ад =
= 20 мм, d = 50 мм.
Решение. Положение входного и выходного зрачков определим по формулам
Г аусса.
Расстояние от первого компонента до входного зрачка ар = ар± =
= avih!{f\ а'р\) — aApfil(f'l аАд) — 31,58 мм.
Расстояние от второго компонента до выходного зрачка с учетом того, что
Яр2 =~ аАД — ^	—25,0 мм, ар, = аР2~ ^Р2^2/(^2 ~^Р2) ==	30,00	мм.
Линейное увеличение во входном зрачке Popi = aPi/aPl = аАД,/аР =
= D^n/D =0,7916 и диаметр входного зрачка D — 1>аД'РоР1 =25,26 мм.
Линейное увеличение в выходном зрачке Рор2= а'р2!аР2 ~ а'р'/аР2=
—	£>'/£) дц = 1,2 и диаметр выходного зрачка D' — РоРг^АД = 24,0 мм.
Линейное увеличение в зрачках Р0р = Р0Р1Р0Р2 — D4D = 0,95.
Фокусное расстояние системы f'=	+	/2	—d) = 81,82 мм.
Если, допустим, система является симметричной, т. е.	f{ =	/2	— 120,0	мм,
то в этом случае по формулам Гаусса имеем: ар	= 31,58 мм; а'р,	= —31,58	мм;
D — D' = 25,26 мм; Р0р =1 и f — 75,79 мм.
Координаты ар = / (1 — dlf^j = —44,21 мм;	a'F, = f (1	—	= 44,21	мм;
ан = aF — / = 31,58 мм; а'И, = а'р, —f' — —31,58 мм.
Из приведенных данных видно, что аИ — ар, а'^, = ар,. Это говорит о
том, что в симметричной системе главные точки совпадают с осевыми точками
зрачков и зрачки имеют одинаковые диаметры.
6.3.	ФОРМУЛА ГАУССА ДЛЯ ЗРАЧКОВ
Для многих систем существенную^роль играет поло¬
жение зрачков и увеличение в зрачках, поэтому найдем формулу
Гаусса для зрачков. Линейное увеличение в сопряженных точ¬
ках Ах и A'k (рис. 6.6) ро = у'/у на основании (3.8) будет
Ро =	= -**//'•
Заменяя f — —nif'fn'k, получаем Ро — nif'jn'kZi — —z'klf -
117

Рис. 6.6. Ход первого и второго параксиальных лучей через
систему
Положение сопряженных точек Р и Р' относительно фокусов
F и F' системы 0х0й определяется координатами Zp и г'р>, поэтому
для линейного увеличения в зрачках можно написать
Р0р = j(nkzp) — zP'!f' •	(6.2)
Формула Ньютона может быть представлена в виде
zizk = ff' = -п\Г*К>	(6-3)
где гг = р -f гР и г'к = р'.+ z'P'.
Из (6.2) для zP и zp' имеем zP = nj'/(п$ор)\ Zp' — —/'Pop,
тогда zi = p 4. fti/7WPop); z — p — /'Pop и для (6.3) после
преобразования получим
Pop/?' —	=	W'-	^6-4)
Выражение (6.4) является формулой Гаусса для зрачков.
Если п\ — n'k и одновременно Pop — 1, то zP — —zP‘ = / = —/'■
Это значит, что центры зрачков Р и Р' совпадают с главными
точками Н и Н' (р — а, р‘ — а') и формула (6.4) переходит в фор¬
мулу Гаусса для главных точек.
Координаты
Р — Zi	Zp~ ^/Ро “1“ fyPoP =	^ (РоР Po)/(PoPop)i
Р ~	zk гр‘ ~ f Ро "Ь F Pop ~ f' (Pop Ро)*
Эти формулы	удобны для практических расчетов,	если	из¬
вестны Ро и Pop.	При Pop — 1 и ri\ — n'k расстояния	р	= а	=
-Г (1 - Ро)/Ро, р' == а' = Г (1 - Ро).
Инвариант Лагранжа—Гельмгольца для зрачков имеет вид
п = n'km$'ky
где mi и т'к — высоты пересечения первого параксиального
луча с плоскостями входного и выходного зрачков.
118

6.4.	ПОЛЕВАЯ ДИАФРАГМА.
ЛИНЕЙНОЕ И УГЛОВОЕ ПОЛЯ СИСТЕМЫ
Оптическая система может изображать только опре¬
деленную часть пространства предметов, расположенного вокруг
оптической оси. Эта часть пространства называется полем си¬
стемы. Ограничение поля реализуется с помощью специальных
диафрагм. Диафрагма, расположенная в плоскости предмета или
в одной из плоскостей, с ней сопряженных, и ограничивающая
размер линейного поля оптической системы в пространстве изо¬
бражений, называется полевой диафрагмой.
Поле оптической системы для предмета, расположенного на
конечном расстоянии, характеризуется линейной величиной, а для
предмета в бесконечности — угловой величиной.
Наибольший размер изображаемой части плоскости предмета,
расположенной на конечном расстоянии, называется линейным
полем 2 у оптической системы в пространстве предметов
(рис. 6.7, а). Наибольший размер изображения, лежащего на
конечном расстоянии, называется линейным полем 2у' оптичес¬
кой системы в пространстве изображений.
Если полевая диафрагма расположена в плоскости предмета,
то ее размеры определяют линейное поле в пространстве предме¬
тов, а если она расположена в плоскости изображения; то линей¬
ное поле в пространстве изображений.
Связь между линейными полями системы осуществляется
через линейное увеличение 2у' = р02у.
Диаметр полевой диафрагмы в пространстве изображений
^пд = 2#\
Угловым полем оптической системы в пространстве предме¬
тов называется абсолютное значение удвоенного угла между
оптической осью и лучом* в пространстве предметов, проходя¬
щим через центр входного зрачка (центр апертурной диафрагмы)
и край полевой диафрагмы (рис. 6.7, б).
Угловым полем оптической системы в пространстве изобра¬
жений называется абсолютное значение удвоенного угла между
оптической осью и лучом в пространстве изображений, прохо¬
дящим через центр выходного зрачка (центр апертурной диа¬
фрагмы), и край полевой диафрагмы. Угловое поле обозначается
в пространстве предметов 2со, в пространстве изображений 2со'.
Так как лучи, проходящие через края предмета изображения и
центры зрачков, являются главными лучами, то угловое поле 2<о
представляет собой угол между главными лучами в пространстве
предметов, а угловое поле 2(о' — угол между главными лучами
в пространстве изображений. Связь между углами 2о> и 2d/
характеризуется угловым увеличением в зрачках
Тор = tg ®'/tg оз.	(6.5)
Угловое увеличение в зрачках связано с линейным увеличе¬
нием выражением Тор —flf'fiop = ni/(n'k$oр) ■
119

г U--p*
f
Вых. эр
-apt

р'
	^
S)
Рис. 6.7. Линейное и угловое поля системы
Так как ро/> = n\f'f(n'kZp) — D'/D, то
VoР — zp/f,; tg ю# — гр tg to//'.	(6.6)
При ri\ — n'k увеличение Yoр = 1/Рор-
Угловому полю в пространстве изображений 2<о' соответ¬
ствует линейное поле 2у' ‘ Размер изображения
у’ = — р' tg©'.	(6.7)
Если рассчитать ход главного луча при sx = —оо, то
£' = —/' tgo).	(6.8)
Диаметр полевой диафрагмы £>ггд = 2|#'|. Формула (6.8)
справедлива для любой системы независимо от положения вход¬
ного' зрачка.
Положение и диаметр полевой диафрагмы определяют одно¬
временно с нахождением положения и диаметров входного и
выходного зрачков системы. Для этого рассчитывают ход апер-
120

Рис. 6.8. Расположение зрачков и полевой диафрагмы
в системе из трех тонких линз
турного и главного лучей. Ход апертурного луча определяет
диаметры зрачков и положение апертурной диафрагмы, а ход
главного луча — положение зрачков и диаметр полевой диафрагмы.
Расчет этих лучей, как уже указывалось, проводится по форму¬
лам для первого и второго параксиальных лучей, при этом при¬
нимается аъ — tg Од» Pi = tg со.
Пример 6.2. Определить положения зрачков и диаметры апертурной диа¬
фрагмы, выходного зрачка, полевой диафрагмы в оптической системе из трех тон¬
ких линз (рис. 6.8). Дано: f\ = 50,31	мм;	f:> — —29,66 мм; /д	= 45,99 мм; dt	—
= 8,8 мм; d2 = мм» аАД = 7,4	мм;	D — 23,6 мм; sT = —оо; 2<д>	= 53°.
Решение. Определим фокусное расстояние системы, положение изображения
и диаметр апертурной диафрагмы. Для этого рассчитаем ход апертурного луча.
При этом для идеальной системы пользуются формулами для первого параксиаль¬
ного луча:
а v+i e суН"	^v+i с— Лу “ rfv«v+1 *
При <Х| = tgOA — 0 и Aj = D/2 = 11,8	мм имеем а =	0,234546;	Л8	=
=9,74 мм; сбд ~ —0,093707; Ад = 10,72 мм; = 0,139385.
Задний фокальный отрезок —
расстояние от третьей линзы до
изображения arF' = Л3/ а4 = 76,91мм;
I' = hl/a4 — 84,66.
Апертурный луч после второй
линзы должен пройти через край апер¬
турной диафрагмы, поэтому /*Ад -=
= Л2 — яддаз = 10»43 мм и диаметр
апертурной диафрагмы Одд — 2Адд =
= 20,86 мм.
Положение входного зрачка луч¬
ше всего определить расчетом входа
второго параксиального луча через
часть системы, расположенную перед
апертурной диафрагмой, в обратном
направлении (рис. 6.9) по фор¬
мулам:	0v+i = pv +	Уу+i =
121
I АД
луча через переднюю часть системы

= yv — dv$v+1- В рассматриваемом случае f{ ——29,66 мм; /g = 50,31 мм;
d = 8,8 мм. Примем Pi = 1; аР — —адд = —7,4 мм, тогда у2 — —18,40 мм;
Р3 = 0,88385; а'р, — 20,81 мм; Рор = Pt/P3 = 1,1314; D' — ^qPD = 23,60 мм.
При возвращении системы к исходному положению (см. рис. 6.8) будем иметь-
расстояние от первой линзы до осевой точки входного зрачка а р = ар, ~
—	20,81 мм; диаметр входного зрачка D = D' = 23,60 мм совпадает с заданным
значением.
Для третьей линзы апертурная диафрагма является действительным пред¬
метом, а ее изображение — выходным зрачком системы, положение которого оп¬
ределим по формуле Гаусса. Так как ар2 — — (d — аАд) = —3,1 мм, то а'р, =
= ар2 — ap2fy(api -(- /3). Линейное увеличение в выходном зрачке Рор2 =
= а'р2]ар2 — a'p,jap2 = 1,0723 и диаметр выходного зрачка D' = Р0Р2 ^нд ~
= 22,37 мм. Линейное увеличение во входном зрачке Р0Р1 = fVf^ = ЬАд ID =
= 0,88385. Линейное увеличение в зрачках Р0Р = Рро.тРорй = D'lD = 0,94775
подтверждает правильность вычислений.
Угловое поле в пространстве изображений и диаметр полевой диафрагмы
определяются расчетом главного луча. Так как система идеальная, то ход глав¬
ного луча рассчитывают также по формулам для второго параксиального луча,
принимая Pi = tg со, ух — РхаР.
В результате расчета получено: а'р, — г/3/Р4 == —3,32 мм; Рор = 0,9477;
у1 — — 42,21 мм; Г^пд = 2 J у' | — 84,42 мм. Размер изображения можно прове¬
рить по формуле у' = — У tg © = —42,20 мм. Угловое поле в пространстве
изображений: tg ш' = Р4 = 0,526079; со' = 27,7479° « 27°45'; 2©* = 55° 30'.
Таким образом, для рассматриваемой системы имееу: /' = 84,66 мм; a'F, =
с= Дд = 76,91 мм; a'fj, = —7,75 мм; £>дд = 20,86 мм; D = 23,60 мм: D' =
= 22,37 мм; аАД = 7,40 мм; ар = 20,81 мм; а'р, = —3,32 мм; 2со = 53° 00';
2ш' = 55° 30'; £>пд = 84,42 мм; D/f = 1 : 3,59.
6.5.	ВИНЬЕТИРОВАНИЕ. ВИНЬЕТИРУЮЩАЯ ДИАФРАГМА
Рассмотрим ограничение пучков лучей, выходя¬
щих из точек предмета, расположенных вне оптической оси, или
так называемых внеосевых пучков лучей (рис. 6.10). Пучки лучей,
идущих из точек вне оси, расположенных между точками Ах
и Вг% крайние лучи которых идут через края входного зрачка,
полностью проходят через систему ОгОк. Пучки лучей, выходя¬
щие из точек предмета, расположенных между точками В2 и В3,
не могут полностью перекрыть входной зрачок, так как часть их
срезается диафрагмой МхМг. Пучок лучей, выходящих из точки
В2, заполнит примерно половину входного зрачка, а из точки В3
через входной зрачок проходит только бесконечно тонкий пучок
лучей. Явление частичного срезания внеосевых пучков лучей
называется виньетированием. В результате виньетирования проис¬
ходит ослабление освещенности изображения от центра к краю;
освещенность в центральной части поля (в зоне радиуса A'kB'k\)
будет наибольшей и практически постоянной, в точке В'2 будет
примерно в 2 раза меньше, а в точке B'k3 практически равна нулю.
Любая диафрагма, кроме апертурной и полевой, которая
ограничивает пучки лучей, выходящих из точек предмета, лежа¬
щих вне оптической оси, называется виньетирующей диафрагмой
(на рис. 6.10 МгМ2 — виньетирующая диафрагма).
122

Рис. 6,10. Виньетирование внеосевых пучков лучей:
БД — виньетирующая диафрагма — входное окно; Вых .окно —
выходное окно
В реальных системах в большинстве случаев виньетирование
допускается по следующим причинам: наличие виньетирования,
особенно в системах с большими угловыми полями, позволяет
уменьшить поперечные размеры прибора; виньетирование позво¬
ляет повысить резкость изображения на краях поля, так как
узкие наклонные пучки дают лучшее качество изображения, чем
широкие.
Виньетирующие диафрагмы устанавливают в разных местах
в зависимости от положения входного зрачка и от того, какую
часть его должны перекрывать внеосевые пучки лучей. Если,
например, в системе, перед которой установлена апертурная
диафрагма, являющаяся входным зрачком, необходимо ограни¬
чить внеосевые пучки лучей так, чтобы они перекрывали только
центральную часть входного зрачка, то виньетирующую диаф¬
рагму MiM2 необходимо установить на пересечении апертурного
луча АРг и верхнего луча В1М1 (рис. 6.11). В этом случае осями
внеосевых пучков лучей являются главные лучи ВгР и В%Р. Вне¬
осевые пучки лучей, вышедшие из системы, будут ограничиваться
не самой виньетирующей диафрагмой, а ее изображением М\М'ч.
Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы в про¬
странстве предметов или виньетирующая диафрагма, располо¬
женная в пространстве предметов, называется входным окном.
Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы в про-
123

I Вых.окно
Рис, 6.11. Виньетирование в тонком компоненте
странстве изображений или сама виньетирующая диафрагма,
расположенная в пространстве изображений, называется выход¬
ным окном. Из этих определений вытекает, что входное и выходное
окна сопряжены друг с другом относительно всей системы, если
она состоит из нескольких частей. На рис. 6.11 виньетирующая
диафрагма одновременно является и входным окном, а выходным
окном — изображение М1М2 виньетирующей диафрагмы.
Для оценки виньетирования вводятся коэффициенты линей¬
ного и геометрического виньетирования.
Коэффициент линейного виньетирования
ka = 2mJ(2h)i
где	2тъ	—	ширина	наклонного пучка	лучей	в	меридиональной
плоскости;	2h — ширина	осевого пучка лучей	в	том	же	сечении,
причем отрезки 2тъ и 2h берутся в направлении, перпендикуляр¬
ном к оптической оси; если отрезки 2тв и 2h берутся в плоскости
входного зрачка, тогда
К = DJD,	(6.9)
где — диаметр наклонного пучка лучей в плоскости входного
зрачка; D—диаметр входного зрачка.
Коэффициент геометрического виньетирования
*A = AJAP,	(6-»0)
где А ш — площадь сечения наклонного пучка лучей, перпенди¬
кулярного к оптической оси; АР — площадь осевого пучка лучей
в том же сечении. Как следует из рис. 6.11, коэффициент линей¬
ного виньетирования k= 2mJ(2h) — DJD — 0,5; коэффициент
геометрического виньетирования kA = AJAp = D^jD'1 = 0,25.
Это значит, что’в элементарные площадки, расположенные в точ¬
ках В{ и i?2, вследствие виньетирования поступит световой энер-
124

гии в 4 раза меньше, чем на площадку, расположенную в точке
на оси А'.
Координата ав и диаметр виньетирующей диафрагмы DB,
если она расположена в пространстве предметов, как это видно
на рис. 6.11, определяются выражениями
ав = [а(т — тв) + уар]/[у + (т — тв)];
°в = D К - а)КаР - “)>
где т — D/2; тв — кшт.
Положение выходного окна (координату ав) определяют по
формуле Гаусса: ав = aBf'/(f' + ав).
Диаметр выходного окна Dв — ^вРоа» где рою — линейное
увеличение в окнах; ро® — DB/DB — ав/ав.
Виньетирующие диафрагмы устанавливают в разных местах
в зависимости от положения входного зрачка и типа системы.
В большинстве фотообъективов виньетирующими диафрагмами
являются оправы первой и последних линз и » 0,5. В сложных
телескопических системах, например в сложных перископах,
ka ж 0,2.
6.6.	ДИАФРАГМЫ ДЛЯ УМЕНЬШЕНИЯ ВРЕДНОГО
(РАССЕЯННОГО) СВЕТА
Под вредным (рассеянным) светом понимают часть
световой энергии, которая проходит через оптическую систему,
но не участвует в построении изображения. Он возникает в ре¬
зультате рассеяния света при отражении его от внутренних стенок
корпуса прибора и от поверхностей оптических деталей, а также
за счет рассеяния в массе стекла, содержащем пузыри и другие
инородные включения. Рассеянный свет, попадая на изображение,
уменьшает его контрастность и тем самым снижает эксплуата¬
ционные качества прибора. Особенно сильно он влияет на изобра¬
жение малоконтрастных предметов.
Различают рассеянный свет первого, второго и высших поряд¬
ков. К первому порядку относится рассеянный свет, который
претерпевает только одно отражение от стенок корпуса, оправ,
полированных оптических поверхностей системы и от других
поверхностей, дающих рассеянный свет, и затем попадает на
изображение или пересекает плоскость выходного зрачка или
проходит вблизи него в пределах полевого угла системы. Вредный
свет второго и высших порядков — это свет, который претерпевает
два отражения и более.
Определить расчетным путем количество вредного света не¬
возможно, поэтому допустимая величина коэффициента рассеяния
не может быть установлена заранее. Допустимое количество
рассеянного света устанавливается на основании измерения в ла¬
бораторных условиях коэффициента рассеяния для каждого
данного прибора.
125

11
\рГ\ ^
1 а А 1
X л ^
И __ U
а2
L
-с ■■ - —		э*
Рис. 6.12. Цилиндрическая бленда с диафрагмами
Полностью устранить рассеянный свет в реальных оптических
приборах невозможно; его только можно уменьшить, что может
быть достигнуто в результате осуществления следующих меро¬
приятий: рационального диафрагмирования пучков лучей; обра¬
ботки внутренних поверхностей с последующим чернением;
просветления и тщательной чистки поверхностей оптических
деталей; установки дополнительных насадок, так называемых
бленд, и т. п.
Если перед входным зрачком системы нет никаких материаль¬
ных диафрагм, то угол засветки в меридиональной плоскости
составляет 2л. В этом случае на внутренние нерабочие поверх¬
ности прибора попадает большое количество световой энергии,
не участвующей в построении изображения. Чтобы уменьшить
количество вредного света, проникающего во внутрь прибора,
нужно уменьшить угол прямой засветки. Этот угол не может
быть меньше полевого угла 2©. Угол засветки будет равен поле¬
вому углу в том случае, когда в плоскости предметов помещена
материальная диафрагма. Однако для большого числа оптических
систем плоскость предмета находится на довольно большом рас¬
стоянии от нее.
Бленды, предназначенные для уменьшения угла прямой за¬
светки, имеют цилиндрическую или коническую форму. Внутри
бленды помещаются диафрагмы, расставленные таким образом,
чтобы любой луч прямой засветки после первого отражения
от внутренних стенок корпуса бленды или от поверхностей ее
диафрагмы не попал во входной зрачок системы (рис. 6.12).
Края диафрагмы должны быть расположены вдоль линий Л1С1
и Л2С2, так как в этом случае лучи, отраженные от краев диафрагм
бленды, не проходят во входной зрачок системы.
Геометрические размеры бленды определяют из следующих
соотношений: L= D/[tg — tg ©]; диаметр входного отвер¬
стия бленды Di = D (tg % + tg o)/(tg — tg <o), где D — диа¬
метр входного зрачка; <о — половина углового поля системы;
щ — максимальный угол между лучом прямой засветки, проходя-
126

щим через край входного зрачка системы, и ее оптической осью.
Число и расположение диафрагм, находящихся между вход¬
ным отверстием бленды и входным зрачком системы, может быть
найдено графическим способом, причем края диафрагм нужно
делать острыми.
Вредный свет первого порядка в телескопических системах
может быть практически полностью устранен. Для этого при
разработке прибора надо обеспечить, чтобы лучи прямой засветки
после первого отражения от нерабочих поверхностей (стенки
корпуса, оправы линз, боковые цилиндрические поверхности
линз, матированные грани призм и т. п.) не проходили через
область выходного зрачка под углами к оптической оси,,мень¬
шими угла <%.
Для систем, дающих изображение на светочувствительном
слое (фотообъективы) или на экране, вредным считается свет,
падающий в пространстве изображений на плоскость полевой
диафрагмы в пределах ее свободного отверстия. В этом случае
свет, рассеянный стенками корпуса и боковыми поверхностями
линз, устраняют диафрагмами.
Рассеянный свет второго и высших порядков, попадающий
в -выходной зрачок телескопических систем или на плоскость
полевой диафрагмы в фотографических и других системах, после
отражения от рабочих полированных поверхностей и стенок
диафрагм может оказаться достаточно ярким, если не принять
меры для его ослабления. К мероприятиям, ослабляющим вред¬
ный свет второго порядка, относятся просветление преломляющих
и отражающих поверхностей, соприкасающихся с воздухом;
чернение стенок корпуса, диафрагм, неработающих поверхностей
оптических деталей и их оправ; применение бленд, устанавлива¬
емых перед системой; увеличение полных диаметров линз.
ГЛАВА 7- ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЙ ЧЕРЕЗ
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
7.1.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ	ВЕЛИЧИНЫ И ЕДИНИЦЫ
Отношение энергии	излучения dWei переносимой
излучением,	ко	времени переноса dt, значительно превыша¬
ющему период колебания, называется потоком излучения Фе, т. е
фв = dWe/dt.	(7.1)
Поток излучения измеряется в ваттах (Вт) (1 Вт = 1 Дж-с"1).
Среднее значение потока излучения характеризуется выражением
фе = WeJt. Полный поток излучения определяется как сумма
отдельных монохроматических излучений Фе = £ Ф^.
От точечного источника излучение распространяется равно¬
мерно	по	всем	направлениям.	Однако практически точечных
127

Рис. 7.1. Элементарный телесный угол Рис. 7.2. Излучение в телесном
dQ	угле	Q
источников не существует, поэтому вводится понятие об условном
точечном источнике излучения, т. е. о таком, размеры которого
настолько малы по сравнению с расстоянием до приемника, что
ими можно пренебречь при расчетах. Если, например, принять
за точечный источник излучения равномерно излучающий диск
диаметром D, то погрешность при расчетах в зависимости от рас¬
стояния s от диска до приемника составляет около 9% при s/D = 3
и около 4% при s/D :s= 5.
Пространственная плотность потока излучения называется
энергетической силой излучения (силой излучения), которая равна
отношению потока излучения <2Фе, распространяющегося от источ¬
ника (первичного или вторичного) в рассматриваемом направле¬
нии внутри малого телесного угла dQ, к этому телесному углу
(рис. 7.1):
Ie = d<be/dQ.	(7.2)
При равномерном распределении потока излучения в пределах
данного телесного угла 1е = Фе/&.
Телесный угол представляет собой часть пространства, огра¬
ниченного конической поверхностью с вершиной в точке располо¬
жения источника излучения. Телесный угол определяется отно¬
шением площади сферической поверхности Лсф, заключенной
внутри конуса телесного угла с вершиной в центре сферы, к ква¬
драту радиуса г этой сферы:
Q = Лсф/г*.	(7.3)
Единицей телесного угла является стерадиан (ср.). Стерадиан
равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему
на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со
стороной, равной радиусу сферы. Максимальный телесный угол,
соответствующий телесному углу всего пространства вокруг
точки, Q — ЛСф/г2 — 4яг2/г2 — 4л — 12,56 ср.
Единицей энергетической силы излучения является Вт-ср"1.
Каждому телесному углу Q соответствует определенный пло¬
ский	угол	а.	Если	в	телесном угле Q выделить	бесконечно	малый
угол	dQ,	вырезающий	на сфере бесконечно	узкий	кольцевой
участок, то площадь этого участка (рис. 7.2)
dA ~ 2nh dht
128

где h — расстояние от оси конуса до узкого кольца dh. Так как
h = г sin о и dh = rdcr, то = 2зхг2 sin ado, откуда
dQ — dAjr3 = 2л sin a da.	(7.4)
Телесный угол, соответствующий плоскому углу оА:
аА
Q = J 2я sin a do — 2л (1 — cos оА) = 4я sin3 (оА/2) л? л sin2 оА,
о
откуда cos оА — 1 — 0/(2я).
Из этого выражения видно, что телесному углу в 1 ср соответ¬
ствует плоский угол 2оА = 65° 32' 27,82".
Понятие силы излучения применимо только к точечным источ¬
никам, причем «точечность» определяется не линейными раз¬
мерами излучающего тела, а их отношением к расстоянию до
той точки поля, в которой оценивается действие излучателя.
Излучатели, применяемые на практике, не имеют равномерного
распределения потоков излучения в пространстве. Поэтому для
каждого значения силы излучения указывается направление,
а распределение потока в пространстве характеризуется кривой
энергетической силы света.
Каждый источник излучения имеет конечную поверхность,
с которой поток излучения распространяется в пространстве.
Для характеристики равномерности и интенсивности самосветя-
щихся источников излучения (первичных источников), а также
поверхностей, которые пропускают или отражают падающий на
них поток излучения (вторичные источники), вводится понятие
плотности потока излучения по поверхности излучателя, назы¬
ваемой энергетической светимостью Ме:
Me = d(be/dA,	(7.5)
где dA — площадь излучающей поверхности, м2. Единица
энергетической светимости—ватт на метр квадратный (Вт-м-2).
Отношение Ме — ФJA характеризует среднюю плотность из¬
лучения поверхности конечных размеров.
Плотность потока излучения на облучаемой поверхности назы¬
вается энергетической освещенностью (облученностью), которая
определяется отношением потока излучения d<Pe, падающего на
рассматриваемый малый участок поверхности, к площади этого
участка
Ee==d<bejdA.	(7.6)
Единица энергетической освещенности — ватт на. метр квадрат¬
ный (Вт*м~2). Средняя энергетическая освещенность Ее — Фе/А.
Энергетическую освещенность, создаваемую точечным источни¬
ком излучения с заданным распределением энергетической силы
света, в зависимости от расстояния до облучаемой поверхности
с учетом формулы (7.2) и равенства dQ — dAB/r2 = dA cos 0/r2,
можно представить в виде
Ее = le dQ/dA = /е cos Э/г2,	(7.7)
П/пат? ГГ vrfnau к й
129

где le — энергетическая сила света по нормали к элементу облу¬
чаемой поверхности; 0 — угол между нормалью N0 к поверх¬
ности и осью телесного угла (см. рис. 7.1).
Формула (7.7), как известно, называется законом квадрата
расстояния.
Понятие плотности потока излучения никак не связано с на¬
правлением излучения, поэтому эта величина служит для харак¬
теристики равноярких излучателей по любому направлению.
Отношение силы излучения таких излучателей в любом направле¬
нии к проекции на плоскость, перпендикулярную к данному
направлению, постоянно.
Энергетическая сила излучения с единицы площади проекции
поверхности излучающего тела на плоскость, перпендикулярную
к направлению излучения, называется энергетической яркостью
поверхности излучателя. Энергетическая яркость Le в заданном
направлении характеризуется отношением
Le = dle/(dA cos 0),	(7.8)
или, учитывая (7.2) и (7.6),
Le = d2G>/(dQ dA cos 0) = dEe/(dQ cos 0).	(7.9)
Единица энергетической яркости — ватт на стерадиан-квадрат-
ный метр (Вт-ср-1'М-2).
Излучение большинства применяемых на практике излуча¬
телей близко по своим характеристикам к равнояркому излучению
по различным направлениям. Для таких излучателей энергети¬
ческая яркость Le = IJAq, где /е — сила излучения в направ¬
лении 0; Ае — площадь проекции излучающей поверхности на
плоскость, перпендикулярную к оси телесного угла. Для равно¬
ярких излучателей отношение между силой излучения и плот¬
ностью потока излучения постоянно. На основании (7.8) энерге¬
тическая сила света участка dA поверхности излучения по на¬
правлению 0 dle — LedA cos 0. Согласно (7.2) и (7.4) поток излу¬
чения ЙФе = le dQ = 2п sin a do. Пользуясь этой формулой,
можно определить поток излучения <2Фе, излучаемый участком
поверхности dA равнояркого излучателя.
Для излучающей поверхности, имеющей одинаковую яркость
во всех направлениях,
Le = Ie!{dA cos 0) = Imsx/dА = const,
откуда
1=3 ^max COS 0>	(7-10)
т. e. поверхность, равнояркая во всех направлениях, излучает
энергию в соответствии с законом косинусов.
Формула (7.10) называется законом Ламберта. Поверхности,
подчиняющиеся закону Ламберта, являются диффузно рассеива¬
ющими или диффузно пропускающими, а источники света —
равнояркими излучателями.
130

Важное следствие закона Ламберта — это соотношения между
энергетической светимостью Ме и энергетической яркостью Le,
а также энергетической яркостью Le и энергетической освещен¬
ностью Ее.
Из (7.9) имеем d2Фе = L^dAdQ cos 0. Заменяя dQ в соответ¬
ствии с (7.4) и принимая 0 = а, находим
й!2Фе = 2nLe sin о cos a do.
Поток излучения от плоской элементарной площадки dA
в полусферу
п/2
d<be — 2nLedA J sin о cos о do = nLe dA.	(7.11)
о
Принимая во внимание (7.5), получаем Ме — nL.
Отсюда следует, что для оценки равномерности излучения
по поверхности равнояркого излучателя можно применять как
энергетическую яркость, так и энергетическую светимость. Для
неравноярких излучателей характеристикой распределения излу¬
чения по поверхности и в пространстве может являться только
яркость.
Общее количество энергии излучения, падающей за некоторое
время на единицу поверхности, характеризуется энергетической
экспозицией, которая определяется интегралом облученности по
времени:
11
где Ее% — мгновенное значение энергетической облученности.
При Eet = const величина Не — Eet.
7.2.	ВИДИМАЯ ОБЛАСТЬ СПЕКТРА.
СВЕТОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕДИНИЦЫ
Приемники потока излучения можно разделить на
две основные группы: селективные (избирательные) и неселектив¬
ные (неизбирательные). У неселективных приемников излучения
спектральная чувствительность не зависит от длины волны излу¬
чения. Селективными приемниками излучения являются фото¬
пленки, фотоэлементы и особенно глаз человека, играющий исклю¬
чительно важную роль и при повседневном восприятии света,
и как приемник излучения. Оптические приборы, работающие
совместно^ с глазом, должны быть рассчитаны на использование
в в^идимой области спектра. Совместное действие излучений види¬
мой области спектра на сетчатку глаза воспринимается как белый
свет; излучение, содержащее длину волны X -f- АХ (монохромати¬
ческое), воспринимается как цветное.
Наиболее сильное воздействие на глаз при днерных условиях
освещения (дневное зрение) оказывает излучение зеленого цвета.

Воздействие потока излучения с дли¬
ной волны % ~ 555 нм условно при¬
нимают за единицу; действие излу¬
чения на глаз других длин волн
в видимом участке спектра по сравне¬
нию с излучением X = 555 нм оце¬
нивается относительной спектраль¬
ной световой эффективностью излу¬
чения V (X). Для ночного зрения
максимальная чувствительность гла¬
за имеет место при	X = 510 нм (на
рис. 7.3 показаны	кривые относи¬
тельной спектральной световой эф¬
фективности излучения).
Для характеристики и количе¬
ственной оценки действия источни¬
ков излучения в видимом участке спектра используется система
световых единиц.
Поток излучения, приведенный к чувствительности среднего
глаза, называют световым потоком. Под световым потоком Ф0
понимают	величину,	пропорциональную потоку	излучения, оце¬
ненному с учетом	относительной спектральной	световой эффек¬
тивности монохроматического излучения:
®„ = Km | V (X) Фвк № <0.,	(7-12)
где (X)	dX	— поток излучения в спектральном	интервале X,
X + dX; V	(Я)	—	относительная спектральная	эффективность
монохроматического излучения; Кт — коэффициент, характери¬
зующий максимальное значение спектральной световой эффек¬
тивности; V (X) имеет максимум, равный единице при X — 555 нм.
Единицей светового потока является люмен (лм), численно
равный световому потоку, излучаемому равномерным точечным
источником с силой света в одну канделу (кд). Установлено, что
при X — 555 нм 1 Вт монохроматического излучения соответствует
680 лм светового потока, т. е. Кт = 680 лм-Вт'1, или 1 лм соот¬
ветствует 1,47*10”8 Вт. Поэтому для светового потока имеем
ф0 = 680 J V {%) Фех (X) dX.	(7.13)
Для какой-либо определенной длины волны Ф0 = 680V (X) ФеХ.
Для связи светового потока с мощностью источника излучения
вводится понятие «световая отдача» — отношение светового по¬
тока Ф0 к мощности, потребляемой источником света: х\ — ФV/We.
Световая отдача характеризуется числом люменов на ватт (лм X
X Вт"1).
V(l)
Рис. 7.3. Кривые относительной
спектральной эффективности:
1 — для дневного зрения; 2 — для
ночного зрения
132

Пространственная плотность светового потока в заданном
направлении называется силой света, которая определяется отно¬
шением светового потока, исходящего от источника и распростра¬
няющегося внутри элементарного телесного угла, содержащего
заданное направление» к этому элементарному углу:
70 = d<D0/dQ.	(7:14)
При равномерном распределении светового потока внутри телес¬
ного угла /э = Ф0/£2. За направление силы света принимают ось
телесного угла dQ или Q.
В системе СИ основной световой единицей является сила света
в одну канделу. Кандела (кд) равна силе света, испускаемого
с поверхности площадью 1/600 ООО м2 полного излучателя в- пер¬
пендикулярном направлении при температуре излучателя, равной
температуре затвердевания платины (2024 К) и давлении
101 325 Па.
Для источника, равномерно излучающего свет во всех на¬
правлениях, т. е. для светящейся точки, Iv = Ф0/(4я). При не¬
равномерном распределении светового потока в пространстве
величина 10 представляет собой среднюю сферическую силу света.
Плотность светового потока по освещаемой поверхности назы¬
вается освещенностью. Освещенность Е0 равна отношению свето¬
вого потока, падающего на рассматриваемый малый участок
поверхности, к площади этого участка:
Ev = d(bv/dA.	(7.15)
При равномерной плотности светового потока по освещаемой
поверхности конечных размеров Ev = ФJA. Единицей освещен¬
ности является люкс (лк). Люкс — освещенность, создаваемая
световым потоком 1 лм, равномерно распределенным на поверх¬
ности, площадь которой равна 1 м2 (1 лк = 1 лм-м'2):
Поверхностная плотность световой энергии падающего излу¬
чения называется световой экспозицией
/*
Hv = dWvfdA — Evt dt
t,
При Evt = const экспозиция Hv = Evt. Единицей световой экс¬
позиции является люкс-секунда (лк*с).
Плотность излучаемого (отражаемого) светового потока по
площади поверхности излучающего (отражающего) источника
называется светимостью. Светимость Mv равна отношению све¬
тового потока, исходящего от рассматриваемого малого участка
поверхности, к площади этого участка:
Mo = d0>o/dA.	(7.16)
Средняя светимость М9 — ФvfA. Единицей светимости является
люмен на квадратный метр (лм-м“2).
133

Яркостью Lv называется отношение светового потока, про¬
ходящего в рассматриваемом направлении в пределах малого
телесного угла dQ через участок поверхности dA, к произведению
этого телесного угла, площади участка и косинуса угла между
рассматриваемым направлением и нормалью к участку:
la = d?<D/(dQ dA cos 9} = dl0/(dA cos 0) = dE0/(dQ cos 0).	(7.17)
Единицей яркости является кандела на квадратный метр
(кд-м“2).
Для плоской поверхности, имеющей одинаковую яркость во
всех направлениях, Lv = iJdA = const.
Из (7.17) для светового потока имеем
d2(D0 = Lv dQ dA cos 8.	(7.18)
7.3.	СВЕТОВЫЕ СВОЙСТВА СРЕД.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ,
РАССЕЯНИЯ И ПРОПУСКАНИЯ
Световой поток, падающий на оптическую систему,
не весь проходит через нее. Часть светового потока отражается
от поверхностей (^Ф^), часть поглощается (dOva) и рассеивается
(dOvr) средами и только оставшаяся часть (dOvx) проходит через
оптическую систему (рис. 7.4).
Согласно закону сохранения энергии d<Dv — dOvp + dOva -f-
d<3)vr -|- d(f)vx.
Для количественной оценки пользуются коэффициентами отра¬
жения р, поглощения а, рассеяния г и пропускания т:
которые связаны равенством р + а + г + т^ 1.
Каждый из световых потоков (отраженный, поглощенный,
рассеянный и прошедший) зависит от спектрального состава
излучения, падающего на оптическую систему, и физических
свойств материала, из которого изготовлены детали системы.
Отраженный, поглощенный и рассеянный световые потоки
характеризуют потери световой энергии в оптических системах.
Практически очень трудно разделить потери света на поглощение
и рассеяние, поэтому их рассматривают совместно и для оптиче¬
ских материалов характери¬
зуют спектральным коэффи¬
циентом внутреннего (чисто¬
го) пропускания ха.
Коэффициент % ix равен
отношению вышедшего свето¬
вого потока Фр* к входяще¬
му Ф0мп- =	ПРИ
Рис.	7.4.	Прохождение	светового потока условии, ЧТО потери на ОТра-
через	оптическую систему	жение от поверхности исклю-
134

Рис. 7.5. Виды отраженных и преломленных пучков лучей
чаются. В этом случае коэффициент внутреннего поглощения
(включая рассеяние) будет равен а** = 1 —
Распределения отраженного и прошедшего световых потоков
в значительной степени зависят от свойств поверхностей мате¬
риалов и их внутренней структуры. По характеру отраженного
и преломленного световых потоков принято различать: направ¬
ленное (зеркальное) отражение и направленное пропускание
(рис. 7.5, а); направленно-рассеянное отражение и пропускание
(рис. 7.5, б); диффузное отражение и пропускание (рис. 7.5, в).
Направленное отражение от поверхностей и направленное
преломление (пропускание) имеют место в тех случаях, когда
неровности поверхностей малы по сравнению с длиной волны
падающего излучения и подчиняются известным законам отраже¬
ния и преломления. Направленно-рассеянное отражение имеют
матированные поверхности прозрачных и непрозрачных мате¬
риалов. Направленно-рассеянным пропусканием обладают про¬
зрачные материалы, одна или обе поверхности которых
матированы. Диффузное отражение и пропускание наблюдаются
в тех случаях, когда материалы в своей толще имеют неоднород¬
ности, соизмеримые с длиной волны.
Поверхность, равномерно освещаемая падающим световым
потоком, имеет освещенность Ev = ФJA и светимость Mv =
= Фцр/Л, поэтому Ме = рФV/A = рEv.
Зависимость между освещенностью и яркостью довольно про¬
сто выражается для идеально рассеивающих поверхностей, т. е.
для поверхностей, подчиняющихся закону Ламберта. Отраженный
световой поток d<J)V(3 = M-JK ■= pEvA.
135

С другой стороны, согласно (7.11) d<Dop = nL0A, поэтому
Ltg pEjn.
Для диффузно пропускающих поверхностей Lv — xEJk.
В природе не существует идеальных диффузно отражающих
и диффузно пропускающих свет материалов. Поэтому для харак¬
теристики поверхностей, направленно отражающих и направ¬
ленно пропускающих, вводится понятие о коэффициенте яркости,
который представляет собой отношение яркости освещенной
поверхности в заданном направлении Lo0 к яркости Lv равно¬
мерно освещенной диффузной поверхности, имеющей коэффициент
отражения, равный единице: $Q = Lv0jL.
Так как при р = 1, Lv = Ev/nf то р0 = nLJELv ~ $QEJn.
Коэффициенты р и Р0 могут иметь разные значения при измене¬
нии направления падения света. Коэффициент отражения всегда
меньше единицы, тогда как коэффициент яркости может быть
намного больше единицы. Для поверхностей, диффузно пропуска¬
ющих, Р0 = т.
7.4.	ЯРКОСТЬ ОТРАЖЕННЫХ И ПРЕЛОМЛЕННЫХ
ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ. СВЕТОВЫЕ ТРУБКИ
Рассмотрим отражение и преломление элементарных
пучков лучей, образующих некоторую трубку, через боковую
поверхность которой свет не выходит. Такой пучок лучей принято
называть световой трубкой (рис. 7.6). Если световая трубка имеет
бесконечно малые поперечные размеры по сравнению с ее длиной,
то такая трубка представляет собой физический луч. Ось физи¬
ческого луча является световым лучом в терминах геометрической
оптики.
Если нормали 0ги 02М2 к элементарным площадкам йАг
и dA2 образуют с осью 0г02 световой трубки углы 0j и 02 и рассто¬
яние между центрами площадок равно г, то для телесных углов
<2Qx и <£Qa можно записать dQ3 — dA2 cos 02/r2; dQ2 — dAx cos 0i/r2,
откуда
dAxdQx cos 0j — dA2dQ 2cos 0a.	(7-19)
Уравнение (7.19) выражает свойство элементарной световой
трубки в однородной среде: произведение площади (dA cos 0)
нормального сечения световой трубки и элементарного телесного
угла dQ, имеющего вершину в точке этого сечения, — величина
постоянная для любого сечения этой трубки. Следовательно,
уравнение (7.19) является инвариантом световой трубки для
однородной среды. Элементарный гомоцентрический пучок можно
рассматривать как элементарную световую трубку с телесным
углом dQ.
Световые потоки, проходящие через сечения dAx и <2А2, на
основании (7.17) соответственно равны
d2<Dltl = LlvdAxdQxcos0t; d2<D2t* = £5»dAtdQ^cos02.
Учитывая (7.19), получаем Llv = L2v = Lv = const.
136

•е
Рис. 7.6. Элементарная световая трубка
Таким образом, при отсутствии потерь на поглощение яркость
элементарной световой трубки в любом сечении постоянна.
Рассмотрим отражение и преломление элементарного гомо¬
центрического пучка лучей (рис. 7.7, а). Для элементарных
телесных углов на основании (7.4) можно написать
dQ — 2ц sin е ds;
dQ' == 2я sin e' de(7.20)
dQ" = 2n sin e" ds".
Согласно закону отражения |e| = |е'|, поэтому ds — ds' и
dQ^dQ'.	(7.21)
По закону преломления п sin в = ri sin г” и п cos е ds —
—	п' cos s" ds”. Перемножая два последних равенства и учитывая
(7.20), находим
. ла cos 8 dQ = л'2 cos е" dQ%	(7.22)
откуда
dQff = п2 cos в dQ/(n'2 cos e")*	(7.23)
Из	((7.21)	видно,	что при отражении элементарной световой
трубки ее	телесный	угол не изменяется; телесный	угол	прелом-
dA,

ленной трубки, как это показывает (7.23), зависит от показателей
преломления сред и косинусов углов падения и преломления.
Уравнение (7.22) представляет собой обобщение закона преломле¬
ния для случаев бесконечно тонкого пучка лучей — световой
трубки.
Световой поток, падающий на элементарную площадку dA0,
определяется равенством
cos &,
а отраженный от площадки световой поток — равенством
d4Dop — pd2<Dv == рLv dA0 dQ cos e.
Согласно закону отражения этот поток может быть представлен
выражением
-	1/^р d ^ cos &.
Решая эти уравнения и учитывая (7.23), получаем
Lpp = pLv.	(7.24)
Из (7.24) видно, что коэффициент отражения р характеризует
потери яркости пучка лучей при отражении.
Преломленная часть светового потока = LI dA0 dQ" cos s'.
В соответствии с законом сохранения энергии при отсутствии
потерь на поглощение d2Ov — d2Фор + d2Ol или L dQ cos s =
= Lvp dQ' cos s' + Ly dQ" cos s". Так как | e| = | s' |, dQ — dQ'
И ^-‘vp	> TO
Lv (1 — p) = L"v dQ" cos г" I (dQ c6s e).	(7.25)
Учитывая (7.22), находим
L;/Lv = (l~p)(n'/n)\	(7.26)
Йз (7.26) видно, что при переходе светового пучка из одной
прозрачной среды в другую его яркость меняется. Множитель
1	— р этой формулы является коэффициентом пропускания, учи¬
тывающим только потери на отражение, т. е. тр = 1 — р. Тогда
L'v!Lv — тр (п'In)2. Если в системе отсутствуют потери, то т = 1 и
Loyn2 = L;/n'2 = const.	(7.27)
Отношение LJn2 называется редуцированной (приведенной) яр¬
костью пучка лучей. При п — п' яркость Lv — Uv, т. е. если пока¬
затели преломления сред одинаковы, то яркости пучков также
будут одинаковыми.
В действительности коэффициент пропускания всегда меньше
единицы, поэтому и яркость пучка, допустим, после, выхода из
системы	при	п	— п' всегда будет меньше яркости	пучка,	пада¬
ющего на	систему. Яркость Ц будет больше яркости	Lv	только
в том	случае,	когда	п'	> п. Например, при %	—	0,8, п	=	1	и	п' —
—	1,81	яркость	в	пространстве изображений	L"v	—	2,63Lv,	где
L0 — яркость в пространстве предметов.
При прохождении светового потока через однородную среду
всегда имеют место потери на поглощение, вследствие чего яркость
138

пучка уменьшается. Яркость пучка при прохождении им пути,
равного 1 см, характеризуется выражением
= ^v 0	= I-'ifii'k'	(Т
Найдем зависимость между телесными угла!ми dQ,x и dQ2,
опирающимися на элементарную площадку dA0y расположенную
на границе раздела двух сред (см. рис. 7.7, б). Умножая (7.22)
на dA0 и учитывая, что п = пг и п' — получаем
п\ dAx cos 0г dQx = п\ dA2 cos 02 dQ2.	(7.29)
Формула (7.29) является основным инвариантом световой
трубки (гомоцентрического пучка), который гласит: произведение
квадрата показателя преломления, площади нормального сечения
dA cos 0 и элементарного телесного угла, имеющего вершину
в точке этого сечения и определяющего световую трубку, остается
неизменным (инвариантным) при преломлении трубки во второй
среде. Если световая трубка претерпевает ряд преломлений,
то (7.29) остается инвариантом для 1-й ... k-й преломляющих
поверхностей, т. е.
ti\ dAy cos 0j d0.x — n'k dA'k cos Q'k dQ'k,	(7.30)
Если площадки d/4x и dA2 перпендикулярны к оси трубки, то
cos 0Х = cos 9^ = 1 и
nf dAx dQx = n'kdA'kdQ'k'	(7.31)
Уравнения (7.30) и (7.31) называются теоремой или
инвариантом Штраубеля. Применение (7.30) к однородной
среде приводит к инварианту (7.19), который таким образом
является частным случаем более общего инварианта.
Инвариант Штраубеля справедлив также и для другого ча¬
стного случая, когда элементарные площадки dAlt dA'k являются
сопряженными, т. е. когда dAt — предмет, a dA'k — его изобра¬
жение. Для этого на площадке dA0 нужно поместить диафрагму
dAP, которая будет служить входным зрачком оптической системы.
Построив световую трубку для сечений ЛАг и dAP с телесными
углами dQx и dQP, определяемыми формулами (7.29), затем строят
световые трубки до k-n среды, в которой телесный угол dQ,'k вклю¬
чает все лучи, собирающиеся на площадке dA'k• Угол dQh является
изображением угла dQv Применив инвариант Штраубеля для
части световой трубки, определяемой сечениями dAt и dAPi
а затем, продолжив построение сечения с номером k, для которой
элементарными площадками будут являться dA'P и dA'kf Получим
инвариант (7.30).
Таким образом, инвариант Штраубеля сохраняет свое значение
и для случая, когда площадка dA'k является изображением пло¬
щадки dAx, Инвариант (7.30) характеризует прохождение через
среды с различными показателями преломления пространствен¬
ного пучка лучей, т. е. световой трубки, а также связь между
предметом и изображением.
139

Рис. 7.8. Световая трубка конечных размеров — оптическая си¬
стема
Элементарные световые трубки не имеют практического зна¬
чения, так как световая энергия, проходящая через них, беско¬
нечно мала. Практическое значение элементарных световых трубок
состоит в том, что их свойство можно перенести на свето¬
вые трубки конечных размеров.
Если сечения трубок ААх и AA'k являются оптически сопря¬
женными, то световую трубку конечных размеров можно рас¬
сматривать как оптическую систему (рис. 7.8). Поперечные раз¬
меры такой световой трубки ограничиваются входным и выходным
зрачками.
В пространстве предметов световая трубка ограничена линей¬
чатой поверхностью, которая образуется, если каждую точку
площадки ДЛх соединить с каждой точкой поверхности входного
зрачка. В пространстве изображений получим соотвётствующую
сопряженную световую трубку. Каждую световую трубку конеч¬
ных размеров можно рассматривать как трубку, состоящую из
бесконечно большого числа элементарных трубок. Возьмем эле¬
ментарную световую трубку сечения dA\ с телесным углом
ось которого составляет с оптической осью угол 0!. В простран¬
стве изображений будем иметь сопряженную элементарную трубку
сечения dA’k с телесным углом dQ'k.
Согласно инварианту (7.30) для оптически сопряженных пло¬
щадок можно написать
ti\ dA j dQj cos 0j = п'ь dA'k dQ'k cos Q'k,	(7.32)
Заменяя dAx и dA'k на ДА и AA'k и выражая тел.есные углы
через плоские ох и <j'ky после интегрирования уравнения (7.32)
в пределах изменения углов 0 — 0 ... ст получаем
п\ АЛ} sin2 <7| = п'ь A^sin2 <s'k.	(7.33)
Заменив сопряженные площадки ДЛхи ДЛ* соответствующими
отрезками Ду ~ dy и Ay' — dy\ будеи иметь
ti\ dip- sin2 aj = п'ь dy'2 sin2 o'k.	(7.34)
140

Извлекая корень из обеих частей (7.34), приходим к инва¬
рианту Лагранжа — Гельмгольца для пучков лучей конечной
апертуры: пх dy sin ах = n'k dy'sin cr£, который выше был полу¬
чен на основе чисто геометрических соображений.
Таким образом, инвариант Лагранжа — Гельмгольца так же,
как и инвариант Штраубеля для оптически сопряженных площа¬
док, являются фундаментальными законами, характеризующими
закон сохранения энергии, выраженный через постоянные опти¬
ческой системы.
7.5.	ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Потери энергии излучения в оптических системах
зависят от коэффициента отражения р, коэффициента поглоще¬
ния а или коэффициента внутреннего пропускания ^ = 1 — а,
а также коэффициента отражения R от зеркальных поверхностей.
Кроме того, в системах могут быть детали, поверхности которых
имеют светоделительные покрытия. Все эти потери характери¬
зуются коэффициентом пропускания %.
Для определения коэффициента пропускания необходимо
знать: коэффициент отражения от преломляющих поверхностей;
число преломляющих поверхностей, граничащих с воздухом
и другими средами; коэффициент внутреннего пропускания опти¬
ческих стекол и других материалов, из которых изготовлены
оптические детали системы; коэффициенты отражения для отра¬
жающих покрытий, если в системе имеются отражательные призмы
и зеркала; длину хода луча вдоль оптической оси в каждой опти¬
ческой детали, входящей в систему; типы светоделительных
покрытий.
Допустим, система состоит из k преломляющих поверхностей.
Тогда по формуле (7.26) яркость пучка лучей после преломления
на первой поверхности будет (рис. 7.9)
Lvl =Lvl(l - Pi) (n2/nl)^
112 к
\ 1 /
f /
У7r”z /
nrnJ
dz
Рис. 7.9. К определению яркости пучка лучей, про¬
шедшего к преломляющих поверхностей
141

По формуле (7.28) яркость пучка в конце пути dx будет
Lv2 = Lvl О — al)^ = Lvl (l ~ P2) (! — “)dl ft/'1!)2*
Аналогичным путем можно найти яркость пучка лучей после
второй, третьей, ... поверхностей. Яркость пучка после k-Pi по¬
верхности, т. е. после прохождения светового потока через всю
систему, с учетом, что (1 — ocv) = t*v, описывается выражением
К = Кх («>l)2 П (1 - pv) П (т,)^.	(7.35)
V=1	V=1
Для системы в воздухе (ftx — n'k = 1)
Lvk —
к
Здесь тр = П (1 —pv) — коэффициент пропускания системы,
v=l
учитывающий только потери на отражение; та = П (1 — ctv)dv =
v=i
k—i
= П (ti)^v — коэффициент пропускания системы, учитывающий
V—1
только потери на внутреннее поглощение (в том числе и рассе¬
яние); dv — длина хода лучей в каждой среде, см.
При наличии в системе зеркал коэффициент пропускания
будет равен произведению их коэффициентов отражения:
I.
тв ~ ^
V—1
где I — число зеркально-отражающих поверхностей.
Если в системе есть детали со светоделительными покрытиями,
то световой поток будет идти по двум каналам: в одном канале
он проходит через покрытие, а по другому каналу отражается.
Для проходящего светового потока
i
ТП- П Tnv>
v=l
где Tnv — коэффициент отражения светоделительного покрытия.
Для отраженного потока
i
т»о = П R v I
v=l
где Rv— коэффициент отражения светоделительного покрытия.
Сумма тп + т0 < 1, так как всегда имеют место потери на погло¬
щение в металлическом покрытии.
Потери на поверхностях склейки и отражающих поверхностях
призм при наличии полного внутреннего отражения очень малы,
поэтому при определении ч? их не учитывают. Таким образом,
общий коэффициент пропускания будет
t = Vc*trV	(7*36)
142

Коэффициент пропускания % зависит от длины волны и для
систем, работающих в видимом участке спектра, в большинстве
случаев определяется для % = 546,1 нм (линия спектра е).
Коэффициент отражения р от полированных поверхностей
может быть вычислен по формуле Френеля:
При малых углах е и е', пользуясь законом преломления пе —
= п'е , получим р = (п' — пУ/(п' + п)2. На границе раздела
воздух — стекло или стекло — воздух
При углах падения 0 ... 45° коэффициент р изменяется в не¬
больших пределах и его можно рассчитывать по формуле (7.38).
При определении «и для преломляющих поверхностей на границе
воздух — стекло при п < 1,57 коэффициент р принимается в сред¬
нем равным 4%, а при п > 1,57 — 5%.
Потери световой энергии вследствие отражения при преломле¬
нии, особенно в сложных системах, могут достигать 70—80%.
Эти потери можно значительно уменьшить путем просветления
оптических деталей. Сущность просветления состоит в том, что
на поверхности оптических деталей наносятся, многослойные
интерференционные покрытия. Так, при однослойном просвет¬
лении р ж 2%, при двухслойном рл? 1% и при трехслойном
р 0,5%.
Коэффициент внутреннего пропускания для большинства
марок оптических стекол при X = 540 нм составляет 0,994 ...
0,996 на 1 см хода луча. Только для некоторых марок стекол
(ЛК7, КФ7, ТФ4, ТФ10) коэффициент щ колеблется в пределах
0,987 ... 0,991. Для длины волны X = 480 нм, что примерно
соответствует линии F\ коэффициент несколько уменьшается
и составляет 0,983...0,99. Для серебряных отражающих покрытий
можно принять R ж 94%, а для алюминирбванных R « 85%.
При наличии деталей со светоделительными покрытиями следует
руководствоваться нормалями.
Пример 7.1. Определить коэффициент пропускания оптической системы,
состоящей из двух склеенных линз (двухлинзовый склеенный объектив), если
дано:
1-я линза (К8, п2 = 1,51829, dx = 7,2 мм, <хг = 0,04%);
2-я линза (Ф1, п3 = 1,61687,	==	2,7	мм,	а.2 — 0,31%).
Расчет выполнить для непросветленных и просветленных поверхностей с р =
= 1 % для всех поверхностей.
Решение. Система имеет две поверхности, соприкасающиеся с воздухом,
так как поверхность склейки не принимается во внимание (р « 0,03), поэтому
коэффициент пропускания может быть вычислен по формуле
(7.37)
р = (п — 1 )*/(« Н- О2-
(7.38)

Коэффициенты отражения для непросветленных поверхностей
Pi = (я2— 1)а/(я#+ 1)* = 0,0424;
Рз = (п3 - 1)а/(л3 +. I)2 = 0,0556.
Коэффициент пропускания, учитывающий только потери на отражение,
= 0 - Pi) (1 - Р*) = 0,9044.
Коэффициент пропускания, учитывающий только потери на поглощение,
Х(х = (I — «У* (1 — а*)*' = 0,9960,72 *0,099690'27 = 0,9963.
Коэффициент пропускания системы = ТрТ<х = 0,901. Потери состав¬
ляют 10%.
Для просветленных поверхностей рх = р2 = 1%г тогда т = трта = (1 —
—Pi)2xa = 0,976. Потери составляют ~2,4%.
Для просветленных поверхностей потери в 4,2 раза меньше, чем для непро¬
светленных.
Пример 7.2. Определить коэффициент пропускания объектива типа «Инду-
стар», состоящего из четырех линз:
1-я	линза (ТК2,	=	1,57486,	dx—	11,5	мм);
2-я	линза (ЛФ5, щ — 1,57832, ds "4,6 мм);
3-я	линза (ОФ1, п6 — 1,53292, йь =4,6 мм);
4-я	линза (ТК8, я7 = 1,61675, de = 14,7 мм).
Решение. Для определения коэффициента пропускания объектива, если
поверхности не просветлены, найдем коэффициенты отражения на границе воз¬
дух—стекло и стекло—воздух по формуле р = (п — 1)2/(я	I)2.
Учитывая значения показателей преломления, найдем
Pl = {п2 — 1 )4{пг 4. 1)а = 0,04984;
р2 = (д4 _ 1)2/(д4 + 1)2 = 0,05031;
Рз = (л, - 1 )2/(/гв 4- I)2 = 0,04414;
р4 = (п7 — 1 )*/(п7 + If = 0,05555.
Коэффициент пропускания объектива, учитывающий только потери на от¬
ражения, вычислим по следующей формуле, принимая во внимание, что третья
и четвертая линзы склеены:
Тр = (1 - Pl)2 0 - р2)2 (1 - Рз) 0 - Р4) = 0,7351.
Коэффициент пропускания, учитывающий только потери на внутреннее
поглощение, определяется по формуле
п .2d 2d
—	—	=>тг	,
где Y,d = dx -f- d3 -f- db -f- d6 — 3,54 см. Учитывая, что коэффициенты %i—
—	(1 — a) для разных марок стекол мало отличаются друг от друга, примем
т{ « 0,4%; тогда %а — %fd = 0,9859.
Коэффициент пропускания объектива для непросветленных поверхностей
т = ТрТа = 0,7247.
Если коэффициент отражения для просветленных поверхностей составляет
■''•'1 %, то т = (1 — р)® (1 — С6)3.М =. 0,9282.
Для непросветленных поверхностей потери составляют ~27,5%, тогда как
для просветленных—только 7,2%, т. е. в 3,8 раза меньше.
7.6.	СВЕТОВОЙ ПОТОК, ПРОХОДЯЩИЙ
ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ
Найдем световой поток с1Ф0> поступающий в опти¬
ческую систему, имеющую входной зрачок конечных размеров
на рис. 7.10). От каждой точки элемента dA, расположен-
144

Рис. 7.10. Световой поток, проходящий через оптическую систему
ного перпендикулярно оптической оси, на систему падает конус
лучей, опирающийся на входной зрачок.
Элементарный световой ноток, посылаемый элементом dA
по какому-либо направлению и поступающий в систему через
некоторый бесконечно малый элемент MMXNXN входного зрачка,
определяется формулой (7.18).
Элементарный телесный угол	dQ = М.МХ х MxNx/pz =
—	МР dtyp dQjp2 = р% sin 0 dQ dty/p2 — sin 0 dA d\{>, тогда
сРФр — LvdA sin 0 cos 0d0di|x
Если допустить, что яркость L0 одинакова по всей поверх¬
ности элемента dA, то для нахождения полного светового потока,
излучаемого элементом dA и заполняющего весь входной зрачок,
необходимо выполнить интегрирование с учетом пределов изме¬
нения угла 0 от нуля до оА и угла г|) от нуля до 2я (предпола¬
гается, что входной зрачок имеет форму круга), т. е.
2Л
о
А
dQ>v — Lv dA
j dij) | sin 0 cos 0 dQ.
о о
После интегрирования получим
d®0 — jiL0 dA sin2 .	(7 -39>
Аналогично можно найти выражение для светового потока
d<t>v, вышедшего из оптической системы через выходной зрачок
Р\РЙ2 = D':
<#£' = nL'v dA' sin2 о'А
Связь между яркостями L'v и Lv характеризуется формулой
К = Lvт (nk/nl)\
где х — коэффициент пропускания оптической системы. Тогда
d<S)'v — n%Lv (n'kjn{f dA' sin2 a'A(7-40)
Определим световой поток, выходящий из элемента dAx> рас¬
положенного в точке Вх вне оптической оси (рис. 7.11). Допустим,
что элементарная площадка dAx имеет одинаковую яркость во
145

-GJ
всех точках, причем Llv — L0
и dAt -- dA. Для телесных
углов dQ и <2ЙЮ можно на¬
писать
Рис. 7.11. Пучки лучей, выходящие
из осевой и внеосевой элементарных
площадок
dti = dA.p/p*; dQ(0 = dApjp\t
где <14 P — площадка на вход¬
ном зрачке; аАР(й— проекция
площадки dAP на плоскость,
перпендикулярную к оси ВЛР —
—	рх телесного угла dQa.
Так как dAPui = dAP cos ш
и Р т~ Pi cos со, то di\0 —
= dAPcos3(ii. . Но dAP —
= pz siri QdQdty (см. рис. 7.10),
поэтому
dQa = sin 0 d0 d\|> cos3 ©.
Обозначив, проекцию dAx = dA на плоскость, перпендикуляр¬
ную к оси телесного угла dQ, через dA2, получим dA.2 — dA cos <о.
Для элементарного светового потока, исходящего из площадки
dAt и заключенного внутри телесного угла dQможно написать
d2Фш — L0 dA cos 9 cos о) dQ^	d.4	cos4 o> cos 0 sin 0 dQ dty.
Интегрируя это выражение в тех же пределах, что и найдем
dФ
CD
nLv dA sin2 ga cos4 со.
(7.41)
Беря отношение выражений (7.39) и (7.41), получаем
= d<!)v cos4 (о.	(7.42)
Таким образом световой поток, выходящий из какой-либо
элементарной площадки, находящейся в плоскости, перпендику¬
лярной к оптической оси, и расположенной вне оптической оси,
пропорционален четвертой степени косинуса угла со (половине
углового поля). При этом предполагается, что телесный угол
опирается на всю площадь входного зрачка.
7.7.	ОСВЕЩЕННОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЯ
СВЕТОСИЛА
Освещенность элементарной площадки dA*, располо¬
женной на оптической оси, определяется отношением Е'0 —
—	dfb'JdA’. Подставляя вместо ^Ф'0его значение из (7.40), найдем
E'v = nxLv (nyntf sin2 o'A,.	(7.43)
Так как d<&'v — % dOv, то E'v — mLv (dAjdA')$ia2aA. Ho dAjdA'==
= dyxjdy,% = l/Po, поэтому
E'v = n%Lv sm*aAfil
146

Представим формулу (7.43) для освещенности изображения
в другом виде. Выразив sin о'А' через диаметр входного 5зрачка D,
линейное увеличение р0 и линейное увеличение в зрачках |30Р,
найдем
sin2 о'А, = {DjrY Pop/(Pop ^o)2L
тогда
E'v = mLv (nyntf (D/?y pjp/[4 ф0Р - p0)*J.	(7.44)
Если система находится в однородной среде (лх — /г*), то
£; = ятLv (D/fy ЦрЦА (рор - p0)*j.	(7.45)
Из формулы (7.45) видно, что освещенность в изображении
элементарной площадки на оптической оси зависит от линейного
увеличения, т. е. для, различных расстояний до пред’мета осве¬
щенность будет иметь разные значения. Все величины в формуле
(7.45), за исключением яркости предмета Lv и линейного увели¬
чения р0, относятся к оптической системе (/', D, р0Р, <г). Осве¬
щенность изображения, как это видно из (7.44), пропорциональна
квадрату относительно отверстия
Величина Нг называется геометрической светосилой системы.
Фактическая светосила зависит от коэффициента пропускания,
поэтому произведение %HV называют физической светосилой си¬
стемы, т. е.
Яф = хНР - х (Djf’Y.
Физическая светосила представляет собой числовую меру, харак¬
теризующую влияние конструкции системы на освещенность
изображения.
Если предмет находится в бесконечности, то £>0	0	и
В[Г = 0,25ят!о (ОЦУ.	(7.46)
При ро --= —1, т. е. когда предмет и изображение расположены
на двойных фокусных расстояниях,
£' = nxLv (D/П* Рбр/(4 (Ро/> + 1 )*]•
Если, кроме того, « 1, то
£; = 0,0625ят1 (D/f')2.	(7.47)
Если изображение находится на большом расстоянии от опти¬
ческой системы (случай освещения прожектором), то с достаточ¬
ной точностью можно принять, что
sin2 o'Ar =s Dr?'/(4p'2) = Ар,/(пр'%
где	Ар*	—площадь	выходного .зрачка системы;	р'	—расстояние
от	выходного	зрачка	до изображения. Тогда	на	основании	(7.43)
при пг — n'k получим
E^xLvA'p,jp'\ •	(7.48)
Выражение (7.48) — это формула Чиколева.— Манжена.
147

Освещенность в какой-либо элементарной площадке, рас¬
положенной вне оптической оси, при отсутствии в системе винье¬
тирования, как следует из (7.42), будет
Ящ = k'v cos4 о>\	'	(7.49)
В реальных системах, особенно, светосильных и широкоугольных,
виньетирования не удается избежать, поэтому
=	(7-50)
где — коэффициент геометрического виньетирования.
Формула (7.49) приближенная; она дает хорошие результаты
при относительных отверстиях, не превышающих 1 : 3,5, и удо¬
влетворительные (с погрешностью 5 ... 6%) при относительных
отверстиях 1:2.
При большом угловом поле (100 ... 120°) даже при отсутствии
виньетирования освещенность на краю поля составляет б ... 17%
освещенности в центре. Наилучшим из способов повышения осве¬
щенности на краю поля является следующий: увеличивают пло¬
щадь входного зрачка для наклонных пучков лучей по сравнению
с площадью входного зрачка для центрального (параллельного
оси) пучка лучей. При этом получают коэффициент виньетирования
больше единицы. Тогда освещенность по полю можно представить
изменяющейся по закону cos3 © и даже cos2 со. Такого рода си¬
стемы (аэрофотосъемочные объективы) были впервые разработаны
профессором М. М. Русиновым.
Пример 7.3. По данным примера 7.2 определить освещенность изображения,
если D/f' = 1 : 4,5, яркость предмета Lv — 12 ООО кд/м2, угловое поле системы
2d) = 55° 58'.
Решение. Для предмета в бесконечности освещенность изображения элемен¬
тарной площадки, расположенной в центре поля, определяется по формуле
(7.46). Подставляя значения Lv и £>//' в эту формулу, найдем Е= 465,42 т.
Для непросветленных поверхностей % = 0,7247 и E’v°° = 337,3 лк; для просвет¬
ленных т = 0,9282 и E'v°° = 432,0 лк.
Освещенность элементарной площадки на краю поля найдем, пользуясь фор¬
мулой (7.50). Коэффициент геометрического виньетирования kT — А&/Ар. Если
перекрытие входного зрачка наклонным пучком лучей происходит симметрично
относительно главного луча, то kv — (.DjD)%, где D^ — диаметр наклонного
пучка лучей в плоскости входного зрачка. Если, допустим, k& — 0,5, то kr ■—
—	0,25, и освещенность изображения для просветленного объектива на краю
поля составит Е J0 = 65,7 лк, а при отсутствии виньетирования Е — 262, 7 лк.

ЧАСТЬ II
ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В геометрической оптике было показано, что опти¬
ческая система может дать идеальное изображение элементарного
отрезка — предмета, перпендикулярного оптической оси,
только в том случае, когда выполняются условия
л*
2	ns = const;	rtj dy sin (Tj — n'k dy' sin a'k = const
A
или
P ~ 00 = dy'/dy = y'ty = n\ sin ai/(n'k sin ak) = const>
т. e. когда осевая точка предмета изображается в виде точки
и инвариант Лагранжа — Гельмгольца или линейное увеличение
не зависит от угла действительного луча с оптической осыо.
Однако эти условия в общем случае для оптических систем, со¬
стоящих из сферических преломляющих и отражающих поверх¬
ностей, не выполняются. Поэтому гомоцентрические пучки лучей
пространства предметов после выхода их из системы перестают
быть гомоцентрическими.
Реальные оптические системы должны давать изображения
сравнительно больших участков пространства предметов, т. е.
иметь значительные угловые или линейные поля и входные зрачки
конечных размеров. ■ Для получения совершенных изображений
с помощью систем такого рода необходимо выполнить много более
сложных условий.
Нарушение гомоцентричности пучков лучей, вследствие чего
возникает несоответствие положения и размера реального изобра¬
жения требованиям идеальной (параксиальной) оптики, назы¬
вается погрешностями или аберрациями того или иного рода.
Количественная оценка аберраций может быть получена сравне¬
нием координат изображения (линейных или угловых), вычислен¬
ных по формулам для действительных лучей, со значениями тех
же координат, рассчитанных для идеальной системы по формулам
параксиальной оптики.
Аберрации оптических систем подразделяют на хроматические
и монохроматические. Пучки лучей естественного света, с по¬
149

мощью которых образуется изображение, представляют собой
совокупность пучков с различными длинами волн. Так как пока¬
затель преломления является функцией длины волны, то он
изменяется в одной и той же среде при переходе от одной длины
волны к другой, и вместе с тем изменяется и направление пре¬
ломленных пучков лучей. В результате этого явления (дисперсии)
изображение предмета представляет собой совокупность большого
числа монохроматических изображений, не совпадающих между
собой как по положению, так и по размеру-. Любая оптическая
система имеет только одну плоскость изображения, поэтому в этой
плоскости изображение будет окрашенным. Окрашивание изо¬
бражения называют хроматической аберрацией или хроматиз¬
мом.
Монохроматические аберрации характеризуют отступление ре¬
альных координат изображения систем от идеальных для лучей
определенной длины волны, которую называют основной.
Процесс устранения как хроматических, так и монохромати¬
ческих аберраций называется корригированием оптической си¬
стемы. Полностью устранить аберрации в оптических системах
невозможно. Удается только уменьшить их до такой степени,
что глаз или какой-либо другой приемник световой энергии
практически не воспринимает аберраций.
Основной частью любого оптического прибора является опти¬
ческая система. При разработке новых приборов могут быть
использованы оптические системы, применяемые в других .при¬
борах, или рассчитаны новые. В первом случае конструктивные
элементы системы (г, d, п и др.) известны и в большинстве случаев
известны ее остаточные аберрации. Если же условия работы такой
системы несколько иные, то возникает необходимость определить
ее аберраций и оценить пригодность системы для данного конкрет¬
ного случая. Нахождение аберраций по известным конструктив¬
ным элементам системы не представляет особых трудностей.
Во втором случае, т. е. при расчете новых систем, по заданным
значениям остаточных аберраций следует определить конструк¬
тивные элементы системы. Решение этой задачи, особенно для
сложных систем, представляет известные трудности.
Практика расчета оптических систем показала, что если найти
математическую зависимость между входными координатами луча
и поперечными аберрациями, то можно получить систему уравне¬
ний, которые приводят к довольно простым методам расчета
оптических систем, имеющих небольшие относительные отверстия
и малые угловые поля. Эти методы значительно облегчают также
расчет светосильных и широкоугольных систем.

ГЛАВА 8. ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
8.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ХРОМАТИЧЕСКИХ АБЕРРАЦИЙ.
УСЛОВИЯ НОРМИРОВАНИЯ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
Хроматические аберрации принято делить на группы
в' зависимости от того, к какой области относятся пучки лучей,
образующих изображения. К первой группе относят основные
хроматические аберрации, которые имеют место в параксиальной
области. Как известно, в этой области изображение определяется
двумя координатами: продольной — расстоянием s* от последней
поверхности оптической системы до изображения и поперечной —
размером изображения у' или углом |3д второго параксиального
луча с оптической осью.. Поэтому имеют место продольные и попе-
речные хроматические аберрации.
К продольным относятся хроматические аберрации положения
изображения или хроматизм положения. Хроматизм положения
проявляется в том, что изображения осевой точки предмета,
образованные пучками лучей различных длин волн, распола¬
гаются на разных расстояниях от последней поверхности системы.
Поперечный хроматизм, или хроматизм увеличения, состоит в том,
что размер изображений для разных длин волн будет разным,
так как линейное увеличение оптической системы является функ¬
цией длины волны.
Устранить хроматические аберрации для широкого диапазона
длин волн довольно трудно. Для большого числа оптических
систем оказывается достаточным устранить хроматические абер¬
рации для двух длин воли. Выбор этих длин волн зависит от на¬
значения системы. .Исправление хроматических аберраций для
двух длин волн не устраняет полностью хроматизм. Поэтому
в системе имеет место остаточный хроматизм для других длин
волн, называемый вторичным спектром. Если хроматизм поло¬
жения устранен для двух длин волн, то может оказаться, что
главные точки для этих длин волн не совпадают и будет иметь
место хроматизм фокусных расстояний.
Хроматические аберрации второй группы относится к конеч¬
ным апертурным углам и к конечным полевым углам, т. е. к дей¬
ств ительным лучам.
Хроматизм в параксиальной области относится к хроматиче¬
ским аберрациям первого порядка, а хроматизм действительных
лучей является хроматизмом высшего порядка.
Для вычисления хроматических аберраций, как будет пока¬
зано ниже, необходимо рассчитать ход первого и второго пара¬
ксиальных лучей. Результаты расчета этих лучей необходимы
также для определения монохроматических аберраций по при¬
ближенным формулам. Для того чтобы можно было сравнивать
отдельные варианты и различные типы систем, а также для упро¬
щения формул ход первого и второго параксиальных лучей рас-
151

АД (вх.зр)
считывают при одних и тех же начальных условиях. Выбор исход¬
ных данных для расчета этих лучей называется нормированием.
Если предмет находится на конечном расстоянии (рис. 8.1), то
для первого параксиального луча принимается а* = 1, тогда
в соответствии с формулой (5.16)
Ро = niai f(nkak) = Ч^'к,
откуда «1 = л)$о/«1-
Высота падения луча на первую поверхность	—
= flk^oSjn^
Инвариант Лагранжа — Гельмгольца
/ = пхуах = п{аj (sp — Sj) Pj = п$0 (sp — s,) p,.
Для второго параксиального луча принимается: рх = 1, ух =
= PiSp = sp. Если система находится в воздухе, то щ = tik = 1 и
ai = Po; «л*1*» Л1 = Ро51;
Pl-l; y^sp; /==Po(sp_Sl).
t
Если для предмета на конечном расстоянии расчет хода лучей
проводится при /' — 1, то все конструктивные элементы оптиче¬
ской системы должны быть приведены к /' = 1, т. е. разделены
на /'. В этом случае принимается:
а, = р0; afe — 1 К = P0si/f' = Posin;
Рх = 1; уг = $Рп (spn = sP/fr);	(®-2)
^ ~ Ро (sp ~~ si)ff' ~ h (sp ~~ si)n-
Для предмета в бесконечности (sx = —оо) принимается ак = 1
и	— 1,	тогда	/'	= hja'k = 1. Для второго параксиального луча
Pi	=	U У\	—	spv	(sPn — Sp/D- Инвариант Лагранжа	— Гельм¬
гольца
7 = п1Уа1 = "iPi (sp ~ h) Vsi = Я1 (sp ~ sd/h = ni (sp/si “ l) = ~ni-
Для системы в воздухе
а,=0; a'k=U hx — fr.~ 1; pj == 1;	У\=*рп;	}	=	—*•	(8-3)
152

8.2.	ХРОМАТИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЯ (ХРОМАТИЗМ ПОЛОЖЕНИЯ)
*
Допустим, на оптическую систему ОгО\ падает пучок
лучей AXMN естественного света, крайние лучи которого яв¬
ляются первыми параксиальными лучами и образуют с опти¬
ческой осью углы аг (рис. 8.2). После преломления в оптической
системе ОхО^ вследствие дисперсии этот пучок разложится на
цветные пучки. Преломленный пучок лучей, например для крас¬
ного цвета С' (Х2 = 643,8 нм), даст изображение осевой точки Аг
в точке А'с, для зеленого цвета е (А,0 == 546,0 нм) в точке А'е,
а для синего цвета F' (А,х = 480,0 нм) в точке A'f>. Пучки лучей
других цветов дают изображения в точках, расположенных
вблизи точек Л/?' и Ас'- Положения точек А'р', А'е и А'с' относи¬
тельно последней поверхности системы определяются коорди¬
натами OkA'F' — SF'T OkA'e = s'e и OkA'c — s'cr. Пучки лучей
Mf'A'f’N'f'у M'eAeN'e и M'c'Ac'Nc' пространства изображений
являются гомоцентрическими пучками.
Если поместить экран в плоскости, перпендикулярной опти¬
ческой оси и проходящей через точку А'с, то на экране будет
видно не точечное изображение светящейся точки Аи а кружок
рассеяния, в центре которого расположена красная точка, окру¬
женная синим кольцом. При перемещении экрана к системе кру¬
жок рассеяния уменьшается и при совмещении экрана с пло¬
скостью Е%01 проходящей через точку A'ei в центре кружка будет
наблюдаться зеленая точка, а по краям темно-розовая кайма.
Плоскость Ехв называется плоскостью параксиального изображе¬
ния для основной длины волны При дальнейшем смещении
экрана кружок рассеяния увеличивается и при совмещении с точ-
Рис. 8.2. Хроматизм положения
153

кой A'f' в центре его будет видна синяя точка, а по краям красная
кайма. Средние зоны кружков рассеяния вследствие наложения
различных цветов практически бесцветные.
Для получения более или менее резкого изображения осевой
точки предмета необходимо совместить изображения для двух
длин волн. Если, например, совместить изображения для линий F'
и С', то в этой плоскости диаметр кружка рассеяния' будет при¬
мерно в 2 раза меньше. В плоскости изображения для цвета г
кружок рассеяния практически будет таких же размеров. Отсюда
видно, что при совмещении изображений для двух цветов строго
стигматического изображения точки Аг мы не получим.
Разность координат s'f' и sс* представляет собой хроматиче¬
скую аберрацию положения изображения, или хроматизм поло¬
жения. Обозначив хроматизм положения As'f'C'4 получим
kSp:f £r, = $pZ	(8*4)
В общем случае хроматизм положения записывается в виде
Дг5£дг =	~	(8*5)
где
Началом отсчета хроматизма положения служит точка
А с'. (А%2). Аберрация считается отрицательной, если точка А'С' (А'хя)
лежит правее точки A'f' (A£t), и положительной при обратном
расположении этих точек. Систему, имеющую хроматизм положе¬
ния As'\tx8 < 0, называют недоисправленной в хроматическом
отношении или недокорригированной; если, Asj^2 > 0, то счи¬
тают, что система переисправлена или перекорригирована. В том
случае, кргда As^2 — 0, систему называют исправленной или
ахроматизированной для заданных длин волн.
Если известны конструктивные элементы системы, то опреде¬
ление хроматизма положения не представляет трудностей. Для
этого необходимо рассчитать ход первого параксиального луча
для заданных длин волн по формулам:
C&V+1 == I^vO-v ""f~	(1	M’v)	Pv>	^V+l ==	^V^V+1>
где [Ay	i, Py 1 //“v 1, 2, k.
В результате расчета определяют координаты s%t =
S%s = {hkfa'k)*., и A= sit — s£2.
При расчете оптических систем применяются уравнения для
хроматизма положения первого порядка, которые дают возмож¬
ность довольно просто выполнить ахроматизацию системы для
заданных длин волн.
Найдем уравнение хроматизма положения для одной прелом¬
ляющей поверхности радиуса г, разделяющей две среды с показа¬
телями преломления ляп' (рис. 8.3). При изменении длины волны
изменяются показатели преломления п и п' и координаты s и s'.
Приращение Aкоторое получает при этом координата s',
и является хроматизмом положения. Для определения As^a,
154

Рис. 8.3. Ход первых параксиальных лучей для длин волн Хг и Ха
воспользуемся инвариантом преломления Аббе, связывающим
координаты точек Аи А'хх первого параксиального луча:
, <?s =	(1/г - и%) = "к (W - 1/sy.	(8.6)
Изменение показателей преломления п%г и п%г вызывает изме¬
нение Qs. При переходе к координатам другой длины волны
изменение величины Qs можно найти дифференцированием (8.6)
по переменным n'\lt s%t, s'%,, т. е.
dQs — dn (1 /г — 1/s) -f n ds/s2 = dn' (1 jr — I/s') -f- n' ds'/s'2.	(8.7)
В (8.7) для удобства написания опущены индексы А*, Напишем
(8.7) в виде
п' ds'/s'2 — п ds/s2 = dn'/(l/s' — 1 /г) — dn (1/s — 1 /г).
Умножая все члены этого выражения на h2 и учитывая, что а =
= /i/s, а' = h/s' и hjr = (па' — па)1(п' — я), получаем
п'а'2 ds' —па2 ds = [h(а' —а) (1 /п' — 1 /п)] (dn’/n' —dn/n). (8.8)
Разность показателей преломления при переходе от длины
волны Х1 к Я,2, например от цвета F' к цвету С', довольно мала
(для разных марок стекол • изменяется от 0,007 до 0,03), поэтому
координаты s' будут также отличаться друг от друга незначи¬
тельно и дифференциалы dsy ds , dn и dn' можно заменить при¬
ращениями, т. е. принять ds —■ As, ds' = As', dn = An — n%t —
—	n%2, dn = An = nit —В этом случае на основании (8.8)
получим
п'а'2 As' — па2 As = [h (а' — а) (1 /п' — 1/я)] (Ап'/п — Ап/п).	(8.9)
Введем обозначение
С — [(а' — a)j(l/n' — 1/п)] (А п'/п' — А п/п) — [ба/б (1/я)] б (Ап/п),	(8.10)
тогда
п'а'1 As' — /га2 As = hC.	(8.11)
Коэффициент С играет важную роль в теории хроматизма
первого порядка; он называется хроматическим параметром.
155

Выражение (8.11) представляет собой уравнение хроматизма
положения первого порядка для одной преломляющей поверх¬
ности.
Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностей,
можно написать:
2	^
1-я	поверхность	A— пха\ Asx = кгСг;
2	^
2-я	поверхность л2а2 A— я2а2 As2 =
k-я поверхность n'ka'k Дs'k — nka\ Ask — hkCkt
Суммируя эти выражения и принимая во внимание, чтс? п\ = п2, п2 =
= Лд, . . ., flfr—j =	Otj = 0&2, а2 = а3>	•	•	•» afe—1 ~ afe,	~ ^s2’ * • '»
= Ask, после сокращения найдем
nkak Asft — nlal Asl = S Vv	12)
V=1
Для хроматизма положения Ash пространства изображений
системы из k преломляющих поверхностей на основании (8.12)
получаем
к
Ч = (“уЫ Ыа'ьУ + [1 /(»№*)1 2 КС*-	<8ЛЗ>
V=1
В (8.13) входит величина Aslt которая представляет собой
хроматизм положения пространства предметов, ^вносимый систе¬
мой, расположенной впереди рассматриваемой. Если предмет не
имеет хроматизма положения, то As1 = 0 и
-ч== [1/(^0] 2 лА,-	<8-14>
V=_I
(В дальнейшем хроматизм положения для двух длин волн будем
обозначать As^v)
Введем обозначение
k	k
Si хр = 2 hvCy = 2 [Sa/б (1 /n)]v б	(Ап/л)у,	(8-15)
V=1	V=1
тогда
М.*. - ['/(»;«;’)] S, ,р.	<8-,6>
Сумма 5i хр называется первой хроматической суммой.
Из (8.16) видно, что для устранения в системе хроматизма
положения необходимо выполнить условие
Si хР = 2 fcvCv-o.	(817)
V=1
Формула (8.17)	— это уравнение устранения Хроматизма
положения первого порядка,
156

Учитывая условия нормирования (8.1) и (8.3), для предмета
на конечном расстоянии будем иметь
= хр — 2	(8.18)
V=1
и для предмета в бесконечности (% = —оо)
КХ = /'«Гхр = Г S ЧСУ	(8.19)
V=1
(sr*P вычисляется при /' = 1, т. е. все параметры конструктив¬
ных элементов системы делят на поэтому, чтобы соблюсти
размерность, формулы для As^2 нужно умножить на / ).
В формулах (8.18) и (8.19) отсутствует координата, связанная
с положением входного зрачка, поэтому можно утверждать, что
хроматизм первого порядка не зависит от положения входного
зрачка.
Пример 8.1. Определить хроматизм положения первого порядка оптической
системы, состоящей из двух линз (двухлинзовый несклеенный объектив) в
воздухе, конструктивные элементы которой
/■] = 105,68 мм,
d{ = 6,0 мм, К8 (пв = 1,518296, nF, = 1,522407, пс, = 1,514291),
г2 =—94,84 мм,
dz — 0,3 мм,
г3 = —88,31 мм,
d3 = 3,4 мм, ТФ5 (пе = 1,761714, пр, = 1,776432, пс, = 1,748558),
г4 = —167,49 мм.
Предмет в бесконечности, относительное отверстие системы Dlf' = 1:5.
Решение. Фокусные расстояния и фокальные отрезки системы определим
расчетом хода первого параксиального луча в прямом и обратном ходах, прини¬
мая аг = 0 и hx — 16,0 мм, по формулам av+1 = fivav ~h (I — H-v) Pvi h\+i—
= hv — dvav+1, где v = 1, 2, 3, 4.
В результате расчета получено: —f — f = 159,71 мм; sF = —157,60 мм; s'p, —
= 155,56 мм.
Хроматизм положения при % = —оо определим по формуле (8.19), в которой
первая хроматическая сумма
4 ~ ~ ~
Si хр — 2	=	Н~	^2^2	h3C3	-f-	Л4С4,
v—1
где
Ci —	1(«2 — «1)	(1/«з	—	l/rti)l/[A%/rt2 — Arti/rtil,
C3 =	l(a3 — a2)	(l/n3	—	1/п2)]/[Лп3/п3 — Дя2/я2],
Cs =	[(a4 — a3)	(I/п4	—	1/л3) ]/[An4/n4 — An3/n3],
Q —	l(a6 — «4)	(l/ле	—	1/w4)]/[A%/«5 — 'Ая*/п*].
Учитывая, что для рассматриваемой системы Дпх — Ап$ = Апь = 0,
l(ne — l)l(nF' — ПС')J2 ^ v2’ \{пе ~ l)/(nF' — ДС')]4 = V4’ хроматические пара¬
метры будут равны: Сх = (<х„ — сс*)Л>2; С2 = (ая — a2)/v2; С3 = (а* — a*)/v4;
Q = (аь — a*)Av в 9ТЙХ формулах для заданных марок стекол v8 = 63,83
и Vj = 27,32.
157

Так как первая хроматическая сумма вычисляется при f = 1, то радиусы
кривизны линз системы, толщины линз и воздушный промежуток были разде¬
лены на f' = 159,71 мм. По этим данным был рассчитан ход первого параксиаль¬
ного луча для линии спектра е при а1 — 0 и кг — 1. В результате расчета полу¬
чено:
ах = 0;	kx~ 1,0;
а2 = 0,515899;	h2 = 0,980619;
а3 = 1,639186;	А» = 0,977540;
а4 = 0,166057;	Л4 = 0,974005;
а5 = 1,000000.
Хроматизм положения определяется для линий спектра F' и С', поэтому Лл,
входящие в формулы для хроматических параметров, представляют собой сред¬
ние дисперсии пр, —пс,. В результате расчета имеем:
Сх = —0,00808;	С* = —0,01759; С3 == 0,05391;
С4 = —0,03051; hjCi = —0,00808; Л2С2 = —0,01725;
A3CS = 0,05270; Л4С* == —0,02972;
хроматическая сумма хр = —0,00235 и хроматизм положения первого порядка
ДяСя. = f'S* хр = -°’3759
8.3.	ХРОМАТИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ РАЗМЕРА
ИЗОБРАЖЕНИЯ (ХРОМАТИЗМ УВЕЛИЧЕНИЯ)
Рассмотренная выше хроматическая аберрация Дs^a,,
относится к координате s', определяющей положение изображе¬
ния. Если даже в системе будет устранен хроматизм положения
ДsjiAj, то это еще не значит, что в изображении будут отсутство¬
вать кружки рассеяния и соответственно окраска в изображении.
Вторая хроматическая аберрация относится к ординате у', кото¬
рая также является функцией длины волны. Размер изображения
зависит от линейного увеличения системы, которое определяется
формулой,
£0 = У'1У = nlal/(nka'k) = "lSlS2 • • • M(nksls2 • ■ • sk) = in\!nk) П .(S'/SV (8*2°)
v=l
Из (8.20) видно, что линейное увеличение системы зависит от
показателей преломления сред и координат s и s'. Для пучков
лучей длин волн и формула (8.20) дает два разных значения
Роа* и Рох,».а следовательно, и разные размеры изображения у%х =
= РоХгУ И у'о%2 = РоХЯУ-
Изменение координаты у' для пучков лучей различных длин
волн называется хроматической аберрацией размера изображения
или хроматической аберрацией увеличения. Хроматическую абер¬
рацию увеличения, которую в дальнейшем будем называть хро-
158

матизмом увеличения, можно определить разностью размера
изображений для заданных длин воли
= У'к(8-21)
или разностью линейных увеличений для тех же длин волн Лр0 =
==
Эту формулу можно применять только для предмета на конеч-
ном\расстоянии.
Хроматизм увеличения Лг/хда может быть вычислен для . си¬
стемы, конструктивные элементы которой известны расчетом хода
второго параксиального луча для заданных длин. волн.
При наличии в системе хроматизма положения для длин волн А,х
и Я2 отрезки yit и ух2 располагаются в разных плоскостях
(рис. 8.4). В случае, когда	—	0,	отрезки	yit	и	y%t	находя¬
тся в одной плоскости. В обоих случаях хроматизм увеличения
определяется формулой (8.21). Известно, что любая оптическая
система имеет одну плоскость изображения, в качестве которой
в большинстве случаев принимают плоскость параксиального изо¬
бражения для основной длины волны Х0. (За основную принимают
длину волны, для которой исправляются монохроматические абер¬
рации.) Поэтому нас интересует хроматизм увеличения, который
будет иметь система в этой плоскости изображения. Если обозна¬
чить проекцию отрезков yit и у%г на плоскость параксиального
изображения для длины волны Х0 через	и	(у%,)^	то	хро¬
матизм увеличения будет
= (Лй,!цН„ = Ю>.. - (ук)к-
Причем хроматизм увеличения Лу%0 не равен хроматизму увели¬
чения Д ухгх% •
159

Размеры изображений у\ отнесенные к плоскости парак¬
сиального изображения для длины волны Х0, будут:
при	- О
Найдем формулы, с помощью которых можно проводить ахро-
матизацию вновь рассчитываемых систем в отношении хроматизма
увеличения и определять хроматизм увеличения первого порядка
систем, конструктивные элементы которых известны.
Размеры изображения в параксиальной области, как известно,
определяются формулой у'= $0у. Логарифмируя и дифференци¬
руя (8.20) по всем переменным, найдем
йРо/Ро=dni/ni - dnk/nk+dskisk - dsi/si + 2 (*Ui/s;-i - dsvisv)'
V—2
После преобразования и введения координат второго парак¬
сиального луча найдем
dh!h = dnilni — dnklnk + dsi/(sp ~ si) ~ ^ft/(sP' “ sk) +
при Asj^, = 0
dy’/y' — dyjy + dp o/Po-
(8.22)
Для dpo/Po на основании (8.20) получим
rfPo/Po ~ dtlilni ~b dn'k!n'k ds[js\ -j- dSg/Sg -f-
+ * * * + ds'k/s'k - ds,/s, - ds2/s2 - • . • - dsk/skt
или
k
k
+ <M}) S (Vftv) {nv dsvav ~nv dsval]-
(8.23)
2
Учитывая, что riyds'vav — nvdsva% ~ hvCv, и подставляя (8.23)
в (8.22), будем иметь
dll'l У' = dyhJ + dnxjnx — dn'kjn’k + dsxj{sp — $,) —
k
~ds'kl(s'p’ — 4) + (>/0 2 »vcv.
V=1
Заменив дифференциалы приращениями, для хроматизма уве¬
личения получим
by'Kt%jy' = byfy + A«i/nj - Ankjnk + AS,/(S/, - s,) -

Yl'*o
Рис. 8.5. Хроматизм увеличения:
а — ЛПДав °> ДП0 Ч* От б —	ч* °» АУХв““ °*
где A# — хроматизм увеличения, a Asj — хроматизм положения
в пространстве предметов; Asitxa — хроматизм положения в про¬
странстве изображений.
Если предмет безаберрадионный, т. е. не имеет хроматизма
положения и хроматизма увеличения, и система находится в одно¬
родной среде, тогда А у = 0, Asi — 0, п\ — пк, А/гх. = A nk и
= ~~AskjJ(sP' ~ 4) + (W 2 ^v*	(8'25)
V—1
Из (8.25) видно, что хроматизм увеличения Д#я*л, зависит
от хроматизма положения Asj^* поэтому, как уже-у называлось,
координаты y%t и у%г лежат в разных плоскостях. Если даже и будет
достигнута ахроматизация, т. е. Ayit — Ay'\g1 то при Asj^ Ф О
проекция этих координат на плоскость параксиального изображе¬
ния Е'х0 даст разные размеры (у'%г)%0 Ф (у'Оь (Рис- я)- Поэ-
7 П/оел. Дубовика	161

тому при наличии в системе хроматизма положения, чтобы устра¬
нить хроматизм увеличения, отнесенный к плоскости паракси¬
ального изображения Е'х„ для двух длин волн, нужно допустить
такой хроматизм увеличения Ау'ххх&, при котором проекции изо¬
бражений и у%г из осевых точек выходных зрачков P'%t и Pit
на плоскость будут одинаковыми, т. е. (yxt)x<> — (Ук)х0 = О
(рис. 8.5, б).
Найдем уравнение ддя хроматизма увеличения Ayi0 =
'•	hi	УХ а)х.о-
Из рис. 8.5, а имеем (yxjx0 = ух, — ($'х0 — s'%J pit; (у'х9)х* =
= УX — (SL — SU P^2-
Углы pxx и Pxs мало отличаются друг от друга и от рх*, поэтому
можно принять ря* = Кя = тогда Ау'х0 =	—	ух9)	+
+	" SU PL*
Учитывая, что ухх — ух% = Д^Ц,; $х,. — $х& = Лзх,х2; Рхв =
= ykj(s'p* — Sfe)^0, Д-яя хроматизма увеличения Ау’х9 получаем
^Ух0 *=	~	^Ухххг + ^sx,x?yxJ(s'p* “ sft)v
Хроматизм увеличения в относительной мере
^Ух0/У'х0 ~ ^Ухгх21Ук + ^sitxJ(sP' ~~ s'k)x0-
Отсюда, опуская в знаменателях индекс Х0, получаем
Ау'к{У = Ay'kiKjy' + ASbiXJ(s'p, - S'k);
ь«кк/У = АУ'к/и' - Asi.A,l(sP’ -	<8'2б)
Приравняв (8.25) и (8.26), будем иметь
k
Wxjy' = (1//) 2	(8-27)
Введем обозначение
к ^
II хр “ 2 y^vi	(S.28)
v==i
тогда
Щ, = (Г//) S„ хр.	(8-29)
Сумма 5цхр называется второй хроматической суммой.
Формулу (8.29) используют для определения хроматизма
увеличения первого порядка систем, конструктивные элементы
которых известны, а также для устранения хроматизма увеличе¬
ния в плоскости параксиального изображения для основной длины
волны при расчете новых систем.
Для’ устранения хроматизма увеличения в системе, располо¬
женной в однородной среде, необходимо выполнить условие
Ьу'х0 = (y'II)Sn хр — 0, отсюда следует, что должна быть равна
нулю вторая хроматическая сумма

Учитывая условия нормирования (8J), для предмета на ко¬
нечном расстоянии получаем
k _
АУ%„ = (У'/I) Su хр - [y'f(Sp - Sj) Р0] 2 0vCv	(8'3°)
V—1
Для предмета в бесконечности
ДС = (»'//) S„ хр = -Г 2 -"Л-	<8-31>
v~i
Из (8.30) и (8.31) видно, что хроматизм увеличения зависит
от положения входного зрачка, так как в 5и*р входит коорди¬
ната ух.
Системы, у которых исправлены или доведены до малых зна¬
чений хроматизм положения и хроматизм увеличения, называются
ахроматическими или ахроматами.
Пример 8.2. По данным примера 8Л вычислить хроматизм увеличения пер¬
вого порядка... если входным зрачком является световой диаметр первой линзы
системы (sp — 0j и 2ш == 6° 00'.
Решение, Хроматизм увеличения вычислим по формуле (8.31), т. е.
ау'х7 = -y'sTi хр,
где 5^ хр — у1С1 + у2С2 + у$Съ -(- */4С4.
Для определения у, т. е. высот пересечения второго параксиального луча
с преломляющими поверхностями . {[условия	нормирования	(8.3)], был рассчи¬
тан ход этого луча по формулам
Pv+1 “ M’vPv Н“ Уч (1 J^v)	Pv>	#V+1 ~ .Vv	^vPv+n
где v = 1, 2, 3, 4. В результате расчёта	получено:
Pi = l;	ух	— 0;
Р2 = 0,658633;	уй	= --0,024743;
ра = 0,978404;	у3	= —0,026581;
р4 = 0,576156;	уА	= —0,038847;
рБ = 0.986806.
Так как С для каждой поверхности известны, то ухСх — 0, у2С2 — 0,00044,
у3С3 = —0,00143, yjOA = 0,00119 и вторая хроматическая сумма 5^ хр =
= 0,00020. Размер изображения у' == —/'tgo) — —8,3701 мм.
Хроматизм увеличения первого порядка Ау^~ —У'$п Хр ~ 0,0017 мм.
8.4.	ВТОРИЧНЫЙ СПЕКТР ПОЛОЖЕНИЯ
И УВЕЛИЧЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Система, ахроматизированная для длин волн А* и Яа,
еще не свободна от хроматических аберраций как для осевой,
так и для внеосевой точек предмета. Изображения, образованные
пучками лучей других длин волн, будут располагаться на раз¬
личных расстояниях от последней.поверхности системы и иметь
разные размеры. Имеет место так называемый вторичный спектр.
163

Рис. 8.6. Вторичный спектр положения Д$' с и вторичный спектр увеличе¬
ния А*/в. с
Вторичный спектр для осевой точки предмета обычно харак¬
теризуют отрезком Asb. 6> равным расстоянию от изображения
для основной длины волны Х0 до изображения, которое ахромати¬
зировано для длин волн Xj и Х2» а Для точки предмета, располо¬
женной вне оси, отрезком Ау'ь. в о? края изображения В'х0
до Вхгхя (рис. 8.6).
Вторичный спектр для осевой точки предмета, по существу,
является хроматизмом положения, а вторичный спектр для вне¬
осевой точки предмета — хроматизмом увеличения для третьей
длины волны, который оказывает существенное влияние на ка¬
чество изображения в системах с большими фокусными расстоя¬
ниями, большими полями и относительными отверстиями.
В дальнейшем вторичный спектр для осевой точки предмета
будем называть вторичным спектром положения, а для внеосевой
точки предмета — вторичным спектром увеличения.
Мерой вторичного спектра положения является величина
Д4с = sxtx, — s'x0 при условии, что A s'x,x2 = s'%1 — s'x2 = о,
или в общем виде1 As*. g = s% — s'x9 при том же условии, X —
длина волны для любого другого цвета.
Для вторичного спектра увеличения имеем Аг/в. с = Ухл* —
—	у'х0 при условии, что Ау'х0 = (Ухt — y'xs)x0 = о или в общем
виде
АУ'ь,* = (У%)\6-Ук0.
Обозначим показатели преломления для длин волн Х2
и Х0 через пх1У пхя и пх0, а разности показателей преломления
nxt—пхг = Ал и nxt — п% = Ап, где Ап является разностью
показателей преломления длин волн, для которых устраняются
основные хроматические аберрации первого порядка — хрома¬
тизм положения и хроматизм увеличения, а Ап — разность по¬
казателей преломления для длины Я, для которой устраняется
вторичный спектр, и для основной длины волны. В том случае,
когда основные хроматические аберрации устраняются в видимом
164

участке спектра, Ап является средней дисперсией (я/?' — пс),
а Ля — частной дисперсией (nF* — пе, пе — псng — nF' и т. д.).
Относительная частная дисперсия описывается уравнением
у = (пх - пк)/(пк - пк) = А л/Ай.
Откуда
Дй = Y Ал.	(8.32)
* Хроматизм положения и хроматизм увеличения для длин
волн и определяются уравнениями (8.14) и (8.27). Аналогич¬
ные уравнения можно написать и для вторичного спектра поло¬
жения и увеличения:
к
ЛК. е = (WO 2 ftv (т/iivtr-Vov') (ASv+l/nv+l - ASv/"v);
V=1
k
<4.. = arm 2 ^ (il;;, E-fI ) (a/vh/vh - дя»/»ч).
V=1
Введем обозначение
cv в. с ~ ^	^	№nv+i/nv+i	Anv/nv)
или, учитывая (8.32),
в. с ~ ^ I V ^ }Д } (Адv+iTv-fi/^v+i AnvYv/«v)-
V+1 V	(8.33)
Величина Св. c является хроматическим параметром для
вторичного спектра. Вводя первую и вторую хроматические суммы
вторичного спектра
k	k
		ЛМ			l*V
1	в. с — 2 в. с> *^11 в. с — 2 в. с»	(8.34)
V=1	V—1
для вторичного спектра положения и увеличения будем иметь
Ч. 0 = t'/(««2)lsiB.c;	Л»;, с = (у-m s„ о. (S-35)
Для одновременного устранения хроматизма положения и
вторичного спектра положения, а также хроматизма увеличения
и вторичного спектра увеличения, т. е. чтобы As^ = Asb. е — О,
Ау'хь — Ау'ъ, о = 0, необходимо выполнить условия
ft	k
*^1 хр = В. С = 21	=	2	в’, с ~ О’
V=1	V—1
k	k
*^II xp “ *^II В. С = 2 yv^v ~ 2	В. с =
v—1	V—1
С учетом условий нормирования для предмета на конечном
расстоянии
ft ^ ^1 в. с;	Д^в.	с	~	{^/[Ро	(SP ~ sl)]}^II в. с	(8.36)
165

и для предмета -jb бесконечности
ЛСо = f'sr„. е;	=	-у'*п	в. с-	(8-37)
Оптические системы, у которых исправлен и вторичный спектр,
называются апохромалгтескими или апохроматами, если же
вторичный спектр исправлен только частично, их называют по¬
лу апохроматами. В том случае, когда в системе хроматические
аберрации исправлены для четырех и более длин волн, их назы¬
вают суперапохроматами.
Пример 8.3. По данным примера 8,1 определить вторичный спектр для линий
спектра F' и С' относительно линии ё.
Решение. Относительные частные дисперсии для марок стекол К8 и ТФ5
вычисляют	по	формулам (8.32). Для воздуха частные дисперсии	Atix ~ Ans —
—	Ап&	~ 0,	поэтому -у* = Ya = у5 = 0. и для заданных марок	стекол
Y2 ==	г,е)1{пря — пС“)I2 ~ 0,50653;
Y4 — [(рр* — ft'elliP’F* — ^’С*)J4 ~ 0,52802.
Хроматические параметры вторичного спектра
Ci в. о ~ ^iV2 ™	0?00409;
^2 в« с ~ £V?2 “ —0,00891;
Q в. с -	— 0,02847;
£4 В. С ~ ^4^4 “ 	0,0161 1 *
Хроматические суммБ! вторичного спектра согласно (8.34)
4
Sl в‘ 6 = hvCv в- 6 = hlCl в' е + h2^2 в- 6 + Лз^3в. Q + К9а в. 0 — —0,00069;
V 1 А
4
		А«./	_
ООО	^
11	в' с ~~ l?v v в* 6 = Ух 1 в- е	в-	с + в. g + ^4С4 в. о = 0,00009.
Вторичный спектр положения и увеличения
в.	о ~ fс ~ —0,1102 мм;
-V/iT е = —У'$и п. с = 0*0007 мм.
Для линий спектра. С' и е относительные частные дисперсии
Yj - 0‘; y2 = [(пС' ~ ne)/(nF, — nc,)|2 = —0,49347;	?3	==	0;
?4 = [(nc, - ne)f(np. - nc,))A = -0,47198; ?g = o.
Хроматические параметры вторичного спектра:
Ci в. с = Сгу2 = 0,00399; С2 в. с = С*уа = 0,00868;
^3 В. с = C3Y4 = =0,02544; С4 в. с = C4y* = 0,01440.
Хроматические суммы:
4	~	4
Si В. е = S «. g = 0,00166; 5JJ в а *= 2 yvCv и_ Л = —0,0001.
v-^i
166
В. С

Вторичный спектр положения и увеличения:
О	- /'ST.. С, = 0.2651 мм; Щ~ 0 = -y'S^	. = -0,0008 мм.
Суммарное значение ASb°°6 и Ау'ь°°Q должно быть равно	и	Аг/^( т.е.
KL “ Asl'в. в - А4“ . =* - °’3753 ММ’
А*С = В. с - А^2 в. в = °’0016 ММ-
(Некоторое расхождение с данными примера 8.1 объясняется неточностью вы¬
числений.)
8.5.	ХРОМАТИЗМ СИСТЕМ ИЗ ТОНКИХ • КОМПОНЕНТОВ.
ОСНОВНОЙ ХРОМАТИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР
Хроматизм положения и увеличения. Для тонкого
компонента имеем
/»! = &*=•••= Л* = hf,
Н = Н ^ * *• = Ук -Уи
2 ^ ~ d\ — d% = * • • — = 0.
Для каждой тонкой линзы, входящей в компонент t, в соответ¬
ствии с (8.10) хроматический параметр
v~i
где
<Ап*/Ла -
= Т/п1 — 1/V (ЛПз/Па “ Ап*/п*>-
Если линза находится в воздухе, то пг = пп — 1, я2 = п,
ДлА = Д/г3 = 0, Дяа — Ап. При этом
=	=	(а*	~аг) Ап/(" ” 1);
==	(—Дя/л) = — («з — «а) A«/(« — 1);
С = Cj -f С2 = — (а« — аг) Дл/(п — I).
Так как а3 — аг — НФ; Ап/(п — 1) = 1/v, то
С = — (а3 — oti)/v = —ЛФ/v.	(8.38)
Для тонкого компонента, состоящего из I тонких линз,
i
Cf = —hi (OxJv2 -{- Фз/'Уз -f- • • • + Фi/vi+i) = —hi 2 ®i/vi+v (8.39)
t=i
Оптическая сила тонкого компонента Ф* = Фг Фа Ф8 + ...
+ Ф*.
167

Умножим и разделим (8,39) на Фь тогда
I
i
Cl -	2	Ф/(Ф*Л1+1).	(8-40)
1=1
Введем обозначения
г
ф = Ф/ФС, = - 2 ф,/v,+lf	(8.41)
/=1
где <р — приведенная оптическая сила тонких линз, входящих
в компонент. Подставив (8.41) в формулу (8.40) для Сь найдем
С*=.Л*ФгС|.	(8.42)
Для тонкого компонента оптическая сила Ф* = (а\ — a
поэтому
=	—a^C,.	(843>
Формула (8.42) позволяет упростить выражения для первой
и второй хроматических сумм. Для тонкого компонента на осно-
вании (8.15) и (8.28) имеем SIzp = 5ц хр = UtCf.
Принимая во внимание (8.42) и (8.43), получаем
хр = (ai — ai) Ci =
(8.44)
^1Гхр = Vi (a'i ai) i ~
Для хроматизма положения и хроматизма увеличения тонкого
компонента согласно (8.16) и (8.29) будем иметь
= ['/КО! Si хр = [1/("М2Л Ч® А;	(8 45)
= СГД) s„ гр = (у 11) h,ypfit.
Учитывая условия нормирования для первого и второго пара¬
ксиальных лучей компонента в воздухе при st =£ —-оо (at = р0;
«5 =	1; Ф*	= (a;- — ai)Jhi = (1 — $о)/Ы;	ht =	Ро^ь	/	=	£о X
X (sP —■ sx);	рх = 1; уг = &р), получаем
Asitkd ~ кр “ ^*0 “ Ро) ^1 — Posi (1 Ро)
в (^7-0 5и хр = {У'№о (sp ~ si)j} О — Ро) ~
= WpI(sp ~ si)3 К1 ~ Рв)/Ро]'с«.	(8-4б>
При	Si = —	оо (at = 0; а{ — 1; hi = f' = 1;	/ = —1;	Pi	—	1;	г/i =
= sPtf = Spn)
= C<; ДС = -*^й xp —(8.47)
Из (8.41) видно, что коэффициент Ct зависит от приведенных
оптических сил линз, входящих в компонент, и от коэффициентов
168

дисперсий, т. е. от марки стекла. От коэффициента С* зависят как
первая, так и вторая хроматические суммы, а следовательно, хро¬
матизм положения и увеличения. Поэтому коэффициент С* можно
назвать основным хроматическим параметром. Коэффициент С*
следует считать хроматическим параметром для предмета на ко¬
нечном расстоянии. Действительно, при ai — 0 и а\ =1 в
соответствии с (8.43) С* = С*. Формулы (8.47) показывают, что
для тонкого компонента основной хроматический параметр С*
равен хроматизму положения для предмета в бесконечности при
/' — 1,0. В этом состоит геометрический смысл основного хрома¬
тического параметра.
Первая и вторая хроматические суммы для системы, состоя¬
щей из р тонких компонентов, как следует из (8.44), будут соот¬
ветственно равны
хр = 2 ki (ai ai) С»;	Хр = S Vi (а* ai) С{-	(8-48)
/=i	i=i
Выражения (8.48) можно представить также в следующем
виде:
51 хр = % Е	5п	хР = % £	(8*49^
1=) i=i
где Фр — оптическая сила системы, состоящей из р тонких ком¬
понентов; фг- = Ф*/Фр — приведенная оптическая сила компо¬
нентов, входящих в систему.
Для хроматизма положения и хроматизма увеличения системы
из р тонких компонентов имеем
AV, = [!/К“р)] фР 2
(8.50)
/J
Д^0 = is'fiyфр 2 hi9mci.
Р
1=1
Хроматизм положения и хроматизм увеличения будут исправ¬
лены в тонком компоненте, если выполняются условия
хр ~	^	жр ==	^
и для каждого из компонентов, входящих в систему,
хр ~	— 0»	хр =
В общем случае эти условия выполняются одновременно при

Равенство ht == 0 означает, что предмет и изображение явля¬
ются точечными и совпадают с главными точками. Условие С% — О
весьма важное, так как при его выполнении тонкий компонент
будет свободен от хроматизма положения и хроматизма увеличе¬
ния. Чтобы устранить хроматические аберрации системы, состоя¬
щей из тонких компонентов, необходимо обеспечить равенство нулю
основного хроматического параметра С* для каждого компонента
или хроматической суммы для всей системы. Оптические силы
тонких линз не зависят от положения предмета, следовательно,
основной хроматический параметр также не зависит от коорди¬
наты Поэтому, если в тонком компоненте С% = 0, то коррекция
хроматических аберраций будет стабильной, т. е. не будет зави¬
сеть от положения предмета.
Вторичный спектр положения и увеличения. Для тонкой линзы
согласно (8.33) справедливо выражение
Так как Ап = уАпу то Св.с = — (а3 — ах) АпуЦп •— I) =
—	— (а3 — ccj) 7/Vx или
тогда С{ в. G —= hi^iCi в. с ~ fat ^t) Ct в. ©*
Коэффициент Ct в. 0 является основным хроматическим пара¬
метром для вторичного спектра.
Первая и вторая хроматические суммы вторичного спектра
компонента
Соответственно вторичный спектр положения и увеличения
Из (8.55) видно, что формулы для вторичного спектра анало¬
гичны формулам хроматизма положения и увеличения с той
только разницей, что в последних формулах параметр С* нужно
заменить на С*в.с. Для устранения вторичного спектра в тонком
компоненте или в системе из тонких компонентов при одновремен¬
но
Св, с — £*1 В. С 4" £*2 В. С —	(«3	al)	АЙ/(я	1).
Св.с = —ЬФу/у.
Для компонента, состоящего из I тонких линз,
i i
(8.51)
(8.52)
Введем обозначение
в. с
Е 4>i (V/v)f+1,
(8.53)
(8.54)
(8.55)

ном устранении хроматизма положения и увеличения необходимо
для каждого компонента выполнить условия
i i
С, = - 2 9,/v,	= 0; С, в. а = - 2 Ф| WV)M = 0-
, i=i
Пример 8.4. По данным примера 8.1 определить хроматические аберрации
для тонкого компонента, т. е. при dx — d2 = d3 = 0.
Решение, Из расчета хода первого параксиального луча через тонкую си¬
стему получено ее фокусное расстояние /' = 158,94 мм. При /' = 1 и hx=h% =
—	h3 —	= h углы <xx — 0, a2 — 0,513406, a8 — 1,648099, a4 = 0,157331
и at = 1.
Хроматические параметры с учетом того, что v2 = 63,83, v4 — 27,32 соответ¬
ственно равны:
л
Сх = — (a2 — ctiJ/vg = —0,00804; Сй = — (a3 — a2)/v2 = —0,01778;
С, = — (&4 — a3)/v4 = 0,05457; С4 = — (аБ — a4)/v4 == —0,03084.
Хроматические суммы
4	_____
5Гхр ~ Zj	~	(^1	с2	+	сз	+	Q)	~	0,00209;
V—1
sn хр = S уЛ = У, (С, + С2 + С3 + С4) = 0.
V—I
(Входной зрачок совпадает с компонентом, поэтому г/i — у2 -■= г/3 — z/4 — Уг — 0.)
Хроматизм положения и хроматизм увеличения тонкой системы
= ^'sr*p = -0.3322 мм; Ду£” = -yS~ хр = 0.
Сравнивая полученные результаты с данными примера 8.1, видим, что хро¬
матизм положения тонкой системы уменьшился на 11,6%, т. е. незначительно.
Это говорит о том, что если толщины линз малы, то они не оказывают существен¬
ного влияния на хроматические аберрации.
8.6.	ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
Рассмотренные выше хроматические аберрации от¬
носятся к аберрациям первого порядка, т. е. к аберрациям в па¬
раксиальной области. Хроматические аберрации второй группы
относятся к конечным апертурным и полевым углам. Эти аберра¬
ции также зависят от длины волн и дают окрашивание изображе¬
ний. Возникают так называемые хроматические разности моно¬
хроматических аберраций.
Наличие большого числа хроматических аберраций действи¬
тельных лучей приводит к тому, что исправляют только те из
них, которые особенно вредны для данного типа системы и в пре¬
делах рабочей области спектра системы. Например, в*светосиль¬
ных системах, телеобъективах зрительных труб геодезических
приборов и объективах микроскопов высокой апертуры ^большое
внимание уделяют исправлению сферохроматической аберрации
(рис. 8.7).
171

Рис. 8.7. Сферохроматическая аберрация *Д	)	=
== z\si — A^i
Лц	Л»2
Хроматизм положения действительных лучей для длин волн
И А>2
. = Ц —Ц
Л»2 *
Хроматизм положения действительных лучей на некоторой
зоне входного зрачка
As' . = А «Г . -f A (As: . \	(8.56)
A»jA2	Л1Л2	*	\	AjAj/J	'	/
где Д (Asj^O — сферохроматическая аберрация.
Из (8.56) имеем Д (Asi1%z) = ДЗ^л. — Дв^л,—— (s'K —
-	sU - (5xl3 -	“ W,e - sg.
Так как §*l3 — s'%1 = As^, s^3 —	=	As*,,	to	Д	(Asi^J =
—	— Asxsf т. e. сферохроматическая аберрация равна раз¬
ности сферических аберраций As^t и Д^ для данных длин волн.
Когда хроматизм положения в параксиальной области ис¬
правлен, то. Asitx2 — 0- При этом
А /л*; 1 ) = а г; * = /яг — s: L
\ Л^лз/	АцЛд	\	A»j	А#я/Э	•
В широкоугольных системах приходится учитывать хромати¬
ческую разйость увеличений высших порядков
А (А^0) = щ0 - А^0,
где Ау'х0 = yix — у%,8 — хроматизм увеличения первого порядка;
^ Уи — У'ь8 — хроматизм увеличения действительных лу¬
чей.
Хроматизм положения и хроматизм увеличения действительных
лучей рассмотрены в гл. 12.
172

ГЛАВА 9. ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
9.1.	ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ
И УВЕЛИЧЕНИЯ
При изменении температуры, в частности при ее повышении,
показатели преломления сред, как правило, растут; увеличиваются линейные
размеры системы (радиусы кривизны поверхностей, толщины линз и зеркал).
Растут также размеры оправ линз и оправ, соединяющих оптические детали.
В результате всех этих изменений смещается плоскость изображения, изменя¬
ются фокусное расстояние, линейное увеличение и аберрации системы (рис. 9.1).
Смещение плоскости изображения в зависимости от изменения температуры
носит название термооптической аберрации положения изображения Ast. Изме¬
нение размера изображения в зависимости от изменения температуры назы¬
вается термооптической аберрацией увеличения Дy't. Задача оптического расчета
системы сводится и исправлению указанных аберраций.
Термооптическую аберрацию положения необходимо учитывать при расчете
длиннофокусных аэрофотообъективов.
Термооптическую аберрацию увеличения нужно учитывать njpH разработке
выеокоортосконических и высокоразрешающих объективов для топографиче¬
ской аэрофотосъемки, а также при астрономических и геодезических работах,
связанных с точным определением координат различных объектов.
Задача создания оптических систем, не изменяющих настройку при изме¬
нении температуры, .может быть решена путем выбора соответствующих мате¬
риалов и типа конструкции оправ и корпуса, при которых компенсируется за¬
ранее рассчитанное смещение изображения и изменение его масштаба. Однако,
как показал опыт, это приводит к применению конструктивно сложных оправ,
специально подобранных материалов корпуса и его специальной конструкции,
что невозможно выполнить при серийном производстве. Поэтому рациональ¬
нее уже при расчете оптической системы корригировать термооптические абер¬
рации для заданного перепада температуры.
Термооптические аберрации рассматриваются обычно для двух случаев:
1) температура всех сред и деталей системы изменяется постепенно и равномерно
в определенном интервале; 2) температура отдельных элементов системы изме¬
няется неравномерно, т. е. имеет место температурный
Рис. 9.1. Термооптические аберрации:
As^ — термооптическая аберрация положения изображения; Аyf —» термооптическая
аберрация увеличения; А а'' — температурное изменение оправ системы; А темпера¬
турное вмещение выходного зрачка
173

9.2.	ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
И ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Изменение показателя преломления в зависимости от темпера¬
туры определяется но формуле
nt ~ по “г	*о)»
где п0 — показатель преломления при температуре tQ; — коэффициент при¬
ращения показателя преломления. Показатель преломления п0 соответствует
температуре г0 =20°С и нормальному атмосферному давлению, т. е. тем усло¬
виям, при которых показатели преломления и другие постоянные оптического
бесцветного стекла даны в ГОСТах. Температурное приращение показателя пре¬
ломления является функцией длины волны и обычно определяется для той длины
волны, для которой исправляются монохроматические аберрации системы. Учи¬
тывая сказанное выше, формулу для tit можно написать в виде
nt = по + Р* (* — 20°)-
Откуда изменение показателя преломления
dnt — $tdt,	(9Л)
где dt ж At принимается равным разности t — 20 °С. ^
Радиусы кривизны преломляющих поверхностей в зависимости от темпера¬
туры изменяются по закону rt = rQ |1 -j- af (t — 20 °C)], где — температур¬
ный коэффициент расширения стекла — коэффициент линейного расширения.
В ГОСТе на оптические стекла указаны два усредненных значения коэффи¬
циента af: для интервала температур -j-20 ... —60 °С и для интервала -f-20 ...
-{-120 °С.
Температурное изменение радиуса
dr% — r$L\&tv	(9.2)
Если drt определяется для поверхности склейки стекол двух марок, то зна¬
чение at берется как среднее из коэффициентов расширения этих стекол.
Толщина линз в зависимости от температуры определяется но формуле
dt = do I1 + at (* — *о)Ь откуда
ddt = Adt — dffct dt.	(9.3^
Температурное изменение воздушных промежутков между линзами системы
зависит от коэффициента линейного расширения корпуса, в котором крепится
оптическая система, от способа крепления линз в оправах и крепления самих
оправ линз в корпусе. В наиболее простом случае, когда воздушный промежуток
устанавливается с помощью кольца (рис. 9.2),
dB = L ~г kj — k2,
где L — длина кольца; fel5 kz — стрелки прогиба на преломляющих поверхно¬
стях.
После дифференцирования dB по L, fej и, &2 и введения коэффициента расши¬
рения материала yt кольца и температурных коэффициентов и a2f стекол
получим
ddBt = AdBt = [(dg + kx — k2) yt — kxalt + &од] dt.	(9.4)
Формула (9.4) позволяет определить изменение воздушных промежутков при
изменении температуры.
В конструкциях оптических приборов встречаются самые разнообразные
способы крепления линз в оправах, поэтому в каждом конкретном случае необ¬
ходимо получить свое выражение для ddbt. При больших воздушных промежут-
174

7777777777777777777777777,
L
Рис, 9.2. Воздушный промежуток между линзами системы
ках оправы деталей выполняют, как правило, из одного материала и их темпера¬
турные изменения могут быть легко определены и использованы для компенса¬
ции термических изменений оптических деталей. Если оправы сложные и воздуш¬
ные промежутки малы, то их температурными изменениями обычно пренебре¬
гают, так как они не оказывают существенного влияния на положение изобра¬
жения и его размер,
Формулы (9.1)—-(9.4) справедливы только при небольших изменениях тем¬
пературы, не превышающих 10... 20°С. При интервале температуры в 50...
60 °С коэффициенты и Pt, как указывалось, принимаются равными средним
значениям, поэтому значения п, d и dB определяются с погрешностями, достигаю¬
щими нескольких единиц в шестом знаке для п и нескольких процентов для г, d
и db.
Условие постоянства температуры на всех элементах оптической системы
никогда строго не соблюдается, так как при изменении температуры окружаю¬
щей среды оптические детали остывают и нагреваются неравномерно, и только
особые меры предосторожности могут в какой-то степени устранить эту неравно¬
мерность. Кроме того, если детали склеены и имеют различные коэффициенты
расширения at, определить строго изменение радиуса склейки не представляется
возможным, так как клей препятствует его свободному расширению. Поэтому
без специальных экспериментальных исследований нельзя точно оценить темпера¬
турное влияние.
Таким образом, определение термооптических аберраций имеет приближен¬
ный характер. Для получения более точных значений смещения изображения и
изменения масштаба необходимо выполнить расчет хода лучей.
9.3.	ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ.
ТЕРМООПТИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
Оптическая сила тонкой линзы Ф — 1 If* = (п — 1) (1/rj — l/fg) •
Учитывая формулу Гаусса 1/а'— 1 /а — 1 //', находим 1/а' — 11а—(п—1)Х
X (1/rj — 1 /г*).
Дифференцируя последнее выражение по переменным a', nt г% и г2, считая
a — const и принимая da't = As't> получаем
—As't/a's = dnt (1 /г, — 1 /г2) ~(п — 1) (drxjr\ — dr2/r|).
Так как dnt = Pt dt, dv1 — fJai dit dr2 ~ dt, to
д5' = —a'* (1/rj — I/r2) dt [p, — (n — 1) at),
175

Принимая во внимание формулу для оптической силы, получаем As't =
2 j 1_L
= а' Ф [af — $t/(n — 1)] dt. Для предмета в бесконечности а — поэтому
ОО
Дs-t = /'[а(-р,/(п-1)]<й.	(9.5)
Формула (9.5) может быть написана в виде
1	=	[a, - р,/(л - 1)] dt = df'/f'.	(9.6)
Хроматизм положения тонкой линзы
A&'KkJf' = df'jf' = — 1/v.	(9.7)
Приравняв (9.6) и (9.7), найдем
[а* — У(п — 1) j dt = — l/v.	(9.8)
Из (9.8)	видно,	что величина (о^ — |^)/[(я —1) dt ] оказывает такое	же	влия¬
ние на изменение фокусного расстояния тонкой линзы в зависимости	от	темпера¬
туры, какое величина —1/v оказывает на хроматизм положения. На основании
(9.8) v= 1/{|pt/(n—1)—at]ydt. Введем обозначение
V* = IM»~	(9.9)
тогда
v= 1 l{Vtdt).	(9.10)
Величина Vt называется термооптической постоянной, значение которой
приведено в ГОСТ 13659—78 на стекло оптическое бесцветное. Термооптическая
постоянная дается как среднее в интервале изменения температур —60 ... 20°С
и 20 ... 120 °С для линий спектра F', F, е, D, С' и С. Для этих же значений тем¬
ператур и линий спектра приводится и значение Р*.
Термооптическая постоянная Yt может иметь как положительное, так и от¬
рицательное значение и изменяется в пределах —145,0* 10“7 >■ Vt > 100,0-10-7.
У стекол некоторых марок термооптическая постоянная Vt близка к нулю,
что дает	возможность	рассчитать оптическую систему	с	не	зависящим	от тем¬
пературы	фокусным	расстоянием. Линза, изготовленная	из	стекла,	у	которого
значение	Vt	близко к	нулю, будет свободной от термооптических	аберраций,
как это	видно из (9.9),	при условии, что $tj(n — 1) -- af. ХроматизмТюложения
и хроматизм увеличения тонкой линзы в воздухе определяются формулами
= -а'*ФМ	=> -apax®j(sp — a,) v.
Учитывая (9.10) для тонкой линзы, получим уравнения: термооптической
аберрации положения изображения
As't — —а'гФУt dt	(9.11)
и термооптической аберрации увеличения
Ay't = ~~y'apa^V fdt/lap — cii),	(9-12)
Для предмета в бесконечности
ОО	со
As't ——f'Vtdt; Ay't = у'арФУt dt.	(9.13)
Пример 9.1. Вычислить термооптические аберрации положения и увеличения
тонной линзы с f’ — 250 и 1000 мм при изменении температуры —40 ... +40 °С.
Линза изготовлена из оптического стекла К8.
Решение. Термооптические аберрации вычислим для линии спектра е (К —
—	0,546 мкм). Для линии е при изменении температуры в диапазоне —60 ...
+20°С Vt — —19- 10-z, а в диапазоне +20... 120 С Vt = —15*10“г. Так как
термооптическая постоянная изменяется в небольших пределах, то примем сред¬
176

нее значение У% =• —17* 10“% тогда при }' = 250 мм термооптическая аберрация
положения будет Asf° = —f'Vi dt = —0,002.мм, а при — 1000 мм As't°°	—
= —f'Vt dt = —0,008 мм.
Таким образом, для тонкой линзы с f до 1000 мм, изготовленной из стекла
марки К8, термооптическая аберрация практически равна нулю. Наибольшее
значение Vt — —127* 10~7 имеет стекло марки ФК14и при f' — 1000 мм As^°°=
—	—0,06 мм.
9.4.	ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ СИСТЕМ
ИЗ ТОНКИХ ЛИНЗ
Для тонкого компонента в воздухе, состоящего из I тонких линз,
хроматизм положения и хроматизм увеличения согласно (8.45) выражаются фор¬
мулами
'	I
= - (V*()!®< 2 (4>/v)i = -а-'ф( 2 (фЛ);
t=i
I
ау'х0 = — (у'/о hiy^i 2 (<р/у)-
1=1
Учитывая (9.10), для термооптических аберраций после преобразований
получаем
i
bs'(=—atO{dt 2 Ф{Уи;
i=i
I
Щ = — {у'II) htyfii dt 2 Vivtt-
f=sa 1
Введем обозначение
v\ = - 2	=	-	2	4>i	[Mn	-	>)-«().	(9.14)
t== I	i=l
Величина V%, называется основным гпермдоптическим параметром.
Учитывая (9.14), для термооптических аберраций получим
As't = а\	dt;	(9.15)
Д^ = (Г//)М;ФА^‘
Для предмета в бесконечности
щ — f'V% dt;
A yf = ~^арФ^^ = — У'аРт1Ух dt.
(9.16)
ОО
Чтобы в тонком компоненте отсутствовали термооитические аберрации,
необходимо выполнить условие
^ - - 2 ьуч = °-	<9Л7>
Для системы, состоящей из р тонких компонентов, если расстояния между
ними составляют конечную малую величину (несколько миллиметров), на осно¬
вании (9.15) и (9.16) можно написать
дs; = (dt/a'p‘) 2 w*;
(9.18)
Дg-t - (y’/l) dt 2 b0fl>,Vx.
£=>1
177

Рис. 9.3. Смещение плоскости
изображения при наличии те!р-
мического изменения воздуш¬
ного промежутка d*
При больших воздушных промежутках
между компонентами необходимо учитывать
температурные изменения материалов оправ,
соединяющих тонкие компоненты. Измене¬
ние воздушного промежутка df- между ком¬
понентами i — 1 и i с учетом (9.3) будет
(рис. 9.3) ddi — d.cct dt.
Допустим, что линейное увеличение си¬
стемы за воздушным промежутком dt рав¬
но (3oi* тогда смещение плоскости изобра¬
жения вследствие изменения dt соста-
вит ' Astdi = dd$%t = djafdQli.
Если система состоит из р тонких
компонентов и имеет р — 1 воздушных про¬
межутков, то смещение изображения может быть представлено выражением
Asid
—	d{au dt П + d2a2/ П |3$ -f- ..
9	*
В том случае, когда оправы между компонентами изготовлены из одного
материала,
П + d2 П Ро + * • • 4* dp_$lP
2	3
As'td = at dt
При изменении температуры происходит также смещение плоскости прием¬
ника изображения, который располагается на расстоянии $'р = dp_^t от послед¬
него компонента. Это смещение As'tn = dp^a.^, где cct— коэффициент линейного
расширения материала, из которого изготовлена оправа приемника. Величину
Asjn определяют, исходя из конструкции прибора.
Размер изображения изменяется в основном по двум причинам: вследст¬
вие изменения хода главного луча в связи с изменением воздушных промежутков
и из-за смещения плоскости приемника. Величину Ay'td целесообразно опреде¬
лять расчетом хода главного луча для каждого конкретного случая. Получен-
ные значения A&'td и Ay'id необходимо просуммировать со значениями величин,
найденными по формуле (9.15).
Помимо двух рассмотренных термооптических аберраций положения и уве¬
личения, аналогичных хроматическим аберрациям и относящихся к параксиаль¬
ной области, существуют температурные изменения и монохроматических абер¬
раций действительных лучей (третьего и высшего порядков). Однако эти абер¬
рации малы, и ими можно пренебречь.
Исправление термооптических аберраций в параксиальной области, как уже
указывалось, достигается путем подбора марок стекол с необходимыми значе¬
ниями V*, а также выбором материала для оправ оптических систем с использо¬
ванием возможностей выбора коэффициента af.
Пример 9.2. Определить смещение задней фокальной плоскости двухлинзо¬
вого компонента при изменении температуры от —30 до 50 °С. Марки стекол
компонента К8 и ТФ5, f' — 1000 мм, sp — 0,	= —оо.
Решение. Для линии спектра е имеем:
К8: v2= 63,83; при t= —60...20°С Vt= —19-10~7, а при t = 20... 120°С
Vt =-15-10-7;
ТФ5: v4 = 27,32; при *=—60...20°С Vt = 33-10'7, а при /=20...
120 °С Vt = 50* 10-7.
Из условия исправления хроматических аберраций первого порядка при¬
веденные оптические силы тонкого компонента равны срг = —v2/(v4 — v2) =
= 1,748288; фа = v4/(v4 — v2) — —0,748288.
178

Термооптическую аберрацию положения определим по формуле (9.16),
т. е. Д^°° = f 'V^ At, где VK = —(Ф^ + Ф2У4).
При *= —30...20°С VK= 57,9110-10"7, As;°°= 0,2875 мм, а при / =
= 20 ... 50°C V% — 63,6387-10-’, Asf° = 0,1909 мм.
Термооптическая аберрация положения при изменении температуры от —30
СО
до 50 °С составляет As£ = 0,4804 мм. Смещение плоскости изображения на
~0,5 мм несколько ухудшает качество изображения.
Допустим, приемник изображения крепится к корпусу, в котором закреп"
лен оОъектив. Чтобы скомпенсировать Л^°°, корпус должен быть изготовлен
со
из такого материала, для которого Aat — As't . Если в качестве материала для
корпуса принять дюралюминий, коэффициент расширения которого at —
= 22* 10-6, то при а — 1000 мм и At — 80 °С смещение Aat ~ aatAt — 1,76 мм.
Смещение плоскости изображения AOj, — Asf° = 1,28 мм. Если корпус изготов-
оо
лен из стали, то при at — 11,5*10~6 Aat = 0,92 мм и Aat — As't = 0,44 мм.
Чтобы полностью исключить влияние температуры, корпус должен быть состав-
ным. Допустим, корпус длиной 400 мм изготовлен из стали, для которой Ла$ =>
= 0,368 мм, и длиной 600 мм — из инвара, для которого At = 2,0-10-6 и Aa't —
= 0,096 мм. Суммарное смещение плоскости изображения составит 0,464 мм.
Таким образом, если корпус системы будет составным, то влияние температуры
на смещение изображения будет исключено.
ГЛАВА Ю.МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
ПЕРВОГО, ТРЕТЬЕГО И ВЫСШЕГО
порядков
ЮЛ. ВНЕМЕРИДИОНАЛЬНЫЙ ЛУЧ
И ЕГО КООРДИНАТЫ
В общем случае лучи, выходящие из различных точек
предмета, не лежат в меридиональной плоскости, а пересекают ее
под различными углами. Такие лучи называются внемеридио-
налъными или косыми. Для внемеридиональных пучков лучей
оптическая ось не является осью симметрии.
Положение внемеридионального луча BXNг в пространстве
предметов определяется следующими координатами (рис. 10.1):
расстоянием р = — (sP — sx) от плоскости предмета до плоскости
входного зрачка, размером предмета у и координатами тх и
точки iVx пересечения луча с плоскостью входного зрачка. Коорди¬
ната тх расположена в меридиональной плоскости, а Мх — в са¬
гиттальной плоскости. Вместо координаты у может быть исполь¬
зован угол ©] (tg (лх = y/(sP — sj).
179

Рис. 10.1. Ход внемеридионального луча и составляющие А у' и Лх' по¬
перечной аберрации
Положение плоскости Ei0 параксиального изображения от¬
носительно вершины 0fe последней поверхности, системы 0Х0Й
определяется координатой s^.
Допустим, что точка B'k представляет собой идеальное изо¬
бражение точки Въ расположенной вне оптической оси в пло¬
скости предмета. Это возможно только в том случае, когда реаль¬
ная система ОгОк обладает свойствами идеальной системы при
конечных значениях координат т1 и Мг. Положение точки B'k
будет определяться следующими координатами: р = (s'p* — s*);
у' [tg (n'k — y'/(s'p' — Sk)\ и координатами m'k и M'k в плоскости
выходного зрачка. Однако при наличии в системе аберраций
луч N'kB'kj сопряженный с лучом ВгМъ не пройдет через точку B'k,
а пересечет плоскость Е10 изображения в точке B'k. Положение
луча N'kB'k вполне определится, если известны координаты точки
Расстояние между точками В'к и B'k называется поперечной
аберрацией луча. Если поперечную аберрацию луча разложить
по осям координат, то получим две составляющие А у’ и Ах’.
Координатой точки B'k в меридиональной плоскости (по оси у')
является у' = у' + Ау\ а в сагиттальной плоскости (по оси х') —
Ах'. Составляющая поперечной аберрации Ау\ расположенная
в меридиональной плоскости, называется меридиональной состав¬
ляющей, а Ахе, расположенная в сагиттальной плоскости, — са¬
гиттальной составляющей.
Таким образом, координатами точки B'k являются:
р' = — (s'p* — sk); у' — у' + Ау'\ m'k\ M'k и Ах . Если взять
180

внемеридиональные лучи с другими координатами тг и
то поперечная аберрация будет иметь другие значения. В резуль¬
тате в плоскости изображения будет иметь место фигура рассея¬
ния. В частном случае, когда фигура рассеяния представляет
собой кружок, поперечная аберрация будет равна радиусу этого
кружка рассеяния.
10.2.	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МЕРИДИОНАЛЬНОЙ
И САГИТТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПОПЕРЕЧНОЙ
АБЕРРАЦИИ
Меридиональная и сагиттальная составляющие по¬
перечной аберрации луча являются функциями координат, опре¬
деляющих положение предмета и положение входного зрачка,
координат у, тъ Мъ а также параметров конструктивных эле¬
ментов оптической системы, т. е.
= Fi(sv ®р» У* mv	r’ d’ n)y
A%' = F% (sv sp, y, mv Mv r, d, n),
При заданном положении плоскостей предмета и входного
зрачка (Sj., sP) меридиональная и сагиттальная составляющие
являются функциями координат у, тъ Мг внемеридионального
луча и конструктивных элементов системы. Кроме того, если кон¬
структивные элементы также постоянны, то ку' и Дх' являются
функциями
ky'— Fx[y, тъ Мх]\	Ах'F2ly, щ, Мг].	(ЮЛ)
Функции Ft, и можно найти несколькими путями: разло¬
жением в ряд продольной аберрации внемеридионального луча;
применяя принцип Ферма и, как следствие, его функцию эйко¬
нала; исходя из того, что аберрация представляет собой искаже¬
ние фронта идеальной сферической волны. Практически все
пути приводят к идентичным результатам. Разложения в ряд
функций Fx и F% для симметричных оптических систем будут
содержать только члены нечетного порядка типа уа, mf, М\,
причем сумма показателей степеней координат у, тъ и Мъ
k = ct *■{- Р у = 11 3, 5, 7, ...
Если	k	— 1, то имеют место аберрации первого	порядка,
k = 3 —	третьего порядка, к = 5 — пятого порядка	и	т. д.
Кроме того, функции Ft и F% будут содержать коэффициенты Aj,
которые зависят только от конструктивных параметров системы,
положения предмета и положения входного зрачка.
Теория аберраций показывает, что число независимых абер¬
раций 6-го порядка может быть определено по формуле
t = (k + 3) (k + 5)/8 - 1 = (k -b 1) (k + 7)/8.	(10.2)
181

Рис. 10.2. Меридиональная и сагиттальная составляющие поперечной аберрации
луча в плоскостях Е^ и Е£
Пользуясь (10.2), можно получить следующие данные:
Порядок k		1	3	5	7
Число аберраций t		2	5	9	14
На основе формулы (10.2) меридиональную и сагиттальную
составляющие поперечной аберрации можно представить следую¬
щими уравнениями:
А Г = Щ + А У\ц + Ьуу + . ..;
^	(10.3)
Ах' = Ддс£ 4* Ajfjn + Ax'v -(- ...,
'.I
где Ay[f Ах\ — составляющие поперечной аберрации первого
порядка; Ау'щ, Д*ш — составляющие поперечной аберрации
третьего порядка; Ay'v, Д*у — составляющие поперечной абер¬
рации пятого порядка и т. д.
Меридиональная Ау' и сагиттальная Ах' составляющие отно¬
сятся к произвольной плоскости, расположенной вблизи плоскости
параксиального изображения (рис. 10.2). Связь между Ау',
Ах' и Ау', Ах\ отнесенными к плоскости параксиального изо¬
бражения, определяют выражения
Ау' - А у' + nxmxA([n'k (sp - sx) P0J;
Ax' = Ал:' + nxMxAj[n'k (sp — sx) fl0],
где Д — расстояние между плоскостями изображения Е%0 и Ei0.
Формулы (10.4) д^ют возможность найти положение плоскости
изображения, в которой меридиональная и сагиттальная состав¬
ляющие поперечной аберрации имеют наименьшие размеры, а
следовательно, будут наименьшими и фигуры рассеяния, являю¬
щиеся изображениями точек, расположенных в плоскости пред¬
метов. Смещение плоскости изображения относительно плоскости
182

параксиального изображения на величину д называется дефо
кусировкой. Плоскость, в которой фигуры рассеяния и соответ
ственио монохроматические аберрации имеют наименьшие размеры,
называется плоскостью наилучшей установки.
10.3.	МЕРИДИОНАЛЬНАЯ И САГИТТАЛЬНАЯ
СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Аберрации первого порядка — это аберрации в па¬
раксиальной области. В параксиальной области любая точка пред¬
мета изображается стигматически, поэтому в плоскости пара¬
ксиального изображения монохроматические аберрации отсут¬
ствуют, т. е. в формулах (10.4) Ау' = Ах' — 0. Тогда для пара¬
ксиальной облаети получим
Ау{ = Ар' = я^ДДл* (Sp Sj) Р0] =	(sp — sj) P0P0p];
(10*5)
Ax{ = Ax' =	(sp — Sl) (30| = nxM'kAf\n'k (sp — sj P0P0/>],
где Pop == ffikfmx — МУМ\ — линейное увеличение в зрачках.
Если предмет находится в бесконечности, то (sP — %) = —оо
и Ро = 0- Возникшая неопределенность в (10.5) может быть рас¬
крыта следующим путем. При Sj,-^oo sP будет мало по сравнению
с slT поэтому можно принять, что —hx — (sP — sx) аъ тогда
(sp — Si) Pq = (sp — Si) mail(n'kCCk) = — nxhxKn'k^k) = — Ы'/п'к
и для (10.5) получим
Ау'{° = -т,Д//' = -m'kAj(f%p);
Ax'™ = ~МгА/Г = -M'kAj(nQP).
Выразим координаты m\, Mi, m'k и M'k через полярные коор¬
динаты p, p' и я|) в плоскости входного и выходного зрачков
(рив. 10.3):
тх = р cos oj) = т'фцр = р' cos у/$0Р;
(10.о)
Щ = р sin ф = М'ф0Р = р' sin ф/Р0Р,
Учитывая (10.6), для (10.5) будем
иметь
COS 1|)	пгр' cos	.
Уг nk (SP — Sl) P(J Л	P'k	(SP ~ Sl) Pq^OP
nxp sin ij)	nxp' sin	.
nk (SP ~~ Sl) P0	n'k	(SP ~ Sl) Po^op
(10.7)
В (10.7) отсутствует координата у.
Это значит, что меридиональная и са¬
гиттальная составляющие аберрации
первого порядка имеют место как для	Рис ш 3 Координаты внеме.
точки на оси, так и для точек вне ридионалыюго луча в плоско-
ОСИ.	сти входного зрачка
183

Рис, 10.4. Аберрация первого порядка:
As' = А — положения изображения; Д у'г — размер изображеввв
Возведем оба выражения (10.7) в квадрат и сложим их:
Г = YАуI2 + Ах? = nipAHnk (SP — si) N = niP'A/lnk (sp - si) Мор]. (Ю.8)
Для меридиональной плоскости 'ф = 0, а для сагиттальной
i> — 90°, поэтому Ay{ = Axi = r.
Выражение (10.8) — это уравнение окружности, центр ко¬
торой совпадает с началом координат. Для точки на оптической оси
началом координат является точка A'k, а для точки вне оси —
точка B'k пересечения второго параксиального луча с плоскостью
изображения.
На рис. 10.4 показаны фигуры рассеяния, образованные пуч¬
ками лучей, проходящих через точки 1—8 в плоскости выходного
зрачка. Фигуры рассеяния, образованные меридиональной и са-
гиттальной составляющими в плоскости изображения Е'хо1 рас¬
положенной на расстоянии д от плоскости параксиального изо¬
бражения £а,0, представляют собой кружки радиуса г, пропор¬
ционального радиусам окружностей в плоскости входного и вы¬
ходного зрачков. Эти кружки рассеяния как для точки на оси,
так и для точек вне оси имеют одинаковые размеры. Кроме того,
при наличии дефокусировки изменяется координата у', поэтому
в соответствии с (10.2) можно говорить о двух аберрациях первого
порядка. К этим аберрациям относятся аберрация положения,
характеризуемая величиной As\t равной дефокусировке A: AsJ =
184

—	Д = s* — $k — —Ay'ila'kf и аберрация размера изображения
Д f/i — у' — у .
Если в системе отсутствует дефокусировка (А = 0), то в па¬
раксиальной области S*. = Sfc и у' = у\ т. е. Ду\ = Ах\ = 0.
10.4.	МЕРИДИОНАЛЬНАЯ И САГИТТАЛЬНАЯ
СОСТАВЛЯЮЩИЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Меридиональная и сагиттальная составляющие, от¬
несенные к плоскости параксиального изображения (Ау\ —
= Axi = 0), будут соответственно равны Ау' — Ау'щ -j-
—j— Ayv ~j~ ...j Ax Ддсш -j— Axy -j—
Если в разложении функций Ft и Fa оставить только члены
третьего порядка, то для меридиональной и сагиттальной состав¬
ляющих получим
Ау'иг = т1 (т\ + М\) Ах + (Зт\ + Aff) уАг Н~	+	У*Аь’,	^
Ajciu — М]	Ai	-j-	$ А % -4- М^у'^А^,
где А1г Аъ — коэффициенты, зависящие от положения пред¬
мета, положения изображения и конструктивных элементов
системы.
Теория аберраций третьего порядка впервые была разработана
астрономом Л. Зейделем (1856 г.), поэтому носит название зей-
делевой теории изображения, а область, в пределах которой она
может быть применена, — областью Зейделя. (Для области Зей-
деля координаты s, s', sp и s>' будут обозначаться без тильды.)
Выражая коэффициенты Ах, Лб через углы а и высоты к
первого и углы р и высоты у второго параксиальных лучей, для
меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной абер¬
рации третьего порядка центрированной системы и безаберрацион-
ного предмета получим следующие уравнения:
°я' а' - ^	+ Щ) S 3ml + Щ as I
гпк У\11к ” “ XT' I 7 х3 2р ^ п +
(SP sl) а1	(SP sl) alPj
7	~Тз—о!" (3^ni + I*siv)	—-3--3- Sy; (10.10)
(sp - s.Lf a,pf	(Sp	-	s,)3	P}
щ Ax'lua'k -	Si	^ +
(Sp_Si)3a3	{Sp_Si) 3a2pi
(Sp — ajpJ
+ “— Vir + I2SIV),
где Sj, Sn, 5m, S1Y и 5y — коэффициенты аберраций третьего
порядка, или суммы Зейделя. Каждый из коэффициентов опреде¬
ляет одну из пяти аберраций третьего порядка.
Формулы (10.10) дают возможность вычислить, не прибегая
к расчету хода внемеридиональных лучей, координаты Ау'ш
185

и Ах'щ с погрешностями, не превышающими значений членов
пятого порядка.
Аберрации пятого, седьмого и т. д, порядков принято назы¬
вать аберрациями высших порядков.
В уравнениях (10.10) левая часть (п£Д yinot*, n'kAxm^k) пред¬
ставляет собой инвариант I Лагранжа—Гельмгольца, поэтому
индекс k может быть заменен любым другим, что дает возмож¬
ность относить меридиональную и сагиттальную составляющие
к любой среде и к любой части оптической системы.
Связь между координатами пространства предметов и про¬
странства изображений описывается выражениями
Для плоскости выходного врачка имеем а'т	— —m'kl(s'p* —
Sfc); o's = —Mrk/(s'p* — s'k).
Сопоставив эти выражения с (10.11), найдем
Подставляя (10.12) в (10.10) и вводя вместо у выражение у —
—	(sP — Si) tg <olf получаем
Многие типы оптических систем работают в условиях, для ко¬
торых расстояние до предмета можно считать равным бесконеч¬
ности. К таким системам можно отнести фотографические, кино¬
съемочные, кинопроекционные объективы, а также объективы и
оборачивающие компоненты телескопических систем и др. Эти
системы нужно рассчитывать при = —оо (аг = 0), и приве¬
денные выше формулы для этого случая становятся непригодными.
Раскрыть неопределенность в формулах (10.10) можно следующим
путем. Угол аг = hjslf тогда l/I(sP — sx) а*] = si/[(sp — sx) ht].
Умножая и деля это выражение на а*, получаем l/[(s/> — st) а\ ] =
= si<Xk/[(sP — Si) hia'k]. При Sj = — со
mi/I(sp - si) ail = m'k/[(sp° ~ sk) a'k]\
mi/[(sp ~ si) ail = Mkl[(s'p* — h) akl
(10.11)
Mi/\(sp ~ s0 ail= °'s/al
(10.12)
“b °m ©I	“b	^2^lv]/(afePl)	“b	©l^v/Pl»	(10.13)
S1 f(sp sl) ^— 1 If'*
(10.14)
186

Учитывая (10.14) и что y/{sP — sx) — tg <оь для (10.10) будем
иметь
°п' \г/00ге.' щ +	S°°	I	Зт*	+	М*	гсюЗ00	!
—2пк^Утак =	7Т~з	®1Лп ^
Г a.k	!	cck	Pj
+ -7^tg26»1[Mn, + /2Srv]+-V3-^;	(10.15)
f °w	Pl
n„, Ar,oo , . AMmf	+ Aff)	*«,	2™^	«« ,
—2nkbxluak—	8	-b! +	<2	2	tgo16II +
• ak	f ak Pl
+ f>M>1n2 tg2 ®1 t^Sl + /2,SIv]»
/ afePl
rw	/V	<4»	^
где Si, Sn, Sra, Siy и Sy — коэффициенты аберраций для предмета
в бесконечности.
Учитывая условия нормирования (8.1) при % Ф оо для системы
в воздухе [ai = р0, a* =	h\	=	p0si, Pi = 1,	/ = Ро (sp — Si)l,
на	основании (10.10), (10.13)	и	(10.15) получаем
2 ду;„ = «giM+flL 5~	+	fslt	+
(Sp Sj) Р0	,	(Sp	Sj) p0
+ (sp-hfK(з5ш+/2Siv) “ t*; - si)3 Sv;	(I0I6)
m "	1	(s* - 5i)3	" (sp -s.)3 Po(S,1,	+ /	s,v)’
-2 Aj,fn	= <4 (<r^ + <) •?, + (3am2 + a;2) tgoo.S,, +
+ tg* <o, (35HI 4- PSIV) + tg» 0),SV;	(10.17)
-2 д*;и = о; (o^ + of) s, + 2omo; tg<o,5n + o; tg>(3m + nslv).
Для предмета	в бесконечности («i = 0, ak — 1, Pi —	1,	ri\	=
—	n'k =	1, I — —1), учитывая (8.3), для (10.15) найдем
О	М'Оо _ тх (m? + Af-f) ^оо 3m? + Af? coo ,
—*ЬУ\И	p	i 1p	18®Н1Т
+ m\ tg"* ©i	-{- S?v) -j- / tg^ cOjSyJ	(10.18)
O Av'00 		(^1 “Ь Aff) ooo I	2fTlxMi , noo I ii x 2	r	/ о oo	.	poo \
—2Ддсш—	—^	-j	^ tg (OjOjj -+> Mj tg	©J	(5 HI	-f- ^iv).
Коэффициенты	аберраций	5Г	... Sy	вычисляются	при	h\	—
—	т1	—	f	= 1, т. е. все исходные данные должны быть	приведены
к /' =	1,0	(разделы на /' системы). При вычислении Д#ш	и Длсш
эти коэффициенты, чтобы сохранить размерность, необходимо ум¬
ножить на /', поэтому в (10.18) по сравнению с (10.15) степень
при /' понизилась на единицу.
187

10.5.	КОЭФФИЦИЕНТЫ АБЕРРАЦИЙ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА (СУММЫ ЗЕЙДЕЛЯ)
Коэффициенты аберраций третьего порядка — суммы
Зейделя — 5m, SIY и «Sv, входящие в формулы (10.10),
(10.13), (10.15)—(10.18), для системы из k преломляющих поверх¬
ностей имеют вид:
_ k
Si = £ ft, (Pv 4- Bv);
V=1
к	k
Зц = Ё у, (Я, + fiv) - / s w'>'
V=1	V—l
k	k	k
«111 = E »v (Pv + Bv)lK -2/ 2	+	/2	£	6	(oc/n)v/ftv;	(10.19)
v=l	V—1	V—I
k
SlV = Fly/hyl
v—l
_ ft k k
5у=Е»! I^v +	-	3/	2	S^v/As +	[3«	(«/n)v	+	-
v=l	v—1	v—l
k
-f’S « (W^v,
где
V=1
ос;, — a
V ~ av \2 / av	«V \ _ /	6«	\2	/ a \	#
i'v—l/nvJ \ n'y	nvJ~\6(\/n)Jv l« V
rv= ik-iX Ж-лм°(-щг),»(т),;
/7V = («;a; — ftvav)/(ftvn;) = 6 (na)vjnvti'v;	(10.20)
Bv = bv l(nvav ~ »v“v)S/(nv ~ nv)2] = bv l(«X ~ «vav)/(wv - nv)]'>v ~ nv) =
= bv [6 (na)/6nl3 6nv;
6 (a/n)v = a;/n; — av/nv;
в(1/я% = 1/«;2-1К;
/ =	=	п'ьУ'а^	=	const;
\
h, # — высоты падения первого и второго параксиальных лучей;
—	коэффициент, характеризующий деформацию сферической
поверхности или отклонение поверхности от сферичности (асфе¬
рическая поверхность), для кривых второго порядка Ьч = —ег.
Коэффициент SIV, как это видно из (10.19), не зависит от деформа¬
ции преломляющих поверхностей.
Коэффициенты аберраций 5r — SY зависят от величин PV1
Wv, Jlv и BV1 которые называются параметрами системы.
188

От параметров Wv, Bv и величин / и yv легко перейти к пере¬
менным Pv, hv, аут pv и bv. Связь между инвариантами Qsv,
QPv и / определяется выражением
Qpv Qsv — I/(y\hv)-	(10.21)
Инварианты Qsv и QPv можно представить в виде
Qsv - - (]/Ч) (К “ avWK - 1/«V)] = - (l/Лу) [&*/« (1/«)]V;
Qpv =•• - (1/0 [(р; - Pv)/(lK - 1/»V)] = - (i/ig да 0/я)]„.
Тогда из (10.21) получим
/ = yv [ба/в (l/n)]v - hv [6р/б (l/n)]v.	(10.22)
Подставляя (10.22) и значения iBv и Wv в (10.19), после пре¬
образований для коэффициентов аберраций найдем следующие
выражения:
~ k
Si = S К [Л, + bv <6«а)»/(6ге)’);
V—I
k
Si I = 2 К [PV (Wv + 6v (6na)^ (6rtP)v/(6/I)vl;
V=1
Sm = S Av[Pv<«P/«<*)$ + *v (««*)„ (впр)*/(«и)*];	(10.23)
v=l
k	k
Sjv = 2 #v/^v = 2 (&n<%/nn')v/hv;
V~1	V—1
k
5V = S llVv («Р/«“)’ + ™v/Av] («P/H+Vv (*»?)?/(««)?).
V=1
где 6а = av — av; 6p = Pv — pv; &na — n'va'v ~~ nvav; 6«p = ftvpv —
—	nvpv; 6 n = n'v — nv. Формулы (10.23) используют
в основном для вычисления аберраций систем, конструктивные
элементы которых известны.
В уравнениях (10.19) коэффициенты аберраций 5П, 5т и «Sy
зависят от высот yv второго параксиального луча на преломляющих
поверхностях, т. е. в конечном итоге от координаты ух (sP), опре-
деляющей положение входного зрачка.
Для вычисления коэффициентов аберраций оптической системы,
конструктивные параметры которой известны, необходимо рас¬
считать ход первого и второго параксиальных лучей.
Коэффициент деформации bv может быть определен следующим
образом. Уравнение кривой, образованной пересечением асфери¬
ческой поверхности меридиональной плоскостью, может быть вы¬
ражено В виде ряда г = F (у) = агу2 + а2у* -f asy* -f ...
Уравнение окружности может быть написано в виде
г = уУ(2гй) + //(8rSD 4- */7(1бг§) + ...
189

Уравнение деформированной поверхности, для которой сфери¬
ческая поверхность является касательной в начале оси уу имеет
вид
2 = У21(2го) + У4 О + 6v)/(8ro)*
где г0 можно считать радиусом поверхности в ее вершине. Это
уравнение принимает более простой вид для кривых второго
порядка (конических сечений):
г = rV(2r0) 4- Ф (1 - е*)/(8г$).
Сопоставив последние два уравнения, найдем
1 _|~ &v = 1 — <?2; bv = —еа или bv — —е2 = ± (52/а2 — 1),
где а и б — полуоси кривой конического сечения.
Если вид асферической поверхности известен, то будут из¬
вестны и полуоси а и В кривой, а следовательно, будет известен
и коэффициент bv. В зависимости от av, nv и Ъ% определяют
параметры PV1 flv и Bv. Кроме того, для системы будут
известны высоты hv, yvi положение предмета slt положение вход¬
ного зрачка sP и размер предмета £/, поэтому легко могут быть
вычислены коэффициенты аберраций, а также меридиональная
Дг/ш и сагиттальная Д*ш составляющие аберраций третьего по¬
рядка для любой зоны входного зрачка.
Коэффициенты аберраций третьего порядка, как это видно
из приведенных выше формул, зависят от конструктивных эле¬
ментов системы г, d, /г, которые входят в них в неявном виде
посредством параметров Pv, Wv, 77v и Bv. Это позволяет при
у—w	^
заданных значениях Ду{и и Дхш, а следовательно, и Si —Sv
определить конструктивные элементы системы.
Формулы (10.19), (10.23) пригодны для систем, состоящих
из сферических, асферических и плоских преломляющих и отра¬
жающих поверхностей. Если в системе отсутствуют асферические
поверхности, что имеет место в большинстве случаев, то пара¬
метр Bv — 0 и формулы для коэффициентов аберраций значи¬
тельно упрощаются. (В дальнейшем коэффициенты аберраций для
систем из сферических поверхностей будут обозначаться без
тильды наверху.)
Для сложных оптических систем, например для светосильных
широкоугольных объективов, необходимо принимать во внимание
аберрации в зрачках. Формулы для составляющих аберраций и
коэффициентов аберраций в плоскости выходного зрачка аналоги¬
чны приведенным выше, только в них необходимо произвести
следующие замены:
&Унг АШт',	АХт —> AMjjjJ
У-+т1;
Si -*■ Sip\ Sjx 5цр;	(10.24)
Siv-^Sivp; Sv-^Svp;
190
ap ^
m1's*-y;
-Sui p;

Р у —V- Рур',	VP у —У W vP>	Пv ПуР>
av ~*~ $V’	Pv—>-ocv.
В этом случае плоскости входного и выходного зрачков рас-
сматриваются как плоскости предмета и изображения, а плоскости
предмета и изображения — как плоскости зрачков. Выполнив
замены в соответствии с (10.24), для плоскости выходного зрачка
вместо (10.19) при Bv = 0 получим:
k
$ip* — XI У\РуР'\
V—1
k	k
р' ^ ]£ W' ^ S ^vps
V—1	v=l
Snip- = S (пЦууЖр'-21 S (К/у-,) Пг +1- S (i/»v)e(P/»)v; <I0-25>
v=l	V—i	V=s=l
к
v.p,= S ^vP'lУу\
v—1
/г	ft
5V p, = £ (AJ/y*) ^ - 3/ £ (hvfyvf WvP, +
V=1	v=l
k k
+ S (ftv/*4) (3S №/»)v + ЯУР-] -,s S«(|/"%/!4,
где
V=1	V=1
p;-p.
p — 1 ‘ v ’ v
^ \ i/«; — i/»v) Pv/rty) ~ (s(i/L))ve(P/n)v;
wvPr = ( 1/n; — \jn~) (Pv/rev ~	=	( б(щ)г 6 МпЪ’>	(10-26)
пхр* = (л;р; — «AMVv)= 6 (nP)v/Knv);
x	I	—	rtjmjpj	= n'km'k$'k — const.
Аналогичным путем можно получить уравнение типа (10.23).
10.8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
АБЕРРАЦИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Уравнения (10.10) для меридиональной Дг/ш и
сагиттальной Дяш составляющих поперечной аберрации третьего
порядка дают возможность определить точку пересечения с пло¬
скостью изображения каждого отдельного луча из числа лучей,
образующих пучок. Если из всего пучка выделить только сово¬
купность лучей, выходящих из какой-либо точки В предмета и
проходящих через точки 1—8 в плоскости входного зрачка Р,
свободного от аберраций, по окружности с центром на оптической
оси, то в плоскости параксиального изображения вместо точки
191

г’ис. 10.5. Аберрационная кривая, образованная двояковыпуклой линзой
(/- = 100 мм; D/f' = 1 : 1,3;	= 15Q; Sf= —°°; п = 1,5183)
получим фигуру сложной формы (рие. 10.5). Кривая, огибающая
эту фигуру, называемая аберрационной кривой, является резуль¬
татом действия всех монохроматических аберраций третьего по¬
рядка. Для упрощения задачи обычно рассматривают кривые,
обусловленные только одной из аберраций, полагая при этом ос¬
тальные аберрации равными нулю. В действительности довольно
редки случаи, когда система имеет только одну аберрацию, од¬
нако нередки случаи, когда в системе требуется устранить только
две или три аберрации. Поэтому необходимо знать, что представ¬
ляет собой каждая из пяти монохроматических аберраций третьего
порядка и какими уравнениями они характеризуются.
Сферическая аберрация третьего порядка. Допустим, что
коэффициенты аберраций 8ц = 5И1 = SiV = Sy = 0, а Sj Ф 0,
т. е. в системе есть только одна аберрация. Тогда для меридио¬
нальной и сагиттальной составляющих на основе (10.10) получим
Аут = щ № + М?) Л,; Д*;п = Мх (т\ + М\) Ал, (10.27)
где Ai = /[2nka,k (sp — Sj)3 aj].
Переходя к полярным координатам, находим
Ьу'т — р3соз1|)Л5;	=	р3	sin	■фЛр
Возведя в квадрат и сложив эти выражения, найдем
Л11$^р=г.	(10.28)
Это выражение представляет собой уравнение окружности,
центр которой совпадает с началом координат, т. е. аберрационной
кривой при Si Ф 0 является окружность, радиус которой про-
192

Рис. 10.6. Фигуры рассеяния, образованные сферической аберра¬
цией третьего порядка
порционален кубу радиуса окружности в плоскостях входного
и выходного зрачков (рис. 10.6).
Нарушение гомоцентричности пучка лучей, прошедшего через
оптическую систему при сохоанении его симметрии относительно
оси пучка, называется сферической аберрацией.
Из (10.27) видно, что Ау'щ и Axjni не зависят от размера пред¬
мета у, т. е. сферическая аберрация третьего порядка имеет место
для любой точки плоскости предмета и зависит от апертуры си¬
стемы.
Радиус г кружка рассеяния представляет собой поперечную
сферическую аберрацию. Так как для меридиональной плоскости
'ф =? 0°, а для сагиттальной я|з — 90°, то Д#ш — А*ш = pMi = г.
Сферическая аберрация третьего порядка для точки А на
оптической оси или любой точки В вне оси, расположенной в ме¬
ридиональной плоскости (Мх — 0, os — 0), на основании (10.10)
и (10.13) будет
Аут =	(sp	“	<*?] = - (ak/akf si/(2nkak)' (10'29>
Продольная сферическая аберрация третьего порядка для
точки на оси
Учитывая, что в области аберраций третьего порядка при
Si ф —qo o'k = hk/sk, а при $i — —оо a'k — hjf' = mi/Г, полу¬
чаем
(Ю.ЗО)
193

Рис. 10.7. Положение плоскости изображения Е’т{п
с кружком рассеяния наименьших размеров
Принимая во внимание условия нормирования, для системы
в воздухе будем иметь
Asjn =	0,5 (\/sfc)2 «Sj;	(10.31)
Asiu=-°>5 («?//')	(io-32>
Из (10.31) и (10.32) видно, что сферическая аберрация третьего
порядка зависит от коэффициента Sь поэтому его называют
мерой сферической аберрации. Чтобы в системе, была устранена
сферическая аберрация, необходимо выполнить условие
k
Si = J] hvPv = 0.
V=1
Размеры кружка рассеяния, обусловленного сферической абер¬
рацией третьего порядка, зависят от положения плоскости уста¬
новки (рис. 10.7). Плоскость Еmin наименьшего кружка рассеяния
располагается слева от плоскости Е%0 параксиального изображе¬
ния в месте, где пересекаются лучи, выходящие из системы под
углом акр и 0,5<JkP, причем это расстояние Amin = 3Asni кр/4,
а радиус кружка наименьшего рассеяния rmln = 0,25гсф —
== 0,25Д#ш == 0,25AsinKp сгКр.
Приведенные выше формулы для сферической аберрации
третьего порядка могут быть использованы для предваритель¬
ного анализа системы. Они дают хорошее приближение только
для систем с малым относительным отверстием. Точное значение
сферической аберрации можно получить только с учетом аберрации
высшего порядка, т. е. расчетом хода первого параксиального и
действительных лучей.
Пример 10.1. По данным примера 8.1 определить коэффициент аберрации —
сумму Зейделя Sf и сферическую аберрацию третьего порядка As^ для края
входного зрачка тг — Dl2 = 16,0 мм.
Решение. Сферическую аберрацию третьего порядка для предмета в беско¬
нечности определяют по формуле (10.32), т. е.
194

Коэффициент аберрации Si вычисляют при Л* = /' ~ 1 и для системы из четы¬
рех преломляющих поверхностей
4
S^° = 2 KPv ~ ^1^1 "Ь ^2^2 "Ь ^3^3 Н" ^4^4-
V—1
т
Параметры Р рассчитывают по формуле
Р' “ ( ) <ow/'Iv+1 - “vK)-
Так как углы а первого параксиального луча известны, то
л = (-щ^Ет^-)2	=	"*“*/<“* - ‘>2 = °’776059'
Я2 = f а? ~	—V (аa/ns _ а*/д*) = да (а8 — а2)2 (Паа3 — а2)/(л2 — I)2 =
\ 1/rts — 1/да /	,
= 14,069577;
Ра = ( 1/д41 ^ -)2 ^n4 ~ ав/Лз) = «4 («4 -- «з)2 (а4 — я4а3)/(л4 — О2 =
= —17,933990;
р* ” ( iИ:Т/п~ )2	~ а4^=	~~	а^2	^Л«ав'“~	а*)/(Л4	—	О2	=
= 3,369503.
Коэффициент аберрации, вычисленный по приведенной выше формуле,
SJ0 = 0,32367.
При ht = 16,0 мм и f = 159,7115 мм сферическая аберрация третьего по-
ОО
рядка Asjjj « —0,26 мм.
Сферическая аберрация третьего порядка в зрачках. Если
в (10.29) заменить координаты в плоскостях входного и выходного
зрачков координатами в предметной плоскости и плоскости изо¬
бражения, то для поперечной сферической аберрации в выходном
зрачке Дтш в меридиональной плоскости получим
Д/пш = y3Svi/(si~~sp)3Pi] ~ (®fc/Pfc)3^у1/(2л*Ра)>
где
k
5Vi == 5|pr = 2	Рур'	~	£^Р/^	0/ft)lv	^	(Р/Л)у
V=1
Продольная сферическая аберрация в выходном зрачке
Аь’ш р, — Amjjj/tg = tg <ak 5yj/(2/xftPft ).	(10.33)
Коэффициент сферической аберрации SVi рассчитывают при
следующих условиях нормирования для первого и второго пара¬
ксиальных лучей:
а1=1;	ht=\\	0i=	I;	(10.34)
При этих условиях координата, определяющая положение вход¬
ного зрачка, sP = #i/px = 1, поэтому для сохранения размер¬
ности (10.33) необходимо умножить на реальное значение sPt т. е.
Лещ р, — sp tg с5VI/(2nftPft ).
7*	195

Учитывая (10.34), находим роя = ^iPi/WPfe) = fli/fai#*)» от¬
куда pfe = rnl{nk§ dp)» тогда
S	2
ASIII Р' = —nk Popsp *2	^Vl/C^l)*
Для системы в воздухе Asm р* = —0,5PopS/> tg oo^Syi или, при¬
нимая во внимание, что tg ю* = tg ©i/p 0р,
р« =	^8 ®|Syj,	(10.35)
Сферохроматическая аберрация третьего порядка. Для сферо¬
хроматической аберрации можно написать A (As^xJ — As^ —
—	As\t, где Asa.» — сферическая аберрация для ij; Asjl, — сфе¬
рическая аберрация для Ха.
Для а* = 1 на основании (10.30) находим
Asni KtBS~~ lak /(2nfe)]x,j
Asiii хш = “ [a^5i/(2n*)]xs>
тогда сферохроматическая аберрация третьего порядка
д (Asiii)x^e = l°ksiJ(2n'k)]xt — [a*2^i/(2rtfe)]xr
Считая, что мало отличается от а**,, и от а^с, для системы
в воздухе получим
д (А^пКя,=	(^iк “
Введем обозначение Scx = Sia,, — Salt где Scx — коэффи¬
циент сферохроматической аберрации, или сферохроматическая
сумма, тогда
д (AsiiiKx* 0^4* = 0,5 (hk/s'k) SGX.	(10.36)
ft
Для предмета в бесконечности
A (Asm)xX = 0,5 (тУГ) S~ ,	(10.37)
где S£ = Sg, - STxr
Кома третьего порядка. Если в системе Si — 5Ш = Siv —
= 5у = 0, то для меридиональной и сагиттальной составляющих
в соответствии с (10.10) будем иметь
Ьу'т = (3т\ + М\) уА2 = (2 + cos 2ty) р2^Л2;
A*iii = 2m1Af1#;42 = sin 2typ2yA2,	(10.38)
где А2 ~ SUJ£2/t^aft(Sp — si)^aiPi3*
Запишем (10.38) в виде
Af/in = 2р 2уАг = р2#Л2 cos 2г|?;
A^jjj и sin 2я|).
Возведя эти выражения в квадрат и сложив их, получим
(Л|/Ш - 2p2^2)3 +Ддснх = (Р2уА%У = г2.	(10.39)
Выражение (10.39) представляет собой уравнение окружности
радиуса г = р2уА2, центр которой смещен на величину 2г —
196

Рис. 10.8. Кома третьего порядка
= 2р2уЛа. Отсюда^ видно, что радиус окружности и смещение ее
центра пропорциональны квадрату радиуса р входного зрачка
(а следовательно, и радиуса р' выходного зрачка) и размеру
предмета.
Учитывая значения г, для Ау'щ и Д*щ находим
Ау'Х11 = (2 -f- cos 2iJ)) г;	= sin 2“фг.	(10.40)
Для главного луча координаты rri\ — Mi = р = 0 (т'и —
—	M'k — р' = 0), поэтому Lyiи = Ах'т — 0. Это значит, что
главный луч пересекает плоскость параксиального изображения
в точке В и, расположенной в меридиональной плоскости и соот¬
ветствующей точке пересечения с этой плоскостью второго парак¬
сиального луча. Следовательно, началом координат для Ау’т
и Аяш является точка В'ъ, (рис. 10.8).
В табл. 10.1 приведены найденные по (10.40) значения А у'щ
и Дхш для лучей, проходящих через точки 1—8 входного (вы¬
ходного) зрачка. Из таблицы видно, что лучи, проходящие через
точки 1 и 5 в меридиональной плоскости, пересекаются в одной
точке, для которой Душ = Зг, а Д*ш = 0. Лучи пучка, про¬
ходящие через точки 3 и 7, т. е. расположенные в сагиттальной
плоскости, также пересекаются в одной точке, для которой А у'щ =
= г, а Дяш — 0. Для лучей, проходящих через точки с коорди¬
натами mi (m'k) и М\ (M'k), т. е. для внемеридиональных лучей 2
и 6 А у'щ — 2 г, Дяш = г и для лучей 4, 8 Душ = 2г и А*ш =— г.
197

Таблица ЮЛ
Меридиональная и сагиттальная составляющие комы третьего порядка
Точка
5
8
Угол ’ф'
О
45
90
135
180
225
270
315
А«/п
III
3 г
о
2 г
г
г
0
2 г
—г
Зг
О
2 г
г
г
О
2 г
za=60-
"90
Если входной зрачок разбить на ряд зон концентрическими
окружностями, то каждой зоне при постоянном значении у в пло¬
скости параксиального изображения будет соответствовать своя
окружность, являющаяся внешним контуром пятна рассеяния.
В том случае, когда точка Вх движется радиально в меридиональ¬
ной плоскости, точка Bh так¬
же перемещается по прямой
в плоскости параксиального
изображения, на которой
находятся центры окружно¬
стей.
Таким образом, изображе¬
ние внеосевой точки пред¬
ставляет собой фигуру рассея¬
ния в виде яркого пятна с по¬
степенно расширяющимся «хво¬
стом», напоминающим хвост
кометы, симметричной отно¬
сительно меридиональной пло¬
скости. Вся энергия сосредо¬
точена в пределах угла 2а =
= 60°, причем освещенность
убывает в направлении от вер¬
шины B'k угла примерно об¬
ратно пропорционально 2 г
(рис.. 10.9).
Нарушение симметрии пуч¬
ка лучей, вышедшего из точки
предмета, расположенной вне
оси, называется аберрацией
комы. Несимметрия плоского
меридионального пучка лучей
Рие. 10.9. Фигура рассеяния, соз- называется меридиональной
даваемая комой третьего порядка	КОМОЙ.
1 &Уш
В'к
Ах'ш
- —X ~Кшт
7 \ '
f
у Кшвм
2 '
1
Ai
198

-p=-(Sp-Sf)	^	^	p'"-(sj>'-sl)
Рис. 10.10. Меридиональная кома третьего порядка:
у'ъ, у'я, y'v —■ размеры изображений соответственно для верхнего, нижнего
и главного лучей
Введем обозначения:
Кш — Ауш — 3т\ .КШгп — А£/11]Г — г;
вм ~	~	2/г;	s	~	~	г’
(1*0.41)
где Кш — меридиональная кома; Kinm—меридиональная со¬
ставляющая комы для сагиттальной плоскости; Кщ вм — мери¬
диональная составляющая комы для внемеридиональных лучещ
Kius—сагиттальная составляющая комы для внемеридиональных
лучей — сагиттальная кома.
Из (10.41) видно, что наибольшее значение имеет меридио¬
нальная кома Кш, поэтому при анализе систем в области аберраций
третьего порядка обычно ограничиваются вычислением только
этой аберрации.
Для меридиональной комы третьего порядка (Ая'ш — 0) в
соответствии с (10.38) имеем (рис. 10.10)
Учитывая условия нормирования для системы в воздухе:
Коэффициенты аберраций, входящие в (10.43) и (10.44), опре¬
деляют по формулам
Яга = Зг
3 т\у
(10.42)
Sj -ф: 	ooj	^1*^11	—	(10.43)
Sj = —оо; «fJI = -l,5/,a^tgMlSn = -l,5(mJ/r)tgwSn- <I0-44>
k
k
k
k
«11=2 i/v-Pv-'S sn= S 9VPV + 2 wv:
199

В системе будет отсутствовать кома третьего порядка, если
коэффициент аберрации Sn будет равен нулю или малой величине.
Поэтому коэффициент 5П называют мерой комы третьего порядка.
Оптические системы, у которых исправлены сферическая
аберрация и кома, называются апланатическими.
Теория аберраций третьего порядка ограничивается областью
малых апертур и небольших полевых углов. Если апертура пуч¬
ков велика, то даже точки предмета, расположенные вблизи
оси, не изображаются стигматически и в плоскости параксиаль¬
ного изображения дают кружки рассеяния, которые не соответ¬
ствуют кружкам, определенным до формулам для комы третьего
порядка.
Пример 10.2. По данным примера 8.1 определить меридиональную кому
третьего порядка, если 2% =? 6°, щ= D/2 = 16,0 мм, f* = 159,712 мм.
Решение. Меридиональная кома третьего Порядка для предмета в бесконеч¬
ности определяется по формуле
“ ~”Ь5 (fJii/f ) tg ©i-SjJ,
k	k
где коэффициент аберрации равен = 2 “Ь 2 или в развернутом
v=i	V—1
виде
ST:5=8 У\Р\ ~Ь УчР 2 "Ь Н? з ^4^ 4~Ь^71 -bW72~b^3-b^V
Параметры Р вычислены в примере 10.1: Pi — 0,776059, Р2 — 14,069577.
Ръ = —17,933990, Р4 = 3.369503,
Из расчета хода второго Параксиального луча, выполненного в примере 8.2,
имеем: уг = 0, у2 = —0,024743, у9 = —0,026681, у± — —0,038847.
Учитывая значения у и Р, находим: ytPt = 0, y*P* == —0,348124, ysPs =
= 0,476703, ул?ь = —0Л30895,
Параметры Ц7:	.
*
Wy — - ддд/	\jvfi	2=5	®|/(rt2	1)	=	—-0,5X3513;
(У 	 F4t
w% = T/it-lfer (а3^3 ~	^	(аз	~	а?)	(п2«8	—	«?)/(«?	—	1)	=	4,275744;
~	=	— (а4 — а3) («4 —	)/(%	- 1) =
= —5,263 718;
= ’ l/zt* —Г/к*	“(!	—«4)	(п*	—	«4)/(«4 — 1) - U746 969.
Коэффициенты аберраций 5ц Для преломляющих поверхностей:
Sm = У1Р1 + Wi = —0,51351; 5ца = 1/а^а + Га = 3,92762;
5ца =	Га = —4,78701;	+	Г4 = 1,61607,
Коэффициенты аберраций <5>ц для всей систему:
+ *5ц2 + 5,18+ 5ц4-=0,24317.
Меридиональная кома третьего порядка
Кщ ~ ~*»5 (m?//r) tg со,5ц == —0,03064 мм.
200

Коэффициент аберрации 5^ может быть вычислен также по формуле
4
su = 2 V*v (W/Ч,
v=l
где бру — Pv+i Pvi = ttv+i — tty •
Эта формула, как уже указывалось, используется в том случае, когда из¬
вестны конструктивные элементы системы.
Для рассматриваемой системы: бо^ = а2 — а* — а3 = 0,515899; баз =
= а8 — а2 = 1,123287; баз = а4 — аз = —1,473129; 0а4 = аб — а4 = 0,833943.
Расчет хода второго параксиального луча дал следующие результаты: 6Х = 1;
р2 = 0,658633; р3 = 0,978404; р4 = 0,576156; Р6 = 0,986806; 66х = Ва — В, =
= —0,341367; бра = р3 — Ра = 0,319771; бр3 = р4 _ р3 = —0,40225; бр4 =
= рБ —р4 = 0,410650.
Коэффициенты аберраций для преломляющих поверхностей:
Sm = hiPi (бр/6а)! = —0,51351;
5па = h2P2 (бр/ба)а = 3,92762;
5Пз = h<tP3 (бр/ба)8 = -4,78700;
5ц4 = hiPi (бр/ба)4 = 1,61608.
Коэффициенты аберраций для системы
4
4
Sn = 2 Vv (*M»)V = 0,24319.
V=1
Коэффициент аберрации имеет то же значение, что и вычисленный ра¬
нее по более сложной формуле.
Астигматизм и кривизна поля изображения третьего порядка.
Полагая в (10.10) Si — 5ц = Sy — 0, a «Sjii и Sjy =?£= 0, для
меридиональной и сагиттальной составляющих получим
Аут = т1у2Аг = р cos яA*Jn — М^2Л4 = р sin ярг/2Л4>	(10.45)
где
= (^ш + ^2^iv)/[2n*aft {sp si)3 aiPf]»
Л4 = (SnI + /2-SIV)/ [2nka.k (sp	Sj)3 ctjPi].
Из (10.45) имеем [Д#ш/(ре/2Л3)]2 — cos2 $'> l^n\l(py2Aa)Y =
—	sin2
Складывая эти выражения, получаем
[Ьу'тЦру**з)]2 + [д*ш/(р^4)]* ^ L .	(10-46)
Формула (10.46) является уравнением эллипса g осями 2а =
—	2ку[ц = 2рг/2Л3 и 25 = 2Axiii = 2р#2Л4. Точке, расположен¬
ной вне оптической оси, в плоскости параксиального изображения
Eie соответствует фигура рассеяния в виде эллипса (рис. 10.11),
причем распределение освещенности в этой фигуре равномерно,
так как площадь эллипса паб возрастает пропорционально пло¬
щади круга rap2 на входном зрачке (полуоси а и б пропорциональ¬
ны р).
При перемещении плоскости параксиального изображения
к системе фигура рассеяния изменяется. Вначале она остается
201

Рис. 10.11. Фигура рассеяния в плоскости параксиального изображения при
Shi 7^ 0 и 8гуф 0
в виде эллипса, ось 25 которого быстро уменьшается и на некотором
расстоянии = z's будет равна нулю, т. е. фигура рассеяния
трансформируется в отрезок, лежащий в меридиональной пло¬
скости и пересекающий главный луч в точке B's (3.7). Длина этого
отрезка 2Ау'ш — 2ру2 (Л3 — Л4).
При дальнейшем смещении плоскости Ei0 она может занять
положение, характеризуемое Д2 = г'т* при котором ось эллипса 2а
будет равна нулю 1см. точку В'т (1, 5)1. В этом случае эллипс
превращается в расположенный в сагиттальной плоскости отрезок
длиной 2Ах'т = 2ру2 (А4 — Л3).
В промежутке между указанными положениями на расстоянии
Аз = Zcp ^ (z'm + Zs)/2 фигура представляет собой окружность
радиуса г = р#М3 = ру*Ал.
Таким образом, внеосевые точки предмета, расположенные
в меридиональной плоскости, изображаются в виде двух взаимно
перпендикулярных отрезков, расположенных на разных расстоя¬
ниях от плоскости параксиального изображения Екоторые
называются фокальными линиями.
Эта аберрация называется астигматизмом (отсутствие то¬
чечного изображения даже при узких пучках лучей), а расстояние
между точками B's и В'т — астигматической разностью вдоль
главного луча. Проекция отрезка В'тВ'& на оптическую ось является
астигматической разностью вдоль оптической оси. Если астигма¬
тическая разность равна нулю, то астигматический пучок лучей
202

превращается в гомоцентрический (точки В'а и В'т совпадут,
фокальные линии исчезнут).
Координаты, характеризующие удаление фокальных линий от
плоскости £л0, будут равны
Формулы (10.47) определяют кривые (геометрические места
меридиональных и сагиттальных фокусов) с различными углами
наклона главных лучей. Кривые A'kB'm и A'uB's (М и S) на
рис. 10.12 касаются друг друга в точке A'k на оптической оси и
имеют форму парабол. При этом каждая точка предмета АгВг
меридиональными пучками изобразится в виде отрезков, про¬
порциональных ф и расположенных в сагиттальных плоскостях,
а сагиттальными пучками — в виде отрезков, расположенных
в меридиональной плоскости, которые, накладываясь друг на
друга, дают резкое изображение.
При отображении протяженных предметов, например плоско¬
стей, их нужно рассматривать как совокупность точек, каждая
из которых изобрджается астигматическими пучками лучей.
В этом случае изображения В'т и В'$ точки В\ будут находиться
на поверхностях М и S, называемых меридиональной и сагит¬
тальной поверхностями изображений, представляющими собой
части параболоидов вращения (рис. 10.13).
Между меридиональной и сагиттальной поверхностями на¬
ходится поверхность, где фигуры рассеяния представляют собой
окружности. Эта поверхность характеризуется координатой
и называется поверхностью изображения средней кривизны.
Астигматическая разность z's — г'т является функцией коэф¬
фициента аберрации Sm, который считается мерой астигматизма
(при Sm = 0,z'8 — z'm = 0).
(10.47)
Астигматическая разность &гт = za — zm — tg2
zcp — (zm + *s)/2 css "”t82 0i (2*^ni + ^2,siv)/(2rtAaft2^i)
B)
Рис. 10.12. Изображение плоского предмета А%Вч при наличии в ей
стеме астигматизма
203

м Г;
4z' -TTTl
ЧДГ
4
Рис. 10.13. Меридиональная М и сагиттальная S поверхности изображения
Меридиональную и сагиттальную поверхности изображения
характеризуют радиусами кривизны R'm и R's, если принять, что
эти поверхности при малых являются сферами (рис. 10.14):
V%т ~ ~~t22®i (3*^iii + f2$iv)!(nka'k$iy'2)>
i/#s = ~^2 ®i (^ш + ^2^iv)/(nka'k$iy'2) •
Если в системе устранен астигматизм (5Ш = 0),то обе по¬
верхности сольются в одну (рис. 10.15) и
г’р = г'т= К = -tg2 tDI/2-SIv/(2«*«fe2Pl):
ЧК= X!Rm =	= -tg2 ®l/Ssiv/(»*“*Sf,l»'S) •
' Коэффициент 5IV называется коэффициентом Петцваля или
суммой Петцваля. Коэффициент Петцваля характеризует кривизну
поверхности изображения при отсутствии в системе астигматизма,
поэтому и поверхность, кривизна которой определяется радиу-
*4 РГ
-*т К £д"
Рис. 10.14. Астигматизм и кривизна поля изображения тре¬
тьего порядка в меридиональной плоскости
204

сом Rp, называется поверхностью Петцваля (рис. 10.15). При
zrm — z's Аз = Л4, и уравнение эллипса (10.46) переходит в урав¬
нение окружности
^ (Р^лз)2 = г2»
т. е. в плоскости параксиального изображения фигура рассеяния
представляет собой окружность радиуса г.
Таким образом, чтобы точки предметной плоскости, распо¬
ложенные вне оптической оси, изображались в плоскости пара¬
ксиального изображения с помощью астигматических пучков
в виде точек, необходимо выполнить два условия: условие точеч¬
ного изображения Sm — 0 (отсутствие астигматизма); условие
плоского изображения Sjy =0 или R'p — оо (отсутствие кри¬
визны изображения), т. е. Sm = Siv “
Системы, у которых устранен астигматизм и поле изображения
является плоским, называются анастигматическими или ана¬
стигматами.
С учетом условий нормирования для системы в воздухе най¬
денные выше формулы будут иметь вид:
при 8г Ф — ОО [аг = Р0, a'k = 1,	=	1, 1 = р0 (Sp — S^]
^ - —0,5 tg2 юх (35П1 + ASIV); в; = —0,5 tga (Sm + /*SIV);
2ср = 	tg3 tOj (2<Sjj! -{- /25IV); z'p* ^ tg8 COj^Sjy;
Лг1 и ~ zs~ гт== *£2®15пр	=l —tg2 Ш1 (3SUI -f I2Slv)/g'2;
205

l/*s —	(^in	H~ iv)iy Z> 1/— tg2<Dj/2.S|y/gr'2 —	^iv*
при sx — — oo [ax = 0, a'k = 1, hx — f' = 1, Pt = 1, / = 1]
z'm =—^,5/ ^ ®1 (^UI “b ^iv)^ zs°° ~	®1	(^П1	+ ^iv)»
(10.48)
г'* = -0,5/' tg2 Ql (2S~ + S~ );	= -0,5/' tg2 ©jSfr;
AzIH “ (zs	^«Alli	R'm~f /(^ni"b^iv)*
*Г = -/'/(«III + 5Гу); *Г = -f/srv• *
Пример 10.3. По данным примера 8.1, а также по результатам примеров ЮЛ
и 10.2 определить координаты z'™, z'°° и астигматизм третьего порядка Az^.
Решение. Координаты, характеризующие меридиональную и сагиттальную
кривизны поля изображения для предмета в бесконечности, согласно (10.48)
определяются по формулам
Zm	= ~°>5/	W1 (3^П1 + ^iv)>
zs	= —0,5f	tg2 CDj (5^j	-j-	5^),
где коэффициенты аберраций
У	1
4	4	4
S7u -= 2 y^lK +2 2 «vwv/kv + 2	«(“/«)v/Av
V=1	V=1	v=l
или
•Sm = 2 V, №/b*)l;
V=1
4	4
5Гу=2 'Vv =2 ^ (na)/(nn)\vfhv;
V=1	V=1	'
6 (/icc)<y — ^v+i^v+i ~ fiyGLyf S (ot/д)^ — ®V+l/^V+l	®v/^v*
Определим ttvav и /iv+ia,v+i — nvav. Так как л и	a известны, то a* = 0,
п2а2 =	0,783287, л3а3 = 1,639186, л4а4 = 0,292545,	= 1, б (na)t =	«а^з —
—	= 0,784287, б (па)2 = л3а3 — п2а2 = 0,855899,	о (ла)а = n4a4 —	/13% =
—	—1,346641, б (да)4 = п5а5 — п4а4 = 0,707455.
Параметры П для каждой поверхности:
#! = б (ла)1/(л1л2) = б (ла)х/Па == 0,515899;
Я2 = б (ла)2/(п2п3) — ^ (па)2/я2 — 0,563723;
/73 = б (ла)3/(/г8л4) = б (па)3/л4 = 0,764392;
Я4 — б (па)4/(л4лБ) — б (яа4)/л4 = 0,401572.
Коэффициенты аберраций S^j на поверхностях определим по формуле,
в которую входят параметры Р и бр/ба:
sm = 2 siw (вР/«о),,
V=1
тогда, учитывая значения 5ц для поверхностей, вычисленных в примере 10.2,
будем иметь
5Ш1 = 5Ш (6p/6a)j = 0,33979; 5Ша = 5П> (бР/ба)2 = 1,11809;
Smз = 5П> (бр/ба)3 = —1,30712; 5Ш4 = Sin W&x) - 0,795 79.
206

Коэффициенты аберраций на поверхностях
S,vi = #,/&, = 0,51590; SIV2 = Я2/&2 *= 0,57486;
5iV3 = пз/нз = -0,78195; SIV4 = /74/А4 = 0,41229.
Коэффициенты аберраций S*j и системы:
4
“ 2 5niv 083 I + ^’ш2 + ^из + ^1114 “=* 0,94655;
v=i
4
5IV =• 2 ^IVv = *^IV 1 “b ^IV2 “Г *^IV3 “Г ^IV4 ^ ^2110.
V—1
Так как ©i = 3°, tga ©j = 0,0027465 и /' = 159,71 мм, то
оо
гт = —0,5/' tg2 ©j (3Sfu -f S~ ) = —0,7808 мм;
ОО
z' = —0,5/' tg2 (0, (Sfu +	)	=	—0,3657	MM.
Астигматизм третьего порядка
.со ( roo	rOO
AzIII — [zs — zm ) — f ^ ®15П1 = 0,4151 MM.
Дисторсия третьего порядка. Принимая в (10.10) Si — Su =
” Sni — Siy = 0, a Sy Ф 6, для меридиональной и сагитталь¬
ной составляющих получим
А 5;	= 0,	(10.49)
где Л 5 — —Svi{2nkak (sP — Si)J рД.
Из (10.49) видно, что при Sy Ф 0 имеет место только меридио
нальная составляющая, причем она не зависит от координат т{
и Мх пересечения лучей с плоскостью входного зрачка, поэтому
все лучи, выходящие из внеосевой точки предмета, пересекаются
в одной точк£ В'и плоскости параксиального изображения, но эта
точка не совпадает с точкой Вк параксиального изображения
(рис. 10.16).
Меридиональная составляющая Az/hi пропорциональна кубу
размера предмета у, поэтому изображения точек, расположенных
на большом удалении от оптической оси, будут значительно от¬
личаться от идеального изображения.
Отрезок у пространства предметов будет изображаться отрез¬
ком у' = у' + Ду'ш = РоУ + Ai/ш- Величина Ду'щ имеет разные
значения для различных значений у, поэтому при наличии в си¬
стеме Ду'щ масштаб изображения не является постоянным:
Р = Г/ У = (У' + ЬУт)/У = Ра +д^ш19-	(10.50)
В идеальной системе линейное увеличение ро является по¬
стоянной величиной, что обеспечивает подобие изображения
предмету для любой пары сопряженных точек, расположенных
в плоскостях, перпендикулярных к оптической оси. Из (10.50)
видно, что в области аберраций третьего порядка линейное уве-
207

y'i
Рис. 10.16. Дисторсия третьего порядка
личение р не остается постоянным, а изменяется в зависимости от
величины у или углового поля ю*. Вследствие этого изображение
не будет подобно предмету.
Аберрация, выражающаяся в том, что нарушается подобие
между предметом и изображением, называется дисторсией. В от¬
личие от других аберраций дисторсия не нарушает резкости
изображения. Так как размер изображения у' определяется ходом
главного луча, то часто говорят, что дисторсия является абер¬
рацией главного луча.
Обозначая дисторсию третьего порядка Ду'щ д и принимая
во внимание, что у — (sP — sx) tg пользуясь (10.49), найдем
Ауш д = Ауш = -tg3	.
Дисторсия Дг/шд пропорциональна коэффициенту аберрации 5V.
Чтобы Ду\н д = 0, необходимо выполнить условие 5у = 0, поэтому
коэффициент аберрации 5у называют мерой дисторсии. Системы,
у которых исправлена дисторсия, называются ортоскопическими.
Из (10.50) для относительной дисторсии получим
Vlll = д/У' — (Р “ Ро)/Ро = 8/Pfl * ♦
Учитывая условия нормирования, для дисторсии третьего
порядка получим
при s. —оо &Уц\ д ~—0,5 tg3(D,Sv;
.	.	(Ю.51)
при s, = — оо	д	= —0,5/ tg3 ©jSy .
Пример 10.4. По данным примера 8.1, а также по результатам примеров 10.2
и 10.3 вычислить дисторсию третьего порядка.
208

Решение. Днсторсию третьего порядка для предмета а бесконечности оп¬
ределяем по формуле (10.51).
Коэффициент аберрации $у вычислим по формул©
*t
sv 2 lKpv №баЙ f 6 H/(VX)I {3P/'5«)V.
Эта формула может быть представлена также в виде
4
*V ~ 2 (^lliv“b ^IVv) (6№>v
v=i
или в развернутом виде
Sy — (<Sjjj 4~ <^>jv)}	+	(^ni	^iv)2 (®Р/^а)з ~b
*4” (*^111 + ^iv)3 (^Р/^а)з + (^IH H”	^iv)4
Так как Sin, Sry и 6$/Sa известны, то Sv для каждой поверхности	будут
равны:	Svi =—0,56620; Sv3 = 0,48194; Sv» =	—0,57043; Sv4=	0,59488.
Коэффициенты аберрации Sу для системы 5 у = —0,05981 и дисторсия тре¬
тьего порядка Л#шд = —0,5f tg3 cDjSy = 0,00079 мм.
Относительная дисторсия Ay'nij*/— —0,0082%.
Дисторсия третьего порядка для системы практически равна нулю, так как
угол 2о)х мал.
10.7, АБЕРРАЦИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
В практике расчета оптических систем знание абер¬
раций третьего порядка оказывается недостаточным, особенно в оп¬
тических системах с высокими относительными отверстиями и
большими полями. Уже в начальных стадиях расчета оптических
систем (при определении конструктивных элементов из условия
устранения аберрации) необходимо либо вводить коэффициенты
аберраций пятого порядка, либо в уравнениях аберраций третьего
порядка учитывать влияние аберраций высших порядков/
При разложении в ряд функций Fx и F2 число членов разло¬
жения пятого порядка определяется числом возможных сочета¬
ний у, тг и Мг. В плоскости параксиального изображения для
предмета	в	меридиональной плоскости уравнения	для	меридио-
нальной	и	сагиттальной составляющих поперечных	аберраций
пятого порядка как функций у, тг и Мг имеют вид
Д^у 6/т?.| (fTij -j— Adj)“ В j -j- 4/«|	-|-
H” ~b ^f)	-f- Mfj yB^ -f- (3wj -j- Mjj	т
-j- 2wzj (2m2 -j- Alj)	-j-	2/rij^4 (B§ -f- Bj j -j- 3/7i2yJB^ -f- э>
Дл'у = 6Mj (m2 -f Mfj2 Bl -j- 4ML {m\ -f- M'fj y2B9 -j- 4 (m\ + M‘f) т^МгуВ3 4-
H- 2mlMly% -L 2m\MlS28b -\- 2/Wj/S6,
где Вг,	—	коэффициенты	аберраций	пятого	порядка,	за¬
висящие от конструктивных элементов системы, положения пред¬
мета и положения входного зрачка.
209

Лк
а)
к&Уг
~Ж\ Зх/
8)
Рис, 10.17. Новые аберрации пятого
порядка:
а — птера, или крыловндная аберрация;
в —* вагнтта. или стреловидная аберрация
В*
Ах'т
а)
А у?.
ш
Вк
	i >—
Ai
S)
& Хр
Ш
Рис. 10.18. Новые аберрации седьмого
порядка:
а — ыоноптера; б — бисагятта
Для характеристики аберраций пятого порядка поступают та¬
ким же образом, как и для аберраций третьего порядка: прирав¬
нивают последовательно все коэффициенты, кроме одного, нулю
и изучают расположение точек пересечения лучей с плоскостью
параксиального изображения, т. е. чистые аберрации.
Коэффициент Вх определяет первую сферическую аберрацию;
В2 — вторую или полевую (боковую) сферическую аберрацию;
В3 — первую кому или кому пятого порядка по отверстию; В4 —
вторую или полевую (боковую) кому пятого порядка; Лв, В7 —
астигматизм и кривизну поля изображения пятого порядка;
В9 —дисторсйю пятого порядка по наклону (боковую). Эти абер¬
рации дают фигуры рассеяния, подобные фигурам третьего по¬
рядка .
> Коэффициенты Вь и В8 характеризуют две новые аберрации,
отсутствующие в третьих порядках (рис. 10.17). Аберрация,
определяемая коэффициентом В&, называется птерой или крыло¬
видной (крылообразной) аберрацией- Эта аберрация дает фигуру
рассеяния в виде семейства крылоподобных кривых. Коэффициент
аберрации В8 характеризует сагитту, или стреловидную (штрихо¬
вую) аберрацию. Фигура рассеяния—прямая линия.
В седьмых порядках имеют место две новые аберрации
(рис. 10.18). Одна из аберраций представляет собой однополосную
кривую, имеющую острие в точке B'k. Эта аберрация называется
моноптерой. Вторая новая аберрация седьмого порядка пред¬
ставляет собой отрезок, средняя точка которого совпадает с точ¬
кой B'k и называется бисагиттой. В более высоких порядках но¬
вые аберрации не появляются.
Таким образом, имеется всего девять видов различных абер¬
раций. В каждом порядке есть одна сферическая аберрация, не
зависящая от размера предмета. Остальные сферические аберра¬
210

ции зависят от четных степеней у и нечетных степеней р. В каж¬
дом порядке, начиная с третьего, есть по одной аберрации типа
астигматизма и кривизны поля, которые зависят от первой сте¬
пени р. Во всех порядках имеется по одной дисторсии.
Наиболее простым способом учета аберраций высшего порядка
является способ компенсации их равными по значению, но обрат¬
ными по знаку аберрациями третьего порядка. Для этого коэф¬
фициенты аберраций третьего порядка не приравнивают нулю,
а считают переменными, т. е. каждый коэффициент изменяется до
тех пор, пока не будет компенсирована соответствующая аберра¬
ция высшего порядка. Лучшего исправления аберраций высшего
порядка можно достигнуть, если число свободных параметров оп¬
тической системы больше числа аберраций, а также путем вве¬
дения асферических поверхностей.
Исследования показали, что большие аберрации пя.того по¬
рядка, вносимые (v + 1)-й поверхностью, могут возникнуть вслед¬
ствие больших аберраций третьего порядка как предшествующей
системы, так и самой поверхности. Отсюда вытекает эмпирическое
правило: для того чтобы аберрации пятого порядка были малыми,
необходимо, чтобы коэффициенты аберраций третьего порядка на
всех поверхностях системы, а также сумма коэффициентов абер-
раций всей системы в целом были минимальными.
ГЛАВА И. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СИСТЕМ ИЗ ТОНКИХ
КОМПОНЕНТОВ
ПЛ. КОЭФФИЦИЕНТЫ АБЕРРАЦИЙ ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Оптические системы состоят из отдельных частей,
число которых может колебаться в широких пределах. Практиче¬
ски для большого класса систем, как уже указывалось, их части
можно считать бесконечно тонкими компонентами. Замена ре¬
альных частей системы бесконечно тонкими компонентами предо¬
ставляет большие удобства, так как в значительной степени упро¬
щает расчет большого числа оптических систем.
Для тонкого компонента в воздухе выражения, входящие
в уравнения (ЮЛ9), можно представить в виде
k	k
2 (1/*,)А(а/д),	= Ф,;	2	ffv/4, = ®j«4;	'3 2 Д (1/®2)V/Aj = 0,
V=>1	V=1	V=1
(ИЛ)
где
i
я<=2^/я)<* (1L2)
211

Учитывая (11.1), для коэффициентов аберраций (10*. 19) си¬
стемы, состоящей из р тонких компонентов в воздухе, при Bv —
= Bt = 0 получим
Si = 2 hiPi\ 6"ц — 2 yipi	— I 2
j£=l	f—I	i—1
S„,= 2	g,V(lht + I2 2 Ф,; sIV= 2 ®,v
£-1^ f-=!
5V == ^,у\РJh*{ 3/2 i/hj -f- /2	2 9fti	~Ь л1)1^{>
Ml	Ml	mi
p
*^vi ~ 2 y^tp*'
Ml
В уравнениях (11.3) Pt и являются значениями параме¬
тров Pvy WV1 относящихся ко всем поверхностям тонкого компо¬
нента:
k	к
pi - 2 pv« 2 i6a/fi (i/«)Ji в («/«)v;
V—1	v=l
6	ft
= 2 ^v=2 [«a/8(l/n)],0(<*/n)v;	(11.4)
v=i	v=i
A,	k
pip, = 2 p»p-= 2 [«P/6 (i/«)]v в №/")v
V—I	V=I
Для тонкого компонента в воздухе — h2 =	•	— fih — hif
Ух = #2 = * * ‘ = Ун = Уи поэтому
SI = hiPi-, S^^yft-IWr, SIU =	-	21ytWi/hl	+	/20y,
Sjv =	(11.5)
Sy = y\P{jh% ZJy^W-f-	(З	-j-	Sy^—y^Pipr.
Уравнения (11.3) и (11.5) являются основными для расчета
оптических систем, состоящих из тонких компонентов и тонких
линз.
Если предмет находится на конечном расстоянии, то, учитывая
условия нормирования (а* = ро, а* = 1, hi = Posi, / = ро X
X (аР — at), Px — 1), для коэффициентов аберраций (11.5) можно
записать:
= р0а.Я^ 5jj = &pPi Р0 (dp fltj)
5jh — azpPj^Qa{ — 2 (ap aapW Ja^ -j- P0 (ap a^)2 ^1	$o)/at>
Sjy = (1 ро) щ/фощ)*
I	,	(П-6)
&£ = 2 ф/л»	~ aPPl/(&aat)Z — ^ (ap	ai) il$Qai)
4- (aP — a^ap(\—P0) (3 + зт^)/а2; SVI => P iP, (ap = l).
212

Для предмета в бесконечности (а, = 0, а; — 1, hi — f = 1,
/ = _l, & = 1):
Осе 	 пса. ооо 	 рао . ттоо,
! — Г1 »	^11 — йРГ{ "Г »
5Ш =	*4" 2aplF* + 1; Sjy = n^;	01 *7)
5у = ДрР^ -f- 3flpU^^ -j- Q-p ^3 -{- я^); Syi — Pip = 0 *
В том случае, когда плоскость входного зрачка совпадает
с компонентом (аР — 0, уг — 0), уравнения (11.6) и (11.7) будут
иметь вид>
при аьф — 00 Si^PodiPi; Su =
== Ро (1 — Ро) 5iv = О — Ро) я*/(Роа*); Sy —0; Svx = 0;
при ai~ — 00 S~ = Pf; 5~=rf; S™ = 1;
(11.9)
Sjy = я^; 5y = 0; Syj = 0.
Из приведенных формул видно, что коэффициенты аберраций
третьего порядка зависят от параметров Piy Wt и щ, так как при
заданном положении предмета и входного зрачка ht и yt являются
постоянными величинами, оптическая сила компонента также
постоянна. Для предмета в бесконечности в тонком компоненте
могут быть устранены только сферическая аберрация и кома
третьего порядка, (В тонком компоненте sx = а*■, sP = аР.)
11.2.	ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТОНКОГО КОМПОНЕНТА.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ НА ВНЕШНИЕ
И ВНУТРЕННИЕ
Из приведенных уравнений (11.3) для системы из
тонких компонентов и (11.6) для тонкого компонента (при Bt —
= 0) видно, что коэффициенты аберраций являются функциями
следующих переменных:
Si - /1 (hu Pt)', Sn = U СУи Рь Wt)i
Sm = h(hu уь Фь Ри Wi)\ S\v — /4(Ф*. щ);	(11.10)
Sy — [ь (hi, У1, ФPi, Wi, Я^).
В формулы (11.10) входят переменные двух видов: к первому
виду относятся htj yi и Ф*, а ко второму Pt, Wt и щ. Переменные
первого вида являются внешними переменными, так как они
связаны только с фокусными расстояниями отдельных компонен¬
тов и тонких линз, входящих в систему, расстояниями между
компонентами, положением предмета й входного зрачка. Если
система задана, т. е. известны Фь d, at и аР, то в результате пред¬
варительного или габаритного расчета будут известны и внешние
элементы системы из тонких компонентов, при этом hu yt, Ф* —
величины постоянные, В таком случае коэффициенты аберраций
третьего порядка будут функциями только параметров Ph Wt и щ.
213

Параметры Я* и Wt зависят от углов а первого параксиаль¬
ного луча и показателей преломления. В свою очередь, углы а
являются функциями внутренних элементов системы (радиусов
кривизны, показателей преломления) и расстояния до предмета
Параметр nif как это следует из (11.2), зависит только от приве¬
денных оптических сил тонких линз, входящих в компонент, и
показателей преломления. Как будет показано ниже, для тонкого
компонента параметр щ является практически постоянной ве¬
личиной.
Известно, что многие типы оптических систем, например
объективы телескопических систем, окуляры, сложные лупы,
фотообъективы, киносъемочные объективы, большинство проек¬
ционных объективов и др., работают при — at — —оо, поэтому
их рассчитывают при sx = —оо. Системы такого рода, как объек¬
тивы микроскопов, многие оборачивающие компоненты телеско¬
пических систем, конденсоры проекционных систем, репродук¬
ционные объективы и другие, рассчитывают при sx ф —оо.
Для упрощения анализа и расчета оптических - систем целе¬
сообразно переменную sx, от которой зависит угол аь исключить
из параметров Р* и W% й получить их в виде функций параме¬
тров РГ и WT, соответствующих предмету в бесконечности, и
параметра . я£, т. е. Р{ — fi [ЯГ, W?, я*]; wi = /2 [WT, nJ-
Зависимость Pi и Wt от РТ и WT можно получить следующим
путем. Если написать уравнения Р* и Wt для предмета на конеч¬
ном расстоянии и для предмета в бесконечности, в которые входят
углы первого параксиального луча, то можно установить связь
между углами at при at Ф—оо и dt при at — —00 и соответ¬
ственно параметрами Я*, Wt и ЯГ, W?, которая выражается урав¬
нениями (рис. ИЛ):
pt=(a( aiY рт+4ai (at—atf w i +
+	— a{) [2a, (2 + n{) — a{];	(И Л1)
Wt « (a, - a,)* W.f + a, (aj - a{) (2 + я,).
Из этих уравнений для РГ и WT имеем
РТ ”	-)-
+ at (at — a() [2af (2 + nt) + at]};	(ПЛ2)
= ['/(«j - «*)]’ №t -“<(“< - “О (2 + «()]•
Уравнения связи РГ, WT с Pt, Wt дают возможность выра¬
зить коэффициенты аберраций третьего порядка через параметры
ЯГ и WT и тем самым исключить из этих коэффициентов пара¬
метры Рг и зависящие от положения предмета, т. е. системы,
предназначенные для работы с конечным расстоянием до пред-
214

Рис. 11.1. Ход первого параксиального луча через
тонкий компонент при ai Ф —оо и at — —оо
мета, рассчитывать так же, как системы с предметом в бесконеч¬
ности. Если, например, для тонкого компонента известны пара¬
метры Pi и Wi, то, используя условия нормирования для аг Ф
Ф —оо, можно найти уравнения для РТ и Wf в следующем
виде:
Е>/(1 — Ро)33 х
X {/>;-4Р0Гг + р0(1-р0)[2р0(2 + ж + 1)]};	(11.13)
®7 = [I/O - Ро)!2 (Г ‘ ~ Ро (1 - Ро) (2 + «,)) •
В большинстве случаев при расчете системы при at Ф —оо
параметры Pt и приравнивают нулю, тогда
РТ — [Ро/0	Ро)2]	[2Ро (2 + ni) + *]♦
«'Т = -[Ро/(‘ 7- Ро)].(2 + «,)•.'
(11.14)
В более общем виде, когда щ и п\ не равны, формулы для Pi
и Wi принимают вид
ntpi =	—	niat)3	РТ	+ 4nin'iai (nia'i — niai) WT +
+	— niat) [2n{a{ (2 + п';п{) — n\aj];	(11.15)
tifw i =	—п^у wf + niniai	[2 }n\+«j.
Впервые параметры Pi , Wt и щ были - получены
проф. Г. Г. Слюсаревым.и называются основными параметрами
бесконечно тонкого тмпонента.
Приведенные выше формулы связи параметров и основных
параметров справедливы только для одного тонкого компонента.
Таким образом, основные параметры РТ, WT, зависящие
только от внутренних элементов тонкого компонента (г, п) и
полностью определяют коэффициенты аберраций, а следовательно»
и аберрации третьего порядка при любом положении предмета
215

и входного зрачка. Кроме того, эти параметры в значительной
мере определяют аберрации высшего порядка.
Зависимость аберраций третьего порядка от трех основных
параметров характерна только для тонкого компонента любой
сложности. Для системы с линзами конечной толщины аберрации
являются функциями коэффициентов St, ..., Sy, не зависящих
друг от Друга. В тонком компоненте пять аберраций зависят
только от трех величин, т. е. если три аберрации заданы, то осталь¬
ные две нельзя изменять произвольно. Наличие в системе не¬
скольких компонентов с конечными воздушными промежутками
дает возможность использовать величины ht и у% для исправления
аберраций, если их можно варьировать в достаточно больших
пределах.
При переходе к линзам конечной толщины нарушаются свой¬
ства бесконечно тонкой системы, ко не скачком, а постепенно.
При больших толщинах коэффициенты аберраций и сами аберра¬
ции не зависят друг от друга.
Одним из свойств бесконечно тонких компонентов является
возможность определить сравнительно простым способом аберра¬
ции системы при обращении хода луча, т. е. при повороте ком¬
понента на 180°.
При обращении хода луча значения параметров Р? и Wf
не совпадают. Для нахождения новых значений РТ и Wf обычно
поступают следующим образом. Оставим систему в прежнем поло¬
жении, но изменим ход луча, т. е. рассмотрим луч, проходящий
через передний фокус и выходящий из тонкого компонента парал¬
лельно оптической оси (рис. 11.2, а). В этом случае, принимая
во внимание условия нормирования (а* = 1 и а} = 0), для (11.11)
получим
Pt = —-f AWf — 4 — 2я, = ?£;- Wt = Wf — 2 —	= Wr (li. 16)
Если компонент повернут на 180° (рис. 11.2, б), то параметры Pt
и Wt будут иметь те же значения, но обратные знаки. Обозначая
а)
б)
Рис. 11.2. Ход первого параксиального луча;
й *— прямой ход; б — ход при повс<роте комаонекта ка IВ0°
216

основные параметры для перевернутой системы через РТ — —РТ
и WT = —W7, будем иметь
Р? =zPf — 4W? +4 + nt; Wf = — W + 2 -f nf.	(11.17)
V
Из (11.17) следует, что при повороте компонента на 180° его
аберрации третьего порядка не изменятся только в том случае,
когда соблюдаются условия
Pf = Pf\ W? = Wf.	(11.18)
Для выполнения условий (11.18) необходимо, чтобы в системе
имело место равенство m = 2WT — 2, из которого вытекает
rf==l+V2-	(11.19)
При этом параметр РТ может быть любым.
Все тонкие компоненты при повороте их на 180° сохраняют
свои аберрации, если удовлетворяется условие (11.19). Так как
для большинства оптических систем из тонких компонентов это
условие не выполняется, то при их повороте на 180° все аберра¬
ции, за исключением сферической, будут изменяться. Только
в простых тонких симметричных системах условие (11.19) выпол¬
няется, т. е. РТ = РТ♦ WT = W?.
Из (11.19) также следует, что если в системах основной пара¬
метр Wt равен 1 + Hi/2,, то при Pt = 0 (сферическая аберрация
равна нулю) они не могут быть апланатическими.
Выше было показано, что основной параметр я* является
функцией приведенных оптических сил тонких линз <р, входящих
в компонент, и показателей преломления. Функцией <р и коэффи¬
циентов средней дисперсии v является основной хроматический
параметр, а функцией этих же величин и коэффициента у относи¬
тельной частной дисперсии — основной хроматический параметр
вторичного спектра, т, е.
I	I
С; = _ 2 (фMi* ct в. С = — 2 (ФТ/»)|.
I=t	i=l
Приведенные оптические силы, в свою очередь, являются
функциями внешних углов а тонкого компонента. Учитывая
условия нормирования, внешние углы принимают равными для
предмета на конечном расстоянии ос* = j3f, а} — 1, а для предмета
в бесконечности = 0, ai — \. Параметры Pf, Wi и основные
параметры РТ и WT зависят от внутренних углов первого па¬
раксиального луча. В формулы для этих параметров входят также
и внешние углы а, но они получили определенные значения при
вычислении С*, С*в. с и Щ-
Таким образом, в тонком компоненте, а также в системе из
тонких компонентов имеют место две группы переменных: внеш-
217

ние и внутренние углы первого параксиального луча. Поэтому
и аберрации оптических систем также можно разделить на две
группы: к первой группе относятся хроматические аберрации
первого порядка (хроматизм положения, хроматизм увеличения,
вторичный спектр положения и увеличения), зависящие от основ¬
ных параметров С*, CiB, с, и кривизна поля изображения Петц¬
валя, являющаяся функцией параметра лко второй группе
относятся сферическая аберрация, кома, астигматизм и дистор-
сия третьего порядка, зависящие от параметров Pt и Wt.
Разделение переменных на внешние и внутренние дает воз¬
можность разделить на две стадии и расчет оптических систем,
состоящих из тонких компонентов (тонких линз). На первой ста¬
дии исходя из условий исправления хроматических аберраций и
кривизны Петцваля определяют приведенные оптические силы
тонких линз, а на второй стадии из условия исправления моно¬
хроматических аберраций находят внутренние углы первого
параксиального луча.
11,3.	АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
ТОНКОГО КОМПОНЕНТА
Сферическая аберрация (рис. 11.3). Для бесконечно
тонкого компонента в воздухе с учетом условий нормирования
(а* = Pq, а'{ = 1) согласно (10.31) имеем
Asiii 1=1 {hklskf
к
S1 = W	[6a/6(l/rc)]*6(a/n)v.
V=1
Так как для тонкого компонента hi = sk — а}, то
$1 = SfcP f = Q{P {■> Asjjj = 0,Бфув| = •	Jo.i.	(11.20)
Для предмета в * бесконечности (s'k — a't = /')
AsffJ « —0,5mfPJ7/\	(11.21)
компонента
218

-Ув=~Ум
Рис. П.4. Меридиональная кома третьего порядка тонкого компо¬
нента
Сферическая аберрация в выходном зрачке. Для тонкого ком¬
понента в воздухе в соответствии с (10.35) имеем
As
ill рш
-О,50цр5р tg2 <о,5
VI*
•5vi ~ Vip tp** РiP9 ^ [ЭД/б (l/rt)lv ^ Ф/п)\'
v=*l
Коэффициент аберрации 5yi вычисляют при рг = 1, ух — 1,
sP — аР — 1, поэтому
Asm р» — —|tg2©,Pfp.	(11.22)
Сферохроматическая аберрация. Согласно (10.36) для тонкого
компонента в воздухе
Д (AsIIlKi^g = °»5aft2^eя — (hklskf 5с*>
где Ses — 5а, — «Sia>lf Si&t = hiPax1 Sa, — ЫРаа.
При at Ф ~~~оо
5еа = h ~ Риы) = ai (рая — р1к)>	}
А BSB “ pt\l)/a{‘
Если at ~ —оо, то
ч;=“I (рТка - рТк) - f (р?к - p*th
А	°’5/i5	(*Я	-	р*М!'	=	0,5m\ (PfXt - /Я)/Л
Меридиональная кома (рис. 11.4). Для тонкого компонента
в воздухе и предмета на конечном расстоянии (а* = Ро,	а} ~	1)
/Сц| = —1»5<У;2 tg е>|5п = —1,5 (А^/а^)2 tg tt>,5j,,	(11.25)
где 5ц= аРРг — ро (ар — а^
При sx = flf = —оо
=	1*5ш|	tg	<0|5|j/f	,	(11.26)
где STi = apPf + Wf.
•219
, (11.24)

Рис. I i .5. Астигматизм и кривизна поля третьего порядка тонкого
компонента
Если входной зрачок совпадает с компонентом (аР — 0), то:
ври а* = — оо
*“*п ^	s ~aic=r'ai^Q’	^	tg	(11.27)
при щ сз 	ОО
S^ = (!>7; ЛП, = -l',5/nftgm,rf//’.	(11.28)
Для устранения меридиональной комы необходимо выполнить
условие 5ц = 0. Это возможно только в том случае, когда устра¬
нена сферическая аберрация (Р* = 0) и параметр Wt = 0.
Однако, если сферическая аберрация устранена не полностью,
то можно выбрать такое положение зрачка входа, при котором
в компоненте будет отсутствовать меридиональная кома. Пола¬
гая 5ц = 0, найдем
а.	оо; ар = ~^a.W./(/>. - $QWJ;	(11.29)
—ap = --Wf/Pf.	(11.30)
Следовательно, если сферическая аберрация (Sx Ф 0) такова,
что практически не ухудшает качество изображения, то подбором
координаты аР можно добиться изопланатической коррекции.
Если Si	=	0	(Ashi = 0), то меридиональная кома	не зависит от
положения	входного зрачка. Для тонкой линзы меридиональная
кома описывается теми же выражениями, что и кома для беско¬
нечно тонкого компонента.
Астигматизм и кривизна поля изображения (рис. 11.5). Для
тонкого компонента в воздухе координаты, определяющие поло¬
жение меридионального и сагиттального изображений, поверх¬
ности Петцваля, астигматизм, радиусы кривизны меридиональ¬
220

ной и сагиттальной поверхностей изображения и поверхности
Петцваля, определяются следующими уравнениями:
я* — оо:
гт — —0,5 tg2 Ш| [35П| -}- Pq (йр а^)2 <S,v];
zs = —0,5 tg2 юj [51И + Ро (ар ~~ aiT ^iv]>
Zp~—0,5 tg2 ©jpg {a,p a^)2 5IV; A2\\\ — zs em ^	01*31)
\lRm — — П/(РУ)] P^iii + Po (aP ~ aif ^iv]‘*
1 /Rs = — [1/(РУ)] [5ih + Po (aP — о-if ^iv]> ЦЯр ~ —5iv
где суммы Sm и Siv определяются формулами (11.6);
a i = — oo:
С -	^4	[asni	+ siv];
z'°° = —0,5/ tg2 cdj ~b 5jy]; zp =	0,5/	tg2©j<Sjy;	(11.32)
А2щ = К - Zm)°° = /'tg2	V*m	= “ (35Ш + *1У)/Л
1/*Г — — (^П1 + $iv)!f »	”	f	/^IV*
где S“i = apP? + 2аяГГ + 1; Siv = re,.
Если входной зрачок совпадает с компонентом, то Sm =
= афо (1 — Ро) и .Shi = 1,0. Это значит, что при конечном рас¬
стоянии до предмета астигматизм и кривизна Петцваля зависят
от координаты аР, р0, а для предмета в бесконечности принимают
постоянные значения и никакими средствами не могут быть устра¬
нены.
Параметр щ для тонкого компонента примерно равен 0,62,
поэтому уравнения (11.32) при at — —оо и аР = 0 могут быть
записаны в следующем виде:
г'™ = —1,81/' tg2 Шр г'8°° == —0,81/' tg2 ©,;
Zp°° = —0,31/"tg2©j; Az^ =/’tg2©,;	(11.33)
= -0,276/';	R;*°	=	-0,617/';	R'~	=	—1,613/*.
Из (11.33) следует, что астигматизм и кривизна поля при щ —
—	—оо и аР — 0 не зависят от конструктивных параметров
системы. Если положить, что Shi = 0, то а2Р + 2apWT/PT -f
+ 1/РТ = 0; ар = —[ WT ± ((rf)2 — PT)l,2]/P?-
Последнее уравнение имеет два корня, и, следовательно,
существуют два положения входного зрачка, при которых может
быть устранен астигматизм при РТ Ф 0 и Wf Ф 0. Если РТ
и WT равны нулю, т. е. в системе устранены сферическая аберра¬
ция и меридиональная кома, то астигматизм не зависит от поло¬
жения входного зрачка. Астигматизм в системе может быть устра¬
нен при одновременном исправлении сферической аберрации и
221

Рис. 1L6. Кривизна Петэдваля третьего порядка тонкого компо¬
нента
меридиональной комы, если третью сумму компенсировать путем
подбора компонентов с астигматизмом противоположных знаков.
Кривизна Петцваля. Кривизна Петцваля (рис. 11.6) опреде¬
ляется коэффициентом
i
Sly ■== Ф*'31г = ф| 2 (фЛ1)*-
1
Отсюда видно, что Зху зависит от приведенных оптических сил
линз, входящих в компонент показателей преломления, и опти¬
ческой силы компонента и не зависит от формы линзы. Для полу¬
чения плоского изображения при отсутствии астигматизма не¬
обходимо выполнить условие Siy = 0 или я* = Е (ф/n)i = 0.
Напишем формулу для щ в виде щ — фx/n2 + ф2/я3 + ■ • • +
+ ФгМг*
Показатель преломления оптических бесцветных стекол из¬
меняется в малых пределах (1,47 ... 1,81), поэтому справедливо
равенство
Щ = (Ф1 + Ф8 Н	Ь ф|)/«ср = 1/»ср « О»62*	(11.34)
где пср — средний показатель преломления среды, и коэффи¬
циент Петцваля 5jy — 0,62 Ф* = 0,62//' ф 0. Отсюда следует,
что в тонком компоненте кривизну Петцваля исправить нельзя.
Параметр it* может быть уменьшен, если линзы, компонента
будут изготовлены из материалов с большими показателями пре¬
ломления. Например, в инфракрасной области спектра при
X — 2,0 мкм, если линзы будут изготовлены из кремния (п —
—	3,453) или германия (п = 4,109), то параметр щ будет при¬
мерно равен 0,2896 и 0,2334.
Дисторсия (рис. 11.7). Для бесконечно тонкого компонента
В' воздухе выражения для А«/шд имеют вид: при а* Ф — оо
(11.35)
222

оптическую ось (меридиональная плоскость, перпендикулярная
к плоскости чертежа), угол (%, то ох — % и направляющие- ко¬
синусы будут
%г sss cos ot ~ cos шг; fij = —sin а% — —sin	=	0.
Ход внемеридионального луча рассчитывают по формулам
(12.5). Координаты пересечения внемеридионального луча с пло¬
скостью параксиального изображения
#' = »» + (** - h) H+ilK+i' *'=*» + (sk - **) W4+1-
Меридиональная и сагиттальная составляющие Ау' = у' — у'\
Ах' - Г.
В большинстве случаев приходится рассчитывать широкий
пучок лучей, идущий через систему в меридиональной плоскости
из внеосевой точки предмета, расположенного в бесконечности.
Верхний, главный и нижний лучи пучка образуют с оптической
осью угол ах = ©j.
Координаты лучей: у0 — щ\ х0 = Мх — 0; z0 = 0; d0 —
= —sP — верхний луч; уг ==•• т1 — 0; х0 = Мх = 0; г0 = 0; d0 —
= —sp — главный луч; г/0 = —тх\ х6 — Мх = 0; z0 = 0; d0 =
= —sP — нижний луч.
Для всех лучей направляющие косинусы Ях — cos ог — cos %;
р-! — —sin	— —sin	vx = 0.
Расчет хода лучей выполняется по формулам (12.5). В резуль¬
тате расчета определяются размеры изображений, даваемых верх¬
ним, главным и нижним лучами в задней фокальной плоскости,
а также меридиональные составляющие для верхнего и нижнего
лучей.
При расчете хода широкого пучка в сагиттальном сечении при
$1 ~ —со координатами крайнего луча пучка являются у0 —
= тг — 0, х0 = Мъ z0 ~ 0, d0 = —sP. Направляющие косинусы
= cos сгх — cos ©х; щ = —sin сгх = —sin юх; vx — 0. В ре¬
зультате расчета определяют размер изображения y's в задней
фокальной плоскости, меридиональную составляющую Ау' =
—	9's—У\ меридиональную составляющую относительно глав¬
ного луча Ay's =у'$ — у'Г, сагиттальную составляющую Ах = х'.
При расчете хода меридионального луча, параллельного опти¬
ческой оси (ах = 0), координатами его являются yQ — тъ х0 —
—	Мх = 0, z0 = 0, d0 — —sP. Направляющие косинусы Хг —
—	cos 0 ~ 1, р>х ™ 0, vx — 0. Расчетом хода луча находят s'k —
~ —yhK+i/P>h+i 4* 2, меридиональную составляющую —попереч¬
ную сферическую аберрацию Ay'kl фокусное расстояние системы
f' — —“ —'tnifi*k+i (sin ” —Ин-i)*
Формулы для расчета хода элементарного наклонного пучка
лучей. Этот пучок называют также бесконечно узким и астигма¬
тическим. Осью пучка является главный луч. Ход элементарных
наклонных пучков лучей рассчитывают по формулам (4.50) для
233

Коэффициенты аберраций
4
ST -РТ\ 2 pl- р\ + р? + Я* +	^	0,06686;
t=l
4
S“ = Г“ = 2	= wl + ^2 +	=	0,21527.
Mi
Оптические силы тонких линз определены по формулам
Ф1 = lip = (па — 1) (l/?i — 1/у,,) = 0,0103693;
ф2 = 1 //' = (n4 — I) (1 /гя — 1/г4) = —0,0041313.
Приведенные оптические силы (pt = Ф/Ф — /'//{ = 1,66228; ф2 — Ф2 /Ф ~
= /'//а = -Ю,66228.
Параметр = 2 Ф/п = *Pi/n2 “Ь Фг/П4 ~	71890.
Ml
Коэффициент аберрации SJV -- nt = 0,71890.
Сопоставим коэффициенты аберрации тонкого компонента и компонента
с линзами конечной толщины:
О СО	ООО	QOO	С*	Г» 6Ь
°I	°II	^III	^iv
Тонкий компонент		0,0669	0,2153	1,0000	0,7189	0,0
Компонент с линзами конечной
толщины ..........	0,3237	0,2432	0,9465	0,7211	—0,0598
Из приведенных данных видно, что практически изменился только коэф-
; фвциент аберрации 5J®, т. е. сферическая аберрация тонкого компонента умень¬
шилась в 4,8 раза и составляет As^ — —0,5tn^S^lf — —0,0534 мм.
Меридиональная кома и астигматизм остались без изменения, а дисперсия
равна нулю. Эти аберрации в большой степени зависят от размера углового поля
И.4. СУММИРОВАНИЕ АБЕРРАЦИЙ
При разработке оптической системы нередко воз¬
никает необходимость оценить хотя бы приблизительно, какие
остаточные аберрации может иметь проектируемая система. Для
этого необходимо знать коррекционные возможности компонен¬
тов, составляющих систему, что позволит не только оценить
их. остаточные аберрации, но и определить пределы, в которых
можно изменять эти аберрации. Кроме того, аберрационный
расчет системы в большинстве случаев ведется по отдельным
компонентам. Поэтому, выбрав компоненты системы и установив
примерные значения их аберраций, выполняют суммирование
аберраций отдельных компонентов. Правила сложения аберраций,
которые будут рассмотрены ниже, справедливы не только для
аберрации третьего порядка, но и для аберраций высшего по¬
рядка.
При суммировании продольные аберрации, к которым отно¬
сятся хроматизм положения, продольная сферическая аберрация,
астигматизм и кривизна поля изображения, переносятся из
пространства предметов в пространство изображений посред-
224

ством умножения их на продольное увеличение. Обозначив сум¬
марную продольную аберрацию через As\ получим следующие
выражения:
для двух компонентов в воздухе As — a^Asj + As2 =
—	Р02 Asj + As3;
для трех компонентов A s' — (P02ASS + A s2) роз + А S3;
для системы из р компонентов Asp — рорРоp—i Р02Asj -f
4~ Pop—1 Pop—2 ... P02AS2 • • * -j- PopASp_i •+• Asp или
ASp — Asj П Pq As2 П Pq + • • • -f- Asp—iPop ~f~ Asp •	(* *
2	3
Поперечные аберрации (хроматизм увеличения, кому., дистор-
сию) переносят из пространства предметов в пространство изобра¬
жений посредством умножения их на линейное увеличение.
Для системы из р компонентов суммарная аберрация
А#; = Л*; П Р0 + аУ2 П Р0 + • • • + Ч^Рор + ДV	(И.38)
2	3
Аберрации необходимо суммировать по ходу одного луча,
проходящего через всю систему. Если суммирование аберраций
выполняют в области аберраций третьего порядка, то суммарную
продольную аберрацию определяют по ходу первого параксиаль¬
ного луча, а поперечную — по ходу второго параксиального луча.
При обращении системы на 180° продольная аберрация в изо-
ч**
бражении обратится в предметную аберрацию As1? при этом ее знак
изменится на обратный, т. е. As{ — —Asj.
Продольная аберрация в изображении в обратном ходе при
отсутствии аберрации в предмете A s' — As'/Po* гДе Ро берется
в прямом ходе лучей. Если, например, первая система работает
в обратном ходе, а вторая — в прямом, то суммарная аберрация
будет
As' = Pg2 аТ{ -f- As2 = Э02 Asx/Poi.4- As‘2 = Р02Й1 Ast + As‘2-
Если ход лучей между компонентами в системе параллель¬
ный, то приведенные выше формулы суммирования теряют смысл,
так как p0i -> 00. В этом случае аберрации компонента, после
которого имеется параллельный ход лучей, рассчитывают в об¬
ратном ходе.
Рассмотрим суммирование аберраций в оборачивающей си¬
стеме, состоящей из двух компонентов (рис. П.8). Суммируя
продольные и поперечные аберрации, получаем
As' —• РотРог Asi ~b ^s2* АУ ~ РснРог АУ\ ~h	01 -39)
Так как p01	00	и	p02	= 0, то неопределенность произведе-
-К
ния PoiPos можно раскрыть следующим образом.
8	rf/ИАИ. HvrtftBSK»	.225

Рис. И.8* Суммирование аберраций в оборачивающей системе
Инвариант Лагранжа—Гельмгольца для системы / = пгуаг ~
= п3у'аъ. Для системы в воздухе РохРоа = У’!У =	/«s*	где аг ==
= Л1//1 = —/1 i/fi и а3 == /12//2. Так как hi — Л2, то Р01Р02 = —fffli-
Тогда формулы (11.39) примут вид
ДГ *	+ АЪ АГ «= - (/2//0 АЙ 4- АЙ ■
При fx =	^	^
: v	Д5'	=	ДТ; +	А/?' = —Ду{ -f Ду£,	(11.40)
т. е. суммарная продольная аберрация системы равна сумме
аберраций компонентов, а суммарная поперечная аберрация —
разности аберраций компонентов.
В телескопических системах суммарные аберрации выражают
в угловой мере. Аберрации объектива вычисляют в прямом ходе,
а окуляра — з обратном. Суммарные аберрации As' — Азоб -f
•4-	”►»
+Д*о„; Ду‘ — куобЛ- Ауок-
ГЛАВ А 12. АБЕРРАЦИИ ШИРОКИХ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
(ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ)
Рассмотренные выше «чистые» аберрации третьего
порядка относятся сравнительно к узким пучкам лучей. В реаль¬
ных системах действуют широкие пучки лучей, выходящие как
из осевой, так и из внеосевых точек предмета. Для осевой точки
предмета имеют место хроматизм положения, сферическая абер¬
рация. Для точек предмета, близких к осевой, выполняются
условия синусов и изопланатизма. Если все лучи внеосевого
пучка лучей пересекаются в одной точке или примерно в одной
точке, не совпадающей с плоскостью параксиального изображе¬
ния, то можно считать, что в системе по всему полю преобладает
сферическая аберрация. В том случае, когда лучи широкого
пучка лучей, выходящих из внеосевой точки предмета, пере¬
секаются в точках, расположенных на некотором расстоянии от
226

точки пересечения главного луча, в системе будет преобладать
кома. Если рассмотреть узкий пучок лучей, выходящий из вне¬
осевой точки предмета, ось которого (главный луч) образует
конечный угол с оптической осью, то в этом случае имеют место
аберрации главного луча, к которым относятся астигматизм,
дисторсия и хроматизм увеличения.
В большинстве случаев широкие пучки лучей, выходящие из
внеосевых точек предмета, обладают всеми аберрациями, зави¬
сящими от размера предмета—размера полевого угла. К этим
аберрациям относятся сферическая аберрация, кома, астигматизм,
кривизна поля и хроматизм увеличения.
Разработка новых оптических систем имеет несколько этапов.
Первый этап — это выбор принципиальной оптической схемы,
т. е. на первом этапе устанавливаются типы и взаимное располо¬
жение компонентов оптической системы, призм и зеркал. Эта
работа тесно связана с габаритным расчетом. В настоящее время
на первом этапе, ЭВМ не используются.
На втором этапе осуществляются выбор конструкций отдель¬
ных узлов оптической системы и ех коррекционный расчет.
Конструкции узлов, состоящих из одного и нескольких компонен¬
тов, могут быть определены с использованием формул хромати¬
ческих аберраций первого порядка и монохроматических аберра¬
ций третьего порядка, т. е. находится конструкция так назы¬
ваемого исходного варианта. Отдельные узлы могут быть сфор¬
мированы из компонентов, рассчитанных ранее, с характеристи¬
ками, близкими к заданным.
На последующих этапах проводится расчет хода параксиаль¬
ных и действительных лучей, определяются остаточные аберра¬
ции и выполняется их коррекция. При этом широко исполь¬
зуются ЭВМ различных типов (БЭСМ-6, машины типа EC. и др.).
Ход лучей рассчитывается по специальным программам.
12Л. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ХОДА ЛУЧЕЙ
НА ЭВМ
Основной объем информации об оптической системе
получают из расчета хода параксиальных и действительных лучей.
В результате расчета хода лучей определяют: параксиальные
характеристики оптической системы — фокусные расстояния, фо¬
кальные отрезки, увеличения, положения и диаметры полевой
диафрагмы, входного и выходного зрачков; хроматические абер¬
рации первого порядка, монохроматические аберрации третьего
порядка, геометрические и волновые аберрации действительных
лучей; световые диаметры на поверхностях, степени виньетиро¬
вания и структуры пучков лучей, вышедших из системы.
Способы записи конструктивных элементов оптической системы.
Радиусы кривизны сферических поверхностей задают в соответ¬
ствии с принятым правилом знаков. Для плоской поверхности
8*
227

г = op, поэтому условно принято записывать г 0. Расстояния
между вершинами поверхностей записываются также в соответ¬
ствии с правилом знаков, т. е. после отражающей поверхности
знак расстояния меняется на обратный. Показатели преломления
оптических сред задаются либо непосредственно, либо в виде
кодов марок стекол сред и длин волн, для которых ведется рас*
чет. После отражающей поверхности, как известно, знак пока¬
зателя преломления или кода меняется на обратный.
Формулы для расчета хода параксиальных лучей. Ход паракси¬
альных лучей через систему из преломляющих и отражающих
поверхностей рассчитывают по формулам (5.18), (5.19).
Первый параксиальный луч:
o^+i = |^v®v	0 M'v) Pv» ^v+1 = Ну — ^v®v+i>	(!2.l)
где v = 1, 2, k; = nv/«v+1; pv = 1 frv.
При si ф —oo (ai = hi/s\) определяются s* —	Po	=
—	п\ах/(пка'к), у' = Pot/т а при s\ — — oo sb = hk/a'k, f' = hi/a'k.
Второй параксиальный луч:
Pv+i ~	4-	Уу	(J	m)	Pv» — У У — ^vPv+li
sp' — yd$Pop ~	®	~	$op®-
Формулы для расчета хода действительных лучей. Расчет хода
действительных лучей, проходящих в меридиональной плоскости
через простые оптические системы (одиночные линзы, зеркала,
плоскопараллельные пластины), может быть выполнен с помощью
микрокалькуляторов типа «Электроника» по тригонометрическим
формулам (4.26):
при	Ф —оо
sin ev = (rv — sv) sin av/rv;
sin e'v = nv sin oJnv+l; av+l	= av + e' — ev;	(12.3)
К = rv — rv sin ev/sin av+1;	sv+[ = §v — dv,
где v	=	1, 2, ..., k\ при sx = —oo sin et — —hxfrx.
Для	плоской поверхности (г =	оо): ev = av; ву ~ crv+J;
sin CFv_|_i = fly sin Oy/tly+i', S<y = Sy tg Gy. 0-y-j-l•
В результате расчета меридионального луча при ^Ф — оо
определяются координата s*, линейное увеличение Р —
= п 1 sin Oi/(rik sin а*), а при S\ = —оо s'F' и f ' — hi/sin a*.
Расчет главного луча проводится по приведенным выше фор¬
мулам путем замены углов о на © и на sP. В результате расчета
находят Sp', рР = щ sin	sin о>*), У' — ($р' — 4) tg
Расчет хода внемеридиональных и меридиональных лучей
с помощью ЭВМ основан на использовании формул Федера.
Основными преимуществами этого способа являются: расположе¬
ние начала координат на вершинах преломляющих поверхностей,
что исключает потери точности при расчете через поверхности
с большими радиусами кривизны; отсутствие перехода от три-
228

Рис. 12.1. Координаты внемеридионального луча:
о — в пространстве предметов; б — в пространстве изображений
гонометрических формул к углам и обратно, а также отсутствие
таких переменных, которые в процессе расчета могут прини¬
мать значения, превышающие продольные или поперечные раз¬
меры оптической системы. Ниже будут приведены формулы для
расчета хода лучей через центрированные оптические системы.
Для предмета АгВи расположенного на конечном расстоянии
(sx Ф —оо, Gfx Ф 0), начальными данными для расчета (кроме
229

конструктивных элементов и показателей преломления) являются:
координаты точки пересечения луча с плоскостью предмета
(координаты точки предмета В3) у0 — у, х0 — х, г0 — О
(рис. 12.1, а); расстояние от первой поверхности до предметной
плоскости §г; расстояние от первой поверхности до плоскости
входного зрачка sF; координаты тг и ML точки пересечения
внемеридионального луча с плоскостью входного зрачка. Зная
эти координаты, определяют направляющие косинусы cos Xf,
cos р>Г и cos vf, характеризующие направление внемеридиональ¬
ного луча, которые в дальнейшем будем обозначать щ и vx:
. х _	- («. - sp)	.
,, =	т1 - У	.	/,9	4)
V(h - spY+(mi - »j*+ (mi -	’
_  	Мг — ж
Vl ~ К(г1 ~ *р)а + (mi Hf + (мг —*)''
В том случае, когда предмет располагается в меридиональной
плоскости, хо — х — 0. На рис. 12.1, а — угол между лучом
BiN'i и осью z; fjbf — угол между лучом BXNX и осью у; vf — угол
между лучом ВгЫх и осью х- Как известно из аналитической
геометрии, А| + |л? + v\ — 1, поэтому достаточно задать два
направляющих косинуса из трех. Принято задавать и щ.
Направляющие косинусы считаются положительными, если на¬
правление проекции луча на соответствующую ось совпадает
с направлением оси.
Преломление внемеридионального луча на произвольной v-й по¬
верхности определяется по формулам:
ev~i ~	l(2v-i ^v-i)	Н~ .Vv-i^v ~Ь	>
==	4” {^--i
~ (2v—!	—i)	yv—1 xv—l	—1 *
Pv = PvAl ~ 2 V <?v = У Ц —	= COS sv;	(12.5)
^v-i =	1 + pJ(K + <?v); ?v =	(! “4j = cos V
2V — (zv_j ^v-i) *4“ <?v~iAv* Уч “ У\-1 ~b
*v = *v-t + dv~lVv;	“ <?v (ftv/nv+l)	;
Xv+J — (nv/nv+1)	gV (ZvPv 0»	M’V+l ” (nv/ftv+l) M'V	£v#vPv>
Vv+J. ~ (^v/^v+i) £v*vPv*
где v = 1, 2, 3,...,
Правильность вычислений после каждой поверхности прове¬
ряется по формулам
Ч-Н + Hv+l + <+| *= 1 > (2vPv — О2 + (^vPv)2 + (^vPv)2 = 1 •
230

В формулах (12.5) d представляет собой косую толщину —
расстояние между точками пересечения луча на v-й и (v + 1)-й
поверхностях, измеряемое вдоль луча. Если подкоренное выра¬
жение в формуле q'v — cos &v отрицательное, то это значит, что
луч претерпевает полное внутреннее отражение. Для первой по¬
верхности оптической системы (v = 1) dy„x == dQ — —3lt где —
расстояние от первой поверхности до предмета.
В результате расчета хода вяемеридионального луча опреде¬
ляются координаты точки пересечения луча с плоскостью уста¬
новки. за которую в большинстве случаев принимают плоскость
паражсиального изображения (рис. 12Л,	б):
У- 8=3 Ук+х "	+ (sk — h)	lAfc+i5	(]2 6)
*' “ **+1 “ xh + (sk — h)
Меридиональная и сагиттальная составляющие поперечной
аберрации внемеридионального луча
Ау' с» у*—yf] Ax' — х'—х(12.7)
при х0 — 0 Ах' — х'.
В формулах (12.6) sk — расстояние от последней поверхности
системы до плоскости параксиального изображения, берется
из расчета хода первого параксиального луча. Координаты у'
и х' являются координатами идеального изображения: у' — р0у0;
X = ро-^о*
В том случае, когда предмет и луч, выходящий из внеосевой
его точки, находятся в меридиональной плоскости, координатами
предмета являются у0 = у, х0 = О, z0 = 0, dy = —sx, а коорди¬
натами в плоскости входного зрачка тъ Мх — 0 и sP (рис. 12.2, а).
Направляющие косинусы в этом случае будут
— S
Р)
(128)
Р>! «я	J	VT	G.
V(h-sPr+("h-yo)*
Размер изображения в плоскости параксиального изображе¬
ния (рис. 12.2, .6)
Г-yk + (?k -h) Hjh+v
Меридиональная составляющая Ауг = у' — у'.
Если меридиональный луч выходит из осевой точки предмета,
то уо = у — 0: хо = 0; г0 = 0; do = —«ь tg а5 = hi/sj = mi/si;
mt; Mt — 0; §P и направляющие косинусы будут
-- № - *р)

Рис. 12.2. Координаты, определяющие положение меридиональ¬
ного луча:
а — в пространстве предметов; б — в пространстве воображений
Ход луча в этом случае рассчитывают по формулам (12.5).
Расстояние от последней поверхности системы до точки пере¬
сечения. луча с оптической осью s* = —ykXk+i/pk+i + z*.
Размер изображения в плоскости параксиального изображе¬
ния представляет собой меридиональную составляющую, и, как
будет показано ниже, поперечная сферическая аберрация
Ь.у'к = AS' = У‘ =Ук + ($'к - гк) (ik+1/Xk+l.
В том случае, если предмет находится в бесконечности и
внемеридиональный луч выходит из внеосевой точки предмета,
то задаются координаты луча в плоскости входного зрачка, т. е.
Уо = т\ч хо = Mlt 20 — 0, d0 = —§Р. Если внемеридиональный
луч образует с горизонтальной плоскостью, проходящей через
232

оптическую ось (меридиональная плоскость» перпендикулярная
к плоскости чертежа), угол соь то ох = е>х и направляющие ко¬
синусы будут
= cos ог — cos	= —sin ax = —sin cd1; Vj ~ 0.
Ход внемеридионального луча рассчитывают по формулам
(12.5). Координаты пересечения внемеридионального луча с пло¬
скостью параксиального изображения
г - + (П ~ h) IWW	+ (s'k - h) ’lAi'
Меридиональная и сагиттальная составляющие Ау' — у' — у';
Ах' - Г.
В большинстве случаев приходится рассчитывать широкий
пучок лучей, идущий через систему в меридиональной плоскости
из внеосевой точки предмета, расположенного в бесконечности.
Верхний, главный и нижний лучи пучка образуют с оптической
осью угол сгх — (0Х.
Координаты лучей: у0 = тг; х0 = Мх = 0; г0 — 0; d0 =
= —sp — верхний луч; ух = тх = 0; х0 = Мх — 0; z0 = 0; d0 =
= —sP — главный луч; yG = —mx; л:0 = Мх = 0; г0 ==0; d0 =
= —Sp — нижний луч.
Для всех лучей направляющие косинусы = cos ах = cos щ;
jm.i = —sin ax — —sin a>x; v* = 0,
Расчет хода лучей выполняется по формулам (12.5). В резуль¬
тате расчета определяются размеры изображений, даваемых верх¬
ним, главным и нижним лучами в задней фокальной плоскости,
а также меридиональные составляющие для верхнего и нижнего
лучей.
При расчете хода широкого пучка в сагиттальном сечении при
— —со координатами крайнего луча пучка являются у0 =
—	тх = 0, х0 = Мх, 20 = 0, dQ — —Ip. Направляющие косинусы
Xj = cos (Tj — cos (Oi,* р»! — —sin аг = —sin щ; vx — 0, В ре¬
зультате расчета определяют размер изображения y's в задней
фокальной плоскости, меридиональную составляющую Ау' —
—	У'а—У' 1 меридиональную составляющую относительно глав¬
ного луча Ay's —y's — у?, сагиттальную составляющую А%‘ = х!.
При расчете хода меридионального луча, параллельного опти¬
ческой оси (о-! = 0), координатами его являются yQ — тх, х0 —
= Мх — 0, z0 ~ 0, d0 — —sP. Направляющие косинусы Хх =
—	cos 0=1, щ ~ 0, ух — 0. Расчетом хода луча находят $'к —
—	—+ 2, меридиональную составляющую —попереч¬
ную сферическую аберрацию Ay'k, фокусное расстояние системы
V =	—	—mi/jUfe+i (sin o'k = — нн-О*
Формулы для расчета хода элементарного наклонного пучка
лучейе Этот пучок называют также бесконечно узким и астигма¬
тическим. Осью пучка является главный луч. Ход элементарных
наклонных пучков лучей рассчитывают по формулам (4.50) для
233

Рис. 12.3. Ход главного луча через этервую а вторую прелом¬
ляющие поверхности
инвариантов Гульстранда. Для произвольной преломляющей по¬
верхности эти формулы имеют вид
"» cos *„ (cos ejtm — 1 /<■„)= nv+I cos (cos \/t’m — l/fv);
"v ('/<« “ cos ev/rv) = nv+l (1 /*'п - cos e>v),
откуда
l/4v * К cos2 «v/^mv + Pv (nv+l cos ~ % cos 8v)]/(nv+l cos2 v);
1/C - K/*sv + Pv K-И C0S ev - nv cos 8v)]/«v+l*	(!2Л0)
где v = 1, 2, 3, k.
Прежде чем приступить к определению координат t'm и t'8
по формулам (12.10), необходимо рассчитать главный луч по
заданным координатам $Р и ©х.
В результате расчета главного луча будут найдены углы е,
е', <о, ю' и ф для каждой преломляющей поверхности системы.
Для первой поверхности (рис. 12.3) ф] — щ — в* — ш2 —
ух = г\ sin ф| = t\ sin (coj — ei) = r\ sin (а>2 — ej). Соответственно
для второй поверхности z/2 — г2 sin ф2 — ra sin (<ot — е2) —
= r2 sin (cd3 — е2).
Переход от первой поверхности ко второй выполняется по
формулам tm2 = t'm\ — й\\ is2 = t\ 1 —
где — косая толщина, или толщина линзы (воздушного про¬
межутка) вдоль главного луча, йг — (уг — #8)/sin а>8, или в об¬
щем виде
& v “ (^v ^v+l)sin wv-rl*	(v-H) ^ ^rnv ~~ ^v»	(v-И) H	(12.11)
Для удобства программирования вводятся обратные величины
t'm и относительные показатели преломления щ, = /ч/Лу-и
и pv = l/rv, тогда для (12.10) получим
в (1/с<*Ч) [fiv cos2 evtwv -f (cos e; — сое ©v) py]; (12,12)
+ (cos ®v ~ cos ev) Pv
234

Рис. 12.4. Координаты, определяющие кривизну ноля и
астигматизм
Формулы перехода к следующей поверхности:
хт (v-f-1) ^rnvli}	(v+1) ^sv/O	^sv^v)*	(12.13)
В результате расчета меридионального и сагиттального астиг¬
матических пучков лучей через систему, состоящую из k прелом¬
ляющих поверхностей, находят координаты t'mk и t'sk (рис. 12.4).
Астигматическая разность	вдоль главного	луча	Аг'к =
tmk	tgk •
Координаты fmk и 4а вдоль оптической оси, т. е. проекции
координат t'mk и t'Sk на оптическую ось, соответственно равны
Гтк = ‘mk C0S	+ kk>	= Kk cos	+ h-	О2' 1+)
Координаты, определяющие положение меридиональной и
сагиттальной поверхностей изображения относительно плоскости
параксиального изображения,
*= rmk - sk> zs = rsk - sk•	О2-15>
Астигматическая разность, или астигматизм вдоль оптиче¬
ской оси,
-f;*.	<12Л6>
12.2.	АБЕРРАЦИЯ ШИРОКОГО ОСЕВОГО ПУЧКА
ЛУЧЕЙ
Сферическая аберрация (рис, 12.5). Формулы опре¬
деления сферической аберрации третьего порядка используются
для предварительного анализа оптической системы или при рас¬
чете так называемого исходного варианта. Они дают хорошее
приближение для систем с малыми относительными отверстиями.
Точное значение сферической аберрации можно получить только
с учетом аберраций высших порядков. Для этого необходимо
235

Рис. 12.5. Сферическая аберрация системы
рассчитать ход через систему первого параксиального и действи¬
тельного лучей для основной (заданной) длины волны. Разность
координат точки Л* пересечения оптической оси действитель¬
ными лучами и точки A'k пересечения параксиальными лучами
дает значение продольной сферической аберрации для точки на
оптической оси. Продольная сферическая аберрация считается
положительной, если точка A'k лежит правее точки Л*, и отри¬
цательной при обратном расположении этих точек (на рис. 12,5
Д5£ < 0).
Разность As;. п — As'k — As'm дает значение продольной сфе¬
рической аберрации высших порядков.
Поперечная сферическая аберрация
Поперечная сферическая аберрация представляет собой радиус
кружка рассеяния, образованного сферической аберрацией в пло¬
скости параксиального изображения.
Приближенно угловая сферическая аберрация
Фигуры рассеяния, обусловленные сферической аберрацией,
имеют разную структуру в зависимости от положения плоско¬
стей изображения 1—о (рис. 12.6). В плоскости 3 кружок рассея¬
ния имеет минимальные размеры. Вблизи точки А' можно видеть
ярко освещенную поверхность, которая является зоной концен¬
трации световой энергии. Эту поверхность называют каустиче¬
ской поверхностью или каустикой. В разрезе каустика дает кри¬
вую КхА'Кц являющуюся геометрическим местом точек пере¬
сечения меридиональных лучей пучка, а отрезок А'А' вдоль
(12.17)
Дуек = Дs'k tga£.
(12.18)
(12.19)
236

оптической оси — осью симметрии каустики. Концентрация све¬
товой энергии в каустике получается вследствие того, что каждая
зона линзы дает свое изображение на оптической оси.
Положительная линза имеет отрицательную сферическую абер¬
рацию, а отрицательная — положительную (рис. 12.7). Это об¬
стоятельство дает возможность составить комбинацию из двух
или нескольких линз, положительных и отрицательных, имеющих
очень малую сферическую аберрацию.
Устранить сферическую аберрацию, за исключением некото¬
рых частных случаев, можно лишь для одной или двух координат
в плоскости входного зрачка, поэтому оптическая- система всегда
имеет остаточную сферическую аберрацию, которую обычно пред¬
ставляют в виде таблиц и графиков. При графическом представ¬
лении сферической аберрации по оси абсцисс откладывают про¬
дольную или поперечную сферическую аберрацию, а по оси ор¬
динат — тг или 102 tg о* (рис. 12.8). Если As* < 0, то система
считается недоисправленной в отношении сферической аберрации,
если As'k > 0, то система считается переисправленной.
Сферическая аберрация имеет максимальное значение на зоне,
высота которой равна 0,707Ш/2. Поэтому для реальной системы
сферическую аберрацию всегда определяют для высот ткр —
—	D/2 и т3 — rtii/2 — V1/2D/2. Кроме того, для более полной
характеристики системы в отношении сферической аберрации
ее определяют также для высот mi/4 = ]/" 1/4D/2 и /7i3/4 — У3/4D/2.
Наличие в системе большой зональной сферической аберрации
ухудшает качество изображения, поэтому при корригировании
Рис. 12.6. Кружки рассеяния, образованные двояковыпуклой линзой (/' —
— 101,7 мм, D/f' — 1 : 1,27) при различных положения» плоскости изображения
237

Рис. 12.7. Сферическая аберрация линзы:
а — положительной; б — отрицательной
системы эту аберрацию стремятся сделать возможно меньшей,
для чего необходимо, чтобы кривая сферической аберрации пере¬
секала плоскость параксиального изображения минимум 2 раза.
Уменьшить зональную сферическую аберрацию можно также
в плоскости изображения на величину Д4/2, т. е. если допустить
наличие сферической аберра-
т,
Чогцв'к)
(10 tg6s)
Рис. 12.8. Графики продольной и со¬
ответствующей ей поперечной сфериче¬
ских аберраций
ции в параксиальной области.
При исследовании оптиче¬
ской системы важно знать,
какое влияние оказывают абер¬
рации высшего порядка, т. е.
можно ли при анализе ограни¬
читься аберрациями третьего
порядка. По значениям про¬
дольной сферической аберрации
для различных зон входного
зрачка можно определить абер¬
рации третьего, пятого, седь¬
мого и девятого порядков.
238

Например, если известна сферическая аберрация для зоны
mi# ~ 0.7071D/2 и края mBV —Dj2 входного зрачка, то про¬
дольная сферическая аберрация третьего и пятого порядков
может быть вычислена по формулам:
для зоны mi/2 = 0,70710/2
Asin 1/2 — 2 AsJ/2 0,5 As^p* Asv 1/2 ^ Asl/2 -f 0,5	(12.20)
для края входного зрачка (гякр ~ £>/2)
AsHi кр “ * Asf/2 As*tp» Asv кр ~	* Asi/2 “Г 2 As*p.	(12.21)
Если сферическая аберрация известна для зон и края входного
зрачка, т. е. для As'i/4, As'i/2* Лз'з/* и № р, то сферические аберрации
третьего, пятого, седьмого и девятого порядков определяют
по формулам:
зона mi/4 — 0,5D/2
AsJII 1/4 “ А5кр/^ + * As3/4/^	^ ^Sl/2 + 4 AsI/4i
ASy i/4 ~ 11 ^5кр/24 - 7 ASg/4/3 -f 19 As{/2/4 - 13 As'/4/3;	(12.22)
AsVll 1/4 — “~ASKp/4 7 As3/4/6 ” 2 As1/2 + ® Asl/4p>
As'lX 1/4 = AsKp/24 Д53/4/6 + As!/2/4 "" ^1/4/®»
для края входного зрачка (mHp = D/2)
Asill кр = -AskP + 16 As3/4/3 “ 12 AsI/2 + 16 AsJ/4;
Asv Kp = 22 As^p/3 — 112 Asg/4/3 + 76 As|/2 - 208 As[/4/3;	(12.23)
AsVU Kp =	16 As'Cp -f- 224 ASg/4/3 — 128 AsJ^ -f 96 As^4;
AsIX Kp ~ 22 Askp/3 l2^ As3/4/^ “b 64 ^si/2	I2® As1/4*
Формулы (12.20)—(12,23) могут быть использованы для ис¬
следования влияния сферической аберрации высшего порядка.
Хроматизм положения. Хроматизм положения первого порядка,
т. е. хроматизм положения в параксиальной области, для длин
волн Xj и Xjj определяется относительно плоскости изображения
для основной длины волны Х0:
As%t = Ч, ” «V AsK в - SV ’	(,2*24)
отсюда
sxt =* SK + Asv SK ^	“** As5W*	(12,25)
Таким образом, хроматизм положения
As; «. = Sj —s* = Asi —As* .	(12.26)
Atj	/vj)	/>jj	/vjj*	'	*
Хроматизмы положений Asj^ и As£e действительных лучей
(рис. 12.9) определяются также относительно плоскости пара¬
ксиального изображения для основной длины волны
=: S* — S\ I ДSn = S\ "—1 Sn
Лд *	A-g	Л/g	Д*ц
и хроматизм положения
д*хд, - *к - Ч. -	- Щ,-	<12-27)
239

Рис.1 2,9. Хроматизм положения для действи
тельных лучей
Величины As*,, и As*,a
представляют собой вто¬
ричные спектры положе¬
ния для длин волн \ и А,3.
Поперечный хроматизм
положения Д у%г и А у%г
определяется в плоскости
параксиального изображе¬
ния для Х0. Учитывая, что
углы ait и a£g мало отли¬
чаются друг от друга и
от угла	принимают
^ = °is = о'ьл и попереч¬
ный хроматизм положения
вычисляют по формулам
Ьухш = Агх,	(12.28)
Хроматизм положения определяют одновременно с вычисле¬
нием сферической аберрации и для тех же высот в плоскости
входного зрачка, т. е. для тщ, /fti/г» т3/4 и ткр.
Условие синусов и условие изопланатизма. В теории идеальной
системы было установлено, что элементарный отрезок dy, пер¬
пендикулярный к оптической оси, изображается в виде совершен¬
ного отрезка dy', если инвариант Лагранжа—Гельмгольца для
любых значений угла сг будет постоянной величиной, т.. е. если
п. dy sin cf| = n'k dy* sin o'k = const,	(12.29)
При этом точка Ax элементарного отрезка, расположенная
на оптической оси, будет отображаться стигматически, но при
условии, что сферическая аберрация равна нулю.
Напишем (12.29) в виде
(3 =3 dy'/dy — rtj sin Oj j{n'k sin a'k) => $0 => гс^Дя^а^) => const. (12.30)
Отсюда следует, что идеальное изображение отрезка dy будет
получено в том случае, если линейное увеличение для действи¬
тельных лучей равно линейному увеличению в параксиальной
области, т. е. р не должно зависеть от угла аг.
Уравнение (12.30), как уже указывалось, называется условием
синусов или законом синусов Аббе. Системы, у которых устранена
сферическая аберрация и выполнено условие синусов, называются
апланатическими. В системах такого рода главные плоскости
превращаются в главные сферы (рис. 12.10).
Для первого параксиального луча линейное увеличение
(50 = пха'}п]р,.	(12.31)
Так как для апланатических систем р = ро, то
njfl'jn'ka =	sin Oj}(n'k sin cr^),
240

откуда
a sin о j = a' sin а'к.
(12.32)
Формула (12.32) может быть использована для построения
изображения, Из точки Аг опишем дугу АгК = —я, а из точки
А'к —дугу K'A'k — а'. Из точек К и К’ опустим перпендикуляры
КМ и К М' на оптическую ось. Как следует из рис. 12.10, КМ —
—	a sin сгь К'М' = a' sin o'k.
Учитывая (12.32), получаем, что КМ — К'М'. Аналогично
для центрированной системы имеем две сферические поверхности,
касающиеся на оптической оси главных точек Я и Я', которые
представляют собой главные сферы с радиусами RH — а и
R'h' ” о' системы,
В большинстве случаев Р не является постоянной величиной,
поэтому имеет место отступление от условия синусов, оценивае¬
мое по формуле
При наличии отступления от условия синусов в системе
(рис. 12.11) узкие пучки лучей, падающие на систему на высоте hlt
Рис. 12.П. Ход узких пучков через систему при отступ¬
лении ОТ условия синусов 5, Ф —ОО

Главная сфера
Главная сфера
6,-0 Л К
af-0
Рис. 12.12. Главная сфера системы в пространстве изображения при s, — — оо
а -» при выполнения условия синусов; б — при отступлении от условия синусов
будут пересекаться в точке Вы, а лучи, падающие на высоте
fi2 _ в точке B'k,, причем эти точки не совпадают с плоскостью
££*• В результате в плоскости параксиального изображения
вместо точки образуется кружок рассеяния (рис. 12.11).
Для предмета в бесконечности условие синусов (рис. 12.12, а)
имеет вид
f' = hjsin a'k = Г = Aj/a^ = const,
т. e. фокусные расстояния для любых высот падения пучков лучей
будут одинаковыми, и задняя главная плоскость идеальной
системы превращается в главную сферу, радиус которой равен
фокусному расстоянию /' оптической системы.
Отступление от условия синусов (рис. 12.12, б) будет
А/' = 1' — /' = Aj/sin о'к — Л,/а*	(12.35)
и в относительной мере
А/7/' = KV - n/f' = fy(sin о*/' - 1).
Отступление от условия синусов проявляется в том, что f'
для различных высот падения луча будет разным.NB этом случае
главная сфера в системе отсутствует, а геометрическое место глав¬
ных точек элементарных пучков лучей в меридиональной плоскости
представляет собой некоторую кривую.
В реальных оптических системах сферическая аберрация мо¬
жет быть исправлена для одной или двух высот, т. е. имеет место
сферическая аберрация на зонах отверстия. Если удовлетворить
требование, чтобы кружки рассеяния для внеосевых точек пред¬
мета были бы такими же, как и кружки рассеяния для осевой
точки, то качество изображения можно считать одинаковым по
всему полю. Изображение элементов предметной плоскости, пер¬
пендикулярной оптической оси, в этом случае называют изоплана-
тическим, т. е. имеющим одинаковые недостатки или погреш-
н ости.
242

Допустим, что диаметры кружков рассеяния 2Дуб и 2Ду*
в плоскости параксиального изображения равны между собой
(рис. 12.13). Считая, что размер изображения dy' мало отли¬
чается от размера dy', можно написать
dfj'/dy = л, sin Oj/(n£ sin ajj.
Из рис. 12.13 имеем
dy'l(s'k - Sp, + As'k) = dg'j(s'k - s'p,)
или
*9' («* ~ s'p') = dg' (s'k - s'p, + Asy,
откуда dy'/dy' = 1 -f Ask/(s'k — Sp').
Учитывая, что dy' ~ po dyy найдем
dy'l($ о dy)~\ + ^sk!(sk — s'p')-	>
Заменяя dy’ jdy через щ sin <Ji/(n'k sin o'k), получаем
n, sin aj/(n* sin a^0 — 1) = As*/(s* — Sp,).	(12.36)
Левая часть формулы (12.36) представляет собой отступление
от условия синусов для предмета на конечном расстоянии (12.34),
поэтому
АР/Ро — &sk/(s'k — $р')-	<12*37)
Для предмета в бесконечности
А/'//' = As'k/(s'k sp') — &s'k/(sF'	SP')-	(12.38)
Уравнения (12.37) и (12.38) связи между отступлением от
условия синусов и сферической аберрацией называются условием
изопланатизма Штебле—Лиготского и представляют собой обоб¬
щение условия синусов. Однако условия (12.37) и (12.38) в боль-
Рис. 12.13. Ход осевого и наклонного пучка лу¬
чей в пространстве изображений при As£ ф О
и Ау'0 = Ayk
243

шинстве случаев в оптических системах не выполняются и имеет
место отступление от изопланатизма (неизопланатизм).
Отступление от условия изопланатизма в обобщенном виде
обозначается *rj и записывается в виде
при	S1 —	Т|=Ар/Э0 — As у — Sp,')-	(12.39)
при	«1 = ”-°° Л°° = M'if — A^/(spf — sp,),	(12.40)
Если входной зрачок совпадает с компонентом или системой,
то можно принять s'p’ — 0 и ii = Д|3/Ро — As'Js'k.
При sx = —оо для компонента, близкого к тонкому, можно
принять s'k — s'F' — f', тогда
тГ = Af If - Asjf « (A/' - As;)//'.
Связь между отступлением от условия синусов, сферической
аберрацией и коэффициентом аберрации описывается соот¬
ношением
A= -As'kKs'p' - Sk)-Su/(2f) = Asy(s'k - s'p.) - S„/(2/).	(12.41)
На основе уравнения для меридиональной комы третьего
порядка
/С}{! = \ tbm\uSul\n'ka'k (sp Sj)3
получаем
5И = 2/C(sp si)'Sai?i/{^mi^).
Так как rt*a*/(rtiai) = 1/po = yly'\ Щ = n'kakl{nxa\y)\ / = nvya\\
Pi •= yl(sP — Si); miKsp — Si) = au to (sp — sif/щ = 1/af; (sP —
—	si)/y — 1/Pi и
Учитывая, что п'кЩ — ущщ/у' — lfy\ получаем
5П = -~2ХШ//(ЗГ).	(12.42)
Подставив (12.42) в (12.41), найдем Др/р0 ~ Ask/(s'k — sj>') -f
+ Kml(3y'), откуда
/Сш ~ 3у' [А{5/|30 — As'kj{s'k — Sp,)J.
Выражение в квадратных скобках представляет собой отступле¬
ние от условия изопланатизма» поэтому
Кш - Зу'т|	(12.43)
и для предмета в бесконечности
~ &у'уГ‘	О2*44)
Формулы (12.43) н (12.44) связи Кщ с г| дают возможность
найти меридиональную кому третьего порядка. В большинстве
случаев эти формулы используют для определения отступления
244

от нзопланатизма в области аберраций третьего порядка по зна¬
чениям Km* Следует иметь в виду, что приведенные выше фор¬
мулы справедливы для малых значений у, т. е. для систем с ма¬
лыми полевыми углами. Неизопланатизм вычисляют одновре¬
менно со сферической аберрацией и хроматизмом положения.
Как уже указывалось, устранение, а также способ определения
аберраций зависят от назначения системы. В том случае, когда
оптическая система предназначена для работы совместно с гла¬
зом, монохроматические аберрации устраняются для заданной
линии спектра е (Х0 = 546 нм), а хроматические аберрации — для
синей линии спектра F* (Хг — 480 нм) и красной линии спектра
С' (Х2 ~ 643,8 им). Для этих же линий спектра определяют и
остаточные аберрации оптических систем.
Пример 12.1. Вычислить абберации для точки на оптической оси системы,
состоящей из двухлинзового несклеенного компонента и двух прямоугольных
призм; длина хода луча в каждой из призм, т. е. толщина эквивалентной плоско¬
параллельной пластины равна 50 мм.
Система имеет следующие конструктивные элементы:
н =
105,68,
«X = 1>
df -
= 6,0
% = 1,51829 <K8)
Т 2 =
—94,84,
d<i:
= 0,3,
n3 “ 1,
г3 =
-88,31,
d$
= 3,4,
«4= 1,76171 (ТФ5)
г4 —
— 167,49,
d-t,
= 20,0,
n%— I.
п =
0,0,
de
= 50,0,
щ = 1,51829 (K8)
0,0,
d$
- 5,0,
fty — 1 ,
г? =
0,0,
*
d,
- 50,0,
nR - 1,51829, (K8)
г в “
0,0,
«*= L
Входной зрачок совпадает с компонентом; D = 32,0 мм, 2со — 6° 00'.
Решение. Для определения аберраций оптической системы ход параксиаль¬
ных и действительных лучей в меридиональной плоскости был рассчитан на ЭВМ
ЕС 1045 по программе ОПАЛ. Результаты расчета приведены в табл. 12.1. Сфе¬
рическая аберрация и неизопланатизм вычислены для линии спектра е (Х0 =
= j>46,l им), а хроматизм положения для линий спектра F’ — 480,0 нм)
и С* — 643,8 нм). Сферическая аберрация образует в плоскости параксиаль¬
ного изображения кружок рассеяния прй тх — 16 мм 2Ду* ~ 0,0128 мм. Про¬
дольная хроматическая аберрация	=	0,1	мм.	Для	тг = 16 мм неизопла¬
натизм Т|~ ■—0,008%. Из приведенных данных видно, что аберрации для осе¬
вой точки предмета хорошо исправлены. Графики аберраций показаны на
рис. 12.14.
245

<N
cd
X
к
УО
cd
H
X
о
о
rt
ж
ж
X
ВТ
о
н
ж
X
S*
&
£
<
п
V?
1 «
«< 1
<3 3
IrtCNNWCO
^tiOlONO
CN О СО СО О
. О ООО —
•ч #» #» «к
ооооо
II
1
ч
<1
COOiOOO
СО со О
ОООО
ООО о
«?
V
ООО о о
ч
о
ч
со
<1
a
s
TfSiOOiO
о со СП СП г-
ооооо
^ Й «Ч А Й
ооооо
ч
*>
<1
со оо о> а>
СО со —< о>
о 8 о о
^*ч-
<*
о o' o' o' o'
>
V
to
<1
а> cd см ю —*
ю —« Ю СО 00
со ь- а> со о
С) CD О *■*“■'
«ч «% «ч #* «ч
ООООО
3?
—1 О СО 00
ОООО
ОООО
m
СГ
ооооо
1 1
ч
*>
ю со оо ^
о О ^ СО
ОООО
ОООО
<
Й ^ Й л
ООООО
2
%>
VJ
<J
a
a
0
—0,0103
—0,0036
0,0202
0,0640
•и
64,6967
64,6864
64,6931
64,7163
64,7607
' %.
■
t?
SP
СО СМ 00 со
-«ООО
о ^ ^о
*©
oicsooo
я
я
о — со о
о оооо о
m
w4
е
о осГ —^ со со
<м
04
со
S*
X
*4
о
со
Н
cd
т
>х
е?
о
и
О
Я
CQ
cd
*5
Lm.
X
и
о
и
ас
ю
к
ж
у
о
ь
я
32
=*
а
Си
&
с
W
»
«
ф
вг
Я
4
01
«
tel
а
09
5
*•
«
а
о
а
X!
0s
*
о
* «£
CJ)
<
N. N* b*
СО СО СО
<N (М CS|
ОООО
«
V.
<d
<3
0
0,0099
0,0139
0,0198
II
ч
5*
<J
a
a
0
—0,0049
—0,0069
—0,0098
**
'S?
<
0
0,0050
0,0070
0,0100
ш
a
о
а
g
о
ж
Ы
эн
гл
<J
я
я
»
^ «
С*
<
%
N
<
> м
Е
N
15*
Я
Я
9
СО — CD
Tf< LO
о —< со
ООО
*> Й л
ОООО
^ оо
о —< со
ООО
ООО
•»	»>	л
ОООО
О *Ф 00
ю —'
о ^ со
« » *
ОООО
00 ^ ю
h*. ю *—
О —» СО
ОООО
г^- оо оо
IOOCN
*-« СО 00
•к «к *
ОООО
I I
си «э ь»
00 ю <о
—• 00 со
о 4j* иэ 00
ч ч ч
о CD О
со о о
	 ООО
О —< СЧ СО
246

W2tg6x'
т,=бмм
■m =0
im =16 мм
a)
6)
Ю2Ц 6'K
8)
Рис. 12.14. Графики аберраций для осевой точки предмета:
а — хроматизма положения; б — еферохромати ческой; в — ненэоолаватнэма
12.3.	АБЕРРАЦИИ ТОЧКИ ВНЕ ОСИ
(ГЛАВНОГО ЛУЧА)
Аберрации узких наклонных (астигматических) пуч¬
ков лучей. Для определения координат z'm и z's, характеризующих
меридиональную и сагиттальную составляющие кривизны поля
изображения, в первую очередь необходимо рассчитать главный
луч, поэтому эти аберрации можно отнести к аберрациям глав¬
ного луча. Формулы, по которым определяются координаты z'm
и 2s, а также астигматизм, приведены в* п. 12.1.
Дисторсия. Для определения дисторсии реальной оптической
системы рассчитывается ход второго параксиального и главного
лучей для различных значений углов ю и определяются размеры
изображений у' и у' по формулам (рис. 12.15)
У' = (s'p* - «*) Г = {ГР. - s*) tg
247

0)
Рис. 12.16. Виды дисторсия оптической системы
Абсолютная дисторсия Ау'д = у' — у
Относительная дисторсия
V = А ууу' - (Г -	- Г/Г - 1 - №0 - 1 •
Если |j?'|>|y'|, то |	| == |и?' |—|у' | > 0 и линейное
увеличение для действительных лучей по абсолютной величине
Гудет больше линейного увеличения в параксиальной области.
В этом случае относительная дисторсия V > 0 и считают, что
система имеет положительную или подушкообразную дисторсию.
Если \у'\ <\y'\t то |р| < | ро 1 и относительная дистор¬
сия V < 0. Система имеет отрицательную или бочкообразную
дисторсию.
Изображение квадрата при отсутствии дисторсии (рис. 12.16, а)
при наличии в системе бочкообразной (рис. 12.16, б) и подушко¬
образной (рис. 12.16, в) дисторсии показано на рис. 12.16.
Хроматизм увеличения. Для действительных лучей хроматизм
увеличения, так же как и хроматизм первого порядка, опреде¬
ляется в плоскости параксиального изображения для основной
*
248

	±1	a t
Рис. 12.17. Хроматизм увеличения действительных лучей
волны (рис. 12.17). Обозначив размеры изображения в плоскости Е%
для длин волн Я| иХ2черезу\г иyit> для хроматизма увеличения полу-
ЧИМ	- Si,,
где y'kl = ух, — (si, — si.) tg a,., i Ух. = Ух. + (si, — sjj tg ш*,.
Хроматизм увеличения для длин волн и Х2 относительно Я0:
&Ук = УК " Ук\ &УК = УК — УК' Тогда для хроматизма уве¬
личения получим Ау'х0 — Ayit — Ay%t.
Аберрации главного луча определяют для следующих значе-
=	<о0>4 =* |/*0,4(о;	<о0,в ~ )Л),6о);
СО.
углов со; <о0> 2
нии
“>0, 8 =	и
Пример 12.2. Поданным примера 12.1 определить координаты г'
z
т> cs'
астиг*
матизм Дг*, дисторсию и хроматизм увеличения, если sp — 0 и 2(0j = 6 00'.
Решение. Астигматизм, дисторсия и хроматизм увеличения определяются
на ЭВМ одновременно с расчетом аберраций для осевой точки предмета. Резуль¬
таты вычислений для (о — 0,5о>, 0,7й) и oj приведены в табл. 12.2. Графически
аберрации представлены на рис. 12.18.
м
(O'
ш
U)
а)
6) .
S)
Рис. 12.18. Графики аберраций главного луча:
и — астягматнэма; 6 — диеторсни; в — хроматизма увеличения
249

При графическом изображении аберраций по оси ординат откладывают углы со,
а по оси абсцисс — соответственно г'т, z', ку'А и &Уха- Из табл. 12.2 следует, что
астигматизм, дисторсия и хроматизм увеличения имеют малые значения, так как
малы углы ш, а координата sp — 0.
12.4. АБЕРРАЦИЯ ШИРОКИХ НАКЛОННЫХ
ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
Аберрации широкого наклонного пучка лучей в мери¬
диональной плоскости — меридиональном сечении. Широкий на¬
клонный пучок лучей, т. е. пучок лучей, образующий конечный
угол со с оптической осью, имеет, как уже указывалось, все вне¬
осевые аберрации, к которым относятся сферическая аберрация,
кома, астигматизм и кривизна поля. Если верхний и нижний
лучи пучка, т. е. лучи, проходящие через верхний и нижний
края входного зрачка Р, пересекаются в одной точке В'к на глав¬
ном луче, который является осью меридионального пучка, то
имеет место только сферическая аберрация (рис. 12.19, а). Попе¬
речная сферическая аберрация в плоскости £*.„ параксиального
изображения
ду'= у; - у; =
Диаметр кружка рассеяния 2 | Д*/' | = \у'ь\ — \у'н |.
В том случае, когда верхний и нижний лучи пересекаются
в одной точке плоскости £хв, т. е. у'ь = у^ =	„,	а	главный
Рис. 12.19. Аберрации наклонного пучка лучей:
а — сферическая; б меридиональная кома
250

луч — в другой точке, то имеет место меридиональная кома
(рис. 12.19, б)
В большинстве случаев верхний, главный и нижний лучи
пучка, вышедшего из системы, пересекают плоскость паракси¬
ального изображения в разных точках, т. е. пучок лучей имеет
все аберрации (рис. 12.20). По результатам расчета хо^а лучей
определяют координаты точек пересечения лучей с плоскостью
^ <>къ\
rr = (rp,-s'k)tUiO'k; •
к=«н - tg <*..
По значениям у' находят значения А у*, характеризующие
отклонения пересечения верхнего и нижнего лучей относительно
главного луча: А у'ъ = у'ъ — у'т\ А у* = д'н — у'т.
Меридиональная составляющая поперечной аберрации, вклю¬
чающая составляющие верхнего и нижнего лучей, Ау'т — у'и —
—	Уъ = А у'и — А у'ь.
По результатам расчета хода лучей на ЭВМ координаты у'
определяются по формуле (12.6):
У' = Ук + (sk — zk) Pk+i/K+i-	(12.45)
Меридиональная составляющая Ау'т дает прямую рассеяния
в меридиональной плоскости.
Лучи рассчитываются для следующих координат в плоскости
входного зрачка:
ткр * D/2; m3/4 = V3/4 Л/2; тХ[2 = т2/4 = УТ/2 D/2; т1/4 = УТД D/2;
пг0 — 0; т1/4 = ~ У1/4 D/2; т1/2 = — УТ/2 D/2; т3/4 = — УЗ/4 D/2;
/пКр =	D/2.
Рис. 12,20. Ход широкого наклонного пучка лучей в меридиональной
плоскости
251

Рис. 12.21. Ход широкого наклонного пучка лучей в сагиттальной плоскости
При Sj == —оо
Кроме того, эти же лучи рассчитываются для следующих
значений углов ©t:
Ю0,2 « YoJ щ; а>0,4 «== Ум щ;
t°o»e « VO.6	(D0>8	sa	У0,8	mi и a>i==Vl
Для систем с малыми полевыми углами ограничиваются углами
®i/4 — 0,5оэ; o)1/2 = 0,7со; = со. Ход лучей рассчитывают для
основной длины волны Я0 и длин волн и Xj, для которых опреде¬
ляются хроматические аберрации.
Аберрации широкого наклонного пучка лучей в сагиттальной
плоскости (сагиттальном сечении). Плоский пучок лучей, прохо¬
дящий в сагиттальной плоскости, также имеет аберрации наклон¬
ного пучка лучей.
Если в пространстве предметов лучи, проходящие через точ¬
ки 3, 7 входного зрачка, и главный луч находятся в одной пло¬
скости (рис. 12.21, а)у то в пространстве изображений (рис. 12.21, б)
эти лучи пересекут плоскость Е\0 в точках 3', 7' и B'k соответ¬
ственно. В меридиональной плоскости указанные лучи будут
иметь координату y's, а главный луч — координату у'г.
Координата y's определяется по формуле, аналогичной (12.45),
а Уг — Для главного луча известна из расчета хода лучей мери¬
дионального пучка лучей.
Меридиональная составляющая для сагиттальной плоскости
A y's = y's — у'г обычно имеет малую величину.
Сагиттальную составляющую поперечной аберрации вычисляют
путем расчета хода лучей по формуле
252

а)	6)
т
Рис. 12.22. Графики аберраций широкого наклонного пучка лучей в меридио¬
нальной плоскости:
а — ш «=1° 30' б — », 2е 6' « — e)j *= 3°
253

Прямая рассеяния — поперечная аберрация в сагиттальной
плоскости ~ будет равна 2 Ах'. Так как в сагиттальной плоскости
пучок лучей симметричен относительно главного луча, то ход
лучей рассчитывают только для следующих координат в пло¬
скости входного зрачка: Мх—У^\1АП12\ У 1/2D/2; ]/3/4D/2;
D/2 и для тех же углов ю, что и в меридиональной пло¬
скости .
Пример 12.3. Определить по данным примера 12.1 аберрации широких пуч¬
ков лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях.
Решение. Результаты вычислений аберраций в меридиональной плоскости
приведены в табл. 12.3, а в сагиттальной плоскости — в табл. 12.4. Полевой угол
равен 6°; меридиональный и сагиттальный пучки лучей рассчитывались для трех
значений щ.
Графически аберрации широкого наклонного пучка лучей в меридиональной
и сагиттальной плоскостях представлены на рис. 12.22, 12.23. Из таблиц и гра¬
фиков видно, что в меридиональной плоскости вместо точки имеет место меридио¬
нальная составляющая, максимальное значение которой для основной длины
волны 2Ау'т = 0,1144 мм для ojj — 3°, а в сагиттальной плоскости для этой же
длины волны 2Дх/ = 0,0510 мм.
м,	м,
a)	5)
м
8) '
Рис. 12.23. Графики аберраций широкого наклонного пучка лучей в сагитталь¬
ной плоскости:
а— со, = 1° 30'; 6 —	«=	2е	6	;	в	—	ф	—7°
254	*

255

чи
еч
¥*Щ
cd
ЯГ
SC
*=2
43
tu
Н
я
X
ж
sr
4)
О
2
о
Я
А
ч
л
ь
*-
X
и
СО
о
я
»Я
4)
яг
СО
S
SF
К
X
3
ж
35
О
4
Ж
од
5
X
Ж
Ж
О
еь
к
3
ж
X
stf
cd
а,
сх
4)
о
<
м
с*
00 00 т*« СО
—«о — о
о о 0.0
оооо
ГЪ ^ #ъ
оооо
1 1 1
■ я
О о <N ^
Я
Ю —« О
л
—f о о о
*>
й
.*2
оооо
щ
н
о о о" о
1
ю —< о> «л
rtlOlO^
оооо
*?
оооо
ft ^
оооо
II II
s^i
О
S *—< CN
ЭД
i_i
О N
о оог^Гю
О
1-М
о
1
со
0
II
У4
00 О) о о
0
^TflOlO
оооо
*г
ООО о
«» г» ■* л
оооо
1 1 1 1
зе
ж
юЙюю
*
2*
оооо
|«
гь
. *»?
оооо
^ ► л й
<1
оооо
1—<
^(MOO
А
оооо
*?
оооо
о 0^0 о
*
о о" о о
Ч Л5
О
оооо
•
£Р
со со со со
СЧ <N <N <N
О
1
fe-S
£
OtD-O
S'
о оо СО о
«*
СО СО —^00
**“~Ч
'
CD
О
Ъ*
(I
14
3
оо ю оо ^
ю г- со
о о о о
О ООО
л •»	»>	л
О ООО
I I
оо со <м сч
*—-« т^< ^
оооо
оооо
► ♦ » »
оо
г?
CN СО СО
0> ■ *—< 00
О —4 —< о
оооо
оооо
III
00 СЧ —• (М
ON«0
#.	'	#•	«ч	*.
OOONIO
а> о о>
СО СО h- СО
оооо
оооо
оооо
! I
ОЮ (N О
^ fcl
оооо
оооо
л л »» h
оооо
00 «ф
Ю(МОО
ОООО
ОО OQ
оооо
Л л л ^
оооо
Г»	«V	М
СО СО со со
о со о
о оо со о
СО со 00
со
II
ЙН
0
осомю
(N >-<00 CN
CN CN — ^
оооо
W,	#4	*	^
оооо
ill
сл СЧ
r-iipio <N
т-ч	*—< V—4
оооо
►	л л
оооо
Ю ао t"~ ■*£
ю ю <м со
CS сч сч
оооо
«к #> *> №
оооо
1111
а> со с* со
os«o
**«*#»**
OQONIO
Ю 00 о о
а> о о о
о о **—♦ ч-"-*
оооо
*<»№•>
оооо
II II
^ оо со ю
^о оо
оооо
№ <» «к «
оооо
ю ю
00 со
оо
oSoo
o*oorf
о О м
с5<М<М см
со ^
оо со
J> * А •
«О СО ‘>4 00
2 56

12.5. ВОЛНОВЫЕ АБЕРРАЦИИ
Большинство оптических систем» имеющих прак¬
тическое применение, обладают остаточными аберрациями. Нали¬
чие в системе аберраций приводит к тому» что любая точка пред¬
метной плоскости изображается не в виде точки, а в виде пятна
рассеяния определенного диаметра. Размеры кружков рассеяния
дают некоторое представление о качестве изображения, так как
по их диаметру можно судить о разрешении системы.
Для более полной характеристики качества изображения,
кроме геометрических аберраций, необходимо знать функцию
передачи контраста и во многих случаях распределение осве¬
щенности в пятне рассеяния, которые зависят от волновых абер¬
раций. Кроме того, качество изображений многих систем, имею¬
щих сравнительно малые относительные отверстия и небольшие
полевые углы, может быть оценено с достаточной достоверностью
волновыми аберрациями.
Если система является идеальной, т. е. свободной от аберра¬
ций, то волновая поверхность в пространстве изображений имеет
сферическую форму. При наличии в системе аберраций волновая
поверхность деформируется. Отклонение N деформированной
волновой поверхности 2' от сферической 26 называется волновой
аберрацией (рис. 12.24).
Связь между волновой аберрацией и геометрическими абер¬
рациями характеризуется приближенной формулой
Г*»;
Ml
(1 /R')
J A у'| Ax'dM'k
о
о
(12.46)
где R' — радиус кривизны сферической волновой поверхности
(сферы сравнения), который может быть принят равным р' —
Рис. 12.24. Связь составляющих Д§' и Ах' аберраций с вол'
новой аберрацией N
257

Go
К \-&у'
Рис. 12.25* Волновая аберрация для точки на оси
расстоянию от плоскости выходного зрачка до плоскости изо¬
бражения.
Волновая аберрация третьего порядка с учетом формул (10.10)
при Bv — 0 для меридиональной и сагиттальной составляющих
будет
Nm = -k [0,25 {т£ + M'ky Sy - (mf + M'k‘) m'kySu +
-\~Q,bm'ky (3Sin -j- J2*Siv) + 0,5M^y (Зщ + /2«SIV)—т'кУъ^у\^ (12.47)
где k = \j[2n'k (s'p* — sy4 R'].
После введения полярных координат (m'k = р' cos -ф, M'k —
—	р' sin *ф) получим ,
Nul = —k [О.гбр'^! — p'Vcos^Sjj -f 0,5p'V COS2 У (35m -f /2SIV) +
-f 0,5p'V2 sin2 tj> (5m -f /2<SIV) — p V cos г|)5у].	(12.48)
В уравнениях (12.47) и (12.48) принято а* — 1, Pi = 1, / =
—	/гл (sP — sj, hx — ttjSx.
Волновые аберрации для точки на оси. Волновая аберрация
наиболее просто определяется для точки на оптической оси
(рис. 12.25). Для меридиональной плоскости dNm — Ay' dm'kfR'.
Считая, что ось у' совпадает с плоскостью выходного зрачка,
получаем
dNm = W dy’IR>.	(12.49)
Для точки на оси (см. рис. 12.25), принимая, что
М'А'к « МЬА'к = R'; a'k = o'k и Ау = Ау{0> находим у' — Ayi0 =
= R' sin Ok « R'a'k\ У' = R'o'k + Ay{0; dy' = R' do'k, тогда dNm =
= A dak.
Переходя продольной сферической аберрации, получаем
dNm“^kakdok< Nm-= J AsW<to*-	(12-5°)
0
258

Продольная сферическая аберрация может быть представлена
в виде ряда
As'k =	=	ao'k* -f bo'k* + ca'k‘ + da'k* + .. .,	(12.51)
где a, b, с и d — коэффициенты аберраций третьего, пятого, седь¬
мого и девятого порядков. Подставляя (12.51) в (12.50), будем
иметь
Nm = J {aafe‘ + bok + cak + dak + • ' •) °kdok =
0
°k.
= J (aa^* -f -f -f ...) do'k.	(12.52)
о
Интегрируя (12.52), находим
Nm = aaj^/4 + *</6 + «*e/8 -}- d<°/10 + ...	(12.53)
Обычно плоскость, в которой обеспечивается наилучшее ка¬
чество изображения — плоскость установки, не совпадает с пло¬
скостью параксиального изображения. Допустим, что плоскость
установки смещена относительно плоскости Е%0 параксиального
изображения на величину Д (рис, 12.26), тогда Дs'k = Ash + А;
Дs'k = As'k — Д, где As'k — продольная сферическая аберрация
системы относительно плоскости установки.
Волновая аберрация в плоскости установки в соответствии
с (12.53)
Ч	°к
tfm=j	=	| (Ч-Ь)°к*’к = Мт-<’'№.	(12.54)
о '	о
Добавочный член o'k Д/2 в (12.54), вызываемый смещением пло¬
скости изображения (дефокусировкой), имеет большое значение.
259

Выбором Л можно добиться перераспределения как геометриче¬
ских, так и волновых аберраций, что позволяет улучшить распре¬
деление энергии в пятне рассеяния и повысить качество изобра¬
жения.
Волновые аберрации для точки вне оси» На основе (12АТ)
и (12.48) для волновой комы третьего порядка имеем
Nlu — k'mrk -f- Mfr) ySu = ft'p'‘ycoeif>Sn.
Волновой астигматизм и кривизна поля изображения
Nm = -0,5k’f К’ (3SIIr + r-Slv) + М’‘ (SIH + PSIV)] =
——О.бй'^р'^соз2 я|) (35щ -f- /2<Sjy) -j- sin2 tj? (<5щ -j-	^iv} 1 *
Волновая кривизна Петцваля (8щ — 0)
Nlu = -0,5k'y* (m'k* -f M'k*) PSlv = ~0M'P'*y2!2Slv,
Волновая дисторсия третьего порядка
N1U = k'm'ky*Sy = k'p'y* cos tySv,
где k' =\/(2R' (sP,-skYnk.
Волновая аберрация для внемеридиональных лучей может
быть вычислена с помощью ЭВМ одновременно с расчетом хода
лучей.
Волновую аберрацию можно представить как разность опти¬
ческих путей между двумя сферами сравнения, одна из которых
находится в пространстве предметов, а другая — в пространстве
изображений, для разных лучей. Как известно, оптический путь
есть функция координат луча, выходящего из точки вне оптиче¬
ской оси. Если из длин оптических путей, соответствующих
различным лучам,	вычесть	длину оптического пути	для	лн>
бого другого луча,	например	для главного, то получим	волновую
аберрацию для этих лучей, т. е. N — Lk — L0i где Lk — длина
оптического пути для любого луча; L0 — длина оптического
пути для главного луча. (Обычно координату точки В'к, равную у\
вычисляют для главного луча.) При этом выбор сферы сравнения
в пространстве изображений влияет на результаты вычислений,
и она должна располагаться в бесконечности (R' = сю).
При бесконечно	большом	значении R* оптический	путь	для
любого луча может	быть вычислен по формуле
= 2	Хк	(Я*	+	1)	+ 22* (~гк ^77) -■
k—l k~\
—	п'р (Цр+i W + vp+1 Ax')t	(12.55)
где X, р, и v — направляющие косинусы; dk — расстояние между
преломляющими поверхностями k и k + 1; zk — стрелка прогиба
(абсцисса точки пересечения луча с поверхностью), При этом
260

dQ = —sb dv = 4, По формуле, аналогичной (12.55), вычисляют
путь L0> но при этом все значения берутся для главного луча.
Вычисление волновых аберраций» Так как вычисление вол ho-
выл аберраций для внемеридиональных лучей с помощью микро¬
калькуляторов представляет собой определенную сложность, то
в большинстве случаев для предварительной оценки системы
эти аберрации определяют для точки на оси, т, е. по известным
значениям продольной сферической аберрации для различных
зон входного зрачка.
Допустим, что требуется определить волновые аберрации
системы, включая третьи и пятые порядки. Для этого необходимо
рассчитать ход лучей для зоны тцъ = j/T/2D/2 и края ткр —
—	Р/2 входного зрачка.
Уравнения для сферической аберрации зоны и края отверстия
имеют вид
Из расчета хода лучей известны Asi/2, AskP и С7кр, поэтому могут
быть найдены коэффициенты а и Ъ,л также Asm 1/2, Asy 1/2, Asfn кр
и AsVkp по формулам
Выразив oj/2 через <JkP и волновые аберрации в длинах волн, найдем
В том случае, когда рассчитан ход четырех лучей, волновая
аберрация может быть вычислена с точностью до девятых порядков
по формулам
Учитывая
, что
получаем
Для волновых аберраций зоны и края входного зрачка на осно¬
вании (12.53) можно написать
Л/j/2/А — [As|/2/6	As'p/48]	(сг^рД);
«крА = !Asi/2/3 + ЛV>2] «А).
(12.56)
NM^ * f—0,330 Аs'Kp + 1,840 As'm - 4,583 As{/2 + 11,215 As£/4|	104);
Ni /2Iх = (~"°«139 А<<р + О*556 As3/4 + 3’333 M/2 + 17»222 Asi'/4) [</(1°2я)];
(12.57)
261

Л'зд/Х = (—0,469 AsKp + 6,562 AS3/4 +
+ П,250Д»^+ 15,938 4sj/4) K‘p/(102X)];
N^/i. = (3,889 As'p + 17,778 Д^/4 +
+ 6,667 As[/2~f 17,778 is;/4) [а ;’р/(102Я,)].
Волновые аберрации, рассчитанные
по формулам (12.56) и (12.59), относят¬
ся к плоскости параксиального изобра-.
жения для основной	длины волны Л0.
Волновые	аберрации,	отнесенные к	пло¬
скости установки, вычисляются по фор¬
мулам (12.54), которые запишем в виде
Рис. 12.27. Графическое	NjX	=	N/X	—	a^*A/(2X).	(12.58)
определение волновых
аберраций для плоскости для определения N предварительно не-
установки	обходимо	найти	величину	Д,	характеризу¬
ющую	положение	плоскости	установки	относительно	пло¬
скости параксиального изображения (рис. 12.26). При выборе
плоскости	установки	обычно	пользуются	графическим	мето¬
дом. После вычисления волновых аберраций строится график
зависимости N/Х от а'а (рис. 12.27). Через начало координат про¬
водят прямую ОВ так, чтобы ее отклонение графика указанной
зависимости кривой, измеряемое в направлении оси абсцисс, было
бы наименьшим по абсолютной величине. Это отклонение дает
значение волновых аберраций при новой сфере сравнения, смеще¬
ние центра которой относительно плоскости параксиального
изображения определяется направлением прямой. С графика
снимается длина отрезка ty которая в масштабе N/Х соответствует
изменению волновой аберрации для крайнего луча при смещении
плоскости установки.
Из рис.	12.2*7 следует, что	' '
ь
= N/X + t.	(12.59)
Сравнивая	(12.58) с (12.59), можно найти	смещение плоскости
установки	А — 2А,/огкр- Затем по формуле	(12.58) вычисляют
волновые аберрации для зон и края входного зрачка и строят новый
трафик волновых аберраций. При вычислении волновых аберра¬
ций A s' и X берут в миллиметрах.
В тех случаях, когда координаты точек пересечения с плос¬
костью входного зрачка не соответствуют принятым для расчета
правилам и приведенным выше формулам, чертят график As£e как
функции сг'* и снимают с него нужные значения As'.
Пример 12.4. Определить волновые аберрации для зон и края входного
зрачка оптической системы, рассмотренной в примере 12.1, для точки на оптиче¬
ской оси.
262
t

Решение. Продольная сферическая аберрация системы согласно табл. 12.1
для Я0= 0,0005461 мм для координат ^/4, ш1/2»шз/4 и ткр в плоскости входного
зрачка будет As^4 = —0,0103 мм; As£/2 = —0,0036 мм; As^4 = 0,0202 мм и
As^p = 0,0640 мм. Примем а'р = tg а'кр = 0,010066, тогда согласно (12.56)
волновые аберрации для зоны и края входного зрачка будут равны
Nw/X = (Д5;/2/6 - Д5;р/«) (о^/Ч) = -0,03587;
Л'крЛ = (M/s/3 + Мер/'2) «/*„) = 0.07669,
т. с. N{12 ~~~ “*0,036^(0, NKp = 0,077Х0.
В соответствии с формулами (12.57) для волновых аберраций получим N |/4 =
= —0,015А,0;	Nl/3= —0,035Я0; N3/4 = — 0,190Я,0 и NKp = 0,074Хо.
Волновые аберрации для зоны и шкр практически совпадают. Это гово¬
рит о том, что волновые аберрации можно определять по более простым форму¬
лам. Согласно критерию Релея оптическая система считается идеальной, если
ее волновые аберрации не превышают 0,25 Х0- Рассмотренная в примерах 12.1—
12.3 оптическая система для точки на оптической оси является практически идеа-
альной.
ГЛАВА 13. АБЕРРАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
13.1.	ОДИНОЧНАЯ ЛИНЗА
Линза является неотъемлемой частью любой оптиче¬
ской системы, содержащей преломляющие поверхности, поэтому
рассмотрим ее аберрационные свойства.
Хроматические аберрации. Для тонкой линзы в воздухе
(рис. 13.1, a): hi = h2 = h\ yi — уг — У\ d = 0; пг = п3 = 1;
rta — п\ Ф = (а3 — а2)//i; q> = 1.
Для хроматизма положения и увеличения на основании (8.45)
имеем
Щк, = (1/«1) *2ФCti Ау'к = (y'/I) hyOCt.
Так как h/a3 — а', Ф = 1//', Ct — —1/v, I = nxyat = hy (aP —
—• a)/(aaP), to
= —а'*Ф/\; Ay'K = —y'aap<&j(ap — a) v.	(13.1)
Для предмета в бесконечности (а = —оо) а' = f\ поэтому
As'Ck = ау'С = у арф/v = y'aplf'v•	(132>
Формулу для хроматизма положения	можно	представить
в виде A= — /' (1 — p0)2/v- Если р0 = — 1 {о! = 2/'}* то
Asxtjt, = — т. е. хроматизм положения тонкой линзы при
р0 = —1 в четыре раза больше, чем при а = —оо.
Коэффициент основной средней дисперсии оптических бес¬
цветных стекол изменяется в диапазоне 25,17...69,87, поэтому
263

Ло^п
A',(Az)
I)
Рис. 13.1. Ход первого и второго параксиальных лучей
в тонкой линзе и в линзе конечной толщины
для тонкой линзы основной хроматический параметр Ct —
= —(0,0397...0,0143). Следовательно, выбором марок стекол хро¬
матизм положения тонкой линзы может быть уменьшен в 2,8 раза.
Если входным зрачком служит оправа линзы, то хроматизм увели¬
чения будет равен нулю. Соответственно для вторичного спектра
положения и увеличения будем иметь:
при а Ф —оо
Ау'в в = —аарФу1(ар — a) v;	(13.3)
при а = —оо
Asb!°g *=	= У apy!{fv).	(13.4)
Для линзы конечной толщины з воздухе (рис. 13.1, б)
~	хр/аз» ^Укш — У'Зи жр/^*	(13.5)
2	2
Л/	f**	/«»/
где S х хр === 2 КС у	h1C1 —j—	5 j j xp = 2 У\^\ ~	~I- У2С2.
V—2	v=I
Хроматические параметры для первой и второй поверхностей
а! ^ ^ Ап2	Ant ^	а2 —ах .
-з —	\	(	A/I3	Ап. 2
С»
г = /-Л
8 \ 1/«
1//г3 — 1/я j
)(■
264

Рис. 13.2. Ахроматические линзы:
а — при ftj ы 0, as = а,: б при а# *»» 0; в •— отрицательный мениск Д. Д. Макоутова
Кроме того, h2 = hx — daa, ^ = PiSp, уг = г/х — <фа = ^Sp —
—	dpa. Учитывая значения С и h для (13.5), получим
АЧд# = - О/оФО [Aj (а3 - а{) - Жх2 (а3 - а2)];
АУ10 = — (y'//v) fSpPj (а3 — aj) — <ф2 (а3 — а2)].	(13.6)
Чтобы As*,tb, = Д yi0 = 0, необходимо выполнить условия
hi («8 — ах) — da% (а8 — а2) = 0;
8 А <“»- ai) - <#4 (“. - as) “0-	(137)
Для предмета в бесконечности ах — 0, поэтому для (13.7) будем
иметь
Л1аз “ ^2 К — аг) = °» spPia8 ~ dh (“в ~ S) = °-	(13-8)
Рассмотрим, в каких случаях будут выполняться условия
(13.7) для хроматизма положения в линзе:
1.	При hx — 0 и d — 0, т. е. когда линза является тонкой и
предмет и изображение совпадают с тонкой линзой. Такая линза
не имеет практического значения.
2.	Для линзы конечной толщины при hx = 0 имеем
da2 (a3— a2) = 0.	(13.9)
Это уравнение имеет решение при <ха = ag. Из уравнения для
первого параксиального луча для второй поверхности легко
получить, что d = —г2 ~ —hja2. Точка Аг предмета, расположен¬
ная на оптической оси, совпадает с вершиной преломляющей
поверхности, которая является ее центром кривизны С2, т. е.
луч проходит вторую поверхность без преломления (рис. 13.2, а).
Линейное увеличение ро —	х/аа	=	я,	так	как	на	основа¬
нии закона преломления аг = пай.
Радиус первой поверхности может быть любым и в зависимости
от значения фокусного расстояния и га — —d определяется по
формуле
гх = f'd (п — 1 )/{л [d — (п — 1)] /'}.
Из второго уравнения (13.7) положение входного зрачка, при
котором в линзе будет отсутствовать хроматизм увеличения,
определяется равенством
Sp = <гра (<х, - а,)/[Р1 (а„ - а,)|.
265

Так как а8 —аа — 0, то sP = 0; входной зрачок должен совпадать
с первой поверхностью линзы.
3.	При аа = 0 имеем
—	аа)=0.	(13.10)
Это выражение будет справедливо, если ах =-а9. При а2 = 0
К = ^1» поэтому из уравнения для первого параксиального луча
видно, что гх — га (рис. 13.2, б). Фокусное расстояние линзы
/ = r\nl[(n— 1 fd]. Линейное увеличение р0 = оы/аз =1. Из
уравнения (13.7) видно, что для устранения хроматизма увеличе¬
ния необходимо выполнить условие dpaa$ = 0. В этом условии
dt ра иа3 не могут быть равны нулю, поэтому хроматизм увеличе¬
ния неустраним.
4.	Для предмета в бесконечности условие устранения хрома¬
тизма положения согласно (13.8) имеет вид
hxa8 —	(a8 — a3) = 0.	(13.11)
При ai —	0	угол аз = h\(f = Л1Ф, поэтому /12Ф —daz (hiO —
—	а2) = 0, откуда — /^Фаг + h\(f>/d = 0	и
аа = О.б^Ф (1 dh l/l — 4/(<Dd) ).	(13.12)
Это уравнение имеет решение при d f' и f' < 0. Выполнение
первого условия возможно в линзе очень большой толщины.
В случае /' < 0 линза представляет собой отрицательный мениск
(рис. 13.2,	в).	При hx — 1 угол a3 — —1, f'	=	—1,	тогда
(ха = —0,5 (l rfc “l/1 -J~ 4/<in)»
где dn — dff' — приведенная толщина.
Уравнение устранения хроматизма положения может быть
представлено в виде hxas — (hi — ^а) (аз —&а) = 0, откуда
ttg = (Л 2	Лх)/(^jOtg).	(13.13)
Хроматизм увеличения в линзе устранить нельзя;
д^0 = ~~У (аз “ аг) dl(nhxv) = —y'hx<S>i{na2v),
В формулы (13.9)—(13.11) не входит коэффициент дисперсии v,
поэтому в этих линзах будет исправлен также и вторичный спектр
положения.
Параметры и основные параметры тонкой линзы. Для тонкой
линзы
2
р'=£[-бт^16(а/п)’=р‘+р’:
v=l
2
г' - £ [т&Д6	=г’+г*
V—1
266

где
р\ = !«/(« — 0*1 («9 — «!>* («а — жц);
Ра — [«/(» — I)2] («з — аа)я (яая — а2);
W4 = — [!/(« ~ 01 (а2 — <*i) (а2 — пах)\
Wa = [1/(я — 1)] (а3 — аа) (яа8 — а2).
Подставляя значения Р и W в формулы для Pt и Wu найдем
ф
Pl = [п/(п— I)2] [(л-f 2) (а3 — aj)<x2 —(2я-|- О X
X (os| —aJ)cbj-f n(aj — af)];	(13.14)
И7* = — (*/(« — 01 [(« + 1) («з — ai) а2 — п (аз — аЭД-
Для тонкой линзы параметр я* = <р/п — \/п.
Для предмета на конечном расстоянии, учитывая условия
нормирования (ai = Ро» as = 1)» Для (13.14) будем иметь
Pi = [л/(л - I)2] [(я + 2) (1 - р0) a2 —(2я + .1) (1 - $) a2 + n (l - Pg)]; .
(13.15)
П^ = -[1/(л-1)] [(я + l) (l-po)a2-n (1 —pg)].
Основные параметры (ах => 0, as = 1):
= [n/(n — l)2] [(я -f 2) a2f — (2я -f I) 04 + я];
(13.16)
w? = - [!/(« - 1)J, [(л + 1) a2 - л],
Из (13.15) и (13.16) видно, что для предмета на конечном
расстоянии параметры Pt и Wt зависят от линейного увеличения
ро, внутреннего угла аа и показателя преломления, а основные
параметры Pf и WT — только от угла а2 и показателя преломле¬
ния.
Для исправления сферической аберрации нужно выполнить
условие
2
Si = 2 hyP* — htPt = 0 или Pt = 0.
V=1
Напишем (13.14) в виде
Pi = lnf(n — 1)J2 (сх3 — a,) [a| + a,a3 -f a\ —
—	(2я + 1) (a3 + a,) с^/л + (я + 2) aj/я].	(13.17)
Приравняв (13.17) нулю, найдем
а\ — (2я -f 1) (a3 + ax) а2/(я + 2) + я (a§ -f af -f- axab)/(n + 2) =* ,0.
Решая это уравнение, получаем
о2 = [1/2 (я + 2)] [(2л + 1) (a8 + 1) ±
rfc 1/2 (2л2 4-1) а^з — (4л — 1) (а§ + а\)\-	(13.18)
Корни (13.18) будут вещественными в том случае, когда
2 (2л2	1)	ata3	^ (4л — 1) (ag + а?)*	(13.19)
267

Рассмотрим, при каких значениях внешних углов се, л. и а$
сферическая аберрация будет равна нулю,
1.	Допустим, предмет в бесконечности, тогда ах == 0 и под¬
коренное выражение в (13.18) будет равно — (4п— 1)аз < О,
т. е. уравнение не имеет решения.
2.	Если ос 1 < 0 и а3 > т. е. когда предмет и изображение
действительные, подкоренное выражение в (13.18) отрицательно,
и уравнение также не имеет решения.
3.	Условие (13.19) удовлетворяется в том случае, когда «1 и
а3 имеют одинаковые знаки, причем знак угла аг определяется
линейным увеличением р0. Найдем пределы изменения линейного
увеличения, при которых сферическая аберрация тонкой линзы
будет равна нулю. Будем считать, что подкоренное выражение в
(13.18)	равно нулю, тогда, учитывая, что ах = ро и а3 = 1, будем
иметь 2 (2п2 -f 1) Ро — (4п — 1) (1 4- Ро) = 0, откуда
4	Р8~[2(2п*+1)/(4«-1)]Р0	+	1	=	0.
Решив это уравнение, получим
Ро = (2 Л* + 1)/(4п - 1) ±	-
—	1 = [1/(4п — 1)] [(2л2 +1) ± 2 (п — 1) Уп{Г1 -f 2)'].	(13.20)
Из (13.20) следует, что линейное увеличение является функ¬
цией показателя преломления.
Напишем (13.20) в виде
(2**+1)_2(«-1)Ул(л + 2)	(2 п* + 1) + 2 (п - 1) Уя'(я + 2)"
—		4Й^=П	*
(13.21)
Соотношение (13.21) дает возможность найти диапазон измене¬
ния р0.
Рассмотрим, в каких пределах изменяется параметр Wu
определяющий коэффициент аберрации 5ц, т. е. кому третьего
порядка при\Р* = 0. Для крайних значений ро подкоренное выра¬
жение в (13.18) будет равно нулю и для углаа2 получим
а, = (2п + I) (а8 4- ссх)/[2 (п + 2)].	(13.22)
Подставляя (13.21) в (13.15), найдем параметр
IP(=(af-af)/[2<n + 2)).	(13.23)
При<х1 = Ро и a3 = 1 параметр Wt — (l — Ро)/[2(я +2)]. При
минимальных значениях р0 этот параметр практически остается
постоянным для показателей преломления п — 1,3...4,0, Отсюда
следует, что при р0 min меридиональная кома имеет малые значе¬
ния и линза близка к апланэтической.
Таким образом,’ сферическая аберрация в тонкой линзе не
может быть устранена для действительных предметов и действи¬
тельных изображений, поэтому рассмотрим, при каких условиях
эта аберрация может принимать минимальные значения.
268

Напишем формулу (13.15) для Рг в виде
0	п(п + 2) п д	л(2л	+	1)	«2\	_	,	/	я Л2 /,	03\
?i " (П - 1)*	~	v ^0/	2	(тгу	j	(^ад-
функция от Pt будет иметь минимальное значение в том слу¬
чае, когда dPilda.2 — 0, d2Pijdal > 0.
Первая производная от Pt поа2, равная нулю, дает равенство
2 (п +2) а, — (2п + 1) (1 + Ро) — 0, вторая производная —
условие 2 (п +2) >0. Следовательно, функция от Рг имеет мини¬
мальное значение при
«2 min = (2п + 1) (1+ Ш* (п -Ь 2)].	(13.24)
Подставляя аа mm в формулы (13.15), находим
~ (-"т) ('_В«) “ 4n<J+i/ '	( - Poi;
r,.u-('-«VB(. + W
Параметр Pt mln уменьшается с увеличением показателя пре¬
ломления и очень сильно изменяется в зависимости от линейного
увеличения, особенно для р0 < т. е. для действительных изобра¬
жений. Наименьшие значения параметр Pt mln имеет для р0 =
—	0...2. Параметр Wt min также уменьшается при увеличении по¬
казателя преломления, но в меньшей степени, чем Рг rain.
Радиусы кривизны тонких линз при /' = 1 определяют по
формулам
и	п — *	/I а \	П — \
r9i mln — « ~7~	~~Б~ — (‘ Ро/ ~~~	5“ I
Л0Ьз min	Ро	Лаз	mla	Ро
и	п — 1	/1 о \	я — 1
г оа mln — Я 		Т — (* —' Ро)
яСС-а mm 1	яа2 mln 1
Отношение радиусов кривизны (^oi/roa)min “ (^аа mm —
1)/(/10Ь3 min Ро)*
Для предмета в бесконечности р0 0, поэтому для (13.24)
и (13.25) получаем
a2~min = (2* +W2 (я + 2)];
р7ш,п = »(4п - 1)/[4 (п + 2) (я - I)2];	<13.26)
«'“mla = (Я + 2)1.
Из (13.26) видно, что минимальные значения аГш1П и основные
параметры РГтш, ^Tmin зависят только от показателей преломле¬
ния. Параметр	РТт\п изменяется в довольно	широких	пределах.
Минимальное	значение основного параметра	WTmin	для	оптиче¬
ских бесцветных стекол (п — 1,5...1,8) можно считать практи¬
чески постоянным и равным ~0,134. Параметр я( изменяется в
этом случае от 0,67 до 0,56 и в среднем может быть принят равным
0,62.

Из (13.16) с учетом (13.25) легко найти уравнение связи между
где коэффициент а — п (п -f 2)/[(n -f- 1)23 для оптических бес¬
цветных стекол изменяется незначительно, и в среднем можно
принять а = 0,864. При TPTmin = 0,134 основной параметр РТ
принимает минимальное значение РГт1п, которое всегда положи*
тельно и изменяется в широких пределах (от 2,325 при п = 1,4721
до 1,123 при п — 1,8138). С учетом этого запишем (13.27) в следую¬
щем виде:
Зависимость РТ от WT для различных значений показателя
преломления показана на рис. 13.3, из которого видно, что форма
кривой мало зависит от показателя преломления: все кривые
имеют минимум вблизи W? = WTmin- Для кристаллов показа¬
тель преломления изменяется в диапазоне 1,32...4,2, поэтому в
каждом конкретном случае необходимо определять коэффициент
я, параметры WT и WTmin, а также P“min-
Уравнение связи (13.27) справедливо также и для компонента,
склеенного из нескольких бесконечно тонких линз, поэтому имеет
большое значение для расчета тонких компонентов.
Основные параметры тонкой линзы в зависимости от ее формы
изменяются в довольно широких пределах (рис. 13.4). Минималь¬
ные значения РТ имеет для стекла марки К8 при f'/^i — 1,6804
для ТФ10 — при f/г г = 1,3523, а для германия — при f /гг =
—	0,9976, причем они всегда больше нуля. Параметр WT прини¬
мает нулевые значения примерно при тех же значениях /7гх» и его
изменение имеет линейный характер. Наибольшие значения имеют
основные параметры менисков,
вогнутые поверхности которых	4	г	‘
обращены к предмету.
(13.27)
рТ = р?шв + °-864 [®7 - °-134]2-
(13.28)
-2	-1	0	\	1	Z	Wf
0/34
Pi
Рис. 13.3 Зависимость Pf от WT
для различных значений п
2 70
Рис. 13.4. Зависимость РТ и WT от
формы тонких линз для п — 1,5383

Сферическую аберрацию тонких линз рассчитывают по форму¬
лам (11.20), (11.21). Минимальное значение эта аберрация прини¬
мает в том случае, когда Pi и РТ минимальны:
Asm min “ —0»6w}/\ mInja\\
Д5Ш ш1п ~ -bMPTmJf •
Сферическая аберрация, так же как и параметр РТ, изме¬
няется в зависимости от марки стекла. Так, для стекла марки
ТФ10 сферическая аберрация Asm min почти в 2 раза,меньше, чем
аберрация стекла марки К8. Максимальные аберрации имеют
мениски, обращенные вогнутыми поверхностями к предмету.
Меридиональную кому, астигматизм, кривизну поля и дистор-
сию третьего порядка тонкой линзы определяют по формулам
(11.27), (11.28), (11.31), (11.32), (11.35), (11.36).
13.2.	АПЛАНАТИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ
Апланатические тонкие линзы. Для устранения сферической
аберрации и меридиональной комы третьего порядка, т. е. для
получения апланатической коррекции, необходимо, чтобы в тон¬
кой линзе Si = hiPi — 0, 5ц = угР% — IWt = 0. Эти условия
выполняются, если параметры Pt и равны нулю, и, как следует
из (13.14), должно выполняться равенство (аз + а?) п — (п2 —
—	1) с^ав = 0. Для предмета на конечном расстоянии, прини¬
мая во внимание, что щ = р0 и а3 = 1, получаем ро— (я2 —
—	1) Ро/л -f-l=0. Откуда
Р0 = (па + 1)/(2я) ± (л2 -1)/(2л)	(13.29)
И Р01 — П, Р02 = 1/м.
Для этих значений ро параметры Pt — 0 и Wt — 0, следова¬
тельно, Sj = 5ц = 0, и линза является апланатической. Так как
п — величина положительная, то р0 > 0. Это говорит о том, что
апланатическая коррекция имеет место для мнимых предметов
или мнимых изображений. Для значений р0, находящихся между
ии 1/й параметр Wt = 0, a Pt Ф 0. Если входной зрачок совпа¬
дает с тонкой линзой (sP — 0), то 5ц — 0, и линза становится
изопланатической. Для тонких апланатических линз (Pt —
= Wf = 0) при /' = 1 коэффициент Sm = 1, 5iy = щ — 0,62,
следовательно, астигматизм и кривизна поля Петцваля не зависят
от положения входного зрачка и для заданных значений /' и со
являются постоянными величинами. Дисторсия апланатических
линз, определяемая коэффициентом аберрации SY = 3,62аР/(1 —
—Ро), устраняется только в том случае, когда входной зрачок сов¬
падает с тонкой линзой.
Апланатические линзы конечной толщины. Рассмотрим, при
каких условиях можно получить апланатические точки сфериче-
271

ской преломляющей поверхности, пользуясь теорией аберраций
третьего порядка. Сферическая аберрация и кома третьего порядка
характеризуются коэффициентами аберраций Si и *Sn. Для пре¬
ломляющей поверхности Sj — hP\ 5ц — уР— IW,
Учитывая значения параметров Р и W, находим
si = hp = h ("1 Z-Vm У Ып* ~ “l/%):	<13.30)
5ц = Ур — №■■= (	~	~	1 /«а “ 1М ™ /1 *
с
Коэффициенты аберраций (13.30) будут равны нулю при сле¬
дующих условиях:
если а2 — ах = 0, то ах = а2 и р0 =	=	njn2; из
уравнения для первого параксиального луча в этом случае полу¬
чим si = гь ${ = si = л. Центр кривизны преломляющей поверх¬
ности является местом нахождения предмета и изображения;
при 0С2/Я2 — <*i/«i = 0 или l/(fhsi) — l/(^iSi) =0 и /tjSi =
= rt2S\ — 0; присоединив к этому условию уравнение для первого
параксиального луча, найдем
S, = гл {nt + п2)/лг;	s{	« -г, {л, Н- «2)/п2#
отсюда	ti{S\ — rt2sj == гi (tii	+ «2);	в	этом	случае ai/a2 — /ti/n2,
поэтому Ро = {Щ/П2)2. Условие ад — /i2Si = 0 соблюдается также
При Sj — si = 0, Ро = rtl«l/n2<*2 = 1*
Таким образом, для сферической преломляющей поверхности
имеем три пары сопряженных точек, в которых отсутствуют сфери¬
ческая аберрация и кома:
1)	s,	= s,' = 0; р0= И
2)	s,	— s( = л,; р0 п^/ц;	(13.31)
3)	пл$л = ад' = гу (пг п2); Р0 = («i/«2)2.
Аналогичные условия для апланатических точек преломляю¬
щей поверхности были получены в п. 4.5 из уравнений для отрезков
s и s' действительного луча. Это говорит о том, что решение задачи
в области аберрации третьего порядка приводит к устранению
аберраций высшего порядка.
Уравнения (13.31) дают возможность получить несколько апла-
иатических линз конечной толщины, но не все они имеют практи¬
ческое применение. Так, приложение 1-го условия к первой и
второй преломляющим поверхностям линзы не имеет смысла.
Из 1-го и 2-го условия для линзы в воздухе получим
s, = sj = 0;	= r2; d. = ~-s2 = —r2;
Ро « PoiPo* = «а/«я * я*
Эта линза является не только апланатической, но и ахромати¬
ческой.
272

Рис. 13.5. Апланатические
линзы:
а — плосковяпуклая; б поло¬
жительный мениск; в ~ отрица¬
тельный мениск
Из 1-го и 3-го условия (13.31) (рис. 13.5, а) следует
st = Sj = 0; s2 = —d\ $2 = rt2s2/rt3 = —rid;
(13.33)
r2 = n2sj(n2 -f n3) = —ndf(n — 1);
% — (rts/n3 )2 = «2-
В линзах, отвечающих (13.32) и (13.33), первый радиус может
принимать различные значения в зависимости от заданного фокус¬
ного расстояния. При гх — оо обе линзы будут фронтальными
апланатическими.
Комбинация 2-го и 3-го условий (13.31) дает линзу со следую¬
щими конструктивными данными (рис. 13.5, б):
г, = Sj — s{; s2 =	— d~sx — d\
r2 = Щ8г!{пг + %) = n (St — d)/(n +1);
s' = r2 (n2 ~f- пз)Мя — n (si — d);	(13.34)
Po = P01P02 =	(n2/n3)2 = n;
/'■** - [**/(« ~ 01 ((sx-d)j{d + ns,)] s,.
273

Эта линза является положительным апланатическим мени¬
ском.
Выполнение 3-го условия для первой поверхности и 2-го усло¬
вия для второй поверхности реализуется в отрицательном аплана-
тическом мениске (рис. 13.5, в):
г, = $,лг/(л, + я2) = зл/(п 4- 0;
sf = S2 = h!n\
s2 == s( — d — sxtixjn., — d ~ sjn — d;
r2 = s2;	(13.35)
^<2 == $2 г= ^2*
Po = Pcnfloa = («1M)2 (rt2/n») = I/»;
/'«(s1-nd)sl/[n(s1-d(«+l))].
Если 2-е условие (13.31) выполняется для первой и второй
поверхностей, то получаем линзу конечной толщины с концентри¬
ческими к осевой точке предмета поверхностями; если для первой
и второй поверхностей выполняется 3-е условие, то получается
биапланатический отрицательный мениск, дающий параллельное
смещение падающему пучку лучей.
Из апланатических линз наиболее широко применяются фрон¬
тальные линзы, положительный и отрицательный мениски (объек¬
тивы микроскопов, осветительные системы — конденсоры и др.).
Однако соединением апланатических линз нельзя получить дейст¬
вительное изображение предмета, расположенного на конечном
расстоянии, поэтому эти линзы применяют в сочетании с неаплана-
тическими линзами, значительно уменьшая апертурный угол
последующей части системы, что позволяет уменьшить осевые
аберрации.
Апланатичность линз исчезает, если параметр Р-гф 0 или
одна из поверхностей является неапланатической. Однако, как
уже указывалось, при определенном положении входного зрачка
(апертурной диафграмы) такая линза может быть изопланатиче-
ской, т. е. линзой, в которой при наличии небольшой сферической
аберрации будет отсутствовать кома. Положение входного зрачка
определяют по формулам (11.29) и (11.30).
13.3.	ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛАСТИНА
Хроматические аберрации. В оптических системах
широко используются отражательные призмы, которые разверты¬
ваются в плоскопараллельные пластины. Поэтому найдем формулы
для хроматизма положения и увеличения плоскопараллельной
пластины.
Хроматические аберрации для плоскопараллельной пластины
определяются выражениями (8.18) и (8.31):
= Slxp/("3<*i); *Ухо = ^'SN хр/7’
274

«	?L
Рис. 13.6. Ход первого и второго параксиальных лучей
через плоскопараллельную пластину
где
хр 2 hyCy — h-iCi -(- h2Ci\
v—-1
2
*^11 хр " 2	—	У\С\ ~Ь УъСг‘
у—\
Для пластины в воздухе пх — пг = 1, п2 — п, Апх = Ап3 = О,
Апг — Ап, а3 ~аъ поэтому хроматические параметры будут
равны (рис. 13.6)
сг =	(Ana/rt2	—	A«i/%) = - (аа — a^/v;
С2 = (т/Яа^Т/яГ) ^Л/1з/Пз ~ Лл*/Й2) "= (a« — ai)/v'
Отсюда следует, что — С\ = С2 и хроматические суммы
-Si хр = — (Ai — Л2) (а2 - a^/v;
5ц хр = — (01 — Уа) («а — «i)/v.
(13.36)
то
Так как
a, — a, = A,/s; — hjs, = V'tsi — fc,/s, = —а, (л — 1)/я;
—	ft2 — da2 = d&x/sj = dhjns} — a,d/я;
—	y2 •--= <$2 =	=	dysj(nsp)	= 0, d/n,
sIxp = af(«-i)d/(«2v);
<SIIxp==alPl (« — 0^/(«2V).
Инвариант Лагранжа—Гельмгольца при = гс3 =
(13.37)
(13.38)
1 / -
а \У ~ а зУ
а гу у отсюда у —у, поэтому для хроматизма
275

положения и хроматизма увеличения, учитывая (13.38), получаем
AsitXa = d(n— 1 )/(n2v);
= <ф, (» - 1)/(Л) = р, Д*Л.	<|3-39>
В (13.39) не входит координата следовательно, хроматизм
положения и хроматизм увеличения плоскопараллельной пластины
не зависят	от	положения предмета. Из формул (13.38)	и (13.39)
видно,	что	при	Si	=	—оо (ai =0) Si хр = Sn хр = 0 и	ЛsilXt =
= Ау'хо — 0, т. е. при установке плоскопараллельной пластины и
отражательной призмы в параллельном ходе лучей они не вносят
хроматических аберраций.
Монохроматические аберрации. Для преломляющей поверх¬
ности
Яу =	р (av+i av)2 (rtvav+i ftv+iav)i
~ ■ (&v+i av)z (rtvav+t «v+iOv);	(13.40)
rev+1 — n v
/7V = (/lv+laV+l — rtvav)/(nv/lv+i) •
Из формулы для первого параксиального луча av+i -
= avtijnv+i. Вычитая из правой и левой частей этого равенства
av» находим
av+i «V ~ (nv+l nv)/nv+l’
(av+l -av)2 =av (Wv+I — nv)2/nv+l •	(134l>
Учитывая (13.41), для параметров (13.40) получаем
Pv = -a} nv(n2+| -
^v=“~^{rtv+!~rtv)/4+J;	(|3-42)
nv = Jiv = °*
Для плоскопараллельной пластины в воздухе
Pt = —af (л2 — 1)/л2; 47, — —af (я2 — 1 )/«2; ^ — 0;
Рг = —Р» W2 = -Wt; П2 = 0.
Отсюда следует, что параметры Р и W для преломляющих
поверхностей пластины равны по абсолютной величине и обратиы
по знаку.
Для определения коэффициентов аберраций третьего порядка
воспользуемся формулами (10.23) при £v = 0, выраженными
через параметр Pv и разность углов для первого и второго парак¬
сиальных лучей, так как они не требуют длительных преобразо¬
ваний.
Учитывая (13.41), (13.43), а также следующие соотношения
для второго параксиального луча: |32 — (3* = —(Зх (ti — 1 )/п и
Рз — Ps — р1-(Л—l)/ni Для коэффициентов аберраций плоско¬
параллельной пластины получим
Sj — —a^d (я2 — 1)/я3; Sn = —(я- — ))M3; *S,n — —affid (n2 — 1)/n3;
5IV — O'; Sy — —	(n% - 1)/л3.	(13.44)
276
(13.43)

Монохроматические аберрации третьего порядка плоскопарал¬
лельной пластины в воздухе с учетом (13.44) выражаются форму¬
лами
Asjn = 0,5afd (л2 — 1 )/л3; /Ст = 1,5afd tg со (л2 — 1 )/л3;
z'n = \M tg2 ю (л2 — 1 )/ns; z; = 0,5d tg2 to (л2 — l)/n3;	(13.45)
Zp = 0; Azjn = z'$ — z^ = ~d tg2 ю (л2 — 1)/л3;
АУ'п1 д = °>5d te8 ш (д2 ~ О/*8-
Если предмет находится в бесконечности, то ai = 0 и все
коэффициенты аберраций третьего порядка будут равны нулю.
Это значит, что плоскопараллельные пластины (отражательные
призмы), установленные в параллельном ходе лучей, не будут
вносить в систему монохроматических аберраций. Плоскопарал¬
лельные пластины обладают положительными хроматизмом поло¬
жения, сферической аберрацией и кривизной поля, тогда как у
большинства оптических систем эти аберрации обычно отрицатель¬
ные. Плоскопараллельные пластины, как правило, позволяют
понизить любые аберрации оптических систем.
Пример 13.1. Определить хроматические аберрации первого порядка и моно¬
хроматические аберрации третьего порядка отражательных призм шестикратного
бинокля, если длина оптического пути луча в призмах равна толщине эквивалент¬
ной плоскопараллельной пластины d = 100 мм, фокусное расстояние объектива
/' = 120 мм, диаметр входного зрачка D — 30 мм, угловое поле 2(о = 8°, марка
стекла призм К8.
Решение. Для марки стекла К8 л = пе = 1,51829 и v = ve = 63,83, поэ¬
тому хроматизм положения и хроматизм увеличения при Pi = tg 0
Asj^ = d(n — 1 )/nzv = 0,35 мм;
К = d$\ (n — !)/(«2v) = As£fx, tg ® = °»02 MM'
Апертурный угол объектива бинокля в пространстве изображений tg о А' —
—	tg a3 « аа л# D/2f — 0,125.
Для плоскопараллельной пластины: а1 = а3 = 0,125; о\ — 0,015625; <о =
= 4°; tg со = 0,069927; tg2 со = 0,004890; (л2— 1)/л8 = 0,372919; у' = —f tg 0)=
= —8,3912	—8,39 мм.
Аберрации третьего порядка пластины (двух прямоугольных призм) сог¬
ласно (13.45):
Сферическая аберрация Asjn — 0>5dcTj (п2 — 1)/л3 = 0,23 мм.
Меридиональная кома /Сш == \,Ыо\ tg ю (л2 — 1 )/л3 = 0,06 мм.
Координата, характеризующая меридиональную кривизну поля изображе¬
ния, z'm — 1,5 d tg2 0 (л2 — 1)/л3 — 0,27 мм.
Координата, характеризующая сагиттальную поверхность изображения,
г' — 0,5d tg2 © (л2 — 1)/л3 = 0,09 мм.
Астигматизм Azjjj = z's — z'm = —d tg2 © (л2 — 1)/л3 = 0,18 мм.
Дисторсия A^ni д = 0,5<i tg3 со (л2 — 1)/л3 = 0,006 мм.
В системе объектив + плоскопараллельная пластина суммарные аберрации
должны быть равны нулю, т. е. (As'KK)o6 -f (As£jXj)n = 0; AsfZI об + Asjn п=0;
об + #111 п — о.
Отсюда следует, что объектив должен иметь следующие аберрации: As£ ^ =
—	—0,35 мм; Asjjj = —0,29 мм; К = 0,06 мм.
277

. 13.4. СФЕРИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО
Для сферического зеркала (рис. 13.7) в воздухе пх =
—	U п2 — —Л1 = —1 и оптическая сила Ф = njf = —njf' —
—	—Iff't приведенная оптическая сила ср = Ф/Ф* = 1. Условия
нормирования для первого и второго параксиальных лучей такие
же, как и для системы из линзовых компонентов, за исключением
угла а а» который принимается равным —1.
. Для одной сферической поверхности на основе общих формул
(10.19)	при Bv = 0 коэффициенты аберраций третьего порядка
равны:
Si = V>; Su = ухР — IW;
S,„ - (fiflh) Р-21 (yjh,) W -f 14 (aД0/А,;
Slv = Я/Л,;	(13.46)
5v = (У\1кI) p ~ 37 (УфхТ w + r~ {ydh\)№ («/») + /7) -	(l/*2)/*|.
Преобразуем члены, входящие в коэффициенты аберраций 5JIIt
и 5V, для сферического зеркала:
14 (<*/я)/А = (/2/Л) (a2/n2 - a,/*,) = -/2 (a2 -f а,)/*,;
Я/А, = (л2а2 — rtiai)/(rt,n.,A,) = (а2 4" ai)/^rJ	(13.47)
/з <*/Л?) [36 (а/«) + П) = [/«у,/*?] [3 (as/n - «,/п,) +
4* (П‘2а2 — niai)/(rtin2)l = —2/2«/, (а2 4- а\)/Щ-
Учитывая (13.47), для (13.46) получим
Si = btP; 5ц = УхР — IW;
Sltl = (^/Аг) P-2IylW/h1 - /2 (os, 4- a,)/A,;	(13.48)
5jV = (a2 + ai)/hu
Sv = (y\jh\) P - Vy\W/hx - 21% (a2 4- a,)/A|.
Рис. 13.7. Сферическая отражающая поверхность. Ход
первого и второго параксиальных лучей
278

Параметры Р и W, входящие в коэффициенты аберраций
(13.48), будутравны/5 = —0,25 (а22 — а?) (а2 — а,); W = 0,5 х
X («£ — “?)•
Для предмета на конечном расстоянии, учитывая условия
нормирования, получаем Р = 0,25 (l — Ро) (1 + Ро); w =
= 1,5 (1 — pg).
Подставляя значения Р и W, для (13.48) найдем
5, — 0,25Л, (1 — Pg) (1 + Ро);
S„ = 0,25sp (1 - Pj) (1 -f p0) - 0,5 (1 - Pg) /;
Sin = 0,254 (1 - pg) (1 + P0)/*i - lsp (1 - Рб)Л, H- /2 (1 —h)fhu (l3-49>
5IV = — (1 — Po) h\\
sv = 0,254 (i - Po) (1 + Эо)/Л! “ С1 - Ро)Л! + 2sP/2 (1 + Ро)/Ч.
Если осевая точка входного зрачка совпадает с вершиной зер¬
кала, т. е. апертурной диафрагмой является световой диаметр
зеркала, то sP — 0 и для (13.49) будем иметь:
5,	= 0,25Ar (1 - р§) (1 + Ро); SrI = -0,5/	(1	- pg);	(13.50)
5щ = /а(1-Ро)/Лг;
s,v =	(1	Po)/^i; sv = о.
Аберрации третьего порядка (яа = —1, щ, = —1):
Д$1л = 0,5ст|5г = 0,5 (hjs') 5,;
Kul =	~l,5ai tg ©5„ = —1,5 (hjs')2 tg	a>«Su;	(13.51)
««-O.Stg*® (3Sni + /*SIV);
zs “	®	(^iii	+	^*Siv);
Д21щ — tg2 oSjjj; ДуШд =	0,5 tg3
Основные параметры и коэффициенты аберраций для предмета
в бесконечности!
Р°° = 0,25; W°° = 0,5;
S£° = 0,25; 5~ = 0,25$^ + 0,5;	(13.52)
Sy | = 0,25Sp^ -f- spa “f- iv ^	^	•
5” = 0,25sp -)- l,5sp	2sp
u	~n	rn	a
При Sp = 0 для (13.52) получим
P°° = 0,25; W°° = 0,5; S? = 0,25;
(13.53)
Sjj = 0,5;	=	1;	<Sjy	=	1; <Sy = 0.
27S

Аберрации третьего порядка с учетом того, что коэффициенты
аберраций вычисляют при /' = —1, определяются по формулам
As[n — —— —0,125 m\jf = — mJ/(8/');
K?u = I,5m2tgcoS~/f'; *'£=-0,5/' tg2o> (3S~,4-5IV);	(13.54)
*;« * -0,5/' tg2 <D (S~ + S1V); a2;« = r tg2 fflSnr, **шд = 0,5f tg3 .
Сравнивая сферическую аберрацию зеркала со сферической
аберрацией линзы наиболее благоприятной формы при sx = —оо
(Asfn m!n = —m2iff ), видим, что при одном и том же относительном
отверстии зеркало имеет в 8 раз меньшую сферическую аберрацию.
В том случае, когда входной зрачок совпадает с плоскостью,
проходящей через центр сферической поверхности, зеркало имеет
только сферическую аберрацию и кривизну поля Петцвеля.
Пример 13.2. Определить аберрации третьего порядка сферического зеркала
с f' — —100 мм; sp — 0; Dlf' = 1 : 2; 2co — 5°. Сопоставить Asj“ и As'00.
Решение. В соответствии с (13.53) и (13.54) S™ — 0,25;	= 0,5;	U
SIV = —1; Sy = 0 и аберрации третьего порядка при тх = 25,0 и tg со =
= 0,043661 будут равны:
As[* = — mf/(8/') = 0,78 мм;
КТп — l»5m2 tg с= 0,75т2 tg сo/f" — —0,20 мм;
Лгш = F	—	Р *22 ш = —0,19 мм; А#* д = 0.
Сферическую аберрацию действительных лучей для края отверстия опреде
лим расчетом хода луча при ог = 0:
sin в = —hi г ~ —mt/r — 0,125; е = 7,18076°;
е' = —е = —7,18076°; а' « е' — е = —14,36152°;
sin о' = —0,248039; s' — т + г sin e/sin o' = —99,21 мм.
Координата s' для параксиальной области s' — f' = —100 мм Сферическая
аберрация As'00 = s' — s' = 0,79 мм.
Сферическая аберрация для действительного луча отличается от сфериче¬
ской аберрации третьего порядка только на 1,2%; при относительном отверстии
1 : 1 отличие достигает 4,8%. ЭтЪ говорит о том, что для зеркал сферическую
аберрацию можно вычислять по формулам для аберраций третьего порядка.

ЧАСТЬ HI. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПРИБОРОВ
ГЛАВА 14. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
14.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
»
Оптической системой называется совокупность опти¬
ческих деталей (линз, призм, зеркал, пластин, светофильтров и их
комбинаций), расположенных относительно друг друга в опреде¬
ленном порядке в соответствии с расчетом и техническими усло¬
виями. Как правило, оптические детали, входящие в систему,
имеют общую ось симметрии. Такие системы называются центри¬
рованными.
Оптические системы приборов можно классифицировать по
положению предмета и изображения. Первую группу составят
такие системы, для которых предмет и сопряженное с ним изобра¬
жение располагаются в бесконечности (оптические системы зри¬
тельных труб геодезических приборов, биноклей, прицелов,
стереотруб, астрономических приборов, систем формирования
излучения лазеров и др.). Ко второй группе будут отнесены сис¬
темы, для которых предмет находится на конечном расстоянии,
а изображение — в бесконечности (оптические системы микро¬
скопов различного назначения и лупы). Третью группу образуют
системы, строящие изображение бесконечно удаленного объекта
на конечном расстоянии (фотографические объективы). И, наконец,
в четвертую группу войдут оптические системы, для которых пред¬
мет и изображение располагаются на конечном расстоянии (репро¬
дукционные объективы, проекционные и осветительные системы).
Каждая группа оптических систем имеет свои специфические
особенности, но общими их характеристиками будут такие, как
увеличение (масштаб изображения), фокусное расстояние, угловое
или линейное поле, относительное отверстие, освещенность изобра¬
жения в центре и по полю, разрешающая способность и оптическая
передаточная функция (ОПФ).
14.2.	МАСШТАБ ИЗОБРАЖЕНИЯ. УВЕЛИЧЕНИЯ.
ПОЛЕ СИСТЕМЫ. ОСВЕЩЕННОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЯ.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ОТВЕРСТИЕ
Масштаб изображения оптических систем, в которых
предмет и изображение находятся на конечных расстояниях,
определяется линейным увеличением (рис. 14.1)
Ро = у'/у«-//*«-*7Г
281

Рис. 14.1. Координаты, определяющие положение сопря¬
женных точек системы
Линейное увеличение — это увеличение в сопряженных точках
на оптической оси, определяемое отношением размера параксиаль¬
ного изображения к размеру предмета. Линейным увеличением
характеризуется также масштаб изображения проекционных объ¬
ективов. Линейное увеличение зависит от фокусного расстояния
системы.
Если предмет находится на расстоянии, значительно превы¬
шающем /' системы (например, для фотографических объективов),
то масштаб изображения в этом случае определяется фокусным
расстоянием. При постоянном положении предмета относительно
системы линейное увеличение будет тем больше, чем больше
фокусное расстояние объектива. При обычном фотографировании
получают снимки в уменьшенном масштабе, а в микрофотографии—
в увеличенном. Расстояние 9т задней фокальной плоскости объек¬
тива до плоскости изображения невелико и составляет доли фокус¬
ного расстояния объектива. Величину г' называют оптической
длиной камеры и обозначают Дк.
С учетом этого масштаб изображения можно представить фор¬
мулой Ро = — Дк//'.
В аэрофотосъемочных аппаратах плоскость изображения рас¬
полагается в задней фокальной плоскости объектива. Масштаб
изображения 1 : М таких аппаратов есть отношение фокусного
расстояния к расстоянию до предмета съемки 1 : М = f'Js и обозна¬
чается как 1 : 5000, 1 : 10 ООО, 1 : 25 ООО и т. д. Этой формулой
можно также пользоваться для характеристики масштаба изобра¬
жения малоформатных камер.
Масштаб изображения телескопических систем определяется
видимым увеличением
где /об» /ок — задние фокусные расстояния объектива и окуляра;
D, D' — диаметры входного и выходного зрачков. .
282

Для зрительных (наблюдательных) труб вводится понятие
полезного увеличения Гп, значение которого необходимо для
полного использования разрешающей способности глаза наблюда¬
теля и разрешающей способности объектива зрительной трубы
Гп = 'ФглЛКб- Несложные подсчеты показывают, что при 'ф™ =
—	60" и 'Фоб = 1207^ получим Гп = £>/2, где D — диаметр вход¬
ного зрачка. Обычно входной зрачок совпадает с оправой объектива
и их диаметры равны. Следовательно, полезное увеличениё зри¬
тельной трубы равно половине диаметра свободного отвер¬
стия оправы объектива (в мм).
В оптической системе микроскопа предмет располагается на
конечном расстоянии, а сопряженное изображение — в бесконеч¬
ности. Видимое увеличение микроскопа Г вычисляют по формуле
Г = (— А/Гоб) (250//;к) = робГок = 250//м,
где /м = —/об/ок/А — заднее фокусное расстояние микроскопа;
д — оптический интервал — расстояние между задней фокальной
плоскостью объектива и передней фокальной плоскостью окуляра;
Роб — линейное увеличение объектива.
Иногда для характеристики оптической системы пользуются
угловым увеличением y0 — увеличением в сопряженных точках на
оптической оси, определяемым отношением углов параксиальных
лучей с оптической осью в пространстве изображений и простран¬
стве предметов, а также продольным увеличением а0 — отношением
размера параксиального изображения бесконечно малого отрезка,
расположенного вдоль оптической оси к размеру этого отрезка.
Поле системы — часть пространства предметов, наблюдаемая
с помощью оптической системы. Поле оптической системы может
определяться либо в линейной, либо в угловой мере как для
пространства предметов, так и для пространства изображения.
Если предмет (изображение) находится на конечном расстоя¬
нии, то его поле определяется в линейной мере (в мм) и характери¬
зуется наибольшим размером изображаемой части плоскости пред¬
мета (изображения), расположенного на конечном расстоянии.
Если предметы находятся на значительных расстояниях (теле¬
скопические системы, фотообъективы), то поле таких оптических
систем определяется в угловой мере. Поле системы ограничивается
полевой диафрагмой, которая устанавливается в плоскости дейст¬
вительного изображения или в одной из сопряженных с ней плос¬
костей.
Освещенность изображения Е'о характеризуется отношением
потока излучения dO\ прошедшего через систему, к площади
dA' и вычисляется по формуле
nxLsinV,	(14>1)
где Е'о — освещенность в центре площадки, перпендикулярной
оптической оси; т — коэффициент пропускания системы; L —
энергетическая яркость излучающего участка dA поверхности,
283

расположенного перпендикулярно оптической оси; а' — апертур¬
ный угол в пространстве изображения.
Путем несложных преобразований формулы (14.1) можно полу¬
чить зависимость
Е*0 = n%L {D/fffpj[A (fip — Р0)2],
где рР — линейное увеличение в зрачках; р0 — линейное увеличе¬
ние системы; £>//' — относительное отверстие; (D/ff)2 — геометри¬
ческая светосила, определяемая квадратом относительного отвер¬
стия или величиной, обратной квадрату диафрагменного числа
(1//С)2, К = ПО. Произведение геометрической светосилы на
коэффициент пропускания оптической системы т (D/f')2 называется
физической светосилой и представляет собой числовую меру, харак¬
теризующую освещенность изображения точки на оси или элемен¬
тарной площадки, перпендикулярной к оптической оси.
Освещенность изображения зависит от линейного увеличения
р0 и от расстояния до предмета. Если предмет расположен в беско¬
нечности, то ро — 0 и Ео — ятL (D/f')2/4. В системах прожектор¬
ного типа, когда изображения находятся далеко от системы,
освещенность определяется формулой Е'о = (ncLfs')nD'*J4, где
s' — расстояние от системы до изображения; nD' /4 — площадь
выходного зрачка. Освещенность изображения внеосевых точек
Еа = k&Eo cos4©', где ka — коэффициент виньетирования; <*' —
угол поля в пространстве изображения.
14.3.	КАЧЕСТВО ИЗОБРАЖЕНИЯ-
КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЯ*
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ. ВОЛНОВЫЕ КРИТЕРИИ.
ФУНКЦИИ ПЕРЕДАЧИ МОДУЛЯЦИИ (ФПМ)
Наиболее распространенным критерием оценки каче¬
ства изображения оптической системы является разрешающая
способность, т. е. способность раздельно наблюдать изображения
двух весьма близко расположенных объектов.
Предположим, что система строит точечное изображение и из
нее выходит гомоцентрический пучок с центром в точке A'k
(рис. 14.2), заполняющий небольшой апертурный угол 2а'. Гомо¬
центрическому пучку соответствует сферическая волна S', нормали
к поверхности которой направлены к центру сферы Л*.
Вследствие дифракции даже идеальная система изображает
точку в виде пятна рассеяния конечных размеров, а распределение
освещенности вокруг точки A'k в плоскости изображения является
результатом интерференции.
Освещенность изображения в точке Врасположенной вне
оси на расстоянии г' от точки A'k, определяется по формуле
* Е' = a*D' [Jt
284

Вых. эр
Рис.. 14.2. Гомоцентрический пучок лучей в пространстве изо¬
бражения
где а — амплитуда колебания; D' — диаметр выходного зрачка;
Л. — функция Бесселя первого порядка; хг ~ 2пп' sin o'r'fk ж
» 2пп'о'г'/'к. Произведение п'а'г' представляет собой инвариант
Лагранжа—Гельмгольца в пространстве изображения. Следова¬
тельно, величина хг будет постоянной как в пространстве предме¬
тов, так и во всех промежуточных средах.
Путем преобразований функции Jx (хг) получим освещенность
в точке A’k\
Eq = n2D'a'a'*l(4X-).
Отношение Е'/Ео, называемое относительной освещенностью
в данной точке,
Е'/Ео- 4	или	в' =-iEo\Ji(xi)/xiГ-
Эта зависимость представлена на рис. 14.3 графиком распреде¬
ления освещенности в дифракционном изображении светящейся
точки.
Центральный максимум соответствует светлому пятну (кружок
Эри), где сосредоточено около 84% энергии, а периферийные макси¬
мумы — светлым кольцам.
Радиус центрального пятна дифракционного изображения
светящейся точки для круглого отверстия
г' — XxJ(2nn' sin а') « \хх1(2кп'а'),
где хг — расстояние от центра дифракционного пятна в безразмер¬
ных единицах; % — длина волны.
Поскольку п'о'г* представляет собой инвариант Лагранжа—
Гельмгольца в пространстве изображения, то для пространства
предметов можно написать хх = 2ппог/Х. Откуда г = х1Х/(2япо).
Из рис. 14.4 следует, что о ~ D/(2p), а г ~ —pty = фЬ/(2а).
Приравняв оба выражения для г и опустив знак минус, получим
угловую величину в пространстве предметов, соответствующую
285

3x. ip
Рис. 14.3. График распределения ос- Рис. 14.4. Угловая величина ф в про-
вещенности в дифракционном изобра- странстве предметов, соответствующая
бражении	радиусу	кружка Эри
центральной части дифракционного пятна в пространстве изобра¬
жения:
ф = XxJ(nD).	(14.2)
Если две светящиеся точки расположены близко друг к другу,
то их дифракционные изображения могут накладываться одно на
другое, а освещенности в местах наложения суммироваться. Для
разрешения двух точек необходимо, чтобы разность между макси¬
мальной и минимальной освещенностями в суммарной дифракцион¬
ной картине достигала некоторого значения (рис. 14.5). Принято,
что при отношении E'jE'o 0,8 система различает обе точки.
Подставив в (14.2) значение радиуса первого темного кол ьца
хг — 3,8317, получим
ф = 1,22 A/D,
где D — диаметр входного зрачка, мм.
Для % = 560 нм -ф = 140 /D. При контрасте 5%, который спо¬
собен различать глаз, расстояние между максимумами освещен¬
ностей для двух точек составит 0,85г, а угловая разрешающая
способность -ф = 1207D.
Разрешающая способность объективов телескопических систем
выражается в угловой мере, для фотообъективов в линиях (штри¬
хах) на 1 мм, а для объективов микроскопов — в линейной мере
(в микрометрах). Однако при значительных остаточных аберрациях
разрешающая способность систем не является исчерпывающей
характеристикой качества изображения. Определение разрешаю¬
щей способности осложняется выбором испытательной таблицы
(миры), ее освещенностью,' контрастом и содержит субъективные
ошибки при расшифровке. Как показывает опыт, оптические сис¬
темы с одинаковой разрешающей способностью, но различными
остаточными аберрациями не обеспечивают одно и то же качество
изображения.
Поскольку разрешающая способность далеко неполно характе¬
ризует качество изображения, были проведены многочисленные
исследования по изысканию объективной оценки качества изобра¬
жения. Так, согласно критерию Релея реальная система строит
изображение, не отличающееся от идеального, если остаточные
волновые аберрации не превышают четверти длины волны N ^
286-

< Х/4. Однако этот критерий не учитывает передачу системой
контраста. С учетом контраста оценка качества изображения
может быть выполнена на основе критерия Штреля. Для этого
необходимо определить создаваемую реальной системой освещен¬
ность Е' в центре кружка рассеяния и сравнить ее с освещенностью
Ео идеальной системы. Отношение освещенностей Е'/Е’о называют
определительной яркостью или числом Штреля\
При значительных волновых аберрациях (сравнимых с длиной
волны) пользоваться критерием Штреля нецелесообразно, так
как распределение освещенности не имеет четко выраженного
максимума. Для хорошо корригированных систем критерий
Штреля наиболее применим. В этом случае уменьшение отношения
освещенностей можно найти по среднему квадратическому откло¬
нению волны от сферы, что позволяет рассчитывать допустимые
значения аберраций.
Качество изображения значительно ухудшается, если волновые
аберрации превышают предел Релея (N > Х/4) или, что почти
одно и то же, когда аберрации имеют значения, для которых
число Штреля становится меньше 0,8. Критериями Релея и Штреля
определяются пределы значений волновых аберраций, при которых
изображение будет совершенным.
Для решения ряда задач при проектировании новых оптиче¬
ских систем, особенно фотографических, необходимо применение
более полноценного исследования их качества и получения такого
критерия качества изображения, каким является метод функции
передачи модуляции (ФПМ)..
Светящаяся точка изображается оптической системой в виде
пятна конечных размеров. Степень несоответствия распределения
освещенности в изображении распределению яркости предмета
может служить мерой качества изображения системы. В методе
ФПМ в качестве тест-объекта (предмета) применяется косинусои¬
дальная мира. Распределение световой энергии в такой мире,
графически представленное на рис. 14.6, описывается следующим
выражением:
Е (х) = а0 Ч~ а cos (2kNx),
где а0 — уровень средней линии; а — амплитуда изменения осве¬
щенности; N — число периодов
косинусоидальной миры в еди¬
нице длины.
£(x)i
Рис. 14.5. Распределение освещенности
в дифракционном изображении двух
светящихся точек
Рис. 14.6. Распределение освещен¬
ности в косинусоидальной мире

Освещенность миры изменяется
только в одном направлении, по¬
этому в качестве минимального эле¬
мента можно принять изображение
бесконечно тонкой линии. Оптиче¬
ская система изобразит эту линию
в виде некоторой полоски конечной
ширины, в-которой световая энергия
будет распределяться в направлении
ширины по определенному закону.
Распределение световой энер¬
гии в изображении бесконечно тон¬
кой линии называется функцией рассеяния V (ст). Тогда рас¬
пределение энергии Е (дс) в изображении косинусоидальной миры
(рис. 14.7) определяется по так называемой формуле свертки:
+оо
Е' (х) = j* Е{х—a) U (a) da.	(14.3)
“СО
После преобразования (14.3) с использованием математического
аппарата Фурье получим
Е (х) — а0 -f- а | F (N) | cos [2kNx — ф (jV)1-
Косинусоидальная мира изображается системой также в виде
косинусоидальной миры, но распределение энергии в изображении
будет отличаться по амплитуде и фазе от распределения в синусо¬
идальной мире. Контраст миры определяется формулой
^ — С^шах -£min)/(£max “Ь ^min)>
где £гаах и Ет1п — максимальная и минимальная освещенности
(или яркости) предмета. Для косинусоидальной миры (см.
рис. 14.6) k — afa0,
*' « (^max - *»m)/(£«« + E’min)=a\F (Л01/О0 ~ Ц F (N)\
или
\F(N)\ = k'/k,	(14.4)
т. е. модульфункции | F (N) |, входящий в формулу (14.4), характе¬
ризует отношение контраста изображения миры к контрасту
самой миры. Эту величину, зависящую от пространственной час¬
тоты N, называют коэффициентом передачи модуляции оптической
системы (КПМ). Совокупность значений КПМ для различных про¬
странственных частот составляет функцию передачи модуляции
(ФПМ) системы. Функцию F (N) называют комплексной функцией
передачи модуляции или оптической передаточной функцией
(ОПФ). Функция ф (N), поскольку она характеризует смещение
фазы в изображении косинусоидальной миры, называется функцией
передачи фазы (ФПФ).
Основное преимущество метода ФПМ состоит в том, что он
позволяет сравнительно просто учитывать качество сложных
Рис. 14.7. Графическая интер¬
претация формулы свертки
288

систем, например, фотографических систем с электронно-опти¬
ческими преобразователями (ЭОП) из нескольких компонентов.
При этом ФПМ всей системы будет равна произведению ФПМ
составляющих ее звеньев: F (N) = Fx {N) F2 (N) Fz (N)...
Методы исследования качества изображения с помощью ФПМ
распространены довольно широко, так как значение ФПМ позво¬
ляет найти функции распределения света не только в косинусои¬
дальной мире, но и в изображении линейного источника, на гра¬
нице прямолинейного края, а также вычислить фотографическую
разрешающую способность системы. Экспериментально ФПМ
определяют на специальных установках, снабженных мирами,
сканирующими устройствами н фотоэлектрическими приемниками,
позволяющими автоматически получить функции контраста изоб¬
ражения.
В последующих главах будут рассмотрены принципиальные
оптические схемы различных приборов, их характеристики, огра¬
ничения пучков лучей и другие вопросы. Следует иметь в виду,
что на практике часто приходится рассчитывать и создавать уста¬
новки, представляющие собой комбинации приборов различного
назначения, например, осветительная система — микроскоп;
микроскоп — фотографическая система; осветительная система —
коллиматор — объектив — микроскоп и т. п. В этих случаях
необходимо обращать особое внимание на согласование апертур,
зрачков и окон системы. Так, в системе осветитель—микроскоп
выходная апертура осветителя должна быть равна или несколько
превышать входную апертуру объектива микроскопа, выходной
зрачок осветителя должен совпадать с входным зрачком микроско¬
па. Размеры зрачков, апертурных углов, окон и полей (угловых,
линейных) предыдущих и последующих систем следует согласо¬
вывать как по их положению, так и по размерам.
ГЛАВ А 15. ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ И УЗЛЫ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
15.1.	ЛИНЗЫ, ИХ ТИПЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
Линза — деталь из оптически прозрачного материала,
ограниченная двумя преломляющими поверхностями, из которых
по крайней мере одна является поверхностью тела вращения. Эти
поверхности могут быть сферическими, плоскими (одна) или асфе¬
рическими. Асферические поверхности бывают параболоидными,
гиперболоидными, эллипсоидными или поверхностями вращения
кривых высших порядков. Линзы бывают цилиндрическими,
торическими (с поверхностями, имеющими различную кривизну
по двум перпендикулярным направлениям). В основном прелом¬
ляющие поверхности линз являются сферическими.
10 п /пр п „ rivrtnawittA
289

F'
-Q-
F
S)
?)
Рис. 15.1. Основные типы линз и их
кардинальные элементы
В качестве отдельных оптических элементов линзы применяются
редко (лупы, коллективы, очковые линзы). Обычно их используют
как компоненты различных объективов, конденсоров.
Линзы чаще имеют круглую форму, но могут быть прямоуголь¬
ными, квадратными или какой-либо другой конфигурации. Они
характеризуются геометрическими размерами (диаметрами) и
оптическими параметрами, которые определяются кардинальными
элементами: задним и передним фокусными расстояниями f\ f,
задним и передним фокальными отрезками srF't sFt положением
задней и передней главных точек s'hsh. Различают положи¬
тельные (собирательные) линзы, у которых заднее фокусное рас¬
стояние /' > 0, и отрицательные (рассеивающие) с f <С 0.
По конструкции различают линзы двояковыпуклые
(рис. 15.1, а), двояковогнутые, плосковыпуклые (рис. 15.1, б),
плосковогнутые (рис. 15.1, б), положительные (рис. 15.1, г) и
отрицательные (рис. 15.1, д), мениски, телескопические (афокаль-
ные), концентрические, с обращенными главными плоскостями.
290

Положительные линзы всех видов имеют большую толщину по
оси, чем по краю, а отрицательные —г наоборот.
Ниже приведены формулы для вычисления оптической силы
Ф, координат фокальных и главных точек линзы, расположенной
в воздухе:
Ф * i/r = (Я - I) (i/г, - ! /г,) + (п - \)*df(nrir2);
s'p, = (п — 1) d/(nrt); sH = —fe(n— 1 )d/(nr2);
= f [1 — (я — I) ЩГ1Гj)l; Sp == — /' 11 — (Л■— 1) d/(nr9)\;
где f' — заднее фокусное расстояние; n — показатель преломле¬
ния материала, из которого изготовлена линза; гъ г2 — радиусы
кривизны первой и второй преломляющих поверхностей; d — тол¬
щина линзы (по оптической оси); s'H> — отрезок, определяющий
положение задней главной точки относительно вершины второй
преломляющей поверхности; sH — отрезок, определяющий поло¬
жение передней главной точки относительно вершины первой
преломляющей поверхности; s'F' — задний фокальный отрезок —
расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до
заднего фокуса FsF — передний фокальный отрезок — расстоя¬
ние от вершины передней преломляющей поверхности до переднего
фокуса F.
В бесконечно тонких линзах (d — 0)
ф = \jf = (л — I) (1/г, — 1 /г2); ьи. = ад = 0;
Spi = /'; Sp. — f.
В ряде оптических приборов применяются линзы с асфериче¬
скими преломляющими поверхностями, которые позволяют улуч¬
шить качество изображения, увеличить угловое поле и относи¬
тельное отверстие.
Коллективные линзы. Линза (или система линз), расположен¬
ная в плоскости действительного изображения или вблизи нее
и строящая изображение выходного зрачка предшествующей сис¬
темы в плоскости входного зрачка последующей системы, назы¬
вается коллективом. Установка коллектива позволяет существенно
уменьшить диаметры компонентов, входящих в оптическую сис¬
тему. Как правило, коллективы представляют собой положитель¬
ные системы. В качестве примеров коллективных линз можно
привести коллективную линзу окуляра Кельнера или Гюйгенса,
коллективные линзы в оптических системах перископов, медицин¬
ских приборов типа цитоскопов и т. п.
Принцип действия коллективной линзы поясняет рис. 15.2. При
отсутствии коллектива входной зрачок второго компонента должен
иметь большой диаметр, определяемый ходом крайних лучей.
Только в этом случае не будет срезания наклонного пучка. Следо¬
вательно, и световой диаметр второго компонента будет большим.
ю*	291

Установив коллективную
линзу и выполнив необходи¬
мый расчет, мы можем сов¬
местить изображение выход¬
ного зрачка первого компо¬
нента с входным зрачком вто¬
рого компонента так, чтобы
не было срезания полевых
лучей, и существенно умень¬
шить диаметры компонентов
в системе.
Если коллективную лин¬
зу установить в передней
фокальной плоскости пред¬
шествующей системы, то она не будет влиять на оптическую
силу.
Рассмотрим действие коллектива в телескопической системе
Кеплера (рис. 15.3). Ход апертурного и полевого пучков без кол¬
лективной линзы показан на рис. 15,3, а. Диаметр второго ком¬
понента (окуляра) при отсутствии срезания наклонных пучков
определяется диаметром D. В системе с коллективной линзой К
(рис. 15.3, б) диаметр окуляра будет меньше, чем в системе без
этой линзы.
коллективе
Вых. зр
Вх.зр
К
Вых. эр
F v	* —/1
f2 \\
rvA
' д
fi
ц]
У \\
"?2
а'р/
6)
Рис. 15.3. Ход лучей в системе Кеплера:
а ■=» без коллективной лннэы; б — с коллективной лниэой
292

Вх.зр
Рис. 15.4. Схема для определения оптической силы кол
лектива
Для определения оптической силы коллектива К воспользуемся
ходом главного луча (рис. 15.4), который проходит через центры
входного Р и выходного Р' зрачков системы. Принимая аг =
—	1/ар, а а4 = 1 /а'Р' и используя формулы параксиальной оптики,
получим значение оптической силы коллективной линзы
Ф2 = (pj (1 — ар-j- Ф3 (1 — а^/Фз).
Для уменьшения влияния сферической аберрации коллектива
на распределение освещенности по полю и качество изображения
внеосевых точек можно применить плосковыпуклые линзы с несфе¬
рическими поверхностями.
Специальные линзы. К специальным линзам относятся:
Концентрическая линза. Концентрические линзы бывают поло¬
жительными (рис. 15.5, а) и отрицательными (рис. 15.5, б). Центры
Clt С2 кривизны преломляющих поверхностей /, 2 таких линз
совпадают, их толщина d = гг — г2, а оптическая сила Ф =
= 1//' = —(п — 1) {гг — г2)/(л/у2). Передняя и задняя главные
точки Ну Н' совпадают с центрами кривизны поверхностей. Отри¬
цательная концентрическая линза обычно применяется в качестве
защитных стекол в оптических приборах.
Линза-шар. В шаровой линзе гх — —г2, d = 2гг и
Ф= \/( = {п — \f d / (пг\) = 2 (л — \ f/(nrx).
Главные точки (рис. 15.6) совпадают с центром шаровой линзы.
293

Рис. 15.6. Линза-шар и ее кардиналь- Рис. 15.7. Телескопические линзы с об-
ные элементы	ратным (а) и прямым (б) изображе¬
ниями
Телескопические (афокальные) линзы (рис. 15.7). Фокусное рас¬
стояние/' линзы равно бесконечности. Следовательно, луч, идущий
параллельно оптической оси, после преломления будет также
ей параллелен. Так Ф = l/f' — 0, то (п — 1) (1 /гх.-— 1 jr2) =
а® —(п — l)2d/(/i/y2), откуда г2 = гх — (п — 1) djn.
Линзы с обращенными главными точками (рис. 15.8). В таких
линзах по ходу луча вначале располагается задняя главная точка
а затем —: передняя Н. Расстояние между ними Ан < 0. Из
уравнения Дн = d [1 — (п — 1) (1/гх — 1 /г2) f'jn] для обращен¬
ных линз вытекает условие ff (п — 1) (1/гх — 1 /г2)/п > 1. Подста¬
вив это неравенство в формулу оптической силы линзы, получим
второе условие 0 < [л + (п — 1 )/(г2 — гх) ] <1 1.
Линзы двоякой симметрии. Плоскоцилиндрические, сфероци¬
линдрические, торические и подобные им линзы позволяют полу¬
чить разномасштабное изображение в двух взаимно перпенди¬
кулярных плоскостях.
Линзы Френеля. Преломляющие (отражающие) поверхности
обычных сферических или асферических линз имеют плавный
непрерывный профиль. Линза Френеля — оптическая деталь сту¬
пенчатого профиля, состоящая из определенного числа элементов,
расположенных симметрично или асимметрично по отношению к
Рис. 15.8. Линзы с обращенными главными плоскостями:
8 — положительная; б ~ отрицательная
294

центральному элементу (рис. 15.9). Это позволяет уменьшить тол¬
щину линзы, ее массу, что в крупногабаритных линзах является
весьма существенным преимуществом. Число элементов в профиле
зависит от назначения линзы, способа ее изготовления и точности.
Элементы профиля линзы Френеля могут иметь рабочую
поверхность в виде части сферы с соответствующими этим элемен¬
там центрами и радиусами кривизны, которые выбирают таким
образом, чтобы падающие на линзу лучи после преломления выхо¬
дили параллельно ее оптической оси или собирались в одной точке.
Кроме того, элементы профиля могут быть концентрическими,
спиральными или параллельными и представлять собой участки
конических, цилиндрических или плоских поверхностей.
В настоящее время технология изготовления прессованных
линз позволяет получать расстояния между элементами профиля
до 0,05 мм. Следует иметь в виду, что границы между отдельными
зонами френелевских поверхностей создают некоторую простран¬
ственную экранирующую решетку, влияние которой необходимо
учитывать при расчете подобных линз.
Стеклянные линзы Френеля используют в маячных и прожек¬
торных оптических системах, а пластмассовые прессованные —
в качестве луп, конденсоров, линз светофильтров и т. п.
Рассмотрим элемент профиля ступенчатой поверхности, сим¬
метричной относительно оси и разделяющей две среды с показате¬
лями преломления пг — 1 и п' = п (рис. 15.10). Определим усло¬
вие, при котором гомоцентричность пучка лучей, выходящего из
осевой точки Л, сохранится после преломления на узких элемен¬
тах френелевской поверхности. Луч AM попадает на бесконечно
узкий эффективный профиль в точке М, отстоящей от оптической
оси на расстоянии h. После преломления он пересекает ось в точке
А'. Нормаль в точке М к участку профиля пересекает оптическую
ось в точке С, составляя с ней угол <р, определяющий положение
образующей участка профиля.
Значения углов <р для разных высот падения h лучей при
заданных положениях сопряженных точек А и А' (отрезков а, а')
составят ф = сг' — е' или <р = а — б. По закону преломления
nv sin ev = пу sin Принимая n’v = 1, Пу — n, получаем
sin (ф — о) — n sin (ф — сг'). После преобразования этого равен-
ч
а;	6)
Рис* 15.9. Линзы Френеля:
а на сфере; б — на плоскости
Рис. 15.10. Ход луча через элемент эф
фективного профиля линзы Френеля
295

ства найдем зависимость для вычисления углов позволяющую
определить, например, наклон профилей конических кольцевых
участков ступенчатой предломляющей поверхности:
tg ф = (я sin & — sin о)/(п sin а' — cos а')>	(15. l)
где углы а и су' предварительно вычисляют до отрезкам а и а' для
различных высот h. Формула (15.1) может быть использована
для приближенного расчета тонкой линзы Френеля с плоской
второй поверхностью.
Заднее фокусное расстояние линзы Френеля определяется
углом от' (при о — 0). Так как tg <р0 — па'j(n — 1), то о' — (п —
—	1) ^ Фо/я- Для малых h отрезок f ~ hja' — hn/l(n —Л) х
X tg90], где ф0 можно найти по формуле (15.1).
Световой диаметр линзы DCB рассчитывают для угла падения
е = —90°. В этом случае tg а'А' — tg (q> -f e'rn) — DCB/(2a'), где
г'т — предельное значение угла преломления; тогда
Dcb = 2а' (tg Ф + tg Sm)/( 1 — tg ф tg 8m)•
Зная, что tg ф — —2a/DCB, после преобразования получим
DCB + 2I)CB (а — а') tg em + 4аа' = 0,
где согласно закону преломления е'т определяется равенством
tg — 	 11’VП2 	 1 .
Решая квадратное уравнение, находим значение светового
диаметра линзы Френеля:
Осв ~ [(а —а') 4- ~[/(а — а')2 ~ 4аа' (л2 — 1)]/(1/л2 — 1).
Анаберрационные линзы. Применение асферических поверх¬
ностей позволяет улучшить качество изображения, повысить угол
поля и относительное отверстие. На основании принципа Ферма
для предмета, расположенного в бесконечности, уравнение анабер-
рационной (свободной от аберрации) кривой имеет вид
у2 = 2s' (1 — л/л') z + [(л/я')а — 1] г2,
где у и z — координаты точки встречи луча с преломляющей
поверхностью в меридиональном сечении. Это уравнение можно
представить в виде г/2 = 2pz + qz2, где р — s' (1 — п/п'); q =
= (njn'Y — 1. При q < 0 (п' >• 0) поверхность будет эллиптиче¬
ской, а при q > 0 (пf < п) — гиперболической. Если q = 0 (п =
= я')> то преломления не происходит, поэтому преломляющих
параболических анаберрационных поверхностей не существует.
Применяя анаберрационные преломляющие поверхности совместно
со сферическими или плоскими, можно получить анаберрационные
линзы (рис. 15.11).
На рис. 15.11 показано преломление пучка лучей, идущих из
бесконечности, на эллиптической и гиперболической поверхностях.
Все лучи, параллельные оптической оси, собираются в точке зад-
296

Рис. 15.И. Анаберрациоиные линзы с асферическими поверхностями
К
него фокуса F' преломляющей поверхности, т. е. сферическая
аберрация отсутствует. Для получения анаберрационной линзы
достаточно, чтобы центр кривизны С2 второй преломляющей
поверхности совпадал с точкой F'.
В сфероэллиптической линзе (рис. 15.11, а) лучи после прелом¬
ления на первой поверхности (эллиптической) падают на вторую
(сферическую) поверхность нормально и, не испытывая преломле¬
ния, собираются в заднем фокусе F'.
Если перед гиперболической поверхностью расположить пло¬
скую преломляющую поверхность (рис. 15.11, б), то пучок лучей
после преломления на ней не будет изменять направления и на
гиперболическую поверхность попадет параллельным оптической
оси, а после преломления соберется в точке F'. Такая линза назы¬
вается плоскогиперболической. Если совместить плоскостями две
плоскогиперболические линзы, то получим так называемую
бигшерболическую линзу (рис. 15.11, в).
Следует иметь в виду, что при изменении положения предмета
в этих линзах появляется сферическая аберрация.
15.2.	ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ,
РЕДУЦИРОВАНИЕ.
АБЕРРАЦИИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ
Плоскопараллельная пластина — оптическая деталь,
ограниченная двумя плоскими параллельными гранями, поверх¬
ности которых могут быть прозрачными, полупрозрачными или
матовыми.
Назначение плоскопараллельных пластин в оптических при¬
борах различное: от компенсаторов в интерферометрах и микро¬
метрах до светофильтров, сеток, шкал, защитных стекол, основа¬
ний зеркал, предметных и покровных стекол и т. п.
Плоскопараллельная пластина устанавливается в параллель¬
ных и в сходящихся (расходящихся) пучках лучей (в последнем
случае, как правило, перпендикулярно к оптической оси). Прин¬
цип действия пластины иллюстрирует рис. 15.12.
Пластина строит мнимое изображение А' действительного пред¬
мета А (рис. 15.12, а). Если предмет мнимый (рис. 15.12, б), изо¬
бражение будет действительным.
297

Рис. 15.12. Ход лучей в плоскопараллельной пластине в воздухе
Продольное смещение А изображения вдоль оптической оси
и поперечное смещение z вычисляют по формулам
Д = d (l — cos	—	sin2 Sj); 2 = d sin ex (l — cos	— sin2 ex).
Для малых углов падения
A0 — (я — 1) dfn\ г0 = (п — 1) zxdjn.
Пластина всегда смещает изображение на величину А (Л0) по
ходу падающего луча. Плоскопараллельная пластина характери¬
зуется геометрическими размерами, маркой стекла и качеством
изготовления — числом N интерференционных колец (полос),
их деформацией А N и клиновидн остью 0.
Толщина пластины d обусловливается допустимой деформа¬
цией и точностью изготовления плоскостей. В точных пластинах
d — (1/8...1/10) D, где D—-диаметр пластины (или размер диаго¬
нали при прямоугольной форме). В пластинах средней точности
d — (l/l‘2...1/15) D. Пластины обычно изготовляют из оптического
стекла марки К8, ЛК5, ситалла или кварцевого стекла.
Помещенная в параллельных или слабо сходящихся (расходя¬
щихся) пучках пластина практически не влияет на качество изобра¬
жения. Расчет широкоугольных и-светосильных систем выполня¬
ется с учетом аберрационного влияния пластин. Наклон пластин
в сходящихся пучках не должен превышать 5..Л0% так как в
протибном случае будет нарушена симметрия преломленных лучей,
появится кома для точки предмета на оптической оси, качество
изображения по полю будет неодинаковым, а распределение раз¬
решающей способности несимметричным.
Выполняя габаритные расчеты оптических систем, в которые
наряду с линзовыми компонентами входят призмы и плоскопарал¬
лельные пластины, призмы удобно представить эквивалентными
пластинами (толщины их равны длине хода луча в призме), а
последние редуцировать, т. е. привести к воздуху. Прием реду¬
цирования, т. е. переход от реальной пластины толщиной d к реду¬
298

dp =
п
i~hip
hi р
h2
dp
& О
.
d
Рис. 15.13. Редуцирование плоскопараллель¬
ной пластины
облегчает расчеты по определению
цированной толщиной dp
иллюстрирует рис. 15.13.
Соответственные высоты
падения луча на гранях
обеих пластин равны: hx—
= /tip, ht = h2p. Редуци¬
рованная толщинайр равна
толщине реальной пласти¬
ны d, деленной на пока¬
затель преломления п по
среднему цвету:
= d — Д0 — din.
Луч А Мг не испыты¬
вает преломления на гра¬
нях редуцированной пла¬
стины, что существенно
световых диаметров призм.
Плоскопараллельная пластина вносит хроматические и моно¬
хроматические аберрации, которые необходимо учитывать при
аберрационной коррекции системы.
Хроматизм положения Дs'^x, — (п — 1) d/(n2v).
Хроматизм увеличения Духг~к9 — (я — 1) dPi/(^2v), где v —
коэффициент дисперсии; — угол 2-го параксиального луча.
При определении хроматизма увеличения пластины с конечными
угловыми полями принимают = tg
Призмы (пластины) в параллельном ходе не вносят хроматиче¬
ских аберраций.
На основе уравнений аберраций III порядка для пластины в
воздухе и предмета, расположенного на конечном расстоянии
(sx ф —оо), получены следующие зависимости, позволяющие
вычислить значения аберраций этого порядка:
сферическая аберрация As = (п2 — 1) dcfi/(2n3);
меридиональная кома k = 3 (/г2 — 1) ofd tg щ/(2г?)\
меридиональная кривизна поля гт — 3 (/г2 — 1) dtg2ct)1/(2ns);
сагиттальная кривизна поля z$ — (я* — 1) d tg2 (ог/(2/г3);
астигматизм а = zs — гт= (п9‘ — 1) d tg2 <djnz;
дисторсия Ay' — (л2 — 1) d tg8 Wx/(2/z8).
Если предмет находится в бесконечности (sx — —оо), то плас¬
тина свободна от всех монохроматических аберраций.
Плоскопараллельные пластины, как и отражательные призмы,
обладают положительными сферической аберрацией, кривизной
поля и астигматизмом.
*
15.3.	ЗЕРКАЛА. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Зеркало — это оптическая деталь, отражающая па¬
дающий на нее пучок лучей. Сферические и асферические зеркала
по своему действию эквивалентны линзам, а плоские зеркала или
система плоских зеркал —* отражательным призмам.
299

tfJNO''
7777777777777777777777^777?
В -€ <?'
Рис. 15.14. Отражение в плоских зерка- Рис. 15.15. Построение изображе-
Зеркала отличаются высоким коэффициентом отражения, от¬
сутствием хроматических аберраций, малыми габаритными раз¬
мерами и массой.
К недостаткам зеркал следует отнести требование высокой
точности изготовления отражающих поверхностей, так как де¬
фекты поверхностей удваивают искажение отраженного волнового
фронта, а также экранирование центральной части в двухзер¬
кальных системах.
Плоское зеркало — простейшая оптическая система, которая
изображает пространство в масштабе 1 : 1. В зеркальном изобра¬
жении одно из направлений всегда изменено на противополож¬
ное. Система из нечетного числа плоских зеркал строит зеркаль¬
ное изображение, а система с четным числом — прямое. При по¬
вороте зеркала на угол а отраженный луч поворачивается на
угол 2а. Назначение плоских зеркал —- изменение направлений
оптической оси и линии визирования, необходимое оборачивание
изображения, подсветка и др.
Плоские зеркала бывают двух видов: с внешним (рис. 15.14, а)
и внутренним (рис. 15.14, б) отражающим покрытием. В первом
случае покрытие наносят на внешнюю плоскость зеркала, и по¬
грешности изготовления зеркал, такие, как клиновидность, не
влияют на качество изображения. Зеркала с внутренним покры¬
тием, если при их изготовлении была допущена клиновидность,
вызывают двоение изображения и асимметрию отраженного пучка.
Такие зеркала применяют в вспомогательных узлах прибора.
Основным материалом для изготовления качественных зер¬
кал, входящих в основную оптическую систему прибора, является
стекло оптическое К8, J1K5, МКР-1 (пирекс), плавленый кварц.
Крупногабаритные зеркала выполняют из ситалла. Для неответ¬
ственных зеркал применяется зеркальное стекло. Металлические
зеркала используются в качестве отражателей в осветительных
системах проекционных приборов.
Построение изображения зеркалом. Рассмотрим построение
изображения действительного предмета АВ, расположенного перед
плоским зеркалом (рис. 15.15). Наиболее простой и точный способ
300
лах
ния в плоском зеркале

построения изображения состоит в том, что из крайних точек А
и В предмета проводят прямые, перпендикулярные плоской от¬
ражающей поверхности, и откладываются одинаковые отрезки
Л0Х, А'0г и В02, £'0а. Так находят изображения точек А' и
соединяя которые получают изображение предмета А'В'. Если
из точки А выйдет произвольный пучок лучей, то после отражения
эти лучи обязательно пройдут через точку А'. Следовательно,
плоское зеркало не нарушает гомоцентричность отраженного
пучка лучей. Для графического построения изображения можно
также воспользоваться равенством углов падения и отражения
(е и е'). Плоское зеркало действительный предмет строит в виде
мнимого изображения и наоборот.
Рассмотрим построение изображения в сферическом вогнутом
зеркале. Если предмет расположен в бесконечности (рис. 15.16, а),
то его изображение будет в фокальной плоскости зеркала (на
расстоянии г/2 от зеркала). Зная радиус кривизны зеркала, легко
найти положение фокуса F'.
Если предмет АВ, перпендикулярный оптической оси, нахо¬
дится на конечном расстоянии (рис. 15.16, б), то для графического
построения изображения А'В' необходимо из внеосевой точки В
провести два произвольных луча, найти направление отраженных
лучей (по равенству углов 8 и е'). Точка их пересечения В' будет
изображением точки В предмета. Для изображения внеосевых
точек удобно воспользоваться двумя лучами, один из которых
параллелен оптической оси (после отражения обязательно прой¬
дет через точку F'), а второй направить через центр кривизны
зеркала С. Этот луч отразится от зеркала в обратном направлении.
По изображению внеосевой точки В' найдем изображение А',
Для этого достаточно провести отрезок у', перпендикулярный
оптической оси. Аналогично выполняются построения и в вы¬
пуклом зеркале.
Для повышения коэффициента отражения на зеркальную
поверхность наносят покрытия из серебра, алюминия, хрома,
золота или других металлов. Выбор покрытий зависит от спек-
Рис„ 15.16. Построение изображения в сферическом зеркале:
301

S)
Рис. 15.17. Схемы для расчета плоского зеркала:
а — с внешним покрытием при отражении конического пучка; б — а внутренним покры¬
тием при отражении цилиндрического сучке
трального диапазона работы прибора, химической стойкости и
покрытий других факторов.
Габаритный расчет плоских зеркал. Размеры зеркал опреде¬
ляют на основании расчета соответствующих лучей через оптиче¬
скую систему, включающую эти зеркала.
Зная диаметр зеркала или максимальный размер /, можно
найти его толщину d. В особо точных зеркалах (зеркала интер-
ферометров, концевых отражателей, дальномеров, спектральных
приборов и т. п.) d — (1/5 ... 1/7) /, в точных зеркалах визуаль¬
ных приборов и сканирующих систем d — (1/8 ... 1/10) /, в низко
точных зеркалах d — (1/15 ... 1/25) /.
Форма плоских зеркал зависит от вида падающего на зеркало
пучка лучей (параллельный, конический), диапазона колебаний,
если зеркало сканирующее, и может быть довольно сложной.
Однако необходимо стремиться к наиболее простой форме. При
нормальном или слегка наклонном падении пучка круглого av
чения целесообразно применять круглую форму; для зеркал,
имеющих значительный наклон к оптической оси, — прямо
угольную форму.
Зная параметры падающего пучка и наклон зеркала к опти¬
ческой оси, на основании геометрических соотношений находят
размеры зеркала.
Если зеркало с наружным покрытием (рис. 15.17, а) откло
няет падающий расходящийся конический пучок лучей на угол о>,
то размеры этого зеркала вычисляют по формуле
I	— L sin (a/2) {1/sin [(со + a)/2] -j- 1/sin [(со — a)/2J};
b = / sin [(w — a)/2j/{cos (a/2)'{/1 sin [(<o — a)/2jj/JZ. sin (a/2)]},
302

где / — длина зеркала; b — ширина зеркала; L — расстояние
от вершины конуса до зеркала (по оси); а — половина плоского
угла конуса при вершине.
При падении на зеркало с наружным покрытием цилиндриче¬
ского пучка лучей, который необходимо отклонить на угол to,
размеры зеркала определяют по формуле
I = D/sin (©/2); b — D,
где D — диаметр пучка лучей.
Размеры зеркала с внутренним покрытием при отражении
цилиндрического пучка лучей на угол © (рис. 15.17, б) опреде¬
ляются формулой
I = П/sin (©/2)5 {D -j- [2d cos (©/2)]/n); b — Df
где d — толщина подложки зеркала; п—показатель прелом¬
ления.
15.4. ПРИЗМЫ И ПРИЗМЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Призма — оптическая деталь, ограниченная прелом¬
ляющими (не менее двух) и отражающими плоскостями, располо¬
женными под углом друг к другу.
В оптических приборах призмы выполняют следующие функ¬
ции:
изменяют направление оптической оси, что позволяет умень¬
шить размеры приборов;
обеспечивают необходимое оборачивание изображения;
соединяют и совмещают изображения (в системах двойного
изображения);
разделяют (соединяют) пучок лучей на несколько каналов;
отражают пучок в строго обратном направлении;
вращают изображение;
позволяют проводить обзор пространства без поворота при¬
бора;
изменяют расстояние между осями окуляров в бинокулярных
приборах;
отклоняют преломленные пучки на малые углы (оптические
клинья);
компенсируют сдвиг изображения и сканируют пространство
предмета;
изменяют увеличение в двух плоскостях (анаморфозные на¬
садки);
фокусируют изображение (призменные фокусирующие системы
зрительных труб);
разлагают свет в спектральных приборах;
поляризуют свет и т. д.
Ряд перечисленных функций решается с помощью плоских
зеркал. Однако призмы имеют преимущества, поскольку они
конструктивно устойчивее зеркал (сохраняют постоянные углы
303

между плоскостями), не вносят двоения изображения, а на отра¬
жающие грани при использовании явления полного внутреннего
отражения нет необходимости наносить отражающее покрытие.
Кроме этого, некоторые призмы могут работать в условиях, не
приемлемых для зеркал, когда луч направлен параллельно от¬
ражающей поверхности.
К недостаткам призм и призменных систем по сравнению
с плоскими зеркалами следует отнести большую массу, высокие
требования к качеству стекла и вносимые в систему аберрации.
Существуют одинарные призмы (изготовленные из одного
куска стекла) и составные призмы (призменные системы), состоя¬
щие из двух и более компонентов. Многокомпонентные призмен¬
ные системы упрощают технологию изготовления призм, осу¬
ществляют оборачивание изображения и устраняют вредные от¬
ражения (блики), образуют оптические шарниры, совмещают
изображения, разделяют (соединяют) пучки.
Отражательные призмы, условное обозначение, типы призм,
развертка и редуцирование. В отражательных призмах угол е па¬
дения луча на входную грань и угол е*' преломления того же луча
выходной гранью равны между собой по абсолютной величине
(|е| = [s' |). Такие призмы бывают одинарными и составными.
С помощью отражательных призм можно изменить направление
линии визирования (качающая призма перед объективом), на¬
правление оптической оси («ломаные» зрительные трубы), вра¬
щать изображение (призменные оборачивающие системы), раз¬
делять поля и т. д. •
Каждая призма условно обозначается двумя буквами и числом
через тире. Первая буква указывает на число отражений в призме,
а вторая — на ее конструкцию. Число указывает значение угла
отклонения осевого луча призмой (в градусах).
Если на одну из граней нанесена «крыша», то она считается
одним отражением, а у первой буквы появляется индекс «к».
«Крыша» представляет собой две грани, расположенные под уг¬
лом 90° друг к другу (е допуском ±2 ... 5"), которые оборачивают
на 180° изображение, лежащее в плоскости, перпендикулярной
главному сечению призмы. При отклонении осевого луча внутри
призмы в двух плоскостях цифры условного обозначения указы¬
вают на эти отклонения.
Приняты следующие обозначения: первая буква А — одно
отражение, Б — два отражения, В — три отражения (при на¬
личии «крыши» — AKJ Бк, Вк)._
Вторая буква характеризует конструкцию призмы: Р — равно¬
бедренная, П — пента, У — полупента» С — ромбическая, Л —
Лемана, М — призма дальномерного типа. Таким образом,
АР—90° —* это прямоугольная призма, БП—90° — пентапризма,
ВКЛ—0° — призма Лемана с «крышей»,
Каждую составную призму обозначают начальной буквой ее
названия и числом градусов, на которое отклоняется осевой луч:
304

Рис. 15.18. Основные типы отражательных призм:
а АР — 0е (Дове); 7 » 2Dn{ V2л* I — l); б — АР — 90°; I = О; в — БР — 180е;
/ =■ 20; 6 — БС — 0е (ромб-призма); / «= 2Z>; 5 — Б У — 60°; I = 1,7320; с — БП —
80е (пентапризма); I «* 3,4140; ас — БУ —. 45°; *' «= 1.707D; s — ВР — 45° (Шмидта);
I «. 2,4140; а — ВР — 180"; / = 1.7320; k — В Л — 0° (Лемана); t => 4,5350; л — К —
О4 (куб-призма); / ==. Ол/( У 2«* —“i — l); да — П — 0° (Пехана); /«=■ 4,120 к — А —
0° (Аббе); I = 5,20
305

А—0° — призма Аббе, П—0° — призма Пехана, Бк—90° — баш-
мачная призма с «крышей», К—0° — куб-призма. Основные типы
призм представлены на рис; 15,18.
В призмах, геометрическая длина хода луча I пропорциональна
диаметру D цилиндрического пучка, проходящего через призму,
и во всех призмах (кроме Дове и куб-призмы) не зависит от показа¬
теля преломления п стекла, из которого изготовлена призма,
I	— kD. Коэффициент к зависит от конструкции призмы.
При конструировании приборов следует учитывать, что призма
должна наиболее простым способом решать задачу, поставленную
техническими условиями, иметь наименьшее число отражающих
поверхностей и простую конфигурацию, облегчающую процесс
ее изготовления. К призмам, в которых приходится наносить
отражающие покрытия, следует прибегать лишь в крайнем слу¬
чае, так как с течением времени коэффициент отражения покры¬
тия уменьшается. Призмы с четным числом отражающих поверх¬
ностей дают прямое изображение, с нечетным — зеркальное.
Установленная в параллельных пучках лучей отражательная
призма не вносит хроматизм и монохроматические аберрации,
следовательно, ее действие эквивалентно действию плоскопарал¬
лельной пластины.
Призма должна иметь минимальные размеры и массу, поэтому
ее следует устанавливать вблизи наименьшего сечения световой
трубки.
Необходимо использовать явление полного внутреннего от¬
ражения, при котором отсутствуют световые потери, т, е. вы¬
полнять условие, когда |е| > |гкр|; sin екр == п'/п. Если призма
находится в воздухе, то sin екр = 1/п.
В ряде оптических приборов применяют различные призмен¬
ные системы (Порро I рода, Порро II рода, а также системы,
состоящие из прямоугольных призм, и призмы Дове: АР—90°—
АР—0°—АКР—90°) для необходимого оборачивания изображения
и оптические шарниры, позволяющие изменять углы между опти¬
ческими осями различных ветвей прибора.
При габаритных расчетах отражательных призм, связанных
с определением их размеров, зависящих от. диаметров пучков
лучей, проходящих через призмы, удобно выпрямить ход лучей.
Этот прием называется разверткой призмы и выполняется сле¬
дующим образом. Последовательно, по ходу осевого луча, в каж¬
дой отражающей поверхности строится изображение призмы и
отражен нога луча (рис. 15.19). Таким образом, отражательная
призма разворачивается в эквивалентную плоскопараллельную
пластину, толщина которой равна длине хода луча в призме,
а входная и выходная грани — перпендикулярны к осевому лучу.
В некоторых случаях устанавливается оптический клин, допол¬
няющий развертку до плоскопараллельной пластины (в башмачной
призме). Затем для упрощения расчетов эквивалентную плоско¬
параллельную пластину редуцируют т. е. приводят к воздуху,
306

a;	S)
Pus с» 15.19* Развертка призм:
а *«» ВС 0°; б БП «« 00°
dp — dm/n> Определив световые диаметры на входной и выходной
гранях редуцированной пластины, решают обратную задачу —
переходят к эквивалентной пластине, а от нее — к призме.
Обратные отражатели. Оптическую деталь, обеспечивающую от¬
ражение падающего на нее параллельного пучка лучей в обрат¬
ном направлении, называют обратным отражателем. Таким от¬
ражателем может быть призма БР~—180° (прямоугольная равно¬
бедренная), БКР—180° (прямоугольная равнобедренная е «кры¬
шей») или уголковая (триппельпризма). Аналогичную задачу
можно решить с помощью двух- или трехзеркальиой системы,
в которой плоские зеркала располагаются под углом 90° друг
к другу. Повернуть лучок лучей на 180° можно и одиночным пло¬
ским зеркалом, но в этом случае пучок должен падать на зеркало
точно под углом 90°, тогда как для двух- и трехзеркальной си¬
стемы угол падения луча на зеркало может быть произвольным.
Если смотреть на торец прямоугольной призмы БР—180°
(см. рис. 15.18, в), то можно наблюдать, что ход луча меняется на
180°, т. е. на угол в 2 раза больше угла между отражающими
гранями, и луч выходит из призмы параллельно своему первона^
чальному направлению. Отражение луча происходит как бы от
эквивалентного плоского зеркала при соблюдении равенства
углов падения и отражения. Только в случае нормального паде¬
ния пучка на входную (гипотенузную) грань призмы БР—180°
после отражения он будет строго параллельным падающему пучку.
Применяя трехзеркальный отражатель, у которого все от¬
ражающие поверхности расположены под углами 90° друг к другу,
можно поворачивать пучок на 180° как в горизонтальном, так
Я в вертикальном направлениях и возвращать его параллельно
первоначальному пути. Так как установить и сохранить взаим¬
ное расположение трех зеркал весьма трудно, то обычно такую
систему заменяют призмой с тремя попарно перпендикулярными
307

Рис. 15.20. Разделение пучков лучей , Рис. 15.21. Преломляющая трехгран-
бипризмой	ная	призма
гранями, представляющими собой часть куба (уголковая призма).
Роль такой призмы может выполнять призма БКР—180°.
Обратные отражатели применяют при автоколлимационных
измерениях, в светолокадии и светодальномерных измерениях.
Бипризма. Такая призма, по существу, представляет собой
два одинаковых оптических клина, склеенных основаниями
(рис. 15.20). При падении на бипризму осевого луча нижний клин
бипризмы отклоняет лучи к своему основанию на угол —6, а верх¬
ний — к своему на угол 6. После прохождения последующей
системы оба луча будут смещены на величину а — 26/' =
= 2/'8 (п — 1).
Бипризму устанавливают как в фокальной плоскости, так и
вне ее. При работе с бипризмой в приборе обязательно приме¬
няется диафрагма, отсекающая часть изображения.
Если необходимо сместить изображение выходных зрачков
трубы Кеплера на половину их диаметра, то при этом угол клина
бипризмы, установленной в передней фокальной плоскости оку¬
ляра, рассчитывают по формуле
6= D'/[4^K(rt—0] или £>//рб = 4в(д —1),
где D' —диаметр выходного зрачка; Djf'об — относительное от¬
верстие.
При смещении выходных зрачков на величину их диаметра
Dlf'o6 = 26 (п - 1).
В интерференционных приборах бипризма Френеля строит
два мнимых изображения источника, испускающего когерентные
колебания.
В зрительных трубах бипризму используют для разделения
изображения.
Преломляющие призмы. В преломляющих призмах углы па¬
дения луча на входную грань и сопряженные с ними углы прелом¬
ления на выходной грани, как правило, не равны друг другу.
Угол между падающим и преломленным лучами называется углом
отклонения призмы.
Преломляющие призмы разлагают поступающее в спектраль¬
ный прибор излучение на монохроматические составляющие
(спектр).
308

Одиночная трехгранная преломляющая призма и ход лучей
в ней показаны на рис. 15.21. В спектральном приборе призма
устанавливается таким образом, чтобы линия пересечения ее
преломляющих граней (преломляющее ребро) была параллельна
щели. Плоскость, перпендикулярная преломляющему ребру
призмы, называется плоскостью главного сечения. Двухгранный
угол, образованный рабочими гранями трехгранной призмы, т. е.
такими гранями, на которых происходит преломление, назы¬
вается преломляющим углом призмы и обозначается 9.
Преломляющую призму преимущественно устанавливают в па¬
раллельных пучках лучей. Призма характеризуется угловой дис¬
персией — зависимостью угла отклонения луча от длины волны,
определяемой как производная этого угла по длине волны: *
d8/dX = 2 sin (0/2) (dn/dX) ^j/“l — nj?p sin2 (0/2),
где dnjdX — дисперсия материала призмы; ncp — средней зна¬
чение показателя преломления в интервале d% длин волн.
В качестве диспергирующих систем применяют сложные
призмы, состоящие из нескольких склеенных призм, отличаю¬
щихся показателем преломления. Они используются, как правило,
в видимой части спектра для увеличения угловой дисперсии и из¬
менения угла отклонения луча. К таким призмам относятся призмы
Резерфорда—Броунинга, прямого зрения Амичи, призма Аббе,
двух призменные системы с воздушным промежутком и т. п.
15.6.	ОПТИЧЕСКИЕ КЛИНЬЯ
Оптический клин (рис. 15.22) представляет собой
преломляющую призму с малым углом преломления (0 <16°).
Клинья применяют для компенсации сдвига изображения, из¬
мерения малых линейных или угловых смещений, повышения точ¬
ности наводки в зеркальных фотоаппаратах, сканировании про¬
странства предметов и т. д. По конструкции различают оптиче¬
ские клинья одинарные, ахроматические и апохроматические.
При конечных значениях угла падения гг угол отклонения б
определяют по формуле
б = e(ncos Bj/cos8j — l),	(15.2)
ei — угол падения луча; г\ — угол пре¬
ломления на первой поверхности; 0 —
угол клина; п — показатель прелом¬
ления.
При малых углах падения ех можно
пользоваться приближенной формулой,
полученной путем разложения (15.2)
в ряд:
б = 0 (п — 1) [1 -4- (л + 1) 8j/2п -f • ■
309

Рис. 15.23. Смещение изображения клином:
а — неподвижным; б — перемещающийся вдоль оптической о«н
Если луч падает нормально на входную грань клина, когда
= 0, его отклоняющее действие характеризуется углом
6	= 8(п—1).	(15.3)
Выражение (15.3) обычно называют формулой клина. Оптиче¬
ский клин всегда отклоняет луч в сторону своего основания.
Тонкий клин (рис. 15.23, а) смещает изображение перпенди¬
кулярно к оси на А/ — аб = аб (п — 1).
Одиночный клин в воздухе вносит окрашивание изображения.
Значение хроматической аберрации, полученное путем дифферен¬
цирования формулы (15.3) и последующего перехода к конечным
приращениям, будет Аб = 0 Ал, где Аб — bF* — дС' — хрома¬
тизм положения в угловой мере; Ап = nF-- — лс# — средняя
дисперсия.
Если хроматизм клина окажется недопустимо большим, то
его ахроматизуют, т. е. делают составным из двух клиньев, и
так рассчитывают углы 0s и 02, чтобы отклонения и 8С' были
одинаковыми. Ниже для этого случая приведены расчетные
формулы
0J = fivj/Knt — 1) (Vj — v2)J; 8* = ~ бv2/[(n2 — I) (Vi — v2)|.
Здесь 0Х, 02 — углы клиньев, образующих ахроматический
клин; б — угол отклонения луча одиночным неахроматизоваиным
клином; v — (пе — 1 )1(п/?' —пС') — коэффициент дисперсии.
Вторичный спектр в ахроматизированном клине
6е — 6Fr = б - 4>2)/(v, - v2),
где я|> = (пе — пС'}1(пр	пС').
Ахроматический клин, в котором устранен хроматизм для
двух длин волн, состоит из двух ориентированных основаниями
в противоположные стороны клиньев, выполненных, из разных
стекол. В апохроматический клин входят три отдельных клина,
В нем устранен хроматизм для трех длин волн.
Оптический клин применяется в компенсаторах (микрометрах),
где может перемещаться вдоль оптической оси или вращаться
вокруг нее. Клин, перемещающийся вдоль оптической оси
310

(рис. 15.23, 6), вызывает смещение
изображения Ly' — а9 (/?. — 1), где
п — показатель преломления; 0 —
угол к л ии а. Так как угол 0 мал, то
большому перемещению а соответ¬
ствует малое перемещение Ау'.
При вращении оптического кли¬
на (рис. 15.24) изображение осе¬
вой точки описывает окружность
радиуса укоторый зависит от
расстояния а' и угла отклонения
клина б.
Прямолинейное движение изображения А’ получается при
вращении двух одинаковых клиньев в противоположные стороны.
Рис. 15 24. Вращение изобра¬
жения клином
15,8. СВЕТОФИЛЬТРЫ. ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Светофильтр представляет собой плоскопараллель¬
ную пластину, изготовленную из материала, обладающего изби¬
рательным пропусканием потока излучения. Эта деталь может
быть выполнена из цветного стекла, желатины, окрашенных пласт¬
масс. Светофильтры бывают жидкими, газовыми, поляризацион¬
ными и интерференционными. Они предназначены для изменения
спектрального состава и значения потока излучения, яркостных
и цветовых соотношений между видимыми объектами и умень¬
шения хроматизма.
Материалом для светофильтров служит оптическое цветное
стекло, различные марки которого имеют специальные свойства:
УФС — ультрафиолетовые стекла, ФС — фиолетовые, СС — си¬
ние, СЗС — сине-зеленые, ЗС — зеленые, ЖЗС — желто-зеленые,
ОС — оранжевые, КС — красные, ИКС — инфракрасные, ПС —
пурпурные, НС — нейтральные, ТС — темные, БС — бесцвет¬
ные. Название цветного стекла соответствует спектральному
участку с наибольшим коэффициентом пропускания.
Светофильтры используются при неблагоприятных метеоро¬
логических условиях (дымка, туман, малая контрастность объек¬
тов). В фотографии их применяют для правильного воспроизве¬
дения на снимках соотношений визуальных яркостей объекта или
изменения их контраста. Чаще всего применяются желтые и оран¬
жевые светофильтры.
Светофильтры характеризуются цветом и кратностью. Крат¬
ность показывает, во сколько раз надо увеличить время экспо¬
нирования (выдержку) при съемке с помощью данного свето¬
фильтра по сравнению с выдержкой при съемке без свето¬
фильтра.
Спектральная характеристика светофильтра определяется по¬
казателем поглощения k, для различных длин волн, спектраль¬
311

ными кривыми оптической плотности Dk и коэффициента про¬
пускания тх:
Dx « ~ lg = М,
где d — толщина светофильтра.
При вычислении оптической плотности следует учитывать
потери на поглощение в стекле и потери на отражение. С учетом
потерь на отражение коэффициент пропускания
Ч=*0 -Р)2тя*
где р — коэффициент Френеля, характеризующий потери на
отражение при преломлении.
Оптическая плотность с учетом потерь на отражение составит
= ~ = D% + Dp»
где Dp ~ -—2 lg (1 — р) — поправка на отражение.
Для каждой марки цветного стекла определенной толщины
приводятся спектральные кривые оптической плотности DK и
коэффициент пропускания По спектральной кривой можно
определить предельную длину волны Хпр, для которой коэффи¬
циент пропускания в 2 раза меньше тшах. Эта длина волны яв¬
ляется границей пропускания светофильтра.
Недостатком фильтров из цветного стекла является невозмож¬
ность выделения излучения узкой спектральной области с вы¬
соким коэффициентом пропускания. Эту задачу решают с помощью
интерференционных фильтров, действие которых основано на
интерференции света в тонких пленках, нанесенных на прозрач¬
ные плоскопараллельные пластины.
Величины А,тах и X^p-, характеризуют стекла с длиной волны,
соответствующей максимуму пропускания в рабочей части
спектра или границе пропускания.
Общий визуальный коэффициент пропускания стекол т рас¬
считывают по формуле
где тх—коэффициент пропускания света для длины волны X;
X—длина волны монохроматического света; Jx —функция, ха¬
рактеризующая относительное распределение энергии излуче¬
ния по спектру; V%,—относительная видность (спектральная
чувствительность глаза).
15.7.	АКСИКОНЫ
Аксикон — оптический компонент, который вслед¬
ствие значительной продольной аберрации (сферической или хро¬
матической) изображает осевую точку в виде прямой линии,
состоящей из непрерывной серии ее изображений, расположенных
на оптической оси. Аксикон представляет собой линзу, чарто
312

6)
в)
Рис. 15.25. Типы аксиконов
)
имеющую одну плоскую, а вторую коническую или сферическую
поверхности. Бывают также аксиконы в виде коноидной линзы
(рис. 15.25, а)% положительного мениска (рис. 15.25, б) или кони¬
ческого зеркала (рис. 15.25, в).
Установка аксикона вместо объектива в зрительной трубе
позволяет полностью исключить ее перефокусировку на разно¬
удаленные объекты и тем самым обеспечить постоянство линии
визирования, так как изображение всегда будет располагаться
в плоскости отсчетного устройства.
Широкому применению аксиконов в оптических приборах
препятствует недостаточная освещенность изображения.
Линзовые аксиконы, основанные на продольной сферической
аберрации, по сравнению с коническими имеют существенный
недостаток — с увеличением расстояния до предмета умень¬
шается диаметр кольцевой зоны, строящей изображение, что ведет
к значительному снижению освещенности. Этот недостаток обус¬
ловлен отрицательной сферической аберрацией. Положительные
компоненты обычно вносят отрицательную сферическую абер¬
рацию. Изменением формы линз положительного двухлинзового
компонента можно добиться значительного переисправления сфе¬
рической аберрации. В этом случае с увеличением высоты падения
лучей на компонент увеличивается выходная координата s',
т. е. компонент строит изображение, так же как и конический
аксикон. Диаметр кольцевой зоны, строящей изображение, с уве¬
личением расстояния до предмета возрастает, что приводит к по¬
вышению освещенности.
Диапазон визирования зрительных труб, снабженных объек-
тивами-аксиконами без перефокусировки, колеблется от несколь¬
ких дециметров до бесконечности.
Хроматические аксиконы, основанные на хроматической абер¬
рации, представляют собой объективы с большой продольной
хроматической аберрацией и хорошей апланатической коррек¬
цией по всему спектральному диапазону (G'—С'). Рабочий диа¬
метр зрачка постоянный для всех расстояний визирования.
Светящаяся осевая точка изображается хроматическим акси-
коном в виде непрерывной хроматической прямой, расположен¬
ной вдоль оптической оси. Длина отрезка As' составляет 50 мм
при /' — 200 мм, D/f' — 1/5,7.
313

Зрительные трубы с хроматическими аксиконами вместо объ¬
ектива можно использовать при створных наблюдениях. При этом
отпадает необходимость перефокусировки. Диапазон визирования
такой трубки определяется разностью расстояний от бесконеч¬
ности до- ближнего визирования s6. в = Г + б Н~ /'7^1—*«i
где /' — фокусное расстояние хроматического аксикона (объек¬
тива); Ь — расстояние от объектива до центра вращения зритель¬
ной трубы; AsjL;—х, — продольная хроматическая аберрация.
Практически точка ближнего визирования располагается на
расстоянии 1,2 ... 1,5 м. Заслуживает внимания применение хро¬
матического аксикона в коллиматоре для имитации разноудален¬
ных предметов и проверки прямолинейности линии визирования
зрительных труб с внутренней фокусировкой. При перефокуси¬
ровке трубы, расположенной соосно с коллиматором, изображе¬
ние креста нитей последнего меняет окраску и в случае колебав
ния визирной оси перемещается по полю зрительной трубы.
15.8.	РАСТРОВЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Растр — это решетка для структурного преобразо¬
вания преломленного или отраженного пучков лучей. Оптиче¬
ский растр в отличие от механического обладает фокусирующим
действием, т. е. имеет оптическую силу. Геометрическая струк¬
тура решеток растра может быть регулярной или хаотической.
В линейном растре его элементы представляют собой ряд парал¬
лельных линий, в радиальном — расходятся из общего центра,
в кольцевом — образуют ряд концентрических колец. Элементы
растра, выполненного в виде ячеек, могут иметь различную форму
и располагаться в любом порядке. Растры бывают также полуто¬
новыми, когда их элементы не имеют четких границ. Элементы
растра могут группироваться по спектральным или поляриза¬
ционным свойствам. Различают плоские, цилиндрические, кониче¬
ские и сферические растры. Они могут быть многомерными и
многоплоскостными.
Оптические растры характеризуются периодом (шагом) — рас¬
стоянием между осями двух смежных элементов, измеряемым
по нормалям к их осям симметрии; светосилой — отношением
ширины щели (просвета) растра к его периоду; фокусным расстоя¬
нием (оптической силой).
Двухлинейные крестообразные растры представляют собой
систему линейных растров с перекрещивающимися элементами.
Цветные растры образованы сетками из прозрачных и непро¬
зрачных линий для различных участков спектра. Если каждый
элемент растра превратить в небольшую линзу, то вместо щелевого
линейного растра получим линзовый растр, обладающий большей
светосилой и разрешающей способностью. Каждый элемент 1—3
оптического растра формирует отдельное изображение А[В\Л
А'чВ'ъ, ЛЖ предмета (рис. 15.26). При равенстве оптических

сил всех элементов изображе¬
ния располагаются в одной пло¬
скости и при обратном ходе
лучей из этих отдельных изо¬
бражений можно восстановить
простр анствен ное	положен не
объекта.
Соединяя растры друг с дру¬
гом или с оптическими злемен*
тами, получают сложные растро¬
вые оптические системы, кото¬
рые могут быть использованы
в качестве растровых коллективов, окуляров, объективов, фоку¬
сирующих , и осветительных систем, экранов направленного от¬
ражения. систем растровой фильтрации потоков, светофильтров,
растровых систем для воспроизведения стереоскопических изо¬
бражений и т. п,
15.9.	ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
Исследования в области создания неоднородных
оптических материалов и деталей из них открывают новые воз¬
можности совершенствования систем классического типа и созда¬
ния оптических деталей принципиально новых типов.
В настоящее время для изготовления оптических деталей
используются неоднородные, но только изотропные среды, пока¬
затель преломления которых является функцией координат точек
среды и не зависит от направления распространения луча света.
Соответственно среда при этом называется слоистой или гра¬
диентной. Градиентные материалы обычно называют гринами
(граданами). Степень неоднородности такой среды определяется
градиентом (вектором) ее показателя преломления. Этот вектор
направлен по нормали к поверхности разных показателей прелом¬
ления в сторону возрастания показателя в данной точке среды.
Лучи света распространяются в неоднородной среде криволинейно,
траектория искривляется в сторону увеличения показателя пре¬
ломления, т. е. в направлении градиента.
Траектории лучей в неоднородных средах описываются систе¬
мой дифференциальных уравнений, получаемых на основе исход¬
ных принципов геометрической оптики -- принципа Ферма, за¬
кона преломления или закона Малюса—Дюпена.
Точные решения дифференциальных уравнений известны
только для нескольких видов функций показателя, которые иногда
называют распределением показателя. В декартовой системе
координат с осью 0Z, совпадающей с направлением распростра¬
нения света, эти функции имеют вид:
сфероконцентрическое распределение п / (х* у* j- z*);
осевое, распределение п -- / (г); п (х) — п (у) -- const;
-315

радиальное (цилиндрическое) распределение п = f (д:* -f */а);
п (z) = const.
Из гринов могут быть выполнены оптические элементы клас¬
сического типа — неоднородные линзы. В этом случае градиент
показателя преломления является одним из расчетных параметров,
расширяющим коррекционные возможности системы. Линза, из¬
готовленная из неоднородного материала, может обеспечить такое
качество изображения, которое невозможно получить обычными
средствами.
Проектирование неоднородных линз или оптических систем*
содержащих неоднородные линзы, осуществляется на основе
расчета хода лучей, выполняемого путем численного интегриро¬
вания дифференциальных уравнений.
В среде с функцией показатели преломления п — /i0sch (а х
X Ухй + у2), где п0 — значение показателя преломления на
оси; а = const, все лучи, исходящие из некоторой точки среды
в меридиональной плоскости, содержащей ось, распространяются
вдоль оси в этой же плоскости и при этом периодически самопро¬
извольно фокусируются в точках, поочередно лежащих по разные
стороны от оси и отстоящих друг от друга на расстоянии Т/2 —
= 2/о = я/а, где /6 — номинальное фокусное расстояние, равное
минимальной длине оптического элемента, на выходном торце
которого идеально изображается осевая точка бесконечно удален¬
ного объекта. Посредине, между точками фокусировки, все
лучи указанных меридиональных пучков параллельны друг
ДРУГУ-
Самофокусирующие материалы и детали из них называют
селфоками. Способность самофокусировки и ее периодичность
позволяют использовать также цилиндрические грины для полу¬
чения плоскопараллельных линз и длинных стержней с плоскими
торцами, которые создают и транспортируют изображение на лю¬
бое расстояние (даже при изгибах) без потерь на отражение от
боковых поверхностей, как в оптических волокнах. В случае
произвольной длины d селфока его оптическая сила в традицион¬
ном толковании определяется выражением Ф — п0а sin (ad). Глав¬
ные плоскости селфока всегда расположены внутри него, а перед¬
ний и задний фокусы удалены от его торцов на расстояние s'p* ~
= — sF = (1 /п0) a tg (ad).
Селфок может быть положительной, отрицательной или афо-
кальной системой. Это обстоятельство позволяет проектировать
из селфоков оптические системы различных типов; объективы,
оборачивающие системы, лупы, телескопы.

Г Л А В А 16. СВЕТОВОДЫ И ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА
16. Ь ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА
Простейшим световодом является трубка с зеркаль¬
ной внутренней поверхностью, передающая световой поток. При
использовании явления полного внутреннего отражения зеркаль¬
ная трубка может быть заменена стеклянным цилиндром.
Под волоконной оптикой понимают совокупность методов и
средств передачи оптического излучения с помощью сверхтонких
оптически изолированных волокон, изготовленных из прозрачных
для этих излучений материалов. Распространение оптического
излучения вдоль волокна происходит за счет полного внутрен¬
него отражения от его стенок. Собранные в жгут волокна пере¬
дают оптическое излучение независимо друг от друга. Если
диаметр волокна существенно больше длины волны излучения,
то передача этого излучения осуществляется на основе полного
внутреннего отражения лучей от боковой'полированной поверх¬
ности волокна по законам геометрической оптики.
Волоконно-оптические устройства сами изображения не фор¬
мируют, они его лишь переносят. Поэтому для ввода изображе¬
ния на входной торец и снятия его с выходного необходимы опти¬
ческие устройства типа проекционных объективов.
В настоящее время промышленность выпускает оптическое
волокно (стеклянное и органическое), одножильные световоды
(стеклянные и кварцевые), многожильные световоды, жгуты осве¬
тительные, преобразователи формы, разветвители, волоконные
пластины, волоконные линзы, фоконы, анаморфоты.
Жесткие многожильные световоды используют в приборах для
передачи изображений, фотографирования и обзоров трудно¬
доступных объектов (стенок трубок, шкал и т. п.). Гибкие регу¬
лярные жгуты применяют в перископах и медицинских приборах
для обследования внутренних органов человека. Для контактной
печати с выпуклых экранов кинескопов служат волоконные диски
с высокой разрешающей способностью. Примыкающая к экрану
поверхность диска вогнутая, а его вторая поверхность — пло¬
скость.
Фоконы и фоконные линзы имеют волокна переменного сече¬
ния, что обеспечивает изменение линейного увеличения.
Основными оптическими характеристиками световода с ре¬
гулярной укладкой волокон являются пропускание, числовая
апертура, разрешающая способность и контраст передаваемого
изображения.
Ход луча в отдельном стекловолокне цилиндрической и кони¬
ческой формы представлен на рис. 16.1. Оболочка / из стекла
типа крон (/гкр « 1,5) предназначена для уменьшения потерь
света при отражении, а сердечник 2, изготовленный из стекла
типа флинт (пф » 1,8), передает световую энергию или изображе-
317

Рис. 16.1. Световоды;
а *** цялйвдрнческкЙ поягаавыаго селения; б — конический; a — цилиндрический
G косыми торцами
ние (рис, 16.1, а).'Апертурный угол о определяется зависимостью
sin 0 — Vn\ — л2кр- Принимая Яф ~ 1,75, якр ~= 1,52, получаем
а - 60°.
Если волокно имеет форму фокона (рис. 16Л, б), у которого
уменьшается или увеличивается диаметр выходного торца по
сравнению с входным, то апертурный угол а' находят по фор¬
муле sin сг' = DBX sin сг/1)вых.
Для передачи изображения или световой энергии отдельные
волокна собирают в пучок (жгут) заданных размеров. Волокна
в пучке могут быть уложены в виде квадрата, шестиугольника,
цилиндра либо иметь какую-либо другую форму с плавно меняю¬
щимся сечением для изменения масштаба изображения.
Пропускание волокон заметно падает при радиусах изгиба,
равных примерно 20 диаметрам волокна, когда часть света рас¬
сеивается через боковые поверхности.
Светопроводы сами, свободны от аберраций и при изменении
формы выходного торца могут исправить дисторсию и кривизну
поля оптической системы, совместно с которой они применяются.
Разрешающая способность светопровода зависит от диаметра
волокон, расстояния между ними и определяется в линиях на
миллиметр.
Жгуты с произвольным расположением волокон, разрезан-
ные на две части, можно использовать при кодировании и декоди¬
ровании световой информации.
Волоконная оптика применяется для передачи изображения
с изменением масштаба (фоконы, афоконы), в приборах медицин¬
ской диагностики для изучения внутренних органов человека,
в различных системах наблюдения, в ЭВМ» приборах скоростной
фотосъемки и для других целей.
318

Недостатки волоконной оптики: сложная технология изго¬
товления высококачественных тонких волокон, значительные по¬
тери в длинных волокнах из существующих материалов, необ¬
ходимость применения специальных устройств ввода и снятия
информации и некоторые другие.
16.2.	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ * ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКОГО
ВОЛОКНА
Теоретические положения волоконной оптики осно¬
ваны на том, что, во-первых, излучение распространяется по от¬
дельному волокну за счет полного внутреннего отражения от его
стенок, и. во-вторых, собранные в жгуты волокна передают излу¬
чение независимо друг от друга. Однако следует иметь в виду, что
в волокнах при полном внутреннем отражении происходит про¬
никновение излучения в смежную среду. При малых диаметрах
волокон и плотной укладке эффективная площадь их соприкосно¬
вения оказывается значительной, и взаимные утечки создают
серьезную проблему..
Процесс распространения света вдоль волокон, диаметр кото¬
рых существенно больше длины волны передаваемого излучения»
рассматривается в рамках геометрической оптики. В видимой
части спектра подобные рассуждения справедливы при диаметрах
волокон в несколько микрометров. При дальнейшем уменьшении
площади сечения дифракционные потери растут, а качество изо¬
бражения ухудшается. В этом случае отдельное волокно необ¬
ходимо рассматривать как диэлектрический волновод, по кото¬
рому могут распространяться лишь определенные типы электро¬
магнитных колебаний.
Световод можно представить в виде световой трубки, т. е.
части пространства, заполненного всеми лучами, какие мбжно
провести, соединяя каждую точку одной ограниченной площадки
с каждой точкой другой ограниченной площадки в том же про¬
странстве. Основное свойство идеальной световой трубки — по¬
стоянство светового потока в любом сечении, так как ни один
луч не должен выходить за пределы ее поверхности. В идеаль¬
ном световоде это условие выполняется на всем его протяжении.
В пределах определенных телесных углов лучи из каждой точки
входного торца доходят для всех точек выходного торца. Све¬
товая (световодная) трубка ограничена материальной поверх¬
ностью, которая может быть как прямолинейной, так и изогнутой.
16.3.	ПРЯМЫЕ СВЕТОВОДЫ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
С ПРЯМЫМИ и косыми ТОРЦАМИ
Для световодов постоянного сечения с прямыми
(см. рис. 16.1, а) и косыми торцами (см. рис. 16.1, в) примем обо¬
значения: пь «с, п'к — соответственно показатели преломления
319

среды на входе в световод, материала сердечника, изолирующей
оболочки и среды на выходе из световода; 81, e£e — углы паде¬
ния и преломления луча на входном торце, преломления того же
луча на выходном торце; dSlt dS2 — площади сечения торцов.
Для определения апертурного угла (сгА = е^, ограничиваю¬
щего телесный угол пучка лучей, проходящих через световод,
примем, гго входной торец перпендикулярен оптической оси и
пс > ли* При полном внутреннем отражении на границе между
сердечником и оболочкой имеем лс sin ес — пи-
Согласно закону преломления (для пг — 1) на входном торце
получим sin сгА — sin &{. Так как =* 90° — ес, то зависи¬
мость для определения значения входного апертурного угла аА
при пх = 1 будет sin аА — Уп\ — nl. Если показатель преломле¬
ния среды, в которой находится выходной торец, также равен
единице (воздух), то выходной апертурный угол оА' будет равен
входному апертурному углу оА - При Лк > 1 получим п'к sin о'Аг —
= sin аА.
При падении на входной торец световода конического пучка
лучей под углами а > аА часть лучей испытывает виньетирование.
Коэффициент пропускания световода тА для пучка лучей,
ограниченных двойным апертурным углом 2сгА,
°А
X гж 	r-z	 I cosodco Н	5-7-5	 X
А я siria о J	я sin <J л
0=0
*у|
х J (arccos b ~ h V I —6») cos adb)'	(16-1)
(7e=a 0
где b — Y1 — (sin Од/sin ff)2; d(o — угол при вершине кониче¬
ского пучка лучей.
Выражение (16.1), полученное из инварианта Штраубеля,
определяет пропускание света прямым прозрачным световодом
с учетом краевого эффекта для углов сг > аА.
Для световода с косыми торцами введем обозначения: Хг0г —
ось входа; Х202 — ось . выхода для луча, проходящего в свето¬
проводе по оси 0г02\ ^1,2 — углы наклона этих осей, отсчитывае¬
мые от нормалей N\0\ и N2O2 к торцам световода; ej, 2, ч — углы
падения и преломления лучей, отсчитываемые от нормали в точке
падения.
Как следует из инварианта Штраубеля, светосила прямого
световода с косыми торцами меньше, чем у световода с прямыми
торцами. С увеличением угла скоса торца светосила световода
уменьшается.
16.4.	ИЗОГНУТЫЕ СВЕТОВОДЫ С ПРЯМЫМИ ТОРЦАМИ
Для наблюдения объектов, расположенных в трудно¬
доступных местах, в большинстве случаев волоконно-оптические
элементы световодов должны быть изогнутыми.

Прохождение лучей в меридио¬
нальном сечении через волокно, изо¬
гнутое по дуге, аналогично прохо¬
ждению лучей в двух концентриче¬
ских зеркалах. Угол падения луча
на внешнюю стенку волокна, изо¬
гнутого по дуге (рис. 16.2), может
быть определен по формуле
sin е2 — (г} h} cos b\j(R -j- r}f (16.2)
где h — высота падения входящего
луча; R = Dj 2 — радиус волокна;
гг — г 4* R — радиус кривизны оси
волокна.
На рис. 16.2 принято h О,
так как луч падает на ось волокна.
Наибольший прямолинейный участок луча АВ = (гг — R) х
X sin a/sin es. Длина пути света Р	в	изогнутом	волокне	отно¬
сится к его длине L; Р/L — sin a/(a	sin е2).	Так	как	sin a/a	-< 1
и sin &2 — cos в'и то Р < L sec г{.
Следовательно, длина пути в меридиональном сечении во¬
локна, изогнутого по дуге, меньше, чем длина того же луча в пря¬
мом волокне.
Из равенства (16.2) следует, что для лучей, наклоненных к оси
под углом о — 40°, минимально допустимый радиус изгиба во¬
локна определяется выражением sin е2 0,71. Этому соответ¬
ствует уравнение
(ft + h) cos 25° >0,71 (г + £>),	(16.3)
т. е. радиус изгиба должен удовлетворять условию rx 3,5£>.
Однако уравнение (16.3), выведенное для меридиональных лучей,
экспериментально не подтверждается, так как лучи в других
плоскостях падают на поверхность изогнутого световода под
углами, меньшими критических, и, следовательно, преломляясь,
они покидают волокно.
Практически лучи начинают уходить через поверхность во¬
локна при rjD — 20.
Входная числовая апертура прозрачного изогнутого свето¬
провода, расположенного в воздухе,
А = У~п1 — W+ !)/(* — 1)12^ = У~п1 — *1. эф’
где пс — показатель преломления сердечника; пп — показатель
преломления оболочки; пи. эф = [(гх + 1)/(гх — 1)1 пя > яи.
С уменьшением относительного радиуса кривизны rJD све¬
тосила идеально прозрачного изогнутого волокна по сравнению
с светосилой прямого световода из одинаковых стекол падает.
При этом имеется в виду, что все лучи, падающие на входной
торец, проходят без виньетирования:
т = (Dj/CD = sin20/sin2oQ = [п\ — {(гг 4- l)/(rt — l)j2п\\/Aft,
II П / о Pit о.	321

где т — относительная светосила; Фх и Ф — потоки, пропускае¬
мые без виньетирования изогнутым и прямым волокнами; А\ —
светосила прямого волокна; о0 — угол падения луча для прямого
волокна.
16.5.	КОНИЧЕСКИЕ СВЕТОВОДЫ
Световоды с плавно изменяющимся диаметром
Н.	С. Капани предложил называть фоконами (фокусирующими
конусами). Они могут быть полыми или монолитными. Волокна
конической формы применяют в тех случаях, когда необходимо
изменить линейное увеличение передаваемого изображения или
интенсивность потока излучения. Из отдельных конических во¬
локон можно формировать жесткие конусы с соотношением вход¬
ного и выходного диаметров в диапазоне 1 : 5 ... 1 : 10. Длина
конуса в зависимости от его назначения колеблется от нескольких
сантиметров до нескольких дециметров.
Поскольку входной и выходной диаметры волокна неодина¬
ковы (см. рис. 16.1, б), то предмет, проецируемый на узкий конец
фокона, на широком конце будет наблюдаться увеличенным и
наоборот. Соответственно изменяется яркость изображения, раз¬
решающая способность и другие характеристики.
Линейное увеличение фокона зависит от отношения концевых
диаметров волокна. Углы ю и со' на входе и выходе связаны урав¬
нением £>вх sin © = Х)вых sin ю\
16.6.	ПЕРЕДАЧА ИЗОБРАЖЕНИЯ ВОЛОКОННОЙ
ОПТИКОЙ
Волоконный жгут передает изображение только
в том случае, если оно будет спроецировано предшествующей ему
оптической системой на входной торец жгута. При неподвижном
пучке волокон передаваемое по нему изображение состоит из
множества кружочков различной яркости, соответствующих вы¬
ходным торцам отдельных волокон. Размер элемента изображения
в плотном пучке определяется диаметром отдельного волокна,
который и ограничивает разрешающую способность передачи
изображения. Качество изображения будет невысоким, если
видны структура торцов волокон пучка и его дефекты.
Существенное повышение разрешающей способности и каче¬
ства изображения достигается при поперечных смещениях пучка
волокон, передающих изображение. Н. С. Капани предложил
сглаживать все явления, связанные с видимой картиной торцов
волокон, путем быстрого беспорядочного перемещения торца
пучка по плоскости изображения, подлежащего передаче. Ампли¬
туда смещения лучка волокон по изображению, равная четырем
или пяти диаметрам волокна, достаточна для стирания всех при¬
знаков структуры пучка в конечном изображении. При этом ча¬
322

стота беспорядочных колебаний пучка должна быть выше критиче¬
ской частоты мельканий, различаемых глазом человека.
Если движение равномерно передает все элементы струк¬
туры изображения, то пучок, состоящий из одинаковых волокон,
можно рассматривать как фильтр, пространственная частотно¬
контрастная характеристика -которого равна таковой для рав¬
номерно яркого круглого пятна при том же диаметре волокна.
Максимальная пространственная частота, которая может быть
передана неподвижным пучком, составляет )/(2£>) ... 1/(1,74D).
Для наблюдения картины, находящейся на выходном торце
жгута, применяют лупы, микроскопы, телескопические лупы,
проекционные системы и т. п. При этом обязательно необходимо
согласовывать выходные параметры жгута (апертуру, поле,
зрачки) с входными аналогичными параметрами последующих
оптических систем.
16.7.	ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОПТИКИ
И ИНТЕГРАЛЬНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
При передаче сигналов по стеклянным волокнам и
наличии в аппаратуре оптических волноводов возникает необ¬
ходимость в различных соединителях, разветвителях, фильтра¬
циях и переходах между волноводами. Такие переходы преобра¬
зуют излучение одной волновой формы в другую.
На базе полосковых оптических волноводов возникла новая
оптическая схемотехника, отличающаяся плотным монтажом
с очень малой массой. Оптические схемы такого рода весьма на¬
дежны, нечувствительны к механическим возмущениям и допу¬
скают минимальные мощности световых потоков и управляющих
электрических сигналов. Эта новая оптическая схемотехника
получила название интегральной оптики. К элементам инте¬
гральной оптики относят также отдельные компоненты, выполнен¬
ные в виде полосковых и пленочных линий, предназначенные для
соединения с другими такими же элементами.
Диэлектрические волноводы, используемые в устройствах ин¬
тегральной оптики, по сравнению с обычными световодными
волокнами имеют меньшие площади сечений, которые в оптических
волокнах, как правило, составляют несколько десятков длин
волн передаваемого излучения, а в диэлектрических волноводах —
доли длин волн. Диэлектрические волноводы передают сигналы
с минимальным искажением, если они имеют равномерную ча¬
стотную и линейную фазовую характеристики. С помощью уст¬
ройств интегральной оптики можно осуществлять также некото¬
рые нелинейные преобразования в оптическом диапазоне.
Весьма существенной является проблема эффективного ввода
излучения в пленочный волновод. Для возбуждения оптических
волноводов применяются различные способы: возбуждение в то¬
рец, возбуждение через поверхность, с помощью дифракционной
11*
323

решетки, с помощью тонкопленочного полупроводникового ла¬
зера и др. В настоящее время предложен и разработан ряд слож¬
ных устройств интегральной оптики, таких, как интегральный
лазер, различные модуляторы, частотно-избирательные фильтры
и гибридные соединения.
ГЛАВА 17. ГЛАЗ КАК ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
И ПРИЕМНИК СВЕТОВОЙ ЭНЕРГИИ
17.1.	УСТРОЙСТВО ГЛАЗА
Зрение — способность видеть — дает человеку воз¬
можность познавать окружающий нас мир и реализуется с по¬
мощью сложной оптической и физиологической системы — глаза.
Более 80% всей информации об окружающем мире человек полу¬
чает посредством зрения. Глаз — прибор весьма чувствительный:
диапазон изменения яркостей, воспринимаемых глазом, состав¬
ляет 101а. Глаз различает до 25 тысяч оттенков в солнечном свете
и может воспринять вспышку света длительностью менее милли¬
секунды. Глаз человека часто действует вместе с оптическими ин¬
струментами, поэтому при разработке наиболее совершенных
конструкций оптических приборов необходимо учитывать опти¬
ческие и физиологические свойства глаза.
Глаз человека представляет собой своеобразный оптический
прибор (рис. 17.1). Передняя, несколько выпуклая, часть обо¬
лочки глаза прозрачна и называется роговицей <?, в остальной
части глаз покрыт непрозрачной белковой оболочкой — скле¬
рой 10. Наружный покров роговицы переходит в конъюнктиву 7,
прикрепленную к векам. За роговицей расположена передняя
камера 5, наполненная прозрачной жидкостью — так называемой
водянистой влагой. Заднюю стенку камеры образует радужная
оболочка 2 с отверстием посредине—зрачком. Диаметр зрачка
меняется от 2 до 8 мм в зависимости
в з ю от светового потока, поступающего
7	у^^===::^^У-	11	в глаз-
3РачК0М расположен хруста-
лик 4, который отделяет переднюю
‘ЧПЯ ^камеру 5 от задней камеры 1. Хру-
 з—UJ-	сталик представляет собой двояковы-
\	/Н	пуклую эластичную линзу, на которую
2	)}лч	\	у	л4	действует	кольцевая	мышца	6,	при	этом
изменяются кривизны поверхностей
/	\	хрусталика, что позволяет фокусиро-
1*	вать изображение предметов. Внутрен-
Рис. 17.1. Строение глаза Няя полость глаза за хрусталиком
324

заполнена студенистым прозрачным веществом, называемым
стекловидным телом. Радужная оболочка переходит в более
тонкую сосудистую оболочку 8, покрывающую внутреннюю по¬
лость склеры 10 и состоящую из сети кровеносных сосудов*
Внутренняя поверхность задней камеры покрыта сетчатой обо¬
лочкой 11 (ретиной).
Сетчатая оболочка является приемником световой энергии,
поступающей в глаз, и имеет весьма сложное строение. Она со¬
стоит из десяти слоев. Первый слой образуется из отдельных
волокон зрительного нерва, непосредственно соприкасающихся
со стекловидным телом. Последующие семь слоев состоят из
окончаний нервных волокон — нейронов. Световоспринимающими
элементами сетчатой оболочки являются окончания волокон зри¬
тельного нерва, которые образуют девятый слой. Их разделяют
на два вида: колбочки и палочки. Колбочки (около семи миллио¬
нов) имеют длину порядка 35 мкм и толщину 5 ... 7 мкм. Палочки
(около 130 миллионов) имеют длину 63 ... 81 мкм и диаметр около
1,8 мкм.
Колбочки и палочки состоят из веществ, сильно поглощаю¬
щих свет. Поглощение света сопровождается химической/ реак¬
цией разложения вещества (зрительного пурпура), составляю¬
щей основу зрительного раздражения, которое передается в мозг
по нервным волокнам. Колбочки и палочки распределены по сет¬
чатой оболочке неравномерно. Колбочки находятся главным об¬
разом в центральной части сетчатой оболочки, где есть желтое
пятно 12. В центральной ямке желтого пятна площадью около
0,5 мма имеются исключительно колбочки. Это место сетчатой
оболочки является местом наибольшей разрешающей способности
глаза. Линия Р, проходящая через центр желтого пятна и заднюю
узловую точку глаза, называется зрительной осью. Она отклонена
от оптической оси 14 глаза на угол 5°. По мере удаления от жел¬
того пятна начинают преобладать палочки, а на краях сетчатой
оболочки находятся только палочки. Зрительный нерв входит
в глаз в стороне от желтого пятна. Здесь сетчатка не содержит
световоспринимающих элементов. Это место называется слепым
пятном 13. Диаметр центральной ямки приблизительно соответ¬
ствует 2,6° поля зрения.
Расстояние между центрами зрачков глаз — глазной базис —
у взрослого человека составляет 56 ... 74 мм. Среднее значение
глазного базиса равно 65 мм.
Глазное яблоко посредством мышц может вращаться в преде¬
лах 45 ... 50°. При наблюдении близко расположенных предметов
глаза поворачиваются так, что их зрительные оси составляют
некоторый угол — угол конвергенции, имеющий наибольшее зна¬
чение, равное 32°.
325

17.2.	ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ГЛАЗА
КАК ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Глаз представляет собой центрированную оптиче¬
скую систему, состоящую из двух линз: роговицы и хрусталика,
между которыми находится передняя камера, заполненная водя¬
нистой влагой. Передняя поверхность роговицы граничит с воз¬
духом, между хрусталиком и сетчаткой находится стекловидное
тело. Оптические постоянные глаза для разных лиц колеблются
в широких пределах, поэтому были установлены средние значения
для всех постоянных глаза. Глаз с указанными постоянными на¬
зывается схематическим. Основные постоянные глаза (по Гуль-
странду) в округленном виде при фокусировании на бесконеч¬
ность и на ближнюю точку показаны на рис. 17.2, а. Роль апер¬
турной диафрагмы в глазу выполняет зрачок глаза.
Для еще большего упрощения расчетов была разработана мо¬
дель глаза, называемого приведенным или редуцированным глазом.
При выборе постоянных редуцированного глаза принимались во
внимание следующие условия: преломляющие поверхности глаза
заменяются одной эквивалентной преломляющей поверхностью,
разделяющей две среды — воздух и стекловидное тело; расстоя¬
ние между главными точками схематического глаза мало, поэтому
их можно считать совпадающими. Постоянные приведенного
(редуцированного) глаза (по Гульстранду) указаны на рис. 17.2, б.
Аккомодация маоо
Рис. 17.2. Параметры ми;за:
а —■ схематического; б — приведенного; Fq, /5 я F^, fg — фокусы и фокусные расстоянк
глаза для ближней точки предмета и ее изображения; fоо» Р^.	—фокусы н фокус
ные расстояния глаза для «-очки предмета в бесконечности и ее изображения; N. N' —
узловые гочкв глаза; №<&>,	и.	Hq	и	—	главные	«очка	глаза
326

Пример 17.1. Определить фокусные расстояния приведенного глаза.
Решение. Показатель преломления приведенного глаза п' — 1,33, показа¬
тель преломления воздуха л = 1,0, радиус первой поверхности г— 5,7 мм.
По формулам /■= —nr/in’ — п) находим f — 17,1 мм и /' — п'г){п — п)—
—	22,8 мм.
17.3.	АККОМОДАЦИЯ И РЕФРАКЦИЯ ГЛАЗА.
АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ГЛАЗА
Оптическая система глаза имеет постоянный задний
отрезок. Фокусировка изображений предметов, находящихся на
различных расстояниях, осуществляется кольцевой мышцей, ко¬
торая изменяет кривизну хрусталика глаза. Этот процесс назы¬
вается аккомодацией. Изменение кривизны хрусталика глаза может
менять его оптическую силу (до 20%). Расстояние, в пределах
которого глаз может резко видеть предметы, называется областью
аккомодации. Наиболее удаленную точку, которую глаз ясно
видит при совершенно расслабленной мышце, называют дальней
тонкой глаза. Точка, которую можно видеть при наибольшем
для данного глаза напряжения мышцы, называется ближней
точкой глаза.
Однако глаз быстро утомляется при аккомодации на ближнюю
точку. Обычно близкие предметы рассматривают с расстояния
удобного зрения Р0> которое для нормального глаза принимается
равным 250 мм. Обозначим расстояние от вершины роговой обо¬
лочки глаза до дальней его точки sH, а до ближней точки s6. Вели¬
чины, обратные % и s6, называют вершинными рефракциями (схо¬
димостями) для дальней и ближней точек глаза, т. е. 1 jsn — Rn —
рефракция для дальней точки и l/s6 — Rn — рефракция для
ближней точки. Рефракция выражается в диоптриях; обозначе¬
ние — дптр. Рефракция при расстоянии дальней точки, равном
1 м, равна 1 дптр. Разность обеих рефракций называют шириной
аккомодации (или силой аккомодации):
Л = /?б — /?д	(17.1)
Пример 17.2. Определить ширину аккомодации близорукого глаза, если рас¬
стояния до дальней и ближней точек глаза составляют Яд — 1 м, s<3 ~ 0,15 м.
Решение. По формуле (17.1) находим А = Ms§ — )/$д = 5,7 дптр.
При проектировании оптических приборов следует иметь
в виду, что при длительном наблюдении близких предметов глаз
быстро утомляется, поэтому пучки лучей, идущие от отдельных
точек предметов, наблюдаемых глазом, должны быть преобразо¬
ваны оптическим прибором в пучки параллельных лучей.
Глаз как оптическая система не свободен от аберраций. Глаз
как прибор удовлетворяет ряду противоречивых требований:
он имеет высокую разрешающую способность, большое поле и
весьма высокую чувствительность. Это достигается за счет боль¬
шой подвижности глаза, которая позволяет рассматривать пред¬
меты по частям, фокусируя интересуемую часть поля на желтое
327

пятно. Благодаря этой особенности устройства глаза даже весьма
существенные его недостатки не влияют на качество видения.
Глаз не является ахроматической системой. Хроматизм по¬
ложения глаза для крайних участков видимой части спектра
равен примерно 2 дптр. Однако избирательная спектральная
чувствительность глаза» а также малый диаметр его зрачка прак¬
тически исключают хроматизм. Кома оптической системы глаза
и децентрировка ее элементов невелики и качество изображения не
ухудшают. Влияние кривизны изображения и дисторсии мало,
поскольку изображение строится на сферической поверхности
сетчатки.
Глаз не свободен от сферической аберрации, однако вслед¬
ствие малых размеров зрачка влияние ее незначительно и ска¬
зывается только в сумерках, когда размер зрачка увеличен. При
этом изображения предметов не только мало контрастны, но также
и нерезки,
Таким образом, хотя оптическая система глаза и не является
идеальной, монохроматические аберрации в поле глаза, ограни¬
ченном желтым пятном, т. е. в области прямого зрения, настолько
малы, что не ухудшают качество изображения и не влияют на
разрешающую способность глаза.
17.4.	РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ И ПОЛЕ ГЛАЗА
Под разрешающей способностью глаза (остротой зре¬
ния) понимают способность глаза видеть раздельно два близко
расположенных предмета. Мерой разрешающей способности глаза
считается величина, обратная наименьшему угловому расстоянию
между двумя точками, когда глаз еще видит промежуток между
этими точками. Условно считается, что разрешающая способность
равна единице, если наименьший угол между двумя точками, при
котором они видны раздельно, равен одной минуте (т. е. разре¬
шающая способность будет равна единице при г|> = Г, двум —
при ^ = 0,5' и т. д.). Разрешающая способность эмметропического
(нормального) глаза достигает 1,25 ... 1,5 условной единицы.
Разрешающая способность определяется строением сетчатой
оболочки, напоминающей сетку с шестигранными ячейками.
В каждой ячейке находится одна колбочка, которая может вос¬
принимать одновременно лишь один световой сигнал, т. е. если
свет попал на часть ячейки, то реагирует вся ячейка (колбочка).
Колбочки в желтом пятне соединены с окончанием зрительных
нервов так, что на одну-две колбочки приходится один нерв.
Таким образом, разрешающая способность глаза в желтом пятне
определяется размером колбочки (0,005 мм) и в угловой мере для
среднего глаза составляет Г. Такое же значение можно получить,
исходя из условий дифракции лучей при построении изображения
в глазу:
Фгл = 1 *22 Я/Огл.	(17.2)
328

Если диаметр зрачка глаза DPn — 2 мм, то ™ Г. При уве¬
личении диаметра зрачка свыше 3,5 мм разрешающая способность
падает вследствие аберрации его оптической системы. При умень¬
шении диаметра зрачка до 1 мм разрешающая способность подчи¬
няется зависимости г|? — 6 ГОК/250} а затем резко падает вслед¬
ствие влияния дифракции. По мере перемещения к периферии
сетчатки число колбочек и палочек, связанных с окончанием
одного нерва, увеличивается, поэтому разрешение сильно падает.
Если изображения предметов попадают на светочувствитель¬
ные элементы так, что они находятся почти на одной линии в одном
направлении, но разнесены в другом, например в случае наблюде¬
ний двух штрихов нониуса, то разрешающая способность повы¬
шается до 10", поскольку в данном случае изображения штрихов
передаются различными нервными окончаниями.
Пример 17.3. Определить минимальное увеличение окуляра, при котором
глаз наблюдателя смог бы различать штрихи сетки, стоящей в его фокальной плос¬
кости. Толщина штрихов сетки 6— 0,01 мм.
Решение. Глаз с разрешающей способностью — I' рассматривает изобра¬
жение штриха сетки шириной 6' = бГок с расстояния наилучшего видения
250 мм). Тогда -ф' = SFOK/250, откуда f"OK = 250т|//б — 7,3*.
Полем глаза называется то пространство, в пределах которого
можно различать предметы при неподвижном положении глаза.
В среднем принято считать; что в горизонтальной плоскости
в направлении от оптической оси в сторону виска угол поля
глаза достигает 92 ... 100°, в сторону носа 60 ... 65°; по вертикали
поле глаза в направлении вверх равно 60°, в направлении вниз
70°. При наблюдении двумя глазами поле глаза по горизонту
составляет 184 ... 200°, а по вертикали 130°.
Видимость предметов в разных участках поля различна.
Зона наиболее четкого видения, ограничиваемая желтым пятном,
составляет около 2° и называется центральной. Далее идет зона
ясного видения (30° по горизонтали и 22° по вертикали), в пределах
которой при неподвижном положении глаза возможно распозна¬
вание предметов без различения мелких деталей. Третьей зоной
является зона периферического зрения, в пределах которой не¬
возможно опознание предметов, но она имеет большое значение
для ориентирования в окружающем пространстве. В этой зоне
в особенности хорошо заметны движущиеся предметы. Ограни¬
ченность резко наблюдаемого поля компенсируется подвиж¬
ностью глаза.
17.5.	АДАПТАЦИЯ.
КОНТРАСТНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ГЛАЗА
Адаптацией называется способность глаза приспо¬
сабливаться к различным яркостям наблюдаемого пространства.
Глаз может работать в вёсьма широком диапазоне яркостей;
от 10“7 до 105 кд/м2; при этом перепад яркостей составляет 1 : 10й.
329

Различают темновую адаптацию глаза при переходе наблю¬
дателя из светлого помещения в темное, которая по времени
длится 30 ... 40 мин, и световую адаптацию глаза при переходе
наблюдателя из темного помещения в светлое. Световая адапта¬
ция происходит быстрее. Чувствительность снижается и дости¬
гает постоянного значения через 5 ... 8 мин. Наименьшая осве¬
щенность, которую еще способен воспринимать глаз (пороговая
освещенность), составляет 10"® лк. При яркостях свыше 1,6х
X 105 кд/м8 глаз слепнет.
Глаз весьма чувствителен к контрасту яркостей предметов
наблюдаемого пространства. Контраст яркостей предмета и фона,
на котором он различается, определяется величиной К =
= (L — Lф)/Lф, где L — яркость предмета; Ьф — яркость фона.
Минимальная разность яркостей предмета и фона, при которой
глаз может различать объект, ALmln = (L — ^ф)шш и называется
пороговой разностью яркости, а отношение ALmln/Z^ — порого¬
вым контрастом. Величина, обратная пороговому контрасту
L$/ALmln, является мерой контрастной чувствительности глаза,
которая достигает максимального значения, равного ~60 при
1Ф = 130 ... 6400 кд/ма.
17.6.	СУБЪЕКТИВНАЯ ЯРКОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЯ
ПРИ НАБЛЮДЕНИИ НЕВООРУЖЕННЫМ ГЛАЗОМ
Субъективной или видимой яркостью называется
степень раздражения, вызываемая светом, попадающим в глаз.
Различают два случая наблюдения невооруженным глазом: на¬
блюдение точечного источника света и источника света конечных
размеров. Все наблюдаемые предметы или их детали, площади
изображения которых не превышают площади одного светочув¬
ствительного элемента (Г), считаются точечными. Субъективная
яркость при наблюдении точечных предметов определяется све¬
товым потоком и зависит от расстояния до предмета:
</Ф = я£>2л//(4/2),	(17.3)
где / — сила света; / — расстояние до предмета.
Таким образом, субъективная яркость при рассмотрении то¬
чечных предметов зависит от расстояния до предмета.
При наблюдении источников света или предметов конечных
размеров субъективная яркость определяется освещенностью
изображения на сетчатке и не зависит от расстояния до пред¬
мета:
<'7<>
где L — яркость предмета; <&гл — коэффициент пропускания
глаза.
Пример 17.4. Определить субъективную яркость изображения при наблю¬
дении невооруженным глазом:

а)	точечного предмета (светящееся тело проекционной лампы). Диаметр
зрачка глаза £)гл = 4 мм; расстояние до предмета I — 10 м; сила света I —
= 2000 кд.
Решение. По формуле (17.3) находим d<b — 2,4-10-4 лм;
б)	протяженного предмета (белая матовая поверхность). Диаметр зрачка
глаза Огл = 4 мм; /'л — 22,8 мм; коэффициент пропускания глаза тгл = 0,75;
освещенность поверхности Е ~ 100 лк; коэффициент отражения поверхности
р = 0,9.
Решение. Яркость предмета L — р£/я « 30 кд/м2. По формуле (17.4) на¬
ходим освещенность Е'0 — 0,65 лк.
17.7.	ИНЕРЦИЯ ЗРЕНИЯ
Световой или зрительный образ в сознании человека
возникает с некоторым запаздыванием относительно момента
воздействия света на сетчатую оболочку глаза. Это время запазды¬
вания. называемое временем ощущения, колеблется от 0,1 до
0,25 с в зависимости от яркости объекта. Чем больше яркость
объекта, тем меньше время ощущения. Зрительное ощущение ис¬
чезает также не сразу после окончания действия света. Остаю¬
щееся после окончания светового воздействия зрительное ощу¬
щение называется последовательным образом.
Если на глаз воздействует периодическая смена света и тем¬
ноты, то зрительное восприятие такого раздражения зависит
от частоты смены света и темноты. При достаточно большой ча¬
стоте глаз будет воспринимать свет постоянной яркости. Число
прерываний в секунду, при котором достигается ощущение неиз¬
менной яркости, называется критической частотой прерывания.
Среднее значение яркости L источника при этом может быть опре¬
делено по закону Тальбота—Плата:
т
L = (1/7) [ L dt,	(17.5)
о
где L — яркость источника в некоторый момент времени; Т —
интервал времени, для которого вычисляется среднее значение
яркости.
Указанные свойства глаза используют в фотометрии для
сравнения яркостей источников (мигающие фотометры).
Весьма важной является зависимость времени визуального
обнаружения объекта от значения угла в пространстве предметов
и контраста. Эта зависимость на основании опытов может быть
выражена формулой Р = 1 — еа/, где Р — вероятность обна¬
ружения объекта при различном угле в пространстве предметов;
а — коэффициент, зависящий от площади предмета и его кон¬
траста; t — время обнаружения, с.
Явление инерции зрения используется при демонстрации
киноизображений, а также при наблюдении движущихся пред¬
метов при стробоскопическом освещении. В первом случае после¬
довательный образ, возникающий в мозгу кинозрителя, не позво¬
331

ляет замечать затемнение экрана при смене соседних кадров на
киноленте.
При равномерной освещенности экрана закон Тальбота—Плата
приобретает вид
Г=*иргы,	(17.6)
где t — время демонстрации кадра; Гм — межкадровое время.
Во • втором случае, подобрав необходимую частоту вспышек
импульсного источника света, работающего в стробоскопическом
режиме (в режиме периодического прерывания), можно «оста¬
новить» изображение предмета: при этом частота вращения или
колебания предмета равна частоте вспышек источника света.
Пример 17.5. Определить необходимую яркость экрана (без фильма) при кино-
проекции, если ощутимая яркость экрана должна быть не ниже 50 кд/м2. Частота
проекции 24 кадра в секунду. Рабочий угол обтюратора кинопроекционного ап¬
парата а = 72°.
Решение. По формуле (17.6) ощутимая (кажущаяся) яркость экрана L =
=.LtlTw откуда необходимая яркость экрана L— LTM/t. Здесь Тм— (1/24) с,
t = а/[360 (Гм)] = (1/120) с; L = 250 кд/мг.
17.8.	СПЕКТРАЛЬНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ГЛАЗА.
ЦВЕТОВОЕ ЗРЕНИЕ
Глаз реагирует на поток излучения в диапазоне длины волн
380 ... 750 нм.
Световая эффективность излучения К определяется
отношением светового потока к соответствующему потоку излу¬
чения . Для сложного излучения
*= Ф„/Ф0,	(17.7)
где Фр —световой поток, лм; Фв —поток излучения, Вт.
Для монохроматического излучения с длиной волны X спект¬
ральная световая эффективность
к» -	-	Igg-	-	KmVb	(17.8)
Здесь Km — максимальная спектральная световая эффективность,
т. е. максимальное значение Кь> которое соответствует примерно
длине	волны	Я	—	555	нм	и для стандартного	фотометрического
наблюдателя	при	дневном зрении примерно	Кт	=	680	лм/Вт;
V\ — относительная спектральная световая эффективность,
Vx^KxJKm-	(17.9)
Спектральная световая эффективность для любого монохро¬
матического излучения
Кх = 680V\-	(17.10)
Графики относительной спектральной световой эффективности
для дневного и сумеречного света представлены -на рис. 17.3.
В последнем случае максимум кривой сдвинут в синюю область
и соответствует длине волны \ = 510 нм. Это смещение относитель¬
332

0,35 0J 0^5 0,5 0,55 0,6 0,7 Л, мкм
♦
Рис. 17.3. Относительная спектраль¬
ная световая эффективность:
/ — дневное зрение; 2 — сумеречное зре¬
ние
ной спектральной световой эф¬
фективности называется эффек¬
том Пуркинье.
Глаз различает цвет в основ¬
ном только с помощью колбоч-
кового аппарата зрения и по¬
лучает ощущение белого цвета
в том случае, если излучение,
которое он воспринимает, имеет
непрерывный спектр с распре¬
делением, близким к солнеч¬
ному (цветовая температура
5000 .... 6000 К).
Различают ахроматические и хроматические цвета. К ахро¬
матическим относятся черный, белый и все оттенки серого цвета.
К хроматическим относятся все остальные наблюдаемые цвета.
Хроматические цвета различаются между собой цветовым тоном,
яркостью и насыщенностью. Цветовой тон определяется длиной
волны того монохроматического излучения, смесь которого с бе¬
лым дает данный цвет. Насыщенность (чистота цвета) определяется
долей монохроматического излучения в смеси с белым светом.
Два хроматических световых пучка при смещении дают ахромати¬
ческий цвет — белый или серый. Такой способ смещения цветовых
пучков называется аддитивным (суммирование), а возникшие
цвета — дополнительными. Совсем другие результаты получа¬
ются при смещении красок. Свет, отраженный от смеси двух кра¬
сителей, содержит в себе результат двукратного вычитания из
состава падающего белого излучения тех его компонентов, которые
поглощаются смешиваемыми красителями. Этот способ смешения
цветов называется субстрактивным (вычитание).
Наиболее распространенной теорией цветового зрения яв¬
ляется теория трехцветного зрения. Эта теория предполагает
наличие в глазу трех цветочувствительных аппаратов с тремя
веществами, разлагающимися под действием монохроматического
излучения в различной степени. Видимый глазом цвет излучения
зависит от интенсивности различных составляющих данного из¬
лучения, которые воспринимаются соответствующими цветочув¬
ствительными элементами и синтезируются в мозгу человека
в единый результирующий цвет рассматриваемого предмета.
17.9.	НЕДОСТАТКИ ГЛАЗА И ИХ ИСПРАВЛЕНИЕ
Глаз считается нормальным (или эмметропическим),
если дальняя точка глаза находится в бесконечности. В этом
случае изображение располагается в задней фокальной плоскости,
которая совпадает с сетчаткой. Глаз, не удовлетворяющий этому
условию, называется аметропическим. Если дальняя точка А
находится перед глазом на конечном расстоянии ад, то глаз на-
333

Рис, 17.4. Аметропический глаз:
а — близорукий (миопический); б — дальнозоркий (гнпермегропнческнй)
зывается близоруким или миопическим (рис. 17.4, а). Если даль»
няя точка находится сзади глаза (рис. 7.14, б), то глаз называется
дальнозорким или гиперметропическим.
Аметропия глаза вызывается ненормальной его длиной, не¬
правильным положением хрусталика, а также ненормальными
значениями кривизны преломляющих поверхностей и их несим¬
метричностью относительно оси глаза. В частности, бывают
случаи, когда аметропия глаза различна в двух меридиональных
сечениях. Такой глаз называется астигматическим. Мериди¬
ональные плоскости наибольшей и наименьшей аметропии в этом
случае называются главными сечениями глаза. Причиной астигма¬
тизма глаза обычно является несферическая форма роговой обо¬
лочки или хрусталика.
Одним из условий высокой остроты зрения и хорошей кон¬
трастной чувствительности глаза является наличие на сетчатой
оболочке резких изображений внешних объектов. Неисправлен¬
ные аметропия и астигматизм глаза значительно портят изобра¬
жение.
Аметропию и астигматизм глаза корректируют очковыми лин¬
зами, которые должны обеспечить резкость изображения удален¬
ных предметов на сетчатке при покое глаза. Достигается это тем,
что задний фокус очковой линзы, установленной перед глазом,
совмещается с дальней точкой глаза, В случае близорукого глаза
для этой цели должна быть применена отрицательная линза
(рис. 17.5, а), для дальнозоркого — положительная (рис. 17.5, б).
a)	S)
Рис. 17.5. Исправление аметропии глаза:
а — близорукости посредством отрицательной очковой лнаэьз; б — дальнозоркости по¬
средством положительной очновой лвнэа
334

Оптическая сила системы «линза + глаз» может быть вычис¬
лена по формуле
Фл. г = Фд “Ь Фгл — ^ФдФгл»	(17.11)
где Фл — оптическая сила корригирующей линзы, дптр; Фгл —
оптическая сила глаза, дптр; d — расстояние между задней глав¬
ной точкой линзы и передней главной точкой глаза, м.
Чтобы размер изображения корригируемого глаза соответ¬
ствовал размеру изображения нормального глаза, необходимо
выполнить условие
d = —/гл-	(17.12)
Для редуцированного глаза d — —/гл = 17, Г мм; это значит,
что линзу следует установить так, чтобы задняя главная точка
ее совпадала с передним фокусом глаза.
Из рис. 17.5 заднее фокусное расстояние линзы
/л = вд +'<*■	(17.13)
Аметропия (близорукость или дальнозоркость) выражается в ди¬
оптриях как величина, обратная расстоянию sn:
А = 1000/sn.	(17.14)
Переходя в формуле (17.13) к аметропии в диоптриях и учиты¬
вая (17.14), получаем оптическую силу корригирующей линзы
Фл = 1000If’л = А/( 1 + A/lOOOd);	(17.15)
из формулы (17.15) следует, что оптическая сила (рефракция)
корригирующей линзы не равна аметропии А глаза, что учиты¬
вают при назначении очков. При использовании контактных
очковых линз d ж 0, следовательно, Фл = А.
С возрастом уменьшаются пределы аккомодации глаза, при
этом ближняя точка глаза отодвигается и глаз вынужден рассма¬
тривать ближние предметы с большого расстояния. Поскольку
в этом случае угловые размеры мелких деталей предметов значи¬
тельно уменьшаются, разрешение глаза падает. Этот недостаток
глаза, который носит название возрастной дальнозоркости или
прессбиопии, исправляется посредством корригирующей поло¬
жительной линзы, т. е. аметропический глаз должен быть воору¬
жен в этом случае двумя видами очков: для дали и для разгляды¬
вания близких предметов (чтения). Иногда для этого применяют
двойные, бифокальные (нижнее и верхнее) стекла для очков.
Пример 17.6. Определить параметры очковых линз (бифокальные очки)
для пациента, у которого аметропия составляет: для дальних предметов Аа —
= —4 дптр и возрастная дальнозоркость А а = +3 дптр.
Решение. По формуле (17.15), приняв по условию d = —/гл, получим Фл д=
= Л/(1 + Л/lOOOd) = —4,3 дптр.
По той же формуле Фл. <5 = 2,9 дптр.
Астигматизм зрения исправляют, если рефракция глаза для
двух главных сечений различаются на 0,25 дптр. Для исправления
астигматизма применяют простую цилиндрическую линзу, пред-
335

Рис. 17.8. Эллипс Чернинга, приме¬
няемый для расчета анастигматиче¬
ских очковых линз.
По оси абсцисс — аметропия глаза.
По оси ординат — оптическая сила
первой поверхности линзы
ставляющую собой теле, огра¬
ниченное цилиндрической по¬
верхностью и плоскостью, а
также торические (бочкообраз¬
ные) линзы, которые могут быть плоскоторическими, сферото-
рическими и тороторическими.
В настоящее время в качестве очковых линз используют
сферические линзы, не имеющие астигматизма наклонных пучков
в пределах значительного углового поля (2со — 60°). Такие линзы
называются анастигматическими.
Полное решение задачи по раечету анастигматических линз
дал Чернинг. Так как изображение внеосевых точек получается
посредством весьма узких пучков, определяемых диаметром зрачка
глаза, то для поля около 60° при решений задачи в уравнениях
для аберрации астигматизма можно ограничиться одним членом
третьего порядка и при этом третью сумму Зейделя положить
равной нулю. Учитывая также, что центр вращения глаза должен
совпадать с центром первой поверхности очковой линзы* получаем
формулу для определения оптической силы первой поверх¬
ности линзы
3,52tX>! — (3,52,4 -j- 104,83) Фх + (1,52Ла + 63,23/i -f 658) = 0.	(17.16)
Здесь А — аметропия глаза. Это квадратное уравнение имеет
вещественные корни для тех значений Af которые удовлетворяют
неравенству — 24,75 <1 А +7,5.
Оба корня уравнения (17Л6) имеют одинаковый знак плюс.
Оптическая сила Фа второй поверхности линзы определяется
выражением
Ф2=>Л—Ф^	(17.17)
Анастигматические линзы всегда имеют форму менисков.
Найти корни уравнения (17,16) можно, пользуясь так называ¬
емым эллипсом Чернинга (рис. 17.6). По оси абсцисс отклады¬
ваются значения А, по оси ординат — значения Фг. Сплошная
часть линии эллипса соответствует удобным формам астигмати¬
ческих линз, которые называются также пунктальныма,
Пример 17.7, Определить основные параметры анастигматических очковых
линз для бифокальных очков, рассчитанных в примере 17.6.
Решение. Пользуясь рис. 17.6, для первых поверхностей линз получим
ф1д — 6 дптр; ф|б = 11 дптр. По формуле (17,17) находим Фзд —	—	Ф1Я	-
—	—10 дптр; Ф2Д = Лб—Ф4б“ —8 дптр»
у
*»
л
/
^ ■
		W
/
/
Г
Ti, dnt
25
20
15
10
5
-25 -20 45 -10 -5 О 5 Afinm,
336

Определим радиусы кривизны поверхностей линз (я — 1,5! 63):
1000/Ф1Д = г 1дЯ2/(«а — «г)'» г\% — 56,7 мм;
1000/Фад = г2дП3/(л3 — д2); г2д = 51,6 мм;
Применив те же формулы для ближней точки, получим
г1б = 43 мм; ггб = 57,3 мм.
*
17.10.	СТЕРЕОСКОПИЧЕСКОЕ ЗРЕНИЕ
Пространство внешнего мира можно рассматривать
одним глазом (монокулярное зрение) и двумя глазами (бинокуляр-*
ное зрение). При монокулярном зрении мы направляем визирную
ось глаза так, чтобы изображение наблюдаемой точки оказалось
на сетчатке в области центральной ямки; одновременно с этим
в зависимости от расстояния до визируемой точки происходит
аккомодация глаза. Другие точки пространства также изобра¬
жаются на сетчатке, но с меньшим разрешением. Чтобы рассмо¬
треть все пространство предметов, необходимо поворачивать глаз
так, чтобы в центральной ямке последовательно оказывались
различные точки пространства. Расстояния до различных пред¬
метов при этом оцениваются методом сравнения угловых размеров
известных нам предметов, а также по числу деталей и подроб¬
ностей различаемых глазом, т. е. таких углов, значения которых
не менее разрешающей способности глаза (Г).
Особенностью стереоскопического (бинокулярного) видения
является то, что при рассматривании одновременно двумя гла¬
зами, находящимися на расстоянии базиса, изображения, види¬
мые правым и левым глазом* сливаются в одно пространственное
изображение. Однако при этом должны быть выполнены опре¬
деленные геометрические условия.
При визировании на какую-либо
точку (например, точку А на рис. 17.7)
мы поворачиваем оба глаза так, что
линии прямого видения пересекутся
в наблюдаемой точке; при этом оба
изображения точки окажутся в цен¬
тральных ямках желтого пятна. На
рис. 17.7 точкой фиксации является
точка А; А\ и А2 — центры желтых
пятен. Угол 0ХА0а называется стерео-
скопическим параллаксом или углом
конвергенции В зависимости от
удаления точки фиксации А от базиса
значение стереоскопического параллак¬
са изменяется ОТ-нуля, когда точка А Pj<c. 17,7, Получение сте-
лежит в бесконечности, до 15°, когда реоскопического эффекта:
она находится на расстоянии наилуч- ®*а"	^
шего видения (250 мм).	о,о\ -	базис
337

Кроме точки А возьмем в пространстве ряд точек В, С, D,
Е, F. Опыт показывает, что при рассмотрении точек Е и F, нахо¬
дящихся внутри угла ОхЛС)2 или внутри соответствующего ему
вертикального угла, мы видим их двойными. Точки В, С и D,
находящиеся вне угла т|, мы видим как одиночные. Заметим, что
изображения Е\ и Е'ч точки Е на сетчатках глаз лежат по разные
стороны от точек А\ и А'ч (аналогично для точки F). Изображения
точек В, С и D на сетчатках, т. е. В\ и В'2, С\ и Сг, лежат по одну
сторону от центральных ямок. Эти точки, которые воспринимаются
как одна точка, называются соответственными точками сетчатой
оболочки. Соответственные точки сетчатки глаз так связаны меж
ду собой посредством нервных путей, что зрительное раздражение
в них соединяется в одно зрительное восприятие. Геометрическое
место точек пространства, которые мы видим одновременно оди¬
ночными, называется гороптером. Благодаря большой подвиж¬
ности глаз точки фиксации непрерывно меняются, и мы не заме¬
чаем, что часть точек пространства при данной фиксации видим
двойными.
Окружность, проведенная через точки А, Ох и 02, является
геометрическим местом точек с одинаковым стереоскопическим
параллаксом, равным т|. Поскольку базис b мал по сравнению
с расстоянием R до точки А, то
x) = b/R.	(17.18)
Примем, что дуги А\В\ и А’чВ'ч положительны, если точки В\
и В'ъ расположены вправо от точек А\ и Л£, и отрицательные,
если они расположены влево от точек А{ и А
Рассмотрим точки С и D, расположенные ближе и дальше
точки А. Для точки С, лежащей ближе к базису, разность парал¬
лаксов Дт]2 = л —г\2 <С 0 измеряется разностью дуг С\А\ —
—	С'ъА'ъ < 0. Для точки D, более удаленной от базиса, разности
параллаксов Дт^ ~ т] — тц > 0, и разность дуг D\A{ — D2A2 >
> 0. Глаза обладают способностью воспринимать разность дуг
D[A\ —D2A2, благодаря чему наблюдатель чувствует положение
точек по глубине. Точки, имеющие положительную разность
параллаксов (Ark >> 0 для точки D), кажутся более удаленными,
а точки, имеющие отрицательную разность параллаксов < 0
для точки С), кажутся менее удаленными. Способность глаза
воспринимать такие разности в положении точек пространства
по глубине называется остротой стереоскопического видения.
Острота стереоскопического видения определяется наименьшей
разностью параллаксов Дц, которая иеще может быть ощутима
глазами. Она принимается равной 10 ... 30". Если принять Ат) =
= 10" и b = 65 мм, то по формуле (17.18)
#тах = Ь/Ьц = 65-206 265/10 = 1340 м.	(17.19)
Эта величина называется радиусом стереоскопического видения.
Точки пространства, находящиеся на расстоянии, большем Rmax,
представляются лежащими в одной плоскости.
338

Острота стереоскопического видения зависит от расстояния
до	рассматриваемых	точек.	После	дифференцирования (17.18)
получим
ДЯ = Ari #2/6.	(17.20)
Принимая Ат| = 10" и b = 65 мм, для различных расстояний R
получим следующие значения AR:
R, м		I	5	10	50	100
ДЯ, м 		0,0007	0,019	0,074	1,85	7,4
17.11.	СОГЛАСОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГЛАЗА
И ДРУГИХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
ДОПУСТИМЫЕ ОСТАТОЧНЫЕ АБЕРРАЦИИ
ВИЗУАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В реальных оптических системах допускаются оста¬
точные аберрации, значение которых определяется требованиями
к качеству изображения и условиями работы приборов. Если
прибор работает с глазом, то его разрешающая способность
должна быть согласована с разрешающей способностью глаза.
Одним из основных условий при этом является совмещение вы¬
ходного зрачка прибора с входным зрачком глаза и соответствие
их размеров (см. гл. 18 и 19). При рассматривании проекций
предметов на экранах глазом должны быть учтены соответству¬
ющие условия наблюдения (см. гл. 21). Как известно, угловая
разрешающая способность глаза ф составляет Г в пределах угло¬
вого поля в 2°.
При работе со зрительными приборами на разрешающую
способность глаза влияет контраст изображения. Для телескопи¬
ческих систем контраст изменяется в пределах 0,2 ... 0,8. При
этом убудет изменяться от 2,5' до 1,5'.
Разрешающая способность глаза значительно понижается при
наблюдении в пределах увеличенного углового поля. Так, при
югл = ±5° разрешающая способность г|эРЛ = 3,3', а при <йрл =
= ±Ю° “фгл = 5'.
Для телескопических приборов допускаются следующие оста¬
точные аберрации: для биноклей и геодезических инструментов —
сферическая аберрация 1 ... 2', сферическая аберрация вместе
с остаточным хроматизмом — 2 ... 3', суммарная монохромати¬
ческая аберрация внеосевых пучков — 5 ... 10'i для более слож¬
ных телескопических систем 6' — 10 ... 12'.
Остаточные астигматизм и кривизна изображения зависят
от угловых полей окуляров телескопических систем. Астигматизм
и кривизна изображения для обычных окуляров составляют
3	... 4 дптр, для широкоугольных окуляров 5 ... 6 дптр; дистор^
сия для обычных окуляров 3,5 ... 7%, для широкоугольных
~10%j хроматическая аберрация увеличения не превышает
0,5 ... 1 %.
339

При работе с микроскопами контраст изображения оказывается
ниже и принимается также меньше 3 ... 4\ Эта величина еще
более снижается при малых входных зрачках глаза {Dm -<0,5 ...
... 1 мм) и достигает о1?гл = 6 ... 10'. Аберрации после окуляра
в микроскопах увеличиваются. Для точки на оси угловая абер¬
рация может достигать 10 ... 15'. Кривизна изображения и астиг¬
матизм микрообъективов среднего увеличения (~40х) соответ¬
ственно допускаются в диапазоне 0,5 ... 3 мм в ахроматах и 1,5 ...
...2 мм в апохроматах. При использовании компенсационных
окуляров дисторсия допускается не более 15%, а в окулярах
типа Кельнера — до 2% .
ГЛАВА 18. ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
18.1.	ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТЕЛЕСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Телескопические системы предназначены для наб¬
людения удаленных объектов (астрономические, геодезические,
стереоскопические приборы, прицелы, бинокли, дальномеры
и т. п.), изменения увеличения системы (вращающиеся телескопи¬
ческие насадки), формирования излучения лазеров и для других
целей.
Принципиальная схема телескопической системы, использу¬
емой в зрительных трубах геодезических инструментов, пред¬
ставлена на рис. 18.1. Первый компонент (объектив) и второй
(окуляр) расположены таким образом, что точки фокусов F\ и F2
совпадают. Оптический интервал А — —(f{ + /2 — d[) = 0. Сле¬
довательно, заднее эквивалентное фокусное расстояние системы
f' = —/1/2/А» как и переднее / = —/i/2/A равны бесконечности.
Если на телескопическую систему падает параллельный пучок
лучей, то его параллельность сохраняется и ка выходе.
Телескопическая система характеризуется видимым увеличе¬
нием Гт, угловым полем 2о>, диаметром выходного зрачка D',
угловой разрешающей способностью и удалением выходного
зрачка а'р'.
Изображения, построенные системой, наблюдаются из центра
выходного зрачка под значительно большими углами, чем при
рассматривании предметов невооруженным глазом из центра
входного зрачка. Это приводит к искажению перспективы: все
предметы представляются приближенными к наблюдателю, а само
пространство — сжатым в осевом направлении.
В телескопической системе линейное увеличение р0, угловое
увеличение у0, продольное увеличение в сопряженных точках
на оптической оси а0, видимое увеличение Гх и угловое увеличение
340

Рис. 18.i. Принципиальная схема телескопической системы Кеплера
в зрачках уР постоянны и не зависят от положения предмета:
Ро ~ fa/fu Vo —	/1/^2» ао — (/г/М2»
Гт = tg o//tg © =	f\!h\	Vp	=	"fi/f*
Формулы увеличений даны для системы, расположенной в воз¬
духе.
Угловое поле 2© определяет угловой размер резко изобража¬
емого пространства. Ограничение поля в телескопических системах
с положительным окуляром {f'2 > 0) обеспечивается полевой
диафрагмой, устанавливаемой в его передней фокальной пло¬
скости. Наибольшее значение углового поля системы зависит от
угла поля 2ю' окуляра и составляет tg wmax = tg to'/IV При¬
меняя сверхширокоугольные окуляры (2ш' = 100°), получаем
^ ®шах ~ 1>2/Гт.
Диаметр выходного зрачка D' и его удаление определяются
видимым увеличением системы, диаметром входного зрачка D
и его положением относительно первого компонента: D' =* D/Гт.
В визуальных приборах диаметр D' составляет 1,5 ... 5,0 мм,
а его удаление от последней поверхности окуляра s'p> ;> 5. мм.
Диаметр выходного зрачка телескопической системы опре¬
деляет количество световой энергии, выходящей из прибора,
т. е. является основным параметром оценки его светосилы Я =
= EojL, где Е'о — освещенность; L — яркость.
Используя формулу освещенности для удаленного объекта
Е0 = nxL (п'/п)2 (Dff)2/4, получаем, что светосила телескопи¬
ческой системы совместно с глазом при D' £>РЛ будет Я = gD*t
где g = т (п'1п)2М'г*л, или Я = g (D/TT)2. Если диаметр зрачка
глаза меньше диаметра выходного зрачка телескопической си¬
стемы, то Н ~ gDla.
Световые качества визуальной системы характеризуются отно¬
сительной субъективной яркостью, которая равна отношению
субъективных яркостей вооруженного и невооруженного глаза.
Субъективная яркость — это степень раздражения сетчатки глаза
световым потоком.

Исходя из относительной
субъективной яркости различают
нормальное увеличение, когда
D' — £>гл, увеличение больше
нормального (D' <С £Гл) и увели¬
чение меньше нормального (D' >
^ ^гл)*
Для оценки субъективной яр¬
кости следует рассмотреть случаи
наблюдения точечного объекта
и объекта конечных размеров.
Точечный объект. 1. Увеличе¬
ние больше нормального. Субъек¬
тивная яркость изображения для невооруженного глаза в этом
случае определяется световым потоком:
Ф = я02гл1/4а*,
где / — сила света источника; а — расстояние от глаза до пред¬
мета.
Для вооруженного глаза поток Ф' — я£>а//4а2, где а — рас¬
стояние от входного зрачка трубы до объекта. Если принять
а — а' ~ оо, то Ф'/Ф ” (1>/£>гл)2, т. е. относительная субъектив¬
ная яркость равна квадрату отношения диаметров входного
зрачка трубы и зрачка глаза.
2. Увеличение меньше нормального (£>' >DrjI). Световой по¬
ток для вооруженного глаза по-прежнему определяется формулой
Ф'= jt£>2//4a2.	(18.1)
Поскольку на сетчатку попадает только поток, опирающийся
на зрачок глаза (рис. 18.2), то в формуле (18.1) вместо D будет
новое значение размера зрачка, равное DPny0, и относительная
яркость определится формулой Ф = jiDl„yllft4a2). Относитель¬
ная субъективная яркость в этом случае будет* равна квадрату
углового увеличения трубы:
ф'/ф=
Объект конечных размеров. Субъективная яркость определяется
не потоком, а освещенностью изображения. Освещенность изобра¬
жения бесконечно удаленного объекта в воздухе (п — пг)
Е' = mL (D/f)3/4.
Субъективная яркость невооруженного глаза
<л=^гл^/(
где тРл.-— коэффициент пропускания оптической системы глаза.
Субъективная яркость вооруженного глаза
£’гл = я"г,г'°'’/(40.
Рис. 18.2. Ограничение пучков
зрачком глаза
342

где t — коэффициент пропускания зрительной трубы; tL — V —
яркость изображения через зрительную трубу; D'—диаметр
выходного зрачка.
Относительная субъективная яркость системы совместно с гла¬
зом будет
Возможны три случая:
Dra>D\ т. е. увеличение больше нормального; относитель¬
ная субъективная яркость будет меньше единицы, так как т < 1,
а по условию DTJI^>Df;
при Dr„ = Dr увеличение будет нормальным и относительная
субъективная яркость меньше единицы, так как т < 1 ;
Drn<CDf', увеличение меньше нормального; относительная
субъективная яркость и в этом случае будет меньше единицы,
так как диаметр выходного зрачка системы равен диаметру зрачка
глаза.
При наблюдении объектов конечных размеров субъективная
яркость, воспринимаемая вооруженным глазом, всегда будет
меньше, чем яркость для невооруженного глаза.
18.2.	ГЛУБИНА РЕЗКО ИЗОБРАЖАЕМОГО
ПРОСТРАНСТВА
При визировании зрительной трубы* на предмет
(на плоскость наведения) в пространстве изображения достаточно
резко будут видны предметы, расположенные и в других пло¬
скостях, не совпадающих с плоскостью наведения. Расстояние
между двумя крайними плоскостями, если предметы внутри
этого пространства изображаются системой вполне удовлетвори¬
тельно, называется глубиной резкости в пространстве предметов.
Рассмотрим телескопическую систему в виде системы, заданной
входным и выходным зрачками. Примем, что зрачок глаза совпа¬
дает с выходным зрачком системы (рис. 18.3). Если глаз акко¬
модирован на расстояние р\ то положение переднего и заднего
планов в пространстве изображения определяется расстояни-
343

ями р{ и pj>. В пространстве предметов сопряженные с ними пло¬
скости будут плоскостями наведения, переднего и заднего планов
с координатами относительно входного зрачка соответственно р,
рх и р2. Поскольку Гт — 1/Р и при п — п' линейное увеличение
р2 == а, то а = 1/Г®.
Поэтому для сопряженных отрезков можно написать:
р = р fa = /г2г; р, = p\ja = р|г*;
р2 = p'2fa = Р2Г?*
Значения pj' и р£ определяются по формулам
^=Р°гл1{0гл-Р'^У, P'l=--P'DrJ{Dr* + р'Ч>),
где i|> — угловой размер допустимого пятна рассеяния 2г% на сет¬
чатке глаза при наблюдении точки В2. Обычно этот размер при¬
нимают равным пределу разрешения глаза в угловой мере
(Г ... 2').
Если глаз аккомодирован на бесконечность (р' — оо), то
р = оо, pj° = р{°°Г?= —ЛглГ?/^. Расстояние рГ в этом случае
называется началом бесконечности для телескопической системы.
При аккомодации на расстояние р\ равное р'°°, расстояние до
переднего плана будет равно половине рГ-
Однако, как показывают практические наблюдения, вследствие
изменения аккомодации расстояние до переднего плана будет
меньше, чем рГ/2. Для зрительной трубы при заднем плане р2 =
= оо расстояние до переднего плана рг (в метрах) можно опре¬
делить, пользуясь эмпирической зависимостью pi = Г?МК, где
Ак — объем аккомодации в диоптриях, например, для нормаль¬
ного глаза Ак = 4 дптр.
18.3.	РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ.
ПОЛЕЗНОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ
Разрешающая способность телескопической си¬
стемы — способность раздельно изображать две точки (линии) —
определяется в пространстве предметов и оценивается по угло¬
вому пределу разрешения я)з. Значение предела разрешения для
объектива, по которой определяется разрешающая способность
телескопических систем, согласно дифракционной теории зависит
только от диаметра входного зрачка *ф = 1,22Х/D, где X — длина
волны света. Если принять % — 0,000556 мм, то “ф = 140"ID,
В этом случае контраст между дифракционными изображениями
двух светящихся точек k — 26%. Однако глаз способен различать
и меньшие контрасты. При контрасте k — Ъ% получим
у =12070.	(18.2)
По этой формуле определяют разрешающую способность объ-
ективов астрономических и геодезических приборов. Следует
344

иметь в виду, что любая оптическая система имеет максимальную
разрешающую способность в центре поля и при переходе к краю
она несколько снижается.
Разрешающая способность нормального глаза 'ф = 60*. Срав¬
нивая значения разрешающих способностей глаза и.телескопи¬
ческой системы, убеждаемся, что разрешающая способность теле¬
скопической системы ограничивается разрешающей способностью
глаза.
Угловые пределы разрешения телескопической системы в про¬
странстве предметов и пространстве изображений г|>' связаны
зависимостью
г|/ = л|?Гт-	(18.3)
Увеличение телескопической системы, при котором разреша¬
ющая способность объектива полностью используется глазом,
называется полезным увеличением
Гт. п *= 607*.	(18 4)
Из формул (18.2)—(18.4) получим Гт.п — D/2.
Повышение увеличения телескопической системы при по¬
стоянном диаметре входного зрачка не приводит к росту раз¬
решающей способности. При пользовании формулой (18.4) сле¬
дует иметь в виду, что разрешающая способность глаза у раз¬
личных наблюдателей колеблется в значительных пределах (60" ...
... 120") и при малых выходных зрачках прибора (1 ... 1,5 мм)
вследствие дифракции снижается. Поэтому полезное увеличение
телескопической системы может иметь значения 0,2D < Гт ц <
< 0,750.
18.4.	ПРОСТЫЕ ЗРИТЕЛЬНЫЕ ТРУБЫ
Такие трубы состоят из объектива (первый компо¬
нент) и окуляра (второй компонент). Зрачок глаза наблюдателя
совпадает с плоскостью выходного зрачка зрительной трубы. При
использовании сверхширокоугольных окуляров (2о' = 70 ••• 100°)
для удобства обзора с выходным зрачком совмещают центр вра¬
щения глазного яблока.
Видимое увеличение телескопической системы может быть
как положительным (Гт > 0), так и отрицательным (Гт < 0).
В первом случае система строит прямое изображение, а во вто¬
ром — перевернутое.
Если в качестве зрительной трубы применена телескопиче¬
ская система с положительным видимым увеличением, то такая
труба называется голландской, а сама система — системой Гали¬
лея (рис. 18.4). Такая система имеет положительный объектив
(fi > 0) и отрицательный окуляр (/2 < 0). Апертурной диафрагмой
(выходным зрачком) в системе труба — глаз является зрачок
глаза. Поскольку в трубе Галилея нет действительного промежу¬
точного изображения, то в ней отсутствует полевая диафрагма.
Телескопическая система Галилея может применяться для наблю-
345

денйя удаленных объектов,, в системах переменного увеличения,
в визирах фотоаппаратов и для коллимирования лазерного излу¬
чения. Большой диаметр выходного зрачка (зрачок глаза в су¬
мерках 6 ... 8 мм) позволяет вести наблюдения в условиях недо¬
статочной освещенности.
Достоинством такой трубы является простота конструкции,
меньшая длина по сравнению с длиной аналогичных труб при
Гт < 0, прямое изображение. К недостаткам можно отнести
отсутствие визирного устройства (сетки), непостоянство размера
виньетирования наклонных пучков, вследствие чего труба Гали¬
лея имеет небольшое увеличение и поле.
Габаритный расчет зрительной трубы Галилея выполняется
для системы, заданной тонкими компонентами. На рис. 18.4
отрезок а'р' определяет положение выходного зрачка относи¬
тельно окуляра, а сопряженный с ним отрезок аР — положение
входного зрачка относительно объектива.
Применяя формулы оптического сопряжения для идеальной
системы, можно установить
ар = (гтарг i-d) Гт.	(18.5)
Из (18.5) следует, что входной зрачок будет мнимым и всегда
располагается за телескопической системой. При расчете при¬
нимаем: D' = Drjl, D = £>гЛГт. Угловое поле 2а> зависит от раз¬
мера входного окна. Поскольку виньетирующей диафрагмой ВД
является оправа объектива, а входное окно с ней совпадает,
то диаметр входного окна будет равен световому диаметру оправы
объектива.
В зависимости от степени виньетирования (срезания наклон¬
ного пучка плоскостью входного окна) угловое поле в простран¬
стве предметов рассчитывают по формулам:
при отсутствии виньетирования tg со = (D0б —
—	D)/[2Гг (ар> Гт + d)\;
при 50%-ном виньетировании tg оо == £0б/12Гт (а>'Гт + <2)1;
при 100%-ном виньетировании tg ю = (D0e ~Ь 0)/12Гт (а/>'Гт-Н
+ d)l
346

Здесь Do6 —диаметр объектива; D —диаметр входного зрачка;
а'р' — удаление выходного зрачка от окуляра (в реальной си¬
стеме s'p* ^ 5 мм); Гт — видимое увеличение телескопической
системы; d — расстояние между компонентами, определя¬
ющее длину L трубы Галилея.
При отсутствии виньетирования световой диаметр объектива
будет весьма значительным, поэтому габаритный расчет системы
Галилея выполняют для заданного коэффициента виньетирования.
Зная видимое увеличение Гт трубы Галилея, отрезок аР и диа¬
метр D входного зрачка, угловое поле 2ю, длину трубы L — d,
вычисляют фокусные расстояния объектива f\ и окуляра а за¬
тем по формулам произвольных тангенсов проводят расчет апер¬
турного и полевого пучков и определяют световые диаметры
компонентов.
Телескопическая система Кеплера (см. рис. 18.1) состоит из
положительного объектива и окуляра {f\ > 0, fe > 0) и строит
перевернутое изображение (Гт — —/1//2 <С 0). Такие системы ши¬
роко применяют в геодезии и астрономии. При небольших увели¬
чениях в них можно получить значительное поле и наоборот.
Формула видимого увеличения Гт — tg co'/tg <*> определяет зави¬
симость Гт = ф (со), так как угловое поле 2(о' в пространстве изоб¬
ражения (широкоугольность окуляра) практически величина по¬
стоянная, и ее значение может составлять 40 ... 50°.
Действительное изображение удаленного объекта распола¬
гается в задней фокальной плоскости объектива, совпадающей
с передней фокальной плоскостью окуляра и плоскостью визир¬
ного устройства (сетки). Оправа сетки всегда служит полевой
диафрагмой.
С помощью зрительных труб Кеплера можно измерять малйе
линейные или угловые смещения, визировать на удаленные
объекты, проводить дальномерные определения расстояний, на¬
ходить йревышения различных точек и т. д. Визируя на разно¬
удаленные объекты, приходится изменять фокусировку зритель¬
ной трубы, т. е. перемещать сетку совместно с окуляром таким
образом, чтобы изображение всегда - располагалось в плоскости
сетки. В этом случае телескопичность нарушается. Оптический
интервал особенно большой при наблюдении объектов от беско¬
нечности до расстояния ближнего визирования (1,5 ... 2,0 м).
В этом случае система (Кеплера или Галилея) работает как мало¬
апертурный микроскоп.
Достоинством зрительных труб Кеплера является применение
сетки и отсутствие виньетирования, а недостатком — переверну¬
тое изображение.
Габаритный расчет простейшей зрительной трубы Кеплера,
как и любой системы, состоит в определении световых диаметров
тонких компонентов, расстояний между ними, фокусных рассто¬
яний компонентов на основе технического условия на проектиро¬
вание, в котором приведены значения видимого увеличения Гт,
347

разрешающей способности длины оптической системы L, угло¬
вого поля 2ю, диаметра выходного D' зрачка и его удаления а'р'.
Габаритный расчет следует начинать с согласования разреша¬
ющей способности телескопической системы (4>т — 120"ID) и глаза
(\|>гл в 607ГТ при D' = 2 мм). В этом случае диаметр входного
зрачка, чтобы обеспечить требуемую разрешающую способность,
должен быть равным D — 2ГТ.
Выходной зрачок D'— £>/Гт.
Фокусные расстояния f\ и /£ можно определить из заданных
соотношений
^гт=-/,7й
f;=-rTL/(i-rT);
где L — длина трубы.
Значение fit после вычисления необходимо уточнить с учетом
значения для стандартных окуляров. Угловое поле окуляра
tg со' = Гт tg со. После уточнения /г находят по формуле f\ =
—	—Гт/г.
При заданном удалении выходного зрачка (a'p*) также следует
уточнить значение /2: z'p* = 2р/Г|, где г'р* — удаление выходного
зрачка относительно Fz, zp = f\ — координата входного зрачка
относительно F%. Вследствие аберрации в зрачках отрезок z'p>
будет меньше на А г' — 2 ... 3 мм (при больших 2со'). Следова¬
тельно, z'p• = (zp!T\) — A z.
Зная удаление выходного зрачка s'p't определяют задний
отрезок
Sp, — Sp, (zp/Г^) -f- Az .
По относительному отверстию D/f{f фокусному расстоянию f\
и угловому полю 2(о можно выбрать тип объектива. Хорошее
качество изображения получается, если Dff{ не превышает 1/4.
Тип окуляра выбирают по угловому полю 2а>' и удалению вы¬
ходного зрачка s'p'.
Диаметр полевой диафрагмы находят по формуле Dn —
= 2fi tg со.
Сечение 2m наклонного (полевого) пучка лучей выбирают
в, зависимости от возможной коррекции системы. При малых
относительных отверстиях и угловых полях 2т — Dy при значи¬
тельном поле и относительном отверстии 2т — 0,5D. Световой
диаметр объектива вычисляют обычным способом с учетом поло¬
жения апертурной диафрагмы.
При габаритных расчетах оптических систем, в том числе
и зрительных труб Галилея и Кеплера, удобно пользоваться
формулами произвольных тангенсов. Для апертурного пучка
сЧч-1 = v “h AyCOv» hy+\ ~ hv dyfjv+u
а для полевого пучка
tov+i —	"4“	J/v+i — Уv ““ ^v^v+n
348

где av — угол апертурного луча с оптической осью; hv — высота
падения апертурного луча на тонкий компонент; Qv = l//v —
оптическая сила; dy — расстояние между тонкими компонентами;
o)v — угол полевого луча (верхнего, главного или нижнего)
с оптической осью; уу — высоты соответствующих полевых лучей
на тонких компонентах.
18.5.	ЗРИТЕЛЬНЫЕ ТРУБЫ С ЛИНЗОВЫМИ
И ПРИЗМЕННЫМИ ОБОРАЧИВАЮЩИМИ
СИСТЕМАМИ
В ряде оптических систем (прицелах; панорамах,
биноклях, визирах и т. п.) должно быть прямое изображение. Это
достигается использованием в простейшей трубе Кеплера линзо¬
вых или призменных оборачивающих систем. Линзовые оборачива¬
ющие системы увеличивают габариты и позволяют создавать
трубы значительной длины — перископы, цистоскопы, смотровые
трубки. Призменные оборачивающие системы сокращают размеры
зрительных труб. Применяя для оборачивания изображений
призменные системы, при расчете необходимо учитывать вносимые
ими положительную сферическую аберрацию и хроматизм поло¬
жения. Влиянием остальных аберраций практически можно пре¬
небречь. Призмы в оптической системе несколько компенсируют
астигматизм, хроматическую разность увеличения объектива
и дисторсию окуляра. Призменные оборачивающие системы при¬
меняют в биноклях, стереотрубках, артиллерийских панорамах
и др.
Линзовые оборачивающие системы бывают однокомпонентными
и двухкомпонентными с параллельным ходом лучей между компо¬
нентами. Если оборачивание изображения происходит в масштабе
= —1, то компонент может иметь симметричную конструкцию,
а при р0 — —(0,5; 1,5; 2,0; ...) — конструкцию, близкую к сим¬
метричной.
На рис. 18.5, а представлена труба Кеплера с однокомпонент¬
ной оборачивающей системой, видимое увеличение которой Гт —
= —Робfilfb где Роб = а'21а2.
На рис. 18.5, б показана зрительная труба, второй и третий
элементы которой составляют двухкомпонентную оборачивающую
систему с параллельным ходом лучей между ними. Здесь увели¬
чение Роб = — /з//2-
Если имеется несколько оборачивающих систем, то видимое
увеличение трубы
ГТ = - Роб1 Ров • • • Ы'/4.	(|8-6>
где ft, foK — фокусные расстояния объектива и окуляра * Роб1»
Роб2	po6ft — линейные увеличения оборачивающих систем.
В отдельных случаях в целях уменьшения диаметров последу¬
ющих компонентов в систему включают так называемые коллек-
349

АД,П
а — однокомпонентной; б — двухкомпонентной
тивные линзы, устанавливаемые в плоскостях действительного
изображения (фокальных плоскостях), которые, не меняя опти¬
ческой силы системы, наклоняют полевой пучок к оптической
оси (положительные коллективы).
Некоторые виды призменных оборачивающих систем наблю¬
дательных приборов показаны на рис, 18.6. Для оборачивания
изображения в плоскости, перпендикулярной главному сечению
призм, применяют так называемые «крыши».
Введение призм в оптическую схему трубы Кеплера позволяет
получить заданный угол между осями объектива и окуляра,
обеспечивающий удобство работы наблюдателя и необходимую
компенсацию вращения изображения.
Габаритный расчет призменного монокуляра (зрительной
трубы Кеплера прямого изображения с призмой или системой
призм) подобен габаритному расчету простой трубы. Для удобства
расчета оптическую схему разворачивают по оси (выпрямляют),
призму заменяют эквивалентной плоскопараллельной пластиной,
которую затем приводят к воздуху (редуцируют). Расчет призм
в системе сводится к определению светового диаметра пучка лу¬
чей., который она должна пропустить, и места расположения
призмы относительно объектива или окуляра. При переходе от
редуцированных пластин к эквивалентным следует учитывать
350

удлинение хода луча Д0 = (п — 1) d9H/nr на которое в реальной
системе увеличивается расстояние между поверхностями уста¬
новки.
18.6. ЗРИТЕЛЬНЫЕ ТРУБЫ
С ВНУТРЕННЕЙ ФОКУСИРУЮЩЕЙ ЛИНЗОЙ
ё
Широкое распространение зрительные трубу
с внутренней фокусировкой нашли в современных геодезических
приборах (теодолитах, нивелирах и др.). Объективом такой трубы
чаще всего является двухкомпонентный телеобъектив (рис. 18.7),
состоящий из положительного и отрицательного (фокусирующего)
компонентов. Особенность телеобъектива состоит в том, что
/' > L; /'	а>', где L — длина телеобъектива; /' —* эквива¬
лентное фокусное расстояние (в обычных линзовых объективах
f « a'F' ж L). Двухкомпонентный телеобъектив позволяет при
Рис, 18.7. Двухкомпонентный телеобъектив
351

Рис. 18.8. Перефокусировка зрительной трубы с двухкомпояент
ным телеобъективом
малых габаритных размерах получить большое эквивалентное
фокусное расстояние, следовательно, и большое видимое увели¬
чение.
При расчете телеобъективов вводится понятие его телесокра¬
щения (коэффициента телесокращения) т = Lff. В линзовых
телеобъективах т ^ 0,6, в зеркально-линзовых т 0,2 ... 0,3,
в зеркальных 0,1.
В линзовых телеобъективах вследствие значительных остаточ¬
ных аберраций коэффициент телесокращения менее 0,6 практи¬
чески не бывает, так как чем меньше т, тем короче система, тем
с большим линейным увеличением ра действует фокусирующий
компонент, тем сложнее его конструкции, тем труднее исправить
в системе аберрации.
К достоинствам геодезических труб с двухкомпонентным теле¬
объективом следует отнести малые размеры, достаточную герме¬
тичность, постоянство длины при изменении фокусировки. Не¬
достатками таких труб являются изменение эквивалентного фокус¬
ного расстояния при перефокусировке, изменение видимого увели¬
чения для различных расстояний визирования, малый диапазон
визирных расстояний, ошибки визирования вследствие непра¬
вильного перемещения фокусирующего компонента.
Изменение эквивалентного фокусного расстояния обусловлено
самой конструкцией телеобъектива. Так, для наблюдения объек¬
тов, расположенных на конечном расстоянии, если труба уста¬
новлена на бесконечность (рис. 18.8, а), фокусирующую линзу
необходимо приблизить к окуляру на отрезок Ad (рис. 18.8, б).
В этом случае эквивалентное фокусное расстояние телеобъектива,
определяемое формулой f' —	-f	h — d)t изменится.
352

Так, в теодолите ТБ-1 при визировании на бесконечность
f' = 250 мм, а при визировании на 1,2 м fr — 140 мм.
Перемещение фокусирующей линзы вычисляют по формуле
#
ds = 0,5 [(Z, -f а\) —	(а[ — L) (а[ — L +’4/')],
где а{	—	-f- f{); L — длина телеобъектива;	ft, /2 — фокусные
расстояния первого, и второго (фокусирующего) компонентов;
ai — расстояние визирования (задается).
Теоретически невозможно создать двухкомпонентную систему
с	постоянным	фокусным расстоянием при	перефокусировке
(рис. 18.9). Оптическая сила такой системы
ф =	-f- Л2ф2,	(18.7)
где кг и h2 — высоты падения апертурного луча на тонкий ком¬
понент телеобъектива (/ix — 1). Дифференцируя (18.7) по пере¬
менной /гя и переходя к конечным приращениям, получаем, что
условием создания системы с постоянным эквивалентным фокус¬
ным расстоянием будет АФ = Ф2 A/i2 = 0. Однако выполнить это
условие невозможно, так как Ф2 ф 0 и A/ta Ф 0, ибо, меняя фоку¬
сировку, изменяем приращение Ah2.
Постоянное эквивалентное фокусное расстояние можно полу¬
чить в трехкомпонентных телеобъективах при выполнении опре¬
деленных условий (труба постоянного увеличения В. А. Бели-
цина).
Изучению влияния колебания визирной зрительной трубы
и созданию труб с постоянной линией визирования уделяли вни¬
мание как зарубежные, так и советские ученые. Существующие
и вновь разрабатываемые визирные средства для исключения
погрешностей визирования вследствие перефокусирования могут
быть условно разделены на следующие: визирные трубы с фокуси¬
рующими несиловыми элементами (призмами), создающими пря¬
мую визирную линию; трубы двойного изображения; системы
типа аксикона; системы, действие которых основано на исполь¬
зовании явлений интерференции и дифракции.
Рис. 18.9. К габаритному расчету двух компонентного теле¬
объектива
19 гт
ЛГ	Шл	в
353

Габаритный расчет двухкомпонентного телеобъектива опре¬
деляется либо аналлэтичностью зрительной трубы (проекция
вершины дальномерного треугольника совпадает с вертикальной
осью вращения инструмента), либо расстоянием ближнего визи¬
рования.
В аналлатичной трубе расстояние от первого компонента до
проекции оси вращения прибора на оптическую ось б = 0,5L
+ (15 ... 25) мм. В этом случае при изменении фокусировки
аддитивный член Cs в уравнении дальномера s = kl Cs, где k —
коэффициент дальномера (обычно k = 100); I — отсчет по рейке;
s — расстояние до предмета (от вертикальной оси вращения ин¬
струмента), будет минимальным. Такая труба называется, квази-
аналлатической.
Условие аналлатичности в расчетную практику двухкомпо¬
нентных телеобъективов впервые было предложено профессо¬
ром Б. В. Фефиловым. Оно имеет вид
1/(Фх + 1/6) — d + /' (1 — ёФг) = 0.
При расчете должно быть известно (задано) относительное
отверстие £>//', фокусное расстояние коэффициент телесокра¬
щения т или оптическая длина L, коэффициент аналлатичности б,
угловое поле 2со. Габаритный расчет двухкомпонентного теле¬
объектива удобно проводить в приведенных величинах (/' = 1).
Для определения фокусных расстояний f\ и /2 компонентов и рас-
стояния d между ними необходимо составить три уравнения:
аналлатичности, масштаба и оптической длины телеобъектива:
1/(Фх + 1/6) - d + Г (1 -ЛФг) = 0;
Ф1 + ф2 — ^Ф1Ф2 = 1 ’» L = d + aF„	(18.8)
Решая (13-8), находим L = d (1 — Фх) + 1 = L и определяем
неизвестные Фг, Ф2, d.
Если задано минимальное расстояние визирования ах mln
(остальные данные те же), то принимают а\ min = L/f' — L (либо
[L — (10 ... 15 мм Я//'). На основании формулы Гаусса /' =
= а\ miM(a\ min — I) (при /' = 1X /' = №102 =_/!Р2 (f>2 = Ф0-
Расстояние между компонентами d — f\ (1 — L)/(l — f{). Фо¬
кусное расстояние второго компонента находим из уравнения
масштаба /2 = (f\ —d)/(fi— 1).
Диаметры компонентов определяют путем расчета апертурных
и полевых пучков по формулам параксиальной оптики. Следует
помнить, что при фокусировании на ближнее расстояние второй
компонент перемещается к сетке и в этом случае высоты падения
на него полевых лучей увеличиваются. Для контроля результатов
вычислений /j, /2 и d рекомендуется расчет параксиального луча
через тонкую систему.
354

18.7.	ЗРИТЕЛЬНЫЕ ТРУБЫ
ПЕРЕМЕННОГО УВЕЛИЧЕНИЯ
К телескопическим системам переменного увеличе¬
ния относятся такие системы, которые позволяют изменять мас¬
штаб изображения. Например, для быстрого обнаружения объекта
необходимо иметь трубу небольшого увеличения (до 10х), но
широкоугольную (2ю > 15°), а для подробного изучения обнару¬
женного объекта требуется значительное увеличение (30 ... 50х)
при небольшом поле (2со = 2 ... 5°). При этом увеличение должно
изменяться просто, быстро и надежно.
Из формулы (18.6) следует, что изменение видимого увеличе¬
ния, а следовательно, и углового поля можно достичь с помощью
сменных объективов и окуляров различного фокусного рассто¬
яния или путем изменения увеличения оборачивающих систем.
Наиболее простым способом изменения увеличения зрительной
трубы является способ сменных окуляров, которые можно укрепить
во вращающейся револьверной головке. В геодезических и астро¬
номических приборах такой способ изменения увеличения широко
применяется. Так, некоторые теодолиты снабжены сменными оку¬
лярами с фокусным расстоянием 8; 10; 13,5; 16,7 и 20 мм. Следует
иметь в виду, что смена окуляра вызывает изменение углового
поля и диаметра выходного зрачка.
Способ сменных объективов использован в некоторых кон¬
струкциях перископов и прицелов, но широкого распространения
он не получил, так как при этом значительно изменяется общая
длина прибора.
Наличие линзовой оборачивающей системы позволяет путем
ее перемещения вдоль оси или с помощью сменных включающихся
объективов изменять видимое увеличение зрительной трубы
(рис. 18.10).
Если оборачивающая система находится в положении /, то
общее видимое увеличение зрительной трубы
ГТ1 ~ ~/o6Pl//oK =	^o6a3l/(a3l/ок)*
Переместив компонент ближе к окуляру (положение //),
изменим видимое увеличение
^т2	f06^2/ f ок	f o6a3Il/(й31 I^ok)*
77-
РИС. 18.10. Схема трубы переменного увеличения:
/ — объектив; 2 — коллектив; 8 — оборачивающая система; 4 — полевая
диафрагма; S — окуляр
12*
355

По абсолютному значению аз1 = азп; «31 = язи. Нетрудно
убедиться в том, что pj = 1/р2.
В первом случае видимое увеличение зрительной трубы будет
больше, диаметр выходного зрачка и угловое поле меньше, чем
во втором случае. Отношение Гт1/Гт2 — k называется кратностью
изменения увеличения. При промежуточных положениях оборачи¬
вающего компонента изображения на сетке не будет.
Для изменения увеличения объективы оборачивающей системы
конструктивно могут быть выполнены в виде компонентов, вклю¬
чаемых в основную оптическую схему трубы и выключаемых
из нее.
В отдельных приборах смена увеличения достигается с по¬
мощью вращающейся телескопической системы Галилея, располо¬
женной перед объективом зрительной трубы. Такая насадка может
иметь три фиксированных положения, каждому из которых соот¬
ветствует определенное значение видимого увеличения. При¬
меняя вращающуюся телескопическую насадку для изменения
увеличения, необходимо обеспечивать согласование положения
выходного зрачка насадки с входным зрачком трубы.
Недостатком зрительных труб с дискретным изменением уве¬
личения является то, что при смене увеличения наблюдатель
временно теряет из виду объект. Для непрерывного (плавного)
изменения видимого увеличения используют так называемые
панкрэтические зрительные трубы. Плавное изменение масштаба
изображения в такой трубе достигается применением панкра-
тического объектива, в котором эквивалентное фокусное рассто¬
яние может принять любое значение в диапазоне f'm\n ... ftпах,
или панкрэтической оборачивающей системы с непрерывным
изменением увеличения от pmln до ршах либо панкрэтического
окуляра с аналогичным изменением окулярного увеличения
(а следовательно, и фокусного расстояния) от Гокт1п до Гоктах.
Наибольшее распространение в наблюдательных приборах
получили панкратические оборачивающие системы с плавным
изменением расстояния между компонентами по определенному
закону.
Рассмотрим элементарную теорию двухкомпонентной панкр а-
тической системы (рис. 18.11). Оба компонента положительные;
их оптические силы Фх, Ф2; расстояние dx между ними может
плавно изменяться. Линейное увеличение первого компонента р1г
второго — ра» а всей системы р = РА-
Ниже приведены формулы, позволяющие рассчитывать панкра-
тическую оборачивающую систему:
Гф => — f0($lf0K} Р = 1	fl2®’
ф еа Ф| -j- Фд — £?|Ф|Ф2»	°2 “ 0 — Р —	)/(Ф| -J- Ф2 — ifj®j®2);
0 ~^ф2)/ф; z = *r~v,
356

а'р г = (1 -d,®,)/®; р = -f/г = f’h = 1/(гФ);
0	= — z'/f' = — г'Ф; -у = 1/Э — гФ == CD (ах — ар);
Z=a'2 — aFt; у = ajO + 1 — ^Ф2;
Р — (о-р*	^2)
~ (? — 1 4“ ^i®a)/(®i ~Ь Фа — ^ФгФа)»
L = — at -f- dj -j- a2J
d , = 0,5 {L ± yrZr-4 [I (/; + Q + (I - tsfl'/i/v),
где p — увеличение панкратической оборачивающей системы;
/об, /ок — фокусное расстояние объектива и окуляра (на рис. 18.11
не показаны); Ф = 1 //' —оптическая сила панкратической обо¬
рачивающей системы (величина переменная, зависящая от изме¬
нения d\); Ф] = 1//ь Ф2 = I//2 — оптические силы отдельных
компонентов; ар — передний фокальный отрезок; а'р> — задний
фокальный отрезок; г' — расстояние от заднего фокуса до
осевой точки изображения; z — расстояние от переднего фокуса F
до осевой точки предмета; а% — расстояние от второго компонента
до изображения; ах — расстояние от первого компонента до
предмета; dx — расстояние между компонентами оборачивающей
системы; у — угловое увеличение оборачивающей системы;
L— расстояние между предметом и изображением панкратической
оборачивающей системы (постоянное).
На основании расчетов составляют график движения . линз
панкратической системы и проектируют механизм их переме¬
щения.
Конструктивным недостатком двухкомпонентной панкрати¬
ческой оборачивающей системы является перемещение одного из
компонентов по нелинейному закону. В более сложных панкра-
тических системах можно перемещать компоненты по линейному
закону.
Различают панкратические объективы двух видов: варио¬
объективы и трансфокаторы. Вариообъектив — это объектив,
в котором изменение фокусного расстояния осуществляется за счет
Рис. 18.11. Двухкомпонентная панкратическая оборачивающая
система
357

непрерывного перемещения одного или нескольких компонентов
вдоль оптической оси. Трансфокатор — совокупность афокальной
панкратической насадки, угловое увеличение которой может
непрерывно изменяться в заданных пределах, и объектива с по¬
стоянным фокусным расстоянием.
18.8.	АВТОКОЛЛИМАЦИОННЫЕ ЗРИТЕЛЬНЫЕ
ТРУБЫ
Авто коллимационные зрительные трубы (авто¬
коллиматоры) относятся к телескопическим системам. Они пред¬
ставляют собой комбинацию обычного положительного объектива
(одно- или двухкомпонентного) и окуляра, в котором тем или
иным способом осуществлена подсветка сетки (автоколлимацион-
ные окуляры). Обязательной принадлежностью авто коллиматора
является плоское зеркало, направляющее отраженный от него
поток в объектив.
Автоколлиматор можно использовать как наблюдательную
трубу, коллиматор или одновременно как наблюдательную трубу
и коллиматор. Чувствительность автоколлиматора при измерении
примерно в 2 раза выше, чем у коллиматора с тем же фокусным
расстоянием, так как наклон плоского зеркала на угол ср при¬
водит к удвоенному смещению изображения.
Автоколлиматоры широко применяются в различных кон-
трольно-рстировочных приборах для проверки параллель¬
ности, клиновидности, углов и т. п. Кроме визуальных имеются
автоколлиматоры с фотоэлектрической регистрацией момента точ¬
ного совмещения изображения штриха сетки с центром колеблю¬
щейся щели отсчетного устройства.
Габаритный расчет автоколлиматора аналогичен габаритному
расчету трубы Кеплера.
18.9.	ОБЪЕКТИВЫ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Объективы телескопических систем предназначены
для получения действительного изображения, которое рассматри¬
вается глазом через окуляр. Они характеризуются следующими
параметрами: фокусным расстоянием относительным отвер¬
стием D/fy угловым полем в пространстве предметов 2о, разреша¬
ющей способностью в центре и на краю поля ty", конструктивными
параметрами и остаточными аберрациями.
Угловое поле объективов обычно небольшое. Оно определяется
угловым полем окуляра и видимым увеличением трубы. В гео¬
дезических трубах при увеличении 25 ... 30* поле составляет
1	... 2°, а в других телескопических системах редко превышает
10 ... 15°. Фокусное расстояние составляет 250 ... 500 мм, а иногда
и больше, относительное отверстие 1/5 ... 1/10.
358

В зрительных трубах большого увеличения (свыше 20х) пло¬
щадь сечения пучков, проходящих через объектив, велика, а углы
этих пучков с оптической осью малы, поэтому в объективах нет
необходимости исправлять аберрации полевых пучков, а доста¬
точно исправить сферическую аберрацию, меридиональную кому
(условие синусов), хроматизм положения и по возможности
вторичный спектр. В трубах малого увеличения возникает необ¬
ходимость исправления и полевых аберраций. Остаточные абер¬
рации зрительных труб принято выражать в угловой мере. Чтобы
эти аберрации не вызывали значительного ухудшения изображе¬
ния, их значения не должны превышать Г ... 2'.
Наиболее распространенными объективами телескопических
систем являются двух линзовые склеенные объективы двух видов:
«крон впереди» и «флинт впереди». Первый дает хорошее изобра¬
жение при угловом поле до 6°, а второй позволяет получить
поле до 15° при небольшом относительном отверстии и при допол¬
нительной компенсации аберраций другими компонентами си¬
стемы.
Двухлинзовый несклеенный объектив имеет практически такие
же характеристики, как и склеенный, однако позволяет получить
точно заданное фокусное расстояние путем изменения в неболь¬
ших пределах воздушного промежутка между линзами, что очень
важно в таких системах, как внутрибазные дальномеры, колли¬
маторы и др.
Применяют также и трехлинзовые объективы из двух положи¬
тельных компонентов и четырехлинзовые объективы.- Такие .си¬
стемы имеют повышенные оптические характеристики) и лучшую
аберрационную коррекцию.
В качестве объективов зрительных труб используются двух-
и трехкомпонентные телеобъективы, а также зеркально-линзовые
объективы.
18.10.	ОКУЛЯРЫ ВИЗУАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Окуляр — оптическая система, расположенная не¬
посредственно перед глазрм и предназначенная для рассматрива¬
ния изображения, построенного объективом или объективом
и оборачивающей системой.
Окуляр характеризуется фокусным расстоянием /ок (обычно
10 ... 40 мм) или окулярным увеличением Гок = 250//оК, относи¬
тельным отверстием D'/foK = 1/4 ... 1/15, передним фокальным
отрезком sf, удалением выходного зрачка s'p', углом поля 2со',
конструктивными параметрами и остаточными аберрациями.
Удаление выходного зрачка s'p' колеблется в диапазоне (0,4 ...
0,5) /оК. Если s'p ffoK. ^ 1, то такие окуляры^ называют окуля¬
рами с удаленным зрачком. В зависимости от угла поля 2со' оку¬
ляры бывают следующих типов: с нормальным полем 2а/ < 55°
(в геодезических приборах 2со' «40°); с увеличенным полем 2©' =
= 55 ... 70°; широкоугольные 2(о' > 70°.
359

ж)	J t
Рис. 18.12. Оптические схемы окуляров
В телескопической системе Галилея используют окуляры
с отрицательным фокусным расстоянием, которые, как правило,
рассчитывают совместно с объективом. Для труб Кеплера окуляр
обычно подбирают из каталогов или рассчитывают таким образом,
чтобы его аберрации компенсировали аберрации предыдущей
системы.
Основные типы окуляров, применяемых в зрительных трубах
различного назначения, измерительных приборах и микроскопах,
показаны на рис. 18.12.
Окуляр Рамсдена (рис. 18.12, а). Состоит из двух плоско-
выпуклых линз, обращенных сферическими поверхностями друг
360

к другу. Первая линза — коллективная, вторая — глазная. Хро¬
матизм не исправлен. Полевые аберрации исправлены для угла
2ю' — 30 ... 40°. Удаление выходного зрачка s'p' — (7з ♦” 7*) /ок*
Применяется в визирных микроскопах.
Окуляр Гюйгенса (рис. 18.12, б). Сферические поверхности
двух плосковыпуклых линз, из которых состоит окуляр, обра¬
щены к объективу. Полевая диафрагма (сетка) находится между
линзами. Поле окуляра до 50°. Удаление выходного зрачка s>' =
= 7з/ок. Применяется в визирных микроскопах.'
Окуляр Кельнера (рис. 18.12, в). Представляет собой усовер¬
шенствованную конструкцию окуляра Рамсдена. Второй компо¬
нент (глазная линза) — двухлинзовый склеенный, что позволяет
улучшить аберрационную коррекцию окуляра. Поле 2со' = 40 ...
50°; передний фокальный отрезок sf — —7з/ок; удаление вы¬
ходного зрачка s'p' = 72/ок- Д° последнего времени окуляр
Кельнера широко применяется в биноклях, зрительных трубах
и других оптических приборах.
Симметричный окуляр (рис. 18.12, г). Состоит из одинаковых
двухлинзовых склеенных компонентов, обращенных друг к другу
положительных линз и разделенных небольшим (0,1 ... 0,5 мм)
воздушным промежутком. В пределах угла поля 2со' = 40° хо¬
рошо исправлены аберрации. Передний фокальный отрезок sF
примерно равен удалению выходного зрачка s'p' и составляет
*М'ок- Симметричный окуляр, широко применяется в различных
телескопических приборах.
Ортоскопический окуляр (рис. 18.13, д). Окуляр с хорошо
исправленными аберрациями, особенно дисторсией (4 ... 10%).
Глазная линза такого окуляра одиночная, иногда плосковыпук¬
лая. Первый компонент — трехлинзовый склеенный. Угловое
поле 2а/ — 40°, передний фокальный отрезок Sf = —1Ufo«.\ уда¬
ление выходного зрачка sp' — Vi/ok. Используется преимуще¬
ственно в измерительных приборах и отсчетных микроскопах.
Широкоугольный окуляр Эрфле первого типа (рис. 18.13, е).
Окуляр имеет такие характеристики: угловое поле 2со' = 65°,
в пределах кЬторого исправлены полевые аберрации; передний
фокальный отрезок Sf = —7б/ок; удаление выходного зрачка
s'p' = 7г/ок- В окуляре этого типа коллективная линза одиночная,
а глазная — двухкомпонентная, каждый компонент которой со¬
стоит из двух склеенных линз..
Широкоугольный окуляр Эрфле второго типа (рис. 18.12, ж).
Как и предыдущий окуляр, он состоит из пяти линз. Первый
и третий компоненты — двухлинзовые склеенные, а второй ком¬
понент — однолинзовый. Угловое поле окуляра Эрфле второго
типа 2ю' — 60 ... 65°, передний фокальный отрезок sf = 7б/ок»
удаление выходного зрачка sp* = (7г ••• 3Д)/окт дисторсия на
краю поля 10%. Применяется в наблюдательных приборах.
Окуляр с удаленным зрачком (рис. 18.12, з). Это пятилинзовый
окуляр, первый и второй компоненты которого склеены из двух
361

линз. Угловое поле 2со' = 45°, удаление выходного зрачка Sp* ==
= foKj передний фокальный отрезок sF = —7з/ок« Применяется
при наблюдении в защитных очках.
К специальным окулярам следует отнести сверхширокоуголь-
ные окуляры (2(о' = 70 ... 120°), окуляры с внутренней фокуси¬
ровкой, которые применяют в герметичных приборах, окуляры для
высокоточных геодезических приборов, рассчитанные ГОИ, окуля¬
ры с асферическими поверхностями и автоколлимационные окуляры.
Автоколлимационные окуляры отличаются от обычных нали¬
чием приспособления (призмы, плоскопараллельной пластины
и т. п.) для подсветки сетки.
18.11.	ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ (ПРИМЕРЫ)
I.	Зрительная труба Кеплера должна иметь следующие характе¬
ристики: Гт — —8*; L = 150 мм; 2© = 6°; D' — 4 мм (см. рис. 18.1). Апертур¬
ная диафрагма совпадает с оправой объектива (Da~ D).
1.	Длина оптической системы L = /{ -f- /£ = 150 мм.
2.	Видимое увеличение Гт = —f[Jf2 = tg ©'/tg © = —D/D'. Следовательно,
fi=L-И; /2 = -/;/гт.
3.	Заднее фокусное расстояние объектива и окуляра = 1ГТ/(ГТ— 1) =
= 133,3 мм; Д = — 1/(Гт	— 1) = 16,7 мм.
4; Диаметр входного	зрачка D = Гт£>' = 32	мм.
5.	Угловое поле в пространстве изображения tg ©' == Гт tg © = —0,41926;
ю' = 22,7°; 2©' =■ 45,4°.
6.	Удаление выходного зрачка (от тонкого окуляра) а'р, вычислим по фор*
муле Гаусса. Приняв а= —L= —150 мм, f2 — 16,7 мм, получим а'р, —
= 18,8 мм.
7.	Диаметр полевой	диафрагмы Dn = 2у' = tg	©	=	14,0	мм.
8.	Световой диаметр	тонкого окуляра DOB =	2а'р*	tg	ю'	-f- D'	= 19,7 мм.
9.	Перемещение окуляра для коррекции недостатка зрения наблюдателя
(±5 дптр) Д= ±5 /2*^1000= ±1,4 мм.
10.	Разрешающая способность объектива ij)= 120"/l>.
11.	Разрешающая способность телескопической системы Кеплера совместно
с глазом, если фгл “ 60", я|>т = 60"/ Гт= 7,5".
12.	Относительное отверстие объектива Dlf[ = 1 : 4,2.
13.	Угловое поле 2© = 6°.
Таким требованиям удовлетворяет двухлинзовый склеенный (или несклеен-
ный) объектив. В качестве окуляра можно использовать окуляр Кельнера
(2а>- = 50“,' ^ = 16,7, Гок = 15х).
II.	В приведенном выше примере, чтобы пропустить наклонный пучок без
срезания, световой диаметр окуляра должен быть DOK — 19,7 мм (при f2 — 16,7 мм
и а'р/ = 18,8 мм).
Для уменьшения светового диаметра окуляра в фокальной плоскости F[ (F2)
установим коллективную линзу и определим ее оптическую силу Фк. Примем
удаление выходного зрачка а'Рг — 14 мм (причем минимальное удаление выход¬
ного зрачка в визуальных системах относительно последней поверхности окуляра
не должно быть менее 5 мм) и воспользуемся формулой Фк — Ф* (1 — flpCDi) -j-
-f- Ф3 (1 а'р,Ф3).
Поскольку апертурная диафрагма совпадает с оправой объектива, то удале¬
ние входного зрачка ар = 0; Фх, Ф8 — оптические силы объектива и окуляра;
Фк = 1/133,3 + (1/16,7) (1 — 14/16,7);	= 1/Фк = 58,2 мм.
362

Контрольный расчет нижнего луча позволяет определить световой диаметр
окуляра, который составит DCB = 15,7 мм.
Если принять удаление выходного зрачка а'р, — 10 мм, то f^= 31,7 мм,
а ^ок ~ 12,4 мм. Применяя в системе положительные коллективы, можно умень¬
шить отрезок а'р, (s^>/), а с помощью отрицательных коллективов можно его уве¬
личить .
III.	Зрительная труба Галилея имеет отрицательный окуляр и в отличие от
трубы Кеплера строит прямое изображение. Необходимо выполнить расчет трубы
Галилея, у которой Гт = 5^, 2оо = 2°, диаметр выходного зрачка D* — 4 мм,
его удаление а'р, = 10 мм, длина L = 80 мм (см. рис. 18.4).
1.	Фокусные расстояния объектива /[ и окуляра f'2 соответственно равны:
f{ = ГТ1/(ГТ — 1) = 100 мм; /2 = М1 — Гт) = —20 мм.
2.	Диаметр входного зрачка D — T7D' — 20 мм.
3.	Относительное отверстие объектива D/f[ =1:5, угловое поле 2© = 2°*
В качестве объектива можно использовать двухлинзовый склеенный объек*
тив.
4.	Удаление входного зрачка ар находят по известному удалению выход¬
ного зрачка а'Рг = 10 мм. Пользуясь формулой Гаусса (уравнением в отрезках
на оптической оси), рассчитываем ход через систему луча в обратном направле¬
нии (входная координата ар = —10, а выходная а'р = —ар определит положе¬
ние входного зрачка относительно тонкого объектива). Удаление ар — 650 мм.
Для нахождения ар можно также воспользоваться формулой ар = Гт X
X (а'р,Тт + L) = 650 мм.
5.	Угловое поле окуляра tg to' — Гт tg ю = 0,0872755; со' = 5°; 2со' = 10°.
6.	Световой диаметр объектива определим из условия, что его оправа яв¬
ляется виньетирующей диафрагмой. Угловое поле в пространстве предметов
2ю — угол, под которым из центра входного зрачка наблюдается входное окно.
Тогда £>об = 2ар tg © = 22,7 мм.
Этот диаметр получен при.50 %-ном виньетировании. Если в системе винь¬
етирование не допускается, то световой диаметр объектива должен быть увеличен
на диаметр входного зрачка'D (22,7 + 20 мм).
7.	Диаметр окуляра определим как диаметр глазной линзы по формуле DOK=
—	2m'	2а'р, tg ш'. При ka = 0,5 диаметр зрачка глаза принимаем 2т' =2 мм,
тогда £>ок =2+2* 10-tg 5° = 3,8 мм.
(Практически диаметр окуляра принимают в Гт раз меньше диаметра объ¬
ектива: D0K = D0q/Tt = 4,5 мм).
IV.	Рассчитать объектив зрительной трубы с внутренней фокусировкой.
Методика расчета двухкомпонентных1 телеобъективов определяется исходными
условиями: либо задается расстояние ближнего визирования Яцпт» либо должно
быть выполнено условие аналлатичности. Расстояние ближнего визирования
aimtn = —1,5 м (—1500 мм); /' = 250 мм; D/f' = 1 : 6,3; 2со = 2°; L = 150 мм.
Схема телеобъектива представлена на рис. 18.7. В этом случае фокусирующий
компонент переместится в крайнее правое положение, а выходная координата
°1тах ^ Обычно принимают ajmax = L — (10 ... 15 мм) = L.
1.	Пусть L= 150— 10= 140 мм. Зная вщип и L, пользуясь формулой
Гаусса, найдем фокусное расстояние положительного компонента =
(aimin — L) — 128,05 мм.
2.	Определим расстояние d0 между тонкими компонентами: hi/h2 = f'l(L —
—do) — fiKfx — d0). Откуда d0 = (/' — L) /{/(/' — f[); d0 = 105 мм.
3.	Оптическая сила двухкомпонентной системы определяется .формулой
Ф1 + Ф2_^0Ф1Ф2 = Ф; 0!=l/f{; Ф2 = 1/fi; Ф = l/f'.
По известным Ф1?Ф и найдем Ф2:Ф2 = (Ф —Ф1УО — ^оФО = —0,01211627
/2 = 1/Ф2 = —47,25 мм.	*
363

4.	Световой диаметр первого компонента D1 — 25 + 2ар tg ю. Примем, что
входной зрачок совпадает с оправой (ор— 0),и по известному относительному
отверстию найдем = f’16,3 = 39,7 мм.
5.	Световой диаметр фокусирующего компонента получим путем расчета
верхнего луча по формуле произвольных тангенсов: g/iB — 19,85; tg о)1в—
tg(—1°) — —0,0174551;	®2в~	*^1в	Н~~	Уъ\	=	0,137562;	у%в = y-щ ^о^гв =
== 5,41 мм.
Световой диаметр D2 = 2г/2в = 10,82 мм.
6.	Размер полевой диафрагмы найдем путем расчета главного луча: Дп —
= 8,7 мм.
7.	Перемещение фокусирующего компонента при визировании от аг = —°°
Д° °imin составит Ad= ds —d0, где^ = 0,5[а{ + L — У{a\ — L) (a\ — L + Щ)]\
a[— 140 mm; L— 150 мм; f'2 = —47,25 мм; ds = 122,7 мм.
Расход фокусировки Ad = d8—dQ = 17,7 мм. Следует иметь в виду, что
иногда габаритный расчет телеобъектива выполняют в приведенных величи¬
нах (/' = 1).
ГЛАВА 19. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МИКРОСКОПА
Микроскоп служит для наблюдения малых предметов
и микропроцессов, а также для микрофотографии и кинемато¬
графии.
19.1.	ЛУПА И ЕЕ ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Лупой называется положительная линза или си¬
стема линз, предназначенная для визуального наблюдения за
предметом, расположенным близ передней фокальной плоскости
этой линзы или системы линз. Оптическими характеристиками
лупы являются видимое увеличение Г0 и линейное поле 2у.
Увеличение лупы. Ход лучей в лупе показан на рис. 19.1.
Объект АВ расположен близ переднего фокуса F. При этом наблю¬
датель, входной зрачок
глаза которого находится
за задним фокусом/7', ви¬
дит прямое мнимое увели¬
ченное изображение А'В'.
Под видимым увеличе¬
нием лупы понимают отно¬
шение тангенса угла (o',
под которым видно изо¬
бражение через лупу
(рис. 19.1, а), к тангенсу
угла ю, под которым виден
предмет, помещенный на
расстоянии лучшего виде¬
ния Li=250мм (рис. 19 1,6),
т. е.
Рис. 19.1. Ход лучей в лупе	Г0	—	tg	oo/tg	<й.	(19.1)
364
Ч.

Из рис. 19.1 находим tg со' = —у'/Ь2, по формуле увеличения
у' = —yzl/fn, где г\ = U + г'ГЛу тогда tg ю = —(у If к) (1 + z™/L2).
Кроме того, tg со — —y/Lly где Lx — 250 мм, тогда
Га => ^ ю'Лй ® = - (Li/Q С1 + hJL2).	(19.2)
Практически условия применения лупы могут быть различ¬
ными. Если 2гл = 0, т. е. зрачок глаза расположен в заднем
фокусе, то
ro — V/л-	'	(19-3)
*
Если La = оо, т. е. предмет помещен в переднем фокусе, изоб¬
ражение лежит в бесконечности, глаз работает без аккомодации,
то получаем также формулу (19.3). Поскольку Ьг — L = 250 мм,
увеличение лупы
*ов 250/4	(19.4)
Если глаз при работе с лупой аккомодирован на расстояние
Z,2 = Lx = 250 мм и расположен рядом с линзой, т. е. —г™ =
= /л, то формула (19.3) принимает вид
Т=Т0 + 1.	(19.5)
Из формул (19.4) и (19.5) следует, что увеличение лупы обратно
пропорционально ее фокусному расстоянию.
19.2.	РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СИСТЕМЫ
ЛУПА — ГЛАЗ
Если угловая разрешающая способность глаза равна
-ф, то его линейная разрешающая способность (см. рис. 19.1)
будет 6 =	Приняв	L2 равным расстоянию наилучшего
видения L, получим линейную разрешающую способность си¬
стемы лупа — глаз
6 = Lx|>гл/Г0 = 0,0727/Г0,	(19.6)
где L = 250 мм; г|?гл = Г; Г0 — увеличение лупы.
Пример 19.1. Определить видимое увеличение лупы и линейную разрешаю¬
щую способность системы лупа—глаз. Фокусное расстояние лупы f'n — 50 мм.
Разрешающая способность глаза = Г.	__
Решение. 1. По формуле (19.4) вычислим видимое увеличение Г0 = Llfa =
= 250/50 = 5х.
2.	По формуле (19.6) находим линейную разрешающую способность б =
—	^д^д/Го — 0,015 мм.
19.3.	ОГРАНИЧЕНИЕ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ
И ЛИНЕЙНОЕ ПОЛЕ ЛУПЫ
Вопрос о поле лупы и об ограничении пучков в ней
решают при рассмотрении действия лупы совместно с глазом.
В системе лупа — глаз выходным зрачком является зрачок глаза.
Выходной зрачок системы — это изображение зрачка глаза через
365

Рис. 19.2. Ограничение пучков в лупе
лупу. Поле лупы ограничивается диаметром ее оправы, которая
служит виньетирующей диафрагмой и входным окном системы.
Рассмотрим лупу как тонкую систему диаметром Dn
(рис. 19.2). Предметная плоскость располагается вблизи переднего
фокуса F лупы. Зрачок глаза DrjI является выходным зрачком
системы и располагается на расстоянии &Р' от лупы.
Проведя три направления из центра Р' выходного зрачка
через край входного окна, получим три зоны освещенности изоб¬
ражения предмета. Зона 0'1' изображается пучками, заполня¬
ющими весь зрачок глаза. Часть изображения в пределах зоны
/'—2' проецируется пучками, заполняющими половину площади
зрачка, и. крайняя часть изображения 2'—3' проецируется пуч¬
ками, заполняющими менее половины площади зрачка. Таким
образом, крайняя точка зоны 2'—3' практически не освещена,
и поле лупы не имеет резкой границы — изображение виньети¬
ровано.
Условно принято, что половина поля лупы определяется
зоной 0'—2' (в плоскости предмета 0—2), которая содержит
главный луч системы. Как следует из рис. 19.2, угловой размер
поля
tg ш' = Dj(2sp,).	(19.7)
Угловые размеры зон, ограниченных лучами, исходящими из
точек 1 и 3 предмета, tg щ = (D„ —£>™)/(2sp'); tg со' = (Da +
+ Dr„)/(2sp')1 где s'p' — расстояние между глазом и лупой.
Линейное поле лупы
2 у&— 2/л tg со 2 fn tg ю\	(19:8)
Из формулы (19.8) следует, что поле лупы зависит от поло¬
жения глаза. Если s'p' = f'n, то линейное поле 2у — Dn\ если
s'p' > /л, то 2у < D„; если sP* < /л, то 2у > Ол.
366

В лупу следует рассматривать хорошо освещаемые предметы,
так как при этом становится меньшим диаметр зрачка глаза,
углы ©I и <*>з приближаются к со' и виньетирование на краю поля
уменьшается.
19.4.	ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЛУП
Лупа малого увеличения — простая неахроматическая
линза (рис. 19.3, а), обычно плосковыпуклая, плоской стороной
обращенная к глазу. Увеличение этих луп не превышает 7х,
поле — до 1/5 фокусного расстояния.
Вследствие большого фокусного расстояния линзы и малого
диаметра зрачка глаза остаточные аберрации лупы мало влияют
на качество изображения. Заметно только влияние астигматизма
и дисторсии. В связи с этим применяют анастигматические про¬
стые лупы, представляющие собой положительные мениски, кото¬
рые рассчитывают подобно очковым линзам (см. гл. 17).
Лупа из двух несклеенных линз (рис. 19.3, б) состоит из двух
плосковыпуклых элементов. Все аберрации, кроме хроматической,
в значительной степени устранены, поэтому изображение имеет
хорошее качество по всему полю. Увеличение достигает 15х,
поле — до 1/3 фокусного расстояния.
Апланатическая лупа (рис. 19.3, в) состоит из трех склеенных
линз. Благодаря симметрии в системе отсутствуют аберрации
наклонных пучков, а также устранены сферическая аберрация
и хроматическая разность увеличений. Увеличение 6... 15х,
угловое поле до 20°.
Анастигматические лупы (рис. 19.3, г) являются четырех¬
линзовыми системами, дающими наиболее совершенное изобра¬
жение при увеличении 10х... 40х. В системе устранены все осевые
и внеосевые аберрации.
Телескопическая лупа (рис. 19.3, 5) представляет собой зри¬
тельную трубу — обычно половину оптической системы бинокля
Рис. 19.3. Оптические системы луп
367

с насадкой Я. Объект АВ располагается в передней фокальной
плоскости насадки Н. Между насадкой и объективом Об бинокля
идет параллельный пучок лучей. Промежуточное изображение
А'В' объекта строится в фокусе объектива близ передней фокаль¬
ной плоскости окуляра Ок. Изображение мнимое, рассматри¬
вается глазом с расстояния наилучшего видения.
Увеличение в плоскости промежуточного изображения А'В'
определяется уравнением
Рц.ов=—£>«//«•	(19-9)
Общее увеличение системы телескопической лупы в плоскости
изображения А"В" будет
Го = Рн. обГок = -250/;б/(/н4с).
Лупы конструктивно оформляются в виде складных конструк¬
ций с увеличением до 4х; штативных луп, служащих для рас¬
сматривания фотоснимков и карт мелкого масштаба (Г0 = 1,5х ...
8х); просмотровых луп, предназначенных для просмотра
кинопленки с увеличением 5х и полем, обеспечивающим рассматри¬
вание снимка форматом 24x36 мм; измерительных луп для опре¬
деления размеров плоских предметов, для чего в фокальной
плоскости лупы размещается стеклянная пластина со шкалой
(Г0 = 10х); текстильных луп для обнаружения дефектов тканей
(Г0 = 4х и 7х); зерновых луп для определения качества зерна
(Г0 = 4х) и др.
19.5.	ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
МИКРОСКОПА
Микроскоп предназначен для наблюдения и измере¬
ния мельчайших предметов с увеличением значительно большим,
чем дает лупа, и соответственно большей разрешающей способ¬
ностью.
Оптическая система микроскопа состоит из двух сложных
систем: объектива и окуляра. На рис. 19.4 схематически пред¬
ставлен ход лучей в микроскопе.
Объектив Об строит увеличенное действительное промежуточ¬
ное изображение А'В' объекта АВ (рис. 19.4, а) вблизи передней
фокальной плоскости окуляра Ок. Это изображение рассматри¬
вается глазом через окуляр, причем в зависимости от положения
промежуточного изображения относительно фокуса F0K изобра¬
жение проецируется либо на бесконечность (если АВ совпадает
с FOK)r либо на расстояние наилучшего видения наблюдателя
(если А'В' находится за фокусом F0к).
Отрезок А (рис. 19.5, б) называется оптическим интервалом
микроскопа или оптической длиной тубуса микроскопа. Как изве-
368

Рис. 19.4. Ход лучей в микроскопе
стно, для системы из двух компонентов в воздухе заднее фокусное
расстояние микроскопа
09.11)
и его переднее фокусное расстояние
/==/об/ок/А.	(19.12)
Положение фокусов f и /' микроскопа может быть определено
по формулам
гР = !об1'об/А- ZF’ = /ок/ок/Д-	(1913>
Оптическая длина Д тубуса для каждого объектива зависит
от его фокусного расстояния и имеет значение в диапазоне 160 ...
200 мм. Чтобы выдержать эти значения, объективы при их
установке в прибор фиксируют посредством опорной поверх¬
ности тубуса со стороны объектива, при этом оправа окуляра
базируется на второй торец тубуса микроскопа. Расстояние от
нижнего до верхнего опорного торца тубуса называется механи¬
ческой длиной тубуса.
В СССР стандартизированы две длины тубуса: 160 мм для
микроскопов с диоптрической осветительной системой со стороны
объекта и 190 мм для микроскопов с зеркальной осветительной
системой со стороны окуляра (опак-иллюминатор).
В плоскости действительного промежуточного изображения
микроскопа устанавливается полевая диафрагма ПД. Изображе-
369

ние этой диафрагмы, даваемое объективом, находится в плоскости
объекта.
В ряде случаев в микроскопах в плоскости промежуточного
изображения помещается плоскопараллельная пластина со шка¬
лой или перекрестием, служащими для наведения на объект и его
измерения.
19.6.	УВЕЛИЧЕНИЕ МИКРОСКОПА
Так же как и для лупы, под видимым увеличением
микроскопа понимают отношение тангенса угла со', под которым
видно изображение через микроскоп (см. рис. 19.1, а), к тангенсу
угла оо, под которым виден предмет, помещенный на расстоянии
лучшего видения L = 250 мм (см. рис. 19.1, б). Видимое увели¬
чение микроскопа равно произведению увеличения объектива на
увеличение окуляра:
Г = РобГок.	(19.14)
Разделение оптической системы микроскопа на две самосто¬
ятельные части [см. формулу (19.14)] дает возможность изменять
увеличение микроскопа в больших пределах, применяя различные
объективы и окуляры. Если изображение А'В' лежит в плоско¬
сти т. е. на расстоянии А от заднего фокуса объектива Fx
(;г\ = А), то
Роб=-А//;б.	(19.15)
При рассмотрении изображения А'В' через окуляр прини¬
маем, что
=	=	250/С-	<19Л6>
Общее увеличение всего микроскопа
Г = - 250Д/(/;б/;к).	(19.17)
С учетом формулы (19.4) получаем
Г = 250//',	(19.18)
где /' —фокусное расстояние всего микроскопа.
Световой поток, проходящий через поверхность предмета и
попадающий в объектив микроскопа,
a> = /jxsmaaA,	(19.19)
где I — сила света; 0а — апертурный угол объектива в простран¬
стве предметов.
Если между фронтальной линзой микроскопа ФЛМ и покров¬
ным стеклом ПС (т. е. в пространстве, в котором на предметном
стекле ПрС расположен предмет Пр) находится иммерсионная
жидкость	ИЖ	с	показателем преломления	п'	(левая	часть
рис. 19.5),	то	апертурный угол в среде будет	равен	сгд,	тогда как
в воздухе (правая часть рис. 19.5) он равен оА.
Для объектива в воздухе (п — 1) его числовая апертура А =
= sin <тА. При наличии иммерсии А — n sin о'А.
370

Таким образом, применени
иммерсионной жидкости позво¬
ляет повысить числовую апер¬
туру {оА > 0А), т. е. увеличить
светосилу и разрешающую спо¬
собность микроскопа.
С учетом применения иммер¬
сионной жидкости формулу
(19.19)	можно представить в
виде
иж
пс^
прс- z.
Ф — /я (я sin а'Ау — /яЛй.
Рис. 19.5. Апертурный угол объектива
в воздухе и в иммерсионной жидкости
(19,20)
Если площадь предмета обозначить Аи то площадь изображе¬
ния будет
где Роб — увеличение объектива микроскопа.
В случае безаберрадионного объектива потерь в нем нет и
Ф — Ф', где Ф' — поток на выходе системы объектива. На основа¬
нии (19.20) с учетом того, что / = LAlt где L — яркость предмета,
получим пЬАг (n sin а)2 = %LA% (n' sin о')2, т. е. (n sin а)У(п X
X sin о'У = Л2/Лх = Роб, откуда
т. е. мы пришли к условию синусов, выполнение которого обяза¬
тельно для объективов микроскопов. Это условие может быть
записано также в следующей форме:
где А — апертура объектива в пространстве предметов; А' —
апертура объектива в пространстве изображений; роб — линейное
увеличение объектива микроскопа.
Закон синусов должен быть также соблюден во всей системе
микроскопа. Если глаз аккомодирован на бесконечность, то
у”Iу = Г = робГок — n sin оГ0К /(л' sin <х'). Поскольку ri = 1
и угол о' мал, то, принимая во внимание, что к sin о = А, полу¬
чим Г — — А/о'.
Если принять, что глаз аккомодирован на бесконечность и
промежуточное изображение находится в первой фокальной
плоскости окуляра FOK (см. рис, 19.4), то получим 0ок = £>7СУок),
где D' — диаметр выходного зрачка микроскопа. Принимая во
внимание (19.18), окончательно находим
(19.21)
n sin of(n* sin а') = Р0б = const,
А = РобА',
(19.22)
Г = 500A/D'.
(19.23)
371

19.7.	ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ В СИСТЕМЕ
МИКРОСКОПА
В микроскопах с простыми объективами их входными
и выходными зрачками, а также апертурной диафрагмой является
оправа объектива. В сложных объективах апертурной диафрагмой
служит одна из последних линз объектива или специальная
диафрагма, устанавливаемая между последней линзой и задним
фокусом объектива (см. рис. 19.4). Входным зрачком объектива
и микроскопа в этом случае будет мнимое изображение диафрагмы
(или оправы), даваемое объективом. Выходной зрачок объектива
является входным зрачком окуляра, а следовательно, выходным
зрачком всего микроскопа будет служить изображение выходного
зрачка объектива, даваемое окуляром (см. рис. 19.4).
Определим геометрические размеры и положение выходного
зрачка микроскопа. Выходной зрачок объектива (см. рис. 19.4, б)
практически совпадает с его задней фокальной плоскостью, а
выходной зрачок микроскопа является изображением выходного
зрачка объектива. В соответствии с формулой Ньютона положение
выходного зрачка определяется отрезком
2Р'=/окМ-	(19.24)
Диаметр выходного зрачка микроскопа находят по формуле
(19.20).
D' = — 500Л/Г •	(19.25)
Выходной зрачок микроскопа расположен близко к его заднему
фокусу и наблюдается в виде светлого кружка, с которым совме¬
щается зрачок глаза при наблюдении в микроскоп, причем выход¬
ной зрачок микроскопа с большим увеличением обычно бывает
меньше зрачка глаза наблюдателя, поэтому последний не оказы¬
вает влияния на ограничение пучков в микроскопе. Для микро¬
скопов малого увеличения размеры зрачка глаза могут быть
равны и меньше размеров выходного зрачка микроскопа. В этом
случае глаз оказывает влияние на ограничение пучков в микро¬
скопе.
Если диаметр выходного зрачка микроскопа равен диаметру
зрачка глаза наблюдателя, то субъективная яркость изображения
в глазу будет наибольшей. Видимое увеличение в этом случае
называется нормальным увеличением микроскопа. Согласно (19.25)
Гн= — 500А/£>ГЛ.	(19.26)
Как указывалось, оптическая система микроскопа снабжена
полевой диафрагмой, устанавливаемой в передней фокальной
плоскости окуляра. Изображение полевой диафрагмы в простран¬
стве предметов является входным окном, которое совпадает с
плоскостью предмета. Изображение полевой диафрагмы в прост¬
ранстве изображений служит выходным окном.
372

^ «е-
Рис. 19.6. Глубина изображения в микроскопе
Линейное поле микроскопа часто ограничивается кругом,
изображение которого заполняет полевую диафрагму, т. е. поле
микроскопа
2У = °пд/Роб.	(19.27)
где £>Пд— диаметр полевой диафрагмы.
$
19.8.	ГЛУБИНА РЕЗКО ИЗОБРАЖАЕМОГО
ПРОСТРАНСТВА В МИКРОСКОПЕ
Как и в лупе, глубина резко изображаемого прост-%
рэнства в микроскопе состоит из аккомодационной, геометрической
и волновой глубин.
Аккомодационная глубина в микроскопе определяется по
формуле
Aza = 250/Г2.	(19.28)
При фокусировке микроскопа на некоторую плоскость резко
изображается не только эта плоскость, но и пространство перед
ней и за ней. Расстояние между двумя крайними положениями
плоскостей перед плоскостью наведения и сзади нее, для которых
изображения могут считаться удовлетворительными, называется
геометрической глубиной изображаемого ДгГ пространства. На
рис. 19.6 пучок лучей, опирающийся на выходной зрачок
дает кружок рассеяния 2у' в плоскости Q". Из рис. 19.6 следует
2у' — 2dz tg от', где tg сг' = (D'j2) {z + dz + z'p*), Пренебрегая
dz' и z'pг как малыми величинами, получаем
2у' — Df dz'/z':	(19,29)
#
Диаметр кружка рассеяния 2у' виден глазом из.центра выход-
ного зрачка под углом -фгл* тогда 2у'— (z'P- — z ) г|)гл « —г\|)гл.
Из рис. 19.6 получим
dz' = —■(19.30)
Переходя к	пространству объектов и	учитывая,	что продольное
увеличение	а0	—	dz'/dz	— —Ро///» на	основании	соотношений
373

гг' = //'; f'/f = —n'fn; D = —2f'n sin о — —f А и формулы Г =
—	250//' получаем
Дгг = 2 dz = 250пч|)гл/(ГА).	(19.31)
Здесь 2dz — глубина изображаемого пространства; п — пока¬
затель преломления иммерсионной жидкости. При этом предпо¬
лагается, что плоскость Q' может занимать положение по обе сто¬
роны от плоскости изображения.
Волновая глубина определяется выражением
Дгв = У(2Л2).	(19.32)
Полная глубина резко изображаемого пространства
Az = Дга -j- Azr -f- Дгв.	(19.33)
При наблюдении грубых объектов в формуле (19.33) волновую
глубину можно не учитывать, так как она слишком мала. При
максимальном использовании увеличения микроскопа допустимое
снижение качества изображения определяется в основном волновой
аберрацией дефокусировки. Если в микроскопе применяется
окуляр с сеткой, то аккомодационная глубина равна нулю, так
как глаз аккомодирован на расстояние, определяемое положением
сетки.
19.9.	РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
И ПОЛЕЗНОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ МИКРОСКОПА
Разрешающая способность зрительной трубы, как
было показано ранее, определяется дифракционными явлениями
во входном зрачке объектива трубы. При построении изображения
в микроскопе его входной зрачок находртся на бесконечности и
апертурный угол обычно велик, поэтому дифракционные явления
во входном зрачке микроскопа не влияют на его разрешающую
способность. Однако микрообъект, рассматриваемый в микроскоп,
дифрагирует с вет, освещающий его, и действует как дифракцион¬
ная решетка. Это явление применительно к микроскопиче¬
ской системе рассмотрел Аббе.
Дифракционная решетка
(рис. 19.7) освещается наклонным
параллельным пучком лучей.
Свет, дифрагированный решеткой
в точке М, распадается на ряд
параллельных пучков МЛ0, МАЪ
МА2 ... лучей. Пучок МЛ0, про¬
шедший прямо, называется нуле¬
вым; отклоненные в обе стороны
пучки называются лучами
1,	2, 3-го, ... и —1, —2, —3-го,...
порядков. Из физической оптики
известно, что
Рис. 19.7. Схема действия дифрак¬
ционной решетки
sin ог — sin Ok — kX/(nd)f (19.34)
374

Рис. 19.8. Схема расположения первичных изображений в микроскопе:
А0 — изображение источника света, соответствующее нулевому порядку; Аи Л*. ...
и А-и Д_», ... — изображения, соответствующие порядкам 1, 2, ... в —1, —2, ...
где k — порядок дифрагированного пучка; п — показатель пре¬
ломления среды, в которой находится решетка; d — период
решетки; % — длина волны света.
Если рассмотреть работу микроскопа совместно с осветительной
системой, то оказывается, что изображение источника света полу¬
чается около апертурной диафрагмы микроскопа; причем вслед¬
ствие дифракции, вызываемой решеткой (предметом), образуется
не одно, а ряд изображений источника света, которые разложены
в спектры (рис. 19.8, а).
Дифракционная картина, которая образуется у апертурной
диафрагмы, называется первичным изображением предмета и не
похожа на него, но несет в себе информацию о предмете. В даль¬
нейшем свет от источников А1у А2, ... интерферирует в плоскости
полевой диафграмы и создает окончательное вторичное изобра¬
жение предмета, рассматриваемое через окуляр.
При уменьшении периода решетки d [см. (19.34) ] или, что
то же самое, при уменьшении структуры объекта, углы дифраги¬
рованных лучей увеличиваются и может создаться такое положе¬
ние, при котором первичное изображение источника света, исполь¬
зуемого для освещения рассматриваемого предмета, выйдет за пре¬
делы апертурной диафрагмы микроскопа и вместо вторичного
изображения предмета, передающего его структуру, будет видна
поверхность, равномерно освещенная лучами нулевого порядка
источника света. Это положение соответствует пределу разрешения
системы микроскопа.
Следует рассмотреть два возможных хода лучей, освещающих
предмет: прямое и косое освещение. При прямом освещении
375

(рис. 19.8, б) изображение источника в пучке нулевого порядка
возникает	в	центре апертурной диафрагмы.	При	предельном раз¬
решении	у	краев	апертурной диафрагмы	находятся	половины
спектров 1-гои—1-го порядков. При этом угол (^дифрагированного
пучка —1-го порядка должен быть равен апертурному углу микро¬
скопа аА, т. е. в этом случае а0 = 0, k = —1, а_х = аА, и формула
(19.30) приобретает вид
sinoA=X/(nd),	(19.35)
откуда период решетки, находящейся на пределе разрешения,
d=\/A.	(19.36)
При косом освещении (рис. 19.8, в) угол наклона лучей сг0 равен
апертурному углу микроскопа аА. Изображение источника света
в нулевом пучке находится на краю апертурной диафрагмы, а
изображение 1-го порядка по условию предела разрешения —
на другом краю апертурной диафрагмы, поэтому на основании
(19.35)	а0 =	<rA,	k	—	1	и	аА = аА*,	тогда	2 sin	сгА	= X/ (rid),
откуда	период	решетки в воздухе, находящейся	на	пределе раз¬
решения, будет
d = X/(2A).	(19,37)
Поскольку предмет освещается как прямыми, так и косыми пуч¬
ками лучей, для определения разрешающей способности микро¬
скопа применяем формулу (19.37). В пространстве изображений
получим
d' = ЯГ/(2Л).	(19.38)
Чтобы отрезок d был резко виден, его размер должен соответ¬
ствовать углу удобной различимости г|?гл, который принимают
равным 2. ..4', При этом, если изображение рассматривается глазом
на расстоянии лучшего видения (250 мм), то линейный размер,
соответствующий углу удобной различимости, будет равен 2 X
X 250 sin Г и 4*250 sin Г. Таким образом, может быть записано
следующее неравенство:
2	-250 sin Г < МУ(2Л) < 4.250 sin 1'.
Принимая X = 550 нм, получим, что увеличение Гп и апертура
микроскопа связаны неравенством
500А < Гп < 1000А.	(19.39)
Увеличение Гп, удовлетворяющее равенству (19.39), называется
полезным увеличением микроскопа.
Формула (19.39) не относится к микропроекции и микрофото¬
графии, поскольку при рассмотрении изображений на экране
зрачок глаза не ограничивается выходным зрачком микроскопа
и разрешающая	способность глаза может	быть	принята равной Г,
а для	измерительных	(отсчетных) микроскопов	даже	30".	Тогда
Гп <250Л.	(19.40)
376

В коротковолновой области полезное увеличение микроскопа
возрастает.
Пример 19.2. Произвести габаритный расчет микроскопа, работающего
без иммерсии, увеличение которого Г = —200х, линейное поле окуляра с сет¬
кой Dn ~ И мм.
Решение. 1. Выбираем окуляр типа Гюйгенса, для которого 2у' = 14 мм,
f'OK — 24,8 мм, sF — 10,2 мм, s'F, === 5,6 мм.
2.	Найдем увеличение окуляра Гок по формуле (19.16): Гок = 250//qK = 10х.
3.	Определим увеличение объектива по формуле (19.15): 0об = Г/Гок = 20х*
4.	Принимаем объектив ОМ-27 (5об = 20х, А = 0,40,	} = 8,40 мм, рабо¬
чее расстояние s = —1,70 мм.
5.	По формуле (19.39) проверяем, является ли увеличение микроскопа по¬
лезным: 500А < Гп < Ю00А. Получаем 200А < Гп < 400А.
Таким образом, увеличение микроскопа находится на пределе полезного,
однако переход к следующему объективу, который имеет Г — 40х, конструктивно
невозможен.
6.	Рассчитаем линейное поле объектива по формуле (19.27): 2у — Dп/Роб =
—	0,7 мм.
7.	Найдем диаметр выходного зрачка микроскопа по формуле (19.23): D' =
= —2LA.iT = 1 мм.
8.	Определим оптическую длину тубуса по формуле (19.14): А = —Р0б/об =
= 168 мм.
9.	Контроль: находим увеличение микроскопа по формуле (19.17): Г =
= —250Д/(/об/оК) = 201,6х и принимаем его как допустимое.
10.	Определим положение выходного зрачка микроскопа'по формуле (19.24):
Zpr — f0K/A = 3,7 мм.
11.	Рассчитаем апертурный угол в пространстве предметов по формуле
sin о = А/л = А = 0,4, тогда а’= arcsin 0,4 = 23,5°.
12.	Определим диаметр выходного зрачка объектива микроскопа:	=
= D ID =Zp,/fQK, откуда D = —Df’OKjz’p, =6,7 мм.
13.	Найдем световой диаметр фронтальной линзы объектива DCB = 2s tg о =
= 1,36 мм.
14.	Вычислим глубину резко изображаемого пространства по формуле
(19.33): Лг = 250/Га 250л,фгл/ГА -f- Я/2А2 — 8,4 мкм.
15.	Определим разрешающую способность системы микроскопа по формуле
(19.37): d = Х/(2А) = 0,6 мкм.
19.10.	СИСТЕМЫ МИКРОПРОЕКЦИИ
И МИКРОФОТОГРАФИИ
Системы микропроекции и микрофотографии широко
применяют при научных исследованиях, когда необходимо рас¬
смотреть изображения микропредмета на экране (для нескольких
наблюдателей одновременно) либо требуется зафиксировать на
фотослое изображения исследуемого микропредмета или микро¬
процесса. Для быстропротекающих микропроцессов широко ис¬
пользуется высокоскоростная микрокинематография.
При микропроекции или микрофотографии микроскоп образует
действительное изображение предмета. В этом случае промежуточ¬
ное изображение предмета строится объективом микроскопа перед
377

Рис. 19.9. Принципиальная схема микропроектора:
а — е положительным окуляром; б в отрицательном окуляром
типа «Гомал»
фокальной плоскостью окуляра, который перефокусируется (ото¬
двигается от объектива) и строит действительное увеличенное
изображение на экране или фотослое.
На рис. 19.9 представлена схема микропроекдии с положитель¬
ным (рис. 1,9.9, а) и отрицательным (рис. 19.9, б) окуляром 3.
Объектив 2 микроскопа (рис. 19.9, а) строит изображение предмета
1 в плоскости Г перед передним фокусом F0K окуляра 3. Это изобра¬
жение переносится в плоскость экрана (или фотослоя) 4.
Полное увеличение системы (или масштаб изображения), по¬
скольку промежуточное изображение V близко к заднему фокусу
окуляра F0Ky может быть определено по известной формуле (19.14):
Р РобРок*	(19.41)
Как	известно,	увеличение объектива роб— —2об//об	= —Nfоб,
где А — оптическая длина тубуса микроскопа.
Увеличение окуляра
Рок = -гок//ок>	(19*42)
где 2ок — расстояние от заднего фокуса окуляра до действитель¬
ного изображения.
Принимая	во	внимание формулу (19.16),	получаем	рок =
= —2окГОк/250. Так как г'ок > f'OK, то z'0K « аок — расстоянию
от окуляра до экрана, которое называется длиной камеры, т. е.
Pok = -<Jok/250’	09-43)
378

и полное увеличение системы
Р = -ЧЛк/(250/;б).	(19.44)
Размер экрана (по диагонали)
2t/" — 0ПдР0к-	(19.45)
4*
Линейное поле в пространстве предметов 2у — 2y"lf>.
Пример 19.3. Провести габаритный расчет микропроекционной системы при
положительном окуляре и общем увеличении (3 — 80х.
Решение. 1. Выбираем объектив- М*42 ({50б =—8х, А = 0,20, /0б—
. 18,10 мм, а	—8,6 мм).
2.	Определим оптическую длину тубуса, если объектив работает с номиналь¬
ным увеличением Р = —8х; А = —Р0б/сб ~ 144,8 мм.
3.	Найдем увеличение окуляра при микропроекции по формуле (19.41):
Рок Р/Роб =	10х.
4.	Принимаем окуляр АМ-14Ф (Рок = Ю» линейное поле 2у = 13 мм,
f'OK = 25 мм).
5.	Вычислим ZqK (см. рис. 19.9, а) по формуле (19.42): г'ок — —$окГок =
= 250 мм.
6.	Рассчитаем расстояние от объектива до окуляра ^ = Кб + А - Z0K - f0K>
где по формуле Ньютона z0K — —/ok/zok = —2,5 мм. С учетом этого находим
L = 190,4 мм.
7.	Определим расстояние от окуляра до экрана а'ок — f'0K -f- z'K = 275 мм.
8.	Вычислим размер экрана по диагонали: размер полевой диафрагмы оку¬
ляра £>пд — 13 мм: 2у" — £>пдРок = 130 мм, т. е. формат кадра 9x12 см.
9.	Определим линейное поле в пространстве предметов 2у — 2г/'7|3 = 1,63 мм.
10.11.	МИКРОСКОПЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
Микроскопы геодезических и измерительных прибо¬
ров состоят из двух основных частей: объектива и окуляра. К осо¬
бенностям микроскопов этого типа относится наличие между
объективом и окуляром измерительной части. Измерения состоят
в том, что изображение объекта сравнивается со шкалой с опреде¬
ленными делениями или его размер определяют с помощью винто¬
вого микрометра. При этом. необходимо, чтобы плоскость шкалы
была строго совмещена с плоскостью изображения измеряемого
отрезка. Несовпадение этих плоскостей называется параллаксом,
который приводит к ошибке при измерении. Для исключения
действия параллакса в измерительных микроскопах применяют
телецентрический ход лучей. При этом входной зрачок системы
микроскопа должен совпадать с его передней фокальной плос¬
костью, а выходной зрачок должен находиться в бесконечности.
С помощью отсчетных микроскопов решают следующие задачи:
оценка десятых долей интервала, оценка совпадений (совмещения)
двух штрихов и оценка биссектрирования.
Увеличение объектива микроскопа (рис. 19.9, а)
Ров =	(19.46)
379

По формуле в отрезках
/об == а'\а\1{а\ -«!)■	О9-47)
Как следует из рис. 19.9, а
(19.48)
Принимая во внимание (19.46) и (19.48), запишем
РобО! = L + ах.	(19.49)
Из формул (19.46) и (19.49) получим
а1 = L/(Po6 + *)’ й1 ~ 1$об/Фоб + *)•
Подставляя последние значения в формулу (19.47), находим
/об = ЬРобЛРоб + 1)2-	(19.50)
Ввиду технологических сложностей расчетная величина роб
не выдерживается с требуемой точностью и действительная цена
деления отсчетного приспособления отличается от рассчитанной,
т. е. появляется необходимость в определении роб и введении
поправок. Основным условием для точной работы отсчетного
микроскопа является соблюдение равенства
S'~po66,	(19.51)
где б — малая часть окружности на лимбе, которая принимается
за прямолинейный отрезок, а б' — ее изображение. В линейной
мере
б «= га?/р®,	(19.52)
где г — радиус лимба; а" — отсчет по лимбу, с; р — значение
1 с в радианах.
Величина б' (в плоскости промежуточного изображения и
отсчетного устройства) будет
8' = робга7р".	(19.53
Из формул (19.52), (19.53) следует, что для выполнения равен¬
ства (19.51) при постоянных б и б' можно изменять лишь роб.
Из формулы (19.50) видно, что при изменении роб должны изме¬
ниться либо L, либо /об- В соответствии с этим в современных
геодезических приборах используются микроскопы двух типов.
Первый тип — микроскоп с переменным L. В таком микроскопе
изображения различных частей лимбов не сводятся в один канал
(старые конструкции приборов).
Второй тип — микроскоп с переменным /об- Здесь изображения
различных _ частей лимбов сведены в один канал (современные
приборы). Изменение фокусного расстояния объектива в этом
случае достигается посредством изменения расстояния между
двумя компонентами объектива в соответствии с формулой
=	+	(19.54)
где f{ и /2 — фокусные расстояния первого и второго компонентов
объектива; d — расстояние между их главными плоскостями.
380

Однако и после установления с известной точностью необходи¬
мого фокусного расстояния объектива микроскопа может сущест¬
вовать несоответствие между действительным и расчетным значе¬
ниями /об- Для микроскопов с винтовым микрометром величину
несоответствия Д6' называют «Рун» («пробег») — это та избыточная
величина, которую барабан микрометра «пробежит», если увели¬
чение Роб установлено не в соответствии с выполненным расчетом.
Для приборов различного назначения существуют нормы на
допустимый «Рун».
Остальные параметры отсчетных микроскопов рассчитывают
на основании общей теории микроскопов и, в частности, теории
видимого и полезного увеличения.
Возвращаясь к функциям отсчетных микроскопов, указанным
выше, можно дать следующие рекомендации: при оценке десятых
долей интервала увеличение Г должно быть таким, чтобы видимое
значение интервала было равно 1,0...2,0 мм. Видимая ширина
штриха должна быть равна 0,1 интервала. Так как технологиче¬
ская ширина штриха получается не более 2 мкм, то увеличение
оптической системы микроскопа не должно быть больше 80...
100х.
При оценке совпадения (совмещения) двух штрихов и оценке
биссектрирования (т. е. установки штриха между линиями бис-
сектора) видимое увеличение выбирают в зависимости от допусти¬
мой погрешности отсчета.
19.12.	ОПТИЧЕСКИЕ ЧАСТИ МИКРОСКОПА
Оптические системы микроскопов состоят из следую
щих частей: объективов и окуляров, которые дают возможность
получить увеличенное изображение предмета, конденсоров и коллек¬
торов, образующих осветительную систему микроскопа.
Микроскоп имеет постоянную часть — тубус, в котором монти¬
руется, объектив и окуляр. Механической длиной тубуса называ¬
ется расстояние между опорными плоскостями оправ объектива
и окуляра. Механическая длина тубуса принята равной 160 мм
для микроскопов, действующих в проходящем через предмет свете,
и 190 мм — для микроскопов, действующих в отраженном от пред¬
мета свете. Постоянная длина тубуса позволяет иметь комплект
взаимозаменяемых объективов и окуляров для получения систем
с различным увеличением.
Объективы микроскопов. Основными характеристиками объ¬
ективов микроскопов являются увеличение и числовая апертура.
Наиболее широко применяемые объективы микроскопов имеют
увеличение З...90х и числовую апертуру 0,01... 1,40.
Объективы микроскопов классифицируют по особенностям
оптического устройства и коррекции аберраций: различают ахро-
матыу апохроматы, планахроматы, планапохроматЫу телецентри-
ческие объективы, монохроматЫу зеркальные и зеркально-линзовые
381

г)	д)
Рис. 19.10. Оптические схемы объективов микроскопов
системы, объективы с применением флюорита и т. п. Кроме того,
объективы классифицируют по свойствам иммерсий — сухие сис¬
темы (без иммерсии), с водной иммерсией, масляной или однородной
иммерсией, глицериновой иммерсией (для ультрафиолетовой об¬
ласти).
Объективы-ахроматы (рис. 19.10, а, б) характеризуются широ¬
ким диапазоном увеличения, однако имеют большой вторичный
спектр. Слабый ахроматический объектив представляет собой
двухлинзовый склеенный компонент. Объективы с числовой апер¬
турой 0,2 состоят из двухлинзовых компонентов. Объективы
средних и больших увеличений содержат фронтальную линзу и
несколько склеенных компонентов. Вторичный спектр значительно
снижается при изготовлении части линз из флюорита (рис. ,19.10, в).
На рис. 19.10, г представлена схема апохромата, у которого
значительно лучше, чем у ранее рассмотренных, исправлены хро¬
матические аберрации, в особенности вторичный спектр и сферо¬
хроматическая аберрация.
Некоторые линзы в апохроматах изготавливают из кристаллов
(каменная соль, кварц, флюорит). Лучшими объективами для
микроскопов считаются планахроматы (рис. 19.10, д) и плана-
похроматы: кроме хорошей хроматической коррекции они имеют
плоское поле. Планахроматы не содержат линз из флюорита, кото¬
рый может иметь внутренние натяжения и поэтому не пригоден
для объективов поляризационных микроскопов. Особенностью
планапохроматов является высокая степень коррекции аберраций
в пределах всего поля для спектрального интервала 434...656 нм.
По сравнению с планахроматами планапохроматы имеют большее
поле и поэтому кроме проведения визуальных исследований при¬
годны для микрофотографии, в том числе и цветной.
Окуляры микроскопов. В микроскопах применяются окуляры,
описанные в гл. 18. Эти окуляры относятся к визуальным, т. е.
предназначены для наблюдения изображения глазом. Визуальные
окуляры отличаются тем, что дают неискаженное изображение по
382

всему полю. Допускается
некоторая кривизна поля
изображения ввиду того,
что глаз может аккомоди¬
ровать на различную глу¬
бину. Кроме того, имеют¬
ся окуляры, применяемые
в микрофотографии и мик-
ропроекционных устрой¬
ствах. Фотографические и
проекционные окуляры
должны давать плоскую
поверхность изображения,
так как оно строится на плоском фотослое или экране.
Положительные фото- и проекционные окуляры (рис. 19.11)
используются для проекции изображения на экране и фотопленке,
расположенных на конечном расстоянии. Для этой цели служат
окуляры Гюйгенса (рис. 19.11, а) с лазной линзой, склеенной
из трех линз, что улучшает коррекцию системы. При этом для
проекции и фотографии применяются объективы планахроматы
и планапохроматы. Для наводки на резкость изображения глазная
линза окуляра делается подвижной.
Отрицательные фото- и проекционные окуляры, называемые
«Гомалы», применяются в том случае, когда в микроскопе исполь¬
зуются объективы ахроматы и апохроматы и имеет место кривизна
изображения. Эти окуляры (рис. 19.11, бив) компенсируют кри¬
визну поля объективов и дают плоское поле.
Панкратический окуляр служит для плавного изменения увели¬
чения в 5...10 раз без перефокусировки объективом. Этот окуляр
состоит из панкрэтической системы с подвижными линзами и
окуляра Гюйгенса или компенсационного.
Осветительные устройства микроскопов. Большая часть пред¬
метов, исследуемых под микроскопом, являются несамосветя-
щимися, поэтому предмет должен быть равномерно освещен посред¬
ством специального осветительного устройства и в достаточной
степени контрастно.
В зависимости от характера исследуемого объекта осветительные
устройства подразделяют на устройства для проходящего света,
применяемые при исследовании прозрачных объектов, и устройства
отраженного света для исследования непрозрачных объектов.
Осветители для наблюдения прозрачных предметов в проходя¬
щем свете. Наиболее рациональным является метод Келера.
Осветительная система по Келеру (рис. 19.12) позволяет осущест¬
вить концентрацию света от источника 1 на поверхности предмета 6
Нить лампы посредством коллектора 2 проецируется на ирисовую
диафрагму 4, находящуюся в фокальной плоскости конденсора 5.
Из конденсора через объект проходит система параллельных лучей
разного наклона (поскольку источник света имеет конечные
в)
Рис. 19.11. Оптические схемы специальных
окуляров для микроскопов:
а — АМК-31; б — «Гомал-А*; в — «Гомал-Б»
383

размеры). Близ коллектора 2 находится ирисовая диафрагма 3,
которая является полевой диафрагмой, и ее изображение строится
конденсором в плоскости предмета 6.
На основании рис. 19.12 можно записать ряд зависимостей,
определяющих основные параметры осветительной системы типа
Келера:
поперечные размеры ирисовой диафрагмы 4 D2 — /к^об//ов, где
£>об — выходной зрачок объектива микроскопа;
положение и размер выходного зрачка микроскопа а'р* —
~ fок + /ох//о<5 + А; £>' = Огл — выходной зрачок микроскопа;
фокусное расстояние коллектива /к — Dn (f'o6 — A/D об)» где
D-ц = DK — Поперечные размеры предмета;
фокусное расстояние коллектива f'K — а\а\{(а\ — я|);
поперечный размер диафрагмы 3 D\ — a{Dnlf'ky где а\ — рас¬
стояние между диафрагмами 3 и 4.
В микроскопе применяется два способа освещения. Освещение
на светлом поле, когда световой поток большой и заполняет всю
апертурную диафрагму конденсатора. При этом менее прозрачные
детали наблюдаются в виде темных участков на светлом поле.
В системе освещения типа Келера при освещении на светлом
поле диафрагма 4 (см. рис. 19.12) открыта полностью.
При освещении на темном поле диафрагма 4 (см. рис. 19.13)
открыта на небольшую величину.
Осветительные устройства для непрозрачных предметов (опак-
иллюминатор). В этом случае предмет освещается через объектив
микроскопа (рис. 19.13). Для этого между объективом и окуляром
микроскопа устанавливают наклонную пластину с полупрозрачной
поверхностью. Лучи от источника света, расположенного в стороне
от вертикальной оптической оси микроскопа, через систему кон¬
денсора попадают на пластину и, отражаясь от ее поверхности,
проходят через объектив микроскопа, освещая предмет. Свет,
рассеянный предметом, снова попадает в объектив микроскопа,
который вместе с окуляром строит увеличенное изображение пред¬
мета. Однако при этом контраст изображения уменьшается из-за
большого рассеяния света линзами объектива. Этот недостаток
устранен в устройстве ультраопак (рис. 19.14). Здесь лучи света,
384

Рис. 19.13. Опак-иллюминатор:
1 — источник света; 2 — коллек¬
тор; 3 — линза; 4 — светоделнтель-
аая пластина; S — выходной зра¬
чок объектива мнироскопа; 6 —
объектив микроскопа; 7 — пред¬
мет; в — окуляр
Рис; 19.14. Ультраопак для работы на темном поле:
I — источник света; 2 — коллектор; 3 — апертурная диафрагма; 4 — линза; 6, 7 —
оборачивающая система; б — кольцевая диафрагма' 8 — кольцеобразное зеркало; 9 —
объектив; 10, — параболическое зеркало; 11 — предмет; 12 — тубусная линза
освещающие предмет, проходят вне объектива микроскопа. Для
освещения вместо полупрозрачной пластины применяется наклон¬
ное зеркало с отверстием в средней части для прохода света от
конденсора через объектив микроскопа.
ГЛАВА 20.ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
20.1.	ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОТООБЪЕКТИВОВ
Фотографические системы получили в настоящее вре¬
мя широкое применение в различных областях науки и техники,
например, в аэрофотосъемке, фотограмметрии, металлографии,
репродукционной технике, любительской и профессиональной
13 П/п.» п. nvrfrmtfirji
385

фотографии и кинематографии, при научных исследованиях, в
геологии, палеонтологии, археологии и т. п.
Основным элементом фотографической системы является фото¬
графический объектив, который служит для получения действи¬
тельных изображений предметов на светочувствительном мате¬
риале, фотокатоде телевизионного приемника или электронно¬
оптического преобразователя и т. п.
Основными оптическими характеристиками фотографического
объектива является фокусное расстояние относительное отвер¬
стие D/fr = l/К и угловое поле 2со.
Фокусное расстояние объектива определяет масштаб изображе¬
ния на снимке (рис. 20.1). Масштаб изображения, как известно,
зависит от линейного увеличения: р0 = у'/у = —f/z = —z'/Г-
По формуле Ньютона имеем
.	*'=/'7z = r7(a-/),	(20.1)
где fr — фокусное расстояние объектива; а — расстояние от перед¬
ней главной точки Я объектива до предмета. Когда расстояние а
достаточно велико по сравнению с /, то
г' «—Г*/а\	(20.2)
Ро « ffa.	(20.3)
Формула (20.3) служит для определения масштаба в случае
удаленного предмета.
Для расчета положения фотопленки (величины г') в фотоаппа¬
ратах с относительно малыми /' (малоформатные камеры) исполь¬
зуют следующее уравнение, полученное на основе формулы Нью¬
тона:
—R)z'-Г' = 0.	(20.4)
где с «= —sF + d + s'f* — расстояние между передним и задним
фокусами объектива, мм; R — расстояние от предмета до фотослоя,
мм.
Пример 20.1. Определить удаление s' плоскости изображения от последней
преломляющей поверхности объектива «Юпитер-11» для расстояний, соответст¬
386

вующих шкале дистанции: 20; 10; 7; 5; 4; 3; 2,5; 2; 1,75; 1,5; 1,25 и 1 м.
Расчетные данные объектива: /' = 135 мм; sF = —165,2 мм; sF, = 62,5 мм;
d = 55,5 мм.
Решение. Определим расстояние с = —sF d s'F, — 283,2 мм Для
дистанции R = —оо удаление = s'F,, для дистанции, например, = 3 м
по формуле (20.4) получим г'2-{- (—2716,85) г‘ — 135а = 0, откуда г' = 6,7 мм
и s' ~ sF, 4-г' — 69,2 мм.
Аналогичным образом рассчитывают удаления s' для других дистанций
Относительное отверстие объектива определяет освещенность
изображения
£' = (я/4) Lt (D/ff fp!(bp - %f,
*
\
где L — яркость предмета, кд/м2; т — коэффициент пропускания
фотообъектива; D/f' — относительное отверстие объектива; рР —
линейное увеличение в зрачках объектива; Ро — линейное увели¬
чение (масштаб изображения).
При фотосъемке предмета, освещенного несколькими источни¬
ками света, яркость предмета
L == рЕп/к.	(20.5)
Здесь р — коэффициент отражения поверхности предмета; Еп —
освещенность предмета, которую рассчитывают по формуле
k=m
£»= 2 /*«***/«», (20.6)
А=1
где Ik — сила света отдельного k-ro источника, кд; Rk — расстоя¬
ние от k-ro источника до предмета, м; sft — угол падения лучей
от &-го источника света.
Для удаленного предмета (s -► оо, г -> 0, Р0 -► 0) освещен¬
ность изображения
С-. = <«/■*> ^ Ф/f'f.	(20.7)
При репродукционной съемке, если можно принять рР - 1,
£;е„ = (я/4) L% (Dlff К1 - р0)2.	(20.8)
В приведенных формулах величина (Dff'Y называется геометри¬
ческой светосилой фотообъектива. Эта величина обычно загисы-
вается в виде (D/f')* — (1/К)2, где величина К — диафрагменное
число. Величина т (Dff'Y = (1/КфШ) называется физической свето¬
силой.
Для изменения освещенности изображения в фотообъективах
служат ирисовые апертурные диафрагмы. Диаметр апертурной
диафрагмы изменяется плавно, но фотообъективы снабжены шка¬
лами, причем при переходе от одного деления шкалы к другому
диаметр диафрагмы изменяется пропорционально а освецен-
13*	387

ность изображения в 2 раза. Ниже приведены принятые значения
относительных отверстий \(К и их обозначения на шкалах:
l/К	1:1	1 : 1,4	1:2	I : 2,8	1:4
Обозначение	....	1	1,4	2	2,8	4
1 /К	1 : 5,6 1:8	1:11	1	: 16 1 : 22 1 : 32
Обозначение ....	5,6	8	И 16	22	32
Пример 20.2. Определить освещенность изображения предмета, получаемую
в результате действия четырех ламп с силой света 50 кд каждая, расположенных
на расстоянии 0,5 м и под углом к нормали, равным 45°; коэффициент отражения
поверхности предмета р = 0,85. Съемка ведется посредством объектива при диа-
фрагменном числе К — 2,8 и увеличении = —-1/18. Коэффициент пропуска¬
ния объектива т = 0,65.
Решение. I. По формуле (20.6) находим Еп ~ 566 лк.
2.	По формуле (20.5) вычислим L = 153 кд.
3.	По формуле (20.8) находим £pen « 10 лк.
Поле фотообъектива определяется той частью плоскости изобра¬
жения, в которой изображение имеет удовлетворительное качество.
Для фотографических систем принят прямоугольный формат
изображения, который задается угловым полем и обеспечивается
полевой диафрагмой с кадровым окном, совпадающим с плоскостью
изображения. Поле указывается либо размерами сторон кино- или
фотокадра	(см.	рис.	20.2)	(7,45X 10,05 мм, 16x22 мм, 24x36 мм,
6x6 см,	9х 12	см,	13х 18	см и т. д.), либо в угловой мере.
Угловое поле в пространстве изображений
2со' = 2 arctg l/(2ff),	(20.9)
где 1/2 — [{h/2)% + (b/2)2}\i2\ hub — высота и ширина кадрового
окна соответственно. Угловое поле 2о> в пространстве предметов
связано с угловым полем в пространстве изображений соотноше¬
нием
tg ю = tg й>7?р.	(20.10)
Здесь	угловое	увеличение в зрачках уР = 1 + %>//', где аР —
отрезок, определяющий положение входного зрачка ртносительно
передней главной плоскости объектива.
Для объектива, находящегося в однородной среде, при линей¬
ном увеличении в зрачках, равном единице, и отсутствии дисторсии
угловое поле в пространстве предметов равно угловому полю
в пространстве изображе¬
ния (со = «>'). При работе
в воде угол поля объек¬
тива уменьшается,
Пример 20.3. Определить
угловое поле фотообъектива
«Гидроруссар-8» в пространстве
предметов в воде. Угловое поле
гидрообъектива в воздухе 2со =
= 72°. Съемочный аппарат на¬
ходится в боксе и защищен ил¬
люминатором. Показатель пре¬
ломления воды «з = 1,337.
Рис. 20.2. Связь углового поля с размерами
кадра
388

Решение. По закону преломления в обратном ходе лучей п sin со = п' sin ю',
где п — показатель преломления воздуха, равный единице; п' — показатель пре¬
ломления воды, тогда 2О)' = 2 arcsin (sin со)/я' « 52°.
20.2.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ФОТООБЪЕКТИВОВ
Дополнительными характеристиками фотообъекти¬
вов являются освещенность изображения по полю разрешающая
способность N, мм”1, функция передачи модуляции F (N), а также
длина заднего отрезка s', спектральный х% и интегральный т коэф¬
фициенты пропускания, коэффициент виньетирования орто-
скопичность А у' и т. п.	\
Задний отрезок фотообъектива s' определяется расстоянием от
опорного торца посадочного диаметра или резьбы фотообъектива
до его фокальной плоскости.
Интегральный коэффициент пропускания т есть отношение
светового потока Ф', прошедшего через объектив, к световому
потоку Ф, падающему на него: т = Ф'/Ф.
Спектральный коэффициент пропускания хх — это отношение
светового потока определенной длины волны, прошедшего через
объектив, к световому потоку Фх той же длины волны, падающему
на объектив:	= Ф\/Ф^
Ортоскопичность объектива должна соответствовать условиям
эксплуатации. Наиболее строгие требования по дисторсии предъяв¬
ляются к аэросъемочным картографическим объективам: А у'
допускается в диапазоне 0,005...0,01 мм. Такие объективы назы¬
ваются ортоскопическими. Для кинематографических объективов
дисторсия допускается не более 2...3%, для фотолюбительских
3...4-%.
Ахроматизация объектива должна соответствовать спектраль¬
ной характеристике светочувствительного слоя или приемника
изображения. Обычно для черно-белых негативных фотоматериа¬
лов ахроматизацию выполняют для линий спектра е и G' и такую
коррекцию называют фотографической, а фотообъективы — ахро¬
матами. Кроме того, фотообъективы различного назначения долж¬
ны обеспечивать получение цветных изображений. Поэтому
хроматическая, аберрация исправляется для линий спектра от h
до С', т. е. фотообъективы должны быть апохроматами.
О других дополнительных характеристиках — разрешающей
способности, освещенности изображения на краю поля, функции
передачи модуляции — будет сказано ниже.
20.3.	ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
В ФОТООБЪЕКТИВАХ
В большинстве случаев апертурная диафрагма объек¬
тива располагается между его линзами. При этом (рис. 20.3) вход¬
ным зрачком является ее мнимое изображение, даваемое частью
389

По а а
объектива, стоящей впереди диафрагмы, а выходным зрачком —
мнимое изображение, даваемое частью объектива, расположенной
позади диафрагмы.
Если на фотообъектив падает пучок лучей, параллельный
оптической оси, или под небольшими углами к ней, то выходящий
конус лучей, образующий изображение в точке А', опирается
на полный диаметр выходного зрачка, т. е. в этом случае пучок
лучей, проходящий через оптическую систему фотообъектива,
ограничивает апертурная диафрагма. Пучки лучей, падающие на
объектив под углом, ограничиваются оправами линз, поэтому
конусы лучей, образующие изображения на краях снимка (точки
В' и С'), опираются не на полный диаметр выходного зрачка, а
только на его часть. Пррисходит виньетирование световых пучков,
увеличивающееся к краю снимка.
Однако освещенность изображения на краю поля понижается
не только вследствие ограничения пучков оправами линз, но также
из-за наклона пучков, идущих от* точек предмета, находящихся
на краю поля и опирающихся на полный размер апертурной диаф¬
рагмы. Таким образом, с учетом виньетирования получаем
£© = Vocos4	(20.11)
где ka — коэффициент виньетирования; Ео — освещенность изо¬
бражения в центре поля; со — угол поля.
В объективах с нормальным полем (40...65°) коэффициент kw
виньетирования допускается не более 20...30%. Падение освещен¬
ности на краю поля особенно велико в широкоугольных объекти¬
вах. Для увеличения освещенности на краю поля в этих объекти¬
вах коэффициент виньетирования делают больше единицы (объек¬
тивы типа «Руссар»). При этом используется явление аберрацион¬
ного виньетирования, что позволяет увеличить ширину наклонных
пучков лучей по отношению к осевому пучку.
20.4* ГЛУБИНА ИЗОБРАЖАЕМОГО ПРОСТРАНСТВА
И ГЛУБИНА РЕЗКОСТИ
Фотографические объекты 1—3 обычно располагаются
не в одной плоскости, а имеют некоторую пространственную протя¬
женность. В пространстве предметов имеется так называемая
390

А
плоскость наведения Аъ а в пространстве изображений — сопря¬
женная с ней плоскость изображения А\ (рис. 20.4).
Если не учитывать аберраций, то точки предметов, расположен¬
ные в плоскости наведения Аг (например, точка /), изображаются
в виде точек в плоскости изображения" АТочки предметов, нахо¬
дящихся в плоскостях Л2 и Л3 (например 2 и 5), изображаются
соответственно впереди и позади плоскости изображения А\
в виде точек 2' и 3'. На экране (плоскость А\) в этом случае имеют
место следы, оставляемые соответствующими конусами лучей,
называемые кружками рассеяния. Размеры кружков рассеяния
заГвисят от расстояния точек предмета от плоскости наведения.
Для того чтобы изображения точек 2 и 5, находящихся вне
плоскости наведения, казались точками, диаметры кружков, рас¬
сеяния не должны превышать значений, соответствующих разре¬
шающей способности глаза (/'), т. е.
20'= W.	(20.12)
где 2у' — диаметр кружка рассеяния в плоскости изображения;
^гл — разрешающая способность глаза в радианной мере; / —
расстояние, с которого рассматривается снимок.
Расстояние между плоскостями Л2 и Л3 называется глубиной
резко изображаемого пространства Д = Лг — Д2.
Определим диаметр кружка рассеяния 2у в плоскости наведе¬
ния Alt который соответствует диаметру 2у' кружка рассеяния
лучей в плоскости изображения А\:
2р = 20'/ро.	(20.13)
Из подобия треугольников (см. рис. 20.4) находим р3 = pJ)l(D +
+ 2у);	р2 —	p-iPKD —2у)> где D —диаметр	входного	зрачка
объектива.	Отсюда	Дг =	—2p1y/(D +	2у);	Д2	— 2p1y/{D — 2у).
Расстояния Дх и Д2 задают те крайние положения плоскостей
А2 и Лз, при которых диаметры кружков рассеяния находятся
в пределах разрешающей силы глаза. Глубина резко изображае¬
391

мого пространства А = Ах —
—	Л2 = —4Dptf/ф — 4у2). При¬
нимая во внимание формулу
(20.13), получаем
Д = — 4 p^0Dy'/(^D2 — 4 у'*).
Рис. 20.5. Глубина резкости изобра¬
жения	(20.14)
Имея в виду, что p<jD2 > 4#'*, запишем приближенную формулу
Д * 4piy7PeD	(20.15)
или е учетом (20.12)
Д — 2p1\j)rjIL/(P0D).	(20.16)
Из формул (20.14)...(20.16) следует, что глубина изображаемого
пространства увеличивается с уменьшением диаметра входного
зрачка и увеличением расстояния до объекта.
В пространстве изображения глубина резко изображаемого
пространства соответствует глубине резкости — расстоянию вдоль
оптической оси между точками пространства изображений, кото¬
рые изображаются в виде кружков рассеяния с размерами, не
превышающими значения 2у', определяемого по формуле (20.12).
Из рис. 20.5 следует, что при | Af | = | А£ |, соответствующих
плоскостям ВгСг и В2С2, глубина в пространстве изображений
А' = 2А{, причем
A\ = 2yp/D\	(20.17)
В точке О на расстоянии L Ьт плоскости В2С2 находится глаз
наблюдателя, который в пределах своей разрешающей силы вос¬
принимает кружок рассеяния диаметром 2у' в виде точки.
По формуле (20.12) 2у' = tyrjIL. Подставив это выражение
в предыдущее, получим
А [ = p\aL/D'.	(20.18)
Отсюда уравнение глубины в пространстве изображений (глу¬
бины резкости) будет
Д'=2p'yrnLjD'.	(20.19)
Если предмет находится в —оо, то р' = /'; L — есть расстояние
наилучшего видения, равное 250 мм; принимаем равным Г,
тогда
Д' яа f'ft7D').	(20.20)
Если изображение фотографируется, то А" определяют из пре¬
дела разрешающей способности в линиях на миллиметр, т. е.
2у' = 1 fN, где N — число линий на 1 мм, тогда при объекте в
бесконечности (р' — /')
д- =2*771/	(20.21)
или при Рр = 1
А, = /С/Л/,
(20.22)
392

где К — диафрагменное число объектива.. Глубина резкости
А' = 2K/N.	(20.23)
Пример 20.4. Определить глубину изображаемого пространства и глубину
резкости при рассматривании изображения глазом (L = 250 мм). Расстояние до
предмета рх я* 2000 мм, увеличение Р0= —1/10; объектив ОФ (/' = 200 мм,
1//( = l/8, D = 25 мм) увеличение в зрачках = 1.
Решение. 1. По формуле (20.16) А = 2р11|)глЬ/фо1)) = 116 мм.
2.	По формуле в отрезках (расстояниями между главными плоскостями и
положением зрачков пренебрегаем) находим \/р{ — 1 /р1 = Ilf'; р{— 222 мм.
3.	В соответствии с (20.19) А' —2p{tyrJiL/D = 1,3 мм.
20.5. ПЕРЕДАЧА ПЕРСПЕКТИВЫ
Объектив проецирует в плоскость изображений не
только предметы, находящиеся в плоскости наводки, но также и
предметы, расположенные ближе и дальше этой плоскости. Эти
изображения составляю* перспективу. Центром перспективы в
пространстве изображений является центр выходного зрачка
фотообъектива, поэтому получаемые снимки могут дать правильное
представление о предмете только в том случае, когда их рассматри¬
вают одним глазом, помещенным относительно фотоснимка в центр
выходного зрачка фотообъектива. В общем случае расстояние от
выходного зрачка рассматриваемого снимка, если пренебречь
расстоянием между главной плоскостью и выходным зрачком,
может быть определено как р' — f' + z'.
Для удаленных предметов z' -► 0, и тогда р'— f\ однако эти
величины не всегда равны расстоянию наилучшего видения для
нормального глаза, т. е. р' = f' Ф 250 мм. Введем некоторое
увеличение, при котором р' — 250 мм, тогда
р' = 250 = Р0/'.	(20.24)
Отсюда получаем формулу для увеличения, при котором следует
рассматривать данный снимок, чтобы сохранить перспективу
пространства объектов:
0о = 250//'.	(20.25)
Объектив, фокусное расстояние которого удовлетворяет усло¬
вию естественной перспективы при принятых средних размерах
фотокопии, называется штатным. Поскольку имеется необходи¬
мость в фотоснимках и других размеров, кроме штатного, в ком¬
плект фотоаппарата могут входить сменные объективы различного
фокусного расстояния. Причем выбор фокусного расстояния объек¬
тива зависит также и от необходимого углового поля.
20.6.	ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЯ
ФОТООБЪЕКТИВА
Качество изображения фотообъектива зависит от его
остаточных аберраций. К исправлению аберраций фотообъектива
предъявляют весьма высокие требования, поскольку современные
393

фотообъективы должны обладать большим угловым полем при
значительном относительном отверстии и строить на светочувстви¬
тельном слое резкое изображение, подобное предмету.
Угловое поле и относительное отверстие объектива являются
параметрами, которые находятся в противоречии, при большом
поле хорошее качество изображения может быть получено только
при малом относительном отверстии, и наоборот, объектив с боль^
шим относительным отверстием обладает сравнительно малым
полем.
Соотношение между угловым полем и светосилой характери¬
зуют зависимостью, которую называют свойством инвариантности
оптических характеристик фотографических систем:
(1 IK) tg а (Г/100)|/2 = Ст,
где Ст — величина постоянная для большой группы объективов.
Значение Ст составляет 0,22...0,24, если фокусное расстояние
выразить в миллиметрах. Величину Ст называют также критерием
добротности оптической схемы фотообъектива.
Как известно, остаточные аберрации приводят к увеличению
размеров кружков рассеяния в плоскости изображения. Считается,
что диаметры кружков рассеяния, обусловленных остаточными
аберрациями, не должны превышать 0,03...0,05 мм, если снимки
не подлежат дальнейшему увеличению. Для объективов малофор¬
матных камер, снимки которых в дальнейшем увеличиваются,
диаметры кружков рассеяния не должны превышать 0,01. ..0,03 мм.
Однако эти требования трудно выполнимы для всего поля фото¬
объектива, так как к краю поля качество изображения значительно
ухудшается (диаметры кружков рассеяния 0,03...0,05 мм).
Качество изображения фотообъектива улучшается за счет
усложнения конструкции и использования новых оптических мате¬
риалов: лантановых стекол, кристаллов и т. п. Улучшение качества
изображения фотообъектива достигается также за счет специальной
коррекции его оптической системы. По степени коррекции фото¬
объективы подразделяют на ахроматы, апохроматы, апланаты,
анастигматы и ортоскопические. Допустимые остаточные аберра¬
ции фотообъективов определяются их назначением. Например,
если требуется высокое качество на оси, то исправляют сфериче¬
скую аберрацию и хроматизм положения. Для широкоугольных
объективов исправляется более полно астигматизм, кривизна
поля, дисторсия и хроматизм увеличения.
Для нормальных объективов (2© ■< 45°) астигматическая раз¬
ность допускается не более 0,15.0,3 мм, средняя кривизна до
0,3 мм, дисторсия не более 0,5...3% на краю поля. В аэросъемоч¬
ных объективах дисторсия допускается до 0,1 %, а в особо широко¬
угольных аэрофотосъемочных объективах до 0,04%. Дисторсия
в киносъемочных объективах допускается не более 1...2%.
394

20.7.	РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ФОТООБЪЕКТИВОВ
Ранее было дано определение и приведены формулы
разрешающей способности совершенной оптической системы в
угловой мере. Однако в фотообъективах в качестве количественной
оценки качества изображения принимается разрешающая способ¬
ность N в линиях (штрихах) на 1 мм, определенная путем фотогра¬
фирования тестовой таблицы (миры штриховой или радиальной)
абсолютного	контраста.	Штриховая мира	(рис.	20.6)	состоит из
16 или	25	квадратов;	в	каждом квадрате	имеется	четыре	малых
квадрата со штрихами различного направления; ширина черных
Штрихов и белых промежутков одинакова. Ширина b линии штриха
равна сумме ширины черной полосы и белого промежутка.
Если фотообъектив имеет фокусное расстояние f'y то разрешае¬
мое расстояние	,	•
А' = Г tg 1>,	(20.26)
где ф — угол, разрешаемый фотообъективом. Учитывая, что углы
малы, для центра поля получим
tf06=M75D//',	(20.27)
т. е. Дифракционная разрешающая способность фотообъектива
зависит от его относительного отверстия, но в большей мере она
зависит от остаточных аберраций.
В точках вне центра поля разрешающая способность падает
в зависимости от удаления от центра снимка. В меридиональной
, ^|¥фШ11ф11111ф|1111фр
;ф _ ^
10
20
25
Рис. 20.6. Штриховая мира
395

плоскости разрешающая способность определяется зависимостью
Nm = cos3 а>,
(20.28)
а в сагиттальной плоскости
Na = M0 cos a>,
(20.29)
где <0 — угловое поле.
Разрешающая способность, определяемая уравнением (20.27),
имеет место при визуальном наблюдении изображения, образован¬
ного фотообъективом. Однако фотографическая разрешающая спо¬
собность зависит не только от оптической системы, но также и
от разрешающей способности фотографического материала и может
быть вычислена по приближенной формуле
где Мф — суммарная фотографическая разрешающая способность
системы фотообъектив — фотоматериал; No6 — визуальная разре¬
шающая способность фотообъектива; Мф. м — разрешающая спо¬
собность фотоматериала.
Формулы (20.27) и (20.30) для определения фотографической
разрешающей способности весьма приближенные, да и сама разре¬
шающая способность фотообъектива не может полно характеризо¬
вать качество фотографического изображения, так как кроме спо¬
собности системы разрешать отдельные элементы снимка на него
влияет тйкже контраст получаемого изображения.
Среди критериев определения качества изображения в настоя¬
щее время особое значение приобрела (см. гл. 14) функция пере¬
дачи модуляции ФПМ. Функцией передачи модуляции F (N)
называют отношение контраста К' в изображении решетки с
синусоидальным распределением освещенности с частотой /У0
периодов на 1 мм (линий) к контрасту К самой решетки, имею¬
щей период NJро, где ро — линейное увеличение:
Если контраст решетки (миры) является абсолютным, т. е.
К ■= 1, то
ФПМ может быть рассчитана на ЭВМ по специальной програм¬
ме. Затем определяется разрешающая способность N и строится
графйк, по оси ординат которого откладывается контраст /(',
а по оси абсцисс N (рис. 20.7). ФПМ может быть также определена
экспериментальным путем на специальных установках. Разрешаю-
1/ЛГф « [(1/ЛГоб)а + (1/ЛГф. и)а]1/2>
(20.30)
F (N) = К'/К*
Контрасты К и К* определяются выражениями
К ~ (-^тах — ^min)/(-^tnax “f* ^mln)*
шах
(20.31)
(20.32)
396

щая способность на фотосним- f(n), w(n)
ке N$ может быть найдена по •
точке пересечения ФПМ объекта- о,8
ва F (N) и предельной функции
передачи контраста фотослоем
W (N), которая определяет пре- о,+
дельное значение контраста для
данной пространственной часто¬
ты N штрихов миры при контакт- о	м	'во	и,лин/цл
ной печати, исключающей влияние Рис. 20.7. Функции передачи мо-
оптической системы. Проекция дуляции фотообъектива и предель-
точки пересечения кривых F (N) ная Функция контраста фотослоя
и W (N) дает разрешающую способность системы фотообъектив—
фотослой, например, на рис. 20.7 разрешающей способно¬
сти ~ 50 лин/мм соответствует контраст ~0,35.
20.8.	ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ФОТО-
И КИНЕМАТОГРАФИЧЕСКИХ ОБЪЕКТИВОВ
Классификацию объективов проводят по четырем основным
признакам:
1.	По оптическим схемам различают объективы в зависимости
от числа и формы входящих в них компонентов. Для удобства
обозначения типа объектива ему присваивают условное наимено¬
вание. Например, четырехлинзовые трехкомпонентиые нормаль¬
ные анастигматы имеют наименование «Индустаръ; шестилинзовые
четырехкомпонентные светосильные объективы — «Гелиос»; семи¬
линзовые пятикомпонентные светосильные широкоугольные ана¬
стигматы — «Урал» и т. п.
2.	По основным характеристикам — относительному отвер¬
стию 1 : /С, угловому полю 2т и фокусному расстоянию /' —
различают объективы: светосильные, у которых относительное
отверстие больше 1 : 2,8 (1/К < 1/2,8); широкоугольные, у которых
угловое поле (2со > 60°); длиннофокусные с фокусными расстоя¬
ниями, превышающими трехкратное значение линейных полей
в пространстве изображений (/'>3/', где V—диагональ поля
изображения); универсальные, у которых все характеристики
(l/К, 2ю, /') не достигают указанных значений.
3.	По принципу геометрического устройства фото- и кино¬
объективы можно разделить на:
нормальные объективы (рис. 20.8, а), у которых фокусное рас¬
стояние больше вершинного фокусного расстояния и меньше
расстояния L от первой поверхности до фокальной плоскости F';
телеобъективы (рис. 20.8, б) — линзовые объективы, у кото¬
рых фокусное расстояние /' равно или больше расстояния L от
первой поверхности до фокальной плоскости F'\
реверсивные телеобъективы (рис. 20.8, б) — линзовые объек¬
тивы, фокусное расстояние f' которых равно или меньше заднего
вершинного фокусного расстояния s'f';
з<)7

а)
S)
ж)
Рис» 20.8. Схемы основных типов фото- и кинографических объективов
зеркальные объективы (рис. 20.8, е) — объективы, состоящие
только из отражающих зеркальных поверхностей;
зеркально-линзовые объективы (рис. 20.8, д) —— объективы, со-
стоящие из зеркальных и линзовых элементов;
398

объективы с переменным фокусным расстоянием. К этой группе
относят объективы, фокусное расстояние которых может иметь
ряд дискретных значений или плавно изменяться в некотором
диапазоне — панкратические объективы, причем различают транс¬
фокаторы (рис. 20.8, е) — совокупность афокальной пан кр этиче¬
ской насадки /, угловое увеличение которой может непрерывно
изменяться в заданных пределах, и объектива II с постоянным
фокусным расстоянием, расположенным за насадкой, и варио¬
объективы (рис. 20.8, ж) — у которых изменение фокусного рас¬
стояния осуществляется за счет непрерывного перемещения одного
или нескольких (/ и II) компонентов вдоль оси.
4.	По назначению, т. е. областям применения, различают
объективы фотографические, киносъемочные, аэрофотосъемочные,
телевизионные, репродукционные, эпи-, диа-, кинопроекционные,
флюорографические, гидросъемочные, астрофотографические,
объективы, работающие в УФ- и ИК-днапазоне и т. п.
20.9.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫДЕРЖКИ
ПРИ ФОТОГРАФИРОВАНИИ
Фотографическое изображение получается при воз¬
действии света на фоточувствительный слой в течение времени
экспонирования, которое называется выдержкой. После химической
обработки светочувствительный слой воспроизводит оптическое
изображение в виде некоторого распределения оптической плот¬
ности D, которая определяется выражением
D=lg(<D0/a>),	(20.34)
где Ф0 — упавший на негатив световой поток; Ф — поток, прошед¬
ший через негатив.
Оптическая плотность D зависит от экспозиции Я, причем
Я = ЕЧУ	(20.35)
где Е* — освещенность изображения, л к; t — выдержка, с.
Зависимость оптической плотности D от экспозиции для дан¬
ного светочувствительного слоя выражается характеристической
кривой (рис. 20.9).
Оптическая плотность D0 химически обработанного светочув¬
ствительного слоя, не подвергаемого воздействию света, назы¬
вается оптической плотностью вуали.
Светочувствительность слоя определяется в единицах ГОСТа
по формуле
$d — Ю/tfj <£>,=£>o-f-0,85).	(20.36)
Таким образом, светочувствительность слоя есть величина,
обратная экспозиции Нг, при которой оптическая плотность Dx
фотографического изображения превышает плотность вуали D0
на 0,85 (точка Б на характеристической кривой). Участок А Б
характеристической кривой называется областью недодержек7
399

Рис. 20.9. Характеристическая кри¬
вая фотопленки
Б В — прямолинейным	участ¬
ком характеристической кри¬
вой, участок В Г является об¬
ластью передержек.
Тангенс угла наклона <р пря¬
молинейного участка характе¬
ристической кривой называется
коэффициентом контрастно¬
сти у и имеет выражение
(20.37)
Формула (20.37) служит для
определения необходимой вы¬
держки t или освещенности изображения[ Е' при заданной оптичес¬
кой плотности D того или иного участка изображения. При этом
величину Dt принимают равной £>0 + 0,85, значение Нг опреде¬
ляют по формуле (20.36), значение у находят из акталожных
данных фотоматериала.
На основании формулы (20.37) можно записать
lg tf2 = lg E't = (£>а - Dx)fy + lg Ял.
(20.38)
В этой формуле значение £>а выбирают в зависимости от постав¬
ленной при фотографировании задачи. Можно, например, принять
D2 равным некоторому среднему значению на прямолинейном
участке характеристической кривой.
Освещенность изображения в данном направлении <р опреде¬
ляют по формуле
где
Е —	(Djf )2 Рр/[4 (Рр р0)2],
= г ф Ejnt.
(20.39)
Здесь гф — коэффициент яркости поверхности в направлении <р
(направление съемки); Е — освещенность поверхности предмета.
Коэффициент яркости
Г ф — ^ф/
(20.40)
где — яркость поверхности в направлении съемки; L — яркость
идеально рассеивающей поверхности.
Коэффициент яркости зависит от свойств отражающей поверх¬
ности. Для диффузно отражающих поверхностей коэффициент
яркости равен коэффициенту отражения

Для объекта в бесконечности член РяДРя — Р0)2 — 1» тогда,
принимая во внимание (20.39) и (20.41), получаем
£' = (1/*ф)*р£/4.	(20.42)
где Е и Е' — освещенность предмета и изображения, лк; 1/Кф —
физическая светосила фотообъектива (камеры); р — коэффициент
отражения материала предмета.
Определив #2 по формуле (20.38), при известной освещенности
изображения Е' по формуле (20.35) определяем выдержку t. Если
задана выдержка, то по этой же формуле находим освещенность
изображения Е' и по формуле (20.34) переходим к требуемой осве¬
щенности объекта Е.
Таким образом, плотность почернения фотослоя при данной
его чувствительности зависит от двух так называемых экспозици¬
онных факторов: выдержки и освещенности изображения, которая
определяется диафрагмениым числом объектива аппарата. Для
повышения точности дозирования экспозиции и получения опти¬
мального распределения плотности почернения на снимке, а также
для автоматизации процесса съемки современных фото- и кино¬
аппараты снабжены встроенными экспонометрическими устрой¬
ствами, которые в полуавтоматическом или автоматическом режиме
позволяют выбрать или автоматически установить выдержку при
данном значении диафрагменного числа объектива аппарата и
наоборот.
Если фото- или киноаппарат не имеет встроенного экспоно-
метрического устройства, применяются отдельные (невстроенные|
фотоэлектрические экспонометры, а также символьные и таблич¬
ные калькуляторы экспозиции.
Пример 20.5. Определить необходимую освещенность предмета при фотогра¬
фировании, число и мощность источников освещения, если время экспонирова¬
ния t — 0,1 с; съемка диффузно отражающего предмета проводится фотоаппара¬
том при увеличении ($0б = —1/20, относительном отверстии 1/К = 1/2 и коэффи¬
циенте пропускания объектива х = 0,65 на фотопленку ТИП-17 (плотность вуали
Dq — 0,2, коэффициент контрастности у ~ 1,9, светочувствительность S =
—	350 ед. ГОСТа, время проявления 16 мин в проявителе № 1). Коэффициент
отражения поверхности предмета р = 0,85. Требуемая плотность изображения
Da — 1,3 для наименее освещенной части предмета на прямолинейном участке
характеристической кривой фотопленки.
Решение. По формуле (20.36) определяем Н{ (£>1==£>0_{_о,85) 1=5 10/5^=»
= 1/35 лк-с.
По формуле (20.38) находим lg #2 = lg E't = (D2 — D±)/y -{- lg H± =
= 0,038 лк-с.
Освещенность E' рассчитаем по формуле (20.35): E' — Hjt — 0,38 лк.
Предмет освещается лампами с силой света 40 кд каждая, расположенными
на расстоянии 1 м от предмета и под углом к нормали е = 30°. По формуле (20.39)
и (20.41) находим L = рЕ/я — 4Е' (1 — Ро)2/(я №$')*) — 8,9 кд, тогда Е —
= jiL/p = 8,9я/0,85 = 32,8 лк.
Так как все лампы имеют одинаковую силу света /, то по формуле (20.5)
можно определить Е — ml cos е//?2 = m-40-0,87, откуда т — 0,94. Принимаем
т — 1.
401

ГЛАВА 21. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
21.1.	МЕТОДЫ ОПТИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ.
ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ИЗОБРАЖЕНИЮ И
ЭКРАНУ
Проекционным прибором называется оптическое уст¬
ройство, служащее для получения на плоскости изображения
предмета. Проекционные приборы имеют весьма широкое приме¬
нение в самых различных областях науки, техники и культуры —
это всевозможные проекторы (театральные, телевизионные, изме¬
рительные, фотограмметрические, промышленные для контроля
изделий), аппараты для чтения микрофильмов, проекционные
устройства микроскопов, а также различного типа кинопроекцион¬
ные аппараты.
Проекционные приборы состоят из двух основных частей:
осветительной, которая собирает лучи от источника света на пред¬
мет, и проекционной, образующей изображение на экране.
Существуют две группы проекционных приборов: диаскопиче¬
скиеу когда предмет проецируется в проходящем свете, и эпископа-
ческие, когда непрозрачный предмет проецируется в отраженном
свете. Основными требованиями к изображению предмета на
экране являются необходимый масштаб и угол поля, а также
достаточные для рассмотрения яркость и качество изображения.
Рассмотрим необходимые условия для построения проекцион¬
ной системы при кинопроекции. Качество зрительного восприятия
проецируемого изображения зависит от яркости и качества фото¬
графического изображения на диапозитиве, его контраста, а
также от отражающих свойств экрана. Важное значение имеют
положение первого и последнего ряда зрительного зала относи¬
тельно экрана и значение полевых углов при рассматривании
отдельных частей изображения на экране.
Пусть наименьший размер детали диапозитива будет 6 —
—	\/N> где N — разрешающая способность в линиях на 1 мм,
полученная на диапозитиве. На экране (рис. 21.1) размер изобра¬
жения «' = бро, тогда с учетом угловой разрешающей способ¬
ности глаза
IflPo/e'IHPo/Ata'Klw	(21.!)
где Ро — линейное увеличение при проекции;
%^Ъ'1Ъ~с'1с,	(21.2)
где b и с — размеры кадрового окна; Ь' и с' — размеры экрана.
Из (21.1)
а' > | ар0/^л I = I	I-	(21.3)
При необходимых яркости экрана ~30 кд/м8 и контраста изобра-
жения~0,5 угловой размер детали, разрешаемый средним глазом,
составляет 3,5' в зависимости от посторонней засветки. Для
402

Ptu:, 2i.i. Схема построения киноизображения
кинокадра при показе обычных фильмов (с — 21 мм) и разрешаю¬
щей способности N — 30 мм-1, учитывая формулу (21.2), получим
где а\ характеризует положение 1-го ряда.
Эта же величина может быть получена, если исходить из воз¬
можного свободного движения глаз (2©' т 40°, см. рис. 21.1).
Положение последнего ряда зала определяется требованиями
к различению наименьших деталей изображения для среднего
углового разрешения глаза (а|)гл = Г). При тех же условиях,
что и выше, получим
Угол, под которым видна при этом ширина экрана, 2<о' « 12°.
Фокусное расстояние кинопроекционного объектива, когда р0 ^ U
Пример 21.1. Выполнить габаритный расчет кинозала для демонстрации
обычных кинофильмов с 35-миллиметровой кинопленки. Дано: размер кадра
15,2x20,7 мм; размеры кинозала 37x12x7 м; разрешающая способность, полу¬
ченная на диапозитиве в центре кадра, N = 30 мм-1.
Решение. 1. Определим размеры экрана. Из конструктивных соображений
принимаем с ж 7,0 м, Ь‘ 5,2 м.
2.	Найдем линейное увеличение при проекции по формуле (21.2): Р0 —
b'lb —340, тогда с' = 7 м.
3.	Определим положение 1-го ряда зрителей по формуле (21.4): а{ — 1,5с' —
» 10,5 м.
4.	Найдем положение последнего ряда зрителей по формуле (21.5): а'п —
= Ьс/ = 35 м.
5.	Вычислим фокусное расстояние кинопроекционного объектива f'0$ —
—	—aV(io=.--103 мм. Принимаем f'o6 — 100 мм. Выбираем объектив ОП-5-4,
у которого D/f'o6 ~ 1/2, коэффициент пропускания т — 80%, разрешающая спо¬
собность в центре /V0 -- 80 мм-1, на краю поля Ny — 35 мм"1, 2й)' = 17°.
(21.4)
(21.5)
f об	aJ h
и для малого увеличения (Р0 ~ 1...10х)
/об = сп/ (1 ~ Ро) •
403

6.	Определим увеличение при проекции $0 = &п//об —^50.
7.	Находим размеры экрана:, с' — с$0 = 7,2 м; Ьг = &Р0 = 5,3 м.
Как видим, изменение увеличения на размеры экрана и другие геометриче¬
ские параметры проекционной системы существенно не повлияло.
8.	Определим угол поля для зрителя 1-го ряда 2й>{ = 2 arctg (с'/2а[) « 38°,
что допустимо.
9.	Угол поля для зрителя последнего ряда 2ю^ — 2 arctg (c'l2a^j « 6,5°,
что допустимо, поскольку угловое поле объектива 2© = 17°.
Важными элементами при проекции являются экраны, которые
можно разделить на отражающие и просвечивающие.
Просвечивающие экраны применяют в освещенном помещении
или днем для киноплощадок на открытом воздухе. Изображение
на экране должно быть достаточно ярким и контрастным. Яркость
изображения зависит от мощности осветительной системы, опти¬
ческой плотности диапозитива при диапроекции или отражающей
способности поверхности предмета при эпипроекции, а также
отражающих или пропускающих свойств экрана.
Яркость экрана в центре при проекции без диапозитива со¬
гласно принятым нормам составляет 25...50 кд/м2 и при эпипроек¬
ции 1...5 кд/м2 (без диапозитива или предмета) и связана с осве¬
щенностью экрана Е' отношением Lф — r^E'jn, где гф — коэф¬
фициент яркости экрана, который может быть определен гф —
= Ly/L0, где Lv — яркость экрана в данном направлении; L0 —
яркость диффузно рассеивающего экрана, причем для последнего
гф = р, где р = 0,8...0,9 — коэффициент отражения экрана, зави¬
сящий от структуры поверхности экрана.
Качество изображения предмета на экране, как указывалось,
определяется качеством диапозитива и свойствами проекционной
системы, однако существенное влияние также оказывает посторон¬
няя засветка экрана, которая влечет за собой уменьшения конт¬
раста изображения. Способность наблюдателя различать предметы
по их яркости определяется контрастной чувствительностью глаза,
которая выражается как L/ALmin, где L — яркость изображения
предмета на экране, a &Lmin = (L — Lv); здесь £ф — яркость
фона на экране, образуемого посторонней засветкой. Контрастная
чувствительность глаза достигает 50...70 и увеличивается с ростом
яркости изображения.
Различают светоотражающие экраны диффузные (бело-матовые)
и направленного действия. Бело-матовые экраны имеют постоянную
яркость во всех направлениях, однако при этом часть светового
потока (до 60%) не используется, так как рассеивается в направле¬
ниях, в которых зрителей нет. Эти экраны характеризуются
коэффициентом отражения р.
Экраны направленного действия позволяют концентрировать
световую энергию в ограниченном телесном угле, в котором рас¬
полагаются зрители. При этом яркость изображения в данном
направлении увеличивается. Характеризуются эти экраны коэф¬
фициентом яркости гф [см. формулу (20.40 ], а также полезным
углом рассеяния 2срп, т. е. углом, в пределах которого коэффи-
404

а)	6)
Рис. 21.2. Действие экрана диффузного (а) и направленного (б) отражения:
1 — экран: 2 — первый ряд зрительного зала; 3 — последний ряд
циент яркости не падает ниже допустимого значения (порядка
50%).
Из графиков на рис. 21.2, где представлены индикатрисы
яркости L экранов диффузного (рис. 21.2, а) и направленного
(рис. 21.2, б) действия, видно, что последний экран более эффек¬
тивный. Контуры зрительного зала обозначены штриховой линией
и рассчитаны по приведенной выше методике.
Коэффициент яркости гф диффузно отражающего экрана равен
коэффициенту отражения р и не может быть больше единицы.
Коэффициент яркости экрана направленного действия может быть
значительно больше единицы, поскольку при одном и том же све¬
товом потоке в последнем случае отраженный свет концентрируется
в нужном направлении.
Экран должен быть равномерно освещен. Коэффициент равно¬
мерности освещения экрана составляет 0,65; при широких экранах
этот коэффициент допускается до 0,5. Экран должен обеспечивать
достаточные углы рассеяния в горизонтальной и вертикальной
плоскостях. От углов рассеяния зависит зона расположения зри¬
телей. При этом для краев зоны допускается уменьшение яркости
до 50% яркости центра экрана.
Экраны направленного действия по характеру рассеяния
падающего на них света делят на:
алюминированные, представляющие собой поверхность с покры¬
тием из алюминиевого порошка. Световые характеристики экрана
определяются шероховатостью основы, сортом порошка, а также
добавками белых порошкообразных диффузно отражающих компо¬
нентов;
«перламутровые» жраны, которые представляют собой гладкую
поверхность из пластика, покрытую специальным лаком. Яркость
этих экранов сильно меняется от центра зала к краю, что является
недостатком;
405

алюминированные и «перламутровые» экраны бывают также
растровыми. В этих экранах для улучшения светораспределения
выдавлено множество мелких сферических ячеек, причем форма
ячеек и их размеры позволяют достигнуть равномерного распро¬
странения отраженного света в пределах заданного телесного угла.
21.2.	СВЕТОВОЙ ПОТОК ПРИ ПРОЕКЦИИ
Важным критерием оценки проекционной системы
являются его световые данные и, в частности, полезный световой
поток Фш исходящий от работающего проектора и попадающий
на экран. Значение полезного светового потока определяется
освещенностью и размерами экрана и зависит от яркости источника
света, площади кадрового окна, масштаба изображения, светосилы
объектива и коэффициента пропускания светооптической системы
проектора.
Освещенность экрана по полю может быть определена по фор¬
муле
Е1ь' = ^o>£ocos4(d»	(2L6>
где ka — коэффициент виньетирования проекционной системы;
Е'о — освещенность в центре экрана; 2<а' — угловое поле в про¬
странстве изображений. Для небольших значений углового поля
проекционных систем (2о/ — 30°) можно пренебречь виньетиро¬
ванием (6Ш = 1) и влиянием углового поля. Тогда световой поток,
падающий на экран, будет
Ф'=<рЛ',	(21.7)
где Еср — средняя освещенность экрана для различных его
участков, лк; А' — площадь экрана, м2.
Через параметры проектора и источника света можно выразить
световой поток, падающий на экран (при (3Р = 1 и р„ »*1)-
Ф' = (я/4) UA	(21.8)
где L — яркость источника света, кд/ма; т — коэффициент про¬
пускания всей осветительно-проекционной системы; А — площадь
кадрового окна; (D//o6)a — геометрическая светосила проекцион¬
ного объектива; ро — масштаб изображения.
Коэффициент пропускания
т = т1т2т8т4,	(21.9)
где — коэффициент пропускания осветительной системы; т2 —
коэффициент пропускания обтюратора (в случае кинопроекции);
т3 —* коэффициент пропускания проекционного объектива; т4 —
коэффициент пропускания за счет потерь на теплофильтрах, в
кадровом окне.
Следует разъяснить понятие коэффициента пропускания обтю¬
ратора,	который	периодически открывает	объектив проектора.
Это	обусловлено	принципом кинопроекции,	так	как во	время
406

очередного протаскивания кинопленки должно быть перекрыто
действующее отверстие проекционного объектива. Частота пере¬
крытия определяется той критической частотой, при которой глаз
наблюдателя не воспринимает мелькания изображения, что состав¬
ляет 4-8 Гц при частоте демонстрации 24 кадр/с и двухлопастном
обтюраторе.
По закону Тальбота (см. п. 17.7) «кажущаяся» яркость L экрана
будет ниже истинной L — см. формулу (17.6), Указанное явление
должно быть учтено при расчете осветительной системы при
проекции.
Отношение полезного светового потока Фп к полному световому
потоку источника света Ф называется коэффициентом использова¬
ния светового потока (в %)
Г] = (Фц/Ф) 100.	(21.10)
Этот коэффициент зависит от типа источника света: яркости и
распределения яркости светящегося тела, его размеров и формы.
Существенным образом световой поток ослабляется оптической
системой проектора. С учетом коэффициента в формуле (21.9)
коэффициент использования светового потока для различного вида
проекторов составляет 1 ...13%.
21.3.	ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПРОЕКЦИОННЫХ
СИСТЕМ
В качестве источников света при проекции приме¬
няются лампы накаливания, электрические пламенные дуги,
газоразрядные лампы сверхвысокого давления, импульсные лампы.
К числу основных параметров источников света относятся
следующие:
яркость; наиболее яркими источниками света являются элек¬
трические пламенные дуговые лампы высокой интенсивности
(1800...2000 Мкд/м2) и электроразрядные дуговые лампы сверх¬
высокого давления (ртутные и ксеноновые, 250...1200 Мкд/м2);
световая отдача, представляющая собой отношение светового
потока, испускаемого лампой, к потребляемой мощности; эта
величина достигает значений от 20 лм/Вт для ламп накаливания
до 60 лм/Вт для высоковольтных пламенных дуг и электроразряд-
ных дуговых ламп сверхвысокого давления;
равномерно распределенная яркость светящейся поверхности
и стабильность излучения (допустимые отклонения не должны
превышать 10%);
спектральный состав излучения, который должен быть близким
к спектральному составу дневного солнечного света. Этому требо¬
ванию в большей мере отвечают пламенные дуги высокой интенсив¬
ности и газоразрядные лампы сверхвысокого давления.
Дадим краткое описание указанных источников света.
Электрические лампы накаливания. Температура нити лампы
составляет 3200 К, при этом световой поток различных проекцион¬
407

ных ламп накаливания составляет 500...2-10* лм и выше. Важней¬
шей характеристикой кинопроекционной лампы накаливания
является габаритная яркость тела накала. Габаритной яркостью
называется отношение силы света к площади всего тела накала,
включая несветящиеся промежутки между витками спирали и
между спиралями. Габаритная яркость ламп накаливания дости¬
гает 30 Мкд/м2. Форма тела накала должна быть близка к форме
кадрового окна. Электрические лампы накаливания применяют
в основном в любительских и передвижных кинопроекторах и
проекторах.
Электрическая пламенная дуга. Этот источник представляет
собой дуговой разряд через воздушный промежуток между уголь
ными электродами. При разряде развивается температура до
3800 К; при этом электроды, состоящие из графита, сажи, кокса
или их смеси, испаряются и их раскаленные частицы вместе с
газами дают яркое свечение. Яркость пламенных дуг достигает
180...300 Мкд/ма. Пламенные дуги высокой интенсивности имеют
яркость 1800...2000 Мкд/ма. Такая яркость достигается за счет
того, что в фитильной массе анода имеются оксиды редкоземель¬
ных элементов (церия, лантана, тория). Электрические пламенные
дуги используют в мощных стационарных кинопроекторах.
Газоразрядные лампы высокого давления. В этих источниках
света используется излучение электролюменесценции газов или
паров металлов, возникающее под действием проходящего через
них электрического тока. В качестве источников света приме¬
няются ртутные и ксеноновые лампы сверхвысокого давления
типа СВДШ:
Ртутные шаровые лампы сверхвысокого давления представляют
собой шаровую кварцевую колбу из толстого стекла, в которую
впаяны два вольфрамовых электрода. Лампы наполняют ртутью
и инертными газами таким образом, чтобы после зажигания и испа¬
рения ртути давление внутри лампы составляло для ламп различ¬
ной мощности Юв...7‘106 Па. Лампы питаются от сети с напряже¬
нием 220 и 127 В и ниже. Максимальная яркость в центральной
части разряда составляет 250...1200 Мкд/м2.
Ксеноновые дуговые лампы сверхвысокого давления имеют проч¬
ную кварцевую колбу шаровой формы, в которую впаяны два
вольфрамовых электрода. Лампа заполнена ксеноном. При зажи¬
гании между электродами возникает электрическая дуга. Ксено¬
новые лампы малоинерционны и имеют непрерывный спектр излу¬
чения, совпадающий со спектром дневного света. Яркость ксеноно-
вых ламп 250... 1200 Мкд/м2. Благодаря указанным свойствам
эти лампы широко применяются в проекционных системах.
21.4.	ДИАСКОПИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Диаскопическая проекционная система состоит из
источника света, осветительной системы, кадрового окна для уста¬
новки диапозитива, проекционного объектива и экрана. Проек¬
408

Рис. 21.3. Диаскопическая проекция. Осветительная система образует изобра
жение источника света:
а — во входном зрачке проекционного объектива; б — в плоскости кадрового окна
ционная система должна направлять через каждую точку проеци¬
руемого диапозитива пучки света примерно равной апертуры,
заполняющие входной зрачок проекционного объектива.
Существуют два варианта оптической схемы диапроекции. В
схеме первого варианта осветительная система образует изображе¬
ние источника света во входном зрачке проекционного объектива
или вблизи него. Во втором варианте — осветительная система
образует изображение источника света в плоскости кадрового окна
или вблизи него. Последняя схема требует применения источника
света со сплошным свечением (ленточная лампа или пламенная
дуга), поскольку структура источника изображается в плоскости
предмета.
Оптическая схема проекционной системы в первом варианте
изображена на рис. 21.3, а. Источник света Л диаметром £)и
осветительной системой (конденсором К) изображается в плоскости
входного зрачка диаметром £>вх проекционного объектива Об.
Предмет высотой у находится в кадровом окне КО вблизи от кон¬
денсора К и проецируется объективом Об на экран Э. На основе
закона синусов получим рок — —DVX/DH = sin <jOXB/sin о'о6;
sin cjp6 = yjp, где рок — увеличение осветителя; аохв — апертур¬
ный угол осветителя со стороны источника света; о£б — апертур-
409

ный угол осветителя со стороны объектива; у — половина диаго¬
нали кадра; р — расстояние от диапозитива до входного зрачка.
Имея в виду, что р » f'o6 и DBX//' = l/К, получим
£)и sin <тохв == у/К,	(21	*11)
где К — величина, обратная относительному отверстию проек¬
ционного объектива (диафрагменное число).
Формула (2.11) связывает основные геометрические (Dn) и
оптические. параметры источника света, осветительной системы
(sin аохв), кадрового окна (у) и проекционного объектива (К)-
На рис. 21.3, б представлена оптическая схема проекционной
системы во втором варианте. В этом случае источник света диамет¬
ром £>и осветительной системой (конденсором К) строится в плос¬
кости кадрового окна КО. Так же, как и прежде, предмет высотой
у находится в кадровом окне КО и его изображение посредством
проекционного объектива Об строится на экране.
На основании условия синусов увеличение конденсора рок =
= sin o^/sin сгоб =—2у/йю где ооб — апертурный угол объек¬
тива со стороны кадрового окна, остальные обозначения прежние,
причем при р « /'б sin аоб= £>вх/(2/'б) = —1 /(2/С). Из последних
выражений снова получаем формулу (21.11).
Таким образом, в этом случае формула (21.11) также связывает
основные оптические и геометрические параметры проекционной
системы.
Освещенность изображения при рР = 1 и р0 > 1 определяется
как
Е ■= (я/4) Lx (£ВХ//Об)2/Ро>	(21.12)
где L — габаритная яркость источника света; т — коэффициент
пропускания проекционной системы.
Из формулы (21.12) получим
Е' »0,75Х.т/(К2Ро).	(21.13)
Формула (21.13) связывает требуемую освещенность изображе¬
ния на экране с яркостью источника света и физической свето¬
силой проекционной системы. Формулы (21.8) и (21.13) могут
служить для расчета проекционной системы.
Увеличение поля проекционной системы приводит к виньетиро¬
ванию изображения на краю поля; этого можно избежать путем
увеличения поперечных размеров (светосилы) осветительной сис¬
темы и проекционного объектива, а также за счет применения
промежуточных диоптрических систем, которые оптически сопря¬
гают выходной зрачок конденсора с плоскостью входного зрачка
проекционного объектива либо с плоскостью кадрового окна.
Из рис. 21.3, а видно, что при большой светосиле проекцион¬
ного объектива и больших размерах кадрового окна диаметр
конденсора может иметь большие размеры.
410

Об
К	СЛ	Об
б)
Рис. 21.4. Диаскопическая проекция:
а — е линзой-коллективом; б — в лннэой-реле
Для уменьшения поперечных размеров осветительной системы
применен коллектив Кл (рис. 21.4, а), который оптически сопря¬
гает выходной зрачок Р'к конденсора К с плоскостью входного
зрачка Р объектива Об. Для расчета коллектива можно применить
формулы идеальной оптической системы. Из рис. 21.4
= - Р/(1 - Рок) = - «;р«/р - Рок),	(21.14)
где Рок — —P/a'i — линейное увеличение коллектива.
При	этом	пучок лучей от светящегося тела	источника света
заполняет	действующие отверстия осветительной	системы	и вход¬
ного зрачка проекционного объектива.
Световой диаметр осветительной системы при этом будет
DK = °о«/Рок.	(21.15)
На рис. 21.4, б представлена принципиальная схема системы,
в которой изображение источника света Л строится в плоскости
входного зрачка объектива. Для уменьшения поперечных размеров
системы применена специальная линза-реле СЛ, которая оптиче¬
ски сопрягает выходной зрачок конденсора Р'к с плоскостью
кадрового окна КО. Для расчета этой системы также можно при¬
менить формулы идеальной оптической системы.
411

21.5.	ОСВЕТИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ДЛЯ ДИАСКОПИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
Осветительные системы служат для равномерного
освещения проецируемого предмета. Находят применение кон¬
денсоры (линзовые системы), зеркальные и зеркально-линзовые
системы.
Основными параметрами конденсоров являются угол охвата
аохв и линейное увеличение |30К, принятое для построения источ¬
ника света. Конденсоры имеют значительные сферические и хро¬
матические аберрации, зависящие от угла охвата. Увеличение
аберраций приводит к неравномерной освещенности экрана,
поэтому угол охвата и увеличение конденсора должны соответ¬
ствовать его типу. В зависимости от угла охвата применяются
однолинзовые, двухлинзовые, трехлинзовые, четырехлинзовые
и даже пятилинзовые конденсоры.
Ниже описаны отдельные типы осветительных систем.
Однолинзовый конденсор (рис. 21.5, а), представляющий собой
двояковыпуклую линзу, применяется при углах охвата 2аохв =
= 15° и линейном увеличении |30к = —Ь Если однолизовый кон¬
денсор рассчитан на минимум сферической аберрации, то прини¬
мают угол охвата 2стохв = 25° и увеличение {30К = —1.
Переход к двухлинзовым системам позволяет повысить углы
охвата до 50...60° при пониженных требованиях к концентрации
лучей конденсорной системой. Дальнейшее увеличение угла охвата
приводит либо к использованию трехлинзовых конденсоров, либо
к применению двухлинзовых систем с одной асферической поверх¬
ностью.
В зависимости от увеличения конденсора оказывается рацио¬
нальным применять следующие системы:
конденсор из двух плосковыпуклых линз (рис. 21.5, б) наиболее
приемлем для увеличения рон = —1...3 и углах охвата не более
2а0хв — 50...60°;
двухлинзовый конденсор из линз, рассчитанных на минимум
сферической аберрации (рис. 21.5, б), рационален для увеличения
Рок = —4..Л0 и углов охвата до 2аохв =?= 50...60°;
конденсор из апланатического мениска и линзы, рассчитанной
на минимум сферической аберрации, применяется при больших
увеличениях рок — —10...15 и углах охвата не более 2аохв =
= 60° (рис. 21.5, г).
Для увеличения угла охвата до 70...75° применяют трехлинзо-
вые конденсорные системы, состоящие либо из линз, рассчитанных
на минимум сферической аберрации (рис. 2L5, д), либо из двух
плосковыпуклых линз и апланатического мениска (рис. 21.5, е).
Апланатическая линза позволяет увеличить угол охвата до 75°,
не внося при этом сферической аберрации и комы. Линейное уве¬
личение таких конденсоров составляет —1,5...—4,5.
При повышенных требованиях к концентрации пучков лучей
конденсорной системой для достижения углов охвата до 90° при-

а)
Рис. 21.5. Осветительные системы различных типов
меняют четырехлинзовую систему с двумя апланатическими
менисками, которая имеет увеличение в диапазоне —2...—б
(рис. 21.5, ж). Однако конденсоры такого типа имеют малое рабо¬
чее расстояние Sj и поэтому, если согласно энергетическим расчетам
требуется угол охвата порядка 90°, рациональнее применять
четырехлинзовую систему, представленную на рис. 21.5, з.
Асферизация одной из поверхностей линз конденсора позволяет
при данном угле охвата исключить одну линзу из системы.
Иногда в осветительных диоптрических системах применяют
добавочное сферическое зеркало, в центре кривизны которого
располагают нить накала источника света (рис. 21.5, и). В такой
системе изображения отдельных секций светящегося тела оказы¬
ваются расположенными между соответствующими секциями источ¬
ника света. Это обеспечивает увеличение габаритной яркости на
15...25% (в зависимости от структуры светящегося поля).
413

21.6.	ГАБАРИТНЫЙ И СВЕТОВОЙ РАСЧЕТ ПРИ
ДИАСКОПИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
Габаритный и световой расчет оптической системы
при диаскопической проекции состоит в определении габаритных
размеров демонстрационного зала, оптических параметров освети¬
тельной и проекционной систем и выборе источника света. Исход¬
ными данными для расчета являются формат диапозитива с X Ь,
освещенность экрана, расстояние от экрана до проекционного аппа¬
рата, разрешающая способность диапозитива.
Пример 21.2. Провести габаритный и световой расчет оптической системы
при диаскопической проекции. Начальные данные и габаритный расчет демон¬
страционного зала для показа обычного кинофильма на 35-миллиметровой кино¬
пленке возьмем из примера 21.1, а именно: размер кадра 15,2x20,7 мм, размеры
кинозала 37x12x7 м. Разрешающая способность диапозитива N — 30 мм-1,
освещенность экрана Е' =60 лк.
Решение. Из данных примера 21.1 имеем: увеличение системы при проек¬
ции р0 = —350; объектив ОП-9-4 (= 100 мм, D/f'o6 = 1/2, 2со' = 17°, коэф¬
фициент пропускания т3 = 0,90, разрешающая способность в центре N0 —
= 80 мм-1, на краю поля N— 35 мм-1). Для улучшения качества изображения
принимаем К — 4.
1.	На основании данных для выбранного объектива (величина /С), заданных
размеров диапозитива (величина у, где у =112 = (с2 -j— b*){f2i2 = 13) и принятых
размеров светящегося тела (Dn — 15 мм) определяем оохв осветительной системы
по формуле (21.11).
Для нашего случая оохв = arcsin (—y/KDn) — 24°.
2.	Найдем увеличение конденсора при условии, что изображение источника
света строится в плоскости ‘Входного зрачка объектива, по формуле Р0к ~
= co6/d„ =
3.	На основании параметров конденсора выбираем двухлинзовую систему
с линзами, рассчитанными на минимум сферической аберрации (см. п. 21.5).
Выполним расчет осветительной системы.
4.	Проведем световой расчет посекционной системы на основании формулы
(21.13).	у
5.	По формуле (21.13), принимая^ освещенность экрана (без диапозитива)
Е' — 60 л к и определяя коэффициент пропускания всей осветительной и про¬
екционной системы по формуле (21.9) т = т1тат3т4 = 0,15, получаем габарит¬
ную яркость источника света L = Е'К2$ 1/0,75х —■ 165 Мкд/мй.
6.	На основании габаритной яркости L и размеров Ош выбираем в качестве
источника света ксеноновую дуговую лампу сверхвысокого давления ДРШ-1000
(Ф = 53 * 103 лм, длина дуги 12 мм).
7.	Принимая среднюю яркость экрана без диапозитива (см. п. 21.1) LCp =
—	35 кд/м2, определим коэффициент яркости экрана г — LCpJi/£" ~ 1,83.
Как следует из результатов расчета, в данном случае должен быть применен
экран направленного действия с коэффициентом яркости гшах = 2,0.
21.7.	ЭПИСКОПИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ. ЭПИДИАСКОПЫ
Принципиальная схема эпископической проекцион¬
ной системы представлена на рис. 21.6, а. Предмет Я освещается
источниками света 1г и /2, и посредством зеркала 3 и проекцион¬
ного объектива Об его изображение строится на экране Э. Увели¬
чение при проекции (рис. 21.6, б)
Ро — y'ly — а*!а,	{21.16)
414

б)
Рис.	21.6.	Принципиальная схема эпископической	проекции
где	у'	—требуемый размер изображения	и	экрана; у — размер
проецируемого объекта.
Фокусное расстояние проекционного объектива может быть
определено по формуле
/'о« = а7(1-Ро)-	(2117>
где а' — расстояние от’объектива до экрана.
Необходимое угловое поле проекционного объектива рассчи¬
тывают по формуле
tg ® = (hl2aP-) («* + fc2)'/2-	(21.18)
У
где a'p' — расстояние от выходного зрачка объектива до изображе¬
ния; с и b — размеры диапозитива (предмета).
Без потери в точности расчетов можно принять, что а'р> — а'.
Размеры поворотного зеркала I определяют из расчета хода поле¬
вых лучей при построении изображения на экране. Эта задача
может быть также решена графически.
Суммарная освещенность в середине предмета
k~m
Ео=	2	<21-19)
k=\
где lk — сила света источника, кд; % — угол между нормалью
к предмету и направлением от его центра на источник света;
Rh — расстояние от центра предмета до источника света, м.
Яркость диффузно отражающего предмета при коэффициенте
отражения р, постоянном для всей площади предмета, находится
как
L0 = рЕ0/п.	(21.20)
Освещенность на	экране	Е' может быть	определена по формуле
Е‘ = к V	(О//'0б)7[4 (1 - f!0)2],	(21.21)
гдет = р3тоб — коэффициент пропускания проекционной системы;
р3 — коэффициент отражения зеркала; тоб — коэффициент про¬
пускания объектива.
415

При расчете эпископической проекционной системы по форму¬
лам (21.16)—(21.21) следует выбирать наиболее светосильный
объектив, затем, задаваясь освещенностью изображения на экране,
на основании формул (21.19)—(21,21) находить необходимую осве¬
щенность предмета, силу света и число осветительных ламп. При
этом, если лампы одинаковые и расположены симметрично относи¬
тельно предмета, т. е. R и е одинаковы для всех ламп, то суммар¬
ную силу света, равную 1т (где т — число ламп), можно найти
из (21.19):
]т — RZE „/cos е.	(21.22)
Выбрав осветительную лампу с определенной силой света,
определяем необходимое число таких ламп.
Существуют проекционные приборы, в которых соединены
диаскопическая и эпископическая части в одном общем корпусе,
такие приборы называют эпидиаскопами.
21.8.	ПРОЕКЦИОННЫЕ ОБЪЕКТИВЫ
Качество проекции в большой мере зависит от свойств
проекционного объектива, который должен обеспечивать:
распределение освещенности изображения на экране соответ¬
ственно распределению яркости на диапозитиве (т. е. объектив
не должен иметь виньетирования);
четкое изображение проецируемой картины и ее деталей,
а также правильную передачу контраста;
сохранение геометрического подобия проецируемой картины
при проекции на экран.
Проекционные объективы можно классифицировать по области
их применения:
объективы для кинопроекции любительских 8-миллиметровых
кинофильмов; 16-миллиметровых кинофильмов; 35-миллиметровых
кинофильмов; 70-миллиметровых (широкоформатных) фильмов;
для диаскопической и эпископической проекции (фотографиче¬
ские объективы с большим полем, достигающим 18x24 см);
объективы для репрографии (проекционные системы для созда¬
ния микрофиш).
Г Л А В А 22. СТЕРЕОСКОПИЧЕСКИЕ ОПТИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
22.1.	ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ДЕЙСТВИЯ
СТЕРЕОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
Как известно, при рассматривании предметов одно¬
временно двумя глазами изображения, видимые правым и левым
глазом, сливаются в одно пространственное изображение. Однако
стереоскопический эффект при бинокулярном зрении имеет огра-
416

Чч
Рис. 22.1. Система телестереоскопа Рис. 22.2. Принципиальная оптиче¬
ская схема призменного бинокля:
1 — объектив; 2 — система Порро I роде;
3 — окуляр
ничения, связанные с малыми размерами базиса при рассматрива¬
нии (база глаз), а также ограниченной разрешающей способностью
глаз. Для усиления стереоскопического эффекта применяются
различного вида стереоскопические приборы.
Различают стереоскопические приборы:
визуального наблюдения (простой стереоскоп, телестереоскоп,
бинокль, стереотруба, стереодальномер и т. п.);
для стереофотографии — получения стереопар (спаренные
фото- и кинокамеры, стереонасадка для стереофотографирования
и киносъемки с помощью одиночных фото- и кинокамер, аэрофото¬
камеры и т. п.);
для наблюдения и стереофотограмметрической обработки
стереопар (простой зеркальный стереоскоп, стереокомпаратор,
стереометр, стереопланиграф, стереомультиплекс и т. п.).
Стереоскопический эффект зависит от угла зрительного охвата
предмета. Угол охвата можно увеличить или с помощью телескопи¬
ческой системы, или увеличивая базис рассматривания.
Базис, с которого рассматривается предмет, можно увеличить,
применив простую стереоскопическую систему (рис. 22.1). Лучи
от предмета А с помощью зеркал 31 и 32, а также 33 и 34 направ¬
ляются в оба глаза наблюдателя. Стереоскопическим базисом рас¬
сматривания при этом является расстояние УИ1М2 = В, которое
может быть выбрано значительно большим, чем глазной базис
тгт2 — bt так что В = qb, где q > 1. Увеличение базиса, как это
видно из формул (17.19) и (17.20), приводит к увеличению радиуса и
остроты стереоскопического видения в q раз. Величина q = Bjb
называется удельной пластикой прибора. Такой прибор называется
простым стереоскопом.
14 п	Л vrirmM \с я
417

1 z
Рис. 22.3. Принципиаль- Рис. 22.4. Принципиальная оптическая схема стерео-
ная оптическая схема дальномера
стереотрубы
Если описанный выше прибор снабдить телескопическими сис¬
темами в каждой ветви так, как это показано на рис. 22.1 штрихо¬
вой линией, то мы получим систему телестереоскопа. Эта система
увеличивает углы в пространстве изображений в у0 раз (у0 — угло¬
вое увеличение). Поэтому предельная острота стереоскопического
видения Ar(T будет уменьшена в 70 раз, т. е. Дтц = Аг\/у0. Под¬
ставив в формулу (17.19) значение увеличенного базиса В и новое
значение остроты стереоскопического видения Aiqv, получим
R—qy0b/ Ат],	(22.1)
т. е. радиус стереоскопического видения изменяется прямо про¬
порционально изменению увеличения зрительного прибора и
базиса рассматривания. Общее увеличение радиуса стереоскопи¬
ческого видения пропорционально произведению
Q — ЯУ о>	(22.2)
которое называется полной пластикой.
Искусственное усиление стереоскопического эффекта назы¬
вается гиперстеюеоскопией. Описанная система применяется в
приборах для стереоскопического рассматривания удаленных
предметов: в биноклях (рис. 22.2), стереотрубах (рис. 22.3),
стереодальномерах (рис. 22.4) и т. п.
22.2.	СТЕРЕОСКОПИЧЕСКАЯ ФОТОГРАФИЯ.
ПЛАСТИКА ПРИ РАССМАТРИВАНИИ СТЕРЕОСНИМКОВ
В СТЕРЕОСКОП
Стереоскопическая фотография основана на исполь¬
зовании стереоскопического видения. Стереоскопический эффект
возникает не только при рассматривании двумя глазами точек дей¬
ствительного пространства, но также при рассматривании двумя
глазами двух фотографических, изображений этого пространства.
418

На рис. 22.5 изображены две фотокамеры с объективами,
расположенными в точках Oj и 03. В фокальных плоскостях Q± и
Q2 расположены фотопластины; расстояние Ог02 — В— базис
съемки; А — точка фиксации; — фокусное расстояние камеры.
В результате фотосъемки получаем два фотоснимка, которые
образуют стереопару. Из подобия треугольников 0\А02 и А{АА£
получаем (—уг + В + у2)/В = {R + f'K)/R, откуда
Здесь, как и ранее, разность уг — У\~ р является линейным
параллаксом. Из рис. 22.5 видно, что для плоскости N величина р
остается постоянной. Для точек, находящихся в бесконечности
Приборы, с помощью которых рассматриваются стереопары,
называются стереоскопами. При больших форматах снимков
расстояние между их центрами даже при перекрытии превышает
глазной базис. Вместе с тем для наиболее благоприятных условий
наблюдения необходимо, чтобы оси глаз были бы взаимно парал¬
лельными. Для этого может служить простой зеркальный стерео¬
скоп, показанный на рис. 22.1, если в нем исключить телескопиче¬
ские системы, либо стереоскоп с линзами, установленными перед
глазами наблюдателя, которые играют роль луп для рассматрива¬
ния стереоснимков (простой зеркально-линзовый стереоскоп).
Итак, после превращения снимков в позитивные изображения
развернем каждый из них на 180° и рассмотрим двумя глазами
через две лупы, образующие стереоскоп (рис. 22.6).* Из рис. 22.6
находим A'[A\{b = (b + у\ — y2)lb — (г — f'„)/r, откуда
y2 — yt = P = Bf'jR.
(22.3)
(R — оо), р = 0.
У2	У\~ Р ~ bf’jr.
(22.4)
N
Рис. 22.5. Схема получения стерео- Риг. 22.6. Схема стерр^скопа
скопических снимков

Приравняв правые части (22.3) и (22.4), найдем положение
точки /4' при рассматривании в стереоскоп:
г = bf„RI(BfK).	(22.5)
Продифференцируем (22.5) по переменным г и R и заменим
дифференциалы приращениями, тогда
Ar=(b/B)(f'Jf'K)AR.	(22.6)
Воображаемое пространство, видимое наблюдателем при рас¬
сматривании стереоскопических снимков, отличается от действи¬
тельного пространства. Эта разница зависит от коэффициентов
Ь/В и /л//к. Если Ь < В и /л < /к, то г < R, т. е. воображаемое
пространство сжато по глубине; если 5 > Л и fi > /к, то г > .R —
воображаемое пространство растянуто по глубине.
Если рассматривать стереоснимки в лупу с фокусным расстоя¬
нием, равным фокусным расстояниям фотокамер при базисе съемки,
равном глазному базису (т. е. = /£; Ь ~ В)у то Дг = AR, т. е.
рассматриваемое в стереоскоп изображение будет геометрически
подобно действительному пространству. Из формулы (17.20)
может быть найдена острота стереоскопического зрения Дг| —
= —bAR/R\
При рассматривании в стереоскоп ДR = Дг, R = г; тогда
острота стереоскопического видения при рассматривании в стерео¬
скоп с учетом (22.5) будет
ДгГ = в£д«/(/;кг);	(22.7)
отношение
At)'/&4 = (B/b)(f'jQ.	'	(22.8)
Здесь В/b — удельная пластика прибора; fjf„ — угловое увели¬
чение телескопической системы, состоящей из объектива фото¬
камеры и лупы, т. е.
Дт]7Дг| = qy0 = Q	(22.9)
есть полная пластика прибора.
Таким	образом,	полная пластика прибора	— это	отношение
оптической	остроты	стереоскопического видения	при	рассматри¬
вании фотоизображения действительного пространства в стерео¬
скоп к остроте стереоскопического видения при рассматривании
пространства невооруженными глазами.
Имея в виду, что В/b = q, а /к//л = Vo — Гт, перепишем фор¬
мулы (22.5) и (22.6)
г = R/(qTT) = R/Q;	(22.10)
Дг = AR/(qVT) = AR/Q.	(22.11)
Пример 22.1. Определить необходимый базис при съемке фототеодолитом
местности, начиная с расстояния R = 25 м, и остроту стереоскопического виде¬
ния. Фокусное расстояние камеры /^ = 210 мм. Стереопара рассматривается
в стереоскоп с увеличением Гл = 1,5х.
420

Решение. 1. Рассчитаем фокусное расстояние лупы стереоскопа по формул?.
(19.4): /л = 250/Гл = 167 мм.
2.	Определим базис съемки при аккомодации глаза на расстоянии наилуч¬
шего видения. Из формулы. (22.5), приняв AR = 250 мм и R = 25 м, получим
В = Rbfy(250f±) = 5,1 м.
3.	По формуле (22.6) найдем остроту стереоскопического видения стереоско¬
пического образа. Подставляя значение ДR из (17.20) и принимая Дг) — 10",
получаем Дг = f^A-t\R2f^Bf'Kj ж 5 мм.
Для лупы с Гп = 1,5х найдем следующее значение аккомодационной глу¬
бины изображения: Дга = 250 /Г2 =110 мм, что обеспечивает рассмотрение сте¬
реоскопического образа.
22.3.	ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПРИБОРОВ
ДЛЯ СТЕРЕОФОТОГРАФИИ И КИНОСЪЕМКИ
Стереоскопические фотография и кинематография
широко используются для получения любительских стереосним¬
ков, стереоскопических кинофильмов в аэрофототопографии и
картографии, а также при научных исследованиях: в археологии,
палеонтологии, архитектуре, метеорологии; при физических
исследованиях движения частей механизмов, электрических раз¬
рядов, перемещения элементарных частиц, взрывных процессов,
высокотемпературной плазмы и т. п.
Существуют различные методы стереоскопической фото- и
киносъемки, остановимся на них.
Стереосъемка двумя спаренными фото- или кинокамерами.
Оси фото- или кинокамер в таком случае устанавливают либо
параллельно, либо под некоторым углом конвергенции. При не¬
подвижном предмете съемка может быть произведена одним фото¬
аппаратом, последовательно установленным в каждой точке
базиса. В этом случае может быть применена маршрутная аэро¬
фотосъемка, которая производится с самолета, пролетающего
параллельными маршрутами с необходимым перекрытием снимков.
При подвижном предмете применяют два аппарата, установленных
по концам базиса. Экспонирование кадров при этом производится
одновременно. Если скорость перемещающегося предмета равна
v, то допустимая разница At во времени начала экспонирования
может быть определена по формуле
Д t = б/v = l/(Nv),
где б = 1 (N — допустимый сдвиг изображения; N — разрешаю¬
щая способность на фотоснимке, мм-1.
При стереокиносъемке двумя аппаратами должны быть соблю¬
дены два условия: аппараты должны работать синхронно, т. е.
при одинаковой частоте съемки, и синфазно, т. е. когда экспониро¬
вание в обоих аппаратах осуществляется одновременно. Для этого
два аппарата связывают одним рабочим валом.
При некотором снижении качества стереоскопического образа
можно применить метод биения частот, когда частота съемки
421

аппаратов отличается, но все ^же
стереопары на кинопленке могут
быть найдены для моментов одно¬
временного времени экспонирова¬
ния. При этом, естественно, сни¬
жается частота стереосъемки.
Стереосъемка с помощью одной
камеры с разделением поля. На
рис. 22.7 представлена стереоско¬
пическая насадка, установленная
перед входным объективом Об
фото- или кинокамеры. Она по¬
зволяет получить два снимка С7,
С2. предмета А на одном кадре при
некотором угле конвергенции т|.
При этом кадр специальной поле¬
вой диафрагмой делится на две
части, а объектив прибора рабо¬
тает с некоторым виньетирова¬
нием. Недостатком такой системы является уменьшение площади
кадра вдвое.
Стереосъемка посредством одной камеры с разделением зрачка
входа (рис. 22.8). Лучи света от предмета А попадают в перископи¬
ческую приставку 1 и заполняют две апертурные диафрагмы 2,
совпадающие со зрачком входа объектива 3, который вместе с
коллективом 4 строит изображение предмета в плоскости вращаю¬
щегося зеркала 5, откуда его изображение малыми (так называе¬
мыми коммутирующими) линзами 6 передается на кинопленку 7.
Коллектив 4 строит изображение апертурной диафрагмы 2 в районе
линз 6. Эти изображения являются выходными зрачками системы
для двух рядов линз 6.
При вращении зеркала 5 выходные зрачки системы переме¬
щаются по коммутирующим линзам 6, и при каждом совпадении
выходного зрачка с действующим отверстием коммутирующей
линзы за ней на кинопленке появляется изображение предмета,
соответствующее данному моменту времени. Здесь используется
Рис. 22.7. Схема стереонасадки к
фото- или киноаппарату:
Об — объектив; С1 и С2 — кадрн
стереопары; Р — зона перекрытия
снимков
Рис. 22.8. Принципиальная схема высокоскоростной стереоскопической фото¬
камеры
422

принцип оптико-механической коммутации. В результате полу¬
чается два ряда изобоажений предмета, каждая пара которых по
вертикали (Qi' и Q£) является стереопарой.
Такое устройство применено в ряде высокоскоростных фото¬
графических камер и позволяет производить стереосъемку быстро-
протекающих процессов без уменьшения размеров изобра¬
жений.
Удельная пластика рассматриваемого прибора может быть
определена по формуле q = В/Ь, где В — база стереонасадки;
b — база глаз наблюдателя. Полная пластика прибора
Q = <//л>	(22.12)
где /к = /обРк. л — эквивалентное фокусное расстояние камеры;
fоб — фокусное расстояние объектива фотокамеры; ркл — увели¬
чение коммутирующей линзы; /л — фокусное расстояние лупы
в стереоскопе.
Пример 22.2. Определить полную пластику, радиус и остроту стереоскопи¬
ческого видения пои съемке быстропротекающих процессов камерой В ФУ со
стереонасадкой. База стереонасадки В —600 мм, фокусное расстояние камеры
= 60 мм. Стереопара, увеличенная при печати в 3 раза, рассматривается в сте¬
реоскоп с увеличением Гл = 1,5х.
Решение. 1. Вычислим сЬокусное расстояние лупы стереоскопа по формуле
(19.4): f'n = 250/Гд = 167 мм.
2.	Определим фокусное расстояние фотокамеры с учетом увеличения §у
при печати: f'K =	180 мм.
3.	Найдем полную пластику системы по формуле (22.2): Q = Bf'K y/bf'^ 10.
4.	Определим радиус стереоскопического видения при рассматривании сним¬
ков с расстояния наилучшего видения г = 250 мм. По формуле (22.12) R — rQ =
= 2500 мм.
5.	Вычислим остроту стереоскопического видения по формуле (22.11). Ак¬
комодационная глубина лупы стереоскопа А = 250/TJ = 110 мм, тогда, прини¬
мая А г = А, получаем A R = A rQ = 1100 мм.
6.	Учитывая аккомодационную глубину лупы стереоскопа Д = 110 мм,
находим Гб = 140 мм, где гб определяет положение ближней точки наблюдения
в стереоскоп. Тогда Rq — 1400 мм, т. е. камера позволяет при принятых условиях
стереоскопически наблюдать пространство в диапазоне 1,4 ... 2,5 м.
22.4.	ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПРИБОРОВ
ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ СТЕРЕОСНИМКОВ
Как было установлено, удобным прибором для рас¬
сматривания стереоснимков является линзовый стереоскоп (см.
рис. 22.3), Однако простой линзовый стереоскоп имеет малую базу,
не превышающую базу глаз. Переход к зеркально-линзовому сте¬
реоскопу позволяет увеличить расстояние между снимками, т. е.
наблюдать снимки большего формата, а также увеличить пластику
при рассматривании стереопар.
Зеркально^линзовый стереоскоп. Принципиальная схема зер¬
кально-линзового стереоскопа для наблюдения стереоскопических
423

снимков представлена на рис. 22.9. При
расстоянии наилучшего видения L =
—	250 мм фокусное расстояние лупы
должно уменьшаться и лупы должны на¬
ходиться между зеркалами. Это приводит
к тому, что увеличивается расстояние до
зрачков глаз и ограничивается увеличе¬
ние лупы до значений 1,5...1,8х. Между
тем в приборах, применяемых в ряде об¬
ластей науки и техники (фотографии, аэро¬
фототопографии, а также в приборах
для научных исследований и т. п.), тре¬
буется большая полная пластика.
Поскольку расстояние между осями
входных систем зеркально-линзового
стереоскопа на полную пластику системы
не влияет [см. формулу (22.8) ], необходимо повысить увеличение
при наблюдении стереоснимков, т. е. перейти к более сложной
оптической системе.
Для наблюдения всей перекрытой зоны (см. рис. 22.9) можно
перемещать либо снимки стереопары, либо всю оптическую систему
относительно снимков. Практически при опоеделении параллакса
по обеим осям снимка используют оба способа: вдоль линии базиса
перемещают сами снимки, а в направлении, перпендикулярном
базису, — наблюдательную систему. При этом из эргономических
соображений необходимо обеспечить неподвижность наблюдателя,
т. е. окулярной головки.
На рис. 22.10 представлена рассмотренная система. Лучи
света от стереопары, отражаясь от зеркала 3, попадают в объектив
Об, из которого выходит параллельный пучок лучей, который
направляется в телескопическую систему, а затем в глаз наблю¬
дателя. Определим основные параметры такой системы. Из
рис. 22.10 следует, что у — f\ tg ©; у' — f'2 tg to', здесь —со — со'.
Тогда линейное увеличение ро части оптической системы, располо¬
женной перед окуляром, будет р0 — У'/У = Wfi — —/2//1 • Зада-
ь
Рис. 22.9. Зеркально-лин¬
зовый стереоскоп:
Ci, С2 — фотоснимки; С1\
С2*	— их изображения;
Р — перекрытие
Плоскость снимка.
Рис. 22.10. Система микроскопа с телескопической трубкой
424

Рис. 22.11. Принципиальная
стереокомпаратора
схема
ваясь фокусным расстоянием
окуляра /ок, найдем его угло¬
вое поле: tg (DqK = y'/foK-
Определим видимое увели¬
чение всей системы
Г = Ч ®ок/^'а = (250/f/) (g'/f'OK)
или
Г = Ро250//ок = Ро Ток. (22.13)
Такая система позволяет
наблюдать весь снимок вдоль
линии визирования, и при этом
окуляр остается неподвижным.
Стереокомпаратор. Описанную выше оптическую систему при¬
меняют в ряде приборов (стереокомпараторе, стереометре и др.),
которые служат для измерения координат и параллаксов точек
на снимках. Остановимся кратко на оптической системе стерео¬
компаратора.
Принципиальная оптическая схема стереокомпаратора пред¬
ставлена на рис. 22.11 (показана система для правого глаза).
Лучи света от снимка С проходят призму 1 и попадают в объектив
2, который строит изображение в плоскости 4У где находится
измерительная марка. Призма 3 служит для изменения хода лучей
и удлинения пути. Пройдя линзу 5, призму 6 и линзу 7, лучи
выходят параллельным пучком и попадают в объектив 5, который
строит изображение в фокальной плоскости окуляра 11. Призмы
9 и 10 служат для изменения направления хода лучей. Оптические
детали 1—7 составляют подвижную часть оптической системы,
а детали 8—11 неподвижную. Аналогично устроена левая ветвь
оптической системы. На рис. 22.12 представлена развернутая
оптическая схема одной из ветвей системы.
Габаритный расчет оптической системы ведется путем расчета
хода лучей апертурного, главного и двух полевых лучей, идущих
из края поля и опирающихся на входной зрачок системы.
Для нормальной работы системы необходимо, чтобы изображе¬
ние предметов было построено вначале в плоскости сетки 4, где
г j
АД Вх.Зр
Вых.Зр
Рис. 22.12. Ход лучей в стереокомпараторе:
— главные точки эквивалентной системы 5 и 7
425

расположена стереомарка, затем в передней фокальной плоскости
окуляра 11 системы, кроме того, изображение входного зрачка
Р должно быть построено в плоскости объектива 8, а затем близ
заднего фокуса окуляра.
На основании указанных условий ведется расчет лучей и опре¬
деляются продольные габаритные размеры системы с учетом хода
лучей в призмах. Призмы редуцируются к воздушным пластинам,
и их поперечные размеры определяются наибольшими высотами
при прохождении указанных четырех лучей, например, точками
А, В, С, D, Еу F (см. рис. 22.12).
Ходом указанных лучей определяются также поперечные габа¬
ритные размеры линз, объективов 2, 5, 7, 8 и окуляра 11. В случае
значительных поперечных размеров окуляра в его передней фо¬
кальной плоскости необходимо установить коллектив, который
рассчитывают по формуле в отрезках: 1//кЛ = 1 //ок — l/ft-
Механическая система стереокомпаратора позволяет переме¬
щать оба снимка вдоль направления базиса съемки и в направле¬
нии, перпендикулярном базису. Таким образом могут быть изме¬
рены координаты точек на снимке. Кроме того, правый снимок
независимо от левого можно перемещать посредством двух взаимо-
перпендикулярных винтов по координатным осям х и у и опреде¬
лять параллаксы по этим осям.
Стереометр представляет собой стереокомпаратор с коррекцион¬
ными механизмами, с помощью которых разности продольных
параллаксов на плановых снимках трансформируются, т. е. при¬
водятся к идеальному случаю съемки, когда след стереоскопиче¬
ской марки на модели дает горизонталь на местности.
22.5.	МЕТОДЫ РАССМАТРИВАНИЯ СТЕРЕОПАР
Зрительное восприятие бинокулярной стереоскопиче¬
ской картины возможно только при сепарации правого и левого
изображения стереопары для соответствующих глаз наблюдателя.
Выше был описан один из способов зрительного восприятия про¬
странства с помощью стереоскопа. Рассмотрим некоторые другие
методы, имеющие практическое значение.
Видение стереоскопической картины невооруженными глазами
возможно при некоторой натренированности наблюдателя. Если
снимки стереопары располагаются на расстоянии, равном глаз¬
ному базису, и оси глаз установлены параллельно, то в поле зре¬
ния видны три изображения, причем среднее представляет собой
пространственную картину. От двух боковых изображений можно
избавиться, установив между глазами перегородку.
Метод цветных анаглифов. Цветные анаглифы могут осуще-
ставляться методом вычитания — субстрактивным методом', сте¬
реоскопическая пара изображений, окрашенных в различные
цвета (красный и синий) и смещенных с необходимым параллаксом,
рассматривается через цветные очки так, чтобы, например, правый
426

глаз смотрел через синий фильтр и видел только изображение,
окрашенное в красный цвет, а левый глаз — наоборот. При этом
происходит сепарация изображений и возникает стереоэффект.
Аддитивный метод цветных анаглифов реализуется путем
проекции на экран двух сопряженных изображений стереопары
цветными лучами через два проектора. Такая пара изображений
может быть также создана на кинопленке и спроекцирована на
экран одним кинопроектором, что позволяет создать анаглифиче-
ский кинофильм. При этом для -получения нейтрально серой
окраски стереоскопического изображения необходимо применять
дополнительные цвета. На экране изображения рассматривают
через очки подобно предыдущему.
Поляризационные системы сепарации стереоскопических изо¬
бражений. Находят применение две модификации этого метода.
Аддитивный метод — правое и левое изображения стереопары
проецируются на экране посредством двух кинопроекторов через
поляризационные фильтры. Плоскости поляризации фильтров
устанавливают перпендикулярно друг к другу. Изображения на
экране рассматривают через поляризационные очки так, чтобы
правый глаз видел правый снимок, а левый глаз — левый. Способ
имеет преимущество перед методом цветных анаглифов, поскольку
позволяет сохранить цвет изображения. Для проекции приме¬
няются металлизированные экраны, не деполяризующие цвет.
Субстрактивный метод осуществляется с помощью вектографов.
Вектографом называется поляризационный плоский фильтр (фото¬
пластина) с изображением. Все элементы пластины поляризованы
в одном направлении, однако степень поляризации зависит от
контраста изображения, т. е. пластина сама служит фильтром и
определяет контраст отдельных элементов изображения. Если
сложить два вектографа, на которых имеются правый и левый
снимки стереопары, так, чтобы оси поляризации были расположены
друг к другу под углом 90°, и рассматривать изображение через
поляройдные очки, то происходит сепарация изображений и
возникает стереоэффект.
Растровая сепарация стереоскопических изображений. Растро¬
вые системы позволяют свободно (без очков) наблюдать простран¬
ственное изображение одновременно многим зрителям при боль¬
шом угловом поле (так называемая автостереоскопия). Механизм
действия растровых систем состоит в том, что изображение разби¬
вается на ряд чередующихся для правого и левого глаза элементов.
Растр, который представляет собой решетку, загораживает левые
элементы изображения для правого глаза и наоборот; при этом
осуществляется сепарация изображений для левого и правого
глаза и возникает пространственное видение. Сепарация может
быть реализована как с помощью специальных автостереоскопиче-
ских пластинок, которые представляют собой обычные фотопластин¬
ки, совмещенные с растровыми решетками, так и посредством
проецирования изображений для левого и правого глаза на раст¬
427

ровые экраны. Существует много конструкций растровых экранов,
применяемых для бёзочкового стереоскопического видения.
Голографический метод. Системы, основанные на этом методе,
позволяют получить пространственное изображение при восстанов¬
лении изображения опорным пучком, причем в настоящее время
уже существуют экспериментальные голографические кинопроек¬
ционные установки, позволяющие проецировать цветное простран¬
ственное киноизображение и отличающиеся от обычных' стерео¬
скопических киноустановок наличием эффекта кругового обзора
объекта, т. е. способностью рассматривать объект с тыловой его
стороны.
Г Л А В А 23. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ
ТРАНСФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
23.1.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРАНСФОРМИРОВАННОГО
ИЗОБРАЖЕНИЯ
Во многих областях науки и техники широкое рас¬
пространение имеют оптические системы, которые позволяют полу¬
чать изображения с различным масштабом в двух взаимно перпен¬
дикулярных направлениях — трансформированные, или анамор¬
фоз ные.
Трансформированное изображение приобретает расширенный,
суженный, наклонный либо трапецеидальный вид, превращаемый
в прямоугольник и обратно.
Процесс трансформирования изображений может быть осущест¬
влен с помощью специальных оптических устройств, к которым
могут быть отнесены системы с цилиндрическими или торическими
зеркалами и линзами, специальные призменные системы, а также
посредством обычных оптических систем.
Системы для трансформирования успешно применяются в фото¬
грамметрии и картографии, в полиграфии для создания новых
шрифтов, в широкоэкранном кино, в качестве осветителей, а также
в приборах для регистрации колебательных процессов — свето¬
лучевых осциллографах, гравиметрах, сейсмографах, магнито¬
метрах, звукозаписывающих и звуковоспроизводящих системах
и т. п.
Основные работы, связанные с развитием оптических систем
для трансформирования изображения, принадлежат Б. Н. Бегу¬
нову .
Основной характеристикой трансформированного изображения
является отношение высоты изображения Вт к его ширине
(рис. 23.1). Однако высота и ширина изображения могут изме-
428

Ш:
6)
к
«сз
Шт
в)
JZZ7
г)
д)
с)
Рис. 23.1, Виды трансформированных изображений:
а — квадрат; 6—е — изображение; д — трапеция; f ^ ее изображение
няться не пропорционально друг другу, поэтому введен коэффи¬
циент трансформирования для высоты и ширины изображения.
Отношение высоты трансформированного изображения к высоте
предмета Кв — В^/В называется коэффициентом трансформиро¬
вания высоты.
Отношение ширины трансформированного изображения к ши¬
рине предмета Кш = ШТ/Ш называется коэффициентом трансфор¬
мирования ширины.
Отношение коэффициентов трансформирования ширины и вы¬
соты Ka = KmlKjs называется коэффициентом анаморфозы или
коэффициентом анаморфирования.
Если осевая вертикальная линия предмега на изображении
составляет с линией основания угол, отличный от 90°, то обра¬
зуется наклонное изображение. Изображение может быть накло¬
нено влево или вправо, причем при этом может происходить суже¬
ние или расширение изображения по сравнению с предметом.
Наклон изображения получается при соответствующем наклоне
предмета.
23.2.	МЕТОДЫ ОБРАЗОВАНИЯ ТРАНСФОРМИРОВАННЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
Метод преломляющей цилиндрической поверхности
(рис. 23.2, а). В этом случае вместе с основным объективом 00в
применяется дополнительная цилиндрическая линза, которая в
меридиональной плоскости действует как сферическая, а в сагит¬
тальной — как плоскопараллельная пластина.
Метод отражающей цилиндрической поверхности (рис. 23.2, б).
Аналогично предыдущему, здесь кроме основного объектива ис¬
пользуется цилиндрическое зеркало. В меридиональной плоскости
зеркало действует как сферическое, а в сагиттальной — как
плоское.
Метод цилиндрического объектива (рис. 23.2, в). Объектив
состоит из двух цилиндрических линз, расположенных на некото¬
ром расстоянии друг от друга; оси линз скрещены под углом 90°.
Каждая цилиндрическая линза строит изображение в своем мас¬
штабе.
Метод цилиндрической афокальной насадки (рис. 23.2, г).
Насадка представляет собой трубу Галилея, состоящую из цилин¬
дрических компонентов, оси которых взаимно параллельны.
429

t У'
и
OS
1 fl. ■
**
я >
х’^ц’
Об '	//
У
X
: j
б)
Нэк 8 Нэк 8
Х'>у'
Пк8
Об
7
1
1 и'
<2 F
'fo5
		**-
< ?о5
г)
Х=У
X
х'<у'
Об
F
X'
1
1 \
V
е)
х
■<
Об
I I
Л
У
		У 1х^
/ I
л Й /
х"<у'
х"< у"
tqtf>'=~p0tq(p'
/)о=а'/а
Ц Г¥\
1
х”
\jL
х/'
3)
Рис. 23.2. Метиды образования трансформированных изображении.
I	— в меридиональной плоскости; II — » еагитеальмой плоскости
В одном сечении, где действует кривизна поверхностей линз,
масштаб изображения изменяется в соответствии с видимым
увеличением трубы Галилея, а в другом сечении насадка не изме¬
няет масштаб изображения.
Призменный метод (рис. 23.2, д). Анаморфозная система пред¬
ставляет собой два клина, которые в меридиональной и сагитталь¬
ной плоскостях расположены различным способом. В меридио¬
нальной плоскости система действует как плоскопараллельная
пластина, размеры изображения по сравнению с размерами пред¬
мета в этой плоскости не изменяются. В сагиттальной плоскости
происходит изменение масштаба изображения.
Теневой метод (рис. 23.2, е). Предмет, который представляет
собой прозрачный транспарант, освещается параллельным пучком
430

света. Анаморфозное изображение образуется на экране, располо¬
женном под некоторым углом к оптической оси системы осветителя.
Оптический метод (двухэтапный) (рис. 23.2 ж). Реализуется
путем двукратной фотосъемки. Вначале создается трапециевидное
изображение. При этом выполняется условие Чапского (рис. 23.2,
ж). Фотоснимок с этим изображением или само изображение ста¬
новится предметом для второго этапа съемки. В результате полу¬
чается анаморфозное изображение предмета, имеющее различный
масштаб в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Ракурсный метод (рис. 23.2, з). Здесь также применяется двух¬
этапная съемка, однако при этом условие Чапского не выполняется.
Изображение строится на плоскости, перпендикулярной к опти¬
ческой оси системы.
23.3.	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Используются два способа расположения цилиндри¬
ческой линзы: перед изображением и перед предметом.
Цилиндрическая линза перед изображением. На рис. 23.3 пока¬
зан сферический объектив, строящий изображение предмета в
плоскости М. Перед изображением установлена положительная
цилиндрическая линза ЦЛ, которая изображение В' точки про¬
странства предметов переносит в положение В". Ось цилиндриче¬
ской линзы направлена перпендикулярно оптической оси и нахо¬
дится в плоскости чертежа. При этом в сагиттальном сечении
размер изображения отрезка в пространстве предметов будет
г/2, а в меридиональном у{. Коэффициент анаморфозы Ка. — уУу'1-
Из рис. 23.3 находим у{ = —a tg р. Применяя последовательно
формулы углов и высот, получаем
у{ = h2 — S03 = — (a' — s) р2 — Sp2 [1 — ф2 (<*' — s)].
Тогда коэффициент анаморфозы К& — 1 — sOa +
Если изображение рассматривается в фокальной плоскости
сферического объектива с фокусным расстоянием /I, то
/(a = l-s02-f з2ф3//;.	(23.1)
При значениях /Са, близких к единице, можно пренебречь
последним членом уравнения (23.1), тогда Ка = 1 — s/ft.
в’\м

При установке цилиндрической линзы перед изображением
резкость его нарушается, при этом размер кружка рассеяния
можно определить по формуле
б =*	*■/[/** (I-pj)].	(23.2)
где К — диафрагменное число сферического объектива; — уве¬
личение сферического объектива.
Как видно	из	формулы	(23.2), кружок	рассеяния	может	быть
уменьшен	при	уменьшении	светосилы сферического	объектива, и
допустимое диафрагменное число
*д = **/вд,	(23.3)
бд — допустимый кружок рассеяния.
Пример 23.1. Определить допустимое относительное отверстие сферического
объектива при анаморфировании при масштабе = —1/2, s — 10 мм, = 20 мм
и бд = 0,05 мм.
Решение. По формуле (23.3) находим К = 52/бд/г (1 — Pi) — 66.
Из результатов расчетов следует, что подобные системы применимы исключи¬
тельно для приборов регистрации колебательных процессов, где на фотоприем¬
нике строится изображение источника света.
При установке перед изображением отрицательной цилиндри¬
ческой линзы изображение уширяется, однако и в этом случае
приведенные расчетные формулы могут быть использованы, но с
учетом знака оптической силы цилиндрической линзы.
Рассмотренная оптическая система позволяет также выполнить
сопряжение в одной плоскости пространства изображений двух
разноудаленных плоскостей (в двух сечениях пространства пред¬
метов), что также может быть использовано в приборах регистра¬
ции.
Цилиндрическая линза перед предметом. Как и в предыдущем
случае, установка цилиндрической линзы перед предметом дает
возможность трансформировать изображения, а также произво¬
дить в разных сечениях оптическое сопряжение изображенных
предметов, расположенных на разных расстояниях друг от друга.
В этом случае при установке перед плоскостью предметов положи¬
тельной цилиндрической линзы изображение расширяется, а при
установке отрицательной линзы — суживается.
В обратном ходе лучей получаем приведенные выше формулы
(23.2)—(23.3), которые могут быть использованы для расчета
системы. Однако коэффициент анаморфозы принимается равным
обратной величине, т. е. 1//Са-
23.4.	ПРИМЕНЕНИЕ ОТРАЖАЮЩЕЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Цилиндрическая отражающая поверхность (выпук¬
лая или вогнутая), помещенная в ходе лучей объектива Об (см.
рис. 23.4, а, б) в меридиональной плоскости (плоскость рисунка),
действует как сферическое зеркало, а в сагиттальной, содержащей
432

Рис. 23.4. Ход лучей в системе с цилиндрическим зеркалом:
а — выпуклым; б — вогнутым
образующую цилиндрической поверхности, — как плоское зерка¬
ло. В результате получаем анаморфированное изображение.
Изображения у' в сагиттальной плоскости и у" в меридиональной
плоскости, расположенные в различных сечениях, находятся на
разных расстояниях от отражающей поверхности. Поэтому при
рассмотрении их или фотографировании для получения необходи¬
мой резкости следует применить систему сферического объектива
Об с большой глубиной поля, т. е. с малым относительным отвер¬
стием.
Размер изображения в сагиттальной плоскости определяется
как
У' = — 2 (1 — po)/otgo>,	(23.4)
где ро — увеличение сферического объектива; /о — фокусное рас¬
стояние; 2 со — угловое поле.
В другом сечении в случае применения выпуклого зеркала
изображение будет увеличено, а при использовании /вогнутого
зеркала — уменьшено. Коэффициент анаморфозы при этом
Кй=у"/У.	(23.5)
Большое распространение (в частности, при передаче лазерных
пучков) получила конструкция из двух отражающих цилиндриче¬
ских поверхностей (вогнутой и выпуклой), которая позволяет
образовать афокальную систему (рис. 23.5). Фокусы зеркал 1 я 2
совмещены, т. е. система является афокальной, и параллельный
приставке
433

пучок, падающий на высоте кг на зеркало 1, выходит также парал¬
лельным пучком на высоте h2 и в другом сечении. Оси зеркал
перпендикулярны оптической оси.
Коэффициент анаморфозы рассматриваемой системы будет равен
видимому увеличению телескопической системы с фокусным рас¬
стоянием компонентов f\ и /2, т. е. К& — Га — —/[//г = —ri/гг.
Однако такая система имеет значительную остаточную кому
и астигматизм, так как является децентрированной (оси зеркал
наклонены к основной оптической оси системы под углами и y2)>
поэтому получила развитие другая — «кособокая» система, оси
зеркал которой наклонены к основной оптической оси прибора.
Эта система дает более высокое качество изображения.
23.5.	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТИВ-АНАМОРФОТ
Объектив-анаморфот представляет собой оптическую
систему, которая образует изображение, оптически сопряженное
с предметом и имеющее различный масштаб в двух взаимно пер¬
пендикулярных направлениях. Система объектива-анаморфота
образуется из цилиндрических или торических линз либо из ком¬
бинации сферических линз с цилиндрическими или торическими.
Примером такой системы является двухкомпонентный цилин¬
дрический объектив-анаморфот, состоящий из двух положительных
цилиндрических линз с фокусными расстояниями f\ и /2, причем
образующие цилиндрических поверхностей этих линз взаимно
перпендикулярны (рис. 23.6).
Если предмет расположен в бесконечности, то в двух взаимно
перпендикулярных сечениях фокусные расстояния компонентов
должны быть различными, т. е; коэффициент анаморфозы К& =
—	/1//2. Если предмет расположен на конечном расстоянии, то
линейные увеличения в указанных сечениях должны быть различ¬
ными, т. е. коэффициент анаморфозы в этом случае будет К& =
~ Pi/^2*
Рис. 23.6. Двухкомпонентный объектив-анаморфот:
/ — меридиональная плоскость; II — сагиттальная плоскость
434

Рассматриваемая система может быть рассчитана путем реше¬
ния трех уравнений:
-1/е, + 1/(4* - а,д = 1 /П;	-	d2) + \/а:2 = 1//J;
L — —аг -f- d<2 + а%.
В случае, если предмет расположен в бесконечности, задние
фокусы обеих систем должны совпадать, тогда
d-ч ~ f\ — /2 —	/л2- ^	(23.7)
Аберрационный расчет компонентов ведется в зависимости от
требований к качеству изображения, так же как и при расчете
соответствующих сферических систем.
23.6.	ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ АФОКАЛЬНАЯ НАСАДКА
Разновидностью объектива-анаморфота при условии,
что предмет и изображение находятся в бесконечности, является
афокальная линзовая цилиндрическая насадка. Эта система состоит
из двух цилиндрических линз с образующими, которые параллель¬
ны друг другу, причем задний фокус первого компонента совпадает
с передним фокусом второго.
Таким образом, афокальная насадка представляет собой теле¬
скопическую систему, которая может быть выполнена в виде
трубы Кеплера или трубы Галилея. Афокальные цилиндрические
насадки применяются в кинематографии для съемки, кинопроекции
и репродукции при создании широкоэкранных кинофильмов.
Основными оптическими характеристиками цилиндрических наса¬
док являются коэффициент анаморфозы, диаметр выходного зрач¬
ка, угловое поле и длина насадки.
Афокальная насадка имеет два различных сечения. В одном
сечении (например, меридиональном) насадка действует как обыч¬
ная телескопическая система из сферических компонентов, в дру¬
гом, перпендикулярном к нему, — как система плоскопараллель¬
ных пластин.
Цилиндрическая насадка применяется вместе со сферическим
объективом. Они образуют действительное изображение, которое
может быть рассмотрено на экране. Можно также получить его
фотографическое изображение. Фокусировка насадки вместе с
объективом осуществляется в основном путем изменения расстоя¬
ния между компонентами насадки при одновременном перемещении
сферического объектива.
На рис. 23.7 представлена схема цилиндрической линзовой
насадки (система Кретьена), в которой используется схема трубы
Галилея вместе со сферическим объективом Об в прямом
(рис. 23,7, а) и обратном (рис. 23.7, б) ходе лучей.
435

Телескопическая насадка
Рис. 23.7. Афокальная и цилиндрическая
насадки системы Кретьена:
/ — меридиональная плоскость: // — сагитталь¬
ная плоскость
В первом случае имеем
Г*. „р= Г, =/,'//;, (23.8)
где Гн. пр —увеличение
насадки при прямом ходе
лучей; Гт —видимое уве¬
личение телескопической
системы трубы Галилея;
f\ и /2 — задние фокусные
расстояния компонентов I
и 2 трубы соответ¬
ственно.
Эквивалентное фокус¬
ное расстояние всей си¬
стемы (насадки и сфери¬
ческого объектива)
(23.9)
где /об — заднее фокусное
расстояние сферического
объектива.
Коэффициент анамор¬
фозы
*а. пр = П/f г- ' (23.10)
При обратном ходе лучей в насадке (рис. 23.7, б) соответст¬
венно имеем
(23.11)
Гн. об — 1/Гт — /2//1 >
f Лэб^н. об /об/Гт.
^а. об =
(23.12)
(23.13)
Пример 23.2. Рассчитать цилиндрическую линзовую насадку системы
Кретьена. Дано: коэффициент анаморфозы в прямом ходе лучей /Са.пр = 2;
длина насадки L — 60 мм; сферический объектив f'o6 = 50 мм и Dlf'o6 — 1/2.
Решение. 1. По формуле (23.10) находим, что f2 = //Са.пр- Кроме того, имеем
соотношение L = f{ + /2- Решая эти два уравнения совместно, получаем /Са.пр —
= /{/(/г — £)> откуда f{ = /Са.прЬ/(/Са.пр— 1) = 120 мм. Тогда /2 = 60 мм.
2.	Определяем поперечные габариты насадки. Имея в виду, что диаметр
входного зрачка сферического объектива D — f'o()j2 = 25 мм, принимаем попе¬
речный размер второго компонента насадки D2 = D. Тогда размер первого ком¬
понента Dx — Гт1)2 = 50 мм.
436

Г Л А В А 24. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ ОПТИКО¬
ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ (ОЭП)
24.1.	ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ОЭП
Оптико-электронные приборы (ОЭП) отличаются от
визуальных и фотографических приборов наличием в них фото¬
электрических анализаторов изображения, позволяющих преобра¬
зовывать с высокой скоростью изобразительную информацию в
широком спектральном диапазоне длин волны. ОЭП работают
в двух режимах — в активном, когда исследуемые объекты осве¬
щаются источниками света, входящими в состав прибора, и пассив¬
ном, когда анализируемый объект является самосветящимся или
освещен естественными либо искусственными источниками света.
ОЭП широко применяются в измерительной технике, экспери¬
ментальных научных исследованиях, навигационных системах,
системах связи, контроля и управления, медицине и других облас¬
тях науки и техники.
Обобщенная функциональная схема ОЭП показана на
рис. 24.1. В зависимости от назначения ОЭП их отдельные эле¬
менты и связи между ними могут изменяться.
Рассмотрим функциональные особенности систем, действующих
в пассивных режимах. В этом случае ОЭП состоят из двух систем:
приемной и электронной. В состав приемной системы входит опти¬
ческая система, формирующая изображения анализируемых объек¬
тов на фоне помех или концентрирующая излучение, устройства
пространственной и спектральной фильтрации, способные выде¬
лить объекты по их геометрическим и спектральным признакам,
анализатор изображения, выделяющий оптические сигналы, несу¬
щие информацию об исследуемых объектах, и фотоэлектрический
приемник излучения.
Электронная система современных ОЭП состоит из микропро¬
цессора, связанных с ним программного устройства и оперативной
памяти, электронного блока обработки измерительной информа¬
ции и регистратора.
На рис. 24.1 сплошными линиями показаны электрические
связи, штрихпунктирными — оптические и штриховыми — меха¬
нические.
По тэчг'й схеме построены фотоэлектрические устройства
отображения объектов — тепловизоры, телевизионные системы, а
также устройства поиска, наведения и распознавания образов,
угломеры и другие приборы. Для повышения точности и надеж¬
ности работы этих устройств предварительно выделяется информа¬
ция об исследуемом объекте, для чего с помощью этих устройств
в максимальной степени в оптических и электронных звеньях
ОЭП подавляются шумы, вызванные внешними факторами (флук¬
туацией параметров атмосферы и источников излучения) и внут¬
ренними факторами (паразитными отражениями света в оптиче¬
ских системах фотоприемников).
437

у
*
Ъ)
4
<3
*
5
I
Qj
С*
5
S
а
ч
о
*
<Ь
§
| г *:
4j (j
Sh* *
^ s. 55
ia ^ >
**> ' 5>>
54 5 ^
^ й f>
?t3
°s?
I?1* $
SGI
n Si *>
438
Рис. 24.1. Обобщенная функциональная схема ОЭП

Важнейшим звеном из указанных преобразователей измери¬
тельной информации приемной системы является оптическая сис¬
тема, содержащая в общем случае объектив и ряд дополнительных
элементов, составляющих с ним единую конструкцию: защитные
окна в виде плоскопараллельных пластин, диафрагмы, спектраль¬
ные фильтры и другие элементы.
Основным назначением приемной оптической системы является
концентрация с минимальными потерями излучения или изображе¬
ний объектов на анализаторе. Другим (не менее важным) назначе¬
нием приемной системы является фильтрация оптических сигналов
в целях увеличения отношения мощности сигнала к мощностям
фонов и помех. При этом осуществляются два вида фильтрации —
спектральная и пространственная.
Спектральная фильтрация реализуется с помощью оптических
спектральных фильтров (абсорбционных, дисперсионных, зеркаль¬
ных или фильтров с использованием диэлектрических покрытий
и др.) для выделения спектра длин волн, характерного для данного
самосветящегося объекта при пассивном методе измерений или
испускаемого управляемым источником излучения ОЭП при
активном методе.
Пространственная фильтрация осуществляется анализатором
в виде полевых диафрагм различной формы, устанавливаемых в
.целях выделения изображений исследуемых объектов по их апри¬
орным геометрическим признакам на фоне помех. Исследуемые
объекты могут быть выделены также по спектру пространственных
частот их изображений путем фотометрирования и анализа их
спектров в электронных цепях, а также путем корреляции изобра¬
жений с растрами различных видов.
Для уменьшения фоновых засветок, возникающих вследствие
влияния конструктивных элементов оптических систем, в них
используются дополнительные элементы — бленды и диафрагмы.
При измерении координат самосветящихся объектов с помощью
анализатора выделяется ряд параметров энергетических профилей
излучений, сформированных приемными оптическими системами!
энергетический центр, определяемый равенством, разделенных
световых потоков, центр тяжести, соответствующий равенству
моментов энергий в профиле, максимум освещенности в нем и т. д.
Анализ изображений освещенных объектов сводится к выделению
из них элементов разложения — оптических временных сигналов,
соответствующих распределению освещенности объектов. Кон“
структивно анализаторы представляют собой диафрагмы различной
формы, подвижные и неподвижные растры, светоделительные
оптические элементы.
Использование управляемых микропроцессорами пространст-
венно-временных модуляторов света (ПВМС) в качестве анализа¬
торов позволяет реализовать адаптивную систему поиска объектов.
Например, обнаружение объектов известных форм осуществляется
путем введения в память микропроцессора геометрических призна-

ков, соответствующих изображениям объектов с последующим
управлением ПВСМ таким образом, чтобы контуры анализирую¬
щих диафрагм соответствовали изображениям этих объектов.
Путем сканирования изображения с помощью анализатора вычис¬
ляется корреляционная функция, а затем сигналы, соответствую¬
щие этой функции, преобразуются в фотоприемнике и обрабаты¬
ваются в электронных блоках ОЭП.
Приемники излучения служат для преобразования оптических
сигналов в электрические. В ОЭП используются фотоприемники
двух типов — интегральные, воспринимающие световой поток, и
координаточувствительные, способные формировать сигналы, со¬
ответствующие распределению энергии на их светочувствительных
слоях. В качестве фотоприемников широко применяются электро¬
вакуумные приборы (фотоэлементы, ФЭУ, приемные телевизионные
трубки и др.) и твердотельные приборы (фоторезисторы, фото¬
диоды и др.). Отдельную группу координаточувствительных фото¬
приемников представляют многоплощадочные фотоприемники из¬
лучения (МФПИ).
Приемники излучения являются важным преобразователем
измерительной информации, так выполняют роль промежуточного
звена между системой оптических и электрических преобразова¬
телей. Использование в ОЭП МФПИ, управляемых микропроцес¬
сорами, позволяет в одном устройстве совместить функции адап¬
тивного анализатора, построенного по типу управляемого ПВМС,
и фотоприемника.
В ОЭП, работающие в активном режиме, наряду с описанными
системами входят передающая система, состоящая из оптической
системы, формирующей пучки света, направленные на анализи¬
руемые объекты, устройство управления пространственными (ска¬
нирование) и временными (модуляция) параметрами излучения
и источник излучения.
К ОЭП, работающим в активном режиме, относятся сканирую¬
щие оптические локаторы, микроскопы, приборы для измерения
длин и углов (дальномеры), фотоэлектрические автоколлиматоры,
приборы для измерения непрямолинейности, фотоэлектрические
нивелиры и другие измерительные приборы.
В активных измерительных фотоэлектрических приборах пере¬
дающая система работает в трех основных режимах:
сформированный световой пучок сканируется по углу, вслед¬
ствие чего координаты пучка на объекте измеряются согласно
зависимостям — х (t), у (/); в приемной системе вырабатываются
временные сигналы, соответствующие координатам объекта отно¬
сительно оптической оси передающей системы ОЭП; такая обра¬
ботка оптических пучков используется в системах контроля и
управления;
световой пучок модулируется по амплитуде A (t) с определенной
частотой /0; в целях повышения отношения сигнал/шум в электрон¬
ном блоке обработки информации сигнал фотоприемника проходит
440

через полосовой фильтр, настроенный на частоту модуляции;
такой режим используется в измерительных приборах и навига¬
ционных системах;
пучок модулируется по фазе; в этом случае излучение источника
формируется передающей оптической системой в виде пучка,
близкого к параллельному, и направляется на базовый элемент
в виде оптического нерасстраиваемого отражателя (световозвра¬
щателя); отраженный пучок попадает в приемную систему, обра¬
батывается в ее блоках, в результате чего получаются сигналы,
соответствующие дальности до световозвращателя; такая модуля
ция используется в дальномерах физического типа.
В некоторых измерительных приборах пучок одновременно
сканируется и модулируется по фазе в целях одновременного опре¬
деления координат объекта и дальности. В углоизмерительных
приборах, например автоколлиматорах, в качестве базового
элемента используется зеркало, установленное на измеряемом
объекте.
Сканирующие системы (дефлекторы) устанавливаются в осно¬
вном перед оптическими системами — передающими и приемными.
Дефлекторы реализуются с использованием оптико-механических,
электрооптических, дифракционных и других принципов; Они
обеспечивают сканирование по полю обзора ОЭП, смещение теку¬
щих изображений по анализаторам для вычисления корреляцион¬
ных функций и фотометр и ровани я изображений.
Дефлекторы могут выполнять также роль компенсаторов, уст¬
раняющих рассогласование между угловым положением объекта
относительно оптических осей приемных и передающих систем при
слежении за измеряемыми объектами.
В случае, когда указанная компенсация реализуется в процессе
работы дефлекторов, сканирующих пространство измеряемых
объектов по определенному закону, путем фиксации положения
дефлектора в момент совпадения объекта с оптической осью с
помощью анализатора, имеет место динамическая компенса¬
ция.
Дефлекторы, обеспечивающие слежение за объектом в автома¬
тическом режиме, называются компенсаторами. Конструктивно
они выполняются в виде качающихся плоскопараллельных пластин,
зеркал, клиньев, перемешивающихся вдоль оптической оси опти¬
ческих систем, двух вращающихся в разные стороны клиньев и
других оптических элементов. Компенсаторы служат для умень¬
шения рассогласования между положением изображений измеряе¬
мых объектов и анализатором. В качестве компенсаторов могут
быть использованы, например, устройства, в которых анализаторы
перемещаются перпендикулярно оптической оси системы. Управ¬
ляющими сигналами для компенсаторов служат сигналы рассогла¬
сования, снимаемые с приемников излучения и усиленные в
электронном блоке обработки информации.
441

24.2.	ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ОБЪЕКТИВОВ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ОЭП
Рассмотрим особенности важнейшего узла оптической
приемной системы ОЭП-объектива. Основные параметры объектива,
выбранные рационально с учетом возможностей других преобра¬
зователей измерительной информации, определяют эксплуатацион¬
ные характеристики всей системы. В зависимости от задач, решае¬
мых ОЭП, в приемную оптическую систему входит та или иная
группа перечисленных выше оптических узлов, которые совместно
с объективом должны образовать единую конструкцию. Поэтому
при выборе объектива решается сложная задача его рационального
сочетания с дополнительными оптическими, а также и электронны¬
ми устройствами. Решение этой задачи должно обеспечить требуе¬
мые технические и эксплуатационные характеристики ОЭП.
Очевидно, что исходной посылкой для конструктора должно
быть максимальное упрощение объектива и дополнительных узлов
в целях достижения максимальной надежности и стабильности
параметров при минимальной стоимости ОЭП. Известно, что эти
требования противоречивы, например, наиболее простой объек¬
тив — однолинзовый — имеет большие остаточные аберрации,
приводящие к низкому качеству изображений, коррекция которого
в последующих электронных звеньях может быть экономически
неоправданной. Указанная коррекция отдельных типов аберраций
объективов в современных ОЭП может осуществляться путем
записи, например, полевых аберраций в оперативную память мик¬
ропроцессора и их учета путем введения необходимых поправок
координат при проведении измерений.
Усложнение конструкции должно вестись поэтапно, параллельно
с оценкой качества по современным информационным и экономи¬
ческим критериям. Усложнение конструкции объектива в целях
коррекции аберраций должно сопровождаться оценкой объема
преобразуемой объективом информации с учетом его стоимости,
включая стоимость остальных преобразователей информации,
характеристики которых должны соответствовать обтттим требова¬
ниям к ОЭП.
При отсутствии возможности введения электронных коррек¬
тирующих цепей выбор конструкции объектива осуществляется
исходя из их конструктивных особенностей от простых конструк¬
ций — к сложным.
Рассмотрим кратко основные типы объективов, используемых
в ОЭП: линзовых, зеркальных и зеркально-линзовых. В основу
оценок возьмем их важнейшие характеристики: относительное
отверстие D'ff\ угловое поле в пространстве предметов 2о) и
разрешающую способность fx, у = \fd'x, в где d'x, у — размеры эле¬
ментов изображения, разрешаемых по осям х и у с требуемым
контрастом.
В зависимости от задач, решаемых ОЭП, к этим хар’актеристи-
442

кам предъявляются различные требования. Общим требованием
к объективу является минимизация его размеров.
К основной характеристике объектива — относительному от¬
верстию — предъявляются противоречивые требования. При ра¬
боте ОЭП в условиях слабых потоков, излучаемых объектом, вели¬
чина D'lf’, определяющая энергетическую освещенность прием¬
ника, должна быть максимальной. С другой стороны, увеличение
светосилы объективов приводит к усложнению их конструкций
и увеличению габаритных размеров. Малосветосильные объективы
используются в активных ОЭП, где потоки излучения, отражаемые
от исследуемых объектов, могут быть существенно увеличены
путем использования мощных источников излучения.
Угловое поле объектива должно соответствовать требованиям
к полю обзора ОЭП, с помощью которого должны быть разрешены
минимальные элементы изображения d'x, д с требуемым контрастом.
Размеры d'x, у разрешаемых элементов изображения и размеры
объекта dx,y связаны между собой соотношением
dx, у ~	^х, yf /а,	(24.1)
при а — расстояние от объектива до объекта, причем а значительно
больше
При малых расстояниях до объекта
= (24-2>
где N'x, у — минимальная разрешающая способность объектива
по полю.
При измерениях геометрических размеров объектов в плоскости,
перпендикулярной оси 2, должно выполняться условие
тх. у>ХЦКпК, у)'	(24-3)
где тХ} у — средняя квадратическая погрешность измерения,
/2^-5.
Широко применяются в ОЭП так называемые универсальные
объективы, у которых JDjf <; 1 : 2,8; 2« ^ 50°. К этой группе
относятся трехлинзовые объективы типа «Триплет» и их модифи¬
кации —■ четырехлинзовые объективы «Тессар». Универсальные
объективы могут использоваться в качестве приемных оптических
систем ОЭП, выполняющих функции устройства поиска и слежения
в пределах их угловых полей.
Конструктивно «Триплет» состоит из центральной отрица¬
тельной линзы и симметрично расположенных по обе стороны от
нее двух положительных линз. До появления лантановых стекол
типа СТК наилучшие характеристики триплетов были: Off' —
—	1 : 4, 2со = 50°. Использование новых стекол позволило уве¬
личить относительное отверстие до значения 1 : 3 при том же
значении угла поля при средней разрешающей способности 20
линий на 1 мм и фокусных расстояниях /' — 100 мм. Несмотря
443

на конструктивную простоту этих объективов и низкую стоимость,
все характеристики, за исключением разрешающей способности,
приближаются к характеристикам рассмотренных сложных объ¬
ективов, что позволяет рекомендовать триплеты для широкого их
использования в приемных оптических системах ОЭП. Теория
расчета триплетов разработана Г. Г. Слюсаревым и Д. С. Воло¬
совым.
Одной из модификаци#триплета, в которой одна из положитель¬
ных линз заменена компонентом, состоящим из склеенных положи¬
тельной и отрицательной линз, является упомянутый выше объ¬
ектив «Тессар» — универсальный анастигмат. Объективы такого
типа постоянно совершенствуются и выпускаются в разных стра-
нах. При средней разрешающей способности ~40 линий на 1 мм
такие объективы имеют угловое поле 2со = 58° и относительное
отверстие D//' = 1 : 2,8.
Особый интерес для ОЭП, предназначенных для поиска объек¬
тов, их дешифрирования и определения координат в широких уг¬
ловых полях представляют весьма широкоугольные дистозирую-
щие объективы простых конструкций. В этих объективах дистор-
сия неисправима и достигает больших значений. Однако отмечен¬
ные возможности коррекции координат объективов, в частности,
с помощью управляемых МФПИ или волоконных шайб (так как
дисторсия имеет систематический характер по полю), в ряде слу¬
чаев позволяют измерить координаты объектов с требуемой точ¬
ностью.
Например, объективы Гилля имеют угловое поле 2со = 180°
при D/f' = 1/22. В этом объективе, как и в других, относящихся
к этой, группе (объектив Шульца, имеющий 2со — 135° и D/f' —
= 1 : 5,6, объектив «Плеон» с 2со = 130° и D/f' = 1:8), исполь¬
зован двухлинзовый компонент и вынесенная вперед отрицатель¬
ная линза. Оптические силы такого простого по конструкции объ¬
ектива (остальные имеют по дополнительному положительному
компоненту) выбирают из условия: Фг + Фг — 0, т. е. условия
равенства по абсолютной величине оптических сил компонентов
и расположения их на расстоянии, равном половине фокусного
расстояния второго компонента.
Достаточно простые конструкции, состоящие из положитель¬
ного компонента и расположенного за ним отрицательного, имеют
телеобъективы, выпускаемые в СССР под названием «Таир» и
«Телемар». Кроме того, расстояние от первой преломляющей по¬
верхности таких объектов до задней фокальной плоскости меньше
их фокусного расстояния f на значение f'f4, что позволяет считать
целесообразным применение этих объективов с большими фокус¬
ными расстояниями в ОЭП для увеличения масштаба изображений
или угловой чувствительности. Например, у телеобъективов с
/' = 100 мм, D/f' — 1:4, что позволяет применять их в сканиру¬
ющих ОЭП или фотоэлектрических автоколлиматорах.
При усложнении компонентов объективов их относительные
444

отверстия могут быть повышены до D/f — 1 : 1,5 и 2<о = 30°,
что позволяет их применять в качестве светосильных объективов.
Особого внимания с точки зрения применения в ОЭП заслу¬
живают двухлинзовые склеенные и несклеенные объективы.
Хорошо разработанная теория их расчета позволяет сравнительно
просто достичь высокой коррекции хроматизма, сферической абер¬
рации и комы, что позволяет довести разрешающую способность
до дифракционного уровня объективов, имеющих (D/f')max — 1:4
при 2сошах = 10°, £)тах = 100 мм.
Среди характеристик этих объективов наиболее важной яв¬
ляется высокая разрешающая способность, достигающая значений
1/^х,» = 500 мм-1, что делает их незаменимыми для узкопольных
сканирующих ОЭП и фотоэлектрических коллиматоров, предна¬
значенных для высокоразрешающего анализа характеристик из¬
меняемых объектов.
Рассмотренные объективы работают в основном в видимом
диапазоне длин волн и ближайшем инфракрасном (Хтах »
« 1,5 мкм). Для обеспечения работы оптических систем в инфра¬
красном диапазоне в ОЭП используют специальные оптические си¬
стемы.
Рассмотренные оценки линзовых объективов позволяют зак¬
лючить, что в целом им присущ ряд достоинств: широкий диапа¬
зон характеристик, удовлетворяющих требованиям к ОЭП, техно¬
логичность конструкций. К их недостаткам следует отнести огра¬
ниченный спектральный диапазон и наличие больших хроматиче¬
ских аберраций, в исходных вариантах оптических схем, коррек¬
ция которых приводит к существенным усложнениям конструк¬
ций объективов и увеличению их осевых размеров.
Указанных недостатков нет в зеркальных системах, однако
они, к сожалению, не обладают преимуществами линзовых систем.
Известные зеркальные системы, состоящие из двух зеркал, типа
Касегрена, Грегори, Гершеля имеют малые угловые поля (при
использовании асферических зеркал 2сотах = 4°), требуют пре¬
цизионной юстировки зеркал и, следовательно, критичны к разъ-
юстировкам в процессе эксплуатации. Общим недостатком зер¬
кальных систем является также экранирование центральной части
поля фотоприемником в однозеркальном объективе либо вторым
зеркалом (контррефлектором) в двухзеркальном объективе.
Чтобы исключить экранирование, в таких конструкциях ис¬
пользуются децентрированные входные зрачки, например, поло¬
вины показанных компонентов, разделенных по меридиональному
сечению. Требуемая жесткость конструкций зеркальных объекти¬
вов может быть обеспечена за счет возможности широкого выбора
стабильных материалов (включая металлы), позволяющих изго¬
товить эти объективы в виде единых конструкций.
Достоинства и линзовых и зеркальных объективов сочетаются
в зеркально-линзовых системах, позволяющих создавать объек¬
тивы с весьма большими относительными отверстиями (JD/Dmax —
445

= 1 : 0,7 при угловых полях 2а>тах = 30°. Недостатком таких
систем, работающих в инфракрасной области спектра, является
необходимость использования линз и корригирующих элементом
специальных материалов, прозрачных в требуемом диапазоне
спектра.
В системе Власова—Бабенцова в качестве корригирующих
элементов перед однозеркальным объективом установлены после¬
довательно аксикон и вогнутый концентрический мениск. Такая
система имеет указанные выше максимальные значения D//'
и 2ш при высокой разрешающей способности по полю и минималь¬
ные осевые размеры, однако поверхность изображения в такой
системе сферическая с радиусом кривизны, равным
Система с ахроматическим менисковым компенсатором перед
сферическим зеркалом, корригирующим сферическую аберрацию,
была предложена Максутовым. Для такой системы Dff'mах =
—	1:2; 2(0тах ~	14	;	/тах	= 2 м.
В системе Чуриловского использован афокальный компенса¬
тор, расположенный между первым и вторым сферическими зер¬
калами, для исправления одновременно всех аберраций. В таких
системах (D/f')max = 1:5 при невысоком качестве оптического
изображения, малых углах поля и больших фокусных расстоя¬
ниях. Существенно повысить качество изображения таких систем
можно за счет введения компенсатора в двухзеркальный объектив
типа Кассегрена с асферическими зеркалами.
Согласование объективов независимо от их конструкции с фо-
точувствительными поверхностями (ФП) фотоприемников осуще¬
ствляется следующим образом. Простейшим случаем является
расположение ФП в задней фокальной плоскости объектива ОЭП,
анализирующего параметры световых потоков. При таком рас¬
положении фотоприемника размер сечения анализируемого из¬
лучения уИзл — 2/об tg со может быть не согласован с размерами
#Фп, а флуктуации углов падения световых пучков на приемный
объектив могут вызвать шумовую модуляцию светового потока.
При анализе изображений в фокальной плоскости объектива
могут быть установлены анализаторы в виде МФПИ, динамических
транспарантов, диафрагм различной формы, подвижных или
неподвижных растров и т. д.
Совмещение анализаторов с ФП, как в первых двух примерах,
не всегда удается, поэтому в ряде случаев потоки излучения после
анализаторов направляются на ФП с помощью конденсоров, роль
которых сводится к оптическому согласованию входного зрачка
объектива с ФП (рис. 24.2). В этом случае влияние угловых флук-
туаций излучения на входе объектива на «дрожание» изображения
на ФП существенно уменьшается, а размер изображения ^изобр
на ФП может быть изменен путем выбора параметров, обеспечи¬
вающих выполнение условия */и30бр < Уфп-
Габаритный расчет.элементов этой схемы выполняется следу¬
ющим образом [301. В плоскости изображения удаленного источ-
44S

fVw 1
^r\^88=
1 ч
A £
m
1 D вых
A
П 1
I > " *
j ^
1 '
f
faff -a
a'p/
-aP

Рис. 24.2. Схема приемной оптической системы
ника помещается анализатор изображений, оправа которого раз-
мером 2у является диафрагмой поля. Очевидно, что расстояние а
между плоскостью анализа (фокальная плоскость объектива с
DBX) и главной плоскостью конденсора не может быть отрицатель¬
ным, так как в этом случае нельзя осуществить анализ изобра¬
жения в фокальной плоскости объектива. Фокусное расстояние
конденсора по абсолютной величине может быть больше, меньше
или равно а. Целесообразно иметь f'K С а, так как при /к > а
пучок на выходе конденсора будет расширяться, что противоречит
самому смыслу применения конденсоров.
Используя принятые обозначения и применяя формулу от¬
резков \{ар' — 1 /ар ~ 1//к, получаем координату выходного
зрачка на оси:
ар, = apf'j(ap + Q,
где Op = —f'K + а.
Для системы, находящейся в воздухе, размер выходного зрачка
°*ых = —DB хаР'!аР = Dbx/k/(/' — /к + а)>	(24-4)
а диаметр конденсора
PK = 2(y + a2y + ,D»*)=2(/' + *)tgP + a-^.	(24.5)
Из анализа (24.4) следует, что для уменьшения чувствитель¬
ного слоя приемника, располагаемого в плоскости выходного
зрачка, т. е'. для уменьшения £>Вых необходимо увеличить а и
уменьшить /к. Однако это невыгодно на практике, так как с уве¬
личением а растет диаметр конденсора DK, это следует из формулы
(24.5), т. е. увеличивается относительное отверстие конденсора
Ак = Dk//k. Кроме того, увеличиваются продольные размеры си¬
стемы.
В предельном случае а = 0. Такой конденсор является кол¬
лективом. При использовании коллектива в фокальной плоскости
объектива уже невозможно поместить растр анализатора. Для
коллектива £>„ — 2f tg р, а диаметр выходного зрачка системы
. D.»x =	- U) = D„2fK tg P/(DK - 2f'K tg p).
447

При DK > 2/к tg р размер площадки приемника
^ФП1 =	^	(!/^«) 2 ‘g Р	<24-6)
При отсутствии коллектива
^ФПа = 2/' tg Р = 2D3X (/7Dbx) tg Р = 2D„ (i/Ao0) tg р,	(24.7)
где Лоб — относительное отверстие объектива.
Сравнивая (24.6) и (24.7), можно увидеть, что изменение
размера чувствительного слоя приемника при использовании
коллектива происходит в Л0бМк раз.
Пример 24.1. Определить фокусное расстояние конденсора приемной
оптической системы ОЭП и его относительное отверстие (см. рис. 24.2), если из¬
вестно: /q6 = 200 мм; а = 15 мм; £>вх = 5 мм; Овых = 3 мм; tg to == 0,05.
Решение. По формуле (24.5) определяемDK — 2 (/'б -f a) tg со 4- aDo6/jf'6 =
= 25,2; по формуле (24.4) находим f'K = DBblJ'o6 -f a/(DBX 4- £вых) = 80,6 мм.
Таким образом, DK/f% — 1/3,2.
24.3.	ПЕРЕДАЮЩАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Передающая оптическая система применяется только
в активных. ОЭП и служит для формирования светового пучка
подсветки анализируемых объектов и сканирования поля обзора.
Необходимость ее использования возникает вследствие значитель¬
ной расходимости излучения большинства источников, что не поз¬
воляет свести к минимуму потери потока на пути от излучателя
до исследуемого объекта, а затем до приемной оптической системы.
В ряде случаев передающая оптическая система необходима для
обеспечения условий качественной модуляции потока непосред¬
ственно у источника, для выделения оптимального участка спектра
излучения источника и т. п.
В состав передающей оптической системы могут входить фор¬
мирующие пучок оптические звенья (объективы, конденсоры,
модуляторы).
Наиболее часто передающая оптическая система формирует
параллельный или близкий к параллельному пучок. При этом до¬
стигается увеличение силы источника излучения в направлении
от выходящего пучка, что позволяет улучшить энергетические
соотношения в системе, например, увеличить дальность действия
прибора, уменьшить габаритные размеры приемной системы.
. При работе оптико-электронной системы с параллельными пуч¬
ками стабилизируется положение изображения при изменении
расстояния до объекта, исключается ряд нежелательных явлений.
Простейшая передающая оптическая система может состоять
из источника (излучающего тела, тела накала лампы и т. п.) и
формирующего пучок объектива. Источник располагается вблизи
фокуса объектива. На рис. 24.3 представлена схема такой системы.
Облученность в плоскости изображения А'В’ источника опреде¬
ляется выражением
Е' = пх0хсВ’ sin2P\	(24.8)
448

Рис. 24.3. Схема передающей оптической системы
К-
где т0, тс — коэффициенты пропускания оптики и среды соответ¬
ственно; В' — (п'2/п2) В ; я, п' — показатели преломления опти¬
ческих сред по обе стороны объектива; В — яркость источника;
sin р' « £)вых/(2а'). При круглой форме выходного зрачка можно
переписать:
£' « XqXqB*%В\ЫХ!(4а'2) = т0твД'ввых (1 /а'2) = тс/0/а>2,	(24.9)
т. е. такая система эквивалентна точечному источнику с осевой
силой излучения
Уо — Хо5/5Вых"	(24.10)
Эта формула хорошо известна как формула Манжена—Чико-
лева. Она справедлива для больших расстояний, т. е. для а' >
> акр- Обычно а«р = (50 ... 70) Овых. Из этой формулы очевидна
целесообразность увеличения площади выходного зрачка системы
SBbrx и яркости источника В.
Методы расчета оптических передающих систем подробно из¬
ложены в специальной литературе. Следует иметь в виду, что
в большинстве ОЭП, в отличие от проекционных систем, размеры
проецируемой в пространство изображений диафрагмы весьма не
велики. Поэтому в ОЭП часто можно использовать сравнительно
несложные конструкции конденсоров и объективов.
В общем виде наиболее распространенная оптическая схема
передающей части ОЭП при использовании тепловых источников
состоит из конденсора, предназначенного для сбора максималь¬
ного количества световой энергии, создаваемой источником, и
объектива, формирующего пучок. В качестве конденсора передаю¬
щих систем иногда используют зеркальные отражатели с боль¬
шим углом охвата, достигающим 300° (при асферической форме
отражающей поверхности). Однако вследствие сравнительно не¬
больших апертур объективов обеспечить малую расходимость вы¬
ходного пучка лучей в таких системах весьма трудно, так как
аберрации здесь из-за большого увеличения велики. Поэтому лин¬
зовые конденсоры, имеющие меньшие углы охвата, позволяют
иногда создать более направленные пучки, причем потери энер¬
гии в конденсоре компенсируются за счет уменьшения расходи-
15 П/иел. Пубовнка
449

мости выходного пучка, а также благодаря лучшему согласованию
апертур конденсора и объектива.
В качестве объективов передающих оптических систем могут
служить описанные выше объективы приемных оптических систем
с характеристиками, удовлетворяющими требования к ОЭП.
Г Л А В А 25. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЛАЗЕРОВ
В ОЭП в качестве источника излучения наряду с
тепловыми источниками используются лазеры — когерентные
квантовые генераторы оптического диапазона длин волн излуче¬
ния. Они имеют широкое применение в приборах для научных
исследований, в измерительных средствах, системах связи, вы¬
числительной технике в технологических установках и во мно¬
гих других областях науки и техники. Эффективность этих источ¬
ников излучения по сравнению с тепловыми определяется воз¬
можностью генерации в лазерах электромагнитных волн на основе
индуцированного излучения в возбужденной активной среде 2
(рис. 25.1), что позволило придать лазерному излучению замеча¬
тельные свойства, заключающиеся в высокой степени направлен¬
ности, монохроматичности и когерентности.
Направленность обеспечивается резонатором Фабри—Перо,
состоящем из двух зеркал 1 и 3 (рис. 25.1), на одном из которых
(выходном зеркале 5) формируется излучение с плоским волновым
фронтом, расходимость которого ограничивается дифракцией.
Различают когерентность временную и пространственную.
Временная когерентность оценивается автокорреляционной
функцией между фазами поля излучения Е на расстоянии г от
выходного зеркала в разные моменты времени t и t + х:
+т
#ii (2i> x) = Um-~r J Ег (Zl, t -f т) Ех (zx, t)dt,	(25.1)
где Т — период колебания поля Е.
Частичная временная когерентность имеет место при т0 > т,
где т0 — время когерентности, при котором коэффициент корреля¬
ции отличен от нуля. Это время определяет ширину спектра частоты
излучения.
Av=l/x0.	(25.2)
г	.	з
/
—^—=1
/
/
1 ■»»»»■■ ■■ —— — - щ
шт
Рис. 25.1. Схема лазера
450

Пространственная когерентность оценивается взаимокор -
реляционной функцией между фазами поля излучения в двух точ¬
ках Zj и в определенный момент времени t:
+т
#12 («1» ч) = Нт ~r J El (zt, t) £2 (z2, t) dt.	(25.3)
При разнесении точек zx и za вдоль пути распространения
излучения до определенного расстояния корреляционная функ¬
ция уменьшается* от 1 до-0, что соответствует области частичной
когерентности. Это расстояние называется длиной пространствен¬
ной когерентности.
Свойства пространственно-временной когерентности излуче¬
ния оцениваются функцией взаимной когерентности
+т
#ia (*i, Ч, 0 = lim -=j=~ f Ех(гг, t + т) Е2 (г2, t)di.	(25.4)
Т-» оо *1 J
~-Т
Монохроматичность лазерного излучения определяется от¬
ношением ширины спектра его частоты к значению основной ча¬
стоты.
Высокая монохроматичность газовых лазеров обусловлена дис¬
кретностью энергетических переходов в возбужденной активной
среде и характеристиками резонатора, определяемыми стабиль¬
ностью оптической длины резонатора. При специальных условиях
стабилизации кратковременная степень монохроматичности на¬
пример, He-Ne лазера достигает значения 10“14, а долговремен¬
ная — 10“12 ... 1<Г13.
I
25.1.	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Распространение лазерного излучения в свободном
пространстве и в оптических системах описывается с помощью
пространственных параметров. К ним относятся диаметр пучка и
расходимость, кривизна волнового фронта, диаграмма направлен¬
ности, распределение плотности мощности (энергии) в поперечном
сечении пучка, ось диаграммы направленности, ближняя и даль¬
няя зоны лазерного излучения.
Под диаметром пучка лазерного излучения понимается диаметр
поперечного сечения пучка лазерного излучения, внутри которого
сосредоточена заданная доля его энергии или мощности. Чаще
под диаметром пучка понимается расстояние между двумя точ¬
ками в сечении, перпендикулярном направлению распространения
излучения, в которых амплитуда или интенсивность поля умень¬
шается в некоторое число раз по сравнению с их максимальными
значениями, что позволяет упростить описание лазерного излу¬
чения.
15*	451

Рис. 25.2. Схема конфокального резонатора
Диаграмма направленности лазерного излучения описывает
угловое распределение энергии или мощности этого излучения.
Ось диаграммы направленности лазерного излучения представляет
собой прямую, проходящую через максимумы углового распреде¬
ления энергии или мощности лазерного излучения в сечениях ла¬
зерного пучка.
Дальняя зона лазерного излучения представляет собой область
пространства вдоль оси лазерного пучка, расположенную на та¬
ком расстоянии от излучателя лазера, начиная с которого диа¬
грамма направленности остается постоянной. Это расстояние
определяется началом зоны Фраунгофера:
2ф = о) о/Л.,	(25.5)
где ю0 — диаметр пуЗка излучения в перетяжке по уровню энер¬
гии 1/е2 (рис. 25.2).
Расходимость лазерного излучения—это плоский или телес¬
ный угол с вершиной, совпадающей с точкой пересечения оси
резонатора с плоскостью перетяжки, характеризующий ширину
диаграммы направленности лазерного излучения в дальней зоне
по данному уровню углового распределения энергии или мощности
лазерного излучения, определяемого пр отношению к его макси¬
мальному значению. Эту расходимость также называют угловой.
Пространственные параметры лазерного пучка получают эк¬
спериментальным путем или рассчитывают по известным парамет¬
рам резонатора. Связь параметров пучка с параметрами резона¬
тора определяется типом резонатора.
На рис. 25.2 показан конфокальный резонатор, состоящий из
двух зеркал 1,2 с радиусами гг и г2 соответственно. В случае
гх =	г%	перетяжка	излучения будет находиться	в	центре	резона¬
тора,	ее диаметр	(для	одномодового излучения)	определяется вы¬
ражением
©0 = 2"|/d/(3v),	(25.6)
где v = 2п/% — волновое число; d — длина резонатора.
Диаметр излучения на расстоянии z от перетяжки выражается
формулой
со (г) = со0 УГ-f (2z/d)2.	(25.7)
452

Радиус кривизны волнового фронта лазерного излучения в за¬
висимости от координаты г определяется в виде
Я(а)«*{1 + М/(2г)]*>.	(25.8)
В частном случае, на поверхности зеркал, при
со (d/2) = 21/d/v;
R (d/2) = d
и при г = 0, т. в; в центре резонатора, R — оо.
Из анализа выражений (25,6)—(25.10) вытекает, что фазовый
фронт в плоскости перетяжки плоский, на зеркалах — совпадает
с их поверхностями, а диаметры излучения в этих сечениях от¬
носятся как 1/1^2.
Резонаторы современных маломощных лазеров (см. рис. 25.2)
в основном имеют одно зеркало 1 вогнутое, а другое 2 — плоское,
что соответствует левой половине рассматриваемой схемы резо¬
натора, формулы настоящего раздела применимы также для
случая, когда начало координат находится в центре выходного
плоского зеркала, с которым совпадает перетяжка.
Диаграмма направленности лазерного пучка на плоском вы-
ходном зеркале определяется только дифракцией в этой плоскости,
поэтому зависит от его энергетического профиля, определяемого
формой пучка и распределением энергии по зеркалу. Расходимость
пучка при равномерном распределении энергии, что соответствует
многомодовому характеру излучения, определяется равенством
0Р = 6ф Х/(2у).	(25.11)
где 2у — размер диафрагмы на выходном зеркале; &ф — коэффи¬
циент, зависящий от распределения энергии и формы активного
элемента.
При равномерном распределении энергии для круглой диаф¬
рагмы &ф — 1,22 и для квадратной k$ — 1.
Расходимость лазерного пучка минимальна при генерации
основной моды ТЕМ00, при которой лазерный пучок имеет гаус¬
сово распределение энергии
£2(г) = 4ехр(-2у2/ш2),	(25.12)
где Е — энергия на оси пучка.
Тогда расходимость, соответствующая уменьшению амплитуды
в е раз по сравнению с амплитудой на оси (или уменьшению энер¬
гии в е2 раз), выражается так:
20 = 2Х/(то0).	(25.13)
В случае генерации многомодового излучения TEMmn (т
и п — индексы мод по осям у их соответственно) для оценки
диаметра пучка и расходимости также используется критерий
уменьшения энергии в е2 раз по всему сечению. Многомодовый
пучок характеризуется определенным числом максимумов и ми¬
(25.9)
(25.10)
453

нимумов энергетического профиля по осям у и х. Следовательно,
в этом случае за радиус пучка принимается расстояние от оси
пучка до крайней точки, где интенсивность уменьшилась до
указанного уровня. Поэтому размеры многомодового пучка в по¬
перечных сечениях увеличиваются по осям в kVt х раз, что при¬
водит к следующим преобразованиям формул (25.11)—(25.13):
n ~ by* ге^о»	(25.14)
9p(m, n) — kytXev;	(25.15)
п ~ ky, зс®*	(25.16)
Значения kVt к в зависимости от индексов мод для координат у
и х имеют следующие зависимости:
т, п	 О	1	2	3	4
ky,„			1	1,52	1,86	2,12	2,32
25.2,	ФОРМИРОВАНИЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ОПТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Для обеспечения максимальной эффективности ис¬
пользования лазеров требуемые пространственные параметры их
излучений получают путем формирования лазерных пучков опти¬
ческими системами.
Наиболее типичной задачей формирования является фокуси¬
ровка лазерных пучков в целях получения максимальной кон¬
центрации энергии в требуемой плоскости. Использование для
этой цели одного компонента (объектива) не всегда обеспечивает
выполнение технических требований в связи с большой дифрак¬
ционной расходимостью пучка в рабочей зоне. Предварительное
увеличение размеров поперечных сечений приводит к необходи-
моети введения дополнительного компонента.
Другой задачей является коллимация лазерных пучков, т. е.
такое их формирование, при котором пучки должны распростра¬
нятся на большие расстояния без значительного изменения их
проетранственных характеристик. Как и в первом случае, колли¬
мация также может быть реализована с помощью двухкомпонент¬
ной оптической системы. При расчетах параметров оптических
систем следует в максимальной степени учитывать специфические
особенности лазерного излучения, рассмотренные в настоящей
главе, и в первую очередь дифракционный характер его распро¬
странения. При формировании лазерного пучка оптическими
компонентами, не ограничивающими его энергетический профиль,
изменяется только распределение фаз, что приводит к изменению
амплитудно-фазового распределения поля при его дальнейшем
свободном распространении.
При фокусировке лазерного пучка его пространственные ха¬
рактеристики изменяются следующим образом: амплитудное рас¬
пределение на задней поверхности компонента такое же, как и
распределение на передней поверхности, рассчитанное по формуле
454

(25.7)	при г, равном расстоянию от перетяжки до компонента,
радиус кривизны R' по отношению к рассчитанному по формуле
(25.8)	R корректируется согласно выражению (формуле Гаусса):
\/R' — l/R = l/f',	(25.17)
где f — заднее фокусное расстояние компонента.
Важным обстоятельством при этом является отсутствие пред¬
мета и его изображения.
При коллимации лазерного излучения необходимо на выходе
формирующей системы обеспечить близкий к плоскому фазовый
фронт и расходимость, не превышающую дифракционную расходи¬
мость, рассчитываемую по формуле (25.13), поэтому компоненты
формирующей оптической системы, в качестве которой использу¬
ется телескопическая система, должна обеспечить: первый компо¬
нент (положительный при использовании системы Кеплера и
отрицательный — при использовании системы Галилея) необхо¬
димую коррекцию фазы излучения для расширения пучка до
размеров на втором компоненте, соответствующих требуемой диф¬
ракционной расходимости пучка на выходе оптической системы,
влияющей на размеры сечения сколлимированного пучка соь
на конце трассы длиной L в соответствии с формулой (25.13) при
условии L f'2 следующим образом:
©£ = ©o/g/fi 2/jXL/(jt/2©о)>	(25.18)
где fbffi — D2ID1 =ГХ — увеличение коллимирующей системы.
Найдем оптимальное значение Гх, обеспечивающее минималь¬
ную величину а)ь, из условия d(oL/dTK — 0, в результате чего
получаем
Г?Пт = l/2U/(©gji) ,	(25.19)
что обеспечивает размер пучка
опт = 2 "|/2XL/я,	(25.20)
превышающий в 2 раза размеры пучка ют на выходе телескопиче¬
ской системы.
Анализ формул (25.18) и (25.20) показывает, что такой способ
коллимации позволяет сформировать лазерный пучок в виде
усеченного конуса с постоянно увеличивающимся диаметром на
трассе, что соответствует распространению пучка в дальней зоне.
Формирование пучка на трассе подобно его формированию
в резонаторе (см. рис. 25.2), т. е. выполнение условий
ют = соь и (о (L/2) == (йт/Т/г"	*	(25.21)
I
обеспечивается при расширении пучка телескопической системы
до размера
<от == 2 УЦч,	(25.22)
что получено путем замены d на L в формуле (25.9), и дополнитель¬
ной фокусировкой одного из компонентов путем образования оп¬
455

тического интервала Дх в целях придания ему телескопических
фокусирующих свойств, аналогичных свойствам зеркала 1 резо¬
натора (см. рис. 25.2).
Определим Гх телескопической системы для обеспечения усло¬
вий (25.22):
х й)т 2]А/v	Г LX	(25.23)
о>0	о)0	г\/	„fa	*
Сравнивая Г?пт» определяемое по формуле (25.19), с выраже¬
нием (25.23), обнаруживаем Гх — Г?Пт-
Оптический интервал определяется из условия R'T — L ана¬
логично условию (25.10), где R'r — радиус волнового фронта пуч¬
ка на выходе телескопической системы. Используя выражение
(25.17), получаем условие для работы телескопической системы
в качестве фокусирующего элемента:
\/L - UR0 = 1//;кв,	(25.24)
где Rq = оо — радиус волнового фронта перетяжки (при ее услов¬
ном совмещении с первым компонентом); /экв — эквивалентное
фокусное расстояние телескопической системы, откуда получаем
/экв = L. По формуле L — /1/2/Д определяем
А — f if 2 jL.
Отметим, что наличие Д в телескопической системе оправдано
для коллимации излучения на длине трассы 100 м ^ L 1 м.
В случае L ■> 100 м значение Д —0, а при L < 1 м нет смысла
коллимировать излучение.
Анализ выражений (25.17), (25.19), (25.22) и (25.23) показы¬
вает, что при выборе значения Гопт, соответствующего определен¬
ной трассе длиной L, путем перефокусировки телескопической
системы можно добиться только соотношения соь/о)т 1, а ре¬
ализация условия а>ь/сот < 1 принципиально невозможна. Со¬
ответственно при выборе Гх > Г0пт можно реализовать условие
X	р х
сот со£, которое оказывается нереализуемым при Г < Гопт»
условие coL > (от реализуется при любом значении Гх.
Рассмотренная специфика лазерного излучения обусловила
создание новых подходов к расчету формирующих лазерных оп¬
тических систем, в частности, понятия апертурной диафрагмы,
зрачков и угловых полей оптических систем при формирова¬
нии лазерного излучения приобрели другой смысл. При отсутствии
диафрагмирования лазерных пучков апертурными диафрагмами
(или при незначительном его влиянии), что соответствует условию
слабого диафрагмирования £>АД > 2,2содд, где £>АД — диаметр
апертурной диафрагмы, понятия входного и выходного зрачков,
используемые при рассмотрении вопросов формирования неко¬
герентных пучков света в оптических системах, в этом случае
теряют смысл. Угловые поля оптических систем также не имеют
прямой связи с расходимостью лазерного пучка на входе и выходе
456

оптической системы, так как в его формировании основную роль
играют оптические компоненты, влияющие только на фазовый
фронт.
Отметим другую особенность лазерного излучения. Перетяжку
лазерного пучка, имеющую плоский фазовый фронт и гауссово
распределение амплитуд, образуемую, например, на плоском зер¬
кале резонатора, нельзя рассматривать как предмет для формиру¬
ющей оптической системы, так как ее проецирование описывается
с помощью формул лазерной оптики, не соответствующих законам
геометрической оптики. Однако сильное ограничение сечения пучка
диафрагмой в любой плоскости превращает эту плоскость в пред¬
метную, соответствующую классическим понятиям геометриче¬
ской оптики, так как в этом случае нарушается дифракционный
характер распространения гауссового пучка и в плоскости изо¬
бражения формируется изображение ограничивающей диафрагмы.
Аналогичное явление происходит при падении лазерного пучка
на рассеивающую поверхность или при прохождении через нее.
В результате этого существенно уменьшается степень когерент¬
ности и увеличивается расходимость пучка, что позволяет счи¬
тать сечение пучка рассеивающей свет поверхности пятном, излу¬
чающим некогерентный свет. В этом случае формирование изо¬
бражений таких пятен не обладает лазерной спецификой, оно осу¬
ществляется также по законам геометрической оптики.
Рассмотрим основные подходы к расчету параметров гауссовых
пучков, их свободного распространения и формирование оптиче¬
скими системами. В настоящее время разработано несколько ме¬
тодов расчета характеристик лазерного излучения, основанные на
волновом представлении его формирования. Они позволяют рас¬
считать положение перетяжек лазерного излучения, сформирован¬
ного оптической системой, а также диаметры излучения в произ¬
вольных сечениях.
Различие известных методов состоит в описаниях исходных
параметров лазерного излучения. В наиболее развитом из них,
так называемом методе конфокального параметра, излучение,
генерируемое лазером с произвольным резонатором, представля¬
ется генерируемым с помощью гипотетического конфокального ре¬
зонатора, имеющего один параметр в виде его длины R9 = / (гъ
г2, d). На основе этого параметра и длины волны излучения X
определяют положение перетяжки внутри резонатора, диаметры
пучка и радиусы его кривизны.
Известны геометрооптические модификации этого метода, в
которых излучение представляется в виде пакета лучей, огибаю¬
щая которых является гиперболой, соответствующей дифракцион¬
ной природе распространения излучения. Геометрическая интер¬
претация излучения позволяет воспользоваться формулами геоме¬
трической оптики в параксиальной области при прохождении
лучевого пакета через оптический компонент. Однако такой под¬
ход не упрощает формулы расчета параметров компонентов пере-
457

Рис. 25.3. К расчету параметров гауссовых пучков:
а « методом конфокального параметра; б « методом вариансов
дающих оптических систем по сравнению с методом конфокаль¬
ного параметра, в котором оптический компонент рассматривается
как фазовый корректор излучения .
Отметим, что в обоих подходах к описанию излучения зависи¬
мость его параметров в произвольных сечениях от параметров ре¬
зонатора усложняет расчеты, а при неизвестных параметрах ре¬
зонатора рассмотренные методы оказываются неэффективными.
Более эффективным методом расчета в ряде случаев является
так называемый метод вариансов. В отличие от описанных, в этом
методе амплитудно фазовые соотношения излучения описываются
в исходном сечении и произвольным комплексным числом V —
вариансом, содержащим радиус излучения ю пучка и радиус его
волнового фронта R. Использование варианса достаточно для опи¬
сания перетяжки на выходе лазера без использования параметров
резонатора. Например, на плоском зеркале резонатора излучение
будет иметь R = оо и ш0/2 — радиус пучка по уровню энергии
1/е2. Отметим, что общим для всех известных методов является рас¬
смотрение лазерного пучка в виде одномодового с гауссовым энер¬
гетическим профилем. Переход на многомодовое излучение осу¬
ществляется по описанной выше методике.
Рассмотрим основные исходные соотношения для методов кон¬
фокального параметра и вариансов. Являясь эквивалентными,
эти методы в ряде случаев дополняют друг друга.
Метод конфокального параметра (рис. 25.3, а). Основной пара¬
метр определяется по следующей формуле (см. рис. 25.2):
d Vgig2(l—glg2)
9	Si	+	£2	—	2gjga ’
(25.25)
где gi = 1 — dfrt\ g2 = 1 — d/r8.
Положение плоскости перетяжки относительно зеркал резо¬
натора
gi(l— £i)	.	£i(l—	gz)
«а ~ L
Si 4~ £2 — 2gjgt *	* gx -j- g2 — 2g1ga
Радиус пятна основной моды в плоскости перетяжки
а>о= “\/ А»/?э/(2«п>)»
(25.26)
(25.27)
458

Расходимость пучка лазера для основной моды
* -»“ l/afc - т=; - 3;?•	<25-28>
По известным значению конфокального параметра /?э и по¬
ложению плоскости перетяжки можно определить параметры пучка
в любом сечении, отстоящем от плоскости перетяжки на расстоя¬
нии г:
*=У'в>0(1 +22/#э)а-	(25.29)
В произвольном сечении пучка радиус волнового фронта
Rz = 1 + (2^/^э)1	(25 30)
4 R
Э
Положение плоскости перетяжки, сформированной оптической
системой (рис. 25.3, а), определяют по формуле
1		^ "Ь а№		/95	ЗП
Г ~ (1+а/Г)а + [^э/(2П]2 в	{	}
Конфокальный параметр, преобразованный оптической си¬
стемой, выражается следующим образом:
*• = (1 + а/П* + [Лэ/(2/')]* ’	<25'32>
Используя это выражение, получаем
z'/R'9=>—2/R9.	(25.33)
Пример 25.1. Проанализировать формулы (25.25)—(25.33) и установить
общность и различие формул лазерной » параксиальной геометрической оптики.
Решение. Положение предмета и его изображения относительно тонкой оп¬
тической системы в геометрической оптике определяется формулой Гаусса (25.17),
согласно которой изображение предмета в плоскости Я' соответствует положе¬
нию предмета при а-*- оо.	Из	формулы (25.31) следует, что	перетяжка	преобразо¬
ванного пучка	находится	в	плоскости F' при условии	расположения	исходной
перетяжки в плоскости F.
Поперечное увеличение в геометрической оптике определяется как Р =
= —f!z = —аЧа\ поперечное увеличение в лазерной оптике на основе формул
(25.32) и (25.33)
= <Oo/cd0 = УТЩЩ.	(25.34)
С другой стороны, при Rz -*■ 00 согласно формуле (25.30) R9 -*■ а, что со¬
ответствует дальней зоне лазерного излучения и модели гомоцентрического пучка.
При этих условиях формула (25.31) превращается в формулу Гаусса, а из формул
(25.27)—(25.34) получаем, что рл = Р*
Используя выражение (25.32), получаем условие Rq -С \ г |, п^и котором фор¬
мулы геометрической оптики применимы к описанию лазерных пучков.
Метод вариансов (рис. 25.3, 6). Варианс V связан с радиусом
волнового фронта R соотношением
Re (1 jV) » 1 (V©2); Im (1/V) =» 1/tf,
где v = 2я/А, — волновое число.
459

Варианс полностью описывает структуру излучения в про¬
извольном сечении:
1/V — l/(vco8) — i/R,	(25.35)
где R — радиус волнового фронта.
При распространении пучка на расстояние z в авободном про¬
странстве он преобразуется по правилу:
Vz = V -f- iz,	(25.36)
где V — варианс в исходной плоскости; Vz — варианс на рас¬
стоянии г.
При преобразовании пучка тонкой оптической системой с фо¬
кусным расстоянием /' его варианс определяется следующим об¬
разом:
1/н;=1/к,-*(1//').	(25.37)
Вариансы Уг и V' определяют по формуле (25.36):
Vi = У г +
V' = V[-i (/' Н- z'>.
25.3.	ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ЛАЗЕРНОЙ
КОЛЛИМИРУЮЩЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ч
Исходными данными для расчета являются (рис. 25.4):
длина волны излучения X; положение плоскости перетяжки от¬
носительно первого компонента z0; радиус пучка в плоскости пере¬
тяжки rSo; относительное отверстие о If' 0,25.
Находим варианс в плоскости г *рвого компонента по формуле
(25.36).
Определяем радиус пучка в плоскости компонента из соот¬
ношений
l/К* = 1/<кв н- tz0).
Умножив числитель и знаменатель правой части этого урав¬
нения на величину, сопряженную знаменателю, получим
= (V0 ч- <г0)/(к| + *g).	(25.38)
Приравнивая действительные и мнимые части уравнений
(25.37)	и (25.38) и считая ю — rs, получаем
J_ Vq .	1	Ч
*2	4+4’	«"^+4"
Отсюда находим параметры пучка:
Г,0 = У (VI + 4)/(М;	(25. ЗЭ)
«* = -(‘,о+4)Ао.	<25-4°)
где г0— расстояние от плоскости перетяжки до плоскости ана¬
лиза.
460

Рис. 25.4. Формирование лазерного излучения оптической си¬
стемой:
а — Кеплера; б — Галилея
Диаметр первого компонента D i = 2,2 (2rSl).
Подставляя в формулы (25.39) и (25.40) вместо z0 текущую
координату, можно определить параметры пучка между плоско¬
стью перетяжки и компонентом.
Фокусное расстояние первого компонента /л = 4D*.
Смещение перетяжки относительно переднего фокуса первого
компонента можно вычислить по формуле
До =*о+4	(25-41>
где fk — фокусное расстояние k-ro компонента.
Варианс в передней фокальной плоскости первого компонента
VF = VQ-iA0.	(25.42)
Для определения параметров пучка в точке переднего фокуса
компонента можно также воспользоваться формулами' (25.39) и
(25.40).
Если первый компонент положительный, то варианс преобра¬
зованного пучка определяется отношением
Vw ~ Гл!vр-
Подставив (25.41) и (25.42), получим Vf* = f'*f(V0 — i’A0).
Для нахождения параметров пучка в точке заднего фокуса
первого компонента воспользуемся соотношением 1/V>* =
-	(Vo - М0)//'*.
461

Действительная часть этого выражения Re (1/VV) = V0lf''\
мнимая часть, Im (1 /W) = —А0// .
Поэтому, делая те же преобразования, что и для (25.39) и
(25.40), находим
Диаметр компонента и его фокусное расстояние находят ана¬
логично. При отрицательном первом компоненте его параметры
находят так же, как было описано выше. Смещение плоскости
перетяжки относительно F\ : До = zo — f\.
По формуле (25.36) определяем варианс в передней фокальной
плоскости, вместо z0 подставив А. По формулам (25.43) и (25.44)
рассчитываем параметры пучка в точке переднего фокуса.
Варианс преобразованного пучка
Для удобства при дальнейшем рассмотрении введем обозна¬
чения:
(25.43)
-Я =-До/Г*; Я = Л0/Л
(25.44)
(25.45)
ИЛИ
4/Г +	“	Ао	“	*2Д0У0
[/l	4/,Д01/0)	*	(/lA0	+	2/jAoj
4/* + Fq — Aq — i2A0V 0
t=- 4/;д0к0;
h — hAo + 6/i +2 f\V\— 2/1^0!
^2=4/q H- V\ — AqJ
U = 2Д0К0.
*
Сделав подстановку, получим
Параметры пучка в точке заднего фокуса
_!_ = <» ~ »« = №> - »з)	+ и,) _ (t,t + l,hl- i (Ms - hi)

Радиус пучка
i/W) = (V+вд/О2+<?);
Ф
=У(<+<?)/[» (v+v О]-
Радиус кривизны волнового фронта
# = (f2	^j)/(^j^2 ~f* V).
Положение плоскости перетяжки преобразованного пучка
определяем из условия равенства бесконечности радиуса кривизны
волнового фронта.
Варианс в плоскости перетяжки Vz — VV — iz.
В случае, если первый компонент положительный:
1 л 1	Ур - i Д0
к’ =	/'*	(/'* - Д»г) - <Тог
v.-гк. .
(/;'~v)2+^
Мнимая часть этого выражения равна нулю, если равён нулю
ее числитель: Voz — A0/f* +	~ О*
Положение плоскости перетяжки
*’= Vi*/M + Ao)-	(25.46)
Радиус пучка в перетяжке
'•s=l/(/i’ + V)2 + j (vy«f',‘) ■	(25.47)
В случае отрицательного компонента
1	t%	~	^3	^3	”	Из
Vz t — it-LT-iti— t3z	—i{ti-\-tzZ)
= (** ' ^ К* ~ *»*) + ^2*1 _ V + ^22 ~~ **3* + tt\z _
(< — V)2 + Ф2 ((— V)2 + Ф*
+ ‘ (Ф ~ tZt + ф)
(' - *ff + ‘У
Радиус пучка в перетяжке
л f (t — ^s2)2 4- ф2 о	2
r« = ]/ —v6	:	-	¥+Ф=°;
М	2 V^o (/Г - VlV'o)
21 =
4+1	(<+к»-4«)+4д2у;
463

Затем	определяем оптический интервал, т. е.	расстояние	между
фокусом	первого	компонента и передним фокусом	второго:
b' = f','lv0.	(25.48)
Зная положение плоскости перетяжки г и оптический интер¬
вал А, можно определить смещение плоскости перетяжки относи¬
тельно переднего фокуса второго компонента. Это расстояние,
так же как и смещение перетяжки относительно переднего фо¬
куса первого компонента, обозначим
Д0 = z — Д*.
Далее с учетом длины трассы L определяем фокусное расстоя¬
ние второго компонента. Второй компонент системы должен быть
положительным:
12 = V Lfl + 4*V»l/(2A’V J).	(25.49)
Смещение плоскости перетяжки относительно плоскости вто¬
рого компонента Zo ~ Ао — /г. Расчет параметров пучка в пло¬
скости второго компонента, определение плоскости перетяжки
преобразованного пучка проводятся аналогично случаю положи¬
тельного первого компонента. Затем определяется варианс в пло¬
скости перетяжки преобразованного пучка и параметры пучка
в конце трассы. В случае, если радиус пучка в плоскости второго
компонента оказывается отличным от радиуса пучка в конце
трассы, фокусное расстояние второго компонента пересчитывается
с учетом выравнивания параметров пучка.
Определяем Ar9 — rsk — гтр, где гтр — требуемый радиус,
если rsh > rs тр; Akrs = (rsh — r8Tp)/2; f'2* = (Aftrs/2)/rsft; z0 =
= A0 — ft*-
Расчет повторяется, если rSTp>rsft:
&kre — ir 8 тр r
Гг = (v,/;)/^;
Пример 25.2. Дано: “к — 0,0006328 мм; z0 = —50 мм; rso = 0,25 мм. Пер¬
вый компонент положительный. Определить конструктивные параметры компо¬
нентов коллимирующей системы и их положение.
Решение. Волновое число v = 2лД = 9929,1801; варианс в исходной плос¬
кости К о = vr^0 — 620,5737; радиус пучка в плоскости первого компонента rsk =
= 0,2508101 мм, формула (25.39); радиус кривизны волнового фронта R—
= 7752,235 мм, формула (25.40).
464

Результаты расчета точек между плоскостью перетяжки
и плоскостью линзы
Координата
Радиус пучка
Радиус кривизны
волнового фронта
мм
—40
0,2505188
9 667,794
—30
0,2502920
12 867,060
—20
0,2501298
19 275,590
—10
0,2500325
38 521,180
Диаметр первого компонента £>дц = 1,103565 мм. Фокусное расстояние пер¬
вого компонента F{ — 4,414258 мм.
Смещение перетяжки относительно переднего фокуса Д0 = —45,58574 мм
(см. формулу (25.42)).
Радиус пучка в переднем фокусе первого компонента на основании формулы
(25.39): rsp = 0,2506736 мм.
Радиус кривизны волнового фронта Rf = 8493,660 мм. Положение плос¬
кости перетяжки за первым компонентом в соответствии с (25.44) г =
= —2,2941439-10“8 мм.
Радиус пучка в плоскости перетяжки по формуле (25.47) rs0 —
= 1,7735189-10"s мм.
Оптический интервал (25.48) Д = 3,1399455-1О-2 мм.
Фокусное расстояние второго компонента (25.49)	=	5,565278	мм.
Смещение перетяжки относительно переднего фокуса второго компонента
на основании формулы (25.49) Д0 =—3,3693600-10-2 мм.
Расстояние от плоскости перетяжки до плоскости второго компонента г0 —
= —5,598716 мм.
Радиус пучка в плоскости второго компонента (см. формулу (25.39)) rSk =
= 0,3179551 мм.
Радиус кривизны волнового фронта в плоскости второго компонента (см.
формулу (25.40)) Rk — 5,599145 мм.
Диаметр второго компонента D^ — 24,636238 мм.
Результаты расчета промежуточных точек
Координата
Радиус пучка
Радиус кривизна
волнового фронта
им
1
5,68-10~а
«1,00
2
0,1135
«2,00
3
0,17
«3,00
Положение плоскости перетяжки за вторым компонентом (см. формулу
(25.46)) г = 494,4348 мм; г* = 500 мм.
465

Радиус в плоскости перетяжки гв0 =0,2148407 мм.
Результаты расчета точек между плоскостью перетяжки
и концом трассы
Координата
Радиус пучка
Радиус кривизна
волнового фронта
мм
300
0,2567773
100,120
200
0,2344073
1250,180
100
0,2198957
2200,360
Варианс в плоскости перетяжки на выходе из системы Vx = 458,2962 мм.
Результаты расчета точек между точкой заднего фокуса
второго компонента и перетяжкой
•
Радиус пучка
Радиус кривизны
Координата
волнового фронта
мм
300
0,2333761
—1274,672
200
0,2553578
—1007,787
100
0,2834536
—926,9332
25.4. ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ
ФОКУСИРУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
Однокомпонентная система. Исходными данными для
расчета (рис. 25.4) являются: расстояние от плоскости перетяжки
лазера до плоскости компонента z; расстояние от компонента до
плоскости фокусировки г' \ длина волны лазерного излучения X.
Преобразуем формулу (25.37):
J	!	*	Р - iVi . у VJ'
Vi - Vx	г	Vxr ’
Подставим в эту формулу выражение (25.36):
- (у> + *2> f' _ V*P + izP - V°P ~ izP
P-i(V0 + iz)	f'-iVo + z
V,P - izP
V-V*-iz' =
(p+z)-i V0 ’
— iz' =
(/' + 2) - iV0
_ Vof' — izf’ — iz' (/' -f z) — z'VQ V0f — izf — iz'f' — iz'z — z'V0 _
(f'+z)-iV о	~	w+z)-iV о
(V0P — z'K0) — i (;zf' -f z'/' + z'z) .
{f'+z)-iV9
	(P -f Z) - iV0
vz	(f'Vо — z'V0) — i (zf + z'f + z'z) *
466

Для удобства в процессе преобразования введем обозначе¬
ния: f'+z = p\ V0 = Pi, V/ — z'Vq = рг\ zf' -j- z'f' -j- zrz = /7a,
тогда
1 _ p — ip! _ (p — ipi) (p2 + ip9) (PP* + P1P3) + i (PsP — PiP) .
Vz pi — ipz p\+p\	4	+	4
РР2 = (/' + г) (V0f[ - z'V0) = W'* - z'JV' -f zVV' - zz'K0;
PiPs = Vo (zf' + z'f + z'z) = VQzf' -1- V0z’f' -f V0z'z;
PsP = (*/' + Z'f' -f- z'z) (/' + z) = zf* -f- z2f + z'f'* + 2z'z/' + z'za;
PiP = (/' + *) V0 = f'Vо + zF0;
о 1	Уо/'ЧгУр/'-Ь	V0z/'
Re V*	(W' - z'F0)2 + (zf' + z’f + z'z)* *
1	Vy'*+2zVy'
vr? (Vo/' - z'V0)a + (zf' + z'f' + z'z)* ’
a
2	^ (Vqf — ^Vo)a + (zf' -f z'f' + z'zf	(25	50)
V	(Vo/'* + 2zVJ')
где ra — радиус сфокусированного пучка.
Пример 25.3. Дано: г = 0,4-10—3 мм; X — 0,6328 мкм; z~—50; z'= 500.
Определить при котором V0 имеет минимальное значение.
Решение. Для получения минимального размера пучка необходимо, чтобы
числитель выражения (25.49) имел минимальное значение, т. е.
V0/*-z'V0-*0;	(25.51)
zf' -j- z'f' -J- z'z 0.	(25.52)
Из выражения (25.52) определяем
f' = — zz'!(z -f- z').
При z =	—50	мм	и z' =	500 мм /' = 55,55 мм.	Из	выражения	(25.51) нахо¬
дим V0 (f' — г’) — 0.	Отсюда	видим, что т/0 должно	быть	минимально.
Двухкомпонентная система. Исходными данными для расчета
являются: длина волны излучения лазера; расстояние z от исход¬
ной плоскости перетяжки лазера до плоскости первого компонента;
размер пучка на выходе из системы на растоянии г’.
Расчет ведется по той же методике, что и для коллимирующей
лазерной системы. Все параметры пучка определяются аналогично.
За L принимается величина, равная 2z'. Но в этом случае требу¬
ется получить минимальный размер пучка в плоскости А—А.
Из формулы (25.6) для определения размера пучка в плоскости
перетяжки находим
гв = ~\f [(/'* + Л1Лг)2 + ^оЛг]/ К/'2)-
Анализ этого выражения показывает, что минимальный раз-
мер в плоскости перетяжки можно получить при = УAXA2
и Vo*+ min, или Д2*->- 0, т. е. при г.
467

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Апенко М. Им Дубовик А. С. Прикладная оптика. М.: Наука, 1982.
352 с.
2.	Апенко М. И., Запрягаева Л. А., Свешникова И. С. Задачник по приклад¬
ной оптике. М.: Недра, 1987. 312 с.
3.	Бабенко В. С. Оптика телевизионных устройств. М.: Энергия, 1982.
256 с.
4.	Бегунов Б. Н. Трансформирование оптических изображений. М.: Искус¬
ство, 1965. 231 с.
5.	Валюс Н. А. Стереофотография, кино и телевидение. М.: Искусство,
1986. 264 с.
6.	Вейнберг В. Б.# Саттаров Д. К* Оптика световодов. Л.: Машинострое¬
ние, 1977. 320 с.
7.	Волосов Д. С. Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1978. 546 с.
8.	Вычислительная оптика: Справочник/Под общ. ред. М. М. Русинова.
Л.: Машиностроение, 1984. 432 с.
9.	Гороховский Ю. Н., Баранова В. П. Свойства черно-белых фотопленок.
М.: Наука, 1970. 238 с,
10.	Гуревич М. М. Фотометрия. Л.: Энергоатомиздат, 1983. 272 с.
11.	Заказное Н. П. Прикладная геометрическая оптика. М.: Машинострое¬
ние, 1984. 182 с.
12.	Ишанин Г. Г., Панков Э. Д., Радайкин В. С. Источники и приемники
излучения. М.: Машиностроение, 1982. 222 с.
.13. Климков Ю. М. Прикладная лазерная оптика. М.: Машиностроение,
1985. 128 с.
14.	Креопалова Г. В., Лазарева Н. Л., Пуряев Д. Т. Оптические измерения.
М.: Машиностроение, 1987. 264 с.
15.	Мирошников М. М. Теоретические основы оптико-электронных прибо¬
ров. Л.: Машиностроение, 1977. 600 с.
16... Панов В. А., Андреев Л. Н. Оптика микроскопов. Л.: Машинострое¬
ние, 1976. 432 с.
17.	Пахомов И. И., Рожков О. В., Рождествин В. Н. Оптика квантовых
приборов. М.: РадиО и связь, 1982. 450 с.
18.	Пахомов И. И., Цибуля А. Б. Расчет оптических систем лазерных при¬
боров. М.: Радио и связь, 1986. 152 с.
19.	Плотников В. С. Геодезические приборы. М.: Недра, 1987. 396 с.
20.	Прикладная оптика: учебное пособие/Под ред. А. С. Дубовика. М.:
Недра, 1982. 612 с.
21.	Практикум по автоматизации проектирования оптико-механических
приборов/Н. А. Агапов, В. Н. Ашихмин, В. Ф. Богданов и др.; Под ред.
В. В. Малинина. М.: Машиностроение, 1989. 272 с.
22.	Радионов С. А, Автоматизация проектирования оптических систем.
Л.: Машиностроение, 1982. 270 с.
23.	Сборник задач по теории оптических систем/А. Н. Андреев, П. А. Грам-
матин, С. И. Кирюшин и др. М.: Машиностроение, 1987. 192 с.
24.	Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение,
1969. 670 с.
25.	Справочник конструктора оптико-механических приборов/Под ред.
В. А. Панова. Л.: Машиностроение, 1980. 760 с.
26.	Теория оптических систем/Б. Н. Бегунов, Н. П. Заказное, С. И. Кирю¬
шин, В. И. Кузичев. М.: Машиностроение, 1981. 432 с.
27.	Техника в ее историческом развитии. М.: Наука, 1979. С. 412.
28.	Турыгин И. А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение, 1965. 362 с.;
1966. 428 с.
29.	Чуриловский В. Нм Халилулин К. А. Теория и расчет призменных си¬
стем. Л.: Машиностроение, 1979. 270 с.
30.	Якушенков Ю. Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов. М.:
Машиностроение, 1989. 360 с.
468

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Аберрации 149
—	высших порядков 186, 209 — 211
—	действительных лучей 226
—	монохроматические 149t i 60
—	— первого и другие порядков 179, 185,
186, 191
—	—f хроматические разности 171
—* плоскопараллельной пластины 297
—f суммирование 224
—	— в оборачивающей системе 226
—	термодинамические 173
—	термооптические 173
—	положения изображения 173
—	■— систем из тонких линз 177—179
—	— тонкой линзы 175
—	— увеличения 173
—	третьего порядка 185
—	— —f геометрическое представление
191
—	— — сферические 192,	193,	218,	219
_ — в зрачках 195
	—	тонкого компонента 218
—	элементов оптических систем 263 — 271
Аберрационная кривая 192
Аберрация волновая 257
—	глазного луча — см. Дисторсия
—	комы 198
—	крыловидная — см, Птера
—	отрицательная 154
—	положительная 154
—	поперечная 180
—	—, меридиональная составляющая 181,
182
—	—, сагиттальная составляющая!8lf 1 82
—	стреловидная — см. Сагитта
—	сферическая 73
—	— третьего порядка 192—195
—	— — — в зрачках 195, 196
—	сферохроматическая третьего порядка
196
—	широкие наклонных пучков лучей 250 —
256
—	широкого осевого пучка лучей 235 — 24 7
Автоколлиматоры 358
Аксиконы 312
—	линзовые. 313
—, типы 313
—	хроматические 313
Аметропия глаза 334
Анастигматы 205
Апертура числовая пространства изобра¬
жений 114
—	— предметов 114
Апидиаскопы 416
Апланатические точки сферической пре¬
ломляющей поверхности 74—76
Апохроматы 166
Астигматизм 202
Астигматическая разность вдоль главного
луча 202
^	оптической	оси	202
А&роматы 163
Б
Бипризма 308
Бисагитта 210
Бленда 126
В
Вектограф 427
Вектор Пойти яга I 2
Виньетирование 1 22
Волоконная оптика 317
—	—, передача изображений 322, 323
Вторичный спектр положения изображе¬
ния 164
—	— увеличения изображения 164
Г
Глаз 324, 325
—	.аберрации оптической системы 327, 328
—, адаптация 329, 330
	 световая 330
—	— темновая 330
—, аккомодация 327
—	—, ширина (или сила) 327
—	аметропический 333
—	астигматический 334
—, ближняя точка 327
—, вершинные рефракции 327
—	гиперметропический (дальнозоркий) 334
—, глазной базис 325
—, дальняя точка 327
—, зрительная ось 325
—, контрастная чувствительность 329, 330
—	— —t мера 330
—	миопический (близорукий) 334
—, недостатки и их исправление 333 — 337
—, основные параметры 326, 327
	, согласование параметров глаза и
других оптических систем 339, 340
—t поле глаза 328, 329
—, пороговая разность яркости 330
—, пороговый контраст 330
—	приведенный (редуцированный) 326
—, разрешающая способность 328, 329
—, рефракция 327
—, спектральная чувствительность 332
—, строение 324
—, субъективная яркость изображения
при невооруженном глазе 330, 331
—	эмметропический (нормальный) 333
—, угол конвергенции 325
Глубина резко изображаемого простран¬
ства 343т 344
Гороптер 338
Д
Детали оптические 289
—	— из неоднородных сред 315, 316
Дефлекторы 441
Дефокусировка 183
Диафрагма апертурная 109
—	виньетирующая 122
—	# входное окно 123
выходное окно 124
—	полевая 119—122
Диафрагмы 108
Диоптрия 10J, 335
Дисперсия 150
Дисторсия 207, 208
—f мера 208
—	третьего порядка 208
Дифракция 12
Длина волны 11
3
Закон Ламберта 130
—	независимого распространения евета м
—	прямолинейного распространения све¬
та 13
—	синусов Аббе 68
—	Тальбота — Плата 331* 332
Законы отражения и преломления света 13
Зейделева теория изображений ! Во
Зеркало 299

—	плоское 300, 302, 303
—, построение изображения 300—302
—	сферическое 301
Зрачок оптической системы III
	 	 — входной III
—	— — —. относительное отверстие 114
		— выходной III
Зрение 324
—	бинокулярное. 337
—, инерция 331
	, время ощущения 331
—	—, критическая частота прерываний
331
	, последовательный образ 331
—	монокулярное 337
—	стереоскопическое 337—339
—	цветовое 332, 333
И
Излучение лазерное, коллимация 454
—	—, методы формирования оптическими
системами 454—460
—	—, особенности 450, 451
—	—, пространственные параметры и ха¬
рактеристики 451—454
Изображение оптическое 22
	 	 действительное 23
—	— идеальное отрезка прямой 63—65
—	— — точки 61
—	— мнимое 23
	наклонных предметов 47, 48
	точечное (стигматическое) 23
Изображения оптические гауссовы 34
Инвариант Аббе для сферической прело¬
мляющей поверхности в параксиальной
области 89—91
—	Гершеля 69
—	Лагранжа — Гельмгольца 43
	 	 — для зрачков 118
—	— — для идеальной системы 69
—	преломления Аббе для действительного
луча 72
—	световой трубки 136
—	— — основной 139
—	Штраубеля 139
Инварианты Гульстранда 86
—	для параксиальной области 89—91
Интерференция 12, 13
К
Кандела 133
Коллектив (линза или система линз) 291
Кома меридиональная 198, 219
—	— третьего порядка 199
—	сагиттальная 199
—	третьего порядка- 196—198
		, мера 200
	 — сагиттальная 198
Компенсаторы 441
Конденсаторы 412
Корригирование оптической системы 150
Коэффициент анаморфозы 429
~ виньетирования геометрического 124
—	линейного 124
—	внутреннего (чистого) пропускания све¬
та спектральный 134
■— отражения 134
—	пропускания 134
—	рассеяния 134
—	сферохроматической аберрации 196
—	трансформирования высоты изобра¬
жения 429
—	— ширины изображения 429
яркости 136
Коэффициенты аберраций для предмета
в бесконечности 187
—	— третьего порядка — см. Суммы Зей-
деля
Кривизна Петцваля 222
Критерий Релея 286
470
—	Штреля 287
Критерии качества изображения в опти¬
ческих системах приборов — см. Системы
оптические приборов, критерии качества
изображения
Л
Лазеры 450
—, излучение 450 — 451
Линза бигиперболическая 297
—	плоскогиперболическая 297
—	шар 293
Линзы 99* 289, — 297
—	анаберрационные 296
—	апланатические 271—274
—	ахроматические 265
—	бесконечно тонкие 102
—	— —, переход к линзам конечной тол¬
щины 103—107
—	двоякой симметрии 294
—	коллективные 291—293
—	концентрические 293
—	с обращенными главными точками 294
—	сфероэллиптические 297
—	телескопические (афокальные) 294
—	Френкеля 294
Лупа 364
—видимое увеличение 364
Лупа — глаз, система — см. Система
лупа — глаз
—, линейное поле 364, 365
—, ограничение световых пучков 365 — 367
—, оптические характеристики 364
—	телескопическая 367
Лупы анастигматические 367
—# оптические системы 367f 368
Луч апертурный пространства изображе¬
ний 114
—	— — — главный 116
—	— — предметов 114
—	— — — главный 116
—	световой 136
—	физический 136
Лучи внемеридиональные 179
—	—f координаты 179
—	косые 179
—	параксиальные —• см. Параксиальные
лучи
Люкс 133
Люмен 132
М
Материалы оптические 25
Метод функции передачи модуляции (ФПМ)
287
—	цветных анаглифов 426, 427
Методы образования трансформированных
изображений 429 — 431
, оптический метод 431
—	— — —f отражающей цилиндрической
поверхности етод 429
—	_ _ призменный метод 430
—	— _ ракурсный метод 431
—	— — —, теневой метод 430
	—	-_f цилиндрического объектива
метод 429
—	— — —? цилиндрической афокальной
насадки метод 429
Микроскоп 364
—> входное окно 372
—t выходное окно 372
—, глубина изображения 373
	 	 — аккомодационная 373
—	— — геометрическая 373
	резко изображаемого пространства
373, 374
—, механическая длина тубуса 369, 381
—, ограничение световых пучков 372, 373
—, оправа объектива 372
—, оптическая система 364 — 385

	 длина тубуса 368
—, оптические части 381 — 385
—, оптический интервал 368
—t первичное изображение предмета 375
—, полезное увеличение 376
—, разрешающая способность 37,4
—, системы микропроекции и микрофото¬
графии 377 —379
—, теория оптической системы 368 — 370
—, увеличение 370, 371
	 нормальное 372
Микроскопы измерительные 379—381
	* «рун» (пробег) 381
	, телецентрический код лучей 379
—, объективы 381, 382
—, окуляры 382, 383
—, осветительные устройства 383
	—, опак — иллюминатор 385
—	— —? ультраопак 384
Мира косинусоидальная 287
Моноптера 210
II
Насадка линзовая цилиндрическая афо-
кальная 435, 436
	—f основные характеристики 435
	— системы Кретьена 435
Обтюратор 406
—, коэффициент пропускания 406
Объектив — анаморфот цилиндрический
434
Объективы для репрографии 416
—	оптико-электронных приборов 442 —
448
—	панкратические 357
—	—, вариообъективы 357
—	—, трансфокаторы 357
—	проекционные 416
—	телескопических систем 358, 359
Овал Декарта 62
Окуляр 359
—	Гюйгенса 361
—	Кельнера 361
—	ортоскопический 361
—	Рамедена 360
—	симметричный 361
—	с удаленным зрачком 361, 362
—	широкоугольный Эрфле второго типа
361
—	—* — первото типа 361
Окуляры автоколлимационные 358
—	визуальных систем 359
—, оптические схемы 360
Определительная яркость 287
Оптика Гаусса 34
« геометрическая (лучевая) 12
—	—, основные законы 13—16
—	—, связь с физической оптикой 13
—	интегральная 323, 324 .
—	параксиальных лучей 88—108
—	физическая 11
Оптическая длина пути 17
—	— —, условие экстремума 18
—	сила тонких линз приведенная 168
—	система — см. Система оптическая
Оптические кристаллы 30
—	материалы — см. Материалы оптиче¬
ские
—	ситаллы 30
Оптический инвариант 15
—	клин 309
Оптическое излучение 11
Освещенность 133
—f единица измерения 133
—	энергетическая 129
—	—, закон квадрата расстояния 130
Острота стереоскопического видения 338
Отражатели обратные 307
Отражение лучей от поверхности 81 —• 84
—	световых потоков диффузное 135
—	— направленное 135
, м — — направленно-рассеянное 135
П
Параксиальные лучи 88, 89
—	— вспомогательные 92—94
Параллакс 379
Параметр хроматический ем. Хром*
тический параметр
—	термооптический основной 177
Плоскопараллельная пластина 297
Плоскость наилучшей установки оптиче¬
ской системы 183
Поверхности анаберационные отражающие
81, 82
*=“ — преломляющие 61
Поверхность Петцваля 205
—	равной фазы волны 11
Показатель преломления 12
—	— воздуха 15
—	— относительный 14
Полуапохроматы 166
Постоянная Планка 12
Потери световой энергии в оптических
системах 134, 135, 141
Поток излучения 127
		, единица измерения 127
—	—, среднее значение 127
Правила знаков 24
—	— для отрезков 24
—	— для углов 24
Преломление лучей плоской поверхностью
78, 79
—	— плоскопараллельной пластиной 79,
80
—	— сферической поверхностью 71—74
—	элементарного наклонного пучка лу¬
чей 84 — 88
Прессбиопия 335
Прибор проекционный 402
—	— диаскопический 402
—	— эпископический 402
Приборы оптико-электронные 437
	, обобщенная функциональная
схема 438
—	— —f основные типы объективов 442—
448
	—, режимы работы 437
—	стереоскопические — см. Системы оп¬
тические стереоскопические
Приемник излучения неселективный 131
—	— селективный 131
Призма 303	*
—	одинарная 304
—	отражательная 304
—	—, основные типы 304—309
—	составная 304
Призменные системы 306
—	— из прямоугольных призм 306
—	— Порро I и II рода 306
Призмы Дове 306
—	преломляющие 308
Принцип обратимости 16
—	Ферма 17, 18
Пропускание световых потоков диффуз¬
ное 135
—	— — направленное 135
—	— — направленно-рассеянное 135
Просветление оптических деталей 143
Процесс распространения оптического из¬
лучения 11
Птера 210
Пучок лучей 19
—	—, астигматическая разность 20
—	— астигматический 19, 20
—	— гомоцентрический 20
		расходящийся 19
—	—в — сходящийся 19
471

—	— неограниченный 19
	ограниченный 19
	, центр 19
Р
Радиус стереоскопического видения 338
Развертка прнзм 307
Растр 314
Растровая оптическая система — см. Си¬
стема оптическая растровая
Редуцирование 297
С
Сагитта 210
Свет 11
—	белый 131
—	вредный (рассеянный) 126
Светимость 133
—, единица 133
—	энергетическая 129
—	—, размерность 129
Световая отдача 132
		, размерность 132
—	трубка — см. Трубка световая
—	эффективность излучения относитель¬
ная спектральная 132
Световоды 317—324
—	изогнутые с прямыми торцами 320—322
—	конические 322
—	прямые постоянного сечения с прямыми
в косыми торцами 319, 320
Световой вектор 1I
—	поток 132
—	—, единица 132
Светосила геометрическая 147
—	фактическая 147
Светофильтры 311
—, классификация 311—312
—, показатель поглощения 311
Селфоки 316
Сила излучения энергетическая 128
—	— —, единица измерения 128
—	света 133
		, единица 133
Система ахроматизированная 154
—	ахроматическая 163
—	лупа — глаз 365
—	— —, разрешающая способность 365
—	недокорригированная в хроматическом
отношении 154
—	оптическая 20, 281
—	— апланатическая 200
—	— децентрированная 21
—	— идеальная 32
—	— —, видимое увеличение 46
—	— —, главные к фокальные плоскости
34—36
—	— —, кардинальные точки 34
—	— —, линейное увеличение 33, 43
—	— —, построение изображения 37 — 40
	—	, продольное увеличение 45 — 46
	—	, увеличения 43—46
—	— — — в фокальных плоскостях 46
—	— — — для действительных лучей 69 —
71
—	— —, угловое увеличение 44,	45
—	— лазерная, габаритный расчет 460—
467
—	—, меридиональная плоскость 21
	 	 микроскопа 56
—	—, назначение 20
—	—, ограничение пучков лучей 108—127
—	—, оптическая ось 21
—	— передающая 448—450
—	—, поле 119
—	— — угловое в пространстве изобра¬
жений П9, предметов 119
—	—, предмет н его изображение 22
—	— приборов 281—467
—	—, пространство изображений 22
472
—	— — предметов 25
—	— растровая 314, 315
—	—, саггитальная плоскость 2!
—	—, тонкий компонент 48
—	— — —, основные параметры 213 — 218
—	— центрированная 21, 281
—	световых единиц. 132
—	телескопическая Галилея 345 — 347
—	— Кеплера 341, 347
—	телестереоскопа 418
Системы анастигматические — см. Ана¬
стигматы
—	оптические лазеров 450—467
—	— приборов 281—467
—	— —, видимое увеличение 282
—	— —, геометрическая светосила 284
—	— —, детали и узлы 289—316
—	— — для киносъемки и стереофото¬
графии 421—423
—	— — для наблюдения и измерения
стереоснимков 423—426
—	— — для трансформирования изобра¬
жений 428 — 436
—	— —, классификация 281
—	— —, комплексная функция передачи
модуляции 288
—	— —, коэффициент передачи модуляции
288
—	— —, критерии качества изображений
284
—	— —, критерий Штреля 287
—	— —, линейное увеличение 282
—	— —, масштаб изображения 281
—	— —, определительная яркость 287
—	— —t оптическая передаточная функ¬
ция 288
—	— —, освещенность изображения 283
—	— —, основные характеристики 281 —
289
—	— —, поле системы 283
—	— —, предел Релея 287
—	— —, продольное увеличение 283
—	— —, разрешающая способность 284,
286
—	— —, угловое увеличение 283
—	— —, физическая светосила 284
—	— —, функция передачи модуляции,
рассеяния, фазы 288
—	— — центрированные 281
—	— —, число Штреля 287
—	— проекционные 402—416
— — — диаскопические 408 — 411
— — — —, осветительные устройства 412,
413
—	— —, источники света 407, 4 08
—	—t характеристики светового пото¬
ка 406, 407
—	— —, экраны алюминированные 405,
отражающие диффузные 404, отражающие
направленного действия 404, «перламут¬
ровые* 405, просвечивающие 404, растро¬
вые 406
—	— — эпискогшческие 414
—	— сетероскопические 416 — 428
—	— —, гиперстереоскопия 418
—	— —, полная пластика 418
—	— —, принципы действия 416 — 418
—	— —, способы рассматривания стерео¬
пар 426—428, голографический 428, поля¬
ризационной сепарации 427, растровой се¬
парации 427, цветных анаглифов 426
—	— —, стереокомпаратор 425
—	— —, удельная пластика 417
—	ортоскопические 208
—	сканирующие — см. Дефлекторы
—	телескопические 340
„— —, полезное увеличение 344, 345
—	—, разрешающая способность 34 4
—	фотографические 385 — 401
Спектр вторичный 151, 163

—	— положения 164
_ __ систем из тонких линз 170
—	— увеличения 164
—	_ системы из тонких линз 170
Стекла оптические инфракрасные бескисло¬
родные 29
—	— люминесцирующие 29
—	— светорассеивающие (молочные) 29
—	— фотохромные 29
—	— цветные 28
	—, основные характеристики 29
—	— —, типы 28
Стекло оптическое бесцветное 26
—	— —, группы 26
классификация 25
—	— —, характеристики 26 — 28
	 	 кварцевое 29
	 органическое 29
Стерадиан 128
Стереокомпаратор 425, 426
Стереоскоп простой 417
Стереоскопический параллакс 337
Субъективная яркость 341
Сумма Петцваля 204
Суммы Зейделя 185, 188—191
Суперапох£омат 166	,
Суперхромат 166
Сферическая аберрация 73
Сферическое зеркало 107, 108
Сферонроматическая сумма 196
Т
Телеобъектив 53, 64
Телескопическая система 64—66
—	— Галилея 55
		Кеплера 56
Теорема Лагранжа — Гельмгольца (фор¬
мула тангенсов) 43
—	Штраубеля 139
Теория аберраций оптических систем 149 —
280
—	идеальной оптической системы 32 — 60
—	изображений Зейделева 185
—	оптического волокна геометрическая
319
—	трехцветного зрения 333
Термооптическая постоянная 175,	176
Термооптический параметр основной 177
Тонкий компонент оптической системы —
см. Оптическая система, тонкий компонент
Точки сетчатой оболочки глаза соответ¬
ственные 338
Труба зрительная, аналлатичность 354
—	—	Галилея 346, 346
		голландская 346
	квазианаллатическая 364
—	— постоянного увеличения В. А. Бе-
лицина 353
	, условие аналлатичности 354
Трубка световая 136
		конечных размеров 140
		элементарная 136, 137
Трубы зрительные автоколлимацнонные
358
—	—	визирные двойного изображения	353
—	—	— с использованием явлений	и
интерференции и дифракции 353
	с фокусирующими несиловыми
элементами (призмами) 353
		— типа аксикона 353
		панкратические 356
	, панкратические оборачивающие си¬
стемы 356
		переменного увеличения 355—358
—	—	простые 345 — 349
—	— с внутренней фокусирующей лин¬
зой 351, 352
—	— С линзовыми и призменными обора¬
чивающими системами 349 — 351
	, способы изменения увеличения 355
356
У
Угол апертурный пространства изображе¬
ний 114
—	— — предметов 114
—	конвергенции 337
—	прохождения излучений через оптиче-
ские системы телесный Г28, единица изме¬
рений 128
Углы падения и отражения света 14
Уравнение Юнга — Аббе элементарного
наклонного пучка в меридиональной пло¬
скости 86, в сагиттальной плоскости 86
Уравнения параксиальных лучей 88, 89
Условие нзопланатиэма Штебле — Лнгот-
ского 243
Условия образования идеального изобра¬
жения преломляющей поверхностью 60
Устройства волоконно — оптические 317
Ф
Фокальные линии 202
Фокусные расстояния преломляющей по¬
верхности для параксиальных лучей 91, 92
	сферической 76—78
Формула Гаусса 42
		для зрачков 117, 118
—	— для сферического зеркала 108
—	клина оптического 310
—	Ньютона 42
—	свертки для распределения энергии
в изображении 288
—	тангенсов (теорема Лагранжа — Гельм¬
гольца) 43
—	Чиколева — Манжека 147
Формулы для фокусных расстояний и поло¬
жения кардинальных точек 99—101
Фотографирование, выдержка 399
—, коэффициент яркости 400
—, оптическая плотность вуали 399
—, характеристическая кривая 399
		, область недодержек 399, пере¬
держек 400
—• — —, прямолинейный участок 400
Фотография стереоскопическая 418
Фотообъектив 386
—, ахроматизация 389
—, геометрическая светосила 387
—, глубина резко изображаемого про¬
странства 391	*
—	— резкости 392
—, диафрагменное число 387
—, диафрагмы апертурные ирисовые 387
—, дополнительные характеристики 389
—, задний отрезок 389
—, интегральный коэффциеит пропус-
кия 389
—,классификация 397
—, критерий добротности оптической схе¬
мы 394
—, кружки рассеяния 391
—■, ограничение пучков лучей 389, 390
—	ортоскопический 389
—, основные параметры 386
—, относительное отверстие 387
—, оценки качества изображения 393, 394
—, передача перспективы 393
—, поле 388
—, разрешающая способность 395
—, спектральный коэффициент пропуска¬
ния 389
—, угловое поле 386
—, физическая светосила 387
—ф<жусиое расстояние 386
—	штатный 393
Функция передачи модуляции 288
473

X
Хроматизм — см. Аберрации хроматиче¬
ские
—	высшего порядка — см. Хроматизм
действительных лучей
—	действительных лучей 161
—	остаточный 151
—	положения — см. Аберрации хрома¬
тические положения
	> уравнение 154
—	поперечный 151, 158—163
—	систем из тонких компонентов 167—171
—	увеличения — см. Хроматизм попереч¬
ный
—	фокусных расстояний 151
Хроматическая сумма первая 156, вторая
162
Хроматический параметр 155
	для вторичного спектра 165
	основной 167, 169
	 дЛЯ вторичного спектра 170
Ч
-Число Аббе 27
—	диафрагменное 114
—	Штреля 287
Э
Экраны проекционных оптических систем—
см* Системы оптические проекционные,
экраны
Экспозиция световая 133
—	—, единица 133
—	энергетическая 131
Эллипс Чернинга 336
Эпидиаскопы 414
Эффект Пуркинье 333
Эффективность световая излучения 332
—	— спектральная максимальная 332
—	— — относительная 332
Я
Яркость 134
—	пучка лучей редуцированная 138
—	субъективная 341
—	энергетическая 130
—	— ♦ единица 130

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие		3
Введение ■ '■.•«.«•аеооеод*...	5
Часть I. Геометрическая оптика 		И
Глава ]. Основные законы и понятия геометрической оптики		11
■ 1.1* Связь геометрической оптики с волновой			11
1.2» Основные законы геометрической оптики			13
КЗ, Оптическая длина пути. Принцип Ферма		17
1.4.	Гомоцентрический и астигматический пучки лучей		19
1.5.	Оптическая система. Предмет и изображение 			20
1.6.	Правила знаков		24
Г
Глава 2. Оптические материалы		25
2.1.	Стекло оптическое бесцветное		25
2.2.	Стекла оптические цветные. Стекла с особыми свойствами.
Органические стекла. Ситаллы		28
2.3.	Оптические кристаллы и керамика		30
Глава 3. Теория идеальной оптической системы		32
3.1.	Идеальная оптическая система. Линейное	увеличение ....	32
3.2.	Кардинальные точки, главные и фокальные плоскости и фо¬
кусные расстояния		34
3.3.	Построение изображения		37
3.4.	Основные формулы для сопряженных точек	и отрезков ....	42
3.5.	Увеличения идеальной системы . . . .		43
3.6.	Изображение наклонных предметов		47
3.7.	Тонкий компонент. Система из двух тонких	компонентов ...	48
3.8.	Оптическая система из р тонких компонентов		58
Глава 4. Образование изображений преломляющими и отражающими
поверхностями .			60
4.1.	Условия образования идеального изображения преломляю¬
щей поверхностью 			60
4.2.	Инварианты Лагранжа—Гельмгольца и Гершеля для пре¬
ломляющей поверхности 				65
4.3.	Увеличения для действительных лучей		69
4.4.	Преломление лучей сферической поверхностью 			71
4.5.	Апланатические точки сферической преломляющей поверх¬
ности 			74
4.6.	Фокусные расстояния сферической преломляющей поверх¬
ности 			70
4.7.	Преломление лучей плоской поверхностью и плоскопараллель¬
ной пластиной			78
4.8.	Отражение лучей от поверхностей 				81
475

4.9.	Преломление и отражение элементарных наклонных пучков
лучей				84
Г лава 5. Оптика параксиальных лучей		88
5.1.	Параксиальные лучи. Уравнения параксиальных лучей ...	88
5.2.	Инварианты для параксиальной области 		89
5.3.	Фокусные расстояния преломляющей поверхности		91
5.4.	Вспомогательные параксиальные лучи		92
5.5.	Формулы для расчета хода первого и второго параксиальных
лучей		94
5.6.	Формулы для фокусных расстояний и положения кардиналь¬
ных точек линзы конечной толщины 		99
5.7.	Бесконечно тонкие линзы. Системы из бесконечно тонких
линз 		102
5.8.	Переход от тонких линз к линзам конечной толщины ....	103
5.9.	Сферическое зеркало		107
Глава 6.	Ограничение пучков лучей в	оптических	системах		108
6.1.	Диафрагмы 		 .	108
6.2.	Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки ....	109
6.3.	Формула Гаусса для зрачков		117
6.4.	Полевая диафрагма. Линейное и угловое поля системы. . .	119
6.5.	Виньетирование. Виньетирующая диафрагма		122
6.6.	Диафрагма для уменьшения вредного (рассеяного) света ...	125
Глава 7.	Прохождение излучений через оптические	системы 			127
7.1.	Энергетические величины и единицы 		127
7.2.	Видимая область спектра. Световые величины и единицы ...	131
7.3.	Световые свойства сред. Коэффициенты отражения, погло¬
щения, расстояния и пропускания 		134
7.4.	Яркость отраженных и преломленных пучков лучей. Свето¬
вые трубки 			136
7.5.	Потери энергии излучения в оптических системах		141
7.6.	Световой поток, проходящий через оптическую систему . . .	144
7.7.	Освещенность изображения. Светосила 		146
Часть П. Теория аберраций оптических систем ....	149
Глава 8.	Хроматические аберрации 			151
8.1.	Классификация хроматических аберраций. Условия нормиро¬
вания для первого и второго параксиальных лучей		151
8.2.	Хроматическая аберрация положения изображения (хрома¬
тизм положения) 			153
8.3.	Хроматическая аберрация размера изображения (хроматизм
увеличения)		158
8.4.	Вторичный спектр положения и увеличения первого по¬
рядка 			163
8.5.	Хроматизм систем из тонких компонентов. Основной хрома¬
тический параметр		167
8.6.	Хроматические аберрации действительных лучей ......	171
лава 9.	Термооптические аберрации				173
9.1.	Термооптическне аберрации положения и увеличения. . . .	173
9.2.	Изменение показателя преломления и линейных размеров
в зависимости от температуры . 				174
9.3.	Термооптические аберрации тонкой линзы. Термооптическая
постоянная 				175
9.4 Термооптические аО-ррации систем из тонких линз	177
4 76

Глава 10. Монохроматические аберрации первого, третьего н высшего
порядков . 					I /
10.1.	Внемеридиональный луч и его координаты		17!>
10.2.	Уравнения для меридиональной и сагиттальной составляю¬
щих поперечной аберрации 		181
Ю.З.	Меридиональная и сагиттальная составляющие первого
порядка 				183
10.4.	Меридиональная и сагиттальная составляющие третьего
порядка 			185
10.5.	Коэффициенты аберраций третьего порядка (суммы Зей-
деля)		188
10.6.	Геометрическое представление аберраций третьего порядка . .	191
10.7.	Аберрации высших порядков 			209
Глава 11. Монохроматические аберрации третьего порядка, систем из
тонких компонентов 		211
11.1.	Коэффициенты аберраций третьего порядка		211
11.2.	Основные параметры тонкого компонента. Разделение пере¬
менных на внешние и внутренние 			213
11.3.	Аберрации третьего порядка тонкого компонента. ....	218
11.4.	Суммирование аберраций 		224
Глава 12. Аберрации широких пучков лучей (действительных лучей) . . .	226
12.1.	Формулы для расчета хода лучей на ЭВМ		227
12.2.	Аберрация широкого осевого пучка лучей		235
12.3.	Аберрация точки вне оси (главного луча)		247
12.4.	Аберрация широких наклонных пучков	лучей		250
, 12.5. Волновые аберрации 		257
Г лава 13. Аберрации элементов оптических систем		263
13.1.	Одиночная линза		263
13.2.	Апланатические линзы 		 .	271
13.3.	Плоскопараллельная пластина 			274
13.4.	Сферическое зеркало 				278
Часть Ш. Оптические системы приборов. 			281
Глава 14. Основные характеристики оптических систем		281
14.1.	Классификация оптических систем 		281
14.2.	Масштаб изображения. Увеличения. Поле системы. Осве¬
щенность изображения. Относительное отверстие.		281
14.3.	Качество изображения. Критерии качества изображения.
Разрешающая способность. Волновые критерии. Функция
передачи модуляции (ФПМ)		284
Глава 15. Оптические детали и узлы оптических систем ........	289
15.1,	Линзы, их типы и характеристики			289
15.2,	Плоскопараллельные пластины, редуцирование. Аберрации
плоскопараллельной пластины			297
15.3»	Зеркала. Построение изображения		 .	299
15.4.	Призмы и призменные системы 			303
15.5.	Оптические клинья		309
15.6.	Светофильтры. Их классификация		311
15.7.	Аксиконы 		312
15.8.	Растровые оптические системы		315
15.9.	Оптические детали из неоднородных сред			315
477

Глава 16. Световоды и волоконная оптика . 			317
16.1.	Волоконно-оптические устройства 		317
16.2.	Геометрическая теория оптического волокна		319
16.3.	Прямые световоды постоянного сечения с прямыми и косыми
торцами 					319
16.4.	Изогнутые световоды с прямыми торцами 		320
16.5.	Конические световоды				322
16.6.	Передача изображения	волоконной	оптикой			. 322
16.7.	Основы интегральной	оптики и	интегрально-оптические
элементы			323
Глава 17. Глаз как оптическая система и приемник световой анергии . . .	324
17.1.	Устройство глаза	.	. .				324
17.2.	Основные параметры глаза как оптической системы ....	326
17.3.	Аккомодация и рефракция глаза. Аберрации оптической
системы глаза 			327
17.4.	Разрешающая способность и поле глаза		328
17.5.	Адаптация. Контрастная чувствительность глаза		329
17.6.	Субъективная яркость изображения при наблюдении нево¬
оруженным глазом 			330
17.7.	Инерция зрения	.	. 			331
17.8.	Спектральная чувствительность	глаза. Цветовое зрение . . .	332
17.9.	Недостатки глаза	и	их	исправление 		333
17.10.	Стереоскопическое зрение		337
17.11.	Согласование параметров глаза	и других	оптических
систем. Допустимые	остаточные	аберрации	визуальных
оптических систем 		339
Глава 18. Телескопические системы	-		340
18.1.	Основные характеристики телескопической системы.	.	.	340
18.2.	Глубина резко изображаемого пространства		343
18.3.	Разрешающая способность. Полезное увеличение		344
18.4.	Простые зрительные трубы			345
18.5.	Зрительные трубы с линзовыми и призменными оборачи¬
вающими системами . 			349
18.6.	Зрительные трубы с внутренней фокусирующей линзой .	.	.	351
18.7.	Зрительные трубы переменного увеличения		355
18.8.	Автокод л имационные зрительные трубы.		358
18.9.	Объективы телескопических систем 		358
18.10.	Окуляры визуальных систем 			359
18.11.	Габаритный расчет оптических систем (примеры)		362
Г лава 19. Оптическая система микроскопа 		364
19.1.	Лупа и ее оптические характеристики		 . . .	364
19.2.	Разрешающая способность системы лупа—глаз		365
19.3.	Ограничение световых пучков и линейное поле лупы ....	365
19.4.	Оптические системы луп 			367
19.5.	Теория оптической системы микроскопа 	' . .	.	368
19.6.	Увеличение микроскопа			370
19.7.	Ограничение пучков в системе микроскопа		372
19.8.	Глубина резко изображаемого пространства в микроскопе .	.	373.
19.9.	Разрешающая способность и полезное увеличение микро¬
скопа 	:	• . .	374
19.10.	Системы микропроекции и микрофотографии		377
19.11.	Микроскопы геодезических и измерительных приборов.	.	379
19.12.	Оптические части микроскопа		381
478

Глава. 20. Фотографические системы		.'IMи
20.1.	Основные характеристики фотообъективов 		ЛМ!>
20.2.	Дополнительные характеристики фотообъективов		IW'i
20.3.	Ограничение пучков лучей в фотообъективах		ЗН9
20.4.	Глубина изображаемого пространства и глубина	резкости . .	390
20.5.	Передача перспективы 			393
20.6.	Оценка качества изображения фотообъектива		393
20.7.	Разрешающая способность фотообъективов		395
20.8.	Основные типы фото- и кинематографических объективов . . .	397
20.9.	Определение выдержки при фотографировании		399
Глава 21. Проекционные оптические системы .		.	402
21.1.	Методы оптической проекции. Основные требования к изо¬
бражению и экрану		402
21.2.	Световой поток при проекции		406
21.3.	Источники света для проекционных систем		407
21.4.	Диаскопические проекционные системы		408
21.5.	Осветительные системы для диаскопической проекции ...	412
21.6.	Габаритный и световой расчет при диаскопической проекции	414
21.7.	Эпископические проекционные системы. Эпидиаскопы ...	414
21.8.	Проекционные объективы		416
Глава 22. Стереоскопические оптические системы		416
22.1.	Общие принципы действия стереоскопических приборов ...	416
22.2.	Стереоскопическая фотография. Пластика при рассматри¬
вании снимков в стереоскоп		418
22.3.	Оптические системы приборов для стереофотографии и
киносъемки		421
22.4.	Оптические системы приборов для наблюдения и измерения
стереоснимков		423
22.5.	Методы рассматривания стереопар		426
Глава 23. Оптические системы для трансформирования изображений . . .	428
23.1.	Характеристики трансформированного изображения ....	428
23.2.	Методы образования трансформированных изображений . .	429
23.3.	Применение преломляющей цилиндрической поверхности . .	431
23.4.	Применение отражающей цилиндрической поверхности . . .	432
23.5.	Цилиндрический объектив-анаморфот		434
23.6.	Цилиндрическая афокальная насадка		435
Глава 24. Основные системы оптико-электронных приборов	(ОЭП) . . .	437
24.1.	Функциональная схема ОЭП		437
24.2.	Основные типы объективов, используемых в ОЭП		442
24.3.	Передающая оптическая система				448
Глава 25. Оптические систгмы лазеров			450
25.1.	Пространственные параметры и характеристики лазерного
излучения 		451
25.2.	Формирование лазерного излучения оптическими систе¬
мами 		454
25.3.	Габаритный расчет лазерной коллимирующей оптической
системы 			460
25.4.	Габаритный ргсчет фокусирующей системы 			466
Список литературы	 	468
Предметный указатель
469

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
АПЕНКО Михаил Иванович, ДУБОВИК Александр Семенович,
ДУРЕЙ КО Георгий Васильевич, ЖИЛКИН Александр Михайлович
ПРИКЛАДНАЯ ОПТИКА
Редактор Г. В. Абизоеа
Художественный редактор В. Д. Лыськов
Технический редактор О. В. Куперман
Корректоры Т. В. Багдасарян, О. Е. Мишина
ИБ № 5889
Сдано в набор( 01.10.90. Подписано в печать 28.01.91. Формат 60Х901/1в.
Бумага офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 30,0. Уел. кр.-отт. 30,0. Уч.-изд. л. 32,84. Тираж 1790 экз.
Заказ 169.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство. «Машиностроение»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Отпечатано * т±погр*фмж НИИ Теодезхж" г. Красноарн«8ск, Моек, обл., е дшшозхтыов,
жзготокювинх а тжпографжх N* в ордена Трудового Крмяого Знимш яаа*тельети
*Мжтжя острое им* вря Мхнжетеретм swat* х жифоршщхж Роеехаско* Федерялхх. 198144,
Санкт-ГЬм^рбУрг,' ул. Мокееевхо» 10