/
Текст
К.О. БЕННЕТ! ДЖ. Е, МАЙЕРС
ГИДРОДИНАМИКА
ТЕПЛООБМЕН И МАССООБМЕН
MOMENTUM, HEAT AND MASS TRANSFER
BY
C. 0. BENNETT AND J. E. MYERS
NEW YORK LONDON TORONTO MC GRAW-HILL BOOK CO.
1962
К. О. БЕННЕТТ И ДЖ. В. МАЙЕРС
ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛООБМЕН
И
МАССООБМЕН
Перевод с английского М. Г. АССМУС и В. М. ЕНТОВА под редакцией Н. И. ГЕЛЬПЕРИНА и И. А. ЧАРНОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НЕДРА» Москва 1966
УДК 532.5-f-536.24
АННОТАЦИЯ
В первой части содержится краткое изложение основ гидродинамики. Вывод основных уравнений дан в дифференциальной и интегральной формах. Движение жидкости рассмотрено при ламинарном и турбулентном режимах. Подробно рассмотрена работа простейших приборов для измерения скорости и расхода. Отдельная глава посвящена введению в газовую динамику.
Во второй части изложена теория стационарной и нестационарной теплопроводности и рассмотрены современные методы решения задач теплопроводности. Рассмотрен конвективный теплообмен в ламинарном и турбулентном потоках жидкости.
В третьей части изложены основные аналитические и графоаналитические методы расчетов массообмена и расчета колонных аппаратов промышленного типа.
Во всех разделах книги приведены многочисленные примеры конкретных технических расчетов, дополняющих основное содержание. Это делает книгу особенно ценной для практической работы.
Книга предназначена для инженерно-технических работников различных отраслей промышленности, связанных с вопросами гидродинамики, тепло- и массообмена, а также может быть очень полезна студентам нефтяных и химических вузов при изучении теории и инженерного применения гидромеханики, тепло-и массообмена.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Книга написана как учебник для студентов по курсу гидродинамики , тепло- и массообмена. Эта работа не является всеобъемлющей, и мы не намереваемся охватить все — как теоретические, так и практические — аспекты рассматриваемого обширного предмета. Вместо этого мы пытались одновременно строго и без лишних деталей изложить основные разделы теории и приложений.
Книга, охватывающая такой широкий круг вопросов, может служить лишь введением в них. Студент, который захочет научиться большему, перейдет к специальным учебникам по гидродинамике, теплопередаче, массопередаче и процессам и аппаратам химической технологии. Однако инженерное образование включает в себя так много предметов, что нам кажется насущной необходимостью дать единое введение в процессы переноса, рассчитанное на годичное изучение. Мы пытались рассмотреть большинство важных сторон процессов переноса и привести вместе с тем достаточно деталей, чтобы позволить читателю использовать полученные сведения при решении типичных задач.
~ Инженер-химик, изучающий эту книгу, получит гораздо лучшее представлений о процессах переноса, лежащих в основе технологии, чем его предшественник несколько лет назад. Слишком часто пренебрегали основными законами и понятиями, чтобы поскорее перейти к приложениям. В результате инженер-практик или аспирант, столкнувшись с задачей, к которой его не подготовило эмпирическое образование, часто вынужден был, прежде чем двигаться дальше, изучить основы процессов переноса. На протяжении многих лет этот недостаток очевиден преподавателям аспирантуры. Не менее серьезен он для инженера-производственника, не пошедшего в аспирантуру.
Мы считаем, что этот недостаток проще всего преодолеть непосредственным изучением студентами основ гидравлики и тепло-
5
и массопереноса, лежащих в основе элементарных процессов и других технических приложений.
Мы приводим в качестве приложений теории элементарные процессы и показываем происхождение тех соотношений, которые инженер использовал в прошлом, и надеемся, что в будущем он сам выведет новые соотношения, когда они ему понадобятся. Книга написана не для одних отличников и не только для будущих аспирантов. Она написана для всех, кому предстоит работа, в которой необходимо глубокое понимание процессов переноса. Хотя изложение в основном теоретическое, мы ожидаем, что студент, который будет использовать эту книгу, сможет применить научные принципы к конкретной ситуации, сможет найти данные в справочнике, разобраться в инженерной терминологии и получить численное решение задачи.
Уже существует много объемистых книг, содержащих длинные описания и многочисленные рисунки фильтров, испарителей и другого технологического оборудования. Хотя мы используем для иллюстрации основного содержания достаточно много чертежей и рисунков, за детальным описанием оборудования и эмпирических соотношений мы отсылаем читателя к «Справочнику инженера-химика» Перри *. Мы считали, что не стоит увеличивать объем книги, включая в нее таблицы размеров труб или физических свойств, которые содержатся в этом широко распространенном справочнике и других легко доступных источниках.
По мере лучшего понимания разных отраслей техники различие между ними сглаживается. Хотя авторы по профессии химики-технологи, они надеются, что книга будет использована при обучении инженеров всех специальностей гидродинамике, теплопередаче и массообмену. Основные положения гидродинамики и теплопередачи должны знать все инженеры. Массопередачу в прошлом изучали только инженеры-химики. Однако за последнее время интерес инженеров других отраслей к массопередаче сильно возрос. По нашему мнению, от изложения массопередачи наравне с гидродинамикой и теплопередачей они только выиграют.
1 Значительную часть справочных данных, которые авторы книги рекомендуют брать в справочнике Перри, можно найти в русском переводе первого издания, а также в следующих изданиях:
Справочник химика в трех томах. Ред. Б. П. Никольского. Госхим-издат, 1962—1964.
Справочник химика в шести томах. Ред. Б. П. Никольского. Госхим-издат, 1964—1967.
Михеев М. А. Основы теплопередачи. Госэнергоиздат, 1956.
Гельперин Н. И. Выпарные аппараты. Госхимиздат, 1947.
Лурье М. Ю. Сушильное дело. Кубуч, 1934.
К а ф а ров В. В. Основы массопередачи. Высшая школа, 1962.
Багатуров С. А. Теория и расчет перегонки и ректификации. Гостоптехиздат, 1961.
Перри Дж. Г. Справочник инженера-химика. Ред. С. И. Щепкина, т. I. Главн. ред. хим. лит., 1937, т. II. Госхимиздат, 1947. (Прим. ред.). 6
Предполагается, что читатель знаком с основами термодинамики, математического анализа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не использовали векторных и тензорных обозначений, чтобы не затемнить физические принципы обозначениями, незнакомыми большинству студентов. Может быть, через несколько лет владение векторным анализом и теорией функций комплексного переменного будет само собой разумеющимся, как сейчас знание основ теории дифференциальных уравнений.
Весь основной материал и избранные задачи можно рассмотреть примерно за 125 часов занятий, т. е. за два семестровых курса по четыре часа в неделю.
1. ВВЕДЕНИЕ
Многие области инженерной деятельности связаны с производствами, где превращение сырья в готовую продукцию происходит в результате химических реакций и физических изменений. Химические превращения лежат в основе производства аммиака и получения серной кислоты из сернистых руд и разнообразных нефтепродуктов из нефти. В других отраслях, таких, как производство сахара из сахарной свеклы или получение растительного масла, основную роль играют физические изменения. Большинство производств состоит из последовательности физических и химических превращений. Эта последовательность называется процессом.
Многие инженеры заняты разработкой процессов, проектированием технологических установок и работой на них.
Под разработкой процесса понимается выбор оборудования и оптимальных условий процесса. Составные элементы процесса обычно известны; разработать процесс — это значит так связать эти элементы, чтобы процесс оказался рентабельным при проведении в промышленных условиях. Работа технолога-проектировщика обычно заключается в выборе общих характеристик и размеров оборудования. Он, например, может определить высоту, диаметр и число тарелок ректификационной колонны и метод управления ее работой. Толщину стенок колонны и размер фундамента определяет обычно инженер-механик, а детальной разработкой системы управления занимается электрик. Инженер-оператор, обслуживающий установку, должен не только наблюдать за ходом процесса, но и повышать его эффективность, внося изменения в существующую технологию. Каждый инженер сможет лучше выполнить свои обязанности, если он понимает общие законы физических и химических превращений, происходящих в ходе процесса.
Различные отрасли химической промышленности развились задолго до того, как получила признание профессия инженера-
8
химика. Технология каждой отрасли считалась особой ветвью знания, и работу нынешних инженеров-химиков выполняли специалисты с подготовкой технологов, химиков, механиков. Первые курсы химической технологии были построены на изучении промышленной технологии. Эти курсы сильно изменились с введением понятий «основной процесс». Подобие физических превращений, происходящих во многих весьма далеких друг от друга производствах, привело к выделению многих элементов, общих этим производствам. Эти элементы и получили название основных процессов. Было установлено, например, что выпаривание жидкости из раствора подчиняется одним законам, независимо от того, происходит ли оно при производстве сахара или удобрения. Так выпаривание одним из первых было признано основным процессом.
Многие другие элементы производства — перекачка жидкости, теплопередача, увлажнение, сушка, перегонка, газовая абсорбция, экстракция, дробление и помол, кристаллизация, фильтрация и перемешивание — считаются теперь основными процессами.
По мере их лучшего понимания стало ясно, что они не вполне обособлены. Фильтрация, очевидно, частный случай течения жидкости, выпаривание — форма теплопередачи; при экстракции и газовой абсорбции происходит массоперенос. При сушке и перегонке существенны и теплопередача и массоперенос. Поэтому основные процессы стали рассматривать как специфические объединения теплопередачи, течения жидкости и массопереноса. В технике эти явления, лежащие в основе технологических операций, называют процессами переноса. К их изучению сводится, в конечном счете, любое серьезное изучение основных процессов химической технологии.
Большинство основных процессов связано с движением жидкости в технологическом оборудовании. В центре процесса обычно находится химический реактор, и здесь инженеру наряду с химической кинетикой и термодинамикой приходится пользоваться законами гидромеханики, теплопередачи и массопереноса. Операции фильтрации, выщелачивания, абсорбции, экстракции и перегонки играют важную роль при подготовке реагентов и выделении продуктов реакции. На каждой стадии процесса необходимо транспортировать жидкость и поддерживать определенную температуру, так что законы гидромеханики и теплопередачи существенны для всего технологического процесса.
Основы массопереноса совершенно необходимы при проектировании реакторов и оборудования для разделения смесей в химических процессах, происходящих с изменением состава.
Задачи из области гидродинамики и теплопередачи, решаемые механиками и авиационными инженерами, сводятся к изучению тех же процессов переноса, что и задачи химической технологии. В традиционной постановке эти задачи обладают относительно
9
простой геометрией (течение в трубе, обтекание тела вращения) и не усложнены химическими реакциями. Из-за трудностей, которые возникают при рассмотрении одновременного тепло- и массопереноса в системе с химическими реакциями, из-за сложной геометрии устройств для межфазного контактирования и т. д. для инженеров-химиков плодотворным оказался эмпирический подход.
Основы теории теплопередачи и гидродинамики изучали до недавнего времени главным образом физики, механики и авиационные инженеры. Инженеры-химики, в свою очередь, внесли существенный вклад в теорию массопередачи. Однако в последние годы гидродинамика и теплопередача нашли применение у инженеров-химиков, а инженеры других отраслей стали больше интересоваться массопередачей. Быстродействующие электронно-вычислительные машины сделали возможным теоретическое рассмотрение сложных задач, в которых прежде приходилось довольствоваться эмпирическими методами. Тем самым сильно возросло значение теоретических методов для практики.
Из сказанного выше следует, что различия, вызванные традиционной специализацией, сглаживаются по мере развития технических наук. Изучение основ процессов переноса начинает играть основную роль в образовании каждого инженера, независимо от того, в какой области он специализируется.
В этой книге многие примеры для иллюстрации процессов переноса взяты из области химической технологии. Однако только материал гл’. 16 (Фильтрация и псевдоожижение) и 41 (Ректификация бинарных смесей) предназначается специально для инженеров-химиков.
Углубленный подход к изучению процессов переноса и основных процессов химических производств связан с особой важностью, которую за последнее время приобрели в этой области математические методы исследования.
Сейчас вычислительные машины, помимо применения в проектной работе, используются для непосредственного управления производственным процессом. Для управления с помощью вычислительных машин и настройки их на работу с наибольшей экономической эффективностью обычно необходимо иметь математическую модель процесса. Такая модель требует детального понимания и более глубокого математического анализа, чем это требовалось прежде.
. Условия работы автоматизированной установки могут претерпевать частые изменения в связи с образованием накипи на оборудовании и с изменениями сырья, активности катализатора, условий погоды и спроса на продукцию. Поэтому необходимо, чтобы инженер представлял себе динамику процесса, т. е. его течение в нестационарных условиях, а это связано с еще более сложным математическим аппаратом. По этим причинам в книге, как увидит читатель, особенно выделены аналитические, математические
10
методы. Авторы надеются тем самым заложить прочный фундамент для последующей работы над более сложными техническими задачами.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ
В приводимой ниже таблице разъясняется смысл большинства обозначений, применяемых в книге. Частично они будут объяснены в тексте; некоторые обозначения, использованные всего несколько раз, в таблицу не включены.
Символами у, i и т. д. обозначены интенсивные, т. е. относящиеся к единице количества вещества, параметры (их размерности ле3/кг, ккал/кг и т. д.). Экстенсивные, т. е. относящиеся ко всей массе вещества, величины обозначены через V—Mv, J = Mi (полный объем, полная энтальпия). Знаком ~ (тильда) над буквой отмечены молярные величины: и — молярный объем > Г — энтальпия одного моля вещества. Тот же знак используется чтобы отличать массовую скорость, выраженную в кг/м2-сек (и?) от той же скорости, выраженной в моль/м2-сек (ю), массовую долю компонента хА и мольную долю его хА и некоторые другие подобные символы.
Все уравнения, за исключением особо указанных, верны в любой системе единиц. Поскольку в уравнения не введен явно механический эквивалент теплоты, некоторые величины, такие, как энтальпия и другие термодинамические функции, могут выражаться как в ккал!кг, так и в дж!кг.
Таблица обозначений
Символ Значение Типичные единицы измерения
А Площадь, площадь сечения м2
Ai Площадь поверхности раздела м2
С Скорость звука м/сек
С с Коэффициент сжатия струи, определяемый уравнением (6. 16) Безразмерный
CD Коэффициент сопротивления Безразмерный
Коэффициент расхода диафрагмы Безразмерный
^0 Скорость звука при начальных условиях м/сек
Ср Теплоемкость при постоянном давлении ккал/кг •град
СрН Теплоемкость влажного воздуха ккал/кг •град
Ст Коэффициент расхода ротаметра, определяемый формулой (6. 27) Безразмерный
Ct Скорость звука в критическом сечении сопла м/сек
C'Q Теплоемкость при постоянном объеме ккал/кг•град
D Диаметр м
И
Продолжение табл.
Символ Значение Типичные единицы измерения
dab Коэффициент диффузии вещества А в ве- м2/ч
ществе В
DABe Коэффициент турбулентной диффузии м2/ч
&АВТ Коэффициент термо диффузии м2/ч
dab Коэффициент диффузии, определяемый м2/ч
D/Dx формулой (31. 2) Оператор субстанциального дифференциро- 1/сек
вания
E Полная энергия, определяемая уравнением дж/кг
(4. 2)
eg К. п. д. ступени по Мэрфри Безразмерный
egp Точечный к. п. д. по Мэрфри Безразмерный
Eu F Число Эйлера Сила Безразмерное н
Fd Сила сопротивления н
Fg Сила тяжести н
Fxd Составляющая по оси х силы сопротивле- н
ния, действующей на контрольной поверхности
F xp Составляющая по оси х результирующей н
Fr сил давления
Число Фруда Безразмерное
G Нагрузка по фазе кг/м2 -ч
GB Нагрузка по фазе компонента В кг/м2 • ч
Gr 1^ Число Грасгофа, - р ДТ Безразмерное
HG' HL Частная высота единицы переноса (ВЕП) м
#0G’ Общая высота единицы переноса (ВЕП) м
Hfx, Нщ Высота единицы переноса в теплопередаче м
I T Степень турбулентности Безразмерная
1 I\ Плотность теплового излучения ккал/м2 •ч
Интенсивность потока компонента А (мольная) относительно общего движения кмоль/м2 • ч
J Механический эквивалент тепла, 4187 дж/ккал
JA Плотность потока компонента А относи- кг/м2 • ч
тельно общего движения
К Характеристика консистентности [кг • м/сек2] • секп
К Постоянная в уравнении (13. 40) Безразмерная
KA Константа фазового равновесия, Уд1хд Безразмерная
KABT Термо диффузионное отношение Безразмерное
KX,KWK Коэффициенты массопередачи кг/м2 * ч
K~K- ЗС у
L Нагрузка по фазе кг/м2 • ч
L Длина, толщина, масштаб турбулентности м
Le Длина входного участка м
Lf Толщина осадка на фильтре м
12
Продолжение табл.
Символ Значение Типичные единицы измерения
Le Число Льюиса, Sc/Pr = X/qPabCp Безразмерное
М Масса кг
М Число Маха, и/С Безразмерное
мс Масса фильтрационного осадка кг
мА,мв, Молекулярные веса* кг/кмоль
мс
N Число ступеней, число труб Безразмерное
N Удельный поток относительно неподвиж- кг/м? • ч
ных осей
Удельный поток компонента А относитель- кг/м2 *ч
но неподвижных осей
Np Число частиц Безразмерное
Число рядов труб Безразмерное
Nu Число Нуссельта, aL/K Безразмерное
Nu„ Число Нуссельта, а^Ь/К Безразмерное
Num Среднее число Нуссельта, amL/X Безразмерное
Nua Местное число Нуссельта, dxL/K Безразмерное
p Мощность дж / сек
N Оч a 0ч к Оч Компоненты вектора импульса кг • м/сек
Ре Число Пекле, RePr= ^CpiiL/'k Безразмерное
Pr Число Прандтля = CpQ/X
Q Тепло, поглощаемое единицей массы ккал/кг
R Скорость сушки кг/м2 • ч
R Сопротивление теплопередаче град • ч/ккал
R Доля восстановления перепада давления Безразмерная
Ri Скорость возникновения компонента кг/ч
Rm Сопротивление движению, оказываемое МГ1
фильтрующей перегородкой
Rxi Ry, Rz Компоненты результирующего вектора си- н
лы
R(y) Коэффициент корреляции Безразмерный
Re Число Рейнольдса, Безразмерное
Rer Число Рейнольдса, Qu0L/p Безразмерное
Rep Число Рейнольдса, Qw$sZ)/p (1 —е) Безразмерное
Rex Число Рейнольдса, диоя/р Безразмерное
S Энтропия ккал /кг • град
Sj Коэффициент исчерпывания Безразмерный
Sp Площадь поверхности частицы м2
So Удельная поверхность, SpIVp 1/м
Sc Число Шмидта, p/qZ>ab Безразмерное
Sh Число Шервуда, KqL/Dab Безразмерное
St Число Стэнтона, и/Сриц Безразмерное
T Абсолютная температура 9К
To Температура торможения SK
u Внутренняя энергия ккал/кг
V Расход фазы кг/ч
Vf. Объем поплавка ротаметра м3
Vf Объем фильтрата м3
Vp Объем частицы м3
w Массовый расход кг/ч
13
П родолжение табл.
Символ Значение Типичные единицы измерения
W Лучеиспускательная способность ккал/м2 •ч
W' Работа в расчете на единицу массы дж/кг
WB Лучеиспускательная способность в диапа- ккал/м? •ч
зоне от X до % + деленная на dk
WB Расход кубового остатка кг/ч
Wc Массовый расход компонента С кг/ч
Wf Массовый расход исходной смеси кг/ч
Ws Внешняя работа в расчете на единицу массы дж/кг
IT Скорость совершения работы дж/ч
Ws Скорость совершения внешней работы дж/ч
We Число Вебера, qu2L/g Безразмерное
X, Y, Z Компоненты массовой силы н
XA Массовая доля компонента А в жидкой фазе Безразмерная
Y Поправка на Д^т Безразмерная
Массовая доля компонента А в паровой фазе Поверхность раздела, приходящаяся на единицу объема Безразмерная
a ;и2/;и3
a Температуропроводность, 'к/^Ср м2/ч
aA Активность компонента А * Безразмерная
aG Турбулентная температуропроводность м2/ч
Фактор массообмена Безразмерный
Компоненты ускорения м/сек2
e Эффективная высота неровностей м
f Коэффициент сопротивления, Dhf/2Lu* Безразмерный
fp Коэффициент сопротивления, определяемый уравнением (15. 21) Безразмерный
g Ускорение свободного падения м/сек2
h Потери энергии или потери на трение дж/кг
hf Потери энергии на трение (только в трубе) . дж/кг
i Энтальпия ккал/кг
*A> lY Энтальпия компонента А, жидкой фазы, паровой фазы ккал/кг
/н Фактор Колборна для теплопередачи Безразмерный
Фактор Колборна для массопередачи Безразмерный
к Отношение удельных теплоемкостей, Ср/Съ Безразмерное
к Коэффициент теплопередачи ккал/м2 • ч * град
kXl ky Коэффициенты массоотдачи, рассчитанные по ДяА и ДуА кг/м2 • ч
k~, k~ x у Коэффициенты массоотдачи, рассчитанные по Д#А или ДуА кмоль/м2 • ч
kQ Коэффициент массоотдачи; рассчитан-' ный по ДрА м/ч
^k°y Значения кх и ку в отсутствие движения кг/м2 • ч
в целом
k* Значение к^ в отсутствие движения в целом м/ч
kQ Коэффициент массоотдачи, определяемый уравнением (38. 7) м/ч
14
Продолжение табл.
Символ Значение Типичные единицы измерения
ч Коэффициент массоотдачи, определяемый уравнением (43. 5) м/ч
1 Прандтлевский путь перемешивания м
т Отношение массы насыщенного фильтрационного осадка к массе сухого; номер ступени, постоянная в уравнении равновесия уА = тхА Безразмерное
п Индекс течения; номер ступени Безразмерный
nG, nL, nOG’ nOL Число единиц переноса (ЧЕП) Безразмерное
p Полное давление н/м2
Pa Упругость паров компонента А н/м2
Pa Парциальное давление компонента А н/м2
Pi Давление на фильтрующей перегородке н/м2
Po Давление торможения; давление во внешнем потоке; давление на входе Уплотняющее механическое напряжение, действующее в фильтрационном осадке н/м2
Ps н/м2
Q Поток тепла ккал/ч
Q Число молей жидкости, образующееся на моль исходной смеси на тарелке питания Безразмерное
Q Объемный расход м3/ч
r Радиус м
r Скрытая теплота парообразования ккал/кг
r Удельное сопротивление осадка м/кг
rH Гидравлический радиус м
rA> ri Скорость возникновения компонента А или 1 кг/м3 • ч
s Массовая доля твердой фазы в пульпе Безразмерная
s Относительная скорость обновления поверхности сект1
t Температура СС
las Температура адиабатического насыщения °C
*b Средняя температура °C
tm Средняя температура жидкости еС
*0’ *co Температура вне пограничного слоя 9С
Температура поверхности’ рс
t$v Температура насыщенного пара еС
hl Температура жидкости, находящейся в равновесии с ее паром °C
twb Температура, показываемая мокрым термометром °C
и Скорость, величина вектора скорости м/сек
“b Средняя скорость м/сек
ubr Средняя скорость жидкости в кольцевом сечении ротаметра м/сек
ubs Кажущаяся скорость м/сек
u0 Скорость вне пограничного слоя м/сек
Конечная скорость; скорость в сужении м/сек
UX> Uy, uz Компоненты вектора скорости м/сек
15
Продолжение табл.
Символ Значение Типичные единицы измерения
иУ$ Скорость на поверхности в направлении нормали к ней м/сек
и и »и у’ Z Компоненты пульсационной скорости м/сек
«х» иуу uz Компоненты осредненной скорости м/сек
и * Динамическая скорость м/сек
и+ и/и * Безразмерная
V Удельный объем м3/кг
W Массовая скорость кг/м2 • ч
wc Критическая влажность Безразмерная
Равновесная влажность Безразмерная
Л, У, 2 Декартовы координаты м
X Расстояние от передней кромки м
ХА Массовая доля компонента А, особенно в жидкой фазе Безразмерная
хе Толщина пленки конденсата м
У Расстояние от поверхности м
Уа Массовая доля компонента Л, особенно в паровой фазе Безразмерная
У+ Безразмерная
Z Высота башни, высота столба жидкости в манометре м
а Угол между вектором и внешней нормалью к контрольной поверхности, угол Маха рад
а Коэффициент теплоотдачи ккал/м2 • ч • град
а Коэффициент поглощения света Безразмерный
а Относительная летучесть Безразмерная
аАВ Относительная летучесть А относительно В Безразмерная
«а Значение а, вычисленное по средне-арифметическому значению разности температур Ма ккал/м2 • ч • град
Коэффициент загрязненности ккал/м2 • ч • град
aj?n Значение а, вычисленное по среднелогарифмическому значению разности температур Д^т ккал/м2 • ч • град
am Среднее значение а (при постоянной температуре стенки Zs) ккал/м2 • ч • град
ar Коэффициент теплоотдачи излучением ккал/м2 • ч * град
аЛ Местное значение a ккал/м2 • ч • град
aQ Значение а в отсутствие общего движения ккал/м2 • ч • град
₽ Угол между осью я и направлением вертикально вниз рад
₽ Отношение диаметров Коэффициент температурного расширения Безразмерное град-1
г Массовый расход на единицу длины периметра кг/м • ч
Y Скорость изменения угла рад/сек
Ya Коэффициент активности компонента А Безразмерный
Д Оператор взятия разности между конечным и начальным значениями, например, Безразмерный
16
Продолжение табл.
Символ Значение Типичные единицы измерения
д Толщина пограничного слоя м
6с Толщина диффузионного пограничного слоя м
бщ Толщина пленки м
6t Толщина температурного пограничного м
слоя
8 Пористость; степень черноты Безразмерная
П Безразмерное расстояние у Ущ/ух
п Средний к. п. д. колонны Безразмерный
П/ Коэффициент оребрения Безразмерный
Пр, П* Коэффициент полезного действия (к. п. д.) Безразмерный
насоса или турбины
в Угол в полярных координатах рад
А Число Кармана Безразмерное
X Коэффициент теплопроводности ккал/м • ч • град
X Длина волны м
и Вязкость динамическая кг/м • сек
На Химический потенциал компонента А ккал/кг
V Вязкость кинематическая м*/сек
Ve Вязкость кинематическая турбулентная м2/сек
2 Плотность кг/м3
2 Коэффициент отражения света Безразмерный
2а Концентрация компонента А кг/м3
2 Ат Концентрация компонента А в жидкой кг/м3
среде
2ао Концентрация компонента А вне погра- кг/м3
ничного слоя
2а s Концентрация компонента А у поверхности кг/м3
2s Плотность твердого вещества кг/м3
а Поверхностное натяжение н/м
а Постоянная Стефана—Больцмана ккал/м2 • ч • (град)*
т Время сек
т Коэффициент пропускания света Безразмерный
г Касательное напряжение н/м*
Jfs Касательное напряжение на поверхности н/м2
Т* Полное касательное напряжение н/м2
V Напряжение Рейнольдса н/м2
Ф Диссипативная функция ккал/м3
Ф Угол в цилиндрической системе координат рад
Ф Потенциальная функция м2/сек
ip Функция тока м2/сек
Q Потенциальная энергия дж/кг
со Угловая скорость рад/сек
2 Заказ 519.
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА им. Горького
1
ГИДРОДИНАМИКА
2. БАЛАНСОВЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ГИДРОДИНАМИКЕ
При решении многих задач, связанных с исследованием того или иного процесса, можно рассматривать этот процесс формально, отвлекаясь от его физического содержания. Мерой внутренних изменений при этом служат параметры потоков на входе и выходе системы и обмен энергией в форме тепла и работы между системой и окружающей средой. Такой подход напоминает способ введения понятия системы в термодинамике и применение к системе первого закона термодинамики. То, что мы будем называть уравнением энергетического баланса, и есть первый закон термодинамики, примененный в общем случае.
То же самое можно сказать о более простом случае — об уравнении материального баланса и его связи с понятием материального баланса, рассматриваемым в стехиометрии. Возможно, читателю менее знакомо уравнение баланса импульса (количества движения), в котором вместо потоков энергии и массы рассматриваются потоки количества движения (импульса).
Мы говорим об уравнениях баланса, т. е. интегральных уравнениях сохранения для системы в целом, так как рассматриваются не подробности процессов внутри системы, а лишь их внешние проявления. Во многих случаях, однако, желательно рассмотреть именно детали внутренних процессов. Чтобы достичь этого, используют аналогичные уравнения сохранения, записанные для малого элемента (дифференциала) объема. Эти дифференциальные уравнения могут быть в принципе затем проинтегрированы. Такой метод исследования дает детальную картину внутренних процессов в системе. Например, если известны основные свойства жидкости (такие, как вязкость ньютоновской жидкости), с помощью дифференциальных уравнений можно найти распределение скоростей, в то время как в балансовое уравнение могут войти только средние скорости потока на входе и выходе. Балансовые уравнения могут быть в общем случае получены интегриро
21
ванием дифференциальных уравнений сохранения; наоборот, последние получаются при безграничном уменьшении контрольного объема. Для большей ясности и чтобы избежать некоторых математических затруднений, оба типа уравнений выводятся в этой книге независимо. Мы начнем с интегральных уравнений •сохранения, ввиду их относительной простоты и той роли, которую они играют при решении многих важных задач.
ПРИРОДА ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Хотя уравнения баланса массы, энергии и импульса могут быть выведены и использованы без детального рассмотрения поведения жидкости, полезно иметь некоторые предварительные сведения
Рис. 2. 1. Опыт Рейнольдса.
OubQ
а — низкая скорость, ---— < 2100;
OubQ
б — высокая скорость, ------>2100.
о природе жидкости и ее течении.
Опытами установлено, что течение жидкости в тонкой трубке или при малых скоростях является ламинарным 1 (такое течение называется также слоистым или вязким). Слои жидкости скользят друг по другу не перемешиваясь, и если движение стационарно, то скорость постоянна в каждой точке. При высоких скоростях движение становится турбулентным. Отдельные слои
жидкости перемешиваются за счет образования вихрей, и даже в целом в стационарном потоке скорость в каждой точке колеблется около некоторого среднего значения. Существование этих
двух типов течения было показано Рейнольдсом [135], который осуществил опыт, изображенный на рис. 2. 1. Установлено, что
для круглых труб различного диаметра и для различных жидкостей ламинарное течение существует, вообще говоря, если безразмерная величина меньше, чем 2100 ♦. Эта безразмерная величина, называемая числом Рейнольдса, чрезвычайно важна и часто встречается в дальнейшем; она будет изучена более подробно в гл. 14 при рассмотрении анализа размерностей. Значение числа Рейнольдса не зависит от выбора системы единиц.
1 Иногда ошибочно называют ламинарное движение безвихревым. В действительности оно всегда вихревое, а его отличительный признак — отсутствие поперечного перемешивания. (Прим, ред,)
* В нашей литературе обычно принимается несколько отличное значение, равное 2320. (Прим, перев.)
22
Ламинарное течение в трубах с очень гладкими стенками может существовать и при числах Рейнольдса, превосходящих 2100, однако такое течение неустойчиво и небольшие возмущения могут вызвать переход к турбулентному движению. Для характеристики других свойств потока также окажутся полезными безразмерные параметры. Например, при расчетах теплопередачи в жидкостях часто встречается число Прандтля --ft , а при расчетах массо-л
передачи — число Шмидта .
Quab
Здесь следует сделать замечание о строении жидкостей, прежде чем выписывать формулы, в которых рассматривается бесконечно малый объем жидкости. В действительности такой объем представляет собой совокупность отдельных молекул. Мы хотим, однако, рассматривать жидкость как сплошную среду. Поэтому элементарный объем будет рассматриваться не как совокупность молекул и пустого пространства между ними, а как однородное тело. Такое упрощение позволит использовать для описания и исследования течения жидкости дифференциальные уравнения.
3. БАЛАНС МАССЫ
Количественное рассмотрение балансовых уравнений мы начнем с применения закона сохранения массы к мысленно выделенной области, сохраняющей свое положение в пространстве. Назовем эту область контрольным объемом, а ее границу — контрольной поверхностью. Уравнение, выражающее закон сохранения массы, можно написать почти сразу, поскольку скорость накопления вещества в контрольном объеме равна разности между пото
Нормалъ
Рис. 3. 1. Поток через элементарную площадку контрольной поверхности.
ками вещества, направленными внутрь объема и наружу. Если обозначить через а угол между внешней нормалью к поверхности и направлением скорости в рассматриваемой точке, то для результирующего потока жидкости, входящего через контрольную поверхность, имеем:
JJuQcosad?!. (3<1)
А
Это утверждение иллюстрируется рис. 3. 1. Если скорость и параллельна поверхности, cos а равен нулю; если скорость на-24
правлена внутрь объема, а больше-у и cos а отрицателен. Исходя из этого, можно убедиться, что интеграл по всей поверхности (3. 1) действительно выражает результирующий поток массы из контрольного объема. Величина qu называется плотностью потока массы и измеряется в кг/сек-м2. Ее называют также массовой скоростью w.
Интеграл (3. 1), имеющий размерность кг!сек, должен быть равен взятой с обратным знаком скорости накопления массы в контрольном объеме. Это утверждение верно для любого момента времени, в том числе и в нестационарном процессе. Поскольку
и (3. 2), получим уравнение
Объединяя выражения (3. 1) баланса массы в общем виде:
JJuecosa<L4 + -^jYJed7 = 0. (3.3)
А у*7
Смысл уравнения (3. 3) прояснится, если его записать для наиболее часто встречающегося случая, когда весь поток, направленный внутрь объема, проходит перпендикулярно площадке Л1? а поток наружу — площадке Л2, как показано на рис. 3. 2.
В остальных точках контрольной поверхности поток параллелен ей. При этих условиях
2^2 4 0. (3.4)
Величина иь называется скоростью потока или средней скоростью и определяется соотношением
иь = ^-^J и dA.
(3-5)
При этом предполагается, что на поверхности интегрирования плотность постоянна, а скорость направлена по нормали. Определим массовый расход W выражением
так что
W = QubA9 (3.6)
AW+^ = °- • (3-7)
25
Если Wi я W2 заданы в функции т, уравнение (3. 7) может быть сразу проинтегрировано. Часто один или оба расхода постоянны. Если оба расхода постоянны и равны, процесс является стацио- -парным и
^- = 0. (3.8)
Эти уравнения легко обобщить так, чтобы они выражали баланс 4-го компонента многокомпонентной системы. Для случая, изображенного на рис. 3. 2, имеем:
= (3.9)
где Ri — скорость возникновения i-ro компонента за счет химических реакций внутри контрольного объема (кг/сек). Здесь «считается, что диффузионные потоки через контрольную поверхность не существенны. Соответствующие члены могут быть без ч’руда введены в уравнение (3. 9). Уравнение (3. 9) можно записать для каждого компонента. В сумме эти уравнения дадут уравнение (3. 7), так как для n-компонентной системы
2 Л1=о. 2=1
Хотя некоторые из приведенных здесь уравнений могут показаться совершенно очевидными, способ рассуждений окажется полезным при выводе уравнений баланса энергии и импульса, тде результаты получаются не столь легко.
Пример 3.1
Чтобы показать, как учитывается непостоянство скоростей на контроль-_ной поверхности, вычислим расход 98 %-ной серной кислоты при 0° С, движущейся в трубе диаметром 50 мм. В центре трубы скорость измеряется с помощью трубки Пито и составляет 0,90 м/сек. Течение ламинарно. При ламинарном течении скорость меняется вдоль радиуса трубы по закону
/ г3 \
u = umax 1—- , (1)
\ ri /
тде umax — максимальная скорость; ri — внутренний радиус трубы. Скорость возрастает от нуля при г = п до максимального значения при г = 0. Для всех жидкостей, за исключением газов, находящихся под очень низким давлением, на границе жидкости с твердым телом не происходит проскальзывания1. Уравнение (1) будет выведено при помощи дифференциального уравнения импульсов; результат такого рода нельзя получить из интегральных уравнений сохранения.
Так как W = Q и^А, поставленная задача сводится к вычислению по формуле (3. 5)
1 См. Уилкинсон. Неньютоновские жидкости, перев. с англ. «Мир», 1963. (Прим, ред.)
126
В декартовых координатах элемент площади dA выразился бы в виде dxdy, но для круглой трубы удобнее пользоваться полярными координатами, так что dA ~r dr с?6 (6 — полярный угол). После подстановки соотношения (1) в (3. 5) имеем:
2л
Л (*~т)ririe- ® О о
Переменная 0 не вошла в уравнение (1) в силу осевой симметрии. Вычисление интеграла в (2) дает простой результат:
1
иЪ= -умтах> (ЗУ
так что
ш итах^лг1 wmaxQJtD2 z
w = ---------=----g----. (4>
Плотность 98 %-ной серной кислоты при 0° G равна 1,8567 г!см3 .*= Поэтому
Ы7 0,9 • 1000 • 1,86 • 3,14 • 502 • 10~в . , СПАА ..
W =-------------------------= 1,64 кг)сек (или 5900 кг/ч).
о
Вычисляем также число Рейнольдса. При этом расчет следует вести по средней скорости:
no- _ 1000-1,86 • 0,45 • 50 • 10“3 ОАА
Re----ji 47^'1б=з-------- 89°-
Вязкость (47,0 сп) взята из Перри, стр. 373, и помножена на 10“3, для перевода в нужные единицы (кг/м'сек). Всегда следует проверять вычисления на однородность размерностей. В рассматриваемом примере в расчеты должны входить метры, килограммы и секунды.
Поскольку число Рейнольдса меньше 2100, предположение о ламинар-ности течения оправдано.
Пример 3.2
В хорошо перемешиваемую емкость подается вода с расходом 60 кг/ч-и поваренная соль (NaGl) в количестве 12 кг/ч. Получающийся раствор вытекает из емкости с расходом 48 кг/ч. Вследствие хорошего перемешивания концентрация выходящего раствора совпадает с концентрацией в емкости. Скорости поступления материалов и отвода раствора неизменны. В начале работы в емкости было 40 кг чистой воды.
Вычислить концентрацию выходящего раствора (массовую долю соли), по истечении 1ч.
Нужно решить совместно уравнения (3. 7) и (3. 9). Рассмотрим сначала баланс соли (компонент 4).
dMA
wAi-wA1+^-=o. (1).
* Имеются в виду ньютоновские жидкости. Для неньютоновских сред скорость у стенки может быть отлична от нуля.
27;
Пусть хА — массовая доля соли в растворе, выходящем из емкости. Тогда d (МхЛ
WfA -Wai+ - ат ° °- &
dx л /? д#
48ха-12+Л/ -±+^ = 0. (3)
Это уравнение можно упростить, используя уравнение баланса полной массы
^2-^+-^ = ° (4)
или
48-(60+12) + -^ = 0. (5)
Поскольку входных потоков два — воды и соли, W1 = 60 ф 12. Отсюда dM ,
для скорости накопления получится значение 24 кг/ч. Уравнение
(5) можно проинтегрировать, что дает
М = 24т+М0; (6)
для рассматриваемой задачи
MQ = 40 кг.
После подстановки этих выражений в уравнение (3) в нем остаются только две переменные хА и т:
48а:А-12 + (24т+40) -^-+24хА =0. (7)
После разделения переменных имеем:
т ХА
с _ с dx* ,8)
J 24т 4-40 J 72ха— 12 ’ w
о о
что после интегрирования и преобразований дает
Для т = 1 ч мысоъ&я доля хА — 0,126. Уравнение (9) в соответствии со здравым смыслом показывает, что когда время т становится очень большим, хА стремится к 1/6.
Задачи
3. 1. Написать уравнения, аналогичные уравнениям (3. 7) и (3. 9), если все величины выражены в мольных единицах: Wi — молъ/ч и т. д.
3. 2. В перегонную установку непрерывно подается 40 кмолъ/ч смеси, в которой мольная доля толуола составляет 0,35, а бензола 0,65. Продукты перегонки выходят двумя потоками, один из которых содержит 5% поступающего в установку бензола. Во втором потоке мольная доля бензола составляет 0,99. Найти расходы обоих потоков в кмолъ/ч и состав потока, обогащенного толуолом. Накопления внутри системы не происходит.
28
3. 3. Установка периодической перегонки заполняется 60 кмоль жидкой смеси бензола и толуола с мольными концентрациями 60% и 40% соответственно. Состав пара, выходящего из установки, связан с составом остающейся жидкости уравнением
-
VA ' 1 + (а-1) хА
в котором уА и хА представляют собой мольные доли бензола в паре и жидкости соответственно, а а — относительная летучесть, постоянная, равная 2,57. Каков состав собранного дистиллята, если перегонка продолжается до тех пор, пока в установке останется 30 моль жидкости?
3. 4. Для турбулентного течения в круглой трубе с гладкими стенками профиль скоростей при числе Рейнольдса, равном НО ООО, задается выражением.
/ G'— г Ч1/» w = wmax(——) •
Найти значение ———для этого случая. Интегрирование упростится, если wmax
сделать подстановку у = ri — г.
3. 5. Распределение скоростей в пленке жидкости, стекающей ламинарно по вертикальной стенке, может быть выражено уравнением
где L — толщина жидкой пленки; иу — скорость на расстоянии х от стенки, направленная вертикально вниз.
а. Доказать, что средняя скорость жидкости равна двум третям от скорости на свободной поверхности.
б. Найти толщину слоя воды, стекающего по вертикальной стенке шириной в 1 jt, если расход воды 380 л/мин, а температура ее 169 С.
3. 6. На входе в длинную 78-ми трубу поток пара имеет среднюю скорость 3 м/сек, абсолютное давление 14 ат и температуру 320Q С. В некоторой точке, расположенной ниже по потоку, абсолютное давление 10 «тп, а температура 260Q С. Чему равна средняя скорость в этой точке? Вычислить также число Рейнольдса в обеих этих точках. Для определения параметров пара воспользоваться таблицами.
3. 7. При упрощенном процессе производства Н3РО4 в хорошо перемешиваемой емкости реагирует 4000 кг/ч взвешенного в воде Са3(РО4)2 со стехиометрическим количеством 94% H2SO4. Вместе с фосфоритной мукой подается вода в количестве, достаточном для получения при стационарном ходе процесса 40 %-ной фосфорной кислоты. Образующиеся раствор фосфорной кислоты и гипс (CaSO4«2H2O) равномерно удаляются из смесителя, так что общая масса в нем остается постоянной. Если работа начата, когда в емкости находилось 4000 кг 20%-ного раствора фосфорной кислоты, какова концентрация раствора кислоты в емкости по истечении 1 ч?
4. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
Теперь получим уравнение баланса, применяя к неподвижному контрольному объему закон сохранения энергии таким же образом, как в предыдущей главе применялся закон сохранения массы.
Первый закон термодинамики можно записать в виде
где
kE^Q-Wf,
»*2
(4.1)
(4.2)
Члены в правой части этого уравнения выражают, соответственно, внутреннюю, кинетическую и потенциальную энергии 1 кг жидкости. В уравнении (4. 1) Q — количество поглощенного тепла, приходящееся на 1 кг жидкости, a W — все виды работы (в расчете на 1 кг), совершенной жидкостью над окружающей средой. При расчетах, конечно, все величины должны выражаться в одинаковых единицах, обычно ккал!кг. При этом в уравнения не войдет механический эквивалент тепла.
Рассматривая накопление энергии и потоки ее внутрь и наружу контрольного объема, напишем
JJ uqEcosadA+-^^QEdV = q-W, (4.3)
где q и W и оба интеграла выражаются в единицах анергии в единицу времени. Принято делить работу (мощность) W на две части: внешняя работа и остаток, часто называемый pV — работой. Можно учесть и многие другие виды работы (такие, как работа электрических или поверхностных сил), но здесь они не рассматриваются.
30
В соответствии с этим имеем:
W = TTs + ffuQpv cos a dA, А
(4.4)
где W8 — внешняя работа.
Она является чисто механической и непосредственно связана с наличием движущихся частей — поршня или вала насоса и т. д. Один килограмм жидкости, вытекающий из элемента при давлении р, вытесняет объем v. Так как работа определяется выражением Jр dv, работа в расчете на 1 кг жидкости равна pv *. о
Интеграл в уравнении (4. 4) выражает суммарную работу жидкости при входе и выходе из контрольного объема.
Введем энтальпию жидкости
i = U+pu. (4.5)
При этом уравнение баланса энергии примет вид
fJuQcosa(-y-+gz + i^ dA + ^°ли- = g — (4.6)
В этом уравнении объемный интеграл заменен эквивалентной величиной — скоростью изменения полной энергии в контрольном объеме.
Для простой контрольной поверхности, показанной на рис. 4.1, уравнение (4. 6) сводится к
^2 (и3) ср 2 I W2g (Мер 2 . (Мер 2 _ Wi (u3)cp 1 __ Wjg (Mcpi _ 2Ub 2 ub 2 ^b 2 2/Uff i Uff i
Wj (Мер i । ^полн Ы7 /z
Слагаемые, выражающие кинетическую энергию, получаются следующим образом (р примем постоянным на поверхности объема, cos a = ±1):
f JJuMA=|(u3)cp^, (4.8)
A где по определению
(us)cp = ~^-f J и3 dA. (4. 9)
* Проще получить тот же результат по-другому. Частицы жидкости, которые расположены на участке dA поверхности, за единицу времени перемещаются на расстояние и, совершив при этом работу против сил давления up cos а йЛ. Отсюда, если учесть, что ру = 1, следует выражение (4. 4). (Прим, перев.)
31
Так как
W = QubA,
(4.10)
окончательно для интеграла получается выражение
W (и3)СР 2иь
Аналогичным образом определяются (uz)cp и (ш)ср; вывод этих выражений предоставляется читателю в качестве упражнения. Обычно уравнение (4. 7) приходится решать совместно с урав
Рис. 4. 1. Гидравлическая система.
1 — насос или турбина; 2 — теплообменник: з — змеевик подогревателя; 4 — плоскость отсчета.
нением баланса массы и с уравнением состояния жидкости. В рассматриваемом здесь упрощенном случае уравнение баланса массы представляется в виде (3. 7). Приведем здесь некоторые упрощенные формы уравнений (4. 6) и (4. 7) ввиду их особой важности.
Перепишем уравнение (4. 7) в виде
1д^ (ц3)ср | „д И7 (цг)ср . д^Иср | ^полн _
Когда входящий и выходящий потоки равны, ДЖ равно нулю, q = WQ и Ws — WW$. Из уравнения (4. И) при ДЖ = 0 получаем:
1 д_(^ср+?д^ + д(^р+^.^ =Q-W$. (4.12) 4 Ufa иЪ “" Uv
Если не происходит накопления энергии, = 0. Если вдобавок скорость, температура й высота над плоскостью отсчета пренебрежимо мало меняются в обоих сечениях, то получаем обычное уравнение баланса энергии, приводимое в учебниках термодинамики:
^ + g\z + M = Q-Ws. (4.13)
32
Следует подчеркнуть, что Q или q обозначают полную величину тепла, переносимого через контрольную поверхность, в том числе и за счет теплопроводности жидкости.
При помощи уравнения (4. 6) можно решать задачи, в которых рассматриваются реагирующие смеси. При этом i или U определяются с учетом тепловых эффектов реакции. Способ решения иллюстрируется примером 4. 4.
Хотя ниже в примерах и задачах будет продемонстрировано некоторое число приложений уравнений баланса энергии, мы не будем пытаться показать все способы применения этих уравнений. Возможны различные упрощения уравнений баланса энергии. Например, если процесс связан с химическими реакциями, член Ai обычно настолько велик, что изменениями кинетической и потенциальной энергии можно пренебречь. При истечении из сопла важна, наоборот, кинетическая энергия, а в гидроэнергетических установках существенна потенциальная энергия.
В большинстве практических задач изменениями и по сечениям входящего и выходящего потоков можно пренебречь. Например, кинетическая энергия становится значительной только при высоких скоростях, но при больших числах Рейнольдса распределение скоростей в поперечных сечениях становится более равномерным. Однако при применении уравнения энергетического баланса к каждому новому случаю важно представлять себе возможные последствия такой неравномерности. В некоторых случаях изменения температуры или скорости в поперечном сечении могут оказаться значительными. Чтобы разобраться в этих вопросах, лучше всего изучить приводимые ниже примеры и решить в числах несколько задач вроде тех, которые даны в конце этой главы.
могут оказаться существенными изменения
Пример 4. 1.
При ламинарном течении скорости й температуры по сечению. Выразим, например, величину члена , соответствующего в уравнении (4. 12) кинетической энергии, через среднюю скорость иь» Если бы жидкость двигалась, как твердый стер-иъ
жень, результат был бы равен —если распределение скоростей отлича
ется от равномерного, то постоянная в знаменателе не равна двум.
Подставляя в уравнение (4. 9) выражение из примера 3. 1 для скорости и как функции г, получим
2JT ri
(“3)ср=J J (1 )r dr dQ> (1)
сходное с выражением (2) из примера 3. 1. Вычисление интеграла дает
(мз)ср = -!Н“, (2)
3 Заказ 519.
33
так что
(^3)cp __ цтах 2иь 8и&
1
Поскольку щ, = — wmax> окончательно имеем Л
(4)
(и8)ср _ „2
Как было отмечено ранее, кинетической энергией жидкости при ламинарном движении можно обычно пренебречь. Однако подобное вычисление (wOcd для величины -—дает результат, который часто, как в случае теплопередачи к ламинарному потоку жидкости, оказывается существенным. Такого рода вычисления встретятся в задачах 4. 7.
Пример 4. 2,
В хорошо перемешиваемую емкость подается разбавленный раствор в количестве 81,8 кг/ч при t — 21р С. В емкости имеется пароподогреватель площадью 0,93 м2, по трубам которого проходит пар, конденсирующийся при 149q С. Раствор эффективно перемешивается, так что температура во всей емкости одинакова. При такой же температуре подогретая жидкость выходит из емкости в количестве 55 кг/ч. В начале работы в емкости было 227 кг раствора при 38е С. Вычислить температуру выходящей жидкости по истечении 1 ч.
Опытами установлено, что приток тепла к жидкости пропорционален разности температур пара и жидкости, находящейся в емкости. Это выражается математически соотношением^
q/A — K —
(1)
где коэффициент пропорциональности, называемый суммарным коэффициентом теплопередачи. Эта величина в общем случае является функцией свойств обеих жидкостей, между которыми происходит теплообмен, характера их движения и формы и материала змеевика. Для упрощения предположим, что влияние изменений этих факторов пренебрежимо мало, и примем К равным 342 ккал/м2 • РС • ч*
Для решения воспользуемся уравнением энергетического баланса в форме (4. 11). В данном случае, как и в большинстве задач, где большие температурные изменения сочетаются с умеренными (меньше 30 м/сек) скоростями, можно пренебречь кинетической и потенциальной энергией. Поскольку в системе нет движущихся частей (валов, поршней), а работа перемешива-ния пренебрежимо мала, также равно" нулю. Тогда уравнение (4.11) превращается в
«д (ц0ср । ^полн __ ,2)
dr q'
Поскольку рассматриваемая здесь жидкость состоит в основном из воды, 1 — (t—10), где ;0 — начало отсчета температуры, а Ср — удельная тепло-34
емкость воды. Будем предполагать, что заданные в задаче температуры — средние1 * * * * * *, так что
д W(w)cP = W2i2^W1i1==Cp (W^-WM-Cph (Wt-Wi). (3) “b
Кроме того, имеем приближенное соотношение
£полн« — ^полн — J = СрМ (t— £0). (4)
В результате подстановки выражений (1) и (4) в уравнение (2) имеем:
CpW2t 2 - CpWih - С pt. (W2 - Wi)+MCp^--^-Cp(t-tQ)^ = ClT CL v
= KA(t3 — t). (5)
Из уравнения материального баланса следует = 27 и М = 27т 4-dx
227. Для tQ можно взять любое подходящее значение, удобнее всего принять £0 = 0. После подстановки этих значений в уравнение (5) и преобразований получаем:
dt 27СР 4- WCP + КА KAt8 + CpWfa
dx Ср (27т + 227) Ср (27т+ 227) * (Ь'
Если подставить численные значения Ср = 1,0; W2 = 55; £ = 342; Л = = 0,93; lVi = 82; Js = 149; ^ = 21, это дает
dt _l 400 — 49 000 /7х
dx ' 27т+227 27т+227 *
С
(8)
(9)
Интегрируя это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, имеем:
t = 122 4--------— .
(27т+227)14’8
Постоянная интегрирования С определяется из требования t = 38 при т = 0, так что окончательное выражение имеет вид ^ 122 6,22 «1036
(27Т+227)14’8'
При т = 1 t = 106° С; по истечении достаточно длительного времени работы температура достигнет стационарного значения 122Q С, если емкость не переполнится.
Пример 4. 3.
Уравнение энергетического баланса в форме (4. 3) можно использовать для определения понижения температуры газа, проходящего теплоизолированный редукционный клапан. При этом отсутствует теплопередача и не производится внешняя работа; изменениями кинетической и потенциальной энергии можно пренебречь, так что
Дг = О.
(1)
1 Средняя температура или температура смешения — это температура,
которую поток приобрел бы после прохождения через устройство, где он
полностью перемешивается. Математически она может быть определена
выражением
ib = —7 I utdA
ubAJ J
A
3*
35
Для идеального газа Дг = СрДг, и изменения температуры не происходит.
В качестве примера расчета для реального газа рассмотрим водяной пар, входящий, в клапан при температуре 171° С и абсолютном давлении 7 ат и выходящий при давлении 3,7 ат. Энтальпия на входе в клапан равна [82] ij = 663,6 ккал!кг. Поскольку Дг = 0, энтальпия на выходе также должна быть равна г2 = 663,6 ккал!кг при р = 3,7. Это соответствует температуре 160° С.
Пример 4. 4.
В ходе нового процесса производства серной кислоты подаются кислород и двуокись серы при атмосферном давлении и 50° С. Проходя над катализатором, эти газы полностью реагируют, и получающаяся трехокись серы охлаждается до 50° С. Вычислить количество отводимого при этом тепла на каждый кг-моль прореагировавшего SO2. Нужно воспользоваться формулой энергетического баланса для стационарного потока; все члены, кроме ДГ и Д(?, малы, так что
^Q. (1)
Дг определяется с помощью термохимических соотношений
Д$ = Дг’д S03— Дгд s0/
где &if — энтальпия образования. Из Перри, стр. 243, Дг = — 94,39 — — (—70,94) = —23,45 ккал/г • моль.
Энтальпии образования приводятся для 25q С, но влияние изменений температуры до 50Q С мало, и мы здесь будем им пренебрегать. Таким образом, на каждый кг • моль прореагировавшего SO2 нужно отвести из процесса около 23,5 • 103 ккал.
Примеры (4. 3) и (4. 4) по сути дела — термодинамические задачи. Они приведены здесь, чтобы подчеркнуть, какие разнообразные задачи можно рассматривать как приложения уравнения баланса энергии.
Более общая форма уравнения энергетического баланса, чем та, которая обычно рассматривается в вводных курсах термодинамики или физической химии, нужна при решении нестационарных задач и задач с неравномерным распределением скоростей (примеры 4. 1 и 4. 2).
Обратимся теперь к следующему примеру, чтобы познакомиться с важными понятиями потерянной энергии или потерь на трение при движении жидкости.
Пример 4. 5.
Вода стационарно движется по горизонтальной теплоизолированной Ди?
трубе. Так как Ws = 0, Q = 0, -у- = 0 и Д(г^) = 0, Дг должно равняться нулю. Для несжимаемой жидкости, поскольку
дг=срде+^,
&U ==Cvte&Cpkt,
(1)
(2)
так что
е
36
Опытами установлено, что при течении в трубе происходит падение давления. Уравнение (2) показывает, что это будет вызывать нагрев жидкости. Например, если Др == —0,35 ат,
4,=ттап=°'о<,8-с-
В предыдущем примере показано, что может происходить потеря давления, приводящая к уменьшению члена Ар/р и не сопровождающаяся увеличением механической энергии в других формах, т. е. -у-» gAz и АРК. Увеличение внутренней энергии вызывает еле заметное повышение температуры жидкости. С точки зрения практических приложений механическая энергия «потеряна». Потеря давления вызывается сопротивлением движению за счет трения. Трение возникает из-за вязкости жидкости. В следующих главах мы увидим, что потери давления можно вычислить, если известны свойства и скорость движения жидкости и форма сечения трубы. Поэтому удобно записывать уравнение баланса энергии, вводя в него величину потерь, которую называют по-разному — потерями на трение или потерянной энергией. При этом получается уравнение, в которое входят только члены, соответствующие механической энергии. Оно называется уравнением баланса механической энергии. Уравнение баланса механической энергии для нестационарного случая имеет сложный вид; здесь будет рассматриваться только стационарное течение. Потерянную энергию будем определять, рассматривая работу изменения объема, которую производит 1 кг жидкости, проходя от входа системы к ее выходу:
'Oi
W'=f pdv — h. (4.14)
Эта работа не совпадает с входящей в уравнение (4. 1) работой, учитывающей изменения кинетической и потенциальной энергии. Ее можно представить себе как работу, которую произвел бы поршенек в цилиндре, заключающем 1 кг движущейся жидкости. Для такого процесса можно записать первый закон термодинамики
\U = Q-W'. (4. 15
Q здесь то же, что и в уравнении (4. 1). Уравнения (4. 14) и (4. 15) вместе дают:
= Q — J* pdv-\-h. (4.16)
Запишем определение энтальпии (4. 5) в виде
Ai« AZ7 + А (ро) (4.17)
37
и заменим A(/w), используя соотношения1
«2 р2
Л(р»)= J pdv+ f v dp. (4.18)
t>l Pl
Из уравнений (4.16)—(4.18) выразим AZ
Р2
\i — Q—- J vdp-^h. (4.19)
Pi
Если в уравнение (4. 13) вместо AZ подставить выражение (4. 19), получим уравнение, содержащее только члены, соответствующие механической энергии, и называемое поэтому уравнением баланса механической энергии:
Р2
4 + + = (4.20)
& v У
Р1
Значение интеграла зависит от уравнения состояния жидкости и хода процесса, который определяет путь интегрирования. Для несжимаемой жидкости интеграл превращается в . Если, кроме того, нет трения (потерь энергии) и не производится внешняя работа, то уравнение (4. 20) сводится к одной из форм уравнения Бернулли
+ = (4.21)
* у
Уравнение Бернулли можно получить и из дифференциальных уравнений движения, как будет показано в 12-й главе. Уравнение (4. 20) иногда называют обобщенным уравнением Бернулли.
Уравнение (4. 20) несколько отступает от идеи балансового уравнения, в которое, по нашему определению, входят только обмен теплом и работой с внешними телами и величины, определяемые состоянием потока на входе и выходе системы. Тем не менее, уравнение (4. 20) во многих случаях упрощается так, что в него входят только концевые параметры потока, как это имеет место, например, в уравнении (4. 21).
Поскольку интеграл в (4. 20) для случая несжимаемой жидкости выражается через условия на входе и выходе, по известным независимо измеренным величинам, можно вычислить h. Для независимого вычисления h необходимо, однако, знать свойства жидкости и использовать дифференциальные уравнения, так как значение h г
1 В интегралах (4. 14), (4. 16) и (4. 18) подразумевается, что р и v связаны между собой в соответствии с тем термодинамическим процессом, который происходит при движении выделенного объема. (Прим, перев.) 38
зависит от внутренней структуры потока. Этот метод вычисления h с помощью дифференциальных уравнений движения используется для потока в трубах, но не для потока в насосах и турбинах. Для таких машин удобно делить потери на потери в трубах hf и потери в машине hf
h^hf + hi. (4.22)
Это соотношение применимо к трубопроводам с турбиной, для которой, согласно определению, Ws > 0. Потери в турбине принято учитывать, вводя коэффициент полезного действия Г|/, определяемый соотношением
(4.23)
Внешняя работа W8 — это энергия, передаваемая валом турбины единице массы жидкости. Сумма Ws + ht — механическая энергия, теряемая жидкостью в турбине на единицу массы. Если подставить выражения (4. 22) и (4. 23) в уравнение (4. 20), то получим
Р2
±^+gAz+J = (4.24)
* у ’И
Р1
Для насоса положим
= + (4.25)
И в этом случае W& определяет передаваемую валом энергию. Однако жидкость в насосе поглощает меньшую энергию, Ws + так как энергия в количестве hp расходуется на преодоление трения. Величины WB и hp для насоса всегда имеют противоположные знаки.
Коэффициент полезного действия-насоса равен
^<0. (4.26)
так что
р«
Ди? |
I ^ + Л/ + т1рЖв = 0. (4.27)
J Q
Р1
В последующих примерах и задачах часто совместно используется уравнение общего энергетического баланса и баланса механической энергии. Ни в одном случае не приходится вычислять hf с помощью детального исследования потока; такие задачи отложим до глав 7 и 15, где снова будет использовано уравнение баланса механической энергии.
39
b !
Пример 4. 6.
Вода по водоводу притекает к турбине из расположенного выше нее резервуара и отводится от турбины по такому же водоводу. В точке трубы, расположенной на 90 м выше турбины, абсолютное давление 2,11 на 3 л ниже турбины 1,27 ат. Расход воды 3270 т/ч и мощность на валу турбины 1000 л. с.
Вычислить потери на трение в водоводе, если известно, что к. п. д. турбины составляет 90%. Как сильно нагреется вода, пройдя через турбину и водовод, если теплообмена с окружающей средой нет?
Решение задачи начнем с использования уравнения (4.24). Так как
Дра воду можно считать несжимаемой, интеграл можно записать в виде —— . _ 0
Кроме того, подводящая и выходящая трубы одного диаметра, так^что изменением кинетической энергии можно пренебречь. (На последнее}утверждение не влияет тот факт, что работа самой турбины основана на принципе преобразования потенциальной энергии в кинетическую.)
Уравнение (4. 24) запишем в виде
(1) откуда
. —0,84 ’ 104 • 9,8 , । 1000 • 736 • 3600 __
93 • 9,8 + Ю00 Т«/ Т 327Q. Ю00 • 0,90 0
(736 дэю/сек = 1л. с.)\ окончательно имеем
-911- 82,5 + hf + 902=0, ht = 91,5 .
Увеличение температуры жидкости можно вычислить, из уравнения энергетического баланса:
?Дг + Д/ = -1Ув, (2)
откуда
Д/ = — 812+911 = 99 дж/кг\
, Др
СрД* + -^ = 99;
Ср Д, + (—82,5) = 99,
откуда увеличение температуры
Д« =
Для стационарного течения работа сил трения определяется в общем случае выражением
Д = Д{7-(?+ f pdv, (3)
которое для несжимаемой жидкости сводится к
h = Cp&t Q;
(4)
40
если течение, кроме того, адиабатично,
h = Ср Д£ — 187 дж/кг.
(5)
Эта величина определяет полную потерю механической энергии в турбине и водоводах.
Пример 4. 7.
Гелий, который в условиях задачи ведет себя как идеальный газ, подается равномерно с малой скоростью в сопло Лаваля (рис. 4. 2) при абсолютном давлении 15 ат и t = 93е С. В некоторой точке в конце расширяющейся части давление падает до 1 ат. Вычислить скорость и температуру в этой точке.
Сопло горизонтально, изменение температуры и скорости по сечению сопла малы; теплообмен с окружающей средой отсутствует. При этом уравнение энергетического баланса переходит в
Рис. 4. 2. Сопло Лаваля (к примеру 4. 7).
для идеального газа
Дг = СРМ, (2)
так что, если известно Д/, из уравнения (1) легко вычисляется изменение скорости. Поскольку сопло теплоизоли
ровано, а трение отсутствует, изменение параметров газа будет изэнтропическим (обратимым), как это следует из термодинамики. Поэтому температуру в потоке вычисляем по формуле для изэнтропического расширения идеального газа:
7'2/J’i = (p1/p2)(c^cpVcp;
(3)
для гелия Ср = 5, Cv = 3, и
Т2 = (366) (15) “ 2/6 = 124°К = —149°с.
Из уравнения (2)
Аг = (—149—93) = —302 ккал/кг,
так что
- = 302 • 4180* и иь = 1580 м/сек. А
Полученная скорость значительно больше скорости звука. Подобные сопла используются в двигателях ракет и реактивных самолетов.
Задачи
4. 1. Запас кинетической энергии движущегося тела равен работе, нуж" ной для разгона тела из состояния покоя до скорости и. Используя второй
* 4180 — коэффициент перевода килокалорий в джоули. {Прим, перев).
41
закон Ньютона и определение работы, как произведения силы на путь, по-казать, что на массу в 1 кг приходится работа .
4. 2. Изменение потенциальной энергии при течении представляется в виде g Az, что, как можно показать, равно работе, нужной для подъема массы в 1 кг на высоту Az ж. В большинстве технологических задач изменениями g справедливо пренебрегают и используют приближенное значение 9,8 м/сек2. Чтобы показать, что g не постоянно и что не во всех случаях изменение потенциальной энергии представляется выражением g Az, выведите выражение для изменения потенциальной энергии при подъеме тела постоянной массы М на расстояние Az над поверхностью Земли. Величина g изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли:
g = 9,8(re/r)2,
где ге — радиус Земли, равный 6370 км. Найти численное значение изменения потенциальной энергии для Az = 800 км и сравнить с ответом, полученным в предположении g = const = 9,8 м/сек2.
4. 3. На химическом заводе’вода, используемая в абсорбционной колонне, непрерывно закачивается из бассейна по хорошо изолированной 78-мм трубе к распылителю, установленному на верху колонны. Температура воды в бассейне 16° С, расстояние по вертикали от его поверхности до распылителя равно 30 м. Расход 760 л/мин, а подводимая к насосу мощность составляет 14,0 л. с. Распределение скоростей на выходе из трубы можно считать равномерным. Определить температуру воды на входе в распылитель, если давление здесь равно 0,21 ат.
4. 4. Пар расширяется через теплоизолированное сужающееся сопло. Он поступает в него со скоростью 6 м/сек при давлении на входе в сопло 28 ат и температуре 316° С. На выходе из сопла давление пара 15,2 ат и температура 238® С. Найти скорость пара на выходе. Распределение скоростей во всех сечениях можно считать равномерным.
4. 5. Газ входит в горизонтальную 78-жж трубу при давлении 1,15 ат, температуре 21° С с постоянным расходом 0,23 кг/сек. Молекулярный вес газа 29. На Трубу навита электронагревательная спираль мощностью 80 кет, покрытая снаружи толстым слоем изоляции. На выходе давление газа 1,05 ат. Найти его температуру в этой точке, предполагая, что газ идеальный с теплоемкостью Ср = 0,24 ккал/кг * °C.
4. 6. Нужно удалить воду из открытой цилиндрической емкости с внутренним диаметром 3 м. Первоначальный уровень воды 1,2 м. Определить время, за которое вся вода вытечет через 50-жж отверстие в дне емкости. Давление на выходе 1 ат, трения нет.
4. 7. Вязкое масло вытекаете постоянной скоростью (Re = 1000) из емкости в стальную трубу диаметром 50 мм с гладко закругленным входом. На входе в трубу скорость распределена практически равномерно по сечению и равна 0,9 м/сек. Температура жидкости 93® С. В некоторой точке ниже по потоку температура в центре трубы 49° С, а на ее стенке 27® С. Вычислить приток тепла извне в ккал/ч, считая, что во втором сечении распределение скоростей также равномерно, а температурный профиль определяется выражением
t — ts — (^max — 1$) [1 — (r/ri)2L
Сравнить результат с тем, который получается при том же распределении температуры и изотермическом ламинарном профиле скоростей, заданном в примере (3. 1). Плотность масла 864 кг/м2, удельная теплоемкость 0,45 ккал/кг • ®С.
4. 8. Производительность магистрального нефтепровода 800 ж3/сутки. Давление нефти на выходе насосной станции А 17,5 ат. Давление на входе 42
следующей станции 5.8,05 ат. Станция В расположена на 17 м выше, чем станция А. Найти потерянную энергию в расчете на 1 кг нефти и теоретическое значение полной потребляемой мощности (в л. с.). Плотность нефти 768 кг/мг.
9. а. Написать уравнения материального и энергетического баланса для системы с двумя входящими и одним выходящим потоками.
б. Упростить эти общие уравнения для случая, когда можно пренебречь изменениями температуры и скорости по сечению каждого потока.
в. В заключение написать уравнение для стационарного процесса.
г. Обобщить результаты пункта (а) на систему с т входящими и п выходящими потоками. Использовать символы суммирования для получения компактной записи.
4. 10. Вода перекачивается со дна большой емкости, где давление равно 3,5 ат, к насадку, расположенному на 15 м выше дна емкости, и изливается через него в атмосферу. Расход 45 кг!сек и скорость в насадке 21 м/сек. Если к насосу подводится мощность 10 л. с. и к. п. д. его равен 75%, вычислить (в дж/кг)*
а. Потери на трение в насосе; б. потери на трение в остальных частях системы.
4. И. Со дна большой емкости, где давление равно 7 ат, вода подается к турбине, полезная мощность которой 5,82 л. с. Подводящая труба расположена на 18 м ниже дна емкости. Давление в подводящей трубе 3,5 ат, скорость — 21 м/сек, а расход — 45 кг/сек. Найти к. п. д. турбины, если потери на трение в системе, не считая турбины, равны 120 дж/кг.
h !
5. БАЛАНС КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Уравнение баланса количества движения (импульса) основано на втором законе Ньютона
Fx = d-^1. (5.1)
При этом задача является по природе своей более сложной, чем рассмотренные ранее. Для описания массы и энергии достаточно указать их величину, а для силы и импульса нужно указать также и направление, так как эти величины — векторы. (Мы будем рассматривать только ^-компоненты этих векторов.)
Контрольный объем определим так же, как и при выводе уравнений материального и энергетического баланса. Действующая на этот объем сила определяется скоростью изменения количества движения жидкости, проходящей через контрольный объем в рассматриваемый момент. В свою очередь, эта величина складывается из суммарного потока количества движения через всю контрольную поверхность и скорости изменения полной величины количества движения в контрольном объеме (напомним, что контрольный объем неподвижен).
J*J* uxqu cos a dA + ~ QuxdV = Fx. (5.2)
А V
В этом уравнении и cos a dА — поток жидкости через площадку dA (в м3!сек), а величину qux можно рассматривать как плотность ^-компоненты импульса (количества движения) в (кг-м/сек)/м3. Сила Fx складывается из нескольких сил. Если давление растет в положительном направлении оси х, то оно создает результирующую Fxp, направленную противоположно оси х. На поверхности контрольного объема, проходящей внутри жидкости или по ее границе, действуют касательные напряжения, обусловленные
44
вязкостью. Результирующую этих сил, направленную противоположно оси я, будем называть силой сопротивления FXd.
Наконец, в контрольном объеме могут заключаться твёрдые тела (например, стенки трубы), и на них могут действовать силы со стороны внешних по отношению к контрольному объему тел. Результирующую этих сил обозначим через Rx, принимая за ее положительное направление направление оси х. Например, если контрольная поверхность рассекает растягиваемую трубу, величина Rx имеет вполне определенное значение и ее можно вычислить. Перепишем теперь уравнение (5. 2), вводя эти силы, и заменим объемный интеграл производной по времени от полного количества движения (обозначенного через Рх) массы, заключенной в контрольном объеме.
jy quxu cos a dA + ~ = Rx~FXp~Fxd. (5.3) А
Если уравнение (5. 3) применяется к отрезку трубы, ось которой направлена по оси х, как показано на рис. 3. 2, и и их совпадают, qA равно —, cos а = ±1,0, так что
д = Fxd (5.4)
Здесь
(4)ср = ^Ди2хйЛ. (5.5)
А
В стационарном случае уравнение (5. 4) сводится к
WА = Rx - Fxp - Fxd. (5. 6)
Уравнениями (5. 4) или (5. 6) совместно с уравнениями материального баланса и уравнением состояния жидкости можно воспользоваться, чтобы найти соотношение между параметрами потока жидкости и связанными с ними силами. Если на площадках Ах и Л3 скорости не меняются, уравнение (5. 4) переходит в
+ = (5-7)
которое применимо и к трубе с криволинейной осью. Для полного исследования движения в трубе с криволинейной осью нужно использовать аналогичное уравнение баланса ^-компоненты импульса:
Д (Wuy) +™±=RV- Fyp—Fyd. (5. 8)
45
Задача о трубе с изогнутой осью рассмотрена в примере (5. 3). В более общем случае, конечно, нужно рассматривать также и уравнение баланса z-компоненты количества движения.
Если труба не горизонтальна, в правую часть уравнений баланса количества движения нужно включить соответствующие составляющие силы тяжести. При исследовании и проектировании машин вращательного действия, таких, как турбины и ротационные насосы, удобнее записывать уравнение баланса количества движения через вращающий момент и момент количества движения. Мы не будем рассматривать таких задач, они рассмотрены в других книгах, например, у Хунзейкера и Райтмайра [69]. Наряду с непосредственными приложениями уравнения баланса количества движения, иллюстрируемыми в приводимых примерах и задачах, оно окажется полезным в дальнейшем при рассмотрении уравнений пограничного слоя и уравнений движения.
Пример 5. 1
Вода с расходом 568 л!мин проходит через горизонтальный сходящийся насадок (рис. 5. 1). Внутренний диаметр на входе 7,62 см и на выходе 2,54 см. Вычислить результирующую силу, действующую на насадок при истечении в атмосферу. Пренебречь силами трения и считать, что насадок закреплен у входного сечения. Сначала мы должны вычислить давление в входной части насадка или точнее перепад давления Др. Сделаем это при помощи уравнения (4. 21), в котором пренебрежем трением,
(1)
, -Ар _ 0
2 “* е
По условию скорость в поперечном сечении насадка не меняется. По заданному расходу
.гт 568-1 Л п , W ~ —«о— = кг/сек
вычислим скорости:
W qAi
иъ 1 =
9,47 • 4 • 104 1000 • 3,14 • 7,622
== 2,07 м/сек.
иь 2 = 2,07 • (3/1)2 = 18,6 м/сек.
46
Из уравнения (1)
Др = — (18’6)а—(2’07)2 .1000=—1,71 • 10е к/ж« = 1,75 кГ/сзЛ
Для определения Rx используем уравнение баланса импульса (5. 6):
W Aux + FXp = Rx. (2)
Для решения задачи нужно, чтобы в уравнение баланса импульса вошла сила Rx, так что контрольный объем должен заключать в себе стенки насадка. В сечении действует сила Pv4n направленная на рис. 5. 1 вправо, а в сечении А2 — направленная влево сила р2А2. Кроме того, атмосферное давление на внешнюю часть насадка создает результирующую силу — направленную влево. Поэтому равнодействующая сил давления равна
Fxp — РаА2 + ра (Л1 — Л2) — PiAj — А± (ра — Pi).
Подставим теперь в уравнение (2) числовые значения:
9,47 (18,6-2,07) -j- (-1,75) • 9,8 = Rx,
157—777=—620 н = —63,4 кГ.
Поскольку результирующая сила RXi приложенная к насадку, отрицательна, она направлена противоположно оси х и течению. Так как насадок укреплен во входной части, стенки его растянуты.
Пример 5. 2
В случае внезапного расширения потока при выходе жидкости из одной трубы в другую, имеющую больший диаметр (рис. 5. 2), механическая энергия расходуется на образование вихрей. При постепенном изменении поперечного сечения, как у насадка
в примере 5. 1, потери энергии весьма малы. G помощью уравнения баланса импульса получим выражение для энергии А, теряемой при внезапном расширении потока несжимаемой жидкости.
Рассмотрим простой пример, когда скорости в обеих трубах постоянны по сечению. Уравнение (5. 6) переходит в
WAu6 = — Fxp. (1)
Рис. 5. 2. Расширение потока.
Контрольный объем, ограниченный плоскостями 1 и 2, выбран так, что в него не вошли стенки трубы, и Rx пропадает. Поток проходит только по площадке Ло. Кроме того, по предположению все потери вызываются только вихреобразованием, и Fx& = 0. Подставим вместо Fxp А2 (p2~Pi)- Имеем:
W&ub = -A2(p2-P1). (2)
При этом предполагается, что рх и р2 постоянны по сечению трубы, так что Ро= Pi- С помощью соотношений W = и^0 qA0 и иъ2 = МЬо(‘ЗГ") эт0 Уравнение приводится к виду
(3)
47
Уравнение баланса механической энергии в применении к этой задаче дает
“ь 0 Fl ( V г. 1 Др “N=v
Из двух последних уравнений получим требуемый результат
Ло \2
Л2 /
(5)
Во многих случаях потери на расширение составляют только малую часть общих потерь и точность, даваемая формулой (5), достаточна. Если же потери на внезапное расширение составляют большую часть общих потерь, нужны более точные выражения, которые можно получить, используя действительные распределения скоростей на выходе из меньшей трубы.
Пример 5. 3.
Вода течет по горизонтально расположенному колену с плавным поворотом потока на 90°, как показано на рис. 5. 3. Внутренний диаметр трубы 5,1 еле, скорость 24 м]сек, №ълеви.& на 1 Г 2 входе 1,4 ат. Пренебрегая трением,
Рис. 5. 3. Течение в изогнутой трубе.
вычислить величину и направление силы, нужной, чтобы удерживать колено. (Контрольный объем должен включать в себя стенки трубы.) При решении этой задачи запишем уравнение баланса количества движения сначала для направления оси х, а затем для направления оси у.
Для первого, считая скорость равномерно распределенной по сечению, имеем:
W(UX2 — uxi) = Rx—?хР> (1)
Поскольку в точке 2 ^-составляющая скорости отсутствует, uXi = 0. Составляющая сил давления по оси х скла-
дывается из силы давления рг на площадке А± и атмосферного давления, действующего на всю остальную поверхность трубы, кроме сечения Л2. Атмосферное давление действует одинаково по всем направлениям. Поэтому суммарная сила
Fxp — (pi ра)\ Rx — — Ai (Pi — ра) — WиХ1 —
344» 5,12 4). 9 8 24 • 1000 • Jt (5,1)2»10~4 - 24 .
4 4
=—280—1190=—1470 150 кГ.
Аналогичным образом получим
Ry == -42 (Pz-Pa) + Wuy2 = 280+1190=1470 н = 150 кГ.
Результирующая сила направлена, как показано на рис. 5. 3, под углом Р = 45а, а величина ее 150/cos 459 = 212 кГ.
48
Задачи
5. 1. Вода течет по горизонтальному диффузору, состоящему из отрезка трубы, внутренний диаметр которой плавно возрастает с 5 до 10 см. Размеры диффузора таковы, что потерями на трение можно пренебречь. Вычислить результирующую силу, действующую на диффузор, если расход 3800 л!мин и избыточное давление на выходе 4,2 ат.
5. 2. Расход воды, протекающей по горизонтальному колену с углом 459, согнутому из 50-л£;и трубы, равен 7№л!мин. Вычислить, пренебрегая трением, результирующую силу, приложенную к колену, если избыточное давление на выходе 3,5 ат.
5. 3. Несжимаемая жидкость течет вдоль плоской пластинки единичной ширины. Вдали от пластинки поток однороден и имеет скорость uQ в направлении, параллельном пластинке. Проскальзывания жидкости на пластинке не происходит, и под действием ближайших к пластинке слоев движение вязкой жидкости по мере приближения к пластинке замедляется. На пе-
Рис. 5. 4. Пограничный слой на плоской пластинке.
1 — пластинка; 2 — линия тока.
редней кромке пластинки образуется пограничный слой (так называется область потока, где скорость меняется от нуля на пластинке до значения скорости набегающего однородного потока а0). Пограничный слой начинается у передней кромки пластинки и постепенно становится толще вниз по потоку. Если на некотором расстоянии от кромки пластинки толщина слоя б, то приближенное выражение для параллельной пластинки составляющей скорости есть
их = 3_ / у_\ fj/A3 п <- У. uQ 2 \ б / 2 \ б / ’
их ।.
Uq ’
С помощью уравнения баланса импульса выразить силу сопротивления в расчете на одну сторону пластинки в функции от u0, q и 6, считая давление постоянным всюду.
Контрольную поверхность выбрать так, чтобы поток через нее шел только в направлении оси х. Условия задачи поясняются на рис. 5. 4. Показанная здесь линия тока — это линия, через которую жидкость не перетекает; линия б (х) не является линией тока.
5. 4. Показанный на рис. 5. 5 эжектор предназначен для выкачивания воздуха в атмосферу из области, где давление на 50 мм вод. ст. ниже атмосферного. Корпус эжектора — стальная труба диаметром 80 мм, поперечное сечение которой значительно больше сечения сопла. Давление нагнетаемого воздуха таково, что по выходе из сопла создается скорость воздуха 330 м/сек, близкая к скорости звука. Плотность воздуха меняется очень мало
4 Заказ 519. 49
и может быть принята постоянной, равной 1,2 кг/<м3. Записывая уравнение баланса импульса для объема между сечениями 1 и 2, найти соотношение между расходами нагнетаемого и увлекаемого воздуха (W^ и We). В сечении 2 потоки хорошо перемешаны, и скорость постоянна по сечению так же, как и непосредственно перед сечением 1. Силой сопротивления Fxd можно пренебречь. Вычислить также максимальное значение расхода увлекаемого воздуха и соответствующий ему размер сопла.
5. 5. Поток несжимаемой жидкости с полностью развитым ламинарным профилем скорости внезапно расширяется при переходе в трубу большего диаметра, где скорость распределена равномерно по сечению. Вывести, как
Рис. 5. 5. Работа воздушного эжектора.
а — нагнетаемый воздух; б — увлекаемый воздух; = = 50 мм вод. ст. (вакуум).
было сделано в примере 5.2, соотношение для h. При рассмотрении §той задачи иногда используют уравнение [80] *:
Амь I ДР I ь иЬ1 __п 2 + е 2 -°-
(1)
Показать, что
Это выражение для &е учитывает не только потерянную энергию, но и'то,
иъ
что при ламинарном движении выражение -к- для кинетической энергии не
точно.
* В этой статье вычисляются потери давления в коротком теплообменнике, где потери на расширение могут составить значительную долю полных потерь.
6. ИЗМЕРЕНИЯ В ПОТОКЕ
~т--—; , и ~ t i u t -
W/W/zj й!^
В предыдущих главах выведены три интегральных уравнения сохранения, которые позволят нам решить ряд задач. В этой главе мы, прежде чем рассматривать дальнейшие разделы теории, применим общие уравнения сохранения к анализу распространенных типов измерителей расхода и скорости течения. При помощи уравнений сохранения, дополненных некоторыми опытными данными, можно решить большую часть задач, связанных с измерениями. Основное представление о работе измерительных приборов можно получить, пользуясь теорией идеальной жидкости, которую определим здесь как жидкость, лишенную вязкости.
ТРУБКА ПИТО
Общий вид простой трубки Пито показан на рис. 6. 1. Отверстие одной из двух составляющих ее трубок перпендикулярно направлению потока, а другой — параллельно ему.
Скорость потока вычисляется по разности между давлением в трубке с отверстием, параллельным потоку, которая измеряет статическое давление, и давлением в трубке полного напора, которое называется динамическим. На рис. 6. 1 разность этих двух давлений измеряется разностью уровней жидкости в трубках манометра. Для точек 1 и 2 в потоке несжимаемой жидкости можно записать уравнение Бернулли. Так как в точке 2 скорость равна нулю,
W1 __ Р2 — Р1
2 Q
(6.1)
Расчетная формула для трубки Пито записывается обычно в виде
w = (6.2)
4*
51
Множитель С введен, чтобы учесть отклонения от формулы (6. 1). Значение С в большинстве случаев близко к единице, но для точного измерения скорости его следует определять путем калибровки прибора.
Решая простую гидростатическую задачуt легко связать значение Др с показанием манометра. Проще всего воспользоваться уравнением (4. 21), положив в нем скорость равной нулю:
&p = —Qgkz. (6.3)
Из рассмотрения рис. 6.1 следует, что
&Р = Р2~Р1 = (Р2~Рз) +(Рз — Pi) + (Pt — Рб) + (Рь — Рв) + (Рв~Р1)-
(6.4)
Рис. 6. 1. Схема простой трубки Пито.
Из уравнения (6. 3) сразу видно, что в неподвижной жидкости давление в двух точках, расположенных на одном уровне, одинаково. Поэтому р4 — р6 = 0 и р2 — р3 == — (Ре — Pi)- (Жидкость между точками 1 и 6 «неподвижна» в том смысле, что нет движения в вертикальном направлении.) Уравнение (6. 4) сводится в результате к
АР = (Рз—Pt) + (Рз—Ре). (6. 5)
Используя Уравнение (6. 3) и то, что z3 — z4 = — (z6 — ze), полу-чим
Ap = ^(Qm —e)(z3 —Z4), (6.6)
где Qm — плотность манометрической жидкости. Обозначим z3 — z4 через ДЛ. Из уравнений (6. 6) и (6. 2) имеем
и = С Afe ' (6 7|
Существует много различных форм манометров (Перри, стр. 364— 367), но все они могут быть рассмотрены использованным выше способом.
52.
Направление
течения
Рис. .6. 2. Схема трубки Пито — Прандтля.
1 — отверстие отбора статического давления; 2 — статическое давление; 3 — динамическое давление. 2-----------
Помимо рассмотренной простой трубки Пито существует многа ее видоизменений. На рис. 6. 2 показана компактная конструкция, в которой использованы две соосные трубки, причем отверстия для измерения статического давления просверлены в наружной трубке Ч Прибор можно установить так, чтобы производить измерения в различных точках по сечению потока.
Трубка Пито измеряет местную скорость (скорость в точке)* Результаты измерений в последовательных точках сечения потока используются для построения профиля скорости. По профилю скорости в трубке графическим или численным интегрированием по формуле (3. 5} определяется средняя скорость. Такой способ применим для несжимаемых жидкостей и приближенно — для газов при умеренных скоростях движения, когда изменение давления не превышает 15% от его полной величины.
РАСХОДОМЕР ВЕНТУРИ
Расходомер Вентури показан на рис. 6. 3. Плавное сужение и расширение служит для уменьшения потерь на вихреобразова-ние. Измерения показывают, что, если труба горизонтальна, при
Рис. 6. 3. Расходомер Вентури (не в масштабе).
Rex > 10 000, потери на трение между точками 1 и 3 составляют
около 10% величины Имеем:
——— . Обозначим ——— через — .
Q Q Q
0,1^- + Л13 = 0. (6.8)
У
1 Такую конструкцию обычно называют трубкой Пито — Прандтля^ (Прим, перев.)
53
Если предположить, что потери между точками 1 и 2 составляют примерно половину Л13, то уравнение баланса механической энергии запишется в виде
v+^-0’05^ = 0- (6-9)
Решая относительно мЬ2, имеем:
ub2 = 0,975j/-^=^-, (6.10)
где р — отношение внутренних диаметров
Di ’
Величина называется коэффициентом входной ско-
рости. При обычных значениях р он близок к единице. При р — 0,50,
например, = 1,03. Коэффициент 0,975 в (6. 10) воз-
никает за счет потерь и определяет их влияние количественно. Для повышения точности этот коэффициент определяют, непосредственно измеряя расход независимым способом, например, взвешивая жидкость, прошедшую за данное время. Формула (6. 10) записывается при этом в виде
7J -Г 1/ 2
62 ° у е(1-04) •
(6. И)
При Rex> 104 коэффициент Съ — 0,98, при меньших числах Рейнольдса он быстро уменьшается, как показано у Перри, фиг. 53, стр. 407. Частично это объясняется неравномерным распределением скоростей по сечению трубы при ламинарном движении. Некоторые новые данные для С» приводятся Йориссеном [77].
ДИАФРАГМЕННЫЙ РАСХОДОМЕР
Диафрагменный расходомер, представленный на рис. 6. 4, работает по тому же принципу, что и расходомер Вентури, но с некоторыми важными отличиями. Диафрагму легко заменить, чтобы приспособиться к меняющимся в широких пределах расходам, тогда как диаметр горловины трубы Вентури фиксирован, так что пределы измеряемых расходов предопределяются практически допустимыми значениями Др. Диафрагменный расходомер вызывает значительные постоянные потери давления, так как за диафрагмой возникают завихрения. Форма трубы Вентури предотвращает образование таких вихрей и значительно снижает постоянные потери.
54
Рис. 6. 4. Диафрагменный расходомер.
Положение к диаметру
расстоянии
Отверстия для отбора давления, подводимого к манометруг принято располагать следующим образом.
1. Диафрагменный отбор. В диафрагме сверлят радиальные отверстия, которые выводят на противоположных сторонах диафрагмы вблизи стенки трубы.
2. Угловой отбор. Отверстия сверлят в фланце и выводят из стенок трубы в углах, прилегающих к диафрагме. Отверстия эти перпендикулярны к отверстиям для случая диафрагменного отбора. |
3. Фланцевый отбор. Центры отверстий расположены на расстояниях 25,4 мм от диафрагмы впереди и позади нее.
4. Радиусный отбор. Отбор давления производится на расстояниях одного диаметра трубы перед диафрагмой и V з диаметра трубы за ней.
5. Отбор по методу суженной струи. Отбор производится обычно на расстоянии одного диаметра трубы перед диа
фрагмой, а за ней — в точке минимума давления, этой точки зависит от отношения диаметра отверстия трубы, как показано у Перри, фиг. 51.
6. Трубный отбор. Отбор производится на _ 21/2 диаметров трубы перед диафрагмой, а за ней — на расстоянии 8 диаметров трубы, в точке максимума давления за диафрагмой или вблизи этой точки.
При отборе давления методом суженной струи измерение давления Р} производится на достаточном удалении от диафрагмы, там, где вызванное ее присутствием возмущение потока мало. Давление р2 измеряется в сжатом сечении, в котором достигается минимальное статическое давление и минимальное сечение струи после того, как она выходит из отверстия диафрагмы.
Струя входит в более медленный поток за диафрагмой и, расширяясь за сжатым сечением, заполняет все сечение трубы, увлекая часть окружающей жидкости. Большая часть общих потерь на диафрагме вызывается вязким взаимодействием и сопровождающим его образованием завихрений. Поток до сжатого сечения очень похож на поток в трубе Вентури. Поэтому можно исполь-
55
зовать уравнение (6. 11) для описания потока выше этого сечения.
Преобразуя уравнение (6. И) к виду уравнения баланса механической энергии, имеем:
„2 — 7/2
/-»2 Р2~~ Р1 г 2 Ubl __ П
Q + 2
(6.12)
Как мы видели, коэффициент Cv имеет значение около 0,98 и может быть связан с потерей энергии выражением
Рис. 6. 5. Коэффициент расхода диафрагмы в формуле (6. 15) [124].
а--^2-=0,80; б --^-=0,60; в-191 191
-£-=0,20.
Если обозначить через 0, то
^ = (^-1)^1. (6.13)
Соотношение (6. 12) содержит скорость иЬ2, но ее трудно вычислить из-за того, что площадь сжатого сечения струи заранее не известна. Поэтому за вторую скорость удобнее принимать скорость потока в самом отверстии диафрагмы.
Для компенсации вносимой при этом ошибки введем коэффициент расхода Со, определяемый из уравнения
Г»2 Рг—Pi । с"—$—+
,,2 — >/2
+ —^-bl =0. (6.14)
уравнение (6. 14) примет вид
_ с 1/г2(р1—р2)
«ьо-со у е(1-р*)
(6.15)
Коэффициент входной скорости иногда включают в коэффициент расхода.
Распределение скоростей по сечению потока не обязательно является равномерным, особенно при ламинарном движении. Это обстоятельство также учитывается коэффициентом расхода.
Полученные эмпирически значения Со для диафрагмы с острыми кромками и с угловым отбором приведены на рис. 6. 5 в функции от р и числа Рейнольдса потока в отверстии диафрагмы. Значение Со зависит от расположения точек отбора давления. Данные для фланцевого отбора, отбора по методу «суженной струи» и трубного 56
отбора, представленные в виде таблиц, имеются в [46]. Интересно показать, что коэффициент расхода можно не без успеха оценить теоретически.
Введем коэффициент сжатия струи соотношением
Сс=^-. (6.16)
Свяжем с помощью этого коэффициента скорости «б2=> (6.17)
ос и
—Р2мьо- (6.18)
Подставляя эти выражения в уравнение (6.12), получим
р2~А _____1— ( 1_О Л Ub 0 /С Л п\
Q С*\С* Р) 2 • <6-19*
Аналогичное уравнение получим, подставляя в (6. 14) значение и61 из уравнения (6.18):
. „2
-^-£k = --L(l-^)_L!L. (6.20>
иЬ о
Приравнивая коэффициенты при в уравнениях (6. 19) и (6. 20), получим после преобразования
(6-2°
Форма струи, т. е. значение Сс, может быть рассчитана на основании теории движения идеальной жидкости. Строго говоря, полученные результаты будут справедливы только для двумерной струи с плоским профилем скорости, втекающей в жидкость со значительно более низкой плотностью. Однако эти результаты являются хорошей оценкой значения Сс для диафрагмы с острыми кромками. Данные, приведенные в табл. 6. 1, были получены Мизесом и воспроизводятся в обычных учебниках гидродинамики. Установлено, что если значение Сс из табл. 6.1 подставить в уравнение (6. 21) при = 0,98 и при соответствующих значениях р , то CQ будет мало отличаться от полученного опытным путем значения 0,61, приведенного на рис. 6.5, для Re0 >50 000. Уравнение (6. 21) не применимо для более низких значений Re,, так как для них коэффициент Со должен включать поправку на распределение скорости потока перед диафрагмой.
57
Таблица 6. 1
₽ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,611 0,612 0,616 0,622 0,631 0,644 0,662 0,683 0,722 0,781 1,0
Использование диафрагменного расходомера часто лимитируется величиной допустимого перепада давления между 1-м и 3-м сечениями. Из уравнения баланса механической энергии получаем
Рис. 6. 6. Изменение полного перепада давления на диафрагме.
^=^- + Л12 + ^з=0. (6-22)
Величина Л12 определена выражением (6. 13), Л23 представляет собой потери на расширение между 2-м и 3-м сечениями и может быть определена по формуле (5) из примера 5. 2:
\ 7/2
= (6-23)
\ -^3 / &
Используя уравнение (6. 16) и определение р, преобразуем уравнение (6. 23) в
(1-“ьо .
123=------Г
(6.24)
Уравнения (6.13), (6.20), (6.22) и (6.24) дают
(6. 25)
Разделив уравнение (6.25) на (6.20), получим в результате
Л Д Р1 — Р8 — 4 2СС₽2Сг> /п
(6-26)
Величина R^представляет собой ту часть максимального перепада давления, существующего между 1-м и 2-м сечениями, которая восстанавливается после суженного сечения; 1—2? — долю потерь. При G = 0,98 и значениях CG из табл. 6. 1, уравнение (6. 26) представляется графиком рис. 6. 6.
На коэффициент расхода диафрагмы значительное влияние оказывают возмущения потока, возникающие в задвижках, пово
58
ротах и в другой арматуре, расположенной перед диафрагмой. Меньшее влияние на этот коэффициент оказывают возмущения, возникающие за диафрагмой. Существует общее правило, что диафрагма расходомера должна быть расположена на 50 диаметров трубы после и 10 диаметров до всех возмущений. Необходимое расстояние, очевидно, должно зависеть от природы возмущений и во многих случаях может быть значительно меньше, чем предписывает приведенное выше правило Ч
Перри (стр. 407) приводит таблицы рекомендуемых мест расположения диафрагмы для многих частных случаев. Расстояние после возмущения часто может быть снижено благодаря установке в трубе спрямляющих лопаток. Рекомендации по использованию таких лопаток также даны у Перри.
Нашей целью при описании диафрагменного расходомера было показать некоторые возможности применения уравнений сохранения и кратко рассмотреть основные вопросы прохождения потока через диафрагму. Распространение полученных формул на сжимаемые газы разбирается в справочнике Перри (стр. 402—404). Намного подробнее диафрагмы рассматриваются Стирнсом и др. [159]. В их работе не только приведены обширные таблицы коэффициентов расхода, но и дано много полезных сведений относительно установки диафрагм и расположения их с учетом возмущений потока.
РОТАМЕТР
Ротаметр изображен на рис. 6. 7. В уже рассмотренных измерительных приборах площадь суженного сечения остается постоянной, а перепад давления изменяется в зависимости от расхода; в ротаметре перепад давления остается почти постоянным, а площадь сужения изменяется. Жидкость течет вертикально вверх по конической трубке ротаметра, и поплавок уравновешивается в таком положении, что увеличение скорости в кольцевом зазоре создает необходимый перепад давления. Увеличение скорости движения заставляет поплавок подняться до точки, где площадь кольцевого зазора больше.
Применим к ротаметру уравнение (6. 15), вводя коэффициенте,.
«ы = сг У . (6.27)
Множитель включен в Сг; иЪг — скорость потока
в кольцевом сужении. Перепад давления (рх — р2) найдем, составляя уравнение равновесия сил для неподвижного поплавка. Сила веса, направленная вниз, уравновешивается направленной
1 Равно, как и больше (Прим, ред.)
59
вверх выталкивающей силой в сумме с силой, которая создается разностью давлений на поплавке, возникающей из-за увеличения
Поступление жидкости
Рис. 6. 7. Работа ротаметра.
скорости в кольцевом сужении.
Таким образом, запишем
= + —Рг) (6.28)
и
(С'~С,)еГ' (6.29)
где Vf — объем поплавка; Af — максимальная площадь поперечного сечения поплавка.
Подстановка выражения (6. 29) в формулу (6. 27) дает
= (6’30)
Коэффициент расхода Сг в зависимости от числа Рейнольдса потока в кольцевом зазоре и типа поплавка приведен на рис. 6. 8. Число Рейнольдса определяется как
Re = , (6.31)
где D — диаметр трубки на уровне поплавка; Df — максимальный диаметр поплавка.
При Re выше 10 000 коэффициент расхода СТ для поплавков, показанных на рис. 6. 8, постоянен. Из уравнения (6. 30)
Число Рейнольдса для отверстия (D'D/)ubrfi ju
Рис. 6. 8. Коэффициент расхода ротаметра [19]. а, б, в — формы поплавка.
60
видно, что, когда для данной жидкости и для данного ротаметра постоянен коэффициент Сг, скорость иъг также постоянна.
Массовый расход или скорость на входе могут быть легко найдены из уравнения баланса массы
TV = u^rQ^-r== (6.32)
Поток вокруг поплавка а, показанного на рис. 6. 8, похож на поток через трубку Вентури, в которой происходит плавное изменение площади поперечного сечения потока. Вследствие этого при высоких числах Рейнольдса значение Ст приближается к значению Cv. Поток вокруг поплавка с похож на поток в диафрагме, в результате чего при высоких числах Рейнольдса значения Сг приближаются к значениям Со.
Площадь кольцевого зазора зависит от положения поплавка. Хотя поток через ротаметр может быть рассчитан по геометрической форме поплавка и трубки при помощи приведенных выше уравнений, обычно при поставке к прибору прилагают надежную градуировочную таблицу. Приведенные выше уравнения, в частности (6. 30), позволяют градуировку, предназначенную для одной жидкости, приспособить к другой.
ДРУГИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ
На рис. 6. 9 в качестве примера показано сопло. В нем общая потеря давления больше, чем в трубе Вентури, но меньше, чем в диафрагме. Сопло может быть установлено в трубе так же, как диафрагма. —— -------------------------------
Наряду с описан- Ч.
ными выше измеритель-
ными приборами, осно- _________________ __________________
ванными на измерении I ПI
перепада давления, су- Рис* 6. 9. Течение через сопло.
ществует много дру-
гих типов измерительных приборов. К ним относятся водосливы для потока в открытом канале и различные типы механических измерительных приборов. Действие последних основано или на объемном принципе, как у газового счетчика с водяным уплотнением, или на принципе механического измерения скорости (например, анемометры). Существует много других, более специализированных приборов. Схемы их и описание их действия можно найти, например, у Перри (стр. 410—412) и у Линфорда [105]. Данные относительно коэффициентов, установки и работы с этими приборами приведены в изданиях Американского общества инженеров-механиков [3] и Международной ассоциации стандартов [139].
61
Задачи
6. 1. Манометр с закрытой U-образной трубкой, наполненной ртутью, присоединен, как это показано на рис. 6. 10, к нижней стороне трубы, в которой течет вода. Непосредственно над точкой отбора этого манометра помещен заборник расположенной выше по потоку перевернутой U-образной трубки, заполненной жидкостью с относительной плотностью 0,5. Каковы абсолютные давления рг и р2 в ат^
6. 2. С помощью трубки Пито в трубе диаметром 78 мм, в которой течет вода с температурой 14Q С, получены следующие данные:
Расстояние от стенки, мм Показание манометра в мм столба четыреххлористого углерода при 14° С Расстояние от стенки, мм Показание манометра в мм столба четыреххлористого углерода при 14° G
7,1 56 45,0 72,5
13,4 61 51,5 69
19,8 66 58,0 61
26,0 71 64,0 51
32,5 76 71 42
39,0 ( 79
Одновременно с этим был проведен ряд замеров с отводом всего потока в мерный резервуар.
Было установлено, что расход
составил
640 кг воды за 194,4 сек. Найти поправочный коэффициент для трубки Пито.
6. 3. Вода при температуре 16° С протекает через трубу диаметром 90 мм. В трубе установлена диафрагма с круглым отверстием с острыми кромками диаметром 25 мм, угловые заборники которой соединены с манометром, содержащим метил бензоат (относительная плотность 1,10). Разница уровней жидкости в манометре составляет 132 лми Найти расход воды.
6. 4. В процессе лабораторного эксперимента 0,13 м* воздуха при давлении перед диафрагмой 749,5 мм рт. ст. и температуре 15Q С проходят через отверстие диафрагмы за 131 сек. Диаметр отверстия диафрагмы равен 6,4 мм и мал по сравнению с диаметром трубы. Перепад давления на диафрагме составляет 142 мм
Рис. 6. 10. Диафрагменный расходомер к задаче 6. 1.
I — вода; 2 — ртуть (плотность 13,6); 3 —- жидкость с плотностью 0,5; 4 — вакуум.
вод. ст. Вычислить коэффициент расхода диафрагмы.
6. 5. Вода с температурой 16° С протекает через трубу диаметром 78 мм с очень малым расходом 0,09 кг!сек. Расход жидкости измеряется при помощи диафрагмы с острыми кромками и диаметром отверстия 5,8 мм. В дальней-
62
шем оказалось необходимым измерять в той же системе такой же расход 0,09 кг!сек ацетона при температуре 4,4° С. Как будет относиться перепад давления на диафрагме при движении ацетона к перепаду при движении воды?
6. 6. Воздух с температурой 16° С проходит в осушительное устройство по круглому трубопроводу диаметром 300 мм с расходом 8,5 м3/мин. Расход потока измеряют с помощью диафрагмы, к которой присоединен водяной манометр. Поскольку избыточное давление в трубопроводе всего 0,141 ат, а воздух должен входить в осушительное устройство под избыточным давлением по крайней мере 0,127 ат, важно, чтобы необратимые потери давления на диафрагме не превышали 0,014 ат. Найти максимальное показание манометра (в мм вод. ст.), которое может быть получено при этих условиях.
6. 7. Воду при температуре 20° С перекачивают при помощи насоса через трубу диаметром 50 мм. Расход должен измеряться с помощью диафрагменного расходомера или расходомера Вентури. Вода поступает в насос при атмосферном давлении, а выходит из измерительного устройства при избыточном давлении 5 ат на той же самой высоте, что и входит в насос. При расходе 380 л/мин разница уровней ртути в присоединенном манометре составляет 250 мм. Насколько снизится дневной расход электрической энергии, необходимой для приведения в действие насоса, если вместо диафрагмы применить трубу Вентури? (система электродвигатель — насос имеет к. п. д. 70%).
6. 8. В ротаметре имеется смотровое стекло с 25 делениями. Поплавок сделан из неизвестного материала, и его общий объем также неизвестен. Через измерительное устройство пропускают воздух с расходом 85 • 10“3 м3 за 122 сек.
Были получены следующие данные:
температура воздуха 33Q С;
статическое давление 52 мм вод. ст.;
барометрическое давление 750 мм рт. ст.;
показание ротаметра 13,0;
вес поплавка в воздухе 4,62 г при 15,65 С;
вес поплавка в воде 2,96 г при 15,6Q С;
диаметр поплавка 12,7 мм;
диаметр трубки вверху 16,2 мм;
диаметр трубки внизу 13 йм.
Вычислить коэффициент расхода ротаметра.
7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОДИНАМИКИ (I)
ВЯЗКОСТЬ НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
Сейчас, при изучении вязкости, мы будем различать жидкости и твердые тела по их поведению под действием приложенных напряжений. В то время как упругое твердое тело деформируется на величину, пропорциональную приложенной нагрузке, жидкость при тех же условиях непрерывно деформируется, т. е. течет со скоростью, которая возрастает с увеличением нагрузки. Количественное определение вязкости уточняет эти представления. На рис. 7. 1
Жидкость
Рис. 7. 1. Сдвиговое течение между двумя параллельными пластинками.
показано ламинарное движение жидкости между двумя бесконечными пластинками. Если верхняя пластинка движется относительно нижней с постоянной скоростью, то в жидкости между пластинками постепенно достигается стационарное распределение скорости. Для ньютоновских жидкостей касательное напряжение т (сила в расчете на единицу площади, которую нужно приложить к пластинке, чтобы поддерживать постоянную скорость) пропорционально Ди и обратно пропорционально А г/
* = (7-1)
64
Здесь р, по определению называется вязкостью. На самом деле р, определяемое соотношением (7. 1), есть среднее по длине Дг/ значение вязкости. В общем случае зависимость и от у не является линейной. Поэтому уточним соотношение (7.1). Устремляя Дг/ к нулю и используя определение производной, получим
Т = Н-^. (7.2)
Наряду со многими другими соотношениями физики это выражение, определяющее р, является дифференциальным уравнением. Из уравнения (7. 2) для вязкости получаются единицы дин*сек!см2 и кГ*сек!м2. Единица системы СГС, выражаемая иначе в виде г!см*сек, носит название «пуаз» (пз), а в таблицах обычно вязкость указывается в сантипуазах (спз), равных 1/100 пз. В системе единиц МКГСС, обычно используемой в технике, вязкость измеряется в кГ*сек!м\ а в Международной системе единиц — кг!м* сек. Чтобы вязкость, измеренную в сантипуазах, выразить в кг!м*сек, ее значение нужно умножить на 10’3, а в кГ*сек/м2 — на 1,02-10“4. Если разделить вязкость жидкости на ее плотность, получится важная величина — кинематическая вязкость
v = , (7.3)
которая в системе СГС измеряется в стоксах (ст)\ используются также и сантистоксы (сст).
Отклонения от прямолинейного движения затухают в жидкости за счет вязкости, а инерция отклонившегося элемента пропорциональна его плотности. Поэтому в жидкостях меньшей вязкости и большей плотности легче развивается турбулентность. При движении двух жидкостей в одинаковых трубах и с одинаковой скоростью турбулентность легче возникает в той из жидкостей, которая имеет меньшую кинематическую вязкость. Число Рейнольдса выражается через кинематическую вязкость в виде . Оно является, следовательно, мерой отношения инерционных эффектов к вязким и вероятности возникновения турбулентности. Интересно отметить, что при комнатной температуре кинематическая вязкость равна 1,0 сст (10~Q мЧсек) для воды и 15 сст (1,5-10“5 мЧсек) для воздуха при атмосферном давлении.
В гл. 3—5 мы пользовались понятиями плотностей потоков массы, энергии и импульса (количества движения). Заметим теперь, что уравнение (7. 2) определяет плотность потока импульса. Касательное напряжение можно выразить в г* (см/сек)/см2*сек, т. е. в единицах импульса за единицу времени на единицу площади. Это рассуждение можно облечь в более конкретную форму, рассматривая взаимодействие двух соседних слоев газа, при
5 Заказ 519. 65
градиенте скорости Ф 0. За счет случайного движения часть молекул из более быстро движущегося слоя попадает в медленно движущийся. Здесь они сталкиваются с медленно движущимися молекулами и способствуют их ускорению. Аналогичным образом медленный слой вызывает замедление быстрого. (Заметим, что , «медленный» и «быстрый» отно
0 1000 2000 3000 4000 5000
Избыточное давление,ат
Рис. 7.2. Вязкости азота, 9,п-ок-
сится к скорости слоев, а не к хаотическому движению молекул, которое определяет температуру газа.) Этот обмен молекулами вызывает перенос количества движения, и нужна определенная сила на единицу площади, чтобы преодолеть силы сопротивления между слоями и поддерживать градиент скорости.
Для ньютоновской жидкости вязкость является свойством жидкости и зависит поэтому только от состояния (давления, температуры и состава) жидкости, так что график за-du висимости т от оказывается ау
прямой с угловым коэффициентом р,. Пусть течение в канале ламинарно, как на рис. 7.1, так
что слои жидкости скользят
тилгептадекана и воды: относительно друг друга в ОД-
fl —азот, 25° G [97]; б —азот, 75° С* [971; НОМ Направлении. Тогда ура-в — п-октилгептадекан, 20° С [130]; in о\
г —п-октилгептадекан, 99° С ' [130]; О — ВНеНИв (7. о) МОЖНО ПрОИНТв-
вода,82];Слс[1- вода’, 75~cOJfi6,282]G [16, грировать по конечному отрез-ку Ду, если т известно как функция у. Таким путем мы получим много полезных результатов
для задач ламинарного движения.
При турбулентном движении скорость в каждой точке является функцией времени. Поскольку вязкость в конечном счете — свойство жидкости, уравнение (7. 2) по-прежнему верно, если оно записывается для мгновенных скоростей. Помимо обмена молекулами между слоями происходит также обмен макроскопическими объемами жидкости. Это перемешивание вызывает дополнительный перенос импульса.
Поэтому для турбулентного течения в канале рис. 7. 1 вязкость, которую можно определить с помощью уравнения (7. 4) (под и понимается уже средняя по времени скорость), представляет
66
собой сумму обычной вязкости, которую часто называют молекулярной, и так называемой турбулентной вязкости. Турбулентная вязкость достигает значений, много больших молекулярной. Она не является свойством жидкости, так как зависит от степени перемешивания (турбулентности) потока и меняется от точки к точке. Турбулентное течение будет детально рассмотрено в гл. 13.
Следует знать, что в общем случае вязкость газа возрастает с ростом температуры. Вязкость жидкости, которая намного больше вязкости ее пара при той же температуре, уменьшается при увеличении температуры. Вязкость идеального газа не зависит от давления, но вязкости реальных газов и жидкостей обычно возрастают с ростом давления.
На рис. 7. 2 показана зависимость вязкости нескольких веществ от температуры и давления. Детальные сведения о вязкости содержатся в [91, 92].
При отсутствии экспериментальных данных вязкость может быть оценена по основным физическим постоянным жидкости. Это может быть сделано несколькими методами, с которыми можно познакомиться по книге Берда и др. [8] х.
РЕОЛОГИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ [ПО]
Науку о деформации и течении материалов часто называют реологией. Обратимся теперь к другому ее важному разделу — к изучению поведения неньютоновских жидкостей. Для ньютонов
ской жидкости существует линейная зависимость между касательным напряжением т и градиентом скорости (многие авторы называют его скоростью сдвига). Для неньютоновской жидкости
эта зависимость нелинейна; по ее характеру выделяют несколько типов неньютоновских жидкостей.
Кривые скорость сдвига — касательное напряжение т для некоторых из неньютоновских жидкостей показаны в логарифмических координатах на рис. 7. 3.
В большом диапазоне скоростей сдвига кривые рис. 7. 3 для многих неньютоновских жидкостей близки к прямым. Поэтому удобно записать 1 2
(7.4)
Это уравнение, хотя оно и не применимо для точных расчетов в широком диапазоне изменения скорости сдвига, оказывается полезным во многих технических приложениях. Показатель п
1 См. также [132]. (Прим, перев.)
2 В литературе это уравнение часто заменяется на —— = Кхп.
5*
67
часто называют индексом течения, а К — характеристикой коней-стентности. Для ньютоновских жидкостей, к которым относятся все газы и большинство жидкостей низкого молекулярного веса, п равно единице и К совпадает с вязкостью р,.
Рассмотрим теперь несколько типов неньютоновских жидкостей.
Бингамовские вязко-пластические жидкости. Чтобы вызвать какую-либо деформацию этих жидкостей, нужно приложить напряжение тр*. При напряжениях, меньших тр, они ведут себя как твердые тела, а при напряжениях, превышающих тр, зависимость т du
от -т— линейна, так что dy
т = Тр + цр-^- (т>тр), (7.5)
Рис. 7. 3. Поведение жидкостей при сдвиге.
а — дилатантная; б — ньютоновская; в — бингамовская вязко-пластическая; г — псевдопластическая.
где — постоянная, аналогичная вязкости обычной жидкости. Таков простейший тип неньютоновского поведения жидкости. Он осуществляется в глинистых буровых растворах и суспензиях твердых частиц правильной округлой формы, образующих в состоянии покоя жесткую трехмерную
структуру.
Псевдопластические жидкости. В эту группу
попадает большая часть неньютоновских жидкостей. На рис. 7. 3
они представлены кривой, угол наклона которой заключен между О и 45°. Часто этот угол при очень малых и больших скоростях сдвига приближается к 45°, т. е. жидкость приближается по свойствам к ньютоновской. Запишем уравнение (7. 4) в форме
г = К
I du |п -1 du
I dy I dy ‘
(7-6)
Величину а|-^-|п 1 иногда называют кажущейся вязкостью. Кажущаяся вязкость псевдопластических жидкостей, для которых п <Z 1, убывает с возрастанием скорости сдвига. Так ведут себя растворы полимеров и других веществ с большими вытянутыми молекулами, а также обычные и коллоидные суспензии асимметричных частиц. Считается, что эти молекулы или частицы переплетены друг с другом при малых скоростях сдвига. При больших
* называется начальным напряжением сдвига. (Прим, ред.)
68
скоростях они подстраиваются друг к другу, уменьшая кажущуюся вязкость. При очень малых скоростях сдвига влияние переплетения молекул невелико, при очень больших скоростях частицы располагаются так, что переплетение мало. Это объясняет форму кривой для псевдопластических жидкостей на рис. 7.3. Ньютоновское поведение (наклон 45°) достигается при очень малых и очень больших скоростях сдвига.
Дилатантные жидкости. На рис. 7. 3 кривая, представляющая дилатантную жидкость, имеет наклон, больший 45° (п >1). Считают обычно, что дилатантные жидкости содержат жидкую фазу в количестве, достаточном для заполнения пустот между частицами лишь в состоянии покоя или при очень низких скоростях сдвига. В этих случаях жидкость почти ньютоновская. Когда частицы быстрее движутся относительно друг друга, им требуется больше места, жидкость в целом расширяется. Так как жидкой фазы уже недостаточно для заполнения возросшего объема пустот между частицами, кажущаяся вязкость возрастает. Такое поведение согласуется с уравнением (7.6) при п>1. Суспензии крахмала, силиката калия и песка — примеры дилатантных жидкостей.
Неньютоновские жидкости, характеристики которых зависят от времени. Для этих жидкостей при постоянной скорости сдвига касательные напряжения меняются во времени. Поведение таких жидкостей является сложным, и успехи, достигнутые в его аналитическом представлении, невелики.
Для реопектической жидкости при постоянной скорости сдвига напряжения нарастают во времени, для тиксотропной они убывают. Многие краски тиксотропны. Это способствует нанесению краски при помощи кистей или распылителя и задерживает стекание краски, нанесенной на вертикальную поверхность.
Кажущиеся вязкости большинства неньютоновских жидкостей велики по сравнению с вязкостью воды.
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
В гл. 11 мы выведем общие дифференциальные уравнения в частных производных, которые можно использовать, чтобы найти распределение cKopocTeii для двумерных и трехмерных течений. Вязкие напряжения, определяемые соотношением (7. 3), играют в этих уравнениях важную роль. Однако, чтобы показать непосредственное применение определения вязкости в одном важном и простом случае, рассмотрим одномерное установившееся ламинарное течение несжимаемой жидкости в горизонтальной круглой трубе постоянного диаметра. Найдем распределение скорости и величину падения давления. Чтобы решить эту задачу, составим уравнение равновесия для элемента жидкости,
69
показанного на рис. 7. 4. Дело сводится к применению уравнения (5. 6), которые мы запишем в данном случае в виде
W = Rx Rхр— Rxd* (7. 7)
Внешние силы отсутствуют, разность количеств движения или скоростей для несжимаемой жидкости равна нулю. Равнодействующая сил давления равна лг2Др, а сила сопротивления Т‘2лг/, так что уравнение (7. 7) сводится к
(7.8)
Направление
потока
т_ &РГ 2L
Рис* 7. 4. Силы, действующие на элемент жидкости, движущейся в круглой трубе.
На стенке трубы это уравнение дает
Ts — 4Л •
(7-9)
Эти два уравнения, в отличие от последующих, справедливы и для ламинарного, и для турбулентного течения при условии, что для последнего используются осредненные скорости и давление.
Распределение скоростей при ламинарном движении найдем, подставляя в уравнение (7. 8)
*=-!*>• (7.10)
Уравнение (7. 10) — это уравнение (7. 2), в котором поставлен знак минус, так как производная отрицательна. После подстановки, преобразований и интегрирования, имеем:
г и
-<м=- <7-“>
0 umax
В результате интегрирования
« = «тах+^Г. (7-12)
70
Так как в силу предположения об отсутствии проскальзывания на стенке и = 0 при г = г<, то
Apr?
(7-13)
Таким образом, получаем
U = Umax £1 — ) J • (7• 14)
Уравнение (7. 14) выражает параболическое распределение скоростей; оно уже было использовано в примере 3. 1, чтобы показать, что для ламинарного течения иь == , и в примере
4. 1, чтобы показать, что в уравнении энергетического баланса удельная кинетическая энергия равна uj. Если учесть, что umax = = 2иь, формулу (7. 13) можно записать в виде
__Др __ г? 2)а
Это формула Гагена — Пуазейля для перепада давления при стационарном ламинарном течении в горизонтальной круглой трубе постоянного сечения.
Из уравнения баланса механической энергии (4. 27) видно, что для ламинарного течения (Re << 2100)
= (7.16)
Хотя выражение (7. 16) для потерь на трение было выведено для горизонтальной трубы, однако тот же вывод с тем же результатом может быть проделан для вертикальной трубы. Если профиль скорости в трубе не зависит от ориентации трубы, выражение для hf не меняется.
Пример 7. 1.
Вычислить потребляемую мощность и давление, которое должен развивать насос с к. п. д. 70%, чтобы перекачивать 57 л1мин 98 %-ной серной кислоты при 20а С из емкости, находящейся под атмосферным давлением, в емкость, избыточное давление в которой 0,7 атп, а уровень на 3 м выше уровня в нижней емкости, по трубопроводу длиной 300 м и диаметром 52 мм.
Чтобы быть уверенным, что применима формула (7. 16), вычислим среднюю скорость и число Рейнольдса:
Ub= 60 • 0,785 • 522 • IO"6 = м1сек-
Относительная плотность 98 %-ной серной кислоты 1,836 (стр. 185 справочника Перри), а вязкость 26,0 спз (там же, стр. 372—373). Поэтому
т} 52.10"3 • 0,45 • 1,836.1000 л
Re —:--------2бПо=^-------=165°-
71
Поток ламинарный, так что по формуле (7. 16)
, _ 32 • 26 • 10“3 • 300 • 0,45 _ г дж f~ 1,836 -1000 • 522 -10-6 кг *
Требуемую мощность определим из уравнения (4. 27), которое принимает вид
gAz + + /г/ + iqpPKs = 0.
Кинетическая энергия и потери на расширение и сжатие потока в задачах ламинарного движения пренебрежимо малы. Подстановка численных значений дает
9'8-3+°1’^9:81:8м + 22,6 + 0,70 И7, — 0;
Ws = —128 дж!кг
и потребная мощность при расходе 1,72 кг/сек составляет
12873б’72 = °’299 Л- С-
Прирост давления на насосе определяется из уравнения ^+%ws=o и составляет
Др__ о'”(-‘92»);1уо-<дз«=1,б8
Пример 7. 2.
Найти зависимость скорости от расстояния от оси для ламинарного стационарного движения неньютоновской жидкости в круглой трубе. Зависимость напряжений от скорости сдвига задается соотношением
х = к(-^)п-, (1)
\ dr / ’ 4 7
от уравнения (7. 4) оно отличается знаком минус, который необходим в данном случае.
После подстановки (1) уравнение (7. 8) дает
<2>
1
Возведем обе части этого уравнения в степень —-. После преобразований имеем:
<3>
0 umax
Выполняя интегрирование, находим
п + 1 \ 2KL / L \П/ J
72
и так как и — 0 при г = Г{
Гл ( г \(п + 1)/п1 /гЧ
U — ZZmax [^1 — \~r^) ] *
При сравнении с уравнением (7. 14) этот результат показывает, что профиль скорости для ламинарного течения неньютоповской жидкости может быть существенно иным, чем для ньютоновской жидкости. Для псевдопла-стпческпх жидкостей получается сравнительно равномерный профиль, а в предельном случае идеально пластического тела (п = 0) получается в точности равномерное распределение скорости. Для дилатантных жидкостей профиль более вытянут, и в предельном случае бесконечно дилатантной жидкости (п — оо) скорость — линейная функция радиуса, а профиль скоростей — конический. Другие интересные случаи ламинарного течения и ньютоновских и неньютоновских жидкостей можно найти в задачах в конце главы.
ПОТОКИ ИМПУЛЬСА, КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ, МА ССЫ И ЭНЕРГИИ
В начале главы показано, что касательное напряжение т можно рассматривать как плотность потока импульса (количества движения). Для несжимаемой жидкости уравнение (7. 3) можно переписать в виде 1
Т=_¥11Д. (7.17)
dy х 7
Это уравнение имеет вид: плотность потока импульса
м • сек равна проводимости (или «коэффициенту диффузии») (м2 * */сек), кг (м/сек) умноженной на градиент концентрации импульса ——- •
Знак минус поставлен потому, что импульс переносится в области с меньшехй концентрацией импульса (скоростью). Кинематическая вязкость играет роль коэффициента диффузии импульса. Уравнения, в которых плотность потока приравнивается градиенту концентрации, умноженному на «коэффициент диффузии», часто называются феноменологическими. Они представляют собой эмпирическое правило установления закономерностей наблюдаемых явлений. Аналогичные уравнения могут быть написаны для потоков массы, энергии, количества электричества и других величин.
Для переноса массы это уравнение записывается в виде
J --D
JA~~ ^АВ dy ‘
(7. 18)
Это уравнение относится к двойной смеси веществ А и В. Через JА обозначена плотность потока вещества A; DAB — коэффи-
1 Знак минус введен в это уравнение, чтобы подчеркнуть аналогию
с тепло- и массопередачей. Обычно принято писать знак плюс, как в уравне-
нии (7. 2) и во всей книге.
7з'
циент диффузии вещества А в смеси А и В; —плотность (концентрация) вещества А. Как и кинематическая вязкость, коэффициент диффузии измеряется в мЧсек. Поток компонента А направлен из области высокой концентрации в область низкой его концентрации. Плотность потока измеряется в (кг компонента А)/сек*(м2 площадки, перпендикулярной направлению градиента концентрации). Градиент концентрации измеряется в (кг компонента А/м3)/м.
Уравнение для плотности потока энергии (тепла) записывается в виде
т=-^’ <7-19)
где X — коэффициент теплопроводности. Для жидкости постоянной плотности и теплоемкости это уравнение может быть представлено в той же форме, что и уравнение (7. 17) и (7. 18):
Q _ „ d(Cp&)
А “ а di
(7.20)
где а = —— . Этот коэффициент называется температуропровод-ностью и измеряется, как и v и DAB, в мЧсек. Плотность потока энергии выражается в ккал!сек*ле2, а градиент плотности энергии — в (ккал!м3)/м. Поток, к которому относится уравнение (7. 20), измеряется на площадке, перпендикулярной градиенту температуры. Энергия перетекает из областей с высокой плотностью энергии (температурой) в области с низкой плотностью.
В гл. 3—5 мы видели много общего между уравнениями баланса массы, количества движения и энергии. В предыдущих абзацах видно разительное сходство между уравнениями для потоков этих величин. После углубления общих представлений о движении жидкости в гл. 8 в гл. 9—11 будут изучены дифференциальные уравнения сохранения массы, энергии и импульса. При этом будут использованы выражения для потоков и определения различных коэффициентов распространения и продолжено выявление сходства между этими тремя процессами переноса. В этой главе мы рассмотрели подробно только перенос количества движения и вязкость. Более подроби < еизучение теплопроводности и молекулярной диффузии откладыва тся до последующих разделов книги, которые посвящены теплопередаче и массообмену.
Задачи
7. 1. Вывести для распределения скоростей и перепада давления при ламинарном течении ньютоновской жидкости в щели высоты и бесконечной ширины соотношения, аналогичные (7. 14) и (7. 15).
7. 2. Решить задачу 7. 1 для псевдопластической жидкости, следующей степенному закону (7. 4) с показателем п = 0,5.
74
7. 3. Найти соотношение между umax и иъ, а также выражение, для падения давления при ламинарном движении в круглой трубе неньютоновской жидкости, следующей уравнению (7. 4).
7. 4. Повторить задачу 7. 3 для бингамовской жидкости.
7. 5. Рассмотреть ламинарное стекание ньютоновской жидкости по вертикальной пластинке бесконечной ширины. Найти распределение скоростей в слое жидкости и скорость на свободной поверхности.
7. 6. Нефть должна перекачиваться с расходом не менее 4 л!мин по горизонтальному трубопроводу с эквивалентной длиной 300 м. Максимальное избыточное давление нагнетания используемого насоса 1 ат. Уровень нефти в емкости на 6 м въше входа трубы. Плотность нефти 800 кг/м3, а вязкость 3 спз. Какого размера трубу следует рекомендовать для трубопровода?
7.7. Трубопровод длиной 35 км подает 800 м* нефти в сутки. Перепад давления на нем 35 ат. Найти новую пропускную способность трубопровода, если параллельно последним 15 км трубопровода проложен другой, идентичный ему (лупинг). Перепад давления остался равным 35 ат] течение во всех случаях ламинарно.
7. 8. Глицерин, имеющий температуру 60° С, движется по 30-метровому отрезку вертикальной стальной трубы с диаметром 25 мм. Каков массовый расход глицерина, если давление на нижнем конце трубы на 1,4 ат больше давления на верхнем? В каком направлении течет жидкость?
7. 9. Найти выражения для распределения скоростей и падения давления при ламинарном течении в кольцевом пространстве между двумя горизонтальными концентрическими трубами. При выводе применить уравнение баланса импульса к бесконечно малому контрольному объему кольцевого пространства, а именно к кольцевому цилиндру толщиной dr. Показать, что исследование приводит к дифференциальному уравнению
из которого искомые результаты получаются подстановкой закона Ньютона — см. уравнение (7. 2) — и двумя интегрированиями.
8. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОДИНАМИКИ (II)
Последующие главы приведут к дифференциальному уравнению импульса. Если записать это уравнение для проекций на три координатные оси, то получаются уравнения, которые называются уравнениями движения или уравнениями Навье — Стокса. Они будут использованы для определения картины течения и распределения давления при движении в трубах и при обтекании препятствий. Однако, прежде чем приступить к такому аналитическому рассмотрению, полезно познакомиться с экспериментальными результатами для течений, обладающих простой геометрией, и степенью согласия этих результатов с теми, к которым приводят различные теоретические рассуждения.
ЛИНИИ ТОКА И ФУНКЦИЯ ТОКА
Общепринято графическое представление течения при помощи линий тока. Рассмотрим их математическое определение. Во избежание бесполезных усложнений будем рассматривать только двумерные установившиеся течения, т. е. течения, в которых не происходит изменений скорости в направлении оси z (ось z выбрана направленной перпендикулярно плоскости чертежа). Определим теперь линию тока как линию, через которую нет перетока жидкости. Полезно ввести величину ф, называемую функцией тока, таким образом, чтобы линии тока представляли собой линии равных значений ф. Последующие рассуждения позволяют связать компоненты скорости их и иу с направлением линий тока.
Рассмотрим, как показано на рис. 8. 1, две линии равных значений ф. Массовый расход жидкости через промежуток, ограниченный линиями тока и имеющий в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, единичную ширину, одинаков вдоль любой линий С*!, соединяющей линии тока, и выражается в виде
fuQ cos a ds, 1)
Ci
76
где ds — расстояние, отсчитываемое вдоль линии Сх, соединяющей линии тока, а — угол между вектором скорости и внешней нормалью к С\. Свяжем функцию тока с массовым расходом соотношением
ил=(^2-1р1)е0,
(8.2)
где Qo — постоянная характерная плотность.
Уравнения (8. 1) и (8. 2) можно записать также и для бесконечно малого изменения функции тока:
dW = q0 d ф = uq cos a ds.
(8-3)
Значение J еойф одно и то же линии тока. Если выбрать путь оси у, то ds = dy и u cos a = = ux, так что
для всех путей, соединяющих С2 направленным параллельно
Для пути С3 ds — — dx и
и cos a = иу, что дает
Рис. 8. 2. Линии тока при движении через сопло.
дф о
--Г .
дх у Qo
(8-5)
Если выбрать ds так,
чтобы нормаль совпала с направлением
течения, то получим
ds е0
(8-6)
Если направление ds совпадает с направлением течения, то cos a = 0 и, следовательно, — 0, так что функция тока ф постоянна. Так как линия Постоянства ф — линия тока, то, очевидно, скорость направлена по линии тока. Для несжимаемой жидкости скорость и максимальна там, где на данном чертеже линии тока ближе всего друг к другу. Для сжимаемой жидкости там, где линии тока ближе всего друг к другу, максимальна массовая скорость uq. Эти представления можно распространить
77
на трехмерные течения, определив аналогичным образом поверхность тока. Для осесимметричного случая достаточно двумерного представления, как для показанного на рис. 8. 2 истечения через сопло.
ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
Идеальная жидкость имеет вязкость, равную нулю. Наука, которая занимается изучением идеальной жидкости, называется теоретической гидродинамикой. Во второй половине девятнадцатого века была развита детальная математическая теория движения идеальной жидкости и для многих случаев были получены решения уравнений движения. Считалось, что поскольку воздух и вода имеют низкие вязкости, они будут вести себя как идеальные жидкости всегда, кроме случая малых чисел Рейнольдса.
Рис. 8. 3. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью.
Опыты показали, что во многих случаях это неверно. Например, при помощи уравнений теоретической гидродинамики нельзя решить такие практические задачи, как определение потерь давления при движении жидкости в трубах. В то же время для решения этих задач усилиями инженеров была создана гидравлика — эмпирическая наука, имевшая с теорией идеальной жидкости весьма мало общего. Слияние этих двух ветвей механики началось только в 1904 г., когда Прандтль выдвинул идею пограничного слоя. По-прежнему считается, что теория идеальной жидкости удовлетворительно описывает движение маловязких жидкостей вдали от твердых поверхностей. Однако вблизи границ существует тонкий слой, в котором существенно вязкое трение. Несмотря на малую толщину, этот слой оказывает глубокое влияние на течение вблизи препятствия и силу, с которой жидкость действует на это препятствие.
Рассмотрим некоторые результаты, к которым приводит теория идеальной жидкости для обтекания тел простой геометрической формы. На рис. 8. 3 показано двумерное обтекание горизонталь-78
ным потоком цилиндра бесконечной длины. Поток разделяется, и жидкость обтекает цилиндр, проскальзывая на его поверхности, поскольку в идеальной жидкости не может быть касательных (сдвиговых) напряжений.
Расположение линий тока можно получить, рассчитывая так называемое безвихревое, или потенциальное, течение. Когда эта математическая задача решена, для определения распределения давления жидкости можно воспользоваться уравнением Бернулли. Для точек линии тока при горизонтальном движении идеальной несжимаемой жидкости это уравнение принимает вид
2 2
и । Р-Ро М
2 Г Q
Поскольку в точке А скорость равна нулю, давление здесь оказывается равным
Р = Ро + -^-- (8.8) Это — давление торможения или динамическое давление. В точках В и D скорость максимальна, и давление падает до минимума. В точке С скорость снова равна нулю. Так как течение перед цилиндром симметрично течению за ним, сила, с которой жид-
Рис. 8. 4. Распределение давления при обтекании цилиндра [144].
а — измеренное, Re == 1,9* 10$; б — согласно теории движения идеальной жидкости; в — измеренное, Re = 6,7*10$.
кость давит на переднюю половину цилиндра, равна силе, действующей на заднюю половину. В результате цилиндр не испытывает сопротивления. Вблизи искривленной поверхности цилиндра внутренние слои жидкости движутся быстрее внешних, так что результирующее вращение элементов жидкости равно нулю * Отсюда и название — безвихревое движение. Кроме того, скольжение
слоев жидкости относительно друг друга не приводит к появлению касательных напряжений. Математическая сторона этих вопросов будет разобрана в гл. 12.
На рис. 8. 4 сравнивается экспериментально найденное распределение давления на цилиндре с тем, что дает теория идеальной жидкости. Видно, что результаты, даваемые теорией, сильно отличаются от результатов эксперимента. Для обтекания плоской пластинки теория дает нулевую силу сопротивления, так как на
1 Т. е. поворот, вызванный движением по искривленной траектории, компенсируется различием скоростей отдельных слоев. (Прим, перев.)
79
поверхности пластинки происходит проскальзывание. Более того, не происходит изменения давления и скорости движения жидкости. Следовательно, сила сопротивления, наблюдаемая при движении реальных жидкостей, обусловлена полностью вязкими касательными напряжениями, связанными с изменением скорости от нуля на поверхности пластинки до и$ в невозмущенном потоке. Как будет показано в гл. 12, силу сопротивления пластинки можно вычислить теоретически путем интегрирования дифференциальных уравнений движения. Она может быть найдена также по известному распределению скорости при помощи уравнения баланса импульса, как будет показано в гл. 13.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Пограничный слой — это область вблизи тела, где на движении жидкости сказывается присутствие жесткой границы. (Определение места, где влияние границ исчезает, конечно, произвольно.) Этот вопрос будет детально рассмотрен в гл. 12; Обычно считают, что в массе жидкости ее движение управляется законами идеальной жидкости. Напротив, в пограничном слое существенна вязкость. Однако так как этот слой тонок, то уравнения движения
Рис. 8. 5. Схема строения пограничного слоя на плоской пластинке.
а — ламинарный пограничный слой; б — переходная зона; в — турбулентный пограничный слой; г — ламинарный подслой.
в нем можно упростить и для многих задач решения этих уравнений можно найти с достаточной точностью. Такое разделение задачи об обтекании тела на две части, предложенное Прандтлем, оказалось чрезвычайно важным для гидродинамики.
Толщина пограничного слоя при обтекании плоской пластинки равна нулю у передней кромки, а затем возрастает, как показано на рис. 8. 5. Определим для этой задачи число Рей-QUnX нольдса как , где х — расстояние, отсчитываемое от перед-ней кромки по потоку. При превышении определенного значения Rex движение становится турбулентным, хотя, как показано на рис. 8. 5, вблизи поверхности остается ламинарный подслой.
80
На гладкой пластинке переход от ламинарного движения к турбулентному происходит в диапазоне чисел Рейнольдса от 2-105 до 3-106.
Если жидкость, движущаяся с равномерно распределенной скоростью, поступает в трубу, то на стенках трубы разрастается пограничный слой, который постепенно заполняет всю трубу, как
показано на рис. 8. 6. Таким образом, в полностью развитом ламинарном или турбулентном течении вся труба заполнена пограничным слоем. Вниз по течению от той точки, где погра-
Рис. 8. 6. Пограничный слой у входа в трубу.
ничный слой заполняет всю трубу, картина течения не зависит от х.
Поэтому число Рейнольдса, рассчитанное по расстоянию от входа, больше не имеет значения. Вместо этого течение характеризуется числом Рейнольдса, вычисленным по диаметру трубы, которым мы пользовались в предыдущих главах. Величина ®UbD поэтому р,
относится только к области вполне развитого течения. Если пограничный слой турбулентный и, как обычно, заполняет всю трубу, кроме небольшого входного участка, то у стенки трубы, как и при обтекании пластинки, существует ламинарный подслой постоянной толщины.
ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО слоя
Рис. 8. 7. Отрыв при обтекании цилиндра. а — точка отрыва; б — возвратное течение.
В гл. 12 путем сравнения величины членов уравнений движения в пограничном слое будет показано, что изменением давления в направлении, перпендикулярном поверхности, можно пренебречь. Поэтому хорошим приближением для распределения давления в пограничном слое служит распределение давления, даваемое теорией идеальной жидкости для движения вне пограничного слоя.
Мы определили пограничный слой для пло
ской пластинки. Очевидно, однако, что пограничный слой будет существовать и на поверхности цилиндра или любого другого обтекаемого тела. Как показано на рис. 8. 7, слой жидкости вблизи
6 Заказ 519.
81
поверхности цилиндра (диаметра/)) задерживается вязким трением, а после точки В также и противоположно направленным градиентом давления. Этих двух факторов достаточно, чтобы при всех числах Рейнольдса, кроме очень малых, заставить жидкость остановиться и даже начать двигаться в обратном направлении, как показано на рис. 8. 7. При этом пограничный слой отходит от поверхности. Это явление называется отрывом.
Если скорость обтекающего цилиндр потока постепенно возрастает примерно до чисел Рейнольдса, превосходящих единицу, в задней критической точке начинается отрыв. Это вызывает изменение полей давления и скорости, и точка отрыва смещается вперед. Максимальное смещение точки отрыва, показанное на рис. 8. 8а, соответствует углу 0 = 85° и происходит при ламинарном пограничном слое.
Рис. 8. 8. Влияние турбулентности на положение точки отрыва.
Если скорость обтекания возрастает настолько, что возникает турбулизация пограничного слоя, точка отрыва сдвигается к задней части цилиндра, как показано на рис. 8. 86. Ввиду увеличения интенсивности переноса количества движения при турбулизации потока, скорость слоев у поверхности цилиндра возрастает. Больший запас кинетической энергии жидкости позволяет ей дальше проникнуть вдоль поверхности. Поэтому точка отрыва переходит в новое положение, позади точек В и D. При этом за цилиндром расширяется область повышенного давления, которое распределено так же, как в потоке идеальной жидкости.
Большая часть силы сопротивления при обтекании цилиндра вызвана разностью давлений на передней и задней частях цилиндра. Поэтому при возрастании скорости, вызывающем переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, наблюдается снижение силы сопротивления. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса, однако, приводит к росту силы сопротивления.
Сопротивление, испытываемое затупленным телом, например, цилиндром, вызывается главным образом разностью давлений и называется сопротивлением давления х. Сила сопротивления,
1 Реже употребляется термин «сопротивление формы», точно соответствующий английскому «form drag». (Прим, перев.)
82
вызываемая силами вязкости в пограничном слое, называется сопротивлением трения. При обтекании плоской пластинки возникает только такое сопротивление. Сопротивление давления играет основную роль при обтекании затупленных тел плохо обтекаемой формы при всех числах Рейнольдса, кроме малых, и обычно связано с появлением следа. Для тел обтекаемой формы сопротивление давления мало и основную роль играет сопротивление трения.
Отрыв пограничного слоя происходит и в других случаях, когда поперечное сечение потока возрастает и жидкость движется против градиента давления. Поэтому в диафрагме или при внезапном расширении потока происходит отрыв, как описано в гл. 5 и 6. Перед диафрагмой пограничный слой занимает все сечение потока, но при внезапном расширении потока он отрывается от стенок и образует струю.
КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Предположим, что при всех числах Рейнольдса доля ^-компоненты импульса, теряемая на препятствии, одинакова. Тогда из уравнения баланса импульса следует, что сила сопротивления, приходящаяся на единицу площади при двумерном обтекании бесконечно длинного цилиндра, пропорциональна qu?. Поэтому можно написать
П1 QU0 A ,Q Q\
где Fd — сила сопротивления на единицу длины; А — площадь поперечного сечения в расчете на единицу длины. Здесь, как
1 А
принято, введен множитель —. Так как величина пропорцио-Z Jj
нальна диаметру цилиндра, эквивалентное выражение имеет вид
г/
f'd--------5—
(8.10)
На самом деле, однако, теряемая на препятствии доля количества движения жидкости меняется при изменении числа Рейнольдса. Запишем поэтому
или
D Qu*d ’
(8.11)
(8.12)
где CD — функция числа Рейнольдса, называемая коэффициентом сопротивления.
6*
Несколько по-другому определяется коэффициент вления при обтекании сферы и других препятствий:
f d
D ~ еф ’
где Fd — полная сила сопротивления; А — площадь сечения.
На рис. 8. 9 показано, как изменение числа Рейнольдса влияет
сопроти-
(8.13)
лобового
Рис. 8. 9. Коэффициент сопротивления для обтекания бесконечного цилиндра [144].
мы нашли, что падение давления при ламинарном движении в трубе пропорционально средней скорости иь. Это же выполняется приближенно и для обтекания цилиндра при малых числах Рейнольдса. Следовательно, как можно видеть из уравнения (8. 12), коэффициент сопротивления CD должен быть обратно пропорционален uQ и числу Рейнольдса. Той области чисел Рейнольдса, для которой это справедливо, соответствует часть кривой, имеющая угол наклона около 45°. При возрастании чисел Рейнольдса влияние вязкости уменьшается. Резкое падение коэффициента сопротивления примерно при Re = 500 000 соответствует переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Для каждой формы тела зависимость CD от числа Рейнольдса должна быть, в общем случае, найдена экспериментально.
9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ (УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ)
элемент прежде,
объема показан на тем, что накопление
уравне-
ОДНОКОМПОНЕНТНАЯ СИСТЕМА
Составим для бесконечно малого элемента объема уравнение баланса массы так же, как это было сделано в гл. 3 для объема конечных размеров. Выделенный рис. 9. 1. Воспользуемся, как и массы в сумме с массой жидкости, вытекающей из объема, равно массе жидкости, втекающей в объем. Разность между потоками массы в направлении оси х наружу.и внутрь объема определяется выражением
Н- d (uxq)J dy dz —
— ux§dydz. (9.1) Второй член выражает приток массы в направлении оси х через площадку dy dz, находящуюся на расстоянии х от плоскости х — 0, рИСе 9, 1. Элемент для вывода а первый член — направлен- ния неразрывности,
ный из объема поток массы через параллельную площадку с ^координатой х + dx. жение (9. 1) сводится к
d (uxq) dy dz.
Удобно выразить дифференциал d (цх q), соответствующий расстоянию dx, в виде
Выра-
(9-2)
d(uxQ) = ^^-dx.
(9. 3)
85
В результате разность между потоками, направленными по оси х наружу и внутрь объема, составит
^^dpdydz. (9.4)
Аналогичные выражения можно записать для потоков в направлении осей у и z. Скорость накопления массы в элементе равна
^dxdydz. (9.5)
Поэтому уравнение баланса массы принимает вид
dx dy dz + д ^y$ dxdy dz + dx dy dz-\-
+ •—- dxdy dz^-Q. (9.6)
Следует отметить сходство этого уравнения с уравнениями (3. 4) и (3. 7). Первые три члена в (9. 6) эквивалентны A (uqA), А ТТГ м (1М
т- е. АТУ, а четвертый---<
Запишем теперь следующее из уравнения (9. 6) уравнение неразрывности 1 для нестационарного движения однокомпонентной жидкости:
I d(uyQ) , d(uzQ) I 0Q Л /Q 7ч
dz + dy + dz V** ''
После раскрытия скобок это уравнение можно привести к виду
® \ dz ’ dy • dz ) x dz * y dy ‘ z dz ‘ dx • \ '
Поскольку плотность жидкости — функция X, у, Z и т, можно написать
dQ = ^dx-{-^dy + ^dz + dx. (9. 9)
к dz 1 dy * 1 dz 1 dx ' '
Полная производная по времени равна
d$ __ do dz dQ dy . dg dz . dQ ,q .
dx dz dx ’ dy dx ‘ dz dx ‘ dx ' ‘ '
Чтобы понять смысл этого соотношения, представим себе подвижный прибор для измерения местной плотности наподобие термопары, которая измеряет температуру вблизи ее кончика. Если прибор неподвижен в некоторой точке пространства, то уравне
1 Хотя уравнением неразрывности в гидродинамике обычно называют уравнение (9. 7), в технике так иногда называют уравнение (3. 7), записанное для стационарного движения: Д (uqA) = 0.
86
ние (9. 10) выражает скорость изменения плотности в этой точке и становится тривиальным:
dx dy dz ~ do до
— ——0, так что -Л —
dx dx dx dx дх
Если прибор движется с той же скоростью, что и окружающая его жидкость, то компоненты скорости прибора
совпадают с компонентами скорости движения жидкости (их, Uy, uz). По терминологии гидродинамики, «наблюдатель движется с жидкостью» (конечно, «наблюдатель» — это измерительный прибор). Поэтому скорость изменения плотности для этого движущегося наблюдателя равна
> = (»Н)
Если наблюдатель движется, но не со скоростью жидкости, то уравнение (9. 10) по-прежнему справедливо, однако ,
civ а т
dz
не равны уже их, иу и uz соответственно.
Определяемая уравнением (9. 11) производная называется субстанциальной. Мы будем записывать ее в виде , чтобы от-DX
личать от полной производной в общем случае — см. формулу (9. 10). Запишем уравнение (9. 8) в виде
дх + dy "Г" 0И-+ Q Dx “(У. 12)
Воспользуемся теперь понятием субстанциальной производной, чтобы выяснить физический смысл первых трех членов уравнения (9. 12). Рассмотрим движущийся в общем потоке элемент жидкости, масса которого равна единице. Объем и плотность этого элемента меняются во времени. Дифференцируя по времени соотношение qv = 1, получим
(»•«)
ИЛИ
JL 4- Л = о /д 14)
и Dx q Dx •
Сравнение уравнений (9. 14) и (9. 12) показывает, что величина 1 Du * дих диу 0uz
----тг- равна сумме и .
и Dx J дх ’ ду dz
Физический смысл этого в том, что первый член уравнения (9. 14), представляющий собой скорость объемного расширения или растяжения элемента объема, на самом деле совпадает с суммой трех первых членов уравнения (9. 12), представляющих собой скорости линейного расширения.
87
Исследование, приводящее к уравнению (9. 8), так же, как и тр, которое было использовано в гл. 3 и 5 при выводе интегральных уравнений сохранения, основано на рассмотрении потоков, направленных наружу и внутрь фиксированного в пространстве элемента постоянной величины, причем масса, заключенная в элементе, переменна. Такой подход часто называют методом Эйлера. С другой стороны, вывод уравнения (9. 14) основан на рассмотрении фиксированной массы жидкости, движущейся в пространстве, причем объем, занятый этой массой, может меняться. Такой метод называется методом Лагранжа. Метод Лагранжа удобен и будет использован в двух следующих главах при выводе уравнений энергии и импульсов.
В задачах гидродинамики уравнение неразрывности должно удовлетворяться совместно с уравнениями энергии и импульсов. Оно будет использоваться в основном для упрощения этих двух уравнений. Чтобы записать уравнение (9. 8) для стационарного движения, достаточно положить = 0. Для распространенного случая движения несжимаемой жидкости, как стационарного, так и нестационарного,
•^+^ + ^ = 0- (9.15)
дх оу 1 dz х 7
ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ СИСТЕМА
Дифференциальное уравнение сохранения массы можно написать и для некоторого компонента А бинарной смеси. При выводе уравнения баланса массы в гл. 3 мы не учитывали диффузии. На этот раз мы учтем ее при выводе дифференциального уравнения. Полученное таким образом уравнение окажется в дальнейшем полезным при исследовании массопередачи путем диффузии.
Существуют два механизма, посредством которых компонент А поступает в выделенный элемент объема через площадку dy dz. Один из них — приток в результате общего движения жидкости — обеспечивает массовую скорость их qa кг/ч • м2. Второй — молекулярная диффузия — создает поток, накладывающийся на основное движение жидкости. Обозначим этот поток через JAx кг/ч-м2. Полный поток равен сумме этих двух потоков + J Vx. Поток,через противоположную грань элемента равен
(“хбд+Л x) + rf (UXQa+'JА Х)-
Разница между вытекающим из объема и втекающим в него в направлении оси х количеством компонента А равна
d (uxQa + JА х)dydz = р ^“dz~ + dxdydz> (9.16)
.88
что аналогично выражению (9. 4). Отсюда следует, что уравнение неразрывности для компонента А в трехмерном случае имеет вид.
д(их$л) . д(иу^л) d(uz^A) . dJAx ^Ау . dJ Az
дх ' ду ‘ dz дх ‘ ду ' dz ’
+ ^--гл = 0 (9.17)
ИЛИ
/ дих . диу | дмг \ . dQa । dJAx । dJAy !
\ dx ' dy ‘ dz ) ’ Dr ’ dx dy ’ .
+ -^-rA=0 (9.18)
Подобно тому как в уравнение (3. 9) вводился член Ri, в это уравнение введен член гА, равный скорости (в кг/ч*м3) возникновения компонента А в результате химических реакций в выделенном объеме. При соответствующем выборе знака он может выражать и поглощение компонента А. Член дцА/дг скорость накопления компонента А (кг/ч*м3).
Потоки JA могут быть обусловлены различными механизмами— термодиффузией, бародиффузией, ионным переносом или обычной молекулярной диффузией. Если имеет место только обычная молекулярная диффузия в бинарной смеси, то записывают
J = _ d (9.19)
J Ах ^АВ дх
и аналогичные выражения для двух других направлений. Если Dab — постоянная, то после подстановки этих выражений в уравнение (9. 17) получим
^(мх6а) , 9(uvQa) d(azgA) dgA =
dx ‘ ду ' dz дх
= D (d SA. _l JLSd. d Qa \ । /g 2q\
AB\ dx^ dy* ' dz* )^ A'
В первых трех членах можно раскрыть скобки, что дает
дих дх
диу , duz \ г „ дЯл , ду ' dz ) * х дх
и ^Л.и I -
Uv ду + z dz + дх ~
- Л ( 92Qa 92Qa 4- 92Qa 4-г ^АВ\ дх2 "1“ ду* "Т- dz* )'ГА*
(9. 21}
Если плотность смеси постоянна, то в соответствии с уравнением (9. 15)
дих , диу ( duz _ р дх "Г" ду ' dz
89
При этом, если воспользоваться обозначениями субстанциальных производных, уравнение (9. 21) приобретает вид
Z>Qa гч ( . ^2Qa . ^2Qa \
“Dr” = \ дх2 ду* + dz2 J ГА* (9- 22)
Если диффузия и химические реакции существенны, то q может меняться по пространству. Эти эффекты могут быть особенно значительными в газовых смесях, так что уравнение (9. 22) может оказаться чересчур упрощенным. Эта задача несколько сложна, так что детальное рассмотрение будет отложено до той части книги, где специально рассматривается массопередача. Смеси более чем двух компонентов рассматриваться не будут из-за сложности вопроса.
Задачи
9. 1. Записать уравнение неразрывности через посредство функции тока, используя ее определение, данное в гл. 8. В чем смысл полученного результата? Что можно сказать о функции тока для нестационарного движения?
9. 2. Вывести уравнение неразрывности для осесимметричного движения в круглой трубе, рассматривая полый цилиндр с размерами dz и dr. Плотность q считать постоянной. Можно ли получить это уравнение из уравнения (9. 8)?
9. 3. Получить уравнение неразрывности для компонента А бинарной ^меси при осесимметричном движении в трубчатом реакторе. Использовать цилиндрические координаты. Плотность g считать постоянной.
9. 4. Получить уравнение сохранения для компонента А в сферической капле (химических реакций нет). Рассматриваемая капля двойной смеси находится в среде с другим составом, так что происходит нестационарная диффузия компонента А из капли. Плотность g считать постоянной.
i
10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Дифференциальное уравнение энергии можно вывести, рассматривая, как и в начале гл. 9, неподвижный элементарный объем неизменной величины. Однако на этот раз метод Лагранжа оказывается проще метода Эйлера, так что в качестве контрольного элемента выберем фиксированную массу, движущуюся вместе с жидкостью и с той же скоростью. Любой энергетический баланс составляется на основе первого закона термодинамики. Поэтому рассмотрим изменение внутренней энергии выделенного элемента по мере того, как он перемещается и обменивается теплом и работой с окружающей средой. Тот же подход был использован при выводе уравнений (4. 15) и (4. 16). Уравнение (4. 16), записанное так, чтобы выражать скорость изменения внутренней энергии единицы массы движущейся жидкости, имеет вид
2)17 __ DQ Dv . Dh Dx ~ Dx Р Dx ' Dx ‘
(10. 1>
Член —2- — приток тепла к выделенной единице массы из окружающего потока, в котором она движется. Чтобы исследовать его, удобно применить уравнение (10. 1) к элементу в виде параллелепипеда с массой g dxdydz. Введем величину потерь Ф, равную-2^- и измеряемую в дж!ч-м3. При этом получим уравнение
-7?-gdxdy dz = gdxdydz—p qdxdydz + Ф dxdy dz. (10. 2>
ZzT ZzV ZzT
Теперь можно связать величину g (ту--) dx dy dz с тепловыми потоками через грани выделенного элемента. Член, соответствующий в уравнении (10. 2) теплообмену, положителен, если
91
результирующий поток тепла направлен внутрь объема. Поэтому мы составим разность между притоком и отводом тепла:
Q^dxdydz^^dydz^- [(f )x + d (i)J dydz +
d*dz-[(iL+d(i)J dxdz+^\dxdy-
-ВМЯИ <10-3)
—удельный тепловой поток)
или
р dxdy dz— —
dx dy dz.
(10.4)
После подстановки выражения (10. 4) в уравнение (10. 2) и преобразований получаем уравнение энергии, выраженное через удельный тепловой поток:
__ Dv_ = _ * ( Л )« Dx Dx дх
Ф. (10.5)
Часто удобно вместо внутренней энергии ввести энтальпию й
i = U + pv. (10.6)
Дифференцируя и умножая на р, имеем:
Di
8/^
DU
Dx
Dv j Dp Dx ’"r Dx
(10. 7)
Поэтому уравнение энергии записывается при помощи энталь
пии в виде
'д(^\ д(±)
Di _ Dp ___ \ А )х \ А )у
® Dx Dx дх ’ ду
(10.8)
В ламинарном потоке и в твердых телах тепловой поток обусловлен теплопроводностью, так что
<10'9>
Аналогичные уравнения имеют место для двух других направлений. Если подставить их в уравнение (10. 8), то при постоянном X получим
92
Для вязкой жидкости Ф выражает мощность работы формоизменения в расчете на единицу объема. Детальное рассмотрение связи этой величины с касательными напряжениями, и, далее, с вязкостью и деформацией приводится в более специальных курсах. Она связана с потерянной энергией, рассмотренной в гл. 4, выражая величину энергии, теряемой из-за трения в единицу времени в единице объема жидкости. Величину Ф называют также вязко-диссипативным членом. Потерянная энергия h оказывается существенной в уравнении баланса механической энергии при вычислении потерь давления. Однако на температуру жидкости величина Ф оказывает пренебрежимо малое влияние и может быть в уравнении энергии опущена, за исключением случая весьма вязких жидкостей или движений со скоростями, близкими к скорости звука.
Исходя из термодинамических соотношений, можно показать, что для несжимаемой жидкости имеет место уравнение
Di __ r tDt , Dp Dx ® p Dx * Dx
После подстановки в уравнение (10.10) получаем
Dt dt . dt . dt . dt Л ( d*t . дЧ , d*t \ ...
_ = Ux_ + w!/1_ + Uz_ + _ = __(—+_+_J. (10.11)
Здесь Ф опущено. Для твердого тела это уравнение принимает форму
дх QCp \ дх* dy* dz* ) • V1V-
Это уравнение окончательно упрощается для стационарного случая
-^-+*^-+ — = 0 (10 13)
dx* 1 dy* dz* •
(уравнение Лапласа).
Решения выведенных выше уравнений для нескольких важных случаев будут рассмотрены в разделе «теплопередача». Если в результате химических реакций внутри жидкости выделяется тепло, в уравнении (10. И) прибавляется член, содержащий qr, интенсивность выделения тепла в ккал/м3-ч.
Dt __ X / дЧ , дЧ , дЧ \ , qr /ла л/л
л Dr qCp \ дх2 + ду* дг* ) + еСр ’
Для несжимаемой жидкости уравнение (10. 14) очень похоже на уравнение (9. 22) для диффузии в двойной смеси:
dQa _ n , &2Qa\ j_r
Dx AB\ dx* dy* dz* ) ‘ A-
93
A X
Аналогия распространяется и на величину ——, которая Qvp
измеряется теми же единицами, что и DAB. В силу этой аналогии
величину —тг- часто называют температуропроводностью \ как уже сказано в конце гл. 7. Показав здесь аналогию между тепло-и массопереносом, мы в следующей главе перейдем к выводу подобного уравнения для переноса импульса, для которого будут вы
явлены те же аналогии.
В нашем изложении основных дифференциальных уравнений теплопередачи, массопередачи и переноса импульса мы подходим к уравнениям движения жидкости. Эти уравнения будут впоследствии использованы для решения ряда задач изотермического движения. При этом нужно одновременно удовлетворить уравнениям неразрывности и уравнению состояния жидкости.
Как показано здесь, сложность уравнений возрастает по мере перехода от массопередачи к теплопередаче и к переносу импульса. Поэтому звучит парадоксально, что проще всего решаются уравнения изотермического движения жидкости, тогда как уравнения массопередачи и теплопередачи обычно приходится решать совместно с уравнениями движения. Подробно применение уравнений (9. 20) и (10. 10) будет изложено после того, как будет рассмотрено применение уравнений движения.
Задачи
10. 1. Записать дифференциальное уравнение энергии в цилиндрических координатах. Сначала вывести уравнение, аналогичное (10. 10) (X = const), а затем упростить его, считая постоянными q, X и Ср, аналогично уравнению (10. И).
10. 2. Вывести уравнение, аналогичное уравнению (10. 14) в виде, пригодном для описания осесимметричного трубчатого реактора.
10. 3. Требуется определить*время, которое нужно, чтобы центр шарика шарикового подшипника остыл до определенной температуры. Найти форму записи уравнения энергии, * удобную для решения этой задачи нестационарной теплопередачи.
1 Эта фраза связана с английской терминологией: diffusivity — коэффициент диффузии, thermal diffusivity — температуропроводность. (Прим, перев.)
11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ
УРАВНЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Перейдем теперь к выводу уравнений движения реальной жидкости. Эти уравнения, основанные на втором законе Ньютона, позволяют определить характер изменения скорости по пространству. При их помощи могут быть определены и такие величины, как перепад давления при ламинарном движении. Эти уравнения с некоторыми изменениями применимы и к турбулентному движению, но их приложения будут рассмотрены отдельно. В последующем изложении поток предполагается ламинарным.
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА В ПРИМЕНЕНИИ К ЭЛЕМЕНТУ ЖИДКОСТИ
Запишем уравнения движения для направлений трех координатных осей. Для оси х
Fx — Max. (11.1)
Это уравнение можно записать через скорость изменения количества движения:
FX = ±№*L. (11.2)
Применим это уравнение к элементу жидкости, имеющему постоянную массу и движущемуся вместе с жидкостью. Это — метод Лагранжа, так что по приведенным в гл. 10 соображениям производную, входящую в уравнение (11. 2), запишем в виде субстанциальной производной:
FX = M^-. (11.3)
Для элементарной массы Q dx dy dz уравнение (И. 3) принимает вид п
dFx=z§dxdydz—^-. (11.4)
95
МАССОВАЯ СИЛА
Сила dFx представляет собой результирующую сил, действующих на элемент в направлении оси х. Удобно подразделить их на массовую силу X, измеряемую в н/кг = м/сек2, и силы, вызванные механическими напряжениями, действующими на поверхности элемента. Массовая сила действует на весь объем элемента. Примером ее служит сила, действующая на заряженное тело в электрическом поле. Для выделенного элемента составляющая массовой силы в направлении оси х равна
= XQdxdy dz. (11. 5)
Единственная массовая сила, которую мы будет рассматривать, — это сила тяжести. Ее составляющую можно представить в виде
X-gcosp, (11.6)
где Р — угол между осью х и направлением действия силы тяжести.
НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЭЛЕМЕНТ ЖИДКОСТИ
На каждой из шести граней рассматриваемого элемента действуют механические напряжения со стороны окружающей
z
Рис. И. 1. Элемент жидкости, на котором показаны напряжения, действующие в направлении оси х.
жидкости. Каждое из этих напряжений в сво^Ь очередь может быть разложено на три составляющих, параллельных трем осям. На рис. 11. 1 показаны компоненты напряжений, действующих в направлении оси х, а на рис. И. 2 — напряжения, действующие
96
на данную грань. На этих рисунках видна система индексации ^напряжений т. Первый индекс указывает грань, на которую дей-• ствует напряжение, для чего указывается ось, перпендикулярная этой грани. Второй индекс указывает направление, в котором действует напряжение. Напряжения, имеющие смешанные индексы (тху) — это касательные напряжения. Общепринятый выбор положительного направления касательных напряжений показан на рис. 11. 3. Напряжения с двумя одинаковыми индексами, как тхх, — нормальные. Они тесно связаны с гидростатическим давлением. Как обычно в механике, положительными считаются растягивающие нормальные напряжения.
Рис. 11.3. Касательные напряжения, создающие момент относительно оси, параллельной оси z.
Рис. 11.2. Напряжения на одной грани элемента жидкости.
При стремлении размеров элемента, показанного на рис. 11. 1 и 11. 3, к нулю напряжения на противоположных гранях становятся равными по величине и противоположными по знаку. Поэтому напряженное состояние в точке может быть полностью охарактеризовано заданием шести компонентов касательных и трех компонентов нормальных напряжений.
Рассматривая возможные вращения элемента, можно показать, что не все касательные напряжения независимы. Например, напряжения, показанные на рис. 11. 3, могут создать момент, вызывающий вращение вокруг оси, параллельной оси z. В соответствии с законами механики этот вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение. Можно показать, что это приводит к уравнению
^ху ^ух — (радиус инерции)2 X угловое ускорение.
При стремлении размеров элемента к нулю радиус инерции стремится к нулю, так что тху должно равняться хух. Аналогичное
7 Заказ 519.
97
рассуждение показывает, что тХг = т2Х и xyz = rzy. Давление принято связывать с нормальными напряжениями следующим соотношением:
Р “ “о" (^хх tzz). (11.7)
о
Знак минус необходим, так как положительное давление соответствует сжатию, а напряжения положительны при растяжении. Если скорость не везде одинакова, то нормальные напряжения будут различаться между собой и ни одно из них может не совпасть с давлением по абсолютной величине.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Рассмотрим снова рис. 11. 1 и выпишем выражение для х-компоненты силы, которая возникает из-за изменения напряжений по пространству.
dFx напр = (тжж + dx } dy dz + (тух + -^2. dy) dx dz +
(дТ/ \
Хгх + ~^~ dz) dxdy—xxxdy dz—xyxdxdz—xzxdxdy. (11. 8)
После упрощений это уравнение переходит в
dFx^=(^+^ + ^)dxdydz. (11.9)
Единственными силами, действующими в направлении оси х, являются равнодействующая напряжений — уравнение (11. 9) и массовая сила — уравнение (11. 5). Входящий в уравнение (И. 4) член dFx равен сумме этих сил, так что из уравнений (И. 4), (И. 5), (И. 6) и (И. 9) следует
e^-=6gcoSp + ^+^-+^. (п.Ю)
Уравнение (11. 10) записано в напряжениях. Читатель помнит, что эти напряжения можно также рассматривать, как плотности потоков ^-компоненты импульса. Член dx выражает
результирующую плотность потока ж-компоненты импульса из выделенного объема через две его грани, перпендикулярные оси х. Член dy выражает суммарную плотность потока ^-ком-
поненты импульса из выделенного объема через грани, перпендикулярные оси у. Аналогичное значение имеет dz.
Последние три члена уравнения (11. 10) можно сопоставить с подобными членами уравнения (9. 18) (потоки массы) и уравнения (10. 8) (потоки энергии). Наряду с уравнением (11.10) можно 98
составить подобные же уравнения для направлений осей у и z. Выпишем все три уравнения для удобства дальнейших ссылок:
= + + + (11.11)
Dx dx ' ду ' dz ' 4 '
Duy _ у । дтХу . дХуу , dxzy л ...
* Dx дх ду dz '
Q-^=eZ+-^-+-^ + -^. (11.13)
* Dx 4 dx 1 dy ‘ dz ' '
Следующий шаг состоит в выводе уравнений, пригодных для вычисления перепада давления или распределения скорости. С этой целью мы свяжем напряжения со скоростями деформации элемента и с вязкостью жидкости. Скорости деформации мы выразим через производные от компонент скорости движущейся жидкости.
Для неньютоновской жидкости уравнение (11. 10) сохраняет силу, но в последующее изложение, где напряжения и скорости деформации связаны через обычную вязкость, нужно внести изменения.
связь напряжений с вязкостью1
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Тогда как упругие тела деформируются в соответствии с зако-
ном Гука, устанавливающим, что величине деформации, для ньютоновских жидкостей напряжение пропорционально скорости деформации. (Иногда скорость деформации называют скоростью сдвига.)
Как было показано в гл. 7, уравнение, определяющее вязкость через скорость сдвига, для одномерного случая имеет вид
т = Н-^. (11.14)
напряжение пропорционально
Рис. 11.4. Деформация, вызванная сдвигом в одномерном течении.
При более сложных деформациях скорость деформации удобно
определять как скорость изме-
нения угла <р, показанного на рис. 11. 4. Для простого одномерного случая изменение угла ф (в радиана*) за время dr
1 Изложение следует [79].
7*
99
можно выразить как величину дуги радиус dy.
(dux/dy) dy dx dy
dy dr, деленную на
(И. 15)
Поэтому скорость деформации
d(p dux dx dy *
(И. 16)
что после подстановки в уравнение (11. 14) дает
ГхУ = -р-^. (11.17)
Рис. И. 5. Деформация, вызываемая касательными напряжениями.
а — до деформации; б — по истечении времени dx.
Воспользуемся теперь уравнением (И. 17) при исследовании деформации элемента.
На рис. И. 5 показана деформация, которую вызывают напряжения, действующие на гранях, перпендикулярных плоскости ху. Эти напряжения также показаны на чертеже.
Как показано на рис. 11. 5, б, изменение угла (р складывается из двух частей. Одна из них, как следует из рассуждения, аналогичного выводу уравнения (11. 5), равна ) Л, ДРУгая
часть равна ( dx. Поэтому получим
dtp / дих , диу \ dx \ ду ' дх )
Подстановка этого значения в уравнение (11. 17) дает
Тху - Хух - у. ( -g- + ) .
(И. 18)
(11.19)
100
Аналогичным образом другие касательные напряжения оказываются равными
^xz=^^zx = И 5 (11- 20)
'ги = т*г/==Р' (“эТ + _эг) • (11.21)
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Исследование нормальных напряжений несколько более сложно. Прежде всего по определению (11. 7) имеем
1
Р~ " faxx + 'tyy Н~Тгг).
В частном случае, когда жидкость покоится или движется так, что скорость вёзде одинакова, каждое из нормальных напряжений численно равно давлению. В общем случае нормальное напряжение представим состоящим из доли, обусловленной давлением, и доли, обусловленной вязкими напряжениями, возникающими при продольной деформации элемента жидкости в направлении этого нормального напряжения. Сформулируем это положение математически в виде (для направления оси х)
Ъсх = —р + вх. (11.22)
Величина р уже определена уравнением (И. 17). Используем его совместно с уравнением (И. 22) следующим образом:
Идс — ххх 4~ р] (11.23)
CFpc = Ххх — (Ххх Хуу -|- Xzz) ; (11. 24)
—(Хуу 4~Tzz). (11.25)
Окажется удобным разделить вязкое нормальное напряжение вх на две части, так что уравнение (И. 25) преобразуем к виду
&Х = (Тдх Хуу) -g- (Тхх Xzz) . (11. 26)
Аналогичным образом можно вывести уравнения для и Если подставить выражения для вх, и о2 в уравнение (И. 22), то получим соответственно уравнения (И. 27), (11. 28) и (11. 29):
^хх = Р (Ххх Туу) — (xzz ххх); (11. 27)
(а) (Ь) (с)
= — р ~ (тдх Хуу) (туу— ^zz)t (11.28)
(а) (Ъ) (d)
^zz == Р Ч~ “д’” frzz — Ххх) з" (т*г/у — Xzz). (11. 29)
(а) (с) (d)
101
Обозначения (а), (6), (с), (d) под отдельными членами этих трех уравнений будут впоследствии использованы как удобное средство идентификации.
Под действием нормального напряжения Тхх возникает деформация в направлении оси х. Будем считать, что — скорость
деформации в направлении оси х, можно определить, суммируя вклады от членов, входящих в три приведенные выше уравнения для нормальных напряжений.
та о дих
Рассмотрим сначала вклад, вносимый в величину давлением (обозначим его через Изменение давления
—вызывает изменение плотности элемента. Скорость этого изменения выражается уравнением неразрывности
dUz зп\'
е Dx дх "г ду dz ’ (п.ои;
Как показывает уравнение (9. 14), левая часть этого уравнения равна также скорости объемной деформации (растяжения) ~ .
Так как давление по всем направлениям одинаково, то вклад его в скорость деформации в направлении оси х выражается в виде
/ дих \ __ 1 1 Dv _ 1 / дих диу . duz \ , . ..
\ дх )а 3 v DX 3 \ дх ' dy ' dz / (И-olj
Остальные напряжения, входящие в уравнения (И. 27)— (И. 29), будут рассматриваться парами (fe, с, d), выбранными так, чтобы выделенный элемент можно было рассматривать как подвергнутый чистому сдвигу —- случай, легко поддающийся анализу. При чистом сдвиге элемент, испытывающий в одном направлении сжатие, а в перпендикулярном — растяжение той же величины, ведет себя так, как будто на него действуют только касательные напряжения в плоскостях, наклоненных под углом 45° к осям. На этих плоскостях нормальные напряжения отсутствуют, а касательные равны по величине нормальным напряжениям, приложенным к элементу извне х.
Рассмотрим сначала члены, отмеченные в уравнениях (И. 27) и (11. 28) индексом (&). Эти напряжения действуют так, как показано на рис. И. 6, причем направленные по оси х напряжения положительны (растяжение), а направленные по оси у — отрицательны (сжатие). В то же время касательное напряжение пропорционально скорости угловой деформации:
гь = [1
(11.32)
1 Более полно эти вопросы разъясняются в обычных руководствах по механике. См., например, [163].
102
для угла 4- может быть записано А
Рис. 11. 6. Вклад в деформацию, создаваемый нормальными напряжениями (I).
__ Хх dXy—Ху dXx
*х
Величину нужно выразить через — вклад в вели-
< дих чину , создаваемый рассматриваемыми напряжениями. Так как на элемент со стороной h (рис. 11-6) не действуют нормальные напряжения, то при деформации длины сторон этого элемента меняться не будут.
Как показывает рис. И. 6, соотношение
*8 (О-33)
Из того, что стороны имеют постоянную длину h, следует
Ц + = const (11.34)
и, так как примерно равно Хх^
dXy^~dXx. (11.35)
Продифференцируем те-
перь (11.33):
2 cos2 -2.
Подставляя — dXx вместо dXy чаются только на бесконечно d(p
2 cos2
Разделив уравнение (И. 37) на dx и положив ср = 90°, имеем:
(11.36)
и используя то, что Хх и Ху отли-малую величину, получим
= Ж (11.37)
Хх
а*. (11.38) dx Хх dx
Из рис. И. Дует: 6 видно, что dkx = kxdr, откуда еле- у 0Х / Ь
Искомое напряжение определим теперь из уравнений (И. 32)
И (11. 39):
103
и окончательно получим
/ дих \ _ ть
\ дх )ь 2|х
(11.41)
или
/ дих \ _ 1 %ХХ—tyy
\ дх )Ъ^ 2|Л 3
(И. 42)
Из четырех групп напряжений, входящих в уравнения (И. 27)—(И. 29), две уже рассмотрены. Чтобы определить вклад третьей группы, рассмотрим снова элемент, подверженный чис-
Рис. 11.7. Вклад в деформацию, создаваемый нормальными напряжениями (II).
тому сдвигу, как показано на рис. 11. 7. Рассуждая так же, как ( дих \
и при определении ( находим
\ дх )с— 2р 3 * (11.4<5)
Оставшаяся еще пара напряжений, помеченная в уравнениях (И. 27)—(И. 29) индексом (d), не вызывает никакой деформации в направлении оси х, т. е. == 0. Скорость дефор-
мации в направлении оси х, вызванная нормальными напряжениями равна сумме рассмотренных выше скоростей деформации дих 1 ( дих f диу f duz \ ( 1 ^yy । 1 ^xx ^zz /л 4 /(/д
дх “ 3 \ дх 1 ду dz J ' 2р 3 ’ 2р, 3 k 7
ИЛИ
дих 1 / дих . диу . duz \ . 1Хх ^хх + Туу + tzz /л л zt\
дх ~~ 3 \ дх "i“ ду dz 2р 2р-3 ‘
104
Разрешая относительно тхх и используя определение давления — см. уравнение (И. 7), — получим
— п_1_9п д“х 2 и (дих 1 диу \duz\ /лл /а\
Тхх-^ + 2Н-аГ~-з- И (11-46)
Аналогичным образом можно вывести уравнения для двух других направлений:
'.."-Р+З^Ж + т + т); (Н.47)
г==-р + 2и^-|иО+^ + ^). (11.48)
УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА
Если выражения (11. 19), (И. 21) и (И. 46) для трех компонентов напряжений, направленных по оси я, подставить в уравнение (11. 11), то получим в законченной форме уравнение движения в направлении оси х.
„ Du*
® Dx
дР । о.. д2их 2 „ ( д2их , д2иу
У дх дх2 з и \ дх2 -* дх ду
/ д2их д2иу \ / д2их . d2uz \
"г- \ ду2 "• ду дх ) \ dz2 dzdx )'
После преобразований имеем
Dux у др / д2их . д2их д2их \
У Dx * дх \ дх2 "Г ду2 ’ dz2 )
। 1 д / дих t диу , duz \
‘ 3 дх \ дх * ду ‘ dz ) '
d*uz \ дх dz ) *
(11.49)
(11.50)
Аналогичные уравнения имеют место для направлений осей у ts. z. Эти три уравнения называются уравнениями Навье — Стокса или уравнениями движения. На их основе в гидродинамике получены многие полезные результаты.
Для несжимаемой жидкости, которая и будет в основном рассматриваться, уравнение неразрывности дает
-^ + ^С4-^£. = 0. (11.51)
дх 1 ду ‘ dz ' '
Поэтому уравнения Навье — Стокса имеют в этом случае вид . дих . дих . дих Ux -ч--------------F Uy + Uz -з---h -v— =
дх 1 у ду z dz 1 дх = у 1 др / д2их . д2их . д2их \ в q дх V \ дх2 ду2 dz2 ) ’
(11.52)
105
диу . диу , диу . диу
Ux +uy + =
dx 1 y dy 1 z dz 1 dx
у______1_ dp , ( дгиу . d2uv , d2uv \
q dy ‘ \ dx2 * dy2 ‘ dz2 J ’
duz , du™ I duz , duz
Ux -r- + Uy -P- + Uz 4- =
x dx 1 9 dy * dz ' dx
-7 1 dp / &Uz , d2uz d2uz \
" Q dz “I" v \ dx2 dy2 "r dz2 } •
(11. 53)
(11.54)
Устрашающий вид этих уравнений связан главным образом с тем, что они написаны в общем виде, пригодном для описания трехмерных течений, не обладающих симметрией. К счастью, как будет показано в следующих главах, многие технические задачи могут быть решены при помощи одно- и двумерной формы этих уравнений. Как указано выше, уравнения (11. 52)—(11. 54) приложимы к ламинарному движению жидкости постоянной вязкости и плотности. В гл. 13 будут рассмотрены видоизменения, которые нужно внести, чтобы сделать эти уравнения применимыми к турбулентному движению.
Задачи
11. 1. В случае идеальной жидкости вязкость равна нулю и уравнения (И. 52)—(И. 54) превращаются в уравнения Эйлера — основные уравнения движения идеальной жидкости. Если течение к тому же безвихревое \ то, как можно показать,
dux __ duy dux _____ duz duy _____ duz
dy dx ’ dz dx ' dz dy *
Используя эти соотношения, показать, что для стационарного безвихревого движения несжимаемой жидкости уравнения Эйлера приводят к уравнению Бернулли.
11.2. Написать уравнения Навье — Стокса для двумерного стационарного течения, а затем записать эти уравнения при помощи функции тока.
1 Течение называется безвихревым, если тождественно равен нулю . . duz duy duz duz
вихрь (ротор) скорости — вектор с компонентами —----------------,
duy dux
-------т. е. если выполнены приводимые в тексте равенства. (Прим, перев.).
12. НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
В настоящей главе мы будем изучать некоторые применения уравнения импульсов к изотермическому течению. Результаты послужат дополнением к. вводному рассмотрению ламинарного движения в трубе в гл. 7 и качественному анализу обтекания плоской пластинки, приведенному в гл. 8.
В гл. 7 мы записали уравнение равновесия конечного цилиндрического элемента жидкости при ламинарном движении в круглой трубе. Это привело к формуле Гагена — Пуазейля. В гл. 11 мы записали уравнения равновесия бесконечно малого элемента жидкости в общем случае, не указывая форму трубы или погруженного в жидкость тела. Результатом такого рассмотрения'явились уравнения Навье — Стокса — система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Ввиду математической сложности точные решения этих уравнений найдены только для относительно простых случаев, когда многие. члены уравнений можно приравнять нулю. Иногда вся задача сводится к решению одного уравнения вместо системы. Такое упрощение удается провести для ламинарного движения в круглой трубе. Далее в этой главе мы воспользуемся этим, чтобы из уравнений Навье — Стокса получить выражение для параболического распределения скорости. Рассмотрев несколько точных решений уравнений Навье — Стокса, мы будем изучать методы упрощения этих дифференциальных уравнений, которые позволяют получить их аналитические решения. При этом исключаются члены, которые, хотя и не равны точно нулю, но малы по сравнению с остающимися. Мы будем рассматривать приближения, называемые ползущим течением, потенциальным течением и течением в пограничном слое.
107
ЛАМИНАРНОЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МЕЖДУ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ
Одним из простейших типов течения является стационарное ламинарное течение несжимаемой жидкости между плоскими параллельными стенками бесконечной ширины., рассматриваемое вдали от входа и выхода канала. Если ось х направлена по течению, то иу и uz равны нулю и из уравнения неразрывности
5^ = 0 дх
(12.1)
Из уравнений Навье —- Стокса рассмотрим сначала (11. 52). Так ди
как иу = 0, uz = 0 и --- 0, то уравнение (11.52) сводится к
или
др дх
дгих ду2
д2их \
5z2 )'
(12. 3)
Если канал расположен горизонтально, то массовая сила X равна нулю — см. уравнение (11. 6). Расположение осей показано на рис. 12. 1. Как показано на чертеже, канал имеет ширину 2г/0 и неограниченно простирается в направлении оси z. Поэтому их не зависит от z, так что ~ 0, и уравнение (12. 3) переходит в
(12 4Л
108
Рассмотрим теперь кратко два других уравнения Навье — Стокса. В уравнении (11. 54) все члены, содержащие uz, и массовая сила Z равны нулю, так что = 0. Если ширина канала 2г/0 предполагается малой, можно пренебречь также вертикальной составляющей массовой силы Y и уравнение (И. 53) сведется к = 0. Таким образом, р не зависит от у и z и вместо можно писать . Гак как их и, следовательно, не зависят от х, то можно утверждать, что во всех точках канала, удовлетворяющего сформулированным условиям, производная постоянна. Поэтому дифференциальное уравнение, которое нужно решить, имеет после всех упрощений вид
д2их ду2
1 dp р dx
const.
(12. 5)
Полное давление в приведенном выше уравнении для движения в щели можно рассматривать как сумму гидростатического давления (давления, которое существовало бы в отсутствие движения) и величины, которая называется динамическим давлением. В действительности именно градиент динамического давления вызывает движение. В покоящейся жидкости градиент полного давления совпадает с градиентом гидростатического давления, а градиент динамического давления равен нулю. Если данное выше определение полного давления подставить в уравнения Навье — Стокса, то окажется, что полное давление заменится на динамическое ра, массовые силы исчезнут, а все остальные члены останутся без изменения. Таким образом, и строго равны нулю,, даже для не горизонтальной щели, и справедливо уравнение
д2их __ 1 dpd dy2 ~ р dx '
(12. 6)
Исследование, проведенное вначале, привело к уравнению, которое является не вполне точным, так как полное давление в нижней части канала несколько выше, чем в верхней. Однако для динамического давления градиент в направлении оси у отсутствует, и уравнение (12. 6) является точным. Во многих книгах по гидродинамике уравнения Навье — Стокса записываются черев динамическое давление.
Интегрирование уравнения (12. 5) дает
ди 1 dp
ду р dx V'
(12.7)
109
Постоянная интегрирования равна нулю, так как при у = О = 0 (для удобства записи у скорости и опущен индекс). В результате второго интегрирования
(так как и = 0 при у = у0).
Поскольку < 0 и у* < yl, это уравнение обычно записывают в виде
Максимальная скорость umax достигается при у = 0. Поэтому уравнение (12. 9) можно записать по-другому:
U = Umax £1 — (~у^) ] ‘
Из этого уравнения и уравнения баланса массы получим тем же путем, что и в нескольких примерах гл. 3,
Выведенные выше соотношения можно получить, рассматривая равновесие элемента жидкости, выбранного так, чтобы использовать симметрию течения. Такой вывод составляет содержание задачи 7. 1. В приведенном выводе тот же результат получен из уравнений Навье — Стокса, причем основное внимание было обращено на некоторые теоретические подробности.
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
Это другой пример параллельного течения, в котором иу, иг, дих дих
и все равны нулю, если рассматривается стационарное движение на большом расстоянии от входа в трубу. Ориентация осей показана на рис. 12. 2. Уравнения Навье — Стокса для движения несжимаемой жидкости сводятся к
= (12.12)
dx г \ ду* 1 dz* / v '
В этом уравнении можно под р понимать динамическое давление, в частности, если ось х не горизонтальна; и заменяет их. Величина - постоянна. Уравнение такого вида получается
НО
на основе тех же рассуждений, как и в случае движения между плоскими стенками.
В данном случае и зависит и от г/ и от z, так что производную нельзя положить равной нулю. Решение этой задачи сильно упрощается, если использовать цилиндрические координаты, для которых, как показано на рис. 12. 2,
х — х\
y = rcos 0;
z = г sin 0.
(12. 13)
(12.14)
(12.15)
Обратно
r = j/z2+ya (12.16)
И
0 = arctg —. (12.17)
У
Используя эти соотношения, можно преобразовать уравнение (12. 12) в эквивалентное ему уравнение в цилиндрических координатах:
даи . 1 ди 1 д2и дг2 + г дг • г3 дО2
Рис. 12. 2. Течение в круглой трубе.
1 dp р, dx
(12. 18)
Выкладки, с которыми сопряжено это преобразование, весьма скучны и здесь опущены. В силу симметрии течения относительно д2и
оси х, = 0, и мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
+ const (12.19)
аг- 1 г dr р, dx 4 7
ИЛИ
— zr(rzr)== — 4е-= const. (12.20)
г dr \ dr J р, dx ' 7
Проинтегрируем уравнение (12. 20), удовлетворим граничному условию = 0 при г = 0, а затем проинтегрируем второй раз и удовлетворим условию и ~ 0 при г = Имеем
(12.21)
111
Результат аналогичен уравнению (12. 9) для движения в щели и легко преобразуется к виду
и — umax £1 ’
(12. 22)
что совпадает с уравнением (7. 14). Интегрирование по сечению трубы дает
dp_____ 8р>иъ
(12. 23)
Практическое применение уравнения (12. 23), называемого уравнением Гагена — Пуазейля, показано в примере 7. 1 и задачах 7. 6-7. 8.
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В КОЛЬЦЕВОМ ЗАЗОРЕ
В практике часто встречается течение между двумя концентрическими трубами. В этом случае так же применимо уравнение (12. 20); другой его вывод предложен в задаче (7. 9). При первом du ~ интегрировании используется условие: = 0 при г = гтах,
где гтах — радиус, на котором скорость достигает максимального значения. Интегрирование дает
Проинтегрируем второй раз, удовлетворяя требованию и = 0 на внутренней границе г =• гХ1 и получим
. Л / Г2 ~ Г2 \
U = 4г < 1п 7Г • <12- 25>
ил \ л ' 1 /
Однако и равно нулю и при г = г2, так что можно записать по-другому:
и = 1$~£ (т2 г”аах1п4’)’ (12.26)
Эти два уравнения позволяют выразить гтаХ через т\ и г2:
/ г2 —г2
—'77Л <12.27)
V 21»й)
112
Интегрирование по сечению кольцевого зазора дает
dp dx
8|хиь
/•2 _L __ 9 ~2
r2 < ri ^rmax
(12. 28)
Профиль скорости, который задается выражением (12. 26), показания рис. 12.3. Для предельного случая г х = = 0, гтах обращается в нуль и уравнения (12. 26) и (12. 27) сводятся к соответствующим уравнениям (12. 21) и (12. 23) для круглой трубы.
Следует помнить, что эти точные решения уравнений
движения относятся только Рис. 12. 3. Распределение скорости при к изотермическому движе- движении в кольцевом зазоре, нию несжимаемой жидкости на большом удалении от входа в канал. Для движения в круглой трубе число Рейнольдса должно быть меньше 2100. (Как определяется число Рейнольдса для некруглых труб, будет сказано в гл. 15.) Другие точные решения здесь не будут рассмотрены, но их можно найти в более специальных трудах.
ПОЛЗУЩИЕ ТЕЧЕНИЯ
Термин «ползущее течение» используется для описания течений с очень малыми скоростями, или, точнее, при очень малых числах Рейнольдса. Основной интерес к этому типу течения вызывается тем, что такое течение возникает при падении в жидкости мелких частиц. На представлении о ползущем течении основан вывод формулы Стокса, используемой при решении задач отстаивания и осаждения. Ползущее течение встречается также в некоторых задачах теории смазки.
При числах Рейнольдса, меньших единицы, вязкие силы в потоке преобладают над инерционными.
Рассмотрим, например, обтекание сферы. Величина и направление скорости частицы жидкости изменяются сложным образом, и если бы были существенны инерционные силы, связанные с этими изменениями, то пришлось бы удержать все члены во всех трех уравнениях Навье — Стокса. Вспомним, однако, что субстанциальная производная согласно формулировке второго закона Ньютона —- см. уравнение (И. 4) — пропорциональна силе, которая требуется, чтобы преодолеть инерцию жидкости. В результате в уравнениях движения, описывающих ползущее течение, эту производную можно опустить. Результаты, полученные на основе
8 Заказ 519. 113
такого предположения, оказываются в согласии с экспериментом при Re < 1. Таким образом, для ползущего течения несжимаемой жидкости уравнения движения имеют вид
^£ — 11 ( &Ux । д2их । д2их \ -
dx \ dx2 * dy2 ’ dz2 / ’
dp / d2uv . d2uy . d2uv \
(12. 29)
(12.30)
dp / d2uz , ~dz~
d2uz dy2
d2uz \
I- dz2 )
(12. 31)
и уравнение неразрывности
dux . duy f duz dx * dy ‘ dz
0.
(12.32)
На поверхности сферы тангенциальная и нормальная составляющие скорости должны обращаться в нуль. Если воспользоваться сферическими координатами, то в задаче оказываются только две независимые переменные. Получение выражений для распределения скорости требует длинных и сложных вычислений. Поэтому укажем лишь, что решение этой задачи известно [90}. Интегрируя полученное распределение давления по всей поверхности сферы, можно показать, что сопротивление, вызываемое давлением жидкости,
F d давл — 2Л[1Г
(12. 33)
где г0 — радиус сферы; и0 — скорость потока вдали от сферы (или скорость движения сферы в покоящейся жидкости).
По известному распределению скоростей, используя определение вязкости, вычисляют касательные напряжения на поверхности сферы. Интегрирование их по всей поверхности сферы дает полную силу, вызванную вязким сопротивлением (сопротивление трения)
Fd тр = 4n^r0iz0. (12.34)
Отсюда полная сила сопротивления
Fd = 6лртоио (12. 35)
(формула Стокса). Сила сопротивления пропорциональна скорости. Сравнивая формулы (8. 13) и (12. 35), находим, что определенный в гл. 8 коэффициент сопротивления равен
с = 12р. 24
D Qworo Re ’
(12. 36)
114
ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрев случай движения с очень малыми числами Рейнольдса обратимся к противоположному крайнему случаю — к движению при очень больших числах Рейнольдса, когда инерционные силы преобладают над вязкими. Положим в уравнениях Навье — Стокса вязкость равной нулю и получим уравнения движения идеальной (или невязкой) жидкости. Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.
их дих дх + щ> дих ду \-иг^- = Х — 1 4 dz q dx ’ (12. 37)
Ux duv дх + «у диу ду l„ — Y — 1 dz 1 dp e Q дУ ’ (12.38)
их duz дх 1 иУ диг ду i U &Uz 7 | uz dz — L 1 dp Q dz (12. 39)
Теория идеальной жидкости находит применение в аэродинамике, особенно при вычислении подъемной силы крыловых профилей. Она применяется и в общей задаче об обтекании тела, так как при помощи этой теории определяется распределение давления на внешней границе пограничного слоя. Поскольку в этой теории постулируется нулевая вязкость, она приводит к проскальзыванию на поверхности твердого тела. Как уже сказано ранее (гл. 8), в действительности проскальзывание у поверхности отсутствует, и в пограничном слое вблизи поверхности должно учитываться влияние вязкости и сдвиговых деформаций. Тем не менее, для потока вдали от тела предположение об идеальности жидкости часто оказывается применимым.
Наибольшее применение теория движения идеальной жидкости находит у авиационных инженеров. Она, однако, играет важную роль в изучении гидродинамики инженерами всех специальностей. Дальнейшее изложение ограничивается простым случаем безвихревого или потенциального течения. Это название подразумевает отсутствие в жидкости вращения или завихренности.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Широко известно понятие электрического потенциала. Встречалось нам и понятие потенциальной энергии поля тяжести. Если направить ось z вертикально вверх, то массовая сила Z — —g (м/сек2). Так как изменение потенциальной энергии Q равно работе, совершаемой при перемещении массы в 1 кг и направлении оси z, то
dQ = Zdz (12.40)
и
К dz •
(12.41)
8*
115
Здесь сила выражена как градиент потенциала. Определим потенциал скорости ф (я, у) по аналогии (ограничиваясь для простоты двумерным течением) так, чтобы скорость равнялась градиенту потенциала.
Итак,
= (12.42)
И
= (12.43)
Подставляя эти выражения для скоростей в уравнение неразрывности
-^-1-^ = 0, (12.44)
получим
S+-$ = 0 (12.45)
— уравнение Лапласа.
Если известны соответствующие начальные и граничные усло“ вия, это уравнение можно решить и найти ф (х, у). После этого скорость в любой точке можно получить из уравнений (12. 42) и (12. 43). Все это достаточно просто, но до сих пор мы попросту предполагали, что потенциальная функция ср (ж, у) существует. В действительности она существует лишь, если течение удовлетворяет определенным требованиям, которые мы сейчас установим.
Дифференцируя уравнения (12. 42) и (12. 43), можно получить
дих __
ду ду дх
диу __ д2ф
дх дхду *
(12.46)
(12. 47)
Поскольку функция ф (х, у) однозначна и считается, что все ее вторые производные существуют х, то правые части этих уравнений совпадают и мы имеем
диу дих q дх ду
(12. 48)
Величина, стоящая в левой части уравнения (12. 48), называется вихрем. Как мы убедимся, она равна удвоенной угловой скорости вращения элемента жидкости относительно оси, параллельной оси z.
1 И непрерывны. (Прим, перев.).
116
Рассмотрим вращение элемента жидкости, связанное с теми производными скоростей, которые входят в уравнение (12. 48). (Наряду с вращением они могут вызвать и сдвиг или скольжение слоев жидкости друг по другу.) На рис. 12. 4 показан поворачивающийся элемент жидкости. Начало координат перемещается вместе с элементом. На рисунке показано положение выделенного элемента до и по истечении времени dx. Средний поворот элемента равен полусумме поворотов отрезков dx и dy. Так как
Рис. 12. 4. Элемент жидкости при вихревом движении.
1 — первоначально; 2 — по истечении времени ах.
Рис. 12. 5. Элемент жидкости при безвихревом движении.
угловая скорость равна скорости движения конца отрезка, деленной на его длину, то имеем
и = ' (12.49)
2 \ дх ду ) х 7
Таким образом, течение, показанное на рис. 12. 4, является вихревым и не удовлетворяет требованию (12. 48), которое предъявляется к потенциальному течению.
С другой стороны, течение, показанное на рис. 12. 5, является безвихревым, элемент жидкости деформируется, но не испытывает вращения как целое. В этом случае выполнено требование (12. 48)
диу ди* дх ду
и вихрь равен нулю. Эти определения можно распространить и на трехмерный случай.
Мы показали, что в результате ограничений, налагаемых уравнением (12. 48), потенциальное течение является безвихревым и распределение скоростей может быть найдено из решения уравнения Лапласа (12. 45). Затем, для того чтобы найти распределение
117
давления, можно воспользоваться уравнениями Эйлера. Для двумерного стационарного безвихревого течения несжимаемой жидкости подстановка выражения (12. 46) и уравнения (12. 41), записанного для оси х в уравнение (12. 37), дает
„ 1 .. диУ 9Q 1 1 др -П х дх * у дх дх ‘ q дх (12. 50)
Это уравнение можно проинтегрировать и получить 4- G4+*4)—й(i/). * у (12.51)
Подобным же образом уравнение (12. 38) дает V (*4 + wy) й + = /2 (х). 4 У (12.52)
Так как левые части этих уравнений совпадают, Ш =
= /2 — const. Далее, 2.2 2 Иэс + Uy = U , (12. 53)
так что имеем ± Q JL = const 2 2 (12. 54)
— уравнение Бернулли. Его можно записать по-другому, для двух
точек потока: 4£_дй+ар=о. 2 1 е (12. 55)
Так как из уравнения (12. 41) следует AQ = —gAz, (12. 56)
то мы получим уравнение ^+гд*+^ = о. (12. 57)
аналогичное уравнению (4. 21). (Последнее содержит иь вместо и, но индекс в действительности не нужен, так как в силу предшествующих предположений скорость не может меняться по входному и выходному сечениям.) В данном случае безвихревого течения и и иъ совпадают. Напомним, что в гл. 6 уравнение Бернулли было использовано при рассмотрении трубки Пито и течения между диафрагмой расходомера и сжатым сечением выходящего потока. Легко видеть, что для этих устройств инерционные силы действительно преобладают над вязкими. Ускорение потока вызывается изменением площади поперечного сечения, а поверх-
118
Рис. 12. 6. Сетка течения на входе с закругленными краями.
1 — эквипотенциальные линии (<р постоянно);
2 — линии тока (ip постоянно).
ности трения жидкости и твердых стенок невелики. Так как тече-ние в струе, выходящей из отверстия диафрагмы, безвихревое, то скорость по ее сечению не меняется. В гл. 6 было упомянуто, что коэффициент сжатия потока для диафрагмы был вычислен при помощи теории движения идеальной жидкости. Эта теория применима и в других случаях, когда инерционные эффекты сравнительно велики — при течении через водослив, истечении из большого сосуда в 1 участке трубы с закругленными кромками, показанном на рис. 12. 6.
Показанные на рис. 12. 6 линии тока и эквипотенциальные линии (так называемая сетка течения) получены из решения уравнения Лапласа при граничных условиях, соответствующих заданной форме входа.
Результаты исследования действительного течения оказались в хорошем согласии с приведенными теоретическими результатами. Линии равных значений ф (эквипо
тенциальные линии) и линии равных значений ф (линии тока) всюду перпендикулярны (ортогональны).
Мы знаем, что к обычному параллельному течению в трубе постоянного сечения уравнение Бернулли не применимо. Необходима добавить в него член hf (потерянная механическая энергия), который возникает из-за вязкого трения (касательных напряжений) у например, уравнение (4. 27) при W8 = 0. В этом случае есть градиент скорости в направлении радиуса трубы, но нет компенсирующего градиента в другом направлении. Поэтому согласно уравнению (12. 48) течение является вихревым. Мы можем, конечно, провести для этого вихревого течения линии тока. Существует и функция тока, поскольку она вводится на основе одного лишь уравнения неразрывности (гл. 8). Однако поскольку течение не является безвихревым, потенциальной функции ф не существует. Вращение, возникающее в результате сдвига, который имеет место при ламинарном движении, аналогично вращению карандаша, зажатого между скользящими друг по другу ладонями. Те же замечания относятся и к течению в пограничном слое..
Мы не будем приводить математические подробности решения уравнения Лапласа. Много хороших примеров имеется в книгах по гидродинамике [114, 161, 90]. Сколько-нибудь углубленное
119
изучение этого предмета, выходящее за рамки введения, требует знакомства с некоторыми разделами теории функций комплексного переменного.
ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Рассмотрим теперь ламинарное течение в пограничном слое. При применении к этой задаче уравнений Навье — Стокса некоторые члены в них оказываются пренебрежимо малыми. Это справедливо только при больших числах Рейнольдса, при которых тол-
щина пограничного слоя мала по сравнению с расстоянием от передней кромки. Сделанные предположения не выполняются при малых числах Рейнольдса, когда область, в которой суще-
ственна вязкость, простирается относительно далеко от границ тела, как, например (если взять крайний случай), при ползущем течении. При высоких числах Рейнольдса находит применение и теория
Рис. 12.7. Течение в пограничном слое [144]. идеальной жидкости.
Однако, так как эта
теория предполагает наличие проскальзывания жидкости на поверхности тела, получаемые на ее основе результаты не согласуются с истинной картиной течения в слое жидкости вблизи поверхности. В этом слое скорость жидкости изменяется вплоть до значения, равного нулю на самой поверхности, и пренебрегать здесь вязкостью нельзя. Напомним, что, как сказано в гл.’8, это несоответствие с истинной физической картиной особенно сильно сказывается при вычислении силы сопротивления, для которой теория идеальной жидкости обычно дает ошибочные результаты.
Рассмотрим теперь упрощения, которые можно сделать при применении уравнений движения к двумерному стационарному -ламинарному пограничному слою несжимаемой жидкости. Пренебрежем также массовыми силами (или будем пользоваться динамическим давлением). Тогда для направлений осей х и у имеем уравнения
„ —L 77 9UX — 1 9Р I1 ( d*UX _1_ \ IXе)
и
7/ диУ______1 I H / д2иУ I д2иУ \
x dx ' y dy Q dy ' q \ dx2 ‘ dy2 /
(12.59)
Пограничный слой схематически показан на рис. 12. 7. Толщина его определяется как расстояние от поверхности до точки, где
120
И Uy
скорость достигает 0,99 uQ (uQ — значение скорости на поверхности, которое дает теория идеальной жидкости) х.
Так как предполагается, что пограничный слой примыкает к твердой поверхности и весьма тонок, то, как показал впервые Л. Прандтль [128, 129], поперечная составляющая скорости иу ’ очень мала по сравнению с продольной их, а производная -
велика по сравнению с. Это означает, что члены их
одного порядка и оба сравнимы с -у • С другой
стороны, величина пренебрежимо мала по сравнению
с другими членами уравнения (12. 58).
Аналогичный анализ показывает, что в уравнении (12. 59) все члены, содержащие скорость иу и ее производные, малы. Это при-1 др тт
водит к заключению что —мало. Иными словами, давление лишь незначительно меняется от поверхности тела до границы пограничного слоя. Этот результат важен, поскольку изменение давления в зависимости от координаты х можно найти, считая течение вне пограничного слоя потенциальным, так что производную др » о
в пограничном слое можно считать заданной и не зависящей
от у.
Задача сводится теперь к совместному решению уравнения движения вдоль оси х и уравнения неразрывности (12. 44):
+ (12.60)
дх 1 у ду q dx * q ду2 ’ 4 '
дих . диу _
дх ’ ду
Так как известно из решения задачи для невязкого по-
" тенциального течения и, кроме того, известно, что их = иу = О при у = 0 и их = uQ при у = S, то этих двух уравнений достаточно, чтобы найти два неизвестных их и и#.
Этими же уравнениями можно пользоваться и для искривленной границы с радиусом кривизны, большим по сравнению с S, если х отсчитывать вдоль поверхности, а у — по нормали к ней.
ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
Для случая обтекания плоской пластинки уравнение (12. 60) можно дополнительно упростить в связи с тем, что = 0, так как и0 постоянно. Решение, дающее их и иу для ламинарного
1 Используются и другие определения толщины пограничного слоя.
(Прим, перев.)
121
движения в функции х и у. было впервые получено Блазиусом . [9], а затем усовершенствовано Хоуартом [68]. Хотя уравнения (12. 60) и (12. 44) много проще уравнений для общего случая, решение их все же связано со значительными математическими трудностями. Не приводя деталей, опишем общий метод решения.
Систему уравнений (12.60) и (12. 44) можно свести к одному дифференциальному уравнению в частных производных, если воспользоваться функцией тока, которая, как показано в гл. 8, связана со скоростью соотношениями
= (12.61)
иу=—g-. (12.62)
Функция тока была определена таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Это утверждение проверяется непосредственной подстановкой выражений (12. 61) и (12. 62) в уравнение (12. 44). Подстановка в уравнение (12. 60) для их и иу значений (12. 61) и (12. 62) дает
(12.63) ду дх ду дх ду2 дул ' '
Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка для ф должно быть решено при указанных выше граничных условиях.
Решение дифференциального уравнения вида (12. 63) нельзя получить при помощи регулярных математических приемов. Как правило, оно требует подбора, основанного на значительной физической и математической интуиции. В данном случае способ решения связан с тем, что профили скорости в различных точках пластинки подобны — заключение, которое можно считать основанным на физической интуиции \ Поэтому скорость в любой точке будет выражаться одной и той же функцией отношения ~ . Толщина пограничного слоя 6 зависит от ж, но она возрастает медленнее первой степени х. Другие решения уравнений Навье — Стокса, не приводимые здесь, позволяют предположить, что 6 пропорционально ]/я, так что предположим, что их — функция от -~ у х
их = ъ(^Л (12.64)
\ 1/ х )
1 Вывод о подобии профилей скорости может быть получен при помощи стандартных методов анализа размерностей, который излагается в гл. 14 (см. также [14]). Поэтому нельзя согласиться с утверждением о том, что этот вывод основан на физической интуиции. (Прим, перев.)
122
Уравнение (12. 63) записано для ф, так что нужно знать связь, между ф и их. Мы получим ее из уравнения (12. 61). Если принять ф = 0 на линии тока, проходящей через х == 0, у = 0, то для точки х можно записать
у
о
Используя уравнение (12. 61), имеем:
у
ф (х, у)~ f Ux dy
О
и в силу (12. 64)
у
у Ух
Ф & у) = J fl (dy = Ух J /г (v) dv;
0 0
(12. 65)
(12.66)
После подстановки выражения (12. 67) уравнение (12. 63) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение х. Вместо» приведенных выше простых выражений (12. 64) и (12. 67) величины, используемые для упрощения уравнения (12. 63), записывают обычно в виде следующих безразмерных переменных:
Я = (12.68)
II
/(я)=-^=-, (12.69)
У XVUQ 7
где т| можно рассматривать как безразмерную координату, а / (ц) как безразмерную функцию тока. Соотношения (12. 68) и (12. 69) называются преобразованиями подобия. После длинных вычислений в соответствии с правилами вычисления частных производных 1 2 уравнение (12. 63) преобразуется к виду
/(п)-^-+2^- = 0 (12.70)
1 В оригинале вывод уравнения (12. 67) основан на излишних допущениях. При переводе текст соответствующим образом изменен. (Прим, перее.}
2 Сжатая сводка этих правил дана в [113], стр. 209—213.
12а
или, в упрощенной записи,
//" + 2/'"=0. (12. 71)
Выражения (12. 68) и (12. 69) подобраны так, что при переходе
и uQ исключаются.
Граничные условия для уравнения (12. 71) находим на основе определений
H»==v=u°/' (12-72)
= т/ (12.73)
Таким образом, при у = 0, где их = иу = 0, имеем ц = 0 и f = /' = 0, а при у — оо, где их = uQ, т) = оо и f ~ 1. Решение уравнения (12. 71) в замкнутом виде не найдено, а получено в виде следующего ряда:
Рис. 12. 8. Распределение продольной скорости их в ламинарном пограничном слое на плоской пластинке [144].
/ = 0,664 г|2 —0,00705 т]5 + 0,000153 т]8 — 0,0000350 ri11. . . (12. 74)
Вывод этого разложения и определения коэффициентов по граничным условиям здесь не приводится \ Используя уравнение (12. 74) совместно с уравнениями (12. 72) и (12. 73), можно найти значения
Рис. 12. 9. Распределение поперечной скорости иу в ламинарном пограничном слое на плоской пластинке [144].
их и иу, представленные на рис. 12. 8 и 12. 9. Из рис. 12. 8 видно, что толщина пограничного слоя равна приближенно
6 = 5,0]/^-. (12.75) 1
1 См. [144], гл. 7. Таблица значений f (ц) дана на стр. 118.
124
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
Сила сопротивления, действующая на пластинку, вычисляется по касательным напряжениям на поверхности. В точке поверхности, отстоящей на расстояние х от передней кромки,
т-=|г(4Н-.’ (12-76>
где rs —- касательное напряжение при у = 0. Так как из решения для ламинарного пограничного слоя скорость их известна в функции х и у, то из уравнения (12. 76) получим
Ts = 0,332 (12.77)
и т3 выражено как функция х. Полная сила сопротивления пластинки ширины Ъ и длины L определяется выражением
L
Fd = bjreds. (12.78)
о
Это сопротивление вызывается поверхностным трением; сопротивление давления отсутствует. Подстановка выражения (12. 77) в (12.78) дает
___ L
Fd = 0,332 ц6и0 J р=- = 0,664 Ъи0 (12. 79)
0 *
Таким образом,
= 0,6646 У (12.80)
Коэффициент полного сопротивления, введенный в гл. 8, для случая одностороннего обтекания плоской пластинки длины L может быть записан в виде
где А равно bL. Из уравнений (12. 80) и (12. 81) можно получить
<12-82>
Поскольку число Рейнольдса в данном случае определено как , коэффициент сопротивления выражается формулой
(12-83>
125
Так же, как и другие формулы, выведенные выше, эта формула применима только к ламинарному пограничному слою, когда число Рейнольдса ReL меньше 5 ЛО5. Полученные результаты применимы также только к точкам, достаточно удаленным от передней кромки, так что L (или х) много больше 6, как это предполагалось при упрощении уравнений Навье — Стокса для вывода уравнения (12. 60).
Полученные выше результаты относительно распределения скорости и силы сопротивления подтверждены многочисленными экспериментами.
Пограничный слой был исследован методами, проиллюстрированными на примере обтекания плоской пластинки, и для многих тел другой формы. В общем случае исследование усложняется из-за наличия градиента давления. Трудно поддаются аналитическому исследованию и задачи о следе и об отрыве пограничного слоя. Для инженера-химика представляют интерес задачи об обтекании системы цилиндров, как при течении в кожухе теплообменника, и об обтекании сферических или иных частиц в слоях насадки или в псевдоожиженных слоях. В настоящее время эти задачи чересчур сложны для решения их аналитическими методами, но в будущем можно ожидать успеха от применения методов теории пограничного слоя.
Некоторый успех достигнут в перенесении результатов, полученных для обтекания одиночной сферы, на случай движения в слое сферических частиц.
Полученное Блазиусом решение задачи о ламинарном пограничном слое иллюстрирует важную черту математического подхода к технической задаче. Математик, даже в совершенстве владеющий предметом, не в состоянии решить общих уравнений Навье — Стокса в том виде, который они принимают во многих приложениях. Даже при решении простой задачи об обтекании плоской пластинки нужно знать общую и конкретную физическую картину течения и, кроме того, обладать интуицией (или удачей), чтобы выяснить, какие члены уравнений можно без ущерба отбросить и какие подстановки упрощают дифференциальное уравнение настолько, что его удается решить. В этом одна из главных причин, по которым инженеру следует достичь математической квалификации, достаточной для решения подобных теоретических вопросов, а не оставлять их полностью математикам.
ТЕЧЕНИЕ НА ВХОДНОМ УЧАСТКЕ ТРУБЫ
Развитие профиля скорости было показано на рис. 8. 6 для прямоугольного канала бесконечной ширины. На верхней и нижней стенках возникает пограничный слой. Положение при этом сходно с обтеканием плоской пластинки, и оценить длину входного участка (т. е. расстояние до точки, где толщина пограничного 126
слоя 6 == i/0) можно, используя уравнение (12. 75). Однако правильного результата этот приближенный метод не дает, так как в центральной части канала жидкость не продолжает двигаться со скоростью и0, а ускоряется, как это должно быть, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности. Аналогичные срображе-
ния применимы и к течению на входе в круглую трубу. Приближенное решение задачи о движении жидкости на входе в трубу найдено Лангхааром [95].
Длина входного участка выражается формулой
Le!D = 0,0575 Re, (12.84)
Рис. 12. И. Профиль скорости вблизи входа в трубу. Ламинарное течение.
а для профиля скорости Лангхаар нашел
Их _ Zo [ф (*)]—Zo [(r/rj) у (а)]
Wq z2 [ф (я)]
(12.85)
График ф (х) показан на рис. 12. 10; /0 и Z2 — Бесселевы функции первого рода от мнимого аргумента. Распределение скорости в нескольких точках у входа в трубу показано на рис. 12. 11.
127
выводы
Полезно перечислить типы задач, которые можно решить при помощи изученных до сих пор основных положений гидродинамики.
1. Уравнения сохранения в интегральной форме позволяют найти один из входных или выходных параметров процесса, если известно достаточное число других параметров на входе и выходе. Уравнение баланса количества движения, в частности, дало полезный метод исследования течения через диафрагму и других случаев движения, когда велики инерционные эффекты.
2. Уравнения движения позволили нам найти решение для изотермического стационарного ламинарного движения несжимаемой жидкости на большом удалении от входа в канал. При тех же условиях получено решение для ламинарного пограничного слоя на плоской пластинке.
3. С другой стороны, мы не рассматривали задач, связанных с турбулентным движением в трубе или в пограничном слое. При изучении пограничного слоя мы не рассматривали течение вблизи точки отрыва и образование следа. В аналитическом исследовании этих задач достигнуты некоторые успехи, но основные методы их инженерного решения опираются на идеи анализа размерностей и значительное использование опытных данных. Эти методы составляют содержание нескольких последующих глав книги.
Задачи
12. 1. Уравнение (12. 5) можно применить к течению в щели, одна из стенок которой движется с постоянной скоростью м0. Выразить скорость в функции от у, uQ и и изобразить полученные профили при положи-
ло т
тельном и отрицательном значениях и положительном м0. Течение такого типа называется куэттовским и играет важную роль в гидродинамической теории смазки. При = 0 оно называется простым течением Ку-ах
этта. Этот случай встречался нам, когда вводилось понятие вязкости — см. рис. 7. 1 и уравнение (7. 2).
12. 2. Найти выражение для распределения скорости в пленке, стекающей по вертикальной плоскости, пренебрегая ускорением в пленке. В этом случае нет градиента давления в направлении движения, но существенна массовая сила (сила тяжести). Найти также выражение для толщины пленки через среднюю скорость.
12. 3. Используя уравнение (12. 35), найти зависимость от времени положения шарика плотности q, отпущенного из состояния покоя. Значение Re при конечном (максимальном) значении скорости меньше единицы. Каково выражение для конечной скорости?
12. 4. Потенциальное двумерное истечение жидкости из большого резервуара описывается выражениями:
а’ = ф4-е<р соэф;
у = ф-|-е<р sinif.
128
Нарисовать линии тока и эквипотенциальные линии (т. е. сетку течения) для этого потока и определить положение стенок канала.
12. 5. Для двумерного потенциального обтекания идеализированной \ трубки Пито сетка течения определяется выражениями
#=—ф+1п угф2+,Ф2;
У = — 'Ф + arctg-^-.
Нарисовать для этого течения линии тока.
12. 6. Для некоторого потока потенциал задается выражением
Какой формы должны быть твердые границы, определяющие это течение?
12. 7. Поток вблизи сферы радиуса г0 определяется в сферических мого
координатах выражением <р = • cos 0 + u0 г cos 0, где 0 — угловая коор-
дината (широта). Найти направление величину скорости при г = —
го
и 0 = 309, если 0 = 0 соответствует передней критической точке.
12. 8. Воздух при 16° С и нормальном атмосферном давлении продольно обтекает плоскую пластинку со скоростью 9 м!сек. Какова толщина пограничного слоя на расстоянии 1 м от передней кромки? Вычислить также силу сопротивления, действующую на первый метр пластинки шириной 1 м, и . 6
величину и направление скорости при ж = 1 лс и у = у.
9 Заказ 519.
13. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СОдБРАЖЕНИЯ О ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Большинство гидродинамических задач, с которыми встречается на практике инженер, связано с турбулентным, а не с ламинарным движением. Среди задач ламинарного движения есть некоторое число таких, для которых уравнения движения решены точно, и значительно больше таких, для которых эти уравнения можно решить тем или иным приближенным способом без заметного ущерба для достоверности результатов. Несколько примеров, иллюстрирующих эти утверждения, можно найти в предыдущей главе. В то же время для турбулентного движения не существует ни одного точного решения. Приближенные уравнения, описывающие турбулентное течение, основаны на стольких предположениях, что трудно сказать, является ли согласие с экспериментом следствием разумности упрощений или результатом случайной компенсации ошибок, возникающих из-за сделанных предположений. Несмотря на трудность получения законченного теоретического решения задач турбулентного движения, многие весьма полезные количественные соотношения были получены путем сочетания теоретических рассуждений и эксперимента. После обсуждения природы турбулентности мы займемся выводом некоторых наиболее важных из этих соотношений.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
При течении в трубах турбулентность обычно появляется при Re > 2100, а для течения в пограничном слое — при Re ;> 5 • 105, но и при значительно более высоких числах Рейнольдса было получено ламинарное течение. Зарождение турбулентности зависит от величины возмущений в потоке, например, тех, которые могут существовать на входе в трубу. Чем больше мер принято, чтобы
130
избежать возмущений, тем при более высоких числах Рейнольдса сохраняется ламинарное движение.
Для вычисления самых низких чисел Рейнольдса, при которых может существовать турбулентное движение, разработан теоретический метод исследования. Этот метод состоит в том, что в уравнения ламинарного движения вводится малое синусоидальное возмущение скорости. Если амплитуда возмущения возрастает со временем, то турбулентность может развиться; если амплитуда уменьшается, то числа Рейнольдса ниже тех, при которых может существовать турбулентность. Результаты этой теории согласуются с экспериментом и имеют практическое значение в аэродинамике. Для обтекаемого тела вроде крылового профиля полное сопротивление можно значительно снизить, если удается сохранить течение в пограничном слое ламинарным до более высоких чисел Рейнольдса ReL (т. е. дальше от передней кромки). Теория учитывает также влияние на критическое значение ReL различных факторов.
При числе Рейнольдса, превышающем минимальное теоретическое значение, возможны два решения уравнений движения: ламинарное и турбулентное. Существование ламинарного движения в отсутствие каких-либо возмущений при числах Рейнольдса, превышающих критическое — это неустойчивое состояние, аналогичное сохранению чистой паровой фазы ниже точки росы и другим явлениям пересыщения.
СРЕДНЯЯ И ПУЛЬСАЦИОННАЯ СКОРОСТИ
В нашем изучении турбулентного движения мы будем рассматривать только такие течения, которым соответствуют стационарные осредненные течения. Значение этого понятия выяснится из последующего изложения.
При турбулентном движении скорость в каждой точке беспорядочно меняется во времени по величине и направлению, так что, строго говоря, при турбулентном течении стационарности не бывает. Можно, однако, ввести среднюю скорость в направлении оси х соотношением
т
Ux=:^tf Ux (is.1)
о
где их — мгновенная скорость, зависящая от времени. Поскольку частота пульсаций скорости велика, достаточно, чтобы т составляло несколько секунд Ч Аналогичные соотношения можно
1 Величина, определяемая соотношением (13. 1), не является строго постоянной. Нетрудно убедиться, что она флуктуирует с амплитудой по-
ТД
рядка —— , где Д — амплитуда пульсации скорости, Т — период пульсаций. Выбирая период осреднения достаточно большим, можно сделать величину указанных пульсаций средней скорости пренебрежимо малой. (Прим, перев.)
9* 131
записать для других компонент скорости и для давления р. Если эти средние величины постоянны для последовательных интервалов времени, то говорят, что турбулентное течение стационарно или, строго говоря, стационарно в том, что относится к осреднен-ному течению.
Мгновенные значения переменных удобно представить в виде суммы средних и пульсационных величин следующим образом:
Ux=ux + ux, Uy^Uy + Uy, uz = uz + uz, р = р+р, (13.2) где их, и'у, uz — компоненты пульсационной скорости; р — пульсация давления.
О Время л
Рис. 13. 1. Пульсации скорости в турбулентном потоке.
Из этих определений очевидно, что
т
Ux = ^J Uxdr = 0. (13.3)
о
Аналогичным образом, находим, что иу, uz и р равнй нулю. Кроме того, для параллельного потока
= uz = 0, (13.4)
так что в этом случае
== Нх “Ь Их, Ну === Нуу Hz == Hz • (13. 5)
График типичной зависимости их от t доказан на рис. 13. 1.
С ТЕПЕНЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Турбулентное течение часто характеризуют степенью турбулентности, которая является мерой величины пульсационной скорости по сравнению со средней скоростью. Величина их равна нулю
132
потому, что среднее по времени от положительных значений их равно среднему по времени от отрицательных значений. Однако среднее по времени от абсолютной величины пульсационной составляющей скорости не равно нулю и является мерой амплитуды колебаний скорости. Более распространенный способ определения среднего значения_пульсационной скорости состоит в использовании величины ]/"и'2, называемой среднеквадратичным значением пульсационной скорости. Для параллельного течения степень или уровень турбулентности определяется количественно выражением
(13.6)
и»
В частном случае так называемой изотропной турбулентности средние квадраты трех пульсационных скоростей равны, так что выражение (13. 6) упрощается:
иос2 их
(13. 7)
МАСШТАБ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Установлено, что одна интенсивность не характеризует турбулентное движение полностью. Нужно еще располагать каким-либо способом установления размера турбулентных вихрей (этот размер обычно называют масштабом турбулентности).
Скорость в некоторой точке турбулентного потока обычно связана со скоростью в соседней точке. Группы частиц стремятся двигаться вместе и образуют вихри, размер которых меняется в зависимости от характера турбулентного движения. Если снова рассмотреть скорости в двух отдельных, но достаточно удаленных друг от друга точках, то связи между этими двумя скоростями не будет. Такие две точки можно считать относящимися к различным вихрям или комкам жидкости.
Нам знакома крупномасштабная турбулентность в атмосфере. Хотя два анемометра, установленные в равнинной местности на расстоянии километра друг от друга, могут показывать одну и ту же среднюю скорость, между соответствующими мгновенными скоростями нет связи (корреляции), одна из них меняется относительно другой случайным образом. Если сближать анемометры, то наступит момент, когда они начнут показывать в любой момент сходные значения скорости и корреляция между скоростями будет возрастать по мере уменьшения расстояния между приборами. В уменьшенном масштабе подобное явление имеет место в трубопроводах и в аэродинамических трубах.
133
Количественно коэффициент корреляции для параллельного течения в направлении оси х определяется соотношением
(13.8)
to
R(y)
О о У
Рис. 13. 2. Зависимость коэффициента корреляции от расстояния между точками.
_ uv и„
R(y)= *2-%=
V с V
где иХ1 и и'х2 — пульсационные скорости, измеренные одновременно в точках 1 и 2, разделенных расстоянием ?/. Коэффициент корреляции может изменяться с расстоянием у, как показано на рис. 13. 2. Как можно было ожидать, между вихрями не существует определенной границы, они переходят друг в друга постепенно. Поэтому масштаб турбулентности часто определяют по R (у) выражением
L=fR(y)dy. (13.9) О
Можно считать, что на отдельный вихрь в параллельном течении приходится область диаметром 2L. компонент скорости во времени
По изменению различных
и в направлении осей координат можно определить многие другие коэффициенты корреляции. Метод исследования, с которым мы здесь познакомились, широко развит в так называемой статистической теории турбулентности.
ТУРБУЛЕНТНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Рассмотрим теперь применение к стационарному турбулентному движению несжимаемой жидкости уравнений Навье — Стокса. Запишем уравнение неразрывности (И. 51)
0 (13.10)
дх * ду 1 dz 4 7
— г — t —• t
и заменим в нем их на их + их, иу на иу + иу и иг на uz + uz. В результате получим
dx + dy + dz + дх + ду “Г dz (10.11)
□средним теперь уравнение (13. 11) по времени и восполь-
зуемся следующими соотношениями: du'z duz
ди'х ди' ди _ л . у
дх дх ’ ду ду ’ dz dz »
дих дих диу диу duz _ dyz
дх дх * ду ду ’ dz dz 9
134
а также
ux~uy ~uz — 0.
Имеем в результате
т + >+>=» (13.12)
И duv ди' ди~
-^г + -а7- + -йГ = °. (13.13)
ох ’ ду ' dz 4 '
Уравнение неразрывности удовлетворяется и для средних и для пульсационных скоростей.
Обратим теперь внимание на уравнение движения в направлении оси х (11. 52):
„ дих дих . дих дих __
Ux ~дГ + Uy "д^ + z ~
_ 1 ®Р । Н / д2их । д2их । д2их \ ЙЧ
- ~ +-ж~) (13-1*)
(массовая сила опущена).
Левую часть уравнения (13. 14) удобно преобразовать так, чтобы оно приняло вид
д (их)2 д (ихиу) . д (uxuz) | дих __ дх ду "Г" dz ’ дх
_ 1 , И Z д2»х | д2цх ! а2цх \ ЛЕЧ
q дх * q \ дх2 ’ ду2 ~г dz2 / * ' * '
Легко убедиться, что левые части двух этих уравнений равны, если удовлетворяется уравнение (13. 10). Следующая стадия преобразования уравнения движения состоит в том, что в уравнение (13. 15) подставляют выражения для переменных через их средние и пульсационные значения, а затем производится осреднение. Мы проделаем это для всех членов по очереди. Для первого члена имеем:
1ЕЕ=2(Ь^_^к+21;,(13.)6)
Поскольку средняя скорость их постоянна во времени, а ^ = 0,
= 0, (13.17)
и для первого члена уравнения (13.15) получим
_д< ди^,2 । х (13 18}
дх дх 1 дх
135
При этих преобразованиях мы воспользовались правилом, что дих дих тт _ ________
~ ~дх" и т* д* предшествовавшего рассмотрения степени турбулентности следует, что, хотя их2 * * * * * В = 0, их2 нулю не равно. Для второго члена получим
д (ихиу) д \
— QV- = \UXUy + UxUy 4- UxUy + uxuv) =
..: g (««»») । 9(иХ) ду ' ду
(13. 19)
Хотя и их и иу равны нулю, среднее по времени значение произведения UxUy нулю не] равно. Как будет объяснено позже, за исключением случая изотропной турбулентности, между их и иу в некоторой точке существует высокая степень корреляции. Для оставшихся членов аналогичным образом получим
д (uxuz) д (uxuz) . д (uxuz) . dz dz * dz ’
дих дих n
дх dx ’
dp ___ dp_
dx dx
и
д2иж [ d2ux d2ux ___ d2ux . д2их .
dx2 ‘ dy2 ' 5z2 dx2 * dy2 '
д2йх dz2
(13. 20)
- (13.21)
(13.22)
(13. 23)
Подстановка выражений (13. 18)—(13. 23) в осредненное по времени уравнение (13. 15) дает
, д(йхйу) д(йхйг) *<2 , ^’г=_
dx * ду ‘ dz ' дх ' ду 1 dz
__ 1 дР । И- / д2их 1 д2их , д2их \ ,. Q 9 ,.
~ Q дх \ дх2 дУ2 Г dz2 ) *
В это уравнение входят три дополнительных члена, которых не было бы, если бы просто заменить переменные, входящие в уравнение (13. 15), их средними значениями. Значение этих членов можно сделать более ясным, если записать осредненное по времени уравнение (11. 11) при массовой силе X = Ои — 0.
Рйх = ^Х , д (ихйу) д(ихйг) , д(цХ) =
Dx дх ' ду ‘ dz "1” дх ' ду ‘ dz
_ 1 ( ^хх । । ^Xzx \ /лэ лг\ “7к_эГ'+_аг + _5ГЛ (13.2о)
136
Средние по времени напряжения — это результат осреднения напряжений, вызванных действием обычной вязкости. Определим каждое из полных средних напряжений т^х» ТуХ и т^х как сумму соответствующих вязких напряжений и турбулентных напряжений.
Тхх == Тхх “F Тхх» (13.26)
Тух — Тух т^х? (13.27)
Tzx = Tzx 4“ Tzx* (13. 28)
Величины Тух и т£х выражают вклад турбулентных напряжений.
Запишем теперь формально уравнение (И. 11) для турбулентного течения, заменяя каждую составляющую скорости ее средним значением и заменяя каждую компоненту напряжения полным средним напряжением:
д(их) t д(ихиу) , д(йхи2) __ 1 (дххх ( д^ух , дх\х дх * ду "Г dz “ Q \ дх “Т’ ду “Т" dz )'
Чтобы это уравнение было правильным, оно должно согласовываться с уравнениями (13. 25) — (13. 28). Это приводит к следующим определениям турбулентных составляющих напряжений:
Тхх~ Q^x i (13. 30)
Тух — Q^x^T/» (13. 31)
- T^x — Q^x^z* (13. 32)
Эти напряжения называют также напряжениями Рейнольдса или кажущимися напряжениями. Из уравнений (11. 46), (11. 19) и (И. 21) определяются полные напряжения для стационарного турбулентного движения несжимаемой жидкости:
tL = -P + 2h-^-q^?;. (13.33)
— QuxUy‘, (13.34)
+-%-) - (13-35)
Не все члены уравнений (13. 33)—(13. 35) войдут в уравнение (13. 24), так как некоторые уничтожаются в силу уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости (13. 12).
137
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ РЕЙНОЛЬДСА
на
Рис. 13. 3. Распределение скорости в щели при турбулентном движении.
Смысл напряжений Рейнольдса можно пояснить, рассматривая случай параллельного течения, для которого uz и иу равны нулю. Рассмотрим течение между бесконечными параллельными пластинками, так что их является функцией только от у. Величина хух представляет собой полное касательное напряжение, действующее в направлении оси х на площадке, перпендикулярной направлению оси у. Средняя скорость может быть распределена, как на рис. 13. 3. На средней линии у = = wxmax, а на стенке
у — yQ, их = 0. Согласно уравнению (13. 34) напряжения, обусловленные средним течением, рав-— dux ны точно так же,
как и в случае ламинарного течения, рассмотренного в гл. 12. Напряжение Рейнольдса равно —-Quxuyi и мы хотим показать, что это выражение отлично от нуля и имеет нужный знак.
Предположим, что малая частица жидкости, имеющая среднюю скорость, изображаемую точкой А на рис. 13. 3, переносится из-за
положительной пульсации скорости иу в область, где их меньше. Так как частица будет примерно сохранять свою начальную скорость ихА, в В создается положительная пульсация скорости их> и ихиу положительно. С другой стороны, если окажется, что пульсация иу отрицательна, то жидкость переносится в область С, где средняя скорость больше, чем ихА, возникает отрицатель
ная пульсация скорости их, и произведение ихиу снова положительно. Таким образом, легко видеть, что ихиу будет положительной величиной, и поэтому в соответствии с уравнением (13. 31) среднее турбулентное напряжение хгух отрицательно. Отрицатель-
dux
ного знака следовало ожидать, так как отрицательно, из-за
чего делается отрицательным и среднее вязкое напряжение dux
dy
В середине канала, где = 0, положительные значения иу могут более не быть связанными с положительными значениями
138
их, и ихиу = 0, как это должно быть, потому что на средней линии касательные напряжения отсутствуют.
Поскольку в направлении оси z скорость не меняется, все члены в уравнении (13. 35) равны нулю. Примем во внимание уравнение (13. 33). Поскольку невозможно турбулентное течение, для которого их2 равно нулю, то полное нормальное напряжение должно отличаться от среднего давления. Если степень турбулентности уменьшается в направлении оси х, давление будет уменьшаться с увеличением х менее быстро, чем было бы в противоположном случае.
Хотя проведенное до сих пор рассмотрение турбулентности и дало нам некоторое представление о характере турбулентного течения, нет способа, позволяющего вычислить пульсационные величины или определить распределение скорости или падение давления, исходя из уравнений движения. Чтобы продвинуться в этом направлении, нужно ввести дополнительные упрощения.
ТУРБУЛЕНТНАЯ ВЯЗКОСТЬ И ПУТЬ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
По аналогии с молекулярной вязкостью турбулентную кинематическую вязкость можно определить для параллельного течения выражением
Tyx = QVe-^? (13.36)
так что
^x = e(v+ve)^. (13.37)
Величина ve, введенная Буссинеском [11], называется также виртуальной или кажущейся вязкостью. В отличие от обычной вязкости она не является функцией состояния и сильно зависит от координат. К сожалению, у нас нет способа вычислить турбулентную вязкость ve, хотя она может быть определена экспериментально по данному распределению их в функции от у.
Определим далее величину, называемую путем перемешивания Прандтля, которая поможет нам при вычислении напряжений Рейнольдса. По-прежнему рассматривая параллельное течение и используя рис. 13. 3, мы определим путь перемешивания следующим образом. Рассмотрим вновь малый объем жидкости, который перемещается в направлении оси у из А в В со скоростью иу* В действительности комок жидкости будет постепенно терять свою индивидуальность, но при определении пути перемешивания предполагается, что целостность элемента сохраняется, пока он не
139
(13. 38)
пройдет расстояние Z, определяемое как путь перемешивания. Запишем в силу малости расстояний
0Ux _ ихВ~"ихА ду ~ I
Как уже было упомянуто при рассмотрении рис. 13. 3, можно считать, что элемент жидкости сохраняет свою первоначальную скорость, так что ы n—и . равно приблизительно — их. Поэтому имеем
' . dux
х ду
и вообще,
га=*|->|. (13.39)
Прандтль предположил также, что [ иу | имеет примерно ту же величину, что и |их\^ так что
Так как знак ихиу зависит от знака то запишем это равенство в виде
(13'40)
Из уравнений (13.31), (13.36) и (13.40) получим также.
и
ve = Z’|^ . (13.41)
Может показаться, что единственным результатом такого определения I явилась замена одной эмпирической величины, не поддающейся вычислению, другой. Однако путь перемешивания легче оценить, чем ve. Например, I не может быть больше размеров канала и стремится к нулю вблизи стенки. И в самом деле, в одном из последующих разделов будет показано, что относительно распределения скоростей при турбулентном движении в трубе некоторые ценные результаты получаются на основе простого соотношения
1 = Ку, (13.42)
где у —- расстояние от стенки, а К оказывается универсальной постоянной, равной 0,4.
140
НЕКОТОРЫЕ ДАННЫЕ О ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Чтобы проиллюстрировать примерные значения величин, определенных в предыдущих разделах, приведем некоторые экспериментальные результаты. На рис. 13. 4 представлено распределение степени турбулентности в прямоугольном канале. На рис. 13. 5
распределение степени турбулентно- ных напряжении в прямоугольном сти в прямоугольном канале [144]. канале [144].
wmax “= 1 ,м/сек; У - расстояние от сред- а - т* М; в - xyx/Q =v dujdy\ с -ней линии. _ у *
~ ~'ихиу> У ~ Расстояние от средней' линии.
показано распределение компонент напряжения в том же канале. Простейшее уравнение равновесия, вроде того, из которого получено уравнение (7. 9), показывает, что т[х должно быть линейной функцией у.
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
В ГЛАДКОЙ КРУГЛОЙ ТРУБЕ
ВЫВОД УНИВЕРСАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ
НА ОСНОВЁ*ПРАНДТЛЕВСКОЙ ТЕОРИИ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Воспользуемся теперь понятием пути перемешивания, чтобы вывести уравнение для распределения скорости при полностью развитом турбулентном течении в круглой трубе. Этим уравнением
141
мы впоследствии воспользуемся, чтобы получить выражение для потерь давления при турбулентном движении. Затем мы покажем, как из этого соотношения получается метод определения перепада давления при турбулентном движении.
Начнем с того, что разделим область течения в трубе на турбулентное ядро, в котором касательные напряжения приближенно равны напряжениям. Рейнольдса, и тонкий ламинарный подслой вблизи стенки, в котором влияние турбулентности пренебрежимо мало и касательные напряжения вызываются только молекуляр-
Рис. 13. 6. Универсальный профиль скорости для движения в гладкой круглой трубе.
ной вязкостью. Мы увидим далее, что более полное рассмотрение должно учитывать переходную зону, где существенны оба вида напряжений. Эти три зоны показаны на рис. 13. 6. Пока мы будем рассматривать только турбулентное ядро и ламинарный подслой.
В последующем изложении мы опустим различные верхние и нижние индексы у напряжений и скоростей. Полное напряжение т равно либо Рейнольдсовым напряжениям (в ядре), либо «ламинарным» напряжениям (в ламинарном подслое). Скорость и — это средняя по времени местная скорость в направлении оси х. Полное напряжение меняется от стенки к оси трубы в^еоответствии с уравнением (7. 8), которое запишем здесь в виде
T=Ts(l-~), \ гг /
142
где rs — напряжение на стенке, а у — расстояние от стенки. В ламинарном подслое, который очень тонок, мы пренебрежем какими бы то ни было изменениями т и напишем
Т« = и = const. (13.43)
Интегрирование этого уравнения дает
Tsl/ = [Ш или
(13.44)
В противоположность параболическому распределению скорости при ламинарном движении в трубе скорость в ламинарном подслое пропорциональна расстоянию от стенки. Удобно ввести при помощи соотношения
= (13.45)
величину, называемую «скоростью трения» (динамической скоростью). Используя ее можно переписать уравнение (13. 44) в виде
Входящее в левую часть этого уравнения безразмерное отношение скоростей будем обозначать через и+, а стоящее справа безразмерное расстояние — через у+ (последняя величина напоминает число Рейнольдса). Тогда распределение скоростей в ламинарном подслое можно представить в виде
и+ = у+. (13.47)
Обратим теперь внимание на турбулентное ядро. Пренебрежем вязкими напряжениями и запишем
т==^2(€У- <13Л8>
(В силу уравнений (13. 36) и (13. 41) производная всегда положительна, так что знак абсолютной величины опущен.)
Чтобы двигаться дальше, сделаем два предположения. Оба эти предположения являются весьма грубыми. Их единственным настоящим оправданием является то, что они упрощают вычисления и что окончательные соотношения, к которым они приводят, согласуются с экспериментальными данными. Предположим, что Т = Ts = const И ЧТО
1 = Ку, (13.49)
143
где К — постоянная Ч Второе предположение имеет смысл, поскольку мы знаем, что путь перемешивания I должен убывать до нуля на стенке, где турбулентность исчезает.
Запишем затем уравнение (13. 48) в виде
(13.50) и, таким образом,
= (13.51)
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению и* In у = Ku Н- с. (13.52)
Постоянная с находится из условия, что скорость и должна обращаться в нуль при некотором малом значении у, скажем yQ:
u*lnz/0 = c (13.53)
и
-4 = 4 In — ♦ (13.54)
и* К yQ ' '
Поскольку мы ищем универсальный профиль скорости, т. е. такой, который будет при всех расходах (т. е. при всех и* и z/0) выражаться формулой
»+ = /(у+), (13.55)
мы должны видоизменить уравнение (13. 54) так, чтобы удовлетворить этим условиям. Введем переменную у+, переписав уравнение (13. 54) в виде
и+ = 4(1п^—1п-^) (13.56)
ИЛИ
м+ = 4 In у* + сх. (13. 57)
Уравнение (13. 57) должно выражать и+ как универсальную функцию j/+. Поэтому имеет смысл предположить, что величина которую можно записать как j/J, является универсальной постоянной, представляющей собой то значение z/+, при котором и+ == 0. Полезность сделанных предположений будет доказана, если уравнение (13. 57) в котором К и — универсальные постоянные, будет согласовываться с данными о распределениях скорости в некотором диапазоне у и и*, т. е. чисел Рейнольдса Re.
На рис. 13* 6 показано большое число данных о распределении скорости для диапазона чисел Рейнольдса, примерно от 4000
1 Оба предположения сводятся к тому, что движение вблизи стенки сходно с движением вблизи границы полупространства. (Прим, перев.) 144
до 3,2-10*. Можно видеть, что уравнение (13. 57) хорошо описывает эти данные при у+ >> 30 и что немногие имеющиеся данные при малых у+ лежат на линии и+ = у+ вплоть до у* = 5. Ни одно из этих уравнений не является удовлетворительным в области 5 < у* < 30, которую мы назовем переходной зоной и где мы представим распределение скорости эмпирическим уравнением такого же вида, что и уравнение (13. 57). Таким образом, универсальное распределение скорости выражается аналитически уравнениями:
и+ = у+
5;
(13. 58)
u+ = 5,01n г/+ — 3,05 5 < у+ < 30; (13.59)
и+ = 2,5 In у+ + 5,5 30<г/+. (13.60)
3
Рис. 13. 7. Путь перемешивания в функции от расстояния от стенки [144].
Предшествующее рассмотрение исходит из работ Л. Прандтля и Т. Кармана. Экспериментальные данные о распределении скорости получены в основном И. Никурадзе. Относительно личного вклада каждого из тех, кому принадлежат эти результаты, отошлем интересующихся к книгам Шлихтинга [144] и Кнудсена и Катца [85]. Недавние усовершенствования уравнений универсального распределения скорости можно найти у Дейсслера [34].
Величина пути премешивания может быть вычислена по данным о распределении скоростей при помощи уравнений (13. 48) и (7. 8). Результаты представлены на рис. 13. 7. Заметим, что в уравнении (13. 60) для К принято значение 0,4 и что рис. 13. 7 подтверждает это значение для области вблизи стенки, но что на Удалении от стенки уравнение (13. 49) не справедливо. Представленные данные относятся как к гладким, так и к шероховатым тРубам и к нескольким числам Рейнольдса. Длина пути
10 Заказ 519. 145
перемешивания не зависит от обоих факторов при достаточно больших Re.
Записывая уравнение (13. 57) для скорости в центре трубы, можно получить
wmax — 1и Z/max + Ср (13.61)
Если из этого уравнения вычесть уравнение (13. 57), то получится формула для так называемого недостатка или дефицита скорости:
Umax-W = -J-ln-^-. (13.62)
Поскольку К не зависит от шероховатости стенки трубы, уравнение (13. 62) применимо и к гладким, и к шероховатым трубам. В то же время, как мы позднее увидим, с± является функцией шероховатости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЮ НА ОСНОВЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ
Зная, как и меняется в зависимости от г/, мы легко можем найти среднюю скорость потока. Поскольку иъ = —- и dA, для круглой трубы запишем, используя уравнение (13. 62),
Ч
Ищах — иь = -i- f 2л (п — у) In dy. (13. 63) ftq J Л У
о
Интегрирование дает
Umax-«b = -|f-. (13.64)
Подстановка для wmax выражения (13.61) приводит к уравнению
XlnZ^ + C1_±L = ^. (13.65)
Поскольку сх = 5,5 и К. = 0,4, при заданных иь, riiiv это уравнение можно решить и найти и*. Эта величина, скорость трения, связана с т« соотношением (13. 45). Как показывает уравнение (7. 9), т8 равно —. Это определяет падение давления на единице длины трубы. Представим, однако, уравнение (13. 65) в более удобной форме, введя коэффициент сопротивления (так же, как в уравнении (8. 13)). В данном случае имеем
= (13.66)
D WbA
146
где А — площадь внутренней поверхности стенки трубы. Преобразуем это уравнение, используя равенство F& = ts4. Для течения в трубе CD имеет специальное обозначение f1:
f=2Xs = 2ц*2
Qub иь
(13. 67)
Этот коэффициент обычно называется коэффициентом сопротивления Фаннинга. Формулу (13. 67) запишем также в форме
Рис. 13. 8. Коэффициенты сопротивления для движения в трубе [144].
(13.68)
Подстановка выражения (13. 68) в (13. 65) приводит £
+ (13.69)
и после подстановки числовых значений К и сг и некоторых преобразований получаем окончательное уравнение
-^= = 4,061g (Re Vf) - 0,60. (13. 70)
На рис. 13. 8 это уравнение сопоставлено с экспериментальными данными для гладких труб. На этом рисунке представлены также: эмпирическая формула Блазиуса
/ = 0,079 Re’ ч*, (13.71)
1 В отечественной литературе используется коэффициент гидравличе-
ского сопротивления X = 4/. (Прим, перев.)
10* 147
часто используемое в литературе по процессам и аппаратам химических производств соотношение
/ = 0,046 Re' */5, (13.72)
а также соотношение для ламинарного режима
(13.73) которое получается из уравнений (7. 9), (7. 15) и (13. 67).
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ШЕРОХОВАТОЙ ТРУБЕ
Прежде чем рассматривать количественное влияние шероховатости на распределение скоростей или падение давления, необходимо сначала определить параметр, описывающий шероховатость. Мы будем характеризовать шероховатость стенки эффективной высотой выступов, которую обозначим через е; величина называется относительной шероховатостью. Хотя для характеристики данной шероховатости используется величина е, более точное ее определение потребовало бы также описания размещения и ориентации выступов.
Относительная шероховатость влияет на течение по-разному. При ламинарном течении в промышленных трубах, у которых ~ обычно несколько меньше, чем 0,01, влияние шероховатости стенок пренебрежимо мало. Жидкость заполняет пространство между выступами* и внутренние слои плавно скользят по «трубе» эффективного диаметра D — 2е. При турбулентном течении шероховатость стенок также не сказывается, если высота неровностей меньше, чем толщина ламинарного подслоя. В этом случае говорят, что труба является гидравлически гладкой. Если, однако, неровности выходят в основной поток, то они увеличивают турбулентность, изменяют профиль скорости и увеличивают сопротивление движению. После того как достигнуто определенное значение е, влияние шероховатости так велико, что силы инерции, возникающие при обтекании жидкостью выступов, полностью преобладают над вязкими силами. При этих обстоятельствах говорят, что труба вполне шероховатая. Толщина вязкого подслоя является функцией числа Рейнольдса, так что одна и та же труба может быть гидравлически гладкой при одном расходе и вполне шероховатой при другом.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ В ШЕРОХОВАТОЙ ТРУБЕ
Уже было упомянуто, что уравнение (13. 62) применимо как к гладким, так и к шероховатым трубам. Поскольку umax не может быть задано, мы найдем уравнение вида (13. 57) для шероховатой 148
трубы. Чтобы сделать это, просто предположим, что для вполне шероховатой трубы у0 пропорционально е. Это дает
и+ = 4’1п^ + с2- (13.74)
Коэффициент К имеет обычное значение 0,4. Опыты Никурадзе на трубах, в которых шероховатость создавалась путем наклеивания на стенки трубы аккуратно отсеянных песчинок определенного размера, показывают, что уравнение (13. 74) справедливо в зоне вполне шероховатых труб при числе Рейнольдса, вычис-ленном по размеру неровностей, --, превосходящем 70. В этом
’случае с2 = 8,5. Граница зоны гидравлически гладких труб соот-
г тт
ветствует = о. Для представления распределения скоростей в области перехода от гидравлически гладких к вполне шероховатым трубам нет простого выражения.
СОПРОТИВЛЕНИЕ В ШЕРОХОВАТОЙ ТРУБЕ
В области гидравлически гладких труб шероховатость не оказывает влияния на /, а для вполне шероховатых труб изменение / может быть определено из уравнений (13. 64) и (13. 74) при у = = объединенных следующим образом:
Замена на 1/ (уравнение (13. 68)) дает
U* Г f
/7”=^1пт + с--^- <13-7в>
При К = 0,4 и с2 = 8,5 уравнение (13. 76) переходит в
=4,06 lg4-3,36, (13.77)
которое применимо к вполне шероховатым трубам.
При ламинарном движении коэффициент сопротивления f обратно пропорционален скорости, так что сила сопротивления пропорциональна скорости. При турбулентном движении в гидравлически гладких трубах влияние сил инерции (сопротивления давления) преобладает над влиянием сил вязкости (сопротивление трения), коэффициент сопротивления пропорционален примерно и ь\ а сопротивление пропорционально иъ*. Теперь мы видим, что при турбулентном движении во вполне шероховатых трубах / не зависит от иь, так что сопротивление пропорционально uf — роль вязкости сведена к нулю.
149
Данные Никурадзе для труб с искусственной шероховатостью показаны на рис. 13. 9. Применение методов этой главы к промышленным трубам рассматривается в гл. 15.
Рис. 13. 9. Коэффициент сопротивления для труб с искусственной шероховатостью [144].
а — уравнение (13. 73); б — уравнение (13. 71).
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
В гл. 5 мы определяли силу сопротивления, используя уравнение баланса количества движения. Задача 5. 3 служит введением в применение этого уравнения к течению в пограничном слое. При применении уравнений сохранения в интегральной форме нужно знать распределение скоростей. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое нельзя найти из уравнений Навье — Стокса, как это было сделано в гл. 12 для ламинарного пограничного слоя. Поэтому чтобы определить силу сопротивления при турбулентном обтекании плоской пластинки, мы воспользуемся интегральным уравнением импульса с профилем скорости, имеющим заранее заданную правдоподобную форму. Этот метод опирается на работу Кармана и был использован также Польгау-зеном для течения в пограничном слое при наличии градиента давления [125].
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ К ПОГРАНИЧНОМУ СЛОЮ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКЕ
Уравнение баланса количества движения нужно применить к контрольному объему, показанному на рис. 13. 10. Течение происходит только через грани, обозначенные через А2 и А3. Запишем, исходя из уравнения (5. 3), баланс ^-компоненты количества движения в форме
f f Quxu cos a dA ~ —FXd (13. 78)
A
150
(течение стационарно, и градиента давления нет). Имеем: и cos а =? = —Ux на и cos а = их на А2; ... а на А3 компонента их равна п0, скорости вне пограничного слоя. После этого уравнение (13. 78) запишем в виде
JJ iixQ dA — ff uxQ dA + uoff uq cos adA = —Fxd. (13. 79}
Ag -Ai А з
Третий интеграл можно выразить при помощи уравнения сохранения массы. Для стационарного движения уравнение (3. 3) переходит в
JJ uq cos a dA = 0, (13.80)
А
Рис. 13. 10. Контрольный объем для движения в пограничном слое.
и в рассматриваемом случае
ff uxQ dA — ff uxQ dA -|- ff uq cos a dA = 0. (13. 81)
Ag Ai As
Из уравнений (13. 81) и (13. 79) получается, что для несжимаемой жидкости
ff ux(uQ — Ux)dA — ff ux(uQ — ux)dA = ^dt /13 g2\
Ag Ai Q V '
Для пограничного слоя на пластинке ширины b dA — b dy, tjj$ у меняется от 0 до 6, a Fxd = т8Ср Ь (х2 — Таким образом, Уравнение (13. 82) преобразуется в
di
J их (и0- их) dy—Jux (и0- их) dy = . (13. 83)
О о
151
Если распределение скорости задано, можно вычислить интегралы и найти касательное напряжение т8ср.Это, однако, среднее по отрезку х2 — х1 напряжение, а желательно знать значение т5 в точке. Это значение можно выразить через градиент скорости при данном х. Соотношение
(du \ Ту),-.
(13.84)
определяет ts для тех х, для которых известно значение ( -j— )
\ dy / у=о
Преобразуем поэтому уравнение (13. 83), используя определение производной (заметим, что каждый определенный интеграл — функция только от х):
б» 61
]’ «х (г»о—Их) dy— J их (и0—их) dy lim ----------------2-------------(13.85)
(х,-х,)->о x*~xi е
так что о j ux(u0—ux)dy==^±. (13.86)
О
Уравнение (13. 86) применимо в любой точке пластинки, 6 ит8 -функции х.
БАЛАНС КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Прежде чем рассматривать турбулентный пограничный слой, представляет интерес применить уравнение (13. 86) к ламинарному пограничному слою, так как результаты можно сопоставить с точным решением Блазиуса (гл. 12). Мы увидим, что для изменения б и CD в зависимости от L получаются результаты, весьма близкие к точному решению Блазиуса, если пользоваться произвольно взятым профилем скорости.
Выражение для их в функции от у составим с учетом предположения о подобии, т. е. о том, что — является всюду одной UQ
и той же функцией . Мы знаем, что их = 0 при у = 0 и их и0 при у = б. Легко проверить, что этим условиям удовлетворяет следующая простая функция
их __^У___
uQ 2d 2 \ б /
(13. 87)
152
Подставим это выражение в уравнение (13. 86) и получим
(13.88)
После вычисления интеграла это уравнение преобразуется в
db 280 Ts
dx 39
(13.89>
Для ламинарного пограничного слоя справедливо равенство (13. 84). Дифференцируя уравнение (13. 87), имеем
- (#) =§- (13.90} \ “У /у—о 20 4
и в силу уравнения (13. 84) получим
Ъ=-^. (13.91)’
Уравнения (13. 91) и (13. 89) дают
б L = (13.92)
так что О 0 6 = 4,641/-^. (13.93)
Можно вывести также соотношение (методом, проиллюстрированным в гл. 12)
(13.94)
Сравнение формул (13. 93) с (12. 75) и (13. 94) с (12. 82) показывает, что применение метода приводит к успеху: формулы одинаковы за исключением числовых постоянных. Аналогичные результаты можно получить для других произвольно заданных профилей скорости. Это составляет содержание задачи 13. 8.
БАЛАНС КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Применим теперь ту же методику к турбулентному пограничному слою на плоской пластинке. Было бы желательно применить к течению в пограничном слое логарифмическое распределение
15а
скорости — см. уравнения (13. 58)—-(13. 60). Это можно сделать, но вывод и окончательные соотношения сложны и громоздки, так что используем более простое выражение для распределения
скорости.
Для течения в трубе вплоть до Re = 105 пригодно урав
нение
и
^шах
\Гг)
(13. 95)
Это уравнение иногда называют законом корня седьмой степени (закон Блазиуса). Запишем это соотношение для пограничного слоя на пластинке в виде
их f У у/у \ 6 /
(13.96)
Подстановка выражения (13. 96) в уравнение (13. 86) с последующим интегрированием дает
dd 72 Ts
dx 7 du* ‘
(13.97)
Уравнение (13. 84) справедливо для прилегающих к стенке слоев жидкости даже в турбулентном пограничном слое. Однако уравнение (13. 96) перестает быть справедливым при стремлении у к нулю. Поэтому чтобы определить напряжения на стенке, воспользуемся формулой Блазиуса для коэффициента сопротивления при движении в трубе. Эта формула — см. уравнение (13. 71) —-соответствует распределению скорости по закону корня седьмой степени
/ = 0,079
Из уравнения (13.67) имеем
т8 __ У 0,079 ( Риь\-Ч<
qkj 2 2 \ v /
(13.98)
Это уравнение, относящееся к трубе, применим к течению в пограничном слое на пластинке, подставляя D = 26 и иь = 0,817 Umax = 0,817 u0. В результате имеем
-15-=0,023 (—Г’/4 0»о ' v '
(13.99)
Объединим уравнения (13. 99) и (13. 97) и представим их в интегральной форме
d L
Jd*/‘dd = ^-.0,023(^-)'‘/4J<za;
(13.100)
О
154
и, таким образом,
или
6 = 0,376
-6 = 0,376 Re;*7’/;.
(13.101)
(13.102)
Интегрирование силы сопротивления от х = 0 до х ~ L, как это сделано раньше в нескольких случаях — уравнения (12. 78) и последующие, — дает
Сп =0,072 Re~l/’. U Jj
(13.103>
В проведенном выводе считалось, что турбулентный пограничный слой простирается от х = 0, тогда как в действительности на определенном участке в передней части пластинки пограничный слой ламинарен.
Сравнение результатов для ламинарного и турбулентного пограничных слоев показывает, что при ламинарном движении & возрастает, как а при турбулентном — как Сопротивление при турбулентном движении больше, чем при ламинарном; Fd возрастает, как при ламинарном движении и как Z//e при турбулентном. Таковы количественные доводы за то, чтобы пытаться поддерживать на крыле ламинарный пограничный слойг о чем было сказано в начале этой главы.
Формулы Блазиуса для течения в трубе не пригодны для —£> 105. Подобно этому и применение формул (13. 102)
так же, как и в случае течения в трубе, если при выводе используется логарифмическое распределение скорости, получается результат, пригодный до очень высоких значений Re. Для плоской пластинки результаты такого расчета могут быть представлены формулой
С 0,455
D (lgReb)2-58
(13.104>
Преобразование этого соотношения с тем, чтобы учесть наличие ламинарного слоя на передней части пластинки, дает формулу Прандтля — Шлихтинга:
с _ 0,455_________Л_
D (lgReL)2’58
(13. 105)
где А является функцией критического числа Рейнольдса ReL, которое определяется степенью турбулизации внешнего течения-Значения А приведены в табл. 13.1.
155»
Таблица 13.1
ReL перехода 3-10’ 5-10* 1 - 10е 3-10«
А 1050 1700 3300 8700
На рис. 13. 11 показаны некоторые экспериментальные данные и ошибки, которые получаются при использовании нескольких
Тис. 13. И. Коэффициент сопротивления при обтекании плоской пластинки [144].
.а — уравнение (12. 82); б — уравнение (13. 105) (А = 1700); в — уравнение (13.103); е — уравнение (13.104).
Мы не будем рассматривать количественно течение вдоль криволинейной поверхности, для которого за счет внешнего потенциального течения существует градиент давления и возможен отрыв пограничного слоя. Качественно этот случай рассмотрен в конце гл. 8.
Задачи
13. 1. При помощи термоанемометров в двух точках, отстоящих на рас- ч стояние 5 см, за последовательные интервалы времени в несколько миллисекунд измерены следующие значения скоростей:
их 1 77 | 1 78- 75 75 .70 | 1 73 1 1 78 1 83 81 77 1 72
иХ 2 74 | 85 69 80 74 81 7» 79 88 80 | 75
Вычислить среднюю скорость и степень турбулентности (предполагаемой изотропной) в каждой из точек. Каков коэффициент корреляции для скоростей в этих двух точках?
13. 2. Найти выражение для турбулентной вязкости из формулы для логарифмического профиля скорости в турбулентном ядре и данных о том, как т меняется с у.. Нарисовать графики распределения турбулентной вязкости 156
по сечению трубы при постоянном Re и зависимость ve в данной точке от Re. Зависит ли величина —— от Re? От положения?
u*ri
15. 3. Действуя так же, как и в предыдущей задаче, найти распределе-I ГТ
ние безразмерного пути перемешивания —. Показать, как эта величина П
зависит от Re и положения.
13. 4. Указать, в каких отношениях распределение скорости, задаваемое выражениями (13. 58) — (13. 60), не согласуется с профилем скорости, который получается из простых физических соображений. При решении du
задачи может помочь рассмотрение величины -3— .
dy
13. 5. Вода при 20° С движется по гладкой горизонтальной трубе с внутренним диаметром 50 мм. Для точки, находящейся на расстоянии 18 мм от стенки, вычислить скорость, касательное напряжение, турбулентную вязкость и путь перемешивания при средней скорости потока: а) 15 м/сек*, б) 1,5 м/сек*, в) 0,015 м/сек.
13. 6. Вода движется так же, как и в задаче 13. 5, но в шероховатой трубе. Вычислить те же четыре величины для той же точки при:
а) иъ = 15 м/сек, e/ri = 0,01;
б) иъ ~ 1,5 м/сек, e/ri = 0,03;
в) — 1,5 м/сек, e/ri = 0,0005;
г) иь = 0,015 м/сек, e/ri = 0,01.
13. 7. Вывести формулу Блазиуса для сопротивления при течении в трубе (13. 71) из распределения скорости по закону корня седьмой степени — см. уравнение (13. 95).
13. 8. Используя уравнение баланса импульса, вывести формулы для б и CD, аналогичные формулам (13. 93) и (13,94) в предположении, что скорость в ламинарном пограничном слое на гладкой плоской пластинке меняется линейно. Найти толщину пограничного слоя на расстоянии 0,3 м от передней кромки для случая обтекания пластинки водой при 20Q С со скоростью 0,6 м/сек. Чему равна полная сила сопротивления участка до рассматриваемой точки в расчете на 1 м ширины?
13. 9. Воздух при атмосферном давлении и 20° С обтекает гладкую плоскую пластинку со скоростью 30 м/сек. Как далеко от передней кромки расположена точка перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный, если турбулентность основного потока такова, что переход происходит при Re£ = 5-105. Вычислить также толщину пограничного слоя на расстоянии 0,9 м от передней кромки и полное сопротивление участка до этой точки в расчете на 1 м ширины.
13. 10. Можно считать, что пограничный слой, образующийся у входа в трубу, ведет себя так же, как пограничный слой на плоской пластинке. Оценить длину, нужную для достижения полностью развитого течения <Т. е. для того, чтобы граница пограничного слоя достигла оси трубы), для воды, поступающей в трубу с внутренним диаметром 50 мм с одинаковой по сечению скоростью: а) 15 м/сек*, б) 1,5 м/сек*, в) 0,015 м/сек и при температуре 20Q С.
Сравнить результаты с эмпирическими правилами, приводимыми в справочнике Перри. Более точное рассмотрение этой задачи следует искать в учебниках гидродинамики.
14. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ГИДРОДИНАМИКЕ
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В предшествующих главах мы рассмотрели несколько случаев течения аналитически, при помощи уравнений движения. Однако во многих технических задачах течения настолько сложны, что проинтегрировать дифференциальные уравнения движения не удается. Например, коэффициент сопротивления при обтекании цилиндра (см. рис. 8. 9) при Re £> 1,0 нельзя определить теоретически, а приходится получать из эксперимента. Уравнения движения решены для течения в круглой трубе и для обтекания пластинки, но не решены для случая обтекания пучка труб или движения жидкости в слое шаровой насадки и для многих других задач.
Когда аналитический подход не приводит к решению, рациональному исследованию часто помогает использование метода анализа размерностей. Возможности и пределы применимости этого метода будут ясны из дальнейшего изложения и примеров этой главы.
ЕДИНИЦЫ И РАЗМЕРНОСТИ
Основные единицы измерения в механике принято вводить главным образом на основе закона Ньютона:
F = Ma. (14.1)
При этом получаются следующие соотношения: В системе СГС (сантиметр, грамм, секунда)
1 дина (дин) = 1 г • 1 сле/сек2. (14.2)
В системе МКС (метр, килограмм-масса, секунда)
1 ньютон (н) = 1 кг • 1 м/сек2. (14. 3)
158
В английской системе единиц
1 паундаль =1 фунт- 1фут/сеи1 2. (14.4)
Килограмм и метр определяются как масса и длина бережно сохраняемых эталонов, которые находятся в Международном бюро мер и весов во французском городе Севре. Секунда определяется как 1/86 400 средних солнечных суток; это среднее значение вычисляется за период в 12 месяцев х. Фунт определяется как 0,4536 кг, а фут как 0,3048 м. В указанных системах единица силы является производной от единиц массы, длины и времени, которые в механике рассматриваются как основные. В терминах размерностей говорят о системе MLT, и сила имеет при этом размерность MLT~2. С другой стороны, в системе единиц МКГСС за основную единицу принята килограмм-сила (кгс или кГ), поэтому
1 яГ = 1 т. е. м.-1 м!сек2. (14.5)
Килограмм-сила определяется как сила, которая при действии на килограмм массы сообщает ему ускорение 9,807 м!сек2, равное нормальному ускорению силы тяжести. 1 кГ равен 9,807 н, т. е. 9,807 кг-м1сек*. В системе FLT масса имеет размерность FT2L“\ а 1 техническая единица, массы (яг. е. лг.) равна 1 кг*секЧм.
В этой книге используются не три, а четыре основные единицы, а именно, секунда, метр, килограмм-масса (кг) и килограмм-сила (кГ) *. При таком выборе единиц приходится вводить во второй закон Ньютона размерную постоянную: так что
_ 1 кг *9,81 м/сек2 ~~ gc
Постоянная gc равна поэтому gc = 9,81 кг* м)кГ • сек2.
Килограмм-сила, определенный в системе FMLT, имеет определенное фиксированное значение и не зависит от местного значения g, как зависит от него фунт веса или килограмм веса. _ к
1 В настоящее время в СССР в соответствии с решениями Одиннадцатой Генеральной конференции по мерам и весам, принятыми в октябре 1960 г. и введенными в ГОСТы 7664-61 и 9867-61, действуют следующие определения метра и секуцды:
«Метр есть длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5cfe атома криптона 86».
«Секунда ~ 1/31556925,9747 часть тропического года для 1900 г. января v в 12 часов эфемеридного времени». (Прим, ред.)
* Как уже сказано ранее, при переводе книги была принята обычная для советского читателя система трех основных единиц. Тем не менее, следующий абзац сохранен, поскольку он представляет самостоятельный интерес. (Прим, перев.)
(14.6)
(14.7)
159
Значение gc, конечно, выбрано так, чтобы на 1 килограмм массы в нормальном поле тяжести действовала сила в 1 килограмм-силу.
Использование такой системы находится в соответствии с большинством промышленных измерительных приборов. Действительно, редко встретишь гири, маркированные в т. е. л* *.’ах или манометры, градуированные в н/м2. Практически даже в тех странах, где используется метрическая система, единица давления 1 бар используется реже, чем техническая атмосфера х.
Если читатель считает, что система с четырьмя основными единицами менее обоснована или более произвольна, чем система с тремя основными единицами, то вскоре будет показано, что можно разработать и систему, в которой только две основные единицы. Иными словами, число основных единиц можно выбирать так, чтобы обеспечить удобство исследования.
ОДНОРОДНОСТЬ ПО РАЗМЕРНОСТИ
Чтобы уравнение было верным при любом согласованном выборе единиц измерения, оно должно быть однородным по размерности, т. е. все члены уравнения должны иметь одинаковую размерность. В системе FMLT, чтобы обеспечить однородность по размерности, в законе Ньютона нужна размерная постоянная gc. Ее численное значение зависит от системы единиц измерения. Например, она может быть равна 9,81 кг*м/кГ -сек2. Любые числа, входящие в однородное по размерности уравнение, безразмерны. Уравнение (14. 6), если его записать в виде 9,81 F = Ма, перестанет быть безразмерным. В таком виде оно не справедливо при единицах, отличных от тех, которые входят в уравнение (14. 8). С другой стороны, в системе MLT уравнение (14. 1) однородно по размерности. Так как число основных размерностей уменьшено на единицу, a F приписана размерность произведения Ma, gc принимает безразмерное значение, равное 1.
СИСТЕМА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ЕДИНИЦАМИ
Как указано выше, можно разработать систему с двумя основными единицами механической природы *.
При изучении движения небесных тел используется закон Ньютона, определяющий силу притяжения между массами М и М
F=^~, (14.9)
1 1 бар == 106 дин/см* = 0,9869. физической атмосферы (атм)\ 1 техническая атмосфера (ат) равна 0,9628 атм.
* Изложение следует Лангхаару [94], гл. I.
160
где г — расстояние между центрами масс; к — размерная постоянная, имеющая в системе СГС значение 6,7 -10~8 см31г-сек2. Можно полагать, что астрономические вычисления упростятся, если придать к значение, равное единице. Определим поэтому астрономическую единицу силы ас выражением
lac = V^- (14.10)
Таким образом, в этой системе ML размерность силы ЛГ2£-2, а единица силы г2/см2. Одна астрономическая единица силы (ас) равна 6,7-10“8 а-ом/еек2 (дин).
Размерность времени в такой системе можно найти из уравнения (14. 1), записывая
1ас = 1г"^?-’ (14.11)
где время измерено в «астрономических единицах» (ав). Так как размерность силы M2Zr2, время должно иметь размерность з _ 1
L2M~2 9 а его единицами являются см1г1гч\ 1 ав равна
(6,7-10“8)~ = 3,86-103 сек.
Может показаться странным измерять время в см*1*1г12 вместо специальных единиц времени. Однако на самом деле это не более странно, чем измерять силу в г * см!сек2 вместо специальных единиц силы. Выбор основных единиц; произволен, и можно было бы разработать систему, имеющую 'в качестве основных единицы плотности, вязкости и поверхностного натяжения. Масса, длина и время в такой системе были бы производными величинами.
РАЗМЕРНОСТИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭТОЙ КНИГЕ
До СИХ пор рассматривались только системы механических единиц. Если существенны тепловые эффекты, то используются размерности температуры 0 и энергии Н. Таким образом, полный набор основных размерностей, используемых в этой книге, состоит из, М, Т, Н и0. Конечно, число основных единиц можно уменьшить не только за счет механических величин, но и за счет энергии Й, имеющей размерность ML2T~2. Размерности производных величин можно установить по сводке обозначений, приведенной в гл. 1. Очевидно, используемую систему «а, м, сек, ккал, °C можно заменить любой другой согласованной системой единиц.
11 Заказ 519.
161
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГИДРОДИНАМИКЕ
СЛЕДСТВИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Даже если оказывается невозможным проинтегрировать уравнения Навье — Стокса для данной задачи, их можно использовать, чтобы выяснить, как должны сгруппироваться переменные, входящие в выражение для решения.
Напишем сначала уравнение Навье — Стокса для направления оси х в случае стационарного движения.
дих дих дих 1 др / д2их д2их д2их \
(14.12)
Это уравнение, конечно, однородно по размерности. Размерность каждого члена равна LT'2.
Поскольку мы интересуемся в основном тем, каким образом исходные переменные входят в те интегральные соотношения, которые следуют из уравнения (14. 12), то запишем
[т] = Н+£]' <14ЛЗ>
Уравнение (14. 13) выражает равенство не чисел, а размерностей. Здесь символом всех компонент скорости является единственная характерная скорость и, а символом всех длин —- характерная длина L. Приводя все члены уравнения (14. 13) к безразмерной форме путем деления их на u4L, получим
1'1-[-г— <14-14>
Уравнение (14. 14) просто указывает на существование функциональной связи и может быть представлено в виде
Р , / a2 uL \ QU2 ““ ' \ gL ’ v ) *
(14.15)
Q U2
Мы видим, что безразмерная группа — это число Рейнольдса;
-—г называется числом Фруда, а — числом Эйлера.
Если вспомнить, что левая часть уравнения (14. 13) выражает влияние инерционных сил, а члены в правой части выражают, соответственно, влияние силы кости, то ясно, что можно написать:
тяжести, сил давления и сил вяз-
Ей — —— сила давления .
qu2 сила инерции 9
Fr — ц2 __ сила инерции
— gL ~~ сила тяжести ’
__uL ___ сила инерции v сила вязкого трения
(14.16)
(14.17)
(14.18)
162
Посмотрим теперь, как можно использовать уравнение (14. 15) при исследовании обтекания цилиндра бесконечной длины. Если положить р равным силе сопротивления единицы длины цилиндра, деленной на диаметр, то
Eu—^d=£T’ («•»)
причем второе равенство — это определение коэффициента сопротивления согласно формуле (8. 12). Так как при движении жидкости без свободной поверхности влияние сил тяжести не существенно, то уравнение (14. 15) превращается в
CD = /1(Re). (14.20)
Если экспериментально найти зависимость CD от Re (такая зависимость показана на рис. 8. 9) для данной жидкости и данного цилиндра (скажем, путем измерения силы сопротивления в зависимости от скорости), то найденную зависимость можно использовать для определения сил сопротивления для других цилиндров и жидкостей.
Хотя анализ размерностей не дает явного вида связи между переменными, форма этой связи ограничивается настолько, что для полного решения задачи достаточно небольшого числа экспериментальных данных.
Когда образуются поверхностные волны, как при испытании моделей судов и перемешивании жидкости в открытой емкости, коэффициент сопротивления зависит также от числа Фруда.
Только что проиллюстрированный метод анализа размерностей на основе дифференциальных уравнений более подробно рассматривается Клинкенбергом и Муи [84] и, по-иному, Шлих-тингом [144].
ПИ-ТЕОРЕМА БУКИНГЕМА
Анализ размерностей можно проводить и по методу Букингема, строгий вывод которого можно найти у Лангхаара [94]. Этот метод применим даже тогда, когда соответствующее дифференциальное уравнение неизвестно. Постулируем, что р является функцией всех переменных и размерных постоянных, которыми определяется течение,
p = f(L, и, е, р., g, С, а). (14.21)
Чтобы расширить задачу по сравнению с рассмотренной ранее, в число определяющих параметров включены скорость звука С и поверхностное натяжение а.
Определение вида этой зависимости одним лишь опытным путем потребовало бы большого числа экспериментов. Анализ размер-
11* 163
г
костей позволяет уменьшить число опытов, нужных для решения задачи.
Предположим сначала, что давление (т. е. величина падения давления, вызванного движением) зависит от переменных, входящих в уравнение (14. 21). Это предположение основано на некотором предварительном знании физики явления; далеко не всегда заранее ясно, какие переменные следует учесть \
I Метод Букингема основан на предпосылке, что любое уравне-
| ние, описывающее поведение системы, должно быть однородным
; по размерности, так что его можно записать в безразмерных
переменных при помощи процедуры, сходной с той, которая была использована при выводе уравнения (14. 15). Обозначая безразмерные переменные буквами л, мы запишем этот результат в общем виде:
•^i= / (*^2> *4, • • •? (14. 22)
Теперь нужно в форме уравнения (14. 22), в которую входят только безразмерные переменные, записать уравнение (14. 21). Прежде всего нужно установить, сколько безразмерных комплексов получится из уравнения (14. 21), т. е. значение г. Это значение определяется соотношением
f = n —г, (14.23)
где п — число переменных; г — максимальное число переменных, из которых нельзя образовать безразмерную комбинацию (величина г обычно равна числу основных размерностей).
Для рассматриваемой общей задачи из уравнения (14. 21) видим, что п = 8. Путем подбора находим, что никакая комбинация Z, u, q не может дать безразмерной величины. Чтобы пока-зать это, запишем такую комбинацию в виде
£“иьес (14.24)
и подставим для каждой переменной ее размерность:
«)’ <1425>
Так как М встречается только в размерности q, а Т — только в размерности и, то, очевидно, никаким подбором значений а, b и с нельзя выражение (14. 25) сделать безразмерным. Если к величинам в (14. 25) добавить любую из оставшихся переменных, то, как будет вскоре показано, можно найти значения показателей, при которых получается безразмерное выражение. Поскольку г = 3, i должно быть равно 5, существует пять независимых безразмерных групп лх, л2, . . лб.
1 Интересное обсуждение этого вопроса, как и всего анализа размерностей в целом, дано Бриджменом [14]»
464
Есть много возможных наборов безразмерных групп, но из того, что нам известно о гидродинамике, представляется желательным, чтобы одна группа отражала влияние вязкости ц, одна — влияние силы тяжести g, одна — влияние поверхностного натяжения а, одна — эффекты высоких скоростей С и одна —- эффекты, связанные с давлением р. Поэтому мы выберем безразмерные комбинации так, чтобы каждая из переменных р,, g, q, С и р входила только в одну группу. С другой стороны, L, и и Q могут оказывать влияние почти на все процессы, так что их присутствие допустимо в любом комплексе.
Запишем для
я1 = £“иьрУ (14.26)
Выраженное через три основные размерности это уравнение имеет вид
<14-27>
Показатели при переменных должны быть такими, чтобы это выражение было безразмерным. Для этого требуется удовлетворить системе уравнений
для М + (14.28)
для L 0 = а-}~Ъ — Зе — ।й; (14.29)
для Т 0=—& —2d. (14.30)
Решая эти уравнения, можно выразить все показатели через один из них. Зададимся d и получим b = —2d, с = — d и а = 0. Кроме того, так как в уравнение (14. 22) входит неизвестная функция от всех л, показатель d можно выбрать равным единице. В результате получим
л1==—— Ей—число Эйлера. (14.31)
Положим для л2 л2 = Ьаи\У, (14. 32)
что (при d = — 1) дает
л2 = — число Рейнольдса. (14. 33)
Аналогичным образом при замене четвертой переменной в выражениях (14. 26) и (14. 32) последовательно на С и а получаются остальные безразмерные величины л. В результате
2^2
я3 = = Fr—число Фруда; (14. 34)
я4 = и/С = М—число Маха; (14. 35)
л5 = qu?L/q = We — число Вебера. (14. 36)
165
Уравнение (14.21) для данной задачи принимает вид
Eu = / (Re, Fr, М, We). (14. 37)
Такая система пяти безразмерных комплексов называется полной; каждый из них не зависит от других. Из входящих в полную систему могут быть образованы многочисленные другие безразмерные переменные, например,
ReFr==JS- <14-38>
Вполне возможно, что именно этот комплекс окажется полезным при исследовании некоторой специальной задачи.
К счастью, во многих случаях некоторые из членов в уравнении (14. 37) выражают лишь пренебрежимо малые эффекты. Можно упомянуть следующие задачи, часть которых аналитически исследована в предыдущих главах.
1. Движение идеальной жидкости. Это приближение применимо при вычислении подъемной силы профиля или производительности воздуходувки, когда можно пренебречь влиянием вязкости, силы тяжести, поверхностного натяжения и сжимаемости (числа Маха). Для этого случая уравнение (14. 37) приобретает форму
Eu = = const, (14. 39)
что можно рассматривать, как видоизменение уравнения Бернулли.
2. Течение в трубе или обтекание погруженного в жидкость тела, когда существенно только вязкое сопротивление.
(напомним, что эквивалентно Св или/). Мы уже отмечали, что для случая обтекания цилиндра уравнение (14. 15) превращается в уравнение (14. 20)
Для течения в гладкой трубе мы определили коэффициент сопротивления / уравнением (13. 67) так, что
Рл _ _ /
u2q4 u2q 2
Так как нам известно из уравнения (7.10), что
Ts — 77“~ ,
166
то уравнение для / принимает вид
=»<«'>• <14-41>
График зависимости / от Re был приведен на рис. 13. 8.
3. Обтекание моделей судов. Так как образуются поверхностные волны, то в уравнение нужно ввести число Фруда:
4. Движение с высокими скоростями. Балли с т и к а.
^Йг = <Р(»/0- (14.43)
Этот тип задач рассмотрен подробнее в гл. 17.
5. Движение распадающихся взвешенных частиц.
Если присутствуют две жидкие фазы, то могут оказаться существенными также безразмерные величины, являющиеся отношениями свойств этих двух фаз, такие, как —, и т. д.
МОДЕЛИ И ПОДОБИЕ
Модели оказываются полезными при проектировании судов и самолетов и выборе масштабов химических процессов. Поскольку опыты на объектах натуральной величины (так называемых прототипах) были бы дороги и сложны, обычно исследование проводят на моделях. В тех случаях, которые будут рассматриваться, модель геометрически подобна прототипу; отношение любых двух длин на модели то же самое, что и отношение соответствующих длин прототипа. Иными словами, модель и прототип имеют одинаковую Форму.
Для описания взаимно однозначного соответствия между скоростями и силами при обтекании модели и прототипа используют, соответственно, термины кинематическое и динамическое подобие. Если существует полное подобие между обтеканием модели и геометрически подобного ей прототипа, то все существенные безразмерные величины будут иметь одинаковые значения для обоих потоков. Уравнения (14.16)—(14. 18) показывают, что это означает: отношения всех существенных сил одинаковы для этих двух потоков.
167
В качестве модели рассмотрим течение в данной гладкой круглой трубе. В соответствии с принципом подобия, зная это течение, можно описать и течение в трубах других размеров, рассматриваемых как прототипы. Форма труб одинакова, так что если сделана серия опытов для определения зависимости Ей от Re, то дальнейшие эксперйменты не нужны. При одинаковых числах Рейнольдса существует полное подобие и числа Эйлера тоже должны быть равны.
По-другому обстоит дело с обтеканием модели корпуса корабля. Модель не имеет фиксированной формы, а делается геометрически подобной исследуемому прототипу. Поэтому каждый раз, когда предлагается новая форма корпуса, необходимы эксперименты на модели.
Рассмотрим задачу о сопротивлении, испытываемом судном длиной 150 м. Уравнение (14. 43) можно записать в виде
(7D = <p(Re, Fr), (14.45)
и задача будет решена, если Re и Fr можно менять независимо таким образом, чтобы определить функцию <р. Формулы (14. 17) и (14. 18) показывают, однако, что
Fr=^Re.
Между изменениями Re и Fr при изменении и существует жесткое соотношение, если постоянно используется одна и та же жидкость (вода), так что —постоянно. Поэтому общий вид функции <р не может быть определен на одной модели с использованием в качестве рабочей жидкости воды. Можно установить также, что нельзя достичь полного подобия между моделью и прототипом. Чтобы получить одинаковые значения Fr для прототипа длиной 150 м и модели длиной 1,5 м, нужно использовать на модели скорость, равную 1/10 от скорости прототипа. Однако это приводит к тому, что число Рейнольдса модели составляет всего 0,001 от числа Рейнольдса прототипа.
Кораблестроители решили эту задачу, воспользовавшись приближенным представлением для функции (14. 45):
= <РХ (Re)+<р ,(Fr). (14.46)
(pi (Re) находится^из экспериментов по обтеканию полностью погруженных тел, для которых влияние Fr отсутствует. Проводят также опыты по определению CD для моделей при течениях, для которых существенны поверхностные волны. По этим данным из уравнения (14. 46) путем вычитания определяется функция <р2 (Fr). 168
ПРИМЕНЕНИЕ К ПЕРЕМЕШИВАНИЮ
Движение жидкости, перемешиваемой пропеллерной или турбинной мешалкой в емкости со свободной поверхностью, весьма сложно и не может быть рассчитано путем аналитического решения уравнений движения. Поэтому оказывается полезным метод анализа размерностей. Мы применим его сейчас к задаче, сформулированной следующим образом:
Р = /(Р, q, со, n,g), (14.47)
Где р — мощность, подводимая к мешалке; D — диаметр мешалки; to — угловая скорость мешалки. Остальные символы имеют обычное значение. В данном случае п = 6, г = 3, так что i = 3. Допуская, что D, е и о могут входить в любую безразмерную комбинацию, получим:
<1448)
зт2 = Z>2qcd/(л; (14. 49)
jt3 = Ao2/g. (14.50)
Комплекс % назовем безразмерной мощностью. За характерную скорость и может быть взята линейная скорость лопастей мешалки, равная . Подстановка выражения <о через и в л2 показывает, что л2 — число Рейнольдса. Комбинация л3 — число Фруда.
Если на поверхности жидкости возникают воронки, то безразмерная мощность является функцией и Re и Fr. Так же, как и в случае моделирования судов, нельзя достичь полного подобия между небольшим смесителем и его прототипом или увеличенным вариантом, если вести моделирование на той же жидкости. Однако в противоположность случаю моделирования судов практически осуществим эксперимент на модели смесителя с жидкостью другой вязкости v. Подходящим выбором жидкости и температуры можно достичь полного подобия между моделью и прототипом. Используя различные жидкости, можно также независимо менять Re и Fr. Этим методом Раштон, Костич и Эверетт [140] получили для одного из смесителей кривые, представленные на рис. 14. 1 *. При помощи таких кривых можно рассчитывать работу только смесителей, геометрически подобных данному. Если уровень жидкости, положение мешалки или отношение диаметров мешалки и емкости меняются, то ход кривых на рис. 14. 1 может измениться.
В большинстве промышленных смесителей для жидкостей делаются перегородки, чтобы предотвратить образование воронки, так что число Фруда уже не имеет значения.
На рис. 14. 1 и 14 2 вместо со (рад!сек) введено N об!сек.
169
Влияние перегородок иллюстрирует рис. 14. 2. Для смесителя с перегородками безразмерная мощность, как показано на рис. 14. 3, зависит только от числа Рейнольдса. Вид этой кривой
Рис. 14. 1. Безразмерная мощность для системы без перегородок [140].
а — Fr = 0,0863; b — Fr = 0,345; с — Fr= 0,777; d — Fr=l,382; е —Fr — 2,160. .
напоминает вид зависимости CD от Re для обтекания погруженного -в жидкость тела. При малых числах Рейнольдса, когда влияние вязкости велико, наклон кривых рис. 14. 1 и 14. 3 приближается
к 45°. При высоких числах Рейнольдса при приближении к условиям полностью турбулизованного потока CD стремится к постоянной. Кривая, подобная показанной на рис. 14. 3, применима только
Рис. 14. 2. Влияние перегородок в смесителе.
а — вихрь, образующийся при отсутствии перегородок; б — смеситель с достаточным числом перегородок.
Рис. 14. 3. Безразмерная мощность для смесителя с перегородками [140].
к геометрически подобным смесителям. Как уже упомянуто, если уровень жидкости, положение мешалки, отношение диаметров мешалки и емкости и относительные размеры и положение перегородок изменяются, то на графике, подобном рис. 14. 3, могут 170
получаться различные кривые. Хотя рассмотренный метод позволяет оценить потребление энергии в натурной установке, он ничего не говорит об интенсивности перемешивания.
МЕТОД РЕЛЕЯ
В этом методе уравнение (14. 21) заранее принимается в виде
p = ALaubQcVLdgeCfog.
(14. 51)
где А — постоянная. Так как это уравнение должно быть однородно относительно размерностей М, L и Г, можно записать систему трех уравнений и выразить четыре показателя через три других (и произвольно выбранное равным единице значение показателя при р). Это дает
где d, е, / и g могут иметь любые значения. Нет причин предпола-
гать, что в общем случае выражается через безразмерные переменные функцией специального вида (14. 52), хотя это имеет
место во многих случаях. Чтобы расширить область применения результата, можно считать, что уравнение (14. 51) определяет вид одного члена бесконечного ряда, в который может быть раз-
ложена искомая зависимость. Поэтому можно написать
р _ / Luq и2 и qu2L qu2 \ И ’ Lg 9 С ’ ~
(14. 53)
Уравнение (14. 53) совпадает с результатом, полученным для данной задачи по методу Букингема.
В применении методов анализа размерностей к задачам тепло-и массопереноса нет принципиальных новшеств. Примеры из этих областей будут отложены до тех частей книги, в которых специально рассматриваются теплопередача и массообмен.
Следующий пример приводится, чтобы показать весь процесс получения методами анализа размерностей формул на основе опытных данных.
Пример 14. 1
В связи с углубленным исследованием теплопередачи к кипящей жидкости проводились измерения скорости образования и размера пузырьков, которые возникают при выходе газа из небольшого отверстия, расположенного ниже уровня жидкости. Чтобы установить связь между свойствами жидкости и данными о размере пузырьков, следует воспользоваться методами анализа размерностей.
Предположим, что связь между размерами пузырька и переменными задачи определяется соотношением вида
D=f(d, q, о, р, g)
(1)
171
где d — диаметр отверстия. Путем проб определяем, что из семи перемен-вых можно найти не более трех, на которых нельзя составить безразмерную комбинацию. Такими переменными являются d, q и g. Примем эти переменные за те, которые могут войти в любой из трех (7—4 = 3) безразмерных комплексов. (В число таких переменных всегда входят любые размерные постоянные. Другие переменные определяются исключением. В данном случае желательно, чтобы D входило только в один безразмерный параметр. Желательно, кроме того, чтобы один безразмерный параметр отражал влияние поверхностного натяжения, а еще один — вязкости. Величины d, q и g могут войти в любой комплекс.)
Представим лх в виде
n1 = daQbg'Dd- (2)
Непосредственно видно, что
Л! = — Для л2 имеем
л2 = ^а(Ат gd. (3)
Постановка размерностей дает
<4)
откуда получается система трех уравнений:
для L 0 = а — 3b + d\ (5)
для М 0 = 6 +с; (6)
дляТ 0=— 2с—-2d. (7)
Положив d = — 1, находим с = 1, Ь= —1 и а= —2, так что получаем
о 310 —— ф
Qgd2
(8)
Из выражения
= (9)
получим (полагая, чтобы избежать дробных показателей, с = 2):
р,
(10)
таким образом, в результате анализа размерностей имеем
d J \ Qgd2 *
И2 \
Q2gd3 / ’
(И)
172
Таблица 14.1
Система Вязкость жидкости, спз Плотность жидкости, 3/CJH8 Поверхностное натяжение, дин/см Диаметр пузырька, сл<, при диаметре отверстия, см
0,293 0,438
Вода — воздух 0,81 0,996 70,2 0,514 0,612
Вода — Н2 0,81 0,996 70,2 0,516 0,630
7 5%-ный раствор этало-на — воздух 1,07 0,982 51,4 0,480 0,583
45%-ный раствор сахара — воздух .... 52,0 1,197 58,1 0,486 0,585
Масло (Wesson Oil) — воз-дух 57,0 0,920 36,5 0,411 0,491
Воспользуемся теперь уравнением (11) для обработки данных Бен-зинга [6], часть которых воспроизведена в табл. 14.1. Построим зависимость 1g от 1g (рис. 14.4). (Напомним, что 1 спз равен
0,01 г/см • сек и что g=981 см/сек2.) Через точки на графике можно провести прямую, что позволяет получить уравнение
D / а \о,зо <12’
ц2
Если бы комбинация была существенной, на графике рис. 14. 4 можно было бы провести линии через точки, соответствующие последовательным значениям этого параметра. Однако никакой систематической зависимости эксперимен-ц2 -
тальных точек от —не наблю-q2gd3
Рис. 14. 4. Определение закономерности по данным об образовании пузырьков.
И Q
. Этотре-
Q2grf3 г
D дается, так что можно заключить, что -у- не зависит от а
зультат не удивителен, так что можно показать, что размер пузырьков при низких частотах зависит только от соотношения между выталкивающей силой и силой, создаваемой поверхностным натяжением.
Если предположить, что зависимость имеет вид
(13)
то можно найти постоянные а. Ъ и с при помощи так называемого метода наименьших квадратов.
173
Найдено, что показатель с имеет очень малое значение (приблизительно 0,01), Это показывает, что влияние параметра л3 пренебрежимо мало. Для а и Ъ найдены значения 1,82 и 0,25 соответственно.
Задачи
14. 1. Анализ размерностей используется при расчете центробежных насосов. Прирост давления на насосе (эта величина пропорциональна напору, развиваемому насосом) можно считать зависящим от плотности жидкости q, угловой скорости ш, диаметра рабочего колеса D, объемного расхода Q и вязкости жидкости [л. Найти подходящие безразмерные переменные, выбирая их так, чтобы р, Q и |л входили каждое только в одну комбинацию. Найти аналогичные выражения, заменяя прирост давления сначала подводимой к насосу мощностью, а затем — коэффициентом полезного действия насоса.
14. 2. Эксперименты показывают, что влияние вязкости жидкости на работу центробежного насоса при обычных условиях невелико, так что один из членов в каждом из уравнений, полученных в задаче 14. 1, может быть опущен.
Данные, полученные при испытании центробежного насоса, показаны на рис. 14. 5. Оценить отношения размеров
и скорости геометрически подобного насоса, который должен работать с максимальной подачей 4000 л!мин при приросте давления на 3,5 кПсм\ к размерам и скорости вращения испытанного насоса.
14. 3. Грубый метод пересчета размеров емкостей и мешалок смесителей основан на предположении, что мощность на единицу объема постоянна. Нужно увеличить в три раза объем смесителя, в котором имеется достаточное число перегородок, чтобы предотвратить образование воронки. Как нужно изменить диаметр емкости и скорость вращения мешалки? Смесители геометрически подобны и оба работают в области вполне турбулизованного движения.
14. 4. В гл. 13 мы показали, используя представление Прандтля о пути перемешивания, что распределение скоростей при турбулентном движении в трубе может быть задано уравнением (13. 57). Это уравнение допускает запись в виде
Q, м^/мин
Рис. 14. 5. Характеристики центробежного насоса.
а — коэффициент полезного действия, %; б — развиваемое давление, к Г/см2.
(А)
где и* =1/ — • Получить уравнение (А) при помощи анализа размерностей.
15. НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
>
В предшествующих главах было дано введение в основы гидродинамики. Оно должно служить базой для решения многочисленных технических задач. Интегральные уравнения сохранения позволяют решать разнообразные задачи определения входного и выходного параметров процесса. Для некоторых простых случаев найдены решения уравнений движения, а для более сложных задач разработан метод анализа размерностей в сочетании с экспериментом.
Число задач, поддающихся аналитическому решению, будет непрерывно возрастать по мере усовершенствования математических и вычислительных методов. Поэтому инженеру насущно необходимо глубокое знание принципов, лежащих в основе этих методов.
При рассмотрении теории мы не хотели прерывать ход рассуждений, углубляясь в многочисленные практические примеры. В этой главе мы изложим применение основ гидродинамики к движению несжимаемой жидкости в трубах, в слоях насадки и при обтекании препятствий.
БАЛАНС МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Решения многих задач основаны на использовании уравнений баланса механической энергии. Записанное для стационарного течения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид (4. 27)
(применительно к насосу) и вид (4.24)
^+гД2+^+„+^=0
175
применительно к турбине. Использование этих уравнений и их связь с уравнением баланса энергии были рассмотрены в гл. 4.
Главная задача настоящей главы — кратко изложить способы вычисления потерь энергии hf для различных встречающихся в практике случаев движения.
В гл. 13 и 14 при рассмотрении вызванных трением потерь давления был определен коэффициент сопротивления для течения несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе постоянного диаметра — см. уравнение (14. 41):
f (-Др)Р .
Насоса в трубопроводе нет. При этих условиях Az, Wa равны нулю, так что из уравнений (4. 27) и (14. 42) получаем
(15.1)
Это уравнение выражает потери через длину трубы и число Рейнольдса. Важно иметь в виду, что формула (15. 1) справедлива и тогда, когда труба не горизонтальна и когда в уравнение входит внешняя работа. Это утверждение выражается уравнением
(15.2)
Перед членом, выражающим потери в прямой трубе, поставлен знак суммирования, так как эти потери могут вызываться движением через несколько последовательно соединенных отрезков труб различных длин и диаметров. Символом Т hc обозначена сумма потерь на сжатие, а символом S he сумма потерь на расширение потока (эти явления рассмотрены в гл. 5 и 6). Напомним, что потери в насосе учитываются коэффициентом полезного действия
ТЕЧЕНИЕ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ
Внутренняя поверхность промышленных труб не обязательно является гидравлически гладкой \ Поэтому на графике коэффициента сопротивления (рис. 15. 1) приведены кривые для различных степеней относительной шероховатости. Графики рис. 15. 1 основаны на данных многих исследователей в обработке Мууди [116].
1 Это выражение неточно, поскольку само понятие «гидравлически гладкая труба» определено лишь по отношению к данному режиму течения — см. гл. 13. (Прим, перев.)
176
форма кривых для шероховатых труб отличается от той, которую получил Никурадзе для труб с искусственной шероховатостью (стенки труб были оклеены песком) — см. рис. 13. 9.
В ’области вполне шероховатых труб кривые для промышленных труб становятся горизонтальными, но в области перехода от гидравлически гладких труб к шероховатым они отличаются от
Рис. 15. 1. Зависимость коэффициента сопротивления-промышленных труб от числа Рейнольдса [85].
а — ламинарное движение; б — гидравлически гладкие трубы; в — промежуточная переходная область; з — вполне шероховатые трубы.
кривых Никурадзе. Параметр относительной шероховатости
на рис. 15. 1 имеет тот же смысл, что и на рис. 13. 9. Значение относительной шероховатости находится не непосредственным измерением высоты выступов в промышленных трубах, а определяется так, чтобы кривые рис. 15. 1 и 13. 9 для одинаковых значений относительной шероховатости совпадали в зоне вполне шероховатых труб. По рис. 15. 2 можно найти относительные шероховатости для различных типов труб.
На рис. 15. 1 линия, соответствующая ламинарному течению, определяется уравнением (13. 73). Линия, соответствующая турбулентному движению в зоне гидравлически гладких труб,
12 Заказ 519. 177
определяется уравнением (13. 70), а линии, соответствующие движению во вполне шероховатой трубе, — уравнением (13. 77).
Если потери на сжатие и расширение потока составляют значительную часть общих потерь, как это имеет место в коротком теплообменнике, эти потери следует вычислять так, как показано в гл. 5 и детально описано Кейсом [80]. Однако во многих случаях
Рис. 15. 2. Относительная шероховатость промышленных труб [116].
а — клепаные, стальные; б — бетонные.
1 — чугунные; 2 — из оцинкованного железа; з — чугунные (покрытые битумом); 4 — из промышленной стали или кованые; S — цельнотянутые.
потери на расширение и сжатие потока и потери в различной арматуре составляют малую долю общих потерь и можно воспользоваться рис. 15. 3. На этой номограмме даны примерные значения эквивалентной длины прямой трубы, потери в которой равны потерям в данном элементе арматуры. Эти длины прибавляются к длинам отрезков труб между элементами арматуры, и сумма используется в качестве соответствующего значения L в урав-178
нении (15. 2). При этом значения 2^ и 2 he учи-тываются в эквивалентной длине, так что эти члены могут быть опущены. Следующий пример пояснит более полное применение этих методов.
Пример 15. 1
Вода при 169 С перекачивается по трубопроводу из резервуара в открытую емкость с расходом 380 л!мин. От резервуара к насосу ведет стальная труба диаметром 78 мм, а от насоса до установленной выше него емкости использована стальная труба 0 53 мм. Длины труб и арматура показаны на рис. 15. 4. Вычислить потребляемую насосом мощность, если его к. п. д. 70%.
Решение задачи начнем с записи уравнения баланса механической энергии для жидкости между двумя свободными поверхностями, отмеченными на рисунке цифрами 1 и 2. При этом перепад давления Ар равен нулю, Aw& равно нулю и Az = 5,1 м. Уравнение (4. 27) дает:
9,8 • 5,1 + hf+0,70 W& = 0. (1)
Если будет определено hf, это уравнение позволит вычислить Ws и тем самым потребление энергии. Составные части потерянной энергии hf выражаются последними тремя членами уравнения (15. 2).
Используя рис. 15.3, находим, что эквивалентная длина внутреннего насадка Борда равна 2,4 м, а открытой задвижки 0,51 м.
Рис. 15. 3. Эквивалентные длины местных сопротивлений.
а — вентиль открытый; б — угловой вентиль, открытый; в — поворотный кран; г — крутой поворот назад; д — стандартный тройник с поворо-
том потока; е — стандартное колено; ж — колено со средним радиусом поворота; з — колено с большим радиусом поворота или стандартный тройник без поворота потока; и — задвижка (клиновая): 3/4 закрытая на 3/^, */2 — закрытая на ^/г; 1/4 — закрытая на */4; по — полностью открытая; к — стандартный троиник; л — поворот под прямым углом; м — внутренний насадок Борда; н — внезапное расширение; о — обычный вход; п — внезапное сужение; р — колено с поворотом на 4э ; А — эквивалентная длина (в футах); Б — внутренний диаметр (в дюймах) *.
* 1 фут = 305 мм, 1 дюйм = 25,4 мм.
12*
179
Таким образом, эквивалентная длина I участка трубопровода равна 2,4 4- 6 + 0,51 -ф- 9 = 17,9 м.
Вычислим также следующие величины для I участка
ТТ7 380 • 10“3 • 1000 .
Ж =----------------= 6,33 кг/сек\
6,33 л о .
47J~10~* Ло3 = 1,33 М/Се '
Из рис. 15. 3 находим: = 0,0006. Согласно рис. 15. 1 коэффициент сопротивления / = 0,0052. Поэтому для I участка потери равны
= 2.0.0^ 17g. Slc/„.
Аналогичное вычисление проводится при определении потерь во II участке трубопровода. Для тройника L = 4 м. Для потерь на расширение при входе в верхнюю емкость на рис. 15. 3 нет подходящей точки, так как 9, но из уравнения (5) примера 5. 2 находим:
и?
he = -±
)
так как —^- = 0, имеем А2
, 1 2
fte= —“ьг
180
Для II участка
найдем
иь = 1,33
= 2,91 м/сек',
Re
1000-2,91-52.6-10~3
1,05 • 10"8
1,46 -105.
Рис. 15. 2 дает
D
0,0009.
так что из рис. 15.
1 имеем / = 0,0053.
Рис. 15. 5. Зависимость коэффициента сопротивления промышленных труб от числа Кармана.
а — ламинарные движения; б — гидравлически гладкие трубы; в — промежуточная зона; г — вполне шероховатые трубы.
Для II трубопровода потери равны
2.0.0053.(9+1.08_+1.эд.2.9р +2^1_71,8+4,25_76
Полная величина потерь равна, таким образом, hf = hf i-j- hf 2 = 4,2 76,0 = 80,2 дж/кгл
Подстановка этого результата в уравнение (1) дает
9,8-5,l + 80,3 + 0,70Jys = 0; jys = 186 дж/кг.
После этого определим потребную мощность 186-6,33 , -736— = 1’59 л-с-
В большинстве задач свойства жидкости известны. В только что рассмотренном частном случае • непосредственно вычислено Re,
181
из рис. 15. 1 получено значение /, а затем из выражения (15. 1) найдена величина потерь йу. С другой стороны, если бы вместо расхода была задана мощность насоса, для определения скорости (т. е. расхода) пришлось бы использовать метод последовательных приближений, так как для определения и числа Рейнольдса, и коэффициента сопротивления нужно знать иъ. Чтобы решить задачу, в которой неизвестна скорость (т. е. задано йу), данные рис. 15. 1 представим так, чтобы для определения абсциссы не нужно было знать скорость. Для этого введем следующим образом переменную Л:
Л = ВеГ7=^-/^. (1S-3)
По данным рис. 15. 1 легко вычислить значения Л и соответствующие значения /. На рис. 15. 5 представлен график зависимости / от Л. Его применение иллюстрируется следующим примером.
Пример 15. 2
Горячая вода при 44° С вытекает из емкости, где уровень не меняется, по стальной трубе с внутренним диаметром 52 мм. Выход трубы расположен на 12 м ниже уровня в емкости. Эквивалентная длина трубопровода 45 м. Вычислить расход в л!мин.
Если за входное сечение принять уровень жидкости в емкости, а за выходное—конец трубы, то уравнение баланса механической энергии сводится к
Ди?
gAz + —*-+7^0 (1)
и
или, так как входная скорость равна нулю, а Аг = —12 .w,
-9,g-12 + -^-(l + ^-) = 0. (2)
z \ и /
Уравнение (2) показывает, что относительное значение кинетической энергии L
возрастает при уменьшении .
Чтобы найти / и, таким образом, и^ воспользуемся рис. 15. 5. Вычислим
В)
»-•
Из рис. 15. 5 при = 0,0009 / = 0,0049.
В предыдущих вычислениях hf было принято равным 118, как получается из уравнения (1) в пренебрежении кинетической энергией. Если этот член существен, то поправку на него можно ввести впоследствии.
182
Уравнение (2) принимает теперь вид
4 • 0,0049 • 45\
52-10-» У “°’
-118+-^- (1 +
иь
-118+ -^-(1 +16,9) = 0
и окончательно
мь= 1/ I*8 =3,63 м/сек.
По этому значению иъ из уравнения (1) можно вычислить новое значение hf и получить новое значение Re } /. Однако последнее значение изменится только на несколько процентов, так что значение / не изменится. Поэтому иъ = 3,63 м/сек — правильный результат, и расход равен
3,63 • 0,785 • 522 • 10“6 • 60 • 103=452 л/мин.
Выражение Re у// иногда называют числом Кармана. Если изобразить график р==- в зависимости от lg (Re у/), то, как показывает формула (13. 70), в зоне гидравлически гладких труб* получится прямая. Такой график приводится, например, у Рауза [138]. В качестве упражнения предоставим читателю доказать, что график зависимости / от Re (/) /б может оказаться удобным, если заданы объемный расход и полные потери на трение, но диаметр трубы неизвестен.
ТЕЧЕНИЕ В ПАРАЛЛЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ ТРУБАХ
Течение в трубопроводной сети часто оказывается сложным, и для его описания может потребоваться решение системы многих нелинейных уравнений. При определении расходов в различных частях крупных распределительных систем могут оказаться полезными быстродействующие вычислительные машины. Следующий простой пример иллюстрирует некоторые принципы расчета.
Пример 15. 3
Вода при температуре 20Q С перетекает из емкости с постоянным напором по трубопроводу из стальной трубы диаметром 52 мм с эквивалентной длиной 15 м в точку, расположенную на 4,5 м ниже поверхности жидкости. В этой точке трубопровод разветвляется. Часть воды протекает по трубопроводу из трубы диаметром 40 мм с эквивалентной длиной 9 м и изливается на 9 м ниже уровня воды в емкости, а другая часть движется параллельно первой по трубопроводу диаметром 26 мм, эквивалентная длина которого 12 м, и изливается на 6 м ниже уровня воды в емкости. Найти средние скорости жидкости во всех трех участках.
18а
Будем называть трубу диаметром 52 мм первым участком, 40 мм — вторым и 26 мм — третьим. Запишем для каждого участка уравнение баланса механической энергии:
-4,5- 9,8+-^-+hf 1 = 0; (1)
У
-4,5- 9,8+-^-+ hf 2 = 0; (2)
-4,5-9, 8+ —+*/з = 0. (3)
Q
Чтобы не усложнять задачу, не будем учитывать кинетическую энергию и потери в арматуре и на сжатие и расширение потока.
Так как полная разность давлений Др между поверхностью жидкости в емкости и выходами обеих труб равна нулю, а Др2 должно быть равно Др3, имеем:
Ap1 = —Лр2 = —Др3, (4)
Кроме того, уравнение материального баланса дает
ЖХ = 1У2+Ж3 и
мЫ^1=“Ь2^ + “ьзд8з- (5)
Дальнейший расчет мы должны вести методом проб и ошибок. Сначала задается Др1? так что из уравнений (1)—(3)j можно определить hfly hf3. Затем с помощью метода, продемонстрированного в примере (15. 2), вычисляют иъ±, иъъ'к. иьз- Если эти значения не удовлетворяют уравнению (5), то выбирается новое значение Дрх до тех пор, пока не будет найдено такое, при котором уравнение (5) удовлетворяется.
Начнем с предположения, что Дрх = 0 — целесообразный выбор, имеющий то дополнительное достоинство, что он упрощает вычисления. Из уравнений (1)—(3) получаем:
Л/х = 4,4; hf 2== hf3 = t,^7.
Затем находим для участка I:
Re = 1,46 • 10б; / = 0,0054; иъ 1 = 3,7 м/сек.
Для участка II:
Re == 1,29 • 105; / = 0,0059; иъ 2 = 4,1 м/сек.
Для участка III:
Re У7=3,41 • 104; / = 0,0070; иъ3 — 7,5 м/сек.
После подстановки значений диаметров уравнение (5) принимает вид ыЬ1 = 0,61 иъ 2+0,25 иь з. (6)
Если три найденные выше значения скорости подставить в уравнение (6), чо правая часть окажется равной 2,9, а левая — 3,7.
Это показывает, что значение скорости в трубе диаметром 52 мм чересчур велико, так что Дрх следует выбрать положительным. Такое изменение приведет к снижению величины потерь на трение на первом участке. Если значение ^1 выбрано равным 10,2 дж/кг, что соответствует Дрх « = 0,104 кГ/см2, то получающиеся^значения скоростей будут удовлетворять 184
уравнению (6). Эти значения составляют: г — 3,3 м/сек, и^2 ~ 2,8 м/сек', и^3 ~ 2 м/сек.
При получении этого результата процедура проб и ошибок упрощена за счет дополнительного предположения, что все / остаются постоянными при изменении иь на относительно малую величину
ТЕЧЕНИЕ В НЕКРУГЛЫХ ТРУБАХ
Последующие замечания относятся только к турбулентному течению; некоторые случаи ламинарного течения были рассмотрены в гл. 12.
Графиками 15. 1 и 15. 5 можно пользоваться для турбулентного течения в различных некруглых трубах, заменяя диаметр D эквивалентным диаметром £>экп, который определяется соотношением
Чкв = 4гя. (15.4)
Входящий в это уравнение гидравлический радиус гн в свою очередь определяется формулой
' rH = A/lpf (15.5)
где 1Р — смоченный периметр трубы; А — площадь поперечного сечения тру$ы.
Можно проверить, что для круглой трубы из этих определений следует согласующийся с обычным определением результат £>эКВ = = D. Например, для движения в кольцевом зазоре Z>9KB = —
— D19 так что получаем:
И
Re = lg^i)CBb . (15.7)
При так определенном гидравлическом радиусе графики коэффициента сопротивления можно использовать для потоков в открытых каналах и не полиостью заполненных трубах 2.
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ, ПОГРУЖЕННЫХ В ЖИДКОСТЬ
В гл. 8 мы рассматривали обтекание цилиндра, количественные результаты представлены графиком рис. 8. 9.
В гл. 14 было показано, что вид переменных, в которых построен график 8. 3, может быть установлен при помощи анализа размерностей.
1 Более простой способ — графоаналитический, заключающийся в построении левой и правой частей уравнения (6) в функции Дрх и определении Дрх по точке их пересечения. (Прим, ред.)
2 Вообще говоря, форма сечения также влияет на гидравлическое сопротивление, но основным определяющим размером является гидравлический радиус. (Прим, ред.)
185
Интерес представляет также сила сопротивления при обтекании [шара и диска. На рис. 15. 6 представлена зависимость CD ют Re, где, согласно уравнению (8. 13),
р d е
D е«;М ’
А = ^-; Re = -^-.
4 ’ Ц
В этих уравнениях D — диаметр шара или диска.
Рис. 15. 6. Коэффициенты сопротивления для шара и диска [138].
а — для диска; б — для шара.
Зависимость для шара подобна зависимости для цилиндра. При Re 3«10б, когда пограничный слой турбулизуется и точка отрыва перемещается вниз по потоку, происходит резкое падение CD. Зависимость для диска не имеет такого резкого спада, так как отрыв может происходить только на острой кромке диска.
При , Re <1,0 к обоим телам применима формула Стокса, рассмотренная в гл. 12.
ПОПЕРЕЧНОЕ^ОБТЕКАНИЕ ПУЧКА ТРУБ
Обтекание пучка труб перпендикулярным потоком жидкости имеет место в воздухоподогревателях и других теплообменниках. На рис. 15. 7 показан один из способов, которым при помощи перегородок можно заставить внешнюю жидкость в кожухе теплообменника двигаться перпендикулярно к трубам. Между перегородками поток перпендикулярен N± рядам труб, а в окнах перего-186
родок он параллелен трубам. Часть жидкости протекает также между перегородками и трубами.
Для обтекания пучка труб число Рейнольдса и коэффициент сопротивления определяются в литературе несколькими способами.
Укажем некоторые возможные способы определения диаметра, входящего в число Рейнольдса и коэффициент сопротивления f.
1. Поток рассматривается как наложение течений при обтекании одиночного цилиндра. Определяющим размером является поэтому диаметр трубы.
выход жидкости
кожух
Рис. 15. 7. Теплообменник с перегородками.
1 — окно перегородки; 2 — рядов труб.
2. Поток рассматривается как наложение течений в прямоугольных отверстиях, образованных просветами между трубами. Характерным размером является поэтому просвет между трубами Ds (рис. 15. 7).
3. Движение рассматривается как течение в некруглой трубе, а гидравлический радиус определяется как отношение свободного объема в пучке труб к площади наружной поверхности труб. Характерным размером является поэтому эквивалентный диаметр
Дэкв = 4гН’
Мы не будем пытаться дать здесь исчерпывающий обзор этой задачи, для которой предложен ряд приближенных методов. Например, следующее уравнение Донохью [38] относится к поперечному обтеканию турбулентным потоком пучка из N\ рядов труб, расположенных в шахматном порядке:
f = 0,99 ( )°’2 (15. 8)
187
(для Re > 500), Для системы такого типа ламинарное течение существует при Re < 100. Через ubmax обозначена скорость, вычисленная по минимальной площади сечения, перпендикулярного направлению потока. Коэффициент сопротивления опреде-ляется^выражением
= —05.9)
где |is — вязкость жидкости при средней температуре поверхности труб. При определении р, и q используется средняя температура жидкости.
Вообще при турбулентном течении можно использовать множи-(Ц, \0,14 v ¥
—) для внесения в коэффициент сопротивления поправок P’S /
на изменение температуры жидкости по сечению потока. Например, для потока в трубе теплообменника величину, даваемую графиком 15. 1, можно интерпретировать как
hfD / р \0Д4
2u*L \ И-з ) ’
Этот эмпирический прием основан на том факте, что на величину / сильное влияние оказывает вязкость в области вблизи стенки, где велика скорость сдвига*
Обзор некоторых из множеств соотношений, предложенных для описания поперечного обтекания пучка труб, дан Кнудсеном и Катцем [85].
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В СЛОЯХ НАСАДКИ
Движение в слое гранулированного материала (насадки) часто встречается в химических процессах. Примерами служат течение в неподвижном слое катализатора в каталитическом реакторе, течение в абсорбционных и адсорбционных колоннах и течение в фильтрационном осадке. Понимание особенностей течения в слое насадки важно при изучении псевдоожижения и отстаивания.
В настоящей главе рассматривается только течение одной однородной жидкости, хотя может происходить одновременное движение двух жидкостей (например, при поглощении одного из компонентов газа жидкостью в насадочной колонне).
Как и в случае обтекания пучка труб, для вычисления потерь давления при течении в слое насадки существует много формул.
Эта задача может рассматриваться теми тремя способами, которые были упомянуты в связи с обтеканием пучка труб. Мы выберем метод, основанный на использовании гидравлического радиуса. Этот метод применим к несжимаемым слоям, состоящим из частиц, близких к сферическим. Пористость слоя (относитель-188
ный объем пустот) может быть в пределах от 0,3 до 0,6. Более широкое рассмотрение и обзор обширной литературы содержатся в специальных монографиях [21, 100, 143]. Удачный метод описания течения в слое по данным об обтекании одиночной сферы дал Ранц [131].
Определим дляхслоя насадки, содержащего Np частиц, гидравлический радиус как
__ поровый объем слоя
н площадь поверхности насадки * \ • 2
Если объем частицы vp, а площадь поверхности частицы Sp, то удельная поверхность частицы определяется выражением
(15.11)
Для сферической частицы
5р = 4-. (15.12)
При рассмотрении слоя из несферических частиц воспользуемся эффективным диаметром частиц D, определяемым выражением
Оф
Чтобы найти гидравлический радиус, подставим в формулу (15. 10) значения величин, входящих в нее.
еурДГр
(15.13)
(15.14)
_ (1 — 8) /= е ур П SpNp 1 — 8 Sp
Здесь 8 — доля объема, занятая пустотами. Это уравнение можно записать в виде
г =_____5___________£_ D
Я (1 —8)5„ 6 1—8 ’
Так как по определению
Re = 4rHubQ/ji,
(15.15) .
то получим
(15. 16)
п 4е $иъР
6 (1-е) р
В этом уравнении иь — средняя скорость в порах произвольного поперечного сечения слоя. Удобнее ввести кажущуюся скорость вычисляемую по площади поперечного сечения незаполненного сосуда х:
— 8Иф.
(15.17)
1 u^s обычно называется скоростью фильтрации. (Прим, ред.)
189
Тогда число Рейнольдса равно тэ ____________________ 4
6(1-8)’ И
После аналогичных преобразований выражение для коэффициента сопротивления переходит в
Dhf . ез 2Lu* “ 3>Lu* ‘ 1-s
Эрган [44] определяет число Рейнольдса и коэффициент сопротивления аналогично тому, как это приведено выше, но без числовых множителей:
(15.18)
(15.19)
Rep= ^.bsD.
p p(l—e)
(15. 20)
(15. 21)
(15. 22)
, _ DhfZ3
Zp“ Z^(l-e)
Для ламинарного движения, которому соответствует Rep<J <1,0, положим по аналогии с течением во многих других системах fp равным постоянной, деленной на Rep. Анализ многочисленных экспериментальных данных показывает, что эта постоянная равна 150, так что для ламинарного движения имеем:
, 150 Р2оЛ/83 л
= ИЛИ —т // "Тха 150.
Rep jixbubs (1 —е)2
Это соотношение называется уравнением Козени — Кармана. Оно показывает, что для заданного слоя и жидкости расход пропорционален перепаду давления. Это — закон Дарси. Можно ожидать, что для вполне развитого турбулентного течения относительная шероховатость всех слоев насадки одинакова и что будет приближаться к постоянному значению. Эта постоянная по экспериментальным данным оказывается равной 1,75, так что имеем:
/р = 1,75 = — r»gs(i-8)
(15.23)
и
Это отношение называется уравнением Бэрк — Пламмера. Рассмотрение движения при промежуточных значениях чисел Рейнольдса побудило Эргана предложить в качестве обобщающего уравнение
fe’K+w5’ (15'24)
основанное на соотношении, предложенном Рейнольдсом [133]. Между ламинарным и турбулентным течением нет резкого перехода. Уравнение (15. 24) сводится к (15. 23) при Rep > 104 и к уравнению (15. 22) при Rep < 1,0.
190
Если не все частицы одинакового размера, среднюю удельную поверхность определим как
Svm — 2
(15.25)
где хг — объемная доля частиц с номером i. Средний эффективный диаметр
6 6 1
Л>т V , / 6 \ V / \
ЪХг \ Di) 2t\ DJ
(15.26)
Например, средний диаметр смеси одно- и двухсантиметровых шариков, содержащей равные объемы шариков каждого размера (т. е. равные массы, если шарики имеют одинаковую плотность), равен 1,33 см, а не 1,50 см, как получается при подсчете арифметического среднего.
Чрямер 15. 4
Крекинг углеводородов производится в каталитическом реакторе, состоящем из слоя случайно уложенных таблеток, имеющих форму куба со стороной 5 мм. Плотность материала таблеток 1600 кг/м*, а плотность слоя 960 кг/л3. Площадь поперечного сечения корпуса аппарата 0,093 л2, а высота слоя 1,8 л. Найти падение давления в слое, если кажущаяся скорость равна 0,9 м!сек. Плотность паров 0,64 кгЛл3, а вязкость их 0,015 спз.
Начнем с вычисления доли объема, занятой пустотами.
/ масса слоя \ / масса слоя \
_ объем пустот __ \ рсл / \ Окат / ________
— объем слоя масса слоя
Осл
__ Окат—Осл 1600—960
Окат 1600
<
Затем находим^удельную поверхность и, таким образом, D:
6.52
= 1,2 (1/лл) = 12 (1/сл);
Р = -|~ = 0,5 см = 0,005 м.
Sy
Теперь вычислим Rep, fp и затем—Др:
диь$Р _ 0,005-0,9-0,64
р ц(1— е) 0,015 -IO"3- 0,60 ’
4 SO
fp = +1,75 = 0,47 + 1,75 = 2,22;
Нбр
/p£“bs (1 “е) Q _ 2,22 • 1,8 • 0,92 • 0,60 • 0,64
De3 0,005-0,403 —
= 3,88-103 «/№ = 0,0396 кГ/см2.
191
ЗАМЕЧАНИЕ О ПРИМЕНЕНИИ
РАССМОТРЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ КЦГАЗАМ
Уравнение (14. 42) можно видоизменить для применения к стационарному течению газа в трубе постоянного поперечного сечения. Так как давление падает по направлению движения, плотность газа уменьшается и, в соответствии с уравнением материального баланса, скорость его возрастает. Поэтому вместо скорости удобнее пользоваться массовой скоростью, на которую не влияют давление и температура. Запишем поэтому уравнение (14. 42) для элемента трубы постоянного сечения, в которой движется газ, в виде
Плотность является функцией давления иЪ большинстве случаев может быть выражена при помощи уравнения состояния идеального газа, так что для потока в трубе длиной L при постоянной температуре Т имеем:
Р1 о
После интегрирования получим
(г/ Г)2) -
2RT D
и
и, наконец,
(P2 + Pl) (?2 — Pl)
DQcp
2fLw2 D
(15.27)
(15.28)
(15.29)
где QCp —• плотность при давлении, равном среднему арифметическому давлений по концам. Если есть небольшие изменения температуры, при вычислении gcp можно использовать среднее арифметическое значение температуры.
В предшествующих рассуждениях предполагалось, что число Рейнольдса Re не меняется при изменении давления, так что / остается постоянным. Напомним, что для идеального газа [1 не зависит от давления.
Крайне важно представлять себе, что уравнение (15. 29) пригодно только тогда, когда относительные изменения давления — достаточно малы и не вызывают больших изменений скорости. Если скорость в выходном сечении становится очень большой, кинетическая энергия, опущенная в предыдущих рассуждениях, становится существенной и уравнение (15. 29) не приме
192
нимо. Когда относительный перепад давления превосходит 20— 30%, приобретают значение так называемые эффекты сжимаемости. Например, как будет показано в гл. 17, при адиабатическом течении в трубе постоянного сечения скорость не может превзойти скорости звука.
Подводя итоги, можно сказать, что соотношения, выведенные в этой книге для течения несжимаемой жидкости в трубе постоянного сечения, можно применять к газам, если —не больше 0,1, а плотность вычисляется при давлении, равном среднему арифметическому давлений по концам. Там, где это возможно, удобно w заменить иь на —.
Задачи
15. 1. Дистиллят номинальной плотности 0,85 г!см3 закачивается из хранилища, где абсолютное давление равно 1 атп, в емкость, находящуюся при избыточном давлении 3,5 атп, при помощи насосной установки, показанной на рис. 15. 8. Жидкость движется по стальной трубе диаметром 78 мм, длиной 140 м. Вычислить потребляемую насосом мощность, если к. п. д. насоса 60%. Свойства дистиллата, соответствующие рабочей температуре 30Q С: вязкость 3,4 спз, плотность 0,83 г!см3.
Рис. 15. 8. Схема трубопровода к задаче 15. 1 (не в масштабе).
а — обычный вход; б — насос; в — задвижка, открытая на 1/я; г — колена с большим радиусом поворота; д — открытый контрольный клапан.
15. 2. Вода должна отбираться из магистрали, находящейся под избыточным давлением 2,5 ат и, пройдя по 52-метровому трубопроводу, изливаться в атмосферу в точке, расположенной на 7 м выше магистрали. Какой минимальный диаметр труб требуется, чтобы обеспечить расход в 1000 л!мин?
15. 3. Вода подогревается с 30 до 65° С, протекая в кольцевом зазоре горизонтального теплообменника «труба в трубе». Внутренний диаметр наружной трубы 52 мм, а наружный диаметр внутренней — 33 мм. Эквивалентная длина теплообменника 60 м. Какой требуется перепад давления, чтобы расход воды был 160 л!мин1
, 15. 4. Вода отводится из резервуара и перекачивается по горизонтальной круглой бетонной трубе с внутренним диаметром 250 мм (высота шероховатостей е = 3 мм) и эквивалентной длиной 3,4 км. На выходе из этой трубы поток делится между трубопроводами из 78 мм и 104 мм стальных труб. Линия диаметром 104 мм имеет эквивалентную длину 60 м и поднимается
13 Заказ 519. 193
на 25 м выше поверхности жидкости в резервуаре, после чего поток извлекается в атмосферу. Расход этого потока должен поддерживаться равным 3800 л/мин.
Из линии диаметром 78 мм вода изливается в атмосферу на уровне воды в резервуаре на расстоянии 210 мм от места разветвления. Вычислить мощность, потребляемую насосом, к. п.'д. которого равен 70%.
15. 5. Кожухотрубчатый теплообменник состоит из 70 стандартных труб с внутренним диаметром 30 мм и длиной по 4,2 м. Эти трубы укреплены внутри кожуха с внутренним диаметром 400 мм. Жидкость входит и выходит в коллекторы на концах теплообменника по трубам диаметром 78 мм, установленным по оси кожуха. Определить полный перепад давления (в кГ/см2) при движении жидкости в трубах теплообменника с расходом 1200 л!мин при средней температуре 36 9 С.
15. 6. Воздух нагревают с 30 до 50° С, обдувая пучок из 40 рядов труб с наружным диаметром 33 мм. Эти трубы длиной 0,6 м установлены вертикально. В каждом ряду 10 труб, установленных с просветом в 12 мм. Между внешними трубами и стенками корпуса, в котором установлены трубы, расстояние 12 мм. Вентилятор подает воздух при давлении в 25 мм вод. ст. Найти количество тепла, подводимого к воздуху в единицу времени.
15. 7. Трубы подогревателя из задачи 15. 6 нагреваются горячей водой, поступающей в них снизу. Найти потерю давления в трубах, если температура воды на входе 939 С, а расход ее 1800 л!мин.
15. 8. Скипидар вытекает из одной емкости с постоянным уровнем в друг гую, где уровень на 15 м ниже, по стальной трубе диаметром 45 мм, длиной 24 м. На трубопроводе установлены открытая задвижка й два стандартных угольника. Входы в обе емкости обычные.
а. Найти расход скипидара.
б. Найти расход, если на горизонтальном участке трубы установлена диафрагма с отверстием 10 мм. Что покажет ртутный манометр с угловым от- , бором давления, измеряющий перепад давления на диафрагме?
15. 9. Вопрос о наиболее выгодном диаметре труб рассматривается в справочнике Перри на стр. 384 и 385. Воспользоваться изложенным там методом и уравнением (13. 72) для / и подробно вывести однородное по размерности выражение для оптимального диаметра труб. Проверить полученное уравнение по номограммам Перри, стр. 346.
15. 10. Проницаемость к слоя насадки при ламинарном течении определяется выражением
Ubs~k~^L~
(для горизонтального потока). Предполагая, что верно уравнение Ко-зени — Кармана, начертить график, показывающий, как зависит проницаемость от пористости при различных диаметрах частиц.
15. И. Вычислить падение давления при движении воздуха с расходом 104 кг/ч при 1 атм и 389 С через слой из шариков диаметром 12 мм. Пористость слоя 0,38. Он имеет высоту 200 мм и диаметр 100 мм.
15. 12. Гравитационный фильтр состоит из слоя зернистого материала. 50% частиц по весу имеют удельную поверхность 500 Ммм, а остальные — 750 Ммм. Пористость слоя 0,43. Высота слоя 1,5 ле, а диаметр 0,3 м. С каким расходом будет протекать через фильтр вода при 249 С, если над фильтрующим слоем находится 250 мм воды?
16. ФИЛЬТРАЦИЯ И ПСЕВДООЖИЖЕНИЕ
В этой главе мы обратимся к изучению двух элементарных процессов, которые иллюстрируют важные приложения принципов гидродинамики. Эти процессы характеризуются относительным движением жидкости и одиночной частицы или слоя частиц.
Фильтрация является одним из процессов механического разделения, при котором происходит физическое извлечение компонента, являющегося отдельной фазой, как, например, отделение твердого вещества от жидкости. Процессами механического разделения являются, кроме того, центрифугирование, отстаивание, просеивание через сита, флотация. Другая категория процессов разделения основана на стремлении растворимого компонента концентрироваться в той или иной фазе. Примерами элементарных операций этого класса являются дистилляция и ректификация, абсорбция и жидкостная экстракция. Фильтрация в промышленном масштабе сходна с обычным лабораторным фильтрованием. Взвесь прогоняется через фильтрующий материал, который представляет собой тонкую перегородку или ткань, изготовленную из натурального или искусственного волокна или металлических нитей. Поры перегородки настолько малы, что задерживают часть твердых частиц, некоторые частицы оседают на нитях. В результате этого на фильтре нарастает осадок и после образования первоначального отложения сам осадок служит перегородкой. Производительность устройства определяется расходом фильтрующейся жидкости через все утолщающийся слой, образованный твердыми частицами.
Псевдоожижение также является важным элементарным процессом и используется для достижения тесного однородного контакта между жидкостью и твердыми частицами. При увеличении скорости жидкости, проходящей через слой частиц, наступает момент, когда направленная вверх сила оказывается достаточной, чтобы поднять частицы и заставить слой расширяться.
13* 195
Отдельные частицы больше не находятся в постоянном соприкосновении, а могут более или менее свободно передвигаться в слое. При дальнейшем возрастании скорости жидкости доля объема, занятая пустотами, стремится к единице. Частицы в конце концов отделяются друг от друга настолько, что ведут себя как обособленные частицы. Если подъемная сила, действующая на частицу, становится значительно больше ее веса, частица совершенно выносится из слоя. Таким образом, при минимальной скорости ожижения (плотный слой) движение сходно с движением в слое насадки, а при высоких скоростях (расширившийся слой) — с обтеканием одиночной частицы.
Отстаивание, как и фильтрация, является способом отделения жидкости от взвешенных в ней частиц. Суспензию помещают в емкость и дают частицам осесть. После этого можно удалить жидкость, находящуюся над слоем твердого вещества. Интересно отметить, что последовательность процессов при периодическом отстаивании обратна той, которая описана выше для псевдоожижения. Сначала частицы в суспензии движутся независимо, но когда они собираются на дне сосуда, становится, как и при псевдоожижении, существенным влияние близких частиц. При отстаивании это называется стесненным осаждением. Если позволить процессу идти достаточно долго, то в конечном итоге получается слой, напоминающий осадок при фильтрации.
В этой главе мы будем изучать процессы фильтрации и псевдоожижения, сочетая рассмотренные до сих пор принципы с некоторыми дополнительными опытными сведениями. Хотя будет описано типичное оборудование, за деталями, равно как и за описанием других элементарных процессов, читатель отсылается к справочнику Перри.
ФИЛЬТРАЦИЯ
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этом разделе мы рассмотрим фильтрацию жидкости, содержащей заметное количество (скажем, 1% или больше по объему) взвешенных твердых частиц. Такая фильтрация характеризуется образованием осадка твердых частиц, который удаляется из аппарата периодически или непрерывно. Другой основной тип фильтрации используется для очистки и осветления жидкостей, содержащих относительно мало твердых частиц, скажем, до 100 объемных частей на миллион. При этом частицы удерживаются на фильтрующем материале или внутри него, а не на слое предварительно осажденного твердого вещества. Такой фильтр может работать на протяжении относительно долгого времени, прежде чем поры его Заполнятся. Примерами этого вида фильтрации являются очистка воздуха в отопительных системах и фильтры, используемые для очистки жидкости перед насосом.
196
Три наиболее важных вида оборудования для фильтрации жидкостных суспензий с образованием осадка показаны на
Рис. 16. 1. Рамный фильтрпресс.
1 — фильтрующая ткань; 2 — боковые направляющие; 3 — зажимное устройство; 4 — подвижная головка; 5 — рама; 6 — твердое вещество, собирающееся в рамах; 7 — плита;
8 — неподвижная головка.
2
рис. 16. 1—16. 3. На рис. 16. 1 схематически показан рамный фильтрпресс. Плиты, рамы и фильтрующая ткань зажаты вместе, как показано, а поступающая суспензия проходит по каналам, ведущим к рамам. Осадок отлагается на фильтрующей ткани, закрывающей просветы рам. Фильтрат протекает по канавкам на поверхности плит и выходит через отверстия в верхней части плит. Когда рамы наполняются осадком, может быть осуществлена промывка путем под-
вода через промывоч- 7 ' |
ные плиты промыва-
ющей жидкости. Эта Рнс- 16*2* Листовой фильтр [4]. ЖИДКОСТЬ Протекает Че- 1 — выходы для фильтрата;.2 — осадок,
рез весь слой осадка.
После этого пресс открывают, твердое вещество удаляют и начинается следующий цикл фильтрации. Фильтры этого типа могут применяться при давлениях примерно до 11 ат.
Ввод
197
На рис. 16. 2 показан листовой фильтр. Суспензия под давлением, которое может значительно превосходить 11 ат, закачивается в кожух, окружающий листы фильтра. Фильтрат отводится изнутри листов \ а осадок отлагается на их поверхности. В некоторых моделях листы вращаются, чтобы перемешивать суспензию и сделать осадок более однородным. Промывочная жидкость под
Рис. 16. 3. Вращающийся фильтр непрерывного действия (из [4]).
1 — суспензия; 2 — образование осадка; з — первая осушка; 4 — промывка; 5 — вторая осушка; в — продувка.
водится по тем же каналам, что и фильтруемая. Когда образуется достаточно много осадка, его извлекают, открывая кожух. Иногда для облегчения съема осадка в листы закачивают воздух.
Два описанных сейчас фильтра страдают недостатками, общими для оборудования периодических процессов. Преимущества непрерывного действия достигаются при использовании вращающегося вакуум-фильтра по типу показанного на рис. 16. 3. Внутри вращающегося барабана, цилиндриче
ская поверхность которого покрыта фильтрующим материалом, поддерживается вакуум. Барабан погружается в емкость с суспензией. Как показано на рисунке, фильтрат проходит через фильт
рующий материал и отводится через вал барабана, а осадок
непрерывно промывается и удаляется.
Преимущество непрерывного действия уменьшается из-за того, что описанный фильтр имеет максимальную разность давлений всего в 1 ат, что не годится для высоковязких жидкостей и жидкостей, которые не должны контактировать с атмосферой. Эти недостатки можно преодолеть, заключая фильтр в кожух, в котором поддерживается давление выше атмосферного.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На рис. 16. 4 схематически показано сечение осадка на фильтре. Для упрощения записи давление на выходе из фильтра принято за нуль, pi — давление на границе осадка и фильтрующего материала, а р0 — давление подводимого потока. Сначала рассмотрим элементарный объем осадка, содержащий массу твердого вещества dMc. Это количество твердого вещества складывается
1 Во избежание недоразумений отметим, что «листы фильтра» представляют собой тканевые мешки, натянутые на каркас. (Прим, перев.)
198
из вещества, переносимого объемом dV фильтрата, прошедшего через осадок, и вещества, переносимого жидкостью, которая сцепляется с осадком и остается в рассматриваемом элементе. Это равенство можно записать в виде
dMc = dV + dM,, 1 — s 1 1—s ’
(16.1)
где Q — плотность фильтрата; s — массовая доля твердой фазы в суспензии; т — отношение плотности насыщенного жидкостью осадка к плотности сухого.
Рис. 16. 4. Разрез фильтрационного осадка.
1 — осадок; 2 — перегородка.
Уравнение (16. 1) можно преобразовать к виду
dM- = -ArdV- (16.2)
Окажется полезным выразить массу элемента осадка через расстояние от поверхности осадка х и пористость е, что дает
dMG = (1 — е) qs4 dx, (16.3)
где qs — плотность сухого твердого вещества; А — полная площадь сечения, нормального к направлению потока.
Так как частицы, образующие осадок, относительно малы, течение обычно ламинарно и следует уравнению (15. 22)Козени — Кармана, которое для элементарного слоя записывается в'ииде dhf __ 150 pubs (1 —8)2 dx D2q&3
199
Используя уравнение баланса механической энергии, в котором обычно главный член—давление, и подставляя D = , получим
для перепада давления на осадке уравнение dp 4,17S>bg(l-e)a dx е8
(16. 4)
где Sv — удельная поверхность, определение которой дано в гл. 15.
Во многих случаях пористость и удельная поверхность осадка меняются по толщине слоя, что вызывается изменением по толщине уплотняющего давления, действующего на твердые частицы. Это давление, обозначенное через р$, равно механическому напряжению, стремящемуся сжать осадок в направлении оси ж, и определяется выражением
Р» = Ро — Р> (16.5)
в котором давление перед фильтром р0 постоянно. «Давление в твердой фазе» р, возрастает от нуля при х = 0 до максимального значения р0 — pi на фильтрующей перегородке.
Запишем уравнение (16. 4) через ре:
dps _ kS^bsli-tf
dx
(16. 6)
е8
(здесь постоянная 4,17 заменена на к). В большинстве работ по фильтрации к приписывается значение 5,0, но это не имеет особого смысла, так как исследования показали, что к никоим образом не является константой, единой для всех материалов. Фильтрационный осадок принято характеризовать величиной г, называемой удельным сопротивлением осадка. Чтобы показать, на основе чего определяется эта величина, выразим расстояние х в уравнении (16. 6) через массу сухого осадка Л7С, заключенного между х = 0 и х = X. Используя уравнения (16. 3) й (16. 6), получим
(16.7)
dps „ kS^ubs(j—e) dMc Aqs83
Удельное сопротивление осадка, измеряемое в м!кг, определим выражением
kSKl-s) Г~ Qse8 ’
Уравнение (16. 7) можно после этого записать в виде dps __ грмьв dMc А '
(16. 8)
(16. 9)
200
Отсюда видим, что в г включены все параметры, зависящие от вида осадка. Для некоторых веществ г зависит также от р9. Работу фильтров обычно характеризуют объемом фильтрата, который связан с массой осадка уравнением (16. 2). Уравнение (16. 9) при этом переходит в
dp8 _
dV Л2(1 —ms)’
(16.10)
где иъз заменено через -j-; q — объемный расход. Чтобы получить уравнение, применимое к слою конечной толщины, проинтегрируем уравнение (16. 10) от 0 до У, где V — объем фильтрата, соответствующий осадку толщины L. Следует подчеркнуть, что это интегрирование производится по толщине осадка при тех значениях и д0, которые имеют место в данный момент. Из уравнения (16. 10) получим
fdV
Л2(1 — ms) J •
о
Таким образом, где
A2 (i — ms) ’
Г ср
(16. 11)
(16.12)
(16.13)
Ро — Рг
9
Величина рг определяется падением давления на фильтрующей перегородке. При заданном значении q она в начале фильтрации равна давлению подводимой жидкости. Однако, так как q может изменяться в процессе фильтрации, pi может быть не постоянным. Желательно связать эту величину с расходом q и свойствами фильтрующего материала. Принято записывать следующее уравнение, в котором, как обычно, давление жидкости после фильтра принято за нуль,
= (16.14)
Величина Пт, определяемая этим уравнением, называется сопротивлением фильтрующей перегородки и для данных фильтра и суспензии является постоянной. Сопротивление перегородки можно выразить через сопротивление воображаемого слоя осадка, соответствующего фильтрату в объеме Vm.
201
Сравнение уравнений (16. 12) и (16. 14) показывает, что сопротивление перегородки
Сопротивление типичных фильтрующих материалов эквивалентно сопротивлению осадка толщиной несколько миллиметров.
Используя определение Rm, заменим pi в уравнении (16. 12) и получим
Ро- [rggj+ЯОТ] 1т- (16.16)
Если г постоянно по толщине осадка (другими словами, не зависит от сжимающего механического напряжения ps) и равно гср, осадок называют несжимаемым. Такой осадок образуется из суспензии кристаллических частиц правильной формы. Однако, большинство суспензий образует сжимаемые осадки, для которых г является функцией ps, и гср нужно определять для заданных условий по формуле (16. 13). Для такого определения нужно знать зависимость г от Оно будет рассмотрено позднее в этой главе.
При интерпретации результатов опытов с определенным аппаратом и суспензией, дающей несжимаемый осадок, проще записать уравнение (16. 16) в виде
p0 = (K1V-Jt-K2)q, (16.17)
где
^1 = _^Гср (16.18)
1 (1 — ms) А2
И
Кг = . (16.19)
Для данной несжимаемой суспензии К± и К2 постоянны. Вычисления с уравнением (16. 17) могут оказаться сравнительно простыми, так как К± и К2 можно выразить в произвольных единицах, например, кг /см2 и литры (л). Однако, если предполагается использовать соотношения (16. 18) и (16. 19), например, для вычисления гср и Rm по экспериментально найденным значе-. ниям Кг и К2, Следует использовать согласованные единицы. Соотношения (16. 18) и (16. 19) показывают, как различные переменные влияют на Кх и К2. Например, если температура изменяется так, что вязкость удваивается, то Кг и К2 также удвоятся.
Результатом предыдущего анализа является выражение — соотношения (16. 16) или (16. 17) для мгновенного перепада давления на фильтре в функции от расхода q и толщины осадка, соответствующей объему фильтрата V.
В действительности в цикле фильтрации толщина осадка возрастает от 0 до Lf, что соответствует возрастанию объема со-202
бранного фильтрата от 0 до Vf. Давление и расход могут меняться в ходе отложения осадка. Время т/, нужное для образования осадка и сбора объема фильтрата V/, получим, записав для расхода
dV
? = (16-20)
и проинтегрировав это уравнение,
f dr=f Т' (16-21)
0 0
Для расхода можно подставйть выражение (16.17)
у/
Г (J^V+Кг) dV
I Ро
(16. 22)
Теперь у нас есть общие уравнения, нужные для исследования большинства задач, связанных с фильтрацией. Рассмотрим их применение к различным типам операций фильтрации.
НЕСЖИМАЕМЫЙ ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ОСАДОК
Фильтрация при постоянном давлении. Если суспензия подается к фильтру из емкости, напор в которой постоянен, давление на входной поверхности осадка постоянно. Так как давление на выходной поверхности фильтрующего материала равно 1 ат, величина р0, входящая в уравнения, приведенные в предыдущем разделе, известна и постоянна. Следовало бы также учесть потери давления в каналах, ведущих к фильтру и от него, но эти потери обычно с достаточной точностью можно включить в Нт (или К2).
При промышленной фильтрации давление в большинстве случаев создается не емкостью постоянного напора, а центробежным насосом. Однако фильтрование под постоянным давлением используется в большинстве случаев в лабораторной и исследовательской практике и, по необходимости, во вращающихся фильтрах непрерывного действия.
Для несжимаемого осадка интегрирование в уравнении (16. 22) можно выполнить в общем виде, так как Кг, К2 и pQ постоянны. В результате имеем
<16-23> ZPo Ро
Значения Кг и К2 для данной суспензии можно найти по данным о зависимости Vf от т/, полученным в опытах на лабораторных
203
фильтрах при постоянном давлении. Для вычисления Кг ъ К 2 уравнение (16. 23) записывается в виде
. <16’24>
и по экспериментальным данным строится график зависимости от Vf. По угловому коэффициенту и отрезкам, отсекаемым на осях прямой, точнее всего соответствующей экспериментальным точкам, вычисляются К± и К2. Полученные значения и Кг относятся только к используемым суспензиям и фильтру. Если изменяется только размер фильтра, т. е. Л, новые значения Кг и К2 просто вычисляются по формулам (16. 18) и (16. 19). Например, при увеличении площади фильтра в 10 раз Кг уменьшается в 100, а К2 — в 10 раз. Аналогичным образом можно учесть изменение р, s и т. Для несжимаемого осадка величина гСр постоянна для данного взвешенного вещества, Rm постоянна для данного фильтрующего материала. Если из других экспериментов надежно известно значение гСр, его можно использовать для прямого вычисления К± по формуле (16. 18).
Фильтрация при постоянной подаче. Если суспензия подается к фильтру с помощью насоса объемного типа, его подача, обозначенная через q0, приблизительно постоянна. Для такого процесса интегрирование уравнения (16.21) дает
(16.25)
или для произвольного момента фильтрации
F = g0T. (16.26)
Уравнение (16. 17) показывает, что при постоянной подаче давление на фильтре р0 линейно возрастает, начиная со значения р„ с ростом объема собранного фильтрата. Используя уравнения (16. 17) и (16. 26), можно связать это давление со временем соотношением
Ро = ^т+^3о. (16.27)
График зависимости р0 от т, полученный в процессе с известной производительностью д0, позволяет вычислить Кх и К %. Эти постоянные можно вычислить и по значениям гср и Лт, если они известны из тех или иных соображений. Заметим, что постоянно и равно K2qQ и не уменьшается со временем, как в случае фильтрации при постоянном давлении.
Фильтрация при переменных подаче и давлении. Если суспензия подается центробежным насосом, связь между давлением и расходом определяется кривой, подобной показанной на рис. 16. 5. Значения Кг и К2 можно найти, 204
проводя экспериментальную фильтрацию и измеряя р0 при различных значениях V. Уравнение (16. 17) показывает, что можно, строя график зависимости от V, вычислить К± и К2 по угловому коэффициенту и отрезку, отсекаемому на оси, прямой, наилучшим образом соответствующей экспериментальным данным. Время т/, нужное, чтобы отобрать объем фильтрата У/, определяется графическим или численным интегрированием уравнения (16. 21). Зависимость q от V находится совместным решением уравнения (16. 17) и соотно
шения, задающего давление на фильтре в функции от подачи, график которого показан на рис. 16. 5.
Цикл фильтрации. После сбора желаемого количества осадка первоначально содержавшаяся в нем жидкость обычно удаляется путем промывания подходящим растворителем. Промывка происходит при постоянных расходе и давлении, и из уравнения (16. 17) легко получить соотношение между расходом qw и давлением промывки pw:
Рис. 16.5. Характеристики работы фильтра с центробежным насосом.
а — давление на фильтре; б — давление на перегородке.
pw — (KXV j 4- К Qw* (16.28)
Напомним, что Vf — постоянная, представляющая собой полный объем фильтрата, собранного при отложении осадка. Время промывки определяется выражением
TW = —• (16.29)
Qw
После завершения промывки нужно дополнительное время для осушки и выгрузки осадка и загрузки фильтра. Если сумма этих времен tj, то полное время цикла определяется выражением
= Ту + + Td. (16. 30)
Производительность С фильтра определяется по объему фильтрата:
С = (16.31)
В примере 16. 3 мы рассмотрим задачу определения значения У/, которое обеспечивает максимальную производительность С.
205
Цикл фильтрования во вращающемся фильтре непрерывного действия состоит из тех же частей. В этом аппарате времена т/, rw и тй определяются расположением различных отделений во вращающемся барабане, радиусом барабана и скоростью вращения.
Пример 16. 1.,
- . Для определения фильтрационных характеристик суспензии, образующей несжимаемый осадок, используется небольшой листовой фильтр. Опыт был проведен при постоянном расходе 1,14 л!мин фильтрата и дал следующие результаты:
Время, мин 1 2 3 5 10 20
Перепад давления на фильтре, кГ/см2 . . . 0,49 0,78 1,06 1,63 3,02 5,74
На том же фильтре будет производиться фильтрация той же суспензии по следующему циклу. Фильтрат пропускается через фильтр с постоянным расходом .1,9 л! мин, пока, перепад давления не достигнет 3,5 кГ1см2. Затем фильтрация продолжается при постоянном давлении 3,5 кПсм2, пока полное количество собранного фильтрата не составит 57 л, Затем осадок промывается 11л воды. На разгрузку и очистку фильтра нужно 10 мин. Найти производительность такого цикла фильтрации в л/ч.
. , Так как осадок несжимаем, Кг и К2 в уравнении (16. 27) постоянны, на графике зависимости р0 от т, построенном по приведенным данным, получается прямая линия. Она пересекается с осью р0 при р0 = 0,205 кПсм\ так что имеем:
, л 0,205 л кГ * мин
— 0,205; К.2 — л л / — 0,178----л-----•
- ™ 1,14 см2 • л
Угловой коэффициент равен 0,282, что дает
К q* = 0,282 кГ/см2 -мин', К = -2^- = 0,217 кГ .
1’° 1 1 1,142 см2 • л2
Для той части предложенного цикла фильтрации, которая идет с постоянной производительностью, д0 = 1,9 л!мин, уравнение (16. 27) принимает форму
: р0-0,217-1,92т+0,178-1,9 = 0,78т+0,34.
При р0 = 3,5 кГ1см2 из этого уравнения т = 4,05 мин, так что V/j = = 7,74 л. Рассмотрим теперь часть процесса,* проходящую при постоянном давлении. Уравнение (16. 23) не применимо, так как оно получено для процесса, с самого начала идущего при постоянном давлении. Нужно воспользоваться уравнением (16. 22), записанным в виде
К.У + К2 . - Ро
dV.
206
где Vj i (7,72 л) — количество фильтрата, собранное за т/i (4,05) мин. Привел денное соотношение позволяет найти полное время фильтрации т/, нужное для получения Vf (57 л) фильтрата
<r’ - v'i.)+(Г'~ У,Л+<5,’“ +
+ -^ТГ"(57-7.7) +4.05 = 99,0 + 2,53 + 4,04 =105,6 мин-
Читателю следует убедиться, что он понимает, почему было бы ошибкой воспользоваться уравнением (16. 23), приняв Vf = 49,3 л.
Время т/, входящее в уравнение (16. 30) вычислено, поскольку задано (10 мин). Остается вычислить Уравнения (16. 28) и (16. 29) дают
yw(KiV/ + X2) 1
—----------------,
_....... Ро „
так что имеем
11,4(0,217-57 + 0,178) ,Л , Tw =--------——------- = 40,4 мин,
о ,о
Полное время цикла равно
тс= 105,6 + 40,4+10= 156,0 мин,
а производительность
57
С = ——= 0,365 л/мин или 21,9 л/ч,
156
Пример 16. 2.
Суспензия, содержащая 225 г порошка карбонила железа на 1 л 0,01 N раствора NaOH, должна быть отфильтрована при помощи листового фильтра. Определить размер (поверхность) фильтра, который нужен для получения 45 кг сухого осадка за 1 ч работы при постоянном перепаде давления, равном 1,4 кГ/см2. Грэйс [54] получил экспериментальные данные для этой взвеси и нашел, что осадок несжимаем, гср = 6,7 -1010 м/кг и что пористость 8 = = 0,40. Примем сопротивление фильтрующего материала равным сопротивлению, оказываемому 2,5 мм осадка.
Поскольку осадок несжимаем, применимо уравнение (16. 23), а для определения К± и К2 можно использовать формулы (16. 18) и (16. 19). Сначала вычислим К± по формуле
1 (1—ms) Л2'
Предполагая, что фильтрат имеет те же свойства, что и чистая вода, находим
q = 1000 кг/м3\
р = 1 спз = 10~3 кг 1м • сек}
s=^-=011841
Легко вывести следующую формулу дЗГя т\
= о,
(1 — e)Qs 0,6-7
207
(относительный удельный вес порошка принят равным 7). Тогда значение
равно
0,184 • 1000 • 10~3 • 6,7 • 1019 1,59-10* ..
(1-1,093-0,184) Л2 Л2 '
Значение К2 находится по формуле
iz __ 7?тц
*2~ а , где D rcpSQVm
В последнем выражении Ут подлежит определению. Как и в случае уравнений (16. 2) и (16. 3), уравнение материального баланса дает
Vm (l-e)QAn(l-™*) = 0,60-7-2,5-10"*8-0,789 м
A sq 1 • 0,184
Таким образом,
Дд e.T.W.Q.M. 1000.0,045 =7Д2.1№, и,7оУ
Окончательно получим „ 7,02 • 1011 • 10~8 7,02 -10* . .
К2 =------5’—-А-----------ка/л€4 • С(?к.
А А
Для того, чтобы воспользоваться уравнением (16. 23)
^=-&F/+v-F/’ ^Ро Ро
нужно вычислить значение V/, соответствующее значению Л/с/ = 45 кг: __ 1—-ms __ 0,789 Л.ОЛ о
^=-^-^ = 1000 0,184 ‘45 = 0,189 м •
Теперь можно воспользоваться уравнением (16. 23): 1,59 • 10” - 0,1892 , 7,02 • 108 • 0,189 b 42-2-l,4-104-9,8"h А-1,4-9,8• 10* ’ что дает 42 - 0,576 А — 0,268 = 0; А = 0,88 м*.
Листовой фильтр, имеющий примерно такую поверхность, может состоять из 10 листов, каждый диаметром около 250 мм.
Пример 16. 3.
На фильтре, описанном в предыдущем примере, нужно вести процесс с максимальной производительностью. Для разгрузки и очистки нужно 15 мин. Объем промывочной воды составляет одну десятую от объема собранного за цикл фильтрата. Все другие данные приведены в примере 16. 2. По значению площади А = 0,88 л*2 находим:
К, = = 2,06 1010 Кг/мЧ сек’’
7.02.108
Я2 = X-QQ == 7’96 * 108 К^М4 * С€К-v,OO
208
Уравнение (16.23) при ро=1»37-1О5 дает
xf = 7 >51 • 104F3 + 5,82 • 103Fy.
Из уравнений (16. 28) и (16. 29) имеем
Tw = = 1,50. КНР®+5,82 • 10*^.
С учетом значения т^ = 900 время цикла составляет то=9,01 • 10*7*4-6,40 • 103^+900
и производительность равна
с = Vf =______________Vf_____________
*с 9,01 • 104F3 + 6,40 • 103Fy + 900 *
Это выражение показывает, что производительность равна нулю при Vf — 0, затем возрастает до максимума и стремится к нулю, когда Vf становится очень большим. При малых значениях Vf чересчур большая доля времени тратится на разгрузку и очистку, а при больших F/ толщина осадка велика и q становится очень малым. Максимальная производительность
dC
находится из условия = 0. Дифференцируя выражение для С и по-
dC $
лагая = 0, имеем Vf = 0,1 ле8, что соответствует 6 мм осадка. Мак-a v f
симальная производительность равна 4,08-10“4 м*1сек = 0,147 л3/ч, каждый цикл длится 2440 сек = 0,68 ч.
СЖИМАЕМЫЙ ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ОСАДОК
Если г не постоянно, а зависит от р, то говорят, что фильтрационный осадок сжимаем. При несжимаемом осадке для определения значений К± и К 2 можно провести экспериментальное фильтрование в малых масштабах, а затем использовать полученные значения для другого фильтра, работающего при измененных значениях А, pQ и q. При сжимаемом осадке результаты такого эксперимента можно распространить только на другое значение А (т. е. на другой размер фильтра). У обоих фильтров должно быть одинаковое соотношение между р0 и Ч- Это объясняется тем, что Гер и поэтому Кг и К2 зависят и от р0 и от q. Чтобы определить характер работы фильтра для данного вещества, дающего сжимаемый осадок, нужно большое число опытов. Поэтому лучше воспользоваться более общими соотношениями (16. 13) и (16. 16), а связь между ps и г найти экспериментально описанным ниже способом.
Зависимость г от р3 может быть определена при помощи прибора, схема которого показана на рис. 16. 6. Исследование этих зависимостей (так называемых зависимостей сжатие — проницаемость) было проведено для фильтрационных осадков Рутом 1141]. \
14 Заказ 519. 209
Образец материала, который нужно исследовать, зажимают между неподвижной и подвижной пластинками, сделанными из нержавеющей стали. Подвижная пластинка закреплена на поршне. Прикладывая к поршню при помощи гидравлического пресса известную силу, можно менять давление в твердой фазе ps. При дан
ном значении р$ путем измерения перепада давления жидкости,.
протекающей через осадок с известным расходом, определяют удельное сопротивление осадка.
Рис. 16. 7. Удельное сопротивление сжимаемых фильтрационных осадков в функции от сжимающего давления в твердой фазе [53].
а — ZnS, тип В, pH = 9,07; б — Т1О2, 50 г/л 0,01 N раствора НС1, pH = 3,45 (фракция R — — 110),- в — ZnS, тип А, pH = 9,1; г — порошок Т1О2 (фракция R — 110, флокулированный), 50 г/л дистиллированной воды, pH =7,8; д — СаСОз (наиболее светлый) 50 г!л 0,01 М раствора, pH = 10,3; е — СаСОз (наиболее светлый, флокулированный), 50 г/л дистиллированной воды, pH = 9,8.
применяют малые расходы жидкости
Рис. 16. 6. Прибор для исследования зависимости сжатие — проницаемость.
1 — подвижный поршень; 2 — пористые пластинки из нержавеющей стали; з — образец испытуемого материала.
Измеряют также пористость осадка 8. Перепад давления на образце поддерживают малым по сравнению с ps, для чего и тонкие образцы.
Грэйс [53] провел измерения зависимости сжатие — проница-^ емость для~ нескольких веществ. Некоторые его результаты показаны на рис. 16. 7 и 16. 8.
Посмотрим теперь, как можно использовать данные, приведенные на этих рисункахj для определения времени ту, которое требуется, чтобы получить количество фильтрата Vf. Связь между р0 и q определяется способом подачи жидкости к рассматривав емому фильтру. Для того чтобы определить Rm, нужны экспе-
210
рименты с используемым фильтрующим материалом. После этого для данного q из уравнения (16. 14) можно найти р^ Теперь, когда
известны зависимости от q и г от ps, для ряда значений р0 и q, которые встретятся в цикле фильтрации, по формуле (16. 13) определяют гср. После этого из уравнения (16. 16) находят значения У, соответствующие различным значениям q. Наконец, по найденной зависимости V от q и формуле (16. 21) определяют время фильтрации т/. Эта методика иллюстрируется примером 16. 4. Если кривая зависимости г от ps, построенная в логарифмических координатах, оказывается прямой, интеграл в формуле (16. 13) можно вычислить аналитически, подставляя для г выражение вида
r=M- (16.B2J
Здесь р и у — постоянные, определяемые по прямой, наилучшим образом соответствующей опытным точкам.
Сжимающее давление р$,кГ/см
Рис. 16. 8. Пористость сжимаемых фильтрационных осадков как функ-
Экспериментальные данные по фильтрации не обладают высокой воспроизводимостью. Трудно, например, контролировать степень агломерации частиц суспензии, которая, очевидно, влияет на удельное сопротивление . образующегося осадка. Поэтому при проекти-
ция сжимающего давления в твердой фазе [53].
а — ZnS, тип В, pH = 9,0; б — порошок ТЮ2 (фракция Я—НО), 50 г/л, 0,01 N раствора НС1, pH = 3,45; в — ZnS, тип А, pH = 9,10; г — порошок ZnS (фракция Я —НО, флокулированный), 50 г/л дистиллированной воды; д — СаСОз, наиболее светлый, 50 г/л, 0,01 М раствора Na4P2O7, pH = 10,3; е — СаСОз (наиболее светлый, флокулированный) 50 г/л дистиллированной воды, pH — 9,8.
ровании фильтрационного оборудования рекомендуется вводить значительные коэффициенты запаса.
Последние достижения в области фильтрации более полно представлены в ряде статей Тиллера 1162].
Пример 16. 4
Батарея листовых фильтров с полной площадью поверхности 232 ;и2 должна быть использована для фильтрации суспензии порошка ТЮг (флокулированный) в воде (из расчета 50 г на 1 л). Свойства этой суспензии представлены графиками рис. 16. 7 и 16. 8. Насос, питающий фильтры, имеет характеристику, показанную на рис. 16. 5. Найти время, нужное для получения 9000 кг сухого осадка. Для можно принять значение 6,6-1011 1/лс, т — = 1,64. При фильтрации давление и расход меняются в соответствии с кривой, приведенной на рис. 16*. 5. Значения гср как функции р0 должны быть вычислены по формуле (16. 13), так что для каждого р0 и соответствующего ему q нужно знать р<. Чтобы вычислить р$, воспользуемся формулой (16. 14):
/1
14*
211
Удобно вести вычисления, измеряя давление в кПсм2 и производительность в л!мин. Соответствующие значения обозначим через р\ и q (штрих над обозначением любого давления будет обозначать, что оно измеряется в килограммах на квадратный сантиметр):
Pi = = 0,483 ‘10'3’' •
Это уравнение изображено на рис. 16. 5 прямой. Таким образом мджно определить зависимости (р'о — рУ) от q'. Через пустой фильтр фильтрат (вода) будет течь с расходом 1500 л!мин при перепаде давления 0,73 кПсм2, Так как на рис. 16. 7 кривая зависимости г от ps — прямая, для выражения изменения г можно воспользоваться уравнением (16. 32) в виде
r = 4,78-10“ (р')0>2И.
Подстановка этого выражения в формулу (16.13) дает
4,78.1о”(р;-р:)
гср ---.
Г dPs
J №в
о
Единицы, в которых измерено давление, не влияют на значение гСр. Интегрирование дает
гор=3,52И011(р;-р:)°’8М.
Можно составить следующую таблицу:
q' р. р'° -p'i ’ср-’о-»
1514 0,73 0
1136 1,41 0,87 3,42
757 , 1,94 1,59 3,98
379 2,32 2,14 4,30
0 2,42 2,32 4,40
Теперь можно, используя уравнение (16. 16), связать объем собранного фильтрата с производительностью:
_ ( saVr^
Ро \ (1 — ms) А
Для данной задачи s — 0,0476 и 1—-ms = 0,922. Подстановка соответствующих значений и перегруппировка дает
У = 642 ‘ Ю16 ( —0,483 • IO'3 ).
гср \ 0 /
212
Теперь данных достаточно, чтобы найти V в функции от д':
д' ' 1514 1136 757 379 189
V 0 13,6 32,0 83,4 171,6
Требуемое время находится по формуле
vf dV — ч
Я
т/ —
Рис. 16. 9. Графическое интегрирование к примеру 16. 4.
при помощи графического интегрирования. Объем фильтрата выражается формулой
„ (1 - ms) Mef _ 0,922 • 9000 _
Vf~ sq — 1000-0,0476 174,7 •
Интегрирование, показанное на рис. 16. 9, дает т/ = 8,53 ч. Это соответствует примерно 38 мм осадка. Продолжительность цикла максимальной производительности значительно меньше.
ПСЕВДООЖИЖЕНИЕ
СКОРОСТЬ НАЧАЛА ПСЕВДООЖИЖЕНИЯ
При возрастании скорости восходящего потока через слой насадки наступает момент, когда сила трения становится достаточной, чтобы преодолеть направленную вниз силу тяжести. Снизу слой поддерживается решеткой, но он может свободно расширяться вверх, что и происходит при превышении скорости начала
213
псевдоожижения. Чтобы найти эту скорость,'запишем результирующую, направленную вниз сйлу в виде
Fg = (QS - Q) AL (1 - 8) g. (16. 33)
Определим силу, действующую на слой, исходя из формулы (15. 21) для движения в слое насадки. Коэффициент сопротивления определяется следующим выражением:
Рис. 16. 10. Пористость слоев из типичных твердых частиц [100].
Вид частиц: сферические; а — гладкие, одного размера; б — гладкие, смесь различных размеров; в — керамические, цилиндрические; г — гладкие, одного размера; д — алунд, одного размера; е — керамические кольца Рашига. Гранулы: ж *— плавленый магнетит (катализатор при синтезе NHs); з — оплавленный алунд; и — алоксит.
а значение /р вычисляется по формуле (15. 24)
= + 1,75.
Так как подъемная сила совпадает с ЛрА или gAhf, имеем:
^4-1,75)СГ^(1-е)4
D&
(16. 34)
214
В момент начала псевдоожижения Fd — Fg. Приравнивая (16. 34) к (16. 33) и заменяя Rep на i получаем:
te._e)8 = !£°<LT^-w+^. (16.35)
В это уравнение вместо ubs подставлена umf — минимальная скорость псевдоожижения. При известном е квадратное уравнение (16. 35) легко решить относительно umy. Пористость лучше определить экспериментально для данного вида частиц и сосуда. Примерные значения для нескольких распространенных материалов приводятся на рис. 16. 10 [100].
КОНЕЧНАЯ СКОРОСТЬ
В момент начала псевдоожижения пористость слоя близка к своему минимальному значению, которое для сферических частиц составляет примерно 0,35—0,50.
Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда в «слое» взвешена только одна частица и пористость близка к единице. Скорость обтекания такой частицы равна максимальной скорости^ с которой эта частица падала бы в большом объеме покоящейся жидкости. Подъемная сила, соответствующая конечной скоростиу определяется уравнением (8. 13), которое для сферы записывается в виде
Fd 8
(16. 36)
Значение CD определяется по числу Рейнольдса из графика рис. 15. 6. Действующая вниз сила равна
„ , .v л£)3 Fg = (^-'Q)g— . (16. 37}
Из уравнений (16. 36) и (16. 37) следует:
ЗСр QU* 6 - 4Dg ’ (16.38}
где вместо и0 подставлена конечная скорость щ.
Для CD нет удобного аналитического выражения, пригодного для всех чисел Рейнольдса. При Re < 1,0 справедлива формула Стокса (12. 36), так что конечная скорость равна
215
Для чисел Рейнольдса от 500 до 200 000 коэффициент CD почти не меняется и равен 0,44. Подстановка этого значения дает уравнение, часто называемое законом сопротивления Ньютона:
ut =
3D (ре—q) g] ‘/i
е J ’
500< Re< 2-106.
(16.40)
Если числа Рейнольдса не попадают в эти два интервала, решение получается при помощи рис. 15. 6 методом проб и проверок.
РАСШИРИВШИЙСЯ СЛОЙ
При скоростях, лежащих между скоростью начала и конечной скоростью псевдоожижения, слой расширяется по сравнению с объемом, который он занимает при wmy. Удовлетворительные
Рис. 16. И. Пористость расширившегося псевдоожиженного слоя.
а — пористость неподвижного слоя
Рис. 16. 12. Падение давления в неподвижном и псевдоожиженных слоях.
а — действительная характеристика; б — идеальная характеристика.
результаты дает эмпирическое правило определения пористости, т. е. расширения слоя, в зависимости от иъ&. Это правило состоит в том, что на графике In е — In иъ$ (или In w) проводится прямая, 216
как показано на рис. 16. 11. При известных Umf и щ такой график определяет поведение слоя при промежуточных скоростях. Зависимость перепада давления от скорости показана на рис. 16. 12. После того как превзойдена скорость начала псевдоожижения,
перепад давления остается почти постоянным. Пористость можно вычислить при помощи уравнения (16. 35), где нужно заменить
umf на соответствующую скорость ubs. Такой способ вычисления годится только примерно до е — 0,80. При скорости ниже ит$
&р вычисляется при помощи уравнения (15. 21).
Псевдоожижение такого типа, который рассматривался до сих пор, называется периодическим псевдоожижением или псевдоожижением в плотной фазе (ит/ < иЪ8 < щ). Если скорость превосходит частицы выносятся вместе с жидкостью за пределы рассматривавшегося до сих пор ограниченного объема. При этих условиях говорят о непрерывном псевдоожижений или псевдоожижении в разбавленной фазе. Если жидкостью служит воздух, то это то же самое, что и процесс пневмотранспорта. Если движение частиц в плотной фазе ожиженного слоя совершенно* случайно, так что каждая частица оказывается движущейся независимо от другой, то псевдоожижение называется однородным. Слой «кипит», хотя в нем происходит общая циркуляция частиц. Однородное псевдоожижение осуществляется
Поток воздуха
Рис. 16. 13. Неоднородное псевдоожижение.
почти исключительно при помощи жидко-стей. Число Фруда —при этом обычно
меньше единицы. В то время как слой, в котором ожижение про
изводится жидкостью, будет следовать графику, подобному рис. 16. 11, почти до значения е = 1,0, слой, ожижаемый газом,
становится неустойчивым и неоднородным при значении е, значительно меньшем единицы. Частицы собираются в агрегаты, а между более плотными частями слоя движутся пузыри газа, как показано на рис. 16. 13. Эта картина характерна для неоднородного или гетерогенного псевдоожижения. Число Фруда при этом обычно больше единицы. Из-за наличия газовых пузырей слой расширяется сильнее, чем расширялся бы однородный слой. Верхний уровень слоя не постоянен, а колеблется при прохождении газовых пузырей и агрегатов твердых частиц. При крупных частицах и большом отношении высоты слоя к его диаметру возникает поршневой режим псевдоожижения, являющийся крайне неустойчивым видом неоднородного псевдоожижения.
217
ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕДАЧА
Использование псевдоожиженных слоев выгодно в процессах, при которых температура и концентрация должны быть распределены как можно более равномерно. При каталитическом кре-.книге газоконденсата для получения бензина и легких углеводородов тепло реакции может подводиться в слое, чем устраняются чрезмерные температурные градиенты. Кроме того, использованный катализатор легко удаляется, регенерируется и возвращается в потоке жидкости. Ожижаемые слои используются и при других гетерогенных каталитических реакциях между твердым телом и жидкостью и для сушки твердых частиц.
Упомянутым процессам благоприятствует то, что тепло и вещество переносятся в ожиженном слое значительно более эффективно, чем в неподвижном. С другой стороны, скорости обмена между отдельными частицами и жидкостью могут быть ниже, чем в неподвижном слое, а перенос с поверхности (стенка емкости или спираль теплообменника) не всегда значительно превышает перенос в неподвижном слое.
Читатель, интересующийся дальнейшими подробностями и способами расчета псевдоожижения, отсылается к книгам Лева [99] и Зенца и Отмеря [175].
Некоторые вопросы псевдоожижения иллюстрируются следующим примером.
Пример 16. 5
13,6 кг сферических частиц твердого вещества должны контактировать в периодически работающем псевдоожиженном слое с водой, подаваемой с расходом 900 кг/ч. Определить диаметр и высоту слоя, если он расширяется в 1,3 раза по сравнению с объемом неподвижного слоя. Диаметр частиц 2,5 мм, а плотность 1,10. Температура 20Q С.
Задача может быть решена построением графика, подобного рис. 16. И, по вычисленным значениям минимальной и конечной скорости псевдоожижения. Воспользуемся уравнением (16. 35):
150 (1 —е) р.ит/ 1-75 (0s Q) S — р2ез -f D&3 •
Здесь значение е = 0,36 определяется по графику рис. 16. 10 в предположении, что диаметр слоя много больше диаметра частиц. Подстановка числовых значений дает
.... .а .ах по 150 (1 — 0,36}. 10-3 . 1.75-1000»^
1000-(1.10 1.0) - 9,8 2,52 • 10“6 • 0,363 + 2,5 • 10'3 • 0.36s ’
u*mf + 2,2 • 10-2«m/- 6,53- 10’s = 0.
Таким образом, umf оказывается равным 0,264«10-2 м/сек. Сначала пробуем определить конечную скорость по формуле (16. 40), по-218
скольку при больших диаметрах частиц обычно получаются большие числа Рейнольдса:
„ __ Г3£> (Qs — Q)g']1/2_ |"3 • 2,5 • 10“4140—1,00) • 9,81 V2
ut~ L Q J “ L---------------------LOO----------J =
= 8,6 • 10~2 м/сек}
Rp _ DutQ _ ’ IO"3 • 8,6 * IO"2 • 1000
и : ifp - —21У.
Такое значение числа Рейнольдса показывает, что формулой (16. 40) пользоваться нельзя, а нужно воспользоваться рис. 15. 6. Если принять CD — 0,80, то из формулы (16.38)
щ =
4-2,5-10-3(140-1,00) 9.81 Ч*
3 • 0,8 • 1,00
= 6,4 • 10“2 м/сек.
Re = 164.
Рис. 16. 14. Расширение слоя. К примеру 16. 5.
Этому соответствует Ср, равное примерно 0,8. По найденным значениям umf и ut построим график рис. 16. 14. Для 30%-кого расширения слоя величина 1—8 должна быть равна 0,64/1,3 = 0,492, так что 8 = 0,508. Рис. 16. 14 показывает, что при такой пористости скорость должна быть равна 0,8-10 ~2 м/сек. Затем определяем:
w = UbsQ = 0,8 • 10-2 • 1000 = 8 кг/сек • м2}
900 3600м
900
3600 • 8
3,13 • 10“2 м2.
Соответствующий диаметр равен 0,2 м (200 мм). Объем слоя равен
13,6
г=тгет9Г=0’0252 Л
Высота слоя поэтому составит
Т 0,0252 Л Qn, Л=ожз=°’804 м-
Задачи
16. 1. Испытание листового фильтра показало, что если поддерживается постоянное избыточное давление 3,5 ат. то начальный расход собираемого фильтрата 40 л/мин, а для сбора 400 л фильтрата требуется 1 ч. Какова
219
максимальная часовая производительность этого фильтра, если промывка производится в 60 л воды, а время разгрузки и очистки 20 мин?
16. 2. Небольшой листовой фильтр работает при постоянном расходе. Найдено, что начальное избыточное давление равно 0,35 ат, а после 20 мин работы, в течение которых отобрано НО л фильтрата, — 3,5 ат. Сколько фильтрата будет отобрано за 20 мин, если этот же фильтр при той же суспензии работает с постоянным избыточным давлением 3,5 ат?
16. 3. Найти количество осадка, которое можно получить за 1 ч работы листового фильтра с поверхностью 90 л*2, работающего при перепаде 10,5 ат на суспензии 100 г/л ZnS, тип В. Использовать данные рис. 16. 7 и 16. 8.
Сопротивление фильтрующего материала эквивалентно 1,25 мм осадка.
16. 4. Однородный отстой, содержащий 15% повесу твердого вещества, образующего однородный несжимаемый осадок, фильтруется через листовой фильтр периодического действия при постоянном перепаде давления в 4,2 ат. За 1 ч отлагается 25 мм осадка и собирается 6800 л фильтрата. Чтобы освободить фильтр от такого количества жидкости, требуется 3 мин. Чтобы заполнить фильтр водой, нужно 2 мин. Промывка происходит с той же скоростью, что и фильтрование, и требует 1500 л воды. Чтобы открыть, разгрузить и закрыть фильтр, нужно 6 мин. Сопротивлением фильтрующего материала и подводящих каналов можно пренебречь. Свойства фильтрата и свойства промывочной воды считать одинаковыми. Определить минимальную суточную производительность фильтра, работающего на данной суспензии, считая, что отношение количества промывной воды и фильтрата сохранит постоянное значение 1500/6800.
16. 5. Вращающийся фильтр непрерывного действия используется с суспензией, дающей несжимаемый осадок (рис. 16. 14). Как повлияет на производительность фильтра увеличение скорости вращения фильтра вдвое? Сопротивление фильтрующей перегородки пренебрежимо мало.
17. ТЕЧЕНИЕ С ВЫСОКОЙ СКОРОСТЬЮ
СЖИМАЕМЫЕ ЖИДКОСТИ
Уравнение неразрывности, уравнение энергии и уравнения движения, выведенные в предыдущих главах, в их общем виде применимы и к сжимаемым жидкостям, но до сих пор мы детально рассматривали лишь их приложения к несжимаемым жидкостям. Было отмечено, однако, что соотношения, относящиеся к несжимаемой жидкости, применимы и к сжимаемой жидкости, если относительные изменения давления невелики. Эффектом, сжимаемости можно пренебречь при изменениях абсолютного давления от 3,0 до 2,9 атп, но этого нельзя сделать, если давление меняется от 0,2 до 0,1 ат.
Изменение давления газа часто связано с прохождением его через турбину или компрессор. Значительное внимание изучению подобных потоков сжимаемой жидкости уделяется в книгах по термодинамике. Процессы этого типа анализируются при помощи уравнения баланса механической энергии (4. 20) или уравнения общего энергетического баланса (4. 13).
Сжатие и расширение газа в компрессорах и турбинах рассматривается обычно в предположении, что процесс является адиабатическим и обратимым (изэнтропическим). Другой процесс адиабатического расширения сжимаемой жидкости — расширение Джоуля — Томсона — является необратимым. Оно может осуществляться в клапане, или в диафрагме, или в длинной теплоизолированной трубе.
Сжимаемость жидкости играет важную роль при изучении высоких столбов жидкости, в которых сила тяжести вызывает изменение давления и плотности с высотой. Этот эффект важен в метеорологии и при добыче природного газа из глубоких скважин. Ни в одном из упомянутых сейчас примеров изменения плотности не находятся в прямой связи с высокой скоростью газа (скажем, более 30 м!сек). Подобные примеры не будут в дальнейшем рассматриваться, поскольку предметом этой главы является движение
221
с высокой скоростью. Такое движение обычно возникает, когда газ проходит через сопло или трубу под большим перепадом давления. Как будет ясно из дальнейшего, такое движение ха- . рактеризуется тем, что кинетическая энергия сжимаемой жидкости становится сравнимой с ее тепловой энергией. Кинетическая энер-гия делается существенной при приближении скорости газа к ско- : рости звука в нем.
Кроме широко освещенных в литературе примеров приложения законов течения сжимаемой жидкости к полету на высоких скоростях и к баллистике, эти законы находят важные применения в конструировании элементов химического оборудования, таких, * как эжекторы и выпускные трубы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ПОТОКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Рассматривая течение сжимаемой жидкости, мы предположим, что оно одномерно. Это предположение справедливо для течения " в трубе постоянного поперечного сечения на большом удалении от входа, но является приближенным для потока в сопле с переменным поперечным сечением. Поэтому при рассмотрении потока | в сопле неверно было бы положить в уравнении неразрывности (9. 7) и равными нулю. Вместо того ?
чтобы пытаться перейти в этом дифференциальном уравнении > к одномерному приближению для потока в сопле, мы обратимся д к уравнению баланса массы. В предположении, что поверхности | At и А2 ориентированы нормально к потоку, справедливо уравне- | ние (3. 4). Вводимые в этой главе допущения по существу заклю- | чаются в пренебрежении кривизной контрольных поверхностей и в предположении, что и = иъ = их в любой точке любого нор- | мального сечения сопла. Если расстояние между поверхностями f 1 и 2 стремится к нулю, то уравнение (3. 4) для стационарного течения принимает вид 5
d(ue4) = 0. (17.1) |
В такой форме дифференциальное уравнение сохранения массы будет использовано в этой главе.
При выводе вида уравнения энергии, удобного для описания одномерного движения сжимаемой жидкости, мы будем исходить не из уравнения (10.10), а из уравнения (4. 13). Для стационарного адиабатического движения без совершения внешней работы это уравнение можно записать в виде
udu-\- gdz-\-di = 0. (17.2)
Поскольку уравнения (17. 1) и (17. 2) содержат только полные дифференциалы, они могут быть проинтегрированы, в результате 222
чего получатся соответствующие интегральные уравнения сохрат нения, справедливые как для обратимого (лишенного трения), так и для необратимого потока.
Для течения в трубе окажется полезной дифференциальная форма уравнения (4. 20):
(17.3)
и du + g dz + + dhf = 0.
Наличие в этом уравнении члена, учитывающего трение, несовместимо с предположением о равномерном распределении скорости по сечению, но вносимая при этом ошибка невелика. В отличие от уравнений (17. 1) и (17. 2), для того чтобы проинтегрировать в уравнении (17. 3) член нужно знать путь интегрирования. Для некоторых необратимых потоков этот путь не определен. Для обратимых потоков — потоков без трения — уравнение (17. 3) переходит в уравнение Бернулли в дифференциальной форме:
udu + gdz + — = 0. (17.4)
у
Для адиабатического обратимого течения di ~ —, и уравнения (17. 4) и (17. 2) совпадают.
СКОРОСТЬ ЗВУКА
Чтобы иметь возможность рассмотреть ту важную роль, которую скорость звука играет для течений с большой скоростью, выведем формулу, связывающую скорость звука в жидкости со свойствами этой жидкости. Напомним, что, как известно из элементарной физики,* звуковые волны — это волны давления, вызываемые механическими колебаниями источника звука. В обычном звуке эти изменения давления часто сменяют друг друга; скорость звука — это та скорость, с которой распространяется каждый отдельный импульс.
Пусть на правом конце цилиндра, заполненного газом, расположен поршень или мембрана. Внезапное небольшое передвижение поршня влево вызывает увеличение давления газа вблизи его поверхности. Затем эта область повышенного давления со скоростью звука перемещается налево. Скорость невозмущенной жидкости перед фронтом волны равна нулю, а позади него жидкость движется налево с небольшой скоростью. Эта скорость вызывается увеличением давления при прохождении фронта на величину dp и сопровождающим его увеличением плотности dp. Если поршень после начального смещения вновь останавливается, то давле
223
ние на некотором расстоянии позади фронта волны вновь прини-мает значение, близкое к начальному. При излучении обычных звуковых волн поршень или мембрана колеблется вблизи неизменного среднего положения и по трубе распространяются чередующиеся области сжатия и разрежения.
Выражение для скорости звука можно получить из анализа условий впереди и позади волнового фронта. Исследование упрощается, если выбрать случай, когда фронт волны неподвижен. Так обстоит дело, если в области, куда распространяется волна, газ движется направо со звуковой скоростью С, как показано на
рис. 17. 1. Справа от фронта волны скорость равна С + du, где du отрицательно. Площадь поперечного сечения потока в трубе по обе стороны фронта одинакова.
Анализ течения, изображенного на рис. 17.1, начнем с использования уравнения (17. 1). В рассматриваемом стационарном одномерном течении на фронте волны происходит бесконечно малое увеличение давления. Так как dA = 0, имеем
C+du
1 С р ---------------------------------
Стационарный волн обой фронт
Рис. 17. 1. Схема к выводу формулы для скорости звука.
udQ-^qdu — ft. (17.5)
Элементарное сжатие на фронте волны происходит так быстро, что его можно считать адиабатическим. Предположим, что оно обратимо. Тогда можно воспользоваться уравнением Бернулли в дифференциальной форме (17. 4) (dz = 0):
udu + ^- = 0. (17.6)
Исключая из уравнений (17. 5) и (17.6) du, можно записать
“ = !• («-Т)
В то же время скорость и в действительности равна скорости звука С. Записывая заново уравнение (17. 7), мы укажем более явно, в записи производной, что изменения давления происходят в обратимом адиабатическом процессе, т. е. при постоянной энтропии 5: к
(17. 8)
Уравнение (17. 8) справедливо для реальной жидкости. Если перейти от плотности к удельному объему (v = , то будем
иметь
(17.9)
(72=—г?2
224
В этом рассмотрении мы интересуемся главным образом идеальными газами, для которых
Эта формула следует из уравнения обратимого адиабатического расширения идеального газа:
pv+k = pQ~h= const. (17. И)
Скорость звука в идеальном газе, таким образом, равна
^=/7. (17.12)
или ___
С = /згГ (17.13)
Формула (17. 13) показывает, что для идеального газа квадрат скорости звука пропорционален абсолютной температуре газа, т. е. внутренней энергии газа (Ср и Cv предполагаются постоянными). Так как кинетическая энергия движущегося газа пропор-2 м3
циональна и, то отношение равно отношению кинетической энергии к внутренней. Как уже упоминалось в гл. 14, отношение Мназывается числом Маха. Скорость звука в воздухе при комнатной температуре составляет примерно 330 м/сек, так что при скорости 33 м/сек М2 равно всего лишь 0,01. Влияние кинетической энергии несущественно до тех пор, пока не будет достигнуты несколько большие значения чисел Маха. )
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ВЫСОКОЙ СКОРОСТЬЮ
Другая сторона связи скорости звука с течением при высоких скоростях выясняется при изучении движения в жидкости точечного источника звука. В отсутствие движения фронты следующих друг за другом волн уходят с одинаковой скоростью во все стороны и образуют вокруг источника концентрические круги (при двумерном течении). Если тело движется налево (или жидкость направо) с дозвуковой скоростью, то относительно движущегося источника волны давления перемещаются так, как показано на рис. 17. 2.
При скорости движения источника, превышающей скорость звука, центры круговых волн сносятся вниз по потоку настолько быстро, что есть область, положение которой относительно источника фиксировано, куда не проникают возмущения давления (рис. 17. 3). На рисунках показано продвижение волнового фронта за времена тх, т2 и т. д. Линии АВ и АС на рис. 17. 3
15 Заказ 519. 225
Рис. 17. 2. Обтекание источника звука с дозвуковой скоростью.
Рис. 17.3. Обтекание точечного источника звука со сверхзвуковой скоростью.
Рис. 17. 4. Эскиз шлирен-фо-тографии сверхзвукового обтекания заостренного тела.
называются линиями Маха, а угол а — углом Маха. Этот угол определяется формулой
С 1
а = arcsin — = arcsin —. (17.14)
При движении в жидкости реального тела конечных размеров, со сверхзвуковой скоростью, не являющегося точечным источником звука, на его лобовой и задней частях возникают ударные волны. На линиях этих ударных волн происходит внезапное повышение давления.
Шлирен-фотография1 движения заостренного тела со сверхзвуковой скоростью показана на рис. 17. 4.
ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЙ ПОТОК В СОПЛЕ
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В сопле происходит непрерывное, но быстрое изменение поперечного сечения потока, плотности, давления и скорости вдоль линии тока. Одной из форм сопла является труба Вентури 2.
Поверхность стенок слишком мала, чтобы при такой быстроте изменения давления и температуры передать жидкости сколько-нибудь заметное количество тепла. Поэтому поток будем считать адиабатическим. Поскольку сопло короткое, а размеры его меняются плавно, влиянием трения на стенках и вихреобразованием можно пренебречь. Таким образом, течение можно считать обратимым. Поскольку оно также и адиабатично, оно является изэнтропическим. Для описания изэнтропического потока в сопле при hf = 0 можно применить уравнение Бернулли. Эти условия идентичны тем, при которых выведено уравнение (17. 6).
Запишем его теперь в виде
и р
Judu=-J^-. (17.15)
ро
Здесь uQ и pQ — скорость и давление на входе сопла, а и и р — скорость и давление в произвольной точке сопла. Поток будем считать одномерным, а скорость и другие переменные — постоянными в каждом данном поперечном сечении. Для идеального газа справедливо уравнение (17. 11), которое мы запишем в виде
е=е0(-£-)1А. (17.16)
1 Шлирен-фотография получается при освещении, которое делает види-на пленке участки различной плотности. Этот метод описан у Прандтля U28] на стр. 336.
2 Слово «сопло» используется в этой главе в широком смысле, в гл. 6 мы проводили различие между трубой расходомера Вентури и соплом, применяемым для измерения расхода.
15* 227
Это уравнение связывает плотность в некоторой точке потока с давлением в этой точке и условиями на входе в сопло. Скорость ______________ _ ______________ о _ 2 на входе в сопло и0 можно положить равной нулю, поскольку и0 обычно много меньше чем и2.
Подстановка (17. 16) в уравнение (17. 15) с последующим интегрированием дает:
ц2 ^Ро П . (17. 17)
(к— 1)QoL \ Ро J J ’
Это уравнение связывает скорость в некоторой точке сопла с давлением в этой точке и условиями на входе.
Уравнение общего энергетического баланса также может быть записано для потока в сопле. Для адиабатического горизонтального потока уравнение (17. 2) в дифференциальной форме имеет вид
udu = —-di. (17.18)
Интегрирование дает (ио = О):
и2 = 2(го-0- (17.19)
Для идеального газа с постоянной теплоемкостью Ср уравнение (17. 19) принимает вид
и2 = 2С,р(Г0 —Т). (17.20)
Уравнение сохранения массы не сводится к уравнению (17. 5), так как в общем случае dA =^= 0.
Уравнение сохранения массы удобно записать в виде
uqA = W = const. (17. 21)
Применим теперь выведенные нами основные соотношения к течению в сопле Лаваля х.
СОПЛО ЛАВАЛЯ
Типичное сопло Лаваля изображено на рис. 17. 5. Характер движения в сопле зависит от того, достигается ли в нем скорость звука или нет.
Дозвуковой поток. Если р3 равно р0 (индексы соответствуют сечениям, указанным на рис. 17. 5), то движения в сопле нет. Если р3 немного ниже р0, то течение в сопле качественно подобно уже рассмотренному в гл. 6 течению в трубе Вентури. Давление уменьшается, а скорость увеличивается согласно
1 В оригинале использован термин converging-diverging nozzle. В переводе введен общепринятый термин «сопло Лаваля». (Прим, перев.)
228
уравнению (17. 17) вплоть до сужения t, после чего давление начинает увеличиваться, а скорость уменьшаться, пока не будет достигнуто выходное сечение 5; давления р3 и р4 равны. В узком сечении все переменные имеют экстремальные значения. В этом сечении du. dQ. dp и dA все равны нулю, так что выполняется уравнение (17. 1), как и во всем сопле.
Сверхзвуковой поток. С уменьшением давления
р3 максимальная скорость, которая достигается в узком сечении сопла, увеличивается. Мы покажем впоследствии, что наибольшее
значение щ. которое может быть достигнуто, равно скорости звука при температуре газа в сужении. Чтобы изменение выходного давления р4 влияло на условия в точках, лежащих вверх по течению, возмущения давления должны передаваться против течения. Изменения давления распространяются налево со скоростью звука, так что если скорость движения газа направо достигла в некоторой точке скорости звука, то дальнейшее продвижение волны давления прекращается.
Так как при дозвуковом истечении скорость в сужении1 сопла больше, чем в любой дру-
Рис. 17» 5. Сопло Лаваля.
гой точке, максимальная достигаемая здесь скорость равна ско-
рости звука.
Когда выходное давление снижено ниже того уровня, который необходим для создания скорости звука в критическом сечении, изменения давления не передаются через это сечение. Таким образом, условия между сечениями 0 и t остаются неизменными для всех значений р3 < рзс, где рзс представляет собой давление в выходном сечении, необходимое для создания скорости звука в критическом сечении. Давление в критическом сечении легко вычислить, подставляя в (17. 17) для и значение ut. равное Ct или ¥-kRT. 9
Мт
Расчет дает
/ 2
(17.22)
1 Далее термин throat (сужение) чаще всего переводится как «критическое сечение». (Прим, перев.)
229
Для газов обычно немного больше 0,5. Стоит отметить, Ро
что максимальная скорость в критическом сечении (щ — Ct) меньше, чем скорость звука при условиях на входе (Со). Из уравнений (17. 11), (17. 12) и (17. 22) можно получить
= (17-23>
Если давление р3 снизить ниже значения, при котором в критическом сечении достигается скорость звука, где-нибудь за кри
Рис. 17. 6. Скорость, плотность и площадь сечения в сопле Лаваля в функции давления.
Рис. 17. 7. Распределение давления при течении в сопле Лаваля.
тическим сечением сопла установится скачок, т. е. внезапное изменение давления. Скачок в сопле будет подробно рассмотрен в следующем разделе. Однако в правильно рассчитанном сопле при звуковой скорости в критическом сечении существует един-ственное значение —, при котором не возникают скачки.
Ро
В этом случае поток от сечения 0 до сечения 3 является изэнтропическим, а скорость потока в сопле за сечением t превосходит скорость звука. При этом для всех сечений сопла справедливы уравнения (17. 17), (17. 19), (17. 20) и (17. 21).
В отличие от течения, для которого — >* , скорость,
Ро Ро
плотность и давление не достигают экстремального значения в критическом сечении сопла. На рис. 17. 6 показано, как изменяются эти переменные. По мере уменьшения площади поперечного сечения в конфузорной (сходящейся) части сопла скорость увеличивается и становится звуковой в критическом
230
сечении. В расходящейся части сопла скорость продолжает увеличиваться, а давление уменьшаться. Из рис. 17. 6 видно, что для заданного р3, лежащего между ptc и 0, существует только одно значение А3 (т. е. только одно сопло), при котором возможно истечение без скачка. Независимо от того, как велико А, существует конечная предельная скорость; ее значение можно найти, если в уравнение (17. 17) подставить р = 0.
Характер изменения давления вдоль сопла показан на рис. 17. 7. Если р3 достаточно велико, чтобы нигде в сопле не достигалась скорость звука, то получается кривая, идущая до рза. При рзс в критическом сечении достигается скорость звука, а если р3 несколько ниже рзс, но не равно р3ъ, то за критическим сечением в сопле образуется скачок. С достижением рзЪ поток становится сверхзвуковым во всей расходящейся части сопла.
Как следует из графиков рис. 17. 6 и 17. 7, если сопло укорачивается, так что уменьшается А3, то р3ь возрастает. Если сопло укоротить до такой степени, чтобы осталась лишь сходящаяся часть сопла, то рзЪ = р3с = ptc, скорость звука не может быть превышена, если сопло не имеет расширяющейся части.
Покажем теперь по-другому, что в критическом сечении должна быть достигнута скорость звука как только р3 <р3с. Уравнение (17. 6) и следующее из него уравнение (17. 17) всегда выполняются, если в сопле отсутствуют скачки. При р3 >* рзс скорость звука не достигается, и, как мы видели, уравнение материального баланса в форме
uq dA 4- и A dq 4- qA du — 0 (17.24)
удовлетворяется в критическом сечении, где dA = 0, поскольку dq и du также равны нулю. Однако при р3 < рзс dp и dq не равны нулю, так что в критическом сечении уравнение (17. 24) переходит в уравнение (17. 5). Поскольку, как уже было показано, совместное решение уравнений (17. 5) и (17. 6) дает формулу для скорости звука, то мы имеем другое доказательство того, что при р3 рзс эта скорость должна достигаться в критическом сечении.
СКАЧКИ В СОПЛАХ
Обратимся снова к рис. 17. 5 и 17. 7, и рассмотрим, что происходит, если р4 меньше, чем рзс, но не равно рзЪ. Если р4 меньше чем рзь, давление в сопле следует кривой, ведущей к р3ь, а затем сразу за соплом поток внезапно расширяется, образуя систему косых ударных волн (скачков), показанных на рис. 17. 8, а. Если несколько больше, чем рзъ, то по выходе из сопла в потоке образуется система ударных волн, в которой происходит сжатие °тр3с до р4. Дальнейшее увеличение р4 заставляет скачок входить в сопло.
В трех рассмотренных до сих пор случаях течение столь сложно, что не доступно элементарному анализу. Обычно если р4
231
увеличивается настолько, что будет лишь не намного ниже рзс, то скачок сместится совсем внутрь сопла и превратится в одиночный прямой скачок. Эти четыре случая иллюстрируются рис. 17. 8. Последний случай будет сейчас
рассмотрен подробнее. Давление перед скачком, показанным на рис. 17. 8, а, обозначено на рис. 17. 5 и 17. 7 через ръ а давление за скачком — через р2.
Ударная волна в воздухе имеет толщину порядка 10“4сл^. Поскольку толщина скачка столь мала, можно считать, что Л2 = = Аг и записать уравнение сохранения массы в виде
^61=^202 = ^1. (17.25)
Рис. 17.8. Схемы скачков, которыми сопровождается сверхзвуковое течение в сопле.
Это уравнение нельзя записать в дифференциальной форме, поскольку существуют конечные скачки u, q и р.
Уравнение ^баланса энергии также должно быть записано в интегральной форме:
= (17.26)
или для идеального газа
U2 — И2
1 = Ср(Г1-Г2). (17.27)
Течение в скачке не является обратимым, как это имеет место в сопле вне скачка. Поэтому уравнения баланса механической энергии (4. 20) или (17. 3)
а — р4 немного меньше р3^; б — р4 немного больше р3&; в — р4 несколько выше, чем в п. б; г — р4 чуть ниже рзс (прямой скачок).
не применимы, поскольку нельзя вычислить ни hf ни Г dp , так как неизвестен путь интегрирования при необрати-
мом процессе. Однако оказывается полезным уравнение сохранения импульса (5. 6). Это уравнение для одномерного потока
газа в скачке имеет вид
W(u2-Ui) = RX — Fxp — Fxd. (17. 28)
232
Сила Rx равна нулю, так как стенка сопла не входит в контрольный объем. Силу FXd можно положить равной нулю, так как можно пренебречь силой трения о стенки из-за малой длины контрольного объема. Равнодействующая сил давления равна А± (р2 — рх), a W — uiqMi. Таким образом, имеем
uiQi (“2—«1) = Pl — ?2- (17- 29)
Используя уравнения (17. 25), (17. 27), (17. 29) и соответствующие термодинамические формулы для идеального газа, можно получить следующее простое соотношение, связывающее скорости по обе стороны ударной волны (вывод этого равенства связан с длинными и сложными выкладками):
utu2 = Cl (17.30)
Скорость иг превышает скорость звука, а скорость и2, как можно убедиться, ниже скорости звука; этот факт уже был использован при построении на рис. 17. 7 графика давления, который заканчивается при р3а. Давление в расширяющейся части сопла при дозвуковом истечении увеличивается, а при сверхзвуковом — уменьшается.
Вместо того чтобы проделывать алгебраические выкладки, ведущие к (17. 30), дадим графическую иллюстрацию совместного решения уравнений (17. 26) и (17. 29). Используя (17. 25), можно исключить скорость из этих уравнений и получить из (17. 26)
а из (17. 29)
o’.32)
(Индекс 2 в этих уравнениях опущен.)
Чтобы воспользоваться этими уравнениями, нужно знать, при каком давлении или скорости перед скачком этот скачок происходит. Если рх известно, и19 g1} а следовательно, и могут быть подсчитаны с помощью уже рассмотренных соотношений для изэнтропического потока между сечениями 0 и 7. Чтобы продолжить решение, воспользуемся i — S диаграммой (диаграммой Молье). Величины рг и Qi определяют точку на диаграмме рис. 17. 9, так что величины 1Ъ Sr и Tt также известны.
Теперь можно выбрать последовательные значения о и из уравнения (17. 31) вычислить соответствующие значения i. Полученные точки определяют показанную на рис. 17. 9 кривую, которая называется линией Фанно. Подобным же образом можно воспользоваться уравнением (17. 32), чтобы по значениям g вычислить РЯД значений/?, который определяет кривую, называемую линией
233
Релея. На ударной волне должны одновременно удовлетворяться уравнения (17. 31) и (17., 32), так что значения р2, q2 и всех соответствующих переменных находятся во второй точке пересечения линий, показанных на рис. 17. 9. Расположение кривых, конечно, изменяется с изменением w, или рх.
Состояние газа в других частях сопла описывается линиями, также показанными на рис. 17. 9. Изменение давления от входного
значения р0 представляется отрезком, идущим вертикально вниз через ptc до рх, на скачке давление резко возрастает до р2, а от р2 до р3 меняется вдоль вертикальной линии постоянной энтропии. Заметим, что между точками 1 и 2 энтропия возрастает. Поэтому скачок разрежения из состояния 2 в состояние 1 невозможен, так как в адиабатическом процессе энтропия не может убывать. Всегда существует возможность того, что возмущение потока вызовет скачок из сверхзвукового в дозвуковое течение; обратное произойти не может.
Энтропия ---►
Рис. 17. 9. График линий Фаино и Релея. а — линия Фанно; б — линия Релея.
Другие случаи, показанные на рис. 17. 7, также можно проследить по рис. 17. 9. Для дозвукового течения кривая опускается вертикально до pta, а затем поднимается по тому же отрезку дорза, Если снизить р3 до Рзс, кривая имеет тот же вид, но наиболее низкое давление теперь равно ptc. Если р3 равно psb, поток в целом изэнтропичен и соответствует вертикальному отрезку, идущему от р0 до рзь через ptc-
ТЕМПЕРАТУРА ТОРМОЖЕНИЯ И ДАВЛЕНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ
При изучении течения с высокой скоростью важно иметь в виду, что температура и давление, измеренные по показаниям неподвижного прибора, могут не совпадать с температурой и давлением, которые зарегистрировал бы прибор, движущийся вместе с жидкостью. Температура, которая установилась бы в жидкости, если
234
бы ее скорость была адиабатически снижена до нуля, называется температурой торможения. Обычная термопара, скажем, в форме цилиндра, будет измерять температуру, заключенную между температурой торможения и истинной температурой, так как температура торможения будет достигнута только в передней критической точке цилиндра.
Температура торможения для дозвукового течения идеального раза совпадает с величиной То в уравнении (17. 20). Это уравнение относится к точке 0, в которой скорость равна нулю, и той точке в адиабатическом (но не обязательно изэнтропическом) потоке, в которой скорость и температура равны и и Т.
Температуры TQ и Т заметно различаются, только если существенно влияние кинетической энергии. Это можно получить, выразив температуру торможения через число Маха. Разделим левую часть уравнения (17. 20) на С2, а правую на равную С2, как это следует из (17. 13), величину :
____2iCpMm /гр С2 kRT 1 0 >'
Для идеального газа из термодинамики имеем
СрЛ/771_ к
R ~к^Л‘
(17. 33)
(17.34)
После простых преобразований из (17. 33) и (17. 34) получим
(17.35)
Температура торможения и истинная температура заметно отличаются только при скоростях порядка 100 м!сек.
При вычислении давления торможения будем предполагать, что процесс замедления жидкости до нулевой скорости произведен обратимо адиабатически (т. е. изэнтропически). Тогда справедливо уравнение (17.11), которое вместе с уравнением состояния идеаль-V RT ного газа — = ту— дает Q М m
т \ Р )
(17. 36)
Из (17. 36) и (17. 35) следует, что давление торможения выражается формулой
у = (1 + ^.1М^/(&-1). (17.37)
Уравнение (17. 37) громоздко; удобно разложить правую часть в биномиальный ряд
+ - (17.38)
Р £ о 4о
235
Напомним, однако, что даже в несжимаемой жидкости прибор, подобный трубке Пито, показывает давление больше истинного или статического давления. Поэтому формула (17. 38) учитывает и влияние сжимаемости, и тот эффект, который обычно наблюдается при малых скоростях. Влияние сжимаемости можно выделить из (17. 38) следующим образом. Запишем для течения несжимаемой жидкости:
^0 & _ 0ц2 __ & ОД2
р р 2 2
(17.39)
Это уравнение получается путем интегрирования уравнения (17. 4) (dz = 0) при постоянной плотности g с использованием уравнения (17. 12). Величина р0 — р была названа в гл. 12 динамическим давлением, р0 — давление торможения в потоке несжимаемой жидкости. Эффект сжимаемости теперь найдем путем деления уравнения (17. 38) на (17. 39):
^ = н|мч^м4 + ... (17.40)
Р^—Р 4 24
Влияние сжимаемости не ощущается, если число Маха ниже 0,2 или около того.
Для изэнтропического течения (например, течения в сопле) и температура торможения и давление торможения остаются постоянными при изменении действительной температуры и давления. В адиабатическом течении при наличии трения температура торможения постоянна, но давление торможения уменьшается вниз по течению.
Приведенные формулы для давления торможения применимы только к дозвуковым течениям. Если датчик давления внесен в сверхзвуковой поток, то на датчике или перед ним образуется скачок, поток не является более изэнтропическим и уравнения (17. 37) и (17. 38) дают завышенное значение давления торможения.
Поясним применение принципов расчета изэнтропического течения на следующем примере.
Пример 17. 1.
Рассмотрим несколько сопел, в которых движется воздух при одинаковых условиях на входе р0 = 10 атм, TQ = 1670Q К и, как обычно, uQ == 0. Сосуд, находящийся при таких условиях, связан соплом с другой большой емкостью, в которой поддерживается давление р4. Мы рассмотрим следующие возможные случаи.
а. Сходящееся сопло, р4 == 1 атм. Так как р4, очевидно, меньше, чем V2 Ро, то в узком сечении будет достигнута скорость звука и давление, здесь согласно уравнению (17. 22), равно
k
ptc —Ро (* + 1/
236
или
Л ,в р<с=10 =5’27 атм-
Температуру в сужении найдем из уравнения (17. 36), записанного в виде
k-i
Ttc = Т° ( k = 1670 (°’527)0,2М = 1670 • 0,833 = 1390° К.
Скорость в сужении равна
По формуле (17.13) „ 1,4 • 9,8 • 852 • 1390 „„ ,
Ct ---------29-------747 М,СеК *
Массовый расход определяется диаметром сопла, который выберем равным 50 JHJ4, так что At =19,6 см2. Из уравнения состояния идеального газа находим Qf =1,34 кг/м3. Таким образом,
= utQt — • 1,34 === 1000 кг]м2 • сек
и
w = wtAt == 1000 • 19,6 * 10-4= 1,96 кг]сек.
Сразу же по выходе из сопла возникают ударные волны, в которых давление снижается с 5,27 до 1 атм.
б. Рассмотрим теперь истечение через сопло Лаваля без скачков внутри сопла; р4 попрежнему равно 1 атм. Каковы параметры газа на выходе из сопла, и каким должен быть диаметр выходного сечения?
Положим р3 = 1 атм и воспользуемся уравнением (17. 17), записанным в виде
♦ Г (fe-i)l
„2 2kRTQ ( Рз \ h ____
3 Р-D Mm L \Ро7
_ 2 • 1,4 • 8310 • 1670 Г /1 \0,2861 .
0,4*29 L1 \Ю7 J’
и3=1270 м]сек.
Используя уравнение (17. 36), так же, как и в пункте (а), найдем Т3 = = 1670 (1/1O)0’286 = 960° К.
Уравнение (17. 13) дает С3 = 590 м/сек, так что М3 = 2,16. Плотность в сечении 3 (см. рис. 17. 5) равна 0,411 кг/м2, так что площадь выходного сечения сопла
___ utQt _ 7^7 ‘ 1>34 __. qp.
At u3Q3 1270*0,411 ’
Л3 = 37,6 см2; Z>3 = 6,92 сл€ = 69,2 мм.
Хотя на выходе из сопла достигается высокая скорость, массовый расход не увеличился по сравнению с п. (а).
23?
в. Выбрать площадь выходного сечения так, чтобы при выходном давлении — 8 атм в сопле происходил скачок с давлением перед скачком pi ~ = 4 атм (см. рис. 17. 5 и 17. 7).
Сначала, исходя из уравнения (17. 17), найдем условия непосредственно перед скачком
2_2* 1,4-8310-1670_ Г /4 V,286*1 .
0,4-29 L \10/ J’
uL~880 м/сек.
Действуя так же, как и в п. (б), найдем Т\ = 1290а К, Qi = 1,1 кг/л3 и Ai = 1,035 At или Pi = 50,8 мм. Скачок находится очень близко к критическому сечению. Подсчитаем и2 по формуле (17. 30):
7472 ИГ"633
Из уравнения баланса массы найдем
u1Q1_ 880-1,10 _ , ,
62 “ и2 — 633 — 1,52 кг/м
Теперь определим р2> используя уравнение (17. 24):
“101(^2—«1)=Р1—
880 • 1,10 (633 —880) = Pi—р2;
Рг~Р1 = 2,39• 10® н/мг
И
р2 = 6,31 атм.
Из уравнения состояния находим, что Та = 1460Q К. К течению между скачком 2 и выходным сечением сопла 3 вновь применимо уравнение (17. 15). Интегрирование его дает
о7 Г (k-i)l
= 1-(—) h + »? =
8 (*—1)02 L \ ?2 / J 2
_ 2-1,4-6,34-1,033-9,8-10« Г , /8
0,4-1,52 L1 U,31/ J+633’
Ид = 447 м/сек.
л
Можно найти также, что Т3 = 1570qK,q3 = 1,81 кг/м* и = 1,24 или Р3 = 56,6 мм.
Для контроля вычислений можно определить и3 из уравнений (17. 20):
2__2£р/«, г \—2-7-8310, is?™-
U*~M^ (Го~Л) —2/29 (167°-157°)’
«з = 447 м/сек.
238
ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
Жидкость, которая движется адиабатически по трубе постоянного поперечного сечения, проходит через ряд состояний, подчиняющихся уравнению Фанно (17. 31). Начальные значения и ii известны, а массовая скорость w постоянна, так что уравнение (17. 31) связывает значения q и i в точках, расположенных ниже точки 1 по потоку. Для однофазной жидкости эти два параметра определяют остальные — температуру, давление и энтропию.
Графически состояния жидкости представляются линией Фанно — например, такой, как линия, показанная на рис. 17. 9. Можно выбрать начальное состояние так, чтобы оно представлялось точкой А. По мере того как при движении жидкости падает давление, состояние жидкости смещается через точку В к С. В точке С достигается максимум энтропии, и дальнейшее продвижение вдоль линии Фанно при адиабатическом процессе невозможно. Скорость в конце трубы (представленном точкой С) — это максимальное значение скорости, которого можно достичь. В точке С при элементарном изменении состояния dS = 0, так что течение одновременно адиабатично и обратимо (изэнтропично). Поэтому максимальная скорость, которая достигается в С, равна скорости звука.
Состояние газа, соответствующее точке С, может достигаться лишь на конце трубы, но в конце трубы может существовать и состояние, отвечающее любой точке кривой АВС, в зависимости от длины трубы и перепада давления на ней. Другое значение w определит и другую линию Фанно, эта линия — линия постоянного w.
Мы рассматривали до сих пор состояние жидкости при адиабатическом течении в трубе, не устанавливая его связи с длиной трубы. Эту связь можно получить при помощи уравнения (17. 3). Заменяя в его левой части последнее слагаемое выражением (15. 1), получим
и du 4- v dp + = 0. (17. 41)
я»
В уравнении (17. 41) р заменено на 1/и. Так как массовая скорость и> равна и/и, то после деления на г>8 получим из (17. 41)
^dv + ^dp-r^^ = Q. (17.42)
Первый член уравнения (17. 42) может быть непосредственно проинтегрирован, так как w2 постоянно. В третьем члене 2w2ID постоянно, а / изменяется только, если изменяется вязкость (число Рейнольдса равно • Значение р может изменяться в адиабатическом потоке, но влиянием этого изменения на / можно
239“
обычно пренебречь. После интегрирования уравнения (17* 42) в пределах от до и2, от рг до р2 и от 0 до X получим
?2
и,21п-^4- f JL + ?/w^ = 0 (17.43)
Vi * J v 1 D ' ’
Pi
При рассмотрении обратимого адиабатического истечения через сопло (м меняется с L) мы полагали третий член уравнения (17. 41) равным нулю и интегрировали второй член после подстановки выражения (17. 16) (это выражение справедливо для изэнтропического процесса). Результат выражался уравнением (17. 17).
При рассмотрении адиабатического необратимого течения по трубе постоянного поперечного сечения (w постоянно) мы должны сохранить третий член уравнения (17. 41). Второй член мы проинтегрируем, используя соотношение, связывающее v и dp на линии постоянного w (S увеличивается). Это соотношение задается уравнениями (17. 26), (17. 27), (17. 31) или (17. 32). Остановим свой выбор на уравнении (17. 27) и заменим в нем ина ipu, а Тна ррМт . £ результате имеем уравнение Л
у (₽ _= (17. 44)
которое является одной из форм уравнения Фанно. Разрешим к теперь уравнение (17. 44) относительно р и подставим
вместо СрМ">- (формула (17. 34)):
Найдем из этого уравнения dp и подставим в интеграл от .
Этот интеграл вычислим в пределах от до и2. В результате после некоторых преобразований получим уравнение
(17.45)
(k + l)w2. v2 . 1
2к 111 и1~Г 2
(к'— 1) w2r>2
~Гк-----+ Р^
2fw2L _ п D *
1
Л
(17.46)
При желании в уравнении (17. 46), конечно, можно всюду заменить v на . Это уравнение строго выполняется для адиабатического необратимого одномерного течения идеального газа (с постоянным к) по трубе постоянного поперечного сечения, если / можно считать постоянным.
240
Обнаружено, что в большинстве практических случаев уменьшение температуры между точками 1 и 2 незначительно. В этом
случае второй член уравнения (17. 43) интегрируется очень просто.
Подставляя
RT №тР
вместо v и интегрируя, получим
(17.47)
Это уравнение совпадает с уравнением (15. 28), если к последнему добавить член, учитывающий кинетическую энергию. Его можно разрешить относительно значений переменных во втором сечении, или относительно w, если принять Тср — Тг. Эти результаты позволяют затем найти Г2 из (17. 27) и вновь использовать уравнение (17. 47) уже с Тср = + и т. д. Окончательный
результат этого процесса является приближенным благодаря тому, что Тср не равно в действительности среднему арифметическому от и Т2. Конечно, правильное значение Тср можно получить, подставляя в уравнение (17. 47) результаты расчета в соответствии с уравнением (17. 46). Как во многих аналогичных процессах осреднения, чем меньше разница между осредняемыми значениями, тем меньше разница между средними, вычисленными правильно или некоторым произвольным образом.
Рассмотрим теперь задачу об определении w для трубы известной длины и диаметра, для которой заданы условия в начальном сечении 1. Газ выпускается из трубы в пространство с давлением р4. Если на конце не достигается скорость звука, то р4 равно р2. После того как произведен расчет по формулам (17. 46) или (17. 47) при р2, равном р4, необходимо вычислить скорость в сечении 2, чтобы убедиться, что не превышена скорость звука С2, т. е., что мы не перешли по линии Фанно АВС на рис. 17. 9 за точку С. Если скорость в точке 2 не превышает скорости звука то задача решена. Если эта скорость превышена, то состояние в точке 2, при котором проведено решение, не достижимо, значение р2 должно быть выбрано несколько выше, чем р4. Тогда выбираем значение р2 и подставляем в уравнения (17. 46) и (17. 47), пока не будет найдено верное, для которого и2 = С2. Когда в сечении 2 устанавливается звуковая скорость, р4 может иметь любое значение, меньшее или равное р2, не оказывая влияния на течение в трубе. Волна давления не может проникнуть в трубу против потока, имеющего звуковую скорость. Если (при р4 <1 р2) удлинить тРУбу, то р2 и Т2 снизятся, так что С2 (т. е. и2) тоже снизится. Так как при этом v2 возрастает, то, в соответствии с уравнением (17. 1), при удлинении трубы массовая скорость снижается, хотя отношение — уменьшается. Это отношение давлений не Pi
16 Зака» 519. 241
1
ограничено значением, близким к — , как для сужающегося сопла, а может в длинных трубах уменьшаться до сколь угодно малых значений.
ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
В достаточно длинных трубах тепло может передаваться потоку настолько быстро, что течение будет по существу изотермическим. При этом справедливо уравнение (17. 47), а Тср равно просто Тг.
Максимальная скорость, которая может быть достигнута в сечении 2, определяется уже не адиабатической, а изотермической скоростью передачи изменений давления. Эта скорость, которую мы будем обозначать через Ci, не совпадает со скоростью звука. Однако ее можно найти при помощи таких же рассуждений, что и использованные при выводе уравнений (17. 12) и (17. 13). Уравнение (17. 7) применимо так же, как и при адиабатическом dp »
течении, но вычисляется теперь не при постоянной энтропии, а при постоянной температуре. Поэтому уравнение (17. 8) заменяется на
С’ = «)г- ("-48>
Для идеального газа имеем
др \ RT
#Q )т~ Мт
(17.49)
так что скорость распространения возмущений в изотермических условиях равна __
(17.50)
или
с<=/£-
Эти формулы являются аналогами формул (17. 12) и (17. 13). Так как различие между адиабатическим и изотермическим течениями усиливается с увеличением значений н2, наибольшее различие между ними существует при максимальных значениях и2. Эти максимальные значения выражаются, например, формулами (17. 13) и (17. 51). В этих крайних случаях скорость адиабатического течения в У к (яля воздуха примерно 1,2) раза больше скорости изотермического течения.
Практические расчеты течения сжимаемых жидкостей в трубах облегчаются при использовании методики и графиков, данных Лейпплом [96] и приводимых Брауном и др. [19]. Дальнейшие 242
подробности относительно течений сжимаемой жидкости можно почерпнуть, например, из книг Хунзейкера и Райтмайра [69] и Липмана и Пакета [104].
Пример 17. 2.
Будем рассматривать истечение из того же резервуара, что и в примере 17. 1, но расходящийся участок сопла заменим отрезком прямой трубы с внутренним диаметром 50,8 мм и длиной 2,8 м. В резервуаре р0 = 10 атм, То = 1670Q К. Начало трубы примем за точку 1, а конец — за точку 2. Газ выходит из трубы в большую емкость, давление в которой р4. Рассмотрим, какие нужны давления р4, чтобы вызвать нескользко различных типов течения в трубе, и найдем то значение р4, ниже которого оно не оказывает больше влияния на течение в трубе.
Предположим, что шероховатость трубы достаточно велика, и число Рейнольдса настолько высоко, что для выбранных условий течения f сохраняет постоянное значение 0,010.
Рассмотрим сначала изотермическое течение, а затем адиабатическое.
1. Изотермическое течение в трубе а. р4 = 9,5 атм. При этом давлении расход из резервуара и перепад давления до входа в трубу малы. Поэтому вероятно, что на конце трубы не будет достигнута звуковая скорость. Течение от 0 до 1 изэнтропично, так что из уравнения (17. 36) находим:
/ 9,5 \ 0,286 Л-1670^^ =1642° К.
Из формулы (17. 17)
„2 2 • 1,4 • 8310 • 1670 Г . / 9,5 \0,286*1
1 =—-ДГ29--------[Мчо-у ]’
1^ = 220 м/сек.
Находим также q1 = 2,05 кг/м3, так что
w — wiQi = 220 • 2,05 = 451 кг/м2 • сек.
Чтобы найти давление в сечении 2, воспользуемся уравнением (17. 47), записанным в виде
При всех скоростях, за исключением самых больших, первый член мал по сравнению с остальными. Поэтому первую оценку для р2 можно получить, опуская первый член. В результате получим р2 = 8,38 атм. Окончательное значение р2 определяется подбором. При р2 = 8,20 имеем
-451* In — А^^.--9’82 (8,2* . 10*- 9 5* • 10*) 4 ^ОЮЬ 451* * 2,8 Г
П 9,5 ‘ 2 • 8310 • 1642 ( W } + 0,05 "" °
(давления должны быть выражены в кГ/м*). После вычисления каждого из членов имеем
3,0 • Ю4—2,47 • 105 4 2,27 • 105 = 0,10 • 105.
Правильное значение р2 несколько меньше, скажем, 8,15 атм. Для такого течения нельзя пренебречь кинетической энергией, хотя она и мала. При таком давлении q2 = 1,76 кг/м3, так что
w 451
w2 =--— -- = 256 м/сек.
02 1,/U
16*
243
Чтобы получить описанное выше течение, р4 должно поддерживаться равным 8,15 атм. Если оно возрастает, w снижается, если уменьшается — и? возрастает.
б. Найдем значение р2, которое обеспечивает максимальный расход. Максимальная скорость и2 определяется уравнением (17. 51):
“i=c*-J/4E';
Дальше нужно продвигаться путем проб. Выберем значение р±. Тем самым будут определены w и Т\. Найдем затем р2 и и2 по методике п. (а) и будем продолжать до тех пор, пока не будет найдено такое значение р1? при котором и2 = Ci при температуре Tv Приведем здесь лишь результат последней (удачной) пробы.
При р± = 9,0 атм имеем Т = 1620s К, = 1,97 кг/м9 — 315 м/сек, так что w — 620 кг/м**сек. При этом значении Ci = 680 м/сек. Как и в п. (а), р2 должно быть найдено путем проб. При р2 = 4,16 атм уравнение (17. 47) превращается в
9,0 । 29 • 1,0332 • 9,82 (4,162 • 108—9,02 • 108) . 2 • 0,01 • 6202 • 2,8 ?_ 620 1 446 +----------г-» 1620---------------1"-----0Л5--------°’
Вычисление дает
2,96 • 105 — 7,06 • 10®+4,30 • 105==0,20 • 10® и
22 = 0,51 кг/м3*, w2 = 680 м/сек.
Чтобы получить описанное выше течение, р4 может быть равным 4,16 атм. Если р4 увеличится, то w уменьшится, но если р4 уменьшится, то значение w не изменится, а р2 останется равным 4,16 атм.
2. Адиабатическое течение в трубе a. pt=9,5 атм. Примерную величину изменения температуры при адиабатическом течении можно найти, подставляя в уравнение (17. 20) результаты п. 1, а:
м2 ~ Mi= 2 (Л,
Т, = —2.5^-22^ = 8,6е К.
2 8310 • ТГ29Г
Такое сравнительно малое изменение температуры показывает, что результаты для изотермического течения с высокой степенью точности применимы к адиабатическому потоку.
б. Pi = 9,0 атм. Вычисление по результатам п. 1, б дает Т\ — Т2~ = 180s К. Такое изменение температуры слишком велико, чтобы им пренебречь, и оно будет иметь определенное влияние на параметры потока. Чтобы продемонстрировать это влияние, мы вычислим те значения р2, Т2 и u2t которые получаются при рг == 9,0 атм, т. е. при w = 620 кг/м*-сек.
Эта задача решается при помощи уравнения (17. 46), которое мы запишем через плотность в виде
244
В этом уравнении единственная неизвестная величина q2. Она определяется подбором. Последнее (верное) значение q2 = 1,06 кг/м3 дает
2,4-620* Г_62050,4 , . 9,0 >1,033-9,8 -104 1 2)
2-1,4^ 1,06 2 L 2 • 1,4• 2,05а ‘ 2,05 J (1,0Ь +
, 2 • 0,01 - 6202 - 2,8 ? ’
0,05
2,12 • 105—6,37 • 10б +4,30 • Юб = 0,05 • 105.
Совпадение достаточно хорошее. Находим также и2 = —= 587 м/сек. и из уравнения (17. 20) Г2 — 1620—120 = 1500я К. Из уравнения состояния идеального газа р% = 4,46 атм. Скорость звука в сечении 2 в соответствии с формулой (17. 13) равна 774 м/сек. При адиабатическом истечении можно сделать w большим, чем 620 кг/сек -м2.
ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
ПРИ ВЫСОКИХ СКОРОСТЯХ
Прежде чем оставить рассмотрение течений с высокими скоростями, мы сделаем несколько качественных замечаний о течении в пограничном слое на плоской пластинке при высоких скоростях. В изэнропическом сопле, где отсутствует трение, температура падает по мере расширения газа. В трубе постоянного сечения тенденция температуры к падению по мере расширения газа (идеального) преодолевается, если скорости не очень высоки, за счет тепла, выделяющегося при трении (расширение Джоуля — Томсона). В пограничном слое на плоской пластинке падения давления нет, так что здесь газ не имеет тенденции к охлаждению. Поэтому температура в пограничном слое увеличивается за счет тепла, выделяющегося при трении. Это тепло трения возрастает при увеличении скорости. Так как в таком потоке могут быть получены числа Маха, намного превосходящие единицу, то в пограничном слое могут быть достигнуты весьма высокие температуры. Эти последние замечания относятся как к сжимаемым, так и к несжимаемым жидкостям.
Можно показать [144] (вывод здесь не приводится), что температура на поверхности плоской теплоизолированной пластинки для воздуха и подобных ему газов приблизительно равна температуре торможения:
Т0 = Г00(1 +*Z±M*). (17.52)
При температуре воздуха вдали от пластинки Too = 222Q К, к = 1,4 и числе Маха, равном 10, температура на поверхности пластинки около 4700° К. Неизвестны материалы, остающиеся твердыми при таких температурах, но поверхность ракеты можно покрыть плохо проводящим материалом, который расходуется во время полета.
245
Такое испарение из-за фрикционного нагрева называется абляцией.
Задачи
17. 1. Закончить решение задачи 5. 4, вычислив давление и температуру в сопле при максимальном расходе увлекаемого газа. Воздух должен выходить из сопла со скоростью 350 м!сек и иметь ту же температуру и давление, что и увлекаемый воздух.
17. 2. Воздух вытекает из сходящегося сопла в среду с абсолютным давлением 1 ат. Вычислить массовый расход при давлениях в резервуаре 2, 3 и 5 ат, если диаметр узкого сечения 38 мм. Температура торможения 90° С.
17. 3. Воздух вытекает из резервуара с р0 = 10 ат и £0 = 150° С через сопло Лаваля.
а. Найти, каково самое большое давление на выходе, при котором в критическом сечении скорость звуковая, если площадь выходного сечения вдвое больше площади критического. Вычислить также скорость на выходе.
б. Найти положение прямого скачка и скорости по обе стороны его при давлении на выходе на 15% ниже найденного в п. а. Найти также скорость на выходе. Каковы температура и скорость торможения на выходе?
17. 4. Истечение пара из большого резервуара, находящегося при абсолютном давлении 7 ат и 260° С, происходит обратимо через сопло Лаваля. Расход 0,45 кг/сек. Вычислить площадь критического сечения, давление в нем и площадь выходного сечения сопла, если оно рассчитано на безударное истечение в атмосферу. Пар рассматривать как реальный газ и для определения его свойств воспользоваться диаграммой Молье.
17. 5. Вычислить приближенно наибольшую скорость, которой можно достичь в сопле Лаваля, если в сосуде перед соплом реагируют кислород и этиловый спирт.
17. 6. Предложить по крайней мере два способа получения в лабораторных масштабах течения с числом Маха 10.
17. 7. Изобразить на диаграмме i — S линии Фанно и Релея для случая прямого скачка в паре. Условия перед скачком и± — 750 м!сек, = = 104° С, рх = 0,7 атм.
17. 8. Природный газ, который можно считать чистым метаном, должен перекачиваться по 170-километровому участку газопровода с внутренним диаметром 1020 мм с расходом 4,25 млн. ;и3 за 24 ч (приведено к атмосферному давлению и 10° С). До какого давления нужно сжать газ, чтобы получить на выходе избыточное давление 0,7 ат! Считать, что течение происходит при постоянной температуре 16° С, а газопровод горизонтальный. Для упрощения задачи метан можно считать идеальным газом.
17. 9. Воздух адиабатически движется по прямой трубе с внутренним диаметром 38 мм. На расстоянии 3 м от выхода избыточное давление 7 ат, а температура 95° С. Истечение происходит в атмосферу. Найти массовый расход. Найти также массовый расход, если данные температура и давления относятся к точке на расстояниях 6 м и 45 м от выхода.
17. 10. Пар находится в большой емкости при 400° С и абсолютном^ давлении 35 ат. Как быстро будет он вытекать через отрезок трубы длиной 3 м с внутренним диаметром 50 мм и с закругленным входом? Течение адиаба-тично.
2
ТЕПЛОПЕРЕДА ЧА
18. ВВЕДЕНИЕ В ТЕПЛОПЕРЕДАЧУ
На протяжении многих веков ученые и философы размышляли о природе тепла. Галилея считают создателем одного из первых термометров — устройства, в котором для измерения температуры использовалось расширение воздуха. Использовались и предлагались и многие другие приборы для измерения температуры, прежде чем в 1724 г. Фаренгейт описал первый ртутный термометр.
В числе первых исследователей тепловых явлений был Франклин, который в 1757 г. сообщил о ряде наблюдений теплопроводности металлических, керамических и деревянных материалов на примере ручек чайников. В 1701 г. Ньютон высказал предположение, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур между этим телом и окружающей средой, — соотношение, справедливое в пределах достижимой в восемнадцатом веке точности эксперимента. Шееле (1724—1786) обнаружил, что тепле от печи может пройти через воздух, не нагревая его, а затем быть поглощенным стеклом. Он предложил называть тепло, переносимое таким путем, лучистым.
Приведенные выше примеры типичны для тех многочисленных исследований теплопередачи, которые возникли в результате наблюдений повседневных явлений. Хотя инженера интересуют в первую очередь технические приложения, не следует упускать из виду, что естественный мир дает много примеров, способствующих пониманию основ теплопередачи, имеющих широкое применение.
МЕХАНИЗМЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
Теплопередача — это перенос энергии под действием движущей силы, которую мы называем разностью температур. Возможны три механизма теплопередачи.
Теплопроводность. Тепло может передаваться за счет теплопроводности в твердых телах, газах и жидкостях.
249
В большинстве случаев, однако, для иллюстрации теплопроводности выбирают непрозрачное твердое тело, так как в таком теле теплопроводность — единственный возможный способ теплопередачи. Теплопроводность осуществляется путем обмена энергией движения между соседними молекулами. Характер движения молекул зависит от состояния вещества и может меняться от хаотического движения молекул газа до колебаний атомов в кристаллической решетке. В некоторых случаях известны дополнительные механизмы теплопроводности, например, перенос энергии свободными электронами в твердых металлах.
Конвекция. Этот термин подразумевает перенос тепла в результате общего движения и перемешивания макроскопических объемов жидкости и газа. Будучи связана с движением жидкости, теплопередача конвекцией в некоторой мере определяется законами гидродинамики. Если конвекция вызывается разностью плотностей, возникшей из-за разности температур, она называется свободной конвекцией. Если же движение жидкости вызвано внешней силой, например, со стороны крыльчатки насоса, конвекция называется вынужденной.
Излучение. Перенос тепла излучением — это перенос энергии электромагнитной радиацией или фотонами в определенном диапазоне длин волн. Поэтому законы, управляющие тем специальным диапазоном излучения; который мы называем видимым светом, управляют также и тем излучением, которое мы называем тепловым. Энергия может переноситься излучением через газы, жидкости или твердые тела. Однако эти среды частично или целиком поглощают энергию, так что наиболее эффективно перенос энергии излучением происходит в пустоте.
ПРИМЕРЫ
Окружающий нас мир, как естественный, так и созданный руками человека, дает многочисленные примеры теплопередачи, происходящей одним из указанных способов или несколькими сразу. Например, экспериментально установлено, что температура земной коры увеличивается с глубиной. Скорость этого увеличения составляет обычно от 0,02 до 0,04 °С/л. Это показывает, что за счет теплопроводности из глубин Земли к ее поверхности подводится тепло. Этот тепловой поток слабо влияет на условия у земной поверхности, так как количество подводимого тепла (примерно 0,027 ккал/м2-ч) намного меньше количества тепла, поступающего к поверхности от других источников и отводимого от нее.
Примерами промышленных процессов теплопередачи, в которых основную роль играет теплопроводность, являются термическая вулканизация каучука, термообработка стальных поковок и теплопередача через стенки теплообменника.
250
Примером процесса, в основном связанного с конвекцией, является действие радиатора парового отопления. Пар, конденсирующийся в радиаторе парового отопления, отдает тепло, которое, пройдя за счет теплопроводности через стенки радиатора, передается окружающему воздуху. Часть тепла теряется за счет излучения, но, вопреки названию устройства, эта часть мала по сравнению с общим количеством выделившегося тепла. На деле излучение значительно снижается, как мы увидим, за счет общепринятой окраски радиаторов алюминиевой или какой-либо другой светлой краской. За счет теплопроводности тепло передается воздуху, окружающему радиатор, после чего возникает свободная конвекция, вызванная изменениями плотности. Если продувать воздух при помощи вентилятора, то теплопередача будет происходить одновременно в результате свободной и вынужденной конвекции.
Самым ярким примером радиационного механизма теплопередачи является перенос тепла от Солнца к Земле. Нельзя и подумать всерьез, что перенос тепла через 150 миллионов километров почти пустого пространства в какой-то мере обусловлен теплопроводностью или конвекцией. Интересно отметить, что величина солнечной радиации, попадающей на Землю, равна, согласно измерениям, примерно 1200 ккал/м^-ч на площадке, перпендикулярной лучам [57]. Эта величина изменяется во времени от точки к точке поверхности.
Примером промышленного процесса, в котором преобладает теплопередача излучением, является работа трубчатой печи для нагрева нефти. Трубчатый перегонный аппарат, как его называют, представляет собой помещение из огнеупорного материала, в которое нагнетается и сжигается горючая смесь газов. Нефть течет по системе труб, подвешенных у стен и потолка. От продуктов сгорания, которые могут иметь температуру до 1100° С, тепло передается трубам главным образом за счет излучения, в меньшей степени — теплопроводностью и конвекцией.
Теплопередача редко осуществляется каким-то одним способом. Обычно она происходит за счет различных, механизмов, действующих последовательно или параллельно, как в рассмотренных выше примерах. Однако при рассмотрении многих задач теплопередачи не все процессы нужно рассчитывать с одинаковой тщательностью. Опытному инженеру обычно удается выделить главные факторы и провести расчеты на их основе, пренебрегая многочисленными малыми эффектами.
19. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ
Основное уравнение стационарной теплопроводности известно под названием закона Фурье [48]. Записанное для теплопроводности в одном направлении оно имеет вид
? = -мА. (19.1)
Здесь q — поток тепла в направлении оси х\ А — площадь поперечного сечения, перпендикулярного направлению теплового dt
потока; ------температурный градиент в направлении оси
х\ % — коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом теплопроводности среды. Стационарность теплопроводности означает, что тепловой поток q через данное поперечное сечение не изменяется во времени х. Коэффициент теплопроводности % определяется молекулярным строением среды. Для однородной системы он обычно считается функцией давления и температуры.
Если в системе происходят значительные изменения температуры, то это может вызвать значительные изменения % по пространству. От положения может зависеть также и площадь поперечного сечения, перпендикулярного направлению теплового потока. Знак минус в этом уравнении появляется потому, что обычно удобно считать q положительным, если поток направлен в положительном направлении оси х.
КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В этой главе вопрос о коэффициенте теплопроводности будет рассматриваться лишь кратко. Для целей данной книги достаточно, чтобы читатель имел общее представление о механизмах тепло-
1 Физики и инженеры-электрики используют термин «стационарный» также и для обозначения системы, в которой происходят установившиеся периодические изменения.
252
проводности и величинах коэффициентов теплопроводности различных тел. За сведениями, выходящими за эти пределы, читатель отсылается к курсам современной физики и физической химии, к которым по праву относится рассмотрение свойств вещества.
Твердые тела. Коэффициенты теплопроводности однородных твердых тел меняются в широких пределах, как видно из нескольких примеров, представленных в табл. 19. 1. Типично, что теплопроводность металлических тел выше, чем неметаллических.
Таблица 19.1
Коэффициенты теплопроводности твердых тел %, ккал/м • ч • град
Материал t, °C К t, °C к
Металлы Алюминий 0 174 100 177
Медь 0 333 100 324
Железо (чистое) 18 58 100 54,5
Сталь (1% С) 18 26,2 100 25,9
Серебро 0 360 100 354
Неметаллы Асбест (плотность 580 кг/м3) 0 0,129 100 0,165
Кирпич (плавленный глинозем) Пробковая плита (плотность 160 кг/м3) 427 30 2,68 0,037
Анализ данных о теплопроводности металлов показывает, что большую теплопроводность имеют те из них, которые известны как лучшие проводники электричества. Первое сообщение об этом сделано Видеманом и Францем в 1853 г., когда они обнаружили, что при данной температуре отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности примерно одинаково для всех металлов. То, что это соотношение не применимо к неметаллическим телам, привело к заключению о двойственности механизма теплопроводности в твердых телах. Один механизм, свойственный только проводникам электричества, предусматривает, что тепло, как и электричество, проводится свободными электронами, которые движутся через решетку металла наподобие молекул газа. Эта теория, являющаяся основой закона Видемана — Франца, подтверждается тем фактом, что тщательно выращенные кристаллы очень чистых металлов имеют обычно высокую теплопроводность. Например, для меди измерения коэффициента теплопроводности при очень низких температурах дали значения от 7500 до 10 500 ккал!ч •М'град.
Предполагается, что снижение от этого значения до обычно используемой цифры 327 ккал/ч>м*град вызывается дефектами
253
кристаллической решетки, которых значительно больше в меди промышленного производства. Второй механизм, посредством которого происходит распространение тепла в твердых телах, состоит в передаче энергии колебаний соседним атомам или молекулам в направлении уменьшения температуры. Это объясняет тот факт, что закон Видемана — Франца не применим к материалам, относящимся к непроводникам электричества. Этот колебательный механизм передачи имеет место и при теплопроводности в твердых металлах, но здесь он обычно не существен. Однако этот механизм является определяющим для неметаллических веществ. Хотя тепловые потоки в этих веществах малы по сравнению с потоками, достигаемыми в металлах, коэффициенты теплопроводности неметаллических тел не столь незначительны, как их коэффициенты э л ек тр опр ов о дности.
Жидкости. При измерении теплопроводности жидкости важно исключить теплопередачу путем естественной конвекции. Этого можно достичь использованием очень тонких слоев жидкости при малых разностях температуры и расположением прибора так, чтобы тепловой поток был направлен вниз.
Коэффициенты теплопроводности большинства жидкостей очень малы, исключением являются жидкие металлы. Некоторые значения коэффициентов теплопроводности распространенных жидкостей приведены в табл. 19. 2.
Таблица 19. 2
Коэффициенты теплопроводности жидкостей X (ккал/ч • м • град)
Материал t, °C X t, °C %
Бензол . 30 0,137 60 0,129
«-гексан 30 0,119 60 0,116
Ртуть 27,8 7,14 60 8,331
«-нонан 300 0,125 60 0,122
Натрий 100 67 60 68,5
Вода 0 0,510 93,3 0,585
Для вычисления коэффициентов теплопроводности предложено много теорий. Одна из наиболее ранних — теория Бриджмена [15], предложившего механизм, согласно которому энергия передается по цепочкам молекул со скоростью звука. Общий поток энергии получается как произведение потока в одном ряду и dt числа рядов в единице площади поперечного сечения на .
Это произведение, деленное на , дает выражение для коэффициента теплопроводности жидкости. Несмотря на простоту предложенной модели, это соотношение можно использовать для 254
вычисления коэффициентов теплопроводности многих жидкостей, в том числе таких, как вода и ацетон, с ошибкой не более 10% экспериментального значения.
Газы. В основе теплопроводности газа лежит механизм случайных блужданий — распространение и столкновение (диффузия). Молекулы высокотемпературного газа проникают между молекулами низкотемпературного газа, сталкиваются с ними и отдают кинетическую энергию. В газе, который ведет себя в соответствии с элементарной кинетической теорией, число молекул в единице объема прямо пропорционально давлению. Поскольку средняя длина свободного пробега молекулы при блуждании в таком газе обратно пропорциональна давлению, коэффициент теплопроводности не должен зависеть от давления. Это оказывается приближенно верным для большинства газов при давлении, близком к атмосферному. Это неверно, однако, ни при очень низких давлениях, когда теплопроводность газа, очевидно, должна стремиться к нулю, ни даже при умеренно низких давлениях, когда размеры сосуда меньше среднего пути свободного пробега молекул газа (так называемый кнудсеновский газ). При высоких давлениях, когда элементарная кинетическая теория не применима, следует ожидать, что теплопроводность будет зависеть от давления.
Стоит заметить, что существует связь между коэффициентом теплопроводности и вязкостью газа. Вязкость газа — это мера сопротивления, вызываемого диффузией газа из области, движущейся с одной средней скоростью, в область движения с другой средней скоростью. Это напоминает теплопроводность, за тем исключением, что в случае теплопроводности, переносимой величиной вместо количества движения, обладающего направлением, является кинетическая энергия случайного движения молекул.
В табл. 19. 3 приведены коэффициенты теплопроводности некоторых распространенных газов.
Таблица 19. 3
Коэффициенты теплопроводности газов X (ккал/м -ч • град) при давлении, близком к атмосферному
Материал t, °C % t, °G
Водород 0 0,1490 100 0,1920
Метан 0 0,0260 50 0,0320
н-бутан 0 0,0116 100 0,0201
к-гексан 0 0,0107 20 0,0119
Воздух 0 0,0208 100 0,0273
Поскольку механизм теплопроводности газа основан на его способности к диффузии, следует ожидать, что легкие газы, такие
255
как водород, будут иметь относительно высокие коэффициенты теплопроводности. Так это и происходит в действительности. Данные для парафиновых углеводородов, приведенные в табл. 19. 3, показывают характерное уменьшение теплопроводности с возрастанием молекулярного веса в гомологическом ряду.
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
О КОЭФФИЦИЕНТЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Как было упомянуто ранее, коэффициент теплопроводности в общем случае является функцией температуры и давления. Инженеры уделяют мало внимания зависимости коэффициентов теплопроводности твердых тел и жидкостей от давления. Происходит это, вероятно, потому, что в представляющих главный интерес для приложений случаях давление равно атмосферному. Частично это объясняется также маскирующим действием других переменных, таких, как наличие загрязнений. Как упомянуто ранее, коэффициент теплопроводности идеального газа не зависит от давления. Влияние высоких давлений на коэффициенты теплопроводности было предметом недавних исследований. Коэффициенты теплопроводности, как оказалось, в общем возрастают с ростом давления. Коэффициенты теплопроводности газов, жидкостей и твердых тел умеренно зависят от температуры, как можно увидеть из табл. 19. 1 — 19. 3. В общем увеличение температуры вызывает увеличение теплопроводности газов и уменьшение теплопроводности жидкостей и твердых тел. Имеется, однако, много исключений из этого общего правила; существуют и некоторые вещества, у которых при изменении температуры коэффициенты теплопроводности проходят через максимум или минимум.
Из анализа коэффициентов теплопроводности видно, что их величина заметно уменьшается, если они рассматриваются в порядке убывания плотности материала. Большинство распространенных в инженерной практике веществ имеет коэффициенты теплопроводности, находящиеся примерно в следующих пределах:
ккал/м • ч • град
Газы............. 0,001—0,1
Жидкости.......... 0,01—1,0
Твердые тела .... 1—100
Одним из результатов этого различия является то, что вычислить эффективный коэффициент теплопроводности двухфазного материала может быть весьма трудно. Коэффициент теплопроводности, вычисленный по объемным или весовым долям, может оказаться даже не близким к истинному значению. Чтобы определить эффективный коэффициент теплопроводности, предлагались и исследовались математически весьма сложные геометрические модели, но даже они оказались не очень удачными. Главная причина 256
этого, помимо чрезмерного упрощения модели, заключается в том, что в двухфазной системе, такой как пористый изолятор, наряду с теплопроводностью часть тепла переносится за счет конвекции и лучеиспускания.
Этот вопрос хорошо рассмотрен у Джейкоба [74]. Интересный пример теплопроводности в двухфазной системе встречается при изучении теплопроводности мелких порошков. При достаточно высоких давлениях средняя длина свободного пробега молекул газа много меньше размеров пустот в порошке, и значение коэффициента теплопроводности системы заключено между значениями для газа и твердого вещества. Ниже определенного давления, зависящего от размера пор, газ в порах ведет себя как кнудсенов-ский газ, и в результате его теплопроводность ниже, чем теплопроводность этого газа при том же давлении в большом объеме. В результате коэффициент теплопроводности пористой среды может оказаться ниже, чем коэффициенты теплопроводности твердого вещества и газа, измеренные при обычных условиях. Коэффициент теплопроводности однородных смесей твердых тел, жидкостей и газов часто столь же трудно вычислить, как и коэффициенты теплопроводности двухфазных смесей. Со смесями проделаны некоторые экспериментальные измерения, но в общем для жидкостей и твердых тел имеется мало опытных данных и теоретических методов. Несколько более надежны теоретические методы для смесей газов.
17 Заказ 519.
20. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Используем в этой главе закон Фурье для исследования одномерного стационарного теплового потока в твердых телах простой геометрической формы. Плоская стенка и пустотелый цилиндр — это не только самые простые, но и самые распространенные формы тел, с которыми приходится иметь дело инженеру.
ПЛОСКАЯ СТЕНКА
Если поток тепла перпендикулярен плоскости стенки, то, очевидно, в уравнении Фурье
Расстояние, х
Рис. 20. 1. Теплопроводность в плоской стенке.
(величина площади А постоянна). Если к тому же считается постоянным коэффициент теплопроводности %, то тепловой поток в любом поперечном сечении пропорционален градиенту темпе-258
dt т,
ратуры Если энергия не может ни накапливаться, ни ВОЗНИ-
dZ
кать внутри стенки, то д, так же как и одинаковы во всех поперечных сечениях. Схема системы и график распределения температуры представлены на рис. 20. 1.
Если коэффициент теплопроводности меняется с температурой, то градиент температуры не постоянен. Если площадь и поток тепла во всех поперечных сечениях одинаковы, а % возрастает при уменьшении температуры, то градиент температуры должен уменьшаться в направлении уменьшения температуры, так что температурная кривая для стационарного потока в этом случае обращена вогнутостью вверх. Когда q, % и А постоянны, уравнение (20. 1) легко интегрируется и дает
Q — (20.2)
Проинтегрированное выражение можно разрешить относительно температуры в точке х:
^~ТХх + Ч- (20-3)
Это уравнение показывает, что зависимость температуры от расстояния при сделанных предположениях линейна.
МНОГОСЛОЙНАЯ ПЛОСКАЯ СТЕНКА
Положение^ которое возникает при теплопроводности в плоской стенке, состоящей, как показано на рис. 20. 2, из слоев различных материалов, можно сравнить с тем, что происходит в электрической цепи из нескольких последовательно соединенных сопротивлений. Для каждого из слоев можно записать закон Фурье; в стационарном состоянии тепловой поток одинаков для всех трех слоев. По аналогии с уравнением (20. 2) можно написать
g = W (20.4)
* Аха ° Ахь кхс ' 7
В технических задачах задана обычно полная разность температур. Поэтому выразим тепловой поток в функции от ti — U. Преобразуя равенства (20. 4), получим
' t — t — а ~^Ха •
h~q laA '
. f ^Xb
I t —n ^Xc
4 h'~qicA-
17*
259
Сложение этих уравнений дает
или
кха . Лхь . Лхс
Хс-^4
(20. 5)
Если проинтегрированную форму уравнений Фурье (20. 2) рассматривать как аналог закона Ома, то величина является
мерой сопротивления тепловому потоку. Знаменатель формулы (20. 5) — это полное сопротивление, равное сумме отдельных сопротивлений.
На рис. 20. 2 показаны градиенты температуры в слоях различных материалов. Из того, что « q
удельный поток тепла -j- одинат ков для всех слоев, следует, что % одинаково для всех слоев;
таким образом, градиент обратно пропорционален коэффициенту теплопроводности.
Одно из неявных предположе-
Расстояние. х
ние. 20.2. Теплопроводность в ний, которое сделано при таком многослойной плоской стенке; рассмотрении потока тепла через многослойную стенку, заключается в том, что можно пренебречь сопротивлением тепловому потоку на всех поверхностях раздела. Это не всегда справедливо. Неровности поверхности, такие как накипь, могут помешать плот
ному соприкосновению двух тел, и в промежутках, если они за
полнены воздухом, создается сопротивление, которое может оказаться существенным по сравнению с сопротивлением слоев твердого материала. Из-за низкой теплопроводности воздуха (менее 1% теплопроводности большинства твердых тел) термическое со-\х
противление может оказаться значительным даже при узких воздушных зазорах. Исследования показали, что, сдавливая поверхности под большим давлением, можно, как и следовало ожидать, уменьшить граничное сопротивление.
Теплопроводность в многослойных стенках играет существенную роль при использовании ребер, которые крепятся к наружной поверхности труб сваркой, пайкой или обжимкой, чтобы увели
260
чить теплоотдачу. Под действием вибраций или циклов увеличения и уменьшения температуры (термических циклов) ребра могут отстать от поверхности, что вызывает существенное уменьшение интенсивности теплоотдачи.
Пример 20. 1
В камере холодильника стены сделаны из пробковых плит толщиной 101,6 jhjh, заключенных между двумя деревянными стенками по 12,7 мм толщиной. Найти величину потерь тепла в ккал!м\ если температура поверхности стенки—12° С внутри камеры и 21° С снаружи. Кроме того, найти температуру на границе пробковой плиты с наружной стенкой.
Хотя коэффициент теплопроводности зависит от температуры, его часто принимают постоянным и равным значению, соответствующему среднеарифметической температуре рассматриваемого слоя. Для многих материалов коэффициенты теплопроводности в некоторых температурных интервалах не измерялись. Кроме того, на коэффициент теплопроводности могут влиять и другие факторы, такие как плотность (в случае пробки) и наличие загрязнений (например, влаги). Неполнота подобных данных часто непосредственно определяет точность расчетов и указывает инженеру ту степень упрощений, которую он может допустить.
В данном случае для коэффициента теплопроводности пробковых плит с плотностями 112 и 170 кг/;и3уПерри (стр. 458) приводятся значения 0,0335 и 0,0372 ккал!м • ч • град соответственно («приблизительно при комнатной температуре»).
При решении примем значение 0,0357. Коэффициенты теплопроводности нескольких сортов дерева приведены у Перри на стр. 457. Одним из наиболее дешевых видов древесины является ель, широко применяемая в качестве стенового материала. Воспользуемся здесь для ее коэффициента теплопроводности значением 0,092 ккал/м* ч» град (приведено только для 60° С).
Термическое сопротивление каждого слоя дерева 1
Ьх 12,7-Ю"3 Л4ОО
~КА = *0,092-1 = °’138 4 ‘ гРа^ккал-
Термическое сопротивление пробки
101,6-10“3 я/
0 0357 - Г = 2,85 4 ‘ гРад^ккал*
Используя уравнение (20. 5), имеем для тепловых потерь:
21__(_12)
g== 0,14+2,85+0,14 =10’5 «ка^2-4-
Температуру на границе между наружной деревянной стенкой и слоем Пробки можно определить, преобразуя те выражения для индивидуальных температурных перепадов, из которых было получено уравнение (20. 5). Это дает для температурного перепада в наружном слое дерева
=.°’14-33 =1,46о с
VI / Да: \ 3,13 4
\ м)
Поэтому граничная температура ^ = 19,5° С.
1 В расчете на 1 м2 поверхности. (Прим, перев.)
261
ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР
Теплопроводность в стенках полого цилиндра можно описать уравнением Фурье, записанным в прямоугольных координатах. Однако, обычно это уравнение из соображений удобства записывают в цилиндрических координатах. Для случая, показанного на рис. 20. 3, это уравнение имеет вид
(20. 6)
к направлению потока равна
А = 2лгЬ.
q = -%A%-.
Площадь поверхности, нормальной тепла,
—2л£%
в по-
Рис. 20. 3. Теплопроводность лом цилиндре.
Можно проинтегрировать уравнение (20. 6) и выразить тепловой поток q через граничные условия:
Умножая числитель и — п), можно получить:
g = ф (20. 8)
знаменатель этого выражения на (г 2 —
__ 2л£%(г2 — ?i)
q — 1 (ъ\ In I — )
— #2 _ Ag — -Л1 ^1—^2
^2—^1 — ( А2 \ ’ Г2 — гх
(20. 9)
(20.10)
z \ Л &
Величина площади 4Zm, входящая в уравнение (20. 10), —
это логарифмически — средняя площадь
г^Л- ft) Разность тем-in (А2/Аг)
ператур = ti — tz вместо t% — ti. Такое обозначение находится в противоречии с принятым в математике, но является обыч-
ным при записи интегральной формы уравнений теплопередачи, в которых совершенно ясно, как направлен тепловой поток.
Уравнение (20. 10) по форме подобно уравнению (20. 2) для теплопроводности в плоской стенке. Главное различие между ними состоит в величине площади. Для большинства технических при-
ложений (например, для труб) - < 2*. При этом в уравнение
/ __ \
* Правильнее написать --------- <1. (Прим, перев.)
п
262
(20. 10) можно подставлять среднеарифметическое значение площади с ошибкой в определении q менее 4%.
Интегрирование уравнения (20. 6) для получения зависимости температуры от расстояния от оси г показывает, что t — линейная функция In г (а не г, как в случае плоской стенки).
МНОГОСЛОЙНЫЙ ЦИЛИНДР
При исследовании многослойных цилиндров объединяются способы исследования многослойной плоской стенки и однослойного цилиндра.
Рассмотрим случай трех коаксиальных полых цилиндров, например трубу с двумя слоями изоляции вокруг нее. Толщины этих трех слоев будут обозначены через Ага, Агь, Агс, а температурные перепады на отдельных слоях А£а, А£ь, А£с. Выражение для полного потока тепла, который одинаков для всех этих цилиндров, может быть записано по аналогии с уравнением (20.10):
= = (20.11)
Преобразуя (20. 11), можно найти температурные перепады в слоях:
Д(а=д( *!_) .
\ kAim /а ’
Mb — q ( ) ;
\ ЛЛ/щ /Ь '
\ hAlm Jc
Складывая эти три уравнения и преобразуя результат, имеем:
______________Л^общ___________ \ ( ~Г } + ’
\ ^Aim /а \ XAim )b \ KAim /с
Если к данному случаю применить понятие сопротивления, то
Ду.
частные сопротивления представятся членами вида — и, так Л А im
же как и в случае многослойной плоской стенки, общее сопротивление окажется суммой последовательно соединенных частных сопротивлений.
Пример 20. 2
пок Стальная труба с внутренним диаметром 146 мм и наружным 168 мм bhv ЫТа ^“сантиметровым слоем изоляции из 85%-ной магнезии. Температура изол еЫНей повеРхности трубы 246р С, а температура наружной поверхности и та® 38° С. Вычислить величину потерь тепла на метр длины трубы мпературу на границе между трубой и изоляцией.
263
Коэффициент теплопроводности материала стальной трубы можно принять равным 38,5 ккал1м • ч - град (Перри, стр. 456), а 85 %-ной магнезии 0,057 ккал!м* ч* град (Перри, стр. 458).
Для трубы
л л 168—146 п к „ 2
Alm~ WOO ’ , / 168 \ -0,52/ м •
Для ИЗОЛЯЦИИ
. _ л 268-168 rto<,r . Alm 1000 ’ , / 268 \ 0,865 " '
In ( тхтг
Сопротивление трубы
Дг 41 • 4 Л“3
-Гй,- = оое'пеоУ = 0,543 • 10~3 ч • град! ккал.
38)0 •
Сопротивление изоляции
1Л0 • 10“3
Ь,057.0,865^2’°3 4-^/КВаЛ-
Величина теплопотерь, вычисленная по формуле (20. 12):
208 . ,
g= 2,03+0,0005 = 11025
Термическое сопротивление изоляции так велико по сравнению с термическим сопротивлением стали, что точное вычисление такой величины как среднелогарифмическое значение площади для стали, имеет в данной задаче весьма малое значение. При вычислении сопротивления стали достаточно взять среднеарифметическое значение площади. В то же время использование среднеарифметического значения для площади изоляции приведет к ошибке в 10%.
Очевидно, что температурный перепад в стали очень мал. Поэтому температура на поверхности сталь — изоляция примерно та же, что и температура на внутренней поверхности стенки.
Температура границы составляет 246
246~ 2,ОЗ°+о!оОО86 ’208 = 245,9° С*
Пример 20. 3
Угольный нагревательный элемент изготовлен в виде пластинки шириной в 76,2 еле, толщиной в 12,7 мм и длиной в 0,9 м, Когда к концам пластинки приложено напряжение 12 в, ее поверхность равномерно нагревается до температуры 760Q С, как показывает оптический пирометр. Какова температура в середине пластинки? Удельное электрическое сопротивление материала пластинки 0,44 • 10“4 ом* м, а коэффициент теплопроводности 4,3 ккал/м • ч^ град.
Будем рассматривать только теплопроводность в направлении, перпендикулярном к наибольшим плоскостям пластинки, так как тепло уходит из пластинки в основном именно через эти грани. /
Выведем дифференциальное уравнение для распределения температуры, записывая уравнение энергетического баланса для элементарного слоя пластинки dx, показанного на рис. 20. 4.
. 264
Приток тепла внутрь элемента равен
dt
—кА -г- ккал/ч, dx
гдо
А = 76,2 • IO"3 • 0,9 = 0,0685 м\
Приток тепла из элемента составляет
\ dx 1 dx J \dx
dH91 \
^s-A) к'£аЛ/ч-
Чтобы получить мощность тепловыделения в элементе, вычислим электрическое сопротивление пластинки:
0,44 • 10“4 • 0,9
12,7 • 76,2 • 10'3
= 0,0375
ом.
Полная мощность тепловыделения в пластинке равна
122
—g.= 3830«n (или
3,8 • 10е ккал/м3 • ч).
Мощность тепловыделения в элементарном слое равна
3,8 • 10е A dx ккал/ч. (3)
(2)
Рис. 20. 4. Теплопроводность в пластинке с тепловыделением (к примеру 20. 3).
выражениями (1), (2) и (3). Вместе
Баланс тепла для выделенного элемента дает следующее уравнение:
Приток тепла + Мощность тепловыделения — Поток тепла наружу. Члены этого уравнения задаются они дают уравнение
-Ы-^- + 3,8-10в4йж = -1Л dx \dx 1
которое сводится к
d2t 3,8-10е
dx2 4,3
d2t
dx2
(4)
Это уравнение можно было бы получить, упрощая общую форму дифференциального уравнения энергии (10. 14).
Уравнение (4) приводится к виду
-Д- = 3,8 -106 = -885 000° С/м2. dx2 4,3
Интегрирование дает
-^- = -885 000®+Ср
265
Если пластинка симметрична, то = 0 при х = 0, так что Ci = 0. Проинтегрируем второй раз, чтобы получить распределение температуры:
, 885 000л:2
« =-------2---+ С2.
Используем в качестве второго граничного условия, что t — 760° С при х = 0,0127 ;и, и получим
С2 = 760+885 000 • 0,01272/2 = 83Р С.
Уравнение распределения температуры в пластинке
* = —442 500л?2+831.
В середине пластинки температура 8319 С.
Задачи
20. 1. Наружная стенка камеры холодильника, описанного в примере 20. 1, соприкасается с воздухом, имеющим температуру 21е С. Точка росы воздуха 16е С. Если воздух может свободно диффундировать через деревянную и пробковую стенки, то в той точке, где температура стенки 16е С, начинается конденсация, а при температуре 0° С — замерзание влаги. Найти расположение зон влаги и инея в стенке.
20. 2. Чтобы предотвратить свободное проникновение воздуха и влаги внутрь изоляции холодильника, ее поверхность обычно покрывают каким-либо непроницаемым материалом. Предполагая, что пробковые плиты подвергнуты такой обработке, а дерево по-прежнему проницаемо, найти минимальную толщину слоя пробки, при которой на его наружной границе с деревом не будет происходить конденсация. Все остальные условия примера 20. 1 и задачи 20. 1 сохраняются.
20. 3. Внутренность печи должна быть выложена слоем огнеупорного кирпича (X = 1,26 ккал!м • ч- град). Этот слой покрыт слоем изоляционного кирпича толщиной в 216 км (А = 0,13 ккал!м • ч • град), а затем снаружи слоем строительного кирпича толщиной 152 мм (А = 0,74 ккал!м • ч • град). Внутренность печи находится при температуре 1150° С, а наружная поверхность при 66° С. Найти толщину слоя огнеупорного кирипича, необходимую для того, чтобы поддерживать температуру теплоизоляционного кирпича ниже 930е С. Вычислить температуру на внутренней поверхности слоя строительного кирпича.
20. 4. Название «термопанель» (thermopane) иногда дают оконному стеклу, которое состоит из двух слоев стекла, толщиной в 6,4 мм каждый, разделенных слоем сухого неподвижного воздуха, толщиной также 6,4 мм. Найти полную потерю тепла через такое окно длиной в 3 м и шириной в 1,2 м, если температурный перепад 16е С.
20. 5. На пивоваренном заводе бродильный чан диаметром 11 м расположен в помещении с температурой 21Q С. Чан состоит из сварной стальной оболочки толщиной в 9,5 лии со стеклянной облицовкой толщиной в 12,7 мм. Температура на границе стекла с содержимым чана 49° С. Предполагая, что термическое сопротивление воздуха снаружи чана равно общему сопротивлению стекла и стали, вычислить температуру на границе стали со стеклом и воздухом. Коэффициент теплопроводности стекла 0,67 ккал/м • ч • град.
20. 6. Температура внутри выпускной трубы 316° С. Труба сделана из керамического материала с коэффициентом теплопроводности 1,31 ккал!м • ч • град, имеет внутренний диаметр 89 мм и стенки толщиной 266
в 6,4 мм. Снаружи она изолирована 10-сантиметровым слоем асбеста, на наружной поверхности которого температура 38Q С. Найти величину потерь тепла с одного метра длины трубы. Коэффициент теплопроводности асбеста выражается уравнением % = 0,037 0,00013 t, где t выражено в 9С, а % —
в ккал/м • ч • град.
20. 7. В пустотелой сфере заключен источник тепла постоянной интенсивности. Выразить тепловой поток через перепад температуры на стенке сферы, коэффициент теплопроводности и внутренний и внешний радиусы сферы.
20. 8. В качестве нагревательного элемента используется 18-метровая полоска нихрома 0,13 мм толщиной и 12,7 мм шириной. При напряжении 110 в температура на поверхности полоски 760° С. Найти максимальную температуру полоски при этих условиях. Произведение удельного электрического сопротивления на коэффициент теплопроводности нихрома IV равно 11,7* 10“6 ккал • ом!ч • град.
21. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
' Нестационарная теплопроводность во многих случаях играет существенную роль в технике. Она может определять скорость установления устойчивых условий работы технологического оборудования, а также время обработки многих твердых материалов. Например, время вулканизации изделий из каучука и время отверждения пластмасс часто зависит от времени, которое нужно, чтобы прогреть середину до некоторой определенной температуры, не вызывая термического повреждения материала на поверхности. Теория нестационарной теплопроводности находит много применений в термообработке и литье металлов.
Несколько отличный класс задач характеризуется периодическими изменениями температуры. В двигателях внутреннего сгорания, компрессорах и автоматическом оружии тепло выделяется периодически. Рассеяние этого тепла вызывает периодические температурные изменения в окружающих предметах. Другим примером является влияние суточных изменений температуры воздуха на крупные сооружения, такие как мосты, и на небольшие тела, вроде растущих растений.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основное.дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности в твердом теле является частным случаем дифференциального уравнения энергии, которое выведено в гл. 10. Оно применимо также и к неподвижной несжимаемой жидкости. При постоянном коэффициенте теплопроводности и отсутствии выделения тепла уравнение энергии (10. 12) было записано в виде
dt _ z / дЧ \
дт qCp \ dx2 * dy2 1 dz2 ) '
268
В числе представляющих интерес частных случаев — нестационарная теплопроводность только в одном направлении, для которой уравнение (10. 12) сводится к
“ 4- «, (21.1)
dr qCp дх2 v '
и о dt п
и случаи стационарной теплопроводности, когда = 0 и уравнение (10. 12) принимает вид
дЧ дЧ дЧ (21 2)
дх2 + ду2 + dz2 " {^1-^
Если записать уравнение (10. 12) для одномерной стационарной теплопроводности, то получим
ач dx2
0.
Это уравнение легко интегрируется и дает линейную связь между температурой и расстоянием. Ранее эта связь была получена в уравнении (20. 3) в результате интегрирования закона теплопроводности Фурь?.
Дифференциальное уравнение энергии может быть получено также в цилиндрических координатах путем рассмотрения энергетического баланса контрольного объема, который имеет форму полого цилиндра. В отсутствие движения и выделения тепла получается уравнение
5т §Ср \ dr2 * г dr [ г2 ду2 ’ dz2 / V • Z
Если теплопроводностью в направлении оси z можно прене-оречь, = 0, а если температура не изменяется с изменением угла, то 0. Вывод уравнения (21. 3) предоставляется читателю. Во многих технических задачах встречаются цилиндрические тела, и тогда уравнение (21. 3) и его упрощенные формы более полезны, чем уравнение (10. 12), записанное в прямоугольных координатах.
Пример 21. 1
Задачи нагревания или охлаждения сферических тел проще решать при помощи уравнения энергии, записанного в сферических координатах. Вывести это уравнение для случая, когда температура не зависит от угловых координат.
За начало координат выберем центр сферы. На расстоянии г от центра имеем сферическую поверхность, находящуюся при постоянной температуре t. Поверхность, расположенная на расстоянии г dr от центра, имеет температуру t at. Эти две поверхности примем за границы контрольного объема. Поток тепла внутрь контрольного объема равен
(1)
269
Поток тепла из контрольного Объема составляет
-х[4л(г+^] Г-|г+<*(|г)] =
= _4nX[r*+2rdr+(drP](A + ^.dr). (2)
Результирующий поток тепла находим вычитанием (2) из (1). После этого можно отбросить члены второго и третьего порядков (потому что они пренебрежимо малы), что дает результирующий поток тепла, равный
4лЛ (г2 ^dr + 2r-^- dr\ . (3)
\ dr2 dr J
Скорость накопления энергии в контрольном объеме
(4л г2 dr) QCp (4)
равна результирующему потоку тепла внутрь объема. Поэтому имеем
4л% (г2 dr+ 2r dr} = (4лг2 dr) qCp , (5)
откуда получаем уравнение нестационарной теплопроводности:
dt _ К / d2t . 2 dt \
dx QCp\dr2'r drj 1 '
РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ1
Все представленные уравнения нестационарной теплопроводности являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Существуют два общих метода решения таких уравнений: метод «разделения переменных» и метод, в котором используются интегральные преобразования (обычно — преобразование Лапласа).
Для получения решений более простых уравнений могут быть использованы оба эти метода. Однако для некоторых более сложных задач больше подходит метод преобразования Лапласа.
Метод разделения переменных иллюстрируется примером 21. 2. Ему могут следовать читатели с ограниченными познаниями в области дифференциальных уравнений. Метод преобразования Лапласа более сложен и проиллюстрирован не будет.
Пример 21. 2
Лист каучука толщиной 12,7 мм должен вулканизироваться при 144,4° С в течение 50 мин. Если начальная температура листа 22° С и тепло подводится к обеим поверхностям, найти время, нужное, чтобы температура в се-
1 Методы решения уравнений теплопроводности изложены в большинстве руководств по применению математики в технике. Можно рекомендовать три книги [113, 174, 22].
270
каучука может быть принята равной 0,00026 м2/ч. одномерной теплопро-| щцус
редине листа достигла 143,3° С. Можно считать, что температура поверхностей устанавливается равной 144,4° С, как только начинается вулканизация и поддерживается при этом значении в течение всего процесса. Темпе-
X ратуропроводность
Дифференциальное уравнение нестационарной водности (21. 1) имеет вид:
0^ Х дЧ дх §Ср дх2
Начало координат выбрано в центре листа, так что х — расстояние от середины, как показано на рис. 21. 1, а х^ — половина толщины.
При решении уравнений в частных производных обычно удобно определить переменные так, чтобы они были безразмерными и менялись от нуля до единицы или от нуля до бесконечности. Поэтому уравнение (21. 2) запишем в следующих ново определенных переменных:
__ 144,4 — t __ х а Хт
“ 144,4 - 22 ’ П~х0> QCpX^-
Уравнение (21. 2) переходит в
dY __ d2Y 50 ““ дп2 ’
за-
(1)
(2)
что можно проверить, подставляя новые переменные в (2) и выполняя указанные дифференцирования. Решение уравнения (2) получается в предположении, что такое решение может быть записано двух членов
ли и. ’Лд Рис. 21. 1. Нестационарная теплопроводность в листе каучука (к примеру 21. 2).
в виде произведения
У = 07У, (3)
где 0 есть функция только от величины 0, в которой переменным является время, a 7V есть функция только от п, в котором переменным является расстояние. Если Y — решение, то дифференцирование его в соответствии с (2) дает
(4)
(5)
Это уравнение можно преобразовать так, чтобы в левой части были только члены, зависящие от 0, а в правой — только члены, зависящие от п:
1 00 __ 1 d2N 6 * 00 ~~ ‘
Так как время и расстояние в данной задаче независимы друг от друга, левая часть этого уравнения не зависит от расстояния, а правая часть не зависит от времени. Следовательно, каждая из них должна быть постоянной. Для удобства обозначим эту постоянную через — а2. Тогда можно написать Два обыкновенных дифференциальных уравнения
^ + а20 = О
(6)
271
и
^-+^ = 0. (7)
Решение уравнения (6) имеет простой вид:
в = С1е“а2в. (8)
Читатель, знакомый с дифференциальными уравнениями, узнает в уравнении (7) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение записывается в виде:
^r = C2sin ап + С3 cos ап. (9)
Получив выражения для 0 и N, можно теперь записать решение уравнения в частных производных, которое мы искали в виде (3)
Y = 0А = Ci е " а20 (С2 sin ап + С3 cos ап). (10)
Это уравнение содержит четыре постоянных Ci9 С2, С3 и а. Однако Сг можно объединить с С2 и С3, так что для определения решения нужны только следующие три дополнительные условия Ч
1. Система симметрична, так что нет потока тепла через центральную dY
линию (х = 0). Поэтому — = 0 и при п = 0.
2. На поверхности (х = х0 = 1,27 • 10“1 2) температура все время сохраняет постоянное значение (144,4Q С). Таким образом, Y = 0 при п == 1.
3. Первоначально (т = 0) весь лист находится при температуре 22° С. Поэтому Y = 1 при 6 = 0.
Используем сначала граничное условие 1:
= Cj е “ a20 (С2а cos ап — С3а sin ап).
При n = 0 sin ап = 0, a cos ап =1. Поэтому
„г г _ — дг9
-^=аС1С^ .
Чтобы это выражение соответствовало общему решению и равнялось нулю, коэффициент С2 должен равняться нулю. После этого упрощения общее решение можно записать в виде
Y — A e"a*0cos ап, (И)
где в А включены и С19 и С3.
Используем теперь граничное условие 2:
0= А е"а20 cosa.
„ л Зя
Это условие выполняется при многих значениях а, таких как — , ——,
При подстановке одного из этих значений а в уравнение (И) будет выполнено требование второго граничного условия. Однако косинусоидой
1 Авторы называют эти условия граничными (boundary), что не соответ-
ствует термину, принятому в русской литературе. (Прим, перев.)
272
нельзя представить произвольное температурное распределение в пластинке. В то же время, произвольную функцию можно представить в виде бесконечного ряда косинусов, если члены ряда взяты с соответствующими коэффициентами. Поэтому можно записать общее решение в виде
V . -(Я1 « -(”)*• 3» ,
У=Л1в v 7 cos —п + Л2е х 7 cos —-—|-
4(2<“1)т]20 + . . . +Л*е L J
(2г —1) Tin cos----------------
(12)
где г —целое число. Дифференцированием и подстановкой можно проверить, что эта сумма по-прежнему удовлетворяет уравнению в частных производных и первым'двум граничным условиям. Последний шаг заключается в определении постоянных, которые служат коэффициентами членов этого ряда. Это делается при помощи начального- условия. Уравнение (12) дает
л а яп . л Зли . , л (2г —1)ли
l = 41cos ——|-42cos—-1- . . . 4-4jCOS -. (13)
64 &
лт 4? (2г — 1) Tin
Умножим обе части этого уравнения на cos '--------
руем в пределах от 0 до 1. Левая часть переходит в
f (2г —1)ли 2 1 Г- (2г —1) ли 11
I 2 2г — 1 я L 2 Jo
dn и проинтегри-
2 (-1)*
2i — 1 л '
о
Интеграл от первого члена в правой части можно вычислить при помощи таблицы интегралов. Имеем
1
Г л Tin (2i — 1) Tin , л Г sin (г — 1) ли
J A cos—cos-------------dn = A1 [
О
__ Г sin (z — 1) л sin гл 1 ~A1 L (2i—2) л *” 2/л J —U‘
sin i Tin *11
2гл J о
Этот интеграл равен нулю для всех значений целого числа г, отличных от единицы. Таким образом, второй член в правой части обращается в нуль, равно как и все последующие члены, кроме z-го. Этот член дает
„ (21 — 1) Tin л
cos2 -------------dn —
&
2
о
. 2 1 Г.Я 2i-l . 1 . 2л(2г —l)nli
= А' 2CTTLT —n+TSln----------2--Jo =
— 4. 2 _L ( я 1 । o o о\~— — Аг 2i-1 л U 2 +° ° °/ 2 *
Таким образом, уравнение (13) сводится к _ _2_ 1 / —-^11 2i — 1 л k 7 2 ’
18 Заказ 519.
273
откуда
Ai —
4(—I)1
л (2i —1) *
4 —4 4
<т. о. 4, = -. Л,И
Поэтому общее решение есть
/ Л \2 д 0
COS---
2
У = —е Л
т. Д.)
•29cos 3^1 2
Зл . 4 ’1~) 6 5лп + ^е ’ C°S —
Уравнение (14), записанное в сжатой форме, имеет вид
со . Г (21 -1) л ] 2
2 (2z —1)лгс
е L J cos-----------—
(14)
(15)
Применим теперь уравнение (15) к рассматриваемому частному случаю:
Поэтому
4 0,0090 = -J-e л
2 6
0 =
Зл * 5л
Решать это уравнение относительно величины в (содержащей переменное время т) нужно методом проб и ошибок. В качестве первого приближения будем учитывать в правой части только первый член. Это дает
/Ау ДИМ090.=2101. \ л / 4
qCp 2а 2,01 • 12,72 • 10~® .о„
т = — жое = - 0,00026-4 = 0-313^18,7^.
Необходимо проверить относительную величину членов ряда, выражающего решение, чтобы убедиться, что все члены, кроме первого, пренебрежимо Малы. При 0 == 2,01 ряд принимает вид
у=-£е-‘>9’----Le’4‘-8+ —е’124.
л Зл 1 5л
Пригодность приближения, в котором используется только первый член разложения, очевидна. Хотя не все решения в рядах сходятся настолько быстро, часто дело обстоит именно так. Это обычно можно установить по виду показателей членов ряда (как в данном случае).
Температуру в любой точке листа каучука в данный момент можно определить, подставляя в уравнение (15) соответствующие значения п и 0. Табл. 21. 1 составлена, чтобы показать развитие профиля температуры в ходе нагрева. Очевидно, что результат для поверхности при нулевом времени получается противоречивым. Это следствие условий, наложенных на решение.
274
Таблица 21.1
Распределение температуры в листе резины (Пример 21.2)
Прошедшее время, мйн 4 ~Я е \ 2/ х Температура листа, °C
71=0 ЛП cos—= = 1 (средняя линия) 71 = 1/4 лп cos —= = 0,924 71=1/2 лп cos —= = 0,707 п=3 /4 лп соз —= = 0,383 п= 1 лп cos—= = 0 (поверхность)
0 1 22,3 21,3 22,3 22,3 —
1 9,76 • 10’1 23,9 33,3 59,4 98,3 144,4
5 3,37 • IO’1 102,8 106,1 115,0 128,3 144
10 9,02 • IO’2 133,3 133,9 136,7 140,5 144,4
20 6,37 • 10’3 143,0 143,1 143,9 144,1 144,4
30 4,52 • 10-4 144,3 144,3 144,3 144,4 144,4
40 3,19 • 10‘5 144,4 144,4 144,4 144,4 144,4
пластина нагревается одинаково с обеих
а — средняя линия; б — поверхность листа.
Результаты иллюстрируются графиками рис. 21. 2. В центре градиент температуры равен нулю, так как ] сторон. То же самое условие получится, если лист толщиной в половину толщины листа, рассмотренного в данном примере, нагревать с одной стороны, когда другая сторона покрыта слоем совершенной изоляции.
Хотя предшествующий пример очень длинный, он является типичной иллюстрацией применения техники разделения переменных к задаче нестационарной теплопередачи. Как было показано, математические выкладки оказываются весьма элементарными. Читатель,
знакомый с использованием рядов Фурье, убедится, что коэффициент Ai, который определялся в этом примере весьма трудоемко, в действительности является просто коэффициентом Фурье, и если известна соответствующая математическая техника, может быть найден со значительно меньшими усилиями.
Решения задачи нестационарной теплопроводности с плоскими параллельными границами содержат обычно ряды синусов или косинусов. С другой стороны, системы с цилиндрическими
18*
275
границами приводят к выражениям, которые известны как функции Бесселя. Для этих функций имеются таблицы [45, 72].
Если цилиндр длины, достаточной, чтобы исключить концевые эффекты, нагревается с поверхности, которая поддерживается при постоянной температуре, температура, время и радиальная координата связаны дифференциальным уравнением, следующим из уравнения (21. 3):
_ / дЧ ._/пл z\
5т “ $СР \ 5г2 г dr ) *
Из этого уравнения, если действовать как в примере 21. 2, получаются два решения, одно из которых показательная функция времени, а другое — функции Бесселя, в аргумент которой входит текущий радиус. После объединения 1 чтобы удовлетворить граничным ряда
этих решений решение, условиям, принимается в виде
—а? Хт
оо
ts — t
— (о
е °Ср
(21.5)
Jо и Ji — функции Бесселя первого рода (нулевого и первого порядка соответственно), а — i-ый корень уравнения Jo = — 0. Начальная температура to, температура поверхности (постоянная) t$, а радиус цилиндра R.
Для многих распространенных задач теплопроводности решения представлены в виде графиков 2. При рассмотрении этих графиков выделяются те же (безразмерные) переменные, что и использованные в приведенных выше решениях. Ординатой обычно (ts “ О является текущее относительное изменение температуры у-2— — to) по абсциссе откладывается показатель, в который в качестве переменного входит время. Пространственная переменная п служит параметром кривых одного семейства на каждом графике, а каждое семейство кривых выделяется граничными условиями, т. е. тем, имеется ли на поверхности конвективное сопротивление (выражаемое коэффициентом теплопередачи а) или нет.
Пример 21. 3
Найти решение задачи примера 21. 2, используя Перри (стр. 462, рис. 4). Используя обозначения справочника Перри, имеем у 0,00026
144,4-143,3 144,4-22 °’0090,
0.6352 • 10~4 6,44 Т’
т = —^—=0; атгт
1 Точнее, суммирования частных решений, умноженных на постоянные, подлежащие дальнейшему определению из начальных условий. (Прим, ред.)
2 См. Перри, стр. 462.
тг = —^— = 0. гт
276
Температура поверхности считается постоянной, т. е. поверхностное* сопротивление предполагается пренебрежимо малым, а коэффициент теплопередачи — бесконечно большим.
Используя найденные значения У, т и и, находим по графику, что X 2,1. Поэтому т = 2,1/6,44 = 0,33 ч или около 20 мин.
ПРАВИЛО НЬЮМЕНА
Решения, рассмотренные до сих пор, были решениями дифференциальных уравнений, содержащих три переменные. Очевидно, не все цилиндры и пластинки, встречающиеся на практике, имеют отношение длины к толщине достаточно большое, чтобы их можно было рассматривать, как бесконечно широкие или длинные. К счастью, при решении многих задач для систем, все размеры которых конечны, существует очень простой прием, который часто называют правилом Ньюмена. Ньюмен показал [23, 119], что если нагревается или охлаждается тело в форме бруска, то общее решение, выражающее температуру в. функции времени и трех пространственных переменных х, у и z, можно записать в виде
У = УХУ,У2,
где Ух = (ж, т) — выражение, уже выведенное в примере
21. 2 для одномерной нестационарной теплопроводности; Yy = = /2 (у, т) и Yz = f3 (z, т) —- выражения для теплопроводности в направлениях осей у и z соответственно, совпадающие с Ух во всех отношениях, за исключением того, что половина толщины в направлении х заменяется половиной толщины пластины в направлениях у и Z.
Пример 21. 4
Найти время, нужное, чтобы температура в центре каучукового куба (с ребром 12,7 мм) достигла 143,3° С при тех же условиях, что и в примерах 21. 2 и 21. 3.
Так как размеры одинаковы по всем направлениям, Yx = У у = Yz, поэтому У = У3 *. Так как У = 0,0090, Ух== 0,208. Как прежде, т = п = 0. Из Перри (рис. 4, на стр. 462) X = 0,75 = 6,44т; т = 0,116 ч (7 мин).
С тем же успехом правило Ньюмена можно применять к цилиндрам. При этом используется одновременно несколько графиков (Перри, стр. 462г рис. 2 и 4). Текущее изменение температуры равно
Y = YxYr, где
Ух (*> т) и
Уг = /2(^ т).
Yx и Yr находятся по упомянутым ранее графикам.
Следует отметить в заключение, что правило Ньюмена является не при-олиженным, а математически строгим. Более того, оно применимо к задачам, у которых поверхностное сопротивление теплопередаче конечно.
* Предполагается, что соответствующие значения взяты для центра кУба. (Прим. перев.)
277
Задачи
21. 1. Стальной цилиндр диаметром в 50 мм весь имеет начальную температуру 760° С, а затем мгновенно закаливается в воде при 38Q С. Найти время (в секундах), которое нужно, чтобы температура в центре цилиндра упала до 2009 С, если считается, что температура на поверхности мгновенно падает до 38Q С. Можно считать, что отношение длины цилиндра к диаметру велико.
21. 2. Цилиндр тех же размеров, что и в задаче 21. 1, закаливается при тех же условиях. Однако следует учитывать сопротивление теплоотдаче на поверхности, используя средний коэффициент теплоотдачи 6100 ккал/м2 * ч • бС. Найти время, за которое центр цилиндра охладится до 2009 С.
21. 3. Поверхность бетонной балки (20 X 30 см) в горящем здании находится при температуре 800Q С. Найти время, за которое середина балки нагреется до 300° С, если начальная температура балки 20° С. Температуропроводность бетона можно принять равной 0,00204 м2!ч.
22. ЧИСЛЕННЫЕ, ГРАФИЧЕСКИЕ
И АНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ
В ИССЛЕДОВАНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Многие задачи стационарной и нестационарной теплопроводности трудно решить аналитически. Достаточно просто, исходя из уравнения энергии, записать соответствующие дифференциальные уравнения. Однако, если тело имеет сложную границу, температура на которой распределена неравномерно, учет в решении граничных условий вызывает затруднения. В общем существует мало ^аналитических исследований теплопередачи в системах, не обладающих некоторыми элементами симметрии как формы, так и распределения температуры.
Когда нельзя получить аналитическое решение, инженер может обратиться к одному из методов численного или графического решения, или может изготовить электрический или гидравлический аналог системы и провести на них непосредственные измерения. В этой главе мы разберем несколько численных и графических методов и в конце главы кратко обсудим использование аналогов.
Не следует считать, что численные и графические методы неизбежно менее точны, чем аналитические. В действительности, многие из них (хотя не все) могут быть сделаны сколь угодно точными простым повторением стандартных шагов, которые, будучи повторены бесконечное число раз, дали бы точное решение. Это качество часто является достоинством, поскольку требуемая точность решения обычно известна заранее, и процесс решения можно прекратить, когда она достигнута. В то же время аналитическое решение нужно обычно довести до конца, прежде чем будет получен какой бы то ни был результат.
Основной недостаток численных методов состоит в том, что их проведение трудоемко, но он преодолевается при использовании быстродействующих цифровых машин. Однако иногда численные методы не обеспечивают сходимости к точному результату независимо от того, сколько сделано повторений.
279
СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
У Джейкоба [74] описано несколько методов решения задач стационарной теплопроводности. Мы рассмотрим только метод релаксации, являющейся простым, но мощным средством. Этот метод применяется во многих отраслях науки и техники [158], но мы ограничимся применением его к решению задач теплопроводности. Рассмотрим сначала приложение метода релаксации к одномерному тепловому потоку. Система, показанная на рис. 22. 1, — это твердое тело с постоянной температуропровод-
Тв плавай поток
изоляция
Рис. 22. 1. Применение метода релаксации к одномерной теплопроводности.
костью, изолированное с четырех сторон так, что тепло проводится только в направлении оси х. В той части рисунка, которая изображает твердое тело, нанесена квадратная сетка с равными сторонами Дж и Ду. Толщина в направлении оси z считается равной Дг. Поток тепла из элемента, окружающего точку 7, в элемент, окружающий точку 2, будет равен
$12 = %Д2д/-^. (22.1)
Поток тепла из элемента, содержащего точку 2, в элемент, содержащий точку 3, будет равен
д23=ХД2ДУ-Щ-3. (22.2)
Скорость накопления тепла у точки 2 равна
(712 — Згз = (^i ^з 272) (22.3)
(так как Дж = Ду).
280
Уравнение (22. 3) можно записать также в виде
Ji^. = tl + t3-2ti. (22.4>
Если система находится в стационарном состоянии, то q12 равно д23, и уравнение (22. 4) можно преобразовать к виду
t2==/l±b.. “ (22.5>
£
Если для всех точек системы выбрать произвольное распределение температуры, то его можно проверить, используя уравнение (22. 5). Если температура t2 выбрана ошибочно, то ее можно исправить, прибавляя к ней или вычитая -1"Л?23 (найденное по Л ZXZ
начальным значениям ii, t% и L). Указанная величина ?1Г7^23 имеет размерность температуры, и при ее прибавлении уравнение (22. 5) обязательно выполняется в точке 2. Если все температуры в узлах сетки, кроме одной, верны, то изменение этой температуры расстроит соответствие между температурами в остальных точках. Однако величина поправки уменьшается вдвое при переходе к соседней точке, и если она сначала не слишком велика, то быстро уменьшается до несущественного значения. Метод релаксации иллюстрируется примером 22. 1.
Пример 22. 1
По твердому стержню тепло проводится от источника тепла с температурой 400° С к тепловому стоку с температурой 100° С. Боковая поверхность стержня изолирована, как показано на рис. 22. 2. Найти распре-
деление температуры в стержне. При помощи закона теплопроводности Фурье мы установили, что распределение температуры в стержне будет линейной функцией координаты. Однако, чтобы проиллюстрировать метод, мы предположим, что в точке 2 температура равна ^50° С, а в точке 3 — 150° С. Вычисления можно провести, как показано в табл. 22. 1. Величина ^12т~~Л-g23 • будет обозначена через q2 и анало-
28L
Одномерная релаксация
Таблица 22,1
Шаг Точка
1 2 3 4
0 400 350 —150 150 150 100
1 400 275 75 225 -75 100
2 400 312,5 —37,5 187,5 —37,5 100
3 400 393,5 19,5 206,5 —49,5 100
4 400 303,5 —10,5 196,5 —10,5 100
5 400 298 6 202 -6 100
6 400 301 —3 199 3 100
7 400 299,5 1,5 200,5 -1,5 100
8 400 300,2 . . . 199,8 . . . 100
гично будет обозначено через q. Эти величины иногда называют
Л 8
невязками. По начальному распределению температуры (шаг 0) вычисляют по формуле (22. 4) q' и из аналогичного выражения определяют q . Половину каждой из этих величин прибавляют или вычитают в соответствии со знаком из соответствующей температуры (шаг 1). По новому распределению темпе
282
ратуры вычисляют новые значения д' и д' и еще раз подсчитывают новые значения и t3 (шаг 2). Повторение этого простого процесса дает значения, почти равные точным, после восьми шагов.
Процедуру, показанную на примере 22. 1 и просто описываемую, можно заменить более сложной, которая позволяет сократить число шагов [86].
Принципы, однако, остаются те же самые, что и иллюстрируемые в вычислениях табл. 22. 1.
Применение метода релаксации к двумерному тепловому потоку рассмотрим на примере рис. 22. 3.
Рис. 22. 3. Применение метода релаксации к двухмерной теплопроводности.
Считается, что твердое тело проводит тепло в направлениях осей х и у, но не в направлении оси z. Если толщина тела в направлении оси z равна Ля, то можно написать:
910 - % \z Дж ; (22.6}
g^’Kbzby-^-, (22.7}
9оз-ЬД2Дж-^; (22.8}
до4 = ХДгДУ-^. (22.9}
Если вычесть равенства (22. 8) и (22. 9) из (22. 6) и (22. 7), то получим уравнение для результирующего притока тепла к дан-ному элементу:
(7ю + ?2о — (7оз — (Zo4 “ Gi + *2 + *з + *4 — 4^о) • (22. 10)
283
Как и прежде, равно Дг/, так что эти величины сократились. Преобразуем уравнение (22. 10) и определим величину q'Q выражением
= 91о+9г;7?з~?о4=*1+ч -м3+*4-4*о. (22. п)
Л Алл
Если процесс теплопередачи стационарный, то д0 равно нулю и t0 является средним арифметическим из температур в четырех соседних точках.
Пример 22. 2
Температура на внутренней поверхности стенки печи 200° С, а на наружной 50° С. Найти температуру на средней ”” ~
линии стенки.
Стенка показана на рис. 22. 4 с квадратной сеткой со стороной, равной половине толщины стенки. Ввиду того, что через угол проходит плоскость симметрии, температура в точке 4а будет такой же, как и в точке 4. На значительном расстоянии от угла температура в середине стенки будет, очевидно, равна 125° С. Если положить температуру на всей средней линии равной 125° С, то, очевидно, мы внесем ошибку, поскольку представляется, что в точке 5 температура должна быть ниже. Поэтому положим tb = = 100° С, a h = <2 = i3 = ^4 = = 125° С. Решение- задачи показано в табл. 22. 2. Применяемая методика заключается в том, что распределение температуры используется для вычисления значений q'. Например, на шаге 0 находим
qb = 125 + 50 + 50 +125 - 4 • 100 = -50 и
q’i = 125 + 50 +100 + 200-4 • 125 = -25
и так далее. Затем для получения нового температурного профиля одну четвертую значения q' прибавляют или вычитают из каждого соответствующего значения температуры, с которым вычисления повторяют, пока величины q' не станут пренебрежимо малыми.
Точность значений температуры, найденных в примере 22. 2, можно повысить, используя более мелкую сетку. Если бы граница стенки была криволинейной, более мелкая сетка оказалась бы действительно необходимой. Однако температура, найденная при помощи крупной сетки, служит хорошей основой для выбора начального распределения температуры на более мелкой сетке. В примере 22. 2 вычисления упрощаются за счет того факта, что, хотя имеется поток тепла в двух направлениях, точки, в которых ищут температуру, расположены на одной прямой. При более мелкой сетке процесс «релаксации» температуры пришлось бы вести в обоих направлениях. В этом случае показанная в примере
284
табличная форма вычислений оказалась бы неудобной. Более удобно начертить сечение тела на большом листе и построить возле каждой точки таблицу для вычисления t и q'. При этом истинное расположение точек намного нагляднее и меньше возможностей опдибиться. Если обнаружена арифметическая ошибка, вычисления не нужно повторять, а следует их продолжать. Ошибка постепенно уничтожится, и единственной неприятностью будет увеличение числа стандартных вычислений, которые нужно проделать.
Таблица 22. 2
Двумерная релаксация
Шаг Точка
1 2 3 4 5
0 125 0 125 0 125 0 125 —25 100 —50
1 125 0 125 0 125 -6,5 218,5 -11,5 87,5 -13
2 125 0 125 —1,5 123,5 -3,5 115,5 —4,5 84 —5
3 125 -0,5 124,5 —0,5 122,5 -1 114,5 -3 82,5 -1
4 125 —0,5 124,5 —1 122 0 113,5 0 82 -1
При вычислении методом релаксации можно учесть и другие факторы, влияющие на теплопередачу. Например, если в теле возникает тепло в количестве qr ккал/ч-м3, для двумерной теплопроводности уравнение теплового баланса, соответствующее уравнению (22. 11), принимает вид
Qo — ^i + ^2 + ^4—AtQ 4- qr —. (22.12)
л
Начальное распределение температуры принимается произвольно, после чего производится релаксация с исправлением значений t0 так, чтобы q0 в уравнении (22. 12) равнялось нулю.
285
Трехмерная теплопроводность также может рассматриваться методом релаксации. В трехмерной сетке каждый внутренний узел окружен шестью точками. Релаксационное уравнение (без тепловыделения) имеет вид
Qo — + ^2 + h + ^4 + h + h — 6*0. (22.13)
В выбранных примерах температура на границе твердого тела была известна. Если, однако, твердая поверхность граничит с жидкостью, то обычно известна температура жидкости. Задачи такого типа могут решаться релаксационными методами, но требуют использования коэффициентов теплопередачи, которые еще не рассматривались. Методика эта чрезвычайно проста, и читателю предоставляется вывести соответствующие релаксационные уравнения после того, как будут изучены коэффициенты теплопередачи конвекцией.
Хотя для некоторых целей распределение температуры в теле может представить самостоятельный интерес, оно чаще используется для вычисления теплового потока. Как показывает закон Фурье, удельный тепловой поток можно найти по распределению температуры, просто умножая градиент температуры в направлении, перпендикулярном к изотермической поверхности в твердом теле, на коэффициент теплопроводности.
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Для решения задач нестационарной теплопроводности разра-
ботаны численные методы и предложены эквивалентные им
Рис. 22. 5. Нестационарная теплопроводность.
температурам £0, tl9 t2 и т. ленного элемента толщины
графические методы. Мы рассмотрим только примеры, достаточные для того, чтобы пояснить используемые методы; относительно многочисленных специальных приложений мы отсылаем читателя к литературе по этому вопросу [41, 61].
Применим численный метод, предложенный Дэзинберре, к пластине толщины L и постоянного поперечного сечения А. Начальный температурный профиль показан на рис. 22. 5. Общая толщина L поделена на несколько слоев равной толщины Дя. В некоторый момент времени распределение температуры имеет вид, показанный линией, проходящей через точки, соответствующие д. Запишем баланс тепла для выде-Дх, центральной плоскостью которого
286
является плоскость 1. Градиент температуры на левой грани (ii — is)
элемента возьмем в виде - , так что поток тепла равен
• На правой грани градиент температуры ' ’ так что теплов°й поток наружу равен ХЛ J .
Скорость накопления энергии в выделенном элементе, выраженная через конечные разности, равна А &х§Ср — , где
tx — увеличение температуры Элемента за время Ат. Из этих трех членов можно составить уравнение сохранения энергии
М fa-ZJ М (h-tj = А &х Дя " Дт ’
которое сводится к
<22-i4>
и Аж и Ат могут быть выбраны произвольно. Пространственное приращение обычно выбирается так, чтобы число приращений было целым. Для Ат остается свобода выбора. Если величину , обозначить символом М, то уравнение (22. 14) прини-Л АТ
мает вид
< = . (22.15)
Приращение Ат определяется выбором модуля М. Если М выбрано равным 2, то уравнение (22. 15) сводится к t[ = .
В этом случае имеем
дт = _е£р.^1. (22.16)
Если желательна большая точность, выбирают большие значения модуля М. Однако выбор М = 2 имеет то преимущество, что вычисления сводятся к взятию арифметических средних.
Графическое решение задачи, в котором используется М = 2, известно как метод Шмидта. Строится график начального распределения температуры, и на чередующихся стадиях вычислений соединяются между собой точки, отстоящие друг от друга на два элементарных слоя. Оба способа вычислений — графический и численный — иллюстрируются примером 22. 3.
Пример 22. 3
Для иллюстрации и графического, и численного методов используем случай, уже рассмотренный в примере 21. 2. Лист каучука толщиной в 12,7 мм,
287
находившийся первоначально при 22° С, нагревается за счет того, что на обеих его сторонах одновременно температура поднимается до 144,4° С и за-X
тем поддерживается при этом значении. Температуропроводность —-— кау-QCр
чука равна 2,6*10“4 №/ч.
Если лист считать поделенным на шесть слоев, каждый 2,12 мм толщиной, и выбрать М = 2, то приращение времени равно
А (Д*)2 QCP (2,12 • 10“3)2 ЛЛЛОКО
Дт = Д—------- - 4 = 0,00858 ч = 0,515 мин.
6 Л/ и* ^,О * Ю
Если вести решение, пока не будет найдено, сколько времени нужно, чтобы температура на средней линии достигла 143,3° С, то число приращений составит 18,7/0,515 = 36,3 (требуемое время, как найдено в примере 21. 2, равно 18,7 мин). Это такое большое число шагов, что мы не будем вести решение до этих пор. Однако из того же примера видно, что температура на средней линии после 5 мин (9,7 шагов) равна 102,8° С,так что нашей целью после этого будет проверка этого значения. Результаты показаны в табл. 22. 3.
Таблица 22. 3
Численный расчет нестационарной теплопроводности в листе каучука
N h tg G *4 te
0 144 22 22 22 22 22 144
1 144 83 22 22 22 83 144
2 144 83 52 22 52 83 144
3 144 98 52 52 52 98 144
4 144 98 75 52 75 98 144
5 144 110 75 75 75 110 144
6 144 110 93 75 93 110 144
7 144 118 93 93 93 118 144
8 144 118 106 93 106 118 144
,9 144 125 106 , 106 106 125 144
10 144 125 116 106 116 125 144
Результаты табл. 22. 3 показывают, что температура на средней линии по истечении времени 9Дт и 10Дт равна 106° С. Это примерно соответствует аналитическому результату примера 21. 2, в котором температура на средней линии оказалась равной 102,8° С после 5 мин (9,70 Дт). Если результаты табл. 22. 3 изобразить в виде графика зависимости температуры на средней линии от времени, то, проводя по найденным точкам гладкую кривую, можно исключить ступенчатый характер изменения и сделать возможной интерполяцию. Графическое решение показано на рис. 22. 6 и согласуется с численным и аналитическим решениями.
Численные и графические методы решения пригодны для систем, в которых имеет место нестационарная теплопередача путем двухмерной теплопроводности, теплопроводности с конвекцией
288
на поверхности и теплопроводности с тепловыделением внутри тела. Они применимы также к задачам неустановившейся теплопроводности в цилиндрах, составных пластинах и составных цилиндрах и сферах.
АНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ
Задачи теплопроводности часто можно решать, используя системы, являющиеся аналогами систем теплопередачи. Критерий
того, что две системы являются математическими аналогами друг
друга, состоит в том, что они должны описываться одинаковыми уравнениями. Например, двумерное уравнение Лапласа +
+ = 0 может описывать стационарную теплопроводность
(ф — температура), распределение потенциала в электрическом
проводнике (ф — потенциал) или поле скоростей при течении несжимаемой идеальной жидкости (ф — потенциал скорости).
Картина тепловых потоков в теплопроводящем теле может быть
изучена путем создания гидравлической или электрической модели. В гидравлической модели берется пластинка в форме сечения теплопроводящего тела. Параллельно этой пластинке на очень малом расстоянии (скажем, 1,5 мм) над ней помещают лист стекла. Жидкость втекает в пространство между пластинкой и стеклом
в той части границы, которая представляет тепловой источник, и вытекает в той части границы, которая представляет тепловой сток. Изолированные поверхности представляются стенками,
19 Заказ 519.
289
которые не пропускают жидкость. Перед тем, как устанавливают стекло, по пластинке рассеивают растворимые цветные кристаллы (например, перманганат калия). Когда начинается движение (известное под названием течения Хеле — Шоу), из кристаллов исходят струйки окрашенной жидкости, которые показывают линии тока в системе. Конечно, течение должно заполнять все пространство между пластинками и быть ламинарным. Когда картина потока полностью установится, течение между пластинками фотографируют. Затем под прямым углом к линиям тока могут быть проведены изотермы, и при помощи приема, известного под названием «метода криволинейных квадратов», можно вычислить тепловой поток х.
Картина теплового потока может быть также найдена при помощи электрической модели. В этом методе тонкий лист электропроводной бумаги вырезают в форме теплопроводящего тела. К хорошо проводящим проволочкам на краях листа, которые моделируют изотермические границы теплопроводящего тела, присоединяют электроды. Когда к этим электродам приложено напряжение, с помощью зонда, присоединенного к чувствительному индикатору напряжения, находят и отмечают эквипотенциальные линии. Эквипотенциальные линии, которые, конечно, являются аналогами изотерм теплопроводящего тела, при прослеживании отмечают проколами в бумаге.
Задачи нестационарной теплопроводности можно решать на электрических и гидравлических моделях. В обоих случаях составляется цепь, которая моделирует теплопроводящую систему. Мы видели, что одномерная нестационарная теплопроводность описывается уравнением (21. 1)
dt __ дЧ дх а дх2
Распределение электрического потенциала Е в проволоке, по которой течет ток, удовлетворяет уравнению
« (22.17)
дх RC дх2 х 7
где R — сопротивление, а С — емкость единицы длины проволоки. Считается, что самоиндукция и утечки пренебрежимо малы.
В электрическом аналоге теплопроводной системы напряжение соответствует разности температур, электрический ток — потоку тепла, электрическое сопротивление — тепловому сопротивлению, а электрическая емкость — тепловой емкости.
Использование гидравлических цепей в качестве моделей систем теплопроводности менее распространено, чем использова-
1 Интересное обсуждение гидравлических аналогов дано в [73, 117].
290
ние электрических цепей, вероятно, ввиду большей простоты выполнения электрических измерений. Метод гидравлической аналогии описан Юхашом [78].
Задачи
22. 1. Используя условия, приведенные в примере 22. 2, найти температуру в узлах сетки со стороной, равной четверти толщины стенки.
22. 2. У печи, описанной в примере 22. 2, стенки имеют форму квадратов со стороной 0,6 м при толщине 50 мм. Если все шесть стенок имеют одинаковую внутреннюю температуру 2009 С и одинаковую наружную температуру 50Q С, найти полную величину потерь тепла из печи. Коэффициент теплопроводности стенки 0,86 ккал/м • ч • град.
22. 3. Дать способ применения метода релаксации к одномерному стационарному тепловому потоку к плите, состоящей из двух слоев различной теплопроводности.
22. 4. Огонь, зажженный на поверхности земли, поднимает ее температуру почти сразу же до 1000° С. Начальная температура на глубине около 1 м составляет 169 С. Найти температуру на глубине 0,3 м по истечении 1 ч, если огонь сохраняет температуру 1000Q С на протяжении этого времени. Температуропроводность почвы 0,0019 м2/ч.
22. 5. Кирпичная стена толщиной в 0,3 м первоначально находится при 209 С. Температура на одной стороне стенки мгновенно поднимается до 2009 С, а на другой до 1509 С. Сколько времени понадобится, чтобы температура в середине стенки поднялась до 1009 С, если указанные значения температуры поверхностей поддерживаются неизменными. Коэффициент температуропроводности кирпича 0,0015 м2/ч.
19*
23. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА1
В большинстве промышленных процессов теплообмен в жидкости сопровождается какой-либо формой движения жидкости, так что теплообмен происходит не только за счет теплопроводности. Теплообмен, происходящий одновременно за счет теплопроводности и движения жидкости, называется вынужденной конвекцией, если движение происходит в основном за счет перепада давления, создаваемого насосом или вентилятором, и естественной конвекцией, когда движение возникает только за счет разностей плотности, связанных с температурным полем.
Как при вынужденной, так и при естественной конвекции, движение жидкости можно описать уравнениями гидромеханики. При малых скоростях поток ламинарен во всей системе. При больших скоростях он, как обычно считают, является ламинарным вблизи нагретой поверхности и турбулентным на некотором удалении от нее. Хотя при естественной конвекции скорости жидкости обычно ниже, чем при вынужденной, неверно думать, что естественная конвекция вызывает только ламинарное течение. Если превзойдено критическое число Рейнольдса для данной системы, возникает турбулентность. Все задачи конвективного теплообмена можно сформулировать при помощи дифференциальных уравнений массы, импульса и энергии. Однако интегрирование этой системы нелинейных уравнений в частных производных сопряжено с такими математическими трудностями, что аналитические решения
1 По принятой в СССР терминологии в теплотехнике используются следующие понятия:
теплообмен — процесс переноса тепла;
теплоотдача — теплообмен между поверхностью твердого тела и соприкасающейся с ней средой — газом, паром или жидкостью; количественной характеристикой процесса является коэффициент теплоотдачи а;
теплопередача — перенос тепла из одной среды в другую через разделяющую их стенку; процесс оценивается количественно коэффициентом теплопередачи к. (Прим, ред.)
292
существуют только для простейших случаев. Для численного решения этих уравнений часто можно воспользоваться быстродействующими электронно-вычислительными машинами. Однако даже это мощное средство позволило решить до сих пор только относительно простые задачи.
Рис. 23. 1. Развитие температурного пограничного слоя на плоской пластинке.
а — граница температурного пограничного слоя; б — плоская пластинка.
У -----
Рис. 23. 2. Температурные профили для пограничного слоя, развивающегося на плоской пластинке.
Одна из наиболее простых для аналитического рассмотрения задач — задача о теплообмене между жидкостью и плоской пластинкой, когда жидкость движется параллельно пластинке, как показано на рис. 23. 1. Жидкость при подходе к пластинке имеет постоянную температуру а пластинка —- постоянную температуру t8. В дальнейшем рассмотрении примем, что ts < tQ. Вблизи пластинки жидкость охлаждается, и область, где температура жидкости заключена между tQ и t8, известна под названием температурного пограничного слоя х. При некоторых условиях границы этой области совпадают с границами скоростного пограничного слоя. Этот вопрос подробно рассматривается в
гл. 24. По мере движения жидкости вдоль пластинки и увеличения расстояния от передней кромки толщина температурного пограничного слоя возрастает. Меняются также профили температуры в сечениях, перпендикулярных пластинке. Некоторые из этих профилей показаны на рис. 23. 2. Их вид зависит
1 Граница пограничного температурного слоя, так же как и граница гидродинамического пограничного слоя, является условной и определяется соглашением. (Прим, перев.).
293
как от тепловых свойств жидкости, так и от условий течения. Однако, независимо от этих факторов, общая форма температурного пограничного слоя, возникающего на плоской пластинке, такая, как показано на рис. 23. 1.
Граница температурного
Рис. 23. 3. Развитие температурного пограничного слоя для течения в трубе.
X
Другой важный случай — теплообмен между стенками трубы и текущей в ней жидкостью. Если жидкость поступает с постоянной температурой £0, а стенки трубы находятся при некоторой более низкой температуре развитие температурного погранич-
Рис. 23. 4. Профили температуры вблизи входа в трубу.
ного слоя происходит так, как показано на рис. 23. 3. По мере удаления от входа в трубу пограничный слой утолщается, и наконец, смыкается на оси трубы. Расстояние от входа в трубу до точки смыкания называется длиной температурного входного участка. За этой точкой распределение температуры становится все более ровным. Если труба достаточно длинная, устанавливается равномерное распределение с температурой t8. Профили температуры вблизи входа изображены на рис. 23. 4.
Как упомянуто выше, профиль температуры в некотором сечении потока зависит от профиля скорости. Это влияние отражается наличием в уравнениях энергии (10. И) чле
нов, содержащих скорость.
Не столь очевидно, однако, что распределение температуры влияет на распределение скорости. Действительно, уравнения Навье — Стокса явно температуры не содержат. Однако они содержат члены, зависящие от температуры, особенно те, в которые входит вязкость. Следовательно, профиль скорости в изотермической системе может существенно отличаться от профиля скорости в системе, в которой происходит теплообмен. При решении уравнений импульсов и энергии для неизотермической системы значе
294
ния скорости следует, конечно, брать именно из этого неизотермического распределения.
Нечего и говорить, что этим дополнительным усложнением приходится часто пренебрегать, чтобы получить решение. Такое упрощение может вызвать серьезные ошибки, если вязкость жидкости сильно зависит от температуры. Обычно градиент температуры больше всего у стенки, а это как раз та область, где больше всего также и градиент скорости. Влияние температуры на вязкость жидкости около стенки может поэтому иметь особое влияние на распределение скорости и температуры.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛООТДАЧИ
Хотя исследование теплоотдачи при стационарном ламинарном движении сложно, еще большие трудности возникают в случае турбулентного движения, в котором скорость и температура в каждой точке являются функциями времени. При изучении изотермического течения жидкости эти трудности, вызываемые зависимостью от времени, привели к использованию представления о пути перемешивания и к применению анализа размерностей. Чтобы обойти трудности, возникающие при решении задач теплоотдачи при турбулентном движении, в технике принято выражать тепловой поток через коэффициент теплоотдачи а в виде
? = аЛ(*в-*да). (23.1)
Через tm обозначена температура жидкости на удалении от поверхности, t8 — температура этой поверхности. В данном случае ts >> tm. Если tm больше t8, то, чтобы сохранить q положительным, можно поменять эти два члена местами. Определение tm в каждом отдельном случае устанавливается по соглашению и будет вскоре рассмотрено. Так как часто а и t8 не являются одинаковыми для разных точек поверхности, уравнение (23. 1) следует понимать, как относящееся к определенной ее точке, и представлять в форме
dqr=a(t8^m)dA. (23.2)
Величины a, ts— tmn dq обычно можно выразить в функции от температуры, так что интегральная форма уравнения (23. 2) записывается в виде
g А
f —,-/g - . = Г dA. (23. 3)
J а(«8—tm) J ' '
0 0
В этой главе мы не будем заниматься интегрированием уравнения (23. 2); этот вопрос будет рассмотрен впоследствии при рассмотрении приложений, например, теплообменников. Хотя
295
в дальнейшем уравнение (23. 1) часто используется в этой главе, следует вспомнить, что в случае переменного ci(ts—4т) область его применения может оказаться ограниченной элементарными площадками.
Понятие коэффициента теплоотдачи полезно, но не позволяет в действительности уйти от сложной по своей сути задачи. Величина а зависит от свойств жидкости, геометрии и шероховатости поверхности и характера течения жидкости. Существует несколько методов определения а. Для случая ламинарного течения используют аналитические методы; для турбулентных течений будут использованы интегральные методы, теория пути перемешивания и анализ размерностей.
Другой способ рассмотрения конвективной теплоотдачи состоит в том, что записывается закон теплопроводности для жидкости у твердой поверхности. Воспользуемся для удобства системой рис. 23. 1, для которой запишем:
«=м «),-.• <23-4>
Хотя для данной жидкости X известно, неизвестна величина / dt \
[ —) , так что это уравнение не применимо непосредственно
для вычисления q. При рассмотрении теплопроводности в твердом теле нам удалось проинтегрировать закон Фурье (20. 1), но в движущейся жидкости при у > 0 энергия передается также и за счет конвективного переноса, так что рассмотрение баланса энергии элемента жидкости приводит к сравнительно сложному дифференциальному уравнению энергии (20. И) вместо простого уравнения теплопроводности (20. 1). Представляет интерес объединить уравнение (23. 4) с уравнением (23. 1) в форме, применимой к задаче о плоской пластинке (рис. 23. 1). Имеем
dq — kdA — а (^о М dA»
что можно преобразовать к виду к ( dt \
а = ----Г I “ЗГ* )
\ дУ /У—о
(23.5)
или в эквивалентной форме
а = к
У=о ’
(23. 6)
Уравнение (23. 6) записано через безразмерное текущее изменение температуры от поверхности до границы температурного пограничного слоя. Из этих соотношений следует, что такой фактор, как увеличение скорости течения у нагретой поверхности, .296
который будет вызывать увеличение градиента температуры на стенке, будет увеличивать также и коэффициент теплоотдачи. Уравнение (23. 6) показывает также, как может коэффициент теплоотдачи зависеть от положения. И для плоской пластинки, и для нагретой трубы при постоянной температуре стенки вели-
чина
L (^о—mJ
dy
бесконечна во входном сечении, так что в этом сечении коэффициент а бесконечен. По мере утолщения пограничного слоя и градиент на стенке, и коэффициент теплоотдачи уменьшаются, как показывают кривые рис. 23. 2 и 23. 4. В трубах местные коэффициенты теплоотдачи стремятся к постоянным значениям по мере увеличения расстояния от входа в трубу. Для длинных труб влияние входного участка мало, и в технических расчетах им часто пренебрегают.
Завершим теперь определение а для некоторых частных случаев, определив соответствующие tm. Для потока в нагретой трубе с температурой стенки ts запишем:
g = aA(fe-*b), (23.7)
где tb —- средняя температура потока.
Для свободной конвекции вблизи поверхности, нагретой до температуры t8, положим:
g = a4(i,-/w), (23.8)
где — температура жидкости вдали от поверхности, т. е. на границе температурного пограничного слоя. Понятие коэффициента теплоотдачи применимо также и к теплоотдаче при кипении и конденсации. Эксперименты показывают, что при конденсации чистого пара на поверхности холодной трубы сопротивление теплоотдаче почти полностью сосредоточено в пленке конденсата. Это является основой расчетной схемы, которая во многих случаях дает достаточно точные результаты. Для конденсации коэффициент теплоотдачи определяется соотношением
q = aA(t6V-ts^ (23.9)
гДе tsv — температура насыщенного пара; t8 — температура поверхности трубы.
В этом случае, как и в показанном на рис. 23. 1, знак разности температур в уравнении, определяющем а, выбирается произвольно так, чтобы q оставалось положительным. Для теплоотдачи к кипящей жидкости определяющее уравнение имеет вид
q = aA(tt-tsi), (23.10)
297
где t$i — температура жидкости при насыщении. Считается, что механизм кипения состоит в теплоотдаче от твердого тела к жидкости, а затем от жидкости к поверхности каждого растущего пузырька.
Применение уравнения (21. 10) затрудняется очень сильной зависимостью (иногда — до третьей степени) а от разности температур t$ — t8i.
Наконец, понятие коэффициента теплоотдачи распространяется на системы, в которых составной частью процесса является теплоизлучение. Уравнение теплоотдачи излучением между двумя поверхностями с температурами t81 и t82 можно записать, как для псевдоконвективного процесса, положив
^~агД(£81—(23.11)
где индекс г * добавлен к коэффициенту, чтобы пояснить его смысл. В дальнейшем при рассмотрении теплообмена излучением будет показано, что коэффициент аг может быть вычислен из общих соображений. Хотя он зависит от температуры в третьей степени и поэтому меняется с разностью температур (как и коэффициент теплооотдачи при кипении), во многих случаях аг можно считать примерно постоянным и равным всюду некоторому среднему значению. Такой способ имеет обычно то очевидное преимущество, что сохраняет линейность системы уравнений теплоотдачи. В результате удается получить в аналитической форме решения для задач, которые иначе пришлось бы решать численно.
Коэффициент а в технической литературе часто называется частным пленочным коэффициентом. Это выражение проще понять, если рассмотреть теплоотдачу к турбулентному потоку жидкости в трубе.
Если считать, что сопротивление потоку тепла существует только в ламинарной пленке, коэффициент а эквивалентен %
» где Д xi — толщина такой неподвижной пленки, которая способна создать сопротивление, соответствующее наблюдаемому значению а. Так как часто сопротивление турбулентного ядра
значительно и в ламинарном течении, при излучении и при кипении нет даже приблизительного физического эквивалента неподвижной пленки, мы в этой книге будем называть а коэффициентом теплоотдачи конвекцией. Однако в инженерной практике применение термина «пленочный коэффициент» не редкость и следует
помнить, что эта «пленка» вымышленная.
* г — начальная буква термина «radiant-heat transfer coefficient». (Прим. ped.). ш
298
ПРЕДЕЛЫ ЗНАЧЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ
Весьма ценно приобрести некоторое представление о величине различных коэффициентов. В процессах теплообмена обычно объединяются последовательно и параллельно различные механизмы. Часто величина одного или двух сопротивлений1 настолько больше величины остальных, что адекватное рассмотрение достигается при пренебрежении всеми малыми сопротивлениями. Воспроизведем из книги Мак-Адамса [108] табл. 23. 1, чтобы показать относительную величину различных типов коэффициентов теплоотдачи.
Таблица 23. 1
Примерный диапазон значений некоторых коэффициентов теплоотдачи а (в ккал [ м*-ч-град)
Водяной пар (капельная конденсация) .........................
Водяной пар (пленочная конденсация) .........................
Вода (кипение).............. .
Органические пары (конденсация) Вода (нагревание)...............
Масла (нагревание или охлаждение) .........................
Пар (перегрев)..................
Воздух (нагревание или охлаждение) ...........................
25 000-100000
5 000—15 000 1500—45000
1 000—2 000
250-15 000
50—1 500
25—100
1—50
Поясним представление об определяющем сопротивлении: если воздух нагревается в устройстве, где конденсирующийся пар отдает свое тепло с одной стороны металлической поверхности, а воздух получает это тепло на другой ее стороне, то, очевидно, сопротивление со стороны конденсирующегося пара будет пренебрежимо мало по сравнению с сопротивлением со стороны воздуха.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
Задача о теплопроводности в последовательно соединенных сопротивлениях уже рассмотрена. Сейчас уместно рассмотреть систему, в которой теплообмен осуществляется последовательно путем теплопроводности и конвекции.
На рис. 23. 5 показана система, в которой тепло передается от жидкости со средней температурой через стенку трубы и слой изоляции к жидкости со средней температурой tb. Температуры на границах раздела равны, как показано, /2, t3 и t^. Через щ
1 Термическое сопротивление при конвекции равно в соответствии с гл. 20.
299
и а0 обозначены соответственно внутренний и внешний коэффициенты теплоотдачи.
Стационарный поток тепла равен
q — оцА| — £2) — im \г 3 — 4-1'0
а Л __
ЛсЛс’1т ~"д^Г ~
(23.12)
найти частные температур:
перепады
— а0^0 (^4
Преобразованием (23.12) можно
Рис. 23. 5. Теплопередача через изолирован; ную трубу.
1___.
(XiA i 9
+ / „ &гь
i2-t3 — Q 'Т~2--
ЛЬЛЬ, 1т
4 + _ ~ ДгС
t3—Ч — q -T-j
Лслс, Im
tt—h=q
i
<Xq.z4q
h — h — Я
Складывая эти уравнения и преобразуя, имеем
q=—<-----------л—?1~*6- 7----------т— • (23.13)
* 1 . Дгь , Дгс .1 v '
СЧЛ$ Im ^о^с, 1т ао^о
Каждый член в знаменателе можно рассматривать как сопротивление, так что уравнение (23. 13) можно переписать в виде
q = -^- (23.14)
2ля
Однако более распространен прием, состоящий в том, что пра-А- А
вая часть уравнения (23. 13) умножается или на , или на-/- .
Дг До
Используя последний множитель, получим q = —7--------------------Л Л°Аг°бш .-------г-. (23.15)
ло I АгЬ | Агс I 1 агА h>Ab, im А,СЛС> 1т ао Величина
1
1т ^с^с, 1т
называется коэффициентом теплопередачи, рассчитанным по наружной площади, и обычно обозначается через ,fc0. Если бы уравнение (23. 13) было умножено на -т—, получилась бы ве
300
личина, обозначаемая через —- коэффициент теплопередачи, рассчитанный по внутренней площади. Эта величина определяется выражением
к‘= , , / л,. л. (23.16)
аг Х^ь, 1т ^с-^с, 1т ®о-^о
В соответствии с определениями величин ко и кг можно записать
Q “ Д^общ» (23.17)
ц — кгАг Д^общ* (23.18)
Отношения лАг », 1 -Ф- и т. д. можно заменить отно-
Аъ ,1т Аг Ао гг rQ ri шениями радиусов ——, — , —.
rb, Im r0
Во многих случаях эти отношения близки к единице и могут быть приняты равными ей. Это дает, пожалуй, единственное основание для решения о том, вычислять ли наружный или внутренний коэффициент. Например, если внутреннее сопротивление много больше остальных трех (это проявляется в том, что а< много меньше, чем , -~-Дгь Дгс тельной точностью
<23л9>
сц Хь 1 Хс
и а0 I, можно написать с удовлетвори-
Основанием для такого выбора служит то, что последние три 1
члена знаменателя малы по сравнению с —, так что отношение радиусов дает пренебрежимо малые поправки.
В некоторых задачах допустимо считать, что всеми членами, кроме одного, можно пренебречь и записать кг == щ или Ао = = а0 в зависимости от того, какой член остается.
В выбранном примере было четыре последовательно соединенные сопротивления. Однако общие коэффициенты могут быть использованы для замены любого желаемого числа последовательно соединенных сопротивлений. Эти случаи, можно исследовать при помощи использованного здесь метода, но, поскольку природа добавочных членов в выражении для общего коэффициента совершенно очевидна, эти члены можно записать по аналогии с теми, которые входят в уравнения (23. 15) и (23. 16). Если система состоит из плоских пластин, то площади сокращаются, так что выражение
ъ. = ъ______________1___________
1 ° 1 I ^ХЬ I Д^с 1
а г Хь Хс 0^0 является точным.
(23. 20)
301
Коэффициент теплопередачи может быть определен применительно к одной из логарифмически средних площадей, но это делается редко. На деле при составлении таблиц коэффициентов теплопередачи часто не указывают, относятся ли приведенные данные к Ло или поскольку неопределенность в коэффициентах теплоотдачи несколько больше, чем влияние отношения площадей. В таких случаях обычно предполагают, что задан коэффициент &0.
Таблицы коэффициентов теплопередачи даны у Перри [124] и Нельсона [118]. Выборка, приведенная в табл. (23. 2), взята из Перри.
Таблица 23. 2
Коэффициенты теплопередачи fe, ккал/ч-л2-град
Дефлегматор стабилизационной колонны..........................
Подогреватель нефти .............
Кипятильник (ребойлер) (конденсирующийся пар — кипящая вода) Воздухонагреватель (расплавленная соль — воздух) ..................
Сосуд с паровой рубашкой для выпаривания молока ..............
459
527
1500-4000
29
2440
Значения, вроде приведенных в табл. (23. 2), рекомендуются только для предварительных оценок при проектировании, хотя нередко это единственная информация по данному вопросу, которую можно получить.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАГРЯЗНЕННОСТИ
Серьезные трудности при разработке теплоообменников возникают из-за тенденции некоторых жидкостей к образованию осадков на поверхностях теплоотдачи. Может случиться, что термическое сопротивление, создаваемое этим осадком, больше суммы всех других сопротивлений. В некоторых случаях на теплопроводящих поверхностях котла или испарителя откладывается твердая накипь. В трубах нефтенагревателя при нефтепереработке отлагается кокс. Сопротивление таких наслоений может быть охарактеризовано коэффициентом теплоотдачи, равным теплопроводности осадка, деленной на его толщину. Отложения этого типа можно удалить пескоструйкой, пневматическими очистителями, а в некоторых случаях — прокачиванием через оборудование химических растворителей. Другим типом загрязнения являются пористые отложения, образующиеся из грязи, золы и даже растительного вещества. Теплопроводность этих ма-302
териалов может быть высока, но жидкость, заключенная в порах, имеет обычно значительно более низкую теплопроводность. Эффективный коэффициент теплопроводности может поэтому быть таким же низким, как у жидкости. Эти отложения иногда удается удалить продувкой воздухом и паром или горячей водой. Рост растительного вещества в конденсаторах предотвращается хлорированием воды.
При проектировании теплообменников наличие загрязняющих отложений учитывается использованием коэффициентов загрязненности, имеющих вид коэффициентов теплоотдачи.
Уравнение для потока тепла через слой осадка имеет вид
—а^ЛА^осад. (23.21)
Если сопротивление загрязненности включено в расчет последовательности сопротивлений, конечное выражение для потока тепла такое же — уравнения (23. 17) и (23. 18). Однако общий коэффициент теплопередачи содержит один добавочный член и выражается в виде
к9 = —3--------Л-------л—7-----А-------1-----Г- • (23‘ 22>
^4 о 1 ^4 о । . Ду*с ' Ло 1
1т ^с, 1т ао
Здесь Udi — коэффициент загрязненности для внутренней поверхности. Если загрязнение происходит одновременно и на наружной поверхности, нужно добавить в знаменателе член — .
<*do Таблицы коэффициентов загрязненности приводятся во многих источниках, в том числе у Нельсона [118], в стандартах ассоциации производителей трубчатых теплообменников [167] и у Перри [124]. У Нельсона дается интересное обсуждение данного вопроса. Следует, однако, отметить, что он рассматривает вместо коэффициентов загрязнения «фактор загрязненности», который равен 1000
«сг
В технике используются оба эти термина. Нельсон показывает, что загрязнение часто так же сильно зависит от скорости течения жидкости вдоль поверхности, как и от природы жидкости. Выборочная таблица коэффициентов загрязненности дана в табл. 23. 3. Очевидно, что обычно сопротивление загрязнения будет возрастать со временем до тех пор, пока не станет необходимой очистка; есть, однако, некоторые случаи, в которых сопротивление перестает возрастать по истечении некоторого времени, так как скорость отложения уравнивается со скоростью вымывания осадка. Влияние времени никак не отражено в табл. 23. 3. Это обычно для публикуемых данных из-за приближенного характера имеющихся сведений.
303
Таблица 23. 3
Коэффициент загрязненности ккал 1ч*м* -град
Пары с верха колонны перегонки нефти Обезвоженная нефть (150—-40Q С) при 4800
скорости, м/сек: до 0,6 1200
до 0,6—1,2 1600
свыше 1,2 2400
Воздух 2400
Водяной пар (без капель масла) . . . 980
Вода (из Великих Озер) — свыше 50° С 8400
Пример 23. 1
В дефлегматоре вода циркулирует в медных трубках с внутренним диаметром 15,7 и наружным 19,0 мм. Пары углеводородов конденсируются на наружной поверхности этих трубок. Найти коэффициент теплопередачи к0. Внутренний коэффициент теплоотдачи можно принять равным 3900 ккал/м* • ч • град, а наружный — 1200 ккал/м* • ч • град. Соответствующие коэффициенты загрязненности, взятые из табл. 23. 3, равны а^0 = 4800, «dt = 2400. Можно вычислить следующие величины, входящие в уравнение (23. 22):
11 1
— = = 0,00083; —
а0 1200 ad0
-«Йо"0"»211
. _ го — *>65 . 19Д) — 0 55 • 10“5’
% г1т “ 1000-327 17,5 1U ’
= 0-00031;
а$Гг 3900 • 15,7
—Г-^~ = А'?9/? = 0,00050.
2400 • 15,7
Подстановка этих значений в формулу (23. 22) дает:
&___________________________________________________—
0 0,00050+0,00031 + 0,0000055 + 0,00083 + 0,00021
1
= Q>Q0186 = 538 ккал/м* • ч - град.
Доля сопротивления, обусловленная загрязненностью, равна 0,0007/0,00186 = 0,38; сопротивление металлической стенки пренебрежимо мало; легко вычисляется, так как kiA^ = kQ Ло, что дает:
ki = 538 (19/15,71) = 652 ккал/м2 • ч • град.
Задачи
23. 1. Котел с паровой рубашкой используется для выпаривания 680 кг/ч воды из водного раствора соли. Тепло получается за счет конденсации в рубашке пара с температурой 120а С. Раствор в котле кипит при 104Q С и обла-304
дает скрытой теплотой парообразования 536 ккал/кг. Теплопередача осуществляется через стальную стенку толщиной 6,4 мм и площадью 46,5 м2. Вычислить увеличение производительности, которого можно ожидать, если заменить стальную стенку медной при неизменных прочих условиях.
23. 2. Экспериментальное исследование влияния накипи на поток тепла производилось на медной трубе диаметром 23 мм с толщиной стенки 1,3 мм. Внутри трубки протекла вода, а снаружи конденсировался водяной пар. Коэффициент теплопередачи kQ был определен для широкого диапазона скоростей воды как для чистых, так и для загрязненных труб. Было найдено, что он подчиняется уравнениям:
1 1
-7—=0,00006 Н------— (чистая труба);
3500ug»8
1 1
-—=0,00016 4--------— (загрязненная труба).
ko 3500ug>8
Найти коэффициент загрязненности, коэффициент теплоотдачи на границе с паром (считая его постоянным) и коэффициент теплоотдачи на границе с водой при скорости иъ = 0,6 м/сек.
23. 3. Жир хранится в вертикальной емкости высотой 9 м и диаметром 3 м. Емкость изолирована пятисантиметровым слоем 85 %-ной магнезии. Во избежание застывания жир нагревается до 46й С змеевиком из медной трубки диаметром 18 мм с толщиной стенки 1 мм, в которой пар конденсируется при избыточном давлении 0,35 ат. Считая, что минимальная наружная температура равна —18й С и что температура в емкости распределена всегда равномерно, вычислить длину медной трубки, нужную для поддержания в емкости температуры 46й С в самую холодную погоду. Тепловыми потерями через крышку и дно емкости пренебречь.
Коэффициент теплоотдачи а, ккал j м* - град
Пар, конденсирующийся в змеевике 4000
Стенка трубки — расплавленный жир 200
Расплавленный жир — стенка емкости 200
Наружная поверхность теплоизоля-
ции—внешняя среда 10
23. 4. Однокорпусный выпарной аппарат выпаривает 19 ж3 воды в неделю из коллоидной суспензии, которая образует осадок на нагреваемой паром поверхности. Аппарат действует непрерывно, за исключением одного 6-часового перерыва в неделю для очистки отложений со стенок. Непосредственно перед очисткой коэффициент теплопередачи оказался равным 240 ккал/м2 • ч • град, а через 1 ч после возобновления работы он составил 1100 ккал/м2 • ч • град. Считая, что образующийся осадок не слетает со стенок во время работы и что отложение осадка пропорционально количеству переданного тепла, вычислить продолжительность непрерывной работы, обеспечивающую максимальную производительность. Чему равна эта производительность, выраженная в кубометрах воды, выпариваемых за неделю.
23. 5. Прямоугольное металлическое ребро с коэффициентом теплопроводности 37 ккал/м • ч • град имеет высоту 25 мм и толщину 3,2 мм. Основание ребра находится при постоянной температуре 120й С. Ребро обдувается воздухом при 20й С с такой скоростью, что коэффициент теплоотдачи конвекцией
20 Заказ 519. 305
а равен 73 ккал/м2, • ч • град. Считая, что градиент температуры в направлении, параллельном основанию ребра, пренебрежимо мал, вычислить температуру у вершины ребра, общий тепловой поток через ребро и коэффициент эффективности ребра. Коэффициент эффективности ребра определяется как отношение истинного теплового потока через ребро к тепловому потоку, который был бы, если бы все ребро находилось при той же температуре, что и основание.
23. 6. Стержень длиной 0,6 м и диаметром 25 мм установлен на двух латунных пластинках, поддерживаемых при температурах 300q С и 200q С. Стержень находится в воздухе при температуре 40q С, и потери тепла при этих условиях таковы, что объединенный коэффициент теплоотдачи, учитывающий и конвекцию, и излучение, равен 20 ккал!м2 • ч • град. Найти величину теплового потока (в ккал!ч) от стержня к воздуху, делая следующие предположения:
1) коэффициент теплопроводности стержня Л сохраняет постоянное значение 150 ккал!м • ч • град;
2) изменение температуры по радиусу стержня пренебрежимо мало.
23. 7. Один конец алюминиевого стержня диаметром 12,7 мм подвергается нагреву в печи с постоянной температурой 320° С. Объединенный коэффициент теплоотдачи, от печи к стержню, учитывающий одновременно и конвекцию, и излучение, равен 30 ккал!м* • ч * град.
Стержень заходит в печь на глубину 20 см. Снаружи печи стержень окружен воздухом с постоянной температурой 269 С, и здесь объединенный коэффициент теплоотдачи равен 10 ккал!м2 • ч • град. Стержень достаточно длинный, и можно считать, что его холодный конец находится при температуре помещения. Найти температуру горячего конца стержня, считая, что:
1) тепловой поток и распределение температуры не зависит от времени;
2) стенка печи имеет нулевую толщину;
3) каждый из данных выше коэффициентов теплоотдачи сохраняет постоянное значение по всей поверхности той части стержня, к которой он относится;
4) радиальный градиент температуры в стержне равен нулю;
5) коэффициент теплопроводности стержня сохраняет постоянное значение: 179 ккал/м *ч • град.
24. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ
В этой главе мы изучим некоторые задачи теплоообмена при ламинарном движении жидкости. В гл. 12 мы видели, что, используя совместно уравнение неразрывности и уравнение Навье — Стокса, можно получить решения нескольких важных задач изотермического ламинарного движения. При решении задач теплообмена совместно с этими уравнениями нужно рассматривать уравнение энергии. Как и прежде, мы убедимся, что задачи, связанные с ламинарным движением, легче поддаются решению, чем задачи турбулентного движения.
Разделим задачи теплообмена в ламинарном потоке, представляющие практический интерес, на две категории в зависимости от характера течения:
1) картина течения меняется с увеличением расстояния от входа; это происходит в задачах обтекания и вблизи входа во всех случаях течения в трубах;
2) картина течения одинакова во всех поперечных сечениях, нормальных к потоку; такое течение называется «развитым» и осуществляется только в закрытых каналах вдали от входа.
Во всех случаях движения должен существовать некоторый входной эффект. Кроме того, в неизотермическом случае физические свойства всех жидкостей зависят от температуры и меняются от точки к точке. Поэтому в системе, в которой происходит теплообмен, никогда не развивается одинаковая во всех сечениях картина течения, даже на больших расстояниях от входа. Отсюда следует вывод о том, что понятие развитого ламинарного течения при теплообмене является лишь идеализацией. Однако решение дифференциальных уравнений с учетом изменения физических свойств жидкости весьма затруднительно, так что мы будем считать, что эти свойства постоянны. Для таких идеализированных систем развитое течение достижимо.
20* 307
В этой главе основное внимание уделяется двум примерам из упомянутых выше классов. Сначала рассматривается теплообмен между жидкостью и плоской пластинкой. Используя уравнение энергии, мы получим решение, в котором температура жидкости выражена в зависимости от таких независимых переменных, как положение и скорость набегающего потока. В качестве второго примера мы применим дифференциальное уравнение энергии (в цилиндрических координатах) к задаче о нагревании жидкости в трубе. И для этого случая решение дает зависимость температуры от положения и скорости.
Хотя эти решения дифференциального уравнения энергии дают информацию, достаточную для решения большинства практических задач, инженеры предпочитают пользоваться коэффициентами теплоотдачи. В результате теплообмен даже при ламинарном течении принято характеризовать этими коэффициентами. Способ преобразования выражения для температуры, как функции положения, в выражение для коэффициента теплоотдачи будет указан позднее в этой главе. Коэффициенты теплоотдачи для ламинарного потока сильно зависят от положения. Не так обстоит обычно дело при теплообмене в турбулентном потоке.
ТЕПЛООБМЕН ПРИ РАЗВИВАЮЩЕМСЯ ПРОФИЛЕ СКОРОСТИ
Ламинарное течение вдоль плоской пластинки. Задача о теплоотдаче к жидкости, ламинарно движущейся параллельно плоской пластинке, решена Польгаузеном [125]. Его решение основано на дифференциальных уравнениях неразрывности энергии и импульса, которые были выведены ранее (в гл. 9—11). Применение уравнений неразрывности и импульса к задаче определения поля скоростей при изотермическом ламинарном обтекании плоской пластинки было изложено в гл. 12. Чтобы расширить это рассмотрение и учесть теплоотдачу от пластины к жидкости* запишем дифференциальное уравнение энергии (10. И) для потока несжимаемой жидкости без выделения тепла, т. е. при отсутствии тепловых источников. ;
dt , dt , dt , dt _ % / № , d4 । d2t \ i
Ux dx 'Uy dy 'Uz dz ' dx qCp \ dx2 ' dy2 dz2 J ' j
Если течение двумерное, иг = 0. В стационарном случае |
= 0. Пренебрежем вдобавок теплопроводностью во всех |
направлениях, кроме перпендикулярного к пластине, так, что | d2t = = о I
dx2 dz2 * I
В результате получим уравнение |
dt . dt d2t /су / 4 \
Uy "а— =~-7?— * а 2 • (Z4. 1) Я
х dx 1 и ду qCp dy2 х ' Я
308
Это уравнение нением импульса
сходно с выведенным ранее упрощенным урав-
„ дих , „ дих __ р, д2их х дх ' у ду q ду2
(24. 2) вместе с уравнением неразрывности
(24.2)
Из уравнения
(12. 44) мы получили распределение скорости в ламинарном пограничном слое. Оно показано на рис. 12. 8, где безразмерная скорость представлена в функции от величины у (обозначенной через ц).
Если число Прандтля жидкости равно единице, то, л к
как легко убедиться, температуропроводность „ и кинемати-QCp
ческая вязкость равны. Если, далее, заменить температуру t в уравнении (24. 1) безразмерной переменной ~~, то уравнения (24. 1) и (24. 2) будут иметь одинаковые граничные условия.
Рассмотрим только случай, когда пластина находится при постоянной температуре t&. Для удобства положим, что ts больше, чем температура жидкости на границе температурного погранич-
ного СЛОЯ ^q.
при у = 0 = o, = 0;
h ^0 wo
при У= оо ts — t = 1, ux = 1;
ts—^0 u0
при х “0 ts — t = 1, Ux = 1.
^8 ^0 UQ
Мы видим, что дифференциальные уравнения энергии и импульса (24. 1) и (24. 2) совпадают, если они применяются к жидкости с числом Прандтля, равным 1. Поэтому они имеют идентичные решения, т. е. в любой точке потока (ж, у) безразмерные скорость — и температура — равны. Таким образом, решение для профиля скорости, показанное на рис. 12. 8, равным образом пригодно для определения профиля температуры. Поэтому в данном случае между процессами переноса тепла и импульса есть прямое соответствие, и температурный и гидродинамический слои имеют равную толщину. Эти результаты имеют определенное значение, так как многие газы и некоторые жидкости, например, вода при 190° С, имеют число Прандтля, близкое к 1.
309
В общем случае, однако, жидкости имеют числа Прандтля в диапазоне от 0,001 до 1000, а иногда и вне этого диапазона.
Польгаузен распространил данное решение на жидкости с числом Прандтля, отличным от единицы. Его метод излагается ниже. " Воспользуемся введенными в гл. 12 переменными —- см. соотношения (12. 68), (12. 69), (12. 72) и (12. 73):
n
У xvuq
bif Oi)-/(n)]
dip иу —----з2-
у дх
и безразмерной температурой (ts— -tQ). Дифференциальное уравнение энергии (24. 1) сводится теперь к следующему уравнению:
&
(24.3)
dr] ’
—6О/ Рг/(Т])
dr\2 2
которое может быть непосредственно проинтегрировано методами, используемыми для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробности этого решения приводятся в книге Кнудсена и Катца [85]. Зависимость / (ц), которая была определена для изотермического течения, представляется рядом, приведенным ранее — см. уравнение (12. 74). Польгаузен использовал эту зависимость, чтобы получить профили температуры для жидкостей в широком диапазоне чисел Прандтля.
Некоторые из этих профилей показаны на рис. 24. 1. Величину ц, использованную на рис. 24. 1, можно записать также в виде у j/-^-. Здесь можно выделить две безразмерные группы — — и . Последняя величина является местным числом X V
Рейнольдса и обычно обозначается через Вех (индекс показывает, что она относится к расстоянию х от передней кромки пластинки).
Решения, представленные на рис. 24. 1, пригодны для жидкостей в широком диапазоне чисел Прандтля. Для жидкостей в более узком диапазоне Рг>>0,6, кривые 24. 1, как установлено эмпирически, могут быть представлены одной зависимостью, * связывающей безразмерную температуру —— с ве-
310
личиной — КеУ*Рг‘/*, как показано на рис. 24.2. Эта зави-симость основана на полученной Польгаузеном формуле для отно-
Рис. 24. 1. Распределение температуры при ламинарном обтекании плоской пластинки с постоянной температурой. Диапазон чисел Прандтля от 0,016 до 1000.
шения толщины гидродинамического пограничного слоя б к толщине температурного пограничного слоя б^г
б б*
(24.4).
Это приближение годится при Рг > 0,6. Основными веществами, исключаемыми при этом, являются жидкие металлы. Воспользуемся соотношением, показанным на рис. 24. 2, чтобы найти коэффициент теплоотдачи, который был определен в предыдущей главе выражением (23. 6)
=Рг,/’.
Рис. 24. 2. Распределение температуры при ламинарном обтекании плоской пластинки с постоянной температурой. Рг > 0,6.
Имея в виду граничные условия, перепишем уравнение (23. 6)
в виде
(24.5)
Величину
Л 1
1(*«— to) J
dy
у—о
Для
можно получить, определяя угловой
жидкостей с Рг > 0,6 коэффициент касательной
311
к кривой рис. 24. 2 при у Re^*Pr1/8 = 0. Этот угловой коэффициент равен 0,332.
д [Gs—0 1
= №32 Re 1 / 2pr 1 /, дУ x
Следовательно, коэффициент теплоотдачи ах можно выражением
О332Х Rei/.p */.
X
(24.6)
представить
(24. 7)
Безразмерная группа -у— является важной величиной, известной в теплоотдаче под названием числа Нуссельта. Здесь х —- характерная длина. Когда в число Нуссельта входит коэффициент теплоотдачи ах, зависящий от координаты, тогда и число Нуссельта подобным же образом зависит от координаты и обозначается через Nux. Очевидно поэтому, что уравнение (24. 7) можно полностью записать в безразмерных величинах:
Nux - 0,332 Re’/’Pr >*. (24.8)
Уравнение (24. 7) определяет местный коэффициент теплоотдачи ах на расстоянии х от переднего края пластины. Если отыскивается средний эффективный коэффициент теплоотдачи для всего участка от передней кромки до точки х, его можно получить следующим образом:
5 — (is — £0) — J* ах (t8 tQ) b dx, (24. 9)
о
где b — ширина пластины в направлении оси z. Так как температура пластинки постоянна, разность ta — tQ постоянна. Тогда имеем
am=^- J axdx = ^^^yi,(^y1, J 4^. (24.10) о о
Поэтому средний коэффициент теплоотдачи ат выразится формулой
0,332 % / Wq \*/г /\1 /8 /Q у 1 / 0,664 X /UqL\1 /2 /\1 /з
ат=——\—) \—) \—) •
(24. И)
Эту формулу можно записать в безразмерных величинах:
Num = 0,664 Re‘/2Pr1/a.
JL/
(24.12)
312
Обозначение^ Rex используется в уравнениях, содержащих местные коэффициенты. Символ ReL используется в уравнениях, содержащих средние коэффициенты, относящиеся к участку поверхности длины L.
В гл. 12 было указано, что ламинарный пограничный слой сохраняется на гладкой пластинке до чисел Рейнольдса, равных примерна 5 • 105. Очевидно, проведенное в этой главе исследование теплообмена подчиняется тем же ограничениям. Не следует, кроме того, забывать, что формулы (24. 6)—(24. 12) применимы только при Рг > 0,6.
Пример 24. 1
Воздух с температурой 22° С при постоянной скорости набегающего потока 15 м!сек движется параллельно плоской пластинке, нагретой до постоянной температуры, равной 100° С. Найти протяженность ламинарного пограничного слоя на пластинке, толщину гидродинамического и температурного пограничного слоя на критической длине, местный коэффициент теплоотдачи на критическом расстоянии и средний коэффициент теплоотдачи для части пластинки, покрытой ламинарным пограничным слоем.
Воздух при 66° С имеет следующие параметры:
v = 0,2 • 10"< мЧсек*,
X = 0,0244 ккал!м • ч • град}
Рг = 0,72.
Протяженность ламинарного пограничного слоя определится, если взять, число Рейнольдса, равным критическому 5 • 10б. Решая относительно х, имеем:.
,=3 «р-— = 5'‘"‘'‘У0.67
и0 15
Толщину гидродинамического пограничного слоя можно найти по формуле (12. 75).
При х = 0,67 м находим:
® _ /0,2-10~4* 0,67V/2
о = 5 (----тр----) = 0,0048 м.
\ 15 /
Толщину температурного пограничного слоя при"# = 0,67 найдем по. формуле (24. 4):
А_ = Рг1/з; Of
. 0,0048 0,0048
^"о.тг’/^Ж^0’0054*-
Местный коэффициент теплоотдачи при х = 0,67 определяется по формуле (24. 7):
аж = °—32 Х Rey «Рг1 '3 = °’332_0'Q244 (5.105)‘/». 0>72‘ /»= 7,7 ккал/м2 . ч град, х л U,o7
Средний, эффективный коэффициент теплоотдачи для участка пластины от переднего края до точки, где ламинарный пограничный слой турбулизу-ется (х = 0,67 м), равен удвоенному местному коэффициенту при х = 0,67. Таким образом, ат = 2ах = 15,4 ккал/м2 • ч • град.
3ia
Теплоотдача к жидкости, входящей в трубу. Жидкость обычно поступает в трубу с равномерным распределением скорости и температуры. Если стенки трубы охлаждаются или нагреваются по всей длине, у входа в трубу начинают развиваться и гидродинамический профиль скорости, и профиль температуры. Как и в случае обтекания плоской пластинки, местный коэффициент теплоотдачи имеет бесконечное значение на входе и уменьшается до некоторого предельного значения в удаленной части трубы.
Задача развития гидродинамического пограничного слоя решена для изотермического течения и уже рассмотрена в гл. 12. Задача одновременного развития гидродинамического и температурного слоев изучена Кейсом [81]. Его подход заключался в использовании результатов Лангхаара, относящихся к развитию профиля скоростей, при численном интегрировании дифференциального уравнения энергии. Он получил решения, ограничиваясь жидкостями с Рг == 0,7 для условий постоянной температуры стенки, однородного потока тепла со стенки и постоянной разности температур между стенкой и жидкостью.
Естественная конвекция у вертик ал ь-ной стенки. Важным в технике случаем является теплоотдача от вертикальной стенки к жидкости, движущейся параллельно стенке за счет естественной конвекции. Свободная конвекция возникает в любой системе, в которой плотность жидкости меняется по пространству. Однако, если жидкость находится в вынужденном движении, влияние свободной конвекции обычно незначительно. Если поток за счет вынужденной конвекции уменьшается, появляется область, в которой имеют значение оба механизма. Пример, который будет рассмотрен в этом разделе, — это предельный случай, когда движение вызывается только нагревом.
Эту задачу можно решить, используя уравнения неразрывности и энергии, приведенные ранее при рассмотрении вынужденного ламинарного обтекания нагретой пластины. В дифференциальное уравнение энергии, однако, нужно ввести массовую силу, учитывающую действие силы тяжести на нагретую жидкость. В результате уравнение импульсов записывается в виде
е =««₽ (Г-М+(24.13)
Хотя массовые силы, вызванные изменением плотности, в этом уравнении существенны, влияние сжимаемости на другие члены дифференциальных уравнений несущественно, так что эти уравнения можно использовать, считая параметры жидкости постоянными. Эта система уравнений была решена * для случая нагрева
* Решение Польгаузона изложено в обычных источниках, например
314
идеального двухатомного газа за счет свободной конвекции у вертикальной стенки, имеющей постоянную температуру. Это решение» записанное в безразмерных величинах, есть
Num = 0,478 Gr*/4, (24.14)
где среднее число Нуссельта Num = число Грасгофа Gr =
L v2t J •
Коэффициент теплоотдачи aw — это средний коэффициент для участка от нижнего края стенки до точки, находящейся на расстоянии L от нижнего края. Этот коэффициент используется с температурным напором, равным разности температуры стенки и температуры вне температурного пограничного слоя, или t0. Температура в знаменателе числа Грасгофа должна быть выражена в абсолютной шкале, так как аналитическое решение получено в предположении, что коэффициент объемного расширения 0 равен обратной величине абсолютной температуры. Это верно толька для идеальных газов. Вообще же число Грасгофа входит в большую часть зависимостей для свободной конвекции. Формула (24. 14) годится только для полностью ламинарного течения. Турбулентные течения будут рассмотрены в гл. 25 и 26.
Другие случаи. Для инженеров представляют интерес и другие случаи теплообмена в ламинарном потоке с развивающимся профилем скорости. Один из случаев — эта плоская пластинка, нагретая часть которой начинается на некотором расстоянии от передней кромки. При этом, когда начинает развиваться температурный пограничный слой, гидродинамический пограничный слой уже частично развит.
Существенное значение имеет задача о поперечном обтекании нагретого цилиндра и об обтекании сферы. При малых числах Рейнольдса, когда имеет место ламинарное течение без отрыва,, можно получить численные решения дифференциальных уравнений. Однако в большинстве практически важных случаев поток отрывается от поверхности цилиндра, и приходится пользоваться эмпирическими методами. Эта задача будет рассмотрена более подробно в гл. 25 «Теплообмен при турбулентном движении».
ТЕПЛООБМЕН ПРИ РАЗВИТОМ ПРОФИЛЕ СКОРОСТИ В ТРУБЕ
В наиболее часто встречающихся задачах теплообмена приходится рассматривать нагревание и охлаждение жидкостей в трубах. Хотя только что рассмотренные входные эффекты могут значительно влиять на общую работу коротких элементов оборудования, часто интерес представляют те случаи, когда входные эффекты пренебрежимо малы.
315
Профиль скорости в развитом изотермическом ламинарном потоке имеет форму параболы. Уравнение для этого профиля было сначала выведено в этой книге в гл. 7 из уравнения баланса количества движения, а в последующем — в гл. 12 из уравнений движения и уравнения неразрывности. Оно имеет вид
их = 2Мь[1-(-^)а] • (24.15)
Если жидкость нагревается или охлаждается, профиль скоростей может сильно измениться из-за влияния температуры на вязкость. Возникающие при этом усложнения задач теплообмена столь велики, что получены только приближенные решения. Гретц [55] дал решения для двух случаев. В одном искажение профиля считается малым и сохраняется параболический профиль. В другом решении это искажение считается настолько сильным, что распределение скорости по сечению считается равномерным. (Такое течение называется стержневым или поршневым.) Это предположение может выполняться приближенно, если жидкость нагревается от стенок трубы (рис. 23. 1). Решения Гретца рассмотрены ниже.
Параболический профиль скоростей. Решение получается в предположении, что осевая составляющая скорости в любой точке трубы определяется уравнением (24. 15). В качестве граничных условий принимается, что температура стенки всюду одинакова и входная температура жидкости постоянна по сечению трубы.
Дифференциальное уравнение энергии (10. И) может быть записано в цилиндрических координатах, и для осесимметричного стационарного случая принимает вид:
dt _ / дЧ . 1 dt
Ux дх а \ дг2 ‘ г дг
дЧ \
дх2 ) *
(24.16)
Если дополнительно предположить, что теплопроводность в направлении течения пренебрежимо мала по сравнению с другими видами переноса, то в уравнении (24. 16) можно опустить член дЧ
. Объединяя это упрощенное уравнение энергии с уравнением (24. 15), получим
Это уравнение в частных производных можно решить методом разделения переменных, проиллюстрированным в гл. 21. В предположении, что температура выражается произведением двух величин, одна из которых является функцией радиальной координаты г, а другая — осевого расстояния х, получаются два обыкновенных дифференциальных уравнения. Решение уравнения,
316
связывающего t и х, выражается показательной функцией. Решение уравнения, связывающего t и г, выражается рядом. Объединение этих решений дает выражение:
ОО Hn I
п=0
(24.18)
Значения постоянных Вп и |3П были даны для первых 10 членов ряда Селларсом, Трибусом и Клейном [147]. В той же работе имеются выражения для определения фп, которые являются функциями . Подробности решения Гретца приводятся Дрю [40] и Джейкобом [74]. Среднюю температуру жидкости в любом сечении можно найти, подставляя выражения (24. 18) для температуры и (24. 15) для скорости в формулу
Ч
*ъ = -;1 „ f (2Ср^х)(2лг)йг,
* о
которая после упрощения переходит в
Ч
tb = -4- Г tuxrdr. riUb J
о
(24, 19)
Определение средней температуры или температуры смешения кратко рассмотрено в примере 4. 2.,
Местный коэффициент теплоотдачи ах можно найти, записывая уравнение теплового баланса элементарного отрезка трубы dx:
ах (л/) dx) (t8 — tb) = WCP dtb.
Это уравнение сводится к следующему:
Q __WCp dtb 1 . х nD dx t8—tb
(24. 20)
Выражение для местного коэффициента теплоотдачи ах после умножения обеих частей на -%- превращается в формулу для мест-
ного числа Нуссельта —.
Таким образом, преобразование формул (24. 18)—(24. 20) приводит окончательно к сложному уравнению, выражающему параметр Nux в функции от выражения , известного под названием
числа Гретца. Это выражение может быть раскрыто и записано
317
в виде Ре (“) ’ где величина ₽е» называемая числом Пекле, — это произведение Re Рг.
Результаты показаны на рис. 24. 3.
Равномерное распределение скорости. Если считается, что течение поршневое, их = иь во всех точках, из уравнений неразрывности, импульсов и энергии после упрощений получаем
(24.21)
дЧ
dr*
1 dt иъ dt г dr a dx
Рис. 24. 3. Местное число Нуссельта для развитого ламинарного течения в трубе.
а — стержневое течение (равномерно распределенный тепловой поток); б — стержневое течение (постоянная температура стенки); в — параболический профиль скорости (равномерно распределенный тепловой поток); г — параболический профиль скорости (постоянная температура стенки).
Решение этого уравнения несколько проще, чем решение уравнения с параболическим профилем. Это происходит потому, что уравнение в частных производных после разделения переменных дает два обыкновенных дифференциальных уравнения, которые можно решить стандартными методами. Одно решение является простым экспоненциальным выражением, а в другое входит функция Бесселя. Окончательное решение с учетом граничных условий постоянства температуры на стенке и постоянства температуры на входе имеет следующий вид:
со -ч(тг)
t8’—t V1 2 J (W\ е Re Рг
—^0 1 (ап) \ гг /
n = i
(24. 22)
318
Величина ап является га-ым корнем уравнения Jo (ап) = О, JQ и J\ — бесселевы функции нулевого и первого порядка, которые можно найти в стандартных таблицах.
Подробности решения приведены в работах, цитированных ранее при рассмотрении задачи о течении с параболическим профилем скорости.
Выражение для средней температуры (24. 19) упрощается при применении к стержневому течению, так как их = иь. Это дает:
г;
(24. 23)
По величине tb, применяя формулу (24. 20), можно найти местный коэффициент теплопередачи ах. Затем этот коэффициент используется для вычисления местного числа Нуссельта — . Выражение для этой важной величины имеет вид:
-2a2 -co V a Re Pr
ClxD __ п = 1
(24.24)
„ -Mt) Е,и
П=1
Эта зависимость показана графически на рис. 24. 3.
Однородный тепловой поток. Для обеих принятых на предыдущих страницах схем потока получатся другие решения, если граничное условие постоянства температуры стенки заменить условием однородного удельного теплового потока через стенку. Поведение местного числа Нуссельта при этом граничном условии показано на рис. 24. 3.
Для всех случаев, показанных на рис. 24. 3, местное число Нуссельта, как можно убедиться, приближается для длинных труб к предельным значениям. В случае однородного теплового потока эти предельные значения можно вычислить, не решая полностью исходных уравнений, как показано в примере 24. 2.
Пример 24. 2
Показать, что в случае однородного притока тепла к жидкости местное число Нуссельта при стержневом течении в длинных трубах стремится к 8.
Из уравнений неразрывности, импульсов и энергии для данного случая получаем уравнение (24. 21):
d2/ . 1 dt иъ dt dr2 ' r dr a dx *
319
Если тепло подводится с одинаковой интенсивностью в расчете на единицу длины трубы, профиль температуры на больших расстояниях от входа в трубу будет стремиться к некоторой постоянной форме. В этой области постоянно во всех точках, так что уравнение (24. 21) можно записать в виде
d2t .1 dt ub dt __ dr2 ‘ r dr a dx C' (1)
где с — постоянная.
Так как течение стержневое,
dt dtb ас dx dx ub * Из уравнения (24. 20) WCp ас 1 (2) (3)
TtZ) Ub $8 Расход равен TT7 W = QUb—.
Подставляя это значение в формулу (3), получим
— 1
х & 4 JiDQCpUbts — tb 4 (ts — tb)
Преобразуем это выражение, чтобы получить местное число Нуссельта:
.cDL (4)
Температура на данном расстоянии от оси может быть выражена через с путем интегрирования уравнения (1). Это делается стандартным приемом. В качестве новой неизвестной переменной примем — , причем уравнение (1) сведется к уравнению первого порядка, которое интегрируется непосредственно. После интегрирования выражение для температуры имеет вид
<=^ + Ci1nr+C2. (5)
Для определения произвольных постоянных и С2 воспользуемся граничными условиями:
dt D
— = 0 при r = 0, t = ts при г = —.
Решением является функция
/г2 D2 \
'=Чт-(6)
В уравнении (6) ts—функция х, так что t=f (г, х). Если проинтегрировать это выражение в соответствии с формулой (24. 23), средняя температура оказывается равной
cD2
tb = -^r+ts- (7)
Ой
320
Отсюда получим выражение для разности температур
ts —
cP2
4 ’
подстановка которого в формулу (4) дает
ахР _сР2 32
X ~ 4 сР2~~^
(8)
Средние коэффициенты. Для расчета удобно знать средние коэффициенты теплоотдачи для всей длины трубы. Если температура поверхности a tb2 означает среднюю температуру на выходе из трубы, среднее арифметическое значение коэффициента аа для площади А можно определить следующим выражением:
д = ааА fc-<o)+(<s-^2) = ааА (ts _ tb)a (24. 25)
В этом уравнении
q = WCp(tb2~tQ)y A^itDL.
Подставляя эти выражения в соотношение (24. 25) и преобразуя, получим число Нуссельта для среднего значение разности температур:
____2WСр tb 2 *0 /n z 9fi\ X “ лХ£ (*в—*0)+ *ь2) *
Значение tb2 можно получить, подставляя в формулу (24.19) результаты одного из решений для температуры как функции х и г — уравнения (24. 18) или (24. 22). Эти значения tb2 можно потом подставить в уравнение (24. 26), чтобы вычислить - • Некоторые результаты таких вычислений показаны на рис. 24. 4. Эквивалентный способ определения аа заключается в том, что записывается уравнение, подобное уравнению (24. 9):
L
f = aaL (ts - tb)a = J ax (t, - tb) dx. (24. 27)
0
Это дает те же результаты, что и формула (24. 26).
Для длинных труб и малых расходов средняя температура на выходе tb 2 примерно равна температуре стенки ts, так что выражение (24. 26) упрощается:
(24.28)
Это упрощенное выражение применимо как к стержневому течению, так и к течению с параболическим профилем скорости.
21 Заказ 519.
321
В результате кривые Ъ и с на рис. 24. 4 смыкаются при малых значениях и имеют наклон 45°.
Часто уравнение, подобное (24. 25), записывают, принимая в качестве температурного напора логарифмическое среднее величин ts — t0 и tt — tbi. Поведение этих двух видов средних зна-как функций пока-
зано на рис. 24. 4.
При значениях > АД
>10 для течения с параболическим профилем скорости среднее число Нус-сельта может быть с достаточной точностью представлено эмпирической формулой
“4Р=1,в2('^у/-.
Рис. 24. 4. Среднее число Нуссельта для развитого ламинарного течения в трубе при постоянной температуре стенки,
а — параболический профиль скорости I Ь — а,_Р параболический профиль скорости ; с —
стержневое течение*
формулу записать
(24. 29)
Величина равна
DufyO D
---ZK- у так что
(24. 29) можно в виде
Nua = 1,62 Re‘/s Рг*/з (Z’.
\ Li /
(24.30)
Эта формула служит основой широко известного соотношения Зидера и Тейта [154], которые предложили следующую формулу:
Nua = 1,86 Re^’Pr*7* (24. 31)
где р — вязкость жидкости при средней температуре потока; ps — вязкость при температуре стенки.
(LL \0,14 __
j служит эмпирической поправкой на искажение профиля скорости из-за влияния температуры на вязкость.
Другое представление, встречающееся весьма часто, получается в результате деления обеих частей уравнения (24. 31) на произведение^ Re Рг. Это дает
$W(^)-‘=‘^(^?8)'(т),': <м-32)
322
Пределы применимости этого уравнения исследованы МакАдамсом [108], который указывает, что некоторые экспериментальные данные отклоняются вверх от значений, даваемых формулой (24. 32) вплоть до 250%. Одна из возможных причин состоит в том, что эта формула выведена в предположении, что течение является развитым, тогда как в коротких трубах входные эффекты, рассмотренные ранее, могут быть значительными. Удачно, однако, что предположение о развитом характере течения приводит коэффициенты теплопередачи к более низким значениям чем те, которые получаются в действительности при наличии входных эффектов, так что расчет по развитому течению будет, по-видимому, обладать дополнительным запасом.
Задачи
24. 1. Смазочное масло нагревается в теплообменнике типа «труба в трубе». Масло поступает во внутреннюю стальную трубу с внутренним диаметром 27 лме, наружным 33 мм со скоростью 0,3 м/сек при температуре 40° С, выходит при 70° С. В кольцевом пространстве между трубами содержится пар, конденсирующийся при 104° С. Коэффициент теплоотдачи для конденсирующегося пара 10 000 ккал/м2 • ч • град. Найти нужную длину теплообменника. Масло имеет следующие средние физические параметры: плотность 900 кг/м\ теплоемкость 0,47 ккал/кг • град, коэффициент теплопроводности 0,10 ккал/м • ч • град.
24. 2. Видоизменение задачи о теплоотдаче к ламинарному потоку жидкости при постоянной температуре стенки было рассмотрено Левеком [101].
Предполагается, что параболический профиль скорости развивается полностью прежде, чем жидкость входит в тот отрезок трубы, где начинается нагрев. Затем развивается температурный пограничный слой, накладываясь на уже развитый параболический профиль скорости.
Для местного коэффициента теплоотдачи ах, который определяет поток тепла при температурном перепаде ts—-£0, Левек получил следующее выражение
Nux = 1,077
В области ReRr это выражение дает для числа Нуссельта
те же значения, что получаются из показанного на рис. 24. 3 более сложного решения Гретца для развитого параболического профиля скорости, так как уравнение Левека не годится за той точкой, где температурный пограничный слой достигает оси трубы, а область, где оно совпадает с общим решением Гретца, является мерой длины распространения температурного пограничного слоя или температурного входного эффекта. Выразить эту длину в диаметрах трубы для чисел Рейнольдса 100, 1000 и 2000 для воздуха, воды, легкой нефти и ртути при 93р С.
Жидкость Рг
Воздух........................ 0,72
Вода.......................... 1,88
Легкая нефть................... 62
Ртуть......................... 0,016
24. 3. Соотношение (24. 8) не применимо к жидкостям с числом Прандтля, меньшим 0,6. Найти коэффициент теплоотдачи при критическом числе Рейнольдса Rex = 500 000 для ртути, движущейся вдоль плоской горизон
21* 323
тальной пластинки с температурой 93° С. При этой температуре число Пран-дтля для ртути 0,016.
24. 4. Уравнение в частных производных для распределения температуры в жидкости, которая нагревается при ламинарном движении с параболическим профилем скорости, было приведено ранее в этой главе в уравнении (24. 17). Показать способом, аналогичным использованному в примере 24. 2, что для очень длинной трубы при равномерно распределенном тепловом потоке местное число Нуссельта имеет предельное значение 48/11.
24. 5. Жидкость с равномерно распределенной входной температурой £0 ламинарно движется с постоянной массовой скоростью w кг/ч • м2 в замкнутом канале прямоугольного поперечного сечения, поверхность которого во всех точках поддерживается при постоянной температуре t8. Из-за влияния температуры на вязкость профиль скорости можно считать плоским, как в поршневом течении. Ширина канала много больше высоты, так что теплопередачей к вертикальным стенкам можно пренебречь. Продольной теплопроводностью также можно пренебречь, а теплофизические параметры жидкости можно считать постоянными.
Вывести выражение для средней температуры (температуры смешения) жидкости через размеры канала, физические свойства жидкости и расстояние х от входа. Следует отметить сходство между этой задачей и примером 21. 2, который служит иллюстрацией нестационарной теплопроводности.
25. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ
Теплоотдача путем вынужденной конвекции к жидкости, которая находится в турбулентном движении в трубе, — это, быть может, наиболее распространенный в промышленности случай теплообмена. Хотя вынужденная конвекция может сочетаться с ламинарным течением, а турбулентное течение — со свободной конвекцией, эти случаи имеют второстепенное значение. Коэффициенты теплоотдачи при турбулентном движении выше, чем при ламинарном, и теплообменное оборудование обычно рассчитывается так, чтобы использовать преимущества, связанные с этим обстоятельством.
Состояние, знаний относительно теплоотдачи при турбулентном течении по необходимости ограничено степенью наших знаний относительно изотермического турбулентного течения. Мы видели в гл. 13, что использование уравнений Навье — Стокса при исследовании изотермического турбулентного течения затрудняется из-за пульсаций составляющих скорости. По той же причине оказывается сложным использовать дифференциальное уравнение энергии при исследовании неизотермического турбулентного потока. В большинстве турбулентных потоков тепло передается главным образом за счет движения многочисленных макроскопических элементов жидкости (вихрей) между областями с различной температурой. Мы не можем предсказать поведение этих вихрей, но если бы и могли, то выражения, описывающие это поведение, оказались бы, вероятно, такими сложными, что одновременное решение уравнений движения и энергии было бы невозможным. Тем не менее решения этих задач должны быть найдены. В этой главе мы рассмотрим некоторые теоретические результаты, используемые в технике, а в следующей главе —- некоторые расчетные соотношения. Их смысл и пределы их применимости поможет установить излагаемая теория.
325
ВХОДНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В предыдущей главе, посвященной теплообмену при ламинарном течении, в первой части рассматривалась теплопередача при развивающемся течении, а затем теплопередача при развитом течении. Входные эффекты, связанные с развитием течения, существуют также и в турбулентном потоке, и могут значительно влиять на общую эффективность теплообмена при течении в коротких трубах <4 60 ) . Как только входной участок пройден, коэффи-
циент теплоотдачи для развитого турбулентного течения остается практически постоянным. Мы видели, что для ламинарного потока это не справедливо.
Входные эффекты в трубе. Существует много возможных сочетаний тепловых'и гидродинамических условий на входе. В последующих примерах мы предположим, что жидкость входит в трубу с равномерно распределенной температурой и что стенка трубы находится при некоторой постоянной температуре, более высокой, чем температура поступающей жидкости. Будет рассмотрено несколько условий течения на входе, и на основе полученных до сих пор сведений из гидродинамики и теплообмена будет качественно установлено их влияние на местные коэффициенты теплоотдачи.
1. Жидкость входит в трубу с равномерным распределением скорости* при таком расходе, что Re < 2100. При этих условиях развивается, начиная от передней кромки, ламинарный пограничный слой, пока он не заполнит на некотором расстоянии от входа всю трубу. На входе коэффициент теплоотдачи равен бесконечности; он будет продолжать убывать даже после точки, где достигается развитое течение. Этот случай был рассмотрен в предыдущей главе.
2. Жидкость поступает в трубу ламинарным потоком с равномерным распределением скорости и с таким расходом, что Re > > 2100. Это условие может выполняться при скругленном входе. У входа образуется ламинарный пограничный слой, который переходит в турбулентный на критическом расстоянии, как это было уже описано в гл. 12 для случая обтекания плоской пластинки. Толщина турбулентного пограничного слоя возрастает с увеличением расстояния от входа, пока он не заполняет всю трубу, образуя турбулентное ядро и ламинарный подслой на стенке. Дальше течение во всех отношениях тождественно течению, которое развилось бы при турбулентном потоке на входе. Такой характер течения отражается на значениях местного коэффициента теплоотдачи, который уменьшается от бесконечности у входа до некоторого минимального значения в критической точке, где ламинарный пограничный слой сменяется турбулентным. Возле этой точки коэффициент теплоотдачи возрастает на коротком участке, 326
а затем продолжает убывать, пока турбулентный пограничный слой не сомкнется в центре трубы. Экспериментальные данные для случая движения воздуха в трубе с плавным входом показаны на рис. 25. 1. При возрастании значений Re точка минимума а сдвигается ближе к входу.
3. В трубу поступает турбулентный поток с неравномерным распределением скорости с таким расходом, что Re >» 2100. Профиль скорости на входе может быть обусловлен внезапным сужением или изгибом трубы непосредственно перед входом. Развивает-
Рис. 25. 1. Местные коэффициенты теплопередачи вблизи входа в трубу с плавным скруглением [10].
нагретого участка и заполняющий трубу на некотором расстоянии от входа. Однако этот входной участок для неоднородного турбулентного течения обычно не оказывает сколько-нибудь существенного влияния на величину местных коэффициентов теплоотдачи на расстояниях, больших 10 диаметров трубы, тогда как входные эффекты при ламинарном течении обычно распространяются на 50 и более диаметров трубы. Так же, как и при ламинарном течении, коэффициент теплоотдачи у начала нагретого участка бесконечен из-за скачка температуры. Однако он быстро спадает до некоторого постоянного значения, как описано выше.
Боултер, Янг и Иверсон [10] измеряли коэффициенты теплоотдачи для воздуха, движущегося в трубе (с внутренним диаметром 45,3 мм), и выразили средний коэффициент ат через значение коэффициента теплоотдачи на значительном расстоянии от входа «со формулой
ат = «со /1 + . (25.1)
\ "я I
327
Значения к зависят от условий входа, как показано в табл. 25.1. На расстоянии от входа, меньшем пяти диаметров, формула не пригодна.
Таблица 25. 1
Значения к в формуле (25.1)
Тип входа........................•
Плавное скругление.................
Плавное скругление с одной решеткой
Короткий успокоительный участок (L/D — 2,8) при входе с острой кромкой ...........................
Длинный успокоительный участок (£/£ = 11,2) при входе с острой кромкой............................
Ввод под углом 45° ...............
Ввод под углом 90а ................
Диафрагма с цилиндрическим отверстием диаметром 35,5 мм на расстоянии 25,4 мм от входа...........
Диафрагма с цилиндрическим отверстием диаметром 254 мм на расстоянии 25,4 мм от входа...........
К 0,7 1,2
3,0
1,4
— 5,0
— 7,0
— 7,0
16
Эксперименты для входов, снабженных дифрагмами (равно как и для простого входа с острыми кромками), показали, что на графике зависимости ах от существует максимум между 1 и 3. Этот максимум вызывается турбулентностью в зоне, окружающей сжатое сечение потока.
Турбулентное течение вдоль плоской пластинки. Коэффициенты теплоотдачи в области ламинарного пограничного слоя на плоской пластинке были рассмотрены в предыдущей главе, исходя из основных дифференциальных уравнений. Эту задачу можно было бы решить также полуэмпирическим способом при помощи так называемого метода интегральных соотношений Кармана. В этой главе мы рассматриваем турбулентное течение и не имеем возможности воспользоваться уравнениями Навье — Стокса, так что мы используем метод интегральных соотношений, чтобы получить приближенное решение задачи.
Применение интегрального метода к изотермическому течению было уже показано в гл. 13. Мы записали некоторое приближенное выражение для распределения скорости в пограничном слое, и к элементу этого слоя применили уравнение баланса импульса. Отсюда затем получалось выражение для коэффициента сопротивления на поверхности пластинки. Уравнение распределения скорости (13. 95) имело вид
J У У/*
«о \ 6 /
328
В этой задаче мы предположим, что распределение температуры описывается аналогичным выражением
h — t =
$s— /
(25. 2)
Число Прандтля будем считать равным единице, так что б = = б/, и граница контрольного объема на рис. 25. 2 является одновременно границей гидродинамического и температурного пограничного слоев. Вязкой диссипацией и теплопроводностью в направлениях осей х и z пренебрежем.
Рис» 25. 2. Контрольный объем для исследования теплопередачи в турбулентном пограничном слое.
Тепло поступает в систему с потоком жидкости через грани At и А3 и выходит из нее вместе с потоком жидкости через грань А2. Оно поступает также вследствие теплопроводности через участок пластинки площади Л4.
Уравнение баланса энергии (4. 6) запишем для контрольного объема, показанного на рис. 25. 2. Мы пренебрежем изменением кинетической энергии — и потенциальной энергии gz.
Энтальпия i выражается произведением Cpt. Движение ста-dE
ционарно, так что —= 0, и не производится никакой внеш-
ней работы, Ws = 0. Приток тепла в контрольный объем за счет теплопроводности через площадку Л4 запишем в виде
9= —*о)^-
А,
Уравнение баланса энергии принимает вид
JJ* §Cptu cos a dA 4- ff QCptu cos a dA + ff qCptu cos a dA == At As
= (25.3)
A<
329
На поверхности ucosa = — их, а на поверхности А2 и cos a = их, так что можно записать
JJ Q^ptux d^-bff Q^ptux dA-j- ff QCptu cos adA =
At Ai As
= ffax(ts-t0)dA. (25.4)
At
Для дальнейшего упрощения свяжем потоки массы через площадки Av А2 и А3 следующим соотношением, выведенным для несжимаемой жидкости в гл. 13 [см. уравнение (13. 81)1:
ff qu cos a dA = — ff quiX dA + ff QuxdA.
As As Al
Так как температура жидкости на верхней границе пограничного слоя (площадка Л3) постоянна и равна температуре набегающего потока t0, то, умножая (13. 81) на i0 и подставляя полученное выражение в уравнение (25. 4) вместо интеграла по А3, имеем
Jf Q^p “ ^о) dA — f f qCp (t — tQ) ux dA =
A 2 Al
= ffax(t,-t0)dA. (25.5)
a4
Так как все площадки имеют одинаковую ширину и никакие величины не меняются в направлении осИхЯ, можно в уравнении (25. 5) двойные интегралы заменить однократными с соответствующими пределами интегрирования:
62 61 Xs
f Q^p — *о) их dy — f qCp (t—f0) ux dy = J* ax (tB—f 0) dx.
0 0 Xj
(25. 6)
Если теперь считать, что длина х2 — х± стремится к нулю, то левая часть уравнения (25. 6) превращается в дифференциал, а правая часть — в тепловой поток с площадки конечной ширины, но бесконечно малой длины. Поэтому имеем
d
' с
J* — *о) их dy
-•
««X dx-
(25.7)
Отсюда получаем
(25. 8)
330
Безразмерную температуру под знаком интеграла можно преобразовать к виду
t— $8
Имеем далее
их — Uq ( ф
(25. 9)
(25.10)
* Подставим выражения (25. 9) и (25. 10) в (25. 8), заменим пере-
v
менную интегрирования у на jy и заменим верхний предел инте-
грирования:
ах — (>CpU0
(25.J11)
Этот интеграл можно вычислить непосредственно. Его числен-7
ное значение равно Поэтому местный коэффициент теплоотдачи равен
«х = qG>uo 72 * dx ‘ (25.12)
Как было найдено в гл. 13, толщина пограничного слоя б выражается соотношением (13. 102):
4 = 0,376 (Rex)"L
Дифференцируя это уравнение, получим
^ = 0,376 = 0,301 Re"». (25.13)
dx ' \uoq/ 5 ’X X /
Подстановка этого выражения для производной в формулу (25.12) дает
= 0,0292 Re" 'Ь (25.14)
есри0 » х v '
Если обе части этого уравнения умножить на хи^ и , тт a-r#
то получим выражение для местного числа Нуссельта : А
Ыиж = 0,0292 Re‘/sPr.
Так как Рг=1, окончательный вид этой формулы будет
Nux = 0,0292 Rex/i. (25.15) 331
Если выражение для ах проинтегрировать от передней кромки пластинки до расстояния х = Z, как было сделано в гл. 24, то получим среднее число Нуссельта
Num = 0,0365 Re^‘. (25.16)
Такой вывод выражения для NuOT опирался на предположение, что турбулентный пограничный слой начинается у передней кромки. Однако турбулентный пограничный слой начинается при критическом значении Rex, примерно равном 500 000, и ему предшествует ламинарный пограничный слой. Местные коэффициенты от передней кромки до критического расстояния определяют при помощи уравнения (24. 8), а за критической точкой — по формуле (25.15). При таком использовании этой формулы зая всегда следует принимать расстояние от передней кромки пластинки, а не от места возникновения турбулентности. Когда значительная часть пластинки покрыта ламинарным пограничным слоем, непосредственное применение формулы (25.16) является ошибочным. Вместо этого средний коэффициент теплоотдачи находят интегрированием при использовании формулы (24. 8) от х = 0 до конца ламинарного участка и формулы (25. 15) от этой точки до конца пластинки.
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ПЕРЕНОСОМ ИМПУЛЬСА И ТЕПЛА
Подобие процессов переноса тепла и импульса было отмечено в 1874 г. Осборном Рейнольдсом; его работа привела к полезным и простым соотношениям, связывающим коэффициент теплоотдачи, коэффициент сопротивления и коэффициент массопередачи. Уточнения этих соотношений были получены Прандтлем (1910 г.) и Тейлором (1916 г.). Мы рассмотрим вывод, который приводит к соотношению Прандтля — Тэйлора. Мэрфи (1932 г.) и Карман (1939 г.) развили эту работу еще дальше; одно из соотношений носит имя Кармана. В недавние годы были получены дальнейшие видоизменения, в том числе в работах Рейхардта (1940 г.), Боул-тера, Мартинелли и Йонассена (1941 г.), Мартинелли (1947 г.), Лайона (1951 г.) и Дейсслера (1954 г.) \
В этой книге мы не будем детально рассматривать вывод соотношений более сложных, чем уравнение Прандтля — Тэйлора.
Уравнения для теплоотдачи легко обобщить на случай массопередачи; это сделано в гл. 35, посвященной массопередаче при турбулентном движении.
Аналогия Рейнольдса. Рейнольдс установил, что при обмене теплом или импульсом между жидкостью и твердой стенкой процесс переноса обусловливается двумя механизмами:
1 Эти уравнения рассмотрены Джейкобом [74] и Кнудсеном и Катцем [85].
332
«1) естественной внутренней диффузией жидкости в состоянии покоя;
2 ) вихрями, вызываемыми видимым движением, которые перемешивают жидкость и постоянно приводят новые частицы в соприкосновение с поверхностью» [134].
Первую причину Рейнольдс считал зависящей от природы жидкости, а вторую — функцией скорости движения жидкости вдоль поверхности. Суммарное влияние этих причин приводит к уравнению теплоотдачи, которое он записал в виде
H = At + BQvt,
где t — разность температур между поверхностью и жидкостью; q — плотность; и — средняя скорость; А и В — постоянные; Н — количество тепла, передаваемое за единицу времени через единицу площади поверхности.
Сопротивление движению 7?, вызванное трением в жидкости, Рейнольдс записал в виде
2? = 4'i?4-7?'qz?2,
где А' и В' — также постоянные. Различные соображения, сущность которых Рейнольдс не называет, привели к предположению, что«4 и В пропорциональны А' и В'. Мы видим, что величина, которую Рейнольдс записывал в виде Bqv, в наших обозначениях для системы с сильно развитой турбулентностью эквивалентна коэффициенту теплоотдачи а, а величина В' пропорциональна коэффициенту сопротивления /. Таким образом, Рейнольдс утверждает, что а пропорционально /.
Идея Рейнольдса была развита другими исследователями и выражена в математической форме в виде уравнения, связывающего а и /. Мы рассмотрим два основных способа получения этого уравнения. Один способ основан на пропорциональности между переносом тепла и импульса, а второй — на уравнениях для потоков тепла и импульса (количества движения).
Пропорциональность переноса тепла и переноса импульса можно выразить через посредство четырех величин, которые мы определим для случая движения в трубе жидкости, имеющей среднюю температуру tb и отдающей свое тепло стенке трубы, находящейся при температуре ts. Этими четырьмя величинами являются:
(а) — поток тепла от жидкости к стенке трубы, a (tb — ts) ккал о м2 • ч ’
/г\ г кг*м/ч
(б) —- поток импульса на стенке трубы, т8—
(в) — запас энергии, которая может быть передана в единицу времени при переносе тепла параллельно стенкам трубы, WCP /. .к ккал
— м —г—;
333
(г) — количество движения, переносимое в единицу времени параллельно стенкам трубы, Wub -- --- .
Затем постулируем, что между этими величинами существует следующая пропорция:
W._
(*) (а) ‘
Отсюда можно найти для коэффициента теплопередачи выражение
(25.17)
(25.18)
(25:19)
а = -5—. иъ
В гл. 13 было показано, что касательное напряжение на стенке т8 связано с коэффициентом сопротивления / формулой
Поэтому, объединяя уравнения (25. 17) и (25. 18), получим формулу, которая известна под названием аналогии Рейнольдса, хотя она в действительности не была выведена Рейнольдсом:
п _ fubQCp
—2~
Второй метод вывода этого уравнения имеет полутеоретическую основу и будет изучен после того, как мы рассмотрим в следующем разделе применение теории пути перемешивания.
Турбулентная температуропроводность и путь перемешивания. В гл. 13, посвященной турбулентному движению, мы записали уравнение (13. 37), связывающее полное касательное напряжение т^х с градиентом скорости
dy *
^x=e(v + Ve)^.
В этом уравнении кинематическая вязкость v зависит только от молекулярного строения жидкости, тогда как ve — турбулентная вязкость, определяемая движением жидкости.
Как было показано, величина ve связана с прандтлевским путем перемешивания I и градиентом скорости соотношением (13. 39)
I “У I
Можно прийти к аналогичной величине, известной под названием турбулентной температуропроводности. Рассмотрим движение жидкости, показанное на рис. 25. 3. Здесь приведены скорости
334
Рис. 25. 3. Роль пути перемешивания Прандтля в переносе тепла в турбулентном потоке.
и температуры в двух плоскостях, отделенных расстоянием, равным пути перемешивания Z. Предположим, что перенос жидкости между этими плоскостями осуществляется со скоростью, равной среднему по времени значению абсолютной величины пульсационной компоненты скорости |и^|. Энергия переносится с частицами жидкости и ее поток через единичную площадку равен потоку массы, умноженному на произведение удельной теплоемкости и разности температур | иу\ qCp I . В гл. 13 было ука-L \ аУ
зано, что абсолютные величины иу и их пульсационных составляющих скорости в некоторой точке имеют одинаковые средние по времени значения, и было дано выражение (13. 40) для этих величин через путь перемешивания:
Поэтому поток тепла за счет турбулентного движения жидкости принимает вид qCW2|-^ •
Это выражение содержит ве
личину Z2 , которая в формуле (13. 39) названа турбулентной кинематической вязкостью ve. Когда эта же величина входит в уравнения турбулентной теплопередачи, она называется турбулентной температуропроводностью и обозначается через
Поэтому поток тепла за счет турбулентности можно записать
в виде . Закон теплопроводности Фурье (19. 1) можно
было бы записать, используя молекулярную температуропроводность:
А к р dy
(25.20)
Если записать уравнение, выражающее количество тепла, переносимого в жидкости за счет одновременно происходящих процессов теплопроводности и турбулентного перемешивания, то получим
±.= -QCp(a + ae)^, (25.21)
что аналогично приведенному выше уравнению (13. 37).
На основании нашего вывода турбулентная кинематическая вязкость и турбулентная температуропроводность равны. Хотя
335
экспериментальные данные показывают, что это верно лишь приближенно, предположение о равенстве часто делается в теоретических исследованиях. Вывод выражений для обеих величин основан на предположении, что частицы жидкости проходят расстояние, равное пути перемешивания, а затем отдают свои избыточные тепло и я-компоненту импульса. Это, вероятнее всего, не осуществляется на практике, но не лишено смысла предположение, что истинные количества переносимых тепла и импульса отличаются от идеализированного выражения в одинаковой степени.
Хотя вопросы массопередачи будут рассматриваться позднее, уместно здесь записать уравнение для массопереноса компонента А при движении двойной смеси:
Л“-(»лв + ^Я,)^- (25.22)
Это выражение содержит коэффициент молекулярной диффузии Dab и коэффициент турбулентной диффузии DАВе В дальнейшем будет приведен вывод, аналогичный намеченному выше выводу для ае, чтобы показать, что DАВе = Z2|dux/dy|. Таким образом, согласно теории пути перемешивания DАВеУ ае и ve равны.
Вывод аналогии Рейнольдса из теории турбулентного переноса. Уравнение (25. 19), связывающее а и /, было выведено из пропорции, основанной на интуитивных соображениях. Его можно вывести также из уравнений для турбулентного переноса тепла и импульса, и этот вывод, возможно, более поучителен, поскольку предположения, которые приходится делать, выявляют недостатки окончательного выражения.
Запишем уравнение (25. 21) для жидкости, которая охлаждается за счет радиальной теплопередачи в трубе. Расстояние отсчитывается от стенки, так что уравнение (25. 21) принимает форму
± = QCp(a + ae)^. (25.23)
Все величины, входящие в это уравнение, относятся к средним по времени значениям. Аналогичное уравнение, в которое входят только осредненные по времени величины, запишем для потока импульса. Полное касательное напряжение, действующее в направлении оси на поверхности элемента жидкости, имеющего форму цилиндра, равно
t = e(v + ve)g. (25.24)
336
Если молекулярные коэффициенты переноса а и v считать пренебрежимо малыми по сравнению с турбулентными, то уравнения (25. 23) и (25. 24) можно записать, выделяя dy, в виде
QCpde dt QVe du
А
Если ае и ve считать одинаковыми, то можно записать du^-^-dt. (25.25)
~А
Как уже было показано, изменение т с радиусом как для ламинарного, так и для турбулентного потока следует соотношению 1
— =-1 —А Тз П •
Поскольку перенос тепла в турбулентном потоке происходит аналогично переносу импульса, то положим, что плотность теплового потока следует тому же соотношению:
<1
7TV = 1-K- (25.2в)
\лЛ
Из этих двух уравнений видно, что отношение --Ц- постоянно
для всех расстояний от оси. Удобнее всего пользоваться его значением на стенке, так что мы обозначим его через , т\- , хотя в
(I).
большинстве уравнений теплопередачи под величиной непосредственно понимается плотность теплового потока на стенке. Так как это отношение постоянно, уравнение (25. 25) можно проинтегрировать, вынося за знак интеграла. Интегрирование
будем вести от значений на стенке до значений в той точке жидкости, где осредненное по времени значение скорости равно средней скорости. Предположим также, что температура жидкости в этой точке совпадает со средней температурой (температурой смешения). Тогда
иь и8= f (tb h)-
1 В предположении равномерного распределения давления по сечению. {Прим, ред.)
22 Заказ 519. 337
Мы знаем, что скорость на стенке и9 равна нулю. Имеем далее
И 1 л 2
T = y/ubQ.
Поэтому получается уравнение
<25-27)
которое сводится к формуле (25.19)
„ _ fubQCp
2 ’
Одно из основных предположении, сделанных при выводе, состоит в том, что а и v пренебрежимо малы по сравнению с ав и ve. Поскольку отношение via равно числу Прандтля, для жид-костей с Рг = 1 v = а, и в этом частном случае v + ve =
О'----------------------------------
О 02 ОУ 0.6 0.8 [О
У/г1
= а + ае, так что уравнение (25. 19) можно получить, не пренебрегая молекулярным переносом. Это означает, что уравнение (25. 19) дает лучшие результаты для газов, для которых, как мы знаем, Рг 1.
Равенство ае и ve оспаривается многими исследователями. Эти величины можно вычислить по измерениям профилей температуры и скорости. Большинство результатов показы-
Рис. 25. 4. Отношение турбулентных коэффициентов переноса для ртути при движении в вертикальных трубах [71].
вает, что 0,5 <* — < 2. Изме-нение этого отношения с расстоянием от стенки и с числом
а 75r7 = %To:oo; г-ЪГе=Ъ20о°оо000: Рейнольдса Re показано на рис. 25. 4.
Метод Прандтля — Тэйлора. Один из недостатков аналогии Рейнольдса состоит в том, что пренебрегают молекулярными коэффициентами температуропроводности и кинематической вязкости для жидкостей с числами Прандтля, отличными от единицы. Это предположение обычно выполняется для турбу-
лентного ядра потока в трубе, однако на теплопередачу оказывает большое влияние ламинарный подслой, а здесь турбулентные
338
коэффициенты уменьшаются до нуля, и молекулярные коэффициенты а и v нельзя исключать из рассмотрения.
Метод Прандтля — Тэйлора является попыткой преодолеть этот недостаток. В основе своей используемый метод состоит в том, что записывают уравнение теплопроводности для ламинарного подслоя и формулу аналогии Рейнольдса для турбулентного ядра. Затем обычным способом расчета последовательных сопротивлений из этих уравнений получают единое выражение для полного сопротивления.
Картина потока в круглой трубе показана на рис. 25. 5. Будем считать, что поток жидкости разбивается, как показано на рисунке, на движение двух типов.
a (tb.ub)
П
J________
4^.4)
Направление теплового потока
Рис. 25. 5. Схема течения для вывода формулы Прандтля — Тэйлора.
а — турбулентное ядро; б — ламинарный подслой; в — стенка трубы.
В ламинарном подслое скорость предположим настолько малой, что все тепло, которое поступает из турбулентной зоны, проводится к стенке. Поэтому тепловой поток в ламинарном подслое равен
(25.28)
Поток импульса в этом слое равен
(25.29)
Распределение касательных напряжений в круглой трубе имеет вид
В ламинарном подслое, который чрезвычайно тонок, < 1 и т т3. Поэтому перепишем уравнение (25. 29) в виде
du=^-dy.
22*
339
Интегрируя это соотношение по толщине L ламинарного подслоя, получим
и. — Ts Т 1 р.
откуда толщина L определяется как
£ = (25.30)
*8
Воспользуемся уравнением (25.18), чтобы ввести / вместо т8
jr_2[iuj
fubQ
Подставляя это выражение в уравнение (25.28), получим формулу для теплового потока в ламинарном подслое:
(25-31)
Будем считать, что перенос тепла и импульса в турбулентном ядре следует аналогии Рейнольдса. Количество движения, переносимое в единицу времени параллельно оси трубы, равно Wub, если турбулентная зона простирается до стенки трубы, как это предполагалось при выводе формулы (25. 19). Однако, если турбулентное ядро окружено ламинарным подслоем, то избыточное количество движения, переносимое в единицу времени параллельно границе ламинарного подслоя, составляет W (иь — щ). Поскольку в ламинарном пограничном слое движется очень мало жидкости, средняя скорость иь и массовый расход W в турбулентном ядре почти совпадают с массовым расходом и средней скоростью всего потока. Коэффициент теплоотдачи а в уравнении (25. 19) превращается в коэффициент теплопередачи для одного только турбулентного ядра и будет обозначаться через а'. Таким образом, пропорция, из которой получается выражение для а', принимает вид
fa—М „ Ts WCp(tb—М w (иъ—иУ откуда имеем
— Ts£p Ub—Ui
и, подставляя для выражение (25.18), получим
Неср
2(ub—ui)
Поэтому тепловой поток
(25.32)
(25.33)
А = а'(^-«г)
340
выражается соотношением
(25.34)
Выделим из уравнений (25.31) и (25. 34) температурные напоры t t _ 9 2цгц . t t 1 2(ub—ui)
Складывая эти выражения, получим q Г , 2 («ь—Mi)
(25. 35)
Ь 4 А |д/“ьб
Так как обычная формула теплоотдачи имеет вид
-£. = a(fb_fs),
то видно, что для а можно записать формулу
___________1________
~ 2РЧ I 2(ub — ui) • VubQ ‘ fubQcp
Если числитель и знаменатель правой части этой умножить на fubCpq/2, то получим
1иьоС-р
--------•
Щ СрЦ 1 Ui
ub X иъ
Для жидкостей с Рг = 1 это выражение сводится к (25. 19). При рассмотрении универсального профиля скорости в гл. 13 мы нашли, что в ламинарном подслое безразмерные скорость и+ и расстояние от стенки z/+ равны, как можно видеть из рис. 13. 6. Это сохраняется вплоть до и+ = у+ — 5 и дает способ для определения скорости Ui, входящей в формулу (25. 37). Как было показано, и и и+ связаны соотношением (13. 46)
1«ъ^р
(25.36)
формулы
(25. 37)
Было установлено, что величина и* связана с коэффициентом сопротивления / следующим образом [см. уравнение (13. 68)]
и* — иь .
Поэтому можно записать
и = и+иь
341
и на границе ламинарного подслоя, где и+ — 5, имеем
и4 = 5иь]/^-. (25.38)
Подстановка этого выражения в формулу (25.37) дает
/»ьеСр
, а =---------£=------. (25.39)
1+5 V Т (Рг-1)
Это соотношение можно записать также через число Нуссельта, если умножить обе части на D/K:
RePr (4)
Nu =-------7==^------. (25. 40)
1+5 Г 4(Рг-1)
Для — вместо приведенного выше значения 5 у 4 предлага-иЪ г А
лись некоторые другие выражения. Различие вызывается наличием между ламинарным подслоем и турбулентным ядром переходной зоны, как показано на рис. 13. 6. Если выражение для распределения скорости в турбулентном ядре и ламинарном подслое экстраполировать, то они совпадают в переходной зоне при у+ = = 11,6. Поэтому некоторое авторы предлагали ввести эту величину взамен числа 5 в знаменатель формулы (25. 40).
Другие соотношения. Главное усовершенствование формулы Прандтля — Тэйлора принадлежит Карману, которьш предложил считать, что сопротивление теплоотдаче состоит из трех частей. Эти части соответствуют ламинарному подслою, переходной зоне и турбулентному ядру, которые показаны на графике универсального профиля скоростей рис. 13. 6.
Вывод формулы Кармана аналогичен методу Прандтля — Тэйлора. Для ламинарного подслоя (у+ < 5) уравнения выписываются с учетом молекулярной температуропроводности, но в пренебрежении турбулентными членами. Отсюда получается выражение для перепада температур в ламинарном подслое.
При рассмотрении переходного слоя (5 < у+ < 30) учитываются и молекулярный, и турбулентный переносы. Для получения выражения для кинематической вязкости, которое затем подставляется в формулу для теплового потока вместо температуропроводности, используется эмпирическое уравнение для распределения скорости в переходном слое = 5 + 5 In (у)]-Интегрирование уравнения теплового потока с учетом и молекулярной, и турбулентной вязкости дает выражение для падения температуры в переходном слое. Наконец, чтобы получить паде-342
ние температуры в турбулентном ядре (j/+^30), используется аналогия Рейнольдса. Затем все три перепада температур складываются, как и в методе Прандтля — Тэйлора, и получается выражение для общего перепада температур. После деления плотности потока тепла на общее падение температуры получается следующее выражение для коэффициента теплоотдачи:
_______________2______________
1 + 5 Vi {pr-l+ln [1+65Prll F J I L о J J
(25.41)
Так же, как и формула Прандтля — Тэйлора, эта формула сводится к формуле Рейнольдса (25. 19) для жидкостей с, Рг = 1.
Большая часть результатов может быть представлена в общей форме, иллюстрацией которой являются формулы (25. 39) и (25. 41), когда в числителе правой части стоит правая часть формулы Рейнольдса (25. 19), а знаменатель состоит из нескольких членов, играющих роль поправки. В некоторых модификациях содержатся члены, учитывающие разницу между средней ско
т скоростью на оси, другие учитывают изменение-----по
я
ростью и
А
радиусу. В работе Дейсслера принято во внимание изменение вязкости с температурой.
Мы больше не будем рассматривать теоретические соотношения. В упомянутой в настоящей главе литературе содержатся сведения о большинстве важнейших соотношений и ссылки на другие. Последнее соотношение, которое, однако, стоит упомянуть — это предложенная Колборном эмпирическая формула с «/-фактором» [25]. Эту формулу можно получить, если заменить весь знаменатель формулы (25. 39) или (25. 41) выражением Рг’/з После этого преобразуем формулу к ее обычному виду:
______ргг/з = ^-= 7
ubQCp 2 Н
(25.42)
Величина ]н называется /-фактором для теплоотдачи. Как и другие, это уравнение сводится к формуле Рейнольдса для жидкостей с Рг = 1.
Мы увидим, что подобное же выражение существует для коэффициентов массопередачи. Формула Рейнольдса для массопере-дачи изменяется так же, как формула для теплоотдачи, только вместо числа Прандтля появляется число Шмидта. Для случая массопередачи /-фактор обозначается через jM.
Экспериментально показано, что формулы с /-фактором имеют значительные достоинства при описании тепло- и массопередачи.
343
Они использовались не только для труб или плоских пластинок, но и для других систем. В общем оказалось, что /я = Однако при обтекании жидкостью сферических и других затупленных
« . . f
препятствии ни ;я, ни jM не равны у , хотя по-прежнему равны между собой. В этих случаях общие потери давления, по которым обычно определяется коэффициент сопротивления, чаще всего обусловлены сопротивлением давления, а не сопротивлением трения. В случаях, когда отсутствует сопротивление давления, т. е. при обтекании плоских пластинок и при течении в трубах, соотношение /я = jM = у сохраняется.
Формулы для коэффициентов теплоотдачи основаны на аналогии между переносом тепла и импульса. Формулы указанной аналогии можно объединить с формулами для определения коэффициента сопротивления, что дает непосредственный метод определения коэффициентов теплоотдачи. Например, аналогия Рейнольдса приводит к уравнению (25. 19)
„ _ fUbQCp
а-----2 ’
которое можно представить в виде
Nu = -£RePr. (25.43)
В гл. 13 мы видели, что удобная эмпирическая формула для определения коэффициента сопротивления при движении в трубе имеет вид уравнения (13. 72)
/ = 0,046 Re~°’8.
Объединение формул (25.43) и (13. 72) дает
Nu = 0,023 Re°’8Pr. (25.44)
Поскольку это уравнение выводится на основе формулы (25. 19), пригодной только при Рг = 1, запишем формулу (25. 44) в виде
Nu = 0,023 Re0’8 (25.45)
Это, как мы увидим, совпадает с широко известной формулой Диттуса — Боултера, когда она используется для жидкости с Рг = 1. Для получения формул для числа Нуссельта в функции от Re и Рг можно воспользоваться формулами Прандтля — Тэйлора и Кармана. Можно использовать также эмпирическую формулу с /-фактором Колборна. Записывая уравнение Колборна (25. 42) в безразмерных переменных, получим
(25.46)
344
После подстановки для / выражения (13. 72) уравнение (25. 46) сводится к
0,023 Re~0,2 = Nu -
Re Pr0»33
или
(25. 47)
Nu = 0,023 Re0’8 Pr0’33.
Эта формула является наиболее распространенной.
Задачи
25. 1. Воздух нагревается, проходя последовательно через ряд прямых стальных трубок, с наружным диаметром 33 мм и внутренним 26 которые проходят через прямоугольную емкость с горячей водой.Погруженная длина трубок 0,6 м. Обратные повороты труб находятся вне емкости. Средняя скорость газа 15 м!сек^ а абсолютное давление можно считать постоянным и равным 1 ат. Если воздух поступает при 16° С, а температуру внутренней поверхности трубок можно считать постоянной и равной температуре воды, которая составляет 999 С, найти температуру воздуха на выходе.
25. 2. Вывести формулу (25. 16) для среднего числа Нуссельта для пластинки длины £, исходя из уравнения (25. 15) для местного числа Нуссельта при турбулентном движении.
25. 3. Воздух с температурой 16° С движется поперек плоской пластинки с постоянной температурой на поверхности, равной 93° С. Скорость свободного потока 30 м!сек. Пластинка имеет 0,6 м в ширину и 1,2 м в длину. Вычислить полный тепловой поток с части пластинки, покрытой ламинарным пограничным слоем, и с части пластинки, покрытой турбулентным пограничным слоем.
25. 4. Вывести формулу, связывающую коэффициент теплоотдачи а и коэффициент сопротивления f для потока в трубе в случае, если ае а И Ve < V.
25. 5. Вывести уравнение Прандтля — Тэйлора путем интегрирования формул для потоков (25. 23) и (25. 24).
26. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ К ТЕПЛООБМЕНУ
В предыдущих главах мы рассмотрели три метода составления уравнений для расчета коэффициентов теплоотдачи в системах с ламинарным и турбулентным потоками. Сочетание уравнений постоянства количества движения, энергии и неразрывности потока позволяет решать задачи по теплообмену для ламинарного, но не для турбулентного потока. Второй — интегральный — метод Кармана использовался для получения коэффициентов теплоотдачи в турбулентном потоке над плоской пластинкой. Третий метод, основанный на аналогии между переносом тепла и количества движения, позволил решить задачу по теплообмену для турбулентного потока в трубе.
Четвертым методом составления уравнений теплообмена как для ламинарного, так и для турбулентного потока является анализ размерностей. В качестве примера мы применим этот метод, описанный в общих чертах в гл. 14, к процессу теплоотдачи при естественной конвекции от пластинки к жидкости. Этот процесс уже рассматривался кратко в главе о ламинарном движении. Заметим, что ответ, получаемый анализом размерностей, не ограничен одним видом движения.
Пример 26. 1
Предполагается, что коэффициент теплоотдачи при естественной конвекции в обогреваемой трубке описывается безразмерным уравнением, включающим приведенные ниже физические свойства. Требуется найти безразмерные группы, входящие в это уравнение. Выбраны пять основных размерностей: длина [L], масса [7И], время [т], температура [Г] и количество тепла [Я]. Так как количество тепла может быть выражено через четыре другие размерности, мы включаем в список переменных одну размерную постоянную — механический эквивалент теплоты, 7.
346
Переменное Обозначение Размерность
Длина обогреваемой секции . . L [Jll/Z8]
Плотность жидкости q
Вязкость жидкости р {М/Lx}
Теплопроводность жидкости . . % [H/LxT]
Размерная постоянная Средний коэффициент теплоот- j [ML2/x2ff]
дачи [H/L^xT]
Разность температур Коэффициент теплового расшире- Д* [Г]
ния р u/n
Удельная теплоемкость жидко-
сти Ср [Я/Л/Т]
Ускорение свободного падения . . g [Z/T2]
Средняя скорость иъ [Z/T]
Диаметр трубки D [£]
Общее число переменных равно 12, и для выражения их мы выбрали пять единиц измерения. Обычно максимальное число переменных, не образующих безразмерных групп, равно числу основных единиц измерения. Тогда, согласно теореме Букингама, мы должны получить семь безразмерных групп, для которых общими мы выбрали первые пять переменных в приведенной выше таблице. Каждая из семи остающихся переменных будет, в свою очередь, прибавляться к первым пяти, чтобы получить семь групп. Первая группа:
n1 = ZoQbp,c%dJea^.
Подставляя размерности, получим
hi—т® ГМ1ЬГм 1СГ н 1*ГМ£ТГ Н V
Ш [ L3 J [lttJ [т2Я] ЦЬ2тТ J что дает следующую систему уравнений:
[Ml [r] [T] [Я] 0=a — 3b—c—d~^2e — 2f> Q = b e, 0= — c—d—2e — f\ O=d—e+f.
Решая эти уравнения, получаем: Ъ = с = е = 0, а = j п d = - f. Поэтому упрощается до Показатель степени / не играет роли и
может приниматься равным единице на протяжении всего анализа.
Вторая группа, л2, определяется подобным"образом. Первые пять переменных объединяются с переменной Д/, выражающей движущую силу (разность температур):
n2=z“ey^je
что дает
гл/рг Л/]СГЯ IdTML2 1е / L Ls J L LX J Lz-гГ] L т«Я J U J •
347
Отсюда мы получаем уравнения:
[Ь] 0 — а — ЗЬ — с — d-\-2e\
[М] 0 = b с в j
[т] 0 = —с—d—2е;
[Т] O=-d+f;
[Я] 0= d—е.
Решая эти уравнения, получаем: а = b = 2f, с = —3/ и d = е = /. Если принять показатель степени / за единицу, группа примет вид
LW М
При определении л3 дополнительным переменным вместо At является (3. Поскольку размерность р обратна размерности А г,
S-Iz,2e2v •
Остальными группами, полученными показанным методом, являются:
----f*-’
D
Семь групп, полученных в примере 26. 1, можно использовать для описания результатов опытов по теплоотдаче при естественной конвекции. Обычным приемом для этого является написание уравнения в виде:
л?. (26.1)
Константы, обозначенные греческими буквами, можно определить статистическим анализом экспериментальных данных, часто методом наименьших квадратов. Группы, слабо влияющие на аж, можно легко определить, так как показатели степеней при них очень малы. Две группы могут иметь одинаковый показатель степени, что указывает на возможность их объединения в одну группу. Например, если анализ, проведенный в примере 26. 1, принять за основу для описания теплоотдачи путем естественной конвекции от плоской вертикальной пластинки (т. е. трубки бесконечно большого диаметра), совокупность групп л2л3л5 даст одну безразмерную группу , известную как число Грасгофа.
Последнее вместе с числом Нуссельта и л4, числом Прандтля,
348
с достаточной точностью описывает рассматриваемый процесс. Группы лв и л7 из данного анализа выпадают, так как иъ = О и D =оо. Уравнением, описывающим эту зависимость, является:
jtj = ct (зт2Л3л§) Л4. (26.2)
Как мы видели в предыдущей главе, теплоотдача при естественной конвекции в ламинарном потоке газов описывается уравнением (24. 14)
0.478
Л \ р 1 /
Число Прандтля для большинства газов постоянно и приблизительно равно единице, поэтому его отсутствие можно было ожидать. Число Грасгофа в уравнении (24. 14) отличается от произве-дения л2л3лб только тем, что для идеального газа (i — где Т — абсолютная температура. Уравнение (26. 2) лежит в основе ряда зависимостей для теплоотдачи при естественной конвекции от плоской пластинки к газам и жидкостям как при ламинарном, так и при турбулентном движении.
Уравнение (26. 1) может также служить основой расчета теплоотдачи при вынужденной конвекции. Если поток турбулентный, длина трубы мало влияет на коэффициент теплоотдачи (ат^а), так что группы и л7 объединяются и дают число Нуссельта . Группы л2, л3 и л5, отражающие влияние гравитационных сил в поле переменной плотности, оказывают незначительное влияние; л4 — число Прандтля сохраняется, а лв и л7 объединяются и дают число Рейнольдса 5^2. Таким образом получается уравнение р вида
= (26.3)
Л \ Р / \ Л /
Хотя большая часть уравнений, полученных методом анализа размерностей, имеет вид такая зависимость
не обязательна. В самом деле, мы вскоре увидим, что коэффициенты теплоотдачи от шариков могут быть описаны уравнением, общий вид которого = а +
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ.
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОНВЕКТИВНОЙ ТЕПЛООТДАЧИ
Формулы, используемые инженерами для расчета коэффициентов теплоотдачи, имеют разное происхождение: от теоретических выводов до эмпирических зависимостей между безразмерными группами. Тот факт, что бдлыпая часть уравнений представлена 349
в виде зависимостей между безразмерными группами, не означает, что все они имеют своим источником анализ размерностей. Мы . видели, что такие обычные группы, как числа Нуссельтат Рейнольдса, Прандтля и Грасгофа, встречаются также в уравнениях, полученных аналитическим путем.
Уравнения, представленные ниже, получены из множества источников. Так как большая часть их часто приводилась в многочисленных учебниках, мы не будем пытаться давать ссылки на первоисточники Ч
КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛООТДАЧА В ТРУБАХ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Ламинарный поток. Теоретические уравнения, предложенные в главе по теплообмену при ламинарном потоке, успешно использовались в случае, когда градиент температуры был не настолько велик, чтобы влиять значительно на свойства жидкости. Результаты этих выводов нанесены на график (рис. 24. 3) в виде местных чисел Нуссельта Nux, включающих местный коэффициент теплоотдачи Средние коэффициенты теплоотдачи, основанные на среднеарифметической или среднелогарифмической разности температур, как движущей силе, рассчитаны по местным коэффициентам и представлены на рис. 24. 4. Для случая постоянной температуры стенки, если число Гретца меньше 5 (например, вследствие низкой скорости или большой длины трубы), число Нуссельта приблизительно равно Это приближение равнозначно предположению, что жидкость при выходе достигает температуры стенки. Если больше 10, то число Нуссельта приближенно выражается уравнением (24. 29)
А \ ЛА-Д/ /
Зидер и Тэйт предложили модификацию уравнения (24. 29), учитывающую влияние температуры на вязкость введением мно-
— } , где ps — вязкость при температуре стенки. Осталь-ные свойства, включая р, взяты при средней температуре потока. ; Уравнение Зидера и Тэйта, приведенное к безразмерному виду (24. 30)
Nua = 1,86 Re‘/,Pr,/s
справедливо при тех же ограничениях, что и уравнение (24. 29).
Приведенные выше уравнения применимы, когда температура стенки трубки одинакова по всей длине, как это часто бывает
1 Прекрасным источником формул и данных по теплопередаче является учебник Мак-Адамса [108].
350
1
в конденсаторах. В гл. 24 мы видели, что системы с ламинарным течением и постоянным тепловым потоком через стенку также анализировались'. Такие условия встречаются в теплообменниках с постоянной разностью температур по их длине. В этом случае могут быть использованы данные рис. 24. 3.
Турбулентный поток. Приводятся три хорошо известных уравнения для описания процесса теплообмена. Все они относятся к полностью развитому турбулентному движению жидкостей (газов), для которых Рг >• 0,7. Для труб, у которых -^->>60, входными эффектами можно пренебречь. Но уравнения могут быть применены к более коротким трубам, если зону входа рассчитать отдельно при помощи уравнения (25. 1) и табл. 25. 1.
Первым из рассматриваемых уравнений является уравнение Диттуса и Волтера, в котором все свойства жидкости (газа) отнесены к средней температуре потока:
= 0,023 ( W^V’8 ““ °’4 . (26.4)
Это уравнение описывает процесс теплоотдачи при нагревании жидкости (газа), когда показатель степени при числе Прандтля равен 0,4, и охлаждении жидкости (газа), когда показатель степени равен 0,3. По-видимому, это различие является результатом влияния температуры на вязкость ламинарного подслоя. Уравнение (25. 30) показывает, что толщина этого слоя пропорциональна вязкости жидкости (газа)..Из двух систем с турбулентным потоком одной и той же жидкости (газа) при одинаковой температуре нагреваемая система будет иметь более высокую температуру в ламинарном подслое, чем охлаждаемая. Следовательно, подслой жидкости в нагреваемой системе будет тоньше, а коэффициент теплоотдачи выше, чем в охлаждаемой системе. Так как число Прандтля для большинства жидкостей больше 1, то повышение показателя степени в уравнении (26. 4) приводит к увеличению а. Для большинства газов число Прандтля близко к единице и мало зависит от температуры, так что величина показателя степени при Рг не играет большой роли. Это положение можно объяснить тем, что вязкость и теплопроводность газов возрастает с почти одинаковой скоростью с увеличением температуры, поэтому термическое сопротивление подслоя остается практически постоянным.
Другим хорошо известным уравнением является уравнение Кольборна. Если показатель степени при числе Прандтля в уравнении (26. 4) принять равным 0,33, то после деления обеих частей его на Pr Re получим
<26'S>
351
Каждая из частей уравнения (26. 5) равна величине, обозначенной раньше через jH. Свойства жидкости отнесены к средней арифметической из температур стенки и жидкости.
Зидер и Тэйт предложили уравнение (26. 6) для теплоотдачи при турбулентном движении, включающее поправку на вязкость, подобную предложенной ими в случае теплоотдачи при ламинарном движении. Это уравнение точнее учитывает влияние температуры на вязкость, чем уравнения Диттус — Болтера и Кольборна, что имеет значение в случае жидкостей, для которых числа Прандтля имеют величину порядка 104.
—SL- (1г( НдЛ0,14=0,023 (0,2. (26.6)
ubQCp к х / \ н) ’ \ н / ' '
Все свойства жидкости в последнем уравнении отнесены к средней температуре потока, за исключением величины |jls, которая должна быть взята при средней температуре стенки.
Пример 26. 2
Вода в теплообменнике протекает по длинной медной трубе со средней скоростью 2,1 м/сек и нагревается паром, конденсирующимся при 148,9° С на наружной поверхности трубы. Вода входит с температурой 15,6° С и выходит с температурой 60° С. Требуется найти коэффициент теплоотдачи для воды.
Физические свойства воды при 37,8° С следующие:
2 = 982 кг/м2;
ккал/кг*град;
у,=0,68 • 10“3 кг/м • сек;
% = 0,542 ккал/м • ч • град.
Внутренний диаметр трубы равен 22 мм;
- 0,022 • 2,1 • 982 ft7 7т.
Re= ' 0i68 ~1(Г3 ~ 67 700>
п 0,998 • 0,68 • 10~3 • 3600 ,/с
РГ==---------(Щ2---------==4’45‘
Так как поток турбулентный, а труба достаточно длинная, мы можем выбрать для расчета коэффициента теплоотдачи любое из трех приведенных уравнений (26. 4)—(26. 6).
а. Применяя уравнение (26. 4) Диттус — Болтера, мы получаем
а = -’°^3022^'2, •(677ОО)0’8• С4-45)0’* = 7540 ккал/м*-ч-град.
Показатель степени при Рг равен 0,4, так как жидкость нагревается.
б. В уравнении Кольборна (26. 5) физические свойства должны быть отнесены к среднеарифметической из температур стенки и жидкости. Среднеарифметическая температура жидкости равна 37,8° С. Температура конденсирующегося пара 148,9° С. Чтобы рассчитать температуру стенки, нам нужно знать коэффициент теплоотдачи для конденсирующегося пара; расчет этого коэффициента будет рассмотрен в следующей главе. При решении данной задачи мы предположим, что средний коэффициент теплоотдачи от кон-
I
352
денси рующегося пара имеет ту же величину, что и коэффициент теплоотдачи к воде. Если пренеоречь перепадом температур в медной стенке, то средняя температура ее будет равна 93,3® С. Следовательно, для применения уравнения Кольборна необходимо знать физические свойства воды при 65,6Q С. Эти свойства следующие:
q = 978 кг/.м3;
Ср = 1,00 ккал/кг • град;
р, = 0,43 • 10“3 кг/м • сек;
к — 0,565 ккал!м • ч • град\
п 0,022-2,1-978
Re=-w~i(H ~103000:
1,00 -0,43 • 10-3.3600 0,565 ~2’75,
Подстановка этих величин в уравнение (26. 5) дает
а = 3600 • 0,023 • 2,1 • 978 • 1,00 • (103 000) ’ °’2 • (2,75)'11 ‘ =
• 1,УО
= 8500 ккал/м2 • ч • град.
в. В уравнении Зидера — Тейта (26. 6) физические свойства отнесены к среднеарифметической температуре жидкости. Уравнение можно привести к следующему виду:
= 0,023 Не°’8Рг°’33 (;
Re = 67 700, а Рг = 4,45, как и в разделе (а);
р = 0,68-10-3 кг/м-сек; величина ps отнесена к средней температуре стенки, равной, как. мы. уже определили, 93,3° С, поэтому ps = = 0,304-10“3 кг! м* сек. Таким образом,
« = 0,020 022542' * (67 700)°’8 (4,45)°-33 (
0,68-IO”3 VД4 0,304 • IO"3 )
= 0,567 • 7319 • 1,65 • 1,118 = 7640 ккал/м* - ч • град.
КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛООТДАЧА В ТРУБЕ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Обычно рассматривается система, в которой жидкости с разной температурой движутся в кольцевом пространстве, образуемом соосными трубами. Коэффициент теплоотдачи для жидкости в кольцевом пространстве может быть рассчитан по уравнениям для труб круглого сечения с введением эквивалентного диаметра, как показано в гл. 15. Для кольцевого пространства этот эквивалентный диаметр De равен внутреннему диаметру наружной трубы Z>2 минус наружный диаметр внутренней трубы D±. Виганд предложил следующее уравнение для коэффициента теплоотдачи от наружной стенки внутренней трубы:
= 0,023 (. (26. 7)
Л \ ' Ц / \ Л / \ Ь'! /
23 Заказ 519.
353
Для внутренней стенки наружной трубы рекомендуется уравнение (26. 6) при замене D на De.
Было установлено, что применение эквивалентного диаметра в обычных уравнениях теплоотдачи справедливо и для других профилей, таких как треугольные и прямоугольные. Уравнения (26. 4)—(26. 6) с применением De дают достаточно надежные результаты.
КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ОБТЕКАНИИ ЦИЛИНДРА
Рис. 26. 1. Местные значения чисел Нуссельта для потока воздуха, перпендикулярного к оси цилиндра [145].
По теплоотдаче от цилиндра к жидкостям, текущим перпендикулярно к оси цилиндра, проведены многочисленные исследования. Для чисел Рейнольдса меньше 1,0 уравнения неразрывности, сохранения энергии и количества движения были решены численно и получены уравнения для местных коэффициентов теплоотдачи. Для более высоких скоростей сведения о локальных коэффициентах теплоотдачи получены экспериментальным путем. На рис. 26. 1 приведены измеренные величины местных чисел Нуссельта в зависимости от угла обхвата для разных значений Re. Высокие местные коэффициенты теплоотдачи наблюдаются в передней (лобовой) критической точке, причем они уменьшаются по мере увеличения толщины ламинарного пограничного слоя.
При значениях Re от 103 до 105 отрыв ламинарного пограничного слоя происходит при угле обхвата, несколько превышающем 80е и отсчитанном от передней критической точки. Градиент скорости на поверхности цилиндра в этой точке близок к нулю, а коэффициент теплоотдачи имеет минимальное значение, как показывает кривая для Re = 39 800 на рис. 26. 1. Позади от этой точки отрыва поверхность подвержена действию турбулентного следа, который вызывает увеличение коэффициента теплоотдачи.
При более высоких значениях Re пограничный слой переходит из ламинарного в турбулентный приблизительно при 95°. В этом случае при движении над плоской пластиной или внутри
354
трубы, вблизи от входа, наблюдается минимальное значение коэффициента теплоотдачи с последующим резким увеличением его, как мы уже видели. Такой минимум коэффициента теплоотдачи наблюдается для цилиндра в переходной точке 95° и сопровождается последующим резким возрастанием коэффициента теплоотдачи для той части поверхности, которая покрыта турбулентным пограничным слоем. Последний затем отделяется от цилиндра между 130° и 150° от мертвой точки, вызывая появление второго минимума на кривой коэффициента теплоотдачи. Это поведение показывает кривая для Re = 426 000 на рис. 26. 1. Величины локальных коэффициентов теплоотдачи и расположение минимумов сильно зависят от степени турбулентности потока за пределами температурного пограничного слоя (этот поток назван свободным).
Средние коэффициенты теплоотдачи по всей поверхности цилиндра могут быть определены из графиков местных коэффициентов, но чаще определяются из зависимостей' для средних коэффициентов. Большинство авторов рекомендует уравнение типа уч /71 \
= йt (26.8)
где постоянные Ъ и п зависят, как показано в табл. 26. 1, от Re. Величины в этой таблице даны применительно к расчету коэффициентов теплоотдачи для газов. Для жидкостей применяются те же самые константы, но правая часть уравнения (26. 8) должна быть дополнительно умножена на 1,1 Рг1/з. Все свойства жидкости отнесены к среднеарифметической из температур поверхности и свободного потока.
Таблица 26. 1
Константы уравнения (26. 8) [108]
Duoq Ц п ъ
1-4 0,330 0,891
4—40 0,385 0,821
40-4 000 0,466 0,615
4000-40 000 0,618 0,174
40 000-250 000 0,805 0,0239
' Данные по теплоотдаче при естественной конвекции для горизонтальных цилиндров имеют значение в определении тепловых потерь от труб. Приемлемой для определения среднего числа Нуссельта для горизонтального цилиндра в диапазоне изменения произведения Pr Gr от 103 до 109 является формула:
-^ = 0,53( Л \
*/4/ у/* *
(26.9)
23*
355
Присутствие числа Грасгофа ? следовало ожидать в любой зависимости для теплоотдачи при естественной конвекции, как раньше указывалось в этой главе. Физические свойства в формуле (26. 9) отнесены к среднеарифметической из температур поверхности и жидкости за пределами пограничного слоя.
Пример 26. 3
На наружной поверхности изоляции трубы, внутри которой находится пар, температура равна 54,4° С. Наружный диаметр изоляции равен 102 мм. Трубопровод расположен в помещении с температурой воздуха 21,1° С. Найти конвективный коэффициент теплоотдачи от поверхности изоляции к воздуху.
Применяется уравнение (26. 9), так что физические свойства отнесены к 37,8Ф С. Этими свойствами являются:
% = 0,023 ккал!м • ч • град;
2=1,136 кг/м3;
0 = 0,00322 1/QC;
р = 1,91 • 10"5 кг/м • сек;
Ср = 0,240 ккал/кг • град;
(<М°2)3 • (1,136)2 • 9,81 • 0,00322 • 33,3 _ QQ7 ,п4.
G (1,91 -IO’6)2 387-10,
~ 9,240 • 1,91 • 10-5 • 3600
F 0,023 °’72
Следовательно, применяя уравнение (26. 9), мы получим
а = • (387 • 104)*I* - (0,720)*Л = 4,88 ккал/м2 • ч • град.
Произведение Pr«Gr явно лежит в пределах применимости уравнения — от 103 до 109.
КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ОБТЕКАНИИ ПУЧКА ТРУБ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Воздействие одной трубы на другую в пучке состоит в увеличении коэффициента теплоотдачи для трубы, расположенной ниже по потоку. Для коэффициентов теплоотдачи при поперечном обтекании жидкостью пучка труб были предложены многочисленные зависимости. Одной из наиболее известных является следующая зависимость Гримисона применительйо к газам:
= b (, (26.10)
где Gmax — произведение плотности газа на скорость в минимальном живом сечении. При этом автором приведены значения констант Ъ и м, необходимые для расчета средних коэффициентов теплоотдачи в пучках с числом труб по глубине 10 и более. Свой-356
ства газа в уравнении (26. 10) отнесены к среднеарифметической из температур воздуха и стенки трубы, как рекомендовано и для уравнения (26. 8). Таблица констант Ъ и п дана у Мак-Адамса. Например, для пучка, у которого трубы размещены по вершинам равносторонних треугольников с шагом, равным удвоенному диаметру трубы, b = 0,482, а п — 0,556. Если трубы размещены по квадратной сетке с тем же самым шагом, то Ъ = 0,229 и п = = 0,632. Применительно к жидкостям правую часть уравнения (26. 10) нужно умножить на 1,1 Рг‘/з.
Для пучков труб с числом рядов меньше 10 средний коэффициент теплоотдачи можно рассчитать по уравнению (26. 10) и данным, приведенным в табл. 26. 2.
Таблица 26. 2
Отношение среднего коэффициента теплоотдачи для пучка труб с числом рядов N к коэффициенту для однорядного пучка
Сетка N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Треугольная . . 1 1,10 1,22 1,31 1,35 1,40 1,42 1,44 1,46 1,47
Квадратная . . . 1 1,25 1,36 1.41 1,44 1,47 1,5а 1,53 1,55 1,56
Пример 26. 4
Поток воздуха (14,2 мЧмин) нагревается при продувании его через пучок из 5 рядов медных труб диаметром 25,4 мм, длиной 1,22 м. Центры труб расположены по углам равносторонних треугольников с шагом, равным двум диаметрам трубы. В каждом ряду расположено 5 труб, а расстояние между крайними трубами и стенкой канала равно 12,7 мм. Пар конденсируется внутри труб при 108,3е С, причем термическим сопротивлением конденсирующегося пара и стенки трубы можно пренебречь. Требуется найти средний коэффициент теплоотдачи к воздуху. Воздух входит в нагреватель при 1 ат и 15,6° С. Предположить, что температура выходящего воздуха равна 37,8° С.
Средний коэффициент теплоотдачи для пучка труб будет определяться при помощи уравнения Гримисона (26. 10). Температура воздуха на выходе равна 37,8°С, так что средняя температура воздуха равна 26,7° С. Физиче-
26 7 4-108 3
ские свойства воздуха будут взяты при —----------—
= 67,5е С. Этими свой-
ствами являются: X = 0,0244 ккал! м*ч* град и р — 2,02-10"5 кг!м*сек. Массовый расход воздуха рассчитывается при его температуре 15,6° С и ^15,6 = 1.217 кг/м*.
Минимальное поперечное сечение потока в нагревателе равно 1,22.4.0,0254 4- 1,22-2-0,0127 = 0,155 л2. Отсюда
Г 14,2-1,217
£щах=“ёо7ол55” = 1,86 М ‘ СеК
DGmax _ 0,0254-1,86 р 2,02 • 10“5
357
Соответственно пояснениям к уравнению (26. 10) берем константы для данной системы, равные Ь = 0,482 и п = 0,556. Таким образом,
а = 0,48A2no0J?244 • (2330)°>8И = 34,5 ккал/м? . ч . град.
Уравнение Гримисона применимо к пучкам из 10 труб и более. В данной задаче пучок состоит только из 5 рядов. Из табл. 26. 2 видно, что отношение среднего коэффициента теплоотдачи для пучка из 5 труб к среднему коэффи-1,35
циенту для пучка из 10 труб равно Поэтому для пучка из 5 рядов средний коэффициент теплоотдачи равен
34,5 • 1,35 о. _ . 2 Л
а = —--------— 31,7 ккал/м* • ч • град,
1,47
КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛООТДАЧА ОТ ШАРОВ
Для одиночных шаров были измерены как местные, так и средние коэффициенты теплоотдачи. Качественно местные коэффициенты теплоотдачи для одиночных шаров изменяются таким же образом, как и для цилиндров. Коэффициенты теплоотдачи уменьшаются от передней критической точки до точки отрыва ламинарного пограничного слоя, а затем возрастают. Если переход к турбулентному пограничному слою сопровождается его отрывом, то эти две точки характеризуются резким возрастанием ах в области от 90 до 120°, считая от передней критической точки.
Много данных, применяемых для расчета средних коэффициентов теплоотдачи от шаров, было получено путем измерения скоростей массопередачи. Общепринятой является следующая зависимость Фрослинга:
^- = 2,0 + 0,6 (26.11)
Слагаемое 2,0 получено для числа Нуссельта при теплопередаче путем теплопроводности от шара диаметром D в неподвижную среду бесконечной протяженности. Эта постоянная величина может быть получена из уравнения установившегося процесса теплопроводности в шаре:
q = X • 4лг2 -—7 = const. (26. 12)
Интегрируем это уравнение в пределах от поверхности шара
(г = у-; t = £s) до некоторой точки в большом удалении от нее (г = оо; t = tQ). Тепловой поток q постоянен не только во времени, но и в радиальном направлении. Тогда из уравнения (26. 12) получим
ОО tQ
сгв.1з> ts
2
358
откуда
/_ J_:_L\-t t 4л% oo^ D_ -ro — rs
\ 2 /
и
q = 2xDK (ts —10),
С другой стороны,
д = алР2 (t„ —10).
Сопоставляя уравнения (26.15) и (26. 16), получим
2^ = 2.
Л
(26.14)
(26. 15)
(26.16)
(26. 17)
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ЖИДКОСТЬЮ (ГАЗОМ) И СЛОЕМ НАСАДКИ
Метод решения этой задачи был предложен Ранцом [131]. Хотя частицы в слое могут быть не шарообразными, анализ, проведенный для потока в слое упорядоченной шаровой насадки, дает хорошее приближение к действительному коэффициенту теплоотдачи. Предполагается, что шары в насадке находятся в наиболее плотной упаковке,
называемой ромбоэдрической. 7^
Насадка состоит из параллель- [
ных слоев шаров в плоскостях, £
перпендикулярных к направле- 1L уА.
нию потока. Шары в последова-тельно расположенных слоях цен- s' тйЯЯгх трированы над свободными про- у ZSj/ \ межутками между шарами в ни- ( / Яш \
жележащем и вышележащем £ JH
слоях. При такой укладке центры Jail
любых четырех смежных шаров Яш^Ш^
расположены в вершинах тет-раэдра. Рис. 26. 2. Сечение слоя насадки
Метод расчета основан на из шаров,
предположении, что коэффициент теплоотдачи для каждого шара в слое тот же, что и в потоке, обтекающем одиночный шар со скоростью, равной скорости в одном из каналов между шарами. Струя из каждого канала в нижележащем ряду прямо набегает на шар следующего ряда.
Остается рассчитать отношение скорости в пространстве, показанном на рис. 26. 2, к средней скорости, для чего необходимо найти отношение полного поперечного сечения слоя к площади свободных промежутков. Если диаметр шаров мал по сравнению с диаметром слоя, то искомое отношение равно отношению площади треугольника, показанного на рис. 26. 2, к площади отверстия
359
между дугами окружностей в одном треугольнике. Сторона равностороннего треугольника равна D, так что площадь соста-
вляет —т—. Сумма площадей трех секторов равна -5-, так что 4 о
отношение площади треугольника к площади отверстия равно 2
—7=— или 10,73. Таким образом, метод расчета сводится к умно-2 у 3—л
жению линейной скорости на 10,73 и подстановке результата вместо uQ в уравнение (26. 11). Коэффициенты, рассчитанные по этому методу, примерно на 10% выше коэффициентов, измеренных для слоя беспорядочно загруженных частиц, близких по форме к шарообразным. Эмпирическая зависимость для такого процесса обычно выражается уравнением, связывающим фактор теплоотдачи j с числом Рейнольдса (для определенных пределов Re).
КОНВЕКТИВНАЯ ТЕПЛООТДАЧА ОТ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Теплопередача от плоских поверхностей к жидкости (газу) при принудительной конвекции рассматривалась в двух предыдущих главах применительно к ламинарному и турбулентному режимам движения. Ламинарный пограничный слой образуется, начиная от передней кромки пластины, и простирается на расстояние, ограниченное критическим числом Рейнольдса, равным приблизительно Кел = 500 000. За пределами этой области пограничный слой — турбулентный. Чтобы рассчитать местные коэффициенты теплоотдачи в двух зонах, можно применит^ уравнения (24.8) и (25. 15). Суммарный средний коэффициент теплоотдачи можно получить интегрированием axdx по всей длине пластины.
Если жидкость (газ) движется вдоль пластины вследствие естественной конвекции, то коэффициент теплоотдачи зависит еще от того, является ли пограничный слой ламинарным или турбулентным. В разделе этой главы об анализе размерностей подчеркивалось, что зависимости для коэффициентов теплоотдачи при естественной конвекции обычно включают число Грасгофа — —Уравнение (24. 14) для идеальных газов, нагреваемых путем ламинарной естественной конвекции от вертикальной пластины, содержит число Грасгофа:
Num = 0,478 Gr’z\
Мак-Адамс приводит более обобщенное уравнение для ламинарной естественной конвекции:
Num = 0,59Gr1/*Prl/\ (26.18)
360
а для объединенной ламинарной и турбулентной естественной конвекции:
Num = 0,13 Gr^Pr*'*. (26.19)
Уравнение (26. 18) применимо в случаях, когда произведение Gr Рг находится в пределах от 104 до 109, а уравнение (26.19) — для Gr Pr »> 109. Свойства жидкости (газа) отнесены к средне-
арифметической температуре .
ТЕПЛООТДАЧА К РАСПЛАВЛЕННЫМ МЕТАЛЛАМ
Применение расплавленных металлов в качестве теплоносителей — обычное явление в области ядерной технологии. Расплавленные металлы можно нагревать в широких пределах температуры без необходимости поддержания системы под высоким давлением. Их недостаток состоит в некоторой опасности обращения с ними.
Другое преимущество применения расплавленных металлов состоит в том, что они имеют высокие коэффициенты теплоотдачи по сравнению со многими жидкостями и, кроме того, высокую объемную теплоемкость. Благодаря этим свойствам расплавленные металлы применяются для отвода тепла из ядерных реакторов, где большие количества тепла должны отводиться быстро и экономично.
Расплавленные металлы имеют почти ту же вязкость, что и многие жидкости, но они обладают почти в 100 раз большей теплопроводностью и, следовательно, числами Прандтля намного меньше, чем 1. Из-за высокой теплопроводности отношение количеств передаваемого тепла по молекулярному механизму и по вихревому намного больше, чем у большинства других жидкостей. В результате этого большую часть обычных зависимостей для коэффициентов теплоотдачи нельзя применять к расплавленным металлам; здесь понадобились специальные зависимости.
Уравнения, выведенные Лайоном и Мартинелли на основе аналогии между переносом тепла и количества движения, уже упоминались в предыдущей главе. Их результаты указывают на то, что молекулярная теплопроводность играет роль как в ядре турбулентного потока, так и в ламинарном подслое. Лайон [107] применил в своем уравнении данные по распределению скоростей, чтобы получить значения числа Нуссельта для расплавленных металлов. Его результаты могут быть представлены следующим приближенным уравнением для расчета средних коэффициентов теплоотдачи в случае труб круглого сечения, у которых > 60:
-^-^7 + О,О25(-^-У’8(-^)0’8. (26.20)
361
В уравнении (26. 20), применимом при равномерном тепловом потоке от стенки, физические свойства отнесены к средней температуре жидкости.
Себан и Шимазаки [146] предложили аналогичное уравнение для расплавленных металлов в трубах круглого сечения при постоянной температуре стенки. Оно отличается от уравнения (26. 20) только тем, что константа 7 заменена на 5. Оба уравнения применимы, когда RePr>100, и, очевидно, становятся идентичными при высоких значениях RePr.
Движение расплавленных металлов в пограничном слое на плоской пластине было рассмотрено Грошем и Цессом [56]. Так как у расплавленных металлов температурный пограничный слой намного толще гидродинамического, то авторы постулировали, что скорость свободного потока можно принять за истинную скорость при всех значениях у в температурном поле. Это приводит к более простому уравнению теплового баланса:
<26-21)
Уравнение (26. 21) было решено и получены распределение температур и местные коэффициенты теплоотдачи при постоянной температуре стенки. Результаты, выраженные через безразмерные числа, следующие:
Nux = j/-5^. (26.22)
Уравнение (26. 22) было сопоставлено с численными решениями дифференциального уравнения теплового баланса и было установлено, что оно дает значения, заниженные приблизительно на 10% в пределах 0,005 < Рг < 0,025.
ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
НА КОЭФФИЦИЕНТЫ ТЕПЛООТДАЧИ
Мы видели в гл. 13 и 15, что шероховатость поверхности влияет на коэффициент сопротивления в турбулентном потоке, но пренебрежима в ламинарном потоке. Подобное положение существует и в теплообмене. За исключением небольшого увеличения поверхности теплообмена, шероховатость промышленных теплообменных поверхностей мало влияет на теплоотдачу в ламинарном потоке. При турбулентном потоке шероховатость может иметь и может не иметь значительного влияния. Если элементы шероховатости не выступают из ламинарного подслоя, тогда они не влияют на коэффициент теплоотдачи. С другой стороны, выступы, которые простираются в переходную зону или турбулентное ядро, вызовут
362
увеличение как потерь энергии на трение, так и коэффициента теплоотдачи.
Известно, что в случае поверхности с поперечными ребрами увеличение поверхности теплообмена и коэффициента теплоотдачи обычно сопряжено с увеличением расхода энергии на прокачивание жидкости (газа) вдоль теплообменной поверхности.
Изучая влияние шероховатости как на коэффициент сопротивления, так и на коэффициент теплоотдачи, Бруилет [18] нарезал клиновидные канавки на толстостенной медной трубке и измерял факторы, определяющие как теплопередачу, так и перепад давлений при движении воды. Он установил, что относительная шероховатость 0,05 (отношение высоты выступа к диаметру трубы) вызывает увеличение коэффициента теплоотдачи вдвое; однако это сопровождается четырехкратным увеличением коэффициента сопротивления. Внутренняя теплообменная поверхность была увеличена наличием канавок, но даже суммарное действие увеличенных а и А не было обычно достаточным, чтобы дать такое высокое отношение теплового потока к работе перекачивания, какое было получено для гладких труб.
Непропорциональное увеличение коэффициента сопротивления вызвано, вероятно, существенной долей сопротивления формы поверхности в полной потере давления на трение. В потоке вдоль пластин и внутри гладких труб, где сопротивление формы отсутствует, аналогия между переносом тепла и количества движения достаточно хорошо соблюдается. Однако при поперечном обтекании цилиндров сопротивление формы составляет основную часть полного сопротивления потоку, и коэффициент сопротивления (рассчитанный по полному перепаду давления) больше не связан с коэффициентом теплоотдачи линейной зависимостью, как в случае /-фактора. По-видимому, то же положение справедливо в случаях, когда элементы шероховатости твердой поверхности простираются за пределы ламинарного подслоя — в турбулентное ядро.
Задача
26. 1. По горизонтальной стальной трубе диаметром 51 мм протекает вода со средней скоростью 1,5 м!сек и средней температурой 93° С. Труба изолирована слоем 85 %-ной магнезии толщиной 25 мм. Окружающий изоляцию воздух имеет температуру 32° С. Найти температуру на наружной поверхности изоляции и трубы, а также потерю тепла путем естественной конвекции в ккал/м-ч. Потерями тепла путем излучения можно пренебречь.
26. 2. Воздух с температурой 35° С движется перпендикулярно стальной трубе диаметром 38 мм со скоростью 5,5 м)сек. В трубе длиною 3,0 м находится насыщенный пар при 135° С. Предполагая, что сопротивление конденсирующегося пара и стальной трубы теплопередаче незначительны по сравнению с сопротивлением воздуха, требуется найти потери тепла от трубы.
26. 3. Необходимо нагреть 6480 кг/ч масла от 35 до 88° С в стальной трубе диаметром 25 мм, заключенной в рубашку из другой трубы, в которой конденсируется пар при избыточном давлении 0,7 ат. Средняя удельная теплоемкость масла 0,46 ккал!кг • град, плотность 820 кг/м3, а коэффициент
363
теплопроводности равен 0,109 ккал/м*ч* град. Зависимость вязкости масла от температуры показана в следующей таблице:
Температура, °C 35 43,3 54,4 71,1 87,8
Вязкость, СП 13,5 10,8 8,1 5,5 4,8
Коэффициент теплоотдачи от конденсирующего пара можно принять равным 7325 ккал/м2 • ч • град. Требуется найти необходимую длину трубы и обсудить допущения, сделанные в решении.
26. 4. Температура поверхности вертикальной внутренней стенки печи высотой 2,5 м и шириной 2,5 м равна U00Q С. Стенка состоит из 100-зм« огнеупорного кирпича, 100-.М.М пористого кирпича и 200-мм строительного кирпича. Температура воздуха вне печи равна 21° С. Найти потерю тепла конвекцией от этой поверхности в ккал/ч.
26. 5. Стальной шар диаметром 13 мм быстро охлаждается от 427° С при погружении его в поток масла, обтекающего шар со скоростью 1,5 м/сек. Так как сопротивление передаче тепла теплопроводностью внутри шара намного меньше сопротивления теплопередаче в масле, можно допустить, что температура внутри шара в любой момент одинакова во всех его точках. Найти время, за которое шар охладится до 93° С. Средние значения физических свойств масла:
% = 0,108 Ккал/м • ч • град, q = 832 кг/м3,
Ср = 0,54 ккал/кг • граду р, = 1,22 • 10“3 кг/м • сек.
26. 6. Капля воды шарообразной формы диаметром 6,3 мм движется в воздухе с постоянной скоростью 24 м/сек. Температура воздуха равна 27° С, а температура капли постоянна и равна температуре мокрого термометра 17° С. Найти время, за которое капля полностью испарится.
26.7. Проводник электричества, представляющий собой сплошную . цилиндрическую медную проволоку диаметром 3 мм, покрыт слоем изоляции, для которой максимально допустимая температура равна 93° С, а коэффициент теплопроводности X = 0,06 ккал/м *ч • град. Окружающий проволоку воздух имеет среднюю температуру 38° С.
Нанесение изоляции на цилиндр обычно уменьшает потерю тепла. Но для цилиндров очень малого диаметра нанесение изоляции может увеличить потерю тепла, что играет большую роль при расчете электрических систем, в которых рассеяние тепла является желательным.
Для описанной выше системы требуется найти толщину изоляции, которая обеспечит максимальную потерю тепла.
27. КИПЕНИЕ И КОНДЕНСАЦИЯ
Теплообмен, сопровождающийся изменением агрегатного состояния веществ, обычно характеризуется высокими скоростями. В системах с кипящими жидкостями были получены такие высокие тепловые потоки, как 136 млн. ккал!м*-ч. Этот способ переноса тепла приобрел большое значение в ракетной технике и конструировании ядерных реакторов, где большие количества тепла выделяются в небольших объемах. Хотя скорость теплопередачи при конденсации паров не достигает такой величины, все же сообщалось о коэффициентах теплоотдачи при конденсации до 97 650 ккал1м* •наград. В обычных промышленных аппаратах коэффициенты теплоотдачи при конденсации паров обычно выше, чем в системах, где не происходит изменения агрегатного состояния.
КИПЕНИЕ
ВИДЫ КИПЕНИЯ
Среди различных способов переноса тепла кипение является, вероятно, самым сложным. При очень быстром охлаждении раскаленных металлов в жидкостях скорость теплообмена часто возрастает с уменьшением разности температур между металлом и жидкостью. Аналогичный случай, известный как явление Лейденфроста, наблюдается при падении капель жидкости на очень горячую поверхность. Хотя капли сильно подбрасываются на поверхности, им нужно для испарения несколько секунд. Но когда капли падают на значительно более холодную поверхность из того же материала, подбрасывания капель не происходит. Наоборот, капли смачивают поверхность, растекаются по ней и испаряются в течение секунды или менее. Объяснение как парадоксального поведения при быстром охлаждении, так и явления Лейденфроста заключается в том, что теплообмен при кипении
365
происходит по несколько иному механизму, влияющему часто в большей степени на величину теплового потока, чем температурный напор.
Ранние исследования механизма теплообмена при кипении принадлежат Нукияма [120] (1934 г.). Он погрузил платиновую проволоку в воду при 100° С и нагревал ее, пропуская по ней электрический ток. Тепловой поток от проволоки рассчитывался по электрической мощности, а температура проволоки определялась по ее электрическому сопротивлению. Результаты Нукияма
Рис. 27. 1. Режимы кипения воды при атмосферном давлении.
1 — естественная конвекция; 2 — пузырьковое кипение; 3 — переходная область; 4 — пленочное кипение.
и последующих исследователей показаны на рис. 27. 1.
Нукияма установил, что при повышении температуры проволоки от 100 до 150° С тепловой поток плавно возрастает, после чего температура проволоки резко поднимается до 1000° С и продолжает неуклонно расти при дальнейшем увеличении количества подводимой энергии. Уменьшение подвода энергии, начиная от этой точки,
вызывало понижение температуры проволоки, как
показано плавной кривой, от 1000 до 300° С, после чего температура падала ниже 150° С.
Ниже этой точки она следовала кривой, уже установленной
при увеличении теплового потока.
Нукияма сделал вывод, что существует, по меньшей мере, три вида кипения, и последующие работы доказали его правоту. Первый вид известен как пузырьковое кипение. При температурах поверхности, лишь на несколько градусов превышающих 100° С, пузырьки образуются и поднимаются друг за другом с отдельных мест поверхности нагревателя. По мере увеличения разности температур пузырьки начинают образовываться на большем количестве участков поверхности, так что появляется больше цепочек пузырьков, отводящих тепло от поверхности. Когда разность температур становится достаточно высокой, скопление цепочек пузырьков достигает некоторой максимальной величины, обозначенной точкой В на рис. 27. 1, при которой жидкость больше не может подходить к поверхности нагревателя со скоростью, достаточной для образования необходимого количества пара. В этой точке механизм кипения переходит в механизм,
366
известный как пленочное кипение, а температура проволоки повышается (хотя тепловой поток остается постоянным) до величины, соответствующей точке D. Термин пленочное кипение применяется потому, что поверхность нагревателя находится теперь в контакте только с паровой фазой, существующей в виде пленки между нагревателем и жидкостью. Испарение жидкости происходит на границе жидкость — пар, вызывая увеличение толщины паровой пленки до тех пор, пока пар не оторвется от нее в виде беспорядочной массы пузырьков неправильной формы. Проволока плавится, если точка D окажется при температуре, превышающей точку плавления металла. Нукияма установил, что это перегорание происходит в случае медной проволоки, но не наблюдается при платиновой проволоке, которая имеет намного более высокую точку плавления.
Пленочное кипение может быть устойчивым при температурах выше и ниже, чем в точке D. Однако, если тепловой поток снижается значительно, пленка распадается при температурах, близких к температуре в точке С. Механизм пузырькового кипения восстанавливается при том же самом тепловом потоке, но на отрезке кривой между точками А и В.
Переходной зоне между точками ВиС уделялось лишь незначительное внимание. Из-за трудности регулирования температуры проволоки электрические нагреватели мало пригодны для экспериментальной работы в этой области. У всех нагревателей поверхность в переходной зоне частично покрыта паром, но толщина парового слоя изменяется значительно. Так как работа в этой области неустойчива и увеличение движущей силы приводит к уменьшению теплового потока, этот механизм в настоящее время не представляет большого интереса для производственных процессов.
Отрезок кривой влево от точки А на рис. 27. 1 представляет не кипение, а скорее нагревание путем естественной конвекции. Жидкость может находиться при своей температуре кипения, но если температура поверхности нагревателя превышает ее не больше, чем на несколько градусов, никакие пузырьки на поверхности не появляются. Участок кривой вблизи точки А на рис. 27. 1 представляет собой область, в которой образуются первые немногие цепочки пузырьков; теплообмен происходит частично путем пузырькового кипения, а частично — путем естественной конвекции.
ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ
Для пузырькового кипения до сих пор не предложено ни одного вполне удовлетворительного механизма. Ранние экспериментальные работы были посвящены измерению характеристик кипения; результаты были описаны с помощью эмпирических уравнений, составленных из безразмерных групп. Но противоречивость
367
экспериментальных данных разных исследователей подорвала доверие к большей части предложенных уравнений. Недавно были предложены уравнения, основанные частично на механических концепциях; они будут рассмотрены позже в этом разделе. Многие аспекты кипения еще не нашли своего объяснения, и расчет коэффициентов теплоотдачи без экспериментальных данных легко может дать ошибку около 100%.
Образование пузырьков. В химических лабораториях наблюдалось, что жидкости в стеклянной посуде часто не начинают кипеть при температуре насыщения, соответствующей атмосферному давлению. В самом деле, если осторожно обращаться с чистыми жидкостями в чистой стеклянной посуде, можно получить перегрев жидкости, превышающий 55° С. Но если внести в систему загрязнения, то состояние пересыщения быстро прекращается, и происходит бурное вскипание.
Хотя явление перегрева наиболее наглядно проявляется в некипящих, нестабильных системах, описанных выше, оно наблюдается и во всех кипящих системах. Температура кипящей жидкости, измеренная на некотором расстоянии от поверхности нагрева, часто на один градус выше температуры пара над жидкостью; пар имеет температуру насыщения. Вблизи поверхности нагрева перегрев жидкости может составлять от 17 до 28° С. Эта зона чрезвычайно узкая; большая часть падения температуры происходит обычно на расстоянии, меньше 1 мм от нагревателя.
Объяснение наличия перегрева в системах с кипением состоит в том, что температура насыщения и давление насыщения, обычно используемые инженерами (т. е. найденные по паровым таблицам), применимы к равновесию между паром и жидкостью на плоской поверхности. Напишем уравнение баланса сил, действующих по экватору шарообразного пузырька пара радиуса г, учтя, что внутреннее давление р8 превышает давление в окружающей жидкости pi на некоторую величину, уравновешивающую силу поверхностного натяжения, стремящуюся сжать пузырек. Мы получим
pgnr2 = pinr2 + 2лгп, (27.1)
откуда
P8~Pi~.~" (27.2)
Чтобы достичь избыточного давленияpg —pi, которое может быть очень высоким в мелких пузырьках, жидкость, из которой образуются пузырьки пара, должна иметь температуру намного выше, чем температура насыщения на плоской поверхности. Если имеются пузырьки с большим радиусом кривизны, то требуемый избыток давления будет меньше, и кипение будет начинаться при меньшем перегреве. Совершенно чистая жидкость, соприкасающаяся с плоской нагреваемой поверхностью, потребует, теоре-368
§20000
• а б ▼ 6
тически бесконечно большого перегрева. Жидкость, однако, не является сплошной средой, и группы молекул могут служить центрами кипения. Более того, условия идеальной чистоты и плоской поверхности недостижимы, так что наибольшие отмеченные перегревы имеют порядок от 55 до 110° С. Роль твердых загрязнений в предотвращении бурного вскипания может быть объяснена, возможно, большими радиусами кривизны пузырьков, которые на них образуются. Возможно, однако, что кипение не требует присутствия инородных веществ, * а может быть инициировано поверх- ;
ностью нагрева. Многочисленные опыты показали, что металлические поверхности, отполированные наждачной бумагой, имеют более высокие коэффициенты теплоотдачи, когда для полировки поверхности используется грубая бумага, нежели когда ; используется тонкая наждачная бу- i мага. Примеры полученных резуль- : татов показаны на рис. 27. 2. j Одним из путей, по которым со- । стояние поверхности, как полагают, < влияет на кипение, является задержка пара в углублениях поверх- | ности, перед тем как начинается кипение. Углубления на поверхности нагревателя могут заключать в себе воздух, когда кипение начинается, но по истечении короткого времени весь воздух рассеивается, и в паровом пространстве остаются только молекулы кипящего вещества. Если углубления имеют скругленное дно, жидкость заполнит их целиком, когда кипение приостановится, и они не будут служить источниками ние возобновится. Но если у углублений неровное дно с острыми углами, жидкость не заполнит целиком углубления, когда кипение прекратится. Граница раздела жидкости и пара будет перемещаться внутрь углубления, но в этом случае силы поверхностного натяжения действуют в одном направлении с давлением в паровом пространстве, чтобы уравновесить давление в жидкости. Жидкость продвигается внутрь углубления только до тех пор, пока радиус кривизны поверхности не станет достаточно малым, чтобы Т) | 2 СУ W м М
Ре г стало равным и не останется устойчивый газовый
^10000 § 8000
§ 6000 * 5000 ^0000 13000
^ 2000
$ е
S 1000
800
600 500
6 7 8910 20 30 0050
С
Рис. 27. 2. Коэффициенты теплоотдачи от w-гексана, кипящего на плоской поверхности, отполированной наждачной бумагой трех сортов [89].
Наждачная бумага: а — Ъ— 0; б — 0; в — 2 (самая грубая).
пузырьков, когда кипе-
24 Заказ 519.
369
карман. При дальнейшем нагревании пузырьки снова выделяются с этого места.
Поведение пузырьков. Образование, рост и отделение пузырьков происходят чрезвычайно быстро. Исследования с помощью фотографирования показали, что суммарное время между отделением двух следующих друг за другом пузырьков часто составляет лишь несколько сотых долей секунды. Быстрый рост и отделение паровых пузырьков вызывают сильную турбулизацию жидкости, особенно в зоне высокого перегрева близ поверхности нагревателя. Эта турбулизация способствует переносу тепла от поверхности нагревателя к жидкости, испаряющейся на поверхности пузырьков. Быстрый рост пузырьков и турбулизация жидкости содействуют другу другу, и такой механизм, вероятно, является причиной высоких коэффициентов теплоотдачи при кипении.
Опыты показали, что коэффициент теплоотдачи пропорционален концентрации активных центров парообразования, в некоторой степени изменяющейся от 0,25 до 0,46, хотя никаких теоретических предпосылок для этой зависимости неизвестно. Число активных центров на поверхности нагревателя растет с увеличением перегрева, но об этой зависимости мало что известно, кроме того, что она, вероятно, связана с шероховатостью поверхности и физическими свойствами кипящей жидкости. Точный расчет коэффициентов теплоотдачи при кипении станет возможным лишь после полного выяснения механизма процесса.
Зависимости для коэффициентов теплоотдачи пр и пузырьковом кипении. Две недавно предложенные зависимости Розенау [137] и Форстера и Цубера [47] были с успехом применены при описании коэффициентов теплоотдачи при кипении. Обе зависимости имеют некоторую теоретическую основу, но в конце концов прибегают к сочетанию безразмерных групп, для которых не предлагается никакого объяснения с точки зрения механизма кипения. Оба уравнения имеют ,вид:
Nu = aRebPrc. (27.3)
Определяющая скорость, которую Розенау применил в Re, равна fnVb, где / — частота образования пузырьков в активном центре (пузырьков в секунду), п — число активных центров на единицу поверхности, a Vb — объем пузырька. Величина fnVb имеет размерность скорости. С другой сторцны, в уравнении (27. 3) у Форстера и Цубера фигурирует скорость, равная радиальной скорости перемещения поверхности растущего пузырька. Форстер и Цубер установили, что произведение радиальной скорости на радиус пузырька не зависит от времени; тогда число Рейнольдса, содержащее это произведение, также не зависит от времени и может быть рассчитано по физическим свойствам жидкости.
370
Хотя кажется, что оба рассмотренные выше уравнения имеют более прочную основу, чем многие полностью эмпирические формулы, предшествовавшие им, они все же не дают вполне надежного метода расчета коэффициентов теплоотдачи при кипении. Одна из трудностей состоит в том, что не известно влияние ни одного отдельно взятого переменного. При подводе тепла от электронагревателя переменным является диаметр проволоки. При подводе тепла от горизонтальных труб средний коэффициент теплоотдачи при кипении изменяется в зависимости от размера трубы, в то время как местные коэффициенты теплоотдачи при кипении могут изменяться от нижней до верхней части трубы на 100%.
Действие поверхностного натяжения на коэффициент теплоотдачи при кипении не известно. Вестуотер [170] в обстоятельном обзоре о состоянии знаний по кипению показал, что если бы влияние поверхностного натяжения на коэффициент теплоотдачи при кипении было бы описано уравнением
а = const оп, (27. 4)
то значения показателя степени м, рассчитанные разными исследователями, изменялись бы от —2,5 до 1,275.
‘ Влияние степени перегрева на коэффициент теплоотдачи при кипении различно. Многие промышленные аппараты имеют данные, которые могут быть приближенно описаны уравнением1
a-const (АО2 * *’5- (27.5)
Однако для медных труб сообщалось о столь низких значениях показателя степени, как 1,4, в то время как плоские поверхности, отполированные грубой наждачной бумагой, могут дать показатели степени, равные 2,5.
Вывод, который можно сделать из современного состояния знаний о пузырьковом кипении, заключается в том, что хотя мы имеем некоторое представление о протекании кипения, мы не можем надежно рассчитать значения коэффициентов теплоотдачи при кипении. При таких обстоятельствах у инженера нет иного выхода, кроме как получить экспериментальные данные.
МАКСИМАЛЬНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
По мере того как перегрев кипящей жидкости возрастает, концентрация активных центров на поверхности нагрева увеличивается, и тепловой поток также возрастает. Весовая скорость пара, поднимающегося от поверхности, при установившемся состоянии должна равняться весовой скорости жидкости, напра-
1 Некоторые авторы определяют температурный напор как разность температуры поверхности нагревателя и средней температуры жидкости.
Другие авторы берут разность температуры поверхности нагревателя и тем-
пературы насыщения жидкости. Последнее определение дает несколько более
высокие значения Дг, чем первое, и, по-видимому, находит более широкое
применение.
24*
371
вляющейся к поверхности. Когда скорость кипения возрастает, скорость притока жидкости должна увеличиваться; так как сечение, предоставленное потоку жидкости, уменьшается с увеличением числа цепочек пузырьков, скорость жидкости должна очень быстро возрастать. Так как сопротивление, оказываемое каждой из фаз движению другой, исключает бесконечное нарастание скорости, достигаются предельные условия. При этих условиях поток жидкости по направлению к нагреваемой поверхности не может возрастать, и поверхность оказывается в значительной степени покрытой паром. Если подвод тепла к поверхности поддерживается постоянным (как при электронагреве), то температура поверхности будет быстро подниматься до некоторой намного более высокой величины, при которой тепло передается жидкости (пару) по механизму пленочного кипения. Если подвод тепла переменный и температура поверхности возрастает медленно (как в случае подвода тепла от обогреваемых паром труб), то механизм кипения вступает в переходную зону между пузырьковым и пленочным кипением.
Максимальный тепловой поток, при котором происходит пузырьковое кипение, играет значительную роль в производственных процессах. Пленочное кипение имеет мало преимуществ. Перегрев, при котором наблюдается максимальный тепловой поток при пузырьковом кипении, обычно рассматривается как предельное рабочее условие.
ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ
Пленочное кипение наблюдается, когда перегрев достаточно высок, чтобы поддерживать поверхность нагревателя полностью покрытой паром. Тепло передается через пленку газа теплопроводностью, конвекцией и лучеиспусканием. Высокие тепловые нагрузки часто достигаются в случае пленочного кипения при высоких температурах поверхности благодаря участию лучеиспускания. Кроме того, высокие тепловые нагрузки получаются, если пар в пленке турбулизирован, как, например, в пленке, обогреваемой длинной вертикальной поверхностью.
Пленочное кипение важно в ракетной технике, где для охлаждения ракетного двигателя применяются сжиженные газы (водород и кислород). В этих системах происходят чрезвычайно высокие перегревы, приводящие к тому, что тепло передается при пленочном кипении.
КОНДЕНСАЦИЯ
МЕХАНИЗМ КОНДЕНСАЦИИ
Теплоотдача при конденсации паров на холодной поверхности является распространенным производственным процессом. Конденсация обычно происходит на наружных поверхностях труб 372
в кожухотрубчатых теплообменниках, и у большинства теплообменников жидкостью, протекающей внутри труб и отводящей тепло, является вода.
Конденсирующийся пар может состоять только из одного вещества, как в случае пара, который конденсируется в теплосиловой установке, или может быть смесью веществ. Смесь может состоять из веществ, способных конденсироваться, и веществ, не способных конденсироваться, как это имеет место при конденсации влаги из воздуха в осушителях. Наконец, смесь может состоять из веществ, которые полностью конденсируются при температуре охлаждающей поверхности, как в случае пара, выходящего из дистилляционной колонны. В этой главе мы рассмотрим, главным образом, вопрос конденсации паров чистого вещества.
На равновесие между паром и жидкостью влияет как давление, так и температура, поэтому в системе конденсации давление является важным параметром. Так как охлаждающей жидкостью в крупных конденсаторах обычно является вода с температурой, близкой к температуре окружающего воздуха, температура поверхности конденсатора обычно изменяется в довольно узких пределах. В необходимых случаях добиваются полной конденсации паров путем выбора соответствующего рабочего давления. Именно таким способом определяется рабочее давление для многих промышленных процессов разделения.
Конденсация на твердых поверхностях происходит двумя способами. Один из них известен как пленочная конденсация. Если конденсат легко смачивает поверхность, образуется пленка жидкости, на которой идет дальнейшая конденсация пара. Скрытая теплота конденсации передается к поверхности через жидкую пленку. Когда таким образом конденсируется пар, состоящий из одного компонента, почти все сопротивление теплопередаче от пара к поверхности сосредоточено в пленке жидкости. Второй вид конденсации, известный как капельная конденсация, наблюдается, когда жидкость ограниченно смачивает поверхность, и конденсат появляется в виде отдельных капель, оседающих на поверхности. Капли растут при последующей конденсации пара на их поверхности и за счет слияния с соседними каплями. Если твердая поверхность не горизонтальна, капли растут до тех пор, пока не достигнут размера, достаточного для того, чтобы скатиться до самой низкой точки поверхности и упасть с нее. При скатывании вниз капли оставляют за собой чистую поверхность, так что значительная часть поверхности свободна от конденсата все время. Не смоченная поверхность не оказывает сопротивления теплопередаче, и по этой причине коэффициенты теплоотдачи для капельной конденсации достигают очень высоких значений. МакАдамс приводит измеренные разными исследователями величины ост, которые изменяются от 20 000 до 350000 ккал/м2 - ч-град.
373
К сожалению, капельная конденсация, по-видимому, возможна только, когда поверхность покрыта «промотором», например бен-зилмеркаптаном, который предотвращает смачивание поверхности. Конденсатор, покрытый этим веществом, будет давать капельную конденсацию лишь недолгое время, пока промотор не будет смыт. Поэтому промышленные конденсаторы рассчитываются на пленочную конденсацию, и в остающейся части главы мы будем рассматривать только этот механизм конденсации.
Местный коэффициент теплоотдачи при конденсации обычно изменяется с положением поверхности: он изменяется по высоте вертикальной и по периметру горизонтальной трубы. Вывод, который мы проследим в следующем разделе, относится к среднему коэффициенту теплоотдачи при конденсации в случае постоянной разности температур. Как указывалось ранее в гл. 23, эта разность температур в известной мере определяет величину коэффициента теплоотдачи. При конденсации разность температур принимается равной температуре на границе пар — жидкость минус температура на границе жидкость — твердое тело. Если пар является чистым веществом, то его температура насыщения будет равна температуре на границе раздела пар — жидкость. Если пар перегрет или представляет собой смесь компонентов, то его температура не равна температуре на границе раздела пар —жидкость. Тем не менее, температура этой поверхности минус температура на границе жидкость — твердое тело является движущей силой, применяемой в определении коэффициентов теплоотдачи при конденсации.
КОНДЕНСАЦИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТРУБ
Нуссельт [121] в 1916 г. предложил теоретическую зависимость для среднего коэффициента теплоотдачи чистого насыщенного пара, конденсирующегося на поверхности вертикальных и горизонтальных труб. В обоих случаях предполагалось, что движение жидкости полностью вязкое, что трение на границе пар — жидкость незначительно и доля инерционных сил в направленном вниз движении жидкости пренебрежимо мала. С тех пор было показано, что последние два допущения обычно оправданы, но что движение жидкости во многих случаях является турбулентным. Обычно это случается при конденсации на длинных вертикальных трубах. В верхней части трубы движение пленки конденсата ламинарное, а когда она достигнет определенной толщины, то движение становится турбулентным, и уравнение Нуссельта больше не применимо. Критерием перехода от одного вида движения к другому является значение числа Рейнольдса — ReL. Установлено, что для пленки толщиной хе, движущейся вниз по вертикальной трубе диаметра D со средней скоростью иъ, гидравлический радиус, согласно его обычному определению, равен просто хе.
374
Таким образом, для любого расстояния L от верха трубы, где толщина пленки равна хе, мы запишем
(27.6)
Массовый расход равен xeubQnD, а массовый расход на единицу периметра трубы —- хеиь§. Эта величина, обозначенная буквой Г, возрастает от нуля в верхней части трубы до максимального значения в нижней ее части. Подставляя ее в число Рейнольдса, получим
14 = (27.7)
Ламинарный поток существует, когда число Рейнольдса меньше 2000, а турбулентный, — когда оно выше 2000. Это является ограничением применимости уравнения Нуссельта.
Диаметр трубы намного больше толщины пленки, так что цилиндрическую систему координат можно приближенно представить прямоугольной. Начало координат находится в верхней части трубы, ось х направлена по нормали от поверхности трубы, а ось у — вертикально вниз.
Следующее уравнение (И. 53) Навье-Стокса лежит в основе гидродинамического анализа, который, как всегда, предшествует анализу теплопередачи:
^иУ I ,. &иУ I ,, диУ | &иУ V 1 &Р I дх * & ду ' 2 dz ‘ дт Q ду ’
4-v ( ^иУ I д2иУ i д2иУ \
\ \дх2 ду2 “И dz* ) '
Левая часть уравнения равна нулю, так как движение устанс-вившееся, а их, uz и принимаются равными нулю. В правой др части равно нулю, а изменением иу как в направлении оси у, так и в направлении оси z пренебрегают, так что уравнение (И. 53) принимает вид
d2uy Y
dx2 v
' (27.8)
Массовая сила Y упрощается до g, так как ось у вертикальна, поэтому уравнение (27. 8) принимает вид:
Уравнение (27. 9) интегрируется дважды и дает:
g- + ^ + G- - (27.10)
375
Две произвольные постоянные определяются путем наложения двух граничных условий: иу — 0 при х = 0 и = 0 на границе пар — жидкость, где х — хе- Последнее условие справедливо, если трение на границе пар — жидкость незначительно. Применение этих значений дает
иу^(хех-^-). (27.11)
Массовый расход можно найти путем интегрирования по толщине пленки. Пренебрегая увеличением периметра с увеличением х, мы получим
хе
W= (27.12)
О
Отсюда мы видим, что массовый расход на единицу периметра трубы, который мы обозначили ранее через Г, равен
г = -^. (27.13)
Чтобы найти средний коэффициент теплоотдачи, используем выражение теплового потока для бесконечно малого отрезка трубы dy, расположенного на расстоянии у от ее верха:
dq = an.D dy (tsv — ts). (27. 14)
Температурный градиент в направлении оси у предполагается незначительным, так что вся теплота конденсации, выделившаяся на границе пар — жидкость, передается в горизонтальном направлении путем теплопроводности к поверхности трубы. Если пленка имеет толщину хе, мы можем записать
dq = fatDdy . (27.15)
Объединяя уравнения (27. 14) и (27. 15), получим
а = |х> (27.16)
хе
По определению, местный коэффициент теплоотдачи равен
где div — скорость конденсации в бесконечно малой секции в кг/ч, аг — скрытая теплота парообразования.
376
Однако, местная скорость конденсации может быть выражена следующим образом: dw _______________________ dw ____ dV
dA ~ nD dy dy *
Из уравнений (27.16)— (27.18) следует: % r dr %e tsv— $8 dy
(27.18)
(27.19)
или
4. + хег
Для полной длины L трубы, вдоль которой существует ламинарное движение пленки, имеем:
q = а А (t—t} = rwT
* т \ sv s/ L,
(27.20)
(27. 21)
откуда
t f _ _ rrb
” 4 amA amL •
Подставляя в уравнение (27.20) значение tsv — ts, получим:
(27.22)
dy = ^^dr.
Из уравнения (27.13) толщина пленки равна
(27. 23)
Хе
(27. 24)
Этот результат подставляется в уравнение (27. 23):
(27.25)
Уравнение (27. 25) интегрируется в пределах от у = L и от Г = 0 до Г == Г£; после преобразований получаем выражение для среднего коэффициента теплоотдачи в ламинарной области:
У = 0 до
ат =
8 =0,925
(27. 26)
Если преобразовать уравнение (27. 22), то величину выразить как
•р Ctm/y (Jsv *з) r
Г. можно JL —
(27.27)
377
Подставляя уравнение (27. 27) в уравнение (27.26), получим
°— °'925 kzZ-..)]T- <27-28’
Средний коэффициент теплоотдачи легко получить, если возвести в куб обе части уравнения (27. 28), решить относительно ат и извлечь корень четвертой степени. Тогда получим
ат = °’942 ЫгЬт14 • (27-29)
L Vb {tsv is) j
Средний коэффициент теплоотдачи может быть также выражен через ReL, определяемый уравнением (27. 7). Для этого преобразуем уравнение (27. 26) к виду:
(v2 \*"з” / 4Гг \ 3 - —
= 1,47^) = l,47(Reb) \ (27.30)
где ReL — число Рейнольдса в нижней части области ламинарного движения пленки вдоль трубы.
Уравнение (27. 29) показывает зависимость ат от перепада температур в пленке конденсата. При работе конденсатора охлаждающая жидкость, протекающая внутри трубы, повышает свою температуру; таким образом, допущение о том, что tsv—t8 постоянно, не соблюдается. Однако ат зависит от перепада темпера-
1
тур в степени всего лишь -у, так что изменение ат по этой причине обычно мало.
Физические свойства конденсата изменяются с температурой, но единственным свойством, которое изменяется значительно, является вязкость. Было показано, что вязкость должна быть отнесена к температуре насыщенного пара минус -у (tsv—t8)-Остальные свойства можно также брать при этой температуре. Небольшую поправку можно также внести в скрытую теплоту конденсации, так как полный тепловой поток в действительности является суммой скрытой теплоты конденсации и тепла, отдаваемого при переохлаждении жидкости в пленке конденсата. При-
Г л । 0,(tsv —t s)
нято умножать г на множитель 1 + —— прежде, чем
подставлять г в уравнение (27. 29).
Уравнение (27. 29) было сопоставлено с экспериментальными данными, причем установлено, что оно дает слишком заниженные данные. Предполагалось, что волны на поверхности пленки конденсата вызывают некоторую степень перемешивания. Экспериментальные величины ат лежат в пределах, превышающих значения, рассчитанные по уравнению (27. 29), иногда даже на 50%. Отсюда, 378
рекомендуемым приемом является умножение теоретических значений ат, полученных по уравнению (27. 29), на множитель 1,2. Как теоретическая, так и рекомендуемая зависимости показаны на фис. 27. 3.
Если труба достаточно длинная, толщина пленки увеличивается, и движение становится турбулентным. Для этих условий теоретического решения нет. Однако, средний коэффициент теплоотдачи измерялся экспериментально многочисленными исследователями. Мак-Адамс рекомендует следующую эмпирическую зависимость:
= 0.0077 (— \ И
(27.31)
Рис. 27. 3. Коэффициенты теплоотдачи при конденсации на поверхности вертикальной трубы [108].
1 — рекомендуемые; 2 —теоретические.
Эта зависимость, рекомендуемая для значений числа Рейнольдса 4ГЬ
----- больше 2000, показана на рис. 27. 3 в дополнение к кривым И
для ламинарного движения. Средний коэффициент теплоотдачи, полученный по уравнению (27. 31), применим ко всей трубе, т. е. как к участку с ламинарным, так и к участку с турбулентным движением.
КОНДЕНСАЦИЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ТРУБАХ
Местный коэффициент теплоотдачи для пара, конденсирующегося на горизонтальной трубе, является функцией положения, как и в случае вертикальной трубы. Но для горизонтальной трубы изменение происходит преимущественно по периметру, а не вдоль оси трубы. Самый высокий коэффициент теплоотдачи наблюдается в верхней части трубы, где пленка конденсата самая тонкая, а самый низкий — на нижней образующей трубы.
Вывод Нуссельта для конденсации на горизонтальной трубе аналогичен выводу для вертикальной трубы и не будет здесь
379
(27. 34)
дан. Он приводит к следующему уравнению для среднего коэффициента теплоотдачи:
г °-*• <27-32>
Это выражение, подобное уравнению (27. 29) для вертикальной трубы, может быть преобразовано с помощью показанных ниже подстановок и приведено к виду функции ада от ReL:
JL А
(27-33)
Как и раньше, число Рейнольдса выражается следующим образом:
ре (4) * (гидравлический радиус)- (u&q)
Гидравлический радиус определяется обычным способом и равен толщине пленки хе в любой точке. Величина хеиъ$ есть массовый расход конденсата на метр длины трубы в определенном положении по периметру с каждой стороны трубы. Тогда выражение (27. 34) может быть записано в следующем виде:
Re=‘^e_. (27.35)
Г
Число Рейнольдса у основания трубы, которое мы обозначаем Ве£, используется для определения ат в уравнении (27. 33). Оно может быть выражено через полный массовый расход на метр трубы:
ReL = AJ^, (27.36)
где Гь — полная скорость образования конденсата на 1 м длины | Г f
трубы, а -у----скорость для каждой стороны трубы — массовый t
расход до того момента, когда потоки конденсата сливаются |
в нижней части трубы. Следовательно, уравнение (27. 36) опреде- X ляет ReL, применяемый при переходе от уравнения (27. 32) 1
к уравнению (27. 33). 3
Если несколько горизонтальных труб расположить в верти- 1 кальный ряд так, что весь конденсат с каждой трубы стекает 1 на нижележащую-, то средний коэффициент теплоотдачи на после- I дующих трубах уменьшается. Вывод, который приводит к урав- 3 нению (27. 32), может быть теоретически распространен [74], Я
380
чтобы включить влияние N труб в вертикальном ряду. Средний коэффициент теплоотдачи для всего пучка труб выразится:
0.725 (27.37)
Было установлено, что это уравнение дает удовлетворительные расчетные значения средних коэффициентов теплоотдачи для пучка труб при условии, если массовый расход конденсата на нижней трубе такой, что Reb< 2000. Конечно, всегда будет некоторая степень турбулентности на поверхности каждой трубы, кроме верхней, из-за стекания конденсата с вышележащей трубы. Это влечет за собой увеличение Маловероятно, что конденсация на одиночной горизонтальной трубе идет со скоростью, достаточной для возникновения турбулентного движения. Но движение пара над конденсирующейся пленкой может вызвать появление волн и приведет к тому, что коэффициенты теплоотдачи будут выше рассчитанных по уравнению (27. 32).
ПЕРЕГРЕТЫЙ ПАР
Если конденсирующийся пар входит в конденсатор в перегретом состоянии, то теплота перегрева должна быть отведена вместе со скрытой теплотой конденсации охлаждающей жидкостью, протекающей внутри труб. Механизм конденсации связан с отводом теплоты перегрева, так что можно ожидать, что анализ процесса требует рассмотрения обоих этапов. Однако экспериментально было установлено, что сопротивление, оказываемое охлаждением пара до температуры насыщения, незначительно. Даже при перегретом паре температура жидкости на границе пар —- жидкость равна температуре насыщения, так что здесь применим обычный коэффициент теплоотдачи при конденсации с движущей силой tsv — ts, как и в случае насыщенного пара. Очень малое сопротивление теплопередаче, которое оказывает охлаждение до температуры насыщения, будет гораздо легче понять после рассмотрения одновременного процесса тепло- и массопередачи в гл. 38.
ВЛИЯНИЕ НЕКОНДЕНСИРУЮЩИХСЯ ГАЗОВ
Влияние неконденсирующихся газов известно в таком аспекте, как конденсация влаги из воздуха с образованием росы. Оно проявляется в промышленном оборудовании, где жидкости, содержащие растворенный воздух, кипят, а образующиеся пары в дальнейшем конденсируются.
Конденсация любого парообразного компонента смеси происходит только тогда, когда парциальное давление этого компонента в смеси превысит упругость пара при температуре холодной 381
поверхности. Если существует эта разность парциальных давлений, то конденсирующиеся компоненты будут диффундировать через газовую фазу к холодной поверхности и здесь конденсироваться. Кроме скрытой теплоты, отдаваемой при конденсации на поверхности, теплота будет передаваться путем теплопроводности или конвекции из объема газовой фазы к поверхности. Этот процесс подобно конденсации перегретого пара является совмещенным процессом. Но в этом случае диффузионная составляющая обычно не является несущественной; в самом деле, скорость диффузии может быть настолько низкой, что станет определяющей ступенью. Анализ этого процесса требует одновременного применения уравнений тепло- и массопередачи и не будет обсуждаться в данном разделе.
В некоторых процессах газ содержит лишь небольшую долю конденсирующегося вещества и протекает по конденсатору непрерывно. Однако, в других процессах газ, входящий в конденсатор, почти целиком остается в аппарате. Эти конденсаторы должны иметь устройства для непрерывной или периодической отдувки; иначе неконденсирующиеся газы будут накапливатьсяг а производительность конденсатора снизится до нуля.
КОНДЕНСАЦИЯ СМЕСЕЙ
Аппараты для конденсации паровых смесей могут работать многими способами. Если весь входящий пар должен быть скон
Рис. 27. 4. Диаграмма равновесия пар — жидкость, иллюстрирующая конденсацию паровых смесей.
денсирован и есть возможность установления равновесных условий, то паровая фаза в конденсаторе в любой момент будет достигать равновесного состава, отличающегося от состава жидкости. Уходящая жидкость должна обязательно иметь тот же состав, что и входящий пар, но паровая фаза будет богаче их обоих наиболее летучими компонентами. Это показано на рис. 27. 4, который изображает равновесие пар — жидкость для бинарной смеси компонентов А и В
при постоянном давлении. Насыщенный пар состава непрерывно входит в конденсатор при температуре Уходящая жидкость имеет тот же самый состав, но предполагается, что она
382
находится при температуре £2. Объем пара в конденсаторе находится при той же температуре, что и жидкость /2, но имеет иной состав х2.
Определение тепловой нагрузки конденсатора в этих условиях довольно просто. Температура границы раздела пар — жидкость просто равна температуре насыщения t2 жидкости при давлении в конденсаторе. Уравнения, выведенные для расчета коэффициентов теплоотдачи при конденсации чистых веществ, применяются с подстановкой в них физических свойств жидкого конденсата. Движущей силой, как и прежде, является разность температур на границе пар — жидкость и на границе твердое тело — жидкость.
Сделанные выше допущения относительно равновесия между объемом газовой фазы и жидкостью не всегда соблюдаются. Иным способом решения этой задачи было бы предположение, что объем газовой фазы в конденсаторе имеет тот же состав, что и входящий пар. В этих условиях температура на границе пар — жидкость и состав жидкости на границе раздела определяются методом последовательных приближений и являются функциями температуры на границе твердое тело — жидкость.
Задачи
27. 1. Кожухотрубчатый конденсатор состоит из четырех рядов медных труб, в каждом из которых по четыре трубы; трубы размещены по квадратной сетке. Диаметр труб 19 мм, а длина 0,9 м. Вода протекает по трубам с такой скоростью, что коэффициент конвективной теплоотдачи для воды равен а — 4880 ккал/м2 • ч • град. Вода не намного повышает свою температуру, и можно принять, что она имеет постоянную температуру 15Q С. В межтрубном пространстве конденсируется чистый насыщенный пар при избыточном давлении 0,35 ат. Требуется определить тепловую производительность конденсатора (в ккал!ч) в этих условиях, если: а) конденсатор находится в вертикальном положении и б) в горизонтальном положении.
27. 2. Конденсатор состоит из горизонтальных оребренных труб, представляющих собой медные трубы с наружным диаметром 13 jhjh, к которым присоединено оребрение в виде непрерывной спирали. Спираль имеет наружный диаметр 38 мм и толщину 0,5 мм, а расположение ее такое, что она обвивает трубу 630 раз на одном метре длины трубы. Требуется определить коэффициент теплоотдачи при конденсации для верхней трубы конденсатора (в ккал/м2 • ч • град) суммарной конденсирующей поверхности. Можно принять, что во всех точках металлической поверхности температура равна 60° С, а конденсирующийся пар является насыщенным и имеет температуру 100Q С, а также, что ребра имеют эффективную высоту, равную боковой поверхности ребер, поделенной на наружный диаметр ребра.
27. 3. Конденсация перегретого пара является совмещенным процессом охлаждения до температуры насыщения и конденсации. Если никакой конденсации не происходит, процесс охлаждения до температуры насыщения характеризуется сопротивлением теплопередаче, которое может быть в 100 раз выше сопротивления, оказываемого, когда идет конденсация. Однако, когда охлаждение до температуры насыщения и конденсация совмещены, сопротивление на стадии охлаждения незначительно по сравнению с сопротивлением на стадии конденсации. Объясните этот парадокс.
28. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
ПРИРОДА ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Лучистая энергия того вида, который называется тепловым излучением, испускается каждым телом, имеющим температуру выше абсолютного нуля. Это не означает, однако, что количества испускаемого теплового излучения всегда значительно. Его роль в процессе теплообмена зависит от количества тепла, которое одновременно переносится другими способами. В системах, находящихся при комнатной или ниже комнатной температуры, тепловое излучение незначительно. Но при температурах «красного каления» (~550° С) и выше передача тепла лучеиспусканием часто является основным способом теплопередачи.
. Кроме теплового излучения, тела могут испускать лучистую энергию других видов. Бомбардировка вещества электронами дает излучение, которое мы называем рентгеновскими лучами. Выдерживание вещества под облучением одного вида часто приводит к тому, что оно дает другое или вторичное излучение; например, некоторые минералы флуоресцируют в ультрафиолетовом свете. В действительности существует целый спектр электромагнитного излучения, различные части которого получили название, отражающее способ их получения или некоторое характерное свойство. Все виды электромагнитного излучения имеют одинаковую скорость распространения, но отличаются длиной волны и происхождением. При поглощении всех видов излучения выделяется тепло. Однако, только одно электромагнитное излучение, возникающее благодаря нагретому состоянию излучающего тела, мы называем тепловым излучением. Часть этого теплового излучения мы называем также видимым светом, но большая часть его, однако, лежит за пределами спектра видимого света и обычно включается в понятие об инфракрасном излучении. В табл. 28. 1 приводятся примерные пределы длин волн некоторых видов излучения.
384
Таблица 28. 1
Характерные длины волн излучении
Характер излучения
Пределы длин волн, см
Гамма-лучи ....
Рентгеновские лучи У л ьтр афио ле товые лучи...............
Видимый свет . . . Инфракрасные лучи Радиоволны ....
0,01—0,15 -10’8 0,06—1000 • 10“8
100—3500 • IO"8 3500-7800 • 10“8 7800 • 10"8—0,04 0,04—107
Величина теплового излучения тела зависит от его температуры и условий на поверхности. При любой температуре излучение охватывает спектр длин волн, показанный на рис. 28. 1. С измене-
нием температуры изменяется как полная излучаемая энергия, так и ее распределение. Мы видим, что длина волны, на которую приходится максимальная излучающая способность, уменьшается по мере возрастания температуры излучающего тела. Спектр видимого света лежит в области низких длин волн спектра теплового излучения, так что увеличение температуры вызывает увеличение количества тепловой энергии, появляющейся в виде света. Кроме того, изменяется распределение энергии в видимой части спектра. При низких температурах, когда видимый свет едва излучается
Рис. 28. 1. Спектр полной энергии, излучаемой черным телом [74].
(например, 550° С), он красный из-за вторжения теплового спектра в видимый со стороны красной части. Когда температура возрастает, больше энергии испускается при коротких длинах волн, и свет становится более близким к белому.
Солнце излучает энергию при 6000° С, так что мы можем ожидать, что другой предмет при той же самой температуре будет излучать, свет с теми же свойствами, что и солнечный. Так как
поверхностные условия также влияют на излучение отдельных длин волн, то и они подобно температуре должны точно воспроиз-
25 Заказ 519.
385
водиться. Более того, свет, который мы получаем от солнца, прошел ‘через земную атмосферу, поглотившую некоторое количество энергии, что неизбежно повлияло на его свойства при достижении поверхности земли. Наличие поглощения света видно по изменению свойств солнечного света, когда в течение дня изменяются длина его пути в атмосфере и количество атмосферных загрязнений.
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА, ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА И СВЕТОПРОПУСКАНИЕ . . . .
Лучистая энергия, попадая на поверхность тел, поглощается, пропускается или отражается. Доля- полной энергии, которая поглощается, называется коэффициентом поглощения а, доля пропущенной энергии есть коэффициент светопропускания т, а доля отраженной энергии — коэффициент отражения Q. Эти определения приводят к уравнению:
« + т + р = 1. (28.1)
Тело, имеющее коэффициент поглощения, равный единице, называется черным телом. Если коэффициент поглощения плюс коэффициент отражения равен 1, то говорят, что вещество непрозрачно. Некоторые твердые тела являются лишь частично непро-
глощения и степени черноты от длины волны [153].
а — белая огнеупорная глина; б — полированная медь.
зрачными в очень тонких слоях, но поглощение энергии у боль-шинств а непр о зр ачцых твердых тел происходит по существу на поверхности. Некоторые твердые тела являются почти прозрачными, как и большая часть жидкостей и газов.
Поглощение происходит не одинаково для всех излучаемых длин волн. Так как распределение энергии есть функция темпера
туры излучающего тела, то коэффициент поглощения зависит также от температуры излучающего тела. Зависимость коэффи-
циента поглощения твердого тела от длины волны показана на рис. 28. 2. Селективность особенно выражена при поглощении лучистой энергии газами, которые прозрачны по отношению к излучению одних длин волн, но сильно поглощают другие. Коэффи
циент поглощения для каждого вещества зависит также от его собственной температуры, но в меньшей степени, чем от темпера-
386
туры излучающего тела. Таким образом, определение а для какой-либо поверхности требует, чтобы были указаны две температуры. При решении многих задач приходится иногда постулировать, что коэффициент поглощения для поверхности не зависит от спектрального распределения энергии; в этом случае о поверхности говорят, как о «серой поверхности».
Коэффициент отражения и коэффициент пропускания являются характеристиками, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Критерии оценки этих величин для видимого света применимы также и к тепловому излучению. Полированные металлические поверхности имеют высокие коэффициенты отражения, а зернистые поверхности — низкие. Газы и жидкости обычно пропускают большую часть падающего на них излучения, хотя жидкости способны отражать значительное количество энергии. Ввиду зависимости между а, тир [см. уравнение (28. 1)] замечания, сделанные выше относительно изменения коэффициента поглощения с температурой, очевидно, применимы также к сумме коэффициентов светопропускания и отражения.
Отражение от макроскопического участка поверхности в значительной степени зависит от свойств Поверхности. Если поверхность очень ровная, углы падения и отражения равны. Однако большинство поверхностей, встречающихся на практике, является достаточно грубым, поэтому часть излучения отражается по всем направлениям. Если полное количество отраженного света не зависит от угла падения, то говорят, что свет «рассеянный». Это допущение делается при решении большинства инженерных задач.
СТЕПЕНЬ ЧЕРНОТЫ
Если одно или несколько небольших тел, не имеющих источников тепла, поместить в большую вакуумированную емкость, то они в конце концов достигнут состояния теплового равновесия, при котором каждое получает лучистую энергию с той же скоростью, с которой,теряет ее. Если Wr есть количество энергии, излучаемой в единицу времени единицей поверхности тела (лучеиспускательная способность) с поверхностью А19 Wo — поток лучистой энергии от емкости, попадающий на поверхность А19 а cq — коэффициент поглощения для поверхности А19 то мы можем записать:
= РКцИ!, (28. 2)
откуда
= (28.3)
Для остальных тел Wo останется неизменным, так что мы можем записать
25*
387
Таким образом, при тепловом равновесии в системе все тела будут иметь одну и ту же температуру и одно и то же отношение лучеиспускательной способности к коэффициенту поглощения. Это правило называется законом Кирхгофа.
Если одно из тел, находящихся внутри емкости, поглощает весь падаюп^ий на него свет, оно имеет коэффициент поглощения, равный 1, и, как упоминалось ранее, о нем говорят, как о черном теле. Так как — имеет неизменное значение, то оно выражает верхний предел лучеиспускательной способности этой поверхности или любой другой при той же самой температуре. Следовательно, черное тело относится как к идеальным излучателям, так и к идеальным поглотителям света, и излучательная способность его поверхности в ккал/м2-ч является функцией только его собственной температуры. По определению, степень черноты реальной поверхности есть отношение ее лучеиспускательной способности WT к лучеиспускательной способности черного тела W2 при той же самой температуре. Степень черноты обозначается через 8Х. Введя это понятие, можно переписать уравнение (28. 4) следующим образом:
Ж2 ~ а2 ”
где индекс 2 относится к черному телу. Так как а2 = 1, мы получим для нечерного тела зависимость
а1 = 81. (28.5)
Обобщая, мы можем утверждать, что в системе, находящейся в тепловом равновесии, степень черноты каждого тела системы равна его коэффициенту поглощения. В системе, разные части которой находятся при разной температуре, это положение не соблюдается, но часто постулируется при решении задачи. Как указывалось выше, коэффициент поглощения поверхности в действительности изменяется с изменением длины волны падающего на него излучения. Однако иногда поверхность предполагается «серой» и а принимается за постоянную величину. В этом случае а вычисляется путем определения степени черноты не при истинной температуре поверхности, а при температуре источника излучения, так как это та температура, которую имела бы поглощающая поверхность, если бы она находилась в тепловом равновесии с излучающим телом. Известно, что температура поглощающего тела оказывает, кроме того, некоторое влияние на коэффициент поглощения, но влияние температуры излучающего тела обычно более значительно.
Степень черноты, как и коэффициент поглощения, имеет низкое значение для полированных и среднее — для окисленных металлических поверхностей. Она высока также для большинства не-388
Таблица 28. 2
Суммарная степень черноты некоторых поверхностей [124]
Поверхность Температура, °C Степень черноты
Полированный алюминий . . 23 0,040
Полированная медь 117 0,023
Полированное железо .... 450—1000 0,144—0,377
Чугун, свежеобточенный . . 22 0,435
Окисленное железо 100 0,736
Асбестовый картон 23 0,96
Красный кирпич 21 0,93
Шестнадцать различных мас-
ляных красок всех цветов 100 0,92—0,96
Вода . . . . ; 0-100 0,95-0,963
металлических поверхностей. В табл. 28. 2 приведены некоторые типичные значения степени черноты. Последняя, подобно степени поглощения, изменяется с длиной волны и величиной угла между испускаемым лучом и излучающей поверхностью. Изменение степени черноты с длиной волны показано на рис. 28. 2. Данные
табл. 28. 2 относятся к суммарной степени черноты, которая включает излучение волн всех длин, нормальное к излучающей поверхности. Изменение степени черноты с углом обычно невелико, и в этих случаях им пренебрегают, принимая значение табл. 28. 2 за степень черноты полусферы. Некоторые значения в приведенной таблице близки к единице, поэтому можно считать, что они относятся к поверхности черных тел.
Одним из способов создания условий почти идеального черного
тела является поглощение или испускание света через малое отверстие в полом теле, как показано на рис. 28. 3. Вероятно, что луч, входящий в это отверстие, отразится бесчисленное множество раз, прежде чем, в конце концов, выйдет из отверстия, через которое вошел. Каждый раз, когда он попадает на поверхность, a-часть его поглощается, так что после нескольких отражений почти все вошедшее излучение будет поглощено. По существу отверстие полого тела эквивалентно поверхности того же размера с коэффициентом поглощения 1. Аналогичным образом по излучательным свойствам отверстие действует как черное тело с той же
389
поверхностью и температурой. Этот принцип применяется при измерении температуры методом, требующим, чтобы излучающая поверхность имела степень черноты, равную 1. Прибор (пирометр) направляется на выемку или клиновидное отверстие в стенках системы.
ЗАКОН СТЕФАНА—БОЛЬЦМАНА
Основываясь на основных законах термодинамики, можно показать, что полная лучеиспускательная способность черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры. Эта зависимость, известная как закон Стефана — Больцмана, применима к полной лучистой энергии всех длин волн, излучаемых во всех направлениях, и записывается как 1
И^-аТ4 * * *. (28.6)
Величина о, известная как константа Стефана — Больцмана, имеет значение 4,9-10“8 ккал1м*-ч (°К)4. Если степень черноты реальной поверхности выразить через полную степень черноты 8, то полная лучеиспускательная способность реального тела в ккал/м^-ч выразится:
И^еаТ4. (28.7)
Выражение для монохроматической лучеиспускательной способности черного тела WBK как функции длины волны было выведено из квантовой теории Планком в 1900 г. Это уравнение, известное как закон Планка 2, имеет вид:
= (288)
ект -1
Величина WBK имеет размерность энергия/(поверхность) • (время) X X (бесконечно малое приращение длины волны) и выражается в ккал/м3-ч, когда константы и С2 имеют значения 3,17 х X 10~1Q ккал/м3 -ч и1,44‘10"2 л^°-К соответственно. Функциональная зависимость WBK представлена графически на рис. 28. 1. Ее dWBK
можно продифференцировать, чтобы получить —, и если эту
1 Мы используем Т для обозначения абсолютной температуры (в градусах Кельвина — аК) и t — для стоградусной шкалы — аС.
2 Другой обычный вид уравнения Планка дает интенсивность моно-
хроматического излучения, нормального к излучающей поверх-
ности, а уравнение (28. 8) дает монохроматическую излучательную способ-
ность, представляющую собой полную энергию длины волны X, излучаемую
через полусферический пространственный угол. Эта излуча-
тельная способность получается при умножении нормальной интенсивности
на л.
390
производную приравнять нулю, то получится следующее выражение для длины волны, на которую приходится максимум излучаемой энергии:
5%Г (1-е*0 = С2. (28.9)
Уравнение (28. 9) может быть решено относительно КТ методом последовательных приближений, что дает
Чах= 2,9 у10"3, (28.10)
где константа 2,9 «Ю"3 имеет размерность л^«0К. Уравнение (28. 10) известно как закон смещения Вина; оно указывает на уменьшение длины волны, на которую падает максимальная лучеиспускательная способность, с увеличением температуры. Интересно, что излучение солнца имеет максимум интенсивности при Ъ длине волны приблизительно 5 • 10~5 см. Согласно уравнению
(28. 10) температура поверхности солнца равна 6000° К.
Уравнение (28. 8) для монохроматической излучательной способности можно проинтегрировать по всему спектру, чтобы получить полную лучеиспускательную способность. Тогда константа Стефана—Больцмана из уравнения (28. 6) принимает вид
a = (28.11)
Подстановка уравнения (28.8) в уравнение (28.11) дает
со
& г4 I
J e^-l о
или
о =
СП» кг) , т% Т----d СТ*
v епТ — 1 О
После преобразования получаем:
mu. J ект-1 о
В результате интегрирования уравнения (28. 12) получаем: ff=4f«у.
о=
(28.12)
391
Если приведенные выше значения С\ и С2 подставить в это выражение, а результат перевести в единицы системы МКГСС, мы получим численное значение о, равное 4,9 10“8 ккал/м2-ч-{°К)4. Согласно Джекобу [74], эта величина примерно на 1,5% ниже* чем лучшие экспериментальные определения.
ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ЧЕРНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Если две поверхности, имеющие разную температуру, расположены так, что они могут обмениваться между собой лучистой энергией, то происходит отдача тепла от более горячей поверхности к более холодной. Простейшей для рассмотрения является
Рис. 28. 4. Лучистый теплообмен между двумя элементами поверхности.
система, в которой поверхности представляют собой плоские параллельные пластины бесконечной длины и ширины. Большинство систем, однако, не имеет простой геометрической формы, и результирующий тепловой поток зависит от расположения в пространстве двух (или большего числа) поверхностей. Для упрощения предположим, что в этом разделе речь идет только о черных поверхностях, так что вся энергия, падающая на любую поверхность, поглощается. Рассмотрим систему, в которой лучистой
энергией обмениваются два элемента (1 и 2) с поверхностями dAt и dA2, показанные на рис. 28. 4. Прямая, соединяющая эти элементы, имеет длину г, а углы, образуемые этой прямой с нормалями к двум поверхностям, равны р! и р2. Скорость переноса лучистой энергии от 1 к 2
пропорциональна прЪизведению видимых поверхностей элементов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Кажущиеся поверхности, т. е. поверхности, нормальные к тепловому лучу, равны cMjCos рх и dX2cos |J2, так что тепловой поток от 1 к 2 равен
^->2
— cos & cos г2
(28.13>
Величина — коэффициент пропорциональности, называемый интенсивностью излучения от поверхности 1. Применим следующий прием, чтобы связать ее с полной лучеиспускательной способностью поверхности 1, которая, как мы видели, равна
392
Величина ^152101 есть бесконечно малый пространственный угол с вершиной в центре 1, стягивающий границы 2 и обозначаемый d<o. Мы проинтегрируем уравнение (28. 13) по всему сферическому углу 2л. *
ал
dqr 2 = Ir dAx f cospid(o = лZ1d41. о
Приравнивая эту величину результату, вытекающему из уравнения Стефана — Больцмана, мы видим, что интенсивность излучения от поверхности 1 равна —. Тогда перепишем уравнение (28.13):
= (2814)
Рассмотрение потока лучистого тепла от поверхности 2 к поверхности 1 приводит к подобному выражению:
Рис. 28. 5. Полусферическая модель для определения интенсивности излучения.
0Т2 dA± cos рх dA^ cos р2 d<h * 1 = л7* ~
(28. 15)
* Интегрирование можно пояснить при помощи рис. 28. 5. Видимая поверхность площадки dA^ которая представляет собой бесконечно малую поверхность, нормальную к лучу, равна dA2 cos р2. Она показана здесь как часть поверхности полусферы, в центре которой находится dAx. Периметр сегмента равен 2лг sin рх, а ширина — г d0i. Нормальная поверхность сферического сегмента, поэтому, равна 2jtr2sinp1(Zp1. Интегрируем, исходя из общего вида, уравнение (28. 13):
л 2 , r f cos cos dA^ d^^2 = /ldAl J -------- Г2 -------
о
Подставляем в это выражение <L42cosP2 и получаем
л
Т”
= h dA х f =
1 —* 2 I
0
Л
2
= 2 nZi dAr J* cos Pi sin dpx = dAr. о
393
Результирующий тепловой поток определяется по разности
т (У dAi cos Pi dA% cos P2 / гг,^\
a?12 =--------------^2 \7 1 7 2/‘
(28.16)
a
Рис. 28. 6. Угловой коэффициент ср и суммарный угловой коэффициент <р для расположенных друг против друга дисков, квадратов и прямоугольников [108].
1—2 — 3—4 — прямое излучение между плоскостями <р; 5 — 6—7— 8 — плоскости, связанные нетепл ов одними, но излучающими стенками, <р; 1—5 — диски; 3—7 — прямоугольники с отношением сторон 2:1; 2—6 — квадраты; 4—8 — длинные узкие прямоугольники.
Если две поверхности имеют определенные площади (Лх и 42), уравнения (28. 14) и (28. 15) могут быть решены в каждом случае путем двойного интегрирования.
В технологии удобно пользоваться более простыми формулами для выражения теплопередачи, поэтому интегральная форма уравнения (28. 14) представляется как
Qi -> 2= о^хфп^ь (28.17) уравнение (28.15) как
?2 -> 1 =
(28.18)
Величина ф12 обозначает долю полного излучения от поверхности 1, достигающую поверхность 2, а величина <р21 — долю излучения поверхности 2, падающего на 1; ф12 и <р21 называются угловыми коэффициентами. Если обе поверхности имеют одинаковую темпера-
туру, то дх»2 = ^2 -> 1, откуда следует, что Ахф12 = Л2ф21. Таким образом, можно написать любое из следующих уравнений для результирующего потока между 1 и 2, даже если и Т2 не равны, так как Лхф12 и Л2ф21 зависят только от геометрии системы: / л ,
ди = о41<ри(Т‘-Г84); (28.19)
?12 = о42ф21(^-Л). (28.20)
Хотя равенство Ax(p12 и Л2ф21 было установлено при рассмотрении черных поверхностей, оно в равной степени применимо и для серых поверхностей.
Угловой коэффициент ф12 может быть вычислен путем объединения уравнения (28. 17) с интегральной формой уравнения (28. 14). По этой методике установлено, что
d At cos р! dA2 cos g2
(28. 21)
<P12 =
тег2
A2 Aj
394
Величины углового коэффициента были рассчитаны для ряда < пространственных конфигураций, показанных на рис. 28. 6. Остальные значения приведены в разделе 6 справочника Перри. Способ определения этих коэффициентов показан в примере 28. 1.
Пример 28. 1
Определить угловой коэффициент для теплопередачи излучением от малого диска с площадью Лх к параллельному большому диску с площадью Л2. Предполагается, что диски расположены друг против друга, т. е. линия, соединяющая их центры, перпендикулярна к обоим дискам. Радиус большого диска равен а, а расстояние между их центрами — г0. Эта система показана на рис. 28. 7. Уравнение (28. 21) запишется
<Pi2 —
dAr cos px dA% cos p2
лг2
В этой задаче Аг мало по сравнению с Л 2, так что при интегрировании по Лх остальные величины под знаком интеграла могут считаться постоянными. Кроме того, углы и р2 равны; они будут обозначены просто как В. Поэтому уравнение для углового коэффициента упрощается до
f cos2 р dЛ 2 ф“-
dp
dtp
Бесконечно малый элемент обо- п .............л
знатен на рисунке. Площадь элемента Рис’ 28' ДИСКИ
равна (пример ze. 1).
dA% = q dip dp.
Из построения видно также, что cos р = . Тогда угловой коэффици-
ент можно записать как
а 2Л
И ф d'HQ
О о
Система симметричная, так что первое интегрирование дает
а
Ф12 — J "yr” Q ©
Величина г является следующей функцией q:
Таким образом мы имеем а
а
’ №
<P12 —
О
0
395
что после интегрирования дает
Несколько поверхностей. Для системы, включающей несколько поверхностей, следует, что
Ф11 + Ф12 + Ф13 + • • +<Р1г=1. (28.22)
Если поверхность ! не может «видеть» сама себя, фи = 0. Если все поверхности черные, то результирующий тепловой поток от поверхности 1 ко всем остальным поверхностям выразится:
91, рез “ “Ь ^хфха^! — °^зфз1Тз 4“ • • • (28. 23)
Члены, содержащие (rAjT*, можно сгруппировать и выразить одним членом, пользуясь уравнением (28. 22). Уравнение (28. 23) примет тогда следующий вид:
рез = аА.П-а(Ae4>tlT*+AgtpnT*+ • • • + А& tTf). (28. 24)
Огнеупорные поверхности. Во многих системах теплообмена поверхности с высокой и низкой температурами, служащие «источником» и «приемником» лучистой энергии, связаны стенкой из какого-либо огнеупорного материала, через которую передается лишь незначительное количество тепла. Лучистая энергия поглощается этими огнеупорными поверхностями, но при установившемся режиме она излучается с той же скоростью, если нет потерь тепла через огнеупорный материал. Следовательно, создается результирующий тепловой поток, связанный с превращениями лучистой энергии на огнеупорных поверхностях.
Если мы рассмотрим две черные поверхности 1 и 2, связанные с огнеупорной поверхностью /?, теплопередача от поверхности 1 к поверхности 2 должна включать не только прямой перенос, выражаемый через угловой коэффициент ф12» но также и энергию поверхности 1, которая поглощается огнеупорной поверхностью и вновь излучается в направлении поверхности 2. Коэффициент ф12, называемый суммарным угловым коэффициентом, вводится для отражения суммы этих двух воздействий. Огнеупорная поверхность излучает энергию 1 как к поверхности 1, так и к поверхности 2 (фй1 и фд ), а также сама на себя, если она может «видеть» себя (фдд)- Однако вся энергия, излучаемая на себя, тут же вновь излучается в направлении поверхностей 1 или 2, а доля вновь излученной по направлению к поверхности 2 энергии равна
1 Предполагается, что повторное излучение (плюс любое отражение) во всех направлениях одинаково, т. е. является «рассеянным», и поэтому не зависит от исходного направления.
396
•—------. Суммарный угловой коэффициент поэтому равен сумме
доли, излученной непосредственно, и доли, излученной вторично.
5.. = <P.. + <r.B^7TV- (28.25)
Если обе части уравнения (28. 25) умножить на AL и преобразовать правую часть, мы получим
^1Ф12 — ^1Ф12 Н ф " •
1 1
^ЛнФйг АФ1Н
Для любых двух поверхностей, в том числе и для огнеупорной^ справедливы соотношения Лхф1К = Л дфК1 и ЛдфД2 —Л2фок,. так как они сопряжены только с взаимным расположением поверхностей в пространстве. Применяя эти два соотношения, получим ,
— 1
^1Ф12 “ ^1Ф12 Н j j е (28.26}
Следовательно, зная Лх, Л2 и угловые коэффициенты <р12У Ф1К и можно рассчитать суммарный угловой коэффициент. Значения суммарных угловых коэффициентов для ряда геометрических конфигураций показаны на рис. 28. 6.
Результирующий лучистый теплообмен между двумя поверхностями, которые связаны огнеупорными переизлучающими поверхностями, описывается уравнением
д12 = оЛ1ф12Т’1 —оЛ2ф21Г^ (28.27)
Если это уравнение применяется к двум поверхностям, имеющим одинаковую температуру, то Лхф12 = Л2ф21. Так как эти величины зависят исключительно от геометрического расположения поверхностей, они равны между собою, даже если не имеют одинаковой температуры. Таким образом, уравнение (28. 27) перепишется следующим образом:
д12 = оЛ1ф12 (Тх (28.28)
СЕРЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Если поверхности» от которых исходит результирующий тепловой поток, не являются черными, то лучеиспускательная способность каждой из них определяется при помощи уравнения Стефана — Больцмана с учетом степени черноты. Поглощение
397
энергии каждой такой поверхностью неполное и равное количеству падающей на нее энергии, умноженному на коэффициент поглощения. Эти два обстоятельства делают точный анализ лучистого теплообмена между реальными поверхностями намного более сложным, чем между черными телами. Для упрощения задачи часто предполагают, что поверхности серые. Как сказано было выше, это предположение равносильно допущению о том, что коэффициент поглощения не зависит от длины волны падающего излучения и, таким образом, от температуры и других характеристик излучающего тела. Иными словами, предполагается, что степень черноты и коэффициент поглощения поверхности одинаковы. Хоттел [67] показал, что в случае двух поверхностей 1 и 2, между которыми есть результирующий тепловой поток, связанный с любым числом огнеупорных переизлучающих зон, величина результирующего теплового потока может быть выражена уравнением
#12 = o^i(pi2 ( 7\ Т8), (28. 29)
где
ф12 81— 1 ^2 е2 1
Вывод этого уравнения довольно сложен; в отношении деталей вывода мы отсылаем читателя к работе Хоттела. Уравнение (28. 30) легко применить к ряду простых, но практически важных систем. Для случая, когда небольшое тело 1 находится внутри^полого тела большего объема 2, например, трубы в помещении, <pi2 = 1, А
а = 0. Поэтому <р12' = 8J. Когда лучистый теплообмен проис-^*2
ходит между двумя большими параллельными плоскостями, суммарный угловой коэффициент ф12 равен единице, а поверхности равны, поэтому
Ч>и = -7—4------. (28.31)
—+~—1
81 82
Эти две системы можно анализировать непосредственно, не прибегая к помощи уравнения (28. 30).
КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЕМ v
Если излучение от поверхности происходит не в вакууме, оно j обычно сопровождается конвективной теплопередачей. В случае, g когда излучающие поверхности имеют одинаковую температуру | во всех своих точках, мы рассчитываем теплоотдачу путем конвек- 1 ции обычными методами. Теплоотдача излучением рассчитывается я по уравнению Стефана — Больцмана с соответствующими коэф- Я
39 8 1
фициентами. Суммарный тепловой поток равен сумме этих двух составляющих. Однако, имея дело с двумя механизмами одновременно, часто бывает удобно определять коэффициент теплоотдачи излучением, подобно тому как определяется коэффициент теплоотдачи конвекцией. Этот вопрос уже рассматривался в гл. 23, и для коэффициента было найдено следующее выражение (23.11): q = A (ts! — ts 2).
Через £S1 и ts2 обозначены температуры поверхностей источника излучения и лучепоглощения соответственно. Чтобы полу
чить выражение для аг, перепишем уравнение (23. 11), включив в него абсолютные темпер ату ры поверхностей:
q^arA^-Tz). (28.32)
Уравнение для лучистого теплового потока между черными поверхностями с угловым коэффициентом 1 имеет вид
q — aA (Tj-Tt). (28.33)
Объединяя уравнения (28. 32) и (28. 33), мы получаем:
= • (28.34)
Температура одной из поверхностей, °C
Рис» 28. 8. Коэффициент теплоотдачи
излучением.
__ Температура второй поверхности, °C; a — 538,
Из уравнения (28.34) 6 — 427; в - 316; г- 204; д - 93; --18.
видна сильная зависи-
мость аг от температуры. Однако, применение аг столь же строго, насколько строго применимо уравнение Стефана — Больцмана, при условии учета изменения ar. Значения ar, рассчитанные по уравнению (28. 34), показаны на рис. 28. 8. Из уравнения (28. 34)
после выполнения деления получаем:
аг = о(7’? + ^Т3 + 7117,1 + П). (28.35)
Очевидно, что при определении аг не играет роли, относятся ли индексы 1 и 2 к источнику или к поглотителю энергии излучения.
При лучистом теплообмене между серыми поверхностями с угловыми коэффициентами, отличными от единицы, необходимо видоизменить уравнение (28. 32), умножив правую часть на (р12, как это следует сделать и с уравнением (28. 33).
399
ОШИБКИ ТЕРМОПАР
Термопара, применяемая для измерения температуры жидкости в емкости, может давать показания, существенно отличающиеся от истинной температуры жидкости, если стенки поглотителя имеют некоторую иную температуру. Это различие происходит из-за того, что спай термопары сохраняет свою температуру неизменной благодаря теплообмену с жидкостью путем конвекции и со стенками путем излучения.
Если температура стенки ts выше температуры жидкости tg, то термопара показывает некоторую промежуточную температуру tc. Уравнения теплового потока следующие:
Q = (^s — ^с) ~ — tg)*
Эти уравнения могут быть решены относительно температуры газа:
tg = te—(28.36)
Расчет, иллюстрирующий величину этого влияния, дается в примере 28. 2.
Пример 28. 2
Стеклянный термометр (s = 0,96) вставлен в большой канал круглого сечения под прямым углом к стенке. Ртутный баллон термометра диаметром 6,35 жм находится в центре канала. Воздух проходит по каналу с такой скоростью, что коэффициент теплоотдачи конвекцией между термометром и воздухом равен 86,5 ккал!м2 *ч • град.
а) Какова температура воздуха в канале, если стенки последнего имеют температуру 427Q С, а термометр показывает 149° С?
б) Чему будет равно новое показание термометра, если его обернуть серебряной фольгой (8 = 0,03)?
а) Термометр может «видеть» только канал, так что его угловой коэффициент равен единице. Поверхность термометра настолько меньше поверх-Ас 1
ности канала, что величина =-— пренебрежимо мала по сравнению
А$ 8$ — 1
с остальными членами знаменателя в уравнении (28. 30). Следовательно, для данной задачи уравнение (28. 30) принимает вид
фее = । । 1 == sc = 0 >9о.
По рис. 28. 8 находим, что коэффициент теплоотдачи излучением равен 37 ккал!м2 • ч • град. Температура газа определяется при помощи уравнения (28. 36):
|>дН8 37 -0.«(427-148) 35.с,
об >5
б) Показание термометра в этом случае определяется по уравнению (28. 36) методом последовательных приближений:
35=tc— ar . (800- tc).
400
Предположим, что tc — 37,8° С; по рис. 28. 8, аг = 29,3.
29,3 • 0,03 389,2
Очевидно, что термометр будет показывать приблизительно 38,30 С»
Пример 28. 2 показывает, что ошибка в показании термометра, вызванная излучением, может быть уменьшена путем покрытия поверхности датчика температуры каким-либо материалом, имеющим низкую степень черноты и низкий коэффициент поглощения. Можно также уменьшить ошибку, заключив датчик в оболочку, идентичную с полой трубой. Газ свободно протекает между термопарой и трубой, но термопара не может «видеть» ничего, кроме оболочки. В этих условиях оболочка участвует, главным образом, в теплообмене с газом и каналом и имеет какую-то промежуточную температуру. Однако, термопара участвует в теплообмене с оболочкой и газом и имеет некоторую температуру, более близкую к температуре газа, чем она имела бы, если бы оболочки не было.
Еще два обстоятельства могут влиять на показание термометра в системах с низкой скоростью газа. Если газом является воздух, то он сам по себе не излучает и не поглощает значительных количеств лучистой энергии, а передает тепло, главным образом, конвекцией,.которая уже рассматривалась. Но если газ содержит много трех- или более атомных молекул, эти последние поглощают и излучают большие количества лучистой энергии. Эта лучистая теплоотдача газа влияет на показание термопары, но приводит к тому, что термопара дает показание, более близкое к истинному. Четвертая ошибка вызвана тем, что термопара, вероятно, имеет температуру, равную температуре стенки в том месте, где она выводится из канала. Возникающая разность температур стенки и спая влияет на тепловой баланс спая и может привести к значительным ошибкам, если термопара короткая.
ИЗЛУЧЕНИЕ ГАЗОВ
В то время как твердые тела и жидкости обладают непрерывным спектром излучения, газы не имеют непрерывного спектра. В действительности, большая часть одноатомных и двухатомных газов, подобно газам, содержащимся в воздухе, едва ли излучает какие-либо лучи. Другие газы, такие, как пары воды и двуокись углевода, излучают только в пределах определенных частей спектра. Существует общее правило, что только трех- и более атомные газы излучают лучистую энергию в значительных количествах. Газы, излучающие энергию, также п поглощают ее, но только в пределах тех же частей спектра, в которых они ее излучают. Газы, не излучающие энергии, не поглощают ее.
Ширина диапазона лучеиспускания (или поглощения) для отдельного газа зависит как от температуры, так и от давления.
26 Заказ 519. 401
Более того, в пределах диапазона длин волн интенсивность излучения для любых установленных условий изменяется с длиной волны. Диапазоны лучеиспускания водяного пара ограничены пределами от 2,2 до 3,3, от 4,8 до 8,5 и от 12 до 25 мк. Диапазоны с большими длинами волн обычно не играют роли при поглощении, так как лишь небольшая часть полного теплового излучения твердых тел приходится на их долю. Видимый свет (от 0,35 до 0,78 мк) не поглощается ни водяным паром, ни двуокисью углерода.
Поглощение лучистой энергии отдельным газом зависит от числа молекул на пути луча. Степень поглощения в газообразной среде можно повысить, увеличив длину пути или парциальное давление поглощающего компонента. Обозначим через IKL интенсивность излучения для отдельной длины волны после того,»как она прошла через слой газа толщиной L, а Z%0 — интенсивность излучения для той же длины волны до входа в газ. Эти интенсивности связаны экспоненциальным уравнением
/.,=/. е’т’Л. (28.37)
Величина является характеристической для данного газа, его парциального давления и длины волны рассматриваемого излучения. Из уравнения (28. 37) видно, что если толщина слоя газа бесконечно велика, то для длин волн, для которых тк больше нуля, т. е. в диапазоне волн, характерных для данного газа, поглощение будет полным. Так как является функцией длины волны, то коэффициент поглощения для слоя газа конечной толщины будет изменяться с изменением %.
Точное решение задачи излучения газа является сложным, даже в случае простых геометрических форм. Поэтому полное излучение или поглощение, связанное с массой газа конечных размеров, обычно анализируется приближенными методами Хотелла [67], которые дают результаты с приемлемой практической точностью. Хоттел определил для ряда газов степень черноты как функцию температуры и давления, рассматривая полушаровую массу газа радиуса £, которая излучает энергию в среднюю точку основания полусферы. Из средней точки длина луча во всех направлениях одинакова. Степень черноты газа определяется как отношение энергии, излучаемой полушаровой массой газа на элемент поверхности в средней части, к энергии, излучаемой на тот же самый элемент черной полусферической поверхностью, имеющей ту же температуру, что и газ. Поэтому энергия излучения газа равна o^gTg на единицу облучаемой поверхности. Если элемент поверхности в средней точке излучает лучистую энергию обратно в газ, то скорость поглощения газом будет равна aagTlf где ag — коэффициент поглощения газом излучения черного тела с температурой поверхности 7\. Результирующее количество излуча-402
емой энергии равно разности — а^Т^). Значения степени
черноты представлены в ряде графиков, типа рис. 28. 9, для двуокиси углерода в системе с^полным абсолютным давлением 1 ат. Коэффициенты поглощения определяются при помощи тех же гра-
фиков.
Параметр на рис. 28. 9 равен pL, где р — парциальное давление двуокиси углерода в am, a L — длина луча в м. Формы объемов газа, отличающиеся от полусферы, анализируются при помощи длины луча в полусфере, дающей эквивалентное количество лучистой энергии. В табл. 28. 3 эти длины даны для ряда систем.
Лучистый теплообмен между газом с температурой Tg и черной поверхностью с температурой Тъ имеющей площадь конечной величины Л, определяется по уравнению q = оА (геТ*е-аеТ1). (28.38)
Рис. 28. 9. Полная степень черноты двуокиси углерода [108].
Степень черноты газа &g берется при температуре газа. Коэф-
фициент поглощения газа определяется при температуре поверхности. В качестве эмпирической поправки к ag параметр
pLTr Tg
используется вместо pL при определении значения по оси
/ Tg \0,65
ординат; это значение умножается на у?) и получается ag.
Таблица 28. 3
Эквивалентные длины луча газового излучения [67]
Форма Эквивалентная длина луча, L
Шар Цилиндр бесконечной длины Пространство между бесконечными параллельными плоскостями Пространство снаружи бесконечного пучка труб, центры которых расположены по углам равносторонних треугольников; диаметр труб равен просвету между ними 0,6 диаметра 0,9 диаметра 2,0 расстояния между плоскостями 2,8 • просвет
26*
403
Изложенная методика показана в общих чертах на следующем примере.
Пример 28. 3
В дымовой трубе диаметром 0,92 м находится газ, содержащий 5% СО2 при 1093° С и абсолютном давлении 1 ат. Движение газа вдоль поверхности трубы происходит с такой скоростью, что коэффициент конвективной теплоотдачи от газа к поверхности огнеупорной стенки равен 7,3 ккал/м2 • ч • град. Требуется рассчитать количество тепла, отдаваемого газом путем лучеиспускания и путем конвекции, если температура поверхности огнеупорной стенки равна 1037° С, а степень черноты — 1,0.
Чтобы определить количество тепла, передаваемого лучеиспусканием, найдем прежде всего параметр р£, используемый при определении коэффициента поглощения и степени черноты. Средняя длина луча определяется с помощью табл. 28. 3.
pL = 0,05 • 0,90 • 0,92 = 0,0414.
Температура газа Tg равна 1366° К. Тогда по рис. 28. 9 мы определяем, что &g — 0,07.
Параметр для определения степени поглощения газа равен
= 0.0414 • =0,04.
1 g lobb
Значение ординаты рис. 28. 9 для этого значения параметра и при Т = = 1310° К составляет 0,072, что мы используем при расчете величины ag.
( 1366 \0,65
тяг) -°'074-
Результирующая теплопередача лучеиспусканием составляет
<? Гл а./ 1366 V а а,, ( 13Ю V] _
~А~4,9' Lo’O7\n6oJ -o,O744“iooJ J -
= 4,9 • (2440—2180) = 1300 ккал/м2 • ч.
Передача тепла конвекцией составляет
JL — 4,3-56 = 410 ^кал/м2 • ч.
Если ограждающая поверхность не является черной, то часть падающего на нее излучения отражается обратно в газ или на другие стенки. Было установлено, что если степень черноты ограждающей поверхности больше, чем 0,7, то обычно с достаточной точностью можно использовать эффективную степень черноты е + 1
равную —~—, где е — истинная степень черноты ограждающей поверхности. Уравнение (28. 38) преобразуется на основании этих эмпирических соображений к виду
q = сАв' (egTg - agT$. (28. 39)
Для систем, содержащих водяной пар, справедливы методы, кратко изложенные выше для двуокиси углерода. Для смесей 404
водяного пара с двуокисью углерода спектры излучения слегка перекрывают друг друга, так что степень черноты не является аддитивной. В отношении методов решения задач, включающих водяной пар, смеси излучающих газов и газов, содержащих взвешенные раскаленные частицы, мы отсылаем читателя к упоминавшейся выше работе Хоттела.
СОЛНЕЧНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Солнечное излучение обусловливает поддержание температуры поверхности Земли. Солнечная постоянная 1200 ккал^-ч выражает количество солнечной энергии, приходящееся на квадратный метр поверхности Земли в направлении, перпендикулярном к направлению луча. Если эту величину умножить на обычна облучаемую поверхность Земли, , где D — диаметр Земли, мы получим полную скорость поступления солнечной энергии. Эту скорость можно приравнять к что представляет собой
полную скорость излучения с поверхности Земли при некоторой средней температуре поверхности Тт, предполагая, что степень черноты равна 1,0. Этот расчет дает приблизительную среднюю температуру поверхности 280° К, или 7° С. Скорость подвода тепла теплопроводностью от земной коры, как сообщалось в гл. 18, составляет приблизительно 0,03 ккал!м2*ч и пренебрежимо мала по сравнению с потоком лучистой энергии.
Очевидно, что энергия, достигающая поверхности Земли,, в некоторой степени исчерпана из-за прохождения через атмосферу — слой воздуха, пыли, водяного пара и двуокиси углерода толщиной в 150 км. Пыль, водяной пар и двуокись углерода способны поглощать лучистую энергию. Однако поглощающее действие газов уменьшается ввиду того, что большая часть солнечного-излучения, испускаемая при 6000° С, приходится на меньшие длины волн, чем диапазоны поглощения двуокиси углерода и воды,, так что газы атмосферы почти прозрачны для солнечного излучения. Однако на излучение Земли они оказывают воздействие. Температура земного излучения намного ниже, чем температура Солнца, поэтому само излучение происходит при больших длинах волн. Эти длины волн перекрывают спектры поглощения двуокиси углерода и водяного пара, так что значительная часть земного излучения поглощается атмосферой и вновь излучается на землю. Это явление обычно называют эффектом «оранжереи», так как прохождение солнечной энергии сквозь стекло и последующее отражение от стекла вторичного излучения, направленного из оранжереи, содействует поддержанию в ней надлежащей температуры в холодную погоду.
Влияние атмосферы зависит от концентрации в ней поглощающих газов. Предполагалось, что увеличение концентрации
405
двуокиси углерода в атмосфере за последние два столетия в результате горения может нарушить равновесие между получаемой и излучаемой землей лучистой энергией. Каждое такое изменение сводилось бы к уменьшению скорости, с которой земля теряет энергию, в результате чего средняя температура земной поверхности и ее атмосферы повышалась бы.
Мы часто сталкиваемся с явлениями ночного излучения, как при появлении заморозков. Когда солнце село, земная поверхность еще получает из пространства какое-то тепловое излучение, но количество его мало. Следовательно, ночью существует чистая потеря лучистой энергии почвой. Эта потеря может быть возмещена путем конвекции из земной атмосферы, но если воздух совершенно спокоен, температура поверхности может упасть ниже 0° С. Так могут возникнуть заморозки, несмотря на то, что температура воздуха выше нуля. Хорошо известно, что заморозков в этих условиях не будет либо при слабом ветре, либо при небе, покрытом облаками. Потерю тепла путем излучения иногда уменьшают искусственно созданием облаков дыма; при этом на предотвращение заморозка больше влияет уменьшение потерь лучистой энергии и конвективное перемешивание, чем теплота сгорания, выделяющаяся при образовании дыма.
Задачи
28. 1. Зачерненный железный шар диаметром 25 мм охлаждается в большой вакуумированной емкости, стенки которой поддерживаются при температуре 16° С. Какое время потребуется для того, чтобы температура шара изменилась от 150 до 1499 С? Какое время он будет охлаждаться от 150 до 40° С? Предполагается, что температура во всех точках шара в любой момент одинакова.
28. 2. Стальная труба диаметром 50 мм (8 = 0,66), заполненная паром, находится в помещении с температурой 16° С. Труба не изолирована, и температура ее наружной поверхности равна 100° С. Найдите потери тепла на 1 м трубы путем естественной конвекции и путем излучения.
28. 3. По стальной трубе диаметром 150 мм прокачивается масло при температуре 400° С. Труба изолирована слоем магнезии в 25 лм* со степенью черноты 0,90. Окружающий воздух и предметы имеют температуру 279 С. Найти потери тепла в 1 ч на 1 м трубы. Коэффициент теплоотдачи конвекцией от изоляции к воздуху в помещении равен 4,75 ккал/м2 *ч*град, а от масла к внутренней стенке трубы — 488 ккал/м2-ч-град.
28. 4. Три параллельных алюминиевых листа, степень черноты каждого из которых 0,2, достаточно велики, чтобы их можно было принять за бесконечные. Наружные листы поддерживаются при температурах 1100 и 550°- С. Найти температуру среднего листа и тепловой поток в системе в ккал/м2 *ч. Можно считать, что температура во всех точках каждого из листов одинакова, а пространство между листами вакуумировано.
28. 5. Воздух движется по каналу с температурой внутренних стенок 260° С. Термопара, помещенная в стальную гильзу (s = 0,9) под прямым углом к потоку воздуха, показывает температуру 150Q С. Массовая скорость воздуха равна 17 500 кг/м2-ч, а наружный диаметр гильзы равен 13 мм. Определить истинную температуру воздуха в канале.
Принять, что термопара и гильза имеют одинаковую температуру. Коэффициент теплоотдачи конвекцией для воздуха, обтекающего перекрест-406
ним током цилиндр, для температур от 40 до 150Q С может быть рассчитан по формуле
G°,e а=1,18^—
D0»4
где а — коэффициент теплоотдачи в ккал/м2 *ч-град; G — массовая скорость воздуха в кг/м2-ч; D — наружный диаметр цилиндра в м.
28. 6. Два параллельных диска с диаметрами 150 и 200 мм расположены на одной оси на расстоянии 150 мм друг от друга. Меньший диск имеет температуру 260° С, а больший — 100° С. Найти скорость передачи лучистой энергии от одного диска к другому, предположив, что оба они черные тела.
28. 7. Покрытая асфальтом крыша дома (б = 0,90) находится под таким углом, что примерно перпендикулярна к солнечным лучам. С нижней стороны крыша изолирована и приходит в тепловое равновесие с находящимся над ней воздухом, имеющим температуру —7° С. Найти равновесную температуру для некоторой точки крыши, которая «видит» только небо. Коэффициент теплоотдачи естественной конвекцией между крышей и воздухом равен 7,3 ккал/м2-ч>град. Можно принять, что в данный день коэффициент пропускания солнечной энергии земной атмосферой равен 0,70.
28. 8. В печной трубе диаметром 150 мм находится горячий газ при 1100° С. Труба имеет кирпичные стенки толщиной 150 мм. Газ в трубе находится при абсолютном давлений 1 ат и содержит 10% по объему двуокиси углерода; остальное составляют кислород и азот. Средняя скорость газов такая, что коэффициент теплоотдачи конвекцией внутри трубы равен 24,4 ккал/м2 -ч-град. Найти тепловой поток через стенки трубы в ккал/м2*ч. Коэффициент теплопроводности кирпича равен 1,04 ккал/м *ч-град, а степень черноты — 0,90. Температура окружающего воздуха 209 С, а средний коэффициент теплоотдачи конвекцией от трубы к воздуху равен 10 ккал/м2 *ч >град~
29. ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
В этой главе мы рассмотрим применение теории теплообмена к расчету и анализу работы некоторых типов теплообменных аппаратов. Ряд таких приложений был рассмотрен, но следующие примеры лучше всего разобрать после изучения закономерностей основных способов переноса тепла.
ТЕПЛООБМЕННИКИ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Одной из основных задач расчета теплообменников является определение требуемой поверхности теплообмена. Основное уравнение (23. 3) для определения поверхности теплообмена было приведено в гл. 23:
а а
Г -77^- f dA.
J а (ts tm) J о о
Интегрирование этого уравнения является правомерным методом определения поверхности Л. Обычно, однако, записывают уравнение (23. 17) для бесконечно малого участка теплообменника с наружной поверхностью труб dA0 и интегрируют следующим образом:
q Ао
(29Л)
О о
Последнее уравнение включает коэффициент теплопередачи Ло, отнесенный к наружной поверхности труб Ло, и среднюю разность температур горячей и холодной жидкостей (или газов), Ai1. Причина, по которой не используют уравнение (23. 17)
1 Для упрощения обозначений А/, определяемая по уравнению (29. 2), применяется в этой главе для обозначения А/сум-
408
непосредственно, состоит в том, что как Д$, так и kQ могут изменяться по длине теплообменника. Уравнение (23. 18), которое определяет ki через также может быть записано в дифференциальной форме и проинтегрировано указанным выше способом. В последующем анализе мы ограничимся уравнениями,, включающими наружную поверхность труб и коэффициенты теплопередачи, отнесенные к наружной поверхности; однако следует помнить, что подобные выводы существуют также для Аг и кг.
Предполагается, что в установившихся условиях температуры горячей и холодной жидкостей имеют неизменные значения в каждом живом сечении потока. Если мы обозначим эти температуры через th и /с, разность температур в уравнении (29. 1) будет равна th — tc. Для простоты эта величина будет записываться как
&t^th — tt. (29.2)
ТЕПЛООБМЕННИКИ ТИПА „ТРУБА В ТРУБЕ*
Теплообменник простейшего вида состоит из двух соосных труб, по которым горячая и холодная жидкости (газы) протекают в одном й том же или в противоположных направлениях. Эти два вида движения называются прямоточным и противоточным. Аппарат,
Выход жидкости Д
Рис. 29. 1. Теплообменник типа «труба в трубе» .
называемый теплообменником «труба в трубе», может быть изготовлен либо из двух труб одинаковой длины с надлежащими соединительными деталями на концах, либо из нескольких труб, расположенных в вертикальный ряд и соединенных попеременно на концах «калачами», как показано на рис. 29. 1.
Теплообменник, показанный на рис. 29. 1, можно рассматривать как одноходовой из двух соосных труб, пренебрегая их промежуточным соединением. Приведенный ниже анализ будет основан на этом упрощении. Две жидкости с постоянными, но разными начальными температурами входят с противоположных концов
40&
в теплообменник, показанный на рис. 29. 2. В этой системе горячая жидкость подается во внутреннюю трубу с постоянной скоростью Wh кг/ч, а холодная жидкость — в кольцевое пространство с постоянной скоростью wc кг/ч. Выбор пути для каждой из жидкостей зависит от таких условий, как коррозия, давление, допустимый перепад давлений. Температура жидкостей (газов) как функция длины показана на рис. 29. 2. Температура жидкостей (газов)
жидкости. игс кг/ч
Выход горячей жидкости
Вход горячей жидкости wh,KWr
Ч £С f . •
Выход холодной жидкости
Рис. 29. 2. Распределение температур в теплообменнике типа «труба в трубе».
1 — бесконечно малый участок.
Для бесконечно малого участка теплообменника, показанного на рис. 29. 2, может быть написано следующее уравнение теплового баланса:
dq dtc=== WhCph dtfi = Jcq (tfi — ^c) dji.Q. (29. 3)
Уравнение (29. 3) показывает, что при постоянных удельных теплоемкостях температуры обеих жидкостей изменяются линейно с q, как показано на рис. 29. 2. Разность температур Д£ также изменяется линейно относительно q. Следовательно, мы можем выразить производную Аг по q через разность Аг и полное количество переданного тепла в теплообменнике, т. е.:
d (М) _ Дг2—Д*-dq ~ q
Из уравнения (29. 3) мы получаем выражение для dq через коэффициент теплопередачи и подставляем его в уравнение (29. 4):
d (Дг) Дг2—Д Ад Дг dAft q
(29.4)
(29.5)
410
Это уравнение преобразуется к виду
(29. 6)
Если принять к0 постоянным, мы получим
(29. 7)
Величина в скобках есть среднелогарифмическая разность температур.
То же уравнение получается в случае прямоточного движения двух потоков на рис. 29. 2. Из уравнения (29. 3) видно, что при Wc,CPc = WhCph любое изменение температуры горячей жидкости вдоль теплообменника сопровождается равным изменением температуры холодной жидкости. В этом случае при противотоке величина Аг одинакова для всех поперечных сечений теплообменника, Аг2 и Агх равны, что делает правую часть уравнения (29. 7) неопределенной. Однако это не представляет затруднений, ибо, если Аг и постоянны, то уравнение (29. 3) может быть проинтегрировано непосредственно, и для теплообменника в целом получим уравнение (23. 17)
Если коэффициент теплопередачи изменяется по длине теплообменника, уравнение (29. 7) не точно, хотя оно часто применяется в качестве приближенного. В некоторых случаях конвективный коэффициент теплоотдачи для одной из жидкостей может быть выражен в виде линейной функции от температуры жидкости. Если в этой жидкости сосредоточено основное сопротивление теплопередаче, то коэффициент теплопередачи приблизительно равен коэффициенту теплоотдачи этой жидкости (как было показано в гл. 23), так что 7с0 является линейной функцией температуры той же жидкости. Так как температура каждой жидкости и разность температур Аг являются линейными функциями д, можно показать алгебраически, что Аг является линейной функцией каждой температуры. В этих условиях коэффициент теплопередачи является линейной функцией Аг. Если мы подставим выражение
кь~а-\-Ъ- Аг
в уравнение (29. 6), то получим
d (Д0 Af2—A^ Г
M(a^bht) q J
(29.8)
4tl
Интегрирование левой части дает
"• (#)
а, а-^-Ъ Д^ J L а -I / д/ \ ^02 Aii
КТ7Л
(29. 9)
Константа а может новкой к0 — а + 6А/:
быть определена алгебраической по дета-
^01 А*2 — ^02 А^1 Д^2 — Aii
(29.10)
Подставим значение константы а в уравнение (29. 9) и напишем интегральную форму уравнения (29. 8)
Л, (29.11)
1п ^01 А^2 Д^2 Д^1
А?о1 Д^2—^02 Aii &Q2 Aii
откуда после преобразования получим
g = . л °. (29.12)
1П *0* А*2
/СО2 Л^1
Таким образом, нет необходимости знать константы линейной зависимости между к0 и Ai, достаточно располагать только конечными значениями этих величин. Если fc0 постоянно, уравнение (29. 12) превращается в уравнение (29. 7).
Если изменение не может быть представлено в виде линейной функции А^, нужно интегрировать уравнение (29. 1) графическим или численным методом. Величину dq можно заменить либо > u>hCphdth, либо wcCpcdtc, и уравнение принимает вид . J
*Ла Ao i
( 1П^п = f dAo- (29.13)
° I
Зависимость между th и tc в любом поперечном сечении тепло-обменника может быть определена, если написать уравнение те- | плового баланса по обеим жидкостям для части теплообменника, | ограниченной этим поперечным сечением и любым из концов те- | плообменника. Величину fc0 рассчитывают для данного попереч- | ного сучения по коэффициентам теплоотдачи, выраженным в виде 1 термических сопротивлений, как показано в гл. 23. I
КОЖУХОТРУБЧАТЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ |
Наиболее часто встречающиеся в промышленности теплообмен- -j ники состоят из ряда параллельных труб, расположенных в одном кожухе, и поэтому называются кожухотрубчатыми. Они приме- * 412 I
няются, когда требуется нагревать или охлаждать большие количества жидкостей, а теплообменники типа «труба в трубе» достаточной производительности были бы слишком громоздки и дороги. Как и в случае теплообменников типа «труба в трубе», потоки жидкостей в кожухотрубчатых теплообменниках могут двигаться в одном и том же или в противоположных направлениях. На рис. 29. 3 горячая жидкость входит в трубы через распределительную камеру, проходит по трубам и попадает в другую распределительную камеру, через которую уходит из установки. Холодная жидкость движется противотоком в межтрубном пространстве.
Выход Вход горячей холодной жидкости жидкости
Выход Вход холодной горя чей жидкости жидкости
Рис. 29. 3. Одноходовой кожухотрубчатый теплообменник.
Изменение температуры жидкостей в теплообменнике, показанном на рис. 29. 3, аналогично изменению температуры в теплообменнике типа «труба в трубе», показанном на рис. 29. 2. Более того, уравнения для определения поверхности теплообмена в обоих случаях одинаковы; Ло в расчете кожухотрубчатого теплообменника есть полная наружная поверхность всех труб.
Если теплообменник, показанный на рис. 29. 3, совсем короткий, то, очевидно, условие параллельного движения потоков не соблюдается, так как значительная часть жидкости в межтрубном пространстве движется перпендикулярно к пучку труб. В этом случае нет аналогии с теплообменником «труба в трубе». Анализ, предполагающий полный перекрестный ток, был проведен Бауманом, Мюллером и Наглем, которые проинтегрировали теоретические уравнения для этой системы. Они сопоставили свое уравнение для q с видоизмененным уравнением (29. 7).
(29.14)
413
в котором Д£х и Д^2 ~ конечные разности температур, определяемые так, как если бы жидкости в теплообменнике с перекрестным током двигались бы противотоком. Коэффициент Y был получен
Рис. 29. 4. Поправочный коэффициент для теплообменника с перекрестным током [12].
z
а — 0,2; б 0,6; в — 1,0; г — 1,5; д — 2,0; в — 3,0; ж — 4,0.
+ _t
fC2 ci
приравниванием этих выражений. При расчете теплообменников с перекрестным током значение коэффициента Y можно определять по рис. 29. 4 и использовать конечные разности температур при противотоке для расчета величины Ао.
МНОГОХОДОВЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ
Кожухотрубчатые теплообменники иногда видоизменяют, вводя распределительную перегородку в одну из распределительных камер, так что протекающая по трубам жидкость делает в аппарате два хода. Эта конструкция показана схематически на рис. 29. 5.
В одной части теплообменника жидкости в трубном и межтрубном пространствах движутся прямотоком, а в другой части — противотоком. Этот случай также был проанализирован Бауманом, Мюллером и Наглем; необходимость пользоваться громоздкими уравнениями была исключена благодаря построенному графику значений У, используемых совместно с уравнением (29. 14). Как и прежде, величины Xt в уравнении (29. 14) принимаются такими же, как в случае одного лишь противотока.
Было проанализировано много других вариантов, включая аппараты с более чем одним ходом в межтрубном пространстве. Много ходов в межтрубном пространстве достигается путем размещения разделительных перегородок внутри кожуха. Поверх-414
ности теплообмена этих аппаратов рассчитывают при помощи поправочного коэффициента к уравнению (29. 14) так, как это уже было описано. Ряд диаграмм для определения этих коэффициентов дан в разделе 6 справочника Перри. Рис. 29.6 дает поправочные коэффициенты для кожухотрубчатого теплообменника с одним ходом в межтрубном пространстве и шестью, дами в стве.
При
Выход горячей жидкости th1
Вход холодной жидкости tc1
с одним
Рис. 29. 5. Теплообменник ходом в межтрубном пространстве и .двумя ходами по трубам.
двумя, четырьмя, восемью и т. д. хо-трубном простран-
анализе всех аппаратов предполагалось, что жидкость в каждом ходе по межтрубному пространству теплообменника полностью перемешана в любом поперечном сечении, перпендикулярном к направлению потока. В действительности в межтрубном пространстве этого не достигается, но
Рис. 29. 6. Поправочный коэффициент для кожухотрубчатого теплообменника с одним ходом в межтрубном пространстве и с четным числом ходов по трубам [167].
а —0,1; д -2,0; б — 0,3; е - 3,0;
t — t— *С2 *С1
в — 0,6; ж — 4,0; г — 1,0; и — 20,0.
415
к этому часто приближаются благодаря поперечным решеткам в межтрубном пространстве, вызывающем перемешивание.
В некоторых теплообменниках температура жидкости в межтрубном пространстве постоянна по его длине. В этих случаях поправочный коэффициент Y равен единице, и используется среднелогарифмическая разность температур без поправки, как в уравнении 29. 7.
Пример 29. 1.
Сырая нефть в количестве 907 кг!ч протекает по внутренней трубке теплообменника типа «труба в трубе» и нагревается от 32,2 до 93,3° С. Тепло передается от керосина, имеющего начальную температуру 232,2° С и протекающего в кольцевом пространстве. Определить поверхность теплообмена и требуемый расход керосина для: а) прямотока и б) противотока при минимальной разности температур жидкостей на конце аппарата 11,1 град.
Данные:
коэффициент теплопередачи kQ — 390 ккал!м2 град*, удельная теплоемкость сырой нефти 0,56 ккал/кг-град'.
Рис. 29. 7. Распределение температур в теплообменнике с прямоточным движением (пример 29. 1, а).
Рис. 29. 8. Распределение температур в теплообменнике с противоточным движением (пример 29. 1,6).
0,60 ккал!кг-град. Полная тепловая
удельная теплоемкость керосина нагрузка равна
q = 907 • 0,56 (93,3—32,2) = 31 034 ккал/ч.
а. Прямоток. Распределение температур представлено на рис. 29. 7.
Температура керосина на выходе равна 104,4° С. Расход керосина равен 31034 о/
Wh 0,60(232.2—104,4) 4 5 /Ч‘
Конечные разности температур равны: 11,1 град к &t2— 200 град.
Поверхность теплообмена определяется по уравнению (29. 7): Ао 31034
200 — 11,1
11,1
390-
б. Противоток. Распределение температур показано на рис. 29. 8. Температура керосина на выходе в этом случае равна 43,3° С, а расход керосина
31 034 ,
0,60(232,2 — 43,3) 2 4 Кг1Ч‘
416
Конечные разности температур составляют: &t±= 11,1 град и Дг2 = = 138,9 град. Поверхность теплообмена равна
31 034 138,9—11,1 '
138,9
Пример 29. 2
В трубчатом теплообменнике, восьмиходовом по трубному пространству и одноходовом по межтрубному, горячий газ движется в межтрубном пространстве, а жидкость — по трубам. Газ входит с температурой 71,1е С и уходит при 38,9е С; жид- цГс кость входит с температурой 11,1е С и уходит при ^0,6° С. Найти полную поверхность теплообмена, если коэффициент теплопередачи к0 равен 26,8 ккал/м2*ч*град, а коли- 30,6°С чество передаваемого тепла равно 25 200 ккал!ч.
Схема потоков в случае противотока показана на приведенном рисунке.
Параметры для определения поправочного коэффициента К:
2—1 .____ 30,6 11,1 _ Л оп,
71,1-11,1 ’ ’
У th 2 1 71,1 38,9 .
tC2-tcl ~~ 30,6-11,1
По рис. 29. 6, Y = 0,89. Конечные разности температур для противотока составляют: = 27,8 град и Дг2 = 40,5 град. Полная поверхность
теплообмена равна
-4о
25 200
26,8 • 0,89
40,5—27,8 '
= 31,2 лЛ
ОРЕБРЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Применение оребренных поверхностей для достижения больших тепловых нагрузок при теплообмене известно на протяжении многих лет. Так, радиатор автомобиля состоит из пучка труб, по которым горячая вода от двигателя циркулирует и отдает тепло в окружающий воздух. Трубы вставлены в отверстия ряда параллельных пластин, которые отводят тепло от стенок трубы и .передают его воздуху путем вынужденной конвекции. Некоторое количество тепла передается от стенок трубы непосредственно в воздух, но большая часть его — через пластины. Количество тепла, переданного путем лучеиспускания, составляет малую долю от полной потери тепла, так что название «радиатор» не отражает сущности устройства.
27 Заказ 519.
417
Оребренные трубы могут иметь круговые или спиральные поперечные ребра, продольные ребра в виде пластин, прикрепленных к наружной поверхности и идущих вдоль трубы, и игольчатые ребра, представляющие собой мелкие иглы или полоски, присоединенные одним концом к наружной поверхности трубы, наподобие щетки. Ребра могут быть приварены или припаяны к трубе и могут быть из того же рода металла, что труба, или из другого. Иногда ребра образуются непосредственно из металла толстостенной трубы. Ребра на трубах находятся обычно только с наружной стороны.
Оребрение поверхности не во всех случаях значительно увеличивает тепловой поток. Это можно показать на следующих примерах. Сумма сопротивлений теплопередаче равна обратной величине произведения поверхности на коэффициент теплопередачи, определение которого было дано в гл. 23. Для системы, включающей сопротивления двух жидкостей и металлической стенки, эта зависимость имеет вид
лшА ао^О \ к Alm / мет ЩАг
Величина Aim в члене, учитывающем сопротивление металлической стенки, играет роль только в случае соосных металлических поверхностей; однако сопротивление металла обычно не велико, и в данном случае мы им пренебрегаем. Можно видеть, что действие оребрения на наружной поверхности будет сводиться к увеличению Ло и, следовательно, к уменьшению сопротивления л
теплопередаче —-т- жидкости, находящейся вне труб. Если внеш-ний коэффициент теплоотдачи настолько мал, что внешнее сопротивление намного больше, чем сопротивление металла или внутреннее сопротивление, то суммарное сопротивление уменьшится почти пропорционально увеличению Ао. Так, путем введения ребер можно удвоить внешнюю поверхность теплообмена и уменьшить полное сопротивление почти наполовину. Примером может служить нагревание воздуха, обтекающего наружную оребренную поверхность медной трубы, внутри которой конденсируется пар. Наоборот, если коэффициент теплоотдачи для внешней поверхности а0 высок, а коэффициент теплоотдачи для внутренней поверхности мал, то внешнее сопротивление составляет небольшую часть полного. Удвоение внешней поверхности только уменьшит наполовину и без того незначительное сопротивление, так что суммарное сопротивление уменьшится лишь немного. Это произойдет, если в предыдущем примере предоставить пару конденсироваться на наружной оребренной поверхности труб, а воздуху или какому-нибудь другому газу — проходить по трубам. Эти два случая рассмотрены в примере 29. 3.
418
Если поверхность трубы может загрязниться, то применение ребер, по-видимому, не будет выгодным из-за возможности оседания посторонних частиц между ребрами. Но движение между ребрами часто происходит со сравнительно высокой скоростью, и если осадок не забивает пространства между ребрами целиком, наличие их еще может быть выгодным. Сопротивление загрязнения равно —-т—, и если ad мало по сравнению с другими коэффициентами, любое увеличение поверхности Ло, на которой оседают загрязнения, уменьшает полное сопротивление на значительную величину.
Пример 29. 3.
Воздух нужно нагреть за счет конденсации пара в теплообменнике, в котором коэффициент теплоотдачи для воздуха равен 49 ккал/м2*ч* град, а коэффициент теплоотдачи от конденсирующегося пара равен 4880 ккал/м2 - ч-град. Найти тепловой поток в ккал/ч*м длины трубы для следующих случаев:
а. Пар конденсируется внутри медной трубы диаметром 19 мм, а воздух движется вдоль наружной поверхности. Трубы не имеют оребрения.
б. То же, что «а», но трубы имеют оребрение.
в. Пар конденсируется на наружной поверхности оребренных труб, а воздух проходит внутри них.
Предположим, что разность температур равна 55,6 град и что сопротивление металлической стенки теплопередаче во всех трех случаях незначительно. Наружная поверхность гладкой трубы составляет 0,060. м2/м длины трубы, а внутренняя поверхность — 0,052 м2/м длины трубы. Оребренная труба имеет 630 круговых ребер высотой 1,3 мм на 1 м длины. Полная наружная поверхность трубы и ребер составляет 0,164 м2/м. Приведенные выше коэффициенты теплопередачи принимаются постоянными для каждой среды во всех трех случаях.
а. Гладкая труба; пар внутри труб; воздух вне труб: сопротивление пара равно . = 0,00394 ч*град/ккал; сопротивление воздуха
4 880 • 0,052
равно —- = 0,3401 ч*град/ккал;
49 • 0,0Ь0
2 R = 0,344 ч • град/ккал;
bt 55,6
д = —= —= 162ввал/ч.
б. Оребренная труба; пар внутри труб; воздух вне труб: сопротивление
пара равно 0,00394 ч* град/ккал; сопротивление воздуха равно = 0,1244 ч*град/ккал.
1 49-0,164
2 Л =0,128 ч* град/ккал;
55,6 "
9 = 0428 = 434 ККаЛ/Ч-
21*
419
в. Оребренная труба; воздух внутри труб; пар вне труб: сопротивление пара равно оог/л~1вТ ~ 9Д>125 ч-град/ккал\ сопротивление воздуха
4 oov • v, 1 OtL j
равно А-ПС9~ ~ 0,392 ч-град/ккал.
4У • U,uDZ
2 /? = 0,392 ч • град/ккал\
55,6 9=М92-=142 ККаЛ'4-
В случае «б» оребрение снижает основное сопротивление и вызывает значительное повышение теплового потока по сравнению со случаем «а». В случае «в», однако, действие оребрения сводится просто к дальнейшему уменьшению сопротивления пара, которое было незначительным даже при гладкой поверхности. Основное сопротивление, которым является сопротивление воздуха, сосредоточено с внутренней стороны трубы, которая имеет меньшую поверхность, чем наружная поверхность гладкой трубы. Таким образом, полное сопротивление в случае «в» при оребренных трубах больше, чем в случае «а», когда применяются гладкие трубы.
Эффективность оребрения. Хотя в примере 29. 3 мы пренебрегли сопротивлением металлической стенки, этот прием не всегда оправдан. Ребра высотой в 25 мм и только в несколько десятых миллиметра толщиной являются обычными, но даже если они изготовлены из меди, они представляют значительное сопротивление теплопередаче. Конечно, это сопротивление тем значительнее, чем меньше сопротивления жидкостей. Количественная оценка влияния оребрения производится при помощи коэффициента оребрения. Эта величина определяется как отношение истинного теплового потока к тому потоку, который был бы получен, если бы все ребро имело температуру, равную температуре его основания, т. е. температуре наружной цилиндрической поверхности трубы. Коэффициент оребрения может быть рассчитан математически, как показано в примере 29. 4.
Тепловой поток от поверхности трубы к жидкости может быть выражен следующей формулой:
q = At + аЛ/ Д£, (29.16)
где Af — поверхность ребра; ц/ — коэффициент оребрения; At — поверхность трубы между ребрами; а — коэффициент теплоотдачи, принимаемый постоянным во всех точках поверхности ребра и трубы; At — разность температур между основанием ребра и жидкостью.
Уравнение (29. 16), записанное в форме закона Ома, принимает вид
? = -----%-----, (29.17)
420
где знаменатель имеет размерность сопротивления. В выражении суммарного коэффициента теплопередачи &0, отнесенного к наруж-ной поверхности, член —, входящий в уравнение (23. 15), замело
няется через q , где -40 есть сумма А/ и At.
Рис. 29. 9. Коэффициент эффективности для кругового ребра постоянной толщины [50]
а-^-1,0»
б — » =1,4j в — » =1,6;
з — » =1,8;
д — » =2,0;
е — » =3,0;
ж — » =4,0.
Коэффициенты оребрения рассчитаны для ряда профилей В примере 29. 4 разбирается простой случай, а график для опре деления коэффициента кругового ребра приведен на рис. 29. 9
Пример. 29. 4
Воздух с температурой 21,1е С обтекает продольное стальное ребро высотой 25,4 мм и толщиной 3,2 мм. Коэффициент конвективной теплоотдачи к воздуху, обтекающему ребро, постоянен по длине его и равен а = = 73,2 ккал!м2 • ч • град. Коэффициент теплопроводности материала ребра равен 37,2 ккал/м-ч* град, а температура у основания 121,1° С. Рассчитать коэффициент оребрения и тепловой поток на 1 м длины, предполагая, что градиенты температуры в плоскостях, параллельных основанию ребра, незначительны. Отрезок ребра показан на рис. 29. 10.
Прежде всего запишем материальный баланс для бесконечно малого элемента шириной w (3,2 мм), высотой dx и длиной 1 м.
421
Скорость подвода тепла теплопроводностью равна л dt
Скорость отвода тепла теплопроводностью равна
. f dt , Pt J \
— to ( — + -ft dx ) • (2)
\ dx 1 dx2 / ' '
Скорость отвода тепла конвекцией равна
a*2dx(t —21,1). (3)
Для установившегося процесса (1) = (2) ф (3), что приводит к следу-ющему дифференциальному уравнению:
бесконечно dx2 'fav (^ — 21,1) = 0. (4)
* малый эле'
*— <“^^Л^ментп Решая уравнение (4), имеем:
Z—214 = С1е“ж+С2е““, (5)
гДе чеРез а Для Удобства обозначено \ »а ^1и ^2 ~ произвольные посто-
явные. Последние вычисляются по двум п on л Л тт « Л граничным условиям. Одно из них заклю-
Рис. 29.10. Продольное ребро Хтся в ,т0 х »= 0 t = 121,1» С. на отрезке трубы круглого * ->
сечения (пример 29. 4). Следовательно,
100 = C1-f-C2. (6)
Второе граничное условие заключается в том, что для верхней части ребра {х = 0,0254 м) скорость подвода тепла теплопроводностью равна скорости отвода конвекцией. Это равенство записывается как
(7)
Подстановка соответствующих значений из уравнения (5) в уравнение (7) дает
- X (сга е- ах) = а (Сх еах + С2 е" ах).
„ ( 2-73,2 V/» „ .
ДаЛее а=(-37^0Ю032-) ==35Л 1/Ж*
При х = 0,0254 а = 0,891.
Таким образом, второе уравнение для Сд и С2
—37,2 - 35 (Cj е°’891—С2 е ’ °’891 = 73,2 (cr е0’891 + С2 е ‘ °’891). (8)
Решение уравнений (6) и (8) дает
Сг = 13,1; С2 = 86,9.
Тепловой поток от ребра может быть определен путем объединения уравнений (3) и (5), при этом получается уравнение для потери тепла с бесконечно малой поверхности, которое можно проинтегрировать по всей поверх-422
ности ребра. Однако проще найти скорость подвода тепла теплопроводностью к основанию ребра, которая также равна полной потере тепла. Таким образом, полная потеря тепла равна
4= — ХА —о”—* 0’0032 • 35,1 • (13,1—86,9) = 308 ккал/ч • м • длины.
Полная потеря тепла при температуре 121,1Q С
q = аЛ (121,1 — 21,1) = 73,2 • (0,0254 • 2 + 0,0032) X
X(121,1— 21,1)== 395 ккал/ч» м длины.
308
Коэффициент оребрения ц/ = ——- = 0,78. Температура вершины ребра
может быть определена путем подстановки х = 0,0254 в уравнение (5); она равна 88,5е С.
МЕТОД ВИЛЬСОНА
Распространенным методом определения коэффициентов теплоотдачи в теплообменнике является метод Вильсона [173]. Если жидкость протекает внутри труб теплообменника в виде потока о развитой турбулентностью, то конвективный коэффициент теплоотдачи щ может быть определен по уравнению (26. 4) Диттус — Болтера
щР __ q Q23 ( Dub® Y>8 ( срМЛ0»3 X \ р» / \ X /
Это уравнение показывает, что при прочих постоянных условиях щ пропорционален up8. Легко видеть при этом, что необходимо еще учесть изменение температуры-жидкости; влияние температуры, если жидкостью является вода, отражается членом 1 + + 0,006 t в уравнении
Щ = аир8 (1 + 0,0061). (29.18)
Константа а может быть рассчитана путем приравнивания уравнений (26. 4) и (29. 18), но обычно она определяется по экспериментальной кривой Вильсона, описанной ниже. Температура t есть средняя температура воды в °C,
Если проводится целая серия опытов, в которых скорость воды в трубах изменяется, то коэффициент теплопередачи может быть представлен уравнением
1 । I________1_______ /29 J 9)
А:оЛо а(Мо hAim аир3 (1 +0,0061)
Первые два члена в правой части уравнения представляют собой сопротивления внешней жидкости (газа) и стенки трубы соответственно. В случае их постоянства во всех опытах существует
423
линейная зависимость между г-и . Такой график по-
Мо и°>8 (1+0,0061)
казан на рис. 29. И, на котором коэффициенты теплопередачи относятся к метанолу, кипящему снаружи трубы диаметром 31,7 мм, по которой протекает горячая вода. Как видно из рис. 29. 11, подтверждается существование линейной зависимости.
Если прямые экстраполировать до пересечения с осью ординат, 1
на которой —о,б /илллйа равно нулю, то скорость иъ в этой точке бесконечно велика, и сопротивление жидкости теплопередаче внутри труб равно нулю. Поэтому точки пересечения прямых с осью ординат на рис. 29. И дают зна-1
чения , равные сумме сопротивлений стенки трубы и внешней жидкости
Л 1 \ 1
\ Aj0z40 /и&=оо а0А0 “Ь
Рис. 29. И. График Вильсона для метанола, кипящего на поверхности трубы диаметром 31,7 жл* [173].
а _ д/0 = 27,7° С; б — Мо = 39° G.
<29-2°)
Величину ~ можно лЛцц
легко рассчитать и получить
значение коэффициента конвективной теплоотдачи для внешней жидкости а0.
Весьма существенно, чтобы в ходе опытов, проводимых при разных скоростях, все сопротивления, кроме внутреннего, поддерживались, насколько это возможно, постоянными. Это означает, что внешний коэффициент теплоотдачи а 0 должен поддерживаться постоянным. Поскольку в случае кипения, конденсации и естественной конвекции а о является функцией перепада температур, для успешного проведения опытов требуется тщательно поддерживать постоянным перепад температур во внешней жидкости. Это достигается изменением температурного уровня жидкости внутри трубы каждый раз, когда изменяется ее скорость; так что введение множителя (1 +0,006 t) является существенным. Условия обычно подбираются так, что изменение температуры воды от входа до выхода мало.
Коэффициенты загрязнения можно определить по методу Вильсона, если коэффициент теплоотдачи для внешней жидкости а о может быть рассчитан или если он незначителен. Сопротивление
424
загрязнения j- составляет часть отрезка, отсекаемого на оси ординат.
Для некоторых частей аппарата значение показателя степени для иъ в уравнении (29. 18) может быть неизвестным. Возмущения входящего потока могут привести к тому, что этот показатель степени будет отличаться от величины 0,8, Справедливой для развитого турбулентного потока в трубах круглого сечения. Если при графическом построении используется неточное значение показателя степени (например, 0,8 вместо 0,7), то экстраполяция экспериментальных данных должна дать надлежащее значение ординаты, учитывающее все остальные сопротивления. Однако зависимость больше не будет строго линейной и экстраполяция становится труднее. Но кривизна часто не настолько велика, чтобы привести к серьезным ошибкам, и метод остается, несмотря на этот недостаток, успешным.
ВЫПАРИВАНИЕ
ТИПОВЫЕ КОНС ТРУКЦИИ АППАРА ТОВ
Выпаривание жидкости с целью концентрирования раствора является распространенным процессом химический технологии и осуществляется многими способами. Простейшим аппаратом является открытая чаша или котел, обогреваемый змеевиком или рубашкой или открытым пламенем под чашей. Несколько более сложным является выпарной аппарат с горизонтальными трубками, в котором жидкость выпаривается в межтрубном пространстве закрытого вертикального цилиндрического аппарата при пропускании пара или горячего газа через пучок горизонтальных трубок, расположенных в нижней части аппарата. В обоих аппаратах происходит пузырьковое кипение раствора над поверхностью нагрева, а любая наблюдающаяся циркуляция вызвана нагреванием раствора. Высота слоя жидкости в выпарном аппарате с горизонтальными трубками составляет обычно меньше половины высоты аппарата; свободное пространство позволяет отделять унесенные капли жидкости от пара, уходящего вверх.
Более эффективным является выпарной аппарат с вертикальными трубками. Он состоит из вертикального цилиндрического сосуда с пучком вертикальных, обогреваемых паром трубок в нижней его части. Но в этом случае пар проходит в межтрубном пространстве, а жидкость выпаривается внутри труб. В сущности пучок трубок работает как вертикальный кожухотрубчатый теплообменник, в котором пар вводится в межтрубное пространство, а выпариваемый раствор находится в трубках. Кипение внутри труб вызывает движение паро-жидкостной смеси вверх. После отделения унесенных брызг жидкости пар уходит из верхней части аппарата, а жидкость стекает по кольцевому пространству
425
между пучком труб и стенкой аппарата вниз, где она начинает новый цикл. Исходный раствор подается в эти выпарные аппараты непрерывно, а упаренный раствор непрерывно отводится из нижней части аппарата. Описанный аппарат часто называется аппа-
Рис. 29. 12. Выпарной аппарат с длинными трубками и естественной конвекцией (фирмы Свенсон Ко.)
1 — исходный раствор; 2 — конденсат; з — трубки; 4 — пар, конденсирующийся в межтрубном пространстве; 5 — каплеотбойник; 6 — сепарационное пространство; 7 ~ пар; 8 — естественная циркуляция выпариваемой жидкости; 9 — концентрированный раствор.
ратом с короткими вертикальными трубами «корзиночного» типа и является одним из наиболее распространенных типов выпарных аппаратов. Движение в нем вызвано исключительно естественной конвекцией.
Подобным же образом работает выпарной аппарат с длинными трубками и естественной конвекцией. Работая примерно по тому же принципу, что и дымовая труба, выпарной аппарат с длинными трубками создает более высокие скорости циркуляции жидкости, чем аппарат с короткими трубками. Эта высокая скорость желательна, поскольку она обеспечивает высокий коэффициент теплоотдачи от стенок трубки к выпариваемой жидкости. Способ работы показан схематично на рис. 29. 12. Следующим усовершенствованием является принудительная циркуляция жидкости (ее нагнетание) для получения еще более высоких скоростей и более высоких коэффициентов теплоотдачи, чем при естественной конвекции. Выпарные аппараты с принудительной циркуляцией особенно рекомендуются для выпаривания вязких жидкостей \ при которых скорости естественной циркуляции малы.
Схемы выпарных аппаратов разных типов приведены в разделе 7
справочника Перри. К наиболее важным выпарным аппаратам новых конструкций относится аппарат с падающей пленкой, в котором пленка раствора стекает вниз по поверхности трубки и получает тепло через ее стенку. Малое время контакта горячей
поверхности с падающей пленкой делает аппарат пригодным для
1 Аппараты с принудительной циркуляцией получили значительно более широкое применение для выпаривания кристаллизующихся растворов.. (Прим. ред.).
426
концентрирования растворов термолабильных веществ. Выпарные аппараты с длинными трубками, в которых трубки заполнены жидкостью, также могут быть применены для выпаривания термолабильных растворов, если не допускать в них циркуляции. Аппараты этого типа обычно именуются выпарными аппаратами Кестнера.
Работа выпарного аппарата. Выпарной аппарат является теплообменником особого рода, в котором количество переданного тепла определяется по уравнению
q^kAM. (29.21)
В уравнении (29. 21) может фигурировать либо поверхность, на которой конденсируется пар, либо поверхность, омываемая раствором. Обратная величина произведения коэффициента тепло-
1
передачи на поверхность, равна сумме сопротивлении конденсирующегося пара, стенки трубки, кипящей жидкости и любого имеющегося загрязнения. Сопротивления как конденсирующегося пара, так и кипящей жидкости изменяются с изменением поло-
1
жения, так что-г-r также изменяется.
’ кА
В выпарном аппарате с вертикальными трубками коэффициент теплоотдачи при конденсации, бесконечно большой в верхней части трубы, уменьшается книзу — по мере роста толщины пленки конденсата. В нижней части трубы (внутри ее) находится одна лишь жидкость, и если она не нагрета до температуры кипения, то коэффициент теплоотдачи к ней определяется по обычным уравнениям, описывающим теплопередачу к некиПящей жидкости в трубах круглого сечения. При закипании жидкости коэффициент теплоотдачи возрастает благодаря тому, что растущие пузырьки пара увеличивают турбулентность в ламинарном подслое. Кроме того, наличие пузырьков пара уменьшает плотность жидкости в трубе и приводит к увеличению ее скорости. Это еще больше увеличивает коэффициент теплоотдачи и приводит к более быстрому образованию пара. Явление как бы автокаталитично и сопровождается заметным возрастанием коэффициента теплоотдачи до более и более высокого уровня. Но чрезмерное парообразование действует на коэффициент теплоотдачи в обратную сторону, так как на отдельных участках паровая пленка изолирует поверхность нагрева от выпариваемой жидкости.
Очевидно, изменение коэффициентов теплоотдачи при конденсации и при кипении сильно затрудняет определение суммарного коэффициента &. На практике коэффициент теплопередачи в выпарных аппаратах обычно выбирают на основании характеристик других выпарных аппаратов, работающих в возможно более близких условиях.
427
Дальнейшим затруднением в расчете выпарного аппарата является выбор рабочей разности температур. Температура жидкости, входящей в трубки выпарного аппарата, может быть ниже температуры кипения, соответствующей давлению в этой точке. По мере подъема жидкости вверх по трубе ее температура возра-
Рис. 29. 13. Температуры кипения растворов едкого натра NaOH [19] в % вес.:
а — 99,9;
б - 99,5; в - 99,0; г - 98,0; д - 95,0; е — 90,0; ж — 85,0;
.? — 80,0;
и — 70,0;
к — 60,0;
л — 50,0;
м — 40,0;
и - 20,0;
о — 0,
стает благодаря нагреванию, а давление уменьшается. Таким образом, приближение к температуре кипения идет быстро. Когда начинается кипение, уменьшение гидростатического напора и увеличение скорости вследствие образования пара являются дополнительными факторами, вызывающими быстрое понижение давления, так что температура кипения заметно снижается вдоль трубы. Следовательно, локальное значение разности температур между конденсирующимся нагревающим паром и кипящей жидкостью
428
трудно определить. Хотя работы последнего времени проводились с целью отыскания строгого решения задачи, большая часть расчетов выпарных аппаратов производится со средней разностью температур, т. е. с разностью температур греющего насыщенного пара и кипения упаренного раствора при давлении в паровом пространстве выпарного аппарата. Коэффициенты теплопередачи рассчитывают по показателям работы выпарного аппарата, используя эту Аг, и тот же метод определения разности температур применяют для расчета других характеристик аппарата.
Температура кипения раствора при определенном давлении является функцией его концентрации. Расчет повышения температуры кипения (температурной депрессии) благодаря растворенным твердым веществам описывается в большинстве учебников физической химии. В расчете выпарных аппаратов принято пользоваться для определения температуры кипения растворов графиком Дюринга (рис. 29. 13). Температуру кипения чистой воды при давлении в паровом пространстве выпарного аппарата определяют по паровым таблицам. Затем определяют температуру кипения раствора по графику Дюринга по значению концентрации.
ВЫПАРИВАНИЕ В МНОГОКОРПУСНЫХ АППАРАТАХ
Одной из основных составляющих стоимости выпаривания является стоимость греющего пара. Значительное снижение эксплуатационных расходов достигается в работе многокорпусных выпарных аппаратов, в которых пар, выходящий из одного корпуса, конденсируется в паровом пространстве следующего корпуса; это дает экономию как в стоимости конденсации вторичного пара, так и в расходе тепла. По такому способу могут работать несколько последовательно соединенных корпусов. Если пар из одного корпуса должен обогревать соседний, он должен конденсироваться при более высокой температуре, чем точка кипения жидкости в этом соседнем корпусе. Эта разность температур достигается благодаря работе последующих корпусов при более низких давлениях. Пар из последнего корпуса обычно направляется в конденсатор, работающий под вакуумом.
Принцип работы, показанный на рис. 29. 14, называется прямоточным. В этом случае слабый раствор поступает в тот же самый корпус, в который подается греющий пар высокого давления. Следующие корпусы работают при последовательно понижающемся давлении. Другой принцип работы известен как противоточный. В этом случае греющий пар высокого давления подается в корпус, в котором заканчивается концентрирование раствора, в то время как исходный разбавленный раствор поступает в корпус, обогреваемый паром самого низкого давления
429
во всем выпарном аппарате. Преимущество противоточного аппарата заключается в том, что упаренный раствор имеет самую высокую температуру, а это приводит к выравниванию коэффициентов теплопередачи в отдельных корпусах. Но в этом случае
раствор
Рис. 29. 14. Прямоточный многокорпусный выпарной аппарат.
требуются промежуточные перекачивающие насосы, увеличивающие стоимость оборудования. К другим способам работы относится параллельное питание корпусов, при котором свежий раствор подается параллельно во все корпусы аппарата.
РАСЧЕТ МНОГОКОРПУСНЫХ ВЫПАРНЫХ АППАРАТОВ
Точность теоретического расчета многокорпусного аппарата ограничена той точностью, с которой рассчитываются коэффициенты теплопередачи. Необходимо определить поверхность теплообмена, рабочие условия в каждом корпусе и расход пара. Одно из важных соображений состоит в том, что обычно требуются одинаковые поверхности нагрева всех корпусов аппарата, чтобы упростить обслуживание и снизить капитальные затраты. Наибольшее значение в тепловом балансе каждого корпуса имеют скрытые теплоты парообразования конденсирующегося пара и испаряющейся жидкости. Доля теплосодержания исходной смеси, упаренного раствора и конденсата в тепловом балансе значительно меньше, и если пренебречь их различиями в потоках жидкости между корпусами, то тепловая нагрузка всех корпусов будет одинаковой. Поэтому мы можем записать
кТ = к2 = к3 Д£3. (29. 22)
Это уравнение лежит в основе определения перепада температур в каждом корпусе.
Если коэффициенты теплопередачи во всех корпусах одинаковы,
q = кА (Д^ + Д^2 + Д*з), (29. 23)
430
откуда следует, что скорость выпаривания в многокорпусной установке не больше скорости, которая была бы получена в однокорпусном аппарате с разностью температур, равной + Д^2 + + Д£3. Таким образом, очевидно, что преимущество многокорпусного выпаривания заключается не в повышении производительности, а в экономии пара и охлаждающей воды.
Пример 29. 5
Трехкорпусный противоточный выпарной аппарат концентрирует 40 823 кг/ч 10%-ного (по весу) раствора NaOH до 50%-ного. Насыщенный пар с абсолютным давлением 9.84 ат подается в межтрубное пространство
Рис. 29. 15. Противоточный многокорпусный выпарной аппарат (пример 29. 5).
первого корпуса, а в сепарационном объеме последнего корпуса поддерживается абсолютное давление 0,105 ат. Исходный раствор подается при температуре 48,9Q С. Коэффициент теплопередачи в каждом корпусе равен 2440 ккал/м2*ч‘град. Найти поверхность теплообмена для каждого корпуса.
Этот случай изображен схематично на рис. 29. 15. Рассмотрим прежде всего некоторые элементы материального баланса.
Количество концентрированного раствора, уходящего из корпуса 1 = 40 823-0,1 .
= -----—-----— 8165 кг/ч.
0)0
Часовое количество выпариваемой воды составляет 40 823 — 8 165 == = 32 658 кг/ч.
Если предположить, что количества выпариваемой воды во всех корпусах одинаковы, то
E1 = Ei = E3= 10886 кг/ч.
Количество и концентрация упаренного раствора, выходящего из каждого корпуса, определяются из материального баланса. Например, для корпуса 3:
количество упаренного раствора равно 40 823 — 10 886 = 29 937 кг/ч;
концентрация упаренного раствора = о,136.
Ли Эо7
431
По рис. 29. 13 температурная депрессия водного раствора едкого натра с концентрацией 13,6% вес. равна 4° С при абсолютном давлении 0,105 ат (температура кипения чистой воды равна 46,1° С). Материальные балансы каждого из трех корпусов дают величины, приведенные в следующей таблице. Температурная депрессия для корпусов 1 и 2 мало зависит от давления. В этом примере допустима грубая оценка этих давлений.
Упаренный раствор
Количество, кг/ч
Концентрация, % вес.
Температурная депрессия, °C
Из корпуса 1
Из корпуса 2
Из корпуса 3
8 165 19 051 29 937
50
21,4
13,6
Перегретый пар 152,3 °C Перегретый Перегретый пар 50,1 °C
t насыщения 110,3 °C пар 80,2 °C t насыщения </6,1 °C
t насыщения 76,2°С
Рис. 29. 16. Температуры и расходы в первом приближении (пример 29. 5).
8
4
При абсолютном давлении в корпусе 3 0,105 ат температура насыщенного водяного пара равна 46,1Q С. Температура пара, подаваемого в корпус I, равна 178,4® С. Если бы не было температурной депрессии, полная разность температур, которую нужно разделить между тремя .корпусами, равнялась бы 178,4 — 46,1 = 132,3° С. Но сумма температурных депрессий равна 42 + 8 + 4 = 54® С. Как мы видели в гл. 27, перегрев пара не включается в полную разность температур. Тогда 54° С нужно вычесть из 132,3Q С, чтобы получить сумму полезных Дг в трех выпарных аппаратах. Это дает
2 Д* = 132.3—54 = 78.3° С.
Допустив, что Qi = q2 — ?з, kx = k2 = k3 и Ar ~ A2 — Л3, получим 78 3
A*i = Дг2 = Дг3; следовательно, А г = 26,1° С для каждого корпуса,
о
432
Тогда мы можем обозначить температуры всех потоков, как показано на рис. 29. 16.
Л Первоначально мы допустим, что Ei = Е% = Е3 = 10 886 кг/ч, и это позволило нам определить приближенно температуры и составы всех потоков. Используя эти данные, показанные на рис. 29. 16, напишем уравнение тепловых балансов каждого корпуса, определив необходимые величины по диаграмме рис. 29. 17 для растворов NaOH и по паровым таблицам.
Рис. 29. 17. Диаграмма теплосодержание — концентрация для водных растворов NaOH [19].
1 — стандартные состояния: жидкая вода при 0° С, бесконечно разбавленный раствор NaOH при 20° С; 2 — твердая фаза.
Тепловые балансы:
для корпуса 1
(663,3 -180,6) S + 72,3 (40 823 - Е2 - Е3) = 663,3 Ег +169,5 • 8165;
для корпуса 2
(663,3-110,5) Ег + 43,4 (40 823 - £3) = 633,7 £2 + 72,3 (40 823 — £2 — Е3)\ для корпуса 3
(633,7 - 76,2) Е2 + 43,4 • 40 823 = 619,1 Е3 + 43,4 (40 823 — Е3).
Кроме того,
^1 + ^2 + ^3 = 32 658 кг/ч.
28 Заказ 519.
433
Эти четыре уравнения содержат четыре неизвестные величины: Е1ч Е2, Е3 и 5 и могут быть решены совместно, что дает:
£1=12 175 кг/ч]
' £2=10406 кг/ч] £з=Ю077 кг/ч] 5= 15 193 кг/ч.
Поверхности корпусов могут быть рассчитаны, если принять q равным изменению теплосодержания конденсирующегося пара в каждом аппарате:
_ 15 193-(663,3-180.6)
А1~ 2440-26.1 115-м,
12 175-(663,3—110,5) ,ЛС „ -----2440^64-------L = 106^
10 406-(633,7 - 76,2) Л. , -----244^264-------= 91 М
л2
Л3 —
Среднеарифметическое значение этих поверхностей равно 104 л2. Имея в виду точность, с которой определяется к, можно считать, что это удовлетворительный ответ. Однако расчеты можно уточнить, умножив каждое А г на отношение рассчитанной поверхности к средней:
= 28,9° С;
26’104106 == 26,6° С:
Д^ = ^^- = 22,8°С.
С этими значениями можно изменить полученное ранее распределение температур и решить еще раз четыре уравнения тепловых балансов относительно £t, £2, £3и 5. В результате решения получаем:
£1 = 12167 кг/ч]
£2 = 10482 кг/ч]
£3 = 10 009 кг/ч]
5 = 15165 кг/ч.
Далее пересчитываем поверхности и получаем:
А1 = 103,8л€2;
Л2 = 104,0 ле2;
Л3 = 105,4 ле2.
Среднеарифметическая величина поверхности равна 104,4 лЛ Полная скорость выпаривания, выраженная в килограммах пара, удаленного из исходного раствора, на один килограмм греющего пара, подаваемого о о ЛКО '
в корпус 1. равна , или 2,2. Это отношение известно как кратность 15 165
использования пара. Можно было бы ожидать, что для трехкорпусного вы-
434
3
парного аппарата эта величина составляет примерно —. Но большое коли
чество тепла теряется с концентрированным раствором, уходящим из корпуса 7? и образуется только 12 167 кг/ч вторичного пара из 15165 кг/ч нагревающего пара. Для последующих корпусов это отношение более близко к единице.
Задачи
29. 1. Теплообменник типа «труба в трубе» изготовлен из внутренней стальной трубы длиной 61 м, диаметром 51 мм и наружной стальной трубы диаметром 76 мм. Горячая вода с температурой 148,8® С подается под давлением во внутреннюю трубу со скоростью 13 608 кг/ч, а 10 115 кг/ч холодной воды с температурой 15,5® С подаются в наружную трубу. Вычислить температуры обоих потоков, уходящих из теплообменника, и количество переданного тепла при противотоке и при прямотоке. Коэффициенты конвективной теплоотдачи принять для внутренней и наружной незагрязненной трубы равными соответственно 5856 и 5734 ккал/м2-ч-град.
29. 2. Многоходовой теплообменник имеет два хода в межтрубном пространстве и шесть ходов по трубам. Он охлаждает нефть, протекающую по трубам, от 135 до 51,6® С. Хладагентом в межтрубном пространстве служит вода с температурой входа и выхода 12 и 319 С. Частные коэффициенты теплоотдачи равны: а (нефть) = 234, а (вода) = 829,6, а (накипь со стороны воды) = 2440. Сопротивлением металлической стенки можно пренебречь. Теплообменник состоит из 120 труб наружным диаметром 25,4 мм, каждая длиной 1,83 м. Рассчитать количество передаваемого тепла в ккал/ч.
29. 3. Смазочное масло подогревается в теплообменнике типа «труба в трубе». Масло входит во внутреннюю стальную трубу диаметром 25,4 мм со скоростью 1,98 м/сек и температурой 37° С. Масло уходит при температуре 719 С. В кольцевом пространстве между внутренней и наружной трубами находится пар, конденсирующийся при температуре 104е С. Коэффициент теплоотдачи от пара равен 9760 ккал/м*-ч-град. Рассчитать длину теплообменника, оперируя постоянным коэффициентом теплоотдачи для масла при среднеарифметической его температуре. Масло при 549 С имеет следующие свойства: вязкость 17 сп, удельная теплоемкость 0,47 ккал/кг*град, плотность 0,895 г/см3, теплопроводность 0,104 ккал/м*ч* град. Вязкость масла при 104° С равна 4,2 сп.
29. 4. 4536 кг/ч органической жидкости нагревается от 15,5 до 60° С в теплообменнике типа «труба в трубе». Насыщенный пар с температурой 171,1° G конденсируется в наружной стальной трубе диаметром 200 мм. Теплообменник имеет длину 12 м. Диаметр внутренней стальной трубы 100 мм.
Рассчитать длину теплообменника, необходимую для получения на выходе той же самой температуры 609 С, если внутреннюю трубу заменить стальной трубой диаметром 150 мм.
Дополнительные данные:
1) удельная теплоемкость органической жидкости 0,5 ккал/кг-град\ 2) коэффициент теплоотдачи при конденсации пара 7320 ккал/м2 - ч-град*, 3) можно предположить, что во внутренней трубе в обоих случаях устанавливается режим развитой турбулентности;
4) паровой конденсат уходит из теплообменника при температуре насыщения;
5) сопротивлением стенки трубы теплопередаче можно пренебречь.
29. 5. Воздух с начальной температурой 15,5° С нагревается при продувании через пучок из пяти рядов вертикальных медных трубок диаметром 25 мм и высотой 1,22 м. Трубки размещены по вершинам равносторонних треугольников, сторона которых равна двум диаметрам трубки; между крайними трубками и каналом есть зазор в 12,7 мм. В каждом ряду нахо-
28* 435
дится пять трубок. Коэффициент теплоотдачи со стороны пара можно принять равным 9760 ккал/м2 *ч• град, а сопротивлением стенки трубки — пренебречь.
Требуется нагреть 852 м3/ч воздуха, находящегося при абсолютном давлении 1 ат и температуре 15,5® С. Чему будет равна температура воздуха на выходе из теплообменника?
29. 6. 3175 кг/ч органической жидкости при 15,5° С нагреваются в трубках одноходового кожухотрубчатого теплообменника насыщенным паром, конденсирующимся в межтрубном пространстве при 110® С. Конденсат не переохлаждается. Теплообменник состоит из 20 медных трубок диаметром 9,5 мм и длиной 6 м каждая. Когда теплообменник был впервые включен, органическая жидкость нагревалась до 87,7° С на выходе из теплообменника. По истечении некоторого времени было установлено, что температура жидкости на выходе равна 76,6® С.
а) Чему равен коэффициент загрязнения в этих условиях?
б) Какой температуры насыщенный пар нужно теперь применить, чтобы нагреть 3175 кг/ч жидкости до 87,7® С?
Допустить, что влиянием температуры на коэффициент теплоотдачи внутри трубки можно пренебречь, и что сопротивление стенки трубки и конденсирующегося пара малы по сравнению с сопротивлением органической жидкости. Удельная теплоемкость органической жидкости равна 0,55 ккал/кг • град.
29 . 7. Теплообменник для охлаждения воды сконструирован из медных труб диаметром 19 мм. Вода со скоростью 0,908 м3/ч подается в трубное пространство одноходового кожухотрубчатого теплообменника при 21,1° С и должна охлаждаться до 10® С. Тепло снимается фреоном-12, кипящим в межтрубном пространстве при 8,3® С. Линейная скорость воды в трубах равна 1,52 м/сек, и при этом коэффициент теплоотдачи внутри труб а = = 4782 ккал/м2 -ч*град. Коэффициент теплоотдачи при кипении не постоянный, а является функцией разности температур в кипящей пленке. Коэффициенты теплоотдачи при кипении можно получить, если представить приведенные ниже данные в виде зависимости а от Az в логарифмических координатах. Определить полную длину труб, необходимое число труб и длину одной трубы следующим путем:
а) предположить, что к имеет постоянное значение, равное полученному для той точки теплообменника, где вода имеет температуру 15,5® С;
б) предположить, что к является линейной функцией AZ;
в) использовать зависимость для к, действительно полученную по следующим опытным данным.
Коэффициент теплоотдачи а ккал при кипении, — . . мг'Ч'град 1952 2928 3904 4880 6832
Перепад температур А/ в кипящей пленке, °C 3,8 4,8 5,8 6,8 8,3
29. 8. Найти коэффициент оребрения для игольчатого ~ ребра, прикрепленного одним концом к поверхности трубы, имеющей температуру 93,5® С. Воздух, обтекающий ребро, имеет температуру 15,6® С и коэффициент конвективной теплоотдачи 48,8 ккал/м2-ч^град, который можно принять постоянным для всех точек ребра. Ребро представляет собой сплошной стальной цилиндр диаметром 3,2 мм и высотой 25,4 мм. Градиентами температур в плоскостях, параллельных основанию ребра, можно пренебречь.
29. 9. Труба с ленточным спиральным оребрением обогревает воздух за счет конденсации пара внутри трубы. Медное ребро толщиной 7,6 мм и высотой 25,4 мм намотано снаружи на медную трубу с внешним диаме-436
тром 19 мм. В определенной части обогревателя температура воздуха равна 15,5° С, температура пара равна 93,3s С, а коэффициент конвективной теплоотдачи для воздуха 97,6 ккал/м2-ч-град. Рассчитать коэффициент оребрения и теплоотдачу одного ребра. Каждые 360s поворота спирали ребра можно рассматривать как шайбу с наружным диаметром 70 мм и внутренним 19 мм. Конденсирующийся пар и стенка трубы оказывают столь малое сопротивление теплопередаче по сравнению с сопротивлением воздуха, что температуру основания ребра можно принять равной 93,3 s С.
29. 10. В выпарной аппарат подается исходный водный раствор, содержащий 5% вес. растворенного вещества, со скоростью 18 144 кг/ч при температуре 93,5Q С. Упаренный раствор уходит из аппарата при температуре 65,6° С с концентрацией 45% вес. Температура уходящего из аппарата вторичного насыщенного пара равна 51,7s С. Насыщенный пар с температурой 121s С конденсируется в межтрубном пространстве и уходит в виде конденсата при той же температуре. Предполагая, что удельная теплоемкость всех растворов равна 1 ккал/кг* град, а коэффициент теплопередачи 3000 ккал/м2 *ч*град, найти требуемую поверхность теплорбмена и кратность использования тепла греющего пара.
29. 11. Нужно сконцентрировать водный раствор клея от 4 до 50% по весу в двухкорпусном выпарном аппарате. В систему подается 18 144 кг/ч исходного раствора, предварительно подогретого до температуры кипения в том корпусе, в который он подается. Греющий пар поступает под абсолютным давлением 1,7 ат, а остаточное давление в последнем корпусе равно 10? мм рт. ст. Пренебрегая температурной депрессией и принимая, что удельная теплоемкость всех растворов постоянна и равна 1,2 ккал/кг • град, а конденсат уходит из аппаратов при температуре насыщения, требуется:
а) рассчитать требуемую поверхность нагрева, расход пара и кратность использования теплоты пара в каждом корпусе при прямоточной рабочей схеме; поверхности корпусов равны между собой; коэффициенты теплопередачи равны кА = 1952 и к2 = 1708 ккал/м2 град;
б) то же, что в первом случае, но для противоточного аппарата и указанных коэффициентов теплопередачи;
в) то же, что в первом случае, но для параллельного питания корпусов и указанных коэффициентов теплопередачи.
29. 12. Трубы, для которых приведены данные на рис. 29. 11, имеют наружный диаметр 31,7 мм, толщину стенок 1,6 мм и длину 635 мм. Найти коэффициент теплопередачи при кипении для каждой серии опытов, предполагая, что трубы не были загрязненными.
3
МАССОПЕРЕДАЧА
30. ВВЕДЕНИЕ В МАССОПЕРЕДАЧУ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Наиболее типичные задачи химической технологии относятся к процессам массопередачи. Как уже говорилось в начале этой книги, отличительной особенностью химика-технолога является умение рассчитывать и эксплуатировать аппараты для производства реагентов, осуществления химических реакций и разделения полученных продуктов. Это умение основывается в значительной степени на знаниях в области массопередачи. Процессы переноса количества движения и тепла встречаются во многих областях техники, но применение процессов массопередачи, как правило, ограничивается химической технологией. Серьезное применение массопередача нашла также в металлургических процессах, а совсем недавно — в аппаратах для высокоскоростных полетов.
Под массопередачей понимают переход компонента смеси из области высокой концентрации в область более низкой концентрации. Например, если открытую пробирку с небольшим количеством воды на дне поместить в пространство с относительно; сухим воздухом, то пары воды будут диффундировать через слой воздуха в пробирке. Будет происходить перенос воды из области, где ее концентрация высока (у свободной поверхности жидкости), в область, где ее концентрация низка (в окружающей атмосфере). Если газовая смесь в пробирке неподвижна, массопередача происходит путем молекулярной диффузии. Если же слой газа в пробирке перемешиваются механической мешалкой или вследствие разности плотностей, то массопередача происходит главным образом путем вынужденной или естественной конвекции. Эти способы переноса массы аналогичны переносу тепла теплопроводностью и конвекцией; в массопередаче нет аналога лучеиспусканию.
441
Аналогия между переносом количества движения и тепла уже детально рассматривалась, теперь ее можно распространить на массопередачу. Этот вопрос был поставлен в предыдущих главах и будет изучен детально в последующих.
Изучая основы массопередачи, мы рассмотрим главным образом бинарные смеси, хотя многокомпонентные смеси имеют большее практическое применение. Некоторые из этих более сложных «случаев будут рассмотрены после того, как основные положения будут разобраны на бинарных смесях.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ДИФФУЗИЯ
Молекулярная диффузия в газе происходит в результате беспорядочного движения молекул. Это движение иногда называют движением по случайным траекториям. Через плоскость, перпендикулярную к направлению градиента концентрации (или через любую другую плоскость), движение молекул происходит в обоих направлениях. Направление движения каждой молекулы в разбавленных растворах не зависит от концентрации. Следовательно, в системах с градиентом концентрации доля молекул компонента -4, пересекающая плоскость, нормальную к градиенту, будет одинаковой как со стороны высокой, так и со стороны низкой концентрации. Но так как общее число молекул компонента А со стороны области высокой концентрации больше, чем со стороны низкой концентрации, то в результате происходит перемещение молекул компонента А в направлении уменьшения его концентрации.
При отсутствии противодействующих сил концентрация компонента А по обе стороны рассматриваемой плоскости стремится выравняться. В аналогичном явлении теплопередачи — передаче тепла в газе путем теплопроводности — распределение более горячих молекул (обладающих большей степенью беспорядочного молекулярного движения) имеет тенденцию к усреднению благодаря беспорядочному перемешиванию. Подобным же образом, если есть градиент направленной скорости (в отличие от скорости беспорядочного движения) через плоскость, то распределение скоростей стремится к однородному в результате беспорядочного молекулярного движения. Происходит перенос количества движения, пропорционального вязкости газа.
Сделанные замечания являются приближенными и качественными. Количественное определение*коэффициента диффузии, коэффициента теплопроводности и вязкости газа по молекулярным свойствам крайне сложно. Рассмотрение таких зависимостей •составляет важный раздел статистической механики.
Молекулярная диффузия происходит также в жидкостях и твердых телах. Кристаллы растворяются в ненасыщенном растворе с последующей диффузией от границы раздела твердого 442
тела с жидкостью. Диффузия в твердых телах играет большую роль в металлургических процессах. Так, когда железо, не насыщенное углеродом, нагревается в слое кокса, концентрация углерода на его поверхности увеличивается благодаря диффузии атомов углерода.
ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ
Подобно тому как количества движения и тепла переносятся благодаря движению отдельных частиц жидкости, может переноситься и масса. Мы видели, что скорость этих процессов переноса, вызванных перемешиванием объема жидкости, может быть выражена коэффициентом турбулентной кинематической вязкости, коэффициентом турбулентной температуропроводности и коэффициентом турбулентной диффузии. Последнюю величину можно связать с длиной пути перемешивания, которая в данном случае равна одноименной длине, введенной в связи с переносом количеств движения и тепла. В самом деле, аналогия между тепло-и массопередачей настолько явная, что уравнения, выведенные для теплопередачи, часто применимы к массопередаче при простом изменении обозначений. Мы отсылаем читателя к гл. 7 и 25.
Турбулентная диффузия проявляется при рассеянии дымаг выходящего из дымоходной трубы. Турбулентность вызывает перемешивание и перенос дыма в окружающую атмосферу. В ряде мест, где атмосферная турбулентность отсутствует, дым, образующийся над поверхностью земли, рассеивается главным образом молекулярной диффузией. Это приводит к серьезной проблеме загрязненности воздуха, так как вещество значительно медленнее' переносится молекулярной диффузией, чем турбулентной.
КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНВЕКТИВНОЙ МАССОПЕРЕДАЧИ
При изучении теплопередачи мы установили, что решение дифференциальных уравнений теплового баланса подчас громоздко или невозможно; удобнее было выражать тепловой поток уравнением (23. 1)
~- = а(£8 — tm).
Аналогичный случай массопередачи описывается уравнением
(30.1)
Массовый поток NA измеряется относительно системы координат, закрепленной в пространстве. Движущей силой является разность концентраций на границе фазы (поверхности твердого тела или жидкости) и в любой произвольной точке жидкой среды.
44а
Коэффициентом конвективной массопередачи пользуются при вынужденной и естественной конвекции. Аналогов таких величин, как коэффициенты теплоотдачи при кипении, конденсации и лучеиспускании, в массоперёдаче нет. Величина kQ, подобно коэффициенту а, зависит от геометрических характеристик системы, скорости и свойств жидкости.
ПРОЦЕССЫ РАЗДЕЛЕНИЯ
Размеры аппаратов для процессов разделения зависят от скорости, с которой компонент переходит из одной фазы в другую, что, в свою очередь, определяется скоростью подхода компонента к границе раздела фаз. Подобно влиянию коэффициентов теплоотдачи на размер теплообменника, коэффициенты массоотдачи для газовой и жидкой фаз влияют на размер абсорбционной колонны.
Аммиак, например, можно выделить из смеси с воздухом, пропуская газ снизу вверх по абсорбционной колонне. Вода подается в верхнюю часть колонны и стекает вниз навстречу восходящему потоку газа, причем поверхность контакта фаз достаточно велика. В любой точке по высоте колонны концентрация аммиака в газовой фазе выше концентрации, равновесной с водной фазой. В результате аммиак переходит из газа к поверхности воды, поглощается ею и уходит с поверхности в глубь водной фазы. Высота колонны в значительной степени определяется скоростью массопередачи аммиака из одной фазы в другую, выражаемой через разности концентраций и коэффициенты массоотдачи.
При достаточной высоте колонны почти весь аммиак удаляется из воздуха на пути движения последнего к выходу из верхней части колонны. Для выделения аммиака из воды раствор, выходящий из нижней части колонны, подвергается ректификации.
Хотя при расчете абсорбционной колонны или другого массообменного аппарата основным фактором является скорость массопередачи, необходимы также уравнения материального и теплового балансов. Производительность колонны определяет ее диаметр, который рассчитывают по допустимым скоростям фаз в колонне. С помощью термодинамических закономерностей можно рассчитать условия фазного равновесия, которые определяют возможные значения движущей силы процесса.
В оставшейся части этой книги мы рассмотрим, прежде всего, принципы массопередачи в одной фазе несколькими возможными способами, а затем применим результаты к межфазному переносу, с которым мы сталкиваемся в ряде распространенных процессов разделения.
31. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ДИФФУЗИЯ И КОЭФФИЦИЕНТ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ
ЗАКОН ФИКА
Скорость массопередачи для обычной молекулярной диффузии в направлении у определяется по первому закону Фика:
'л=-ОАв^-- (31.1)
IА выражает поток компонента Л, измеряемый в кмолъ/м^-ч, dqA
а -----градиент концентрации в кмоль/м3 >м, являющийся дви-
жущей силой процесса. Через DAB обозначен коэффициент диффузии компонента А в бинарной смеси компонентов Л и В. Уравнение (31. 1) подобно уравнениям (7. 19) и (9. 19), но входящие в него величины выражены в кмоль, а не в кг. Различие между потоком JA в этих уравнениях и приведенным выше потоком 1А будет рассмотрено в гл. 32.
Уравнение (31. 1), как и аналогичные уравнения переноса тепла и количества движения — например, уравнения (7. 18) и (7. 21), базируется, по существу, на эмпирической основе. Известно, что для идеальных газов и разбавленных растворов DAB является практически постоянной величиной для данного давления, температуры и бинарной смеси и почти не зависит от концентрации. Но установлено, что для более концентрированных растворов* D^B зависит от состава смеси. Это аналогично зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. При небольшом изменении температуры теплопроводность мало изменяется, но изменение температуры на несколько сотен градусов вызывает во многих веществах значительное изменение теплопроводности.
445
В общем, вязкость и теплопроводность системы зависят от температуры, давления и состава; коэффициент диффузии ведет себя подобным же образом. Коэффициент диффузии для некоторых неидеальных систем меньше зависит от концентрации, чем это следует по уравнению (31. 1).
При переносе количества движения сила сдвига стремится к нулю с уменьшением градиента скорости; две части системы приходят в тепловое равновесие = 0^ , когда температура в обеих частях становится одинаковой. Тогда логично предположить, что химический потенциал является движущей силой массопередачи, так как система приходит к химическому или фазовому равновесию, когда химический потенциал каждого компонента во всех частях системы одинаков.
Можно показать, что поток массы определяется как
dabQa RT
d^A dy
(31.2)
Это уравнение, показывающее, что расход вещества пропорционален градиенту химического потенциала, определяет коэффициент диффузии D'AB.
Связь между приведенными двумя коэффициентами диффузии можно установить, выразив уравнение (31. 2) через концентрации. Из термодинамики известно, что химический потенциал связан с активностью следующей зависимостью:
= RT d In аА. (31. 3)
Активность, в свою очередь, связана с мольной долей компонента А, хА, соотношением
„ VaQa ~ аА — £ —’ УаХА ’
(31.4)
где уА — коэффициент активности. За стандартное состояние, для которого активность равна единице, здесь принимается чистый компонент А (хА = 1,0). Коэффициент активности при этом стандартном состоянии всегда стремится к единице, когда мольная доля стремится к единице, а для идеальных растворов = 1
при всех значениях хА.
Уравнения (31. 3) и (31. 4) можно использовать для выражения градиента химического потенциала:
Фа^_ лт ( rfln?A । dy I dy dy
(31.5)
446
или
о & А \ ] У
Если уравнение (31. 6) подставить в уравнение (31. 2), то получим
~ ~ dxA /- dlnyA \
Л. = ~ Dab§ ~dy~ На Ь 1) • (31. 7)
“ \ cw*A •
Так как зависимости между уА и хА для неидеальных систем можно найти обычными методами классической термодинамики, то величина в скобках в уравнении (31. 7) может быть рассчитана в зависимости от состава для заданных значений давления и температуры. Опыты показали, что коэффициент диффузии Dab для неидеальных систем гораздо меньше зависит от концентрации, чем Dab.
d Ya
В идеальных системах —=— = 0; тогда уравнение (31. 7) dxA принимает вид
~ / - dx л "
1А = -»АВ*^Г (31.8)
Это уравнение соблюдается, когда мольная плотность q является функцией состава и, следовательно, Положения. Если мольная плотность q постоянна, уравнение (31. 8) можно записать
h = -D'.w^~- (31-0)
В этих условиях D'ab и Dав одинаковы. Иными словами, уравнение (31. 1) следует применять только для идеальных систем, в которых мольная плотность постоянна. Такой системой является смесь идеальных газов. Если же мольная плотность является функцией состава, то для идеальных систем можно пользоваться уравнением (31. 8). Но для многих жидкостей плотность приблизительно постоянна, и удобнее пользоваться зависимостью (7. 19)
А АВ dy 9
чем уравнением (31. 8). Применение уравнений (31. 9) и (7. 19) к некоторым часто встречающимся случаям будет рассмотрено в гл. 32.
447
Объединение уравнений (31. 1) и (31. 7) показывает, что
ав ли
' dlnyA
<йд
(31.10)
din Q d2A
Коэффициент Dab стали применять лишь недавно; большая часть литературных данных относится к коэффициенту диффузии DAB, который для неидеальных систем является функцией состава. В оставшейся части нашего курса мы ограничимся использованием Dab-
Поток I измеряется относительно плоскости, движущейся со средней мольной скоростью смеси. Для эквимолярной противб-диффузии двух идеальных газов в закрытой емкости эта плоскость неподвижна в пространстве. Поток JА измеряется относительно плоскости, движущейся со средней массовой скоростью; для взаимной диффузии двух жидкостей одинаковой плотности в закрытой емкости эта плоскость неподвижна в пространстве. В большинстве остальных случаев наблюдается дополнительный поток, вызванный движением относительно плоскости, фиксированной в пространстве. Этот вопрос будет детально рассмотрен в гл. 32.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ
Твердые тела. Один из компонентов твердого тела будет диффундировать сквозь другие с измеримой скоростью, если существует надлежащий градиент концентрации, а температура достаточно высока. Процессы диффузии в твердых телах играют большую роль в металлургии. Как уже говорилось раньше, глубина, на которую углерод в процессе цементации проникнет в глубь стали за данное время, определяется законами диффузии. Скорость некоторых химических реакций определяется диффузией в твердом теле, но число важных для химика-технолога процессов диффузии в твердом теле меньше числа процессов, связанных с диффузией в жидкостях и газах. Коэффициенты диффузии для небольшого числа систем с твердыми телами приведены в табл. 31. 1. Величина коэффициента диффузии значительно изменяется при переходе от одной системы к другой. Коэффициент Dab многих систем сильно зависит от концентрации.
Коэффициент взаимной диффузии двух твердых тел нельзя точно рассчитать теоретическим путем. Качественное определение можно провести на основе теории Айринга, согласно которой диффузия рассматривается как активационный процесс. Взаимная замена атомов в структуре твердого тела происходит, когда атомы
Таблица 31. 1
Коэффициенты диффузии в твердых телах [5]
Система & АВ* см*/сек
Н2 В SiO2.............
Ня-в SiO2 ............
Н2 в Ni...............
Bi в Pb...............
Hg в РЬ ..............
Sb в Ag...............
Al в Си ..............
Cd в Си...............
(0,01—0,1) • 10~6 (0,02—0,05) • 10"8
(1,0—10,0)-10“8 7,7 • 10“3 3,6 • 10"3 5,3 • 10“5 1,2 -10“2 3,5 • IO"9
в данной плоскости совершают колебания около своих равновесных положений. Некоторая доля атомов имеет энергию колебаний, превышающую энергию активации, так что они устремляются к новым равновесным положениям или соседним «пустотам» решетчатой структуры. Скорость массопередачи пропорциональна ехр ----так что коэффициент диффузии резко возрастает
с повышением температуры; &U есть энергия активации.
Относительно деталей теории диффузии в твердых телах мы отсылаем читателя к книгам Баррера [5], Гласстона, Лейдлера и Айринга [52] и обзорам Ле Клера [98] и Бирченелла [7].
Жидкости. Диффузия в жидкостях играет большую роль во многих процессах разделения, особенно в жидкостной экстракции, абсорбции, дистилляции и ректификации. Табл. 31. 2 пока* зывает, что для всех приведенных систем величины DAB лежат в пределах 10“5 —10”6 см2!сек. Коэффициент диффузии зависит от состава среды.
Известны две теории приближенного расчета коэффициентов диффузии в жидкостях. По теории Айринга, молекулы жидкости расположены так, что образуют квазикристаллическую решетку, и анализ проводится более или менее близко к анализу диффузии в твердом теле. В гидродинамической теории диффузия, прежде всего, связывается с силой, которая действует на движущийся в сплошной среде шарик. Эта сила может быть вычислена по закону Стокса, а получающееся выражение называется уравнением Стокса — Эйнштейна. Результаты обеих теорий могут быть сведены к виду
£^ = F(7), (31.11)
где F (V) — функция мольного объема смеси V.
Уравнение (31. 11) было использовано Уилке [172] в качестве основы метода определения коэффициентов диффузии в жидкостях.
29 Заказ 519. 449
Таблица 31. 2
Коэффициенты диффузии в жидкостях [132] Вещество В (растворитель) — вода
Растворенное вещество Температура, °C Концентрация dab- 10‘-см2 /сек
Уксусная кислота . . 12,5 0,01 м 0,01
Двуокись углерода 18,0 0 1,71
Хлор 18,0 0,1 м 1,40
Глицерин 10,0 0,125 м 0,63
Водород 25,0 0 3,36
Азот 22,0 0 2,02
Кислород 25,0 „ 0 2,60
Этанол 25,0 % а = 0,05 1,13
0,10 0,90
0,275 0,41
0,50 0,90
0,70 ' 1,40
0,95 2,20
н-бутанол ..... 30 ха “ 6446 0,267
ч 0,546 0,437
0,642 0,560
0,778 0,920
0,869 1,24
Согласно Шервуду и Пигфорду [148], графическая зависимость, данная Уилке для F (7), может быть приближенно описана следующим уравнением:
dabV 16,0-10“’
(31.12)
в котором F (7) имеет размерность кг-м/ч2-град. Величины VA можно найти в ряде источников [148], а к2 есть константа, имеющая значение 2,0; 2,46 и 2,84 соответственно для разбавленных водных растворов, метанола и бензола.
Газы. Экспериментальные значения коэффициентов диффузии для ряда бинарных газообразных систем приведены в табл. 31. 3. Эти значения лежат примерно в пределах от 0,1 до 1,0 см2/сек. Коэффициенты диффузии в газах при давлениях, близких к 1 ат, можно считать не зависящими от концентрации. Сущность теории диффузионного переноса в случае газообразных веществ легче понять, чем в случае жидких и твердых. Согласно кинетической теории, хорошие результаты для неполярных газов дает следующая формула:
т’/г [ \ 4 \1/г
йлв=1,858.10->^5;(-г7 + ^) , ОМ® где М А и Мв — молекулярные веса; Т — температура, °К; р — давление в am; DAB — коэффициент диффузии в см2/сек. Функ-
450
Таблица 31. 3
Коэффициенты диффузии в газах [132]
(давление около 1 ат)
Система Температура» OQ dab-см2/сек
Вода — аммиак 0 0,198
Воздух — бензол 25 0,0962
Воздух — двуокись углерода .... 0 0,136
Воздух — хлор 0 0,124
Воздух — этанол 25 0,132
Воздух — кислород 0 0,175
Воздух —вода 25 0,260
ция определяется температурой и двумя параметрами g АВ и 8ав, характеризующими потенциальную энергию взаимодействия между молекулами компонентов А и В. Методы определения параметров аАВ и еАВ для различных веществ и таблица функции даны Бердом, Стюартом и Лайтфутом [8].
Мы ограничились здесь качественным описанием теорий диффузий в газах и жидкостях. Хорошее введение в теорию, которое можно использовать для определения коэффициентов диффузии в газах и жидкостях, дано Бердом, Стюартом и Лайтфутом; Трей-бал [165, 166] уделяет больше внимания эмпирическим зависимостям. В справочник Перри включены экспериментальные данные, а в книге Рида и Шервуда [132 J приводятся экспериментальные данные и обзор методов расчета коэффициентов диффузии.
ДИФФУЗИЯ В ПОРИСТЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
В некоторых химических процессах (например, в гетерогенном катализе) диффузия газообразного компонента в пористом твердом теле является важным фактором, влияющим на скорость реакции. Эффективный коэффициент диффузии в твердом теле снижается до величины, меньшей, чем в свободной жидкости, по двум причинам. Во-первых, извилистые траектории увеличивают расстояние, которое молекула должна пройти, чтобы продвинуться в твердом теле на данное расстояние, а во-вторых, ограничивается свободное поперечное сечение. Для таблеток многих катализаторов эффективный коэффициент диффузии газообразного компонента составляет величину порядка одной десятой от его значения для свободного газа.
Если давление достаточно низкое, а поры достаточно малы, механизм диффузии в корне изменяется; возникает явление, которое называется диффузией Кнудсена. Этот вид диффузии наблюдается, когда размер пор приближается к длине свободного пробега молекул газа. В этих условиях каждая из молекул газа скорее сталкивается со стенками пор, чем с другими молекулами.
29* 451
32. ДИФФУЗИЯ В БИНАРНЫХ СМЕСЯХ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В гл. 31 были приведены два выражения закона Фика: 1) для мольного потока относительно системы координат, движущейся со средней мольной скоростью, — уравнение (31. 1) и 2) для массового потока относительно системы координат, движущейся со средней массовой скоростью, — уравнение (7. 19). Но во многих случаях желательно знать поток относительно неподвижных осей координат. Ниже мы приводим зависимости между различными потоками. Прежде всего, напомним зависимости между мольными и массовыми долями:
ХАМА (32.1)
*1 —
А Q xama+~xbmr '
ХА
~ __ МА (32.2)
Q ХА . ХВ
МА Мв
По определению мы имеем также:
ел+вв=в» (32.3)
ёл+ёв=ё (32.4)
(32.5)
Поток массы N (относительно неподвижной системы координат) для бинарной системы можно выразить суммой
N = Na + Nb.
(32. 6)
452
Скорость одиночной частицы — понятие совершенно определенное. Скорость совокупности частиц, движущихся с неизменным расстоянием друг от друга, равна скорости индивидуальной частицы. Но скорость совокупности частиц не является однозначной, если отдельные частицы движутся с разными скоростями. В этом случае мы определяем скорость совокупности частиц, например молекул компонента Л, как массовый поток компо-
нента Л, поделенный на его концентрацию иА — — .
Qa
Скорость смеси определяется подстановкой скоростей отдельных компонентов в уравнение (32. 6):
u$ = uaQa + ubQb- (32.7)
Величина и называется средней массовой скоростью смеси. Если разделить обе части уравнения (32. 7) на плотность смеси, то получим
U = XAUА + XBUB' (32 • 8)
Мольный поток равен
= + (32.9)
N N N N
Так как ил = —— ~ и и„ = — = , то после замены N .
А Qa в Qb 9в ’ А
и NB в уравнении (32. 9) получим
^а = uaqa + ив®в- (32- 10)
Поток N можно выразить через среднюю мольную скорость и, N
которая определяется как —,
Q
W! = uaQa + ubQb-
Это выражение можно записать и так:
u = xaua + xbub- (32.11)
Во всех дифференциальных или интегральных уравнениях балансов, написанных для смесей в предыдущих главах, фигурировала скорость и — средняя массовая скорость.
Из уравнений (32. 6)—(32. И) видно, что массовый расход N не равен мольному расходу N, умноженному на средний молекулярный вес, так как и и и различны. При движении однородной смеси по трубопроводу в ней внутренней диффузии не происходит, ua и ив идентичны и массовый расход равен мольному, умножен
453
ному на средний молекулярный вес. Но в случаях, когда в направлении потока существует градиент концентрации, иА и ив различаются и это приводит к отмеченным выше последствиям. Во многих случаях массопередачи величина суммарного потока имеет тот же порядок, что и величина потока, вызванного диффузией, так что указанное различие является не только принципиальным.
Продолжим вывод зависимостей между различными диффузионными потоками. Через JA и JA обозначены соответственно массовый и мольный потоки компонента А (в кг/м2-ч и кмоль! м2 -ч) относительно системы координат, движущейся со средней массовой скоростью и, ачерез/Ли/Л —потоки относительно системы координат, движущейся со средней мольной скоростью и.Соблюдаются следующие зависимости:
Л = (32.12)
Га = 1аМа. (32.13)
Зависимости между JА и IА и J А и IА не столь очевидны и будут выведены ниже.
В химической технологии обычно желательно связать расход с фиксированной поверхностью (например, границей раздела фаз), а не со средней скоростью. Тогда нужно пользоваться массовым или мольным расходом относительно неподвижной системы координат. Эти расходы определяются уравнениями (32. 6)— (32. 11).
В большей части работ по диффузии оперируют потоком IА, определяемым уравнением (31. 1). Зависимости же для термодиффузии выражаются через такие потоки, как/А. Эти два потока иногда нужно складывать алгебраически, так что мы должны уметь перевести поток IА в JА. Выведем зависимость между IА и JA на основе уже введенных определений.
Изучение зависимостей между различными потоками начнем с рассмотрения JА и JB из уравнения (7. 19):
j =
JA ^АВ dy ’
Уравнение (7. 19) справедливо для системы с постоянной плотностью. Уравнение (32. 3) показывает, что для такой системы можно написать
/в = -Dba = +Z) . (32.14)
В BA dy АВ dy ' 7
Так как Dи Z)RA идентичны, то
/л + /в==0. (32.15)
454
Для идеальных систем с переменной плотностью аргументация, подобная приводящей к уравнению (31. 8), показывает, что уравнение (7. 19) можно заменить на
•'л = -г>лЕе^-- (32.16)
Так как сумма массовых долей должна равняться единице, то уравнение (32. 15) еще соблюдается. Заметим, что в диффузионной системе с постоянной плотностью мольная плотность изменяется с изменением положения, так как средний молекулярный вес изменяется с изменением концентрации. Обоснование, аналогичное приводящему к уравнению (32. 15), дает
= (32.17)
Далее, получаем уравнение, связывающее расходы NA и 1А. Мольный расход компонента А по отношению к неподвижной системе координат равен 1А (расходу по отношению к средней мольной скорости) плюс расход, вызванный потоком относительно и, т. е. поток N. Эта зависимость выражается уравнением
#а = 7а+^а- (32.18)
Но потоки можно выразить через скорости
“лёА^А+йё-^-, откуда
7Л = QA (иА (32.19)
Последнее уравнение дает основание’ утверждать, что 1А есть мольный расход по отношению к осям, движущимся со средней мольной скоростью. Сделав аналогичный вывод, получим
NA = JA+NxA, (32.20)
что можно выразить через скорости как
Последнее выражение после преобразований дает
== еЛ (иА — и), (32,21)
т- е. JА есть расход компонента А относительно осей, движущихся со средней массовой скоростью.
455
Далее можно установить зависимость между J А и I путем следующих рассуждений. Мольный расход JА относительно средней массовой скорости равен мольному расходу по отношению к средней мольной скорости плюс расход компонента А, вызванный мольным потоком относительно средней массовой скорости. Этот вывод можно проделать параллельно с выводом, приводящим к уравнению (32. 18), и получить
Л-ЛЖЛ + 'вК- (32.22)
Уравнение (32. 22) можно упростить, так как из уравнений (32. 12) и (32. 15) мы получим
+ (32.23)
или
(32.24)
Тогда, после некоторых преобразований, уравнение (32. 22) принимает вид
(М \
+ (32-25)
или
(32.26)
JD
Так как величина в скобках есть средний молекулярный вес, или -S-, то окончательная общая зависимость между IА и JА имеет Q вид
(32.27)
Выводы других зависимостей между расходами аналогичны приведенным, и читателю предоставляется проделать их в качестве упражнения.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА
Массовые потоки. Уравнения, выведенные в этой главе до сих пор, применимы только к установившемуся одномерному потоку. Для более сложных случаев следует пользоваться дифференциальными уравнениями материального баланса, выведенными в гл. 9. Проанализируем эти уравнения и установим их связь с разными видами потоков, которые мы ввели.
456
При выводе уравнений (9. 17) и (9. 18) мы полагали, что диффузионный поток JА накладывается на поток, который вызван средним расходом и который, как мы теперь знаем, выражается через среднюю массовую скорость. В уравнении (9. 18)
( дих ' диу , duz \ -PQa | dJAx , dJAy I dJAz
^A \ dx ' dy ’ dz ) ’ Dt ‘ dx ‘ dy 1 dz ’
где ux, uy и uz — компоненты средней массовой скорости.
Уравнение (9. 18) удобно применить к системам с постоянной плотностью, для которых член в скобках равен нулю, что приводит к уравнению (9. 19):
j -~D
Ах" ^АВ дх '
Уравнения, подобные уравнению (9. 19), можно написать и для других осей координат. Для жидкости с постоянной плотностью уравнение (9. 18) принимает вид (9. 22)
рЗа• D ( 92Qa , d\A \ Dx UAB\ dx2 + dy* ‘ dz* )~^rA'
если коэффициент диффузии D AB — постоянная величина. Плотность многих растворов сравнительно мало изменяется с изменением концентрации. Например х, плотность водных растворов этилового спирта изменяется от 0,9996 до 0,7994 а/ел*3, в то время как мольные плотности изменяются от 48 до 16 клеоль/м3.
Для установившегося одномерного потока в направлении оси у уравнение (9. 22) примет вид
u^ = D (32.28)
dy лв dy dy 7 ' '
откуда после интегрирования получим
U$A = DAB + COnSt- (32. 29)
Величина uqa выражает поток компонента А, вызванный средней скоростью и; он равен NxA или (NA + NB) хА, Диффузионный член равен — так что мы можем записать уравнение (32. 29) следующим образом:
const = JA + (NA + NB) xA> (32. 30)
1 Заметим, однако, что коэффициент диффузии &ав Для этанола
(табл. 31. 2) сильно зависит от концентрации. Системы с переменным Л>АВ
МЫ в этой книге изучать не будем.
457
Правая часть уравнения (32. 30) представляет собой сумму потоков, обусловленных диффузией и средней скоростью, т. е. равна полному потоку компонента А относительно неподвижной системы координат NA. Следовательно, константа интегрирования равна Na и уравнение (32. 30) идентично с уравнением (32. 20).
Мольные потоки. Для газообразных систем в изотермических условиях и при давлении, близком к атмосферному, мольная плотность смеси постоянна. Если в уравнении неразрывности, выведенном в начале гл. 9, выражать величины в молях и учесть уравнение (9. 12), то при отсутствии химической реакции будем иметь:
дих . диу duz , 1 . Dq дх ду ‘ dz 1 Dt
(32.31}
Величины их, Uy и uz являются компонентами средней мольной скорости и. Для системы с постоянной мольной плотностью
^3.-0 и dUx I dUy I dUz —
Dt dx ‘ dy ’ dz
(32. 32}
Уравнение (9. 16) применительно к мольному балансу по компоненту А принимает вид
"ЬI Ах) dy Н—dx dy dz. (32.33}
Анализ приводит к
~ / дих . диу . duz \ &Qa . д^Ах । д^Ау । d^Az __
\ дх * ду ’ dz Dt ‘ дх "** ду ’ dz
0. (32. 34}
Это уравнение аналогично уравнению (9. 18), но член, содержащий гА, опущен. Уравнение (32. 31) применимо только к системам, в которых не происходит реакции, так как S ri в общем случае не равна нулю; всегда равна нулю. Если мольная плотность, р — постоянная величина, применимо уравнение (32. 32) и мы имеем также
= <3235>
Это уравнение равнозначно уравнению (31. 1); аналогичные зависимости справедливы для двух других осей координат. Для
458
системы с постоянной мольной плотностью в отсутствие химической реакции уравнение (32. 34) может быть записано как
Dx UAB\ дх2 + ду2 + dz2 /’ (32.36)
что аналогично уравнению (9. 22).
Для одномерного установившегося потока в направлении оси у уравнение (32. 36) примет вид
= (32.37)
откуда после интегрирования получаем do л
u^a^Dab-^T + const- (32.38)
Константа равна мольному потоку TVA, так что уравнение (32. 38) эквивалентно уравнению (32. 18).
Применение дифференциальных уравнений балансов. Одновременное решение дифференциальных уравнений сохранения вещества и энергии с уравнением постоянства количества движения для многокомпонентной системы может оказаться чрезмерно сложным. Например, для газообразных систем можно было бы применить уравнение (32. 36), но уравнения Навье — Стокса записаны в массовых единицах, а не в мольных. Следовало бы применить скорее уравнение (9. 18) для переменной плотности g совместно с уравнениями, аналогичными уравнению (И. 50), вместо уравнений Навье — Стокса для постоянной плотности р [уравнения (И. 52)—(И. 54)]. К счастью, в большинстве практических случаев на решение уравнений Навье — Стокса, справедливое при отсутствии массопередачи, наличие последней не оказывает значительного влияния. Например, параболический профиль скоростей, характерный для ламинарного потока в трубе, изменяется не намного, если стенки трубы сделать из какого-либо растворимого вещества, которое диффундирует по направлению к оси потока. Для массопередачи в газовых смесях, в которых изменение концентрации никогда не бывает столь большим, чтобы значительно повлиять на плотность, можно применить уравнение (9. 22). Но при расчете движущихся газообразных смесей, в которых происходят реакции и большие изменения состава, можно совершить серьезные ошибки, если игнорировать вторичные эффекты, опущенные в более простых случаях.
Такого же рода замечания можно сделать относительно применения к системам, в которых происходит массопередача, уравнений (10. 11) и (10. 14). Тепловые потоки, вызванные диффузией, в этих уравнениях игнорируются, так как ими во многих простых
459
случаях можно пренебречь; но они будут рассмотрены в гл. 38. Скорости, которыми пользуются для бинарных смесей, являются средними массовыми скоростями.
ДИФФУЗИЯ КОМПОНЕНТА А В НЕПОДВИЖНОЙ СРЕДЕ КОМПОНЕНТА В
В примере, показанном на рис. 32. 1, пары воды диффундируют с постоянной скоростью от поверхности жидкости через слой неподвижного воздуха в трубке. Воздух неподвижен по отношению к фиксированной системе координат, так что NB — NB = 0. Так как мы имеем дело с газами, для которых плотность о постоянна, применим уравнение (32. 18) и запишем его с учетом NB = 0:
(32.39а) = (32.396) 1 %А
Подставляя уравнение (31.1) в уравнение (32. 396), получаем:
DAB§ dxA /л\
1Уа~ dy ’
Интегрируя это уравнение в пределах от 0 до L и от хА до xAL>
получаем: L *AL
• f , ; Р2«> е/ v 1 —X д ’ ХАО
и N(32.42) А L 1-^а.
или N, = ^4^ 1п • (32- 43) -Я- х/ хВо
Уравнению (32. 43) эквивалентно следующее уравнение:
ДАВё in (^] V* \ Д/ ТУ л 1 lh (32.44> ь ^XBL Хв Q)
460
Среднелогарифмическая мольная доля равна
~ xBL~“xBo
ХВ, Im — 7г Г
1П&)
\ ХВ о /
и уравнение (32.44) можно записать в виде
К А = (ХА о — ХАь)‘
ljXB, 1т
Это уравнение имеет обычный вид, в котором величина потока равна коэффициенту, умноженному на разность концентраций. Из него можно определить коэффициент массопередачи
(32.47)
к; - -°ЛД° . (32.48)
LxB, 1т
Для разбавленных растворов компонента А величина хв 1т приблизительно равна единице. Так как Dabq для идеальных газов с изменением давления не изменяется, то не зависит от давления. Приведенный вывод можно проделать также в парциальных давлениях, начиная с уравнения (31. 1):
(32.45)
(32. 46)
Рис. 32. 1. Диффузия водяного пара через неподвижный слой воздуха.
1 — вода; 2 — уровень воды; з — среда с постоянной температурой.
J — DAbQ dpA_______DAB dPA
А р dy RT dy
(32.49)
Читателю предоставляется получить самостоятельно уравнения, аналогичные уравнениям (32. 40)—(32. 48), но выраженные через парциальные давления.
Коэффициенты диффузии в газовой фазе определяют экспериментально на приборе, подобном показанному на рис. 32. 1. К уравнению (32. 47) мы вновь обратимся в гл. 33 в связи с определением коэффициентов массопередачи.
Пример 32. 1
Прибор, аналогичный показанному на рис. 32. 1, применяется для экспериментального определения коэффициента диффузии пара в газовой фазе. Требуется рассчитать величину коэффициента диффузии DAB для системы воздух — вода по следующим данным.
461
Прибор заключен в среду с постоянной температурой 54,4° С и давлением 1 ат, а циркулирующий в системе воздух проходит над осушителем, так зто концентрация водяных паров в нем равна нулю.
Предполагается, что в трубке над уровнем воды нет конвективного перемешивания. Чему равен коэффициент диффузии в системе вода — воздух при 54,4° С, если за 29 ч уровень воды понизился от 127 до 152 мм, считая от верхнего края трубки?
Мольный поток Na связан со скоростью опускания уровня воды
% _ Qal dL Л a- dt
(1)
где q AL — мольная плотность воды; L — длина диффузионного пути.
Этот поток определяется также уравнением (32. 46), выведенным для стационарной диффузии. Диффузионный путь за 29 ч увеличивается только на 20%, что позволяет считать процесс стационарным. Тогда
dL __ dab^(xAo~~xal) dt Lx
nxB, lm
(2)
В этом уравнении xA* ** — мольная доля водяных паров в воздухе непосредственно над поверхностью воды, a xAL — на выходе из трубки. Интегрируем уравнение (2) в пределах от t = 0 до t — t и от L = LQ до L — L:
t ~ - L
I <# =
Qai5b, lm
(3)
Qdab (xa0~^A[)
О Lq
Решая это уравнение относительно ПАВ, получаем
D __ Qalxb, lm —
АВ^ ^ХАО-ХАЬ)Л 2
В данной задаче мы имеем: 986 к. о . о.
q AL — “jg- = 54,8 кмоль/м6,
«-57 = W» = °“73 "
(4)
1
ХАЪ — ^
~ __ Qa о _ 0,1016
Ао £ 18-0,0373 0,151 ’
* В оригинале опечатка — нет квадрата при L. (Прим. ред.).
** Здесь R — универсальная газовая постоянная.
Ж i
физ • ат • ;и3 кмоль • град.
им. ped.).
462
i _ 1-0,849 _nq
ХВ, 1т---------1---— 0,92г,
1П 0849“
£0 = 0,127 м;
£ = 0,152 м*\ i = 29 ч.
эти величины в уравнение (4), находим, что DАВ =
Подставляя = 1,11 м2/ч
Пример 32. 2
Рассмотрим диффузию соли (NaCl) в воде в приборе, аналогичном показанному на рис. 32. 1. В приборе поддерживается температура 20° С, а в колбе прибора содержится некоторое количество кристаллов соли. Предполагается, что жидкость в колбе хорошо перемешана, а в диффузионной трубке нет турбулентного перемешивания. Таким образом, концентрация у нижнего конца трубки постоянна и соответствует насыщенному водному раствору соли при 20° С. Вода, окружающая трубку, содержит незначительное количество соли.
Механизм диффузии электролита в воде сложен, и ему посвящено много исследований. Хотя различные ионы имеют тенденцию двигаться с разными скоростями, условие электронейтральности позволяет рассматривать диффузию одной соли как диффузию молекул этой соли. Коэффициент диффузии, строго говоря, является функцией концентрации. Рид и Шервуд [132] приводят кривую зависимости коэффициента диффузии соли в воде от концентрации. Это изменение достаточно мало, и мы выбираем значение РАВпри 20° С равным 1,35-10"5 смЧсек, или 0,485 -Ю"® мЧч.
Когда твердая соль переходит в раствор, чтобы заместить продиффунди-ровавшую в трубку, объем твердой фазы уменьшается. Для восполнения этого объема должно иметь место движение раствора внутрь колбы. Начнем решение с уравнения (32. 20), удобного для системы с постоянной плотностью.
NA^JA + (NA+NByA, (1)
которое можно записать как
X а = -»АВЧ ^±(Na + Хв) *а •
Движение раствора внутрь колбы создает некоторый поток, равный уменьшению объема, вызванному растворением соли:
Ха + Хв Na
(2)
Qas объединяем с уравнением (2).
e
Где 2 As плотность соли. Уравнение (3)
(3)
дг dabq
А 1 + Кх^
dxA dy ’
(4)
ред ) * В тексте оригинала опечатка: £0 = 0,152 л«, L — 0,127 м. (Прим:
** В тексте ошибка: 0,111 м2/ч вместо 1,11 м2/ч. (Прим. ред.).
4СЗ
где К — —. Далее мы интегрируем
(5)
L XAL
dy = -DABQ J l+KxA o xA 0
и получаем
AT DABQAs !
A L ^+KxAL
(6)
Уравнение (6) аналогично уравнению (32. 42).
Если длина трубки равна 152 мм, то можно рассчитать N А по уравнению (6):
__ 1100 у $
ЛГ 0,485 • 10“6 • 2160 . 2160 ’ ЛАЛОС/ /2
NA =-------------In--------------== 0,00864 кг м* • ч соли.
А 0,152 1
Данные о плотности и растворимости взяты по справочнику Перри. По мере того, как соль диффундирует из колбы в количестве = = 0,00864 кг!м2*ч, вода в количестве NB — —0,01305 кг/м2*ч диффундирует внутрь колбы, что можно рассчитать по уравнению (3).
ЭКВИМОЛЯРНАЯ ПРОТИВОДИФФУЗИЯ
Если на каждый 1 моль компонента А, диффундирующего вправо, приходится 1 моль компонента В, диффундирующего влево, то Na = —и уравнение (32. 18) упрощается:
= (32.50)
Для установившегося режима это уравнение можно проинтегрировать:
<32-51>
В следующей главе мы увидим, что это уравнение применяется для описания скорости массопередачи при дистилляции и ректп-фикации< По тепловому балансу часто требуется, чтобы 1 моль компонента А диффундировал к поверхности жидкости, конденсировался и выделял достаточное количество тепла для испарения 1 моль компонента В, диффундирующего в обратном направлении.
Другим случаем эквимолярной противодиффузии является взаимная диффузия двух газов. Рассмотрим цилиндр, разделенный поперечной перегородкой на две части, наполненные разными газами, находящимися при одном и том же давлении и одинаковой температуре. Если убрать перегородку, газы будут взаимно проникать друг в друга с равными мольными скоростями, ибо моль-464
ная плотность q сохраняется неизменной. Уравнение (32. 50) справедливо для любого момента времени.
Если оба взаимно диффундирующих компонента являются жидкостями с равными плотностями, то будем иметь NA — — NB и
dx л
^А ~ А~ ~~®АВ^ • (32. 52)
Уравнения (32. 50) и (32. 52) нельзя проинтегрировать непо-dx А средственно для рассматриваемых условий, так как Na и — аг/ являются функциями как положения, так и времени. Более того, для этого случая неустановившегося процесса следует применять дифференциальное уравнение баланса. Уравнение (32. 36) упрощается для газообразной системы:
аёл _ п 92Qa
дх иАВ ду2 ’
(32. 53)
а уравнение (9. 22) для жидкой системы приводится к виду
двА _ п д\л
дх АВ ду2 •
(32. 54)
Соответствующие граничные условия задачи можно точно определить, а ее решение производится методом разделения переменных, проиллюстрированным в примере 21. 2. Описанная выше взаимная диффузия двух жидкостей подобна задаче из области теплопередачи о распределении, температуры во времени и по длине в двух теплопроводящих пластинах, первоначально равномерно прогретых до разной температуры и внезапно приведенных в соприкосновение.
Чтобы изучить вопрос нестационарной диффузии без введения каких-либо новых математических понятий, рассмотрим следующий пример, аналогичный примеру 21. 2.
Пример 32. 3
Пластина из пористого твердого вещества толщиной 12,7 мм пропитана чистым этанолом. Доля пустот в твердом теле составляет 50% от его объема. Поры мелкие, так что в заполняющей их жидкости может происходить молекулярная диффузия при отсутствии конвективного перемешивания. Эффективный коэффициент диффузии для системы этанол — вода в порах составляет одну десятую от величины коэффициента диффузии в свободной жидкости.
За какое время массовая доля этанола в центре пластины упадет до 0,009, если поместить ее в большую емкость с хорошим перемешиванием, наполненную чистой водой, имеющей температуру 25° С? Можно допустить, что сопротивление массопередаче в водной фазе отсутствует и что концентрация этанола в воде, в том числе у поверхности пластины, постоянна и равна нулю.
30 Заказ 519. 465
Так как плотности спирта и воды отличаются только на 20%, мы будем считать, что плотность q постоянна; тогда с достаточной степенью точности можно применить уравнение (32. 54):
или
_ п д2ял
дх АВ ду2
дх.
-дГ-°АВ
**А
ду2
(1)
(2)
В этих уравнениях коэффициент диффузии D АВ принимается постоянным, в то время как табл. 31. 2 показывает, что D АВ значительно изменяется с изменением концентраций. Во избежание математических осложнений мы будем полагать DAB постоянным и имеющим среднее значение 1,0 см2!сек. На протяжении большей части времени, истраченного на достижение низкой концентрации этанола в центре пластинки, концентрация этанола совсем низкая, поэтому среднее значение D АВ выбирается при низком хА.
Сделаем следующие подстановки:
У = ХА’
Расстояние у измеряется по нормали к пластинке от ее центра; г/0 есть половина толщины пластинки.
Уравнение (2) после подстановки принимает вид
= (3>
dt дп2 '
Уравнение (3) имеет тот же вид, Что уравнение (2) в примере 21. 2. Граничные условия для Y (n, t) следующие:
(0, 0 = 0; дп ' '
Y (1,0=0;
У(п, 0) = 1,0.
Эти граничные условия идентичны с граничными условиями примера 21. 2, так что на основании последнего можно написать следующее решение:
—2(—1/ Г —(2i — I)2 пЧ I /2i —1\ ...
еХ₽ ------------J C0S (— ) ЯП- (4>
Для п = 0 и Y — 0,009 было найдено, что t — 2,01. Тогда
*== o2;mloX = о.00225 --8-1 *
* В тексте ошибочно вместо 0,00225 ч — 8,1 сек дано 0,0217 ч = = 1,3 мин. (Прим, ред.)
Профили концентраций для разных моментов времени можно рассчитать по уравнению (4). Они имеют тот же вид, что и кривые, показанные на рис. 21. 2, если по оси ординат откладывать массовую долю воды.
В литературе [23] приводится большое количество решенных задач по теплопроводности. Аналогия между теплопроводностью и диффузией настолько полная, что решение большей части задач по теплопроводности можно использовать для прямого решения соответствующих задач по диффузии. Решение многих задач молекулярной диффузии приводит Кранк [29].
ТЕРМОДИФ Ф УЗИ Я
Как уже указывалось, кроме обычной молекулярной диффузии, существует термодиффузия, диффузия, вызванная перепадом давлений и диффузия принудительная. Если две области смеси поддерживаются при разных температурах, то под действием теплового потока возникает, как было установлено, градиент концентрации. В бинарной смеси молекулы одного рода имеют тенденцию двигаться в горячую область, а молекулы другого рода — по направлению к холодной области. Это называется эффектом Сорета. Обычно этот эффект оказывает незначительное влияние на массопередачу, но в ряде случаев он используется при разделении смесей. Аналогичное явление, называемое эффектом Дюфора, характеризуется тенденцией к созданию температурного градиента при массопередаче, вызванной градиентом концентрации.
Диффузия под действием давления происходит при наличии перепада давлений в жидкой смеси, как в глубоком закрытом колодце или в закрытой трубе, вращающейся вокруг оси, перпендикулярной к оси трубы. Более легкий компонент стремится перейти в область более низкого давления, т. е. в верхнюю часть колодца или конец трубы, прилегающей к оси вращения. Ультрацентрифуга работает на принципе диффузии под действием давления.
Принудительная диффузия вызывается действием на молекулы внешней среды, отличной от веса. Эта внешняя сила должна действовать на разных участках в разной степени. Примером служит диффузия ионов электролита в электрическом поле.
Вследствие создаваемого одним из указанных явлений гра- . диента концентрации происходит диффузия в направлении, противоположном направлению диффузии одного из трех упомянутых видов. Во многих случаях достигается установившееся состояние, при котором поток, вызванный обычной диффузией, уравновешивает поток, вызванный описанными выше видами диффузии, так что свойства системы в данной точке остаются постоянными во времени. Как пример такого рода, мы рассмотрим следующий случай термодиффузии.
Две колбы 7, показанные на рис. 32. 2, соединены капиллярной трубкой 2, изготовленной из нетеплопроводного материала.
30* 467
Газ в трубке неподвижен, т. е. в нем нет конвективного перемешивания, в то время как газ в колбах хорошо перемешивается Конвективными токами. Поток, вызванный термодиффузией в бинарной смеси, определяется термодинамикой необратимых процессов [35] как
Лг = -°лвтТ-< <32-55)
Хотя существует градиент температуры между двумя колбами, при установившемся состоянии температура в каждой точке постоянна. Не существует также никакого результирующего потока компонентов А или В из одной колбы в другую, так что
Рис. 32. 2. Термо диффузия в бинарной смеси при установившемся режиме.
Na = 0 (32.56)
или
Лт+Л=о- <32-57)
Таким образом, мы имеем
1 ат _
®АВТ Т ’ dy
(32.58)
Но обычно состав выражают в мольных долях, а не в массовых; поэтому применим уравнения (32. 27), (32. 12) и (31. 1), чтобы получить
n 1 dT dabt&maMb diA iV) cq.
Dabt — -d^=------------------W <32-59)
Термодиффузионное отношение KABT равно
тг — dabtQ
ABT~ »ab?mamb •
(32. 60)
Поэтому уравнение (32. 59) может быть записано следующим образом:
• <32-61)
Хотя в действительности КАВТ является сложной функцией от температуры, можно получить зависимость между температурой и профилем концентрации путем интегрирования уравнения (32. 61), принимая КАВТ за постоянную. В результате получим
~ ~ т
xAi — XAi = КАВТ In-jr . ~ (32. 62)
468
Термодиффузионное отношение можно рассчитать при средней температуре по этому приближенному уравнению. Величина КАВТ может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от рассматриваемой системы. Положительная величина К ^вт означает, что компонент А имеет тенденцию к накоплению в холодной части системы. Термодиффузионное отношение является также функцией состава, но хА —хА обычно настолько мало, что этим изменением можно пренебречь при интегрировании уравнения (32. 61). Некоторые значения КАВТ приведены в табл. 32. 1.
Таблица 32,1
Некоторые значения [65] термо диффузио иного отношения КАВТ
Система Температура, °C Состав хА
Не—Ne -68 0,538 7,65
57 0,538 7,82
92 0,538 7,83
Не—Аг 57 0,10 2,50
57 0,30 6,60
57 0,50 9,31
Н2—Не 57 0,50 —4,81
Не—N2 -13 0,345 8,31
Н2—Аг -15 0,47 -6,35
H2-N2 -9 0,42 7,49
Н2-СО -27 0,53 7,38
Н2-СО2 27 0,53 6,89
МАССОПЕРЕДАЧА, СОПРОВОЖДАЮЩАЯСЯ
ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
Диффузия в порах твердых катализаторов к поверхности таблеток катализатора и на других границах раздела оказывает большое влияние на расчет некоторых химических реакторов. Взаимосвязь между диффузией и химической реакцией будет рассмотрена в гл. 43. В главах, предшествующих гл. 43, мы продолжим изучение основ массопередачи и ее влияния на физические процессы разделения.
Задачи.
32. 1. 1 г йода помещен в колбу, подобную показанной на рис. 32. 1. Какое время потребуется для полной возгонки йода при 85° С, если трубка, через которую происходит диффузия, имеет длину 76 лии и диаметр 1,6 л^л^? Предполагается, что воздух в колбе насыщен йодом, а концентрация йода в окружающем воздухе равна нулю.
32. 2. Колба, описанная в задаче 32. 1, заполнена первоначально метанолом до верха трубки. Какое время потребуется для понижения уровня
469
метанола до нижнего конца трубки, т. е. на 76 мм? Окружающей средой является воздух при 25° С.
32. 3. Пористый шарик диаметром 3,2 мм, насыщенный метанолом, погружается в большую емкость с чистой водой при температуре 25° С. Рассчитать время, необходимое для удаления 99% метанола, предположив, что процесс взаимной диффузии контролируется скоростью диффузии внутри шарика. Эффективный коэффициент диффузии равен одной десятой от коэффициента молекулярной диффузии. ,
Задача может быть решена с помощью графика на стр. 462 справочника Перри.
32. 4. Упругость паров нафталина при 15,6° С равна 0,0363 мм рт. ст. Найти скорость испарения нафталина с поверхности шара диаметром 12,7 мм при 15,6° С, если скорость настолько мала, что диаметр шара можно принять постоянным. Предполагается, что шар окружен бесконечно большой массой неподвижного воздуха, имеющего ту же температуру, что и шар. Ответ выразить в массовых процентах испарившегося за один день нафталина по отношению к массе шара, когда его диаметр был равен 12,7 мм. Плотность нафталина равна 1,15 г!см3.
33. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНВЕКТИВНОЙ МАССОПЕРЕДАЧИ
МАССОПЕРЕДАЧА МЕЖДУ ФАЗАМИ
Массопередача может происходить в одной фазе, например в газообразной среде, в которой вещество испаряется с одной поверхности и конденсируется на другой. Массопередача может также протекать как сложный процесс переноса вещества из объема одной фазы к границе раздела, а затем в объем второй фазы. Если пренебречь межфазными сопротивлениями, то полное сопротивление массопередаче в первом случае равно сопротивлению одной газовой фазы. Во втором случае полное сопротивление равно сумме сопротивлений двух последовательно расположенных фаз. Этими фазами обычно являются либо две несме-шивающиеся жидкости, либо газ и жидкость.
Для решения вопросов массопередачи нужно знать граничные условия. Границами систем, в которых происходит массопередача, являются либо границы фаз, либо произвольно выбранные средние условия внутри фаз. Независимо от того, как выбраны для решения задачи математические граничные условия, на границе раздела существует равновесие фаз *. Разность концентраций диффундирующего компонента существует на каждой границе раздела, но она не обязательно является движущей силой массопередачи. Составы фаз на границе раздела, где существует равновесие, не являются независимыми переменными, а устанавливаются в соответствии с законами фазового равновесия. Аналогичное положение легче проследить в процессе теплопередачи. Тепловое равновесие между смежными фазами само собой подразумевается, когда мы говорим, что эти фазы имеют одинаковую
1 Очевидно, что при сверхвысоких скоростях смежные фазы не находятся в равновесии. Этот эффект эквивалентен межфазному сопротивлению массопередаче. Последнее может быть также вызвано присутствием загрязнений, которые могут скапливаться на границе раздела.
471
температуру на поверхности. При переносе количества движения мы обычно предполагаем, что две фазы имеют одинаковую скорость на границе раздела.
Уравнения количества переданного вещества записывают с разностью составов в качестве движущей силы, и никаких затруднений не встречается, когда они относятся к одной фазе. Однако, если желательно определить полное количество переданного вещества, то разность истинных составов двух фаз не будет соответствовать движущей силе. Эта разность обычно существует даже когда фазы находятся в равновесии. Во избежание затруднений состав одной из фаз выражают через равновесный состав, т. е. состав, который имела бы другая фаза, если бы она находилась в равновесии с первой. Этим путем суммарную движущую силу выражают через состав только одной из фаз.
ФАЗОВОЕ РАВНОВЕСИЕ
Равновесие в многофазной системе ограничено правилом фаз, описывающимся следующим уравнением:
Р + У = С + 2, (33. 1)
где Р —- число фаз, находящихся в равновесии, а V — число степеней свободы системы.
Если в системе не происходит никаких химических превращений, то величина С выражает число химических соединений или свободных элементов в системе. При наличии химической реакции С выражает число химических соединений и свободных элементов за вычетом числа химических равновесий или других ограничений, накладываемых на химическое поведение системы.
Правило фаз можно рассматривать по аналогии с системой алгебраических уравнений с независимыми переменными. Число переменных минус число уравнений определяет, скольким переменным можно дать произвольные значения. Это сопоставимо с числом степеней свободы в физической системе. В системе алгебраических уравнений, когда число переменных и число уравнений равны, ни одно из переменных не может быть определено произвольно. Примером этого в фазовом равновесии является существование «тройной точки», т. е. случай, когда одно индивидуальное вещество существует в трех равновесных фазах. Согласно правилу фаз, V имеет в этом случае нулевое значение, означающее, что может быть только одна совокупность условий, при которой эти три фазы сосуществуют. Ни одна из степеней свободы, таких как давление или температура, не может быть изменена, чтобы не вызвать исчезновения одной из фаз.
Правило фаз не оперирует ни численными значениями переменных, ни их взаимозависимостью. Тем не менее оно имеет боль-472
шое значение для инженера и исследователя при постановке опытов, в которых нужно измерить численные значения и установить аналитические зависимости. Оно имеет значение при проектировании химических производств, так как указывает число переменных процесса, которые можно контролировать независимо в каждой равновесной системе. Например, в процессе абсорбции компонент газовой смеси абсорбируется жидкостью. Как видно из уравнения (33. 1), такая система имеет три степени свободы при равновесии, если она состоит из трех индивидуальных компонентов и двух фаз. По терминологии процесса абсорбции это означает, что давление, температура и концентрация диффундирующего вещества в одной из фаз могут быть выбраны произвольно.
Процессы дистилляции и ректификации могут оперировать бинарными или многокомпонентными смесями. В случае бинарной двухфазной системы существуют только две степени свободы. Это значит, что если давление и температура постоянны, то составы равновесных фаз не могут изменяться. Обычно при расчете процессов дистилляции или ректификации бинарных смесей задаются давлением и одним из составов. В таких случаях температура является постоянной и может быть найдена путем соответствующих расчетов.
В процессах увлажнения воздуха можно рассматривать как один компонент, так как он не вступает в химические реакции и всегда сохраняет неизменным отношение между своими составными частями. По этой причине в процессах сушки рассматриваются лишь два индивидуальных компонента — воздух и вода. Поскольку в этих системах существуют две фазы, то число степеней свободы равно двум. Большая часть сушильных установок работает под атмосферным давлением, так что остается контролировать только одно переменное. Таким образом, при наличии равновесия выбор температуры однозначно предопределяет концентрацию воды в газовой фазе (влагосодержание).
РАВНОВЕСНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Здесь будут рассмотрены некоторые уравнения для расчета равновесных составов. Эти и многие другие полезные уравнения равновесия можно найти в книгах по физической химии. Мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых простых уравнений, относящихся к равновесию систем пар — жидкость и газ — жидкость. Другие зависимости будут рассмотрены в последующих главах — по мере надобности.
Парциальное давление компонента в газовой фазе выражается
Ра = УаР' (33- 2)
473
где рА — парциальное давление компонента А; у
Рис. 33. 1. Парциальные давления и равновесные данные для систем, состоящих из идеального газа и идеального раствора.
1 — жидкость; 2 — пар; з — система при постоянной температуре.
Мольная доля 302 б жидкой (разе х^
Рис. 33. 2. Парциальное давление сернистого газа над его водным раствором при 20° С.
1 — приближение по закону Генри; 2 -экспериментальные данные.
— мольная р — полное давление в системе.
Выражение (32. 2) справедливо как для идеальных, так и для реальных газов. Так как сумма мольных долей компонентов смеси равна единице, то сумма парциальных давлений всегда равна полному давлению.
Для определения парциального давления компонентов в парах или газах над растворами часто используют закон Рауля, описываемый уравнением
Ра = хаРа> (33.3)
где хА — мольная доля компонента А в жидкости; РА — упругость паров вещества А при температуре системы.
Это уравнение справедливо, когда газовая и жидкая фазы ведут себя соответственно как идеальный газ и идеальный раствор. Понятие идеального газа известно большинству студентов, а понятие идеального раствора — менее известно. Достаточно сказать, что смеси неполярных молекул одного химического типа и приблизительно одного размера приближаются к идеальным растворам;
1 Обозначения яА и лА до сих пор использовались для состава любой фазы. С этого момента они будут относиться исключительно к жидкой фазе, а уА и уА — к паровой или газовой фазе.
474
примером являются смежные члены гомологических рядов. Тепловой эффект смешения и изменение объема при смешении для идеального раствора равны нулю. Если парциальные давления обоих компонентов представить в зависимости от мольной доли при постоянной температуре, как показано на рис. 33. 1, они изображаются прямыми, наклон которых соответствует упругости пара. Закон Рауля обычно описывает экспериментальные данные наилучшим образом при высоких концентрациях компонентов.
Закон Генри является обобщенной зависимостью, частным случаем которой является закон Рауля. Он выражается уравнением
Ра~ха^а^ (33.4)
отражающим линейную зависимость парциального давления от состава. Величина НА является константой, обычно определяемой экспериментально. В частном случае, когда применим закон Рауля, константа Генри НА становится равной упругости пара компонента А. Закон Генри обычно применим к области низких концентраций, как на это указывают, например, экспериментальные данные, представленные на рис. 33. 2. Закон Генри играет роль при расчете процессов абсорбции, из которых многие оперируют с разбавленными смесями.
Пример 33. 1.
Паро-жидкостная смесь бензола и толуола находится в равновесии при 80q С. Паровая фаза содержит 65% мол.1 бензола и 35% мод. толуола. Требуется найти полное давление в системе и состав жидкой фазы в предположении, что она является идеальным раствором, а паровая — идеальным газом. Упругости паров бензола и толуола при 80° С равны соответственно 756 и 287 мм рт. ст.
Обозначим бензол компонентом А, а толуол — компонентом В. Парциальные давления, по закону Рауля, равны:
Р^ = 756^; (1)
рв = 287#в. (2)
По определению парциального давления
= 0,65 р; (3)
рв=0,35 р. (4)
Объединяя уравнения (1), (3) и (2), (4), получим 756^а=0,65р; - (5)
287#в = 0,35 р. (6)
1 Здесь и далее приняты следующие сокращения: % мол. — мольный процент; % масс. — массовый процент; % вес. — весовой процент; % об. — объемный процент. (Прим, ред.)
475
Кроме того, имеем
®а+®в=1- (7)
Уравнения (5) — (7) решаются относительно трех переменных:
хА =0,415;
хв = 0,585;
р = 483 мм рт. ст.
Пример 33. 2*
Составить уравнения равновесных составов пара и жидкости в системе с постоянным давлением, в которой фазы ведут себя как идеальный газ и идеальная жидкость.
Два компонента системы обозначим через А и В. Выразим парциальное давление компонентов, используя закон Рауля:
Ра=харА’
Рв = ХВ?В'
Полное давление равно сумме парциальных:
Р = РА + Рв = хАРА + ХВРВ = ХАР А + (1 - хА ) РВ' откуда
Р~рв
При постоянной температуре упругости паров РА и Рв постоянны. Следовательно, состав жидкости хА является линейной функцией полного давления, как показано на рис. 33. 1. Полное давление изменяется от р = Рв при хА = 0 до р = РА при хА = 1. Состав пара находим по парциальному давлению:
Ра= у аР^аРа* откуда
- = ХАРА =РА Р~РВ
Уа р; р ' рА-рв‘
КОЭФФИЦИЕНТЫ МАССООТДАЧИ
Понятие о коэффициентах массоотдачи уже было рассмотрено в гл. 30, и эти коэффициенты были определены уравнениями (30. 1) и (32. 47). В этом разделе мы рассмотрим коэффициенты массоотдачи более подробно.
Хотя аналогия между тепло- и массопередачей была полезной при решении многих задач массопередачи, ряд коренных отличий часто мешает применить наши знания о коэффициентах теплоотдачи к расчету коэффициентов массоотдачи. Одно из этих отличий
47Q
относится к граничным условиям. В большинстве теплообменных систем при наличии эффекта конвекции тепло передается от однофазной жидкости к твердым телам или наоборот. В большинстве же систем конвективного массообмена контактируют две жидкие фазы, между которыми и происходит массопередача. В системе конвективного теплообмена жидкость имеет нулевую скорость на границе раздела, к которой примыкает ламинарный подслой. В массообменной системе скорость на границе раздела фаз, вероятнее всего, не равна нулю, и существование ламинарного подслоя часто невероятно. Различие в характере движения приводит к тому практическому результату, что многие экспериментальные данные по теплопередаче оказываются чрезмерно малыми в случае массопередачи и наоборот. Дополнительным усложнением, возникающим при анализе массопередачи между двумя жидкостями, находящимися в непосредственном контакте, является средняя межфазная поверхность, которая зависит от характера движения и трудно или часто даже вовсе не поддается определению. Но есть ряд случаев, когда тепло- и массопередача протекают в аналогичных условиях, и несколько случаев их одновременного протекания. Примером последнего является сушка распылением. Здесь струя распыленной жидкости вводится в поток горячего воздуха; тепло и вещество переносятся между контактирующими фазами. Процесс в каталитическом реакторе также представляет случай одновременного тепло- и массообмена между газовой фазой и твердой поверхностью. При дальнейшем рассмотрении массопередачи мы будем отсылать читателя, когда это будет возможно, к предшествующему рассмотрению коэффициентов теплопередачи. Однако часто будут рассматриваться такие случаи массопередачи, которые не имеют аналогии с теплопередачей.
Если система, где происходит массопередача, включает вещество, растворяющееся с постоянной скоростью с твердой поверхности и диффундирующее в поток жидкости, то коэффициент мас-соотдачи будет определяться уравнением, подобным уравнению (32. 47):
• <33-5>
В этом уравнении NA выражает число молей растворенного вещества А, уходящих в единицу времени с единицы поверхности. Мольная доля растворенного вещества в жидкости близ поверхности xAs представляет тот состав, который имел бы раствор, вели бы он находился в равновесии с твердым растворенным веществом при температуре системы. Величина хА представляет мольную долю растворенного вещества в некоторой точке жидкой фазы. Если движение жидкости имеет характер движения погра-
477
ничного слоя, то хА будет принята равной мольной доле растворенного вещества на границе диффузионного пограничного слоя и будет обозначена через хА . Если, однако, движение происходит по замкнутому контуру, то величина хА должна быть принята равной мольной доле растворенного вещества при средней концентрации потока (средней называется та концентрация, которая была бы в потоке, если бы он был однороден. Она определяется таким же образом, как и средняя температура потока). Коэффициент массоотдачи кх обычно выражается в кмоль/м2 • ч. Индекс х означает, что он относится к жидкой фазе и его следует сочетать с движущей силой, выраженной в мольных долях жидкой фазы.
Массоотдача с постоянной скоростью от твердой поверхности в поток газа описывается уравнением
^ЬцСул-Ул). ОЗ-6>
Количество переданного вещества NA выражается в тех же единицах, что и в уравнении (33. 5). Мольная доля растворенного вещества в газовой фазе близ поверхности равна уАз. Предполагается, что это тот состав, который был бы в условиях равновесия при той же температуре и том же давлении. Величина уА равна обычно или мольной доле растворенного вещества на границе диффузионного пограничного слоя, или мольной доле при средней концентрации потока. Коэффициент массопередачи ку имеет ту же размерность, что и кх , но, как показывает индекс, его нужно сочетать с движущей силой, выраженной в мольных долях газовой фазы.
Система, в которой растворенное вещество передается с постоянной скоростью из газовой фазы в жидкую, может быть описана двумя уравнениями:
(33.7)
"л = (33. 8)
В системе, в которой контактируют газ и жидкость, уА и хА являются мольными долями при средних концентрациях соответствующих фаз.
КОЭФФИЦИЕНТЫ МАССОПЕРЕДАЧИ
Для межфазного переноса часто удобно применять коэффициент массопередачи, подобно тому как в процессах теплообмена пользуются коэффициентом теплопередачи. Коэффициент массо-478
передачи можно определить по любому из следующих уравнений:
Лгл = «1(1'л-Й); (33-9)
^а“ &х (ха~ха)' (33. Ю)
Величины ул и х*а представляют собой равновесные концентрации. Величина уА есть мольная доля растворенного вещества в газе, равновесная с жидкостью состава хА. Аналогично х*А есть мольная доля растворенного вещества в жидкости, находящейся в равновесии с газом состава уА. Следовательно, у а — У а и Ха — ха являются движущими силами массопередачи между двумя фазами.
Уравнение, связывающее коэффициенты массопередачи с коэффициентами массоотдачи для отдельных фаз, можно получить, переписав уравнения (33. 7) и (33. 8) следующим образом:
yA-yAs~^-, (33.11)
У
N
= (33.12)
кх
Предполагается, что равновесие между жидкостью и газом следует закону Генри. Если парциальное давление, определяемое по уравнению (33. 4), разделить на полное давление, мы получим
у
“А р
(33.13)
Обозначим величину —через т и перепишем уравнение (33. 13) в следующем виде:
УА = ^А. (33.14)
Если уравнение (33. 14) применить к границе раздела фаз, предположив существование равновесия, то хА и уА нужно заменить на хАз и yAs. Перепишем уравнение (33. 12):
= (33-15)
X
Умножив все члены на т, получим
= (33.16)
X
479
Это уравнение при сложении с уравнением (33. И) дает:
(33-17) \ У х /
Член тхА выражает мольную долю растворенного вещества в газе, находящемся в равновесии с жидкостью состава хА. Таким образом, тхА идентично с г/^. Делая эту подстановку, перепишем уравнение (33. 17):
= + (33-18)
\ V X /
Выражение для К- [уравнение (33. 9)] имеет аналогичный вид:
«л-Й-fe. (ЗЗ.ВД
У
Сопоставляя уравнения (33. 18) и (33. 19), мы видим, что Ку выражается через коэффициенты массоотдачи:
К-=—7-^-------. (33.20)
у 1 , т ' '
у х
Тем же методом найдем выражение для
*-.= . ‘ , (33-21)
к~ + тк~
х у
Даже если коэффициенты ку и к% для системы постоянны, общий коэффициент может изменяться с изменением т. Величина тп, как мы уже видели, является функцией концентрации, температуры и полного давления; она обычно постоянна только для разбавленных растворов при постоянной температуре в колонне с незначительным перепадом давления. Уравнения (33. 20) и (33. 21), как будет показано ниже, неточны, если равновесная линия искривлена, т. е. т непостоянно.
Сказанное выше проиллюстрировано рис. 33. 3. Из материального баланса участка массообменного аппарата (например, абсорбционной колонны), как было показано в гл. 37, следует наличие алгебраической зависимости между составами газа и жидкости в любом горизонтальном сечении аппарата, т. е. при любом значении хА. Эта зависимость представлена на рис. 33. 3 верхней кривой, называемой рабочей линией. Положение этой линии зависит от составов на концах колонны и от расходов обеих фаз. 480
В точке Р на рис. 33. 3 составы газа и жидкости равны соответственно уА и хА. Составы на границе раздела уАв и хАз опре* деляются совместно уравнениями (33. 7) и (33. 8):
— 21 = Уа~Уа* . (33.22)
у xA~xAs
кх
Уравнение (33. 22) описывает прямую с наклоном — -г^, про-
*у ходящую через точки с координатами хА, уА и xAs, yAs. Так
Рис. 33. 3. График для составов на границе раздела фаз.
kx - *»
1 — наклон-----2 — равновесная линия уА =
3 — рабочая линия.
как последняя точка лежит на линии равновесия, то величины xas и У Аз определяются построением, изображенным на рис. 33. 3, где показаны также состав у*А, который находится в равновесии с хА, и состав х*А, равновесный с уА.
При выводе уравнения (33. 20) xAs было заменено на в уравнении (33. 15); Таким образом, величина т, входящая в уравнения [(33. 16) и последующие, соответствует хА$. При переходе от уравнения (33. 17) к уравнению (33. 18) тхА было заменено на уА\ эта подстановка справедлива только, если т при хАз равно т при хА. Для искривленной равновесной линии эти т не равны и уравнения (33. 20) и (33. 21) неточны*.
* Этот вопрос детально рассматривается в книге [148].
31 Заказ 519.
481
Указанные выше ограничения в применении коэффициента массопередачи отпадают, если он приблизительно равен одному из частных коэффициентов. Например, если незначительно
^х
1
по сравнению с говорят, что контролирующим является ^у
сопротивление газовой фазы, и К- равно к~. Заметим, что недостаточно того, чтобы тп было очень мало или к~ очень велико; их отношение должно быть мало по сравнению с г; *. Подобные же замечания можно сделать в случае, когда сопротивление жидкой фазы является контролирующим и К- равно к~л
Хотя приведенный расчет коэффициента массопередачи не применим к системам с искривленной линией равновесия, в литературе часто приводятся только значения этого коэффициента. В аппаратах, в которых происходит контактирование двух жидкостей, почти невозможно определить экспериментально хА& и yAs и рассчитать ку, например, непосредственно по данным о массо-обмене между фазами. Обычно хА и уА можно измерить, а частные сопротивления массопередаче должны быть определены косвенно. Процесс передачи тепла в теплообменнике лучше поддается расчету, так как можно измерить температуры стенок, играющие роль составов в массопередаче.
Оправданием применения коэффициентов массопередачи является недостаточная точность большинства данных по массообмену. Средние квадратичные отклонения в 20—30% являются обычными, так что ошибки, вводимые при расчете коэффициента массопередачи, не могут быть существенными. Недостаточная точность экспериментальных данных объясняется трудностью получения воспроизводимых значений составов и скоростей в таких аппаратах, как насадочная абсорбционная колонна.
КОЭФФИЦИЕНТЫ МАССОПЕРЕДАЧИ И УЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМНОГО СООТНОШЕНИЯ ФАЗ
Коэффициенты массопередачи, определение которых было дано, зависят в некоторой степени от того, применяются ли они к случаю, когда NA — — NB, или к случаю, когда NB = 0. Первый случай встречается при дистилляции и ректификации
* Во многих системах в жидкой фазе протекает химическая реакция. Это, однако, не обращает ш в нуль, даже если равновесное парциальное давление растворенного вещества равно нулю. Причина заключается в том, что растворенное вещество должно продиффундировать на значительное расстояние в глубь жидкости, прежде чем оно прореагирует. Абсорбция, сопровождающаяся химической реакцией, будет рассмотрена в гл. 43.
482
бинарных смесей в адиабатных условиях, где тепловой баланс часто приводит к требованию, чтобы один моль А переносился в одном направлении на каждый моль В, переносимый в противоположном направлении. Последний случай встречается в абсорбции и жидкостной экстракции, где растворенное вещество переносится по направлению к границе раздела или от нее во вторую фазу, нерастворимую в первой.
Чтобы уяснить этот факт, мы должны ввести другой коэффициент массоотдачи к~ (или kQ' и т. д.). Он выражает то значение, которое имело бы кх для данных жидкостей в данных гидродинамических условиях, если бы результирующее количество переносимого вещества (NA + NB) равнялось бы нулю. Этот коэффициент отличается от к- при значительных количествах передаваемого вещества, если NB равно нулю; для малых количеств передаваемого вещества или в случае, когда NB =~^Al к^ и совпадают.
Зависимость между к^ и к~ можно установить точно только для некоторых случаев ламинарного движения. Для большинства систем, характеризующихся турбулентным движением, эта зависимость неизвестна; нижеприведенный анализ является в лучшем случае хорошим приближением. Количество передаваемого через слой жидкости вещества при NA = —NB может быть выражено уравнением
(33.23) полученным из уравнения (32. 51). Длина пути перемешивания, была заменена фиктивной толщиной «пленки» fiw. Последняя выбрана так, что скорость массопередачи в реальной системе равна скорости массопередачи при сопротивлении, равном сопротивлению неподвижного слоя толщиной Sm. Сравнивая уравнения (33. 8) и (33. 23), устанавливаем, что при эквимолярной противодиффузии коэффициент к~ может быть выражен следующим образом:
(33.24)
Так как в данном частном случае к- = АЛ, то уравнение (33. 24)
служит также определением АЛ.
Если ЛГВ = О, то анализ’основывается на уравнениях (32. 46) — (32. 48), откуда следует
к-=— qdab—.
0 xA}lm
(33. 25)
31*
483
Этот же результат получается при объединении уравнений (33. 8) и (32. 46). Мы уже определили как —; следова-тельно, для частного случая NB = 0, мы получим
(33.26)
Используем уравнение (33. 26), чтобы определить влияние состава на kg. Предполагается, что kg не зависит от состава, а определяется только физическими свойствами жидкостей, их скоростями и геометрическими размерами системы. Например, будут получены зависимости, включающие группу, подобную числу Нуссельта, которая называется числом Шервуда. Эта группа определяется через kg:
(33. 27)
ЯР koD
Qdab Dab
Если нужно использовать величину kg, полученную из такой зависимости для NB = 0 и концентрированных растворов, то нужно, заменить kg через kg (1 —-
ВЫСОТА ЕДИНИЦЫ ПЕРЕНОСА
Коэффициенты конвективной массоотдачи были определены по аналогии с коэффициентами теплоотдачи. Чтобы узнать скорость переноса, нужно умножить удельный поток на поверхность, через которую происходит перенос. Такая интерпретация возможна в теплообменнике или при массопередаче между твердой поверхностью и жидкостью. Однако межфазную поверхность между жидкостью, стекающей вниз по насадке абсорбционной колонны, и газом, поднимающимся по колонне, трудно измерить или рассчитать, так что она зачастую неизвестна. То же относится к распылительным скрубберам и аппаратам для жидкостной экстракции.
Чтобы найти выход из положения, когда величина межфазной поверхности неизвестна, вводится величина а — межфазная поверхность в единице объема контактного аппарата. Тогда количество переданного вещества на единицу объема аппарата выразится:
Количество переданного вещества , ч
к - a (xAs—хА). (63. 28)
Так как количество переданного вещества в единице и движущая сила легко измеримы, то вычисляемые на
экспериментальных данных по насадочным колоннам и подобным
объема основе
484
аппаратам коэффициенты относятся обычно к единице объема; неличины к -а, к-а. К-а и К-а выражаются в кмоль/м2 • ч.
В насадочных абсорбционных колоннах величина а не равна поверхности насадки в единице ее объема. Поверхность контакта между газом и жидкостью в единице объема колонны является функцией скоростей газа и жидкости ине обязательно изменяется в том же направлении, что и коэффициент конвективной массоотд ачи [152].
Определение размеров массообменного аппарата может быть проведено по уравнению, начиная с (33. 28) или подобных уравнений, включающих коэффициенты массоотдачи. Однако чаще всего расчет аппаратуры ведется на базе числа единиц переноса, определяемого по уравнению
z = HGnG, (33.29)
где z — высота аппарата; HG — высота единицы переноса (ВЕП); nG — число единиц переноса (ЧЕП).
Мы дадим здесь только понятие о единице переноса. Основания для методов расчета числа единиц переноса в контактном аппарате будут приведены в гл. 37.
Величина, обозначенная в уравнении (33. 29) через HG, определяется как
й0=7ГТ (33.30)
Я
У
и называется высотой единицы переноса для газовой фазы. Величина G есть мольный поток газовой фазы, отнесенный к площади поперечного сечения полой колонны. Для жидкой фазы мы имеем также
(33.31)
X
Общее число единиц переноса определяется аналогичными уравнениями:
Н<х> = ~^ (33'32)
* У
(33.33)
X
Целесообразность введения понятия единиц переноса объясняется тем, что высота единицы переноса имеет размерность длины. Уравнения вида (33. 30) — (33. 33) применяются для расчетов, когда движущая сила выражается в мольных долях. Однако приведенная зависимость имеет неизменную форму, так
485
что если движущая сила выражается через концентрации в кг/м\ мы получим
Н - “G = “G G k°na kQ~ a
Q Q
(33. 34)
где uG — линейная скорость газовой фазы, равная — или^- ; к? идентично к°- . Уравнения, подобные (33. 34), могут быть написаны для Я£, H0G и H0L.
В большей части литературных источников коэффициент массопередачи в газовой фазе выражается через разность парциальных давлений в качестве движущей силы:
(33-35)
Это приводит к определению Нг как —— ° kG ар
так как №, р Сг х
равнозначно к~.
Уравнения, приведенные в этой главе, можно применять к абсорбции, дистилляции, ректификации, жидкостной экстракции и другим процессам разделения. Индексы у и G относятся к газовой фазе, а х и L — к жидкой фазе; но если обе фазы являются жидкими, мы просто обозначаем одну из фаз как фазу у, а Другую — как фазу х. Например, в жидкостной экстракции мы обычно обозначаем фазу экстракта индексом у, а фазу рафината — х.
В экстракции из жидкостей и из твердых веществ принято выражать составы в массовых, а не в мольных долях. Все приведенные выше уравнения при этом упрощаются. Например, ВЕП для фазы у равна
Яс = ^, (33.36)
где
VUM) (33-37)
(33-38)
В случае, если сопротивления массопередаче даны через ВЕП, удобно использовать эти величины для непосредственного определения xAs и yAs. Уравнение (33. 22) принимает вид
Уа-Уаз xA~xAs
tfR=o.
О
(33. 39)
486
В гл. 34 и 35 мы рассмотрим применение дифференциальных и интегральных уравнений к ламинарному, а затем к турбулентному пограничному слою. Взаимодействие потоков будет аналогично взаимодействию, изученному в соответствующих главах по переносу количества движения и тепла, а результаты принято выражать через коэффициенты конвективной массопередачи. Но в гл. 36, где будут приведены некоторые коэффициенты, применяемые в расчете насадочных колонн и других аппаратов, будет показано удобство применения ВЕП. Будет также показано, что ВЕП для насадочных абсорбционных колонн имеет порядок 0,1—1,0 м, для жидкостной экстракции от 20 до 30 м, а для адсорбции газа 0,003 м. В гл. 37 мы рассмотрим расчет числа единиц переноса, а в следующих главах будет рассмотрен ряд процессов разделения.
Задачи.
33. 1. Газ содержит 70% мол. толуола при 80° С. Давление в системе изотермически повышается до тех пор, пока не начнется конденсация. Найти давление, при котором начнется конденсация, и состав первой капли конденсата.
33. 2. Газообразная смесь при 1 ат содержит 10% мол. «-гептана, 70% мол. «-гексана и 20% мол. водяных паров. Смесь охлаждается при постоянном давлении, пока не сконденсируется полностью.
а. Найти температуру, при которой начинается конденсация, и состав первой капли конденсата.
б. Найти температуру, при которой конденсация завершается, и состав последнего пузырька пара, прежде чем он сконденсируется.
Можно принять, что «-гептан и «-гексан образуют идеальный жидкий раствор, абсолютно не смешивающийся с водой. В следующей таблице приведены данные по упругости паров чистых компонентов в мм рт. ст.
Температура, °с
Компонент 50 60 70 80 90
Вода 90 150 230 355 525
н-гептан 150 ^20 310 435 590
н-гексан 410 584 815 1115 1420
33. 3. Абсорбционная колонна работает при температуре 20° С и среднем давлении 1 ат. Вода стекает вниз по колонне и поглощает сернистый газ из поднимающегося вверх газового потока. Вода, входящая в верхнюю часть колонны, не содержит сернистого газа, а уходящий газ содержит его 10% мол. в воздухе. В нижней части колонны вода содержит 0,7% мол. сернистого газа, а газовая фаза — 30% мол. сернистого газа. Коэффициенты массоотдачи и к - постоянны по высоте колонны и равны соответственно 19,5 и 1,5 кмоль! м* -ч, соответственно. Найти коэффициенты массопередачи К ~ и К ~ для верха и для низа колонны и, кроме того, равновесные составы для этих двух точек.
34. МАССОПЕРЕДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ
Массопередача в однофазном ламинарном потоке жидкости (газа) встречается лишь в немногих случаях. Основная причина этого заключается в том, что большая часть систем, в которых происходит массопередача, включает больше жидких (газообразных) фаз, чем одну, так что в зоне массообмена не образуется устойчивых ламинарных пограничных слоев. Однако встречается небольшое число систем, в которых массообмен происходит между твердым телом и жидкостью при наличии не только пограничного слоя, прилегающего к твердой поверхности, но и установившегося ламинарного движения массы жидкости.
Задача о массообмене между жидкостью и твердым телом подобна задаче о теплообмене между жидкостью и твердой поверхностью. Здесь нет обычно полной аналогии, но часто можно ввести такие упрощения, которые позволяют применить анализ теплопередачи к процессам массопередачи. Эта глава охватывает только массообмен в жидкости при ламинарном движении и соответствует гл. 24 о теплообмене в ламинарном потоке.
ЛАМИНАРНЫЙ ПОТОК, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ
В потоке жидкости над плоской пластиной существует гидродинамический пограничный слой, в котором скорость жидкости изменяется от нуля на поверхности пластины до скорости ядра потока на границе пограничного слоя. Если между жидкостью и пластиной происходит массообмен, то образуется также диффузионный пограничный слой, в котором концентрация растворенного вещества изменяется от равновесного значения на границе с твердым телом до концентрации, равной концентрации в потоке. Подобно тому как температурный и гидродинамический пограничные слои часто имеют разную толщину в одной и той же системе, диффузионный и гидродинамический пограничные слои
488
могут быть также разной толщины. На практике часто в одной и той же системе происходят и тепло-, и массообмен, так что могут существовать одновременно три вида пограничных слоев и все они могут иметь разную толщину.
Если движение ламинарное, то массопередача в направлении, нормальном к движению жидкости, происходит только в результате молекулярной диффузии и связанного с ней конвективного потока, рассмотренного в гл. 32. Дифференциальное уравнение материального баланса для многокомпонентной системы, в которой происходит диффузия, было выведено в гл. 9. Если уравнение (9. 21) записать для установившегося двухмерного потока бинарной смеси с постоянной плотностью, то получим
В случае отсутствия источников компонента А, если пренебречь диффузией в направлении х, уравнение (34. 1) примет вид
и -D (34 2)
их дх 1 иу ду ~UAB dyi • (64. z;
Это уравнение подобно упрощенному виду дифференциального уравнения для количества движения в двухмерном потоке жидкости с постоянной плотностью и вязкостью:
дих , диу л д2их
и*-дГ±и«-f = <34-3)
Решение последнего уравнения представлено графически на
.1 рис. 12. 8 в виде зависимости безразмерной скорости от у (~)2 (обычно обозначаемой через X).
Если коэффициент диффузии DAB и кинематическая вязкость v равны, то уравнения (34. 2) и (34. 3) становятся идентичными, за исключением зависимых переменных qa и их. Последние можно заменить в дифференциальных уравнениях безразмерными величинами так, чтобы граничные условия были подобными, причем этими новыми переменными служат — и ——— . Концентрате Qas““Qa0
ции qAs и qAo над пластиной и в потоке соответственно принимаются постоянными. Граничные условия для движения в пограничном слое над плоской пластиной при диффузии от пластины в поток следующие:
при у = 0 Qas~Qa Qas Qa о = 0; -^ = 0; u0
при у — оо Qas Qa Qas Qa о = 1; — г u0 ’
при х — 0 Qas Qa Qas Qa о = 1; __ | u0 “
489
Следовательно, для этого частного случая решения уравнений диффузии и количества движения становятся идентичными. Отсюда мы заключаем, что профили безразмерных концентраций и скоростей в пограничном слое одинаковы, поэтому диффузионный и гидродинамический пограничные слои имеют одинаковую толщину.
Существенно, что одним из требований, приводящих к описанным выше идентичным решениям, является равенство DAB и v. Частное уД— является безразмерным комплексом, известным v АВ
как число Шмидта и равным единице для рассматриваемого частного случая. Число Шмидта указывает на отношение между переносом вещества и количества движения, как и число Прандтля в отношении тепла и количества движения. Следует напомнить, что в гл. 24 уравнение теплового баланса было сопоставлено с уравнением количества движения и было установлено, что они идентичны при числе Прандтля, равном единице. Уравнения (34. 2) и (34. 3) аналогичны уравнению (24. 1). Приведенные граничные условия можно сравнить с данными на стр. 309.
Как уже указывалось, решение уравнения (34. 3) представлено графически на рис. 12. 8. Это графическое решение справедливо для уравнения (34. 2) при числе Шмидта, равном единице, но только в предельном случае, когда скорость диффузии приближается к нулю. Это вызвано тем, что решение, представленное на рис. 12. 8, получено в предположении, что скорость, нормальная к пластине uys, равна нулю. Если в установившемся состоянии происходит диффузия от пластины в поток, то составляющая скорости иу не может быть равна нулю на поверхности пластины, и только в предельном случае, когда иу& приближается к нулю, решение, представленное на рис. 12.8, может быть применено к массопередаче.
Решение уравнений (34. 2) и (34. 3), когда иу на плоской поверхности не равно нулю, находят преобразованием дифференциальных уравнений в частных производных в обычные дифференциальные уравнения типа (12. 68) и (12. 69) с помощью подобных преобразований:
/(,|) = 7SF' у Jb VU-g
В результате уравнение (34.2) приводится к виду
cP (л f -2-a-s~6a 'j
\ ^As-^At / Sc-/(n) а \ <> / = 0 /оz
6?Т)2 ‘ 2 * \ /
аналогичному уравнению (24. 3),
490
Для граничного условия, когда у = 0 (ц = 0), условие g ~ “ 0 Уже приводилось. Требование равенства нулю приводит к = 0, как видно из уравнения (12. 72). В гл. 12 и 24 UyS было равно нулю, так что уравнение (12. 73) привело к требованию, чтобы / (rj) также было равно нулю. В данном случае / (т)) =---. Так как /' (п) равно нулю, то / (п)
У XVUq
должно быть постоянной величиной, поэтому иу8 должно изме-няться как , чтобы применение преобразования было Спрауз X
ведливым.
При у — оо, как было показано, = 1,0. Так как
Qas Qa о
— = 1,0, то из уравнения (12. 72) следует = 1,0. Обсуж-Uq аХ\
давшиеся выше граничные условия суммируются следующим образом:
при у = 0 = ^31 = 0;
Qas-Gao dA
f (n) = (Re»)4» = const;
У xvuq uo
Qas Qa a df(x\) л при и = оо ——-------— =1; У 17 =1.
* Qa8-2ao
В первом граничном условии константа содержит множитель —2. Скорость на поверхности должна изменяться по соотношению const (34.5)
“0 (Rex)4»
Экерт и Дрейк [42] показали, что это условие достигается при постоянстве температуры и концентрации у стенки.
Графическое решение уравнения (34. 4) показано на рис. 34. 1 для бинарной смеси жидкостей при числе Шмидта, равном единице. Представлены как положительные, так и отрицательные значения параметра^-* (Re*)1^; положительные относятся к массово
передаче от пластинки к жидкости, а отрицательные — к массопередаче в обратном направлении. Кривая, для которой параметр равен нулю, относится к системе, в которой скорость массопередачи незначительна по сравнению со скоростью свободного потока. Эта кривая идентична с безразмерным профилем скоростей на рис. 12. 8. Она также идентична кривой для Рг = 1 на рис. 24. 1. При одновременной тепло- и массопередаче в движущемся
491
пограничном слое идентичность дифференциальных уравнений теплопередачи и диффузии и их граничных условий приводит к идентичным профилям температуры и состава, когда -||- = 1. Это отношение безразмерных комплексов легко приводится к отношению коэффициентов температуропроводности и молекулярной диффузии, известному как число Льюиса.
Результаты, показанные на рис. 34. 1, могут быть выражены через коэффициент массоотдачи к'. Скорость массопередачи между жидкостью и пластиной может быть записана посредством
Рис. 34. 1. Профили концентраций при массопередаче в ламинарном пограничном слое над плоской пластиной; Sc = 1 [59].
приравнивания значений TVA, определенных путем подстановки соответствующих величин в уравнения (30. 1) и (32. 20):
^А ~ (Qas~~Qa о) ~ АВ ("57“)у==0 “1“ §AsUys =
= (0as~ о) + (34. 6)
Найденный таким путем коэффициент kQ может быть записан как
// __ Dab (dQA )
G Qas Qa о ' 'у=о или
~~ &AB d (Qas Qa) (Qa$ Qa o) v=o. (34.7)
dy
492
Связь между kQ и kQ в некоторых частных случаях рассматривается в гл. 38.
О характере изменения коэффициента массоотдачи можно
сделать качественные заключения путем сопоставления уравнения (34. 7) с кривыми на рис. 34. 1. Системы, для которых параметр
(Rex)x/* отрицательный (массопередача идет от жидкости к пластинке), имеют большой угол наклона в начале координат (у = 0, ц = 0), соответствующий высоким коэффициентам массоотдачи. Системы, в которых этот параметр имеет высокое положительное значение (массопередача от пластины к жидкости),
имеют низкий наклон кривой у начала координат, что указывает на значительно более низкие коэффициенты массоотдачи.
Численное значение местного коэффициента массоотдачи
может быть рассчитано для жидкости с Sc = 1 путем измерения наклона у начала координат соответствующей кривой на рис. 34. 1 и применения уравнения (34. 7) для расчета k'Q. Для предельного случая иУ8 = 0, kQ = kQ — наклон в начале координат равен 0,33. Следовательно, мы можем записать:
д
(Qas~Qa) (Qas Qa о)
ду
^(Re*)4’.
Подставляя это выражение в уравнение (34. 7), получим
p^- = 0,33(Resc)/>. (34.8)
Для жидкости, у которой Sc отличается от единицы, кривые, подобные кривым на рис. 34. 1, могут быть получены путем решения уравнения (34. 4). В случае uys — 0 кривые, приведенные на рис. 24. 1, применимы к массопередаче, если ординату принимать за —— , а параметр Рг принимать за Sc. Получается
Qas Qa о
следующее приближенное выражение для коэффициента массоотдачи, соответствующее профилям концентрации на рис. 24. 1:
=0,33 (Rex)‘/*(Sc)*/*. (34. 9)
иАВ
я?
Безразмерный комплекс 77— известен как число Шервуда
UAB
и соответствует числу Нуссельта в теплопередаче. Методика и допущения, сделанные при выводе уравнения (34. 9), подобны методике и допущениям в анализе теплообмена в гл. 24, приведшим
493
к уравнению (24. 8). Как и уравнение (24. 8), уравнение (34. 9) применимо для Sc >0,6; кроме того, оба уравнения применимы только, если uys — незначительная величина.
Средние коэффициенты массоотдачи для пластины конечной длины могут быть найдены, если написать уравнение (34. 9) с величиной для бесконечно малого элемента поверхности и проинтегрировать по всей длине пластины. Эта методика показана в гл. 24 при определении средних коэффициентов теплоотдачи для плоской пластины на основании местных коэффициентов. Как и при рассмотрении теплопередачи, уравнение для среднего коэффициента отличается от уравнения для местного коэффициента множителем 2. Таким образом, получаем уравнение для среднего коэффициента
Shm = 0,66(Reb)‘/4Sc),/*, (34.10)
где среднее число Шервуда включает средний коэффициент массоотдачи для пластины длиной L.
Известно очень мало сообщений об экспериментальных исследованиях массопередачи от плоской пластины в противоположность многим исследованиям по теплопередаче. В недавней статье Кристиан и Кезиос [24] описывают измерения местных и средних коэффициентов для нафталина, возгоняющегося в поток воздуха, протекающего параллельно оси полого цилиндра. Их результаты показаны на рис. 34. 2. Прямые, проведенные по экспериментальным точкам, описываются уравнениями, отличающимися от уравнений (34. 9) и (34. 10) только коэффициентами, равными соответственно 0,339 и 0,678. Можно было бы ожидать, что эти результаты несколько отличаются от уравнений для плоской пластины из-за кривизны поверхности. Однако для выбранных цилиндров (диаметры 19 и 25,4 мм) радиус кривизны был настолько велик по сравнению с толщиной пограничного слоя, что полученная характеристика оказалась такой же, как для плоской пластины. Число Шмидта для системы воздух — нафталин было равно 2,40.
В системах с пограничным слоем, где происходит одновременная тепло- и массопередача, а Рг = Sc = 1,0, профили безразмерной температуры также изображаются кривыми рис. 34.1. Выводы относительно коэффициентов массоотдачи можно распространить на коэффициенты теплоотдачи. Скорость теплопередачи от потока горячего газа, протекающего над плоской пластиной, уменьшается вследствие массопередачи в пограничный слой с поверхности пластины. Одним из способов доказательства этого является нагнетание второго газа через пористую плоскую пластину в пограничный слой. При высокой скорости потока может происходить сублимация самой пластинки, сопровождающаяся не только поглощением скрытой теплоты сублимации, но и сни-494
жением коэффициента теплоотдачи в результате только что рассмотренного эффекта массообмена. Этого эффекта можно добиться проще, путем испарения жидкости с поверхности пластины.
Рис. 34. 2. Местные и средние числа Шервуда для сублимации нафталина в воздух в ламинарном пограничном слое [24].
1 — местные значения (зс); 2 — средние -значения (т).
Противоположный эффект повышения коэффициента теплоотдачи иллюстрируют высокие коэффициенты массоотдачи, наблюдающиеся при охлаждении пара до температуры насыщения вблизи поверхности, на которой происходит конденсация.
МАССОПЕРЕДАЧА ПРИ РА ВИТОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ТРУБЕ
Установление диффузионного пограничного слоя на плоской пластине подобно установлению профиля концентраций вблизи входа в трубу. Когда пограничный слой стабилизируется у поверхности трубы, говорят, что движение развито. Если парциальное давление диффундирующего компонента у стенки постоянно, профиль концентраций в трубе, в конце концов, становится плоским. Это условие может быть достигнуто в трубе, внутренняя поверхность которой покрыта каким-либо веществом, растворимым в потоке. Оно может быть достигнуто также в очень высокой колонне со смоченными стенками, работающей таким образом, что жидкость, стекающая вниз по колонне, будет иметь постоянную температуру по всей длине и, следовательно, постоянную Упругость пара. Иное граничное условие достигается, если стенки трубы являются пористыми, а растворенное вещество нагнетается сквозь стенки с постоянным расходом на единицу поверхности по всей длине трубы.
495
Два описанных выше метода работы аналогичны граничным условиям постоянной температуры стенки и постоянного теплового потока в теплообменных системах. Мы видели ранее в этой главе, что дифференциальные уравнения молекулярной диффузии вещества и теплопроводности подобны. Мы видели также, что в массообменных системах, в которых скорость, нормальная к стенке, мала в сравнении со скоростью свободного потока, закономерности массопередачи аналогичны закономерностям теплопередачи при отсутствии переноса вещества. Вследствие этого результаты по теплопередаче в трубе, приведенные в гл. 24, могут быть использованы для расчета коэффициентов массопередачи простым замещением числа Нуссельта числом Шервуда, а числа Прандтля числом Шмидта в решениях для теплопередачи. Решение для местного числа Шервуда может быть получено по рис. 24. 3 либо для однородного потока, либо для однородной концентрации у стенки для потоков с плоским и параболическим профилями. Решения для среднеарифметической и среднелогарифмической движущей силы можно получить из рис. 24. 4.
ДРУГИЕ СИСТЕМЫ
Массопередача в жидкости может вызвать разность плотностей, которая приведет к естественным конвективным токам, подобным естественной конвекции при теплопередаче. Коэффициенты конвективной массопередачи могут быть рассчитаны по уравнениям, применяемым для теплопередачи, путем замены чисел Нуссельта и Прандтля на числа Шервуда и Шмидта соответственно. Число Грасгофа для массопередачи имеет вид
Массопередача происходит также путем молекулярной диффузии внутри капель, где могут преобладать различные условия, изменяющиеся от полной неподвижности до полного перемешивания. Промежуточным является состояние, при котором внутри капель устанавливается циркуляция с вязким движением. Анализ этого частного случая массопередачи в ламинарном потоке будет рассмотрен в гл. 36, где будут проанализированы одновременно все схемы жидкостных токов и их влияние на массопередачу внутри капель.
Задачи
34.. 1.. Тонкая пластинка нафталина толщиной 2,5 мм и площадью 25,8 см* помещена в поток воздуха параллельно направлению потока. Воздух с температурой О9 С и давлением 1 ат движется ламинарным потоком со скоростью 15,2 м!сек> В течение какого времени нужно выдерживать пластинку в воздушном потоке, чтобы вес ее уменьшился наполовину? Можно принять, что верхняя и нижняя поверхности пластинки остаются в процессе сублимации плоскими. Коэффициент молекулярной диффузии для системы воздух — нафталин равен 0,0185 м*/ч, а число Шмидта в условиях данной 496
задачи равно 2,57., Упругость паров нафталина при 0° С равна 0,0059 мм рт. ст. Перепад температур между воздухом и нафталином в результате сублимации нафталина можно считать пренебрежимо малым. Сублимацией с торцов пластины можно пренебречь.
34. 2. Колонна со смоченными стенками, в которой воздух протекает противотоком к воде, изготовлена из трубы диаметром 150 мм. Вода, стекающая тонкой пленкой по внутренней поверхности, рециркулирует до тех пор, пока не достигнет адиабатической температуры насыщения системы (15,6Q С). Требуется найти длину трубы, необходимую для достижения относительной влажности выходящего газа 90%. Физические свойства газа в системе можно принять теми же, что на входе воздуха в систему (рабс = = 1 am, t = 26,7° С). Входными эффектами можно пренебречь, а профиль скоростей воздуха можно принять плоским. Скорость воздуха относительно воды равна 9 м/сек.
32 Заказ 519.
35. МАССОПЕРЕДАЧА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ДВИЖЕНИИ
Для понимания механизма массопередачи в турбулентном потоке можно использовать многое из аналогичных исследований теплопередачи в турбулентном потоке. Аналогия между тепло-и массопередачей очень полезна, но следует учитывать ее ограниченность, особенно при применении к турбулентному потоку.
В этой главе мы рассмотрим массопередачу в турбулентном потоке примерно тем же методом, каким мы пользовались при рассмотрении теплообмена в турбулентном потоке (гл. 25). Целесообразно рассмотреть массопередачу в турбулентном пограничном слое у плоской пластины ввиду небольшого, но все возрастающего числа непосредственных применений этой теории. Более важная причина состоит в том, что это изучение приводит к пониманию массопередачи при движении над поверхностями более сложной геометрической формы. Мы рассмотрим также классические аналогии переноса тепла, массы и количества движения между жидкостью и внутренней стенкой трубы. Наконец, мы проанализируем теорию проницания, базирующуюся на некоторой модели процесса. Замечательная особенность этой теории заключается в том, что она описывает массопередачу (и теплопередачу) между двумя жидкими фазами. Это отличает ее от большей части теорий переноса, которые в большей или меньшей степени ограничены применимостью к обмену между жидкостью и твердой фазой.
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОТОК, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЛОСКОЙ ПЛ А С ТИНЕ
Уравнения массопередачи в турбулентном пограничном слое нельзя решить аналитически. Однако, подобно задачам переноса тепла и количества движения, задачи массопередачи могут быть решены путем применения интегрального метода Кармана. Решение подобно приведенному в гл. 25, но оно будет дано с некоторы-498
ми деталями, так что сделанные допущения будут очевидны.
Скорость в турбулентном пограничном слое выражается хорошо известным эмпирическим уравнением (13. 95):
ц* _ / у \ 6 )
Это выражение было установлено для турбулентного движения в пограничном слое без массопередачи, так что применение его в этом выводе, вероятно, ограничено системами с низкими концентрациями диффундирующего компонента.
Предполагается, что профиль концентраций в пограничном слое следует аналогичному уравнению
=/jLy/> (351)
бАв-еЛо
Мы предполагаем, что число Шмидта равно единице, так что толщина гидродинамического пограничного слоя б равна толщине диффузионного пограничного слоя на любом расстоянии х от передней кромки пластины. Концентрация диффундирующего компонента у поверхности пластины принимается постоянной во всех точках пластины, и предполагается также, что никакого перехода компонента В из пластины в пограничный слой не происходит.
Материальный баланс для компонента А записывается для контрольного объема, показанного на рис. 35. 1. Молекулярная Диффузия в направлении х принимается незначительной по сравнению с переносом благодаря движению жидкости в этом направлении. Градиентов скорости и концентрации в направлении z не существует.
Результирующее количество растворенного вещества, входящего через нижнюю поверхность А4, равно количеству растворен
32* 499
ного вещества, уходящего через верхнюю поверхность А3 и поверхности Аг и Л2 в установившемся режиме. Потоки записываются при помощи уравнения (3. 1):
ff qau cos a dA + ff qau cos a dA + ff qa qu cos a dA = Ai Аг As
(35.2)
a4
На поверхности A± и cosa — —ux, а на поверхности Л2 ucosa = их, поэтому
ff Qau* dA+ff Qa ou cos a dA - ff $aux dA =
A. 3 -A 1
= ffk0^AS~QA0)dA- (35.3)
A4
Чтобы исключить член, содержащий поток растворенного вещества через поверхность А3, мы запишем полный материальный баланс для контрольного объема
ff qux dA - ff qux dA + ff qu cos a dA = ff kQ (qAs - qa o) dA.
As Ai As A<
(35. 4)
Ограничим наш анализ разбавленными растворами, где концентрация диффундирующего компонента низка, и можно полагать, что плотность жидкости одинакова по всему, пограничному слою. Следовательно, можно разделить каждый член уравнения (35. 4) на плотность q и умножить на§Ао, которая также постоянна. Результаты этих действий показаны в уравнении (35. 5), которое решено относительно потока через поверхность А3: ч
fjeAOMCOSarf4=jf QA»UxdA~ff QA0U*dA + А$ Ai A>
(35.5)
At
Уравнение (35. 5) подставляется затем в уравнение (35. 3), что дает
J/ (6а “ 6а о) их dA - ff (Qa “ Qa о) ux dA =
At Ai
(35.6)
At
500
Все поверхности имеют одинаковую ширину в направлении z; ни одно из переменных не является функцией и, так что уравнение (35. 6) может быть записано как сумма простых интегралов:
62 Ci
j* (Qa-6ao) “х^-J (еА~еА<М^= о о
х2
-Лмел.-ел.)](‘--^К <35.7>
. Xi .
Когда длина х2 — хг приближается к нулю, левая часть уравнения (35. 7) приближается к величине дифференциала. Правая часть применима к сегменту конечной ширины в направлении z, но бесконечно малой ширины dx в направлении х, поэтому
д
d f(QA-QAo)uxdy
.0
откуда4
(35.8)
(б ' \
f 8—
J qas~Qaq I q-Qao о /
(35. 9)
Член под знаком интеграла, содержащий концентрацию, может быть переписан как
бА-бА, =1------Qas^QA^/I^4’' (35 10)
Qas Qa о Qas Qa о \ о /
Местная скорость равна
ux = u0(-|),/7. (35.11>
Уравнения (35. 10) и (35.11) подставляются в уравнение (35. 9} и интегрируются как в гл. 25. В результате получаем
‘« = ТГ-Е-7=177- . (35'12>
В гл. 13 в уравнении (13. 102) было установлено, что толщина пограничного слоя равна
5 = 0,376 ж (Веж)'“-
Дифференцируя это уравнение, находим
^- = 0,301 (Rex) "S’. (35.13)
501
Это выражение подставляется в уравнение (35.12) и тогда к0 = 0,0292 и0 (йеж) - — . (35
Величина----S---в уравнении (35. 14) составляет лишь незна-
2 2 а о
чительную долю kQ в разбавленных растворах. Если диффундирующего компонента нет в свободном потоке, эта величина равна единице. В случае, когда переносимый от пластины объем незначителен, ---2--не входит в уравнение (35. 14). Для этого част-
2 2а о
ного случая, как было условлено в гл. 33, значение, полученное для kQ, обозначается через А®. Мы получаем решение, аналогичное решению для теплопередачи в гл. 25. Обе части уравнения хил о ц,
умножаются на —д— и -jgy— ; тогда
= 0,0292 (Вея) л Sc. (35.15)
иАВ
Первоначально предполагалось, что число Шмидта равно единице, так что можно было считать, что диффузионный и гидродинамический пограничные слои имеют одинаковую толщину. Тогда уравнение (35. 15) можно записать как
= 0,0292 (Rex)4/‘, (35.16)
иАВ
что аналогично уравнению (25. 15) для местного коэффициента теплоотдачи при турбулентном потоке над плоской пластиной.
КОЭФФИЦИЕНТ ВИХРЕВОЙ ДИФФУЗИИ И ДЛИНА ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Коэффициенты турбулентной кинематической вязкости ve и турбулентной температуропроводности ае определяются уравнениями (13. 37) и (25. 21). При выводе этих уравнений указывалось, что подобная величина, известная как коэффициент турбулентной диффузии DABe, может быть определена в уравнениях массопередачи при турбулентном потоке. Вывод для DABe проводится для системы, изображенной на рис. 35. 2. Скорости и концентрации показаны для двух точек, находящихся друг от друга на расстоянии, равном длине пути перемешивания I по Прандтлю. Жидкость перемещается между двумя точками со скоростью |иу|, в то время как компонент А передается с массовой скоростью, отнесенной к единице поверхности и равной произве-
502
I ' 1 7 d$A
дению скорости на разность концентрации — | иу | • I • Этот прием уже применялся в гл. 13 и 25. В гл. 13 было показано, что составляющая пульсационной скорости | иу | может быть выражена уравнением (13. 40) через длину пути перемешивания и градиент скорости:
dux dy
Таким образом, скорость массопередачи благодаря турбулент-
ному переносу равна
ЛГа = -/2 (35.17)
A dy dy v f
Ранее было показано, что
величина Z2
dux dy
равна коэф-
фициенту турбулентной кине-
матической вязкости, а также коэффициенту турбулентной температуропроводности. Приведенный выше вывод пока-
Рис. 35. 2. Турбулентный перенос массы.
зывает, что она является так
же коэффициентом пропорцио-
нальности в уравнении для турбулентной массопередачи. Следовательно, она может называться коэффициентом турбулентной диффузии и, по аналогии с коэффициентом молекулярной диффузии Dab, будет обозначаться через DABe. Уравнение потока массы в результате объединенной молекулярной и турбулентной диффузии имеет вид
+ (35-18)
Коэффициент турбулентной диффузии в системе, ограниченной твердой стенкой, является функцией расстояния от стенки, поскольку последняя влияет на характер турбулентности в прилегающей к ней жидкости. В ламинарном подслое длина пути перемешивания и DABe обычно принимаются равными нулю. Но вдали от стенки DАВе обычно намного больше, чем DAB, так что в этой области коэффициентом молекулярной диффузии часто можно пренебречь.
Допущение, что DАВе, ае и ve идентичны, часто делается в теоретических выводах, хотя модель, лежащая в основе этого положения, слишком упрощенная. Экспериментальные работы 503
показывают, что эти величины одного порядка, но не равны между собой.
Шервуд и Вюрц [151] исследовали диффузию водяных паров от одной плоской стенки к другой сквозь потоки воздуха, гелия и углекислого газа. Величины DABe и ve определялись по замерам профилей концентраций и скоростей по оси прямоугольного канала. Как указывалось в предыдущих главах, сравнение пере-и do носа тепла и количества движения дает пределы значении — Уе от 0,5 до 2,0. На рис. 25. 4 показано*, что эта величина изменяется с изменением расстояния от стенки и является функцией DAB
числа Рейнольдса; поэтому, казалось бы, --- будет вести себя
Ve &
подобным образом. В работе Шервуда и Вюрца отношение --Ве
Ve было приблизительно постоянным и равным 1,6 при 2000 < Re < < 120 000. Никаких значений для точек, не лежащих на осевой линии канала, не приводится, но, вероятно, следует ожидать некоторого их изменения с изменением положения точки.
Интересное применение теории турбулентного движения можно найти при рассмотрении влияния проволочных сеток на коэффициент турбулентной диффузии. Как подчеркивает Хинце [64], наличие решетки уменьшает масштаб турбулентности в жидкости вниз по течению от сетки, но вызывает повышение интенсивности турбулентности. Если отверстия сетки достаточно малы, то результирующее действие состоит в уменьшении коэффициента турбулентной диффузии. По-видимому, уменьшение масштаба турбулентности оказывает в этом случае большее воздействие на уменьшение Т)АВе, чем увеличение интенсивности — на его увеличение. Таким образом, сетка, вставленная в поток для увеличения скорости смешения, на самом деле может привести к снижению скорости смешения.
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ПЕРЕНОСОМ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И МА ССОПЕРЕДА ЧЕЙ
Хотя Рейнольдс занимался только аналогией между теплопередачей и переносом количества движения, уравнения, которые называются аналогией Рейнольдса, легко можно распространить и на массопередачу. Это относится также к уравнениям Прандтля и Тейлора, Кармана и т. д., которые были выведены или упоминаются в гл. 25. В этом разделе мы рассмотрим главным образом зависимости между массопередачей и переносом количества движения. Зависимости между тепло- и массопередачей можно, при желании, получить путем объединения уравнений массопередачи из этой главы и уравнений теплопередачи из гл. 25.
Пропорциональность переноса массы переносу импульса, приводящую к аналогии Рейнольдса, можно получить, анализируя 504
движение жидкости по трубе. Рассмотрим следующие выражения для потоков и скоростей:
а) поток массы из жидкости к стенке трубы при незначительном радиальном потоке (хА — хА^, кмоль/м2 • ч;
б) поток импульса у стенки т8, кг/м • ч2;
в) скорость, с которой масса, предназначенная для радиального* переноса, проходит параллельно стенке трубы (xa~~xas^
кмолъ/ч;
г) скорость переноса импульса параллельно стенке трубы Wub, кг/ч • м/ч.
Постулируется, что эти величины связаны пропорцией
а Ъ с d '
откуда следует, что
= (35.19)
В гл. 13 было показано, что сила сдвига у стенки трубы связана с коэффициентом сопротивления уравнением (13. 67):
/«go 2 .
Если уравнение (13, 67) подставить в уравнение (35, 19), мы получим
(35.20>
где — средний молекулярный вес жидкости в трубе. Объединяя уравнения (25. 19) и (35. 20), мы установим зависимость между коэффициентами тепло- и массоотдачи:
<35-2‘>
Это выражение иногда называют критерием Льюиса.
Уравнения (35. 20) и (35. 21) можно также вывести аналитически. Такой вывод приведен в гл. 25 в противовес интуитивному утверждению о пропорциональности между переносом тепла и количеством движения. Аналогичным выводом с аналогичными допущениями можно получить приведенные выше уравнения, связывающие коэффициент сопротивления с коэффициентами тепло-и массоотдачи.
Особенность аналитического вывода заключается в том, что он обнажает допущения, которые должны соблюдаться для получения правильного ответа. Одно из этих допущений сводится
505»
к предположению, что поток массы описывается той же радиальной функцией, что и усилие сдвига:
т _ _ i__L
*AS ‘ -ri
(35.22)
Как видно из этого уравнения, если------- является функцией
радиального положения, то первые две части, по-видимому, не равны.
Другое допущение в аналитическом методе заключается в том, что молекулярные DAB и v незначительны по сравнению с турбулентными. Это ограничивает применимость аналогии Рейнольдса к турбулентному ядру только случаями, когда число Шмидта для жидкости равно единице. По определению Sc = , по-
этому при Sc = 1 имеем v = DAB. Если, кроме того, ve — DABe, т?о уравнение (35. 20) можно получить, не пренебрегая коэффициентами молекулярного переноса. Для жидкости с Sc = 1, -следовательно, аналогия Рейнольдса применима не только к турбулентному ядру, но также и к ламинарному подслою. Аналогично, если а = Dab, то уравнение (35. 21) может быть выведено для -системы, содержащей области как ламинарного, так й турбулентного движения.
Более сложные формы аналогии между переносом массы и количества движения также повторяют формы, приведенные в гл. 25. Выводы подобны, так что .здесь будут даны лишь немногие их детали. В анализе Прандтля — Тейлора принимается, что только молекулярный перенос массы и количества движения играет роль в ламинарном подслое. В турбулентном ядре применима аналогия Рейнольдса. Затем две серии уравнений объединяются, что приводит к уравнению общего потока массы, из которого получается
fut>Q ________2_________
1 + 5 j/-^-(Sc-l)
(35. 23)
После умножения обеих частей этого уравнения на — оно
Q^ab
преобразуется к виду
к^М D х т Q&AB
1+5 v4-(sc-i)
(35.24)
506
или
-L Re Sc
Sh =-------. (35.25)
1 + 5 ]/-|-(Sc-i)
Так как через D обозначен диаметр трубы, то к последней и относится число Re; плотность жидкости q подразумевается kQ- Мт средняя по сечению трубы, выраженная в кг1м\* Величина —
RT может быть выражена как , если среда является идеальным длина _ л
газом; она имеет размерность , как и .
Аналогия Кармана также может быть выражена через пере* нос массы и количества движения. Уравнением, сопоставимым с уравнением (25. 41), является
Sh
у Re Sc
1 + 5 ]/у {Sc“1 + ln ~^6~"h}
(35.26)
Безразмерные группы в уравнении (35. 26) содержат те же самые переменные, что и уравнение (35. 25).
Одной из конечных форм аналогии является эмпирическая зависимость для j-фактора, предложенного Кольборном, которая рассматривалась также в гл. 25. Эта аналогия может быть записана для массопередачи как
О
ОС ТП
UbQ
Sct/3 = 7M = f
или в безразмерных группах
Sh л =Х
Re Sc1/’ 'м 2 *
(35. 27)
(35. 28)
Член jM известен как фактор массопередачи. В гл. 25 подчеркивалось, что для систем, в которых сопротивление формы отсутствует, jM — jH = 1-, при наличии сопротивления формы сохраняется лишь равенство между / и jH /Сущность зависимости для /-фактора состоит в том, что член Sc2/s предлагается как простая эмпирическая замена сложного знаменателя в правой части уравнения Прандтля — Тейлора (35. 25) и уравнении Кармана (35. 26). Как и в случае уравнений теплопередачи, все показанные здесь виды аналогии упрощаются до аналогии Рейнольдса при Sc = 1.
507
ТЕОРИЯ ПРОНИЦАНИЯ
Теория проницания в массопередаче была впервые предложена Хигби [62] для объяснения механизма массопередачи от границы раздела газ — жидкость в жидкость. Методы анализа, которые мы привели до сих пор, равносильны описанию переноса через неподвижную границу раздела. Теория проницания применяется, кроме того, к переносу через границу раздела жидкость — жидкость, которая может и не быть неподвижной.
Сделанные раннее замечания о механизме массопередачи между фазами получены на основе концепции неподвижной пленки каждой жидкости, примыкающей к границе раздела. Хотя было известно, что устойчивой жидкой пленки в действительности не существует в большинстве систем с массопередачей, эта концепция неподвижной пленки неопределенной толщины, сравнимой с вязким подслоем в движущемся пограничном слое, была основой большинства моделей массопередачи. Предполагалось, что масса переносится в этой пленке путем молекулярной диффузии, согласно уравнениям установившейся массопередачи. Эта теория привела к определению коэффициентов массоотдачи через коэффициенты диффузии и толщину пленки. В этой книге мы почти всегда приводили коэффициенты переноса для отдельных фаз в турбулентном потоке как эмпирические величины без ссылки на пленочную теорию. В большей части случаев, подобных потоку над плоской пластиной, мы видели, что неподвижной пленки не существует. Количество вещества, передаваемого от пластины в пограничный слой, переносится нормально к пластине путем диффузии и параллельно пластине благодаря движению жидкости. Однако пленочная теория была использована в гл. 33, чтобы получить зависимость между к~ и для турбулентного потока [см. уравнения (33. 23) и (33. 26)].
Хигби предположил, что основной механизм массопередачи включает движение турбулентных вихрей из ядра потока к границе раздела, сопровождающееся кратковременными периодами нестационарной молекулярной диффузии от границы раздела в жидкость, прежде чем ее сменят на поверхности последующие вихри. Средняя скорость массопередачи, согласно этой модели, зависит от времени существования вихря на поверхности и полного количества диффундирующего компонента, которое передается ют границы в вихрь за это время.
Хигби предположил, что все вихри, которые достигают поверхности, имеют одну и ту же продолжительность существования. В течение этого времени диффузия в вихрь выражается уравнением, представляющим собой упрощенную форму уравнения /о 22V
508
Граничными условиями являются:
!) 6а = 64 0’ т = °;
2) 6a = 6aS’ т>0’ У = °;
3) ед = ело’ у=со-
Концентрация на поверхности gAs и концентрация на большом расстоянии от поверхности qAo постоянны. Уравнение (35. 29) имеет обычный вид; оно было уже решено в примере 21. 2 для нестационарной теплопроводности и в примере 32. 3 для нестационарной диффузии. Но в этих задачах речь шла о пластинах
Рис. 35. 3. Интегральная функция вероятности Гаусса, изображающая нестационарную диффузию; к уравнению (35. 30).
конечной толщины, в то время как граничное условие 3) в настоящей задаче представляет собой условие диффузии в среду бесконечной толщины. Задача решается следующим образом:
gAt~CA = ег{ у '
Qas~Qa» 2V^xDab'
(35. 30)
где
Z erfz — /z. fe"z2dz.
Г л J о
Правая часть уравнения является табличной функцией, известной как интеграл вероятности Гаусса, и ее значения можно найти в большей части сборников математических таблиц. Графическое изображение функции показано на рис. 35. 3. Схематическое
509
изображение градиентов концентрации, полученных по этому методу, показано на рис. 35. 4 для единичного вихря.
Скорость диффузии от поверхности, если мы пренебрежем
членом с конвективным переносом, равна
*a = ~DaB
(35. 31)
Функция в уравнении (35. 30) при дифференцировании и подстановке в уравнение (35. 31) дает
Рис. 35.4. Схематическое изображение градиентов концентрации для единичного вихря.
(35.32)
Полное количество растворенного вещества, переносимого с,единицы межфазной поверхности за время контакта тс, определяется путем интегрирования х
о о
XcDAB л;
= 2(Qas~Qa
(35.33)
Средняя скорость на протяжении времени тс определяется путем деления полного количества перенесенного растворенного вещества на тс, что дает
(35. 34)
510
Из сопоставления уравнения (35. 34) с уравнением (34. 6), определяющим коэффициент массоотдачи в установившемся состоянии, мы получим
(6а$““ 6а о) = 2 (6as“ 6а о) ’
откуда
IDArt
(35.35)
Это уравнение не имеет большого значения как метод расчетного определения kQ, так ^ак среднее время контакта вихря с границей раздела тс обычно неизвестно. Наиболее важный вывод, который можно сделать из уравнения (35. 35), состоит в том, что по теории проницания коэффициент массоотдачи должен быть пропорционален квадратному корню из коэффициента молекулярной диффузии. Большая часть зависимостей для массопередачи имеет вид
Sh = aRebScc. (35.36)
Коэффициент молекулярной диффузии DАВ входит в первой степени в знаменатель числа Шервуда. Поскольку DAB входит также в знаменатель числа Шмидта в первой степени, то показатель степени с должен иметь значение 0,5, дабы Ло был пропорционален D'/b-
Если принять концепцию неподвижной пленки как контролирующего сопротивления массопередаче, то коэффициент массоотдачи должен быть связан с DAB уравнением1
(3S-3?)
где бт — эквивалентная толщина пленки. Это уравнение эквивалентно уравнению (33. 24). Зависимость к$ от DAB в первой степени дает нулевое значение показателю степени с в уравнении (35. 36). Большая часть экспериментальных работ указывает на то, что величина с ближе к 0,5, чем к нулю; это подтверждает мнение о том, что теория проницания более точно представляет механизм массопередачи между фазами, чем теория неподвижных пленок.
Теория проницания была модифицирована Данквертсом [32]. Последний предположил, что продолжительность существования отдельных элементов поверхности раздела неодинакова и что средняя скорость массоотдачи зависит от распределения элементов поверхности по «возрастным группам». Средняя скорость
1 В этом обсуждении теории проницания не учитывается перенос вещества объемом потока, так что kQ и идентичны.
511
абсорбции определяется умножением доли поверхности, имеющей возраст т, на мгновенную скорость абсорбции для поверхности этого возраста и последующим суммированием этого выражения для всех элементов поверхности. Данкверте предложил функцию распределения Ф(т), по которой доля поверхности, имеющей конечный возраст от т до т + dx, равна Ф (т) • dx. Мгновенная скорость абсорбции для элемента определяется уравнением (35. 32), так что мгновенная скорость для всех элементов, имеющих возраст от т до т + с/т, равна
ф(т)(еА8-ел.)(^)/’^-
Суммируя по всем возрастам от т = 0 до х — оо, мы получим мгновенную скорость через единицу межфазной поверхности:
»л= (35-38)
tj \ /
о
Данкверте учитывал возможность отсутствия связи между возрастом элемента и вероятностью его замещения. Это распределение по возрасту представлено функцией Ф (т) вида
ф(т) = $е’5Х, (35.39)
где s — частичная скорость обновления поверхности (размерность ее — обратная размерности времени). После подстановки этого выражения в уравнение (35. 38) получается
1 . оо
О
= (8A.-eA.)(»O„)''’- (35.40)
Это уравнение можно объединить с уравнением, определяющим коэффициент массоотдачи kQ, и тогда
\ ^аз~$а о) = (6as- Qa о) (5/)ав)‘Л>
откуда
(35-41)
Константу s нужно определять экспериментально, так что уравнение (35. 41) не дает прямого метода расчета к$. Оно лишь подтверждает зависимость между к$ и квадратным корнем из полученную Хигби.
Хотя первые приложения теории проницания были ограничены массопередачей на границе раздела газ — жидкость, она имеет, вероятно, одинаковую ценность и как механизм переноса тепла [164]. Предполагалось также, что она характеризует механизм переноса в жидкости, омывающей твердое тело. Джонсон и Хуанг 512
[75] измеряли скорость растворения твердых органических веществ в аппарате с мешалкой и установили, что коэффициент
массоотдачи связан с коэффициентом диффузии уравнением, подобным уравнению (35. 36), в котором значения с изменялись от 0,422 до 0,526. Ханратти [58] также показал, что теория проницания отражает массопе-редачу вблизи твердой поверхности. На рис. 35. 5 проведено сравнение безразмерных профилей концентрации, построенных Ханратти для массоотдачи от жидкости к твердому телу. Штриховая линия представляет уравнение
Рис. 35. 5. Сопоставление профиля концентраций с рассчитанным по теории проницания [58].
1 — Хигби; 2 — Данкверте.
Хигби, основанное на одинаковом возрасте для всех элементов. Результаты Данквертса, предполагающие распределение по возрасту, показаны сплошной линией.
МЕЖФАЗНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Несмотря на то, что обмен растворенным веществом между неподвижными несмешивающимися жидкостями происходит, как можно ожидать, исключительно путем молекулярной диффузии, установлено, что в ряде систем наблюдается спонтанная межфазная турбулентность. Влияние последней заключается в том, что она обусловливает намного более высокие скорости массопередачи, чем получаемые исключительно молекулярной диффузией. Последняя статья Стернлинга и Скривена [160] содержит обзор большого числа опубликованных случаев, подтверждающих это явление. Например, если осторожно налить поверх воды слой 10%-ного раствора метанола в толуоле, то появится мутная эмульсия капель воды в органической фазе, но водная фаза остается прозрачной. Приведено большое количество других примеров и описаны разные виды наблюдавшейся межфазной турбулентности. Отмечено, что никаких явлений на границе раздела жидкость — жидкость не наблюдается, если отсутствует растворенное вещество. Стернлинг и Скривен объясняют турбулентность гидродинамической нестабильностью, вызванной флуктуациями межфазного натяжения, связанными с массопередачей через границу раздела.
33 Заказ 519.
513
Задачи
35. 1. Вывести уравнение для среднего числа Шервуда для плоской пластины, вдоль которой от передней кромки простирается пограничный слой.
35. 2. Повторить задачу 34. 1 для пластины шириной 100 мм и длиной 600 «иль предполагая, что переход от ламинарного пограничного слоя к турбулентному происходит при Rex = 3*10б.
35. 3. Чаша, заполненная водой, помещена в воздушном потоке, имеющем скорость 4,5 м/сек. Чаша чрезвычайно широкая, имеет длину 2,4 м в направлении воздушного потока и одинаковую во всех точках глубину слоя воды 13 мм. Вода в чаше имеет постоянную температуру 15,6е С, а содержание влаги в воздухе вдали от чаши равно 0,005 кг коцът на 1 кг воздуха. Найти время, необходимое для испарения всей воды из чаши. Перечислить все допущения, которые нужно сделать для решения задачи. Кинематическая вязкость воздуха равна 0,158-10"4 мЧсек', DAB = 0,26 X Х10“4 мЧсек. Переход к турбулентному пограничному слою происходит при Rex = 3 *10б.
36. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНВЕКТИВНОЙ МАССОПЕРЕДАЧИ
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
К МА ССОПЕРЕДА ЧЕ
В двух предшествующих главах мы вывели ряд уравнений для расчета коэффициентов конвективной массоотдачи в системах с ламинарным и турбулентным потоком. Как и при исследовании теплопередачи, мы видели, что эти уравнения можно получить тремя способами: 1) аналитическим решением основных дифференциальных уравнений, 2) интегральным методом Кармана и 3) классической аналогией Рейнольдса с последующими уточнениями, основанными на знании режимов движения вблизи твердой поверхности. Кроме* того, мы рассмотрели теорию проницания, которая основывается на принципе обновления поверхности и которая кажется нам особенно приемлемой для описания массопередачи между двумя жидкими фазами.
Еще одним способом получения уравнений для расчета коэффициентов массоотдачи является применение анализа размерностей. Поскольку этот метод можно применить как к ламинарным, так и к турбулентным системам, его лучше рассмотреть в этой главе, чем в любой из двух предыдущих глав.
Принципы и методы анализа размерностей рассматривались детально в гл. 14 и были проиллюстрированы примерами в гл. 14 и 26. Следующий пример показывает применение методов анализа размерностей к массопередаче.
Пример 36. 1
Принципы анализа размерностей будут применены для определения безразмерных групп, которые могут войти в уравнение для расчета коэффициента массоотдачи kQ для жидкости в вертикальной трубе. Предполагается, что обмен веществом между жидкостью и стенкой трубы происходит вследствие разности концентраций ДрА. Жидкость в трубе может двигаться либо в результате естественной конвекции, связанной с разностью плотностей, либо в результате вынужденной конвекции.
33* 515
Список выбранных переменных приведен ниже. Они содержат только три основные размерности: длину [L], массу [М} и время [т]. Поскольку переменные не включают каких-либо размерностей, которые могут быть выведены из этих трех, т. е. силы или энергии, то нет необходимости включать в список переменных какие-либо размерные постоянные.
Переменное Обозначение Размерность
Диаметр трубы D [L]
Средняя плотность потока Q [М/L8]
Средняя вязкость потока [M/LT]
Коэффициент массоотдачи kQ [L/T]
Разность концентраций [M/L8]
Ускорение свободного падения ё [L/T2]
Средняя скорость потока иь [L/T]
Коэффициент молекулярной диффузии . . dAB [1Л/Т]
Длина трубы L [L]
Список содержит девять переменных, выраженных с помощью трех единиц измерения. Легко видеть, что в этих условиях максимальное число переменных, которые не образуют безразмерных групп, равно числу основных единиц измерения, т. е. трем. Эти безразмерные группы можно составить из трех общих переменных, объединенных последовательно с каждым из шести остальных. В результате получится шесть безразмерных групп.
Первые три переменные в таблице принимаются общими для всех групп. Первой группой будет
Л1 = 1»аеЬИС(^)<1-
Подстановка размерностей дает
. f..a Г MV> г м 1С Г L ]<!
1=[L1 m lzfJ Lvj •
Суммируя показатели степени размерностей, получаем следующие уравнения:
[Z] 0 = а — ЗЬ — c + d;
[М] О = Ъ + с;
[т] 0 = — с—d.
Решая эти уравнения, находим с = —а = — Ь = — d, так что группа
Вторая группа л 2 получается, если записать n2 = Daebpc(A(^)d,
откуда следует зависимость между размерностями:
! = [£]“
MlЬ гм~|с глиа Z,«J L Lx] L ь81
516
Суммируя показатели степеней, получаем уравнения: [Ь] 0=а — 3b —с— 3d;
[MTO = b + c+d;
[т] 0==с.
d
Решая эти уравнения, находим: а = с = 0 и Ь = — d. Тогда л 2 = I-I .
Четыре дополнительные группы получают путем объединения Р, р и р-с каждым из четырех остающихся переменных. Установлено, что:
p3Q2g
Я3=-^2-;
л4=^§;
И ’ и.
С°дв’
L лв— D .
В числе шести групп, полученных в предыдущем примере, по меньшей мере две, как было установлено при аналитическом рассмотрении массопередачи, влияют на массопередачу. Этими группами являются л4 — число Рейнольдса и л5 — число Шмидта. Остальные группы можно понять, объединив их соответствующим образом. Например, — приводится к , что мы называем числом
Л1 илв
Шервуда. Произведение л2л3лв есть число Грасгофа для массопередачи , упоминавшееся в гл. 34.
г
Комбинация безразмерных групп, которая описывает серию экспериментальных данных (и может быть использована для расчета новых вариантов), определяется путем написания уравнений типа
лх = artist 3«4Jtf (36.1)
и нахождения констант статистическим путем. Если система, рассмотренная в примере (36. 1), ограничена естественной конвекцией, то показатель степени при числе Рейнольдса в уравнении (36. 1), по-видимому, будет близок к нулю. Остальные группы будут, очевидно, иметь показатели степени, которые можно объединить и получить уравнение вида
-£- = а(я2я8л’)М, (36.2)
которое мы запишем в более привычных обозначениях:
Sh = aGrpScv. (36.3)
517
Если жидкость в трубе движется под действием вынужденной конвекции, то будет показано, что группы, которые могут влиять на естественную конвекцию (л2 и л3), имеют малые показатели степени. Следовательно, они не войдут в окончательную зависимость, которая будет иметь вид
-5и==ая?л£. (36.4)
Группа лв = является мерой входной области в турбулентных системах, и она, по-видимому, исчезнет в большинстве зависимостей для длинных труб, так что конечная зависимость будет иметь вид
-^.=алМ (36.5)
Л-1
или в более привычной записи
Sh = aRe₽Scv. (36.6)
КОЭФФИЦИЕНТЫ МАССООТДАЧИ ДЛЯ ПОТОКА В ТРУБАХ
Большая часть данных по массопередаче между жидкостью и стенкой трубы получена при применении колонн со смоченными стенками. Этот аппарат состоит из вертикального отрезка трубы круглого сечения, по которой газ обычно движется вверх. Легколетучая жидкость стекает по внутренней поверхности трубы и испаряется в поток газа. Основной причиной, по которой колонны со смоченными стенками используются для изучения массопередачи, является определенность межфазной поверхности. Это позволяет определить истинный коэффициент массоотдачи, например Ае, вместо произведения kQa. Газ обычно слабо растворим в жидкости, так что последняя на границе раздела почти чиста. Жидкость можно подавать при адиабатической температуре насыщения х. Если колонна работает в адиабатических условиях, то жидкость сохраняет свою температуру, когда она стекает вниз по колонне, поэтому концентрация диффундирующего компонента в газовой фазе у границы раздела постоянна. Колонну со смоченными стенками можно применить как в случае ламинарного, так и в случае турбулентного потока газовой фазы, но требуется осторожная работа во избежание образования волн на границе раздела пар — жидкость, так как волны затрудняют определение межфазной поверхности.
По-видимому, наиболее правильной величиной скорости, которую следует вводить в число Рейнольдса, описывающее движение
1 Определение этого понятия дано в гл. 38.
518
газа, является скорость газа относительно жидкости, т. е. сумма скоростей газового потока и жидкости на границе с газом (при движении противотоком). Но так как эта скорость на границе раздела обычно неизвестна, то берут просто скорость газового потока относительно стенки колонны.
Другим методом получения данных о коэффициентах массоотдачи в трубах является применение труб, отлитых из какого-нибудь растворимого вещества, по которым пропускается соответствующий растворитель, или же можно отлить трубу из легко-возгоняющегося вещества и пропускать по ней газ. В обоих случаях следует применять твердые вещества, которые растворяются или возгоняются очень медленно, во избежание значительного увеличения диаметра трубы в течение опыта. В системах с потоком жидкости результаты обычно получаются при более высоких числах Шмидта (Sc 2000), чем с потоком газа (Sc 1), так как коэффициент молекулярной диффузии в жидкости в 105 раз ниже, чем в газе.
Ламинарный поток. В гл. 34 указывалось, что массопередачу при ламинарном потоке в трубе можно рассчитать по данным, приведенным в гл. 24 по теплообмену для такого же потока. Решения по теплопередаче приведены для систем с плоским и параболическим профилем скоростей как для постоянной температуры стенки, так и для постоянного теплового потока. Здесь будет рассмотрено решение при постоянной концентрации у стенки, аналогичное решению для постоянной температуры стенки; решение для случая постоянного потока вещества от стенки не будет рассматриваться.
Полные решения Гретца относительно концентрации qAb для случая постоянной концентрации у стенки и параболического и плоского профиля скоростей показаны на рис. 36. 1. Решения выполнены следующим образом. Кривая, относящаяся к параболическому профилю скоростей, была получена путем подстановки решения для массопередачи, аналогичного решению Гретца для теплоотдачи — см. уравнение (24. 18), в интегральное выражение для концентрации, подобное уравнению (24. 19), и интегрированием по поперечному сечению трубы. Примененное аналогичное решение для массопередачи представляет собой просто уравнение (24.18), в которое вместо зависимого переменного
введено . Независимым переменным в уравнении (24. 18)
Qas “ QAo
является RePr-—. Величина, отложенная по оси абсцисс на рис. 36.1, отличается от него в раз; она записывается как,
* Q^ab®
^то соответствует Re.Sc.• -j-.
519
Кривая для параболического профиля показана для значений -=^-—выше 400 с помощью приближенного уравнения, пред-Q^ab х
ложенного Левеком. Как видно из рис. 36. 1, эта часть линии является прямой и описывается уравнением
(36. 7)
Qab~~Qa о Qas Qa о
= 5,5
W \-2/э
Qdabx /
Рис, 36. 1. Концентрация растворенного вещества на выходе ламинарного потока из трубы [106].
1 — плоский профиль; 2 — параболический профиль.
Решение Левека рассматривалось в задаче 24. 2; как и в случае теплоотдачи, оно применимо только для достаточно коротких труб, в которых диффузионный пограничный слой не доходит до центра трубы.
Решение для плоского профиля скоростей также показано на рис. 36. 1. Эта кривая может быть рассчитана по уравнению (24. 22) путем той же замены переменных, которая была проведена для систем с параболическим профилем скоростей. Для коротких труб (высокие значения — ) эта функция может быть \ QLtABXj
приближенно представлена уравнением
§аь ~ Qa о Qas Qa о
(36.8)
Данные, представленные на рис. 36. 1 для высоких значений —, были получены путем использования труб с раствори-Q^ab х
520
мыми стенками, как это описано выше. Эта методика применялась с числами Шмидта, близкими к 3000. Как видно из рисунка, данные достаточно хорошо согласуются с теоретической кривой для параболического профиля. При низких значениях экспериментальные данные располагаются ближе к кривой, основанной на допущении плоского профиля скоростей. Эти данные были получены при работе колонны со смоченными стенками, в которой жидкости испарялись в газовый поток. Для этих систем число Шмидта было приблизительно равно единице. Тот факт, что дан-
Рис. 36. 2. Коэффициенты массоотдачи для жидкостей, испаряющихся в турбулентный поток газа в колонне со смоченными стенками [51].
ные располагаются выше кривой, представляющей, параболический профиль скоростей, был объяснен влиянием естественной конвекции.
Турбулентный поток. Многочисленные данные о массопередаче при турбулентном потоке в колоннах со смоченными стенками были получены Джиллиландом и Шервудом [51]. Результаты для девяти жидкостей, испаряющихся в воздух, показаны на рис. 36. 2. Линия описывается уравнением
(36. 9)
Число Шервуда в этом уравнении часто записывается как к<РРъ, 1т тз х
—£—применительно к газам. Если газовая фаза идеальна, р идентично kQ (1 — хА)1т. Комплекс kQ (1 — xjlm
521
выражает коэффициент массоотдачи, который не зависит от концентрации и был обозначен в гл. 33 как kQ.
Кроме того, уравнения для турбулентной массопередачи в трубе можно получить из аналогии между переносом массы и количеством движения, приведенной в гл. 35. Уравнение (35. 28) связывает число Шервуда с коэффициентом трения следующим образом:
Sh = / ReSc1/s 2
Это уравнение основано на уравнении Кольборна для /-фактора. Если объединить эмпирическое уравнение для коэффициента трения с уравнением (35. 28), мы получим уравнение, которое можно решить непосредственно относительно числа Шервуда. Уравнение (13. 72) имеет удобный вид для применения к гладкой трубе:
/ = 0,046 Re"0’20.
Если это выражение объединить с уравнением (35. 2), мы получим
Sh = 0,023 Re°’80Sc0’33. (36.10)
Последнее выражение дает результаты, достаточно близкие к предсказываемым уравнением (36. 9) и отличающиеся только показателем степени при числе Шмидта. Экспериментальные данные, приводящие к уравнению (36. 9), были получены для систем, в которых число Шмидта изменялось только от 0,6 до 2,5, так что показатель степени 0,44 сомнителен. В работе Линтона и Шервуда, упоминавшейся в разделе о ламинарном потоке, несколько опытов было проведено в турбулентном режиме с числами Шмидта от 1000 до 2200. Эти результаты, совместно с данными Джиллиланда по колоннам со смоченными стенками, указывают на то, что точное значение показателя степени при числе Шмидта равно 0,33. Поэтому рекомендуется пользоваться уравнением (36. 10), поскольку оно применимо в более широких пределах, чем уравнение (36. 9).
Уравнения Прандтля — Тейлора и Кармана также можно объединить с уравнением (13. 72), чтобы получить уравнения для расчета коэффициентов массоотдачи. Но уравнение Кольборна, как было установлено, дает вообще удовлетворительные результаты и его достоинством является простота.
Коэффициенты массоотдачи в турбулентном потоке в уравнениях (36. 9) или (36. 10) можно применить либо к условиям в точке в области развитого потока, либо ко всей поверхности трубы, если длина ее больше 50 диаметров. Коэффициент массоотдачи при входе в трубу бесконечно большой, так же как и коэффициент теплоотдачи. Но при турбулентном движении область 522
развитого потока обычно устанавливается на протяжении десяти диаметров трубы или меньше, после чего коэффициент остается, по существу, постоянным и равным рассчитанному по уравнению. Если длина трубы превышает 50 диаметров, то высокие значения коэффициента при входе обусловливают столь малую долю в общей массопередаче, что средний коэффициент для трубы в целом примерно равен локальному коэффициенту в области развитого потока.
Пример 36. 2.
Воздух проходит по трубе из нафталина диаметром 25,4 мм и длиной 1,83 м со скоростью: а) 0,61 м!сек и б) 15,24 м/сек. Воздух имеет температуру 10° С и среднее давление 1 ат. Предполагая, что перепад давлений в трубе незначительный и поверхность трубы из нафталина имеет температуру 10° С, нужно найти степень насыщения воздуха нафталином и скорость сублимации нафталина в трубе в кг/ч.
Свойства воздуха при температуре 10° С и абсолютном давлении 1 ат:
р — 1,249 кг/м3;
р — 1,785*10"5 кг/м-сек.
Свойства нафталина при 10е С:
упругость паров = 0,0209 мм рт. ст.;
коэффициент молекулярной диффузии в воздухе 1,86 *10“2 м2/ч; молекулярный вес 128,2.
а) аь = 0>61 м/сек;
Re — = Ю80 (следовательно, поток ламинарный);
J. э । ОО * Iv
_ 1,785- 10"» • 3600
Ь 1,249-1,86-Ю"® ’ ’
Re Sc —= 1080 • 2,77 • • 4-= 32,6.
х 4 1,83 4
По рис. 36.1 для кривой параболического профиля мы находим
_g#-Z?A!>.=o,42.
Qas Qa о
Принимается, что воздух, входящий в трубу, не содержит нафталина, т. е. рАо = 0. Концентрация pAs нафталина у границы раздела определяется по упругости паров по следующей приближенной зависимости (справедливой для разбавленных смесей):
0,0209 • 104 • 128,2 . .Л_4 . 3
735,6 • 848.283— = 1’52-10
Концентрация нафталина в выходящем воздухе равна
2ЛЬ = 0,42-1,52-10~4 = 0,64 - Ю“4 кг/м3.
Скорость сублимации нафталина составляет
%- 0,02542 • 0,61 • 0,64 • 10“* • 3600 = 7,12 • 10'5 кг/ч.
4
523
Степень насыщения уходящего воздуха равна 42%, как это было видно из рис. 36. 1;
б) иъ —15,24 м/сек\
Re =
0,0254» 15,24» 1,249 __ 97
1,785» IO"5 -27000-
При турбулентном потоке для определения коэффициента массоотдачи применим уравнение (36. 10):
Sh=0,023 • (27 000)0’8 • (2.77)®*33 = 0,023 • 3500 • 1,40 = 113.
Мольная доля нафталина в воздухе настолько мала, что (1 — Следовательно, А:* = kQ,
__ 113-1,86-10-2_ 0,0254 — »2>7ж/ч.
Пишется материальный баланс по нафталину для бесконечно малого отрезка трубы. Поскольку скорость сублимации мала, объемный расход можно считать независимым от расстояния от входа в трубу:
• 0.02542 • 15,24 • dqAb = 0,0254 dx (Qas-6дь) .
Это выражение после преобразования дает
ОАЬ 1,83
f Г-f- =10>3^f dx-
J Qas $аь V
0
После интегрирования получаем
QAs^QAb — 10*3» 82,7» 1,83 3600
— In
QAs
откуда
OAs
0а$ ®АЬ
= 1,54. '
Из этого воздухе:
уравнения находим концентрацию нафталина в уходящем 2ль = 0,35 • 1,52 • 10“4 = 0,53 • 10“4 кг/м3.
Скорость сублимации нафталина составляет
2L • 0.02542 • 15,24 • 0,53 • 10-4 • 3600= 1,48 • 10"3 кг/ч. 4
Выходящий воздух имел степень насыщения 0,35.
КОЭФФИЦИЕНТ МАССООТДАЧИ ПРИ ДВИЖЕНИИ
ДВУХФАЗНОГО ПОТОКА В СЛОЕ НАСАДКИ
Определение коэффициентов массоотдачи в слоях насадки было предметом многочисленных исследований на протяжении последних тридцати лет. Но сложность этой задачи настолько
524
велика, что, несмотря на все усилия, точность расчета скоростей массопередачи еще далека от удовлетворительной. Отклонение экспериментальных данных для слоев насадки от рассчитанных по формулам, приведенным в данной главе, составляет 25%, а для ряда систем еще больше.
Некоторые причины этих отклонений уже указывались в предшествующих главах. По-видимому, основную трудность составляет определение межфазной поверхности. Другое затруднение вытекает из того факта, что большая часть измерений относится к коэффициентам, отражающим два последовательных сопротивления массопередаче. Чтобы определить коэффициент массоотдачи для каждой из фаз, нужно так подобрать системы, чтобы одно из сопротивлений было незначительным или чтобы его можно было рассчитать. Третья трудность вытекает из того, что очень мало известно о входных эффектах в слоях насадки. В большинстве опытных установок имеют дело с более короткими слоями, чем в промышленности. Вследствие этого концевые эффекты могут оказать большее влияние в экспериментальных установках, чем в промышленных.
Из-за непригодности теоретических методов расчета коэффициентов массопередачи проектировщики массообменных аппаратов базируются на экспериментальных данных, если они имеются. Справочник Перри приводит (стр. 687—698) много данных о ВЕП (понятие ВЕП введено в гл. 33) для одно- и двухфазных систем для большого количества систем и насадок. Обзор статей, содержащих данные о ВЕП, дан Корнеллом, Кнаппом и Фейром [28]. Кроме того, для расчета коэффициентов массоотдачи или ВЕП можно использовать зависимости, которые будут приведены ниже.
Газы. Экспериментальные данные о сопротивлении газовой фазы получены разными способами. Одним из них является абсорбция газа жидкостью, над которой упругость ее паров очень мала или в которой протекает очень быстрая реакция абсорбируемого вещества с каким-либо нелетучим компонентом жидкой фазы. Сопротивление массопередаче в жидкой фазе принимается незначительным, так что коэффициент массопередачи равен коэффициенту массоотдачи для газовой фазы. Этот метод следует применять с осторожностью; в прошлом его иногда применяли к системам, в которых сопротивление жидкой фазы не было пренебрежимо малым. Второй способ заключается в испарении чистой жидкости, стекающей вниз по колонне, в нерастворимый в жидкости газ, барботирующий через слой жидкости. По третьему способу сопротивление жидкой фазы может быть рассчитано по соответствующим зависимостям и его можно вычесть из общего сопротивления, найдя таким путем сопротивление массопередаче в газовой фазе. Последний метод использовался Феллингером при определении коэффициента массоотдачи для газовой фазы в системах, в которых аммиак абсорбируется из воздуха водой, стекающей по насадкам
525
разного вида. Значительное количество данных Феллингера приводится в упоминавшемся выше разделе справочника Перри. Показано, что как HG, так и H0G зависит и от скорости газа, и от скорости жидкости. Данные для Яо, выраженные в метрах, представлены эмпирическим, уравнением, имеющим вид
#G = aG₽£vSc°’5, (36.11)
в котором массовые скорости газа и жидкости выражены в кг/м2-ч. Введение числа Шмидта позволяет обобщить результаты для систем, отличающихся от воздуха и аммиака. Показатель степени при числе Шмидта может быть оправдан на основе теории проницания, согласно которой, как было показано, коэффициент массоотдачи kQ является функцией Показатели степени в уравнении (36. 11) в действительности не являются постоянными, а зависят как от насадки, так и от скоростей газа и жидкости. Таблица этих значений дана Трейбалом; некоторые из них приведены в табл. 36. 1.
Таблица 36.1
Константы [166] для определения HG по уравнению (36.11)
Тип насадки a 3 Y Пределы значений, кг/л2-ч
G L
Кольца Рашига 9,5 мм . . . 0,73 0,45 -0,47 1000-2500 2500—7300
25,4 мм . . . 2,88 0,39 -0,58 1000—4000 2000-2500
2,64 0,32 -0,51 1000-3000 2500-22000
50,8 мм . . . 1,26 0,41 -0,45 1000-4000 2500-22 000
Седла Верля 12,7 . 19,8 0,30 -0,74 1000—3500 2500—7300
0,22 0,30 —0,24 1000-3500 7300-22000
25,4 мм . . . 0,64 0,36 -0,40 1000-4000 2000—22000
38,1 мм . . . 1,90 0,32 -0,45 1000-5000 2000-22000
Подобная же зависимость для коэффициентов массоотдачи в газовой фазе была предложена Шервудом [148] в результате обобщения данных ряда исследователей. Эта зависимость, если привести ее к виду уравнения (36. 11), дает значения 1,01; 0,31 и —0,33 для константа, 0 и у соответственно. В пределах точности опытов в этих значениях для разных размеров насадки нет различий.
Ж ид кости. Большая часть экспериментальных данных по коэффициентам массоотдачи в жидкой фазе была получена при абсорбции водой или десорбции из воды газов с низкой растворимостью. Обычно применявшимися газами были кислород, водород 526
и углекислый газ. Для этих систем наклон линии, изображающей закон Генри, очень велик, так что коэффициент массопередачи (определяемый по конечным условиям) и коэффициент массоотдачи в жидкой фазе приблизительно равны, что вытекает из уравнения (33. 21).
Обширное исследование массопередачи в жидкой фазе было описано Шервудом и Холловеем. Их результаты выражены следующим эмпирическим уравнением:
Нь==ф(Л)л8с0’5 (36.12)
Высота единицы переноса HL выражается в метрах, скорость жидкости L в. кг/м2>сек, а вязкость ц жидкой фазы в кг! м-сек. Число Шмидта относится к жидкой фазе. Константы Ф и ц зависят от типа насадки. Их значения, рекомендуемые Шервудом и Холловеем, приведены в табл. 36. 2. Большая часть экспериментальных данных показывает, что HL не зависит от скорости газа, за исключением очень высоких его скоростей, так что в уравнение (36. 12) не входит член G. Величина HL определяется по уравнению (33. 31) как
Таблица 36. 2
Константы [176] для определения Я£по уравнению (36.12)
Тип насадки Ф п Пределы L
Кольца Рашига 9,5 мм 0,000317 0,46 2000-73000
25,4 мм .... 0,00235 0,22 2000-73000
50,8 мм .... 0,00282 0,22 2000—73 000
Седла Берля 12,7 мм .... 0,00147 0,28 2000-73 000
25,4 мм .... 0,00129 0,28 2000-73 000
38,1 мм .... 0,00136 0,28 2000-73 000
Таким образом, видно, что Нь изменяется прямо пропорционально скорости жидкости, а также в зависимости от того, влияет или не влияет скорость жидкости на и а. Результат действия этих трех факторов выражается эмпирической константой г| в уравнении (36. 12). Что касается зависимости HL от скорости газа, то из уравнения (33. 31) видно, что при влиянии этой скорости на kQ~ или на a HL будет зависеть от G. Исследования Шульмана и др. [152] указывают на то, что к^ не зависит от скорости газа
527
и что межфазная поверхность а почти не зависит от скорости газа для колец Рашига и седел Берля размером 25 мм и больше. Но для меньших размеров происходит значительное увеличение а
Рис. 36. 3. Эффективная межфазная поверхность для колец Рашига диаметром 12,7 мм [152].
1 — кривая захлебывания; 2 — L = = 36 500; 5 — 21 900; 4—7 300; 5 — 2 430 кг/мР'Ч.
с увеличением скорости газа, что должно быть отражено в любой формуле типа (36. 12).
У помянутое исследование
Шульмана и др. указывает на причину сильной зависимости HG как от скорости газа, так и от скорости жидкости. HG определяется по уравнению (33. 30) как
В этом уравнении коэффициент массоотдачи к9- и скорость газа G определяют зависимость HG от скорости газа, в то время как сильное воздействие скорости жидкости на межфазную поверх-
ность а приводит к зависимости HG от L. Таким образом, как G, так и L входят в уравнение (36. И) для расчета HG. Рис. 36. 3
показывает зависимость межфазной поверхности от G и Л, лежа-
щую в основе этих положений.
МАССООТДАНА ОТ ШАРИКОВ И ЦИЛИНДРОВ
Нами использованы многочисленные данные по тепло- и массо-отдаче от одиночных шариков. Много работ по массоотдаче проведено с применением шарообразных капель жидкости, испаряющихся в обтекающий их воздушный поток. В других исследованиях применяли шарики из твердых веществ, которые либо сублимировали в воздушный поток, либо растворяли в обтекающем их потоке жидкости. Как и следовало ожидать, результаты исследований как по тепло-, так и по массоотдаче изображаются подобными уравнениями. Уравнение (26. 11) для теплоотдачи для одиночных шариков описывает массоотдачу, если числа Нуссельта и Прандтля заменить числами Шервуда и Шмидта:
= 2 + 0,6 (36.13)
dab \ Qdab/ \ Н / v ’
Константа 2 в этом уравнении может быть получена способом, предложенным в аналогичных условиях по теплообмену в гл. 26.
528
Анализ основывается на системе, в которой происходит установившаяся молекулярная диффузия одного компонента со сферической поверхности в безграничную неподвижную среду. Второй член в правой части уравнения (36. 13) отражает долю в массоотдаче шарика, вносимую движением жидкости.
Массоотдача от слоя шариков или других твердых тел очень важна при анализе работы слоя частиц катализатора. Большая часть исследований в этой области проводилась со слоями пористых твердых тел, с которых вода испарялась в поток воздуха.
Рис. 36. 4. Средние коэффициенты массоотдачи при однофазном потоке в слое насадки [66].
Ходсон и Тодос [66] распространили зависимости предшествующих исследований на скорость массоотдачи от слоев насадки в потоки жидкости. На рис. 36. 4 показаны результаты их исследований наряду с описывающей их кривой. Зависимость применима как к цилиндрам, так и к шарам; за эквивалентный диаметр ( Я’?/*
цилиндра принимается \ Dcxe -]—— J , где Dc — действительный диаметр цилиндра, а хе — его длина. В число Рейнольдса входит скорость в незаполненном сечении аппарата.
Другой метод определения коэффициента массоотдачи для слоя насадки предложен Ранцом; этот метод подробно описан в гл. 26 применительно к теплоотдаче. Метод заключается в умножении линейной скорости жидкости в слое на 10,73 и подстановке этого произведения вместо скорости в Re в уравнение (36. 13).
34 Заказ 519. 529
Величина коэффициента массоотдачи, полученная по этому методу, примерно на 10% выше среднего коэффициента массоотдачи в слое загруженных навалом частиц, близких по форме к шарообразной. Ранцом использованы для проверки своей гипотезы данные Гамсона, Тодоса и Хоугена, приведенные на рис. 36. 4. Так как эти данные описываются как зависимостью Ранца, так и зависимостью Хобсона и Тодоса, то очевидно, что в исследованных пределах эти два метода равнозначны. Однако дополнительные экспериментальные данные Хобсона и Тодоса на рис. 36. 4 охватывают более широкие пределы Re, чем изученные Ранцом.
Массоотдачу как в неподвижном, так и в псевдоожиженном слоях изучал Бредшоу [13]. Производились экспериментальные замеры скорости испарения влаги со слоев пористых шариков или таблеток. Данные для неподвижных слоев хорошо согласуются с данными Хобсона и Тодоса и других исследователей, показанными на рис. 36. 4. Эти данные охватывают для неподвижных слоев столь низкие числа Рейнольдса, как Rep = 400, а для псевдоожиженных слоев Rep = 12 000. Коэффициенты массоотдачи как для неподвижного, так и для псевдоожиженного слоев описываются для всего интервала чисел Рейнольдса уравнением
7M = l,90(Rep)-°’50. (36.14)
Среднее квадратичное отклонение от этой зависимости было равно 18% для пяти различных видов примененных частиц. Было установлено, что коэффициенты теплоотдачи описываются аналогичными уравнениями в неподвижном и псевдоожиженном слоях.
МАССООТДАЧА ОТ ТВЕРДЫХ ШАРИКОВ, КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ
Ряд процессов включает массообмен между сплошной и дисперсной фазами. Дисперсной фазой могут быть твердые шарики или другие частицы, подвергающиеся сушке, а также капли жидкости, из которых экстрагируется растворенное вещество, или пузырьки, из которых происходит перенос менее летучего компонента к границе раздела пар — жидкость с одновременным переносом более летучего компонента внутрь газовой фазы. В предыдущем разделе этой главы мы рассматривали массоотдачу в сплошной фазе. Теперь мы рассмотрим массоотдачу в дисперсной фазе.
Если дисперсная фаза представляет собой твердое вещество или пузырьки газа и капли жидкости, содержимое которых неподвижно, то единственным способом переноса вещества в этой фазе является молекулярная диффузия. Дифференциальные уравнения в частных производных для нестационарной диффузии можно
530
записать в сферических координатах и решить, если частица дисперсной фазы является шарообразной. Выражение для концентрации диффундирующего компонента на любом радиальном
расстоянии в зависимости от времени можно затем проинтегрировать от центра до поверхности и получить среднюю по объему капли концентрацию как функцию времени. Решение этой задачи показано на рис. 36. 5 для шара, имеющего вначале одинаковую
по объему концентрацию средней по объему концентрацией qAs. Средняя концентрация внутри шарика q АЪ представлена в виде функции от коэффициента молекулярной диффузии Z>AB, диаметра шара D и времени фазового контакта т.
Указанное выше решение для твердого шарика можно найти в ряде известных учебников по теплопередаче и диффузии [29]. Семейство кривых на рис. 36. 5 применимо как к системам, в которых межфазная концентрация постоянна, так и к системам, в которых концентрация на границе раздела изменяется
р А 0 и погруженного в сплошную фазу со
РагРаь
Ра$~Рао
Рис. 36. 5. Изменение средней концентрации в каплях, содержимое которых неподвижно, и в каплях, в которых происходит циркуляция.
1 — капли, содержимое которых неподвижно; 2 — капли, внутри которых происходит циркуляция.
из-за сопротивления
массопередаче в сплошной фазе, определяющего величину A:0 D
параметра -=£—. Коэффициент массоотдачи в сплошной фазе илв
можно определить по уравнению (36. 13). />АВ представляет собой коэффициент молекулярной диффузии растворенного вещества в среде другого компонента внутри шара, a D — диаметр шара.
Если дисперсная фаза является невязкой жидкостью, а диаметр капли превышает 1 или 2 мм. то, вероятно, содержимое капли не остается неподвижным. Рядом исследователей показано, что внутри шарообразных капель часто происходит циркуляция такого вида, как на рис. 36.6. Жидкость остается неподвижной только по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости капли
34*
531
В В
Рис. 36. 6. Схема циркуляции в поднимающейся капле или пузырьке.
D D
с
и показанной на этом рисунке точками А. Вдоль наружной поверхности капли происходит циркуляция в направлении от В через С к D.
Изучение массопередачи в каплях, внутри которых происходит циркуляция, было проведено Кронигом и Бринком [88] в предположении, что линии тока, показанные на рис. 36. 6, являются линиями постоянной концентрации, и что процесс неустановив-шейся диффузии происходит в направлении, перпендикулярном линиям тока. Их решение графически показано пунктирной линией на рис. 36. 5. В отличие от приведенного на том же рисунке решения для капель, содержимое которых неподвижно, решение для капель, внутри которых происходит циркуляция, применимо только при незначительном сопротивлении мас-сопередаче в сплошной фазе. В этом отношении решение соответствует нижней из семейства кривых для капель, содержимое которых неподвижно.
Другой возможный механизм массопередачи внутри капли включает естественную конвекцию под действием разности концентраций. Этот механизм может накладываться на описан
ный выше циркуляционный Механизм. На циркуляцию оказывают влияние загрязнения или другие инородные вещества, накапливающиеся на границе раздела между каплей и сплошной фазой. И, наконец, не исключена возможность возникновения внутри капли состояния турбулентного перемешивания, так что концентрация во всех точках капли будет одинаковой для любого момента. Это эквивалентно допущению о незначительном сопротивлении массопередаче внутри капли. Возможно, что такие условия создаются в большинстве крупных пузырьков газа и тогда почти все сопротивление массопередаче сосредоточено в сплошной фазе. Капли жидкости только на коротких дистанциях могут приблизиться к условию полного перемешивания. В момент образования и непосредственно после образования капли подвержены значительной осцилляции, которая вызывает перемешивание. Если время подъема капли мало, то эта осцилляция может продолжаться на всем пути капли, в результате чего дисперсная фаза будет оказывать незначительное сопротивление массопередаче. В этих условиях сопротивление сплошной фазы также станет меньше величины, рассчитанной для идеального шарика по уравнению (36. 13).
532
Контактирование двух жидких фаз описанным выше способом производится в аппаратах, известных как распылительные колонны, представляющих собой не что иное, как цилиндры. Всестороннее рассмотрение аппаратов этого типа дано Трейбалом [165]; им же приведены данные для расчета их производительности и эффективности. Данные по эффективности экстракционных аппаратов имеют, однако, ограниченное значение из-за неопределенности размера получающихся капель. Как видно из рис. 36. 5т влияние размера капель на эффективность массообменного аппарата очень велико.
Задачи
36. 1. Труба круглого сечения внутренним диаметром 25,4 мм отлита из бензойной кислоты. Вода с температурой 14Q С протекает по трубе со средней скоростью 0,03 м/сек. Какое время просуществует труба, если концентрация бензойной кислоты в уходящем из трубы растворе будет равна 1%? Чему равен для этой системы средний коэффициент массоотдачи, отнесенный к средне-арифметической движущей силе? Концентрация насыщенного раствора бензойной кислоты в воде при 14° С равна 2,36 г/л, а число Шмидта — 1870.
36. 2. Повторить задачу 36. 1 для средней скорости 3 .м/сек.
36. 3. Поток воздуха с температурой 25° С, содержащий 5% мол. этанола, в количестве 1950 кг/м2-ч пропускается вверх по насадочной колонне с кольцами Рашига диаметром 25,4 мм. Этанол поглощается встречным потоком воды с температурой 25° С, подаваемой в количестве 4875 кг/м2-ч. Найти HG, H0L и Hqg. Как объяснить относительную величину сопротивлений массоотдаче газовой и жидкой фазой?
36. 4. Шарик нафталина диаметром 12,7 мм находится в закрытом помещении при температуре 10° С. Найти время, необходимое для исчезновения шарика, предполагая, что воздух в помещении неподвижен и имеет бесконечно большой объем. Неу становившийся процесс сублимации происходит столь медленно, что в любой момент сублимацию с поверхности шарика можно рассматривать так, как если бы она происходила с поверхности шарика постоянного диаметра. Физические свойства воздуха и нафталина приведены в примере 36. 2.
36. 5. Шарик нафталина взвешен в воздушном потоке с температурой 10° С, движущемся со скоростью 9 м/сек. Найти время полной возгонки шарика, предположив, что в процессе возгонки он сохраняет шарообразную форму. Допущение о форме частицы в действительности оправдывается.
36. 6. Уксусная кислота удаляется из падающих в слое бензола капель ее водного раствора. Начальная концентрация уксусной кислоты равна 0,01%, и ее следует снизить до 0,005%. Найти расстояние, которое должны пройти капли, если они имеют диаметр 1 мм и если: а) содержимое капель неподвижно, б) внутри капель происходит циркуляция и в) содержимое капель полностью перемешано. Обе жидкие фазы имеют температуру 20° С. При этой температуре коэффициент диффузии уксусной кислоты в воде равен 0,88-10-5 см2/сек, а коэффициент диффузии уксусной кислоты в бензоле 1,92-Ю"5 см2/сек. Предполагается, что капли очень быстро достигают своей конечной скорости. Эту скорость можно определить, пользуясь коэффициентом трения, взятым по рис. 15. 6. В случае «б» можно пренебречь сопротивлением массопередаче в сплошной фазе.
37. НЕПРЕРЫВНЫЙ КОНТАКТ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ФАЗ
В гл. 33—36 были даны определения коэффициентов массоотдачи и единиц переноса, которые были применены к ряду случаев. Содержание этих глав аналогично содержанию гл. 23—26 о коэффициентах конвективной теплоотдачи. Гл. 27 и 28 не имеют аналогичных себе в массопередаче, а гл. 29, в которой рассматривается интегрирование уравнения теплопередачи по поверхности теплообменника, имеет много аналогичных моментов с настоящей главой. Мы рассмотрим в ней интегрирование уравнения массопередачи по поверхности межфазного контакта в таких аппаратах, как абсорбционная колонна или колонна для жидкостной экстракции.
При изучении конвективной теплопередачи мы рассматривали перенос тепла от одной жидкости к другой через теплопроводную стенку, исключающую непосредственный контакт фаз. В массопередаче нет разделяющей стенки между фазами и последние находятся в непосредственном контакте. Однако если жидкости не смешиваются, то поверхность массообмена рассчитывают методами, аналогичными применяемым для определения поверхности теплообмена, как это показано в гл. 29. В настоящей главе мы
рассмотрим массопередачу между несмешивающимися жидкостями для простых случаев, в которых тепловые эффекты не играют роли. В гл. 38 мы рассмотрим одновременный перенос тепла и массы между несмешивающимися фазами.
Применение принципов массопередачи к процессам разделения осложнено по сравнению с теплопередачей дополнительными факторами. Во-первых, контакт фаз чаще осуществляется ступенчато, чем непрерывно, как в теплообменниках. Во-вторых, фазы, находящиеся в непосредственном контакте, могут частично смешиваться друг с другом, а это обстоятельство усложняет решение уравнений материальных балансов для. тройных и многокомпонентных смесей. Процессы, включающие эти дополнительные факторы, будут рассмотрены в гл. 29 и последующих.
534
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЛОННЫ
Мы начнем изучение процессов разделения с рассмотрения абсорбционной колонны, показанной на рис. 37. 1. Смесь воздуха и извлекаемого вещества Л, растворимого в воде, в количестве G киломоль на квадратный метр поперечного сечения полой колонны в час (кмоль/м2-ч) нагнетается в нижнюю часть колонны и поднимается по ней вверх. _
Колонна заполнена насадкой из P’Sw
керамических колец. Вода, абсорбирующая компонент А, стекает вниз по насадке в количестве L кмоль/м2 *ч.
Хотя концентрация каждой фазы уменьшается с увеличением расстояния z от низа колонны, массопередачей в направлении z обычно пренебрегают. Абсорбируемое вещество передается в направлении падения концентрации из потока газовой фазы к поверхности жидкости, а оттуда в объем жидкой фазы. Перенос вещества осуществляется посредством как турбулентной, так и молекулярной диффузии, и описывается различными коэффициентами конвективной массопередачи. Если
колонна очень высокая, то почти Рис. 37. 1. Насадочная абсорбци-все абсорбируемое вещество уда- онная колонна,
ляется из газа, уходящего из верхней части колонны.
К точке внутри колонны применимо любое из уравнений (33. 7)—(33. 10) для потока массы. Полное количество компонента А, передаваемое в колонне в единицу времени, может быть выражено уравнением
<37.1)
где Na — мольный поток компонента А, отнесенный к единице поверхности; Ai — полная межфазная поверхность.
В правую часть уравнения (37. 1) входит средняя разность концентраций. Вообще говоря, эта величина должна определяться интегрированием. Но мы увидим, что при некоторых упрощающих обстоятельствах применима средне-логарифмическая разность концентраций, подобно тому как средне-логарифмическая разность температур применяется для расчета некоторых теплообменников.
/iw'ft /1\\ м м
z=2
Насадка
Az
laiiimim z=£7
71 £
535
Левая часть уравнения (37. 1) равна изменению произведения расхода одной из фаз на ее концентрацию от верха колонны до ее низа; эта величина аналогична полному тепловому потоку в теплообменнике.
Выведем уравнение, определяющее высоту колонны в зависимости от расходов, коэффициентов массоотдачи и конечных концентраций. Допустим, что на произвольной высоте z от низа колонны концентрации одинаковы по всему ее поперечному сечению. Так как с изменением z условия меняются, уравнение (33. 7) применимо только к бесконечно малому элементу межфазной поверхности dA, высотой dz. Величину А, принято выражать через а (межфазную поверхность в единице объема колонны), высоту z и поперечное сечение незаполненной колонны А:
Ai = aAz , (37.2)
или, если считать а постоянной величиной,
dAi = aAdz. (37.3)
Тогда запишем уравнение (33.7) в виде
ХАЩ = к-а(уА-уАз)А<12. (37-4)
Левая часть уравнения (37. 4) выражает количество вещества, переносимого на участке высотой dz; эта величина определяется следующим образом:
-Na dA, = A d (G • уА) - A d (LxAy (37. 5)
Интегрируя уравнение (37. 5) по всей высоте колонны в пределах концентраций, указанных на рис. 37. 1, получаем
А)»*-'1 (ёл.-йл,)=л(А<-£Л,)- <37. е)
Можно также проинтегрировать уравнение материального баланса от низа колонны до произвольного промежуточного сечения, где концентрации равны хА и уА*.
влуА п-&-А= К* a . — Lxa. (37. 7)
откуда
^ = 4гА + 4-(ЙЛ.-^л.)- (37.8)
Сг Ст '
Уравнения (37. 7) и (37. 8) определяют распределение концентраций контактирующих фаз в колонне. Линия, описываемая уравнением (37. 8), называется рабочей. При принятых нами единицах измерения рабочая линия является в общем случае 536
кривой, так как G и L являются функциями хА. Для разбавленных же растворов рабочая линия спрямляется.
Из уравнений (37. 4) и (37. 5) следует:
Ч^а) куа (у А-У as) '
(37. 9)
Так как фазы не смешиваются, то мольный поток инертной жидкости в направлении z (в рассматриваемом случае — воздуха) GB является постоянным. Тогда зависимость, определяющая G, имеет вид
G =----(37.10).
Подставляя это значение G в уравнение (37. 9), получаем
_dz = .
к$а^-УА)(УА-УАз> ’
(37.11>
Правую часть уравнения (37. 11), по-видимому, трудно проинтегрировать, так как G является переменной величиной, а ку а является функцией G и (1 — УНо коэффициент массоотдачи к°~а, по определению, не зависит от (1 — УА)гт — см. уравнение-(33. 26). Поэтому уравнение (37. И) принимает вид
G (1-Ул)гт^А к"уа (1~Уа) (Va-Vas) '
(37.12>
Величина -Д— , как известно, выражает высоту единицы пере--к» а
У
носа HG [уравнение (33. 34)]. Так как HG примерно пропорциональна G0’3 (табл. 36. 1), то изменение величины G на 20% приведет к изменению HG только на 6%. А так как G редко изменяется больше, чем на 20%, то можно пренебречь изменением HG по высоте колонны. Пределы интегрирования могут быть установлены по рис. 37. 1 и 37. 2, так что уравнение (37. 12) приобретаем вид
У А о
Г (1-Уа)1ы Луа
J G-S'a) (у А-У As)
УА1
(37.13).
5зг
(37.14)
Тогда число единиц переноса для фазы у равно п = Г ^-Ул)1таУл . G J ^-Уа)(Уа-Уа»} ‘
VA1
Из уравнений (37. 13) и (37. 14) следует равенство, содержа-
щееся в выражении (33. 29):
z=HGnG-
Учитывая точность, с которой определяется большая часть данных по массопередаче, можно заменить средне-логарифмическую мольную долю инертной жидкости средне-арифметической:
Рис. 37. 2. Графическое изображение составов в колонне, показанной на рис. 37. 1.
а — рабочая линия; б — кривая равновесия; в — наклон, равный
О UA^lm
2
(37.15)
в
Подставляя это выражение уравнение (37.14), получаем
УАо
1 С
2 J Уа-Уа: УА1
У АО
1 С ^~УАз)^А
2 J У а) {у А-У As)
У Ai
лУа
G xA)lm
1 Ул 1
(37.17)
пв =
(37.16)
Второй интеграл можно вычислить по методу интегрирования простых дробей, и уравнение (37. 16) упрощается:
У АО
[ ^_+А1п
J Уа-Уаз 2 1-Уао
УА1
Интеграл в уравнении (37. 17) для концентрированных рас-Y П 1
творов должен определяться графически. Значения —-=—
У а - У Ав
538
как функции уА получают из графика вида, изображенного на рис. 37. 2. Для ряда значений уА, лежащих в пределах от уА 0 до УА1, по уравнению (33.39) определяют уА&, проводя через точку Ъ с координатами хА, уА (т. е. точку на рабочей линии) прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен
Hq (1 “ УлЬт Q
------------—-— . Этот наклон может значительно изменяться
по высоте колонны. Очевидно, что nG можно определить только тогда, когда известны как HG, так и Нь.
Приведенный вывод можно повторить и применительно к жидкой фазе, или фазе х. При этом получаются окончательные зависимости:
z = HTnT
L Ju
Чо
(37.18)
(37.19)
Коэффициенты массопередачи, или общие единицы переноса не следует применять к концентрированным растворам при отсутствии данных о частных сопротивлениях фаз или когда ни одна из сопротивлений не является определяющим.
Приведенные выше зависимости применимы ко всем процессам массопередачи, в которых NB = 0. Если составы фаз выражаются в массовых долях, массовых процентах или парциальных давлениях, то читатель может вывести соответствующие виды этих зависимостей.
Если Na = —NB, как обычно предполагают при дистилляции и ректификации бинарных смесей, то второй член в уравнениях. (37. 17) и (37. 19) опускается. Кроме того, справедливо уже не» уравнение (33. 26), а
УПРОЩЕНИЯ ДЛЯ РАЗБАВЛЕННЫХ РАСТВОРОВ
Общие замечания. Мы видим, что единственным строгим методом расчета противоточного взаимодействия концентрированных растворов является применение коэффициентов массоотдачи или частных ВЕП. При этом должны быть рассчитаны составы фаз на границе раздела и путем графического интегрирования определено число единиц переноса. Рабочая и равновесная линии являются, вообще говоря, искривленными, но для разбавленных растворов они примерно спрямляются. Различие между
539-
разбавленными и концентрированными растворами условно, так как кривизна равновесной линии зависит от рассматриваемой конкретной системы. Во всяком случае, кривизна рабочей линии становится значительной при мольной доле, превышающей 0,05. Таким образом, под разбавленными растворами мы понимаем условия, при которых Z, G и т можно считать постоянными.
Поскольку т является постоянной величиной, можно пользоваться коэффициентами массопередачи. Этими величинами проще оперировать, чем коэффициентами массоотдачи, так как не нужно определять составы фаз на границе их раздела. Для общего сопротивления массопередаче, рассчитываемого по газовой фазе, движущая сила уА — у*А равна просто уА — тхА, т. е. расстоянию по вертикали между рабочей и равновесной линиями. Аналогично при расчете по жидкой фазе движущая сила равна х*А —- хА или Уа ------ха~ расстоянию по горизонтали между этими линиями.
Если коэффициенты массопередачи не даны непосредственно, их легко вычислить по коэффициентам массоотдачи с помощью уравнений (33. 20) или (33. 21). Уравнения (33. 30)—(33. 33) для определения чисел единиц переноса совместно с уравнениями (33. 20) и (33. 21) для разбавленных растворов дают следующие зависимости:
Ноа =На + Hl = Ноь- (37- 2°)
utr L L и**1 ' '
Величина-Дг называется фактором массообмена aj. Для мно-mG
тях процессов он имеет значение, близкое к единице; считают, что при физической абсорбции газа его оптимальное значение о экономической точки зрения равно 1,4.
Множители (1 — уА) и (1 — xA)im не вошли в уравнения, определяющие коэффициенты массопередачи и общие ВЕП, так как для разбавленных растворов, для которых эти коэффициенты выведены, рассматриваемые множители незначительно отличаются от единицы. Следовательно, к£ пк°^ не отличаются друг от друга.
Так как (1 — уА) и (1 уА)1т приблизительно равны единице, то уравнение (37. 14) можно упростить, выразив общее число одиниц переноса по газовой фазе следующим образом:
УАо
Г dyA ^OG — 1 ~ ~ *
J У А-У А
У А 1
(37. 21)
540
Аналогично из уравнения (37. 19) получим
OL
dxA - * ХА ~ХА
п
(37.22)
Средне-логарифмическая движущая сила. Нет необходимости в графическом расчете интегралов по уравнениям (37. 21) или (37. 22). Эти интегралы можно рассчитать Аналитически методом, подобным приводящему к уравнению (29. 7).
Так как рабочая и равновесная линии являются прямыми, то движущая сила также является линейной функцией от концентрации. Если базироваться на концентрации газовой фазы, то
—= const
<^А
Ар — А1
VА о У А 1
(37. 23)
где Д — уА — у*А. После подстановки величины dy из уравне-
ния (37. 23) в уравнение (37. 21) получим
nOG
— Уа Ь~~УА 1 До — Ai
Интегрирование дает
Уаь~УА1 (У А Уа)1ш
где
(37.24)
(37.25)
(37. 26)
Аналогичный вывод дает
ПОЪ~~
(37. 27)
Уравнение Кольборна для числа единиц переноса. Другой способ интегрирования уравнения (37. 21) дал Кольборн [27]. Для прямой равновесной линии, проходящей через начало координат, у*А = тхА. В свою очередь, хА может быть выражено через уА при помощи уравнения (37. 8), которое является линейным для прямой рабочей линии, т. е. для -4- = const. После
G
этих двух подстановок уравнение (37. 21) преобразуется так, что
541
под знаком интеграла остается лишь одно переменное уА. Детали интегрирования здесь не приводятся; окончательным уравнением для общего числа единиц переноса, рассчитанного по газовой фазе, является
Ь (1-5;)
УАо~т*А1
+ 5; |уЛ1-7па;Л1 J
У*о
Ум
nOG
Рис. 37. 3. Ошибки, вытекающие из допущения о разбавленных растворах.
1 — рабочие линии; 2 — линии равновесия.
1-5; где
(37. 28)
± . (37. 29)
&
с mG Si- —
Аналогичное уравнение можно вывести для nQL\ оно приведено на стр. 554—555 справочника Перри вместе с графическим решением уравнения (37. 28) и таблицей, упрощающей применение этого уравнения к ряду процессов разделения.
Применимость упрощенных уравнений. Если рабочая и равновесная линии в действительности несколько искривлены, то иногда бывает целесообразно пользоваться урав-
нением (37. 25) или (37. 28) и полезно иметь представление о влиянии, которое оказывают упрощающие допущения на точность расчетных результатов. На рис. 37. 3 показаны рабочие и равновесные линии, которые можно применить для расчета nQG по заданным величинам уА *, уА 0, хА 4 и Отношение наклонов равновес-
ной и рабочей линий определяется для того конца колонны, на котором концентрации низкие (1 на рис. 37. 3). Эти величины L и G с достаточной степенью точности равны массовым скоростям инертных потоков, а т основывается на константе закона Генри при бесконечном разбавлении.
На основании приведенных данных можно рассчитать xAQ по уравнению (37. 6), так что конечные точки рабочей линии фиксированы. Так как наклон рабочей линии для конца колонны с низкой концентрацией известен, то истинная рабочая линия может быть проведена без дальнейших расчетов с небольшой ошибкой. Если известны истинные равновесные данные, можно построить равновесную линию А, как это показано на рис. 37. 3. После этого общее число единиц переноса, рассчитанное по жидкой
542
фазе, можно получить с небольшой ошибкой по этим линиям и интегрированием уравнения (37. 22).
Применение уравнения (37. 27), содержащего средне-логариф-мическую движущую силу, равносильно допущению, что концы действительных искривленных рабочих и равновесных линий А соединяются прямыми линиями В. Для кривых, показанных на рис. 37. 3, уравнение (37. 27) даст слегка завышенное общее число единиц переноса по фазе х, так как средняя движущая сила х*А — хА, полученная исходя из прямых В, меньше истинной, полученной по кривым А.
Применение для nQG уравнения, аналогичного уравнению (37. 28), предполагает, что прямая рабочая линия проходит через Zi хА , уА и имеет наклон тА, а прямая линия равновесия проходит 1 1
через начало координат и имеет наклон т. Эти прямые обозначены через С на рис. 37. 3, из которого видно, что средняя движущая сила х*А — хА, полученная по этим прямым, больше истинной средней движущей силы. Тогда рассчитанная таким способом величина ппТ меньше истинной. Отметим также, что величина хА л, определенная по прямым С, неточна.
Кривизна равновесной линии может быть противоположной кривизне, показанной на рис. 37. 3. При определении ошибки, совершаемой при пользовании уравнениями (37. 25), (37. 27) или (37. 28), нужно учитывать специфический характер рассматриваемой системы.
СПОСОБЫ РАБОТЫ
Общность уравнений. Как уже несколько раз отмечалось, уравнения этой главы и гл. 33 применимы к ряду процессов разделения. Чтобы наше объяснение не было слишком абстрактным, использовался частный пример абсорбции. Однако обозначения G, L и УА,%А можно применять к двум жидким фазам или к жидкой и твердой фазам, как в случае газовой и жидкой фаз при абсорбции, дистилляции и ректификации. Индекс «О» всегда относится к тому концу аппарата при противотоке, где концентрации высоки, а индекс «1» — где концентрации низкие. Это условие означает, что z = 0 приходится иногда на верхнюю часть реальной колонны. Можно использовать либо массовые, либо мольные единицы.
Абсорбция. Для абсорбции рабочая линия на графике УА — хА располагается над линией равновесия; обычно пользуются мольными единицами. Абсорбируемое вещество А из смеси с газом В переносится в жидкость С; В и С взаимно нерастворимы.
543
Подходящие выражения движущей силы: уА — уА&, уА — у*А, xAs — хА или х*А — ХА- На рис. 37. 4 показана типичная диаграмма зависимости уА от хА для разбавленных растворов. Уравнение (37. 25) показывает, что число единиц переноса увеличивается с уменьшением среднего расстояния между рабочей и равновесной линиями. В большинстве практических случаев мы хотим уменьшить концентрацию компонента А в известном количестве газа до некоторой величины, пользуясь жидкостью известного состава. Таким образом, уА р уА 0, хА f иб заданы. Нижний конец рабочей линии
1 — низ реальной колонны; 2 — точка касания.
фиксирован, поэтому с изменением расхода абсорбирующей жидкости L изменяется наклон рабочей линии, и ее верхний конец перемещается вдоль горизонтальной прямой уА = yAQ- Минимальным значением L является одно из его значений, соответствующее сечению в колонне, где движущая сила равна нулю. Для прямых, показанных на рис. 37. 4, точка касания приходится У А О
на конец колонны с высокими концентрациями, где #Л0— •
Движущая сила в точке касания равна нулю, а число единиц переноса, как следует из уравнения (37. 21), равно бесконечности.
Величина наклона-^- в точке касания является минимально G
возможной, и реальные рабочие условия определяются через
. Например, абсорбционные аппараты обычно работают /min
544
при 4-, равном 1,4(4-) . Существует оптимальное с экономиче-ской точки зрения отношение Слишком низкое значение этого отношения приводит к очень большой высоте колонны, а слишком большое значение требует большого расхода абсорбента; это повышает стоимость извлечения поглощенного вещества из абсорбента, а диаметр колонны должен быть увеличен соответственно большому жидкостному потоку.
Десорбция, или отгонка. Процесс переноса летучего растворенного вещества А из жидкости С в газ В называется десорбцией, или отгонкой. Газовую фазу можно рассматривать как поглотитель, который удаляет растворенные вещества из жидкости. Исходная жидкость с большим содержанием поглощенного вещества вводится в верхнюю часть колонны, а газ — в нижнюю ее часть. Обогащенный газ уходит из верхней части колонны, а обедненная жидкость — из нижней части. Вещество переносится в направлении, противоположном тому, которое было при абсорбции, и движущая сила равна уА, у*А “ УА> или ХА — Х*А-
Рабочая линия, как показано на рис. 37. 5, лежит под кривой равновесия. Обычно нижний конец рабочей линии фиксирован, а для поглощения веществ
из жидкости с начальной концентрацией хА можно применять различные количества газа. Минимальный расход газа
I соответствует максимальному наклону — .
G
При абсорбции высокие концентрации обеих фаз (0) были в нижней части колонны, а при десорбции — в верхней. Уравнения для расчета числа единиц переноса можно применять без изменения, за исключением перемены знака в выражении движущей силы. Рис. 37. 5 показывает, что если рабочая или равновесная линия не прямые, то точка касания не обязательно приходится на один из концов колонны.
Жидкостная экстракция. В этом процессе жидкий растворитель В применяют для того, чтобы проэкстрагировать
Рис. 37. 5. Значения
(4- ] при десорбции
G /max
газа.
1 — истинная рабочая линия; 2 ~ верх реальной колонны;
3 — точка касания; 4 — рабочая линия для минимального расхода газа; наклон равен (-) •
\ G / max
35 Заказ 519.
545
растворенное вещество А из второй жидкости, в которой оно растворено. В этой главе мы рассмотрим только системы, в которых жидкости В и С не смешиваются. Жидкостная экстракция выгодна для выделения компонента А из С, когда 4 и С имеют одинаковую летучесть и их разделение путем ректификации затруднительно. Растворенное вещество А поглощается растворителем В, который выбирается так, чтобы 4 и В легко разделялись дистилляцией, ректификацией или каким-либо другим способом. Обогащенный поток растворителя называется экстрактом, а обедненный растворенным веществом поток С — рафинатом.
Рис. 37. 6. Условия минимального расхода экстрагента (концентрированные экстракты) при жидкостной экстракции.
а — линия равновесия; б — рабочая линия при минимальном расходе экстрагента; в — действительная рабочая линия.
Как видно, экстракция очень похожа на десорбцию или отгонку, и мы условимся, что растворитель (экстракт) является фазой у или G, а рафинат — фазой х или L. Обычно используют массовые единицы, а не мольные. Как показано на рис. 37. 6, рабочая линия лежит в данном случае под равновесной. Минимальный расход растворителя соответствует максимально возможному наклону-^- при экстракции из данного количества исходного раствора растворителем данного состава.
Уравнения из гл. 33 и 37 справедливы, если заменить мольные доли массовыми, а именно:
_ 7° (1-Уд)/т^А
у А 1
(37. 30)
546
Уравнение (37. 30) следует применять вместе с уравнениями (33. 36) и: (33. 37) для HG и ^. Другим, более трудоемким способом является использование Н& определенного по уравнению (33. 30), и нахождение nG после замены мольных долей в уравнениях (37. 14) и (34. 17) массовыми долями согласно уравнению
Рис. 37. 7. Способы работы распылительной колонны.
а ~ диспергируется легкая жидкость; б — диспергируется тяжелая жидкость. 1 — легкая жидкость; 2 — тяжелая жидкость.
(32. 2).' Хотя этот способ несколько более строгий, невысокая точность имеющихся данных по массопередаче не оправдывает применения этого более точного способа.
Для разбавленных растворов уравнение (37. 27) принимает вид
_ хАо~хА1
0L (хА~х*А)1т
(37. 31)
Кривую равновесия на рис. 37. 6 иногда называют кривой распределения. Тангенс угла наклона т иногда называют коэффициентом распределения, поскольку он показывает равновесное распределение компонента А между жидкостями В и С.
35*
547
Рис. 37. 8. Абсорбция при прямоточном движении.
а — верх реальной колонны; б — рабочая линия ( наклон равен — — );
\ G/
в — линия равновесия.
При жидкостной экстракции высокие концентрации обеих фаз при противотоке могут быть как в верхней, так и в нижней части колонны в зависимости от того, является ли экстракт более легкой или более тяжелой фазой, чем рафинат.
Рис. 37. 7 показывает два способа работы колонны для жидкостной экстракции. Фаза, образующая капли, называется дисперсной фазой; другая фаза — сплошная. В показанной на рисунке распылительной колонне нет никаких внутренних устройств. Для более эффективного контакта фаз колонна может быть заполнена насадкой или снабжена отбойниками или мешалками.
Прямоточный процесс. Хотя противоток имеет много преимуществ перед прямотоком, последний в некоторых случаях может применяться. Например, движение в отдельных
ступенях некоторых многоступенчатых аппаратов может быть прямоточным. Некоторые колонны также работают по принципу прямотока для достижения высоких скоростей и, как следствие, высоких коэффициентов массопередачи. Положение рабочей линии при экстракции прямотоком показано на рис. 37. 8. Метод расчета высоты колонны не отличается от методов, применяемых для противоточного движения.
ЗАМЕЧАНИЯ О КОНСТРУКЦИИ АППАРАТОВ
Процессыконтактирования газа и жидкости. Наиболее распространенным видом аппарата для .непрерывного контакта является насадочная колонна. Некоторые типы насадки показаны на рис. 37. 9. Свойства этих насадок даны в табл. 37. 1. Насадка предназначена для создания большой поверхности контакта фаз при минимальном сопротивлении их движению.
Мы видели, что высота насадочной колонны зависит от эффективности массопередачи; диаметр колонны устанавливается по расходу обрабатываемых веществ. Если удвоить расходы газа и жидкости, то нужно удвоить площадь поперечного сечения колонны, чтобы сохранить неизменными расчетные массовые скорости. Высота колонны и число единиц переноса останутся неизменными.
548
В гл. 15 мы рассмотрели движение однофазного потока через слой насадки; теперь рассмотрим встречное движение газа и жидкости. Когда жидкость стекает вниз по насадке, некоторое количество ее задерживается во впадинах колец или седел и в промежутках между ними; существует минимальная задержка жидкости,
Рис. 37. 9. Некоторые виды насадок.
1 — кольцо Рашига; 2 — кольцо Лессинга; 3 — седло Берля; 4 — седло Intalox.
не зависящая от того, насколько низок ее расход. Когда L увеличивается, задержка возрастает. Даже в отсутствии восходящего потока газа скорость стекающей вниз жидкости можно увеличивать до тех пор, пока колонна не захлебнется, т. е. не заполнится жидкостью.
Таблица 37 • 1 Характеристики насадки [166]
Керамические кольца Рашига
Кольца Рашига из графита
Седла Берля
Седла Intalox
6,35
12,7
19,05
25,4
38,1
0,568
0,742
0,685
0,711
2520
1865
653
521
364
2360 —
1790 0,707
715 —
538 0,745
380 0,67
9800
1220
1100
558
302
6130 1170 1080
555 325
— 13 850
— 1880
0,71 624
0,764 751
0,76 259
1575
682
0,74 328
0,80 170
е ар/е8
Когда жидкость стекает вниз по насадке с умеренной скоростью, при которой нет чрезмерной задержки ее в колонне, снизу вверх по колонне можно пропускать газ. Перепад давлений при этом больше, чем в несмоченной насадке, так как сечение, предоставленное газовому потоку, сужается из-за задержки жидкости. Когда при постоянном L увеличивается G, возрастают межфазное трение и задержка жидкости. Наконец, при некотором значении G задержка настолько велика, что колонна начинает заполняться
549
жидкостью. Колонна не может работать при скоростях, превышающих скорость захлебывания, которая является функцией
скорости жидкости, ее свойств и характеристик насадки.
Типичный график, по-
Рис. 37. 10. Влиянием скорости жидкости на перепад в насадочной колонне (противоток).
а — L = 97 500; б — L = 48 750; в — L = 4 875; г — L = 0.
Рис. 37. 11. Скорости захлебывания для беспорядочно загруженной насадки в условиях абсорбции» Единицы измерения: кг, сек, м, за исключением выраженной в сп [150].
казывающий схематично зависимость между перепадом давления в колонне и расходами жидкости и газа, дан на рис. 37. 10. На рис. 37. И приведена зависимость для скорости захлебывания в насадочных колоннах. Из табл. 37. 1 можно взять данные для определения величины , входящей
в ординату графика на рис. 37. 11; но, по возможности, следует пользоваться истинными данными; доля пустот в на
садке очень сильно зависит от способа ее загрузки в данную колонну. Обычно диаметр абсорбционной колонны берут таким, чтобы скорость газа составляла от 50 до 70% от скорости захлебывания. Многочисленные данные о перепаде давлений и захлебывании приведены в справочниках Перри, а также в книге Шервуда и Пигфорда [148].
Процессы в системах жидкость — жидкость. Условия в насадочной колонне для жидкостной экстракции в основном те же, что в насадочной колонне для контактирования газа и жидкости. Так как плотности двух фаз различаются ненамного, то предельные
550
скорости в процессах противоточной жидкостной экстракции меньше скоростей захлебывания в процессах контактирования газа и жидкости. Зависимость для скоростей захлебывания в экстракционных колоннах приведена на рис. 37. 12.
В процессах жидкостной экстракции иногда используют без-насадочные распылительные колонны. Скорости захлебывания
в этих колоннах можно определить по минимальной скорости псевдоожижения твердой частицы того же диаметра, что и капли дисперсной фазы [169]. Диаметр капель определяется размером выходных отверстий сопел распылителя. Соответствующие зависимости можно найти у Трейбала [165].
Пример 37. 1
Из смеси воздуха с ацетоном, содержащей 2,00% мол. ацетона, нужно извлечь 95% последнего в противоточной абсорбционной колонне непрерывного действия при расходе воды на 20% выше минимального. Чистая вода вводится в верхнюю часть колонны, а газовая смесь в количестве 453 кг/ч подается в нижнее сечение колонны. Требуется найти высоту и диаметр колонны с насадкой из колец Рашига диаметром 25,4 мм (мокрая загрузка) 50% от скорости захлебывания.
Рис. 37. 12. Скорости захлебывания в насадочных экстракционных колоннах [30].
ис — линейная скорость сплошной фазы, м/ч; up — линейная скорость дисперсной фазы, м/ч; qc — плотность сплошной фазы, кг/м9; ар — удельная поверхность насадки, мг/м9; ^'—вязкость сплошной фазы, сп; о' — межфазное натяжение, дин/см; е — доля
пустот в насадке; Aq = qc —
»и скорости газа, составляющей
Предполагается, что колонна работает в изотермических условиях под атмосферным давлением и при температуре 26,7® С; равновесной зависимостью является у А = 2,53 хА. Коэффициент диффузии ацетона в воздухе Z>AB ~ 0,0342 мЧч, а коэффициент диффузии ацетона в воде DAC = = 0,447 -10”5 мЧч.
Потоки обозначены так, как показано на рис. 37. 1, причем, по условиям задачи, уА о = 0,02 и "хА = 0. Так как расход воздуха по высоте колонны остается неизменным, удобно перейти к абсолютным мольным концентрациям: YА о = =0,0204 молей ацетона на моль воздуха (моль/моль).
На выходе из колонны, если абсорбция прошла на 95%, YA =0,05*0,0204= = 0,00102 УА х.
Поскольку рабочая и равновесная линия —почти прямые, минимальный расход воды соответствует достижению равновесия в нижней части колонны, так ито (хА )тах = 2:21 = 0,00790. Далее имеем:
_ 0,0200 — 0,00102
G /min 0,00790—0
2,41.
551
Рис. 37. 13 показывает этот путь расчета. Действительный наклон рабочей линии равен 1,2-2,41 = 2,89, а хА * = 0,00658.
Число единиц переноса можно рассчитать по уравнениям (37. 25) и (37. 26):
(уЛ = 0,02- 0,00658 • 2,53 = 0,00336;
(У А ~ У*л)1 = 0,00102 - 0 = 0,00102;
(УА~У*л)1т=0,001967;
_ 0,0200 — 0,00102
”0G 0,001967
9,65
или же можно воспользоваться уравнением (37. 28), в котором Sj — 0,875.
Для расчета высоты колонны необходимо знать величину HqG, которую можно определить по массовым скоростям
жидкости и пара. Скорость захлебывания определяется по рис. 37. 11 следующим образом:
меру 37. 1.
а — действительная рабочая линия; б — линия равновесия.
L
2,89-18 1/ 1,18
“29— V -99бТ=°’0617’
,0,2
0,14=----—
WgQl
* 0,14 • 9,81 • 1,18 • 996,4 .
538 (O.86O)0’2
G = 1,76-3600 = 6350кг/л«2-ч при захлебывании.
Рабочая нагрузка колонны равна, следовательно, 0,5-6350 = = 3175 кг/м2^ч.
Диаметр колонны при расходе газа 453 кг/ч равен
1/ 4-453
V л • 3175
= 0,43 м.
Нагрузка по жидкости равна 3175-2,89218 _ 5790 кг/м2.ч.
29
Высота единицы переноса по газовой фазе определяется по уравнению (36. 11) и табл. (36. 1):
Sc
Н _ 1,8 -10~8 • 3600 qDab 1,18-0,0342
= 1,607;
HG = 2,64 • (3175)0’32 • (5700)" °’S1 • (1,607)°’® = = 2,64 • G0’32 • Г**’81 • Sc0’8' = 0,54 m.
552
Для жидкой фазы
_ ОЖ)-10-3.3600 fiQ, SC= 9864-0,447. IO"’=694-
По уравнению (36. 12) и табл. 36. 2,
-0.ГО235' ( 0й1.3600 ' 694"‘- °'32 -
Общая ВЕП, рассчитанная по газовой фазе, получается из уравнения (37. 20):
Я0(? = 0,54+ 0,875- 0,32 = 0,82 м.
Требуемая высота колонны равна
2 = 9,65 - 0,82 = 7,9 м.
Перепад давлений, полученный по графику типа рис. 37. 10, составляет 400 мм вод. ст., что приблизительно соответствует расходу энергии
400-453 по< .
1,18-3600.75.0,70 U,B1 Л' С'
К. п. д. вентилятора принят равным 0,70.
Пример 37. 2
Уксусную кислоту нужно проэкстрагировать из водного раствора с концентрацией 15% масс, при помощи чистого метилизобутилкетона. Экстракт должен содержать 7,5% масс, уксусной кислоты, а рафинат — 1% масс, уксусной кислоты. Требуется определить необходимую высоту колонны.
Рис. 37. 14. Рабочая диаграмма к примеру 37.2.
а — линия равновесия; б — рабочая линия.
Равновесные данные представлены на рис. 37. 14; линия равновесия слегка искривлена. Растворы являются слишком концентрированными для того, чтобы рабочую линию можно было принять за прямую, так что — " ' G
нужно рассматривать как переменную величину.
553
Мы будем решать эту задачу, предполагая, что фазы взаимно не растворимы; тогда справедливы следующие зависимости:
с= 1-< '
г _
Расчеты упрощаются, если составлять материальный баланс относительно потоков чистой воды и чистого кетона, введя абсолютные массовые концентрации:
УА = ° л 1-уА
ХЛ = ХА ^~ХА
ya
У А~ ‘ 1+^А
ХА~ ХА
Уравнением, аналогичным уравнению (37к6), является
Ьс _yAo-yA1
%Ао % А 1
где индексом С обозначена вода, а индексом В — кетон. Для данной задачи
Уао = 0,075; yao =0,0811;
ХАо = 0,150; Хао = 0,1768;
VA1 =0; yA1 =0; '
ХА! =0,010; Xai = 0,0101.
m LC 0,0811 Л ,о„
Тогда GB 0,1768—0,0101 °’487’
Запишем уравнение (1) для произвольной точки:
Ya = 0,487 ХА — 0,0050 (2)
и составим с его помощью следующую таблицу:
*а Ya ХА УА
0,0101 0 0,0100 0
. 0,0527 0,0206 0,0500 0,0202
0,1111 0,0491 0,1000 0,0468
0,1768 0,0811 0,1500 0,0750
554
Рабочая линия изображена на рис. 37. 14; она также слегка искривлена. Обычно для процессов экстракции рассчитывают n0L или пь.
Так как равновесная и рабочая линии имеют одинаковый знак кривизны, то можно с достаточной степенью точности применить уравнение (37. 31). Строго говоря, следовало бы знать не общее, а частное число единиц переноса, но все известные нам экспериментальные данные относятся к общему числу единиц переноса.
Воспользуемся для расчета уравнением (37. 31):
ха 1 ” ХА 1 = °»0100 “ 0 = 0,0100;
6,77.
хл о~хА о = 0,1500-0,1030=0,0470;
(^-4)Jm=-S=°’0207;
_ 0,1500—0,0100 n°L 0,0207
Тот же самый результат получается путем графического интегрирования.
Значения ВЕП для распылительной колонны приводились в литературе, и их можно найти у Трейбала. Установлено, что когда дисперсной фазой является вода, как показано на рис. 37. 7, б, то для сплошной фазы H0G = = 1,83 м. По уравнению (37. 20) получаем:
ноь=^нов’ т^0,700; 4-0.4S7;
2 = 6 -77 •1,27 = 8,6 м*
Можно вести расчет и иным путем, определив непосредственно по рис. 37. 14, пользуясь при этом не массовыми, а мольными долями. В этом случае нужно использовать гораздо больший отрезок кривой равновесия. Графическое интегрирование произведено, начиная со следующей таблицы:
УА у*а-Уа 1 у*а~Уа
о 0,0065 154,0
0,0125 0,0110 90,9
0,0250 0,0160 62,5
0,0375 0,0215 48,8
0,0500 0,0285 35,1
0,0625 0,0350 28,6
0,0750 0,0415 24,1
^qq—4,44: 2 — 4,44*1,83 — 8,1 м.
* В тексте допущена опечатка: 6,27 м вместо 6,77 м. (Прим. ред.).
555
Эта величина хорошо согласуется с полученной ранее. Заметим, что член, подобный второму члену в правой части уравнения (37. 19), не был учтен ввиду приближенного характера расчета.
‘..Влияние введения насадки можно найти по данным, приведенным у Трейбала. Если диспергируется кетон, как на рис. 37. 7, а, и применяется насадка из графитовых колец Рашига диаметром 12,7 то H0G = 0,436 м. Тогда z — 0, 436*4,44 =т= 1,94 м. Увеличение скорости экстракции вызвано повышением турбулентности и увеличением межфазной поверхности в результате введения насадки. На величины ВЕП сильно влияют тип и размер распылительного сопла, направление массопередачи и выбор диспергируемой фазы. В настоящее время эти вопросы лучше всего рассматривать с эмпирической точки зрения; подробное рассмотрение приводится у Трейбала.
Задачи
37. 1. Нужно абсорбировать аммиак из потока воздуха в колонне с насадкой из колец Рашига диаметром 25,4 мм. Исходный газ содержит 2% мол. аммиака, который нужно извлечь на 90%, используя в качестве абсорбента чистую воду. Необходимо рассчитать требуемую высоту слоя насадки, при условии, что скорость жидкости на 25% превышает минимальную, а массовый расход газа равен 1953 кг/м2-ч. Можно принять, что температура постоянна и равна 30° С, а полное давление по всей колонне равно 1 ат. Необходимые данные приведены в справочнике Перри.
37. 2. Бензойную кислоту нужно проэкстрагировать из ее раствора в толуоле, применяя в/качестве экстрагента чистую воду, в насадочной противоточной колонне непрерывного действия. Исходный раствор содержит 0,162 кмоль бензойной кислоты в 1 м3 раствора, а воды подается 12,5 объемов на один объем толуола. Требуется извлечь бензойную кислоту на 95%.
Равновесные данные:
Концентрация бензойной кислоты в водной фазе, кмоль/м8 Концентрация бензойной кислоты в толуольной фазе, кмоль/м8
0,162* НГ* 0,113*10-»
0,324*10-2 0,648*10-2 0,194*10-» 0,486*10-»
0,972*10-2 0,906*10"»
1,296*10-2 1,588*10-»
1,458*10-2 2,057*10-»
Фазы можно считать взаимно нерастворимыми.
Требуется определить необходимую высоту слоя насадки, если высота единицы переноса для фазы толуола равна 0,915 м, а коэффициент массоотдачи в водной фазе в три раза выше, чем в фазе толуола.
Хотя уравнения, необходимые для решения этой задачи, выведены с использованием мольных или массовых долей, их легко привести к виду, включающему концентрации в кмоль/м3, так что приведенные в таблице данные не требуется переводить в мольные доли.
37. 3. Нужно абсорбировать аммиак из потока воздуха под давлением 1 ат в колонне с насадкой из колец Рашига диаметром 50,8 мм, работающей при 30° С. Исходный газ содержит 10% мол. аммиака, 99,9% которого должен поглотить абсорбент. Чистая вода подаётся в верхнюю часть колонны со скоростью, превышающей на 20% минимальную скорость. Требуется найти высоту и диаметр колонны, рассчитанной на работу при скорости, равной половине скорости захлебывания, и пропускающей 1360 кг/ч газа.
37. 4. 45 кг/ч 20% по весу раствора диоксана в воде обрабатывается чистым бензолом при 25° С в колонне с насадкой из колец Рашига диаметром 25,4 мм, чтобы довести содержание диоксана в рафинате до 3% вес. Фазы 556
можно считать взаимно нерастворимыми, а по закону равновесного распреде^ ления уА = 1,30 хА. Определить высоту и диаметр колонны, работающей с расходом растворителя, на .40% превышающим минимальный. Общая высота единицы переноса, рассчитанная по водной фазе, Яо£ = 1,22 Mi
37. 5. Коэффициенты массоотдачи иногда определяют но методу Вильсона, описанному применительно к теплопередаче в гл. 29. Описать опыты, которые нужно провести, и показать, как представить результаты этих опытов, чтобы найти коэффициенты массоотдачи по этому методу.
37. 6. Уитни и Вивиан [171J измерили скорость абсорбции SO2 водой и установили следующие зависимости для насадки из колец Рашига диаметром 25,4 мм при 21,19 С:
• kLa = 0,012 • L0»82;
кга = 29,82 .G°’7-L0’25. иг
Эти зависимости получены по методу Вильсона.
Нужно применить эти уравнения для расчета высоты и диаметра колонны, через которую пропускается 1133 м3/ч воздуха под давлением 1 ат и при температуре 21,1° С, содержащего 20% мол. SO а. Нужно извлечь 99,5% SO а при расходе воды, превышающем минимальный на 25%,. Скорость газа можно выбрать равной половине скорости захлебывайия. Отметим, что kLa и kG& отнесены к движущим силам, выраженным в кмоль! м3 и ат. Сопоставить значения ВЕП, получённы± по уравнениям Уитни и Вивиана, со значениями, полученными из общих зависимостей, приведенных в этой главе. Как объяснить расхождения?
38. ОДНОВРЕМЕННЫЙ перенос КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ, ТЕПЛА И МАССЫ
При рассмотрении коэффициентов массоотдачи в ряде предыдущих глав было выяснено влияние потока массы на эти коэффициенты. Это влияние было рассчитано количественно в гл. 34 для ламинарного пограничного слоя на плоской пластине. Для насадочных колонн и для турбулентного потока влияние потока массы было приблизительно учтено с помощью фактора (1 — ^Л)гтп применительно к распространенному случаю, когда NB = 0.
Вследствие аналогии между переносом массы и энергии результирующий ноток массы должен влиять как на величину коэффициента массоотдачи, так и на коэффициент теплоотдачи; это явление рассматривалось в гл. 34. Заметим, что здесь идет речь о влиянии потока массы на поток энергии при данном Ai и заданных параметрах потока, таких как н0, ц и другие. Это влияние является результатом воздействия нормальной составляющей скорости у поверхности на распределение скоростей вблизи последней, т. е. в пограничном слое, которое, в свою очередь, определяет величину коэффициентов массо- и теплоотдачи. Влияние может быть оказано и на перенос количества движения (что отражается на значениях / или СD), но во многих распространенных случаях поток массы недостаточно велик для того, чтобы значительно повлиять на эти коэффициенты.
В данной главе будет идти речь также о влиянии потока массы на поток энергии в отличие от его влияния на коэффициент теплоотдачи. Например, при отсутствии радиации от твердой поверхности энергия, требуемая для испарения капли жидкости, взвешенной в газе, должна подводиться из объема последнего. Так как теплопередача происходит только при наличии температурного напора, то в конечном счете поток массы испаренной жидкости накладывается на поток энергии, необходимой для подвода скрытой теплоты парообразования к поверхности жидкости. Массо-558
передача из области высокой концентрации у поверхности жидкости в поток газа сопровождается одновременной теплопередачей в противоположном направлении для подвода необходимой теплоты парообразования. Этот перенос тепла возможен в том случае, если капля имеет более низкую температуру, чем газ. Коэффициент теплоотдачи имеет то же значение, что и при отсутствии массопередачи, если поток массы мал и не приводит к действию факторов, указанных выше.
При жидкостной экстракции или абсорбции в случае разбавленных растворов тепловой эффект, возникающий вследствие массопередачи, незначителен. Но мы рассмотрим случай абсорбции газа, сопровождающейся значительным изменением температуры. В процессах увлажнения и сушки происходит обычно испарение чистой жидкости, и разность температур между фазами часто бывает значительной. В последней части этой главы будет приведено несколько примеров этих процессов, чтобы показать некоторые практические последствия одновременной тепло- и массопередачи.
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ
В гл. 34 изучалась массопередача для бинарной смеси в ламинарном пограничном слое на плоской пластине. Было рассчитано влияние результирующего потока массы в направлении, перпендикулярном пластине, на коэффициент массоотдачи. Результаты расчета представлены на рис. 34. 1. Отмечалось, что этот поток массы влияет на коэффициент теплоотдачи. Мы увидим, что он влияет также и на коэффициент гидравлического сопротивления.
В данной главе мы распространим результаты, полученные в гл. 34, на перенос тепла и количества движения, базируясь на их аналогии; детальные выводы не будут приведены. Мы начнем с написания следующих уравнений для переноса количества движения, тепла и массы в ламинарном пограничном слое на плоской пластине, выведенных в предыдущих главах.
Из уравнений (12. 70) и (12. 72) имеем:
из уравнения (24.3)
а из уравнения (34.4)
/ Qa$ Qa \ j ( Qas~~Qa \
(Г ---------- d ----------------------- j
\ Qas Qa о / । / (л) с*Л \ Qa$ Qa о / __п
+ 2 dv\
(38.1)
(38. 2)
(38.3)
[59
В гл. 12 мы имели: уравнение (12.68):
fX 9
уравнение • (12. 69):
/(Я) = -^Х=.
у XUqv
- В уравнении (12. 69) ф является функцией тока. Аналогию между переносом количества движения, энергии и массы хорошо
Рис. 38. 1. Профили скоростей, температур и концентраций в ламинарном пограничном слое на плоской пластинке [112].
иллюстрируют уравнения (38. 1)—(38. 3). Для случая, когда
Рг = Sc - 1,
решения этих трех уравнений относительно
Ux
Uq
—— приводят к одной и той же функции от переменке — Qas Qao
ного т|, характеризующего положение. Итак, кривая А (I) на рис. 38. 1 показывает изменение скорости, температуры и концентрации в зависимости от Rex и положения в пограничном слое. Естественно, что кривые для этих величин при числах Прандтля и Шмидта, равных единице, идентичны, ибо число Прандтля равно отношению кинематической вязкости к коэффициенту теплопроводности, а число Шмидта равно отношению кинематической вязкости к коэффициенту молекулярной диффузии.
Для распределения скоростей, показанного кривой А (7), возможны и другие распределения температуры и концентрации, зависящие от значений Рг и Sc. Уравнения (38. 2) и (38. 3) можно решить для значений Рг и Sc, отличных от единицы, и два полученных решения представлены на рис. 38. 1 в виде кривой А (0.72) применительно к Рг = 0,72 или Sc = 0,72 и кривой А (2)
560
применительно к Рг = 2 или Sc == 2. Например, для паров пентана, диффундирующих от обогреваемой плоской пластины через ламинарный пограничный слой воздуха, Рг 0,72 и Sc 2,0; — определяется по кривой Л (7), — по кривой А (0,72),
и0 ts с0
а ————- по кривойА (2). Для водяного пара, диффундиру-
QAs @А ф
ющего через слой воздуха от нагретой пластины, по-прежнему, Рг = 0,72, a Sc несколько меньше, чем 0,72. Тогда кривая Л (0,72) приближенно отражает как профиль температуры, так и профиль концентрации. Число Льюиса -ру- для этой системы приблизительно равно единице.
В гл. 34 мы выяснили, что поток массы у поверхности пластины, характеризуемый безразмерной группой иу8.-УRe*, оказы-и0 вает существенное влияние на форму кривых рис. 34. 1, что должно теперь проявиться также на рис. 38. 1. Группа —? У и0 принимает значение, значительно отличающееся от нуля либо из-за большой разности концентраций, либо благодаря притоку или оттоку жидкости через поры пластины. Кривые В на рис. 38. 1 применимы, когда вещество переносится из потока жидкости к пластине с такой скоростью, чтоЦу8 = —2,5. Кривые С относятся к случаю, когда вещество переносится от пластины в поток и Uys = 10.
Теперь представляет интерес показать, как влияют приведенные на рис. 38. 1 распределения скоростей, температур и концентраций на коэффициенты переноса CD, kQM.a, пропорциональные наклону кривых рис. 38. 1 при у = 0. По этим наклонам определяются местные коэффициенты для точки. Так как Uys 140 постоянно по длине пластины — см. уравнение (34. 5), то поправка к среднему по длине пластины L коэффициенту равна поправке к коэффициенту для точки.
При переносе количества движения коэффициент гидравлического сопротивления выражается уравнением (12. 81):
q 2>Fd 2Ts D “обл “об ’
где является локальным значением напряжения силы сдвига на поверхности т8. Эта величина согласно уравнению (12. 76) ₽авна / х
у=о
36 Заказ 519.
561
Объединяя уравнения (12.81) и (12. 76), получаем
С п = — D «ое L
(38.4)
Пользуясь определением г] из уравнения (12. 68), перепишем уравнение (38. 4):
или
(38.5)
(38. 6)
Производную в уравнении (38. 6) можно получить по наклону при т) = 0 кривых А (7), В (1) и С (1) рис. 38. 1 и очевидно, что коэффициент гидравлического сопротивления находится в большой зависимости от комплекса массопередачи Uyi Влияние u0
последнего на Cd показано кривой (1) на рис. 38. 2; Cd соответствует значению CD при иуз — 0.
Коэффициент массоотдачи kQ, представленный на рис. 38. 2 к'
в виде —г, определяется по уравнению, эквивалентному уравне-ко
нию (34. 6):
"л = Ч(ел.-«л.)+^ (38.7)
Потоки Na и ЛГ являются потоками при s (у = 0). По уравнению (34. 7) мы получаем
д 1--^—— \ Qa$ Qa о ду
(38. 8)
Jy=o
*q — Dab
Уравнение (38. 8) аналогично уравнению (38. 4). Однако следует напомнить, что в гл. 33—37 мы пользовались коэффициентом
<38-9)
Взаимосвязь между k'Q и kQ можно получить, объединив уравнения (38. 7) и (38. 9):
к k^As~SAb) + NxAs
° Qas Qa о
562
В предельном случае при N = 0 это уравнение показывает, что kQ и kQ идентичны. В этих условиях они обозначаются как kQ. В распространенном случае, когда Nn = 0, a N = ЛГЛ, мы имеем из уравнений (38. 7) и (38. 9)
(38.Ю)
Рис. 38. 2. Влияние массопередачи на коэффициенты переноса.
Цифры на кривых выражают^ ^значения числа Рг или
Преобразуя уравнение (38. 8) так, чтобы независимым переменным в производной стало т), получаем
— ^АВ
& / Qas Оа \ ч
\ Qas~~Qa о / I / qu0
dq ' №
(38. 11)
или в безразмерных группах
ио Sc Y Rex
,/ Qas“Qa \
а [--------1
\ Qas Qa о / dq
(38.12)
36*
563
Уравнение (38. 12), в котором производную вычисляют по наклонам кривых рис. 38. 1, показывает влияние массопередачи на коэффициент к'$, результаты показаны также на рис. 38. 2. Параметры (0,7) и (1) являются числами Шмидта. Приведенное выше уравнение массопередачи может быть выражено также через коэффициенты кх, к% и др. Коэффициент k°Q равен величине k'Q при иУ8 = 0; kQ получается на основании по уравнению (38. 10) для случая Nв = 0.
Коэффициент теплоотдачи а, который представлен в виде на рис. 38. 2, определяется зависимостью (24. 5):
или
(38.13)
Последнее уравнение можно привести к виду зависимости между безразмерными группами, разделив обе его части на Cpuoq :
$
(38.14)
П=о г ои^х
а __ X
CpW0Q £рЦ или
St =-----Ц . (38.15) I
Pr/Rex L *] J4=o ?
Производная в уравнении (38. 15) определяется по кривой рис. 38. 1; она является функцией как Рг, так и Uys ^Re*. Кривые на рис. 38. 2 применимы к теплообмену, если параметры (0,7) и (1) рассматривать как числа Прандтля. Коэффициент а 0 равен величине а при иУ8 = 0.
ОДНОВРЕМЕННЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА И МАССЫ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ
Точного решения уравнения пограничного слоя для теплопередачи с одновременной массопередачей при турбулентном режиме нет. Будет дано приближенное решение с помощью методов, примененных в гл. 33 нри выводе уравнения (33. 26) для массопередачи. Данный вывод преследует цель рассчитать влияние массопередачи на теплопередачу.
564
Предполагается, что у поверхности, обменивающейся теплом и веществом с жидкостью, существует неподвижная пленка. Эффективная толщина слоя Sm имеет величину, при которой скорости переноса равны полученным для реальных условий потока. Как и прежде, NB = 0.
Рассмотрим более распространенный случай, когда жидкость горячее, чем поверхность. Происходит перенос компонента А от поверхности в жидкость при отсутствии переноса компонента В. Рассматриваемые переменные показаны на рис. 38. 3. Поток NA через границу раздела создается либо в результате испарения
Рис. 38. 3. Пленочный механизм одновременной тепло- и массопередачи.
легко летучей жидкости или возгонки твердого вещества, либо в результате вынужденного потока компонента А через пористую пластинку. Имеется разность энтальпий iA$ — iA при переходе вещества из жидкого состояния (или из его состояния на противоположной от жидкости стороне пористой пластинки) к состоянию в паровой фазе у пластины. При испарении или сублимации t —iA выражает теплоту испарения или возгонки. Предположим, что вся необходимая для испарения энергия подводится от жидкости путем теплопроводности через гипотетический слой толщиной 6т. Кроме того, тепло нужно подводить для возмещения энергии, уносимой молекулами компонента А при их диффузии от поверхности. Тогда можно записать баланс энергии на длине 8т:
(h- ‘л .) + (‘л - = О' А -(38.16)
Но обычно в коэффициент теплоотдачи включают энергию, уносимую диффундирующими молекулами компонента А, так что мы имеем
= ЯлС<л.-‘л ,) = o' (I.->,)-IVл (L (38.17)
565
Применение пленочной теории и интегрального энергетического баланса по толщине дт приводит к определению коэффициента а Из зависимости
^А о ^As СрА (*о $$)
и уравнения (38.17) мы находим
а' = а
। [ СрА(*()—*8) iAs^iAi .
(38.18)
(38.19)
Коэффициентом а' иногда пользуются при рассмотрении одновременного тепло- и массообмена.
Так как этот анализ обычно применяют к газовой фазе, то пользуемся мольными единицами. Тогда для идеальных газов NA постоянно для всех значений у от нуля до dm; т. е. повсюду NB = = 0.
Для некоторой точки в пленке, лежащей между у = 0 и у = — бш,
( <«- G ,) + ‘л ~ U = * £ • <38- 20)
Проинтегрируем далее это уравнение от у = 0 до у = dm и от t = tt до t = t0, предварительно заменив iAa — I через Д»А, a iA—ilg через СрА (t—ts). Тогда уравнение (38. 20) примет вид
а после интегрирования
na=—V-т рА
In Г1 + ^-((о-tt) &1А
(38. 22)
Полный поток энергии у границы раздела равен NA&iA, так что по определению а —- см. уравнение (38. 17) — мы получим
1 +?£<*<>
а= L aiA J (38.23)
' '-ЙЙ
Если массопередачи нет, TO
о '0 Л От (38.24)
566
Иа уравнений (38.23) и (38.24) вытекает
где
(38.25)
&lA JZm
(32. 26)
Заметим, что уравнение (38. 20) переходит в эквивалентное уравнению (24. 5) при у = 0 (iA = lAs).
Уравнение (38. 25) аналогично уравнению (33. 26). Оно выведено для наиболее распространенного случая —- теплоотдачи к поверхности и массоотдачи от поверхности. При соответствующем изменении знаков уравнение (38. 25) применимо к другим сочетаниям тепло- и массопередачи, для которых NB = 0.
Хотя известно, что модель массо- и теплопередачи путем молекулярной диффузии и теплопроводности через неподвижную пленку является приближенной, уравнения (33. 26) и (38. 25) сейчас единственные для турбулентного потока. Величины а° и kQ определяются по зависимостям, приведенным в гл. 25 и 35.
Пример 38. 1
Температуры, развиваемые в ракетах, настолько высоки, что для предохранения стенок камеры сжигания от разрушения требуются особые предосторожности. В ракетах, работающих на жидком топливе, стенки можно охлаждать, если сделать их пористыми и нагнетать через них жидкий кислород в камеру сжигания; этот процесс называется испарительным охлаждением. Рассмотрим случай, когда температура газового потока равна 1667° К и желательно поддерживать температуру внутренней поверхности стенок равной 6469 К путем подвода жцдкого кислорода с температурой 90° К. Рассчитаем скорость подвода кислорода при условии, что коэффициент теплоотдачи для турбулентного потока без подвода . кислорода равен 1220 ккал/м2 *Ч'град.
Этот случай соответствует переносу компонента А через неподвижную среду В, и приближенное решение можно получить по уравнению (38. 22); при турбулентном потоке известно только решение на основе пленочной %
теории. Заменяя -т— через а0, или 1220, получим
От
NA = ~/т~ Ь [1 + (*о—*з)1 ..
СрА L *lA J
Для кислорода среднее значение СрА в пределах температур от 90 до 646° К принимается равным 7,20 ккал/кмоль- град, а скрытая теплота парообразования 1630 ккал/кмоль. Следовательно,
kiA = 1630+ 7,20 (646—90) = 5640.
567
В пределах от 1667 до 646° К можно принять СрА = 8,5, поэтому
*<=>>» ““•/—
Представляет интерес рассчитать величину а по уравнениям (38, 25) и (38. 26):
[1+AU (*в"°к= =1,658;
а = = 77^5" 736 ккал!м2 •4 ‘ гРад-
1 ,оэо 1 ,оЭо
По уравнению (38. 19)
а' = а • 2,545 = 1870 ккал/м* • ч • град.
Роль трех полученных коэффициентов можно подытожить следующим образом. Если бы никакой массопередачи не происходило, то превалировало -бы значение а0 = 1220; из-за массопередачи эта величина падает до 736. Но это последнее значение а включает энергию, переносимую компонентом А; скорость теплопередачи путем теплопроводности через фиктивную пленку определяется через а' = 1870. Если бы поток был ламинарный, можно было бы применить рис. 38. 2 и метод последовательных приближений;
- - а 1
при этом было бы установлено, что —т— того же порядка, что и — .
МАССОПЕРЕДАЧА В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОМ КОНТАКТНОМ АППАРАТЕ
Рассмотрим контактный аппарат, в котором растворение компонента А, переносимого из одной фазы в другую, сопровождается выделением тепла. Эти две фазы не смешиваются друг с другом, так что NB = 0. Для конкретизации примера будем рассматривать процесс абсорбции, хотя полученное решение можно применить * к десорбции, жидкостной экстракции и другим процессам раз- ? деления. v
Если жидкий абсорбент, вводимый в верхнюю часть абсорб-ционной колонны, имеет ту же температуру, что исходный газ, 4
вводимый в нижнюю часть колонны, то температура жидкости I
возрастает по мере стекания вниз по колонне. Тепловой эффект J абсорбции увеличивает теплосодержание жидкости; работа ко-лонны рассматривается как адиабатическая. В приближенных | расчетах теплообмен между фазами иногда игнорируется. Тогда | температура газа постоянна по высоте колонны, а температура г жидкости возрастает до максимальной в нижней части колонны. Так как коэффициент массоотдачи или ВЕП лишь незначительно I зависит от температуры, то единственным результатом изменения температуры жидкости является увеличение т с возрастанием хА и уА. Рабочая линия остается неизменной, а равновесная выгибается вверх; этот случай показан на рис. 38. 4.
568
Только что описанный расчет может привести к ошибочным результатам. По аналогии между тепло- и массопередачей ясно, что если массопередача между фазами происходит со значительной скоростью, то скорость теплопередачи также должна быть значительной. Это утверждение неточно в тех случаях, когда число Льюиса намного больше единицы. Для большинства систем газ — жидкость величина Le порядка единицы (между 0,5 и 3,0)-
Типичный процесс, сопровождающийся изменением температуры, показан на рис. 38. 5. Жидкость, входящая в колонну,.
Рис. 38. 4. Рабочая диаграмма абсорбции аммиака водой. Показано влияние теплоты абсорбции на температуру жидкости. Теплообменом между фазами пренебрегают [148].
1 — рабочая линия при максимальном расходе воды; 2 — равновесная линия при 60° С; 3 — равновесная линия для адиабатической колонны; 4 — равновесная линия при 20° С.
-встречается с газом, который был нагрет горячей жидкостью в расположенных ниже частях колонны; тепло передается от газа к жидкости, так что температура последней возрастает быстрее, чем при отсутствии теплообмена между фазами. В нижней части колонны жидкость отдает тепло входящему холодному газу. Тогда ее температура возрастает медленнее или убывает (как на рис. 38. 5) по мере стекания вниз по колонне.
Так как температуру газа определяет только теплосодержание, то газ нагревается горячей жидкостью в нижней части колонны и охлаждается холодной жидкостью в верхней ее части. Кривые изменения температуры двух фаз, таким образом, пересекаются в некоторой точке внутри колонны. Температура газа достигает максимума в некоторой промежуточной точке колонны; температура жидкости либо возрастает до максимума в нижней части колонны, либо достигает максимума в какой-либо точке внутри колонны в зависимости от конкретных условий.
569
Мы упростим решение, рассматривая только случай, когда В и С взаимно нерастворимы. Реальные жидкости могут быть частично взаимно растворимыми; например, вода, применяемая в качестве абсорбента, испаряется, если газовая фаза не насыщена парами воды.
Чтобы рассчитать высоту неизотермической контактной колонны, мы должны в общем случае прибегнуть к численному интегрированию дифференциальных уравнений, применимых к произвольному сечению колонны. Скорость массопередачи между фазами, согласно уравнениям (37. 12) и (33. 30), равна
У А-У AS
Рис. 38. 5. Экспериментальные про-<фили температуры для адиабатиче* ской абсорбции ацетона [148].
1 — температура газа; 2 — Температура воды.
dz
или для творов
dvA
__________1-Уа
^-Уа)1ш’
(38.27) разбавленных рас-
<38-28>
Материальный баланс для бесконечно малой высоты колонны dz дает
= 1,0, (38.29)
(Lxд)
а для разбавленных растворов 4^-= 4. (38.30)
dxA G
Уравнения (38. 29) и (38* 30) можно проинтегрировать независимо от других и получить уравнение рабочей линии — см. уравнение (37. 8). Иными словами, для заданных конечных концентраций и данного -4- рабочая линия не зависит от температуры.
G
Но температура жидкости определяет уАб и, таким образом, оказывает большое влияние на уравнения (38. 27) и (38. 28).
Скорость теплообмена между фазами записывают в виде, аналогичном уравнению (37. 9):
__ а’а (tv-ts)
Если СРу и G принять постоянными, то уравнение (38. 31) примет вид dty _ty-te
dz Hty ’
(38.31)
(38. 32)
.570
где Hty — высота единицы переноса тепла для фазы у, определяемая по уравнению
= (38.33)
ауа
Уравнения (25. 42) и (35,. 27) можно объединить с определениями ВЕП:
/ = T^ = Le/1. (38.34)
ку ьру
Так как для большинства систем Le близок к единице, та оба значения ВЕП — величины одного порядка.
Для установившегося адиабатического процесса тепловой баланс участка колонны высотой dz описывается уравнением
d(L-ix) = d(G.iy). (38.35)
Теплосодержания определяются по зависимостям
^Х = ёрх (38. 36)
г« = гя(‘»-М+«Л- (38-37)
Через qr обозначена мольная теплота растворения компонента А в абсорбенте при температуре tT. Если принять, что Z, СрХч G и Сру постоянны, то уравнение (38. 35) можно привести к виду
LCpx^ = (38.38)
Величины концентрации (мольной доли) и температуры на границе раздела yAs и ts определяются так, как это было описано-в гл. 33, из соотношения (33. 22):
__ кх _ Уа~Уа$ ку xA-xAs
и по аналогичному соотношению для теплообмена
«у
tx---$8
(38.39)
Если можно воспользоваться общими коэффициентами переноса, то отпадает необходимость в уравнениях (33. 22) и (38. 29), а уравнения (38. 28) и (38. 22) принимают вид
ЛУа = Уа-У*а dz Hqg
(38.40)
571
(38.41)
dt у __ t у--tx
dz Ht Qy
Приведенные выше уравнения нельзя проинтегрировать аналитически; расчет высоты неизотермической колонны следует проводить численным методом по ступеням. Путь расчета следующий. Предположив, что температуры и составы обеих фаз в нижнем сечении колонны (z = 0) известны, можно рассчитать производные и по уравнениям (38. 28) и (38. 32) или (38. 40)
и (38. 41). Эти производные позволяют рассчитать по уравнению (38. 38). Выбирают участок колонны с очень малой высотой Az, для которого производные принимают постоянными. Таким «образом, можно рассчитать Значения tx, t и уА на конце первого участка Дяа. По рабочей линии и уравнениям (33. 22) и (38. 39) .можно определить уАз и t8 на конце отрезка Дга. Эти величины ^Уа dty dtx позволяют определить новые значения —и в точке z — &za. Дальнейшая методика состоит в том, что эти новые величины производных принимаются постоянными на втором отрезке &z$; расчеты продолжаются до тех пор, пока не будет достигнут состав, соответствующий верхнему сечению колонны.
Описанная выше методика интегрирования становится точнее *с уменьшением величины Дг; она часто неточна при крупных, хотя и удобных для расчета участках. Для умеренно крупных участков точность можно повысить, если усреднять величины производных для двух концов отрезка. Методика расчета (например, метод Эйлера и Рунге и Кутта) описана в литературе [ИЗ; <63 ]. Эти расчеты последовательным приближением удобно производить на счетных машинах. Расчетные температуры для колонны .абсорбции ацетона водой показаны на рис. 38. 5.
Приведенные уравнения и методы расчета можно применять также в случаях, когда в колонне испаряется или конденсируется легколетучая жидкость. Единственным упрощением в этом случае является то, что значение к~ бесконечно велико (нет сопротивления массопередаче в чистой жидкости) и что уАз является функцией исключительно ts, так как хАз и хА всегда равны единице. Но расчет по ступеням неизбежен. Однако указанные упрощения возможны, если жидкостью является вода. Вопрос о других системах рассматривается в следующем разделе.
.572
ПРОЦЕССЫ С ВЛАЖНЫМ ВОЗДУХОМ
Определения. Влагосо де ржанием dA называется количество килограммов воды (компонента А), приходящихся на один килограмм абсолютно сухого воздуха. Можно ввести понятие мольного влагосодержания dA, но бЬлыпей частью в литературе по увлажнению и сушке пользуются величиной dA. Названные две величины связаны между собой зависимостью
A = (38.42)
Влагосодержание связано с мольной долей влаги по уравнению
(38.43)
Воздух называют насыщенным влагой (водяным паром) при данном давлении иг температуре, если он содержит максимально возможное количество водяных паров. Насыщение достигается, когда воздух находится в равновесии с жидкой водой. Влагосодержание насыщенного воздуха dAs есть величина dA, соответствующая парциальному давлению рА, равному упругости паров воды РА при данной температуре. Относительная влажность выражается отношением:
100-^. (38.44)
РА
Степень влажности или насыщения определяется отношением:
Ю0 = 100. > (38.45)
aAs 1 Ра
где РА и рА выражены в ат.
Теплоемкость влажного воздуха СрН определяется. зависимостью
c,.=c« + V,a, (38-46)
или
СРН = 0,24 + 0,46 dA, (38.47)
или
CpH = CPy(i + dA)- (38.48)
573
Величина СрН измеряется в килокалориях на килограмм сухого воздуха на градус (ккал!кг-град).
Объем влажного воздуха выражается суммой
VH = VB + dAV\ (38-49)
и измеряется в м3!кг сухого воздуха.
*
Теплосодержание влажного воздуха определяется по уравнению (38. 37) в единицах, соответствующих вышеназванным, т. е. в ккал!кг сухого воздуха:
ii«=CPK(,»-y + '-A. (38.50>
где— теплота испарения при температуре tr, от которой ведется отсчет, принимаемой во многих таблицах за —17,8° С (0° F) 1124].
Адиабатическая температура насыщения влажного воздуха есть температура, которой достигает влажный воздух при адиабатическом насыщении, т. е. при постоянном его теплосодержании. Рассмотрим очень высокую колонну для контактирования воздуха и воды; воздух, уходящий из верхнего сечения колонны, насыщен при температуре поступающей воды. Вода, покидающая нижнее сечение колонны, подается в ее верхнее сечение и циркулирует по колонне. Установлено, что при продувке воздуха данных параметров через колонну рециркулирующая вода достигает равновесной температуры.
Уравнение (38. 38) после интегрирования принимает вид
iCp. (° " V-',, 1) + "А А. - .)• <38.51>
Следует напомнить, что это уравнение описывает лишь тепловой баланс. Адиабатическая температура насыщения tas, которая равна tXQ, txl или tyl для высокой колонны, выразится
(38-52)
В последнем уравнении вместо dA подставлено dAs, т. е. влагосодержание насыщенного воздуха при температуре ta8.
Температура мокрого термометра twb есть температура, которую принимает небольшой объем воды, находящейся в контакте с большим количеством обтекающего ее воздуха. Прибор для измерения этой температуры показан на рис. 38. 6. Вся . энергия, необходимая для испарения воды, передается ей за счет уменьшения теплосодержания воздуха. Это те же условия, которые приводят к выводу уравнения (38. 17).
В наших обозначениях запишем
(38-53)
574
или
(38-54)
В принятых здесь единицах измерения уравнение (38. 34) для разбавленных растворов а у =а£) принимает вид
«у kdCpy
= Ъе/‘,
(38. 55)
так что уравнение (38. 54) можно записать как
Рис. 38. 6. Эскиз мокрого термометра.
1 — поток воздуха; 2 — фитиль; з — емкость с жидкостью.
t h = t----r—n-(d ^ — d.\.
wb y Cpy Le/a ' “b A'
(38.56)
Уравнение (38. 56) применимо к испарению любой жидкости; для воды, испаряющейся в воздух, Le = 1,0, а для очень разбавленных газовых смесей С pH
Сру, поэтому
(38-57)
Если, кроме того, пренебречь различием между г и гг, то видно, что twb и ta8 равны для системы вода — воздух при температурах, достаточно низких для того, чтобы газовая фаза представляла
собой разбавленный раствор (например, 50° С). Для других жидкостей температуры адиабатического насыщения и мокрого термометра не равны.
Температура точки росы есть температура, при которой влажный воздух становится насыщенным в процессе его охлаждения при постоянном давлении и влагосодержании. Давление точки росы есть полное давление, до которого нужно сжать влажный воздух при постоянной температуре и влагосодержании, чтобы довести его до насыщения.
Диаграмма влагосодержания. Взаимосвязь некоторых рассмотренных переменных удобно представить в виде диаграммы влагосодержания (рис. 38. 7). Пользование этой диаграммой показано в следующем примере.
Пример 38. 2
Измерения показали, что воздух, используемый в некотором процессе, имеет при 760 мм рт. ст. температуру сухого термометра 43,3° С и температуру мокрого термометра 29,4° С.
575
Теплоемкостъ^кал/кг сухого воздуха • град
* Рис. 38. 7. Диа-грамма влаго-£ содержания для системы воз-< дух—вода при 'ё 1 ат [19].
* 1 — зависимость объема насыщен-*
§ ного воздуха от сз температуры; 2 — £ зависимость удельного объема <g от температуры; 8 з — зависимость теплоемкости от Q влагосодержания;
3 4 — линии адиа-батического насыщения.
По рис. 38. 7 влагосодержание равно dA = 0,0205. Если воздух этих параметров охлаждать до насыщения, то роса появится при 25,39 С (77,59 F). Воздух при 43,3° С может содержать 0,0595 --------воды------- степень
кг сухого воздуха * насыщения составляет, таким образом, 34,5%, что можно определить также по кривым на диаграмме. Мольная доля водяного пара во влажном воздухе определяется по уравнению (38. 43), преобразованному к виду
Г — .
^А 18 ’
29^ А ^4 = 0,0320.
Парциальное давление водяного пара равно
рА = 0,0320 *760 = 24,3 мм рт. ст.
По справочнику Перри (стр. 772) мы имеем
РА = 65,9 мм рт. ст.
24,3
Следовательно, относительная влажность равна , или 36,9%.
Теплосодержание влажного воздуха при 43,3° С определяется по уравнению (38. 50):
^ = 0,249 • 61,1 + 597,3 • 0,0205 = 27,4 ккал/кг сухого воздуха.
Использованная величина скрытой теплоты парообразования воды относится к 0Q С. Так как для системы воздух — вода температуры мокрого термометра и адиабатического насыщения были приняты одинаковыми, то теплосодержание рассматриваемого влажного воздуха при 43,39 С должно быть равно теплосодержанию насыщенного воздуха при 29,4° С. По таблице в справочнике Перри на стр. 763 находим, что ias = 27,4 ккал!кг сухого воздуха при 29,49 С (h8 в принятых у Перри обозначениях).
Градирни. Когда нагретая вода стекает вниз по колонне навстречу восходящему потоку ненасыщенного воздуха, то она охлаждается, отдавая тепло на испарение некоторого количества воды в поток воздуха. Расчет высоты колонны для охлаждения жидкостей, отличных от воды, должен проводиться ступенчатым методом с использованием уравнений (38. 27)—(38. 41). Тот факт, что число Le для воды равно единице, приводит к значительному упрощению. Прежде всего, перепишем уравнение (38. 38) в единицах, используемых в процессах с влажным воздухом:
LCVX = GBC„ + GBr . (38. 58)
1 dz в рн dz В r dz ' '
Производная заменяется при помощи уравнения (38. 32),
d (dA)
а —-— заменяется при помощи соотношения
dz
d №а) __
dz ” HG
(38. 59)
37 Заказ 519.
577
аналогичного уравнению (38. 28). В результате получается
+ (38.60)
Для влажного воздуха Hty приблизительно равно HG, так "что можно написать
= 4 [С,.« (38- в»
Сг
Рис. 38. 8. Рабочая диаграмма градирни.
Л. — зависимость гуз от ts; 2 — зависимость iys от tx.
Путем сопоставления уравнений (38.61) и (38.50) получаем
тг dtx__ gb /. 7- ч
dz ~ HG (ly lys)'
(38. 62)
Левая часть последнего ура-у, dty внения равна также [уравнение (38. 35)]; поэтому имеем
__diy __ ~ hs dz Hq
Кроме того, объединив уравнения (38.62) и (38.63), получим
поэтому
т Г1 ___Р
diy_л L
dTxPxG^'
(38. 64)
(38. 65)
Так как правая часть уравнения (38. 65) — постоянная величина (предполагается, что количество испарившейся в колонне воды не изменяет значительно величины Z), то это уравнение описывает прямую на графике зависимости iy от tx (рис. 38. 8). Уравнение (38. 65) можно проинтегрировать и получить зависимость между iy и tx для любой точки колонны:
iy=^tx + iyo-^^. (38.66)
ьв
На основании данных об упругости паров воды и теплосодержаниях воздуха и воды получается кривая зависимости iy8 от t8, показанная на рис. 38. 8. Если сопротивление теплообмену в жид-578
кой фазе незначительно = О J, то t8 и tx идентичны. После нанесения рабочей и равновесной линий на график, подобный рис. 38. 8, можно найти iys — iy как функцию iy и вычислить интеграл, для определения высоты колонны:
гУ1
diy
— iy
(38. 67)
Изложенная методика не позволяет найти температуру газа ty или влагосодержание dA в зависимости от i или tx. Эти зависимости можно определять методом последовательных приближений1, используя следующее уравнение, полученное сочетанием уравнений (38. 32) и (38. 63):
dfy __ iy— iys dty ty ts
(38.68)
Для успешной работы колонны воздух не должен достигать насыщения, так как это приводит к образованию тумана. Если кривая зависимости iy от ty пересекает кривую равновесия, то это указывает на то, что в воздухе образуется туман.
Для градирни, или увлажняющей колонны, которую мы только что рассмотрели, рабочая линия лежит под равновесной. Для нее существует минимальный расход воздуха, который можно подать для обеспечения указанной производительности по охлаждению воды f , как показано на рис. 38. 8.
\ /max
В осушающей колонне применяется холодная вода для уменьшения влажности (и температуры) воздуха, подаваемого в нижнюю часть колонны. В этом случае рабочая линия располагается над равновесной, и существует минимальное количество воды, которое можно использовать для осушки заданного количества воздуха.
Пример 38. 3
Нужно охладить воду от 43,3 до 26,7° С в колонне с принудительной тягой в условиях, когда HG — 0,534 м. Воздух входит в нижнюю часть колонны с температурой 23,9° С, а температура мокрого термометра равна 21,1° С. Требуется найти высоту колонны в предположении, что расход воздуха в 1,33 раза превышает минимальный. Сопротивлением теплопередаче в жидкой фазе можно пренебречь.
Кривая равновесия, показанная на рис. 38. 9, построена по данным из справочника Перри (стр. 763—764). Теплосодержание воздуха, входящего в нижнюю часть колонны, равно теплосодержанию насыщенного воздуха при 21,1° С — температуре адиабатического насыщения ненасыщенного входящего воздуха. Точка 7, изображающая на рис. 38. 9 входящий воздух, имеющий адиабатическую температуру насыщения 21,1° С, расположена
1 Эта методика была описана [111].
37*
57$
на горизонтальной прямой теплосодержания 18,95 ккал/кг справа от кривой равновесия. Конец рабочей линии определяется температурой выходящей воды tx 1 = 26,7° С.
Максимальный наклон рабочей линии показан на диаграмме; реальная
рабочая линия, имеющая наклон, равный -т-—- от предельного, кончается 1,00
при iy о = 42 ккал/кг.
Тис. 38. 9. Рабочая диаграмма к примеру 38. 3. а — зависимость iy от tx‘, б — зависимость iy от ty;
в — зависимость iy8 от t.
Число единиц переноса определяется по уравнению (38. 67), для чего на основании рис. 38. 9 составляют следующую таблицу:
<х>°с 4у 1 irys ~
26,7 18,95 0,1934
32,2 26,6 0,2510
37,8 34,4 0,2107
43,3 42,0 0,1239
580
Путем графического или численного интегрирования получаем:
42,0
18,95 и далее
z = HGnG = 0,534 • 5,0 = 2,67 м.
Прежде чем принять этот результат, нужно проверить температуру воздуха в колонне. Для низа колонны по уравнению (38. 68) имеем
diy _ iys — iy __ 24,33—18,95 __ .
dty^tys-ty 26,7—23,9 “
Если выбирается интервал = 2,8 град, то при ty = 26,7е С получим iy= 18,95 + 2,8*1,92 — 24,33 ккал/кг. Наклон кривой в этой точке равен
diy _ 28,8-24,33 fi dty 30,55—26,7 , ‘
Средний наклон на интервале в 5 град равен — (1,92 + 1,16), или 1,54, так что исправленное значение гупри ty — 26,7° С равно 18,95 + 2,8*1,54 = = 23,26. Эта точка обозначена цифрой 2 на кривой зависимости iy от ty на рис. 38. 9. Горизонтальная прямая, проведенная из точки 2, дает температуру воды tx — ty6 = 30° С. Подобным же образом кривая зависимости iy от ty продолжается до точек 3 и 4, как показано на рис. 38. 9. Так как эта кривая пересекает кривую равновесия, то в колонне будет происходить образование тумана. Чтобы осуществить требуемое охлаждение воды, нужно работать с более высоким расходом воздуха — без образования тумана.
СУШКА
В процессе сушки из твердого материала удаляется вода или другая жидкость. Удаление влаги из газов и жидкостей также называется осушением, но мы будем рассматривать только сушку твердых материалов.
В наиболее распространенных сушильных аппаратах удаляемая из высушиваемого материала вода испаряется и уносится потоком воздуха. Но в качестве носителя влаги можно применять 11 другую ненасыщенную фазу, например, перегретый пар. Можно также вместо продувания ненасыщенного газа над твердым материалом понизить давление вакуум-насосом, так что жидкость будет кипеть при пониженной температуре.
Тепло, необходимое для испарения жидкости из твердого материала, в большинстве случаев передается преимущественно ют инертного газа — теплоносителя, подаваемого в сушильный аппарат при высокой температуре. В некоторых сушильных аппаратах твердый материал соприкасается с нагретыми металлическими поверхностями, и тогда часть теплоты испарения передается твердому материалу путем теплопроводности. В вакуумной сушилке, где нет газообразного теплоносителя, теплота испарения
581
должна подводиться путем теплопроводности или излучения; эффективность такого сушильного аппарата в значительной степени зависит от величины имеющейся поверхности нагрева.
Существует много разновидностей сушильных аппаратов [124]; здесь будут рассмотрены лишь немногие, наиболее важные из них. Простейшим сушильным аппаратом
1
Рис. 38. 10. Ленточная сушилка непрерывного действия (фирма «Проктор и
Шварц»). *
а — движение материала через три отсека сушилки с многократной перекрестной продувкой воздухом; б — вход воздуха на конце аппарата, где вводится влажный материал; в — вход воздуха на конце аппарата, где выводится высушенный материал.
1 — сушилка; 2 — валковый питатель; з — вентилятор; 4 — мотор; 5 — изолированный корпус; в — материал; 7 — парообогреватели; 8 — дно;
9 — транспортер.
а
является камерная сушилка, в которой высушиваемый материал помещается на полках. Над твердым материалом продувается нагретый воздух или создается вакуум. Материал высушивается партиями, периодически загружаемыми и выгружаемыми из камеры.
Обычно желателен непрерывный процесс; ленточная сушилка непрерывного действия показана на рис. 38. 10. Влажный материал подается на движущуюся ленту и соприкасается с горячим воздухом на всем пути его движения по туннелеобразному аппарату. Высушенный материал непрерывно выгружается на противоположном конце сушилки. Барабанная сушилка с нагревательными трубами, показанная на рис. 38. 11, применяется для сушки гранулированных твердых материалов. Когда корпус сушилки
поворачивается, материал поднимается вместе с ним и падает в заполненном воздухом центральном пространстве. Горячий воздух нагнетается с одного конца сушилки или через отверстия в кожухе. Обогреваемые поверхности увеличивают скорость подвода тепла в аппарате и способствуют быстрой сушке.
582
Изменение содержания влаги в высушиваемом твердом материале во времени показано на рис. 38. 12 для типичного периодического процесса. По наклону кривой на рис. 38. 12 можно получить кривую скорости сушки (рис. 38. 13). При последу-
Рис. 38. И. Барабанная сушилка непрерывного действия.
1 — эксгаустер; 2 — газ, уходящий к циклону; з — вход влажного материала; 4 — зубчатый венец; 5 — привод; 6 — выход продукта: 7 — паровые змеевики; 8 — воздуходувка; 9 — поперечное сечение, в котором видны скребки.
ющем рассмотрении процесса будем предполагать, что применяется воздух в большом избытке и с постоянной температурой сухого и мокрого термометров, так что в л агосо держание воздуха не изменяется во времени и не изменяется значительно при его прохождении через сушилку. Тогда скорость сушки является функцией только влажности ма
териала.
Вид кривой, показанной на рис. 38. 12, является типичным для многих твердых материалов. Вначале поверхность твердого материала покрыта влагой; эта влага удаляется с поверхности так же, как она удалялась бы с поверхности жидкости. При неизменных параметрах воздуха скорость сушки постоянна; темпера
Рис. 38. 12. Типичная кривая зависимости влажности материала от времени сушки при неизменных параметрах воздуха.
а — критическая влажность; б — равновесная влажность.
тура твердого материала равна температуре мокрого термометра у воздуха, если материал не нагревается путем теплопроводности или излучения от других твердых поверхностей. Принципы, развитые ранее для контактирования воздуха и воды, позволяют провести необходимые расчеты для периода постоянной скорости сушки. В этот период вода поступает из слоев твердого материала, лежащих близко от поверхности, достаточно быстро, чтобы поверхность была целиком смочена водой. Если твердый материал уменьшается в объеме при высушивании, то вода как бы выдавливается изнутри материала и период постоянной скорости сушки может быть длительным. При некоторой критической влажности на поверхности появляются небольшие сухие участки
583
Рис. 38. 13. Кривая скорости сушки при неизменных параметрах воздуха.
а — индукционный период; б — период постеянной скорости сушки; в — период падающей скорости сушки.
и скорость сушки начинает падать. Поверхность жидкости уходит в глубь твердого материала, и испаряемая влага должна диффундировать через поры твердого материала. Из-за капиллярного эффекта поверхность жидкости в мелких порах поднимается выше, чем в крупных. В конце концов фронт поверхности жидкости перемещается в глубь твердого материала и оставляет поверхность совершенно сухой. Время, в течение которого высушивается поверхность материала, иногда называется первым периодом падающей скорости сушки. Часто между двумя периодами нельзя провести границы, но иногда во втором периоде скорость сушки падает быстрее, чем в первом.
Диффузию паров воды в порах твердого материала можно описать дифференциальным уравнением материального баланса — см. уравнение (9. 22). Коэффициент диффузии в порах твердого материала меньше, чем в воздухе, так как их поперечное сечение частично заполнено твердыми частицами и путь диффузии
удлиняется из-за извилистости пор.'Эти факторы снижают эффективный коэффициент диффузии примерно до одной десятой от его значения для системы воздух — вода. Хотя эффективный коэффициент диффузии в твердом материале меньше, чем в пограничном слое, эффективный коэффициент теплопроводности обычно выше эффективного коэффициента теплопроводности в пограничном слое. Через высушиваемый твердый материал тепло передается путем теплопроводности. Это приводит к тому, что температура на границе раздела пар — жидкость становится выше температуры мокрого термометра в осушающем воздухе.
Решение уравнения (9. 22) для граничных условий, соответствующих описанному выше процессу, затруднительно, но аналогично замерзанию жидкости с отводом тепла через замороженный слой. Предполагается, что незамерзшая жидкость хорошо перемешивается. Эта задача теплопередачи хорошо изучена [22].
Когда поверхность жидкости отдаляется в глубь твердого тела, в последнем могут остаться островки жидкости. Кроме того, жидкость может перемещаться по направлению к поверхности путем капиллярного движения в порах или путем диффузии в тон-
584
кой структуре самого твердого тела. По этим причинам только что описанный простой механизм практически неприменим, и скорость сушки во многих случаях нужно определять исключительно экспериментально.
Как показано на рис. 38. 12 и 38. 13, скорость сушки может достигать нуля прежде, чем твердый материал будет полностью
веснаявлажность, как
высушен, метающаяся равно показано на рис. 38. 14, для каждого данного материала зависит от температуры и параметров осушающего воздуха.
Скорость сушки R для высушиваемого твердого материала с массой М8 определяется как
<38-69>
Величина R выражена в килограммах воды на квадратный метр в час (кг/м2-ч). Интегрирование уравнения (38. 69) для периодического процесса сушки дает
Xi
Хо
Для простейшего случая, когда А и R постоянны, после интегрирования уравнения
(38. 70) получаем
Т = <38-71>
Если известно изменение А и R в виде графика, подобного
Относительная влажность воздуха,
Рис. 38. 14. Равновесная влажность для различных материалов [70].
1 — листовой табак; 2 — подошвенная кожа дубового дубления; 3 — шерсть; 4 ~ мыло; 5 — нитроцеллюлоза; 6 — шелк;
7 — клей; 8 — газетная бумага; 9 — каолин.
рис. 38. 13, то уравнение (38. 70) можно проинтегрировать графически. Иногда зависимость R от X представляет собой горизонтальную прямую, переходящую в прямую, соединяющую критическую влажность Хс, где R == 7?с, с равновесной влажностью Хе, Tj\e R — 0. Для этого случая интегральное выражение имеет ВИД
т = Г(Х0-Хс) + (Хс-Хе)In. (38. 72)
L Л1 — ^eJ
Для сушилки непрерывного действия, например при противотоке воздуха и твердого материала, скорость сушки является
585
функцией как влажности материала, так и влагосодержания воздуха. К периоду постоянной скорости сушки применимы уравнения, выведенные для градирен. Для периода падающей скорости сушки расчеты должны основываться на экспериментальных данных, полученных в условиях, воспроизводящих условия реального аппарата [17].
Пример 38. 4
Гранулированный твердый материал, содержащий 93% воды, нужно высушить в сушилке с псевдоожиженным слоем, производительностью 45,3 кг/ч сухого материала. Атмосферный воздух пропускается через теплообменник, где он нагревается паром до 76,7Q С, а затем через слой твердого материала, откуда выходит со степенью насыщения 90%. Температура нагревания воздуха ограничена 76,7° С из-за термолабильности твердого материала. Приняв для расчета наихудшие атмосферные условия: t — = 37,8Q С, tWb = 37,8° С, требуется определить необходимое количество воздуха и расход тепла в теплообменнике.
Рис. 38. 15. Экспериментальные данные по сушке к примеру 38. 4.
Эта задача решается с помощью рис. 38. 7. Влагосодержание исходного воздуха равно 0,043 кг воды/кг воздуха. Когда воздух проходит по теплообменнику, его влагосодержание не изменяется. При входе в сушилку, где dA ~ 0,043 и t = 76,7° С, twb = 43,3° С. Процесс прохождения воздуха через псевдоожиженный слой твердого материала является адиабатическим; предполагается, что никакого теплообмена с окружающей средой нет. Сред-няя температура частиц материала и связанная влага в них постоянны. Воздух следует кривой адиабатического охлаждения; его температура мокрого термометра постоянна и равна 43,3° С. При степени насыщения, равной 90%, температура сухого термометра равна 45° С, a dA = 0,057. Каждый килограмм воздуха уносит 0,057 — 0,043 = 0,014 кг воды. Полное количе-45 3
ство влаги, которое нужно испарить, равно~ 45,3 == 602 «г, и количество воздуха, необходимого для получения 45 ,3 кг/ч сухого материала, равно ' = 43 ОСЮ кг/ч.
0,014
Расход тепла рассчитывают по теплосодержаниям, взятым в справочнике Перри на стр. 763 и 764. При tWb — 43,3° С i — 51,4 ккал/кг, а при = = 37,8° С i — 39,9 ккал/кг, и расход тепла в теплообменнике должен равняться 43 000 (51,4 — 39,9) = 495 000 ккал/ч. В этой величине не учтено 586
теплосодержание твердого материала и тепло, необходимое для нагрева загружаемого материала до 43,3Q С.
Расход воздуха можно снизить путем его подогрева, пропуская сквозь слой твердого материала и используя для осушки второго слоя. Воздух при t — 45° С и twb = 43,3° С нагревается до 76,7° С при dA = 0,057; в этих условиях tWb ~ С. После прохождения через влажный материал температура воздуха при степени насыщения, равной 90%, составляет 48,3° С, а влагосодержание 0,068 кг/кг. Полное количество уносимой воздухом влаги теперь равно 0,068—0,043, или 0,025 кг/кг воздуха, и расход воздуха уменьшается до 24 000 кг/ч.
Скорость сушки лучше всего определять экспериментально на небольшом аппарате; результаты такого опыта показаны на рис. 38. 15 для одноступенчатого процесса сушки. Этот аппарат можно было рассчитать на загрузку 182 кг, продолжительность сушки 3 ч, перерыв между опытами 1 ч. В период падающей скорости сушки температура твердого материала будет выше температуры мокрого термометра, так что в расчет нужно ввести некоторый коэффициент запаса.
Задачи
38. 1. Рассчитать отношение — для газовой фазы в градирне в точке, По
где tx = tg 48,9° С, ty = 60° С, a tywb = 40,6° С.
38. 2. Азот при температуре 565° К и давлении 1 ат протекает над плоской пластинкой. В точке, находящейся на расстоянии 0,3 м от передней кромки пластинки, температура последней равна 445° К, a Rex = 100 000. Чему равен тепловой поток в этой точке? Рассчитать скорость, с которой должен подводиться жидкий азот при абсолютном давлении около 1 ат для испарительного охлаждения стенки при том же тепловом потоке от горячего газа, если новая температура стенки равна 278° К. Материал стенки во втором случае принимается за идеальный изолятор.
38. 3. Паро-воздушная смесь имеет температуру сухого термометра 65,6° С и температуру мокрого термометра 54,4° С при 1 ат.
а) Чему равна степень насыщения смеси?
б) Чему равно влагосодержание?
в) Каков удельный объем в кг/мъ сухого воздуха?
г) Каков удельный объем в кг/м3 смеси?
д) Чему равна температура точки росы?
е) Смесь охлаждается до 40,6° С. Какой процент влаги выделяется из смеси?
ж) Газообразная смесь, оставшаяся после конденсации (г), нагревается до 68,3° С. Чему равна относительная влажность смеси?
з) Чему равна теплоемкость и сколько тепла требуется для нагревания воздуха от 40,6 до 68,3° С?
38. 4. Рассчитать температуру мокрого термометра смеси этанол — воздух при 48,9° С и относительной влажности 20%.
38. 5. Найти высоту и диаметр градирни для охлаждения 18 900 л/ч воды от 55 до 32° С, если расход воздуха превышает в 2,5 раза минимально необходимый. Воздух имеет температуру сухого термометра 26,7° С и температуру мокрого термометра 18,3° С. Высота единицы переноса равна 0,6 м\ градирня будет работать приб = 3420 кгМ2 *ч. Сопротивлением теплопередаче в жидкой фазе можно пренебречь.
38. 6. Полочная сушилка используется для сушки листов материала от влажности 70% до 5%. Размеры листов 1200X1500X50 мм. Из опытов с тем же самым материалом й воздухом тех же параметров, что будет использован в установке крупного масштаба, установлена скорость в период постоянной скорости сушки, равная 7,3 килограмма воды на квадратный метр в час (кг/м2-ч). Критическая влажность равна 30%, а равновесная влажность пренебрежимо мала. Требуется рассчитать время сушки, если материал
587
высушивается с двух сторон, плотность абсолютно сухого материала равна 400 ks/jh3, а участок кривой сушки, соответствующий периоду падающей скорости, представляет собой прямую.
38. 7. Необходимо высушить 1360 кг (указана масса абсолютно сухого материала) гранулированного твердого материала от начальной влажности 0,20 кг/кг до конечной влажности 0,02 кг/кг в постоянных условиях сушки. Материал имеет эффективную поверхность 0,6 м2/кг. В рассматриваемых рабочих условиях предварительно были найдены следующие скорости сушки:
Влажность Скорость сушки, кг/м2*ч । Влажность Скорость сушки, кг/м2-ч
0,300 1,69 0,056 0,87
0,200 1,69 0,042 0,72
0,140 1,69 0,026 0,53
0,114 1,44 0,016 0,36
0,096 1,27
Требуется рассчитать продолжительность заданного процесса сушки.
38. 8. Требуется высушить 400 кг/ч песка (указана масса абсолютно сухого песка) от начальной влажности 1 кг/кг до конечной влажности 0,2 кг/кг в противоточной туннельной сушилке непрерывного действия. Воздух входит в сушилку с влагосодержанием 0,013 кг/кг и температурой 90,5е С; его расход 18 000 килограммов сухого воздуха в час (кг/ч). Сушилка работает адиабатически, и можно принять, что температура песка на входе и выходе равна температуре воздуха по мокрому термометру. На основании лабораторных опытов в постоянных условиях сушки воздухом, имеющим те же начальные параметры, было установлено, что критическая влажность песка равна 0,5 кг/кг. Было найдено, что скорость сушки в области выше критической влажности постоянна и равна 4,88 кг/м2-ч; далее она падает линейно до нуля для абсолютно сухого песка в период падающей скорости сушки.
Рассчитать необходимую длину сушилки, если эквивалентная поверхность песка равна 2,1 м2/м сушилки, предположив, что скорость сушки является линейной функцией разности влагосодержаний.
38. 9. Решить задачу 37. 1 с учетом теплового эффекта. Данные о системе аммиак —вода можно найти в справочнике Перри.
38. 10. Путем орошения 1-н раствором диэтаноламина требуется извлечь на 99% СО 2 из газовой смеси в колонне с насадкой из колец Рашига диаметром 19 мм. Исходный газ в количестве 140 м3/ч при 25е С и 1 ат содержит 25% мол. СО2 и 75% мол. Нг. Рассмотреть влияние повышения температуры абсорбента, пренебрегая теплосодержанием газовой фазы. _ * „ л моль СО2
Входящий в верхнюю часть колонны абсорбент содержит 0,30------------,
моль зминя и его следует подавать со скоростью, в 2,5 раза с превышающей минимальный расход (не при изотермическом, а при реальном процессе). Необходимые исходные данные можно найти в статье Крайдера и Малони [31]. Определить высоту и диаметр колонны.
39. РАЗДЕЛЕНИЕ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ КОНТАКТЕ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ФАЗ
ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СТУПЕНИ
В гл. 37 мы рассматривали процессы при непрерывном контакте двух жидких фаз, движущихся прямотоком или противотоком. При этом растворенное вещество стремится переходить из одной фазы в другую по всей длине контактного аппарата. Было показано, что для достижения равновесия меж ду фазами на одном конце колонны требуется бесконечно большая межфазная поверхность, и предполага
лось, что перемешивание в направлении потока (продольное перемешивание) незначительно.
Значительная часть промышленных процессов разделения осуще-
Ч
Рис. 39. 1. Аппараты для жидкостной экстракции.
а — идеальная ступень смесительно-отстойного аппарата; б — ступень колонны Шейбеля; 1 — смеситель; 2 — отстойник; з — вращающийся вал; 4 — мешалка; 5 — насадочная секция; в — смесительная секция.
589
ствляется в аппаратах, в которых контактирование фаз происходит в противотоке ступенчато. Эти фазы тщательно перемешиваются, а затем разделяются и отводятся в смежные ступени. Контакт фаз по мере их продвижения по аппарату является, следовательно, ступенчатым, или прерывным. Типичные аппараты со ступенчатым контактом показаны на рис. 39. 1.
В теоретической ступени, или ступени равновесия, фазы перемешиваются достаточно долго, так что выходящие из ступени потоки находятся в равновесии, причем каждая из фаз перемешана столь тщательно, что в ней не существует никаких градиен-. тов концентрации. В действительной ступени, в противоположность теоретической, время контакта может оказаться недостаточным для того, чтобы привести потоки в равновесие. В такой ступени происходит меньший межфазный перенос, чем в теоретической ступени; иными словами, она обладает меньшей эффективностью, чем теоретическая, или идеальная, ступень. В конце этой главы мы рассмотрим факторы, влияющие на эффективность ступени, но прежде всего остановимся на зависимости между числом теоретических ступеней и разделением, достигаемым в каскаде этих ступеней.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПРИ ОДНОКРАТНОМ КОНТАКТЕ
Однократный равновесный контакт в абсорбции можно получить, вводя газ, содержащий компонент А, через барботер в нижнюю часть сосуда, заполненного абсорбентом. Газ подается в аппарат с постоянной скоростью V, а жидкость — с постоянной скоростью ТУ*. Если пузырьки газа мелкие, жидкость хорошо перемешивается, а глубина ее достаточна, чтобы обеспечить длительное время контакта, то газ уходит, имея состав, равновесный жидкости. Этот аппарат эквивалентен одной теоретической ступени.
В расчете ступенчатых процессов разделения необходимо учитывать сопротивление массопередаче только в случае реальных ступеней, эффективность которых может быть связана со скоростью массообмена между контактирующими фазами. Таким образом принимается, что в теоретической ступени контакт фаз достаточно эффективный для достижения ими на выходе из ступени равновесных составов.
Материальный баланс ступени удобно выразить в абсолютных мольных долях и расходах несмешивающихся инертных потоков.
* Величины W и V измеряются в кг/ч при непрерывной работе и просто л W L
в кг при периодическом процессе. Отношение — равно отношению — , V G
но при ступенчатом контакте не принято относить расходы к одному и тому же поперечному сечению. Мы будем пользоваться обозначениями W и V вместо L и б?, особенно когда речь идет о потоке одной лишь фазы.
590
В гл. 37 и 38 в качестве единиц концентрации использовались относительные мольные и массовые доли, в которых обычно измеряют движущую силу массопередачи. Однако в уравнениях материального баланса или в уравнениях рабочих линий часто-удобнее пользоваться абсолютными мольными или массовыми долями (УА или УА), как было показано в примерах 37. 1 и 37. 2, особенно в случае несмешива-ющихся фаз.
Одна ступень абсорбции схематически показана на рис. 39. 2. Можно составить материальный баланс по компоненту А и получить уравнение
^-^Ап+1 = —, (39.1)
% А п ^Ап~1
где Wc — мольный расход инертного компонента абсорбента С, a VB — мольный расход нерастворимого газообразного компонента В, Для несмешивающихся жидкостей — постоянно, т. е.
W = W и У = V
ууСп ™Сп—1 а vBn УВп+Г При пользовании относительными
тарелка
Рис. 39. 2. Эскиз гипотетической теоретической ступени контакта.
мольными долями, конечно, справедливо аналогичное уравнение, но является функцией состава. Материальный баланс можно также записать в абсолютных массовых процентах или долях.
Рабочая диаграмма одноступенчатого аппарата показана на рис. 39. 3. Так как уходящие потоки находятся в равновесии, УАп = У*п; ^ап^^ап находятся на кривой равновесия. На рис. 39. 3 показаны четыре состава, относящиеся к работе аппарата. Положение рабочей линии аналогично положению рабочей линии на рис. 37. 8. Однако для хорошо перемешанных фаз, контактирование которых приводит к равновесию, промежуточные точки рабочей линии не изображают рабочие концентрации фаз, как в реальном противоточном процессе. Только конечные точки рабочей линии, показанной на рис. 39. 3, имеют смысл, когда речь идет о ступени равновесия.
Если время контакта или межфазная поверхность контакта в ступени недостаточны для того, чтобы привести фазы к равновесию, то составы потоков будут изображаться точкой с коорди-
59<
ватами Х'ап и Уап, показанной на рис. 39. 3. Коэффициент полезного действия (к. п. д.) ступени мояшо определить по уравнению
(39.2)
А п+1 А п
где Ев — к. п. д. ступени по Мёрфри по У-фазе.
Рис. 39. 3. Рабочая диаграмма для однократного контакта.
. wc
1 — кривая равновесия; 2 — рабочая линия; наклон =--— .
Ув
В аппарате, показанном на рис. 39. 2, жидкость хорошо перемешана; и можно принять, что каждая фаза уходит из аппарата однородной по составу. Но контактирование фаз часто осуществляется на колпачковых тарелках, типа показанной на рис. 39. 4. Жидкость перемещается в направлении, перпендикулярном потоку пара, так что должен существовать градиент концентрации в жидкой фазе в пределах одной ступени. Применительно к этому контактному устройству Y*Anv уравнении (39. 2) означает состав пара, находящегося в равновесии с жидкостью, уходящей с тарелки, т. е. ХАп. Пока жидкость перемещается по тарелке от входа к выходу, ее состав изменяется от ХА n_t до ХА п. Предполагается, что пар, поступающий на тарелку, однороден по составу и имеет концентрацию YA п+1, a YA п есть средний состав пара, уходящего с тарелки.
592
Определим к. п. д. по Мёрфри для точки в аппарате с неполностью перемешанными фазами:
= (39-3)
* А п + 1 * А пР
В этом уравнении через YA пР и У* пр обозначены истинный и равновесный составы в точке на свободной поверхности жидкости на тарелке, как показано на рис. 39. 4. Величина EGp выражает к. п. д. контакта в тонком слое жидкости, расположенном в точке Р, где поднимающаяся фаза Y контактирует с фазой X, имеющей
К. п. д. по Мёрфри для точки можно связать со скоростью массопередачи в этом гипотетическом тонком слое, характеризуемой, например, n0G или HQG. Максимальное значение EGp равно единице.
Если контактная тарелка, показанная на рис. 39. 4, работает достаточно хорошо, так что EGP = 1 во всех точках, то, очевидно, при абсорбции YAn будет меньше, чем Y*An, так как последняя должна находиться в равновесии с наиболее обогащенной жидкостью. Согласно уравнению (39. 2), к. п. д. по Мёрфри EG будет больше единицы. Так как под теоретической ступенью понимают ступень, для которой EG = 1,0, то ступень с перекрестным током, показанная на рис. 39. 4, не будет теоретической, если EGp во всех точках будут равны единице. Заметим, что для ступени с хорошим перемешиванием, показанной на рис. 39. 2, EGp повсюду равно Eg.
38 Заказ 519.
593
Величину Eg можно получить интегрированием EGP по всей тарелке. Величина является функцией характера движения egp
в ступени и распределения концентраций в потоке YАп+1, а также величин т и . Возможные варианты характера движения в пределах одной ступени можно сопоставить с разными схемами токов в теплообменниках. Метод интегрирования, применяемый Eq
для получения отношения , в некоторой степени аналогичен egp
интегрированию, проводимому для определения поправочного коэффициента Y для теплообменников с перекрестным током или многоходовых.
Единицы измерения концентрации, используемые в уравнениях (39. 2) и (39. 3), можно изменить на те, которые более удобны. В жидкостной экстракции могут использоваться абсолютные или относительные массовые доли, а в гл. 41 мы увидим, что при рассмотрении процесса дистилляции пользуются мольными долями, так что можно определять EG по другой формуле:
EG^V,An+1^-- (39.4)
У Ап+1 У А*п
Прежде чем продолжать рассмотрение к. п. д. ступени, нужно рассмотреть работу аппаратов для многоступенчатых процессов разделения. К вопросу о к. п. д. ступени мы вернемся в конце этой главы.
Пример 39. 1
Однократной периодической экстракцией нужно проэкстрагировать уксусную кислоту чистым метилизобутилкетоном из водного раствора, содержащего 0,15 массовых долей уксусной кислоты. Экстрагент берется в количестве 1,745 кг на каждый килограмм обрабатываемого водного раствора. Найти составы жидкостей, уходящих из аппарата.
Составы входящих фаз те же, что и составы в примере 37. 2. Поскольку удобно использовать в качестве единиц концентрации абсолютные массовые доли, то равновесные данные, приведенные на рис. 37. 14, пересчитаны из относительных массовых долей в абсолютные, как показано на рис. 39. 5. Для этих пересчетов можно пользоваться уравнениями, приведенными в примере 37. 2.
По уравнению (39. 1) уравнение рабочей линии
Улп-Улп + 1_ Wc
^Ап-^Ап-r VB *
В этом примере
>д„л = 0; ^ = ^§ = 0.487.
594
На рис. 39.5 один конец рабочей линии имеет координаты а п-15 п+1 >
Wc
и ее наклон равен----——, или — 0,487. Рабочая и равновесная линии
ув
пересекаются в точке ХАп, УАп, и мы получаем
хЛп=о,О74;
Рис. 39. 5. Рабочая диаграмма к примеру 39. 1; однократная периодическая экстракция.
а — кривая равновесия.
или в массовых долях
ж A n = 0,0688;
У Ап- 0,0476.
Эти величины показывают, что в одной ступени равновесия достигается намного меньшая степень экстракции, чем в противоточной колонне непрерывного действия в примере 37. 2. Отметим, что отношение расхода экстрагента к расходу исходного раствора в обоих примерах одинаково.
МНОГОСТУПЕНЧАТЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС СО СВЕЖИМ АБСОРБЕНТОМ (ЭКСТРАГЕНТОМ) В КАЖДОЙ СТУПЕНИ
Вернемся к абсорбции, рассматривавшейся в предыдущем разделе. Вместо однократного контактирования фаз в одной ступени можно использовать ряд ступеней. Например, абсорбент разделяется на три равные части и подается, как показано на
38* _ 595
рис. 39. 6, в три ступени. Количества и составы двух фаз, входя* щих в систему, те же, что на рис. 39. 2 и 39. 3.
Рис. 39.6. Схема трехступенчатого аппарата с подачей свежего абсорбента или экстрагента в каждую ступень.
I
Рис. 39. 7. Рабочая диаграмма многоступенчатого процесса с подачей свежего абсорбента в каждую ступень.
а — наклон = —Wc/^B’» 6 ~~ кривая равновесия.
Работа каскада ступеней изображена на рис. 39. 7. Начнем с третьей ступени, в которой взаимодействуют фазы состава Yл * wc 0 •
и XAq. Применим уравнение (39. 1), в котором Wc = —Все
596
Рис. 39. 8. Многоступенчатая -экстракция с подачей экстрагента в каждую ступень.
расходы VBn равны между собой, поскольку компонент В нерастворим в фазе W, так что эти потоки обозначаются через VB* Используется то же построение, что на рис. 39. 3, и определяется точка X А . Y А на рис. 39. 7. Во второй ступени YА л взаимодей-ствует с и составы получающихся фаз равны YA-2 и ХА В первой ступени концентрация фазы V снижается до YA , равной 0,102 вместо 0,135 при взаимодействии в одной ступени (рис. 39. 3).
Как показано на рис. 39. 8, изложенный метод расчета можно применить к жидкостной экстракции. Если концентрация компонента А в обеих фазах мала, удобно пользоваться массовыми долями, принимая расходы W и V постоянными во всей системе. Для процессов экстракции и десорбции рабочие линии на графике типа рис. 39. 7 будут расположены по другую сторону кривой равновесия.
Рассмотрим простую задачу по экстракции в случае разбавленных растворов. Линия равновесия описывается уравнением уА = тхА. На каждую ступень подается одинаковое количество чистого (уА = 0) экстрагента. ‘Если т, W и V приблизительно постоянны, то удобно провести решение алгебраически.
Материальный баланс по компоненту А в первой ступени
дг Уле
(39.5)
где N — полное число ступеней.
Заменим далее уА через тхА1 и решим относительно хА1:
х. = ( лГ"—(39.6) .
А 1 mV I ТТ7 А0
Vn+w
597
Баланс второй ступени дает хА2~1 v , Iхл 1* +wJ
Эти два уравнения можно объединить: / W \2 ХА 2 I v , I ХА О*
По аналогии для ступени номер N мы имеем
XAN _ ( 1
mV , , '
А° \W + 1/
(39. 7)
(39. 8)
(39. 9)
Последнее уравнение выражает степень экстракции, достигнутую в ЛГ-ступенчатой системе, представленной . схематично на рис. 39. 8. Этот способ экстракции часто применяется в лабораторной практике.
Мы видели, что с увеличением числа ступеней увеличивается степень экстракции. Представляет интерес определить максимальную степень экстракции, возможную при определенном количестве экстрагента. Эта величина определяется как предел отношения ——, когда N стремится к бесконечности.
ХА о
Запишем уравнение (39. 3) как
In
In
XAN
X л
А о
(39.10)
Это выражение становится неопределенным, когда N стремится к бесконечности. Применяя правило Лопиталя, находим
limln^=-^ (39.11)
N -* со Х А 0 ™
ИЛИ
х mV
lim = (39.12)
N ->oo XA о
МНОГОСТУПЕНЧАТЫЙ ПРОТИВОТОЧНЫЙ КОНТАКТ
В предыдущих разделах этой главы мы видели, что степень абсорбции или экстракции, получаемая при применении данного количества абсорбента или экстрагента, можно повысить, поделив это количество между несколькими ступенями. Из рис. 39. 8
4598
видно, что экстракт, уходящий из ступени номер ДГ, содержит мало компонента А и его можно использовать в качестве экстрагента в ступенях, более богатых компонентом А. В связи с этим
можно расположить ступени, так, чтобы осуществить противоток фаз, как показано на рис. 39. 9 для абсорбции.
Материальный баланс ступени выразить уравнением
номер п на рис. 39.9 можно*
Рис. 39. 9. Противоточная абсорбционная колонна.
а — переливная труба; б — колпачок;. в — переливной порог.
А п +1 А п
(39.13)
Можно написать уравнение материального баланса для первых п ступеней:
^”+1~5А1 (39. 14)
Хап-Хао Vb
или для всех N ступеней ^AN+1~^A1_
^AN — ^Ao ^В
Хотя уравнение (39. 13) математически идентично уравнению (39. 1), оно используется другим способом. В уравнении (39. 1) УАп и ХАп являются координатами точки на рабочей линии, как в случае прямотока. При использовании уравнений (39. 13) и (39. 14) мы считаем, что У, . и ХАп являются координатами точки на рабочей линии. Об этих величинах говорят как о рабо-
чих концентрациях или концентрациях потоков, сталкивающихся в одинаковых сечениях аппарата. На рис. 39. 10 приведены рабочая и равновесная линии для абсорбционной колонны, показанной на рис. 39. 9. Точка на рабочей линии, описываемой уравнением (39. 14), дает значение УАп+1, соответствующее ХАп, т. е. концентрацию входящей в ступень фазы У, которая соответствует составу фазы Ж, уходящей из этой ступени.
Число ступеней, необходимых для данного разделения, определяется по методу, показанному на рис. 39. 9 и 39. 10. Условия в нижней части трехступенчатой противоточной абсорбционной колонны дают координаты верхнего конца рабочей линии УЛф
599*
и ^аз‘ Жидкость, покидающая третью ступень, находится в равновесии с газом, уходящим из этой ступени, поэтому УАз можно найти на пересечении ХАз с линией равновесия. При известной Y А состав жидкости, уходящей из второй ступени X А , опре-3 3
деляетея по пересечению YA3 с рабочей линией. В результате излагаемого метода расчета получаем ряд ступеней, построенных
Рис. 39. 10. Рабочая диаграмма процесса абсорбции в многоступенчатом противоточном процессе.
а — наклон рабочей линии —-— ; б — кривая равно-VB весия.
между рабочей и равновесной линиями, как показано на рис. 39. 10. Число ступеней определяется по числу треугольников, упирающихся в линию равновесия на пути достижения составов Ya и ХА 0 на другом конце рабочей линии.
Очевидно, расчет числа ступеней можно начинать и с того конца колонны, где концентрации более низкие. На рис. 39. 10 получилось целое число ступеней, но обычно этого не бывает. Доля ступени не имеет никакого физического смысла; однако, если средний к. п. д. ступени равен 0,50, а путем графического построения получено 3,5 ступени равновесия, то число действительных ступеней будет равно 7. Таким образом, принято говорить о доле ступени, а не просто считать, что, например, графическим построением получены четыре ступени.
Wc -
Отношение —и концентрации XAq и YAN+i = YAi выбраны VB
на рис. 39. 10 теми же, что и на рис. 39. 7 и 39. 3. Рабочая линия 600
на рис. 39. 10 расположена так, чтобы потребовалось три ступени равновесия, как и на рис. 39. 7. Сравнение трех способов работы показывает, что при начальной концентрации газаУ^+1 = 0,35 концентрация уходящего газа равна 0,135 при однократном контакте, 0,102 в трехступенчатой системе с подачей свежего абсорбента в каждую ступень и 0,05 для трехступенчатой противоточной системы.
Для заданных растворов и конечных концентраций фаз рабочая и равновесная линии для противоточного ступенчатого процесса и непрерывного противоточного процесса одни и те же как в диаграмме хА — уА, так и в диаграмме ХА — YA. Когда рабочая и равновесная линии сближаются, число ступеней возрастает, как и число единиц переноса. Все замечания, сделанные в гл. 37 относительно минимальных расходов абсорбента или экстрагента, в равной мере относятся и к ступенчатому контакту. Если у рабочей и равновесной линий есть точка касания, то число ступеней становится равным бесконечности. Чтобы получить прямую рабочую линию, на рис. 39. 10 мы пользовались абсолютными мольными долями, но с таким же успехом можно пользоваться и относительными мольными долями, как в гл. 37.
АНАЛИТИЧЕСКИ Е ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ЧИСЛА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ СТУПЕНЕЙ
Исходя из способов определения числа теоретических ступеней, показанных в этой главе, можно ожидать, что существует зависимость между числами единиц переноса, например л0(?, и числом теоретических ступеней N. Если рабочая и равновесная линии прямые, то решение получается простое и его можно пояснить с помощью рис. 39. И. Рассмотрим отрезок насадочной колонны, достаточный для осуществления разделения, достигаемого в одной теоретической ступени. Высота4 этой насадочной секции определяется для абсорбции по уравнению
(39.16)
/- - \ 1 У Ап + 1 У А 1
\У А п + 1 У А п) - _-
„ и w и У А п УАп-
ZT8~~£10Gn0G~£10G ~ ~
\У Ап + 1 У Ап) \У А п У Ап-
Чтобы определить nQG для разделения, происходящего на тарелке номер п + 1, была использована средне-логарифмическая движущая сила в фазе V.
Мы можем также записать тождество
УАп + 1 УАп (УАп+1 УАп)(хАп хАп-1) /qo 4f7V " =-----— 7^-----=---vF------31---Г * •11)
У Ап У An-i \х Ап хАп-1)\УАп У An-i)
601
В правой части этого уравнения мы узнаем величину , или mG
-----см. уравнение (37. 29), в которой Sj называется коэффициен-oj
<гом исчерпывания. Высота zTS, называемая обычно высотой, эквивалентной теоретической ступени, или ВЭТС, определяется путем объединения уравнений (39. 16) и (39.17) с определением Sj
Рис. 39.41. Высота слоя насадки, эквивалентная теоретической ступени, для абсорбции.
-а — рабочая линия; б — линия равновесия.
zTS = ВЭТС = • (39.18)
* ° о j 1
Для колонны в целом ^мы можем записать
z = ВЭТС • N = Нпгппг, (39.19) так что имеем
НтйК <39'20)
Объединение уравнений (39. 20) и (37. 28) даст следующую формулу для числа теоретических ступеней:
1П (1-ЗД
N =—=-----
У A N + l~mXA о । , с.
—=---------- H-oj
УА1~тхА0 /
(39. 21)
1пГ-^3
Индексы при концентрациях (мольных долях) для случая абсорбции соответствуют обозначениям, принятым на рис. 39. 9. Уравнение (39. 20) показывает, что если рабочая и равновесная линии параллельны, то число единиц переноса и число теоретических ступеней равны между собой.
Хотя высоту насадочной колонны можно определить по ВЭТС и jV, предпочитают пользоваться ВЕП по методу, приведенному в гл. 37. Но уравнение (39. 21) удобно для аппаратов со ступенчатым контактом, если рабочая и равновесная линии прямые.
Если число теоретических ступеней известно, то желательно получить выражение для степени разделения, как явной функции от N. Прежде всего, преобразуем уравнение (39. 21)
УА1-т^А0 Л"1 .
УАЫ-И~тз!А0 > 1
(39. 22)
602
где — заменена фактором массообмена aj (т. е. —Затем ' mG '
запишем тождество
У Ах Уа о _ Уа N + 1 У А 1
Уан+1~~УАо У A N+1 “ Уаол
(39.23)
где вместо тхАо вид
стоит уАо. Тогда уравнение (39. 22) принимает
Van+i-Vai ai+1~aj
Van+i-Vao aj+1~i '
(39.24}
Это уравнение удобно тем, что его левая часть представляет собой отношение действительной степени абсорбции в N ступенях к максимально возможной. Для наиболее распространенного случая, когда aj > 1,0, максимум наблюдается при N = оо и уА — = уд . В гл. 37 говорилось о том, что при абсорбции в насадочных колоннах оптимальное с экономической точки зрения а$ (или ---) около 1,4; тоже справедливо и для аппаратов со ступен-чатым контактом, таких как колонна с колпачковыми тарелками, показанная на рис. 39. 9. Уравнение (39. 24) было впервые выведено Кремзером [871 и Саудерсом и Брауном [157], но другим путем.
В аналитических зависимостях для ЛГ, приведенных в этом разделе, предполагается, что aj или Sj постоянны по высоте колонны. Если строгого постоянства нет, нужно применять та значение а;, которое характерно для области наибольшего сближения рабочих и равновесной линий. Обычно такой областью является тот конец аппарата, на котором концентрации низкие (aj >1,0 при абсорбции, Sj >1,0 для десорбции и экстракции). Пример 39. 2
Нужно удалить 95% ацетона из его смеси с воздухом, содержащей 2,00% мол. ацетона в противоточной колонне с колпачковыми тарелками,, водой, расход которой на 20% превышает минимально необходимый. Чистая вода вводится в верхнюю часть колонны, а газовая смесь в количестве 453 кг/ч подается в нижнюю ее часть. Предполагается, что колонна работает изотермически при 26,7° С и 1 ат; равновесная зависимость имеет вид У А = 2,53 хА.
Разделение, которое нужно осуществить, то же самое, что и в примере 37. 1; равновесная и рабочая линии на рис. 39. 12 те же, что и на рис. 37. 13.. Конечные концентрации равны:
*Ав=о;
~~ 0>00658»
и a лг+1=о-О2Оо;
УЛ1 = 0-00102.
60S:
Наклон рабочей линии равен
4-2.89. G
Число ступеней определяется так, как показано на рис. 39. 12, начиная с первой ступени, т. е. с верха колонны. Точки на линии равновесия представляют концентрации потоков, уходящих из данной ступени. Точки на рабочей линии изображают составы потоков между ступенями, как уА 5 и хА&» Потребное число ступеней равно 9,0. -
Рис. 39. 12. Рабочая диаграмма к примеру 39. 2; противоточная абсорбция.
а — рабочая линия; б — линия равновесия.
Если применить уравнение (39. 21) с Sj = 0,875 и * =20 (хА п =0),
Улг
то найдем, что N = 9,0. Так как рабочая и равновесная линии почти параллельны, то число ступеней мало отличается от числа единиц переноса, которое, в примере 37. 1 было равно 9,65.
Пример 39. 3»
Нужно проэкстрагировать уксусную кислоту из водного раствора, содержащего 0,15 массовых долей кислоты, чистым метилизобутилкетоном в качестве экстрагента. Требуется, чтобы экстракт содержал 0,075 массовых долей уксусной кислоты, а рафинат — 0,010 массовых долей кислоты. Определить необходимое для этого процесса число ступеней равновесия в случае многоступенчатого противоточного процесса. Конечные концентрации те же, 604
что и в примере 37. 2; они дают следующие абсолютные массовые доли:
YA1 = 0,0811;
ХАо = 0,1768;
^АЛТ+1 = О;
xAN=0,0101.
Как показано на рис. 39. 13, рабочая линия является прямой и связывает эти конечные точки.
Рис. 39. 13. Противоточная ступенчатая экстракция (к примеру 39. 3).
а — кривая равновесия; б — рабочая линия.
Число ступеней определяется, начиная с того конца колонны, где концентрации более высокие. Для желаемого разделения требуется около 4,8 ступеней.
В описании и в примерах, приведенных выше, предполагалось, что температура постоянна по высоте колонны. Но в аппарате со ступенчатым контактом наблюдаются те же тепловые эффекты, что и в аппаратах с непрерывным контактированием, описанных в гл. 38. При значительных тепловых эффектах нужно составлять как материальный, так и тепловой баланс ступени. Как было показано в гл. 38, эти тепловые эффекты перемещают линию равновесия. Иногда между несколькими ступенями размещают охлаждающие змеевики или промежуточные холодильники, чтобы свести к минимуму изменение температуры в аппарате.
605
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ СТУПЕНЕЙ
Несколько ранее в этой главе мы ввели понятия к. п. д. ступени по Мёрфри и к. п. д. по Мёрфри для точки. Эти величины были рассчитаны по концентрациям в фазе у; известны также аналогичные уравнения с концентрациями в фазе х, но мы будем пользоваться только первыми. Теперь посмотрим, как величины Eg и Egp определяются и используются для нахождения действительного числа ступеней в аппарате для разделения.
Точечный к. п. д. EGP был введен применительно к работе тонкого слоя жидкости в какой-либо точке колпачковой тарелки или другого контактного устройства. Мы опять приводим объяснение на примере абсорбции, но эти зависимости имеют обобщающий характер; они применимы к жидкостной экстракции, дистилляции и ректификации и другим процессам при условии применения соответствующих единиц измерения. По аналогии с уравнением (39. 3) мы имеем
г» У А п + 1 У А пР
& QP - _*
УАп+1 УАпР
(39.25)
Мольные доли используются в качестве единиц измерения при абсорбции для разбавленных растворов, они будут применяться также в дистилляции и ректификации.
Процесс в гипотетическом слое в точке тарелки, показанной на рис. 39. 4, может быть описан также с помощью уравнений гл. 37. Например, из уравнения (37. 21) мы имеем
У А п + 1
”0G=„ / У А пР
dyA
Уа~Уа
(39.26)
Состав жидкости в точке тарелки принимается постоянным по высоте тонкого слоя; тогда величина г/* постоянна и равна У*АпР • После интегрирования уравнения (39. 26) получаем
_____1 У А п + 1 УАпР nOG~in ~ -*
У А пР У А пР
Это уравнение преобразуется к виду
У А пР У А пР - nQQ •
У А п + 1 У А пР
Левую часть этого уравнения можно видоизменить!
У A n+t У А пР У A п+1 у А пР е - nOG
У А п+1 УАпР УАп+1 УАпР
(39.27)
(39. 28)
(39.29)
606
или по уравнению (39. 25)
l-tfGP = e“n<4
(39.30)
Число единиц переноса равно ——, где z — высота тонкого UOG
слоя, в котором поднимающиеся пузырьки контактируют с жидкостью на тарелке. Уравнение (37. 20) можно записать для числа единиц переноса следующим образом:
1 =1 . mg 1 nOG nG L nL
(39. 31)
Число частных единиц переноса равно, в свою очередь, или UG
z
, а из гл. 36 мы знаем, что HG и HL являются функциями числа
Рейнольдса и Шмидта для соответствующей фазы. Существует ряд эмпирических зависимостей для определения nG и nL по числу Шмидта, геометрии тарелки и расходам фаз [20]. Эти зависимости
получены на основании значительного количества опытных дан
ных по аппаратам для контактирования газа и жидкости; для других систем проведено небольшое количество работ.
Строго говоря, данные уравнения требуют постоянства величины ап, но в пределах точности метода допустимо пользоваться средним наклоном линии равновесия ^не 4-^ в пределах концентрации на тарелке.
Следующим шагом в определении числа действительных ступеней является нахождение EG путем интегрирования EGp по поверхности тарелки. Эта методика качественно описана ранее в этой главе. Получаемые результаты зависят от ряда факторов, таких, как степень перемешивания в фазе. Если обе фазы хорошо перемешаны, EG — EGp. Возможно другое допущение — о том, что газовая фаза хорошо перемешана, а жидкость протекает поперек тарелки без какого-либо перемешивания в направлении движения. Третьим может быть допущение о том, что в газовой фазе при ее движении от одной тарелки до другой сохраняется градиент концентрации в горизонтальном направлении. Можно провести расчеты для ряда таких случаев [103]. Величины -=А-,
EGP значительно превышающие единицу, являются обычными для практики, и в частных случаях это отношение может возрасти до десятков и сотен.
Когда скорость барботажа газа через жидкость на тарелке увеличивается, достигается момент, когда значительное количество капель жидкости уносится на вышележащую тарелку.
607
Этот унос частично нарушает противоток и уменьшает к. п. д. тарелки. Можно вывести уравнение [26], которое показывает влияние уноса известной доли жидкости, протекающей по тарелке, на к. п. д. тарелки. В правильно спроектированной колонне унос минимальный.
Способ нахождения числа действительных ступеней при EG = = 0,5 показан на рис. 39. 14. Начинаем с того конца колонны, где концентрации более высокие; жидкость, уходящая с нижней
Рис. 39. 14. Расчет числа действительных ступеней при абсорбции.
а — рабочая линия; б — кривая равновесия.
тарелки, имеет состав xAN. Газ, встречающий эту жидкость, имеет концентрацию уА N+1, а газ, находящийся в равновесии с жидкостью, у*А. Так как EG = 0,5, то откладываем только половину отрезка от Van+i Д° V*an’ чтобы получить как показано на рис. 39.14. Число последовательных ступеней определено и показано на рис. 39. 14; для требуемого разделения нужно 10 тарелок.
Общий к. п. д. г) определяется как отношение числа теоретических ступеней к числу действительных ступеней. Если это отношение известно, легко получить число действительных ступеней, после того как рассчитано число теоретических ступеней. Однако величина EG может изменяться по высоте колонны, но даже если она постоянна, как показано на рис. 39. 14, ц не равно EG, если
608
рабочая и равновесная линии не прямые и не параллельны. Неравенство Eg и т] можно проверить, рассчитав число теоретических ступеней на рис. 39. 14; их нужно только около 4,5, так что Y] = 0,45. Существует аналитическая зависимость [26, 122] между Eg и т|, если рабочая и равновесная линии прямые, a EG величина постоянная.
Только что изложенный метод, заимствованный из руководства AIChE, является наиболее подходящим из имеющихся в настоящее время. Но приближенно можно определить Т] по эмпирическим зависимостям [39], одна из которых приведена в справочнике Перри на стр. 614.
ЗАМЕЧАНИЯ ПО РАСЧЕТУ КОЛОНН
Как уже говорилось, унос в аппаратах для контактирования газа и жидкости является нежелательным. Допустимая скорость газа в колонне ограничена величиной скорости, которая не вызывает значительного уноса. Капля жидкости будет уноситься, если скорость газа превышает скорость витания капли. Капли обычно бывают достаточно крупными, так что их движение турбулентное, и применимо уравнение (16. 40), которое мы напишем в следующем виде:
и4^-У/1==^),/2- <з9-з2>
\^G)
На диаметр уносимых капель влияет высота слоя жидкости над прорезями колпачков, а возможное приближение скорости капель к скорости их витания определяется расстоянием между тарелками. Зависимость, показанная на рис. 39. 15, основана на этих положениях.
Уравнение (39. 32) можно также записать в следующем виде:
СА = ЛГу'|/г Qg(qg Ql), (39.33)
где Ga — допустимая массовая скорость. Величины Ку приведены на стр. 598 справочника Перри. Все скорости отнесены к незаполненному сечению колонны.
Перепад давления от тарелки к тарелке и напор, необходимый для протекания жидкости поперек тарелки, рассматриваются в разделе 9 справочника Перри. Методы расчета основаны на применении принципов гидродинамики, изложенных в первой части этой книги. Сопротивление движению жидкости определяет высоту, на которую жидкость поднимается вверх по переливной трубе, и, следовательно, расстояние между тарелками. Если жидкость в колонне вспенивается, то высота столба жидкости вместе с пеной, необходимая для преодоления сопротивления
39 Заказ 519. 309
в переточной трубе, увеличивается и может наступить захлебывание.
Слой жидкости, протекающей поперек тарелки, глубже в той части тарелки, куда по переточной трубе подается жидкость с вышележащей тарелки. Тогда газ стремится проходить через колпачки или другие отверстия для прохода газа, расположенные вблизи сливного порога тарелки. Перепад давления в разных рядах колпачков можно установить таким, чтобы уравнять потоки
Рис. 39. 15. Допустимая скорость газа иа в тарельчатых колоннах для систем газ—жидкость
[136J.
Высота затвора, мм
1
2
3 4
5
О 13 25
38
51
газа, но тогда тарелка не может работать с максимальным к. п. д. при большом изменении расходов жидкости и газа. Некоторые из недавно предложенных клапанных тарелок почти полностью исключают влияние гидравлического градиента на тарелке и обладают несколько более широкими пределами рабочих условий.
Задачи
39. 1. Найти необходимое число теоретических ступеней по условиям задачи 37. 1. Определить допустимую массовую скорость газа,~ если применяются колпачковые тарелки с глубиной погружения прорезей, или жидкостным затвором, в 50 мм, а расстояние между тарелками 100 мм.
39.2. Определить действительное число колпачковых тарелок для задачи 39. 1, пользуясь зависимостями, приведенными в'справочнике Перри.
39. 3. Рассчитать необходимое число теоретических ступеней для условий задачи 37. 2.
39. 4. Определить высоту и диаметр тарельчатой колонны с расстоянием между тарелками 0,6 м и т) = 0,60 для условий задачи 37. 3. Высота жидкостного затвора равна 50 мм.
39. 5. Определить необходимое число теоретических ступеней по условиям задачи 37. 4.
39. 6. Вывести уравнение
(39.34)
в котором Sj и Eg постоянны по высоте колонны. Один из возможных подходов к решению — определить высоту насадочной колонны, эквивалентную действительной ступени, а затем получить уравнение, которое при сопоставлении с уравнением (39. 21) определит искомую зависимость.
. 610
39. 7. Растворимость компонента А в воде определяется уравнением уА = МхА-20~х*А.
а. Чему равно минимальное отношение расхода воды к расходу воздуха для колонны с бесконечно большим числом тарелок, чтобы абсорбировать все введенное растворенное вещество, применяя в качестве абсорбента чистую воду? Вводимый в колонну газ содержит 0,02 мольных долей компонента А.
б. Чему равна концентрация уходящего абсорбента в разделе «а»?
в. Если колонна используется для десорбции компонента А из воды, чему будет равно минимальное отношение расхода воздуха к расходу воды для полной десорбции растворенного вещества чистым воздухом в качестве десорбирующего агента? Входящая в колонну жидкость содержит 0,02 мольных долей компонента А.
Задача лучше всего решается аналитически.
40. КОНТАКТИРОВАНИЕ ЧАСТИЧНО СМЕШИВАЮЩИХСЯ ФАЗ
ЗАВИСИМОСТИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ФАЗОВОЕ РАВНОВЕСИЕ
При изучении процессов разделения мы до сих пор рассматривали случаи, когда две контактирующие фазы взаимно нерастворимы. Распределяемый компонент А (растворенное вещество) присутствует в обеих фазах, но компонента С нет в фазе В (которую мы называем экстрактом), а компонента В нет в фазе С (рафи-нате). Это условие приблизительно соблюдается в большинстве случаев абсорбции и в некоторых задачах жидкостной экстракции при низких концентрациях растворенного вещества. Но во многих случаях экстракции фазы частично растворимы друг в друге, т. е. заметное количество компонента В содержится в фазе рафината и заметное количество компонента С — в фазе экстракта. Изложение материала в этой главе будет дано применительно к жидкостной экстракции, но основные положения и зависимости можно применить к другим процессам разделения, таким как абсорбция или экстракция из твердого тела.
Фазовое равновесие для тройных систем представлено графически в треугольных диаграммах типа рис. 40. 1. Массовая доля компонента А откладывается в горизонтальном направлении, а линии постоянных хА или уА параллельны стороне треугольника ВС. Массовая доля компонента В откладывается по вертикали, а линии постоянных хв и ув параллельны стороне треугольника АС. Массовую долю компонента С легко найти по уравнению хс = 1 — (хА + хв); линии постоянных хс или ус параллельны стороне АВ треугольника. На рис. 40. 1 это показано на примере точки F, имеющей состав хАр = 0,3, хвр = 0,4, хср = 0,3.
Кривая DEG на рис. 40. 1 является границей области взаимной растворимости в жидкой системе. В условиях равновесия внутри кривой растворимости находятся две фазы; в остальной части треугольника присутствует одна фаза. Смесь, общий состав 612
которой изображается точкой, ^ежащей внутри двухфазной области, разделяется на два слоя, равновесные составы этих слоев
определяются наклонными прямыми, связывающими точки ветви DE на кривой растворимости с точками на ветви EG. Эти прямые называются конодами. Например, если состав фазы рафината изображается точкой ТУ, то состав экстракта, находящегося в равновесии с ним, изображается точкой V, лежащей на другом конце коноды, начинающейся в точке W\ Состав в точке W выражается хА, а состав в точке V — уА. На основании ряда конод на рис. 40. 1 можно построить у — х диаграмму или кривую распределения, показанную на рис. 40* 2. Точка Е на рис. 40. 1 и 40. 2 называется критической точкой; в э*гой точке составы двух фаз становятся одинаковыми.
В (чистый компонент) f.O D
25° С
0,8
0,6
Рис. 40. 1. Равновесие в системе жидкость — жидкость.
1 — однофазная
< — = 0,3;
область; 2 — двухфазная область.
б — = 0,4; в — XCF 55=5
0,6
0,4
Ул 02
Рис. 40. 2. Кривая распределения, соответствующая рис. 40. 1.
а — У а *= wwcA» б — К, критическая точка.
Как показано на рис. 40. 2, при низких концентрациях компонента А соблюдается закон распределения в виде уА ~ тхА. В этих пределах концентрации лвдь небольшое количество компонента С содержится в фазе экстракта и компонента В — в фазе рафината. Рабочую линию в этих условиях можно определить достаточно точно по методам, изложенным в гл. 37 и 39. При более высоких концентрациях компонента А на положение рабочей линии может значительно влиять взаимная растворимость фаз. Но как только рабочая и равновесная линии будут нанесены на диаграмму типа рис. 40. 2, можно определить число ступеней графически, как в гл. 39. Эта глава посвящена главным образом графическим методам применения материального баланса для определения искривленной рабочей линии, которая показана, например, на рис. 40. 12.
613
Рис. 40. 1 показывает распространенный вид кривой равновесия, но часто встречаются и другие виды; некоторые из них пока-
Рис. 40. 3. Два вида равновесия в жидких системах.
заны на рис. 40. 3. Все показанные до сих пор диаграммы фазо
вого равновесия относились к системам
Рис. 40. 4. Влияние температуры на растворитель в типичной жидкой системе; th + i £> th.
при одной температуре. Когда температура повышается, взаимная растворимость фаз почти всегда увеличивается, как показано на рис. 40. 4.
Мы пользуемся прямоугольными треугольниками, чтобы представить данные по равновесию тройных систем, но в литературе часто пользуются равносторонними треугольниками. Основные положения, изложенные в этой главе, применимы к треугольным диаграммам любой формы. Прямоугольному треуголь
нику отдают предпочте-
ние потому, что его легко построить на обычной миллиметровой бумаге, а длины его сторон можно выбрать такими, чтобы они упрощали количественный графический расчет.
614
В треугольной диаграмме и ряде подобных диаграмм1 легко проводить расчеты по материальным балансам при помощи так называемого правила рычага. Когда смешиваются два потока, имеющие разные составы, это правило требует, чтобы точка, изображающая состав полученной смеси, лежала на прямой между точками, соответствующими этим двум составам. И наоборот, если смесь разделяется на два потока, то материальный баланс требует, чтобы точки, изображающие эти три состава, лежали на одной прямой. Приступим к проверке некоторых из этих положений и покажем, что существует определенная количественная зависимость между различными отрезками прямых.
Схема на рис. 40. 5 изображает любой физический процесс разделения, такой как ректификация, в котором исходная тройная смесь разделяется на две фракции. В данном случае за исходную смесь принимают хорошо перемешанную двухфазную жидкость, подаваемую в отстойник. В этом отстойнике смесь разделяется на два слоя, которые могут выводиться. Можно записать следующие уравнения2 материальных балансов:
F^W + V-, (40.1)
FXAF^WXA + VyA< (40’2)
FxBF = WxB + VyB- (40. 3>
Материальный баланс по компоненту С не является независимым уравнением. Мы хотим доказать (рис. 40. 5, б), что наклон прямой WF равен наклону прямой FV, т. е. что WFV — прямая. Из треугольника на рис. 40. 5, б следует:
наклон WF = . (40 4)
XAF~~XA
1 Расчеты по экстракции часто проводятся также в диаграмме Джа-нека [165].
2 G и L обозначают нагрузку, кг)м* • ч. V и W обозначают расходы при L W установившемся процессе в кг/ч. Отношения — и равны.
G V
615
Уравнения (40.1) и (40. 3) можно решить относительно
ХА W (40- 5)
и „ (W+VUBy-VyB ... .. Хв= w . (40.6)
Подставляя эти выражения в уравнение (40. 4), получим
наклон WF = 9-B--^. (40.7) Уа~хар v ’
Но это есть также наклон прямой FV, так что положение о том, что WFV — прямая, доказано.
Из уравнений (40. 1) и (40. 2) мы можем также получить:
W _Уа~~“хар^ V XAF ~~ ХА ’
(40. 8)
Эти зависимости показывают, что количественные отношения потоков можно легко определить графически. Из подобия треугольников видно, что эти отношения можно найти по вертикальным отрезкам или отрезкам WF, FV и WV самой прямой линии. При использовании диаграммы в прямоугольном треугольнике, легко определять горизонтальные или вертикальные отрезки.
Только что описанные графические приемы можно применить к системе, показанной на рис. 40. 1. Если двухфазная смесь, имеющая состав F, подается в сепаратор, изображенный схематически на рис. 40. 5, а, то две фазы, на которые разделяется исходная смесь, должны лежать на коноде, а также на одной прямой с точкой F, т. е. должны лежать на коноде, проходящей через точку F. Составы этих двух фаз на рис. 40. 1. изображаются точками W и V. Исходя из концентрации компонента В, мы имеем на единицу массы исходной смеси F
w = = о 347
У 0,57 — 0,08 0,49 ’
Количество фазы V равно 1—0,347, или 0,653.
Правило рычага можно применить также к вычитанию. Например, если поток V пропустить через ректификационную колонну, в которой будет отогнан весь компонент В, то оставшаяся смесь 616
компонентов Л и С должна лежать на стороне АС треугольника и на прямой, проходящей через В и V, т. е. в точке V' на рис. 40.1. В этой точке уА = 0,763. Состав, изображенный точкой F', мы
называем составом смеси V после чаем его через у'А. Состав смеси W после отгонки растворителя определяется путем проведения прямой через В и W до х'А = 0,26.
Составы смесей W и V после отгонки экстрагента представляют особый интерес, так как они показывают достигнутое разделение компонентов А и С. Величины хА и у'А, найденные таким способом по рис. 40.1, можно нанести на график типа рис. 40. 6. Этот график называется диаграммой селективности.
Рис. 40.6. Диаграмма селективно-
сти, соответствующая рис. 40. 1.
Правило рычага, которое
было показано применительно к
описанию фазовых равновесий в системах жидкость — жидкость, широко используется при расчете рабочих линий по уравнениям
материальных и тепловых балансов во многих задачах по экстракции и ректификации.
ОДНОСТУПЕНЧАТАЯ ЭКСТРАКЦИЯ
Рассмотрим теперь выделение компонента А из его смеси с С путем экстракции экстрагентом В. Если мы располагаем одной ступенью равновесия, процесс можно изобразить схематически
так, как показано на рис. 40.
Рис. 40. 7. Схема одноступенчатой экстракции.
7. Процесс аналогичен тому, который изображен на рис. 39. 5. Поток Wn_! с концентрацией хА п_f, равной 0,25, взаимодействует с потоком чистого экстрагента Vn+]) жидкие фазы, уходящие из аппарата, обозначены через Wn и 7П; массовые доли -растворенного вещества А также показаны на схеме.
Задача решается в треугольной диаграмме, показанной на рис. 40. 8. При смешении потоков У +1 и И7П_1 получается смесь,
617
состав которой изображается точкой М. Положение точки М на прямой, соединяющей Vn+i и Wn l, определяется отношением количеств этих двух потоков по правилу рычага. Если 0,408 кг экстрагента подается на каждый килограмм исходной смеси
то отношение отрезков п - должно быть равным 0,408. Тогда Vn+1 м
откладывать 0,29 от расстояния между и 7п+1 вдоль прямой И/п_1 ^n+i’ nPonJe использовать вертикальные координаты точек. Тогда точка М должна иметь ординату 0,29, как это и показано на рисунке.. Точка М изображает результирующий состав жидкости, входящей в аппарат, и ее можно рассматривать также как суммарный состав двух жидких фаз, уходящих из аппарата. Эти две фазы находятся в равновесии; поэтому точки Wn и Vn лежат на концах коноды, проходящей через точку М. Массовая доля компонента А в рафинате снижается до хА — 0,16 или после отгонки экстрагента до х'А = 0,17.
Отметим, что в задачах, рассмотренных в этой главе, W, V и другие подобные им обозначения могут относиться либо к рас
618
ходам в килограммах в час при установившемся режиме, либо к количествам в килограммах при периодической экстракции. Хотя эти обозначения будут называться расходами, иногда полезна и вторая их интерпретация.
МНОГОСТУПЕНЧАТЫЙ ПРОЦЕСС С ПОДАЧЕЙ
СВЕЖЕГО ЭКСТРАГЕНТА В КАЖДУЮ СТУПЕНЬ
Этот процесс был описан в гл. 39, и мы сошлемся на схему потоков, изображенную на рис. 39. 8.
Работу трехступенчатого аппарата можно объяснить с помощью рис. 40. 9. В первой ступени на каждый килограмм исходного раствора Wo подается 0,408 кг экстрагента. Точка Мх совпадает
Рис. 40. 9. Многоступенчатая экстракция с подачей свежего растворителя в каждую ступень.
с точкой М на рис. 40. 8, a W1 и соответствуют Wn и Vn-Поток теперь подается во вторую ступень, в которую прибавляются следующие 0,408 кг экстрагента на 1 кг исходной смеси
WQ. Правило рычага дает =
-== ; по ординатам трех точек
прямой WiMiVi определяем = 0,661. Так как мы
знаем, что Мг — 0,408 + 1,00 = 1,408, то имеем = 0,661 X X 1,408 = 0,931.
619
Когда во второй ступени 0,408 кг экстрагента смешиваются с 0,931 кг рафината из первой ступени, получается смесь, состав которой изображается точкой М2, положение этой точки на прямой определяется по правилу рычага. Смесь состава
М2 разделяется на два слоя, имеющие составы, определяемые концами коноды, проходящей через М2. Коноду легко провести методом последовательного приближения с помощью рис. 40. 2 и рис. 40. 9. Составы W2 и V2 показаны на рис. 40. 9. В данном примере мы получаем М2 = 1,339 кг, W2 — 0,815 кг и У2 = =0,524 кг. Расчеты продолжаются применительно к третьей ступени для которой М3 = 1,223 кг, W3 — 0,740 кг и V3 = 0,483 кг. Массовая доля компонента А в рафинате третьей ступени снижается до хАз~ 0,060 или х'Аз — 0,061 после отгонки экстрагента. Этот результат можно сравнить с х'Ап = 0,17 при том же исходном растворе, но одноступенчатом процессе; но в нашем примере использовался в три раза больший расход экстрагента. Заметим, что величина Wn изменяется от ступени к ступени и WCn также изменяется приблизительно на 10%; таким образом, этот расчет
Wc п неудобно проводить в диаграмме типа рис. 39. 7, так как —— гВп+1
/ Lq \
или -— непостоянно.
МНОГОСТУПЕНЧАТАЯ ПРОТИВОТОЧНАЯ ЭКСТРАКЦИЯ
Схема многоступенчатой противоточной экстракции показана на рис. 40. 10. Прямоугольники, в виде которых показана каждая ступень, могут представлять собой секцию или тарелку вертикальной колонны или каскад ступеней, каждая из которых состоит из смесителя и отстойника. Обозначения V и W относятся к потокам экстракта и рафината; в вертикальной колонне потоки, показанные на рис. 40. 10, получаются тогда, когда фаза экстракта легче, чем фаза рафината. Если отношение плотностей фаз обратное, то фаза рафината поднимается вверх, а фаза экстракта стекает вниз. В любом случае число ступеней обычно определяется, начиная с того конца колонны, где концентрация компонента А выше.
Предположим, что концентрации четырех конечных потоков в схеме рис. 40. 10 равны концентрациям, показанным на рис. 40. И, т. е. хДо = О,25, xAN = 0,06, уД1 = 0,325, а уА N+i =0. Из уравнения
^ + ^0 = ^ + ^ = ^ (4011>
и правила рычага видно, что на рис. 40. И = 0,408, т. е. той величине, которая принималась в пояснениях в предыдущих 620
разделах. Уравнение (40. 11) и соответствующие материальные балансы по компонентам А и В обозначены прямыми W^MV^ и и представляют собой общий материальный баланс
многоступенчатого аппарата.
Рис. 40. 10. Схема многоступенчатого противоточного процесса.
Число теоретических ступеней, необходимых для описанного выше процесса, можно определить непосредственно по рис. 40. И или графически по диаграмме х — у на рис. 40. 2, после того как будет нанесена рабочая линия. Материальный баланс первой ступени выражается уравнением
71-ТГо = Г2-Ж1 = А (40.12)
и аналогичными уравнениями по компонентам А и В. Величина Д представляет собой результирующий поток, направленный к тому
621
концу каскада, где концентрации выше. Для первых двух ступеней мы имеем
Vr - Wo = V3 - W2 = А, (40.13)
для первых п ступеней
у1-170 = 7п+1~Жп = А, (40. 14)
а для всех N ступеней
г>-И7. = г« ~Й'« = Л- <40. J5)
Эти уравнения показывают, что результирующий поток А остается постоянным по всему каскаду. По известным четырем конечным составам и на основании того, что Т^И^А и VN+iWN&— прямые линии1, можно определить положение А так, как показано на рис. 40. 11.
Согласно рис. 40. И, Wo равно сумме А и Тогда Wo больше, чем V19 а А — отрицательная величина; это означает, что результирующий поток направлен к нижнему (N) концу каскада. Для определения величины потоков можно воспользоваться правилом рычага. Например, -у2- — по °РДИ' натам трех точек получаем-у1 = = 1.57. Если Wo= 1,0,
Vi = 0,637, а А = —0,363.
Если требования к процессу изменяются так, что Vr перемещается вдоль ветви экстрактов кривой растворимости в сторону меньших значений уА, a FN+1, WN и V остаются неизменными, то отношение у2- уменьшается. Когда прямые и ^+1И^А становятся параллельными, Др- = 1 и А = 0. Дальнейшее перемещение V влево означает, что А будет располагаться над прямоугольником диаграммы, оно положительно, и больше, чем Wo. Результирующий поток направлен к тому концу каскада (7), где концентрации выше — см. рис. 40. 10.
Через точку А можно провести произвольную прямую, которая пересекает кривую растворимости между точками, изображающими конечные концентрации. Мы знаем, что составы потоков, выходящих из каждой теоретической ступени в каскаде, лежат на кривой растворимости. Тогда, если состав потока Wn такой, какой показан на рис. 40. И, то состав потока Vn+i определяется точкой пересечения прямой, проходящей через А и Wn, с верхней ветвью кривой растворимости, на которой лежат составы экстрактов. Задаваясь произвольными значениями хАп на ветви рафинатов кривой растворимости и пользуясь точкой А для определения
Это следует из уравнений (40. 12) и (40. 15).
622
соответствующих значений уАп+1, можно построить рабочую линию в диаграмме х — у. Рабочая линия, показанная на рис. 40. 12, получена этим способом.
Если на рис. 40. 12 нанесены рабочая и равновесная линии, то число ступеней определяется графическим построением, которое проводилось на подобных диаграммах в гл. 39. Зная из рис. 40. 11 величину уА1, определяют хА1 по кривой равновесия.
Рис. 40. 12. Расчет числа ступеней противоточной многоступенчатой экстракции по кривой распределения.
а — кривая равновесия; б — рабочая линия.
Величина уА 2 определяется пересечением хА с рабочей линией. По уА^ и кривой равновесия определяют хА%. Это построение продолжают до тех пор, пока не достигнут xAN. Число ступеней
определяется так, как показано на рисунке.
Число ступеней можно определить непосредственно по рис. 40.11, но обычно предпочитают пользоваться диаграммой у — х, так что треугольная диаграмма остается неиспещренной многочисленными линиями. Состав Wi лежит на пересечении коноды, проходящей через Vi, с ветвью рафинатов кривой растворимости. Состав V2 определяется точкой пересечения прямой, проходящей через Wi и А, с ветвью экстрактов кривой растворимости. Сту-
пени определяют таким путем до достижения концентрации xAN. Как и при контактировании взаимно нерастворимых фаз, VN+i
существует минимальное значение отношения ——— , являющееся vV Q
623
предельным для данной системы. Когда уменьшается,
И' о
точка М перемещается по направлению к Wo, а точка Vi — по кривой растворимости вправо (в сторону более высоких УА1)-Верхний конец рабочей линии на рис. 40. 12 приближается к кривой равновесия; отношение расхода экстрагента к расходу исходного раствора станет минимальным, когда эти две кривые коснутся ДРУГ друга. Хотя обычно точка касания приходится на конец каскада, когда рабочая и равновесная линии искривлены, касание может происходить и в промежуточной точке.
В рассматриваемой системе будет происходить разделение, если наклон любой прямой Vn+iWnA больше наклона коноды, проходящей через точку Wn- Минимальный расход экстрагента соответствует случаю, когда эти прямые для какой-либо ступени каскада сливаются.
ПРОЦЕСС ПРОТИВОТОКА С ФЛЕГМОЙ
В примере, описанном в предыдущем разделе, можно извлечь большую часть компонента А из его смеси с С. Если пользоваться чистым экстрагентом, то можно понизить xAN до любой малой Wa величины, приняв соответствующее отношение и достаточно большое число ступеней. Но концентрация компонента А в уходящем экстракте ограничена; даже если число ступеней будет равно бесконечности, можно повысить уА £ только до величины, равновесной хАв. Чтобы поднять концентрацию экстракта выше z/^o, прибегают к рециклу или флегме на том конце аппарата, из которого уходит экстракт.
Каскад ступеней с «верхней» флегмой показан на рис. 40. 13. Добавлена укрепляющая секция; поток экстрагента обогащается в результате контакта с потоком рафината, получающимся от возврата в укрепляющую секцию колонны части продукта получаемого после отгонки экстрагента от экстракта. Возвращаемый поток называется флегмой, а отношение есть флегмовое число. Продукт экстракции и флегма получаются из экстракта Vi отгонкой экстрагента в ректификационной колонне, как показано на рис. 40. 13.
Материальные балансы для укрепляющей секции каскада выражаются:
V, - JF0 = V2 - - Д(40.16)
Ип+1-Жп-Д'; (40.17)
(40.18)
624
Точка А лежит на прямой, проходящей через Wo и Vi; ее используют для определения положения рабочей линии в укрепляющей секции. Для остальной части колонны, называемой исчерпывающей секцией, материальные балансы следующие:
Vf+1-wf = ^, (40.19) Г-Г----
Vm+1-PFm = A, (40.20)
VM+1~WM = A. (40.21)
Точка А для исчерпывающей секции лежит на прямой, проходящей через 7M+i и WM.
Общий материальный баланс для каскада
= V1-»F0. (40.22)
Из этого уравнения и уравнений (40.16) и (40. 21) мы получаем
F + A = AZ (40.23) и FA'A представляет собой прямую.
Если F и WQ сложить, получим J:
F + W0 = J, (40.24) и тогда общий материальный баланс выразится а
Рис. 40. 13. Многоступенчатый противоточный процесс с флегмой из экстракта.
1 — F (исходный раствор); 2 — экстракт после отгонки экстрагента; з — рафинат после отгонки экстрагента; 4 — укрепляющая часть; 5 — исчерпывающая часть; в — ректификационная колонна; 7 — флегма; 8 — свежий экстрагент.
= М. (40.25)
Флегмовое число может изменяться от неко
торого минимального зна-
чения до бесконечно большого, когда никакого продукта экстракции D не отбирается. В последнем случае F и В также равны нулю. При бесконечно большом флегмовом числе требуется минимальное число ступеней. Заметим, что в этих условиях А совпадает с А и - - минимально.
' т + 1
По мере того как флегмовое число снижается, рабочие линии на графике типа рис. 40. 12 приближаются к кривой равновесия
40 Заказ 519.
625
и для процесса экстракции требуется все большее и большее число ступеней. При минимальном флегмовом числе рабочая
и равновесная линии касаются друг друга, и для разделения требуется бесконечно большое число ступеней. Точка касания может находиться в любой части каскада, но обычно она бывает в месте пересечения двух рабочих линий. В треугольной диаграмме минимальное флегмовое число достигается, когда любая из прямых, исходящих из точек А или А', совпадает с конодой.
Существует экономически оптимальное флегмовое число. Работа при флегмовых числах, близких к минимальному, снижает потери экстрагента и размер отдельных ступеней, но приводит
Рис. 40. 14. Противоточная экстракционная батарея и треугольная диаграмма к задаче 40. 1. Составы в % масс.
а — проекционная линия для определения равновесных составов в двухфазной области диаграммы.
к большому числу ступеней. Работа с высокими флегмовыми числами уменьшает число ступеней, но увеличивает размер каждой ступени из-за больших расходов рециркулирующих фаз.
Существует максимальная массовая доля компонента А в продукте экстракции (после отгонки экстрагента) для таких систем, как приведенная на рис. 40. 1. Эта массовая доля у'А определяется прямой, проходящей через вершину В, и касательной к верхней ветви кривой растворимости. Для системы, показанной на рис. 40. 1, эта максимальная величина определяется прямой BVV'-.
Для тройной системы типа, приведенного на рис. 40. 3, а, каскад ступеней с флегмой, изображенный на рис. 40. 13, может дать как почти чистый компонент С, так и почти чистый компонент А. Например, применяя в качестве экстрагента анилин, можно
626,
разделить смесь гексана и метилциклопентана на почти чистые фракции по схеме, подобной приведенной на рис. 40. 13.
Задачи
40. 1. Противоточная батарея для жидкостной экстракции работает так, как показано на рис. 40. 14. Найти число ступеней, необходимых для желаемого разделения.
40. 2. Предлагается разделить смесь F, состоящую из 50% масс, «-гептана и 50% масс, метилциклогексана (МЦГ), на рафинат WM, содержащий 8% МЦГ, и экстракт Р, состоящий из 87% МЦГ и 8% анилина. В экстракционную батарею подается чистый экстрагент (анилин) и меньшее количество
Рис. 40. 15. Данные к задаче 40. 3.
а ~ проекционная линия для определения равновесных составов.
того же чистого экстрагента поступает с установки для его отгонки. Установка Wn
работает с флегмовым числом равным 3. Предполагая, что исходная смесь подается в систему в оптимальном месте, требуется найти число необходимых для процесса ступеней, если установка работает по схеме, показанной на рис. 40. 13. Равновесные данные для тройной системы при 25° С приводят Вартерессиан и Фенске [168].
Углеводородный слой Слой экстрагента
МЦГ Гептан МЦГ Гептан
Содержание, % масс.
0 92,6 0 6,2
9,2 83,1 0,8 6,0
18,6 73,4 2,7 5,3
33,8 57,6 4,6 4,5
46,0 45,0 7,4 3,6
59,7 30,7 9,2 2,8
71,6 18,2 12,7 1,6
83,3 5,4 15,6 0,6
88,1 0 . 16,9 0
40*
627
40. 3. Экстракционная батарея работает так, как показано на рис. 40. 15. Найти точки на треугольной диаграмме, изображающие составы потоков V4 и W3. Поток является не чистым растворителем, а насыщенной тройной смесью из ступени, не показанной на схеме.
40. 4. Нужно проэкстрагировать рыбий жир из измельченных в порошок голов рыб, содержащих 70% масс, нерастворимой твердой массы и 30% жира. Экстракция проводится в двухступенчатой батарее с подачей свежего экстрагента в каждую ступень. Исходная масса подается в количестве 453 »г/ч, а растворитель — по 226,5 кг/ч в каждую ступень. Масса, уходящая из каждой ступени, содержит 0,30 кг раствора на 1 кг твердого вещества. Найти степень извлечения рыбьего жира в поток экстрагента.
40. 5. Нужно проэкстрагировать нефть из нефтеносного песка в количестве 54,5 тп/день,содержащего 25% по весу нефти и 75% песка, при помощи 36,3 m/день керосина в противоточной экстракционной батарее непрерывного действия. Уходящий из батареи экстракт должен содержать 40% нефти и 60% керосина, а суспензия, уходящая из каждой ступени, содержит 35% раствора и 65% песка. Сколько потребуется ступеней, если средний к. п. д. равен 50%?
41. РЕКТИФИКАЦИЯ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ
В этой главе мы рассмотрим процесс разделения бинарных смесей методом ректификации. Знание основных положений процесса ректификации бинарных смесей важно не только вследствие его промышленного применения. Эти положения помогают понять процессы многокомпонентной ректификации, где используется большинство тех же основных положений, осложненных, однако, множеством зависимостей, описывающих поведение всех компонентов.
Периодическая ректификация бинарной смеси этанол — вода практиковалась пивоварами и винокурами на протяжении столетий. Но лишь в этом столетии ректификация получила широкое развитие как непрерывный процесс. Наибольший вклад внесли в эту область инженеры нефтяной промышленности, в которой находится в эксплуатации много ректификационных колонн непрерывного действия.
При кипении гомогенной смеси жидкостей уходящий пар богаче легколетучим компонентом, в то время как остающаяся жидкость богаче высококипящим компонентом. Если загрузку жидкости обрабатывать таким способом до тех пор, пока, скажем, не испарится половина ее, то оставшаяся жидкость будет иметь состав, отличающийся от первоначальной смеси. Уходящий парг если его непрерывно отводить и конденсировать, будет иметь, состав, также отличающийся от первоначальной смеси. Таким образом, будет достигнуто некоторое разделение смеси.
Не следует думать, что уходящий пар или остающаяся жидкость будут обязательно состоять из практически чистых индивидуальных компонентов. Уходящий в любой произвольный момент пар имеет концентрацию, не превышающую равновесную. Весь отобранный продукт можно рассматривать как состоящий из; ряда порций пара, каждая из которых была в равновесии с жидкостью, находившейся в то время в аппарате. Например, жидкость, имевшая первоначальный состав 50% компонента А и 50%
629»
компонента В, может дать конденсат, содержащий 70% компонента А и 30% В, а оставшаяся жидкость может содержать 20% компонента А и 80% В.
Если в системе не образуется азеотропа, то иногда можно добиться большего разделения, чем в выбранном примере. Но при периодической дистилляции жидкость обогащается высококипя-щим компонентом, причем количество ее с течением процесса все уменьшается. В выбранном примере, если непрерывно отводить пар и продолжать подогревать жидкость, пока она не испарится почти полностью, концентрация оставшейся жидкости будет приближаться к 100% компонента В. Отогнанный пар будет, конечно, почти того же состава, что первоначально загруженная жидкость, так что никакого практически ценного результата не получается.
В процессе непрерывной ректификации разделение смеси на почти чистые компоненты требует большего числа ступеней по сравнению с числом ступеней, например, для получения продуктов 90 %-ной чистоты. Трудность получения очень чистых продуктов путем ректификации отражается в термодинамических расчетах* 1 2 3 минимальной работы разделения, которые показывают, что минимальная потребная работа резко возрастает при приближении чистоты продуктов к 100%.
Простейший процесс, который мы называем периодической дистилляцией, можно осуществить в аппарате, называемом перегонным кубом, снабженном обогревательной рубашкой или змеевиком. Пузырьки пара, образующиеся на поверхности нагрева, поднимаются сквозь жидкость и уходят из верхней части аппарата в конденсатор, где превращаются в жидкость и накапливаются в сборнике. Как мы видели в гл. 36, массопередача к пузырькам пара или от пузырьков пара, поднимающихся через слой жидкости, происходит очень быстро, так что состав пара при прохождении его через свободную поверхность жидкости в кубе редко отличается сколько-нибудь значительно от равновесного.
Более сложным аппаратом является ректификационная колонна. Она представляет собой цилиндрический аппарат с разного рода внутренними устройствами, предназначенными для обеспечения тесного контакта пара и жидкости при их встречном движении в колонне. В верхнюю часть колонны подается жидкая флегма, обычно получаемая путем конденсации части пара, уходящего из верхнего сечения колонны. Внутреннее устройство может состоять из неподвижного слоя седел Верля, колец Рашига
1 Додж [37] приводит результаты расчета минимальной работы разделения смеси, состоящей из 50% мол. бензола и 50% мол. толуола, при 25Q С, ла продукты следующей чистоты:
1) оба продукта 95% мол. чистоты — 293 ккал!кмоль исходной смеси;
2) оба продукта 99% мол. чистоты — 309 ккал/кмоль исходной смеси;
3) оба продукта 100% мол. чистоты — 410 ккал!кмоль исходной смеси.
*630
и какого-либо другого вида насадки, но гораздо чаще это ряд тарелок или ступеней. Тарелки могут быть перфорированными, с отверстиями или прямоугольными щелями, или они могут быть более совершенными по конструкции — колпачковыми и клапанными. Колпачковая тарелка была показана на рис. 39. 4. Большая часть излагаемых в дальнейшем сведений о процессе ректификации относится к колонне с колпачковыми тарелками, как наглядной модели. При этом будем предполагать, как обычно, что газ и жидкость, покидающие каждую идеальную ступень, находятся в равновесии. Понятия о к. п. д. тарелки или ступени, изложенные в гл. 39, применимы, конечно, и к процессам дистилляции и ректификации.
Перегонный куб, описанный нами, представляет собой аппарат, дающий в пределе одну ступень равновесия. Ректификационная колонна обычно работает в установившихся условиях и состоит из ряда ступеней, каждая из которых имеет эффективность менее одной ступени равновесия. Эти два аппарата обычно объединяют, направляя пары из перегонного куба в ректификационную колонну; тогда происходит ректификация в ряде последовательно работающих ступеней. Состав в любом сечении ректификационной колонны периодического действия является функцией времени. Такая колонна работает только на протяжении некоторого периода, достаточного для получения желаемых составов дистиллята и кубового остатка.
ФАЗОВОЕ РАВНОВЕСИЕ
В расчетах процессов дистилляции и ректификации широко^ используются принципы фазового равновесия. В гл. 33 мы рассмотрели применение правила фаз для определения числа независимых переменных в равновесной системе. Из уравнения (33. 1) мы видели, что в двухфазной бинарной системе два переменных могут быть выбраны произвольно. Поскольку в процессе расчета давлением обыкновенно задаются, то для любой бинарной системы достаточно задаться дополнительно еще одним переменным, чтобы определить этим самым все остальные переменные в системе. Например, если жидкость кипит в перегонном кубе при давлении в 1 ат и содержит 65% мол. этанола и 35% мол. воды, то как температура паро-жидкостной системы, так и состав пара тем самым строго определены. Если давление в ректификационной колонне равно 1 ат, а температура жидкости, уходящей с верхней тарелки, известна, то для данной бинарной системы тем самым предопределены составы как паровых, так й жидкостных потоков, уходящих с каждой тарелки, если эти потоки находятся? в равновесии.
Равновесные составы фаз определяются экспериментально или с помощью различных зависимостей. В гл. 33 мы видели, как
631
можно использовать закон Рауля, чтобы рассчитать равновесные составы в системе пар — жидкость, если жидкая фаза является идеальным раствором, а паровая — идеальным газом.
Полезным понятием является относительная летучесть. Летучесть, имеющая размерность давления, выражается для компонента А отношением
= (41.1)
ХА
Для чистого вещества ‘Относительная летучесть
а
летучесть равна упругости его паров, определяется как
__VA _ РАХВ
'АВ ”В ХАрв
(41.2)
Компоненты А и В разделяемых бинарных смесей таковы, что ав > В этом смысле компонент А является наиболее летучим из двух. На основании определения, данного парциальному давлению — см. уравнение (33. 2), мы можем записать
аАВ — ~ ~ ХА У В
(41.3)
(41.4)
или, если к системе применим закон Рауля, то можно подставить уравнение (33. 3) в уравнение (41. 2) и тогда
__ Ра ^ав рв •
Данная глава ограничивается бинарными смесями, поэтому мы упростим обозначения, опустив индексы, обозначающие компоненты А и В. Мольные доли более летучего компонента А в паре и в жидкости будут обозначаться через у и х соответственно, а мольные доли менее летучего компонента В — через 1 — у л 1 — х. При этих обозначениях уравнение (41. 3) примет вид
х 1 — у
или
ах
у -----------
l + (a-l)*
(41-5)
(41. 6)
Эта зависимость используется, в частности, при ректификации бинарных смесей, когда разность между температурами кипения чистых компонентов мала. В этих условиях относительная летучесть часто является приблизительно постоянной. Это позволяет построить график зависимости у от х в диапазоне концентраций
<632
от 0 до 1, используя усредненную величину а. Если бинарная система подчиняется закону Рауля, то а можно рассчитать по» отношению упругостей паров в соответствии с уравнением (41. 4). Упругости паров могут значительно изменяться в рассматриваемых пределах температуры, но отношение упругостей паров изменяется гораздо меньше.
Если жидкая или паровая фаза не ведет себя как идеальный раствор или идеальный газ соответственно, то относительную летучесть часто можно рассчитать с помощью термодинамики. Термодинамические расчеты проводятся не для непосредственного* определения относительной летучести, а для определения величины константы равновесия между паром и жидкостью1 * * * *, обозначаемой в дальнейшем через К и равной
К = (41.7>
X
С помощью величины К можно рассчитывать составы равновесных фаз.
В нашу задачу не входит разбор термодинамических расчетов, на основании которых определяются величины К. Их можно найти в большей части учебников по химической термодинамике. Здесь важно лишь напомнить студенту, что К является функцией температуры, давления и, в общем случае, состава. Хотя значения К приводятся во многих источниках, мы будем пользоваться только величинами, приведенными в справочнике Перри. Эти величины зависят только от давления и температуры; следовательно, они применимы только к жидкостям и парам, ведущим себя как идеальные растворы. Для получения более точных значений мы отсылаем студента к серии из 276 диаграмм, известной под названием диаграмм Келлога [83, 36, 43], применимых к неидеальным растворам.*
Пример 41. 1.
Построить диаграмму у — х для смесей н-бутана и к-гексана при следующих условиях:
а. Полное абсолютное давление равно 1,4 ат» Можно допустить применимость закона Рауля.
б. Полное абсолютное давление равно 8,08 ат» Воспользоваться значениями К из справочника Перри.
Решение.
а. При абсолютном давлении 1,4 ат температуры кипения н-бутана и н-гексана равны 10 и 79,49 С соответственно (Справочник Перри, стр. 564, рис. 2). Следовательно, паро-жидкостные смеси этих двух компонентов
1 Эта величина известна под многими названиями. Адлер и Палаззо [2]
подчеркивают, что она известна так же, как константа испарения, отношение
испарения, коэффициент равновесного распределения летучестей и просто
как константа равновесия. Они приводят краткий» обзор уравнений для
расчета величины К.
633
могут находиться в равновесии при 1,4 ат только в пределах этих температур. Относительная летучесть при 10° С определяется по уравнению (41. 4):
1,4 а=бяб5~13,3'
При 79,4° С относительная летучесть равна
а =
10,5
1,4
7,5.
Изменение относительной летучести в этом примере такое, что было бы неблагоразумным пытаться применить среднее значение а для получения
Рис. 41. 1. Зависимость мольной доли «-бутана в паровой фазе от его мольной доли в жидкости для системы н-бутан — н-гексан при полном абсолютном давлении 1,4 и 8,08 ат (зависимость рассчитана так, как показано в примере 41. 1).
а —- 1,4 ат', б — 8,08 ат.
зависимости между у и х — см. уравнение (41.6). Мы, наоборот, выбрали ряд температур в пределах от 10 до 79,4° С и рассчитали х и у так, как показано ниже. Сумму парциальных давлений компонентов, используя закон Рауля, можно выразить
£ра + (1-£)Рв=1,4.
Решая относительно х, получаем
- 1,4 —Рв
X —
(1)
(2)
При 37,8° С упругость паров
При 37,8° С упругость паров «-бутана равна 3,65 ат, а упругость паров «-гексана 0,35 ат. Подставляя эти величины в внение (2), получаем
1,4-0,35 3,65-0,35 d
Ура-
(3)
Состав пара определяется делением парциального давления «-бутана на полное давление:
- 0,32 • 3,65
УГ~ТГ~=
0,82.
(4)
Таким же образом мы находим значения у в зависимости от х> которые представлены на рис. 41. 1.
б. По диаграмме для К (справочник Перри, стр. 569) при абсолютном давлении 8,08 ат мы находим, что К = 1 для «-бутана и «-гексана при 68,3 и 154,4° С, соответственно. Эти температуры, следовательно, являются температурами кипения чистых компонентов при данном давлении. Обозначим «-бутан компонентом А, а «-гексан компонентом В, и запишем:
*д + *В = 1’’
Уа + Ув~1* (2)
Подставляем уравнение (41. 7) в уравнение (2):
*а*а+*в*в==1- (3)
Затем подставляем уравнение (1) в уравнение (3):
*а*а+*в(1"Л) = 1 W
634
и решаем уравнение (4) относительно хА\
При 93,3° С имеем КА = 1,60 и Кв = 0,30. Подставляя эти значения в уравнение (5), определяем, что хА = 0,54.
Состав пара:
У А — 1,60 - 0,54 — 0,86.
Величины уА, соответствующие хА, были рассчитаны подобным образом для ряда температур от 68,3 до 154,4° С и нанесены на рис. 41. 1.
Следует отметить, что на рис. 41. 1 кривая зависимости у от х для абсолютного давления 8,08 ат располагается ближе к диагонали квадрата, чем кривая для 1,4 ат. Диагональ квадрата соответствует зависимости у — х; совпадение кривой равновесия пар — жидкость с этой прямой обозначает, что никакого разделения смеси путем ректификации достичь нельзя. С другой стороны, кривая равновесия пар — жидкость, далеко отстающая от диагонали, соответствует случаю, когда можно достичь значительного разделения смеси путем ректификации. Таким образом, разделение смеси н-бутан —- н-гексан легче провести при 1,4 ат, чем при 8,08 ат. Отсюда мы делаем вывод, что при 1,4 ат потребуется меньшее число ступеней для достижения определенного разделения в ректификационной колонне или большая разность концентраций пара и жидкости при одноступенчатой периодической дистилляции.
Если бинарная смесь образует азеотроп, то кривая зависимости у от х пересекает диагональ. Так, если для системы этанол —-вода построить зависимость мольной доли этанола в паровой Лазе от мольной доли этанола в жидкости, то кривая зависимости у от х будет лежать выше диагонали от х = 0 до азеотропного состава 0,894 мольные доли этанола. В этой точке кривая пересекает диагональ, и продолжение ее лежит ниже диагонали до х~ 1.
РАБОТА РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ
Ректификационная колонна, работающая в установившемся режиме, показана схематично на рис. 41. 2. Исходный раствор подается в колонну примерно на уровне половины ее высоты; дистиллат и кубовый остаток выводятся из колонны так, как показано на рисунке. В колонне располагается ряд колпачковых тарелок. Пар с верхней тарелки уходит в конденсатор, где превращается в жидкость с температурой, равной температуре ее кипения, и собирается в сборнике. Как мы увидим ниже, конденсатор также может работать так, что будет давать или переохлажденную жидкость (жидкость при температуре ниже точки
635
кипения), или смесь жидкости и пара; но сейчас мы рассмотрим ди-стиллат, представляющий собой жидкость при температуре кипения. Часть жидкости из сборника непрерывно возвращается в качестве флегмы на верхнюю тарелку колонны, поскольку для обеспечения массопередачи требуется наличие жидкости на тарелках. Остающаяся в сборнике жидкость непрерывно отводится; она
называется дистиллятом.
Жидкость из нижней части колонны направляется в кипятильник, где она обогревается обычно с помощью паровых нагревательных труб. Кипятильник может составлять часть колонны, может быть присоединен к колонне или может быть выносным, как показано на рис. 41. 2. Во всех случаях назначение кипятильника состоит в том, чтобы жидкость, стекающую с нижней тарелки, частично испарить и возвратить в колонну в виде пара; остальная кубовая жидкость не-
рпе. 41.2. Схема работы ректификационной ж прерывно выводится из колонны с колпачковыми тарелками. аппарата. Условия мае-
1 — исходная смесь; 2 — нагревающий пар; з — конденсат нагревающего пара; 4 — кипятильник;
5 — кубовый остаток; 6 — конденсатор; 7 — охлаждающая вода; в — сборник; 9 — флегма; ю — насос; 11 — дистиллат.
сопередачи в кипятильнике (степень перемешивания и время контакта) обычно такие, что
пар, возвращающийся в колонну, находится в равновесии с жидкостью, уходящей из кипятильника в виде кубового остатка.
Исходная смесь, поступающая в колонну, может представлять собой жидкость при температуре кипения, насыщенный пар, паро-жидкостную смесь, переохлажденную жидкость или перегретый пар. Как мы увидим дальше в этой главе, состояние исходной смеси влияет на работу колонны.
РАСЧЕТ ПО МЕТОДУ СОРЕЛЯ
Основой большинства методов расчета ректификационных колонн являются уравнения Сореля [156]. Эти уравнения лежат в основе расчетов процессов ректификации многокомпонентных 636
«смесей, обычно осуществляющихся на электронной счетной машине. Эти уравнения, вообще говоря, не применяются при расчете ректификации бинарных смесей. Для последних известны более простые методы расчета: графический метод Мак Кэба — Тиле, в котором делается ряд упрощающих допущений, и метод Понтона — Саварита, который является графической интерпретацией метода Сореля, но не требует последовательных приближений. Мы рассмотрим прежде всего метод Сореля.
На рис. 41. 3 показана часть ректификационной колонны. На нескольких верхних тарелках колонны схематично показаны
потоки пара и жидкости. Эти обозначения не только указывают потоки, но также их количества в кмоль/ч. Материальный баланс верхней тарелки выражается уравнением
(41-8)
а тепловой баланс верхней тарелки — уравнением1
й'Л+>>Л=*?.+’>Л-(41. 9)
В последние два уравнения входят восемь переменных, по-
этому для их решения нужно, Рис. 41. 3. Верхняя часть ректифи-очевидно, располагать значени- кационной колонны с колпачковыми ями шести переменных. Как мы тарелками.
увидим в конце этой главы, на
первом этапе расчета колонны обычно выбирают давление. Поскольку все потоки являются бинарными смесями и их температуры принимаются равными температурам кипения, то достаточно за
даться только одним переменным для каждого потока, кроме давления, чтобы определить все характеристики потока. Например, состав дистиллата xD обычно выбирается произвольно. Весь пар, поступающий в конденсатор, уходит в виде конденсата, имеющего тот же состав, что и пар, так что xD = xR = у^ Далее, поток ИГ1 находится в равновесии с Ух, так что с помощью диаграммы у — х можно определить xi по величине yi. Следовательно, мы можем определить составы всех потоков, поступающих или уходящих с тарелки I, кроме V2. Зная составы трех потоков и полное
1 i и I обозначают соответственно теплосодержания жидкости и пара в ккал! кмоль.
637
давление, определяем температуры и теплосодержания Z, iR и по таблицам справочников или литературным данным.
Две оставшиеся переменные в уравнениях (41. 8) и (41. 9) можно теперь определить однозначно. Количество отбираемого дистиллата WD обычно задается в начале расчета или определяется из общего материального баланса колонны. Кроме того, pj? выбирается флегмовое число, которое мы определяем как ——.
- WD Эти две величины позволяют рассчитать расход флегмы WR и, следовательно, количество пара, уходящего с верхней тарелки, Тремя неизвестными переменными в уравнениях (41. 8) и (41. 9) являются расходы Wr и V2 и теплосодержание/2. Чтобы решить уравнения, задаемся величиной одного из этих переменных. Например, в первом приближении мы можем принять что Z2 равно Zx (которое известно). Это позволяет нам решить оба уравнения относительно остающихся переменных и V2. Для проверки величины Z2, которой мы задались, запишем материальный баланс тарелки 1 по более летучему компоненту:
+ + (41.10)
откуда
Числитель последнего члена уравнения (41. 11) равен просто поэтому получаем
_ W1 2 I WDXD r2 V
(41.12)
Все переменные правой части этого уравнения известны или | были определены в приведенных выше расчетах, поэтому решаем | уравнение (41. 12) непосредственно относительно у2. Зная состав | и температуру этого потока, мы можем определить его теплосодер- | жание Z2 по таблицам и таким путем проверить величину Z2, |
которой мы ранее задались в расчетах. 1
После того, как расчеты, связанные с тарелкой 1, будут повто- I рены многократно до получения согласующихся результатов, | весь расчет повторяют применительно к материальному и тепло- | вому балансам тарелки 2. Уравнения этих балансов, как и прежде | содержат восемь переменных, из которых пять известны, а три | неизвестны (ТУ2, V3, Z3). Величиной Z3 задаются (в первом прибли- И жении примем Z3 = Z2) и решают уравнения относительно W2
и V3. Из уравнения материального баланса по легколетучему компоненту тарелки 2 находим
(41.13)
у,= .Ь£, + 1Д V. V,
и определяем независимо величину 73 для проверки значения /3, которым мы задались.
Расчет, изложенный применительно к тарелкам 1 и 2, повторяют для последующих тарелок вплоть до точки ввода исходной •смеси. Наилучшим местом подачи исходной смеси является то сечение колонны, где состав одного из потоков совпадает с составом исходной смеси (этот вопрос будет рассмотрен ниже). Для тарелки питания следует учитывать поток исходной смеси в уравнениях материального и теплового балансов. Расчеты для тарелок, лежащих ниже тарелки питания, продолжают так же, как для части колонны над тарелкой питания, за исключением того, что уравнение (41. 13), если им пользуются, должно содержать член, учитывающий поток исходной смеси.
Расчеты для следующих друг за другом тарелок продолжают до тех пор, пока не доходят до потока пара, состав которого равен равновесному по отношению к кубовой жидкости хв. Этот паровой поток будет выходить из кипятильника и является конечным этапом работы. Главной задачей было, конечно, определить число ступеней, необходимых для разделения исходной смеси на дистил-лат и кубовый остаток предварительно заданных составов xD и хв. В ходе расчетов были найдены составы и теплосодержания всех потоков. Определение количеств тепла, переданных в конденсаторе и кипятильнике, сводится к простому составлению теплового баланса потоков, входящих и выходящих из этих вспомогательных аппаратов установки. Кроме того, были определены положение тарелки питания и величины всех потоков. Температуры также были подсчитаны (или могут быть легко найдены по полному давлению и составу потока), так что можно узнать объемные расходы для всех потоков. Эти величины необходимы для расчета диаметра колонны, переточных трубок и колпачков тарелки.
РАСЧЕТ ПО МЕТОДУ МАК КЭБА — ТИЛЕ
Основное затруднение при расчете по методу Сореля заключалось в определении теплосодержаний потоков пара Z2, 73 и т. д. путем последовательных приближений. Предположив, что в первом приближении эти теплосодержания являются постоянными, можно было бы решить уравнения относительно составов
639
пара, а затем рассчитать теплосодержания паров. Льюис [102] сделал подобное допущение, предложив считать потоки пара
V2, V3 и т- Д- одинаковыми. Как следует из уравнения (41. 8), для участков колонны, в которые не вводится исходная смесь и из которых не отводится никаких продуктов, допущение о равенстве потоков пара означает и равенство потоков жидкости.
Для ряда систем, в которых компоненты имеют идентичное строение молекул, допущение Льюиса является достаточно точным и из решения по методу Сореля исключаются последовательные приближения. Общие уравнения материального и теплового балансов — см. уравнения (41. 8) и (41. 9) становятся излишними, и требуется только уравнение материального баланса по легколетучему компоненту (41. 12). Если все потоки пара в колонне над точкой ввода исходной смеси одинаковы, их можно обозначить через V; подобным же образом обозначим все потоки жидкости через W. Тогда уравнение (41. 12) принимает вид
W - , ^DXD
У2- у —
(41.14)
Это уравнение выражает зависимость между у3 и х2, а равно и между любыми рабочими составами потоков, показанных на рис. 41. 3. Таким образом, модификация Льюиса приводит метод Сореля к ряду чередующихся уравнений равновесия и материальных балансов по легколетучему компоненту, решаемых без последовательных приближений.
Согласно рис. 41. 3, на основании равновесных данных и yt определяют xv Затем по уравнению (41. 14) находят у2. Далее определяют я2, как концентрацию потока, находящегося в равновесии с у2. После этого по уравнению (41. 14) вычисляют у3 (у 2 и xi в этом уравнении заменяют на у3 и х2). Расчеты продолжают для тарелок, расположенных ниже. Для тарелки питания и всех лежащих ниже нее тарелок в уравнении материального баланса нужно учесть добавление потока исходной смеси; в остальном метод расчета остается без изменений.
Метод Мак Кэба — Тиле [109] представляет собой графическое ; решение уравнений Сореля, упрощенных предложенным Льюисом допущением о постоянстве потоков пара и жидкости по высоте колонны. Преимущество метода Мак Кэба — Тиле заключается в том, что уравнение (41. 4) описывает прямую. Мак Кэб и Тиле предложили нанести эту прямую (рабочую линию) на тот график у — х, на котором представлена кривая равновесия, после чего можно определить число ступеней равновесия графическим построением. Число ступеней между равновесной и рабочей линиями определяется так, как было показано в гл. 39 и 40. 640
К
&
Прежде чем детально рассматривать метод Мак Кэба — Тиле, проанализируем допущение о постоянстве потоков пара и жидкости. Главным источником тепла на колпачковой тарелке является пар, поступающий на тарелку снизу. Тепло, которое отдается при частичной конденсации пара в жидкости на тарелке, вызывает испарение некоторого количества этой жидкости. Полученный пар присоединяется к несконденсированному пару, поднимающемуся с тарелки, восполняя его теплосодержание. Однако имеются еще потери тепла через стенки колонны, хотя и небольшие; есть также небольшая разница в теплосодержании жидкости, приходящей и уходящей с тарелки. Таким образом, основными носителями тепла являются оба паровых потока. Если компоненты смеси имеют сходные строения молекул и свойства, то скрытая мольная теплота парообразования, поделенная на абсолютную температуру, будет приблизительно постоянной. Эта закономерность известна как правило Трутона. Так как потоки пара, уходящие со смежных тарелок, имеют приблизительно одинаковую температуру, то скрытые мольные теплоты парообразования также приблизительно одинаковы, если система следует правилу Трутона. Таким образом, при незначительных потерях тепла один моль пара, конденсирующегося в жидкости на тарелке, вызывает образование одного моля пара, уходящего с тарелки. В этих условиях достигается равенство мольных потоков пара между тарелками. Важно отметить, что правило Трутона относится только к мольным теплотам парообразования. Скрытые теплоты парообразования, выраженные в ккал/кг, далеко не постоянны. Следовательно, уравнение, подобное уравнению (41. 14), в котором расходы жидкости и пара выражены в кг/ч, не описывает прямую, поскольку величины W и V в этом случае непостоянны.
Укрепляющие колонны. Ректификационные колонны, в нижнюю часть которых в виде пара подается исходная смесь, известны как укрепляющие колонны. Дистиллат в этих колоннах получается тем же способом, что и в полных ректификационных колоннах; он может быть весьма богатым легколетучим компонентом. Но продукт, уходящий из нижней части колонны, представляющий собой поток жидкости с нижней тарелки, редко бывает обеднен по сравнению с исходной смесью, так что только один из двух получающихся продуктов можно считать достаточно чистым. Работу укрепляющей колонны можно считать в какой-то мере аналогичной работе абсорбционной колонны в том смысле, что из пара, поднимающегося вверх по колонне, удаляется преимущественно менее летучий компонент. Укрепляющая колонна напоминает также укрепляющую секцию экстракционной колонны, работающей с флегмой и описанной в гл. 40.
Укрепляющую колонну несколько проще рассмотреть, чем полную ректификационную колонну, поэтому мы начнем с нее.
41 Заказ 519.
641
Как показано на рис. 41. 4, в систему подается F кмолъ/ч исходной смеси в виде насыщенного пара и отводится WD и WB кмолъ/ч конечных продуктов в виде жидкостей при их температурах кипения. Конденсатор в верхней части колонны дает жидкость состава xD при температуре кипения, часть которой отводится в виде дистиллата. Остальная часть конденсата возвращается на верхнюю тарелку колонны в виде флегмы.
Рис. 41. 4. Работа укрепляющей колонны при постоянных по высоте потоках жидкости и пара.
Составим уравнение материального баланса по легколетучему компоненту для части колонны, лежащей выше тарелки (n+ 1) — рис. 41. 4:
+ (41.15)
Решая это уравнение относительно yn+i} получаем:
W ~ . ^dxd Уп+1 — хп Н
(41.16)
Уравнение (41. 16) описывает на графике зависимости у от а: W - Wd xd
прямую с наклоном , отсекающую на оси у отрезок —— .
Эта прямая показана на рис. 41. 5, где нанесены также кривая равновесия и диагональ диаграммы. Прямая, описываемая уравнением (41. 16), является рабочей линией укрепляющей колонны.
642
Ее можно нанести на диаграмму множеством способов; поскольку yv xD и xR равны между собой, а у и xR являются рабочими концентрациями, то точка на диагонали при xD изображает эти три состава и является точкой рабочей линии. Другую точку рабочей линии можно определить по любому сечению, для которого известны рабочие концентрации потоков. Например, уравнения (41. 15) и (41. 16) можно записать для всех тарелок в колонне. Тогда z/N+1 = ур, a xN = xR. Если известны составы исходной
Рис. 41. 5. Диаграмма Мак Кэба—Тиле для укрепляющей колонны (к примеру 41. 2).
а — кривая равновесия; б — рабочая линия укрепля-w ющей колонны; наклон — = 0,80.
V
смеси и уходящего из нижней части колонны продукта, то можно нанести точку, представляющую рабочие составы в самой нижней точке колонны, на диаграмму. Эта точка является также самой нижней точкой рабочей линии укрепляющей колонны; она показана на рис. 41. 5.
Для укрепляющей колонны W = WB и V = F, так что, если
W величины этих внешних потоков известны, легко определить
Или же можно определить по флегмовому числу:
W____W
V *“ W+WD ‘
(41.17)
41
643
Разделив числитель и знаменатель правой части на W , получим
W
V _W_
РГ И7
Если-тт- задано, можно определить наклон рабочей линии-у-.
Иногда отношение -у- называют внутренним флегмовым числом,
W х
а ~-----внешним флегмовым числом.
Число ступеней равновесия, необходимых для данного процесса разделения, определяется, как и в предыдущих главах, путем построения ступенек между равновесной и рабочей линиями от состава дистиллата до состава жидкости, уходящей из нижней части колонны. Каждый треугольник, касающийся кривой равновесия, представляет одну ступень равновесия.
Пример 41. 2»
В укрепляющую колонну подается насыщенный пар, содержащий 30% мол. компонента А и 70% мол. компонента В\ колонна должна давать дистиллат при температуре кипения, содержащий 90% компонента А и 10%
компонента В. Флегмовое число —— равно 4. Требуется найти необходимое
WD
число теоретических ступеней, предполагая постоянство потоков жидкости и пара по высоте колонны. Равновесные данные в виде диаграммы у — х приведены на рис. 41. 5. Компонент А является более летучим, чем компонент В.
Наклон рабочей линии, определенный по уравнению (41. 18), равен 0,80. Рабочая линия начинается на диагонали при xD = xR — = 0,90 и про-
водится с наклоном 0,80. Прямая оканчивается при ур = 0,30. Ордината этой точки выражает состав жидкости хв, уходящей из нижней части колонны.
Ступени равновесия строятся, как было описано выше. Как видно из рис. 41. 5, для рассматриваемого процесса разделения требуется 4,4 ступени
Исчерпывающая колонна. Исчерпывающая колонна характеризуется тем, что исходная смесь подается в верхнюю ее часть, как показано на рис. 41. 6. Она соответствует части полной ректификационной колонны от тарелки питания до кипятильника. Исходная смесь обычно подается в виде жидкости при температуре кипения, а дистиллат представляет собой пар, поднимающийся с верхней тарелки. Этот пар несколько богаче легколетучим компонентом, чем исходная смесь, но обычно не отличается высокой степенью чистоты. Единственным потоком с высо-
44
кой концентрацией, уходящим из исчерпывающей колонны, является кубовая жидкость, покидающая кипятильник при температуре кипения. Этот поток может иметь очень высокую концентрацию по менее летучему компоненту. В этом отношении исчерпывающая ректификационная колонна аналогична десорбционной колонне, в которой проходящий сверху вниз поток жидкости обедняется летучим компонентом благодаря направленному вверх потоку пара.
Показанная на рис. 41. 6 исчерпывающая колонна анализируется по методу Мак Кэба — Тиле, изображенному на рис. 41. 7.
Рис. 41. 6. Работа исчерпывающей колонны при постоянных по высоте потоках жидкости и пара.
Рис. 41. 7. Диаграмма Мак Кэба-Тиле для исчерпывающей колонны (к примеру 41. 3).
а — кривая равновесия; б — рабочая линия исчерпывающей колонны; наклон
8э
Предполагается постоянство мольных потоков W' и V' по высоте колонны. Напишем уравнение материального баланса по легколетучему компоненту для части колонны, расположенной ниже тарелки (т +1):
Й"*т+1 = ^'ут + ^В*В (41- 19)
или
- w^xb
Ут,— ^m + i-----—
(41. 20)
Если W' и V' постоянны, то уравнение (41. 20) описывает прямую. На рис. 41. 7 она названа рабочей линией исчерпывающей колонны; точки на этой прямой выражают рабочие составы потоков в любом горизонтальном сечении колонны. Рабочую линию исчерпывающей колонны можно построить разными методами. Для верха колонны составы подаваемой исходной смеси и уходящего пара известны. Если исходная смесь подается при
645
температуре кипения, то точка хр, yD представляет верхний конец рабочей линии. Нижний конец рабочей линии можно определить как точку пересечения ее с диагональю. Уравнение диагонали у = х\ делая эту подстановку в уравнение (41. 19), получаем
W'x = V'x 4- Wnxn1
1 л л
откуда находим значение х в точке пересечения:
X — ~ — — Хту •
W'-V' в
(41. 21)
Для определения положения рабочей линии требуется знать еще ее наклон. Если исходная смесь представляет собой жидкость
при температуре кипения, то W' = F и V' = WD, поэтому
W'
V'
можно найти, зная входящие, и выходящие из колонны потоки.
Число ступеней равновесия в исчерпывающей колонне подсчитывают тем же методом, что и для укрепляющей колонны, причем построение можно начать с любого конца рабочей линии. Состав пара, уходящего из кипятильника, ув определяют по кривой равновесия при хв; для этого от диагонали до кривой равновесия при х — хв проводят вертикальный отрезок. Состав жидкости, стекающей с нижней тарелки колонны в куб, xt находят путем графического решения уравнения (41. 20). Для этого нужно провести горизонтальную прямую ув = const до пересечения с рабочей линией, где х ~ xi. Состав у± определяют проведением вертикальной прямой при х± до пересечения с кривой равновесия, а состав х2 — проведением горизонтального отрезка до пересечения с рабочей линией. Это построение продолжают до тех пор, пока не будет достигнут или пройден верхний конец рабочей линии. Число ступеней равновесия соответствует числу пересечений с кривой равновесия. Каждое такое пересечение дает составы двух потоков, находящихся в равновесии: пара, поднимающегося с тарелки, и жидкости, уходящей с той же самой тарелки. Следовательно, каждое пересечение представляет сту
пень равновесия.
Пример 41. 3.
В исчерпывающую колонну подается 45,3 кмолъ/ч исходной жидкой смеси при температуре кипения, содержащей 70% мол. компонента А и 30% мол. компонента В. Нужно получать 6,8 кмолъ/ч кубового остатка, содержащего 10% мол. компонента А и 90% мол. компонента В. Требуется найти число теоретических ступеней, необходимых для этого процесса разделения, предположив, что потоки жидкости и пара по высоте колонны постоянны. Данные по равновесию представлены на рис. 41. 7 в мольных долях компонента 4, который является более летучим из двух компонентов.
646
Из общего материального баланса видно, что дистиллат получается в количестве 38,5 кмоль! ч. Материальный баланс по компоненту А выражается уравнением
45,3 • 0,70=6,8 • 0,10+38,5 •
откуда
yD = 0,805.
Верхний конец рабочей линии имеет координаты yD = 0,805, хр = 0,70, а нижний конец лежит на диагонали при хв = 0,10. Итак, положение рабо-„ 100
чей линии определено. Наклон ее равен -х=-, хотя эта величина не использо-
85 валась при ее построении.
Из рис. 41. 7 видно, что число ступеней равновесия равно 4,3, включая ступень, которую дает кипятильник.
Полная ректификационная колонна. При наличии в колонне колпачковых тарелок выше и ниже точки ввода исходной смеси, можно получить как дистиллат, так и кубовый остаток высокой концентрации. Такая полная ректификационная колонна объединяет в себе укрепляющую и исчерпывающую колонны. Как показано на рис. 41. 2, полная колонна имеет как конденсатор, так и кипятильник.
Рабочие линии полной колонны при расчете по методу Мак Кэба — Тиле показаны на рис. 41. 8. На этом рисунке изображены две рабочие линии; они описываются теми же уравнениями (41. 16) и (41. 20), что и рабочие линии соответствующих колонн. Более того, эти линии можно нанести одним из методов, применявшихся для укрепляющей и исчерпывающей колонн.
Небольшое изменение в расчет полной ректификационной колонны вносит состояние исходной смеси. Последняя может представлять собой холодную жидкость (с температурой ниже точки кипения), жидкость при температуре кипения, паро-жидкостную смесь, насыщенный или перегретый пар. Количественные зависимости между потоками V, V', W и W' зависят от состояния исходной смеси. Для удобства мы введем величину, обозначенную через д, которая определяет число молей жидкости при температуре кипения, образуемых на тарелке питания каждым молем вводимой в колонну исходной смеси. С помощью этой величины запишем следующие зависимости между потоками, поступающими и уходящими с тарелки питания:
W'^W+qF} (41.22)
7' = 7 + (g-l)?. (41.23)
Для исходной смеси, представляющей собой жидкость при
температуре кипения, насыщенный пар или паро-жидкостную смесь, эти рабочие условия представлены на рис. 41. 9.
647
Поскольку количество и состояние исходной смеси влияют на
относительные величины потоков жидкости и пара в колонне, то они влияют также на наклон обеих рабочих линии и В ди
аграмме Мак Кэба — Тиле состояние исходной смеси определяет положение точки пересечения двух рабочих линий. Уравнения материальных балансов (41. 15) и (41. 19), графическим изобра-
Рис. 41. 9. Влияние состояния исходной смеси (жидкость при температуре кипения или насыщенный пар) на процесс ректификации.
Рис. 41. 8. Рабочие линии полной ректификационной колонны для паро-жидкостной исходной смеси.
а — кривая равновесия; б — рабочая линия укрепляющей колонны; в — рабочая линия исчерпывающей колонны; г — д-линия.
жением которых являются рабочие линии, можно решить для нахождения точки пересечения этих линий в диаграмме у — хч
у (У' _ У) = х (Ж' - W) - W^cB - WDxD. (41. 24)
В полученную зависимость мы подставляем У' — V из уравнения (41. 23) и W' — W из уравнения (41. 22). Кроме того, сумма двух последних членов в правой части уравнения (41. 24) равна Fxp, где хр — суммарный состав исходной смеси независимо от её состояния. После этих подстановок находим координаты точки пересечения рабочих линий из уравнения
y(q-i)F = xqF-Fxp, (41.25)
откуда
У = (41.26}
648
Таблица 41,1
Влияние состояния исходной смеси на наклон д- линии
Состояние исходной смеси q Наклон д-линии, д д —1
Холодная жидкость . . Жидкость при температуре кипения .... Паро-жидкостная смесь Насыщенный пар . . . Перегретый пар .... 1 0-1 0 <0 ОО Отрицательный 0 0—1
Прямая, описываемая уравнением (41. 26), известна как д-линия. Пересечение g-линии с диагональю определится, если при
равнять у и х в уравнении (41. 26). При этих условиях уравнение (41. 26) упрощается до х = xF, причем хр обозначает суммарный состав исходной смеси, а не состав жидкой фазы. Другим фактором, необходимым для расположения д-линии, является ее наклон. Зависимость наклона от состояния исходной смеси показана в табл. 41. 1.
Возможные расположения g-линии показаны на рис. 41. 10. Для паро-жидкостной исходной смеси можно показать, что g-линия пе
ресекает кривую равновесия в точке, координаты которой у и х представляют собой составы паровой и жидкой фаз исходной смеси. Из рис. 41. 10 видно, что это справедливо и в том случае, когда исходной смесью является на-
Рис. 41. 10. Положение q-линии в зависимости от состояния исходной смеси (xF есть полный состав исходной смеси независимо от ее состояния).
а — кривая равновесия; б — q-линия для переохлажденной жидкости; в — g-линия для жидкости при температуре кипения; г — д-ли-ния для паро-жидкостной смеси; д — д-линия для насыщенного пара; е — g-линия для перегретого пара.
сыщенный пар или жидкость
при температуре кипения. Для исходной смеси в виде холодной жидкости или перегретого пара пересечение g-линии с кривой
равновесия такого значения не имеет.
649
Определение составов пара в полной ректификационной колонне производится так же, как для исчерпывающей и отгонной колонн. Рис. 41. И, а построен применительно к подаче исходной смеси на оптимальную тарелку. Из этого рисунка видно, что над точкой пересечения рабочих линий сопряженные концентрации фаз определяются по рабочей линии верхней части колонны; ниже этой точки пересечения сопряженные составы определяются по рабочей линии нижней части колонны.
Рис. 41. 11. Положение тарелки питания.
Для системы, показанной на рис. 41. 11, а, оптимальной тарелкой питания является вторая. Это означает, что если исходной смесью является жидкость при температуре кипения или холодная жидкость, ее следует присоединить к жидкости, стекающей на вторую тарелку. Если исходная смесь является насыщенным или перегретым паром, то, как показывает построение на рис. 41. 11, а, эту смесь нужно подавать под вторую тарелку, присоединив к потоку пара, поднимающегося с нижележащей тарелки. Последним вариантом является паро-жидкостная исходная смесь1. Построение, приведенное на рис. 41. 11, подразумевает,
1 По наклону gr-линии на рис. 41. И, а видно, что на рисунке изображен именно этот случай.
650
что пар и жидкость паро-жидкостной смеси разделяются и жидкость подается непосредственно на тарелку питания, а пар — под тарелку питания. Хотя это практически неосуществимо, такой прием, тем не менее, подразумевается в обычно проводящемся расчете, показанном на рис. 41. 11, а.
Тарелка питания, показанная на рис. 41. И, а, является оптимальной, но не единственно возможной. Тарелкой питания при тех же рабочих линиях может быть первая тарелка, как показано на рис. 41. 11, б, пли третья тарелка, как на рис. 41. И, в. Из диаграмм видно, что для двух последних случаев требуется большее число ступеней для разделения исходной смеси на дистиллат и кубовый остаток тех же составов. Таким образом, расположение тарелки питания на пересечении рабочих линий является оптимальным вариантом. Из построений, приведенных на рис. 41. 11, очевидно, что тарелка питания может быть расположена в любом месте между точками, в которых рабочие линии пересекают кривую равновесия.
Если в колонну подается несколько потоков исходной смеси, то каждый из них характеризуется своей ^-линией. Последняя определяется нанесением на диагональ точки, соответствующей суммарному составу исходной смеси, и проведением через нее прямой с наклоном , как следует из уравнения (41.26). Каждая из (/-линий является геометрическим местом точек пересечения рабочих линий, представляющих сопряженные составы фаз непосредственно над и под вводом исходной смеси, о котором идет речь. Например, колонна с двумя потоками исходной смеси будет иметь три рабочие линии, по одной для каждой секции колонны, в пределах которой мольные потоки пара и жидкости принимаются постоянными. Для данной группы рабочих линий каждый из потоков исходной смеси будет иметь оптимальную точку подачи, которой соответствует минимальное число ступеней равновесия для заданного процесса разделения.
Предельные значения флегмового числа. В гл. 40 мы рассматривали в случае экстракции два предельных значения флегмового числа, которые представляют интерес и для ректификации. Одним из них является бесконечно большое флегмовое число. Оно означает, что весь пар, уходящий с верхней тарелки колонны, конденсируется и конденсат полностью возвращается в колонну в виде флегмы. Тогда W = V и наклон рабочей линии верхней части колонны равен единице. Если исключить также подачу исходной смеси и вывод кубового остатка, то потоки жидкости и пара W' и V' ниже точки ввода исходной смеси также будут равны между собой и равны потокам над тарелкой питания. Тогда обе рабочие линии будут иметь наклоны, равные единице, и совпадут с диагональю. Этот случай показан на рис. 41. 12, где построены и ступени равновесия. Как видно из рисунка, для
651
данной системы число ступеней для разделения смеси на хв и xD минимально.
Вторым предельным значением флегмового числа является минимальное. Если состав дистиллата xD задан, положение работу чей линии верхней части колонны зависит от отношения -=р. Для данного потока пара V любое увеличение количества отводимого продукта означает уменьшение количества возвращаемой в колон
Рис. 41. 12. Диаграмма Мак Кэба-Тиле для бесконечно большого флегмового числа и минимального числа тарелок.
а — кривая равновесия.
Рис. 41. 13. Диаграмма Мак Кэба-Тиле для минимального флегмового числа и бесконечно большого числа тарелок.
а — g-линия; б — зона бесконечно большого числа тарелок.
ну флегмы и, следовательно, уменьшение потока жидкости W.
По мере уменьшения точка пересечения рабочих линий верхней и нижней части колонны перемещается вдоль q-линии от диагонали к кривой равновесия. Это сопровождается увеличением числа ступеней, необходимых для разделения исходной смеси на продукты состава хв и xD. Когда точка пересечения рабочих линий попадет на кривую равновесия, потребуется бесконечно большое число ступеней. Это показано на рис. 41. 13, где наблюдается зона нулевого разделения по обе стороны от тарелки пита-ру
ния. Если выбрать еще меньшее значение —, то пересечение рабочих линий произойдет за пределами кривой равновесия и будут наблюдаться две зоны бесконечно большого числа тарелок. Но, по
652
Рис. Тиле числа тарелок в случае азеотропной смеси. а — зона бесконечно большого числа тарелок; б — q-линия; в — состав азеотропа.
41. 14. Диаграмма Мак Кэба— для минимального флегмового и бесконечно большого числа
(д е ф л е-Дистиллат в виде навели пар,
определению, мы ограничиваем понятие минимального флегмового числа, понимая под ним наибольшую величину из тех, при которых число тарелок бесконечно велико.
В системе, образующей азеотроп, зона бесконечно большого числа тарелок необязательно совпадает с тарелкой питания. Это показано на рис. 41. 14, на котором зона бесконечно большого числа тарелок получается при проведении рабочей линии по касательной к кривой равновесия. Флегмовое число, при котором получается эта рабочая линия, будет минимальным. Для системы, изображенной на рис. 41.14, выбор сравнительно низкой величины xD означает, что зона бесконечно большого числа тарелок располагается близ ввода исходной смеси, как это было в системах, не образующих азеотропа.
Парциальные конденсаторы г м а т о р ы). можно получать сыщенного пара, уходящий с верхней тарелки колонны, конденсировать лишь частично — в количестве, необходимом для возвращения в колонну в виде флегмы. Причина та- ' кого способа работы может заключаться в том, что при использовании охлаждающей воды окружающей температуры потребовалось бы повышенное давление в колонне для обеспечения полной конденсации или же для достижения полной конденсации паров при более низком давлении в колонне требуется применение какого-либо хладагента для отвода тепла из конденсатора. Оба эти метода работы дороги, поэтому если дистиллат может или должен использоваться на какой-то другой стадии процесса в парообразном состоянии, то он обычно отбирается из конденсатора в виде пара.
В некоторых дефлегматорах паровая и жидкая фазы приходят в равновесие. Для этого случая расчет по методу Мак Кэба — Тиле, приведенный на рис. 41. 15, остается тем же, что и для полного конденсатора. Уравнением рабочей линии укрепляющей части колонны является уравнение (41. 16), xD есть состав парообразного продукта, a WD — его расход в киломолях в час.
653
Рабочая линия по-прежнему пересекает диагональ при х = xD, что можно доказать подстановкой х = хп = yn+i в уравнение (41. 16). Первая ступенька в диаграмме Мак Кэба — Тиле изображает процесс в конденсаторе и показывает, что последний эквивалентен одной теоретической ступени равновесия.
Другие возможные способы работы конденсатора были рассмотрены в гл. 27. Можно конденсировать часть пара, а остальной оставлять неизменным, тогда парообразный дистиллат и жидкая
Рис. 41. 15. Расчет дефлегматора, из которого паровая и жидкая фазы уходят в равновесии.
а — ступень дефлегматора; б — кривая равновесия; в — рабочая линия.
флегма будут иметь одинаковый состав и в конденсаторе не будет происходить никакого разделения. Или же можно достичь разделения, эквивалентного нескольким теоретическим ступеням в конденсаторах с вертикальными трубками при противотоке пара и жидкости. В таких конденсаторах жидкость обычно переохлаждается и, следовательно, флегма при поступлении на верхнюю тарелку, нагреваясь до температуры кипения, дает количество внутренней флегмы W, превышающее количество вводимой в колонну внешней флегмы WR.
Введение голого пара. Иногда бывает удобно подводить тепло путем непосредственного ввода пара в перегонный аппарат вместо конденсации его в закрытых нагревательных трубах. Когда перегоняемая жидкость не смешивается с водой, этот прием называется перегонкой с паром. При определенном полном давлении присутствие водяного пара в паровом потоке снижает
G54
парциальное давление других компонентов и понижает этим температуру кипения перегоняемой жидкости. Перегонка с паром обычно применяется к органическим жидкостям, которые могут разлагаться при температуре кипения. Кроме водяного пара можно использовать также инертные газы, но водяному пару обычно отдают предпочтение ввиду его инертности и доступности.
Голый пар применяют также при дистилляции бинарных смесей, когда вода является менее летучим из двух разделяемых компонентов смеси. В этом случае закрытый нагревательный элемент в кипятильнике заменяется барботером, через который пар в виде мелких пузырьков проходит через жидкость, находящуюся в кипятильнике. Между жидкостью и пузырьками пара происходит массообмен, и при достаточном времени контакта пузырьки пара, уходящие из кипятильника, приходят в равновесие с кубовой жидкостью.
Расчет процесса, в котором голый пар вводится в кипятильник, проводится с помощью обычного уравнения рабочей линии исчерпывающей части колонны — уравнения (41. 20). Это выражение остается справедливым, поскольку оно представляет материальный баланс по легколетучему компоненту, а последний не вводится с потоком голого пара. Но рабочая линия уже не пересекает больше диагональ при х = хв. В выводе, приводящем к уравнению (41. 21), мы заменим теперь Wr — V' через WB — Ws, и
WBxB пересечение с диагональю произойдет при х = —-------=—, где
— Жд
Ws — количество вводимого голого пара в киломолях в час. Удобнее нанести рабочую линию, зная точку пересечения ее с осью х. Когда ут в уравнении (41. 19) равно нулю, мы получаем
“ = ^В*В
7П+1 jy
(41.27)
Если потоки пара и жидкости по высоте колонны равны, Wg = V', так что WB = W' и ^m+1 = хв. Это положение проиллюстрировано на рис. 41. 16. Расчет числа ступеней, как обычно, начинается с хв.
Для систем, идентичных по всем другим показателям, применение голого пара вместо глухого приводит к разбавлению кубового остатка. Кроме того, как видно из рис. 41. 16, требуется дополнительно доля ступени равновесия. Преимуществом работы с голым паром является более простой способ подвода тепла.
В бинарных смесях, в которых вода является более летучим компонентом, подача голого пара в кипятильник неуместна. В таких системах дистиллят обогащен водой, и чистую воду можно
655
использовать в качестве флегмы для повышения концентрации легколетучего компонента на тарелках верхней части колонны. Как и при использовании голого пара, это приводит к тому, что полезная часть рабочей линии (на этот раз рабочей линии укрепляющей части колонны) расположится ниже диагонали.
Промежуточные отборы продукта. Иногда из некоторых секций колонны, между верхом и низом ее отбирается продукт; это так называемые промежуточные отборы про
Рис. 41. 16. Диаграмма Мак Кэба—Тиле при подаче голого пара в куб колонны (вода является вышекипящим компонентом).
а — ступень кипятильника; б — кривая равновесия; в — рабочая линия исчерпывающей части колонны.
дукта. При этом продукт может отбираться либо в виде пара, либо в виде жидкости. Иногда отбирается продукт в виде пара, который конденсируется и возвращается в колонну в виде жидкости. Цель такого приема заключается в понижении скорости пара в колонне и повышении к. п. д. тарелки. Но промежуточный отбор может производиться и по той причине, что нужен продукт этого состава.
Расчет колонны с промежуточным отбором жидкости по методу Мак Кэба — Тиле показан на рис. 41. 17. Главное влияние, которое оказывает промежуточный отбор на расчет, заключается в изменении либо потока пара, либо потока жидкости, так что для описания сопряженных составов в колонне нужно ввести третью рабочую линию. Рабочие линии верхней и нижней частей колонны находят обычным способом и на определение положения ^-линии промежуточный отбор также не влияет. Рабочая линия средней 656
части колонны определяется материальным балансом либо для верхней, либо для нижней части колонны, включая тарелку, с которой производится отбор. Уравнение (41. 28) выражает материальный баланс по легко летучему компоненту, записанный для верхней части колонны:
(41. 28)
Рис. 41. 17. Диаграмма Мак Кэба—Тиле для системы с промежуточным отбором продукта. Исходная смесь и промежуточный продукт — жидкости при температуре кипения.
а — кипятильник; б — д-линия.
откуда
_ Wr - .
(41.29)
Это уравнение рабочей линии средней части колонны. Как и другие рабочие линии, она имеет наклон, равный отношению мольных потоков жидкости и пара. Расположение этой рабочей линии можно определить по g-линии, которая определяет пересечение рабочих линий непосредственно над и под тарелкой питания, или ее можно определить, задавшись произвольно составом промежуточного продукта xQ. Точка, изображающая состав промежуточного продукта, лежит на рабочей линии как верхней,
42 Заказ 519.
657
так и средней части колонны, поскольку промежуточный отбор продукта изменяет только количество пара, из которого он отбирается, но не его состав. Если ступенька диаграммы Мак Кэба — Тиле в действительности не совпадет с этим пересечением, это означает, что принятый состав промежуточного продукта в данных условиях невозможен. Это обычно возмещается небольшим изменением флегмового числа, влекущим за собой изменение составов во всех ступенях.
Разбавленные растворы. Для разбавленных растворов расчет по методу Мак Кэба — Тиле лучше всего проводить на логарифмической бумаге. Поскольку к разбавленным растворам обычно применим закон Генри, кривая равновесия превращается в прямую. Но рабочая линия является искривленной, и ее следует построить по ряду точек, рассчитанных с помощью уравнения рабочей линии. Треугольники, изображающие ступени равновесия, строятся из вертикальных и горизонтальных отрезков, как это делалось в прямоугольных координатах.
МЕТОД ПОНШОНА — САВАРИТА
Расчет процесса ректификации бинарной смеси методом Пон-шона [126] и Саварита [142] представляет собой графическое решение уравнений Сореля. Основное отличие этого метода от метода Мак Кэба — Тиле состоит в том, что мольные расходы жидкости и пара между соседними тарелками не принимаются постоянными. Единственное допущение, которое мы делаем в методе Поншона — Саварита, это допущение об отсутствии потерь тепла в окружающую среду.
Расчет по методу Поншона — Саварита обычно проводится в диаграмме теплосодержание — состав, подобной приведенной на рис. 41. 18. Единицами измерения, используемыми в этой диаграмме, являются ккал! кмоль и мольные доли. Некоторые авторы пользуются диаграммами с ккал/кг и весовыми долями. Метод справедлив для любых согласующихся между собой единиц измерения.
Данные, на основании которых построена диаграмма теплосодержание — состав, относятся к определенному полному давлению. Верхняя линия изображает теплосодержание насыщенного пара, а нижняя — теплосодержание кипящей жидкости. На диаграмму, приведенную на рис. 41. 18, наложена диаграмма у — х. применяемая в расчете по методу Мак Кэба — Тиле. Осью у этой диаграммы является правая вертикальная шкала, а шкала по оси х совпадает со шкалой диаграммы теплосодержание — состав. Способ нанесения конод проиллюстрирован примерами, показанными на рис. 41. 19. Диаграмма у — х применяется для того, чтобы наносить коноды на диаграмму теплосодержание — состав.
658
Правило рычага. Метод расчета Поншона — Саварита основывается на графическом сложении и вычитании свойств потоков пара и жидкости по правилу рычага. Это правило уже
Рис. 41. 18. Диаграмма теплосодержание — состав для системы этанол — вода лри 1 ат. Диаграмма равновесия у—х совмещена с ней. Стандартное состояние: чистые жидкости при 0° С.
и — кривая равновесия; б — теплосодержание насыщенного пара; в — теплосодержание кипящей жидкости; г — жидкость при 71,1° С; д — жидкость при 37,8° С; е — жидкость при 0° С; ж — линия замерзания.
Рис. 41.19. Применение диаграммы у—х для нанесения конод на диаграмму теплосодержание — состав.
рассматривалось в гл. 40; здесь о нем будет сказано коротко применительно к некоторым специфическим вопросам, встречающимся в дистилляции и ректификации.
42*
659
В примере, приведенном на рис. 41. 20, поток жидкости (бинарной смеси) непрерывно дросселируется при поступлении в сепаратор до такого давления, что из жидкости образуется равновесная смесь пара и жидкости. Потоки F, WD и WB в кмолъ!ч постоянны. Сепаратор изолирован, так что никаких потерь тепла в окружающую среду нет. Можно написать уравнения материальных балансов по потокам и по легколетучему компоненту:
Рис. 41. 20. Пример, показывающий применение правила рычага.
Если мы подставим F из уравнения (41. 30) в уравнение {41. 31) и преобразуем его, то получим:
(41.32)
Уэ~~ХР
Это уравнение дает зависимость между WD и WB и составами трех потоков.
Теперь напишем уравнение теплового баланса сепаратора:
У==/Л+*Л- (41.зз>
Если мы подставим F из уравнения (41. 30) в уравнение (41. 33) и преобразуем его, то получим
WD ~ iD-iF'
(41.34)
660
Объединим уравнения (41. 32) и (41. 34), чтобы получить зависимость между расходами, составами и теплосодержанием:
WD хр 1р — 1в
WB Ур~хр
(41.35)
Пропорциональная зависимость между теплосодержаниями и составами может быть представлена в следующем виде
1р—
указывающем на то, что точки, изображающие в диаграмме «теплосодержание — состав» потоки WB, F и WD, должны лежать на одной прямой. Потоки WB и WD находятся в равновесии и должны лежать на концах коноды, поэтому и поток F лежать
на коноде.
Если мы знаем состав и теплосодержание исходной смеси хр и iF, можно тут же нанести на диаграмму теплосодержание — состав точку, представляющую состав исходной смеси (точка f на рис. 41. 20). Так как через эту точку проходит только одна конода, ее можно нанести методом последовательных приближений и она определяет положение точек d и Ъ на концах коноды.
Потоки WD и WB определяются отношениями разностей концентраций и разностей теплосодержаний, как показывает уравнение (41. 35). Если рассматривать bd как гипотенузу прямоугольного треугольника, то, пользуясь свойствами подобных треугольников, можно продолжить пропорциональную зависимость, выраженную уравнением (41. 35), включив в нее отношение
WB fd ’
(41. 36)
Приведенный вывод правила рычага подобен выводу, изложенному в гл. 40. В этой главе были записаны три уравнения материальных балансов: уравнения (40. 1)—(40. 3) для потоков в целом, для компонента А и для компонента В. Для диаграммы теплосодержание — состав записывают три баланса: по потокам в целом, по компоненту А и тепловой баланс.
Если бы мы подставили величину WD из уравнения (41. 30) в уравнения (41. 31) и (41. 33), то получили бы
_XD XF_____Ip ^F
F У В ID
(41. 37)
661
Итак, мы видим, что между потоками WB и F существует следующая зависимость:
f ьа ’
(41.38)
Подобным же образом мы можем
получить выражение
F bd ‘
вым и материальным потокам.
Кроме графической взаимосвязи потоков, несущих тепло и массу, можно учесть также подвод тепла. На рис. 41. 21 мы имеем случай, когда тепло в количестве q ккал!ч подводится к потоку исходной смеси. В остальном этот случай подобен показанному на рис. 41. 20.
Материальные балансы по потокам в целом и по легколетучему компоненту представлены уравнениями (41. 30) и (41. 31), приведенными выше, а тепловой баланс выражается уравнением
iFF-rq=IDWD + iBWB. (41.40)
Тепловой поток сам по себе нельзя изобразить в диаграмме теплосодержание — состав, но его можно связать с материальным потоком. Перепишем уравнение (41. 40) в следующем виде:
(^+7р = ?Л+У’,в-
(41. 41)
662
Если
подставить значение F из уравнения (41.30), то получим:
Wp xF~xb
WB Vp~~,xp
(41.42)
Это выражение совпадает с уравнением (41. 35), если не считать тепла, подводимого к исходной смеси. Если же точка / будет
Рис. 41. 22. Пример вычитания теплосодержания из материального потока.
иметь абсциссу хр и ординату ip -j- j, то аналогия будет полной и для прямой bfd на рис. 41. 21 можно написать:
(4143)
WB fd ’ F bd' F bd ’ \ • Л
точно так же, как для соответствующей прямой на рис. 41. 20.
В заключение отметим, что теплосодержание жидкости, уходящей из кипятильника, в действительности равно j + %. Если бы свойства исходного потока принимались по этой точке, а не перед кипятильником, то расчет был бы идентичен с приведенным на рис. 41. 20. -
В качестве варианта, противоположного подводу тепла к потоку исходной смеси (рис. 41. 21), мы рассмотрим отвод тепла от одного из потоков продуктов, уходящих из аппарата, например от кубового продукта. Этот случай показан на рис. 41. 22. Мы запишем тепловой баланс так же, как мы это сделали в уравнении (41. 41),
663
(41. 45)
за исключением того, что произвольно перенесли q в правую часть уравнения:
ij = /П1УП 4- (iB —WB. (41.44)
* D D • \ о ' 7
Если мы подставим в это выражение F из уравнений материальных балансов по потокам и по легколетучему компоненту, то получим
г /г q
WD __XF~XB _ \ ЖВ
WB yD — xF Id~*F
, - ~ q
Если принять координаты точки b равными хв и iB---
^в то получим такую же пропорцию, как и прежде, и правило рычага, представленное уравнением (41. 43), применимо в его обычном виде.
Обоснование, приведенное для рис. 41. 22, несколько более отвлеченное, чем обоснование для рис. 41. 21. В задаче, показанной на рис. 41. 21, тепло подводилось и полученный поток (жидкость, уходящая из теплообменника) действительно обладал теплосодержанием, равным ip + j • А в последнем случае поток с теплосодержанием iB —является чисто мнимым. Такого потока в системе не существует. Тем не менее это понятие, как будет показано в наших дальнейших расчетах, имеет большое значение.
Количество тепла q можно отвести также от потока, уходящего из верхней части аппарата, WD.
И в самом деле, точку (yD, 'lD— ) можно легко определить на рис. 41. 22, проведя прямую, проходящую через (хв, iB) и (хр, iF), до пересечения с вертикалью, проходящей через yD. Эта прямая будет изображать материальный и тепловой балансы с такой же полнотой, как показанная прямая dfb.
Расчет ректификационных колонн. Применение правила рычага для расчета секции ректификационной колонны показано на рис. 41. 23. Предположим, что колпачковые тарелки являются отдельными ступенями равновесия, а количество, состав и теплосодержание потоков W3 и V4 известны. Точки, изображающие эти потоки, показаны в диаграмме теплосодержание — состав на рис. 41. 23.
664
Состав потока W& определяется по равновесным данным и наносится на противоположный конец коноды, проходящей через V4, с которым W& находится в равновесии. Это показано на рис. 41. 23, а. Чтобы найти точку, изображающую состав У5, запишем материальный баланс тарелки 4
Жз + Ж5 = Ж4 + Ж4 (41.46)
Рис. 41. 23. Применение диаграммы теплосодержание — состав для определения сопряженных составов потоков в ректификационной колонне.
и преобразуем его так, чтобы получить выражение для разности сопряженных потоков
К -Жз== V, -W,. (41.47)
Если рассматривать У4 — W3 как один гипотетический поток с мольным расходом А, то можно записать
У4 - W3 = А = Vb - W4. (41. 48)
Точку, изображающую на диаграмме поток А, можно легко найти, так как мы знаем количества У4 и W3. Если У4 >> W3, то проводят прямую из W3 через К4 , которую экстраполируют
665
(41. 49)
(экстраполяция показана на рис. 41. 23, б) на такое расстояние, чтобы было справедливо следующее отношение:
У4 _ Аж3
Й7з ‘
Основания для этого построения станут, может быть, более очевидными, если мы запишем первое равенство в уравнении (41. 48) в виде
74==ТУз + д (41.50)
и применим правило рычага к потокам W3 и Д. Из этого уравнения видно, что справедливы следующие дополнительные зависимости между мольными расходами и длинами отрезков прямых на рис. 41. 23:
^4 __ АИ7з . А __ И4И/з
A ’ W3 AV4 2
Каждое из этих равенств легче использовать для определения точки Д, чем уравнение (41. 49), поскольку оно содержит только один отрезок неизвестной длины. Расход Д равен, конечно, арифметической разности, определяемой по уравнению (41. 48).
После того, как точка Д найдена, расчет проводят следующим образом. Зависимость между W4, V5 и Д определяется уравнением /41. 48). Точку ЙЛ4 мы уже нашли, а из уравнения (41. 48) следует, что
Р5^Ж4 + Д. (41.52)
Итак, мы знаем, что точка V& лежит на прямой, соединяющей точки W4 и Д. Кроме того, V5 представляет собой насыщенный пар, так что мы находим точку V5 на пересечении кривой насыщенного пара с прямой, соединяющей Д с W4. Это показано на рис. 41. 23, в.
Чтобы найти точки, изображающие остальные потоки, мы повторяем вышеуказанные приемы. Например, W5 лежит на противоположном конце коноды, проведенной из V5. Точка Ve определяется из уравнения материального баланса тарелки 5:
W4+V6==W5 + V5, (41.53)
откуда
У5-Й^У6-Ж5 = Д. (41.54) |
Так как мы знаем точки W5 и Д, то найдем V6 на пересечении | кривой насыщенного пара с прямой, соединяющей W5 и Д. Это # показано на рис. 41. 23, а. 1
Изложенная методика расчета эквивалентна последовательному решению ряда уравнений равновесия, материального и тепло-666
вого балансов. Использование коноды подобно расчету равновесия, а применение точки А для определения парового потока — написанию уравнений материального и теплового балансов тарелки и решению их относительно своййв неизвестного потока. Величина А между всеми тарелками одна и та же, если нет потерь тепла, не добавляется никаких потоков и нет никаких промежуточных отборов продукта; это разность, которую можно рассматривать как гипотетический поток. Последний имеет конечный расход (V — W в показанном случае), конечный состав и конечное теплосодержание. Если бы W было больше, чем V, то точка А располагалась бы ниже кривой кипящей жидкости и, действительно, имела бы большое отрицательное теплосодержание. В некоторых случаях, как например колонны с двумя местами ввода исходной смеси, точка А может лежать за пределами составов от 0 до 1. Единственное место, в котором она не может очутиться — это область между кривыми насыщенного пара и кипящей жидкости. В этой области она изображала бы поток подводимого пара или жидкости, а не разность между ними.
Укрепляющие колонны. Принципы работы укрепляющих колонн уже рассматривались в разделе, посвященном расчету по методу Мак Кэба — Тиле. Здесь мы покажем расчет по методу Поншона — Саварита.
Работа типичной укрепляющей колонны показана на рис. 41. 4. Для данного расчета предположим, что составы и теплосодержания потоков F, WB и WD известны. Каждая тарелка принимается за ступень равновесия, но мольные потоки пара и жидкости по высоте колонны не являются постоянными. Прежде всего напишем уравнение теплового баланса для колонны в целом:
= + + (41.55)
Как мы видели раньше, q нельзя изобразить в диаграмме теплосодержание — концентрация, если не выразить его через поток массы. Поэтому мы напишем уравнение (41. 55) в следующем виде:
= WBiB -|- WD / iD + -rr . (41. 56)
\ wd )
Это уравнение дает просто сумму трех потоков, из которых два имеют реальное теплосодержание, а третий WD — гипотети-
ческое теплосодержание iD + тД-. Если точки F, В и D заданы
(как на рис. 41. 24), то прямая, проведенная через F и В и продолженная до концентрации xD (вертикальной прямой, проходя
щей через Z2), заканчивается в точке
• Эта точка, k D D WD I
667
Рис. 41. 24. Расчет укрепляющей колонны по методу Поншона— Саварита.
новили оасположение точки
как мы сейчас увидим, также представляет разность сопряженных потоков, так что она будет обозначена на рис. 41. 24 через А. Из уравнения (41. 56) мы видим, что расход А равен расходу WD. Поток пара, уходящего из колонны, имеет тот же состав, что и отбираемый продукт WD, но лежит на кривой насыщенного пара. Поток флегмы WR имеет те же свойства, что и отбираемый продукт Wp, но отличается по величине.
Жидкость, уходящая с первой тарелки, W\ находится в равновесии с V±, поэтому ей соответствует противоположный конец коноды, проходящей через У\. Чтобы найти V2, напишем уравнение теплового баланса конденсатора и верхней тарелки:
<41-57) или
(41-58) \ w D /
Мы видим, что правая часть уравнения (41. 58) выражает поток, изображенный точкой А на рис. 41. 24. Раньше мы уста-W19 поэтому точка, изображающая
поток V2, лежит на прямой, соединяющей точки А и W\. Мы знаем также, что поток V2 представляет собой насыщенный пар и что он должен лежать на пересечении прямой АИ\ с кривой насыщенного пара.
Далее определяется положение W2 на противоположном конце коноды, проходящей через V2. Поток пара V3, сопряженный с W2, определяется из уравнения теплового баланса конденсатора и двух первых тарелок:
Ё 7 - wl = Wn (L + • (41. 59)
3 3 2_2 DID1 I ' '
Соединяем точку W2 с точкой А, которая изображает правую часть уравнения (41. 59), и получаем V3 на пересечении с кривой насыщенного пара.
Последующие шаги расчета подобны описанным выше. Составы жидкостей определяют проведением конод через точки, изображающие состав пара, в то время как последние находят с помощью величины А, выражающей разность тепловых потоков сопряжен
«68
ных фаз. Когда конода попадает в точку В (или проходит левее ее), определяют точное число ступеней. Каждая конода дает ступень равновесия. Как и при расчете по методу Мак Кэба — Тиле, чтобы получить требуемый состав уходящей из колонны жидкости, »редко требуется целое число ступеней.
wR ТиГ
Флегмовое число -— равно отношению отрезков —L на WD V±D
рис. 41. 24. Это можно доказать следующим образом. Отрезок AZ) равен разности теплосодержаний — iD или гД~. Отрезок V^D равен разности теплосодержаний Д — iD или -Х-. Если мы возьмем разность этих величин, то отрезок А должен дать разность теплосодержаний /д — или q / ----------. Тогда мы запишем
следующее отношение:
/ 1 1 \
___ Q I ----------— )
ЛР1 У, j ________1 Wr
ViD _Я_ WD WD ‘
Vi
(41.60)
При бесконечно большом флегмовом числе WD равно нулю и отношение бесконечно велико. Чтобы отразить это, точка А
VJ) f
должна находиться на бесконечно большом расстоянии над диаграммой. В этом случае для определения сопряженного состава пара при бесконечном флегмовом числе из точек, изображающих состав жидкости, проводят вертикальные прямые.
Минимальное флегмовое число наблюдается тогда, когда конода и луч, проведенный из точки А, в какой-нибудь ступени совпадут. Когда мы перемещаемся по диаграмме влево, начиная с точки Ух, лучи уменьшают свой наклон. Наименьший наклон имеет луч, проходящий через В kF. Если точка А лежит достаточно низко, то прямая, проходящая через В и F в направлении к А, совпадает с конодой. Это указывает на то, что даже если взять бесконечно большое число ступеней, то составы на последующих тарелках в этой области не будут изменяться. Таким образом, в месте ввода исходной смеси мы имеем зону бесконечно большого числа ступеней, которую мы рассматривали ранее в разделе о методе Мак Кэба — Тиле. Величина == в этом случае является минимальным флегмовым числом и аналогична случаю, показанному для полной ректификационной колонны на рис. 41. 13.
669
Если условия равновесия для смеси таковы, что в диаграмме у — х есть точка перегиба (как на рис. 41. 14), то минимальное флегмовое число получается путем экстраполяции ряда конод до вертикальной прямой, проходящей через D и V±, Самая высокая из точек пересечения конод (рассматриваются только коноды/ лежащие правее F) определяет положение точки А, соответствующей минимальному флегмовому числу.
Рис. 41. 25. Расчет исчерпывающей колонны по методу Поншона—Саварита.
Рис. 41. 26. Расчет полной ректификационной колонны по методу Поншона— Саварита.
Исчерпывающие колонны. Работа исчерпывающей колонны показана на рис. 41. 6, а расчет по методу Поншона — Саварита — на рис. 41. 25. Предположим, что составы и теплосодержания потоков F, WD и WB известны. Прежде всего напишем уравнение теплового баланса для колонны в целом:
FiF+q = WDiD + WBlB.
(41. 61)
Количество тепла q, вводимого в систему через нагревательные элементы кипятильника, можно связать математически с количеством кубового остатка, и уравнение (41. 61) напишется в следующем виде:
!41-ь2>
670
Обычное графическое сложение потоков показывает, что точка {xF, iF) должна лежать на прямой, соединяющей точки (yD, iD) т q
и хв, iB — . Последнюю точку мы находим по рис. 41. 25
на пересечении вертикальной прямой, проходящей через В, с продолжением прямой, проведенной через D и F.
Точка хв, iB — обозначается через Д, поскольку она дает разность двух сопряженных потоков подобно точке Д на рис. 41. 24 для укрепляющей колонны. Из обоснований, которые привели нас к ее расположению, мы видим, что точка Д представляет разность количеств переносимого вещества и тепла потоков F и WD. Написав уравнение материального баланса для любой части исчерпывающей колонны (как показано штриховой линией на рис. 41. 6), мы видим, что точка Д изображает также разность количеств вещества и тепла, переносимых любыми двумя сопряженными потоками. Эта разность равна по величине количеству кубового остатка, отводимого в единицу времени, а разность теплосодержаний равна WBiB — q. Следовательно, если мы знаем в диаграмме теплосодержание — концентрация расположение точки Д, а также точки, изображающей состав любого потока жидкости или пара в колонне, то можно найти точку, изображающую сопряженный с ним поток в этой части колонны.
Способ определения концентраций потоков показан на рис. 41. 25. В первую очередь находят точку, изображающую пар VB, уходящий из куба колонны, по коноде, проходящей через В. Точку, представляющую поток Wx', определяют путем соединения VB с Д. Поток пара V' находят по коноде, проходящей через W/, а поток жидкости W2 — на прямой, соединяющей У\' с Д. Таким путем построение продолжают до тех пор, пока конода не достигнет точки D или не пройдет правее ее. Каждая конода соответствует одной ступени равновесия.
Полная ректификационная колонна. Расчет полной ректификационной колонны по методу Поншона — Саварита показан на рис. 41. 26. Мы рассчитываем колонну, показанную на рис. 41. 2.
Из расчета по методу Мак Кэба — Тиле следует напомнить, что для полной ректификационной колонны существуют два уравнения рабочих линий. При расчете по методу Поншона — Саварита эти зависимости были выражены через точки Д. Одна точка описывает разность сопряженных потоков в колонне над тарелкой питания, а другая — под тарелкой питания. Расчет направлен в первую очередь на определение этих точек Д. Заданными величинами являются состав и теплосодержание исходной
671
смеси, дистиллята и кубового остатка, а также флегмовое число. Тогда на рис. 41. 26 можно определить точки F, В, D и Дх. Расположение точки Д2 определяется пересечением вертикальной прямой, проходящей через В, с продолжением прямой, проходящей через Дх и F. Обосновать это построение можно, написав уравнение теплового баланса для колонны в целом:
+ ^куб = + WJd + Зконд И1- 63>
или
(41.64)
F в\в WB ) D\D Wu )
Оба члена в правой части уравнения (41. 64) представляют собой Д2 и Дх соответственно, а так как уравнение показывает аддитивность F, Д2 и Дх, то эти три точки лежат на одной прямой.
Ступени равновесия можно построить исходя либо из В, либо из Vv Первый шаг заключается в проведении коноды и представляет собой расчет равновесия. Затем проводят прямую через надлежащую точку Д для определения точки, изображающей состав сопряженного потока; это построение является решением уравнений материального и теплового балансов. Следующие коноды и лучи строят до тех пор, пока они не охватят весь желаемый интервал составов. Выбор точки Д обычно основывается на том, что в каждой ступени желательно получить максимальное разделение. Исходя из этого точку Дх обычно используют для всех лучей, лежащих справа от AXBA2, а Д2 — для всех лучей, лежащих слева от Д1ВД2. Если не исходить из критерия максимального разделения, то можно пользоваться любой из точек Д в определенных пределах. Значение переключения с одной точки Д на другую состоит в том, что этот шаг обозначает положение тарелки питания. Так как каждая конода есть ступень равновесия, то конода, через концы которой проходят лучи к разным точкам Д, соответствует тарелке питания. Случай, показанный на рис. 41. 26, соответствует оптимальному расположению тарелки питания. Если для построения первого луча, лежащего левее A^FA^ использовать точку Д1, то будет достигнуто меньшее разделение, чем при применении точки Д2. Аналогично если бы для построения лучей, лежащих правее Д^Д^ пользоваться точкой Дг, то получились бы худшие составы, чем показанные на рисунке.
Другие случаи. Существует ряд частных случаев, показывающих многогранность метода Поншона — Саварита. На рис. 41. 27 показана колонна с двумя местами ввода исходной смеси. Как всегда, прежде всего на диаграмму наносят точки Д. Предполагается, что В, F±, nD определены и их можно нанести на диаграмму и что флегмовое число известно. Это позволяет нам определить Дх. В колонне будут три точки Д (как и в расчете по 672
методу Мак Кэба — Тиле было три рабочих линии), и мы в первую очередь найдем точку А для той части колонны, которая расположена ниже нижнего ввода исходной смеси F2. Эту точку мы обозначим А3. Метод расчета заключается в графическом сложении потоков F\ и F2 путем соединения их прямой и определения положения точки J (их суммы) по правилу рычага:
Fi __JF2 F2
Тепловой и материальный балансы для случая раздельной подачи потоков Ft и F2 являются теми же, что и в случае, когда
Рис. 41. 27. Метод Поншона—Саварита для колонны с двумя вводами исходной смеси.
F± и F2 объединены в один поток J перед подачей в колонну. Точка А3 определяется проведением прямой, соединяющей Дх с J, и продолжением ее до пересечения с вертикальной прямой, проходящей через В.
Затем мы находим Д2, представляющую собой разность сопряженных потоков в той части колонны, которая расположена между точками ввода Ft и F2. Это можно сделать, написав для потоков Fz, Д2 и А3 уравнения материальных и тепловых балансов. Найденные точки должны лежать на одной прямой. Подобным же образом можно написать уравнения материального и теплового балансов для потоков F^ Ах и Д2; эти три точки также должны лежать на одной прямой. Тогда точку А 2 мы находим на пересечении двух прямых, одна из которых проведена через А3 и F2, а другая проходит через Ft и Дх. Построение ступеней равновесия производят обычным способом попеременного проведения конод и лучей. Критерием для расположения каждой тарелки питания обычно является то, что лучи должны проводиться из той точки А, которая даст максимальное разделение в этой ступени.
43 Заказ 519. 673
Подобным же образом решается задача промежуточного отбора продукта. Путь расчета показан на рис. 41. 28. Отбираемый продукт вычитают из исходной смеси, поскольку они имеют противоположное направление в колонне. Вычитание производят графически с помощью правила рычага:
F __ J S w8 7f 9
или в более удобном виде
F—Ws~ j _SF
~ — JF *
(41. 66)
(41. 67)
Рис. 41.28. Метод Поншона—Саварита для колонны с промежуточным отбором продукта.
Потоком J, равным разности потоков исходной смеси и промежуточного продукта, пользуются так же, как суммой исходных потоков в расчете колонны с двумя вводами исходной смеси. Проводят прямую через и J до пересечения с вертикалью, проходящей через В. Этим построением определяют точку А для нижней части колонны, Д3. Промежуточную точку Д, Д2, находят на пересечении прямой, проведенной через Д8 и 5, с прямой, проходящей через Дх и F. Построение ступеней равновесия проводят способом, подобным уже показанному. Но в этом случае конода должна проходить через точку S, и по обе стороны от этой коноды следует пользоваться разными точками Д.
На рис. 41. 29 показана подача голого пара в куб колонны. Единственная отличительная особенность этого случая заключается в том, что нижняя точка Д характеризует разность между отводимым кубовым остатком и подводимым паром, что можно показать, написав соответствующие уравнения материальных и тепловых балансов. Следовательно, Д2 лежит на прямой, про-674
ходящей через S и В. Как и всегда, она лежит также на прямой, проходящей через Ах и F; пересечение этих двух прямых определяет точку А2. Построение ступеней равновесия проводится обычным способом.
Другим интересным случаем является дефлегматор. Этот случай показан на рис. 41. 30, который не требует пояснений. _ wR "aTKi
Флегмовое число тг— равно отношению отрезков = j/- .
Сравнение расчетов по методу Поншона — Саварита и по методу Мак Кэба — Тиле.
Рис. 41. 29. Метод Поншона—Саварита для колонны, обогреваемой голым паром.
(41. 68)
Метод Поншона — Саварита, как мы уже говорили, является более строгим, чем метод Мак Кэба — Тиле. Однако во многих случаях расхождение в расчетах по этим методам невелико. Из диаграммы теплосодержание — состав видно, что если геометрические места точек насыщенного пара и кипящей жидкости — параллельные прямые, то отношение потоков жидкости и пара, выражаемое уравнением
Й> дГй V ’
постоянно. В этом случае рабочие линии в диаграмме Мак Кэба — Тиле будут прямыми и оба метода расчета дадут одинаковые результаты. В связи с этим степень отклонения линий насыщенного пара и кипящей жидкости от параллельных прямых является мерилом неточности метода Мак Кэба — Тиле. Следует отметить, что предельные кривые должны быть прямыми и параллельными на графике зависимости мольного теплосодержания от мольной доли. Расчет по методу Поншона — Саварита часто выполняется
43*
675
(совершенно схрого) в диаграмме зависимости массового теплосодержания от массовой доли. Отклонение предельных кривых от прямых, параллельных между собой, в диаграмме этого вида обычно значительно больше, чем в диаграмме, использующей мольные единицы. Но этот вид диаграммы не дает прямого указания на точность расчета рассматриваемой системы по методу Мак Кэба — Тиле.
Рис. 41. 30. Метод Понтона—Саварита для колонны с дефлегматором.
Критическое замечание, делаемое обычно относительно применимости метода Поншона — Саварита, состоит в том, что данные теплосодержание — состав известны лишь для небольшого числа систем. Но диаграмму теплосодержание — состав обычно можно построить приближенно, если есть данные о скрытых теплотах парообразования чистых компонентов. Построение состоит в соединении прямыми линиями точек, изображающих теплосодержания чистых компонентов. Такое построение обычно бывает достаточно точным для паровой фазы, но менее точным для жидкой фазы. Тем не менее, использование построенной таким образом диаграммы теплосодержание — состав дает обычно более точные результаты, чем расчет по методу Мак Кэба — Тиле.
Пример 41. 4
В ректификационную колонну, работающую под давлением 1 ат, на оптимально расположенную тарелку питания подается при температуре кипения исходная смесь, содержащая 40% мол. этанола и 60% мол. воды. Колонна дает дистиллат в виде жидкости, находящейся при температуре кипения и содержащей 80% мол. этанола, и кубовый остаток (жидкость при температуре кипения), содержащий 20% мол. этанола. Флегмовое число равно 2,0. Требуется найти:
676
а) число теоретических ступеней, необходимых для осуществления процесса;
б) оптимальное расположение тарелки питания, принимая к. п. д. тарелки равным 100%;
в) тепловую нагрузку кипятильника в ккал/кмолъ кубового остатка;
г) тепловую нагрузку конденсатора в ккал/кмоль дистиллята.
Рис» 41. 31. Расчет по методу Поншона—Саварита (к примеру 41. 4).
Решение показано на рис. 41. 31. Точки F, D и В можно сразу нанести на диаграмму. Верхний полюс Ai определяется при помощи уравнения (41. 60). Нижний полюс Аз находится на пересечении прямой, проведенной через Ai и F, с вертикалью, проходящей через В. Ступени равновесия строятся, начиная от Vi и кончая девятой ступенью, которая дает щидкость более бедного состава, чем задано для точки В. Тогда число ступеней, требуемых для заданного процесса, равно 8,8. Тарелка питания является восьмой, поскольку конода, представляющая эту тарелку, пересекает прямую Ах/’Аг. Как видно из рисунка, прямая, проведенная из Аг к нижнему концу коноды,
677
дает при экстраполяции пар более бедного состава, чем пар, получаемый по прямой, соединяющей Д1 с нижним концом коноды. Так как исходная смесь представляет собой жидкость при температуре кипения, ее присоединяют к жидкости, стекающей па восьмую тарелку.
Тепловая нагрузка куба изображается вертикальным отрезком между В и Да, так как кубовый остаток и гипотетический поток Дг отличаются только количеством тепла, подводимого в куб. Эта тепловая нагрузка равна 14 150 ккал!кмоль.
Тепловая нагрузка конденсатора изображается расстоянием по вертикали между Д1 и Р, так как Д1 можно считать эквивалентным потоку D плюс количество тепла, отводимого в конденсаторе. Как видно из диаграммы, эта тепловая нагрузка равна 28 500 ккал!кмоль D.
Задачи.
41. 1. В укрепляющую колонну, работающую при 1 ат, подается исходная смесь в виде насыщенного пара, содержащая 40% мол. этанола и 60% мол. воды. Кубовый остаток и дистиллат представляют собой жидкости при температуре кипения, содержащие 15 и 76% мол, этанола, соответственно. Предположив постоянство мольных потоков жидкости и пара по высоте
W
колонны, требуется найти внутреннее флегмовое число и внешнее флегмо-
вое число —.Кроме того, нужно определить число ступеней равновесия,
необходимых для данного процесса разделения.
41. 2. В ректификационную колонну, работающую под давлением в 1 ат, подается 50 кмолъ/ч смеси из 25% мол. насыщенного пара и 75% мол. кипящей жидкости. Эта смесь имеет суммарный состав 40% мол. этанола и 60% мол. воды и подается на оптимальную тарелку. Дистиллат уходит из конденсатора в виде жидкости при температуре кипения, содержащей 80% мол. этанола. Кубовый остаток также представляет собой жидкость при температуре кипения и содержит 5% мол. этанола. Колонна работает при постоянных мольных потоках жидкости и пара по высоте ее и флегмовом числе —
равном 1,5 [ | . Требуется найти:
\ Wd /min
а) минимальное флегмовое число;
б) потоки жидкости и пара как выше, так и ниже тарелки питания при заданном рабочем флегмовом числе;
в) количество тепла, передаваемого в кубе и в конденсаторе, в ккал/ч;
г) число ступеней равновесия, необходимых для осуществления процесса;
д) минимальное число ступеней равновесия, необходимое для осуществления процесса.
41. 3. Исходная смесь, содержащая 32,1% мол. w-бутана и 67,9% мол. н-пентана, подается на оптимальную тарелку ректификационной колонны, работающей при абсолютном давлении 3,5 ат. Расход исходной смеси составляет 50 кмолъ/ч, а дистиллат, содержащий 88,5% мол. w-бутана, отводится в количестве 13 кмолъ/ч. Конденсатор в верхней части колонны отводит 250 000 ккал/ч тепла и дает дистиллат и флегму в виде жидкостей при температуре кипения. Предположив, что потоки жидкости и пара по высоте колонны постоянны, требуется определить:
а) флегмовое число;
б) потоки жидкости и пара в кмолъ/ч в верхней и нижней частях колонны;
в) число теоретических ступеней, необходимых для осуществления процесса;
678
г) состав кубового остатка.
Известны следующие равновесные данные, выраженные в мольных долях н-бутана:
• 1 0,725 0»568 0,439 0,321 0,207 0,108 0
У 1 0,885 0,785 0,681 0,553 0,397 0,232 0
Скрытую теплоту парообразования исходной смеси можно принять равной 4700 ккал/кмолъ,
41. 4. В укрепляющую колонну, содержащую 16 реальных тарелок (средний к. п. д. ступени 50%), подается насыщенный пар, содержащий 38% мол. компонента А и 62% мол. компонента В. Уходящий из колонны дистиллат (жидкость при температуре кипения) содержит 80% мол. компонента Л, а продукт, уходящий из нижней части колонны, — 30% мол. компонента А. Из колонны производится также промежуточный отбор жид-
Wn
кости. При условии, что внешнее флегмовое число — == 10,9, и в колонне достигается максимальное разделение, требуется найти:
а) состав промежуточного продукта;
б) внутреннее флегмовое число над тарелкой, с которой производится промежуточный отбор;
в) внутреннее флегмовое число ниже тарелки, с которой производится промежуточный отбор;
г) действительную тарелку, с ^которой отбирается жидкость.
Равновесие между паром и жидкостью для смеси компонентов А и В можно удовлетворительно выразить с помощью коэффициента относительной летучести 1,50. Принять, что мольные потоки жидкости и пара остаются неизменными по высоте колонны.
41. 5. 453 кмоль/ч кипящей жидкости, содержащей 30% мол. метанола в воде, подается в ректификационную колонну на оптимальную тарелку. Колонна работает с постоянными по высоте мольными потоками пара и жидко-
WR
сти и флегмовым числом — , вдвое превышающим минимальное. Конденсатор дает дистиллят (жидкость при температуре кипения), содержащий 90% мол. метанола. Кубовый остаток, уходящий из кипятильника, содержит 10% мол. метанола.
а. Найти число теоретических ступеней равновесия в колонне, а также потоки пара и жидкости в верхней и нижней части колонны.
б. После нескольких месяцев успешной работы описанным способом в конденсаторе появилась течь, и 408 кг/ч воды проникает в конденсат. Конденсатор работает так, что флегма и отбираемый продукт имеют температуру кипения, а флегмовое число — осталось тем же, что и в части «а». Кроме того, скорость парообразования в кубе остается той же, что и прежде. Однако, внутренние флегмовые числа и составы уходящих из колонны потоков, очевидно, изменятся. Найти новые величины потоков жидкости и пара в верхней и нижней части колонны и новые составы дистиллата и кубового остатка.
Равновесные данные (мольные доли метанола):
X 0,046 0,094 0,157 | | 0,217 0,321 0,425 0,534 0,632 0,727
У 0,267 0,402 0,533 | 0,602 0,680 0,745 0,791 0,829 0,883
679
41. 6. В укрепляющую колонну подается насыщенный пар, содержащий 20% мол. компонента А и 80% мол. компонента В, Получается 90 кмоль/ч дистиллята, содержащего 90% мол. компонента Л. Продукт, выходящий из нижней части колонны, содержит 15% мол. компонента А.
Чтобы избежать чрезмерного расхода пара в колонне, между третьей и четвертой тарелками от низа колонны отбирается и полностью конденсируется часть парового потока. Она составляет 180 кмоль/ч. После конденсации этот поток возвращается в колонну в виде жидкости, имеющей температуру насыщения, и подается на пятую от низа колонны тарелку. Предположив, что к. п. д. тарелки равен 100%, а потоки пара и жидкости по высоте колонны равны, требуется рассчитать:
а) количество подаваемой исходной смеси и отводимого из нижней части колонны продукта;
б) потоки пара и жидкости во всех сечениях колонны;
в) состав промежуточного продукта;
г) число тарелок, требуемое для осуществления процесса. Равновесные данные (мольная доля компонента Л):
X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
У 0,163 0,305 0,428 0,538 0,636 0,723 0,803 0,875 0,940
41. 7. В исчерпывающую колонну, работающую при 1 ат, подается кипящая жидкость, содержащая 38% мол. этанола. Кубовый остаток представляет собой кипящую жидкость, содержащую 5% мол. этанола. Количество подводимого тепла в кипятильник составляет 16 700 ккал/кмолъ кубового остатка. Пользуясь диаграммой теплосодержание—состав, требуется найти путем графического построения:
а) число теоретических ступеней, необходимых для осуществления процесса;
б) количество подводимого в кипятильник тепла на 1 кмоль исходной смеси;
в) количество подводимого в кипятильник тепла на 1 кмоль дистиллата.
41. 8. В ректификационную колонну подается исходная жидкость, содержащая 21% мол. этанола и 79% мол. воды. Дистиллат представляет собой жидкость при температуре кипения, содержащую 83% мол. этанола. Кубовая жидкость содержит 5% мол. этанола. Колонна работает при давлении в 1 ат и с флегмовым числом, вдвое превышающим минимальное. Пользуясь методом Поншона—Саварита, требуется определить;
а) необходимое число теоретических ступеней;
б) оптимальное расположение тарелки питания;
в) тепловую нагрузку кипятильника (ккал/кмоль кубового остатка);
г) тепловую нагрузку конденсатора (ккал/кмоль дистиллата).
41. 9. Обычная ректификационная колонна, работающая непрерывно при 1 ат, имеет кипятильник и дефлегматор, каждый из которых эквивалентен одной ступени равновесия, и шесть колпачковых тарелок. Исходная смесь, подаваемая на оптимальную тарелку, содержит 30% мол. этанола и 70% мол. воды и имеет теплосодержание 5560 ккал/кмоль. Дефлегматор дает в равных мольных количествах жидкость при температуре конденсации и насыщенный пар. Вся жидкость из дефлегматора возвращается в колонну в виде флегмы, а весь пар отбирается в качестве дистиллата. Кубовый остаток представляет собой жидкость при температуре кипения, содержащую 5% мол. этанола и 95% мол. воды. Тепло, подводимое в кипятильник, составляет 5560 ккал/кмоль кубовой жидкости, уходящей из кипятильника. Требуется найти средний к. п. д. тарелки.
42. РАЗДЕЛЕНИЕ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ
Процессы разделения, которые мы изучали в предыдущих главах, ограничивались двух- и трехкомпонентными системами. При рассмотрении абсорбции в гл. 37—39 растворенное вещество, переносимое из газа в жидкость, представляло собой один компонент. При изучении ректификации (гл. 41) рассматривалась бинарная система, для которой целью процесса было изменение соотношения имеющихся двух компонентов. При изучении экстракции в гл. 37 мы рассматривали распределение одного компонента между двумя взаимно нерастворимыми жидкостями. Позднее, в гл. 40, мы рассматривали процессы экстракции для систем, в которых жидкий фазы частично растворялись друг в друге, но нас интересовал только перенос одного компонента. Во всех этих процессах возможно наличие и распределение между фазами большого числа компонентов.
Как в природе, так и в промышленности в системах, где происходит химическая реакция, образуется ряд продуктов. Конечно, целью, которую преследует инженер в промышленности, является уменьшение числа побочных реакций путем выбора наиболее благоприятных условий реакции. Но часто исключить образование побочных продуктов оказывается невозможным. По этой причине инженеру часто приходится рассчитывать оборудование для отделения желаемого продукта не только от оставшейся непрореагировавшей массы, но также и от побочных продуктов реакции. Хорошим природным примером многокомпонентной смеси является сырая нефть, в которой протекающие в естественных условиях процессы создали смеси сотен химических соединений. Основным достижением нефтеперерабатывающей промышленности в прошлом было разделение сырой нефти на фракции, каждая из которых состояла из смеси близко связанных соединений с подобными свойствами. Эти фракции мы знаем как бензин, керосин, смазочное масло и т. д.
681
Методы расчета разделения бинарных и тройных систем, рассмотренные в предыдущих главах, можно довольно просто распространить на многокомпонентные системы для некоторых процессов, например абсорбции разбавленными растворами. Для других процессов, например многокомпонентной ректификации, расчет становится значительно более сложным. Такое различие можно отнести на счет влияния дополнительных компонентов на два основных этапа расчета любого процесса массопередачи: расчет равновесия и материальный баланс. Если на равновесное распределение и материальный баланс какого-либо растворенного вещества значительно влияет присутствие других растворенных веществ, тогда в расчете должны учитываться эти взаимодействия. Но если на перенос какого-либо компонента не влияет одновременный перенос других, можно проводить расчет для каждого из компонентов независимо от остальных, за исключением таких величин, как расходы фаз, температура, давление и высота колонны или число ступеней.
АБСОРБЦИЯ РАЗБАВЛЕННОЙ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ
Чтобы проиллюстрировать изложенные выше положения, рассмотрим поглощение абсорбентом нескольких растворенных веществ, находящихся в газе в малых количествах. Этот процесс можно осуществить или в насадочной колонне, или в колонне, состоящей из ряда колпачковых тарелок. Поскольку начальная концентрация газа низкая^ частичное или полное удаление какого-либо из растворенных веществ не оказывает значительного влияния на расход газа. Точно так же частичное или полное поглощение какого-нибудь из растворенных веществ абсорбентом не увеличит значительно его расхода. Тогда, очевидно, зная расходы газа и жидкости и составы фаз на одном конце колонны, можно решить уравнения материального баланса относительно мольной доли каждого компонента в газовой и жидкой фазе для любого сечения колонны. Такие уравнения приведены в гл. 37 и 39 и называются уравнениями рабочих линий.
Другим важным моментом, который нужно учитывать, является влияние дополнительных растворенных веществ на равновесные зависимости. Если растворы ведут себя как идеальные, то присутствие других компонентов, будь то растворенные вещества или растворитель, не влияет на равновесные концентрации. Для разбавленных растворов это условие часто достигается, и на константу Генри для каждого растворенного вещества не влияет присутствие других. Вследствие этого расчет абсорбции из бедных многокомпонентных смесей проводится точно так же, как это было изложено в предыдущих главах применительно к одному растворенному веществу. Так как для каждой системы существует только одна совокупность скоростей газа и жидкости и одна высота 682
колонны, мы не можем выбрать произвольно все конечные составы. Вместо этого задаются желаемой степенью извлечения одного из растворенных веществ и находят размеры колона и расходы, при которых наилучшим образом осуществляется это извлечение. По размерам колонны и расходам фаз вычисляют затем степень извлечения других компонентов.
В случае насадочной колонны первым вычислением должно быть определение числа единиц переноса — по уравнениям (37. 25), (37. 27) или (37. 28) — и высоты единицы переноса по одному растворенному веществу. Перемножение этих двух величин дает высоту колонны. Затем высоту колонны делят на высоту единицы переноса для второго компонента и получают число единиц переноса. После этого уравнение для числа единиц переноса решают относительно конечной концентрации второго компонента. Этот расчет повторяют для всех остальных растворенных веществ.
Описанный случай часто встречается в процессах абсорбции, десорбции и экстракции, и он настолько прост, что здесь не будут приведены уравнения, выведенные ранее для случая только одного растворенного вещества.
Если расчет проводят для аппарата со ступенчатым контактом, описанного в гл. 39, пользуются подобным методом. Рабочие линии, связывающие УАп+1 с ХАп, останутся прямыми, параллельными между собой, независимо от концентрации, поскольку их наклон равен отношению мольных потоков инертной жидкости и нерастворимого газа. Для разбавленных смесей линии равновесия также будут прямыми, так что число теоретических ступеней можно определить для каждого компонента в отдельности.
На рис. 42. 1 показана работа тарельчатой абсорбционной колонны, в которой извлекаются три компонента. Эти компоненты различаются по своей летучести, причем А является наиболее летучим, а С — наименее летучим. В исходном газе они содержатся в одинаковых количествах; следовательно, все рабочие линии кончаются при одном и том же значении ординаты (У^+1 = = Ya = YB = Yc). Так как абсорбент является чистым, то нижние концы рабочих линий заканчиваются при одном и том же значении абсциссы (ХАо = ХВо = XCq = 0). Отношение расхода абсорбента Ls к расходу инертного газа Gj. равно наклону всех рабочих линий.
Если задана концентрация одного из компонентов на выходе, то число тарелок будет определено и будут найдены концентрации всех остальных компонентов на выходе. Чтобы проиллюстрировать это утверждение, примем произвольно, что в колонне поглощается половина компонента В. Этот выбор Ув позволяет нам найти нижний конец рабочей линии для компонента В. Мы знаем
683
также наклон -Л , так что можно провести рабочую линию из YB Gi и 1
до заданного значения Ув, которое обозначено на рис. 42. 1 через Уу+1. Число ступеней в колонне можно определить либо путем графического построения, показанного в гл. 39, либо путем решения уравнения (39. 21).
Рис. 42. 1. Абсорбция многокомпонентной смеси в тарельчатой колонне.
1 — чистый нелетучий абсорбент; 2 — абсорбент с растворенными веществами А, В, С; з — нерастворимый газ, содержащий растворенные вещества А, В, С; 4 — частично исчерпанный газ.
Поскольку число ступеней уже определено, мы не можем произвольно задать концентрацию остальных компонентов в уходящем газе. Эту величину следует определять либо графически методом последовательных приближений, либо путем решения уравнения (39. 24) относительно конечной концентрации. Графический метод показан на рис. 42. 1. Рассматривая в данный момент компонент А, проводим над линией равновесия компонента А прямую, которую мы проверяем на вероятность того, что она может быть рабочей линией. Ее наклон равен наклону рабочей 684
линии для компонента В, а концы ее лежат на X = 0 и У = = так же как и конечные точки рабочей линии для ком-
понента В. После этого строят ступени, изображающие тарелки. Если их число совпадает с уже найденным для заданной степени извлечения компонента В, то мы выбрали правильное положение рабочей линии для компонента А. Положение рабочей линии для компонента С мы находим тем же способом.
Как показывает рис. 42. 1, несмотря на то, что концентрации всех компонентов в исходном газе были одинаковыми, концентрация наиболее летучего компонента (Л) в выходящем газе самая высокая, так как он меньше всех поглощается. Компонент С, являющийся наименее летучим, имеет самую низкую концентрацию в уходящем газе, поскольку он больше всех поглощается. Абсорбент почти насыщается компонентом А вскоре после входа в колонну и уходит из нижней части колонны в состоянии, близком к насыщению по компоненту А. Большое количество компонента С поглощается абсорбентом в нижней части колонны, а наибольшее приближение к равновесию по компоненту С происходит в верхней части колонны, где из газа почти полностью извлечен компонент С. Поведение любого дополнительного компонента газа можно рассчитать точно таким же путем.
Абсорбция многокомпонентной смеси в насадочной колонне протекает подобно тому, как показано на рис. 42. 1 для абсорбции в тарельчатой колонне. В насадочной колонне движущая сила переноса компонента А быстро уменьшается по мере того, как возрастает концентрация компонента А в абсорбенте. Тогда наибольшая движущая сила наблюдается в верхней части колонны, где абсорбент чистый. Для наименее летучего компонента С, наоборот, наибольшая движущая сила наблюдается в нижней части колонны, где концентрация компонента С в газе наибольшая. Движущая сила уменьшается только в верхней части колонны, где концентрация компонента С в газе значительно снижена.
АБСОРБЦИЯ БОГАТОЙ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ
Расчет абсорбционной колонны для концентрированной многокомпонентной смеси может быть довольно сложным и трудоемким. Одним из затруднений является получение равновесных данных. Если соединения обладают подобным строением молекул (как во многих углеводородных системах), можно принять, что они образуют идеальные растворы, даже если концентрации диффундирующих компонентов значительны. Но даже в этом случае линии равновесия в координатах Y — X искривлены, так что аналитическое решение, предполагающее линейную равновесную зависимость, исключается. В общем же случае нельзя принять концентрированные многокомпонентные смеси за идеальные, и
685
необходимы экспериментальные данные или какие-либо эмпирические зависимости, выведенные на основании экспериментальных данных по таким системам.
Вторым основным затруднением в расчете абсорбции концентрированных смесей является определение положения рабочей линии для каждого компонента. Как уже говорилось, рабочая линия, если она определяется полными расходами газа и жидкости, не будет прямой, так как поглощение значительных количеств растворенного вещества изменит расходы газа и жидкости в колонне. Эта трудность является основной при рассмотрении многокомпонентных систем, так как мы уже видели, что разные растворенные вещества поглощаются в каждой части колонны с разными скоростями. Так как скорости абсорбции зависят от расходов газа и жидкости, а расходы зависят от скорости абсорбции, то мы имеем задачу, которую можно решить только методом последовательных приближений.
Вопросы, возникающие в ходе расчета насадочных и тарельчатых колонн, несколько различаются в зависимости от имеющихся данных. Рассмотрим в первую очередь расчет насадочной колонны. Произвольно выбирается система, в которой три растворенных вещества А, В и С известных концентраций вносятся в колонну нерастворимым газом — носителем I и поглощаются нелетучим абсорбентом S. Задача состоит в том, чтобы найти высоту насадки, необходимую для получения заданной концентрации выходящего газа уА . По каждому из трех растворенных веществ мы можем написать уравнение материального баланса для части колонны, простирающейся от произвольно выбранного поперечного сечения до нижней части колонны, для которой известны все составы. Эти уравнения подобны уравнению (37. 8). Мы можем написать также подобные, но более простые уравнения для нерастворимого газа — носителя I и нелетучего компонента 5 абсорбента. Эти пять уравнений содержат 10 переменных: уА, ув, ус, у 9 хА, хв, хс, х8, L и G, Можно написать еще два дополнительных уравнения ^у = 1 и ^х — 1, так что до 10 уравнений, которые можно решить относительно 10 переменных, недостает еще трех уравнений. Этими тремя уравнениями являются:
2 = (ЯЛ)л = (ЗД. = (*Л)с- 1)
Однако мы ввели одиннадцатое переменное z — высоту слоя насадки от нижнего основания колонны до рассматриваемого поперечного сечения. Имея, таким образом, 10 уравнений с 11 переменными, необходимо одно переменное выбрать произвольно. Если выбрать произвольно одну из концентраций в рассматриваемом поперечном сечении колонны, например уА, то 10 уравнений можно решить относительно 10 остающихся переменных, вклю
686
чая хА. Тогда можно найти точку рабочей линии (хА, уА). Расчет повторяют, задаваясь значениями уА, изменяющимися от уА до У аг Таким способом можно построить всю рабочую линию для компонента А (а также, по ходу расчетов, и для компонентов В и С).
Одно из затруднений изложенного метода состоит в том, что для концентрированных растворов нет аналитических выражений для чисел единиц переноса nGA, nGB и nGC. Эти величины должны определяться методом графического интегрирования — см. уравнение (37. 17), и возможность прямого алгебраического решения системы из 10 уравнений исключается. Поэтому решение проводят каким-либо ступенчатым методом. Один из них, который является достаточно простым и может быть осуществлен с любой желаемой степенью точности, сводится к расчету колонны в виде ряда коротких секций. Для каждой из секций расходы газа и жидкости принимают постоянными, и применяют методы, описанные ранее для разбавленных растворов. Тот факт, что растворы в действительности не разбавленные, не является существенным. Важно лишь то, что в пределах каждой рассматриваемой короткой секции колонны происходит лишь небольшое изменение концентрации. Вследствие этого рабочие линии для каждой короткой секции колонны можно принять за прямые и применить к этой секции расчет, предложенный ранее для разбавленных растворов. Повторение этого приема позволяет, в конечном счете, определить концентрации всех компонентов в уходящем газе и высоту колонны, если задана концентрация только одного компонента в уходящем газе.
Если уменьшать длину рассчитываемой короткой секции колонны, то мы приблизимся в пределе к бесконечно малому отрезку. Дифференциальные уравнения материального и теплового балансов и межфазного переноса для любой точки колонны представлены уравнениями (38. 27) и следующим за ним. В гл. 38 единственным рассматривавшимся растворенным веществом был компонент А; если присутствуют другие растворенные вещества, например D и Е, то нужно просто добавить к системе дифференциальных уравнений уравнения типа (38. 28) и (38. 30) для D, Е и т. д. Систему дифференциальных уравнений следует решать численными методами, такими как метод Эйлера или Рунге — Кутта. Такие расчеты теперь редко производят вручную: используют электронную счетную машину.
Рассмотрим далее абсорбцию концентрированных смесей в тарельчатой колонне. Если представить Y в зависимости от X, то рабочие линии будут прямыми, как и в случае разбавленных растворов. Наклоны рабочих линий представляют собой отношения расходов жидкости, не содержащей растворенного вещества,
687
и инертного газа, которые постоянны и не зависят от количества растворенного вещества, присутствующего в каждой фазе. Но определение положения рабочей линии представляет большие трудности. Даже если принять растворы за идеальные, то равновесные значения Y и X зависят от концентраций всех растворенных веществ в каждой фазе. Следовательно, прежде чем нанести какую-либо точку (ХЛ, УЛ) на кривой равновесия, нужно знать концентрации компонентов В и С в абсорбенте и в газовой фазе. Это требование иллюстрируется уравнениями для определения У4
И ХА- у. = =—^4 — (42.2) А i + YA + YB + Yc
И Хд х. = = 4. (42. 3)
Таким образом, если даже известна равновесная зависимость между уА и хА, то необходимо все же знать Ув, Ус, Хв и Хс для каждой точки, для которой нужно вычислить УА и X по у и хА. Можно применить метод последовательных приближений, задаваясь степенями разделения и затем используя эти данные для расположения кривых равновесия. Если присутствуют в больших количествах несколько растворенных веществ, сильно различающихся летучестью, то этот расчет становится трудоемким. Более простым методом, по-видимому, является построение диаграммы, в которой как равновесная, так и рабочая линии представлены в виде зависимости уА от хА, как было показано раньше при расчете насадочных колонн. Ступени равновесия рассчитывают по этой диаграмме так же, как по диаграмме УА — ХА.
Другим методом последовательных приближений является метод, предложенный Шервудом и Пигфордом [148], использующий видоизмененное переменное, изображающее состав пара и отличающееся как от УА, так и от уА,
Расчеты абсорбции многокомпонентных смесей проводят вручную, как описано выше, только для предварительной оценки. Для надежного расчета выполняют расчеты тепловых и материальных балансов на счетной машине по методу Сореля, описанному ниже для ректификации многокомпонентных смесей. Этот метод применим даже тогда, когда в паровой фазе нет нерастворимого компонента, а в жидкости, образующей жидкую фазу, не содержится нелетучий компонент. Можно учесть также действительные тепловые эффекты, которые могут быть значительными.
688
РЕКТИФИКАЦИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ*
Расчет ректификации многокомпонентных смесей выдвигает многие из тех вопросов, которые возникли при расчете абсорбции. Ректификация реже проводится в насадочных колоннах, поэтому мы ограничимся рассмотрением тарельчатых колонн. Но возникает несколько новых проблем. Во-первых, при ректификации мы обычно не имеем дела с системами, в которых есть нерастворимый компонент в газе и нелетучий компонент в жидкости. Во-вторых, изменение концентрации большинства компонентов в ректификационной колонне настолько велико, что в большей части задач мы имеем дело с «концентрированными смесями».
Другими вопросами, связанным главным образом с ректификацией, являются тепловые эффекты, применение флегмы, промежуточные отборы продукта и ввод исходной смеси в какой-либо точке колонны, а не в верхней или нижней части колонны. Ввиду этих осложнений мы редко пытаемся решить графически^ или аналитически вопросы ректификации многокомпонентных смесей. Вместо графического или аналитического расчета мы проводим расчет от тарелки к тарелке, подобный уже описанному для бинарных систем в гл. 41. Эти методы расчета сводятся к последовательному решению чередующихся уравнений равновесия и материального баланса и отличаются в основном допущениями, делаемыми при этих решениях.
Применим прежде всего метод Сореля. Если мы рассмотрим только верхнюю тарелку и конденсатор ректификационной колонны (показанные на рис. 41. 3), то первым шагом является определение концентрации жидкости, уходящей с тарелки (предполагая, что в конденсаторе происходит полная конденсация, и флегма представляет собой жидкость прц температуре кипения). Если известен состав пара, уходящего с верхней тарелки (т. е. состав отбираемого дистиллата), а давление в колонне задано, то, согласно правилу фаз, состав и температура жидкости, уходящей с тарелки, определены независимо от числа присутствующих компонентов.
Чтобы получить состав пара, приходящего на верхнюю тарелку с нижележащей, , напишем уравнения материальных балансов верхней тарелки по всем компонентам. Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнение (41. 12), выведенное для легко летучего компонента бинарной системы. Так, для компонента А получим
- _ W1 - _ Wdxad
УЛ2- у2 у2
Состав жидкости хА2 был найден из расчета равновесия, так что в уравнение (42. 4) входят только три неизвестные величины:
~ 1 Робинсон и Джиллиланд [136] приводят обсуждение многокомпонентной ректификации и ряд примеров для иллюстрации.
44 Заказ 519.
(42. 4)
689
yA2, W± и V2. Количество отбираемого дистиллата WD обычно наперед задано. Аналогичные уравнения можно написать для всех компонентов, причем для системы из i компонентов мы получим i уравнений с (I + 2) неизвестными.
Двумя дополнительными уравнениями являются уравнения материального и теплового балансов (41. 8) и (41. 9):
й'.+й,
И
Потоки WR и определяются количеством отбираемого дистиллата WD и флегмовым числом , поэтому при известных теплосодержаниях мы будем иметь I + 2 уравнения с I 4* 2 неизвестными. Такая система уравнений может быть решена. Три теплосодержания I и Д известны (т. е. их можно рассчитать по известным составам и температурам потоков). Но четвертое теплосодержание 72 неизвестно и не может быть рассчитано до тех пор, пока не будут определены неизвестные концентрации потока (уА2, уВъ и т. д.).
Решение получают, задаваясь величиной одного из неизвестных переменных, например /2- Потоки W± и V2 определяются из уравнений (41. 8) и (41. 9), а затем определяются мольные доли всех компонентов в потоке V2 из уравнений типа (42. 4). На основании полученных концентраций и данных о теплосодержании компонентов вычисляют 12 для проверки сделанного ранее допущения.
После того как расчеты были повторены достаточное число раз, чтобы получить удовлетворительное совпадение по 12, про* должают расчет для следующей тарелки. Следующим шагом является расчет равновесия для определения состава потока W2. Затем пишем уравнения материального и теплового балансов для тарелки 2, аналогичные уравнениям для тарелки I. Решение этих уравнений проводят методом последовательных приближений, аналогичным примененному к верхней тарелке.
Для укрепляющей колонны проводят расчет от тарелки к тарелке вниз по колонне до тех пор, пока методом последовательных приближений не будет получен состав пара, соответствующий заданной концентрации исходной смеси. Невероятно, чтобы для какой-либо тарелки было совпадение по всем компонентам, так как первоначальный выбор состава дистиллата, его количества и флегмового числа был сделан произвольно. Чтобы получить состав пара под нижней тарелкой, совпадающий с составом исходной смеси, нужно внести изменения в параметры, кото-690
рые принимались для верха колонны. Таким образом, весь ряд расчетов от тарелки к тарелке нужно повторять до тех пор, пока проверка составов в нижней части колонны не даст требуемой точности.
Для исчерпывающей колонны расчеты проводят, начиная с потоков, входящих и выходящих из куба. Количество и состав кубового остатка и расход пара выбирают произвольно, и расчеты от тарелки к тарелке выполняют по направлению снизу вверх по способу, описанному для укрепляющей колонны. Когда состав жидкости совпадет с составом исходного раствора, расчет прекращают. Как и при расчете укрепляющей колонны, условия для куба колонны приняты произвольно, и расчет повторяют до тех пор, пока состав жидкости в верхней части исчерпывающей колонны не совпадает с составом исходной смеси.
Расчет полной ректификационной колонны, состоящей из укрепляющей и исчерпывающей частей, требует проведения обеих цепочек расчетов так, чтобы составы пара соответствовали составу исходной смеси. Вследствие большой затраты работы, требуемой на повторные вычисления, расчеты от тарелки к тарелке теперь в широком масштабе проводят на цифровых вычислительных машинах. Если расчеты выполняют вручную, обычно пользуются сокращенной методикой
В гл. 41 мы видели, что расчет ректификации бинарной смеси методом от тарелки к тарелке значительно упрощается, если допустить постоянство мольных потоков фаз по высоте колонны, т. е. W3 = Wr — W2 и т- Д- и Fi = V2 = и т- Д- Это исключает необходимость в общих материальных и тепловых балансах. Если применить это допущение к расчету многокомпонентных систем, то уравнение (42. 4) можно решить относительно мольной доли любого компонента в потоке У2, не прибегая к расчету методом последовательных приближений. Это упрощение значительно сокращает объем работы, но не отменяет расчета равновесных составов методом последовательных приближений, который по-прежнему нужно проводить применительно к каждой тарелке. Допущение постоянства мольных потоков можно сделать лишь для систем, подчиняющихся правилу Трутона. Теперь, когда расчет оборудования для разделения многокомпонентных смесей производят с помощью цифровых вычислительных машин, необходимость такого допущения значительно уменьшилась.
Определение числа ступеней, необходимых для многокомпонентной ректификации, возможно еще более упрощенными методами, если требуются лишь предварительные расчеты. Перри на стр. 622 приводит эмпирический метод, включающий:
1) расчет числа ступеней при бесконечном флегмовом числе 7Vmjn;
1 Расчет ректификации многокомпонентных смесей и обзор различных методов расчета, используемых для цифровых вычислительных машин, приведен у Смита [155].
44* 691
(w \
-— i
^D/min
3) применение эмпирических зависимостей, связывающих 7Vmin и | -X | с действительным числом теоретических ступеней 7V, / min
W
требуемым при конечном флегмовом числе .
Этот метод используется в расчетах по определению экономически оптимального флегмового числа в колонне. Но окончательный расчет лучше проводить методом от тарелки к тарелке.
Пример 42. 1
Этилен получают путем пропускания смеси насыщенных углеводородов, например этана, через печь, в которой газ при температуре около 800Q С подвергается крекингу. Смесь, уходящая из труб печи крекинга, быстро охлаждается, а затем разделяется на ряд потоков в нескольких ректификационных колоннах. После отделения легколетучих и труднокипящих компонентов оставшаяся смесь подается в колонну, называемую колонной отделения этана. Этан и этилен отводятся из верхней части колонны, а кубовый остаток состоит из почти чистого пропилена. Состав исходной смеси, подаваемой в такую колонну, приведен в следующей таблице.
Компонент Расход, кмолъ/ч Мольная доля
сн4 0,04 0,0002
С2Н4 136,94 0,5300
с2нв 55,35 0,2140
с3н« 64,31 0,2482
с3н3 1,94 0,0075
с4н10 0,04 0,0001
Итого . . . 258,62 1,000
Требуется определить число теоретических ступеней в колонне, в которой мольная доля пропилена в дистиллате уменьшается до 0,0054, а мольная доля этана в кубовом остатке — до 0,0002. Этан и этилен являются ключевыми, или распределяемыми, компонентами. Более летучие компоненты содержатся в кубовом остатке только в виде следов; это нераспределяемые компоненты. Материальный баланс колонны составлен и приведен в следующей таблице.
Компонент Расход, кмолъ/ч
исходная смесь дистиллят кубовый остаток
СН4 0,04 0,04 —
С2Н4 136,94 136,94 —
С2Н3 55,35 55,33 0,02
с3н„ 64,31 1,05 63,26
С3Н3 1,94 — 1,94
С4Н10 .... 0,04 — 0,04
Итого . . . 258,62 193,36 65,26
692
Колонна работает при абсолютном давлении около 14 ат; дистиллат отбирается из дефлегматора в виде пара.
Количество этана в кубовом остатке не влияет на количество последнего, и для определения этого количества мы задались такой мольной долей его, которая давала 0,02 кмолъ/ч. Полное количество кубового остатка затем вычитается из количества исходной смеси, чтобы получить полный расход дистиллата, а количество пропилена в дистиллате определяется по разности.
Прежде чем начать расчет по методу от тарелки к тарелке, полезно провести некоторые приближенные расчеты. Мы начнем с уравнения Фенске — Ундервуда, чтобы найти минимальное число тарелок, необходимых для желаемого разделения ключевых компонентов. Этот минимум имеет место при бесконечно большом флегмовом числе, и уравнение рабочей линии для одного компонента упрощается до yAn+i = хАп.
Уравнение Фенске — Ундервуда можно вывести следующим путем. Для верха колонны мы имеем
Va1=ka1xav U)
Vbi = KbixBi (2)
и аналогичное уравнение для каждого компонента. Пусть А будет легким, а В — тяжелым ключевым компонентом; тогда относительная летучесть 'аАВ
КА
“ав=-4 (3)
и мы имеем ХА1 аАВ~ • УВ1 хв 1
Уравнение рабочей линий при бесконечно большом флегмовом числе позволяет нам записать
У А 1 У А 2
- “ аАВ “ •
УВ1 Ув^
Аналогично, для второй тарелки сверху мы находим
(5)
(6)
УА2 У А з - —аАВ ~ * У в 2 У в з
Допущение, которое делается при этом методе расчета, состоит в том, что аАВ принимают постоянным и равным некоторой средней по колонне величине; заметим, что аАВ изменяется намного меньше, чем КА или Кв.
Уравнения (5) и (6) можно объединить и тогда
у А 1 J у А з ~ аАВ ~ •
у в 1 У в 3
Для полного числа ступеней N
(7)
w-i У AN
~----аАВ ~---
У в 1 Увы
(8)
693
или
(9)
У AD__N ХАВ
~ — аАВ ----’
УВБ ХВВ
где N включает куб и дефлегматор, если он есть. Аналогичное уравнение справедливо для любого другого компонента, например
(Ю)
W WD N
0,447 оо
0,492 25,4
0,655 20,2
0,792 17,8
1,055 15,2
1,544 12,8
2,055 11,7
3,010 10,7
оо 83
yCD ХСВ
~— —асв~ •
; УВВ ХВВ
При подстановке конечных концентраций легкого и тяжелого ключевых компонентов, в уравнение (9) вместе с аЛВ, соответствующим средней температуре в колонне —16,5° С, получается, чтоАтщ равно 8,3 ступени. Определение средней температуры производится эмпирическим методом и здесь не приводится.
Следующим этапом расчета является определение приближенного значения минимального флегмового числа. Метод Ундервуда (стр. 624 справоч-/ W \
ника Перри), предполагающий постоянство а, дает I -х— I = 0,447. Число , X^D/min
Ступеней при флегмовых числах, промежуточных между минимальным и бесконечно большим, можно затем определить по зависимости Джиллиланда (стр. 622 справочника Перри), которая дает N как функцию от TVmin» (W \ W п
-— и -—. Расчеты, описанные вплоть до этого момента, можно за-
K.U WD
программировать для цифровой вычислительной машины; результаты такого расчета приведены в следующей таблице.
На основании этих данных можно провести экономический расчет эксплуатационных и капитальных затрат. Установлено,
W что оптимальное примерно в 1,5 раза больше минимального и составляет около 0,66. После этого мы легко можем провести расчет от тарелки к тарелке, чтобы определить профили температуры и концентраций в колонне и точное число теоретических ступеней.
Применяется метод Сореля, и первый этап заключается в расчете температуры, количества и концентрации жидкости, уходящей из первой ступени (дефлегматора), на основании количества и состава пара, уходящего из этой ступени, т. е. V19 Увв> У cd и т. д. Но в приведенном в таблице составе дистиллата нет тяжелых нераспределяемых компонентов. В действительности же эти компоненты должны присутствовать в виде следов и появятся на4 нижних тарелках колонны. Необходимые концентрации мы определяем с помощью уравнения (10) при N = 8,8; все мольные доли, кроме yCD, известны..Для бутана, например, расчет дает убутан D = 1,68 • 10“12. По определенному таким способом полному составу потока Vi (или WD) температуру и состав жидкости вычисляют методом последовательных приближений, описанным ниже. По этому составу, температуре и известному флегмовому числу на основании уравнений материального и теплового
694
53
Рис. 42.2. Составы в колонне для многокомпонентной ректификации (к примеру 42. 1).
Температура^ Jg. ступени, °C ?
балансов первой ступени, рассчитывают уже описанным в тексте методом последовательных приближений величины Р2, уА 2, ув 2, ус а и т. д.
Расчеты от тарелки к тарелке лучше всего проводить на автоматической счетной машине. Одним из наиболее удобных приемов является расчет вниз по колонне до тех пор, пока состав жидкости, уходящей из ступени, не приблизится к составу, ожидаемому на тарелке питания. Затем подобный ряд расчетов проводят, начиная с куба колонны вверх, до тех пор, пока уходящая с тарелки жидкость не будет, по возможности, наиболее близкой по составу к жидкости, стекающей с нижней тарелки верхней части колонны. Несовпадение составов в средней части колонны требует изменения состава продуктов, уходящих из колонны; материальный баланс по потокам в целом и мольная доля ключевых компонентов, конечно, должны сохраняться. Изменение составов уходящих потоков, необходимое для совпадения составов потоков на тарелке питания, можно запрограммировать, и расчеты методом от тарелки к тарелке повторяют до тех пор, пока не будет получено достаточно хорошего совпадения. Обычно двух или трех повторений оказывается достаточно.
Описанные выше расчеты от тарелки к тарелке были запрограммированы для цифровой вычислительной машины, и результаты решения приведены на рис. 42. 2. Показаны профили температуры и концентрации; требуются 24 теоретических ступени. Паровой поток изменяется от У1 = 321 кмолъ/ч до Vg = 291,8 кмолъ/ч в верхней части, так что нельзя было предполагать постоянства мольных потоков.
АЗЕОТРОПНАЯ И ЭКСТРАКТИВНАЯ РЕКТИФИКАЦИЯ
Разделению бинарной смеси путем ректификации иногда мешает образование постоянно кипящей смеси, называемой азеотропной. Система, образующая азеотроп, показана на рис. 42. 3.
Рис. 42. 3. Фазовое равновесие при постоянном давлении в бинарной системе, образующей гомогенный азеотроп.
Если смесь, богатая компонентом В, перегоняется в ректификационной колонне, то предельными концентрациями продуктов, уходящих из колонны, безотносительно числа ступеней являются чистый компонент В и смесь азеотропного состава. Поскольку поток, приближающийся по составу к чистому компоненту В, 695
имеет более высокую температуру кипения, он отводится в виде кубового остатка. Дистиллат, продукт с более низкой температурой кипения, приближается по составу к азеотропу. Если на рис. 42. 3 состав исходной смеси лежит вправо от состава азеотропа, то имеет место другой случай. Дистиллат по-прежнему приближается по составу к азеотропу, а кубовый остаток приближается по составу к чистому компоненту А.
Разделение смеси компонентов А и В на два потока практически чистых компонентов нельзя осуществить путем простой ректификации бинарной смеси под давлением, для которого на рис. 42. 3 показаны равновесные данные. Но существует несколько выходов из этого положения. Одним из них является изменение давления в колонне до такой величины, при которой азеотроп уже больше не образуется. Примером может служить система этанол — вода, образующая азеотроп, содержащий 7,88% по весу воды при 14 500 мм рт. ст., 4,4% по весу воды при 760 мм рт. ст., но не образующая азеотропа при давлении 70 мм рт. ст.
Другой способ разделения требует использования двух ректификационных колонн, работающих при разных давлениях. Для системы этанол — вода одна колонна, работающая при атмосферном давлении, может давать кубовый остаток, богатый водой, и дистиллат, близкий по составу к азеотропу. Если этот дистиллат содержит меньше 7,88% по весу воды, его можно разделить в колонне, работающей под давлением 14 500 мм рт. ст., чтобы получить почти чистый этанол в виде кубового остатка.
Третьим методом разделения азеотропных смесей является добавление третьего компонента, изменяющего относительную летучесть двух первоначальных компонентов. Если выбран надлежащий третий компонент, то образования азеотропа можно полностью избежать и достигнуть любой желаемой степени разделения бинарной смеси. Этот метод изменения относительной летучести применялся и к системам, в которых не существует азеотропа, но близость относительной летучести к единице затрудняет разделение. Поскольку для удаления третьего компонента из полученных продуктов требуется установка дополнительных аппаратов, то экономический расчет не всегда оправдывает применение третьего компонента с системой его регенерации вместо прямого, хотя и трудного разделения бинарной смеси.
Метод добавки третьего компонента для изменения относительной летучести является успешным, главным образом, применительно к бинарным смесям, не подчиняющимся закону Рауля. Например, первоначальная смесь может состоять из двух веществ почти одинаковой летучести, но с сильно отличающейся полярностью. Если третий компонент имеет большую полярность, чем каждый из первых двух, он обычно увеличивает летучесть менее полярного компонента по отношению к более полярному. Пример такого воздействия показан в табл. 42. 1, где фенол добавляется
697
Таблица 42.1
Влияние фенола на относительную летучесть смесей парафин — толуол
Состав, % мол. Относительная летучесть (парафин — толуол)
парафин толуол фенол
50 50 0 1
30 30 40 1,5
20 20 60 2,0
0 0 100 3,7 (предельное значение)
к толуолу и смеси предельных углеводородов, температуры кипения которых близки к температуре кипения толуола.
Другим примером может служить добавление воды к смеси ацетона и метанола. Вода более полярна, чем метанол, а метанол более полярный, чем ацетон. Добавление воды повышает летучесть ацетона относительно метанола. Если третий компонент менее полярный, чем компоненты бинарной смеси, то он увеличивает летучесть более полярного компонента. Например, добавление углеводорода к смеси ацетон — метанол делает метанол более летучим, чем ацетон. Термодинамический эффект добавок компонентов рассматривают Робинсон и Джиллиланд [136].
Экстрактивной ректификацией обычно называют процесс с участием третьего компонента, имеющего значительно более низкую упругость паров, чем любой из компонентов первоначальной бинарной смеси. Так, например, при экстрактивной ректификации смеси н-бутана и 2-бутилена используется ацетон. Как и следовало ожидать, летучесть н-бутана по отношению к летучести 2-бутилена увеличивается. Ацетон кипит при температуре, на 60° С превышающей температуру кипения каждого из компонентов бинарной смеси, так что он не появляется в значительных количествах в паровой фазе. Ацетон следует вводить близ верха колонны в виде жидкости.
Типичный процесс экстрактивной дистилляции показан на рис. 42. 4. Одно из преимуществ экстрактивной дистилляции состоит в том, что отделение третьего компонента от компонентов бинарной смеси осуществляется обычно очень просто. Над местом подачи экстрагента (растворителя) нужно иметь всего лишь несколько тарелок, чтобы отделить растворитель от парового потока. Кроме того, требуется простая дополнительная ректификационная колонна для отделения растворителя от кубового остатка. Пример расчета экстрактивной ректификации показан в разделе 9 справочника Перри. Основное отличие от расчета обычной ректификационной колонны для разделения трехкомпонентной смеси состоит в неидеальности раствора жидкой фазы.
<698
Термин «азеотропная ректификация» относится к процессам, в которых третий компонент имеет температуру кипения приблизительно той же величины, что и температуры кипения компонентов исходной бинарной смеси, подлежащей разделению. В результате этого третий компонент появляется в значительных количествах на всех тарелках колонны. Это обычно означает, что отделение третьего компонента от каждого из двух исходных будет трудным. Но обычно третий компонент подбирается так,
лонны; 5 — колонна для выделения растворителя; 6 — кубовый продукт после отделения от растворителя; 7 — рецикл растворителя.
что он образует гетерогенный азеотроп с одним или обоими исходными компонентами. Гетерогенным является азеотроп, из которого образуются две фазы при конденсации пара азеотропного состава. Этот случай показан на рис. 42. 5. Пар с температурой, превышающей температуру азеотропа, может дать либо жидкость в области а, либо жидкость в области 0, либо обе жидкие фазы одновременно. Пар, имеющий состав, лежащий между областями а и 0, изменяет свою концентрацию по мере уменьшения температуры конденсации до тех пор, пока не достигает азеотропного состава. С этого момента дальнейшая конденсация происходит при постоянной температуре, и одновременно образуются жидкости а и 0. Это свойство может оказать значительную помощь при выделении третьего компонента из дистиллата или кубового остатка. Но обычно для выделения растворителя нужно предусмотреть какой-либо дополнительный процесс. Это может быть дополнительная ректификационная установка или установка для жидкостной экстракции.
699
Пример азеотропной ректификации дает система парафин — толуол с нитрометаном в качестве третьего компонента. Схема установки показана на рис. 42. 6. Смесь парафин — толуол при
Рис. 42. 5. Фазовое равновесие при постоянном давлении в бинарной системе, образующей гетерогенный азеотроп.
1 —жтакыхпъ а; 2 — газ; з — жидкость 0.
атмосферном давлении кипит при 110° С; к ней добавляется нитрометан, кипящий при 101° С. Дистиллат основной колонны состоит из смеси парафина с нитрометаном, которая при конденсации
Рис. 42. 6. Схема азеотропной ректификации смеси парафин — толуол с добавкой нитрометана.
1 — исходная смесь; 2 — рецикл нитрометана; з — разделительный сосуд; 4 — слой, богатый парафином; 5 — слой, богатый нитрометаном; 6 — парафин; 7 — толуол с нитрометаном; 8 — толуол.
образует две жидкие фазы. Богатая нитрометаном фаза возвращается непосредственно на верхнюю тарелку колонны, а слой, богатый парафином, подается в дополнительную ректификационную колонну, где остающийся нитрометан отделяется от парафина.
700
Из кубового остатка основной колонны также нужно выделить толуол и третий компонент, который возвращается в основную колонну.
Задачи
42. 1. Сепаратор, отделяющий пар от жидкостии работающий в адиабатических условиях при абсолютном давлении 15 ат, дает паровой поток, содержащий 35% мол. метана, 23% мол. этана, 24% мол. пропана, 12% мол. «-бутана, 4% мол. «-пентана и 2% мол. н-гексана. Выходящий из сепаратора паровой поток составляет 60% мол. от подаваемой в сепаратор исходной •смеси. Требуется найти составы исходной смеси и уходящего из сепаратора потока жидкости.
42. 2. Природный газ содержит 88% мол. метана, 6% мол. этана, 4% мол. пропана и 2% мол. w-бутана. Газ нужно обработать в колонне с колпачковыми тарелками нелетучим поглотительным маслом, расход которого доставляет 4 моль поглотительного масла на 1 моль входящего газа. Требуется определить число теоретических ступеней, необходимых для 80%-кого извлечения пропана, и степень извлечения других компонентов в тех же условиях. Колонна работает при абсолютном давлении 3 ат и температуре 15° С. Можно принять, что закон Рауля применим ко всем растворенным веществам, кроме метана, который можно считать нерастворимым.
42. 3. В ректификационную колонну подается 500 моль/ч исходной смеси в виде жидкости при температуре кипения и абсолютном давлении 4,5 ат. Исходная смесь содержит 1,2% мол. пропана, 23% мол. «-бутана и 75,8% мол. изобутана. Колонна имеет полный конденсатор, который дает флегму в виде жидкости при температуре насыщения под абсолютным давлением 4,5 ат. Дистиллат должен содержать 5% мол. пропана, 5% мол. «-бутана и 90% мол. изобутана. Состав кубовой жидкости не задается, но очевидно, что пропан будет содержаться в ней лишь в незначительных количествах.
а. Найти количество получаемого дистиллата и кубового остатка и состав последнего.
б. Рассчитать методом от тарелки к тарелке минимальное число ступеней, требуемых для осуществления указанного разделения. Сравнить результаты с результатами, получаемыми по уравнению Фенске — Ундервуда (справочник Перри, стр. 623, уравнение 82).
42 .4. Смесь углеводородов, содержащая 37% мол. изопентана, 21% мол. и-пентана и 10% мол. «-гексана, подается в виде жидкости при температуре кипения в колонну отгонки бутана в количестве 2150 ялеоль/день. Эта колонна дает исходный продукт для процесса изомеризации в количестве 570 кмоль/день, содержащий по меньшей мере 95% мол. и-бутана, а остальное — главным образом изопентан. Колонна имеет полный конденсатор и должна давать дистиллат в виде жидкости при температуре насыщения 38Q С. Перепадом давления в колонне можно пренебречь. Требуется определить:
а) давление в колонне;
б) температуру исходной смеси;
в) температуру кубового остатка;
г) число тарелок, требуемых для данного процесса при флегмовом Жв
числе —— = 2.
WD
42. 5. При экстрактивной ректификации третий компонент имеет намного меньшую упругость паров, чем компоненты исходной смеси. При азеотропной ректификации третий компонент имеет почти ту же упругость паров, что и исходная смесь. Нужно рассмотреть возможные достоинства и недостатки такого случая ректификации, когда третий компонент имеет упругость паров, большую, чем исходная смесь.
701 •
43. МАССОПЕРЕДАЧА, СОПРОВОЖДАЮЩАЯСЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
Высоту аппарата для процесса массопередачи часто можно значительно уменьшить, вызывая химическое взаимодействие поглощаемого вещества в фазе абсорбента. Например, углекислый газ можно поглощать из воздуха с помощью воды в качестве абсорбента в насадочной колонне. Но растворимость углекислого газа в воде при атмосферном давлении довольно низкая, и, как мы видели в гл. 33 и 37, растворимость часто оказывает значительное влияние на скорость массопередачи. Следовательно, если водная фаза содержит добавку (типа поташа, соды, едкого натра или моноэтаноламина), химически взаимодействующую с углекислым газом, то высота насадочной колонны и требуемое количество абсорбента могут быть значительно снижены.
Химическая реакция влияет двумя путями. Если реакция проходит до конца, то абсорбент может поглотить количество углекислого газа, равное стехиометрическому по реакции с добавкой, плюс количество, которое абсорбент может поглотить физически. Таким образом, уменьшается требуемое количество абсорбента. Кроме того, взаимодействие углекислого газа с добавкой понижает его концентрацию на протяжении диффузионного пути в фазе абсорбента. Следовательно, сопротивление массопередаче в любом поперечном сечении колонны уменьшается.
Абсорбция углекислого газа с одновременной химической реакцией является процессом, имеющим промышленное значение. Двумя другими примерами систем, в которых одновременно происходят массопередача и химическая реакция, являются абсорбция сероводорода водным раствором соды и абсорбция сернистого газа известковым молоком.
Если целью процесса является извлечение растворенного вещества, то реакция должна быть легко обратимой, чтобы растворенное вещество можно было выделить из абсорбента после вы-702
..-.яямйа
хода его из колонны. При абсорбции углекислого газа раствором соды происходит следующая химическая реакция: -
Na2CO3 + СО2 + Н2О 2NaHCO3.
При температуре окружающей среды равновесная упругость паров углекислого газа равна лишь нескольким миллиметрам ртутного столба для раствора 1-н по натрию. Но при температурах выше 100° С равновесная упругость паров углекислого газа возрастает во много раз. Следовательно, способ работы состоит в том, чтобы поглощать углекислый газ раствором при низкой температуре и десорбировать СО2 из концентрированного раствора при высоких температурах.
В других процессах одновременная массопередача и химическая реакция могут использоваться для производства желаемого продукта, как например при абсорбции сернистого ангидрида для получения серной кислоты и абсорбции окислов азота для получения азотной кислоты. Другими возможными процессами являются процессы селективной очистки. Как отмечалось в предыдущей главе, степень извлечения отдельных растворенных веществ из многокомпонентной смеси нельзя изменить совершенно произвольно. Если абсорбционная колонна рассчитана на данную степень извлечения по одному растворенному веществу, то степень извлечения других растворенных веществ строго предопределена. Но если в абсорбент добавляется вещество, взаимодействующее с различными растворенными веществами с разной скоростью, то селективность абсорбции можно в некоторой степени контролировать. Примером может служить обработка смесей газообразных углеводородов водными растворами солей меди. Ненасыщенные углеводороды из газовой смеси поглощаются жидкой фазой, в которой они взаимодействуют с медными солями с образованием нелетучих соединений. Но насыщенные углеводороды не взаимодействуют химически и лишь немного поглощаются путем физической абсорбции.
Один из моментов массопередачи с химической реакцией, о котором иногда забывают, является то, что абсорбция некоторых газов водой может привести к ионизации и другим реакциям без добавления к воде какого-либо реагента. Эти реакции происходят, например, когда водой поглощаются такие газы, как хлор, углекислый газ, аммиак. При абсорбции углекислого газа реакция ионизации протекает медленно и не приводит ни к каким последствиям. С другой стороны, хлор при растворении в воде гидролизуется со значительной скоростью, и при определении движущей силы диффузии хлора нужно исходить из абсорбированного,'йо еще не прореагировавшего хлора, а не из полного содержания хлора.
Из сказанного должно быть ясно, что наличие реакции растворенного вещества в фазе абсорбента не всегда приводит к тому, что
703
сопротивление массопередаче в этой фазе становится незначительным. Если сам абсорбент взаимодействует с растворенным веществом и реакция протекает быстро, то сопротивление массопередаче может быть незначительным. Тот же самый эффект получается, если взаимодействующим веществом является не абсорбент, а добавка, присутствующая в абсорбенте в больших концентрациях. Однако возможность пренебрежения сопротивлением жидкой фазы зависит от величины сопротивления газовой фазы. Если сопротивление газовой фазы мало, а реакция в жидкой фазе не проходит до конца или протекает с малой скоростью, то растворенное вещество может встретить значительное сопротивление массопередаче в жидкой фазе. Расчет массопередачи, сопровождающейся химической реакцией, нужно тщательно изучать, чтобы быть уверенными в том, что химическая реакция действительно увеличивает скорость массопередачи. Ограниченные знания относительно механизма и скорости реакции приводят к тому, что расчетные скорости массопередачи очень неточны и часто требуются экспериментальные данные. Но если, с другой стороны, удовлетворяет расчет с заведомым запасом, то обычно можно игнорировать положительное воздействие химической реакции на скорость массопередачи и базировать расчет исключительно на механизме физической абсорбции.
Расчет массопередачи, сопровождающейся химической реакцией, будет рассмотрен далее. Мы не будем изучать все случаи, которые были рассмотрены до настоящего времени, а ограничимся несколькими типичными случаями, имеющими практическое значение. Этим вопросам в настоящее время посвящается много исследований и, возможно, что в ближайшее десятилетие будут достигнуты большие успехи.
Мы не будем рассматривать случая массоперадачи к границе раздела жидкость — твердое тело, на которой протекает реакция. Хотя массопередача и химическая реакция в таких системах совмещены, оба эти этапа, по-видимому, могут быть рассчитаны независимо друг от друга и связаны только граничными условиями. Вместо этого мы ограничим рассмотрение случаями гомогенной химической реакции, когда вещество переносится в той же фазе, в которой происходит химическая реакция.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ БЫСТРЫХ НЕОБРАТИМЫХ РЕАКЦИЙ
В литературе по массопередаче есть ряд аналитических решений задач одновременной диффузии и химической реакции. Подход к этим решениям был включен в предыдущие главы по массопередаче. В основе одного из подходов лежит пленочная теория, согласно которой сопротивление массопередаче считают сосредоточенным в тонкой неподвижной пленке, в которой содержание 704
растворенного вещества невелико. Другим подходом является рассмотрение процесса массопередачи как неустановившейся диффузии в обновленные элементы жидкости, периодически появляющиеся на границе раздела. В качестве третьего подхода мы рассмотрим расчет химической реакции в ламинарном пограничном слое.
Хотя известны решения для различных типов реакций, мы рассмотрим только следующую чрезвычайно быстро протекающую необратимую реакцию:
а+в^ав.
Компонент А является диффундирующим веществом, поглощаемым из газа жидкостью. Жидкая фаза содержит нелетучий реагент В, растворенный в нелетучем абсорбенте С. Результаты можно применить также к случаю, когда происходит массопередача из жидкой фазы в газ, сопровождающаяся реакцией в газовой фазе, и к случаю, когда массобмен происходит между двумя жидкостями. Так как реакция проходит до конца с большой скоростью, то раздельное существование молекул А и В в любой плоскости, перпендикулярной к направлению диффузии, невозможно.
Диффузия и реакция в неподвижной пленке1. Если процесс диффузии в жидкой пленке достиг стационарного состояния, то реагент 4, имеющий на границе раздела пар — жидкость постоянную концентрацию еЛ8, проникает внутрь жидкой пленки до плоскости, в которой протекает реакция, и концентрация qa равна нулю. В то же время компонент В, имеющий в потоке жидкости концентрацию qBo, диффундирует в пленке в противоположном направлении до плоскости, в которой протекает реакция, и где концентрация qb также равна нулю. Это показано на рис. 43. 1.
Расположение плоскости, в которой протекает реакция, зависит от концентраций и qBo и от относительных скоростей диффузии компонентов А л В. Если абсорбент представляет собой чистый компонент В или если коэффициент диффузии DAQ компонента А в жидкой фазе очень мал, то реакция будет происходить на границе раздела газ — жидкость и компонент А будет находиться в жидкой фазе только как составная часть соединения АВ. С другой стороны, если средняя концентрация компонента В в жидкой фазе qBo очень мала или если коэффициент диффузии DBC компонента В в жидкости очень мал, то плоскость, в которой протекает реакция, будет сдвинута на значительное
1 Расчет, приведенный в этом разделе, был впервые предложен Хатта [60].
45 Заказ 51 9,
705
расстояние в глубь жидкости. Наконец, если реакция не будет протекать с большой скоростью или не будет доходить до конца, то вместо плоскости реакции будет зона реакции конечной толщины, в которой компоненты А и В будут находиться в конечных концентрациях.
Диффузионный поток компонента А от границы раздела в установившемся состоянии равен
"л-Т7(ёл.-0)- («.!)
Предполагается, что скорость диффузии компонента А мала, так что никакого существенного перемещения вещества в объеме
Газ
Поток жидкости
т*-------Жидкость-
Гипотетическая пленка "жидкости*
JB ^Во
Плоскость, б которой проте каетреакииь -
I
Расстояние
Профиль
концентрации компо- Профиль концентрации нента Я компонента В
Рис. 43. 1. Пленочная модель при одновременном протекании диффузии и химической реакции.
жидкой фазы не происходит и присутствие соединения А В не влияет на скорость диффузии компонента А. Аналогичные допущения делаются в выражении диффузионного потока компонента В:
-^в=^(ево-0)- (43.2)
в
Поскольку количество молей компонентов А и В, вступающих в реакцию, одинаково, то потоки NA и — NB в установившемся состоянии равны. Если заменить в уравнении (43. 2) 8В на 8т — и объединить это уравнение с уравнением (43. 1), мы можем решить его относительно толщины зоны, содержащей компонент А:
j — Dac^As
А т DACQas + DBC$Во
(43.3)
706
Подстановка этого выражения в уравнение (43. 1) дает диффузионный поток компонента А :
£^аз(1+£вс|во\ (43.4)
А I DacQas) '
Сопоставление этого выражения с выражением для коэффициента массоотдачи в жидкой фазе для этой системы
"л = Ч(ёл8-0) (43.5)
дает следующее выражение для
(43.6) 6т \ dacQasJ
Коэффициент массоотдачи kQ при отсутствии химической реак-D&c ции, как показано в гл. 33 на основе пленочной теории, равен —*-
От Следовательно, влияние химической реакции на массопередачу может быть представлено отношением к” к kQ.
= l + -BCjB°. (43.7)
kQ DAcQAs
Низкая концентрация потока qBo или низкий коэффициент диффузии DBC уменьшает преимущества, вытекающие из химической реакции, и приближает процесс к чисто физической абсорбции. С другой стороны, высокие значения этих величин приводят к большим величинам коэффициента массоотдачи ЛЛ
Уравнение (43. 7) является следствием чрезмерно упрощенной модели. Тем не менее эта модель, по-видимому, качественно верна и отражает влияние химической реакции в простой форме. Но коэффициент массоотдачи в уравнении (43. 7) зависит от двух концентраций: pAg ирВо, и при расчете абсорбционной колонны нужно знать эти величины для каждого поперечного сечения, чтобы определить С другой стороны, концентрация на границе раздела qAs зависит от отношения коэффициентов массоотдачи в двух фазах, как мы видели в гл. 33. Таким образом, определение движущей силы массообмена в каждом поперечном сечении колонны требует решения методом последовательных приближений.
Теория проницания и химическая реакция. Теория проницания, рассмотренная в гл. 35, также может служить основой модели для расчета массопередачи, сопровождающейся химической реакцией [33, 148]. Рассмотрим ту же
45*
707
химическую систему, которая разбиралась в предыдущем разделе. Растворенное вещество А переносится из газа в жидкость, где вступает в быструю необратимую реакцию с компонентом В. Последний первоначально равномерно распределен в жидкости (его концентрация равна qBo). Вихрь доставляет эту жидкость к границе раздела газ — жидкость, где концентрация растворенного вещества постоянна и равна qAs. Вначале реакция между А и В происходит на границе жидкости, а по мере поглощения компонента В плоскость, в которой происходит реакция, переме-
yR при Расстояние от границы раздела (раз, мм
•0, 625сек
Рис. 43. 2. Расчетные профили концентрации для быстрой реакции в жидкой пленке (DАС = 0,363 • 10“б л«2/ч, DBC = 0,181 • 10-5 м*/ч) [148].
щается в глубь жидкости. Скорость переноса компонента А уменьшается во времени, так как длина его диффузионного пути возрастает. Концентрация компонента В на большом расстоянии от плоскости, в которой протекает реакция, принимается постоянной и равной qBo.
Описанный выше процесс показан на рис. 43. 2. Профили концентраций как рА, так и qb со временем перемещаются вправо. Эти профили можно рассчитать, решив уравнения нестационарной диффузии:
d-^ = D 0<v<u (43.8)
дт АС ду2 - - - v '
и
= »«<«<“ <43-9>
708
Граничными условиями для жидкой фазы являются:
п₽и у=°;
ёв=ёво при t=°;
ёв=ёво при у = оо;
eA = eB=0 °ри у=Ув>
dQA д§в
&АС = ~DBCfy ПРИ У = УR-
Эта задача аналогична обычной задаче нестационарной диффузии, лежащей в основе теории проницания в гл. 35. Но в этой задаче есть дополнительное переменное yR, представляющее собой расстояние от границы раздела газ — жидкость до плоскости, в которой происходит реакция, в любой данный момент.
При совместном решении дифференциальных уравнений (43. 8) и (43. 9) получается, как и в уравнении (35. 29), интеграл вероятности. Для частного случая DBC = DAC решение относительно q А имеет вид
= erf . (43.10)
Oas+Qbo 2У^аст
Мгновенный массовый поток при абсорбции равен
Если qa из уравнения (43. 10) продифференцировать по у и подставить в уравнение (43. 11), мы получим
(4312>
Средний поток массы при абсорбции за время контакта с поверхностью тс равен
тс
<43л3)
о
После подстановки выражения (43. 12) в уравнение (43. 13) и интегрирования получаем
= + (43-14)
709
Это выражение можно сопоставить с уравнением (43. 5), определяющим средний поток массы через коэффициент массопередачи
^=^(ёЛв-о).
Приравняв уравнения (43. 14) и (43. 5), получаем следующее выражение для
£ = 2(1 + (43.15)
k Qas/ Г
Если это уравнение сопоставить с уравнением (35. 35), выражающим коэффициент массопередачи для чисто физической абсорбции на основе теории проницания, то получим следующее соотношение:
i=l+^, (43.16)
ке Qas
Таким образом, для частного случая DAC = DBC пленочная теория и теория проницания дают одинаковые результаты. Если ]с
коэффициенты диффузии не равны, то отношение , найденное . %
на основе теории проницания, не будет равно отношению, полученному с использованием пленочной теории, а будет значительно сложнее. Детальное решение этой задачи приводят Шервуд и Пигфорд [148].
Химическая реакция в ламинарном пограничном слое. Последняя работа ФридландераиЛитта [49] дает аналитическое решение задачи по диффузии, сопровождающейся быстрой химической реакцией в ламинарном пограничном слое на плоской пластинке. Их решение ограничено случаем, когда скорость массопередачи мала, и нормальной составляющей скорости на пластинке можно пренебречь. Для этого случая профиль скоростей в пограничном слое описывается решением Блазиуса, рассмотренным в гл. 12.
Картина диффузии во многом повторяет описанную в предыдущих разделах. Компонент А появляется на поверхности пластины либо путем растворения какого-либо растворимого вещества, либо путем подвода через поры пластинки. Концентрация компонента А в жидкости на поверхности пластинки постоянна и. равна qAs. Компонент В равномерно распределен в свободном потоке, имеет концентрацию qBo и диффундирует по направлению к пластинке через концентрационный пограничный слой. В какой-то плоскости внутри пограничного слоя реагенты встречаются, и происходит реакция. Так как реакция мгновенно дохо-710
дит до конца, то концентрация обоих компонентов в этой плоскости равна нулю.
Упрощенным видом дифференциального уравнения, описывающего диффузию в пограничном слое между пластинкой и плоскостью, в которой протекает реакция, является
и д^ + и = D х дх ‘ у ду Ас ду2
Последнее уравнение можно легко привести к более простому 1 Г ~ Ф
виду, приняв Г) = у у и / (ц) = . Концентрацию также
можно привести к безразмерному виду, и тогда дифференциальное уравнение (43. 17) примет вид
(43.17)
\Qas/ , \qAsJ _q z4o 1Sx
- dr? + — diT ~ • (43’ 18)
Дифференциальное уравнение в частных производных, аналогичное уравнение (43. 17), можно написать для компонента В в области между плоскостью, в которой происходит реакция, и кромкой концентрационного пограничного слоя. Если еще произвести те же преобразования, которые привели к уравнению (43. 18), то получим
(43.19)
\ево/ , \еВо/ =
dr]2 ‘2
Граничными условиями для уравнений (43. 18) и (43. 19) являются:
-^-=1; ц=0;
Qas
Qb а
———1; Ц = ОО*, Qbo
0;
Qa __ Qb
Qas Qbo
n 9Qa n дёв "ас dy ~ DBc dy ! Л Лд-
Уравнения (43. 18) и (43. 19) решаются относительно qa и QB, а массовый поток определяется через градиент концентрации при у = 0, как в уравнении (43. 11). Полученное таким путем
711.
выражение массового потока можно сопоставить с уравнением (43. 5) и получить выражение для к”. Если последнее умножить на , образовав местное число Шервуда, то получим следующую зависимость между безразмерными группами:
gh* 0.332 (ScA)1/«(Rex)>/»
(43. 20)
1 — Т1 AR к" х л
Это местное число Шервуда равно , а множитель -----------
UAC 1-“т1АВ
учитывает влияние химической реакции на систему, в которой происходит чисто физическая абсорбция. В частном случае Scz— 1 1 = ScD, как было показано, --------
В 1 - Т1АЯ
—------, т. е. множитель
1+^-
Qas
идентичен поправочному коэффициенту, найденному на основе как пленочной теории, так и теории проницания. В предельном Qfio 1 Qbo (SCA \ I*
случае, когда -— велико, множитель ---------_—
Qas ^“^ав 2аЛьсв /
Для промежуточных случаев множитель, учитывающий влияние химической реакции, можно рассчитать методами, приведенными в первоисточнике.
Более поздняя статья Акривоса [1] показывает, что введен* ный Фридландером и Литтом множитель, учитывающий химическую реакцию, применим не только к плоским пластинкам, но и к другим формам поверхности. Распространение на другие геометрические формы наиболее точно для чисел Шмидта, превышающих 1, но полагают, что оно достаточно точно также при Sc 1.
Поттер [127] применил к обсуждаемой в этом разделе задаче интегральный метод Кармана, использованный в предыдущих главах для решения задач, связанных как с ламинарным, так и турбулентным пограничным слоем. Для ламинарного пограничного слоя, в котором >> 2, найден следующий поправочный
Qas коэффициент:
kQ _ /^асУ7* । /£всУ/з£Во kQ \dbc) [dac) QAs
(43. 21)
ДРУГИЕ СЛУЧАИ
Шервуд и Райен [149] изучали массопередачу, сопровождающуюся быстрой необратимой химической реакцией в условиях турбулентного потока. Основой для сравнения коэффициентов 712
, массопередачи при наличии и отсутствии химической реакции является интегральный вид уравнения скорости массопередачи ; как путем молекулярной, так и путем турбулентной диффузии:
^л = -<.ОАС + Влс,)^. (43.22)
Результаты ненамного отличаются от результатов, полученных Хатта на основе пленочной теории и приводившихся ранее. Экс-। периментальные данные по растворению бензойной кислоты в водных растворах едкого натра согласуются с теоретической зависимостью Шервуда и Района с точностью до 50%. Пленочная тео-Р рия несколько лучше согласуется с экспериментальными данными.
Все рассмотренные в этой главе методы расчета относились к быстрым необратимым реакциям. В литературе приведены I расчеты некоторых других случаев, таких как быстрые обратимые я реакции, реакции первого порядка и реакции второго порядка.
’« Ссылки на многие из этих случаев приведены у Оландера [123],
рассматривавшего влияние быстрых обратимых реакций.
Мы не будем рассматривать других аспектов задачи химической реакции с массопередачей. Некоторые качественные стороны вопроса можно понять из обсуждения, данного в этой главе. Коли-) чественные характеристики читатель может найти в первоисточ-
никах, на которые были сделаны ссылки.
I Задачи
43. 1. Твердые шарики бензойной кислоты взвешены в 1-н растворе едкого натра, движущемся со скоростью 3 м/сек. Найти скорость растворения в кмоль/ч в тот момент, когда шарики имеют диаметр 12 мм. Можно принять, что раствор имеет во всех своих точках одинаковую температуру 25° С.
,, Числа Шмидта для водных растворов бензойной кислоты и 1-м едкого натра при 25° С можно принять равными 900 и 524, соответственно.
43. 2. По данным, приведенным в задаче 43. 1, требуется найти скорость растворения плоской пластинки, состоящей из бензойной кислоты. Предполагается, что над пластинкой протекает со скоростью 3 м/сек раствор едкого натра (1-н), имеющий температуру 25° С. Пластинка имеет размер 300X300 ММ) причем из бензойной кислоты состоят как ее верхняя, так I и нижняя поверхности.
43. 3. Из воздуха, содержащего 3% мол. углекислого газа, последний абсорбируется в насадочной колонне 1-м раствором едкого натра. Нагрузка I по газу составляет 2000 кг/м^-ч, а нагрузка по жидкости равна ее минимальному расходу в том случае, если бы абсорбентом была чистая вода. Колонна заполнена насадкой из колец Рашига диаметром 25 мм и работает при по-i стоянной температуре 25° С. Требуется найти высоту слоя насадки, необходимую для извлечения углекислого газа из воздуха на 90%. Число Шмидта для углекислого газа в воде при 25Q С равно 0,94.
Г
ЛИТЕРАТУРА
1. Acrivos A., Ghem. Eng. Sci., 13, 57 (1960).
2. Adler S. B. and Palazzo D. F., Ghem. Eng.^ June 29, 1959, p. 95.
3. ASME Special Commitee on Fluid Meter, pts. 1—3, N. Y. 1931—1937.
4. В a d g e r W. L.^ В anchor о J. T. Introduction to Ghemical Engineering, McGraw-Hill, N. Y., 1955.
5. Barter R. M., Diffusion in and through Solids, Macmillan, N. Y., 1941.
6. В e n z i n g R. J., Ind. Eng. Ghem., 47, 2087 (1955).
7. В i r c h e n a 11 С. E., Medi. Rev., 3, 235 (1958).
8. Bird R. B., Steward W. E. and Lightfoot E. N., Transport Phenomena, Wiley and Sons, N. Y., 1961.
9. В 1 a s i u s H., Z. Math, und Phys., 56, 1 (1908); NACA Tech. Mem., 1256.
10. В о e 11 e r L. M. K., Young G. and Iverson H. W., NACA Tech. Mem., 1451, 1948.
11. В о u s s i n e s q T. V. Memoires presentees par divers savants a I’Academie des Sciences de I’Institut de France, vol. 23, 1877.
12. В a u m a n R. W., Mueller A. G. and Nagle W. M., Trans. ASME, 62, 283 (1940).
13. В r a d s h a w R. D., Ph. D. thesis in Chemical Engineering, Purdue University, Lafayette, Ind., 1961.
14. В r i d g m a n P. W., Dimensional Analysis, Yale Univ. Press, New Haven, 1931.
Русск. пер.: Бриджмен П. В. Анализ размерностей.
Ред. С. И. Вавилова, Гостехиздат, 1934.;
15. Bridgman Р. W., Proc. Natl. Acad. Sci. U. S.j 9, 341 (1923).
16. Bridgman P. W., The Physics of High Pressure, Bell and Sons, L., 1950. Русск. пер.: Бриджмен П. В. Физика высоких давлений. Ред. М. П. Воларовича. Гл. ред. общетехн, дисциплин и номографии^ М., 1935.
17. В г о u g h t о n D. В. and M i c k 1 e у H. S., Ghem. Eng. Prog.? 49, 319 (1953).
18. В г о u i 11 e 11 e E. С., M. S. thesis in Ghemical Engineering, Purdue Univ., Lafayette, Ind., 1955.
19. Brown G. G. et al., Unit Operations, Wiley and Sons, N. Y., 1950.
20. Bubble—tray Design Manual, American Institute of Chemical Engineers, N. Y., 1958.
714
21. Car man P. Сч Flow of Gases through Porous Media, Acad. Press, N. Y., 1956.
22. Carslaw H. S. and Jaeger J. C., Operarional Methods in Applied Mathematics, 2d ed., Oxford Univ. Press, L., 1947. Русск. nep.: Карслоу X. и Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. Ред. М. С. Горнштейна, И. Л., 1948.
23. Carslaw Н. S. and Jaeger J. С., Conduction of Heat in Solids, 2d ed.j Clarendon Press, Oxford, 1959.
24. Christian W. J. and Kezios S'. P., AIChE Journal, 5, 61 (1959).
25. Colburn A. P., Trans. Am. Inst. Chem. Eng., 29, 174 (1933).
26. С о 1 b u r n A. P., Ind. Eng. Chem., 28, 526 (1936).
27. Colburn A. P., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 35, 211 (1939).
28. Cornell D., Knapp W. G., and Fair J. R., Chem. Eng.
Progr., 56, 68 (1960).
29. Crank J., Mathematics of Diffusion, Clarendon Press, Oxford, 1956.
30. C r a w f о r d J. W. and Wilke C. R., Chem. Eng. Progr., 47, 423 (1951).
31. Cry d er D. S. and Maloney J. 0., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 37, 827 (1941).
32. Danckwerts P. V., Ind. Eng. Chem., 43, 1460 (1951).
33. D a n c k w e r t s P. V., Trans. Faraday Soc., 46, 300 (1950).
34. D e i s s 1 e r R. G., Analysis of Turbulent Heat Transfer, Mass Transfer and Friction in Smooth Tubes for High Prandtl and Schmidt Numbers, NACA Rept, 1210, 1955.
35. D e n b i g h K. A., Thermodynamics of Steady State, Methuen and Co., L., 1951. Рубек, пер.: Д e н б и г К. Термодинамика стационарных необратимых процессов. Ред. В. К. Семенченко, И. Л., 1954.
36. De Priester С. L., Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., № 7, p. 1 (1953).
37. D о d g e B. F., Chemical Engineering * Thermodynamics, McGraw-Hill, N. Y., 1944.
38. Donohue D. A., Ind. Eng. Chem., 41, 2499 (1949).
39. D r i c k a m e r H. G. and Bradford J. R., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs, 39, 319 (1943).
40. D r e w T. B., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs, 26, 26 (1931).
41. Dusinberre G. M., Numerical Analysis of Heat Flow, McGraw-Hill, N. Y., 1949.
42. E c k e r t E. R. G. and Drake R. M., Jr., Heat and Mass Transfer, 2d ed., McGraw-Hill, N. Y., 1959.
43. Edminster W. C. and Ruby C. L., Chem. Eng. Progr., 51, 95 (1955).
44. Ergun S., Chem. Eng. Progr., 48, 89 (1952).
45. Fl ugg e W., Four-place Tables of Transcendental Functions, McGraw-Hill, N. Y., 1954.
46. Fluid Meters; Their Theory and Applications, ASME, N. Y., 1937.
47. F о r s t e r H. K. and Zuber N., AIChE Journal, 1, 531 (1955).
48. Fourier J. B. J., Theorie analytique de la chaleur, Gauthier — Villars Paris 1822
49. Friedlander S. K. and Litt M., Chem. Eng. Sci., 7, 229 (1958).
50. Gardner K. A., Trans. ASME, 67, 621 (1945).
51. G i 11 i 1 a n d E. R. and Sherwood T. K., Ind. Eng. Chem., 26, 516 (1934).
52. Glass t one S., L a i d 1 e r K. J. and E у r i n g H., Theory of Rate Processes, chap. 9, Mc-Graw-Hill, N. Y., 1941.
53. G г a с e H. P., Chem. Eng. Progr., 46, 467 (1950).
54. G г a с e H. P., Chem. Eng. Progr., 49, 303 (1953).
715
55. G r a e t z L., Ann. Physik, N. F., 18, 79 (1883) and 25, 737 (1885).
56. G г о s h R. J. and Cess R. D., Trans. ASME, 80, 667 (1958)^
57. Gutenberg B. (ed.), Internal Constitution of the Earth, Dover Publ., N. Y., 1951. Русск. пер.: Гутенберг Б. Внутреннее строение Земли. Ред. Д. Н. Достопалова и др., И. Л., 1949.
58. Hanratty Т. J., AIChE Journal, 2, 359 (1956).
59. Н а г t n е t t J. Р. and Eckert E. R. G., Trans. ASME, 79, 247 (1957).
60. Hatt a S., Tech. Repts. Tohoku Imp. Univ., 8, 1 (1928—1929).
61. H a w к i n s G. A. and Agnew J. T., Purdue Univ. Eng. Bull., Sw *\fo QR i Q4-R
62. Higbie R., TraAs. Am. Inst. Chem. Engrs., 31, 365 (1935).
63. H i 1 d e b r a n d F. B., Introduction to Numerical Analysis^ McGraw-Hill, N. Y., 1956.
64. H i n z e J. 0., Turbulence: An Introduction to Its Mechanism and Theory, McGraw-Hill, N. Y., 1959. Русск. пер.: Хинце И. О. Турбулентность. Ее механизм и теория. Ред. Г. Н. Абрамовича. Физматиздат, 1963.
65. Н i г з с h f е 1 d е г J8 О., Curtiss С. F. and Bird R. В.. Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley and Sons, N. Y., 1954. Русск, пер.: Г и p ш ф e л ь д е р Д., Кертисс Ч. и Б е р д Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. Ред. Е. В. Ступоченко. И. Л., 1961.
66. Н о b s о n М. and Т ho dos G., Chem. Eng. Progr., 45, 517 (1949).
67. H о 11 e 1 H. C., chap. 4 in McAdams W. H., Heat Transmission, 3d ed., McGraw-Hill, N. Y., 1954.
68. H owart h L., Proc. Roy. Soc., A164, 547 (1938).
69. Hunsaker J. C. and Right mire B. G., Engineering Applications of Fluid Mechanics, McGraw-Hill, N. Y., 1947.
70. International Critical Tables, vol. 2, McGraw-Hill, N. Y., 1928.
71. Isakoff S. E. and Drew T. B., Proceedings of the General Discussion on Heat Transfer, Inst. Meeh. Engrs. and Am. Soc. Meeh. Engrs. s N. Y., 1951.
72. J a h n k e E. and E m d e F., Tables of Functions, Dover, N. Y.^ 1945. Русск. пер.: Янке E. и Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. Ред. Л. И. Седова. Гостехиздат, 1948.
73. J а к о b М. and Hawkins G. A., Elements of Heat Transfer, 3d ed., Wiley and Sons, N. Y., 1957.
74. Jakob M., Heat Transfer, Wiley and Sons, N. Y., 1949. Русск. пер.: Якоб M. Вопросы теплопередачи. Ред. В. К. Мотулевича* ИЛ,-I960.
75. J ohnson A. I. and Chen Huang, AIChE Journal, 2, 412 (1956).
76. J о h n s о n P. A. and В a b b A. L., Chem. Revs., 56, 387 (1956)..
77. J orissen A. L., Trans. ASME, 74, 905 (1952).
78. J u h a s z I. S., Hydraulic Analogy for Transient Cross-flow Heat — exchangers. Paper 57—A—125, N. Y. Meeting, Am. Soc. Meeh. Engrs, Dec., 1957.
79. Kay J. M., An Introduction to Fluid Mechanics and Heat Transfer, Cambridge Univ. Press, L., 1957.
80. Kays W. M., Trans. ASME, 72, 1067 (1950).
81. Kays W. M., Trans. ASME, 77, 1265 (1955).
82. Keenan J. H. and Keyes F. G., Thermodynamic Properties of Steam, Wiley and Sons, N. Y., 1936.
83. К e 11 о g M. W. Company, Liquid—Vapor Equilibria in Mixtures of Light Hydrocarbons, N. Y., 1950.
84. Klinkenberg H. A. and M о о у H. H., Chem. Eng. Progr., 44, 17 (1948).
85. К n u d s e n J. G. and Katz D. L., Fluid Dynamics and Heat Transfer, McGraw-Hill, N. Y., 1958.
86. К r e i t h F., Principles of Heat Transfer, Internat, Textbook Co., Scranton, Pa., 1958.
716
87. Kremser A., Natl. Petrol. News, 22, 42 (1930).
88. К г о n i g R. and Brink J. C., Appl. Sci. Research, A2, 142 (1950).
89. К u r i h a r a H. M. and Myers J. E., AIGhE Journal, 6, 83 (1960).
90. Lamb H., Hydrodynamics, 6th ed., Dover, N. Y., 1945. Русск. nep.: Л а м б Г. Гидродинамика. Ред. H. А. Слезкина. Гостехиздат, 1947.
91. Landolt-Bornstein, Physiko-chemische Tabellen, 5-te Aufl., Berlin, Springer, 1923—1926.
92. L a n g e N. A., Handbook of Chemistry, McGraw-Hill, N. Y., 1961.
93. L a n g e R. P. and Myers J. E., AIChE Journal, 4, 75 (1958).
94. Langhaar H. L., Dimensional Analysis and Theory of Models^ Wiley and Sons, N. Y., 1951.
95. La hg ha ar H. L., Trans. ASME, A64, 55 (1942).
96. L a p p 1 e С. E., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 39, 385 (1943).
97. L a z a r r e F. and V о d a r B., Proc. Conf. Thermo and Transport Properties of Fluids, Inst. Meeh. Engrs., L., 1958.
98. L e Claire A. D., Progr. in Metal Phys., 4, 265 (1953).
99. Leva M., Fluidization, McGraw-Hill, N. Y., 1959. Русск. nep.: 1961° e в a* Псевдоожижение. Ред. H. И. Гельперина. Гостоптехиздат$
100. Leva М., Weintraub М., Gru m mer М., Poll-ch i k М. and Storch H. H., U. S. Bur. Mines Bull., 504 (1951).
101. Leveque J., Ann. mines. 13, 201, 305, 381 (1928).
102. Lewis W. K., Ind. Eng. Chem., 14, 492 (1922).
103. Lewis W. K., Ind. Eng. Chem., 28, 399 (1936).
104. L i e p m a n H. W. and Puckett A. E., Introduction to the Aerodynamics of Compressible Fluids, Wiley and Sons, N. Y., 1947. Русск. nep.: Липман Г. В. и Пакет А. Е. Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости. Ред. А. И. Бунимовича. И. Л., 1949.
105. Linford A., Flow Measurement and Meter, Spoon, L., 1949.
106. L i n t о n W. H., Jr., and Sherwood T. K., Chem. Eng. Progr., 46, 258 (1950).
107. Lyon R. H., Chem. Eng. Progr., 47, 75 (1951).
108. McAdams W. H., Heat Transmission, 3d ed., McGraw-Hill^ N. Y., 1954. Русск. пер.: Мак-Адамс В. X. Теплопередача. Ред. Л. С. Эйгенсона и К. Д. Воскресенского, Металлургиздат, 1961.
109. McCabe W. L. and Thiele Е. W., Ind. Eng. Chem., 17$ 605 (1925).
110. Metzner A. B., Non-Newtonian Technology, Advances in Chemical Engineering, 1, 77 (1956).
111. Mickle у H. S., Chem. Eng. Progr., 45, 739 (1949).
112. M i c k 1 e у H. S., R о s s R. C., S q u у e r s A. L. and Ste-
wart W. E., NACA Tech. Note 3208 (1954).
113. Mickle у H. S., Sherwood T. K. and Reed C. E.$
Applied Mathematics in Chemical Engineering, 2d ed., McGraw-Hill, N. Y.,
114. Milne-Thompson L. M., Theoretical Hydrodynamics, 2d ed., N. Y., 1950. Русск. пер.; Милн-Томсон Л. M. Теоретическая гидродинамика. Ред. H. Н. Моисеева', Мир, 1964.
115. М i s е s R., von, Z. deut. Ing., 61, 447—451, 469—473, 493—497 (1917).
116. Moody L. F., Trans. ASME, 66, 671 (1944).
117. Moore A. D., J. Appl. Phys., 20, 790 (1949).
118. Nelson W. L., Petroleum Refinery Engineering, 4th ed., McGraw-Hill, N. Y., 1949. Русск. пер.: Нельсон В. Л. Основы технологии нефти. Гл. ред. горно-топливной и геол.-развед. лит., М., 1937.
119. Newman А. В., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 27, 310 (1931).
717
120. Nukiyama S., J. Soc. Meeh. Eng., Japan, 37, 367 (1934).
121. Nusselt W., Z. dent. Ing., 60, 541, 569 (1916).
122. O’Connell H. E., Trans. Am. Inst, Chem. Engrs., 42, 741 (1946).
123. Olander D. R., AIChE Journal, 6, 233 (1960).
124. Perry J. H., Chemical Engineers Handbook, 3d ed.? McGraw-Hill, N. Y., 1950.
125. Pohlhausen E., Z. angew. Math. u. Meeh., 1, 115 (1921).
126. Ponchon M., Tech, moderne, 13, 20 (1920).
127. Potter О. E., Trans. Inst. Chem. Engrs, 36, 415 (1958).
128. PrandtlL., The Essentials of Fluid Dynamics, Hafner, N. Y., 1949. Русск. пер.: Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Пер. с нем., И. Л., 1949.
129. Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Rei-bung, Proc. Ill Intern. Math. Congr., Heidelberg, 1904.
130. Pressure — Viscosity Report, ASME, N. Y., 1953.
131. Ranz W. E., Chem. Eng. Progr., 48, 27 (1952).
132. Reid R. C. and Sherwood T. K., The Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, N. Y., 1958. Русск. пер.: Рид P. К. и Шервуд T. К. Свойства газов и жидкостей. Ред. А. Н. Плановского. Гостоп-техиздат, 1964.
133. Reynolds О., Papers on the Mechanical and Physical Subjects, Cambridge Univ. Press, L., 1900.
134. Reynolds O., Proc. Manchester Lit. Phil. Soc., 14, 7 (1874),
135. Reynolds O., Trans. Roy. Soc., A174, 935 (1883).
136. Robinson C. S. and Gilliland E. R., Elements of Fractional Distillation, 4th ed., McGraw-Hill, N. Y., 1950.
137. R о h s e n о w W. M., Trans. ASME, 74, 969 (1952).
138. Rouse H. and Howe J. W., Basic Mechanics of Fluids, Wiley and Sons, N. Y., 1953.
139. Rules for Measuring the Flow of Fluids by Means of Nozzles and Orifice Plates, Preliminary Recommendations, ISA Bulls, 9 and 12, Dec. 1935 and Aug. 1936.
140. Rushton J. H., Costich E. W. and Everett H. J.» Chem. Eng. Progr., 46, 395, 467 (1950).
141. Ruth B. F., Ind. Eng. Chem., 38, 564 (1946).
142. S a v a r i t R., Arts et metiers, pp. 65,142,178, 241, 266, 307 (1922).
143. Scheidegger A. E., The Physics of Flow Through Porous Media, Macmillan, N. Y., 1957. Русск. пер.: Шейдеггер А. Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. Ред. И. М. Муравьева. Гостоптех-издат, 1960.
144. Schlichting Н., Boundary Layer Theorie, 4th ed., McGraw-Hill, N. Y., 1960. Русск. пер.: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. Ред. В. С. Авдуевского и В. Я. Лихушина, И. Л., 1956.
145. Schmidt Е. und Wenner К., Forsch. Gebiete Ingenieurw., 12, 65 (1933).
146. S e b a n R. A. and Shimazaki T. T., Trans. ASME, 73, 803 (1951).
147. Sellars J. R., Tribus M. and Klein J. S., Trans. ASME, 78, 441 (1956).
148. Sherwood T. K. and Pigford R. L., Absorption and Extraction, 2d ed., McGraw-Hill, N. Y., 1951.
149. Sherwood T. K. and Ryan J. M., Chem. Eng. Sci., 11, 81 (1959).
150. S h e r w о о d T. K., Shipley G. H. and Holloway F. A. L., Ind. Eng. Chem., 30, 765 (1938).
151. Sherwood T. K. and Woertz В. B., Ind. Eng. Chem., 31, 1034 (1939).
718
152. Shulman H. L., Ullrich C. F», Proulx A. Z£ and Zimmerman J. 0., AIChE Journal, 1, 253 (1955).
153. Sieber W., Z. tech. Physik, 22, 130 (1941).
154. Sieder E. N. and Tate G. E., Ind. Eng. Chem., 28, 1929* (1936).
155. Smith B. D., Design of Equilibrium Stage Processes, McGraw-Hill, N. Y., 1963.
156. Sorel E., La Rectification de 1’alcool, Paris, 1893.
157. Souders M. and Brown G. G., Ind. Eng. Chem., 24, 510 (1932).
158. Southwell R. V., Relaxation Methods in Engineering Science, Oxford Univ. Press, L., 1940.
159. Stearns R. F., Johnson R. R., Jackson R. M. and Larson C. A. Flow Measurements with Orifice Meters, Van-Nostrandr Princeton, 1951.
160. Sternling С. V. and S c r i v e n L. E., AIChE Journal, 5r 514 (1959).
161. Streeter V. L., Fluid Dynamics, McGraw-Hill, N. Y., 1948.
162. Tiller F. M., Chem. Eng. Progr., 49, 467 (1953); 51, 282 (1955); AIChE Journal, 4, 170 (1958).
163. Timoschenko S., Strength of Materials, 3d ed., Van Nostrand, Princeton, 1955. Русск. пер.: Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Ред. В. Н. Федорова, Физматгиз, 1960.
164. Toor Н. L. and Marchello J. М., AIChE Journal, 4, 97 (1958).
165. Treybal R. E., Liquid Extraction, McGraw-Hill, N. Y., 1951.
166. Treybal R. E., Mass Transfer Operations, McGraw-Hillr N. Y. 1955.
167. Tubular Exchanger Manufacturers Association, N. Y., 1949.
168. Vafteressian K. A. and Fenske M. R., Ind. Eng. Chem.,. 29, 270 (1937).
169. W e a v e r R. E. C., Lapidus L. and Elgin J. C.t AIChE Journal, 5, 533 (1959).
170. Westwater J. W., Advances in Chemical Engineering, Vol. 1, Academic Press, N. Y., 1956.
171. Whitney R. P. and Vivian J. E., Chem. Eng. Progr., 45, 323 (1949).
172. Wilke C. R., Chem. Eng. Progr., 45, 218 (1949).
173. Wilson E. E., Trans. ASME, 57, 47 (1915).
174. Wyley C. R., Advanced Engineering Mathematics, 2d ed.,. McGraw-Hill, N. Y., 1960.
175. Zenz F. A. and Othmer D. F., Fluidization and Fluid* particle Systems, Reinhold Publ., N. Y., 1960.
176. Sherwood T. K. and H о 11 w a у F. A. L., Trans. Am. Inst. Chem. Engrs, 36, 39 (1940).
предметный указатель
Абляция 246
Абсорбция 543
— неизотермическая 569—572
— многокомпонентных смесей 682—
688
Активность 446
Воздух влажный 573—581
— адиабатическая температура насыщения 574
— влагосодержание 573
— - диаграмма состояния 575
— образование тумана 579
— температура мокрого термометра 574
— теплоемкость 573
— теплосодержание 574
— точка росы 575
— удельный объем 574
Входные эффекты 126, 307
— в теплопередаче при ламинарном движении 308—314
— при турбулентном движении 326
Выпаривание в аппаратах с естественной конвекцией 425
— в аппаратах с принудительной циркуляцией 425
— в однокорпусных аппаратах 426
— в многокорпусных аппаратах 429
Вязкость 64
— турбулентная кинематическая 139
Газ идеальный 633
Гидравлический радиус 185
Градирни 577
Давление динамическое 109
— торможения 235
Движение газа в трубах 239
— в кольцевом зазоре ламинарное 112
— ламинарное 22
— осредненное 131
— турбулентное 130, 22
------ стационарное 131
Движущая сила в массопередаче 541
— в теплопередаче 408
Десорбция 545
Дефлегматоры 653
Деформация элемента жидкости 100
Диаграмма Дюринга 429
— Келлога 633
— тройная 612
Диаметр эквивалентный 185
— кольцевого канала 185
Диссипация вязкая 93
Диффузия в неподвижной среде 460
— в пористых твердых телах 451
— вызванная перепадом давлений 467
— Кнудсена 451
— молекулярная 442
— принудительная 467
— , теория Айринга 449
Длина эквивалентная 178
Доля массовая 459
— мольная 452
Единица переноса, высота эквивалентная ей для газовой фазы 526
— для жидкой фазы 527
— число 535—539
Жидкость, дилатантная 69
— идеальная 78
— неньютоновская 67
— характеристика консистентно-сти 68
— индекс течения 68
Жидкость псевдопластическая 68
— реопектическая 69
— сжимаемая 221
— тиксотропная 69
Завихренность (вихрь) 106
Закон Видемана — Франца 253
— Вина 391
— Генри 475
Закон Дарси 190
— Кирхгофа 388
— Ньютона второй 44, 158
— Планка 390
— Рауля 475, 632
— распределения 613
— сохранения массы 24
— Стефана — Больцмана 390
— термодинамики первый 30
— Фика 445
— Фурье 252
Излучательная способность 390
Излучение 384
— видимое 385
— газов 401
— инфракрасное 385
— интенсивность 392
— коэффициент теплоотдачи при 398
— монохроматическое 385
— при многократном отражении 396
— рассеянное 396
— серых поверхностей 397
— степень черноты 387
— — газов 402
— — твердых поверхностей 388
— солнечное 405
— ультрафиолетовое 385
— черного тела 386
— экранирование 401
Кипение, влияние неконденсиру-ющихся газов на 381
— перегрев при 368
— пленочное 372
— пузырьковое 367
Колонны насадочные 548—551
— распылительные 551
— расчет 609
— со смоченными стенками 518
Конвекция, естественная в теплопередаче 350
— в массопередаче 443
— у вертикальной стенки 314
Конденсация в присутствии некон-денсирующихся газов 381
— капельная 373
Конденсация, механизм 372
на поверхности вертикальных труб 374—379
— на поверхности горизонтальных труб 379
— перегретых паров 381
— пленочная 373
— смесей 382
Коноды 613, 658
Координаты цилиндрические 111
Коэффициент активности 446
— загрязненности 302
— исчерпывания 602
— корреляции 134
— массоотдачи 476—478
— массопередачи 478—482
— молекулярной диффузии в газах 449
---в жидкостях 449
— — в твердых телах 448
— поглощения 450
— сопротивления по Фаннингу 147
— при ламинарном обтекании пластинки 125
— при обтекании диска и шара 186
— при обтекании цилиндра 84 Г"*
— при турбулентном обтеканий пластинки 155
— теплоотдачи 292
— теплопередачи 292
— турбулентной диффузии 502
— угловой (при излучении) 394
К, п. д. насоса и турбины 39
— средний по колонне 608
— средний по тарелке 592
— точечный по Мерфри 593
Летучесть 632
— относительная 632
Линия, Маха 227
— Релея 233
— тока 76, 119
— Фано 233
— эквипотенциальная 119
Массоотдача, от твердых шариков,, капель и пузырьков 530
— от шаров и цилиндров 528
Массопередача, в неподвижном и псевдоожиженном слоях 529
— при естественной конвекции 443
— при неизотермическом процессе 569—572
— при одновременном теплообмене 559—569
Метод, криволинейных квадратов 290 — Лагранжа 88
46 Заказ 519«
721
Метод релаксации 280 — Релея — Эйлера
Насадка, кольца Рашига 549
— седлообразная 549
Напряжения, кажущиеся 137
— касательные 96
~ нормальные 96
— Рейнольдса 137
Неразрывности, уравнение 85
Объем контрольный 24
Оребрение 417
— коэффициент 420
Отстаивание 196
Осаждение стесненное 196
Перемешивание 169
л-теорема Букингема 163
Пограничный слой, диффузионный 490
— в расплавленных металлах 311
— ламинарный 120
— массопередача в, при ламинарном движении 488—495, 559
— при турбулентном движении 498-502
— определения 80
— при высоких скоростях 245
— с градиентом давления 81
— теплопередача в, при ламинарном движении 308
— — при турбулентном движении 328
— температурный 309
— толщина 155
— точка отрыва 81
— турбулентный 153
— химическая реакция в 710
Псевдоожижение однородное 217
— неоднородное 217
— скорость начала 213
— конечная скорость 215
— расширение слоя 216
Поверхность контакта фаз 535—537
— контрольная 24
— теплообмена средняя 262
— удельная 189
Подслой ламинарный 142
Потенциал химический 446
Потери в насосах и турбинах 39
— на расширение 178
— на сжатие 178
— на трение 176
Поток, количества движения 73
Поток массы 73
---мольный 445
— энергии 74
Правило рычага 615, 659
— Трутона 641, 691
— фаз 472
Производная полная 87
— субстанциальная 87
Противодиффузия эквимолярная 464
Преобразование Лапласа 270
— подобия 123
Проскальзывание 71
Путь перемешивания 139
Работа внешняя 30
PV
Рабочая линия 480, 536
Равновесие, действительная ступень 606
— теоретическая ступень 589
— аналитический расчет 601
Разделение, механическое 195
Размерностей анализ в гидродинамике 162
— в теплопередаче 346
— в массопередаче 515
— однородность 160
Раствор идеальный 632
Расход 25
Расходомер Вентури 53
— диафрагменный 54
Растворимость кривая 612
Ректификация азеотропная 696—701 — в исчерпывающей колонне 644— 670
— в укрепляющей колонне 641, 667 — машинный расчет 676—678
— многокомпонентных смесей 689— 692
— с двумя вводами исходной смеси 672
— с обогревом голым паром 654, 674
— с промежуточным отбором продукта 656, 674
— с учетом состояния исходной смеси 648
— экстрактивная 696—701
Реология 67
Ротаметр 59
Скорость, звука 223
— кажущаяся 189
— профиль в шероховатых трубах 148
— параболический 71
— универсальный 142
— средняя массовая И
722
Скорость средняя мольная 11
— средне-квадратичная пульсационная 132
— «трения» (динамическая) 143
— угловая 169
— пульсационная 132
Сопло, критическое сечение 229
— Лаваля 228
— скачок в 231
Сопротивление, закон Блазиуса 147
— коэффициент 23
— трения 83
— давления 82
Сушка, кривая скорости 583
— критическая влажность 583
— равновесная влажность 585
— в ленточных сушилках 582
— в полочных сушилках 582
Тарелка колпачковая 592
Температура кипения растворов 429
— потока средняя 34
— торможения 234
Температуропроводность 74
— турбулентная 335
Теория пленочная 565
— проницания 508
Теплообменники кожухотрубчатые 412
— многоходовые 414
— одноходовые 412
— «труба в трубе» 409
Теплоотдача конвекцией в трубах круглого сечения 350
— в трубопроводах некруглого сечения 353
— при поперечном обтекании цилиндра 354
— от плоской поверхности 360
— от шаров 358
— в слое насадки 359
— от расплавленных металлов 361 Теплопередача (См. Излучение, Кипение, Конденсация, Теплоотдача
— конвекцией, Теплопроводность) Теплопроводность, в двухфазных системах 256
— закон Фурье 252
— в многослойной стенке 259
— нестационарная 268
— в полом цилиндре 262
— в шаре 267
Термодиффузия 467
Термопары ошибки 400
Течение, адиабатическое 239
— безвихревое 117
— вихревое 117
— в слое насадки 188
46*
Течение изотермическое 242
— изэнтропическое 227
— кнудсеновское 451
— ползущее ИЗ
— потенциальное 115
— сверхзвуковое 229
— развитое, ламинарное 316
— развитое турбулентное 332
Трубка Пито 51
Трубы гидравлически гладкие 176
— шероховатые 176
Турбулентность, возникновение 130
— изотропная 133
— масштаб 133
— межфазная 513
— степень 132
— ядро течения 142
Унос по Колборну 607
Угол Маха 227
Уравнение Гагена — Пуазейля 71,112
— Диттуса — Болтера 351
— Козени — Кармана 190
— Лапласа 116, 289
— Льюиса 505
— Навье — Стокса 105
— Прандтля — Тейлора 341
— Прандтля — Шлихтингар55
— Стокса 114
— Фенске — Ундервуда 693
— Эйлера 115
j
Фазовое равновесие в системах жидкость — жидкость 612
— в системах пар — жидкость 472,631
— константа равновесия между жидкостью и паром 633
Фактор массообмена 540, 602
Фильтрация, при постоянном давлении 203
— с постоянной производительностью 204
— при переменных давлении и производительности 204
— при несжимаемом осадке 203
— при сжимаемом осадке 209
— сопротивление фильтрующего материала 201
— удельное сопротивление осадка 200
— цикл 205
— эффективный диаметр частиц 189
Фильтр барабанный вакуумный 198
— листовой 197
— рамный 197
Флегмовое число, максимальное 651
723
Флегмовое число минимальное 652
— при экстракции 624
Функция тока 77
Циркуляция в каплях 532
Число Вебера 165
— Грасгофа 315, 353, 354
— Гретца 350
— Кармана 183
— Льюиса 505
— Маха 165, 225
— Нуссельта 312
— Пекле 318
— Прандтля 23, 309
— Рейнольдса 22, 130, 162
Число Фруда 162
— Шмидта 23, 490
— Эйлера 162
Шлирен-фотографии 227
Шероховатость поверхности 148
Эквивалент теплоты механический}30
Экстракция перекрестнымЗтоком 619 — противоточная 620 — с флегмой 624
Энергия, баланс механической энергии 38
— внутренняя 30
— кинетическая 30
— потенциальная 30
СОДЕРЖАНИЕ
Стр. *
Из предисловия авторов .......................................... 5
1. Введение................................................ 8
Часть I. ГИДРОДИНАМИКА
2. Балансовые уравнения. Вводные замечания о гидродинамике 21
3. Баланс массы........................................... 24
4. Уравнение баланса энергии ............................. 30
5. Баланс количества движения............................. 44
6. Измерения в потоке..................................... 51
7. Основные понятия гидродинамики (I)..................... 64
8. Основные понятия гидродинамики (П)..................... 76
9. Дифференциальное уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) .................................... 85
10. Дифференциальное уравнение энергии..................... 91
И. Дифференциальное уравнение импульсов................... 95
12. Некоторые решения уравнений движения.................. 107
13. Распределение скоростей и сопротивление при турбулентном движении ........................................... 130
14. Анализ размерностей с приложениями к гидродинамике 158
15. Некоторые расчетные соотношения для течения несжимаемой жидкости .............................................. 175
16. Фильтрация и псевдоожижение.......................... 195
17. Течение с высокой скоростью.......................... 221
Часть 2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
18. Введение в теплопередачу............................. 249
19. Теплопроводность и коэффициент теплопроводности . . . 252
20. Стационарная теплопроводность ....................... 258
21. Нестационарная теплопроводность ..................... 268
22. Численные, графические и аналоговые методы в исследовании теплопроводности .................................. 279
23. Коэффициенты конвективного теплообмена............... 292
24. Теплообмен при ламинарном движении................... 307
25. Теплообмен при турбулентном движении................. 325
26. Некоторые уравнения для расчета конвективного теплообмена ................................................ 346
725
Стр.
27. Кипение и конденсация................................ 365
28. Теплообмен излучением................................ 384
29. Теплообменные аппараты .............................. 408
ЧАСТЬ 3. МАССОПЕРЕДАЧА
30. Введение в массопередачу....................„• • • 441
31. Молекулярная диффузия и коэффициент молекулярной диффузии ................................................ 445
32. Диффузия в бинарных смесях........................ 452
33. Коэффициенты конвективной массопередачи........... 471
34. Массопередача при ламинарном движении............. 488
35. Массопередача при турбулентном движении . ........ 498
36. Некоторые уравнения для расчета конвективной массопередачи ................................................. 515
37. Непрерывный контакт несмешивающихся фаз........... 534
38. Одновременный перенос количества движения, тепла и массы 558
39. Разделение при ступенчатом контакте несмешивающихся фаз .................................................. 589
40. Контактирование частично смешивающихся фаз....... 612
41. Ректификация бинарных смесей...................... 629
42. Разделение многокомпонентных смесей............... 681
43. Массопередача, сопровождающаяся химической реакцией 702
Литература ........................................ 714
Предметный указатель .............................. 720
ОПЕЧАТКИ
Страница Строка Напечатано Следует читать
16 19-я сверху, yu*/v
2-я графа
27 11-я сверху . . . 1,8567 г/см** . . . 1,8567 г/см*.
(со звездочкой) (без звездочки)
2-я снизу, Сноска со звездочкой* относится к сноске1 на стр. 26
3-я снизу
“hoT, (Л0\2 .1 Др иЪо Г. ЛАл\21 , Др
48 2-я сверху —-‘J-v ьэ 1— 7 н । ‘II /о
duz duz dux duz
106 3-я снизу ' ' dz dx 9 * dz dx 9
172 12-я сверху n1=cpQbgeDd.
14-я » n2~daQbegd. st2=da(ib(jcgd.
„ / м \ъ „ / м \ь
16-я » №•(„)
194 1-я, 2-я сверху извлекается изливается
225 17-я сверху и ...Мут... С
251 19-я снизу ... во времени от точки ... во времени и от точки
404, 3-я снизу • • •
466 16-я сверху У=хА;
а Ь а б
505 12-я сверху ~с~1’ в ~’ г ’
521 1-я снизу • ' • ка(1~xA)lm . . • &Q (1 — xA)lnt
(2 раза) > (2 раза)
527 9-я сверху ЯЬ=Ф ^)”sc0’6.
7-я снизу _ feg _ Va~Vas kS _ у A-У AS
571 кУ xA~xAs kv Xa-*as
609 21-я сверху
\ eLeG/ \Ql—Qg)
665 6-я сверху Wt+Wt=Wt+Wt Ws+V6=Wt+Vt
689 6-я снизу - IV1 ~ _ ^DXAD - _ Wi - , WDxAD
VAi~ V2 XA1 ~ v2 VAi~ Vi XA1 h Vi
Заказ 519.
К. О. Беннетт и Дж. Е Майерс
ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛООБМЕН И МАССООБМЕН
Редакторы: Н. И. Гельперин и И. А. Чарный
Ведущий редактор Л. Н. Вронский Переплет художника А. Д. Мичурина Технический редактор В. В. Соколова Корректоры: Т. Я. Хомутова и Н. Я. Эппель
Сдано в набор 26/IV 1966 г. Подписано к печати 14/УЦ 1966 г.
Формат бумаги 60x9О1/!в> Печ. л. 45,5. Уч.-изд. л. 43,0. Бумага № 2. Тираж 3350 экз. Цена 3 р. 16 к. Заказ Кв 519/556—8. Индекс 2—4—1
Издательство «Недра». Москва, К-12, Третьяковский проезд, 1/19.
Ленинградская типография К» 14 «Красный Печатник» Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Московский проспект, 91.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „НЕДРА" ГОТОВИТ
К ВЫПУСКУ В 1966 г. НОВЫЕ КНИГИ
ПО НЕФТИ И ГАЗУ
П ПЛАТОВСКИЙ В. П. ОСНОВЫ ГИДРОМЕХАНИКИ ПЛАСТА. 18 л., т. 5000. Ц. 1 р. 10 к. (в перепл.).
В книге систематизированы и достаточно полно изложены результаты исследований фильтрации несжимаемых и упругих жидкостей в тонких проницаемых пластах. Рассмотрены новые задачи гидромеханики пласта, представляющие практический и теоретический интерес. Подробно описаны вопросы учета влияния неоднородностей пласта и потока на характер течения пластовых жидкостей, рассмотрены вопросы гидродинамической устойчивости пластовых потоков, приведены решения задач о перемещении границы раздела жидкостей.
Книга рассчитана на инженеров нефтяных промыслов, промысловых геологов, научных работников исследовательских учреждений.
МИХЕЕВ В. П. ГАЗОВОЕ ТОПЛИВО И ЕГО СЖИГАНИЕ.
18 л., т. 10 000. Ц. 83 коп. (в перепл.).
В книге рассматриваются общие свойства газового топлива, искусственные и естественные горючие газы, вопросы горения газового топлива, технические вопросы сжигания. Дается оценка и расчет газовых горелок различных типов. Описывается работа на газовом топливе котельных установок и промышленных печей, газовые коммуникации промышленных предприятий. Рассматриваются вопросы автоматизации промышленных установок на газовом топливе. Приводятся также необходимые сведения по технике безопасности.
Книга рекомендована в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся специальностям: «Промышленная теплоэнергетика», «Теплотехника», «Котельные установки и промышленные печи» «Тепло-газоснабжение и вентиляция».
Заказ на эти книги можно оформить в местных книжных магазинах. При поступлении в продажу интересующей Вас литературы Вы будете извещены.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „НЕДРА* ___________________________________________________