Техническая оптика - Шрёдер Г., Трайбер Х.

Автор: Шрёдер Г. Трайбер Х.

Теги: физика инженерия оптика оптические приборы серия физики и техники

ISBN: 5-94836-075-X

Год: 2006

Похожие

Геометрическая оптика

Оптика

Исследования по оптике

Прикладная оптика

Текст

физики

Г. ШРЁДЕР, X. ТРАЙБЕР

Техническая
оптика

гз

• I

JXHMK

ТЕХНОСФЕРА
; ? : У ИЗГОТОВЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ

. ‘ - € ПО ВЫСОКИМ ТЕХНОЛОГИЯМ

АСФЕРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 1
Г. Шрёдер, X. Трайбер

Техническая оптика

Москва:

Техносфера, 2006 - 424 с. ISBN 5-94836-075-Х

Перевод 9-го издания широко известного руководства немецких авторов.
Особое внимание уделено конструктивным элементам оптических систем,
методам расчета геометрической оптики, источникам и приемникам све-
та, всем существующим видам оптических инструментов. Описаны интер-
ференционные методы, цветовые измерения, дифракционные решетки и
поляризаторы.

Специально для русского издания написаны дополнения по компью-
терным методам расчета хода лучей, структуре изображения, элементам
дифракционной и градиентной оптики.

Книга адресована инженерам-разработчикам, студентам и преподава-
телям.

Kamprath-Reiht

Professor Dipl.-Phys. Gottfried Schroder
Professor Dr. Hanskarl Treiber

Technische Optik

Grundlagen und Anwendungen

9. civ/eiterteAutlagc

Vogel Buchverlag

© 2002 by Vogel Industrie Medien GmbH & Co KG, Wurzburg
© 2006, ЗАО "РИЦ "Техносфера",
перевод на русский язык, оригинал-макет, оформление

ISBN 5-94836-075-Х

ISBN 3 8023 1923 0 (нем.)
1 И Р

изики и техники

Г. ШРЁДЕР, X. ТРАЙБЕР

Техническая
оптика

Перевод с немецкого
Р. Е. Ильинского

ТЕХНОСФЕРА

Москва

2006
Содержание

Предисловие................................................................

Предисловие к русскому изданию..........................................15

Используемые величины и их обозначения в формулах.......................17

Подборка важнейших формул...............................................22

Численные примеры использования оптического правила знаков..............23

ГЛАВА 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА

И ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ................................................25

1.1. Свет...............................................................25

1.2. Волновая оптика....................................................26

1.3. Геометрическая оптика..............................................28

1.4. Оптическое изображение.............................................31

1.4.1. Введение......................................................31

1.4.2. Величины, описывающие изображение.............................32

1.4.2.1. Принципы построения буквенных обозначений и правило знаков................. 32

1.4.2.2. Определения важнейших величин..........................34

1.4.3. Параксиальная область.........................................36

1.4.4. Графическое определение положения изображения.................37

1.4.5. Зависимости между положениями и размерами предмета и изображения.39

ГЛАВА 2. КОНСТРУКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.........................44

2.1. Материалы..........................................................44

2.1.1. Оптическое стекло.............................................44

2.1.2. Кристаллы.....................................................47

2.1.3. Пластмассы....................................................49

2.2. Сферические поверхности, линзы, многокомпонентные
оптические системы.......................................................49

2.2.1. Сферическая поверхность.......................................49

2.2.2. Вычисления для нескольких сферических поверхностей............52

2.2.3. Линзы.........................................................56

2.2.4. Многокомпонентные оптические системы..........................60

2.3. Плоские поверхности, плоскопараллельные пластинки,
призмы и светоделители...................................................63

2.3.1. Одиночная плоская поверхность.................................63

2.3.2. Плоскопараллельная пластина...................................64

2.3.3. Системы плоских зеркал и отражательные призмы.................65

2.3.4. Светоделители.................................................71

2.4. Преломляющие призмы и клинья.......................................72

2.4.1. Отклонение пучка..............................................72

2.4.2. Угловая дисперсия.............................................73

2.4.3. Клинья........................................................74
HOLO

ЗАО "ХОЛОГРЭЙТ"

190068, Россия, Санкт-Петербург, Вознесенский пр., д. 39.
Тел. (812) 314-84-35, Факс (812) 314-82-14

GRKTE E-mail gr@holograte.com, http://www.holograte.com

ПЛОСКИЕ, ВОГНУТЫЕ И ВЫПУКЛЫЕ ГОЛОГРАММНЫЕ
ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЁТКИ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
И ЛАЗЕРОВ, ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАЩИТНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ПРЕИМУЩЕСТВА:

- Низкий уровень рассеянного света и отсутствие ложных спектральных линий
- Высокая светосила и разрешение

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ:

Размер:

до 200x400 мм2

Частота штрихов:

до ЗбООлиний/мм

Спектральный диапазон: от мягкого рентгена до 2000 нм

Дифракционная эффективность в области блеска:

- для поляризованного света - до 95%

- для неполяризованного света - до 75%

Относительная интенсивность рассеянного света:
на расстоянии 1 нм от спектральной линии менее 5x10’7

ЗАО "ХОЛОГРЭЙТ" на рынке голографической продукции более 10 лет

лазеры

Спектрометры

ые

Монохроматорыч*

SOLHR

LASER SVSTEMS

Лазерная оптика

ЗАО "СОЛАР Лазерные Системы"
Республика БЕЛАРУСЬ

220024 Минск, пер. Стебенёва 4
факс: 375 (17) 2019596
тел.: 375 (17) 2019490
e-mail: solarls@infonet.by

) www.solarlaser.com

Nd:YAG лазеры •

2.5. Аберрации............................................................

2.5.1. Сферическая аберрация...........................................^6

2.5.2. Условие синусов............................................... ' “

2.5.3. Астигматизм и кривизна поля.....................................ov

2.5.4. Кома............................................................81

2.5.5. Дисторсия.......................................................8^

2.5.6. Хроматические аберрации.........................................82

2.5.7. Ахроматы и подобные им элементы.................................85

2.6. Применение асферических поверхностей..................................88

2.7. Расчет хода лучей вне параксиальной области...........................92

2.7.1. Расчет хода луча................................................93

2.7.2. Графическое построение хода лучей...............................94

2.8. Потери на отражение и просветляющие покрытия..........................96

ГЛАВА 3. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ..................................................... 98

3.1. Диафрагмы.............................................................98

3.2. Свойства зрачков и люков.............................................100

3.3. Параметры, характеризующие ограничения пучков........................104

3.4. Полевые линзы и конденсоры...........................................106

ГЛАВА 4. ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, ИСТОЧНИКИ
И ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ......................................................ПО

4.1. Введение..............................................................ПО

4.1.1. Энергетические величины........................................111

4.1.2. Расчет выходного сигнала приемников........................... 112

4.1.3. Световые величины..............................................114

4.1.4. Прохождение потока излучения через элементы оптических систем. 116

4.2. Световой поток, освещенность и яркость при формировании
оптического изображения..................................................119

4.2.1. Непосредственное освещение поверхности приемника.............. 120

4.2.2. Световой поток и освещенность изображения в оптической системе. 121

4.2.3. Падение освещенности на краю изображения.......................122

4.2.4. Яркость изображения и геометрический фактор................... 123

4.3. Источники света......................................................126

4.3.1. Основные характеристики....................................... 126

4.3.2. Лампы накаливания............................................. 129

4.3.3. Газоразрядные лампы........................................... 133

4.3.4. Светодиоды.....................................................134

4.3.5. Лазер......................................................... 135

4.4. Глаз.................................................................140

4.4.1. Глаз как оптическая система................................... 140

4.4.2. Глаз как приемник оптического излучения....................... 142

4.4.3. Разрешающая способность....................................... 144

4.5. Фотоэлектрические приемники..........................................144

4.5.1. Основные характеристики....................................... 144

4.5.2. Характеристики различных видов фотоприемников................. 146

4.5.3. Освещение светочувствительной поверхности фотоприемников...... 146

4.6. Фотослои.............................................................147
ОПТИКА ДЛЯ ВСЕГО МИРА

ОТКРЫТО! ЛКЦИОШРНОТ 01,1111080

ломо

РОССИЯ, 194044

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, ул.ЧУГУННАЯ, 20

ТЕЛ.: (812) 248-52-42, 248-50-09

ФАКС: (812) 542-18-39, 542-53-22
147

4.6.1. Общие характеристики...........................................

4.6.2. Чувствительность и характеристическая кривая................. 148

4.6.3. Разрешающая способность...................................... 150

ГЛАВА 5. ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА, ПРОЕКЦИОННЫЕ ЭКРАНЫ,
СВЕТОФИЛЬТРЫ............................................................ 152

5.1. Волоконная оптика...................................................152

5.1.1. Оптические характеристики одиночного волокна................. 152

5.1.2. Волоконно-оптические жгуты для передачи излучения............ 157

5.1.3. Оптико-волоконные жгуты для передачи изображения............. 160

5.2. Проекционные экраны.................................................163

5.3. Фильтры и цветоделители.............................................166

5.3.1. Абсорбционные фильтры........................................ 166

5.3.2. Фототропные стекла........................................... 169

5.3.3. Интерференционные фильтры и цветоделители.................... 169

ГЛАВА 6. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ..............................................175

6.1. Видимое увеличение и дифракционный предел
разрешающей способности................................................175

6.1.1. Видимое увеличение........................................... 175

6.1.2. Дифракционный предел разрешающей способности................. 176

6.2. Осветительные системы и прожекторы..................................178

6.2.1. Обзор осветительных систем................................... 180

6.2.2. Оптические схемы конденсоров................................. 183

6.2.3. Прожекторы................................................... 186

6.3. Проекторы...........................................................188

6.3.1. Проекторы для воспроизведения на экране изображений.......... 189

6.3.2. Проекторы шкал и сеток....................................... 192

6.3.3. Измерительные проекторы...................................... 194

6.4. Фотографическая оптика..............................................196

6.4.1. Глубина резко изображаемого пространства..................... 196

6.4.2. Фотографические объективы.................................... 198

6.4.3. Киносъемка медленно- и быстропротекающих процессов............204

6.4.4. Получение стереопар и наблюдение стереоскопических изображений.208

6.5. Лупы и окуляры......................................................212

6.5.1. Увеличение и виды конструкций луп.............................213

6.5.2. Окуляры.......................................................214

6.6. Зрительные трубы....................................................217

6.6.1. Схема и основные характеристики...............................217

6.6.2. Наблюдательные зрительные трубы...............................220

6.6.3. Коллиматоры и автоколлиматоры.................................221

6.6.4. Зрительная труба для контроля поперечных смещений.............225

6.6.5. Другие технические зрительные трубы...........................229

6.7. Устройства для наводки на резкость фотообъективов,
дальномеры, видоискатели...............................................231

6.7.1. Устройства для наводки на резкость фотообъективов. Дальномеры.231

6.7.2. Видоискатели..................................................235

6.8. Микроскопы..........................................................237

6.8.1. Конструкция и видимое увеличение микроскопа...................237

6.8.2. Разрешающая способность и полезное увеличение.................239
6.8.3. Методы освещения..........................................241

6.8.4. Объективы и окуляры.......................................242

6.8.5. Другие приспособления для технического микроскопа.........244

6.8.6. Электронная обработка изображений.........................246

ГЛАВА 7 ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ,
КОЛОРИМЕТРИЯ, РЕШЕТКИ, ГОЛОГРАФИЯ....................................249

7.1. Интерференции света.............................................249

7.2. Интерференционные методы измерения расстояний..................252

7.3. Интерференционные методы контроля поверхностей.................255

7.4. Спектральные приборы............................................258

7.4.1. Обзор. Разрешающая способность............................258

7.4.2. Спектроскопы, спектрометры, спектрографы..................260

7.4.3. Монохроматоры и спектрофотометры..........................261

7.5. Колориметрия и цветовые измерения...............................263

7.5.1. Основы колориметрии.......................................263

7.5.2. Субтрактивное и аддитивное воспроизведение цветов.........264

7.5.3. Количественные характеристики цвета.......................264

7.5.4. Диаграмма цветности.......................................266

7.5.5. Методы цветовых измерений.................................268

7.6. Решетки.........................................................269

7.6.1. Дифракционные решетки.....................................269

7.6.2. Другие применения решеток.................................272

7.6.3. Муаровый метод............................................273

7.7. Голография......................................................275

ГЛАВА 8. ПОЛЯРИЗАЦИЯ.................................................280

8.1. Состояния поляризации...........................................280

8.1.1. Обзор.....................................................280

8.1.2. Общие соотношения.........................................281

8.1.3. Сфера Пуанкаре............................................283

8.1.4. Параметры Стокса..........................................284

8.2. Методы получения поляризованного света..........................285

8.2.1. Обзор. Поляризация при отражении..........................285

8.2.2. Анизотропные среды — двойное лучепреломление..............286

8.2.3. Оптическая активность.....................................289

8.3. Поляризационные элементы........................................290

8.3.1. Поляризаторы..............................................290

8.3.2. Фазовые пластинки.........................................292

8.3.3. Применение четвертьволновой пластины......................294

8.3.4. Деполяризаторы............................................295

8.4. Применения поляризации..........................................296

8.4.1. Оптические методы исследования напряжения в материалах....296

8.4.2. Другие примеры использования..............................298

ГЛАВА 9. ОПТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ........................................302

9.1. Радиус кривизны.................................................302

9.2. Фокусные расстояния.............................................303

9.3. Положения главных и фокальных точек.............................306

9.4. Диаметры зрачков................................................307

9.5. Передаточная функция оптических систем..........................308
ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ОПТИКИ.............................311

1. Правила построения буквенных обозначений по DIN 1335 ................. 311

2. Правило знаков по DIN 1335.............................................314

3. Основные формулы.......................................................315

3.1. Показатель преломления..............................................315

3.2. Скорость света......................................................315

3.3. Число Аббе..........................................................316

3.4. Закон преломления...................................................316

3.5. Закон отражения.....................................................318

3.6. Отражение от прозрачных сред........................:...............318

3.7. Пропускание потока излучения системой, состоящей из к поверхностей...319

3.8. Просветляющие (интерференционные) покрытия..........................319

4. Гауссова оптика........................................................320

4.1. Одиночная преломляющая или отражающая поверхность...................320

4.1.1. Инвариант Аббе для преломляющей поверхности...................320

4.1.2. Фокусные расстояния...........................................320

4.1.3. Положение предмета и изображения относительно фокальных точек..321

4.1.4. Линейное увеличение Р'........................................321

4.1.5. Угловое увеличение /..........................................321

4.1.6. Продольное увеличение а'......................................322

4.2. Последовательность преломляющих и отражающих
оптических поверхностей..................................................322

4.2.1. Рекуррентные формулы..........................................322

4.3. Оптическая система..................................................323

4.3.1. Показатели преломления пространства предметов
и пространства изображений не равны (п' * л).........................323

4.3.2. Показатели преломления первой и последней сред,
окружающих оптическую систему, равны (п' = п)......................324

4.4. Оптические компоненты находятся в воздухе...........................326

4.4.1. Линза в воздухе (п' = и = 1)..................................326

4.4.2. Тонкая линза в воздухе........................................327

4.4.3. Две оптические системы в воздухе..............................328

4.4.4. Афокальная система............................................328

4.4.5. Сокращение продольных габаритов...............................329

4.4.6. Оптические параметры системы, которая состоит из произвольного числа
компонентов......................................................... 330

5. Ограничение пучков лучей...............................................330

5.1. Апертурные характеристики...........................................330

5.2. Поле................................................................331

6. Качество изображения...................................................332

6.1. Дифракция...........................................................332

6.1.1. Дифракция на щели............................................ 332

6.1.2. Дифракция на круглой диафрагме................................332

6.2. Аберрации...........................................................332

6.3. Измерение качества изображения......................................333

7. Фотометрия.................................................................

7.1. Обозначения в формулах и единицы измерения..........................333

7.2. Телесный угол Х2........................................................

7.3. Энергетические и световые величины и их единицы измерений...........335

7.3.1. Условие десяти крат (Ten Times Law)...........................336
7.3.2. Энергетическая и световая системы фотометрических величин..336

7.3.3. Поток излучения Фе, световой поток Фг..................... 337

7.3.4. Энергетическая сила света 1е, сила света Iv................337

7.3.5. Энергетическая яркость Le, яркость Lv......................337

7.3.6. Освещенность Е.............................................338

7.3.7. Другие фотометрические величины............................338

8. Характеристики оптических систем.....................................339

8.1. Объективы........................................................339

8.2. Освещенность в плоскости изображения как функция расстояния до предмета.339

8.3. Распределение освещенности в плоскости изображения...............339

8.4. Глубина резко изображаемого пространства.........................340

9. Оптические приборы..................................................340

9.1. Видимое увеличение...............................................340

9.2. Лупа.............................................................340

9.3. Микроскоп........................................................341

9.4. Зрительная труба.................................................342

9.5. Фотоаппарат, камкодер............................................342

9.6. Спектральные приборы.............................................343

9.6.1. Спектральные приборы с дифракционной решеткой..............343

9.6.2. Призменные спектральные приборы........................... 344

10. Оптоэлектроника.....................................................344

10.1. Источники излучения............................................344

10.1.1. Спектральное распределение............................. 344

10.1.2. Коэффициент полезного действия (КПД), световая отдача.. 344

10.1.3. Пространственное распределение силы света и энергетической
силы света......................................................345

10.1.4. Степень поляризации.....................................345

10.2. Приемники......................................................346

10.2.1. Чувствительность........................................346

10.2.2. Световые величины.......................................346

11. Приближенные формулы для расчета оптических параметров линз.........347

12. Графическое построение изображения..................................349

ДОПОЛНЕНИЕ 1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ХОДА ЛУЧЕЙ НА ЭВМ.
ТОЧЕЧНАЯ ДИАГРАММА......................................................351

Д1.1. Формулы для расчета хода лучей на ЭВМ.............................351

Д1.2. Точечная диаграмма................................................356

Список литературы к дополнению 1...................................358

ДОПОЛНЕНИЕ 2. СТРУКТУРА ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ.........................359

Д2.1. Монохроматическая функция рассеяния точки.........................359

Д2.2. Изопланатическая оптическая система...............................362

Д2.3. Свойство линейности...............................................364

Д2.4. Нормированная МФРТ................................................365

Д2.5. Расчет освещенности в ПАИ.........................................366

Д2.6. Анализ изменения освещенности в изображении тестовых объектов............368

Д2.7. Нормированная полихроматическая функция рассеяния точки..........375

Д2.8. Передача оптической системой пространственных частот..............377

Список литературы к дополнению 2...................................386
ДОПОЛНЕНИЕ 3. ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В СОВРЕМЕННОМ ОПТИЧЕСКОМ ПРИБОРОСТРОЕНИИ............................387

Д3.1, Классификация дифракционных оптических элементов..............387

Д3.2. Дифракционная эффективность амплитудных и фазовых
микроструктур..................................................390

ДЗ.З. Дифракционные линзы: основные понятия, характеристики
и применение...................................................398

Список литературы к дополнению 3...............................403

ДОПОЛНЕНИЕ 4. ГРАДИЕНТНАЯ ОПТИКА....................................407

Д4.1. Введение......................................................407

Д4.2. Радиус кривизны траектории луча в градиентной среде...........408

Д4.3. Параксиальные характеристики градиентных оптических элементов
и систем.......................................................410

Д4.4. Градиентные оптические элементы в современном оптическом
приборостроении................................................416

Д4.4.1. Волоконно-оптические устройства........................416

Д4.4.2. Копировально-множительная техника......................418

Д4.4.3. Эндоскопические системы................................419

Д4.4.4. Использование градиентных сред для коррекции аберраций
в оптических системах.........................................420

Список литературы к дополнению 4...............................423
Предисловие

Техническая оптика включает основы оптики, а также применение оптических эле-
ментов, устройств и методов для решения различных технических задач. Несколько
примеров могут показать, насколько широка область технической оптики: сбор,
передача и хранение информации, копировальная техника, геодезия, метрология,
обнаружение различных объектов, управление в технических системах, исследова-
ние веществ и материалов, настройка и регулировка различных изделий и систем,
цветовые измерения.

Книга ориентирована на читателей, которым в учебе и практической деятель-
ности необходимо уверенное знание основ технической оптики. Книга должна слу-
жить как учебный материал, а также помогать инженерам и исследователям других
специальностей в решении оптических задач.

Основное содержание соответствует подготовке инженера в отраслевом инсти-
туте, а объем материала превышает этот уровень. Книга понятна также для техника.
Это помогает студентам высших учебных заведений уяснить связь между теорией и
ее практическими приложениями.

При изложении материала основное внимание уделяется оптическим элемен-
там, а также источникам света, приемникам и волоконной оптике; подробно изла-
гается расчет количественных характеристик излучения. Из специализированных
оптических приборов рассматриваются только несколько важных примеров. По-
добным образом излагается киносъемка быстропротекающих процессов, интерфе-
ренционные методы и колориметрия.

В этой книге рассмотрение свойств и параметров оптических систем в основ-
ном ограничено параксиальной областью (т. е. областью вблизи оптической оси).
Аберрационная коррекция оптических систем (например, фотообъективов) пред-
ставляет специальную задачу вычислительной оптики.

Дидактическая концепция книги основана на тщательном определении вели-
чин и основных понятий, постоянном указании единиц измерения и применении
стандартного правила знаков.

Свойства линз, зеркал, плоской поверхности и плоско-параллельной пластин-
ки выводятся из единого уравнения, которое описывает прохождение луча через
преломляющую сферическую поверхность. В конечном счете это позволяет за ми-
нимальное время познакомиться с основами расчета оптических элементов. При-
меры с решениями задач помогают в усвоении материала.

Предполагается, что читатель имеет обычную математическую подготовку, од-
нако при выводе некоторых формул используются элементы высшей математики.
Читателю также будут полезны знания основ физики.

Изложенный в книге материал должен дать читателю сведения об оптических
свойствах и конструкции оптических элементов; научить читателя составлять из
отдельных элементов оптическую систему, учитывая при этом ограничение пучков
лучей; познакомить читателя с основными оптическими приборами и методами их
использования.

Выход спустя относительно непродолжительное время второго издания и одоб-
рение промышленных кругов позволили автору считать, что избранный им путь
изложения материала является целесообразным.
При подготовке четвертого издания — примерно через 10 лет после первого
издания — было переработано содержание. Помимо многочисленных улучшений и
небольших вставок (в том числе нового изложения разделов о лазерах и решетках),
в новом варианте приведена усовершенствованная схема для расчета луча, а также
переработан список литературы и стандартов. При подготовке этого издания осо-
бое внимание обращалось на то, чтобы объем книги не был значительно увеличен.
В шестом издании раздел «Поляризация» был выделен в отдельную главу, расшире-
ны разделы о волоконной оптике и интерференционных светофильтрах, а также
был сделан целый ряд мелких улучшений. В седьмом и восьмом изданиях в книгу
были введены небольшие дополнения и осуществлены некоторые исправления.

В новом — девятом — издании включена подборка формул, немецко-английс-
кий и англо-немецкий словари оптических терминов, а также составлен словарь
используемых в оптике сокращений и аббревиатур.

Авторы благодарят всех коллег, которые давали свои рекомендации и предло-
жения по совершенствованию книги. К сожалению, рекомендации дать более под-
робные выводы, включить в книгу большее число упражнений и задач, а также
изложить в книге некоторые другие разделы оптики не могут быть исполнены в
рамках настоящей книги.

Hanau

Gottfried Schroder

Hanskarl Treiber
Предисловие
к русскому изданию

Сегодня Германия относится к числу тех немногих стран, где ведутся работы по
всему циклу создания оптического прибора: начиная от варки стекла до сборки и
юстировки уникальных оптических систем приборов. Своими достижениями немец-
кое оптическое приборостроение во многом обязано высококвалифицированным
специалистам, подготовка которых в Германии имеет давние традиции. Очевидно,
что одним из условий подготовки знающих свое дело профессионалов является на-
личие хороших учебников. По праву к таким учебникам можно отнести «Техничес-
кую оптику» Шредера и Трайбера, которая выдержала в Германии девять изданий и
получила одобрение в промышленных кругах. В этой книге изложены те основы,
которые необходимы любому специалисту, соприкасающемуся в своей практичес-
кой деятельности с оптическими системами и приборами.

Особо следует отметить, что материал данной книги примерно соответствует
отечественным учебным планам оптических специальностей. Используемая в кни-
ге система обозначений и правило знаков также близки к принятым в России. При
переводе немецкие термины не переводились дословно, а заменялись на термины,
традиционные для русскоязычной оптической литературы. Например, слово «der
AbbildungsmaPstab» переводилось как «линейное увеличение», а не «масштаб изоб-
ражения». В тех случаях, когда немецким терминам было сложно подыскать рус-
ские соответствия, давались примечания. Для большинства из упомянутых в тексте
книги стандартов ФРГ (DIN) были найдены и указаны в примечаниях к тексту
аналогичные российские стандарты.

Список литературы в немецком издании «Технической оптики» достаточно об-
ширен. Однако большинство упомянутых в нем книг и статей труднодоступны для
российского читателя. Поэтому в русском издании этот список не приводится, но
со списком литературы к немецкому изданию можно познакомиться в Интернете
на страницах издательства «Техносфера». В русском издании также не приводятся
список стандартов ФРГ по оптическому приборостроению и смежным областям,
англо-немецкий и немецко-английские словари, словарь аббревиатур.

Хотя почти каждое новое немецкое издание книги «Техническая оптика» пере-
рабатывалось и дополнялось новым материалом, но на рубеже XX и XXI веков
произошли изменения в методах конструирования и производстве оптических при-
боров. В основном они связаны с компьютеризацией проектирования и обработки
результатов измерений параметров оптических деталей и систем. Значительный
прогресс достигнут также в области оптических покрытий, крупногабаритной оп-
тики, волоконно-оптических деталей, дифракционных и градиентных элементов.
Поэтому русское издание «Технической оптики» снабжено четырьмя дополнения-
ми: Д1, Д2, ДЗ, Д4. В первом дополнении изложен алгоритм расчета хода луча через
оптическую систему, который в настоящее время широко используется при компь-
ютерном моделировании оптических систем. Второе дополнение посвящено струк-
туре оптического изображения. В третьем (ДЗ) и четвертом (Д4) дополнениях рас-
смотрены основы оптики дифракционных и градиентных элементов. Так как со-
всем недавно в издательстве «Техносфера» вышла книга «Прикладная
Предисловие к русскому изданию

оптоэлектроника» (О.Н. Ермаков, Москва: Техносфера, 2004. — 416 с.), то было
признано нецелесообразным включать в русское издание «Технической оптики»
дополнительный материал о современных приемниках и источниках излучения.
Материал всех дополнений авторы попытались изложить таким образом, чтобы он
(аналогично основным главам «Технической оптики») был понятен не только ин-
женеру, но и технику. В связи с этим использование сложного математического
аппарата в дополнениях было сведено к минимуму. Во втором дополнении, где
обойтись без двойных интегралов было бы очень затруднительно, широко исполь-
зовалось представление двойных интегралов в виде сумм и интерпретация двойно-
го интеграла как объема пространственного тела.

Дополнения Д1 и Д2 написаны Р.Е. Ильинским, дополнение ДЗ написано в
соавторстве Г.И. Грейсухом и Е.Г. Ежовым, дополнение Д4 написано в соавтор-
стве Г.И. Грейсухом и Р.Е. Ильинским.

Переводчик книги благодарит всех, кто помогал ему при подготовке русского
издания. Особенно он признателен Г.И. Грейсуху, Е.Г. Ежову, В.Н. Кузьмину,
А. Г. Борисову.

Р.Е. Ильинский
Используемые величины
и их обозначения в формулах

Обозначение в формуле Величина См. раздел
А Поверхность 4.2.1
А Числовая апертура 3.3
А Разрешающая способность 7.4
А Коэффициенты дисперсионной формулы 2.1.1
а Расстояние от передней главной точки до осевой точки предмета 1.4.2.2
d Расстояние от задней главной точки до осевой точки изобра- жения 1.4.2.2
as Расстояние наилучшего зрения 4.4.1
b Длина основания призмы 7.4
b Стереоскопический базис 6.7.1
С Центр кривизны сферической поверхности 1.4.2.2
С Относительный оптический коэффициент напряжения 8.4.1
с Скорость света 1.2
с Кривизна 2.2.2
D Диаметр 5.1.1
D Оптическая плотность 4.1.4
D Степень темноты по DIN 6164 7.5.4
d Расстояние между вершинами поверхностей 2.2.2
d Толщина слоя 5.3.1
Я, Энергетическая освещенность 4.1.3
Е Освещенность 4.1.1
е, & Расстояние между главными плоскостями оптических компонентов 2.2.4
F, F' Передняя и задняя фокальные точки (также: передняя и зад- няя фокальные плоскости, которые перпендикулярны опти- ческой оси и проходят через эти точки) 1.4.2.2
7, Г Переднее и заднее фокусные расстояния 1.4.2.2
f Точность измерения 6.6.4
С Геометрический фактор 4.2.4
Обозначение в формуле Величина См. раздел
Н, Н' Главные точки 1.4.2.2
Н Экспозиция 4.6.2
h Расстояние от оптической оси до точки пересечения лучом поверхности 1.4.2.2
h Ширина пучка 2.4.2
I Сила света 4.1.3
I л-о 2.2.2
I. Сила излучения 4.1.1
J Ток (электрический) 4.1.2
К, K' Узловые точки 1.4.4
К Световая эффективность 4.4.2
к Число поверхностей в системе 2.2.2
(к) Число оптических компонентов в системе 2.2.4
к Диафрагменное число 3.3
L Яркость 4.1.3
L. Энергетическая яркость 4.1.1
1 Расстояние, удаление, дальность 5.1.2
M Модуляция (контраст) 8.5
m Порядок (дифракционный, интерференционный) 7.4
N Число штрихов 7.4
Л, n' Показатели преломления 1.3
0, O' Осевая точка предмета, осевая точка изображения (также: пер- пендикулярные оптической оси плоскости, которые проходят через эти точки) 1.4.1
p, P' Точки 1.4.4
p Мощность (электрич.) 4.3.1
p Степень поляризации 8.3.1
p Стрелка прогиба 2.2.1
p Стереоскопический параллакс 6.4.4
p Коэффициент камеры 6.8.5
p Дробное число ширины интерференционной полосы 7.2
Обозначение в формуле Величина См. раздел
Ре Условная чистота цвета 7.6.4
q Постоянная тубуса 6.8.1
R Радиус 8.1
R Сопротивление (электрическое) 4.5.2
R Пространственная частота 8.5
R, G, М Координаты цвета (в системе RGB) 7.6.3
Г Радиус 2.2.1
S Вершина поверхности 1.4.2.2
S(A) Относительное спектральное распределение потока излучения, исходящего от источника света 7.6.1
S Ступени насыщенности no DIN 6164 7.6.4
s, s' Передний и задний отрезок 2.2.1
5 Чувствительность приемника 4.1.2
т Коэффициент передачи модуляции 9.5
т Термодинамическая температура 4.3.1
Т; Цветовая температура 4.3.1
т Ступень цветового ощущения по DIN 6164 7.6.4
t Расстояние между фокальными точками компонентов оптичес- кой системы 2.2.4
t Время, время экспозиции 4.6.2
и Напряжение (электрическое) 4.3.2
и, и' Апертурные углы 3.3
и, И* Диаметры кружков рассеяния 6.4.1
Г Дисторсия 2.5.5
К(Л) Относительная спектральная световая эффективность для дневного зрения 4.1.3
V Поперечное смещение луча (пучка) 2.3.2
2м> Угловое поле в пространстве предметов 3.3
2v.' Угловое поле в пространстве изображений 6.1.1
W Скорость 6.4.3
X Входная величина (приемник излучения) 4.1.2
Обозначение в формуле Величина См. раздел
X, Y, Z Координаты цвета в системе XYZ 7.6.3
X, х' Отрезки в плоскости предмета и изображения 2.3.3
х, у, Z Функции сложения (в системе XYZ) 7.6.3
X, у, Z Координаты цветности в международной системе 7.6.4
Y Выходная величина (приемник излучения) 4.1.2
У, У' Отрезки в плоскости предмета и изображения 1.4.2.2
Z Срок службы лампы 4.3.2
Z Сумеречное число 6.6.1
Z Расстояние от передней фокальной точки до осевой точки предмета 1.4.2.2
z' Расстояние от задней фокальной точки до осевой точки изо- бражения 1.4.2.2
а Коэффициент поглощения 4.1.4
а. Чистый (внутренний) спектральный коэффициент поглощения 4.1.4
а Угол между поверхностями 2.4.1
Р' Линейное увеличение 1.4.2.2
р Коэффициент яркости 7.6.1
г Видимое увеличение 6.1.1
Y Крутизна (для сопротивления фоторезистора) 4.5.2
Y Коэффициент контрастности («гамма») фотоматериала 4.6.2
Y Угол полезного рассеяния 5.2
8 Угол отклонения луча; угол между двумя направлениями луча 2.3.3
Е, Е' Угол падения, угол преломления 1.2
I £г Угол отражения 1.2
ег Предельный угол полного внутреннего отражения 1.3
V Световая отдача 4.3.1
е Угол между двумя направлениями поляризации 8.3.1
8 Угол разворота пары клиньев 2.4.3
8 Угол между направлением плоскости колебания выходящего из поляризатора линейно поляризованного излучения и на- правлением одного из главных напряжений 8.4.1
X Номер поверхности 2.2.2
Обозначение в формуле Величина См. раздел
(z) Номер компонента оптической системы 2.2.4
Я Длина волны 1.2
V Число Аббе 2.1.1
V Частота 1.2
£ Направление колебаний 1.2
р Параметр, учитывающий потери на отражение 5.3.1
р Коэффициент отражения 4.1.4
р Радиус кольца (в дифракционном кружке) 6.1.2
ст, ст' Угол между оптической осью и лучом 2.2.1
а Рассеивающая способность 5.2
°i- °2 Главные напряжения 8.4.1
т Коэффициент пропускания 4.1.4
т 1 Чистый (внутренний) коэффициент пропускания 4.1.4
т Время 6.4.3
ф Световой поток 4.1.3
ф' Поток излучения 4.1.1
<р Угол между нормалью к поверхности и оптической осью 2.2.1
Относительное спектральное распределение падающего на глаз потока излучения 7.6.1
£2 Телесный угол 4.1.1
Я Единичный телесный угол 4.1.1
CD Угловая скорость 2.3.3
Подборка важнейших формул

zisine = л'sine' (1-4) 7(2) (2-32) Ло
1_1 = X а' a f (1.14) OO' = d-^1 (2.37)
п
Р = - (1-18) 8 = -а (п' -1) (2-47)
а Ло __ V(D (2.64)
п п _п-п (2.36) Л2) V(2)
S S г
( n'v — nv Y
г, _ 1 я г, А п -1 (п -1) - d + п • (г. — (2.20) -ri) Pz z u. 1 nx + nx 1 (2.86)
f _ Л)' Ло Ло + ~ е Ф = 7г-£-ЛВ!СЗР -sin2u Д (4.22)
(2.31) T =^£- ± диф 7t ’ £20 (4.30)
Численные примеры
использования
оптического правила знаков

Эти простые численные примеры должны помочь преодолеть затруднения, кото-
рые могут возникнуть при изучении и применении оптического правила знаков.
При расчете оптических характеристик здесь используются уравнения двух типов:
красной рамкой обведены те уравнения, в которые входят отрезки, отсчитывае-
мые от главных точек оптической системы; голубой рамкой обведены те уравне-
ния, в которые входят отрезки, отсчитываемые от фокальных точек оптической
системы. Численные значения в первых четырех примерах соответствуют одному
из рис. А, Б, В. Однако формулы, по которым ведется расчет в каждом из этих
четырех примеров, также можно применять для оставшихся двух из трех рисун-
ков. Это позволяет проконтролировать вычисления. На рис. Г показана двухком-
понентная система.

(1.14)

Г = ^ = Г = 7=Г? =

_ (-100)50 = ±V-(-66,67)-16,67 =

" -100 - 50 ~ =33,3 мм

= 33,3 мм

Р' = -
а

(1.18)

Р'=— = J^l = -o,5
Р а -100

= (-)0,5

о=-100

о’=-28,57

/=*11,431—

----*«-140

НН’=+10

°', I Р н‘

® ✓ = /'(!-£))

(1 16)

Р' = ^ =

Р Г

_-40 - (-28,57)

-40

= +0,286

11,43
-40

= +0,286
Численные примеры использования оптического правила знаков

|----Н'тН‘=-\20

н'

---f=+60------

ОО' = 2 - Р’ - |+ НН’

+25

+10

= +2,5

0(7 = 60(2-2,5-0,4)-10 = -64 мм

(2.31)

20-30

20 + 30-40 -

= +60 мм

Н'тН’ = -е-£-
___________Ло

(2.32)

Н’Н’ = -40 — =
(2) 20

= -120 мм

20-30

-10
= +60 мм

900

-Tio

= -90 мм
ГЛАВА 1

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА

И ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

1.1. Свет

Электромагнитное излучение простирается от гамма-излучения до радиоволн.
С практической точки зрения (имеющиеся в распоряжении источники и приемни-
ки излучения, а также области применения) электромагнитное излучение делится
на диапазоны. В природе не существует никаких резких границ этих диапазонов,
но стандартом DIN 5031, Bl. 7 устанавливаются границы оптического диапазона.
По этому стандарту к оптическому диапазону относится излучение, которому при
распространении в вакууме соответствуют длины волн от 100 нм (1 нм = 10 9 м) до
1 мм. Оптический диапазон делится на три основные области: ультрафиолетовую
(УФ, от 100 до 380 нм), видимую (от 380 до 780 нм) и инфракрасную (ИК, от 780 нм
до 1 мм). Зрительные ощущения у человека вызывают только те электромагнитные
излучения, которые относятся к видимой области.

Восприятие света (т. е. излучения видимой области оптического диапазона)
зависит от распределения энергии по длинам волн. Монохроматическое излучение
(в пределе АЛ = 0, но практически это узкая область АЛ 0) дает ощущение очень
насыщенного цвета (спектрально-чистый цвет). Упорядоченную по убыванию дли-
ны волны последовательность спектральных цветов называют спектром. На рис. 1.1
приведена шкала длин волн. На ней обозначены примерные границы цветовых
диапазонов. Создать монохроматическое излучение возможно, например, с помо-

Элемент Hg Нд Нд Cd Н Нд Не Линия i h д F' F е d 365,0 404,7 435,8 480,0 486,1 546,1 587,6 Na Cd Н Не К D С' С г А' 589,3 643,8 656,3 706,5 нм 768,2
30
УФ фиолетовый синий зеленый зеленый зеленый желтый оранжевый красный
3( 1 | 1 » 1 1 I 1 । । | I । 1 * । । । । т | 1 | 1 ..... . 0 7 400 500 600 700 А ►

Рис. 1.1. Спектральные цвета и спектральные линии.

Граничные длины волн отдельных цветов не могут быть определены точно, так как на-
звания цветов (например, «желто-зеленый», «красный») довольно условны. Но в каче-
стве приблизительных границ можно указать следующие:

фиолетовый
синий

сине-зеленый
зеленый
желто-зеленый

от 380 до 424 нм
от 424 до 486 нм
от 486 до 517 нм
от 517 до 527 нм
от 527 до 575 нм

желтый от 575 до 585 нм

оранжевый от 585 до 647 нм
красный от 647 до 780 нм
щью газоразрядных ламп, где оптическое излучение возникает в результате возбуж-
дения атомов газов или паров определенных химических элементов. Некоторые из
получаемых подобным образом спектральных линий представлены на рис. 1.1, где
указан соответствующий химический элемент и общепринятое обозначение линии.
Пары ртути (Hg), например, излучают серию линий, одна из которых имеет длину
волны Л = 546,1 нм. Эта спектральная линия соответствует желто-зеленому цвету и
обозначается как «е».

Излучение большинства других источников света (Солнце, лампы накаливания
и т. д.) имеет непрерывный спектр. Если энергия таких источников распределена
по спектру относительно равномерно, то цвет излучения воспринимается как очень
ненасыщенный (белый, желтоватый или синеватый).

Оптическое излучение включает в себя ультрафиолетовую, видимую и ин-
фракрасную области спектра. Видимая область простирается от Я = 380 нм до
Я = 780 нм.

1.2. Волновая оптика

Волны всех видов подчиняются одним и тем же фундаментальным законам, кото-
рые подробно рассмотрены в учебниках физики (например, в [1.1]). Здесь коротко
изложены только самые необходимые для оптики следствия из этих законов.

Пусть в точке пространства создается периодическое возмущающее воздействие,
т. е. колебание (например, изменение по закону синуса напряженности электри-
ческого поля). Колебание в этой точке вызывает возникновение колебаний в дру-
гих точках, все более и более удаленных от первоначальной точки. Это явление
распространения колебаний от точки к точке называется волной. Передача колеба-
ний обусловлена тем, что смежные участки среды связаны между собой. Электро-
магнитная волна может также распространяться в вакууме.

Временной интервал, за который совершается полное колебание, т. е. фаза уве-
личивается на 2л, называется периодом колебаний ts. Обратная величина v = \/ts
называется частотой. Если рассматривать не временные характеристики, а в фик-
сированный момент времени t исследовать распределение состояний в простран-
стве, то расстояние между ближайшими точками пространства, в которых колеба-
ния происходят в одинаковых фазах, называется длиной волны Я.

Волна — это временное и пространственное распространение колебания в
среде.

Частота колебаний определяется излучателем (источником). Скорость с рас-
пространения колебаний зависит от вида среды. Для всех электромагнитных волн
скорость в вакууме равна cvak = 2,9979 108 м/с, или приближенно 3 108 м/с. Для
всех видов волн длина волны Я рассчитывается по формуле

Я=-. (1.1)

---------------------------------- V____________________________________

У продольных волн (например, звуковых) направления колебаний и распростра-
нения волны совпадают, а у поперечных волн эти направления взаимноперпендику-
лярны. Электромагнитные волны и, соответственно, свет относятся к поперечным
волнам. Такое явление, как поляризация, возможно только в случае поперечных волн,
так как в этом случае существует бесконечно много различных направлений коле-
баний, которые перпендикулярны направлению распространения волны. В случае
если у поперечной волны только одно направление распространения колебаний, то
такая волна является линейно поляризованной.
Рис. 1.2. Интерференция волн:

а, б, в — интерференция двух волны; г, д —поясне-
ние принципа Гюйгенса для случая распространения
плоской и сферической волн.

Если в одной точке пространства
встречаются две или большее число волн,
то они взаимодействуют (интерфериру-
ют). Результат такого взаимодействия на-
ходят путем векторного сложения ампли-
туд. На рис. 1.2, а—в показано три случая
интерференции для волн с одинаковым
направлением колебаний £ На рис. 1.2, а
представлен интерференционный макси-
мум: действия обеих волн полностью
суммируются, так как волны не имеют
разности хода (или смещены на целое

число Л). Интерференционный минимум представлен на рис. 1.2, б. Здесь дей-
ствие волн взаимно компенсируется, так как оптическая разность хода составляет
Я/2 (или [2т + 1] • Я/2, где т = 0, 1, 2, ...). Если при этом также равны амплитуды
(рис. 1.2, в), то интерференционный минимум будет нулем: в результате взаимо-
действия волны гасят друг друга.

Если в пространстве в момент времени t известна волновая поверхность 1 (со-
вокупность всех точек с равной фазой), то положение и форму волны через некото-
рый промежуток времени можно найти по принципу Гюйгенса. Этот принцип фор-
мулируется следующим образом: каждую точку волновой поверхности можно рас-
сматривать как самостоятельный центр возникновения новых (вторичных)
сферических волн. Радиус вторичных волн в момент времени t + Д/равен г = с-Lt.
Если теперь построить графически или рассчитать результат интерференции всех
вторичных волн (см., например, [1.1]), то получится новая волновая поверхность 2
в момент времени t + Lt. Эта поверхность является огибающей всех волновых по-
верхностей вторичных волн. Два примера показаны на рис. 1.2, г, д.

Если плоская волна падает на отверстие в экране (как на рис. 1.2, д), то из
каждой точки отверстия исходит вторичная волна. Можно предположить, что в
результате их интерференции получится плоская, резко ограниченная на краях вол-
новая поверхность, границы которой совпадают с размерами отверстия. Но на кра-
ях отверстия вторичные волны не имеют соседей. Точный расчет интерференции
вторичных волн от ограниченной волновой поверхности показывает, что волны в
этом случае проникают в область «геометрической тени» с определенными пред-
почтительными направлениями (интерференционными максимумами).

Дифракция — это проникновение волн в область геометрической тени.
Дифракция обусловлена интерференцией вторичных волн при ограничении
волновой поверхности.

На рис. 1.3 перпендикулярно плоскости чертежа проходит граница раздела двух
сред. Скорость распространения волны в первой среде равна с, во второй среде — с'.
Если волна падает на границу этих сред, то часть энергии волны отражается, а
оставшаяся энергия проникает во вторую среду. В общем случае при этом происхо-
дит изменение направления распространения волны (т. е. имеет место преломле-
ние). На рис. 1.3 участок плоской волновой поверхности достиг границы сред в
точке Р. От этой точки вперед со скоростью с' исходит вторичная волна (отражен-
поверхность, разделяющая две среды

Рис. 1.3. Объяснение преломления волны в соответствии с принципом Гюйгенса.

ная волна не показана). Падающая волновая поверхность через интервал времени
t = z/c достигает границы сред в точке Q. В этот же момент времени радиус вторич-
ной волны, которая исходит от точки Р, равен z' = zc '/с. Из принципа Гюйгенса
следует, что все вторичные волны, которые исходят от точек отрезка Р0, образуют
новую волновую поверхность P'Q. Так как sin е = z/l, sinf' — z'/l, то закон прелом-
ления имеет вид

sinf _ с
sinf' с' ‘

(1.2)

Закон отражения е' = -е (индекс г указывает на отражение) можно формально
вывести из закона преломления: так как отраженная волна остается в той же среде,
что и падающая, то с' = -с, где знак «минус» обусловлен изменением направления
распространения света относительно нормали к поверхности раздела сред.

1.3. Геометрическая оптика

В геометрической оптике распространение волны описывается не с помощью волно-
вых поверхностей (как это упрощенно показано на рис. 1.3), а с использованием
нормалей к волновой поверхности (линии, перпендикулярные поверхности волны).
Такие линии называют лучами. Тогда без обратного перехода к волновому пред-
ставлению лучи можно рассматривать как независимые пути распространения све-
та. Лучи света не оказывают друг на друга влияние, т. е. пересекающиеся лучи света
проходят дальше независимо друг от друга. Путь света обратим: траектория свето-
вого луча не изменяется при изменении направления его распространения на пря-
мо противоположное. В рамках геометрической оптики расчет распространения
света ведется без учета дифракционных явлений. Так как при одних и тех же габари-
тах отверстия влияние дифракции будет тем меньшим, чем короче длина волны Л, то
геометрическую оптику можно рассматривать как предельный случай оптики вол-
новой — при длинах волн, близких к нулю (Л 0).

Чтобы при расчетах не иметь дело с большими численными значениями скоро-
сти света, как в уравнении (1.2), вводится понятие показателя преломления:

Абсолютный показатель преломления, «abs =
с

но в технической оптике показатель преломления предпочитают определять как

п = ^, (1.3)

С
где cVak — скорость света в вакууме; cLuf[ — скорость света в воздухе; с — скорость
света в рассматриваемой среде. Показатели преломления п и «abs мало отличаются,
так как для сухого воздуха (20°С, 1013 ГПа) «abs = 1,0003. В технической оптике
показатель преломления воздуха принимается равным п = 1!

В технической оптике используется следующее определение:

Показатель преломления п среды равен отношению скорости света в возду-
хе к скорости света в среде.

Например, показатель преломления воды = 1,33; показатели преломления
большинства стекол в зависимости от их химического состава лежат в диапазоне от
1,45 до 1,95. Значение показателя преломления также зависит от длины волны из-
лучения. Это явление носит название дисперсии (см. разд. 2.1.1).

Для оптических элементов чаще всего используют однородные и изотропные
среды (например, высококачественное оптическое стекло). Среда является одно-
родной в том случае, когда показатель преломления во всех точках среды имеет
одинаковое значение. Изотропной называется среда, если показатель преломления
не зависит от направления распространения света. Примером неоднородной среды
являются слои воздуха с различной температурой, так как абсолютный показатель
преломления воздуха зависит от температуры. В блоках стекла также могут присут-
ствовать участки с отклонениями показателя преломления (т. е. свили, см. разд. 2.1.1).
Примером анизотропных сред являются кристаллы с двойным лучепреломлением
(кальцит). Для «необыкновенного» луча показатель преломления таких кристаллов
зависит от направления.

Луч показывает направление распространения света. В однородной среде луч пря-
молинеен, но в неоднородной среде траектория луча может быть криволинейной* 1.

Совокупность (бесконечное множество) лучей света в области пространства
называют пучком лучей. Если все лучи (или прямые их продолжающие) пучка пе-
ресекаются в одной точке, то такой пучок является гомоцентрическим2.

Через гомоцентрический пучок можно провести сколь угодно много плоских
сечений, каждое из которых содержит точку пересечения лучей. Совокупность всех
лучей в таком плоском сечении образует плоский пучок лучей.

Плоский пучок лучей и одиночный луч в природе не существуют, так как в
одном или в двух направлениях соответственно они имеют нулевую протяжен-
ность.

Одиночный луч можно экспериментально промоделировать узким пучком, ко-
торый получают при помощи диафрагм малого диаметра. Аналогично плоский пу-
чок моделируется при помощи щелевых диафрагм.

Закон преломления был уже получен в разд. 1.2 при рассмотрении прохож-
дения волны через границу двух сред. Если выразить в уравнении (1.2) скорости
света с и с' через показатели преломления п и п', то закон преломления примет
вид

п sint = «'sin е'. (1.4)

1 С середины 70-х годов XX века были развернуты исследования в области изготовления и
применения в оптических системах оптических элементов с плавно изменяющимся по задан-
ному закону показателем преломления. Данная область получила название «градиентная оп-
тика». Более подробно о ней будет рассказано в Дополнении 4. Также в разд. 5.1.1 будут
коротко рассмотрены градиентные оптические волокна. (Прим, пер.)

1 К гомоцентрическим пучкам относятся также пучки, все лучи которых параллельны друг
другу. Можно считать, что все лучи такого пучка пересекаются в бесконечно удаленной точ-

ке. (Прим, пер.)
При преломлении произведение показателя преломления на синус соответству-
ющего угла остается неизменным.

Угол падения си угол преломления £' измеряются от нормали к границе разде-
ла двух сред в точке падения (см. рис. 1.4, а—в). Плоскость падения проходит через
падающий луч и нормаль. Преломленный луч также лежит в этой плоскости. На
рис. 1.4, а показан случай, когда и < д'. При этом первую среду (и) называют
оптически менее плотной средой, а вторую среду (д') оптически более плотной
средой. Из формулы (1.4) следует:

Если луч света переходит из оптически менее плотной среды в оптически
более плотную среду, то после преломления он идет ближе к нормали.

Как уже было пояснено в разделе 1.2, закон отражения

e'r = -е (1.5)

получается при подстановке в формулу (1.4) д' = — д, так как луч света остается в
той же среде, но его направление изменяется. Это и отражено в формуле (1.5).

При подстановке д' = —д формулы для преломляющей поверхности перехо-
дят в формулы для отражающей поверхности.

Отраженный луч лежит в плоскости падения (рис. 1.4, а—г).

Световая энергия может проникать из оптически более плотной в оптически
менее плотную среду только в том случае, когда угол преломления г' < 90” (рис. 1.4, в).
Если угол падения превышает угол Eg, который соответствует е' ~ 90”, то волна на
границе двух сред полностью отражается (рис. 1.4, д). Данное явление носит назва-
ние полного внутреннего отражения, а £ называется предельным углом полного
внутреннего отражения:

д'
sine =—. (1.6)
п

Формула (1.6) следует из закона преломления при д' < д и sin е' = 1.

Пример: При д = 1,52 и д' = 1 (стекло/воздух) получается е — 41,1”. Тогда
при е = 45” происходит полное внутреннее отражение.

В общем случае на границе двух сред одновременно имеет место и отраже-
ние и преломление, т. е. энергия падающего пучка разделяется. Для выполне-
ния условия полного внутреннего отражения требуется переход света из опти-
чески более плотной среды в оптически менее плотную и превышение предель-
ного угла Eg.

воздух стекло

П*П'

Рис. 1.4. Преломление и отражение (а, б), практически предельный случай полного
внутреннего отражения (в), полное внутреннее отражение (г).
1.4. Оптическое изображение

1.4.1. Введение

При наблюдении невооруженным глазом (без оптических элементов) свет от пред-
мета падает непосредственно в глаз. Предметом может быть источник света («само-
светящийся предмет») или освещенная, диффузно отражающая свет поверхность
(«несамосветящийся предмет»). В любом случае можно считать, что предмет состо-
ит из точек, которые испускают свет. Рассмотрение вопросов, связанных с опти-
ческим изображением, можно значительно упростить, если из бесконечно большо-
го числа точек предмета выбрать несколько точек и исследовать их изображения.
Когда между предметом и глазом находятся оптические элементы (зеркала, пласти-
ны, призмы, линзы), то ход луча изменяется за счет отражения и/или преломления.
Благодаря этому исходящий из точки предмета пучок лучей может быть так преоб-
разован, что лучи этого пучка пересекутся теперь в иной точке или будет казаться,
что лучи приходят из другой точки. Гомоцентрический пучок с центром в предмет-
ной точке превращается, таким образом, в другой гомоцентрический пучок, центр
которого находится в иной точке — в точке изображения. У наблюдателя, глаз
которого помещен на пути такого пучка, создается впечатление, что лучи исходят
от точки изображения. Совокупность изображений всех точек предмета является
изображением предмета. В общем случае оптическое изображение может быть ис-
кажено аберрациями (см. разд. 2.5).

Оптическое изображение точки получается в результате преобразования
исходящего из точки предмета гомоцентрического пучка лучей в другой гомо-
центрический пучок, центр которого называется точкой изображения.

На рис. 1.5, а—ж показаны различные виды оптических преобразований пучка,
исходящего из точки предмета О, На рис. 1.5, а плоское зеркало изменяет направ-
ление пучка. Лучи падают в глаз наблюдателя так, как если бы они исходили от
точки О'. Точка О' является мнимым изображением точки предмета О. Наблюдате-
лю кажется, что светящаяся точка находится в О', хотя никакие световые волны
оттуда не приходят. На рис. 1.5, б—г показаны мнимые изображения. Отрицатель-

Рис. 1.5. Виды оптических преобразований пучка, исходящего из точки предмета О:
а—г — изображение мнимое; д — действительное изображение; е — бесконечно удален-
ное изображение; ж — мнимая точка предмета О' и ее действительное изображение —
точка О.

Дифракция и аберрации не позволяют, однако, получить строго точечного
изображения точки предмета!
ная (рассеивающая) линза на рис. 1.5, б увеличивает, а положительная (собираю-
щая) линза на рис. 1.5, в уменьшает углы между лучами пучка. Это вызывает эф-
фект кажущегося переноса светящейся точки из О в О'.

Плоскопараллельная пластина на рис. 1.5, г действует нейтрально: углы между
лучами пучка не изменяются. После прохождения пластины луч остается паралле-
лен своему первоначальному направлению. На рис. 1.5, д показано действительное
изображение: расходящийся пучок преобразуется в сходящийся пучок. Лучи дей-
ствительно пересекутся в точке О'. От точки О' они идут так же, как от точки О.
Поэтому точка О’ является действительным изображением. Действительное изоб-
ражение можно увидеть на матовом стекле или зафиксировать на фотопленке. На
рис. 1.5, е изображен предельный случай между рис. 1.5, в и д: точка О’ лежит в
бесконечности; в данном случае невозможно говорить о действительном или мни-
мом изображении. На рис. 1.5, ж точка О" является действительным изображением
точки мнимого (!) предмета О'. Показанная пунктиром линза (1) строит действи-
тельное изображение точки О в точке О'. Если линзу (2) поставить на пути лучей,
то в точке О ’ не будет действительного изображения, но теперь через точку О"
проходит более сильно сходящийся пучок. Этот случай целесообразно рассматри-
вать как изображение точки мнимого предмета О’ (точку пересечения прямых,
вдоль которых идут лучи) в точку О".

Не существующее в действительности изображение от предыдущей части
оптической системы можно рассматривать в качестве мнимого предмета.

Совокупность возможных положений точек предметов — вершин гомоцентри-
ческих пучков лучей, входящих в оптическую систему, — называется простран-
ством предметов. Пространство, в котором расположены изображения точек — вер-
шины гомоцентрических пучков лучей, вышедших из оптической системы, — на-
зывается пространством изображений. Следует помнить, что как пространство
предметов, так и пространство изображений заполняет все пространство.

1.4.2. Величины, описывающие изображение

1.4.2.1. Принципы построения буквенных обозначений
и правило знаков

В таблице в начале книге приведены используемые в формулах буквенные обозна-
чения. Стандарт DIN 1335 является основой для построения буквенных обозначе-
ний3. Обозначения точек на чертежах следует давать латинскими прописными бук-
вами. Расстояния и отрезки прямых следует обозначать латинскими строчными

3 Отечественным аналогом немецкого стандарта DIN 1335 является ГОСТ 7427—76. Отече-
ственное правило знаков для поперечных и продольных отрезков в целом соответствует не-
мецкому. Однако по ГОСТ 7427—76 на чертежах буквенные обозначения отрицательных ве-
личин (отрезков, углов) должны иметь знак минус, а буквенные обозначения положительных
величин должны указываться без знака. Числовые значения буквенных величин указываются
на чертежах без знака.

Правило знаков для углов ГОСТ 7427—76 устанавливает следующее:

Угол следует считать положительным, если для того, чтобы описать часть плоскости между
его сторонами, ось, от которой ведут отсчет, нужно вращать вокруг вершины угла в направлении
движения часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном случае.

При этом по ГОСТ 7427—76 для углов a, с' и <р осью, от которой ведут отсчет, является
оптическая ось. Таким образом, благодаря одновременной смене положительного направле-
ния вращения и начала отсчета знаки углов a, & и <р будут одинаковыми по ГОСТ 7427—76 и
DIN 1335. Для углов ей е' началом отсчета по ГОСТ 7427—76 является нормаль к поверхно-
сти (см. рис. 1.1П).
Рис. 1.Ш. Сравнение правил знаков и обозначений на чертежах по DIN 1335 (а) и
ГОСТ 7427-76 (6).

буквами. Допускается обозначать отрезки конечными точками. Углы следует обо-
значать греческими строчными буквами.

Понятия, соответствующие друг другу в пространстве предметов и в простран-
стве изображений, следует обозначать одинаковыми буквами; при этом обозначе-
ния точек и величин, относящихся к пространству изображений, дополняют над-
строчным знаком «'» (штрихом). Например, если у это отрезок в предметной плос-
кости, то отрезок у' относится к плоскости изображения (рис. 1.6, а). Отрезки у и
у' оптически сопряжены (т. е. второй отрезок является изображением первого).
Если следует подчеркнуть, что соответствующие точки и величины оптически не
сопряжены, то обозначения точек и величин в пространстве предметов снабжают
поперечной чертой. В первую очередь это относится к фокальным точкам F, F’ и
фокусным расстояниям /, так как изображение точки F находится не в точке F',
а в бесконечности.

Показатель преломления перед поверхностью раздела двух сред (перед линзой,
перед оптической системой) обозначают как п, показатель преломления за этой
поверхностью (за линзой, за оптической системой соответственно) обозначают п'
(см. рис. 1.6, б). Правила обозначения других величин разъясняются в соответству-
ющих разделах.

Знак отрезка может быть положительным или отрицательным (рис. 1.6, а).
Рис. 1.6. К объяснению правила знаков по DIN 1335: для расстояний (а) и для углов (б).

Направление распространения света принимается слева направо. Все рас-
стояния, которые измеряются от начальной точки в направлении распростра-
нения света (слева направо), положительны. Также положительными являются
все расстояния, которые измеряются от начальной точки в направлении снизу
вверх перпендикулярно направлению распространения света. Односторонние
стрелки на чертежах всегда показывают направление от начальной точки. На-
пример, Я является начальной точкой д ля f.

Обратите внимание: заключенные в скобки знаки являются только допол-
нительным напоминанием о знаке величины. Таким образом, на рис. 1.6, а
HF = f = -15 мм. Этот отрезок не может быть обозначен как так как это
означало бы противоположное направление: HF = +15 мм!

Знаки углов могут быть отрицательными или положительными (рис. 1.6, б).

Угол следует считать положительным, если для того, чтобы описать часть
плоскости между его сторонами, ось, от которой ведется отсчет, следует вра-
щать вокруг вершины угла в направлении, противоположном движению часо-
вой стрелки («левое вращение»). Односторонние стрелки на размерных линиях
углов показывают направление вращения оси, от которой ведется отсчет.

Пример: У углов <т, и ^осью, от которой ведется отсчет, являются лучи
и радиус соответственно. Для углов сне' такой осью является нормаль к повер-
хности, при этом используется обычное (левое) направление вращения!

1.4.2.2. Определения важнейших величин

Последующие определения относятся ко всем системам с произвольным числом
преломляющих или отражающих поверхностей (например, линзы, зеркала, много-
компонентные системы). В соответствии с порядком прохождения света первая
поверхность обозначается как 1, а последняя поверхность как к. Например, для
одиночной линзы к = 2. Оптическая ось является прямой, которая проходит через
центры кривизны Ct и С2 (рис. 1.6, а) обеих поверхностей линзы. Далее предпола-
Рис. 1.7. К определению фокальных и главных точек, фокусных расстояний.

гается, что система центрированная. В этом случае центры кривизны всех поверх-
ностей лежат на одной прямой — оптической оси.

Если после прохождения оптической системы луч параллелен оптической оси,
то этот луч должен исходить из передней фокальной точки F (рис. 1.7, о; сравните
с рис. 1.5, е). Если падающий на оптическую систему луч параллелен оптической
оси, то после прохождения оптической системы он пересечет ось в задней фокаль-
ной точке F' (рис. 1.7, б).

Передняя фокальная точка F лежит на оптической оси в пространстве пред-
метов. Ее изображение находится в бесконечности. Задняя фокальная точка F’
является изображением бесконечно удаленной точки, которая лежит на опти-
ческой оси.

От точки F под малым углом о; исходит луч (рис. 1.7, а), который пересекает
поверхность к на расстоянии hk от оптической оси. Падающий луч, который идет
параллельно оптической оси и на расстоянии hY от нее (рис. 1.7, б), после прохож-
дения оптической системы образует угол с'к с оптической осью. Тогда для близких
к оси лучей (см. раздел 1.4.3) переднее и заднее фокусные расстояния определяют-
ся по формулам:

7 = —; /'=4- (1.7)

Оптической силой называется величина 1//"', обратная фокусному расстоянию.
Единицей измерения оптической силы в системе СИ является м~*. В системе СГС
единицей измерения оптической силы является диоптрия4 [дптр].

Найдем на рис. 1.7, а точку G пересечения прямых, вдоль которых идет луч до
и после прохождения им оптической системы. Опустим из точки G перпендикуляр
на оптическую ось. Основанием этого перпендикуляра является передняя главная
точка Н. Аналогично на рис. 1.7, б построим точку G' пересечения соответствую-
щих прямых и опустим из нее перпендикуляр на оптическую ось. Основанием это-
го перпендикуляра является задняя главная точка Н'. Определение положения то-
чек Ни Н' относительно конструктивных элементов оптической системы рассмат-
ривается в гл. 2.

Для близких к оси лучей (когда hjf = <рх) из формулы (1.7) следует f = HF,
f = H'F' (рис. 1.6, а). Таким образом, фокусные расстояния представляют отрезки,
начальными точками которых являются соответствующие главные точки оптичес-

4 В оптике в качестве единицы измерения диоптрию используют только при расчете прибо-
ров, которые работают совместно с глазом. Широкое использование этой единицы измере-
ния в школьных задачах ничем не оправдано. (Прим, пер.)
кой системы. Положение предметной плоскости определяется отрезком а = НО
(начальная точка Н). Аналогично положение плоскости изображения определяется
отрезком а' = Н'О' (начальная точка Н'). Положения предметной плоскости и плоскости
изображения можно также указывать относительно фокальных точек: z = FO, z' — F'O’
(рис. 1.6, о). Расстояния, которые измеряются от вершин поверхностей (например,
5,, 5Л), обозначают как: sxo = SXO, s'k F. = SkF'.

Если отрезок у перпендикулярен оптической оси, а отрезок у' является его
изображением, то линейное увеличение Д' определяется по формуле

(1.8)
У

Линейное увеличение равно отношению линейного размера изображения к
соответствующему размеру предмета при условии, что предмет и изображение
перпендикулярны оптической оси.

Пример. Для оптической системы, которая показана на рис. 1.6, а без соблю-
дения масштаба: f = —50 мм,/' = +50 мм, у = +30 мм, у' = —10 мм, Д' = —0,33,
а = —200 мм, а' ~ +66,7 мм, z — —150 мм, z' = +16,7 мм.

1.4.3. Параксиальная область

Если при прохождении оптической системы луч не очень сильно отклоняется от
оптической оси, то угол <т между этим лучом и осью, а также углы падения, пре-
ломления и отражения принимают малые значения. Поэтому при разложении в
степенные ряды тригонометрических функций углов е или <т

, е~ е4
cosf = l-- + -...

можно ограничиться только первыми членами. Тогда:

sin е = е, cos е = 1, tg е = sin c/cos е = е.

Параксиальной областью называют такую область пространства вблизи опти-
ческой оси, в пределах которой при расчете лучей функции sin си tg ес достаточной
точностью могут быть заменены углом е. При этом говорят, что расчет выполняется
в параксиальном приближении. Резкие границы параксиальной области не могут
быть указаны принципиально. Они зависят от требуемой точности. Параксиальную
область также называют гауссовой областью5.

Закон преломления (1.4) в параксиальной области приобретает вид

пе=п'е’. (1.9)

Пример. При п = 1, и = 1,5 для углов падения е по точным формулам и в
параксиальном приближении рассчитаны значения углов преломления е':

5 Название происходит от фамилии немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777—1855).
(Прим, пер.)
Е е' (точное значение) Е* (параксиальное приближение)
т 1,3332° 1,3333°
4° 2,6655" 2,6667°
8° 5,3237° 5,3333°
16" 10,5887° 10,6667°

Законы, которым в параксиальной области удовлетворяют оптические системы
в отношении положения и величины изображений предметов, очень просты и могут
быть распространены в качестве приближенных за пределы параксиальной области.
Поэтому формулы для параксиальной области имеют основополагающее значения
для анализа оптических свойств и конструирования оптических систем. Следует отме-
тить, что в разделе 1.4.2.2 формулы (1.7) были получены для близких к оси (т. е.
параксиальных) лучей.

Важнейшим свойством параксиальной области является то, что в ее пределах
падающий на оптическую систему гомоцентрический пучок лучей преобразуется
также в гомоцентрический пучок на выходе оптической системы. За пределами
параксиальной области это условие в общем случае не выполняется (см. разд. 2.5
«Аберрации»).

При выполнении графических построений или расчетов использование беско-
нечно близких к оси (параксиальных) лучей не очень удобно, так как значения
высот падения h и углов являются очень малыми. Для преодоления этих трудно-
стей условно принимают, что формулы для параксиальной области действительны
также для лучей, которые лежат за пределами параксиальной области.

Формулы и другой материал (в том числе рисунки) в этой книге основаны
на законах для параксиальной области, если только иное не оговорено особо.

1.4.4. Графическое определение положения изображения

Если на рисунке линза упрощенно изображена в виде сечений двух ее поверхностей
(см. рис. 1.8, а), то при построении хода лучей следует руководствоваться формула-
ми для параксиальной области. (То есть при построении хода луча используются

Рис. 1.8. Возможные способы для указания на использование параксиального прибли-
жения; г — представление оптической системы в виде одной плоскости
Рис. 1.9. Графическое определение положения изображения.

свойства главных и фокальных точек, но не применяется закон преломления для
поверхностей линзы!) В дальнейшем предпочтение отдается именно этому изобра-
жению линзы (ср. рис. 1.9, а). Существуют другие способы указания на использова-
ние параксиального приближения: на рис. 1.8, б показаны две плоскости, которые
являются касательными к вершинам поверхностей линзы, и знак для условного
изображения линзы. На рис. 1.8, в касательные к вершинам линзы плоскости обо-
значены линиями с закруглениями на концах. Для тонких линз можно использо-
вать схематическое изображение, которое показано на рис. 1.8, г. Это же обозначе-
ние используют и для систем, длиной которых при оптических расчетах можно
пренебречь.

Если задан перпендикулярный оптической оси отрезок у (рис. 1.9, а), то можно
определить положение и величину изображения этого отрезка — отрезок у'. Для
этого надо построить изображение внеосевой точки Р. Точность построения возра-
стает с удалением точки Р от оси. Для оптической системы должны быть известны
положения точек F, F', Н, Н'. Через точки Н и Н' проходят перпендикулярные
оптической оси главные плоскости6. Аналогично через точки F и F' проходят пер-
пендикулярные оптической оси фокальные плоскости. Из бесконечно множества
исходящих из точки Р лучей выберем такие вспомогательные лучи, дальнейший
ход которых известен. Из сравнения рис. 1.9, а с рис. 1.7 можно сделать вывод:
если падающий луч параллелен оптической оси (прямая 2), то после оптической
системы он проходит через точку F' (прямая 2'); если падающий луч идет через
точку F (прямая 1), то после оптической системы он параллелен оптической оси
(прямая Г). Изображение точки Р — точка Р' — находится как точка пересечения
прямых Г и 2'. Для контроля можно использовать еще третий луч. Этот луч до и

6 Если предмет расположен в передней главной плоскости, то его изображение находится в
задней главной плоскости. Линейное увеличение при этом равно +1 вне зависимости от
показателей преломления первой и последней среды. Поэтому по ГОСТ 7427—76 передней и
задней плоскостями являются плоскости в пространстве предметов и в пространстве изобра-
жений (перпендикулярные оптической оси и оптически сопряженные друг с другом), для
которых линейное увеличение равно +1. (Прим, пер.)
после прохождения оптической системы идет вдоль прямых 3 и 3' соответственно.
При этом прямая 3 проходит через переднюю главную точку Н, а прямая 3' прохо-
дит через заднюю главную точку Н' и параллельна прямой 3. Точки пересечения
луча с поверхностями, на которых в действительности происходит преломление, не
имеют для параксиальных вспомогательных лучей никакого значения. Поэтому на
рис. 1.9, а поверхности только символизируют оптическую систему (здесь: линзу).
В параксиальном приближении оптическая система описывается только положени-
ями главных и фокальных плоскостей. На рис. 1.9, б показан ход вспомогательных
лучей для отрицательной системы (/' < 0). На рис. 1.9, в показан ход вспомогатель-
ных лучей для положительной системы с обратным расположением главных точек
(расстояние НН’ отрицательно).

Луч пересекает заднюю главную плоскость на той же высоте над оптичес-
кой осью, что и переднюю главную плоскость. Вспомогательный луч, который
проходит через один из фокусов оптической системы, всегда изменяет свое
направление на соответствующей главной плоскости: F и Н или F’ и Н'.

Ранее было сказано, что вспомогательный луч, который проходит через точки Н
и Н’, не изменяет своего направления (прямые 3 и 3 ' параллельны). Но это имеет
место только при одинаковых средах по обе стороны системы. В общем случае
(при «j * п'к) направление луча сохраняется только тогда, когда луч проходит не
через главные точки Н, Н’, а через узловые точки К, К’.

Если падающий луч пересекает ось в узловой точке К’, то из оптической
системы этот луч выходит без изменения направления и пересекает ось в узло-
вой точке К’. При одинаковых средах по обе стороны системы, = п’к, главные
точки совпадают с узловыми: К = Н, К' = Н’.

1.4.5. Зависимости между положениями
и размерами предмета и изображения

Если заданы положение и размер предмета и известны параметры оптической
системы (фокусное расстояние и положения главных точек), то положение и раз-
мер изображения можно найти не только графически (см. разд. 1.4.4), но и рас-
считать по формулам. Так как расстояния до предмета и изображения можно
указывать относительно главных точек (отрезки а, а') или относительно фокаль-
ных точек (отрезки z, z'), то существуют два вида выражений. В этой книге пред-
почтение отдается уравнениям, в которые входят отрезки а, а’. Такие формулы
отмечены красной рамкой. Формулы, в которые входят отрезки z, z', отмечены
голубой рамкой.

На рис. 1.10 показан ход вспомогательных лучей от предметной точки до точки
изображения. Из свойств подобных треугольников и с учетом оптического правила
знаков следует

— = , 7 (пространство предметов); (1-Ю)

У -(a-f)

у' ci' — f'

— = ——— (пространство изображений). (111)

Если приравнять правые части этих выражений, то после простых преобразований
получается:
Рис. 1.10. К определению зависимостей между положениями и размерами предмета и
изображения (показан случай и = и')-

(1.12)

Если показатели преломления п и п' по обе стороны оптической системы отли-
чаются, то модули фокусных расстояний f и f имеют различные значения. В са-
мом общем случае выполняется равенство

Доказательство этой формулы будет дано в разделе 2.2.1.

Наиболее часто имеет место равенство п = п' (например, система линз в воздухе).

Тогда f =-f. При одинаковых средах с обеих сторон системы формулы (1.12)
примут вид

(1.14)

г-г' = -(/')2.

Так как в уравнениях (1.10) и (1.11) отношение у '/у — (У является линейным
увеличением, то при данных положениях предмета и изображения выполняются
равенства

[1 1 (1.15)

г' = &’ (1.16)

Если из этих выражений найти значения а'/а и z'/zvi воспользоваться формулой
(1.13), то линейное увеличение будет равно:

V z-л'

При п = п' эти формулы принимают вцц:

(1-18)

Если изображение предмета строится последовательно несколькими отдельны-
ми системами \—%—к (например, одиночные поверхности, несколько линз, два
или несколько объективов), то общее линейное увеличение равно произведению
линейных увеличений отдельных компонентов: р' = Р{- pi Pi. Тогда

р'=йр'х (119)

z=i

Если из формулы (1.14) выразить величину а’ = af /(а + /'), продифференциро-
вать ее по я и воспользоваться выражением (1.15), то (при одинаковых средах по
обе стороны системы) продольное увеличение da '/da равно:

(1.20)

Смещение (малое!) предмета вдоль оптической оси на da приводит к сме-
шению изображения вдоль оптической оси на daкоторое в (Р')2 раз больше
смещения предмета.

Зависимость положения плоскости изображения а' от положения предмета а
[см. формулу (1.14)] представлена на графике (рис. 1.11) для случая f > 0 (напри-
мер, собирающая линза). Ниже приведены значения а' и р' для отмеченных на
графике точек (цифры от 1 до 6). При этом предполагается, что среды с обеих
сторон системы одинаковые (/ = -/').

1 .я<0, |я|»|/| -> а’~ f, Р'<Q, И«1.

При изображении очень далеких предметов (например, а = 1000/) сильно
уменьшенное и зеркально перевернутое изображение лежит вблизи фокальной
плоскости.

2 . а = 2/ а' = /', \р' = -1|.

В этом важном случае изображение получается действительным и зеркально
перевернутым и равным по величине предмету.

З .жО, |7|<И<|2/| -э ~>я'>2/', Р'<0, |/Г|>1.

Зеркально перевернутое, увеличенное изображение

4. ж 0, |«|<|7| -» о'<0, Р'>\.

Рис. 1.11. Положение предмета и изображения для тонкой системы с положительным
фокусным расстоянием.
Рис. 1.12. Аксонометрическое изображение предмета («£») в положениях с 1 по 5 и
соответствующих положений изображений (с Г по 5').

Мнимое прямое, увеличенное изображение

5. а = 0 -> а' = О, \р’ = 1|.

Если предмет лежит в передней главной плоскости Н, то прямое и равное по
величине предмету изображение лежит в плоскости Н'.

6. а = f —> а' = Р' =

Если предмет находится в передней фокальной плоскости, то его изображение
лежит в бесконечности.

Положение предмета и изображения для случаев с 1 по 5 представлено на
рис. 1.12. Из сравнения рис. 1.11 и 1.12 можно сделать следующий вывод:

В линзовых системах смещение предмета вдоль оси вызывает всегда движе-
ние изображения в том же направлении. Для зеркал смещение предмета вдоль
оси вызывает всегда движение изображения в обратном направлении.
Если а/а' = Р' < О, то изображение зеркально-перевернутое по отношению к
предмету, при Р' > 0 изображение прямое. Для линзовых систем: а < 0 — дей-
ствительный предмет; а > 0 — мнимый предмет, а' < 0 — мнимое изображение;
а' > 0 — действительное изображение. (Возможны исключения для специаль-
ных систем, например (пример 1, разд. 2.2.4) е = 200.)

Примеры:

1. Для системы с отрицательным фокусным расстоянием (/' < 0, f = -f')
постройте аналогично показанному на рис. 1.10 график, на котором величина а'
представлена как функции от а. Укажите, в каких областях предмет и изобра-
жение будут действительными/мнимыми. Где изображение прямое и зеркаль-
но-перевернутое? Где изображение по отношению к предмету является умень-
шенным и где увеличенным?

2. Конденсор с фокусным расстоянием /' и расстоянием между главными
точками НН' должен обеспечить действительное изображение спирали лампы
накаливания. Лампа и ее изображение находятся на минимально возможном
расстоянии друг от друга. При каком линейном увеличении Д' расстояние ми-
нимально? Чему равно это расстояние?

Решение-. Расстояние между плоскостями предмета и изображения в общем
случае равно (см. рис. 1.6): ОО’ = а' -а + НН'; из формул (1.15) и (1.16) при
f = получим ОО' = f'(2 - Р’ - \/Р') + НН'. Так как

d(fl'~a) . г, Г
W ~ (Р'Г

то максимум или минимум для а' — а получаются при /?' = ±1. Дальнейшее
исследование показывает, что при /Г = +1 и соответствующем ему значении
а' — а = О имеет место максимум, так как вблизи этого значения а’ — а < 0 (!).
Для Д' = — 1 получается минимум, которому соответствует значение а’ — а = 4Д.
Для действительного изображении при Д' = — 1 достигается минимальное рас-
стояние между плоскостью предмета и плоскостью изображения. Оно равно
ОО' = 4f + НН'. Постройте график зависимости расстояния а' — а от Д'.

3. Проекционный объектив (/' = 125 мм) отображает на экране участок
слайда 23 х 34 мм с увеличением 50х. Экран передвигают примерно на 60 см
ближе к проектору.

а) На какое расстояние и в каком направлении должен быть передвинут
объектив для получения резкого изображения на экране?

б) Чему равно линейное увеличение и размеры изображения при новом
положении экрана?

Решение".

а) При Д' = —50 получается а' = 6375 мм. а = —127,5 мм. Далее: а'т„ = 5775 мм,
опсц = —127,77 мм, тогда \а = —0,27 мм. Сдвигать объектив следует от диапози-
тива! (При использовании формулы (1.20) можно действовать более простым
способом. При Д' = —50 получим da = —0,24 мм, что является только прибли-
женным значением из-за большого сдвига da' = —600 мм.)

б) Линейное увеличение равно Д' = —45,2, следовательно, размер изображе-
ния 1,04 х 1,54 м.
ГЛАВА 2

КОНСТРУКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. Материалы

2.1.1. Оптическое стекло

Оптическое стекло получается в результате варки смеси неорганических веществ.
Стекло не является кристаллом. Отличительной особенностью оптического стекла
является его высокая однородность. Термины и технические условия на оптичес-
кое стекло приведены в стандартах1 DIN 58925 и DIN 58927. Стекла и остальные
оптические материалы обладают дисперсией: показатель преломления зависит от
длины волны.

С увеличением длины волны Я и смещением ее от фиолетовой области спек-
тра к красной области спектра, показатель преломления п уменьшается. Функ-
ция п(Л) является основной характеристикой сорта стекла.

График функции п(Л) (дисперсионная кривая) близок к гиперболе. Показатели
преломления достаточно просто измеряются с точностью до 6 десятичных разрядов
только для определенных длин волн (спектральные линии под рис. 1.1). Результаты
этих измерений приведены в каталоге стекла2 * [2.13]. Для любой другой длины вол-
ны Я в видимой и примыкающих к ней УФ- и ИК-областях спектра показатель
преломления п можно найти по дисперсионной формуле. Например, можно ис-
пользовать степенной ряд

п2 = л0 + л, -я2 + л,-я-2 + л3-я-> + 4,-я~6 + 4-я-8.

(2.1)

Значения коэффициентов Ао, ..., Л8 для каждого сорта стекла указаны в каталоге
Шотта. Точность расчета показателя преломления п по формуле (2.1) достигает
нескольких единиц в шестом десятичном знаке.

Необходимо также коротко упомянуть наиболее важные характеристики стекла
(показатель преломления и дисперсия). Показатель преломления пе для длины вол-
ны Яс = 546,1 нм (желто-зеленый цвет) принят в качестве основного показателя
преломления. Для характеристики дисперсии используют число Аббе

Разность показателей преломления пг. - пс, называется средней дисперсией.
Разность показателей преломления между другими линиями спектра называют ча-
стичными дисперсиями.

1 Отечественными аналогами немецких стандартов являются: ГОСТ 23136—93 «Материалы
оптические. Параметры» и ГОСТ 3514—94 «Стекло оптическое бесцветное. Технические ус-
ловия». Следует также упомянуть стандарт ИСО 7944—84.

2 В настоящее время в каталогах стекла также приводятся показатели преломления для длин

волн лазерного излучения. (Прим, пер.)
Рис. 2.1. Зависимость между показателями преломления и числами Аббе для оптичес-
ких стекол и некоторых других оптических материалов.

Для краткого описания оптических свойств указывают основной показатель
преломления пс и число Аббе и. Большая величина числа Аббе соответствует
низкой дисперсии!

Хороший обзор имеющихся в распоряжении стекол дает диаграмма, на которой
каждое стекло представлено точкой в системе координат пе - v (рис. 2.1). Стекла
делятся на группы, которым соответствуют определенные аббревиатуры3. Напри-
мер: ВК = Bor-Kron (боратный крон), BaLF = Barit-Leicht-Flint (баритовый легкий
флинт) и т. д. Кронами называют все стекла с v > 55. Флинтами называют все
стекла с и < 50. Между ними лежат несколько переходных групп. В распоряже-
нии у конструктора оптических систем находится свыше 200 различных сортов
стекла с очень разными характеристиками4. Цены лежат в пределах от 30 DM/кг
до 1000 DM/кг. В табл. 2.1 указаны данные шоттовских стекол, которые исполь-
зуются особенно часто (массовые стекла). Вместо пс и и иногда используют nd и
vd = (nd — \)/(nF — пс). Шестизначный код стекла состоит из округленных значений
nd и vd. Например, ВК 7: 517 r±nd = 1,5168; 642 л и, = 64,17.

3 Наименование и обозначение типов бесцветных оптических стекол в соответствии со стан-
дартами России приведены в табл. П 2.1.

4 Отечественный каталог стекол содержит более 100 марок, но 80 % производства и потребле-
ния приходится примерно на 10 марок. Основные параметры наиболее часто используемых
отечественных стекол приведены в табл. П 2.2.
Таблица 2.1. Параметры некоторых оптических стекол.

Марка стекла Код nF, ле лс. Ч
ВК7 517642 1,52283 1,51872 1,51472 63,96
К5 522595 1,52910 1,52458 1,52024 59,22
ZKN7 508612 1,51470 1,51045 1,50633 60,98
ВаК4 569561 1,57648 1,57125 1,56625 55,85
SK15 623581 1,63108 1,62555 1,62025 57,79
SK16 620603 1,62814 1,62286 1,61777 60,08
F2 620364 1,63310 1,62408 1,61582 36,11
SF2 648339 1,66238 1,65222 1,64297 33,60
SF6 805254 1,82970 1,81265 1,79750 25,24
SF10 728284 1,74805 1,73430 1,72200 28,19

Таблица П2.1. Наименование и обозначение типов бесцветных оптических стекол
в соответствии со стандартами России.

Наименование типа стекла Краткое обозначение
Легкий крон ЛК
Фосфатный крон ФК
Тяжелый фосфатный крон ТФК
Крон К
Баритовый крон БК
Тяжелый крон ТК
Сверхтяжелый крон СТК
Особый (с особым ходом дисперсии) крон ОК
Кронфлинт КФ
Баритовый флинт БФ
Тяжелый баритовый флинт ТБФ
Легкий флинт ЛФ
Флинт Ф
Тяжелый флинт ТФ
Сверхтяжелый флинт СТФ
Особый (с особым ходом дисперсии) флинт ОФ
Таблица П2.2. Параметры наиболее часто используемых отечественных стекол
(по данным ОАО «ЛЗОС»).

Марка стекла Код пг ”. "с- Ч
ЛК7 483663 1,488299 1,484608 1,480975 66,17
К8 516641 1,522408 1,518294 1,514292 63,86
СТКЗ 660574 1,668159 1,662237 1,656560 57,09
ЛФ7 578411 1,589157 1,581756 1,574910 40,83
БФ7 580539 1,587741 1,582159 1,576874 53,57
ТФ5 755275 1,776436 1,761712 1,748557 27,32
ОФ1 530518 1,537207 1,531924 1,526892 51,57

В оптических стеклах могут встречаться отклонения от однородности. Свили
являются лентовидными, узловидными или нитевидными включениями в стекло,
имеющими показатель преломления, отличный от показателя преломления осталь-
ной массы стекла. Так как при варке стекла газ не полностью выделяется из вязкой
массы, то в стекле могут присутствовать мелкие пузыри. Несколько сортов стекол с
ценными свойствами особенно предрасположены к этому. Влияние свилей и пузы-
рей на качество изображения будет рассмотрено в разд. 3.2. Подробности о норми-
ровке пузырей и свилей для оптических деталей содержит стандарт D1N 3140 В1. 2
и В1. 3.

Прозрачность стекла описывается спектральным чистым коэффициентом про-
пускания (без учета потерь на отражение на поверхностях образца) г (Л) (см. раз-
дел 4.1.4). При уменьшении г.(Я) вблизи УФ-области появляется собственная ок-
раска стекла, прежде всего в виде желтого и желто-зеленого цветового оттенка.
Примером такого стекла является SF 11, г (400 нм) ~ 0,2 при толщине слоя 25 мм,
а примерно с Л = 440 нм г > 0,9. Стекла для особенно высококачественных опти-
ческих систем должны обладать незначительным двулучепреломлением, которое
возникает из-за остаточных напряжений в стекле (см. разд. 8.4). Для уменьшения
двулучепреломления следует охлаждать блоки стекла очень медленно. При исполь-
зовании стекол необходимо также учитывать их химические свойства (устойчи-
вость к климатическим и атмосферным воздействиям, устойчивость к пятнаю-
щим реагентам, кислотостойкость), твердость и коэффициент теплового расши-
рения. Ситаллы (например, Schott-Zerodur) имеют значительно более низкий
коэффициент теплового расширения, чем стекло или плавленый кварц. Поэтому
они могут быть использованы для изготовления больших зеркал, оптические ха-
рактеристики которых не зависят от температуры.

2.1.2. Кристаллы

Элементы из прозрачных кристаллов применяются в УФ- и ИК-областях оптичес-
кого диапазона, в которых оптические стекла при необходимых толщинах не обла-
дают достаточным пропусканием. Чаще всего используются синтетические (выра-
щенные из расплава) монокристаллы. Практическая область применения часто
меньше области пропускания, так как необходимо учитывать дисперсию (напри-
мер, для призм), качество и цену. Некоторые характеристики кристаллических ма-
териалов приведены в табл. 2.2. Двулучепреломляющие кристаллы (например, каль-
цит, кварц, гипс) применяют в поляризационных приборах (см. разд. 8.4).
Таблица 2.2. Параметры кристаллических материалов.

Ввд кристалла Область применения Л [мкм] Показатели преломления для отдельных длин волн Свойства
Л [мкм] п Я [мкм] п Я [мкм] п
Фторид лития LiF 0,11-8 0,2 1,45 1,0 1,39 5,0 1,33 Малая диспер- сия, мало раст- ворим
Кальцит CaF2 (поликристалл ический) 0,12-12 0,2 1,47 5,0 1,40 10,6 1,28 Малая диспер- сия, мало раст- ворим
Хлорид натрия NaCl 0,21-20 3,0 1,52 10,6 1,49 20,0 1,37 Высокая дис- персия, сильно растворим
Бромид калия КВт 0,28-37 0,588 1,56 10,6 1,53 30,0 1,44 Высокая дис- персия, сильно растворим
Сапфир А12О3 0,17-5,5 1,0 1,76 3,0 1,71 5,0 1,63 Очень твердый, термостойкий
Йодид цезия CsJ 0,26-60 5,0 1,74 30 1,71 50 1,64 Хорошо про- пускает И К-из- лучение, силь- но растворим
Сульфид цинка ZnS (поликристаллический) 0,4-14 1,0 2,29 5,0 2,25 10,6 2,19 Твердый и не- бьющийся
KRS 5 TlBr/TU 0,45-45 1,0 2,45 10,6 2,37 30 2,29 Высокая дис- персия, мало растворим
Арсенид галия GaAs 1,5-15 3,0 3,32 10,6 3,28 15 2,7 Твердый и не- бьющийся, хо- рошая тепло- проводность
Селенид цинка (поликристаллический) 0,5-20 1,0 2,48 10,6 2,40 20 2,3 Показатель преломления мало зависит от температуры
Теллурид кадмия CdTe 1,0-25 5,0 2,69 10,6 2,67 20 2,63 Малая твер- дость, плохая теплопровод- ность
Кремний Si 1,2-15 1,36 3,50 3,0 3,43 10,6 3,42 Широкая и резко ограни- ченная область пропускания
Германий Ge 1,8-23 3,0 4,05 10,6 4,00 15 4,00 Очень твердый и стойкий к термическим воздействиям
Кварц SiO2 0,15-4 0,19 1,68 0,26 1,60 2,0 1,52 Используется в | в УФ-области, обладает слабо выраженным двулучепрелом- лением
Подробные характеристики оптических материалов для УФ- и ИК-области при-
ведены в [2.16], [2.18].

2.1.3. Пластмассы

Кроме неорганических материалов в оптической промышленности находят при-
менение прозрачные пластмассы. К ним прежде всего относится полистирол
(nd 1,590/1/, 30,8) и полиметилметакрилат (1,491/57,2) (коротко: РММА, например
Plexiglas®). Они подходят для использования в оптических системах, формирую-
щих изображение. Полистирол аналогичен флинту, а РММА — крону. Allyldi-
glycolcarbonat/CR39 (1,499/57,8) является твердой, предназначенной для отливки
очковых стекол термореактивной пластмассой. Поликарбонат (1,585/30,0) темпера-
туропрочен, как полистирол. Для оптических расчетов выбор пластмасс с различ-
ными значениями показателя преломления и дисперсии слишком мал. Из-за не-
значительной твердости и высокого коэффициента теплового расширения пласт-
массы не подходят для точной оптики. Пластмассы очень хорошо подходят для
простых оптических элементов. Прежде всего это РММА. Методом прессования
можно также изготавливать очень дешевые элементы со сложной формой (линзы
Френеля, пластины с расположенными на них рядами линз, асферические линзы),
так как при этом отпадает необходимость в шлифовании и полировании, а равно и
любой другой дополнительной обработке. Использование пластмасс для очковых
стекол и контактных линз обеспечивает малый вес и значительную ударопрочность.
Другие примеры применения: лупы, линзы видоискателей и линзы объективов про-
стых камер, линзы осветительных конденсоров, объективы и окуляры простых би-
ноклей, пластины призменных световозвращателей.

2.2. Сферические поверхности, линзы,
многокомпонентные оптические системы

В разд. 2.2 устанавливается связь праксиальных характеристик (фокусные рассто-
яния, положения главных точек) с конструктивными параметрами (радиусы, по-
казатели преломления, толщины) оптических систем. При этом в качестве основ-
ного элемента рассматривается преломляющая сферическая поверхность. Плос-
кая поверхность эквивалентна сфере с бесконечным радиусом (г = <*>). Очражение
от зеркала рассматривается как частный случай преломления. В дальнейшем расчет
параксиальных характеристик обобщается на случай асферических (например, па-
раболических) поверхностей. Параксиальные характеристики систем с большим
числом поверхностей (например, десятилинзовый объектив) можно вычислять шаг
за шагом, делая переход от предыдущей поверхности к последующей. В результа-
те применения этого метода к оптической системе из двух поверхностей получа-
ются формулы для вычисления праксиальных характеристик линзы. Если пара-
ксиальные характеристики для линз и/или отдельных оптических компонентов
уже известны, то по ним можно вычислить характеристики всей многокомпонен-
тной системы.

2.2.1. Сферическая поверхность

На рис. 2.2 (см. также рис. П 1.1) показан ход луча от предметной точки О через
точку пресечения луча с поверхностью Р к точке изображения О' В параксиальной
области (точка Р лежит около вершины поверхности 5) стрелка прогиба р равна
нулю; в дальнейшем предполагается выполнение равенств sin <т= tg <т= о: Из ЬОО'Р
Рис. 2.2. Ход луча через одиночную сферическую поверхность.

с учетом знаков углов и расстояний получается: а' — а = е — в'. Тогда из паракси-
ального закона преломления (1.9) следует:

Так как в LCO'P <р= и' + е', то

сг'п' — сг- п — <р(п' — п).

Если заменить углы на отношение длин отрезков, то

— и------п = — (п - п). (2.3а)

s' s г

п' п _ п' - п

s' S г ’

(2.36)

где 5 — передний отрезок; s' — задний отрезок; г — радиус сферической поверхности.

Если в формуле (2.36) сгруппировать величины s, s', п, п', то получим инвари-
ант Аббе5

(2.4)

Параксиальный луч в оптической системе из одной поверхности изменяет свое
направление только в точке пересечения с плоскостью, которая касается вершины
поверхности (в параксиальном приближении стрелка прогиба р равна нулю). Срав-
нение с рис. 1.7 показывает, что главные точки Н и Н' совпадают с вершиной
поверхности 5и а — s, а' = s'. Поэтому если для одиночной поверхности известны
фокусные расстояния, то можно использовать уравнения (1.12) и (1.17).

Если на рис. 2.2 падающий луч параллелен оси (s = ~), то точка О' является
фокальной точкой F', a s' соответствует фокусному расстоянию /'. Аналогично
находятся F и f. Таким образом, фокусные расстояния сферической поверхности
равны:

Также выполняются условия

f + f = r.

(2.5)

(2.6)

Эрнст Аббе (1840—1905) — немецкий физик-оптик.
Фокусные расстояния f и /' преломляющей сферической поверхности
имеют разные знаки и не равны по модулю. Главные точки Ни Н' совпадают
с вершиной поверхности 5. Узловые точки К и К' совпадают с центром кри-
визны С.

На рис. 2.3 показана поверхность вогнутого зеркала (параксиальная область:
Р лежит вблизи 5!). Если данную поверхность рассматривать как преломляющую
поверхность при п' = — п (см. разд. 1.3), то расчет ведется по формулам (2.3), (2.5),
(2.6). В результате фокусные расстояния вогнутого зеркала равны

/' = 7 = ^ (2.7)

Таким образом, фокусное расстояние f вогнутого зеркала (рис. 2.3) отрица-
тельное, хотя такое зеркало действует как положительная (выпуклая) линза. Это
является следствием изменения направления света в оптических системах с зерка-
лами. Так как изменение направления света мешает при расчете, то его устраняют
развертыванием хода луча относительно плоскости, которая касается вершины зер-
кала (рис. 2.3). В результате точка изображения О’ переходит в точку О'Розвсртка. Для
дальнейших расчетов это означает смену знака у s'. Кроме того, в формулу (2.36)
вместо s' надо подставить —s' (при п' = —я). Тогда:

Фокусные расстояния зеркала при развертывании хода лучей равны

(2-9)

Фокусные расстояния f и/' отражающей сферической поверхности равны.
Положение главных и узловых точек такое же, как для преломляющей поверх-
ности.

Если развертывают поверхность зеркала, то f и f равны по модулю и
противоположны по знаку. Развернутая поверхность зеркала эквивалентна тогда
тонкой линзе. Узловые точки К и К' совпадают при этом с вершиной поверх-
ности!

Для вогнутого зеркала (рис. 2.3) г = —80 мм, s = —200 мм.

Без развертывания получается s' = —50 мм, f =f = —40 мм, при разверты-
вании s' = 50 мм,/' = 40 мм, / = —40 мм.

Рис. 2.3. Вогнутое сферическое зеркало.
2.2.2. Вычисления для нескольких сферических поверхностей

На рис. 2.4, а показан объектив из четырех линз с семью поверхностями (склеен-
ные поверхности считаются за одну поверхность). Если падающий луч параллелен
оси, то он проходит через параксиальный фокус F' всей системы. По конструктив-
ным параметрам отдельных поверхностей и начальному значению s, = °° необходи-
мо определить следующие оптические характеристики системы:

si(f) — расстояние между вершиной последней поверхности и точкой F' —
задний фокальный отрезок;

f — заднее фокусное расстояние;

SkH’ — расстояние между вершиной последней поверхности и задней глав-
ной точкой.

Эти данные вычисляются в прямом ходе. На рис. 2.4, б показано определение

характеристик системы

, f и SXH в пространстве предметов в обратном ходе. При

этом принимается s'k = » и вычисления идут от поверхности к до поверхности 1.

Рис. 2.4. Расчет параметров системы из к
поверхностей в прямом и обратном ходе:
а — прямой ход лучей; б — обратный ход лучей.

Для большей наглядности на рис. 2.5 показана система из четырех поверхнос-
тей. Номер поверхности % принимает значения от % = 1 до X = к (последняя поверх-
ность; здесь к = 4). Чтобы можно было рассмотреть наиболее общий случай, поверх-
ности 2 и 3 обозначены на рисунке как ,^и х + 1- Для расчета можно использовать
формулу (2.36), но лучшим вариантом является использование исходного уравнения
(2.3а); см., например, [1.8]. При этом h/s' заменяется на с' и h/s заменяется на <т.
Окончательно для любой поверхности х-

где /' = - cr', 1х = пх • сгх.

Для первой поверхности (х~ 1) нужно выбрать й, и вычислить

Величина может выбираться совершенно произвольно, например hl = 1 мм,
10 мм, 100 мм. Большое значение ht не означает выход за пределы параксиальной
области, но только растягивает траекторию луча в направлении, перпендикулярном
к оси!
Рис. 2.5. Расчет параксиального луча через последовательность поверхностей.

При переходе к следующей поверхности, т. е. от % к % + 1, справедливы равен-
ства п*^ = п'х и <rzU = <т^. Формулы перехода имеют вид

(2.12а)
cl' Пх (2.126)

Формулы (2.10) последовательно применяют для отдельных поверхностей. В конце
расчета получают и /*.

По этим величинам определяют фокусное расстояние /' и задний фокальный
отрезок s'k (см. рис. 2.5):

(2.13)
У А *к (2-14)

Далее находят положение задней главной плоскости

SkH' = ^-f. (2.15)

Таким образом, в результате расчета в прямом ходе определены параметры s'k^,
f, SkH'.

Сопоставление рис. 2.4, а и б показывает, что расчет в обратном ходе (sk = <*>)
может быть проведен по той же схеме, что и расчет в прямом ходе. Для этого
следует повернуть оптическую систему на 180° (поверхность к будет поверхностью 1
и т. д.). Следует учесть, что у радиусов поверхностей знак изменится на противопо-
ложный (г = — гк и т. д.). В результате расчета перевернутой системы (при s, = °°)
получают значения s'k{R}, f'R} и SkH'R}. Индекс (Я) указывает на то, что величина
определена для перевернутой системы. Чтобы получить значения для системы в
нормальном положении, надо после расчета поменять знаки на противоположные:

51(Г ) “ f - fw stH = -skH;Rt. (2.16)

Если одна из поверхностей отражающая, то используют развертывание хода
луча [см. формулу (2.8)]. Тогда уравнения (2.10) заменяются на

<217>
В этом случае п'х - пх заменяется на 2пх, а радиус развернутой отражающей поверх-
ности меняет знак: (—г) = г\

Часто вместо радиусов поверхностей г используют кривизны с = 1/г.

Для расчета оптических характеристик может быть использована представлен-
ная на следующей странице6 схема вычислений. Прежде всего, в строку 6 заносится
начальное значение переднего отрезка s, (обычно и произвольное значение
й, (например, й, = 100 мм). В ячейку И - 1 записывается вычисленное по формуле
(2.11) начальное значение It (обычно это нуль, так как s, = ~). В ходе расчетов по
формуле (2.10) заполняются ячейки 0, И. 0 в столбце 1 (соответствует первой
поверхности). В ячейку [С] заносится, согласно выражению (2.12а), 7Z+1 = В ходе
расчетов по формуле (2.126) заполняются ячейки П51. [Е1. Далее значения из ячеек
[С] и ГЕ] первого (предыдущего) столбца переносятся в ячейку [А] и ячейку 6 второго
(т. е. текущего) столбца соответственно. Аналогичным образом заполняются ос-
тальные ячейки таблицы вплоть до ячейки Id столбца к. На этом расчет в прямом
ходе закончен. После этого определяют фокусное расстояние, задний отрезок и
положение задней главной плоскости. Далее проводят расчет в обратном ходе. Он
требуется только для определения и StH, так как/ вычисляется по формуле

(2.6) при известных /' и показателях преломления ц, n'k.f = -f'fa I rfk). В наибо-
лее распространенном случае nt = п'к (например, оптическая система находится в
воздухе) выполняется условие / = -/'. Определение значения / при расчете в об-
ратном ходе дает возможность проконтролировать вычисления.

В качестве примера численного примера рассмотрим расчет характеристик
зеркально-линзового объектива J. Fliigge [7.1]. Этот объектив содержит склеен-
ные поверхности (2, 4), зеркальную поверхность (3) и плоскую поверхность (9).
Радиусы гх зеркальной и всех последующих поверхностей указаны для разверну-
того состояния! Развернутые поверхности обозначены пунктиром. Значения пх
указаны здесь для линии d. Для расчета в обратном ходе система была перевер-
нута. На практике необходимо при задании входных значений и при проведе-
нии вычислений применять более высокую точность. Если бы это было сдела-
но, то точка F' лежала бы на поверхности 9. Объектив может быть использован
только так, как это не показано на рисунке, который находится на схеме расче-
та слева внизу (но не с параллельным пучком, идущим через поверхность 9, как
при расчете в обратном ходе). Рассчитанные положения фокальных и главных
точек отмечены на схеме без соблюдения масштаба. В ячейках записаны только
округленные величины, а вычисление примера велось с большим числом деся-
тичных знаков.

Очевидно, что вычисления можно также выполнять и в том случае, когда вме-
сто S] = о» задано конечное значение (положение точки О предмета). Тогда в резуль-
тате расчета находится положение точки О', т. е. ^kff).y В этом случае линейное
увеличение для системы из нескольких поверхностей вычисляется по формуле (1.17)

6 Следует напомнить, что первое издание книги «Техническая оптика» вышло в 1974 году,
когда большинство инженерных расчетов велось «вручную», т. е. без использования компью-
теров. Тем, кто родился после 1980 года, уже трудно представить, каких трудов стоило запол-
нить (без ошибок!) все ячейки схемы, которая приведена на стр. 55. Сегодня, при широком
распространении персональных ЭВМ, расчеты параксиальных величин ведутся с помощью
специальных программ. Но можно рекомендовать в учебных целях выполнить несколько рас-
четов по описанной в этом абзаце схеме. (Прим, пер.)
Прямой ход Обратный ход
1 Форма поверхности и материал КЗ SSR5M1)'SSK 1 КЗ 1 1 К 311 IK3II КЗ КЗ )кз SSK 1 (ssk 1 КЗ ।
F Зеркал Н‘Н F' Зеркале
2 Номер поверхности » 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9
3 d'x — 8 26 26 8 41 14 41 55 55 41 14 41 8 26 26 8
4 п» 1 ”* 1,518 1,617 1,617 1,518 1 1,518 1 1,518 1 1 1,518 1 1,518 1 1,518 1,617 1,617 1,518 1
5 Г« -168 + 1271 +340 -1271 + 168 +66 +96 +55 ОО ОО -55 -96 -66 -168 + 1271 +340 -1271 +168
6 Исходные данные = ОО h« 100 101,62 106,46 95,005 91,212 73,241 63,897 36,494 -0,1759 100 100,00 61,385 55,754 12,779 7,4625 -8,7671 -23,656 -28,526
7 И 1х -0,3083 -0,3004 0,7122 0,7196 0,4383 1,0132 0,6684 1,0121 0 0 0,9418 0,6106 1,0482 1,0088 1,0094 0,9260 0,9241
8 а 9 X" ". о X В* X -0,3083 0,0079 1,0126 0,0074 -0,2812 0,5748 -0,3448 0,3437 0 0 0,9418 -0,3312 0,4376 -0,0394 0,0006 -0,0834 -0,0018 0,0880
9 В ix+i =Е] +0 -0,3083 -0,3004 0,7122 0,7196 0,4383 1,0132 0,6684 1,0121 1,0121 0 0,9418 0,6106 1,0482 1,0088 1,0094 0,9260 0,9241 1,0121
10 й -1,6249 -4,8305 11,451 3,7922 17,971 9,3440 27,403 36,670 0 38,615 5,6313 42,975 5,3163 16,230 14,889 4,8702
И Ё1 hx+i — hx — 0 101,62 106,46 95,005 91,212 73,241 63,897 36,494 -0,1759 100,00 61,385 55,754 12,779 7,4625 -8,7671 -23,656 —28,526

‘Для зеркальной поверхности:
2- п -h . taerz— радиус раз-
-----—- вернутой (!) отража-
гх юшей поверхности

Сведения о системе:

р — hi • n't Ek Результаты расчета (развернутая система) р _ hi n'k a Результаты расчета (развернутая истома). С учетом смены знака!
s'k = hfc • n't Ek f' = 98,8064 'мм _ hk • n'k f = -98,8064 мм
s'k = -0,1738 мм k(R) Ek Si = 28,1856 мм
SkH' = s'k-f' SfcH* = —98,9802 мм SkH’(R) = S'k(R) ~ f'(R) SiH = 126,9920 мм

Зеркально-линзовый объектив J. Htigge

Фамилия Дата
Подпись Номер листа

2.2. Сферические поверхности, линзы, многокомпонентные оптические системы

Схема расчета с примером.
при а = s„, а' = s' (в' = s' • л /.? • п') и по формуле (1.19). В результате линейное
* х X \‘ X X X / а л /

увеличение равно:

Величину s'x получают из выражения (2.36); далее выполняется переход s/(1 = s'x - d'x.

Так как линейное увеличение Д' одной поверхности по определению равно
у’х/ух ’ то из уравнения (1.17) следует

УХ ..sznx

Ух sxnx'

Если подставить в последнее выражение s = й/ст, s' = h/a' (рис. 2.2), то получим
инвариант ух пх <зх = у'х • л' ст'. При переходах между поверхностями выполня-
ются равенства yxtl = у пх^ = п'х, = о’х (пространство предметов текущей по-
верхности соответствует пространству изображений предыдущей поверхности). Тогда
У! -л, - ст, = y't п[ - О’'/.. Следовательно, для любой системы выполняется инвариант
Лагранжа—Гел ьмгол ьца:

упсг= у п'сг'. (2.18)

2.2.3. Линзы

Параксиальные характеристики одиночной линзы можно найти, применяя изло-
женные в разд. 2.2.2 методы к оптической системе из двух поверхностей. Далее
будут рассмотрены аналитические формулы для наиболее важного случая — оди-
ночная линза, которая находится в воздухе. Для линз с незначительным расстояни-
ем между вершинами поверхностей эти уравнения могут быть упрощены.

Конструктивными параметрами линзы являются: d[, rt, r2, nt=n',=\ (воздух), n[.
При отказе от излишних индексов остаются следующие величины:

d — расстояние между вершинами поверхностей линзы (d —
гр г2 — радиусы кривизны поверхностей линзы;

п — показатель преломления материала линзы.

По результатам расчета в прямом ходе задний фокальный отрезок и заднее
фокусное расстояние равны:

, 1 [и г, - (и -1) • Д]

1 п-1 (п - 1) • d + п (г, - /;) ’

(2.19)

П !\- Г,

(2.20)

Так как среды по обе стороны линзы одинаковые, то f = —Расстояние от
вершины второй поверхности до задней главной точки Н' равно
По результатам расчета в обратном ходе находят расстояние от вершины пер-
вой поверхности до передней главной точки

Из уравнений (2.31) и (2.32) следует:

W rt

Расстояние между главными точками линзы равно НН' = d — SJI + S2H', т. е.

Выражения (2.20)—(2.22), (2.24) связывают оптические характеристики и кон-
структивные параметры «толстой» линзы, т. е. когда расстояние между вершинами
линзы d не является пренебрежимо малым.

Часто расстояние между вершинами линзы d мало по сравнению с радиусами,
т. е. d <S |r2 — rj. Так как для «тонкой» линзы величина (п — 1)d пренебрежимо мала,
то формулы (2.20)—(2.22), (2.24) можно представить в виде

Л (2-25) «-1 h-'i)
5,Д = -г2Ц--; (г,-г.) п S2H’ = --p—t. (г2-г,) п HH' = d ^—^. (2.26) п

Формулы (2.25), (2.26) можно дополнительно упростить, если принять d = 0.
Изготовить такую линзу нельзя, но данное упрощение является рациональным при-
емом при анализе оптических характеристик многолинзовых систем, если толщи-
нами одиночных линз можно пренебречь. При d = 0 из формул (2.26) следует, что
вершины поверхностей и главные точки совпадают. В этом случае линзу можно
рассматривать как перпендикулярную оптической оси плоскость («бесконечно тон-
кая линза»).

Существуют два основных типа линз. После положительной линзы лучи пуч-
ков более сильно сходятся или меньше расходятся (рис. 1.5, в, д—ж), т. е. выходя-
щий пучок более сильно сходится или менее сильно расходится, чем падающий
пучок. Из-за своей формы такие линзы называют выпуклыми. Отрицательные
(рассеивающие, вогнутые) линзы (рис. 1.5, б) обладают противоположными свой-
ствами. На рис. 2.6, а ни показаны призменные модели положительной и отри-
цательной линз.

Положительные линзы в середине всегда более толстые, чем на краю. Они
имеют действительные фокусы и положительные задние фокусные расстояния
/' (рис. 2.6, в) Отрицательные линзы всегда более тонкие в середине, чем на
краю. Они имеют мнимые фокусы и отрицательные задние фокусные расстоя-
ния f (рис. 2.6, г).

Есть другая возможность определить тип линзы. Для этого линзу кладут на лист
с текстом. Если немного приблизить линзу к глазу, то при положительной линзе
изображение текста будет увеличенным, а при отрицательной линзе уменьшенным.

При заданном фокусном расстоянии f форма линзы может меняться в весьма
широких пределах, так как f зависит от п, d, гр г,. Выбором подходящей формы
Рис. 2.6. Линзы и их призменные
модели. Ход лучей на рисунках в, г
показан в параксиальном прибли-
жении.

линзы можно обеспечить выполнение дополнительных требований (в том числе
получить требуемые значения тех или иных аберраций). Даже если оставить неиз-
менными п и d, то при одинаковом фокусном расстоянии можно выбирать различ-
ные комбинации значений радиусов поверхностей и получить линзы с различной
формой (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Линзы различной формы.

Если при постоянных значениях п, d изменяется форма линзы (начиная
от симметричной билинзы), то обе главные точки сдвигаются в сторону повер-
хности с меньшим по абсолютному значению радиусом кривизны. Для линз в
воздухе всегда выполняется условие f = -/'! При развороте линзы (или при из-
менении направления распространения света) параксиальные оптические свой-
ства остаются неизменными, только меняются местами точки F и F', а также Н
и ГТ.

Характеристики линз с различной формой («прогибом») определяются по форму-
лам (2.20)—(2.26). Далее при обзоре свойств линз для упрощения принимается п = 1,5
(приближенная величина для стекла типа «крон»). Тогда для тонкой линзы из фор-
мулы (2.26) следует: НН' = d/3.

В симметричных билинзах главные точки расположены симметрично относи-
тельно вершин поверхностей. При п = 1,5 для тонкой линзы получается f = rr

В линзах, где одна из поверхностей плоская, главная точка всегда лежит в вер-
шине сферической поверхности (т. е. S\H= 0 или S2H' = 0), а фокусное расстояние
не зависит от толщины. При п = 1,5 и г2 = ~ получается f = 2t\.
Рис. 2.8. Линзы с концентрическими поверх-
ностями, радиусы одинаковые (а).

Мениск с равными радиусами показан на рис. 2.8, а. Так как r2 = rt, то г2 — г\ = 0, и
такую линзу нельзя считать тонкой. При п = 1,5 получается f'=br^/d,
StH = S2H’ = -2rv Всегда выполняется условие f' > 0.

Линза с концентрическими поверхностями показана на рис. 2.8, б—г. В этом слу-
чае центры кривизны обоих поверхностей совпадают, так как d — rt — r2 (d всегда
положительно!), а передняя и задняя главные точки находятся в центре кривизны С
обеих поверхностей: НН' = 0. (В этом отношении такие линзы сходны с линзами,
у которых толщина равна нулю!) При и = 1,5 получается /' = 3 -г2/(г2 — i\).

Линзы с бесконечно большим фокусным расстоянием. Особый случай пред-
ставляют афокальные (телескопические) линзы. При /' = <=» знаменатель в фор-
муле (2.20) должен быть равен нулю. При п = 1,5 линза является афокальной в
том случае, когда d — 3(г1 — г2).

Примеры расчетов линз:

1. Найти значение фокусного расстояния /' стеклянного шара диаметром
40 мм при п = 1,5. Где находится задняя фокальная точка F"!

(Стеклянный шар представляет собой линзу с концентрическими поверх-
ностями = —г2 = 20 мм. Следовательно, f = 30 мм. Так как точки Н и Н'
совпадают с центром шара, то точка F' лежит на расстоянии 10 мм от вершины
второй поверхности.)

2. Для двояковыпуклой линзы (/' = 150 мм, rjr2 = —1/6, d = 10мм, п = 1,519)
определить радиусы t\ и г2. (По формуле (2.20) для «толстой» линзы: г, = 90,33 мм,
г2 = —542 мм.)

3. Четыре линзы имеют одинаковые параметры f = 500 мм, d= 10 мм, п = 1,5,
но различную форму («прогиб»). Радиусы первых поверхностей линз равны

(1) (2) (3) (4)

= 498 мм; 350 мм; 250 мм; 50 мм

Найти значения радиусов г2 вторых поверхностей линз и определить поло-
жения главных плоскостей.

Решение:

(1) (2) (3) (4)
Г2 = -498,7 -866,7 ОО 58,33
S,H = 3,34 1,92 0 -28,58
S2H’ = -3,35 -4,76 -6,67 -33,34

Формы линз и положения главных плоскостей показаны (без соблюдения
масштаба) на рис. 2.7 (верхний ряд).

4. Известны следующие данные тонкой линзы: = 45,4 мм, г2 = —272,5 мм,
пе — 1,519 (ВК 7). Линза из того же стекла, но с толщиной d = 10 мм должна
иметь фокусное расстояние, равное фокусному расстоянию тонкой линзы. Ка-
кой величины должны быть радиусы?
Решение'.

С указанными значениями г, и г2 для тонкой линзы по формуле (2.25) нахо-
дится /о'= 74,98 мм, по формуле (2.20) для толстой линзы находится = 75,80 мм.
Следовательно, надо изменить радиусы в fa/ fa = 0,989 раза. Тогда для толстой
линзы: i\ = 44,9 мм, г2 — —269,5 мм.

5. Для линзы из примера 2 взято стекло с пе = 1,520. Какой толщины нужно
сделать линзу, если фокусное расстояние и радиусы не должны измениться?

Решение-.

Из формулы (2.20) находится значение d = 13,61 мм, которое отличается от
d = 10 мм при пс— 1,519. Незначительные изменения толщины обеспечивают
тонкую коррекцию фокусного расстояния.

6. В результате измерений для линзы определены следующие параметры:
гх = г2 = 19,0 мм, d = 6,00 мм,/' = 300 мм. Чему равен показатель преломления
стекла линзы? (и = 1,559).

2.2.4. Многокомпонентные оптические системы

Оптические характеристики (/', SXH, SkH') системы (например, одиночной линзы
или многолинзового объектива) могут быть известны из результатов расчета, из
конструкторской документации или по результатам измерений. Если многокомпо-
нентная система состоит из отдельных элементов с известными оптическими ха-
рактеристиками, то оптические свойства новой системы также можно описать ве-
личиной фокусного расстояния и положением главных точек. Расчет луча через
последовательность отдельных оптических компонентов аналогичен расчету луча
через систему одиночных поверхностей. Вместо вершин поверхностей роль опор-
ных точек здесь выполняют главные точки оптических компонентов. Для особенно
важного случая системы из двух компонентов далее будут получены простые ана-
литические формулы.

В отличие от номеров поверхностей 1, 2, -, %, к для нумерации компонентов
системы будут использоваться обозначения (1), (2), -, (д), •••, (к)- На рис. 2.9 пока-
заны две последовательно расположенные системы (в данном случае это линзы).
Для указания расстояния между компонентами системы целесообразно выбрать
расстояние е’ от задней главной точки Н' данного компонента до передней главной
точки Н последующего компонента. Иногда для этой цели используют расстоя-
ние f между соответствующими фокальными точками. По аналогии с формулами
(1.12)—(1.18), выражения, которые относятся к фокальным точкам, обведены голу-
бой рамкой, а формулы, которые относятся к главным точкам, обведены красной
рамкой. Но в этом разделе дан подробный вывод только для выражений, где ис-
пользуются величины, которые относятся к главным точкам. Расстояние между
главными точками (соответственно, между фокальными точками) компонентов равны:

Az) = Лл>Лл+1Г (2:27)

e(z> “ "(Z^P

Возможны отрицательные значения величин е' и t'l

Рис. 2.9. Система из двух линз.
Если при анализе многокомпонентной оптической системы не принимать во
внимание внутреннюю структуру входящих в нее компонентов, то для каждого от-
дельного компонента можно принять Н^Н'^ = 0. При этом компоненты пред-
ставляют собой перпендикулярные оптической оси плоскости, а е' является рас-
стоянием между двумя такими соседними плоскостями. Если задано положение
предмета а()) относительно первого компонента, то положение промежуточного изоб-
ражения Дц) находится из уравнения (1.14). Изображение (чаще всего оно мнимое),
которое получено на первом шаге расчета, рассматривается как предмет на втором
шаге. Для перехода к последующему компоненту используют формулу = а'^ - е'^
или, в общем виде,

а>х> е<х>’

(2.28)

На последнем шаге находят положение изображения для всей многокомпо-
нентной системы. Линейное увеличение всей системы Д' равно произведению ли-
нейных увеличений составляющих ее компонентов.

Если в начале расчета о(|) = то а'^ = H'^F' является расстоянием от задней
главной точки последнего компонента до задней фокальной точки всей многоком-
понентной системы. Фокусное расстояние можно определить из выражения:

1, °(i) = f(iy Тогда

Если а —» то: а(1) —> оа* а/аш

/' р ’ ’^*1.
J Jwa • "(2) %)

ft fr *^(2) -4z>' ’ Л*>
J .An 42) ’

(2.29)

Одновременно можно найти положения главных точек Н и Н’ всей системы

HmH=am-f. (2.30)

Для определения положения главных точек всей системы необходимо знать аС
и о(1). Значение а(1) вычисляется при расчете в обратном ходе, если в качестве на-
чального значения принять а(А) = °°!

При описании особенно часто встречающегося случая системы из двух компо-
нентов необходимо указать расстояние е^ (коротко е) и фокусные расстояния каж-
дого компонента. Если расчет выполняется при «(1) = как это было показано
выше, то положение фокуса всей системы равно

, ... (Ли ~е)~ Лз)

<2) Ло

Тогда из формулы (2.29) следует

(2.31)

Далее по формуле (2.30) находят положение главных точек. С использованием
фокусного расстояния /' всей системы получают
(2.32)

Оптическую силу двухкомпонентной системы находят из выражения (2.31) как
обратную величину фокусного расстояния. Тогда при е = 0 получается формула,
которую легко обобщить на любое число компонентов, если расстояние между их
соседними главными плоскостями пренебрежимо мало:

(2.33)

Оптическая сила бесконечно тонкой системы, состоящей из бесконечно
тонких компонентов, равна сумме оптических сил отдельных компонентов.

Прежде всего формула (2.33) описывает случай расположенных вплотную друг
к другу линз.

Примеры:

1. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями 100 и 50 мм последова-
тельно располагаются на расстояниях е = 200 мм, 150 мм, 100 мм, 50 мм и 0 мм.
Чему равны фокусные расстояние и расстояния между главными плоскостями
двухлинзовой системы?

Решение:

е = 200 150 100 50 0 ММ
Г = -100 ОО 100 50 33,33 мм
НтН=- 400 ОО 200 50 0 мм
Я('2)Я' = 200 ОО -100 -25 0 мм

2. Камера с объективом (2) может наводиться на резкость в диапазоне рассто-
яний от а{2) = оо до а(2) = —1,5 м. Для съемки близко расположенных предметов
перед камерой размещают тонкую линзу (1) cf' = 1000 мм. Передняя насадочная
линза находится на расстоянии е = 20 мм перед передней главной точкой Я(2)
объектива. В каком диапазоне расстояний можно получать резкое изображение
предмета с помощью системы «объектив + насадочная линза»? (Насадочная
линза должна создавать мнимое изображение предмета в плоскости наводки
объектива (2). Границы соответствующего диапазона равны а^ = ~ и —1,48 м.
Из уравнения (1.12) следует: а(1) = —1 м и —0,597 м соответственно. Тем самым
можно получать резкое изображение в диапазоне дистанций [измеряются от Н.2}]
от —1,02 до —0,617 м.)

3. Для системы из двух тонких линз заданы значения ffo, е. Определить
линейное увеличение Д', если предметная плоскость проходит через фокальную
точку Ач ho=-4'))-
Решение:

Из формул (2.31), (2.32) находится фокусное расстояние и положения глав-
ных точек всей системы. Тогда расстояние а от передней главной точки всей
системы Н до предмета составит: а = а(1) — Следовательно:

а _ ~Лг) ~ fmfm
fw + fm~e

С учетом f = -f' из формулы (1.15) следует:

После подстановки я и/' в формулу (2.31) находится значение р' =

Так как промежуточное изображение между линзами лежит в бесконечности,
то линейное увеличение не зависит от расстояния е между линзами. Плоскость
изображения проходит, конечно, через F^.

2.3. Плоские поверхности, плоскопараллельные
пластинки, призмы и светоделители

При оптических расчетах плоскую преломляющую или отражающую поверхность
можно рассматривать как сферическую поверхность с бесконечно большим радиу-
сом кривизны (г — оо). Плоскопараллельной пластиной называют оптическую де-
таль, которая ограничена двумя параллельными плоскостями. Плоскопараллель-
ной пластине эквивалентны защитные, покровные и выравнивающие стекла, филь-
тры и т. д. Эти оптические детали могут существенно повлиять на оптические
характеристики системы. Оптические системы из плоских зеркал (и эквивалентные
им отражающие призмы) используются для изменения направления оптической
оси системы и для оборачивания изображения.

2.3.1. Одиночная плоская поверхность

На рис. 2.10, а показан ход лучей, которые исходят из предметной точки О и пре-
ломляются на плоской поверхности. Из формулы (2.36) при г = ~ следует

(2.34)

Кажущееся смещение предмета соответствует расстоянию ОО' = s' — s между
предметной точкой и ее изображением:

Рис. 2.10. Преломление и отражение на плоской поверхности.
При подстановке п' = —п (см. разд. 2.2.1) в выражения (2.34), (2.35) получаются
формулы для плоской зеркальной поверхности: s' = —s, ОО' = — 2s (рис. 2.10, б).

Плоские поверхности дают мнимое изображение действительного предмета
с линейным увеличением Р' = +1.

Пример:

С высоты 2 м от спокойной водной поверхности надо сфотографировать
предмет, который находится на глубине 4 м. На какое расстояние надо сфоку-
сировать фотокамеру?

Решение'.

В данном случае п = 1,33; п' = 1; s = —4 м, следовательно, s' = — 3 м
(мнимое изображение находится на расстоянии 3 м от поверхности воды). Ка-
меру надо сфокусировать на расстояние 5 м.

2.3.2. Плоскопараллельная пластина

На рис. 2.11, а показана плоскопараллельная пластина, которая ограничена двумя
параллельными плоскостями 1 и 2. Расстояние между плоскостями — толщина пла-
стины — равно d[. Расчет хода лучей через пластину аналогичен расчету лучей через
две сферические поверхности. Если плоскопараллельная пластина находится в воз-
духе («,=/<= 1), то

п ’

(2.36)

где п[-п — показатель преломления материала пластины, d{ = d.

В соответствии с рис. 2.11, б осевое продольное смещение изображения ОО'
(кажущееся смещение предмета), обусловленное действием плоскопараллельной
пластины, равно ОО' = s’2-sl+ <7,' или

OO‘ = d- — . (2.37)
п

Если п = 1,5, то ОО' = d/3.

Если несколько плоскопараллельных пластин (1), (2), (3), ... расположены по
ходу луча, то для вычисления осевого продольного смещение изображения надо
сложить значения осевых продольных смещений от всех пластин. Это правило ос-
тается верным даже тогда, когда между пластинами нет воздушных промежутков
(например, склеенные пластины).

Рис. 2.11. а — осевое продольное сме-
щение изображения; б — поперечное
смещение при прохождении луча через
плоскопараллельную пластину.
Плоскопараллельные пластины дают мнимое изображение действительного
предмета с линейным увеличением (У = +1.

Если с двух сторон пластины находятся одинаковые среды (чаще всего воздух),
то луч после прохождения пластины будет параллелен прямой, по которой он шел
до падения на пластину (рис. 2.11, б). Поперечное смещение луча равно v = OO'sine.
Для параксиальной области (е 0) из формулы (2.37) следует

. п — 1 (2.38)
V = E-d .
п

Эта зависимость используется в одной из конструкций оптического микрометра,
а также в зрительных трубах для контроля поперечных смещений (см. разд. 6.6.4) и в
компенсаторах сдвига изображения киноаппаратов (см. разд. 6.4.3).

Примеры:

1) Пучок параллельных лучей падает на плоскопараллельную пластину
(d = 20 мм, п = 1,5). В начальном положении пластина перпендикулярна пучку,
затем ее поворачивают на 5°. Чему равно поперечное смещение лучей пучка у?

Решение-.

у = 0,58 мм.

2) В микроскоп видно резкое изображение предмета (например, шкалы).
Если между шкалой и объективом микроскопа ввести плоскопараллельную пла-
стину с d = 3,00 мм, то для получения резкого изображения нужно передвинуть
предметный столик на 1,16 мм. Чему равен показатель преломления п плоско-
параллельной пластины?

Решение-.

Из формулы (2.37) следует п = 1,63.

Плоскопараллельная пластина, которая вводится в сходящийся или расходя-
щийся пучок лучей, может сильно повлиять на изображение. Это показывает сле-
дующий пример.

Линза с/' = 35 мм строит изображение предмета при а = —70 мм. Тогда
а' = 70 мм и Р’ = — 1. Между предметом и линзой вдвигается толстая плос-
копараллельная пластина (d = 60 мм, п = 1,5). Это вызывает осевое про-
дольное смещение ОО' = 20 мм. При этом на линзу падают лучи, которые
после прохождения пластины создают мнимое изображение (точка О')-, тогда
япеи = —50 мм. Положение изображение после линзы и линейное увеличение
равны a'cu = 116,7 мм и [Гга1 - -2,33! Следовательно, положение и величина изоб-
ражения существенно изменились.

Другой результат получается, если плоскопараллельную пластину поставить
между линзой и изображением. Теперь она никак не влияет на а. Линейное
увеличение при этом равно Д' = —1. Изображение сместится на ОО' = 20 мм
вправо, а величина изображения не изменится, так как плоскопараллельная
пластина обладает линейным увеличением Д' = +1.

2.3.3. Системы плоских зеркал и отражательные призмы

Система плоских зеркал состоит из двух или нескольких плоских зеркал, которые
неподвижно закреплены друг относительно друга. Система плоских зеркал обеспе-
чивает отклонение пучков лучей в заданном направлении и/или изменение ориен-
тации изображения. Вместо конструкций из плоских зеркал можно использовать
отражательные призмы, которые представляют собой оптические детали с плоски-
ми отражающими и преломляющими гранями. Во многих случаях в призмах можно
использовать явление полного внутреннего отражения, что дает возможность отка-
заться от нанесения зеркальных покрытий. Большинство отражательных призм для
проходящих через них световых пучков аналогичны толстым плоскопараллельным
пластинам, которые получаются в результате развертывания призмы. Следователь-
но, отражательная призма дает то же осевое продольное смещение ОО' и обладает
теми же аберрациями, что и эквивалентная ей плоскопараллельная пластина. Сис-
темы плоских зеркал и отражательные призмы примерно одинаково действуют в
отношении изменения ориентации изображения и направления пучков лучей. По-
этому последующие разделы книги относятся как к плоским зеркалам, так и к
отражающим призмам. Призмы используют более часто, так как они более компак-
тны и углы между гранями призм неизменны, что делает ненужной юстировку, как
у системы из отдельных плоских зеркал. Если это не оговорено особо, то в дальней-
шем все зеркала системы являются компланарными, т. е. они имеют общую плос-
кость падения. Для рисунков это означает, что все зеркала перпендикулярны плос-
кости чертежа.

На рис. 2.12, а показано отклонение луча одиночным плоским зеркалом. Угол
отклонения 8 всегда является углом, на который поворачивается луч относительно
своего первоначального направления. На рис. 2.12, б показан ход луча через систе-
му двух плоских зеркал («угловое зеркало») при неизменном угле а между зеркала-
ми. Математически угол отклонения луча для этих двух случаев описывается фор-
мулами:

8= 180° — 2е (одиночное плоское зеркало); (2.39)

8 = 2а («угловое зеркало»), (2.40)

Сравнение двух последних формул указывает на существенные различия. По-
ворот одиночного зеркала относительно направления падающего луча на угол 8.Е
отклоняет выходящий луч на удвоенный угол: Д<?= —2Да Этот факт используется в
гальванометрах и других приборах со световой стрелкой. Напротив, одновремен-
ный поворот пары зеркал вокруг оси, которая перпендикуляра плоскости чертежа
(такая ось перпендикулярна любой плоскости падения), не изменяет угол отклоне-
ния <?!

Например, при а = 45° величина угла отклонения равна 90° независимо от
такого поворота.

На рис. 2.12, в показана система, которая получена в результате добавления к
системе двух зеркал третьего плоского зеркала. Если совместно повернуть все три
зеркала, то луч после второго отражения сохранит направление, которое было до
поворота, так как 8Х 2 зависит только от ц 2. Но относительно этого луча поверну-
той оказывается поверхность 3. Тогда угол отклонения луча 6Y 2 3 зависит от пово-
рота системы! Поэтому можно сделать следующий вывод:

Рис. 2.12. Изменение направление луча системой плоских зеркал.
При четном числе компланарных плоских и неподвижных друг относитель-
но друга зеркал направление пучка после отражения от всех зеркал не зависит
от угла поворота всей зеркальной системы относительно оси, которая перпен-
дикулярна плоскости падения лучей. При нечетном числе зеркал это условие
не выполняется.

Ориентация изображения по отношению к предмету может быть различной.
Для большей наглядности на рис. 2.13, а предмет показан в виде Z-образной плас-
тины с отверстиями. Изображение этого предмета может быть прямым (рис. 2.13, б),
может быть симметричным предмету относительно одной из осей х' или у' (рис. 2.13, в),
симметрично относительно двух осей, т. е. полностью перевернутое изображение
(рис. 2.13, г), повернуто на угол ± 90° или на другой угол.

На последующих рисунках, где Л-образный предмет показан в аксонометрии,
направление оси х предмета (короткий отрезок L) всегда перпендикулярно плоско-
сти аксонометрической проекции (т. е. плоскости рисунка). Направление распрос-
транения света совпадает с положительным направлением оси Z- Изображение сим-
вола «£,» служит только для указания ориентации предмета и изображения, но это
не означает, что предмет или изображение находятся в этих местах!

Рис. 2.13. Предмет и варианты ориентации его изображений.

Одиночное зеркало обеспечивает оборот только вокруг одной оси. В результате по-
лучается изображение, симметричное предмету относительно одной оси (на рис. 2.14, а,
это ось у); два зеркала дают прямое изображение (рис. 2.14, б) или обеспечивают
полное оборачивание изображения (рис. 2.14, в).

Для определения ориентации изображения всегда нужно смотреть в направле-
нии противоположном оси z! Три зеркала снова обеспечивает оборот только вокруг
одной оси. Эти факты можно обобщить следующим образом.

При четном числе компланарных зеркал получается прямое или полностью
перевернутое изображение. Нечетное число зеркал обеспечивает оборот только
вокруг одной оси.

На рис. 2.15, а—в показано три примера простых отражательных призм. Уже
для стекла с п = 1,5 при угле падения 45° имеет место полное внутреннее отраже-
ние. Прямоугольная призма (рис. 2.15, а) с углом отклонения 90° чувствительна к
повороту. Пентапризма (рис. 2.15, б) к повороту не чувствительна, но из-за малого
угла падения отсутствует эффект полного внутреннего отражения. Прямоугольная

Рис. 2.14. Изменение ориентации изображения различными системами зеркал.
Рис. 2.15. Примеры отражательных призм.

призма с двумя отражающими поверхностями обеспечивает угол отклонения 180°.
Величина этого угла не изменяется при разворотах призмы. Ориентация изображе-
ния для этой призмы показана на рис. 2.14, в.

На рис. 2.16, а показана система некомпланарных зеркал в двух проекциях. Два
зеркала отклоняют пучок на 90° каждое, но плоскости падения взаимно перпенди-
кулярны. Вследствие этого поворот изображения равен 90° (рис. 2.13, д).

Из рис. 2.14 и 2.15 можно сделать вывод, что зеркала влияют только на направ-
ление оси у, которая лежит в плоскости чертежа (плоскости падения). Перпендику-
лярная плоскости чертежа ось х сохраняет свое направление. Ее можно обратить,
если одну плоскую отражающую поверхность заменить на две отражающие повер-
хности, образующие прямой двугранный угол. За характерный вид такая пара зер-
кал называется «крышей». Соответственно, к названию призмы, где используется
такая пара зеркал, добавляют слова «с крышей». Грани «крыши» действуют подоб-
но призме на рис. 2.15, в. Ребро «крыши» D (линия пересечения граней «крыши»)
лежит в плоскости чертежа; обе грани крыши образуют угол ±45° с плоскостью
чертежа. Тем самым они некомпланарны по отношению к остальным поверхнос-
тям призмы. Используя рис. 2.15, а, б и 2.16, б, в, можно сравнить направление оси
х в призмах с крышей и без нее. Главный луч7 пучка (он показан красным) прохо-
дит точно через ребро крыши D. Окружающие его лучи отражаются от одной из
двух граней крыши (ср. также рис. 2.15, в).

Рис. 2.16. а — поворот изображения в системе некомпланарных зеркал; б, в — призмы
с «крышей», г — световозвращатель из трех зеркал.

Здесь — ось симметрии падающего пучка.
Замена одной плоской отражающей поверхности на пару зеркал, образую-
щих между собой прямой угол («крышу»), приводит к дополнительному одно-
стороннему оборачиванию изображения.

Если заменяют поверхность призмы с зеркальным покрытием на «крышу», то
вместо зеркального покрытия можно использовать эффект полного внутреннего
отражения. Это связано с тем, что первоначальный угол падения е < sg на поверх-
ность призмы увеличивается при отражении от граней крыши на ев, который удов-
летворяет условию: cos sD = 0,7071 cos £, где ев > 45°. Следовательно, возможно
полное внутреннее отражение.

На рис. 2.16, г показан световозвращатель из трех зеркал. Три его зеркальные
поверхности образуют прямой пространственный угол. После того как луч отразит-
ся от каждого зеркала, направление луча изменится на 180°. Этот световозвраща-
тель нечувствителен к поворотам вокруг любых осей (!), в то время как призма на
рис. 2.15, в инвариантна к повороту только вокруг оси, которая перпендикулярна к
плоскости рисунка.

На рис. 2.17, а, б показаны два других примера использования прямоугольной
призмы (ср. с рис. 2.15, я). Прямоугольная призма с двумя отражающими гранями
и углом отклонения луча 90° (призма Бауернфайнда) изображена на рис. 2.17, а.
У этой призмы угол отклонения не чувствителен к углу разворота самой призмы.
На рис. 2.17, б показана призма Дове, которая не изменяет направления и обеспе-
чивает односторонний оборот изображения. На рис. 2.17, в— е показаны системы
призм для полного оборачивания изображения. Оборачивающую систему Порро 1
рода (рис. 2.17, в) часто используют в полевых биноклях, так как при действитель-
ном промежуточном изображении в телескопической системе имеет место полное
оборачивание изображения. Для получения прямого изображения используются си-
стемы призм. В оборачивающей системе Порро I рода оборачивание изображение
по направлениям вверх—вниз и право—лево происходит поочередно (обдумайте
использование здесь «крыши»). В системе Порро II рода (рис. 2.17, г) происходят
два поворота изображения на 90°, аналогично показанной на рис. 2.16, я системе из
двух некомпланарной зеркал.

В современных полевых биноклях используют более компактные оборачиваю-
щие призменные системы Шмидта—Пехана (рис. 2.17, д) и Уппендаля (рис. 2.17, е).
Эти системы, в отличие от систем Порро, являются системами прямого видения, т. е.
входящий и выходящий главные лучи идут вдоль одной прямой.

Имеется еще очень большое число специальных призм и призменных систем
для изменения направления пучков и решения других задач. Для анализа их воз-
действия на направления пучка и ориентацию изображения можно использовать
уже известные нам правила. Поэтому полезно определить у уже рассмотренных призм
(рис. 2.15—2.17) ориентацию изображения и чувствительность к повороту призмы
направления выходящего пучка в зависимости от числа зеркальных поверхностей.

При подсчете числа компланарных зеркал две грани «крыши» считаются
как одна поверхность!

Пентапризме с «крышей» на рис. 2.16, в соответствуют две отражающих поверх-
ности. Ее поворот и смещение по оси у не влияют на направление выходящего
пучка. Дополнительно эта призма оборачивает изображение вокруг оси х. Ориента-
цию изображения можно также определить, если расположить карандаш в направ-
лении оси у со стороны предмета. Далее следует перемещать его параллельно само-
му себе по главному лучу, а на каждой зеркальной поверхности разворачивать ка-
рандаш в соответствии с ходом луча. В конце ориентация карандаша соответствует
направлению оси у'. Направление оси х' находят аналогично (пример для трени-
ровки дан на рис. 2.16, с!).
б — призма Дове

г — система Порро II рода

д — система Шмидта—Пехана

е — система Уппендаля

ж — система из зеркала и вращающейся призмы

Рис. 2.17. Призмы и системы призм.

На рис. 2.17, а, д, е показано, что одна и та же плоская поверхность может за
счет явления полного внутреннего отражения преломлять и отражать пучки, если
только обеспечиваются соответствующие углы падения. При повороте призмы Дове
(рис. 2.17, 6) вокруг оси (предмет неподвижен) с угловой скоростью а) изображение
поворачивается с удвоенной угловой скоростью 2л>. Этот же эффект обеспечивает
система из зеркала и вращающейся прямоугольной призмы с двумя отражающими
поверхностями. На рис. 2.17, ж эта система показана в положениях 0° и 90°. Наобо-
рот, неподвижное изображение при вращающемся предмете обеспечивает призмен-
ный компенсатор вращения [9.22]!

При развертывании призмы в плоскопараллельную пластину находят ее изоб-
ражение относительно отражающей грани. При нескольких отражающих гранях
эти изображения последовательно находят от каждой грани. На рис. 2.18 показаны
примеры развертывания в плоскопараллельную пластину призм, которые ранее были
изображены на рис. 2.15, б и 2.17, а. В результате развертывания получаются плос-
копараллельные пластины значительной толщины. Входная и выходная грани при-
змы чаще всего перпендикулярны к направлению пучка лучей.

Исключения показаны на рис. 2.17, а, б. Однако в этих случаях отклонения,
вызванные преломлением пучка на входной и выходной поверхностях, взаимно
Рис. 2.18. Развертывание призм в плоскопараллельные пластины.

компенсируют друг друга и не влияют на угол отклонения пучка всей призмой. Для
расчета осевого продольного смещения ОО' [формула (2.37)] необходимо знать
толщину эквивалентной плоскопараллельной пластины d. Эту толщину можно так-
же найти как путь в стекле главного луча пучка (оси симметрии падающего пучка).
На рис. 2.15—2.17 этот путь складывается из лежащих в пределах стекла отрезков,
выделенных красным цветом. Для «крыши» берут длину того луча, который попа-
дает на ребро «крыши» (см. рис. 2.16, б, в).

Если через призму проходил сходящийся или расходящийся пучок лучей, то
лучи пучка падают на поверхности, где используется эффект полного внутреннего
отражения, под различными углами е. Для крайних лучей пучка с самыми малыми
углами необходимо проверить выполнение условия полного внутреннего отраже-
ния. При необходимости следует выбрать стекло с более высоким показателем пре-
ломления или нанести на грань отражающее покрытие.

2.3.4. Светоделители

Часто необходимо разделить световой поток на равные или неравные части,
которые идут в разных направлениях. Это можно обеспечить при разделении
поперечного сечении пучка зеркалом или призмой («геометрическое» разделе-
ние, рис. 2.19, а— в). Если при этом поперечное сечение пучка делится отражаю-
щими участками в виде пятен или полос (как на рис. 2.19, а и в) слишком малых
поперечных размеров, то влияние дифракции может быть существенным. При
использовании в качестве светоделителя полупрозрачной зеркальной поверхнос-
ти с соответствующими коэффициентами отражения и пропускания форма попе-
речного сечения не меняется («физическое» разделение, рис. 2.19, д)\ разделение
пучка происходит равномерно по всему поперечному сечению. Поглощение на
полупрозрачном покрытии должно быть сведено к минимуму. Расположенная
наклонно тонкая плоскопараллельная пластина (рис. 2.19, г) представляет собой
самый простой светоделитель такого типа. В этом случае на двух поверхностях
суммарно отражается примерно 10% света, в то время как 90 % проходит. Цвето-
делителем называется светоделитель, коэффициенты отражения и пропускания
полупрозрачного слоя которого существенно зависят от длины волны. Цветоде-
лители рассмотрены в разд. 5.3.3.

Временное разделение пучков обеспечивают вращающиеся (рис. 2.19, е) или
колеблющиеся светоделители: зеркальная поверхность попеременно отклоняет и
пропускает поток света. Таким светоделителем является зеркальный обтюратор в
кинокамерах, который в промежутках между экспозициями направляет световой
поток в видоискатель.

На рис. 2.19, ж светоделитель в виде стеклянной пластины установлен перед
студийной телекамерой. Диктор, смотря прямо в камеру, видит мнимое изображе-
ние телеэкрана с текстом, который снимает вспомогательная камера.
Рис. 2.19. Светоделители: ж — пример использования светоделителя в виде пластины (г).

2.4. Преломляющие призмы и клинья

В этом разделе рассматриваются призмы, которые изменяют направление пучка
лучей при его преломлении на двух не параллельных плоскостях. Из-за дисперсии
стекла (см. разд. 2.1.1) величина отклонения луча зависит от длины волны а. Пре-
ломляющие (диспергирующие) призмы наиболее часто используются для получе-
ния спектра немонохроматического излучения. В призмах прямого видения на-
правления падающего и преломленного лучей для средней длиной волны совпада-
ют. Наоборот, ахроматическая призма отклоняет лучи с различной длины волны
практически в одном направлении (т. е. при незначительной хроматической абер-
рации, см. разд. 2.5.7). Преломляющие клинья представляют собой призмы с ма-
лым углом между преломляющими плоскостями, что позволяет упростить расчеты.

2.4.1. Отклонение пучка

Здесь рассматриваются только призмы, которые находятся в воздухе. Линия пере-
сечения преломляющих граней призмы называется «преломляющее ребро»; плос-
кость, перпендикулярная преломляющему ребру, называется плоскостью главного
сечения. Двугранный угол, образованный преломляющими гранями, называется
преломляющим углом и обозначается как а. На рис. 2.20 показано главное сечение
призмы, преломляющие грани 1 и 2, преломляющее ребро и преломляющий угол.
В результате преломления на грани 1 отклонение луча составит 8{ = af - «i, а пре-
ломление на грани 2 отклоняет луч на 32 = е2 - е2. Тогда отклонение луча призмой
равно
8 = « + (2.41)

где а = е, - еч.

Значение угла г, определяется по извест-
ным значениям а и

е'2 = arcsin |^cos а sin - sin ctyjn'2 - sin2 f, j.

(2-42)

Если для призмы исследовать изменение
угла отклонения как функцию угла падения,
то минимальное отклонение <5min получается
при симметричном ходе луча через призму
(рис. 2.21, а), т. е. при е2 = -г, и е' = -г, = а / 2
выполняется условие dS/de^ = 0.

Для получения симметричного хода луча
угол падения должен быть равен et = е, , где

sin«i^m=«'sin^

Тогда по формуле (2.41) минимальное отклонение составит

8 . = а — 2д

nun 1 sym

Из формул (2.43) и (2.44) следует

• , а
sm-----— = п sin—.

2 2

(2-43)

(2.44)

(2.45)

Так как а и можно измерить с высокой точностью, то последнее выражение
позволяет определить показатель преломления п'.

Рис. 2.21. а — минимальное откло-
нение луча призмой; б — к опреде-
лению угловой дисперсии.

2.4.2. Угловая дисперсия

Угловая дисперсия призмы характеризует зависимость угла отклонения луча от длины
световой волны. Угловая дисперсия призмы равна производной угла отклонения
по длине волны, т. е. d8/dA. С учетом равенства

d8 _ d8 dn'
dA dn' dA

и формул (2.43), (2.44) угловая дисперсия при минимальном угле отклонения равна

d<5 _ n . (X 2 sin - 2 dw' (2.46)
dA 1, a 11 -n sin- — V 2 dA

или более коротко &8/6Л = —(b/h) Ап'/йЛ, где h — ширина пучка (при минимальном
отклонении!) и Ь ширина основания (см. рис. 2.21, б).

Значение Ап'/бЛ определяется видом дисперсионной кривой п'(Л) используемо-
го сорта стекла. В качестве приближенного значения можно взять из каталога стек-
ла величину 8п’/8Л, т. е. отношение разности показателей преломления для смеж-
ных линий Фраунгофера к соответствующему интервалу ЛЛ

Пример:

Чему равны угол падения и угол отклонения (для линии е при минималь-
ном угле отклонения) у равносторонней призмы из стекла SF 6 (см. табл. 2.1)?
Чему равна средняя угловая дисперсия для области длин волн от F' до С'?

Решение:

£i ™ ~ 65,002°, <Jmin = —70,005°. При дисперсии стекла Дп'/ДЯ = —1,965810"4 нм-1
средняя угловая дисперсия будет равна 88/8Л = 4,6519 10-4 нм1. При этом для
линий F' и С' (Д2 = 163,8 нм) 8.8 составляет примерно 4,4°.

2.4.3. Клинья

При малом преломляющем угле а и малом угле падения е, можно воспользоваться
указанной ниже аппроксимацией формулы (2.42). При cosа~1, sin (or, е,, et, е£,
sin2fi = 0 получается е'г = et - п' • а. Тогда из формулы (2.41) следует

Д=-«(и'-1). (2.47)

Клинья отклоняют пучки лучей на малые углы. Клин с переменным преломля-
ющим углом обеспечивает непрерывное изменение угла отклонения 8. На рис. 2.22
показан клин с переменным преломляющим углом а, который выполнен из
двух подвижно соединенных линз: плосковыпуклой и вогнуто-плоской (также
можно использовать линзы с цилиндрическими преломляющими поверхностями).
На рис. 2.22, б изображена в трех положениях пара вращающихся клиньев. Чтобы
пучок отклонялся только в одной плоскости (здесь плоскости рисунка), клинья
должны поворачиваться во взаимно противоположных направлениях на угол 8. Тогда
отклонение луча (начиная от & = 0 в положении 1) равно

8= — 2 |ог|(и' — 1) cos Л (2.48)

Например, для положения 2: г? = 90° и 8 = 0, для положения 3: г? = 180° и
8 — +2|«|(и' — 1), т. е. луч отклоняется в противоположном направлении относи-
тельно положения 1.

Рис. 2.22. Изменение отклонения луча:

а — клин с переменным преломляющим углом; б — вращающиеся клинья.
2.5. Аберрации

До этого места предполагалось, что оптическая система обладает следующими важ-
ными для практических приложений свойствами:

• падающий на оптическую систему гомоцентрический пучок лучей преобразуется
на выходе из оптической системы также в гомоцентрический пучок. Таким обра-
зом, каждой точке пространства предметов соответствует своя точка в простран-
стве изображений;

• изображение всякой плоской фигуры, распложенной в плоскости, перпендику-
лярной оптической оси, находится в плоскости, перпендикулярной оптической
оси, и геометрически подобно этой фигуре.

Для большинства оптических систем эти свойства строго выполняются только
в параксиальной области. Отступления от этих свойств при выходе за пределы па-
раксиальной области описываются геометрическими аберрациями. Дальнейшее
изложение основ учения об аберрациях будет основано на теории аберраций
третьего порядка Зейделя8. Если при выводе формул для параксиальной области
(см. разд. 1.4.3) принимался во внимание только первый член степенного ряда

то для представления тригонометрических функций в рамках теории аберраций
третьего порядка учитываются два члена соответствующих степенных рядов, т. е. до
<т3 включительно (на что и указывают слова «третьего порядка» в названии). Вывод
формул аберраций третьего порядка в данной книге не приводится, а рассматрива-
ются только наиболее важные с точки зрения технической оптики следствия из
теории аберраций третьего порядка.

Условно все виды аберраций третьего порядка можно разделить на две группы’.
Если в оптической системе присутствуют аберрации первой группы, то лучи, исхо-
дящие из точки предметной плоскости и прошедшие через оптическую систему, не
собираются в одну точку в плоскости изображения (рис. 2.23). В случае аберраций
второй группы эти лучи собираются в одну точку, но нарушается условие геометри-
ческого подобия предмета и изображения: линейное увеличение меняется в преде-
лах плоскости изображения.

Рис. 2.23. Виды аберраций третьего порядка, при которых лучи, исходящие из единой
точки предметной плоскости и прошедшие через оптическую систему, не
собираются в одну точку в плоскости изображения

8 Филипп Людвиг фон Зейдель (1821—1896) — немецкий математик и астроном. (Прим, пер.)
’ Обычно изображение точки искажено всеми видами монохроматических аберраций одно-
временно. Исключение составляют точки на оси оптической системы, для которых имеет
место только сферическая аберрация (см. ниже). (Прим, пер.)
Все хроматические аберрации обусловлены дисперсией, т. е. зависимостью по-
казателя преломления от длины волны. Поэтому эти аберрации не играют роли для
систем, которые работают в монохроматическом свете. Полностью свободны от
хроматических аберраций чисто зеркальные системы, где луч не проходит через
среды из оптического стекла и подобных ему материалов. Однако большинство
оптических систем, работающих в широком спектральном диапазоне, содержат лин-
зы, призмы, пластины и т. д. Из-за дисперсии результаты расчета хода луча через
такие оптические системы зависят не только от начального положения луча в про-
странстве предметов, но и от длины волны излучения. Это приводит к возникнове-
нию хроматических аберраций. Хроматические аберрации присутствуют в оптичес-
кой системе одновременно со всеми другими видами аберраций, но специфичес-
кой особенностью хроматических аберраций и отличием их от монохроматических
является то, что они присутствуют уже в параксиальной области. Например, реше-
ние уравнения (2.3) зависит от значения показателя преломления, следовательно, и
от длины волны.

Полное исправление всех аберраций в оптической системе невозможно, так как
условия исправления одних видов аберраций противоречат условиям исправления
аберраций других видов. Поэтому при коррекции аберраций в оптической системе
ищется некоторое компромиссное решение, которое определяется областью приме-
нения оптической системы. Одновременное исправление многих видов аберраций в
оптической системе возможно при наличии в конструкции оптической системы боль-
шого числа преломляющих и отражающих поверхностей и/или при использовании
таких дополнительных возможностей, как асферические поверхности и материалы с
экстремальными значениями показателя преломления и числа Аббе.

В дальнейшем геометрические аберрации рассматриваются без учета влияния
дифракции. Не принимаются во внимание ошибки изготовления (т. е. отклонения
от расчетных значений форм поверхностей, углов и т. д.). На рисунках величины
аберраций специально показаны преувеличенными.

2.5.1. Сферическая аберрация

Если на линзу направить широкий гомоцентрический пучок лучей от точки на
оптической оси (рис. 2.24, а), то после прохождения через линзу лучи от внешней
кольцевой зоны линзы пересекут оптическую ось в точке О', которая не совпадает с
точкой О' параксиального изображения. Каждая кольцевая зона линзы с радиусом
h (высота падения луча) построит изображение точки О’ на ином расстоянии от
линзы. Сферическую аберрацию можно представить как зависимость разности про-
дольных отрезков s' - s' от высоты h (см. рис. 2.28, а). Если s’ - s' > 0, то сферичес-
кая аберрация переисправлена (это бывает у рассеивающих линз и плоскопарал-
лельных пластинок). При s' - s' < 0 сферическая аберрация недоисправлена (ти-
пично для собирающих линз). В последнем случае точки изображений О' лежат (по
направлению света) перед точкой параксиального изображения О. На перпендику-
лярной оптической оси плоскости анализа изображения (например, на фотоплен-
ке) в том месте, где в параксиальном приближении должно было бы быть изобра-
жение точки, получается кружок рассеяния. Наилучшее положение плоскости ана-
лиза изображения совпадает с местом наибольшего сужения всего пучка лучей. Это
положение не совпадает с плоскостью параксиального изображения, но находится
ближе к точке пересечения оптической оси лучами от краевой зоны линзы10.

10 В случае сферической аберрации наилучшее положение плоскости изображения зависит от
структуры наблюдаемого предмета. Для протяженного предмета это положение может быть
одним, а для предмета малых размеров — немного другим. (Прим, пер.)
Рис. 2.24. Сферическая аберрация и выбор наилучшей формы линзы.

Для одной и той же оптической системы сферическая аберрация существенно за-
висит от расстояния а между оптической системой и плоскостью предмета. Расчеты
лучей показывают, что для уменьшения сферической аберрации углы падения луча на
поверхности оптической системы должны быть минимальными, величина отклонения
луча при преломлении должна быть примерно одинаковой для всех поверхностей.

Сферическая аберрация одиночной линзы может быть равна нулю только при
совершенно определенных условиях (см. ниже). В общем случае для одиночной
линзы возможно достичь только ее минимального значения.

Продольная сферическая аберрация s' - s' возрастает пропорционально А2. Ра-
диус кружка рассеяния р возрастает пропорционально А3. Поэтому сокращение ди-
аметра падающего на оптическую систему пучка очень значительно уменьшает сфе-
рическую аберрацию. При заданных значениях заднего фокусного расстояния
показателя преломления п и высоте падения луча А можно найти наиболее благо-
приятную форму линзы. На рис. 2.24, б—г показано три примера. Для случая а = °°
в результате расчетов получены следующие соотношения: г2 = -бг, (при п = 1,5), г, = ~
(при п = 1,686), которые определяют наиболее благоприятную форму тонкой лин-
зы. Приближенно условие минимума сферической аберрации выполняется для силь-
но несимметричных двояковыпуклых линз и выпукло-плоских линз. Если о = f и
одновременно d = то минимальной сферической аберрацией обладает линза
противоположной формы.

Если расстояние от предмета до линзы больше, чем расстояние от линзы до
изображения, то для минимизации сферической аберрации следует располо-
жить одиночную линзу так, чтобы поверхность с малым радиусом кривизны
была обращена в сторону предмета. Если расстояние от предмета до линзы
меньше, чем расстояние от линзы до изображения, то поверхность линзы с
малым радиусом кривизны должна быть обращена в сторону изображения.

Если a = 2f и fl' = -1 (рис. 2.24, в), то для получения минимальной сферической
аберрации следует использовать симметричную двояковыпуклую линзу (г, = —г;).
Значительного уменьшения сферической аберрации можно достичь, если разде-
лить симметричную двояковыпуклую линзу на две плосковыпуклые линзы (см. рис.
2.24, г). Это связано с тем, что использование четырех поверхностей вместо двух
уменьшает углы падения луча на каждую поверхность. Такая двухлинзовая система
часто используется в конденсорах для получения изображения спирали лампы на-
каливания (например, в диапроекторах).
Плоскопараллельные пластины также обладают сферической аберрацией. Ис-
ходящие из точки О под разными углами а лучи не соберутся снова в одной точке.
Продольная сферическая аберрация плоскопараллельной пластины с хорошей точ-
ностью описывается выражением

s' - s' = d ——Д sin2 б. (2.49)

2и

Для коррекции сферической аберрации используют комбинацию собирающей и
рассеивающей линз с различными фокусными расстояниями, имеющих равные по
абсолютному значению и противоположные по знаку продольные сферические абер-
рации (оптическая сила всей системы остается положительной). Этим приемом уда-
ется исправить сферическую аберрацию только при одном значении высоты падения
луча на линзу. Для остальных зон линзы имеет место остаточная сферическая аберра-
ция. На рис. 2.28, а сферическая аберрация не исправлена. На рис. 2.28, б в оптичес-
кой системе с положительным фокусным расстоянием сферическая аберрация ис-
правлена. Сферическая аберрация от плоскопараллельных пластин (например, призм
полевого бинокля) должна учитываться при коррекции аберраций всей системы.

Сферическая аберрация исправлена для всех высот падения луча при выполне-
нии следующих условий:

• плоское зеркало при любых положениях предмета;

• плоскопараллельная пластина, если предмет находится в бесконечности;

• сферическое зеркало, а также преломляющая поверхность и линза с концентри-
ческими поверхностями, если осевая точка предмета совпадает с центром кривиз-
ны поверхности;

• осевая точка предмета совпадает с апланатической точкой преломляющей повер-
хности (см. ниже);

• асферические поверхности при выполнении определенных условий (см. разд. 2.6).

Пусть преломляющая поверхность задана п, п', г. Апланатической парой точек
называются точки О и О', которые лежат на оптической оси на расстояниях

п + п'
п

s' = г

п + п'
п'

(2.50)

от вершины сферической поверхности. Гомоцентрический пучок лучей с вершиной
в точке О после преломления на сферической поверхности переходит в гомоцент-
рический пучок лучей с вершиной в точке О’. Таким образом, сферическая аберра-
ция для апланатических точек равна нулю. Из формул (2.50) следует: s • п = У rf,
поэтому отрезки s и / будут иметь один знак; а это означает, что если предметная
точка действительная, то ее изображение мнимое, и наоборот, если предметная
точка мнимая, то ее изображение действительное.

Используя свойство апланатических точек можно получить положительный и
отрицательный апланатические мениски, в которых изображение апланатической
точки, созданное первой поверхностью, является апланатической точкой предмета
для второй поверхности. В другом варианте линзы первая поверхность концентрич-
на предметной точке, а вторая поверхность является апланатической для этой же
предметной точки. Положительный апланатический мениск используется в много-
компонентных системах для увеличения апертуры системы11. Поэтому если поста-
вить перед первой линзой апланатический мениск, то угол расходимости падающе-
го на конденсор пучка (рис. 2.24, г) можно увеличить. Иногда для аналогичных
целей используют мениски с малым прогибом.

11 Обычно апланатическими системами являются фронтальные компоненты конденсоров,
входящих в состав осветительной системы микроскопа. (Прим, редакции)
2.5.2. Условие синусов

Если сферическая аберрация исправлена, то широкий гомоцентрический пучок лучей
с вершиной в точке О на оптической оси преобразуется в гомоцентрический пучок
с вершиной в точке О' также на оптической оси. Кроме точки на оптической оси
желательно обеспечить безаберрационное изображение точек предметной плоско-
сти, которые находятся вблизи точки О, например, точки Р. Для этого необходимо,
чтобы линза создавала изображение малого перпендикулярного оптической оси
отрезка ОР = у при одновременном выполнении следующих условий:

• исправлена сферическая аберрация;

• все отрезки О'Р’ - у', которые формируют отдельные зоны линзы, имеют одина-
ковую длину.

Последнее условие эквивалентно равенству линейных увеличений Д' = Д' = const,
где линейное увеличение для одиночной зоны линзы по аналогии с выражением
(1.17) равно Д' = (д' • и,)/(д -и]). Тогда условие равенства линейных увеличений при-
мет вид (д' • и,)/(д • и*) = Д'. Из рис. 2.25 следует: sin ст, = h[ a, sinбк = h/а'. Оконча-
тельно условие синусов Аббе примет вид:

Л. ЯП ст, = ? (2 51)

п'к sin дк

Так как Д' = у/у, то условие синусов можно также записать в виде инварианта
Лагранжа—Гельмгольца для непараксиальных пучков [ср. с формулой (2.18)]:

у • п • sin & = у' • п' • sin ст'.

(2-52)

При выполнении условия синусов можно ввести понятия передней и задней
главных сфер. Центры этих сфер находятся в точках О и О', а радиусы равны ОН и
О'Н’ соответственно. Основным свойством главных сфер является то, что расстоя-
ние от оси до точки пересечения любого луча, который исходит из точки О, с
передней главной сферой равно расстоянию от оси до точки пересечения этого же
луча с задней главной сферой. Это свойство главных сфер напоминает свойства
главных плоскостей в параксиальной области. Если а = то передняя главная
сфера превращается в плоскость, при этом радиус задней главной сферы равен /'.
В этом случае условие синусов преобразуется в условие равенства задних фокусных
расстояний для любой зоны линзы: f = f' = const. Фокусное расстояние для широ-
кого пучка лучей (п'к =1) определяется по формуле

А
sind£

(2.53)

В параксиальной области формула (2.53) эквивалентна формуле (1.7).

Рис. 2.25. К выводу условия синусов.
В апланатических менисках кроме полного исправления сферической аберра-
ции строго выполняется условие синусов (только для апланатических точек!). Ап-
ланатами называют оптические системы, в которых исправлена сферическая абер-
рация и выполнено условие синусов. Это важно для систем, которые обладают ма-
лым полем и значительной апертурой12. Примером таких систем являются объективы
микроскопов (см. разд. 6.8.2).

2.5.3. Астигматизм и кривизна поля

На рис. 2.23, в показан еще один вариант отступления от законов параксиальной
области. В этом случае узкий пучок лучей исходит из точки Р, которая находится на
значительном расстоянии от оптической оси. Очевидно, что такой пучок будет не-
симметричен относительно оптической оси. Рассмотрим лучи, которые идут в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях. Меридиональная плоскость (на рис. 2.23, в
и 2.26, а она совпадает с плоскостью чертежа) содержит оптическую ось и главный
луч пучка. Сагиттальная плоскость содержит главный луч пучка и перпендикулярна
меридиональной плоскости. Из-за отсутствия симметрии лучи, которые идут в ме-
ридиональной плоскости, соберутся в точку Рп'ег (рис. 2.23, а), а лучи, которые идут
в сагиттальной плоскости, соберутся в точку (рис. 2.23, б). Соответственно, все
лучи пучка после прохождения через линзу не соберутся в одной точке. Пусть плос-
кость анализа изображения перпендикулярна оптической оси и проходит через точку
/'п'ег. В этом случае точки пересечения лучей пучка с плоскостью находятся на пря-
мой линии. Передвинем плоскость анализа изображения вдоль оптической оси до
точки Р^. При этом точки пересечения лучей пучка с плоскостью также находятся
на прямой линии. Подобное нарушение гомоцентричности пучка лучей носит на-
звание астигматизма. Количественно астигматизм характеризуется величиной
Аад ~ 5™г> где 5тег— расстояние вдоль оптической оси от линзы до точки Р^ег, s'^ —
расстояние вдоль оптической оси от линзы до точки Р'. Чем дальше находится

Рис. 2.26. Астигматизм.

12 Выполнение условия синусов эквивалентно исправлению комы (см. ниже) для точек вблизи
оптической оси. (Прим, пер.)
точка Рот оптической оси, тем больше астигматизм. Если для нескольких точек Рр
Р2, Р3, ... найти положения точек ^'mer, P,'mer, P3'mer, Р^, Р^г, Р^, ..., то полу-
чим две кривые, которые показаны на рис. 2.23, в. Обе кривые исходят из точки О',
для которой астигматизм отсутствует. При вращении этих кривых вокруг оптической
оси образуются две поверхности.

Астигматизм зависит не только от величины удаления точки Р от оптической
оси, но и от положения апертурной диафрагмы (см. гл. 3). Это связано с тем, что
точка пересечения главного луча пучка с линзой зависит от положения апертур-
ной диафрагмы. Варьированием формы линзы, изменением положения апертур-
ной диафрагмы, введением в оптическую систему новых линз можно менять фор-
му кривых 07>'mer, P2'mer, P3'mer ... и О'Р^, P3'sag .... Можно найти параметры, при
которых эти кривые совпадут, т. е. астигматизм будет устранен. В результате вращения
данной единой кривой вокруг оптической оси получим поверхность Петцваля13. В са-
мом общем случае поверхность Петцваля не является плоскостью. Поэтому говорят о
кривизне поля изображения. Ее радиус гр для системы из к тонких линз определяется
по формуле

1 1

гр х =1 ’ Лх'!

(2-54)

где п(х} и f^'x) — показатель преломления и заднее фокусное расстояние тонкой линзы.
Плоское поле изображения обеспечивается при выполнении условия гр ->

Анастигматом называют объектив, у которого для широкого поля устранены
астигматизм и кривизна поля изображения. Для одиночной линзы достичь исправ-
ления кривизны поля изображения невозможно. Рисунки 2.28, в—д показывают
различные состояния коррекции астигматизма и кривизны поля.

Преломляющая призма (см. разд. 2.4) обладает астигматизмом в том случае,
когда она стоит в сходящемся или расходящемся пучке лучей.

2.5.4. Кома

Неблагоприятные условия для изображения точки возникают, если широкий пучок
лучей исходит из внеосевой точки предмета (рис. 2.23, ж). В этом случае появляет-
ся несимметричная аберрация — кома. При наличии комы вместо круглого пятна
рассеяния появляются фигуры, которые симметричны только относительно мери-
диональной плоскости. В самом простом случае при меридиональной коме (кома в
узком смысле) фигура рассеяния имеет каплевидную или кометообразную форму с
неравномерным распределением света. Эта форма обусловлена одновременным на-
ложением большого числа неконцентричных кругов.

Положение апертурной диафрагмы очень сильно влияет на кому. При опреде-
ленном положении апертурной диафрагмы кома исчезает. Благоприятными усло-
виями для исправления комы обладают системы, которые симметричны относи-
тельно апертурной диафрагмы. Для малых полевых углов кома устраняется одно-
временно с выполнением условия синусов.

2.5.5. Дисторсия

Если линейное увеличение в плоскости изображения изменяется по мере удаления
от оптической оси (система обладает вращательной симметрией), то это является
проявлением аберрации, которая носит название «дисторсия». Если в оптической

13 Й. Петцваль (1807—1891) — венгерский математик и физик (Прим, пер.)
системе присутствует дисторсия, то наклонные пучки не пересекают плоскость изо-
бражения в соответствующей точке параксиального изображения. Дисторсия обус-
ловлена сферической аберрацией для изображений апертурной диафрагмы14. Ис-
правление сферической аберрации для предмета, который находится на значитель-
ном расстоянии от оптической системы, не гарантирует отсутствия сферической
аберрации для апертурной диафрагмы. Если в параксиальном приближении точка
изображения находится на расстоянии У от оптической оси, а фактически это рас-
стояние равно у', то величина относительной дисторсии определяется по формуле
у'-у' <2-55)

K=i-Z-.ioo%.

у'

Бочкообразной называют дисторисию в том случае, когда V < 0 и линейное
увеличение уменьшается при удалении от оптической оси (рис. 2.27, а). Этот слу-
чай может наблюдаться, если апертурная диафрагма стоит перед оптической сис-
темой15. При К> О говорят о подушкообразной дисторсии (рис. 2.27, б). Подушко-
образную дисторсию можно получить, если расположить апертурную диафрагму за
оптической системой16. Объектив из двух симметричных (относительно диафраг-
мы) частей при [}’ = — 1 свободен от дисторсии, а при других значениях линейного
увеличения дисторсия незначительна. Объективы, предназначенные для измере-
ния линейных величин (в том числе аэрофотосъемочные объективы), должны иметь
незначительную дисторсию (К< 1 %), так как в противном случае изменение масш-
таба изображения по полю кадра сильно осложняет проведение измерений.

Рис. 2.27. Дисторсия.

2.5.6. Хроматические аберрации

Хроматические аберрации обусловлены зависимостью показателя преломления от
длины волны. Хроматические аберрации встречаются уже в параксиальной облас-
ти, т. е. когда действует приближение sin <т= <т («аберрации первого порядка»). По
аналогии со сферической аберрацией и условием синусов можно классифициро-
вать параксиальные хроматические аберрации следующим образом:

1) поперечный хроматизм: плоскости изображения для каждой длины волны на-
ходятся на различных расстояниях вдоль оптической оси;

2) хроматизм увеличения: линейное увеличение зависит от длины волны.

14 Строго это условие выполняется только для систем, длина которых вдоль оптической оси
близка к нулю. (Прим, пер.)

15 Это правильно для тонких линз и не вполне корректно для сложных многолинзовых объек-
тивов. (Прим, пер.)

16 См. предыдущую сноску. (Прим, пер.)
Для исследования и коррекции хроматических аберраций предпочитают исполь-
зовать длины волн F' (480,0 нм) в синем и С' (643,8 нм) в красном спектральном
диапазоне (см. рис. 1.1 и разд. 2.1.1). Они перекрывают область наибольшей чувстви-
тельности глаза. В качестве средней длины волны выбирают линию е (546,1 нм)
вблизи максимума чувствительности глаза (зеленая линия). Иногда используют длины
волны F, d, С. При коррекции хроматических аберраций фотообъективов вместо
длин волн F', С' целесообразно использовать длины волн g, d. Это связано с тем,
что область чувствительности фотоматериалов смещена к коротковолновой грани-
це спектра.

Зависимость от длины волны также имеет место для всех аберраций, которые
встречаются уже в монохроматическом свете. Таким образом, сферическая аберра-
ция для длин волн F', е, С' может иметь разные значения. Но это явление в данной
книге подробно не рассматривается.

Разность фокусных расстояний fF. - ff для синего и красного света характери-
зует хроматизм увеличения.

В результате дифференцирования по п формулы (2.25), которая описывает фо-
кусное расстояние тонкой линзы, получим

df' = 1 2L2L

dw (ие-1)2 ri~r2'

Так как

то

а/' = —— . f'_

J пе - 1 Je

В результате замены в последней формуле df' и dn на Л/' = f’F. - ff и Aw = nF, - пс.
соответственно получается

fF-fr=~, (2-56)

где и — число Аббе [см. формулу (2.2.)].

Таким образом, хроматизм увеличения обратно пропорционален числу Аббе и
прямо пропорционален заднему фокусному расстоянию для средней длины волны.

Пример

Для положительной линзы из стекла SF 6 (и, = 25,24) при f = 150 мм
получается f'F. - ff = -5,94 мм. Напротив, хроматизм увеличения для отрица-
тельной линзы положителен!

Фокусное расстояние f двухлинзовой системы описывается уравнением (2.31).
Из-за хроматических аберраций фокусные расстояния линз f^ и f^ зависят от Л.
(Расстояние е также зависит от Л из-за незначительного смещения главных точек,
но этим можно пренебречь.)

С использованием правила логарифмического дифференцирования найдем про-
изводную функции (2.31) по Л После промежуточных преобразований получим

d/' = 77^77- ’ [^(Лз) - *) + S(/J> - «Л (2-57)

Л1)’Л2) L-'c1» Лз)
где d/', фС'х и d/j'j описывают изменения фокусных расстояний при изменении
длины волны на 6Л.

Если заменить дифференциалы фокусных расстояний на конечные разности
ДГ = /А - fc; Afi = //-о; - = Л-(2) - /с(2)’т0 Формула (2.57) описывает хро-

матизм увеличения txf' для двухлинзовой системы как функцию хроматизма увели-
чения составляющих его компонентов. Хроматизм увеличения исправлен (Kf' = 0)
только тогда, когда выражение в скобках в формуле (2.57) равно нулю. После под-
становки в выражение (2.57)

= ДЛ2) = -
vc(l)

fell)

Ve(2)

[см. формулу (2.56)] условие коррекции хроматизма увеличения примет вид

Лг> е _ *и>
Z1) ~ е V(2)

(2.58)

где v(1), у2 — числа Аббе для первой и второй линзы. При выполнении этого усло-
вия фокусные расстояния для длин волн F' и С' будут одинаковыми.

Из условия коррекции следуют два важных вывода:

1) при е ~ 0 (тонкие линзы склеены или находятся на малом расстоянии друг от
друга) условие (2.58) примет вид:

f(i>lf(\)- v(i)/*/(2)-

Так как оба числа Аббе положительны, то одна из линз должна быть отрицательной
(/' < 0);

2) если для двух линз использовать одинаковое стекло (и(1) = и(2)), то из формулы
(2.58) следует

е = (2.59)

О применении формулы (2.59) при расчетах окуляров см. разд. 6.5.2.

Хроматизм положения описывается разностью продольных отрезков а'г - а'с.
для синего и красного света. Из уравнения (1.14) следует, что а' является функцией
а и /'. Причем а неизменно, a f и а’ зависят от Л. Если продифференцировать
уравнение по Л, то после преобразований получается da' = a'1 -dfIf'1. Из последнего
выражения и формулы (2.56) (индекс е далее опускается) следует

, , а'1

da =------.

f’v

(2.60)

Если выразить задний отрезок через линейное увеличение и фокусное расстоя-
ние [формула (1.14)]: а' = /'(1 - Д'), то хроматизм положения Ла' = a'F. - а'с, бу-
дет равен:

Д')2. (2.61)

В случае положительного фокусного расстояния хроматизм положения отрица-
тельный («недоисправленный хроматизм»). Для отрицательных линз хроматизм
положительный («переисправленный хроматизм»). При Д' = 0 (а - ОО, а' =/') выра-

жение (2.61) переходит в формулу (2.56).
Пример

Рассмотренная ранее линза cf = 150 мм, и = 25,24 должна строить изобра-
жение предмета с линейным увеличением /3' = —9. Хроматизм положения дос-
тигает при этом значительной величины а'г - а'с. = -3,96 f = -594 мм! Плоскость
изображения для синего цвета примерно на 0,6 м ближе к линзе, чем плоскость
изображения для красного цвета.

В двухлинзовой системе промежуточное изображение, которое формирует пер-
вая линза, уже обладает хроматизмом положения do^, который вычисляется по
формуле (2.60). В этом случае для второй линзы отрезок = а'^ - е зависит от Я:
dopj = da('j. Таким образом, хроматизм положения da{2) всей системы зависит от da(2)
и d/^j. После дифференцирования уравнения (1.12), которое описывает положение
плоскости изображения для второй линзы, и подстановки в него d<7(,j = d«('j [форму-
ла (2.60)] и dJJ'j [выражение (2.56)] получается

, 1 '

й(2> ’ Чз)

da',) - а'2)

Ль ‘ V(l>

(2-62)

Из выражения в квадратных скобках следует условие коррекции хроматизма поло-
жения (da('2) = 0):

^- = -^-[1-4- . (2.63)

fa) v(2) I a'i>.

Если e = 0 (или часто на практике е ~ 0), то:

4^ = -—- (2.64)

fa, Ъ

Таким образом, при е = 0 условия коррекции хроматизма положения (2.64) и
хроматизма увеличения (2.58) совпадают.

Хроматизм положения плоскопараллельной пластины определяется из форму-
лы (2.36), если продифференцировать по и, а затем заменить d.s,, dn на As, = s'F. - s’c,
Ln = nF. - nc. соответственно. В результате получается

Sy?. — d

nF. - nc.

(2.65)

Плоскопараллельная пластина обладает переисправленным хроматизмом, так
же как и отрицательная линза. Поэтому точка изображения О'г. (синий цвет) ле-
жит (по направлению света) за О’с. (красный цвет). Линейное увеличение для
любой длины волн равно +1, следовательно, хроматизм увеличения полностью
отсутствует.

2.5.7. Ахроматы и подобные им элементы

Ахроматом называют систему линз, для которой выполняется условие ахроматиза-
ции (2.64) для двух длин волн (рис. 2.28, ж). Ахромат состоит из положительной и
отрицательной линз, которые расположены на малом расстоянии друг от друга или
(наиболее часто) склеены. Пусть ахромат имеет фокусное расстояние f и заданы
Рис. 2.28. Графики аберраций:

с — сферическая аберрация одиночной линзы; б — коррекция сферической аберра-
ции; в — астигматизм; г — коррекция астигматизма; д — исправлен астигматизм и
кривизна поля; е — хроматизм положения; ж — ахроматическая коррекция; з — апох-
роматическая коррекция.

Общепринятый масштаб при f = 100 мм; 4:1 для /г; 20:1 для ДУ.

два сорта стекла с числами Аббе и(1, и и2), тогда фокусные расстояния линз опреде-
ляются из системы уравнений (2.32), (2.64) при е = 0.

Так как форма линз не оказывает влияния на условие ахроматизации, то соот-
ветствующим выбором формы линз можно устранить другие аберрации. Поэтому в
большинстве ахроматов исправлена сферическая аберрация для средней длины волны
(зеленой) и выполнено условие синусов. Благодаря выбору специальных марок сте-
кол с высоким показателем преломления и низкой дисперсией (большое v) воз-
можно рассчитать «новый ахромат», который имеет анастигматическую коррекцию
при исправленной сферической аберрации.

Пример

Из двух «массовых» стекол (1) В К 7 и (2) SF 2 должен быть изготовлен
склеенный ахромат с f = 250 мм. Параметры стекол даны в табл. 2.1.

На основании предварительных расчетов (Н. Halting) для достижения хоро-
шей коррекции остальных аберраций при е 0 следует выполнить следующие
условия rt = 0,612 •/', dm = 0,024 •/', da} = 0,5 • t7(1).

Необходимо вычислить: r(l), /j2), r(3), d^, d^.

Решение'.

= 118,67 mm; = 225,89 мм; r(1) = 153,00 мм; г® = -101,61 мм; /j3| = -331,25 мм;

d^ = 6,00 mm; = 3,00 мм.

Из графика на рис. 28, ж следует, что для ахромата положения плоскостей
изображения совпадает только для длин волн F' и С. Для других длин волн этого
не происходит. Данное явление носит название вторичного спектра. Устранение
вторичного спектра возможно в трехлинзовой системе при специальном выборе
стекол. (В двухлинзовой схеме для этого надо одну из линз сделать из флюорита,
который имеет особенно малую дисперсию.) Таким образом, получают апохрома-
тические системы. В апохроматах плоскость изображения находится в одном и том
же месте для трех длин волн (рис. 2.28, з), сферическая аберрация хорошо исправ-
лена для двух длин волн и выполняется условие синусов.

Аналогично ахроматическим линзам рассчитывается система из двух склеен-
ных клиньев (ахроматический клин). Для сравнения на рис. 2.29, а показаны тон-
Рис. 2.29. а — сравнение линзы с клином; б — линзовый ахромат и ахроматический
клин.

кий клин и тонкая линза. Так как фокусное расстояние линзы f для клина анало-
гично отрезку s', то условие ахроматизации (2.64) для клиньев примет вид

say/s4t =_v<i>/v(2) (2-65)

Так как для малых углов s' = —h/8, то из формул (5.9) и (2.65) следует:

к<о _ _ V<1) W<2> 1

ат v<j) nw ~ 1

(2.66)

где значения и и д' нужно взять для линии е. Из последнего уравнения получается,
что ат и <z(2) должны иметь различные знаки (рис. 2.29, 6).

Так как ахроматический клин должен обеспечить отклонение луча на опреде-
ленный угол 8, то из выражения 8= 8{1) + 8т следует второе уравнение для прелом-
ляющих углов:

0 + <z<2i(w(2> 0]’ (2-67)

Окончательные выражения для преломляющих углов следуют из формул (2.66)
и (2.67):

8 8 Гоч
5 “(2)
(<!)-’ )-[^-1 (И<2> “ -’l lV(D J

Пример

Для комбинации стекол (1) ВК 7 и (2) SF 10 (см. табл. 2.1) получается
а(1) = — 8- 3,45 и «(2) = 8-1,07.

Для ахроматических призм с большими преломляющими углами требуются бо-
лее точные расчеты.

Клинья прямого видения должны обеспечивать спектральное разложение и
не изменять направление излучения средней длины волны, т. е. 8 = 0 и J(l) = —3(2).
Из формулы (2.47) следует

°И) _ И<2) (

«ед «щ - 1 ’

(2-69)

где значения п' соответствуют линии е. Главная дисперсия 8Г. — 8С, клиньев прямо-
го видения равна

8Г 8С.

«()(<)-!) , Ох2>(<2, ->)
Vd) •Ъ
Окончательные выражения для преломляющих углов получаются из формул (2.69)
и (2.70).

Sr.-Sc П1)'П2). „ SF.-3C. У(1)-У(2)

(1> И(1) ~ 1 V(2) “ V(D ' <-> ~1 V<2> “ *'<'>

Для призм прямого видения с большими преломляющими углами требуются
более точные расчеты. Можно также разделить призму прямого видения на три или
пять отдельных призм и получить высокую угловую дисперсию при не очень боль-
ших углах а каждой призмы. Призма прямого видения аналогична двухлинзовой
склеенной системе с фокусным расстоянием, равным бесконечности. Такая специ-
ально рассчитанная двухлинзовая система с хроматической абберацией (одного знака)
может использоваться для компенсации хроматизма (равного, но противоположно-
го по знаку) других частей сложной оптической системы.

2.6. Применение асферических поверхностей

Асферическими называют все поверхности, форма которых отличается от сферы
или плоскости. В узком смысле это название применяют к поверхностям враще-
ния. Чаще всего такие поверхности используются для коррекции аберраций. Это
дает возможность обеспечить высокое качество изображения при малом числе по-
верхностей в оптической системе.

Другую большую группу асферических поверхностей составляют поверхности,
которые не являются поверхностями вращения, но обладают двумя взаимно пер-
пендикулярными плоскостями симметрии. Такие поверхности могут быть исполь-
зованы для создания в двух взаимно перпендикулярных направлениях различных
линейных увеличений, т. е. для получения анаморфированных изображений.

Изготовление и контроль асферических поверхностей в большинстве случаев
гораздо более трудоемко, чем сферических поверхностей. Существует целый рад
методов изготовления асферических поверхностей. Выбор конкретного метода за-
висит от требуемой точности, величины максимального отступления от сферы, га-
баритов детали и т. д. В массовом производстве наиболее экономически целесооб-
разными являются методы термопластичного формирования стекломассы или по-
лимеризации из полимерных материалов. Но пока такими методами могут быть
изготовлены только детали с невысокими требованиями к точности поверхности.

В параксиальной области любая вращательно-симметричная асферическая по-
верхность эквивалентна сферической поверхности (радиус г, кривизна с = 1/г). Вне
параксиальной области меридиональное сечение (это сечение содержит ось враще-
ния) асферической поверхности отклоняется от окружности. Наиболее часто форма
вращательно-симметричной асферической поверхности задается в виде:

1 +^1-(К+ !)• с2 h2

Поверхность второго порядка

К< -1

К = -1

-1 < к< о

к=о

к> о

Гиперболоид

Параболоид

Эллипсоид (

Сфера. При с = 0
плоскость

Эллипсоид

K^h4+ K6-h6+Ks-hs,
______________________ (2.72)

Деформация

Каждая поверхность второго по-
рядка может быть дополнительно
деформирована. При этом
коэффициенты К4, К6, Kt не
равны нулю.
Рис. 2.30. Вращательно-симметричные асферические поверхности:

а — параболоид; б — эллипсоид; в — гиперболоид; г — диафрагма в центре сферичес-
кого зеркала; д — пояснение принципа работы камеры Шмидта.

где z — стрелка прогиба для точки, удаленной от оптической оси на расстояние h.
Коэффициенты Х4, К6, Ks преимущественно влияют на удаленные от оптической
оси зоны поверхности.

Для отражающих поверхностей в виде гиперболоидов, параболоидов и эллип-
соидов вращения легко найти положения предмета и изображения, при которых
(и только при них!) сферическая аберрация полностью исправлена для всех лучей
пучка (рис. 2.30, а—в). Соответствующие зеркала используют в осветительных уст-
ройствах и зеркальных телескопах. Сферическая аберрация также может быть пол-
ностью устранена путем введения в оптическую систему асферических преломляю-
щих поверхностей. Например, в двухлинзовом конденсоре (рис. 2.24, г) можно за-
менить сферические поверхности на асферические. В результате получается
конденсор с минимальным числом элементов, работающий при достаточно широ-
ком угле расходимости падающего на него пучка. Однако меридиональные сечения
данных асферических поверхностей отличаются от кривых второго порядка. Нужно
учитывать, что устранение аберраций происходит только в пределах малого поля
(например, для небольшой спирали нити накаливания). Асферические поверхнос-
ти могут быть использованы не только для исправления сферической аберрации,
но и для обеспечения выполнения условия синусов и коррекции комы17.

Профиль поверхности коррекционной пластинки в меридиональном сечении
не является монотонной функцией. В качестве примера рассмотрим расположение
диафрагмы и коррекционной пластинки в камере Шмидта18. В свое время камера
Шмидта привела к большому прогрессу в строительстве зеркальных телескопов с
большими полями зрения (астрокамеры).

Если поставить диафрагму в центре кривизны сферического зеркала (рис. 2.30, г),
то астигматизм и кома полностью отсутствуют, так как главный луч любого на-
клонного пучка перпендикулярен поверхности зеркала. Следовательно, все па-
дающие на зеркало пучки лучей равноценны. Значительная сферическая аберра-
ция сферического зеркала может быть компенсирована коррекционной пластиной
(рис. 2.30, д), которая находится в плоскости диафрагмы. В середине коррекционная
пластинка работает как слабая собирающая линза, а на краю — как слабая рассеиваю-
щая линза (максимальные отклонения от плоскости составляют от 0,1 до 0,01 мм!).

17 Также возможно использование вращательно-симметричных асферических поверхностей
для коррекции астигматизма и дисторсии. На кривизну поля изображения асферические по-
верхности практически не влияют. (Прим, пер.)

18 Первую камеру Бернгардт Шмидт (1879—1935) построил в 1930 году. (Прим, пер.)
Поверхность изображения является сферической с радиусом rB = f' = r/l. Такая
кривизна поля может быть скомпенсирована прогибом поверхности фотоматериала
или дополнительными коррекционными линзами.

Линза Френеля чаще всего представляет собой отштампованный из пластмассы
тонкий диск, одна (или две) поверхности которого имеет ступенчатый профиль
(рис. 2.31). Если сдвинуть зоны ступенчатой поверхности до образования непре-
рывного профиля, то получится толстая линза. Такая толстая линза по своим опти-
ческим свойствам очень близка к линзе Френеля. При незначительной ширине
действующие зоны поверхности выполнены в виде конусообразных круговых кана-
вок (реализация «призматической модели», рис. 2.6, а!). Профиль ступенчатой по-
верхности рассчитывается из условия минимума аберраций. Поэтому линза Френе-
ля ведет себя как асферическая линза, хотя и обладает остаточными аберрациями.
Линза Френеля при незначительных габаритах и массе пригодна для простых оп-
тических систем (лупы, осветительные приборы). Например, линзы Френеля с отно-
сительно малым фокусным расстоянием и большими поперечными габаритами (в том
числе квадратными) находят применение в графопроекгорах (Overhead—Projektoren).
Так как границы между отдельными зонами линзы Френеля создают мешающую
экранирующую решетку, то кольцевые зоны делают как можно более тонкими. На
рис. 2.31 показана линза Френеля, в которой совмещены ступенчатые профили от
двух линз с различными фокусными расстояниями. Соответствующие профили
обозначены на рис. 2.31 красным и голубым цветом. Такие линзы хорошо исполь-
зовать в качестве фокусировочных экранов в зеркальных фотокамерах при приме-
нении различных сменных объективов.

Рис. 2.31. Линза Френеля, в которой совме-
щены ступенчатые профили от двух линз с
различными фокусными расстояниями.

У торической поверхности следует различать две плоскости: меридиональную
плоскость (т) и перпендикулярную ей плоскость вращения (г). Тор пересекает ме-
ридиональную плоскость и плоскость вращения по окружностям, которые имеют
различные радиусы гт Ф гг. На рис. 2.32 показано образование различных видов
торических поверхностей. Дуга окружности с радиусом гп вращается вокруг прямой А,
которая лежит в меридиональной плоскости и перпендикулярна оптической оси.
В этом случае вершина 5 описывает дугу окружности с радиусом г. При г = °°
получается цилиндрическая поверхность, ось которой совпадает с прямой А. Если
гт и г имеют разные знаки, то поверхность получается седлообразной. Случай г = г
соответствует сферической поверхности.

гт<г,
a

Рис. 2.32. Не вращательно-симметричные асферические поверхности:

а, б — торическая поверхность; в — цилиндрическая поверхность; г — седлообразная
поверхность.
В отличие от сферической поверхности, которая обладает астигматизмом для
наклонных пучков лучей, для торической поверхности астигматизм имеет место и
для точки О на оси. Это связано с тем, что хотя оптические характеристики тори-
ческой поверхности вычисляются по тем же формулам, что и для сферы, но отдель-
но для двух плоскостей симметрии т и г.

Для компенсации мешающего астигматизма могут использоваться линзы и зер-
кала с торическими поверхностями.

Цилиндрическая поверхность является частным случаем торической поверхно-
сти. Цилиндрические поверхности используются наиболее часто, так как их срав-
нительно просто изготавливать. Если одна из преломляющих поверхностей линзы
цилиндрическая, то вторая поверхность чаще всего плоская. Для создания анамор-
фированного изображения используются две скрещенные цилиндрические линзы
(рис. 2.33). Ось цилиндрической поверхности первой линзы перпендикулярна плос-
кости у — z (плоскость рисунка); фокусное расстояние в плоскости у — z равно f',
а в плоскости х — z первая линза имеет бесконечно большое фокусное расстояние.
Ось цилиндрической поверхности второй линзы перпендикулярна плоскости х — z;
фокусное расстояние в плоскости х — z равно а в плоскости у — z вторая линза
имеет бесконечно большое фокусное расстояние. При формировании анаморфиро-
ванного изображения необходимо обеспечить выполнение условия стигматизма для
плоскости изображения19. При выполнении этого условия все лучи, которые исхо-
дят от любой точки предметной плоскости, после прохождения ими оптической
системы пересекаются в единой точке плоскости изображения. Таким образом,
должны совпасть точки О' и О', в которых пересекаются плоские пучки лучей ис-
ходящие из точки Ov = Ол и идущие в плоскостях у — z и х — z соответственно. Если
цилиндрические линзы считать тонкими, а расстояние между линзами равно е, то,
последовательно применяя формулу (1.14) к плоскости у — z и к плоскости х — z,
при выполнении условий ау = аЛ + е, а'у = а' +е (см. рис. 2.33) получается:

± = 1__L+_L. к, 4 fy f^
“у е If;. If; \ е2

(2.73)

Линейные увеличения Д' и Д' в плоскостях у — z и х — z определяются по формуле
(1.18).

При различных значениях линейных увеличений Д' и Д' получается анамор-
фированное изображение. Действительное анаморфированное изображение дей-
ствительного предмета получается только при отрицательных значениях а и ах.

Рис. 2.33. Система из двух цилиндрических линз.

*’ Имеется в ввиду, что условия стигматизма выполняются для параксиальной области. Так же
как и линзы с вращательно-симметричными поверхностями, системы с торическими и ци-
линдрическими линзами обладают аберрациями. (Прим, пер.)
При // = f' и е — 0 система из двух тонких цилиндрических линз (оси цилинд-
рических поверхностей взаимно перпендикулярны) эквивалентна обычной линзе
со сферическими поверхностями. Если оси цилиндрических поверхностей двух линз
параллельны, то фокусное расстояние всей системы для плоскости, которая пер-
пендикулярна осям цилиндрических поверхностей, определяется по формуле (2.32),
как для линзы со сферическими поверхностями. Во второй плоскости f = <«=.

Анаморфированное изображение используется, например, в широкоэкранном
кинематографе. Анаморфотная насадка на объективе камеры при съемке сжимает
снимаемую сцену по ширине (|/?'| <|/^|)- При проекции происходит компенсация
искажений (|/?'| > Цилиндрические линзы могут использоваться в осветитель-
ных приборах. В этом случае обычно нет необходимости в получении стигматичес-
кого изображения светящейся поверхности. Например, цилиндрические линзы не-
обходимы для согласования нити накаливания в форме квадрата с прямоугольной
щелью.

Анаморфотные системы могут быть построены очень многими способами, в
том числе с призмами и в виде комбинации зрительной трубы из цилиндрических
линз с линзой со сферическими поверхностями. Такие анаморфотные системы все-
гда могут быть заменены на эквивалентную систему из двух скрещенных цилинд-
рических линз.

Использование цилиндрических линз при создании и воспроизведении стерео-
скопических изображений изложено в разд. 6.4.4.

Пример

В устройстве охранной сигнализации (световой барьер) нить лампы нака-
ливания размером 3x3 мм должна с помощью двух тонких плоскоцилиндри-
ческих линз резко проецироваться на прямоугольное отверстие шириной 9 мм и
высотой 21 мм. При этом необходимо, чтобы изображение нити накаливания
полностью заполняло отверстие. Отверстие находится на расстоянии 200 мм от
нити лампы. Требуется рассчитать фокусные расстояния и положения обеих
линз, а также радиусы кривизны поверхностей линз при использовании стекла
ВК 7.

Решение:

Если пренебречь толщинами линз, то д' - ау = 200 мм; д' /ау = Р'у = -7;
д' - дх = 200 мм; д'/дх = Р'х = -3. Тогда ау = -25 мм; д'. = 175 мм; дх = -50 мм;
д' = 150 мм. Из уравнения (1.14) следует: f’. = 21,88 мм, f' = 37,5 мм. При г; = °°
по формуле (2.25) находятся радиусы вторых поверхностей линз; г = —11,35 мм,
= —19,45 мм. Линзы удалены от лампы накаливания на 25 и 50 мм соответ-
ственно. Расположение линз соответствует рис. 2.33.

2.7. Расчет хода лучей вне параксиальной области

На основе расчетов параксиальных лучей определяют основные характеристики
оптической системы. Но для вычисления аберраций (см. разд. 2.5) и при решении
еще целого ряда задач необходимо выполнить расчет через оптическую систему
реальных (т. е. не параксиальных) лучей. Расчет хода луча состоит из двух основ-
ных шагов. На первом шаге определяется точка пересечения луча с поверхностью,
а на втором шаге вычисляется направление преломленного луча с использованием
закона преломления [уравнение (1.4)]. Расчет луча можно вести по аналитическим
формулам или использовать графические методы.
2.7.1. Расчет хода луча

Последующее изложение основ расчета хода луча ограничено случаем меридио-
нального луча в центрированной системе (луч и оптическая ось, лежат в одной
плоскости, т. е. луч или пересекает оптическую ось или параллелен ей). Основные
обозначения представлены на рис. 2.2. Чтобы различать величины, которые не от-
носятся к лучам в параксиальной области, от соответствующих параксиальных ве-
личин, обозначения непараксиальных величин дополняются волнистой линией (тиль-
дой, «-»).

Пусть для поверхности % известны параметры г, п, ri. Чаще всего в качестве
координат падающего луча используются S, ё. Если вместо ё задана высота h
точки пресечения луча с поверхностью, то угол между лучом и осью ё находят из
выражения

ё = arctg

стрелка прогиба р

(2.74)

По входным координатам S, ё рассчитываются координаты преломленного луча:

= arcsin (s - г . S' SH1<7 I r / - arcsin ( n s - r . ' sincr rf r + ct; (2.75)
£ £f

л sin ст

(2-76)

ri sin ст

Если подставить sin ст = ст в выражение (2.75), то после соответствующих преобра-
зований из формулы (2.76) снова получается уравнение (2.36).

Для плоской поверхности (г = ~), которая перпендикулярна оси, формулы
(2.74)—(2.76) упрощаются:

ст = arctg—;

(2.77)

. [ п . _
ст = arcsin —sin ст
1л'

(2.78)

- tgCT

5------

tgCT7

(2.79)

Если падающий луч параллелен оптической оси (5 = °°, ст = 0), то должно быть
задано значение h. Так как в этом случае sin ё = h/r, то координаты преломленного
луча равны

. h . л h

ст = arcsin — arcsin-----------

г ri г

(2.80)

n-h

ri sin ст'
Кроме этих специальных случаев расчет хода луча через поверхность % ведется
по формулам (2.75) и (2.76). Для перехода к следующей поверхности х+ 1 исполь-
зуются соотношения:

^+1 = д'/, nx+l = п/ sxtl = s'x - d'x. (2.82)

Для вычисления высоты hx + 1 точки пересечения луча с поверхностью % + 1
используется формула (индекс % + 1 опущен):

(2.83)

Для плоскопараллельной пластины, которая находится в воздухе, осевое сме-
щение преломленного реального луча равно

Об' = d

COSg

jn7 - sin2 ё

(2.84)

где в (= ст) — угол падения луча на пластинку. В параксиальной области (cos е - 1;
sing» £«л) последняя формула переходит в выражение (2.37). Поперечное смеще-
ние луча равно

v = ОО’ sing. (2.85)

В параксиальном приближении формула (2.85) и выражение (2.38) эквивалентны.

Пример

После формулы (2.4) приведен пример, в котором использовались сле-
дующие данные: г — 80 мм, п = 1, п' = 1,5, s = —200 мм. Теперь из той же
осевой точки предмета (s = -200 мм) под углом ст = -6° к оптической оси вы-
ходит реальный луч (см. рис. 2.2). Из выражения (2.75) получаем
g = 21,459879°, ё' = 14,116822°. Соответственно, координаты выходящего луча
равны ст' = 1,343057°, s' = 912,471 мм. А для параксиального луча ранее было
получено значение s' = 1200 мм!

Хотя угол луча с осью —6” является относительно малым, углы ё и ё' дости-
гают величин, которые приводят к значительным отклонениям от паракси-
ального приближения. Например, при ст = -0,5° получаются значения
ст' = 0,083517°, s' = 1197,517 мм, что близко к параксиальным величинам.

2.7.2. Графическое построение хода лучей

На рис. 2.34, а показана сферическая поверхность, которая разделяет стекло и воз-
дух. Падающий луч пересекает поверхность в точке Р. Точка Р является центром
двух дуг окружностей с отношением радиусов г/г’ = и/и' (показатели преломления
для линии е или другой длины волны). Здесь, например, г = 100,0 мм, г' = 162,4 мм
(данные стекла F 2, см. табл. 2.1).

Луч пересекает дугу окружности с радиусом г во вспомогательной точке Q.
Проведем прямую PC и параллельно ей прямую QR, которая пересекает дугу ок-
ружности с радиусом г' во вспомогательной точке R. Тогда преломленный луч идет
вдоль прямой PQ.

Для быстрого построения хода луча через несколько поверхностей можно ис-
пользовать шаблон [2.8], на котором нанесены дуги окружностей для воздуха и
входящих в оптическую систему стекол (рис. 2.34, в). При построении точка Р
шаблона совмещается с точкой пересечения луча с поверхностью.
б

Рис. 2.34. Графическое построение хода лучей:

а — дуги окружности с центром в точке Д; б — дуги окружности с центром в точке С,;
в — шаблон; г — ход луча через призму.

Если необходимо выполнить расчет многих лучей через систему с малым чис-
лом поверхностей, то целесообразно обратиться к способу, который показан на
рис. 2.34, б. Пусть на сферическую преломляющую поверхность с центром кривиз-
ны в точке Ct и радиусом гх в точке Р падает луч. Построим две вспомогательные
дуги окружностей с центром в точке Сх и радиусами г = г{п/п' пг' = г^п'/п. Падаю-
щий луч пересекает дугу окружности с радиусом г' во вспомогательной точке Q.
Прямая С, Q пересечет дугу окружности с радиусом г в точке R. Преломленный луч
идет вдоль прямой PR.

При построении хода луча через плоскую поверхность вместо радиуса PC
(рис. 2.34, с) используется перпендикуляр в точке Р. Направления луча после пре-
ломления на двух поверхностях призмы находят в соответствии с рис. 2.34, г. На
этом рисунке отрезок QXA параллелен падающему на призму лучу; прямая R Q
параллельна отрезку РХР2, отрезок AR2 параллелен выходящему из призмы лучу.
Построение хода луча графическим методом требует относительно больших затрат
времени, чем расчет луча с использованием калькулятора, который автоматически
рассчитывает тригонометрические функции. Кроме того, графический метод обла-
дает худшей точностью, но этот метод сразу дает наглядную картину прохождения
лучей, необходимых световых диаметров линзы и т. д. Графический метод достато-
чен для простых систем (например, линзы осветительных приборов) и применим
также в случае децентрированных поверхностей20 (например, линзы с поперечным
смещением или наклоном)!

20 Современное программное обеспечение позволяет рассчитывать ход лучей практически через
любые оптические системы. Результаты расчетов могут быть представлены в виде массивов
чисел или в виде рисунков. В настояшее время формулы разд. 2.7.1 и методы графического
построения хода лучей фактически используются только в учебном процессе. (Прим, пер.)
2.8. Потери на отражение
и просветляющие покрытия

Коэффициент отражения (спектральный коэффициент отражения, см. разд. 4.1.4)
рх на границе двух преломляющих поверхностей рассчитывается по формулам Фре-
неля с учетом положения плоскости поляризации (вектор напряженности электри-
ческого поля параллелен или перпендикулярен плоскости падения):

А =

п - COSs' - и' • COST
И- COSS' -и' -COSS

(2.86а)

Рг =

л' • coss'- л • coss
ri • Coss' + и • coss

Для неполяризованного света коэффициент отражения равен р* = (р± + Р„)/2.
Если падающий луч перпендикулярен поверхности (s = 0°, cos s = cos s' = 1), то
плоскость падения не определена. Коэффициент отражения в этом случае вычис-
ляется по формуле

р = . (2.866)

\jix +пх)

В большинстве случаев рассчитанный для перпендикулярного падения луча
коэффициент отражения достаточно точно соответствует действительности, так как
коэффициент отражения медленно растет с ростом угла падения. Например, для
границы воздух/стекло (л = 1, ri = 1,55) для неполяризованного света получается
Рх = 4,65 % при s = 0° и рх = 6,50 % при s = 50°. Если значение показателя прелом-
ления стекла неизвестно, то для границы воздух/стекло можно принять рх — 5—6 %.
Для линзы или пластины с двумя поверхностями общие потери на отражение со-
ставляют примерно 10 %, а общий коэффициент пропускания 90 %. Тогда для к
отдельно расположенных линз получается т = 0,9*. Например, при шести линзах
коэффициент пропускания составит 53 %! Но для трех склеенных друг с другом
линз коэффициент пропускания будет таким же, как для одной линзы, так как
согласно уравнению (2.86) на склеенных поверхностях потери на отражение очень
незначительны. По сравнению с потерями на отражение поглощением в стекле
можно пренебречь.

Кроме уменьшения коэффициента пропускания, многократное отражение от
поверхностей в системе линз приводит к понижению контраста, так как рассеян-
ный свет попадет на плоскость изображения. Поэтому для систем с большим чис-
лом границ стекло/воздух необходимо уменьшать потери на отражение.

Для получения малых потерь при отражении на границе стекло/воздух исполь-
зуют просветляющие покрытия, действие которых основано на явлении интерфе-
ренции. Пусть между воздухом (и) и стеклом (л') находится промежуточный слой
(nJ. Волны, отраженные от граничных поверхностей л/лг и nJ ri, взаимно гасятся
при выполнении следующих условий: амплитуды волн равны; разность оптических
путей составляет Я/2 (рис. 1.2, в; ср. также разд. 7.1). Такой же результат, но при
учете многократного отражения получен в [1.3, 2.20]. Равные амплитуды имеют
место при совпадении коэффициентов отражения от двух граничных поверхностей.
Тогда из уравнения (2.86) следует: (и - л)2/(л, + л)2 = (л' - и )2/(л' + л )2. Для
выполнения условия равенства амплитуд показатель преломления просветляющего
слоя должен быть равен:

ns = Jn ri; для границы воздух/стекло: ns = Jri.

(2.87)
2.8. Потери на отражение и просветляющие покрытия

Рис. 2.35. Снижение потерь на отражение при различном числе слоев просветляющего
покрытия для границы стекло/воздух.

Далее следует обеспечить разность оптических путей Я/2 при геометрической
толщине просветляющего слоя При перпендикулярном падении отраженная от
второй граничной поверхности волна дважды проходит просветляющий слой ds,
поэтому разность оптических путей составляет 2d.ns. Из условия разности оптичес-
ких путей следует:

d^- (2-88)

Интерференционное гашение отраженного света приводит к увеличению доли
энергии проходящего света. Полностью избежать потерь на отражение нельзя, так
как условие оптических путей выполняется только для средней длины волны, на-
пример для Л = 550 нм. Также нельзя строго выполнить условие равенства ампли-
туд, так как для просветляющего слоя нет материалов с нужным показателем пре-
ломления. Обычно в высоком вакууме напыляется слой из фторида магния MgF2 с
ns = 1,38. При этом условие равенства амплитуд будет строго выполнено только для
стекла с и = 1,91. Использование просветляющих покрытий позволяет уменьшить
коэффициент отражения примерно с 5 до менее 1 %. Очень хорошее, равномерное
снижение потерь на отражение в широком спектральном диапазоне получают на-
пылением до трех слоев с различными показателями преломления и толщиной. Но
это требует значительно более высоких затрат на изготовление21.

Снижение потерь на отражение при различном числе слоев просветляющего
покрытия показано на рис. 2.35.

21 В настоящее время для расчета многослойных покрытий с заданными спектральными ха-
рактеристиками (просветляющие покрытия, цветоделительные покрытия, интерференцион-
ные фильтры и т. д.) используется компьютерное моделирование. (Прим, пер.)
ГЛАВА 3

ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ

В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

3.1. Диафрагмы

До этого места при изучении свойств оптических элементов использовался расчет
отдельных вспомогательных лучей. На рис. 3.1 изображена упрощенная схема фо-
токамеры. Черными линиями на этом рисунке показан ход вспомогательного луча,
который исходит из точки Р, параллельно оптической оси; после прохождения линзы
этот луч пересекает плоскость пленки в точке Р( (сравните рис. 1.9 и 3.1). Однако в
действительности изображение точки Р, формируют совсем другие лучи, которые
проходят через оправу линзы (на рис. 3.1 эти лучи выделены красным цветом).
Таким образом, оправа линзы ограничивает световые габариты пучка (апертуру), и
поэтому ее называют апертурной диафрагмой (АД).

На рис. 3.1 синим цветом показаны вспомогательные лучи, которые идут от
точек Р„ Рр 0р Q2 и проходят через главные точки линзы. Однако те участки
пленки, где должны находиться изображения точек Р2 и Q2, перекрыты кадровой
рамкой. Так как кадровая рамка определяет границы изображаемого поля, то она
называется полевой диафрагмой (ПД).

Рис. 3.1. Апертурная и полевая диафрагмы.

Ограничению пучков в оптической системе следует уделять большое внимание,
так как от этого сильно зависит освещенность изображения, величина аберраций,
разрешающая способность и глубина резко изображаемого пространства.

На рис. 3.2 пучки ограничивает не оправа линзы, а специально установленная
перед линзой АД. От точек Р, С и от всех других точек предмета исходят пучки
лучей, которые после прохождения диафрагмы падают на оптическую систему.
Поэтому в рассматриваемом случае АД выполняет роль входного зрачка (вх. зр.).
Линза строит изображение АД точно так же, как и любого другого предмета. Изоб-
ражение входного зрачка (или АД) называется выходным зрачком (вых. зр.). Дан-
ное название указывает на то, что выходной зрачок определяет световые габариты
пучков лучей, которые после прохождения оптической системы собираются в точ-
3.1. Диафрагмы

Рис. 3.2. Люки и зрачки как изображения соответствующих диафрагм.

ках плоскости изображения (Р', Q' и т. д.). Так как на рис. 3.2 выходной зрачок
является мнимым изображением АД, то его пересекают не сами лучи, а продолже-
ния этих лучей.

Если АД расположена за оптической системой (по направлению распростране-
ния света), то она является выходным зрачком, так как все идущие к точкам изоб-
ражения пучки лучей должны пройти через отверстие диафрагмы. Тогда изображе-
ние выходного зрачка (в обратном ходе лучей через систему) является входным
зрачком! Часто (например, в фотообъективах) АД расположена между двумя частями
оптической системы (каждая часть системы может состоять из нескольких линз).
Тогда сама АД не является ни входным, ни выходным зрачком. Изображения диаф-
рагмы через соответствующие части системы (1) и (2) являются входным и выход-
ным зрачками (рис. 3.3). Мнимое изображение входного зрачка можно увидеть
при взгляде через передние линзы объектива. В этом случае направление распро-
странения света (справа налево) противоположно обычно принятому! При нор-
мальном (слева направо) направлении распространения света входной зрачок мож-
но рассматривать как мнимый предмет, а АД — как его действительное изображе-
ние (см. пример 2!).

Примерами АД являются ирисовые диафрагмы в камерах, оправы объективов
или зеркал, ограничители светового потока у источников света (см. ниже).

Если АД лежит внутри оптической системы, то для определения входного
зрачка следует построить изображение диафрагмы через ту часть оптической
системы, которая расположена между предметом и диафрагмой. Для определе-
ния выходного зрачка следует построить изображение АД через ту часть опти-
ческой системы, которая расположена между диафрагмой и плоскостью изоб-
ражения.

Рис. 3.3. Апертурная диафрагма между двумя частями оптической системы.
Поле системы на рис. 3.2 ограничивает ПД, которая находится в плоскости
предмета. Пусть, например, предметом является слайд. Тогда ПД является рамка
слайда, так как она определяет границы проецируемой части слайда. Полевая ди-
афрагма в этом случае выполняет роль входного люка (вх. люк). Очевидно, что
оптическая система строит изображение входного люка точно так же, как предмета.
Изображение входного люка называется выходным люком (вых. люк). Полевая ди-
афрагма может быть также расположена в плоскости изображения (см. рис. 3.1).
Тогда она совпадает с выходным люком; изображение ПД (выходного люка) в
обратном ходе лучей лежит в предметной плоскости и является входным люком!
В многокомпонентных системах ПД может также находится в плоскости проме-
жуточного изображения (например, диафрагма в окуляре зрительной трубы или
микроскопа). Тогда сама ПД не совпадает ни с входным, ни с выходным люком.
Входным и выходным люками являются изображения ПД через соответствующие
части оптической системы.

3.2. Свойства зрачков и люков

В оптической системе можно выделить две группы плоскостей: плоскости зрачков
и плоскости люков.

Этим группам плоскостей соответствуют апертурные и полевые диафрагмы
и/или их изображения.

При одном и том же ходе лучей люки и зрачки никогда не совпадают.

Зрачки оптически сопряжены (т. е. они соответствуют друг другу как
предмет и его изображение). Апертурной диафрагмой называется материальная
(т. е. реально существующая) диафрагма, которая оптически сопряжена со зрач-
ками. Она может совпадать с входным зрачком или с выходным зрачком.

Люки оптически сопряжены. Полевой диафрагмой называется материаль-
ная диафрагма, которая оптически сопряжена с люками. Она может совпадать с
входным люком или с выходным люком.

Если точки входного зрачка соединить лучами с соответствующими точками
входного люка (аналогично для выходного зрачка и выходного люка), как это пока-
зано на рис. 3.4, то можно дать следующее определение для зрачков и люков.

Входной зрачок является общим поперечным сечением всех конусообраз-
ных (гомоцентрических) пучков, вершины которых лежат в пределах входного
люка. Входной люк является общим поперечным сечением всех конусообраз-
ных пучков, вершины которых лежат в пределах входного зрачка. Для выходно-
го зрачка и выходного люка эти определения аналогичны.

вых. люк

вых, зр.

световая трубка
в пространстве
предметов

световая трубка
в пространстве
изображений

Рис. 3.4. Гомоцентрические пучки при зрачках и люках.
В каждой оптической системе, в том числе если она состоит из нескольких
компонентов, только одна диафрагма является АД и только одна диафрагма являет-
ся ПД. Если по ходу луча расположены несколько диафрагм, то для нахождения АД
определяют, какая диафрагма или какое изображение диафрагмы в пространстве
предметов видны из осевой точки предмета под наименьшим углом. Эта диафрагма
сильнее всего ограничивает световые габариты пучка1; другие диафрагмы при этом
не оказывают влияния. Для другой точки на оптической оси (измененное положе-
ние предмета) АД может быть иная диафрагма.

Аналогично находятся границы поля системы. Если в предметной плоскости, в
плоскости изображения или (при необходимости) в плоскости промежуточного
изображения расположены диафрагмы, то полевой будет та диафрагма, которая
сильнее всего ограничивает поле системы.

Характер взаимной зависимости между распределением освещенности в плос-
кости зрачка и распределением освещенности в плоскости люка обусловлен тем,
что любая точка входного (выходного) люка соединяется лучами со всеми точками
входного (выходного) зрачка2 (см. рис. 3.4).

При локальных изменениях освещенности в отдельных зонах плоскости
зрачка освещенность в каждой точке плоскости люка изменяется в одно и то же
число раз, т. е. распределение освещенности в плоскости люка остается неиз-
менным с точностью до константы. Аналогичное правило действует для зрачка
в случае изменения распределения освещенности в плоскости люка.

Например, при повороте кольца ирисовой диафрагмы закрываются внешние
зоны зрачка, т. е. происходит локальное изменение освещенности в плоскости зрачка.
При этом поле изображения в плоскости пленки не уменьшается, но изображение
будет более темным.

Из этого также следует, что малая частица, которая приводит к частичному
затенению плоскости зрачка (амплитудный объект), в плоскости изображения
будет малозаметной, т. е. мелкие царапины, пузыри, пыль на поверхностях линз
вблизи зрачков на изображении не видны. Они только уменьшают — по боль-
шей части несущественно — яркость изображения (без учета увеличения рассе-
янного света, обусловленного дифракцией). Но подобные дефекты не должны
располагаться поблизости от люков, так как тогда они будут накладываться на
изображение!

Наоборот, прозрачные фазовые объекты (местные неоднородности оптических
поверхностей, локальные изменения показателя преломления в форме свилей и т. д.)
вблизи люков оказывают на изображение незначительное влияние. В то же время
такие дефекты значительно ухудшают изображение, если находятся поблизости от
зрачков.

При известных положениях фокальных и главных точек оптической системы
положение и величину изображения можно рассчитать или определить графичес-
ким способом. Однако такой расчет или графическое построение не дают никакой
информации о фактическом прохождении лучей. При известных положениях и раз-
мерах входного и выходного зрачков молено найти ход граничных (крайних) лучей
пучка. Обратимся снова к рис. 3.2. Так как АД находится перед системой, то она
является входным зрачком. Параметры ее изображения (т. е. выходного зрачка)
можно найти, используя формулу (1.14), или графически построить ход вспомога-
тельных лучей, идущих из точки на краю диафрагмы. После того как определены
положение и размеры выходного зрачка, в пространстве изображений можно про-

1 Имеется в виду пучок, исходящий из осевой точки предмета. (Прим, пер.)

2 Это верно, если в системе отсутствует виньетирование. (Прим, пер.)
следить ход граничных лучей пучков. Для этого следует соединить точки края вы-
ходного зрачка с соответствующими точками в плоскости изображения (выходной
люк). На рис. 3.4 эти построения показаны для более общего случая. Главные лучи
пучков (они выделены голубым цветом) проходят через центр входного и соответ-
ственно через центр выходного зрачка. Заполненное лучами пространство между
соответствующими люками и зрачками называют световой трубкой. Световые трубки
между входным люком и входным зрачком относятся к пространству предметов,
световые трубки между выходным зрачком и входным люком относятся к простран-
ству изображений.

При расчете и конструировании оптических приборов необходимо учитывать
габариты световых трубок, которые определяются ходом соответствующих гра-
ничных лучей. Когда в границы световых трубок попадают элементы конструк-
ции, диафрагмы, крепежные устройства и т. д., то нерезкие изображения подоб-
ных элементов появляются в плоскости изображения. При этом изменяется рас-
пределение освещенности в плоскости изображения, и поле изображения не имеет
резких границ. Такое затенение пучков лучей носит название виньетирования.
Следовательно, лежащие в пределах световых трубок элементы, например зеркало
или призма, должны иметь определенные размеры, достаточные для того, чтобы
световые трубки не срезались. С другой стороны, при известных габаритах свето-
вых трубок можно располагать вспомогательные диафрагмы таким образом, что-
бы через них проходили только световые трубки, а мешающий рассеянный свет
задерживался!

На рис. 3.5 показана оптическая схема, в которой предмет не является самосве-
тящимся и не рассеивает диффузно падающее на него излучение. Например, такая
схема используется при диаскопической проекции, где предметом может быть слайд
(см. разд. 6.3). На каждую точку предмета (в том числе точку Р) от каждой точки
светящейся поверхности (спирали лампы накаливания) падают лучи света. В точке
Р лучи не изменяют своего направления. Тогда размеры и положение светящейся
поверхности определяют габариты входящего в оптическую систему пучка.

изображение

Рис. 3.5. Светящаяся поверхность, которая
действует как зрачок.

При этом светящаяся поверхность действует так же, как входной зрачок, а изоб-
ражение светящейся поверхности является выходным зрачком. В плоскости выход-
ного зрачка находится максимальное сужение пучка лучей в пространстве изобра-
жений. Все исходящие от светящейся поверхности и прошедшие через систему
лучи также проходят через изображение светящейся поверхности. На оправе линзы
может иметь место виньетирование: оправа обрезает края пучка и, если полевая
диафрагма отсутствует, ограничивает (при расплывчатых краях) поле изображения.

Примеры:

1. Тонкая линза строит изображение предмета с линейным увеличением
Р = —0,5. Плоскость изображения находится на расстоянии 150 мм от предмет-
ной плоскости. Для пяти диафрагм указаны диаметры D и расстояния / от пред-
метной плоскости до плоскости диафрагмы:

Диафрагма 1: /, = 0 мм, Dt = 80 мм

Диафрагма 2: 12 = 90 мм, D2 = 10 мм

Диафрагма 3: /3 = 100 мм, D3 = 25 мм
Диафрагма 4: /4 = 120 мм, Л4 = 30 мм

Диафрагма 5: /5 = 150 мм, Ds = 30 мм

Задания:

а) Определить положение линзы и ее фокусное расстояние.

б) Начертить расположение диафрагм относительно линзы в масштабе 1:1.

в) Какая диафрагма является полевой? Какая диафрагма является апер-
турной?

г) Где расположены зрачки и люки?

д) Какие диафрагмы не ограничивают пучок лучей?

Решение:

а) Из формулы (1.12) следует, что линза расположена в плоскости диафраг-
мы 3 и имеет фокусное расстояние f = 33,3 мм. Диафрагма 3 является оправой
линзы.

в) Диафрагма 5 является полевой диафрагмой и выходным люком; диафраг-
ма 2 является апертурной диафрагмой и входным зрачком.

г) Входной люк является действительным изображением диафрагмы 5 в плос-
кости диафрагмы 1 (в обратном ходе). Выходной зрачок является мнимым изоб-
ражением диафрагмы 2. Так как дд 2 = —10 мм, то а'Д 2 — —14,3 мм. Диаметр
выходного зрачка равен 14,3 мм.

д) Диафрагма 1 и диафрагма 4.

2. На расстоянии 30 мм за главной плоскостью Н' объектива (/' = 100 мм,
НН' =10 мм) находится апертурная диафрагма диаметром 20 мм.

а) Является ли эта диафрагма входным или выходным зрачком?

б) Рассчитать положение и диаметр изображения диафрагмы.

Решение:

а) Диафрагма является выходным зрачком.

б) Входной зрачок здесь следует рассматривать как мнимый предмет, дей-
ствительное изображение которого является выходным зрачком. Так как зада-
но d = 30 мм, то входной зрачок находится на расстоянии а = 42,86 мм от Н.
(а > 0 следовательно, входной зрачок мнимый.) Линейное увеличение в зрачках
равно Д' = а'/а, тогда зр = 28,57 мм.

На рис. 3.6, а показан случай, когда апертурная диафрагма находится в задней
фокальной плоскости F' объектива (т. е. в пространстве изображений) и, следова-
тельно, совпадает с выходным зрачком. Входной зрачок (изображение апертурной

Рис. 3.6. Влияние смещения объектива на величину изображения при телецентричес-
ком (красный цвет) и обычном (голубой цвет) ходе лучей.
диафрагмы) лежит в бесконечности. Тогда изображение точек предмета О, Р, Q
формируют пучки, у которых в пространстве предметов главные лучи идут парал-
лельно оптической оси (после объектива главные лучи идут через центр выходного
зрачка, точку F'). На установленном неподвижно экране расположены резкие изоб-
ражения О', Р', Q'.

Если теперь немного сдвинуть предмет вдоль оптической оси (при неизменном
положении экрана), то положение плоскости изображения (которое рассчитывает-
ся по формулам параксиальной оптики) сместится относительно экрана. Изобра-
жения точек на экране будут в этом случае нерезкими.

Следует особо отметить, что полевые углы w' главных лучей крайних пучков не
изменяются. Длина отрезка у’ в плоскости экрана остается постоянной (рис. 3.6, б).

Поэтому телецентрический ход лучей (т. е. когда главные лучи пучка парал-
лельны оптической оси) играет важную роль в измерительной технике, например в
измерительных проекторах, где по результатам измерений линейных размеров изоб-
ражения детали должны быть определены точные размеры самой детали. При ис-
пользовании телецентрического хода лучей можно вести расчеты при одном и том
же значении линейного увеличения Д', даже если предмет немного смещен вдоль
оптической оси и его изображение немного не резко. В рассматриваемом случае
имеет место телецентрический ход луча в пространстве предметов. Выходной зра-
чок, который является центром перспективы, лежит в бесконечности. Поэтому по-
лучается параллельная проекция предмета. В пространстве изображений должны
быть неизменными расстояния объектив — апертурная диафрагма — экран. Наобо-
рот, голубые лучи на рис. 3.6, б показывают, что при центральной проекции (центр
перспективы — входной зрачок — находится на конечном расстоянии) при смеще-
нии объекта и при неизменном положении экрана происходит изменение отрезка у'.
Телецентрический ход лучей может быть использован только для относительно малых
предметов, так как из рис. 3.6, а следует, что световой диаметр системы должен
быть большим, чем диаметр поля предмета.

Если располагают апертурную диафрагму в фокальной точке F, то она является
входным зрачком, и выходной зрачок лежит в бесконечности. Получают телецент-
рический ход луча в пространстве изображений. Тогда при неизменном положении
предмета небольшое смещение экрана не вызывает изменения линейного увеличе-
ния Р'.

3.3. Параметры, характеризующие
ограничения пучков

Световые габариты пучка, который исходит из точки предмета О, определяются
положением и световыми габаритами входного зрачка. Широкий пучок обеспечи-
вает высокую освещенность в плоскости изображения, малые дифракционные ис-
кажения, но обладает более большими аберрациями, чем узкий пучок. Для описа-
ния световых габаритов пучка применяется система согласованных параметров.

1. Для систем, которые предназначены для работы с предметами, находящими-
ся на различных и достаточно больших расстояниях (зрительная труба и фотообъ-
ектив, проекционный объектив, если его рассматривать в обратном ходе лучей),
указывают диафрагменное число к (DIN 4522 Bl. 1):

<3.1)

вх. зр.

где Z>sx зр — диаметр входного зрачка (рис. 3.7, а). Если входной зрачок не круглый,
то под зр понимают диаметр круга, площадь которого равна диаметру входного
3.3. Параметры, характеризующие ограничения пучков

Рис. 3.7. К описанию:

а, б — световых габаритов лучка; в — и величины поля системы.

зрачка. Диафрагменное число возрастает с уменьшением диаметра входного зрачка.
Для того чтобы иметь параметр, который пропорционален диаметру входного
зрачка, вводится понятие относительного отверстия 1/Л (DIN 4521). Например,
при диафрагменном числе к = 2,8 относительное отверстие указывается в формате
1:2,8. У зрительных труб просто указывается диаметр входного зрачка (DIN 58386).
Пример: Гравировка на оптическом прицеле «4 х 15» означает: увеличение 4х,
Лхзр.= 15 мм-

2. Для систем, в которых предмет расположен на незначительном и слабо меня-
ющемся расстоянии (лампа перед конденсором в проекторе, препарат перед объек-
тивом микроскопа), указывают числовую апертуру А:

А = п • sin и, (3.2)

где п — показатель преломления в пространстве предметов; и — половинный
угол при вершине пучка лучей, исходящих из предметной точки (рис. 3.7, 6).
Чаще всего п = 1.

Пример

Объектив, в котором выполняется условие синусов, имеет следующие пара-
метры f = 70 мм, к = 2.8. Этот объектив строит бесконечно удаленное изобра-
жение. Чему равна числовая апертура? (и = 1).

Решение:

А=\/21с, А = 0,179.

Полевая диафрагма устанавливается в тех случаях, когда поле изображения дол-
жно иметь резкие границы. Поперечные размеры полевой диафрагмы обычно вы-
бираются из условия обеспечения в пределах всего поля системы допустимых зна-
чений аберраций. Величину поля системы можно описывать двумя различными
способами:

1) непосредственно указывается диаметр поля системы (или линейные разме-
ры, например при прямоугольном поле системы). Тогда также нужно указывать
соответствующее расстояние до предмета, чтобы можно было сравнивать поля раз-
личных оптических приборов. Например, для полевого бинокля поле системы можно
описать так: «поле в пространстве предметов 120 м для дистанции 1000 м».

У микроскопов расстояние до предмета чуть больше, чем переднее фокусное
расстояния объектива, и определяется условиями наблюдения. В этом случае про-
сто указывается диаметр поля предмета в миллиметрах;

2) для любых систем размеры поля можно описывать угловым полем3 2w. При
этом полевой угол w равен углу между оптической осью и главным лучом пучка,
исходящего из крайней точки предмета (рис. 3.7, в).

Это нельзя сделать при телецентрическом ходе лучей. (Прим, пер.)
Глава 3. Ограничение пучков лучей в оптических системах

Пример

Какое уголовое поле 2w соответствует описанному выше полевому биноклю?

Решение:

tgw = 0,06; 2w ~ 6,9 °.

3.4. Полевые линзы и конденсоры

В разд. 2.2.4 был рассмотрен расчет параметров многокомпонентных оптических
систем. Тогда не было необходимости рассматривать прохождение пучков лучей,
формирующих оптическое изображение. На рис. 3.8, а показана оптическая систе-
ма из двух тонких компонентов L ( и Т(2). Поверхность предмета перпендикулярна
оптической оси. За компонентом £(1) находится плоскость промежуточного изобра-
жения, которая не совпадает с экраном и не лежит в пределах какой-либо оптичес-

Рис. 3.8. Согласование размеров поля для двух компонентов оптической системы при
использовании рассеивающей поверхности и с применением полевой линзы.
Ход лучей через конденсор и объектив при диапроекции.
кой детали. Положения точек О', Р{, Р{, О[, О'г в этой плоскости соответствуют
вершинам гомоцентрических пучков лучей. Эти пучки лучей за плоскостью проме-
жуточного изображения становятся расходящимися, но лучи пучка не изменяют
своего направления. Так как лучи из точек Д', Q[ на второй компонент не попада-
ют, то после второго компонента изображения этих точек не будут видны. Необхо-
димое условие, при котором за вторым компонентом получается изображение точ-
ки, состоит в том, что лучи из этой точки должны попадать на компонент £(2). Это
условие выполнено только для малого поля, чьи точки изображаются с полной
освещенностью. В качестве границы этого поля можно рассматривать точки и Q.
Для этих точек через компонент £(2) еще проходит половина пучка. Поле изображе-
ния имеет в этом случае расплывчатые края, которые обусловлены срезанием пуч-
ков оправой компонента £(2).

Можно обеспечить получение после компонента £(2) изображений всех точек
промежуточного изображения. Для этого между двумя компонентами на месте про-
межуточного изображения надо установить рассеивающую поверхность (матовое
стекло, просветный экран). Тогда пучок лучей от компонента £(1) за рассеивающей
поверхностью перестает быть направленным (рис. 3.8, б). При построении изобра-
жения через компонент £(2) роль предмета выполняет изображение на матовом стекле,
свойства которого соответствуют «самосветящемуся предмету». Это обусловлено
тем, что от каждой точки матового стекла пучки лучей исходят в большую область
пространства, в том числе в направлении £(2). Теперь £(2) строит изображение всего
поля промежуточного изображения, но освещенность его незначительна, так как
излучение рассеивается в пределах всего полупространства; только малая его часть
проходит через £(2).

Большое поле изображения с полной освещенностью получают только тогда,
когда на месте (или поблизости) промежуточного изображения ставят полевую линзу
(рис. 3.8, в). Полевая линза так изменяет направление пучков, что они идут через £(2).
Для достижения максимального эффекта полевая линза должна строить изображе-
ние плоскости, в которой находится £(1), в той плоскости, где расположен компонент
£(2). Тогда все лучи, выходящие из £(1), проходят также через его изображение и,
соответственно, через £(2)!

Так как отдельные компоненты могут состоять из нескольких элементов, то в
общем случае полевая линза должна строить изображение выходного зрачка данно-
го компонента во входном зрачке следующего компонента.

В оптической системе, создающей изображение, все люки оптически со-
пряжены. Вблизи люков находятся полевые линзы, которые оптически сопря-
гают зрачки отдельных компонентов системы.

Расположенные между отдельными компонентами оптической системы поле-
вые линзы преобразуют световые трубки пространства изображений данного ком-
понента в световые трубки пространства предметов следующего компонента.

Если промежуточное изображение лежит в главной передней плоскости поле-
вой линзы, то оно проецируется в главную заднюю плоскость полевой линзы с
линейным увеличением Д' = +1. Это приводит только к малому поперечному сме-
щению промежуточного изображения. Во многих случаях полевая линза может быть
смещена относительно плоскости промежуточного изображения. Тогда полевая линза
изменяет линейное увеличение промежуточного изображения и, соответственно,
линейное увеличение всей системы.

В зрительных трубах (см. разд. 6.6) и микроскопах полевые линзы расположены
между объективом (£(1)) и глазной линзой окуляра (£(2)). Вместе полевая и глазная
линзы образуют оптическую систему, которую называют окуляром. Из рис. 3.8, а
видно, что без полевой линзы глазная линза окуляра должна иметь очень большой
диаметр, если необходимо обеспечить достаточно большое поле изображения. Но
так как глазная линза окуляра должна иметь малое фокусное расстояние, то ее
диаметр не может быть большим.

В разд. 3.2 был рассмотрен случай, когда предмет не является самосветящимся
и не диффузно-рассеивающим (см. рис. 3.5). В этом случае входной зрачок совпа-
дает со светящейся поверхностью. Для получения большого поля необходимо вбли-
зи плоскости предмета поместить линзу, которая проецировала бы плоскость ис-
точника света во входной зрачок объектива (рис. 3.8, ж). Такая «полевая линза для
источника света» называется конденсором. Часто в качестве конденсора использу-
ют двух- или трехлинзовые системы. Все лучи, которые исходят от источника света
и проходят конденсор, идут также через изображение светящейся поверхности, а
следовательно, и через объектив.

При проекции в проходящем свете (диапроекция) конденсор создает изо-
бражение источника света во входном зрачке проекционного объектива.

При этом неравномерное распределение освещенности по площади источника
света (например, спирали лампы накаливания) не влияет на равномерность осве-
щения поля изображения.

Из разд. 3.2 следует, что на экране не могут быть одновременно резко видны
проецируемый предмет (диапозитив) и спираль лампы накаливания.

Примеры

1. Тонкая линза (/' = 600 мм, к = 10), которая выполняет роль объектива
зрительной трубы, создает изображение бесконечно удаленного предмета. Вто-
рая тонкая линза (/' = 100 мм) выполняет роль глазной линзы окуляра. Она
обеспечивает получение бесконечно удаленного изображения.

а) Чему равно расстояние между линзами?

б) Какое фокусное расстояние должна иметь тонкая полевая линза, если
она стоит в плоскости промежуточного изображения между линзами?

в) Какой наименьший световой диаметр должна иметь вторая линза?

Решение:

а) 700 мм.

б) Полевая линза должна строить изображение плоскости, где находится
первая линза на месте второй линзы. Линейное увеличение при этом составит
Р' = —1/6. Из формулы (1.16) следует/' = 85,7 мм.

в) Так как диаметр первой линзы равен зр = 60 мм, то световой диаметр
второй линзы не может быть меньше 10 мм, если виньетирование недопустимо.

2. Ртутная лампа сверхвысокого давления с почти точечной светящейся
поверхностью диаметром примерно 0,25 мм освещает прозрачную шкалу. Объек-
тив в виде тонкой линзы (/' =100 мм, Dm = 30 мм) строит изображение этой
шкалы с линейным увеличением р' = —100. Расстояние между светящейся по-
верхностью и объективом равно 150 мм.

а) Чему равен диаметр изображения шкалы на экране при отсутствии кон-
денсора?

б) Какое фокусное расстояние должен иметь тонкий конденсор, который
расположен на расстоянии 10 мм перед плоскостью шкалы (между лампой и
шкалой)?

Решение:

а) При Р' = —100 шкала находится почти в фокальной плоскости F объек-
тива. Лучи, которые идут из точечного источника в край зрачка объектива, пе-
ресекают плоскость шкалы по окружности диаметром 10 мм.
3.4. Полевые линзы и

б) Конденсор, который строит изображение светящейся поверхности в плос-
кости входного зрачка объектива, должен иметь фокусное расстояние f’ = 29 мм
(ср. рис. 3.8, ж). Изображение светящейся поверхности существенно меньше
светового диаметра объектива.

Примечание переводчика

Приведенные в данной главе определения терминов «входной зрачок», «выходной
зрачок», «апертурная диафрагма» соответствуют отечественной терминологии. Это
же относится и к термину «полевая диафрагма». Однако применявшийся ранее
термин «люк» отменен ГОСТ 7427—76. Вместо термина «входной люк» использует-
ся термин «поле оптической системы в пространстве предметов». Вместо термина
«выходной люк» используется термин «поле оптической системы в пространстве
изображений».

Согласно ГОСТ 7427—76 виньетирующей диафрагмой является любая диафраг-
ма, кроме апертурной и полевой, которая ограничивает пучки лучей, выходящих из
точек предмета, лежащих вне оптической оси. Изображение виньетирующей диаф-
рагмы в пространстве предметов (изображений) называется входным (выходным)
окном.
ГЛАВА 4

ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ,
ИСТОЧНИКИ И ПРИЕМНИКИ
ИЗЛУЧЕНИЯ

4.1. Введение

Количественной характеристикой оптического излучения является энергия. Мощ-
ность оптического излучения равна отношению энергия/время. Наряду с абсолют-
ной мощностью оптического излучения большой интерес представляет простран-
ственное распределение мощности излучения: излучающая поверхность может быть
больших или малых размеров; при распространении излучение может равномерно
расходиться во все стороны или концентрироваться в узкой области пространства.
Также следует обращать внимание на спектральный состав излучения, т. е. на рас-
пределение мощности по длинам волн. Например, спектральный состав может быть
ограничен очень узкой областью длин волн (монохроматическое излучение) или
представлять собой непрерывную совокупность излучений в широкой области (по-
лихроматическое излучение).

Попадающее на приемник излучение (входной сигнал) вызывает соответствую-
щий выходной сигнал. Для глаза таким выходным сигналом являются зрительные
впечатления1, а для фотоэлектрических приемников — выходной ток; попадающее
на фотослой излучение вызывает в нем химические изменения, которые становятся
видимыми после соответствующей обработки.

Так как различные приемники могут обладать неодинаковой абсолютной чув-
ствительностью, то на одинаковый входной сигнал разные приемники не обяза-
тельно реагируют одной и той же величиной выходного сигнала. Кроме того, необ-
ходимо учитывать спектральное распределение чувствительности. Хотя глаз имеет
очень высокую абсолютную чувствительность, он, например, не реагирует на ИК-
излучение. Тем не менее это излучение будет хорошо восприниматься соответству-
ющими фотоэлектрическими приемниками.

Если необходимо оценить эффективность приемника, спектральная чувстви-
тельность которого меняется в зависимости от длины волны падающего излучения,
то воздействующее на приемник излучение (входной сигнал) должно быть соотне-
сено со спектральной чувствительностью приемника. Аналогично, при количествен-
ной оценке излучения по вызываемому им зрительному впечатлению, излучение
соотносится со спектральной чувствительностью глаза, т. е. происходит переход к
системе световых величин.

На пути от источника к приемнику излучение может изменяться как по абсо-
лютной величине, так и по спектральному составу. Например, нейтрально-серый
фильтр примерно одинаково ослабляет излучение всех длин волн, а цветной фильтр

1 В колориметрии (см. разд. 7.5.1) различают: цветовой тон — субъективный признак, кото-
рый познается через ощущения и определяется словами — синий, зеленый, красный и др.;
насыщенность — субъективный признак, характеризующий интенсивность цветового тона;
светлота — субъективный признак, характеризующий ощущение объективной величины —
яркости. {Прим, пер.)
поглощает излучение определенных участков длин волн. Влияние на излучение среды
распространения описывается энергетическими и светотехническими характерис-
тиками материала. Оптические системы между источником и приемником могут
изменять пространственное распределение излучения. Например, на малую пло-
щадку приемника может концентрироваться высокая мощность излучения.

В последующих разделах дается количественное описание распространения и
приема излучения.

4.1.1. Энергетические величины

Распространение излучения без учета спектральных характеристик приемника опи-
сывается энергетическими величинами2 (DIN 5031, Blatt 1). При обозначениях энер-
гетических величин используется индекс е.

Мощность, которая исходит от источника оптического излучения, называется
также потоком излучения Фе. Для измерения потока излучения используется та же
единица измерения, что и для мощности, — ватт (Вт). При одной и той же величи-
не потока излучения Фе более высокая сила излучения (ее также называют энерге-
тической силой света) получается в том случае, когда излучение распространяется в
пределах узкой области пространства вблизи одного предпочтительного направле-
ния, а не когда излучение равномерно расходится по всем направлениям простран-
ства. При описании распространения излучения часто используют понятие теле-
сного угла £2 (рис. 4.1, а). Пусть на сфере, центр которой находится в точке О,
задана некоторая замкнутая линия (ее форма может быть произвольной). Если все
точки этой линии соединить с центром сферы, то образуется конусообразная по-
верхность. Эта конусообразная поверхность охватывает некоторую часть пространст-
ва — телесный угол. Величина телесного угла £? вычисляется по формуле £2 = А/г1, где
А — площадь участка поверхности сферы, ограниченного замкнутой линией, г —
радиус сферы. Из простых геометрических соображений ясно, что величина телесно-
го угла £2 не зависит от радиуса сферы г. Единицей измерения телесного угла являет-
ся стерадиан (ср). Чтобы было более наглядно, пишут: £2 = А1гг£2а, где £2а = 1 ср —
единичный телесный угол. Максимальный телесный угол соответствует телесному
углу всего пространства вокруг точки О, £2 = (4лт2/г2) • Х20 = 4 л- ср. Для малых
телесных углов можно приближено считать площадку А плоской. Пусть в точке О —
вершине телесного угла находится источник оптического излучения, геометричес-
кими размерами источника можно пренебречь. В пределах телесного угла £2 поток
излучения от этого источника равен Ф,. Тогда сила излучения равна:

1‘=~£2 <41)

Рис. 4.1. Распространение излучения в пространстве:

а — излучение в телесном угле; б — площадь проекции излучающей площадки в на-
правлении наблюдения.

2 См. ГОСТ 26148—84 «Фотометрия. Термины и определения». (Прим, пер.)
Единицей энергетической силы излучения является Вт - ср-1. Если в пределах
телесного угла поток излучения распределен неравномерно, то значение, вычис-
ленное по формуле (4.1), соответствует средней силе излучения.

Если из заданного направления рассматривают источник излучения, то интен-
сивность источника излучения тем больше, чем меньше площадь проекции излуча-
ющей площадки At в направлении наблюдения (рис. 4.1, 6) и чем больше создавае-
мая ей сила излучения 1е. Таким образом, вводится понятие энергетической ярко-
сти Lt. Энергетическая яркость в заданном направлении характеризуется отношением

где г, — угол между нормалью к излучающей площадке и направлением наблюде-
ния. Единица энергетической яркости — Вт • ср-1 м-2.

При неравномерном распределении силы света по площадке Л, вычисленное по
формуле (4.2) значение соответствует средней энергетической яркости. Если поток
излучения Фс падает на площадку А2, то создаваемая им энергетическая освещен-
ность £ на этой площадке равна

Ее=^-. (4.3)

Единица энергетической освещенности — Вт м-2. При неравномерном освещении
площадки Аг значение, вычисленное по формуле (4.3), соответствует средней энер-
гетической освещенности.

До этого места при рассмотрении энергетических величин ничего не говори-
лось о спектральном составе излучения. Пусть спектральный диапазон излучения
лежит в пределах определенной спектральной области. Разобьем эту область на
малые интервалы шириной дЛ (например, 1 нм) и укажем, какой поток излучения
<1Фе приходится на каждый интервал дЛ. Тогда спектральная плотность потока из-
лучения (или более коротко — спектральный поток излучения) ФсА равна:

Л ёФ

Ф, =.--£

ел ал

(4.4)

Единица спектрального потока излучения — Вт • нм-1.

Функция ФеЛ (Л) описывает спектральное распределение излучения. Общий по-
ток излучения Ф находится интегрированием в пределах диапазона длин волн от At
до Лг, на котором функция ФсЛ отлична от нуля:

лг

Фе = $ФеЛаЛ. (4.5)

Аналогично даются определения спектральных плотностей остальных величин: I,,
ЬеЛ, ЕеЛ.

Здесь представлены только самые важные энергетические параметры излуче-
ния. Они приведены в табл. 4.1, которая также содержит их точные дифференци-
альные определения. Дифференциальные определения необходимо использовать,
если излучение неравномерно распределено по площади или в телесном угле.

4.1.2. Расчет выходного сигнала приемников

В стандарте DIN 5031, Bl. 2 содержится определение термина «чувствительность
приемника»3. Пусть &Фе = ФеЛ - йЛ — поток излучения в узком интервале длин волн

3 См. ГОСТ 4.431—86 «Система показателей качества продукции. Приемники излучения фо-
тоэлектрические. Номенклатура показателей». (Прим, пер.)
Таблица 4.1. Важнейшие энергетические величины

Величина Обозначение Определение Единица измерения
упрощенное точное
Поток излучения ф' Мощность излучения Вт
Сила излучения I е £2 ал Вт-ср-1
Энергетическая яркость Lt <4 Вт-ср-1 -м-2
Ay -cosfj d Ay cos Ey
Энергетическая освещенность Е е в | 'Ч дФс dA, Вт-м-2
Спектральный поток излучения Ф ^сА — d<Z>, dA Вт-нм-1

от А до А + dA. Если данный поток излучения АФс падает на приемник, то возника-
ет выходной ток dJ. Аналогично формуле (4.4) этот ток можно представить в виде
d/ = JAdA. При различных длинах волн Я одним и тем же значениям йФс соответ-
ствуют отличающиеся друг от друга величины dZ Таким образом, чувствительность
приемника зависит от длины волны. В рассматриваемом случае чувствительность
определяется как:

,SW = 'T“ или«(Я)=—,
V ' dd> 7 7 ФеА

а ее единицей измерения может быть, например, мА - Вт-1.

Вместо потока излучения можно воспользоваться другими входными величина-
ми (например, Ее). Выходной сигнал приемника также может быть иной величиной
(например, напряжением U).

Поэтому целесообразно ввести следующие обозначения: входная величина X',
выходная величина Y. Соответствующие спектральные плотности (они отмечены
индексом Л; см. разд. 4.1.1) удовлетворяют соотношениям:

dX = X,dA, dK= YdA.

Тогда абсолютная спектральная чувствительность равна

я у У

= илиф) = -Л- (4.6)

алс леЛ

Если соотнести эту спектральную чувствительность со значением s(A0) для произ-
вольно выбранной длины волны Ло, то относительная спектральная чувствитель-
ность равна

<«)

Очевидно, что s(^)rel = 1- Если выбрать в качестве Ао длину волны максимума
чувствительности, то 0 < s(>l)rel < 1. Кривая спектральной чувствительности прием-
ника выглядит в этом случае более наглядно.

Если на приемник падает излучение широкого спектрального диапазона (в интерва-
ле длин волн от Ау до Я2), то в соответствии с формулой (4.5) входная величина равна

л,

Xe = $XcA-dA.

Л
Предположим, что выходные величины ёУ можно суммировать аналогично (для
глаза это соответствует теореме сложения). Тогда, с учетом формулы (4.6) выходная
величина У (например, возникающий в приемнике ток) равна

Если в последнюю формулу подставить выражение (4.7) для относительной чув-
ствительности, то выходная величина для излучения в диапазоне длин волн от Лу до
Л2 равна:

л2

У = 5(Д>)|ХеЛ-5(Л)ге,-аЛ (4.8)

Абсолютная чувствительность приемника равна

(4.9)

(Вместо Хс записано X, так как речь должна идти вообще о входной величине, а не
только об энергетических величинах.)

До сих пор считалось, что выходная величина У
линейно зависит от X, но так бывает далеко не все-
гда. На рис. 4.2 представлена нелинейная характе-
ристика (У как функция от X). Тогда дифференци-
альная чувствительность находится по формуле

входная величина

Рис. 4.2. Определение чувствитель-
ности при нелинейной характери-
стике.

ау
s“~dx

(4.10)

Дифференциальная чувствительность показы-
вает изменение выходной величины йУпри изме-
нении входной величины на АХ. Из рис. 4.2 мож-
но сделать вывод, что при нелинейной характерис-
тике s и sd зависят от значения входной величины X,
т. е. от рабочей точки на графике. Для линейной
характеристики У = const -Хи s = sd.

Описанное в этом разделе обобщенное представление характеристик приемника
позволяет получить функциональные зависимости, которые могут теперь быть ис-
пользованы для любого приемника (глаз, фотослой, фотоэлектрический приемник).

4.1.3. Световые величины

В основе построения системы световых величин лежит оценка излучения по вызы-
ваемому им зрительному ощущению, т. е. по реакции человеческого глаза. Для
перехода от энергетических к световым величинам целесообразно использовать
уравнение (4.8). При этом под выходной величиной У понимается световая величи-
на, которая соответствует воспринимаемой глазом входной энергетической вели-
чине Хе. Так как из светового потока можно снова вывести все другие световые
величины, то далее будет рассмотрен переход от энергетического потока излучения
Ф. (входная величина Хе) к световому потоку Ф (выходная величина У). Для этого
в уравнение (4.8) необходимо подставить следующие величины.

1- ХеХ -> ФсД, где ФеЛ — спектральный поток излучения.

2- s(-2)rd где У(Л) — относительная спектральная световая эффектив-
ность для дневного зрения (относительная спектральная чувствительность глаза;
см. рис. 4.21). Значения И(Л) табулированы4 в DIN 5031, Bl. 3, для «нормального
наблюдателя» с шагом 1 нм. Своего максимального значения функция К(Я) — 1
достигает при Ло = 555 нм. На границах видимой области (Л = 380 нм и Я = 780 нм)
функция принимает пренебрежимо малые значения [ И(Я) ~ 10~5].

3. *(Я0) “> где — абсолютная спектральная чувствительность глаза при
Ло = 555 нм. Она также называется максимальной световой спектральной эффек-
тивностью для дневного зрения, Кт = 683 лм/Вт (люмен (лм) — единица измерения
светового потока).

Тогда в соответствии с формулой (4.8) световой поток Ф равен

780 нм

ф = кт- J Фс-Г(я) ал (4.11)

380 нм

Световой поток находится в результате редуцирования (приведения) потока
излучения в соответствии со спектральной чувствительностью глаза.

Аналогично табл. 4.1 составлена табл. 4.2, где приведены основные световые
величины. Следует отметить, что единицы измерения световых величин отличают-
ся от единиц измерения энергетических величин. Базовой единицей системы све-
товых величин является сила света в одну канделу. С 1979 года одна кандела (кд)
соответствует монохроматическому излучению на длине волны Л = 555 нм при силе
излучения 1/683 Вт/ср в направлении измерения.

В отличие от энергетических величин, в обозначениях световых величин ин-
декс е не ставится. Во избежание путаницы в обозначениях световых величин
можно использовать индекс г.

Таблица 4.2. Важнейшие световые величины.

Величина Обозна- чение Определение Единица измерения
упрощенное точное
Световой поток ф См. формулу (4.Н) люмен (лм) 1 лм = 1 кд • 1 ср
Сила света I Ф £2 С1Ф д£2 кандела (кд) (базовая единица)
Яркость L I cosf. d/ dAt - cost. КД-М-2
Освещенность Е Ф а2 dg> dZ люкс (лк) 1 ЛК = 1 ЛМ- 1 м-2

Пример

Почти точечный источник света с пространственно равномерным распре-
делением излучения (сила света одинакова во всех направлениях) на расстоя-
нии 8 м создает освещенность 100 лк.

а) Чему равна величина силы света I в канделах?

б) Чему равен весь исходящий от источника световой поток?

4 Эти сведения также приведены в ГОСТ 8.332—78 «Световые измерения. Значения относи-

тельной спектральной световой эффективности монохроматического излучения для днев-
ного зрения». Для приближенных расчетов можно использовать аппроксимирующую фор-
мулу К(2) = ехр [—г;(Л — 20)2], где = 0,56 мкм, t] = 275 мкм 2. (Прим, пер.)
Решение-.

а) Используя для расчета I и Е формулы из табл. 4.2, а также определение
телесного угла £2= AJг2, можно получить следующее соотношение 1= Е- г2, где
г — расстояние. Тогда I = 6,4 • 103 кд.

б) Так как сила света во всем пространстве является постоянной, то в пол-
ном телесном угле £2 = 4л ср световой поток равен: Ф = 8,042 • 104 лм.

4.1.4. Прохождение потока излучения
через элементы оптических систем

На пути от источника к приемнику излучение может проходить через различные
оптические элементы (например, детали из стекла). Далее будет рассмотрен наибо-
лее простой случай, когда пластина из стекла находится в воздухе (рис. 4.3). Так
как в этом разделе не рассматриваются изменения направления излучения, то по-
лученные результаты можно обобщить для оптических элементов в виде линз, призм
и т. д. Проходящее излучение ослабляется из-за отражения на поверхностях разде-
ла сред и из-за поглощения в стекле. Так как величина ослабления зависит от
длины волны, то при описании прохождения излучения будут использоваться спек-
тральные характеристики материала. Далее предполагается, что излучение является
монохроматическим с длиной волны Я.

Так как каждая поверхность разделяет среды с различными показателями пре-
ломления, то часть излучения будет отражаться. Падающий на первую поверхность
спектральный поток излучения Фе/ уменьшается до спектрального потока (Ф,л)|п,
прошедшего в среду. Из-за поглощения в пластине поток излучения будет посте-
пенно уменьшаться. До второй поверхности доходит спектральный поток (ФеЛ)ех-
На этой поверхности часть потока снова отражается. Поэтому после прохождения
стеклянной пластины спектральный поток излучения составит (ФсЛ)г- Отраженный
от поверхности спектральный поток (Фы)р равен разности падающего и прошедше-
го через эту поверхность потоков.

Указанные потоки излучения далее будут использоваться для определения спек-
тральных параметров оптических элементов и сред.

Спектральный коэффициент пропускания т(Л) равен

т(Я) = ^. (4.12)

направление
распространения
излучения

Рис. 4.3. Прохождение излучения через пластину.
Если пропускание пластины равно г (500 нм) = 0,7, то это означает, что при про-
хождении излучения с длиной волны 500 нм потери на поглощение и отражение
составляют 30 %.

Спектральный коэффициент отражения р(Л) равен

= (4-13)

где (ФеЛ)р — полный отраженный от оптического элемента спектральный поток из-
лучения. Он может возникать от одной (например, зеркала) или от нескольких
поверхностей (пластина на рис. 4.3).

Спектральный коэффициент поглощения а (А) равен

а(Л)=<^а, ф } (4.14)

где (ФеЛ)а— полный поглощенный оптическим элементом спектральный поток из-
лучения. На рис. 4.3 (Ф.Х = (ФеЛ).п - (<7>Jex.

По закону сохранения энергии сумма отраженного, поглощенного и прошед-
шего потоков излучения должна быть равна падающему потоку излучения, следо-
вательно

р(Л) + а(Л) + т(А) = 1. (4.15)

Если рассматривать только поток излучения в пластине, т. е. без учета потерь
на отражение на первой и второй поверхностях («чистый» поток), то можно допол-
нительно ввести следующие коэффициенты.

Чистый (внутренний) спектральный коэффициент пропускания

_______________________________________________________________________(416)

Чистый (внутренний) спектральный коэффициент поглощения

a, (*) = 1 V . (4.17)

\ ^Л/jn

По закону сохранения энергии

а,(Л) + ъ(Л) = 1. (4.18)

Пример

Для одиночной пластины (рис. 4.3) для длины волны 500 нм указаны следу-
ющие значения: ФеЛ = 5 Вт нм-1, (ФеДп — 4,75 Вт нм-1, (Фы)сх = 4,74 Вт нм1,
(ФеЛ)г= 4,5 Вт-нм-1. Тогда:

г(500) = 0,9; р(500) = 0,098; «(500) = 0,002;

•z; (500) = 0,9979; «,(500) = 0,0021.

В некоторых случаях вместо коэффициента пропускания целесообразно исполь-
зовать оптическую плотность. Например, спектральная оптическая плотность равна

Z)W = lg7^)- (4-19)
Таблица 4.3. Коэффициенты пропускания, отражения, поглощения и оптическая плотность.

Пропускание Отражение Поглощение Оптическая плотность
Спектральные коэффициенты Г(Л) = ФеЛ г(/1) = ФеЛ т(Л)=(Мг. ФеЛ
Интегральные коэффициенты (отмечены индексом е) _ (Ф<)г _ J Ф^ ' Г(Л) ' d Л Фе " ^Фел-^Л (Ф<)„ ^ФеЛ-р(Л)^Л Ф< !ФеЛ'ЧЛ а _(ФС)„ {ФеЛ'^^Л Фе №еЛ'*Л De = 1g-
Коэффициенты, соответ- ствующие приемнику с относительной спект- ральной чувствительностью (отмечены индексом s) S Ф $феЛ- тц) - ^(Л)ге1 -ал (фЛР \феЛ-Р(Л) -ал а=М = S Фе ^ФеЛ а(Л) 5(Л)ГГ| -ал Л = 1§-
^Фел-^ЛК, - ал 5ФеЛ М,,, -чл /фсЛ'5(Л)ге1 - ал
Визуальные коэффициенты фг Т~ ф = |феЛ • т(Л) И(Л) -<1Л ф р = -£ = ф $феЛ- р(Л) и(Я).ал ф а = -^- = Ф $ФеЛ а(Л) • У(Л) - ал II та ч Н
_[фс2- И(Л) -АЛ /фел. V(Л) -ал $Фел- У(Л)-йЛ

8 Глава 4. Оптическое излучение, источники и приемники излучения
Для ранее рассмотренной пластины £>(500) = 0,046, т. е. пластина имеет
малую оптическую плотность для излучения 2. = 500 нм. Для полностью не-
прозрачной пластины £) = <».

Совершенно другое значение имеет название «оптически более плотная среда»
(см. разд. 1.3).

Здесь шла речь только о самых важных спектральных характеристиках оптичес-
ких элементов. Определения остальных терминов даны в DIN 1349 Bl. 1 и DIN 5036
Bl. 1.

До этого места предполагалось, что на пластину падает монохроматическое из-
лучение. Теперь рассмотрим случай, когда спектральный диапазон падающего из-
лучения ограничен длинами волн и Л2. Тогда в соответствии с уравнением (4.5)
падающий поток излучения равен:

л,

Л1

Из формул (4.5) и (4.12) следует, что прошедший через пластину поток излуче-
ния равен:

л2

(Фе)г =/Ф^т(Л)-<1Л.

Интегральный коэффициент пропускания равен отношению потоков излучения (Ф.)г
и Фе. Аналогично находятся интегральные коэффициенты отражения и поглоще-
ния (см. табл. 4.3).

Если между приемником и источником немонохроматического излучения по-
местить светофильтр, то отношение выходных сигналов приемника после и до вве-
дения светофильтра будет равно коэффициенту пропускания светофильтра для дан-
ного приемника излучения. Коэффициент пропускания (и аналогичные коэффи-
циенты отражения и поглощения) для приемника с относительной спектральной
чувствительностью s(^)rcl вычисляется по формулам, которые приведены в табл. 4.3.
По этим же формулам, при подстановке в них s(A)rel = И(Л), рассчитываются визу-
альные коэффициенты пропускания, отражения и поглощения. Эти визуальные
коэффициенты соответствуют случаю, когда в качестве приемника излучения выс-
тупает глаз (см. разд. 4.1.3).

4.2. Световой поток, освещенность и яркость
при формировании оптического изображения

В самом простом случае между источником света и приемником нет никаких опти-
ческих элементов. При формировании оптического изображения (например, между
источником и приемником расположена линза) распределение светового потока в
плоскости приемника изменяется. В результате этого на малой площадке может
быть получена высокая освещенность. Созданное одним оптическим компонентом
изображение можно рассматривать как предмет для последующих оптических ком-
понентов. Если при этом в плоскости промежуточного изображения происходит
диффузное рассеяние (т. е. там установлены матовое стекло или рассеивающий
экран), то промежуточное изображения для последующих компонентов можно счи-
тать самосветящимся предметом.

В последующих разделах используются световые величины. Однако все уравне-
ния действительны для энергетических величин, а также для величин, которые от-
носятся к иному приемнику, чем глаз.
Как и ранее, рассматривается случай, когда оптическая система находится в
воздухе; диафрагмы являются круглыми; предметная плоскость, плоскость изобра-
жения, диафрагмы и т. д. перпендикулярны оптической оси; зрачки совмещены с
главными плоскостями. Следовательно, расстояние от входного зрачка до плоско-
сти предмета равно а и расстояние от выходного зрачка до плоскости изображения
равно d (самый простой случай: в одиночной линзе пучки ограничиваются опра-
вой линзы). Рекомендуется также обратиться к гл. 3.

4.2.1. Непосредственное освещение поверхности приемника

На рис. 4.4 показаны малая излучающая площадка At с постоянной по всем направ-
лением яркостью и элемент поверхности приемной площадки d42. Телесный угол,
под которым площадка dA2 видна из А{, равен

г~

где г — расстояние между площадками At и сИ2; е2 — угол между прямой, соединя-
ющей центры площадок, и нормалью к площадке йА2. В соответствии с табл. 4.2
сила света в направлении на площадку dA2 равна I = L Я, cos ev где е1 — угол между
прямой, соединяющей центры площадок, и нормалью к площадке Аг Световой
поток, который распространяется в телесном угле d£, равен АФ = / dZ2. Тогда на
площадку <1Я2 падает световой поток

d Ф = L • А' ' COS-g| . р (4.20)

г~

Последняя формула показывает, что на площадку d^2 попадает только очень
малая часть светового потока, который исходит от поверхности Аг Освещенность
на площадке dA2 равна Е = dФ/dA2.

Пример

Лампа накаливания с площадью спирали Л, = 4 мм2 и яркостью 720 кд/см2
освещает находящуюся от нее на расстоянии 30 см площадку приемника. Пло-
щадь площадки приемника dA2 =1,5 см2. Нормали к поверхностям площадок
составляют углы = 45” и е2 = 60” с прямой, соединяющий центры площадок
(см. рис. 4.4, д). Расчет по формуле (4.20) дает следующие значения: световой
поток d0 — 0,0170 кд • ср (= лм); освещенность Е = 113,3 лм/м2 (= лк).

Рис. 4.4. Схемы для расчета освещенности. Пояснения даны в тексте.
4.2.2. Световой поток и освещенность изображения
в оптической системе

На рис. 4.4, б линза строит изображение расположенной на оси малой излуча-
ющей площадки At. Эту площадку можно рассматривать как входной люк, а ее
изображение как выходной люк. По сравнению с рис. 4.4, а, на поверхность линзы —
более точно входной зрачок — попадает значительно больший световой поток Ф,
который далее идет к плоскости изображения. Разумеется, в пространство изобра-
жений попадает немного меньший поток света Ф' = Ф • г, где т — коэффициент
пропускания линзы.

В рассматриваемом случае непосредственно освещаемой поверхностью А2 яв-
ляется поверхность зрачка Лвх . На рис. 4.4, в показана элементарная площадка
<14вх зр входного зрачка. В соответствии с формулой (4.20) на эту площадку падет
световой поток

d ф = £. ^!l_coLo' . я . d Авх зр. (4.21)

Полный световой поток Ф находится интегрированием по поверхности зрачка
Лх. зр,- Для этого в качестве элементарной площадки cL4bx зр принимается кольцо с
шириной dR (рис. 4.4, г): зр = 2nRdR. При R = а • sin д и dR = а • d<5/cos<f полу-

чается d4,x зр = 2я-й2 • sin <т • dcr/cos <т. Тогда

дФ = 2л • L Аю люк • cost? sin д • do • £?0.

После интегрирования в пределах от <т = 0 до б = и (апертурный угол и = <ттах) све-
товой поток равен:

Ф = л • L • Л1ОК • sin2 и Д. (4.22)

Световой поток пропорционален квадрату передней апертуры.

Освещенность Е в пределах малой площадки изображения Лвых люх равна

г т Ф Е= А '* 1вых. люк (4.23)

Из формул (4.22), (4.23) и равенства ЛВх.люх/АИх.люК = !/Д" следует

и 'У
- _ SHTW ,Й Е = л- L-т - —• Д. (4.24)

Если выполняется условие синусов (2.51), то последняя формула примет вид

Освещенность пропорциональна квадрату задней апертуры.

Пример

Чему равны световой поток Ф и освещенность Е, если объектив (/' = 200 мм,
к = 2,8, т = 0,9) создает изображение малой площадки (Лвх л1ок = 1,53 мм2,

L = 550 кд/см2 ) с линейным увеличением Е' = —0,2?
Решение'.

При заданных величинах [У и f по формуле (1.15) находится а = —1200 мм;
по диафрагменному числу к и фокусному расстоянию f можно определить
D = 71,43 мм. Следовательно, | sin и | = 0,02975. Окончательно Ф = 0,02340 лм,
£ = Р3,441 • Ю5 лк.

4.2.3. Падение освещенности на краю изображения

Освещенность Е, которая вычислена по формуле (4.25), соответствует случаю рас-
положенной на оси малой площадки изображения Лвых люк. Теперь рассмотрим слу-
чай, когда малая площадка Аах люк смещена с оптической оси. При этом главный
луч, соединяющий центр этой площадки с центром входного зрачка, образует угол
w с оптической осью (рис. 4.5). Очевидно, что углы между главным лучом и норма-
лями площадок Ат люк и Авх з также равны w. Обусловленное этой причиной паде-
ние освещенности пропорционально cos2 w. Кроме того, расстояние между площад-
ками теперь равно а = o/costv. Вследствие этого падение освещенности также про-
порционально cos2 w. Окончательно «естественное» уменьшение освещенности на
краю изображения описывается выражением

Е (w) = Е • cos4 w, (4.26)

где E(w) — освещенность площадки изображения для полевого угла w; Е — осве-
щенность на оси. (См. также [1.16.], 1990, S. 104.) Спад светового потока на краю
изображения описывается аналогичной формулой.

Другим эффектом, который оказывает значительное влияние на распределение
освещенности в плоскости изображения, является виньетирование на оправах
объектива. Эффект виньетирования проявляется уже в безлинзовой камер-обску-
ре (рис. 4.6, а). С ростом полевого угла действующее отверстие приобретает лунко-
образную форму5. Если входное отверстие выполнено в виде усеченного конуса, то
виньетирование отсутствует, а падение освещенности описывается формулой (4.26).
Для сравнения на рис. 4.6, б показано виньетирование в объективе. Более узкая
диафрагма (рис. 4.6, в) уменьшает виньетирование, т. е. виньетирование имеет ме-
сто только для углов, которые больше полевого угла w,r (граничный угол).

Обусловленное виньетированием уменьшение освещенности пропорционально
Ам эр. М/Лк. эр.> где Лк. эр. М ~ Действующая площадь зрачка для полевого угла w,
Лк эр —' Действующая площадь зрачка при w = 0. Таким образом, на основании
формулы (4.26) освещенность равна6

E(H>) = £--Cj3p^ -cos4 tv. (4.27)

Лвх.зр.

5 В данном случае под лункой понимается геометрическая фигура, которая образована пере-
сечением двух окружностей. (Прим, пер.)

6 При рассмотрении падения освещенности на краю изображения не учитывались аберрации.
Например, при выводе формулы (4.24) было принято А^ люк = 1/Д'2 = const. Но если
система обладает дисторсией, то линейное увеличение (а вместе с ним и отношение площа-
дей Лк. л»х) является функцией угла w. Исходя из этого в объективах с большой
отрицательной дисторсией возможно E(w) > Е. Другой важнейший фактор, который влияет
на падение освещенности на краю изображения, — аберрационные искажения изображения
апертурной диафрагмы (если диафрагма не совпадает со входным зрачком). Современное
программное обеспечение позволяет выполнить расчеты падения освещенности на краю изоб-
ражения с учетом аберраций. (Прим, пер.)
Рис. 4.5. К определению падения освещенности на краю изображения.

Рис. 4.6. Виньетирование:

а — безлинзовая камер-обскура с цилиндрическим отверстием; б — виньетирование в
объективе; в — эффект диафрагмирования.

4.2.4. Яркость изображения и геометрический фактор

Если в плоскости изображения находится диффузно отражающая поверхность (на-
пример, белый матовый экран), то падающий на изображение световой поток Ф'
рассеивается в полупространство. Тогда поверхность изображения можно рассмат-
ривать как источник света, который обладает яркостью £диф (диффузная яркость).

В дальнейшем принимается, что экран является «идеально матовым»: падаю-
щее излучение рассеивается в полупространство таким образом, что яркость £щ1ф
остается одинаковой по всем направлениям (закон Ламберта), а направленное от-
ражение (блеск) полностью отсутствует. Если воспользоваться формулой (4.22) для
светового потока Ф", который диффузно отражается площадкой Лвых д1ок, то

Ф" = я • 4„ф sin2«" • (4.28)
Так как Ф" будет излучаться во все полупространство, то и" — 90 .С другой стороны

Ф" = Ф’р, (4.29)

где р— коэффициент отражения экрана (см. табл. 4.3), который учитывает потери
при отражении падающего светового потока Ф' (р < 1). Так как Е— Ф’/А^^, то
из формул (4.28) и (4.29) следует

— • (4.30)

д,,ф л Д

Пример

Падающий на белую матовую поверхность бумаги с р = 0,1 свет создает осве-
щенность Е = 100 лк. Тогда яркость £Ш1ф = 22,3 лк • ср1 или = 22,3 кд м~2.

Теперь рассмотрим случай, когда плоскость изображения (в том числе плос-
кость промежуточного изображения) находится в воздухе, а не на диффузной отража-
ющей поверхности или матовом стекле. Поток света Ф' падает из телесного угла на
лк» и выходит, в отличие от предыдущего случая рассеивающей поверхности, в
телесный угол той же самой величины. Детальное рассмотрение показывает, что в
рассматриваемом случае яркость изображения L' равна

L' = tL, (4.31)

где т — коэффициент пропускания оптической системы.

При отсутствии потерь (т= 1) яркость изображения L' равна яркости пред-
мета V. L' никогда не может быть больше L. Освещенность изображения Е и
диффузная яркость Диф зависят от условий формирования изображения.

Это может быть пояснено при сравнении рис. 4.7, а и б. Две линзы с одинако-
выми значениями , т, и строят изображения двух одинаковых излучающих
площадок люк. При этом от каждой площадки до пространства изображений до-
ходит одинаковый световой поток Ф'. Но фокусные расстояния линз не равны друг
другу. Следовательно, линейные увеличения будут в этих двух случаях различными.
Например, Д' = -1, Д' = -2. Тогда: Дь|х люк (4) = 4Л ых люк (о)5 а для телесных углов
Ц») = 0’ 25/2(в).

По определению Е = Ф’/Ата люк, Г = Ф'/Q' (сила света для плоскости изобра-
жения, находящейся в воздухе), L' = Г/А^ люк. Тогда для этого примера

Д=0,25Д; Д'=4Д'; Д'= Д'.

Рис. 4.7. К оценке влияния линейного увеличения на освещенность и яркость.
При одинаковом световом потоке Ф' рост линейного увеличения Р' приво-
дит к уменьшению освещенности пропорционально Р'2 и увеличению силы све-
та пропорционально р'2. Яркость изображения остается постоянной.

Введем понятие геометрического фактора G

G = n-^.люк sin2 U • Д. (4.32)

Тогда формулу (4.22) можно представить в виде

Ф=Ьв. (4.33)

Это уравнение совершенно универсально. Например, формулу (4.20) можно
записать в виде произведения яркости L и геометрического фактора G. Если диа-
метры зрачков и люков значительно меньше расстояния между ними (строго это
выполняется только в параксиальной области), то sin и = Dm ^/2а, и

л sin2 и = v' °VP > а также л • sin2 и = .

4 а2 а2

Тогда геометрический фактор можно представить в виде

G = Д, следовательно, G' = . п (4.34)

сг а'~

т. е. через габариты световых трубок.

С помощью геометрического фактора G можно количественно оценить пригод-
ность оптической системы для прохождения световой энергии. Поэтому G также
называется оптическим потоком вектора телесного угла.

Если в многокомпонентной оптической системе световые трубки с помощью
полевых линз правильно согласуются друг с другом (см. разд. 3.4), то световая
энергия не теряется из-за геометрических ограничений. Тогда уменьшение свето-
вого потока и яркости в каждом компоненте обусловлено только коэффициентом
пропускания т данного компонента. Поэтому согласно формуле (4.33) геометри-
ческий фактор G должен оставаться постоянным [из формулы (4.34) также получа-
ется G' = G].

При правильном использовании в многокомпонентной оптической системе
полевых линз и конденсоров геометрический фактор световых трубок всех ком-
понентов остается постоянным.

Пример

Малоформатным фотоаппаратом (формат кадра 24 х 36 мм, объектив/’ = 50 мм,
к = 8) фотографируется чертеж с расстояния а = —1,5 м. Вычислить геометри-
ческий фактор G по формулам (4.32) и (4.34); результаты сравнивать.

Решение:

В соответствии с формулой (1.15) р' = —0,0344828. При заданном формате кадра
фотографируемая часть чертежа имеет площадь люк = 0,726624 м2. По диафраг-
менному числу к находится Рох =6,25 мм; следовательно, |sinw| = 2,08333-10-3. По
формуле (4.32) G = 0,990776 16 s м2 ср, а по формуле (4.34.) G = 0,990780 • 10-5 м2 • ср.
Отклонение значения геометрического фактора от параксиального приближе-
ния в этом случае незначительно. Высокая точность вычислений была здесь
использована только для того, чтобы заметить различие.
4.3. Источники света

4.3.1. Основные характеристики

Источники излучения преобразуют часть потребляемой ими энергии в энергию
излучения. В тепловых источниках излучения (к ним относятся, например, лампы
накаливания) потребляемая энергия сначала преобразуется в тепловую энергию,
а излучение возникает вследствие теплового возбуждения атомов. В отличие от
этого люминесцентное излучение возникает при возбуждении атомов и молекул
вещества за счет любого другого вида энергии, кроме тепловой (например, элек-
трической). К люминесцентным источникам излучения относятся люминесцент-
ные трубки, газоразрядные лампы, светодиоды. Люминесцентные источники из-
лучения обладают высоким лучеиспусканием при низкой температуре рабочего
вещества.

Источники излучения могут работать в непрерывном (например, лампы нака-
ливания) или импульсном режимах (например, импульсные газоразрядные лампы).

Световая отдача г] (DIN 5031, Bl. 4) для источника излучения рассчитывается
по формуле

(4.35)

где Р — потребляемая источником света мощность (например, электрическая мощ-
ность); Ф — световой поток от источника. Для расчета светового потока Ф может
быть использована формула (4.11). Единицей измерения световой отдачи является
(лм Вт1).

Пример

Пусть спектр излучения источника состоит только из одной линии А = 555 нм.
Тогда весь поток излучения приходится на максимум чувствительности гла-
за. Если нет потерь при преобразовании энергии в излучение, то световая
отдача составит г) = Кт = 683 лм/Вт (см. разд. 4.1.3). Такая теоретическая
максимальная величина не достигается практически. Излучатель, который
соответствует абсолютно черному телу, имеет в лучшем случае (при 6000 К)
t] = 95 лм/Вт. Излучатели с линейчатым спектром могут иметь примерно
такую же световую отдачу. Для ламп накаливания этот показатель значи-
тельно меньше.

Если вместо глаза используется, например, фотоэлектрический приемник, то
источник излучения вместо световой отдачи целесообразно охарактеризовать ко-
эффициентом использования потребляемой мощности г) (ср. с разд. 4.1.2). Пусть
на приемник падает все излучение от источника. При этом выходной ток приемни-
ка равен J. В соответствии с выражением (4.6) на длине волны Д, абсолютная спек-
тральная чувствительность равна s(20) = сМ/дФ,. Относительная спектральная чув-
ствительность л(Я)гс1 определяется по формуле (4.7). Пусть границы рабочего спек-
трального диапазона приемника равны At и Аг, т. е. в пределах этой области длин
волн s (А)ге1 * 0. Тогда выходной ток рассчитывается по формуле (4.8)

л2

(«б)

Л,

а коэффициент использования потребляемой мощности равен
Коэффициент использования потребляемой мощности показывает, в каком
соотношении находятся выходной сигнал с приемника к потребляемой (израс-
ходованной) источником излучения мощности. Если приемником является глаз,
то коэффициент использования потребляемой мощности эквивалентен свето-
вой отдаче.

Важнейшей характеристикой источника излучения является спектральное рас-
пределение потока излучения ФсА. Если функция ФеЛ отлична от нуля в пределах
достаточно широкого диапазона длин волн и на этом же интервале является глад-
кой, то излучатель имеет непрерывный спектр. Наоборот, источники с линейчатым

спектром излучают энергию только в узко ограниченных диапазонах длин волн.

Непрерывным спектром обладает абсолютно чер-
ное тело (излучатель Планка), относительное спект-
ральное распределение потока излучения (Ф,л)ге, кото-
рого зависит только от температуры7 (рис. 4.8). Реаль-
но абсолютно черного тела в природе не существует,
но можно создать его модель. Такая модель представ-
ляет собой нагретую до соответствующей температу-
ры полость с малым выходным отверстием. Из графи-
ков на рис. 4.8 можно сделать два вывода:

1) с ростом абсолютной температуры растет об-
щий поток излучения (он пропорционален площади
под графиком). Эта зависимость имеет вид Ф, ~ Т“
(закон Стефана—Больцмана);

2) с увеличением абсолютной температуры макси-
мум излучения сдвигается к коротковолновой области
длин волн. Эта зависимость имеет вид Лтх ~ Г-1 (за-
кон смещения Вина).

Другие тепловые излучатели при той же самой тем-
пературе обладают меньшим лучеиспусканием, чем
абсолютно черное тело. Относительные спектральные

Рис. 4.8. Относительное спек-
тральное распределение пото-
ка излучения абсолютно чер-
ного тела при различных тем-
пературах.

распределения потока излучения «серого» излучателя

и абсолютно черного тела совпадают, но от «серого» излучателя исходит несколько
меньший поток излучения.

Относительное спектральное распределение потока излучения селективных из-
лучателей отличается от относительного спектрального распределения потока из-
лучения абсолютно черного тела с той же температурой.

На рис. 4.9 приведены относительные спектральные распределения потока из-
лучения для источников света, которые наиболее часто используются в оптических
приборах.

В ряде случаев целесообразно описывать спектральные характеристики источ-
ника света путем сравнения спектральных распределений потоков излучений от
данного источника и от абсолютно черного тела. Так как температура однозначно
определяет спектральное распределение потока излучения абсолютно черного тела,
то полученное в результате такого сравнения значение температуры можно исполь-
зовать в качестве характеристики (конечно, менее детальной, чем графики и табли-
цы) спектральных свойств источника излучения (DIN 5031, Bl. 5). В зависимости
от целей сравнение относительных спектральных потоков излучений абсолютно
черного тела и данного источника можно вести по различным критериям. Доста-
точно часто в качестве такого критерия используется цветность (см. разд. 7.5.4).

Функция (ФеЛ)„, с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией ФсЛ. (Прим, пер.)
a

Рис. 4.9. Относительные спектральные распределения потока излучения от источни-
ков света:

а — лампы накаливания при различной температуре спирали; б — ртутные лампы
сверхвысокого давления; в — ксеноновая лампа высокого давления; г — полупровод-
никовые электролюминесцентные диоды.

Цветности излучения абсолютно черного тела при разных температурах образуют
на диаграмме цветностей линию (см. рис. 7.15). Если координаты цветности иссле-
дуемого источника света (спектр источника может быть также линейным!) лежат на
этой кривой, то цветовая температура Tf равна соответствующей температуре абсо-
лютно черного тела. Для «серых» излучателей цветовая температура и температура
самого излучателя совпадают (Tf=T).

Цветовая температура ^источника света равна температуре абсолютно чер-
ного тела, при которой цветность его излучения одинакова с цветностью излу-
чения исследуемого источника.

Цветовую температуру используют и для характеристики излучений, цветности
которых не находятся на линии цветностей абсолютно черного тела, но близки к
ней. В этом случае излучению соответствует коррелированная цветовая температу-
ра Тп, определяющая на линии черного тела точку, цветность которой наиболее
близка к цветности источника света. Подробно метод определения коррелирован-
ной цветовой температуры изложен в DIN 5033, Bl. 8.
4.3.2. Лампы накаливания

Благодаря простоте в эксплуатации и разнообразию типов лампы накаливания
являются наиболее важными источниками излучения для оптических приборов.
В качестве материала нитей накала обычно используется вольфрам (точка плавле-
ния = 3653 К). При работе лампы вольфрам постепенно испаряется и осаждается на
стенках колбы, что приводит к уменьшению светового потока из-за потемнения
колбы. Для снижения скорости испарения мощные лампы заполняют инертными
газами (N2, Аг, Кг, Хе). Однако лампы малой мощности делают вакуумными, так
как заполнение их газом не оправдано из-за больших тепловых потерь, обусловлен-
ных газовым заполнением. Закручивание нитей накала в узкую спираль позволяет
уменьшить тепловые потери (световая отдача сильно увеличивается с температу-
рой). Для оптических приборов часто требуются лампы с высокой яркостью, т. е.
дающие высокий световой поток при малой площади излучающей поверхности.
Этому требованию удовлетворяют низковольтные лампы, которые имеют маленькую
спираль из толстой проволоки и более высокую световую отдачу, чем высоковольт-
ные лампы. Это подтверждается сравнением двух проекционных ламп с различными
рабочими напряжениями, но с одинаковой потребляемой мощностью (табл. 4.4,
верхние строки).

Таблица 4.4. Характеристики ламп с одинаковой потребляемой мощностью.

Тип лампы Световой поток Площадь излучающей поверхности Срок службы Габариты колбы
Лампа накаливания 220 В/100 Вт 1650 лм 46 мм2 25 ч 78 мм х 0 24 мм
Лампа накаливания 12 В/100 Вт 2800 лм 12 мм2 25 ч 78 мм х 0 25 мм
Галогенная лампа 12 В/100 Вт 3000 лм 9,7 мм2 50 ч 44 мм х 011 мм
Ртутная лампа 100 Вт 2200 лм = 0,063 мм2 200 ч 85 мм х 013,5 мм
Ксеноновая лампа 75 Вт 1000 лм = 0,125 мм2 400 ч 90 мм х 0 10 мм

Для достижения более высокой силы света непосредственно в конструкцию
лампы могут входить оптические элементы (лампы с линзой, эллипсоидные зер-
кальные лампы т. д.). На рис. 4.10 даны примеры конструктивных форм ламп нака-
ливания для оптических приборов. Колбы с матовым стеклом или в виде трубок
могут значительно снижать яркость.

К большому прогрессу в области ламп накаливания привело создание галоген-
ных ламп (3.12]. Галогенная лампа накаливания представляет собой лампу, в колбу
которой вводится небольшое количество галогена (чаще всего соединений брома).
Испаряющиеся с нити накала атомы вольфрама соединяется с галогеном, в резуль-
тате чего образуется газообразное вещество. Эта реакция происходит при темпера-
туре, близкой к температуре колбы. При температуре, близкой к температуре на-
гретой нити лампы, такое газообразное вещество распадается на галоген и восста-
новленный вольфрам, который частично оседает на спирали. Возвращение
распыленного вольфрама на спираль лампы предотвращает осаждение вольфрама
на стенки колбы и, следовательно, потемнение колбы.
Рис. 4.10. Сравнение конструктивных форм ламп накаливания с одинаковой потреб-
ляемой мощностью 100 Вт:

а — 220 В; б — 12 В; в — галогенная лампа 12 В; г — лампа 12 В с эллипсоидным
зеркалом; д — галогенная лампа 12 В с эллипсоидным зеркалом.

Малые размеры нити накаливания и узкая компактная кварцевая колба гало-
генных ламп обусловлены высокой температурой колбы. Для повышения световой
отдачи в такой колбе может быть создано избыточное давление заполняющего ее
газа. Кроме того, маленькая колба позволяет создавать компактные осветительные
системы с большой апертурой. Конденсорные линзы в этом случае могут распола-
гаться на малом расстоянии от спирали нити накала. Преимущества галогенных
ламп отражены в табл. 4.4.

В целом галогенные лампы по сравнению с обычными лампами накаливания
дают при сопоставимом сроке службы более высокую световую отдачу благодаря
избыточному давлению заполняющего газа и обеспечивают почти неизменный све-
товой поток во время всего срока службы за счет добавки галогенидов. Кроме того,
галогенные лампы имеют незначительные габариты. Так как рабочая температура
нити накаливания достаточно высокая, то при включении с перенапряжением мо-
жет быть превышена температура плавления вольфрама!

Эксплуатационные характеристики ламп накаливания зависят от конструкции
и температуры спирали накаливания. Так как эта температура зависит от рабочего
напряжения, то для наглядности можно представить параметры ламп в виде функ-
ций напряжения. Эти зависимости приведены в табл. 4.5 (по [3.11]). Формулы из
табл. 4.5 можно использовать в качестве средних значений для оценки изменения
параметров ламп различных типов при увеличении или уменьшении питающего
напряжения.

Таблица 4.5. Зависимость основных параметров ламп накаливания от электричес-
кого напряжения.

Вакуумные лампы Газонаполненные лампы Галогенные лампы
Сила тока J J~ и°-6 J~ UQ-5 J~ иа-6
Потребляемая мощность Р Р~ и1-6 Р~ U'-5 р ~ и1-6
Световой поток Ф a, l, Е) ф ~ цм Ф ~ цм ф ~ U3-0
Световая отдача т/ г] ~ Uv t) ~ и1-“
Температура Т Т~ U0-34 Т~ И™ у — {/0,34
Срок службы Z Z- и~ы z~ и-ы Z- и-и при и> ик Z~ и-'4...и-ю при U < UN
Например, для светового потока Ф и срока службы Zвакуумных ламп в табл. 4.5
указаны следующие зависимости

где Фк, ZN — номинальные значения, которые указываются изготовителем для но-
минального напряжения UN. Аналогично определяются остальные величины. Оче-
видно, что для световых величин I, L, Е зависимости от напряжения имеют тот же
вид, что и для светового потока.

Три диаграммы на рис. 4.11 помогают быстро установить влияния изменения
накала на эксплуатационные характеристики.

80 85 90 95 100 105 110 115 120

Рис. 4.11. Характеристики ламп накаливания:

U — напряжение, UK — номинальное напряжение, Ф — световой поток, Z — срок
службы, J — сила тока, Р — потребляемая мощность, г/ — световая отдача.
Отклонения номинального напряжения оказывают очень сильное влияние
на срок службы ламп накаливания. Меньший накал дает возможность исполь-
зования лампы в течение более длительного срока эксплуатации при относи-
тельно незначительном снижении светового потока.

Температура Т проволоки спирали лежит примерно в следующих диапазонах:

вакуумная лампа накаливания
газонаполненная лампа накаливания
галогенная лампа накаливания

от 2300 до 2700 К
от 2600 до 3000 К
от 3000 до 3400 К

Так как вольфрам «серым» излучателем можно считать только приближенно,
то для цветовой температуры имеет место неравенство Tf>T (см. рис. 4.12, б). На
рис. 4.12, а показано изменение цветовой температуры в зависимости от световой
отдачи.

Рис. 4.12. Цветовая температура ламп накаливания:

а — цветовая температура как функция световой отдачи; б — разность между цветовой
температурой и температурой спирали в зависимости от температуры спирали.

Пример

Для вакуумной лампы накаливания изготовитель указал следующие номиналь-
ные значения: 6 В, 5 А, 350 лм, 600 ч. Тогда: PN = 30 Вт, rjN = 11,67 лм/Вт.
Цветовая температура составляет (7/)w ~ 2600 К. Следовательно, температура
спирали накаливания TN ~ 2540 К. Требуется, чтобы лампа давала высокий
световой поток при сроке службы не менее Z = 50 ч вместо ZN = 600 ч по
номиналу. С каким напряжением должна работать лампа? Как изменяются па-
раметры лампы?

Решение:

Из зависимости напряжения от срока службы напряжение питания получа-
ется равным U= 7,16 В (перенапряжение около 19 %). Тогда световой поток
увеличивается до Ф = 661 лм, потребляемая мощность до Р= 39,8 Вт, светоотда-
ча до г) = 16,6 лм/Вт. Температура спирали накаливания доходит до 7’= 2700 К,
а цветовая температура увеличивается до 7/ = 2770 К (рис. 4.12, 6). Эти расчеты
могут служить только хорошей оценкой, но не точными данными для конкрет-
ной лампы.
4.3.3. Газоразрядные лампы

В газоразрядных лампах используется излучение газов или паров металлов, возни-
кающее под действием проходящего через них электрического тока, т. е. электро-
люминесценция газового разряда. Газоразрядная лампа представляет собой стек-
лянную или кварцевую трубку, внутреннее пространство которой заполнено газом
или парами металла. В торцах трубки расположены электроды. Если к электродам
приложена определенная разность потенциалов, то под воздействием возникающе-
го между электродами электрического поля происходит перемещение свободных
электронов к аноду. При таком движении происходят столкновения электронов с
атомами газа. В результате столкновений происходит ионизация и возбуждение
атомов. Возбуждение атома заключается в переводе его с нормального уровня на
тот или иной более высокий энергетический уровень в зависимости от сообщенной
ему при столкновении энергии. В возбужденном состоянии атом пребывает лишь
весьма короткое время, после чего он снова возвращается на нормальный уровень,
излучая при этом световой квант с энергией, равной разности энергий атома в
возбужденном и нормальном состояниях. Подробности здесь не рассматриваются.

При низком давлении (когда нет никаких взаимных возмущающих воздействий
атомов) излучение газоразрядных ламп имеет линейный спектр. С повышением
давления происходит расширение линий, которые постепенно сливаются в непре-
рывный спектр.

Благодаря флуоресценции люминофора, коротковолновое излучение может быть
преобразовано в длинноволновое излучение с непрерывным спектром (люминес-
центная лампа). На рис. 4.13 показано несколько типов газоразрядных ламп.

Ртутные лампы в зависимости от давления паров ртути можно разделить на лам-
пы низкого давления (около 0,1 торр), лампы высокого давления (от 1 до 20 атм) и
лампы сверхвысокого давления8 (до 30 атм).

Лампа низкого давления дает сильное излучение на спектральной линии Л = 254 нм
(УФ-область спектра), которое хорошо подходит для возбуждения флуоресценции
(например, в люминесцентных лампах и при исследовании флуоресцирующих
материалов). Значительная доля излучения ламп высокого давления приходится
на видимый диапазон (линии: 435 нм/голубой, 546 нм/зеленый, 578 нм/желтый).

Рис. 4.13. Примеры газоразрядных ламп:

а, б — ксеноновая лампа высокого давления без и с пусковыми электродами (анало-
гична ртутной лампе сверхвысокого давления); в — ксеноновая импульсная газораз-
рядная лампа 15 Вт, например для использования в стробоскопе; г — спектральная
лампа (например, натриевая) с устройством для зажигания тлеющего заряда.

1 торр = 1 мм. рт. ст. = 133,3 Па, 1 атм ~ 105 Па. (Прим, пер.)
Для оптических приборов наибольший интерес представляют ртутные лампы
сверхвысокого давления. Излучение этих ламп имеет линейчатый спектр с непре-
рывным фоном (см. рис. 4.9, б). Из-за большей доли излучения, приходящегося на
красную область спектра ртутные лампы сверхвысокого давления более благопри-
ятны для освещения цветных поверхностей. Кроме того, при минимальных габари-
тах электрической дуги можно получить очень высокую яркость. В табл. 4.4 приве-
дены характеристики ртутной лампы сверхвысокого давления НВО 100 W (номи-
нальная электрическая мощность 100 Вт). При габаритах излучающей поверхности
примерно 0,25 х 0,25 мм лампа представляет собой практически «точечный» источ-
ник света! Яркость такой лампы составляет 170000 кд/см2.

Ртутные лампы сверхвысокого давления очень требовательны в эксплуатации.
Чаще всего для них необходимо постоянное напряжение с очень незначительной
составляющей переменного напряжения, стабилизация по току, а также высоко-
вольтное высокочастотное устройство зажигания. Срок службы зависит от числа
включений.

Параметры ксеноновых ламп сверхвысокого давления (рабочее давление при-
мерно до 30 атм) схожи с ртутными лампами сверхвысокого давления при другом
спектральном распределении. Ксеноновые лампы сверхвысокого давления имеют
очень высокий спектральный поток излучения в ближнем ИК-диапазоне (рис. 4.9, в)
и почти равномерное распределение спектрального потока в видимой области. При
цветовой температуре от 5000 до 6000 К свет ксеноновых ламп похож на солнеч-
ный. Это особенно благоприятно для цветопередачи. Поэтому ксеноновые лампы
используются при проекции цветных фильмов; освещение ксеноновыми лампами
применяется при сравнении цветных образцов. Ксеноновую лампу ХВО 75 W/2 можно
приблизительно сравнить с упомянутой ранее 100-ваттной лампой (см. табл. 4.4).
Яркость составляет 40 000 кд/см2.

Если в оптических приборах (интерференционные приборы, приборы для из-
мерения показателя преломления и т. д.) необходимо использовать монохромати-
ческое излучение, то его можно выделить из непрерывного спектра с помощью
монохроматоров (см. разд. 7.5.2). Значительно проще монохроматическое излуче-
ние с высокой энергетической яркостью может быть получено при использовании
специальных спектральных ламп. Эти лампы представляют собой газоразрядные
лампы, которые снабжены накаленными электродами. Излучение таких ламп со-
держит спектральные линии газов и паров металлов. Благодаря балластному дрос-
селю для питания спектральных ламп может быть непосредственно использован
переменный ток. Для достижения требуемого давления паров металла и выхода на
полную мощность лампам с разрядом на парах металла после включения требуется
несколько минут.

Для выделения из излучения спектральной лампы линии или группы ли-
ний с нужной длиной волны можно использовать набор поглощающих фильтров
(см. разд. 5.3.1). Однако общий коэффициент пропускания такого набора фильтров
обычно очень маленький. Лучшим вариантом является использование интерферен-
ционного фильтра (см. разд. 5.3.3). Спектральные лампы, содержащие смесь паров
ртути и кадмия, являются наиболее универсальными. Излучение этих ламп содер-
жит спектральные линии обоих металлов, которые достаточно благоприятно рас-
пределены в видимой и ультрафиолетовой областях спектра (ср. рис. 1.1).

4.3.4. Светодиоды

Полупроводниковые источники света в виде малогабаритных диодов из соедине-
ний III/V групп элементов таблицы Менделеева (например, арсенид галлия GaAs)
относятся к электролюминесцентным излучателям. При прямом напряжении в рп-
диоде происходит инжекция носителей заряда. При рекомбинации электронов и
дырок выделяется энергия излучения. Спектральный интервал излучения свето-
диодов достаточно узкий и относится к видимой или к инфракрасной областям
спектра. Для совместной работы с фотоэлектрическими приемниками особенно хо-
рошо подходят инфракрасные диоды на основе GaAs (2max примерно от 900 до 970 нм
в зависимости от легирующих примесей). Излучение диодов на основе GaP и GaAsP
лежит в видимой области спектра. Поэтому такие диоды часто используются в ин-
дикаторах.

Предельная частота модуляции светодиодов лежит в области мегагерц. Для
питания светодиодов необходимо только низкое напряжение. В отличии от ламп
накаливания светодиоды нечувствительны к механическим ударам. Также у све-
тодиодов нет высокого пускового импульса тока, который характерен для спи-
ральных нитей накаливания. При постоянном токе в открытом состоянии вели-
чина потока излучения светодиода со временем постепенно снижается. Срок служ-
бы светодиодов (примерно 105 ч) определяется временем, в течение которого поток
излучения уменьшается до 50 % от начального значения. Коэффициент полезного
действия светодиодов относительно мал и максимально составляет несколько про-
центов. Площадь излучающей поверхности у светодиодов находится в пределах от
10~3 до 1 мм2 (например, 0,4 х 0,4 мм). Таким образом, светодиод представляют
собой практически «точечный» источник излучения. Конструктивное исполнение
(например, заливка пластиком, корпус с линзой или плоским окном) светодиодов
аналогично фотоэлектрическим приемникам. Соответственно, сходны простран-
ственные характеристики распределения излучения и чувствительности приемни-
ков (рис. 4.26).

Пример

Светодиод LD 57С (Siemens) на основе GaP подходит не только для ин-
дикации, но и для освещения. Он излучает желто-зеленый свет в области
максимума чувствительности глаза (Ятж = 560±15 нм). При токе в открытом
состоянии 10 мА сила света примерно равна 30 (>20) мкд (милликандел).
Это примерно в 10 раз больше, чем у сопоставимых типов. Хотя постоянный
ток в открытом состоянии не может превышать 60 мА, но при работе в им-
пульсном режиме максимальное значение тока может быть равно 1 А (при
длительности ниже 1 мкс!). При этом обеспечивается высокая мощность в
импульсе.

4.3.5. Лазер

Лазер (аббревиатура слов английской фразы: «Light Amplification by Stimulated
Emission or Radiation»9) представляет особый интерес для науки и техники. Это
связано с тем, что лазер является источником когерентного излучения, характери-
зующегося высокой направленностью и большой плотностью энергии.

Кванты излучения (фотоны) с энергией h • v (h = 6,626 10-34 Дж - с — постоян-
ная Планка, v частота) взаимодействуют с частицами вещества (атомы, молекулы).
Каждый атом может принимать различные состояния энергии (например, элект-
ронная орбита в модели атома Бора), которые можно показать на диаграмме энер-
гетических уровней. На рис. 4.14 показано только два уровня энергии и W2.
«Возбужденный» атом (уровень W2) чаще всего после очень короткого (около 10-8 с),
но не точно фиксированного времени переходит в основное состояние IE,. При
этом выделяется энергия W2 — = h • v в виде кванта излучения (короткий цуг

волны). Так бывает при спонтанном излучении.

’ Усиление света в результате вынужденного излучения. (Прим, пер.)
Рис. 4.14. Диаграмма энергетических уровней.

Если квант с «подходящей» частотой v (т. е. h • v = W2 — WQ встречает атом, то
возможны два случая. В первом случае квант поглощается. При этом атому сообща-
ется энергия h v и атом переходит из основного (нормального) состоянии W1 в
возбужденное состояние W2. Во втором случае падающий квант вызывает переход
атома из состояния W2 в состояние (эффект резонанса). В результате такого
вынужденного (не спонтанного) перехода возникает новый квант, который имеет
ту же фазу, что и квант, вызвавший этот переход. В результате происходит когерен-
тное усиление падающей волны («вынужденное излучение»). Это является основой
принципа действия лазера.

При гораздо большем числе атомов (например, в объеме газа) один из двух
противоположных процессов, т. е. поглощение или вынужденное излучение, бу-
дет перевешивать. Если число атомов в состоянии W2 больше, чем в состоянии W
(т. е. плотность населенности N2 > Nt [атом/м3]), то преобладает вынужденное из-
лучение, а при TVj > N2 — поглощение. Так как атомы в нормальных условиях
пребывают в основном состоянии, то генерация лазерного излучения возможна,
только когда специально создается «инверсная населенность» (N2 > NJ. Для созда-
ния инверсной населенности используют «накачку», т. е. осуществляют подвод энер-
гии извне. Очевидно, что за счет тепловой энергии (повышения температуры) нельзя
получить N2 > Nt. Поэтому для накачки используют, например, оптическое излуче-
ние, поток электронов или энергию химической реакции.

На рис. 4.15 приведена принципиальная схема лазера. В активной среде лазера
(газ, жидкость, твердое тело, также полупроводниковый материал) происходит уси-
ление вынужденного излучения. Кроме того, к активной среде лазера подводится
энергия накачки. Усиление растет экспоненциально от пути, пройденного волной
(сгенерированные кванты вызывают «цепную реакцию» последующих квантов).
Поэтому оптический резонатор (система зеркал) должен обеспечить многократное
прохождение волны через активную среду лазера («оптическая обратная связь»).
После компенсации всех потерь оставшаяся часть энергии выводится наружу через
полупрозрачное зеркало («лазерный пучок»).

Рис. 4.15. Схема лазера:

L длина резонатора, S — зеркало, Т — полупрозрачное зеркало.
Различные типы резонаторов отличаются радиусами кривизны зеркал и длиной
резонатора L. Особенно стабильными и легко юстируемыми является конфокаль-
ные резонаторы10, примерная схема которых показана на рис. 4.15. (Радиусы зеркал
равны L, фокальные точки зеркал совпадают и лежат на расстояниях L/2 от вершин
зеркал.)

При выполнении условия L = т 2/(2 и) [п — показатель преломления, т —
целое число (порядок), v— частота генерации] в пределах длины резонатора об-
разуется «стоячая волна». Так как это условие выполняется для различных А и v,
то резонатор может генерировать большое число осевых мод с разносом по частоте
Av = с/(2 и£), где с — скорость света. Кроме того, поперечное сечение лазерного
пучка может быть разделено на несколько (в зависимости от обстоятельств) облас-
тей, колеблющихся в противофазе, т. е. возможно появление различных попереч-
ных мод (рис. 4.16). Эти области ограничены узловыми линиями11. Появление по-
перечных мод зависит от конструкции резонатора и его юстировки. Предпочти-
тельными в резонаторе являются собственные колебания с самыми низкими потерями.
Основной моды ТЕМ00 (ТЕМ — transverse electromagnetic mode; индекс — число
узловых линий в направлениях осей х и у) добиваются в измерительной технике.
Тогда получается пучок с однородной фазой колебаний и гауссовым падением ин-
тенсивности от оси к краю пучка.

Рис. 4.16. Примеры для поперечных мод. 00 —
ТЕМЮ и т. д.; узловые линии показаны белым
цветом.

Активная среда лазера определяет, какие из всех возможных частот генерации v
резонатора могут быть задействованы. Фиксированной частоте v, которая одно-
значно определяется уровнями и W1(h - v= W,— ИД, не соответствует абсолют-
но узкая спектральная линия. Ширина этой спектральной линии Av обусловлена
временем нахождения атома в состоянии Ж, перед спонтанным излучением и дру-
гими явлениями (эффект Допплера, расширения из-за соударений). Усиливаемые
частоты должны лежать в пределах ширины спектральной линии (более точно: в
пределах колоколообразного «профиля усиления»). Если при создании путем на-
качки инверсной населенности оказывается задействованным, по меньшей мере,
следующий энергетический уровень 1У3 активной среды лазера (рис. 4.17, а), то
получается простейший вариант трехуровневого лазера (например, рубиновый ла-
зер). В этом случае за счет оптической накачки с частотой v (А • v = W3 — WJ
атомы вещества сначала переводятся в состояние ИД Затем происходит быстрый
(10s с) безызлучательный переход атомов на относительно стабильный уровень ИД
где атомы могут находиться относительно долго (например, 10-3 с, «метастабиль-
ное» состояние). В результате этого перехода на уровне W2 создается избыточная
населенность ДА относительно уровня Wv Далее атомы лавинообразно возвраща-
ются на уровень Wt, и при этом возникает когерентное (лазерное) излучение. Если
уровень W3 достаточно широкий (широкая линия vp), то для получения ДА > 0
требуется минимальная мощность накачки.

Значительно меньшей мощности накачки требует четырехуровневый лазер
(рис. 4.17, б). Им, например, является неодимовый лазер. В этом случае лазерное
излучение возникает при переходе с уровня W3 на уровень ИД Так как уровень И7,
не совпадает с основным уровнем ИД то при комнатной температуре уровень 1Д не
заселен. Благодаря этому легко достигается избыточная населенность ДА.

10 Конфокальные резонаторы не являются самыми распространенными. (Прим, пер.}

11 Под узловыми линиями здесь понимаются линии, все точки которых независимо от време-
ни имеют нулевую амплитуду. (Прим, пер.)
Рис. 4.17. Схемы энергетических уровней лазеров:

а — трехуровневый лазер; б — двухуровневый лазер: N — населенность.

Свойства лазерного излучения будут рассмотрены на примере основной моды
ТЕМ00, генерируемой конфокальным резонатором (радиус зеркала г = L). Так как
из-за гауссового спада интенсивности пучок резко не ограничен, то чаще всего под
диаметром пучка D понимается диаметр круга, на краю которого интенсивность
составляет 1/е2 (около 13,5%) от интенсивности в центре. В середине резонатора
(£/2) пучок имеет наименьший диаметр Do («перетяжка»)

2LA

(4.38)

С увеличением расстояния от перетяжки диаметр пучка возрастает, т. е. пучок
является расходящимся с углом расходимости 28. Угол 8 (измеренный по отноше-
нию к оси пучка) равен

^=-4

Я- Do

(4-39)

Таким образом, из-за дифракции угол расходимости тем больше, чем меньше
диаметр перетяжки. Угол 8 можно уменьшить за счет расширения пучка. Для этого
используют оптическую систему, аналогичную зрительной трубе, но лазерный пу-
чок проходит ее в противоположном направлении (входит со стороны окуляра,
выходит со стороны объектива). Хотя при этом увеличивается диаметр пучка с D до
D', (половинный) угол расходимости уменьшается с Л до 8'.'Эти диаметры и углы
расходимости связаны равенством

&_=8_

D 8'

(4.40)

где Г' — увеличение зрительной трубы.

При малом угле расходимости лазерное излучение можно считать практически
параллельным пучком. Тогда лазерное излучение можно сфокусировать линзой с
фокусным расстоянием f в очень малое фокальное пятно12 с радиусом у = 8- f.
Таким образом, энергетический поток излучения Фс концентрируется на очень ма-
лую площадь А' = я82 fn. Энергетическая освещенность в этом случае равна

Е - Ф”

(4.41)

Высокая энергетическая освещенность представляет, например, интерес при
лазерной обработке материалов.

12 Даже без учета аберраций наименьшее пятно при фокусировке лазерного излучения обычно
не находится в фокальной плоскости. {Прим, пер.)
В табл. 4.6 представлены некоторые из многочисленных примеров использова-
ния лазеров. На рис. 4.18 показаны конструкции лазеров различных типов. Газовые
лазеры чаще всего используются в непрерывном режиме работы. В гелий-неоновом
лазере атомы гелия возбуждаются разрядом в газе и посредством соударений пере-
дают энергию накачки атомам неона. Лазерное излучение в этом случае возникает
при переходе атомов неона из возбужденного состояния в основное. На концах
газоразрядной трубки (рис. 4.18, а) в качестве окон приклеиваются или приварива-
ются оптические полированные стекла под углом Брюстера е (разд. 8.2.1) к оси
трубки. При таком угле для линейно поляризованного света, плоскость поляриза-
ции которого совпадает с плоскостью падения, потери на отражение равны нулю.
Поэтому свет газовых лазеров линейно поляризован. При оптической накачке твер-
дотельных лазеров на стержень лазера L должно концентрироваться излучение
стержнеобразной лампы-вспышки В (рис. 4.18, б). Для этой цели применяется ци-
линдрическое зеркало с эллиптическим поперечным сечением. В полупроводни-
ковом лазере, схожем по принципу действия с люминесцентным диодом, парал-
лельные торцевые поверхности 5 (рис. 4.18, в) действуют как зеркала резонатора.
Свет лазера в плоскости, перпендикулярной к щелевидному ри-переходу, доста-
точно сильно расходится, так как ширина щели незначительна [ср. с формулой
(4-39)!].

Таблица 4.6. Характеристики некоторых лазеров.

Лазер Состо- яние Рабочая среда Важнейшие длины волн, нм Режим работы (пред- почтитель- ный) Мощность (примерная) Примеры областей применения
Гелий- неоновый Газ Ne 632,8 Непре- рывный От 0,5 до 50 мВт Измерительная техника Голография
Аргон Газ Аг* 488,0; 514,5 Непре- рывный До 100 Вт Голография Спектроскопия
Гелий- кадмиевый Газ Cd* 325,0; 441,6 Непре- рывный До 50 мВт Литография Спектроскопия
Криптон Газ Кг* 350,7 Непре- рывный До 10 Вт Литография Спектроскопия
Диоксид углерода Газ СО2 10600 Непре- рывный До 10 кВт Обработка материалов
Азот Газ N2 337,1 Импульс- ный 100 кВт Накачка лазе- ров на краси- телях
Рубиновый Твердое тело Сг*** 694,3 Импульс- ный От 100 Вт до ГВт Обработка материалов Лидары
Nd-YAG Твердое тело Nd ** 1064 Импульс- ный 10 МВт Точная обработка материалов
Красители Жид- кость Органи- ческие краси- тели От 310 до 1200 Импульс- ный 10 кВт Спектроскопия
Полупровод- никовый Твердое тело GaAs От 850 до 910 Импульс- ный 10 кВт Оптическая передача информации
Рис. 4.18. Примеры конструкций лазеров:

а — газоразрядная трубка гелий-неонового лазера: F — окно, К — катод, А — анод;
б — поперечное сечение устройства для накачки твердотельного лазера: В — лампа-
вспышка, L — стержень лазера; в — полупроводниковый лазер: S — параллельные
торцевые поверхности, Z— подача питания, W — теплоотвод.

4.4. Глаз

4.4.1. Глаз как оптическая система

На рис. 4.19 показан поперечный разрез гла-
за. Между передней поверхностью роговицы
и сетчаткой (ретиной) находятся элементы, со-
здающие изображение: роговица, внутриглаз-
ная жидкость, хрусталик, стекловидное тело.
Сравнение показателей преломления показы-
вает, что наибольший скачок показателя пре-
ломления (1,00/1,38) имеет место только на
границе воздух/роговица. Эта граница между
воздухом и глазом (и = 1,34) дает наибольший
вклад в общую оптическую силу глаза.

Главные точки Н и Н' лежат на расстоя-

Рис. 4.19. Поперечный разрез глаза (пра- нии примерно 1,3 и 1,6 мм за вершиной ро-
вый глаз, вид сверху). говицы X. Фокусные расстояния глаза со-

ставляют примерно f = -17 мм и f = 23 мм
(разные среды по обе стороны поверхности раздела двух сред!). Все данные округле-

ны и соответствуют случаю, когда глаз находится в покое (аккомодационная мышца
не напряжена). Хрусталик состоит из отдельных слоев с возрастающим вовнутрь
показателем преломления. Хрусталик оказывает только корректирующее влияние на
изображение, так как показатель преломления хрусталика мало отличается от пока-
зателей преломления окружающих его сред. Фокусное расстояние хрусталика мо-
жет варьироваться ориентировочно между 70 и 40 мм за счет изменения кривизны

поверхности.

Лежащая перед хрусталиком радужная оболочка глаза действует как апер-
турная диафрагма (зрачок глаза). Диаметр зрачка глаза варьируется при адапта-
ции глаза к освещенности примерно от 2 до 8 мм (см. разд. 4.4.2).
Под аккомодацией понимают адаптацию оптической системы глаза к текуще-
му расстоянию до предмета (своего рода «автоматическую наводку на резкость»
глаза). Для этого аккомодационная мышца может уменьшать диаметр хрусталика,
что приводит к росту кривизны поверхности хрусталика. В возрасте 25 лет общее
фокусное расстояние глаза при аккомодации может изменяться от /' = 23 мм до
f ~ 19,5 мм.

Способность глаза к аккомодации характеризуется ближней и дальней точками
ясного зрения. Ближняя точка ясного зрения соответствует наименьшему расстоя-
нию ар от глаза наблюдателя до предмета, отчетливо различаемого при максималь-
ной аккомодации. Дальняя точка ясного зрения характеризуется расстоянием aR от
глаза до наблюдаемого предмета, отчетливо видимого при полном покое аккомода-
ционной мышцы. Расстояние между ближней и дальней точками ясного зрения
является мерой пространства, в пределах которого наблюдатель может отчетливо
видеть все предметы благодаря аккомодационной способности глаза. Это расстоя-
ние, выраженное для глаза в единицах оптической силы, принято называть объе-
мом аккомодации (1/а„) - (1/аД [м~‘ = дптр (диоптрия13)]. В табл. 4.7 приведены
данные об изменении аккомодации с возрастом. Конечно, при этом речь может
идти только о средних значениях, которые нужно рассматривать для конкретного
случая в качестве грубого ориентировочного значения!

Таблица 4.7. Уменьшение объема аккомодации с возрастом.

Возраст в годах 10 20 30 40 50 60 70 80
ар в см -8 —9 -12 -19 -50 -90 -100 -100
ак ОО ОО ОО ОО ОО ОО ОО ОО
1 1 . дптр «я «Р 12,5 11,1 8,3 5,3 2,0 1,1 1,0 1,0

В этой книге для расстояний всегда используется оптическое правило
знаков.

При aR = ео глаз считается нормальным. Если aR > 0, то глаз называется даль-
нозорким, а при ак < 0 близоруким. Очки, которые используются для коррекции
глаз, должны строить изображение бесконечно удаленной точки предмета в даль-
ней точке ясного зрения глаза (ср. также пример на стр. 62). Для этого при дально-
зоркости необходима положительная линза, а при близорукости — отрицательная
линза (рис. 4.20). Очень малый объем аккомодации (начиная примерно с 50 лет,
см. табл. 4.7) очками не увеличивается. Тогда для близких и дальних расстояний
необходима различная очковая коррекция.

При расчетах характеристик оптических приборов, которые работают совмес-
тно с глазом (например, увеличения), нужно задать стандартное ближнее рассто-
яние ясного зрения, которое было бы еще комфортно для людей среднего возра-
ста. Это расстояние принято равным 250 мм. В соответствии с принятым прави-
лом знаков:

расстояние наилучшего зрения = —250 мм.

Зрение двумя глазами будет рассмотрено в разд. 6.4.4.

13 См. примечание на стр. 35. (Прим, пер.)
Рис. 4.20. Коррекция дальнозоркости (а) и близорукости (6) очками.

4.4.2. Глаз как приемник оптического излучения

На поверхности сетчатки находятся две разновидности световоспринимающих эле-
ментов: около 1,3 108 палочек (диаметр около 2 мкм) и около 7 106 колбочек
(диаметр около 4 мкм). Основные характеристики палочек и колбочек приведены в
табл. 4.8.

Таблица 4.8. Основные характеристики палочек и колбочек.

Колбочки Палочки
Расположены главным образом в централь- ной ямке сетчатки С наибольшей плотностью расположены вне центральной ямки сетчатки
Малое поле зрения с большим разрешением Большое поле зрения с малым разрешением
Колбочки действуют при дневном зрении Палочки действуют при ночном зрении
Возможно цветное зрение Не различаются цвета
Малая светочувствительность: Кп = 683 лм/Вт Высокая светочувствительность: К'т = 1699 лм/Вт
Относительная спектральная световая эффективность для дневного зрения У (Л) с = 555 нм Относительная спектральная световая эффективность для ночного зрения У'(Л) с 4» = 507 нм

Высокая острота зрения днем обеспечивается только в пределах малого полево-
го угла (2w = 4°), которому соответствует центральная ямка сетчатки. Здесь изобра-
жение наблюдаемого предмета имеет минимальные аберрации. При перемещении
взгляда глазное яблоко быстро поочередно сканирует большее поле. Наибольшая
разрешающая способность (1') имеет место только в центральной части поля с
угловым диаметром около Г.

Палочки и колбочки распределены по поверхности сетчатки неравномерно:
в центральной ямки сетчатки находятся главным образом плотно расположен-
ные колбочки. По мере удаления от центральной ямки плотность размещения
колбочек понижается и повышается плотность размещения палочек. Несколь-
ко палочек могут действовать на один зрительный нерв.

Поглощенный поток излучения вызывает в зрительном пигменте световоспри-
нимающего элемента (колбочки или палочки) химические реакции. В результате
этих реакций в зрительном нерве возникает возбуждение, которое далее передается
в мозг.
Под адаптацией понимают способность глаза приспосабливаться к различным
яркостям наблюдаемого пространства. Глаз может работать в весьма широком диа-
пазоне яркостей (свыше 1:109). Адаптация происходит двумя путями:

1) быстрая адаптация в узкой области (максимально 1:16) вследствие измене-
ния диаметра зрачка от 2 до 8 мм;

2) медленная адаптация вследствие изменения процессов в сетчатке:

а) при L < 10 s кд • м-2 в качестве приемника действуют только палочки (ночное зре-
ние); при L > 10 кд м-2 в качестве приемника действуют только колбочки (дневное
зрение); между этими значениями яркости находится переходная область;

б) совместное включение нескольких палочек на один зрительный нерв. Благодаря
этому достигается еще более высокая чувствительность;

в) изменение чувствительности световоспринимающих элементов.

Темновая адаптация может длиться более 30 мин. Если яркость предмета при
данном состоянии адаптации вызывает чрезмерное раздражение сетчатки глаза, то
происходит уменьшение диаметра глазного зрачка.

Относительная спектральная чувствительность различна для колбочек и пало-
чек. На рис. 4.21 представлены относительная спектральная световая эффектив-
ность для дневного зрения У(Л) и относительная спектральная световая эффектив-
ность для ночного зрения И'(2).

Смещение максимума чувствительности на короткие волны при ночном
зрении приводит к эффекту Пуркинье. Этот эффект состоит в следующем. Пусть
энергетические яркости монохроматических излучений голубого (например,
480 нм) и желтого (например, 580 нм) излучений примерно равны. Тогда при
ночном зрении более светлым кажется голубое излучение, а при дневном зре-
нии более светлым кажется желтое (рис. 4.21).

Абсолютная спектральная чувствительность для монохроматического излуче-
ния с длиной волны Я равна:

К(Л) = КтУ(Л).(4.42)

К(Л) называют световой эффективностью для монохроматического излучения.
(При Л = 500 нм имеем И(500) = 0,323, тогда /5(500) = 683 • 0,323 лм/Вт.)
Абсолютная чувствительность для полихроматического излучения равна:

<4-43’
е

К называют световой эффективностью для полихроматического излучения [Ф и Фе
рассчитываются по формулам (4.5) и (4.11)].

Глаз является очень чувствительным приемником. При полевых углах менее 10°
глаз еще будет различать предметы с яркостью в 10~5 кд - м~2, если их окружает поле
с нулевой яркостью (абсолютный порог ощущения). На рис. 4.22 показан относи-
тельный порог распознавания LL/L как функция яркости фона L.

Рис. 4.21. Относительная спектральная световая
эффективность У(Л) для дневного зрения и от-
носительная спектральная световая эффектив-
ность К'(2) для ночного зрения (DIN 5031). При
переходе от дневного зрения к ночному происхо-
дит инверсия зрительной оценки яркости голу-
бого и желтого (красного) излучений.
Дневное
зрение

Рис. 4.22. Уровень распознавания различий в яркости при различной яркости фона.

Ночное
зрение

4.4.3. Разрешающая способность

Так как сетчатка состоит из отдельных световоспринимающих элементов, то глаз
может одновременно (параллельно) получать большой объем информации о пред-
мете. Объем информации будет тем больше, чем больше мелких деталей, которые
еще различимы глазом.

Так как абсолютная величина различаемых деталей предмета зависит от рассто-
яния до предмета, то указывают минимальный угол wmin, под которым две освещен-
ные точки, два края, линии и т. д. еще воспринимаются раздельно. Примерные
значения углов указаны на рис. 4.23. Разрешающая способность возрастет с умень-
шением угла w Она зависит от формы предметов, контраста и яркости.

от 1' до 4'; для дистанции наблюдения 250 мм
это соответствует 75—300 мкм.

для расчетов используется ориентировочное значение, равное 2'

от 5" до 10"; для дистанции наблюдения 250 мм
это соответствует 6—12 мкм

Рис. 4.23. Разрешающая способность глаза при наблюдении объектов различной формы.

4.5. Фотоэлектрические приемники

4.5.1. Основные характеристики

В фотоэлектрических приемниках в результате взаимодействия оптического излу-
чения с веществом освобождаются носители зарядов. Это приводит к повышению
электропроводности приемника. Фотоэлектрические приемники можно разделить
на две группы.

Внешний фотоэффект используется в вакуумных и газонаполненных фотоэле-
ментах, а также во вторичных фотоэлектронных умножителях (ВЭУ). В этом случае
кванты излучения вызывают эмиссию электронов с поверхности катода в свобод-
ное пространство (в колбу, где создан вакуум или которая наполнена газом).
4.5. Фотоэлектрические приемники 145

Внутренний фотоэффект используется в полупроводниковых приемниках. В этом
случае энергия квантов увеличивает число носителей заряда внутри кристалличес-
кой решетки.

Относительная спектральная чувствительность у фотоэлектрических приемни-
ков очень разная. Поэтому они хорошо согласуются с разнообразными источника-
ми излучения. На рис. 4.24 показаны примерные графики спектральной чувстви-
тельности некоторых фотоприемников. Так как на спектральное распределение
оказывают влияние легирующие добавки и технология изготовления, то спектраль-
ные распределения чувствительности различных приемников с одним и тем же
основным полупроводниковым материалом будут немного отличаться. Приемники
на основе германия имеют максимум чувствительности вблизи 1,5 мкм. Приемни-
ки на основе кремния хорошо подходят к спектральному распределению лампы
накаливания и GaAs-диода.

Рис. 4.24. Спектральная чувствительность полупроводниковых фотоприемников:
А — спектральная чувствительность глаза (для сравнения).

Абсолютная чувствительность равна

$ф

= — (например, в мкА/лм),

или

sE = — (например, в мкА/лк).

Однако лучшее выразить чувствительность через поток излучения Ф, и энергети-
ческую освещенность £. При этом должно быть известно спектральное распреде-
ление излучения или, по крайней мере, указана цветовая температура Tf.

Во многих оптических системах используется модуляция потока излучения,
т. е. величина потока излучения плавно или скачкообразно (например, серия им-
пульсов) изменяется во времени. Желательно, чтобы такой изменяющийся во вре-
мени сигнал был преобразован в электрический сигнал с минимальными искаже-
ниями.

Так как на генерацию и перенос носителей заряда, а также самовосстановление
приемника требуется определенное время, то дифференциальная чувствительность
sd [см. формулу (4.10)] уменьшается с ростом частоты сигнала.

Граничная частота соответствует частоте, на которой чувствительность прием-
ника уменьшается до значения 0,707(1/от величины при постоянном во време-
ни освещении. Граничная частота фотоэлектрических приемников различных ти-
пов отличается очень сильно (от нескольких герц до мегагерц).
4.5.2. Характеристики различных видов фотоприемников

Фоторезистором называют приемник излучения, у которого под действием потока
излучения вследствие внутреннего фотоэффекта меняется сопротивление. Значе-
ние сопротивления фоторезистора не зависит от направления тока. Из полупровод-
никовых материалов для фоторезисторов чаще всего используют соединения кад-
мия (например, сульфид кадмия CdS). Для фоторезисторов, которые работают в
ИК-области, также используют сульфид свинца PbS. Связь между сопротивлением
R и освещенностью Е описывается приближенной формулой R ~ Е~г, где значение
/(«крутизны») лежит примерно между 0,6 и 1. При изменении освещенности сопро-
тивление фоторезистора медленно изменяется на новое значение R. Эта инерцион-
ность может уменьшаться при высокой освещенности. Фоторезисторы на основе
CdS применяют в устройствах регулирования искусственного освещения, экспоно-
метрах, в системах автоматизации производственных процессов и т. д. При этом
частота переключения не должна превышать примерно 10 Гц.

Фотодиодами называются полупроводниковые приборы, основанные на внут-
реннем фотоэффекте и использующие одностороннюю проводимость рл-перехода.
При освещении фотодиода возникает электродвижущая сила (фотогальванический
режим) или (при наличии питания) изменяется значение обратного тока (фотодиод-
ный режим). Один и тот же приемник при необходимости может использоваться в
обоих режимам работы.

При работе в фотогальваническом режиме генерируемое напряжение холостого
хода UL логарифмически возрастает с освещенностью вплоть до величины насыще-
ния (примерно от 450 до 550 мВ для кремния Si). Это напряжение не зависит от
размеров площадки приемника. Наоборот, ток короткого замыкания /к (режим ра-
боты при малом внешнем сопротивлении) линейно увеличивается с ростом площа-
ди фоточувствительной площадки и освещенности.

Кремниевые фотоэлементы с большой площадью поверхности используются в
качестве солнечных фотоэлементов, которые непосредственного преобразуют энер-
гию падающего на них излучения в электрическую энергию. Коэффициент полез-
ного действия составляет при этом от 8 до 11 %.

В фотодиодном режиме обратный ток рл-перехода растет пропорционально ос-
вещенности. В качестве полупроводникового материала используется германий (вы-
сокая чувствительность), а чаще всего кремний (незначительная зависимость тем-
нового тока от температуры). Граничная частота очень высокая (находится в диапа-
зоне мегагерц).

Фототранзистор представляет собой полупроводниковый прибор с двумя
ри-переходами, обладающий свойством усиления фототока при воздействии лучис-
той энергии. Поэтому фототранзисторы имеют более высокую чувствительность,
но более низкую граничную частоту, чем аналогичные им фотодиоды.

4.5.3. Освещение светочувствительной поверхности
фотоприемников

Фотоэлементы и многие фоторезисторы имеют относительно большую площадь
фоточувствительной площадки приемника (до 1 см2), в то время как для фотодио-
дов и фототранзисторов характерны малые размеры фоточувствительной площад-
ки. Увеличить площадь, с которой поток излучения попадает на фоточувствитель-
ную площадку, можно за счет размещения на корпусе линзы. В этом случае линза
фокусирует на площадку приемника падающее на ее поверхность излучение. Кон-
структивное исполнение приемника с окном в виде стеклянной пластины исполь-
зуется в тех случаях, когда с помощью оптической системы необходимо получить
на фоточувствительной площадке приемника точное изображение поверхности ис-
Рис. 4.25. Равномерное освещение площад-
ки приемника:

L — спираль лампы накаливания: £' — изображе-
ние спирали; Е — приемник; (3) — полевая линза.

точника света. При этом можно согласовать с приемной площадкой размеры изоб-
ражения источника света.

Пусть на фоточувствительной площадке приемника расположено резкое изоб-
ражение спиральной нити накала. Так как обычно площадка приемника имеет не-
одинаковую чувствительность в разных зонах, то при перемещении изображения
нити накаливания (в пределах площадки приемника) выходной ток может коле-
баться. Снизить этот нежелательный эффект можно за счет нерезкого изображения
нити накаливания (например, при сильном сдвиге приемника относительно плос-
кости изображения).

Применение полевой линзы (это показано на рис. 4.25) обеспечивает равно-
мерное освещение площадки приемника.

Чувствительность фотоэлектрических приемников зависит также от направле-
ния падения света. На рис. 4.26, а показан «широкоугольный» приемник с откры-
той площадкой (нет ограничения падающего света корпусом). На рис. 4.26, б и в
показаны одинаковые типы фототранзисторов. По сравнению с плоским окном
линза формирует диаграмму направленности с узким «лепестком». Таким образом,
при необходимости можно исключить фоновый боковой свет.

Рис. 4.26. Пространственное распределение чувствительности приемника:

а — площадка приемника без корпуса; б — корпус с плоским стеклом; в — корпус с
линзой

4.6. Фотослои

4.6.1. Общие характеристики

Глаз и фотоэлектрические приемники реагируют на поток (т. е. мощность) излуче-
ния. В отличие от них фотослой реагирует на общее количество суммарной энер-
гии излучения, которая равна произведению потока и времени. Различия мощнос-
ти энергии излучения можно компенсировать за счет времени воздействия (про-
должительности экспонирования) фотоматериала. Так, при очень низком уровне
освещенности объекта выдержка при съемке может быть очень длительной (напри-
мер, длительные выдержки в астрономии). С другой стороны, при высокой осве-
щенности достаточно очень кратковременных экспозиций (пример: съемка быст-
ропротекающих процессов, см. разд. 6.4.3).

Фотослои имеют очень высокое пространственное разрешение (высокая плот-
ность хранения информации).

Благодаря энергии квантов падающее на фотослой (чаще всего светочувствитель-
ное вещество представляет собой галогениды серебра AgCl, AgBr, AgJ) излучение
вызывает в нем физико-химические изменения (образование «скрытого» изображе-
ния). Для превращения скрытого изображения в видимое обычно используют специ-
альные процессы обработки (проявление). Подробно это изложено в книге [7.3].

4.6.2. Чувствительность и характеристическая кривая

По относительной спектральной чувствительности черно-белые фотослои можно
разделить на несенсибилизированные и спектрально-сенсибилизированные (рис. 4.27).
Несенсибилизированные фотоматериалы обладают чувствительностью к сине-фи-
олетовой части видимого спектра (рис. 4.27, а), что обусловлено собственной чув-
ствительностью галогенида серебра (для AgBr граница собственной чувствительно-
сти примерно равна 490 нм).

Ортохроматически сенсибилизированные слои чувствительны к сине-фиолето-
вой и желто-зеленой части спектра (рис. 4.27, в). Панхроматически сенсибилизи-
рованные слои (рис. 4.27, в) чувствительны ко всей видимой области спектра. По-
этому панхроматически сенсибилизированные слои наиболее предпочтительны для
черно-белых фотографий цветных объектов.

Для фотослоев в качестве входной величины X (см. разд. 4.1.2) принимается
логарифм произведения освещенности Е (в наиболее общем случае указывается
энергетическая освещенность £!) и времени экспозиции t, т. е. логарифм экспози-
ции Н:

__________________________________H = Et.____________________________(4.44)

Единицей измерения экспозиции является люкс • секунда (лк • с).

Выходной величине Y соответствует уменьшение пропускания после фотохи-
мической обработки. Для количественного описания уменьшения пропускания
используется оптическая плотность D (см. табл. 4.3):

Z) = lg-. (4.45)

__________________________________ т

Для фотобумаги оптическая плотность вычисляется по формуле D = lg(l/p), где р —
коэффициент отражения.

Рис. 4.27. Относительная спектральная чув-
ствительность фотослоев:

а — несенсибилизированный; б — ортохроматичес-
кая сенсибилизация; в — панхроматическая сенси-
билизация. В качестве источника освещения исполь-
зовалась лампа накаливания.
Рис. 4.28. Характеристическая кривая фотоматериала:
Нм — минимальная экспозиция.

Зависимость оптической плотности D от десятичного логарифма экспозиции Н,
выраженную в графической форме, называют характеристической кривой фото-
слоя (рис. 4.28). Данная кривая показывает, что фотослой как приемник излучения
обладает нелинейной характеристикой. Форма характеристической кривой зависит
не только от самого фотослоя, но и от условий химической обработки, прежде
всего от времени проявления. Оптическую плотность, возникающую в процессе
проявления неэкспонированных фотоматериалов (Н = 0), называют оптической
плотностью вуали. Оптическая плотность вуали обусловлена поглощением в под-
ложке фотоматериала, потерями на отражение и проявлением неэкспонированных
зерен. После переходной области на характеристической кривой следует большой
прямолинейный участок. «Рабочая точка» должна лежать на данной линейной час-
ти характеристической кривой, т. е. должна выбираться подходящая экспозиция Н.
Если при большой экспозиции все зерна AgBr восстанавливаются до серебра, то
получается максимальная оптическая плотность (насыщение). При еще большей
экспозиции оптическая плотность может снова уменьшится (!). На характеристи-
ческой кривой такому явлению соответствует область соляризации. Крутизну ха-
рактеристической кривой в линейной области или, во всяком случае, крутизну в
выбранной рабочей точке можно описать при помощи коэффициента контрастно-
сти («гаммы») фотоматериала /=

При увеличении времени проявления сильно увеличивается коэффициент кон-
трастности у, чувствительность увеличивается слабо (сдвиг кривой к более малой
величине 1g//), но также одновременно возрастает оптическая плотность вуали!

Коэффициент контрастности у существенно влияет на воспроизведение изоб-
ражения. При у = 1 контраст изображения равен контрасту предмета. При у > 1
контраст изображения повышается (контрастный фотослой), при у < 1 контраст
изображения уменьшается (мягкий фотослой).

Абсолютная чувствительность фотослоя тем выше, чем меньше требуется экс-
позиция для достижения определенной оптической плотности. В соответствии с
DIN 4512, Bl. 1 устанавливается минимальная экспозиция Нм, при которой опти-
ческая плотность выше плотности вуали на Д/> = 0,1. Светочувствительность 5DIN в
числах DIN рассчитывается по формуле:

•%IN=10 1g-J-, (4.46)
где в качестве единицы измерения экспозиции Нм используется люкс секунда.
В отличие от логарифмической системы DIN светочувствительность в единицах
ASA прямо пропорциональна чувствительности14.

Соотношение чисел светочувствительности
DIN: 12 15 18 21 24 27 30 DIN
ASA: 12 25 50 100 200 400 800 ASA

В обозначении по системе ISO указываются оба значения чисел светочувстви-
тельности, например 100/21. Только в ограниченной области освещенностей дей-
ствует (до этого места предполагалось, что он выполняется всегда) закон взаимо-
заменяемости. Согласно этому закону равные по величине экспозиции Н = E-t
должны вызывать в фотослое одинаковый фотографический эффект (одинаковые
по своей оптической плотности почернения).

Например, при 5-кратном увеличении освещенности время экспозиции сокра-
тится в 5 раз. Вне области действия закона взаимозаменяемости (зависит от вида
фотослоя) чувствительность уменьшается. При очень малом Е и, соответственно,
длительном времени экспозиции такое уменьшение чувствительности называется
эффектом Шварцшильда. При очень большом Е и, соответственно, коротком вре-
мени экспозиции (при съемках быстропротекающих процессов, см. разд. 6.4.3) так-
же имеет место отклонение от закона взаимозаменяемости. В качестве примера на
рис. 4.29 для одного из видов фотопленки показана необходимая для получения
неизменной оптической плотности экспозиция Н как функция от Е.

Рис. 4.29. Эффект Шварцшильда и отклонение от закона взаимозаменяемости при
коротких выдержках. Красным показана окрестность вблизи минимума, где
выполняется закон взаимозаменяемости.

4.6.3. Разрешающая способность

Разрешающая способность фотографического слоя соответствует максимальному
числу линий на отрезке единичной длины (чаще всего на 1 мм) фотографического
слоя, при котором еще можно распознать отдельные линии. Более полно способ-
ность фотографического слоя передавать мелкие детали изображения описывает
функция передачи модуляции.

14 Светочувствительность в числах ГОСТ примерно совпадает с числами светочувствительно-
сти ASA. Для фотоматериалов различного назначения методы определения светочувствитель-
ности в числах ГОСТ приведены в ГОСТ 10691.0—84, ГОСТ 10691.1—84, ГОСТ 10691.2—84,
ГОСТ 10691.3—84, ГОСТ 10691.4—84, ГОСТ 10691.5—88, ГОСТ 10691.6—88. (Прим, пер.)
Высокую разрешающую способность имеют тонкие мелкозернистые слои15.
Но при малых размерах зерен фотослой имеет более низкую светочувствительность.
Кроме величины кристаллов AgBr, важное значение имеет характер распределения
зерен. Видимая зернистость обусловлена неравномерными скоплениями отдельных
зерен металлического серебра на различной глубине слоя после проявления. На раз-
решающую способность также оказывают влияние светорассеяние в фотослое и
ореол рассеяния.

Слой с высокой разрешающей способностью мелкозернистый, имеет не-
значительную светочувствительность и высокий коэффициент контрастности у.
Наоборот, слой с высокой светочувствительностью крупнозернистый, имеет
малую разрешающую способностью и малый коэффициент контрастности у.

15 К концу XX века были созданы слои, которые одновременно обладают высокой светочув-
ствительностью и значительной разрешающей способностью. (Прим, пер.)
ГЛАВА 5

ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА,
ПРОЕКЦИОННЫЕ ЭКРАНЫ,
СВЕТОФИЛЬТРЫ

5.1. Волоконная оптика

Световодом называется оптический элемент, при прохождении через который свет
многократно отражается от боковых поверхностей. В простейшем случае световод
представляет собой цилиндрический стержень с плоскими торцами из стекла или
пластмассы. Благодаря явлению полного внутреннего отражения луч при распрос-
транении в таком световоде многократно отражается от боковой поверхности —
границы стержня с воздухом. Важным преимуществом световода является то, что
стержень может быть изогнут. Однако одиночный световод не может передавать
изображения. Это связано с тем, что если на входной поверхности имеет место
неравномерное распределение яркости (т. е. на входной поверхности находится
предмет), то выходная поверхность будет освещена более или менее равномерно.

Очень тонкие световоды из стекла или пластмассы обладают двумя преимуще-
ствами: они представляют собой гибкие волокна и их можно использовать для
переноса изображений (каждое волокно переносит свой элемент изображения пред-
мета). При соединении таких световодных волокон в жгут необходимо принять
меры, чтобы на боковых поверхностях не нарушалось условие полного внутреннего
отражения из-за соприкосновения волокон. Для достижения этой цели каждое от-
дельное волокно следует светоизолировать от других. Для обеспечения светоизоля-
ции волокно делают составным (сердцевина + оболочка, см. разд. 5.1.1).

Волоконно-оптические элементы представляют собой жгуты светоизолиро-
ванных волокон. Для этих элементов используются волокна с диаметром от 5 до
200 мкм (диаметры пластиковых волокон несколько больше). Нерегулярные
(с неупорядоченным расположением волокон) волоконно-оптические жгуты ис-
пользуются для передачи светового потока (осветительные устройства). Регу-
лярные (с упорядоченным расположением волокон) волоконно-оптические жгуты
используются для передачи изображений.

Литература по волоконной оптике: [4.1]—[4.4]. В [4.3] рассмотрены интересные
для практического применения свойства волоконно-оптических элементов.

5.1.1. Оптические характеристики одиночного волокна

На рис. 5.1, а показан ход луча в прямом цилиндрическом волокне. Для обеспече-
ния светоизоляции сердцевина из стекла с показателем преломления окружена
стеклянной оболочкой с более низким показателем преломления п2. Условие пол-
ного внутреннего отражения на границе сердцевина/оболочка имеет вид д, >
Тогда половинный апертурный угол и = EQma (максимальный угол падения на тор-
цевую поверхность) находится из уравнения:

sin и = - п\. (5.1)
Рис. 5.1. Траектория луча в световоде:

я — прямое цилиндрическое волокно; б— прямое коническое волокно; в — искривлен-
ное цилиндрическое волокно; г — градиентное волокно.

Числовая апертура (см. разд. 3.3) прямого цилиндрического волокна равна
А = sin и. При выводе формулы (5.1) было принято и0 = 1 (торец волокна граничит
с воздухом).

Для прямого цилиндрического волокна (рис. 5.1, а) входная апертура равна
выходной апертуре, а для конических волокон (рис. 5.1, б) концентрация светового
потока на меньшую выходную площадку (£)сх < D.r) приводит к увеличению задней
апертуры: sin д' > sin и. В [4.3] указана величина максимально возможной входной
апертуры конического волокна. В случае изгиба цилиндрического волокна (рис. 5.1, в)
максимально возможная входная апертура рассчитывается по формуле

sin и =. яг - щ

(5.1а)

где D — диаметр сердцевины волокна; г — радиус изгиба. Апертура изогнутого
волокна меньше, чем апертура прямого волокна. При г = ~ формула (5.1а) эквива-
лентна выражению (5.1).

Формулы (5.1) и (5.1а) соответствуют меридиональным лучам, траектория ко-
торых пересекает ось волокна (см. рис. 5.1). Максимально возможная апертура для
«косых» лучей (их траектории не пересекают ось волокна) больше, так как углы
падения таких лучей на границу сердцевина/оболочка несколько больше [4.3]. Та-
ким образом, формулы (5.1) и (5.1а) определяют апертуру волокна с некоторым
запасом.

Примеры:

1. Чаще всего для волокон используют комбинацию стекол со следующими
показателями преломления: пх = 1,62; п2 = 1,52. Для этого случая нужно рассчи-
тать: предельный угол д падения на боковую поверхность, числовую апертуру
волокна А, максимальный апертурный угол 2и падающего пучка, при котором
еще выполняется условие полного внутреннего отражения для всех лучей пуч-
ка; диафрагменное число объектива к, который имеет такую же апертуру, что и
волокно (см. также разд. 3.3, пример 1).

Решение:

s = 69,8; А = 0,56; 2и = 68; А: = 0,89. Следовательно, только очень свето-
сильный объектив имеет такую же апертуру, что и волокно!

2. Очень часто используемые волокна с D — 70 мкм, и, = 1,62; и2 = 1,52
должны изгибаться так сильно, как это допускает прочность (г= 12 мм). Какую
апертуру тогда еще можно использовать?

Результат:

Из формулы (5.2) следует sin и = 0,548 (приближенно sin и ~ 0,55). Сравне-
ние с ранее полученным результатом для прямого волокна показывает, что даже
при сильном изгибе апертура волокна уменьшается очень незначительно!

Чистый спектральный коэффициент пропускания г. (Л) [см. формулу (4.16)]
обусловлен поглощением в материале сердцевины и потерями при полном внут-
реннем отражении (загрязнения на границе между сердцевиной и оболочкой, а
также затуханием волны из-за поглощения в оболочке). Оба вида потерь возраста-
ют с увеличением длины волокна. Спектральный коэффициент пропускания т(Л)
также учитывает потери на входной и выходной поверхностях. При безупречно
отполированных торцевых поверхностях эти дополнительные потери рассчитыва-
ются по формулам Френеля (см. разд. 2.8). При удовлетворительной или дефектной
полировке потери на торцевых поверхностях будут гораздо больше!

Для обеспечения малых потерь при полном внутреннем отражении оболочка
волокна не должна быть очень тонкой. Толщина оболочки составляет примерно
от 0,5 до 2 мкм. Полное внутреннее отражение нельзя заменить нанесением зер-
кального слоя на волокно: так как число отражений на метр длины волокна со-
ставляет от 103 до 104, то почти весь световой поток будет поглощаться зеркаль-
ным слоем.

Элементы с волокнами из пластмассы дешевы, так как вместо полировки тор-
цов достаточно гладко отрезать волокно. Поломка волокна практически исключе-
на. Пластиковые волокна имеют несколько большие диаметры, чем волокна из
стекла, например 250 мкм. В результате старения коэффициент пропускания пла-
стиковых волокон уменьшается. График функции т(Л) может иметь локальные
минимумы. Например, могут встречаться минимумы коэффициента пропускания
в районе примерно 900 и 1000 нм, вследствие чего излучение GaAs-диода не про-
ходит.

Область пропускания обычных волокон из стекла соответствует диапазону от
400 до 2000 нм. За пределами этой области используют инфракрасные волокна
(из специальных стекол) и ультрафиолетовые волокна (сердцевина из кварца, а
оболочка из пластмассы).

Принцип действия градиентных волокон (рис. 5.1, г) несколько иной. Их свой-
ства описаны в [1.3] и [4.4]. Градиентные волокна изготавливают путем ионного
обмена в стержнях из специального стекла диаметром примерно от 0,5 до 2 мм.
В результате ионного обмена показатель преломления в стержне плавно убывает в
радиальном направлении от центра к краю. Если на оси волокна показатель пре-
ломления равен пс, а на расстоянии г от оси волокна показатель преломления равен
иг, то пг = п(1 — к2г2), где к — постоянная. Траектории лучей в градиентном
волокне имеют синусообразную форму. Исходящие из точки Р лучи снова пере-
секутся в точке Р' («самофокусирующее волокно»). Следовательно, возможна пере-
дача изображений одиночным волокном! Оптические свойства отрезка градиентно-
го волокна соответствующей длины эквивалентны свойствам миниатюрной линзы.

Оптические волокна для передачи информации на большие расстояниях должны
иметь очень малые потери. Их спектральный коэффициент поглощения рассчитыва-
ется по формуле а(Л) - 10 •/-1 • 1g (т (Л)) [дБ/км], где / — длина; г (Л) — чистый
спектральный коэффициент пропускания. Например, если г = 0,5 (при Л ~ 800 нм),
то коэффициент поглощения 3 дБ/км. Большое значение также имеет величина
пропускной способности волоконно-оптической линии связи. Пусть при передаче
цифровой информации на вход волокна подается последовательность световых
импульсов с малыми временными интервалами между импульсами. Очевидно, что
на другом конце эти импульсы должны быть еще различимы, т. е. приемник дол-
жен воспринимать их раздельно. Многомодовые волокна со ступенчатым профи-
лем (рис. 5.1, а и 5.2, а) для этой цели подходят плохо. Распространение излучения
в волокне характеризуется модой, которая определяется типом распределения элек-
тромагнитного поля. В лучевом представлении моды соответствуют различным зиг-
загообразным траекториям (рис. 5.2, а). Так как эти траектории имеют разную дли-
ну, то это приводит к уширению (расплыванию) длительности импульса. Макси-
мальная разность времени прохождения получается в том случае, когда идущий по
оси волокна луч (самый короткий путь) сравнивают с максимально наклоненным
лучом [этот луч соответствует предельному углу полного внутреннего отражения
(рис. 5.1, а, е, = £)]. Длина траектории идущего по оси луча равна I (длина волок-
на), а время прохождения им волокна равно t = I • nJ с. Длина зигзагообразной
траектории, которая соответствует предельному случаю полного внутреннего отра-
жения [sinе = njnv см. формулу (1.6)], согласно рис. 5.1. равна / = l njnv Соответ-
ствующее время прохождения tg = I n'Jn2 с. Таким образом, уширение импульса
равно bi=t — t. Если п. ~ п2, то ДГ = 1(п{ — nJ/с, т. е. бесконечно короткий импульс
на входе будет иметь на выходе длительность ДА Вследствие этого при определен-
ных обстоятельствах соседние импульсы будут накладываться друг на друга. Так как
Д/ возрастет с длиной волокна /, то многомодовые волокна со ступенчатым профи-
лем не подходят для дальних волоконно-оптических линий. Для рассмотренного в
примере 1 из разд. 5.1.1 волокна при Z = 1 км значение Д/равно 0,33 мкс. Это очень
большая величина для передачи информации!

В многомодовом градиентном оптическом волокне отдельные моды также име-
ют траектории различной геометрической длины (рис. 5.2, б), но их оптические
пути (сумма, каждое слагаемое которой равно произведению длины элементарного
отрезка траектории и показателя преломления) и, соответственно, время прохож-
дения импульса почти равны. Более длинные траектории в краевой области волок-
на компенсируются за счет уменьшения показателя преломления к периферии. При
оптимальном профиле показателя преломления уширение импульса не будет равно
нулю из-за дисперсии материала. В пределах незначительной ширины полосы АЛ
лазерной линии (или более широкого спектрального диапазона излучения полу-

Рис. 5.2. Типы оптических волокон для ли-
ний связи:

а — многомодовое со ступенчатым профилем по-
казателя преломления; б — градиентное много-
модовое; в — одномодовое со ступенчатым про-
филем показателя преломления.

Голубым цветом обозначена оболочка с бо-
лее низким показателем преломления. Спра-
ва показан соответствующий профиль по-
казателя преломления п(г).
проводникового светодиода) дисперсия п(Л) (разд. 2.2.1) приводит к различному
времени прохождения различных спектральных составляющих излучения. Общая
величина ДГ лежит в интервале от нано- до пикосекунд.

Особенно благоприятные свойства имеют одномодовые вопокна со ступенча-
тым профилем показателя преломления (в них может распространяться только одна
мода), так как временная разность в распространении мод отсутствует. Эти волокна
применяются для передачи информации, а также используются в датчиках, в том
числе в волоконно-оптических интерферометрах (например, волоконных гироско-
пах). Это связано с тем, что в одномодовом волокне распространяется только одна
волна; поэтому положение фазы определяется однозначно. Как уже было показано
выше, в сердечниках волокон, чей диаметр больше длины волны, могут распрост-
раняться многие моды, которые можно представить в виде различных видов траек-
торий лучей. Подобное описание неприемлимо, если диаметр сердцевины сопоста-
вим с длиной волны. Тогда количество мод, которые могут распространяться в
волокне, уменьшается вплоть до наступления одмодового режима распростране-
ния. Количество мод, которые могут распространяться в волокне, определяет пара-
метр волокна V

V = 2л- • - к,,

(5.2)

где rk — радиус сердцевины.

Чем меньше 2 по отношению к произведению радиуса сердечника и числовой
апертуры [формула (5.1)], тем большее число мод может распространяться.

Из решения волнового уравнения определяется предельное значение V, при
котором возможен только одномодовый режим распространения. Это значение
V= 2,4048 является первым корнем функции Бесселя нулевого порядка J0(x). Сле-
довательно, при V < 2,405 возможен только одномодовый режим распространения
излучения в волокне. Если при уменьшении А значение V оказывается большим
этого предела, то в волокне также могут распространяться моды более высокого
порядка. Для волокна с параметрами rk, nlt п2 длина волны среза равна

Лс=^5'Гк'^П'~^-' (5'2а)

Если длина волны излучения больше 2., то оптическое волокно работает в од-
номодовом режиме1.

Пример

Для одномодового волокна даны следующие значения: п{ = 1,463, пг — 1,457,
rk = 2 мкм. Тогда Я. — 0,69 мкм. При Л > Л (например, полупроводниковый
лазер с 2 = 0,85 мкм) имеет место одномодовый режим.

Оптические свойства волокна позволяют использовать его как чувствительный
элемент датчика. В качестве простого примера можно привести датчик, чувстви-
тельным элементом которого является волокно, уложенное в извилистом канале
между двумя плитами. Из формулы (5.1а) следует, что многочисленные изгибы с

1 С достаточной точностью можно считать, что электромагнитное поле на выходе одномодо-
вого волокна соответствует моде ТЕМ00 (см. разд. 4.3.5). Перетяжка при этом находится на
торце волокна. Для одномодового волокна со ступенчатым профилем показателя преломле-
ния диаметр перетяжки £>0, параметр V и радиус сердцевины волокна rk связаны соотношени-
ем: 1rk/D{: = 0,65 + 1,619/Ё3/2 + 2,879/И. Были сообщения о создании одномодового градиен-
тного волокна. В связи с этим полезно иметь в виду, что в каталогах для одномодовых воло-
кон чаще всего указывают именно диаметр перетяжки. (Прим, пер.)
малым радиусом волокна приводят к нарушению условий полного внутреннего от-
ражения. Следовательно, поток излучения на выходе волокна уменьшается. Данное
свойство позволяет точно измерить малые смещения плит друг относительно друга,
а также величину силы и давление. Отрезок волокна с оголенной сердцевиной
(удалена оболочка с показателем преломления и2) может быть использован в каче-
стве датчика изменения показателя преломления окружающей среды, так как п2
влияет на числовую апертуру [формула (5.1)] и, соответственно, на величину пото-
ка излучения на выходе волокна. Это дает возможность быстро регистрировать из-
менения окружающей среды (контроль уровня жидкости; технологические реф-
рактометры). К преимуществам волоконно-оптических датчиков относится их не-
чувствительность к электромагнитным полям, возможность проведения измерений
во взрывоопасных помещениях и вблизи высоковольтных электрических установок
(волокно является хорошим изолятором), незначительные габариты и сравнитель-
но низкая цена. С другой стороны, при точных измерениях необходимо принять
меры, чтобы измеряемый сигнал не искажался внешними воздействиями (напри-
мер, температурой, случайными изгибами подводящего волокна).

5.1.2. Волоконно-оптические жгуты для передачи излучения

Светопропускание жгута зависит от светопропускания единичных световодных во-
локон, из которых он набран. Но в жгуте имеют место дополнительные потери.
Они обусловлены тем, что при равномерном освещении входного торца жгутом
будет переноситься только та часть светового потока, которая попадает на попереч-
ные сечения сердцевин волокон. Поперечные сечения оболочек и промежутки между
волокнами представляют неиспользуемую площадь поперечного сечения жгута.
Поэтому желательно обеспечить высокую плотность упаковки волокон. Кроме того,
неиспользуемую площадь поперечного сечения жгута увеличивают сломанные во-
локна.

В качестве примера на рис. 5.3, а показаны графики спектрального коэффици-
ента пропускания т(Л) при различных длинах / жгутов из одного и того же типа
волокон. На рис. 5.3, б спектральные коэффициенты пропускания представлены в
виде функции длины жгута /. В результате экстраполяции определяется значение
коэффициента пропускания при / = 0 (характеризует неиспользуемую часть попе-
речного сечения, отражение на торцах и т. д.). Из представленных графиков следу-
ет, что коэффициент пропускания экспоненциально уменьшается при увеличении
длины жгута.

Соединение двух волоконнно-оптических жгутов торцевыми поверхностями
приводит к увеличению потерь, так как поперечные сечения отдельных волокон
обоих жгутов не лежат точно напротив друг друга.

Рис. 5.3. Спектральные коэффициенты пропускания волоконно-оптических жгутов.

I-
б
Распределение потока излучения на выходе из торца волоконно-оптического
жгута обладает следующими свойствами.

У одиночного цилиндрического волокна входная и выходная апертуры равны.
Аналогичным свойством обладают волоконно-оптические жгуты. В начале рассмот-
рим случай вращательно-симметричного освещения входного торца волоконно-оп-
тического жгута. При этом источник излучения (например, подчиняющийся зако-
ну Ламберта излучатель) имеет большие поперечные размеры, и апертурный угол
падающего на входной торец пучок лучей не превышает и. При таком виде осве-
щения входного торца жгута пространственное распределение потока излучения,
исходящего из выходного торца жгута, описывается лепестковидной диаграммой
(рис. 5.4, б). Максимум излучения соответствует оси симметрии жгута; касательные
к диаграмме в ее начальной точке составляют с осью жгута углы су' = ст.

При косом освещении входного торца под углом е к оси волокна и апертурном
угле ст (рис. 5.4) также имеет место вращательно-симметричное пространственное
распределение потока излучения, исходящего из выходного торца жгута. Макси-
мум излучения соответствует кольцу, положение которого определяется углом д' = е.
На рис. 5.4, а для различных направлений облучения е, но при постоянном апер-
турном угле ст = 15° показаны относительные распределения потока излучения.

Рис. 5.4. Пространственное распределение потока излучения, исходящего из волокон-
но-оптического жгута:

а — относительное распределение потока излучения при различных углах освещения
входного торца жгута е; б — вращательно-симметричное освещение входного торца
(с = 0); распределение потока излучения представлено в полярных координатах («лепес-
ток»); в — косое освещении входного торца (сравни с (д)); г — вращательно-симметрич-
ное освещение входного торца, но выходной торец не перпендикулярен оси волокон.
При больших углах е кольцо особенно заметно. Если выходной торец не перпенди-
кулярен оси волокон, то распределение потока излучения не будет вращательно-
симметричным (рис. 5.4, г).

Осветительные (нерегулярные) волоконно-оптические жгуты сравнительно легко
изготавливаются путем укладки неупорядоченных волокон в защитном рукаве. Торцы
волокон склеиваются и полируются в защитной втулке. Если при изгибе жгута во-
локна могут свободно передвигаться в защитном рукаве, то опасность их поломки
минимальна. Непосредственно после изготовления волоконно-оптический жгут
заключается в пластмассовую оболочку, что делает его удобным в эксплуатации.

Для освещения входного торца волоконно-оптического жгута используют вы-
сокоапертурный конденсор с теплозащитным фильтром или, например, освети-
тельную систему из лампы и эллиптического зеркала с теплозащитным интерфе-
ренционным отражающим покрытием (см. рис. 4.10 и 6.4, о). Нормальные стекло-
волокна прозрачны для излучения с длиной волны до 2 мкм. Тепловое излучение
они пропускают слабо. Но теплозащитный фильтр во многих случаях все же необ-
ходим. При использовании жгута из пластиковых волокон необходимо тщательно
защищать торцы волокон от воздействия теплового излучения! Максимально рав-
номерное освещение на выходе волоконно-оптического жгута получают при ис-
пользовании полевой линзы (см. рис. 4.25).

При правильном согласовании апертуры волокна с апертурой падающего на его
входной торец пучка света волоконно-оптические жгуты и одиночные волокна мо-
гут передавать очень большой световой поток. Очевидно, что спектральный состав
передаваемого излучения должен соответствовать той области длин волн, где коэф-
фициент пропускания волокон достаточно высок. При этом только малая часть
излучения, которая поглощается в волокне, вызывает нагрев жгута. С помощью
гибкого волоконно-оптического жгута можно направить световой поток высокой
мощности от осветительного устройства к удаленному предмету. Так как тепловое
излучение сильно поглощается в волокне, то выходной конец осветительного опти-
ко-волоконного жгута практически эквивалентен почти холодному высокоинтен-
сивному источнику света с незначительными поперечными габаритами. Такие свой-
ства позволяют использовать, например, волоконно-оптический жгут в качестве
осветителя микроскопа. Так как выходной конец волоконно-оптического жгута может
располагаться вплотную к освещаемому объекту, то высокая освещенность обеспе-
чивается без дополнительных оптических элементов. Волоконно-оптический жгут
может быть также использован для освещения взрывоопасных помещений, так как
к выходному концу жгута не подводится электрическая энергия.

Волоконно-оптический жгут с разведенными выходными концами2 дает возмож-
ность освещать одной лампой несколько различных мест (рис. 5.5, а). На рис. 5.5, б
показан волоконно-оптический жгут, на одном конце которого сведены волокна
двух каналов: через волокна первого канала на исследуемую площадку подводится
световой поток от лампы; через волокна второго канала диффузно отраженный от
исследуемой площадки свет достигает приемника.

Осветительный жгут также может быть изготовлен из волокон, которые про-
пускают ультрафиолетовое излучение. Таким образом, флуоресцирующая марка М
может возбуждаться ультрафиолетовым излучением. Тогда возникающий в резуль-
тате флуоресценции свет может передаваться к приемнику по обычному, прозрач-
ному в видимом диапазоне волокну. На рис. 5.5, в показаны возможные виды вза-
имного расположения волокон двух каналов на одном торце жгута.

Многочисленные применения находят волоконно-оптические преобразователи
поперечного сечения. Так как оба конца волоконно-оптического жгута могут иметь
самые различные формы поперечного сечения, то можно без использования других

2 В отечественной практике такой тип жгута называют «медуза». (Прим, пер.)
Рис. 5.5. Волоконно-оптические жгуты с
разведенными концами:

а — освещение одной лампой нескольких раз-
личных мест; б — волоконно-оптический жгут
с совмещенными осветительным (красный) и
приемным (голубой) каналами; в — возможные
виды взаимного расположения волокон двух
каналов на одном торце (см. рис. 5.6, б).

оптических элементов (например, цилиндрических линз) добиться оптимального
согласования источника и освещаемой поверхности. Таким образом, можно создать
изображение спирали лампы на входном квадратном торце жгута, а другим концом
жгута освещать щель с узким поперечным прямоугольным сечением. При располо-
жении волокон в один слой получают поперечное сечение торца жгута в виде щели,
ширина которой равна диаметру волокна. Рисунок 5.6 показывает применение пре-
образователя поперечного сечения для двойной разводки света.

Рис. 5.6. Волоконно-оптический жгут для двойной разводки света с трансформацией
поперечного сечения:

А — торец с поперечным сечением в виде квадрата для обоих осветительных каналов;

В, С — торцы с поперечным сечением в виде щелей; D, Е — торцы приемных каналов;
Ва — путь движения марки М.

5.1.3. Оптико-волоконные жгуты для передачи изображения

В волоконных жгутах для передачи изображений, которые также называют регуляр-
ными волоконными жгутами, волокна единообразно упорядочены на входном А и
выходном А' торцах, т. е. относительное положение входных и выходных торцов
волокон одинаковое. Так как плоскость, в которой находится передаваемое изобра-
жение, должна совпадать с А, то изображение предмета находится непосредственно
на А (рис. 5.7, а). Небольшую поверхность предмета (шкалу, пластину в виде бук-
вы, маленький слайд) можно также непосредственно приводить в контакт с А. На
рис. 5.7, б показан входной торец А волоконного стержня, в котором благодаря
сплавлению волокон уменьшена неиспользуемая площадь сечения. Если на вход-
ном торце разместить пластину в виде буквы «L», то на выходном торце А' появля-
Рис. 5.7. Растровая структура изображе-
ния, получаемого с помощью регуляр-
ного волоконно-оптического жгута:
а — изображение предмета в виде буквы «F»
на входном торце А; б — входной торец А;
в — растровое изображение на выходном тор-
це А'.

Сплошным красным цветом показаны
полностью перекрытые («черные») тор-
цы волокон, красной штриховкой обо-
значены частично перекрытые («серые»)
торцы волокон.

ется растровое изображение буквы (рис. 5.7, в). Волокна, концы которых полнос-
тью перекрыты на А, остаются темным, в то время как концы частично перекрытых
волокон будут «серыми», т. е. с уменьшенной, но примерно равномерной яркостью
по их поперечному сечению. Следовательно, края буквы будут расплывчатыми.

Разрешающая способность волоконно-оптического жгута определяется растро-
вой структурой, т. е. диаметром волокон, видом и плотностью их упаковки. На
примере двойного креста (рис. 5.8) можно убедиться, что вид упаковки волокон
ведет к различной разрешающей способности в различных направлениях!

Верхний предел разрешающей способности волоконно-оптического жгута со-
ставляет примерно от 50 до 70 линий/мм; однако для большинства жгутов разре-
шающая способность значительно меньше, например 15 линий/мм. Значения от
50 до 70 линий/мм примерно соответствуют разрешающей способности высокочув-
ствительной пленки. Так как размеры поперечного сечения волоконно-оптическо-
го жгута маленькие (например, от 4 х 4 до 20 х 20 мм2), то передаваемое изображе-
ние должно быть соответственно уменьшено.

Для распознания деталей на растровых изображениях решающее значение име-
ет не разрешающая способность в линиях/мм, а общее число элементов, на которые
изображение разлагается. Например, жгут из 60 000 одиночных волокон в 5 раз хуже,
чем цветной телевизионный экран. Если необходимо распознать более мелкие дета-
ли, то следует увеличить размеры изображения на входном торце А (рис. 5.7, а).
Последующее увеличение изображения, которое появляется на выходном торце А',
(например, при использовании окуляра с большим увеличением), не приводит к
повышению разрешающей способности, так как одновременно увеличиваются и
размеры растра.

а б

Рис. 5.8. Зависимость разрешающей способности от направления:

а — двойной крест в качестве предмета; б— растровое изображение на выходном торце.
Качество изображения ухудшается из-за сломанных волокон и из-за нерегуляр-
ного расположения концов отдельных волокон на торцах жгута. Эти дефекты могут
привести к ошибочным представлениям о структуре наблюдаемого предмета. Для
описания качества передачи изображения волоконно-оптическим жгутом можно
также использовать функцию передачи модуляции.

Волоконно-оптические элементы для передачи изображения могут быть жест-
кими или гибкими. Гибкий волоконно-оптический жгут обеспечивает передачу
изображения по любой трассе. Это свойство позволяет использовать волоконно-
оптический жгут в медицинских или технических эндоскопах, предназначенных
для осмотра труднодоступных мест (рис. 5.9). Для освещения исследуемой трудно-
доступной полости чаще всего в таких приборах используется нерегулярный воло-
конно-оптический жгут, уложенный вместе со жгутом для передачи изображения.
В целях получения резкого изображения необходимо с помощью дистанционного
управления установить объектив на соответствующее расстояние до предмета. Для
коррекции кривизны поля поверхности А и А' могут быть выполнены сферическими.

Рис. 5.9. Волоконно-оптический эндоскоп. Красным цветом показан осветительный
волоконно-оптический жгут. Голубым цветом показан волоконно-оптичес-
кий жгут для передачи изображения.

С помощью гибкого волоконно-оптического жгута можно без использования
зеркальных или призменных систем произвольным образом разворачивать изобра-
жение относительно положения предмета. Для этого конец волокна с выходным
торцом А' перекручивается по отношению к А. Однако оборачивание изображения
только в одном направлении не происходит, как это можно предполагать на осно-
вании рис. 5.7, 6 и в. Оба рисунка показывают вид снаружи на конец волокна. При
сравнении изображений на обеих поверхностях следует смотреть в одном и том же
направлении (как на рис. 5.7, а).

В жестких волоконно-оптических стержнях волокна по всей длине спечены
друг с другом (см. также рис. 5.7, б, в). Такие стержни используются для освещения
или для переноса изображений. Их можно обрабатывать как обычные стеклянные
стержни. После нагрева до 700 °C их можно изогнуть с малым радиусом кривизны
{г > ^с„рЖС„ь)- При повороте обоих концов стержня друг относительно друга получа-
ется оптический элемент с постоянно установленным поворотом изображения от-
носительно положения предмета. В результате вытяжки одного из концов стержня
на более малый диаметр (например, Г)д, = 2£>д) получается волоконный конус (фо-
кон), где все отдельные волокна имеют коническую форму. Фоконы могут исполь-
зоваться для увеличения или для уменьшения изображения. Увеличение не улуч-
шает в этом случае распознаваемость деталей, так как число волокон на А и А'
одинаково.

Волоконные пластины представляют собой жесткие волоконно-оптические стер-
жни с большой площадью поперечного сечения (от см2 до дм2), но с малой дистан-
цией передачи изображения (расстояние от А до А' от нескольких миллиметров до
Рис. 5.10. Вакуумно-плотная волоконная пластина в качестве передней пластины элек-
тронно-лучевой трубки.

нескольких сантиметров). Волоконные пластины делают из очень тонких волокон
(диаметр примерно от 5 до 6 нм). Поэтому такие пластины обладают высокой раз-
решающей способностью (от 60 до 70 линий/мм). Так как волоконные пластины
содержат примерно 107 до 108 волокон (!), то распознаваемость деталей на растро-
вом изображении очень хорошая. В результате спекания под давлением из пучков
волокон могут быть изготовлены вакуумно-плотные пластины. Эти пластины могут
быть использованы, например, в качестве передних пластин электронно-лучевых
трубок (рис. 5.10). Люминофор наносится на вогнутую сторону А; видимое изобра-
жение появляется на плоской стороне А'. Фотопленки могут экспонироваться при
непосредственном контакте с волоконной пластиной. Это дает значительно более
высокую освещенность и одновременно более короткое время экспозиции, чем при
обычном фотографировании экрана3, так как значение числовой апертуры воло-
конной пластины примерно равно 1.

Для передачи изображения используются гибкие или жесткие волоконно-
оптические элементы с регулярным расположением волокон. Торцы волокон-
но-оптического элемента можно рассматривать как поверхности предмета и
изображения. Разрешающая способность ограничена растровой структурой.
Максимальное разрешение обеспечивают элементы с большой площадью по-
перечного сечения и с тонкими волокнами при высокой плотности упаковки
волокон.

5.2. Проекционные экраны

Экраном называется светоотражающая или светопропускающая поверхность, кото-
рая устанавливается в плоскости действительного промежуточного изображения и
в той или иной степени рассеивает падающее на нее излучение.

При этом экран действует как вторичный источник света: для элементарных
площадок экрана, на которые падает световой поток, выполняется фотометричес-
кий закон расстояний Е ~ \/г2 [сравни формулу (4.20)].

Прежде всего светотехнические характеристики экрана, описываются коэффи-
циентом отражения р (или коэффициентом пропускания т соответственно). Эти
коэффициенты только указывают, какая часть падающего на экран светового пото-
ка будет исходить от экрана, без учета пространственного распределения светового
потока. Но именно этим различные виды экранов сильно отличаются друг от друга.

3 До середины 90-х годов XX века наиболее высококачественным и наименее дорогостоящим
методом получения твердой копии цветного (или полутонового) телевизионного или компью-
терного изображения на экране электронно-лучевой трубки являлась фотография. (Прим, пер.)
Для описания пространственного распределения отраженного (или пропущенного)
экраном светового потока используют график распределения силы света в плоском
сечении (индикатриса силы света). Информацию о субъективной яркости экрана
при наблюдениях из различных направлений дает индикатриса яркости. В поляр-
ной системе координат длина стрелки на индикатрисе соответствует относитель-
ной величине силы света или яркости. Различие между индикатрисами силы света
и яркости особенно отчетливо видно на примере поверхности, которая диффузно
рассеивает световое излучение в соответствии с законом Ламберта (например, иде-
ально рассеивающий экран) (рис. 5.11, а). В этом случае яркость L постоянна во
всех направлениях, а сила света I зависит от угла е между направлением наблюде-
ния и нормалью к поверхности: 1 = L - A - cos е, где А cos е — площадь проекции
поверхности в направлении наблюдения.

На рис. 5.11, б показаны три типичные индикатрисы яркости для экранов при
наклонном падении параллельного пучка.

1. Черным показана индикатриса для идеально рассеивающего экрана (напри-
мер, окрашенного баритовыми белилами); в этом случае субъективная яркость от-
носительно низка, но одинакова для всех направлений.

2. Красным показана индикатриса для металлизированного экрана (например,
лаковое покрытие с алюминиевой пудрой). Рассеяние происходит в относительно
узкую угловую область преимущественно вокруг направления, которое соответствует
чисто зеркальному отражению. При наблюдении из этого направления экран виден
будет более светлым, чем в случае идеально рассеивающего экрана; при отклоне-
нии от этого предпочтительного направления металлизированный экран будет ка-
заться более темным, чем в случае идеально рассеивающего экрана.

3. Голубым цветом показана индикатриса для «жемчужного» экрана. Одиночные
элементы этого экрана (маленькие стеклянные шарики) действуют как световозвра-
щатели. В этом случае предпочтительное направление рассеяния противоположно па-
дающему свету; наблюдателю целесообразно смотреть на экран примерно по направ-
лению от источника света. Подобными свойствами обладают световозращающие пленки
(они используются, например, для дорожной разметки).

Рис. 5.11. Пространственное распределение излучения, отраженного или пропущен-
ного экраном:

а — индикатрисы силы света и яркости поверхности, которая диффузно рассеивает
световое излучение в соответствии с законом Ламберта; б — индикатрисы яркости для
отражающего экрана; в — индикатрисы яркости для рассеивающих пластин.

Толстые красные стрелки показывают направление падающего пучка.
При перпендикулярном падении света на экран предпочтительные направле-
ния для металлизированного и «жемчужного» экранов совпадают. Благодаря струк-
туре поверхности экрана (например, металлизированный экран со штампованны-
ми сферическими желобками или цилиндрическим рифлением) можно добиться
рассеяния в желаемую угловую область пространства. В результате анализа инди-
катрисы яркости становится понятным, что деформации поверхности идеально рас-
сеивающего экрана почти не заметны, в то время как деформации поверхности
металлизированного экрана будут сильно мешать наблюдению.

На рис. 5.11, в показаны индикатрисы яркости для двух светорассеивающих
пластин.

1. Черным цветом показана индикатриса пластины из заглушенного (опалесци-
рующего, «молочного») стекла. Очень сильное рассеяние происходит из-за дифрак-
ции на распределенных по объему этого стекла частицах. Аналогичной индикатри-
сой обладает покрытая тонким мутным слоем прозрачная пластина. Пропускание
заглушенного стекла примерно соответствует отражению от идеального рассеиваю-
щего экрана.

2. Красным цветом показана индикатриса для матовой пластины, которая изго-
тавливается обработкой в струе песка, химическим травлением или шлифовкой.
Светорассеяние в этом случае происходит за счет преломления на нерегулярно рас-
положенных элементах поверхности. Незначительное рассеяние вокруг направле-
ния падающего света аналогично отражению в преимущественном направлении у
металлизированного экрана.

В случае растровых пластин светорассеяние происходит благодаря преломле-
нию на большом числе регулярно расположенных элементов поверхности, напри-
мер призм или канавок.

В DIN 58161, Bl. 4 приведена классификация светорассеивающих стекол, а так-
же методы измерения их характеристик4.

По DIN 5036, Bl. 2 рассеивающую способность можно приближенно охаракте-
ризовать одним или двумя параметрами: рассеивающей способностью <т, которая
вычисляется по формуле

Z.2O. + Ln.
2-Ц.

(5.3)

При этом предполагается, что параллельный пучок падает перпендикулярно
(т. е. под углом е = 0°) на поверхность; £5., £20., L.o. измеренные яркости при соот-
ветствующих углах по отношению к нормали поверхности при отражении (или
пропускании). Если при угле е — 0° имеет место максимальная яркость £0, а при
угле е = /яркость снижается до половины максимальной величины (Еу= LJ2), то
угол у называется углом полезного рассеяния. В соответствии с DIN 5036, Bl. 4
случай <т < 0,4, у < 27° можно классифицировать как слабое светорассеяние, при
ст > 0,4, у > ТГ говорят о сильном рассеянии.

Пример

Для поверхности, которая диффузно рассеивает излучение в соответствии с
законом Ламберта, ст = 1, так как Ё5. = £20. = Л70.; а угол /не определен. Но при
слабом светорассеянии целесообразно указывать угол полезного рассеяния.

Различная светорассеивающая способность проявляется также в том, что плас-
тина, которая обладает слабым светорассеянием, более или менее прозрачна, а при

4 Аналогичная информация по отечественным светорассеиваюшим стеклам указана в «Ката-
логе светорассеивающих стекол», выпущенном Государственным оптическим институтом
им. С.И. Вавилова. (Прим, пер.)
сильном светорассеянии пластина едва просвечивает. Если, например, поднести
светорассеивающую пластину вплотную к печатному тексту и постепенно увеличи-
вать расстояние между пластиной и текстом вплоть до того момента, когда текст
еще можно прочесть, то чем больше это расстояние, тем слабее светорассеяние.

При проекции на матовое стекло может быть заметным светлое пятно («hot
spot»). Это связано с тем, что через матовое стекло виден объектив проекционного
аппарата. Благодаря полевой линзе можно предотвратить обусловленное слабым рас-
сеянием падение освещенности на краях больших матовых пластин (см. рис. 6.10).
Малая зернистость матовой поверхности пластины дает высокий коэффициент про-
пускания, но незначительное светорассеяние. С ростом величины зернистости уве-
личивается светорассеяние и, соответственно, уменьшается коэффициент пропус-
кания для направленного света. Если матовую пластину, которая предназначена
для рассматривания мелких деталей изображения, вращают электроприводом вок-
руг нормали к поверхности, то разрешающая способность значительно улучшается,
так как грубая зернистая структура стирается. Грубое «зерно» пластины с профилем
поверхности в виде микропризм обуславливает сильное светорассеяние. За счет
этого малые смещения плоскости изображения по отношению к поверхности рас-
сеивающей пластины вызывают ощущение очень нерезкого изображения. Поэтому
пластины с профилем поверхности в виде микропризм используют для наводки на
резкость зеркальных фотокамер.

Светорассеивающие пластины с толщиной подложки d эквивалентны плоско-
параллельным пластинам и вызывают осевое смещение ОО' [формула (2.37)]. Ма-
товые пластины устанавливаются таким образом, чтобы светорассеивающая повер-
хность была направлена к изображению источника света.

5.3. Фильтры и цветоделители

Фильтры изменяют спектральный состав проходящего через них излучения (на-
пример, цветной светофильтр, теплозащитный фильтр) или примерно равномерно
ослабляют излучение в широком диапазоне длин волн (нейтрально-серый фильтр).
Конструктивно фильтры чаще всего представляют собой плоскопараллельную пла-
стину. Основной характеристикой фильтра является его спектральная характерис-
тика — зависимость коэффициента пропускания г(Л) от длины волны проходящего
через фильтр излучения. Для абсорбционных (поглощающих) фильтров функция
?(Л) в значительной степени определяется зависимостью коэффициента поглоще-
ния а от длины волны. Действие интерференционных фильтров основано на ин-
терференционных явлениях в тонких пленках. Так как поглощение в слоях интер-
ференционных покрытий достаточно мало, а коэффициенты пропускания и отра-
жения зависят от длины волны, то такие интерференционные покрытия могут быть
использованы в качестве цветоделителей (см. разд. 2.3.4). Определения спектраль-
ных коэффициентов пропускания т(Л), т. (Л), поглощения а (Л) и отражения р(Я)
были приведены в разд. 4.1.4.

5.3.1. Абсорбционные фильтры

В качестве абсорбционных фильтров в большинстве случаев используют цветные
стекла. При расчете функций г(Л) для фильтров из одного и того же материала, но
различной толщины используется чистый спектральный коэффициент пропуска-
ния г; (Л). Так как г; (Л) не учитывает потери на отражение, то всегда выполняется
неравенство г: (Л) > т(Л). При расчетах фильтров можно использовать соотношение

г(Я) = г,.(Я)-Р,
где параметр Р учитывает потери на отражение.

(5.4)
С учетом неоднократного отражения

Параметр Р можно рассчитать по показателю преломления или непосредственно
взять из каталога цветного оптического стекла5 (например, [3.22]).

Если разделить поглощающую среду на плоскопараллельные пластины одина-
ковой толщины, то для каждой такой пластины отношение выходящего и входяще-
го потока излучения будет одинаковым, т. е. спектральный поток излучения ФсЛ
экспоненциально уменьшается с уменьшением толщины слоя (см. рис. 4.3). В со-
ответствии с законом Бугера—Ламберта спектральный чистый коэффициент про-
пускания равен

г,(Я) = е-й^Л (5.5)

где d — толщина слоя; я(Я) — показатель поглощения. Для гомогенных и изотроп-
ных твердых тел и жидкостей функция а(Л) является неизменной характеристикой
данного вещества. В качестве фильтров могут использоваться кюветы с раствором
поглощающего вещества малой концентрации. Тогда поглощение описывается (кроме
сильно концентрированных растворов) произведением концентрации с и толщины
слоя d (закон Бугера—Ламберта—Бера):

г,- (Я) = е^"1, (5.6)

где %(Л) характеризует взаимодействие молекул поглощающего вещества с излуче-
нием с длиной волны Л. Численное значение %(Х) зависит, конечно, от единиц
измерения толщины слоя и от концентрации (чаще всего — моль/литр). Показа-
тель поглощения равен а(Я) = с%(Л).

Если переписать формулу (5.5) в виде г, (Я)1/г/ = ё~х^'с, то правая часть этого
равенства зависит только от свойств данного вещества. Спектральные чистые ко-
эффициенты пропускания тп(Л) и г.2(Л) двух слоев с толщинами dt и d2 связаны
соотношением

^=4- (5.7)

Используя выражения (5.4) и (5.7), можно найти спектральный коэффициент
пропускания г2(Я) для слоя любой толщины:

(5.8)

На рис. 5.12 представлены графики функций г (Я) для трех фильтров из одного
стекла, но разной толщины.

Оптические характеристики фильтра описываются функцией коэффици-
ента пропускания г (Я). Спектральный чистый коэффициент пропускания
т (Я) дает возможность определить коэффициент пропускания фильтров раз-
личной толщины. Большая толщина слоя сужает спектральную область коэф-
фициента пропускания (что часто желательно), но значительно уменьшает ко-
эффициент пропускания.

5 См. ГОСТ 9411—91 «Стекло оптическое цветное. Технические условия». (Прим, пер.)
Рис. 5.12. Влияние толщины фильтра d на
чистый спектральный коэффициент про-
пускания.

Если поток излучения последовательно
проходит через несколько различных филь-
тров (1), (2), (3), ..., то общий спектраль-
ный коэффициент пропускания равен про-
изведению спектральных коэффициентов
пропускания отдельных фильтров:

т (Я) = г(|) (Я) т(2) (Я) - т(3) (Я) ... (5.9)

Таким образом могут быть получены
функции коэффициента пропускания, ко-
торые не могут быть реализованы с имею-
щимися одиночными фильтрами.

Для стекол, которые окрашены моле-
кулярно-растворенными красителями, гра-
фик коэффициента пропускания обычно

имеет колоколообразный вид (как на рис. 5.12). Для стекол, которые окрашены
коллоидными красителями, коэффициент пропускания г(Я) растет с увеличением
длины волны. График г(Я) для таких стекол имеет вид «ступеньки» с достаточно
крутым краем. Функция г(Я) для стекол, которые окрашены оксидами редкозе-

мельных металлов, имеет многочисленные узкие максимумы и минимумы. На
рис. 5.13 показаны графики коэффициента пропускания для цветных стекол раз-

личных типов.

Рис. 5.13. Типичные графики коэффициентов
пропускания фильтров из цветного стекла.
Стекла BG 25 и VG 6 окрашены молекулярно-
растворенными красителями. Стекла GG 495
и RG 630 окрашены коллоидными красите-
лями. Стекло BG 36: коэффициент пропуска-
ния имеет многочисленные узкие максимумы
и минимумы. Деления на оси ординат нане-
сены здесь в соответствии с выражением

Благодаря этому форма графика г;.(Я) не зави-
сит от толщины фильтра!

Жидкостные фильтры выполняются в виде кювет с плоскими окнами, за-
полняемых раствором красителя требуемой концентрации. Расстояние между
окнами кюветы точно известно. Так как длина кюветы достаточно большая, то
при незначительной концентрации красящего вещества ошибка, которая обус-
ловлена ошибочной или неравномерной толщиной слоя, будет мала. Благодаря
хорошей воспроизводимости оптических параметров жидкостные фильтры в слу-
чае использования растворов из химически чистых веществ играют роль этало-
нов6 (DIN 4512).

6 Например, жидкостной фильтр входит в состав Государственного эталона РФ силы света.
(Прим, пер.)
Пример

Фильтр из цветного стекла с толщиной d{ = 2 мм и показателем преломле-
ния 1,58 на двух различных длинах волн обладает коэффициентами пропуска-
ния т\(ЛА) = 0,79 и гДЯд) = 0,10. Чему равны коэффициенты пропускания при
толщине фильтра d2 = 6 мм?

В данном случае ?lt(AA) — 0,874 и та(Лв) = 0,111; на основании формулы (5.7)
г,2(Ял) = 0,668 и г2(Лв) = 0,00135 соответственно. Тогда г2(ЛА) = 0,604 и т2(Лв) =
= 0,00122. Увеличение толщины привело к изменению значения коэффициента
пропускания с 79 до 60 % для длины волны ЛА, а для длины Лв коэффициент
пропускания уменьшился с 10 до 0,12 %.

5.3.2. Фототропные стекла

Коэффициент пропускания фототропного стекла уменьшается при облучении ко-
ротковолновым светом (прежде всего в области от Л = 300 нм до Л = 400 нм); после
окончания облучения стекло снова становится прозрачным (процесс регенерации).
При изготовлении этого стекла перед варкой к стеклянной смеси добавляются га-
логениды серебра (AgCl—AgBr—AgJ). В результате этого в стекле образуются очень
многочисленные малые области (от ~5 до =30 нм диаметром) с высокой концентра-
цией галогенидов серебра. При облучении под действием квантов света выделяется
атомарное серебро, которое имеет черный цвет и обеспечивает поглощение излуче-
ния. После прекращения облучения серебро снова переходит в ионное состояние.
Процессы уменьшения коэффициента пропускания (почернения) и регенерации
могут повторяться многократно. Галогениды серебра наиболее чувствительны к
коротковолновому излучению. Поэтому процесс почернения идет при облучении
солнечным светом, а не при облучении светом ламп накаливания. При облучении
одиночным импульсом света малой длительности (лампа-вспышка высокой мощ-
ности) почернение происходит за очень короткое время (> 1 мкс). При нормальной
освещенности минимальный коэффициент пропускания достигается за время экспо-
зиции примерно от одной до нескольких минут. После примерно 10 мин экспозиции
устанавливается состояние равновесия, т. е. процесс почернения будет компенси-
роваться за счет регенерации. В качестве примерного ориентировочного значе-
ния для фототропных стекол можно принять, что в неэкспонированном состоя-
нии т~ 0,8 до 0,9, а в экспонированном состоянии т~ 0,3 до 0,4. Процесс регенера-
ции идет без воздействия внешних факторов медленнее, чем процесс почернения.
За счет облучения длинноволновым светом или за счет повышения температуры
процесс регенерации может быть ускорен («отбеливание»). Основной областью
применения фототропных стекол является очковая оптика, где эти стекла играют
роль серых фильтров с изменяемым коэффициентом пропускания для солнцеза-
щитных очков. Фототропные стекла можно будет использовать в качестве элемента
перезаписываемой оптической памяти при обработке данных, если их скорость ре-
генерации и временная стабильность будут улучшены7.

5.3.3. Интерференционные фильтры и цветоделители

Интерференционные фильтры обеспечивают возможность получения разнообраз-
ных спектральных характеристик, которые не могут быть реализованы с помощью
абсорбционных фильтров. Прежде всего это относится к узкополосным интерфе-
ренционным фильтрам. Эти фильтры пропускают излучение только в узком спект-

Напомню, что первое издание этой книги вышло в 1974 году. (Прим, пер.)
ральном диапазоне вблизи заданной длины волны Аа, где коэффициент пропуска-
ния принимает свое максимальное значение Кроме Яо и гтах(Л0), узкополос-
ный интерференционный фильтр также характеризуется спектральной полушири-
ной полосы пропускания ДЛ05 на уровне т(Л) = 0,5 ттм(/10).

Пример

При Ло = 555 нм коэффициент пропускания фильтра максимален и равен
= полуширина составляет 10 нм. Примерно при 550 и 560 нм г(2)
понижается до 0,2. Сравните эти данные с графиком на рис. 5.13, который
соответствует абсорбционному фильтру VG 6!

Принцип действия интерференционных фильтров основан на явлении много-
лучевой интерференции, которая возникает в результате многократного отраже-
ния света от частично пропускающих слоев (рис. 5.14). На стеклянной пластине
подложки напылены два одинаковых, частично пропускающих металлических слоя,
а между ними непоглощающий диэлектрический слой с толщиной d и показате-
лем преломления п. Металлические слои имеют коэффициент пропускания т и
коэффициент отражения р. Если амплитуда падающей волны равна е, то после
прохождения первой поверхности амплитуда уменьшится до е 4г. Величины
4г и 47> являются эффективными амплитудными коэффициентами пропускания
и отражения соответственно. Для колебаний и волн все энергетические величины
(например, Фс, т, р) квадратично зависят от амплитудных величин (например,
е, 4т, 4р).

Амплитуда волны 1, которая исходит из второй поверхности (точка А), равна
е-4т -4т = е-т. Последующие выходящие в одном и том же направлении волны
(например, в точке С) испытывают на два дополнительных отражения больше. Для
волны 2 амплитуда равна е -4т • 4т • Jp у[р -е-т-р. Амплитуды прошедших через
фильтр волн образуют последовательность

Рис. 5.14. Конструктивная схема простого интерференционного фильтра.
5.3.

Волна 1

Волна 2

Волна 3

Волна 4

е т
е-т р
е-т р~
е-т ръ

Так как г< 1 и р< 1,то эта последовательность является убывающей.

Далее рассмотрим случай, когда через фильтр проходит максимальный поток
излучения Ф'. При этом амплитуды всех прошедших волн алгебраически складыва-
ются (интерференционный максимум, см. рис. 1.2, а). Сумма амплитуд выходящих
из фильтра волн находится как сумма членов сходящейся геометрического после-
довательности

_ е т

€ max — ~-•

1-Z?

Значение е'тах можно рассматривать как амплитуду волны, возникающей в ре-
зультате интерференции последовательности волн, которые прошли через фильтр.
Так как поток (мощность) излучения пропорционален квадрату амплитуды, то

ф' = ф . (,
е щах е , ’

а максимальный коэффициент пропускания интерференционного фильтра,
г.чах =Фс'тах/Фс, Равен

Пример

Частично пропускающие металлические слои интерференционного фильт-
ра имеют следующие параметры т= 0,08, р = 0,89 (коэффициент поглощения
а = 1 — т — р= 0,03). Тогда максимальный коэффициент пропускания равен
гшах = 0,529 или 52,9 %.

Чтобы получить интерференционный максимум, оптическая разность хода меж-
ду соседними членами последовательности прошедших чрез фильтр волн должна
быть кратна целому числу длин волн (разд. 1.2.), т. е. Г= т-Л, где т = (0), 1, 2, ... .
Для соседних членов этой последовательности волн (на рис. 5.14 волны 1 и 2)
получается

Г= п-(АВ + ВС) -AD+ Гр,

где АВ + ВС = 2 • d/cos s', AD = AC- sin е, АС = 2- d-tgs', Гр — дополнительная
оптическая разность хода, которая обусловлена сдвигом фазы при отражении на
обоих металлических слоях. После подстановки sin е = п sin д' (фильтр находится в
воздухе) формула для вычисления оптической разности хода примет вид

_ 2 • п • d /, . -> д г-

Г =----- • (1 - Sin' Е ) + Г..

Тогда

Г = 2- n-d cos е ' + Г.

(5-11)
или с использованием угла падения Е

Г = 2-п-с1-\}-^А+Гр. (5.12)

V tr

Если требуется получить максимальный коэффициент пропускания на длине
волны Яо, то необходимо обеспечить выполнение условия Г= т- Ло. При е = 0 (свет
падает перпендикулярно) формула (5.12) примет вид

2-п-d + Гр= т-Ла. (5.13)

Тогда

Длина волны в слое равна AJn. Так как толщина слоя должна быть кратной
половине длины волны, то d = т • 2J2n. Из-за дополнительной разности хода Гр
необходимая толщина слоя несколько уменьшается.

Для длин волн Л, которые отличаются от Лс, коэффициент пропускания быстро
падает, так как тогда 2 п d + Г*т-2 Для ориентировочной оценки полуширины
5 можно использовать формулу

ДА),5~Д,- 1~Рг- (515)

т-я-sjp

Пример

Для р — 0,89 и г = 0,08 в предшествующем примере получено значение
гтах = 0,53. Пусть длина волны, соответствующая максимуму пропускания филь-
тра, равна Яо ~ 546 нм (зеленая линия ртути). При п = 1,45 и т — 1 толщина слоя
составит d ~ 188 нм (Г пренебрегаем). Для такого фильтра полуширина полосы
пропускания равна ДЛ0 5 = 20 нм, т. е. при Я ~ 536 нм и Я ~ 556 нм коэффициент
пропускания снижается до гтах/2 - 0,26.

При наклоне фильтра на малый угол длина волны, соответствующая максиму-
му пропускания фильтра, будет немного отличаться от Яо. Это свойство можно,
например, использовать для точного согласования фильтра с монохроматическим
лазерным излучением. На основании формулы (5.12)

_ , Г. sin2 г

2 • п • d . 1-— + Г =т- Я.,

V я"

где Я( < Яо — длина волны, которая соответствует максимуму пропускания фильтра
при его наклоне на угол е.

Если сравнить последнее выражение с формулой (5.13) и пренебречь Г, то

(5.16)
V и"

Наклон фильтра, который был рассмотрен в предыдущем примере, на s = 10°
приводит к смещению длины волны до Я( ~ 542 нм. Следует также учитывать, что
при наклонном падении света коэффициенты пропускания и отражения для парал-
лельной и перпендикулярной к плоскости падения состояний поляризации света
будут иметь различные значения. При этом падающий на фильтр неполяризован-
ный свет будет частично поляризован фильтром.
Узкополосный интерференционный фильтр обладает несколькими полосами
пропускания, которые соответствуют различным интерференционным порядкам т.
Если, например, при т — 1 имеет место Ло = 1110 нм, то фильтр также прозрачен
для А/2 = 555 нм (т = 2), Я/3 = 370 нм (т = 3) и т. д. Паразитные полосы пропус-
кания могут быть устранены при помощи абсорбционного фильтра, который на-
клеивается на интерференционные слои. В результате напыления клиновидного
промежуточного слоя получают интерференционный клиновый полосовой свето-
фильтр: длина волны Яо, соответствующая максимуму пропускания фильтра, изме-
няется вдоль длины фильтра. На основе интерференционных клиновых полосовых
фильтров можно выполнить простой монохроматор.

Выражение (5.10) показывает, что значение гтах ограничено из-за поглощения в
частично пропускающих слоях металла (так как а * 0, то т < 1 — р). Поэтому в
диэлектрическом интерференционном фильтре металлические слои не используют-
ся. Их роль выполняет набор четвертьволновых диэлектрических слоев с высокими и
низкими показателями преломления. Если коэффициент поглощения диэлектричес-
ких слоев достаточно мал, то излучение, которое не проходит через светофильтр,
будет от него отражаться. Так как коэффициент пропускания зависит от длины
волны, то для каждого узкого интервала длин волн может быть получено свое соот-
ношение проходящего и отраженного излучения. На этом эффекте основано ис-
пользование многослойных диэлектрических покрытий в качестве цветоделителей.
На рис. 5.15, а показаны графики коэффициентов пропускания двух цветоделите-
лей для передающей камеры цветного телевидения (см. рис. 5.15, б). Границы зеле-
ного участка спектрального интервала пропускания определяются боковыми сторо-
нами графиков пропускания цветодедителей. Дальнейшая балансировка цветности
осуществляется за счет нейтрально-серых и корректирующих фильтров перед прием-
ными трубками. Похожую на цветоделитель функцию имеют теплозащитный интер-
ференционный фильтр (отражение в ИК-области и пропускание в видимой облас-
ти) и «холодное» зеркало (отражение в видимой области и пропускание в ИК-обла-
сти; пример применения см. на рис. 6.4, о). В обоих случаях край полосы пропускания
соответствует примерно 700 нм. В отличие от теплозащитных абсорбционных филь-
тров, которые сильно нагреваются поглощенным ИК-излучением, интерференци-
онные теплозащитные фильтры свободны от этого недостатка.

цветоделитель с отражением
излучения красной области
спектра

Рис. 5.15. Цветоделитель:

а — спектральный коэффициент пропускания р(А) я спектральный коэффициент от-
ражения р(А) = 1 — -г(А). Угол падения 45°; неполяризованный свет; б — применение
двух цветоделителей (см. рис. 5.15, а) в передающей камере цветного телевидения.
R, G, В — передающие телевизионные трубки.

нейтрально-серый корректирующий

s корректирующий фильтр

корре ктирующий
фильтр
Рис. 5.16. Сравнение графиков коэффи-
циентов пропускания интерференцион-
ных фильтров. Для наглядности пред-
ставления малых величин деления на оси
ординат нанесены в соответствии с фор-
мулой 1 - 1g [1g (1/г(Л))].

На рис. 5.16 показаны типы интерференционных фильтров (Schott) с малой
полосой пропускания. Спектральная полуширина полосы пропускания сверхузко-
полосного интерференционного фильтра соответствует примерно 4 нм; для узко-
полосного интерференционного фильтра A20S = 12 нм, для полосового интерфе-
ренционного фильтра эта величина равна =20 нм. Полоса пропускания по уровню
т= 10-3 примерно в 7 раз шире.
ГЛАВА 6

ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ

6.1. Видимое увеличение и дифракционный предел
разрешающей способности

6.1.1. Видимое увеличение

Видимое увеличение Г’ является одной из важнейших характеристик оптических
приборов, которые работают совместно с глазом. Пусть при непосредственном на-
блюдении предмета, который находится на расстоянии а от точки наблюдения,
отрезок у виден под углом w (рис. 6.1, а). При наблюдении через оптический при-
бор (например, через зрительную трубу; рис. 6.1, б) отрезок изображения у' будет
виден под углом w'. Если w' > w, то изображение предмета будет восприниматься
наблюдателем как увеличенное. Для расчета видимого увеличения используется
формула

Г' = ^, (6.1)

tgM'

где w — угол, под которым виден отрезок предмета без оптического прибора; w' — угол,
под которым наблюдается формируемое оптическим прибором изображение того
же самого отрезка.

Рис. 6.1. К определению видимого увеличения оптического прибора.

Понятие видимого увеличения можно использовать и в тех случаях, когда рас-
сматриваемое глазом изображение было получено в несколько этапов, разделенных
в пространстве и времени. Покажем это на примере (рис. 6.2). Пусть архитектор
фотографирует здание камерой (1), получает слайд и с помощью проекционного
аппарата (2) рассматривает изображение этого слайда на экране. При непосред-
ственном наблюдении из точки съемки tg w = у/а. Из формулы (1.15) следует, что в
данном случае линейное увеличение при съемке камерой (1) с фокусным расстоя-
нием объектива равно 0^ = + •/([))• Проекционный аппарат создает на эк-

ране изображение слайда с линейным увеличением Общее линейное увеличе-
ние для всей цепочки формирования изображения равно Д' = Дщ • 0(2у Соответствен-
но, величина отрезка на экране равна У = у-Д'. Если зритель сидит на расстоянии аА
от экрана, то он видит отрезок У под углом tg w' = у)аА. Видимое увеличение при
этом равно

р, _ Ло ’ . g

a + fm ал

(6.2)
глаз

Рис. 6.2. Видимое увеличение для случая, когда рассматриваемое глазом изображение
было получено в два этапа.

При |а| » можно использовать приближение
р _ Л1) • Аг)
аА

Пример

/J, = 50 мм (малоформатный фотоаппарат), а = -10 м; /?(2) = -72 (определя-
ется фокусным расстоянием объектива проекционного аппарата и расстоянием
до экрана); ал = — 6 м (расстояние между экраном и глазом). Из формулы (6.3)
получается Г = 0,6. В этом случае изображение предметов на экране видно под
меньшим углом зрения, чем сам предмет при непосредственном наблюдении из
точки съемки.

Правильная передача перспективы на изображении обеспечивается при Г' = 1,
так как в этом случае глаз рассматривает изображение под тем же углом, что и при
непосредственном наблюдении.

Пример

Съемка производится миниатюрным фотоаппаратом (/' = 15 мм, формат
кадра 8x11 мм). До какого формата нужно увеличить изображение на плен-
ке, если необходимо обеспечить правильную передачу перспективы при рас-
сматривании фотоснимка с расстояния 25 см (расстояние наилучшего зре-
ния)?

Решение:

Из формулы (6.3) следует, что линейное увеличение кадра должно быть
равно Д2) = —250 мм/15 мм; /3(2) = —16,67. Формат фотоснимка при этом равен
133 х 183 мм (около 13 х 18 см).

6.1.2. Дифракционный предел разрешающей способности

В геометрической оптике предполагается, что поток излучения, который исходит
из предметной точки О и проходит через безаберрационный объектив, полностью
соберется в точке изображения О'. Однако в реальности этот поток излучения
будет распределен по плоскости изображения в окрестности точки О' в виде диф-
ракционного кружка. Такое распределение потока излучения обусловлено дифрак-
цией (разд. 1.2), так как волновой фронт ограничивается входным зрачком опти-
ческой системы (например, оправой объектива).
Дифракционный кружок (рис. 6.3, а) состоит из светлого центра (кружок Эйри)
и последовательности темных и светлых колец уменьшающейся интенсивности. Рас-
чет распределения освещенности в дифракционном кружке рассмотрен в [1.3], [7.2].
В табл. 6.1 приведен обзор распределения энергии в дифракционном кружке1 * *.

Таблица 6.1. Распределение энергии в дифракционном кружке.

Нулевой максимум (середина) Первый минимум (первое темное кольцо) Первый максимум (первое свет- лое кольцо) Второй минимум (второе темное кольцо) Второй максимум (второе свет- лое кольцо)
Относительное распределение । освещенности 100% 0 1,75% 0 0,42%
Относительная концентрация потока излучения 83,8% (в кружке Эйри) 0 7,2% (в кольце) 0 2,8% (в кольце)

Анализ распределения освещенности в дифракционном кружке показывает, что
за радиус дифракционного кружка можно принять радиус первого темного кольца
Pi'min. Расчет с использованием методов волновой оптики дает (при а = о»)

^^ = 1,22.-^—/'• (6-4)

‘-'ы. Зр

Угол между оптической осью и прямой, которая соединяет заднюю главную
точку Н' объектива с точкой на первом темном кольце, равен

(6.5)
^ВХ. зр

(Так как углы малы, то пользоваться точным выражением вида sin S[min = ... нецеле-
сообразно.) Если в качестве средней длины волны для видимого диапазона принять
А = 550 нм, то формулу (6.5) можно переписать в виде

<V™n = D—(7^) в угловых секУндах- <6-6)

Пример

Чему равны диаметр дифракционного кружка и угол для изображения
удаленной предметной точки, если используется объектив с к = 2,8 и/' = 50 мм?

Решение:

Так как к = f'/Dm зр, то D = 2р[ min = 3,76 мкм и <5;'nlin = 7,73". _____

Если угловое расстояние w между двумя самосветящимися точками О и Р не-
значительное (рис. 6.3, б), то их дифракционные кружки с центрами в точках О' и
Р' могут накладываться друг на друга. В результате этого два дифракционных круж-

1 Предполагается, что зрачок имеет форму круга. Для зрачков другой формы (например, часто

встречающегося в зеркально-линзовых системах зрачка в виде кольца) характер распределе-

ния энергии может быть иным. {Прим, пер.)
Рис. 6.3. а — структура дифракционного кружка в окрестностях точки (У (сильно уве-
личено) и распределение освещенности; б — угловое расстояние между двумя
точками предмета, соответствующее пределу разрешающей способности.

ка могут слиться в один, и оптический прибор не сможет раздельно воспроизвести
(разрешить) эти две точки. Приближенно можно считать, что предел разрешающей
способности достигается, когда расстояние между центрами двух дифракционных
кружков равно pl'mln (критерий Рэлея). Тогда точка Р' лежит на первом темном
кольце дифракционной картины О', и наоборот. В этом случае значение мини-
мальной освещенности в «седловине» между точками О' и Р‘ оказывается доста-
точным для распознавания отдельных самосветящихся точек. Из этого следует:

Если две самосветящиеся точки предмета О и Р находятся друг от друга на
угловом расстоянии w > Sx rain, то их изображения О' и Р' могут быть распознаны.

Это предельное значение разрешающей способности трудно достижимо на прак-
тике, так как на разрешающую способность сильно влияют аберрации. С помощью
критерия Рэлея можно оценить обусловленные волновой природой света предель-
ные возможности оптических приборов.

6.2. Осветительные системы и прожекторы

Осветительные системы представляют собой комбинацию лампы2 с оптическими
элементами. Оптические элементы осветительной системы должны обеспечить кон-
центрацию в определенный телесный угол возможно большей части светового пото-
ка, исходящего от лампы во все стороны. За счет этого увеличивается сила света в
заданном направлении. Для максимального использования исходящего от лампы
светового потока апертурный угол и осветительной системы со стороны лампы дол-
жен быть максимально возможным [см. формулу (4.22)]. Однако при большом апер-

2 Вместо лампы источником излучения может быть, например, светодиод. (Прим, пер.)
Одиночная линза со сферическими
поверхностями, рассчитанная
на минимум сферической аберрации

Конденсор из двух линз
со сферическими поверхностями

Конденсор с асферическими
поверхностями

Многолинзовый конденсор
без асферических поверхностей

Рис. 6.4. Некоторые виды осветительных систем.
турном угле и необходимо обеспечить коррекцию сферической аберрации. В дру-
гих осветительных системах (например, в фотоувеличителе3) более важно обеспечить
равномерное освещение предмета, чем получить максимальный световой поток.

Осветительные системы применяются не только в различных проекционных
аппаратах, но и в микроскопах, фотоэлектрических устройствах и в других опти-
ческих приборах. На рис. 6.4 показано несколько схем осветительных систем, кото-
рые также называют конденсорами4. Большое число оптических элементов позво-
ляет улучшить коррекцию аберраций, что дает возможность повысить апертурный
угол. Однако из-за потерь на отражение от преломляющих поверхностей следует
использовать минимально возможное число оптических элементов и наносить на
элементы просветляющие покрытия. В ряде случаев экономически оправдано при-
менения в осветительных системах линз с асферическими поверхностями, которые
изготавливаются методом прессования.

Осветительные системы с линейным увеличением /?' = <*> называются прожек-
торами. Прожекторы предназначены для освещения очень удаленных объектов. Сиг-
нальные прожекторы служат для передачи световых сигналов. Светотехнические
параметры прожекторов5 указаны в DIN 5037, Bl. 1.

6.2.1. Обзор осветительных систем

В самом простом случае поверхность предмета освещается непосредственно лам-
пой, без конденсора. Такой вариант показан на рис. 6.4, н, где лампа освещает
торцы волоконно-оптических жгутов. Если колба лампы имеет малые размеры и
несколько волоконно-оптических жгутов расположены перпендикулярно к оси спи-
рали лампы, то световой поток лампы используется относительно хорошо. Для
более равномерного освещения поверхностей с большой площадью (например,
шкала, негатив в фотоувеличителе) необходимо использовать рассеивающую плас-
тину (рис. 6.4, р). Ход крайних лучей показывает, что поперечные размеры рассеи-
вающей пластины должны быть несколько больше, чем освещаемая поверхность.
Заглушенное (опалесцирующее) стекло рассеивает проходящий через него свето-
вой поток практически в соответствии с законом Ламберта (идеальное диффузное
рассеяние). Аналогичные светорассеивающие характеристики матированного стек-
ла хуже (см. разд. 5.2). Несколько ламп (или газоразрядных трубок) перед рассеива-
ющей пластиной улучшают равномерность освещения. Каждая элементарная пло-
щадка рассеивающей пластины действует как источник света, яркость которого
зависит от падающего на нее светового потока [см. формулу (4.30) в разд. 4.2.4].

При использовании конденсора возможно два варианта построения осветитель-
ных систем. В первом варианте конденсор создает изображение излучающей пло-
щадки источника света (например, электрической дуги) непосредственно на повер-
хности предмета (например, в кадровом окне кинопроектора) или вблизи этой по-
верхности. При этом выходной люк осветительной системы совпадает с входным
люком оптической системы, формирующей изображение предмета (например, вход-
ным люком объектива).

Так как изображение излучающей площадки «накладывается» на изображе-
ние предмета, то излучающая площадка должна иметь равномерную яркость
(например, угольная дуговая лампа или ксеноновая лампа высокого давления).

3 Фотоувеличитель — оптический прибор, предназначенный для создания на светочувстви-
тельном слое (обычно фотобумаге) увеличенного изображения негатива. (Прим, пер.)

4 В отечественной терминологии конденсором принято называть оптическую систему, создаю-
щую действительное изображение источника света на конечном расстоянии от нее. (Прим, пер.)

5 См. ГОСТ 6047—90 «Прожекторы общего назначения. Общие технические условия». (Прим, пер.)
Небольшая неравномерность в освещении поверхности предмета может быть
устранена при расплывчатом изображении излучающей площадки (сферическая
аберрация осветительной системы; небольшое смещение изображения излучающей
площадки относительно плоскости предмета).

Рассматриваемый вариант построения осветительной системы применяют, ког-
да излучающая площадка и поверхность предмета имеют примерно одинаковые
размеры. При этом в плоскости предмета имеет место максимальное сужение пуч-
ков проходящих лучей (кадровое окно меньше, чем диаметр объектива).

Так как излучающая площадка должна освещать всю поверхность предмета, то
линейное увеличение /3' конденсора определяется размерами излучающей площад-
ки и освещаемого предмета. Из минимально допустимого расстояния между излу-
чающей площадкой и конденсором находится фокусное расстояние конденсора.
Апертурный угол и'к конденсора в пространстве изображений осветительной систе-
мы должен быть согласован с апертурным углом и в пространстве предметов объек-
тива, который формирует изображение (и'к должен быть несколько меньше, чем и).
Это условие позволяет найти £>ю зр и световой диаметр конденсора. Необходимое
число оптических элементов конденсора определяется по значениям Д' и и'к.

Во втором варианте конденсор строит изображение излучающей площадки ис-
точника света во входном зрачке оптической системы, формирующей изображение
(во входном зрачке объектива). Данный способ освещения уже был рассмотрен в
разд. 3.4.

Неравномерная яркость излучающей поверхности в этом варианте оптичес-
кой системы не играет роли, так как каждая точка предмета освещается лучами,
исходящими от всех точек излучающей поверхности.

Данный вариант построения осветительной системы применяют, если попереч-
ные размеры излучающей поверхности меньше поверхности предмета. При этом в
плоскости изображения излучающей поверхности имеет место максимальное суже-
ние пучков проходящих лучей. Данный вариант осветительной системы использует-
ся в проекторе для демонстрации слайдов. Проектор такого типа показан на рис. 6.5;
тип конденсора в нем соответствует рис. 6.4, з.

Сферическое зеркало обеспечивает направление большей части исходящего от
лампы светового потока в сторону освещаемой поверхности. Если спираль лампы
находится в плоскости, проходящей через центр кривизны поверхности зеркала, то
линейное увеличение равно Д' = —1, а сферическая аберрация отсутствует. При
юстировке добиваются, чтобы спираль и ее изображение не налагались непосред-
ственно друг на друга. Так как спирали обычных ламп обладают большой поверх-
ностью, то после юстировки зеркального отражателя изображения витков спирали

Рис 6.5. Конденсор проектора для демонстрации слайдов.
Рис.6.6. Положение спирали лампы накаливания при юстировке осветительных систем:
а, б — неправльное; в — правильное положение спирали; г — спираль (красный цвет) и
ее отражение от зеркала (голубой цвет) при обычных лампах; д — при низковольтных
лампах.

должны находиться между витками самой спирали (рис. 6.6, г). Это увеличивает
среднюю яркость. Если спираль низковольтной лампы накаливания расположена в
виде прямоугольника, то при юстировке добиваются, чтобы спираль и ее изображе-
ние составляли вместе квадрат (рис. 6.6, д). Этот квадрат далее можно рассматри-
вать как единую излучающую поверхность. В случае ксеноновых дуговых ламп дуга
и ее изображение должны точно совпасть. Минимальный радиус г поверхности
зеркала определяется по габаритам лампы и по ее тепловыделению. По радиусу г и
апертурному углу и находят минимальный световой диаметр D зеркала. На рис. 6.5
юстировка зеркального отражателя соответствует рис. 6.6, д.

Полученная в результате юстировки квадратная излучающая поверхность должна
проецироваться во входной зрачок объектива таким образом, чтобы ее изображение
представляло собой описанный вокруг зрачка объектива квадрат. При меньшем изо-
бражении излучающей поверхности входной зрачок объектива используется не пол-
ностью, однако глубина резкости при этом повышается, а аберрации объектива
немного уменьшаются. Следовательно, поперечные размеры излучающей площад-
ки и диаметр входного зрачка объектива определяют линейное увеличение конден-
сора Р'к. Если выбран двухлинзовый конденсор с параллельным ходом лучей осево-
го пучка между линзами, то спираль и ее изображение лежат в фокальных плоско-
стях и fjq соответственно.

Так как слайд расположен вблизи фокальной плоскости Ёо6 (проекция при
|А'6| » 1), то фокусное расстояние можно определить по /о'6 и примерному рас-
стоянию от линзы (2) до слайда. Тогда Р'к (см. разд. 2.2.4, пример 3). Для

того чтобы избежать срезания части пучков и обусловленного этим падения осве-
щенности на краю кадра, световой диаметр конденсора должен быть немного боль-
ше, чем диагональ слайда. При больших полях возможно сокращение веса и габари-
тов за счет использования прямоугольных или квадратных конденсоров. Когда в
результате расчетов или графическим методом определены основные параметры
линз конденсора, то по возможности следует немного изменить конструкцию (на-
пример, за счет варьирования расстояний) таким образом, чтобы можно было ис-
пользовать линзы из каталогов оптических деталей. Если в качестве теплозащитно-
го фильтра используется поглощающий фильтр, то стекло фильтра может сильно
нагреваться. Поэтому при необходимости следует предусмотреть охлаждение филь-
тра воздушным потоком.

Пример

Для малоформатного проектора с объективом (/' = 85 мм, к = 2,8) и лампой
(220 В/150 Вт, спираль 8x8 мм) надо рассчитать простой конденсор, аналогич-
ный изображенному на рис. 6.5. Слайд находится от главной точки Н' линзы
конденсора (2) на расстоянии (примерно) / = 15 мм. Желательно использовать
только линзы из табл. 6.2.
Решение:

Из параметров объектива следует зр = 30 мм. Так как диагональ поверх-
ности спирали примерно 11,3 мм и изображение спирали должно лежать в пре-
делах зрачка объектива, то линейное увеличение конденсора принимается рав-
ным Р'к - -2,5. Так как слайд расположен вблизи передней фокальной плоско-
сти F, то изображение спирали должно находиться примерно на расстоянии
«р) = f + 1 = Ю0 мм от линзы (2) конденсора. Если теперь потребовать парал-
лельного хода лучей осевого пучка между линзами конденсора (1) и (2), то
= 100 мм, и из Р’к следует = 40 мм. Для этого конденсора могут быть ис-
пользованы следующие линзы из табл. 6.2: (1) асферическая плоско-выпуклая
линза f = 38 мм, (2) сферическая плоско-выпуклая линза /' = 90 мм. При
диаметрах линз 58 и 55 мм (световой диаметр из-за оправы несколько меньше)
возможна проекция слайда с размером кадра 24 х 36 мм (диагональ слайда 43 мм).
Далее с учетом толщин линз могут быть найдены точные положения оптичес-
ких элементов.

6.2.2. Оптические схемы конденсоров

В табл. 6.2 приведены основные оптические параметры нескольких серийно выпус-
каемых выпукло-плоских линз с асферическими и сферическими поверхностями.
Указанные в таблице диафрагменные числа к рассчитывались без учета ограниче-
ния диаметра линзы оправой. Ориентировочно можно считать, что линзы с асфе-
рической поверхностью обладают в среднем примерно вдвое большим относитель-
ным отверстием и, соответственно, обеспечивают в 4 раза больший световой поток,
чем линзы со сферической поверхностью.

Таблица 6.2. Параметры выпукло-плоских линз.

Асферическая поверхность Сферическая поверхность
Г (мм) D (мм) k=f'/D г (мм) D (мм) к=Г/В
11 23 0,48 10 7 1,43
15 24 0,63 15 12 1,25
25 25 1,00 25 15 1,66
38 58 0,66 38 24 1,58
50 65 0,77 50 30 1,66
90 102 0,88 90 55 1,64

Исходными данными при расчете конденсора являются предварительно опре-
деленные значения фокусного расстояния f'K, светового диаметра, линейного уве-
личения конденсора Р'к. По этим данным и условию минимизации сферической
аберрации находятся фокусные расстояния // отдельных (чаще всего двух или трех)
линз конденсора:

а) двухлинзовый конденсор (е - 0!):

= (6.7)
б) трехлинзовый конденсор (е ~ О!):

г. С'+ С+ \ j,, СГ+С + 1 г, 1„2 , „

f^-fx------~2 ’ f(2)-fx' > -/(3) ~ ft "(c +C + 1J- (6.8)

c c

Параметр с в формулах (6.7) и (6.8) зависит от линейного увеличения конденсора.
В табл. 6.3 указаны коэффициенты с для нескольких значений Р'к. Промежуточные
значения находятся интерполяцией. Если |Д^| < I, то конденсор рассчитывают в
обратном ходе. Например, при /З'к = -0,2 выполняют расчет конденсора с линей-
ным увеличением /З'к = 1/(—0,2) = -5, а затем полученную оптическую схему конден-
сора разворачивают на 180°.

Таблица 6.3. Значения параметра с.

Р'к = -1 -2 -5 -10 ОО
с ~ 1,0 1,2 1,3 1,34 1,4

По вычисленным значениям фокусных расстояний и примерному взаимному
положению одиночных линз конденсора определяются линейные увеличения
Дрр ..., соответствующие каждой линзе (см. разд. 2.5.1). Далее для каждой линзы
определяется форма, при которой данная линза для соответствующего значения
линейного увеличения имеет минимальную сферическую аберрацию. Для этой же
цели могут использоваться линзы с апланатическими поверхностями.

Если известны все конструктивные параметры оптической схемы конденсора,
то можно проверить, насколько хорошо обеспечено исправление аберраций. Для
этого выполняют расчет пучка лучей от поверхности предмета (например, слайда)
через конденсор до излучающей площадки. Рассчитываемый пучок состоит из лу-
чей, которые заполняют конус с вершиной в заданной точке на поверхности пред-
мета. Основание этого конуса совпадает с поверхностью входного зрачка. Все лучи
этого пучка должны пересекать излучающую поверхность (хотя бы и в разных ее
точках). Очевидно, что при малых размерах излучающей поверхности требуется
более тщательная коррекция аберраций.

Эллипсоидальное6 зеркало хорошо подходит для случая, когда увеличенное
(|/3'| > 1) изображение излучающей площадки совпадает с поверхностью предмета.
Если излучающая площадка расположена в геометрическом7 фокусе эллипсоида, то
ее изображение, которое находится в другом геометрическом фокусе, свободно от
сферической аберрации. Требуемое линейное увеличение, например Д' = —5, обес-
печивается при этом формой зеркала. На рис. 6.4, н показано использование гало-
генной лампы с «холодным» зеркалом для освещения торца волоконно-оптическо-
го жгута. В этом примере простая оптическая схема обеспечивает очень высокую
входную апертуру. При необходимости можно ввести в ход лучей дополнительный
теплозащитный фильтр. Большие эллипсоидальные зеркала применяют, например,
в кинопроекционных аппаратах. В данном случае электрическая дуга и кадровая
рамка расположены в геометрических фокусах эллипса. За счет этого обеспечива-
ются апертурные углы и > 70°.

6 Зеркало, которое имеет форму эллипсоида вращения. (Прим, пер.)

7 У эллипсоида вращения следует различать геометрические и оптические фокальные точки.
Оптическая фокальная точка — точка, в которую сходится после отражения от поверхности
зеркала бесконечно узкий пучок параллельных оси вращения лучей. Два геометрических фо-
куса определяют форму эллипса, который является меридиональным сечением эллипсоида
вращения: сумма расстояний от этих фокусов до произвольной точки эллипса является по-
стоянной величиной. (Прим, пер.)
Пример

В большом (0 356 мм) эллипсоидном зеркале для кинопроектора cf = 114 мм
геометрический фокус эллипса находится на расстоянии 132 мм от вершины.
В этом месте расположен кратер электрической дуги — излучающая поверх-
ность диаметром 6 мм. Где находится изображение кратера и какой диаметр
оно имеет? Чему равен радиус кривизны в вершине зеркала?

Решение:

а' = 836 мм, изображение кратера имеет диаметр 38,0 мм. Так как эллипсо-
идальное зеркало в параксиальной области эквивалентно сферическому зерка-
лу, то г = 2/' = 228 мм!

На рис. 6.4, ф показан конденсор, в котором вместо единой второй линзы ис-
пользуется конструкция из двух (или большего числа) децентрированных линз. За
счет этого получается несколько изображений излучающей площадки. Такая опти-
ческая схема используется, например, в фотоэлектрических устройствах (напри-
мер, в фоторелейных завесах). Дальнейшее развитие этой схемы приводит к плас-
тине с большим числом линзовых элементов, которые создают большое число изоб-
ражений источника света (рис. 6.4, х). Если, как показано на рис. 6.7, а, конденсор
создает в плоскости кадрового окна (плоскости предмета) изображение излучаю-
щей площадки малых размеров или площадки с неравномерным распределением
яркости, то поверхность предмета будет освещена неравномерно. Равномерное ос-
вещение поверхности предмета можно получить при использовании растрового кон-
денсора (рис. 6.7, б). Линзовые элементы пластины (2) имеют форму освещаемой
поверхности предмета (например, квадрата). Напротив этих элементов на пластине
(3) расположены в виде растра линзы. При этом каждая линза на пластине (3)
(выделена красным цветом) создает на поверхности предмета (кадровом окне) изоб-
ражение расположенной напротив нее линзы (2) (выделена голубым цветом). Лин-
за (1) и любой линзовый элемент (2) образуют конденсор, который создает малое
изображение излучающей поверхности на линзе (3). Но в кадровое окно проециру-
ется не это изображение излучающей поверхности, а сама поверхность линзы (2).
Принцип действия растрового конденсора аналогичен схеме освещения, которая
показана на рис. 3.8, г.

Рис. 6.7. Использование растрового конденсора для улучшения освещения кадрового
окна.
6.2.3. Прожекторы

Прожектором (рис. 6.4, в, е, и, м, п, т) называется устройство, концентрирующее с
помощью оптической системы (зеркальной или линзовой) поток излучения в узкий
пучок. Далее в качестве примера рассматриваются только зеркальные прожекторы.
Но полученные в данном разделе результаты легко обобщить на линзовые системы
прожекторов.

На рис. 6.4, п показан идеальный случай — прожектор, который формирует
параллельный пучок. Но такую схему осуществить невозможно, так как излучаю-
щая площадка не может быть точкой. Если излучающая площадка диаметром 2у
расположена в фокальной плоскости F (рис. 6.8, а), то угол рассеяния выходящего
пучка равен 2w, где

(6-9)

В рассматриваемом случае f > 0.

Из-за аберраций действительный угол рассеяния будет больше, чем вычислен-
ный по формуле (6.9).

Световая трубка, боковая поверхность которой имеет цилиндрическую форму
(рис. 6.8, б), формируется, когда излучающая площадка круглой формы с диаметром 2у
проецируется на конечное расстояние и выполняется условие |2у'| = , т. е.

диаметр изображения излучающей площадки равен диаметру входного зрачка про-
жектора8 (см. пример ниже). За плоскостью изображения излучающей площадки
световой пучок расходится.

Согласно формуле (4.22) световой поток, исходящий от прожектора с площа-
дью излучающей площадки люк = я-у2, равен

Рис. 6.8. а — угол рассеяния прожектора (для наглядного представления сильно увели-
чен); б — световая трубка, боковая поверхность которой имеет цилиндричес-
кую форму; изображение излучающей площадки находится на конечном рас-
стоянии.

(6.10)

8 Распределение освещенности в поперечных сечениях (не совпадающих с плоскостью зрачка
и плоскостью изображения) световой трубки не будет при этом равномерным. Неравномер-
ным будет и распределение потока излучения в объеме трубки. (Прим, пер.)
Рис. 6.9. К расчету светового потока и силы света прожектора.

где L — яркость; и — апертурный угол (рис. 6.9, а); р — коэффициент отражения.
В случае линзового прожектора вместо р следует подставить коэффициент пропус-
кания т.

Пусть прожектор создает на площадке, которая находится на достаточно боль-
шом расстоянии г, среднюю освещенность Е (рис. 6.9, б). Если г > Dm f /Ту, то
прожектор можно рассматривать как обычный источник света, световой поток ко-
торого ограничен в пределах малого угла 2ж Так как Е = Ф/А2 и А7 = л- г2 >v2, то из
формулы (6.9) следует

Е=Л'L'p sin2 и f2. (6.11)

Если и ~ 3pj2f (это соответствует случаю малого относительного отверстия),
то

<612>

При большом расстоянии г создаваемая прожектором освещенность зави-
сит (приближенно) только от площади зрачка, но не от фокусного расстояния
оптической системы прожектора.

Справедливость данного вывода можно обосновать путем следующих рассужде-
ний. Если при неизменном Dm зр уменьшить фокусное расстояние, то sin и и одно-
временно световой поток увеличатся. Но при этом световой поток распределится
на большую площадь, так как угол рассеяния 2iv станет больше!

Распределение освещенности в пределах освещаемой поверхности зависит от
формы излучающей поверхности и устанавливается измерениями9. В целом дей-
ствие прожектора аналогично излучающей поверхности, площадь которой равна
Лх лю,’ а яркость L' = p-L (ср. разд. 4.2.4). Тогда максимальная сила света прожек-
тора (на оси) равна

I = p-L-A^nKK. (6.13)

Для сравнения можно указать, что сила света одиночной лампы (без оптических
элементов) равна /лампа = L-Am люк, где люк — площадь излучающей поверхности.

Если не учитывать потери, то использование прожектора повышает силу
света во столько раз, во сколько раз площадь входного зрачка прожектора боль-
ше площади излучающей площадки.

Распределение освещенности можно также рассчитать на компьютере. (Прим, пер.)
В коэффициент отражения р здесь также должны включаться остальные потери
(в том числе затенение поверхности зеркала лампой). С увеличением дистанции до
освещаемой поверхности необходимо также учитывать потери, обусловленные по-
глощением и рассеянием излучения в воздухе.

В качестве зеркал прожекторов используются сферические и асферические по-
верхности. Рассмотрим два примера. Параболическое зеркало с передней отражаю-
щей поверхностью (например, отштампованное из металла) обеспечивает полное
устранение сферической аберрации для фокальной точки (ср. рис. 2.30, а), но при
увеличении поперечных размеров излучающей площадки делается заметным нару-
шение условия синусов (разд. 2.5.2). Зеркало Манжена (рис. 6.4, т) представляет
собой зеркало с внутренним отражающим покрытием. Две сферические поверхности
этого зеркала (г, ~ f, г, ~ 1,5/) могут быть изготовлены сравнительно легко. За счет
передней преломляющей поверхности обеспечивается хорошее исправление сфери-
ческой аберрации и выполнение условия синусов. Поэтому зеркало Манжена с обыч-
ными сферическими поверхностями обладает значительными преимуществами.

Примеры

1. На каком расстоянии от вершины зеркала прожектора (г = 200 мм,
/) зр = 120 мм) должна располагаться излучающая площадка (02 мм), чтобы
боковая поверхность световой трубки имела цилиндрическую форму? Чему равна
длина такой световой трубки?

Решение:

В соответствии с рис. 6.8, б необходимо обеспечить Д' = —60. Так как заднее
фокусное расстояние зеркала f = 100 мм, то а = 101,67 мм (расстояние между
вершиной зеркала и излучающей площадкой) и а’ = 6,1 м (длина световой
трубки).

2. Для зеркала Манжена с г, =-146,60 мм, г, =-224,81 мм, = 5,25 мм,
= 1,522 вычислить фокусное расстояние

Решение:

В результате развертывания поверхности зеркала 2 получается s{ = -427,4;

s'2 = 151,9; s'3 = 146,6; s, = -432,7; s3 = -146,6 мм nf' = 150,0 мм. При обратном
развертывании определяется правильное значение: f = f = -150 мм.

6.3. Проекторы

Оптические приборы, формирующие действительное изображение предмета (чаще
всего плоского) на рассеивающей поверхности (экране), называются проекторами.
В большинстве случаев изображение на экране предназначено для визуального на-
блюдения. Основные требования к проекторам зависят от их назначения. Например,
при проецировании слайдов или кинопленки требуется высокая освещенность; ос-
новным требованием к измерительным проекторам является минимально возможная
дисторсия в плоскости изображения; в копировальных (репродукционных) устрой-
ствах желательно обеспечить равномерную освещенность в плоскости изображения.

Оптические системы проекторов можно разделить на две группы: эпископичес-
кие и диаскопические. Эпископические системы обеспечивают получение изобра-
жения непрозрачных предметов в отраженном свете10; а диаскопические — про-

10 К эпископическим системам относятся также проекторы, у которых предмет является само-
светящимся (например, экран электронно-лучевой трубки). (Прим, пер.)
зрачных (обычно не рассеивающих свет) предметов в проходящем свете. В качестве
экрана при проекции может использоваться светоотражающая или светопропуска-
ющая поверхность (см. разд. 5.2). Таким образом, при проекции возможны четыре
комбинации:

Предмет

Экран

Диапроекция

Эпипроекция

Светоотражающий

Светопропускающий

Когда в качестве экрана используется матовое стекло, обладающее малым рас-
сеянием, то освещенность при рассматривании края изображения может быть не-
достаточной (рис. 6.10, а). Для устранения этого недостатка используется полевая
линза (рис. 6.10, б).

Рис. 6.10. а — падение освещенности на краю изображения из-за незначительного
рассеяния матового стекла; б — использование полевой линзы для устране-
ния этого недостатка.

6.3.1. Проекторы для воспроизведения на экране изображений

К этому типу проекторов относятся: проекторы для слайдов малого, среднего и
большого формата11, графопроекторы, устройства для чтения микрофильмов, уста-
новки для разметки крупногабаритных деталей сложной формы, эпископы, кино-
проекторы12 (для нормальной и узкой пленки) и т. д.

Проекционные объективы обычно состоят из 3—5 линз. Фокусное расстояние
объектива/', проекционное расстояние (расстояние между объективом и экраном)
а' и линейное увеличение Д' = у"/у удовлетворяют равенству (1.16). На рис. 6.11
показана зависимость ширины изображения |у'| на экране от проекционного рас-

11 См. ГОСТ 4.459—86 «Система показателей качества продукции. Диапроекторы», ГОСТ 26926—86
«Диапроекторы любительские. Общие технические условия». (Прим, пер.)

12 См. ГОСТ 26019—83 «Кинопроекторы для 8-мм фильмов. Параметры», ГОСТ 6850—76
«Кинопроекторы для 16-мм фильмов. Типы. Основные параметры», ГОСТ 2639—76 «Кино-
проекторы для 35- и 70-мм фильмов. Типы. Основные параметры. Технические требова-
ния». (Прим, пер.)
Рис. 6.11. Зависимость ширины изображения
от проекционного расстояния, голубым цве-
том выделена область, которая соответствует
панкратическому объективу cf — 70—120 мм.

стояния при ширине предмета у = 35 мм (обычный малоформатный слайд с разме-
ром проецируемой части кадра 23 х 35 мм).

Если в комплект проектора входит панкратический объектив, то можно плавно
регулировать размер изображения без изменения проекционного расстояния. Диа-
пазон изменения фокусных расстояний таких панкратических объектив обычно
сравнительно мал (кратность изменения фокусных расстояний примерно равна 2).
В качестве примера на рис. 6.11 голубым цветом отмечена область, которая соот-
ветствует панкратическому объективу с диапазоном изменения фокусного расстоя-
ния f = 70—120 мм. Для обеспечения оптимальных условий освещения при смене
объективов с сильно отличающимися фокусными расстояниями необходимо также
заменить переднюю линзу конденсора.

Измерения световых и температурных параметров диапроекторов проводятся в
соответствии с DIN 19021. При стандартных условиях площадь изображения на экране
А = х' -у' устанавливается равной 2 м2 и измеряется освещенность в девяти точках. По
результатам этих измерений для проектора находится средняя освещенность Е, полез-
ный световой поток Ф^, = Е • А и оценивается равномерность освещения экрана. Для
измерения температуры в плоскости предмета используется специальный слайд (чер-
ная пленка с плотностью D = 1,0 и термоэлементом за ней). Измерения проводятся
после 30 мин работы проектора13. По аналогичной методике проводятся измерения
световых параметров кинопроекционных аппаратов (см. DIN 15748).

Для визуальной оценки качества изображения используют тестовые слайды или
тестовые пленки (например, тестовые кинопленки 8 мм по DIN 15806), прямо-
угольные и радиальные миры14 со светлыми штрихами на черном фоне и т. д. При
необходимости с помощью этих тестовых объектов можно проверить резкость изо-
бражения и дисторсию.

Устройства для чтения микрофильмов представляют собой диапроекторы, ко-
торые чаще всего создают изображение на светопропускающей поверхности (про-
светном экране). Использование микрофильмов позволяет существенно сократить
площади для хранения архивов чертежей. Для разметки крупногабаритных деталей
сложной формы (например, в судостроении) используются специальные проекто-
ры. Крупноформатные диапозитивные пластинки, на которых содержится размет-
ка плоских поверхностей (шпангоуты, части обшивки и т. д.), при точно установ-
ленном линейном увеличении проецируются объективом с исправленной дистор-
сией на лист стали. Далее контуры детали наносятся на заготовку. Возможен также

13 См. также ГОСТ Р 50281—92 «Фотография. Диапроекторы. Определение нагрева в плоско-
сти кадра. Метод испытания многослойным стеклянным диапозитивом». {Прим, пер.)

14 Мира — прозрачная или непрозрачная пластинка, на которую нанесен стандартный рису-
нок. (Прим, пер.)
поворотное

зеркало^

Рис. 6.12. Графопроекторы.

0 поверхность которого

имеет форму, аналогич-
ную линзе Френеля

автоматизированный раскрой листа инструментом, движущимся по проецируемо-
му контуру.

На рис. 6.12 показаны графопроекторы15, которые предназначены для просмот-
ра в незатемненном помещении на экране иллюстраций, выполненных на прозрач-
ных пленках большого формата (примерно 30 х 30 см). Так как помещение неза-
темненное, то используется диапроекция, а в качестве источника света использует-
ся мощная галогенная лампа. Конденсор чаще всего представляет собой линзу
Френеля, расположенную ниже прозрачной пленки (рис. 6.12, а). На рис. 6.12, б
показана схема легко переносного графопроектора с конденсором в виде зеркала с
внешним отражающим покрытием; поверхность зеркала имеет форму, аналогич-
ную линзе Френеля. Рядом с объективом расположена лампа, световой поток от
которой дважды проходит через пленку и попадает в объектив.

В эпископе проецируемый предмет (например, бумага с текстом) чаще всего
обладает диффузно рассеивающей поверхностью. В этом случае поверхность пред-
мета можно рассматривать как вторичный источник света, яркость которого вы-
числяется по формуле (4.30). Эта яркость гораздо меньше, чем яркость ламп в
диапроекторе. Поэтому желательно обеспечить с помощью одной или двух ламп
высокую освещенность Е проецируемого предмета. На рис. 6.13, а показан совре-
менный малогабаритный эпископ. В нем в качестве источника света используются
галогенные лампы; поверхность проецируемого предмета расположена на верхней
стороне прибора.

Если в эпископе вместо предмета с диффузнорассеивающей поверхностью рас-
положено плоское зеркало, то поверхность экрана не будет освещена. Это связано
с тем, что свет ламп в объектив не попадает («освещение по методу темного поля»).
Свет на поверхность экрана будет попадать только тогда, когда поверхность пред-
мета диффузнорассеивающая или когда поверхность предмета представляет собой
локально деформированную зеркальную поверхность. Данный принцип лежит в
основе системы «Эйдофор», предназначенной для проекции телевизионного изоб-
ражения на большой экран16 (рис. 6.13, б). В специальном баллоне, из которого
откачан воздух, находится вогнутое зеркало с тонким слоем прозрачного масла.

ls См. ГОСТ Р ИСО 7943—1—93 «Фотография. Графопроекторы. Проекционные столы. Раз-
меры». (Прим, пер.)

16 Аналогичное устройство, разработанное и выпущенное небольшой партией в СССР, назы-
валось «Аристон». С появлением проекционных устройств на жидких кристаллах от систем
типа «Эйдофор» отказались. Современные телевизионные проекционные устройства строят-
ся на основе жидкокристаллических модуляторов или микромеханических зеркал. (Прим, пер.)
Рис. 6.13. Эпископические системы:

а — малогабаритный эпископ; б — телевизионная проекционная система «Эйдофор».

Электронный прожектор создает электронный луч, который в соответствии с теле-
визионным сигналом перемещается по поверхности масляной пленки на вогнутом
зеркале. При этом за счет внутренних напряжений, вызванных неоднородным элек-
трическим полем, поверхность масляной пленки деформируется. Эти деформации
воспроизводят неоднородную структуру породившего их электрического поля. Вблизи
центра кривизны вогнутого зеркала находится пластина с зеркальными полосками.
Исходящий из ксеноновой лампы пучок света (отмечен красным цветом) попадает
на эти зеркальные полоски и после отражения падает на вогнутое зеркало. Если
слой масла не деформирован, то пучок света после отражения от вогнутого зеркала
идет обратно к лампе. При этом свет через объектив на экран не попадает. При
деформации поверхности масляной пленки в какой-либо точке лучи света, про-
шедшие через слой масла в этой точке (отмечено голубым цветом), отклоняются от
своего первоначального направления и идут между зеркальными полосками через
объектив к экрану. Таким образом, на экране создается изображение, соответ-
ствующее телевизионному сигналу. Следует отметить, что изображение на экране
создается не за счет энергии электронного луча, а за счет энергии лампы. Анало-
гичный метод можно использовать для визуализации неоднородностей показате-
ля преломления, которые вызывают отклонения луча от первоначального направ-
ления. Схема телевизионной проекционной системы «Эйдофор», которая показана
на рис. 6.13, б, очень сильно упрощена.

6.3.2. Проекторы шкал и сеток

В состав целого ряда технических систем (например, точных весов, измерительных
систем, станков) входят проекторы для отображения шкал, сеток и аналогичной
графической информации17. В большинстве случаев в проекторах этого типа ис-
пользуется диаскопическая проекция на просветный экран.

На рис. 6.14 показана оптическая схема проектора шкалы точных весов. Объек-
тив строит на матовой пластине со штриховым индексом увеличенное изображение
шкалы, которая связана с коромыслом весов. Так как шкала расположена горизон-

17 В настоящее время различного рода дисплеи и электронные индикаторы почти вытеснили
описанные в этом разделе проекционные системы. Исключение составляют только проекци-
онные системы для отображения перекрестий и сеток на поверхностях деталей. (Прим, пер.)
тально вдоль дуги окружности, то для получе-
ния вертикального изображения участка шка-
лы используется система некомпланарных зер-
кал. Если обычный измерительный прибор со
стрелочным отсчетом должен одновременно
обладать большим диапазоном измерений и
высокой точностью отсчета, то шкала этого
прибора должна быть очень длинной. Это свя-
зано с тем, что минимальное расстояние между
штрихами шкалы должно выбираться с учетом
разрешающей способности глаза. При исполь-
зовании проекционной индикации сама шкала
может быть достаточно миниатюрной, так как
изображение шкалы на экране может быть силь-
но увеличено. Кроме того, на экран (матовую
пластину) проецируется не вся шкала, а только
небольшой ее участок. Этот участок должен
иметь такие размеры, чтобы на экране были

Рис. 6.14. Оптическая схема проекто-
ра шкалы точных весов.

видны смежные пронумерованные штрихи.
Дополнительными преимуществами проекцион-
ной индикации является беспараллаксный от-
счет (штриховой индекс совмещается с плос-

костью изображения) и простая установка начала отсчета, которая осуществляется

поперечным смещением матовой пластины со штриховым индексом. Отклонение
линейного увеличения от номинала, равно как и дисторсия, не оказывает влияния,
так как отсчет по шкале снимается в близкой к оптической оси зоне.

На рис. 6.15 показан оптический длинномер [ 10.11], который входит в состав
целого ряда станков или используется как самостоятельный прибор. По своему
действию оптический длинномер аналогичен рассмотренным ранее проекторам шкал.
На стеклянную или стальную шкалу М деления нанесены с достаточно большим
интервалом (например, 1 мм), а на шкалу F деления нанесены с гораздо меньшим

Рис. 6.15. Оптический длинномер [10.11]:

М — шкала, которая проецируется объективом Об; на матовую пластину Ms (эпипро-
екция — красный цвет); Е — индекс в виде двух штрихов на матовой пластине; F —
шкала точного отсчета. Эта шкала проецируется объективом Об2 на матовую пластину
Ms (диапроекция — синий цвет); L — лампа; К|( К2 — конденсоры; Т — полупрозрач-
ное зеркало, S — зеркало. На рисунке отсчет соответствует 237,93 мм.
интервалом (например, с шагом 0,01 мм). Поворотом настроечной ручки, которая
связана со шкалой F, добиваются того, чтобы изображение близлежащего штриха
шкалы М располагалось симметрично относительно двух штрихов индекса Е, нане-
сенных на матовую пластину. Дисторсия изображения должна быть малой; необхо-
димо тщательно устанавливать требуемое значение линейного увеличения.

Проекционные системы могут отображать перекрестия, сетку и подобные им
изображения непосредственно на поверхности обрабатываемой детали. Например,
проекционная система сверлильного станка может быть съюстирована таким обра-
зом, что на обрабатываемой детали изображение перекрестия точно совпадает с
центром сверла.

Если в проекционной системе шкала (или сетка, перекрестие, тестовое изобра-
жение) расположена точно в фокальной плоскости F объектива, то данная опти-
ческая система носит название «коллиматор». Его использование будет описано в
разд. 6.6.3.

6.3.3. Измерительные проекторы

Измерительные проекторы18 предназначены для контроля объектов со сложной
конфигурацией или объектов сравнительно небольших размеров, изображения ко-
торых проецируются на экран в увеличенном масштабе. Поэтому дисторсия и от-
клонения от заданного значения линейного увеличения должны быть очень незна-
чительны (относительная ошибка около 2 • 10-4). Для того чтобы обеспечить посто-
янство линейного увеличения при наводке на резкость, используют телецентрический
ход лучей (см. разд. 3.2). Соответственно, и аберрации объектива должны быть
исправлены для телецентрического хода лучей. Телецентрический ход лучей также
должен быть использован в осветителе. За счет смещения объектива относительно
плоскости экрана можно обеспечить заданное значение линейного увеличения.
Ступенчатое изменение значений линейного увеличения (Д' = —10, —20, —50, —100)
осуществляется при повороте револьверной головки с закрепленными на ней объек-
тивами. При смене объективов одновременно происходит смена оптических ком-
понентов осветительной системы.

На рис. 6.16 показана схема миниатюрного измерительного проектора. Апер-
турная диафрагма совпадает с выходным зрачком и лежит в фокальной плоскости
F' объектива. Из-за телецентрического хода лучей световой диаметр передней лин-
зы объектива должен быть больше, чем максимальные размеры контролируемого
изделия. Таким образом, большой диапазон измерений контролируемых изделий
требует коррекции аберраций объектива в пределах большого диаметра. Если одно-
временно необходима высокая точность измерений (большое линейное увеличе-
ние), то следует использовать экран большого диаметра. Большие проекторы могут
иметь экраны диаметром 1000 мм или, например, экран в виде прямоугольника
1500 х 1000 мм.

Пример

Большой проектор с диаметром экрана 1000 мм может с отличным каче-
ством строить изображения контролируемых деталей до 10 мм в диаметре при
Д'= —100; по всей поверхности изображения на экране еще поддаются измере-
нию ошибки до 0,5 мм, которым соответствуют ошибки контролируемой дета-
ли 5 мкм.

Измерения изображения на экране выполняются с помощью прозрачных лине-
ек или высокоточных стандартных шаблонов (сетки линий, углы, круги, профили

18 См. «ГОСТ 19795—82 Проекторы измерительные. Общие технические условия». (Прим, пер.)
винтовой резьбы и т. д.). Для контроля се-
рии сложных деталей используются специ-
альные чертежи. Также существуют сравни-
тельные проекторы, которые обеспечивают
непосредственное сравнение двух (контро-
лируемой и образцовой) деталей. В первом
варианте схемы сравнительного проектора
плоскость промежуточного изображения
объекта сравнения должна совпадать с плос-
костью, где непосредственно находится кон-
тролируемая деталь. Во втором варианте два
отдельных канала оптической системы со-
здают изображения контролируемой и образ-
цовой деталей в единой плоскости изобра-
жения. В этом случае при использовании
светофильтров дополнительных цветов (крас-
ный и зеленый) каждому изображению мож-
но сопоставить свой цвет. Участки экрана,
где изображения контролируемой и образ-
цовой деталей точно совпадают, будут бело-
го цвета (результат аддитивного смешения
цветов). Отклонения двух деталей (например,
ошибки расточки, разность длин) будут хо-
рошо заметны благодаря зеленому или крас-
ному цвету соответствующих участков. Та-
ким образом, например, могут контролиро-
ваться отклонения печатаных плат при
сравнении их с образцовой печатной платой.

Сравнительные проекторы могут быть быстро собраны на оптической скамье.

Пример

Необходимо проверить прогиб при постоянной нагрузке 0,5 Н серии малых
листовых пружин. Для этого на оптической скамье помещаются лампу, конден-
соры, зажимное приспособление для пружин и белый экран. Прогиб образцо-
вой пружины под нормальной нагрузкой размечается на экране. На этом же
экране могут быть нанесены предельные отклонения от номинальных значе-
ний. Если необходимо вести измерения проецируемого изображения, то доби-
ваются заданного значения линейного увеличение. Для этого проецируют шка-
лы с известной ценой деления (объект-микрометр) и получают изображения
шкалы требуемой величины.

Рис. 6.16. Измерительный проектор:
АД — апертурная диафрагма, которая находит-
ся в фокальной плоскости F' объектива.

Существуют конструкции проекторов, которые одновременно создают на од-
ном экране изображения малых объектов (например, спиралей ламп накаливания)
в двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях (основной план, пере-
дний вид и вид сбоку).

Многие измерительные проекторы снабжены координатным столом, который
позволяет измерять перемещения контролируемой детали по двум координатам, а
также измерять угол поворота.

При диапроекции можно опознать только контуры контролируемой детали («про-
ектор профиля!»), а при эпипроекции делаются видимыми детали поверхности.
Существует также эпидиапроектор, который представляет собой комбинацию
диапроектора и эпипроектора. Для освещения малых объектов при эпипроекции
(работа в отраженном свете) могут быть использованы волоконно-оптические све-
товоды.
6.4. Фотографическая оптика

6.4.1. Глубина резко изображаемого пространства

На рис. 6.17, а показаны: объектив, плоскость предмета О и плоскость анализа
изображения (плоскость пленки) О'. Как и ранее, положение плоскостей Ои О'
определяют отрезки а и а'. На рис. 6.17, а гомоцентричный пучок с центром в точке
на плоскости О после прохождения объектива сходится в точку, принадлежащую
плоскости О'. Поэтому изображение в плоскости О’ будет резким, а плоскость О
называется в этом случае плоскостью наводки на резкость. Пусть при неизменных
положениях объектива и плоскости анализа изображения О' предметные плоско-
сти О,; (рис. 6.17, б) и Ov (рис. 6.17, в) смещены в продольном направлении отно-
сительно плоскости О. Положениям плоскостей Oh и Ov соответствуют отрезки
<зЛ(|а(] > |о|) и av(aj < |а|). Тогда гомоцентричный пучок с центром в точке, лежащей
на плоскости (или плоскости О), после прохождения объектива пересечет плос-
кость по кругу. Следовательно, точкам в плоскости анализа изображения, которые
лежат за или перед плоскостью наводки на резкость, соответствуют кружки нерез-
кости с диаметром и'. Следует отметить, что эти кружки не является следствием
аберраций или дифракционных явлений. Так как разрешающая способность глаза
ограничена, то достаточно малые кружки нерезкости воспринимаются как точки.
Благодаря этому пространственные предметы, которые лежат внутри области резко
изображаемого пространства от av ао ah, могут быть удовлетворительно воспроизве-
дены в плоскости изображения.

Для определения границ области резко изображаемого пространства av и ah
необходимо задать допустимые диаметры и' кружков нерезкости с учетом свойств
глаза. Эти значения для различных форматов кадров указаны в табл. 6.4. Если
рассматривать изображения с расстояния, равного его диагонали (это справедли-
во и в том случае, когда рассматривается не сам негатив или слайд, а его увели-
ченные изображения: при увеличении изображения одновременно увеличиваются
и кружки нерезкости!), то угловой размер кружков нерезкости примерно равен
разрешающей способности глаза (рис. 4.23). Только для узкоформатных кинопле-
нок (16 мм/7,5 х 10,5 мм; 8 мм/3,6 х 4,8 мм) кружки нерезкости несколько больше,
но это не очень заметно при постоянной смене кадров.

На рис. 6.17, в диаметр кружка нерезкости в плоскости пленки равен и'. Если
построить изображение отрезка и ' в обратном ходе лучей, то в плоскости наводки
на резкость получим отрезок и. Тогда согласно рисунку

^ги. зр. _

-и av- а

Рис. 6.17. Область резко изображаемого про-
странства:

а — резкое изображение: плоскости О и О' оптичес-
ки сопряжены; б, в — плоскости предмета О,, и О,
находятся за и перед плоскостью наводки на резкость.
Точкам, которые лежат в этих плоскостях, в плоско-
сти анализа изображения соответствуют кружки не-
резкости с диаметром и'.
Таблица 6.4. Допустимые диаметры кружков нерезкости.

Размер кадра, мм Диаметр кружка нерезкости и', мм Диагональ кадра, мм Угловой размер кружка
90 х 120 0,100 150 2,3'
60x90 0,075 108 2,4'
60x60 0,060 85 2,4'
45 х 60 0,050 75 2,3'
24x36 0,033 43 2,6'
24x24 0,033 34 3,3'
18x24 0,025 30 2,9'
16x22 0,025 27 3,2'
7,5 х 10,5 0,015 13 4,0'
3,6 х 4,8 0,010 6 5,7'

Из последнего выражения получаем

°-0,x.3р.

Ох. зр — М

(6.14)

Целесообразно выразить в формуле (6.14) диаметр входного зрачка через
диафрагменное число k = f'/D^ 1р, а величину и представить в виде: и' = и-0’,
где Р' = Г/(а + /')• Тогда ближняя граница резко изображаемого пространства
равна:

где а — расстояние наводки на резкость;/' — фокусное расстояние объектива;
к — диафрагменное число; и' — допустимый диаметр кружка нерезкости. Дальняя
граница резко изображаемого пространства ah определяется аналогично:

а-Гг
f'2 +и'-к-(а + Г) ’

(6.16)

Расстояние между плоскостями Oh и Ov называется глубиной резко изображаемого
пространства.

Часто при фотосъемке /' |я|. Тогда выражения (6.15) и (6.16) могут быть

упрощены.

Это не относится к макросъемке, микроскопической съемке и проекции (|/?'| >> 1!).
Если в проекционном аппарате а ~ —f, то av ~ a, ah ~ а. В этом случае область резко
изображаемого пространства сужается практически до одной плоскости.

Представляет интерес и обратная задача. В каких пределах а' и a'h (в простран-
стве изображений) можно перемещать плоскость анализа изображения без появле-
ния заметной нерезкости, если предмет плоский и расположен на расстоянии о?
Из приближенной формулы (1.20) следует:

< - < = (°, -«/,) (^')2 > (6-17)

где я' - a'h — глубина резкости.

Примеры

1. При съемке малоформатным фотоаппаратом (размер кадра 24 х 36 мм,
f = 50 мм) необходимо получить резкое изображение предметов, которые нахо-
дятся на расстояниях от 2 до 5 м. Какое расстояние а и какое диафрагменное
число к нужно установить?

Решение:

Из формул (6.15) и (6.16) следует

а = 2--^-; к = ----a\~ah

(«, +«/,) (« + /)«

В результате подстановки av = — 2 м, ah = — 5 м и и ’ = 0,033 мм (из табл. 6.4)
получаем |я| = 2,86 м ~ 2,9 м и к = 11,6 ~ 12.

2. В простых камерах часто используют короткофокусные объективы с по-
стоянной наводкой на резкость. Объективы такого типа жестко установлены на
такое расстояние а (гиперфокальное расстояние), что при данных значениях
к, и' дальняя граница области резко изображаемого пространства равна беско-
нечности (аь = “). Найти гиперфокальное расстояние. Чему при этом равна
ближняя граница области резко изображаемого пространства?

Решение:

При ah = о» знаменатель в формуле (6.16) должен быть равен нулю. Это
эквивалентно выполнению условия

Если подставить это выражение в формулу (6.15), то av = а/7. (при ah = о»)!

3. Крупноформатной камерой (/' = 150 мм, формат кадра 9 х 12 см) фото-
графируется схема печатной платы в масштабе 2:1. Объектив задиафраг-
мирован до к = 5,6. Чему равна глубина резко изображаемого пространства?

Решение:

При /?' = —2, и' = 0,1 мм после определения а получается: av — ah = 0,84 мм!

6.4.2. Фотографические объективы

В соответствии с DIN 452119 фокусное расстояние f равно

“’-'О tg W

(6.18)

19 Отечественные стандарты ГОСТ 4.460-86 «СПКП. Объективы. Номенклатура показателей»
ГОСТ 13095-82 «Объективы. Методы измерения фокусных расстояний»; ГОСТ 13096-82 «Объек-
тивы. Методы измерения рабочего и заднего отрезков»; ГОСТ 24724-81 «Объективы для кино-
и фотоаппаратов . Метод определения коэффициентов рассеяния»; ГОСТ 25502-82 «Объекти-
вы. Методы определения фотографической разрешающей способности». {Прим, пер.)
rpp. w — полевой угол, который соответствует находящемуся на очень большом
расстоянии предмету в виде перпендикулярного оптической оси отрезка у, у' —
величина изображения этого отрезка. Изображение отрезка должно быть резким,
диафрагма объектива должна быть полностью открыта. Измерения проводятся для
длины волны А = 546 нм. Это эффективное фокусное расстояние является прак-
тической характеристикой системы со входным зрачком конечных размеров, в
отличие от фокусного расстояния, соответствующего параксиальной области [см.
формулу (1.7)].

По DIN 4521 относительное отверстие \/к равно отношению диаметра пучка
параллельных оптической оси лучей, который еще проходит через объектив, к фо-
кусному расстоянию этого объектива. Согласно определению диафрагменного чис-
ла [формула (3.1)]: к . Стандартные диафрагменные20 числа к по DIN 4522,

Bl. 1 представляют собой округленные члены геометрической прогрессии с коэф-
фициентом у/2. Главный ряд составляют числа:

к = 1 - 1,4 - 2 - 2,8 - 4 - 5,6 - 8 - 11 - 16 ...

В DIN 4522, Bl. 2 указаны допустимые отклонения фактических диафрагменных
чисел от номинальных значений.

Пример

Как изменится проходящий через объектив световой поток, если диафраг-
менное число изменить от 5,6 до 8?

Решение:

Площадь зрачка Лвх зр и световой поток уменьшатся в 2 раза.

Признаком, по которому классифицируются фотообъективы, является уголовое поле
2w = 2w', при котором аберрации объектива еще не превышают допустимых значений21.
При изображении удаленных предметов используемое уголовое поле равно

tgiv =

(6.19)

где [у'| — половина диагонали формата кадра (примеры указаны в табл. 6.4).

Пример

Если фокусное расстояние равно диагонали кадра, то tg w = 0,5 (2w = 53°).
Такой объектив примерно соответствует нормальному объективу для этого фор-
мата кадра. Согласно DIN 19040 Bl. 3 фотографические объективы по угловому
полю делятся на следующие группы22:

Сверхдлиннофокусный объектив, телеобъектив 2и>< : 20°
Длиннофокусный объектив 20° < 2w < : 40°
Нормальный объектив 40° < 2iv < : 55°
Широкоугольный объектив 55° < 2iv

Следовательно, оценку характеристик фотообъектива можно давать только
для конкретного формата кадра. Например, объектив, который является нор-
мальным для одного формата кадра, может использоваться как длиннофокус-

20 Стандартные значения диафрагменных чисел указаны в ГОСТ 17175—82. (Прим, пер.)

21 Кроме аберраций, угловое поле может быть также ограничено допустимым значением ви-
ньетирования и/или величиной допустимого падения освещенности на краю изображения, а
также другими особенностями конструкции объектива. {Прим, пер.)

22 Отечественная классификация немного отличается от немецкой. См. ГОСТ 25205—82. {Прим. пер.)
ный объектив для меньшего формата кадра23. В то же время использование
этого объектива в качестве широкоугольного для большего формата кадра не-
возможно из-за недостаточной коррекции аберраций и виньетирования д ля уве-
личенного поля. По формату кадра можно разделить фотокамеры на следую-
щие группы (DIN 19040, Bl. 3):

Миниатюрный фотоаппарат: менее 18 х 24 мм
Полуформатная фотокамера: 18 х 24 мм
APS-камера (формат Н) 16,7 х 30,2 мм
Малоформатный фотоаппарат: от 18 х 24 мм
до 24 х 36 мм
Среднеформатные камеры: от 24 х 36 мм
до 90 х 120 мм
Крупноформатные камеры: свыше 90 х 120 мм

Рассмотрим примеры схем объективов.

Длиннофокусный объектив (рис. 6.18, а) может быть двухлинзовым ахроматом
или трехлинзовым апохроматом. Коррекция аберраций осуществляется только для
малого углового поля. Расстояние от такой комбинации линз до плоскости плен-
ки примерно равно фокусному расстоянию. Напротив, у телеобъектива расстоя-
ние от первой линзы до плоскости пленки меньше, чем фокусное расстояние. Это
возможно благодаря двухкомпонентной системе с положительным передним ком-
понентом и отрицательным задним компонентом (рис. 6.18, б). В этом случае
задняя главная точка Н' может быть расположена перед фронтальной линзой объек-
тива. На рис. 6.18, в показана схема телеобъектива. Значительное сокращение про-
дольных габаритов конструкции при очень большом фокусном расстоянии получа-
ется при использовании зеркальных и зеркально-линзовых систем (рис. 6.18, г).

Пример

У простейшего телеобъектива (фокусное расстояние f = 500 мм) из двух тон-
ких линз расстояние от линзы (1) до задней фокальной точки равно / = 380 мм.
Фокусное расстояние линзы (1) равно = 300 мм. Требуется рассчитать е nf^-

Решение:

Схема объектива показана на рис. 6.18, б. Тогда

Н'Н'т = f -I + е.

Из формулы (2.32) для Н' получается е = (f' ~ I)/{f' ~ = 180 мм.

Далее находится = -300 мм.

Существует много вариантов оптических схем нормальных объективов с раз-
личной степенью коррекции аберраций. В самых дешевых камерах в качестве объек-
тива используется менискообразная линза (рис. 6.18, д). Апертурная диафрагма рас-
положена позади этой линзы. Когда объектив диафрагмируется до к = 11—22, то
при незначительном астигматизме и большой сферической аберрации получается
равномерно нерезкое по всему полю кадра изображение. Схема объектива типа
«Триплет» (рис. 6.18, е) относительно простая. Так как объектив «Триплет» явля-
ется анастигматом и обладает возможностями для коррекции комы, то часто ис-
пользуются многочисленные модификации его схемы. На рис. 6.18, ж показана

23 Хотя на практике именно так часто и поступают, но это не совсем хорошо: чем больше
формат кадра, тем большие величины аберраций в плоскости кадра допустимы (ср. с табл. 6.4).
(Прим, пер.)
Длиннофокусный объектив

Принципиальная схема телеобъектива

Schneider-Tele-Xenar

Зеркально-линзовый объектив Zeiss-Mirotar

Менискообразная линза

Триплет

Zeiss- Hoiogon

Volpi Peri-Apollar

Nikkor Fisheye (2w = 220’)

Рис. 6.18. Примеры оптических схем фотообъективов.

схема объектива типа «Тессар», которая представляет развитие схемы объектива
«Триплет». В отличие от «Триплета» для увеличения возможностей коррекции абер-
раций задний компонент «Тессара» выполнен в виде склейки двух линз. На рис.
6.18, з показана схема особо светосильного нормального объектива с асферически-
ми поверхностями (Leitz-Noctilux/fc = 1,2,/' = 50 мм).

Широкоугольный объектив при большом угловом поле и одновременно боль-
шом относительном отверстии требует высокого уровня аберрационной коррек-
ции. Благодаря схеме обратного телеобъектива (передний отрицательный и поло-
жительный задний компоненты) можно при коротком фокусном расстоянии выне-
сти главную точку Н' за последнюю линзу (рис. 6.18, 6). Вследствие этого задний
отрезок s'k может быть больше фокусного расстояния. Тем самым обеспечивается
достаточное расстояние между объективом и плоскостью пленки (например, для
размещения «прыгающего» зеркала зеркального фотоаппарата). Схема широкоуголь-
ного объектива показана на рис. 6.18, и.

В схеме современного сверхширокоугольного объектива (рис. 6.18, к) с 2w = 110° и
с малым относительным отверстием (диафрагменное число к = 8) при простой кон-
струкции (3 линзы) достигается хорошая коррекция аберраций. Роль апертурной
диафрагмы выполняет узкая проточка на средней линзе. Схему объектива этого
типа можно рассматривать как вариант схемы объектива «Триплет» с двумя край-
ними отрицательными линзами и положительной средней линзой. Если необходи-
мо получить существенно большее угловое поле, например 2w = 180°, то необходи-
мо обеспечить выполнение условия 2w' < 2w (иначе при 2w = 180° диагональ кадра
должна быть бесконечно большой!). Выполнение этого условия неизбежно приво-
дит к очень сильной бочкообразной дисторсии. Такой тип объективов иногда назы-
вают «рыбий глаз»24 (пример такого объектива показан на рис. 6.18, л). Специаль-
ный объектив для технической съемки и наблюдения представлен на рис. 6.18, и. При
вертикальном положении оптической оси (установленная на штатив камера на-
правлена вверх) угол охвата по горизонтали составляет 360°, а по вертикали — 60°
(±30° по отношению к горизонту). Все окружающие предметы будут воспроизведе-
ны на изображении кольцеобразной формы с искажениями, соответствующими
дисторсии (все вертикальные линии проходят через центр кольца). Для компенса-
ции искажений снимка используют проекцию на цилиндрический экран, располо-
женный вокруг проектора25. При этом в качестве объектива проектора используют
тот же объектив, что и при съемке.

Панкратическими называются объективы, у которых фокусное расстояние мо-
жет непрерывно изменяться в определенном диапазоне. Плоскость изображения в
панкратических объективах должна оставаться неподвижной, т. е. при изменении
фокусного расстояния изображение остается резким и дополнительная наводка на
резкость не нужна. Выполнение этих условий требует, чтобы, по крайней мере, две
линзы (по условиям коррекции аберраций наиболее часто вместо одиночных линз
применяют группы линз) перемещались вдоль оптической оси на различные рас-
стояния. В примере 1 из разд. 2.2.4 была показана возможность вариации фокусно-
го расстояния при изменении расстояния между двумя линзами. В случае панкра-
тического объектива эти две линзы необходимо перемещаться вдоль оптической
оси таким образом, чтобы изображение оставалось на прежнем месте.

Панкратические объективы по способу компенсации сдвига плоскости изобра-
жения делятся на две группы: объективы с оптической компенсацией и объективы
с механической компенсацией. В случае оптической компенсации отдельные лин-
зы располагаются так, что совместный сдвиг двух линз (обе имеют неизменное
положение друг относительно друга) приводит к возможно малому смещению плос-
кости изображения. Хотя в этом случае механическая конструкция очень простая,
но изображение остается совершенно резким только при трех положениях линз
(т. е. для трех значений фокусного расстояния всей системы). При других значени-
ях фокусного расстояния плоскость изображения немного смещается от номиналь-
ного положения, что снижает резкость. Система с оптической компенсацией мо-
жет, например, состоять из неподвижной отрицательной линзы (2) и двух жестко
соединенных друг с другом положительных линз (1) и (3).

24 Полученное с помощью такого объектива изображение примерно соответствует тому, кото-
рое «видит» рыба из аквариума с плоскими стенками. Метеорологи часто называют фотокаме-
ры с таким типом объективов «all-sky» — камерой [камера всего неба]. (Прим. пер.")

25 При использовании современных методов компьютерной обработки изображения можно
обойтись без проектора. (Прим, пер.)
Рис. 6.19. Принципиальная схема панкратического объектива с механической компен-
сацией.

В случае механической компенсации две линзы перемещаются так, что положе-
ние плоскости изображения остается совершенно неизменным. При изменении
фокусного расстояния эти две линзы перемещаются друг относительно друга (на-
пример, благодаря криволинейному пазу на вращающемся тубусе). На рис. 6.19
показана принципиальная схема панкратического объектива. Объектив состоит из
фронтального компонента (1), панкратической части [компоненты (2) и (3)] и ос-
новного объектива (4). Наводка на резкость осуществляется продольным смещени-
ем фронтального компонента, т. е. положение плоскости промежуточного изобра-
жения остается неизменным. Линейное увеличение панкратической части (между
плоскостями промежуточного изображения Cjj) и ОД 3j) переменное. Неизменное
положение плоскости изображения ОД 3) достигается следующим способом.

На рис. 6.19, а, в показаны положения компонентов объектива, которые соот-
ветствуют крайним значениям линейного увеличения панкратической части:
Ра (|А'| < 1) и Р'„=\/Р'а. В этих двух случаях расстояние между плоскостями ОД) и ОД 3j
одинаковое и равно Z; компоненты (2) и (3) расположены вплотную друг к другу, и
их можно рассматривать как одну линзу. На рис. 6.19, б показано положение ком-
понентов, которое соответствует линейному увеличению панкратической части
Р'б--\. В примере 2 из разд. 1.4.5 было показано, что при /?' = —1 расстояние
между плоскостью предмета и его изображением минимально. Поэтому, если ком-
поненты (2) и (3) расположить вплотную, то расстояние между плоскостями
О!., и ОД ,, будет меньше /. Для обеспечения неизменного расстояния между плос-
V/ И»

костями ОД) и ОД 3) варьируется отрезок между компонентами (2) и (3).

При постоянном положении плоскости ОД 3j на ней создаются промежуточные
изображения различной величины. Основной объектив (4) переносит эти изобра-
жения в плоскость пленки. Переменная величина изображения в плоскости пленки
указывает на то, что фокусное расстояние всей оптической системы изменяется.
(На рис. 6.19 полевые линзы не показаны.)

Схема на рис. 6.19 наглядно показывает функции отдельных групп линз, так
как изображение в промежуточной плоскости является действительным. Но при
такой схеме длина объектива значительна. Поэтому предпочтение отдается схемам,
где промежуточные изображения являются мнимыми. При этом две подвижные
группы линз обладают отрицательным фокусным расстоянием. В качестве примера
на рис. 6.20 показан объектив узкопленочной кинокамеры. Дополнительная линза
Рис. 6.20. Схема панкратического объектива (Schneider—
Variogon) с отрицательными фокусными расстояния-
ми компонентов панкратической части.

перед основным объективом обеспечивает па-
раллельный ход лучей. Это необходимо, чтобы
можно было с помощью светоделителя напра-
вить в видоискатель часть светового потока. При
мнимых промежуточных изображениях диаметр
переднего компонента должен быть больше.

6.4.3. Киносъемка медленно- и быстропротекающих процессов

Процессы, которые протекают слишком медленно для непосредственного наблю-
дения глазом, могут лучше анализироваться при воспроизведении их на экране с
ускорением («сжатие во времени»). Для ускоренного воспроизведения процесса на
экране необходимо выполнение условия vp > vA, где vA — частота съемки и vp —
частота проекции.

Пример

Съемка производится с частотой 6 кадров в секунду (к/с), а частота проек-
ции равна 24 к/с. Тогда масштаб воспроизведения времени vAlvp равен 1:4.
При этом длительность воспроизведения на экране тр и фактическая продолжи-
тельность процесса -сА связаны равенством тр= 0,25 тА. Малые масштабы воспро-
изведения времени могут быть получены при покадровой съемке. В этом слу-
чае съемка отдельных кадров осуществляется через большие промежутки вре-
мени △?; после съемки каждого кадра пленка скачком перемещается ровно на
один кадр. Для съемки используются кинокамеры с электромагнитным спус-
ком, который включается через установленные интервалы времени. Постоян-
ная величина экспозиции при покадровой съемке обеспечивается за счет ис-
пользования искусственного источника света со стабилизированным питани-
ем, который включается на время съемки очередного кадра. Если переменного
дневного освещения нельзя избежать, то для освещения объекта съемки дол-
жен быть использован импульсный осветитель, который обеспечивает на-
столько высокую освещенность, что дневным светом можно пренебречь
(< 1 %) [7.9].

Перед покадровой киносъемкой необходимо выполнить предварительное ис-
следование и возможно более точно определить промежутки времени Д/между съем-
кой отдельных кадров, так как в противном случае при проекции может получиться
«взрывоподобный» или слишком медленный процесс.

Пример

Предварительное исследование показало, что интересующаяся часть корро-
зийного процесса на поверхности металла д лится примерно tA = 40 дней. Длитель-
ность воспроизведения этого процесса на экране должна быть равна тр — 1 мин.
Так как частота проекции тр = 24 к/с, то должно быть снято 1440 отдельных
кадров. Для данного времени т, это соответствует интервалу между съемкой
отдельных кадров Д/ = 40 мин. Масштаб воспроизведения времени равен в этом
случае 1: 57 600!
Киносъемка с большой частотой26 vA обеспечивает возможность регистрации бы-
стропротекающих процессов, которые невозможно наблюдать другим способом. Для
замедленного воспроизведения протекания процесса на экране («растяжение во вре-
мени») необходимо выполнение условия vp < vA, где vA — частота съемки и vp —
частота проекции. Масштаб воспроизведения времени vA/vp может превышать 10s.

Так как существуют ограничения на скорость движения кинопленки при ее
дискретном и непрерывном перемещении, то в зависимости от частоты съемки
используют киноаппараты различной конструкции.

1. Киноаппараты с дискретным перемещением пленки позволяют вести съемку
с частотой до нескольких сот кадров в секунду (vA max примерно 300 к/с для пленки
35 мм и 600 к/с для пленки 16 мм). Длина пленки может быть очень большой (от
30 м до 120 м), но желаемая частота съемки vA достигается только после времени
разгона. Поэтому фактическая частота съемки определяется для каждого участка
фильма по временным меткам в виде штрихов, расположенных вне поля кадра. Для
получения временных меток обычно используют миниатюрные газоразрядные лам-
почки, дающие периодические световые импульсы со стабильной частотой.

2. Киноаппараты с непрерывным движением пленки позволяют вести съемку с
частотой примерно до vA — 104 к/с. При этом достигается верхний предел скорости
(75 м/с) движения пленки 16 мм. Как и в киноаппаратах с дискретным перемеще-
нием пленки, длина пленки может быть достаточно большой, частота съемки во
время работы также не постоянна. Так как изображение в течение всего времени
экспозиции не должно перемещаться относительно пленки (нарушение этого усло-
вия приводит к нерезкости в виде смазанности изображения), то необходимо ис-
пользовать оптический компенсатор. Благодаря компенсатору оптическое изобра-
жение снимаемого предмета перемещается с той же скоростью, что и кинопленка.
Наиболее широкое применение нашли призменные компенсаторы. Принцип дей-
ствия их основан на поперечном смещении луча плоскопараллельной пластинкой
(см. разд. 2.3.2). Ось вращения призменного компенсатора совпадает с его осью
симметрии и расположена перпендикулярно оптической оси объектива (рис. 6.21).
Призма может иметь четыре или большее число рабочих граней. На рис. 6.21 опра-
вой призмы служит полая трубка с вырезами. При вращении оправа призмы дей-
ствует как цилиндрический обтюратор, который перекрывает световой поток при
больших углах падения пучка на грани призмы. Это необходимо, так как при боль-
ших углах падения скорость перемещения изображения и скорость пленки недопу-
стимо отличаются. Одновременно оправа призмы выполняет функции затвора.

Рис. 6.21. Действие призменного компенсатора в виде четырехгранной стеклянной
призмы. Точка изображения О' перемещается с той же скоростью, что и
пленка.

26 По отечественной классификации различают: ускоренная киносъемка (от 25 до 500 к/с),
скоростная киносъемка (от 500 до 10 000 к/с), высокоскоростная киносъемка (свыше
10000 к/с). (Прим, пер.)
Рис. 6.22. Схема камеры «Хикам» (HYCAM).

На рис. 6.22 в качестве примера показана схема камеры «Хикам» (HYCAM) с
восьмигранной призмой. Частота съемки достигает примерно vA = 4 • 104 к/с. В этой
камере используется связанный с призмой секторный затвор. Следует обратить
внимание, что в этой и других камерах при достаточной освещенности можно ис-
пользовать пленку как матовую пластину видоискателя. При этом в проходящем
свете можно наблюдать кадровую рамку без параллакса.

3. Киноаппараты, в которых пленка размещена на внутренней или внешней
боковой цилиндрической поверхности вращающегося барабана. Частота съемки в
этом случае ограничена примерно ^ти = 105 к/с. Длина пленки соответствует габа-
ритам барабана (примерно от 1 до 2 м) и очень незначительна по сравнению с ранее
рассмотренными аппаратами. Частота съемки по всей длине фильма постоянна,
так как барабан может разгоняться перед съемкой до желаемой угловой скорости.
С использованием оптических компенсаторов здесь также можно вести съемку са-
мосветящихся или непрерывно освещаемых объектов. Возможна также съемка со
сверхкороткими экспозициями (время экспозиции в диапазоне от микро- до нано-
секунд) при использовании высокочастотной импульсной газоразрядной лампы или
электрооптического затвора (например, ячейки Керра). Так как длина пленки не-
значительна, то осуществить синхронизацию серии экспозиций со снимаемым про-
цессом более трудно. Съемка может происходить только во время вращения бара-
бана.

4. В киноаппаратах с коммутацией фотоизображений кинопленка неподвижна.
При достаточном числе отдельных кадров (от 100 до 120 кадров) эти киноаппараты
обеспечивают наиболее высокую частоту съемки (до vA = 107 к/с). Легкое зеркало,
вращение которого обеспечивает турбина на сжатом воздухе или гелии, является
единственной подвижной частью (рис. 6.23). Входной (основной) объектив образу-
ет промежуточное изображение снимаемого объекта в плоскости, проходящей че-
рез ось вращения зеркала. Между зеркалом и кинопленкой находится блок вспомо-
гательных объективов (примерно от 100 до 120 объективов). Эти вспомогательные
объективы и кинопленка расположены вдоль концентрических окружностей, цент-
ром которых является ось вращения зеркала. Каждый из вспомогательных объекти-
вов при определенном угле поворота зеркала образует на кинопленке изображение
снимаемого объекта. При вращении зеркала изображение апертурной диафрагмы
входного объектива будет перемещаться по входным зрачкам блока вспомогатель-
ных объективов. При этом изображение снимаемого объекта будет получаться на
кинопленке только при совмещении изображения апертурной диафрагмы входного
объектива с входным зрачком одного из вспомогательных объективов. Таким обра-
Рис. 6.2J. Киноаппарат с коммутацией фотоизображений.

зом, оптическое изображение апертурной диафрагмы входного объектива является
своеобразным затвором, открывающим доступ световым лучам к кинопленке в оп-
ределенные последовательные моменты времени; при этом изображение снимае-
мого объекта не смещается относительно пленки. В случае использования киноап-
паратов с коммутацией фотоизображений существенную проблему представляет син-
хронизация снимаемого процесса с вращением зеркала. Необходимо обеспечить,
чтобы начало исследуемой фазы процесса совпадало с первой экспозицией пленки.
По завершении цикла съемки (после поворота зеркала на предельный угол) доступ
света к кинопленке должен быть перекрыт электрооптическим или другим специ-
альным затвором.

Выбор параметров съемки быстропротекающих процессов осуществляется с
учетом следующих рекомендаций.

Чтобы при проекции фильма получить представление о фазе движения, для
глаза требуется время тр = 1 с (нижняя граница TPmin = 0,5 с). Поэтому одной фазе
движения должно соответствовать 20—24 или еще большее число кадров. После
определения или прогнозирования длительности движения тА частота съемки опре-
деляется по формуле

(6.20)

Обычно vp = 24 к/с, гр > 1 с. Так как время смены кадра равно \/vA, то время
экспозиции / отдельного кадра удовлетворяет неравенству t < l/vA. За время экспо-
зиции t снимаемое тело может переместиться не более чем на расстояние I, которое
при проекции не приводит еще к заметной нерезкости (рис. 6.24). Из этого следует

(6.21)

Рис. 6.24. Съемка тела О, движущегося со скоростью к
где w — скорость тела; Г — сдвиг изображения, соответствующий расстоянию Z;

/?' = — линейное увеличение; f — заднее фокусное расстояние объектива.
а

Пример

Производится киносъемка пули, летящей со скоростью 150 м/с. Интервал
времени съемки соответствует времени прохождения пулей участка траектории
0,3 м. Длина пули 20 мм. При частоте проекции 24 к/с продолжительность
воспроизведения отснятого материала должна составить примерно 6 с. За вре-
мя экспозиции кадра пуля должна переместиться не более чем на 3 % своей
длины. Найти: продолжительность съемки, частоту съемки, время экспозиции,
число кадров.

Решение-.

гЛ = 2 10 3 с, vA = 7,2 • 104 с-1, t = 4 мкс, 144 кадра.

6.4.4. Получение стереопар и наблюдение
стереоскопических изображений

Зрение двумя глазами повышает остроту зрения и дает дополнительную информа-
цию о протяженности предмета в глубину, т. е. на основании непосредственного
зрительного ощущения оцениваются расстояния до различных точек предмета. Дан-
ный эффект носит название стереоскопического зрения. При наблюдении какой-
либо точки близко расположенного предмета ви шрные оси глаз автоматически раз-
ворачиваются (конвергируют) таким образом, что оси пересекаются в данной точке
предмета. При этом изображения точки в правом и левом глазах находятся в цент-
рах желтых пятен сетчатой оболочки глаз. Так как глаза расположены друг от друга
на определенном расстоянии, то изображения протяженных в глубину предметов
на сетчатках левого и правого глаз будут немного различаться. На основании этих
изображений в человеческом сознании формируется пространственный образ на-
блюдаемого предмета. Такой пространственный образ также может возникнуть при
рассматривании раздельно каждым глазом специальных плоских изображений (кад-
ров). Вместе такие кадры для левого и правого глаза составляют стереопару. Суще-
ствует целый ряд методов изготовления стереопар и их последующего воспроизве-
дения для получения стереоскопического эффекта. Термины раздела «стереоско-
пия» приведены в D1N 4531, Bl. 1. Подробное изложение стереоскопических методов
дано в [1.33].

На рис. 6.25 штриховкой отмечен пространственный предмет О, Р, Q. Точка О
расположена немного ближе, а точка Р немного дальше от глазного базиса ЛЛ (сред-
нее значение 65 мм). Отрезок ОР отображается на сетчатке каждого из глаз различ-
ными изображениями отрезка, т. е. на сетчатках получается два немного различных
изображения. Перпендикулярно плоскости рисунка проведем вертикальную плос-
кость. Эта плоскость параллельна глазному базису и находится от него на расстоя-
нии а. Спроецируем на данную плоскость отрезок ОР. Пусть в первом случае цен-
тром проекции является зрачок левого глаза, а во втором случае центром проекции
является зрачок правого глаза. Тогда в первом случае проекцией отрезка ОР будет
отрезок О’/Р)’, а во втором случае — отрезок О'Р', который немного отличается от
отрезка OJP,'.

Пусть пространственному (объемному) предмету О, Р, Q соответствует стерео-
пара, левый и правый кадры которой содержат отрезки 0,7}' и О'ГР‘. Если размес-
тить кадры этой стереопары на расстоянии а перед глазами (см. рис. 6.25), то при
Рис. 6.25. Наблюдение пространственного пред-
мета двумя глазами, г, I — правый и левый гла-
за. Отрезки О'Р' и 0/7]' являются на соответ-
ствующих кадрах стереопары изображениями
отрезка предмета ОР.

рассматривании кадров стереопары формируется пространственный образ (стерео-
скопическое изображение). Данное стереоскопическое изображение возникает из-
за различий в изображениях на левом и правом кадрах стереопары. Для количе-
ственного описания данных различий используют стереоскопический параллакс р.
Для уже рассмотренных точек О и Р параллакс равен:

р = О'гр; - О'^-, р = р;р; - о;о;. (6.22)

Если протяженность предмета в глубину а, гораздо меньше, чем расстояние ао,
то стереоскопический параллакс равен

р~^г-а. а. (6.23)

Так как стереоскопический параллакс определяет точность оценки расстояния
до точек предмета, то:

При заданной протяженности предмета в глубину at восприятие глубины
увеличивается при удлинении базиса Ъо. Точность оценки расстояния до точек
предмета убывает пропорционально квадрату расстояния ао.

Одним из достаточно часто используемых методов изготовления стереопар яв-
ляется фотографическая стереосъемка. Стереопары, которые соответствуют про-
стым телам, могут быть также вычерчены. Это возможно даже в том случае, когда
пространственное тело физически не существует. Возможен также синтез стерео-
пар методами компьютерной графики.

При фотографической стереосъемке неподвижных объектов можно одной обыч-
ной фотокамерой сделать поочередно два снимка. При этом камера между двумя
снимками смещается в поперечном направлении (например, с помощью специаль-
ных направляющих) на расстояние глазного базиса Ьв. Конечно, также можно вести
съемку с базисом b > Ьа. Прежде всего это используется при аэрофотосъемке, где
базис b соответствует расстоянию между двумя точками съемки. Высота полета
эквивалентна в этом случае отрезку ао. При стереоскопической съемке подвижных
объектов оба снимка необходимо делать одновременно. Это возможно при исполь-
зовании стереонасадки, которая помещается перед объективом камеры (рис. 6.26).
Другой способ стереосъемки предполагает использование растра из цилиндричес-
ких линз, который располагается перед фотоматериалом, и специальной насадки,
устанавливаемой перед объективом. При этом каждый кадр стереопары разбивает-
ся на узкие полоски. На фотоматериале эти полоски расположены параллельными
рядами таким образом, что между двумя смежными полосками одного кадра сте-
реопары находится полоска другого кадра стереопары. Использование камеры с
двумя объективами и с двумя одновременно спускаемыми затворами дает возмож-
ность получить стереопару одним из самых простых способов.
Рис 6.26. Использование стереонасадки.

В стереофотограмметрических камерах особенно длинный базис b обеспечи-
вается размещением на концах базисной трубы двух одинаковых камер. Экспо-
нирование кадров осуществляется одновременно при одинаковых настройках
камер.

Следует отметить, что возникающий при рассматривании кадров стереопары
пространственный образ соответствует такому же положению пространственного
предмета, которое этот предмет занимал при стереосъемке.

Пространственный образ возникает только тогда, когда каждый глаз рассмат-
ривает только один кадр стереопары. Поэтому для воспроизведения стереопары
необходимо использовать один из методов сепарации (разделения) изображений27.

1. Кадры стереопары расположены в пространстве раздельно (чаще всего ря-
дом) и рассматриваются каждый своим глазом через оптическую систему прибора,
который носит название «стереоскоп» (размеры смонтированных кадров стереопа-
ры указаны в DIN 4531, Bl. 2.).

2. Кадры стереопары, разделенные на узкие полоски и совмещенные в единой
плоскости, наблюдаются через линзовый растр.

3. Пространственно совмещенные изображения кадров стереопары различают-
ся цветом. Для раздельного наблюдения кадров стереопары используются очки со
светофильтрами (анаглифический метод).

4. Пространственно совмещенные изображения кадров стереопары различают-
ся направлением поляризации. Для раздельного наблюдения кадров стереопары
используются очки с поляризационными фильтрами.

При воспроизведении стереопары методом линзового растра необходимо, что-
бы оба кадра стереопары были разделены на узкие параллельные полоски, которые
находятся на единой плоскости в виде последовательности rlrlrl..., где г — полоска
правого кадра стереопары, I — полоска левого кадра стереопары (рис. 6.27, а).
Перед плоскостью с полосками расположен растр из цилиндрических линз. Так
как полоски левого и правого кадров совмещены с фокальными плоскостями линз
растра, то обе полоски левого и правого кадров стереопары проецируются в двух
различных направлениях. Эти направления соответствуют положению глаз наблю-
дателя. Если наблюдатель расположен таким образом, что его глазной базис парал-
лелен полоскам кадров стереопары, то стереоскопический эффект не возникает;
изображение воспринимается наблюдателем как плоское. Метод линзового растра
позволяет воссоздать пространственный образ объекта с умеренным качеством;

27 В этой книге не упомянут эклипсный метод. В этом методе используется временная филь-
трация (поочередное рассматривание) правого и левого кадров стереопары. Правый и левый
кадр в чередующемся порядке проецируются на экран, и вместе с этим синхронно перед
правым и левым глазом открываются и закрываются заслонки в очках, через которые зритель
поочередно видит правым глазом правый кадр стереопары, левым глазом — левый кадр. За
последние годы этот метод довольно часто используется в компьютерных устройствах стерео-
скопических изображений. (Прим, пер.)
Рис. 6.27. а — воспроизведение стереопары методом линзового растра; б — два совме-
щенных кадра стереопары (соответствуют пространственному объекту в виде
системы призм), которые предназначены для рассматривания по анаглифи-
ческому методу [1.4].

наблюдение ведется непосредственно глазом (без использования специальных оч-
ков для сепарации кадров стереопары). Дешевые линзовые растры изготавливаются
прессованием из пластмассы. Кадры стереопары могут быть выполнены в есте-
ственных цветах.

Анаглифический метод воспроизведения (DIN 6170, Bl. 1) требует, чтобы кадры
стереопары были различного цвета28 (красный и зеленый/синий). Кадры могут быть
вычерчены или напечатаны в этих цветах на одном плоском оригинале (рис. 6.27, б).
Также два черно-белых кадра стереопары могут проецироваться на плоский экран
двумя проекторами, перед которыми установлены красный и синий светофильтры.
Совмещенные на одной поверхности кадры стереопары рассматриваются наблюда-
телем через очки со светофильтрами: синим (перед правым глазом) и красным (пе-
ред левым глазом). В зависимости от освещения заднего плана (фона) возможны
следующие разновидности анаглифных изображений.

1) Положительные анаглифные изображения

Окрашенные в разные цвета оба кадра стереопары совмещаются на одном свет-
лом оригинале (белой бумаге) или экране (см. рис. 6.27, б). При рассматривании
кадров стереопары пространственный образ должен выделяться темным на светлом
фоне. Для этого необходимо, чтобы идущий от смежного кадра стереопары свет
поглощался соответствующим светофильтром очков наблюдателя. Таким образом,
для правой стороны изображение должно быть красным, а светофильтр — синим.
Синее изображение (левый кадр стереопары) не будет видно через синий фильтр,
так как в этом случае оно сливается с синим фоном.

2) Отрицательные анаглифные изображения

Окрашенные в разные цвета оба кадра стереопары рассматриваются на темном
заднем фоне (например, при проекции двух отдельных слайдов). При рассматрива-
нии кадров стереопары пространственный образ должен выделяться светлым на
темном фоне. Поэтому правой стороне соответствует синее изображение и синий
фильтр. Красное изображение (левый кадр стереопары) не будет видно через синий
светофильтр, поэтому оно сливается с темным фоном.

Поляризационный метод воспроизведения наиболее часто используется при
проекции кадров стереопары на экран. В отличие от анаглифического метода се-

28 Существуют способы формирования анаглифного изображения, которые позволяют час-
тично и даже почти полностью сохранить оригинальные цвета исходной стереопары. Однако
если в исходных изображениях присутствуют ярко-красные или ярко-синие (зеленые) объек-
ты, то на цветном анаглифе это может нарушить разделение стереопары. В результате эти
объекты будут нарушать комфортность просмотра. (Прим, пер.)
Рис. 6.28. Телевизионная передача сте-
реоскопических изображений. Для со-
вмещения кадров стереопары исполь-
зуется полупрозрачное зеркало. Сепа-
рация изображений осуществляется
анаглифическим или поляризацион-
ным методом.

парация кадров стереопары с помощью поляризации позволяет воспроизводить
цветные пространственные образы. Оба кадра стереопары проецируются двумя
проекторами на один экран. При этом перед каждым проектором установлен по-
ляризационный светофильтр. Направления плоскостей поляризации светофильт-
ров взаимноперпендикулярны. Наблюдатель рассматривает экран через очки с по-
ляризационными светофильтрами, плоскости поляризации которых также взаим-
ноперпендикулярны. Через правый поляризационный светофильтр проходит свет
от правого кадра стереопары, а свет левого кадра стереопары поглощается. Для того
чтобы избежать деполяризации света, экран должен быть металлизированным (бе-
лая диффузнорассеивающая поверхность в качестве экрана непригодна).

Для телевизионной передачи стереоскопических изображений принципиально
возможно использовать анаглифический метод и метод линзового растра. На рис. 6.28
показана простая двухэкранная установка стереоскопического телевидения для ото-
бражения не очень протяженных объектов (например, опытное лабораторное уст-
ройство). Перед телевизионными экранами размещены цветные или поляризацион-
ные светофильтры. Оба кадра стереопары совмещаются полупрозрачным зеркалом и
наблюдаются через очки с цветными (или поляризационными) светофильтрами.

«Настоящее» трехмерное воспроизведение пространственного объекта, когда при
изменении положения точки наблюдения можно видеть изображение в другом ра-
курсе, удается осуществить только с помощью голографии (см. разд. 7.7).

6.5. Лупы и окуляры

Лупы используются при наблюдении глазом мелких предметов, расположенных на
близком расстоянии. Если реальный предмет необходимо рассматривать под мак-
симально большим углом зрения, то глаз должен быть расположен от предмета на
малом расстоянии. Однако если это расстояние меньше, чем расстояние до ближ-
ней точки ясного зрения, то предмет будет виден не резко. Это связано с тем, что
глаз не может аккомодировать на расстояния меньшие, чем дистанция до ближней
точки ясного зрения. Оптическая сила лупы дополняет оптическую силу глаза, по-
этому близкорасположенный предмет можно видеть резко. В этом смысле лупа дей-
ствует аналогично очкам, которые предназначены для коррекции дальнозоркости.

Виды луп, их оптические параметры и стандартные значения увеличений при-
ведены29 в DIN 58383. В узком смысле лупами называются линзы и системы линз,
видимое увеличение которых больше или равно трем30. При рассматривании близ-
корасположенных предметов такие лупы располагают на незначительном расстоя-
нии от глаза. Если видимое увеличение лупы меньшее трех, то такая лупа называет-
ся увеличительным стеклом31. Окуляром называют тот компонент оптической

29 См. ГОСТ 25706—83 «Лупы. Типы, основные параметры. Общие технические требования».

30 Современные лупы имеют увеличение до 20х. (Прим, редакции)

31 Для обозначения таких луп в немецкой терминологии используется термин «Leseglas», бук-
вально — «стекло для чтения». (Прим, пер.)
6.5. Лупы и окуляры

системы (зрительной трубы, микроскопа и т. п.), который обращен к глазу наблю-
дателя и предназначен для рассматривания действительного промежуточного изоб-
ражения, созданного объективом или объективом совместно с оборачивающей си-
стемой. Фактически окуляр представляет собой лупу, специально предназначенную
для рассматривания действительного промежуточного изображения. Чаще всего
окуляр состоит из двух или большего числа линз. Двухкомпонентные системы типа
телескопической лупы здесь не рассматриваются.

6.5.1. Увеличение и виды конструкций луп

Так как отрезок предмета у необходимо рассматривать под возможно большим уг-
лом зрения, то предмет должен быть расположен как можно ближе к глазу.

При этом лупа создает мнимое изображение предмета на таком удалении от
глаза, на которое глаз еще может аккомодировать. Увеличение лупы рассчитыва-
ется по формуле (6.1). Если предмет рассматривается без лупы, то tgw = —у/а*, где
as = —250 мм — расстояние наилучшего зрения. Если рассматривается мнимое изоб-
ражение, которое создает лупа, то согласно рис. 6.29:

tgw'= //(«•-<).

Тогда в соответствии с формулой (6.1) увеличение лупы равно:

У' а,
У e-(fL'

(6.24)

В последней формуле У/у представляет собой линейное увеличение Д', которое
вычисляется согласно выражению (1.16). Следовательно, в самом общем случае
увеличение лупы равно

(6.25)

где/ — фокусное расстояние лупы; a'L — расстояние от лупы до мнимого изображе-
ния; е — расстояние между лупой и глазом; а — расстояние наилучшего зрения.

Увеличение лупы не является постоянным, так как оно зависит от условий
наблюдения (от a'L, ё). Рассмотрим следующие особенно важные частные случаи.

1. Глаз аккомодирован на бесконечность, т. е. a'L = °°; е может быть любым.
В этом случае предмет расположен в фокальной плоскости F лупы. Увеличение
лупы равно:

(6.26)

Рис. 6.29. К определению видимого увеличения лупы.
Данное увеличение лупы указывают в качестве оптического параметра для
луп и окуляров с угловым увеличением, большим или равным трем. Пример: лупа
с f = 62,5 мм обладает увеличением Г'г = 4.

2. Нормальный глаз (aR = <») аккомодирован на расстояние наилучшего зрения as.
Тогда a'L - е = as (ср. рис. 6.29). Из выражения (6.25) следует, что увеличение лупы
при аккомодации глаза на расстояние наилучшего зрения равно:

r = l_S±£. (6.27)

Данная формула используется, когда фокусное расстояние лупы большое (уве-
личительные стекла). Если е = 0 (глаз расположен вплотную к лупе), то формула
(6.27) примет вид Г' = 1 — ajf. Такое значение указывается в качестве оптического
параметра для увеличительных стекол.

Пример

При подстановке в формулу (6.26) f = 250 мм (увеличительное стекло)
увеличение получается равным F'L = 1. Однако это не совпадает с тем впечатле-
нием, которое возникает при использовании данного увеличительного стекла.
Уравнение (6.27) при е = 100 мм и е = 0 дает значения Г' = 1,6 и Г’ = 2
соответственно.

Выполнить требования к аберрационной коррекции для луп тем сложнее, чем
выше увеличение и чем одновременно больше диаметр лупы.

Простые лупы (увеличительные стекла) представляют собой одиночную плос-
ко- или двояковыпуклую линзу; одиночная асферическая линза при большом поле
может быть использована до средних значений увеличения (примерно = 5х). Ахро-
матические лупы из двух склеенных линз можно использовать для больших значе-
ний увеличения (до 16х) только при малом поле. Чаще всего используются аплана-
тические лупы, у которых кроме сферической аберрации также часто исправлены
хроматические аберрации. Конструкция апланатических луп может быть очень раз-
личной; обычно эти лупы состоят из двух или трех линз. Так как в анастигматичес-
ких лупах исправлен астигматизм, то лупы этого типа обладают большими полями
зрения при высоких увеличениях. Анастигматические лупы могут состоять из четы-
рех линз.

В качестве измерительных луп используются апланатические лупы с увеличе-
нием Г‘, = 6—10х. Линзы этих луп закреплены на специальной подставке, в осно-
вании которой расположена шкала в форме лезвия. В другом варианте измери-
тельной лупы в основании подставки устанавливается одна из сменных стеклян-
ных пластин. В комплект такой лупы входят пластины с нанесенными на них
шкалами, сетками, шаблонами углов, радиусов и т. д. Шкала, сетка или шаблон
непосредственно накладываются на поверхность предмета. Если диафрагма нахо-
дится в фокальной плоскости F', то можно исключить ошибки измерения, обус-
ловленные незначительной разностью расстояний между поверхностью предмета
и шкалой. Данная схема соответствует телецентрической измерительной лупе (см.
разд. 3.2). Глаз в этом случае расположен вблизи диафрагмы. В разд. 8.4 описано
использование измерительной лупы при определении параметров зрачков опти-
ческой системы.

6.5.2. Окуляры

В данном разделе будут рассмотрены только несколько основных параметров оку-
ляров, так как остальные параметры должны быть согласованы с оптической систе-
мой, в которой применяется данный окуляр (например, зрительной трубой или
микроскопом). Окуляр представляет собой лупу, специально предназначенную для
рассматривания действительного промежуточного изображения в оптических сис-
темах. Так же как и у лупы, основной оптической характеристикой окуляра являет-
ся видимое увеличение. Оно рассчитывается по формуле (6.26). Пример: при фо-
кусном расстоянии окуляра f°K =31,25 мм .увеличение окуляра равно Г', = 8х; дан-
ный окуляр имеет маркировку «8х».

Простейшие окуляры Гюйгенса (рис. 6.30, а) и Рамсдена (рис. 6.30, 6) состоят
из двух линз. Непосредственно перед глазом наблюдателя расположена глазная линза.
Вблизи плоскости промежуточного изображения, которое создает объектив (зри-
тельной трубы или микроскопа), находится коллективная (полевая) линза. Счита-
ют, что коллективная линза входит в состав оптической системы окуляра. Коллек-
тивная линза согласует положение выходного зрачка объектива и входного зрачка
глазной линзы окуляра (см. разд. 4.3). Чтобы наблюдаемое изображение было резко
ограничено, в плоскости промежуточного изображения устанавливается полевая
диафрагма. Также в плоскости промежуточного изображения могут быть размеще-
ны сетки и шкалы. Поэтому коллективная линза должна быть смещена относитель-
но плоскости промежуточного изображения. При этом возможны две схемы пост-
роения окуляров. В окуляре Гюйгенса (рис. 6.30, а) промежуточное изображение
находится между коллективной и глазной линзами; пластина со шкалой или сеткой
входит в состав окуляра и заменяется обычно вместе с ним. В окуляре Рамсдена
(рис. 6.30, 6) промежуточное изображение лежит перед полевой линзой; диафрагма
и пластина со шкалой или сеткой легко доступны, и могут быть заменены незави-
симо от окуляра.

Одной из характеристик окуляра является диаметр 2у' наблюдаемой в окуляр
части плоскости промежуточного изображения («линейное поле окуляра»), созда-
ваемого объективом. Очевидно, что для окуляра Рамсдена 2у' = D, где D — диаметр
полевой диафрагмы. Диаметр линейного поля в окуляре Гюйгенса равен

2y' = D&-

/(2)

(6.28)

где /о'к — фокусное расстояние окуляра; — фокусное расстояние глазной линзы.
Так как в этом случае в создании действительного промежуточного изображения
участвует полевая линза, то на рис. 6.30, а диаметр полевой диафрагмы несколько
меньше, чем соотве гствуюший ему диаметр 2у' промежуточного изображения, кото-

Окуляр Гюйгенса
а

вых. зр.

Окуляр Кельнера
В

Рис. 6.30. Виды схем окуляров

вых. зр.

Ортоскопическии окуляр

Окуляр Рамсдена
б
рое создает объектив. Это также необходимо учитывать при проведении измерений,
когда шкала с делениями находится в плоскости полевой диафрагмы. Обозреваемый
глазом полевой угол 2w' в пространстве изображений находится из уравнения

tgw' = -^-, (6.29)

Л)к

где у' — радиус промежуточного изображения, создаваемого объективом.

Окуляр как система в целом также должен обеспечить согласование зрачков объек-
тива и глаза наблюдателя. Во избежание срезания поля окуляр должен проецировать
выходной зрачок объектива в зрачок глаза наблюдателя. При решении этой задачи
окуляр выполняет роль коллектива! Тогда выходной зрачок всей оптической систе-
мы (например, зрительной трубы, микроскопа) должен лежать за окуляром в хорошо
доступном для глаза месте. Однако это условие нельзя выполнить, если используется
отрицательный окуляр [как в зрительной трубе Галилея (см. разд. 6.6.2)].

При наблюдении через окуляр на качество изображения существенно влияет
состояние аберрационной коррекции окуляра вне зависимости от вида его опти-
ческой схемы. Очень часто аберрации объектива стремятся компенсировать абер-
рациями окуляра. Наименование «компенсационный окуляр» используется д ля всех
окуляров, которые компенсируют хроматизм увеличения объектива.

В тех случаях, когда окуляр используется совместно с ахроматическим объекти-
вом, целесообразно полностью исправить хроматизм увеличения в окуляре. В соот-
ветствии с уравнением (2.59) этого можно достичь уже в простых окулярах Гюйген-
са и Рамсдена. Следует принять во внимание, что точно условие (2.59) выполняется
только тогда, когда расстояние от окуляра до объектива больше, чем фокусное рас-
стояние окуляра.

При расчете окуляра Гюйгенса обычно принимают ~ 2f^, где индексы (1) и
(2) указывают на коллективную и глазную линзы соответственно. Тогда е = 1,5^.
Наоборот, при расчете окуляра Рамсдена принимают ~ J®. Чтобы промежуточ-
ное изображение в окуляре Рамсдена лежало перед полевой линзой, обеспечивают
выполнение условия е < f(,y

Дальнейшим развитием окуляра Рамсдена является окуляр Кельнера (рис. 6.30, в).
В окуляре Кельнера вместо одиночной глазной линзы используется двухлинзовый
склеенный компонент. За счет этого обеспечивается лучшая коррекция аберраций.
В ортоскопическом окуляре (рис. 6.30, г) нет четко выделенных глазных и полевых
линз. Так как этот окуляр обладает незначительной дисторсией, то он используется
при проведении измерений. Существуют более сложные схемы окуляров с шестью
или большим числом линз. В этих окулярах достигается высокий уровень коррек-
ции аберраций при большом поле.

Пример

Рассчитать окуляр Гюйгенса с увеличением 8х. Обе линзы принять тонкими
и изготовленными из одного стекла. Входной зрачок (оправа объектива зри-
тельной трубы) должен лежать на расстоянии 500 мм перед фокальной точкой
окуляра F.

Найти:

а) фокусные расстояния обеих линз окуляра и расстояние е;

б) положение фокальных и главных точек окуляра;

в) положение плоскости промежуточного изображения, в которой должна
размещаться полевая диафрагма;

г) расстояние между глазной линзой окуляра и выходным зрачком.
Решение:

а) При Г' = 8х фокусное расстояние всего окуляра должно быть равно
/' = 31,25 мм. При выполнении в окуляре Гюйгенса условий:

(см. выше) и с учетом выражения (2.32) получается = 46,8 мм, = 23,4 мм,
е = 35,1 мм.

б) Из выражения (2.33) следует: Я(|)Я = 2f^, Н'^Н' = -Так как значе-
ния фокусных расстояний известны, то известны и положения фокальных и
главных точек окуляра.

в) Так как изображение находится в бесконечности, то плоскость промежу-
точного изображения совпадает с !

г) Так как для окуляра а = —531,25 мм (положение входного зрачка перед
главной точкой Я окуляра), то из уравнения (1.14) следует o' = 33,3 мм. При
этом выходной зрачок находится на расстоянии а' - 2 мм за глазной лин-

зой, что делает выходной зрачок плохо доступным для глаза. При отступлении
от условия = 2/('j можно обеспечить более удобное положение выходного
зрачка.

6.6. Зрительные трубы

Зрительные трубы предназначены для рассматривания удаленных предметов, к ко-
торым по различным причинам наблюдатель не может приблизиться достаточно
близко32. Хотя объектив зрительной трубы формирует сильно уменьшенное изобра-
жение наблюдаемого предмета (/о6 < |й|), однако через окуляр это изображение
рассматривается под большим углом зрения, чем при наблюдении этого же предме-
та без использования зрительной трубы.

В DIN 58385 дан обзор видов и указаны названия зрительных труб в зависимо-
сти от их назначения и характеристик. В зависимости от назначения зрительные
трубы можно разделить на следующие основные группы:

1) зрительные трубы для наблюдения объектов на поверхности Земли («земные
зрительные трубы»);

2) зрительные трубы для наблюдения астрономических объектов («астрономи-
ческие телескопы»);

3) зрительные трубы, предназначенные для проведения измерений.

Оптические параметры зрительных труб, которые используются для наблюде-
ния и контроля, приведены в DIN 58386. Методы измерения этих параметров ука-
заны в DIN 58388.

6.6.1. Схема и основные характеристики

На рис. 6.31 показаны основные схемы зрительных труб с положительным или
отрицательным окулярами. Во всех случаях исходная схема является афокальиой,
т. е. при бесконечно удаленном предмете (а = ~) изображение также будет беско-
нечно удаленным (а' = “). Глаз наблюдателя при этом должен быть аккомодирован
на бесконечность. Для того чтобы система была афокальной, необходимо выпол-

32 В отечественной практике оптические приборы, предназначенные для наблюдения глазом
удаленных предметов, называют телескопическими системами (от греч. tele — вдаль, далеко +
греч. scopeo — смотрю), а название «зрительная труба» относится к одной из разновидностей
телескопических систем. Отечественный стандарт ГОСТ Р 50701-94 «Приборы наблюдатель-
ные телескопические. Термины и определения». (Прим, пер.)
Зрительная труба Кеплера

Рис. 6.31. Схемы линзовых зрительных труб. Красным цветом показан ход лучей, ко-
торые исходят из осевой точки бесконечно удаленного предмета.

нить условие = FOK, которое также можно записать в виде е = + f^K, где е —

расстояние между задней главной плоскостью объектива и передней главной плос-
костью окуляра. Плоскостью предмета для окуляра является плоскость изображе-
ния объектива. В случае положительного окуляра промежуточное изображение,
которое создает объектив, действительное, а в случае отрицательного окуляра —
мнимое. В качестве объектива часто используется простой ахромат. Основные типы
положительных окуляров показаны на рис. 6.30. Перефокусировка на близко рас-
положенные предметы33 осуществляется за счет увеличения расстояние «объектив-
окуляр» (выдвижением тубуса) или, как это имеет место в трубах с внутренней
фокусировкой, за счет перемещения фокусирующей линзы (см. разд. 6.6.5). В зави-
симости от обстоятельств предмет может считаться «бесконечно удаленным», если
И > 100/^... 1000/^.

Видимое увеличение зрительной трубы Г'р равно произведению видимых уве-
личений объектива и окуляра. Видимое увеличение объектива Г’о& определяется
при подстановке -1 в формулу (6.2):

./об'а

(° + /об) ' ал '

(6.30)

т. е. находится отношение тангенса угла w (непосредственное наблюдении предме-
та с расстояния а) и тангенса угла w' (наблюдение изображения, которое формиру-
ет объектив зрительной трубы с расстояния я,). Так как изображение, которое форми-
рует объектив зрительной трубы, рассматривается с близкого расстояния, то аА = as.
Видимое увеличение окуляра находится по формуле (6.26): Г’Ог = -ajf^.

Тогда видимое увеличение зрительной трубы равно Г'р m = Г'оъ / Г'Ок или:

Г' = -/об а

зр1р' Г а+Р ’

ЗОк “ + 306

(6.31)

При а = ее (на практике |я| з> f^) из последней формулы следует

(6.32)

33 Целью такой перефокусировки является совмещение плоскости промежуточного изображе-
ния с передней фокальной плоскостью окуляра, где располагаются полевая диафрагма, сетка,
шкала и т. д. При этом окуляр создает бесконечно удаленное изображение наблюдаемого
предмета, соответственно, глаз наблюдателя аккомодирован на «бесконечность». (Прим, пер.)
входной

Рис. 6.32. Увеличение угловых размеров бесконечно удаленного предмета, который
наблюдается через зрительную трубу. Красным цветом показан ход лучей,
которые исходят из внеосевой точки бесконечно удаленного предмета.

где Г'р тр „ — видимое увеличение зрительной трубы при наблюдении бесконечно
удаленного предмета. Знак «минус» в последней формуле указывает на то, что при
foK > 0 (положительный окуляр) изображение будет перевернутым. На рис. 6.32 в
зрительных трубах Кеплера (а) и Галилея (б) показан ход лучей, которые исходят из
внеосевой точки бесконечно удаленного предмета. На рис. 6.32 зрительные трубы
выставлены (сфокусированы) на «бесконечность» и являются афокальными систе-
мами.

Чаще всего роль входного зрачка выполняет оправа объектива. Положительный
окуляр строит действительное изображение входного зрачка (выходной зрачок) за
окуляром. В этом случае (см. рис. 6.31, a)-. Dm /f^ = Dn /f^. Следовательно,
видимое увеличение зрительной трубы при ее установке на «бесконечность» можно
представить в виде:

(6-33)

^вых. Зр.

При действительном промежуточном изображении £>сых 1р < 0! Формула (6.33)
соответствует определению видимого увеличения зрительной трубы по DIN 58386.
Это дает возможность использовать для измерения видимого увеличения зритель-
ной трубы следующий метод: перед объективом устанавливается диафрагма с изве-
стным диаметром Dm зр и измеряется диаметр Рвых зр.

Для наблюдательных систем (например, полевой бинокль) в качестве самых
важных параметров указываются |/’3р.тр.«.| и Dm зр. Например, обозначение «8 х 30»
соответствует |/’3р.тР.~| = 8 х и Ах.зр. = 30 мм-

При незначительной освещенности (сумеречное зрение) распознаваемость де-
талей зависит от увеличения и диаметра зрачка. Поэтому для зрительных труб,
которые предназначены для работы в сумерках, указывается сумеречное число Z:

Z = yl\r^\-D^3p,. (6.34)

Значение D 1 подставляется в формулу (6.34) в миллиметрах. Для рассмотренного
выше примера (8 х 30) сумеречное число равно 15.5.

Как было показано в разд. 3.3, видимое поле системы может описываться угло-
вым полем 2w, или, что особенно наглядно диаметром поля на определенной дис-
танции, например 1000 м. Так понятию «поле предмета 120 м на дистанции 1000 м»
соответствует 2w ~ 6,9°. В случае положительного окуляра резкое ограничение поля
обеспечивает полевая диафрагма в плоскости промежуточного изображения (плос-
кость F('№ = FOk). Тогда угловое поле 2и> рассчитывается по формуле tgw = Дп.д./(2/об)’
где Dn д — диаметр полевой диафрагмы.
Если две самосветящиеся точки предмета видны из центра входного зрачка зри-
тельной трубы под углом w > 138"/Рвх зр [мм], то согласно теории дифракции [фор-
мула (6.6), разд. 6.1.2] эти точки еще раздельно разрешаются объективом. Однако
глаз может опознать их раздельно только в том случае, когда изображения этих
точек расположены под углом w' > 2' (рис. 4.23). Если для простоты и надежности
принять w' = 2,3' = 138", то для полного использования дифракционного предела
разрешающей способности объектива видимое увеличение зрительной трубы долж-
но быть равно w/w' = зр [мм]. Следовательно, предел полезного увеличения
равен

|Гзр. тр.| зр. [мм].

(6.35)

При этом увеличении Рвь1х зр = 1 мм. Если видимое увеличение больше предель-
ного значения, которое описывается выражением (6.35), то никакие более мелкие
детали на изображении нельзя будет различить, так как эти детали не разрешаются
объективом. Разумеется, что речь здесь идет только об оценке, которая, однако,
позволяет установить предел полезного увеличения!

6.6.2. Наблюдательные зрительные трубы

В астрономических зрительных трубах (телескопах) допустимо перевернутое изобра-
жение. Поэтому обычно не предпринимается никаких специальных мер д ля получе-
ния в астрономических зрительных трубах прямого изображения наблюдаемого пред-
мета. Типовой схемой астрономических зрительных труб является показанная на рис.
6.31, а схема зрительной трубы Кеплера (с положительным окуляром). В качестве
объектива чаще всего используется двухлинзовый ахромат, а при высоких требовани-
ях к качеству изображения — трехлинзовый апохромат с диаметром входного зрачка
вплоть до 1 м. Использование зеркальных объективов обеспечивает большие диамет-
ры входного зрачка телескопа, так как задняя (не рабочая) поверхность зеркала дает
возможность использовать специальные разгрузочные устройства, которые умень-
шают весовые деформации рабочей поверхности зеркала. Кроме того, чисто зеркаль-
ные системы полностью свободны от хроматических аберраций.

Поверхности зеркал требуют более высокой точности обработки, чем поверхно-
сти линз. Форма поверхности зеркал также более чувствительна к изменениям тем-
пературы. Следовательно, для подложки зеркал необходимо использовать мате-
риал с особенно низким коэффициентом линейного расширения (см. разд. 2.1.1).

Изображение в земных зрительных трубах должно быть прямым. Для незначитель-
ных увеличений (|Г'р| = 2—3) подходят зрительные трубы Галилея (рис. 6.31, б).
Выходной зрачок в этих трубах является мнимым, что не позволяет совместить его
со зрачком глаза. Поэтому при наблюдении в зрительную трубу Галилея имеет
место эффект «замочной скважины»: поле зрения относительно мало и резко не
ограниченно. Самым важным преимуществом зрительной трубы Галилея является
ее незначительная длина при простой схеме.

Прямое изображение можно также обеспечить при использовании системы обо-
рачивающих призм (см. разд. 2.3.3). Призменные оборачивающие системы исполь-
зуются в полевом бинокле. Хотя из-за большего пути в стекле призм длина хода
луча увеличивается, ломаная оптическая ось позволяет сократить продольные габа-
риты прибора.

Однако оптическая система прибора не всегда должна быть компактной. В ряде
случаев (устройства для осмотра длинных труб, перископы) оптическая система
прибора должна иметь достаточную длину. Для увеличения длины целесообразно
использовать линзовые оборачивающие системы. Тогда за объективом, вблизи плос-
кости промежуточного изображения, находится полевая линза, далее располагается
линзовая оборачивающая система и окуляр с коллективной линзой. В большинстве
случаев (но не всегда) линейное увеличение линзовой оборачивающей системы равно
Р'о с = -1. В самом простом случае линзовая оборачивающая система представляет
ахромат, специально рассчитанный для этого линейного увеличения. Если при-
нять, что линзовая оборачивающая система состоит из тонких линз, то длина сис-
темы увеличивается примерно на 4/f' с, где fa с — фокусное расстояние оборачи-
вающей системы.

Плавное изменение видимого увеличения в зрительной трубе можно обеспе-
чить в том случае, когда оборачивающая система разделена на два линзовых компо-
нента (2) и (3) (см. рис. 6.19). На рис. 6.19 компонент (1) соответствует объективу
зрительной трубы, а компонент (4) — линзам окуляра. Полевые линзы в плоскости
промежуточного изображения на рис. 6.19 не показаны.

6.6.3. Коллиматоры и автоколлиматоры

В ходе контрольно-юстировочных работ требуется измерять углы между осями или
поверхностями. Для этих целей можно совместно использовать коллиматор и зри-
тельную трубу. Коллиматор (рис. 6.33, а) представляет собой проектор, в фокаль-
ной плоскости F объектива ОбА которого расположена сетка с подсвечиваемой мар-
кой (например, перекрестием) Мк. Очевидно, что изображение марки Мк находит-
ся в «бесконечности».

Рис. 6.33. Совместная работа коллиматора и зрительной трубы:
а — к измерению угла между визирными осями; б — параллельное смещение визир-
ных осей: Л/А. — марка коллиматора, М1р w — марка зрительной трубы.

Если напротив коллиматора расположить выставленную на «бесконечность» зри-
тельную трубу, то в фокальной плоскости F’ объектива зрительной трубы (Обзр тр)
находится М'к — изображение марки Мк Если в плоскости F' находится сетка с
маркой зрительной трубы Л/ , то при наблюдении через окуляр М'к (например,
изображение перекрестия) и Л/р тр (например, шкала) будут одновременно резко
видны в одной плоскости (без параллакса). Тогда по расстоянию у между центрами
марок М’к и Л/ , fp можно определить угол 8 между визирной осью коллиматора и
визирной осью зрительной трубы34: 8 = y’/f^ (8 ~ tgd). При этом визирная ось кол-
лиматора совпадает с лучом, который проходит через центр марки Л/А. (точка пере-

34 Углом между двумя визирными осями в пространстве называют любой из углов, образован-
ных двумя прямыми, проведенными из одной точки параллельно данным визирным осям.
(Прим, пер.)
сечения линий перекрестия) и главную точку Н объектива Об*.; аналогично визир-
ная ось зрительной трубы определяется точками Н' объектива Обзр и центром
марки Л/р тр (началом отсчета шкалы).

Если коллиматор сдвинуть в поперечном направлении таким образом, чтобы
начальное и конечное положения его визирной оси были параллельны, то положе-
ние марки М'к относительно марки М 1р остается неизменным (рис. 6.33, 6). Одна-
ко изображение марки коллиматора будет более темным, так как только часть вы-
ходящих из коллиматора пучков лучей попадает в зрительную трубу.

Параллельное смещение визирной оси коллиматора и/или параллельное
смещение визирной оси зрительной трубы не оказывают влияния на результа-
ты измерения угла.

Можно также расположить коллиматор и выставленную на бесконечность зри-
тельную трубу рядом и напротив их объективов установить (примерно перпендику-
лярно к визирным осям) плоское зеркало. Если наклонить зеркало таким образом,
что угол между начальным и конечным направлениями нормали зеркала будет ра-
вен Ад, то М'к сместится относительно Л/р на величину:

У' = /об' 2Дг,

(6.36)

где /с'6 — фокусное расстояние объектива зрительной трубы.

На рис. 6.34, а показан прибор, в котором зрительная труба и коллиматор име-
ют один общий объектив. Такой оптический прибор, который совмещает функции
зрительной трубы и коллиматора, носит название автоколлимационной зрительной
трубы. В показанной на рис. 6.34, а автоколлимационной зрительной трубе визир-
ные оси зрительной трубы и коллиматора не совпадают. На рис. 6.34, б показана

Рис. 6.34. Автоколлимационные зрительные трубы:

а визирные оси не совпадают; б — со светоделительным кубиком.
автоколлимационная зрительная труба со светоделительным кубиком. Полупроз-
рачное покрытие, которое нанесено на гипотенузные грани призм, дает в этом слу-
чае возможность совместить визирные оси зрительной трубы и коллиматора.

Для решения большинства измерительных задач используется автоколлимаци-
онная зрительная труба (далее АКЗТ) со светоделительным кубиком. АКЗТ с не-
совпадающими визирными осями (рис. 6.34, а) имеет меньшее угловое поле, но
более высокую освещенность и меньшее светорассеяние. Поэтому АКЗТ данного
типа применяются при юстировке лазерных приборов и фотоэлектрических изме-
рениях. С комбинацией коллиматор/зрительная труба или с АКЗТ может быть вы-
полнено большое число видов измерений. Однако АКЗТ более удобна в использо-
вании и дает [см. формулу (6.36)] удвоенную чувствительность по сравнению со
схемой, которая показана на рис. 6.33.

Сетки с марками Мк и Л/р должны быть согласованы друг с другом. Для
юстировочных работ наиболее подходят перекрестие и двойной крест (рис. 6.34, б).
Для угловых измерений целесообразно использовать перекрестие и шкалу. Если
для данного фокусного расстояния объектива деления шкалы размечены в соответ-
ствии с формулой (6.36), то можно непосредственно считывать значение угла пово-
рота Да Для высокоточных угловых измерений необходимо использовать окуляр-
микрометр. В этом случае марка Мр тр (двойной крест) перемещается микрометри-
ческим винтом до совпадения ее с М'к (перекрестием). Две микрометрические
кремальеры дают возможность вести измерения одновременно по двум координа-
там. Рассмотрим пример, в котором сравниваются диапазоны измерений и точнос-
ти при использовании пластины с угловыми делениями и при использовании оку-
ляр-микрометра.

В АКЗТ с = 500 мм используется шкала с ценой деления У = 0,073 мм,
что по формуле (6.36) соответствует повороту нормали зеркала на Да = 15".
Отсчет можно вести с точностью до 0,2 деления шкалы (3"). Если шкала имеет
30 интервалов по обе стороны от начала отсчета, то диапазон измерений равен
±7,5' по отношению к номинальному положению (зеркало перпендикулярно
оси АКЗТ). Если ту же самую шкалу установить в АКЗТ с /0'6 = 250 мм, то точ-
ность отсчета уменьшится в два раза, а диапазон измерений увеличится до +15'.

Пусть в зрительной трубе с /0'6 = 500 мм установлен окуляр-микрометр с
диапазоном измерений линейных величин ±1,5 мм; минимальное значение ин-
тервала шкалы линейных перемещений этого микрометра равно 5 мкм. Это
минимальное значение интервала шкалы соответствует Дд = 1,03". Точность
отсчета составит при этом примерно 0,2". Диапазон измерений в этом случае
равен ± 5'. При примерно равных диапазонах измерений микрометр обеспечи-
вает более высокую точность отсчета, чем шкала.

Из выражения (6.36) следует, что угловые смещения элемента конструкции с
закрепленным на нем зеркалом могут быть измерены очень точно. Еще более высо-
кую чувствительность обеспечивают измерения по схеме многократной автокол-
лиммации (рис. 6.35, а). В этом случае пучок многократно отражается от подвиж-
ного зеркала и полупрозрачного неподвижного зеркала. Если в начальном положе-
нии зеркало было перпендикулярно визирной оси, то после поворота зеркала на
угол е отсчет по шкале АКЗТ соответствует значению т е, где т — число отраже-
ний от подвижного зеркала.

При измерении клиновидности пластины а (рис. 6.35, б) используют два изоб-
ражения марки, которые возникают при отражениях от передней и задней поверх-
ностей пластины. Так как часть пучка дважды проходит через пластину, то необхо-
димо учесть показатель преломления и'. Тогда а = 8/lrf, где угол 8 равен угловому
расстоянию между изображениями марок.
полупрозрачное
неподвижное
зеркало

Рис. 6.35. Примеры использования автоколлимационной зрительной трубы:

а — многократная автоколлимация; б — измерения клиньев; «, г — контроль угла
между поверхностями 1 и 2; д — измерение сколь угодно больших углов при исполь-
зовании круговой шкалы (лимба).

При установке поверхностей 1 и 2 перпендикулярно друг к другу (рис. 6.35)
сначала ось АКЗТ выставляется параллельно поверхности 1 с помощью очень точ-
но изготовленной пентапризмы. Далее пентапризма снимается и выставляется по-
верхность 2. На рис. 6.35, г представлена схема для измерения угла в прямоуголь-
ном параллелепипеде без пентапризмы, но с использованием вспомогательного зер-
кала. Так как одна часть выходящего из АКЗТ коллимированного пучка отражается
сначала от зеркала 1, а потом от зеркала 2, а другая часть этого же пучка отража-
ется сначала от зеркала 2, а потом от зеркала 1, то наблюдаются два изображения
марки Мк. Угловое расстояние между этими изображениями марок соответствует
углу 2Да, где Д« — отклонение угла в параллелепипеде от 90°. Только при а = 90°
(Д« = 0) уголковое зеркало эквивалентно плоскому зеркалу; только в этом случае
два изображения марки совмещаются в одно.

Для измерения сколь угодно больших углов между двумя поверхностями необ-
ходима круговая шкала (лимб), по которой можно снять значение угла поворота
АКЗТ (рис. 6.35, д'). Линия пересечения обоих измеряемых поверхностей (ребро
клина) должно быть выставлено параллельно оси вращения АКЗТ. АКЗТ по очере-
ди устанавливается перпендикулярно к обеим поверхностям (по автоколлимацион-
ному отражению от поверхности); по разности углов Ддвух положений АКЗТ нахо-
дится угол а — 180° — /?.

На рис. 6.36, а показана схема контроля профиля направляющих. Плоское
зеркало закреплено на специальной подставке в виде мостика. Расстояние между
опорными точками мостика (его базовая длина) равно b (например, b = 100 мм).
Если мостик с зеркалом установить на направляющие, то отрезок, который соеди-
няет опорные точки мостика, является хордой профиля направляющей. Угол Д£
между этой хордой и осью АКЗТ может быть найден по смещению автоколлима-
ционного изображения марки Мк. Далее переставляют мостик с зеркалом вдоль
направляющей на базовую длину b и снова определяют угол между хордой и осью
АКЗТ. По результатам измерений строят профиль направляющих. Для этого все
полученные при измерениях хорды соединяются своими концами в единую лома-
ную линию (на рис. 6.36, а график профиля направляющих сильно растянут по
вертикали).
Рис. 6.36. а — контроль профиля направляющих; б — исследование прогиба направля-
ющих в зависимости от перемещения груза Q.

Пример

Если Дд = 10" и b = 100 мм, то превышение двух соседних точек равно
△Л = Аг- b = 4,8 мкм.

С ростом расстояния между АКЗТ и зеркалом положение М'к остается неиз-
менным по отношению к М :
зр. тр.

Точность методов контроля направления не зависит от расстояния между
зеркалом и АКЗТ, аналогично тому, как это имело место при поперечных сме-
щениях в системе коллиматор — зрительная труба.

Напротив, диапазон измерений наклонов зеркала Ле будет уменьшаться с уве-
личением расстояния между зеркалом и АКЗТ35.

На рис 6.36, б показана схема для исследования прогиба направляющих в зави-
симости от перемещения груза. В данной схеме используются три автоколлимаци-
онных изображения марки Мк. Наклон зеркал 1 и 3, которые размещены на концах
направляющих, дает информацию о деформации направляющих; зеркало 2 допол-
нительно показывает наклон каретки с грузом.

АКЗТ также используется во многих других схемах измерений.

6.6.4. Зрительная труба для контроля поперечных смещений

При точном монтаже деталей машин часто необходимо контролировать малые по-
перечные смещения с опорного направления. Если габариты деталей и расстояния
не позволяют использовать измерительный микроскоп, то контроль ведут с помо-
щью специальной зрительной трубы.

Контроль поперечных смещений наряду с контролем угловых смещений (разд. 6.6.3)
представляет основную задачу технических измерений. Если при контроле угловых
смещений зрительная труба выставляется на «бесконечность» и работает по беско-
нечно удаленному изображению марки, то зрительная труба для контроля попереч-
ных смещений работает совместно с подсвеченной визирной маркой Mz, которая

“ При заданном расстоянии между зеркалом и АКЗТ максимально допустимый наклон зерка-
ла соответствует случаю, когда после отражения от зеркала только крайний луч пучка попада-
ет в объектив АКЗТ. (Прим, пер.)
Рис. 6.37. Зрительная труба для конт-
роля поперечных смещений и визир-
ная марка Mz

а — марка М7 находится на визирной оси
зрительной трубы; б — марка Му смещена с
визирной оси; в — марка М7 находится на
визирной оси зрительной трубы. Наклон ви-
зирной марки не изменяют положения изоб-
ражения визирной марки.

расположена на конечном расстоянии (рис. 6.37, а). Тогда объектив зрительной
трубы (Об ) формирует изображение М'7 визирной марки Mz в плоскости марки
зрительной трубы Л/. Увеличенные изображения обеих марок наблюдаются через
окуляр. При поперечном смещении визирной марки на расстояние у (рис. 6.37, б)
изображение визирной марки перемещается на У относительно марки зрительной
трубы Л/р тр. Небольшие наклоны визирной марки относительно ее центра не из-
меняют положения изображения визирной марки (рис. 6.37, в).

При измерениях с использованием зрительной трубы для контроля попе-
речных смещений наклон визирной марки не влияет на результаты измерений
поперечных смещений.

Зрительная труба для контроля поперечных смещений аналогична линейке
высокой точности. Пусть в обратном ходе лучей марка Л/р тр проецируется на плос-
кость визирной марки Mz. Тогда визирная линия задана следующими двумя точка-
ми: центральной точкой марки Л/зр тр (например, точкой пересечения линий пере-
крестия) и сопряженной ей точкой изображения М'1р тр в плоскости визирной мар-
ки Mz.

Визирная линия может быть также задана как линия пересечения двух взаим-
ноперпендикулярных плоскостей Н—Н u V— V (рис. 6.38, а). Благодаря этому уст-
раняются ошибки, которые возникают при перефокусировке зрительной трубы на
находящиеся на различном удалении визирные марки. В этом случае визирная марка
М7 имеет вид «половины перекрестия» (угла со сторонами О—X, О— Y). Полупроз-
рачное зеркало Тделит падающий пучок на две части. После отражений от «крыш»
(I или II) полупрозрачное зеркало совмещает обе части пучка и направляет его
вверх. Глаз видит два изображения марки Mz, которые расположены симметрично
относительно линии визирования. Если точка О лежит точно на линии визирования,
то два этих изображения дополнят друг друга до полного перекрестия (рис. 6.38, б).
На рис. 6.38, в— д показаны взаимные положения двух изображений марки Mz при
различных поперечных смещениях с визирной линии. Так как в данной схеме зри-
тельной трубы наблюдается только расстояние между двумя изображениями, то
ошибки, которые возникают при перефокусировке зрительной трубы на различно
удаленные визирные марки, не влияют на результат. В другой зрительной трубе для
контроля поперечных смещений ошибка, которая возникает при перефокусировке,
уменьшается до минимально возможного значения благодаря внутренней фокуси-
б

Рис. 6.38. Блок призм двойного изображения:
а — схема; б — точка О марки М7 находится на ви-
зирной оси; в, д — точка О одновременно смещена
по оси абсцисс и оси ординат; г — точка О смещена
только по одной оси координат. Мг — визирная мар-
ка; Т — полупрозрачное зеркало; I, II — призмы с
крышами; Н—Н, V—V — линии пересечения гори-
зонтальных и вертикальных плоскостей, которые яв-
ляются плоскостями симметрии «крыш».

ровке (рис. 6.39). При неизменном расстоянии между объективом и окуляром фо-
кусировка осуществляется только перемещением расположенной между объекти-
вом и окуляром отрицательной линзы. Так как оптическая сила этой линзы суще-
ственно меньше оптической силы объектива, то поперечные смещения данной линзы
с оптической оси (они неизбежны при ее перемещении вдоль оптической оси)
существенно меньше влияют на направление визирной линии.

Для того чтобы можно было измерить малое поперечное смещение у с визир-
ной линии вне зависимости от расстояния до визирной марки и линейного увели-
чения Д', используют параллельное смещение визирной оси зрительной трубы на у.
Такое смещение визирной оси удается осуществить с помощью насадки в виде
плоскопараллельной пластины (рис. 6.39). Перед объективом зрительной трубы
расположена вращающаяся плоскопараллельная пластина Pv. Параллельное сме-
щение пучка v (= у) и угол поворота е пластины связаны соотношением (2.38). По
шкале барабана, который используется для наклона пластины, можно непосред-
ственно считывать величину у. С помощью двух пластин Pv и Рн можно одновре-
менно измерить величину поперечных смещений по двум осям координат.

Для измерения смещений, величина которых выходит за границы диапазона
измерений насадки в виде плоскопараллельной пластины, предназначена визирная
марка со шкалой (рис. 6.40, а). Дополнительно помещенное на этой марке V-образ-
ное перекрестие позволяет независимо от расстояния и линейного увеличения точ-
но навестись на центр перекрестия. При использовании биссекториальной марки
крестообразной ступенчатой формы (рис. 6.40, 6) выбирают в зависимости от дис-
танции наиболее подходящее перекрестие. На рис. 6.40, в, показана штриховая марка,
которая используется совместно со зрительной трубой, оснащенной блоком призм
двойного изображения.

С помощью зрительной трубы для контроля поперечных смещений можно не
только выставлять детали по визирной оси, но также выполнять измерения попе-
речных размеров труднодоступных или очень удаленных частей устройств.

Рис. 6.39. Зрительная труба для контроля поперечных смещений с установленной пе-
ред ней измерительной насадкой в виде двух параллельных пластин:

Ы — перемещающаяся отрицательная линза, которая используется для перефокуси-
ровки зрительной трубы; Р1Р Рг — вращающиеся плоскопараллельные пластины для
измерений в горизонтальном и вертикальном направлениях.
Рис. 6.40. Примеры визирных марок:

а - шкала и V-образное перекрестие; б — биссекто-
риальная марка крестообразной ступенчатой формы;
в — марка для совместной работы с блоком призм
двойного изображения (см. рис. 6.38).

По результатам измерений поперечных смещений визирной марки при пере-
мещении ее вдоль направляющих между конечными положениями 1 и 2 можно
найти местные отклонения профиля направляющих (рис. 6.41) от линии, которая
соединяет концы направляющих. Этот метод контроля профиля направляющих пред-
полагает более простую обработку результатов измерения, чем автоколлимацион-
ный метод (рис. 6.36, а).

В ходе измерений необходимо при перемещении визирной марки вдоль на-
правляющих перефокусировать зрительную трубу для получения резкого изображе-
ния визирной марки. На рис. 6.41 с сильным растяжением в направлении у показа-
ны полученные результаты измерений. Пунктирная линия показывает, насколько
отдельные участки направляющих должны быть доработаны.

Если визирная линия зрительной трубы выставляется параллельно направляю-
щим или другому направлению, то в соответствии с рис. 6.42 каретка с визирной
маркой поочередно помещается в позицию 1 (по возможности около зрительной
трубы) и в позицию 2 (на удаленном конце направляющих). Основное правило
выставления зрительной трубы состоит в следующем.

Юстировка на визирную марку в ближней позиции 1 осуществляется па-
раллельным смещением зрительной трубы в поперечном направлении. Юсти-
ровка на визирную марку в дальней позиции 2 осуществляется наклоном зри-
тельной трубы.

Данное правило уменьшает взаимное влияние этих двух юстировок. После не-
скольких циклов юстировок, в каждом из которых визирная марка устанавливается
в позиции 1 и 2, визирная линия становится параллельной направляющим. Тогда
детали могут быть выставлены по визирной линии и одновременно на одинаковой
высоте от направляющих. Зрительная труба для контроля поперечных смещений
может быть также использована для решения целого ряда других задач.

Если для смещения визирной линии используются насадки в виде плоскопа-
раллельных пластин, то, хотя величина поперечного смещения визирной линии не
зависит от расстояния до визирной марки, с удалением визирной марки от зритель-
ной трубы уменьшается линейное увеличение. Следовательно, должны использо-
ваться визирные марки с более толстыми линиями (рис. 6.40, б). При этом ошибка
наведения возрастет.

У
мм

0.2 -

0.1 -

о -

0.1 -

0.2 -

0.3 -

Q4 -

Рис. 6.41. Результаты измерения профиля направляющих с использованием зритель-
ной трубы для контроля поперечных смещений.
Рис. 6.42. Выставление визирной линии параллельно направляющим:

а — каретка с визирной маркой в позиции 1; б — каретка с визирной маркой в пози-
ции 2; в — визирная линия параллельна направляющим.

Пример

Пусть точность измерений^, с которой может измеряться смещение визир-
ной марки у конкретной зрительной трубы для контроля поперечных смеще-
ний, определяется по формуле: f = ±(10 + 5| а |) мкм, где | а\ — расстояние в
метрах. Если | а | = 2 м, то f = 20 мкм. Но это значение обусловлено только
неточностью зрительной трубой. Например, воздушные слои различной темпе-
ратуры и, соответственно, с различными показателями преломления вызывают
отклонения направления визирования от прямой.

6.6.5. Другие технические зрительные трубы

В зрительных трубах с действительным промежуточным изображением (т. е. не в
зрительной трубе Галилея) в плоскости промежуточного изображения можно раз-
местить визирную марку (например, перекрестие). Данная схема соответствует оп-
тическому визиру. К оптическим визирам относится также зрительная труба для
контроля поперечных смещений и используемая совместно с коллиматором зри-
тельная труба. При помощи этих инструментов можно очень точно измерять малые
поперечные смещения (микрометр с плоскопараллельной пластинкой) и малые углы
(окулярный микрометр).

Для точного измерения больших отрезков на удаленных объектах можно ис-
пользовать катетометры. Катетометр состоит из зрительной трубы, которая может
перемещаться в вертикальном направлении вдоль точной шкалы. При перемеще-
нии зрительной трубы с высокой точностью обеспечивается горизонтальное поло-
жение ее визирной оси. Принцип работы катетометра состоит в том, что зритель-
ная труба, перемещаясь вертикально, последовательно наводится на крайние точки
измеряемого отрезка. Положение трубы фиксируется отсчетным устройством с но-
ниусом, разность отсчетов составляет величину измеряемого отрезка. Точность из-
мерения зависит от непараллельности направлений визирной оси при наведении
на начальную и конечную точки измеряемого отрезка. Для измерения сколь угодно
больших углов в вертикальной и горизонтальной плоскостях между двумя направ-
лениями визирования используют теодолит. Зрительная труба теодолита может вра-
щаться вокруг двух взаимноперпендикулярных осей. Значения угловых величин
компенсатор

Рис. 6.43. Зрительная труба нивелира с самоустанавливающейся визирной осью:

а — функциональная схема; 6 — компенсатор в виде уровня; в — компенсатор в виде
призмы, подвешенной как маятник.

считываются с лимбов (круговых шкал) при помощи лупы или микроскопа36. Зри-
тельная труба нивелира представляет собой специальный оптический визир, ви-
зирная ось которого должна занимать горизонтальное положение. Для установки
визирной оси в горизонтальное положение (т. е. перпендикулярно отвесной линии)
используется уровень. Широко применяются нивелиры с компенсатором, т. е. ни-
велиры с самоустанавливающейся визирной осью. Компенсатор представляет со-
бой подвижный оптический элемент, работающий под действием силы тяжести и
предназначенный для автоматической установки визирной оси в горизонтальное
положение даже тогда, когда продольная ось зрительной трубы немного наклонена
(рис. 6.43, а). Следовательно, для установки зрительной трубы такого нивелира в
рабочее положение требуется только грубая предварительная юстировка, которая
требует минимального времени. На рис. 6.43, б показан компенсатор в виде уровня.
При наклоне жидкость в уровне представляет собой децентрированную отрица-
тельную линзу! Более совершенный вариант компенсатора показан на рис. 6.43, в.
Здесь в качестве компенсатора используется полукубическая призма, которая под-
вешена на тонких проволоках.

Если расстояние от зрительной трубы до объекта не очень велико, например
несколько метров (| а| сравнимо с f'^), то видимое увеличение необходимо рассчи-
тывать по формуле (6.31). Для наблюдения шкал труднодоступных приборов можно
использовать специальные зрительные трубы. Видимое увеличения таких зритель-
ных труб определяется аналогично видимому увеличению микроскопа [см. форму-
лу (6.40)]. При этом находится отношение тангенса угла, под которым наблюдается

36 У большинства современных теодолитов и аналогичных им приборов результат измерения
угловых величин выводится в цифровой форме на встроенный дисплей и сохраняется на
компьютерном носителе информации. (Прим, пер.)
деление шкалы без зрительной трубы с расстояния аА = я = —250 мм, с тангенсом
угла, под которым наблюдается то же самое деление шкалы с использованием зри-
тельной трубы. В окончательной форме видимое увеличение равно

(6.37)

6.7. Устройства для наводки на резкость
фотообъективов, дальномеры, видоискатели

6.7.1. Устройства для наводки на резкость фотообъективов.
Дальномеры

Согласно формуле (1.12) расстояние до предмета а можно найти по известному
фокусному расстоянию объектива и отрезку а'. Пусть, например, в зрительной тру-
бе можно путем изменения расстояния между объективом и окуляром совмещать
формируемое объективом промежуточное изображение с сеткой (наблюдаемый
предмет и сетка видны в окуляр без параллакса). Тогда на тубус зрительной трубы
можно нанести шкалу, каждое деление которой соответствуют расстоянию а при
данном выдвижении тубуса. При этом точность определения расстояния увеличи-
вается пропорционально Г'р тр . Такой способ измерения расстояния по от-

резку o' используется во многих фотокамерах (в частности, зеркальных фотокаме-
рах). Наводка на резкость в таких фотокамерах осуществляется продольным пере-
мещением объектива; расстояние а может считываться со шкалы объектива. Но так
как при фотосъемке необходимо только обеспечить оптимальную резкость изобра-
жения, то определять расстояние а здесь не обязательно.

Наводку объектива на резкость можно осуществлять путем беспараллаксного
совмещения плоскости перекрестия со снимаемым предметом. Для этой же цели
можно использовать фокусировочные экраны. Если разместить на фокусировоч-
ном экране растр из микропризм (например, призмы с длиной ребра 0,04 мм), то
точность наводки на резкость будет выше, чем при использовании матовой пласти-
ны37. Когда плоскость изображения не совпадает точно с плоскостью растра, то
благодаря сильному отклонению пучков лучей изображение будет казаться наблю-
дателю очень сильно размытым (см. разд. 5.2).

Вместо фокусировочного экрана с микропризмами может быть использован
фокусировочный экран с клиньями, которые обычно совмещаются с полевой лин-
зой и/или матовой пластиной. Одинаковые клинья (1) и (2) расположены в цен-
тральном кружке поля так, как это показано на рис. 6.44. Если плоскость изобра-
жения О' сдвинута вдоль оптической оси относительно линии пересечения плос-
костей гипотенузных граней клиньев, то изображения О", которые формируются
лучами, проходящими через клинья (1) и (2), будут смещены относительно друг
друга. Это особенно отчетливо заметно для линий и других резких контуров объекта
съемки, которые примерно перпендикулярны линии пересечения плоскостей ги-
потенузных граней клиньев. При использовании любых фокусировочных экранов
точность наводки на резкость возрастает при уменьшении диафрагменного числа к.
Поэтому при наводке на резкость диафрагма объектива должна быть полностью
открыта.

37 Мелкозернистая матовая пластина позволяет визуально контролировать глубину резко изоб-
ражаемого пространства. Поэтому фокусировочные экраны с матовой поверхностью продол-
жают использоваться в художественной фотографии. (Прим, пер.)
Рис. 6.44. Фокусировочный экран с клиньями:

а — схема взаимного расположения клиньев; б — размещение клиньев в небольшом
цилиндрическом углублении в центральной части матового стекла; в, г — изображе-
ния, наблюдаемое через фокусировочные клинья при разном положении плоскости
изображения.

На рис. 6.45, а показан принцип измерения расстояния, который используется
во внутрибазных дальномерах. Здесь длина отрезка а находится по известной длине
базы b и параллактическому углу 8 (рис. 6.45, а). Угол 8 определяется по результа-
там визирования точки О от концов базового отрезка Ь. При этом угол со сторона-
ми а и Ь неизменен (чаще всего он равен 90°). На рис. 6.45, б приведена принципи-
альная схема монокулярного внутрибазного дальномера, который обычно исполь-
зуется в фотоаппаратах. Благодаря полупрозрачному зеркалу глаз одновременно
рассматривает изображения одного и того же предмета через левую и правую ветви
дальномера. При повороте зеркала или призмы можно совместить оба этих изобра-
жения в одно и тем самым найти угол 8. Одну из ветвей дальномера можно совме-
стить с видоискателем фотоаппарата. Тогда направление оси объектива совпадает с
линией а. Угол 8 очень мал и поэтому должен измеряться с высокой точностью.
Для обеспечения этого требования может быть использована конструкция с зак-
репленной на рычаге призмой (рис. 6.45, б). Более высокая точность обеспечивает-
ся в схемах, где призма и полупрозрачное зеркало остаются неподвижными, а для
отклонения линии визирования на угол 8 используется клин с переменным пре-
ломляющим углом (см. рис. 2.22).

Рис. 6.45. а — принцип измерения расстояния, который используется во внутрибазных
дальномерах; б — схема дальномера фотоаппарата.
Пример

Дальномер фотоаппарата с базой b = 100 мм (рис. 6.45, б) предназначен для
измерения дистанций в диапазоне от 0,5 до 20 м. На какой угол поворачивается
отражающая призма при переходе от ближней дистанции к дальней? Какому
изменению дистанции соответствует поворот призмы на ±30" при визировании
на ближнюю и дальнюю дистанции?

Решение:

Параллактический угол изменяется от ^15м = 1Г18'36"до = 0° 17'11".

Призма должна отклоняться на полуразность этих углов, т. е. на 5°30'43". Пово-
рот зеркала на ± 30" при визировании на дистанцию 0,5 м приводит к измене-
нию результата измерения дальности примерно на ±1 мм, при дистанции 20 м
аналогичная величина составит примерно ±1,1 м!

Для оценки погрешности измерения дистанции дальномером используется вы-
ражение

(6.38)
b'rw

где Г'р тр — видимое увеличение зрительной трубы, входящей в оптическую схему
дальномера. Дальняя граница диапазона измеряемых расстояний дальномера фото-
аппарата соответствует такой дистанции съемки, при которой дальняя граница обла-
сти резко изображаемого пространства равна бесконечности (см. разд. 6.4.1), напри-
мер 20 м. Для точного измерения больших расстояний (например, у военных даль-
номеров дальняя граница диапазона измеряемых дистанций находится в диапазоне
от 1 до 3 км, а для измерения больших дальностей используют радиолокационные
средства) необходимы большая длина базиса b (примерно от 0,5 до 3 м) и очень
высокая точность измерения параллактического угла. Для одновременного наблюде-
ния изображений, формируемых двумя ветвями дальномера, в ряде конструкций
используется система разделительных призм. Часть поверхности склейки двух призм
разделительной системы покрыта глухим зеркальным слоем. Наблюдаемые одновре-
менно через окуляр глазом поля изображения каждой из ветвей дальномера соответ-
ствуют зонам поверхности, на которых нанесен и не нанесен зеркальный слой. Если
визирные оси обеих ветвей дальномера не пересекаются на наблюдаемом предмете,
то изображения точек и контуров этого предмета будут сдвинуты друг относительно
друга в полях изображения обеих ветвей дальномера. Дальномер называется коинци-
дентным, когда обе ветви дальномера создают прямые изображения наблюдаемого
предмета (как на рис. 6.44, в, г). Если одно из изображений прямое, а другое перевер-
нутое (это обеспечивается системой разделительных призм), то дальномер называет-
ся инвертным (рис. 6.46). Инвертный дальномер целесообразно использовать в тех
случаях, когда у наблюдаемого предмета отсутствуют четкие контуры, перпендику-
лярные границам полей изображения, создаваемых ветвями дальномера. В пока-
занной на рис. 6.46 схеме инвертного дальномера для отклонения визирной оси на
угол Sиспользуется клин с переменным преломляющим углом, состоящий из непод-
вижной отрицательной и подвижной положительной линз.

Пример

Для двух ветвей дальномера (рис. 6.46) определить ориентацию изображе-
ния с учетом действия всех призм и объектива зрительной трубы!

Измерение дальности в стереоскопических внутрибазных дальномерах основа-
но на стереоэффекте, который возникает при наблюдении предметов двумя глаза-
ми. При этом в стереоскопических дальномерах принимается ряд мер для усиления
Рис. 6.46. Инвертный дальномер.

наблюдаемое
изображение

клин

стереоскопического эффекта по сравнению с тем стереоскопическим эффектом,
который получается при наблюдении двумя глазами без оптических приборов. Преж-
де всего усиление стереоэффекта, а вместе с тем и повышение точности оценки
дистанции до предмета возможно за счет увеличения стереоскопического базиса Ь.
Из формулы (6.23) следует, что при замене глазного базиса ЬА на b > ЬА дистанция до
точек предмета оценивается в Ь/ЬА раз более точно. При наблюдении в бинокуляр-
ную зрительную трубу с базисом b = ЬА (например, бинокль с расстоянием между
объективами, равным расстоянию между окулярами) точность оценки расстояния
до предмета пропорциональна видимому увеличению Г'р . Если расстояние b между
объективами бинокулярной зрительной трубы больше ЬА, то действие зрительной
трубы усиливается эффектом, который возникает при увеличении стереоскопичес-
кого базиса. Точность оценки дистанции увеличивается при этом пропорциональ-
но Ы” /ЬА [ср. с формулой (6.38)]. В качестве примеров таких бинокулярных зри-
тельных труб можно привести различные конструкции призматических полевых
биноклей, стереотрубы и перископические трубы (например, с b = 2 м). Пусть в
каждой из двух плоскостей промежуточного изображения перед окулярами перис-
копической трубы установлены пластины с марками. Положения марок относи-
тельно визирных осей рассчитаны таким образом, что стереоскопический образ
каждой марки расположен на определенной дистанции в пространстве предметов.
При измерении дальности до предмета находят ту марку, стереоскопический образ
которой расположен на одной дистанции с предметом («накладывается на пред-
мет»). Число рядом с этой маркой показывает значение дальности. Вместо «забора»
неподвижных марок, каждая из которых соответствует определенной дистанции,
можно также использовать единственную пару марок, одна из которых может пере-
мещаться в поперечном направлении относительно визирной оси. При таком пере-
мещении изменяется дистанция до стереоскопического образа марки («блуждаю-
щая марка»). Благодаря этому стереоскопический образ марки может быть «нало-
жен» (т. е. совмещен по дальности) с предметом. А по поперечному перемещению
марки может быть найдена дальность до предмета. Обе марки могут быть также
расположены неподвижно. В этом случае «наложение» стереоскопического образа
марки на предмет происходит разворотом зеркал или уже рассмотренным ранее
клином с переменным преломляющим углом.

Дальномеры, использующие в качестве базиса b размер предмета, называются
оптическими внешнебазовыми дальномерами. В этом случае для определения дис-
танции измеряется угол, под которым базис b виден из точки наблюдения. Напри-
мер, в геодезии в качестве базиса b может использоваться рейка с делениями. Ли-
нейное увеличение J3' в плоскости промежуточного изображения окуляра зритель-
ной трубы можно определить по известной длине базиса и его изображения. Тогда
из формулы (1.15) следует

где z — расстояние от фокальной точки F.
6.7. Устройства для наводки на резкость фотообъективов, дальномеры

Специальные типы внешнебазовых дальномеров (тахеометры) служат для точ-
ного определения линейного увеличения, в том числе методом двойного изобра-
жения.

Примечание переводчика

За последние десятилетия в геодезии и военной технике описанные в этом разделе
дальномеры были существенно (но не полностью) вытеснены оптическими дально-
мерами, принцип действия которых основан на измерении интервалов времени
прохождения оптического излучения до измеряемого объекта и обратно. Фотока-
меры, наводка на резкость которых осуществляется с помощью внутрибазного даль-
номера, по настоящее время популярны у фотографов, занимающихся художествен-
ной фотографией. О степени приверженности к такого рода камерам говорит тот
факт, что в 2004 году компания EPSON объявила о выпуске дальномерного цифро-
вого фотоаппарата RD1. Наводка на резкость в этом фотоаппарате осуществляется
в ручном режиме по той же схеме, что и на рис. 6.45. Также следует отметить, что
принцип работы внутрибазных дальномеров лежит в основе одной из популярных
схем автоматической наводки на резкость фотоаппаратов.

6.7.2. Видоискатели

Видоискатель представляет устройство, предназначенное для определения границ
пространства предметов, изображаемых съемочным объективом фотоаппарата или
кинокамеры на отдельном кадре. Видоискатель с матовым стеклом позволяет рас-
сматривать снимаемые предметы в том виде и в тех границах, которые соответству-
ют изображению на поверхности пленки38. Наблюдаемое на поверхности матового
стекла изображение создается пучками лучей, выходящими из съемочного объекти-
ва и отражающимися или от откидывающегося зеркала (в зеркальных фотоаппара-
тах), или от светоделителя. Матовое стекло в этом случае используется также для
наводки на резкость. Аналогичным образом устроен видоискатель в двухобъектив-
ной зеркальной камере. Но в этом случае изображение на матовом стекле формиру-
ется не съемочным, а отдельным объективом видоискателя. Получаемое на мато-
вом стекле изображение соответствует границам пространства предметов, изоб-
ражаемых основным съемочным объективом на поверхности пленки. Еще одной
разновидностью видоискателя с матовой пластиной является «блестящий» видо-
искатель39. В этом видоискателе линза формирует изображение на матовой пласти-
не малых размеров. Это изображение рассматривается через полевую линзу, распо-
ложенную вплотную к матовой поверхности. «Блестящий» видоискатель дает очень
светлое изображение, но из-за малых размеров изображения использовать этот тип
видоискателя для наводки на резкость невозможно. Чаще всего в схему «блестяще-
го» видоискателя входит поворотное зеркало, отклоняющее оптическую ось на 90°.

Простые рамочные видоискатели (так называемые «спортивные видоискатели»)
не дают резких границ поля. Это связано с тем, что глаз не может быть одновре-
менно аккомодирован на близкой рамке и удаленном предмете. Этот недостаток
устранен в видоискателях с подсвеченной рамкой (рис. 6.47, а, в). При наблюдении
в видоискатель границы кадра показывает подсвеченная рамка, которая кажется
расположенной в той же плоскости, что и снимаемый предмет. На рис. 6.47, а
показан простой видоискатель с подсвеченной рамкой, предназначенный для на-

38 Аналогичную функцию выполняет дисплей в цифровом фотоаппарате. {Прим, пер.)

39 От англ, brilliant — блестящий, яркий. В отечественной литературе такой видоискатель
часто называют зеркальным. В конце XIX века этот видоискатель достаточно широко исполь-
зовался в пластиночных крупноформатных камерах. В дальнейшем этот тип видоискателя
применялся сравнительно редко. {Прим, пер.)
подсвеченная
рамка

Рис. 6.47. Видоискатели:

о — видоискатель с подсвеченной рамкой, который предназначен для наблюдения
двумя глазами; б — видоискатель Ньютона; в — видоискатель Ньютона с подсвечен-
ной рамкой.

блюдения двумя глазами. Глаз (/) рассматривает удаленный предмет, другой глаз (г) —
подсвеченную рамку (участки на матовой поверхности, которые не перекрыты не-
прозрачной подложкой), расположенную в фокальной плоскости F лупы. При этом
изображение рамки находится в бесконечности и «накладывается» на снимаемый
предмет. Дисторсия лупы компенсируется приданием рамки соответствующей формы.
Такая схема может быть использована в качестве визирного устройства, т. е. можно
совмещать подсвеченную визирную марку (точку, перекрестие) с заданной точкой
предмета.

Широко распространен видоискатель Ньютона (рис. 6.47, б), который построен
по схеме перевернутой зрительной трубы Галилея (ср. рис. 6.31, б, г). Отрицатель-
ная линза (1) формирует изображение бесконечно удаленной точки предмета Р(1) в
фокальной плоскости Ffo. Так как F^ = F^, то положительная линза (2) строит изоб-
ражение точки предмета Р в бесконечности. В результате возникает немного умень-
шенное (w' < w) находящееся в бесконечности или (при незначительном измене-
нии расстояния меду линзами) на расстоянии нескольких метров изображение. Поле
ограничивается оправой (в виде прямоугольной рамки) отрицательной линзы (1) не
резко, так как рамка является виньетирующей диафрагмой (при удалении точек
предмета от оптической оси увеличивается срезаемая часть поперечного сечения
пучка). Габариты оправы отрицательной линзы (рамки) согласованы с форматом
кадра и фокусным расстоянием съемочного объектива, т. е. с угловым полем съе-
мочного объектива w.

На рис. 6.47, в подсвеченная рамка (зеркальная полоса на прозрачной матовой пла-
стине) расположена внутри видоискателя Ньютона. Изображенные на рис. 6.47, в, б
видоискатели построены по одной схеме, но на рис. 6.47, в отрицательная линза (1)
имеет больший диаметр. На сферическую поверхность линзы (1) нанесено полу-
прозрачное зеркальное покрытие, поэтому данная поверхность действует как вог-
нутое зеркало (3). Положение рамки подобрано таким образом, что зеркало (3) и
положительная линза (2) совместно формируют бесконечно удаленное изображе-
ние рамки. Следовательно, подсвеченная рамка и снимаемые предметы будут одно-
временно видны резко. Так как оправа линзы (1) нерезко ограничивает более боль-
шое поле, го в видоискатель также можно наблюдать участки предмета, которые
немного выходят за границы светящейся рамки.

6.8. Микроскопы

Микроскоп предназначен для наблюдения мелких, близко расположенных предме-
тов или их элементов. Микроскоп имеет оптическую схему с двумя, как минимум,
ступенями увеличения: первая ступень — объектив, вторая — окуляр. Этим микро-
скоп отличается от лупы, где увеличенное изображение рассматриваемого предмета
создается только одним линзовым компонентом (без промежуточного изображе-
ния). По сравнению со зрительной трубой в микроскопе объектив формирует уве-
личенное промежуточное изображение предмета. Увеличенное окуляром промежу-
точное изображение рассматривается глазом.

Микроскоп, как и зрительная труба Кеплера, дает полностью перевернутое изоб-
ражение, которое в наблюдательных и измерительных микроскопах не мешает нор-
мальной работе При работе с малыми деталями (например, полупроводниковыми
элементами) часто используются стереомикроскопы, которые дают прямое (не пе-
ревернутое) изображение предмета.

Благодаря многочисленным дополнительным приспособлениям микроскоп мо-
жет быть приспособлен для решения специальных задач (поляризационная, флюо-
рисцентная и фазоконтрастная микроскопия, микрофотография и т. д.). Комбина-
ция микроскопа и телевизионной камеры позволяет проводить анализ изображе-
ния38, например классификацию частиц по форме и величине.

6.8.1. Конструкция и видимое увеличение микроскопа

На рис. 6.48, а показан простейший микроскоп с окуляром Гюйгенса. Объектив
строит изображение предмета О с увеличением |/?ос| > 1 в фокальной плоскости
/'Ок. Поэтому окуляр (как и в зрительной трубе) формирует бесконечно удален-
ное изображение. (В фокальной плоскости глазной линзы окуляра расположена
плоскость промежуточного изображения О'. Изображение в этой плоскости
формирует полевая линза окуляра. Ср. с рис. 6.30, а.) В отличие от зрительной
трубы точки />'Г) и FOk не совпадают, а находятся друг от друга на значительном
удалении. Расстояние F°b • FOl =t называется оптической длиной тубуса.

Без использования окуляра промежуточное изображение обычно рассматрива-
ется с расстояния а = 250 мм, точно так же как сам предмет. Это указывает на то,
что видимое увеличение всей системы микроскопа зависит от линейного увеличе-
ния Р’оъ объектива. Так как промежуточное изображение рассматривается через
окуляр, который действует как лупа с видимым увеличением Г'Ок, то видимое уве-
личения всего микроскопа равно

Г'м ~ РаъГ'ок (6.39)

38 Понятие «анализ изображения» связано с использованием аппаратно-программного комп-
лекса, который состоит из микроскопа, камеры, компьютера и программного обеспечения.
{Прим, редакции)
объектив

окуляр

Рис. 6.48. Микроскоп:

а — объектив строит промежуточное изображение в передней фокальной плоскости
окуляра; б — создаваемое объективом промежуточное изображение находится в бес-
конечности.

Пример

Объективу 40:1 и окуляру 8х соответствуют: Д')6 = -40, ГОк =8, Г'м = -320.
Изображение получается перевернутым и сильно увеличенным. Указанное зна-
чение линейного увеличения Р'оъ соответствует только одному, строго фиксиро-
ванному расстоянию от объектива до изображения.

Так как непосредственное измерение оптической длины тубуса t затруднено, то
регламентируется механическая длина тубуса. Механическая длина тубуса /мех (на-
пример, 160 или 170 мм) равна расстоянию от нижнего среза гнезда револьверного
устройства40, куда ввинчивается объектив, до верхнего среза окулярной трубки ви-
зуальной насадки41, куда вставляется окуляр. Присоединительные размеры42 регла-
ментируются DIN 58887.

Из формулы (1.16) следует, что линейное увеличение объектива равно
Роъ = (/об - °')//об • Если а’ = + /, то Дд6 = На основании формул (6.26) и

(6.39) находится видимое увеличение микроскопа

V _ ~

М /ов’/ок

(6.40)

На рис. 6.48 показана другая оптическая схема микроскопа. Здесь объектив дей-
ствует как коллиматор и строит изображение наблюдаемого предмета в бесконечно-
сти43. Тогда промежуточный объектив (он же тубусная линза) и окуляр представляют
зрительную трубу Кеплера! При этом Г'м = Г'6 • Г',ггде Г'6 = -ajf^ — видимое

40 Эта плоскость называется «опорная плоскость объектива». (Прим, редакции)

41 Эта плоскость называется «опорная плоскость окуляра». (Прим, редакции)

42 См. ГОСТ 3361—75 «Окуляры и тубусы микроскопов. Присоединительные размеры»,
ГОСТ 11200—75 «Объективы и тубусы микроскопов. Присоединительные размеры». (Прим,
пер.)

43 Такая схема используется в большинстве микроскопов начала XXI века. Длина тубуса в этой
схеме считается равной бесконечности. (Прим, редакции)
увеличение «лупы», роль которой выполняет объектив, /’'р.тр._ = -/тл//ок [см. фор-
мулу (6.32)] — увеличение афокальной системы из тубусной линзы с фокусным
расстоянием и окуляра. Если Г'р тр. „ переписать в виде

то увеличение микроскопа при промежуточном изображении, находящемся в «бес-
конечности», равно

~ ? Л>к

(6.41)

где д = 432- — постоянная тубуса44.

Например, микроскопу с объективом 10*, тубусной линзой 1,25* и окуляром 5*
соответствуют значения Z'c')r> = 10, # = -1,25, Г’Ок=5, Г'м = -62,5.

В параллельном ходе лучей между объективом и тубусной линзой легко разме-
стить промежуточную систему (например, осветитель для работы в отраженном
свете). Предпочтительные значения45 для /?', д, Г’ даны в DIN 58886.

6.8.2. Разрешающая способность и полезное увеличение

Если предмет самосветящийся (например, при наблюдении флуоресцирующего объекта),
то для объектива микроскопа можно применить результаты, которые были полу-
чены в разд. 6.12. Пусть в плоскости предмета заданы точки О и Р (рис. 6.49).
В плоскости изображения этим точкам соответствуют дифракционные кружки с
центрами в точках О' и Р’. Необходимо определить такое минимальное расстояние
ymin между точками О и Р, при котором дифракционные кружки еще не сливаются
вместе, т. е. точки О и Р видны раздельно (разрешаются). Данное условие выполня-
ется в том случае, когда расстояние между точками О' и Р' удовлетворяет критерию
Рэлея: О’Р' = р[ Min. Угловой размер дифракционного кружка равен при этом 8[ Min.
В самом общем случае п > 1, т. е. перед фронтальной линзой объектива может нахо-
диться иная среда, чем воздух. Если п' = 1 (воздух), то углу 8{ Min в пространстве изоб-
ражений соответствует угол 8{ MiJn пространства предметов (закон преломления для
малых углов). Тогда ymi„ = 8{ м|п • а/п. Так как 8[ Min = 1,22/1/Д, зр. [формула (6.5)], то

1 эт

г . = 1,22 - —

Рис. 6.49. К определению разрешающей спо-
собности микроскопа. Угол Д' Min/« на этом
рисунке соответствует случаю и = 1.

(6.42)

44 Название может быть разным: увеличение тубусной линзы (или дополнительной системы
увеличения, или системы Оптовар «Optovar»). (Прим, редакции)

45 В настоящий момент практически все оптические фирмы-разработчики пользуются стан-
дартом ISO 8039. (Прим, редакции)
Так как коррекция аберраций в светосильных систем предполагает выполнение условия
синусов (раздел 2.5.2), то o/Dm зр = l/(2sin и). Следовательно, расстояние между двумя
самосветящимися точками предмета, находящимися на пределе разрешения, равно

у. = 1,22 • -—~ (6.43)

____________________________Л __________2 и sin и_________________________

где и sin и = ЛО6 — числовая апертура объектива [формула(3.2)]1

Подавляющее большинство предметов, исследуемых под микроскопом, неса-
мосветящиеся. Для освещения таких предметов используются осветительные сис-
темы с апертурой Аосв.

В разработанной для этого случая теории Аббе исследуется дифракция света на
структуре предмета. Пусть предмет представляет собой контрастную решетку из мно-
гочисленных чередующихся прозрачных и непрозрачных штрихов. Тогда, согласно
теории Аббе, период ут1Л решетки, которая находится на пределе разрешения, равен

Предельные случаи: Ажв = 0 (освещение параллельным пучком), Аосв = Л06 (если
апертура осветителя больше апертуры объектива). В последнем случае выражение
(6.44) дает (с точностью до коэффициента 1,22) тот же результат, что и формула
(6.43). Таким образом, выражение (6.43) пригодно для расчета разрешающей спо-
собности во всех случаях.

Точки предмета, которые находятся на расстоянии у^, должны разрешаться не
только объективом, но и микроскопом в целом (т. е. глаз должен видеть эти точки
предмета раздельно). Полезное увеличение микроскопа, при котором глаз наблю-
дателя может полностью использовать разрешающую способность объектива мик-
роскопа, равно Г'ол = w'/w, где w = ymin/(-A), w' = 4' (разрешающая способность

глаза). Так как у^ вычисляется по формуле (6.43), то

। । w'-as -2-л-sin и

1Г™1 =-----U2U------- <6-45)

Если подставить Л = 550 нм и w' = 2,3' (как для зрительной трубы, см. разд. 6.6.1),
то Г'ол - 500 • А(х. Здесь также может идти речь только об оценке границы полезно-
го увеличения. Если необходимо обеспечить условия для особенно комфортного
наблюдения, то полученное значение увеличения следует удвоить. Тогда полезное
увеличение микроскопа можно записать в виде

|Г^| = 500 •ио6... 1000-4^ (6.46?

Если увеличение микроскопа Г'м лежит ниже этой границы, то разрешающая
способность объектива микроскопа не будет полностью использована. При боль-
шем увеличении можно разглядеть новые детали структуры предмета. Однако при
использовании микроскопов с видимым увеличением, большим полезного, нельзя
выявить более мелкую структуру предмета по сравнению с той, которая различается
при полезном увеличении46. Эта ситуация аналогична той, которая имеет место при
рассматривании газетной иллюстрации или сильно увеличенного фотоснимка: при
наблюдении с малого расстояния видны только точки растра или «зерно» и нет
никакой возможности рассмотреть мелкие детали изображения.

Полезное увеличение микроскопа определяется числовой апертурой объек-
тива. Детали структуры предмета, которые не разрешаются на промежуточном
изображении, нельзя распознать с помощью окуляра большого увеличения.

46 Подобное явление сопровождается, прежде всего, снижением контраста, появлением серых
границ и фона. (Прим, редакции)
Пример

Маркировка на объективе микроскопа 170/0,17; 40х/0,65 означает: линей-
ное увеличение - -40 при механической длине тубуса =170 мм. Аберра-
ции объектива исправлены с учетом покровного стекла толщиной d = 0,17 мм.
Апертура объектива ЛО6 = 0,65. При этих параметрах в соответствии с формулой
(6.46) предел полезного увеличения будет равен |Л'ОЛ| = 325 —650. Например,
можно использовать окуляр 12,5х (Г'м = -500). Если использовать окуляр 25х, то
увеличение превысит полезное.

6.8.3. Методы освещения

На рис. 6.50 представлены четыре способа освещения.

а. Проходящий свет — светлое поле. Свет, пройдя через предмет (например,
стеклянную шкалу), непосредственно попадает в объектив. Световой поток моду-
лируется в соответствии с коэффициентами пропускания различных участков пред-
мета. Если предмет представляет собой стеклянную пластину без дефектов, то фор-
мируемое объективом изображение представляет собой однородное светлое поле.

б. Падающий свет — светлое поле. При непрозрачном предмете (например, ме-
таллической поверхности) освещение необходимо подводить сверху (чаще всего через
объектив)47. Световой поток модулируется в соответствии с коэффициентами отра-
жения различных участков предмета. Если диффузно рассеивающая или зеркально-
отражающая поверхность предмета не имеет дефектов, то формируемое объекти-
вом изображение представляет собой однородное светлое поле.

в. Проходящий свет — темное поле. Световой пучок от осветителя проходит че-
рез предмет под таким наклоном, что лучи этого пучка непосредственно в объектив
не попадают. Светлые участки формируемого объективом изображения соответ-
ствуют тем областям предмета, на которых свет отклоняется от первоначального
направления в результате дифракции, преломления и отражения. Если предмет
представляет собой стеклянную пластину без дефектов, то формируемое объекти-
вом изображение представляет собой однородное темное поле. Конденсор для ос-
вещения по этому методу показан на рис. 6.4, с.

г. Падающий свет — темное поле. Световой пучок от осветителя падает на пер-
пендикулярную оси объектива зеркальную поверхность предмета таким образом,

Рис. 6.50. Методы освещения наблюдаемого в микроскоп предмета.

47 Данный способ называется также «отраженный свет». (Прим, редакции)
что отраженные от поверхности предмета лучи этого пучка непосредственно в объек-
тив не попадают. Изображение формируется аналогично рис. 6.50, в). Если зер-
кальная поверхность предмета не имеет дефектов, то формируемое объективом изоб-
ражение представляет собой однородное темное поле.

Если поверхность излучателя (спираль лампы накаливания) имеет неравномер-
ное распределение яркости, то выходной зрачок осветительной системы совмеща-
ется с поверхностью предмета (см. разд. 3.4 и рис. 3.8, г). Данная схема реализована
в методе освещения по Келеру (рис. 6.51). Первый конденсор, называемый также
коллектором, строит увеличенное изображение поверхности источника света в зад-
ней фокальной плоскости собственно конденсора. Вместе конденсор и объектив
формируют изображение источника света в фокальной плоскости F' объектива, где
находится выходной зрачок объектива. Ирисовая диафрагма перед фокальной плос-
костью конденсора позволяет регулировать апертуру осветителя и разрешающую
способность и контраст изображения. Диафрагма перед коллектором определяет
величину освещаемого поля на предмете.

Рис. 6.51. Освещение наблюдаемого в микроскоп предмета по методу Келера.

6.8.4. Объективы и окуляры

Значения линейного увеличения большинства объективов микроскопов лежат в
диапазоне 2,5—100. Апертура объектива тем выше, чем больше Р'оъ. При этом апертура
и увеличение объектива согласуются таким образом, что с помощью окуляров с
обычными значениями увеличений (примерно 5х—25х) можно легко достичь облас-
ти полезных увеличений. В сухих системах (перед объективом воздух) предельная
апертура объектива примерно равна Л = 0,95. С иммерсионными объективами (капля
масла с имасло = «стяио перед фронтальной линзой объектива) можно обеспечить апер-
туру А = п • sin и вплоть до А <= 1,40. Объективы микроскопов классифицируются по
типам аберрационной коррекции. В простейшей системе используют ахромат, в
котором с увеличением числовой апертуры увеличивается число линз. Во избежание
цветной каймы, вызванной вторичным спектром (разд. 2.5.7), используют апохрома-
ты . Их оптические системы содержат линзы из флюорита (плавикового шпата).
Если при обоих типах коррекции дополнительно обеспечивается плоское поле изоб-
ражения (это особенно необходимо для микрофотографии), то такие системы носят
названия планахроматов и планапохроматов. На рис. 6.52 показаны примеры таких
современных объективов.

48 В настоящее время есть серийные объективы 100х1,45 Oil, разработанные разными фирма-
ми. В зависимости от применяемой иммерсии апертура может быть значительно выше; на-
пример, с йод — метиленовой иммерсией были получены объективы 100х с числовой аперту-
рой 1,6. (Прим, редакции)

” Микроскопы XXI века имеют корректировку хроматической разности увеличения (вторич-
ного спектра) не только во всех типах объективов, включая ахроматы (ICS-оптика, напри-
мер), но и в осветительной системе (1С25-оптика, например). (Прим, редакции)

50 Флюоритовые линзы входят в расчет и состав объективов полуапохроматической коррек-
ции. Эти объективы имеют повышенную числовую апертуру (также как и апохроматы) и
носят название, например Fluar, Plan-Neofluar. (Прим, редакции)
FI1O:1

A 0,30

A 0,75

PI Oel
160x
A 1,40

Рис. 6.52. Схемы микрообъективов с большим плоским полем:

а, б, в — для работы в проходящем свете; г — имерсионный объектив для работы в
отраженном свете: PI — объектив с плоским полем (планобъектив); А — апертура,
синим цветом показаны линзы из флюорита и специальных материалов.

Красным цветом отмечена опорная плоскость объектива и плоскость пред-
мета (или, соответственно, покровное стекло).

Общие характеристики окуляров приведены в разд. 6.5.2. Измерительные оку-
ляры отличаются от других типов тем, что в плоскости промежуточного изображе-
ния расположена сетка с делениями. Измерения длин, толщин и т. д. выполняются
с помощью окулярной шкалы (окулярный микрометр), которая должна быть пред-
варительно отградуирована. При градуировке в качестве предмета используется шкала
с известным расстоянием между штрихами (например, объект-микрометр с ценой
одного деления 0,01 мм). Это дает возможность определить цену деления окуляр-
ной шкалы. Если для используемой комбинации объектив—окуляр это значение равно
2,5, то расстоянию между штрихами окулярной шкалы соответствует в плоскости
предмета интервал 2,5 мкм.

В разделе 6.6.3 описан окуляр-микрометр, оснащенный подвижной сеткой с пе-
рекрестием. При выборе пластины с подходящей сеткой можно измерять углы, опре-
делять параметры объекта с помощью квадратной сетки и т. д. Далее в качестве
примера рассмотрим использование интеграционного окуляра для определения объем-
ной концентрации компонентов в веществе. При статистическом определении кон-
центрации предполагается, что объемная концентрация компонента пропорциональна

величине площади, которую в плоском сечении зани-
мают участки с данным компонентом.

В состав интеграционного окуляра входит сетка с от-
меченными на ней контрольными точками. На рис. 6.53
в области, которая ограничена окружностью, расположе-
ны 25 контрольных точек (перекрестий). Пусть в плоско-
сти сечения препарата (например, шлиф металлического
сплава) ясно видны участки, которые соответствуют двум
или большему числу компонентов. Тогда подсчитывают
число контрольных точек, которые лежат внутри уча-
стков, соответствующих одному из компонентов. На
рис. 6.53 количество контрольных точек, лежащих внут-
ри голубых участков, равно девяти (эти точки отмечены
белыми кругами). При четырех различных положениях
сетки число контрольных точек, лежащих внутри голу-
бых участков, равно 9 + 7 + 9 + 12 = 37, а общее числе
анализируемых контрольных точек 25 х 4 = 100. Тогда

Рис. 6.53. Определение объем-
ной концентрации при ис-
пользовании интеграционно-
го окуляра.
объемная концентрация данного компонента в веществе составит примерно 37 %.
Для более точного определения концентрации необходимо выполнить большее число
отдельных подсчетов.

6.8.5. Другие приспособления
для технического микроскопа

При проведении различных работ с мелкими предметами (например, полупровод-
никовыми элементами) очень удобно использовать стереомикроскопы. Такие мик-
роскопы дают прямое, стереоскопическое изображение с хорошим восприятием
глубины тонких внутренних слоев объекта. Усиление стереоскопического эффекта
достигается в микроскопах не за счет увеличения базиса, а благодаря сравнительно
небольшому (относительно приборов, описанных в разд. 6.4.4) расстоянию между
объективом и предметом. Микроскоп Грену представляет собой два смонтирован-
ных вместе монокулярных микроскопа, оптические оси которых расположены под
углом примерно 14‘ друг к другу51 (этот угол примерно соответствует углу между
осями глаз, когда наблюдаемый без каких-либо приспособлений предмет располо-
жен на расстоянии наилучшего видения). Оба объектива одинаковые и закреплены
в единой сменной оправе. Стереомикроскоп чаще всего обладает относительно не-
большим увеличением (от 5х до 300х)52 53, так как с ростом увеличения уменьшается
рабочий отрезок, что из-за малой глубины резкости позволяет рассматривать толь-
ко тонкие пространственные объекты. В стереомикроскопе другого типа применя-
ется объектив, имеющий большой диаметр и создающий изображение предмета на
бесконечности (аналогично схеме, показанной на рис. 6.48, б). После этого объек-
тива ход лучей разделяется на две ветви (для правого и левого глаза), расположен-
ные параллельно и симметрично. Каждая ветвь содержит тубусную линзу и оку-
ляр55. Так как в каждую из ветвей свет попадает через свою часть выходного зрачка
главного объектива, то левый и правый глаз будут видеть объект под разными угла-
ми. В результате этого возникает стереоскопический эффект.

При измерении деталей микроскопом можно использовать метод двойного изоб-
ражения. Применение этого метода особенно целесообразно в случае объектов с
симметричными элементами (отверстия, пазы, зубья и т. д.).

При проведении измерений методом двойного изображения необходимо раз-
местить в ходе лучей одну из двух призменных систем. Эти призменные системы
дают двойные изображения, окрашенные в красный и зеленый цвета.

Система призм, которая показана на рис. 6.54, а (за исключением цветных све-
тофильтров она совпадает с системой призм, изображенной на рис. 6.38, а), фор-
мирует два симметричных относительно оптической оси изображения. Наоборот,
система призм, которая показана на рис. 6.54, б, формирует два изображения, сим-
метричных относительно плоскости, которая проходит через ребро единственной
«крыши» и оптическую ось. Так как два изображения окрашены в дополнительные
цвета, то участки, где они перекрываются, получаются белыми. Если большое от-

51 Этот угол называется углом стереоскопичности. (Прим, редакции)

52 Современные стереомикроскопы имеют больший диапазон увеличений — от 2х до 400х.
(Прим, редакции)

53 В современных стереомикроскопах в каждой из ветвей между главным объективом и тубус-
ной линзой могут размещаться оптические компоненты типа зрительной трубы Галилея (см.
рис. 6.31, б). Одновременная замена этих компонентов в двух ветвях позволяет при одном и
том же объективе и постоянном расстоянии от объектива до предмета позволяет изменять
увеличение микроскопа. Аналогичный эффект достигается при установке в каждой из ветвей
между главным объективом и тубусной линзой компонентов типа панкратической зрительной
трубы с переменным увеличением. (Прим, редакции)
д

Рис. 6.54. Измерение деталей микроскопом с использованием метода двойного изоб-
ражения:

а — система призм для формирования двух симметричных изображений; б — система
призм для формирования двух симметричных изображений относительно плоскости;
в — деталь с двумя отверстиями; г — плоскость симметрии проходит через ось боль-
шого отверстия; д — плоскость симметрии проходит через ось малого отверстия.

верстие на рис. 6.54, в видно белым без цветной каймы, то ось симметрии проходит
через центр отверстия. Цветная кайма возникает уже при отклонении около 1 мкм.
Если теперь перемещать измерительный столик до получения белого изображения
малого отверстия, то величина перемещения будет непосредственно равна расстоя-
нию между центрами отверстий.

При правильной установке микроскопа окуляр формирует бесконечно удален-
ное изображение. Тогда выставленную на бесконечность фото- или кинокамеру
можно поместить непосредственно на тубус окуляра. В простой съемной камере
без объектива или в проекционном микроскопе окуляр выполняет роль объектива.
В этом случае окуляр должен быть так смешен относительно плоскости промежу-
точного изображения, чтобы действительное изображение находилось на конечном
расстоянии. Установка на оптимальную резкость изображения при использовании
зеркальной или пластиночной камеры54 производится по матовому стеклу или че-
рез специальную зрительную трубу, которая в переходном тубусе вдвигается между
окуляром и камерой.

54 В XXI веке цифровая фотография (с помощью цифрового фотоаппарата) все больше вытес-
няет фотографирование на пленку; начиная с 90-х годов XX века, технология фотографирова-
ния на фотопластину стала уходить в прошлое. (Прим, редакции)
Линейное увеличение /7, которое соответствует проекционному или фотогра-
фическому изображению, вычисляется по формуле:

Р’ = Г'м • р,

(6.47)

где р = a'/as — коэффициент камеры, а' — расстояние между выходным зрачком
окуляра и плоскостью изображения. Если камера выставлена на «бесконечность»,
то а' =

Пример

Съемная камера имеет маркировку «0,63х», что означает р = —0,63. При
увеличении микроскопа Г'м = -320 линейное увеличение равно fl' = 202 - 200.
Так как промежуточное изображение действительное, то изображение предмета
получается прямым. Предпочтительные значения коэффициента р приведены в
DIN 58886.

6.8.6. Электронная обработка изображений

При незначительных затратах времени комбинация микроскопа, телекамеры и элек-
тронного устройства55 значительно расширяет возможности количественного анали-
за изображений. Изображение в этом случае наблюдается на телевизионном экране
(мониторе). Различные участки анализируемого изображения (см. также рис. 6.53)
будут отличаться друг от друга относительной яркостью на телевизионном экране
(значениями по шкале серых цветов). Например, можно разделить всю шкалу се-
рых цветов (от черных до светлых точек изображения) на 10 равных интервалов;
тогда можно раздельно регистрировать до 10 различных типов участков изображе-
ния, которые отличаются значениями по шкале серых цветов. Возможно проведе-
ние следующих основных видов измерений. Для измерения площади, занимаемой на
изображении участками, характеризующимися одним из интервалов шкалы серых
цветов, используется метод, который аналогичен изложенному в разд. 6.8.4 способу
подсчета точек. В соответствии с рис. 6.55, а строки телевизионной развертки за-
полняют выделенную область изображения. Строки разбиваются (например, гене-
ратором с частотой 10 МГц) на контрольные точки, которые лежат значительно
плотнее, чем на сетке окуляра. Подсчитываются все точки, которые попадают на
участки с выбранным интервалом шкалы серых цветов; результат пропорционален
общей площади всех участков с выбранным интервалом шкалы серых цветов. Дли-
на частицы (рис. 6.55, б) может определяться числом точек пересечения телевизи-
онных строк в пределах ограниченной области (благодаря импульсам, которые воз-
никают при скачке оттенка серого). Таким образом, находится размер частицы в
перпендикулярном направлении относительно строк телевизионной развертки. При
повороте изображения на 90" (рис. 6.55, в) число точек пересечения изменяется;
частное двух этих измерений дает коэффициент формы ///>. При подсчете частиц
необходимо определять число всех отдельных участков выбранной градации серого.
Это важная задача решается следующим образом (рис. 6.55, г). Если в строке (здесь:
и + 1) впервые появляется импульс точки пересечения, то к счетчику подводится
импульс (+1) и при этом частица регистрируется. Однако следующая точка пересе-
чения (и + 2) и все остальные не будут подсчитываться, так как импульс предыду-
щей строки запоминается и используется для сравнения («вертикальный анализ

55 За последние 20 лет компьютерная обработка изображений сделала гигантский рывок вперед.
Поэтому материал данного раздела имеет главным образом историческое значение. (Прим, пер.)
импульс не учитывается

Рис.6.55. К электронной обработке изображений.

соседства»). Также благодаря схеме вычитания импульсов частица сложной формы
будет учитываться только единожды (рис. 6.55, д).

В общем, могут быть определены (как измеряемые величины) точки совпаде-
ний, точки пересечения и число частиц. Эти полученные значения могут быть свя-
заны друг с другом, а затем анализироваться далее. Этому же анализу изображения
могут быть подвергнуты макроскопические изображения, например фотоснимки.

Возможности современных анализаторов изображений вышли за пределы этих
измерений. Сегодня анализаторы изображений позволяют проводить структурный

Рис. 6.56. а — процедура подчеркивания краев (черное — первоначальные элементы изоб-
ражения; красное — тестовый элемент в крайних положениях; голубой — ос-
тавшиеся после подчеркивания краев элементы изображения); б — результат
подчеркивания краев; в — подчеркивания краев + сглаживание краев.
Рис. 6.57. Выявление дефектов:

слева — волоконно-оптический световод для пере-
дачи изображения (пучок стекловолокон); справа —
благодаря сглаживанию краев увеличились попе-
речные сечения волокон; теперь отчетливо видны
незаполненные места.

анализ, при котором производится сканирование поверхности изображения тесто-
вым элементом, центр которого последовательно располагается в каждой точке изоб-
ражения. Тестовым элементом может быть, например, круг или шестиугольник. На
рис. 6.56, а показан один из методов первичной обработки: подчеркивания краев
изображения. Тестовым элементом здесь является круг (на практике он хорошо
аппроксимируется шестиугольником). Круг построчно проходит все точки изобра-
жения. Расположенная в центре круга точка сохраняется на обработанном изобра-
жении только в том случае, когда все точки круга принадлежат заданной области
изображения. Малые элементы изображения (мелкие «острова», «полуострова», «пе-
решейки») в результате этой процедуры стираются. При этом возможно геометри-
ческим методом выполнить фильтрацию изображения (в том числе очистку изобра-
жения от помех). Результат процедуры зависит от размеров тестовой фигуры, кото-
рые могут быть выбраны произвольно. Специальный случай очень малых размеров
тестовой фигуры дает в итоге обыкновенное сохранение точек изображения.

Процедура сглаживания краев противоположна процедуре подчеркивания кра-
ев. При сглаживании краев центр круга построчно проходит все точки изображе-
ния. Если хоть одна точка этого круга оцениваются как принадлежащая заданной
области изображения, то расположенная в центре круга точка появляется на обра-
ботанном изображении. Крайние элементы заданной области изображения допол-
няются во все стороны на радиус круга, вследствие чего вогнутости и смежные
элементы могут сглаживаться.

На рис. 6.56, б еще раз показан результат подчеркивания краев. На рис. 6.56, в
показан результат сглаживания краев для исходного изображения, которое показа-
но на рис. 6.56, б. Такое последовательное использование двух процедур обработки
изображения приводит к тому, что очищенная от помех заданная область изобра-
жение имеет площадь, примерно равную первоначальной. Эти немногочисленные
примеры должны только дать представление о возможностях совместного исполь-
зования для анализа изображения оптики и электроники.

Рисунок 6.57 показывает еще один пример использования процедуры сглажи-
вания краев.
ГЛАВА 7

ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ
И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ,
КОЛОРИМЕТРИЯ, РЕШЕТКИ,
ГОЛОГРАФИЯ

7.1. Интерференции света

Кратко интерференция света уже была рассмотрена в разд. 1.2. Интерференцион-
ную картину в виде светлых и темных участков (интерференционные максимумы и
минимумы) можно наблюдать только тогда, когда структура этой интерференцион-
ной картины остается неизменной на протяжении достаточного времени (стацио-
нарная интерференционная картина). Следует отметить, что взаимодействие пуч-
ков от двух отдельных источников света не приводит к стационарной интерферен-
ционной картине. Это связано с тем, что в неупорядоченной последовательности
волновых цугов1, излучаемых атомами источников света, отсутствуют какие-либо
постоянные фазовые соотношения, т. е. волновые цуги не когерентны. Для получе-
ния стационарной интерференционной картины необходимо волну, испущенную
ограниченным участком излучающей поверхности, разделить на две. После про-
хождения каждой из этих волн своего оптического пути п- d (п — показатель пре-
ломления, d — геометрическая длина пути) волны вновь объединяются, при этом
возникает интерференционная картина. Оптическая разность хода Д(и • d) между
двумя волнами не должна быть большой, так как волновые цуги могут интерфери-
ровать только в том случае, если интервалы (длины) когерентности обоих цугов
хотя бы частично перекрывают друг друга.

С увеличением оптической разности хода интерференционные линии ста-
новятся расплывчатыми. Если оптическая разность хода превосходит длину
когерентности, то интерференционная картина не возникает.

Идеальный когерентный цуг волны с бесконечной длиной когерентности не
осуществим. Такой цуг был бы строго монохроматическим, а следовательно, беско-
нечным. Уширение частотного диапазона укорачивает длину когерентности:

где с — скорость света; Ди— ширина полосы частот. Отношение dKoJX равно числу
длин волн на длине когерентности. Большие отличия в когерентности различных
излучений показаны в табл. 7.1.

Для белого света длина когерентности получается очень малой, а для лазера
очень большой.

1 Волновой цуг представляет собой электромагнитную волну, которая возникает при переходе
(за очень короткий промежуток времени) возбужденного атома, обладающего избытком энер-
гии, в состояние с меньшей энергией. (Прим, пер.)
Таблица 7.1. Сопоставление когерентности источников света.

Дг d,„
Белый свет около 2 • 10” с_| около 1,5 мкм около 3
Узкая спектральная линия (“Кг, Л = 606 нм) 3,57-10* с-' 84 см 1,39-10*
Гелий-неоновый лазер со стабили- зацией частоты (Л = 633 нм) около 5 • 106 с-1 около 60 м около 108

Если оптическую разность хода Д(л d) выразить в длинах волн Л, то полученное
число является интерференционным порядком т:

(7.2)

Так как т легко определить (например, подсчетом интерференционных полос, см.
ниже), то можно измерить с помощью интерференции одну из величин, входящих
в левую часть выражения (7.2). Таким образом, различают:

определение Л: Интерференционная спектроскопия

определение и: Интерференционная рефрактометрия

определение d: Интерференционные измерения длины, определение формы

поверхностей и т. д.

Далее рассматриваются только методы последней группы. В основе многих ме-
тодов лежит интерференция волн, которые отражаются от двух расположенных
вплотную друг к другу поверхностей.

На рис. 7.1, с две плоские поверхности образуют «воздушный клин» с малым
преломляющим углом а. Для падающего на клин параллельного пучка оптическая
разность хода при толщине клина d равна2 2d + Л/2. Слагаемое 2/2 обусловлено
фазовым сдвигом при отражении от оптически более плотной среды (здесь — от
поверхности 1). Если оптическая разность хода равна нечетному числу Л/2, то про-
исходит ослабление (при равенстве амплитуд — полное гашение). Этот случай име-
ет место при соприкосновении (d = 0) двух пластин. Если оптическая разность хода
кратна четному числу Л/2 , то имеет место усиление (алгебраическое сложение ам-
плитуд волн). Так как толщина клина d линейно зависит от высоты Л, то на интер-
ференционной картине видны расположенные на равном расстоянии светлые и
темные полосы (полосы Физо). Возникающая при освещении клина параллельным
пучком интерференционная картина называется полосами равной толщины, так
как интерференционные полосы объединяют все точки с одинаковой толщиной
клина d. Расстояние между двумя темными полосами (интерференционными ми-
нимумами) соответствует изменению оптической разности хода на Л, а изменение
толщины клина при этом равно Л/2. Если воздушный промежуток ограничен плос-
кой и сферической поверхностями (см. рис. 7.7), то интерференционная картина
состоит из колец Физо. Эти кольца также называют кольцами Ньютона.

Если расходящийся пучок падает перпендикулярно на две плоские параллель-
ные поверхности (рис. 7.1, б), то оптическая разность хода зависит от угла падения е

2 Оптическая разность хода в данном случае равна разности оптических путей волн, которые
отражаются от поверхностей 1 и 2 (см. рис. 7.1). (Прим, пер.)
линза

-Н Н-с/=2А

О — темное пятно; 2 — темное кольцо
1.3 — светлые кольца Хаидингера

Рис. 7.1. а — интерференционные полосы равной толщины в клиновидной пластине
(подписаны только отраженные волны, углы сильно преувеличены!); 6 —
интерференционные кольца равного наклона в плоскопараллельной пласти-
не; в — наблюдение колец Хайдингера на экране.

соответствующего луча. Для определенных значений углов падения получаются
интерференционные максимумы, между которыми расположены минимумы.

Так как все лучи с одинаковым углом е идут симметрично относительно норма-
ли к поверхности, то в результате интерференции возникают кольца равного на-
клона. Данные кольца называются также кольцами Хайдингера.

Кольца Хайдингера лежат в бесконечности, поэтому для их наблюдения ис-
пользуют линзу, которая строит изображение колец в своей фокальной плоскости
(рис. 7.1, в).

На рис. 7.2 показан интерферометр Майкельсона, который является одним из
основных и самым важным типом интерферометра. Идущий от источника света
пучок после светоделителя Т падает на зеркала 5, и 5,; .V, и S' (изображение зерка-
ла S2, формируемое поверхностью Т) образуют «мнимую» клиновидную пластину,
которая эквивалентна находящимся друг против друга (см. рис. 7.1, а) плоским

Рис. 7.2. Интерферометр Майкельсо-
на, установленный на нулевой порядок.
Углы сильно преувеличены!
поверхностям. Светоделитель Т объединяет оба отраженных пучка, которые фор-
мируют интерференционную картину. Компенсационная пластина К обеспечивает
равенство путей в стекле.

Мнимое изображение S, может лежать впереди или сзади 5р а также (как на
рис. 7.2) пересекать Sr (Преломляющий угол клина «на рисунке сильно преувели-
чен!) Так как на линии 0 пересечения 5, и Si разность оптических путей равна
нулю, то на этой линии находится нулевой порядок интерференции. В этом месте
видна темная полоса (хотя отражения от 5, и S2 происходят с равным сдвигом
фазы, но при отражении от Т оптическая разность хода 2/2 появляется только в
одной ветви интерферометра). Интерференция нулевого порядка особенно хорошо
заметна при освещении белым светом («интерференция в белом свете»), так как
только в случае нулевого порядка видна темная полоса без цветной каймы; полоса
с порядком m Ф 0 видна цветной.

Если при юстировке поверхности зеркал и Si выставлены параллельно, то
наблюдаются кольца Хайдингера. Если от источника исходит параллельный пучок,
а поверхности 5, и Si образуют клин с углом «, то наблюдаются полосы Физо,
расстояние между которыми равно

/ = —
2«

(7-3)

7.2. Интерференционные методы
измерения расстояний

На рис. 7.3 показан принцип абсолютного измерения длины концевой меры в еди-
ницах 2/2. На неподвижное зеркало S2 интерферометра Майкельсона (или интер-
ферометра аналогичного типа) жестко закрепляется (ставится на оптический кон-
такт) измеряемая концевая мера Е. Отполированная передняя поверхность конце-
вой меры Е действует как зеркало 53. Прежде всего подвижное зеркало 5, располагают
таким образом, что оптический путь в ветвях интерферометра с зеркалами и S2
одинаковый. Так как оптические пути одинаковые, то при использовании в каче-
стве осветителя источника белого света интерференционная полоса нулевого по-
рядка расположена на визирной марке. Если передвинуть зеркало до получения
одинакового оптического пути3 в ветвях интерферометра с зеркалами S и 53, то

Рис. 7.3. Измерение длины концевой меры Е
с помощью интерферометра:

— изображение зеркала S,; S' — изображение
зеркала Sr

3 Выполнение этого условия контролируется по интерференционной полосе нулевого порядка.
{Прим, пер.)
Рис. 7.4. Принцип интерферометрических
измерений штриховой шкалы.

дистанция перемещения зеркала 5, точно равна длине концевой меры. При пере-
мещении определяется число проходящих через визирную марку интерференцион-
ных полос с точностью до дробной части ширины полосы. Подсчет числа полос
ведется при использовании в интерферометре монохроматического источника света
(линия криптона или кадмия). Умножение числа полос на 2/2 дает длину концевой
меры. Конечно, зеркало 5, слегка наклонено относительно S', и 53 (изображений
зеркал S2 и 53)!

Следующая базовая задача — измерение штриховых шкал. Для точных штрихо-
вых шкал необходимо с помощью интерферометрических измерений точно опреде-
лить интервал между соседними штрихами. На рис. 7.4 принцип измерений снова
показан на примере интерферометра Майкельсона. Подвижное зеркало 5, укрепле-
но на измерительной тележке с закрепленной на ней шкалой. Над шкалой на не-
подвижном основании закреплен визирный микроскоп. Зеркало может лежать
впереди или сзади S', т. е. разность хода может принимать положительные и от-
рицательные значения. Это дает возможность получить резкие, пригодные для из-
мерения интерференционные полосы на вдвое большем интервале (около 0.5 м).

По сравнению с базовой схемой (рис. 7.5) в лазерном интерферометре для авто-
матического измерения точных штриховых шкал (Leitz; см. [8.2]) введены следую-
щие усовершенствования: зеркала интерферометра S, и S2 (рис. 7.4) заменены на
световозвращатели, которые не чувствительны к малым наклонам. За счет этого
обеспечивается неизменное направление отраженного пучка. В данной схеме све-

Рис. 7.5. Лазерный интерферометр для автоматического измерения точных штриховых
шкал.
товозвращатель представляет собой конструкцию в виде вогнутого зеркала, в фо-
кальной плоскости которого находится небольшое плоское зеркало. Вместо визир-
ного микроскопа установлен фотоэлектрический механизм наводки на центр штриха.
В качестве высококогерентного источника излучения используется газовый лазер
со стабилизацией частоты. Для уменьшения расходимости и увеличения диаметра
лазерного пучка используется оптическая система в виде перевернутой зрительной
трубы. Интерференционная картина расположена в плоскости диафрагмы В.

Если оптическая система для уменьшения расходимости расфокусирована
(на светоделитель падает расходящийся пучок), то в плоскости диафрагмы В будут
видны кольца Хайдингера. Благодаря фотоэлектрическому оборудованию, которое
здесь не описывается, считаются проходы отдельных интерференционных полос в
зависимости от направления сдвига тележки. Минимальное регистрируемое сме-
щение равно 2/8.

Высокоточные интерференционные измерения имеют огромное значение для
метрологии. До 1960 года основополагающей интерференционной метрологичес-
кой задачей было измерение международного эталона метра4. С 1960 года метр был
определен5 как длина, равная 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соот-
ветствующего оранжево-красной линии изотопа 86Кг (Л = 605,78021 нм).

Однако не обязательно непосредственно подсчитывать число полуволн (Л/2),
которые укладываются на измеряемой длине. Точное измерение длины, например
при сравнении двух концевых мер или абсолютного определения длины концевой
меры, можно также производить методом косвенного счета числа полуволн. Если,
например, на рис. 7.3 зеркало неподвижно установлено примерно посередине
между S2 и S3, то будут видны две системы полос, которые смещены друг относи-
тельно друга. Очень большое целое число полос т, которое соответствует длине
концевой меры /, неизвестно.

Однако дробное число р (0 < р < 1) ширины полосы, которое соответствует
длине концевой меры /, известно. Пусть при измерении используется монохрома-
тическое излучение с длиной волны At. Тогда / = (т1 + р3) Л{/2. Аналогично для
другой длины волны Л2:1 = (т2 + д2) Лг/2 и т. д. В результате измерений на несколь-
ких длинах волн получается последовательность дробных чисел />,, р2, р3,.... Данная
последовательность может соответствовать только совершенно определенным зна-
чениям длины концевой меры. Для выбора правильного значения длины концевой
меры используют результаты предварительных измерений (при механических из-
мерениях длина концевой меры определяется с точностью около 2 мкм).

Пример

Измерения проводятся для следующих трех длин волн кадмия:

At = 467,8156 нм; Л, = 508,5824 нм; Л3 = 643,8470 нм.

Для длины концевой меры I = 20,00213 мм тогда получаются следующие
числа (т + р) полуволн:

85 512,88157 78 658,3649 62 133,1776.

При наблюдении получается последовательность дробных чисел: '

4 Длины между двумя штрихами на платиново-иридиевом бруске, хранящемся в Международ-
ном бюро мер и весов во французском городе Севре. (Прим, пер.)

5 В 1983 г. 17-я Генеральная конференция по мерам и весам приняла определение метра как
расстояния, проходимого в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долю
секунды. (Прим, пер.)
7.3. Интерференционные методы контроля поверхностей

Р, = 0,9 р2 = 0,4 р3 = 0,2

Если сравнить с этой последовательностью аналогичные последовательнос-
ти для двух концевых мер, которые отличаются от данной длины только на
0,02 мкм, то легко можно заметить отличия:

Для / = 20,00211 мм:

Л = 0,8 Р2 = 0,3 />3 = 0,1

Для /= 20,00215 мм:

Л = 0,0 р2 = 0,4 р3 = 0,2

Дробные числа р могут быть измерены не только с точностью до 0,1 ширины
полосы, но и с точностью до 0,01 ширины полосы. На точность интерферометри-
ческих измерений значительно влияют изменения показателя преломления возду-
ха. Поэтому показатель преломления воздуха также измеряется интерферометром,
и рассчитывается соответствующая поправка [8.3].

7.3. Интерференционные методы
контроля поверхностей

На рис. 7.1, а воздушный клин ограничен двумя абсолютно плоскими поверхностя-
ми. Этому случаю соответствует интерференционная картина в виде равномерно
расположенных полос Физо. Если воздушный промежуток ограничен двумя повер-
хностями различной формы, то на интерференционной картине полосы будут ис-
кривлены. Интерференционные полосы проходят через точки с одинаковой тол-
щиной воздушного промежутка между поверхностями. Поэтому если вторая повер-
хность (поверхность сравнения) является плоской, то полосы непосредственно
показывают форму контролируемой поверхности в виде «линий уровня». Между
двумя такими соседними линиями величина воздушного промежутка изменяется
на 2/2. Таким образом, интерференционный метод ясно и наглядно показывает
форму (в том числе и дефекты) поверхности.

Резкие интерференционные полосы получаются при освещении гелий-неоно-
вым лазером (Я = 632,8 нм), натриевой лампой (Л = 589,3 нм), таллиевой лампой
(Л = 535,0 нм) или ртутной лампой с фильтром (Л = 546,1 нм). Если поверхность
имеет большое поперечное сечение, то интерференционные полосы наблюдают без
увеличения (например, при контроле с помощью «пробных стекол»). В противном
случае используют интерференционный микроскоп.

Пробные стекла представляют собой деталь из стекла, одна поверхность которой
представляет высокоточную плоскую или сферическую поверхность с известным ра-
диусом кривизны. Пробные стекла чаще всего используются для контроля оптичес-
ких поверхностей (поверхностей призм и линз). Для контроля выпуклой поверхнос-
ти используют вогнутое пробное стекло. Эталонная поверхность пробного стекла и
контролируемая поверхность располагаются на малом расстоянии друг от друга. При
очень незначительных отклонениях контролируемой поверхности (менее 2/2) ин-
терференционные полосы не наблюдаются. В этом случае при контроле плоской по-
верхности располагают две поверхности таким образом, что между ними возникает
небольшой воздушный клин. Если поверхности идеально плоские, то при любом
положении ребра клина полосы Физо всегда должны быть прямыми. Отклонения
контролируемой поверхности от поверхности пробного стекла проявляются в раз-
личных формах полос интерференционной картины. Классификация и названия де-
фектов поверхностей установлены DIN 3140, Bl. 5. На рис. 7.6 показаны виды интер-
ференционных картин при нескольких типах дефектов поверхности.
Рис. 7.6. Интерференционные картины для нескольких типов дефектов поверхности.
Поверхность сравнения является плоской:

а — сферическая поверхность; б — торическая поверхность; в — цилиндрическая по-
верхность; г — седлообразная поверхность.

В качестве примера интерференционного контроля поверхности рассмотрим
определение радиуса кривизны г поверхности линзы по диаметрам колец Ньютона
(рис. 7.7). Расстояние d0 между плоской поверхностью и вершиной наложенной на
нее выпуклой линзы может быть обусловлено, например, пылью. Если для зоны
детали dm = т- Я/2, то на этом участке наблюдается интерференционный минимум
(темное кольцо), так как еще следует учесть изменение оптического пути на 2/2
при отражении от более плотной среды (здесь: плоской пластины). Диаметр кольца
Dm связан со стрелкой прогиба р = dm — d0 выражением:

Д; = 8г

(7.4)

которое следует из формулы (9.1), если пренебречь членами начиная с рг.

Рис. 7.7. Интерферометрический метод определения ра-
диуса кривизны г поверхности линзы.

При подстановке dm в формулу (7.4) получается D^„ = 4тгЛ - 4«?0. Аналогичное
выражение имеет место для кольца т + Дщ, которое лежит на Д/n колец ближе к
краю поверхности. Тогда радиус кривизны г можно найти как разность двух урав-
нений, которые соответствуют кольцам т и т + \т:

- 1):„ = 4Д/игЛ.

(7.5)

Кольца, диаметры которых измеряются, должны располагаться по возможности
далеко друг от друга; Д//г находят подсчетом колец.
a

Рис. 7.8. а — насадка на объектив микроскопа для наблюдения интерференционных
полос в отраженном свете; б — определение глубины канавки по интерфе-
ренционной картине, наблюдаемой в микроскоп; в — интерференционный
микроскоп; Р — контролируемая поверхность; V — эталонная поверхность.

Для исследования крупногабаритных поверхностей вместо пробного стекла6
используют интерферометр с неподвижно установленной эталонной поверхностью.
При использовании интерферометра не требуется малое расстояние между контро-
лируемой и эталонной поверхностью: мнимое изображение накладывается на кон-
тролируемую поверхность. В качестве высококачественной эталонной горизонталь-
ной поверхности подходит ртутное зеркало [1.3]. Если изогнутый силами поверхно-
стного натяжения край будет задиафрагмирован, то поверхность имеет радиус
кривизны7 более 104 км!

При большом угле клина или вообще при очень шероховатой, а также сильно
изогнутой поверхности интерференционные полосы (каждая полоса соответствует
приращению воздушного промежутка на Л/2) расположены настолько близко друг
к другу, что две соседние полосы можно увидеть раздельно только с помощью
интерференционного микроскопа. Принцип действия интерференционного мик-
роскопа аналогичен принципу действия большого интерферометра. Объектив мик-
роскопа с малым увеличением обладает большим расстоянием между передней лин-
зой и контролируемой поверхностью. Поэтому в данном месте можно разместить
светоделительную систему интерферометра Майкельсона, с помощью которой мни-
мое изображение эталонной поверхности накладывается на исследуемый объект.

6 Обычно диаметры пробных стекол не превышают 130—220 мм. (Прим, пер.)

7 Без учета других возмущающих воздействий радиус ртутного зеркала равен половине диа-
метра земного шара. (Прим, пер.)
На рис. 7.8, а показана интерференционная насадка на объектив металлогра-
фического микроскопа. Эта насадка, используемая при наблюдении объекта в от-
раженном свете в соответствии с принципом Миро, состоит из полупрозрачного
зеркала и пластины. На центральную зону пластины нанесено зеркальное покры-
тие. Этот участок пластины выполняет роль эталонной поверхности. Пучок от ос-
ветителя проходит через объектив и делится полупрозрачным зеркалом на пучки
наблюдения и сравнения. После отражений от объекта и эталонной поверхности
эти пучки снова сводятся в один.

На рис. 7.8, б показано определение глубины неровностей по сдвигу полос. При
высоких увеличениях (примерно до 500х) светоделительная система должна разме-
щаться за объективом (рис. 7.8, в). Поэтому в оптической схеме необходимо ис-
пользовать два одинаковых объектива.

7.4. Спектральные приборы

7. 4.1. Обзор. Разрешающая способность

Спектральными называют приборы, которые выполняют пространственное разделе-
ние потока излучения сложного спектрального состава (полихроматическое излуче-
ние) на монохроматические составляющие. На выходе прибора формируется спектр
излучения. Основным элементом спектрального прибора является диспергирующее
устройство, которое непосредственно выполняет пространственное разделение потока
излучения. Принцип действия диспергирующего устройства может быть основан на
зависимости показателя преломления от длины волны (призмы, см. разд. 2.4) или на
дифракционных явлениях (решетки). Принцип действия некоторых спектральных при-
боров основан на интерференции света. В состав большинства спектральных приборов
входят объективы, коллиматоры, осветительные устройства и т. д. В качестве основ-
ных элементов этих оптических узлов используются линзы и вогнутые зеркала. К пре-
имуществам последних относится то, что формируемое ими изображение свободно от
хроматических аберраций. При конструировании спектральных приборов необходимо
обеспечить в заданной области длин волн (например, УФ, видимая, ИК области спек-
тра) достаточно высокие коэффициенты пропускания и коэффициенты отражения
оптических элементов (линзы, призмы, плоские окна, зеркала). Для выполне-
ния этого требования необходимо учитывать свойства используемых материалов
(см. табл. 2.2). В табл. 7.2 указаны основные типы спектральных приборов.

Таблица 7.2. Спектральные приборы.

Название Использование
Спектроскоп Визуальное наблюдение спектра
Спектрометр Определение длин волн спектральных линий по шкале длин волн или по результатам угловых измерений
Спектрограф Регистрация спектра на фотопластинке или фото- электрическое сканирование
Монохроматор Выделение узкого спектрального интервала ДЛ из бо- лее широкой спектральной области для последующего ис- пользования полученного монохроматического излучения
Спектрофотометр Комбинация монохроматора с фотоэлектрическим при- емником. Используется, например, для определения спек- тральных свойств материалов
7.4. Спектральные приборы

Важной характеристикой спектрального прибора является его разрешающая
способность, которая равна

где d2 — разность двух длин волн (А и Л + dA), которые соответствуют спектраль-
ным линиям одинаковой интенсивности (пример: двойная линия D натрия) и кото-
рые еще могут наблюдаться раздельно («разрешаться»). Так же как у наблюдатель-
ных инструментов, предел разрешающей способности спектральных приборов ог-
раничен дифракционными явлениями. Считается, что две спектральные линии
одинаковой интенсивности находятся на пределе разрешения, если главный мак-
симум яркости дифракционного изображения одной из линий совпадает с первым
минимумом в изображении другой линии (см. разд. 6.1.2). Угловое расстояние между
дифракционными максимумами при этом равно 8[ Min.

Если на призму падает параллельный пучок (рис. 2.21, б), то дифракционному
минимуму соответствует угол = A)h, где h — ширина пучка (по аналогии с
формулой (6.5), которая используется при круглой форме поперечного сечения пуч-
ка). Самый малый еще разрешаемый угол при этом равен 68 = A/h. Тогда из выра-
жения (7.6) следует А = h | d<5/d2|. Разрешающая способность определяется шири-
ной пучка h и угловой дисперсией призмы. Для минимального угла отклонения
угловая дисперсия вычисляется по формуле (2.46). Если еще учесть сделанные в
разд. 2.4.2 упрощения, то предельная спектральная разрешающая способность при-
змы с длиной основания b равна

Л = /”4т’ (7’7)

б А

где dn'/dA — дисперсия стекла.

Предельная разрешающая способность призмы зависит только от диспер-
сии стекла и длины основания призмы (при полном использовании ее высо-
ты!). Практически достижимые значения разрешающей способности несколько
ниже.

При использовании решеток дифракционные искажения изображения линии
уменьшаются с ростом общего числа N штрихов решетки (первый дифракционный
минимум плотнее сдвигается к максимуму). Также с ростом дифракционного по-
рядка т увеличивается угол между изображениями линий, которые соответствует
длинам волны А и Я + 6А. Таким образом, при одинаковой величине 6Л уменьшают-
ся искажения изображений линий, а расстояние между изображениями линий уве-
личивается. Тогда предельная спектральная разрешающая способность дифракци-
онной решетки равна

А = N т, (7.8)

где N — число штрихов решетки; т — дифракционный порядок.

Практически достижимые значения разрешающей способности соответствуют
примерно 0,7 • N- т.

• Свойства призм были рассмотрены в разд. 2.4, а свойства дифракционных ре-
шеток подробно изложены в разд. 7.6. Для исследования узких областей спектра
используются интерференционные спектрографы, так как благодаря высоким зна-
чениям т в этих приборах можно получить очень высокую разрешающую способ-
ность. При использовании призм спектр очень неравномерен, т. е. одним и тем же
приращениям длин волн в различных участках спектра соответствуют различные
расстояния между спектральными линиями. Это обусловлено более высокой дис-
персией Си'/сЫ в коротковолновой области. Решетки при малых углах дифракции
(малая пространственная частота решетки и низкий порядок дифракции) дают по-
чти равномерно распределенный по длинам волн спектр (отклонения обусловлены
неравенством sin 3 tg 3).

7. 4.2. Спектроскопы, спектрометры, спектрографы

На рис. 7.9, а показана базовая схема спектрального прибора (спектроскопа или
спектрометра, который имеет шкалу длин волн). Объектив коллиматора строит изоб-
ражение щели в бесконечности, а объектив зрительной трубы — в фокальной плос-
кости окуляра. В параллельном ходе лучей между двумя объективами расположена
дисперсионная призма. Благодаря этому в фокальной плоскости окуляра получает-
ся не одно изображение щели, а непрерывная последовательность изображений
щели для различных длин волн — спектр. Изображение шкалы длин волн (или
шкалы с равномерными делениями, для которой нужно использовать градуировоч-
ную кривую) строит в бесконечности вспомогательный объектив. После зеркально-
го отражения от поверхности призмы объектив зрительной трубы формирует изоб-
ражение этой шкалы в плоскости спектра.

На рис. 7.9, б показана похожая схема портативного спектроскопа (или спект-
рометра). Так как в этом случае применяется призма прямого видения (разд. 2.5.7),
то наблюдения ведут без зрительной трубы. Положение изображения шкалы длин
волн относительно спектра может быть откорректировано наклоном отражатель-
ной призмы.

Спектральные линии можно непосредственно зарегистрировать на фотоплас-
тинке, если разместить последнюю в плоскости спектра. Очевидно, что регистри-
руемые линии должны лежать в области спектральной чувствительности фотослоя
(например, для видимой области спектра применяют панхроматические слои,
см. разд. 4.6.2). На рис. 7.10 показан спектрограф, в котором для повышения разре-
шающей способности соединены последовательно три призмы. За счет этого уве-
личивается угловая дисперсия. При спектральном анализе (например, сплавов на
основе железа) щель освещается искрой, которая возникает между электродами из
анализируемого материала. Наклонное положение фотопластинки относительно оп-
тической оси компенсирует хроматизм положения, что позволяет получить доста-
точно резкие изображения спектральных линий.

Рис. 7.9. а спектроскоп; б — портативный спектроскоп с призмой прямого видения.
Рис. 7.10. Спектрограф.

7. 4.3. Монохроматоры и спектрофотометры

Монохроматическое излучение с определенной шириной полосы ДЯ можно получить,
если в спектроскопе в плоскости спектра поместить щель (рис. 7.9, а).

За счет поворота призмы можно изменять длину волны излучения, выходящего
из монохроматора. При этом желательно обеспечить неизменность направления

Рис. 7.11. Одноканальный спектрофотометр с призменным монохроматором (Zeiss
PMQ П):

а, б — принцип действия призмы Литрова.
исходящего из выходной щели пучка. Для выполнения этого требования в монохро-
маторах часто применяют призмы с постоянным углом отклонения. При повороте
такой призмы вокруг ее оси в положение наименьшего углового отклонение <5min
(см. разд. 2.4.1) приходят поочередно лучи всех длин волн. В качестве примера на
рис. 7.11, а, б показана призма Литрова с преломляющим углом 30°, на заднюю
грань которой нанесено зеркальное покрытие. Благодаря двойному прохождению
луча призма обладает такой же разрешающей способностью, как и призма с пре-
ломляющим углом 60°. На рис. 7.11, а пучок, который соответствует «голубому»
направлению, перпендикулярен к поверхности зеркала. После поворота призмы
(рис. 7.11, б) в этом же направлении идет пучок, который соответствует «красно-
му» направлению. Таким образом, пучок для выбранной длины волны отклоняет-
ся на 180°.

На рис. 7.11, в справа показан монохроматор с призмой Литрова. Зеркало кол-
лиматора строит изображение входной щели на выходной щели. Так как призма
Литрова расположена в параллельном ходе лучей, то спектр лежит в плоскости А.
Если теперь поместить за выходной щелью фильтр (функцию пропускания г (2)
которого следует измерить), а за этим фильтром фотоэлектрический приемник, то
получится спектрофотометр. Специальная приставка позволяет измерять спектраль-
ный коэффициент яркости8 /7(2). Чтобы при измерениях не учитывать зеркально
отраженное излучение (при глянцевых поверхностях), следует освещать измеряе-
мую поверхность под углом 45°, а измерения вести под углом 0° к нормали поверх-
ности9.

Спектрофотометр на рис. 7.12 значительно отличается от только что описанной
схемы.

1. Диспергирующее устройство состоит из двух отражающих дифракционных
решеток (1200 штрих/мм!).

2. Призма Т делит монохроматический пучок на два канала. В первом канале
установлен измеряемый образец, а второй канал (без фильтра) является каналом
сравнения. Излучение из двух этих каналов падает на один и тот же приемник, но
вращающаяся диафрагма попеременно открывает то один, то другой канал.

Рис. 7.12. Двухканальный спектрофото-
метр с дифракционным монохроматором
(Bausch & I.omb Spectronic):

К, К" — зеркала коллиматора; Т — делитель
пучка; Т — элемент для сведения пучков;
В, В' — вращающиеся диафрагмы; Р — из-
мерительный канал; V — канал сравнения;
SEV — фотоприемник; Е — входная щель; А —
выходная щель.

8 Отражающие свойства предметов часто оценивают при сравнении их с идеальной диффузно
рассеивающей поверхностью. Для количественного описания распределения отраженного по-
верхностью несамосветящегося предмета светового потока пользуются (спектральным) коэф-
фициентом яркости, равным отношению яркости этой поверхности к яркости идеальной диф-
фузно рассеивающей поверхности при тех же условиях освещения и наблюдения. {Прим, пер.)

9 Отражающие свойства непрозрачных предметов и пропускающие свойства прозрачных за-
висят от того, под каким углом к поверхности предмета падает поток излучения и под каким
углом эта поверхность наблюдается. В связи с этим оговариваются как определенные условия
освещения образца, так и направление, по которому осуществляется сбор отраженного (про-
пущенного) излучения — условия наблюдения образца. Например, сокращенное обозначение
45 /0 на рис. 7.11, в означает, что образец освещается под углом 45° от нормали к его повер-
хности и наблюдается в направлении нормали к этой поверхности. {Прим, пер.)
3. Канал сравнения дает возможность автоматически проводить полную кор-
рекцию результатов измерения. Кривая коэффициента пропускания т(Л) непосред-
ственно записывается регистрирующим прибором.

7.5. Колориметрия и цветовые измерения

7.5.1. Основы колориметрии

В результате воздействия на глаз излучения видимого диапазона спектра, которое
может непосредственно исходить как от источников света, так и от освещаемых
ими поверхностей, возникает цветовое ощущение. Цветовые ощущения отличают-
ся количественно (светлота) и качественно (цветовой тон и насыщенность). Цвето-
вое восприятие относится к одному из важнейших явлений, с помощью которых
человек опознает и различает предметы, находящиеся вокруг него. Цвет имеет боль-
шое значение для различных областей человеческой деятельности (примеры: знаки
уличного движения, автомобильные лаки, текстильные краски). Поэтому важно
регистрировать цветовые ощущения в числовой форме. Тогда, например, можно
без сравнения с цветом образца производить красящее вещество, которое дает же-
лаемое цветовое ощущение.

Колориметрия создает и развивает системы для количественной характеристи-
ки цветовых ощущений. Это достаточно трудно, так как «цвет сам по себе», без
участия глаз и мозга наблюдателя, не существует. Функция <р(Л) описывает относи-
тельное спектральное распределения падающего на глаз потока излучения, а цвето-
вое ощущение S возникает только в мозге. Под цветовым ощущением (коротко —
цвет; существуют также более подробные названия: цветовой стимул, зрительное
восприятие цветового раздражения) понимается только базовое ощущение, которое
не зависит от влияния глаза (например, от изменения цветовой адаптации) и всегда
ведет себя одинаково при аддитивном воспроизведении цветов.

На рис. 7.13 показано, что функция <з(Л) определяется как источником света
[функция 5(Я) = (ФеЛ)гс1 — относительное спектральное распределение потока излу-
чения, исходящего от источника света (ср. разд. 4.3)], так и характеристиками осве-
щаемого тела: спектральным коэффициентом пропускания г(Л) или спектральным
коэффициентом яркости Р(Х) (см. DIN 5036). Например, одна и та же поверхность
вызывает различные цветовые ощущения при дневном свете и свете ламп накали-
вания. Причиной этого является различие относительных спектральных распреде-
лений для дневного света и для ламп накаливания. Одна и та же функция <р(Х) у
разных наблюдателей может вызвать несколько различные цветовые ощущения.
Поэтому в соответствии с международной конвенцией в колориметрии для одно-
значной оценки цвета было введено понятие «стандартный наблюдатель» и опре-

Рис. 7.13. Способы формирования падающего
на глаз излучения:

а — наблюдение источника света; б — прохождение
света через фильтр; в — диффузное отражение от по-
верхности; г — прохождение света через два фильтра:
«субтрактивное воспроизведение цветов».
делены нормированные условия наблюдения. Конкретная функция д>(Л) для стан-
дартного наблюдателя всегда дает одинаковое цветовое ощущение. Однако обрат-
ная связь не является однозначной: потоки излучения, относительные спектраль-
ные распределения которых сильно отличаются, могут вызывать у «стандартного»
наблюдателя одни и те же цветовые ощущения. Цвета излучений разного спект-
рального состава, которые при одинаковых условиях рассматривания визуально
воспринимаются одинаковыми, называются метамерными («условно равными»).

7.5.2. Субтрактивное и аддитивное воспроизведение цветов

На рис. 7.13, г поток излучения от лампы последовательно проходит через два филь-
тра. В этом случае функция $>(Я) определяется произведением спектральных коэф-
фициентов пропускания т;(Л) и т2(Л). Два таких цветных фильтра поглощают раз-
личные участки потока излучения от лампы. Используя три подходящих цветных
фильтра (например, желтый, пурпурный, сине-зеленый), можно поглотить все из-
лучение видимой области: в результате субтрактивного воспроизведения можно
получить черный цвет. Субтрактивное воспроизведение используется, например, в
цветных фотопленках (три тонкослойных фильтра подряд!) и при смешении кра-
сящих веществ. Пусть два светофильтра обладают различными графиками спект-
рального коэффициента пропускания, но цвета прошедших через светофильтры
излучений являются метамерными (при одном и том же спектральном составе
падающего на светофильтры излучения). Если первый из этих фильтров использу-
ется при субстрактивном воспроизведении, то замена этого фильтра на второй мо-
жет привести к изменению результата субстрактивного воспроизведения. Поэтому
использовать субстрактивное воспроизведение для цветовых измерений достаточно
сложно.

При аддитивном воспроизведении цветов несколько потоков излучения подво-
дятся к глазу одновременно (например, с помощью проекционной аппаратуры) или
последовательно через очень малые промежутки времени (например, вращающий-
ся диск с секторами разных цветов). На цветном телевизионном экране рядом рас-
положены три настолько малых цветных участка, что, начиная с определенной ди-
станции, они больше не различаются; поэтому глаз воспринимает их как единый
цветной участок. Так как функция ф(Л) создается в результате сложения отдельных
потоков излучений, то в результате аддитивного воспроизведения можно получить
белый цвет.

Аддитивное воспроизведение имеет большое значение для цветовых измере-
ний, так как излучения с метамерными цветами дают в этом случае одинаковый
результат независимо от спектрального состава излучения!

7.5.3. Количественные характеристики цвета

Согласно основному экспериментальному закону колориметрии цвет можно пол-
ностью и однозначно описать тремя числовыми значениями. При выборе размер-
ных чисел можно идти совершенно разными путями.

Если следовать за естественной способностью глаза различать цвета, то можно
представить в виде числовых значений цветовой тон, насыщенность и светлоту (числа
Гельмгольца или числа системы DIN 6164, см. разд. 7.5.4).

Три числа для количественного описания цвета могут быть также введены со-
вершенно иным образом. Пусть цвет, полученный в результате смешения трех ба-
зовых цветов (аддитивное воспроизведение), выглядит точно так же, как измеряе-
мый цвет & Тогда в качестве координат цвета Jj можно принять количественные
соотношения трех базовых цветов в такой смеси. В качестве базовых цветов («ос-
новные цвета») по международному соглашению приняты три спектральных цвета
(«И красный Л = 700 нм; © зеленый 2 = 546,1 нм; 93 синий 2 = 435,8 нм). Соответ-
ствующие основным цветам 93, 0, 93 координаты цвета обозначаются как R, G, В

Система RGB (основные цвета 93, 0, 93), имеет ряд недостатков. Для их устране-
ния была разработана международная система XYZ. В системе 2Ж?цвет 3 описыва-
ется как смесь трех основных виртуальных стандартных цветов X, 2), 3- Эта смесь
не может быть создана непосредственно, так как основные цвета Ж, 2), 3 не суще-
ствуют. Однако основные цвета Ж, 2), 3 связаны математическими уравнениями с
93, 0, 93. Специальные математические преобразования позволяют перейти от ко-
ординат цвета R, G, В к координатам цвета X, Y, Z.

Фактически выполнять опыт со смешением цветов и пересчитывать измерен-
ные координаты цвета R, G, В в координаты цвета X, Y, Z нет необходимости.
Падающее на глаз излучение можно представить в виде достаточно большого числа
отдельных монохроматических излучений (спектральных цветов).

Координаты цвета X, Y, Z монохроматического излучения описываются функ-
циями х (Л), у (Л), z (2). Эти функции называются функциями сложения. Они были
получены в результате тщательных измерений. Табулированные с шагом 5 нм зна-
чения функций х(2), у (Л), z(Z) приведены в DIN 5033, Bl. 2. Графики этих фун-
кций10 представлены на рис. 7.14. Функциями сложения х(Л), у (Л), z(A) задается
«стандартный колориметрический наблюдатель 1931», т. е. определено участие гла-
за в восприятии цвета. Функции сложения соответствуют случаю, когда наблюдает-
ся цветная поверхность малых размеров, т. е. при величине поля до 4° (номинал:
2°).

Позднее функции сложения х (Л), у (Я), z (2) для номинального поля 2° были
дополнены функциями сложения х10 (2), у|0 (2), г10 (2), которые соответствуют но-
минальному значению поля 10°. Функциями сложения х10 (2), у10 (2), zl0 (2) опи-
сывается «стандартный колориметрический наблюдатель 1964».

Функции сложения для поля 10° были получены в результате совершенно но-
вых измерений, а не путем пересчета из функций сложения для поля 2°. При расче-
тах функции сложения х10 (2), у,0 (2), г,0 (2) используются точно так же, как и фун-
кции сложения х(2), у (2), z (2). Функции сложения для поля 2° продолжают ис-
пользовать, так как они сохраняют основное значение для таких применений, как

относительной спектральной световой эффективности для дневного зрения. (Прим, пер.)
Координаты цвета д в системе XYZ рассчитывают по следующим формулам:

780 нм

Х = к J (я(Л)-х(Я)дЛ;

380 нм

780 нм

Y = к J <р(Л)у(Л)<Ы; (7.9)

3S0 нм

780 нм

Z = k J ^(Л)-г(Л)<1Д

380 нм

где <р(Л) — относительное спектральное распределение падающего на глаз излуче-
ния, к — специально выбранный множитель11.

7.5.4. Диаграмма цветности

Координаты цветности в международной системе XYZ обозначаются как х, у, z и
вычисляются по формулам

Очевидно, что х + у + z = 1. Поэтому z может быть найдено по известным значени-
ям х и у. Все цвета с одинаковой цветностью (т. е. с одинаковым цветовым тоном и
насыщенностью), но с различной светлотой соответствуют одним и тем же значе-
ниям координат цветностей х и у. Для полной характеристики цвета кроме значе-
ний х и у дополнительно указывается координата цвета Y.

На рис. 7.15 изображена диаграмма цветностей. На этой диаграмме каждой
цветности соответствует точка с координатами (х, у), которые рассчитываются по
формулам (7.10). Координаты цветностей всех монохроматических излучений (спек-
трально чистых цветов) на диаграмме цветностей лежат на подковообразно изогну-
той линии, через концы которой проходит прямая пурпурных цветов. Все цветнос-
ти, которые получаются при смешении в различных пропорциях излучений двух
цветов, на диаграмме цветностей лежат на одной прямой линии. Например, все
аддитивные смеси монохроматических излучений с длинами волн 490 и 540 нм
лежат на прямой, которая проходит через точку Ft. Координаты цветности белого
равноэнергетического излучения 1<р(Х) = const| равны х = 0,333, у = 0,333 (точка Е
на диаграмме цветностей). Координатам точки Е соответствуют также совершенно
иные спектральные распределения (например, смесь двух дополнительных спект-
рально-чистых цветов Л = 490 нм и Л = 600 нм). Так как любой реальный цвет
может быть получен смешением двух монохроматических излучений, то на диаг-
рамме цветностей все точки, которые соответствуют реальным цветам, лежат в пре-
делах площади, ограниченной кривой цветностей монохроматических излучений и
прямой пурпурных цветов. Точки, которые лежат за пределами этой области, со-

11 Если целью расчета является только определение координат цветности (см. разд. 7.5.4), то
выбор множителя к не играет роли. При вычислении координат цвета X, Y, Zизлучения, идуще-
го от рассеивающей поверхности (рис. 7.13, <?) или прошедшего светофильтр (рис. 7.13, б), мно-
житель к выбирается таким образом, чтобы координата Убыла численно равна коэффициенту
яркости или коэффициенту пропускания для светового потока в процентах (см. разд. 7.5.5).
При вычислении координат цвета X, У, Z источника излучения (рис. 7.13, а) множитель к
выбирается таким образом, чтобы координата У была численно равна яркости источника.
При этом следует учесть, что у (Л) прямо пропорциональна У(Л). (Прим, пер.)
Рис. 7.15. Диаграмма цветностей. Точки Fx, F^, F, соответствуют виртуальным цветно-
стям основных цветов X, 2), 3- Серым цветом закрашена область пурпурных
цветов (смесь фиолетового и красного). Голубым цветом показана кривая
цветностей абсолютно черного тела. Цифры на этой кривой показывают тем-
пературу в 103 К.

ответствуют «виртуальным» цветам, которые не могут быть созданы экспериментально.
К таким цветам относятся «виртуальные» основные цвета X, 2)> 3- Также на рис. 7.15
нанесена кривая цветностей излучения абсолютно черного тела в температурном
диапазоне от 1600 до 40 000 К.

На диаграмме цветностей цвета с наибольшей насыщенностью расположены на
кривой цветностей монохроматических излучений и прямой пурпурной цветов; с
приближением к точке Е насыщенность уменьшается.

Соединим на диаграмме цветностей точку с заданной цветностью (например,
на рис. 7.15) с точкой Е и продлим прямую до пересечения с кривой цветностей
монохроматических излучений (точка 5). Такое построение дает возможность опи-
сать заданный цвет числами Гельмгольца.

Доминирующая длина волны Ad определяет цветовой тон (Л, = 520 нм для точки Ft).
Для цветов в области пурпура (например, точка Fs) нужно указывать дополнитель-
ную длину волны Л. Эта длина волны соответствует точке пересечения кривой
цветностей монохроматических излучений с прямой, которая проходит через за-
данную точку пурпурной области и точку Е. Для отличия цветового тона пурпурно-
го цвета от зеленого длина волны Лс указывается со знаком «минус» (Лс = —520 нм
для точки Fsl).

Насыщенность характеризуется условной чистотой цвета12:

(7.Ц)
ys-y„

где у — координата цветности заданной точки; уп — координата цветности точки Е;
ys — координата цветности точки 5 на кривой цветностей монохроматических из-
лучений или прямой пурпурных цветов. Условная чистота цвета равна отноше-
нию отрезка от заданной точки до точки Е к отрезку SE. Например, для цвета Fx
условная чистота цвета равна рс — 0,591. Для всех цветов на кривой цветностей

12 Условную чистоту света ре следует отличать от часто используемой в отечественной литера-
туре колориметрической чистоты цвета рс. (Прим, пер.)
монохроматических излучений и прямой пурпурных цветов/^ = 1. Условная чисто-
та цвета для точки Е равна нулю! При определении длины волны Ad (или Лс) и
условной чистоты цвета вместо точки Е можно взять точку, которая соответствует
координатам цветности другого (не равноэнергетического белого) источника света.
Для полной характеристики цвета кроме значений Xd (или Л) и ре дополнительно
указывается координата цвета Y или (для источников света) яркость L.

Хотя монохроматическим излучениям присвоено максимальное значение ус-
ловной чистоты цвета (р = 1, соответствует максимальной насыщенности), однако
это не соответствует реальным цветовым ощущениям. Так, например, монохрома-
тическое излучение при Л = 515 нм (зеленый цвет) воспринимается значительно
более насыщенным, чем монохроматическое излучение при Л = 580 нм (желтый
цвет). Также различие оттенков цвета не пропорционально разности соответствую-
щих доминирующих длин волн Ad. Поэтому была разработана эмпирическая систе-
ма цветовых карт, принятая в качестве стандарта DIN 6164. Эта система содержит
образцы цветов с примерно равноудаленными по цветовому ощущению ступенями
Т (24 луча из точки £) и с примерно 16 ступенями насыщенности 5. Степень тем-
ноты D, принятая в качестве числовой меры для светлоты цветного образца, вычис-
ляется по координате цвета Y. Три этих числовых значения указываются в формате
Т : S : D.

7.5.5. Методы цветовых измерений

При спектральных цветовых измерениях координаты цвета X, Y, Z вычисляются
по формулам (7.9). При вычислениях необходимо знать относительное спектраль-
ное распределение Как показано на рис. 7.13, эту функцию можно предста-
вить в виде <р(Л) = 5(A) • г(А) (для фильтра) или <р(Л) = 5(A) • Д(А) (для цветной
поверхности).

Для стандартных источников света значения 5(A) указаны в DIN 5033, Bl. 7.
Следовательно, при использовании стандартных источников света необходимо из-
мерить с помощью спектрофотометра только спектральные характеристики образ-

Рис. 7.16. Методы цветовых измерений:

а спектральные цветовые измерения; б — трехцветный фотоэлектрический колори-
метр; в — визуальные измерения.
ца т(Л) [или /3(Л)] с шагом 5 или 10 нм (рис. 7.16, а). При вычислениях интегриро-
вание в формулах (7.9) заменяется на суммирование. Например, для %:

780 нм , •-----,

Х = к- £ /?(Л)-5(Л)-х(Л) ДЛ. (7.12)

380 нм '--------*------‘

не зависит от измеряемого образца

Коэффициент к в этом случае находится из следующего условия. Для идеальной
белой диффузно рассеивающей поверхности |Д(Л) = 1] координата цвета /должна
быть равна 100, независимо от условий освещения, т. е. независимо от 5(/1). Тогда
<р(Л) = 5(Л) и из выражения (7.9) следует:

,. юо

" “ 780 нм

j 5(2).у(я)-ад

380 нм

(7.13)

При измерениях с использованием трехцветного фотоэлектрического колори-
метра исходящее от измеряемого образца излучение подводится к трем приемни-
кам, спектральные кривые чувствительности которых соответствуют функциям сло-
жения цветов системы XYZ : (Л) ~ х(Л) и т. д. Тогда сигналы с приемников (на-
пример, ток фотоэлемента) пропорциональны координатам цветности: Jx~ Хи т. д.
(рис. 7.16, б). Для подгонки спектральной кривой чувствительности каждого при-
емника под нужный вид функции сложения цветов можно, например, использо-
вать светофильтры.

При визуальных измерениях цвет исследуемого излучения сравнивается с цве-
том, формируемым смешением трех цветов, или с образцами из цветовых карт,
числовые характеристики которых известны. Сравнение должно производиться при
строго определенном освещении! Возможно отклонение полученных результатов
от «стандартного колориметрического наблюдателя».

7.6. Решетки

7.6.1. Дифракционные решетки

В оптике решетками называют все пространственные периодические структуры (чаще
всего такие структуры имеют вид параллельных штрихов), которые оказывают вли-
яние на амплитуду и/или фазу оптического излучения13. Период решетки g равен
расстоянию между одноименными точками соседних штрихов. Пространственная
частота решетки равна 1/g. Пространственная периодическая структура решетки
обусловливает возникновение дифракционных эффектов (см. разд. 1.2; 6.1.2).
В некоторых областях применения решеток дифракционными эффектами можно
пренебречь, в то время как принцип действия дифракционных решеток основан
именно на этом явлении. Волна, падающая на дифракционную решетку, в резуль-
тате дифракции на штрихах разбивается на отдельные когерентные волны, которые
интерферируют (многолучевая интерференция) и формируют вследствие этого в
определенных направлениях резкие максимумы интенсивности.

На рис. 7.17 показаны принципы действия прозрачных (рис. 7.17, а—в) и отра-
жающих (рис. 7.17, г, д) дифракционных решеток.

Соседние участки штрихов могут отличаться коэффициентами пропускания или
отражения, т. е. участки штрихов влияют на амплитуду волны (амплитудные решет-

13 Решетки, которые используются для оценки качества оптического изображения и в анало-
гичных целях, по отечественной терминологии называются мирами. (Прим, пер.)
Рис. 7.17. Виды дифракционных решеток. Голубым цветом показана падающая на ре-
шетку волна, а красным цветом — волна после прохождения (или отраже-
ния) решетки. Положение красных стрелок на рис. б, в, г символизирует
фазовые соотношения.

ки; рис. 7.17.3, г) или фазу волны (фазовые решетки; рис. 7.17, б, в, д). Так как
повлиять на фазу волны можно только за счет разности оптических путей п • d, то
действие фазовых решеток может быть основано на различной толщине d (рис.
7.17, б, д) и/или на различии показателей преломления п (рис. 7.17, в) участков
штриха.

Прозрачные решетки состоят в самом простом случае из прозрачных и непроз-
рачных (а также сильно рассеивающих) полос. Сильно рассеивающие участки по-
лучают, например, в результате нанесения алмазным инструментом рисок на плос-
кую стеклянную поверхность. С оригинальной высококачественной решетки могут
быть получены методом прессования хорошие пластмассовые копии (реплики).
Решетки с не очень высокой пространственной частотой могут быть также изготов-
лены фотографическим способом. Для этого вручную или на плоттере вычерчива-
ется увеличенное изображение структуры решетки. Далее это изображение проеци-
руется с уменьшением на фотослой с высокой разрешающей способностью. В ре-
зультате специальной обработки фотослоев (разд. 7.7) получают «фазовые
голограммы», свойства которых показаны на рис. 7.17, б, в. Одним из эффективных
методов изготовления и тиражирования фазовых решеток (рис. 7.17, б) является
прессование. Отражательную решетку чаще всего изготавливают обработкой алмаз-
ным инструментом напыленных на плоскую пластину алюминиевых или (для ИК-
области) золотых слоев. Наряду с этим дорогостоящим методом изготовления ре-
шеток с помощью высокоточной делительной машины, все больше решеток произ-
водится голографическим методом. В этом методе на слой специального
светочувствительного материала — фоторезиста — падают две когерентные волны
(эти волны возникают в результате деления одного лазерного пучка), направление
распространения которых незначительно отличается. После интерференции этих
двух волн на слое фоторезиста возникают интерференционные полосы (разд. 7.7).
После специальной обработки толщина слоя (профиля штриха) изменяется соот-
ветственно величине экспозиции. Напыление алюминиевого слоя завершает про-
цесс изготовления отражательной решетки.

Наряду с плоскими решетками применяются также вогнутые решетки, т. е. от-
ражательные решетки, которые нанесены на вогнутую поверхность. Вогнутая ре-
шетка сочетает в себе свойства диспергирующего и фокусирующего элементов.
Использование вогнутых решеток позволяет, например, упростить схему монохро-
матора.

Дифракционные максимумы возникают в тех направлениях, для которых раз-
ность хода волн, исходящих от двух соседних штрихов решетки, составляет целое
число т длин волн Л. На рис. 7.18 плоская волна падает под углом л на прозрачную
и отражательную дифракционные решетки. Целыми числами т на этом рисунке
обозначены несколько направлений дифракционных максимумов (т = 0: недифра-
гировавшая волна). Углы дифракции /3 (измеренные по отношению к нормали ре-
шетки!) удовлетворяют основному уравнению решетки:

. п т- л
sin [i = ± -----+ sin Е

I S

(7-14)

где знак «+» соответствует прозрачной решетке, а знак «—» соответствует отража-
тельной решетке.

Пример

Пусть А = 633 нм (гелий-неоновый лазер), угол падения е= + 10", простран-
ственная частота решетки 600 линий/мм. Тогда угол дифракции (рис. 7.18) в
первом и втором порядках равен:

а) пропускающая дифракционная решетка: т = +1, Д = 33,60°; т-1,

Д = -11,90", т = +2, Д = 68,95”; т = -2, Д = -35,87";

б) отражательная решетка: равные по модулю значения, но с противопо-
ложным знаком.

Из основного уравнения решетки следует, что зшД линейно возрастает с увели-
чением длины волны Я. Каждый дифракционный порядок (кроме т = 0) представ-
ляет собой спектр. Пусть решетка освещается параллельным пучком белого света, а

,т = +2

Рис. 7.18. Направления дифракционных максимумов:

а __ прозрачная решетка; б — отражательная решетка. Голубым цветом показана

падающая волна; красным цветом направления дифракционных максимумов для
т = +1, +2. Волны разных дифракционных порядков исходят от всей поверхности
решетки.
дифрагировавшие пучки попадают в объектив. Тогда в его фокальной плоскости
можно наблюдать спектр. Ширина спектра возрастает с увеличением т. Спектры
могут частично перекрываться, так как sin р зависит только от произведения т Я!

Основной областью применения дифракционных решеток являются спектраль-
ные приборы (разд. 7.4). В этих приборах весьма желательно обеспечить сосредото-
чение всей энергии излучения только в одном дифракционном порядке (спектре),
аналогично тому, как это имеет место в случае использования преломляющей при-
змы (разд. 2.4). Хотя уравнение (7.14) однозначно описывает положения дифракци-
онных максимумов, однако распределение энергии по отдельным дифракционным
порядкам сильно зависит от конструкции решетки (например, от профиля штриха
и от пространственного распределения амплитудного коэффициента пропускания).
У простой решетки в виде прозрачных и непрозрачных полос одинаковой ширины
(рис. 7.17, а, г) энергия излучения сосредоточена только в дифракционных поряд-
ках т = 0, ±1, ±3, ... (т. е. подавляются четные порядки). Аналогичный эффект
имеет место и для отражательной дифракционной решетки с прямоугольным про-
филем штрихов (рис. 7.17, д); если одновременно высота ступенек равна Я/4, то
также исчезает нулевой («белый») порядок, и энергия перераспределяется по диф-
ракционным спектрам. Решетка с синусоидальным распределением (в отличие от
изображенной на рис. 7.17, в распределение амплитудного коэффициента пропус-
кания у такой решетки имеет cos2-вид) дает только три порядка т = 0 и ±1. Среди
фазовых отражательных дифракционных решеток особыми преимуществами обла-
дают решетки типа эшелетт с пилообразным профилем штриха. Наклон штриха
выбирается таким образом, что для заданной длины волны совпадают направления
отражения и дифракции. Тогда большая часть энергии будет сосредоточена в соот-
ветствующем порядке т. Угол, под которым происходит указанная концентрация
падающего излучения в спектр, называется углом блеска дифракционной решетки.

7.6.2. Другие применения решеток

В оптических измерительных системах могут также использоваться решетки с ма-
лой пространственной частотой. Поэтому в большинстве случаев при объяснении
основных свойств таких решеток дифракционные эффекты можно не учитывать.
Важной областью применения решеток являются датчики для измерения линейных
перемещений. Например, в оптоэлектронном измерительном щупе (рис. 7.19) ре-
шетка G непосредственно закреплена на измерительном штифте. Вплотную к ре-
шетке G расположена пластина А, на которой находятся четыре опорные решетки с
тем же периодом g, что и у решетки G. Однако четыре решетки на пластине А
расположены таким образом, что их полосы сдвинуты в направлении щупа друг

подвижная
решетка

приемник

конденсор

ИСТОЧНИК
света

измерительный
штифт

неподвижная
пластина
с решетками

электрон-
ный счетчик

Рис. 7.19. Принцип действия оптоэлектронного измерительного щупа.
Рис. 7.20. Расположение решеток и приемника в устройстве, показанном на рис. 7.19.

относительно друга Hag/4 (рис. 7.20). При смещении измерительного штифта штрихи
решеток на пластине А периодически перекрывают штрихами решетки G. Располо-
женные за пластиной А фотодиоды дают сдвинутые по фазе сигналы. Эти сигналы
подводятся к счетчику. Обработка сигналов дает возможность определить направ-
ление (т. е. передний и обратный отсчет) и перемещение с точностью большей, чем
период решетки. Например, при решетке с g = 20 мкм точность измерения может
быть равной ±1 мкм! Кроме того, решетки используются при бесконтактном изме-
рении скорости и расстояния, а также в описанных ниже муаровых методах.

7.6.3. Муаровый метод

Две расположенные вплотную друг к другу, но не совпадающие решетки формиру-
ют муаровые полосы (рис. 7.21). Муаровые полосы аналогичны интерференцион-
ным полосам (ср. рис. 7.1, а!); период решетки g для муаровых полос эквивалентен
длине волны Л для интерференционных полос. По сравнению с интерференцион-
ными методами, муаровые методы обладают меньшей чувствительностью (что час-
то желательно), но большим диапазоном измерений.

Если две решетки с равным периодом g повернуты друг относительно друга на
угол 8, то возникает муаровая картина, подобная той, что показана на рис. 7.21, а.
Эта муаровая картина аналогична интерференционным полосам, показанным на
рис. 7.1, а (а — угол между поверхностями зеркала, 8= 2а— угол между фронтами
волны!). Поэтому период муаровых полос 1М можно найти по формуле (7.3):

4/ -

g .

„ S’
2 • sin —

м 8

(7.15)

Муаровая полоса перпендикулярна биссектрисе угла 8. В середине темной по-
лосы обе решетки сдвинуты точно на g/2. Отклонения периода решетки приводят к
Рис. 7.21. Муаровая картина, формируемая двумя решетками:

а — gt = g2; решетки развернуты друг относительно друга; б — g, * g2; решетки парал-
лельны.

нерегулярности муаровых полос. Смещение одной из решеток относительно «опор-
ной решетки» на g вызывает смещение муаровых полос на 1М; это позволяет увели-
чить точность измерения перемещения в lM/g раз.

Если полосы двух решеток параллельны (3 = 0), а их периоды немного различа-
ются, то возникает муаровая картина, подобная той, что показана на рис. 7.21, б.
Если, например, g2 > gt, то решетки будут друг относительно друга «рассогласова-
ны». Данный эффект аналогичен низкочастотным биениям во временной области.
Временной частоте таких биений здесь соответствует пространственная частота
RM = 1//м муаровых полос. Значение интервала 1М находится по формуле

<7Л6)

62 51

Большая разность значений g2 и g{ приводит к совместному сдвигу муаровых полос.
Это свойство можно использовать также для контроля величин сжатия и растяжения.

Муаровые методы используются для контроля деформаций и вообще для изме-
рения формы14 (муаровая топография). С незначительными затратами может быть
реализован теневой метод (рис. 7.22, а): расположенная перед поверхностью объек-
та решетка освещается падающим на нее под углом е параллельным пучком; на-
блюдение ведется по направлению нормали к решетке. Тогда тени от непрозрачных
полос решетки образуют на поверхности объекта вторую решетку; это дает возмож-
ность наблюдать муаровые полосы. Изменение расстояния z между решеткой и
поверхностью вызывает смещение тени решетки относительно самой решетки. Свет-
лая полоса (обе решетки одинаково перекрыты) возникает при z = т • g/tg е, где
т = 0, 1, 2, ... — порядковое число муаровых полос. При этом желаемый интервал
уровней Az между соседними муаровыми полосами

hz= — (7.17)

tgf

устанавливается выбором угла освещения и периода решетки. При проекционном
способе (рис. 7.22, б) решетка G, проецируется на поверхность объекта. Деформи-
рованное в соответствии с формой поверхности объекта изображение решетки про-
ецируется на опорную решетку Gr

14 Например, человеческого тела.
Рис. 7.22. Метод муаровой топографии:

а — теневой метод (G — решетка, А — глаз или камера). Голубым цветом показа-
на тень от решетки (1 — светлая муаровая полоса, 2 — темная муаровая полоса);

б — проекционный метод (G J — проецируемая решетка, G2 — опорная решетка, F —
фотопленка или матовая пластина).

7.7. Голография

Название «голография» происходит от греческих слов holos — все, полный и grapho —
изображаю, пишу, что означает запись полного (объемного) изображения. Данный
термин предложен основателем голографии Д. Габором (1948 г.). Благодаря лазер-
ной технике получили развитие разнообразные голографические методы, предназ-
наченные для точных измерений. Без изложения теории в этой книге будут коротко
рассмотрены только основные применения голографических методов.

На обычном фотоснимке воспроизводится плоское изображение пространствен-
ного объекта (т. е. имеет место потеря информации). В отличие от этого голограм-
ма позволяет на плоском фотоматериале записать и восстановить световое поле
объекта во всех подробностях. Рассмотрим голографический процесс записи и вос-
становления изображения в простейшем случае, когда объектом является беско-
нечно удаленная точка предмета (рис. 7.23, а). От этой точки на голограмму падает
плоская волна. Для записи этой волны необходима опорная волна, которая падает
на голограмму одновременно с объектной волной. При этом опорная и объектная
волны имеют постоянное фазовое соотношение, т. е. эти волны когерентны. Тогда
в плоскости голограммы возникают интерференционные полосы (ср. рис. 7.1, о!).
После соответствующей фотохимической обработки получается плоская решетка
со светлыми и темными полосами15. Таким образом, решетка является голограммой
бесконечно удаленной точки объекта. Если осветить теперь полученную голограм-
му опорной волной (рис. 7.23, б), то благодаря дифракции на решетке часть свето-
вой энергии пойдет точно в направлении первоначальной объектной волны. При
взгляде на голограмму видно изображение точки объекта, т. е. в результате освеще-
ния голограммы опорной волной происходит восстановление объектной волны. Пусть
точка объекта находится на конечном расстоянии. Тогда на голограмму от этой
точки падает сферическая волна. При использовании того же метода записи (рис.
7.23, в, ср. также рис. 7.6, а) голограмма представляет собой кольцевую решетку с
убывающими от центра к краю интервалами между полосами («система зон Френе-
ля»). При восстановлении (рис. 7.23, г) в результате дифракции одновременно воз-
никают мнимое (/") и действительное (Р") изображения точки объекта Р.

15 Коэффициент пропускания такой решетки в направлении, перпендикулярным к полосам,
изменяется по синусоидальному закону. {Прим, пер.)
Рис. 7.23. Принцип голографии:

а — запись голограммы плоской объектной волны; б— восстановление плоской объек-
тной волны; в — голограмма объекта в виде точки Л г — восстановление точки Р в
виде точек Р' и Р".

Результат, полученный для объекта в виде точки, можно распространить на
объект любой формы, рассматривая его как совокупность точечных источников.
Таким образом, голограмма может полностью воссоздать световое поле, исходящее
от пространственного объекта. Опорную волну и волну, предназначенную для ос-
вещения объекта, получают делением лазерного пучка, как это показано на схеме
съемки (рис. 7.24). Микрообъективы предназначены для расширения опорного пучка
и пучка, падающего на объект. Узкая диафрагма в фокальной плоскости («про-
странственный фильтр») устраняет рассеянный свет в опорном пучке.

Если для съемки используются работающие в непрерывном режиме лазеры
(HeNe, Argon), то съемочная аппаратура, которая показана на рис. 7.24, должна
быть защищена от вибраций.

Методы голографической интерферометрии находят разнообразное применение
в высокоточной измерительной техники и при неразрушающем контроле материалов.
С использованием этих методов измеряется форма поверхности, а также на большом
участке поверхности могут регистрироваться деформации, обусловленные статически-
ми силами, разностью температур или колебаниями. Хотя структура голограммы очень
тонкая и узор интерференционных полос можно наблюдать только с помощью микро-
скопа, но при одновременном восстановлении волны, являющиеся копиями объект-
ных волн, интерферируют. В результате этого формируются «макроскопические» ин-
терференционные полосы (ср. разд. 7.3), которые могут быть раздельно видны глазом.
Преимуществом голографии является то, что объектные волны могут последовательно
записываться на голограмму и интерферировать только при восстановлении.

В методе двух экспозиций («замороженные интерференционные полосы») сна-
чала делается голографический снимок (первая экспозиция) ненагруженного объекта
(простые примеры: стержень, работающий на изгиб или мембрана). После этого
объект нагружается и на ту же голографическую пластинку делается второй снимок
(вторая экспозиция). При реконструкции интерферируют волны, которые соответ-
ствуют мнимым изображениям обоих состояний объекта («нагруженное» и «нена-
груженное»), В результате изображение исследуемой поверхности покрывается ин-
терференционными полосами, по которым можно рассчитать деформацию. При-
мер показан на рис. 7.25. Выбранное деформированное состояние «заморожено»:
для регистрации другой деформации необходимо снова выполнить съемку методом
двух экспозиций. При использовании этого метода для анализа колебаний необхо-
димо, чтобы две очень короткие вспышки лазера (они соответствуют двум экспози-
циям) следовали друг за другом с незначительным интервалом времени.

Голографический метод реального времени («живые интерференционные по-
лосы») требует только голографической съемки объекта. После проявления голо-

Рис. 7.25. Деформации стальной мембраны:
а — интерференционные полосы возникают благода-
ря перепаду давлений между двумя экспозициями: вид-
ны четыре «дефекта» (малая толщина мембраны);
б — результат цифровой обработки рис. а представ-
лен в виде вычерченного на плоттере изображения в
изометрической проекции 15°/15°. Масштаб дефор-
маций на рисунке увеличен в 20 000 раз по сравне-
нию с масштабом по координатам х и у! {Отраслевой
институт, Франкфурт.)
грамма очень точно устанавливается в то же положение, какое она занимала при
съемке. Кроме того, исследуемый объект освещается точно так же, как и при съем-
ке. Благодаря этому интерферируют волны, относящиеся к мнимому изображению
и к реальному объекту. Если мнимое изображение представляет ненагруженный
объект, то деформации реального объекта непосредственно вызовут изменения в
интерференционной картине.

С помощью голографической интерферометрии с усреднением по времени можно
простым способом исследовать режим колебаний тела. При голографической съем-
ке вибрирующей поверхности время экспозиции выбирается более длительным,
чем период колебаний. Так как скорость равна нулю только в момент смены на-
правления движения (при максимальном отклонении), то форма поверхности ре-
гистрируется только в двух крайних положениях. Между двумя этими положения-
ми точка объекта смещается на двойную амплитуду (2А). Если отсчитать т интер-
ференционных полос от нулевого порядка, то 2А = да-Л/2. Тогда амплитуда равна
А = т • А/4. Особенно светлыми и высококонтрастными видны узловые линии (ну-
левой порядок); интерференционные полосы высокого порядка т обладают малым
контрастом. Пример показан на рис. 7.26.

Также можно получить голографическим методом линии уровня на изображе-
нии формы поверхности. Измеряемое тело погружается, например, в жидкость с
показателем преломления и делается голографический снимок. Затем происхо-
дит вторая съемка на ту же голографическую пластинку, но показатель преломле-
ния жидкости равен п2. Если между двумя точками поверхности насчитывается Aw
интерференционных полос, то разность уровней Ай равна

Ат А

2 • |«! - л,|'

(7.18)

Разность показателей преломления определяет расстояние между линиями уровня.
В другом методе получения линий уровня голограмму экспонируют дважды при
малом изменении направления опорной волны между экспозициями.

К разрешающей способности фотоматериала предъявляются очень высокие
требования (примерно от 1000 до 3000 линий/мм!). Для плоских волн (например,
опорный пучок и пучок от объекта) в качестве модели можно рассмотреть муаро-
вые решетки (рис. 7.21, а, ср. также рис. 7.1, а). Если угол между опорным пучком

Рис. 7.26. Колеблющаяся мембрана. За-
крепленная в трех точках стальная мем-
брана возбуждается с частотой собствен-
ных колебаний. Между белыми узловы-
ми линиями видны пучности колебаний
с различными амплитудами. (Отрасле-
вой институт, Франкфурт.)
и пучком от объекта равен 8, то согласно выражению (7.15) для интервалов интер-
ференционных полос на фотослое (вместо g здесь подставляется Л) получается

2-sinf

(7.19)

На этом также основаны голографические методы изготовление решеток (разд. 7.6.1).

Пример

Для двух волн, возникающих при разделении лазерного пучка (Не—Ne), угол 8
равен 60°, тогда I = 0,633 мкм, а пространственная частота R = 1// = 1580 ли-
ний/мм.

Фотослои выбираются с подходящей для лазера спектральной областью чув-
ствительности (HeNe: Agfa 8Е75, 10Е75. Argon: Agfa 8E56, 10E56). Полученная пос-
ле обычного проявления амплитудная голограмма может быть превращена методом
отбеливания в фазовую голограмму (ср. рис. 7.17). Фазовая голограмма имеет зна-
чительно более высокую степень дифракционной эффективности и освещенность
восстановленного изображения, но требует большего времени на обработку. Воз-
можно очень быстрое изготовление фазовой голограммы с использованием термо-
пластичной пленки (тепловое «проявление» в специальной камере). Подробное
изложение свойств голографических слоев дано в [9.19], [9.20].
ГЛАВА 8

ПОЛЯРИЗАЦИЯ

8.1. Состояния поляризации

8.1.1. Обзор

Поляризация является еще одной характеристикой оптического излучения. Опти-
ческие приборы, принцип действия которых основан на поляризации света, широ-
ко используются в науке и технике.

Все поляризационные явления обусловлены тем, что свет представляет собой
поперечную электромагнитную волну (разд. 1.2). Пусть волна распространяется в
направлении оси Z- Вектор напряженности электрического поля принадлежит в
этом случае плоскости ху, которая перпендикулярна направлению распростране-
ния света. Любую световую волну можно представить в виде суммы двух компо-
нент. Каждая из этих компонент представляет волну, направление распростране-
ния которой совпадает с осью z, а плоскость колебаний вектора напряженности
электрического поля совпадает с плоскостью xz или yz. Свет называется поляризо-
ванным, если направления колебаний вектора напряженности электрического поля
тем или иным образом упорядочены, т. е. имеет место асимметрия в плоскости ху.
Эта асимметрия описывается различными состояниями поляризации (например,
линейным, эллиптическим, циркулярным).

Наоборот, неполяризованный свет обладает симметрией относительно плоско-
сти ху. Но конечно, только за счет статистически равномерного распределения.
При очень большом числе коротких цугов волн, испущенных независимо друг от
друга атомами или молекулами одного источника излучения, направления колеба-
ний вектора напряженности электрического поля распределены случайным обра-
зом. В целом получается равномерное распределение всех колебаний по направле-
ниям, перпендикулярным к направлению распространения света (рис. 8.1, а). Не-
поляризованный свет можно также представить в виде двух волн (волновых
компонент) со взаимноперпендикулярными направлениями колебаний и одинако-
выми амплитудами. Однако эти волны некогерентные (!), т. е. разность фаз между
ними непрерывно изменяется.

Линейно поляризованным называется свет с постоянным положением направ-
лений колебания вектора напряженности электрического поля (рис. 8.1, в). Это
направление колебаний называется сегодня также направлением поляризации.
Источником линейно поляризованного света может быть, например, лазер с окна-

Рис. 8.1. Обзор состояний поляризации. При б—д может изменяться еще ориентация,
при г, д, кроме того, эллиптичность.
ми Брюстера (разд. 4.3.5). Линейно поляризованными являются также две волно-
вые компоненты, на которые раскладывается произвольная волна. Различные соот-
ношения амплитуд двух таких компонент и фазовый сдвиг между ними описывают
свет с линейной, эллиптической или циркулярной поляризацией.

8.1.2. Общие соотношения

Формулы, которые описывают результат наложения двух колебаний в направлении
взаимноперпендикулярных осей х и у, имеют общий характер для колебаний лю-
бой физической природы (в том числе для механических и электрических колеба-
ний). Поэтому траектории на экране осциллографа (фигуры Лиссажу) дают нагляд-
ное представление состояний поляризации. Если подать на входы х и у осциллогра-
фа переменные напряжения одинаковой частоты, но с регулируемыми амплитудами
и разностью фаз, то траектория светящейся точки (например, эллипс) аналогична
движению конечной точки вектора напряженности электрического поля оптичес-
кого излучения (например, случаю эллиптически поляризованного света).

Пусть при одинаковой частоте и амплитуды колебаний вектора напряженности
двух волновых компонент равны х и у; разность фаз между этими компонентами
равна Д<а В результате сложения этих компонент получается волна, вектор напря-
женности электрического поля которой описывается системой уравнений

Ex=x-smcot; Еу = у-sin (cot + Е(р), (8.1)

где Ех и Е — проекции вектора напряженности электрического поля на осях х и у;
t — время; со — — круговая частота. Исключив1 из этой системы уравнений

время t (одновременно с cot), можно получить уравнение траектории конца вектора
напряженности электрического поля

Г2 Е2 Е Е

—f- + —Д - 2 * -Р cos Еср = sin2 Еср. (8.2)

х "у Х'У

Выражение (8.2) соответствует уравнению эллипса в общем виде. Данный эллипс
лежит внутри прямоугольника с длинами сторон 2х и 2у и касается его контура в
четырех точках (рис. 8.3). Если «смешанный член» (при Ех Еу) не равен нулю, то
оси эллипса не параллельны осям х и у. Представляют интерес следующие частные
случаи.

1. Еср = 0. Тогда sin Еср = 0 и cos Еср = 1. В результате упрощения формулы (8.2)
получается Еу = Ех -(y/xj, т. е. прямая с коэффициентом наклона у/х (рис. 8.2, а).
Аналогично, если А^> = л, то cos Еср = — 1 и коэффициент наклона прямой отрица-
тельный: Еу = -Ех (уД) (рис. 8.2, б). В общем случае линейно поляризованный
свет соответствует разности фаз Еср = т- л (т = 0, 1,2, ...).

Рис. 8.2. Траектории, соответствующие ли-
нейной и циркулярной поляризациям.

1 Указание: sin (cot + Еср) = sin cot-cos Еср + cos cot-sinA^, sin®/ = Ex/x, coscot = V1 - sin2®/.
Рис. 8.3. Траектория при эллиптической поляризации.

2. Др = я/2 и х = у = г. Тогда sin L<p = 1 и cos Др = 0. В результате упрощения
формулы (8.2) получается уравнение окружности с радиусом г : Е* + Е* = г
(см. рис. 8.2, г). Аналогично, уравнение окружности получается при Др = —л/2.
В общем случае циркулярно поляризованный свет соответствует разности фаз
Др = (2т + 1) п/2(т — 0, 1, 2, ...).

3. Во всех других случаях уравнение (8.2) описывает эллипс. Если, как и во
втором случае, Др = л/2, но х у, то E^Jy + Ё^/х = 1, что соответствует уравне-
нию эллипса, оси которого параллельны осям х и у; в противном случае оси эллип-
са наклонены к осям х и у. В общем случае эллиптически поляризованному свету
соответствует разность фаз Др= (2т + 1) л/2 и одновременно выполняется условие
х * у. Свет называется эллиптически поляризованным также в том случае, когда
при любом соотношении амплитуд разность фаз удовлетворяет условию Др * тп/2.

Ориентация эллипса (рис. 8.3) описывается углом азимута а между полуосью
эллипса а и направлением оси х. Для описания формы эллипса можно исполь-
зовать соотношение b/а (отношение полуосей эллипса) или угол эллиптичности
е = arctg b/а. Эти параметры эллипса определяются из отношения амплитуд у/х и
разности фаз Др. Для расчета используются следующие уравнения (их вывод см.,
например, [1.2]):

(8.3)

2.^

sin 2е ---- sin Др.

1x1

(8-4)

Дополнительной характеристикой для эллиптического и циркулярного видов
поляризации является направление вращения вектора электрического поля. При
определении направления вращения принимается, что наблюдение ведется в на-
правлении, противоположном распространению света (волна набегает на наблюда-
теля). Направление вращения вектора электрического поля определяется разно-
стью фаз Д<р:

1) 0 < !\<р < # соответствует правоэллиптической (и правоциркулярной) поляри-
зации: вращение в направлении по часовой стрелке (рис. 8.1, г, е);

2) п< Л(р< 2л соответствует левоэллиптической (и левоциркулярной) поляриза-
ции: вращение против направления часовой стрелки (рис. 8.1, д, ж).

На направление вращения указывает также знак е [формула (8.4)].

8.1.3. Сфера Пуанкаре

Очень наглядное изображение получается, если каждому состоянию поляризации
поставить в соответствие точку Р на поверхности сферы Пуанкаре (рис. 8.4). В каче-
стве сферических координат используют удвоенный угол азимута 2«как «географи-
ческую долготу», удвоенный угол эллиптичности 2г как «географическую широту»
и радиус сферы г, который характеризует (в данном случае менее важную) интен-
сивность излучения. «Северный полюс» соответствует правоциркулярной поляри-
зации; «южный полюс» соответствует левоциркулярной поляризации; точки на «эк-
ваторе» соответствуют линейной поляризации с плавно меняющимся от точки к
точке углом азимута. Остальные точки «северного полушария» соответствуют пра-
воэллиптической поляризации, а остальные точки «южного полушария» соответ-
ствуют левоэллиптической поляризации. Вдоль меридиана изменяется эллиптич-
ность от линейной поляризации (е = 0) до циркулярной поляризации (е = ±45°).
Параллель содержит все эллипсы одинаковой формы, но различной ориентации.
Две крайние точки любого диаметра сферы соответствуют «ортогональным» со-
стояниям поляризации, т. е. право- и левоциркулярной поляризациям, линейным по-
ляризациям с разностью азимутов Д« = 90°, эллиптическим поляризациям с Ла = 90°
или с равными по модулю, но противоположными по знаку е (т. е. с одинаковой
формой, но с противоположными направлениями вращения). При исследовании
изменений состояний поляризации сфера Пуанкаре представляет полезное вспо-
могательное средство.

Рис. 8.4. Сфера Пуанкаре.
8.1.4. Параметры Стокса

Положение точки Р на сфере Пуанкаре, конечно, может быть также указано декар-
товыми координатами х, у, z- Эти координаты представляют собой параметры Сто-
кса S2, S3 (рис. 8.4). По ним также определяется радиус сферы г = 50:
50 = yjSj + 5,2 + 532. Пересчет сферических координат 2а, 2е, г в декартовые коорди-
наты осуществляется по формулам сферической геометрии (табл. 8.1, столбец 2).
Так как сферические координаты рассчитывались по формулам (8.3) и (8.4), то
параметры Стокса также могут выражаться через амплитуды х, у и разность фаз Др
(табл. 8.1, столбец 3). Смысловые значения параметров Стокса указаны в столбце 4
этой же таблицы. Параметры So, ..., 53 можно записать в виде вектора (матрицы из
одного столбца).

Таблица 8.1. Вычисление параметров Стокса.

1. Параметры Стокса 2. Расчет по сфери- ческим координатам 3. Расчет по компонен- там электрического поля 4. Примечание
$ 5о = '- -2 -2 50 = х + у Пропорционален силе из- лучения; «интенсивность»
S, = г-cos 2г-cos 2а м 1 Г1 < К 11 Параметр преимуществен- ной горизонтальной поля- ризации
s2 S2 = г- cos 2е sin 2а S’, = 2 • х~ • у cos Д<р Параметр преимуществен- ной диагональной поля- ризации
s3 S3 = / -sin 2а 2 -2 S3 = 2 • х -у -sin Д#> Параметр преимуществен- ной правой циркулярной поляризации

В табл. 8.2 параметры Стокса рассчитаны для нескольких состояний поляриза-
ции. Интенсивность при этом нормировалась к 50 = 1. Результат наглядно показы-
вает смысл параметров Стокса: для Л, крайние значения ±1 достигаются при гори-
зонтальной и вертикальной линейной поляризациях, для S2 — при линейной поля-
ризации с направлением плоскости колебаний под углом ±45° и для S3 — при
циркулярной поляризации.

Пример Найти вектор Стокса для горизонтально-правоэллиптическ ного света, причем для осей эллипса выполняется условие а = Решение: а = 0, tg е = + 0,5; sin 2е — 0,8; cos 2е = 0,6; вектор Стокса л пс 2Ь. 1 ’ 0,6 0 0,8 ляризован- -50=1.

В случае неполяризованного света х = у, при этом 0 (нормировка: 50 = 1),
но 5, = 0 (табл. 8.1). Так как разность фаз Д<р принимает любые значения, то в
среднем sin Д<р — cos Д<р — 0. При этом также S2 = S3 = 0. То, что на практике
считается поляризованным светом, чаще всего представляет собой частично поля-
ризованный свет. При наличии неполяризованного остатка описанные выше со-
стояния поляризации могут быть только более или менее хорошими приближения-
ми Общая интенсивность частично поляризованного света больше, чем сумма ин-
тенсивностей состояний поляризации; при этом 50 > yjs, + S2 + 532.

Таблица 8.2. Векторы Стокса для некоторых состояний поляризации

Линейная поляризация Циркулярная поляризация
горизон- тальная верти- кальная +45° -45" правая левая
а 0 + 90 + 45° -45° —
cos 2а 1 -1 0 0 — —
sin 2а 0 0 1 -1 — —
£ 0 0 0 0 + 45° -45°
cos 2г 1 1 1 1 0 0
sin 2г 0 0 0 0 1 -1
$ $ Г 1 0 0 1' -1 0 0 Т 0 1 0 Г 0 -1 0 Т 0 0 1 1’ 0 0 -1

8.2. Методы получения поляризованного света

8.2.1. Обзор. Поляризация при отражении

Существует ряд методов получения поляризованного света и изменения состояния
его поляризации. Линейно поляризованный свет выделяется из неполяризованно-
го. С помощью фазовой пластины линейно поляризованный свет может быть пре-
образован в свет с эллиптической или циркулярной поляризацией. Чаще всего ана-
лизатор отличается от поляризатора только характером выполняемой задачи: ана-
лизатор предназначен для исследования состояний поляризации (см. разд. 8.3).

Ниже будут более подробно рассмотрены только те методы получения поляри-
зованного света, которые имеют достаточно большое значение для технической
оптики. В естественных условиях поляризация света может также наблюдаться при
рассеянии. Например, частично поляризован свет, исходящий от неба; это обус-
ловлено рассеянием на молекулах воздуха и аэрозоля.

Из формул Френеля (2.86а) следует, что если для угла падения выполняется
условие е ф 0, то р ф рГ Поэтому отраженный и преломленный свет частично поля-
ризованы. Если при угле падения £р отраженный и преломленный лучи перпенди-
кулярны друг другу (е + е' = 90°, cos е' = sin г^), то ръ = 0. Такой угол £р называют
углом Брюстера или углом полной поляризации. Так как р^ = 0, то из формулы
(2.86а) следует п • cos е’ — п' - cos е = 0; а угол полной поляризации равен

tg£=-. (8-5)

' п
Так как для волновой компоненты с направлением колебаний, параллельным
плоскости падения, коэффициент отражения ри равен нулю, то отраженный свет
линейно поляризован (направление колебаний отраженной волны перпендикуляр-
но плоскости падения). Так как р± все же составляет несколько процентов, то про-
ходящий свет частично поляризован. При д = 0 потери на отражение на границе
двух сред для данной компоненты отсутствуют. Данный эффект используется в га-
зовых лазерах (так называемые окна Брюстера, см. рис. 4.18, а).

8.2.2. Анизотропные среды — двойное лучепреломление

Наибольшее значение для конструкций поляризаторов имеют анизотропные
среды, в которых несимметричные структуры молекул определяют угловую зависи-
мость физических и оптических характеристик. Этот эффект имеет место для всех
кристаллов, несмотря на то что кубическая структура кристалла (например, NaCl)
оптически изотропна. В анизотропных средах существуют симметрично-предпоч-
тительные направления, в которых энергия волны распространяется так же, как в
изотропной среде. Эти преимущественные направления называются оптическими
осями. Кристаллы моноклинной, триклинной и ромбической систем имеют две
оптические оси. В дальнейшем более детально исследуются оптические одноосные
кристаллы, которые относятся к тетрагональным, гексагональным или ромбоэдри-
ческим типам. Из-за сильной анизотропии особенно важным представителем этой
группы кристалла является качьцит (СаСО3). У этого кристалла все СО3-группы
(равносторонние треугольники с атомом углерода в середине) лежат в параллель-
ных плоскостях. Тогда направление, перпендикулярное этим плоскостям, является
симметрично-предпочтительным, т. е. оптической осью. Так как плоскость можно
задать двумя прямыми, то главное сечение кристалла определяется оптической осью
и направлением нормали к волновому фронту. Следует обратить внимание, что
оптическая ось указывает только направление, а не конкретную прямую: все парал-
лельные прямые равнозначны. Аналогично главное сечение задает ориентацию
плоскости: все параллельные плоскости равнозначны.

При анализе распространения волны в анизотропной среде (кристалле) ее це-
лесообразно рассматривать в виде суммы двух волновых компонент со взаимнопер-
пендикулярными поляризациями: плоскость колебаний обыкновенной компонен-
ты перпендикулярна главному сечению, плоскость колебаний необыкновенной ком-
поненты совпадает с главным сечением. В зависимости от направления
распространения этим двум компонентам соответствуют (в самом общем случае)
различные показатели преломления: ио для обыкновенной компоненты и инк (часто
также пс) — для необыкновенной компоненты. Показатель преломления ло одина-
ков для всех направлений, а показатель преломления пяк изменяется. В направле-
нии оптической оси это различие отсутствует: п = по. В направлении, перпендику-
лярном к оптической оси, величина |лнк — максимальна.

Разность показателей преломления указывает на различную скорость распрос-
транения обеих компонент. Если максимальная разность показателей преломления
инк — по > 0, то кристалл называется положительным; если максимальная разность
показателей преломления пж — по < 0, то отрицательным. Геометрическая интер-
претация показана на рис. 8.5, а, б: если от начала координат отложить во всех
направлениях отрезки, равные показателю преломления для данного направления,
то ио соответствует сферическая поверхность, а пкк — эллипсоид. Для рассматрива-
емых здесь одноосных кристаллов эллипсоид симметричен относительно оптичес-
кой оси (эллипсоид вращения). Необходимо отличать изображение поверхностей
волны (рис. 8.5, в, г) и показателей преломления (рис. 8.5, а, б). Если в кристалле
от точки Р во все стороны распространяется волна, то в каждый фиксированный
момент времени волновой фронт обыкновенного компонента имеет сферическую
кристалл

Например, для кальцита:

Пнктзх = 1-488

по = 1,662

Л„^-п.= -0.174

положительный

Например, для кварца:

п = 1,555

НК max <

ло = 1,546

«„.то, “ «п = +0.009
мк max о

Рис. 8.5. Оптические одноосные кристаллы. Оптическая ось кристалла горизонтальна:
а, б — показатели преломления как функции направления; в, г — исходящие от точки
Р волновые фронты в фиксированный момент времени

форму, а необыкновенного — форму эллипсоида (расстояния отточки Рпропорци-
ональны скорости распространения, т. е. 1/п)! В показанном на рисунке случае
направление колебаний необыкновенной компоненты совпадает с плоскостью ри-
сунка (главное сечение), а направление колебаний обыкновенной компоненты пер-
пендикулярно ему. Значения показателей преломления ис и инк зависят от длины
волны. В примерах значения указаны для линии е (Л = 546,1 нм).

По сравнению с оптическими элементами из изотропного материала, у элемен-
тов из анизотропного материала2 есть дополнительная степень свободы — ориента-
ция оптической оси кристалла относительно преломляющих поверхностей. При
соответствующем выборе направления оси можно обеспечить особые свойства оп-
тических элементов. В качестве примера рассмотрим прохождение света через ани-
зотропную плоскопараллельную пластину, когда плоская волна малых поперечных
размеров (например, неполяризованный луч лазера) падает перпендикулярно на
входную поверхность. На рис. 8.6, а показано перпендикулярное к оптической оси
сечение плоской пластины. Нормаль к волновой поверхности и оптическая ось
совпадают. Так как инк = ио, то излучение проходит через пластину точно так же,
как через пластину из изотропного материала (изотропное распространение). На
рис. 8.6, б показана пластина с плоскими поверхностями из отрицательного двулу-
чепреломляющего кристалла. Плоские поверхности параллельны оптической оси;
волна падает перпендикулярно оси. В этом случае разность показателей преломле-
ния максимальна (см. рис. 8.5, 6); необыкновенная компонента распространяется

2 В большинстве случаев элементы из анизотропного материала ограничены плоскими повер-
хностями: пластины, клинья, призмы.
Рис. 8.6. Пластина из анизотропного ма-
териала:

а — плоские поверхности перпендикулярны к
оптической оси; б — плоские поверхности па-
раллельны оптической оси. Г — оптическая
разность хода. Для большей наглядности обык-
новенная и необыкновенная компоненты изоб-
ражались только на половине фронта волны!

быстрее (см; рис. 8.5, г). После прохода пластины оптическая разность хода между
двумя компонентами равна

Поэтому такая пластина называется фазовой.

На рис. 8.7 изображено сечение пластины, в которой оптическая ось не перпен-
дикулярна поверхностям. В этом случае отчетливо проявляется двулучепреломление.
В соответствии с принципом Гюйгенса (разд. 1.2) для обыкновенной компоненты
элементарные волны являются сферическими (рис. 8.5, г). Огибающая поверхность
всех элементарных волн (см. рис. 1.3) получается плоской (рис. 8.7, а), волновой
фронт движется сквозь кристалл прямо (рис. 8.7, 6). Наоборот, для необыкновен-
ной компоненты от каждой точки волнового фронта исходят элементарные волны
в виде эллипсоидов (рис. 8.5, г). В рассматриваемом случае новая поверхность вол-
нового фронта также является огибающей элементарных волн (рис. 8.7, а). Так как

Рис. 8.7. Оптическая ось не перпендикулярна поверхностям плоскопараллельной пла-
стины:

а — передняя поверхность и волновые фронты, построенные в соответствии с принци-
пом Гюйгенса (для наглядности волновые фронты для обыкновенной компоненты по-
казаны только частично); б — прохождение излучения через пластину.

Плоскость колебаний для обыкновенной компоненты перпендикулярна, а
для необыкновенной компоненты совпадает с плоскостью рисунка
этот волновой фронт определяет новое направление распространения излучения,
то луч теперь не перпендикулярен входной поверхности. Направления луча до и
после прохождения пластины параллельны, но на выходе пластины луч смещается
на некоторое расстояние (рис. 8.7, б).

Из рис. 8.7 можно сделать следующие выводы.

1. Для необыкновенной компоненты сохраняется ориентация поверхности вол-
ны; нормаль к волновой поверхности по-прежнему перпендикулярна ко входной
поверхности. Также выполняется закон преломления, т. е. из е = 0 следует е' = 0.
При расчете £' для других углов падения следует учитывать зависимость показателя
преломления инк от направления. Закон преломления определяет направление нор-
мали к волновой поверхности!

2. Направление распространения энергии волны (коротко — направление излу-
чения) отклоняется в случае анизотропных материалов от направления нормали к
волновой поверхности (исключение см. рис. 8.6). При этом имеет место смещение
луча даже при перпендикулярном падении. Это мнимое нарушение закона прелом-
ления вызвало появления названия «необыкновенный».

Различия оптических свойств анизотропных сред для волновых компонент со
взаимноперпендикулярными направлениями поляризации лежат в основе двух схем
построения поляризаторов.

1. В поляризаторах на основе двулучепреломления используется пространствен-
ное разделение двух компонент (рис. 8.7, б), одна из которых далее устраняется
(например, за счет полного внутреннего отражения, разд. 8.3).

2. В поляризаторах на основе селективного поглощения (дихроизма) простран-
ственное разделение не требуется. Поляризатор этого типа обычно представляет
собой плоскопараллельную пластину (как на рис. 8.6, б) из анизотропного матери-
ала (например, минерал турмалин), который гораздо сильнее поглощает одну ком-
поненту, чем другую. Тогда после прохождения пластины достаточной толщины
остается только одна компонента. Этот принцип используется в современных пле-
ночных поляризаторах (разд. 8.3).

8.2.3. Оптическая активность

Оптически активный материал поворачивает плоскость поляризации падающего
линейно поляризованного света. Угол поворота пропорционален толщине слоя (на-
пример. у кварца 25,547мм для линии е), в случае растворов (например, сахара)
угол поворота пропорционален также концентрации. Угол поворота уменьшается с
ростом длины волны.

Вещества одинакового химического состава могут быть правовращающими (вра-
щение в направлении по часовой стрелке при взгляде против направления света)
или левовращающими. Это зависит от пространственной структуры молекул, кото-
рые можно представить в форме закрученных влево и вправо спиралей. Обе формы
молекул (оптические стереоизомеры) зеркально-симметричны. Внешние формы двух
полностью сформированных разновидностей кристалла, например кварца, также
зеркально-симметричны. Плавленый ’ кварц, т. е. кварцевое стекло, не обладает
никакой оптической активностью, так как пространственная решетка кристалла
разрушена. Наоборот, сахар сохраняет вращательную способность также в раство-
ре. Смеси из равных долей право- и левовращательных изомеров не обладают опти-
ческой активностью.

Оптической активностью могут обладать как изотропные, так и ани ютропные
среды. Примером последней среды может служить кварц: при прохождении света в
направлении оптической оси данного материала наблюдается оптическая актив-
ность, однако двулучепреломление при распространении света в этом направлении
отсутствует (рис. 8.6, а). Если направление перпендикулярно к оптической оси (рис.
8.6, б), то имеет место двулучепреломление без оптической активности. Очень вы-
сокими возможностями по вращению плоскости поляризации обладают жидкие
кристаллы, которые используются в дисплеях (разд. 8.4.3). Внешнее воздействие на
оптически не активную среду может вызвать вращение плоскости поляризации.
Этот эффект имеет место, например, когда свет распространяется в стекле вдоль
постоянного магнитного поля, в котором находится это стекло (эффект Фарадея).

8.3. Поляризационные элементы

8.3.1. Поляризаторы

В технической оптике преимущественно используются дихроичные пленочные по-
ляризаторы. Они представляют собой высокополимерную пластмассовую пленку, в
результате механического растяжения которой окрашенные (чаще всего йодом)
макромолекулы ориентированны параллельно друг другу. Коэффициент пропуска-
ния пленки зависит от ориентации молекул и положения плоскости световых коле-
баний. Компонента, направление колебаний которой совпадает с «направлением
поляризации», пропускается с незначительным ослаблением (коэффициент про-
пускания гпм), однако компонента, направление колебаний которой перпендику-
лярно «направлению поляризации», почти полностью поглощается (коэффициент
пропускания тперп). При этом выполняется тперп Зависимостью коэффициента
пропускания от длины волны чаще всего можно пренебречь.

Коэффициент пропускания для неполяризованного света равен

г _ Гпол гперп __ Гпол (8 Q

Таким образом, из неполяризованного света получают примерно от 20 до 40 % ли-
нейно поляризованного света. Степень поляризации равна

т — т

р__ пол ‘'перп (8-7)

Т 4- Т
пол 1 ‘'перп

Отношение тпол/гперп называется также поляризационно-оптическим ослаблением.

Два одинаковых, последовательно расположенных поляризатора (называемых
также «поляризатор и анализатор») могут использоваться в качестве регулируемого
ослабителя света. Когда поляризатор и анализатор параллельны («светлое положе-
ние»), то коэффициент пропускания для неполяризованного света равен

тг + т~ г

_ ‘пол перп ‘пол IQ о\

‘о -----2---—2~‘

Когда поляризатор и анализатор скрещены («темное положение»), коэффици-
ент пропускания равен

Г»’ = Гпол • Г„срп. (8-9)

Если направления поляризации двух этих элементов развернуты друг относи-
тельно друга на угол 0, то коэффициент пропускания равен

ге = г9(г + (г90. - г0) • cos2 0 = г0 • cos2 0. (8.10)

Если т90. тй, то приближенное равенство можно заменить на точное.

Ослабление линейно поляризованного света (например, поляризованного ла-
зерного пучка) осуществляется поворотом одного из поляризаторов

= Г„ерп + (ГПОл - Г„ерп) ' COS2 0 = TnM - COS2 0. (8.11)
Пример

Сравнивать характеристики двух поляризационных пленочных фильтров

1. г = 0,56 2. г = 0 84

Г„еоп = 2’710 * =6- 10’

псрп псрп

Из этих данных для каждого из поляризаторов получаются следующие зна-
чения:

1. 0,28 2. г= 0,42

Р = 0,999999 Р = 0,98582

Пара из двух одинаковых поляризаторов каждого типа характеризуется сле-
дующими параметрами:

1. г0 = 0,1568 2. те = 0,3528

г90.= 1,5-10'6 ^. = 5-10-’

= 105000 = 70’6

Таким образом, поляризаторы с более высоким коэффициентом пропуска-
ния в «темном положении» дают более высокий остаточный световой поток.

По сравнению с дихроичными пленочными поляризаторами поляризаторы на
основе кристаллов обладают очень высоким коэффициентом пропускания. При
соответствующей конструкции поляризаторы на основе кристаллов также могут
применяться для лазерных пучков с высокой плотностью излучения. Однако такие
поляризаторы дороги и поэтому изготавливаются только малых поперечных разме-
ров. В качестве примера рассмотрим очень часто используемую призму Глана—
Томпсона из кальцита (рис. 8.8). Угол между гранями каждой из двух треугольных
призм (здесь 18,43°; возможны также другие углы и относительные удлинения L/D)
выбирается таким образом, чтобы для обыкновенного луча выполнялось условие
полного внутреннего отражения, а необыкновенный луч проходил через призму.
При этом нужно учитывать показатель преломления материала клея. Оптическая
ось и главное сечение перпендикулярны плоскости рисунка. Для обыкновенной
компоненты плоскость колебаний совпадает с плоскостью рисунка, а для необык-
новенной — перпендикулярна ей (разд. 8.2.2). Обыкновенную компоненту погло-
щает черное покрытие грани, но при необходимости обыкновенная компонента
может также выводиться с помощью дополнительной призмы.

Пример

Рассмотрим более подробно разделение двух компонентов на поверхности
склейки в призме Глана—Томпсона. Так как падающий неполяризованный луч
перпендикулярен оптической оси, то для необыкновенного луча показатель
преломления равен дикп1|п (рис. 8.5, б). Для линии е (Л = 546,1 нм), лнк = 1,488;
по = 1,662. В качестве клея используется канадский бальзам с пк~ 1,54 (можно

Рис. 8.8. Призма Глана- Томпсона. Толщина слоя клея показана сильно преувеличенной.
использовать другие виды оптического клея). Так как инк < пк, то для необыкно-
венного луча на границе кристалл/клей условие полного внутреннего отраже-
ния не выполняется. По формуле (1.16) предельный угол полного внутреннего
отражения для обыкновенного луча равен д = 67,9Г. Так как для падающего
луча е = 71,57° (е > е ), то происходит полное внутреннее отражение. Относи-
тельно большая разность углов показывает, что падающие наклонно на вход-
ную грань призмы лучи в пределах некоторого угла (его можно рассчитать)
выйдут линейно поляризоваными.

8.3.2. Фазовые пластинки

Принцип действия фазовых пластинок уже был описан в разд. 8.2.2 (рис. 8.6, б).
Если рассечь анизотропную пластину параллельно оптической оси, то обе компо-
ненты со взаимноперпендикулярными состояниями поляризации выходят из плас-
тины в одном направлении, но с оптической разностью хода

r = d-\nHK-no\, (8.12)

и одновременно с разностью фаз &<р = 2я • Г/А, т. е.

'Утг

= (8.13)

где d — толщина пластины; А — длина волны в воздухе и в вакууме.

Направление колебаний замедленной компоненты называется медленной осью,
а перпендикулярное этой оси направление называется быстрой осью фазовой пла-
стинки. На рис. 8.6, б (отрицательная двулучепреломляющая пластина) медленная
ось перпендикулярна плоскости чертежа (обыкновенный луч колеблется перпенди-
кулярно главному сечению), а быстрая ось совпадает с оптической осью. В положи-
тельной двулучепреломляющей пластине положение осей противоположное. Та-
ким образом, быстрая и медленная оси имеют важное значение для фазовой плас-
тины. Тогда безразлично, какое из этих направлений соответствует обыкновенной
и необыкновенной компонентам.

Действие фазовой пластины показано на рис. 8.9, а. Быстрая ось 5 совпадает с
направлением х, а медленная ось — с направлением у. На пластину падает линейно
поляризованный свет с направлением колебаний Р и ампли-
тудой р. Угол между Р и 5 равен &. Тогда:

1) линейно поляризованный свет можно представить в
виде компонент с амплитудами х = р cos & и у = р • sin г?.
Направления колебаний этих компонент совпадают с осями
L и S. Таким образом, благодаря углу & отношение амплитуд
у/х может быть произвольным;

Рис. 8.9. Действие фазовой пластинки:

а — разложение на компоненты (Р— направление поляризации, 5 — быстрая
ось, L — медленная ось, Р, х, у — амплитуды); б— действие полуволновой
пластины (Р, Р* — направления поляризации падающего и выходящего света,

— амплитуды падающего и выходящего света, х, у, у' = —у — амп-
литуды компонент на входе и выходе из пластины).
2) между компонентами возникает оптическая разность хода Г [формула (8.12)].
Оптическая разность хода зависит от толщины и разности показателей преломле-
ния. Оптической разности хода Г, согласно выражению (8.13), соответствует раз-
ность фаз Д^.

Фазовая пластинка позволяет получить все состояния поляризации. Для угло-
вых положений & = 0° и & = 90° (направление поляризации падающего света парал-
лельно быстрой и медленной осям) линейное состояние поляризации сохраняется,
конечно, неизменным. На неполяризованный свет фазовые пластинки не оказыва-
ют какого-либо заметного влияния, так как к статистически нерегулярным измене-
ниям фазы добавляется постоянная разность фаз.

Очень большое значение имеют фазовые пластинки с Г = Л, Г= 2/2, Г = 2/4.
Для одноволновой пластинки оптическая разность хода равна Г= 2, а разность фаз
Др = 2л- (только для соответствующей длины волны, например 2 = 540 нм, желто-
зеленый цвет). Если при перекрещенных поляризаторе Р и анализаторе А (г90. = 0,
«темное поле», см. разд. 8.3.1) между Р и А вводят пластинку, например, с & = 45°,
то для 2 = 540 нм состояние поляризации не изменяется, следовательно, излучение
с этой длиной волны гасится. Но если на такое устройство падает белый свет, то
для других длин волн Г Ф 2. Следовательно, для этих участков спектра будут иметь
место различные эллиптические состояния поляризации. Поэтому на выходе ана-
лизатора получается свет ненасыщенного дополнительного к желто-зеленому цвета
(пурпур). Малые оптические разности хода, например при исследовании оптичес-
ким методом напряжений в материалах (разд. 8.4.1), видны в виде цветовых от-
тенков.

Оптическая разность хода между двумя компонентами в полуволновой пласти-
не равна Г= 2/2, или в общем случае Г= (2т + 1) -2/2, где т = 0, 1,2, ... . Разность
фаз при этом составляет А<р = (2т + 1) • л. При разности фаз 180° на выходе пласти-
ны (рис. 8.9, 6) свет остается линейно поляризованным, но направление колебаний
Р' повернуто на 2г9 относительно Р. При этом Р' симметрично Р относительно
одной из осей 5 или L. Полуволновые пластины представляют удобное средство
для вращения плоскости поляризации.

Самой важной из фазовых пластинок является четвертьволновая пластина, так
как с ее помощью можно получать свет с эллиптической и циркулярной поляриза-
цией3 (разд. 8.3.3). В этом случае оптическая разность хода между двумя компонен-
тами равна Г= Л/4, или в общем случае Г = (2т + 1) 2/4, где т = 0, 1, 2, ..., а
разность фаз А<р = (2т + 1) л/2 (т. е. включая пластинки с оптической разностью
хода Г = 32/4, Д<з = 270° и т. д.).

Так как в фазовых пластинках разность хода равна произведению толщины
пластины на разность показателей преломления [формула (8.12)], то при большом
Ди (например, кальцит) получаются неудобные малые толщины. Достаточную тол-
щину d можно получить, используя материалы с незначительной разностью пока-
зателей преломления и, кроме того, благодаря увеличению сдвига фаз на целое
число периодов (т Ф 0). Обычно фазовые пластины изготавливаются из слюды,
кварца, гипса. Фазовые пластины очень больших поперечных сечений могут быть
изготовлены на основе растянутых пластмассовых пленок.

Фазовые пластины с изменяемой оптической разностью хода (например, из-
менение толщины при смещении двух клиньев друг относительно друга) называ-
ются компенсаторами. Такие компенсаторы используются в том числе для анали-
за состояние поляризации света, так как вносимая ими разность фаз может быть
измерена.

3 Из света с линейной поляризацией, который в свою очередь может быть получен из неполя-
ризованного света с помощью поляризатора. (Прим, пер.)
Пример

Из кварца должна быть изготовлена четвертьволновая пластина. Для длины
волны А = 550 нм и |к - ио = 0,00917. Пластина должна иметь толщину примерно
1 мм. Какую точную толщину d должна иметь пластина и чему при этой толщи-
не равно число m2

Решение:

Если принять d = 1 мм, то из формулы (8.12.) следует Г= 9170 нм = 16,673-А.
Для четвертьволновой пластины необходимо Г = 16,25 - Л (или 17/25 -А и т. д.).
Тогда Г = 16,25 -А = 8937,5 нм и d = 0,9746 мм (при т = 32). Пластина дает
оптическую разность хода Г= (2 -32 + 1) -2/4 или 162 + 1/4. Характеристики
таких пластин чувствительны к изменениям температуры, наклонам и отклоне-
нию длины волны.

8.3.3. Применение четвертьволновой пластины

В соответствии с разд. 8.1.2 состояния поляризации отличаются отношением у/х и
сдвигом фаз Др двух компонент. С помощью четвертьволновой пластины с Др = ±л/2
(и Др = +л/2 • к, где к — нечетное число) можно получить из падающего на плас-
тину линейно поляризованного света все состояния поляризации. Соотношение
амплитуд определяется углом г? (рис. 8.9, д); у/х = tgz9. При рассмотрении доста-
точно ограничиться диапазоном —90° < & < 90°. При & = 0° и & = 90° падающий
линейно поляризованный свет проходит пластину без изменения состояния поля-
ризации.

При 0° < г? < 90° выходящий из пластины свет правоэллиптически поляризован,
в специальном случае г? = 45° свет правоциркулярно поляризован.

Если & < 0, то, как видно из направления поляризации Р, быстрая и медленная
оси пластины меняются местами, т. е. направление вращения становится противо-
положным. При —90° < г? < 0° свет левоэллиптически поляризован, в специальном
случае г? = —45° свет имеет левую циркулярную поляризацию.

Хотя определить направления осей 5 и L можно легко, однако отличить одну
ось от другой трудно. Поэтому чаще всего интересуются только изменением на-
правления вращения, а не самим направлением вращения.

При эллиптической поляризации падающего света (благодаря разности фаз
/\<р = ±п/2, вносимой четвертьволновой пластинкой) оси эллипса совпадают с ося-
ми пластины 5 и L. Для угла азимута (рис. 8.3) из формулы (8.3) следует а = 0; из
выражения (8.4) находится угол эллиптичности е, в данном случае

sin 2g =. (8.14)

1 + tg_ &

Выпускаемые промышленностью циркулярные поляризаторы состоят из двух
слоев: линейный поляризатор и ориентированная под г? = 45° четвертьволновая
пластина. Ориентация определяет направление вращения (левое или правое). Ко-
нечно, свет должен падать со стороны поляризатора. Если свет падает со стороны
четвертьволновой пластинки, то на выходе свет будет линейно поляризованным.
На рис. 8.10 показано гашение отраженного рассеянного света с помощью цирку-
лярного поляризатора. Пусть, например, свет с правой циркулярной поляризацией
падает на недеполяризующую отражающую поверхность. Тогда после отражения
свет также будет иметь циркулярную поляризацию. При новом проходе через чет-
вертьволновую пластинку появляется дополнительная разность хода от 2/4. Таким
образом, две компоненты, плоскости колебаний которых взаимноперпендикуляр-
Рис. 8.10. Циркулярные поляризаторы гасят отраженный свет:

и,, пг — показатели преломления для колебаний в направлении осей четвертьволно-
вой пластинки.

ны, сдвинуты друг относительно друга на 2/2. Тогда обе эти компоненты соответ-
ствуют линейно поляризованному свету, который поляризатор как раз и не пропус-
кает! Этот гашение особенно отчетливо в случае металлических зеркал, а отражен-
ный свет, который исходит от оказывающих деполяризующее действие поверхнос-
тей (например, белой матовой), полностью не гасится.

8.3.4. Деполяризаторы

Если на детектор выходного сигнала влияет состояние поляризации (как, напри-
мер, для некоторых типов вторичных фотоэлектронных умножителей), то линейно
или эллиптически поляризованный свет может привести к ошибкам при измерени-
ях. Одной из возможных причин этого явления могут быть поляризационные эф-
фекты при отражении на окнах и поверхностях детектора (разд. 8.2.1). Если для
устранения ошибок не достаточно преобразования в свет с циркулярной поляриза-
цией, то требуется деполяризация. Деполяризация может быть только более или
менее хорошо приближенной, так как из линейно поляризованного света необхо-
димо получить свет со статистически равномерным распределением направлений
поляризации и сдвигов фаз (разд. 8.1.1). Очень хороший результат достигается при
многократном рассеянии в неоднородных средах, например при прохождении све-
та через глушенное стекло. Отражение на диффузно рассеивающих поверхностях
также дает неполную деполяризацию.

Существенным недостатком рассеивающих деполяризаторов является значи-
тельное снижение силы излучения, так как мощность излучения перераспределя-
ется в большой телесный угол. От этого недостатка свободны псевдодеполяриза-
торы, которые создают такую совокупность или смесь различных состояний поля-
ризаций, которая для практических целей не отличается от неполяризованного
света. Если излучение не является строго монохроматическим, то можно исполь-
зовать деполяризатор Лио. Этот деполяризатор состоит из двух последовательно
расположенных фазовых пластин из кварца или кальцита. Отношение толщин
пластин 1:2; их быстрые оси составляют друг с другом угол 45°. Так как оптичес-
кая разность хода Г большая, то в пределах узкого спектрального интервала созда-
ется эллиптически поляризованный свет с очень различными сдвигами фаз и уг-
лами азимута. Линейно поляризованный свет с направлением колебаний, совпа-
дающим с быстрой или медленной осями, будет проходить пластину, не изменяя
состояния поляризации (не деполяризуясь). Расположение второй пластины под
углом 45° предотвращает это.
8.4. Применения поляризации

8.4.1. Оптические методы исследования напряжения
в материалах

В результате внешних воздействий (электрическое поле, механическое напряже-
ние) изотропные материалы могут превратиться в анизотропные. Поляризацион-
но-оптическое исследование возникающего двулучепреломления позволяет оце-
нить сами воздействия. С помощью оптических методов (методы фотоупругос-
ти) определяют величину и направление механических напряжений в прозрачных
пластмассовых моделях сложных элементов конструкции. На рис. 8.11, а пока-
зана схема установки для исследования напряжения в материалах. Пластмассо-
вая пластина расположена между перекрещенными поляризатором и анализато-
ром. В состоянии, свободном от напряжений (в ненагруженном состоянии) поле
остается темным. При наличии нагрузки через анализатор наблюдают светлые и
темные линии, т. е. частично освещенные области. Коэффициент пропускания
установки из поляризатора, модели и анализатора (в данной точке модели) вы-
числяется по формуле

(8.15)

. > ~ . •> С (ст, - ст,) dn

Т = Гтах ’ Sm" ‘ Sin' — д’

Рис. 8.11. Оптические методы исследования напряжения в материалах:

а — принцип (<тр а2 — направления главных напряжений); б — изохромы несиммет-
рично нагруженного бруса с указанием порядка изохром.
где г?— угол между направлением плоскости колебания выходящего из поляризато-
ра линейно поляризованного излучения и направлением одного из главных напря-
жений; С — зависимый от материала относительный оптический коэффициент на-
пряжения; <7, и <т, - главные напряжения; d — толщина пластины.

Все точки модели, в которых хотя бы один из двух множителей sin2 будет равен
нулю, наблюдаются темными. Таким образом, возникают две совмещенные систе-
мы темных полос.

1. Изохромы соединяют точки модели с одинаковой разностью сг2 — <7р так как
при С(<т2 — о;) = т • лг- (т = 0, 1,2,... — порядок изохром) второй множитель

sin2 в формуле (8.15) будет равен нулю. Это случай, когда

С ростом разности <т2 — о-, изохромы всегда распологаются более плотно. Поря-
док изохром отсчитают от «нулевой изохромы» (т = 0; состояние, свободное от
напряжений). Значение порядка изохром позволяет сделать вывод об уровне на-
пряжений и их распределении (рис. 8.11, 6), так как изохромы являются «линиями
уровня рельефного изображения графиков нагрузки». В качестве материала для
модели используют полиэфирную или эпоксидную смолы (высокое значение С);
мешающие изоклины подавляют вставкой двух четвертьволновых пластин перед и
за моделью. Используют монохроматический свет (например, натриевая спектральная
лампа Л = 589,3 нм). При белом свете появляются цветные изохромы. Рассмотрим
двулучепреломление, возникающее в пластине под действием механической на-
грузки. Падающий линейно поляризованный свет представим в виде двух компо-
нент, плоскости колебаний которых совпадают с направлениями главных напряже-
ний (рис. 8.11, а). Для этих компонент разность показателей преломления и, и п2
составит:

«2~«1 =С-(СГ2-а'1)-

(8.16)

Оптическая разность хода между компонентами на выходе из пластины равна

Г = С-(<72-<7,)-£/. (8.17)

Если через данную точку модели не проходит изоклина (см. ниже) или изохро-
ма, то обе эти компоненты соответствуют эллиптически поляризованному свету.
В этом случае часть эллиптически поляризованного света проходит через анализа-
тор; поэтому такая точка модели видна светлой.

2. Изоклины (линии постоянного наклона главных напряжений) соединяют точки
модели, в которые одно из двух главных направлений напряжения совпадает с на-
правлением поляризатора и анализатора, так как при d = 0°, d = 90° выполняется
условие sin2 2d = 0. В отличие от рис. 8.11, а падающий линейно поляризованный
свет после прохождения модели сохраняет свое состояние поляризации и, следова-
тельно, не проходит через анализатор. Если совместно поворачивают поляризатор
и анализатор, так что они остаются в скрещенном положении, то изоклины пере-
мещаются. Можно вычертить их положение для различных углов (например, 0°,

Рис. 8.12. Изоклины и линии главных на-
пряжений. Фрагмент нагруженной на из-
гиб пластины. Черным цветом показаны
изоклины; красным и голубым — сеть вза-
имноперпендикулярных линий главных на-
пряжений.
15°, 75°). Из этого можно реконструировать сеть взаимноперпендикулярных ли-
ний главных напряжений и тем самым получить графики направлений напряжения
(рис. 8.12). Чтобы не мешали изохромы, берут материал с низким значением С,
например Plexiglas®.

8.4.2. Другие примеры использования

Далее будет коротко рассмотрено несколько примеров, которые должны показать
ширину области применения поляризационно-оптических элементов и методов.

При фотографической съемке (например, исследовательской установки за за-
щитным стеклом) поляризационный фильтр используется для подавления мешаю-
щих отражений. Так как неполяризованный свет при отражении частично или пол-
ностью поляризуется (разд. 8.2.1), то такой свет можно ослабить с помощью укреп-
ленного перед объективом поляризационного фильтра, который можно вращать
вокруг оптической оси объектива. Требуемый угол поворота поляризационного
фильтра устанавливается при наблюдении в видоискатель зеркального фотоаппара-
та. Оптимальное подавление отраженного света достигается в том случае, когда для
освещения используется поляризованный свет (например, поляризованный свет от
лазера или лампа с установленным перед ней поляризационным фильтром). Диф-
фузно рассеивающие поверхности остаются видимыми, так как свет на них деполя-
ризуется. Солнечные очки на основе поляризационных фильтров смягчают отра-
женный контровый свет (например, свет от горизонтальных водных поверхностей)
более сильно, чем неполяризованный свет.

Для разделения кадров стереопары при проекции стереоизображений могут быть
использованы ортогональные направления поляризации. Изображение в этом слу-
чае наблюдается через очки с поляризационными фильтрами (разд. 6.4.4).

Изменение оптической активности (разд. 8.2.3) сегодня широко используется в
жидкокристаллических индикаторах (LCD = Liquid Crystal Display = жидкокрис-
таллический дисплей). Жидкие кристаллы (различные органические соединения со
стабильной формой строения молекулы) образуют в четко ограниченной области
температур промежуточную фазу. Жидкие кристаллы подвижны как жидкости, но
образуют анизотропные кристаллические области. На рис. 8.13 показана наиболее
часто используемая конструкция в виде ячейки с нематическими (нитевидными)
жидкими кристаллами и зеркальным слоем. Данная конструкция используется во
всех миниатюрных индикаторах (часы, измерительные приборы). Толщина слоя
жидких кристаллов между двумя стеклянными пластинами с прозрачными элект-
родами составляет примерно от 10 до 20 мкм. Молекулы с нематической ориента-
цией располагаются параллельно к поверхностям пластин, причем направление
продольной оси может устанавливаться микроскопически тонкой желобчатой струк-
турой поверхностей. Молекулы «прикрепляются» к поверхностям таким образом,
что возле двух перекрывающих поверхностей длинные оси молекул взаимнопер-
пендикулярны. В пределах толщины слоя положение азимута непрерывно изменя-

Рис. 8.13. Принцип действия жидкокристал-
лического индикатора с зеркальным слоем:
Р, и Р2 — скрещенные поляризаторы, G — стеклян-
ные пластины, Е — электроды, LC — слой жидких
кристаллов, S— зеркало. Слева: сегмент индикато-
ра, не находящийся под напряжением, выглядит
светлым; справа: сегмент индикатора, находящий-
ся под напряжением, выглядит темным (толщины
слоев показаны без соблюдения масштаба!).
Рис. 8.14. Ориентация молекул при «Twisted Nematic». Поворот плоскости поляриза-
ции на 90° (деталь к рис. 8.13).

ется между двумя направлениями (как для тонкой ленты, концы которой скручены
на 90° друг относительно друга). С этим скручиванием связано вращение плоскости
колебаний падающего линейно поляризованного света (рис. 8.14). Если вне ячейки
находятся два скрещенных поляризатора Pt и Р2, то прошедший через Pt свет ли-
нейно поляризован, слой жидких кристаллов поворачивает плоскость колебаний на
90°, благодаря чему свет проходит через Р,. От зеркала 5 (а также от деполяризую-
щей поверхности) отраженный свет идет обратно тем же путем, и наблюдатель
видит светлое поле. Если теперь к электродам приложить напряжение (рис. 8.13
справа), то молекулы располагаются по направлению поля; оптическая активность
исчезает; прошедший Д свет поглощается Р2; такой сегмент наблюдается темным.
Эта конфигурация называется TND (Twisted Nematic Display). Так как при посто-
янном напряжении в результате электролиза происходит разрушение жидких крис-
таллов, то необходимо всегда использовать переменное напряжение. Крайне не-
значительное потребление электрической мощности обусловлено тем, что индика-
тор является пассивным (т. е. сам индикатор не испускает свет, а представляет
только контрастную структуру для отраженного света, аналогично темной надписи
на светлом фоне).

В поляриметрах оптическая активность дает возможность проводить количе-
ственный анализ, в том числе определение концентрации (например, растворов
сахара). Для растворов оптически активных веществ угол вращения плоскости ко-
лебаний «равен

« = [«]• с -d, (8.18)

где с — концентрация, г/см3; d — толщина слоя, дм; [«] — вращательная способ-
ность, градус см3/(г • дм). Вращательная способность [«] зависит от длины вол-
ны. Например, для тростникового сахара [«] = 66,5° см3/(г-дм) (линия D). Для
веществ с левым вращением плоскости колебаний [«] < 0. При помощи поляримет-
ров определяется точное значение угла поворота « и по нему рассчитывается кон-
центрация с.

Поляризационные микроскопы предназначены для исследования объектов в
поляризованном свете. Микроскопические исследования в поляризованном свете
очень малых частиц позволяют определить оптические характеристики, параметры
формы минералов и горных пород и одновременно идентифицировать объекты
наблюдения. Также возможно исследование двулучепреломления, вызываемого на-
пряжениями (раздел 8.4.1) в стеклах и пластмассах. В минимальный комплект по-
ляризационного микроскопа должен входить поляризатор, который расположен перед
объектом (около конденсора), поворотный столик с угломерной шкалой и анализа-
тор, расположенный в идущем от предмета к наблюдателю пучке лучей. Использу-
емый объектив не должен иметь остаточного двулучепреломления, которое возни-
кает из-за механических напряжениий в его конструкции. Совместное применение
других вспомогательных средств позволяет выполнить очень обширную программу
исследований [5.6].

Эллипсометрия является очень эффективным методом неразрушающего изме-
рения и контроля оптических параметров веществ по поляризационным характери-
стикам отраженного от поверхности света. Если на металлическую поверхность под
большим углом падает линейно поляризованный свет, то после отражения свет
будет эллиптически поляризованным: перпендикулярные и параллельные к плос-
кости падения компоненты после отражения имеют сдвиг фазы и различные амп-
литуды. Эти поляризационные характеристики зависят от состояния поверхности,
в том числе от адсорбции (поверхностного поглощения) тонких слоев (например,
слоев оксидов, водяной пленки). Эллипсометрия позволяет вести измерения слоев
с очень незначительной толщиной (менее нанометра), а также наблюдение измене-
ний толщин или структуры слоев. Для этого эллипсометром измеряют характерис-
тики эллипса поляризации (рис. 8.3). При этом на поверхность образца падает
параллельный пучок монохроматического линейно поляризованного света. Отра-
женный свет с эллиптической поляризацией компенсатором превращается (за счет
подбора ориентации и разности фаз компенсатора) в линейно поляризованный,
азимут которого определяется анализатором по гашению данного света. Из полу-
ченных данных можно определить разность фаз и соотношение амплитуд. Проце-
дуры эллипсометрических измерений могут быть значительно автоматизированы
(в том числе в целях регистрации быстрых временных изменений).

Электрооптические затворы и модуляторы для малоинерционных модуляторов
света (в том числе в сканерах) требуют поляризатора, чтобы превращать созданную
электрическим полем фазовую модуляцию в модуляцию интенсивности. В качестве
примера рассмотрим часто используемую ячейку Покельса (рис. 8.15). Определен-
ные вещества (и среди них калиумгидрогенфосфат, KDP) в электрическом поле
обладают двулучепреломлением. При отсутствии разности потенциалов свет не про-
ходит, так как поляризатор и анализатор скрещены.

С ростом напряжения увеличивается двулучепреломление, т. е. между компо-
нентами, колеблющимися в направлениях поля и перпендикулярном к нему, воз-
растает фазовый сдвиг Др:

K<p = K-d-y,

(8-19)

где К — постоянная материала; d — длина пути света в активной области; U/1 —
напряженность поля.

Так как разность фаз пропорциональна напряжению (линейный электроопти-
ческий эффект), то ячейку Покельса можно рассматривать как электрически уп-
равляемую фазовую пластину. При достижении полуволнового напряжения

Ujl/2

Л I

(8.20)

оптическая разность хода равна Г= А/2, а фазовый сдвиг Др = л, т. е. ячейка По-
кельса действует как полуволновая пластинка. В разд. 8.3.2 было показано, что в

Рис. 8.15. Принцип действия поперечной
ячейки Покельса:

Р, А — скрещенные поляризатор и анализатор,
но установленные под 45° к направлению поля у;
U— напряжение; / — расстояние между электро-
дами; d — длина пути света; голубым показан
активная среда.
этом случае на выходе пластины свет линейно поляризован, но плоскость колеба-
ний развернута на 90° (разд. 8.3.2), т. е. совпадает с направлением пропускания анали-
затора. При U = Ц/2 достигается максимальный коэффициент пропускания тс В об-
щем случае коэффициент пропускания г является функцией напряжения U:

. л U |

r = ro-sm- - (8.21)

V 2 )

Необходимое напряжение зависит от / и d и обычно составляет величину порядка
киловольта.

Кроме рассмотренной здесь поперечной ячейки Покельса (направление поля
перпендикулярно направлению света), используется также продольная ячейка По-
кельса (направление поля параллельно к направлению света; электроды при этом
кольцеообразные или прозрачные).
ГЛАВА 9

ОПТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Для измерения характеристик оптических элементов и систем существует большое
число разнообразных методов. Ниже будут изложены только основы наиболее час-
то используемых методов измерения характеристик линз и объективов, без учета
состояния их аберрационной коррекции. Также рассматривается определение ра-
диусов кривизны. Это связано с тем, что при измерении радиуса кривизны сфери-
ческого зеркала одновременно находится его фокусное расстояние. Измерение по-
казателя преломления стекла основано на формуле (2.45). Из-за нехватки места1
опущен анализ точности методов измерения. Рекомендуется использовать обычные
методы оценки точности экспериментальных исследований. Подробное изложение
этого вопроса для оптических измерений дано, например, в [10.1]—[10.3].

Определение аберраций оптических систем требует еще более обширных изме-
рений. Тем не менее существует возможность количественной оценки качества
оптического изображения без измерения отдельных аберраций. Такой метод оцен-
ки качества оптического изображения будет рассмотрен ниже.

9.1. Радиус кривизны

С помощью кольцевого сферометра (рис. 9.1, а) можно измерить радиусы кривиз-
ны поверхностей линз и зеркал механическим (контактным) способом. На измеря-
емую поверхность накладывается кольцо, радиусы /? (для выпуклых поверхностей)
и Ra (для вогнутых поверхностей) которого известны с высокой точностью. Стрелка
прогиба р измеряется стрелочным индикатором. Радиус кривизны г вычисляется по
формуле

или находится по таблице. Для установки нулевого отсчета индикатора используют
плоскую пластину.

Оптический (бесконтактный) метод основан на зеркальном отражении от вог-
нутой или выпуклой поверхности (в том числе от поверхностей линзы). В показан-
ной на рис. 9.1, б схеме перед контролируемой деталью располагается автоколлима-
ционная зрительная труба. Насадочная линза на объективе этой трубы позволяет
получить действительное изображение коллимационной марки. Действительное
изображение коллимационной марки можно также обеспечить при замене объек-
тива автоколлимационной зрительной трубы на объектив микроскопа. В процессе
измерения находятся два положения контролируемой поверхности, при которых на
марке зрительной трубы расположено резкое беспараллаксное изображение колли-
мационной марки. Получить такое изображение коллимационной марки можно
только в двух случаях:

1) когда изображение марки совпадает с вершиной поверхности;

2) когда изображение марки находится в плоскости центра кривизны поверхно-
сти С.

1 Речь идет о немецком издании книги. (Прим, пер.)
Рис. 9.1. Определение радиусов кривизны:

а — с помощью кольцевого сферометра; б — с автоколлимационной зрительной тру-
бой; в — по линейному увеличению.

Разность отсчетов при двух таких положениях измеряемой поверхности равна
радиусу кривизны поверхности г. Для измерения малых радиусов кривизны две
святящиеся штриховые марки или спирали ламп накаливания размещают на кон-
цах отрезка у (рис. 9.1, в). Расстояние а от вершины поверхности до отрезка у
выбирают таким, чтобы отрезок У (изображение отрезка у) был много меньше, чем
сам отрезок у. Практически вплотную перед поверхностью располагают стеклян-
ную шкалу. С помощью зрительной трубы по этой шкале можно определить значе-
ние у даже тогда, когда изображение немного смещено в продольном направлении
относительно положения шкалы. Измерить отрезок у можно также зрительной тру-
бой для контроля поперечных смещений с насадкой в виде плоскопараллельной
пластины (см. разд. 6.6.4). По измеренным значениям а и 1/Д' = у/У из выражений
(1.15) и (2.7) находится радиус:

Пример

Два освещенные марки (у = 300 мм) установлены на расстоянии а = —800 мм
от маленького вогнутого зеркала. С помощью зрительной трубы для контроля
поперечных смещений измерен отрезок у = —4,18 мм (так как изображение
действительное, то у < 0). Тогда г = —21,99 мм.

9.2. Фокусные расстояния

Методы измерений фокусных расстояний основаны на формулах (1.14), (1.15) или
выражениях (2.53), (6.18). Конечно, на точность измерения фокусного расстояния
оказывают влияние аберрации системы. Поэтому для линзы с некорригированны-
ми аберрациями и большим относительным отверстием принципиально невоз-
можно точно измерить фокусное расстояние. Когда точность определения «усред-
ненного фокусного расстояния» для полного светового диаметра и всего исполь-
зуемого спектрального интервала недостаточна, то прежде всего необходимо ди-
афрагмированием (приближение к параксиальной области) и использованием
монохроматического света (например, Я = 546 нм) устранить наиболее существен-
ные источники погрешности. При измерении фокусного расстояния желательно
учитывать те положения предмета и изображения, для которых в оптической систе-
ме исправлены аберрации. Например, если для измерений фокусных расстояний
используется коллиматор, то фотообъектив устанавливают к коллиматору передней
стороной, а объектив микроскопа следует развернуть передней стороной от колли-
матора. Далее описываются только три легко выполнимых метода измерений фо-
кусного расстояния.

Метод Аббе (рис. 9.2) не требует никакого специального вспомогательного обо-
рудования и подходит для систем с положительным фокусным расстоянием сред-
ней величины при неизвестных положениях главных точек Н и Н'.

Измеряемая система строит изображение тестового объекта (штриховая мира
или шкала с точно известным линейным размером у) в плоскости сетки измери-
тельного окуляра, что дает возможность измерить отрезок изображения у. Тогда
можно найти у/у, = l/Д', где — линейное увеличение при положении измеряе-
мой системы /] (считывается с линейки на оптической скамье). Для следующего
положения 12 измеряемой системы (после новой установки на резкость путем про-
дольного перемещения измерительного окуляра) аналогично находится у/у'2 = 1/Д'
Из выражения (1-15) следует

Так как положения главных плоскостей
Но аг — о1 = /2 — /, = Д/, следовательно

неизвестны, то также неизвестны at и а2.

Д/
i/ZW/T

(9.3)

Таким образом, необходимо измерить только сдвиг измеряемой системы Д/ и два
изображения отрезка. Если определить значения 1/Д' не для двух, а для большего
числа положений предмета и построить график значений I как функции от аргу-
мента 1//?', то полученный график можно с хорошей точностью аппроксимировать
прямой линией. Согласно формуле (9.3) угловой коэффициент этой прямой равен
фокусному расстоянию f.

Очень просто и точно можно измерить фокусное расстояние любых систем с
помощью коллиматора (рис. 9.3, а). На сетку коллиматора помещается пара штри-
хов с точно известным расстоянием у. Фактическое фокусное расстояние коллима-
тора также известно. Объектив коллиматора формирует изображение сетки со

Рис. 9.2. Определение фокусного расстояния по методу Аббе.
коллиматор измеряемая система

Рис. 9.3. а — определение фокусного расстояния с помощью коллиматора; б— наведе-
ние на мнимое изображение для систем с отрицательным фокусным рассто-
янием.

штрихами в бесконечности, а измеряемая система строит изображение этой сетки в
фокальной плоскости F'. Для измерения расстояния У между изображениями штри-
хов можно, например, использовать микроскоп, который установлен на направля-
ющих с микрометрическим перемещением поперек оптической оси. В плоскости
промежуточного изображения такого микроскопа находится сетка с перекрестием
или биссектором. Фокусное расстояние вычисляется по формуле:

(9.4)

Вывод формулы (9.4) дан в примере 3 из разд. 2.2.4.

Точные измерения У и у, а также установку сетки со штрихами в фокальной
плоскости коллиматора необходимо выполнить только один раз. В этом случае
ошибка измерения f в значительной мере обусловлена ошибками измерения /. На
точность измерения У оказывает влияние продольное смещение плоскости проме-
жуточного изображения штрихов относительно плоскости перекрестия измеритель-
ного микроскопа. Поэтому при измерениях желательно использовать телецентри-
ческий ход лучей, когда установленная вплотную перед объективом коллиматора
диафрагма находится в передней фокальной плоскости измеряемой системы. Для
установки в это положение диафрагмы зрительную трубу (предварительно выстав-
ленную на бесконечность) помещают вместо измерительного микроскопа и сдвига-
ют измеряемую систему на такую величину, что край диафрагмы виден резко. Анало-
гичным методом измеряют фокусные расстояния отрицательных линз (рис. 9.3, а).
В этом случае измерительный микроскоп необходимо навести на мнимое изобра-
жение сетки с делениями (рис. 9.3, б). При большом отрицательном фокусном
расстоянии мнимое изображение сетки с делениями нельзя наблюдать, если в мик-
роскопе используется обычный объектив. Тогда вместо микроскопа используют
отсчетную зрительную трубу (телескопическую лупу) с большим фокусным рассто-
янием объектива. Можно также на большом расстоянии от измеряемой оптической
системы неподвижно установить зрительную трубу для контроля поперечных сме-
щений. Эта зрительная труба наводится на мнимое изображение, и с помощью
насадки в виде плоскопараллельной пластины (см. разд. 6.6.4) измеряется отрезок
/! Желательно, чтобы фокусное расстояние коллиматора //. было в 5—10 раз боль-
ше фокусного расстояния измеряемой системы. Тогда погрешности коллиматора
(смещение сетки с делениями относительно фокальной плоскости) не приводят к
большим ошибкам измерения.

Фокусные расстояния большой величины можно определить по смещению пред-
мета. Для этого зрительная труба наводится на визирную марку, которая располо-
жена на большом, обозначенном здесь как а' расстоянии. Далее измеряемую систе-
му ставят вплотную (!) перед объективом зрительной трубы и двигают визирную
марку вдоль оптической оси, пока через зрительную трубу не будет снова резко
видна визирная марка. После этого определяется расстояние (в данном случае это
расстояние обозначается как а) от объектива зрительной трубы до визирной марки.
Так как зрительная труба наведена на дистанцию а', то можно считать, что для
измеряемой системы плоскость предметов находится на дистанции а, а мнимое
изображение визирной марки на дистанции а'. Тогда фокусное расстояние/' изме-
ряемой системы находится из уравнения (1.14). Следует отметить, что сумма рас-
стояний а и o' должна быть много больше, чем расстояние от измеряемой системы
до объектива зрительной трубы. Этим же методом можно измерять отрицательные
линзы.

9.3. Положения главных и фокальных точек

Определение положения фокальных и главных точек относительно вершин первой
и последней поверхностей оптической системы может быть выполнено на оборудо-
вании, предназначенном для измерения фокусных расстояний. Если фокусное рас-
стояние /' определяется по методу Аббе, то для различных положений измеряемой
системы известны линейные увеличения, например Д', Д'. Тогда для каждого поло-
жения системы продольные отрезки а и o' находятся по формулам (1.15) и (1.16).
Одновременно, как это показано на рис. 9.2, находятся положения главных точек.
Положение фокальных точек можно найти, если отложить фокусные расстояния
/' и/ = -/' от главных точек. Наоборот, при определении фокусных расстояний с
помощью коллиматора непосредственно находятся задний фокальный отрезок s'k^
и (после оборачивания системы) передний фокальный отрезок При измерении
отрезка У микроскоп будет наведен на фокальную плоскость F' (рис. 9.3, в). Далее
микроскоп перемещается вдоль оптической оси до тех пор, пока вершина после-
дней поверхности не будет видна резко (ее можно опознать с помощью волоса или
по малому цветному пятну2)- Тогда отрезок 5^,.. равен величине перемещения мик-
роскопа. Если отложить фокусное расстояния /' от фокальной точки, то это даст
положение главной точки Н' относительно вершины линзы Sk. Это следует из вы-
ражения (2.15):

Д.Я = - /'.

Непосредственное определение положения главных точек возможно по методу
Moessard’a (рис. 9.4). Хотя в этом методе находится положение узловых точек, но
при одинаковых средах пространства предметов и пространства изображений (воз-
дух) узловые и главные точки совпадают. На направляющих оптической скамьи

Рис. 9.4. Определение положения главной плоскости методом Moessard’a.

2 Отечественные руководства рекомендуют припудрить поверхность или нанести на нее поро-
шок мела. (Прим, пер.)
9.4. Диаметры зрачков

между коллиматором и микроскопом размещена специальная подставка (суппорт).
Измеряемая система закрепляется на направляющих суппорта, что позволяет пере-
мещать ее вдоль оси суппорта. Кроме того, направляющие суппорта (вместе с изме-
ряемой системой) могут поворачиваться вокруг вертикальной оси. Измеряемая си-
стема строит изображение сетки коллиматора. Это изображение наблюдается не-
посредственно на матовом стекле или через микроскоп с перекрестием. Если
развернуть суппорт (вместе с измеряемой системой) на малый угол, то изображение
сместится в поперечном направлении. Путем перемещения с малым шагом измеря-
емой системы вдоль суппорта (при одновременной подстройке резкости изображе-
ния) можно найти такое положение, при котором изображение остается неподвиж-
ным при небольших разворотах суппорта. (Из-за аберраций при больших углах
разворота может показаться, что изображение перемещается.) В этом положении
ось поворота проходит через главную точку Н'. Так как создаваемое измеряемой
системой изображение лежит в фокальной плоскости F', то также можно опреде-
лить положение фокальной точки и фокусное расстояние /' = H'F'.

9.4. Диаметры зрачков

Точные указания по измерению зрачков зрительных труб содержатся в DIN 58388.
Если зрачок (входной или выходной) является действительным изображением ди-
афрагмы и доступен для измерений, то для определения диаметра зрачка использу-
ется измерительная лупа с телецентрическим ходом лучей. При этом стеклянная
шкала лупы непосредственно располагается в плоскости зрачка. Вместо измери-
тельной лупы можно использовать микроскоп, который установлен на направляю-
щих с микрометрическими поперечными перемещениями. В плоскости промежу-
точного изображения данного микроскопа должна находиться сетка с перекрести-
• ем или биссектором. Микроскоп позволяет также проводить измерения и при
мнимом изображении диафрагмы. Так, например, диффузное освещение со сторо-
ны объектива зрительной трубы позволяет легко определить диаметр лежащего за
окуляром выходного зрачка.

Размеры входного зрачка можно также определить по диаметру входящего в
систему параллельного пучка. Для этой цели вплотную перед измеряемой системой
размещается стеклянная шкала или подвижная штриховая марка. Параллельный
пучок может быть получен разными способами. Можно, например, установить в
фокальной плоскости объектива зрительной трубы диафрагму малого диаметра. Тогда
при наблюдении через эту диафрагму стеклянной шкалы имеет место телецентри-
ческий ход лучей в пространстве предметов. Диаметр входящего в систему парал-
лельного пучка (т. е. диаметр входного зрачка) равен длине отчетливо видимой
части шкалы (или длине отрезка, в пределах которого отчетливо видна подвижная
штриховая марка). Еще лучше для создания параллельного пучка использовать кол-
лиматор с установленной в его фокальной плоскости диафрагмой малого диаметра
(DIN 58388). Для контроля совмещения марки с краем зрачка зрительной трубы
можно наблюдать через микроскоп выходной зрачок.

Для зрачков не круглой формы (например, изображения ирисовой диафрагмы)
необходимо определить площадь зрачка и рассчитать диаметр круга равной площади.
Для простоты помещают диафрагму малого диаметра в фокальную плоскость F' и
освещают ее осветителем с большой апертурой. Тогда в пространство предметов
выходит параллельный пучок, поперечное сечение которого можно увидеть на ус-
тановленном вплотную перед системой матовом стекле или зафиксировать попе-
речное сечение пучка на фотобумаге. Если передвигать диафрагму по фокальной
плоскости, то для различных полевых углов можно найти площадь зрачка и тем
самым определить виньетирование.
9.5. Передаточная функция оптических систем

Тех, кто использует в своей практической деятельности объективы, больше интере-
сует качество оптического изображения, чем величины отдельных видов аберра-
ций. В простейшем случае для описания качества оптического изображения ис-
пользуется разрешающая способность. Разрешающая способность равна числу ли-
ний, которые могут быть раздельно воспроизведены на единице длины (обычно на
1 мм). Но при таком описании качества изображения отсутствуют сведения о кон-
трасте. Важно не только воспроизвести линии раздельно, но также обеспечить до-
статочное различие между светлыми и темными участками. В качестве простого
объекта исследований выберем миру, которая состоит из светлых и темных полос
одинаковой ширины. Яркость такой миры периодически изменяется только в од-
ном направлении. Контраст (модуляция) М рассчитывается по формуле:

lin

М =

(9.5)

Hnax ^nin

Если темные полосы абсолютно непрозрачные, то при освещении проходящим све-
том Zmln — 0 и контраст объекта М = I (максимальная величина); равномерно осве-
щенная поверхность дает М = 0.

Мира характеризуется пространственной частотой R [лин/мм]. Одна «линия»
соответствует полному периоду пространственной структуры, т. е. «линия» состоит
из светлой и темной полос.

Если контраст предмета равен М, то контраст изображения, которое формирует
оптическая система, удовлетворяет условию М' < М. Такое снижение контраста
обусловлено аберрациями, дифракционными явлениями, а также рассеянным све-
том. Тогда в качестве «степени эффективности» оптической системы можно ука-
зать «коэффициент передачи модуляции»: Г= М'/М. Понижение контраста указы-
вает на перераспределение энергии: определенная доля энергии из светлых мест
попадает на темные. Легко видеть, что этот эффект особенно сильно проявляется
для высоких пространственных частот, т. е. для чередующихся светлых и темных
деталей объекта малых размеров. Таким образом, коэффициент передачи модуля-
ции зависит от пространственной частоты. Такая зависимость T(R) называется фун-
кцией передачи модуляции (MTF — modulation transfer function). При этом про-
странственная частота R чаще всего относится к плоскости изображения; соответ-
ствующая ей пространственная частота в предметной плоскости равна R -\/3'\.

На рис. 9.5, а показана тонкая полоса, а на рис. 9.5, б соответствующее ей
распределение яркости. Распределение освещенности в изображении этой полосы
показано на рис. 9-5, в, т. е. свет попадает также в смежные с полосой темные
участки. На рис. 9.5, г— е показаны соответствующие изображения прямоугольной
миры с непрерывно возрастающей пространственной частотой. Рост пространствен-
ной частоты приводит к понижению контраста М'. Если аберрации полностью ис-
правлены и в объективе отсутствует рассеянный свет, то значения MTF такого объек-
тива полностью определяются только дифракционными явлениями. Графики MTF
для этого случая показаны на рис. 9.5, ж. При построении этих графиков использо-
вались результаты расчетов [7.2]. Увеличение диафрагменного числа к (диафрагма с
меньшим диаметром) приводит к понижению контраста из-за увеличения дифрак-
ционного кружка (см. разд. 6.1.2). Все реальные графики MTF, которые также учи-
тывают влияние аберраций, лежат ниже графика, который учитывает только диф-
ракционные явления. На форму графика MTF влияет конструкция системы. Это
видно при сравнении двух графиков на рис. 9.5, з: объектив (1) имеет высокий
коэффициент передачи Т при низкой пространственной частоте и одновременно
хорошее воспроизведение контраста; объектив (2) при крутом наклоне начального
контраста обеспечивает разрешение более высоких пространственных частот. Все
графики нормированы из условия Т = 1 при R = 0.
9.5. Передаточная функция оптических систем

Рис. 9.5. К понятию функции передачи модуляции:

а, б — полоса и распределение яркости; в — распределение освещенности в изображе-
нии полосы; г, д — набор полос с возрастающей (слева направо) пространственной
частотой и соответствующий им график распределения яркости; е — распределение
освещенности в изображении полос: имеет место уменьшение контраста; ж — MTF
для безаберрационного объектива (учитываются только дифракционные явления) при
трех диафрагменных числах к для Я — 500 нм; з — две различные функции передачи
модуляции (голубой цвет) и график минимального контраста (красный цвет) челове-
ческого глаза.

Разрешающую способность можно указать только с учетом минимального кон-
траста, допустимого для приемника. На рис. 9.5, з показан график минимального
контраста для глаза (с расстояния 25 см рассматривается фотоотпечаток, размеры
которого соответствуют пятикратному увеличению малоформатного негатива). Выше
точки пересечения графика MTF с кривой минимального контраста объектива да-
ваемое разрешение не восприниматься глазом из-за незначительного контраста.
При этом объектив (1) разрешает более высокие пространственные частоты.

Для измерения функции передачи модуляции разрабатывались различные ме-
тоды (см., например, [10.8]—[10.10]). На рис. 9.6 показана наиболее часто использу-
емая схема измерений. Синхронный двигатель М вращает радиальную миру G, кото-
рая модулирует проходящий свет с постоянной временной частотой к Уменьшен-
ное изображение миры формируется на входной щели Е, которая является
предметной плоскостью для контролируемой системы. Благодаря тому что радиаль-
система

Рис. 9.6. Принципиальная схема устройства для измерения MTF (без соблюдения
масштаба). Пояснения даны в тексте.

ная мира и мотор смещены с оптической оси, можно устанавливать различные
пространственные частоты R. Линии миры не параллельны щели £; значение R
пропорционально синусу угла между ними. Измеряемая система создает изображе-
ние Е в плоскости щели анализатора А, которая перпендикулярна изображению
щели Е. За щелью расположен фотоприемник. Значение Т находится в результате
электронной обработки амплитуды сигнала этого фотоприемника. При измерениях
функции передачи модуляции должна была бы быть использована синусоидальная
мира (которую достаточно трудно изготовить), так как в соответствии с анализом
Фурье прямоугольная мира (штриховая мира; см. также разд. 7.6) дает дополни-
тельные более высокие пространственные частоты. Однако дополнительные часто-
ты можно подавить электронным фильтром, который усиливает только сигналы с
постоянной временной частотой и Так как MTF зависит от длины волны, диафраг-
менного числа, расстояния между измеряемым участком и оптической осью (поле-
вым углом), ориентации полос миры в меридиональном или сагиттальном направ-
лениях, то отдельный график MTF не полностью описывает свойства объектива.

Если изображение формируется в несколько этапов, то коэффициент передачи
модуляции для всей цепочки формирования изображения равен произведению от-
дельных коэффициентов передачи модуляции для каждого этапа (для одной и той
же пространственной частоты конечного изображения):

= (9.6)

При этом некоторые этапы формирования изображения могут быть и не оптически-
ми, но влиять на контраст конечного изображения из-за искажений при передаче.

Пример

Фотосъемка — фотослой — телевизионное сканирование изображения —
передача изображения — экран телевизора.

При необходимости нужно также еще учитывать сдвиг фазы между объектом и
изображением (этот сдвиг является функцией R). Функция передачи фазы (PTF) и
MTF являются двумя частями комплексной оптической передаточной функции
(OTF).
ПРИЛОЖЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

ТЕХНИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

1. Правила построения буквенных обозначений
по DIN 1335

Пространство
предметов

Пространство
изображений

Величины, относящиеся к пространству предметов, пишут (кро-
ме f и Г) без всяких дополнительных обозначений (например,
Н, a, z)

Обозначения величин, относящиеся к пространству изображе-
ний, дополняют знаком «'» (штрихом справа вверху каждой
буквы). Например, d

Вершина поверх-
ности

Центр кривизны
поверхности
Радиус кривизны
поверхности
Точка падения
луча на поверх-
ность оптического
элемента

Высота

Передний фокус

Отрезок SC

Задний фокус

Н'

Передняя главная
точка

Задняя главная
точка

Переднее фокусное
расстояние

Расстояние от оптической оси до точки /

Точка на оптической оси в пространстве
предметов. Если падающий на оптическую
систему луч (или его продолжение) про-
ходит через точку F, то после прохожде-
ния оптической системы луч идет парал-
лельно оптической оси

Точка на оптической оси в пространстве
изображений. Если падающий на оптичес-
кую систему луч параллелен оптической
оси, то после прохождения оптической
системы луч проходит через точку F'

Точки оптической системы, от которых из-
меряются фокусные расстояния, расстояние
до предмета и расстояние до изображения

Расстояние от точки Н до точки F
F' Заднее фокусное расстояние Расстояние от точки Н' до точки F'
D Оптическая сила Величина, обратная фокусному расстоя- нию. Единица измерения м-1 (СИ) = ди-
оптрия (СГС)
О, Р Точки на поверх- Точка О находится на оптической оси. Точ-
ности предмета ка Р лежит вне оптической оси
О', Р' Точки на поверх- Точка О' находится на оптической оси
ности изображения Точка Р' лежит вне оптической оси
S Передний отрезок Расстояние от вершины первой линзы до осевой точки предмета
s' Задний отрезок Расстояние от вершины последней линзы до осевой точки изображения
а Расстояние от перед-
ней главной точки до осевой точки предмета
а' Расстояние от зад- ней главной точки до осевой точки изображения
d Расстояние от вер- шины поверхности до вершины после-
дующей (по ходу лу-
ча) поверхности
У Расстояние от опти -
ческой оси до внеосе- вой точки предмета
у' Расстояние от опти -
ческой оси до внеосе- вой точки изображения
к Диафрагменное Величина, обратная относительному отвер-
число стию
А,А„ Числовая апертура Международное обозначение: NA
£ Угол падения Углы между нормалью к преломляющей (отражающей) поверхности и лучом
е' Угол преломления (отражения)
<Р Угол между норма- лью к поверхности и оптической осью
су Угол между лучом и
оптической осью
2<ги, 2и Апертурный угол
бв Апертурная Также диаметр апертурной диафрагмы.
диафрагма [Примечание переводчика: в русской терми-

нологии аббревиатуре ОВ соответствует аб-
бревиатура АД. Диаметр апертурной диаф-
рагмы обозначается как £>АД]
1. Правила построения буквенных обозначений по

ЕР Входной зрачок Также диаметр входного зрачка. [Приме-
чание переводчика-, в русской терминоло- гии аббревиатуре ЕР соответствует аббре- виатура «вх. зр.». Диаметр входного зрачка обозначается как D или Рвх зр ]
АР 2<т, 2w w’ Выходной зрачок Угловое поле опти- ческой системы Также диаметр выходного зрачка. [Приме- чание переводчика-, в русской терминоло- гии аббревиатуре АР соответствует аббре- виатура «вых. зр.». Диаметр входного зрачка обозначается как D' или D 1 ПЫХ- зр.-1
FB Полевая диафрагма Также диаметр полевой диафрагмы. [При- мечание переводчика", в русской термино- логии аббревиатуре FB соответствует аб- бревиатура ПД. Диаметр полевой диа- фрагмы обозначается как 7)пд]
EL Входной люк Также диаметр входного люка (см. приме- чание на стр. 109)
AL Выходной люк Также диаметр выходного люка (см. при- мечание на стр. 109)
S a a' Угол отклонения Преломляющий угол призмы Продольное увели- чение Угол между падающим и прошедшим лу- чами
F Y' Г t n V M T R Линейное увеличение Угловое увеличение Видимое увеличение Оптическая длина тубуса Показатель прелом- ления Число Аббе Модуляция (контраст) Коэффициент пере- дачи модуляции Пространственная частота
и Допустимая нерезкость Диаметр кружка нерезкости
— Тильда Обозначение величин, которые не отно- сятся к параксиальной области, дополня- ются волнистой линией (тильдой)
2. Правило знаков по DIN 1335

Для всех длин (отрезков, расстояний) указывается точка (например, вершина по-
верхности, главная или фокальная точка), от которой соответствующая длина от-
считывается. Далее (—) указывает на то, что числовое значение отрицательно, а (+)
указывает на то, что числовое значение положительно.

Отрезок

-» — положительное направление распространения
света

Для отражающей поверхности и' = —п

Слева от точки отсчета (—)
Справа от точки отсчета (+)

Точки отсчета для s и s'

Точки отсчета для д и д'

Точки отсчета для z и z'

Точки отсчета для г

Вершины поверхностей: 5р S2, ...
Главные точки Ни Н'

Фокальные точки F и F'

Вершины поверхностей: S2, S2, ...

Ниже оси, от которой ведется отсчет (—)
Выше оси, от которой ведется отсчет (+)

Угол

9
ст
ст'

Е, S'

Знак соответствует выражению
Знак соответствует выражению
Знак соответствует выражению

Существуют несколько пра-
вил знаков для углов s и s'. Од-
нако во всех случаях знаки этих
углов должны быть одинаковы-
ми, что следует из закона пре-
ломления

sin ср = h/r
tg ст = h/s
tg ст' = h/s'

।
Знак в скобках соответствует знаку числового значения.

3. Основные формулы

3.1. Показатель преломления

п _ С0 _ Cvak _ А) _ Лак (3.1.1)

с ^Medium ^Medium

где индекс «vak» указывает на то, что величина относится к вакууму, а индекс
«Medium» — к среде распространения.

3.2. Скорость света

(3.2.1)

В вакууме всегда п = 1; в среде п зависит от состава вещества и частоты излучения.
Воспринимаемый глазом цвет определяется частотой излучения. Поэтому когда для
характеристики цвета используется длина волны Л = c/f то обычно речь идет о
длине волны в вакууме. В технической химии вместо вакуума в качестве опорной
среды используется воздух при нормальных условиях (и = 1,000292).

3.3. Число Аббе

nd -1
vd=—----

nF-nc

Измеренные в вакууме длины волн:

d= 587,6 нм; F= 486,1 нм; С= 656,3 нм.

3.4. Закон преломления

п sin 8 = п' sin е'

Предельный угол полного внутреннего отражения е п> п'

sine = — (3.4.1.1)

___________________________________ж п

Числовая апертура одиночного световода NA, А

NA = A = n-sina„ = - nj, (3.4.1.2)

п — показатель преломления среды перед световодом (обычно 1);

пк — показатель преломления сердцевины световода;

пм — показатель преломления оболочки световода.
Поперечное смещение илуча, который падает под углом ена плоскопараллель-
ную пластину толщиной d, равно

у = SinU-И
cose'

(3.4.1.3)

Общее угловое отклонение луча, который падает под углом на призму с пре-
ломляющим углом а, равно1

При симметричном ходе луча через призму угол отклонения луча минимален.
Если призма находится в воздухе, то минимальное отклонения луча обеспечивается
при выполнении условия

. а . 8 + а

• sin — = sm —-—
2 2

(3.4.1.5)

1 Следует обратить внимание, что из-за смены знаков у углов формулы (3.4.1.4), (3.4.1.5)
отличаются от формул (2.41)—(2.45). (Прим, пер.)
3.5. Закон отражения

(3.5.1)

£r ~ е

3.6. Отражение от прозрачных сред

Коэффициент отражения для неполяризованного света

11 и sin2 (д - д') tg2 (д - д') sin2 (д + д') tg2 (д + д') (3.6.1)

Приближение для малых углов (ошибка не превосходит 4 % для углов, мень-
ших 30°).

Фд (и' - я?
Фо + п J

(3.6.2)

Для поляризованного излучения коэффициент отражения зависит от положе-
ния плоскости падения

Фдст sin2 (д-д')

а Фо sin2 (д + д')

Фдя tg2 (д — д')
Фо 1ё2(д + д')
Угол Брюстера ер

Если угол падения пучка на поверхность равен углу Брюстера, то отраженный пу-
чок полностью поляризован и перпендикулярен к преломленному лучу.

tg ее=- (3.6.4)

3.7. Пропускание потока излучения системой,
состоящей из к поверхностей

Доля потока излучения, прошедшего через последовательность поверхностей, ко-
торые разделяют среды с различными показателями преломления, зависит от раз-
ностей показателей преломления и углов падения на поверхностях. Пусть для каж-
дой из к поверхностей разности показателей преломления окружающих сред равны
по модулю, угол падения излучения является малым.

Тогда полезный поток излучения ФкК на выходе из системы равен

®kN ~ ®о(1 Р)

(3.7.1)

При расчете Фкм многократное отражение от поверхностей не учитывается.
Наоборот, при расчете полного потока излучения Фкс на выходе из системы учиты-
вается многократное отражение от поверхностей:

ф* = ф°Т^Гр

3.8. Просветляющие (интерференционные) покрытия

Оптимальное значение показателя преломления просветляющего слоя, располо-
женного между средами с показателями преломления п1 и п2,

(3.8.1)
Оптимальная толщина просветляющего слоя
д — 4л5 (3.7.2)
4. Гауссова оптика

4.1. Одиночная преломляющая или отражающая поверхность

В случае отражающей поверхности используется подстановка ri = —л; для плоской
поверхности /•-><*>.

4.1.1. Инвариант Аббе для преломляющей поверхности

о П\ \ - n 7 Vr s) \r s J (4.1.1.1)

s' (4.1.1.2)

n - n n + — r s

n (4.1.1.3)

n' ~n n' + r s

4.1.2. Фокусные расстояния

-nr
ri - n

(4.1.2.1)
4.1.3. Положение предмета и изображения
относительно фокальных точек

S = Z + f s' = Z' + f (4.1.3.1)

Z-Z' = f f' (3.1.1)

4.1.4. Линейное увеличение Р'

p, _ y' s' - r ns' _ у s — r n's _f = z z' , , (4.1.4.1)

.s _ s' (4.1.4.2)
n- у n' ’ у'

4.1.5. Угловое увеличение у'

, a' s n- у n V = = — = = <t s' ri y1 ri P' 7 f-P’ z' f «' (4.1.5.1)

S ' (У = s' -ст' (4.1.5.2)
Инвариант Лагранжа
yn-a = yf'n'*a' (4.1.5.3)
4.1.6. Продольное увеличение а'

(4.1.6.1)

а = —

Для малых значений вместо конечных приращений можно подставить диф-
ференциалы. Тогда

, dz' «(«')' z' P‘

a ° —=-= —

de n -s~ z Y

(4.1.6.2)

4.2. Последовательность преломляющих
и отражающих оптических поверхностей

номер рассматриваемой поверхности

4.2.1. Рекуррентные формулы

(4.2.1.1)

О, - ц

О3 = О2

Qt+l - O'k

(4.2.1.2)

So —

^3 —

(4.2.1.3)

sk+l ~ s'k dk, Л+1

(4.2.2)

S2-s3-...-sk

' *$3 * • • • '

s[-s’2-. •s'k th (4.2.3)
P 5, S, . sk n'k

(4.2.4)

_ sl ' s2' ••• ' Sk

S1 ’ S2 '••• ’ Sk

«2 =П1
»з = &

ПЫ1 =
4.3. Оптическая система

Оптическая система состоит из одиночных поверхностей, параметры которых мо-
гут быть неизвестны. В гауссовой области (где угол между лучом и оптической
осью достаточно мал) свойства такой системы2 могут быть описаны заданием двух
главных плоскостей, двух узловых и двух фокальных точек3.

Если предмет расположен в передней главной плоскости, то его изображение на-
ходится в вдней главной плоскости. Линейное увеличение в этом случае равно +1.

4.3.1. Показатели преломления пространства предметов
и пространства изображений не равны (п' л)

Показатель преломления пространства предметов nl = п

Показатель преломления пространства изображений = д'

Построение изображения

При графическом определении положения изображения не лежащей на оптичес-
кой оси точки предмета Р вычерчивается ход следующих вспомогательных лучей:

1 луч

От точки Р до пересечения с задней главной плоскостью луч параллелен опти-
ческой оси. Далее луч проходит через точку F'.

2 луч

Луч, который проходит через точки Ри F, после пересечения с передней глав-
ной плоскостью идет параллельно оптической оси.

Точка Р' пересечения двух таких лучей в пространстве изображений является
изображением точки Р.

2 Предполагается, что система обладает вращательной симметрией. (Прим, пер.)

3 По известному положению фокальных и главных точек можно найти узловые точки. Также по
известному положение фокальных и узловых точек можно найти главные точки. (Прим, пер.)
Приложение. Основные формулы технической оптики

3 луч

Луч, идущий в произвольном направлении из точки Р, пересекает заднюю
главную плоскость на той же высоте над оптической осью, что и переднюю глав-
ную плоскость. После пересечения с задней главной плоскостью этот луч проходит
через точку Р'.

(4.3.1.1)
f «

упчт = у'-п'-а'

(4.3.1.3)

(4.3.1.4)

^ + ^ = 1 (4.3.1.5)

а' а

f z'^п-а'= f-a'

у z f п’-а f-a (4.3.1.6)

(4.3.1.7)

= /•(д')2 = "'(rf = (4.3.1.8)
Дг Z f'-a2 ri-c? /

4.3.2. Показатели преломления первой и последней сред,
окружающих оптическую систему, равны (п' = л)

Если показатели преломления первой и последней сред, окружающих оптическую
систему, равны, то соответствующие главные и узловые точки совпадают. Оптичес-
кие характеристики системы в рассматриваемом случае однозначно определяются
положением фокальных и главных точек.

Для графического построения изображения используются те же вспомогатель-
ные лучи, которые были рассмотрены в предыдущем разделе. При n' = п для графи-
ческого построения изображения можно использовать еще один вспомогательный
луч. В пространстве предметов этот луч идет вдоль прямой РН, а в пространстве
изображений — вдоль прямой Н’Р', которая параллельна прямой РН.

Примеры графических построений д ля всех возможных вариантов даны в разд. 12.
г-Г = -(/')2

(4.3.2.2)

1 1 1
} = a a' f (4.3.2.3)

,, а' а-а' 1
f , 1 (4.3.2.4) 1 - р а -- а 1 ।

0-4

(4.3.2.5)

a'=^;=f(l-F) (4.3.2.6)
a + f

II 1/?' (4.3.2.7)

ч II ^14 II а 1 1! м II z'
(4.3.2.8)
= J_
a + f f f

, сг' у a
Y = <7 у' a' (4.3.2.9)
д, Z f a + f' 1
^=/' = l< II II 1N 1

, Az' =_^=(zf=wl z z2 (/')’
’ (4.3.2.10)
if (a + rf (И2

• Изображение бесконечно удаленного предмета |с | > 500/'
a' = f' (4.3.2.11.1)

y' = -f -Igo (4.3.2.11.2)

• Расстояние / от плоскости предмета до плоскости изображения

l = -a + a’ + HH' = f' • + HH' (4.3.2.12)

4.4. Оптические компоненты находятся в воздухе

4.4.1. Линза в воздухе (п' = п = 1)

Показатель преломления линзы:

Толщина линзы (положительное значение):

d = 5,52

Дополнительно к выражениям, которые были получены для случая равных зна-
чений показателей преломления первой и последней сред (и' = п), выполняются
следующие соотношения:

n, • r. • r.
(и£-1)-[ил-(т2-Г1) + ^-(и£-1)]

C rr,_ -d-r2 nL-(r2-ri) + d-inL-\} (4.4.1.2.1)

<? tj d • /j /441 99^

nL-{,2-rl) + d-{nL-l)

HH' = d , r2-rt ' nL (r2 -rj + d-fa -1), (4.4.1.3)

Линза с одной плоской поверхностью

-й2

(4.4.1.4)

h — половина диаметра линзы.

• Вторая поверхность линзы плоская: г2 —> <=»
HH’ = d^- (4АЛ.Т)

»L

• Первая поверхность линзы плоская: -> о=

S2H' = О

SJI = —
«£

(4.4.1.9)

(4.4.1.10)

В разд. 11 приведены приближенные формулы для расчета оптических парамет-
ров линз наиболее часто встречающихся форм при nL = 1,5.

4.4.2. Тонкая линза в воздухе

Линзу можно считать тонкой, когда ее параметры удовлетворяют неравенству (4.4.2.1):

(4.4.2.1)

(w”il)lr2~riH3l,2-,'l|

Для тонких линз в воздухе дополнительно выполняются следующие равенства:

у7 = («т-1) 1_1 Z1 г1, (4.4.2.2.1)

(4.4.2.2.2)
StH =-------т^-^d (4.4.2.3.2)

НН' = d i (4.4.2.4)
ПЬ

4.4.3. Две оптические системы в воздухе

Для оптической системы из двух компонентов выполняются следующие соотношения.

Расстояние между главными плоскостями компонентов ЩН2 = е

f'= <4-4-31>

Л +Л~е

Н',Н' = (4.4.3.2.1)

fi+fi~e fi

и jj fie -ef' (4.4.3.2.2)

fi'+ fz ~ e fi

НН' = — + HiH'i + H-JK (4.4.3.4)

Л+/2-е

4.4.4. Афокальная система

Афокальная система =/'-><*>

В афокальной системе из двух компонентов выполняется условие
4.4.5. Сокращение продольных габаритов

Продольные габариты оптической системы определяются расстоянием от плоско-
сти предмета до плоскости изображения l=f\2 - fi' - 1//?') + НН'. В двухкомпо-
нентной системе длина I может быть сокращена за счет отрицательного значения
отрезка НН'.

Вариант 1

Вариант 2
(4.4.5.5)

НН' =

4.4.6. Оптические параметры системы, которая состоит
из произвольного числа компонентов

ек, Л+1 “ (4.4.6.1)
е может принимать отрицательные значения!
й*+1 ~ак~ ек, Л+1 (4.4.6.2)

/3' = (4.4.6.3.1)

рг _ а1'а2'- ак (4.4.6.3.1)
at-a2-.

, 1 / = — = “57 (4.4.6.4)
СТ] р

а' = = Р'2 (4.4.6.5)

5. Ограничение пучков лучей

Пучок лучей в оптической системе может быть ограничен:
• размерами источника света;

• расположенными в оптической системе диафрагмами;

• размерами приемника излучения.

5.1. Апертурные характеристики

Апертурной называется та диафрагма, которая ограничивает пучок лучей, выходя-
щих из осевой точки предмета. Входной зрачок (вх. зр.) является изображением
апертурной диафрагмы (АД) в пространстве предметов. Выходной зрачок (вых. зр.)
является изображением апертурной диафрагмы в пространстве изображений.

Ход луча в трехлинзовой системе: осевая точка предмета О —> вх. зр. (край) -»
АД -> изображение АД (АД') -» вых. зр. Следует обратить внимание на положение
изображений (прямое/перевернутое).
5. Ограничение пучков лучей

линза 1 АД линза 2 линза 3

Апертурный угол ст в пространстве предметов равен углу между лучом, выходя-
щим из осевой точки предмета и идущим через край апертурной диафрагмы, и
оптической осью.

В случае, если предмет находится на близком расстоянии от оптической систе-
мы, для описания апертурных характеристик используется числовая апертура

А = NA = wsin<7„, (5.1.1)

где п — показатель преломления пространства предметов.

При удаленном предмете апертурные характеристики описываются диафраг-
менным числом к и относительным отверстием 1/Л

2й
к ~ f”

(5.1.2)

где 2й — диаметр входного зрачка.

5.2. Поле

Полевой диафрагмой называется диафрагма, которая расположена или в плоскости
предмета, или в плоскости изображения (в том числе промежуточного) и сильнее
всего ограничивает размеры изображения. Входной люк (вх. люк) является изобра-
жением полевой диафрагмы (ПД) в пространстве предметов. Выходной люк (вых.
люк) является изображением полевой диафрагмы в пространстве изображений.

Полевой угол <т равен углу между лучом, выходящим из центра входного зрачка
и идущим через край полевой диафрагмы, и оптической осью.

Главным лучом называется луч, исходящий из внеосевой предметной точки Р и
идущий через центр входного зрачка.
Если предмет находится на близком расстоянии от оптической системы, то поле
описывается линейными размерами предмета или изображения.

В случае удаленного предмета поле описывается или полевым углом 2crw, или
линейными размерами предмета для определенного расстояния между оптической
системой и предметом (например, 1 км).

• Полевая линза

Полевая линза расположена в плоскости промежуточного изображения. В этом
случае а = 0, а' = 0, а Д’ = +1. Полевая линза не влияет ни на величину, ни на
положение изображения.

6. Качество изображения

6.1. Дифракция

Дифракционные явления обусловлены ограничением пучков в оптической системе.
Влияние дифракции на качество изображения тем сильнее, чем меньше отношение
размеров отверстия к длине волны Л

6.1.1. Дифракция на щели

В случае равномерно освещенной щели

sin«i.Min=4- (6.1.1.1)

6.1.2. Дифракция на круглой диафрагме
В случае равномерно освещенной диафрагмы

(6.1.2.1)

6.2. Аберрации

Дополнительно к принципиально не устранимым дифракционным явлениям на
качество изображения влияют геометро-оптические аберрации (хроматические абер-
рации, сферическая аберрация, астигматизм, кома, кривизна поля и дисторсия),
которые могут быть исправлены в большей или меньшей степени.

• Хроматическая аберрация

Хроматическая аберрация первого порядка в системе из двух тонких линз мо-
жет быть исправлена при выполнении условия

с _ Ц-Л'+У;'//
ц+и.

(6.2.2)
Специальные случаи

е = 0=>4- = — > fi Ц (6.2.2)

f' + />' v = v, => е = —1 2. 2 (6.2.3)

6.3. Измерение качества изображения

J — интенсивность (яркость, сила света, энергетическая сила света, ...)
R — пространственная частота (единица измерения — линии/мм)
М — модуляция

J -J .
М — max ~ nun max *Лп1п (6.3.1)

Т — Коэффициент передачи модуляции

J’ ^Bild
^Objekt

где MBUd — модуляция в плоскости изображения; A/Objekt — модуляция в предметной
плоскости.

7. Фотометрия

7.1. Обозначения в формулах и единицы измерения

Индекс 1 относится к излучающей поверхности;

индекс 2 — к освещаемой (облучаемой) поверхности

Излучающая поверхность источника м2
A Площадь освещаемой поверхности м2
Телесный угол, внутри которого распрост- раняется излучение от источника ср
4 Телесный угол, внутри которого распрост- раняется падающее на приемник излу- чение ср
4 Единичный телесный угол ср
X Входная величина (например, световой по- ток, освещенность)
Y Выходная величина (например ток, напря- жение, сопротивление)
II sis Спектральная плотность входной вели- чины
>. Основные формулы технической оптики

d/l л Спектральная плотность выходной вели- чины
Ф к = ¥- Фе Кт = 683 лм/Вт К(2) Световая эффективность для полихромати- ческого излучения Абсолютная спектральная чувствитель- ность глаза для длины волны 555 нм Относительная спектральная световая эф- фективность для дневного зрения. Число- вые значения приведены в DIN 5031, Bl. 3 «Световой» коэффициент полезного дейст- вия полихроматического излучения лм/Вт

7.2. Телесный угол £2

А2 — участок сферической поверхности радиуса г произвольной формы

Телесный угол, образованный двумя соосными конусами с углами при верши-
нах 2сг + do-и 2ег — dcr

d£> = 2л -sincr dcr £20. (7.2.3)
Телесный угол, соответствующий конической поверхности с углом при верши-
не 2<т

Ц = 2л- • (1 - cos а)- £20. (7.2.4)
Из последней формулы при ст —> 0 следует
~ tl * су * • (7.2.5)

7.3. Энергетические и световые величины
и их единицы измерений

Энергетические Radiometry Световые Photometry
Обозна- чение Symbol Единица измерения Unit Обозна- чение Symbol Единица измерения Unit
Поток (мощность) Power Поток излучения Radiant flux Radiant power ф' Вт W Световой поток Luminous flux Luminous power Ф, ЛМ Im
Отношение исходящего от источника по- тока к телес- ному углу Output Power per unit solid angle Энергетичес- кая сила света Radiant intensity I. Вт/ср W/sr Сила света Luminous intensity I, КД cd
Отношение исходящего от источника по- тока к телес- ному углу и площади излу- чающей по- верхности Poweroutput per unit solid angle and unit emitting area Энергетичес- кая яркость Radiance L Вт/(м2ср) W/(m2 sr) Яркость Luminance Lv кд/м2 cdjn?
Энергетические Radiometry Световые Photometry
Обозна- чение Symbol Кдиница измерения Unit Обозна- чение Symbol Единица измерения Unit
Отношение падающего на поверхность потока к пло- щади этой по- верхности Power input per unit area Энергетичес- кая освещен- ность Irradiance E Вт/м2 W/m2 Освещенность Illuminance Illumination E, лк" = лм/м2 lx — = lm/m2
Отношение исходящего от поверхности потока к пло- щади этой по- верхности Power output per unit area Энергетичес- кая свети- мость Radiant emmitance Radiant exitance Вт/м2 W/m2 Светимость Luminous exitance 4 лм/м2 lm/m2
Энергия излучения Radiant energy Энергия излучения Radiant energy Q. Bt-c W-s Световая энергия Luminous energy Quantity of light Q. лм-с bn*s
Отношение потока излу- чения к пло- щади поверх- ности Energy per unit area Энергетичес- кая экспо- зиция Radiant exposure Вт-с/м2 W-s/m2 Экспозиция Light exposure Illumination H, лм-с/м2 Im s/m2

7.3.1. Условие десяти крат (Ten Times Law)

Во многие формулы для расчета энергетических и световых величин вход ят площади
участков сферы, а также дифференциалы площади. Эти формулы с максимальной
ошибкой 1 % можно также применять для плоских площадок конечных размеров,
если расстояние между источником излучения и приемной площадкой превышает
более чем в 10 раз максимальную из диагоналей излучающей и приемной площадок.

7.3.2. Энергетическая и световая системы фотометрических величин

Величны, характеризующие энергетическую сторону излучения электромагнитных
волн, измеряются общими энергетическими единицами: Вт, Вт/м2, Вт • с, ... .

Для количественной оценки воспринимаемого глазом излучения применяются
световые величины. Единицами измерения световых величин являются: лм, лм/м2,
лм-с, ... .

Д ля перехода от энергетических к световым величинам используется функция
У (Л) относительной спектральной световой эффективности для дневного зрения
или функция И'(А) относительной спектральной световой эффективности для ноч-
ного зрения.
7.3.3. Поток излучения Фе, световой поток Ф1/

Единицы измерения:

Поток излучения Фе — Вт
Световой поток Ф* — люмен (лм)

ф,=кфс (7.3.3.1)
Для монохроматического излучения
Ф, = ^тК(Я)-Ф. (7.3.3.2)
Для полихроматического излучения с линейчатым спектром
Фу = кт-[У{^-Фл + У(Аг)-Фл+ ... +Г(4).фй] (7.3.3.3)
Для полихроматического излучения с непрерывным спектром
Ф. = кт\^-У^-^ J аЛ (7.3.3.4)

7.3.4. Энергетическая сила света /е, сила света lv

Единицы измерения:

Энергетическая сила света 2 — Вт/ср

Сила света 7v — кандела (кд), 1 кд = 1 лм/1 ср

Цф f
<73-40

Если сила света одинакова во всех направлениях (равномерно светящийся ша-
рик), то

7 Ф Фг2 Ф = 1£\ (7.3.4.2)

В случае косинусоидального распределения I = /0 • cos £, (излучатель удовлетво-
ряет закону Ламберта)

Ф /7) Т тг О • / (7 3 4 3)
—10 я j^.0, jd - 71 •

7.3.5. Энергетическая яркость Le, яркость Lv

Единицы измерения:

Энергетическая яркость L, — Вт/(м2 ср)

Яркость Lv — кд/м2

L di <12Ф (7 3 5 1)
Ф4, • cose, dZ2j • <14, cose.

L &2ф (7.3.5.2)
<K2,-<L42-cosf.
При неизменном в пространстве значении dl/AAy.

I ф

Ay cos Ey £2y- Ay- cos Ey

S22 • А2 • cos г.

(7.3.5.3.1)

(7.3.5.3.2)

Для несамосветящейся матовой поверхности (рассеивание по закону Лам-
берта)

где р — коэффициент диффузного отражения; Е — освещенность поверхности.

7.3.6. Освещенность Е

АФ
dA2 (7.3.6.1)

При неизменной в пространстве величине Е и выполнении условия десяти крат
(Ten Times Law)

„ Ф I .
Е = — = — cos е2 /20 (7.3.6.2) 7^2 /*

, s')
— - —1 Л> vo ] (7.3.6.3)

7.3.7. Другие фотометрические величины

d<5
М = ^ dXj (7.3.7.1)

G = . ФАт (7.3.7.2)

Я = (7.3.7.3)
8. Характеристики оптических систем

8. Характеристики оптических систем

8.1. Объективы

Высота изображения у — (диагональ кадра)/2
Классификация по угловому полю:

Широкоугольный объектив
Нормальный объектив
Длиннофокусный объектив

2|oJ > 55°
55° > 2<т > 40°
2|а|<40°

8.2. Освещенность в плоскости изображения
как функция расстояния до предмета

Ф. — световой поток, когда предмет находится в «бесконечности»

Ф — световой поток, когда предмет находится на конечном расстоянии

Е_ — освещенность, если предмет находится в «бесконечности»

Е — освещенность, если предмет находится на конечном расстоянии

ф Е„
~Ф~~Ё

(8.2.1)

8.3. Распределение освещенности в плоскости изображения

Распределение освещенности в плоскости изображения зависит от простран-
ственных характеристик излучателя, полевого угла <т и положения плоскости изоб-
ражения.

Ее — освещенность в Q, когда <14, находится в О и Аг, перпендикулярна OQ
/(<т,)„п — относительное значение излучения источника как функция поле-
вого угла

— угловая зависимость чувствительности приемника

_________________________Е = Е01 (<т№)ге1, cos2 • s(o-Jrel 2________________<8-31)

Если излучатель удовлетворяет закону Ламберта [/(<т,)гс1, = cos(<r)] и плоскость
приемника перпендикулярна оптической оси, то

Е = Ее cos4(o-„)

(8.3.2)
Приложение. Основные формулы технической оптики

8.4. Глубина резко изображаемого пространства

и — допустимый диаметр кружка нерезкости в плоскости анализа изобра-
жения

а — расстояние до плоскости наводки на резкость (отрицательное значение)
ah — ближняя граница резко изображаемого пространства (для данного зна-
чения и)

av — дальняя граница резко изображаемого пространства (для данного зна-
чения и)

а _ «и " (f')2 + k-u-(f'+a) (8.4.1)

а - a<f'^ (8.4.2)
r f'i-k.u.(f' + a)

а„ — дистанция наводки на резкость, при которой дальняя граница области
резко изображаемого пространства равна бесконечности (гиперфокаль-
ное расстояние)

“ к-и

(8.4.3)

а1п — ближняя граница резко изображаемого пространства при установке на а~

а - _-(Л2 (8.4.4)
2к-и

9. Оптические приборы

9.1. Видимое увеличение

°’»ohne — угол, под которым виден отрезок предмета без оптического прибора
— Угол, под которым наблюдается формируемое оптическим прибором
изображение того же самого отрезка

Г' — видимое увеличение

р/ _ ГёО'м, Injt

Ш ohne

(9-1.1)

Если предмет рассматривается с расстояния наилучшего зрения as = —250 мм, то

teo. =
й w ohne 250

(9.1.2)

9.2. Лупа
9. Оптические приборы 341

Специальный случай 1

Глаз аккомодирован на бесконечность

Специальный случай 2

Номинальное увеличение

Предмет в фокальной плоскости, изображение в бесконечности, as — —250 мм:

г'

1 Г

Специальный случай 3

Глаз расположен непосредственно перед лупой и аккомадирован на минимально
возможное расстояние 250 мм:

(9.2.4)

9.3. Микроскоп

Индексом «Об» отмечены величины, относящиеся к объективу;

Индексом «Ок» отмечены величины, относящиеся к окуляру;

Индексом «М» отмечены величины, относящиеся к микроскопу в целом;

Оптическая длина тубуса = {
Номинальное значение видимого увеличения: изображение в бесконечности

РоЪ — f.
Job

(9.3.1)

гок~ (9.3.2)

Лк

г = в' г 1 М РОЬ 1 Ок f г Jok ‘ JO6 (9.3.3)
Предел разрешения
Ду = 0,61 V- = 0,614 п • sin сги А (9.3.4)

9.4. Зрительная труба

Номинальное значение видимого увеличения (предмет и изображение в бесконечности)

' Г' /ое . I/’' I 7 диаметр входного зрачка (9 4 1)

зртр’ /ок ’ зр1р диаметр выходного зрачка

Длина зрительной трубы

1 - /об + /ок (9.4.2)
сумеречное число
Z = ^Диаметр входного зрачка |Г'рлр | (9.4.3)

Предельная разрешающая способность: наименьший еще различимый угол Дет,

Дст„ = 1,22 - (9.4.4)
Диаметр входного зрачка

9.5. Фотоаппарат, камкодер

Угловое поле 2гг, при диагонали кадра (диаметре кадра) d = 2h

h d

2crw = 2 • arctg — = 2 arctg — (9.5.1)

I — дистанция съемки (расстояние между предметной плоскостью и плос-
костью изображения)

Z’ — выдвижение объектива = смещение объектива относительно фокальной
плоскости
(9.5.4)

Ео — освещенность в осевой точке изображения

А, — освещенность в осевой точке изображения при съемке бесконечно уда-
ленного предмета

Eaw— освещенность внеосевой точки изображения, которая соответствует
углу <7,

= Е, cos4 <т„

(9.5.6)

Разрешающая способность Ду'

D — диаметр входного зрачка
к — диафрагменное число
Ду' — диаметр центрального дифракционного кружка

Входной зрачок равномерно освещен.

Предмет на расстоянии а

Ду' = 1,222-^ = 1,222 Л--^ (9.5.7.1)
Для бесконечно удаленного предмета (а -»—°°)
Ду' = 1,222 к (9.5.7.2)

9.6. Спектральные приборы

9.6.1. Спектральные приборы с дифракционной решеткой

m — порядок дифракции

N — число (используемых) штрихов решетки

а— угол, под которым наблюдаются дифракционные максимумы дифрак-
ционного порядка m

2 =m- (9.6.1.1)
g

Разрешающая способность
9.6.2. Призменные спектральные приборы

р — длина основания призмы

dn/dA — дисперсия материала призмы

8 — угол отклонения при симметричном ходе луча

a — преломляющий угол призмы

аЛ

----/

I с
cos 8 + —

I 2 )

(9.6.2.1)

Разрешающая способность

dA Р dA (9.6.2.2)

10. Оптоэлектроника

10.1. Источники излучения

10.1.1. Спектральное распределение

_ dl/dA fin 1 1 14
(')rc‘ (d'/d2)rcI 1.1.1)

индекс «ге!» указывает на относительное значение.

10.1.2. Коэффициент полезного действия (КПД),
световая отдача

„пп Полезный эффект

ivl 1/J,-----------------------------------—

Вызывающее этот эффект воздействие

(10.1.2.1)

энергетический КПД в заданной области спектра от At до Я2

_ Излучаемый поток e Потребляемая мощность (10.1.2.2.1)

Ш-dA ф dA (10.1.2.2.2)
p p
10. Оптоэлектроника

Если Л, = 0 и Л, -» о<=, то ri = п
1 * *е 'е полный

-К — световая эффективность излучения сложного спектрального состава

& _ Излучаемый световой поток
Весь поток излучения

(10.1.2.3.1)

Ф.
Фе

(10.1.2.3.2)

T]v — световая отдача

Излучаемый световой поток
*7* п л (10.1.2.4.1) Потребляемая мощность

V — световой КПД

10.1.3. Пространственное распределение силы света
и энергетической силы света

Излучатель в виде шарика

Излучатель, удовлетворяющий закону Ламберта

Произвольный излучатель

I = const

I = Zo • cos <р

Излучатель
в виде шарика

Излучатель,
удовлетворяющий
закону Ламберта

Лепесток

10.1.4. Степень поляризации

(10.1.4.1)

Jo — интенсивность в плоскости поляризации

— интенсивность в плоскости, перпендикулярной плоскости поляри-

зации
346 Приложение. Основные формулы технической оптики

10.2. Приемники

10.2.1. Чувствительность

s — абсолютная чувствительность

Выходная величина Y S — = — Входная величина X (10.2.1.1)

5 (Л) — абсолютная спектральная чувствительность

w <и(я) (10.2.1.2)

5е1 — относительная чувствительность

_ Абсолютная чувствительность _ s rel Опорное значение s0 (10.2.1.3)

Опорное значение может быть равно максимальному значению (индекс «шах»
или Р), значению при заданной температуре (например, индекс 25) или при опре-
деленном угле (например, индекс 0).

s (Я)ге| — относительная спектральная чувствительность

1 Уге1 44) (10.2.1.4)

•5(о)„1 — относительная угловая зависимость чувствительности

На) ( 4«о) (10.2.1.5)

Если входная величина зависит от длины волны, то выходная величина Y вы-
числяется по формуле

у = 44).р(я)ге1^И1.<1я (10.2.1.6)

10.2.2. Световые величины

При расчете световых величин используются подстановки:
s(Ap) = Km и s(A)rel = И(Я).
11. Приближенные формулы

для расчета оптических параметров линз

п, = 1,5
г=|г2|
Г = 2г
/ = -2г
£ = s'F. = 2г
s„ = sf = -2r + 2d/3
S2H' = О
SiH=2d/3

п, = 1,5

г= |rj

/;=2г

/ = -2г

= sf. = +2r - 2d/3

si = = -2г

S2H' = 2d/3
S,H=0

12. Графическое построение изображения

Следующие примеры показывают графическое построение изображения в различ-
ных оптических системах.

----—---------- Луч, который в пространстве предметов идет параллельно оптической оси

----------- Луч, который в пространстве предметов проходит через переднюю фокальную точку

_ Луч, который проходит через главные точки

— —-------— Произвольный луч
Приложение. Основные формулы технической оптики

Отрицательная система, рассеивающая система с НН' > О
ДОПОЛНЕНИЕ 1

ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА
ХОДА ЛУЧЕЙ НА ЭВМ.
ТОЧЕЧНАЯ ДИАГРАММА

Д1.1. Формулы для расчета хода лучей на ЭВМ

Траектория луча в однородной и изотропной среде представляет собой прямую
линию (см. разд. 1.3). Следовательно, луч может быть задана точкой, через которую
он проходит, и вектором е = (ех, еу, ez). Длина вектора е обычно принимается
равной единице: ех + е~ + е| = 1. Тогда координаты вектора е равны косинусам углов
а., ау, аг, которые вектор е образует с осями координат OX, OY, OZ (рис. Д1.1).
Поэтому вектор е называют вектором направляющих косинусов луча1.

Пусть луч задан вектором е и точкой Q. При этом в декартовой системе коор-
динат OXYZ (рис. Д1.2) точке Q соответствуют координаты xQ, yQ, zQ- Выберем на
данном луче точку Р. Рассмотрим векторы OQ, ОР и QP. Так как точка О является
началом координат, то OQ = (х0, у0, zQ), ОР = (хР, уР, zP), где хр, ур, zP — коорди-
наты точки Р. Так как векторы QP и е коллинеарны, то QP = I -ё, где2 I = ±IQPI.
Очевидно, что ОР = OQ + QP. Следовательно, координаты точки Р равны:

хр = \,+ l'ej УР = У0+ l ey ZP = Ze + l-е. (Д1.1)

Рис. Д1.1. Вектор направляющих косину-
сов луча: ех = cos ах, еу = cos ау, ez = cos а?

Рис. Д1.2. К определению траектории луча
в однородной среде.

1 Иногда используют и другие нормировки вектора, задающего направление луча. Например,
длину этого вектора принимают равной показателю преломления среды, а сам вектор при
этом называют вектором оптических направляющих косинусов луча.

2 Если луч проходит сначала точку Q, а затем точку Р, то / > 0. Если луч проходит сначала
точку Р, а затем точку Q, то I < 0.
Так как точка Р может занимать произвольное положение на луче, то система урав-
нений (Д1.1) описывает траекторию луча в однородной среде.

Пусть преломляющую (или отражающую) поверхность луч пересекает в точке Р’
с координатами х, у, z' (рис. Д1.2). Тогда координаты точки Р' должны удовлетво-
рять условию 5Г(х', у, z”) = 0, где 5Р(х, у, z) = 0 — уравнение поверхности в системе
координат OXYZ. Используя формулы (Д 1.1), выразим координаты точки Р" через
координаты точки Q и вектор направляющих косинусов луча ё. В результате полу-
чим уравнение для определения координат точки пересечения луча с поверхностью

!Р(хс + Гех, ув + Геу, zQ + l'e) = О,

где неизвестной величиной является Г, которая равна длине (с учетом оптического

правила знаков) отрезка QP’.

Рассмотрим сферическую поверхность
(рис. Д1.3), вершина которой находится в на-
чале координат (точка О), а центр — в точке С
с координатами хс = 0, ус = 0, zc — г, где г —
радиус сферы. Координаты всех точек данной
сферы удовлетворяют уравнению

X2 + у2 + (z — г)2 = г2.

Тогда при

У(х, у, z) = Z~~(x3+y3+z2)- (Д1-3)

Рис. Д1.3. К определению точки пере-
сечения луча со сферической поверх-
ностью.

уравнение !Р(х, у, z) = 0 описывает сферичес-
кую поверхность. В результате подстановки
функции (Д1.3) в формулу (Д1.2) получается
квадратное уравнение. Решение этого квадрат-
ного уравнения имеет вид [Д1.1]—[Д1.3]:

Оц

е, ± А2 ~сан

(Д1-2)

(Д1-4)

где с — \/г— кривизна сферы,

ai хое*

аи = с' (zg + х3 + у3 - а3) - 2а, - 2zc.

Два корня квадратного уравнения соответствует двум точкам пересечения луча со
сферической поверхностью. Если ez > 0, то ближайшей к плоскости ОЛУ точке
пересечения луча со сферой соответствует знак «+». Именно эта точка представля-
ет интерес при расчете лучей. Если подкоренное выражение в формуле (Д1.4) мень-
ше нуля, то луч не пересекает сферу. При е3 = с ап луч касается сферы. Координа-
ты точки пересечения луча с плоскостью OXY могут быть найдены при подстановке
в формулу (Д1.4) с = 0.

К решению квадратного уравнения сводятся также задачи нахождения точки пе-
ресечения луча с поверхностями второго порядка (эллипсоида, гиперболоида и т. д.).
В других случаях (например, когда поверхность описывается выражением (2.72)
при ненулевых коэффициентах К., К6, К8) для решения уравнения (Д1.2) прихо-
диться использовать численные методы [Д1.3].

Пусть луч падает на поверхность, которая разделяет среды с показателями пре-
ломления п и п'. Прямая g является нормалью в точке Р’ падения луча на поверх-
ность. Направление луча до и после преломления на поверхности задается вектора-
Рис. Д1.4. К определению координат вектора направляющих коси-
нусов преломленного луча. Плоскость рисунка совпадает с плос-
костью падения.

ми е и е' (рис. Д1.4), длина каждого из этих векторов равна 1. Введем вектор
N = Ny, ^), который: (I) параллелен прямой g; (II) имеет единичную длину
[N~ + N~ + N~ = 1); (III) направлен из среды с показателем преломления п в среду с
показателем преломления л', т. е. абсолютная величина угла между векторами N и е
меньше 90°.

В соответствии с законом преломления: (I) векторы e, e', N лежат в одной
плоскости; (II) л sin Zle, Лч = л' sin Z Ie', TVj. Представим векторы e и e' в виде:

e =e±+ е' = е' + ё^

(Д1.5)

где индексы 1 и || указывают на то, что данный вектор перпендикулярен или парал-
лелен вектору N. Очевидно, что векторы е±, е, ё[, лежат в плоскости падения.
Так как векторы е, е', N имеют единичную длину, то

|ex| = sinz(e, n\, ^ = cosz(e, ЛГ)лГ = Г.ЛГ-е1лГ,

|ex| = sin Z (e', TV), ej[ = cosz(e', JVj N = Г TV e'l TV,

где - b J — скалярное произведение векторов a - b. Векторы ex и e'L параллельны, так
как они лежат в одной плоскости и оба перпендикулярны вектору N-, модули этих
векторов равны синусам углов падения и преломления. Тогда в соответствии с законом
преломления: лех = л'ех. Так как ех = е - е = ё - [iV ёJ N и ех = е' - pV • e'j N,

то л'е' = ле + (pV • e'Jn7 - pV • ejn^N.

Скалярное произведение векторов N и е' равно:

N • e'j = cos2 Z (е', = 1 - sin2 Z (е', Tvj = 1 - (л/л')' (1 - pV - е

Так как |z(e, 7v)| < 90°, то |z(e', w)| < 90° и [iV • е'] > 0. Следовательно:

л'е' = пех + Nxu\ п'е'у = пеу + Nyw, n’e’z = nez + Nzu, (Д1-6)

где и = л'^1 - {n/tf'f - [iV • e]"J - л[// • е]. Отрицательное значение подкоренного
выражения соответствует случаю полного внутреннего отражения луча от поверх-
ности.
Из формул (Д1.6) следует, что векторы е, е', N удовлетворяют равенству
п^е х Jvj = п'^е' х Tv], (Д1.7)

где запись вида Jr х b ] означает векторное произведение векторов а и Ь.

Для расчета координат вектора направляющих косинусов отраженного от по-
верхности луча также используются формулы (Д1.6) при подстановке в них п' = —п:
е'х = -ех е' = -еу + 2pV ej/^, е' = -ег + 2pV-e].ZVr (Д1.8)

Из элементарной геометрии известно, что нормалью в точке Р’ пересечения
луча со сферической поверхностью является прямая Р‘С (рис. Д1.3). Следователь-
но, N = (1/г)Р*С = сР’С. Координаты вектора N равны: Nx = — с • х *, Ny = — с • у *,
Nz = 1 — с- ?*. В более общем случае, когда поверхность !У(х, у, z) = 0 не является
сферической или плоской, координаты вектора N могут быть вычислены по фор-
мулам дифференциальной геометрии:

Ny='Py/v, N^V'Jv,

где + , знак перед корнем выбирается из условия |е • 7V| > О,

=ИтУХх-ьдх,/,/),
х=х-,^/,г=г- ДХ s

значения вычисляются аналогично.

Обычно каждая поверхность % оптической системы описывается в собственной
декартовой системе координат Оу Хх Yy Z.. Поэтому при расчете хода луча через
оптическую систему необходимо переходить от описания параметров луча в декар-
товой системе координат ОхХ K.Z, к описанию параметров того же луча в декарто-
вой системе координат Qt,hlA^,+ 1K + IZ.+ 1. В наиболее распространенном случае
вращательно-симметричной (центрированной) оптической системы оси всех систем
координат ОхХх У Z, (% = 1, 2, ..., к, к + 1; поверхности к + 1 соответствует поверх-
ность анализа изображения) попарно параллельны, кроме того, оси О Z совпадают с
оптической осью системы (рис. Д1.5). Тогда: xJ.=x,yJ.=y,7^=z — ОО,,,
где x , у , z j — абсцисса, ордината и аппликата точки в системе координат
+ х, ух, zx — абсцисса, ордината и аппликата точки в системе
координат оЬ + 1 — расстояние (с учетом оптического правила знаков)

между точками Ох и Ох+ г Так как обычно точка Ох совпадает с вершиной поверхности %,
то О О. . = d. Координаты вектора е в системах координат О. , X ., У .. Z . и
л л 1 л х 1 * Х~^ 1 Х^1

Рис. Д1.5. Взаимное положение систем координат OxXxYxZx и €>х+,Хх+1 Yx+ j Zx+, во
вращательно-симметричной оптической системе.
О^х^Рх оста1отся неизменными. Более сложный случай пересчета параметров луча
из одной системы координат в другую (например, когда оси систем координат не
параллельны друг другу) рассмотрен в [Д1.3].

Перед началом расчета хода луча через оптическую систему необходимо указать
в системе координат O1XlYlZ] (в этой системе координат описывается первая по-
верхность) координаты исходной точки и направляющие косинусы луча в про-
странстве предметов. Если хв1Х . люк, увх люх, zBX люк — координаты точки пересечения
луча с поверхностью предмета (входным люком), а хвх з , yev 3 , zm 3 — координаты
точки пересечения луча со входным зрачком (см. раздел. 3.2), то координаты вектора
направляющих косинусов луча в пространстве предметов равны ех = (хвх люк — хв, з )//,

/ \ /I z С ,, г х ' вх.люк вх. Зр/' ’

(Ух.люк Лхзр)/’ ег люк ~ J/4 Где ~ (Хвх.люк ~ Лх. зр)2 + ^вх.люк — Звх.зр.'2 +

Т (7 — 7 I2 SsMflV / РЫПППЯРТС a D ЭОШГГТГМЛГТЫ П’Г пппа птла nnnvnw попил н«гттгч«<

J -г- «. ОА. juua их. эр. - - UX. ЛЮК их. зр' Вл. ЛЮК - ВХ. зр.'

+ 'вх.люк — гвх, зр.) • Знак ' выбирается в зависимости от порядка прохождения лучом
поверхности предмета и входного зрачка. В качестве координат исходной точки
можно взять координаты точки пересечения луча с поверхностью предмета или
координаты точки пересечения луча с входным зрачком.

Если предметная плоскость находится на значительном удалении от оптичес-
кой системы, то координаты точки предмета могут быть заданы в угловой мере: wx, w,

При этом: хвх люк = -ZBX MKtg w, увх люк = -zBXJ110Ktg w. В предельном случае ZBX. л1о/-> ~
направляющие косинусы луча вычисляются по формулам: ех = —tgwx/£, еу — — tg w/£

ег = 1/6 где £ = .Jl + tg2 wx + tg2 wy. Очевидно, что при zBx люк -> *> в качестве коорди-
нат исходной точки следует взять координаты точки пересечения луча с входным
зрачком.

Несколько иной способ задания координат исходной точки и направляющих
косинусов луча в пространстве предметов описан в [Д1.3].

Пример

На рис. Д 1.7 показана выпукло-плоско линза из стекла К8 (ГОСТ 3514—94,
пе = 1,518294, ve = 63,86). Плоскость анализа изображения находится на рассто-
янии 30,6 мм от второй поверхности линзы. Требуется рассчитать ход луча,
который исходит из бесконечно удаленной предметной точки с угловыми коор-
динатами tv* = 0, w = —7”; входной зрачок этот луч пересекает в точке (хвх зр=3,

у = 4).

-’вх. зр. '

Решение:

Направляющие косинусы луча в пространстве предметов:

ех = 0, е = —sin(—7°) = 0,1218693435, е = cos(-7°) = 0,9925461516.

Координаты точки пересечения луча с первой поверхностью:

х* = 3, У = 4,355188995, z' = 0,892782218.

Направляющие косинусы луча после преломления на первой поверхности:
ех = -0,05323646958, е = 0,002982326941, е = 0,9985774804.

Координаты точки пересечения луча со второй поверхностью:

х’ = 2,840361153, У = 4,364132023, z = -0,112808890.

Направляющие косинусы луча после преломления на второй поверхности:
е = -0,09313866852, е = -0,1438599298, е = 0,9955492111.

Координаты точки пересечения луча с поверхностью анализа изображения:

х’ = -0,032977598, у = 3,920322467.
Рис. Д1-6. К определению координат вектора
направляющих косинусов луча в пространстве
предметов.

Воздух

г, = 20,14

d = 4 Стекло К8 (ГОСТ 3514-94)

г2 = -120,23

Воздух

/' = 33,6099 5^.,) = 31,3312

Входной зрачок диаметром 12 мм находится на расстоянии
зр ~ —2 мм от вершины первой поверхности линзы

Рис. Д1.7. Эскиз и конструктивные параметры линзы.

Д1.2. Точечная диаграмма

Весьма наглядное представление о коррекции аберраций в оптической системе дает
точечная диаграмма. На этой диаграмме в определенном масштабе отмечены точки
пересечения с поверхностью анализа изображения лучей, которые исходят из еди-
ной точки предмета и проходят через центры равновеликих ячеек входного зрачка.
В наиболее распространенном случае круглого входного зрачка полярные коорди-
наты (р, <р) центров равновеликих ячеек входного зрачка вычисляются по форму-
лам [ДЕЗ]:

я (2к -1)

•fijx. зр. 12т 1

2 V 2Np ’

(Д1.9)

На рис. Д1.8 показаны границы и центры ячеек входного зрачка для N? = 15 и Np = 15..
На рис. Д1.9 показаны точечная диатрамма, соответствующая оптической системе,-
в которой исправлены все аберрации, кроме комы третьего порядка (см. разд. 2.5.4).

Очень часто для одного и того же пучка лучей строится несколько точечных1
диаграмм, соответствующих различным смещениям плоскости анализа изображе-
ния вдоль оптической оси (рис. ДЕЮ).

Диаграммы на рисунках Д1.10 рассчитаны для случая, когда пучок параллель-
ных оптической оси лучей падает на линзу, показанную на рис. Д1.7. При этом-
лучи пересекают входной зрачок согласно рис. Д1.8. Дополнительно на рис. Д1.11.
для этой же линзы показан график продольной сферической аберрации.

На точечных диаграммах, которые показаны на рис. Д1.9, ДЕЮ, отмечены только;
точки пересечения с плоскостью анализа изображения лучей, соответствующих- толь-
Рис. Д1.8. Границы и центры ячеек входно-
го зрачка.

Рис. Д1.9. Точечная диаграмма для случая,
когда в оптической системе исправлены все
аберрации, кроме комы третьего порядка.

Рис. Д1.10. Точечные диаграммы при различных смещениях плоскости анализа изоб-
ражения от задней фокальной плоскости. Д?' — расстояние от задней фо-
кальной плоскости до плоскости анализа изображения.
Рис. Д1.11. Продольная сферическая абер-
рация линзы, показанной на рис. Д1.7.

Рис. Д1.12. Точечная диаграмма. Точки пе-
ресечения лучей, соответствующих длинам
волн Xf,, Хе, Лс„ отмечены синим, чер-
ным и красным цветом.

ко одной длине волны. Поэтому эти точечные диаграммы дают представление толь-
ко о монохроматических аберрациях оптической системы. Для того чтобы получить
представление о хроматических аберрациях, на точечной диаграмме различными
цветами и/или символами показываются точки пресечения с плоскостью анализа
изображения лучей, соответствующих различным длинам волн.

В качестве примера на рис. Д1.12 показана точечная диаграмма для пучка лу-
чей, падающих на линзу (см. рис. Д1.7) из бесконечно удаленной точки предмета с
угловыми координатами w. = 0, w = —7°. Лучи пересекают входной зрачок согласно
рис. Д1.8. Плоскость анализа изображения находится на расстоянии 30,6 мм от
второй поверхности линзы.

Список литературы к дополнению 1

Д1.1. Optical calculations with automatic computing machinery. JOSA, Vol. 41. Issue
9 Page 630—635 (September 1951) Donald P. Feder

Д1.2. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. — Л.: Машинострое-
ние, 1969. — 670 с.

Д1.3. Родионов С. А. Автоматизация проектирования оптических систем. — Л.:
Машиностроение, 1982. — 270 с.
ДОПОЛНЕНИЕ 2

СТРУКТУРА ОПТИЧЕСКОГО

ИЗОБРАЖЕНИЯ

Д2.1. Монохроматическая функция
рассеяния точки

Выберем в предметной плоскости ячейку А. Будем считать, что от этой ячейки на
оптическую систему падает монохроматическое излучение. Во всех точках ячейки
(энергетическая) яркость равна одной и той же величине LA. Расчет освещенности,
которую формирует ячейка А в плоскости анализа изображения (ПАИ), был рас-
смотрен в разд. 4.2 в параксиальном приближении. При этом считалось, что ячейке
с центром в точке А соответствует резко ограниченный участок ПАИ (параксиаль-
ное изображение ячейки А) с равномерной освещенностью. Однако в реальности
(т. е. с учетом аберраций, дифракционных явлений и т. д.) поток излучения от
ячейки А распределен по ПАИ по более сложному закону.

Пусть в предметной плоскости оптической системы задана система координат OXY,
а в плоскости анализа изображения (ПАИ) — система координат O'X'Y' (рис. Д2.1).
Для оценки влияния аберраций на характер изменения освещенности по ПАИ
разобьем входной зрачок на ячейки Рк (к = 1, 2, 3, ..., //). Поток излучения,
который исходит от ячейки А и проходит через ячейку Рк входного зрачка, равен:
ДФ,к = 8(И)• La - к-Ь£2А к, где §(Д) — площадь ячейки А, ДХ2, к — телесный угол,
ограниченный боковой поверхностью конуса (вершина этого конуса находится в
центре ячейки А, основание конуса — ячейка Рк), &А к — коэффициент, учитываю-
щий пространственное распределение (например, по закону Ламберта) потока из-
лучения, исходящего от ячейки А. Поток излучения, прошедший через оптическую
систему, равен

ДФ.4, к - ТА. к^®Л. к ~ ГА, к ' ' ^А ' ^А, к ' ^^А, к’

(Д2.1)

тА к — коэффициент пропускания оптической системы для потока излучения, иду-
щего через ячейки А и Рк. Тогда на ПАИ от ячейки А падает поток излучения

ФА = ^Ф'А. к- Поток излучения Ф'А представим в виде

к=\

Рис. Д2.1. К оценке влияния аберраций на освещенность в ПАИ.
Ф'А = S(A)La -ПТ, (Д2.2)

где

(Д2.3)

*=i

— эквивалентный телесный угол для ячейки А.

Пусть из центра ячейки А исходят ц лучей, каждый из которых проходит через
центр соответствующей ему ячейки входного зрачка Рк. После прохождения опти-
ческой системы эти лучи пересекают ПАИ в точках А\, А'2, А'^. Очевидно, что

поток излучения ЛФЛ к распределяется по ПАИ в окрестностях точки А'к. Освещен-
ность, создаваемая потоком АФл к на ПАИ в окрестности точки А’к, существенно
зависит от формы и размеров ячейки А. Но положение точки А'к не зависит от
размеров излучающей ячейки А, а определяется аберрациями оптической системы.
Из этого следует, что характер распределения потока излучения Ф'А = ^ЛФ'А к по

Л=1

ПАИ зависит от аберраций оптической системы.

Очевидно, что влияние геометрии ячейки А на значения освещенности в точках
ПАИ тем меньше, чем меньше размеры ячейки А. Если уменьшать линейные раз-
меры ячейки А, одновременно увеличивая ее яркость таким образом, чтобы поток
излучения ФА оставался неизменным, то в точке ПАИ с координатами (/, у') осве-
щенность будет стремиться к некоторому предельному значению Е^\х', у', А, ФА).
Так как в предельном случае излучающая ячейка стягивается в точку, то функция
Е<\х', у', А, Ф'А) носит название монохроматической функции рассеяния точки
(МФРТ). Необходимо отметить, что из-за хроматических аберраций и других эф-
фектов МФРТ для различных длин волн могут существенно отличаться друг от
друга.

Далее под элементарной ячейкой А понимается малый участок предметной плос-
кости с центром в точке А, яркость во всех точках которого постоянна и равна Ьл.
Линейные размеры такого участка предметной плоскости настолько малы, что ос-
вещенность в ПАИ, создаваемая потоком излучения от элементарной ячейки А,
соответствует МФРТ для точки А при потоке излучения ФА =§(Л)- ЬА -Х2Л™, т. е.
освещенность в ПАИ описывается функцией Е^х1, у', А, §(Л)- ЬА • ^АКВ).

При компьютерном расчете МФРТ в приближении геометрической оптики
(т. е. без учета дифракционных явлений) число ячеек ц, на которые разбивается
входной зрачок, обычно составляет от нескольких сотен до нескольких тысяч.
В результате расчета лучей через оптическую систему определяются координаты
точек Ак. Одновременно с этим для каждой ячейки входного зрачка Р вычисляют-
ся значения ДДЛ г?л к, тА к и по формуле (Д2.3) находится эквивалентный телесный
угол1 Так как §(Л)- LA = [см. формулу (Д2.2)], то, согласно формуле

(Д2-1), ДФд к ~ та, к ’ &а, к ‘ ' Е£2Л к/^Т • ПАИ разбивается на одинаковые квадра-
ты, стороны которых параллельны осям координат О'Х' и O'Y'. Так как линейные
размеры элементарной ячейки А бесконечно малы, а входной зрачок разделен на
большое число ячеек Рк (ДХ?4 к -у 0), то можно считать, что поток излучения АФ'а к

1 В предельном случае при д —> <*>, Ai2t -» 0 эквивалентный телесный угол рассчитывается по
формуле Х2 лк“= JJ г^АтАдк2, где интегрирование ведется по всей поверхности (на это указывает
знак двойного интеграла) входного зрачка.
полностью попадает в тот квадрат ПАИ, в котором находится точка А'к. Тогда сред-
нее значение освещенности в квадрате равно * /$кв » где — площадь квадра-

та, а суммирование ведется по всем тем ячейкам Р& из которых лучи попадают в
данный квадрат. Значение МФРТ в центре квадрата принимается (с некоторым
приближением) равным значению средней освещенности в данном квадрате.

В большинстве случаев коэффициенты пропускания тА к всех ячеек зрачка мож-
но принять равными. В оптической системе с малой передней апертурой значения
коэффициента &А к для всех ячеек Рк входного зрачка можно считать одинаковыми.
А если в оптической системе с малой передней апертурой входной зрачок разбит на
ячейки равной площади (например, как на рис. Д1.8), то значения телесных углов
Д/Эд к примерно равны. При выполнении всех этих условий среднее значение осве-
щенности в квадрате на ПАИ прямо пропорционально числу попавших в этот квад-
рат лучей, что позволяет использовать для качественной оценки МФРТ точечную
диаграмму (разд. Д.1).

До этого места МФРТ изучалась только в приближении геометрической опти-
ки, однако дифракционные явления могут оказать существенное влияние на харак-
тер изменения освещенности в изображении элементарной ячейки. Например, без-
аберрационный объектив с круглым входным зрачком отображает элементарную
ячейку в виде дифракционной картины, показанной на рис. 6.3, а. При этом фун-
кция, которая описывает освещенность в точках дифракционной картины, явля-
ется МФРТ данного безаберрационного объектива. Методы расчета МФРТ с од-
новременным учетом аберраций и дифракционных явлений описаны в работах
[Д2.1]-[Д2.3].

Существует принципиальное отличие между МФРТ, рассчитанной в прибли-
жении геометрической оптики, и МФРТ, рассчитанной с учетом дифракционных
явлений. В приближении геометрической оптики МФРТ отлична от нуля только на
ограниченном участке ПАИ. Однако вследствие дифракционных эффектов МФРТ
не имеет резких границ (например, дифракционная картина, описанная в разд.
6.1.2). Тем не менее во всех практически важных случаях основная доля потока
излучения от элементарной площадки будет сосредоточена в пределах участка ПАИ
конечных размеров (например, согласно табл. 6.1, в пределах трех дифракционных
колец сосредоточено около 94 % потока излучения). Для упрощения далее будем
считать, что МФРТ у', А, Ф'А) отлична от нуля только в пределах замкнутой
области ПАИ

Разобьем область УА на одинаковые прямоугольники со сторонами, параллель-
ными осям О'Х’ и O'Y' (рис. Д2.2). Если стороны прямоугольника Дх' и Ду' доста-
точно малы, то поток излучения, падающий на данный прямоугольник, можно счи-
тать равным Е{\х'р у'р А, ФА)-Лх’ Лу', где х', у' — координаты центра прямо-
угольника. Очевидно, что при Дх' -» О, Ду' —> О
сумма потоков излучения по всем прямоуголь-
никам, на которые разделена область ~/А, равна
потоку излучения, падающему на ПАИ от эле-
ментарной ячейки А:

Ф'л =1>тдх.. У'р А> ф;) дх' ау.

Рис. Д2.2. К расчету потока излучения, падающего
на ПАИ от элементарной ячейки А.
Последнее равенство можно также записать в виде двойного интеграла:

Ф'А = $Е()(х', у', А, Ф'А)0х<1у. (Д2.4)

Индекс УА указывает на то, что интегрирование ведется по области УА. Из курса
высшей математики известно, что формулу (Д2.4) можно интерпретировать как объем
пространственного тела, ограниченного плоской фигурой УА и графиком функции
Е^\х', у, А, Ф'У).

Только в очень немногих частных случаях (среди них безаберрационный объек-
тив с круглым входным зрачком) для МФРТ известны аналитические выражения.
В большинстве случаев МФРТ рассчитывается численными методами. Кроме ком-
пьютерного моделирования, МФРТ может быть определена экспериментально пу-
тем исследования реальных оптических систем прямыми и косвенными методами.
Простейший из этих методов предполагает, что в предметной плоскости располо-
жен источник монохроматического излучения малых поперечных размеров, а зна-
чения освещенности в точках ПАИ измеряются приемником с чувствительной пло-
щадкой малых линейных размеров.

Д2.2. Изопланатическая оптическая система

Примем, что оптическая система является вращательно-симметричной, начальные
точки О и О' систем координат предметной плоскости и ПАИ лежат на оптической
оси, оси ОХ, О'Х', OY, O'Y' попарно параллельны и сонаправленны (рис. Д2.3).

Пусть яркость в предметной плоскости описывается функцией Цх, у), которая
отлична от нуля только в пределах замкнутой области Y. При этом освещенность в
ПАИ описывается функцией Е(х', у'). Выполним параллельный перенос области Y
по произвольно выбранному вектору v = (v,, г,.). В результате этого преобразова-
ния яркость в предметной плоскости описывается функцией L (х — vx, у — v), а
освещенность в ПАИ — функцией £ (х', у'). Если оптическая система удовлетворя-
ет условию изопланатизма, то

£v (х', /) = £ (х' - pvxy' - pvy), (Д2.5)

где р — линейный масштаб изображения, который не зависит от vx, v. Если ПАИ
совпадает с плоскостью параксиального изображения, то линейный масштаб изоб-
ражения равен линейному увеличению оптической системы. Очевидно, что функ-
ция Е (х’ - pvxy' - pvy^ может быть получена в результате параллельного переноса
функции £(х', у') по вектору jjv. Оптическая система, которая удовлетворяет усло-
вию изопланатизма, называется изопланатической оптической системой. Рассмот-
ренная формулировка условия изопланатизма пригодна только для вращательно-
симметричных систем. В самом общем виде (для оптических систем, не обладаю-
щих вращательной симметрией) условие изопланатизма рассмотрено в [Д2.3], [Д2.4].

Пусть параллельный перенос по вектору ВС переводит элементарную ячейку В
в элементарную ячейку С. Очевидно, что у элементарных ячеек В и С равны ярко-
сти (£в = £с) и площади [S(£) = S(C)|. Из формулы (Д2.5) следует:

£()(х', у, С, ^(C)£2^>Lc\ =

мг - W16)

= Е^\х'-р{хс-хв), у-Р{ус-ув), В, S(B)E2™LD\,

где хв, ув — координаты точки В; хс, ус — координаты точки С. Так как график
функции £^(х', у', С, может быть получен в результате параллельно-
Д2.2. Изопланатическая

оптическая система

Рис. Д2.3. К объяснению условия изопланатизма.

го переноса графика функции Е(\х', у', В, S(B)f2BK°LB), то объем пространственного
тела, ограниченного плоскостью О'Х'Yи графиком функции Е^(х', у', С, §(С)£?“4с),
равен объему пространственного тела, ограниченного плоскостью O'X'Y' и графи-
ком функции Е^(х', у', В, (рис. Д2.4).

Из формулы (Д2.4) следует, что от элементарных ячеек В и С на ПАИ падают
одинаковые потоки излучения, а это возможно [см. формулу (Д2.4)] только при
условии равенства эквивалентных телесных углов для точек В и С: 4?эк“= 42“= 42“.
Поэтому в изопланатической оптической системе эквивалентный телесный угол
для любой точки предметной плоскости равен одному и тому же значению.
E{'\x',y'.CMQLcClcB)

Рис. Д2.4. График функции £()(х', у', С, S (С)Х2с °£с) может быть получен в резуль-
тате параллельного переноса графика функции Е^(х', у', В, S (В)

Оптические системы крайне редко удовлетворяют условию изопланатизма по
всей предметной плоскости. Прежде всего нарушения условия изопланатизма обус-
ловлены тем, что находящимся на различном удалении от оптической оси точкам
предметной плоскости могут соответствовать совершенно различные виды аберра-
ций (см. разд. 2.5). Например, для осевой предметной точки пятно рассеяния имеет
вид кружка с симметричным относительно центральной точки распределением по-
тока излучения (см. точечные диаграммы на рис. Д1.10). А если точка предметной
плоскости не находится на оптической оси, то возможно появление комы, при
которой пятно рассеяния не является центрально-симметричным (точечная диаг-
рамма на рис. Д1.9). Так как параллельным переносом невозможно из МФРТ для
осевой точки получить МФРТ для точки с неосесимметричным пятном рассеяния,
то условие изопланатизма не может быть выполнено. Условию изопланатизма не
удовлетворяют оптические систем с неисправленной дисторсией, так как масштаб
изображения не будет постоянным во всех точках ПАИ. Падение освещенности от
центра к краю изображения (вследствие виньетирования и/или по закону cos4 w,
см. разд. 4.2.3) также несовместимо с выполнением условия изопланатизма. Одна-
ко на небольших участках предметной плоскости, в пределах которых аберрации
изменяются слабо, масштаб изображения примерно постоянен, виньетирование и
значение cos4 w для всех точек этого участка примерно равны, условие изопланатиз-
ма выполняется с достаточной точностью. Такие участки предметной плоскости
носят названия изопланатических зон. Если объект (например, штриховая мира)
целиком находится в пределах изопланатической зоны, то при анализе освещенно-
сти изображения этого объекта можно использовать условие изопланатизма.

Д2.3. Свойство линейности

Пусть задана последовательность функций Lt(x, у), Ь2(х, у), L3(x, у), ..., L^x, у) и
последовательность функций Et(x', у'), Е2(х', у'), Е3(х', у'), ..., Ек(х', у'). Если
яркость в предметной плоскости описывается функцией Lt(x,y), то освещенность в
ПАИ описывается функцией Е^х', у')- Для оптической системы, удовлетворяющей
свойству линейности, должно выполняться условие: если яркость в предметной плос-

кости описывается функцией L (х, у) = ^qyL, (х, у), то при любых значениях мно-
i=i

жителей qt освещенность в ПАИ описывается функцией Е (х', у') = £ qyE, (х', у')-
Оптическая система обладает свойством линейности только в том случае, когда
излучение, исходящее от любых двух участков предметной плоскости, является не-
когерентным. Если же излучение от двух участков предметной плоскости когерен-
тно, то в ПАИ может возникнуть интерференционная картина. При этом освещен-
ность в точке интерференционной картины не равна алгебраической сумме осве-
щенностей, которые создаются каждым из двух участков предметной плоскости в
отдельности. Для оптических систем, работающих с когерентным излучением (на-
пример, лазерные системы и некоторые микроскопы), следует использовать иные
методы описания формирования изображения [Д2.4], [Д2.3].

Д2.4. Нормированная МФРТ

Пусть в предметной плоскости заданы две элементарные ячейки А и В. Эти ячейки
имеют равную площадь [§(Л) = S(B) =5]; яркости элементарных ячеек А и В равны
Ьл и LB соответственно. Докажем, что если оптическая система изопланатическая,
обладает свойством линейности и ЬА Ф 0, то функция Е^(х', у', В, может

быть получена из функции £и(х', у', A, В/2ЖЯЕА) в результате умножения на кон-
станту и параллельного переноса.

Предположим, что яркость элементарной ячейки В равна не LB, a LA, в этом
случае освещенность, создаваемую этой элементарной ячейкой в ПАИ, описывает
функция Е^(х', у', В, STT'M,}. Так как система обладает свойством линейности,
то у', В, SQ3mLA') = (LAlLB)E^(x', у, В, S£2x°Lg). Так как система изопла-
натическая, то в соответствии с выражением (Д2.5) функция Е^{х', у', В, S£23™LA}
может быть получена из функции у’, A, параллельным переносом

по вектору (v^vj, где гл. =Р(хв-хА)-, г,, = р (ув-уА); хА,уА — координаты точки А,
хв, ув — координаты точки В. Следовательно

Е{\Х’, У, В, S£2X3LB) =

(Д2.7)

= ^Е^[х'-Р(Хв-Ха), У-Р{ув-Ул), A, S£!™LA].
la

Последняя формула была получена в предположении S( В) = §(Я) = 5. Но линей-
ные размеры элементарной ячейки настолько малы, что если одновременно из-
менять площадь элементарной ячейки и ее яркость таким образом, чтобы пада-
ющий на ПАИ поток излучения оставался постоянным (это эквивалентно условию
§(Д)ДВ/2ЭМ>= Фв = const), то значение освещенности в любой точки ПАИ остается
неизменным (см. разд. Д2.1). Поэтому формулу (Д2.7) можно обобщить на случай
произвольных значений §(В) и §(Л):

= у'-Р{ув-Уа), А, Ф^],

где ФА = S (A) LA£TrJi. Таким образом, если известна МФРТ для одной из точек пред-
метной плоскости, то МФРТ для любой другой точки предметной плоскости может
быть найдена по формуле (Д2.8).
Введем функцию Н(х', у'), такую, что

£<>(х', у', А, Ф'А) = Ф'АН (х'- рхА, у' -рУл). (Д2.9)

В результате подстановки выражения (Д2.9) в формулу (Д2.7) получим

£()(х', У, В, Ф'В) = Ф'ВН (х’- рхв, у'-рув). (Д2.10)

Так как формула (Д2.9) аналогична формуле (Д2.10), то соотношение (Д2.10) может
быть использовано для определения МФРТ любой точки предметной плоскости по

известной функции Н(х', у'). Функция Н(х', у') называется нормированной моно-
хроматической функцией рассеяния точки (НМФРТ).

Рис. Д2.5. Нормированная моно-
хроматическая функция рассея-
ния точки.

Пусть в предметной плоскости задана элемен-
тарная ячейка А. Координаты точки А равны хА, уА.
На ПАИ от элементарной ячейки А падает поток
излучения Ф'А = 1. Введем в ПАИ вспомогательную
прямоугольную систему координат А'хАуА, оси ко-
торой А'ХА, A'YA параллельны осям координат О'Х',
O'Y', а начало отсчета совпадает с точкой А'. В си-
стеме координат O'X'Y' координаты точки Л' равны
х'А. = У'л- ~ РУа- в системах координат А'хАуА и

O'X'Y' абсциссы и ординаты одной и той же точки
связаны равенствами: х = хА + рхА, у = уА + руА.
Тогда, согласно выражению (Д2.9) функция Н(хА, ул)
описывает в системе координат А'хАуА освещенность,
создаваемую элементарной ячейкой А (рис. Д2.5).

Из равенства (Д2.10) и формулы (Д2.4) следует тождество:

JJ Н (У, y')dx'dy' = 1,
/о

(Д2.11)

где область у'о включает в себя все точки ПАИ, в которых значения функции Н(х’, у')
не равны нулю. Из формулы (Д2.11) следует, что объем пространственного тела,
ограниченного плоской фигурой у'о и графиком функции Н(х', у'), равен единице.

Д2.5. Расчет освещенности в ПАИ

Пусть яркость в предметной плоскости линейной и изопланатичной оптической
системы описывается функцией L(x, у). Разобьем предметную плоскость на равные
прямоугольники, стороны которых параллельны осям ОХ и OY; длина сторон пря-
моугольников равна Дх и Ау. При Дх —> 0 и Ду —> О прямоугольники можно считать
элементарными ячейками. Тогда, соглано формуле (Д2.10) освещенность, создава-
емая в ПАИ элементарной прямоугольной ячейкой с центром в точке (х;, у,), опи-
сывается функцией йэквТ(х„ y,)ff (х'- рх„ у’ - Ду,)ДхДу. Освещенность Е(х', у'),
создаваемую совместно всеми прямоугольными ячейками, можно найти (см. свой-
ство линейности) как сумму освещенностей от всех прямоугольных ячеек:

Е(х', у') = ^Пжв1(х1, у,)Н (х'- pxh у -ру^ЕхЕу.

После перехода от суммирования к интегрированию получим:

E(x’,y’) = Q3™ IJ £(х, у)Н (х'~ рх, у'- pyjdxdy,
r(< у. 0)
где область Г (х, у, р) включает все точки предметной плоскости, в которых зна-
чения функции Н (х - рх, у - ру) не равны нулю.

В большинстве оптических систем, предназначенных для формирования изоб-
ражения, принимаются специальные меры для коррекции аберраций, уменьшения
влияния дифракционных эффектов и т. д. Поэтому целесообразно рассмотреть пре-
дельный случай, когда поток излучения, исходящий от элементарной ячейки пред-
метной плоскости, будет сосредоточен в пределах малой области ПАИ. Пусть НМФРТ
описывается выражением

= при(Д2.13)

[О, при х- + у- > R~s.

График функции (Д2.13) представляет цилиндр с радиусом Rs и высотой R^/ti.
Если НМФРТ описывается выражением (Д2.13), то область Г (х', у', Д) в формуле
(Д2.12) является кругом с центром в точке (х'/Д, у'/Д) и радиусом Яг/Д. Пло-
щадь этого круга равна Ss =TtR~s/ft2. При Rs -> 0 (т. е. когда круг стягивается в
точку) можно считать, что значение функции Цх, у) во всех точках круга равно
L(x'/p, у’/р) и формула (Д2.12) принимает вид

Е(х\ y')=£2™L(x'/p, у'1р)Нв(Ь, 0)Ss = £2™L(x/p, уГР}^-

Следовательно, функция

ОЭКВ ( v'

£(х',у') = ^|, (Д2.14)

описывает освещенность идеального изображения, т. е. когда освещенность в точке
(х’, у') ПАИ прямо пропорциональна яркости точки (х'/Д, у’/р) предметной плос-
кости. Качество формируемого оптической системой изображения тем выше, чем
меньше функция £(х', у') [вычисляется по формуле (Д2.14)] отличается от функции
Е(х’, у') [вычисляется по формуле (Д2.12)].

Выразим функцию £(х, у) через функцию £(х', у') и подставим в формулу (Д2.12):

е(%', у') = д2 jj £(рх, ру)н(х'-рх, у-ру)dxdy.

Цх.г'.ё)

После замены переменных в двойном интеграле (рх = и', ру = v'J последняя фор-
мула примет вид:

Е(х', у')= jj £(и', v')H(x'-u, у'- v')du'dv', (Д2.15)

где область Г'(х’, у') включает все точки с координатами (и', v'), в которых значе-
ние функции Н(х’ — и', у' — v') не равно нулю.

Формула (Д2.15) была получена для вращательно-симметричной линейной и
изопланатичной оптической системы. Но формула (Д2.15) также может быть ис-
пользована для иных типов оптических систем, удовлетворяющих условиям линей-
ности и изопланатизма (например, для оптических систем с анаморфотными по-
верхностями). При этом функция £ (ху') должна быть переопределена таким
образом, чтобы она описывала освещенность идеального изображения рассматри-
ваемой оптической системы.
Рис. Д2.6. Графики функций 7/[(х'-Хд.), (у'-у'д-)]и //пу1П (х', у') в виде полуто-
новых изображений и аксонометрических проекций.

Из формулы (Д2.15) следует, что освещенность в точке D' ПАИ равна:

E(x'D., y'D.) = JJ £(х', у')Н%!" (х\ y'jdx'dy',
y'ir)

(Д2.16)

где x'D., y'D. — координаты точки D'; Н%т (х', у') = // [-(х' - х'„.), - (у' - Уд-)]- Функ-
ция (х', у') симметрична функции Н [(х' - x'D,), (у' - y'fl.)] относительно точки
D' (рис. Д2.6), а функция Н [(х' - х'р ), (у' - y'D-)j с точностью до постоянного мно-
жителя равна МФРТ для точки D' [см. формулу (Д2.10)]. Следовательно, освещен-
ность в точке D' можно интепретировать как объем пространственного тела, ограни-
ченного плоской фигурой Г' (x’D., y'D.) и графиком функции £ (х', у') Н%т (х', у').

Д2.6. Анализ изменения освещенности
в изображении тестовых объектов

Очень часто для оценки качества изображения используются тестовые объекты,
яркость которых на одних участках предметной плоскости имеет постоянное значе-
ние, а на остальных участках предметной плоскости яркость равна нулю. Освещен-
ность идеального изображения подобных объектов описывается функцией вида:

£(х' vO = P°’ ПР" (У’/)еТЕ’
I о, при (х', у)? т;,
где Y£ область светлых участков идеального изображения. В качестве примеров
таких объектов можно привести край полуплоскости, светлую полосу на черном
фоне, черную полосу на светлом фоне, различные штриховые миры. После подста-
новки формулы (Д2.17) в выражение (Д2.16) получим:

Е(х'в., у'в.) = £0 JJ (х', y)dx'dy', (Д2.18)

Тг•ПГ'(хр., >’р.)

где интегрирование ведется по участку ПАИ, состоящему из точек, принадлежащих
одновременно областям Y'f и Г'(х'в., у'о.) [Y'f п /'(х'()., У, )]. Следовательно, интег-
рал в выражении (Д2.18) равен объему пространственного тела, ограниченного
плоскостью O'X'Y', графиком функции Нв!" (х', У' и перпендикулярами к плоско-
сти O'X'Y', проведенными из точек контура Y'. n Г'(х'в., у'в.) до пересечения с
графиком функции Яр™ (х', У'. Если область Г'(х'в., у'в) целиком лежит на свет-
лом участке идеального изображения [Y'. л Г'(х'в., у'в.) = Г'(х'в., у'г)], то, согласно
выражению (Д2.11), интеграл в формуле (Д2.18) равен 1, а освещенность в точке D'
равна £0. Если область Г' (х'в., у'в.) целиком находится на участке идеального изоб-
ражения с нулевой освещенностью [ Y'f л Г (х'в., у'п ) = 0], то освещенность в точке
Д' равна 0. Во всех остальных случаях освещенность в точке Д' будет принимать
значения в интервале от 0 до £а.

Пусть прямая делит предметную плоскость на две части. Во всех точках первой
полуплоскости яркость равна нулю, а во всех точках второй полуплоскости яркость
равна одному и тому же ненулевому значению. Тогда область Y', в формуле (Д2.17)
является полуплоскостью. Интеграл в выражении (Д2.18) равен объему простран-
ственного тела, ограниченного плоскостью O'X'Y', графиком функции Я,У (х', у')
и плоскостью, перпендикулярной плоскости O'X'Y' и пересекающей ее по границе
полуплоскостей с нулевой и ненулевой освещенностью идеального изображения
(рис. Д2.7). График изменения освещенности вдоль перпендикуляра к краю полу-
плоскости носит название функции рассеяния полуплоскости (рис. Д2.8). Иногда
его также называют пограничной кривой, краевой функцией и т. д.

Если объект представляет собой светлую полосу на черном фоне, то интеграл в
выражении (Д2.18) равен объему пространственного тела, ограниченного плоско-

Рис. Д2.7. К вычислению освещенности в точке Д' для объекта в виде полуплоскости
(показаны два взаимноперпендикулярных положения полуплоскости).
Рис. Д2.8. Построение графиков функций рассеяния полуплоскости для двух взаимно-
перпендикулярных положений полуплоскости. Под графиком показаны фи-
гуры, объем которых прямо пропорционален освещенности в соответствую-
щей точке графика. Пунктирной линией дан график изменения освещенно-
сти в идеальном изображении.

стью O'X'Y', графиком функции Н%!" (х', у'} и двумя плоскостями, которые пер-
пендикулярны плоскости O'X'Y’ и пересекают плоскость O'X'Y' вдоль границ
светлой полосы идеального изображения (рис. Д2.9). График изменения освещен-
ности вдоль перпендикуляра к светлой полосе показан на рис. Д2.10.

Если объект представляет собой черную полосу на светлом фоне, то значение
£ (х'„., у^.) может быть найдено аналогично предыдущему случаю, путем вычисле-

// sym

Рис. Д2.9. К вычислению освещенно-
сти в точке D' для объекта в виде свет-
лой полосы на темном фоне.

Рис. Д2.10. Построение графика изменения
освещенности вдоль перпендикуляра к свет-
лой полосе на темном фоне. Под графиком
показаны фигуры, объем которых прямо про-
порционален освещенности в соответствую-
щей точке графика. Пунктирной линией дан
график изменения освещенности в идеальном
изображении.
Рис. Д2.11. Два способа построение графика изменения
освещенности вдоль перпендикуляра к темной полосе на
светлом фоне:

1,2 — функция рассеяния полуплоскости; 3 — освещенность вдоль
перпендикуляра к черной полосе.

Пунктирной линией дан график изменения освещенности
в идеальном изображении.

ния объема пространственного тела. Другой способ
решения этой задачи состоит в том, чтобы предста-
вить черную полосу в виде двух полуплоскостей. Так
как оптическая система обладает свойством линей-
ности, то сумма значений освещенностей от каждой
полуплоскости равна значению освещенности в изоб-
ражении светлой полосы. Два способа построения
графика изменения освещенности вдоль перпенди-
куляра к черной полосе показаны на рис. Д2.11.

При контроле качества оптических систем часто используются штриховые миры
(см. разд. 7.6.2 и 9.5). Освещенность в изображении миры можно также найти дву-
мя способами: непосредственно вычислять интеграл в формуле (Д2.18) или сумми-
ровать значения освещенностей от каждой из светлых полос миры. Разумеется, что
результаты, полученные двумя этими методами, должны совпасть.

В последующих примерах расчеты освещенности в изображении различных те-
стовых объектов будут выполнены для двух видов НМФРТ. НМФРТ первого вида
описывается функцией

Н.(х\ у') =

при х'2 + у'2 < R2

О, при х 2 + у'2 > R2,

(Д2.19)

где Я — радиус кружка рассеяния. На практике Д(х', у') соответствует случаю,
когда в оптической системе с круглым входным зрачком и хорошо исправленными
аберрациями ПАИ сильно смещена в продольном направлении относительно плос-
кости параксиального изображения (т. е. имеет место расфокусировка). НМФРТ
второго вида описывается функцией

У) =

0,55562755 • Я;2,
0,05974205 • Я;2,
0,

при х'2 + у'2 < (0,4Я,)',
при (0,4 Я. )2 < х'2 + у'2 < (2R,)',
при х'2 + у'> (2R.)’.

(Д2.20)

Функция Н®(х', у') примерно соответствует случаю, когда пятно рассеяния состоит
из яркого центрального кружка (в нем концентрируется наибольшая часть потока
излучения) и значительно менее яркого широкого кольца (ореола), прилегающего к
центральному кружку (см. точечную диаграмму на рис. Д1.10, в). Графики функций
Н.(х’, у’) и Но(х', у') показаны на рис. Д2.12.

На рис. Д2.13 показаны полутоновые изображения2 и функции рассеяния полу-
плоскости для Н^х', у') и На(х', у')-

2 Полутоновые изображения на рис. Д2.13—Д2.18 показаны только в пределах узких прямо-
угольных участков. В связи с этим необходимо помнить, что графики и полутоновые изобра-
жения на этих рисунках рассчитывались для края полуплоскости и полос (штрихов миры)
бесконечной длины.
Рис. Д2.12. Графики функций //(х', у') и Но(х', у') в виде полутоновых изображений
и аксонометрических проекций. Пунктиром на полутоновом изображении
отмечена внешняя граница ореола.

На рис. Д2.14 показано, как меняется вид функции Е(х', у') в зависимости от
ширины светлой полосы на темном фоне для НМФРТ Н.(х', у'). Если ширина поло-
сы превышает 2Л (диаметр кружка НМФРТ), то график сечения функции Е(х', у')
имеет вид криволинейной трапеции. Каждая из боковых сторон трапеции является
функцией рассеяния полуплоскости. Максимальное значение освещенности равно SQ.
При уменьшении ширины полосы до 2Л график сечения функции Е(х', у') приоб-
ретает вид треугольника. Максимальное значение освещенности остается прежним,
боковые стороны соответствуют функции рассеяния полуплоскости. Если ширина
полосы меньше 2Л, то график сечения функции Е(х', у') снова имеет вид трапе-

Рис. Д2.13. Освещенность в изображении полуплос-
кости для Я(х', у') (а) и Но(х', у') (бу.

1 — контуры НМФРТ; 2 — функции рассеяния полуплоско-
сти; 3 — полутоновые изображения.

Пунктирной линией дан график функции рассеяния
полуплоскости в идеальном изображении.
Д2.6. Анализ изменения освещенности в изображении тестовых

Рис. Д2.14. Освещенность в изображении свет-
лых полос на темном фоне:

1 — контур НМФРТ Н_(х', у'}\ 2 — графики измене-
ния освещенности вдоль перпендикуляра к полосам
различной ширины (а)—(г); 3 — полутоновые изо-
бражения полос.

Под полутоновыми изображениями указана ши-
рина соответствующей полосы идеального изоб-
ражения.

Рис. Д2.15. Освещенность в изображении свет-
лой полосы на темном фоне для Н(х', у') (а) и
Яо(х', у') (б):

1 — контуры НМФРТ; 2 — графики изменения осве-
щенности вдоль перпендикуляра к полосе; 3 — полу-
тоновые изображения.

Пунктирной линией дан график функции рас-
сеяния полуплоскости в идеальном изобра-
жении.

ции, но максимальное значение освещенности будет меньше £0. На рис. Д2.15 по-
казано изменение освещенности в изображении светлой полосы на темном фоне
для Н\х', у') и Но(х', у’). Графики изменения освещенности в изображении черных
полос различной ширины для Я(х', у') показаны на рис. Д2.16. На рис. Д2.17
показаны графики изменения освещенности в изображении темной полосы на свет-
лом фоне для Н'(х', у') и Но(х', у').

Рис. Д2.16. Освещенность в изображении тем-
ных полос на светлом фоне:

1 — контур НМФРТ у'); 2 — графики измене-
ния освещенности вдоль перпендикуляра к полосам
различной ширины (а)—(г); 3 — полутоновые изоб-
ражения полос.

Под полутоновыми изображениями указана
ширина соответствующей полосы идеального
изображения.
Дополнение 2. Структура оптического изображения

Рис. Д2.17. Освещенность в изображении тем-
ной полосы на светлом фоне для Я (х', у')
(а) и Яо(х', у') (б):

1 — контуры НМФРТ; 2 — графики изменения
освещенности вдоль перпендикуляра к полосе;

3 — полутоновые изображения.

Пунктирной линией дан график функции
рассеяния полуплоскости в идеальном изоб-
ражении.

Графики изменения освещеннос-
ти и полутоновые изображения мир
различного периода представлены на
рис. Д2.18. При изучении этих рисун-
ков можно сделать следующий вывод:
чем меньше период штрихов миры, тем
меньше светлые участки отличаются от
темных (т. е. с уменьшением периода
штрихов миры падает контраст изобра-
жения).

Рис. Д2.18. Освещенность в изображении штриховых мир с различным периодом для
НДх', у') (а) и На(х', у') (бу.

1 — контуры НМФРТ; 2, 3, 4 — графики изменения освещенности и полутоновые
изображения штриховых мир различного периода.

Графики изменения освещенности идеального изображения показаны
пунктиром.
Д2.7. Нормированная полихроматическая функция рассеяния точки

Д2.7Нормированная полихроматическая функция
рассеяния точки

До этого места предполагалось, что спектральный диапазон падающего на оптичес-
кую систему излучения ограничен узким интервалом длин волн. Однако в боль-
шинстве случаев излучение, падающее от предметной плоскости на оптическую
систему, имеет сложный спектральный состав. Разделим рабочий спектральный
интервал оптической системы [2min; Лтах] на узкие участки [Лк ~ ЬЛк/2, Лк + ДЛЛ/2],
где к = 1, 2, 3, ... . Если 0, то на интервале \Лк - bAJ2, Лк + ЬЛк/2] выполня-
ются равенства:

L(х’ ДЛ..= 4 (*’ д^’ Е(4 /)Lм = 4 (4 /) д4, (Д2.21)
где Z/x, у) — спектральная плотность яркости в точке (х, у) предметной плоскости;
£Л(х', у') — спектральная плотность освещенности в точке (х', у') ПАИ. Подстанов-
ка функций (Д2.21) в формулу (Д2.12) дает3:

4(4 У) =

(Д2.22)

= ЛЭКВ(2) JJ ЕДх, у)Я[х'-Д(Л)х, У-Р(Х)у, A]dxdy,
ф', у. р<л), л]

где Н(х', у', Л) — НМФРТ для длины волны Л. По аналогии с выражениями (Д2.14),
(Д2.15) последняя формула может быть записана в виде

Ел(х', у') = JJ v')H(x'-u', у'-v’, 2)du'dv', (Д2.23)

г«у,л)

где функция

<•<* да>] И2М)

описывает спектральную плотность освещенности идеального изображения для
длины волны Л.

Пусть в ПАИ находится приемник (например, матрица ПЗС, фотослой, одноэле-
ментный приемник и т. д.) с относительной спектральной чувствительностью s(2).
Тогда каждой точке ПАИ (х', у') можно сопоставить «эффективную» освещенность

4д (х', /) = -у- J 4(4 (Д2.25)

4»,

где Q = J s(2)cU. Если приемник имеет чувствительную площадку малых линей-

ных размеров и чувствительность приемника не зависит от величины падающего
потока излучения, то выходной сигнал приемника прямо пропорционален «эффек-
тивной» освещенности в той точке ПАИ, где находится чувствительная площадка
(см. разд. 4.1.2).

Практический интерес представляет случай, когда относительное спектральное
распределение яркости для каждой точки предметной плоскости неизменно. Мате-
матически это условие можно записать в виде:

Z/x, у) = £(х, у) А(Л), (Д2-26)

3 Предполагается, что для каждого спектрального интервала [ЛЛ ДЯЛ/2, Лк + Д2Л/2] оптичес
кая система удовлетворяет условиям линейности и изопланатичности.
где Л(Я) — относительное спектральное распределение яркости; функция С(х, у) не
зависит от длины волны. Условие (Д2.26) выполняется, например, когда в предмет-
ной плоскости оптической системы расположены тестовые объекты типа штрихо-
вых мир. Если масштаб изображения не зависит от длины волны [Р (Л) = Р = const],
то из выражений (Д2.26), (Д2.23), (Д2.24) следует:

Я £еДУ, т^Я^У-У, У-У)Й«ДУ, (Д2.27)

где

W У) = 7^Т(Л2‘28)
W А™. Р )

— «эффективная» освещенность идеального изображения;

Яро1у(У, /) = 4-1'^(л) У'’ л)дл (Д2.29)

А,„„

— нормированная полихроматическая функция рассеяния точки (НПФРТ);

е„ = 7 Х2ЭКВ(2)• .V(Л) Л(Л)дЛ.

Anin

Область Г^1у (х\ У) включает все точки с координатами (и', v ')> в которых
функция Яо1у(х' — и’, у' — v') отлична от нуля.

В соответствии с выражениями (Д2.11), (Д2.29) для НПФРТ выполняется тож-
дество:

Я Яро1у (У, y)dx'dy = 1, (Д2.30)

Zo, poly

где область у ро1у включает в себя все точки ПАИ, в которых значения функции
Я01у(х', У7} не Равны нУлю-

Пусть функция £(х', у’) отлична от нуля только в пределах малой области
предметной плоскости с центром в точке А (хА, уА) и во всех точках этой области
£(х, у) = СА = const. Соответственно, функция £с(!{х', у') отлична от нуля только в
пределах малого участка ПАИ с центром в точке А’(хАр, уАР), а во всех точках
этого участка £е(г (У, У) = £А = £AQU/Qt р2. Тогда интеграл в формуле (Д2.27) можно
заменить на произведение значения подынтегральной функции в точке А' и площа-
ди 8 (А'):

Ъг (*', У) = УУ (Л')Яро1у (У - хАр, У - уАр). (Д2.31)

Произведение £,8 (А') можно рассматривать как величину «эффективного» потока
излучения, падающего на ПАИ от малого участка предметной плоскости с центром
в точке А. Тогда выражение (Д2.31) является аналогом формулы (Д2.10).

Из выражения (Д2.29) следует, что НПФРТ зависит от спектрального коэффи-
циента пропускания оптической системы. Поэтому при смене в оптической систе-
ме фильтра на фильтр с теми же размерами и тем же показателем преломления
изменяется НПФРТ, а НМФРТ для всех длин волн остаются без изменений.

Во всех случаях использования НПФРТ (особенно при сравнении качества изоб-
ражения оптических систем) следует учитывать, что НПФРТ «привязана» к конк-
ретным спектральным характеристикам источника и приемника излучения.
Д2.8. Передача оптической системой
пространственных частот

Введем в ПАИ прямоугольную декартовую систему координат O'X'aY(', (рис. Д2.19).
Начальная точка этой системы координат совпадает с точкой О', угол между ося-

ми О'Х'в и О'Х' равен 0. Пусть освещенность идеального изображения зависит

только от абсциссы х'в и описывается функцией £. (У) = £0 + £т cos(2^v% + р0),
где £т < £0 — амплитуда пространственного колебания с пространственной частотой
/ и начальной фазой <ра. Из элементарной геометрии следует4: х'в = х cos 0 + у'sin 0.

Тогда

£. (х', У) = £0 + £„, cos^2л(у'х' + »>',/) + #>0],

(Д2.32)

где v' =v'cos0, v' = v'sin© — частоты пространственного колебания в направле-
нии осей О'Х' и O'Y'. Из формулы (Д2.14) следует, что если освещенность идеаль-
ного изображения описывает функция (Д2.32), то яркость в предметной плоскости

описывается функцией

L.{x, у} = Lo+ Lmcos [2л(ухх + v„y) + p0],

(Д2.33)

где vx = v’xfi, vy = v'yp, Д = £0Д2/^экв- Такое изменение яркости по предметной плос-
кости может быть обеспечено при использовании мир с косинусоидальным коэф-
фициентом пропускания (см. разд. 9.5).

Рис. Д2.19. Графики функции (Д2.32).

,, < // Гп.-----л , v'/ /г'2 + v’2 х' = Jx'2 + у'2 cos(6-г?)(см.рис.Д2.19).

Указание: sin г? = у /у]х + у , cos й = х/ ух + У , хв у- у \
оптического изображения

Рис. Д2.20. К расчету изменения освещенности в изоб-
ражении объекта с косинусоидальным распределением
яркости.

После подстановки выражения (Д2.32) в формулу (Д2.15) получим:

£-(*'. У) =

= Д До + £т cos [2 л (у'х и' + v'y У) + <р0 I [ Н (х' - и', у' - У) da'd v'.
ГМ

(Д2.34)

Разделим область Г'(х', у') на одинаковые квадратные ячейки, стороны которых
параллельны осям координат О'Х' и O'Y’ и равны Да (рис. Д2.20). Координаты
центров ячеек находятся в точках (х' - х), у' - у° j, где j = 1, 2, 3, ..., К. При Да -> О
(одновременно К -> °=) интеграл в выражении Д2.34 можно представить в виде:

£. (х', У) =

к (Д2.35)

=+^cos[2?r(<(x'-x>)+(4 y°W-

Так как

COS Дл (v' (х' - х) ) + у (у - у* ))+%] =
= COS [2л (у’хх + уу) + <р,: j cos [2л (v)x) + v)y) +
+ 8П1[2л(у'х'+ УУ)+ ^o]sm [2л(Ух) + yy))],

то

£.(x', y') = Jimf ^Я(х), у))да2 +

+ cos [2л (v'x' + y.y) + <p0] Jim £ £m cos [2л (v)x) + v)y) )1 H (x), у) ) Да2 +

+ sin [2л (У x' + y.y) + <p0] Jim X £„, sin [2л (v'x) + v)y))] H (x), у) ) Да2.

После перехода от сумм к интегралам получим

У') = I£o + £тНс (v', v))cos| 2л (v'x'+ У,у')+%]-

ч г (Д2.36)

-(у'х, v))sin [2л (у>' + уу) + р0],
где

V'y)-fjff(x',y')cos^(v'xx'+v'yy')ldx'dy'; (Д2.37)

Го

Hs (у'х, vy) = -Jj Н (xz, у') sin [2л(<xz + i//)] dx'dy'; (Д2.38)

Го

I = HC (0, 0) = J| H (xz, yz) dx'dy' = 1

/»

[см. формулу (Д2.11)]. Выражение (Д2.36) можно также записать в виде

Е-(х', У,У)=8О(v'x, v;)cos[2^(v>,+ v;y)+f>o + 4'(v', >/)], (Д2.39)
где

v'y) = ^H;(v'x, v'y)+H;(v'x, v'y)- (Д2.40)

4,(1/, i/) = arctg[Я4«, vy)/Hc(y'x, i/)]. (Д2.41)

В [Д2.3] доказано, что при любых v'x, v'y, Н(х', у') выполняется условие

Йак(у'х, v'y)<Habs(0, 0) = 1.

Из выражений (Д2.32) и (Д2.36) следует, что функции Е(х', у') и 8_(х', у')
отличаются только постоянным множителем До/и(г', г') и фазовым сдвигом
Ч* (vz, vz) (см. график на рис. Д2.21).

Используя формулу (9.5), найдем значения контрастов ML, Му, МЕддя функций
(Д2.33), (Д2.32), (Д2.36) соответственно:

ML=^ = ^ = ME, ME=^Habs(v'x, »/.). (Д2.42)

Следовательно,

<Д2Л”

Поэтому функция Habs (v'x, v') носит название монохроматической5 функции пере-
дачи модуляции (МФПМ), а выражение (Д2.43) используется при непосредствен-

Рис.Д2.21. Изменение освещенности вдоль оси
О'Х'е для объекта с косинусоидальным распре-
делением яркости. Пунктиром показан график
изменения освещенности в идеальном изобра-
жении.

1 1

5 Функции L (х, у) и Е(х, у) описывают яркость и освещенность в узком спектральном диапа
зоне (см. разд. Д2.1).
Рис. Д2.22. Графики функций Н(х',у"), Habs(y’x, у'), 4х(v', v').

ном измерении значений функции Hala (у'х, v') (см. разд. 9.5). Функция 4х (v', v'y)
называется монохроматической функцией передачи фазы (МФПФ). На рис. Д2.22
показан график НМФРТ и соответствующие ему графики Habs (у, v'), T (v', vy).

При анализе качества изображения вращательно-симметричных оптических
систем очень часто ограничиваются анализом графиков функций МФПМ и
МФПФ в меридиональном (v' = 0, v', = var) и в сагиттальном (v' = var, v' = 0)
сечениях. Если график НМФРТ представляет собой фигуру вращения с осью,
проходящей через точку (0, 0), то графики МФПМ и МФПФ также являются
фигурами вращения и Hs (v', v') = 0. В этом случае при анализе качества изоб-
ражения достаточно использовать графики МФПМ и МФПФ только в меридио-
нальном сечении.

При подстановке функции (Д2.19) в выражения (Д2.37), (Д2.38) получается:

0=°;

(Д2.44)

где /,() — функция Бесселя первого рода первого порядка. График функции
Н.кЬ„ + v? ) показан на рис. Д2.23. Также на этом же рисунке представлен гра-
фик функции HGabs — МФПМ для НМФРТ Не [см. формулу (Д2.20)].

Рассмотрим более общий случай, когда функция £(х’, у') описывается тригоно-
метрическим рядом:

£(х', /) = £й + £еЛ cos[2л-(v'x.kx' + v^*/) + %], (Д2.45)

где ек, <рк — амплитуда и фаза пространственного колебания с частотами v'x к, v'y к в
направлении осей О’Х‘ и O'Y'. После подстановки функции (Д2.45) в формулу (Д2.15)
и выполнения преобразований по аналогии с формулами (Д2.35)—(Д2.39) получим:

/) =

= f0 + Ze*^«’ + <*/)+%+*«*, 1/J],
Рис. Д2.23. Графики функций H,abs и

где значения Нс (у'х k, v' кHs (v' к, v' к) рассчитываются по формулам (Д2.40) и
(Д2.41).

Пусть область Yrecl представляет собой прямоугольник, стороны которого парал-
лельны осям О'Х' и О'Х'; длины этих сторон равны Т' и Т' (рис. Д2.24). В курсе
высшей математики доказывается, что функция g(x\ у’) может быть аппроксими-
рована6 в пределах прямоугольной области Yrect тригонометрическим рядом Фурье:

£аппр ’ У /

и. (Д2.47)

= £ £&*(<,*> г;,,)со5Г2л-(хХл. +yv;. г;..()1д<Лдг;.л,

г=_оо u J

гДе < к = к/Т'х, vy t = 1/Ту, Дvx = < Ъ| - v'x к = 1/Т', \v’y = v'y. м - v'y f =\/Т',

Рис. Д2.24. Полутоновой график функции gannp(x', у')- Синим цветом показаны грани-
цы области Тгес1. Красным цветом показаны границы области где функ-
ция g(x', у') отлична от нуля.

6 Функцию g(x', у') можно аппроксимировать рядом (Д2.47) только в том случае, когда эта
функция удовлетворяет условиям Дирихлье. Однако эти условия автоматически выполняются
для всех функций, используемых при анализе качества оптического изображения.
&bs«, =>1ёс (<> л)+&2 (<> <);

^)=arctg[i5(<> v; )/&(<> vi)];

(Д2.48)

(Д2.49)

& К» vj) = {#(*’ У)}= JJ g(x'> y)cos[2fl-(v'x' + v>')]dx'dy; (Д2.50)

&(<> = {?(*'> /)}=-Jf 8(x’’ /)sin[2«:(v>' + v;/)]dx'dy. (Д2.51)

л„.

Пусть прямоугольная область Yrect включает в себя все точки, в которых функ-
ция Е(х', у') отлична от нуля. Аппрокимируем на этой прямоугольной области
функции Е(х', у') и £(х', у') тригонометрическими рядами Фурье:

^аппрС*'’ У) =

= X X « к, <,/)cosF2^(xX, к + yVy,,) + % « к,
к=-°° е=^

(Д2.52)

Д’шиЛ*'. У)=

_ (Д2-53)

= х х^«*> /)c°s[2;r(xX. к+y’vy, i)+<pe «, *>

k=^. £=-00

где значения Eabs(v'Xtk, vj. ,), <pE{y'xk, Vyt), £abs (y'x k, v’yl), <pE{y’xk, i/;) вычисля-
ются по формулам (Д2.50), (Д2.51).

Из формул (Д2.53), (Д2.52), (Д2.45), (Д2.46) следует:

VQ= v’y)Habs(y’x, 1/);

(Д2.54)

<»£«> = ^) + ч'(<» v0-

Необходимо отметить, что функция (Д2.47) является периодической:

£аппр (Ч У) £аппр (*' + 1^, У+ тТу),

где тх, т2 — произвольные целые числа. Поэтому за пределами прямоугольной
области Y^, функции g„nnp(x', у') и g(x', у’) могут существенно отличаться друг от
друга (см. рис. Д2.24). Д ля того чтобы функция (Д2.47) аппроксимировала функцию
g(.x\ У ) на возможно большем участке плоскости O'X'Y', необходимо увеличивать
длину сторон прямоугольной области Y^. В предельном случае Т' -» Т' -» «о, а
область Y^, расширяется на всю плоскость O'X'Y'. При Тх -> интервалы между
пространственными частотами v'_ А+1 и v'_ к становятся бесконечно малыми:

t+i - ’С, к = -» °- Аналогично: Итг^„ Av' = 0. Так как Av' -» 0 и Av' -> 0, то в

выражении (Д2.47) можно перейти от суммирования к интегрированию. Тогда:

g (*', У) = {£ (v', v'y)}- J7* {£ «, v;)}, (Д2.55)

где

{& <)}= J f gc (<, v')cos^2^-(v'x'+ v'y)Jdv'dv'; (Д2.56)

v;)}= J Jgjv;, v;)sin[24vX+v;y)]d<dv;. (Д2.57)
Интегрирование в формулах (Д2.56), (Д2.57) ведется по области пространственных
частот -о» < у' < +»°, - оо < у' < -l-ОО. функции

v'y) = ^c{g(x\ у)}, ^(у, v;) = zs{g(x', у)}

рассчитываются по формулам (Д2.50), (Д2.51); при этом формально областью ин-
тегрирования Yrcct является вся плоскость O'X'Y', а фактически интегрирование
ведется только в пределах области Ys, где функция g(x', у') отлична от нуля.

Переход от функции g(x', у') к функциям gc (у, у'), gs (у'х, у') [см. формулы
(Д2.50), (Д2.51)] называется прямым преобразованием Фурье. Восстановление фун-
кции£(х', у') по функциям gc (у'., у'), у(у', у') называется обратным преобразо-
ванием Фурье [см. формулы (Д2.55)—(Д2.57)].

Так как Яс(у', у') = 7^{//(х', У)}, Я, (у', у')=у{/7(х', У)] [см. формулы
(Д2.37), Д2.38)], то НМФРТ может быть вычислена по известным (например, изме-
ренным) МФПМ и МФПФ:

н (х\ У)={Я (у, у)}- у1 {Я, (у, у )}=

=^"‘{яЛ(У. y)cos[‘p(y', у;.)]}-^ ‘{ял(у;, y.)sin[4-(y, у;)]}.

Из формул (Д2.54), (Д2.55) следует:

£(< У)=^у1{4,(У» v'y)Habs(v'x, i/)cos[%«, у)+ч'(у, y)]}-

r Г -n W2-58)

-^_1{4ЛУ. v'y)Habs(v'x, y.)sin[pf(y, у)+т(у, y)]}.

Формула (Д2.58) может быть также получена в результате подстановки выражения
(Д2.15) в формулу (Д2.55) [Д2.3], [Д2.4].

Очень часто при анализе передачи оптической системой пространственных
частот д ля упрощения математических выкладок используются комплексные числа.
В комплексной форме обратное и прямое преобразования Фурье вещественной
функции g(x', у') записываются в виде:

g(xr, y,)=^-1{g(v'x, у)}=^‘{&(у, v;)}+i^-‘{gs(y;, у)}=

(Д2-59)

= J/#(У, v;.)exp[2m(v>'+y;.y)]dv'dy;„

где i = л/=1,

g(y'x, V'y) = ^{g(x', /)}=^c{g(x\ y)}+i^s{g(x', У)}=
= JJ g (x\ У) exp [-2®i (y'xx' + v'У)] dx'dy'.

(Д2.60)

Монохроматическая оптическая передаточная функция Н (v', vy) вычисляется как
прямое преобразование Фурье от НМФРТ:

у;)=^{я(х', У)}=^{я(х', у)}+^{я(У5 У)}=

=я^(у;, у;)ехР[2жч((у;, у)].
В комплексной форме выражение (Д2.58) записывается в виде

Е(х', y') = ^{E{S(X', у')}?{Н(х, /)}}=

(Д2.62)

v;)4s(vx> •';)exp[2wi(<p£«/+v;y)+w(v',

В качестве примера рассмотрим случай, когда НМФРТ описывается функцией
(Д2.19) и

F(x’ = ПРИ 1Х1<А-И М<Л-’

’ ' [О, при |х| > R. или |у| > R.. (Д • )

Взяв прямое преобразование Фурье от функции (Д2.63), получим

4 (<,

v;.) = Zr{£(x', у)}^

sin (2 л R .v' ) sin (2xR, v'y )

4 (<> 4)=Z {£ (.x’, y)}=o.

Графики функций £(x, у), H.tf, у), £C(VX, i/.), v'),

Ёс{ух, v;)=4(v;, г;)я.с(г', v;),

E (x', У) [вычисляется по формуле (Д2.58)] приведены на рис. Д2.25.

Этот пример и выражения (Д2.58), (Д2.62), (Д2.54) показывают, что оптичес-
кую систему можно рассматривать как фильтр, подавляющий высокие простран-
ственные частоты. Для того чтобы наглядно показать влияние подавления высоких

£(х',У)

Н.(У,У)

Рис. Д2.25. Расчет освещенности в ПАИ по формулам (Д2.58).
Рис. Д2.26. Примеры фильтрации высоких пространственных
частот:

а — полутоновый график исходной функции g(x', у'), б — полутоно-
вый график функции у') при v'm = 4 Г’1; в - полутоновый
график функции glim(x', у') при v[lm = 2,66 Г-1.

пространственных частот на оптическое изображение,
на рис. Д2.26 представлены полутоновый график ис-
ходной функции g(x', у') и полутоновые графики фун-
кции gllm(x', у') для двух значений предельной частоты
vUm- При этом функции g(x', у') и gl]m(x', у') связаны
равенствами:

&im(^ У) = ^_'{£1.т, <)}-У '{gIim. s«, <)};

К' {я (*'> У)}, при + v;2 < у1т,
о, при < > V„m;

%.Technische
Optik

Tcchnische
Optik

IcvhniKbc
Optik

k (y’ /)}’ npn + v? <

О, при + v;.2 > v'm.

Из последнего примера следует, что анализ пространственно-частотных харак-
теристик изображаемого объекта (т. е. пространственно-частотных характеристик
изменения яркости в предметной плоскости или пространственно-частотных ха-
рактеристик освещенности идеального изображения) может использоваться для
определения минимально допустимых значений функции передачи модуляции оп-
тической системы.

По аналогии с монохроматическими функциями передачи фазы и модуляции,
монохроматической оптической передаточной функцией можно определить поли-
хроматические функции передачи фазы и модуляции (ПФПФ и ПФПМ соответ-
ственно), а также полихроматическую оптическую передаточную функцию:

Habs. ро1у v;) + /72poly«, О; (Д2.64)

Ч'рыу^х. *;) = arctg[я,.ро1у(<, У)/Д.Ро1У«, у)]; (Д2.65)

#РО1У(<, <) = ^К,1у(х', У)}=ЯЛ.ро1у(У, у)ехр[2эт’Рро|у«, <)], (Д2.66)

гДе <ро1у(^> v;)=^{//poly(x', у')}, Я5,р01у(У, У) = л{//ро1у(л', У)}.

Пусть оптическая система в каждом узком интервале рабочего спектрального
диапазона удовлетворяет условиям линейности и изопланатичности, р(л)~ р ~ const,
а изменение яркости по предметной плоскости описывается функцией (Д2.26). Если
£(х, у) = £„ + £ncos [2я-(г x+v у) + р0], то, по аналогии с формулами (Д2.36), эффек-
тивная освещенность в ПАИ описывается функцией

Е~. а (х', У) =

= ^,efr + ^,eAs.poiy«> У)со5[2л-«х'+УУ) + ^ + Ч'Ро1у«, <)], (Д2.67)
где £0, е(г = /QiP1, £т, efr = CmQn /Q}fl2, v'x = vjp, v’y = vy/p. Формула (Д2.67) мо-
жет быть использована для непосредственного измерения функций Hab5i (у*, у'),
'f'poiy (vx> У) (см- P33^ 9 5). Взяв прямое преобразования Фурье от выражения (Д2.27),
получим:

(*', У') = Е-‘ {^{4„ « У)}^{яро1у (У, У)}}. (Д2.68)

Формула (Д2.68) представляет собой аналог выражения (Д2.62).

Использование пространственно-частотных характеристик (получаемых в ре-
зультате прямого преобразования Фурье двумерных функций яркости и освещен-
ности) не только позволяет в краткой форме описывать формирование изображе-
ния оптической системой, но также упрощает описание процессов преобразования
оптических сигналов в электрические (например, с помощью многоэлементных
приемников) [Д2.3]—[Д2.5]. Преобразования Фурье широко используются при ком-
пьютерной обработке изображений [Д2.7]. Так, например, популярные алгоритмы
сжатия (с потерями) графической информации JPEG и MPEG основаны на пря-
мом преобразовании Фурье с последующим отбрасыванием высоких пространствен-
ных частот [Д2.6].

Список литературы к дополнению 2

Д2.1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. — Л.: Машинострое-
ние, 1969. — 670 с.

Д2.2. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. — Л.:
Машиностроение, 1982. — 270 с.

Д2.3. Москвин Г.М., Немтинов В.Б., Лебедев Е.Н. Теория оптико-электронных
систем. — М.: Машиностроение, 1990. — 432 с.

Д2.4. Порфирьев Л. Ф. Основы теории преобразования сигналов в оптико-элект-
ронных системах. — Л.: Машиностроение, 1989. — 387 с.

Д2.5. Якушенков Ю.Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов. — М.:
Машиностроение, 1989. — 360 с.

Д2.6. Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука. — М.: Техносфера,
2004. - 368 с.

Д2.7. Методы компьютерной обработки изображений / Под ред. В.А. Сойфера. —
М.: Физматлит, 2003 г. — 784 с.
ДОПОЛНЕНИЕ 3

ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ В СОВРЕМЕННОМ
ОПТИЧЕСКОМ ПРИБОРОСТРОЕНИИ

Д3.1. Классификация дифракционных
оптических элементов

Дифракционными оптическими элементами (ДОЭ) в отечественной и зарубежной
литературе называют оптические элементы, осуществляющие преобразование фронта
падающей волны в результате дифракции света на микроструктуре элемента, вы-
полненной на поверхности заданной формы. Классифицируют ДОЭ по типу диф-
ракционной структуры, по форме поверхности, на которой она выполнена, и, на-
конец, по виду осуществляемого преобразования фронта волны. Дифракционная
структура может работать на пропускание или отражение, пространственно моду-
лируя амплитуду или фазу падающей на нее волны. В общем случае (как и в про-
стейшем случае дифракционной решетки, рассмотренном в п. 7.6.1) в результате
дифракции падающая волна расщепляется на несколько волн (дифракционных по-
рядков), распространяющихся в различных направлениях и отличающихся как по
интенсивности, так и по форме волнового фронта. При этом дифрагированные
лучи (перпендикуляры к фронтам дифрагированных волн) располагаются с обеих
сторон от лучей нулевого порядка, распространяющихся в направлении падающей
волны (в случае структуры, работающей на пропускание) или зеркально отражен-
ной волны (в случае структуры, работающей на отражение). Порядки дифракции
отсчитывают от нулевого, считая положительными порядки, расположенные по одну
сторону от нулевого, и отрицательными — расположенные по другую. Выбор знака,
конечно, условен (см. рис. 7.18).

Исторически первыми ДОЭ, лежащими в основе двух основных классов таких
элементов, являются плоские дифракционные решетки со структурой в виде пря-
молинейных и равноотстоящих друг от друга штрихов, рассмотренные в п. 7.6.1, и
кольцевые зонные пластинки Френеля.

Принцип действия дифракционной решетки был открыт в 1785 году Риттенха-
узом. Однако это открытие осталось незамеченным, и повторно решетка была изоб-
ретена в 1819 году Фраунгофером, который создал также технологию их изготовле-
ния. Значительных успехов в технике изготовления дифракционных решеток дос-
тиг Роуланд, который создал весьма совершенные для того времени гравировальные
машины и изобрел так называемую вогнутую решетку [Д3.1]. Сегодня в класс диф-
ракционных решеток входят также фокусирующие вогнутые решетки с непрямоли-
нейными штрихами и квазипериодической структурой, чья пространственная часто-
та изменяется по заданному закону. Такие решетки позволили, в частности, создать
спектральные приборы с характеристиками, недостижимыми при использовании
классических решеток [Д3.2].

Учитывая, что спектральным приборам на основе дифракционных решеток в
данной книге посвящен разд. 7.4, ниже остановимся лишь на решетках — расщепи-
телях монохроматических световых пучков и цветоделительных решетках. Расще-
пители должны падающий световой поток распределять между несколькими рабо-
чими порядками. При этом определенные требования предъявляются как к углам
дифракции, так и к соотношению интенсивностей в различных порядках. Цветоде-
лительные решетки предназначены для разделения излучения различных длин волн
по требуемым порядкам. Впервые такие решетки были предложены Дамманом в
1978 году [ДЗ.З]. Указанные задачи решаются за счет дополнительной фазовой мо-
дуляции падающей волны в пределах пространственного периода дифракционной
микроструктуры (см. Д3.2).

Амплитудная зонная пластинка была предложена О. Френелем в начале XIX ве-
ка [Д3.4]. Ее структура представляла собой чередующиеся прозрачные и непрозрач-
ные концентрические кольцевые зоны, радиусы границ которых пропорциональны
корням из целых чисел. Такая пластинка по действию эквивалентна нескольким со-
бирающим и рассеивающим линзам, вложенным в одну апертуру (рис. Д3.1 и Д3.2).

В 1898 году Р. Вуд, реализуя идеи Дж. Рэлея, впервые изготовил фазоинверс-
ную зонную пластинку [Д3.5], а в 1957 году Г.Г. Слюсарев предложил зонную пла-
стинку с фазовым профилем зон [Д3.6], который сегодня отечественные и зарубеж-
ные специалисты называют киноформным. Термин «киноформная линза» введен в
работах Л. Лезема, П. Хирша и Дж. Джордана [Д3.7]. Дифракционная эффектив-
ность (под которой понимается отношение интенсивности света, дифрагировав-
шего в т-й порядок 1т, к интенсивности падающего света Zo) в первом рабочем
порядке амплитудной пластинки Френеля не превышает 10,1 %, а фазоинверсной
пластинки Рэлея—Вуда — 40,5 %. Работа же Г.Г. Слюсарева показала принципиаль-
ную возможность создания дифракционных элементов с эффективностью, близкой
к 100 %. Однако практическая возможность изготовления таких элементов откры-
лась лишь в последние десятилетия с развитием микроэлектронных и лазерных
технологий [Д3.8—Д3.18].

ДОЭ со структурой, подобной структуре зонной пластинки, называют дифрак-
ционными линзами. В составе оптической системы они могут использоваться как
силовые или как коррекционные элементы. В последнем случае их оптическая сила
невелика, но благодаря дисперсионным свойствам и асферизации фронта дифраги-
ДЗ. 1. Классификация дифракционных оптических элементов

рованной волны такие элементы являются эффективными корректорами хромати-
ческих и монохроматических аберраций.

Один из наиболее интересных классов ДОЭ образуют фокусаторы лазерного
излучения [Д3.14]. Фокусаторы — это ДОЭ, имеющие регулярную микроструктуру
и фокусирующие лазерное излучение в тонкие линии или заданные области про-
странства (рис. ДЗ.З, Д3.4). Они предложены и впервые исследованы в нашей
стране в 1981 году [Д3.19].

Трудами И.Н. Сисакяна, В.А. Сойфера, В.А. Данилова и ряда других отече-
ственных исследователей в первой половине 80-х годов прошлого столетия получе-
ны основные геометрооптические решения задачи фокусировки и созданы различ-
ные фокусаторы [Д3.20—Д3.26]. В последующие годы в работах [Д3.27—ДЗ.З 1 ] были
развиты теоретические аспекты методов расчета фокусаторов, доказаны теоремы
существования и разрешимости задач синтеза фокусаторов. Особенно актуально
использование фокусаторов для мощных лазеров, работающих в среднем ИК-
диапазоне (Л= 10,6 мкм). Это связано с меньшей стоимостью и отсутствием эколо-
гически вредного воздействия производства ДОЭ по сравнению с линзовыми фоку-
сирующими системами лазеров. Особый интерес представляет использование фо-
кусаторов на алмазных пленках, обладающих в диапазоне среднего ИК-излучения
высокой термоустойчивостью до 5 кВт/см2.

Ключевой проблемой при создании фокусаторов является достижение высокой
энергетической эффективности при формировании требуемого распределения ин-
тенсивности в фокальной области. Впрочем, задача управления эффективностью в
заданных дифракционных порядках одна из важнейших общих проблем дифракци-
онной оптики, и следующий раздел посвящается именно этой проблеме.

Рис. ДЗ.З. Фокусатор, формирующий при его
освещении плоской монохроматической вол-
ной сфокусированный отрезок вдоль оптичес-
кой оси.

Рис. Д3.4. Фотошаблон фокусатора, формиру-
ющего при его освещении плоской монохро-
матической волной в плоскости, перпендику-
лярной оптической оси, действительное изоб-
ражение буквы «R».
Д3.2. Дифракционная эффективность
амплитудных и фазовых микроструктур

Рассмотрение начнем со структуры, представляющей собой бесконечно тонкий транс-
парант с пропусканием, изменяющимся в одном направлении по синусоидальному
закону. Термин «пропускание» мы будем применять к структурам, работающим как
на пропускание, так и на отражение. В первом случае под пропусканием будет
пониматься отношение амплитуды световой волны непосредственно за структурой
к амплитуде волны, падающей на эту структуру, а во втором — отношение ампли-
туды отраженной от структуры волны к амплитуде падающего излучения.

На амплитудной синусоидальной структуре свет дифрагирует только в три по-
рядка: нулевой +1-й и -1-й. Если синусоидальное пропускание изменяется от 0 до 1

t (х) = 0,5 (1 — cos (2л£>с)), (Д3.1)

то дифракционная эффективность в нулевом порядке r)v = 25 %, а в двух первых
т]+1 = г/= 6,25 %. В формуле (Д3.1) £ — пространственная частота структуры в
направлении оси X, связанная с пространственным периодом g простым соотноше-
нием:

£ = l/g. (ДЗ-2)

Если же пропускание по-прежнему изменяется в указанном диапазоне, но описы-
вается прямоугольной периодической функцией, то т]+1 = т)_к = 10,1 %. При этом
дифракционная эффективность в высоких порядках не равна нулю.

Несомненно, больший интерес представляют чисто фазовые структуры, у которых
коэффициент пропускания является комплексной функцией, а ее модуль | t(x) | = 1.
В этом случае благодаря отсутствию поглощения сумма дифракционных эффектив-
ностей всех порядков равна 100 %. Если фазовый сдвиг (р(х), приобретаемый плос-
кой волной при прохождении через структуру, изменяется по синусоидальному за-
кону

<р(х) = <рх cos (2я£х), (ДЗ.З)

где — амплитуда фазовой модуляции, а £ как и в формуле (Д3.1), — простран-
ственная частота структуры в направлении оси X, то максимум дифракционной
эффективности в +1-м и -1-м порядках достигается при р = 1,84 и составляет
>7+1 = 7_j = 33,9 %, но в отличие от структуры с амплитудным синусоидальным
пропусканием эффективность в высших порядках в этом случае не равна нулю.

Несколько больше света дифрагирует в два первых порядка на так называемой
фазоинверсной или бинарной структуре, которая создает фазовый сдвиг, описыва-
емый прямоугольной периодической функцией. Максимум дифракционной эффек-
тивности в этом случае т?+1 = rj_x = 40,4 % достигается, если фазовый сдвиг прини-
мает значение ср(х) = 0 в течение одной половины периода и значение <р(х) = п— в
течение другой [Д3.32]. Нулевой и все четные порядки дифракции в этом случае
отсутствуют (1]+гк = = 0 при к = 0, 1, 2, ...).

Наконец, весь свет в один порядок дифрагирует на структуре, создающей фазо-
вый сдвиг, описываемый пилообразной функцией, обеспечивающей линейный рост
<р(х) в пределах периода от нуля до величины, кратной 2ж

Действительно, условием стопроцентной эффективности в данном дифракци-
онном порядке является синфазность всех вторичных сферических волн, распрост-
раняющихся в направлении, соответствующем этому дифракционному порядку. На
языке лучей это условие означает нулевую или кратную длине волны падающего
излучения 2 разность хода всех лучей, соответствующих данному порядку дифрак-
ции. Разность хода лучей, исходящих из двух точек, принадлежащих одному и тому
Д3.2. Дифракционная эффективность амплитудных и фазовых микроструктур 391
же периоду структуры, линейно растет с увеличением расстояния между этими точ-
ками и достигает максимума Snm, когда расстояние между точками равно периоду g
Полагая, что освещающая структуру волна падает нормально для 6^, запишем

<?™» = ^sinA (Д3.4)

Здесь Д угол дифракции, связанный с периодом простым соотношением

. о тЛ

sm^ = y, (Д3.5)

вытекающим из основного уравнения решетки (7.14), в силу нормального падения
освещающей волны (е= 0) на пропускающую структуру. Подставляя формулу (Д3.5)
в выражение (Д3.4), получим

= тЛ. (Д3.6)

Чтобы все вторичные волны, исходящие из точек, принадлежащих одному и
тому же периоду структуры, распространялись синфазно, необходимо, чтобы сама
структура вносила фазовый сдвиг, компенсирующий нарастание фазы за счет раз-
ности хода в свободном пространстве

2л$(х)/Л + <р{х) = const. (Д3.7)

Учитывая, что при х = 0 S(x) = 0, а при х = g ё(х) = для 0(0) и <p(g), получаем

0(0) = const; 0(g) = const — 2лт. (Д3.8)

Выбор const = 2ят обеспечивает нулевую фазовую задержку в конце периода диф-
ракционной структуры: 0(х) должно изменяться в пределах периода от 2лт до нуля.

В принципе существуют две возможности реализации чисто фазовых структур.
Первая из них состоит в создании в приповерхностном слое подложки оптического
элемента изменяющегося показателя преломления (например, за счет диффузии
каких-либо примесей или в результате процесса обработки фоточувствительного
эмульсионного или резистивного слоя), а вторая — в создании рельефа на поверх-
ности подложки. В обоих случаях обеспечиваются различные оптические пути для
света, проходящего через соседние участки структуры, т. е. фазовая модуляция све-
та. В настоящее время пилообразное изменение фазы коэффициента пропускания
за счет переменного показателя успешно реализуется лишь в лабораторных услови-
ях, тогда как высококачественные рельефно-фазовые структуры изготавливаются
промышленно. Именно рельефно-фазовой является структура нарезных спектраль-
ных решеток с «блеском», т. е. с несимметричным профилем штриха (эшелетты),
которые давно и широко используются как дисперсионные элементы спектральных
приборов.

Кроме традиционной технологи, предполагающей нарезку решетки на дели-
тельной машине, в настоящее время имеется несколько более совершенных мето-
дов получения элементов с рельефно-фазовой структурой. К ним, в частности,
относятся алмазное точение [ДЗ.ЗЗ, Д3.34], сухая фотополимерная штамповка
[Д3.35] и проекционное формирование рельефной структуры с использованием
прецизионного генератора изображений. Последний может быть оптическим или
электронно-лучевым [Д3.13, Д3.18, Д3.36, Д3.37]. Однако наиболее эффективной
сегодня является фотолитографическая технология, применяемая в микроэлект-
ронике для изготовления интегральных схем [Д3.14, Д3.15, Д3.17, Д3.38, Д3.39].
Эта технология позволяет приближать пилообразный профиль ступенчатым, как
показано на рис. Д3.5.

Максимальная фазовая задержка, которую может обеспечить рельефно-фазо-
вая структура с пилообразным профилем штриха, связана с глубиной рельефа соот-
ношениями
Рис. Д3.5. Пилообразный профиль штриха микроструктуры (1) и его приближение
ступенчатым профилем (2) при числе уровней градации к = 5.

?(0) = 2яйтак(н - 1)/Л;

«7(0) = 4<ах/Л; (Д3.9)

«?(0) = 4яйтахи/Л

в зависимости от режима работы структуры — на пропускание, на отражение со
стороны воздуха или на отражение со стороны подложки соответственно. Здесь
п — показатель преломления материала подложки. Из формул (Д3.9), в частности,
следует, что пилообразная структура с глубиной hmax, работающая на пропускание
обеспечивает стопроцентную дифракционную эффективность в »г-м порядке диф-
ракции при ее освещении монохроматическим светом с длиной волны, удовлетво-
ряющей условию

= (ДЗ.Ю)

Решая совместно (Д3.5) и (ДЗ.Ю), находим угол дифракции

sin/? = h^(n - \)/g. (Д3.11)

Аналогичные соотношения нетрудно получить и для режимов работы на отра-
жение.

Теперь проанализируем дифракционную эффективность рельефно-фазовой сту-
пенчатой структуры, показанной на рис. Д3.5.

Будем считать, что «?(х) изменяется в пределах периода, принимая ряд следую-
щих дискретных значений «7, = 'Lrcl/k, где к — полное число уровней в ступенчатом
профиле, al — текущий номер уровня (на поверхности подложки Z = 0, а уровень,
соответствующий максимальной глубине рельефа, имеет номер к — 1). Тогда, как
показано в [Д3.38], дифракционная эффективность ступенчатой структуры в т-м
порядке описывается выражением

_ sin2 (я т/к) sin2 [я (т + 1)]

Т,"‘ тгпг sin2 [я (т + l)/fc] (ДЗ-12)

Поскольку т (номер порядка) — целое число, то числитель второй дроби в
(ДЗ. 12) всегда равен нулю, а дифракционная эффективность отлична от нуля толь-
ко в тех порядках, для которых равен нулю и знаменатель второй дроби. Легко
видеть, что это имеет место для порядков, номера которых удовлетворяют соотно-
шению

т = — 1 + vk,

(Д3.13)
где v = 0, ±1, ±2 и т. д. Подставляя выражение (Д3.13) в (Д3.12) и раскрывая
неопределенность типа 0/0, получим

к2 sin2 (лт, к)

5 2 "
л т

(Д3.14)

Из соотношения (Д3.14) следует, что в -1 (рабочем) порядке дифракционная
эффективность ступенчатой структуры не равна нулю при любых значениях числа
уровней к (кроме, разумеется, к = 1, что соответствует отсутствию рельефа). Чис-
ленные значения для различных к приведены в табл. ДЗ. 1. Из выражения (ДЗ. 14)
также следует, что чем больше число уровней в профиле ДОЭ, тем реже расположе-
ны порядки, в которые дифрагирует свет. При к = 2 равна нулю эффективность во
всех четных порядках (т. е. ненулевые порядки расположены через один), тогда как
при к = 3 уже только каждый третий порядок имеет ненулевую эффективность.
Таким образом, увеличение числа уровней в ступенчатом профиле приводит к по-
вышению эффективности в рабочем порядке и к увеличению числа ближайших к
рабочему порядков с нулевой эффективностью. Последнее обстоятельство не менее
важно для оптических систем, содержащих ДОЭ, чем высокая эффективность в
рабочем порядке, так как нерабочие порядки снижают отношение сигнал/шум в
изображении. Численные значения эффективностей ближайших к рабочему нену-
левых порядков также приведены в табл. Д3.1.

Таблица Д3.1. Дифракционная эффективность микроструктуры
со ступенчатым рельефом в рабочем t], и ближайших
ненулевых положительных t]t и отрицательных t] порядках.

Порядок Дифракционная эффективность при числе уровней градации рельефа к
г 3 4 5 6 ОО
1-л 0,405 0,684 0,811 0,875 0,912 1,0
%- +1* 0,405 +2 0,171 +3 0,090 ь4 0,055 +5 0,036 —
3* 0,045 0,043 5 0,и32 6 0,024 -7 0,019 —

* Номер ближайшего ненулевого порядка.

Все изложенные зависимости и данные табл. ДЗ. 1 реализуются только при иде-
альном изготовлении структуры для той длины волны и угла падения света, под
которые рассчитывался профиль. Если же рельефно-фазовая пропускающая структу-
ра, рассчитанная на длину волны 2*, работает с излучением другой длины волны Л, то
фазовый сдвиг, вносимый /-м уровнем ступенчатой структуры,

<9, = 2лЯ*(я - 1 )//(«* - 1)(ЛЛ),
а дифракционная эффективность описывается выражением

, _ sin2 (л-m/Z:) sin2 [д(т + А:^/2д)] (ДЗ. 15)

лгпг 5т2[л-(т + Лр,/2л-)/А:]

Здесь — приращения фазы за счет одной ступени профиля

ъа*{п-\) (Д316)

Ы(и*-1)
элементы

а п и и* — показатели преломления подложки на длине волны Л и Л* соответственно
[Д3.38].

В табл. Д3.2 приведены значения величины ktpJ'lTtn зависимости от отношения
дифракционной эффективности в —1 порядке T)'_t к максимально достижимой эф-
фективности г)^ при данном числе уровней. Данные таблицы показывают, что наи-
большим снижение рабочей эффективности в рабочем порядке при отклонении
фазовой модуляции от оптимальной будет для киноформа к —> а наименьшим —
для бинарного профиля к = 2.

Таблица Д3.2. Отношение приращения фазы, обусловленного одной ступенью
профиля ДОЭ (^t), к оптимальному приращению (2л/к)
при заданном снижении эффективности в рабочем порядке.

il'.JtL, k<pt /2п при числе уровней градации рельефа к
2 3 4 5 6 ОО
0,95 1,144 1,132 1,129 1,127 1,126 1,125
0,90 1,205 1,189 1,184 1,182 1,180 1,178
0,85 1,253 1,233 1,227 1,225 1,223 1,220
0,80 1,295 1,272 1,266 1,263 1,261 1,258
0,75 1,333 1,308 1,300 1,297 1,295 1,291

В качестве примера оценим снижение дифракционной эффективности на кра-
ях видимого диапазона, ограниченного синей F- и красной С-линиями водорода
(Ят!п = Лг = 486,13 нм и Лтх = Лс = 656,26 нм). Будем считать, что рельефная струк-
тура выполняется в стекле марки К8 и рассчитывается на длину волны Я*, соответ-
ствующую желтой «/-линии гелия (Я* = Ла = 587,56 нм). Показатель преломления
стекла К8 на длинах волн Я,., Яс, Ла принимает значения nF= 1,521948, пс = 1,513888,
nd = 1,51637264 соответственно. Тогда параметр ktpjl-ife, соответствии с формулой
(Д3.16) на длинах волн Ле, Лс примет значения k<pXFl1n= 1,2217 и к1<рхс!'1я= 0,8910.
Значения дифракционных эффективностей ^_lf и г]_1С в рабочем —1 порядке на
длинах волн Я;. и Яс представлены в табл. ДЗ.З.

Таблица ДЗ.З. Значения дифракционных эффективностей t}_iF и q_lc
в рабочем -1 порядке на длинах волн Я,, и Яс.

к 2 3 4 5 6 СО
W-iF 0,358 0,591 0,695 0,747 0,777 0,848
’l-ic 0,393 0,660 0,781 0,843 0,878 0,961

Падение дифракционной эффективности при отклонении длины волны от рас-
четного значения и сопровождающий его рост эффективности в паразитных поряд-
ках ограничивают использование дифракционных линз и корректоров аберраций в
фото-, теле- и других объективах, предназначенных для работы с полихроматичес-
ким излучением. Одно из возможных решений этой проблемы предложено в работе
[Д3.40]. Оно предполагает совмещение прямого и зеркального рельефов, выпол-
ненных в плоскопараллельных пластинах из двух различных оптических материа-
лов (см. рис. Д3.6).
Рис. ДЗ.б. «Ахроматическая» двухслойная рельефно-фазовая микроструктура.

Фазовый сдвиг, вносимый в проходящую волну, в точке этой структуры с коор-
динатой х, как следует из рис. ДЗ.б, имеет вид

f’G) = - и2(Л)) /г(х)/Л (ДЗ. 17)

Дифракционная эффективность не будет зависеть от длины волны при условии
независимости от нее фазового сдвига <р(А) = const. Последнее, как известно, тре-
бует обращения в нуль первой производной dtp/dA — 0. Проанализируем возмож-
ность выполнения этого условия, аппроксимируя зависимости показателей пре-
ломления двух материалов подложки линейными функциями

л,(Я) = «01 + - Л*),

(Д3.18)

«2U) = «02 + Ъ№ ~ Л*У

Легко видеть, что в этом случае

dtp = Л ~ ~ (ии1 - ит) -(A- Z)(Z>, - Z>,)

dA А2 (Д

и требование d<p/dA = 0 выполняется строго только в тривиальном случае отсут-
ствия структуры (и0] = и0, и bt = Z>2). В случае реальных материалов показатели
преломления не описываются линейными функциями и подобрать материалы, ми-
нимизирующие снижение дифракционной эффективности в заданном спектраль-
ном диапазоне до приемлемого уровня, вполне возможно, доказательством чего
являются впечатляющие результаты по использованию двухслойных ДОЭ в фото-
объективах, достигнутые фирмой Canon [Д3.41].

Завершая анализ дифракционной эффективности пилообразных и близких к
ним многоступенчатых рельефно-фазовых структур, заметим, что все вышеприве-
денные результаты получены на основе скалярной теории дифракции в приближе-
нии бесконечно тонкой структуры. В ряде работ (см., например, [Д3.16]) приводят-
ся более точные результаты, полученные на основе электромагнитной теории и с
использованием так называемого скалярного анализа второго порядка. Там, в час-
тности, показано, что отказ от равноглубоких ступеней в рельефной структуре и
оптимизация ее позволяют существенно поднять дифракционную эффективность.

Теперь рассмотрим фазовые структуры, предназначенные для формирования
одномерного или двумерного набора плоских пучков с заданным соотношением
энергии между пучками. Дифракционные решетки с такими структурами, называ-
емые многопорядковыми решетками, применяются в оптических устройствах муль-
типликации изображений, в соединителях для оптических волокон и свободного
пространства, в устройствах оптической связи и обработки информации, в коге-
рентных оптических процессорах [Д3.42—Д3.47].
Бинарные структуры (к = 2) представляют особый интерес ввиду простоты их
изготовления методами фотолитографии, когда бинарный рельеф формируется за
одно химическое травление подложки.

Для расчета бинарных многопорядковых структур используются, как правило,
методы стохастической оптимизации, такие как прямой бинарный поиск [Д3.48, Д3.49],
алгоритм симуляции отжига [Д3.50—Д3.54] и итеративные алгоритмы [Д3.55—Д3.58].
В работах [Д3.59, Д3.60] расчет структур основан на решении системы нелинейных
уравнений, представляющих интенсивности порядков решетки через координаты
фазового профиля. При этом расчет бинарной структуры с числом порядков 2N+ 1
сводится к решению нелинейной системы из N уравнений.

В случае бинарных дифракционных решеток, предназначенных для преобразо-
вателей лазерных пучков и формирователей пучков в сетях на оптических волок-
нах, требуемое число порядков может достигать нескольких сотен.

С ростом числа порядков алгоритмы случайного поиска профиля фазовой мик-
роструктуры требуют большого времени расчета и приводят к нестабильной сходи-
мости, а методы расчета, основанные на решении системы нелинейных уравнений,
становятся численно неустойчивыми. В работе [Д3.14] рассмотрен более эффектив-
ный метод расчета многопорядковых бинарных структур, основывающийся на гра-
диентном алгоритме при специальном выборе начального приближения для про-
филя решетки.

Фазовый профиль бинарной микроструктуры состоит из А" прямоугольных штри-
хов одинаковой высоты ср, но разной ширины (рис. Д3.7). Координаты ..., хгк
этих штрихов являются расчетными параметрами и определяют значения интен-
сивности в дифракционных порядках. Таблица Д3.4 из работы [Д3.14] дает пред-
ставление о возможностях бинарных многопорядковых структур.

Завершим данный параграф кратким анализом рельефно-фазовых многосту-
пенчатых структур цветоделительных решеток. Наиболее общим аналитическим
решением для таких структур в рамках скалярной теории является решение, обес-
печивающее возможность направления трех плоских волн с длинами Ло и

A±l = AN/(N + p), (Д3.20)

(где р = 1, 2, ..., Z), в 0, +1 и —1 — дифракционные порядки [Д3.61—Д3.64]. Про-
филь структуры состоит из N ступенек равной ширины (рис. Д3.8). Высоты ступе-
нек определяются по формуле:

Д. =

mod„ (az), z’ = 0, ..., N -1,

(Д3.21)

где и0 — показатель преломления материала, в котором выполняется структура; а—
целое число:

Nm + l
N + p

т = 1, 2, ..., Z.

(ДЗ-22)

Рис. Д3.7. Фазовая функция одного периода бинарной многопорядковой микро-
структуры.
Д3.2. Дифракционная эффективность амплитудных и фазовых микроструктур

Таблица Д3.4. Число порядков равной интенсивности М
и суммарная дифракционная эффективность г)
бинарной структуры при К штрихах в периоде?

Число порядков М Число штрихов К Суммарная дифракционная эффективность в Л/ порядках ^(%)
5 2 77.5
7 2 81,2
9 3 78,2
11 4 84,6
15 4 84.6
19 5 82,4
25 7 80,3
31 8 83,4
41 11 82,0
51 14 82,3
61 16 80,7
71 19 80,4
81 22 82,8
91 25 81,0
101 27 81,4
151 40 82,8
181 44 82,7
201 54 81,4
251 69 82,2
281 74 82,4
301 81 83,3
451 118 85,1

Рис. Д3.8. Фазовая функция одного пери-
ода многоступенчатой структуры цветоде-
лительной решетки.
Разделение различных длин волн достигается за счет использования микроре-
льефа с высотой, в N раз большей, чем при работе с одной длиной волны. Высота
микрорельефа определяется близостью разделяемых длин волн. Чем ближе длины
волн, тем больше N и тем выше требуется рельеф. Скалярная теория и приближе-
ние геометрической оптики дают нижеследующие дифракционные эффективности
в различных порядках:

% = >, = V-i =

sin2 (я/TV)

(Д3.23)

Вследствие большой высоты рельефа структур цветоделительных решеток ошиб-
ки, вызванные применением скалярного приближения и приближения геометри-
ческой оптики, могут быть весьма значительны и составлять от единиц до десятков
процентов. Несомненно, более точные результаты дает расчет таких структур в рамках
электромагнитной теории [Д3.65].

ДЗ.З. Дифракционные линзы: основные понятия,
характеристики и применение

ДОЭ с микроструктурой, пространственная частота (а следовательно, и период)
которой изменяется в радиальном, одном или двух взаимно перпендикулярных на-
правления по заданному закону, составляют класс дифракционных линз (ДЛ) и
асферик. ДЛ обладают оптической силой, возникающей благодаря квадратичному
члену в законе изменения пространственной частоты. При этом если структура
вращательно симметрична, то ДЛ по фокусирующему действию подобна традици-
онной сферической линзе. Если закон изменения пространственной частоты —
плоская симметричная кривая, то ДЛ по фокусирующему действию подобна тради-
ционной цилиндрической линзе. И наконец, если пространственная частота изме-
няется по разным законам в двух взаимно перпендикулярных направлениях, ДЛ
анаморфотна и эквивалентна двум скрещенным цилиндрическим линзам с нерав-
ными оптическими силами.

Дифракционными асфериками (ДА) или корректорами называют ДЛ с нулевой
оптической силой. Законы изменения их пространственных частот содержат члены
более высоких порядков, чем квадратичный, и в падающий волновой фронт они
вносят асферические добавки различных порядков, аналогично известным в опти-
ке фазовым корректирующим пластинкам, например пластинке Шмидта [Д3.1].

При расчете оптических систем с ДЛ используют несколько вариантов их опи-
сания. Те из них, которые основываются на понятии эйконала записи ДЛ, позво-
ляют легко получать аберрационные коэффициенты системы в аналитическом виде,
формировать системы компенсационных уравнений и, решая их, устранять абер-
рации.

Понятие эйконала записи было введено авторами работы [Д3.38] в результа-
те обобщения подхода, применяемого при описании голографических оптичес-
ких элементов или просто голограмм, частного случая ДОЭ. Действительно, при
голографической записи элемента регистрируется картина интерференции двух
монохроматических волн. При этом коэффициент пропускания голограммы t
пропорционален интенсивности в данной точке интерференционной картины
[Д3.32]:

Z = / = 1 + cos (2лг<7, /Л* - 2яб- /Л*). <Д3.24)

Здесь InG/X* — фаза волны в плоскости регистрации, G — оптический путь между
источником волны и выделенной точкой плоскости регистрации, т. е. эйконал вол-
ны, а Л* — длина интерферирующих волн, или длина волны записи.
Из выражения (Д3.24) видно, что амплитудный коэффициент пропускания го-
лографически записанного элемента можно представить как функцию эйконала,
равного разности эйконалов интерферирующих при записи волн

со = “ С2. (Д3.25)

При освещении элемента монохроматической волной с фазой InG/A непосред-
ственно за элементом эйконал волнового поля, формируемого в и-м порядке диф-
ракции, находится как

„ mA „

Gm=G + —G0. (Д3.26)

Подставляя выражение (Д3.25) в (Д3.26), легко видеть, что если фронт освеща-
ющей волна является точной копией фронта первой волны записи (<7 = G), то при
выполнении условия тА/А? = — I фронт волны, формируемой в т-м порядке диф-
ракции, будет точной копией фронта второй волны записи.

Фронты записи структуры ДЛ в принципе могут быть как сферическими, так и
асферическими, но описать наличие сферической аберрации проще, считая интер-
ферирующие фронты сферическими и введя в эйконал записи асферические добав-
ки с коэффициентами b3, b3, h7 и т. д.

(р) = G,sph (р) - G2bph (р) -1 Ь3р> -1 Ь5р* - A i77ps -... . (Д3.27)

о Ю iZo

В уравнении (Д3.27) все слагаемые являются функциями расстояния от оси,
соединяющей центры кривизны фронтов интерферирующих волн р. Плоскость ре-
гистрации интерференционной картины перпендикулярна этой оси, в результате
чего картина вращательно симметрична, а сама ось оказывается оптической осью
ДЛ. В результате выражение для эйконала записи ДЛ приобретает вид

Go = z,^l + /г/z; - z, - г1Л/1 + р2/?,2 + ^ -

(Д3.28)
~^pS~^p,D - •••’

о 10 12о /ОО

где zt, Z2 — расстояния от плоскости регистрации до соответствующих источников
записи, т. е. отрезки записи ДЛ.

При выводе формулы (Д3.28) принималось, что эйконал расходящейся волны
положительный, а сходящейся — отрицательный. Знаки же отрезков записи выбра-
ны в соответствии с принятым в оптике правилом знаков: если направление от
поверхности до источника совпадает с направлением распространения света, то
расстояние до источника положительно. Наличие квадратных корней в выражении
для эйконала записи обусловило использование числовых коэффициентов при Ь2/+3
(j= О, 1, 2,...), равных коэффициентам в разложении квадратного корня в степен-
ной ряд.

Закон изменения пространственной частоты микроструктуры ДЛ связан с эй-
коналом записи соотношением

(ДЗ'2”

Л* ар

Фокусное расстояние ДЛ на произвольной длине волны А в m-м порядке дифрак-
ции вычисляется по формуле

у, >-* Z& (ДЗ.ЗО)

mA Z2 - Z| ’
а передний и задний отрезки ДЛ связаны известными формулами тонкой линзы

— = 1 + -^-, V = s'/s, (Д3.31)

s' s f

где V — линейное увеличение.

Сопоставляя производные от s' по Я для ДЛ и традиционной линзы, нетрудно
показать, что хроматизм ДЛ многократно больше и к тому же имеет противополож-
ный знак. Коэффициент дисперсии, характеризующий дисперсионные свойства
оптических материалов, из которых изготавливают рефракционные линзы, лежит в
диапазоне от 80 (для сверхлегких кронов) до 16 (для сверхтяжелых флинтов). У ДЛ
же аналогичный по смыслу параметр

vDL = Wrain-zj

(Д3.32)

зависит от ширины используемого спектрального диапазона, и в случае видимого
света при условии, что Л* = 0,5 (Ятах + Amin), коэффициент дисперсии vDL = -4. Эти
замечательные хроматические свойства ДЛ позволяют успешно использовать их
для хроматической и апохроматической коррекции объективов.

При выбранном представлении пространственной частоты ДЛ через эйконал
записи (Д3.28) и выполнении условий

s = zt; тЛ/Л* =-1 (ДЗ.ЗЗ)

задний отрезок также равен отрезку записи (s' = z2), а значения b2j+3 (J = 0, 1, 2,...)
по модулю и по знаку совпадают с соответствующими коэффициентами вносимой
этой ДЛ сферической аберрации, что позволяет легко управлять сферической абер-
рацией в любом порядке аберрационного разложения. При этом степенной ряд
эйконала может быть ограничен без потери точности членом, отвечающим за наивыс-
ший порядок аберрационного разложения, из учитываемых при расчете. Например,
в приближении аберраций не выше пятого порядка — членом, содержащим bs.

Что касается коэффициентов полевых аберраций, то в них будут входить в раз-
личных сочетаниях сопряженные отрезки ДЛ. Подробно с аберрационными свой-
ствами ДЛ можно ознакомиться в работах [Д3.38, Д3.39], где, в частности, показа-
но, что условие Петцваля, т. е. условие, при котором в приближении третьего по-
рядка малости меридиональная и сагиттальная кривизны поля изображения равны
между собой, выполняется автоматически, независимо от кривизны поверхности,
на которой размещена микроструктура ДЛ. Наконец, апланатизм, т. е. одновремен-
ное устранение сферической аберрации и комы во всех порядках аберрационного
разложения, легко достигается при любом увеличении выбором соответствующей
кривизны сферической поверхности ДЛ.

При расчете хода лучей через плоскую ДЛ направляющие косинусы дифрагиро-
ванного в m-й порядок луча получают дифференцированием эйконала записи по
соответствующей координате

(ni) Л Э Ga

а'"' = ах + °,

х х Л* дх

тЛ dGB

+ Л* ду’

(ДЗ-34)

а<и)=±^1-а«м)2-^т)2.

Здесь « и ау — направляющие косинусы падающего луча.

В ряде программных продуктов (см., например, «ZEMAX» Optical design program
[Д3.66]), осуществляющих расчет хода лучей через оптические системы, включаю-
щие ДЛ, их рассматривают как бесконечно тонкие поверхности, вносящие в луч,
падающий на поверхность в точку, отстоящую от оси на расстоянии р, и дифраги-
рующий в первый порядок, фазовую добавку

ф = £ар2'.

(Д3.35)

Величиной, равной фазовой добавке Ф, как следует из понятия эйконала и
формулы (Д3.26), является величина ItiGJX1. Приравнивая их, находим

(70 = 2*Ф/2я. (Д3.36)

Отсюда в соответствии с формулами (Д3.29) и (Д3.34) для пространственной
частоты и направляющих косинусов получаем

1 с!Ф

1п йр ’

Лт ЭФ
«х + э а ,
2л- Эх

(Д3.37)

,о»)

Лт ЭФ
2л Эу

Коэффициент А1 в формуле (Д3.35) определяет оптическую силу ДЛ на выбран-
ной длине волны

AtAm

(Д3.38)

а коэффициенты А. при i = 2, 3, ... являются коэффициентами асферических доба-
вок. Особо отметим, что в случае равенства этих коэффициентов нулю сферическая
аберрация в формируемом волновом фронте не отсутствует [как при Ь2 = 0 в
эйконале записи (Д3.28)], а оказывается равной, при прочих равных условиях, сфе-
рической аберрации зонной пластинки Френеля, чьи радиусы кольцевых зон про-
порциональны квадратным корням из целых чисел.

Благодаря уникальным фокусирующим и аберрационным свойствам ДЛ, а так-
же успехами в области технологии получения высокоэффективных микроструктур
эти элементы сегодня находят все более и более широкое применение практически
во всех областях, где требуется оптика. Достаточно упомянуть приборы и устрой-
ства, рассчитанные на лазерное излучение (включая информационные системы и
головки для записи/считывания оптических дисков) [Д3.67—Д3.70], объективы и
окуляры для видимого и ИК-диапазонов [Д3.41, Д3.71—Д3.76], телескопы [Д3.77,

Рис. Д3.9. CD/DVD-система объектив—цифровой диск:

1 — ДЛ; 2 — рефракционная однородная линза с двумя асферическими поверхностями;

3 — CD-диск; 4 — DVD-диск.
Вид сбоку

Вид спереди

Рис. Д3.10. Гибридный рефракционно-дифракционный компонент:

1 — двухслойная ДЛ; 2 — рефракционные однородные линзы.

Д3.78], интраокулярные линзы |Д3.79, Д3.80], интерферометры 1Д3.81], микроско-
пы [Д3.82], датчики излучения |Д3.83] и т. д.

Рисунки Д3.9—Д3.11 демонстрируют примеры эффективного использования ДЛ
для совершенствования устройств записи/считывания информации и фотообъек-
тивов. На рис. Д3.9 показана принципиальная схема системы, предназначенной
для чтения и записи цифровых лазерных дисков CD- и DVD-форматов на длинах
волн 0,78 и 0,65 мкм соответственно [Д3.84].

На рис. Д3.10 показан принцип построения гибридного оптического компо-
нента, представляющего собой двухслойную ДЛ, вклеенную между двух однород-
ных линз, а на рис. ДЗ. 11 представлены фотографии телеобъектива с таким компо-
нентом и прототипа этого объектива [Д3.41].

Рис. Д3.11. Телеобъективы-апохроматы фирмы Canon:

«EF400mm f/4 DO IS USM», включающий гибридный рефракционно-дифракцион-
ный компонент (вверху) и классический прототип (внизу).
Список литературы к дополнению 3

Д3.1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1973. — 720 с.

Д3.2. Павлычева Н.К. Спектральные приборы с неклассическими дифракцион-
ными решетками. — Казань: Изд-во Казан, гос. техн, ун-та, 2003. — 198 с.

ДЗ.З. Dammann Н. Color separation gratings //Applied Optics. — 1978 — Vol 17 —
№ 15. - P. 2273-2279.

Д3.4. Френель О. Избранные труды по оптике. Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ, 1955.

Д3.5. Wood. K.W. Phase-reversal zone-plates and diffraction-telescopes // Philos
Mag. - 1898. - Vol. 45. - P. 511-522.

Д3.6. Слюсарев Г.Г. Оптические системы с фазовыми слоями // ДАН СССР —
1957. - Т. 113. — № 4. — С. 780-782.

Д3.7. Lesem L.B., Hirch Р.М., Jordan J.A. The kinoform: a new wavefront reconstruction
device // IBM J. Res. Dev. — 1969. — Vol. 13. — P. 150.

Д3.8. Кирьянов В.П., Коронкевич В.П., Наливайко В.И. и др. Киноформы. Опти-
ческая система для синтеза элементов. Препринт. — Новосибирск, 1979. — 38 с.
(ИаиЭ СО АН СССР; № 99).

Д3.9. Коронкевич В.П., Пальчикова И.Г., Полещук А.Г. и др. Киноформные опти-
ческие элементы с кольцевым импульсным откликом. Препринт. — Новосибирск,
1985. - 20 с. (ИаиЭ СО АН СССР. № 265).

Д3.10. Koronkevitch V.P., Korolkov VP., PoleshchukA.G. et al. Kinoforms: technologies,
new elements, and optical systems I I Preprint N 421. — Novosibirsk: IAE, S.B. USSR Ac.
Sci., 1989. - 54 p.

Д3.11. Корольков В.П., Коронкевич В.П., Михальцева И.А. и др. Киноформы: техно-
логии, новые элементы и оптические системы // Автометрия. — 1989. — № 3. —
С. 95-102. № 4. - С. 47-64.

Д3.12. Полещук А.Г. Изготовление элементов дифракционной оптики с помощью
полутоновой и растровой технологий // Автометрия. — 1991. — № 3. — С. 66—76.

Д3.13. Полещук А.Г. Изготовление рельефно-фазовых структур с непрерыв-
ным и многоуровневым профилем для дифракционной оптики // Автометрия. —
1992. - № 1. - С. 66-79.

Д3.14. Методы компьютерной оптики / А.В. Волков, Д.Л. Головашкин, Л.Л. Доско-
лович и др.; Под ред. В.А. Сойфера. — М.: Физматлит, 2000. — 688 с.

Д3.15. Kodate К, Takenaka И., Kamiya Т. Fabrication of high numerical aperture zone
plates using deep ultraviolet lithography // Applied Optics. — 1984. — Vol. 23. — № 3. —
P. 504-507.

Д3.16. Kathman A., Hochmuth D., Brown D. Efficiency considerations for diffractive
optical elements I I Proceedings SPIE. — 1995. — Vol. 2577. — P. 114—122.

Д3.17. Baber S.C. Application of high resolution laser writers to computer generated
holograms and binary diffractive optics // Proceedings SPIE. — 1989. — Vol. 1052. —
P. 66-76.

Д3.18. OgataS., Tada M., Yoneda M. Electron-beam writing system and its application
to large and high-density diffractive optic elements // Applied Optics. — 1994. — Vol. 33. —
№ 10. P. 2032—2036.

Д3.19. ГолубM. А., Карпеев C.B., Прохоров A.M. и др. // Письма в ЖТФ. — 1981. —
Т. 7. - № Ю. - С. 618.

Д3.20. Голуб М.А., Дегтярева В.П., Климов А.Н. и др. // Письма в ЖТФ. 1982.

Т. 8. - № 13. - С. 449.

Д3.21. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров А.М. и др. Оптические элементы, фоку-
сирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию. — М.: ФИАН,
1983.

Д3.22. Гончарский А.В., Данилов В.А., Попов В.В. и др. // Квантовая электроника. —
1986. - Т. 13. - № 3. - С. 660.
le оптические элементы

Д3.23. Васин А.Г., Голуб М.А., Данилов В.А. и др. Расчет и исследование когерен-
тного волнового поля в фокальной области радиально-симметричных оптических
элементов. — М.: ФИАН, 1983.

Д3.24. Гончарский А.В., Данилов В.А., Попов В.В. и др. // Доклады АН СССР. —
1983. - Т. 273. - № 3. - С. 605.

Д3.25. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров А.М. и др. // Письма в ЖТФ. — 1982. —
Т. 8. - № 13. - С. 810.

Д3.26. Гончарский А.В., Данилов В.А., Попов В.В. и др. // Квантовая электроника. —
1984. - Т. 11. - № 1. - С. 166.

Д3.27. Гончарский А. В., Степанов В.В. //Доклады АН СССР. — 1984. — Т. 279. —
№ 4. - С. 788.

Д3.28. Гончарский А.В., Степанов В.В. // Журнал вычислительной математики и
математической физики. — 1986. — Т. 26. — № 1. — С. 80.

Д3.29. Гончарский А.В. // Компьютерная оптика. — М.: МЦНТИ, 1987. —
Вып. 1. - С. 19.

ДЗ.ЗО. Гончарский А.В., Попов В.В., Степанов В.В. Введение в компьютерную
оптику. — М: Изд-во МГУ, 1991.

Д3.31. Данилов В.А., Кинбер Б.Е., Шилов А.Е. // Компьютерная оптика. — М.:
МЦНТИ, 1987. - Вып. 1. - С. 40.

Д3.32. Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. Оптическая голография. — М.: Мир, 1973. —
686 с.

ДЗ.ЗЗ. Goto К., Mori К., Hatakoshi G., Takahashi S. Spherical Grating Objective
Lenses for Optical Disk Pickups //Jap. J. Appl. Phys., 26, Suppl. 26—4, 135—140 (1987).

Д3.34. M. J. Riedl. Predesign of Diamond Turned Refractive/Diffractive Elements for
IR Objectives // Lens Design, SPIE Critical Review, CR41, 140—156 (1992).

Д3.35. Shvartsman F.P. Dry Photopolymer Embossing: Novel Photoreplication
Technology for Surface Relief Holographic Optical Elements, Proc. SPIE, 1507, (1991).

Д3.36. Smith R.W., Canas R.G., West A.A. Electron Beam Writing of Binary and
Optical Writing of Blazed Diffractive Optical Elements, Proc. SPIE, 1052, 77—84 (1989).

Д3.37. Michette A.G. Optical Systems for Soft X-Rays, Plenum Press, New York,
London (1986).

Д3.38. Бобров C.T., Грейсух Г.И., Туркевич Ю.Г. Оптика дифракционных элемен-
тов и систем. — Л.: Машиностроение, 1986. — 223 с.

Д3.39. Greisukh G.I., Bobrov S.T., Stepanov S.A. Optics of diffractive and gradient-
index elements and systems. — Bellingham: SPIE Press, 1997. — 414 p.

Д3.40. Ebstein S.T. Achromatic diffractive optical elements // Proceedings SPIE. —
1995,- Vol. 2404. - P. 211-216.

Д3.41. Http://www.canon.com/do-info/

Д3.42. Dammann H., Klotz E. // Opt Acta. — 1977. — Vol. 24. — P. 505.

Д3.43. MaitJ.N., Brenner K. //Appl. Opt, 1988. — Vol. 27. — P. 1692.

Д3.44. Veidkamp W.B., Leger J. R., Swanson G.J. I I Opt. Lett, 1986. — Vol. 11. —
P. 303.

Д3.45. Simpson MJ. // Appl. Opt, 1987. — Vol. 26. — № 9. — P. 1786.

Д3.46. Killat U., Rabe G., Rave W. // Fiber Integ. Opt, 1982. — Vol. 4. — P. 159.

Д3.47. Arsenault H.H., Szoplik T., Macukow B. Optical processing and computing. —
San Diego: Academic Press, 1989.

Д3.48. Досколович ЛЛ., Сойфер B.A., Шинкарев M.C. // Автометрия. — 1990. —
Вып. 3. - С. 104.

Д3.49. Seldowitz М.А., Allebach J.P., Sweeney D. W. // Applied Optics. — 1987. —
Vol. 26. - P. 2788.

Д3.50. Feldman M.R., Gest C.C. // Opt. Lett, 1989. — Vol. 14. — № 8 — P. 479.

Д3.51. Turunen J., VasaraA., Westerholm J. // Opt. Eng, 1989. — Vol. 28. — № 11. —
P. 1162.
Д3.52. Morrison R.L., Walker S.L., Cloonan TJ. // Applied Optics 1993 — Vol 32 —
P. 2512.

Д3.53. Turunen J., Vasara A., Westerholm J. // Opt. Commun 1990 — Vol 74 —
P. 245.

Д3.54. Malt J.N. 11 J. Opt. Soc. Am. (A), 1990. — Vol. 7. — № 8 — P. 1514.

Д3.55. Березный A.E., Комаров C.B., Прохоров A.M. и др. //Доклады. АН СССР —
1986. — Т. 287. - № 3. - С. 623.

Д3.56. Досколович Л.Л., Котляр В.В., Сойфер В.А. // Письма в ЖТФ — 1991 —
Т. 17. - № 21. -С. 54.

Д3.57. Dammann Н., Gortler К. // Opt. Common, — 1971. — Vol. 3. — № 5. — Р. 312.

Д3.58. Jahns J., Downs M.M., Prise M.E. et al // Opt. Eng, 1988. — Vol. 28. — P. 1267.

Д3.59. Бобров C.T., Туркевич Ю.Г. // Компьютерная оптика. — М.: МЦНТИ
1989. - Вып. 4. - С. 38.

Д3.60. Bobrov S., Kotletsov В., Turkovich К // Proceedings SPIE, 1992. — Vol. 1751. —
P. 154.

Д3.61. Doskololovich L.L., Soifer V.A., Kazanskiy N.L. et al. Design of DOEs for
multiwavelength demultiplexing and spatial focusing // Proceedings SPIE. — 2004. —
Vol. 5485. - P. 98-106.

Д3.62. Doskololovich L.L., Repetto M. Design of DOEs for focusing different wavelengths
// Optical Memory and Neural Network. — 2000. — Vol. 9. — № 1. — P. 13—23.

Д3.63. Досколович Л.Л. Расчет дифракционных оптических элементов для фоку-
сировки различных длин волн // Автометрия. — 2000. — № 3. — С. 99 —108.

Д3.64. Досколович Л.Л. Расчет спектральных решеток // Материалы Второй Бай-
кальской школы по фундаментальной физике. — 1999. — Т 1. — С. 287—290.

Д3.65. Досколович Л.Л., Тявин Е.В., Казанский НЛ., Петрова О.И. Расчет и ис-
следование цветоделительных дифракционных решеток // Компьютерная оптика. —
М.: МЦНТИ, 2005. - Вып.27. - С. 11-16.

Д3.66. http://www.focus-software.com/

Д3.67. Hitoshi Ohashi, Keiichi Kuba, Toshiro Okamura, etc. Application of a
diffractive lens element to a lithographic projection lens // Proceedings SPIE. —
1995. - Vol. 2577. - P. 130-136.

Д3.68. Blatner P., Herzig HP., Weible KJ., etc. Diffrative optics for compact space
communication terminal // Jour, of Modern Optics. — 1996. — Vol. 43. — № 7. —
P. 1473-1484.

Д3.69. Koichi Maruyama, Makoto Iwaki, Syun ’itirou Wakamiya, Ryota Ogawa. A Hybrid
achromatic objective lens for optical data storage // Proceedings SPIE. — 1995. —
Vol. 2577. - P. 123-129.

Д3.70. Yasuo Kimura, Seizen Sugama, and Yuzo Ono. Compact optical head using a
holographic optical element for CD players // Applied Optics. — 1988. — Vol. 27. —
N° 4. - P. 668-671.

Д3.71. Ган M.A. Теория и методы расчета голограммных и киноформных опти-
ческих элементов. — Л.: ГОИ, 1984. — 140 с.

Д3.72. Gan М., Potyemin /., Perveev A. High-speed apo-lens with kinoform element. —
Proc. SPIE. - 1574, 243-249 (1991).

Д3.73. Jennifer L. Rouke, Mary Kate Crawford, David J. Fischer, etc. Design of three-
element night-vision goggle objectives // Applied Optics. — 1998. — Vol. 37. — № 4. —
P. 622-626.

Д3.74. C. Bill Chen, Ronald G. Hegg, W. Todd Johnson, etc. Visible band testbed projector
with a replicated diffractive optical element // Applied Optics. — 1999. — Vol. 38. —
№ 34. - P. 7105-7111.

Д3.75. Wayne Knapp, Gary Blough, Kumar Khajurivala, etc. Optical design comparison
of 60° eyepieces: one with a diffractive surface and one with aspherics // Applied Optics.
1997. - Vol. 36. — № 20. — P. 4756-4760.
элементы

Д3.76. Michael D. Missig, Michael Morris G. Diffractive optics applied to eyepiece
design//Applied Optics. — 1995. — Vol. 34. — № 14. — P. 2452—2461.

Д3.77. Roderic Hyde A. Eyeglass. 1. Very large aperture diffractive telescope // Applied
Optics. - 1999. - Vol. 38. - № 19. - P. 4198-4212.

Д3.78. Joseph N. Mait, Michael J. Hope. Design of a diffracttive variable-magnification
telescope, Proc. SPIE, 2152, 14-21 (1994).

Д3.79. John A. Futhey. Diffracttive bifocal intraocular lens // Proceedings SPIE. —
1989. - Vol. 1052. - P. 142-149.

Д3.80. Michael Simpson J. Diffractive multifocal intraocular lens image quality //
Applied Optics. - 1992. - Vol. 31. - № 19. - P. 3621-3626.

Д3.81. Stevens R.F. Zone-plate interferometers // Jour, of Modem Optics. — 1988. —
Vol. 35. - № 1. - P. 75-79.

Д3.82. Sarah L. Dobson, Pang-chen Sun, and Yeshayahu Fainman. Diffractive
lense for chromatic confocal imaging // Applied Optics. — 1997. — Vol. 36. — № 20. —
p. 4744-4748.

Д3.83. Rossi M., Ammer Th., Gale M.T., etc. Diffractive optical elements for passive
infrared detectors // Proc, of Diffractive Optics and Micro-Optics. — 2000. — Vol. 41. —
P. 288-290.

Д3.84. Ежов Е.Г, Грейсух Г.И., Степанов С.А. Расчет комбинированных опти-
ческих головок для чтения и записи цифровых дисков нескольких форматов //
Компьютерная оптика. — М.: МЦНТИ, 2005. — Вып. 27. — С. 29—31.

Д3.85. O’Shea D. С., Sideski T.J., Kathman A.D., Prather D. W. Diffractive Optics:
Design, Fabrication, and Test. Bellingham. — SPIE Press, 2003. — 260 p.
ДОПОЛНЕНИЕ 4

ГРАДИЕНТНАЯ ОПТИКА

Д4.1. Введение

При изложении основных законов геометрической оптики (разд. 1.3) и при анализе
свойств градиентных волокон (разд. 5.1.1) было отмечено, что в среде с плавно
изменяющимся показателем преломления траектория луча может быть криволи-
нейной. Далее будем считать, что показатель преломления среды не зависит от
направления распространения света. Следовательно, показатель преломления яв-
ляется скалярной функцией координат среды.

Выберем в среде с неоднородным показателем преломления точку Р (рис. Д4.1).
Пусть показатель преломления в этой точке равен пр. Проведем сферу с центром в
точке Р и малым радиусом £ Найдем на поверхности сферы точку Q с максималь-
ным значением показателя преломления nQ. Введем вектор Vn, который сонаправ-
лен вектору PQ-, модуль этого вектора равен |v«| = Из курса высшей

математики известно, что если £ -> 0, то для точки Р вектор Vw является вектором
градиента функции распределения показателя преломления1. Таким образом, в любой
точке среды направление градиента показателя преломления совпадает с направле-
нием быстрейшего увеличения показателя преломления, а модуль вектора \п равен
скорости возрастания показателя преломления при перемещении вдоль направле-
ния быстрейшего увеличения показателя преломления. В курсе высшей математи-
ки доказывается, что вектор градиента любой скалярной функции является норма-
лью к поверхности равных значений данной функции. Поэтому градиент показате-
ля преломления есть нормаль к поверхности равных значений показателя
преломления (так называемая эквирефракционная поверхность).

Рис. Д4.1. Градиент показателя преломления и эквирефракционные поверхности в
среде с плавно изменяющимся показателем преломления.

1 Далее вектор будем называть градиентом показателя преломления.
Дополнение 4. Градиентная оптика

Из определения градиента показателя преломления следует, что модуль этого
вектора может быть отличен от нуля только в том случае, когда значение показателя
преломления является функцией координаты среды. В однородной среде, где пока-
затель преломления одинаков по всему объему среды, градиент показателя прелом-
ления является нулевым вектором во всех ее точках. Из-за этого принципиального
отличия среды с неоднородным показателем преломления получили название гра-
диентных2. Данное название закрепилось за соответствующим разделом оптики, за
оптическими элементами с плавно изменяющимся показателем преломления и за
оптическими системами, в состав которых входят градиентные элементы.

Д4.2. Радиус кривизны траектории луча
в градиентной среде

Аппроксимируем среду с плавно изменяющимся показателем преломления на-
бором слоев с постоянными значениями (в пределах каждого слоя) показателя пре-
ломления |Д4.1]. Каждый такой слой ограничен эквирефракционными поверхнос-
тями градиентной среды. Траектория луча в системе таких слоев является ломаной
линией. Пусть 5. р S., 5.+ 1 — эквирефракционные поверхности градиентной среды
(рис. Д4.2). При аппроксимации плавно изменяющегося показателя преломления
набором слоев показатель преломления между поверхностями 5. t и 5. равен п —
&п/2, а между поверхностями показатель преломления S и S +1 — п + 1\п/1. Обозна-
чим точки пересечения луча с поверхностями S. р 5., ^.+ j как Р. р Р., Р Пусть
прямая Р Q является нормалью к поверхности S.. Тогда в соответствии с законом
преломления

(и — Ди/2) sin (z + Д//2) = (и + Ди/2) sin (t — Az/2), (Д4.1)

где i + Дг/2 — угол между прямыми Р Q.vi Р ,Р/, i — &i/2 — угол между прямыми
Pj Q и Р Р . Заметим, что в среде с плавно изменяющимся показателем преломле-
ния прямая Р Q. является нормалью для эквирефракционной поверхности 5.. Сле-
довательно, углы i + Дz/2 и i —bt/2 можно интерпретировать как углы между отрез-
ками траектории луча и градиентом показателя преломления. Очевидно, что слои с
однородным показателем преломления тем лучше аппроксимируют градиентную
среду, чем тоньше эти слои и чем, соответственно, меньше перепад показателя
преломления Ди между соседними слоями. При малом Ди угол Az между прямыми
Pj-iPj и PjPj+i также будет малым. Поэтому в формуле (Д4.1) можно пренебречь
слагаемыми, которые содержат произведение Az-Ди. Тогда

Az = —tgz. (Д4.2)

Рис. Д4.2. Ход луча в системе слоев с однород-
ным показателем преломления.

2 В англоязычной технической литературе для обозначения градиентных сред часто использу-
ется аббревиатура GRIN от Gradient Refractive Index.
Рис. Д4.3. К определению кри-
визны траектории луча в гради-
ентной среде.

При этом направление отклонения луча совпадает с
направлением увеличения показателя преломления
(т. е. с градиентом показателя преломления).

Выполним предельный переход от системы сло-
ев к среде с плавно изменяющимся показателем пре-
ломления. Выберем участок АВ траектории луча на-
столько малой длинны, что градиент показателя пре-
ломления во всех точках этого участка можно считать
одинаковым (рис. Д4.3). Длину участка траектории
луча примем равной A.s. Показатель преломления в
точке А равен пА = п — Azz/2, а показатель преломле-
ния в точке В равен пв = п + Л л/2. Проведем каса-
тельные к траектории луча в точках А и В — прямые
кА и кв соответственно. Эти касательные эквивален-
тны прямым Q. ] Q. и (2 Q. + , в слоистой среде.
Поэтому можно считать, что градиент показателя
преломления V/z, касательные кА и кв лежат в одной

плоскости; в этой плоскости лежит участок траектории луча АВ. Угол между каса-
тельной к траектории луча и градиентом показателя преломления равен t. Угол Az
между касательными кА и кв вычисляется по формуле (Д4.2).

Проведем через точку В эквирефракционную поверхность SB. Из точки А про-
ведем вдоль градиента показателя преломления прямую, которая пересечет поверх-
ность SB в точке С. Так как градиент показателя преломления является норма-
лью для эквирефракционной поверхности, а отрезки АВ и ВС достаточно малы,
то /АСВ-90° и АС = ЯД-cosZВАС. Так как |ЯД| -> 0, то /.ВАС- i. Из определения
градиента показателя преломления следует \пА - ис| = |уи| • |ЛС|, где пс — показатель
преломления в точке С. Так как точки Ви С лежат на одной и той же эквирефрак-
ционной поверхности, то пв = пс и |Ллг| = |«л - /гв| = \пА - = |v«| |ЛД| cosz. После

подстановки последнего выражения в формулу (Д4.2) получим

IvhI Ivzzl

Az = J—Ц/Blsinz =-—- As- sin i. (Д4.3)

n n

Из дифференциальной геометрии известно, что участок кривой (в данном слу-
чае траектории луча) малой длины можно аппроксимировать дугой окружности.
Для участка траектории АВ радиус R аппроксимирующей дуги окружности равен
[Д4.1], [Д4.2]

Л=НтД£ = ^1-------- (Д4.4)

хмодг | Vw|-[sinz|

Траектория луча отклоняется от прямой линии (касательной к траектории луча) в
сторону градиента показателя преломления. Это отклонение тем больше, чем боль-
ше модуль градиента показателя преломления, и тем больше, чем ближе к 90 угол
между касательной к траектории луча и вектором градиента (т. е. чем под большим
углом луч пересекает эквирефракционные поверхности).

Рассмотренный выше вывод формулы для радиуса кривизны траектории луча в
градиентной среде не вполне строг. Более полное исследование распространения
оптического излучения в градиентной среде (например, на основе уравнений Мак-
свелла для монохроматического электромагнитного поля) позволяет получить диф-
ференциальные уравнения, описывающие траекторию луча в среде с плавно изме-
няющимся показателем преломления [Д4.2,3]. Если при описании траектории луча
в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ в качестве независимой пе-
ременной выбрать z, то функции x(z) и y(z), которые описывают траекторию луча,
должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений [Д4.3], [Д4.4]

пх + - х - Vnx)^l + (х)" + (у)"] = 0;

пу + • у - Vh,)[1 + (х)2 + (у)" j = 0,

(Д4.5а)

(Д4.56)

где Vnx, Vny, Vnz — абсцисса, ордината и аппликата вектора в точке (х, у, z)- Для
обозначения первых и вторых производных функций x(z) и у(г) по z используются
d (dx) .. ,

надстрочные символы «•» и «», например: х = — —- . Используя систему диффе-
az v az )

ренциальных уравнений (Д4.5), можно доказать справедливость формулы (Д4.4)
для произвольной точки траектории луча в градиентной среде [Д4.2]. Для решения
системы дифференциальных уравнений (Д4.5) необходимо указать координаты на-
чальной точки Zq, х0 = х(г0) и у0 = y(z0) и значения производных х (г0), у (г0), которые
определяют направление касательной в начальной точке траектории луча. Обычно
в качестве начальной выбирается точка пересечения луча с преломляющей поверх-
ностью, ограничивающей данную градиентную среду.

При преломлении луча на границе двух градиентных сред (а равно на границе
однородной и градиентной среды) имеет силу тот же закон преломления, что и в
случае двух однородных сред. Однако для градиентной среды под углом падения
(углом преломления) понимается угол между нормалью к поверхности и касатель-
ной к траектории луча в точке пересечения лучом границы сред. Методы расчета
лучей в градиентных оптических системах изложены в [Д4.4], [Д4.5].

Д4.3. Параксиальные характеристики градиентных
оптических элементов и систем

В технической оптике наиболее часто используются градиентные среды с радиаль-
но-симметричным распределением показателя преломления3. Эквирефракционны-
ми поверхностями в таких средах являются соосные цилиндры (рис. Д4.4). Значе-
ние показателя преломления в любой точке стержня зависит только от расстояния
между данной точкой и осью симметрии распределения показателя преломления.
Следовательно, градиент показателя преломления направлен по радиусу цилиндри-
ческой эквирефракционной поверхности (т. е. перпендикулярно оси симметрии
распределения показателя преломления). Для изготовления оптических элементов
с радиальным распределением показателя преломления используется метод ионно-
го обмена, который был кратко описан в разд. 5.1.1. Современная (конец XX века)
технология ионного обмена позволяет получать элементы с радиальным распреде-
лением показателя преломления диаметром до 21 мм и с максимальным перепадом
показателя преломления =0,1 [Д4.5], [Д4.6], [Д4.7], [Д4.8]. Оптические градиентные
элементы для инфракрасной области спектра могут быть изготовлены путем выра-
щивания кристаллов [Д4.4], [Д4.8]. Существуют и успешно развиваются технологии
Диффузионного обмена в полимерах, предназначенные для получения полимерных
градиентных элементов. При этом габариты полимерных градиентных элементов
часто превосходят стеклянные аналоги [Д4.8], [Д4.5].

3 Далее такие среды будем называть средами с радиальным распределением показателя пре-
ломления.
Рис. Д4.4. Эквирефракционные поверхно-
сти и направление градиента показателя
преломления в среде с радиальным распре-
делением показателя преломления. Направ-
ление вектора градиента показателя прелом-
ления соответствует случаю, когда показатель
преломления убывает от оси к периферии.

Рис. Д4.5. Эквирефракционные поверхно-
сти и направление градиента показателя
преломления в среде с осевым распределе-
нием показателя преломления.

В наибольшем объеме выпускаются элементы с радиальным распределением
показателя преломления, в которых показатель преломления монотонно убывает от
оси к периферии. Показатель преломления таких сред может быть описан функци-
ей вида

«(р) = «о

1-|(др)2 + 1>2/ (др)2'

2 7=2

(Д4.6)

где п0, п(р) — показатель преломления на оси и на расстоянии р от нее, g, гр, —
коэффициенты. Градиент показателя преломления при этом направлен к оси стер-
жня (рис. Д4.4), а модуль градиента показателя преломления равен

н-

lim и(Р + Ар)-и(р)

4л-»о Др

йп
йр

= Ло|-ГР + -|-

(Д4.7)

Кроме элементов с радиальным распределением показателя преломления, в тех-
нической оптике используются (в меньших объемах) элементы с осевым (его назы-
вают также аксиальным) и некоторыми другими видами распределений показателя
преломления. В среде с осевым распределением показателя преломления эквиреф-
ракционные поверхности представляют плоскости, перпендикулярные оптической
оси элемента (рис. Д4.5). Значение показателя преломления в каждой точке такой
среды зависит только от расстояния вдоль оптической оси. Градиент показателя
преломления параллелен оптической оси (рис. Д4.6).

Для изготовления сред с осевым и другими видами распределений показате-
лей преломления могут быть использованы те же технологии, что и для сред с
радиальным распределением показателя преломления, а также специально разра-
ботанные методы | Д4.5], [Д4.8]. Среди последних заслуживает внимания техноло-
гия многокомпонентной диффузии в стекле, которая была разработана в 90-е годы
XX века [Д4.9], [Д4.10]. В основном она предназначена для изготовления элемен-
тов с осевым распределением показателя преломления и обеспечивает получение
линз и стеклянных дисков с осевым распределением показателя преломления ди-
аметром порядка 100 мм (толщина 10—15 мм, перепад показателя преломления
около 0,1).
Обычно градиентная среда ограничена плоскими (наиболее часто) или сфери-
ческими преломляющими поверхностями (несколько реже). Далее предполагается,
что градиентный элемент обладает вращательной симметрией (т. е. плоские повер-
хности перпендикулярны оси симметрии распределения показателя преломления,
а центры кривизны сферических поверхностей лежат на оси симметрии распреде-
ления показателя преломления).

Ход луча в среде с распределением показателя преломления (Д4.6) рассмотрим
в параксиальном приближении, т. е. когда луч идет вблизи оси симметрии распре-
деления показателя преломления. Вследствие этого:

• угол I между касательной к лучу и градиентом показателя преломления близок к
прямому (| sin i| = 1);

• в формулах (Д4.6), (Д4.7) можно пренебречь слагаемыми, содержащими р во вто-
рой и более высоких степенях: «(/>) = пй, |v«| - nog2p;

• угол <7 между касательной к лучу и оптической осью является малым: sin <т= tg <т =
- er, cos <7= 1 (см. разд. 1.4.3).

Пусть ось OZсовпадает с осью симметрии распределения показателя преломления.
Выделим тонкий участок градиентной среды, ограниченный плоскотями z = ZA и
Z ~ ZA + Az. Примем, что луч пересекает плоскость z = ZA в точке А, которая находит-
ся в плоскости OYZ", касательная кА к траектории луча также принадлежит плоско-
сти OYZ.

Угол между осью OZ и касательной кл равен сгл, расстояние от оси до точки А
равно hA (согласно оптической терминологии это высота точки А). Вектор градиен-
та показателя преломления в точке А направлен вниз перпендикулярно оптической
оси, а его модуль в этой точке равен |vn| = |^2/гл|. Так как точка А, касательная кА и
вектор Уи лежат в одной и той же плоскости OYZ, то траектория луча будет плоской
кривой, лежащей в плоскости OYZ. Следовательно, точка В пересечения траекто-
рии луча с плоскостью z — zA + Az и касательная кв к траектории луча в этой точке
также лежат в плоскости OYZ. Радиус траектории параксиального луча находится
при подстановке в формулу (Д4.4) | sin z| = 1, |v«| = n = n0 : R = 1/g2 hA. Так
как Az > 0, то угол До* между касательными кА и кв равен; До* = с _— h?/R

Следовательно, в л / •

Acr=g^Az. (д48)

Расстояние от оптической оси до точки В представим в виде: hB = h + Д/г. Пренеб-
регая слагаемыми, содержащими Az во второй и более высоких степенях, получим:

Дй = -о*лДг. (Д4.9)

После перехода в формулах (Д4.8), (Д4.9) от конечных приращений Az, Ай, До* к
дифференциалам dz, d/г, do* получается система дифференциальных уравнений:

d^(z) ( a d<7(z) -,1 \

= -^ = ^AW* (Д4.10)

Решение системы дифференциальных уравнений (Д4.10) имеет вид [Д4 41 [Д4 51
[Д4.6]

Й (?) = й) cos (gz) - guS1^g^; (Д4.1 la)

о* (?) = cr0 cos (gz) - hog sin (gz), (Д4.116)

где й0 = й(0), o*0 = о*(0). При g 0 формулы (Д4.11) переходят в выражения
й(г) = й0 - o*0z, o*(z) = о*0,

которые описывают параксиальный луч в обычной однородной среде.

Следует помнить, что в среде с радиальным распределением показателя пре-
ломления (Д4.6) траектория луча (в том числе параксиального) не всегда является
плоской кривой. Если касательная к траектории луча и ось симметрии распределе-
ния показателя преломления не лежат в одной плоскости, то траектория луча пред-
ставляет собой пространственную кривую [Д4.2], [Д4.4].

Траектория параксиального луча в среде с радиальным распределением показа-
теля преломления, в которой показатель преломления возрастает от оси к перифе-
рии, находится аналогично.

Пусть начало координат системы OXYZ находится в точке пересечения первой
(по ходу луча) поверхности, ограничивающей градиентную среду, с оптической осью.
Тогда высота и угол параксиального луча на второй преломляющей поверхности,
ограничивающей градиентную среду, могут быть вычислены по формулам (Д4.11)
при подстановке в них z = d, где d — расстояние между вершинами преломляющих
поверхностей, ограничивающих градиентную среду. При этом стрелки прогиба pt,
р2 первой и второй преломляющих поверхностей в параксиальном приближении не
учитываются, аналогично тому, как это имело место для деталей из однородных
сред (см. разд. 2.2.1, рис. 2.2 и 2.5).

Преломление параксиального луча на границе двух градиентных сред (а равно
на границе однородной и градиентной среды) описывается выражением (2.10). При
этом для градиентной среды под углом <т понимается угол между касательной к
лучу и оптической осью в точке пересечения лучом границы сред [Д4.4].

Более детальный анализ показывает, что при однородных средах пространства
предметов и пространства изображений вращательно-симметричная градиентная
оптическая система обладает в параксиальной области теми же свойствами, что и
обычные вращательно-симметричные оптические системы без градиентных сред
[Д4.4], [Д4.5]. Следовательно, для градиентной оптической системы можно вычис-
лить или экспериментально определить положение главных и фокальных плоско-
стей, узловые точки, положение плоскости изображения, линейное увеличение и т. д.
Рис. Д4.7. Построение изображения оптической системой в виде стержня с плоскими
торцами и радиальным распределением показателя: и0 = 1,72, g = 0,74 мм-1,
d = 1,3 < л/lgмм, = —2,5 мм, О] = —2,91 мм, а'2 = 1,428 мм, s'-, = 1,018 мм,
f' = -f = 0,958 мм, S2H' = -StH = -0,41 мм, s^F.^ = = 0,548 мм, ли-

нейное увеличение = АВ'/АВ = —0,49.

Для расчета этих характеристик можно использовать схему, аналогичную рассмот-
ренной в разд. 2.2.2. Схема расчета параксиальных характеристик градиентной оп-
тической системы отличается от схемы из разд. 2.2.2 тем, что: (I) в формуле (2.10)
показатель преломления принимается равным показателю преломления градиент-
ной среды в вершине поверхности; (II) распространение луча в среде с распределе-
нием показателя преломления (Д4.6) вместо формул (2.12) описывается выражени-
ями (Д4.11) при подстановке в них z = d, hB = h*, h(d) = hx+l,(z0 = I'x/n0, Ix+l = notrx+l.

На рис. Д4.7 показан ход лучей через ограниченный плоскими торцами участок
градиентной среды с радиальным распределением показателя преломления (Д4.6) и
длиной d < л/lg. Такой стержень с плоскими торцами эквивалентен обычной соби-
рающей линзе из однородного стекла.

На рис. Д4.8 показаны цилиндрические стержни с плоскими, перпендикулярны-
ми оси стержня торцами. Распределения показателя преломления в стержнях описы-
вается функцией (Д4.6); стержни находятся в воздухе. На рис. Д4.8, а длина стержня
составляет четверть периода траектории параксиального луча (J = л/1£). В этом
случае передняя F и задняя F' фокальные точки находятся на переднем и заднем
торцах стержня. Заднее и переднее фокусные расстояния равны f = -f = \/nBg.

На рис. Д4.8, б длина стержня составляет половину периода траектории пара-
ксиального луча (d — л/g). Можно считать, что данный элемент состоит из двух
одинаковых компонентов в виде стержней длиной л/lg. Так как задняя фокальная
точка первого компонента совпадает с передней фокальной точкой второго компо-
нента, то стержень длиной л/g можно рассматривать как афокальную систему типа
зрительной трубы с видимым увеличением Г'^ „ = -1. Если предмет находится на
переднем торце стержня длиной л/g, то изображение этого предмета находится на
заднем торце стержня, линейное увеличение равно /?' = -1. На рис. Д4.8, в длина
стержня равна периоду траектории параксиального луча (d = /.л/gA. Стержень такой
длины можно рассматривать как афокальную систему типа зрительной трубы с обо-
d=n/2g

d = 2л !g

Рис. Д4.8. Траектории лучей в стержнях с радиальным распределением показателя
преломления различной длины.

рачивающей системой. Видимое увеличение в этом случае равно Г'р „ = +1. Если
предмет находится на переднем торце стержня длиной 2«/g, то изображение этого
предмета находится на заднем торце стержня, линейное увеличение равно Д' = +1.

При рассмотрении хода параксиального луча в среде с осевым распределением
показателя преломления п = n(z) необходимо учитывать, что угол между касатель-
ной к лучу и градиентом показателя преломления является малым и по модулю
равен углу между касательной к лучу и оптической осью: | z| = |<т| (рис. Д4.9). Радиус
кривизны траектории луча в этом случае равен [см. формулу (Д4.4)]:

/? = |v«|/«(z)|nj,

где IУп\

—. Аналогично формуле (Д4.8) угол А<т между касательными к траекто-
dz

рии луча в плоскостях z = ZA и z = zA + &Z равен
dn

До- = O'Az-
dz

(Д4.12)

(-)ДО

Рис. Д4.9. Ход луча в среде с осевым распределением показателя преломления.
оптика

Используя выражения (Д4.12) и (Д4.9), можно получить уравнения, которые опи-
сывают распространение луча в среде с осевым распределением показателя прелом-
ления, ограниченной поверхностями % + 1:

(Д4.13)

где d — расстояние между вершинами поверхностей % и % + 1. При и(^) = const эти
уравнения эквивалентны выражениям (2.12а) и (2.126) для однородной среды.

Д4.4. Градиентные оптические элементы
в современном оптическом приборостроении

Д4.4.1. Волоконно-оптические устройства

Градиентные стержни с распределением показателя преломления (Д4.6) длиной 7t/1g
и диаметром 0,5—2 мм стали стандартным решением во многих устройствах воло-
конной оптики [Д4.5], [Д4.6], [Д4.4]. Они используются для соединения отдельных
волокон, источника или приемника излучения с волокном, в оптических переклю-
чателях и т. д. Основная функция градиентных стержней в волоконно-оптических
устройствах — это превращение расходящегося конического пучка лучей в пучок
диаметром до нескольких миллиметров и угловой расходимостью 0,5...2° или, на-
оборот, для фокусировки параллельного пучка лучей в оптическое волокно. Необ-
ходимость в таком преобразовании вызвана тем, что пучок света на выходном торце
волокна имеет сравнительно малое сечение 20...50 мкм и большую (= 10...20°) рас-
ходимость (см. разд. 2.5.1). Поэтому если необходимо передавать через воздушный
промежуток свет из одного волокна в другое, то без использования градиентных
линз, только малая часть энергии попадает из одного волокна в другое. Примене-
ние градиентных линз обусловлено также тем, что значительное число оптических
устройств (например, интерференционных фильтров, дифракционных решеток, мо-
дуляторов и т. п.) не может работать с сильно расходящимися пучками.

На рис. Д4.10 представлен разъемный соединитель. Он состоит из двух гради-
ентных стержней длиной Tt/lg, к торцам которых на оси приклеены входное и вы-
ходное волокна. Поскольку градиентный стержень длиной ?z/2g преобразует расхо-
дящийся пучок в параллельный, то два таких стержня, составляющих разъем, мож-
но без потерь раздвигать на значительное расстояние. Нетрудно понять, что такой
разъем гораздо меньше чувствителен к поперечным рассовмещениям, чем обыч-
ный стыковочный узел волокно—волокно. Еще одно важное преимущество разъема
на градиентных линзах — меньшая подверженность потерям из-за загрязнения входа
и выхода разъема, что обусловлено, очевидно, большим диаметром пучка света на
входе (выходе). Поместив между градиентными линзами светофильтр или ослаби-
тель мощности, можно получить элемент, называемый аттенюатором. На рис. Д4.11
показана схема направленного ответвителя. В нем между градиентными линзами 2
и 3 помещено полупрозрачное зеркало 5, которое часть излучения пропускает, а
часть направляет в линзу 6, связанную еще с одним волокном. Потери света в таких
ответвителях минимальны. На рис. Д4.12 изображена схема мультиплексора из двух
градиентных стержневых линз, предназначенного для введения в волокно двух по-
токов излучения с длинами волн и Л2. С одной стороны к мультиплексору при-

Рис. Д4.10. Разъемный соединитель:

1,4 — оптические вод окна; 2, 3 — градиентные стержни;

5 — светофильтр или ослабитель мощности.
Рис. Д4.11. Направленный ответвитель:

1,4,7 — оптические волокна; 2, 3, 6 — градиент-
ные стержни; 5 — полупрозрачное зеркало.

Рис. Д4.12. Мультиплексор:

1. 2, 4 — оптические волокна; 3 — интерферен-
ционный фильтр.

клеены два волокна, а с другой — одно. Между линзами помещается интерферен-
ционный светофильтр 3 (он может быть изготовлен и непосредственно на торце
одной из линз), который обладает высоким коэффициентом отражения для длины
волны 2, и хорошим пропусканием для длины волны 22. Если теперь по волокну 2
направить в такую систему излучение с длиной волны 2р а по волокну 4 — с длиной
волны 12, то система направит оба потока излучения в волокно 1. Систему, изобра-
женную на рис. Д4.12, можно использовать и как демультиплексор. Для этого надо
по волокну 1 направить потоки излучения с длинами волн \ и 22, тогда по волокну
2 будет распространяться поток излучения с длиной волны 2,, а по волокну 4 — с
длиной волны 2Г Демультиплексоры на основе градиентных линз могут содержать
отражательную дифракционную решетку (рис. Д4.13). Если по волокну 1 направить
на дифракционную решетку потоки излучения с длинами волн 2Р 22, то, дифраги-
рованные решеткой под различными углами, они будут сфокусированы на торцах
волокон 2 и 3 соответственно.

Таблица Д4.1. Параметры некоторых градиентных элементов с радиальным
распределением показателя преломления производства NSG

[Д4.7] для волоконно-оптических систем.

Тип л0 (Л = 0,63 мкм) g, мм ' (Л = 0,63 мкм) Диаметр элемента, мм
SLS 1,5637 0,499 1,00
SLW 1,6073 0,608 1,00
1,6073 0,304 2,00
1,6354 0,154 4,00
SLH 1,6576 0,430 1,80

Рис. Д4.13. Демультиплексор:

1,2,3 — оптические волокна; 4 — градиентный стер-
жень; 5 — дифракционная решетка.
Таблица Д4.2. Параметры (для Л = 0,55 мкм) некоторых градиентных элементов
с радиальным распределением показателя преломления
производства NSG [Д4.7] для оптических систем, формирующих
изображение.

Тип «. & мм-1 Диаметр элемента, мм
ILW 1,643 1,203 0,5
ILW 1,643 0,600 1,0
ILW 1,643 0,299 2,0
ILH 1,666 1,118 0,7
SRL 1,610 0,208 0,5
SRL 1,610 0,140 1,0
SRL 1,610 0,063 2,0

Необходимо отметить, что способностью преобразовать форму световых пучков
обладают и обычные линзы из однородных материалов. Однако по сравнению с
обычными линзами градиентные стержневые линзы имеют ряд преимуществ [Д4.5].

1, Поскольку градиентные стержни имеют плоские торцы, оптические волокна
и элементы могут быть приклеены к ним иммерсионным клеем. При этом суще-
ственно снижаются потери на отражение и перекрестные помехи из-за рассеянного
света в устройствах с делением каналов. При отсутствии воздушных зазоров опти-
ческие поверхности не повреждаются и не загрязняются. Вся система устойчива к
механическим вибрациям.

2. Потери при согласовании волокон в устройствах с использованием градиен-
тных элементов могут быть в два-три раза меньше, чем потери при использовании
линз из однородных материалов.

3. Обычные линзы трудно юстировать по угловому рассогласованию, в то время
как градиентные стержни с цилиндрической образующей легко центрируются и
юстируются в V-образных и цилиндрических оправах.

Д4.4.2. Копировально-множительная техника

Еще одна область активного использования градиентных стержней с радиальным
распределением показателя преломления — копировально-множительная техника.
Здесь очень часто необходимо спроецировать узкую полоску оригинала на свето-
чувствительный барабан. Использование градиентных стержней для решения этой
задачи основано на следующем факте. Если на переднем торце градиентного стер-
жня с распределением показателя преломления (Д4.6) и длиной 2jr/g находится
предмет, то его изображение находится на заднем торце стержня (рис. Д4.8, в).
Линейное увеличение при этом равно +1. Диаметр изображения, которое передает
такой стержень, равен диаметру стержня. Для передачи полоски оригинала необхо-
димо выстроить такие градиентные стержни в одну или две линии. Чтобы обеспе-
чить воздушные промежутки между блоком стержней и светочувствительным бара-
баном с одной стороны и полоской изображения с другой стороны, длину стержней
выбирают несколько менее 2n/g. Линейное поле, передаваемое каждым стержнем,
при этом немного расширяется, а линейное увеличение при этом остается равным +1.
Благодаря этому лучи, исходящие из единой точки предмета и проходящие через
разные градиентные стержни, снова сходятся в одну точку в плоскости изображе-
ния (рис. Д4.14). Блок градиентных стержней используют в лазерном принтере: он
обеспечивает фокусировку излучения линейки полупроводниковых лазеров на по-
A

Рис. Д4.14. Передача изображения блоком
градиентных стержней. Точки Л', В', С
являются изображениями точек А, В, С.

В'

с'

В -

Рис. Д4.15. Использование блока градиентных стержней в лазер-
ном принтере:

1 линейка полупроводниковых лазеров; 2 — блок градиентных стерж-
ней; 3 — фоточувствительный барабан.

верхность светочувствительного барабана (рис. Д4.15). В малогабаритном сканере
блок градиентных стержней используется для передачи полоски изображения на
линейку фоточувствительных элементов. В качестве примера рассмотрим линейку
стержней SLA 12В (производство NSG, [Д4.7]). Эта линейка состоит из двух рядов
стержней диаметром 0,895 мм с радиальным распределением показателя преломле-
ния (и0 = 1,62, g = 0,2834 мм-1 для Л = 0,51 мкм). Расстояние от предметной плос-
кости до плоскости изображения 25,6 мм; длина стержня 13,57±0,4 мм. Диаметр
поля изображения, создаваемого одним стержнем, 1,32 мм.

Д4.4.3. Эндоскопические системы

Все более широко используются градиентные элементы в эндоскопических систе-
мах технического и медицинского назначения. Использование эндоскопов позволяет
вести контроль труднодоступных мест в машинах и приборах без демонтажа конст-
рукций и/или с минимальным нарушением их физической целостности. В разд. 5.1.3
было рассказано о гибких эндоскопах, в которых изображение передается по гиб-
кому волоконно-оптическому жгуту. Но во многих областях техники и медицины
от эндоскопа не требуется быть гибким, а требуется минимальный диаметр и мак-
симально высокое качество изображения. Особенно это важно в тех случаях, когда
для проведения исследований приходится нарушать целостность биологических
тканей. Использование волоконных жгутов в жестких эндоскопах нежелательно,
так как они придают изображению достаточно грубую мозаичную структуру и вслед-
ствие этого не обеспечивают требуемое качество изображения. Отсутствие мозаич-
ной структуры при высоком качестве изображения обеспечивают жесткие эндоско-
пы, построенные на базе обычных линзовых элементов. Но такие эндоскопы вклю-
чают в себя до нескольких десятков линз малого диаметра и достаточно дороги.
Десятки обычных линз в эндоскопе могут заменить всего два стержня с радиаль-
ным распределением показателя преломления (рис. Д4.16). Первый стержень вы-
полняет функцию объектива; он строит изображение рассматриваемого предмета
на своем заднем торце. Второй стержень носит название «транслятор»: он перено-
сит изображение рассматриваемого объекта со своего переднего торца к заднему.
Транслятор не только переносит, но и переворачивает изображение. Поэтому на-
блюдатель рассматривает через окуляр прямое изображение предмета. Использова-
ние градиентных элементов позволило улучшить качество изображения и снизить
диаметр рабочей части жесткого эндоскопа до 1,9 мм (при диаметре собственно
градиентных стержней 1 мм), а в офтальмологических эндоскопах диаметр рабочей
части может быть еще меньше.
Рис. Д4.16. Принципиальная схема жесткого градиентного эндоскопа:

1 — объектив, 2 — транслятор.

Д4.4.4. Использование градиентных сред
для коррекции аберраций в оптических системах

До этого места градиентные элементы рассматривались только в параксиальном
приближении, без учета их аберрационных свойств. Однако, так же как для оптичес-
ких элементов с однородным показателем преломления, при использовании гради-
ентных элементов в оптических системах необходимо учитывать их аберрационные
характеристики. Хроматические аберрации (см. разд. 2.5.6) градиентных элементов
обусловлены тем, что распределение показателя преломления для разных длин волн
описывается различными функциями. Например, в стержне диаметром 3 мм рас-
пределение показателя преломления на длине волны Л = 0,55 мкм описывается
функцией (Д4.6) при и0 = 1,73096, g = 0,4513 мм-1, а на длине волны А = 0,491 мкм
распределение показателя преломления также описывается функцией вида (Д4.6),
но при и0 = 1,74238, g = 0,4585 мм4. Поэтому уже в параксиальной области траекто-
рии лучей, соответствующие различным длинам волн, будут отличаться друг от
друга. Это является причиной появления хроматических аберрации. Использова-
ние в градиентном эндоскопе (см. рис. Д4.16) в качестве объектива и транслятора
элементов с различными параметрами распределений показателей преломления
позволяет в достаточной степени исправить хроматические аберрации системы в
целом аналогично тому, как это имеет место в объективе из двух обычных линз
(см. разд. 2.5.7).

Влияние градиентной среды на монохроматические аберрации оптической си-
стемы можно условно разделить на две составляющие:

1) перенос в градиентной среде между двумя преломляющими поверхностями;

2) преломление на границе двух сред, одна или две из которых являются гради-
ентными.

Первая из этих составляющих обусловлена тем, что дифференциальные уравне-
ния, описывающие траекторию параксиального луча, отличаются от аналогичных
дифференциальных уравнений для реальных лучей. Траектории, которые описыва-
ют эти дифференциальные уравнения, отличаются тем больше, чем больше ради-
ус кривизны траектории луча в градиентной среде и чем длиннее путь луча в среде.
В качестве примера рассмотрим стержень с плоскими торцами и распределением
показателя преломления (Д4.6). Пусть длина стержня равна n/2g и на стержень
падает пучок лучей, параллельных оптической оси (рис. Д4.8, а). При любых значе-
ниях коэффициентов ?? функции (Д4.6) в параксиальном приближении все лучи
этого пучка пересекут заднюю поверхность стержня в одной и той же точке. Однако

I
реальные лучи сходятся в эту точку тогда и только тогда, когда распределение пока-
зателя преломления описывается функцией вида [Д4.3]

=Jhfo=”• [' - м +-

При всех других комбинациях коэффициентов г] лучи пучка не сойдутся в одну
точку, т. е. сферическая аберрация системы не будет исправлена.

Другая составляющая влияния среды с неоднородным показателем преломле-
ния на аберрации оптической системы обусловлена тем, что показатель преломле-
ния в разных точках преломляющей поверхности, ограничивающей эту среду, не
является постоянной величиной. Следует отметить, что при расчете параксиальных
лучей этот эффект не учитывается. Влияние изменения показателя преломления по
преломляющей поверхности на аберрации системы рассмотрим на примере плос-
ко-выпуклой линзы с осевым распределением показателя преломления. Пусть на
первую (плоскую) поверхность падает пучок лучей, параллельных оптической оси
(рис. Д4.17). Очевидно, что после преломления на плоской поверхности направле-
ние лучей рассматриваемого пучка не изменится. Так как в среде с осевым распре-
делением показателя преломления градиент показателя преломления параллелен
оптической оси, то направление лучей совпадает с градиентом показателя прелом-
ления. Радиус кривизны траектории лучей пучка равен бесконечности. Поэтому
лучи идут параллельно оптической оси до точки пересечения луча со второй (сфе-
рической) поверхностью. Значение показателя преломления луча в этой точке за-
висит от расстояния z до первой поверхности линзы. Очевидно, что для лучей,
идущих на разном расстоянии до оптической оси, значения показателя преломле-
ния будут различными. В работах [Д4.11], [Д4.9] доказано, что если линза находит-
с< ь воздухе и показатель преломления линзы изменяется по закону

где d = PS — осевая толщина линзы; ns — показатель преломления в вершине
сферической поверхности; f — заднее фокусное расстояние линзы, то в линзе пол-
ностью исправлена сферическая аберрация (т. е. все лучи рассматриваемого пучка
сходятся в заднюю фокальную точку F'}. Плоско-выпуклая линза (при сферичес-
кой задней поверхности) из однородного стекла для падающего на нее параллель-
ного пучка имеет значительную сферическую аберрацию (см. разд. 2.5.1).

Рис. Д4.17. Использование градиента показателя преломления для исправления сфе
рической аберрации в плоско-выпуклой линзе.
а Градиентный

элемент

Рис. Д4.18. Объектив для микроскопа [Д4.12].
Увеличение 10х. Исполнение на основе тради-
ционных линз (а) и с использованием градиен-
тного элемента (б). Применение градиентного
элемента с радиальным распределением пока-
зателя преломления позволило уменьшить чис-
ло линз с 4 до 2 и добиться существенного улуч-
шения качества изображения. Диаметр гради-
ентного элемента равен 9 мм.

Рассмотренная плоско-выпуклая линза с осевым распределением показателя
преломления является только одним из примеров (и не самым распространенным)
градиентных линз с исправленной сферической аберрацией. Использование сред с
осевым или радиальным распределениями показателя преломления дает возмож-
ность исправить сферическую аберрацию в линзах самых различных форм. Но наи-
более технологичным решением являются выпукло-плоские (а не плоско-выпук-
лые, как на рис. Д4.17) линзы. Для большинства типов линз описать в аналитичес-
ком виде функцию распределения показателя преломления, обеспечивающего
устранение сферической аберрации, невозможно. Поэтому для решения этой зада-
чи в настоящее время используется компьютерное моделирование. Если линза из
материала с осевым или радиальным распределением показателя преломления имеет
незначительную толщину вдоль оптической оси, преломляющие поверхности лин-
зы сферические или плоские, то ориентировочно можно считать, что такая линза
по своим аберрационным свойствам эквивалентна линзе из однородного материала
с одной или двумя асферическими преломляющими поверхностями. Одиночные
градиентные линзы с исправленной сферической аберрацией находят самое широ-
кое практическое применение в лазерных целеуказателях, полиграфических маши-
нах, системах лазерной обработки материалов и т. д.

Применение градиентных элементов для устранения сферической и других ви-
дов аберраций в сложных многолинзовых системах является одним из важных на-
правлений современной оптики, так как подобные градиентные элементы позволя-
ют создавать оптические системы с такими тактико-техническими и технико-эко-
номическими характеристиками, которые трудны или вообще недостижимы в
оптических системах на основе обычных однородных линз [Д4.4]. Например, объек-
тив для микроскопа (рис. Д4.18) с использованием градиентного элемента с ради-
альным распределением показателя преломления содержит вдвое меньше деталей,
чем его аналог из обычных линз [Д4.12].

Рис. Д4.19. Два варианта объектива для видеокамеры. Фокусное расстояние объекти-
вов/’ = 6 мм, угловое поле 2w = 38,6 °, относительное отверстие D/f = 1:2,8.
Стержень с радиальным распределением показателя преломления диамет-
ром 4 мм и перепадом показателя преломления Ди = 0,04 (вариант б) обес-
печивает точно такое же качество изображения, как и объектив из трех
обычных линз (вариант а). Плоские торцы градиентного стержня суще-
ственно упрощают изготовление и сборку [Д4.13].
Рис. Д4.20. Объектив с переменным
фокусным расстоянием для видеока-
меры. Фокусное расстояние изменяет-
ся от 3,5 до 35 мм, относительное от-
верстие D/f' = 1:2,8—1:2,42, угловое
поле 2мг = 62,2—6,7°. В качестве одно-
го из двух подвижных элементов схе-
мы объектива использован градиент-
ный стержень с радиальным распре-
делением показателя преломления
диаметром 4 мм и перепадом показа-
теля преломления Д/г = 0,04 [Д4.13].

Основным препятствием на пути к более широкому использованию градиентных
оптических элементов в оптических системах являются малые геометрические раз-
меры производимых сегодня градиентных элементов. Поэтому большинство иссле-
дований в области технологии получения градиентных сред направлено на увеличе-
ние габаритов градиентных элементов. Вместе с тем следует отметить, что одной из
основных тенденций в мировом приборостроении является миниатюризация опти-
ческих приборов (она является, в частности, следствием малых размеров чувстви-
тельных площадок современных многоэлементных приемников). Это делает возмож-
ным и экономически эффективным использование в оптических системах градиент-
ных элементов, производство которых уже освоено (рис. Д4.19 и Д4.20) |Д4.13].

В настоящее время достигнутые успехи в производстве и применении градиен-
тных оптических элементов лишь приоткрыли их потенциальные возможности в
оптическом приборостроении.

Список литературы к дополнению 4

Д4.1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. — Л.: Машинострое-
ние, 1969. — 670 с.

Д4.2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970. — 856 с.

Д4.3 Микаэлян А.Л. Оптические методы в информатике. Запись, обработка и
передача информации. — М.: Наука, 1990. — 232 с.

Д4.4. Грейсух Г.И., Ефименко И.М., Степанов С.А. Оптика градиентных и диф-
ракционных элементов. — М.: Радио и связь, 1990. — 136 с.

Д4.5. Физические основы градиентной оптики // Ильин В.Г., Карапетян Г.О.,
Косяков В.И., Тухватулин А.Ш. — Л.: ЛПИ, 1990. — 59 с.

Д4.6. Ильин В.Г., Карапетян Г.О., Ремизов Н.В. и др. Оптика граданов // Успехи
научной фотографии. — 1985. — Т. 23. — С. 106—121.

Д4.7. Selfoc Product Guide. NSG Europe. — Belgium (1997). — 40 pp.

Д4.8. Архипова Л.H., Карапетян Г.О., Таганцев Д.К. Проблемы градиентной оп-
тики // Изв. вузов. Приборостроение. — 1996. — № 5—6. — С. 31—61.

Д4.9. Dueck R.H., Vaughn J.L. and Hunter В. V. Optical Design with Inhomogeneous
Glass: The Future is Here, Proc. SPIE 3130, 1997.

Д4.10. GRADIUM Glass Data Book and Materials Safety Data Sheet. Albuquerque:
LightPath Technologies, 1999.

Д4.11. Тарханов В.И. Градиентная линза. Авторское свидетельство СССР
№ 1337861А1, G02 В 6/00 15.09.87 Бюл. № 34.

Д4.12. Low-power gradient-index microscope objective: design Applied Optics. —
Vol. 35. Issue 28. Page 5636—5641, K. Siva Rama Krishna, Anurag Sharma.

Д4.13. Design of Imaging Lens Systems that Use Low Dispersive Radial Gradient-
Index Rod Jpn. J. Appl. Phys. Vol. 37 (1998) pp. 3633-3637 Part I. No. 6B, Hirofumi
Tsuchida, Toshiyuki Nagaoka and Kirniaki Yamamoto.
Заявки на книги присылайте по адресу:

125319 Москва, а/я 594
Издательство «Техносфера»
e-mail: knigi@technosphera.ru

sales@technosphera.ru

факс: (495) 956 33 46

В заявке обязательно указывайте
свой почтовый адрес!

Подробная информация о книгах на сайте
http://www.technosphera.ru

Г. Шрёдер, X. Трайбер
Техническая оптика

Компьютерная верстка — Н. А. Попова
Корректор — О. Ч. Кохановская
Дизайн книжных серий — С. Ю. Биричев
Ответственный за выпуск — О. А. Казанцева

Формат 70х 100/16. Печать офсетная.
Гарнитура Ньютон.

Печ. л. 26,5. Тираж 3000 экз. Заказ № 988.

Бумага офсет Ne 1, плотность 65 г/м2.

Издательство «Техносфера»
Москва, Лубянский проезд, 27/1

Диапозитивы изготовлены ООО "Европолиграфик"
Отпечатано в ОАО "Издательство "Самарский дом печат-'

Самара, пр. К. Маркса, 201
ДОПОЛНЕННЫЙ ПЕРЕВОД
9-ГО ИЗДАНИЯ БАЗОВОГО
РУКОВОДСТВА ИЗВЕСТНЫХ
НЕМЕЦКИХ СПЕЦИАЛИСТОВ

мир
физики

и техники

Г. ШРЁДЕР, X. ТРАЙБЕР
Техническая
оптика

НАСТОЛЬНАЯ КНИГА
СПЕЦИАЛИСТОВ
ПО ОПТИЧЕСКОМУ
ПРИБОРОСТРОЕНИЮ

ТЕХНОСФЕРА