Информатика в техническом университете
Серия основана в 2000 году
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Информационные
технологии
в радиотехнических
системах
д-р техн. наук И.Б. Федоров — главный редактор
д-р техн. наук И. П. Норенков — зам. главного редактора
д-р техн. наук Ю.М. Смирнов — зам. главного редактора
д-р техн. наук ВВ. Девятков гтод редакцией И.Б. Федорова
д-р техн. наук В. В. Емельянов
канд. техн. наук И.П. Иванов
д-р техн. наук В.А. Матвеев Допущено Министерством образования Российской Федерации
канд. техн. наук Н В Медведев в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
п « t^vu иалпл о в г^по заведений, обучающихся по специальностям «Радиотехника»
д-р техн. наук и.о. к^юзев г» л -\
и «Радиоэлектронные системы» направления подготовки
д-р техн. наук ЬЛ. Трусов дипломированных специалистов «Радиотехника»
д-р техн. наук В.М. Черненький
д-р техн. наук В.А. Шахнов
Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2003

УДК 621.396@75.8)
ББК32
И741
Рецензенты:
кафедра «Радиотехнические системы» Спб ГЭТУ
(зав. кафедрой д-р техн. наук проф. В.М. Кутузов);
д-р техн. наук проф. Ю.Г. Сосулин
Авторы:
В.А. Васин, И.Б. Власов, Ю.М. Егоров, В.В. Калмыков, А.А. Кузнецов,
А.И. Николаев, В.Б. Пудловский, В.А. Родзивилов, Ю.Н. Себекин,
А.И. Сенин, Г.П. Слукин, И.Б. Федоров
Информационные технологии в радиотехнических системах:
И741 Учебное пособие / В.А. Васин, И.Б. Власов, Ю.М. Егоров и др.; Под
ред. И.Б. Федорова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. —
672 с: ил. — (Сер. Информатика в техническом университете.)
ISBN 5-7038-2263-7
Изложены основы статистической теории радиосистем. Рассмотрены
задачи обнаружения, различения, разрешения сигналов на фоне помех, а так-
также измерения параметров сигналов, в том числе изменяющихся за время на-
наблюдения. Сделана попытка обобщить методический подход к анализу и
синтезу основных информационных технологий для различных радиотехни-
радиотехнических систем: радиолокационных, спутниковых, радионавигационных и
систем передачи информации.
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, которые
авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки дипломированных специалистов «Радиотехни-
«Радиотехника». Может быть полезным аспирантам, работникам научно-исследователь-
научно-исследовательских организаций и промышленности, занимающихся вопросами разработки
радиотехнических систем различного назначения.
УДК 621.396@75.8)
ББК 32
© Коллектив авторов, 2003
ISBN 5-7038-2263-7 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 12
СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ 15
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 17
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 19
1.1. Роль радиотехнических систем в современном обществе 19
1.2. Классификация радиотехнических систем 20
1.3. Тактико-технические характеристики радиотехнических систем 25
1.4. Энергетические соотношения в радиотехнических системах 28
1.5. Тенденции развития радиотехнических систем 32
Контрольные вопросы 36
2. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 37
2.1. Информация, сообщение, сигналы 37
2.2. Математические модели сигналов и помех 39
2.3. Векторное представление сигналов 43
2.4. Дискретизация непрерывных сигналов 47
2.5. Преобразование непрерывных сигналов в цифровую форму 56
2.6. Сложные сигналы 59
2.6.1. Линейные рекуррентные последовательности максимальной
длины 61
2.6.2. Линейные рекуррентные последовательности немаксимальной
длины 69
2.6.3. Сегменты М-последовательностей 72
2.7. Системы сигналов 73
2.7.1. Ортогональные сигналы 75
2.7.2. Биортогональные сигналы 81
2.7.3. Симплексные сигналы 81
2.8. Моделирование сигналов и помех 83
2.8.1. Моделирование случайных величин 83
2.8.2. Моделирование случайных векторов 89
2.8.3. Моделирование гауссовских случайных процессов 94
2.8.4. Моделирование негауссовских случайных процессов 105
Контрольные вопросы 109
5

Оглавление
3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ
СИГНАЛОВ 111
3.1. Общие сведения 111
3.2. Основные положения теории статистических решений. Оптимальные
критерии 114
3.3. Обнаружение сигналов 120
3.3.1. Оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов 120
3.3.2. Обнаружение детерминированного сигнала на фоне белого шума.. 134
3.3.3. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой на фоне
белого шума 143
3.3.4. Обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной
фазой на фоне белого шума 148
3.3.5. Обнаружение пачки сигналов 151
3.4. Различение сигналов 160
3.4.1. Оптимальные алгоритмы различения сигналов 160
3.4.2. Различение двух детерминированных сигналов на фоне белого
шума 160
3.4.3. Различение т детерминированных сигналов на фоне белого шума. 168
3.4.4. Различение двух сигналов со случайной начальной фазой на фоне
белого шума 173
3.4.5. Различение т сигналов со случайной начальной фазой на фоне
белого шума 179
3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума 182
3.5.1. Обнаружение сигнала 182
3.5.2. Различение сигналов 190
3.6. Обнаружение сигналов в условиях априорной неопределенности 192
Контрольные вопросы 198
4. РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ 200
4.1. Понятие о разрешении сигналов 200
4.2. Функция рассогласования (неопределенности) в теории разрешения 203
4.2.1. Общие сведения о функции рассогласования 203
4.2.2. Время-частотные функции рассогласования 205
4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов 209
4.3.1. Сигналы без внутриимпульсной модуляции 209
4.3.2. Частотно-модулированные сигналы 214
4.4. Сигналы, обеспечивающие высокие разрешающие способности по
времени запаздывания и частоте 220
4.4.1. Особенности выбора время-частотных функций рассогласования... 220
4.4.2. Фазоманипулированные сигналы 221
4.5. Угло-поляризационные функции рассогласования 225
4.6. Согласованное и оптимальное разрешения сигналов 227
Контрольные вопросы 230
5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 231
5.1. Общие сведения 231
6

Оглавление
5.1.1.Измерение случайных параметров 233
5.1.2. Измерение неслучайных параметров 236
5.1.3. Особенности многократного измерения случайных параметров 237
5.2. Измерение параметров радиолокационных сигналов 238
5.2.1. Неследящие измерители дальности 240
5.2.2. Неследящие измерители скорости 241
5.2.3. Совместное измерение запаздывания и доплеровского сдвига
частоты 242
5.3. Следящие измерители дальности и доплеровского сдвига частоты 245
5.4. Измерение угловых координат 252
5.4.1. Многоканальные измерители угловых координат 253
5.4.2. Одноканальные измерители угловых координат 255
5.4.3. Дискриминаторные методы измерения угловых координат 257
5.5. Точность измерения параметров 261
Контрольные вопросы 267
6. ОСНОВЫ ВТОРИЧНОЙ ОБРАБОТКИ РАДИОЛОКАЦИОННОЙ
ИНФОРМАЦИИ 269
6.1. Общие сведения 269
6.1.1. Основные понятия и история вопроса 269
6.1.2. Основные операции вторичной обработки 274
6.2. Модели целевой и помеховой обстановки 280
6.2.1. Модели движения целей 280
6.2.2. Модели отсчетов 287
6.3. Оценка траекторных параметров по фиксированной выборке.
Экстраполяция траекторных параметров 292
6.4. Рекуррентная оценка траекторных параметров 301
6.4.1. Основные соотношения калмановской фильтрации 301
6.4.2. Стационарный режим калмановского фильтра 306
6.4.3. Состоятельность калмановского фильтра 307
6.4.4. (а-Р)-фильтры 311
6.4.5. Расширенный фильтр Калмана 313
6.5. Селекция отсчетов 316
6.5.1. Селекция отсчетов методом стробирования 320
6.5.2. Алгоритм селекции отсчетов по минимальному отклонению от
центра строба 323
6.5.3. Алгоритмы сопоставления и привязки отсчетов к траекториям в
многоцелевой ситуации 325
6.6. Обнаружение траекторий 327
6.6.1. Общие положения 327
6.6.2. Вероятность ложного обнаружения траектории 330
6.6.3. Вероятность правильного обнаружения траектории 334
6.7. Завязка траекторий 336
Контрольные вопросы 339

Оглавление
7. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В РАДИОЛОКАЦИОННЫХ
СИСТЕМАХ 341
7.1. Принципы построения радиолокационных систем 341
7.1.1. Задачи и условия функционирования радиолокационных систем.... 341
7.1.2. Принципы получения радиолокационной информации и
построения радиолокационных систем 344
7.2. Классификация радиолокационных систем 349
7.3. Тактико-технические характеристики радиолокационных систем 351
7.3.1. Тактические характеристики РЛС 351
7.3.2. Технические характеристики РЛС 353
7.4. Обобщенная структурная схема радиолокационных систем 357
7.4.1. Основные системы для получения радиолокационной
информации 357
7.4.2. Дополнительные системы 361
7.5. Формирование отраженного радиолокационного сигнала 363
7.5.1. Вторичное излучение электромагнитных волн. Эффективная
площадь рассеяния целей 363
7.5.2. Эффективная площадь рассеяния при различных соотношениях
размеров цели и длины волны 365
7.5.3. Характер вторичного излучения и эффективная площадь
рассеяния радиолокационных целей 371
7.5.4. Формирование отраженного радиолокационного сигнала для
различных моделей целей 375
7.6. Особенности обработки радиолокационных сигналов на фоне
стационарного аддитивного гауссовского белого шума 3 82
7.6.1. Общие сведения о современных методах обработки 382
7.6.2. Обработка одиночных и пачечных импульсных сигналов без
внутриимпульсной модуляции 384
7.6.3. Обработка частотно-модулированных радиоимпульсов 387
7.6.4. Обработка фазоманипулированных радиоимпульсов 394
7.7. Основные виды помех активной радиолокации 397
7.7.1. Естественные и взаимные маскирующие активные помехи и
принципы защиты от них 398
7.7.2. Искусственные маскирующие активные помехи, особенности их
воздействия и способы создания 400
7.7.3. Уравнение радиолокации, дальность действия и зоны видимости
РЛС при воздействии маскирующих стационарных активных
помех 402
7.7.4. Пассивные маскирующие помехи и способы их создания 405
7.8. Методы защиты от маскирующих активных помех 407
7.8.1. Основные направления защиты РЛС от маскирующих активных
помех 408
7.8.2. Методы некогерентной и когерентной компенсации помех 410
7.8.3. Практические схемы автокомпенсаторов 413
7.9. Методы защиты от пассивных маскирующих помех 422
8

Оглавление
7.9.1. Основные различия сигналов целей и пассивных маскирующих
помех 422
7.9.2. Оптимальное обнаружение сигнала на фоне пассивной помехи в
виде стационарного небелого шума 426
7.9.3. Череспериодное вычитание — способ создания гребенчатых
фильтров подавления 431
7.10. Методы стабилизации уровня ложных тревог 436
7.11. Основные характеристики некоторых современных РЛС 440
7.11.1. Радиолокационные станции управления воздушным движением... 440
7.11.2. Радиолокационные станции обнаружения, наведения и
целеуказания на средних и больших высотах 441
7.11.3. Радиолокационные станции обнаружения маловысотных целей.... 442
7.11.4. Радиолокационные станции наведения зенитных управляемых
ракет 443
7.11.5. Радиолокационные станции и комплексы разведки на поле боя 444
7.11.6. Радиолокационные станции подповерхностного зондирования 445
7.11.7. Радиолокационные станции противоракетной обороны 445
7.11.8. Корабельные РЛС 446
7.11.9. Авиационные (самолетные) РЛС 446
Контрольные вопросы 447
8. СПУТНИКОВЫЕ РАДИОНАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА ИХ ОСНОВЕ 449
8.1. Введение 449
8.2. Основные принципы построения и функционирования СРНС 455
8.2.1. Обобщенная структурная схема СРНС 455
8.2.2. Подсистема НКА 457
8.2.3. Контрольно-измерительный комплекс 461
8.3. Структура сигналов и сообщений СРНС 464
8.3.1. Структура навигационных сигналов и навигационных сообщений
ГЛОНАСС 464
8.3.2. Структура навигационных сигналов и навигационных сообщений
GPS 469
8.4. Методы измерения навигационных параметров 470
8.4.1. Основные понятия 470
8.4.2. Методы определения координат по сигналам НКА 471
8.5. Навигационная аппаратура потребителя 477
8.5.1. Обобщенная структурная схема АП 477
8.5.2. Структура информационного обмена между элементами АП 479
8.5.3. Принципы и устройства первичной обработки навигационной
информации 481
8.5.4. Поиск сигналов по задержке и частоте 482
8.5.5. Фильтрация радионавигационных параметров и дешифрация
навигационной информации 484
8.5.6. Вторичная обработка навигационной информации 486

Оглавление
8.6. Точность навигационно-временных определений в СРНС 490
8.6.1. Погрешности, вносимые на НКА или КИК СРНС 490
8.6.2. Погрешности, вносимые на трассе распространения сигнала от
НКАдоАП 491
8.6.3. Погрешности аппаратуры потребителей 493
8.6.4. Геометрический фактор 494
8.7. Дифференциальная коррекция и относительные измерения в СРНС 496
8.7.1. Принцип дифференциальной коррекции 497
8.7.2. Параметры корректирующей информации 498
8.7.3. Прямой и инверсный ДМ 499
8.7.4. Методы относительных измерений 500
8.8. Угломерная навигационная аппаратура 503
8.8.1. Параметры угловой ориентации объектов 504
8.8.2. Принцип определения угловой ориентации объектов по сигналам
СРНС 505
8.8.3. Радиоинтерферометрический метод измерения угловых
координат 506
8.8.4 Методы разрешения фазовой неоднозначности при
интерферометрических измерениях в спутниковой навигации 509
8.8.5. Факторы, ограничивающие точность угломерной АП СРНС 510
8.8.6. Особенности реализации угломерной АП 512
8.9. Информационные технологии на основе СРНС 516
8.9.1. Функциональные дополнения СРНС 517
8.9.2. Транспортные информационно-управляющие системы,
использующие сигналы СРНС 521
8.9.3. Вторичные эталоны времени и частоты на основе АП СРНС 524
8.9.4. Использование СРНС в геодезии и для мониторинга деформации
земной поверхности 525
8.9.5. Комплексированные системы навигации 526
Контрольные вопросы 527
9. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ.. 529
9.1. Структурная схема и основные характеристики цифровых
радиотехнических систем передачи информации 529
9.2. Каналы связи 533
9.3. Модели каналов связи 537
9.3.1. Физическая модель непрерывного канала связи 537
9.3.2. Математическая модель непрерывного канала связи 546
9.3.3. Математические модели дискретных каналов связи 548
9.4. Передача и прием дискретных сообщений 551
9.4.1. Модуляция и демодуляция. Модемы 551
9.4.2. Передача и прием дискретных сообщений в каналах с
замираниями 557
9.4.3. Передача и прием дискретных сообщений в каналах с небелым
шумом 564
10

Оглавление
9.5. Помехоустойчивое кодирование и декодирование 571
9.5.1. Принципы построения кодеков 571
9.5.2. Линейные блочные коды 576
9.5.3. Непрерывные (сверточные) коды 589
9.5.4. Сигнально-кодовые конструкции. Прием сигналов в целом 598
9.6. Многоканальные и многоадресные системы 601
9.6.1. Принципы многостанционного доступа 601
9.6.2. Системы с временным разделением 604
9.6.3. Системы с частотным разделением 607
9.6.4. Асинхронные адресные системы 608
9.7. Синхронизация в системах передачи дискретной информации 616
9.7.1. Принципы построения и основные характеристики систем
синхронизации 616
9.7.2. Фазовая синхронизация модемов 621
9.7.3. Тактовая синхронизация модемов 628
9.7.4. Цикловая и кадровая синхронизация 631
9.7.5. Синхронизация модемов с широкополосными сигналами 637
9.8. Перспективные системы передачи информации 641
9.8.1. Системы наземной подвижной связи 641
9.8.2. Системы подвижной спутниковой связи 652
Контрольные вопросы 659
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 661
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 663
11

К175-летию МГТУ имени Н.Э. Баумана
ПРЕДИСЛОВИЕ
Двадцатое столетие было веком зарождения и бурного развития ра-
радиотехнических систем (РТС), без которых невозможно представить повсе-
повседневную деятельность и развитие человеческого общества. Радиотехниче-
Радиотехнические системы широко используют практически во всех сферах государст-
государственного управления, в промышленности, на транспорте и в связи, в сельском
хозяйстве, в сфере образования, науки, культуры и других областях.
Изучение современных информационных технологий в РТС является
важным этапом вузовской подготовки радиоинженера. Однако в последнее
время такая подготовка встречает определенные трудности, основными из
которых являются следующие.
Количество радиотехнических систем, различных по виду и назначе-
назначению, непрерывно растет. Например, для передачи информации используют
системы тропосферной, радиорелейной, спутниковой и сотовой связи, сис-
системы радиовещания и телевидения, радиотелеметрические системы, систе-
системы передачи команд и др. Системы извлечения информации включают: ра-
радиолокационные и навигационные, дистанционного зондирования окру-
окружающей среды, разведки ископаемых и состояния поверхности Земли,
радиотехнической разведки и др. Непосредственное изучение по отдельно-
отдельности каждой системы не всегда оправдано.
Информационные технологии, применяемые в РТС, интенсивно раз-
развиваются, особенно в течение последних 10—15 лет. Широкое применение
цифровых методов формирования и обработки сигналов, использование ин-
интегральной и функциональной электроники, гибридных интегральных схем,
твердотельных СВЧ-устройств позволяют существенно расширить возмож-
возможности РТС, увеличить объем перерабатываемой и используемой информа-
информации и многообразие решаемых задач. В последнее время разработаны и ис-
используются адаптивные РТС, которые могут приспосабливаться к внешней
помеховой и целевой обстановке, к условиям распространения радиоволн
и т. д. Все это не нашло должного отражения в учебниках и учебных посо-
пособиях для технических вузов.
Работ, посвященных применению информационных технологий в со-
современных и перспективных РТС, достаточно много. Однако большинство
из них опубликовано в журнальных и ведомственных изданиях. В силу ог-
12

Предисловие
раниченного тиража они мало доступны студенту вуза или начинающему
инженеру.
Создание единого учебника или учебного пособия, в котором были бы
охвачены все стороны РТС, затруднительно. Однако основные информацион-
информационные технологии для большого класса систем являются общими. Настоящее
учебное пособие посвящено изложению этих информационных технологий.
Оно предназначено в какой-то мере восполнить перечисленные пробелы.
В основу книги положены материалы лекций, которые авторы читают
в течение многих лет студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана; ранее опублико-
опубликованные учебные пособия и оригинальные работы авторов; результаты науч-
научно-исследовательских работ в области РТС различного назначения, выпол-
выполненных с участием авторов; материалы научно-технических семинаров сек-
секции «Информационные технологии в радиолокации» Научного совета
«Новые информационные технологии» Отделения информатики, вычисли-
вычислительной техники и автоматизации РАН, проводимых в МГТУ им. Н.Э. Бау-
Баумана под руководством проф. И.Б. Федорова; работы отечественных и зару-
зарубежных специалистов, приведенные в списке литературы.
При написании глав 4 и 7 с любезного разрешения Я.Д. Ширмана ис-
использованы материалы справочника «Радиоэлектронные системы: основы
построения и теория» / Я.Д. Ширман, Ю.П. Лосев, Н.Н. Минервин и др.;
Под ред. Я.Д. Ширмана. - М.: ЗАО «Маквис», 1998.
Пособие соответствует программам учебных дисциплин: «Статистиче-
«Статистическая теория радиотехнических систем» (направление подготовки дипломиро-
дипломированных специалистов 654200 «Радиотехника», специальность 20.07.00 «Радио-
«Радиотехника»), «Радиолокационные системы», «Радионавигационные системы»,
«Радиосистемы передачи информации» (направление подготовки дипломиро-
дипломированных специалистов 654200 «Радиотехника», специальность 20.16.00 «Радио-
«Радиоэлектронные системы»). Оно может быть использовано при изучении курсов
специализации по системам радиоуправления, вторичной и третичной обработ-
обработке радиолокационных сигналов, средствам радиоэлектронной защиты и др.
Учебное пособие состоит из девяти глав. Глава 1 является вводной. В
ней обсуждается роль радиотехнических систем в современном обществе и
тенденции развития радиотехнических систем, приводится классификация
РТС, рассматриваются тактико-технические характеристики, энергетиче-
энергетические соотношения в таких системах.
В главах 2—6 изложены вопросы статистической теории радиотехни-
радиотехнических систем: основы теории статистических решений, обнаружение, раз-
различение и разрешение сигналов, а также измерение параметров сигналов, в
том числе изменяющихся за время наблюдения.
Последние три главы G—9) посвящены современным информацион-
информационным технологиям, которые применяются в трех важнейших видах РТС: ра-
13

Предисловие
диолокационных системах, спутниковых радионавигационных системах и
системах передачи информации.
Главы 1—3 написаны А.И. Сениным, А.А. Кузнецовым и И.Б. Федо-
Федоровым, глава 4 — А.И. Николаевым, глава 5 — В.А. Родзивиловым,
А.И. Николаевым и Ю.М. Егоровым, глава 6 — И.Б. Федоровым и
Г.П. Слукиным, глава 7 — А.И. Николаевым, глава 8 — И.Б. Власовым и
В.Б. Пудловским, глава 9 — В.А. Васиным, В.В. Калмыковым, Ю.Н. Себе-
киным, А.И. Сениным и И.Б. Федоровым. Общее редактирование выполне-
выполнено И.Б. Федоровым.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам проф.
Ю.Г. Сосулину и коллективу кафедры «Радиотехнические системы»
Спб ГЭТУ (зав. кафедрой проф. В.М. Кутузов) за полезные замечания и
многочисленные советы, которые были учтены авторами.
Будем признательны читателям за все замечания по содержанию кни-
книги, которые следует направлять по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская
ул., 5. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Авторы

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ
ААС — асинхронные адресные системы
AM — амплитудная модуляция (манипуляция)
АП — аппаратура потребителя
АПВ — апостериорная плотность вероятности
АС — абонентская станция
АЦП — аналого-цифровой преобразователь
БС — базовая станция
ВКФ — взаимная корреляционная функция
ВО — вторичная обработка
ГЦСК — геоцентрическая система координат
ДК — дифференциальная коррекция
ДМ — дифференциальный метод
ДН — диаграмма направленности
ЗС — земная станция
ИКМ — импульсно-кодовая модуляция
КИК — контрольно-измерительный комплекс
КФ — корреляционная функция
ЛРП — линейная рекуррентная последовательность
ЛЧМ — линейная частотная модуляция
МДВР — многостанционный доступ с временным разделением
МДКР — многостанционный доступ с кодовым разделением
МДПР — многостанционный доступ с пространственным разделением
МДЧР — многостанционный доступ с частотным разделением
МСД — многостанционный доступ
НВО — навигационно-временные определения
НИ — навигационная информация
НКА — навигационный космический аппарат
ИКС — непрерывный канал связи
НП — навигационный параметр
НС — навигационное сообщение
ОП — отношение правдоподобия
ОФ — обеляющий фильтр
ОФМ — относительная фазовая модуляция (манипуляция)
ПРЧ — перестройка рабочей частоты
15

Список основных сокращений
ПСП — псевдослучайная последовательность
РЛИ — радиолокационная информация
РЛС — радиолокационная система (станция)
РНП — радионавигационный параметр
РПН — радиолокатор подсвета и наведения
РТР — ретранслятор
РТС — радиотехническая система
РЭС — радиоэлектронная система
СВЧ — сверхвысокочастотный (диапазон)
СДЦ — селекция движущихся целей
СКО — среднеквадратическое отклонение
СПИ — система передачи информации
СРНС — спутниковая радионавигационная система
ССПС — сотовая система подвижной связи
СФ — согласованный фильтр
ТЦСК — топоцентрическая система координат
ФАП — фазовая автоподстройка
ФАПЧ — фазовая автоподстройка частоты
ФАР — фазированная антенная решетка
ФМ — фазовая модуляция (манипуляция)
ЦАП — цифро-аналоговое преобразование
ЦС — центральная станция
ЧАП — частотная автоподстройка
ЧМ — частотная модуляция (манипуляция)
ЧПВ — череспериодное вычитание
ШВ — шкала времени
ЭИ — эфемеридная информация
ЭПР — эффективная площадь рассеяния
GPS — (Global Positioning System) — глобальная система местоопределения
GSM — (Global System for Mobile Communication) — глобальная система мобиль-
мобильной связи
16

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
в
с
D
Dx
d
Е
Fc
FR
Fm
F{')
f
A/
G
— база сигнала
— скорость света
— вероятность правильного обнаружения
— дисперсия случайной величины х
— кодовое расстояние
— энергия сигнала
— ширина спектра сигнала
— доплеровская частота
— вероятность ложной тревоги
— функция распределения
— частота
— полоса пропускания
— коэффициент усиления антенны
G(/), G(co) — спектральная плотность мощности процесса
#о — гипотеза
Я] — альтернативная гипотеза
h2 = EI Nq — отношение энергии сигнала Е к односторонней спектральной
плотности мощности белого шума No
h(i) — импульсная характеристика
h — высота
K(j(o) — комплексная частотная характеристика
1{и) — отношение функций правдоподобия
М{*} — операция вычисления математического ожидания
N(f) — спектральная плотность мощности помехи
n(t) — помеха
р — вероятность
Л>ш — средняя вероятность ошибки
Рс — мощность сигнала
Лтер — мощность передатчика
Рш — мощность шума
д' — отношение сигнал—шум
г — расстояние
R — скорость передачи информации

Список основных обозначений
ям
sit)
тп
тс
t
u{f)
vr
W(')
xit)
p
E
X
5@
a
a2
T
0)
Щ.)
П
— корреляционная функция случайного процесса nit)
— нормированная корреляционная функция случайного процесса «(/)
— коэффициент взаимной корреляции
— полезный сигнал
— период повторения импульсов
— длительность сигнала
— время
— входной сигнал
— радиальная скорость
— плотность распределения вероятностей
— сигнал
— азимут цели
— угол места цели
— длина волны
— дельта-функция
— эффективная площадь рассеяния цели
— среднеквадратическое отклонение
— дисперсия гауссовского случайного процесса
— временная задержка
— круговая частота
— функция потерь
— плотность потока мощности
18

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Показана роль радиотехнических систем в современном обществе, дана их
классификация по назначению, характеру сообщений, используемым диапа-
диапазонам частот и модулируемому параметру сигналов. Приведены тактико-
технические характеристики радиотехнических систем и энергетические
соотношения в таких системах. Рассмотрены тенденции развития радио-
радиотехнических систем.
1.1. Роль радиотехнических систем в современном обществе
По мере развития человеческого общества возникают все большие
требования к быстрому обмену информацией, ее извлечению, обработке и
накоплению. Рост объема производства сопровождается увеличением но-
номенклатуры изделий, углублением специализаций и т. п. При этом потреб-
потребность в обмене информацией растет пропорционально квадрату коэффици-
коэффициента расширения производства. Необходимость обмена информацией в хо-
хозяйственной сфере возрастает ежегодно примерно на 10... 15 %. Управление
хозяйственной деятельностью в масштабах предприятий, объединений и
отраслей, а также государства в целом также невозможно без обмена ин-
информацией.
С развитием транспорта, особенно воздушного и морского, возникает
необходимость более интенсивного обмена информацией о погоде, заявках,
получении сведений о местоположении и движении самолетов и кораблей.
Повышение благосостояния и культурного уровня человечества при-
привело к тому, что потребность в обмене информацией между людьми возрас-
возрастает быстрее, чем увеличивается численность населения. Решение задачи
обеспечения информационных потребностей общества возлагается на сис-
системы и аппаратуру передачи, извлечения, обработки и накопления инфор-
информации. Грандиозные успехи в развитии общества были бы немыслимы без
этих технических средств, к которым, в первую очередь, относятся различ-
различные радиотехнические системы (РТС).
19

1. Общие сведения о радиотехнических системах
Радиосвязь снабжает информацией все области хозяйственной дея-
деятельности человека и личные потребности людей. Радиовещание и телеви-
телевидение обеспечивают доставку последних известий, культурный досуг, обра-
образование и многое другое вне зависимости от расстояний. Радиолокация и ра-
радионавигация используются почти во всех видах транспорта. Без РТС не
было бы современных авиации и морского флота.
Радиотехнические системы применяются в различных научных иссле-
исследованиях, медицине, метрологии, геологии, физике. В настоящее время ни
одна экспериментальная наука не обходится без сложных и уникальных ра-
радиоэлектронных установок при проведении физических и медико-
биологических исследований. Широкое распространение получили РТС ис-
исследования космического пространства.
Трудно назвать область человеческой деятельности, которая не была
бы связана с радиоэлектроникой. Без радиоэлектроники прогресс общества
был бы невозможен.
1.2. Классификация радиотехнических систем
Классификация радиотехнических систем по назначению. Клас-
Классифицировать РТС можно по различным признакам. Основное назначение
РТС состоит в предоставлении информации потребителю, поэтому в качест-
качестве основного признака при их классификации обычно используют содержа-
содержание информации или назначение системы.
Исходя из этого можно указать следующие основные типы систем:
передачи информации (СПИ), извлечения информации, радиоуправления,
разрушения информации и комбинированные системы [1—4].
Системы передачи информации. Характерной особенностью таких
систем является наличие отправителя и получателя информации. На стороне
отправителя сообщения преобразуются в радиосигналы, которые затем пе-
передаются по линии связи к получателю информации, где из принятых сиг-
сигналов выделяется сообщение.
Структурная схема простейшей СПИ (рис. 1.1) состоит из источни-
источников сообщений (ИС), выдающих первичные сигналы; формирователя
группового сигнала (ФГС), объединяющего несколько первичных сигна-
сигналов; модулятора (М), предназначенного для формирования радиосигнала;
радиопередающего устройства (РПУ); линии связи (ЛС), по которой ра-
радиосигнал передается к получателю сообщений; радиоприемного устрой-
устройства (РПрУ), осуществляющего усиление и преобразование принятого
сигнала; демодулятора (ДМ), выделяющего групповой сигнал; устройст-
устройства разделения сигналов (УРС), предназначенного для разделения сигна-
20

1.2. Классификация радиотехнических систем
Рис. 1.1. Упрощенная структурная схема радиосистемы передачи информации
лов и выделения сообщений, которые затем поступают к получателям
сообщений (ПС).
В линии связи на радиосигналы действуют различного рода помехи:
внутрисистемные, обусловленные излучением передатчиков, работающих
совместно с данной СПИ в составе сети связи; помехи от других РТС, рабо-
работающих на близких частотах; атмосферные, космические, организованные
помехи, а также помехи, возникающие в аппаратуре.
По назначению различают следующие РТС передачи информации:
системы радиосвязи, системы радиосвязи между подвижными объектами,
системы радиорелейной связи, спутниковые системы связи, системы радио-
радиовещания и телевидения, радиотелеметрические системы, системы передачи
команд и др.
Радиотехнические системы извлечения информации. Характерной
особенностью систем рассматриваемого класса является то, что полезная
информация отображается в радиосигнале либо в процессе его распростра-
распространения и отражения радиоволн, либо при не зависимом от рассматриваемой
системы формировании и излучении радиоволн (естественных излучениях
объектов, излучениях радиосредств противника и т. п.).
К системам извлечения информации относятся:
— радиолокационные системы (РЛС), за исключением РЛС с актив-
активным ответом;
— радионавигационные системы (РНС);
— системы дистанционного зондирования окружающей среды;
— системы разведки радиотехнических средств противника и др.
На рис. 1.2 представлена упрощенная структурная схема ра-
радиолокационной системы, состоящей из радиопередающего устройства
(РПУ); антенны (Ai), излучающей радиоволны, направленные на цель (Ц); ан-
антенны (А2), принимающей отраженный от цели сигнал; радиоприемного
устройства (РПрУ), которое обрабатывает принятый сигнал; измерительно-
индикаторного устройства (ИИУ), осуществляющего выделение информа-
информации о параметрах движения цели.
21

1. Общие сведения о радиотехнических системах
Рис. 1.2. Упрощенная структурная схема ра-
радиолокационной системы
Извлечение информации
происходит при действии как
внутрисистемных помех, так и
помех от сторонних радио-
радиосредств, в том числе и специаль-
специально создаваемых с целью подав-
подавления радиосредств.
Системы радиоуправления.
Системы этого класса предна-
предназначены для управления движе-
движением различного рода подвиж-
подвижных объектов (ракет, искусственных спутников Земли (ИСЗ), космических
аппаратов, самолетов, кораблей и т. п.). Характерной их особенностью явля-
является органическая связь радиотехнической части систем с управляемым
объектом и зависимость выделяемой информации от выходных эффектов
системы.
На рис. 1.3 изображена структурная схема системы самонаведения ра-
ракеты на цель (Ц). Она состоит из радиотехнического звена (РЗ), предназна-
предназначенного для выявления соотношения между пространственным положением
и движением цели и ракеты, а также для выдачи команд управления на ав-
автопилот (АП), который управляет рулями; динамического звена (ДЗ), отоб-
отображающего реакцию ракеты на управляющее воздействие; кинематического
звена (КЗ), определяющего связь положения и движения ракеты в простран-
пространстве с изменениями ее положения и движения относительно цели. Инфор-
Информация о цели /ц и ракете /р обрабатывается в РЗ. На систему действует поме-
помеха n{t).
Системы разрушения информации. Системы этого класса предназна-
предназначены для противодействия радиотехническим средствам противника. Они
создают помехи нормальной работе подавляемой системы излучением ме-
мешающего сигнала.
Комбинированные системы. К этим системам относятся, например,
РЛС с активным ответом. Они выполняют функции извлечения и передачи
информации.
Рассмотренная класси-
классификация РТС не является
строгой. Реальные системы
могут сочетать функции сис-
систем различных классов. Так,
в систему радиоуправления
входят системы извлечения
информации (радиолокаци-
22
Рис. 1.3. Упрощенная структурная схема систе-
системы радиоуправления

1.2. Классификация радиотехнических систем
онные и радионавигационные) и передачи информации (радиотелеметрии,
передачи команд и др.).
Классификация радиотехнических систем по характеру сообще-
сообщений. В различных устройствах РТС (преобразователе сообщения в электри-
электрический сигнал, передатчике, модуляторе, демодуляторе) на стадиях переда-
передачи, извлечения, обработки и накопления информации используют различ-
различные виды сигналов.
В зависимости от характера сообщений и применяемых сигналов раз-
различают непрерывные, импульсные и цифровые РТС.
В непрерывных системах на основных этапах преобразования сооб-
сообщения имеют непрерывный характер и отображаются в непрерывные изме-
изменения одного или нескольких параметров радиосигнала. К таким системам
относят системы радиовещания и телевидения, некоторые типы навигаци-
навигационных систем и ряд других.
В импульсных РТС информация содержится в изменениях параметров
импульсных радиосигналов. Типичными представителями таких систем яв-
являются импульсные радиолокационные системы, системы передачи инфор-
информации с импульсной модуляцией и др.
В цифровых РТС сообщения отображаются в кодовые комбинации.
Число различных символов, из которых состоят кодовые комбинации, назы-
называется основанием кода. Различные символы кодовой комбинации переда-
передаются соответствующими радиосигналами.
Классификация радиотехнических систем по используемым час-
частотам. Радиотехнические системы могут работать в диапазоне от 3 кГц до
300 ГГц. Несущая частота имеет большое значение для свойств и возможно-
возможностей РТС. Она существенно влияет на распространение, отражение и рас-
рассеяние радиоволн. Поэтому весь диапазон частот разделен на участки, каж-
каждый из которых имеет свои особенности (табл. 1.1).
Мириаметровые волны проникают в глубь почвы и воды, огибают
Землю, отражаются от ионосферы днем и ночью, огибают, не отражаясь,
обычные объекты.
Километровые волны поглощаются в Земле и частично огибают ее,
отражаются от ионосферы ночью, огибают, не отражаясь, обычные объекты.
Гектометровые волны поглощаются в Земле, интенсивно отражаются
от ионосферы ночью, огибают, не отражаясь, обычные объекты.
Декаметровые волны сильно поглощаются в Земле, избирательно от-
отражаются от ионосферы, слабо отражаются от обычных объектов.
Метровые волны очень сильно поглощаются в Земле, не отражаются
от ионосферы, распространяются в пределах прямой видимости, интенсивно
отражаются от обычных объектов.
23

1. Общие сведения о радиотехнических системах
Таблица 1.1
Диапазон
радиочастот
З...ЗО кГц
30...300 кГц
0,3...3 МГц
З...ЗО МГц
ЗО...ЗО0 МГц
ЗО0...30ОО МГц
3...30ГГЦ
ЗО...ЗОО ГГц
Длина
волны
10...100КМ
1...10км
100... 1000 м
10...100М
1...10М
0,1...1м
1...10см
0,1...10 см
Название диапазона
радиочастот
Очень низкие частоты
(ОНЧ)
Низкие частоты (НЧ)
Средние частоты (СЧ)
Высокие частоты (ВЧ)
Очень высокие частоты
(ОВЧ)
Ультравысокие частоты
(УВЧ)
Сверхвысокие частоты
(СВЧ)
Крайне высокие час-
частоты (КВЧ)
Название диапазона
радиоволн
Мириаметровые
волны
Километровые
волны
Гектометровые
волны
Декаметровые
волны
Метровые
волны
Дециметровые
волны
Сантиметровые
волны
Миллиметровые
волны
Дециметровые волны распространяются только в пределах прямой
видимости, интенсивно отражаются от обычных объектов. Легко достигает-
достигается направленность излучения и приема.
Сантиметровые волны распространяются только в пределах прямой
видимости, интенсивно отражаются от объектов. Легко достигается высокая
направленность излучения и приема.
Миллиметровые волны сильно поглощаются в атмосфере. Легко дос-
достигается очень высокая направленность излучения и приема.
Наиболее часто в РТС применяются диапазоны ОВЧ, УВЧ и СВЧ. Ра-
Радиоволны этих диапазонов частот интенсивно отражаются от объектов, антен-
антенны компактны и обеспечивают высокую направленность излучения и приема.
Следует отметить, что использование того или иного диапазона ра-
радиочастот для систем различных назначений, а также ширина спектра
частот, отводимого системе, регламентированы Международной комис-
комиссией распределения радиочастот (МКРР). Эти ограничения влияют на
выбор вида радиосигнала и построение РТС и, в конечном счете, на ее
характеристики.
Классификация радиотехнических систем по модулируемому па-
параметру радиосигнала. Радиотехнические системы извлечения информа-
информации в зависимости от информационного параметра подразделяют на ампли-
амплитудные, фазовые и частотные. К первым относятся, например, системы оп-
определения направления прихода радиоволн с помощью направленных
24

1.3. Тактико-технические характеристики радиотехнических систем
антенн; ко вторым — фазовые радионавигационные системы; к третьим —
доплеровские системы измерения радиальной скорости.
В радиотехнических системах передачи информации сигналы форми-
формируются путем изменения тех или иных параметров переносчика информа-
информации по закону передаваемых сообщений. Процесс изменения параметров
переносчика информации принято называть модуляцией, если передаваемые
сообщения непрерывные, и манипуляцией, если передаваемые сообщения
цифровые. В случае, когда переносчиком является гармоническое колеба-
колебание, модулирующими параметрами могут быть его амплитуда, частота и
фаза. Различают непрерывные РТС передачи информации с амплитудной
(AM), частотной (ЧМ) и фазовой (ФМ) модуляциями.
В импульсной РТС передачи информации модулируемыми параметрами
могут являться амплитуда импульса, его длительность, частота следования и
фаза (положение относительно точки отсчета), число импульсов, а также ком-
комбинация импульсов и пауз, определяющих код. Соответственно, различают
РТС передачи информации с амплитудно-импульсной (АИМ), широтно-
импульсной (ШИМ), частотно-импульсной (ЧИМ), фазоимпульсной (ФИМ),
импульсно-кодовой (ИКМ) модуляциями. Возможны и другие виды систем.
В цифровых РТС передачи информации применяются относительно
фазовая (ОФМ), частотная (ЧМ), амплитудная (AM) манипуляции и другие
более сложные виды.
Приведенная классификация позволяет выявить особенности РТС и
учесть их при проектировании.
1.3. Тактико-технические характеристики
радиотехнических систем
Характеристики РТС можно разделить на тактические, определяю-
определяющие назначение и практические возможности системы (зона действия, раз-
разрешающая способность, точность, помехоустойчивость, пропускная способ-
способность, электромагнитная совместимость и др.), и технические, определяю-
определяющие основные устройства систем (значение и стабильность частоты
несущей, вид и параметры модуляции, используемых колебаний, диаграммы
направленности антенн, мощность передатчика, чувствительность приемни-
приемника и др.) [1—4].
Технические параметры характеризуют средства, необходимые для
обеспечения заданных тактических параметров. Отклонение любого техни-
технического параметра от номинального значения оказывает влияние на те или
иные тактические параметры, что может вызвать их выход за пределы уста-
установленных допусков (отказ системы).
25

1. Общие сведения о радиотехнических системах
Рассмотрим основные характеристики РТС.
Зона действия РТС — область пространства, в пределах которой воз-
возможны передача, извлечение или разрушение информации, либо область, в
пределах которой возможно управление объектом. В сферической системе
координат эта область ограничивается минимальной и максимальной даль-
дальностями и предельными значениями углов азимута и места. Иногда область
действия приходится рассматривать в многомерном фазовом пространстве,
координатами которого являются дальность, углы азимута и места, а также
скорость и ускорение. Подобная ситуация встречается, в частности, в РТС
управления, нормально функционирующих лишь при условии, что скорость и
ускорение цели не превышают некоторых заданных значений.
Другим примером могут служить доплеровские РЛС, в которых обна-
обнаружение движущихся целей на фоне малоподвижных и неподвижных отра-
отражателей осуществляется благодаря различию их скоростей движения. По-
Поэтому четвертой координатой, определяющей зону действия РЛС, является
радиальная скорость цели.
Для РТС передачи информации зона действия ограничена только
дальностью достоверного приема, которая в настоящее время измеряется
сотнями миллионов километров (системы связи с космическими аппаратами).
Для РЛС зона действия ограничивается максимальной дальностью обна-
обнаружения с заданной вероятностью, минимальной дальностью, определяемой
так называемой «мертвой зоной», и предельными углами азимута и места, оп-
определяемыми диаграммой направленности антенны и границами сканирования.
Разрешающая способность — свойство РТС разделять и независимо
воспринимать информацию, заключенную в радиосигналах, мало отличаю-
отличающихся друг от друга значениями одного или нескольких параметров, напри-
например сдвигами по частоте, задержке и направлению прихода радиоволн.
Точность получаемой информации — степень искажения информации
(величина ошибки) при определенных характеристиках сообщений, помехо-
вой обстановки, дальностях, условиях эксплуатации.
Если извлекается информация о некоторой изменяющейся величине,
принимающей конечное число значений, то качество системы целесообраз-
целесообразно характеризовать вероятностью ошибки. Это имеет место, например, в
РТС передачи дискретных сообщений.
В РТС передачи аналоговых сообщений и во многих РТС извлечения
информации ошибка имеет непрерывный характер и качество системы целе-
целесообразно определять величиной ошибки.
Различают систематические ошибки и случайные. Систематические
ошибки обусловливаются известными и закономерными факторами. Поэто-
Поэтому их можно оценить расчетным путем или экспериментально, а затем
учесть при проведении измерений. Случайные ошибки возникают из-за дей-
26

1.3. Тактико-технические характеристики радиотехнических систем
ствия помех: шумов приемника, помех в среде распространения радиоволн,
случайного изменения отражающих свойств объектов и т. п. Важными ха-
характеристиками случайных ошибок являются плотность распределения ве-
вероятности, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция
или спектральная плотность мощности.
Пропускная способность системы — максимальное количество ин-
информации, которое может быть передано или извлечено системой за едини-
единицу времени. Термин «пропускная способность» обычно применяют к РТС
передачи информации и радиолокационным системам.
Быстродействие системы — длительность переходного процесса при
подаче на вход системы единичного скачка. Термин «быстродействие сис-
системы» применяют к РТС управления. При этом под быстродействием сис-
системы понимают способность системы отслеживать быстрые изменения па-
параметров входной величины.
Помехоустойчивость — способность РТС сохранять показатели каче-
качества (дальность, точность и т. п.) при воздействии помех. Она зависит от
способов кодирования, модуляции, метода приема и т. п.
Для РТС передачи дискретных сообщений помехоустойчивость мож-
можно характеризовать вероятностью ошибки при заданном отношении средних
мощностей сигнала и помехи в полосе частот, занимаемой сигналами, или
требуемым отношением средних мощностей сигнала и помехи на входе
приемника системы, при котором обеспечивается заданная вероятность
ошибки.
Помехоустойчивость РТС передачи непрерывных сообщений или РТС
извлечения непрерывных сообщений удобно оценивать средним квадратом
ошибки или отношением средних мощностей сигнала и помехи на входе
приемника системы, при котором обеспечивается заданный средний квадрат
ошибки.
При сравнительной оценке РТС часто используют обобщенный выиг-
выигрыш, определяемый по формуле
где (PGtPm)BUK, (рс/Рщ)вх — отношения сигнал—шум на выходе и входе
приемника соответственно; Fcoo6, Fc — ширина соответственно спектра
сообщения и сигнала, используемого для передачи сообщения.
Электромагнитная совместимость — способность РТС функциони-
функционировать совместно с другими РТС.
27

/. Общие сведения о радиотехнических системах
Надежность аппаратуры — способность РТС выполнять заданные
функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных пределах в
течение требуемого промежутка времени.
Скрытность действия — способность системы противостоять мерам
радиотехнической разведки, направленным на обнаружение сигнала (энер-
(энергетическая скрытность), определение его структуры (структурная скрыт-
скрытность) и раскрытие смысла передаваемой с помощью сигналов информации
(информационная скрытность). Скрытность возрастает, в частности, при
увеличении направленности, уменьшении мощности излучения, уменьше-
уменьшении длительности непрерывного функционирования, усложнении структуры
сигналов, изменении параметров сигналов.
Масса, габариты, потребляемая мощность, удобства размещения и
развертывания — характеристики, особенно важные при размещении РТС
на подвижных объектах.
Перспективность — способность РТС в течение длительного времени
удовлетворять потребностям общества.
Многие из перечисленных характеристик РТС являются и показателя-
показателями их качества. В частности, к ним относятся такие, как дальность действия,
точность, помехоустойчивость, пропускная способность и др. При рассмот-
рассмотрении характеристик и показателей качества РТС и возможностей их улуч-
улучшения необходимо учитывать объективные природные ограничения, к кото-
которым относятся:
— ограниченный диапазон частот;
— наличие помех;
— особенности распространения радиоволн;
— ограниченный объем размещения аппаратуры РТС (самолеты, ра-
ракеты, ИСЗ и др.).
Необходимо также учитывать экономические факторы (улучшение
показателей качества всегда связано с увеличением стоимости аппаратуры),
а также психофизиологические возможности человека-оператора, обслужи-
обслуживающего ту или иную РТС, его способность к восприятию, обработке и на-
накоплению информации.
1.4. Энергетические соотношения
в радиотехнических системах
При разработке РТС возникает необходимость проведения энергети-
энергетических расчетов, позволяющих гарантировать требуемые показатели качест-
качества. Для решения этой задачи учитывают дальность действия, диапазон час-
частот, габариты антенны, предельную чувствительность приемников, мощ-
28

1.4. Энергетические соотношения в радиотехнических системах
ность передатчиков, а также помехи, которые всегда присутствуют в радио-
радиолинии, собственные тепловые шумы приемника и фидерного тракта и внеш-
внешние шумы (шумы радиоизлучения Солнца, Земли, космические шумы, ин-
индустриальные помехи и т. п.), принятые антенной.
Для достижения требуемых показателей качества РТС необходимо
обеспечить определенное отношение ^С.вых/Рш.вых, где Рсвых и Ршвых —
мощности сигнала и шума на выходе приемника. Соответственно, отноше-
отношение сигнал—шум на входе приемника должно быть не меньше порогового
уровня kp, называемого коэффициентом различимости:
^с.вх^ш.вх >К- AЛ)
Из выражения A.1) при известной мощности шума на входе приемни-
приемника можно определить минимальную мощность сигнала на входе, при кото-
которой обеспечиваются требуемые показатели качества:
с.вх ~~ лр ш.вх *
Величина Р™* называется чувствительностью приемника.
Мощность шума на входе приемника можно определить выражением
где Nm — спектральная плотность мощности шума; А/эф — эффективная по-
полоса пропускания приемника; ? = 1,38 10~23 Дж/град — постоянная Больц-
мана; 7^ — суммарная температура шума, К.
Суммарная температура шума определяется формулой
где Гпр — эффективная шумовая температура приемника, Га — шумовая
температура внешних шумов и антенны, 7ф — шумовая температура антен-
но-фидерного тракта.
Мощность шумов приемника
^ш.пр = ^пр4/эф
называется предельной чувствительностью приемника.
Величина Гпр определяется входными каскадами приемника и изменя-
изменяется в широком диапазоне от 1200.. .1900 К для кристаллического смесителя
до 10.. .40 К для молекулярного усилителя с охлаждением жидким гелием.
Величина Га лежит в пределах 40... 120 К и зависит не только от внешних
шумов, но и от тепловых шумов диэлектрического покрытия антенны.
29

/. Общие сведения о радиотехнических системах
Величина Гф определяется конструкцией антенно-фидерного тракта и
зависит от его КПД.
Энергетический расчет РТС зависит от типа радиолинии. Рассмотрим
сначала случай, характерный для систем радиовещания, телевидения, ра-
радиосвязи, пассивной локации, когда передатчик и приемник разнесены в
пространстве на расстояние г. Передача информации ведется из пункта, где
находится передатчик, в пункт, где находится приемник.
Пусть G, и G2 — коэффициенты усиления передающей и приемной
антенн, г|} и г|2 — КПД антенно-фидерных устройств передатчика и при-
приемника, Рпер — мощность передатчика. Тогда плотность потока мощности в
месте расположения приемника имеет вид
называется уравнением радиосвязи в свободном пространстве. Из него сле-
следует, что мощность сигнала, поступающего на вход приемника, обратно
пропорциональна квадрату расстояния между передатчиком и приемником.
Учитывая поглощение сигнала в атмосфере и земной поверхности,
уравнение радиосвязи A.2) можно записать в виде
р _ ^пеРЛ1Л2^1^2 п ~
^с.вх ~ т г ' \L->J
где Lp — коэффициент, характеризующий потери энергии при распростра-
распространении радиоволн в окружающей среде.
30
где S2 = G2 эффективная площадь приемной антенны; LCB = —
4л \4nrJ
коэффициент, учитывающий потери электромагнитной энергии при распро-
распространении в свободном пространстве.
Уравнение
а мощность сигнала на входе приемника определяется формулой

1.4. Энергетические соотношения в радиотехнических системах
Рассмотрим другой тип радиолинии, в которой излученный радиосиг-
радиосигнал отражается от объекта и поступает в приемное устройство. В радиосвязи
такими объектами являются ионосфера, тропосфера, ионизированные следы
метеоров, в активной радиолокации — корабли, самолеты, ракеты и т. д.
Радиолинии такого типа применяются и в полуактивной радиолокации. Да-
Далее приводится методика энергетического расчета импульсных радиолокаци-
радиолокационных систем, в которых излучение и прием сигналов ведется одной антен-
антенной с коэффициентом усиления G\. Пусть Рпер — импульсная мощность пе-
передатчика, хи — длительность импульса.
Плотность потока мощности П в точке нахождения объекта определя-
определяется следующим равенством:
называется уравнением радиолокации в свободном пространстве. Из него
следует, что мощность сигнала, поступающего на вход приемника, обратно
пропорциональна четвертой степени расстояния.
31
Мощность отраженного от цели сигнала имеет вид
где ац — эффективная площадь рассеяния цели.
Плотность потока мощности в точке приема при предположении, что
отраженная электромагнитная энергия рассеивается равномерно во всех на-
направлениях, будем определять по формуле

1. Общие сведения о радиотехнических системах
С учетом потерь при распространении радиоволн в окружающей среде
уравнение радиолокации можно записать в виде
Приведенные соотношения A.3) и A.5) связывают дальность действия
соответствующих РТС с их основными техническими характеристиками.
1.5. Тенденции развития радиотехнических систем
Научно-технический прогресс в области РТС проявляется в обновле-
обновлении технической структуры РТС, в замене устаревших технических средств
новыми. Вновь создаваемые РТС должны обладать лучшими показателями
качества, более широкими функциональными возможностями и в большей
степени удовлетворять требованиям получателя информации.
Основой развития РТС являются как достижения фундаментальных
наук, открывающие новые физические принципы функционирования уст-
устройств и систем, так и успехи современной электроники.
В развитии РТС выделяют следующие принципиальные направления:
— интеллектуализация РТС на основе вычислительных средств;
— освоение в создаваемой радиоэлектронной технике широкого диа-
диапазона радиоволн: от миллиметрового до сверхдлинных;
— переход в современной аппаратуре от отдельных электронных эле-
элементов узкого назначения (транзисторов, логических ячеек, ячеек памяти) к
функциональным сложным интегральным микросхемам;
— повышение роли устройств обработки информации в РТС;
— расширение областей применения РТС.
Развитие РТС в значительной мере определяется достижениями в об-
области электроники. Для современной электроники характерным является все
возрастающая степень интеграции, достигающая в настоящее время не-
нескольких миллионов транзисторов на кристалл. Большой интерес вызывают
разработки монолитных интегральных схем сантиметрового и миллиметро-
миллиметрового диапазонов на базе биполярных и полевых транзисторов с гетеропере-
гетеропереходами, в частности приемопередающих модулей систем с активными фази-
фазированными антенными решетками. Продолжает развиваться функциональ-
функциональная электроника: появились акустоэлектронные процессоры, приборы с
зарядовой связью и устройства на их основе.
Усложнение функций, связанных с передачей, накоплением и обра-
обработкой информации, решается, главным образом, за счет устройств цифро-
32

1.5. Тенденции развития радиотехнических систем
вой техники. Цифровая техника используется в устройствах обработки сиг-
сигналов, системах формирования луча и управления его сканированием в уст-
устройствах с фазированными антенными решетками, в системах связи, радио-
радиовещания и телевидения.
Наряду с микропроцессорной техникой быстро развиваются цифровые
процессоры сигналов (ЦПС) — приборы, где цифровая техника наиболее
тесно взаимодействует с аналоговой. Современные ЦПС характеризуются
производительностью в несколько десятков миллионов операций в секунду.
Таким образом, РТС идут в своем развитии по пути повышения степе-
степени функциональной интеграции, что достигается увеличением в системе
числа ячеек, выполняющих логические функции или функции хранения ин-
информации.
Повышение степени интеграции позволяет повысить надежность и
быстродействие системы, снизить стоимость, перейти на высокоскоростные
методы передачи и обработки информации, создать интегрированные мно-
многофункциональные комплексы с высоким уровнем искусственного интел-
интеллекта, адаптивные к помеховой обстановке.
За последнее десятилетие особенно существенные изменения претер-
претерпели РТС передачи информации. Еще совсем недавно в России практически
не было междугородних цифровых систем передачи информации. Очень
слабо была развита подвижная радиотелефонная связь. Существующие сети,
в основном, аналоговые. Плохо удовлетворялся спрос на услуги междуна-
международной связи. В зачаточном состоянии находились телематические службы
«Телетекс», «Телефакс», «Бюрофакс», «Видеотекс» и другие, играющие су-
существенную роль в информатизации общества (телематические службы,
согласно определению Международного союза электросвязи, — это службы
электросвязи (кроме телефонной, телеграфной и служб передачи данных),
которые организуют с целью обмена информацией через сети электросвязи).
Отсутствовала общенациональная сеть передачи данных с коммутацией паке-
пакетов, сотовые сети подвижной связи и т. п. [5].
Изменения в политической, экономической, культурной и общест-
общественной жизни, расширение производственных связей, интеграция в ми-
мировое сообщество способствовали бурному развитию систем передачи
информации.
Одним из перспективных направлений совершенствования СПИ явля-
является создание высокоскоростных сетей для передачи всех видов информа-
информации. К приоритетным направлениям относятся такие направления, как соз-
создание высокоскоростных цифровых сетей связи, сетей передачи данных с
коммутацией пакетов, телематических служб, совершенствование спутни-
спутниковых систем связи, развитие современных систем подвижной радиосвязи,
обеспечивающих как речевой, так и документальный обмен.
33

1. Общие сведения о радиотехнических системах
Эффективной движущей силой радикальных изменений облика теле-
телекоммуникаций являются успехи в развитии подвижной радиосвязи. Хорошо
известны возможности такой связи. Системы подвижной связи имеют ис-
исключительное значение для больших регионов с низкой плотностью населе-
населения и большим числом малых городов и деревень, для труднодоступных
районов.
При решении проблем информационного обмена как внутри страны,
так и с зарубежными странами важна документальная электросвязь. В по-
последнее время открыты широкие возможности по созданию современных
телекоммуникационных технологий в России, резко возрос объем и рас-
расширилась номенклатура услуг, предоставляемых документальной электро-
электросвязью. Значительное развитие получила международная телеграфная сеть
«Телекс». Существенную роль в обмене документальными сообщениями
играет система электронной почты РЕЛКОМ, охватывающая практически
все регионы России и предоставляющая возможность обмена сообщения-
сообщениями, в том числе с зарубежными корреспондентами. Значительно расшири-
расширилась сеть факсимильной связи. Создана сеть пунктов пользования факси-
факсимильной связью, имеющая выход не только на все регионы страны, но и за
рубеж.
К важнейшим средствам организации международной и междугород-
междугородной телефонно-телеграфной связи, телевидения и радиовещания относится
спутниковая связь. Особенно незаменимы спутниковые системы для боль-
больших территорий, для районов с малой плотностью населения, суровыми
климатическими условиями. В настоящее время создана сеть телефонной
связи через спутники с важнейшими районами и городами Дальнего Восто-
Востока, Сибири, Крайнего Севера. Спутниковая связь позволила распространить
многопрограммное телевизионное вещание из Москвы по всей территории
России, создать региональное теле- и радиовещание, обеспечить ускорен-
ускоренную телефонизацию удаленных и труднодоступных регионов, организовать
дополнительные линии связи и связь с подвижными объектами, ускорить
развитие сетей передачи данных и международной спутниковой связи.
Одним из последних достижений в области развития проводной связи
и радио являются службы передачи информации, получившие название те-
телематические. Их появление стало результатом взаимопроникновения ЭВМ
и новых средств связи. Развитие телематических служб идет в направлении
создания новых, более совершенных услуг, что соответствует тенденциям
максимального удовлетворения возрастающих потребностей пользователей
сетей связи.
Дальнейшее совершенствование получили РЛС и РНС. Современные
радиолокационные системы позволяют решать задачи, которые были недос-
недоступны единичным радиолокационным средствам. Они обладают высокой
34

7.5. Тенденции развития радиотехнических систем
разрешающей способностью по дальности, угловым координатам, радиаль-
радиальной скорости, что обеспечивается применением сверхширокополосных сиг-
сигналов, когерентных сигналов большой длительности, антенн со сверхузкими
диаграммами направленности.
В развитии РЛС наблюдаются тенденции к увеличению числа изме-
измеряемых координат (в частности, к созданию трехкоординатных РЛС), мно-
горежимности зондирования и обзора пространства, повышению когерент-
когерентности сигналов и эффективному ее использованию, автоматизации обработки
сигналов и построению трасс целей, сокращению энергозатрат, сочетанию
перспективных антенных решеток с более дешевыми антеннами при значи-
значительном уменьшении уровня боковых лепестков, существенному повыше-
повышению надежности и ресурса РЛС, диагностике и ускоренному устранению
неисправностей, сокращению количества обслуживающего персонала, огра-
ограничению функций персонала применением дистанционного контроля. В об-
области РЛС обнаружения маловысотных целей предпочтение отдается антен-
антеннам, поднимаемым на вышки (мачты) высотой 10...20 м.
Большое внимание уделяется РЛС с активным ответом. К ним отно-
относятся прежде всего РЛС управления воздушным движением. Большинство
РЛС военного назначения имеют также каналы опознавания государствен-
государственной принадлежности. Для этих РЛС повышенное внимание уделяется за-
защите от помех, а в ряде случаев и от самонаводящихся на излучение сна-
снарядов. В связи с широким применением малозаметных воздушных целей
существенно повысилась роль РЛС метрового диапазона. Во всех диапазо-
диапазонах проводятся работы по распознаванию классов (и даже типов) воздуш-
воздушных целей.
В последние годы значительно возрос интерес к подповерхностной
радиолокации [6]. Работа радиолокационной станции подповерхностного
зондирования (георадара) основана на использовании классических прин-
принципов радиолокации. Передающая антенна излучает сверхкороткие элек-
электромагнитные импульсы, имеющие 1,0—1,5 периода квазигармонического
сигнала. Такие импульсы относятся к классу широкополосных сигналов, у
которых отношение ширины спектра к частоте его максимума близко к еди-
единице. Центральная частота сигнала и длительность определяются необходи-
необходимой глубиной зондирования и разрешающей способностью георадара. Из-
Излучаемый импульс отражается от неоднородностей исследуемой среды и
принимается приемной антенной. После обработки сигнала полученная ин-
информация отображается на индикаторе.
Подповерхностная радиолокация применяется в геофизике, инженер-
инженерной геологии, транспортном, промышленном и гражданском строительстве,
археологии, космических исследованиях планет Солнечной системы и их
спутников, оборонной промышленности и т. д. Методы подповерхностной
35

1. Общие сведения о радиотехнических системах
радиолокации используются для построения геологических разрезов и про-
профилей дна водоемов, определения положения уровня грунтовых вод и гра-
границ распространения полезных ископаемых, измерения толщины пресно-
пресноводных и морских льдов, выявления местоположения инженерных сетей
(металлических и пластиковых труб, кабелей и др.), оценки качества бетон-
бетонных конструкций (мостов, дамб и плотин), обнаружения утечек из нефте-
нефтепроводов и захоронения экологически опасных отходов, установления ме-
местонахождения археологических объектов и тайников, исследования струк-
структуры торфяных месторождений, песчаников, известняков, мерзлых почв. В
оборонной промышленности георадары могут использоваться для обнару-
обнаружения мест установки мин, расположения подземных тоннелей, коммуника-
коммуникаций, складов, а также для выявления подкопов к охраняемым объектам.
Контрольные вопросы
1. Дайте классификацию РТС: а) по назначению; б) по характеру сообщений; в) по
используемым частотам; г) по модулируемому параметру радиосигнала.
2. Назовите основные характеристики РТС.
3. Укажите основные направления развития РТС.
36

2. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Приведены основные сведения о сигналах и помехах в радиотехнических сис-
системах. Изложены вопросы дискретизации по времени и квантования по
уровню непрерывных сигналов, а также способы их восстановления. Боль-
Большое внимание уделено построению сложных сигналов и систем сигналов.
Рассмотрены вопросы моделирования сигналов и помех.
2.1. Информация, сообщение, сигналы
В различных областях науки и техники, а также в повседневной жизни
часто используют понятия «информация», «сообщение», «сигнал». В общем
случае под информацией понимают совокупность сведений о каком-либо
событии, объекте. Для хранения, обработки и преобразования информации
применяют условные символы (буквы, математические знаки, рисунки,
формы колебаний, слова и др.), позволяющие представить информацию в
той или иной форме. Информация, выраженная в определенной форме, на-
называется сообщением. Так, в случае телеграфной передачи информация
представляется в виде букв и цифр. Соответственно, сообщением является
совокупность этих знаков. В телефонных системах это — речь (непрерыв-
(непрерывное изменение звукового давления), в телевизионных системах — изобра-
изображение (яркость его элементов). На практике часто информация представля-
представляется в двоичной форме, т. е. для ее представления используются только два
условных символа, например 1 и 0. Соответственно, сообщением служит
последовательность конечного числа двоичных символов.
Одни сообщения (речь, температура, давление) являются функциями
времени, другие (например, текст телеграммы) не являются ими. Природа
сообщений может быть как электрической, так и не электрической.
Для передачи сообщений используют физические процессы, способ-
способные распространяться в той или иной среде. Физический процесс, отобра-
отображающий сообщение, называется сигналом. По своей природе сигналы могут
быть электрическими, световыми, звуковыми и т. д. В радиотехнических
системах используются электрические сигналы.
37

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Рис. 2.1. Виды сигналов:
а — сигналы, непрерывные по величине и времени; б — сигналы, непрерыв-
непрерывные по величине и дискретные по времени; в — сигналы, дискретные (кванто-
(квантованные) по величине и непрерывные по времени; г — сигналы, дискретные по
величине и времени
Любой сигнал является функцией времени x{t). В зависимости от об-
области определения и области возможных значений этой функции различают
следующие типы сигналов:
— непрерывные по величине и по времени (рис. 2.1, а);
— непрерывные по величине и дискретные по времени (рис. 2.1, б);
— дискретные (квантованные) по величине и непрерывные по време-
времени (рис. 2.1, в);
— дискретные по величине и по времени (рис. 2.1, г).
Сигналы первого типа задаются на конечном или бесконечном вре-
временном интервале и могут принимать любые значения в некотором диапа-
диапазоне. Примером таких сигналов являются сигналы на выходах микрофона,
датчиков температуры, давления, положения и т. п. Поскольку такие сигна-
сигналы являются электрическими моделями физических величин, их называют
аналоговыми.
Сигналы второго типа, называемые дискретными, задаются в опреде-
определенные дискретные моменты времени и могут принимать любые значения в
некотором диапазоне. Их можно получить из непрерывных сигналов, сфор-
сформулировав последовательность отсчетов в определенные моменты времени.
Это преобразование называется дискретизацией. Шаг дискретизации ТД
38

2.2. Математические модели сигналов и помех
(промежуток времени между двумя соседними отсчетами) может быть как
постоянным, так и переменным. Обычно его выбирают исходя из допусти-
допустимой погрешности при восстановлении непрерывного сигнала по конечному
числу его дискретных отсчетов.
Сигналы третьего типа, называемые квантованными по уровню, зада-
задаются на некотором временном интервале и характеризуются тем, что при-
принимают только вполне определенные дискретные значения. Их можно полу-
получить из непрерывных сигналов, применяя к ним операцию квантования по
уровню. В результате этой операции непрерывный сигнал заменяется сту-
ступенчатой функцией. Шаг квантования Ах (расстояние между двумя сосед-
соседними разрешенными уровнями) может быть как постоянным, так и пере-
переменным. Его обычно выбирают из условия обеспечения требуемой точности
восстановления непрерывного сигнала из квантованного.
Сигналы четвертого типа задаются в определенные дискретные мо-
моменты времени и принимают определенные дискретные значения. Их можно
получить из непрерывных сигналов, осуществляя операции дискретизации
по времени и квантования по уровню. Такие сигналы можно легко предста-
представить в цифровой форме, т. е. в виде чисел с конечным числом разрядов, в
связи с чем их обычно называют цифровыми.
Функции x(t), описывающие сигналы, могут принимать как вещест-
вещественные, так и комплексные значения. Соответственно, различают вещест-
вещественные и комплексные модели сигналов.
Сигналы подразделяют на детерминированные и случайные. Детер-
Детерминированные сигналы (колебания) — это сигналы, значения которых в
любой момент времени известны, т. е. предсказуемы с вероятностью, равной
единице. Случайные сигналы — это сигналы, значения которых в любой
момент времени невозможно предсказать с вероятностью, равной единице.
Все сигналы, несущие информацию, являются случайными, так как полно-
полностью известный (детерминированный) сигнал информации не содержит (он
может быть создан в месте приема без канала связи).
Детерминированные сигналы применяют при изучении свойств линей-
линейных, нелинейных и параметрических цепей. Так, при анализе переходных
процессов в линейных цепях часто используют единичный ступенчатый сиг-
сигнал, синусоидальный сигнал, последовательности импульсов и др.
2.2. Математические модели сигналов и помех
При решении задач анализа и синтеза РТС широко используют ма-
математические модели сигналов и помех. Они позволяют отвлечься от фи-
физической природы сигналов и описывать только те свойства процессов,
39

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
которые являются существенными для решаемой задачи. В современной
теории РТС общепринят вероятностный подход, при котором отдельные
сообщения рассматриваются как реализации случайного процесса.
Математической моделью дискретных сигналов служит дискретная
случайная последовательность {Xt} — случайный процесс, областью опре-
определения и областью значений которого являются дискретные множества. В
дальнейшем будем считать, что случайная величина X, (элемент последова-
последовательности в момент /,) принимает дискретные значения из множества
а,,а2,...,ада.
Наиболее простой моделью является дискретная случайная последо-
последовательность с независимыми элементами (последовательность Бернулли).
Для этой последовательности случайные величины Хг независимы и прини-
принимают значения из алфавита aj,a2,...,aOTc вероятностями р(аг) = рг,
г = 1,2,...,т. Такая модель описывает сообщения дискретного источника
без памяти.
Более общая модель — дискретная случайная последовательность с
зависимыми элементами. Она описывает сообщения дискретного источни-
источника с памятью. Модель задается вероятностями
определяемыми для всех последовательностей aG+1),a(;+2),...,a(y+yV)
0+1 rj+2 rj + N
длины N и для всех начальных моментов дискретного времени, где
p\v>J+k) a[J+k~l\...tofiJ+^) — вероятность появления элемента а(;+*) в мо-
V 0+* rj+k-\ rj+l ) r rj+k
мент времени t k при условии, что предыдущими элементами были
Источник называется стационарным, если его статистическое описа-
описание B.1) не зависит от начала отсчета времени t .
Математической моделью непрерывных сигналов является непрерыв-
непрерывный случайный процесс X(t). Наиболее полно описывается процесс «-мер-
«-мерной функцией распределения

2.2. Математические модели сигналов и помех
или «-мерной плотностью распределения вероятности
при л->оо.
Многомерные функции, заданные выражениями B.2) и B.3), опреде-
определить сложно, а зачастую и невозможно. В то же время для решения многих
практических задач, связанных с передачей сообщений, не требуется знания
многомерных законов распределения. Поэтому в качестве моделей сообще-
сообщений обычно используют случайные процессы, задаваемые одномерным и
двумерным законами распределения, а во многих случаях — более просты-
простыми характеристиками — моментными функциями.
Реальные сообщения, как правило, являются нестационарными. Соот-
Соответственно, их модели — нестационарные случайные процессы. Чаще всего
нестационарные модели допускают квазистационарную трактовку: их мож-
можно считать практически стационарными на промежутках времени неболь-
небольшой длительности. Переход к стационарной модели обусловлен тем, что
решение задач с учетом нестационарности сообщений весьма затруднитель-
затруднительно и требует сложного математического аппарата.
На практике в качестве стационарных моделей сообщений и помех
часто используют гауссовский случайный процесс [7, 8]. Гауссовская модель
достаточно хорошо описывает речевые и телевизионные сообщения, при-
принимаемые радиолокационные сигналы, некоторые типы телеметрируемых
процессов, а также шумы в каналах связи.
Среди моментных функций наибольшее применение получили:
— математическое ожидание случайного процесса
41
B.4)
B.5)
B.3)

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
— ковариационная функция случайного процесса
Иногда модель задается спектральной плотностью мощности, кото-
которая для стационарного центрированного процесса определяется следующим
образом:
B.7)
где M{z} —математическое ожидание величины г.
Для стационарных случайных процессов
В качестве моделей сообщений, сигналов и помех часто используют
эргодический случайный процесс. Для него все характеристики, найденные
статистическим усреднением (см., в частности, B.4)—B.6)), совпадают с
характеристиками, найденными по его одной реализации x(i) усреднением
по времени. Так, для эргодического процесса имеем
B.8)
В ряде случаев достаточными для решения задач характеристиками
непрерывных сигналов являются полоса частот А/с, средняя мощность Ро,
пик-фактор КП и динамический диапазон Dc.
Полоса частот сигнала определяется следующим образом:

где FB и FH — верхняя и нижняя частоты спектра сигнала.
Средняя мощность сигнала находится усреднением мгновенной мощ-
мощности p(t) = x2 (t) за достаточно большой промежуток времени:
Пик-фактор Кп сигнала — это отношение его максимальной мгно-
мгновенной мощности к средней:
B.9)
Часто пик-фактор выражается в децибелах:
B.10)
Динамическим диапазоном называется отношение максимальной
мгновенной мощности сообщения к минимальной мгновенной мощности,
выраженное в децибелах:
Например, для телефонного речевого сообщения установлены верхняя
FB = 3400 Гц и нижняя FH = 300 Гц частоты спектра, FC=FB-FH =3100 Гц,
К„ =13...17дБ, Dc =35...40дБ[9].
При выборе модели необходимо учитывать содержание решаемой за-
задачи, особенности математического аппарата, соответствующего данной
модели, и ряд других факторов. Как правило, рациональной окажется наи-
наиболее простая модель, с помощью которой можно решить поставленную
задачу с требуемой точностью.
2.3. Векторное представление сигналов
В современной теории радиотехнических систем для описания, анали-
анализа и преобразования сигналов широко используется геометрическое пред-
представление, при котором сигналы рассматриваются как элементы некоторого
пространства, свойства сигналов — как свойства пространства, преобразо-
преобразование сигналов — как отображение одного пространства в другое.
Введем понятие пространства сигналов. Пусть S — множество сигна-
сигналов, обладающих некоторым общим свойством. Элементы этого множества
отличаются друг от друга теми или другими параметрами сигнала (ампли-
(амплитудой, длительностью, частотой и т. д.). В общем случае различия между
43

2 Сигналы и помехи в радиотехнических системах
двумя любыми элементами можно охарактеризовать некоторым положи-
положительным числом, которое трактуется как количественная мера различия сиг-
сигналов и называется расстоянием. Множество сигналов S с определенным
подходящим образом расстоянием между элементами называется простран-
пространством сигналов.
Для определения расстояния между сигналами используют некоторый
функционал d, отображающий каждую пару элементов s, и Sj множества S на
действительную ось. Обычно функционал выбирается таким, чтобы выпол-
выполнялись требования, являющиеся формализацией свойств, интуитивно связы-
связываемых с понятием расстояния:
d(s, ,Sj)>0, d{st ,Sj) = d(Sj, s,),
d(sl9sk)<d(s,iSj) + d(sJtsk)t B.12)
d(s,,Sj) = 0 при s, =sr
Функционал, удовлетворяющий условиям B.12), называется метри-
метрикой. Множество S с метрикой d называется метрическим пространством.
Сигналы можно алгебраически суммировать. При этом результатом
сложения является также сигнал. Сигналы можно усиливать или ослаблять.
Все эти свойства выполняются, если в качестве пространства сигналов взять
так называемое линейное, или векторное, пространство. Оно удовлетворяет
следующим условиям:
1) для любых двух элементов пространства можно определить третий
элемент, называемый суммой и входящий в данное пространство, такой, что
s, +Sj =Sj+sn s,+(sJ+sk) = (s,+sJ) + sk;
2) в пространстве сигналов имеется нулевой элемент 0 такой, что
J, + 0 = j, для любого s,;
3) для любого элемента s, существует противоположный ему элемент
- s,, принадлежащий данному пространству, такой, что s, + (s,) = 0;
4) любой элемент пространства можно умножить на любой элемент,
принадлежащий скалярному множеству {у,}, на котором определены опе-
операции сложения и умножения с коммутативными и дистрибутивными свой-
свойствами и которое содержит в качестве элементов нуль и единицу, причем
y,s также является элементом пространства сигналов,
1-5 = 5, (yl+yj)s = yls + yls, yl(sk+s,) = y,sk +y,sh У ,{У ,s) = У ,У js-
Элементы линейного пространства обычно называются векторами.
Практически все реальные сигналы можно рассматривать как векторы в не-
44

2.3. Векторное представление сигналов
где |у| — модуль скаляра у.
Для JV-мерного линейного пространства действительных или ком-
комплексных чисел {Sj =Eу1,572,...,5у^)}, 7=1,2,..., норма определяется сле-
следующим образом:
B.14)
45
котором пространстве. Так, если сигналы представлены последовательнос-
последовательностями ТУ действительных чисел, то такие сигналы можно представить TV-мер-
TV-мерными векторами. Любой непрерывный сигнал также можно рассматривать в
общем случае как бесконечномерный вектор.
В векторном пространстве между элементами определены простые
алгебраические взаимосвязи. В частности, любой сигнал s, как вектор
может быть представлен в виде комбинации независимых векторов е„
i = l,2,...,N, т.е.
B.13)
Представление B.13) является единственным, если векторы е„
i = l,2,...,N, образуют линейно независимую систему.
Множество всех линейных комбинаций B.13) образует TV-мерное про-
пространство. Множество линейно независимых векторов е„ i = l,2,...,N, на-
называется базисом этого пространства. Упорядоченную последовательность
скаляров сг из формулы B.13) обычно интерпретируют как координаты
вектора s, в базисе е„ / = 1,2,..., TV. При этом базис интерпретируют как не-
некоторую систему координат, в общем случае косоугольную.
Любой сигнал можно описать действительной или комплексной
функцией, определенной на интервале Тс, который может быть и бесконеч-
бесконечным. Множество таких функций образует также линейное пространство.
Оно называется функциональным. В большинстве случаев функциональное
пространство бесконечномерно.
Для количественной характеристики сигналов в линейном простран-
пространстве вводят норму, определяющую длину вектора s,, обычно обозначаемую
символом |sy | и удовлетворяющую следующим условиям:

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
B.15)
При таком определении квадрат нормы представляет собой энергию
сигнала.
В линейном нормированном пространстве в качестве метрики исполь-
используется функционал
rf(s,,s7) = |s,-sj. B.16)
Для N-мерного линейного пространства действительных или ком-
комплексных чисел с учетом выражений B.14) и B.16) получаем
а для функционального пространства
B.17)
Метрика B.17) имеет определенный физический смысл: ее квадрат
равен энергии разности двух сигналов, она полностью характеризует разли-
различие между сигналами (чем больше d(s,, s,), тем больше это различие).
В линейном пространстве можно ввести понятие скалярного произве-
произведения двух элементов, которое часто используют при рассмотрении линей-
линейных способов обработки сигналов. Скалярное произведение определяют в
случае функционального пространства формулой
B.18)
B.19)
где символом * обозначена комплексно-сопряженная функция или величина.
В функциональном анализе доказывается, что в пространстве со скаляр-
скалярным произведением можно ввести норму, удовлетворяющую соотношению
46
и в случае N-мерного линейного пространства — формулой
а для функционального пространства

2.4. Дискретизация непрерывных сигналов
и метрику
Итак, пространство со скалярным произведением всегда является
нормированным и метрическим. Такое пространство при конечном N назы-
называется евклидовым (обозначается RN), а при бесконечном N — гильберто-
гильбертовым (обозначается L2). Структура пространств R# и L2 определяет основные
свойства сигналов и их взаимосвязи, а введение понятий пространства, нор-
нормы, метрики, базиса позволяет формализовать процессы, связанные с пере-
передачей, преобразованием и приемом сигналов.
Векторное представление применимо как для детерминированных
функций, так и для случайных. Для последних скалярные произведения
B.18) и B.19), норма B.20) и расстояние B.21) — случайные величины. Для
случайных процессов также справедливо представление в виде B.13). При
этом коэффициенты с, являются случайными величинами, а само разложе-
разложение понимается в смысле среднеквадратической сходимости, т. е.
В общем случае коэффициенты разложения с, коррелированные. Реше-
Решение многих задач существенно облегчается, если выбрать ортогональный базис,
в котором эти коэффициенты оказываются некоррелированными. Разложение
случайного процесса по такому базису называется каноническим. Для стацио-
стационарных процессов каноническое разложение всегда возможно.
2.4. Дискретизация непрерывных сигналов
Дискретизация — это процесс представления непрерывного сигнала
x{t), заданного на интервале @,Гс), совокупностью координат cl,c2i.»,cN.
В общем случае процессы представления и восстановления сигналов описы-
описываются выражениями
(C],c2,...,cN) = A[x(t)], B.23)
x(t) = A'[(cl,c2,...,cN)], B.24)
где А — оператор дискретного представления, А'— оператор восстановле-
восстановления, x(t) — восстановленный сигнал.
47

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Операторы дискретного представления и восстановления бывают ли-
линейными и нелинейными. На практике обычно используют линейные опера-
операторы, как более простые в реализации.
При линейных процессах представления и восстановления сигналов
выражения B.23) и B.24) можно записать в виде
где ц/, (/) и ф, (/) — весовые и базисные {координатные) функции соответ-
соответственно.
В зависимости от системы используемых весовых функций уД*),
i = l,2,...,N, различают дискретное временное, дискретное обобщенное и
дискретное разностное представления сигналов.
При дискретном временном представлении используется система ве-
весовых функций \j//(/) = 5(t-t;), i = \,2,...,N, где 8(/-^) —дельта-функ-
—дельта-функция. Координаты, как это видно из соотношения B.25), определяются сле-
следующим образом: с/=д:(//), i = \,2,...,N, т.е. совпадают с мгновенными
значениями (отсчетами) непрерывной функции x{t) в дискретные моменты tt.
Представление называется регулярным, если шаг дискретизации
Гд = tt - fM является постоянным. В противном случае оно называется нере-
нерегулярным {адаптивным).
Для представления сигналов регулярными отсчетами необходим вы-
выбор частоты дискретизации Fa =1/7], и базисных функций (р,(/). Особенно
важно найти минимальную частоту дискретизации, при которой еще имеет-
имеется возможность восстановления непрерывного сигнала с заданной погреш-
погрешностью. При решении этих задач следует учитывать свойства исходных сиг-
сигналов, способы их восстановления и требуемую точность восстановления.
Для модели сигналов с ограниченным спектром решение указанных
задач содержится в теореме Котельникова, которая утверждает, что любую
непрерывную функцию со спектром, ограниченным полосой частот
(O...Fmax), можно однозначно определить последовательностью ее мгновен-
мгновенных значений, взятых через интервалы времени Та = l/BFmax).
Восстановление непрерывной функции осуществляется с помощью
ряда:
48

2.4. Дискретизация непрерывных сигналов
2nFmaK{t-iTa)
который называется рядом Котельникова. Базисными функциями в данном
случае служат функции отсчетов
sinB7tFmax(/-/rfl))
ФЛО = о г—/, -т ч » г = ...,-1,0,1,....
Они образуют ортогональную на бесконечном интервале -со < / < со систему
функций. Любую функцию ф,@ можно получить на выходе идеального
фильтра нижних частот, подав на его вход сигнал 5(/ - гТд).
В соответствии с выражением B.27) восстановление непрерывного
сигнала осуществляется подачей на вход идеального фильтра нижних частот
с полосой пропускания O...Fmax последовательности 5-функций 5(/-гТд),
/ =..., -1,0,1,..., умноженных на коэффициенты x(iTa). Однако ни сигнал в
виде 8-функций, ни идеальный фильтр нижних частот физически не реали-
реализуемы. Поэтому на практике вместо 5-функций используют короткие им-
импульсы, а вместо идеального фильтра нижних частот — фильтр нижних час-
частот, что, естественно, приводит к погрешности восстановления сигнала.
Теорему Котельникова можно обобщить и на случайные сигналы [9].
При этом она формулируется следующим образом: для случайного процесса
с односторонней спектральной плотностью мощности, удовлетворяющей
условию Gx(f) = 0 при />Fmax, ряд
? х(,Тд)™Bя^(,-,Тд))
,?. Д 2*Fmit-iTM)
где X(iTa) — случайные величины, представляющие отсчеты случайного
процесса, взятые через интервалы времени ТД = 1 /BFmax), сходится в сред-
неквадратическом смысле (см. B.22)) к процессу X(t).
Теорема Котельникова справедлива и для идеализированных условий,
среди которых следует отметить ограниченность спектра по частоте и бес-
бесконечное время наблюдения. Все реальные сигналы конечны по времени и
имеют неограниченный по частоте спектр. Использование модели с ограни-
ограниченным спектром и конечное время наблюдения приводит к погрешности
при восстановлении непрерывного сигнала.
Тем не менее, теорема Котельникова имеет большое практическое
значение. Спектр сигнала так или иначе ограничивается (например, при пе-
49

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
редаче непрерывного сигнала спектр (?(/) целесообразно ограничить часто-
частотой Fmax, ПРИ которой G(f) < N(f), где N{f) — спектральная плотность
мощности шума на выходе канала). В этом случае по теореме Котельникова
можно оценить частоту дискретизации, которую обычно определяют по
приближенной формуле [10]
F tsTkF
Га •*'/w max»
где X — некоторый коэффициент, выбираемый из интервала 1,25—2,5.
Ограничение спектра сигнала частотой Fmix посредством фильтрации
приводит к погрешности восстановления, относительный средний квадрат
которой определяется формулой
оо /оо
52F= J G(fW I JG(f)df, B.28)
т. е. равен отношению мощности отфильтрованной части спектра к средней
мощности исходного сигнала.
При отсутствии предварительной фильтрации сигнала в процессе его
восстановления ошибка дискретизации возрастает. Пусть Sx (усо) — спек-
спектральная плотность сигнала x{t). Тогда спектральная плотность дискрети-
зированного сигнала хд(/) [7] имеет вид
т. е. она равна с точностью до несущественного множителя 1/Гд сумме бес-
бесконечного числа «копий» спектра исходного сигнала (рис. 2.2). Эти копии
располагаются на оси частот через равные промежутки 2п1ТЛ.
При восстановлении сообщения идеальным фильтром нижних частот с
полосой пропускания < со < — возникает ошибка, относительный сред-
Т Т
д Ая
ний квадрат которой с учетом выражения B.29) определяется соотношением
Ю

2.4. Дискретизация непрерывных сигналов
Рис. 2.2. Спектральная плотность дискретизированного сигнала
Первое слагаемое в выражении B.30) характеризует ошибку, обуслов-
обусловленную тем, что составляющие сигнала x(t) с частотами |со| > п/Та не попа-
попадают в полосу пропускания фильтра, и совпадает с B.28). Второе слагаемое в
выражении B.30) характеризует ошибку, обусловленную попаданием в полосу
пропускания фильтра составляющих боковых лепестков Sx[j(cu-2nn/Ta)],
« = ±1, ±2,..., спектра сигнала хд((). Если ограничиться влиянием только
двух боковых лепестков при п = ±1, то нетрудно видеть, что второе слагае-
слагаемое также совпадает по значению с B.28). Таким образом,
8^=28^, B.31)
и, следовательно, предварительная фильтрация сигнала с целью ограниче-
ограничения его спектра целесообразна.
Заметим, что обеспечить выполнение условия Gx (/) = 0 при / > Fmax
фильтрацией физически невозможно. Сигнал на выходе любого реализуемо-
реализуемого фильтра будет содержать спектральные составляющие на частотах
/ > ^inax- Поэтому ошибка B.28) является минимально возможной.
В общем случае восстановление (интерполяция) непрерывного сигна-
сигнала x(t) по его отсчетам выполняется в соответствии с формулой B.26). При
этом в качестве базисных функций обычно используют алгебраические по-
полиномы. В частности, на практике применяют ступенчатую и линейную ин-
интерполяции. Для ступенчатой интерполяции (рис. 2.3, а) используют базис-
базисные функции ф,(/) = 1, ф, (/) = 0, i = 2,..., при этом x(t) = x{tt), /,</</,+ Тп.
Для линейной интерполяции (рис. 2.3, б) используют базисные функции
<P,(/) = 1-t/T;, ф2(/) = т/Гд, ф,@ = °. ' = 3,4,..., при этом х@ = *(',) +
+ [*(',+1)-*('/)]т/Гд' ti<**tt + T* = t'+i> * = '-',-
Относительный средний квадрат погрешности восстановления сигна-
сигнала зависит от нормированной корреляционной функции гх(т) исходного
процесса X(t), способа интерполяции и частоты дискретизации. В работе [11]
51

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Если задана погрешность интерполяции, формулы B.32) и B.33) ис-
используют для нахождения частоты дискретизации. Расчеты показывают, что
частота Fa существенно превышает частоту дискретизации по Котельнико-
ву. Так, для сигнала с прямоугольной спектральной плотностью мощности,
ограниченной частотой Fmax, отношение F:i/BFmaK) равно я/F5) при сту-
ступенчатой интерполяции и 7i/v60082 при линейной [11].
При обобщенном дискретном представлении дискретизация сигнала
заключается в следующем: интервал Тс разбивается на подынтервалы TaJ,
у'= 1,2,..., на которых производится анализ сигнала. В результате обработ-
обработки сигнала в соответствии с B.25) в конце каждого j-ro подынтервала нахо-
находятся координаты сх ,с-> ,...,cv . Для регулярных методов представления
значения Га; и TV,- не зависят от индекса у, т. е. Ta j =Ta, Nj = N.
52
Рис. 2.3. Диаграммы, иллюстрирующие ступенчатую (а) и линейную (б)
интерполяции
показано, что для любых стационарных процессов с нулевым математиче-
математическим ожиданием при ступенчатой интерполяции погрешность восстановле-
восстановления определяется выражением

2.4. Дискретизация непрерывных сигналов
Решая рассматриваемую задачу, важно правильно выбрать длитель-
длительность подынтервала анализа Га. При этом необходимо иметь в виду, что с
увеличением длительности этого подынтервала растет число координат N,
необходимых для представления сигнала. Соответственно, усложняется ап-
аппаратура, увеличивается ее объем, масса и стоимость. В связи с этим значе-
значения Га не должны быть слишком большими. На практике для непрерывного
сигналаX{f) часто вполне приемлема длительность интервала Га = E...6)тк,
где тк —интервал корреляции процессаX(t) [11].
Другой важной задачей является выбор весовых и координатных
функций. Вызывают интерес такие операторы А и А', которые обеспечива-
обеспечивают минимальную погрешность 82 при заданном числе координат N или ми-
минимальное число координат 8 при заданной погрешности 52.
Пусть X(t) — случайный процесс с нулевым математическим ожида-
ожиданием и непрерывной корреляционной функцией R(t,t'). Тогда можно пока-
показать [8], что при представлении процесса X(f) рядом B.26) математическое
ожидание интегральной среднеквадратической ошибки
при любом фиксированном N будет минимальным, если весовые функции
\|//(t), i = 1,2,...,N, совпадают с базисными функциями ф,(/), i = l,2,...,N,
а базисные функции удовлетворяют однородному интегральному уравне-
уравнению Фредгольма второго рода:
1 Т>
а,2Ф/@ = -М*х(/,ОФ,(ОЛ', B-35)
а о
где фД/) — собственные функции, а2 — собственные значения ядра
Rx(t,t') уравнения.
Собственные функции фД/), i = l,2,...,N, являются ортогональными
и определяются уравнением с точностью до постоянного множителя, кото-
который можно выбрать таким, чтобы функции фД/), i = l,2,...,N, были орто-
нормированными. При этом координаты с, в разложении B.26) случайного
процесса оказываются некоррелированными, а для гауссовского случайного
53

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
процесса — статистически независимыми. Кроме того, при М{с,} = 0 дис-
дисперсия Dc координаты с, равна а2.
Если базисные функции ортонормированные, то математическое ожи-
ожидание интегральной среднеквадратической ошибки B.34), найденное на ин-
интервале представления Га, имеет вид
Выражение B.36) позволяет находить число координат N, при котором
обеспечивается заданная погрешность дискретного представления сигнала.
Разложение случайного процесса с непрерывной корреляционной
функцией в ряд B.26), в котором базисные функции являются собственными
функциями уравнения B.35), называется разложением Карунена—Лоэва. Хо-
Хотя это разложение обеспечивает минимальное число координат N при задан-
ной погрешности дискретного представления случайного процесса б , его
применение ограничено. Это обусловлено следующими причинами: корреля-
корреляционная функция случайного процесса не всегда оказывается известной, про-
процедура нахождения решения уравнения B.35) в общем случае неизвестна,
техническая реализация устройств разложения сигнала, за исключением слу-
случая, когда функции ф,(/) гармонические, сложная. Поэтому на практике в ка-
качестве базисных часто используют ортогональные функции, при которых по-
погрешность представления близка к минимальной при использовании сравни-
сравнительно простой аппаратуры. К ним относятся тригонометрические функции,
полиномы Чебышева и Лежандра, функции Уолша и др. [7,12].
При дискретном разностном представлении сигнала в качестве весо-
весовых функций \\t,(t) используют линейные комбинации дельта-функций:
где Cl — число сочетаний из L по к [11]. Как следует из B.25), координа-
координатами с, являются конечные разности L-to порядка
54

2.4. Дискретизация непрерывных сигналов
При адаптивной дискретизации непрерывных сигналов координаты с,
представляют мгновенные значения непрерывного сигнала в некоторых
точках отсчета, не равноотстоящих друг от друга (рис. 2.4). На интервалах
быстрого изменения значений сигнала отсчеты берутся чаще, а на интерва-
интервалах медленного изменения — реже. Для представления сигнала стараются
использовать как можно меньшее число отсчетов, но достаточное для его
восстановления с заданной погрешностью. Отсчеты, позволяющие восста-
восстановить непрерывный сигнал на приемной стороне с заданной точностью,
называются обычно существенными.
Известны различные способы адаптивной дискретизации, отличаю-
отличающиеся алгоритмом формирования существенных отсчетов и видом служеб-
служебной информации [11]. Простейший алгоритм формирования существенных
отсчетов заключается в следующем. Пусть последний существенный отсчет
был в момент U. Для определения момента следующего отсчета сравнивают
текущее значение функции x{t) с х(/;). Момент ti+j, при котором
|*(f/+y)-*(f,-)| = emax, соответствует очередной существенной выборке, где
smax характеризует максимальную погрешность представления.
При адаптивной дискретизации отсчеты передаются в случайные мо-
моменты времени. Поэтому для восстановления непрерывного сообщения по
отсчетам приемная сторона должна знать, к каким тактовым моментам от-
относятся принятые отсчеты. В связи с этим на приемную сторону приходится
передавать дополнительную служебную информацию. Такой информацией
могут быть значения тактовых моментов, соответствующих существенным
выборкам. При сравнении различ-
различных способов представления сиг-
сигнала это обстоятельство необходи-
необходимо учитывать.
Адаптивные способы дискре-
дискретизации широко применяют при
отсутствии априорной информации
о корреляционной функции или
спектральной плотности мощности
непрерывных сообщений.
Рис. 2.4. Пример размещения существен-
существенных выборок при линейной интерполяции
55

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Рис. 2.5. Характеристика квантователя
56
где w(x) — плотность распределе-
распределения вероятностей мгновенных зна-
значений сигнала x(t).
В случае равномерного рас-
распределения значений сигнала из
соотношения B.38) находим
2.5. Преобразование непрерывных сигналов
в цифровую форму
Непрерывные сигналы можно преобразовывать в цифровую форму (в
последовательность символов некоторого алфавита, например двоичного) с
помощью операций дискретизации по времени, квантования по уровню и
кодирования. В общем случае квантованию могут подвергаться коэффици-
коэффициенты с„ полученные в результате обобщенного или разностного дискретного
преобразования.
Операция дискретизации по времени была описана в § 2.4. Операция
квантования по уровню заключается в замене непрерывного множества зна-
значений, которые может принимать сигнал x(f), дискретным множеством зара-
заранее определенных значений х^, / = 1,2,...,LKB, называемых уровнями
квантования. Такое преобразование выполняет нелинейное устройство
(квантователь) с характеристикой, изображенной на рис. 2.5, следующим
образом. Диапазон возможных значений сигналов разбивается на ZKB ин-
интервалов. При попадании отсчета сигнала в /-й интервал ему присваивается
значение х^.
Различают равномерное и неравномерное квантования. При равномер-
равномерном квантовании шаг А* выбирают постоянным, а уровень х^ — соответ-
соответствующим середине /-го интервала квантования. При неравномерном кван-
квантовании шаг А* является переменным.
Замена непрерывного множества возможных значений сигналов дис-
дискретным множеством фиксированных значений приводит к погрешности,
называемой шумом квантования. При равномерном квантовании дисперсия
погрешности квантования определяется формулой [8]

2.5. Преобразование непрерывных сигналов в цифровую форму
Таким образом, для рассматриваемого случая дисперсия погрешности
равномерного квантования зависит только от значения шага Ах или при
заданном диапазоне изменения значений сигнала — от числа уровней кван-
квантования.
Заметим, что при большом количестве уровней квантования DKB *
« (АхJ /12 при любом законе распределения мгновенных значений сигнала.
Действительно, в этом случае плотность вероятности w(x) в пределах любо-
любого /-го интервала можно считать постоянной и равной w(x^ J. Тогда
Неравномерное квантование, несмотря на то, что оно сложнее в реа-
реализации, чем равномерное, довольно часто используют, например, при пе-
передаче речевых сигналов. Это объясняется следующими причинами. Одна
из них заключается в том, что распределение мгновенных значений речевых
сигналов отлично от равномерного; как правило, малые значения гораздо
более вероятны, чем большие. Поэтому при равномерном квантовании веро-
вероятности попадания сигнала в разные интервалы квантования различны. Оче-
Очевидно, что погрешность квантования можно уменьшить, если шаг квантова-
квантования брать меньшим для более вероятных значений сообщения и большим
для менее вероятных.
Другая причина заключается в том, что в телефонных системах сред-
средние значения речевых сигналов могут различаться на 30 дБ и более. Чтобы
сохранить разборчивость речи «тихого» абонента, шаг квантования в облас-
области малых значений сигнала должен быть небольшим. В области больших
значений сигнала шаг можно увеличить. Таким образом, вновь приходим к
неравномерному квантованию.
Неравномерное квантование можно реализовать различными спосо-
способами, например используя квантователь с соответствующей амплитудной
характеристикой (непосредственное неравномерное квантование). При этом
длины интервалов и уровни квантования (см. рис. 2.5) обычно выбирают из
условия получения минимальной дисперсии погрешности DKB. Такой же
57

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Рис. 2.6. Структурная схема компандирования
эффект можно получить сжатием (компрессированием) динамического диа-
диапазона сигнала, применением равномерного квантования и последующим
расширением (экспандированием) после восстановления отсчетов на прием-
приемной стороне (рис. 2.6). Характеристики компрессора и экспандера должны
быть взаимно обратными. Этот метод получил название квантование с ком-
пандированием сигнала. Характеристику компрессора выбирают из условия
обеспечения минимума дисперсии погрешности квантования.
При неравномерном квантовании дисперсия погрешности квантова-
квантования определяется выражением
где д:(^ и д;(/+1) — нижняя и верхняя границы i-то интервала квантования,
называемые обычно порогами квантования.
Пороги и уровни квантования выбирают из условия минимизации
дисперсии B.40). Для их нахождения продифференцируем выражение B.40)
по переменным jcjj и х(/) и приравняем производные нулю. В результате
получим
,('+!)
Из соотношений B.41) и B.42) находим, что оптимальным значением
jcJb является абсцисса центра тя-
тяжести криволинейной трапеции
(рис. 2.7) с основанием (x('),jt('+1)),
ограниченной сверху кривой w(x),
а порог квантования х^1' равен
Рис. 2.7. Диаграмма, иллюстрирующая
выбор уровня квантования
58
,0-1)
(*кВ+*1'в )/2. В частности, из
выражений B.41) и B.42) нетруд-

2.6. Сложные сигналы
но видеть, что если распределение x(t) равномерное, то квантование с по-
постоянным шагом оптимальное.
Квантованные отсчеты можно передавать различными способами. На
практике для этого чаще всего используют кодовые комбинации, каждая из
которых соответствует определенному уровню квантования. При равномер-
равномерном коде с основанием т длина кодовых комбинаций не может быть мень-
меньше к, где к выбирается из условия LKB < mk.
При выборе основания кода в первую очередь необходимо учитывать
простоту, экономичность и удобство реализации цифрового представления не-
непрерывных сообщений. На практике обычно применяют простые (безызбыточ-
(безызбыточные) двоичные коды, среди которых наибольшее применение нашли двоичный
натуральный код, симметричный двоично-числовой код и код Грея [13].
Двоичный натуральный код — это код, комбинации которого пред-
представляют собой двоичные номера уровней квантования. Он прост в реализа-
реализации и удобен при обработке на ЭВМ.
Симметричный двоично-числовой код используется для представления
биполярных квантованных отсчетов. При этом высший разряд несет инфор-
информацию о знаке отсчета, а остальные разряды — об абсолютном значении
отсчета в натуральном двоичном коде.
Код Грея связан с двоичным натуральным кодом следующими соот-
соотношениями: uq =ao®a], a\ = al®a2, ..., aTk_2 =ak_2 Ф ak_v a\_x=ak_x, где
Г Г Г*
ak-\ak-i---ao — кодовая комбинация натурального кода, ak_]ak_2...a0 —
кодовая комбинация кода Грея, символ 0 обозначает суммирование по мо-
модулю два. Этот код обладает следующими двумя особенностями, которые
способствуют повышению быстродействия кодирующих устройств по срав-
сравнению с применением двоичного натурального кода: любые две кодовые
комбинации, соответствующие соседним уровням квантования, отличаются
друг от друга значениями только в одном разряде; смена значений элемен-
элементов в каждом разряде при переходе от одной комбинации к другой происхо-
происходит вдвое реже, чем в двоичном натуральном коде.
Кроме простых двоичных кодов используют помехоустойчивые коды,
позволяющие обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие при пере-
передаче дискретной информации.
2.6. Сложные сигналы
Под сложными {шумоподобными, широкополосными) сигналами по-
понимают сигналы, для которых выполняется неравенство
l, B.43)
59

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
где В, FcuTc — база, ширина спектра и длительность сигнала соответствен-
соответственно. Для простых (узкополосных) сигналов В »1.
Сложные сигналы можно образовать модуляцией гармонического ко-
колебания Aq cos(co0r + ф@) по амплитуде (AM), частоте (ЧМ) и фазе (ФМ)
специальной функцией a(f), расширяющей спектр. При этом сигналы пред-
представляются в виде
при AM,
при ЧМ, B.44)
cos((o0t + A<pa(t) + <p(t)) при ФМ,
где Асо и Аф — девиация частоты и фазы соответственно.
Расширяющие функции a{t) должны быть детерминированными. Это
требование связано с необходимостью получения идентичных реализаций
функции a(t) в передатчике и приемнике. Они должны обладать хорошими
корреляционными и взаимно корреляционными свойствами. Именно эти
свойства придают РТС, использующим сложные сигналы, такие характери-
характеристики, как высокую помехозащищенность, высокую точность измерений,
подавление замираний в каналах с многолучевостью, обеспечение много-
многостанционного доступа с одновременной работой многих РТС в одном и том
же диапазоне частот, обеспечение электромагнитной совместимости с узко-
узкополосными РТС. Количество расширяющих функций должно быть как
можно большим. Это обеспечивает структурную скрытность, имитостой-
кость, многостанционный доступ.
Для образования сложных сигналов можно использовать как непре-
непрерывную (аналоговую), так и дискретную модуляции. Примером широкопо-
широкополосных сигналов, полученных непрерывной модуляцией, являются сигналы
с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-сигналы). Они нашли широкое
применение в радиолокационных системах (см. гл. 4).
В системах передачи информации, как уже упоминалось, необходимо
иметь большой ансамбль сложных сигналов, которые можно сформировать
дискретной модуляцией гармонического колебания по частоте (дискретные
частотно-модулированные (ДЧМ) сигналы) и по фазе (фазоманипулирован-
ные (ФМ) сигналы). При этом расширяющие функции a(t) представляют
собой кодовые последовательности, обычно двоичные.
В современных РТС в качестве кодовых последовательностей приме-
применяются линейные рекуррентные последовательности максимального перио-
периода (М-последовательности), последовательности Баркера, Голда, Касами и
ряд других [12].
60

2.6. Сложные сигналы
2.6.1. Линейные рекуррентные последовательности
максимальной длины
Линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) называется по-
последовательность символов {а,} =<з0а1а2---> удовлетворяющая рекуррент-
рекуррентному правилу
B.45)
где значения как символов последовательности {at}, так и коэффициентов с и с,-
принадлежат некоторому алфавиту @,1,..., L -1), а операции сложения и ум-
умножения производятся по модулю L, причем L предполагается простым числом.
Соотношение B.45) называется правилом кодирования, число п — па-
памятью последовательности, а число L — ее основанием. В дальнейшем бу-
будем рассматривать только случай 1 = 2.
Без потери общности в выражении B.45) коэффициент с можно поло-
положить равным нулю. Тогда рекуррентное правило запишется в виде
спа; =с,а;
B.46)
Из соотношения B.46) следует, что для построения ЛРП необходимо в
каждый тактовый момент запоминать п последних символов
ai_ltai_2,...tai_n последовательности {at} и суммировать их по модулю два
с весами с{,с2,...,сп. Эти операции осуществляют сдвигающим регистром с
обратной связью (рис. 2.8).
Любую ЛРП {at} можно за-
задать производящей функцией G(x)
[12], под которой понимается фор-
формальный степенной ряд
где at — /-й символ последователь-
последовательности {я,}, а суммирование произ-
производится по модулю два.
с\
Рис. 2.8. Схема сдвигающего регистра с
обратной связью
61

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
где комбинация символов a_Ja_J+l...a_l характеризует начальное состояние
регистра сдвига, вырабатывающего последовательность {а,}.
Из выражения B.47) с учетом того, что для рассматриваемого случая
все операции производятся по модулю два, можно получить
2>.=2"-
Пусть {а{} —ЛРП, соответствующая производящей функции G(x) =
~9(х)/ f(x), где q(x) nf(x) — взаимно простые многочлены. Тогда можно
62
где q(x) и/(х) — многочлены степени г < п и п соответственно. Многочлен
f(x) полностью определяется рекуррентным правилом и называется харак-
характеристическим многочленом.
Выбирая многочлены q(x) nf(x) и производя их деление, можно получить
различные рекуррентные последовательности. Пусть, например,
/(*) = 1Ф х® х5. Тогда при q(x) = 1 получается последовательность
A11110101001100010000)... с периодом 21; при q(x) = l®x®x3®x4 — по-
последовательность A001011)... с периодом 7; при q(x) = l@x2 0jc3 — после-
последовательность (ПО)... с периодом 3 и, наконец, при #(л:) = 0 — последова-
последовательность @)... с периодом 1.
Таким образом, каждому характеристическому многочлену/(х) степе-
степени п соответствует некоторое множество из к последовательностей длины
Nn причем

2.6. Сложные сигналы
показать, что периодом последовательности {а,} является наименьшее по-
положительное целое число N, при котором/(х) делит двучлен 10 л:^.
Введем понятие неприводимого многочлена, под которым будем пони-
понимать многочлен степени п, не имеющий делителей, степень которых больше
нуля, но меньше п. Рассмотрим порождающую функцию G(x) = q(x)/f(x),
где f(x) является неприводимым многочленом степени п. Тогда можно ут-
утверждать, что период последовательности, соответствующей порождающей
функции G(x), не зависит от выбора многочлена q{x). Выбирая различные
многочлены q(x), можно найти
k = Bn-\)/N B.48)
различных последовательностей с периодом N, соответствующих многочле-
ну М-
Если в выражении B.48) к = \, то период последовательности {я,} ра-
равен 2" -1. Такие последовательности называются линейными рекуррент-
рекуррентными последовательностями максимальной длины (периода), или Ы-после-
дователъностями. Очевидно, что характеристический многочлен М-после-
М-последовательности должен делить двучлен 1 © х2 ~\
Неприводимость характеристического многочлена является необхо-
необходимым, но не достаточным условием получения М-последовательности.
Действительно, существуют неприводимые полиномы, которым соответст-
соответствуют последовательности немаксимальной длины. Например, многочлен
f(x) = x6 0 л:3 01 является неприводимым. Однако максимальный период
соответствующих ему ненулевых последовательностей равен 9.
Найдем достаточное условие получения М-последовательности. Из-
Известно, что любой неприводимый многочлен f(x) степени п является делите-
лем многочлена 10 л: . Тогда, учитывая, что 10 л: делится также на
любой многочлен 10 л:*, если только s является делителем числа 2я-1,
можно утверждать, что период ЛРП с неприводимым характеристическим
многочленом/(л:) степени п должен совпадать с одним из делителей числа
2" -1. Очевидно, что для получения М-последовательности характеристи-
характеристический многочлен f(x) степени п не должен делить никакой двучлен 10 л:*
при s < 2п -1. Неприводимые многочлены Дх) степени п, которые делят
двучлен 10л:2 и не делят никакой двучлен 10xs, s<2"-l, называются
примитивными. Таким образом, необходимым и достаточным условием су-
существования М-последовательности является примитивность характеристи-
характеристического многочлена.
63

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Каждому примитивному многочлену соответствует вполне опреде-
определенная М-последовательность. Соответственно, число различных М-по-
следовательностей памяти п равно числу примитивных многочленов степе-
степени п, которое определяется как Q = (pB" -\)ln, где q>(N) — функция Эйле-
Эйлера из теории чисел, равная количеству целых чисел, включая единицу,
меньших числа N и взаимно простых с ним.
Приведем значения Q для некоторых п:
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Q 1 1 2 2 6 6 18 16 48 60 176 144 630 756 1800
В работе [14] даны все примитивные многочлены степени п < 16, а
также примитивные многочлены с минимальным числом ненулевых коэф-
коэффициентов степени 17 < п < 34. В табл. 2.1 приведены примитивные много-
многочлены по одному для п = 3,4,..., 10.
Таблица 2.1
Укажем основные структурные свойства М-последовательностей [12,
15—17].
1. Период М-последовательности равен 2" - 1, где п — степень ее ха-
характеристического многочлена.
2. М-последовательность имеет наибольший период среди ЛРП с рав-
равными степенями их характеристических многочленов.
3. В М-последовательности с периодом 2" - 1 содержатся все и-знач-
ные двоичные комбинации, кроме комбинаций из одних нулей, причем каж-
каждая п -значная комбинация встречается один раз.
4. В М-последовательности число единичных символов равно 2", а
число нулей равно 2й - 1, т. е. на единицу меньше.
5. Если М-последовательность {а,} сложить по модулю два с последо-
последовательностью {cij+k}, образованной из {а{} циклическим сдвигом на к симво-
символов, то получим исходную М-последовательность, но с некоторым другим
циклическим сдвигом.
64

2.6. Сложные сигналы
6. Пусть {а,} — М-последовательность памяти п, a d — любое поло-
положительное число. Тогда последовательность {а<ц}, полученная из {д,} вы-
выборкой di-x членов, / = 0,1,..., имеет период, равный B" - 1)/Bи -1, d), где
запись B" -1, d) означает наибольший общий делитель чисел 2й -1 и d.
7. Если {cij} — М-последовательность памяти п, a d— любое из чисел
1,2,4,...,2й-1, то {adi\, i = 0,1,..., является исходной М-последователь-
ностью с точностью до циклического сдвига.
8. Пусть {я,} — М-последовательность памяти п. Тогда существует ее
циклический сдвиг {&,} = {ai+m} такой, что {b2i} ={bt}, где т — некоторое
целое число. М-последовательности, инвариантные относительно операции,
заключающейся в выборке 2i-x членов последовательности, / = 0,1,2,...,«-1,
называются характеристическими М-последовательностями. Очевидно,
что для характеристических М-последовательностей равенство {^2/}={^}
остается справедливым для всех d = 2k, где к = 1,2,...,«-1.
9. Если {а,} — характеристическая М-последовательность, то ее про-
производящая функция имеет вид
10. Пусть {at} — М-последовательность с характеристическим много-
многочленом/(jc). Тогда последовательности {а^} являются М-последовательнос-
М-последовательностями, если Bй -\,d) = 1. Это свойство позволяет по одной М-последова-
М-последовательности построить все М-последовательности того же периода.
11. Пусть {я,} — М-последовательность с характеристическим много-
многочленом/(х) степени п и d2 = dx2j (modB" -1)), причем d\ и d2 — числа, вза-
65
1000010101110110001111100110100
1001011001111100011011101010000
В качестве примера в табл. 2.2 представлены производящие функции
двух характеристических М-последовательностей, а также сами последова-
последовательности для п = 5.

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
имно простые с 2" -1. Тогда последовательности \ad^ и \ad^ будут сов-
совпадать с точностью до циклического сдвига.
12. Пусть {я,} — М-последовательность памяти п, причем п — четное
число. Тогда последовательность {adi}, / = 0,1,..., где d = 2n/2+l, является
М-последовательностью памяти nil.
Рассмотрим корреляционные свойства М-последовательностей. Най-
Найдем сначала периодическую корреляционную функцию (ПКФ)
предварительно отметив, что далее все результаты приводятся для последо-
последовательностей, которые получаются из последовательностей, состоящих из
символов 1 и 0, заменой 1 на -1, а 0 на 1.
Тогда с учетом соотношения B.49) и свойств 4, 5 М-последователь-
М-последовательностей получаем
где N— период М-последовательности.
Таким образом, ПКФ М-последовательности оказалась двухуровневой
со значением боковых лепестков, равным -1.
На рис. 2.9, б приведена ПКФ М-сигнала (рис. 2.9, а), представляющего
собой последовательность видеоимпульсов, длительность которых равна то> а
66
Рис. 2.9. М-сигнал (а) и его ПФК (б)

2.6. Сложные сигналы
Кь(к) =
-B("+1)/2+1)или2("+1)/2-1, если ак=-\.
B.51)
2. Пусть Ц} —характеристическая М-последовательность. Образуем
М-последовательность {bi) = {adi}; здесь
{2^+1^/2+1, если п- нечетное число;
B-^2)
2(л+2)/2 + 1, если «-четное число, пфО (mod 4).
з* 67
полярность определяется М-последовательностью 111100010011010 (симво-
(символу 1 соответствует видеоимпульс отрицательной полярности, а символу 0 —
видеоимпульс положительной полярности). На практике используются сиг-
сигналы, получаемые фазовой манипуляцией высокочастотного колебания по
закону М-последовательности. У таких сигналов огибающие корреляцион-
корреляционных функций совпадают с корреляционными функциями соответствующих
М-сигналов.
Периодическая взаимокорреляционная функция (ПВКФ) М-последо-
вательностей {я,} и {bt} с периодами N} и N2 соответственно имеет вид
т. е. является периодической функцией с периодом, равным наименьшему
общему кратному чисел N\ и N2 (HOK(N],N2)).
Периодическая взаимокоррелирующая функция достаточно просто
определяется только для М-последовательностей с взаимно простыми пе-
периодами. Можно показать, что для них R"b (к) = 1 при всех к. В других слу-
случаях ПВКФ не имеет общих закономерностей в своем поведении. На прак-
практике часто достаточно знать лишь максимальный уровень взаимной корреля-
корреляции, а не детальное поведение ПВКФ. Укажем три подмножества М-последова-
М-последовательностей с определенным уровнем взаимной корреляции [16].
1. Пусть {я,} — некоторая характеристическая М-последовательность
памяти м, где п — нечетное число. Образуем из нее М-последовательность
{*/}={**}; здесь
Тогда ПВКФ последовательностей {я,} и {?,} определяется как

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Рис. 2.10. ПВКФ сигналов, соответствующих М-последовательностям
Тогда ПВКФ удовлетворяет неравенству
3. Пусть {а-\ — характеристическая М-последовательность памяти п,
причем п = 0 (mod 4N). Образуем последовательность {bt}={adi}, где
d = T*n+2'12 -1. Тогда ПВКФ последовательностей {а{} и {Ь{} принимают
только следующие четыре значения: 2^'+2^ 2-1, 2" 2-1, -1, -B"/2+1). Та-
Таким образом, \^ь(k)\ < 2{"+2J-l.
На рис. 2.10 изображена ПВКФ сигналов, соответствующих М-после-
М-последовательностям
Ц} =-11111-11-11-1-1-11-1-111 l-1-l-l-l-l 1 l-1-l 1-111,
{Ь{} = -111-111-1-11111-11-1-11-11-1111-1-1-1 l-1-l-l-l.
Сформулированные правила позволяют выбирать пары М-последо-
вательностей с гарантированным уровнем взаимной корреляции, что имеет
большое практическое значение. Так, для п= 13 существует 630 М-после-
довательностей. Среди них имеются пары, для которых значения ПВКФ
достигают 703. Однако согласно формуле B.51) имеются также пары с мак-
максимальным значением ПВКФ, равным 129.
В общем случае максимальный уровень боковых лепестков ПВКФ М-по-
следовательностей одинакового периода лежит в пределах A,5...6) yJN [ 17].
68

2.6. Сложные сигналы
Непериодическая корреляционная функция (НКФ) М-последователь-
ности имеет вид
2.6.2. Линейные рекуррентные последовательности
немаксимальной длины
Среди линейных последовательностей немаксимальной длины наи-
наибольшее значение имеют последовательности Голда и Касами [16]. На их
основе могут быть построены большие системы сигналов с малыми значе-
значениями периодических взаимокорреляционных функций.
Последовательности Голда образуются следующим образом. Пусть
/а(х) и fb(x) — пара примитивных многочленов степени п, порождающих
соответственно М-последовательности {д,} и {bi} = {adi}, где число of удов-
удовлетворяет условию B.50) или B.52). Тогда многочлен f(x) = fa(x)fb(x) бу-
будет порождать 2" +1 различных последовательностей с периодом 2" -1,
ПВКФ любой пары {ct} и Ц} которых принимают те же значения, что и
ПВКФ М-последовательностей {at} и {ty}. Следовательно, они имеют трех-
трехуровневую ПВКФ, удовлетворяющую условию
69
Одной из ее характеристик является также максимальный уровень бо-
боковых лепестков. Для различных М-последовательностей он оказывается
различным. Последовательности, для которых наибольший уровень боковых
лепестков НКФ оказывается наименьшим, называются минимаксными. Для
таких сигналов максимальное значение R"(k), k*0, несколько меньше
vN и стремится к этой величине с ростом N.
Непериодическая корреляционная функция обладает следующими
двумя свойствами:
Непериодическая взаимокорреляционная функция (НВКФ) М-после-
М-последовательностей не подчиняется каким-либо общим закономерностям. Со-
Согласно [17] максимальный уровень лепестков НВКФ лежит в пределах
A,4...5,1)V#.

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
B.53)
Образованные последовательности и называются последовательнос-
последовательностями Голда.
Последовательности Голда можно получить почленным суммировани-
суммированием по модулю два циклических сдвигов М-последовательностей {я,} и {bt},
порождаемых исходными многочленами fa(x) и fb(x). Действительно,
производящую функцию G(x) = q(x)/(fa(x)fb(x)) любой последовательно-
последовательности Голда {с,} можно представить в виде
B.54)
где <7i (х) и q2 (х) — многочлены, степень которых меньше п. Из выражения
B.54) непосредственно следует, что ^=^0^. В множество последова-
последовательностей Голда входят и сами последовательности {я,} и {/>,}.
На рис. 2.11 изображена ПВКФ сигналов, соответствующих последо-
последовательностям Голда
{с,.} = 1000000000100101001001111010101,
{</,.} = 1111111111000110001110101100110,
формируемым сдвигающим регистром с функцией обратной связи
-1 -
70
Рис. 2.11. ПВКФ сигналов, соответствующих последовательностям Голда

2.6. Сложные сигналы
f(x) = fa(X)fb(x)=(l®x2@x5)(\®x2®x3®x4®x5) =
=х10 е х9 е *8 е х6 е *5 е *3 ei.
В данном случае получается 33 сигнала с максимальным значением
модуля ПВКФ, равным 9.
При п = О (mod 4) можно образовать множество последовательностей
типа Голда. Пусть fa (x) и fb (x) — пара примитивных многочленов степени
и = 0 (mod 4), порождающих соответственно М-последовательности Ц} и
{bj} = {adi}, где </ = 2(и+2)/2+1. Тогда многочлен f(x) = fa(x)fb(x) порож-
порождает 2" различных последовательностей, которые и называются последова-
последовательностями типа Голда. Любая пара {с,} и {dt} этих последовательностей
характеризуются тем, что их ПВКФ принимает только следующие значения:
-1, -Bи/2 + 1), Bи/2-1), -B(и+2)/2 + 1). Таким образом, для них
Последовательности Касами образуются следующим образом. Пусть
{oj —характеристическая М-последовательность периода N-2п-\, по-
порождаемая многочленом fa (х) степени п, причем п — четное число. Обра-
Образуем последовательность {bi} = {adi}, где d = 2nl2+\. Полученная таким
образом последовательность является М-последовательностью с периодом
2"/2-1. Пусть многочлен fb(x) степени п/2 есть характеристический
многочлен М-последовательности {&,}. Тогда многочлен f(x) = fa(x)fb(x)
степени Зи/2 порождает множество Ks последовательностей с периодом
2" -1, каждая из которых может быть получена почленным суммированием
по модулю два циклических сдвигов последовательностей {а,.} и {&,}. В
множество К5 входит также последовательность {а{}. Образованное мно-
множество последовательностей называется малым множеством последова-
последовательностей Касами.
Последовательности Касами характеризуются тем, что их ПВКФ при-
принимает только значения-1, -B"/2+1) и 2"/2-1. Таким образом, для них
2и/2+1. B.55)
Из выражений B.53) и B.55) находим, что для последовательностей
Касами при небольших п значения ПВКФ существенно меньше, чем для по-
последовательностей Голда.
71

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Определим класс последовательностей, носящий название большого
множества последовательностей Касами. Пусть п — четное число, /а(х) —
примитивный многочлен степени п, порождающий М-последовательность
{а,}, и fb(x) — примитивный многочлен степени и, порождающий М-по-
М-последовательность {Ь(} = {аш}, где d = 2^n+2'12 + 1, и /с(х) —примитивный
многочлен степени л/2, порождающий М-последовательность {с/} = |а • },
где q = 2n/2 +1. Тогда многочлен f{x) = fa{x)fb(x)fc(x) порождает мно-
множество KL последовательностей с периодом 2" -1, каждая из которых мо-
может быть получена почленным суммированием по модулю два циклических
сдвигов М-последовательностей Ц}, {&,} и {с,}. В множество KL входят
также все последовательности Голда при A?*0(mod4). Образованное мно-
множество последовательностей и называется большим множеством последо-
последовательностей Касами. При и?* О (mod 4) множество KL состоит из
2"/2B"+l) последовательностей, а при « = 0(mod4) —из 2и/2B"+l)-l
последовательностей.
Последовательности, входящие во множество KL, характеризуются
тем, что их ПВКФ принимает только следующие значения: -1,
_B(и+2)/2+1)} 2(и+2)/2_1? _B«/2+1), 2и/2-1. Таким образом, для них
КпЩ < 2(и+2)/2+1.
В качестве примера укажем, что многочлен
л:2О0х19ех14е^12ед:9ел:8ел:7ел:2е1
порождает 4111 последовательностей с периодом N=255, ПВКФ любой па-
пары которых принимает значения -1; -33; 31; -17; 15.
2.6.3. Сегменты М-последовательностей
Большой класс сигналов с хорошими корреляционными свойствами
можно получить, разбивая М-последовательности большого периода 2" -1
на отрезки или сегменты длиной п <§: Л^сег «: N. Исследования показывают,
что взаимокорреляционные функции (ВКФ) сегментов М-последовательнос-
М-последовательностей подобны ВКФ самих М-последовательностей [17]. В частности, макси-
максимальный уровень лепестков ПВКФ лежит в интервале (l,4...4,3)^/7/cer, a
максимальный уровень лепестков ПВКФ — в интервале (l,6...5,O)^/7Vcer.
72

2.7. Системы сигналов
Корреляционные свойства сегментов М-последовательностей значительно
хуже, чем у М-последовательностей. Так, максимальное значение боковых
лепестков НКФ равно A,45.. .4,1) л/^сег' а максимальное значение боковых
лепестков ПКФ равно (l,6..A,3)yjNcer. При фиксированном N с увеличени-
увеличением длины отрезка максимальный уровень лепестков ВКФ уменьшается, а
при фиксированной длине отрезка увеличение N приводит к его росту.
В работе [12] приведены распределения значений ПВКФ для некото-
некоторых классов сегментов. Можно показать, что среднее значение (первый мо-
момент) и дисперсия (второй момент) этих распределений зависят только от
длины сегмента JVcer и периода N М-последовательности, из которой они
образованы, и не зависят от характеристического многочлена используемой
М-последовательности. Третий момент, характеризующий асимметрию рас-
распределения значений ПВКФ сегментов, зависит от характеристического
многочлена М-последовательности. С точки зрения получения множества
сегментов с хорошими взаимокорреляционными свойствами, необходимо
использовать М-последовательности, для которых распределение значений
ПВКФ сегментов симметричное.
Шумоподобные сигналы, описанные в настоящем параграфе, находят
применение в радиолокации (гл. 4, 7), радионавигации (гл. 8), радиосисте-
радиосистемах передачи информации (гл. 9).
2.7. Системы сигналов
При построении систем передачи информации, таких как многока-
многоканальные системы с кодовым уплотнением, /и-ичные системы (системы, в
которых для передачи сообщений используют т различных сигналов),
асинхронно-адресные системы, необходимо располагать множеством
сигналов. Совокупность сигналов, объединенных единым правилом по-
построения, называется системой сигналов. Существует бесконечно боль-
большое число систем, отличающихся друг от друга индивидуальными и со-
совместными свойствами сигналов. От выбора того или иного множества
сигналов зависят такие характеристики системы передачи, как помехо-
помехоустойчивость, полоса занимаемых частот, сложность и ряд других. Сис-
Система сигналов, обеспечивающая максимальную помехоустойчивость при
заданных априорных условиях передачи информации, называется опти-
оптимальной.
При действии в канале помехи типа белого гауссовского шума поме-
помехоустойчивость системы зависит от расстояния между сигналами
73

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
называются симплексными, поскольку в (т - 1)-мерном пространстве они
образуют правильный симплекс с числом вершин т. Симплексные сигналы
являются эквидистантными, т. е. для всех пар сигналов st(t) и $Д/) рас-
расстояние d(Sj,Sj) одинаково.
На практике часто применяют ортогональные сигналы, для которых
74
причем чем больше минимальное из этих расстояний, тем выше помехо-
помехоустойчивость системы.
Если сигналы имеют одинаковую энергию Е, то выражение B.56)
можно упростить:
Т
1 'с
где rtj = — iSjWsjifydt — коэффициент взаимной корреляции между сигна-
лами st(t) и s ¦(*)• Из формулы B.57) следует, что для достижения большего
расстояния коэффициент взаимной корреляции должен быть как можно
меньше.
Для обеспечения одной и той же вероятности правильного приема при
передаче любого сообщения необходимо, чтобы все коэффициенты г{. были
одинаковыми, т. е. г{. - г0 для всех / uj, i * j. Значение г0 удовлетворяет не-
неравенству r0 ^ -l/(m-l), которое вытекает из следующего соотношения:
Очевидно, что для оптимальной системы сигналов
Сигналы sft), i = \, 2,..., m, удовлетворяющие условию

2.7. Системы сигналов
При больших значениях т ортогональные сигналы по помехоустойчи-
помехоустойчивости близки к симплексным. Это следует из того, что значение г0, опреде-
определяемое соотношением B.58), при больших т стремится к нулю. Ортого-
Ортогональные сигналы с равной энергией также являются эквидистантными.
Другой системой, близкой при т»1 к симплексной, является биор-
тогональная система сигналов st{t), i = \,2,...,m (m — четное число), кото-
которая характеризуется тем, что для каждого сигнала s,{t) существует противо-
противоположный сигнал -5,@, а остальные ортогональны сигналу Si(t).
Различают непрерывные и дискретные системы сигналов. В непре-
непрерывных системах сигналы могут быть построены на основе ортогональных
полиномов Лежандра, Эрмита, Лаггера, функций Бесселя, Матье и т. п. [12].
Дискретные сигналы строятся с использованием матриц Адамара, а также
различных кодовых последовательностей, таких как линейные рекуррент-
рекуррентные последовательности максимальной длины (М-последовательностей),
последовательностей Лежандра, Холла, Якоби, Голда, Касами и др. [12].
Поскольку непрерывные системы сигналов практически не нашли примене-
применения в РТС, далее будут рассматриваться только дискретные системы.
2.7.1. Ортогональные сигналы
В общем случае ортогональные сигналы можно сформировать следую-
следующим образом. Пусть ф;(/), j = l,2,...,N, — некоторая полная ортонормиро-
ванная система функций. Тогда любой сигнал 5,@> * = 1,2,..., т, с полосой
частот Fc можно представить в виде
где N = 2FCTC — число отсчетов на интервале Тс по теореме Котельникова,
— коэффициенты разложения.
Геометрически сигнал s^t) можно представить вектором в iV-мерном
75

пространстве с координатами (ай, al2, ¦ - -, alN). Сигналы st (/), i -1,2,..., т,
будут ортогональны, если для любого z-го сигнала выполняется соотношение
Рассмотрим в качестве примера базисные функции
где частоты со , j = l,2,...,m, выбираются из условия ортогональности функ-
функций фу(/). Тогда сигналы
образуют ортогональную систему.
Существует бесконечно большое число ортогональных систем функ-
функций, на основе которых могут быть сформированы ортогональные коды.
При этом сами сигналы получают фазовой манипуляцией несущего колеба-
колебания по закону кодовых комбинаций.
В общем случае построение ортогональных кодов связано с матрица-
матрицами Адамара, являющимися квадратными ортогональными матрицами с эле-
элементами ±1. Поэтому строки (или столбцы) матрицы Адамара можно ис-
использовать для формирования комбинаций ортогонального кода (символ -1
заменяется символом 0).
Укажем два положения, касающихся существования и построения
матриц Адамара.
1. Матрицы Адамара имеют порядок либо N = 2, либо N = 4к,
* = 1,2,....
2. Матрица ANx;Vi порядка N] *N2, полученная из матрицы Адамара
Ад,2 подстановкой матрицы Адамара AN вместо элемента +1 и матрицы
-Ад^ вместо элемента -1, есть также матрица Адамара.
Таким образом можно легко строить матрицы Адамара более высоких
порядков.
Рассмотрим в качестве примера матрицы Адамара
76

2.7. Системы сигналов
Используя указанный способ, нетрудно получить матрицу Адамара
порядка N = 8:
Если первая строка и первый столбец матрицы Адамара состоят из
единиц, то говорят, что матрица записана в нормальной форме.
Ортогональные коды можно построить на основе системы функций
Уолша [12], которые достаточно просто генерируются.
Система функций Уолша впервые была описана математиком Уолшем
(J. Walsh) в 1923 г. В настоящее время существует ряд определений, позво-
позволяющих строить различные модификации этой системы, отличающиеся ин-
интервалом определения и порядком следования функций. Приведем сначала
определение системы, практически совпадающей с системой, введенной
Уолшем, в которой упорядочение функций производится по числу пересе-
пересечений ими нулевого уровня. Система обычно обозначается как {wal,F)}5
1 = 0,1,2,..., где 0 < 9 = Г/Г<1, Г— период функций. Далее будем рас-
рассматривать конечные системы, состоящие из N=2" функций.
Введем предварительно функции Радемахера [12]
77

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Рис. 2.12. Графики функций гг (9)
Из выражения B.59) следует,
что эти функции являются дис-
дискретными и принимают только два
значения: +1 на подынтервалах
(*/2',(* + 1)/2'), Аг = 2у,у=0,1,...,
и -1 на остальных подынтервалах.
На рис. 2.12 представлены первые
четыре функции а}@).
Система функций Радемахера
является ортогональной на интерва-
интервале [0,1), но неполной, так как на том
же интервале существуют другие
функции, ортогональные им.
Система функций Уолша
{wal,.(8)}, i = 0,1,...,2й, является
расширением системы функций
Радемахера до полной системы и
определяется как
B.60)
где iTj — значение у-го разряда в записи числа / в коде Грея.
Получение первых восьми функций Уолша в соответствии с выражением
B.60) наглядно показано в табл. 2.3, а на рис. 2.13 приведены их графики.
Функции Уолша являются дискретными (принимают значения ±1),
периодическими с периодом, равным 1. Они удовлетворяют условиям орто-
ортогональности, нормировки и мультипликативности:
где /Фу — условная запись числа, двоичное представление которого полу-
получается поразрядным сложением по модулю два двоичных представлений
чисел / и у. Следующий пример поясняет нахождение к = /Фу. Пусть / = 7,
у = 10. Запишем / и у в двоичной системе исчислений и сложим их поразряд-
поразрядно по модулю два:
78

2.7. Системы сигналов
Полученное двоичное число является двоичной записью числа к. Таким об-
образом, k = i®j =13.
Таблица 2.3
Рис. 2.13. Графики функций Уолша

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Другая система функций Уолша, упорядоченная по числу пересечений
нулевого уровня, — это система (walo@), cal,@), sal;@)}, / = 1,2,....
Здесь буквосочетание al связано с фамилией Walsh, а первые буквы указы-
указывают на аналогию, в смысле четности и нечетности этих функций, с функ-
функциями cos 0 и sin 9.
Функции cal, @), / = 1,2, , являются четными, a sal, @), / = 1,2,..., —
нечетными. Параметр / равен половине числа пересечений нулевого уровня
соответствующими функциями на интервале единичной длины.
Функции системы {wal, @)} связаны с функциями cal,@) и sal^O)
следующими соотношениями: cal,@) = wal2/@), sal,@)= wal2M@),
/ = 1,2,....
На рис. 2.14 в соответствии с соотношениями B.60) представлена
структурная схема простого устройства для генерирования первых 16-ти
функций Уолша. На выходах триггеров 7],...,Г4 формируются функции
wal1@) = sal1@), wal3@) = sal2@), wal7@) = sal4@), wal15@) = sal8@).
Перемножители образуют из них систему функций Уолша от wal2@) до
wal]4@). Функция walo@) тождественно равна единице.
Функции Уолша не обладают хорошими корреляционными свойства-
свойствами. Многие из них имеют большие боковые лепестки как КФ, так и ВКФ.
По этой причине они применяются, в основном, в синхронных многока-
многоканальных системах.
Рис. 2.14. Структурная схема устройства генерирования функций Уолша
80

2.7. Системы сигналов
2.7.2. Биортогональные сигналы
Система из т биортогональных сигналов формируется из ml2 орто-
ортогональных сигналов добавлением к каждому из них противоположного сиг-
сигнала. Простейшей такой системой является система из четырех сигналов с
одинаковой энергией.
Если в качестве базисных функций <рДО использовать функции
91(/) = %/2/rccosco0r, cp2(/) = V2/rcsinGy,
то при т = 4 биортогональные сигналы будут отличаться только фазой и
совпадут с сигналами, полученными фазовой манипуляцией.
2.7.3. Симплексные сигналы
В общем случае симплексные сигналы получаются из ортогональных
сигналов следующим образом [10]. Пусть Ц}, / = 1,2,...,/и, —ортогональ-
—ортогональные сигналы. Добавив к каждому сигналу st(t), i = 1,2,..., т, один и тот же
сигнал s(t), получим новую систему сигналов s'l(t) = si(t) + s(t). Заметим, что
обе системы сигналов обеспечивают одинаковую помехоустойчивость.
Суммарная энергия новых сигналов определяется следующей формулой:
т Тс
EL=T?j(Si(t) + S(t)JdL B.61)
/=1 0
Для симплексных сигналов энергия Еъ должна быть минимальной. Мини-
Минимизируя выражение B.61) по s{t), можно показать, что симплексные сигна-
сигналы, получаемые на основе ортогональных st(t), i = 1,2,..., m, имеют вид [10]
*;(o=*i(o--f>/(o. B-62)
m i=i
m
Поскольку с учетом выражения B.62) y?js't{t) = O, то каждый из сигналов
;=i
s[{t) можно представить в виде линейной комбинации остальных. Отсюда
следует, что симплексные сигналы st{t), i = 1,2,..., m, можно представить в
виде векторов из (т - 1)-мерного евклидового пространства.
При одной базисной функции ср(О можно сформировать два сим-
симплексных сигнала, которые совпадут с противоположными сигналами.
81

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
При двух базисных функциях можно сформировать три симплексных сигна-
сигнала. Концы их векторов лежат в вершинах равностороннего треугольника.
Симплексные сигналы могут быть получены на основе симплексных
кодов. Рассмотрим равномерный код с основанием 2 и длиной т. Пусть его
кодовые комбинации представляют последовательности из т символов,
принимающих значения -1 и 1. Введем понятие коэффициента взаимной
корреляции между любой парой кодовых комбинаций {&,} и {bj}:
Потребуем, чтобы коэффициенты взаимной корреляции Гу были бы
равны го, /, у = 1,..., т, i ф у. Можно показать, что
Код, все пары кодовых комбинаций которого имеют коэффициенты
взаимной корреляции
называется симплексным. Соответствующее название носят сигналы, полу-
полученные на его основе, например, путем фазовой манипуляции несущей.
Симплексные коды можно построить на основе матриц Адамара. Не-
Нетрудно показать, что если существует матрица Адамара порядка N = 4k, то
можно построить симплексные коды для т = 4к, 4к ~ 1, 2к и 2к -1, где к —
целое положительное число. Действительно, пусть AN — матрица Адамара
порядка N = 4к, записанная в нормальной форме. Тогда, вычеркнув первый
столбец, получаем матрицу, строки которой образуют симплексный код для
т = 4к. Если, кроме того, вычеркнуть одну из строк, то получим симплекс-
симплексный код для т = 4к -1.
Коды для т-2к и т = 2к-1 получаются следующим образом. Рас-
Рассмотрим у-й столбец (у * 1) и вычеркнем в матрице An строки, на которых
элементы у-го столбца равны 1 (или -1). Вычеркнем также первый и у-й
столбцы. Тогда окажется, что оставшиеся строки образуют симплексный
код для т = 2к. Если вычеркнуть еще одну строку, то получим симплекс-
симплексный код для т = 2к-1.
Особый интерес представляют симплексные коды, комбинации кото-
которых являются циклическими перестановками одной из них. Выясним, каким
условиям должны удовлетворять такие кодовые последовательности.
82

2.8. Моделирование сигналов и помех
Введем периодическую корреляционную функцию (ПКФ) кодовой
последовательности Ьо, Ьх,..., Ьт_х:
от-1
1=0
Последовательности, ПКФ которых удовлетворяет условию Rn(J) = а,
у = 1, ...,/я-1, называются последовательностями с двухуровневой ПКФ.
Можно показать, что \а\ > 1.
Для построения циклических симплексных кодов используют только
последовательности с двухуровневой ПКФ, для которых а = -1. К таким
последовательностям относятся последовательности максимальной длины
(М-последовательности), последовательности Лежандра, Холла и Якоби [12].
2.8. Моделирование сигналов и помех
2.8.1. Моделирование случайных величин
Для формирования на ЭВМ случайных величин с различными закона-
законами распределения используют равномерно распределенные в интервале @,1)
случайные числа, которые получаются на ЭВМ по стандартным програм-
программам, входящим в математическое обеспечение.
Плотность вероятности случайной величины X, равномерно распреде-
распределенной на интервале (а, Ь), имеет следующий вид:
w(x) = \/(b-a).
Для рассматриваемого случая а = 0, Ь — 1, w(x) = 1. При этом распре-
распределение имеет математическое ожидание тх - 0,5 и дисперсию Dx = 1/12.
Существуют различные методы преобразования случайных чисел с
равномерным распределением в случайные числа с заданным законом рас-
распределения. Рассмотрим основные из них [18, 19].
Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределе-
распределения, использует соотношение
y = F~\x\ B.63)
где у — значения случайной величины Y с заданной плотностью вероятно-
вероятности w(y); х — значения случайной величины X с равномерным законом рас-
распределения на интервале @, 1); ^'(х) — функция, обратная функции рас-
распределения F(y).
83

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Пример. Определить алгоритм моделирования случайной величины Y с рэ-
леевским законом распределения:
Переход от 1пA-дг) к \п(х) в последнем выражении основан на том, что
случайные величины 1 - X и X имеют одинаковые законы распределения.
В табл. 2.4 приведены алгоритмы моделирования случайных величин
с наиболее распространенными законами распределения, полученные дан-
данным методом [18, 19].
Метод на основе преобразования нормально распределенных случай-
случайных чисел использует известные закономерности нелинейного преобразова-
преобразования случайных величин Z с нормальным распределением в случайные вели-
величины 7 с другими распределениями. Алгоритмы моделирования случайных
величин, полученные данным методом, представлены в табл. 2.4. Здесь же
приводятся алгоритмы моделирования исходных нормальных случайных
величин с использованием датчика случайных чисел с равномерным зако-
законом распределения на интервале @, 1) [19].
Метод Неймана применим для моделирования случайных величин Y с
усеченными законами распределения (значения случайных величин принад-
принадлежат ограниченному интервалу (а, Ь)), а также случайных величин, законы
распределения которых можно аппроксимировать усеченными законами.
Процедура моделирования заключается в следующем.
84
Функция распределения случайной величины Y имеет вид
С учетом выражения B.63) получаем
Отсюда следует алгоритм формирования заданной случайной величины
Выражение B.65) можно представить и в другом виде:

2.8. Моделирование сигналов и помех
Таблица 2.4
Примечание. 10(ф) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка,
Г(«) — гамма-функция.
85

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Из датчика равномерно распределенных на интервале @, 1) случайных
чисел независимо выбирают пары чисел дг}0,*^, / = 1,2,..., из которых
формируются преобразованные пары
где (а, Ь) — интервал возможных значений случайной величины Y с задан-
заданной плотностью вероятностью w(y), wmax — максимальное значение функ-
функции w(y). В качестве реализации случайной величины У выбирают число г
.(О
из тех пар z[l\ z%\ для которых выполняется неравенство
Пары чисел, не удовлетворяющие неравенству B.67), отбрасывают.
Покажем, что сформированная таким образом случайная величина Y
будет иметь заданное распределение w(y). Из формулы B.66) следует, что
случайные числа zf0 и 4° распределены равномерно на интервалах (а, Ь) и
(О, wmax) соответственно. Эти пары случайных чисел можно рассматривать
как координаты случайных точек, лежащих внутри прямоугольника аа'Ь'Ъ
(рис. 2.15). Пары z,(i), z?\ удовлетворяющие условию B.67), можно рас-
рассматривать как координаты случайных точек, лежащих внутри той части
прямоугольника aa'b'b, которая расположена под кривой w(y). Вероятность
того, что случайная точка, находящаяся под кривой w(y), попадет в элемен-
элементарную полосу с основанием (у,у + Ау), определяется произведением
w(y)Ay. Поскольку попадание случайной точки в рассматриваемую элемен-
элементарную полосу возможно только тогда, когда значения случайной величины Y
попадают в интервал (у, у + Ау), то можно утверждать, что вероятность вы-
выполнения условия у < Y < у + Ау
равна w(y)Ay. Отсюда следует,
что сформированная случайная
величина Y действительно имеет
заданное распределение w(y).
Рассмотрим метод кусоч-
кусочной аппроксимации. Пусть требу-
требуется получить случайную вели-
величину Y с плотностью вероятности
w(y). Предположим, что область
возможных значений величины Y
86
Рис. 2.15. Диаграмма, поясняющая метод
Неймана

2.8. Моделирование сигналов и помех
ограничена интервалом (а, Ь) (не-
(неограниченное распределение мож-
можно приближенно заменить ограни-
ограниченным). Разобьем интервал {а, Ь)
на п достаточно малых интерва-
интервалов (ат,ат+1), /и = 0,1,2,..., я-1,
aQ =a, an= b, так, чтобы распре-
распределение заданной случайной вели-
величины в пределах этих интервалов
можно было достаточно точно ап-
аппроксимировать каким-нибудь
простым распределением, напри-
например равномерным, трапецеидаль-
трапецеидальным и т. д. Далее будем использо-
использовать равномерное распределение
(рис. 2.16, а). Пусть Рт — вероят-
вероятность попадания случайной вели-
величины в интервал (ат,ат+1), при-
Рис. 2.16. Диаграммы, поясняющие метод
кусочной аппроксимации:
а — аппроксимация плотности вероятности
w(y); б — разбиение интервала @, 1) на подын-
подынтервалы
Процедура моделирования случайной величины с принятой аппрок-
аппроксимацией закона распределения заключается в следующем.
1. Случайным образом с вероятностью Рт выбирается интервал
(ат,ат+х). Выбор интервала производится с помощью датчика случайных
равномерно распределенных чисел Хна интервале @,1). Для этого интервал
(О, 1) разбивается на п интервалов (хт, хт+]), т = О,1,..., п -1, х0 =0, х„ = 1,
длиной хт+1 -хт-Рт каждый (рис. 2.16, б). Из датчика случайных равно-
равномерно распределенных на интервале @, 1) чисел выбирается некоторая реа-
реализация х\ Последовательно сравнивая х' с хт, определяем тот интервал
(хт, хт+1), в который попадает х'.
В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попа-
попадания равномерно распределенной на интервале @, 1) случайной величины
Хъ некоторый интервал (хт, хт+]) равна длине этого интервала.
2. Формируется реализация Аут случайной величины AYm, равномерно
распределенной на интервале @, ат+х -ат), с помощью другой реализации х"
равномерно распределенной случайной величины Хна интервале @, 1):
87

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
3. Искомая реализация у получается по формуле
Для наглядности изложения рассмотрим биномиальный закон Рк для
р = 0,5 и п = 4 (рис. 2.17, а).
Процедура моделирования числовой последовательности с биноми-
биномиальным законом распределения
вероятностей состоит в следую-
следующем. Интервал @, 1) разбивается
на подынтервалы, длина которых
равна Рк (рис. 2.17, б). Генериру-
Генерируются равномерно распределенные
на интервале @, 1) случайные
числа Xj. При попадании числа х, в
к-и интервал, т. е. при выполнении
неравенства
Рис. 2.17. Диаграммы, поясняющие алго-
алгоритм моделирования случайной величины
с биномиальным законом распределения:
а — биномиальный закон (р = 0,5, п = 4); б —
разбиение интервала @, 1) на подынтервалы
88
случайному числу у приписывает-
приписывается значение к.
Дадим сравнительную ха-
характеристику методов моделиро-
моделирования случайных величин.
Для достижения высокой
точности воспроизведения зако-
законов распределения случайных ве-
Метод кусочной аппроксимации широко используется для формиро-
формирования дискретных случайных величин и случайных событий. Рассмотрим
формирование последовательности чисел, подчиняющихся биномиальному
закону распределения вероятностей. К биномиальному закону приводит за-
задача повторения опытов. Если вероятность некоторого события А равна р,
то вероятность того, что событие А при п опытах появится к раз, определя-
определяется следующей формулой:

2.8. Моделирование сигналов и помех
личин целесообразно использовать алгоритмы, не обладающие методиче-
методической погрешностью. К ним относятся алгоритмы, полученные методом нели-
нелинейного преобразования, обратного функции распределения, и ряд алгоритмов
на основе преобразования нормально распределенных случайных чисел. По-
Погрешностью этих алгоритмов моделирования можно пренебречь, поскольку она
определяется лишь погрешностью выполнения на ЭВМ необходимых нели-
нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных слу-
случайных чисел от равномерного (нормального) закона распределения.
Другим преимуществом указанных алгоритмов является простота
подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона
(или нормального) в требуемый описываются аналитическими зависимо-
зависимостями. Такого вида алгоритмы позволяют легко изменять форму распреде-
распределения в процессе моделирования случайных величин, закон распределения
которых зависит от параметров.
Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое
быстродействие, поскольку осуществление на ЭВМ нелинейных преобразова-
преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций.
В задачах, не предъявляющих высокие требования к точности распре-
распределения формируемых случайных величин, для сокращения количества
элементарных операций рекомендуется использовать более экономные при-
приближенные методы, например метод кусочной аппроксимации.
2.8.2. Моделирование случайных векторов
Существуют два основных метода моделирования случайных векто-
векторов с заданной плотностью распределения вероятностей.
1. Метод условных распределений. Алгоритм основан на рекуррент-
рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат случай-
случайного вектора.
Рассмотрим сначала двумерный случай, когда вектор имеет две коор-
координаты Y\ и Y2. Одномерную плотность вероятности величины Y\ можно
представить через двумерную плотность вероятности величин Y\ и Yi сле-
следующим образом:
00
w(y}) = jw(yl,y2)dy2. B.68)
—00
Используя описанные выше способы моделирования случайных вели-
величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию у\1' слу-
случайной величины Y\ с плотностью вероятности B.68). Затем найдем услов-
условное распределение случайной величины Y2:
89

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
™{Уг И°) = "(Л0. ДЪМ^0)- B-69)
Произведем выборку у^ случайной величины Y2 с плотностью веро-
вероятности w(j>2 У^)- Полученная таким образом последовательность пар чисел
у1'\у2\ / = 1,2,..., будет иметь совместную плотность вероятности w(ylty2).
Пример. Составить алгоритм моделирования двумерного* случайного вектора
с плотностью вероятности вида
w(^,,^2) = cy1exp(-^2)> 0<д/, <2, у2>0. B.70)
По выражению B.68) находим одномерную плотность вероятности вели-
величины Y\\
00 00
™(У\) = \™(У\*Уг)<Ьг = \°У\ ^^{-У\Уг)^г =с> 0<yi<2.
о о
Находим значение с из условия нормировки
2 2
JwCh, )</>>, = \cdyx =2c = l,
о о
откуда с = 0,5 и w(>>,) = 0,5, 0 < ^i < 2.
Из табл. 2.4 получаем следующий алгоритм моделирования Y\\
У? =2(х{[)).
По выражению B.69) находим условное распределение случайной вели-
величины Y2:
™(Уг Ь(°) = "Oi(i), У2)Ыу{°) = У? ™рЫ°У2)>
откуда видно, что при полученном значении у\1) случайная величина Y2 имеет по-
показательный закон распределения. Алгоритм моделирования такой случайной вели-
величины приведен в табл. 2.4:
у{2п=-(\/у{1))ЧхB1)).
Таким образом, окончательно алгоритм моделирования случайного вектора с
координатами Yu Y2 и плотностью распределения, определяемой выражением B.70),
будет иметь следующий вид:
Л»=2(*«), Л«-Шь^Х
90

2.8. Моделирование сигналов и помех
где х\| , Xj — i-я пара выборок, полученная из датчика случайных чисел с равно-
равномерным законом распределения на интервале @,1).
Аналогично, если задана совместная плотность вероятности
™(.У\>Уг*Уъ) трехмерного вектора, то выборка трех чисел осуществляется в
соответствии с плотностями вероятностей
00 00
w(y{) = J \w(yl,y2,y3)dy2(fy3,
—00—00
00
0) = J Чу\'\ Уг,
Описанный прием позволяет моделировать, в принципе, многомер-
многомерные случайные векторы с произвольно заданной плотностью вероятности.
Однако использование этого способа связано с весьма громоздкими вы-
вычислениями, за исключением тех сравнительно редких случаев, когда ин-
интегралы в выражениях типа B.68) имеют конечные пределы интегрирова-
интегрирования. В противном случае приходится прибегать к приближенным вычис-
вычислениям. При больших значениях N эти вычисления, как правило,
оказываются также громоздкими и совершенно непригодны для практиче-
практического использования.
2. Метод Неймана, обобщенный на многомерный случай. Идея метода
такая же, как и в одномерном случае (см. п. 2.8.1), с той лишь разницей, что
здесь имитируются случайные точки, равномерно распределенные не на
плоскости под кривой w(y), а в (N + 1)-мерном объеме под TV-мерной по-
поверхностью w(y{,y2,...,yN).
Пусть w(ylty2,...,yN) —iV-мерная плотность вероятности случайно-
случайного вектора Y. Случайные координаты Yk, к = \,2,...,N, имеют область опре-
определения (ак,Ьк).
По аналогии с одномерным случаем для формирования реализации
вектора Y с помощью ЭВМ находят N+ 1 случайных чисел
Z{,Z2,...,ZN,ZN+], равномерно распределенных на интервалах (а,,^),
(а2,Ь2), ..., (aN,bN), @, wmax) соответственно. Их реализации модели-
моделируются следующим образом:
91

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
<n
^N+1 ~ KVmaxA./V+l> -*jV-t-l eVu> ^max/'
где wmax — максимальное значение функции w(y1}y2,...,yN), x[l\x2\...
..., x^+1 — реализации случайных независимых чисел Xx,X2,...,XN+l с
равномерным законом распределения на интервале @, 1).
В качестве реализации случайного вектора Y, распределенного по за-
закону w(y1,y2,...,yN), принимают реализации случайного вектора Z с коор-
координатами z\'\ z2\..., z$, удовлетворяющими условию
N+\ ^ w\zl >Z2 '-'Z
Реализации случайных чисел z}'\ zj'\..., z^, не удовлетворяющие
этому условию, отбрасывают.
Моделирование случайных векторов с заданной матрицей корреляци-
корреляционных моментов может осуществляться методом линейного преобразования.
Основная идея метода состоит в том, чтобы, получив N независимых слу-
случайных величин Хх, Х2,..., XN с нулевыми математическими ожиданиями и
одинаковыми дисперсиями, равными 1, подвергнуть их такому линейному
преобразованию А, после которого полученные величины Yx, Y2,..., YN имели
бы наперед заданную корреляционную матрицу
где М — символ математического ожидания, т = 1,2,..., N, п = 1,2,..., N.
Известно, что произвольное линейное преобразование Л^-мерного век-
вектора X сводится к умножению его на некоторую матрицу A iV-ro порядка:
Y = AxX, B.71)
где Y, X — матрицы-столбцы с элементами ух, у2,...,yN, xx,х2,...,xN соот-
соответственно; А = [а„т] — квадратная матрица преобразования.
Выберем матрицу преобразования А треугольной. Тогда в разверну-
развернутой форме выражение B.71) можно записать следующим образом:
92

2.8. Моделирование сигналов и помех
Уг
Из формулы B.72) следует, что
B.72)
УМ =
У\=аих1>
y2=a2lXl+a22x2,
NlXl + aN2X2 + - + aNNXN-
N2X2
NNXN-
Учитывая, что случайные величины XX,X2,...,XN независимы, а их
дисперсии равны 1, элементы матрицы А определяются выражениями
B.73)
Rl2=M{Yl xY2}=anxa2l,
R22=M{Y22}=a22l+a222,....
Из соотношений B.73) можно определить элементы апт:
аз\ =
Ъ2
^13 №з~-^12^13 ^11)
Ru R22-R12/Ru
Таким образом можно последовательно определить все элементы мат-
матрицы А. Тогда алгоритм моделирования случайных векторов с заданной
корреляционной матрицей сведется к умножению реализаций вектора с не-
независимыми случайными координатами на матрицу А. Составляющие век-
вектора Y будут иметь нулевые средние значения. Вектор Z с ненулевым сред-
средним значением получается суммированием векторов Y и С, где С — вектор
средних значений координат вектора Z.
Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет полу-
получить лишь необходимые корреляционные связи между координатами слу-
случайного вектора. Законы распределения координат не учитываются. Они
93

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
могут быть произвольными, например равномерными. Требуется только,
чтобы координаты X,, Х2, Х3 были независимы и их дисперсии равны 1.
Если законы распределения координат исходного вектора принять нор-
нормальными, то искомый вектор также будет нормальным (нормальный закон,
как известно, инвариантен по отношению к линейному преобразованию).
2.8.3. Моделирование гауссовских случайных процессов
Стационарный гауссовский случайный процесс ?(f) однозначно опре-
определяется математическим ожиданием т и корреляционной функцией R(i).
В задачах моделирования можно предполагать, что математическое ожида-
ожидание равно нулю, так как случайный процесс с произвольным т может быть
получен следующим преобразованием:
где 4'@ — гауссовский случайный процесс с нулевым математическим
ожиданием.
Обычно задача моделирования формулируется следующим образом.
По известным характеристикам процесса (математическому ожиданию,
корреляционной функции или спектральной плотности мощности) требует-
требуется определить вычислительный алгоритм, позволяющий получать на ЭВМ
дискретные* реализации ^(nAt) = ?[«] случайного процесса ^(t), где Af —
интервал дискретизации, «=1,2,....
Известны два основных метода моделирования стационарных гауссов-
гауссовских случайных процессов: метод скользящего суммирования и метод рекур-
рекуррентных алгоритмов [18, 19]. В основу этих методов положено линейное пре-
преобразование стационарной последовательности х[п] независимых гауссовских
случайных чисел с параметрами тх = 0 и Dx = 1 (нормированный дискретный
белый шум) в дискретные реализации ?[я] случайного процесса с заданными
корреляционно-спектральными характеристиками. Плотность распределения
вероятностей w(x) и корреляционная функция Rx[k] исходного нормированно-
нормированного дискретного белого шума х[п] имеют следующий вид:
Здесь и далее значение целочисленного аргумента, стоящего в квадратных
скобках, означает, что речь идет о дискретной функции.
94

2.8. Моделирование сигналов и помех
Rx[k] = М{х[п]х[п + к]} = j*' kkJ*Q B.74)
Возможные методы формирования на ЭВМ нормированного дискрет-
дискретного белого шума х[п] рассмотрены в п. 2.8.1.
Метод скользящего суммирования. Дискретные значения моделируе-
моделируемого процесса ?[п] формируются в виде скользящей суммы значений х[п] с
весовыми коэффициентами с*:
fyi\ = схх[п -1] + с2х2[п -2] +... + cNxN[n -N] = ?с*4« - k\ B.75)
Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с
помощью алгоритма B.75), определяется количеством и значениями весо-
весовых коэффициентов с*, которые находятся на этапе предварительной подго-
подготовки к моделированию.
Алгоритм B.75) описывает поведение некоторого дискретного линей-
линейного фильтра, который из нормированного дискретного белого шума фор-
формирует на выходе дискретный случайный процесс с заданными корреляци-
корреляционно-спектральными характеристиками. Передаточная функция K(z) этого
фильтра определяется как отношение z-преобразования выходного сигнала
?[и] к z-преобразованию входного сигнала х[п]:
где Zfan]} = ^[n]z-\ Ъ{х[п]} = |>№Л z = exp(pAt), p =
и=0 л=0
комплексное число, действительная часть которого выбирается из условия
сходимости рядов Z{?[wj} и Z{x[n]}, Л/ —интервал дискретизации.
Используя основные свойства z-преобразования: свойство линейности
Z{AX][n] + Вх2[п]} = АЪ{хх[п]} + BZ{x2[n]}
и свойство сдвига
где z~k — оператор сдвига на к интервалов дискретизации, находим z-npe-
образование выходного сигнала Цп] в следующем виде:
95

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
[
U=i J *=i
Тогда в силу формулы B.76) имеем
fz-k. B.77)
Для моделирования случайных процессов методом скользящего сум-
суммирования требуется решить задачу нахождения весовых коэффициентов с*
по заданной корреляционной функции или спектральной плотности мощности.
Существуют различные способы определения с*. Рассмотрим некото-
некоторые из них.
Способ нахождения весовых коэффициентов на основе решения нели-
нелинейной алгебраической системы уравнений. Используя выражение B.75),
найдем дискретные значения моделируемого процесса:
?,[«] = qjctw-1] + с2х[п-2] + ... + cNx[n-N],
Щп + \] = схл[п] + с2х[п-1] + ... + cNx[n + l-N], B.78)
= схх[п +1] + с2х[п] + ...
Зависимость (коррелированность) между дискретными значениями
?[и] и ?[п + к] случайного процесса обеспечивается в силу того, что в их
формировании участвуют N - к общих дискретных значений исходной по-
последовательности х[п]. При к > N значения ?[«] и ?[« + к] становятся не-
некоррелированными .
Дискретные значения R(kAt) = R[k] корреляционной функции R(x) в
точках т = fcAf, где к = 0, 1, 2, ..., N, сформированного случайного процесса
?[п] определяются следующим образом:
№+*]}. B.79)
Подставляя значения S,[«] и Цп + к] из соотношения B.78) в B.79) и
учитывая B.74), получаем
2 с\ + ... + 4= А,
с2с3 + ... + cN_xcN,
B.80)
R[n-l] = clcN,
R[N] = 0.
96

2.8. Моделирование сигналов и помех
Первое уравнение системы B.80) записано с учетом того, что
= D^, где D^ —дисперсия моделируемого процесса ?(/).
Решая систему уравнений B.80) при заданных значениях R[k], можно
получить весовые коэффициенты ск.
Пример. Определить алгоритм моделирования гауссовского случайного про-
процесса с корреляционной функцией треугольной формы
[О, |т|>т0.
Полагаем, что N = то/Дт — целое число. Пусть N = 4. Для этого случая
система уравнений B.80) принимает вид
Д[0] = с\ + с\ + с] + с\ = а2,
= схс2 + с2 съ + с2с4 = 0,75а2,
R[2] = схсъ + с2сА = 0,5а2, B.81)
= с,с4 = 0,25а2,
= 0.
Нетрудно убедиться в том, что для системы уравнений B.81) все весовые ко-
коэффициенты ск оказываются одинаковыми, т. е. с, - с2 = ... = cN = с.
Тогда из первого уравнения системы B.81) определяем
с = a/ViV. B.82)
Подставляя равенство B.82) в B.75), получаем следующий алгоритм форми-
формирования случайного процесса:
При моделировании случайного процесса %{t) интервал дискретиза-
дискретизации по времени А/ = Ат следует выбирать из условия Ат «: хк, где тк —
интервал корреляции процесса %(/).
Нахождение весовых коэффициентов ск решением системы уравнений
B.80) в общем случае требует значительного объема вычислительной рабо-
работы. Кроме того, при изменении интервала дискретизации необходимо по-
повторно решать систему уравнений B.80).
97

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Способ нахождения весовых коэффициентов на основе разлоэюения
спектральной плотности мощности в ряд Фурье. При данном способе
весовые коэффициенты вычисляются следующим образом [18, 19]:
Си =
со.
со.
G (со) cos (Ажо/сос) dco,
B.83)
где G(со) — спектральная плотность мощности моделируемого процесса,
сос — граничная частота спектра процесса. При этом алгоритм моделирова-
моделирования гауссовского случайного процесса принимает вид
ckx[n-k\
B.84)
k=-m
Параметр т, ограничивающий число весовых коэффициентов ск, мож-
можно выбрать из условия
1 - — X
к=-т
B.85)
где ?)^ — дисперсия моделируемого случайного процесса, s — погрешность
моделирования.
Условие B.85) следует из того, что сумма квадратов весовых коэффи-
коэффициентов ск должна быть равна дисперсии моделируемого случайного про-
процесса (см. B.80)).
Пример. Определить алгоритм моделирования стационарного нормального
случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид
2
R(x) =
1 + ю'т2
Находим спектральную плотность мощности случайного процесса:
СП If
(/(со) = J Л(т)ехр(-усот)^т = ехр -
сог
(О
(Or
Подставляя G(cd) в формулу B.84), получаем
/со„
Jexp
СО
2(ог
COS
шеи.
B.86)
98

2.8. Моделирование сигналов и помех
Интеграл в выражении B.86) является табличным:
jexp(<xc)cos(ra:)fiu[: = -—¦——[acos(nx) + nsm(nx)].
а +п
После несложных преобразований находим
2 2 '
я \^ 1 + 4у А: )
где у = сооД/, А/ = 7i/coc.
При достаточно малом значении у (у «с 1) имеем
1
+ 4у2к2
Алгоритм моделирования будет иметь вид B.84).
Способ нахождения весовых коэффициентов на основе разложения
спектральной плотности мощности процесса на множители. Этот метод
применяется, когда спектральная плотность мощности G(co) моделируемого
стационарного случайного процесса является рациональной функцией, т. е.
представляет собой отношение
G(©) = G,(©)/G2(©),
где G,(co) и G2(co) —полиномы степени /' и т'> f соответственно.
Случайные процессы с рациональной спектральной плотностью на-
наблюдаются, как известно, на выходе линейной системы с постоянными па-
параметрами при воздействии на входе белого шума. Действительно, ком-
комплексная частотная характеристика Д/со) такой системы является дробно-
рациональной функцией:
где К]{/(?)) и K2{j(u) — полиномы по переменнойусо степени/и т ^соответ-
^соответственно. При этом на выходе система при воздействии белого шума с еди-
единичной спектральной плотностью мощности (Go = 1) будет появляться слу-
случайный процесс со спектральной плотностью мощности
99

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Таким образом, линейную систему с соответствующей характеристикой
) можно использовать в качестве формирующего фильтра для получения
случайного процесса ?(/) с заданной спектральной плотностью G(co).
Определим комплексную частотную характеристику АГ(/со). Это мож-
можно сделать путем разложения G(co) на множители вида B.87). На основании
теоремы разложения неотрицательных дробно-рациональных функций на
множители комплексную частотную характеристику K(j\o) можно предста-
представить в следующем виде:
K(ja>) = VC -?! , B.88)
T
где (nlk и G>2k — корни соответственно числителя G^co) и знаменателя
G-, (со) спектральной плотности G(co) с положительной мнимой частью.
Множитель С определяется из условия
|А:(у©)|2 = G(co). B.89)
На основании B.88) передаточная функция фильтра имеет вид
flip
К(р) = Т
Шр - л*)
к=\
где р = уса, Рхк = j(olk, р2к = jco2k.
По найденной передаточной функции К(р) можно найти импульсную
характеристику формирующего фильтра h{t), которая согласно известной
теореме разложения Хевисайда имеет вид
V=l |i=l
где pv, v = \, 2, ...,s, —полюсы передаточной функции К{р) с кратностями
г,, г2,..., rs соответственно, s — число различных корней (г, + г2 +... + rs = т),
100

2.8. Моделирование сигналов и помех
(г91)
Случайный процесс ?(/) на выходе формирующего фильтра с им-
импульсной характеристикой h(t) определяется интегралом свертки:
B.92)
где x'{t) — белый шум со спектральной плотностью мощности Go = 1.
Осуществляя дискретизацию процесса B.92), получаем
где Dx> — дисперсия процесса x'(t), x[n] — нормированный дискретный
белый шум.
Учитывая, что А/ = л/сос, Dx. =сос/я, и ограничивая количество чле-
членов суммы, окончательно можно записать
скх[п-к]9 B.93)
где
ck = yfXih[k]. B.94)
Пример. Определить алгоритм для моделирования случайного процесса с
корреляционной функцией вида R(x) = ехр(-соо|т|).
Находим спектральную плотность мощности моделируемого случайного
процесса:
д + CD2
и корень знаменателя G(co) с положительной мнимой частью:
Комплексная частотная характеристика K(j(o) формирующего фильтра со-
согласно выражению B.88) имеет вид
101

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
*(»= "- l
Окончательно алгоритм моделирования B.93) примет вид
.N-1
а передаточная функция
Из условия B.89) получаем VС = ^/2соо.
По формулам B.90) и B.91) при значениях s = г, = 1, р] = -со0 находим им-
импульсную характеристику формирующего фильтра:
h(t) = yl2w0 ехр(-ш0/).
Для дискретных значений / = kAt получаем
h[k] = \]2ю0 ехр(-ш0А:А/).
По формуле B.94) находим
ск =
B.95)
Если при моделировании гауссовского случайного процесса Цп\ из-
известно, что он является результатом воздействия белого шума на линейную
систему с известной импульсной характеристикой h(t), то данную линейную
систему целесообразно использовать как формирующий фильтр. В этом
случае весовые коэффициенты с* алгоритма моделирования B.93) будут оп-
определяться через дискретные значения импульсной характеристики h[k] по
формуле B.94).
Метод рекуррентных алгоритмов. При этом методе значения ?,[«]
моделируемого случайного процесса t,(t) формируются на основании сле-
следующего алгоритма:
?[п] = аох[п] + ахх[п-\] + ... + asx[n-s] -
s m
-ад«-1]-ад«-2]- ... - bJln-m] = Y4akx[n-k}-^bkt3[n-k}, B.96)
k=0 k=\
102

2.8. Моделирование сигналов и помех
где х[п] — нормированный дискретный белый шум. Параметры а* и Ьк оп-
определяют вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемо-
моделируемого с помощью алгоритма B.96).
Уравнение B.96) описывает поведение дискретного линейного фильт-
фильтра, имеющего передаточную функцию
B.97)
+
4=1
Рекуррентные алгоритмы применимы только для моделирования слу-
случайных процессов с рациональным спектром.
Как и при использовании алгоритма скользящего суммирования, под-
подготовительная работа сводится к нахождению параметров а^ и Ь^ Сущест-
Существуют различные способы определения этих параметров. Рассмотрим один из
них — способ факторизации.
Последовательность действий при осуществлении этого способа сле-
следующая:
1) находится спектральная плотность F(z) моделируемого процесса
Цп\ по корреляционной функции R[k]:
F(z) = f; R[k]z~k; B.98)
/Ы-00
2) осуществляется факторизация спектральной плотности F(z):
F(z)=A{z)A(z~\)=\K(zf;
B(z)B(z-1) '
3) преобразуется передаточная функция K(z) к виду B.97) для нахож-
нахождения параметров рекуррентного алгоритма B.96).
Пример. Найти рекуррентный алгоритм моделирования гауссовского ста-
стационарного процесса ?(/), имеющего экспоненциальную корреляционную функцию
Д(т) = ехр(-соо|т|).
Формирование такого процесса методом скользящего суммирования рас-
рассмотрено в предыдущем примере. Его спектральная плотность мощности имеет
дробно-рациональный вид:
103

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
2ю0
ш0 + со
По заданной непрерывной корреляционной функции Я(т) находим ее дис-
дискретную модель:
R[k] = ехр(-у|*|),
где у = со0А/, At —интервал дискретизации, равный я/сос.
Спектральную плотность мощности F(z) моделируемого процесса ?(/) нахо-
находим по формуле B.98). Для вычисления двустороннего z-преобразования использу-
используем известное соотношение
F(z) = F+ (z) + F+ (z) - R[0], B.99)
00
где F+(z) = ^J?[A:]z~* —одностороннее z-преобразование дискретной функции.
к=0
По таблицам [20] находим F+(z):
*=о ^-ехр(-у)
Подставляя это выражение в B.99), после ряда преобразований получаем
где р = ехр(-у).
Тогда дискретную передаточную функцию K{z) можно представить в виде
B.100)
1-z р
Из выражения B.100) получаем следующие значения параметров рекуррент-
рекуррентного алгоритма:
а0 = л/1 - р2, Ъх= -р.
Окончательно рекуррентный алгоритм B.96) принимает вид
ВД = Vl-P24«] + Р$[и-Ц, B-101)
где р = ехр(-у), у = сооД/.
104

2.8. Моделирование сигналов и помех
В табл. 2.5 приведены алгоритмы моделирования стационарных гаус-
гауссовских случайных процессов с типовыми корреляционными функциями.
Таблица 2.5
Алгоритмы моделирования гауссовских случайных процессов ?,[п]
Корреляционная
функция R(z)
Спектральная
плотность
мощности G(co)
Алгоритм
моделирования
Параметры
алгоритма
су2 A - соо |т|)
при |т|<1/со0
О при |т|>1/о)о
a sin (со/2шо)
со0 (со/2со0J
N-1
к=0
[5] — целая часть
числа 5, у = G)QAt
Т2
+ соот
СОл
¦ехр -
со
со0
1
я \ + 4у2к2
к=-Р
У < 1/2, y =
а2ехр(-са0т)"
со
—ехр
>о V 2соо
с, =
к=-Р
, y = cooA/
а2ехр(-|юот|)
2а2со0
со2 +со2
N-1
ск = у/2у ехр(-ук)
у = аHА/
а2 ехр(-|со0т|)
со2 +(й1
Ь. =ехр(-у), у =
Примечание, а — дисперсия процесса, А/ — интервал дискретизации
2.8.4. Моделирование негауссовских случайных процессов
Рассмотрим метод моделирования случайных процессов, которые не
являются гауссовскими, но порождены ими в нелинейных системах. Найдем
алгоритм моделирования случайного негауссовского процесса, имеющего
корреляционную функцию R(x) и одномерную плотность распределения
вероятностей w(?).
Последовательность действий при решении этой задачи в общем виде
следующая:
105

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
1) находят такое нелинейное безынерционное преобразование у - f(x),
которое преобразует гауссовский процесс ?0(/) в процесс ?(f) с заданным
законом распределения w(?);
2) определяют по найденной функции у = f{x) зависимость корреля-
корреляционной функции R{x) полученного процесса ?(/) от корреляционной
функции Rq{i) исходного гауссовского процесса 4о(О:
3) получают корреляционную функцию исходного гауссовского про-
процесса:
где ф — функция, обратная функции ср;
4) находят алгоритм для моделирования гауссовского процесса ?0(/),
соответствующего требуемой корреляционной функции Rq{x).
Моделирование рэлеевского случайного процесса. Одномерная функ-
функция плотности распределения вероятности такого процесса имеет вид
=4ехр -
где а0 — параметр распределения.
Известно [8, 19], что рэлеевский процесс ?G) выражается через два
независимых стационарных гауссовских случайных процесса ^10(/) и ?2о(О
с параметрами @, 1):
(') + &('). B.102)
При этом нормированная корреляционная функция рэлеевского про-
процесса г(т) = R(i)/R@) связана с нормированной корреляционной функцией
го(т) = R0(x)/RQ@) процессов ^10@ и <^2о(О следующей зависимостью [8]:
v ' 4D-я)
106
2
B.103)

2.8. Моделирование сигналов и помех
где Bи-3)!! — произведение всех нечетных чисел натурального ряда от 1
до 2п-3 включительно.
Из выражения B.103) получим приближенную зависимость
на основании которой определим го(т):
ф)*^Ь)- BЛ04)
Таким образом, алгоритм моделирования рэлеевского случайного
процесса с учетом формулы B.102) имеет вид
где ?10[«] и ?2оМ — дискретные значения независимых гауссовских про-
процессов с параметрами @, 1) и с нормированной корреляционной функцией
го(т), определяемой выражением B.104).
Пример. Необходимо определить алгоритм моделирования рэлеевского слу-
случайного процесса, имеющего экспоненциальную корреляционную функцию
г(т) = ехр(-соо|т|). B.106)
Подставляя выражение B.106) в B.104), находим нормированную корреля-
корреляционную функцию исходных гауссовских случайных процессов ?,10[«] и ?,0[и]:
B.107)
Используя рекуррентный алгоритм B.101) моделирования гауссовского слу-
случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией вида B.107), по-
получаем
B108)
где р = ехр(-ш0Д//2), хх[п] и х2[п] — независимые значения нормированного
дискретного белого шума.
Подставляя 5,0[л] и ^гоМ из B.108) в формулу B.105), получаем следую-
следующий алгоритм моделирования рэлеевского случайного процесса:
107

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
Моделирование случайного процесса с показательным законом рас-
распределения. Одномерная функция плотности распределения вероятностей
этого процесса имеет вид
где а0 — параметр распределения.
Показательный процесс можно представить как квадрат рэлеевского
случайного процесса [8, 19] или, с учетом выражения B.102), — как сумму
квадратов двух одинаковых независимых стационарных гауссовских слу-
случайных процессов %10@ и ^2о(') с параметрами @,1):
|> ] B-109)
Нормированная корреляционная функция г(т) показательного случай-
случайного процесса выражается через нормированную корреляционную функцию
го(т) процессов ?10(/) и ?,2о(О следующим образом [8]:
Из последнего выражения получаем
Ф) = уШ- B-ПО)
Таким образом, алгоритм моделирования показательного случайного
процесса с учетом формулы B.109) имеет вид
г^е ^юИ и ?20 \л\ — дискретные значения независимых гауссовских про-
процессов с параметрами @, 1) и с нормированной корреляционной функцией
го(т), определяемой выражением B.110).
Пример. Определить алгоритм моделирования показательного случайного
процесса с экспоненциальной корреляционной функцией B.106).
Подставляя ?,0[и] и ?20[и] из соотношений B.108) в B.111), получаем сле-
следующий алгоритм моделирования показательного случайного процесса:
108

Контрольные вопросы
где р = ехр(-со0А^/2), х{[п] и *2[и] — независимые значения нормированного
дискретного белого шума.
Контрольные вопросы
1. Что такое информации, сообщение, сигнал?
2. Приведите примеры моделей дискретных сообщений.
3. Как задается модель непрерывных сообщений?
4. Дайте определения основных моментных функций случайного процесса: мате-
математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Поясните их
физический смысл.
5. Что такое спектральная плотность мощности случайного процесса?
6. Какие случайные процессы называются эргодическими?
7. Дайте определение пространства сигналов.
8. Что такое расстояние между сигналами, метрика, норма, скалярное произведение?
9. Какое пространство называется евклидовым? Какое пространство называется
гильбертовым?
10. В чем особенность векторного представления случайного процесса?
11. Какое разложение случайного процесса называется каноническим?
12. Назовите основные способы дискретного представления непрерывных сообщений.
13. В чем суть дискретного временного представления непрерывных сообщений?
14. Сформулируйте теорему Котельникова для случайных процессов.
15. Как определяется погрешность дискретизации при наличии предварительной
фильтрации? Является ли целесообразной предварительная фильтрация?
16. В чем суть адаптивной дискретизации сигналов? Когда она применяется?
17. Что такое дискретное обобщенное представление сигналов?
18. Поясните дискретное разностное представление сигналов.
19. Что такое равномерное квантование сигналов? Как определяется дисперсия по-
погрешности при равномерном квантовании?
20. В чем суть неравномерного квантования? Как определяются пороги и уровни
квантования? Как технически реализуется неравномерное квантование?
21. Когда применяется неравномерное квантование?
22. Какие коды используются для передачи уровней квантования?
23. Что такое линейная рекуррентная последовательность? М-последовательность?
24. Каким условиям должен удовлетворять характеристический многочлен М-по-
следовательности?
25. Укажите основные структурные свойства М-последовательности.
26. Укажите основные корреляционные свойства М-последовательности.
27. Укажите свойства сегментов М-последовательности.
28. Как образуются последовательности Голда? Каковы их корреляционные свойства?
109

2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах
2% Как образуются последовательности Касами? Каковы их корреляционные свой-
свойства?
30. Дайте определение основных систем сигналов.
31. Что такое симплексный код? Приведите способы построения симплексных кодов.
32. Приведите способы построения ортогональных кодов.
33. Назовите основные методы моделирования случайных величин.
34. Поясните алгоритм моделирования дискретных случайных величин.
35. Сравните два основных метода моделирования случайных векторов с заданной
плотностью распределения вероятностей.
36. Сравните два основных метода моделирования стационарных гауссовских слу-
случайных процессов.
37. Приведите способы нахождения весовых коэффициентов алгоритма скользяще-
скользящего суммирования для моделирования стационарных гауссовских случайных
процессов.

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ
И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Изложены основы теории статистических решений. Рассмотрены зада-
задачи обнаружения и различения сигналов. Приведены оптимальные алго-
алгоритмы обработки и структурные схемы обнаружителей и различителей
сигналов, дана оценка помехоустойчивости устройств обработки.
Рассмотрены модели сигналов и помех, наиболее часто встречающиеся
при разработке радиотехнических систем различного назначения.
3.1. Общие сведения
В любой радиотехнической системе (РТС) сигнал при передаче иска-
искажается и сообщение на выходе приемника воспроизводится с некоторой
ошибкой. Искажения сигнала обусловлены как случайными изменениями
характеристик каналов, так и помехами, действующими в них. Частотные и
временные характеристики канала определяют так называемые линейные
искажения. Кроме того, канал может вносить нелинейные искажения при
нелинейности тех или иных звеньев. Поскольку линейные и нелинейные
искажения сигнала обусловлены известными характеристиками канала, то
они могут быть устранены соответствующей их коррекцией. Искажения от
помех носят случайный характер и поэтому не могут быть полностью уст-
устранены. В правильно спроектированной системе искажения сообщений обу-
обусловлены лишь воздействием помех.
Пусть приемник при отсутствии помех точно воспроизводит сообще-
сообщение, содержащееся в полезном сигнале. При помехах сообщение будет вос-
воспроизводиться с некоторой погрешностью. Приемник, обеспечивающий ми-
минимальные искажения сообщения, называется оптимальным, или идеаль-
идеальным. Критерии оптимальности и количественные характеристики искаже-
искажений зависят от назначения приемника. Минимальный уровень искажений
при выбранном критерии характеризует потенциальную помехоустойчи-
111

3 Основы теории обнаружения и различения сигналов
вость. При заданных условиях приема помехоустойчивость реального при-
приемника не может превзойти потенциальную.
Решение проблем, связанных с синтезом оптимальных устройств
обработки сигналов, — основное направление теории оптимальных ме-
методов приема. При некоторых ограничениях, налагаемых на характери-
характеристики сигналов и помех, эта теория позволяет найти оптимальный алго-
алгоритм работы радиоприемного устройства и, соответственно, его структуру,
оценить показатели синтезируемого устройства, определить наилучшие
виды передаваемых сигналов, а также выяснить степень технического
совершенства реальных приемников и возможные пути повышения их
помехоустойчивости.
Основную задачу теории оптимального приема сигналов можно сфор-
сформулировать следующим образом: предполагая заранее известными некото-
некоторые характеристики передаваемого сигнала, канала и помех, а также их
функциональное взаимодействие, необходимо синтезировать оптимальное
приемное устройство, которое бы наилучшим образом (в смысле выбранно-
выбранного критерия) воспроизводило сообщение, содержащееся в сигнале на входе
приемника, или принимало решение с наименьшими ошибками [21].
При синтезе оптимальных приемных устройств важными являются:
выбор математически обоснованного критерия оптимальности в соответствии
с физическим смыслом и целевым содержанием решаемой задачи и четкая
математическая формулировка задачи, включающая все априорные сведения
и позволяющая решать ее в соответствии с выбранным критерием. В резуль-
результате синтеза оптимальных приемных устройств должны быть найдены опти-
оптимальный алгоритм работы приемного устройства и, соответственно, струк-
структурная или функциональная схема приемника, определены параметры схемы.
Отметим, что синтез радиотехнических устройств не исключает необходи-
необходимости их анализа, целью которого является вычисление показателей качест-
качества работы приемника, выяснение степени чувствительности полученных
алгоритмов и количественных характеристик к отклонениям от принятых
априорных данных и т. п.
В зависимости от целевого назначения РТС функционируют при раз-
различных условиях и к ним предъявляются разные требования. Исходя из этих
требований, для типовых систем можно сформулировать ряд частных задач,
рассматриваемых в теории оптимальных методов радиоприема.
Пусть колебание на входе приемника имеет вид
u(t) = F(s(t,k),n(t)), C.1)
где F(*) — некоторый оператор; s(t, X) — полезный сигнал; X = (A,,,...,A,W) —
вектор параметров, от которых зависит сигнал; n(t) — помеха. Априори счи-
считают известными: способ взаимодействия сигнала и помехи (оператор F(*)),
112

3.1. Общие сведения
функцию, описывающую полезный сигнал, а также все необходимые для
решения задачи вероятностные характеристики векторной случайной вели-
величины Я. и помехи n(t).
В принятой модели полезного сигнала некоторые параметры могут
быть заранее известны. Они составляют априорные сведения о полезном
сигнале. Другие параметры сигнала неизвестны. Некоторые из них являются
носителями информации и называются информационными, а остальные —
неинформационными.
Далее будем рассматривать часто встречающийся на практике част-
частный вид оператора F(«) из формулы C.1), когда
u(t) = s(t,X) + n(t). C.2)
Для колебания, представленного соотношением C.2), можно сформу-
сформулировать следующие основные задачи теории оптимальных методов приема
сигналов, две из которых (задачи обнаружения и различения) будут рас-
рассмотрены в настоящей главе, а остальные — в последующих.
Обнаружение сигнала. Запишем выражение C.2) в виде
где 0 — случайная величина, принимающая два значения: 0=0 (полезный
сигнал отсутствует) и 0 = 1 (полезный сигнал присутствует). Задача обна-
обнаружения заключается в том, чтобы определить, присутствует или отсутству-
отсутствует сигнал в принятом колебании u{t), или, что то же самое, в оценке значе-
значения параметра 0. Сформулированная задача является характерной для ра-
радиолокации. Она встречается также в двоичных системах передачи
информации с пассивной паузой и др.
Различение сигналов. Пусть колебание u{i) представляет собой сумму
одного из т возможных полезных сигналов ?,(/Д), / = 1,2,..., т, и помехи
n{f). Зная вероятности p(st), i = \,2,...,m, наличия сигналов st(t,X),
i = l,2,...,m, на входе приемника, необходимо по принятой реализации u{i)
оптимальным образом решить, какой из полезных сигналов содержится в
ней. Задача характерна для систем передачи информации.
Оценка параметров сигнала. Пусть один из параметров сигнала
s(t, "k), является неизвестным. Необходимо наилучшим образом (в смысле
выбранного критерия) оценить значение этого параметра по принятой реа-
реализации u(t). Задача характерна для радиолокации, радионавигации, теле-
телеметрии, радиотелеуправления.
Заметим, что часто приходится решать задачу совместной оценки не-
нескольких параметров сигнала, например времени появления сигнала и час-
частоты несущей.
113

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Фильтрация сообщений. Пусть информационный параметр Xt полез-
полезного сигнала s(t, X,) зависит от времени и представляет собой случайный
процесс Xt(t) с известными статистическими характеристиками. Необходимо
наилучшим образом выделить реализацию сообщения Xj(t), содержащуюся в
колебании u{i). Эта задача встречается в радиосвязи, телевидении, радиоло-
радиолокации.
К задачам теории оптимальных методов приема относится также за-
задача разрешения сигналов, которую можно сформулировать следующим
образом: на*входе приемного устройства присутствуют два или более сигна-
сигналов s(t, X), i = 1,2,...; необходимо по принятой реализации u(t) оптимальным
образом разрешать эти сигналы по параметрам X. Под термином «разре-
«разрешить» понимают либо раздельное обнаружение сигналов, либо раздельное
обнаружение и определение параметров X во всех сигналах s,{i). Задача
встречается в радиолокации, связи и др.
Разделение оптимальных методов радиоприема на указанные типы за-
задач в значительной степени условно. Между ними нельзя провести четких
границ. Например, задачу обнаружения можно трактовать как частный слу-
случай задачи различения двух сигналов, когда один из них тождественно ра-
равен нулю. Задачу обнаружения можно рассматривать так же, как частный
случай измерения амплитуды сигнала, принимающей два значения: Ои^.
Задача оценки параметра сигнала является частным случаем задачи фильт-
фильтрации сообщений. Тем не менее, приведенная классификация задач в мето-
методическом плане целесообразна.
В заключение отметим, что решение основных задач теории опти-
оптимальных методов радиоприема базируется на хорошо разработанных мето-
методах математической статистики.
3.2. Основные положения теории статистических решений.
Оптимальные критерии
Как уже упоминалось в § 3.1, при синтезе оптимальных устройств об-
обработки сигналов необходим выбор критерия качества работы устройства.
Поскольку теория статистических решений охватывает все многообразие
статистических оптимальных критериев, целесообразно при решении задач
синтеза оптимальных радиоприемных устройств воспользоваться результа-
результатами этой теории. Ниже излагаются основные положения теории статисти-
статистических решений, рассмотренных в работах [22—26].
114

3.2. Основные положения теории статистических решений
Пусть принятый сигнал имеет вид C.1). Не нарушая общности, поло-
положим, что наблюдение колебания u{t) проводится в дискретные моменты
времени tx,...,tm. Тогда с учетом формулы C.1) можно записать
u = F(s,n), C.3)
где и = {щ,..., ит), s = (sx,..., sm), n = (/fj,..., nm) — w-мерные векторы {т-
мерные выборки) соответственно принятого колебания, полезного сигнала и
помехи.
Совокупность всех возможных векторов и образует пространство U
выборок принимаемого колебания u(t). Аналогично, векторы s и п образуют
соответственно пространство S выборок полезного сигнала s(t) и простран-
пространство N выборок помехи n(t).
Статистические характеристики помехи предполагаются известными
и задаются в виде распределения w(n) = wm(nx,..., nm). Известным считается
также способ взаимодействия сигнала с помехой. При этом можно найти
статистическое описание вектора и принятого колебания для фиксированно-
фиксированного вектора s — условное распределение w(u|s) = wm(ux,...,um |s).
Функцию w(u|s) называют функцией правдоподобия. Такое название
объясняется следующим. После получения выборки их,...,ит функция
w(u|s) зависит только от s и характеризует степень соответствия вектора
принятого колебания тому или иному вектору полезного сигнала, т. е. пока-
показывает, насколько один вектор s при известной выборке их,...,ит более
правдоподобен, чем другие.
При известном распределении w(s) = wm(sx,..., sm) полезных сигналов,
зная функцию w(u|s), можно найти совместное распределение векторов и
принимаемых колебаний и векторов s полезных сигналов:
w(u, s) = w(s)w(u |s).
Задача заключается в том, чтобы на основе полученной выборки
их,...,ит и априорных данных о способе взаимодействия сигнала и помехи
принять одно вполне определенное решение из набора у0, у,, ...,у* возмож-
возможных образующих пространство решений Г.
Выбор решения по выборке их,...,ит проводится в соответствии с ал-
алгоритмом принятия решения Л(у|и). Функция А(у|и) называется решающей
функцией, или решающим правилом. Она представляет собой вероятности
115

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Рис. 3.1. Схема выбора решения
(или плотность вероятностей) приня-
принятия решения у на основе принятых
данных и. Механизм принятия реше-
решения можно представить следующим
образом (рис. 3.1). Пространство прини-
принимаемых сигналов U разбивается на не-
непересекающиеся области Uo, Uj,..., Uk
и устанавливается соответствие между
решениями и этими областями. Если
каждой области ставится в соответст-
соответствие только одно вполне определенное
решение, то правило А(у|и) называет-
называется нерандомизированным {детерминированным).
Существуют правила, при которых для принятой выборки wl5...,um
допускается несколько решений с соответствующими вероятностями, на-
например некоторой области U, ставятся в соответствие решения yn,.-,Jik с
к
вероятностями pn,...,pik соответственно, причем ^Ру=1- Такие правила
.Н
называются рандомизированными.
Далее рассматриваются только нерандомизированные правила. Бу-
Будем считать, что если выборка принятого колебания попадает в область
Uj, то принимается решение у*. Соответственно, решающая функция име-
имеет вид
A(Y,
1, если / = j,
О, если / * j.
Очевидно, что для любого решающего правила при наличии помех
всегда возможны ошибочные решения. Для количественной оценки ущерба
(потерь), связанных с принятием решений, вводится так называемая функ-
функция потерь (штрафа, стоимости) II(s, у). Ее конкретное значение Il(s,, y7)
характеризует потери при принятии решения у,, в то время как правильным
является решение у,. Функция потерь должна удовлетворять следующим
свойствам:
П(8,, у j) > О, П(8,, у j) > П(8,., У,), П(8,, У;) < 0.
Функция потерь выбирается заранее. Примеры ее задания будут при-
приведены при решении конкретных задач.
116

3.2. Основные положения теории статистических решений
Теперь можно сформулировать математически задачу выбора реше-
решения: на основе априорных данных о пространствах полезных сигналов S и
помех N, распределениях вероятностей w(s) и w(n) на этих пространствах
соответственно, способе взаимодействия сигнала и помехи и заданной
функции потерь n(s, у) необходимо по полученному сигналу и оптималь-
оптимальным образом найти решение у — какой конкретно из полезных сигналов
содержится на входе приемника.
Поскольку появление того или иного полезного сигнала s, на входе
приемника и принятие решения уу являются случайными событиями, то
значение функции потерь IT(s;, yy.) — случайная величина. Поэтому ка-
качество решения можно характеризовать математическим ожиданием
функции потерь
лр, C.4)
где w(s;, уj) — совместная вероятность появления на входе приемника сиг-
сигнала s, и принятия решения у7. Величина R характеризует средние потери
при принятии решения и называется средним риском. Чем меньше средний
риск, тем лучше решение (наилучшим (оптимальным) решающим правилом
будет такое, для которого значение среднего риска будет наименьшим).
Правило, при котором минимизируется средний риск, называется байесов-
байесовским правилом, или байесовским критерием. Часто его также называют
критерием минимума среднего риска.
В случае, когда пространства сигналов S и решений Г непрерывны,
средний риск
R= j\n(s,yMs,y)dsdy, C.5)
rs
где w(s, у) — совместная плотность вероятности сигнала s и решения у.
Для нерандомизированных правил принятое колебание и решение связа-
связаны детерминированной зависимостью, а поэтому справедливо соотношение
w(s, y)dsdy = w(s, u)dsdu. C.6)
С учетом формулы C.6) выражение C.5) записывается в виде
R=\\U{s,yu)w{s,u)dsdu, C.7)
us
где уи — решение, соответствующее принятому сигналу u(i).
117

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Заметим, что средний риск не является исчерпывающей характери-
характеристикой решающего правила. Более полной характеристикой качества обра-
обработки сигнала может служить, например, совокупность двух показателей:
среднего риска R и дисперсии среднего риска Dr (в общем случае — сово-
совокупность моментов функции потерь Il(s, у)).
Однако синтез решающего правила по совокупности показателей зна-
значительно сложнее, и на практике ограничиваются критерием минимума
среднего риска.
Применение байесовского критерия требует большого объема апри-
априорной информации: необходимо знать функцию потерь и совместное рас-
распределение w(s, и), или, что то же самое, распределения w(s) и w(u\s). Ес-
Если априорное распределение сигналов w(s) неизвестно, то применять крите-
критерий Байеса нельзя, так как при этом задача оптимизации, в смысле
минимума среднего риска, оказывается неопределенной. В этом случае
применяют минимаксный критерий.
Введем понятие условного среднего риска
для дискретных пространств S и Г и
rs = JTI(s,y)w(y\s)dy = jll(s,yu)w(u\s)du
г и
для непрерывных пространств S и Г, где w(y7 \s{) — вероятность принятия
решения у, при условии, что на входе приемника присутствует полезный
сигнал sh a w(y|s) и уфф) — соответственно условные плотности вероят-
вероятности случайных величин у и и.
Согласно минимаксному критерию наилучшим считается решающее
правило, которое обеспечивает наименьшее значение максимального услов-
условного риска rs. Минимаксный критерий позволяет найти наилучшее решение
для наихудшего случая. Он гарантирует, что минимально возможное значе-
значение условного риска не будет больше некоторого значения даже при самом
неблагоприятном распределении w(s).
На практике часто встречаются случаи, когда ошибочные решения
одинаково нежелательны, например при передаче дискретных сообщений.
При этом целесообразно функцию потерь задать следующим образом:
118
^' C.8)
при j - г.

3.2. Основные положения теории статистических решений
Обычно так же функция потерь задается и в тех случаях, когда ее
обоснованный выбор затруднителен. Например, это имеет место в радиоло-
радиолокации. Действительно, при решении задачи обнаружения сигнала, как пра-
правило, трудно оценить потери, связанные с пропуском сигнала (пропуском
цели) и ложным обнаружением (ложной тревогой).
Для функции потерь, определяемой выражением C.8), средний риск
определяется формулой
>(S/,Y;), i*h C-9)
' j
где С — любая постоянная.
Из выражения C.9) следует, что величина R с точностью до постоян-
постоянного множителя совпадает с полной вероятностью ошибочных решений.
Поэтому байесовский критерий при задании функции потерь в виде выра-
выражения C.8) имеет смысл назвать критерием минимума полной вероятности
ошибки. Его часто называют критерием идеального наблюдателя, а также
критерием Котелъникова—Зигерта.
Другим критерием, который минимизирует полную вероятность оши-
ошибочных решений, является критерий максимума апостериорной вероятности
W(S|U) ^, (зло)
в соответствии с которым решение принимается в пользу сигнала s;, если
w(s, |u) > w(Sj |u), j = 1,..., m, j Ф i. C.11)
Действительно, все, что можно узнать о полезном сигнале s, на основе
принятого колебания и, заключено в апостериорной вероятности w(s,|ii),
которая представляет собой не что иное, как вероятность правильного
приема сигналов. Поэтому если решение принимать в соответствии с выра-
выражением C.11), то гарантируется, что полная вероятность ошибки будет ми-
минимальной.
При отсутствии априорных сведений не только о функции потерь, но
и о распределении сигналов w(s) считают, что w(s) = const, т. е. принимают
распределение сигналов как равномерное. При этом апостериорная вероят-
вероятность C.10) с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией
правдоподобия w(u|s). Для обеспечения минимального среднего риска ре-
решение принимается в пользу сигнала, для которого функция правдоподобия
максимальна, т. е. в пользу сигнала s,, если
w(u |s,) > w(u \sj), j = 1,..., m, j* i. C.12)
119

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Критерий C.12) целесообразно назвать критерием максимального
правдоподобия. Он часто используется в математической статистике при
оценке неизвестных величин.
В задачах обнаружения сигнала часто применяют критерий Нейма-
Неймана—Пирсона, который гарантирует, что вероятность ошибки типа «ложная
тревога» не превысит заранее выбранную величину, а вероятность ошибки
типа «пропуск сигнала» будет минимальной. Критерий Неймана—Пирсона
не требует знания априорных вероятностей присутствия и отсутствия сигна-
сигнала, а также функции потерь.
В рассмотренных выше решающих правилах выбор решений прово-
проводился на основе /и-мерных векторов принимаемых сигналов, причем значе-
значение т оставалось постоянным. Существует правило выбора решений, при
котором размер выборки сигнала и случаен и зависит от результатов наблю-
наблюдения за сигналом на предыдущих т - 1 шагах (т. е. в моменты времени
/i, ..., tm-\). Это правило предложено Вальдом и называется правилом после-
последовательного анализа. Оптимальность критерия Вальда заключается в том,
что он при заданных вероятностях ошибочных решений гарантирует мини-
минимум среднего размера выборки сигнала, или, что то же самое, минимум
среднего времени наблюдения, необходимого для принятия решения.
Рассмотренные в настоящем параграфе критерии будут использованы
далее при синтезе оптимальных устройств обработки сигналов.
3.3. Обнаружение сигналов
3.3.1. Оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов
Задача обнаружения (ее формулировка дана в § 3.1) является частным
случаем общей задачи проверки статистических гипотез: необходимо на ос-
основе анализа принятого колебания u(f) сделать выбор между гипотезой Но
(утверждение, что сигнала на входе нет, т. е. параметр G равен нулю) и аль-
альтернативной гипотезой Н] (утверждение, что сигнал на входе присутствует,
т. е. параметр 9 равен единице). Поскольку в задаче обнаружения возможны
только два решения: у0 (принимается гипотеза #0) и yi (принимается гипоте-
гипотеза Н\), она называется двоичной (двухальтернативной).
Если распределение наблюдаемого колебания u(t) зависит только от
того, какое значение принял параметр 8, то гипотезы Но и Н\ называются
простыми. Такой случай имеет место при обнаружении детерминированно-
детерминированного сигнала. При этом
120

3.3. Обнаружение сигналов
где s(t) — полезный сигнал, все параметры которого известны, и приходится
решать задачу проверки простой гипотезы Яо при простой альтернативе Н\.
Более типичным для задачи обнаружения является случай, когда рас-
распределение вероятностей наблюдаемого колебания u{i) зависит не только от
вида гипотезы, но и от неизвестного параметра X (или вектора "к). При этом
гипотезы Но и Н\ называются сложными и задача обнаружения состоит в
проверке сложной гипотезы при сложной альтернативе.
Рассмотрим задачу обнаружения, когда гипотеза Но и альтернатива Н\
являются простыми. Задача заключается в нахождении правила А(у|и), со-
согласно которому любой наблюдаемой выборке щ, ...,ит ставится в соответ-
соответствие решение уо или у\. Процесс принятия решения в данном случае можно
представить следующим образом. Пространство принимаемых сигналов U
разбивается на две непересекающиеся области Uo и V\. Если сигнал на входе
приемника u(i) попадает в область Uo, то принимается решение уо (гипоте-
(гипотеза Но), при попадании сигнала u(t) в область Ui принимается решение yi (ги-
(гипотеза Н\). Область Uo называется допустимой, а область Ui — критической.
Поскольку помеха n(t) имеет случайный характер, принимаемое ре-
решение не всегда является достоверным. Поэтому при решении задачи обна-
обнаружения возможны следующие четыре случая.
1. Справедлива гипотеза Яо. Принимается решение у0. Этот случай на-
называется правильным необнаружением. Вероятность такого события опре-
определяется формулой
Рн = jw(u\H0)du. C.13)
2. Справедлива гипотеза Н\. Принимается решение у\. Этот случай на-
называется правильным обнаружением. Вероятность такого события
D= fw(u\Hi)du. C.14)
и,
3. Справедлива гипотеза Яо. Принимается решение уь т. е. ошибочное
решение. Этот случай называется ложным обнаружением {ложной трево-
тревогой). Вероятность такого события
= \w(u\H0)du. C.15)
4. Справедлива гипотеза Н\. Принимается решение уо, т. е. ошибочное
решение. Этот случай называется пропуском сигнала. Вероятность такого
события
121

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
пРоп JHu^ciu. C.16)
Таким образом, из четырех возможных случаев, имеющих место при
обнаружении сигналов, в двух решения принимаются правильные, а в двух —
ошибочные. Ошибку ложного обнаружения называют также ошибкой перво-
первого рода, ее вероятность Fm — уровнем значимости правила выбора реше-
решения. Ошибку, связанную с пропуском сигнала, называют ошибкой второго
рода, а вероятность правильного обнаружения D = 1 - рпр0П — мощностью
правила выбора решения.
Вероятности ошибочных решений Fnr и рпроп, как следует из формул
C.15), C.16), зависят от характера разбиения пространства принимаемых сиг-
сигналов U на области Uo и U]. Очевидно, что уменьшая область Ui, можно
уменьшить вероятность ложной тревоги Fm, однако при этом возрастает веро-
вероятность ошибки пропуска сигнала рпрт. Уменьшение области Uo приводит
наряду с уменьшением рпроп к увеличению Fm. В связи с этим возникает за-
задача, как наилучшим образом разбить пространство U на области Uo и Uj.
Рассмотрим сначала байесовское правило принятия решений.
Запишем колебание на входе обнаружителя:
и@ = 6s, @ + A - Q)s0 @ + «@, C.17)
где s{(t) = s(t), J0@ = 0.
Случайная величина 9 принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и
1 -р соответственно.
Функцию потерь зададим следующими выражениями:
ПС*1> Уо) = пю > °> пEо> У1) = noi > °>
П(д1,у1) = П1„ ПE0,у0) = П00,
причем П,о >ПП и По, >П00. Тогда средний риск, в соответствии с фор-
формулой C.4), имеет вид
1 1
R = ЕЕПE" У/MS/, У;) = n00VV(s0, у0) +
j=0/=0
122

3.3. Обнаружение сигналов
Учитывая, что w(sj) = р, w(s0) = \-р и
W
(УО |5о) = Рн> W(Yl ко) = ^лт> ^(УО kl) = Arnon» w(Yl |s,) = Д
получим
Л = П00A-/7)/7н +noi(l-/7)/v +П10/7/7проп +Пп/7/). C.18)
Подставляя в формулу C.18) выражения для рИ, D, FnT и рпроп из
формул C.13) — C.16), находим
R = П00A-/>) jw(u\H0)du + nQl(\-p) jw(u\HQ)du +
J J(u|^)rfu. C.19)
Uo U,
Учитывая, что
\w(u\H0)dn = \- \w(u\H0)du,
Uo U,
согласно формуле C.19) средний риск
0)]Л1. C.20)
Первые два члена в соотношении C.20) являются постоянными вели-
величинами, не зависящими от способа разбиения пространства U. Поэтому ми-
минимальное значение среднего риска достигается тогда, когда значение инте-
интеграла оказывается максимальным. Для этого необходимо область Ui вы-
выбрать такой, чтобы в нее вошли все точки пространства U, для которых
подынтегральное выражение неотрицательно, т. е.
I*;(и|Я0) >0. C.21)
Используя формулу C.21), можно записать алгоритм работы опти-
оптимального по критерию Байеса обнаружителя сигнала:
^(и|Я,) ^ A-р)(П01-П00) C 22)
>Ии|Я0) я0 р(П]0-Пи)
123

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
По алгоритму C.22) необходимо вычислить отношение функций
правдоподобия /(и) = w(u|#i)/w(u|#0) и сравнить его с пороговым значе-
значением (уровнем)
/о = О-р)(пО1-поо)
р(Пю-Пи)
Если /(и) > /о, то принимается гипотеза Н\ о наличии сигнала, а если
/(и) < /0, то принимается гипотеза Яо об отсутствии сигнала.
Отношение /(u) = w(u|#j)/w(u|#0) называется отношением прав-
правдоподобия, или коэффициентом правдоподобия. Оно показывает, на-
насколько гипотеза Н\ при принятом сигнале u(t) правдоподобнее гипотезы
Яо. При известном распределении помехи n(i) и известном способе взаи-
взаимодействия полезного сигнала и помехи отношение /(и) всегда может
быть найдено.
Пороговый уровень /о зависит от априорной вероятности наличия сиг-
сигнала/» и значений функции потерь Поо, Поь Пю и Пц. Он может быть вычис-
вычислен заранее. Важно отметить, что априорные вероятности наличия и отсут-
отсутствия сигнала и функция потерь не влияют на процедуру обработки сигнала.
При изменении этих данных приходится лишь подстраивать пороговый уро-
уровень.
Задавая функцию потерь в виде соотношений
ГЦ>,,у0) = ПE0,у,), ПE„ у,) = ПE0,у0) = О,
с учетом выражения C.22) получаем алгоритм работы обнаружителя сигна-
сигнала, построенного на основе критерия идеального наблюдателя:
w(utf,),* (Кр)=/ C24)
w(u
В соответствии с выражением C.24) необходимо вычислить отноше-
отношение правдоподобия и сравнить его с пороговым уровнем
Из формулы C.24), предполагая, что вероятности наличия и отсут-
отсутствия сигнала равны, т. е. 1 - р - р, находим алгоритм работы обнаружи-
обнаружителя сигнала, построенного на основе критерия максимального правдо-
правдоподобия
124

3.3. Обнаружение сигналов
я,
*оо= ;:': % i. 0.25)
w(u\H0) н0
В радиолокации при решении задачи обнаружения часто применяется
критерий Неймана—Пирсона. Алгоритм работы обнаружителя, построенно-
построенного на основе этого критерия, можно записать в виде соотношения
/00 =
к °: >< С, C.26)
w(u
где порог С находится из условия, что вероятность выполнения неравенства
/(и) > С при гипотезе #0 не превышает наперед заданной величины Fnr, т. е.
P{l(u)>C\H0} =
ЛТ"
Таким образом, для всех рассмотренных критериев: байесовского,
идеального наблюдателя, максимального правдоподобия и Неймана—Пир-
Неймана—Пирсона, процедура принятия решения (рис. 3.2) сводится к вычислению отно-
отношения правдоподобия /(и) (блок ОП) и сравнению его с пороговым значени-
значением /0 (блок ПУ — пороговое устройство), равным соответственно
(\-р)(Пох-Поо)/р(Пхо-Пи), (\-р)/р, 1 и С. Структура обнаружителя
сигнала не зависит от выбранного критерия оптимальности.
Рассмотрим работу обнаружителя, построенного на основе критерия
последовательного анализа (наблюдателя) или критерия Вальда. В ранее
рассмотренных решающих правилах решение принимается после получения
выборки сигнала их,...,ит фиксированного объема т. Последовательная
процедура обнаружения характеризуется тем, что попытка принять решение
в пользу гипотезы Но или Н\ делается каждый раз по мере получения оче-
очередного элемента выборки. Процесс принятия решения состоит в следую-
следующем. При получении элемента выборки их = u{tx) на основе его анализа ли-
либо принимается решение в пользу одной из гипотез Д> или Н\ (решение уо
или уО, либо принимается решение у2 о продолжении наблюдения за сигна-
сигналом. Если на первом шаге по элементу выборки и\ принимается решение уо
или уь то процесс обнаружения на этом за- /0|
канчивается. Если принято решение у2, то и( ¦ ¦ —*—¦ Yl
продолжают наблюдение за сигналом. При —
получении второго элемента выборки
и2 = u(t2) на основе анализа двумерной вы- Рис. 3.2. Структурная схема
борки щ, «2 вновь проверяется возможность обнаружителя
125
ОП
ПУ

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
принятия решений в пользу одной из гипотез. Процесс обнаружения закан-
заканчивается на том шаге, на котором принимается решение уо или yi.
При последовательной процедуре обнаружения механизм принятия
решения можно представить следующим образом. Пространство принимае-
принимаемых сигналов U на каждом шаге наблюдения разбивается на три области:
Uo, Ui, U2. Если анализируемая выборка щ, м2,...,«, на z'-м шаге наблюдения
попадет в допустимую область Uo, то принимается решение уо об отсутствии
сигнала. Если выборка попадает в критическую область Ui, то выносится
решение yi о наличии сигнала. Наконец, если она попадет в область U2, то
принимается решение Y2 о продолжении наблюдения.
Эффективность последовательной процедуры обнаружения зависит от
способа разбиения пространства U на области Uo, Ui и U2. Так же, как и при
рассмотрении непоследовательных процедур, возникает вопрос: как наи-
наилучшим образом произвести разбиение пространства U? Ответ на этот во-
вопрос зависит от того, какой смысл вкладывается в понятие оптимальности
процедуры.
На практике часто одной из важнейших характеристик решающего
правила является средняя цена наблюдений, необходимых для принятия ре-
решения при обеспечении заданных условных вероятностей Fm и рпроп. Учи-
Учитывая, что цена наблюдений пропорциональна длительности наблюдений,
оптимальной.при заданных вероятностях Fm и рпроп будет процедура, ко-
которая обеспечивает минимальную среднюю продолжительность наблюде-
наблюдений, или, что то же самое, минимальный средний объем т выборки прини-
принимаемого сигнала.
А. Вальдом совместно с Дж. Вольфовитцем в работе [27] было дока-
доказано, что для обеспечения минимального среднего размера выборки при ус-
условных вероятностях ложного обнаружения и пропуска сигнала, не превос-
превосходящих соответственно значений Fm и /?проп, необходимо на каждом /-м
шаге, / = 1,2,..., вычислять отношение правдоподобия
4 C-27)
w
(ll|#o)
и сравнивать его с двумя порогами: верхним А и нижним В (рис. 3.3). Если
отношение /(и) превышает порог А (вектор и попадает в область Ui), то при-
принимается решение в пользу гипотезы Н\. Если отношение /(«) оказывается
меньше порога В (вектор и попадает в область Uo), то принимается решение в
пользу гипотезы Hq. Наконец, если отношение /(и) удовлетворяет неравенству
В<1(и)<А
126

3.3. Обнаружение сигналов
В
Uo
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Г/А/
Рис. 3.3. Последовательная процедура принятия решения
(вектор и попадает в область U2), то принимается решение о продолжении
наблюдения. Процесс обнаружения заканчивается при первом пересечении
функции /(и) с одним из порогов. На рис. 3.3 в приведенных примерах про-
процесс обнаружения заканчивается принятием гипотезы Н\ (пример 1) и Но
(пример 2) соответственно на девятом и пятом шагах.
Пороги А и В находятся по заданным вероятностям ошибок FnT и
рпроп на основе следующих рассуждений. Выпишем условие принятия ре-
решения в пользу гипотезы Hi:
/00 =
w(u
w(u
или
#о)
Aw(u\H0)
C.28)
Поскольку условие C.28) справедливо для любой выборки, попадаю-
попадающей в область Ub обе части неравенства C.28) можно проинтегрировать по
этой области:
A jw(n\HQ)du
C.29)
Левая часть неравенства C.29) есть не что иное, как вероятность пра-
правильного обнаружения D = 1 - рпроп, а интеграл в правой части неравенства
C.29) равен Fm. Следовательно, получаем
127

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
или
< F =—• C-30)
Неравенство C.30) является оценкой сверху порога А. Аналогично
можно получить оценку снизу для порога В.
Выпишем условие принятия решения в пользу гипотезы Hq.
w(u\H0)
или
и>(и|Я,) < Bw(u\H0). C.31)
Неравенство C.31) справедливо для любой выборки и, попадающей в
область Uo, поэтому обе части неравенства C.31) можно проинтегрировать
по области Uo:
В jw(u\H0)du. C.32)
Левая часть неравенства C.32) является вероятностью пропуска сиг-
сигнала /?проп, а интеграл в правой части — вероятностью правильного необна-
необнаружения pH=\-Fm.
Поэтому
ИЛИ
в> JPnpon_ = _lZjD_
Неравенство C.33) является оценкой снизу порога В.
Оценки решающих порогов C.30) и C.33) определяются только за-
заданными вероятностями Fm и рпроп и не зависят от вида распределений
w(u\H{) и w(u|#0). В случае близких гипотез, т.е. когда распределения
>Ки|//,) и w(u|//0) мало отличаются друг от друга, что имеет место при
малых отношениях сигнал—шум, неравенства C.30) и C.33) переходят в
приближенные равенства
^"Р0" Рпроп C 34)
F \-F
лт лт
128

3.3. Обнаружение сигналов
При независимых элементах выборки вместо отношения правдоподо-
правдоподобия удобно пользоваться его логарифмом. При этом выражение C.27) мож-
можно переписать в виде
ln/,(u) = Z, = Y z, = Yin j .
y=l y=l w\uj\rlQ)
C.35)
Верхний и нижний пороги берутся равными а = \х\А и b = In В соот-
соответственно. На практике условные вероятности ошибок не превышают 0,5 и
пороги удовлетворяют неравенствам
а > 0, Ъ< 0.
Заметим, что при доказательстве оптимальности рассматриваемой
процедуры в работе [27] предполагалось, что гипотезы Яо и Н\ являются
простыми, выборка «,,..., щ — независимой и однородной, т. е.
wt(u},...,щ\Hj) =
Hj)> w(uk\Hj) = ™(m\Hj\ к = 1,...,i, у = 0,1,
наблюдаемое распределение точно совпадает с ожидаемыми для гипотезы
Но или Н\, а перескоком решающей статистики /Ди) или In/,(и) через поро-
пороги можно пренебречь (гипотезы Яо и #i близки). При нарушении одного или
нескольких из указанных предположений поиск оптимальной последова-
последовательной процедуры усложняется.
Одной из важнейших характеристик последовательной процедуры яв-
является ее средняя длительность или математическое ожидание числа шагов
при гипотезах Яо и Н\. Пусть решение принимается на шаге т наблюдения.
Для независимой однородной выборки с учетом формулы C.35) решающая
статистика Zm в момент принятия решения в пользу одной из гипотез пред-
представляет собой сумму случайного числа одинаково распределенных величин
zkb k = l,2,.... Поэтому при гипотезах Яо и Я] математические ожидания
числа шагов имеют вид
=M{m\Hl} =
где
C.36)
C.37)
C.38)
5 — 7816
129

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
— математическое ожидание приращения решающей статистики за такт на-
наблюдения при гипотезе Щ причем z0 < 0, а 1\ > 0.
Действительно, используя неравенство \пх < х - 1 и учитывая, что
= ;с-1 только при х = 1, получим
Поскольку w(zk \HX) * w(zk \HQ), находим, что z0 <0.
Аналогично,
ч = Ы
= /lnl-to erirv}«'№***
Учитывая неравенство
00
Jin
w{zk\Hx)
^L(z,|^)^<o
w{zk\Hx)
(см. предыдущий вывод), находим, что zj > 0.
Для близких гипотез решающие статистики Zm\Ho и Zm\H\ определяют-
определяются выражениями
а с вероятностью Fm,
Ъ с вероятностью \-Fm,
\а с вероятностью 1-/?проп,
[6 с вероятностью ^проп.
Тогда
C.39)
C.40)
Подставив выражения C.38)—C.40) в формулы C.36) и C.37), получим
130

3.3. Обнаружение сигналов
C.41)
=
Заметим, что для рассматриваемого случая близких гипотез выполня-
выполняется условие Io « -Zj. Тогда, учитывая выражения C.41) и C.42), находим
mxlm0*-alb. C.43)
Для последовательной процедуры существенным является то, что
среднее число шагов т оказывается меньше фиксированного размера вы-
выборки т, необходимого для обнаружения сигнала по любому другому кри-
критерию при условных вероятностях ошибок, не превосходящих Fm и /?проп.
При Fm = рпроп выигрыш в среднем объеме выборки, обеспечиваемый про-
процедурой Вальда по сравнению с эквивалентной по вероятностям ошибок
процедурой Неймана—Пирсона, составляет примерно 2 раза (см. [27]), а при
сильно различающихся значениях Fm и рпроп (Fnr « рпроп), что характер-
характерно для радиолокации, выигрыш существенно возрастает.
Объясняется это следующим. При Fm < рпроп пороги а и Ъ оказыва-
оказываются не симметричными относительно нулевого уровня и выполняется не-
неравенство д»|?|. Поэтому, учитывая выражения C.43), можно утверждать,
что тх » т0. Величина тх приблизительно равна размеру выборки т, ис-
используемой в эквивалентной процедуре Неймана—Пирсона, и, следователь-
следовательно, ^«й,. Поскольку при радиолокационном наблюдении в большинстве
элементов разрешения цели нет, средняя длительность процедуры Вальда
будет существенно меньше длительности процедуры Неймана—Пирсона.
Выигрыш в среднем времени наблюдения оценивается приближенно отно-
отношением In Fm I In /?проп и при типичных для радиолокации значениях Fm =
= 1О...1О2 и /7проп =0,1—0,5 составляет 5-20 раз.
Последовательный критерий отношения правдоподобия позволяет по-
получить эффективные процедуры в смысле минимального значения среднего
объема наблюдений (выборки) и в тех случаях, когда условия теоремы
Вальда—Вольфовитца не выполняются, хотя строгого доказательства опти-
оптимальности этих процедур в настоящее время не существует.
Обратим внимание на то, что последовательная процедура Вальда да-
дает выигрыш по сравнению с непоследовательными процедурами лишь в
5* 131

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
среднем времени наблюдения. В отдельных случаях длительность процесса
обнаружения по Вальду может оказаться недопустимо большой. Особенно
это проявляется в тех случаях, когда задача обнаружения сигнала решается
параллельно во многих каналах (например, в N радиолокационных каналах
по дальности). Если решение в каждом из каналов принимается независимо,
то общая длительность процедуры определяется тем каналом, где решение
было принято последним. Очевидно, что с увеличением числа каналов JV
длительность процедуры увеличивается. При этом временные затраты по-
последовательной процедуры растут быстрее, чем для эквивалентной по на-
надежности (при одинаковых вероятностях Fm и D) процедуры Неймана—
Пирсона [23]. Поэтому применение последовательной процедуры Вальда
для многоканального обнаружения с независимым принятием решений
при увеличении числа каналов становится все менее выгодным по
сравнению с процедурой Неймана—Пирсона (предполагается, что
каналы однородны).
Повысить эффективность радиолокационного последовательного об-
обнаружения удалось, учитывая зависимость отношения сигнал—шум от
дальности. Среднюю длительность многоканальной процедуры с независи-
независимыми решениями можно сократить, если перейти от постоянных (вальдов-
ских) порогов к функциональным порогам, зависящим от номера шага, для
которого область неопределенности по мере накопления данных сужается.
Однако удобных для инженерной практики методов расчета зависимостей
порогов А(т) и В(т), обеспечивающих минимизацию средней длительности
процедуры при заданных вероятностях Fm и рпроп в настоящее время не су-
существует [23].
Вырожденным случаем такой процедуры является усеченная последо-
последовательная процедура [28]. При этом обнаружитель сначала работает как по-
последовательный (рис. 3.4): вычисляет значения отношения правдоподобия
/,(и), / = 1,2,... (блок ОП), которые через переключатель П поступают на
• двухпороговое устройство ПУ2.
/«(и)
"(О
ОП
П
к.
ПУ2
Рис. 3.4. Структурная схема последова-
последовательного обнаружителя с усечением вре-
времени наблюдения
132
Если окажется, что в течение за-
заданного времени наблюдения (за-
(заданного числа т шагов) не будет
принято решение в пользу гипоте-
гипотезы Но или Ни то выход блока
формирования отношения правдо-
правдоподобия переключается на одно-
пороговое устройство ПУь Про-
Производится сравнение величины
/m(u) с одним порогом, выбирае-
выбираемым, например, по критерию

3.3. Обнаружение сигналов
Неймана—Пирсона, и выносится решение уо или у\. На этом процедура об-
обнаружения заканчивается.
Недостатком усеченной процедуры Вальда является то, что она часто
не обеспечивает заданные вероятности ошибочных решений [29].
Дальнейшее повышение эффективности многоканального последова-
последовательного обнаружения достигается, если в ходе эксперимента целенаправ-
целенаправленно изменяется не только решающее правило, но и условия наблюдения.
Последние изменяются не на каждом шаге наблюдения, а по завершению
некоторого этапа. Параметры первого этапа выбираются исходя из заданной
вероятности пропуска сигнала, поэтому его средняя длительность может
быть меньше величины, необходимой для поддержания расчетной вероят-
вероятности ложной тревоги Fm. Решение в пользу гипотезы Яо на первом этапе
означает окончание процедуры. Если гипотеза Яо не подтверждается, то
происходит переход к следующему этапу.
Примером алгоритма этого класса может служить двухэтапное радио-
радиолокационное обнаружение, при котором на первом этапе разрешающая спо-
способность по дальности уменьшается, например увеличением длительности
зондирующего сигнала. На втором этапе, который проводится только при
условии, что на первом этапе было принято решение об обнаружении сиг-
сигнала, обеспечивается требуемая разрешающая способность и производится
измерение дальности.
Многоэтапные процедуры относятся к классу последовательных, если
даже на некоторых этапах правило принятия решения базируется на выбор-
выборках фиксированного объема. При оптимальном выборе параметров двух-
трехэтапные многоканальные последовательные процедуры приближаются
по эффективности к квазиоптимальным невырожденным последовательным
процедурам. Недостатком таких алгоритмов является сравнительная слож-
сложность их реализации и использования в нестационарных условиях наблюде-
наблюдения. С методами преодоления трудностей, возникающих при использовании
многоэтапных процедур, можно познакомиться в работе [29].
На практике часто параметры сигнала (амплитуда, частота, фаза), а
также параметры помехи (например, ее интенсивность) неизвестны. Поэто-
Поэтому наиболее типичной в задаче обнаружения являются ситуации, когда рас-
распределение наблюдаемого колебания u{t) зависит не только от вида гипоте-
гипотезы, но и от неизвестного параметра X (или вектора к). При этом гипотезы Н\
и Яо оказываются сложными и задача обнаружения состоит в проверке
сложной гипотезы при сложной альтернативе.
Пусть w{u\Hx,Xx) и w(u\H0,X0) —условные плотности вероятностей
наблюдаемого колебания u{t) соответственно при гипотезах Н\ и Яо, зави-
зависящие от неизвестных параметров Х\ и Хо. При байесовском подходе к ре-
133

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
шению задачи обнаружения параметры Х{ и Хо рассматриваются как случай-
случайные величины, распределения w(X^) и w(X0) которых известны. При этом
можно найти усредненные плотности вероятностей:
iv(M|#,)= JwCwItf^M^)^ C-44)
w{u\H0)= jw(u\H0,X0Mb0)clX0, C.45)
где Ai и Л о — множества значений параметров Х\ и Хо соответственно. В
результате переходим к случаю проверки простой гипотезы при простой
альтернативе, когда распределение вероятностей наблюдаемого колебания
зависит только от типа гипотезы.
Таким образом, рассматриваемая задача обнаружения сводится к ра-
ранее рассмотренной. Оптимальный алгоритм обнаружения записывается сле-
следующим образом:
- W(U\H,) Л,
w(u\H0) \w{u\H0,
где порог /о зависит от выбранного критерия. Неизвестные параметры Х\ и
Хо могут быть векторами, при этом интегралы в выражениях C.44)—C.46)
будут многократными.
3.3.2. Обнаружение детерминированного сигнала
на фоне белого шума
Пусть наблюдаемое колебание имеет вид
где 9 — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями
Pi и Ро =1~Р\\ s{f) — полезный сигнал с известными параметрами; n(J) —
гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и корреля-
корреляционной функцией
Найдем алгоритм работы оптимального обнаружителя. Вначале рас-
рассмотрим дискретную обработку, когда наблюдения ведутся в дискретные
134

3.3. Обнаружение сигналов
моменты времени /,, t2,...,tn, а решение принимается на основе выбороч-
выборочных значений
u(tt) = ut = 05, + л,., / = 1,2,..., п.
Для принятия решения необходимо вычислить отношение правдопо-
правдоподобия
№(Ц,,..,ц|Я,) v^ujgl
и сравнить его с порогом /0.
Найдем распределения w(u|#j) и w(u|//0).
Пусть справедлива гипотеза Но. Тогда наблюдаемое колебание пред-
представляет шум, т. е. u{t) = n(t). Поскольку в качестве помехи рассматривается
гауссовский белый шум, то распределение любого отсчета наблюдаемого
колебания является гауссовским:
Учитывая, что отсчеты белого шума статистически независимы, нахо-
находим распределение
(^!4 C-48)
При справедливости гипотезы Н\ имеем
щ =5,.+л,..
Используя формулу преобразования плотности вероятности и учиты-
учитывая, что Si — детерминированная величина, находим распределение
Поскольку отсчеты и,, / = 1,2,...,и, по-прежнему оказываются стати-
статистически независимыми, то распределение
(«,. -sA C.49)
)
135

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Подставив выражения C.48) и C.49) в формулу C.47), получим отно-
отношение правдоподобия
[1 П 1
2
[
a /=i 2а /=]
Соответственно, алгоритм работы обнаружителя примет вид
^Л!Л >< к- C.50)
Учитывая монотонную зависимость показательной функции от аргу-
аргумента, алгоритм работы обнаружителя C.50) можно записать в виде нера-
неравенств
4Ai
о м 2а ,=1 щ
или
i
41Л i Hf
а /=1 «о 2а ,=
Из выражения C.51) следует, что существенной операцией, которую
необходимо выполнить при решении задачи обнаружения, является нахожде-
нахождение суммы произведений отсчетов принятого колебания и полезного сигнала.
Перейдем к рассмотрению непрерывной обработки сигнала. При пе-
переходе к непрерывному времени можно воспользоваться зависимостью
°2=?' ^=''-''-" C-52)
где No 12 — спектральная плотность мощности шума. Подставляя выраже-
выражение C.52) в формулу C.51) и переходя к пределу при А/ -» 0, находим алго-
алгоритм работы обнаружителя непрерывного сигнала
2 Л Я' F
z = ~\u{t)s{t)dt >< \nlo+^- = zo, C.53)
где Тс — длительность полезного сигнала*, а Е — его энергия.
В настоящей главе далее длительность сигнала Т будем обозначать без ин-
индекса «с».
136

3.3. Обнаружение сигналов
Заметим, что отношение прав-
правдоподобия для непрерывного сигна-
сигнала имеет вид
/(и) = exp
—— + — \ii{t)s(t)dt
i Коррелятор
u(t)
i
i
i
X
-•>
т
\s(t)
z
ПУ
Рис. 3.5. Структурная схема корреля-
C.54) ционного обнаружителя детерминиро-
Т1 , ,„ ... ванного сигнала
Из формулы C.54) следует,
что при непрерывной обработке необходимо вычислить интеграл
9
z = — \u{t)s{t)dt
Ао о
C.55)
и сравнить его с известным порогом. Интеграл C.55) характеризует меру вза-
взаимной корреляции между наблюдаемым колебанием u(f) и полезным сигна-
сигналом s(f) и называется корреляционным. Соответственно, корреляционным на-
называется обнаружитель, построенный в соответствии с выражением C.53) и
состоящий (рис. 3.5) из перемножителя, интегратора и порогового устройства
(ПУ). Перемножитель и интегратор образуют коррелятор.
Определим показатели качества обнаружителя: вероятность ложной
тревоги Fm и вероятность правильного обнаружения D = 1 - рпроп. Для это-
этого необходимо знать распределение решающей статистики z при отсутствии
и наличии сигнала s(t) на входе обнаружителя.
Пусть справедлива гипотеза Яо. Тогда
= —\n(t)s(t)dt.
C.56)
Из выражения C.56) следует, что величина z является линейным пре-
преобразованием белого гауссовского шума, а следовательно, она имеет гаус-
совское распределение, которое полностью определяется математическим
ожиданием M{z|#0} и дисперсией g2z.
Первая характеристика находится тривиально:
f 2 Т 1 2 Т
M{z#0}=MU— \n(t)s(t)dt\ = — \M{n(t)}s(t)dt = 0.
1Л о J ^o 0J
Вычисление дисперсии g2z несколько сложнее:
137

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
'О о
'о Ю
тт
n(tx )n{t
x )n{t2
)dtxdt2.
Учитывая, что корреляционная функция белого шума выражается со-
соотношением M{tf(/j)w(r2)} =—2-5(/2 -/j), находим
"О 00
Наконец, используя фильтрующее свойство 8-функции, получаем
o
Таким образом,
w(z\HQ) =
ехр
2-2E/N
C.57)
C.58)
Пусть теперь справедлива гипотеза Н\. При этом величина
^ т
по-прежнему является результатом линейного преобразования гауссовского
шума и, следовательно, имеет гауссовское распределение.
Математическое ожидание и дисперсия величины z определяются
формулами
G2z=2E/N0.
Теперь можно записать плотность вероятности величины z:
*-2E/NQf
138

3.3. Обнаружение сигналов
Используя распределения C.58) и C.59), находим показатели качества
обнаружения:
Fm=P(z>zo\Ho)=jw(z\Ho)dz =
zo
Г
ехр
In/,
JE/Nj2n-2E/N0 { 2-2E/N0
\dz = 1-Ф\
L C.60)
4
где
I exp а/ — интеграл вероятности.
Величины Fm и рпроп численно равны площадям соответствующих
участков под кривыми распределений w(z\H0) и w(z\H^) (рис. 3.6).
Используя выражения C.60) и C.61), можно для различных Fm (рис. 3.7,
сплошные линии) получить зависимости D = f(yj2E/N0), которые назы-
называются характеристиками обнаружения. Пользуясь этими характеристика-
характеристиками, можно определить необходимое отношение 2E/N0, при котором для
заданной вероятности Fm обеспечивается обнаружение сигнала с требуемой
вероятностью правильного обнаружения D. Значение этого отношения ха-
характеризует так называемый пороговый сигнал.
Из полученных результатов вытекает следующий важный вывод: воз-
Mz/Щ) |
Рис. 3.6. Диаграмма расчета показателей качества обнаружения
139

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
12 4 6 8 10 12 -ПЁ/Nq
Рис. 3.7. Характеристики оптимального обнаружителя
можность обнаружения сигнала с заданными вероятностями ошибок Fm и
Ацюп при помехе типа белого гауссовского шума зависит только от отноше-
отношения энергии сигнала Е к спектральной плотности мощности шума Nq/2 и не
зависит от формы сигнала.
Техническая реализация алгоритма обнаружения, представленного
выражением C.55), при использовании корреляционного приемника не яв-
является единственно возможной. Корреляционный интеграл C.55) может
быть сформирован с помощью линейного фильтра. Действительно, сигнал
на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой h{t) в момент
t - Т имеет вид
т
uBhK(T)=ju(t)h(T~t)dL
Если импульсную характеристику фильтра выбрать такой, что
ч 2 _
или, что то же самое,
s(T-t),
C.62)
70 "вых(Т) будет совпадать с корреляционным интегралом выражения C.55).
Линейный фильтр, импульсная характеристика которого определяется
выражением C.62), или, в более общем случае, выражением
140

3.3. Обнаружение сигналов
= as(tQ-t),
u(t)
СФ
ПУ
т
Yi
Yo
где а — постоянная величина и t0 > Т, назы-
называется согласованным.
При фильтровой интерпретации инте- ^ис* ^' Структурная схема
грала C.62) обнаружитель (рис. 3.8) состоит Фильтрового обнаружителя
из согласованного фильтра (СФ) и порогового ^терминированного сигнала
устройства (ПУ).
Рассмотрим основные характеристики согласованного фильтра. Им-
Импульсная характеристика была приведена ранее. Она дает временное описа-
описание согласованного фильтра. Найдем комплексную частотную характери-
характеристику:
®)= jh(t)exp(-j(?>t)dt= \as(t0 -
—oo —ас
Введя новую переменную x = to-t, получим
00
jas(x)exp(j(i)t)dT=aexp(-j(x)to)S*(ja), C.63)
где S* (усо) — функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности
сигнала s(t).
Из формулы C.63) следует, что модуль комплексной частотной харак-
характеристики (амплитудно-частотная характеристика) согласованного фильтра
имеет вид
)\, C.64)
а его фазовая характеристика определяется следующим образом:
ф(со) = -фс(со)-со?0. C.65)
Равенство C.64) означает, что амплитудно-частотная характеристика
согласованного фильтра совпадает с точностью до постоянного множителя с
амплитудным спектром полезного сигнала, а следовательно, согласованный
фильтр избирательно пропускает частотные составляющие сигнала: чем
больше интенсивность составляющей, тем с большим весом она передается.
Фазовая характеристика согласованного фильтра состоит из двух час-
частей, одна из которых равна фазовому спектру сигнала Фс(со), взятому с об-
обратным знаком, а вторая равна -со/0. Благодаря такой характеристике фазо-
фазовые сдвиги между частотными составляющими полезного сигнала компен-
141

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
сируются так, что в момент t = t0 все составляющие полезного сигнала ока-
оказываются в одной фазе и значение сигнала на выходе согласованного
фильтра оказывается максимально возможным. Именно в этот момент при-
принимается решение.
Определим отношение сигнал—шум на выходе согласованного
фильтра. При наличии полезного сигнала на входе согласованного фильтра
выходной сигнал в момент t = to=T имеет вид
= ajs\t)dt + a\n(t)s(t)dt.
C.66)
Математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определя-
определяются формулами
т
2 aE, C.67)
a\n{t)s{t)dt
L 0
= a2EN0/2. C.68)
С учетом выражений C.67) и C.68) отношение сигнал—шум по мощ-
мощности в момент t = Т можно записать в виде
Таким образом, отношение сигнал—шум на выходе согласованного
фильтра в момент t = Т определяется только энергией сигнала и спектраль-
спектральной плотностью мощности шума и не зависит от формы сигнала.
Можно показать, что отношение сигнал—шум на выходе любого ли-
линейного фильтра при действии на него детерминированного сигнала и гаус-
совского белого шума удовлетворяет неравенству
q2**2E/N0. C.70)
Из формул C.69) и C.70) следует, что согласованный фильтр является
оптимальным фильтром, обеспечивающим максимальное отношение сиг-
сигнал—шум.
142

3.3. Обнаружение сигналов
Заметим, что максимальное отношение сигнал—шум на выходе кор-
коррелятора (см. рис. 3.5) также равно 2E/N0.
Действительно,
\}f J2E/Nof _2Е
2E/N0 NQ'
Найдем вид сигнала на выходе согласованного фильтра при отсутст-
отсутствии помехи:
/ t
«вых @ = р(*Ж* - x№ = р(х)а5(/0 - / + т>/т. C.72)
о о
Нетрудно заметить, что относительно момента времени t -10 выраже-
выражение C.72) с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением
для корреляционной функции полезного сигнала s(t). Таким образом, сигнал
на выходе согласованного фильтра при отсутствии шума совпадает по фор-
форме с корреляционной функцией сигнала, с которым фильтр согласован.
В заключение отметим, что рассмотренные схемы реализации оптималь-
оптимального обнаружителя (корреляционная и фильтровая) обеспечивают одинаковые
показатели качества обнаружения. Независимо от вида приемника (корреляци-
(корреляционный приемник или согласованный фильтр) информация о полезном сигнале
содержится на приемной стороне и используется при приеме. В случае корре-
корреляционного приемника на приемной стороне генерируется копия сигнала s(t),
при согласованном фильтре информация о сигнале заложена в его комплексной
частотной характеристике (или импульсной характеристике).
При использовании корреляционного приемника необходимо точно
знать время прихода сигнала. Если оно неизвестно, то приходится приме-
применять набор корреляторов, каждый из которых соответствует определенному
интервалу возможного времени прихода сигнала. При использовании согла-
согласованного фильтра нет необходимости в знании времени прихода сигнала.
Действительно, фильтр, согласованный с некоторым сигналом s(t), будет
согласован и с сигналом s(t-t'), сдвинутым по времени на Л Изменение
времени прихода сигнала приводит к изменению времени достижения сиг-
сигналом на выходе фильтра своего максимального значения.
3.3.3. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой
на фоне белого шума
Пусть колебание на входе обнаружителя имеет вид
u{t) = Qs(t, ф) + n(t) = Q[s cos(oy + ф)] + w@>
143

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
где s(t, ф) — полезный сигнал, у которого все параметры, за исключением
начальной фазы ф, известны.
Начальная фаза ф рассматривается как случайная величина с извест-
известным распределением. При отсутствии информации об априорном распреде-
распределении начальной фазы вполне естественно считать это распределение рав-
равномерным:
и,(ф) = _1_, 0 < ф < 2тс. C.73)
2л
Поскольку сигнал в рассмотренном случае может принимать различ-
различные значения в зависимости от ф, гипотеза Н\ является сложной. Поэтому
алгоритм обнаружения согласно формуле C.46) сводится к вычислению от-
отношения правдоподобия
2л
= -
(ЗЛ4)
7{и) Г77П
w(u\H0)
и сравнению его с порогом /0. При записи выражения C.74) учитывалось,
что распределение w(u\H0) не содержит неизвестных параметров.
Отношение / (и) можно найти следующим образом:
_ 2п
1(и)= \1(и\ф(Мъ C.75)
о
где /(м|ф) — условное отношение правдоподобия (отношение правдоподо-
правдоподобия при условии, что начальная фаза равна ф). Оно совпадает с отношением
правдоподобия для детерминированного сигнала s(t, ф), где ф — фиксиро-
фиксированная величина.
С учетом выражения C.54) имеем
[Т \
Е 2 с I
-— + — \u{t)s{t,y)dt =
( Е 2 т Л
= ехр --— + — \u(t)Scos((x>0t + <$>)dt \, C.76)
где S— амплитуда.
Подставляя выражения C.73) и C.76) в формулу C.75), получаем
144

3.3. Обнаружение сигналов
/(к) = ехр -— Jexp — fu(t)Scos((o0t + (?)dt — dy. C.77)
Преобразуем сначала корреляционный интеграл:
2 т 2 т
\(t)S (t )dt
2 2
z = — \u(t)S cos((dQt + q)dt = — fw(/M'(cos(co0/)cos9 - sm((o0t)sin(p)dt =
2
= — cos(p \u(t)S cos(a>0t)dt -
^0
о
T
2 T 2
i \(t)S i(t)dt
2
sin ф \u(t)S sin((uot)dt = —(zj соБф - z2 sin (p),
г г
где z, = jt<(/)iScos(GHf)<//, z2 = \u(t)Ssm((dot)dt.
о о
Введем обозначение Z = л/z,2 + z\; тогда
z = — zf^-cos -^sin 1
No [Z Z
Отношения zJZ и z2/Z можно рассматривать соответственно как
cos 9 и sin 9. Поэтому
2Z 2Z
z = —(cos9coscp-sin9sin(p) = —cos(9 + cp). C.78)
Подставляя выражение C.78) в формулу C.77), находим
/"(«) = expf -Jf)] J-expf ^cos(9 + ФI dy. C.79)
I N0Ji2n {No J
Интеграл в правой части выражения C.79) является модифицированной
функцией Бесселя нулевого порядка с аргументом 2Z/N0. Таким образом,
и алгоритм работы оптимального обнаружителя сигнала со случайной на-
начальной фазой имеет вид
145

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
я,
М-л < li
или
lnlJ^l >< ln/0+^ = z0.
ViVo/ ° ¦/vo
C.81)
Учитывая, что функция I0(Z) монотонна, алгоритм C.81) можно за-
заменить равносильным:
Z >< С,
C.82)
где порог С выбирается из обеспечения требуемой вероятности ложной тре-
тревоги Fm.
Таким образом, существенной операцией, которую необходимо вы-
выполнить при решении задачи обнаружения сигнала со случайной начальной
фазой, является вычисление величины
I Л
\u(t)S cos((o0t)dt + (u(t)S sin((o0t)dt
_0
L0
C.83)
Оптимальный обнаружитель (рис. 3.9), построенный в соответствии с
формулами C.82) и C.83), представляет собой схему с двумя квадратурны-
квадратурными каналами, в каждом из которых осуществляются операции умножения,
интегрирования и возведения в квадрат. Опорные напряжения в каналах
сдвинуты по фазе относительно друг друга на 90°. Наличие двух квадратур-
квадратурных каналов позволяет получить результат обработки Z, не зависящий от
истинного значения начальной фазы.
Учитывая, что величина Z является значением огибающей сигнала на
«(О
X
J
0
Kb
jiS'COS( OOqO
X
A
T
J
0
Kb
I
"TJ
z2
z
ПУ
tc
Yi
.—-*
Yo
Рис. 3.9. Структурная схема корреляционного обнаружителя сигнала
со случайной начальной фазой
146

3.3. Обнаружение сигналов
выходе приемника, вычисляющего кор-
реляционный интеграл \u(t)s(t,
СФ
ДО
А
ПУ
Yi
Уо
возможна другая схема реализации Рис- 3.10. Структурная схема фильт-
оптимального обнаружителя (рис. 3.10). Рового обнаружителя сигнала со слу-
Она включает согласованный фильтр чайной н*чальной фазой
(СФ), детектор огибающей (ДО) и пороговое устройство (ПУ). Решение
принимается в момент t= Т.
Определим показатели качества обнаружения. Для этого надо знать
законы распределения w(Z\HQ) и w{Z\Hx). Поскольку колебание на выхо-
выходе согласованного фильтра представляет собой узкополосный гауссовский
процесс, его огибающая будет распределена по закону Рэлея при гипотезе
Но и по закону Раиса при альтернативе Н\. Соответственно, распределения
величины Z при гипотезах Яо и Н\ будут определяться формулами
Z2+E2
2а2
ZE
C.84)
C.85)
где a2 =EN0/2 — дисперсия шума на выходе согласованного фильтра.
На практике удобно пользоваться распределениями нормированной
величины v = Z/g. При этом
2 ^
C.86)
C.87)
Используя распределения C.86) и C.87), найдем показатели качества
обнаружения:
= )w(v\H0)dv= ]vexp(-v 2/2)dv= exp(-CH2/2), C.88)
C.89)
D =
сн с,
где Сн = С/ст — нормированный порог.
147

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Интеграл C.89) нельзя выразить через элементарные функции. Поэто-
Поэтому вычисление вероятности правильного обнаружения производится чис-
численными методами.
Используя выражения C.88) и C.89), можно найти характеристики
обнаружения сигнала (на рис. 3.7 они изображены штриховыми линиями).
Сравнение их с характеристиками обнаружения детерминированного сигна-
сигнала показывает, что незнание начальной фазы приводит к ухудшению показа-
показателей качества обнаружения, т. е. требует несколько большее пороговое от-
отношение сигнал—шум.
3.3.4. Обнаружение сигнала со случайными амплитудой
и начальной фазой на фоне белого шума
Пусть обнаруживаемый сигнал имеет вид
s (/, а, ф) = a cos (co0f - (р), C.90)
где а и ф — случайные амплитуда и начальная фаза. На практике обычно
величины а и ф статистически независимы и имеют соответственно рэлеев-
ское и равномерное распределения:
w(a) = -^ехр - Aj- , а > 0;
°; I 2<*а)
м<ф) = —, 0<ф<2л. C.91)
2л
Для рассматриваемого случая отношение правдоподобия C.46) можно
представить выражением
OO27I
Т(и) = j jl(u\a, y)w(a)w{y)d<$>da. C.92)
о о
Условное отношение правдоподобия 1{и\а,у) находим по формуле
C.54) при замене s{t) на s(t, а, ф):
[ 2 т 1 т }
1(и\а, ф) = ехр| — \u{t)s{t, а, ц)Л - — js2(t, а, ф>* \.
1^0 о ^0 о J
Интегрируя правую часть выражения C.92) по переменной ф, находим
отношение правдоподобия
Н1^)Ш^а- (з-9з)
148

3.3. Обнаружение сигналов
где Е\ — энергия полезного сигнала при а = 1, Zx = Zja — величина, опре-
определяемая формулой C.83) при S = 1 (значение огибающей сигнала на выходе
оптимального приемника, настроенного на прием сигнала с амплитудой,
равной 1).
Подставляя в формулу C.93) выражение C.91) и учитывая, что
00 1 (В2 ^
[х ехр (-осе2 )I0 {$x)dx = — ехр ¦?- L C.94)
о 2а \4а)
окончательно получаем
C.95)
No+.
где
— средняя энергия сигнала.
Поскольку отношение правдоподобия I (и) является монотонной
функцией Z\, алгоритм работы оптимального обнаружителя можно предста-
представить в виде неравенств
Z, ^ Сг C.97)
Из выражения C.97) следует, что существенной операцией, которую
необходимо выполнить при решении задачи обнаружения сигнала со слу-
случайными амплитудой и начальной фазой, является вычисление огибающей
сигнала на выходе оптимального приемника, настроенного на прием сигна-
сигнала с амплитудой, равной 1. Структурные схемы обнаружителя будут подоб-
подобны схемам, изображенным на рис. 3.9 и ЗЛО.
Оценим показатели качества обнаружителя. При гипотезе Яо распре-
распределение величины Z\ будет рэлеевским:
a; i, 2a
где af -Ex No/2. Вероятность ложной тревоги находится следующим об-
образом:
Fm = )w{Zx \HQ)dZ{ = jAexpf-^W = expf-^1. C.98)
149

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Для определения вероятности правильного обнаружения необходимо
знать распределение
00
w(Zx \НХ) = \w{Zx \Hx,a)w(a)da, C.99)
Zl + c^E2\ (zxaEx)_
где
2+a2E2
C,00)
Подставляя выражения C.91) и C.100) в формулу C.99) и используя
значение интеграла C.94), находим
w(Zx\Hx) = 2Zl , 2expf ^-Т-т\ C-101)
N0Ex+2a2aEx2 % N0Ex+2G2aEx2)
Вероятность правильного обнаружения определяется выражением
D=)w(Zx\Hx)dZx = expf- ^ ]. C.102)
с, V N0Ex(\ + 2G2aEx/N0)J
Используя выражения C.98) и C.102), можно найти характеристики
обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Срав-
Сравнение их с характеристиками обнаружения нефлуктуирующего радиосигна-
радиосигнала необходимо проводить при равенстве средней энергии флуктуирующего
сигнала и энергии нефлуктуирующего сигнала. Если принять амплитудный
коэффициент нефлуктуирующего сигнала а равным 1, то, как видно из фор-
формулы C.96), необходимо положить ъ2а =1/2. При этом с учетом выражений
C.98) и C.102) имеем
Зависимость C.103) показана на рис. 3.7 штрих-пунктирными линия-
линиями. Из характеристик, изображенных на рис. 3.7, видно, что для обнаруже-
обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой требуется зна-
значительно большее пороговое отношение сигнал—шум (при D > 0,8) по
сравнению с обнаружением сигнала с известной амплитудой.
150

3.3. Обнаружение сигналов
Таким образом, незнание амплитуды и начальной фазы сигнала при-
приводит к существенному ухудшению показателей качества обнаружения. Для
обеспечения заданных показателей необходимо увеличить энергию сигнала.
Заметим, что в ряде случаев в схемах рассмотренных обнаружителей
вместо согласованных фильтров применяют более простые так называемые
квазиоптималъные фильтры, у которых полоса пропускания выбирается из ус-
условия достижения как можно большего отношения сигнал—шум на выходе.
При этом, конечно, помехоустойчивость обнаружителей уменьшается, так как
квазиоптимальные фильтры лишь частично согласованы с полезным сигналом.
Однако при использовании простых сигналов, например одиночных радиоим-
радиоимпульсов без внугриимпульсной частотной или фазовой модуляции, это умень-
уменьшение незначительно (энергетические потери не превышают 17 %).
3.3.5. Обнаружение пачки сигналов
Сигнал, отраженный от цели, представляет собой последовательность
радиоимпульсов (пачку радиоимпульсов). Число N импульсов в пачке зави-
зависит от времени облучения То6л цели, периода повторения радиоимпульсов Гп
и определяется отношением
х = то6л/тп.
В режиме кругового обзора
гобл=де0>5/о,
где А905 — ширина диаграммы направленности по уровню 0,5, Q — угло-
угловая скорость вращения луча антенны.
Огибающая пачки определяется формой диаграммы направленности
антенны. В некоторых случаях удобно в качестве аппроксимации исполь-
использовать пачку с прямоугольной огибающей, имеющую ту же энергию, но
меньшее число импульсов.
Пачка радиоимпульсов называется когерентной, если начальные фазы
радиоимпульсов связаны детерминированной зависимостью. Если началь-
начальные фазы радиоимпульсов случайны, то пачка радиоимпульсов называется
некогерентной.
Когерентность пачки отраженных радиоимпульсов возможна при вы-
выполнении следующих условий:
1) излученные радиоимпульсы должны быть когерентны;
2) сдвиг фаз при отражении сигнала от объекта и при распространении
его в среде должен быть одинаков для всех радиоимпульсов;
3) интервал корреляции флуктуации должен быть больше длительно-
длительности пачки:
151

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
СН
ПУ
t
Yi
Yo
СФ на пачку
радиоимпульсов ¦ Порог
Рис. 3.11. Структурная схема опти-
оптимального обнаружителя когерентной
пачки импульсов
Когерентность излучаемых сиг-
сигналов можно обеспечить их формиро-
формированием по схеме: высокостабильный
генератор—модулятор—усилитель
мощности.
При решении задачи обнаруже-
обнаружения когерентной пачки радиоимпуль-
радиоимпульсов рассматривают следующие основ-
основные модели:
1) пачка радиоимпульсов с полностью известными параметрами (де-
(детерминированная модель);
2) пачка радиоимпульсов со случайной начальной фазой;
3) пачка радиоимпульсов со случайными начальной фазой и амплитудой.
Синтез оптимальных обнаружителей для указанных выше моделей ко-
когерентной пачки радиоимпульсов практически ничем не отличается от син-
синтеза обнаружителей одиночных сигналов, рассмотренного в п. 3.3.3. Струк-
Структурные схемы обнаружителей когерентных пачек радиоимпульсов совпада-
совпадают со структурными схемами обнаружителей, представленных на рис. 3.5 и
3.8. Однако в корреляционных схемах в качестве опорного сигнала необхо-
необходимо использовать сигналы, описывающие пачки радиоимпульсов, а в
фильтровых схемах оптимальный фильтр должен быть согласован с пачкой
радиоимпульсов.
Согласованный фильтр для когерентной пачки радиоимпульсов мож-
можно представить (рис. 3.11) в виде каскадного соединения фильтра, согласо-
согласованного с одиночным радиоимпульсом (СФО, и синхронного накопителя
(СН). Синхронный накопитель (рис. 3.12) состоит из линии задержки с от-
отводами, усилителей с коэффициентами усиления Kit пропорциональными
амплитудам импульсов пачки, и
суммирующего устройства (I). Вход (N-i)Tn
На рис. 3.13 представлена * тп
структурная схема оптимального об-
обнаружителя когерентных пачек ра-
радиоимпульсов со случайной началь- к
ной фазой. Эта схема отличается от
схемы, представленной на рис. 3.11,
наличием детектора огибающей (ДО). Выход
Заметим, что техническая
реализация синхронного накопителя
на радиочастоте представляет собой
сложную задачу. Нестабильность
параметров линии задержки и не-
152
Рис. 3.12. Структурная схема согласо-
согласованного фильтра для когерентной пачки
радиоимпульсов

3.3. Обнаружение сигналов
C4>i
¦+.
СН
ДО
ПУ
¦* пу \^
V Уо
f
Порог
Рис. 3.13. Структурная схема оптимально-
оптимального обнаружителя когерентных пачек им-
импульсов
точность расположения отводов
не позволяют в полной мере реа-
реализовать синхронное накопление
сигнала, что приводит к сниже-
снижению помехоустойчивости обна-
обнаружителя.
Для когерентной пачки ра-
радиоимпульсов со случайной на-
начальной фазой можно использовать фильтрационно-корреляционную схему
построения обнаружителя (рис. 3.14), включающую фильтр, согласованный
с одиночным радиоимпульсом (COi); два квадратурных канала, каждый из
которых состоит из фазового детектора (ФД), синхронного накопителя (СН)
и квадратора (Кв); сумматор (Е) и пороговое устройство (ПУ) [28]. Частота
©о опорных колебаний iScos^q*+ ф,-) и Ssir^©^+ cp,-) должна совпадать с
частотой радиоимпульсов на выходе СФЬ а их фаза ср, должна меняться от
одного периода следования к другому на величину сооГп.
Рассмотренная схема обнаружителя обеспечивает такую же помехо-
помехоустойчивость, что и схема, показанная на рис. 3.13, однако она проще в реа-
реализации, так как синхронное накопление осуществляется на видеочастоте.
Для обработки когерентной пачки радиоимпульсов со случайной на-
начальной фазой можно применять также корреляционно-фильтровую схему
(рис. 3.15) [30]. Пусть 5j@ — радиоимпульс длительности Т = (N-l)Tn +хи.
Тогда когерентную пачку радиоимпульсов s@ можно представить формулой
где ^@ —периодическая последовательность видеоимпульсов (стробов),
длительность которых ти, а период повторения Тп.
С учетом изложенного выше корреляционный интеграл имеет вид
т т т
\u{t)s{t)dt = \u(t)ScTp(t)S](t)dt = \u^{t)sx{t)dt. C.104)
u(t)
0
СФ,
0
ФД
СН
ФД
СН
Кв
ПУ
Кв
сп
Порог
Yi
Рис. 3.14. Фильтрационно-корреляционная схема построения обнаружителя
153

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
СФ
ДО
ПУ
t
Порог
Рис 3.15. Корреляционно-фильтровая схе-
схема построения обнаружителя
Из формулы C.104) следует,
что процедура обнаружения коге-
когерентной пачки радиоимпульсов со
случайной начальной фазой сво-
сводится к перемножению принятого
сигнала м(/) и последовательности
видеоимпульсов ^@ с дальней-
дальнейшей обработкой в фильтре, согласованном с сигналом sx(t).
В отличие от ранее рассмотренных схем (рис. 3.12—3.14) при корре-
корреляционно-фильтровой обработке отсутствуют сложные накопители на осно-
основе многоотводных линий задержек и квадратурные каналы. В то же время
существенным недостатком корреляционно-фильтровой схемы является то,
что она не обладает свойством инвариантности к запаздыванию сигнала.
Поэтому при обработке когерентной пачки радиоимпульсов с неизвестным
моментом прихода необходимо применять многоканальную схему. Фильт-
Фильтровая и фильрационно-корреляционные схемы обработки инвариантны к
запаздыванию сигнала и, соответственно, могут быть одноканальными по
дальности.
Помехоустойчивость рассмотренных оптимальных обнаружителей ко-
когерентной пачки радиоимпульсов можно оценить по ранее полученным
формулам C.60), C.61), C.88), C.89). При этом энергию Е понимают как
суммарную энергию всех импульсов, образующих пачку. В случае прямо-
прямоугольной пачки (когда амплитуды всех импульсов одинаковы) отношение
сигнал—шум на выходе синхронного накопителя (см. рис. 3.13, 3.14) будет
в N раз больше, чем на выходе фильтра, согласованного с одиночным ра-
радиоимпульсом.
Рассмотрим теперь обнаружение некогерентной пачки радиоимпуль-
радиоимпульсов, когда амплитуды радиоимпульсов известны, а их начальные фазы пред-
представляют собой независимые случайные величины с равномерным законом
распределения. Для решения этой задачи необходимо вычислить отношение
правдоподобия, которое с учетом статистической независимости начальных
фаз радиоимпульсов можно записать в виде
ы\
где /Дм) — отношение правдоподобия для /-го радиоимпульса, определяе-
определяемое для рассматриваемого случая формулой C.80), N— число импульсов в
пачке.
Таким образом,
154

3.3. Обнаружение сигналов
C.105)
где Et — энергия /-го радиоимпульса, Z, — огибающая /-го радиоимпульса
на выходе фильтра, согласованного с одиночным радиоимпульсом.
Прологарифмируем выражение C.105) и перенесем постоянные вели-
величины в правую часть. Тогда алгоритм работы оптимального обнаружителя
можно записать в виде
2Z,
я,
нп
С,
C.106)
где С — величина порога, выбираемая из условия обеспечения заданной ве-
вероятности ложной тревоги.
В соответствии с алгоритмом C.106) на рис. 3.16 представлена струк-
структурная схема оптимального обнаружителя некогерентной пачки радиоим-
радиоимпульсов с известными амплитудами и случайными фазами. Обнаружитель
состоит из фильтра, согласованного с одиночным радиоимпульсом (COi),
детектора огибающей (ДО), синхронного накопителя (СН) и порогового
устройства (ПУ).
На практике вместо согласованного фильтра СФ] часто используют
квазиоптимальный фильтр, полоса пропускания которого выбирается из ус-
условия получения максимально возможного отношения сигнал—шум на вы-
выходе. В частности, при прямоугольной частотной характеристике фильтра
ширина полосы пропускания определяется формулой Сифорова:
Д/опт«1,37/ти.
Характеристика детектора огибающей в соответствии с C.106) должна
описываться функцией /(*) = lnlo(;c). Поскольку
I1*2
U
то характеристика ДО при малых
отношениях сигнал—шум явля-
является квадратичной, а при боль-
больших отношениях сигнал—шум —
линейной. Соответственно, ре-
u(t)
ca>i
до
¦*- СН
ПУ
Т
Порог
Yi
Уо
Рис. 3.16. Структурная схема оптимального
обнаружителя некогерентной пачки им-
импульсов
155

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
д ^
Aye
Выход
Р
Вход j | иыхол шающей статистикой является либо
N N
х?. либо ^х,.
Синхронный накопитель (СН)
можно выполнить в виде многоотвод-
Рис. 3.17. Структурная схема рецир- ной линии задержки с суммирующим
кулятора устройством, показанным на рис. 3.12.
Однако из-за сложности технической реализации такого СН при обработке
пачек большой длительности на практике для обеспечения синхронного на-
накопления импульсов обычно используют рециркулятор (рис. 3.17) [28]. Он
представляет собой схему с положительной обратной связью и состоит из
линии задержки на время Тп, усилителя с коэффициентом усиления Кус,
обеспечивающего компенсацию затухания сигнала при его распространении
по линии задержки, и суммирующего устройства. Для устойчивой работы
схемы необходимо выполнение условия
где р — коэффициент затухания. Обычно Кус р « 0,8...0,95.
Заметим, что при накоплении импульсов в рециркуляторе наблюдает-
наблюдается эффект насыщения, проявляющийся в уменьшении вклада каждого по-
последующего накапливаемого импульса в суммарный сигнал. Это приводит к
снижению качества обнаружения. Подобный недостаток свойствен всем ис-
используемым на практике аналоговым накопителям (потенциалоскопам, маг-
магнитным барабанам, индикаторам на электронно-лучевых трубках, приборам
с зарядовой связью и др.) и лишь цифровые накопители свободны от него.
Оценим помехоустойчивость рассмотренного обнаружителя. Алго-
Алгоритм работы оптимального обнаружителя некогерентной пачки радиоим-
радиоимпульсов с известными амплитудами можно представить при больших отно-
отношениях сигнал—шум в виде
N
;=]
С
и при малых — в виде
'2 >.
>< с,
где Z/, / = 1,..., N, — независимые случайные величины, плотности вероят-
вероятности которых определяются формулами C.84) и C.85).
156

3.3. Обнаружение сигналов
Зная законы распределения величин Z,, i = \,...,N, можно найти плот-
плотности вероятности решающих статистик Z для гипотез Но и Н\. Интегрируя
эти распределения в пределах от порогового значения до <х>, находим
условные вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения.
При малых отношениях сигнал—шум распределение решающей
статистики при гипотезе Но подчиняется х2-закону:
2-v-i ( 2\
w(Z\Hu) = — ехр ,
V ' °' 2N(N-\)\ Ч 2/
2N(N-\)\
и вероятность ложной тревоги будет выражаться формулой
лт 2'v
i fzAMexpf--W C.107)
V-l)!cJ, Ч 2)
2*(N-\)\(?,
Плотность вероятности решающей статистики Z при гипотезе Н\ оп-
определяется следующим выражением [31]:
Соответственно, вероятность правильного приема имеет вид
где q~ — отношение сигнал—шум на выходе фильтра, согласованного с
одиночным радиоимпульсом; I>v-i(*) — модифицированная функция Бессе-
Бесселя порядка N- 1.
Вычисление вероятности ложной тревоги Fm C.107) и вероятности
правильного обнаружения D существенно упрощается при использовании
неполной функции Торонто [31]:
Ta{m, N, г) = 2rN~m+l exp(-r2))tm~N exp(-r)lNBrt)dt.
о
Если сделать замену переменной t = \/Z/2, то выражения C.107) и
C.108) можно представить в виде
157

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
14
12
«10
„ 8
s
?б
С 4
2
0
*
1 II
2) = 0,9
глт= ю -7
>
Fm=\-TaBN-\,N-l,0),
= \-Ta(lN -\,N -\
2 4 610 100 1000
Число импульсов, N
Рис. 3.18. Зависимость потерь некогерент-
некогерентного накопления по отношению к коге-
когерентному
где а = VC72.
Помехоустойчивость опти-
оптимального обнаружителя некоге-
некогерентной пачки радиоимпульсов с
известными амплитудами сущест-
существенно ниже помехоустойчивости
обнаружителя когерентной пачки.
Это объясняется тем, что некоге-
некогерентное накопление менее эффек-
эффективно по сравнению с когерентным. В случае прямоугольной пачки при сла-
слабых сигналах и больших iV отношение сигнал—шум на выходе некогерентного
накопителя увеличивается пропорционально VJV, а при когерентном накопле-
накоплении — пропорционально N.
На рис. 3.18 представлена зависимость потерь некогерентного накоп-
накопления по отношению к когерентному при Z) = 0,9, Fnr =10
пульсов в пачке.
-7
от числа им-
Используя решающую статистику 2~
можно получить практи-
N
7=1
чески такую же помехоустойчивость, что и при статистике Z-
Расссмотрим обнаружение некогерентной пачки радиоимпульсов со
случайными амплитудами. Различают следующие виды флуктуации некоге-
некогерентной пачки радиоимпульсов:
— независимые (быстрые); характеризуются тем, что амплитуды ра-
радиоимпульсов статистически независимы;
— дружные (медленные); характеризуются тем, что амплитуды ра-
радиоимпульсов полностью коррелированы;
— частично коррелированные; характеризуются тем, что интервал
корреляции сравним с периодом повторения радиоимпульсов Тп и длитель-
длительностью пачки.
Пусть флуктуации амплитуд радиоимпульсов независимы и описыва-
описываются законом Рэлея C.91), начальные фазы распределены по равномерному
закону. Тогда отношение функций правдоподобия для рассматриваемого
случая с учетом C.95) можно записать в виде
158

3.3. Обнаружение сигналов
N - N M ( 9гг272 ^
Ни) -ПW -ПтгЬЧ дг w ;'д> (ЗЛ09)
где Z,, — огибающая /-го импульса на выходе оптимального приемника,
настроенного на прием радиоимпульса единичной амплитуды.
Логарифмируя C.109), алгоритм работы оптимального обнаружителя
можно представить в виде
Структурная схема оптимального обнаружителя некогерентной пачки
независимо флуктуирующих радиоимпульсов совпадает со схемой, пока-
показанной на рис 3.16. Характеристика детектора огибающей должна быть
квадратичной.
При дружных флуктуациях амплитуд радиоимпульсов отношение
правдоподобия можно записать в виде
j
0 i=\
- , . ( а2Е,\ BaZu) c
где /;(м я) = ехр L Io — отношение правдоподобия для 1-го
I No ) К No )
радиоимпульса при условии, что амплитуда радиоимпульса равна a; w(a) —
закон распределения амплитуд, обычно рэлеевский C.91); начальные фазы
распределены по равномерному закону.
Структурная схема обнаружителя оказывается такой же, как на рис. 3.16.
Характеристика детектора огибающей должна быть линейной при больших
отношениях сигнал—шум и квадратичной при малых.
При частично коррелированных флуктуациях синтез оптимального
обнаружителя представляет более сложную задачу по сравнению с рассмот-
рассмотренными выше случаями.
Оценка помехоустойчивости оптимальных обнаружителей некоге-
некогерентной пачки флуктуирующих радиоимпульсов достаточно сложна и осу-
осуществляется обычно численными методами на ЭВМ. Заметим, что при уве-
увеличении интервала корреляции флуктуации характеристики обнаружения
ухудшаются [28]. Поэтому на практике стараются обеспечить независимость
флуктуации радиоимпульсов пачки. Этого можно, в частности, добиться
изменением частоты несущей от импульса к импульсу.
159

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
3.4. Различение сигналов
3.4.1. Оптимальные алгоритмы различения сигналов
Пусть колебание на входе приемника является суммой помехи и одно-
одного из сигналов s^t),s2(t),...,sm(t). Задача состоит в том, чтобы по принятой
реализации u{t) решить, какой из сигналов передается. Такая задача харак-
характерна для систем связи.
Критерием оптимальности может служить один из ранее рассмотрен-
рассмотренных критериев. Поскольку в связных системах ошибки в приеме различных
сигналов, как правило, одинаково нежелательны, наиболее подходящим яв-
является критерий максимума апостериорной вероятности, реализуемый оп-
оптимальным приемником Котельникова.
При различении двух сигналов so(t) и sx(t) в соответствии с критери-
критерием максимума апостериорной вероятности принимается решение в пользу
сигнала s, (/), если отношение правдоподобия 1{и) удовлетворяет условию
2!Ша (злю)
w(u sQ) pY
гдрро и pi — априорные вероятности появления сигналов so(t) и sY(t).
При различении т равновероятных сигналов решение принимается в
пользу st(t), если
w(u\sl)>w(u\sil / = 1,2,...,/я, /*/. C.111)
3.4.2. Различение двух детерминированных сигналов
на фоне белого шума
Пусть сигнал на входе приемника имеет вид
где 9 — случайная величина, принимающая значения 0 и 1 с вероятностями
Ро и/?1 соответственно; sQ(t) и sY(t) — полезные сигналы с известными па-
параметрами; n{t) — стационарный гауссовский белый шум с нулевым мате-
N
матическим ожиданием и корреляционной функцией /^(т) = —-Ь(х).
Аналогично п. 3.3.2 можно показать, что отношение правдоподобия име-
имеет вид
^
)) / f^ J )
/(и) = expf - А. + ^-)u(t)Sl(t)dt) / expf-^- + -J- )u(t)s0(t)dt\
160

3.4. Различение сигналов
где Еои Ei — энергии сигналов sQ(t) и 5}@, а логарифм отношения прав-
правдоподобия описывается формулой
г4» г* *> Т
Отсюда получаем, что решение принимается в пользу сигнала s^t), если
А
C.112)
Для симметричного канала, когда р0 = рх =0,5 и Ео = Ех = Е, порог
С\ равен нулю и алгоритм различения принимает вид
2^0. C.113)
Структурная схема оптимального когерентного приемника, соответст-
соответствующая C.112), представлена на рис. 3.19. Верхний и нижний корреляторы
могут быть заменены согласованными фильтрами с импульсными характе-
характеристиками hl(t) = sl(Т -1) и ^(t) = so(T -1) соответственно (рис. 3.20).
Средняя вероятность ошибки записывается в виде
где РошE,) — вероятность ошибки при передаче сигнала $,(/), / = 0,1.
При po=Pl=O,5
^=0,5(^E0L-^E,)). (ЗЛ14)
Условные вероятности PQU1(sQ) и ^ошE}) определяются через распределения
z при наличии соответственно
сигналов 50(/) и sx{t) следующим
образом:
^ошEо)= \ w(z\so)dz,
C.115)
/>om('sl)= J wizM
u(t)
\sdt)
г
I
ПУ
i = 0
1
Рис. 3.19. Структурная схема корреляци-
Легко видеть, что при сиг- онного различителя двух детерминирован-
нале 5,@ величина ных сигналов
6 — 7816
161

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
u(t)
СФ
СФ
ПУ
-zT t
Ci=O
Рис. 3.20. Структурная схема фильтрового различителя двух де-
детерминированных сигналов
*0 6
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дис-
дисперсией
где г
=— f
Е
— коэффициент взаимной корреляции сигналов $,
uso(t).
Аналогично, при сигнале so(t) величина
2 т
распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дис-
дисперсией
На рис. 3.21 представлены кривые распределений w(zl)=w(z\sl) и
zo) = w(z\so).
*>(z\so) T *>(z\si)
о г
Рис. 3.21. Плотность вероятности решающей статистики при
различении детерминированных сигналов
162

3.4. Различение сигналов
С учетом соотношений C.113)—C.115) и распределений w(z,) и
w(z0) имеем
1 z F
где Ф(г) =— IV' l2dt —интеграл вероятности, h2 =—.
2*i ^о
Из формулы C.116) видно, что средняя вероятность ошибки зависит
не только от энергии сигнала и спектральной плотности мощности шума, но
и от коэффициента взаимной корреляции между сигналами, т. е. от исполь-
используемой системы сигналов. Интеграл вероятности Ф(г) является монотонно
возрастающей функцией. Поэтому при одном и том же отношении Е/ No
помехоустойчивость системы оказывается тем выше, чем меньше коэффи-
коэффициент взаимной корреляции rs.
Поскольку -1 < rs < 1, то наибольшей помехоустойчивостью облада-
обладают сигналы с коэффициентом корреляции rs = -1. Они имеют одинаковую
форму, но противоположные знаки и называются противоположными. Для них
C.117)
Примером противоположных сигналов являются фазоманипулирован-
ные сигналы с манипуляцией фазы на л:
sl (/) = So cos (o0t, s0 (t) = So cos (co0/ + n), 0 < t < T.
Меньшей помехоустойчивостью обладают ортогональные сигналы
(а^=0). Для них
C.118)
Сигналы при rs =1 являются одинаковыми, т. е. s](t) = s0(t), и их не-
невозможно различить. Для них Рош =0,5.
Примером ортогональных сигналов являются фазоманипулированные
сигналы с манипуляцией фазы на л/2:
s]@ = S^ cosco0f, sQ(t) = So cos(co0r + 7i/2), 0 < / < T.
6* 163

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Ортогональные сигналы можно получить, используя частотную мани-
манипуляцию. Действительно, в этом случае
s0(t) = S0cos((o0t-(p2).
При ф, = ф0 = ф коэффициент взаимной корреляции между этими сиг-
сигналами имеет вид
_ sin((co, - со0 )Т) sin((co, + соо )Т - 2ф) + sin 2ф
(Cuj-COo)^ (СО, +СО0)Г
При выполнении условия (со, -®0)Т = 2пк, & = 1,2,..., коэффициент
корреляции rs равен нулю и сигналы оказываются ортогональными. На
практике параметры со,,соо и Г выбирают так, чтобы (со, -соо)Г»1. При
этом г. ж 0.
а
Заметим, что минимальное значение коэффициента взаимной корре-
корреляции rs между частотно-манипулированными сигналами равно -1/A,5л).
Оно достигается, когда (со, -соо)Г = 1,5тс. При этом вероятность ошибок
Оценим помехоустойчивость системы передачи, использующей ам-
плитудно-манипулированные сигналы
j,@ = 5r0cos(©0/ + 9), so(t) = O, 0</<Г.
Алгоритм различения сигналов в рассматриваемом случае принимает вид
^ Г *^ ^ А'п
Z -— —— IЫ\1 jSi \1 )ы1 ^ г 1П —- О, •
1У0 0 ^о ^о Р\
Плотности распределения вероятностей w(z|5,) и vf(z|s0) описываются
гауссовскими законами с параметрами M{z} = 2E/N0, o2z=2E/N0 и
M{z} = 0, <322=2E/NQ соответственно.
При /?, = р0 = 0,5 средняя вероятность ошибки принимает вид
С| оо
\w(z\s])dz+ jw(z\so)dz
-оо С,
164

3.4. Различение сигналов
Учитывая, что Сх = E/N0, и пренебрегая первым интегралом, находим
C.119)
На рис. 3.22 представлены зависимости вероятности ошибок от отно-
отношения 2EI No для фазо- (ФМ), частотно- (ЧМ) и амплитудно-манипулиро-
ванных (AM) сигналов (сплошные линии), вычисленные соответственно по
формулам C.117)—C.119).
Таким образом, наибольшей потенциальной помехоустойчивостью
обладают фазоманипулированные сигналы. Они обеспечивают энергетиче-
энергетический выигрыш в два раза по сравнению с частотно-манипулированными
сигналами и в четыре раза по сравнению с амплитудно-манипулированными
сигналами. Частотно-манипулированные сигналы обеспечивают энергети-
энергетический выигрыш в энергии сигнала по сравнению с амплитудно-
манипулированными сигналами в два раза. Однако следует иметь в виду,
что в отличие от фазовой и частотной манипуляции при амплитудной мани-
манипуляции передается только один сигнал. Поэтому если исходить из средне-
энергетических затрат, то нетрудно видеть, что системы с AM и ЧМ сигна-
сигналами обладают одинаковой помехоустойчивостью.
Заметим, что величина y[lE{\-rs) представляет расстояние между
сигналами:
= \\[sx{t)-s,{t)fdt
Л'2
О 20 40 60 2Е/Щ
Рис. 3.22. Зависимость вероятности ошиб-
ошибки различения детерминированных сигна-
сигналов при AM, ЧМ и ФМ (сплошные линии)
И различения сигналов со случайной на-
начальной фазой при AM и ЧМ (пунктирные
линии)
При этом формулу C.116)
можно записать в виде
C.120)
Из соотношения C.120) сле-
следует, что при действии в канале
гауссовского белого шума вероят-
вероятность ошибки зависит только от
расстояния между сигналами и
спектральной плотности мощно-
мощности шума. Этот вывод оказывается
справедливым и для случая разли-
различения т сигналов {т > 2).
165

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
При высоких требованиях к помехоустойчивости (Рош<\0~3) вероят-
вероятность ошибки удобно определять по приближенной формуле:
0.121)
которая получается при асимптотическом представлении интеграла вероят-
вероятности:
еХр(^/2). C.122)
Точность вычислений по формуле C.121) не меньше 10%, если
Как указывалось ранее, ФМ сигналы обеспечивают наибольшую по-
помехоустойчивость. Тем не менее, они практически не используются в сис-
системах передачи информации из-за трудностей реализации демодуляторов,
связанных с созданием опорного колебания, имеющего неизменную началь-
начальную фазу.
В существующих системах передачи информации опорный сигнал
формируется из принимаемого сигнала. В системах с фазовой манипуляцией
задача затрудняется тем, что при равновероятных сигналах в их спектре от-
отсутствует составляющая с частотой несущей и ее невозможно получить ме-
методом фильтрации. В этих случаях приходится применять способы форми-
формирования опорного колебания, основанные на снятии манипуляции принято-
принятого сигнала [23]. Однако всем им присущ одинаковый недостаток: при
воздействии помех возможны скачки фазы опорного колебания на я, что
приводит к инвертированию принимаемых символов (символ 1 регистриру-
регистрируется как 0, а символ 0 — как 1). Возникает так называемое явление «обрат-
«обратной работы», которое будет продолжаться до следующего скачка фазы.
Эффективным средством борьбы с явлением «обратной работы» являет-
является применение метода относительной фазовой модуляции (ОФМ), предложен-
предложенного впервые Н. Т. Петровичем. Идея метода ОФМ состоит в том, что инфор-
информация в сигнале определяется не абсолютным значением начальной фазы сиг-
сигнала, как при обычной ФМ, а разностью Аф начальных фаз двух соседних
сигналов: Аф = 0, если передается символ 0, Аф = 1, если передается символ 1.
Формирователь ОФМ сигнала (рис. 3.23) состоит из относительного ко-
кодера (сумматор по модулю два (М2) и линия задержки на время Т) и фазового
манипулятора (ФМ). Работа кодера происходит в соответствии с правилом
166

3.4. Различение сигналов
М2
u{t)
ФМ
Фазовый
демодулятор
I
1
Г
ьк
М2
I Несущая
Рис. 3.23. Структурная схема форми- Рис. 3.24. Структурная схема оптимального
рователя ОФМ сигнала демодулятора ОФМ сигнала
где а,,д2,...,ак, ... — последовательность информационных символов;
Ь,, Ь2,..., Ък,... — последовательность символов на выходе кодера.
Оптимальный демодулятор (рис. 3.24) состоит из фазового демодуля-
демодулятора и относительного декодера (сумматора по модулю два (М2) и линии
задержки на время Т). Задача декодера — восстановить информационные
символы. Это осуществляется в соответствии с правилом
где Ък — к-и принятый символ. Нетрудно убедиться в том, что при каждом
случайном скачке фазы опорного колебания в данном случае будет ошибоч-
ошибочно принят только один символ, т. е. явления «обратной работы» не будет
наблюдаться.
Помехоустойчивость демодулятора ОФМ сигналов легко определяет-
определяется из следующих соображений. Очевидно, что ошибка в приеме информа-
информационного символа будет происходить в двух возможных случаях:
а) символ Ък принят правильно, а символ bk_l — ошибочно;
б) символ Ък принят ошибочно, а символ Ьк_х — правильно.
Вероятность каждого из этих событий равна ^ош.фмО" ^ош.фм)' где
Р0ШфМ — вероятность ошибочного приема символа при ФМ, определяемая
выражением C.117). Следовательно, вероятность ошибки приема символа
при ОФМ имеет вид
¦Чшюфм ~ 2/^ш Фм A
= 2A -Ф
. C.123)
Таким образом, платой за устранение явления «обратной работы» при
применении ОФМ является удвоение вероятности ошибки по сравнению с
ФМ. Заметим, что энергетический проигрыш метода ОФМ методу ФМ не
превосходит 1 дБ.
167

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
3.4.3. Различение т детерминированных сигналов
на фоне белого шума
Пусть принятый сигнал имеет вид и@ = *|-@ + '1@» 0 < t < Т, где
5.(/)} / = 1,2,..., m (m> 2), — возможные полезные сигналы на входе прием-
приемника; n(t) — помеха типа белого гауссовского шума.
Предположим, что вероятность передачи любого сигнала равна Mm.
Тогда решение, какой из сигналов st(t), i = 1,2,..., /и, был передан, принима-
принимается на основе анализа m - 1 неравенств C.111), которые для рассматривае-
рассматриваемого случая можно переписать в виде
^\u{t)sl{t)dt-^>^\u{t)si{t)dt-^i / = 1,2,..., да, 1*/;
"
О о
или при
-Ег=... = Ет=Е
ju(t)sl(t)dt>ju(t)si(t)dt,
о о
/ = 1,2,...,да, /*/. C.124)
В соответствии с C.124)
оптимальный различитель т сиг-
сигналов состоит из т корреляторов
(рис. 3.25, а) или из т согласо-
согласованных фильтров (рис. 3.25, б) и
решающего устройства (РУ).
Оценим помехоустойчи-
помехоустойчивость различителя. Очевидно,
что ошибка при приеме сигнала
возникает тогда, когда неравен-
неравенства C.124) не выполняются
хотя бы для одного i ФI. Пусть
Zj,z2,...,zm — напряжения на
выходах каналов различителя, а
w(zl,z2i..., zm\sj) — /и-мерная
плотность вероятности сово-
совокупности случайных величин
z,,z2,...,zm при условии, что на
"(О
u(t)
X
\sm
Т
J
0
t
т
J
0
Zl
Zm
РУ
@
СФ
ДЛЯ 5i(/)
•
СФ
ДЛЯ 5w@
Z\
Zm
РУ
Рис. 3.25. Структурная схема:
a — корреляционного оптимального различителя
m детерминированных сигналов; б — фильтро-
фильтрового оптимального различителя m детерминиро-
детерминированных сигналов
168

3.4. Различение сигналов
входе приемника действует сигнал $,(/)• Тогда с учетом алгоритма работы
оптимального различителя вероятность правильного приема сигнала $,(/)
определяется следующим образом:
00 h Zl
Zf j...jw(z],z2,...,zm\sl)dzldz2...dzl_ldzM...dzm. C.125)
—00 —00 —00
Соответственно, вероятность ошибки имеет вид
Вероятность ошибки Рош зависит от ансамбля применяемых сигналов
$,(/), / = 1,2,..., т. Существует бесконечно большое число систем, отли-
отличающихся индивидуальными и совместными свойствами сигналов. Пред-
Представляет интерес система сигналов, обеспечивающая максимальную поме-
помехоустойчивость при заданных априорных условиях передачи.
Определить помехоустойчивость /w-ичных систем в общем случае
трудно. Однако для равновероятных симплексных, ортогональных и биор-
тогональных сигналов выражение C.125) существенно упрощается и сво-
сводится к однократному интегралу, который можно оценить с помощью чис-
численных методов.
Рассмотрим сначала системы передачи с ортогональными сигналами.
Пусть сигнал на входе приемника имеет вид
Тогда напряжение на выходе 1-го канала zt = \u(t)sj(t)dt является га-
о
уссовской случайной величиной с математическим ожиданием M{z{} = E и
дисперсией о22/ =EN0/2, а напряжения на выходах остальных каналов бу-
будут являться гауссовскими случайными величинами с нулевыми математи-
математическими ожиданиями и дисперсиями, равными EN012.
Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае величины
z,,22,...,zm являются некоррелированными, а следовательно, с учетом их
распределения и статистически независимыми. При этом m-мерную плот-
плотность вероятности можно записать в виде
ww(z,, z2,..., zm) = w(z1)w(z2)...w(zM), C.127)
169

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
где
{
exo ~
1
EN0
C.128)
--М, у = 1,2,..., аи, }ф1 C.129)
ENQ)
Подставляя соотношения C.127)—C.129) в C.125), после преобразо-
преобразований получаем [21, 23]
где
I exp \dt —интеграл вероятности.
—оо V /
Нетрудно видеть, что вероятность правильного приема оказывается
одинаковой для всех сигналов st(t), / = 1,2,..., т. Поэтому полная вероят-
вероятность ошибки имеет вид
=1
1
C.130)
Из C.130) следует, что с увеличением количества сигналов т вероят-
вероятность ошибки возрастает. Физически это объясняется увеличением вероят-
вероятности превышения шумом на выходе какого-либо канала (в момент приня-
принятия решения) напряжения на выходе канала, принимающего полезный сиг-
сигнал. Однако это не означает, что потенциальная помехоустойчивость /и-ич-
ных систем меньше, чем двоичных. При сравнении систем необходимо
иметь в виду, что каждый равновероятный /w-ичный сигнал несет в log2 m
раз большее количество информации, чем двоичный сигнал, или при той же
скорости передачи информации имеет в log2 m большую длительность.
На рис. 3.26 построены зависимости вероятности ошибки при коге-
когерентном приеме т ортогональных сигналов (сплошные линии) от отноше-
отношения E6/N0, где Е6 =E/\og2m — энергия, затрачиваемая на 1 бит инфор-
информации. Для сравнения представлена также зависимость вероятности ошибки
170

3.4. Различение сигналов
от отношения E6/N0 для двух про-
противоположных сигналов (штрихо-
(штриховая линия).
Системы ортогональных сиг-
сигналов с т > 2 позволяют обеспе-
обеспечить при одинаковой скорости пе-
передачи информации существенный
выигрыш в энергетике по сравне-
сравнению с двоичными сигналами [23];
например, при т = 32 и Рош = 10
он составляет почти два раза.
Расплатой за энергетиче-
энергетический выигрыш является увеличе-
увеличение ширины полосы частот, зани-
занимаемой системой, и усложнение
приемника, который для сигналов
с одинаковыми энергиями содер-
содержит т корреляторов или согласо-
согласованных фильтров (по числу сиг-
сигналов) и решающее устройство.
Определим вероятность ошибки Рош в системе с симплексными сиг-
сигналами 5,-@> / = 1,2,...,/и; она связана простым соотношением с вероятно-
вероятностью ошибки для ортогональных сигналов. Действительно, пусть $,-(/),
/ = 1,2,..., т, — симплексные сигналы. Образуем новый ансамбль сигналов
длительностью ГA + |го|):
10
ю
ю
ю
ю-6
0 2 4 6 8 10 Eq/Nq, дБ
Рис. 3.26. Зависимость вероятности ошиб-
ошибки различения т детерминированных ор-
ортогональных сигналов (сплошные линии)
и двух детерминированных противопо-
противоположных сигналов (пунктирные линии)
5/@ =
4@,
C.131)
где г0 > -1/(т-1).
Сигналы C.131) являются ортогональными:
П1+Ы) т т(\+\г0\)
J s'{t)s'j{t)dt=\si{t)sj(t)dt+ J -dt = Ero
о о т
Энергия каждого сигнала s\{t) равна ?
стояния между сигналами обеих систем {Sj(t)} и КМ) одинаковы, можно
утверждать, что вероятность ошибки для исходного ансамбля сигналов
171
го|). Учитывая, что рас-

рас3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
s.(/^ / = 1,2,..., m, равна вероятности ошибки для ортогонального ансамбля
сигналов с энергией ?A + |го|). Таким образом, вероятность ошибки для
симплексных сигналов имеет вид
™ Г / гг^: \2
Зависимость вероятности ошибки от отношения E6/N0 для сим-
симплексных сигналов можно проследить по рис. 3.26, если на оси абсцисс вме-
сто E6/N0 отложить величину
т
Nom-\
Помехоустойчивость симплексных сигналов выше, чем ортогональ-
ортогональных. Однако это различие уменьшается с увеличением т и при т »1 поме-
помехоустойчивость обоих ансамблей оказывается практически одинаковой.
Оценим помехоустойчивость систем передачи с биортогональными
сигналами. Оптимальный различитель биортогональных сигналов состоит
из набора т/2 корреляторов, устройства нахождения максимального по аб-
абсолютной величине напряжения на их выходах и устройства определения
знака этого напряжения.
При передаче любого сигнала Sj(t) ошибка в приеме отсутствует, ес-
если выполняются неравенства
Z,>0,
Вероятность правильного приема сигнала можно записать в виде
СО Z, Z,
pn^l)=\dzl J... jwm(zl,...,zm/2\sl)dzl...dzl_ldzM...dzm[2.
О -z, -z,
Случайные величины г,,...,zm/2 являются статистически независи-
независимыми и распределены так же, как и ортогональные сигналы. Это позволяет
вывести следующее выражение для вероятности ошибки:
1
dz.
Помехоустойчивость биортогональных сигналов выше, чем ортого-
ортогональных. Однако при т »1 разница в их помехоустойчивости становится
пренебрежимо мала.
172

3.4. Различение сигналов
Как уже указывалось выше, вычислить вероятность ошибки в /я-ичной
системе в общем случае нелегко. Поэтому на практике часто пользуются
верхней границей для вероятности ошибки:
W) (ЗЛ32>
где Pola(sj\s/y) — вероятность ошибки при передаче сигнала s,(t) в двоич-
двоичной системе, использующей сигналы s,(t) и Sj(t). Оценка C.132) справед-
справедлива для любой системы сигналов и любого канала.
Более простой, но менее точной является верхняя граница, определяе-
определяемая следующим образом:
Рош < (юМ)тахРош (*,>,), C.133)
где maxPoul (sy |s7) — максимальная по всем парам ij вероятность ошибки в
двоичной системе, использующей сигналы st(t) и Sj(i).
3.4.4. Различение двух сигналов со случайной начальной фазой
на фоне белого шума
Пусть сигнал на входе приемника имеет вид
и@ = 95, (t, ф,) + A - 9M0 (Л ф0) + л@,
где 0 — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями
Р\ и /?о соответственно; ф1 и ф0 — начальные фазы, представляющие собой
независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезке
[-л, л]; n(f) — помеха типа белого гауссовского шума со спектральной
плотностью мощности Nq/2.
Отношение правдоподобия (ОП) здесь так же, как и в задаче обнару-
обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (см. п. 3.3.5), зависит от на-
начальных фаз:
(ЗЛ34)
exp\--± + ^-
Усредняя числитель и знаменатель в выражении C.134) по случайным
параметрам ф! и ф0, получаем безусловное усредненное ОП:
173

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
- = oxp(-El/N0)lQBZl/NQ)
exp(-E0/N0)l0BZQ/N0y
где 10(#) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, Ео, Е\ —
энергии сигналов. Величины 2Z,/JV0 и 2Z0/NQ совпадают со значением
огибающей на выходе согласованных с сигналами 5,@ и so(t) фильтров.
В соответствии с критерием максимума апостериорной вероятности
решение в пользу сигнала sY(t) принимается, когда
j
10BZ0/N0) " рх'
ИЛИ
lnI0BZ1/iV0)-lnI0BZ0/Ar0) > (El-Eo)/No+\n(po/pl) = Cl, C.135)
гдеро,р\ — вероятности появления сигналов so(t) и Sj(f) соответственно.
Для симметричного канала р0 = рх = 0,5, Е0=Е1=Е, порог С2 равен
нулю, а алгоритм различения принимает вид
s\
lnlopV^o) ^ lnI0BZ0/TV0). C.136)
В силу монотонности функции InIo(•) неравенство C.136) эквива-
эквивалентно неравенству
Z, ^ Zo. C.137)
Оптимальный приемник, алгоритм работы которого описывается
формулой C.137) (рис. 3.27, а), состоит из двух каналов, вычисляющих по
принятому колебанию u(t) значения огибающих, сумматора и порогового
устройства (ПУ). Каждый из каналов является оптимальным по отношению
к соответствующему сигналу и реализуется по схеме, изображенной на
рис. 3.10. Возможна реализация приемника на основе корреляторов
(рис. 3.27, б), где $,(/), / = 0,1, — преобразование Гильберта от st(t). При
этом каждый канал представляет собой корреляционный приемник, схема
которого показана на рис. 3.9.
Оценим помехоустойчивость различителя, предварительно отметив,
что в данном случае для передачи информации нельзя использовать проти-
174

3.4. Различение сигналов
u(t)
СФ
ДЛЯ 5i(/)
СФ
для so(t)
ДО
ДО
-+ ПУ
SQ
u(t)
¦¦ х
X
I
0
Kb
+ ,
J
0
Kb
+ '
so(')
J
0
Kb
7"
1
0
Kb
I
+ '
E
ПУ
Рис. 3.27. Структурная схема:
a — фильтрового оптимального различителя двух сигналов со случайными
начальными фазами; б — корреляционного оптимального различителя двух
сигналов со случайными начальными фазами
воположные сигналы, отличающиеся сдвигом фаз на п, так как при случай-
случайной начальной фазе такие сигналы будут неразличимы. Обычно применяют
ортогональные в усиленном смысле и амплитудно-манипулированные сигналы.
Рассмотрим сначала случай, когда используются ортогональные в
усиленном смысле сигналы. Для таких сигналов справедливы соотношения
\sx(t)s2{t)dt = \sx{t)s2{t)dt = 0,
C.138)
175

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
где s2(t) — преобразование Гильберта от s2{t). Примером таких сигналов
являются ЧМ сигналы s0 (t) = So cos (coQt + ф), sx (t) = So cos (ю^ + ф), где ф —
произвольная начальная фаза, а частоты СО] и ©о удовлетворяют соотноше-
соотношениям (Oj = 2пкх /Т, ю0 = 2пко/Т; к\ и ко — натуральные числа. Характерная
особенность ортогональных в усиленном смысле сигналов состоит в сле-
следующем: если на вход согласованного фильтра, настроенного на сигнал
50@, подать сигнал ^@> то значение огибающей выходного напряжения в
момент / = Т равно нулю.
Исследования показывают, что ортогональные в усиленном смысле
сигналы с активной паузой обеспечивают в канале с неопределенной фазой
и аддитивной гауссовской помехой минимальную вероятность ошибки, т. е.
являются оптимальными для указанных условий.
Положим, что рх = pQ, EX=EQ- E. Пусть для определенности переда-
передается сигнал 5,@- Тогда с учетом алгоритма C.137) ошибка возникает, если
выполняется неравенство Zo > Z, или
vo>vl5 C.139)
где vi = Z, /ст, / = 0,1, — относительное значение огибающей.
Можно показать, что в рассматриваемом случае случайные величины
Zo и Z\, а следовательно, vo и V] независимы [23]. Поэтому с учетом неравен-
неравенства C.139) вероятность ошибки при передаче s,(/) имеет вид
(ЗЛ40)
Учитывая, что огибающие v0 и vj распределены по закону Рэлея C.86)
и Раиса C.87) соответственно, находим
2 "J4fcuM~tr^=
= Jv, exp —i °- IJ —v, exp -^- Jv,.
Введем новую переменную v = V2v, и вынесем за знак интеграла
множитель ехр(-?/B#0)). Тогда
176

3.4. Различение сигналов
Подынтегральное выражение в C.141) представляет собой распреде-
распределение Раиса, а следовательно, интеграл равен 1. Таким образом,
Учитывая симметричность канала, вероятность ошибки при передаче
сигнала so(t)
Рош М = Рош М = 0,5ехр(-?/BЛГ0)).
Соответственно, средняя вероятность ошибки
Polu=0,5exp(-E/BN0)). C.142)
На рис. 3.22 (штриховая линия — ЧМ) показана зависимость Рош от
отношения ElNo, вычисленная по формуле C.142). Анализ показывает, что
некогерентный прием ортогональных сигналов дает небольшой энергетиче-
энергетический проигрыш по сравнению с когерентным приемом. При малых вероят-
вероятностях ошибки Рош = 10~4 он не превышает 1 дБ [23].
Рассмотрим случай, когда используются амплитудно-манипули-
рованные сигналы. В данном случае
sl(t) = S0cos((o0t + y), so(t) = O,
где начальная фаза ф является случайной величиной, распределенной рав-
равномерно на отрезке [-п, п]. По-прежнему полагаем, что ро= рх.
Решение принимается на основе сравнения значения огибающей Z
сигнала на выходе оптимального приемника (например, согласованного
фильтра, настроенного на сигнал sx{t)) с некоторым порогом Un. При пре-
превышении порога принимается решение в пользу сигнала 5j(f), в противном
случае — в пользу so(t).
Средняя вероятность ошибки имеет вид
lw{vo\so)dvo
C.143)
где V] и v0 — относительные значения огибающих напряжений на выходе
оптимального приемника в момент времени t - Т при передаче сигналов
177

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
S\(t) и so(t) соответственно, zQ=Un/a —нормированный порог. Величина
vi распределена по закону Раиса C.87), a vo — по закону Рэлея C.86).
Подставляя распределения огибающих vt и v0 в C.143), получаем
р =1
¦* лит _
C.144)
Оптимальное значение порога zq находится из условия минимизации
вероятности ошибки C.144). Взяв производную dPom/dz0 и приравняв ее
нулю, имеем
zoexp -
или после упрощений
Л A—zn | = exp| — I.
C.145)
Логарифмируя соотношение C.145), получим lnlo
Учитывая, что
\х,
JC»1,
находим
z0 =
)
EI2Nq при больших отношениях сигнал—шум,
F
[v2
C.146)
при малых отношениях сигнал—шум.
Таким образом, с учетом C.144) и C.146) при больших отношениях
сигнал—шум имеем
E'}N° ( vf+2E/NQ\ ( Щ
v, exp —i ^ LI —i
J ' Г О ° \ \ AT
. C.147)
При E/N0>\0 первым слагаемым в C.147) можно пренебречь. Тогда
178

3.4. Различение сигналов
C.148)
На рис. 3.22 (штриховая линия — AM) показана зависимость вероят-
вероятности Рош от отношения E/No, рассчитанная по формуле C.148). Сравне-
Сравнение с соответствующей кривой для когерентного случая позволяет сделать
вывод, что при вероятности ошибки 10~3...10~6 некогерентный прием AM
сигналов проигрывает в энергетике на 1 ...0,5 дБ.
При неоптимальном пороге вероятность ошибки может оказаться зна-
значительно больше Р0Ш5 определяемой по формуле C.148). Поэтому при изме-
изменении уровня принимаемого сигнала порог приходится подстраивать, что
является существенным недостатком систем с пассивной паузой.
3.4.5. Различение т сигналов со случайной начальной фазой
на фоне белого шума
Пусть на входе приемника сигнал имеет вид u(t) = st (/, ф,) + n(t),
i = 1,2,..., m, где начальная фаза <р, представляет собой случайную величину,
распределенную равномерно на отрезке [-п, п]; n(t) — помеха типа белого
гауссовского шума. Полезные сигналы st(t), / = 1,2,..., m, ортогональны в
усиленном смысле, равновероятны и имеют одинаковую энергию.
Алгоритм принятия решения C.111) для рассматриваемого случая
можно записать в виде
или
у,>у„ / = 1,2,...,да, **/, C.149)
где v; =Z7/ct.
Структурные схемы оптимальных различителей, выполненных на ос-
основе корреляторов и согласованных фильтров, представлены на рис. 3.28, а
и 3.28, б соответственно.
Оценим помехоустойчивость оптимального различителя. Очевидно,
что ошибка при приеме возникает тогда, когда неравенства C.149) не вы-
выполняются хотя бы для одного индекса гф1. В общем виде вероятность пра-
правильного приема сигнала определяется формулой
00 V/ V,
Рпр = jtfv, \...\wm(v],v2,...,vm)dvl...dvl_]dvl+]...dvm. C.150)
00 V/ V,
О 0 0
179

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
"(О
\si(t)
Т
1
0
Кв
т
\
0
—*
Кв
+ '
г
J
0
Kb
г
J
0
Kb
+ '
— — — >
— — — >
— — — №
1
РУ
i
.«(О
СФ
ДЛЯ 5i(/)
СФ
Для sm(t)
до
до
ру
Рис. 3.28. Структурная схема:
а — корреляционного оптимального различителя m сигналов со случайными
начальными фазами; б — фильтрового оптимального различителя m сигналов
со случайными начальными фазами
При использовании ортогональных в усиленном смысле сигналов зна-
значения огибающих оказываются статистически независимыми и соотноше-
соотношение C.150) можно переписать в виде
V/ V/
= \dv
0 0
Как и для двоичной системы, значение огибающей v/ распределено по
закону Раиса C.87), а значения огибающих v,, i = 1,2,..., m, i*l, — по за-
закону Рэлея C.86). Используя C.86), C.87), находим
180

3.4. Различение сигналов
NQ
Учитывая, что
-im-l
dvl =
п/я-1
I E I Г I v It
=ехр| -- Jvexp — 10
dv. C.151)
1-ехр -у
т-\
т-\
и=0
выражение C.151) можно переписать в виде
v \dv.
После несложных вычислений получаем [23]
Вероятность ошибки имеет вид
т-\
пЕ
C.152)
Так же, как и в п. 3.4.2,
сравнение различных систем пе-
передачи информации при некоге-
некогерентном приеме необходимо про-
проводить на основе зависимостей
Рош =f(E6/N0). Из рис. 3.29, на
котором представлены эти зави-
зависимости, видно, что чем больше
т, тем выше помехоустойчивость
системы. Сравнение когерентно-
когерентного и некогерентного методов
приема показывает, что при т =
128 различие в помехоустойчи-
помехоустойчивости пренебрежимо мало.
На практике при Рош «: 1
часто пользуются верхней грани-
1Q
10'2
ю-
•
1024 '
т= 2
<
Л
0 4 8 12 E6/N0, дБ
Рис. 3.29. Зависимость вероятности ошиб-
ошибки различения т сигналов со случайными
начальными фазами
181

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
цей вероятности ошибки Рош <(m-l)exp(-E/2NQ)/2, совпадающей с пер-
первым членом суммы C.152).
3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума
3.5.1. Обнаружение сигнала
Пусть колебание на входе приемника имеет вид
u(t) =
где 9 — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями
р и 1 -р; s(t) — полезный сигнал, параметры которого известны, «(/) — га-
уссовский шум с корреляционной функцией ^ (т).
Рассмотрим сначала дискретную обработку сигналов. При этом на-
наблюдается выборка
и = 9s + п,
где и = (щ,и2,...,хт), s = (sl,s2,...,sm) и п = («,,«2,...,«от) — векторы
принятого, полезного и шумового сигналов соответственно, причем
w, = u{tt), st =.s(tt) и щ-n(tt), / = 1,2,...,т; tx,...ytm — моменты наблюде-
наблюдения, выбираемые в соответствии с теоремой Котельникова.
Поскольку шум не является белым, то шумовые отсчеты будут корре-
лированы. Обозначим через Rn корреляционную матрицу шума.
Оптимальный обнаружитель, по-прежнему, должен вычислить отно-
отношение функций правдоподобия /(u) = w(u|#,)/ w(u|#0) и сравнить его с по-
порогом С, значение которого определяется используемым критерием (см. § 3.3).
В рассматриваемом случае плотности вероятности w(u|^) и
w(u|/f0) определяются «-мерными нормальными законами распределения:
-i(u-s)TR-4u-s)\ C.153)
1 ' л т~"' ' C.154)
Bn)H"\R
где |RJ —определитель матрицы Rn, R —матрица, обратная матрице
Rn, u-s и и — вектор-столбцы, элементами которых служат отсчеты
u(tt)-sfa) и u(tt), i = \,2,...,m, соответственно.
182

5.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума
С учетом соотношений C.153) и C.154) находим решающее правило:
1
exp --(u-s)TR->-s) я,
/00 = V , ! ч L % С. C.155)
Заметим, что в случае белого шума R = g~2I, где I — единичная
диагональная матрица, и выражение C.155) переходит в C.50).
Логарифмируя обе части неравенства C.155), после преобразований
получим
Матрица Rnl является симметрической. Поэтому sTRw1u = i^R^s и
выражение C.156) приводится к виду
T1 > ^bd = Cl. C.157)
2
Поскольку параметры сигнала и статистические характеристики помехи
известны, правая часть неравенства C.157) может быть заранее вычислена. По-
Поэтому существенной является лишь нахождение величины q = uTR~!s .
Техническая реализация алгоритма C.157) многообразна. Приведем
основные схемы построения оптимальных обнаружителей [29, 30].
Решающее правило C.157) можно представить в одной из следующих
форм:
uV >< С, C.158)
Но
ИЛИ
я,
u's >< С„ C.159)
Но
где s' = R^s, u' = R^u.
В соответствии с неравенствами C.158), C.159) на рис. 3.30 пред-
представлены структурные схемы оптимального обнаружителя. Первая (рис.
3.30, а) отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала на фоне
белого гауссовского шума тем, что вместо координат вектора s использу-
используются координаты вектора s', хранящиеся в запоминающем устройстве
183

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
X
s'i
ЗУ
ПУ
Yo
кг,1
X
Si
ЗУ
I
z
ПУ
tc,
Yi
Yo
Рис. 3.30. Структурные схемы оптимального обнаружителя:
а — с преобразованием полезного сигнала; б — с матричным фильтром
(ЗУ), а вторая (рис. 3.30, б) — наличием матричного фильтра с т входами
и т выходами, осуществляющего преобразование входного вектора и:
т
и' = R^lu, или, что то же самое, и\ =^JKyuj-
Возможна и другая реализация оптимального обнаружителя. Посколь-
Поскольку матрица Rn является симметрической, то ее можно представить в виде
Rn = LLT, где L — нижняя треугольная матрица. При этом обратная матри-
матрица имеет вид R =(LT)~IL~1 = VTV, где V = L~' — также является нижней
треугольной матрицей, и решающее правило C.157) можно представить в
виде
где
C.160)
uv=Vu, sv=Vs.
C.161)
Структурная схема оптимального обнаружителя в соответствии с
C.160) представлена на рис. 3.31. Она отличается от схемы оптимального
обнаружителя сигнала на фоне белого гауссовского шума наличием двух
матричных фильтров, осуществляющих преобразования C.161).
Заметим, что на выходе матричного фильтра шумовые отсчеты оказыва-
оказываются некоррелированными с дисперсиями, равными единице. Действительно,
корреляционная матрица шумовых
отсчетов является единичной:
R/Jv=M{nv<}=VM{nnT}VT =
= VRWVT = V(VT V) Vх = I.
V
—»¦
X
\Syi
V
—¦
—*
ПУ
Yo
15« Фильтры, осуществляющие
Рис. 3.31. Структурная схема оптимально- декорреляцию шумовых отсчетов,
го обнаружителя получили название обеляющих.
184

5.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума
Таким образом, в соответствии с алгоритмом C.160) проводят сначала
декорреляцию координат входного вектора, а затем его обрабатывают так
же, как при приеме сигнала на фоне белого гауссовского шума.
Для обеспечения декорреляции координат входного вектора можно
использовать ортогональные преобразования. Поскольку корреляционная
матрица Rn является симметрической, то всегда можно найти ортогональ-
ортогональное преобразование Q такое, что QTRWQ = D, где Q — ортогональная мат-
матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы Rn; D —
диагональная матрица с элементами A,,-, i -1,2,..., и, на главной диагонали,
равными собственным значениям матрицы Rn.
Соответственно, обратная матрица R находится следующим образом:
R^CQDCn^QD'Q*, C.162)
где D — диагональная матрица с элементами на главной диагонали, рав-
равными 1 /Х„ i = 1,2,..., т.
Таким образом, решающее правило с учетом соотношений C.162)
можно представить в виде
Z = uTQDQTs = ^0-^=1;^- >< С„ C.163)
где u?=QTu, s?=QTs.
В соответствии с алгоритмом C.163) на рис. 3.32 представлена струк-
структурная схема оптимального обнаружителя. Преобразователь (матричный
фильтр) Q обеспечивает декорреляцию координат входного вектора и. Все
рассмотренные алгоритмы C.158)—C.160) и C.163) обеспечивают одинако-
одинаковую помехоустойчивость.
До сих пор предполагалось, что координаты векторов u, s и п получа-
получаются в результате временной дискретизации непрерывных реализаций «(/),
s(t) и n(f) в соответствии с теоремой Котельникова. При этом в условиях
действия небелого шума шумовые отсчеты оказываются коррелированны-
коррелированными, что усложняет обработку сигнала.
Однако разложение Котельникова не является единственным. Как из-
известно [8, 30] (см. также § 2.4), случайный процесс, имеющий непрерывную
корреляционную функцию, можно разложить по любой ортогональной сис-
системе функций в виде B.26). Очевидно, что целесообразно для этого выбрать
такую ортогональную систему, чтобы коэффициенты разложения B.25) бы-
были некоррелированы, т. е. использовать разложение Карунена—Лоэва.
185

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
При выборе системы ортонормированных функций, удовлетворяющих
интегральному уравнению B.35), коэффициенты разложения л,., i = 1,2,..., л,
гауссовского стационарного процесса n{t) с нулевым математическим ожи-
ожиданием будут представлять собой независимые гауссовские величины с ну-
нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями а,2 = Я,,, / = 1,2,..., л,
где Xi — собственные числа ядра Rn (t1, t) интегрального уравнения B.35).
Распределения
и w(u\H0) будут иметь вид
w(u\H]) =
w(u\HQ) =
C.164)
C.165)
где м, и Si — коэффициенты разложения входного u(t) и полезного s(t) сигна-
сигналов по используемой системе ортонормированных функций.
С учетом соотношений C.164) и C.165) находим логарифм отношения
правдоподобия
,-=i 'w 1=1 2Я.,-
Соответственно, алгоритм работы оптимального обнаружителя будет
О
"?2
X
X
1 А„
х
X
X
у
Q
п
ПУ
tc,
Yl
i
Рис. 3.32. Структурная схема оптимального обнаружителя
186

3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума
ф
«1
IX

-1
X
ПУ
Yi
•—*
Yo
c,
ЗУ
Рис. 3.33. Структурная схема оптимального обнаружителя
иметь вид
C.166)
Структурная схема оптимального обнаружителя, построенного на ос-
основе C.166), представлена на рис. 3.33, где блок Ф определяет коэффициен-
коэффициенты разложения сигнала м(/).
Заметим, что если n(J) — стационарный белый шум, то уравнению
B.35) удовлетворяет любая ортонормированная система функций при
Xt=Nol2. Для разложения сигналов удобными оказываются кусочно-посто-
кусочно-постоянные функции, что обусловлено все более широким внедрением цифровых
вычислительных устройств в технику обработки сигналов. Большинство
работ по применению таких функций при синтезе устройств обработки сиг-
сигналов связано с функциями Уолша и Хаара.
При синтезе обнаружителя на основе разложения Карунена—Лоэва
встречаются проблемы, о которых уже говорилось в § 2.4; процедура нахож-
нахождения решения интегрального уравнения B.35) в общем случае неизвестна,
а техническая реализация обобщенной дискретизации сигналов более слож-
сложна, чем временная дискретизация. Реализация алгоритмов C.158)—C.160) и
C.163) достаточно трудоемка, поскольку требует большого быстродействия
вычислительных устройств.
Рассмотрим непрерывную обработку сигналов. Оптимальный обна-
обнаружитель в данном случае должен вычислять отношение условных функ-
функционалов плотности вероятности w[w(/)|#,] и w[w(/)|#0] и сравнивать его
187

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
с порогом С, зависящим от используемого критерия. Таким образом, в об-
общем виде решающее правило имеет вид
w[u(t)\H0] я0
С.
C.167)
Отношение функционалов C.167) можно найти из отношения функ-
функций правдоподобия /[и], осуществляя предельный переход:
/[«(/)]= Hm/[u].
П—>оо
Д/->0
Это позволяет использовать результаты, полученные при рассмотре-
рассмотрении дискретной обработки сигналов, для нахождения решающего правила
C.167).
Как при дискретной обработке сигналов, так и при непрерывной ре-
решающее правило можно записать в различных формах [29, 30]. Соответст-
Соответственно, техническая реализация оптимального обнаружителя будет также
различной. Одной из практических схем является схема обнаружителя на
основе обеляющего фильтра (рис. 3.34). Алгоритм работы такого обнаружи-
обнаружителя можно представить в виде
"n
где
uv(t)=\u(T)V(t-T)dx,
о
Т
sv(t)= js(%)V(t-x)d-K
C.168)
C.169)
C.170)
и V(t) — импульсная характеристика обеляющего фильтра.
Можно показать [30], что
и it)
V(t)
—¦
X
t
V(t)
т
J
0
ПУ
tc,
импульсная характеристика яв-
является решением интегрального
уравнения
f
s(t)
R? {?-<*)
Рис. 3.34. Структурная схема обнаружителя
на основе обеляющего фильтра
C.171)
188

3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума
где функция Rn \t -x), в свою очередь, находится из уравнения
т
Нетрудно убедиться в том, что шум на выходе фильтра с импульсной
характеристикой, удовлетворяющей C.171), является белым со спектраль-
спектральной плотностью мощности No/2 = \. Очевидно, что комплексная частотная
характеристика Ко^ (усо) обеляющего фильтра с учетом соотношения
связывающего спектральные плотности мощности случайных процессов на
входе и выходе линейной системы, имеет вид
C.172)
Учитывая, что решение интегрального уравнения C.171) в общем
случае является сложной и не всегда выполнимой задачей, для синтеза обе-
обеляющего фильтра обычно используется выражение C.172).
Обнаружитель сигнала на фоне небелого гауссовского шума можно
построить на основе оптимального фильтра, частотная характеристика ко-
которого определяется выражением
К(усо) =
где S* (усо) — комплексно-сопряженный спектр сигнала s(t), с — произволь-
произвольная константа. Он представляет собой каскадное соединение обеляющего
фильтра с комплексной частотной характеристикой КОф (усо) = 1/ yjFBX (со) и
фильтра, согласованного с сигналом sv(t). Структурная схема обнаружителя
представлена на рис. 3.35.
Оценка помехо-
помехоустойчивости обнару-
обнаружителя сигналов на фо-
фоне небелого гауссов-
гауссовского шума проводится
так же, как и для обна-
обнаружителя сигнала на
фоне белого гауссов-
u(t)
Оптимальный фильтр
Обеляющий
фильтрАо.ф(/<»)
СФ
для Sv(t)
ПУ
Yi
Yo
Рис. 3.35. Структурная схема обнаружителя на основе
оптимального фильтра
189

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
ского шума и не вызывает трудностей. В частности, из рассмотрения струк-
структурной схемы обнаружителя (рис. 3.34) следует, что по помехоустойчивости
он тождествен оптимальному обнаружителю сигнала sv(t), описываемого
выражением C.169), на фоне гауссовского белого шума nv(t) со спектраль-
спектральной плотностью мощности N0/2 = \. Качество обнаружителя полностью
характеризуется отношением сигнал—шум на выходе коррелятора:
IF
q2=-fL = ESv, C.173)
где Es — энергия сигнала sv(t\ определяемая следующим образом:
Т Т Т Т
0 0 0 0
т т
= J js(K)J^lGi-v)s(v)dxdv. C.174)
о о
Из C.173) и C.174) следует, что отношение сигнал—шум, а следова-
следовательно, помехоустойчивость обнаружителя сигнала на фоне небелого гаус-
гауссовского шума, в отличие от случая действия белого гауссовского шума,
зависит от формы сигнала. Фактически это обусловлено следующим. Кор-
Коррелированная помеха имеет неравномерный спектр. Поэтому качество обна-
обнаружения будет зависеть от распределения энергии полезного сигнала по
частоте. Желательно, чтобы основная доля энергии сигнала приходилась на
те полосы частот, где составляющие помехи наименьшие.
Нетрудно оценить помехоустойчивость обнаружителя сигналов на
фоне небелого гауссовского шума и при дискретной обработке. В частности,
отношение сигнал—шум на выходе обнаружителя определяется формулой
q2=*TR-ls. C.175)
3.5.2. Различение сигналов
Рассмотрим задачу различения двух детерминированных сигналов
s,(f) и so(t). Пусть сигнал на входе различителя имеет вид
и@ = &1@ + A-еК@ + л@, 0 < / < Т,
где 9 — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями
р и 1 -р; n{t) — гауссовский шум с корреляционной функцией R^ (т).
190

3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума
Рассуждая точно так же, как и при рассмотрении задачи обнаружения,
нетрудно получить алгоритм работы различителя при дискретной и непре-
непрерывной обработки сигналов.
В качестве примера приведем алгоритм работы оптимального разли-
различителя с обеляющим фильтром:
где
Т s\ .
juv(t)[sw(t)-sOv(t)]dt г 1пС + -
uv(t)=\u(x)V{t-x)dx,
= C], C.176)
C.177)
и V{t) — импульсная характеристика обеляющего фильтра, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению C.171).
На рис. 3.36 в соответствии с соотношениями C.176), C.177) пред-
представлена структурная схема различителя.
V(t)
и {t)
V(t)
«v(O
т
I
0
Zl
т
i
0
I
zo
ПУ
tc,
V(t)
JsoiO
Рис. 3.36. Структурная схема различителя
191

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Оценка помехоустойчивости оптимального различителя на фоне небе-
небелого гауссовского шума проводится так же, как и в случае различителя сиг-
сигналов на фоне белого гауссовского шума. В частности, различитель, изо-
изображенный на рис. 3.36, по помехоустойчивости тождествен оптимальному
различителю сигналов slv(t) и sOv(t), описываемых выражением C.177), на
фоне гауссовского белого шума nv(t) со спектральной плотностью мощно-
мощности No /2 = 1.
Нахождение алгоритма работы оптимального различителя т сигналов
не вызывает трудностей.
3.6. Обнаружение сигналов в условиях
априорной неопределенности
В § 3.3 и 3.5 при решении задач обнаружения предполагалось, что
распределения помех и параметров сигналов полностью известны, т. е. рас-
рассматривались задачи при полной статистической априорной информации.
Однако в реальных условиях полное описание принимаемых сигналов прак-
практически невозможно. Современные радиотехнические системы различного
назначения, как правило, работают в сложной помеховой обстановке, и при
проектировании систем связи, радиолокации и других РТС приходится
сталкиваться с задачами приема сигнала в шумах, когда их статистические
характеристики неизвестны или подвержены изменениям. Поэтому в на-
настоящее время прием сигнала общепринято трактовать как статистическую
задачу с априорной неопределенностью.
В зависимости от полноты априорных сведений о помехах и парамет-
параметрах сигналов различают следующие виды априорной неопределенности: па-
параметрическую, непараметрическую и параметрико-непараметрическую
[23—25, 28, 30].
Если вид распределений сигнала и помехи, а следовательно, распре-
распределений w(n| Нх,X,j) и w{vl\Hq,Х,о) наблюдаемого процесса при наличии и
отсутствии сигнала известен, а некоторые параметры сигнала
X, =(Я.п,...Ди) и помехи ЗЦ) =(А.О1,...ДОт), от которых зависят эти рас-
распределения, неизвестны, то априорная неопределенность называется пара-
параметрической. Неизвестными параметрами, общее число которых предпола-
предполагается конечным, могут быть постоянная составляющая, мощность и другие
параметры сигналов и помех. С таким видом априорной неопределенности
встречаются, например, при решении задачи приема гауссовских случайных
сигналов на фоне гауссовского шума неизвестной мощности.
192

3.6. Обнаружение сигналов в условиях априорной неопределенности
Если неизвестен вид хотя бы одного из распределений w{\i\Hl,'kl),
w(u|#0,>.0), априорную неопределенность называют непараметрической.
При непараметрической неопределенности наблюдатель располагает не-
небольшим объемом априорной информации. Например, может быть известно,
что распределение w(u|/7],X,]) смещено относительно м>(и|#0Д0) в об-
область больших значений координат вектора и.
Как уже отмечалось в § 3.1, при решении задач приема сигналов на
фоне помех необходимо использовать всю имеющуюся априорную инфор-
информацию. С этой целью вводят параметрико-непараметрические модели ап-
априорной неопределенности, при которых для задания класса возможных
распределений вероятностей наблюдаемого процесса используются извест-
известные и неизвестные распределения, параметрическое и непараметрическое
описание [28]. Примером такой модели является класс е-загрязненных рас-
распределений
Wl(wo,e) = {w(u):w(u) = (l-e)wo(u) + swl(u)}, C.178)
где wo(u) — либо известная плотность распределения вероятностей, либо
плотность вероятности, у которых функциональный вид известен, а пара-
параметры распределения неизвестны; Wj(u) — неизвестная плотность распре-
распределения вероятностей; б — известное число, причем 0 < е < 1. В качестве
wo(u) обычно используют гауссовское распределение.
При б = 0 и известных параметрах распределения wo(u) класс Wx(w0,z),
определяемый выражением C.178), состоит из одной плотности вероятности
wo(u). Это соответствует случаю полной априорной информации. При не-
неизвестных параметрах распределения wo(u) и е = 0 класс Wx(wQ,z) харак-
характеризует параметрическую априорную неопределенность, а при 6=1 — не-
непараметрическую неопределенность.
Известны и другие параметрико-непараметрические модели априор-
априорной неопределенности [28].
Для преодоления априорной неопределенности можно использовать:
— методы адаптации;
— методы непараметрической статистики;
— робастные методы [23—25, 28, 30].
В основе методов адаптации лежит процесс обучения, под которым
понимается оценивание неизвестных функций распределений (при парамет-
параметрической неопределенности) или неизвестных параметров распределений
(при параметрической неопределенности) по обучающей выборке. Полу-
7-7816 193

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
ченные оценки используются вместо неизвестных характеристик наблюдае-
наблюдаемых процессов.
Например, при решении задачи обнаружения сигнала в условиях па-
параметрической неопределенности решающая статистика принимает вид
и>(и|#0Д0)'
где X,, и Хо — оценки неизвестных параметров Х\ и Яо, от которых зависят
распределения наблюдаемого процесса при наличии и отсутствии сигнала.
В зависимости от того, известно или неизвестно распределение
обучающей выборки, различают обучение с учителем и без учителя (са-
(самообучение), или, другими словами, обучение по классифицированной и
неклассифицированной выборкам. Примером обучения с учителем явля-
является задача обнаружения сигнала на фоне шума с неизвестной мощно-
мощностью, когда имеется возможность в некоторые моменты времени наблю-
наблюдать только шум, а следовательно, имеется возможность получать оценку
мощности шума.
Алгоритмы обработки сигналов, в которых используются полученные
в результате обучения оценки функций распределения, их параметров или
каких-либо других характеристик, называются адаптивными. Адаптивные
алгоритмы сложнее неадаптивных, синтезированных при полностью извест-
известных распределениях, и уступают последним по эффективности. Однако с
увеличением объема обучающей выборки, используемой при облучении,
адаптивные алгоритмы сходятся к соответствующим оптимальным алго-
алгоритмам с полной априорной информацией.
Адаптивные процедуры находят широкое применение в локации, сис-
системах связи и управления и др. Примерами таких систем являются:
— автоматическая регулировка порога обнаружения, производимая по
оценкам мощности шума;
— автоматическая регулировка скорости передачи информации в сис-
системах связи в зависимости от состояния канала;
— автоматическая перестройка частоты несущей в системах связи в
зависимости от состояния канала и др.
Непараметрические методы применяются в условиях непараметри-
непараметрической априорной неопределенности. В теории обнаружения обнаружитель
сигнала принято называть непараметрическим, если при гипотезе Яо рас-
распределение вероятностей его решающей статистики не зависит от распреде-
распределения шума [23]. Очевидно, что такой обнаружитель обеспечивает постоян-
постоянную вероятность ложного обнаружения сигнала.
194

3.6. Обнаружение сигналов в условиях априорной неопределенности
Непараметрический алгоритм уступает по эффективности алгоритму,
полученному в условиях полной априорной определенности. Однако при
изменении распределения шума непараметрические алгоритмы в общем
случае более эффективны, чем классические алгоритмы, рассчитанные на
определенный тип помехи.
При использовании методов непараметрической статистики выбороч-
выборочные данные преобразуются в статистики, вероятностные характеристики
которых не чувствительны или слабо чувствительны к характеристикам
сигналов и помех. В настоящее время не существует конструктивных мето-
методов построения наилучших непараметрических алгоритмов. Чаще всего их
строят на основе знаковых и ранговых статистик [23, 24,28, 30].
Пусть и = (и{,и2,...,ип) — исходная последовательность наблюдае-
наблюдаемых величин. Знаковой статистикой называется произвольная функция
знакового вектора
signu = (sign к,, sign u2,..., signwj,
f 1, M/>0,-
где signw, = j 0, щ =0;
Алгоритм, использующий только информацию о знаках элементов
выборки, называется знаковым.
Знаковую статистику можно использовать, например, для обнаруже-
обнаружения постоянного положительного (или отрицательного) сигнала на фоне по-
помехи, имеющей симметричную плотность вероятности с нулевой медианой,
при условии, что элементы выборки u = (m,,m2,...,mw) независимы. Дейст-
Действительно, в этом случае при гипотезе Но количество положительных и отри-
отрицательных элементов в выборке равновероятно. Появление постоянного по-
положительного (или отрицательного) сигнала увеличивает вероятность поло-
положительных (или отрицательных) элементов в выборке, что и используется
для обнаружения сигнала.
Знаковый алгоритм обнаружения сигнала можно представить в виде
;=1 Я°
1, М/>0;
где Л(и/)=1
1 10, и,<0,
и С — порог, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги ^лт.
7* 195

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Нетрудно заметить, что число единиц в сумме C.179) эквивалентно
числу положительных исходов в схеме испытаний Бернулли. Поэтому ста-
статистика Z будет распределена по биномиальному закону с параметром р,
значение которого зависит от вида гипотезы: р = \/2 при гипотезе Hq и
р>\/2 при гипотезе Н\ и положительном сигнале.
Таким образом, распределения решающей статистики при гипаклх
Hq и Hi имеют вид
= k\Hl}=Ckpk(\-p)n-k, C.180)
? = 0,1,...,и. C.181)
Соответственно, вероятности правильного обнаружения и ложной
тревоги определяются выражениями
D=t Скрк(\-рГк, C.182)
к=С+\
к=С+1
Как уже упоминалось ранее, обычно вероятность ложной тревоги F^
задана и по ней находится порог С. В рассматриваемом случае он находится
как наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
V*/ к=С+\
Из выражения C.183) следует, что вероятность ложной тревоги не за-
зависит от распределения помехи, а следовательно, рассмотренный знаковый
обнаружитель является непараметрическим.
Знаковую статистику можно использовать и в тех случаях, когда медиана
распределения шума неизвестна, а известно лишь то, что она меньше медианы
распределения смеси полезного сигнала и шума. При этом используют двухвы-
борочную знаковую процедуру, основанную на подсчете знаков разностей пар
наблюдений помеховой У\,у2,---,Уп и исследуемой ul,u2,...,un выборок. Ре-
Решающую статистику формируют следующим образом:
ЕМ,-ЛM C-184)
196

3.6. Обнаружение сигналов в условиях априорной неопределенности
которую затем испытывают на порог С, определяемый по заданной вероят-
вероятности FnT.
Нетрудно видеть, что при гипотезе Но распределение решающей ста-
статистики C.184) совпадает с распределением C.181). Поэтому алгоритм об-
обнаружения сигнала на основе статистики C.184) будет непараметрическим.
Вероятность правильного обнаружения будет определяться выраже-
выражением C.182), в котором значениер вычисляется по формуле
p = P(u>y)=JFn(x)dFc+n(x),
где Fn(x) и .Гс+П(л;) — интегральные функции распределения помехи и
смеси сигнала и помехи соответственно.
Ранговая статистика определяется следующим образом [23]. Пусть
и = (и],и2,-..,ип) — исходная последовательность наблюдаемых величин.
Перегруппируем элементы выборки и, расположив их в порядке возраста-
возрастания так, что и^ < и^ при к <j. В результате получим упорядочную вы-
выборку или вариационный ряд
Вектор иу называется вектором порядковых статистик, а его элемен-
элементы — порядковыми статистиками. Порядковый номер выборки и, в вариа-
вариационном ряду иу называется рангом Rt этого элемента, вектор
R = (Rl,R2,...,Rn) — ранговым вектором. Произвольная функция от ранго-
рангового вектора называется ранговой статистикой, а алгоритм на его основе —
ранговым.
Если выборка и однородная и независимая, то все ранговые векторы
равновероятны. Поэтому при использовании рангового алгоритма обнару-
обнаружения сигнала на фоне стационарной помехи вероятность ложного обнару-
обнаружения не зависит от закона распределения помехи, т. е. ранговый обнаружи-
обнаружитель оказывается непараметрическим. При появлении сигнала (при гипотезе
Н\) выборка становится неоднородной, а распределение ранговых векторов
перестает быть равномерным, что и позволяет обнаружить сигнал.
Ранговые статистики более информативны. Поэтому ранговые обна-
обнаружители эффективнее знаковых, т. е. обеспечивают большую вероятность
правильного обнаружения сигнала при одной и той же вероятности ложной
тревоги. Платой является большая сложность в реализации.
197

3. Основы теории обнаружения и различения сигналов
Возможны различные ранговые алгоритмы обнаружения. Наиболее
простым в реализации и в то же время близким по эффективности к опти-
оптимальному ранговому, основанному на вычислении отношения правдоподо-
правдоподобия вектора ранговой выборки R = (R],R2,...,Rn)
является алгоритм обнаружения на основе суммы рангов [23, 24]:
ы
Робастные методы — это методы синтеза алгоритмов, эффектив-
эффективность которых близка к оптимальным для выбранных моделей и незначи-
незначительно снижается при отклонении распределений наблюдений от исходных
моделей. Таким образом, робастность предполагает малую чувствитель-
чувствительность характеристик радиотехнических систем к изменению условий их
функционирования.
Обычно под робастными понимают методы синтеза, занимающие
промежуточное положение между параметрическими и непарамерическими
[28]. Они используют меньший объем априорной информации по сравнению
с параметрическими, но больший, чем непараметрические методы. Соответ-
Соответственно, робастные алгоритмы оказываются эффективнее непараметриче-
непараметрических. Платой является сужение класса распределений, в котором сохраняет-
сохраняется устойчивость алгоритмов.
Примеры построения робастных алгоритмов можно найти в [28, 30].
Контрольные вопросы
1. Сформулируете основные задачи радиоприема.
2. Поясните, чем отличаются регулярные решающие правила от рандомизированных.
3. Каким свойствам должна удовлетворять функция потерь?
4. Что такое условный риск? Средний риск? Апостериорный риск? Как они нахо-
находятся?
5. В чем заключается оптимальная байесовская стратегия принятия решения?
6. Поясните суть минимаксного правила выбора решений.
7. Как находятся вероятности ошибок ложного обнаружения и пропуска сигнала?
8. Приведите алгоритмы работы оптимальных обнаружителей, построенных на
основе критериев: БаЙеса, идеального наблюдателя, максимального правдопо-
правдоподобия, Неймана-Пирсона, минимаксного. В чем их сходство?
9. Поясните последовательную процедуру обнаружения сигнала.
198

Контрольные вопросы
10. Приведите алгоритм работы обнаружителя, построенного на основе критерия
Вальда.
11. Как определяются верхний и нижний пороги в решающем устройстве последо-
последовательного обнаружителя?
12. Сравните по средней длительности наблюдения последовательное правило с
правилом Неймана—Пирсона при равных вероятностях ложного обнаружения
и пропуска сигнала.
13. Приведите алгоритм работы и структурную схему оптимального обнаружителя
детерминированного сигнала.
14. Приведите методику расчета помехоустойчивости оптимального обнаружителя
детерминированного сигнала.
15. Что такое рабочие характеристики? Характеристики обнаружения?
16. Приведите алгоритм работы и структурную схему оптимального обнаружителя
сигнала со случайной начальной фазой.
17. Приведите методику расчета помехоустойчивости оптимального обнаружителя
сигнала со случайной начальной фазой.
18. Приведите алгоритм работы оптимального обнаружителя сигнала со случайны-
случайными амплитудой и начальной фазой.
19. Приведите методику расчета помехоустойчивости оптимального обнаружителя
сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой.
20. Что такое согласованный фильтр?
21. Как определяются комплексная частотная характеристика и импульсная харак-
характеристика согласованного фильтра?
22. Чему равно отношение сигнал—шум на выходе согласованного фильтра?
23. Поясните алгоритм работы оптимального обнаружителя когерентной пачки
радиоимпульсов.
24. Приведите алгоритм работы оптимального обнаружителя некогерентной пачки
радиоимпульсов.
25. Приведите алгоритм работы обнаружителя некогерентной пачки радиоимпуль-
радиоимпульсов со случайными амплитудами.
26. Приведите алгоритм работы оптимального различителя двух детерминирован-
детерминированных сигналов.
27. Приведите методику расчета помехоустойчивости оптимального различителя
двух детерминированных сигналов.
28. Сравните по помехоустойчивости системы ФМ, ЧМ и AM сигналов.
29. Поясните суть метода относительной фазовой модуляции.
30. Как оценивается помехоустойчивость демодулятора ОФМ сигналов?
31. Приведите алгоритм работы и методику расчета помехоустойчивости опти-
оптимального различителя т детерминированных сигналов.
32. Сравните по помехоустойчивости симплексные, ортогональные и биортого-
нальные сигналы.
33. Приведите алгоритм работы оптимального различителя двух и более сигналов
со случайной начальной фазой.
34. Приведите методику расчета помехоустойчивости оптимального различителя
двух и более ортогональных в усиленном смысле сигналов со случайной на-
начальной фазой.
199

4. РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ
Рассмотрены вопросы разрешения сигналов. Приведены сведения о про-
пространственно-временной функции рассогласования, на основе которой рас-
рассмотрены время-частотные функции рассогласования основных видов ра-
радиолокационных сигналов: одиночного и пачки радиоимпульсов без внутриим-
пульсной модуляции, линейно-частотно-модулированного и фазоманипули-
рованных радиоимпульсов. Приведены примеры угловой и угло-поляризаци-
онной функций рассогласования применительно к линейной эквидистантной
антенной решетке.
4.1. Понятие о разрешении сигналов
Разрешение сигналов состоит в выполнении задач обнаружения и из-
измерения параметров произвольного сигнала в присутствии других сигналов.
К разрешаемым параметрам а сигналов относят: временное положение
(время запаздывания), частоту, длительность, направление прихода, поляри-
поляризацию, производные частоты и угла прихода, их комбинации и др.
Разрешающей способностью принято называть способность приборов
различать очень близкие в пространстве, по времени и по физическим свой-
свойствам объекты или процессы. Разрешающая способность — одна из важ-
важнейших характеристик радиолокационных и радионавигационных систем,
радиотелескопов, систем радиотехнической разведки, аппаратуры разведки
полезных ископаемых, медицинской диагностики и терапии, систем переда-
передачи информации и др. Повышение разрешающей способности — важное на-
направление обеспечения помехозащищенности радиотехнических систем
[31-36].
Количественную меру разрешающей способности целесообразно свя-
связать с возможностью разделения сигналов на выходе оптимального (согла-
(согласованного) приемника. Очевидно, чем меньше протяженность выходного
сигнала приемника по какому-либо параметру разрешения а, тем выше раз-
разрешающая способность радиотехнической системы. За количественную ме-
меру разрешающей способности обычно принимают величину Да, при кото-
200

4.1. Понятие о разрешении сигналов
рой огибающие выходных сигналов
приемника пересекаются на уровне
0,5 от их максимального значения.
Для сигналов, отличающихся только
значением параметра а, величина Да
совпадает с шириной огибающей вы-
выходного сигнала на уровне 0,5.
В качестве примера рассмот-
рассмотрим разрешающую способность про-
простейшего импульсного радиолокато-
ра, измеряющего три координаты ло-
цируемых объектов: дальность г,
азимут р и угол места е цели. Разре-
рлс
Рис. 4.1. Пояснение разрешающего
объема и разрешающей способности
по координатам
шающую способность по координатам характеризуют элементарным объе-
объемом. Размеры такого элементарного объема: Аг по дальности, Др в азиму-
азимутальной плоскости и Де в угломестной плоскости (рис. 4.1) — устанавлива-
устанавливают так, что наличие цели в любом соседнем объеме практически не ухудша-
ухудшает показателей качества (эффективности) обнаружения и измерения
координат цели, которая расположена в центре выделенного объема. Опре-
Определенный таким образом элементарный объем называют разрешаемым объ-
объемом (при импульсном облучении цели — импульсным объемом).
Разрешающая способность по дальности характеризуется минималь-
минимальным расстоянием Аг между двумя расположенными в створе с радиолокато-
радиолокатором точечными целями, при котором одна цель не мешает обнаруживать
вторую цель и измерять ее координаты. Чем меньше Аг, тем лучше разре-
разрешающая способность.
Пусть отраженные от целей прямоугольные радиоимпульсы без внут-
риимпульсной модуляции сдвинуты по времени на
где f3( — времена запаздывания сигналов, отраженных от первой и второй
целей соответственно, г2 - гх = Аг — расстояние между этими целями, с —
скорость света. На рис. 4.2 приведены огибающие выходных импульсов,
соответствующие неискаженному приему прямоугольных радиоимпульсов
(рис. 4.2, а) и оптимальному (согласованному) приему при отсутствии по-
помех (рис. 4.2, б).
Величина минимального интервала At определяется возможностью
раздельного наблюдения смежных импульсов. В рассматриваемом случае в
качестве условной меры разрешающей способности по времени запаздыва-
201

4. Разрешение сигналов
U(t) ¦•
U(t)
1
0,5
0
Рис. 4.2. Огибающие отраженных радиоимпульсов от двух близко рас-
расположенных целей при зондировании прямоугольными радиоимпуль-
радиоимпульсами длительностью ти без внутриимпульсной модуляции:
а — неискаженный прием; б — оптимальный (согласованный) прием
ния принимают значение А^ = ти, при котором максимуму огибающей сиг-
сигнала (рис. 4.2, б), отраженного от одной цели, соответствует нулевое значе-
значение огибающей от другой цели. Соответственно, мерой разрешающей спо-
способности по дальности называют величину
_СХи
D.1)
Разрешающая способность по угловым координатам обычно опреде-
определяется шириной луча, которую принято отсчитывать по уровню половинной
мощности диаграммы направленности антенны. Чем острее луч, тем выше
разрешающая способность по угловым координатам и тем подробнее сведе-
сведения о целях в секторе наблюдения.
Введенные таким образом количественные меры разрешающей
способности характеризуют возможности разрешения объектов при со-
согласованной обработке принимаемых сигналов, интенсивности которых
являются величинами одного порядка, а отношение сигнал—шум доста-
достаточно велико. Реальная разрешающая способность при согласованной
обработке хуже, чем приведенные выше количественные меры. Сниже-
Снижение разрешающей способности в общем случае зависит от искажения
формы обрабатываемых сигналов в приемном тракте и индикаторе, от
дискретности съема информации и т. д.
Максимально возможная (потенциальная) разрешающая способность
достигается при оптимальной (в смысле статистического разрешения мно-
многих сигналов) обработке. Потенциальная разрешающая способность зависит
не только от формы выходного сигнала, но и от отношения сигнал—шум.
При увеличении отношения сигнал—шум потенциальная разрешающая спо-
способность возрастает.
Разрешающую способность Да по дальности (и по другим парамет-
параметрам) не следует путать с точностью измерения дальности (и, соответствен-
202

4.2. Функция рассогласования (неопределенности) в теории разрешения
но, других параметров). Потенциальная точность измерения (при отсутствии
других источников ошибок) определяется смещением по времени пика им-
импульса из-за действия шумов. Поскольку это смещение меньше длительно-
длительности импульса, ошибка измерения параметра сигнала меньше соответствую-
соответствующей меры разрешающей способности Аат;п. Отметим также, что рассмот-
рассмотренная мера разрешающей способности по дальности, определяемая
формулой D.1), справедлива только для радиотехнических систем, исполь-
использующих простые радиоимпульсы (без внутриимпульсной модуляции).
4.2. Функция рассогласования (неопределенности)
в теории разрешения
При согласованной обработке сигналов разрешающую способность
радиотехнических (радиолокационных, радионавигационных и др.) систем
характеризует так называемая функция рассогласования, которую часто на-
называют также функцией неопределенности (неоднозначности) или автокор-
автокорреляционной функцией.
4.2.1. Общие сведения о функции рассогласования
Радиолокационные и радионавигационные когерентные сигналы ха-
характеризуются параметрами, в общем случае векторными: временем запаз-
запаздывания, соответствующим дальности; доплеровской частотой, соответст-
соответствующей радиальной скорости цели; высшими производными по времени
запаздывания; угловыми координатами и их производными; поляризацион-
поляризационными параметрами; параметрами, связанными с особенностями распростра-
распространения радиоволн в среде. Совокупный векторный параметр сигнала ас часто
рассогласован (отличается) по отношению к ожидаемому а, что проявляется
при обнаружении и лежит в основе разрешения сигналов и измерения их
параметров [31, 33—35].
Рассогласование параметров ас и а оценивают по модулю сигнала
|Z(ac,a)| = vj/(ac,a) на выходе устройства оптимальной (согласованной) об-
обработки при отсутствии помех. Устройство обработки полагают оптимизи-
оптимизированным для ожидаемого сигнала X(t, а) на фоне некоррелированной ста-
стационарной помехи с одинаковой спектральной плотностью мощности в ка-
каналах приема. Определенную таким образом функцию iy(ac,a) называют
функцией рассогласования. Обычно используется нормированная функция
рассогласован ия
203

4. Разрешение сигналов
р(ас, а) = у(ас, а)/7м/(ос,ос)\|/(а,о).
D.2)
В знаменатель формулы D.2) входят значения функций ц/(ас,ас) и
\j/(a, a), в общем случае различающиеся между собой. Здесь
D.3)
где т — знак транспонирования. Каждое значение р характеризует нормиро-
нормированное напряжение на выходе устройства оптимальной обработки при рас-
рассогласовании параметров ас и а. Для случая согласования ас = а имеем
р=1.
При выполнении условия Х(/, a) = X(t, aBp)X(/, ауп), где вектор авр
включает временные параметры сигнала, а вектор а^ — угловые (простран-
(пространственные) и поляризационные, обработка разделяется на временную (время-
частотную) и угло-поляризационную (пространственно-поляризационную).
Разделение обработки при плоском фронте волны имеет место, если запаз-
запаздывание комплексной огибающей на совокупном раскрыве антенной систе-
системы много меньше 1/Д/с, где А/с — полоса частот сигнала. Нормированная
функция рассогласования сводится к произведению временной и угло-
поляризационной нормированных функций рассогласования:
р(ас, а) = р (ас, а)р (ос, а).
D.4)
Временная (время-частотная) функция рассогласования учитывает
рассогласование только по временным (время-частотным) параметрам и оп-
определяется скалярной функцией времени X(t, a):
PBp(ac>a) =
\X(t,ac)X\t,a)dt
D.5)
\\X(t,acfdt \\X(t,*fdt
Угло-поляризационная функция рассогласования определяется не
зависящим от времени вектором X(a) = ||X,(a)|, учитывающим зависи-
зависимость ожидаемых колебаний от номера i канала приема, i = 1,2,..., М. Со-
Согласно формулам D.2) и D.3) и правилу скалярного умножения векторов
получаем
204

4.2. Функция рассогласования (неопределенности) в теории разрешения
руп(ас,а) =
м
D.6)
Разновидностью функций рассогласования D.5) и D.6) являются ком-
комплексные функции рассогласования р(ас,а). Они описываются формулами
D.5) и D.6), но без знаков модуля в числителях.
4.2.2. Время-частотные функции рассогласования
Пренебрегая деформацией комплексной огибающей U{t) сигнала, обус-
обусловленной движением цели, выражение комплексной амплитуды ожидаемо-
ожидаемого сигнала можно представить в виде
D.7)
Векторный параметр а ожидаемого сигнала заменен на два скалярных:
время запаздывания t3 и доплеровскую частоту /д. Через два скаляра
/3 с = t3 - х и FjXc=FJX-F выражают и векторный параметр ас принимаемо-
принимаемого сигнала, где т и F — рассогласования по времени запаздывания и допле-
ровской частоте. Переходя в формуле D.5) к новой переменной интегриро-
интегрирования s = t-t3c, можно вынести за знак интеграла множитель eJ(p,
ф = —2я /зс, не зависящий от переменной интегрирования s. При замене
модуля произведения произведением модулей учитываем, что
¦^ =^cos2(p + sin2(p = 1. В результате находим нормированную время-час-
время-частотную функцию рассогласования
оо
\U{s)U\s-x)ej2nFsds I \\U{sfds
D.8)
как функцию т, F разностей параметров ожидаемого и принимаемого сигна-
сигналов. Иногда используют аналогичное D.8) комплексное выражение р(х, F)
без знака модуля в числителе.
От комплексных амплитуд в D.8) можно перейти к их спектральным
плотностям. Подставляя в D.8) выражения
205

4. Разрешение сигналов
U(s)= JG(v)eJ2nvsdv,
U\s-x)=
и учитывая, что
J2nFx
= 1, получаем
аи /
$G(v)G*(v + F)eJ2KVXdv I J|G(v)|
D.9)
Время-частотная функция рассогласования p(x, F) является по опре-
определению модулем нормированного напряжения на выходе устройства опти-
оптимальной (согласованной) обработки когерентного сигнала, когда на вход
поступают колебания с параметрами, отличающимися на х, F по отношению
к ожидаемым. Нормирование состоит в обеспечении выполнения условия
р@,0) = 1.
Функция рассогласования (неопределенности) р(х, F), а также функ-
функция р2(х, F) описывают некоторые поверхности над плоскостью р = 0 и об-
образуют пространственные фигуры, называемые телами рассогласования
(неопределенности).
Сформулируем основные свойства время-частотных функций рассо-
рассогласования р(х, F).
1. Свойство центральной симметрии:
P(-t,-F) = P(t,F). D.10)
Чтобы убедиться в справедливости соотношения D.10), достаточно
заменить в числителе выражения D.8) параметры х, F на -х, -F соответст-
соответственно и провести замену переменной интегрирования s = t-x. Вынесем не
зависящий от переменной интегрирования множитель QJ2nFx, имеющий
единичный модуль, за знак интеграла, в результате, действительно, перей-
перейдем от функции р(-х, -F) к функции р(х, F).
2. Свойство единичного объема тела, ограниченного поверхностью
р (х, F) и плоскостью р = 0:
D.11)
206

4.2. Функция рассогласования (неопределенности) в теории разрешения
Это свойство называют иногда принципом неопределенности в радио-
радиолокации, имея в виду использование функции рассогласования в теории из-
измерений. При заданном параметре обнаружения q степень убывания функ-
функции р(т, F) в окрестности точки т = О, F = О характеризует точность изме-
измерения параметров t3, F^. чем резче убывание, тем выше точность. Боковые
выбросы функции р(х, F) характеризуют возможную неоднозначность изме-
измерения. Наличие ошибок и неоднозначность измерения характеризуют обоб-
обобщающим понятием неопределенности. Согласно D.11) нельзя уменьшить
объем тела неопределенности V 2, для любого сигнала V г = 1.
Для обоснования справедливости равенства D.11) подставим в него
формулу D.8) и воспользуемся соотношением
00 00 00
\A{s)ds = J $ A(s)A\%)dsd%.
Тогда получаем
00 00 00 00
J J jU(s)U*(s-x)QJnFsds Jc/(xX/*(*-i
ту —oo —oo —oo —00
l\U(sfds
00 00 00
J | jU(s)U"(s-x)U(x)U'(x-x)
—oo —oo —oo
\\U(sfds
Здесь
Используя фильтрующее свойство 5-функции, находим
00
\\U(xf
VS =
\\U(s)\2ds
\\U(sfds
207

4. Разрешение сигналов
Внутренний интеграл по переменной т равен энергии сигнала U(i) и не
зависит от сдвига х. Тогда
\\U{tfdt
р"
= 1.
j\U(sfds
3. Сечение тела р(т, F) плоскостью т = О совпадает с нормирован-
нормированным амплитудно-частотным спектром квадрата модуля огибающей \U(t)\
сигнала.
Действительно, из формулы D.8) при т = 0 получаем
р(о,Л =
j\U(sfds
D.12)
Выражение D.12) характеризует значения нормированной огибающей
напряжения на выходе согласованного фильтра при т = 0 и различных зна-
значениях F.
4. Сечение тела р(т, F) плоскостью F = 0 совпадает с модулем норми-
нормированной корреляционной функции огибающей U(t) сигнала.
Действительно, из формулы D.8) при F= 0 получаем
р(т,О) =
jU(s)U*(s-x)ds
\\U(s)\2ds
D.13)
Выражение D.13) характеризует форму нормированной огибающей
напряжения на выходе согласованного фильтра при воздействии сигнала с
известной частотой (F = 0) при различных значениях т. Если входной сигнал
рассогласован по частоте на Fo, то нормированная огибающая напряжения на
выходе фильтра определяется сечением тела р(т, F) плоскостью F = Fo.
Можно дать другую трактовку рассматриваемого сечения тела р(х, F),
используя формулу D.9): сечение тела р(т, F) плоскостью F = 0 совпадает с
208

4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
нормированной огибающей преобразования Фурье квадрата модуля ампли-
амплитудно-частотного спектра сигнала:
{|G(v)|V27rvTc/v
D.13')
\\G(vfdv
4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
4.3.1. Сигналы без внутриимпульсной модуляции
Рассмотрим сигналы в виде одиночных радиоимпульсов u{t) =
= Re[U(t)GJ2nf°'] с комплексными огибающими U(t) = UQ(t) и составленные
из них когерентные пачки с комплексной огибающей
м
YUo(t~h)- С4-14)
Типичными примерами одиночных радиоимпульсов являются прямо-
прямоугольный (рис. 4.3, а) с огибающей
"•«-ft .'Г"? DЛ5)
[О, И>ти/2,
и колокольный (рис. 4.3, б) с огибающей
2), D.16)
где ти — длительность импульса. Для колокольного радиоимпульса дли-
длительность ти определяется на уровне
Unix 12) ( лЛ
ov и—- = ехр — «0,46.
Ц>@) Ч 4)
Нормированная функция рассогласования прямоугольного радиоим-
радиоимпульса находится подстановкой равенства D.15) в D.8). Сомножители U(s) и
U*(s-t) числителя подынтегрального выражения в формуле D.8) прини-
принимают значения, равные 1 при -ти /2<s <тИ/2 и -ти/2<5-т<ти/2 соот-
соответственно и равные 0 вне этих интервалов. На рис. 4.3, в, г поясняется вза-
209

4. Разрешение сигналов
V(t)
-Ти/2 0 ти/2 t -XJ2 О ти/2 t -ти/2 О ти/2 t -xjl О "С„/2 Г
Рис. 4.3. Прямоугольный и колокольный радиоимпульсы, пояснение
расчета функции рассогласования прямоугольного радиоимпульса
имный сдвиг графиков сомножителей при х < 0 и х > 0. Заштрихованы об-
области ненулевых произведений, уточняющие пределы интегрирования
х + |х|-хи/2^5<х-|х| + хи/2 для |х|<хи. Окончательно получим
р(х F) =
D.17)
|т|>т
Нормированная функция рассогласования колокольного радиоимпуль-
радиоимпульса находится подстановкой выражения D.16) в D.8) и имеет вид
D.18)
Рассмотрим тела рассогласования и их сечения для прямоугольного и
колокольного радиоимпульсов. На рис. 4.4, а, б, в приведены вертикальные
F = const, х = const и горизонтальные р = const сечения, на рис. 4.4, г —
аксонометрическое изображение тела рассогласования (неопределенности)
р(х, F) прямоугольного радиоимпульса. На рис. 4.4, д, е представлены ак-
аксонометрическое изображение и горизонтальные сечения тела рассогласо-
рассогласования колокольного радиоимпульса. Зачерненное горизонтальное сечение
на рис. 4.4, в, е соответствует уровню, близкому к 0,5, а заштрихованное —
близкому к нулевому.
Рельеф тел р(х, F) согласуется со сформулированными в п. 4.2.2 об-
общими свойствами. С уменьшением длительности хи сечение р(х, 0) сужает-
сужается, а сечение р@, F) расширяется (рис. 4.4, б, в). Иначе, с повышением раз-
210

4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
т = 0
Рис. 4.4. Тела рассогласования прямоугольного и колокольного ра-
радиоимпульсов и их сечения
решающей способности по времени запаздывания (дальности) ухудшается
разрешающая способность по частоте (радиальной скорости). Справедливо
и обратное утверждение. Объем тела р(т, F) при этом по свойству 2 (п. 4.2.2)
остается неизменным.
Нормированная функция рассогласования пачки произвольно следую-
следующих радиоимпульсов находится подстановкой выражения D.14) в D.8) после
замены переменной интегрирования s-tj =s' [31, 33—35]:
D.19)
Здесь ро(т, F) — комплексная функция рассогласования одиночного ра-
радиоимпульса произвольной формы.
Нормированная функция рассогласования пачки периодически сле-
следующих радиоимпульсов находится:
211

4. Разрешение сигналов
1) подстановкой в соотношение D.19) tt =iTn+ const и tk = кТп + const,
где Тп — период повторения импульсов;
2) введением разности m = i-k, где ~(М -1) < m < М -1, /, к = 1,2, ...
...,М;
3) суммированием по к при фиксированных m геометрических про-
прогрессий с членами ej2nFti, i = k + m, в интервале 1 < к < М - m при т^Ои
в интервале 1 - m < к < М при m < 0. Тогда
т=-[м-1
D.20)
При любом значении х для импульсов прямоугольной формы и
Тп > 2хи не более чем одно слагаемое суммы D.20) в силу D.17) отлично от
нуля.
Определяемое выражением D.20) тело рассогласования прямоуголь-
прямоугольной пачки прямоугольных радиоимпульсов, его вертикальные F = 0, т = 0,
горизонтальные р = const сечения и аксонометрия представлены на рис. 4.5,
а, б, в, г соответственно.
Сечение F ~ 0 (рис. 4.5, а) описывает огибающую реакцию (отклик)
согласованного фильтра на пачечный когерентный сигнал при отсутствии
расстройки по частоте. Каждый пик сечения имеет треугольную форму, со-
Рис. 4.5. Тела рассогласования пачечных сигналов и их сечения
212

4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
ответствующую свертке огибающих прямоугольных радиоимпульсов дли-
длительности ти. Треугольную форму имеет и огибающая пиков. Она соответст-
соответствует свертке прямоугольных огибающих импульсов пачки.
Сечение х = 0 (рис. 4.5, б) соответствует амплитудно-частотному
спектру квадрата огибающей (а при постоянных значениях амплитуд — и
самой огибающей) сигнала. Этот спектр состоит из пиков, взаимно сдвину-
сдвинутых на частоту повторения импульсов 1/Гп. Огибающие отдельных пиков и
совокупности огибающих пиков описываются при малых расстройках вы-
выражениями | sin(M>c)/sin х | и j (sin дг)/лг| соответственно. Ширина центрально-
центрального пика составляет 2/Го, где Го = МТП — длительность пачки. Ширина оги-
огибающей пиков равна 2/ти. На уровне 0,64 ширина пиков равна 1/Г0 и 1/ти со-
соответственно. Большей протяженности Го пика во временной области
соответствует меньшая протяженность 1/Го пика в частотной; меньшей ти во
временной области — большая 1/хи в частотной.
Приближение формы огибающей пачки к колокольной (большая
протяженность во временной области) приводит к колоколообразности
отдельных пиков (малая протяженность в частотной области). Снижение
при этом уровня боковых лепестков улучшает возможности разрешения
по частоте.
Сравнение тел рассогласования пачечных и одиночных когерентных
сигналов целесообразно проводить при одинаковой длительности радиоим-
радиоимпульсов. Разрешающая способность по дальности (по отношению к близко
расположенным целям) для них одинакова. Пачечные когерентные сигналы
обладают, однако, более высокой разрешающей способностью по частоте
(скорости). В силу многолепесткового характера тел рассогласования па-
пачечных сигналов (рис. 4.5, в, г) проявляется неоднозначность измерения
времени запаздывания и частоты. Устранение неоднозначности по одному
из параметров, достигаемое выбором периода Гп, ведет к появлению неодно-
неоднозначности по другому. Если Гп >2Armax/c, где Armax — диапазон наблю-
наблюдаемых дальностей целей и других отражающих объектов, то можно гово-
говорить о сигналах с однозначным измерением дальности. Однако они обычно
не обеспечивают однозначного измерения радиальных скоростей, в частно-
частности воздушных целей. Если же 1/Гп >|Avrmax/^0|> гДе ~Чтах •••Дугтах —
диапазон радиальных скоростей отражающих объектов, то можно говорить
о системах с однозначным измерением скорости. Для этих систем необхо-
необходима высокая частота следования импульсов (десятки-сотни килогерц), что
обычно исключает однозначное измерение дальности.
Последовательности импульсов с высокой частотой следования 1/Гп
имеют малую скважность. Их излучение называют квазинепрерывным. Для
213

4. Разрешение сигналов
определения истинной дальности при квазинепрерывном излучении исполь-
используют:
— изменение периода посылок Тп;
— улучшение селекции по угловым координатам;
— получение априорной информации о целях от других РЛС.
Возможность использования одной и той же антенны для передачи и
приема — достоинство квазинепрерывного излучения по сравнению с не-
непрерывным. Высокое качество селекции по скорости обеспечивается в соче-
сочетании с хорошей селекцией по дальности в пределах зон однозначности их
измерения. Объем тела рассогласования Vp2 распределяется по пикам неод-
неоднозначности без заметного увеличения остатков между пиками, в частности
вдоль оси F. Хорошая селекция по скорости повышает возможности защиты
от пассивных помех.
Недостатком квазинепрерывных сигналов является необходимость
сложной и не всегда реализуемой процедуры устранения неоднозначности
измерения дальности.
4.3.2. Частотно-модулированные сигналы
Частотно-модулированные (ЧМ) радиоимпульсы являются наиболее
простыми разновидностями широкополосных когерентных сигналов [31,
33—35], для которых база В = А/Ити »1, что позволяет существенно повы-
повысить разрешающую способность по дальности. Для узкополосных сигналов
повышение разрешающей способности по дальности (А/Ити «1) обеспечи-
обеспечивается, как известно, уменьшением длительности т„ зондирующих радиоим-
радиоимпульсов. Поскольку пиковые мощности импульсов ограничены, это часто
ведет к уменьшению излучаемой энергии и к снижению дальности действия
РЛС. Используя широкополосные (сложные) сигналы, можно увеличивать
энергетику и дальность действия РЛС, не ухудшая, а даже улучшая разре-
разрешающую способность по дальности.
Линейно-частотно-модулированные (ЛЧМ) импульсы с прямоуголь-
прямоугольной и колокольной огибающими показаны на рис. 4.6, а, б. У этих сигналов
мгновенная частота меняется по линейному закону (рис. 4.6, в):
/ = /(') = /<>+('ЛиL/д, С4-21)
а фаза — по квадратичному закону:
= 2n j f(s)ds = 2nf0t + bt2 + v|/0,
—00
214

4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
"@4
u(ty
¦ft
• 1
ти • i
^ 0
1 >л
X ft
in
,46
Рис. 4.6. Сигналы с линейной частотной модуляцией
где Д/д — частотная девиация, хи — длительность импульса,
D.22)
— параметр фазовой модуляции сигнала, п = хиЛ/д — коэффициент широ-
кополосности, \\H — случайная начальная фаза (далее \у0 = 0). Комплекс-
Комплексные амплитуды линейно-модулированных по частоте сигналов задаются
выражениями U(t) = U&(t)QJbt , где множитель Ua(t) характеризует ампли-
амплитудную модуляцию. В частности, для прямоугольного ЛЧМ сигнала оги-
огибающая описывается следующим образом:
0,
D.23)
для колокольного ЛЧМ сигнала
е-*ОЛн) e>6' . D.24)
Частотные спектры комплексных амплитуд ЛЧМ сигналов определя-
определяются выражением
G{f)=
D.25)
где \G(f)\ — амплитудно-частотный, а ф(/) — фазочастотный спектры.
Амплитудно-частотный спектр колокольного ЛЧМ радиоимпульса описы-
описывается зависимостью (рис. 4.7, а)
|G(/)| = -
D.26)
и имеет на уровне 0,46 ширину спектра
215

4. Разрешение сигналов
\G(f)\/\G(O)\
1,0
0,5
0
1,0 2/7 А/д
Рис. 4.7. Частотные спектры комплексных амплитуд колокольного и
прямоугольного ЛЧМ сигналов
D.27)
мало отличающуюся при больших п от частотной девиации. Фазочастотный
спектр этого сигнала описывается уравнением параболы:
/ . \2
L
+-arctg«.
D.28)
Амплитудно-частотный спектр прямоугольного ЛЧМ радиоимпульса
(рис, 4.7, б) выражается через интегралы Френеля, а при п »1 приближенно
аппроксимируется прямоугольником, имеющим ширину А/а. Фазочастот-
Фазочастотный спектр в этих пределах приближенно описывается выражением D.28).
Независимо от характера огибающей чем больше частотная девиация
(п » 1), тем шире спектр сигнала: Д/и « Д/д.
Нормированная функция рассогласования прямоугольного ЛЧМ ра-
радиоимпульса находится подстановкой выражения D.23) в D.8) и выбором
пределов интегрирования согласно рис. 4.3, в, г. При т < ти
1
(т-|т|+ти)/2
~J '
и -(т-|т|+ти)/2
Интегрируя по s, учитывая единичное значение модуля сомножителя
и используя соотношения D.21), D.22), можно получить
D.29)
X > X...
216

4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
2/А/л
1\
Р(х,
/V2<0
хи т
W////////////////////A
б
Рис. 4.8. Вертикальные (а) и горизонтальные (б) сечения функции рас-
рассогласования прямоугольного ЛЧМ радиоимпульса
При п = 0 выражение D.29) преобразуется в D.17).
Нормированная функция рассогласования колокольного ЛЧМ радио-
радиоимпульса находится подстановкой равенства D.24) в D.8):
D.30)
При п = 0 формула D.30) преобразуется в D.18).
Рассмотрим тела рассогласования и их сечения для прямоугольного и
колокольного ЛЧМ радиоимпульсов. На рис. 4.8, а, б приведены вертикаль-
вертикальные F = const и горизонтальные р = const сечения для прямоугольного ра-
радиоимпульса, а на рис. 4.9, а, б — аксонометрические изображения тел рас-
рассогласования прямоугольного и колокольного радиоимпульсов соответст-
Рис. 4.9. Аксонометрические изображения тел рассогласования прямо-
прямоугольного (а) и колокольного (б) радиоимпульсов
217

4. Разрешение сигналов
венно. В связи с частотной модуляцией сигналов тела рассогласования на
рис. 4.9 повернуты и вытянуты относительно соответствующих тел рассо-
рассогласования, изображенных на рис. 4.4 и 4.5, и поэтому обладают только
центральной симметрией р(-т, - F) - р(т, F), а симметрией относительно
плоскостей F = 0, х = 0 не обладают. При df/dt > 0 имеет место поворот
тела рассогласования против часовой, а при df/dt < О — по часовой стрел-
стрелке. Кроме того, протяженность тела рассогласования в плоскости F = 0 при
п:»1 оказывается существенно меньше длительности ЛЧМ сигнала. На-
Наблюдается эффект сжатия сигнала.
Эффект сжатия радиоимпульсов непосредственно вытекает из формул
D.29) и D.30), описывающих напряжения на выходе согласованного фильт-
фильтра. Чем шире спектр, тем большее число независимых гармонических со-
составляющих суммируется в фазе при t = tK +13, тем уже пик радиоимпульса
на выходе согласованного фильтра. Поскольку отклики согласованного
фильтра характеризуются сечениями F = const тел рассогласования, этот же
вывод непосредственно следует из геометрической структуры рассматри-
рассматриваемых тел. Вследствие поворота тела рассогласования ЛЧМ сигнала верти-
вертикальное сечение его сужено по отношению к вертикальному сечению немо-
дулированного сигнала, причем чем в большей степени сужено, тем больше
коэффициент широкополосности гг = гнА/а. Форма сжатого радиоимпуль-
радиоимпульса при F = 0 определяется в силу D.13) исключительно амплитудно-
частотным спектром входного сигнала. Фазочастотный спектр при отсут-
отсутствии рассогласования (доплеровского, в частности) полностью компен-
компенсируется фазочастотной характеристикой фильтра и не влияет на форму
выходного сигнала.
В силу принципа наложения (суперпозиции) воздействий, справедли-
справедливого для линейных систем, сжатые радиоимпульсы могут не перекрываться
при перекрытии ЧМ радиоимпульсов на входе фильтра. Этот эффект тем
существеннее, чем больше коэффициент п. Разрешающая способность по
времени запаздывания определяется, таким образом, не длительностью сиг-
чала, а величиной, обратной ширине его амплитудно-частотного спектра.
Последнее относится не только к согласованной фильтрации, но и к любой
другой согласованной обработке, в частности к корреляционной обработке
ia основе многоканальных корреляционных устройств. Это непосредствен-
ю следует из свойства 4 (см. п. 4.2.2) тел рассогласования р(т, F). Сечения
^ = 0 этих тел определяются преобразованиями Фурье квадрата амплитуд-
ю-частотного спектра сигнала.
Уровень боковых лепестков сжатого ЛЧМ радиоимпульса значитель-
ю ниже в случае скругленного амплитудно-частотного спектра (колоколь-

4.3. Функции рассогласования когерентных сигналов
ный ЛЧМ сигнал), чем в случае амплитудно-частотного спектра, близкого к
прямоугольному (прямоугольный ЛЧМ сигнал). С другой стороны, прямо-
прямоугольная огибающая зондирующего сигнала облегчает оптимизацию работы
мощных каскадов радиопередающего устройства. Поэтому если излучается
сигнал с прямоугольной огибающей, то при обработке отраженного сигнала
часто производят сглаживание его амплитудно-частотного спектра, видоиз-
видоизменяя соответствующим образом амплитудно-частотную характеристику
тракта промежуточной частоты, хотя это ведет к некоторым энергетическим
потерям и к растяжению сжатого импульса.
Рассмотрим неопределенность дальность—скорость ЛЧМ сигналов и
возможные пути ее устранения. Рассогласование ЛЧМ радиоимпульсов по
частоте F приводит (см. рис. 4.8, 4.9 и формулы D.29), D.30)) к временному
смещению сжатых радиоимпульсов
x = -F/(df/dt) = ±xilF/Afn, D.31)
пропорциональному F. Знак минус соответствует положительному знаку
производной df/dt, знак плюс — отрицательному.
При одноимпульсном радиолокационном зондировании и неизвестном
доплеровском рассогласовании F = -2Avr/\Q возможна систематическая
ошибка измерения дальности, пропорциональная рассогласованию по ради-
радиальной скорости Avr или самой радиальной скорости vr, если обработка
ЛЧМ сигналов ведется в предположении, что vr = 0. Однако при не очень
больших длительностях зондирующих радиоимпульсов хи «: l/FR величина
скоростной ошибки в единицах времени значительно меньше длительности
сжатого радиоимпульса и часто не имеет практического значения. Более то-
того, даже при ти »\/F% любой отсчет дальности при отсутствии шума ока-
оказывается безошибочным, если его отнести к моменту наблюдения, смещен-
смещенному на известную, не зависящую от Avr, величину
сх/2= с df = /о D32)
Av,. Хо dt df/dt
Знак указанного смещения определяется знаком производной df/dt.
Если принимается последовательность ЛЧМ радиоимпульсов, то в хо-
ходе их вторичной обработки возможно достаточно точное определение теку-
текущей дальности и радиальной скорости, если время наблюдения превышает
fo/\df/dt\ [31,33-35].
219

4. Разрешение сигналов
4.4. Сигналы, обеспечивающие высокие разрешающие
способности по времени запаздывания и частоте
4.4.1. Особенности выбора время-частотных
функций рассогласования
Важной задачей при разработке радиолокационных и других радио-
радиотехнических систем является выбор сигналов, функция рассогласования ко-
которых имеет низкий уровень боковых лепестков в плоскости F = 0 или для
всей совокупности возможных значений т. F. Обеспечение низкого уровня
боковых лепестков только в плоскости F = 0 является достаточным в ситуа-
ситуациях, когда:
максимальные значения доплеровских частот полученных сигналов
и помех существенно меньше, чем величина разрешающей способности по
доплеровской частоте;
доплеровские частоты целей, находящихся в одном элементе раз-
разрешения по угловым координатам, одинаковы или достаточно близки.
Снижение уровня боковых лепестков функции рассогласования в
плоскости F=0b этих случаях можно обеспечить при соответствующем
увеличении уровня боковых лепестков вне рабочей области F = 0.
В общем случае, когда требуется уменьшение уровня боковых лепест-
лепестков для совокупности значений т, F во всей рабочей области, целесообразно
выбирать сигналы, тела рассогласования которых приближаются к игольча-
игольчатому (рис. 4.10). Сигналы с таким телом неопределенности при Д/Ити »1
обеспечивают высокие разрешающие способности по времени запаздывания
1 /Д/и и частоте 1/ти. Часть объема V2, относящаяся к пику, оценивается
величиной A/Д/и)A/хи). Остальная часть объема 1-1/(Д/ити) распределяется
по большой площади 2ти-2Д/И,
чтобы уровень рд на этой пло-
площади был мал. Для идеализиро-
идеализированного равномерного распре-
распределения Ро имеем
1
А/Ихи'
Рис. 4.10. Игольчатое тело рассогласования
220

4.4. Сигналы, обеспечивающие высокие разрешающие способности
Примеры реальных сигналов с телами рассогласования, близкими к
идеальному игольчатому, приведены далее.
4.4.2. Фазоманипулированные сигналы
Фазовая (фазокодовая) манипуляция используется как средство рас-
расширения спектра импульсных и непрерывных сигналов для повышения раз-
разрешающей способности по дальности (времени запаздывания). Фазомани-
пулированный сигнал в общем случае — это совокупность сомкнутых ра-
радиоимпульсов i-\,2,...,N, имеющих одинаковые частоту колебаний^ и
длительность то при ограниченном количестве возможных сдвигов фаз ф9,
q - 0,1,..., р -1, относительно опорного синусоидального колебания указан-
указанной частоты. Структура сигнала определяется кодом в виде цифровой по-
последовательности qj, j -1,2,..., N, элементы которой принадлежат кр-ичной
системе счисления, j — номер позиции парциального радиоимпульса, д, —
номер начальной фазы нау-й позиции. Начальные фазы чаще всего равно-
равномерно распределены на интервале @, 2л:), хотя для корректировки тел р(т, F)
используют иногда их неравномерное распределение. При равномерном
распределении значения начальных фаз (р^ пропорциональны /ьичным циф-
цифрам q:
yq=2nq/p, q = 0,\,...,p-\. D.33)
Для р - 2 фазы принимают значения 0, п; для р = 3 — значения О,
2л/3, 4тг/3 и т. д.
В радиолокационных системах наиболее распространенными явля-
являются фазоманипулированные сигналы, составленные по двоичным (/? = 2)
кодам Баркера, М-кодам и т. д. (см. гл. 2). Иногда используют сигналы с
изменением начальных фаз 0, <р (ф*тс) и многофазовые (р > 2). Незави-
Независимо от выбора кодовой последовательности значения qj элементов кода
используют в передатчике для формирования начальных фаз qq элемен-
элементов зондирующего сигнала в соответствии с выбранной зависимостью <$q
и? [31, 33—35].
Импульсные сигналы с фазовой манипуляцией кодом Баркера — это
сигналы, для которых уровень боковых лепестков (боковых пиков) тела
р(т, F) в сечении F = 0 при @,7с)-манипуляции составляет MN. Такие коды
подобраны для ряда значений N < 13 (табл. 4.1). Для N = 1, например, бар-
керовский код описывается цифровой последовательностью 0001101, так
что ф, = ф2 = ф3 = ф6 = 0, а ф4 = ф5 = ф7 = л. Уровень боковых лепестков в
сечении F = 0 по мощности соответствует \/N2 , или -201giV в децибелах.
221

4. Разрешение сигналов
Таблица 4.1
Возможные законы фазовой манипуляции сигналов кодом Баркера
N
3
4
5
7
11
13
00
00
000
0001
0001 1 1
00000 1 1
I N
1
10
10
101
0110 1
001010
При N - 13 этот уровень составляет -22 дБ. В сечениях F &0 тела
р(т,F) содержат большие боковые пики, примерно равные 0,4...0,5 для
N- 11 или N- 13. Баркеровские коды используют поэтому лишь для радио-
радиоимпульсов не очень большой длительности, структура которых не искажа-
искажается при отражении от движущихся целей.
Импульсные сигналы с фазовой манипуляцией по закону Ы-после-
дователъности имеют тело рассогласования, близкое к игольчатому.
Как известно, для снижения уровня р вне пика сигнал должен быть
протяженным и иметь ширину спектра А/, »1/ти. Рассогласования x,F
должны независимо разрушать имеющуюся корреляцию ожидаемых и при-
принимаемых значений сигнала, чтобы равномернее распределить объем Vp2 по
площади. Разрушенная из-за расстройки по х корреляция не должна восста-
восстанавливаться где-либо при расстройках по F. Фазовая манипуляция импульс-
импульсного сигнала М-последовательностью с большим числом элементов N по-
позволяет обеспечить выполнение перечисленных требований.
Реальное тело р(т, F) шумоподобного сигнала, включая область боковых
лепестков, имеет в сечении F = 0 ограниченную протяженность 2ти = 2Nxq. В
сечении х = 0 тело по-прежнему не ограничено, но протяженность его ос-
основной части 2А/И « 2 / х0 определяется шириной спектра А/и парциального
импульсного сигнала. Основной лепесток (область пика) тела рассогласова-
рассогласования имеет в сечении F = 0 треугольную форму, его ширина по уровню 0,5
равна х0. В сечении х = 0 форма пика описывается выражением |sinjc/x|, его
ширина по уровню 0,64 составляет 1/хи = l/(iVx0). Распределение боковых
пиков по плоскости х, F оказывается, в целом, неравномерным.
Среди кодированных М-последовательностями сигналов можно вы-
выбрать сигналы с минимальным значением максимума боковых пиков (ми-
(минимаксные сигналы). Максимумы пиков для этих сигналов имеют величину
порядка l/yJN, медленно снижаясь с увеличением N.
222

4.4. Сигналы, обеспечивающие высокие разрешающие способности
Использование шумоподобных фазоманипулированных сигналов с
очень большим числом элементов N, как и других достаточно сложных сиг-
сигналов, затрудняет разведку излучений РЛС, а значит, и наведение на них
противолокационных ракет.
Непрерывные сигналы с фазовой манипуляцией по закону М-последо-
вателъности могут быть получены при фазовой манипуляции (или @, п), или
(О, ф)) гармонического колебания двоичной рекуррентной М-последователь-
ностью, что приводит к периодическому непрерывному сигналу с манипу-
манипуляцией фазы по закону этой последовательности в каждом периоде. Обра-
Обработка принимаемых колебаний сводится к внутрипериодному и межпериод-
ному когерентному накоплению. Функцию рассогласования такого сигнала
можно получить из формулы D.20), заменив сомножитель ро(х, F) комплекс-
комплексным выражением функции рассогласования для одиночного М-сигнала. Когда
входящее в формулу D.20) число периодов М стремится к бесконечности,
тело р(т, F) сводится в основной своей части к набору разнесенных по часто-
частоте на величину \/ТП = 1 /(iVr0) плоских элементов, протяженность которых
1/МТп по оси F стремится к нулю, как это показано для @, л)-манипуляции
на рис. 4.11. Подобная структура тела р(т, F) согласуется со свойством 3
(см. п. 4.2.2) тел рассогласования, в соответствии с которым разрешающая
способность по частоте (радиальной скорости) повышается с увеличением
длительности когерентного сигнала. Обеспечивается однозначное разреше-
разрешение по радиальной скорости в пределах частотных интервалов 1/(jVx0) при
произвольном временном рассогласовании т.
Двоичная @, (^-манипуляция позволяет снизить уровень боковых лепест-
лепестков тела рассогласования в сечении F = 0 до нуля (рис. 4.12). Это облегчает
Рис. 4.11. Тело неопределенности непрерывного сигнала с фазовой
манипуляцией по закону М-последовательности
223

4. Разрешение сигналов
(О
ф
-ф
ф
0
0
-ф
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-ф
ф
-ф
0
0
ф
ф
¦ф
0
0
-ф
0
ф
ф
0
0
-ф
0
-ф
ф
ф
0
ф
¦ф
-ф
0
0
0
0
ф
0
¦ф
-ф
ф
ф
-ф
ф
0
0
-ф
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-ф
ф
¦ф
0
0
ф
ф
-ф
0
0
-ф
0
ф
ф
0
0
-ф
0
-ф
ф
ф
0
ф
-ф
-ф
0
0
0
0
ф
0
¦ф
-ф
ф
ф
-ф
ф
0
0
¦ф
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-ф
ф
0
0
0
ф
ф
-ф
0
0
-ф
0
ф
и(х)
и(г-то)е
u(t- 2Xo)
u(t- 3XO)
АЛл
и(Г-бть)
Рис. 4.12. К пояснению обработки сигналов с двоичной @, (р)-манипуляцией
разрешение элементов групповой цели по дальности, перемещающихся с близ-
близкими радиальными скоростями, в процессе обнаружения или автоматического
сопровождения по скорости. Значение ф в радианах выбирается из условия
Ф = я - arccos [(N~ l)/(N +1)],
D.34)
где N— период М-последовательности. Для значений N, равных 7, 15, 31,
значения ф составят соответственно 139°, 151°, 160°.
Сформулированный результат справедлив как при корреляционной, так
и при фильтровой обработке. Он поясняется ниже на примере обработки в
согласованном фильтре (см. рис. 4.12, а) сигнала с чередованием фаз
@ ф ф ф 0 ф 0)..., соответствующим М-последовательности @ 1 1 10 10)....
Импульсная характеристика фильтра соответствует одному периоду М-после-
М-последовательности. Внутрипериодная обработка в фильтре должна дополняться
межпериодным накоплением. В момент достижения сигнала максимального
значения все N = 7 подаваемых на сумматор задержанных и сдвинутых по
фазе колебаний суммируются в фазе (рис. 4.12, б). В другие моменты времени
из общего числа N= 7 парциальных импульсов (N -1)/2 = 3 импульса имеют
нулевые начальные фазы. Остальные парциальные импульсы, а именно
(N +1)/2 = 4, имеют ненулевые начальные фазы, в частности по (N +1)/4 = 2
импульса имеют начальные фазы ф и - <р. Относительный уровень напряже-
напряжения сигнала на выходе сумматора вне максимумов составляет
>24

4.5. Угло-поляризационные функции рассогласования
N
N-l
N + l
jV-1 N + l
h COSCD
2N 2N
т. е. равен \/N при ф = п и обращается в нуль (рис. 4.12, в) при выборе ф со-
согласно формуле D.34). Этот же уровень сохраняется и в результате согласован-
согласованной фильтрации элементарных импульсов последовательности (рис. 4.12, г),
приводящей к преобразованию прямоугольной огибающей в треугольную.
4.5. Угло-поляризационные функции рассогласования
Угло-поляризационная функция рассогласования когерентных сигна-
сигналов определяется формулой D.6) и зависит от пространственно-поляризаци-
пространственно-поляризационных характеристик антенной системы [35, 43, 47].
Рассмотрим М-элементную эквидистантную линейную антенную ре-
решетку с шагом d и равномерным амплитудным распределением коэффици-
коэффициентов передачи напряжений на сумматор. Подбором сдвигов фаз эта решет-
решетка согласуется с плоской гармонической волной, падающей под углом 6 к
нормали (рис. 4.13, а). Ожидаемое распределение комплексных амплитуд
напряжений каналов приема источника, расположенного в дальней зоне, при
отсутствии направленности одиночных
вибраторов и движения цели относи-
относительно антенны определяется выраже-
выражением
(i-io)dsinQ
/ = 1,2,...,/0,...,М. D.35)
Если же волна (при согласованной
поляризации) приходит под углом Gc к
нормали, то X,(QC) определяются по
формуле D.35) после замены 0 на 9С.
Подставляя выражения для X,(Q) и
^@С) в D.6) и суммируя члены геомет-
геометрической прогрессии
(-j2n(i - i0 )d(sm 0C - sin
/ = 1,2,..., Л/, б
Рис. 4.13. Линейная эквидистантная
находим нормированную угловую (про- решетка (а) и ее пространственная
странственную) функцию рассогласования функция рассогласования (б)
8-7816 225

4. Разрешение сигналов
-sin0)/A,)
D.36)
Выражение D.36) совпадает с выражением нормированной характери-
характеристики направленности рассматриваемой антенной решетки как функции уг-
угла прихода 0С волны (рис. 4.13, б) при условии, что решетка согласована для
угла прихода 0 (т. е. значение ее характеристики направленности для этого
угла максимально).
Фиксируя длину раскрыва решетки L = Md и устремляя Мк бесконеч-
бесконечности, находим нормированную угловую функцию рассогласования непре-
непрерывной линейной антенны
ч sinGtZ (sin 0C -sin©)/A,)
7iL(sin0c -sin0)/A,
D.37)
Определим нормированную поляризационную функцию рассогласова-
рассогласования для когерентного поляризованного сигнала. Такой сигнал характеризу-
характеризуется двумя изменяющимися во времени ортогональными пространственны-
пространственными составляющими несущей частоты То с амплитудами U\ и U2 и начальны-
начальными фазами ц/, и ц/2 [74]:
Х(*,а)= ' W-W ^438^
\U2 cosBnf0t - \\f2 )J
Комплексную амплитуду такого сигнала можно записать в следую-
следующем виде:
Х(о) =
cosy
'Jb sin y_
= Ue •/'v'1 cosy
e;5tgy_
D.39)
В этом выражении U — результирующая комплексная амплитуда,
\U\ = V^/,2 + и\ — ее модуль, cosy = t/, I\U\, siny = U2/\U\, 8 = \|/,-v|/2.
С точностью до множителя можно считать Х(а) = [^ Х2]т, где
^,=1, Х2=а, a = e75tgy. Подставляя полученное выражение для ком-
комплексной амплитуды Х(а) = [1 а]т в формулу D.6), получим нормирован-
нормированную функцию рассогласования по поляризации
p(ac,a) =
l + ara
D.40)
226

4.6. Согласованное и оптимальное разрешение сигналов
Эта формула справедлива для эллиптически поляризованного сигнала.
При линейно-поляризованном колебании 5 = 0 или 8 = п угол у опре-
определяет плоскость поляризации. Тогда ас =tgyc, a = tgy, а функция рассо-
рассогласования
р(ас, а) = р(ус, у) = cos(yc - у).
Найдем функцию рассогласования круго-поляризованного колебания
с произвольным линейно-поляризованным колебанием. Для колебаний с
круговой поляризацией имеем Ь = ±п/2, у = ±я/4. Тогда, полагая осс = ±у, а
a = tgy, из формулы D.40) находим
независимо от у. Из полученного выражения следует важный практический
вывод: при приеме сигналов с неизвестной линейной поляризацией целесо-
целесообразно использовать антенны с круговой поляризацией.
Приведем пример угло-поляризационной функции рассогласования. Пусть
элементами эквидистантной линейной антенной решетки являются вертикаль-
вертикальные и горизонтальные вибраторы, рассчитанные на отдельный прием соответ-
соответствующих линейно-поляризованных колебаний. Функция рассогласования 2М-
элементной решетки зависит в данном случае как от угловых, так и от поляри-
поляризационных параметров. Если, как при выводе соотношения D.35), не учитывать
диаграммы направленности одиночного вибратора, то
p(ac,a) = pFc,0)p(ac,a),
где р@с, Э) определяется формулой D.36), а p(ac, a) — формулой D.40).
4.6. Согласованное и оптимальное разрешения сигналов
Различают согласованное и оптимальное (рассогласованное) разрешения
сигнала [31—35, 74]. Согласованное разрешение, как уже отмечалось в § 4.1,
реализуется при обработке, оптимизируемой для фона некоррелированной ста-
стационарной помехи с известными статистическими параметрами, а значит, без
учета каких-либо других сигналов, кроме ожидаемого. Повышение качества
разрешения при такой обработке обеспечивается лишь за счет выбора структу-
структуры сигнала (время-частотной, пространственно-поляризационной).
При воздействии интенсивных сигналов, являющихся по отношению к
более слабым мешающими, подобная оптимизация оказывается в ряде случаев
недостаточной. Для лучшего подавления мешающих сигналов приходится учи-
учитывать их особенности, а значит, переходить от согласованной обработки к оп-
8* 227

4. Разрешение сигналов
тимальной. Оптимальная (рассогласованная) обработка может быть неадаптив-
неадаптивной и адаптивной. Неадаптивная обработка ориентирована на заранее извест-
известную, типичную ситуацию. Адаптивная обработка заключается в приспособле-
приспособлении (адаптации) к не известной заранее, конкретной, ситуации.
Рассмотрим некоторые вопросы согласованного разрешения. Законо-
Закономерности оптимального {рассогласованного) разрешения изложены в гл. 7, а
также, например, в [32—36, 40, 74].
При синтезе устройств согласованного разрешения мешающие сигна-
сигналы не учитываются и не влияют на прохождение полезного сигнала через
линейный тракт обработки. Без дополнительного ослабления проходят через
него и мешающие сигналы со случайными комплексными амплитудами
где bi — случайные амплитудные множители, C, — случайные начальные
фазы. Мешающие сигналы воздействуют после прохождения через линей-
линейный тракт как нестационарная помеха. Отношение их среднеквадратичных
напряжений при настройке на полезный сигнал с учетом рассогласования (в
том числе по времени наблюдения в случае согласованной фильтрации) к
дисперсии стационарного шума при Ь2 = 1 определяется выражениями
%/Л,р(ас,а/), где h2=q2/2, q2 — параметры обнаружения мешающих
сигналов. Для гауссовских стационарного и нестационарного шумов сниже-
снижение значения параметра обнаружения q при воздействии мешающих сигна-
сигналов можно оценить выражением
'¦Ill-У
D.41)
где т — число мешающих сигналов. Сигнал с параметром обнаружения q
разрешается на фоне т мешающих сигналов, если этот параметр превосхо-
превосходит пороговое значение, выбранное для принятых показателей качества об-
обнаружения D, F.
При разрешении двух сигналов (т = 1) с достаточно большими и равны-
равными энергиями (ql = q2 - 2h2 » 1) имеем q2 « 2/р2 (a,,a0). Принимая (с уче-
учетом некогерентного накопления) пороговое значение q2 равным 8, приходим к
условию взаимного согласованного разрешения сигналов с одинаковой средней
энергией:
p = p(a1>a0)<0,5. D.42)
Это приводит к упоминавшимся ранее мерам разрешающей способно-
способности, определяемым протяженностями основных лепестков функций и тел
рассогласования когерентных сигналов на уровнях, близких к 0,5.
228

4.6. Согласованное и оптимальное разрешение сигналов
Таким образом, меры разрешающей способности характеризуют воз-
возможности согласованного разрешения по основным параметрам когерент-
когерентных сигналов: времени запаздывания, частоте, угловым координатам.
Мера разрешающей способности по времени запаздывания (дальности)
определяется величиной, обратной ширине спектра частот сигнала (импульса):
Ах = 1/Д/И, Дг = с/BД/И).
Мера разрешающей способности по частоте (радиальной скорости)
определяется величиной, обратной общей длительности сигнала (или интер-
интервалом когерентности принимаемого сигнала, если его протяженность мень-
меньше общей длительности сигнала):
AF = l/xc, Avr=X/B-cc).
Длительность тс сигналов выбираем следующим образом:
— для одиночного сигнала хс = хи;
— для когерентной пачки радиоимпульсов хс = МТП;
— для непрерывного сигнала тс = хког.
Мера угловой разрешающей способности в радианах определяется об-
обратной величиной от числа длин волн, содержащихся в проекции размера
антенны на плоскость, перпендикулярную направлению прихода сигнала:
cosG).
В случае единой приемопередающей антенны возможно улучшение
разрешающей способности примерно в V2 раз. Наряду с истинным раскры-
вом антенны при когерентной обработке может вводиться синтезированный
раскрыв [28, 35].
Заметим, что рассматриваемые количественные меры разрешающей
способности, определяемые шириной главного пика тела рассогласования
(неопределенности), характеризуют разрешающую способность только при
согласованной фильтрации сигналов, имеющих приблизительно равную ин-
интенсивность. Если же принимаемые сигналы существенно различаются по
интенсивности, то слабый сигнал может быть замаскирован боковыми лепе-
лепестками тела неопределенности сильного сигнала. Чтобы повысить разре-
разрешающую способность в данном случае, необходимо снижать уровень боко-
боковых лепестков. Для снижения уровня боковых лепестков по времени запаз-
запаздывания и доплеровской частоте применяют корректирующие (не
согласованные) фильтры, характеристики которых подбирают таким образом,
чтобы выходной сигнал имел требуемые лепестки (см. гл. 7, а также [8, 28, 33,
34]). Для снижения уровня боковых лепестков по угловым координатам
применяют специальные меры при конструировании антенных систем.
229

4. Разрешение сигналов
Контрольные вопросы
1. Что такое разрешающая способность?
2. Каким образом определяется разрешающая способность по дальности, по ради-
радиальной скорости, по угловым координатам?
3. Как определяется функция рассогласования?
4. При каких условиях возможно разделение пространственно-временной функ-
функции рассогласования на временную и угло-поляризационную (в частности, про-
пространственную)?
5. Поясните формулу для время-частотной функции рассогласования.
6. Поясните принцип неопределенности в радиолокации.
7. Что характеризует вертикальное сечение времячастотной функции рассогласо-
рассогласования плоскостью т = 0, плоскостью F - О?
8. Каким параметром радиолокационного сигнала определяется разрешающая
способность по времени запаздывания, по доплеровской частоте?
9. Изобразите сечения р(т, 0), р@, F) и горизонтальное сечение на уровне р(т, /0 = 0,5
тела неопределенности для прямоугольного радиоимпульса без внутри-
импульсной модуляции.
10. Изобразите сечения р(т, 0), р@, F) и горизонтальное сечение на уровне р(т, F) = 0,5
тела неопределенности когерентной пачки радиоимпульсов.
11. Изобразите сечения р(т, 0), р@, F) и горизонтальное сечение на уровне р(т, F) = 0,5
тела неопределенности ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей.
12. Поясните причину скоростной ошибки по дальности при использовании ЛЧМ
сигнала. Приведите возможные способы устранения скоростной ошибки при
измерении дальности.
13. Изобразите горизонтальное сечение на уровне р(т, F) ~ 0,5 тела неопределенно-
неопределенности шумоподобного сигнала.
14. Каким образом можно приблизить тело неопределенности радиолокационного
сигнала к идеализированному игольчатому?
15. Изобразите сечения р(т, 0), р@, F) и горизонтальное сечение на уровне р(т, F) = 0,5
тела неопределенности радиоимпульса с фазовой манипуляцией кодом Баркера.
Какой уровень боковых лепестков у таких сигналов по оси т, на плоскости т, F?
16. Какой уровень боковых лепестков имеет функция рассогласования импульсно-
импульсного сигнала с фазовой манипуляцией по закону М-последовательности по оси т?
17. Поясните, каким образом удается обеспечить нулевой уровень боковых лепест-
лепестков по оси т функции рассогласования непрерывного сигнала с фазовой мани-
манипуляцией по закону М-последовательности?
18. Изобразите угловую функцию рассогласования эквидистантной линейной ре-
решетки в дальней зоне.
19. Поясните, каким образом реализуется согласованное и рассогласованное раз-
разрешение радиолокационных сигналов?
230

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
Приведены обобщенные показатели качества оценивания. Рассмотрены об-
общие вопросы синтеза алгоритмов оценивания неслучайных и случайных па-
параметров сигналов при различных функциях потерь. Изложены основные
принципы построения следящих и неследящих измерителей дальности, ско-
скорости и угловых координат. Представлена методика определения потенци-
потенциальной точности измерения параметров сигналов, получены оценки потен-
потенциальной точности измерения запаздывания, доплеровского сдвига частоты
и угловых координат.
5.1. Общие сведения
Одной из основных задач теории оптимальных методов приема сигна-
сигналов является измерение (оценивание) параметров принимаемых сигналов,
характеризующих, например, пространственное положение объектов (даль-
(дальность, угловые координаты), направление их перемещения (проекции векто-
векторов скорости и ускорения на оси используемой системы координат) и др.
Эта задача формулируется в общем виде следующим образом. На интервале
времени (О, Т) наблюдается процесс \x{t), в общем случае векторный, представ-
представляющий аддитивную смесь сигнала s(/, X), отраженного от цели, и шума п(/):
и(/) = я(/Д) + п(/). E.1)
Параметры X сигнала (запаздывание, доплеровский сдвиг частоты и
т. д.), характеризующие цель, неизвестны. В результате измерения по при-
принятой реализации u(t) необходимо сформировать возможно более точные
оценки неизвестных параметров (дальности, радиальной скорости, угловых
координат и др.).
Процедура оценивания включает [37]:
— пространство оцениваемых параметров Л (элементы этого про-
пространства будем обозначать через к);
231

5. Основы теории измерения параметров сигналов
— пространство наблюдений U (точку в этом пространстве будем
обозначать вектором и);
— обусловленное влиянием шума и флуктуациями сигнала вероятно-
вероятностное отображение из пространства параметров в пространство наблюдений;
— собственно правило оценивания, являющееся отображением элементов
пространства наблюдений в элементы пространства параметров X = Х(и).
В зависимости от условий измерения оцениваемые параметры мо-
могут быть либо случайными величинами, описывающимися плотностями
вероятности, либо неизвестными неслучайными величинами. Если апри-
априорные данные отсутствуют, измеряемые параметры целесообразно счи-
считать неизвестными неслучайными величинами. При наличии априорных
данных, полученных, например, по результатам измерений в предыду-
предыдущих циклах обзора, оцениваемые параметры целесообразно считать слу-
случайными величинами. Заметим, что в процессе радиолокационного на-
наблюдения измеряемые параметры могут меняться. В этом случае мы при-
приходим к задаче оценивания параметров случайного процесса, которая
решается методами теории фильтрации.
Вследствие влияния шума и других факторов результат измерения па-
параметров практически всегда отличается от истинного их значения на вели-
величину, называемую ошибкой измерения. Если приняты меры для исключения
систематических ошибок, то ошибки измерения е = X - X,, где X — оцени-
оцениваемый вектор параметров, являются случайными, и их можно описывать
статистическими характеристиками. В частности, показателями качества
измерения одномерной случайной величины X могут являться математиче-
математическое ожидание, среднеквадратичная ошибка, вероятная (срединная) ошибка,
максимальная ошибка, дисперсия, средний риск.
По значению математического ожидания все оценки можно класси-
классифицировать на:
— несмещенные, для которых математическое ожидание равно ис-
истинным значениям параметров, т. е. М{Х(и)} = Х\
— имеющие известное смещение, т. е. М{Ци)} = X + Ъ, где b — извест-
известный вектор (систематическая ошибка b возникает, например, при задержке
сигнала в элементах приемного тракта, когда расстояние до цели измеряется по
времени запаздывания принимаемого сигнала относительно зондирующего);
— имеющие неизвестное смещение, зависящее от неизвестных пара-
параметров, т. е. М{?(и)} = X + Ъ(Х).
Для произвольного закона распределения w(e) случайных ошибок
дисперсия ошибки измерения определяется из соотношения
232

5.1. Общие сведения
&l = f e2w{e)de.
-оо
Вероятная ошибка соответствует такому значению с0 = евер, при котором
За максимальную ошибку обычно принимают такое значение s = emax,
вероятность превышения по модулю которого составляет 0,8 %.
В случае наиболее распространенного центрированного нормального
закона распределения случайных ошибок среднеквадратичная ошибка пол-
полностью характеризует вероятную и максимальную ошибки:
2 8
вер
Обобщенным показателем качества оценивания являются усреднен-
усредненные по всем значениям параметров X и возможным результатам наблюдения
и потери R (средний риск):
R = | JU(X, i(u))w(k, u)dMu. E.2)
ил
Здесь w(X, u) — совместная плотность вероятности оцениваемого парамет-
параметра к е Л и наблюдаемой величины и е TJ, П = П(Х, Х(и)) — функция по-
потерь. На практике наиболее широкое распространение получили функции
потерь П = П(е), зависящие только от ошибки оценивания е = к-к. Графи-
Графики некоторых типичных функций потерь для одномерного случая представ-
представлены на рис. 5.1. Из графика первой функции (см. рис. 5.1, а) видно, что по-
потери пропорциональны квадрату ошибки: П(е) = б2. Из графика второй
функции (см. рис. 5.1, б), следует, что потери увеличиваются пропорцио-
пропорционально абсолютной величине ошибки: П(е) = |е|. Функция потерь (см. рис.
5.1, в), принимает значения, равные 0 при |е| < А/2 и равные 1 при |е| > А/2.
Конкретный вид функции потерь определяется типом решаемой задачи. При
этом оптимальная процедура измерения должна обеспечивать минимум
средних потерь.
5.1.1. Измерение случайных параметров
Задача оценивания случайных параметров сигналов состоит в нахож-
нахождении процедуры (алгоритма) обработки результатов наблюдения ucU,
233

5. Основы теории измерения параметров сигналов
П(е)
П(е)А
П(8)|
О
Ое 0 е
а б в
Рис. 5.1. Типичные функции потерь:
а — квадратичная; 6 — линейная по модулю; в — ступенчатая
обеспечивающей минимальное значение средних потерь R, определяемых
выражением E.2).
Для функции потерь, представленной на рис. 5.1, а, выражение для
среднего риска имеет вид
,-X(u)Jw(X,u)dudX. E.3)
Совместную плотность вероятности, входящую в E.3), можно пред-
представить в виде
w(X, и) = u'(u
E.4)
Здесь w(u) — априорная плотность вероятности наблюдаемой величины,
w(A,|u) — апостериорная плотность вероятности оцениваемого параметра.
Подставляя соотношение E.4) в E.3), будем иметь
Rkb = jj(X-i(u)Jw(X\u)w(u)dldu.
E.5)
ил
Наименьшее значение потерь RKB можно получить, минимизируя
внутренний интеграл в выражении E.5). Поскольку сомножители подынте-
подынтегрального выражения неотрицательны, продифференцировав его по X и
приравняв результат нулю, получим
Хкв = \Xw(X\u)dX.
E.6)
Таким образом, при квадратичной функции потерь оптимальная оцен-
оценка, минимизирующая средний риск, должна быть получена как среднее зна-
значение апостериорной плотности вероятности оцениваемого параметра.
234

5.1. Общие сведения
Для функции, представленной на рис. 5.1, б (критерий минимума аб-
абсолютной величины ошибки), при измерении скалярного параметра средние
потери определяются формулой
~ ku)]w(X\u)w(u)dXdu. E.7)
Эти потери будут минимальны, когда внутренний интеграл минимален. Для
нахождения оценки, минимизирующей Яабс, разобьем внутренний интеграл
на два:
л(и) оо
/(u)= J (X(u)-X)w(X\u)dX + | (X-X(u))w(X\u)dX. E.8)
Дифференцируя /(u) no X и приравнивая результат нулю, получим
условие, которому должна удовлетворять оценка 1абс = А.(и), минимизи-
минимизирующая средний риск /?абС:
w(X\u)dX = J w(X\u)dX. E.9)
Таким образом, оценка по критерию минимальной величины ошибки
должна формироваться как абсцисса медианы апостериорной плотности ве-
вероятности.
Для ступенчатой функции потерь (рис. 5.1, в) имеем
RCT= Jw(u) 1- j w(X\u)dX
Ми)-Д/2
du. E.10)
Для минимизации потерь необходимо максимизировать внутренний
интеграл, или, что то же самое, минимизировать вероятность того, что |s| > А/2.
Очевидно, что для малых А наилучшей оценкой в этом случае будет то зна-
значение X е Л, при котором апостериорная плотность и'(Х|и) принимает мак-
максимальное значение. Поскольку логарифмическая функция монотонна, то
при условии, что измеряемые величины лежат внутри допустимой области
изменения параметров Л и функция lnw(X|u) имеет непрерывные первые
производные, необходимое условие максимума принимает вид
d\nw(X\u) _ E \\)
ал* х=\(и)
235

5. Основы теории измерения параметров сигналов
w(X\u)
w(u\X)
w(X)
Рис. 5.2. Типичные зависимости
априорной плотности вероятности
w(k), апостериорной плотности ве-
вероятности w(X\u) и функции прав-
правдоподобия w(u|?0 оцениваемого па-
параметра
Выражение E.11) называется
уравнением максимальной апостери-
апостериорной вероятности, оно часто исполь-
используется для синтеза алгоритмов оцени-
оценивания параметров сигналов в радиоло-
радиолокации. Применив формулу Байеса,
получим
In w(X|u) = In w(u\X) + In w(X) - In w(u).
E.12)
Тогда уравнение для макси-
максимальной апостериорной вероятности
можно записать в следующем виде:
dlnw(X\u)
dX
_ dlnw(u\X)
dX
d\nw(X)
= 0.
E.13)
Полученные соотношения для оценки скалярного параметра
иллюстрируются графиками, представленными на рис. 5.2, где изображены
зависимости априорной плотности вероятности w(X), апостериорной плот-
плотности вероятности w(Xju) и плотности вероятности w(u|X) (функции правдо-
правдоподобия) оцениваемого параметра. Пологий характер кривой w(X) характе-
характеризует весьма ограниченную априорную информацию об оцениваемом па-
параметре. Информация существенно уточняется после проведения
измерения, что отражается на графике w(u|^) — пик становится существен-
существенно уже. Отметим, что при полном отсутствии априорных данных (w(X) =
= const) график апостериорной плотности вероятности по форме совпадает с
графиком функции правдоподобия.
5.1.2. Измерение неслучайных параметров
Синтез алгоритмов оценивания неслучайных параметров осуществля-
осуществляется обычно на основе метода максимума правдоподобия. Напомним, что
плотность вероятности w(u|A,), рассматриваемая как функция от оценивае-
оцениваемого параметра X е Л, называется функцией правдоподобия. На практике
удобно использовать логарифм этой функции. Оценка A-mp(u) по максиму-
максимуму правдоподобия — это такое значение X е Л, при котором функция прав-
правдоподобия максимальна. Если точка максимума лежит внутри области из-
236

5.1. Общие сведения
менения X, а функция правдоподобия имеет непрерывную первую произ-
производную, то оценку по максимуму правдоподобия можно получить из урав-
уравнения правдоподобия
d\n
= 0. E.14)
Сравнивая соотношения E.14) и E.13), видим, что оценка по макси-
максимуму правдоподобия и оценка по максимуму апостериорной плотности ве-
вероятности совпадают, если априорные данные отсутствуют. Отметим, что
априорные данные об оцениваемых параметрах могут быть получены на
основе предыдущих измерений.
5.1.3. Особенности многократного измерения случайных параметров
Единичные оценки, приведенные выше, формируются обычно за вре-
время радиолокационного контакта с целью. В процессе наблюдения за целью
такие контакты и, следовательно, измерения могут повторяться и быть мно-
многократны. Таким образом, приходим к задаче синтеза алгоритмов обработки
информации при многократных измерениях.
Предположим, что по результатам п - 1 радиолокационного контакта
сформированы данные о параметрах цели, которые являются априорными
при обработке п-то измерения. Далее будем рассматривать только случай
регулярных измерений, для которых распределения оцениваемых парамет-
параметров являются нормальными, а уравнение для логарифма апостериорной
плотности вероятности имеет вид
\nw(V{u) = -±(X-ioyD-\X-iQ)-±(X-ijrD-\k-iu) + const, E.15)
где Хо — оценка, a Do — ковариационная матрица ошибок, сформирован-
сформированные по результатам предыдущих п - 1 измерений; Хи — оценка неизвест-
неизвестных параметров, полученная по текущему измерению; Du — ковариацион-
ковариационная матрица ошибок текущего измерения. При сделанных допущениях апо-
апостериорная плотность вероятности оцениваемых параметров является
нормальной, и логарифм ее можно представить в виде
In w(X\u) = --(X- ip)TD-\X - ?р) + const. E.16)
Здесь Хр, Dp — математическое ожидание и ковариационная матрица результи-
результирующего апостериорного распределения соответственно. Из формул E.15) и
237

5. Основы теории измерения параметров сигналов
E.16) можно получить соотношения, связывающие параметры априорного
A0, Do), текущего (iu, Du) и апостериорного (Хр, Dp) распределений:
D^D^+D;;1, E-17)
XpD^Do^o+D-1^. E.18)
Откуда получаем
Поскольку весовые коэффициенты, входящие в соотношение E.19), в
соответствии с формулой E.17) удовлетворяют условию
(Do'Dp +D-1Dp) = (D-1 +D-])Dp =1, E.20)
апостериорную оценку можно представить в виде суммы априорной оценки
и невязки с коэффициентом Вр:
хр = ?0 + d-'dp(xu - i0) = io + Bp(iu - i0). E.21)
В частности, при оценке скалярного параметра результирующая дис-
дисперсия оценки и собственно оценка определяются соотношениями:
E.22)
- E-23)
о?
Выражение E.23) показывает способ формирования апостериорной
оценки: к априорной оценке Хо, сформированной по предыдущим измерени-
измерениям, необходимо добавить невязку Хи - Хо с коэффициентом, зависящим от ре-
результирующей дисперсии и дисперсии текущего измерения. Соотношение
E.22) поясняет механизм повышения точности при многократных измерениях.
Следует отметить, что алгоритм формирования текущей отметки, описываемый
выражением E.23), по своей структуре близок к алгоритму фильтрации радио-
радиолокационных измерений, реализуемому в следящих измерителях [39].
5.2. Измерение параметров радиолокационных сигналов
Рассмотрим процедуру измерения параметров радиолокационного
сигнала. Она заключается в том, что по принятой реализации необходимо
сформировать функцию, пропорциональную апостериорной плотности ве-
238

5.2. Измерение параметров радиолокационных сигналов
роятности E.12) или монотонной функции от нее в заданном диапазоне из-
изменения параметров. Преобразуем выражение E.12), введя отношение
правдоподобия
где w(u|X,) — плотность вероятности реализаций и при наличии полезного
сигнала с параметром k, w(u) — плотность вероятности помехи. Подставляя
соотношение E.24) в E.12), получим
lnw(k|u) = In I(k) + In w(k), E.25)
откуда следует, что устройство, предназначенное для измерения параметров
радиолокационных сигналов, по принятой реализации должно формировать
функцию, пропорциональную логарифму отношения правдоподобия, т. е.
выполнять такие же операции, что и при обнаружении сигнала. Можно по-
показать, что для сигнала со случайной начальной фазой логарифм отношения
правдоподобия имеет вид [35]
\nl(k)*Z(k)-q2/2, E.26)
а для сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
E.27)
f ?f ]
4A + q212) { 2)
Здесь Z(k) — модуль комплексного корреляционного интеграла
E-28)
q2 = 2E/Nq — параметр обнаружения.
Таким образом радиолокационный измеритель должен вычислять ли-
либо Z(k), либо Z(kJ в ожидаемом диапазоне изменения к.
Отметим, что все измерители можно разделить на две большие груп-
группы: следящие и несл едящие. Несл едящие измерители обычно формируют
сигнал, пропорциональный апостериорной плотности вероятности, во всем
диапазоне возможных значений измеряемых параметров. Такой подход оп-
оправдан, если отсутствует априорная информация о параметрах сигнала. При
наличии априорной информации можно ограничиться анализом области, в
которую измеряемый параметр попадает с вероятностью, близкой к едини-
239

5. Основы теории измерения параметров сигналов
це, и корректировать положение этой области (следить за ней). На этом ос-
основана работа следящих измерителей. Далее рассмотрим основные струк-
структурные схемы измерителей, а также качество получаемых оценок.
5.2.1. Неследящие измерители дальности
Рассмотрим задачу измерения дальности г до цели при известных (фик-
(фиксированных) остальных ее координатах. Оценку дальности г определяют
через оценку т3 времени запаздывания отраженного сигнала относительно
зондирующего:
E.29)
с А
г = — х,
2 3
При измерении запаздывания необходимо по принятой реализации
формировать статистику Z(x) либо Z(xJ для всей области возможных зна-
значений запаздывания: xmin < т < хтах, где xmin, xmax — минимальное и макси-
максимальное время запаздывания сигнала цели. За оценку времени запаздывания
следует принимать то значение х, при котором статистика Z(x) или Z(x)
принимает максимальное значение.
Вычисление корреляционного интеграла z(x) в неследящих измерите-
измерителях может производиться фильтровыми, корреляционными и корреляцион-
корреляционно-фильтровыми устройствами.
Обобщенная схема неследящего фильтрового измерителя времени за-
запаздывания приведена на рис. 5.3, а. Это устройство одноканальное, вклю-
включает согласованный фильтр, детектор и решающее устройство, предназна-
предназначенное для нахождения аргумента, соответствующего максимуму Z(x). На
рис. 5.3, б представлены также временные диаграммы напряжения на выходе
Согласованный
фильтр
Детектор
Решающее
устройство
Рис. 5.3. Структурная схема неследящего фильтрового измерителя даль-
дальности (а) и временные диаграммы напряжения на выходе детектора (б)
240

*'('. W
*•(',*„
РУ
Генератор опорных
напряжений
Рис.5.4. Структурная схема корреляци-
корреляционного измерителя дальности
5.2. Измерение параметров радиолокационных сигналов
детектора Z(x) при отсутствии
(штриховая линия) и наличии
(сплошная линия) шума. Выделен
момент времени х3, соответствую-
соответствующий максимуму выходного сиг-
сигнала, фиксируемый с помощью ре-
решающего устройства. К смещению
максимума, т. е. к ошибке измере-
измерения, приводит наличие шума.
Вычисление корреляционно-
корреляционного интеграла корреляционными или
корреляционно-фильтровыми уст-
устройствами влечет необходимость
применения многоканальных изме-
измерителей. На рис. 5.4 представлена структурная схема корреляционного изме-
измерителя, который содержит набор каналов, настроенных на различные вре-
времена запаздывания с шагом Ах. По сигналу мсч решающее устройство осу-
осуществляет выбор канала с максимальным выходным напряжением. Инфор-
Информация о времени запаздывания принимаемого сигнала заложена в номере
этого канала. Среднеквадратическая ошибка измерения запаздывания опре-
определяется, в основном, шумами приемного устройства и шагом Ах. Для реа-
реализации точности измерения, близкой к потенциальной, шаг Ах должен быть
как минимум в 3—5 раз меньше разрешающей способности РЛС по дально-
дальности. При таком выборе шага отраженный от цели сигнал присутствует в не-
нескольких соседних каналах. Это дает возможность дополнительно повысить
точность измерений, для чего необходимо осуществлять параболическую
аппроксимацию выходных данных в окрестности максимума, используя ин-
информацию об амплитуде сигналов в соседних каналах, а за оценку времени за-
запаздывания принимать координату вершины аппроксимирующей функции.
5.2.2. Неследящие измерители скорости
Радиальную скорость цели обычно оценивают по результатам измере-
измерения доплеровского сдвига частоты /д отраженного сигнала. Для получения
оценки /д необходимо по принятой реализации вычислить модуль (либо
квадрат модуля) комплексного корреляционного интеграла как функцию
доплеровской частоты и найти аргумент (частоту), соответствующий макси-
максимуму этого модуля. В общем случае неследящий измеритель скорости со-
состоит из к каналов, каждый из которых содержит согласованный фильтр
241

5. Основы теории измерения параметров сигналов
(СФ), настроенный на соответствующее значение доплеровского сдвига час-
частоты, и амплитудный детектор. По номеру канала, на выходе которого ам-
амплитуда сигнала максимальна, оценивают доплеровскую частоту. При этом
расстройка соседних частотных каналов должна быть как минимум в 3—5
раз меньше разрешающей способности измерителя по частоте. Для реализа-
реализации точности измерения, близкой к потенциальной, по соседним отсчетам в
окрестности максимума следует осуществлять параболическую аппроксима-
аппроксимацию выходных данных, а за оценку доплеровского сдвига частоты принимать
соответствующую координату вершины аппроксимирующей функции.
5.2.3. Совместное измерение запаздывания
и доплеровского сдвига частоты
Устройство, предназначенное для совместного измерения запаздыва-
запаздывания и доплеровского сдвига частоты, должно формировать функцию прав-
правдоподобия (или логарифм от нее) в интересующем нас диапазоне изменения
оцениваемых параметров, а в качестве оценки принимать те значения, при
которых эта функция имеет максимум. На рис. 5.5, а представлен пример
обобщенной структурной схемы такого устройства. Оно состоит из к кана-
каналов, перекрывающих весь ожидаемый частотный диапазон доплеровского
сдвига частоты сигнала цели. Каждый канал настроен на определенную час-
частоту, обеспечивает согласованную обработку сигнала с фиксированным до-
плеровским сдвигом и включает согласованный фильтр и детектор огибаю-
огибающей. На выходе каждого канала (см. рис. 5.5, б) формируется функция прав-
правдоподобия по задержке для фиксированной частоты. Сигнал на выходе
всего устройства воспроизводит функцию правдоподобия в координатах
«запаздывание—доплеровский сдвиг частоты» в заданной области измене-
изменения параметров т, F. Поскольку исходный процесс — сумма полезного сиг-
сигнала и шума, выходной сигнал содержит три компонента. Первый компо-
компонент соответствует сигнальной составляющей. Его амплитуда зависит от
мощности принимаемого сигнала, форма определяется функцией рассогла-
рассогласования, а координаты т, F максимума соответствуют параметрам сигнала,
отраженного от цели. Второй и третий компоненты обусловлены шумом и
взаимодействием сигнала и шума при обработке. Они являются случайными,
приводят к смещению максимума и, следовательно, к ошибкам измерения.
Если бы функция рассогласования сигнала имела один очень узкий
центральный пик (см. рис. 4.10) и амплитуда сигнальной составляющей су-
существенно превышала шумовую, то шум практически не влиял бы на поло-
положение максимума и, следовательно, не приводил бы к ошибкам измерения.
Возможным приближением к такой функции может рассматриваться функ-
функция рассогласования сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса
242

5.2. Измерение параметров радиолокационных сигналов
и (О
Согласованный
фильтр /j
Согласованный
фильтр /2
Согласованный
фильтр //
Согласованный
фильтр fa
Амплитудный
детектор
Амплитудный
детектор
i ¦
i
Амплитудный
детектор
Амплитудный
детектор
Доплеровский сдвиг частоты сигнала
соответствует частоте настройки
согласованного фильтра
Задержка
сигнала
UBhiXk(t)'1 k-й канал
Рис. 5.5. Обобщенная структурная схема измерителя запаздывания и доп-
леровского сдвига частоты (а) и эпюры сигналов на выходах каналов (б)
длительностью ти. Она имеет единственный пик, ширина которого по оси т
прямо пропорциональна, а по оси F — обратно пропорциональна длитель-
243

5. Основы теории измерения параметров сигналов
ности импульса. Поскольку протяженность пика конечна, шум приводит к
смещению максимума функции, т. е. к ошибкам измерения. При регулярных
измерениях ошибки лежат в окрестности главного максимума, определяе-
определяемой параметрами импульса. Уменьшение, например, длительности импуль-
импульса приводит к уменьшению ширины пика функции рассогласования по оси х.
При этом точность измерения времени запаздывания возрастает. Однако
возрастают ошибки измерения частоты, поскольку ширина пика функции
рассогласования по оси F увеличивается. Таким образом, варьируя един-
единственным параметром — длительностью импульса, можно влиять на
ошибки измерения дальности (скорости), однако уменьшение ошибок
измерения по одной координате приводит к увеличению ошибок измере-
измерения по другой.
Если требуется одновременно уменьшать ошибки измерения и даль-
дальности, и скорости, необходимо переходить к сложным сигналам, например
когерентным импульсным последовательностям. Анализ функции рассогла-
рассогласования сигнала данного типа (см. рис. 4.5) показывает, что ширину главно-
главного пика по оси частот, а следовательно, и ошибки измерения частоты, можно
уменьшить, увеличив длительность последовательности. Укорачивая им-
импульсы, можно уменьшить ширину главного пика по оси времени. Таким
образом, увеличивая длительность последовательности и ширину спектра
импульсов, можно уменьшать площадь области высокой корреляции функ-
функции рассогласования сигнала в окрестности максимума, что дает возмож-
возможность одновременно повысить точность измерения и времени запаздывания,
и доплеровского сдвига частоты. Однако платой за это является появление
побочных пиков функции рассогласования, что может приводить к грубым
ошибкам измерений.
Рассмотрим гауссовский импульс с внутриимпульсной линейной частот-
частотной модуляцией (ЛЧМ). Смещения максимума выходного сигнала, обуслов-
обусловленные шумами, при регулярных измерениях лежат в области высокой корре-
корреляции функции рассогласования. Анализ свойств функции рассогласования
этого сигнала, проведенный в гл. 4, показывает, что увеличение хи и А/с при-
приводит к уменьшению ширины сечения области высокой корреляции по осям
х, F одновременно. Однако частотная модуляция изменяет область высо-
высокой корреляции функции рассогласования сигнала. При этом протяжен-
протяженность проекции области высокой корреляции на ось х остается фиксиро-
фиксированной (см. рис. 4.8), поэтому точность измерения запаздывания не изме-
изменяется. Протяженность проекции области высокой корреляции на ось F
увеличивается. Это при определенных условиях может привести к ухуд-
ухудшению точности измерения частоты.
Более подробно влияние параметров сигналов на точность измерения
координат цели рассмотрим в § 5.5.
244

5.3. Следящие измерители дальности и доплеровского сдвига частоты
5.3. Следящие измерители дальности
и доплеровского сдвига частоты
В процессе радиолокационного наблюдения координаты целей изме-
изменяются. В качестве примера на рис. 5.6 представлены полученные экспери-
экспериментально результаты изменения доплеровского сдвига частоты сигналов,
отраженных от групповой воздушной цели, состоящей из четырех летатель-
летательных аппаратов, при длительном времени наблюдения [42]. По оси абсцисс
отложено время (с), по оси ординат — значение доплеровского сдвига час-
частоты отраженного сигнала (Гц). Видно, что доплеровский сдвиг частоты в
процессе наблюдения весьма сильно меняется, что вызвано изменением ра-
ракурса, атмосферными флуктуациями, маневрированием и т. д. Таким обра-
образом, измеряемые параметры являются функциями времени. Радиолокацион-
Радиолокационный измеритель должен формировать оценки с учетом данных, полученных
ранее. Такая информация позволяет анализировать не весь диапазон воз-
возможного изменения параметров, а только часть его, вероятность нахожде-
нахождения полезного сигнала в котором близка к единице, и оценивать не изме-
измеряемый параметр, а отклонение его от прогнозируемого значения (невязку),
уточняя последнее по результатам измерения. Такая процедура реализуется
в следящих измерителях.
Обобщенная структурная схема следящего измерителя представлена
на рис. 5.7. Измеритель включает в себя фильтр-экстраполятор, вырабаты-
i i i i i
/, 2, 3, 4 - Н омера
летательных аппаратов
11000
Рис. 5.6. Изменения доплеровского сдвига частоты сигналов, отражен-
отраженных от воздушных целей
245

5. Основы теории измерения параметров сигналов
Дискриминатор
f
л, — Хо
Фильтр-
экстраполятор
и{1, X)
Рис. 5.7. Обобщенная структурная схема следящего измерителя
вающий опорное напряжение, соответствующее прогнозируемому значению
(априорной оценке А,о) измеряемого параметра, и дискриминатор. В дис-
дискриминаторе формируется максимально правдоподобная оценка рассогла-
рассогласования между текущим и опорным значениями измеряемого параметра
(оценка невязки). Для нахождения операций, выполняемых в дискримина-
дискриминаторе, разложим в ряд логарифм отношения правдоподобия в окрестности
опорной точки Я,о, ограничившись второй степенью [43]:
1(Х0) + Г(Х0)(Х -Хо) + 1"(Х0)(Х - Х0J/2. E.30)
Приравняв нулю первую производную функции 1(Х):
Х0)^-К) = ^ E-31)
получим выражение для оптимальной оценки измеряемого параметра:
X = Хо -Г(Х0)/Г(Х0) = К+ Ах,
где Ax=-l'(XQ)/r(X0) = -Z'(X0)/ZH(X0) — оценка малого отклонения па-
параметра, формируемая в дискриминаторе. Оценка E.32) определяется из
условия обращения в нуль первой производной логарифма отношения прав-
правдоподобия. Однако дискриминатор удобнее строить так, чтобы его выход-
выходная функция обращалась в нуль в опорной точке Хо, которая становится
точкой настройки дискриминатора. Формально это можно обеспечить, по-
поменяв местами X и Хо в разности X - Хо и изменив знак первой производ-
производной. Тогда формируемую оптимальным дискриминатором оценку малого
отклонения параметра можно представить формулой
AX=Z'(X)/Z\X). E.33)
Выражение E.33) определяет структуру оптимального дискриминато-
дискриминатора: в нем должны формироваться первая и вторая производные Z(X) в опор-
опорной точке, а затем вычисляться их отношение. При этом обеспечиваются:
нечетная симметрия и линейность дискриминационной характеристики (ко-
(которая является зависимостью выходного напряжения дискриминатора Umc
от отклонения параметра) при малых рассогласованиях и независимость вы-
выходного напряжения дискриминатора от амплитуды принимаемого сигнала.
246

i
/I
/I
/1
у i
\
A
\\
»\
\\
0
Z'{X-XQ)
NIX
Z"(X-Xoy
5.5. Следящие измерители дальности и доплеровского сдвига частоты
Пример дискриминационной харак-
характеристики представлен на рис. 5.8, г.
Участок ДА,, в пределах которого дис-
дискриминационная характеристика ли-
линейна, называется рабочим. На том
же рисунке приведены графики, ил-
иллюстрирующие изменения модуля
корреляционного интеграла и его
первой и второй производных от от-
отклонения параметров. При большом
отношении сигнал—шум зависимость
модульного значения корреляционно-
корреляционного интеграла от параметра рассогла-
рассогласования Х-Хо можно аппроксими-
аппроксимировать квадратичной функцией (рис.
5.8, а), первой производной — ли-
линейной функцией (рис. 5.8, б), а вто-
второй производной — постоянным зна-
значением (рис. 5.8, в). Поскольку ам-
амплитуда сигнала входит как множи-
множитель в функции Z\X) и Z"(k), отно-
отношение Z\X)IZ"{X) на рабочем уча-
участке от нее не зависит.
Учитывая, что корреляцион-
корреляционный интеграл и его вторая произ-
производная меняются примерно одина-
одинаково, хотя и имеют противополож-
противоположные знаки, можно упростить
дискриминатор, заменив отношение
Z'iX)IZn{X) на -Z\X)IZ{X). Моди-
X-Xo
X-Xq
Х-Хо
Рис. 5.8. Дискриминационная характе-
характеристика и ее формирование:
а — изменение модуля корреляционного
интеграла Z(k - Хо); б — первая производ-
производная Z'(X - Хо); в — вторая производная
Z"(X - Хо); г — дисперсионная характерис-
характеристика
фицированный дискриминатор содержит два канала обработки входного
сигнала: измерительный и опорный. В измерительном канале формируется
нечетная функция рассогласования. Сигнал опорного канала используется
для нормировки. Довольно часто вычисление корреляционного интеграла и
нормировка (с помощью автоматической регулировки усиления) могут вы-
выполняться в общем тракте приемника. Также приближенно может вычис-
вычисляться производная корреляционного интеграла. В основе приближенного
вычисления лежит замена производной алгебраической разностью корреля-
корреляционных интегралов, вычисленных для близких параметров рассогласова-
рассогласования. Примеры таких дискриминаторов приведены ниже.
247

5. Основы теории измерения параметров сигналов
Временные дискриминаторы. Рассмотрим примеры реализации вре-
временных дискриминаторов при обработке сигнала на фоне белого шума.
При реализации временного дискриминатора с линейным амплитуд-
амплитудным детектором операцию дифференцирования dZ(x)/dx можно заменить
(с точностью до константы) вычислением конечной разности:
dZ{x)ldx\^*Z(xz+Axl2)-Z(x2-Axl2). E.34)
Сигнал рассогласования U = U{A), пропорциональный производной
корреляционного интеграла, можно получить на выходе устройства, схема
которого представлена на рис. 5.9. Здесь генератор опорного напряжения
формирует апробирующий импульс
UCTp(t) ~ Ux(t -(х3 + Ат/2)) -U2(t -(х3 -Ax/2)), E.35)
где
О для остальных t,
состоящий из двух полустробов (рис. 5.10, б): Ux = Ux(x3 + Ax/2) и
U2 = -и}(х3 - Ах/2). Положение середины стробирующего импульса на оси
времени соответствует точке априорной оценки времени запаздывания х3 и
определяется напряжением, поступающим на управляющий вход генерато-
генератора. На первый вход перемножителя поступает сигнал С/ад с выхода приемника, а
на второй — стробирующий импульс. При обработке прямоугольного импуль-
импульса форма сигнала на выходе детектора показана рис. 5.10, а. В перемножителе
формируются сигналы, пропорциональные площадям перекрытия импульса ?/ад
со стробами, т.-е. пропорциональные произведениям UaaUl(x3 + Ах/2) и
Согласованный ' i n ! ^ад
фильтр ГЧ Детект°Р
— — _______! l
X
и.
стр
Jin
Интегратор
ЩА)
устр
Генератор
опорного
напряжения
Рис. 5.9. Обобщенная структурная схема временного дискриминатора
248

5.3. Следящие измерители дальности и доплеровского сдвига частоты
Стробирующее напряжение
Сигнал на выходе перемножителя
Рис. 5.10. Диаграммы, поясняющие работу временного дискриминатора:
а — сигнал на выходе детектора; б — стробирующее напряжение; в — сигнал
на выходе перемножителя; г — сигнал на выходе интегратора
](т3 - Ат/2) (рис. 5.10, в). Выходное напряжение интегратора
E.36)
пропорционально разности площадей перекрытия указанных импульсов.
Оно характеризует величину и знак ошибки совмещения середины строба с
полезным сигналом (рис. 5.10, г).
Во временных дискриминаторах с фазовым детектированием выход-
выходной сигнал пропорционален [39]
dz{x) .,_
d%
E.37)
При практической реализации операция дифференцирования заменяет-
заменяется вычислением конечной разности (с точностью до константы):
E-38)
249

5. Основы теории измерения параметров сигналов
Генератор опорных
напряжений
Рис. 5.11. Структурная схема временного дис-
дискриминатора с фазовым детектированием
Схема одного из воз-
возможных вариантов построе-
построения такого временного дис-
дискриминатора представлена на
рис. 5.11. В дискриминаторе
осуществляется корреляцион-
корреляционно-фильтровая обработка
принимаемого (например, фа-
зоманипулированного) сигна-
сигнала. Генератор опорных на-
напряжений вырабатывает на-
напряжения с комплексными
амплитудами s*(t,x3), s* (t, т3 +Ат/2) (опережающее) и s* (t, т3 - Ат/2)
(отстающее). При совпадении по времени принимаемого сигнала s(t) во
входной реализации u(t) = s(t) + n(t), где n{t) — шум, и опорного сигнала
s(t, т3) осуществляется полная фазовая демодуляция. После фильтрации это
напряжение используется как опорное в выходном перемножителе.
Частотные дискриминаторы. Существует несколько разновидностей
дискриминаторов, использующихся в системах слежения за частотой при-
принимаемого сигнала.
В частотных дискриминаторах с амплитудным детектированием, схе-
схема которого приведена на рис. 5.12, вычисляется конечная разность вида
A*Z(FJl+AF/2)-Z(FJl-AF/2).
E.39)
* А
Здесь Z(^+AF/2), Z(F^~ AF 12) — выходные сигналы каналов,
расстроенных по частоте на AF. Управляемый гетеродин вырабатывает коле-
Управляемый
гетеродин
и (О
СМ
Детектор
ПФ2
Детектор
Z{F% +AF/2)
Рис. 5.12. Структурная схема частотного дискриминатора с амплитуд-
амплитудным детектированием
250

5.5. Следящие измерители дальности и доплеровского сдвига частоты
U
LI
i
F%~AF/2 Fx + AF/2- F
а б
Рис. 5.13. Сигналы на выходе каналов частотного дискриминатора с
амплитудным детектированием:
а — при FR = Ря; б — при Ffl < Ffl
бание, частота которого определяется напряжением, пропорциональным
ожидаемому доплеровскому сдвигу частоты сигнала Рд. Принимаемое ко-
колебание преобразуется в смесителе на промежуточную частоту. Преобразован-
Преобразованное (демодулированное) колебание поступает на два канала обработки, в кото-
которых полосовые фильтры ПФ! и ПФ2 расстроены по частоте. В каналах осуще-
осуществляется вычисление модулей Z(FR+ AF /2) и Z(FR - AF/2). Разность
напряжений на выходе детекторов (сигнал ошибки) будет пропорциональна
разности априорной и текущей оценок доплеровской частоты. На рис. 5.13
представлены амплитудно-частотные характеристики K{(F) и K2(F) фильтров, а
также спектр G(F) сигнала на выходе смесителя. Напряжение на выходе детек-
детектора каждого канала определяется степенью перекрытия амплитудно-
частотного спектра сигнала и амплитудно-частотной характеристики соответ-
соответствующего фильтра. Если частота сигнала совпадает с F^, то амплитуды сиг-
сигналов на выходах фильтров в среднем одинаковы (рис. 5.13, а). Если частота
сигнала уменьшается, то амплитуда сигнала на выходе первого фильтра (с ам-
амплитудно-частотной характеристикой K\(F)) возрастает (рис. 5.13, б), а на вы-
выходе второго фильтра (с амплитудно-частотной характеристикой K2(F))
уменьшается. Если частота сигнала увеличивается, то картина меняется на об-
обратную.
При построении частотных дискриминаторов с фазовым детектирова-
детектированием используют соотношение
251

5. Основы теории измерения параметров сигналов
(О.
Управляемый
генератор
их
Ki(FR+AF/2)
Фильтр
Рис. 5.14. Структурная схема частотного дискриминатора с фазовым
детектированием
A,=Re
при
= Fj{, или его представление в виде
E.40)
E.41)
На рис. 5.14 представлен вариант построения схемы частотного дис-
дискриминатора с фазовым детектированием, формирующего выходной сигнал
в соответствии с формулой E.41). На фазовый детектор поступают напря-
напряжения двух фильтровых каналов. Параметры первого канала, включающего
фильтр K\(F), согласованы со спектром сигнала. На его выходе формируется
величина, пропорциональная z (F%). Сигнал на выходе второго канала, вклю-
включающего фильтры, настроенные на частоты /д + AF/2 и /*д - NF/2 и уст-
устройство вычитания, пропорционален разности г(/д + AF / 2) - 2(^д + AF / 2).
После перемножения сигналов в фазовом детекторе и фильтрации формируется
сигнал ошибки.
5.4. Измерение угловых координат
Измерение угловых координат основано на определении положения вол-
волнового фронта отраженной от цели электромагнитной волны относительно
приемной апертуры. Процесс измерения угловых координат часто называют
пеленгацией, а соответствующие измерители — пеленгаторами. Последние мо-
могут содержать один или несколько приемных каналов. Соответственно, методы
пеленгации подразделяются на одноканальные и многоканальные.
252

5.4. Измерение угловых координат
5.4.1. Многоканальные измерители угловых координат
В общем случае сигнал s(/, X), отраженный от цели, принимается ан-
антенной решеткой, состоящей из iV элементов. На рис. 5.15 обозначено: г0 —
единичный вектор, характеризующий направление прихода электромагнит-
электромагнитной волны; г, — вектор, определяющий положение /-го элемента антенной
решетки; г— единичный вектор, характеризующий положение основного
лепестка диаграммы направленности антенны в пространстве.
Предположим также, что сигнал является узкополосным, т. е. интер-
интервал корреляции комплексной огибающей сигнала (для сигналов без внутри-
импульсной модуляции — длительность импульса) существенно превышает
временной интервал между моментами прихода сигнала в наиболее разне-
разнесенные точки апертуры антенны. Это допущение позволяет разделить про-
пространственно-временную обработку на пространственную и временную и
далее рассматривать только пространственную обработку.
Сигнал на выходе элементов антенны запишем в виде JV-мерного век-
вектора U(/) с компонентами
—1
с J
1/@,
0^i<N-\,
E.42)
где ni @ — компонента аддитивного шума, г,т0 — скалярное произведение
векторов, с = 3 • 108 м/с. В случае линейной эквидистантной антенной ре-
решетки 1I*0 = (/ — 1)<з? sin 0О, где 80 — угол между направлением распростра-
распространения сигнала и нормалью к антенной решетки; d — расстояние между ан-
антенными элементами, / — порядковый номер антенного элемента. Введем
вектор-столбец А, называемый опорным вектором и характеризующий ори-
ориентацию основного лепестка диаграммы направленности антенны, элементы
которого имеют вид
E.43)
где Ь\ — элемент вектора весовых
коэффициентов.
Формирование результирую-
результирующего сигнала происходит путем
суммирования выходных сигналов
элементов антенной решетки с ве-
весами hi и задержками г, г/с:
Рис. 5.15. Плоская антенная решетка
253

5. Основы теории измерения параметров сигналов
где ()*т — операции сопряжения и транспонирования. Если задержка сиг-
сигнала в каждом антенном элементе равна г,т/с, то основной лепесток диа-
диаграммы направленности антенны будет ориентирован по вектору г.
Фазированная антенная решетка позволяет сформировать несколько
лучей, что дает возможность перейти к параллельным методам обзора про-
пространства и измерять угловые координаты. При формировании т лучей ал-
алгоритм вычисления может быть записан в матричной форме:
= AU,
E.44)
где Y — вектор выходных сигналов, соответствующий т лучам:
Y* =(УьУъ • --,Ут), А — матрица преобразования размерности Nxm.
Один из возможных вариантов схемы многоканального измерителя
угловой координаты представлен на рис. 5.16. Измеритель включает диа-
граммообразующую схему (ДОС), имеющую т выходов. Выходные сигна-
сигналы ДОС образуются суммированием сигналов элементов антенной решетки
в соответствии с соотношением E.44), что обеспечивает формирование т
диаграмм направленности. Выходные сигналы ДОС поступают на входы
каналов временной обработки, каждый из которых включает согласованный
фильтр (СФ) и детектор. Определяя максимум выходного напряжения, по
номеру канала и запаздыванию сигнала формируют оценки угловой коорди-
координаты и дальности соответственно.
Отметим, что соотношение E.44) идентично записанному в матрич-
матричной форме выражению для анализа спектральных компонент в наблюдаемой
реализации U. В то же время нелинейная обработка сигналов позволяет по-
получить спектральные оценки, обладающие повышенным разрешением (по
сравнению с оценками, получаемыми на основе преобразования Фурье).
Аналогично, нелинейная обработка сигналов, снимаемых с выходов элемен-
элементов антенной решетки, дает возможность сформировать оценки угловых ко-
координат с повышенной разрешающей способностью [45].
254
N
дос
i Г
1
2 Г
i
СФ
—
Детектор
...
т Г
i
i
\т
i
Блок
принятия
решений
Рис. 5.16. Схема многоканального измерителя угловых координат

5.4. Измерение угловых координат
5.4.2. Одноканальные измерители угловых координат
Широкое практическое применение они нашли, в частности, в радио-
радиолокаторах с зеркальными антеннами. В них конструктивно жестко опреде-
определено ожидаемое направление прихода отраженного сигнала. Как правило,
оно совпадает с перпендикуляром к плоскости раскрыва антенны. Измене-
Изменение положения антенны, осуществляемое, в основном, механически, позво-
позволяет оценить, насколько ожидаемое направление совпадает с направлением
на цель, и измерить ее координаты.
Предположим, что РЛС измеряет угловые координаты цели в режиме
обзора, причем в этом режиме луч антенны равномерно перемещается по
угловым направлениям в зоне ответственности. Отраженный от цели сигнал
(при импульсном методе локации) представляет пачку импульсов (рис. 5.17, а),
огибающая U(t) которой определяется формой диаграммы направленности
антенны, а длительность — временем Тоъл облучения цели. Максимум оги-
огибающей будет наблюдаться в тот момент времени, когда антенна направле-
направлена на цель. Таким образом, полагая, что угловая скорость вращения антенны
-'дет
—»>
г
«—
••обл
ч
1
U(t)
t
и (О
СФ
—*
д
U,
[пор
От датчика
углового положения
_J
Схема
фиксации
нуля
Формирователь
кода угла
Рис. 5.17. Сигнал на выходе детектора (а) и структурная схема измери-
измерителя угловых координат (б)
255

5. Основы теории измерения параметров сигналов
постоянна, и фиксируя момент времени, когда огибающая пачки достигает
максимума (в этой точке выполняется условие dU(i)ldt = 0), можно опреде-
определить угловую координату цели. Упрощенная структурная схема такого из-
измерителя угловой координаты представлена на рис. 5.17, б [43]. С выхода
приемника на вход измерителя поступают импульсы, прошедшие согласо-
согласованную обработку, которые запоминаются в регистре (линии задержки (ЛЗ))
на временном интервале, равном длительности пачки. Оценка производной
обеспечивается суммированием отсчетов, снимаемых с выходов регистра,
со специально подобранными весовыми коэффициентами bt, пропорцио-
пропорциональными производной огибающей. Момент времени, для которого произ-
производная огибающей равна нулю, определяется схемой фиксации. Чтобы ис-
исключить отсчет угловой координаты по шумовой выборке, угловая ин-
информация считывается только при наличии полезного сигнала. Решение о
его наличии принимается в обнаружителе, где осуществляется накопление
отсчетов с весовыми коэффициентами а\, пропорциональными огибающей
пачки, и сравнение накопленного сигнала с пороговым значением.
Ранее предполагалось, что сканирование пространства по угловым ко-
координатам осуществлялось путем механического изменения ориентации оси
антенны. В РЛС с щелевыми антенными решетками можно организовать
электронное сканирование путем изменения частоты (длины волны) несу-
несущего колебания, поскольку в соответствии с формулой E.43) изменение
частоты приводит к изменению положения основного лепестка диаграммы
направленности. При изменении частоты по пилообразному закону с девиа-
девиацией AFM и периодом модуляции Тм, равном времени осмотра заданного уг-
углового сектора 9С, положение основного лепестка диаграммы направленно-
направленности антенны определяется текущей частотой /(/) излучаемого сигнала. Та-
Таким образом, на интервале времени, равном периоду модуляции, несущую
частоту сигнала можно записать следующим образом:
/(') = /„+&, 0<t<TM, E.45)
где /н — значение частоты, соответствующее начальному положению луча
антенны; А: — коэффициент пропорциональности: к = Д/н /Гм.
Отраженный от цели сигнал представляет собой радиоимпульс дли-
длительностью
(?) E.46)
с девиацией частоты AFH = AFM—, средняя частота/; которого зависит от
угловой координаты 9Ц:
256

5.4. Измерение угловых координат
= Л + ^Л' E-47)
Ус
Здесь 9а — ширина луча диаграммы направленности антенны.
Таким образом, в случае частотного сканирования измерение угловой
координаты может быть сведено к измерению средней частоты сигнала.
Схема такого измерителя включает набор фильтров, согласованных с им-
импульсами длительности хи и девиацией частоты AFH, отличающимися
средними частотами. Номер фильтра с максимальной амплитудой выходно-
выходного напряжения несет информацию об угловой координате цели.
5.4.3. Дискриминаторные методы измерения угловых координат
Простейшим дискриминаторным методом измерения углового рассо-
рассогласования является коническое сканирование. Метод предполагает исполь-
использование антенн с характеристикой направленности, имеющей круговую
симметрию. При вращении облучателя, смещенного из фокуса антенны
(рис. 5.18, а), обеспечивается вращение (сканирование) диаграммы направ-
направленности антенны по конической образующей с частотой QCK. Текущее уг-
угловое положение антенны определяется фазой управляющего сигнала, сни-
снимаемого с генератора опорного напряжения. Ось конической поверхности
совпадает с равносигнальным направлением. Если цель находится на равно-
сигнальном направлении, амплитуда принимаемого сигнала остается посто-
постоянной и не зависит от текущей ориентации диаграммы направленности
(точка Ць рис. 5.18, б). При небольших угловых отклонениях цели от равно-
сигнального направления (точка Цг, рис. 5.18, а) огибающая принятого сиг-
сигнала модулируется по гармоническому закону с частотой, равной частоте
сканирования, причем глубина модуляции пропорциональна радиальному
смещению цели в картинной плоскости относительно равносигнального на-
направления, а фаза между модулирующим и опорным напряжениями харак-
характеризует направление смещения (рис 5.18, а). Таким образом, в пеленгато-
пеленгаторах, основанных на методе конического сканирования, при обработке долж-
должна быть выделена огибающая принимаемого сигнала, а сигналы ошибки по
азимуту (а) и углу места (р) формируются после фильтрации произведений
огибающей на опорные сигналы (sin (QCiA cos iP-cJ))- К недостаткам РЛС с
коническим сканированием, как и других одноканальных пеленгаторов,
следует отнести ухудшение точности вследствие влияния амплитудных
флуктуации сигнала, отраженного от цели. Этот недостаток позволяют из-
избежать моноимпульсные угловые дискриминаторы, которые получили в на-
настоящее время широкое распространение.
9 - 7816 257

5. Основы теории измерения параметров сигналов
Сигналы
ошибки
а-*
Фильтр
низких частот
Фильтр
низких частот
X
i
1
sin(QCKO
cos(Q,K0
х
\
\
\
ГОН
и,
ц,
ц2
1—y
П
т
1 »•
—
к
—
lhnrr
т—
1.
Рис. 5.18. Измерение угловых координат при коническом сканировании:
а — упрощенная структурная схема измерителя; б — сигналы на выходе де-
детектора
Первоначально моноимпульсный метод был разработан для точно-
точного автоматического сопровождения целей. В настоящее время он приме-
применяется также и в обзорных радиолокационных системах. Моноимпульс-
Моноимпульсный метод пеленгации основан на использовании отличий в амплитудно-
фазовых характеристиках сигналов, принимаемых элементами антенны.
Характер извлечения информации из принимаемых сигналов позволяет
различать амплитудный и фазовый угловые моноимпульсные дискрими-
дискриминаторы.
Амплитудные дискриминаторы. Измерение угловых координат в
амплитудных дискриминаторах основано на сравнении амплитуд колеба-
колебаний, принимаемых парциальными лучами, формируемыми антенной сис-
системой. Парциальные диаграммы направленности имеют общий фазовый
центр, а их максимумы смещены относительно равносигнального на-
направления на угол А9/2. Величина угла А9 обычно выбирается таким об-
образом, чтобы обеспечить максимальную точность измерения.
258

5.4. Измерение угловых координат
Простейшая схема моноимпульсного амплитудного дискриминатора,
предназначенная для пеленгации цели в одной плоскости, содержит два
идентичных приемных канала и устройство сравнения модульных значений
корреляционных интегралов Z@o+A0/2) и Z@o-A0/2). В угловых дис-
дискриминаторах с амплитудным детектированием, как и в дискриминаторах,
рассмотренных ранее, в качестве решающей статистики используют модуль
корреляционного интеграла, а производная заменяется отношением
+Ae/2)-z(e0 - де/2)
E.48)
с/0 А0
Здесь 0О — априорная оценка углового положения цели (равносигнальное
направление).
Для исключения зависимости выходного сигнала пеленгатора от ам-
амплитуды полезного сигнала, изменяющегося, например, с изменением даль-
дальности до цели, можно вычислять не разность Z@O + A0/2)-Z@o -А0/2), а
отношение Z@O + A0/2)/Z@o - A0/2), зависящее только от углового рассо-
рассогласования между направлением на цель и равносигнальным направлением.
Выходной сигнал дискриминатора можно также формировать в соответст-
соответствии с выражением
f A0/2)-Z@o-A0/2)
9~
Z@O)
E. 49)
Операция деления может выполняться с помощью блока автоматиче-
автоматической регулировки усиления. Отметим, что ее можно заменить операцией
вычитания логарифмов амплитуд сигналов, для чего в тракт обработки
включаются логарифмические усилители (рис. 5.19). Моноимпульсные пе-
пеленгаторы — сложные многоканальные устройства, причем для их функ-
,де/2
Логарифми-
Логарифмический УПЧ
Логарифми-
Логарифмический УПЧ
АД
ч
Фильтр
де
АД
Рис. 5.19. Простейшая схема амплитудного моноимпульсного дискри-
дискриминатора
259

5. Основы теории измерения параметров сигналов
z

*\
A
Cm
Гетеродин
См
УПЧ
АРУ -«—
1
ФД
i
' УПЧ
ФНЧ
де
Рис. 5.20. Упрощенная структурная схема амплитудного суммарно-
разностного углового дискриминатора
ционирования амплитудно-частотные характеристики различных каналов
должны быть одинаковыми. Наличие аппаратурных ошибок приводит к по-
появлению систематических ошибок измерения. В частности, различия в ко-
коэффициентах усиления каналов пеленгатора (рис. 5.19) вызывают смещение
равносигнального направления.
В целях ослабления влияния неидентичности приемных каналов на каче-
качество работы дискриминатора используют дискриминаторы с суммарно-
разностной обработкой. Здесь в антенно-волноводном тракте формируются
суммарный и разностный сигналы, а угловое рассогласование оценивается как
д Z(80+Ae/2)-Z(80-A9/2)
G~ Z(e6/2) @e/'
E.50)
Операция нормировки (деления сигналов разностного канала на сигнал
суммарного канала) осуществляется с помощью системы автоматической
регулировки усиления, работающей по суммарному сигналу. Пример струк-
структурной схемы такого дискриминатора представлен на рис. 5.20.
Фазовые угловые дискриминаторы. Фазовые методы измерения угло-
угловых координат основаны на сравнении фаз колебаний, принятых несколь-
несколькими разнесенными в пространстве антеннами. Различия в амплитудных
характеристиках направленности при этом не используются.
В случае приема сигнала двумя антеннами {М = 2), разнесенными на
базу d (рис. 5.21), уравнения, описывающие измеритель с суммарно-
разностной обработкой, принимают вид
Ae=2Re(-yzcz;)/zc2,
E.51)
где zc, zp — сигналы на выходах фильтров (УПЧ) суммарного и разностного
каналов. Множитель у учитывается введением в схему обработки (рис. 5.21)
260

5.5. Точность измерения параметров
ФНЧ
де
Рис. 5.21. Упрощенная структурная схема фазового суммарно-разност-
суммарно-разностного углового дискриминатора
фазовращателя, обеспечивающего сдвиг фазы в одном из каналов на я/2.
Вычисление реальной части произведения двух комплексно-сопряженных
амплитуд осуществляется в фазовом детекторе. Операция деления обеспе-
обеспечивается введением автоматической регулировки усиления (АРУ) по сум-
суммарному каналу и использованием ее для регулировки усиления в канале
разностного сигнала. Суммарно-разностная обработка находит широкое
применение, поскольку позволяет существенно ослабить влияние фазовых
неидентичностей каналов по сравнению со случаем, когда усиление и
фильтрация сигналов в каналах осуществляется независимо.
5.5. Точность измерения параметров
В этом параграфе рассмотрим вопросы, связанные с потенциальной
точностью измерения параметров сигналов. Будем предполагать, что изме-
измерения регулярны. Для регулярного измерения, характеризующегося тем, что
отношение сигнал—шум велико (более 8... 10), а функция н{и|Х) унимо-
унимодальна и дважды дифференцируема, ошибки измерения можно считать рас-
распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожида-
ожиданием. В этом случае при изменении одиночного параметра они полностью
характеризуются дисперсией
o2(i(u) -X) = М{(Х(и) -XJ},
а при оценке многомерных параметров — ковариационной матрицей оши-
ошибок измерения. Дня границ дисперсии ошибок измерения можно использо-
использовать величины, полученные на основе неравенства Крамера—Рао:
261

5. Основы теории измерения параметров сигналов
Оценка называется эффективной, если указанное соотношение вы-
выполнено со знаком равенства.
Определение нижних границ дисперсии оценок удобно проводить в
несколько этапов. При оценивании неслучайных параметров на первом эта-
этапе рассчитывается информационная матрица Фишера J с элементами
?
1 АА J
Здесь j, / е 1,2,..., т, т — размерность вектора X оцениваемых параметров.
На втором этапе определяются нижние границы ковариационной мат-
матрицы ошибок измерения DE:
D?=J-'. E.53)
При определении границ ошибок оценивания случайных параметров
результирующая информационная матрица J/? состоит из двух частей:
J/j = J + Ja,
где элементы матрицы J определяются выражением E.52), а элементы мат-
матрицы Ja, характеризующие априорную информацию, имеют вид
(«О
Нижние границы оценок ковариационной матрицы ошибок измерения
D/г случайных параметров определяются формулой
D*=J*'. E.55)
Диагональные элементы матриц J и J^1 представляют оценки ниж-
нижних границ дисперсий ошибок измерения соответствующих величин для
неслучайных и случайных параметров сигнала соответственно, недиаго-
недиагональные элементы — оценки границ взаимно корреляционные функции
ошибок.
Среднеквадратическая ошибка измерения времени запаздывания.
Предположим, что измерение дальности (запаздывания) осуществляется
устройством, структурная схема которого представлена на рис. 5.3. Прием-
Приемник вычисляет модульное значение корреляционного интеграла, а в качестве
оценки принимается то значение времени, для которого выходной сигнал
максимален. При фиксированном отношении сигнал—шум среднее значе-
значение модуля корреляционного интеграла изменяется следующим образом:
262

5.5. Точность измерения параметров
где q — отношение сигнал—шум, р(т, F) — функция рассогласования,
т, F—рассогласование по запаздыванию и частоте соответственно.
Учитывая, что в данном случае измеряется один параметр, и проводя
дифференцирование по формуле E.52), получим, что выражение для сред-
неквадратической ошибки измерения времени запаздьюания при известной
доплеровской частоте сигнала имеет вид
ov =
1
E.56)
где р*т @,0) — вторая производная р(т, F) по х при т = 0, F = 0, характери-
характеризующая остроту пика функции рассогласования. Ошибка тем меньше, чем
больше отношение сигнал—шум и острее пик (больше вторая производная
по т) функции р(т, 0).
Величина >/|Ртт @> 0)| имеет размерность частоты (Гц), и ей соответству-
соответствует некоторая эффективная ширина спектра сигнала А/эф, связанная со спек-
спектральной плотностью комплексной амплитуды сигнала G(F) соотношением
=271
аи
JF2\G(F)\2dF
E.57)
\\G{F)fdF
В этом случае
E.58)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка измерения времени за-
запаздывания тем меньше, чем больше эффективная ширина спектра сигнала
А/эф и выше отношение сигнал—шум.
Среднеквадратическая ошибка измерения частоты. В соответствии с
формулой E.52) среднеквадратическая ошибка измерения доплеровской час-
частоты сигнала при известном времени запаздывания равна
Л E-59)
263

5. Основы теории измерения параметров сигналов
где p"FF @,0) — вторая производная р(т, F) по F при х = 0, F = 0, характери-
характеризующая остроту пика функции рассогласования по оси частот.
Величина yJ\pFF № 0)| имеет размерность времени. Ей соответствует
параметр Тэф, характеризующий эффективную длительность сигнала:
аи
\t2\U{tfdt
\\U{t)fdt
С учетом этих обозначений
<yF=
E.60)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка измерения частоты тем
меньше, чем больше отношение сигнал—шум и эффективная длительность
сигнала.
Среднеквадратическая ошибка измерения угловой координаты. Ана-
Аналогично выражениям E.56), E.59) среднеквадратическая ошибка измерения
угловой координаты определяется формулой
E.61)
гДе РееFо>0)е=е — вторая производная пространственной функции рассо-
рассогласования по 9 при 0 = 0о, которой можно дать определенное истолкование:
корень квадратный из этой величины определяет эффективную длину апер-
апертуры антенны Ьф нормированную по отношению к длине волны. Эффек-
Эффективная длина апертуры определяется следующим образом:
E-62)
\\A{xfdx
где А(х) — функция распределения поля в раскрыве антенны. Отсюда выра-
выражение для среднеквадратической ошибки можно представить в виде
264

5.5. Точность измерения параметров
де
я
E.63)
где Д0 = АУB?Эф) — параметр, характеризующий разрешающую способ-
способность РЛС по угловой координате. Таким образом, среднеквадратическая
ошибка измерения угловой координаты тем меньше, чем больше эффектив-
эффективная длина апертуры антенны и выше отношение сигнал—шум.
Потенциальная точность совместного измерения времени запазды-
запаздывания и частоты колебаний. При одновременном измерении времени запаз-
запаздывания и доплеровского сдвига частоты и регулярном измерении вектор
ошибок е =
имеет нормальное распределение с нулевым матема-
математическим ожиданием и ковариационной матрицей De.
Информационная матрица является двумерной:
-М-
-м
d2]nl(x,F)
d2]nl(x,F)
dxdF
-М
-М-
d2\nl(x,F)
dxdF
d2]nl(x,F)
dF2
E.64)
а ковариационная матрица ошибок измерения определяется соотношением
E.55). Вычисляя входящие в это выражение производные функции 1п/(т, F)
и производя обращение матрицы, получим следующие выражения для сред-
неквадратических значений ошибок оценивания запаздывания и доплеров-
доплеровского сдвига частоты:
1
E.65)
E.66)
Здесь г — коэффициент корреляции измерений, определяемый формулой
г2 =¦
где р
F=0.
0) — вторая производная функции р(х, F) по х и F при т - 0,
265

5. Основы теории измерения параметров сигналов
Множитель - в выражениях E.65), E.66) отражает влияние кор-
\-г2
реляционной связи между измерениями дальности и доплеровского сдвига
частоты. Если г > О, то точность измерений уменьшается; если г = 0, то точ-
точность измерения максимальна, что имеет место только в том случае, когда
функция рассогласования сигнала симметрична относительно плоскостей
х = 0 и F = 0. Такую функцию рассогласования имеют, например, простые
импульсные сигналы, сигналы в виде когерентных импульсных последова-
последовательностей и ФКМ сигналы. Для простого импульсного сигнала с гауссовой
огибающей ошибки измерения времени запаздывания и частоты (скорости)
независимы (г = 0), и их среднеквадратические значения определяются вы-
выражениями [34,40]:
^ E.67)
о>= J* . E.68)
1
Здесь ти — длительность импульса по уровню 0,46.
Из формул E.67), E.68) видно, что повысить точность измерения вре-
времени запаздывания можно, уменьшая длительность импульса, однако при
этом ухудшается точность измерения частоты.
Рассмотрим точность измерений запаздывания и частоты для им-
импульсного сигнала с гауссовой огибающей и линейной частотной модуляци-
модуляцией. В этом случае [37,40]
ат=-^-, E.69)
y/nq
aF=-^~, E.70)
где В — база сигнала. Из выражений E.69), E.70) видно, что при измерении
двух параметров введение частотной модуляции не приводит к повышению
точности измерения времени запаздывания, а уменьшает точность измере-
измерения частоты. Это связано с тем, что, как отмечалось ранее, площадь области
неопределенности для немодулированного и модулированного сигналов
одинаковы. Использование модуляции приводит к повороту области неоп-
неопределенности. При этом проекция области высокой корреляции на ось час-
частот и, следовательно, диапазон возможных ошибок измерения частоты воз-
возрастают. Таким образом, введение частотной модуляции не позволяет одно-
266

Контрольные вопросы
временно увеличить точность измерений запаздывания и доплеровского
сдвига частоты. В то же время если рассматривать задачу измерения запаз-
запаздывания при известном значении доплеровского сдвига частоты, то введе-
введение частотной модуляции позволяет уменьшить среднеквадратическую
ошибку измерения запаздывания в В раз:
i EЛ1)
Таким образом, если необходимо обеспечить точное измерение вре-
времени запаздывания и доплеровского сдвига частоты, то целесообразно ис-
использовать другие виды сигналов, например когерентные импульсные по-
последовательности либо фазокодоманипулированные сигналы. Однако сле-
следует учитывать, что функция неопределенности этих сигналов содержит
дополнительные выбросы, что увеличивает вероятность «аномальных»
ошибок [37].
Контрольные вопросы
1. Перечислите основные параметры радиолокационных сигналов, которые оце-
оцениваются при измерении.
2. Перечислите показатели качества измерения одномерной случайной величины.
3. Каким образом определяются усредненные потери?
4. Какие функции потерь используются при решении задачи оптимального изме-
измерения параметров радиолокационного сигнала?
5. Каким образом определяется оптимальная оценка измеряемого параметра ра-
радиолокационного сигнала при квадратичной функции потерь?
6. Каким образом производится оценка параметров по максимуму апостериорной
плотности вероятности, по максимуму правдоподобия?
7. Каковы особенности многократного измерения параметров радиолокационного
сигнала?
8. Какие измерители параметров радиолокационных сигналов называют неследя-
щими, какие следящими?
9. Каким образом радиолокационный приемник вычисляет функцию, пропорцио-
пропорциональную апостериорной плотности вероятности (АПВ) или монотонную функ-
функцию от АПВ в заданном диапазоне изменения параметров?
10. Каким образом производится оптимальное неследящее измерение времени за-
запаздывания (дальности)?
11. Каким образом производится оптимальное неследящее измерение доплеровской
частоты (радиальной скорости)?
12. Приведите структурную схему измерения времени запаздывания и доплеров-
доплеровской частоты.
13. Приведите примеры практической реализации временных дискриминаторов.
267

5. Основы теории измерения параметров сигналов
14. Приведите пример практической реализации частотного дискриминатора.
15. Приведите примеры одноканальных измерителей угловых координат.
16. Изобразите простейшую схему моноимпульсного амплитудного дискриминато-
дискриминатора с суммарно-разностной обработкой.
17. Изобразите схему моноимпульсного фазового дискриминатора с суммарно-
разностной обработкой.
18. Приведите и проанализируете формулу для среднеквадратической ошибки из-
измерения времени запаздывания.
19. Приведите и проанализируете формулу для среднеквадратической ошибки из-
измерения частоты.
20. Приведите и проанализируете формулу для среднеквадратической ошибки из-
измерения угловой координаты.
21. От каких факторов зависит потенциальная точность совместного измерения
времени запаздывания и доплеровской частоты радиолокационного сигнала?

6. ОСНОВЫ ВТОРИЧНОЙ ОБРАБОТКИ
РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ
Изложены задачи вторичной обработки (ВО) информации применительно к
их реализации в радиолокационных системах. Приведена обобщенная струк-
структурная схема ВО. Рассмотрена реализация основных операций ВО и их осо-
особенностей. Основное внимание уделено базовым алгоритмам ВО и их физи-
физической сущности.
6.1. Общие сведения
6.1.1. Основные понятия и история вопроса
Вторичная обработка (ВО) радиолокационной информации, или, как
еще иногда говорят, траекторная обработка, выполняется после первич-
первичной и применяется для решения задачи обнаружения траекторий целей в
зоне ответственности РЛС и оценки их параметров. Траектория цели пред-
представляет собой след от перемещающегося с течением времени в некотором
пространстве объекта наблюдения. Такое понимание траектории вытекает
из естественных представлений, возникающих при наблюдении различных
движущихся объектов.
Абстрагируясь от физической природы движущегося объекта, траек-
траекторию цели можно определить как линию — след от перемещения некото-
некоторой математической точки, соответствующей данному объекту. Заметим,
что наиболее часто под этой точкой понимают центр масс соответствующе-
соответствующего физического тела.
В каждый момент времени траектория цели может быть представлена
некоторыми параметрами (фазовыми координатами): положением цели, ее
скоростью, ускорением и т. п. Траектория цели считается известной, если
для заданного интервала времени известна зависимость ее фазовых коорди-
координат от времени.
Движение объекта можно рассматривать как некоторый (чаще всего,
случайный) процесс, а траекторию объекта, характеризуемую соответст-
269

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
вующими фазовыми координатами в течение некоторого интервала време-
времени, — как представление этого процесса.
В течение такта первичной обработки радиолокационной информации
по обнаруженным сигналам, порожденным либо движущимися объектами,
либо шумом, в системе координат первичных наблюдений формируется со-
совокупность случайных отсчетов, характеризующих обстановку в зоне кон-
контроля РЛС в момент зондирования. По результатам многократных первич-
первичных наблюдений в ходе вторичной обработки необходимо принимать реше-
решения об обнаружении целевых траекторий и оценивать их параметры.
Появление шумовых отсчетов, исчезновение в некоторых тактах целевых
отсчетов и погрешности измерений являются факторами, влияющими на
качество проведения траекторной обработки.
Формально задача и первичной, и вторичной обработки радиолокаци-
радиолокационной информации одна и та же: оценка целевой ситуации* в контролируе-
контролируемой радиолокатором зоне. Необходимость ВО вызвана тем, что при малых
временных интервалах наблюдения, которые характерны для принятия ре-
решения в ходе одного такта первичной обработки, надежность обнаружения
и точность оценки координат цели, а часто и их состав** оказываются недос-
недостаточными для нужд потребителя радиолокационной информации. В ходе
ВО при увеличении времени наблюдения, отводимого для принятия реше-
решения, появляется возможность повысить качество принимаемых решений.
Несмотря на внешнюю схожесть задач первичной и вторичной обра-
обработки, условия, в которых решаются эти задачи, и методы их решения суще-
существенно различаются.
При вторичной обработке учитывается, что цели могут быть переме-
перемещающимися, появляющимися и исчезающими в зоне контроля РЛС. При
первичной обработке рассматривается только двухальтернативная ситуация:
цель либо есть в элементе разрешения, либо ее там нет. Если в ходе первич-
первичной обработки радиолокационной информации параметры объекта наблю-
наблюдения являются фактически неизменными, то в ходе вторичной они таковы-
таковыми, естественно, быть не могут. Это связано с тем, что такт первичной обра-
обработки Гь определяемый временем обработки зондирующего сигнала, имеет,
как правило, столь малые значения, что цель за время Т\ практически не из-
изменяет своего положения в пространстве.
Под целевой ситуацией понимаются цели, находящиеся в зоне контроля
РЛС, их взаимные характеристики, вид целей, параметры их движения и т. п.
Например, в ходе ВО, наблюдая за перемещениями цели, можно найти ее
скорость, ускорение, даже если на этапе первичной обработки измеряется только
положение объекта. Возможно определение и других принципиально ненаблюдае-
ненаблюдаемых параметров цели.
270

6.1. Общие сведения
Вторичная обработка выполняется в течение всего времени наблюде-
наблюдения за целью, которое, как правило, много больше Th Результаты ВО обыч-
обычно относятся к текущему времени / и, вообще говоря, учитывают всю ин-
информацию о цели: с момента ее появления в зоне контроля до момента вре-
времени /. Иногда в рассмотрение вводят такт вторичной обработки Гп —
время, в течение которого корректируется предыдущее решение об обнару-
обнаружении траектории и оценивании ее фазовых координат — параметров тра-
траектории цели. Такт Ти может задаваться либо исходя из требований выше-
вышестоящей системы, либо из естественного цикла обновления информации,
связанного с особенностями обзора контролируемого пространства (напри-
(например, для РЛС кругового обзора такт Гц часто делают равным периоду вра-
вращения антенны).
Можно, таким образом, сказать, что на выходе первичной обработки
получена совокупность отсчетов, каждый из которых является случайной
векторной величиной, представляющей собой оценку параметров неизвест-
неизвестных случайных или неслучайных координат некоторой обнаруженной цели.
На выходе вторичной обработки получаем совокупность траекторий, каждая
из которых является случайным векторным процессом, представляющим со-
собой динамическую оценку параметров неизвестных изменяющихся во време-
времени случайных или неслучайных координат некоторой обнаруженной цели.
Естественно, что траекторная информация, как уже отмечалось, пол-
полнее отметочной, поскольку учитывает в текущей оценке предысторию на-
наблюдения цели, включая все предыдущие отсчеты, и отображает взаимо-
взаимосвязь и изменение параметров цели во времени.
Вторичная обработка радиолокационной информации, основанная
так же, как и первичная, на общей теории принятия решений и теории оце-
оценок, является специфической задачей многомерной фильтрации, допол-
дополненной необходимостью выбора (обнаружения) целевых траекторий. В
ходе ВО решается задача отождествления отсчетов и траекторий, соответ-
соответствующих одной и той же цели. В частном случае, при достоверной ин-
информации первичной обработки о получении отсчетов, относящихся ис-
исключительно к некоторой истинной цели, ВО сводится только к фильтра-
фильтрации траекторных параметров (это характерно для РЛС, обеспечивающих
высокое значение отношения сигнал—шум при принятии решений в ходе
первичной обработки).
Собственно фильтрация — это непрерывное воспроизведение некото-
некоторой переменной, являющейся» параметром наблюдаемого случайного про-
процесса. Можно вьщелить два основных подхода к решению задач фильтрации
случайных процессов: на основе фильтра Винера и фильтра Калмана. В по-
последнее время заметен повышенный интерес к развитию методов нелиней-
нелинейной фильтрации.
271

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
Теория винеровской фильтрации исторически была разрабатана пер-
первой. К одной из основополагающих работ в этой области следует отнести
работу Н. Винера [50], для дискретных случайных процессов близкие во-
вопросы еще ранее рассматривал А. Н. Колмогоров [51]. В основе теории ви-
винеровской фильтрации лежат следующие положения:
1) наблюдаемый случайный процесс есть аддитивная смесь оценивае-
оцениваемого и помехового случайных стационарных процессов с различными кор-
корреляционными функциями;
2) длительность наблюдения предполагается бесконечно большой (от
-оо до текущего момента t);
3) критерием оптимальной фильтрации является минимум средне-
квадратической ошибки оценки воспроизводимого параметра;
4) оптимальный фильтр находится в классе линейных фильтров.
При построении траекторий движения целей условия, для которых
были получены выражения, описывающие винеровский фильтр, оказывают-
оказываются во многих случаях не адекватными реальной ситуации. Это связано, пре-
прежде всего, с тем, что, во-первых, оцениваемый случайный процесс (траекто-
(траекторию) невозможно представить в виде стационарного процесса с известной
корреляционной функцией, во-вторых, появляющиеся и исчезающие объек-
объекты всегда наблюдаются в течение ограниченного времени.
Теория калмановской фильтрации при построении траекторий имеет
большую свободу: непрерывный фильтр Калмана основан на представлении
случайного процесса в виде стохастических дифференциальных уравнений,
а цифровой — в виде соответствующей системы разностных уравнений, что
соответствует широко распространенным общепринятым моделям движе-
движения объектов. Теория калмановской фильтрации была разработана позже
винеровской и является существенным ее развитием. С использованием
калмановского подхода можно решать нестационарные задачи при конеч-
конечном интервале наблюдения. Основополагающими в этой области следует
считать работы Р. Калмана [52, 53].
Вторичная обработка радиолокационной информации, как уже отме-
отмечалось, помимо фильтрации траекторных параметров, должна решать и за-
задачи обнаружения целевых траекторий. Действительно, при наличии поме-
ховых отсчетов по ним могут быть построены трассы несуществующих
(ложных) целей. И это не единственная причина возможного появления
ложных траекторий.
В многоцелевой ситуации даже при достоверном решении об обнару-
обнаружении отсчета в некоторый момент времени на этапе первичной обработки
в силу движения объекта отсчет от той же цели в следующий момент време-
времени будет иметь другие параметры. Поэтому прежде чем производить фильт-
фильтрацию траекторных параметров, необходимо убедиться в том, что вновь по-
272

6.1. Общие сведения
ступивший отсчет относится именно к рассматриваемой траектории, а не к
какой-либо другой. Вследствие действия помех, ограниченной точности из-
измерений на этапе первичной обработки и конечной разрешающей способно-
способности по измеряемым координатам возможно перепутывание отсчетов и тра-
траекторий различных целей. Следовательно, при проведении ВО фильтрация
(т. е. собственно оценивание траекторных параметров) должна дополняться
операцией отождествления, обеспечивающей непоступление на ее вход
«чужих» отсчетов.
При дальнейшем усложнении целевой и помеховой обстановки полез-
полезные (от целей) и помеховые отсчеты могут породить ложные трассы, среди
которых принять достоверное решение о целевых траекториях возможно
лишь при достаточно длительном наблюдении.
Естественно, что задачи обнаружения траектории и оценки ее пара-
параметров должны решаться совместно, поскольку в ходе выполнения одной из
них используются результаты другой. Это учитывается во всех алгоритмах
ВО, включая простейшие.
Началом разработки математического аппарата для оптимального ре-
решения всей совокупности задач ВО можно считать работы Р. Л. Стратоно-
вича, который рассматривал проблемы общего описания случайных потоков
и рекуррентные алгоритмы нахождения апостериорных характеристик мар-
марковских случайных процессов [54, 55].
В настоящее время существует большое количество публикаций по
вопросам решения задач обнаружения траекторий и оценивания их пара-
параметров.
Детальный анализ отдельных операций и проблем особо сложных
случаев траекторной обработки при сопровождении маневрирующих це-
целей, построении и обнаружении траекторий для интенсивных потоков
ложных сигналов и плотных потоков целей, а также для целей, движу-
движущихся с пересекающимися траекториями, можно найти в работах [56-67],
в которых также приводится и обобщается большое число публикаций по
многим другим вопросам ВО.
Следует выделить фундаментальную книгу И. А. Большакова [68],
давшую толчок в развитии методов обнаружения—оценивания случайных
потоков, работу Ю. С. Ачкасова [56], рассмотревшего вопросы обнаружения
траекторий с использованием апостериорного анализа потоков, и, наконец,
книгу под редакцией П. А. Бакута [57], в которой детально проанализирова-
проанализированы многие вопросы эволюции апостериорных плотностей распределения
вероятностей при наблюдении движущихся целей и методы их обнаруже-
обнаружения. Некоторые результаты решения задач совместного обнаружения—оце-
обнаружения—оценивания траекторий на основе обобщения подходов И. А. Большакова и
П. А. Бакута приводятся в статьях [58—60, 66].
273

б. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
В настоящей главе рассматриваются основные положения теории ВО
радиолокационной информации. Решение задач, относящихся к сложной
целевой и помеховой ситуации, лишь намечается. Основное внимание уде-
уделяется физической сущности рассматриваемых операций и базовым алго-
алгоритмам ВО.
6.1.2. Основные операции вторичной обработки
В ходе ВО радиолокационной информации производится обнаруже-
обнаружение траекторий и оценивание их параметров по результатам наблюдений,
выполненным на этапе первичной обработки.
Выходной информацией ВО являются рассчитанные на некоторый
момент времени {щ, (момент привязки измерений) оценки параметров траек-
траекторий Xj(tnp), j = l,2,...,N (у — номер траектории, N— число обнаружен-
обнаруженных траекторий), показатели качества их обнаружения: условная вероят-
вероятность правильного обнаружения траектории Д^^р) и условная вероят-
вероятность ложного обнаружения траектории /^.(f ), — а также точность
оценки траекторных параметров, характеризуемая соответствующей кова-
ковариационной* матрицей Фу(/Пр) ошибок измерения траекторных параметров
(фазовых координат траектории). Обычно траекторные параметры рассчи-
рассчитываются на момент последнего измерения tnp - tk.
Показатели качества ВО зависят от длительности наблюдения. Для
определенности всегда необходимо указывать либо заданное время /обтр
обнаружения траектории, либо время /оцтр оценивания траекторных па-
параметров. Используются и другие показатели качества траекторной обра-
обработки [57, 67]. Векторный характер показателей качества объективно за-
затрудняет сравнительный анализ различных алгоритмов траекторной об-
обработки.
Под ковариационной матрицей Ч* некоторого случайного вектора X (состоя-
(состоящего из случайных элементов) будем понимать среднее:
+ТО +00
Ч*нМ{(Х-М{Х})(Х-М{Х})т} = J.--Jw(X)(X-M{X})(X-M{X})Tc/X,
—оо —со
где М{-} — оператор усреднения, знак «т» означает транспонирование матрицы,
w(X) — многомерная плотность распределения элементов случайного вектора X.
274

6.1. Общие сведения
Входной информацией ВО являются параметры Zf.(^) отсчетов, об-
обнаруженных в некоторый момент времени 4 на этапе первичной обработки,
где / = 1,2,..., т (/ — номер отсчета, т — число обнаруженных отсчетов). Их
достоверность характеризуется условными вероятностями правильного обна-
обнаружения отсчета Dmi(tk) и ложной тревоги Fmi(tk), а точность оценки — со-
соответствующей ковариационной матрицей R,(/*) ошибок оценивания пара-
параметров, измеряемых на этапе первичной обработки.
Будем говорить, что вектор Z,-(/fc) определен в пространстве наблю-
наблюдений, или измерений, а вектор Х;(^пр) — в пространстве оценок*.
Учитывая дискретность радиолокационных измерений во времени,
операции обработки радиолокационной информации чаще рассматрива-
рассматривают в дискретном времени. Временную привязку всех параметров в этом
случае обозначают соответствующим индексом: Zi (tk) = Zik, Xt (tk) = Xilc,
Rj^JsRjj ит. д.
Схематически входные и выходные параметры ВО показаны на
рис. 6.1.
Параметры отсчета Z (дополнительные индексы будем опускать в
случаях, когда это не вызывает неоднозначного толкования) образуют век-
вектор (матрицу-столбец размерности а), элементы которого — это первичные
измерения. Например, если на этапе первичной обработки определены
дальность до цели г, азимут це-
цели р, угол места 8 и радиальная Вход __
скорость цели vr, т. е. о = 4, то
Вторичная
обработка
Z = [r P 6 vr]T. F.1)
Ковариационная матрица
R ошибок оценивания первич-
первичных измерений в этом случае
имеет вид
> Выход
Х/(/пр)
)
-Рот ik
R/jfc
/= 1, ..., т
тру(пр)
Т/Спр)
у= 1, .... N
Рис. 6.1. Входные и выходные параметры ал-
алгоритма траекторной обработки
* Строго говоря, вектор Zj(tk) является оценкой параметров отсчета (см. гл. 5),
однако для ВО эта оценка является уже состоявшейся. После окончания первичной
обработки полученный отсчет для ВО является входной информацией, т. е. наблю-
наблюдением. Далее всегда будем считать параметры отсчета наблюдениями, или измере-
измерениями, а получаемые в ходе ВО параметры траектории — оценками.
275

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
F.2)
^,
где а;, ар, а^, а~г —дисперсии ошибок измерения соответствующих па-
параметров отсчета Z; кф, кК, к^,, ?ре, к^г, kEV — коэффициенты корреляции
соответствующих параметров отсчета Z.
Когда измерения отдельных параметров в РЛС при первичной обра-
обработке информации не коррелированны между собой, матрица R становится
диагональной.
Траекторные параметры X зависят от выбранной системы координат,
в которой определяются параметры траекторий, и от способа представления
траекторий. Чаще всего для описания траекторий используют полиномы.
Например, если движение цели в ходе траекторией обработки рассматрива-
рассматривается в декартовой системе координат и траектория цели описывается поли-
полиномом первой степени по каждой координате, то
F.3)
где Хх0, Ху0, Xz0 — соответствующие координаты положения объекта в
момент привязки измерений /пр; X,rl, A,vl, Xzl — соответствующие скорости
объекта в момент привязки измерений tnp.
В данном представлении траектория (как след от перемещения цели)
будет описываться в декартовом пространстве следующими соотношениями:
При использовании полинома степени 5 уравнение траектории по неко-
некоторой координате, например по х, можно представить в виде степенного ряда:
('-'J
F.4)
/=0
276

6.1. Общие сведения
Вход
Э
А
/\
С
о-с
о-с
3
О
—S
О
БТ
1!
J. - ._ _ «
Выход
=>
СП*4* - Поток входных
v отсчетов
I—-- S - Поток данных о траекториях
^ на различных стадиях обработ-
обработки, хранящихся в БТ
Г~_ у- Поток выходных
у траекторий
- Поток кластерных
данных
- Поток данных по обнаруженной г-г.г.г.> - Поток данных
и сопровожденной траектории по траекториям,
обрабатываемым
в блоке 3
Рис. 6.2. Структурная схема алгоритма вторичной обработки
Производные приведенных соотношений определяют изменение ско-
скорости (траекторию скорости) цели в процессе ее движения:
dt
dt
dt
Аналогичным образом могут быть получены траектории ускорений и т. д.
Структурная схема типичного алгоритма траекторной обработки при-
приведена на рис. 6.2. Алгоритм включает в себя операции, которым соответст-
соответствуют следующие блоки: блок экстраполяции (Э), блок селекции (С), блок
обнаружения—сброса траекторий (О-С), блок оценки траекторных пара-
параметров (О), блок завязки траекторий C), база траекторных данных (БТ).
Разделение схемы на указанные блоки является в определенной степени ус-
условным. В принципе, в ходе траекторной обработки должно осуществляться
совместное обнаружение—оценивание целевой обстановки в зоне ответст-
ответственности РЛС. В различных модификациях алгоритмов некоторые блоки
могут объединяться, некоторые — отсутствовать. В целом, приведенная
структурная схема, объединяющая операции ВО в единый алгоритм, носит
эвристический характер.
277

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
В ходе работы алгоритм ВО формирует траектории, находящиеся на
различных стадиях обработки (информация о них хранится в базе траектор-
ных данных). Среди них наиболее часто выделяют:
— обнаруженные сопровождаемые траектории, имеющие выходные
параметры, сформированные в ходе ВО в полном объеме* и удовле-
удовлетворяющие заданным вероятностным и точностным характеристикам;
параметры этих траекторий выдаются потребителям;
— завязанные траектории, имеющие вектор выходных параметров
полного объема, но показатели качества которых (вероятностные и
точностные) удовлетворяют лишь некоторым промежуточным значени-
значениям, не достигая величин, заданных для обнаруженных сопровождаемых
траекторий;
— завязываемые траектории, имеющие вектор выходных парамет-
параметров, сформированный еще не в полном объеме, но показатели качества
которых не достигают заданных значений даже для завязанных траекторий.
Возможно введение и ряда других стадий обработки траекторий со
своими внутренними показателями качества.
Работа алгоритма ВО начинается с поступления на вход в момент
времени tk отсчетов с выхода первичной обработки. В блоке Э (рис. 6.2)
параметры всех траекторий X,r^_,, j = 1,2,..., N, которые были
сформированы на предыдущих тактах обработки информации и хранятся в
базе траекторных данных (блок БТ), пересчитываются (экстраполируются) на
момент tk и представляются в виде экстраполированных параметров
Хэд, у = 1,2,..., ЛГ. Затем в блоке С осуществляется их отождествление с
поступившими отсчетами — выполняется операция селекции. В силу оши-
ошибок оценивания параметров отсчета на этапе первичной обработки и ошибок
нахождения траекторных параметров невозможно абсолютно точно опре-
определить пару отсчет—траектория, относящуюся к некоторой одной цели.
Обычно при экстраполяции траектории можно лишь указать область, попа-
попадание в которую отсчета не противоречит имеющимся ошибкам измерений
параметров цели. Такие области являются зонами связи траекторий с
отсчетами, они позволяют сформировать кластеры — совокупности
соответствующих отсчетов и траекторий, возможно, относящихся к одной
и той же цели.
В случае достаточно простой целевой и помеховой обстановки в неко-
некоторый момент времени /* образуются кластеры следующих видов:
Например, если отсчет включает только положение цели, то для построения
траектории в виде полинома степени s принципиально необходимо соответствую-
соответствующее число тактов наблюдения.
278

6.1. Общие сведения
Зона связи
1) траектория ХэуЛ и подтверждающий ее - она связи
отсчет Zik (рис. 6.3, а);
2) траектория Хэд, не имеющая подтвер-
подтверждающего отсчета (рис. 6.3, б);
3) отсчет Zik, не относящийся ни к одной
траектории (рис. 6.3, в).
Предполагается, что каждый кластер соот-
соответствует некоторой цели, для которой строится
траектория, находящаяся в той или иной стадии
обработки. Алгоритмами ВО кластеры обрабаты-
обрабатываются параллельно цепочками блоков О-С — О
и блоком 3.
Кластеры первого и второго вида с траекто-
траекториями, обнаруженными и сопровождаемыми на
предыдущих тактах, а также кластеры первого ви-
вида с завязанными траекториями направляются на
дальнейшую обработку в свои блоки О-С и О.
Кластеры второго вида с траекториями, находя-
находящимися в стадии завязки, и кластеры третьего ви-
вида направляются на обработку в блок 3.
В более сложной помеховой и целевой си-
ситуации возможно образование кластеров других
видов:
4) одна траектория X3jk, с высокой достоверностью подтверждаемая
несколькими отсчетами Zik,Zi2k,Zik, один из которых, возможно, целевой
(рис. 6.4, а);
5) несколько траекторий X3jk, Xy. k и несколько отсчетов Z^Z^,
Zt k,Zik, однозначное (достоверное) разделение которых на кластеры ви-
видов 1) — 3) или даже вида 4) не представляется возможным (рис. 6.4, б).
В блоке О-С подтверждается решение об обнаружении траектории
или, напротив, принимается решение о ее сбросе. Это связано с тем, что,
во-первых, цели в зоне контроля РЛС появляются и исчезают, во-вторых,
из-за наличия помеховых отсчетов в алгоритме ВО помимо целевых тра-
траекторий обрабатываются и ложные, которые с течением времени (при
правильной работе алгоритма) должны быть сброшены. В блоке О для
каждого кластера уточняются оценки траекторных параметров. Доста-
Достаточно часто очередность выполнения операций изменяется: блоки О и О-С
меняются местами.
279
Рис. 6.3. Возможные ва-
варианты кластеров в про-
простой обстановке:
а — кластер первого вида:
одна траектория — один
отсчет; б — кластер второго
вида: одна траектория — ни
одного отсчета, в — кла-
кластер третьего вида: «сво-
«свободный» отсчет

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
Зона связи
Зона связи g блоке 3 кластеры обрабатываются, в
принципе, так же, как в блоках О и О-С
(осуществляется обнаружение траекторий и
оценка их параметров), но обычно это дела-
делается более простыми, часто весьма прибли-
приближенными методами, поскольку основная
задача блока 3 — освободить алгоритм ВО
от рассмотрения заведомо ложных трасс.
Сформированные траектории, находящиеся
на различных стадиях обработки, хранятся в
базе траекторных данных — блоке БТ.
Структурная схема алгоритма ВО,
изображенная на рис. 6.2, может быть ус-
усложнена и упрощена. Например, при высо-
высококачественной информации, поступающей
с выхода первичной обработки, при высо-
высоком значении отношения сигнал—шум,
когда формируются, в основном, кластеры
видов 1) и 2) (рис. 6.3, а и б), предполагается, что любой отсчет, поступив-
поступивший с первичной обработки, соответствует обнаруженной цели. В этом слу-
случае под вторичной обработкой понимают, как уже было отмечено, прежде
всего оценку тем или иным методом траекторных параметров.
При ухудшении помеховой ситуации, достаточно частом появлении
кластеров четвертого вида (рис. 6.4, а) и плотных потоках наблюдаемых це-
целей появление кластеров пятого вида (рис. 6.4, б), как минимум, усложняет
операцию селекции.
К вопросам вторичной обработки радиолокационной информации в по-
последнее время проявляется большой интерес. Это направление информацион-
информационных технологий, особенно для сложной целевой и помеховой обстановки, ак-
активно развивается. В рамках настоящего учебного пособия ограничимся по-
построением базовых алгоритмов ВО для достаточно типичной помеховой и
сравнительно простой целевой обстановки.
Рис. 6.4. Возможные варианты
кластеров в сложной обстановке:
а — кластер четвертого вида: одна
траектория — несколько отсчетов;
б — кластер пятого вида: несколько
траекторий — несколько отсчетов
6.2. Модели целевой и помеховой обстановки
6.2.1. Модели движения целей
Наблюдаемые радиолокационные цели: наземный транспорт, ко-
корабли, самолеты, космические аппараты и другие объекты — могут дви-
двигаться по самым разнообразным траекториям, имеющим, как правило,
280

6.2. Модели целевой и помеховой обстановки
случайный характер. Это вызвано тем, что движение любого реального
объекта является чрезвычайно сложным, поскольку происходит под дей-
действием различных сил, зависящих от особенностей самого объекта, его
конструкции, системы управления, свойств среды, в которой он движет-
движется, и других факторов. Сложность движения объекта затрудняет его изу-
изучение в полном объеме. Поэтому, как это обычно принято при исследо-
исследовании, реальный процесс движения заменяется некоторой упрощенной
моделью.
Математическая модель движения целей представляется в виде неко-
некоторых уравнений и ограничений, характеризующих представления о дина-
динамических свойствах объектов наблюдения и определяющих взаимосвязь их
координат в различные моменты времени. С позиций теории систем сово-
совокупность используемых выражений, в общем случае векторных, описывает
состояние некоторой динамической системы.
Математическая модель строится на основе всестороннего анализа
поведения системы с использованием как априорных сведений, так и ре-
результатов статистических испытаний. Всегда существует противоречие ме-
между стремлением сделать модель системы наиболее полной, чтобы точнее
описать реальный процесс, и необходимостью представления ее в достаточ-
достаточно простой форме, удобной для анализа и использования. Адекватный вы-
выбор модели системы, в данном случае — модели движения объекта, являет-
является одной из важнейших предпосылок, обеспечивающих построение алго-
алгоритма ВО, работающего с требуемым качеством.
Модели движения, используемые при рассмотрении различных объек-
объектов, разделяют на динамические и кинематические в соответствии с исполь-
использованием или неиспользованием в них сведений об инерции движущегося
объекта и силах, воздействующих на него. Кинематические уравнения
обычно проще динамических, в них учитывается движение только центра
масс без выделения причин движения, и именно они чаще всего использу-
используются для нужд вторичной обработки.
В соответствии с выбранной моделью могут рассматриваться сис-
системы, работающие в непрерывном или дискретном времени. Они могут
быть описаны соответственно дифференциальными или разностными
уравнениями. Эти уравнения называются уравнениями состояния дина-
динамической системы. Для задачи построения траекторий их также можно
назвать уравнениями модели процесса движения целей, или просто урав-
уравнениями движения цели.
Собственно параметры траектории являются зависимой от времени
векторной переменной — решением уравнения состояния динамической
системы — и могут быть представлены вектором Ху(/) состояния системы,
281

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
элементы которого — рассматриваемые траекторные параметры некоторой
у-Й траектории (некоторого j-ro объекта) .
Для системы непрерывного времени в общем случае уравнение со-
состояния имеет вид
где Е — вектор некоторых параметров, характеризующих объект, внеш-
внешнюю среду, систему управления и др.; q(*) — векторная функция аргу-
аргументов X, Е, t. Решая уравнение состояния при некоторых начальных ус-
условиях, можно получить вектор состояния динамической системы в лю-
любой момент времени t. Тем самым будет определено движение
некоторого объекта, т. е. найдена зависимость его траекторных парамет-
параметров (фазовых координат) от времени, и может быть построена траектория —
след от движения объекта.
Для динамической системы дискретного времени в общем случае урав-
уравнение состояния имеет вид
где k, k + 1 — целочисленные индексы, обозначающие дискретные моменты
времени, f(*) — векторная функция, характеризующая переход системы из
состояния Хк в Хд+1 (изменение траекторных параметров во времени). Реше-
Решение этого уравнения, как и в предыдущем случае, определит вектор состоя-
состояния системы, но в дискретные моменты времени.
Динамические системы (в данном случае процессы, характеризующие
движение объектов) могут быть детерминированными или стохастическими.
Поскольку реальные системы и воздействие на них внешней среды не может
адекватно описать ни одна детерминированная модель, в ходе построения
траекторий для учета имеющихся неопределенностей и приближений чаще
всего используется стохастическая модель системы. На практике, даже ко-
когда точно известна модель системы, но она описывается сложными матема-
математическими выражениями, имеет смысл упростить модель введением в нее
некоторого эквивалентного случайного возмущения.
В настоящем учебном пособии рассматривается случай дискретного
времени, как наиболее распространенный при проведении ВО.
Чтобы не усложнять запись выражений, при рассмотрении только одной
траектории (одного процесса) индекс, характеризующий номер траектории, здесь и
далее в настоящей главе опускается.
282

6.2. Модели целевой и помеховой обстановки
В общем случае для стохастических динамических систем дискретно-
дискретного времени уравнение состояния имеет вид
X*+i=f(x*> и*. v*> *). F.5)
где и* — р-мерный вектор детерминированных входных воздействий в мо-
момент к, \к — g-мерный вектор случайных возмущений в момент к.
Вектор состояния X системы имеет размерность Ь, соответствую-
соответствующую размерности физического пространства, в котором рассматривается
траектория, и числу фазовых координат в нем, которыми характеризуют-
характеризуются траекторные параметры. Например, для представления вектора со-
состояния в виде F.3) размерность с физического пространства равна 3
(три координаты декартового пространства), число оцениваемых пара-
параметров по каждой физической координате равно 2 (дальность и скорость
при аппроксимации траектории полиномом первой степени (s = 1)); в ре-
результате имеем Ь = c(s +1) = 6. Размерности р и q векторов и* и v* опреде-
определяются непосредственно соответствующими управляющими и возму-
возмущающими воздействиями.
Уравнение F.5) в общем случае нелинейно, имеет стохастический ха-
характер, зависит как от детерминированных, так и от случайных параметров.
Явная зависимость вектора состояния (см. формулу F.5)) от к позволяет
описывать нестационарные системы.
Наиболее часто используются линейные приближения, для которых
уравнение состояния является векторным линейным разностным уравнени-
уравнением вида
Х*+, =F*+A +G*+1u* +Г*+1у*, F.6)
где Fw,Gt+1,rt+1 —известные матрицы размерности bxb, bxp, bxg со-
соответственно.
Матрица F*+i получила название матрицы экстраполяции. Она уста-
устанавливает связь траекторных параметров в моменты к и к + 1 при отсутст-
отсутствии возмущающих воздействий. Матрица Gjh-i характеризует влияние де-
детерминированных возмущений и* в момент к на траекторные параметры в
момент к + 1. Матрица Г*+1 характеризует влияние случайных возмущений
v* в момент к на траекторные параметры в момент к + 1.
Для заданных матриц F^^G^,,!^, очередное состояние X*+i систе-
системы определяется текущим состоянием X* и входными воздействиями u*, v*.
При полиномиальной аппроксимации (см. F.4)) траектории в одно-
одномерном пространстве (с = 1) переходная матрица F*+i имеет вид
283

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
1 г
k+l x\
l\ ... t{
О 1
О О
Ч+l
F.7)
Матрица F*+i имеет в данном случае размерность bxb = c(s + l)x
xc(s + l) и определяется представлением траектории в виде полинома
степени s.
В самом простом случае уравнение состояния является одновременно
и линейным, и детерминированным:
X, , =Ft ,Xt. F.8)
Аг+1 к+\ к vv/<v'/
Естественно, область применения такой модели ограниченна.
При построении траекторий обычно рассматривается линейная модель
динамической системы, которая описывается линейным уравнением состояния
Tk+l\k,
F.9)
где v^ — процесс типа белого гауссовского шума с нулевым средним и ко-
ковариационной (положительно определенной) матрицей
Qt=M{v,vJ}. F.10)
В уравнении F.9) процесс vA. учитывает возмущения траектории
флуктуационного типа (обусловленные неоднородностью среды, неточно-
неточностью системы управления и другими подобного рода факторами).
В радиолокационной практике принято цели разделять на неманеври-
рующие и маневрирующие. Цель называют неманеврирующей, если она
движется по прямой с постоянной скоростью, т. е. по всем физическим ко-
координатам описывается полиномом не выше первой степени, и маневри-
маневрирующей — во всех остальных случаях. Иногда допускают более расширен-
расширенное толкование маневра. Например, для орбит спутников, которые принци-
принципиально имеют нелинейный вид, под маневром понимают лишь переход с
одной орбиты на другую. Иногда любую детерминированную траекторию
относят к случаю неманеврирующих целей. Если это не будет оговорено
специально, мы будем понимать неманеврирующую цель как объект, дви-
движущийся прямолинейно и равномерно.
284

6.2, Модели целевой и помеховой обстановки
Заметим, что необходимо различать линейную модель системы, опи-
описываемую линейным уравнением состояния, и линейную траекторию дви-
движения цели. При линейной модели системы траектория (след от движения
цели) может быть и линейной, и нелинейной. Строго говоря, рассмотренные
выше линейные уравнения состояния только в случае F.8) и только при ис-
использовании полинома первой степени описывают неманеврируюшую цель,
все другие случаи фактически относятся к маневрирующим целям.
В зависимости от особенностей наблюдаемых целей обычно выделя-
выделяют преднамеренные и непреднамеренные маневры, маневры большой и ма-
малой интенсивности и т. п.
Тот или иной вид движения объекта можно рассмотреть на примере
полета воздушной цели. Обычно ее траекторию делят на участки двух ти-
типов: практически прямолинейного движения и криволинейного. Используя
линейные уравнения состояний, выбирая соответствующим образом их па-
параметры, можно описать оба типа участков траектории. В первом случае
движение цели описывают полиномом первой степени и представляют или
моделью с отсутствием маневра F.8), или моделью с непреднамеренным
маневром малой интенсивности F.9). Для описания движения во втором
случае можно, например, использовать модель F.8) при выборе полинома
степени больше первой (детерминированная модель), можно использовать
также и модель F.9).
Обычно выделяют маневрирование по курсовой скорости и по на-
направлению. Для летательных аппаратов маневрирование по курсовой скоро-
скорости ограничено достижимым ускорением, которое редко превышает
@,8...l,O)go, где go = 9,81 м/с2 — ускорение земного притяжения. Маневри-
Маневрирование по направлению ограничено допустимой перегрузкой
«м = gM /gQ = 5...8, где gu — поперечное ускорение маневра. При движении
по окружности со скоростью vM минимальный радиус rmjn траектории связан
с допустимой перегрузкой соотношением
Типичные кинематические параметры различных целей приведены в
табл. 6.1 [61].
Разработчики РЛС, как правило, стремятся упростить уравнения со-
состояния при минимальном ухудшении точности модели. Чаще всего с этой
целью, как уже отмечалось, в уравнения состояния вводится шум, который
учитывает неполноту знаний об истинной модели движения и различные
непредсказуемые явления.
285

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
Таблица 6.1
Кинематические параметры целей
Тип цели
Корабль
Военные:
самолет
ракета
вертолет
Гражданский самолет
Курсовая скорость,
м/с
0...20
50... 1000
200... 1200
0...80
50...300
Параметры поперечного
ускорения цели или
скорости разворота
2 град/с
50... 80 м/с2
до 100 м/с2
1.3--.3 град/с
1,3...3 град/с
Однако в ряде случаев, например при точных расчетах параметров ор-
орбит спутников, траекторий ракет, необходимо использовать подробное опи-
описание моделей движения в виде нелинейных функций, а в особо сложных
случаях переходить от кинематических уравнений к динамическим.
Для траекторной обработки в некотором смысле традицией стало ис-
использование уравнений состояния F.9), где по каждой физической коорди-
координате траектория цели описывается полиномом не выше первой степени с
возмущающим воздействием в виде случайного ускорения, представляемого
белым гауссовским шумом с нулевым средним и некоторой дисперсией.
Этой модели соответствует генеральное движение цели по прямой линии
при непреднамеренном маневре шумового характера. Однако и при более
сложном поведении цели данную модель используют достаточно часто, а
возникающее несоответствие реальному движению компенсируют опреде-
определенным увеличением дисперсии шума.
В уравнении состояния F.9) при описании траектории в трехмер-
трехмерном декартовом пространстве вектор состояний имеет вид
Х = [А,х0 Xxl XyQ XyX Xz0 Я,2,]т, вектор возмущающих воздействий —
v = [#jc 8у gzY> а матрицы имеют вид
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Xk+\
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
хкл
1
286

6.2. Модели целевой и помеховой обстановки
W2
ik
0
0
0
0
0
0
4
0
0
X
0
0
0
0
hl/2
r. . i
F.11)
Дальнейшее совершенствование модели траектории обычно вызыва-
вызывается необходимостью более точного учета маневров цели.
Для учета разнообразных вариантов движения цели в модели F.9)
можно увеличивать степень аппроксимирующего полинома, вводить нену-
ненулевую регулярную составляющую случайного ускорения, зашумление дру-
других фазовых координат, а также использовать негауссовские шумовые воз-
воздействия [61, 63].
6.2.2. Модели отсчетов
Для ВО входной информацией, как уже отмечалось в § 6.1, являются
отсчеты Zxk,Z2k,...,Zik,...,Zmk, поступающие в к-й момент времени с вы-
выхода первичной обработки. При формировании отсчетов определение коор-
координат соответствующих им целей производится на основании анализа неко-
некоторого сигнала (обычно, как показано в гл. 3, корреляционного интеграла).
При наличии шумов (помех), во-первых, возможно необнаружение отсчета от
какой-либо цели или обнаружение помеховых отсчетов, во-вторых, произве-
произведенные первичные измерения имеют некоторые случайные ошибки относи-
относительно истинных значений координат цели.
Поступающие с первичной обработки отсчеты являются для вторич-
вторичной входными наблюдениями. При математическом описании отсчетов их
можно рассматривать как некоторый поток случайных точек. Теория слу-
случайных потоков [68] предполагает, что каждая точка потока (отсчет) появ-
появляется с некоторой вероятностью в соответствующей области определения
(зоне контроля РЛС) и имеет некоторые случайные параметры (измеренные
координаты). Статистика отсчетов в существенной мере достаточно ста-
стабильна для большинства ситуаций, имеющих место на практике, поскольку
входные эхо-сигналы подверглись целенаправленному воздействию проце-
процедур первичного обнаружения и измерения, ориентированных на извлечение
информации оптимальным образом.
При предположении о том, что на выходе первичной обработки каж-
каждому объекту соответствует не более одного отсчета, а каждый полезный
287

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
отсчет порожден не более чем одним объектом, совокупность целевых от-
отсчетов образует поток Бернулли [57]. Это соответствует типичному случаю
наблюдения разрешенных целей: обнаружению отсчета от цели (см. гл. 3,4)
с вероятностью Д>т < 1 и измерению его параметров тем или иным методом
(см. гл. 5). Ошибки нахождения параметров отсчета, как правило, описыва-
описываются нормальным законом распределения с дисперсиями, определяемыми
зондирующим сигналом, отношением сигнал—шум и методом измерения.
При оценке нескольких координат, например дальности, азимута, угла мес-
места, радиальной скорости, соответствующие ошибки могут быть как незави-
независимыми (чаще всего), так и зависимыми. Точностные характеристики
каждого отсчета* Z представляются ковариационной матрицей R ошибок
оценивания первичных измерений, в которой диагональные элементы
состоят из дисперсий ошибок измеряемых параметров, а недиагональные
(ковариации) либо равны нулю, если соответствующие измерения неза-
независимы (коэффициент корреляции равен нулю), либо равны некоторым
ненулевым значениям. Общий вид ковариационной матрицы Z приведен
в выражении F.2).
Поток ложных отсчетов в типичной ситуации является пуассоновским
[57]. Интенсивность потока ложных отсчетов определяется вероятностью
ложной тревоги F0T, длительностью такта Т\ первичной обработки и разме-
размером зоны контроля РЛС. Закон распределения параметров ложного отсчета
можно считать равномерным в зоне контроля РЛС (или в некоторой части
этой зоны). Могут быть и более сложные модели потоков полезных и лож-
ложных отсчетов [57, 68].
Параметры отсчетов, получаемые в ходе первичной обработки, пред-
представляются в станционной (радиолокационной) системе координат; пара-
параметры траекторий в соответствии с требованиями вышестоящей системы
могут оцениваться в той же системе координат или в некоторой другой и,
как правило, с большим числом фазовых координат (обычно за счет допол-
дополнительной оценки скорости, ускорения и т. д.).
Например, пусть параметры отсчета Z размерности а = 4 включают:
дальность до цели г, азимут цели C, угол места 8, радиальную скорость цели
vr, т. е.
Z = [r р 6 vrf.
Вектор состояния X размерности b траектории, представленной в фи-
физической системе координат отсчета размерности с = 3, может быть получен
для полинома первой степени (b = c(s +1) = 3 х 2 = 6) в виде
Чтобы не усложнять запись выражений, при рассмотрении только одного
отсчета (или траектории) индексы, характеризующие номер отсчета (или траекто-
траектории) и временную привязку, здесь и далее опускают.
288

6.2. Модели целевой и помеховой обстановки
Х-[Хг0 Хг1 А,ро А,р, Хе0 Xelj ,
для полинома второй степени (b = c(s + l) = 3x3 = 9) в виде
Х = [Хг0 Хг1 Хг2 Я,ро Х^ Яр2 Хе0 Хг] Хъ2] ,
где Хг0, Хр0, Хе0 — соответствующие координаты положения объекта в
станционной (сферической в данном случае) системе координат в момент
привязки измерений /пр; Хг1, Х^, Хг1 — соответствующие составляющие
скорости объекта в станционной системе координат в момент привязки из-
измерений tnp; Xr2, Хр2, Хг2 — соответствующие составляющие ускорения
объекта в станционной системе координат в момент привязки измерений /пр.
Траектории, представленные не в физической системе координат от-
отсчета, а, например, в трехмерной декартовой в виде полинома первой и вто-
второй степеней, имеют соответственно векторы состояний
:0 \\ ^х2 ^уО hy\ ^y2 ^zO K\ ^z2 J »
где Хх0, Ху0, Xz0 — соответствующие координаты положения объекта в
декартовой системе координат в момент привязки измерений t^; Xx], Ху1,
XzV — соответствующие скорости объекта в декартовой системе координат
в момент привязки измерений tnp; Хх2, X 2, Xz2 — соответствующие уско-
ускорения объекта в декартовой системе координат в момент привязки измере-
измерений /пр.
Траекторные параметры некоторой цели для заданного момента
времени, как правило, однозначно определяют соответствующие пара-
параметры отсчета. Например, если рассматривается равномерное прямоли-
прямолинейное движение цели на плоскости и вектор траекторных параметров
имеет вид
а отсчет Z = [г р ]т получен в полярной (станционной) системе с общим
началом координат, то связь пространства параметров отсчета с пространст-
пространством параметров траектории (при отсутствии шумов измерений) определяет-
определяется векторным соотношением
ш 7Ы6 289

б. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
F.12)
Заметим, что вычисление вектора X по единственному отсчету не все-
всегда возможно, поскольку необходимые для этого измерения могут отсутст-
отсутствовать на этапе первичной обработки радиолокационной информации.
Функция связи h(X) пространства параметров отсчета с простран-
пространством параметров траектории может быть нелинейной (как в приведен-
приведенном выше примере) и линейной. В простейшем случае линейная функция
связи встречается при использовании одних и тех же физических коор-
координат для полиномиального представления фазовых координат отсчета и
траектории. Например, пусть рассматривается равномерное прямолиней-
прямолинейное движение цели в полярной системе координат с вектором траектор-
ных параметров
а отсчет получается в той же системе координат, но без скоростных компо-
компонент:
тогда связь пространства параметров отсчета с пространством параметров
траектории или параметров отсчета с параметрами траектории (при отсутст-
отсутствии шумов измерений) определяется соотношением
h(X) = [rP]T, r = Xr0, p = A.po. F.13)
Если истинные траекторные параметрыу'-й цели в k-й момент времени
равны Xjh то параметры отсчета Z,* от той же цели в тот же момент времени,
полученные на выходе первичной обработки информации, всегда будут ис-
искажены шумами измерения (см. гл. 5). В самом общем виде можно записать
Zft=g(X,ftfettf*), F.14)
где ел — r-мерный вектор ошибок измерения параметров отсчета, g(*) —
векторная функция аргументов XJk, eik, k.
Соотношение F.14) называется уравнением измерений. Пользуясь
терминологией теории систем, можно сказать, что функция g(*) отображает
внутреннее состояние системы Ху* на измеряемые параметры отсчета Zik, a
290

6.2. Модели целевой и помеховой обстановки
также характеризует влияние случайных ошибок первичных измерений.
Введение в явной форме в уравнение F.14) зависимости от к так же, как и в
F.5), позволяет описывать нестационарные процессы в ходе первичных из-
измерений. Функция g(*) может быть линейной и нелинейной.
В случае отсутствия ошибок измерений при нахождении отсчета
функция g(*) совпадает с соответствующей функцией связи пространства
параметров отсчета с пространством параметров траектории. Например,
если рассматривается равномерное прямолинейное движение цели на
плоскости, а отсчет получается в полярной системе координат, то функ-
функция g(*) описывается нелинейными соотношениями F.12); если рассмат-
рассматривается равномерное прямолинейное движение цели в полярной системе
координат и отсчет получается в той же системе координат, то функция
g(*) описывается линейными соотношениями F.13). Ошибки измерения
параметров отсчета могут учитываться в уравнении измерений как нели-
нелинейно, так и линейно.
Особое место в теории систем и во вторичной обработке информации
занимает случай, когда уравнение измерений является линейным. Тогда его
можно представить в виде
Zik=HkXJk+eik, F.15)
где Н* — известная матрица пересчета пространства состояния динамиче-
динамической системы (пространства траекторных параметров) в пространство от-
отсчетов. Матрица Н* получила название матрицы связи пространства пара-
параметров отсчета с пространством траекторных параметров. Для приве-
приведенного выше примера, когда функция h(X) описывается соотношением
F.13), имеем
Н*=[Ю10].
Обычно вектор е*, характеризующий шум измерений параметров от-
отсчета, является реализацией случайного процесса типа белого шума с нуле-
нулевым средним и матрицей ковариации
Диагональные элементы матрицы R,* представляют дисперсии ошибок
измерений параметров отсчета.
ю* 291

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
6.3. Оценка траекторных параметров
по фиксированной выборке.
Экстраполяция траекторных параметров
Оценка траекторных параметров движения цели в соответствии с об-
общей структурной схемой ВО проводится в блоке О (см. рис. 6.2) по отсче-
отсчетам, отобранным в ходе операции селекции и относящимся к одной цели. Не
учитывая возможные ошибки селекции, положим, что параметры каждойу-й
траектории должны оцениваться по набору относящихся к ней отсчетов, по-
полученных с начала ее наблюдения t\ до текущего момента времени /*:
tlf =[Zj{tx) Zj{t2) ... Zj(tk)J. F.16)
Предполагается, что набор данных Q^ по каждой траектории у фор-
формируется в процессе селекции кластером первого вида (см. рис. 6.3, а). В рам-
рамках базовых алгоритмов ВО оценивание траекторных параметров проводит-
проводится по каждой траектории независимо друг от друга.
Для решения задачи оценивания траекторных параметров в настоящее
время обычно используют два подхода: на основе фиксированной выборки
измерений и на основе последовательных во времени измерений при рекур-
рекуррентном уточнении параметров траектории [61, 63, 67].
В первом случае в текущий момент времени tk по данным предыду-
предыдущих п тактов первичной обработки сначала для некоторой у-й цели форми-
формируют фиксированную выборку наблюдений, являющуюся некоторой частью
полного объема отсчетов ?lj\ полученных по этой траектории:
пр =[г,(*Мй_п) z.(W:))... zf(tk)J. F.17)
Затем по этой выборке проводится оценка Х,(/пр) траекторных парамет-
параметров на некоторый момент времени /пр (обычно предполагают, что /пр = tk; см.
п. 6.1.2).
Во втором случае для некоторойу-й цели оценку Xj(tk) траекторных
параметров вычисляют рекуррентно после получения в текущий момент
времени tk с первичной обработки соответствующего отсчета Zj (tk) с уче-
Л
том оценки XJ(tk_l) траекторных параметров на предыдущем такте.
При оценке по фиксированной выборке, как правило, используются
очень простые, детерминированные и потому «грубые» модели F.8) движе-
292

6.3. Оценка траекторных параметров по фиксированной выборке
ния целей. Это вполне допустимо при малом временном интервале
At = (tk -/?_(„_!)) формирования выборки (при выборе малого At любую
кривую можно аппроксимировать с точностью, достаточной для практиче-
практических задач, даже отрезком прямой линии). На практике оценку траекторных
параметров по фиксированной выборке обычно применяют либо в режиме
«скользящего» окна для заданного интервала At (или, что то же самое, по
соответствующей величине объема выборки п), либо в ходе операции завяз-
завязки, когда информация о параметрах движения цели еще крайне скудна и не-
необходимо получить о траектории движения цели первые сведения.
Для нахождения оценки траекторных параметров по фиксирован-
фиксированной выборке чаще всего используют метод максимального правдоподо-
правдоподобия (см. гл. 5).
Опуская (для упрощения записи) номеру анализируемой траектории и
считая /*_(„_!) первым моментом времени, /*_(„_2) — вторым, ..., 4 — и-м,
входную выборку отсчетов можно записать в виде
Для линейного уравнения измерений F.15) и стационарной матрицы
связи H = Hj,...,Ни имеем
Z2=HX2+e2,
ги = нхи+?„.
где Х„ / = 1, 2, ..., п, — траекторные параметры цели в i-н момент времени;
8,-, / = 1, 2, ...,«, — ошибки измерения параметров цели (в пространстве на-
наблюдений отсчета) на этапе первичной обработки в /-й момент времени.
Для полиномиальной детерминированной модели F.8) движения це-
цели, положив /т> = tn, имеем
Xj =FjX,
где Х = ХИ, F1=F(x1), F2=F(t2), ..., Fn =F(xJ = F@) = I (см. F.7)),
Ti ~h ~fn> X2 ~h ~ln> •••> xn =tn ~ln =0 — времена экстраполяции, I —
единичная матрица. Тогда
293

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
Z,=HF,X + 8,,
Z2=HF2X + 82,
Полученную систему уравнений обычно представляют в векторном
виде:
F.18)
wa=[hf,t hf2t ... hf;]\
... еи]т.
Например, при полиномиальной аппроксимации траектории в про-
пространстве с одной физической координатой с = 1 (см. F.4)) матрица А имеет
вид
А =
При гауссовской модели ошибок измерения параметров отсчета (см.
п. 6.2.2) для совокупности ошибок Е^ закон распределения будет также
нормальным:
"l
1
1
x2
<
/2!
/2!
/2!
... x\
ls\
ls\
/5'
где а — размерность отсчета, 9?(и) — ковариационная матрица совокупно-
совокупности ошибок измерения параметров отсчетов Е(п).
Учитывая соотношения F.18) и F.19), можно получить функцию
правдоподобия совокупности отсчетов 12(и):
- AX]J, F.20)
где С — постоянный множитель.
Находя экстремум функции F.20) после ее логарифмирования и диф-
дифференцирования по составляющим вектора оцениваемых траекторных па-
раметров, приравнивая производную нулю при X = X, получим векторное
уравнение правдоподобия
294

6.3. Оценка траекторных параметров по фиксированной выборке
Ат [<Н(и)]~ [П(и) - АХ] = 0. F.21)
Решая векторное уравнение F.21), получим оценку траекторных па-
параметров
F.22)
где Y является ковариационной матрицей полученных оценок траекторных
параметров:
. F.23)
Если вектор X состоит из b траекторных параметров, то ковариацион-
ковариационная матрица Ч? имеет размерность bxb:
каждый диагональный элемент этой матрицы является дисперсией соответ-
соответствующего траекторного параметра, а недиагональный — ковариацией со-
соответствующих траекторных параметров (см. п. 6.1.2).
Заметим, что полученные на основании критерия максимума функции
правдоподобия соотношения F.22) и F.23) в случае нормальных ошибок
измерений совпадают с результатами, которые следуют из критерия мини-
минимума средневзвешенных квадратов, а в предположении об априорном рав-
равномерном распределении оцениваемых параметров — и из критерия макси-
максимума апостериорной плотности вероятности.
Выражения F.22) и F.23) позволяют решать задачи, связанные с
оценкой траекторных параметров по фиксированной выборке как для про-
простейших случаев, так и для достаточно сложных [67].
» г- » « -|Х
Например, найдем оценку X = I Хо Я., J траекторных параметров ли-
линейной (s = 1) траектории Х = [Х.О Я,,]т для некоторого одномерного (с = 1)
физического пространства (индекс, обозначающий рассматриваемую коор-
координату физического пространства, для сокращения записи опущен) с числом
фазовых координат b = c(s + l) = 2 в условиях некоррелированных, равно-
равноточных ошибок измерения параметров совокупности отсчетов Q , со-
состоящих из координатных членов zh i = \,2,...,n:
295

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
=[z, z2
...zj,
в той же физической системе координат, что и X (при этом Н = [1 0]), и
получаемых через равные (равнодискретные) промежутки времени Т = const
(при этом т, = T(i - «)).
В данном случае имеем
<K(w)=a2I,
где <з\ = а2. =... = &1 = а2. —дисперсии ошибки единичного измерения па-
параметров отсчетов в 1-й, 2-й, ..., «-й моменты времени (заметим, что в дан-
данном случае ковариационная матрица R, каждого /-го отсчета есть скаляр <з\).
Подставляя исходные данные в выражения F.22), F.23), получим
v
1 "
1=1
где
6B/-«-1)
п(п2-\) ^Й
получим также
F.24)
= I 1^=0 ; F.25)
F.26)
где
= а
12
-. При
г «(«2 - \)Т2
этом vj/,, = а^ — дисперсия оценки ошибок траекторного параметра Хо
(координатного члена) в момент привязки измерений tnp =tn, <ц22 = а\ —
дисперсия оценки ошибок траекторного параметра Хх (скоростного члена) в
момент привязки измерений tnp =/и, у12 = kXoXioXoaX] — ковариация оши-
ошибок измерения параметров Хо и Хх, кх х — коэффициент корреляции оши-
ошибок оценивания траекторных параметров Хо и Х1.
296

6.3. Оценка траекторных параметров по фиксированной выборке
Зависимости нормирован-
нормированных безразмерных элементов
ковариационной матрицы оши-
ошибок оценки параметров линейной
траектории от объема выборки п
показаны на рис. 6.5. Как видно
из этого рисунка, для рассмот-
рассмотренной модели траектории дви-
движения цели и модели измерений
при увеличении п уменьшаются
ошибки оценки траекторных па-
параметров. Для достижения за-
заданной точности оценки траек-
траекторных параметров исходя из этих графиков можно найти необходимый
объем выборки. При п -» оо ошибки стремятся к нулю.
Аналогичные результаты можно получить, используя соотношения
F.22) и F.23) для любого набора параметров отсчета и траектории. Напри-
Например, пусть параметры отсчета в /-й момент времени помимо измерения ко-
координаты zOl включают и скорость ее изменения z», т.е. Zf. =[% zu]T, a
точности измерения характеризуются ковариационной матрицей
10 п
Рис. 6.5. Нормированные элементы кова-
ковариационной матрицы
R; — R. —
а. а.
\ zo zi
к,, cj. a,
_ ZOZ1 ZO 2
где а
zo;
z0zl
— соответственно среднеквадратические отклонения
(СКО) и коэффициент корреляции ошибок измерения координаты и скоро-
скорости ее изменения.
Все измерения (отсчеты), которые после операции селекции сформи-
сформированы для некоторой цели (индекс траектории для упрощения записи здесь
также опускаем) в виде некоторой фиксированной выборки объемом п, за-
запишем следующим образом:
^ =L201 Z02 •"Z0n Zll Z\2 —Z\n\ •
Соответственно, ковариационная матрица 91(и) ошибок совокупности
измерений при отсутствии корреляции в разные моменты времени будет
иметь вид
297

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
<К(и) =
о
0 ф«*
О 0 ср
о
ад
0
0
0
0
- <
... 0
... 0
0
а*
0
0
<
... 0
... 0
Фд
где ср.. = к7, ст. а..
•"* fZ02i Z0Z, Z0 Z]
1
х,
_xf/2
1
х2 ...
х^/2 ...
1
\
х2п/2
0
1
h
0 ...
1 ...
х2 ...
0
1
х
Если, например, вектор оцениваемых параметров является траектори-
траекторией, описываемой полиномом второй степени, в той же физической системе
координат, что и параметры отсчета, т. е. Х = [Х0 \ Х2]т, то для рассматри-
рассматриваемого примера матрица А имеет вид
А =
Заметим, что матрицу А для данного примера можно переписать в виде
F.27)
где Vx — векторный оператор дифференцирования; Ь,х (X, х) — соотноше-
соотношение, описывающее траекторию движения цели; %х (X, х) — соотношение,
описывающее траекторию скорости цели (см. п. 6.1.2).
Подставляя матрицы П(п), $К(п) и А в выражения F.22), F.23), полу-
получим соотношения для оценки искомых траекторных параметров и их точно-
точностей. Для равноточных равнодискретных некоррелированных ошибок изме-
А
рения параметров отсчетов в фиксированной выборке оценка X и ковариа-
ковариационная матрица Y будут находится из соотношений F.24)—F.26).
298

6.3. Оценка траекторных параметров по фиксированной выборке
Ошибки оценки траекторных параметров при увеличении п также умень-
уменьшаются и при п -» да стремятся к нулю. Полученный результат полностью
объясним для выбранной детерминированной модели движения цели F.8).
При равноточных равнодискретных измерениях оценка траекторных
параметров, как видно из F.24), производится нерекурсивным фильтром.
Для получения таким фильтром текущей оценки на момент последнего из-
измерения необходимо обеспечить его работу в режиме «скользящего окна»,
когда при поступлении нового измерения первое измерение отбрасывается,
все остальные сдвигаются, новое измерение становится и-м.
В реальных условиях, рассматривая движение объекта на сравнитель-
сравнительно небольшом временном интервале, методику нахождения оценки X F.22)
А
и ковариационной матрицы *F F.23) можно распространить и на изначаль-
изначально неполиномиальную траекторию, и на нелинейную связь пространства
параметров отсчета с пространством параметров траектории (см. п. 6.2.2),
произведя линеаризацию уравнения состояния и функции связи h(X). Тогда
таким же образом, как в приведенных выше примерах, представляются па-
параметры X, Q(w), SR(w\ а матрица А находится в соответствии с выражением
AT = Vx[hT(X(x,)) hT(X(T2)) ... Ьт(Х(т„))],
после чего, подставляя матрицу А в соотношения F.22) и F.23), получим
искомую оценку траекторных параметров и соответствующую ковариаци-
ковариационную матрицу.
Если априори не известна степень полинома, которым целесообразно
описывать движение некоторого объекта наблюдения, то эту задачу можно
решать следующим образом. Будем характеризовать качество полученных
оценок траекторных параметров следующим квадратичным показателем:
Дп) = [П(п) - AXj [Kin)Jl [П(п) - АХ].
В случае гауссовского шума J(n) имеет х2-распределение с г степенями
свободы (г = па-Ь, а — размерность параметров отсчета, Ь — размерность
траекторных параметров).
Если выбранная степень полинома мала, то
где xj(l-ct) —квантиль соответствующего %1 -распределения для вероят-
вероятности ошибочного решения а, которая обычно выбирается в диапазоне от
0,01 до 0,1.
299

6. Основы вторичной обработки радиолокационной информации
Если выбранная степень полинома слишком велика, то оценка будет
статистически недостоверной. Этот факт можно установить из нарушения
распределения параметров оценки компонент траекторных параметров по
соответствующей физической координате, например х. Распределение каж-
каждого траекторного параметра Xxj, / = 0,1,..., s, должно подчиняться нор-
нормальному закону N["k.xi,yu], где уи — дисперсия оценки траекторного
параметра \xi, а лТт,а2] — оператор нормального закона распределения
с математическим ожиданием т и дисперсией а2. Если по результатам ста-
статистической проверки окажется, что величину траекторного параметра
Xxi, i > 0, с высокой вероятностью можно считать равной нулю (верна гипо-
гипотеза Но), то лучше отказаться от оценки данной фазовой координаты.
Гипотезу Н\ (параметр Xxi не равен нулю) можно принять, если
а
/Ч>//
где F(l-a/2) — квантиль стандартного нормального распределения для
вероятности ошибочного решения а.
Если гипотеза Н\ отвергается, то недостоверный траекторный пара-
параметр исключается из вектора состояний и оценки траекторных параметров
находятся заново для вектора состояний меньшей размерности.
Часто необходимо предсказать (экстраполировать) параметры траек-
траектории на любой момент времени tm, отличный от момента /пр = /* привязки
траектории. Для полиномиальной модели траектории — уравнения состоя-
состояния типа F.8) — экстраполированную оценку траекторных параметров Хэт
можно найти с учетом линейного преобразования случайных величин анало-
аналогично F.17):
Хш=?тХк, F.28)
где тт =tm-tk — время экстраполяции.
Можно показать, что экстраполированная ковариационная матрица в
этом случае имеет вид
^ = Wi- F-29)
Оценка траекторных параметров, рассмотренная в данном параграфе, ис-
используется, как уже отмечалось, для сравнительно небольшого объема выбор-
выборки, согласованного с особенностями движения объекта лоцирования и усло-
300

6.4. Рекуррентная оценка траекторных параметров
виями измерения. Чаще всего подобный подход реализуется на этапе завязки
траектории (блок 3 на рис. 6.2) при небольших выборках, число элементов ко-
которых редко превышает 10.
6.4. Рекуррентная оценка траекторных параметров
6.4.1. Основные соотношения калмановской фильтрации
При рекуррентной (последовательной) оценке траекторных парамет-
параметров некоторой j-й цели* их уточнение производится после поступления каж-
каждого нового &-го отсчета с выхода первичной обработки. Значения преды-
предыдущих отсчетов, как это предполагается при оценке по фиксированной вы-
выборке, не хранят, используют лишь данные о траекторных параметрах
предыдущего шага. Такой подход применяется сейчас наиболее часто. Это
удобно по ряду причин: при последовательной обработке точность оценки
не ограничена фиксированным числом используемых данных, после посту-
поступления новых измерений с выхода первичной обработки не требуется по-
повторения расчетов при использовании большого числа «старых» входных
данных, как в режиме «скользящего окна», наконец, организация рекур-
рекуррентного вычислительного процесса более удобна и естественна при наблю-
наблюдении в течение неопределенного числа тактов за перемещающейся целью.
Алгоритм рекуррентной оценки в ходе своей работы уменьшает воз-
воздействие различных шумов на определяемые параметры, иначе говоря, осу-
осуществляет их фильтрацию, именно по этой причине он может рассматри-
рассматриваться в виде некоторого фильтра.
Рекуррентные соотношения для оценки траекторных параметров, яв-
являющиеся разновидностями формул калмановского фильтра, давно исполь-
используют при построении траекторий различных объектов. Для дискретного
времени уравнения калмановской фильтрации в классическом случае были
получены при рассмотрении задачи оценивания состояния стохастической
линейной динамической дискретной системы с уравнением состояния F.6)
по данным линейных и