Прикладная нестационарная гидрогазодинамика: Учебное пособие - Рудой Б.П.

Автор: Рудой Б.П.
Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа авиация двигатели летательные аппараты учебное пособие газовые турбины
Год: 1988
Похожие
Метрологическое обеспечение производства и испытаний газотурбинных двигателей летательных аппаратов. Средства и методы измерения: Учебное пособие
Конструкция и летная эксплуатация двигателя АИ-25: Учебное пособие
Теория компрессоров и турбин авиационных ГТД: учебное пособие
Теория газовых турбин реактивных двигателей
Текст
                    

Б. П. Рудой

ПРИКЛАДНАЯ
НЕСТАЦИОНАРНАЯ
ГИДРОГАЗОДИНАМИКА
УДК 532. 5(07)

Рудой Б. П. Прикладная нестационарная гидрогазодинамика: Учебное пособие
Уфа: УДИ. 1988. 184 с.

В учебном пособии рассматривается движение уединенных волн конечной
амплитуды, ударных волн и контактных разрывов. Представлены численные ме-
тоды расчета одномерных нестационарных газовых течений с различными воздей-
ствиями: геометрическим, энергетическим и массовым.

Учебное пособие предназначено для студентов, специализирующихся по дви-
гателям летательных аппаратов и их системам. Может быть использовано аспиран-
тами, инженерами и научными сотрудниками в области двигателестроения.

Ответственный редактор А. К* Хамидуллин.

Рецензенты: Г. Н. Абрамович, проф., д-р техн. наук.

Б. С. Виноградов, проф., канд. техн. наук.

Печатается по решению редакционно-издательского совета института.
Темплан 1987 г., поз. 70

(с?«уфимскии ордена Ленина авиационный институт им. Серго Орджоникидзе, 1УЙЙ
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

УФИМСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
ИМ. СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

Б. П. Рудой

ПРИКЛАДНАЯ

НЕСТАЦИОНАРНАЯ
ГИДРОГАЗОДИНАМИКА

Учебное пособие

Допущено Государственным комитетом СССР по народному
образованию в качестве учебного пособия для студентов выс-
ших учебных заведений, обучающихся по специальности «Авиа-
ционные двигатели и энергетические установки»
ПРЕДИСЛОВИЕ

В авиации, как и в других отраслях техники, все больше появляется систем,
в которых, если не определяющую, то, по крайней мере, значительную роль иг-
рают нестационарные газодинамические процессы.

Летательные аппараты отличаются широким спектром назначения: от спор-
тивных моделей до космических кораблей. Если рассмотреть используемые в них
энергетические установки, то обнаружим, что применяются практически все из-
вестные работоспособные тепловые двигатели: поршневые и роторно-поршневые,
газотурбинные и ракетные.

В поршневых и роторно-поршневых, как и пульсирующих воздушно-реак-
тивных двигателях, рабочие процессы по своей природе являются нестационар-
ными .

В газотурбинных и реактивных двигателях в большинстве случаев к неста-
ционарным можно отнести переходные режимы. Однако в системах регулирова-
ния, механизации, управления и других, обслуживающих эти двигатели,рабочие
процессы также являются нестационарными.

Все большее применение находят в практике научных исследований и испы-
таний двигателей и его элементов установки и стенды, в основе рабочего процесса
которых лежит нестационарное движение газа. В качестве примера можно при-
вести импульсные аэродинамические трубы и ударные трубы, используемые для
получения гиперзвуковых скоростей и высоких температур рабочего тела.

Перечень машин, аппаратов и систем, в которых наблюдаются нестационар-
ные газодинамические процессы, непрерывно расширяется. И это неслучайно.
Повышение технико-экономических требований к агрегатам заставляет проекти-
ровщиков, конструкторов, инженеров обращаться к решениям, в основе которых
лежат нестационарные процессы.

Если же рассмотреть современные учебники и учебные пособия по приклад-
ной газодинамике, то нетрудно заметить, что нестационарным газодинамическим
процессам уделяется ничтожно мало внимания или они совсем не рассматрива-
ются.

В этом учебном пособии, предназначенном для подготовки специалистов
по авиационным двигателям и энергоустановкам, автор пытается в некоторой
степени ликвидировать этот пробел.

При написании учебного пособия предполагалось, что читатель знаком с
разделами математики в объеме, обычно читаемом в авиационных вузах.

Несмотря на то, что автор рассматривал это учебное пособие как допол-
нение к известным учебникам «Прикладная газовая динамика» проф. Абрамо-
вича Г. Н. и «Прикладная газовая динамика» проф. Виноградова Б. С. и пред-
полагал, что читатель уже знаком с ними, для логической целостности изложе-
ния были введены разделы I, в котором очень кратко изложены основные урав-
нения динамики газа, и 2.5 «Газодинамические функции для одномерных изэн-
тропных стационарных течений». Это, кроме того, обеспечивает некоторую авто-
номность учебного пособия, что расширяет круг возможных читателей, не
изучавших прикладную газовую динамику в вузе.
Введение

Газовая динамйка изучает движение сжимаемых сред (газов).
Нестационарная газовая динамика является одним из ее разде-
лов, в котором рассматривается движение волн давления, скоро-
сти и взаимодействие их между собой и с другими телами.

Исторически отправным пунктом при разработке этого раздела
газовой динамики явились методы теории звука, основы которой бы-
ли заложены Ньютоном. Пуассон и Ирншоу первыми применили
эти методы при решении задачи о распространении возмущений
конечной амплитуды в одном направлении. Риман предложил
метод, удобный при изучении поведения волн, распространяю-
щихся в противоположных направлениях. Он первый обосновал
изменение профиля волны конечной амплитуды со временем и, в
частности, обнаружил, что в волне сжатия крутизна постепенно
увеличивается, что приводит к образованию разрывов. Н. Рэн-
кин и А. Гюгонио провели исследование таких разрывов с точки
зрения законов сохранения и установления связи разрывов с
ударными волнами, наблюдаемых при взрывах. Эти работы яви-
лись основой для изучения нестационарных газодинамических
процессов.

Вторая мировая война стимулировала дальнейшее изучение не-
стационарных газодинамических процессов. Во-первых, по оче-
видным причинам повысился интерес к взрывам и волнам давле-
ния, порождаемым взрывами. Во-вторых, во время войны в Гер-
мании были созданы снаряды V —1 с пульсирующими воздушно-
реактивными двигателями. Для изучения поведения волн конеч-
ной амплитуды в этом двигателе был усовершенствован метод ха-
рактеристик, позволивший численно рассчитывать движение газа
в двигателе.

Большую роль в изучении нестационарных газодинамических
процессов сыграла изобретенная во Франции в 1890 г. Виэйном
ударная труба, которую он применил для опытов по распростра-
нению пламени. Широкие возможности ударных труб позволили
использовать их для изучения самых разнообразных газодинами-
ческих проблем, в частности, для проведения гиперзвуковых ис-
следований. Необходимость точно определять параметры при ис-
пользовании их в исследовательских целях, стимулировала раз-
витие теории нестационарных течений с разрывами. Важной ве-
хой в этих исследованиях явилась работа Кочина Н. А. о распаде
произвольного разрыва, выполненная им в 1934 г.

Большинство практически важных задач нестационарной га-
зодинамики не имеют аналитического решения. Однако развитие
науки и техники требовало разработки методов расчета нестацио-
нарных газодинамических процессов. Это способствовало, наряду
с развитием вычислительной техники, созданию численных мето-
дов интегрирования уравнений газовой динамики. Известно,что
всякий численный расчет позволяет получить результат лишь для
конкретных частных условий. Рост быстродействия ЭВМ, разра-
ботка экономных численных методов, использование методов по-
добия позволили применить технологию получения результатов в
широком поле возможных изменений параметров рассчитываемых
объектов, которая применяется в физическом эксперименте. Так
родился метод «вычислительного эксперимента».

В разработку теории нестационарных газодинамических про-
цессов и математических методов их исследования большой вклад
внесли советские ученые Н. Е. Жуковский, Л. А. Ландау,
Л. И. Седов, Я. Б. Зельдович, К- П. Станюкович, А. А. Самарский,
Н. Н. Яненко, Г. И. Марчук и др. Развитие этой теории продолжа-
ется и в настоящее время.

Расчет многомерных нестационарных задач газовой динамики
пока еще остается на уровне искусства и поэтому доступно лишь
небольшому кругу специалистов. Одномерные задачи начали ши-
роко внедряться в инженерную практику, в связи с чем в этом
учебном пособии в основном рассматриваются одномерные не-
стационарные течения газа.
Условные обозначения

а — скорость звука;

ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении;

С’с — удельная теплоемкость при постоянном объеме;

О — коэффициент диффузии;

е — удельная внутренняя энергия;

Р — площадь;

/т — сила трения в трубопроводе;

§—ускорение свободного падения;

/ — плотность тока;

1± — инварианты Римана;

I — энтальпия;

г* — энтальпия стационарно заторможенного потока;

к = -- — показатель адиабаты;

р — давление;

р0, То — параметры окружающей среды;

р°, Т° — параметры нестационарно заторможенного потока;

р*, Т* — параметры стационарно заторможенного потока;

ре — давление в емкости;

7В — тепло, подводимое внутри системы;

7” — тепло, подводимое к системе извне;

— газовая постоянная;

5	— энтропия;

5	— удельная энтропия;

Т — температура;

I — время;

к/ — внутренняя энергия;

и — скорость;

V — удельный объем;

Хт — коэффициент потерь на трение;

р, — динамический коэффициент вязкости;

р — плотность;

о — коэффициент восстановления полного давления;

> — кинематический коэффициент вязкости.
Остальные обозначения пояснены в тексте.
1.	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ГАЗА

1.1.	Модель тела в газодинамике

Как и большинство физических тел, газ состоит из молекул
и атомов. В рамках классической механики системы материаль-
ных точек описание движения большого числа одних и тех же
взаимодействующих во внешнем силовом поле частиц практиче-
ски невозможно. Это связано с двумя причинами. Во-первых, из-за
объемности системы уравнений, описывающей движение всех моле-
кул газа (чтобы представить себе эту систему уравнений необхо-
димо вспомнить, что в 1 мм3 газа при нормальных условиях на-
ходятся ~1016 молекул, движение которых описывается в 6 раз
большим числом дифференциальных уравнений первого порядка).
Во-вторых, для каждой молекулы необходимо задать начальные
условия, которые неизвестны. Специальный подход к этой пробле-
ме дают методы статистической механики, позволяющие связать
характеристики движения молекул, составляющих определенную
совокупность, с макроскопическими характеристиками этого кон-
тиниума: плотностью, давлением, температурой, энтропией и т. д.
Однако такой подход не позволяет описать движение газа, но дает
возможность отвлечься от дискретного строения тела и предста-
вить его в виде некоторой субстанции, непрерывно заполняющей
геометрическое пространство, а средние величины, характеризую-
щие движение совокупности молекул, принять за истинные. Эта
идея составляет суть гипотезы сплошности. На этой гипотезе по-
строена механика сплошных сред, разделом которой является га-
зодинамика.

В связи с гипотезой сплошности требуется уточнение понятий:
малый, бесконечно малый объем газа. Под этими понятиями всегда
будет подразумеваться «физически» бесконечно малый объем, т. е.
объем, достаточно малый по сравнению с объемом тела, но боль-
шой по сравнению с межмолекулярными расстояниями (или дли-
ной свободного пробега молекулы).

1.2.	Методы изучения движения газа

Движение можно описать лишь по отношению к некоторой
системе отсчета — системе координат. С помощью системы коор-
динат устанавливается соответствие между числами и точками про-
странства, в котором движутся материальные частицы. Выделяют
два метода изучения движения
сплошной среды — метод Лаг-
ранжа и метод Эйлера.

В связи с тем, что расстоя-
ния между частицами в газе не
остаются постоянными как в
абсолютно твердом теле, дви-
жение газа можно считать оп-
ределенным только в том слу-
чае, если известно все поле
скоростей и ~ и (х, у, г, I).
Состояние движущегося газа
считается определенным, если
известно поле двух термоди-

намических величин, например давления р(х, у, 2, I) и плотности
р (х, у, г, /)•

При изучении движения газа методом Лагранжа необходимо
следить за «судьбой» каждой из частиц. Это можно сделать, если
обозначить каждую частицу ее начальными координатами (а, Ь,
с) в начальный момент времени (/ = /0). Координаты (а, &, с) назы-
ваются переменными Лагранжа. Движение считается определен-
ным, если известно решение системы уравнений:

х = х (а, Ь, с, /);
у = у (а, Ь, с,0;

2 = 2 (а, Ь, с, I).

(1.1)

Уравнения (1.1) описывают семейство траекторий всех частиц
газа (рис. 1.1).

Если при исследовании интерес представляет не история дви-
жения индивидуальных частиц газа, а то, что происходит в разные
моменты времени в данной точке пространства, связанного с сис-
темой отсчета наблюдателя, то используется метод Эйлера. Неза-
висимые переменные здесь — х, у, г, I. Они носят название пере-
менных Эйлера. Движение в этом случае считается известным,
если скорость задана как функция х, у, 2 и /, т. е. функции

с1х

Нх = ~7 ”	(^, У> О»

ат

и =-^- = иу (х, у, г, /);
7 ат 7

Иг = — = и (X, у, г, I)
ат

(1.2)

определены.

Для перехода от решений в форме Эйлера к решениям в форме

Лагранжа необходимо решить систему обыкновенных дифферен-

циальных уравнений (1.2), приняв в качестве постоянных инте-
грирования (при I = 0) величины а, Ь, с.
Для перехода к решениям в форме Эйлера от решений в форме
Лагранжа нужно разрешить систему уравнений (1.1) относительно
переменных Лагранжа (а, Ь, с):

Если скорость задана в соответствии с точкой зрения Лагран-
жа

(^1> ^2» ^3, О’

а3, О?

«3, 0.

то, подставляя вместо переменных (а, Ь, с) их значения из (1,3),
находим скорость (как и другие параметры движущегося газа)
как функцию переменных Эйлера (х, у, г), т. е. переход от движе-
ния, заданного по Лагранжу, к описанию движения по Эйлеру
сводится к разрешению неявных функций. Очевидно, что описание
движения газа по методу Лагранжа и Эйлера в механическом от-
ношении совершенно эквивалентно друг другу.

Однако с точки зрения процесса получения решений как ана-
литических, так и численных выбор метода может сыграть ре-
шающую роль. Существуют эффективные численные методы для
расчета нестационарных течений газа, в которых одновременно
используются как переменные Лагранжа, так и переменные Эй-
лера (например, метод частиц в ячейках, метод крупных частиц
и др.).

1.3. Уравнение сохранения массы

Воспользуемся переменными Лагранжа, для чего выделим в
газе произвольный объем V. Тогда масса, заключенная в этом
объеме, равна (рйУ = \рс1ас1Ьс1с, где р — плотность газа в

V	V

выделенном объеме. В соответствии с законом сохранения массы
для выделенного объема V необходимо записать

ЩрдЬдЕМс = 0.	(1.4)

ил ь у

Это равенство выражает тот факт, что масса любого жидкого
объема остается неизменной с течением времени, как бы не изме-
нилась его форма. Пользуясь представлениями Эйлера, уравнение
сохранения массы можно получить, рассматривая поток газа через
неподвижную пространственную область Уо. Масса жидкости,,
заключенная в этом объеме, есть |‘рсЧЛ Через элемент йр по-

Ч

верхности, ограничивающей объем Ео, в единицу времени проте-
кает количество газа риЛР. Вектор йр по абсолютной величине
равен площади элемента поверхности и направлен по внешней
нормали к ней. Величина рш!Р положительна, если газ вытекает
из объема. Полное количество газа, вытекшее в единицу времени
из объема Уо, есть, следовательно, Р^ийР. Интегрирование про-
водится по всей поверхности Р^ охватывающей рассматриваемый
объем Уо.

С другой стороны, изменение количества газа в. объеме можно
записать в виде

6?
сП

г

о

Знак минус указывает, что произошло уменьшение газа в объеме
V. Приравняв количество вытекшего газа через поверхность к из-
менению количества газа в объеме, получим

о

(1.5)

Интеграл по поверхности преобразуем согласно формуле Острог
градского-Гаусса в интеграл по объему:

р ш1Р — I сН V р ис!У.

Тогда имеем

4- сНу р и ЛУ = 0.

(16)

Поскольку выражение (1.5) справедливо для произвольного
объема, сплошным образом занятого газом (распределения р и
и предполагаются гладкими), то должно быть равным нулю и
подынтегральное выражение, т. е.

— + б IV ри — 0.
д1

(1.7)

Это выражение называют уравнением неразрывности в диффе^
ренциальной форме.

1.4. Силы, действующие в движущемся газе

Причиной, вызывающей движение или изменение закономер-
ности движения материального тела, являются внешние силы.
Поэтому прежде чем приступить к выводу уравнения сохранения
количества движения или уравнения сохранения импульсов не-
обходимо ознакомиться с силами, которые могут действовать на
элементарный объем газа.

Выделим в газе некоторый объем 7, ограниченный замкнутой
поверхностью Р (рис. 1.2). Силы, приложенные к выделенному
объему газа, можно разбить на два класса.
К одному относят силы,
действующие на каждый эле-
мент объема (IV независимо от
того, существуют или нет рядом
с объемом (IV другие частицы
газа. Эти силы называют мас-
совыми. Число различных ви-
дов массовых сил невелико.
Для электрически нейтрально-
го газа — это гравитационные
силы, подчиняющиеся закону
всемирного тяготения, и силы
инерции, которые приходится

вводить при изучении движе-

ния в неинерциальных системах координат (инерциальная — это
система координат, движущаяся равномерно и прямолинейно).

К другому классу сил, действующих на рассматриваемый объем,
относятся силы взаимодействия между различными частицами газа
В силу принципа равенства действия и противодействия произой-
дет уравновешивание сил взаимодействия между всеми внутрен-
ними частицами объема (IV, лежащего внутри поверхности йР.
Следовательно, могут остаться неуравновешенными только силы
взаимодействия, исходящие от частиц, лежащих снаружи поверх-
ности, и приложенные к поверхностным частицам объема.

Такие силы называются поверхностными. Если через Рп обоз-
начить вектор поверхностной силы, отнесенной к единице площади
Р, то на элементарной площадке (1Р поверхности будет приложена
к объему (IV исходящая от внешних частиц сила Рп(1Р. Индекс п

указывает на то, что вектор Р п зависит от ориентировки площадки
(1Р, т. е. от направления внешней нормали. Кроме того, вектор
Рп может зависеть от времени.

Направление вектора поверхностной силы Рп в общем случае
может составлять некоторый угол с внешней нормалью п. Проек-

ция Рп на внешнюю нормаль называется для газа нормальным
давлением или просто давлением. Величина нормального давления
в газе не зависит от ориентировки площадки, к которой оно при-
ложено. Проекция Рп на площадку (1Р носит название касатель-
ного напряжения или иначе—силы трения. Сила трения, отнесен-
ная к единице площади при движении газа параллельными слоями
в соответствии с гипотезой Ньютона определяется по формуле

(1.8)

Здесь и — динамический коэффициент вязкости. Как следует из
формулы, касательные напряжения возникают при сдвиговой де-
формации элементов.
Происхождение сил вязкости следует искать в молекулярной
природе строения вещества. Отдельные молекулы газа при своих
собственных движениях переносят из одного места пространства в
другое определенные количества вещества, энергии, количества
движения. Газодинамические параметры, как уже отмечалось ра-
нее, представляют собой средние величины, получающиеся в ре-
зультате суммарного учета, относящегося к весьма большому
количеству молекул. Собственное движение молекул способствует
выравниванию в соседних слоях значений этих средних величин.
Так, например, при наличии двух соседних слоев одного и того
же газа, но разной плотности, перенос молекул будет способство-
вать выравниванию этих плотностей: получается процесс диффу-
зии. Точно так же, если имеется неравномерное распределение
температуры, перенос молекул будет способствовать выравнива-
нию температур. В этом находит свое объяснение процесс тепло-
проводности. Наконец, в рассмотренном случае вязкости имеем
дело с процессом переноса молекулами своего собственного коли-
чества движения поперек движения газа или жидкости.

Таким образом, в общем случае электрически нейтрального газа
на выделенный объем действуют:

1)	гравитационная сила;

2)	сила инерции;

3)	сила давления от внешних тел;

4)	сила трения от внешних тел.

1.5. Уравнение сохранения количества движения

Выделим в газе некоторый объем I/, ограниченный поверхностью
Р. Количество движения газа, заключенного в этом объеме,
равно	На выделенный объем действует сумма внешних

V _	__

массовых и поверхностных ^Рпс1Р сил.
V	Г

В соответствии с представлением Лагранжа для любого инди-
видуального объема V сплошной среды можно написать уравнение
сохранения количества движения

а

ал

(1.9)

г. е. производная по времени количества движения газа, заклю-
ченного в объеме V, равна сумме всех внешних действующих на
него массовых и поверхностных сил.

Это уравнение часто называют уравнением сохранения импуль-
са; его можно записать так:

а

ирдУ ~ | § р сУсИ + $ Рпарс11,

где	— импульс массовых сил, а пс1ЕсИ — импульс по-

верхностных сил.
Для вывода уравнения импульсов в представлении Эйлера рас-
смотрим некоторый объем Уо пространства. Количество движения
в этом объеме есть \рисГУ. Через элемент с1р поверхности ог-
раничивающий этот объем в единицу времени, прибавляется ко-
личество движения рц(ц • п)с1Р, где (и • п) — скалярное произ-
ведение вектора скорости и и вектора единичной нормали к по-
верхности п. Кроме того, поверхностные силы в единицу времени
сообщают импульс РийР, а массовые — $рс1У. В результате при-
тока количества движения через поверхность и действия по-
верхностных и массовых сил количество движения в выделенном
объеме Уо изменится в единицу времени на величину — ~\РисГУ.
Тогда, суммируя все воздействия па выделенный объем, получим

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса для замены
интегралов по поверхности интегралами по объему. Учитывая, что

- и • II, где П — тензор поверхностных сил [9], имеем

- Лу о и (и • н)

(р^ + сВуП) Д/ = 0.

(1.10)

Полученное выражение справедливо для произвольного объема
Уо, поэтому подынтегральное выражение должно быть равно ну-
лю. Отсюда получаем уравнение движения в дифференциальной
форме.

сПу о и (и - п) = о а сН\г П-
д1 1	'

1.6. Уравнение сохранения энергии

На основании закона сохранения энергии запишем уравнение
энергии в представлении Лагранжа для произвольной массы газа
объемом V.

Энергия единицы объема газа складывается из внутренней
энергии ре (е — внутренняя энергия единицы массы) и кинети-
ческой энергии Полная энергия выделенного объема, равная

-----Н е) может изменяться за счет работы массовых —
у _---_________________________

\р^исГУ и поверхностных сил $РписМ, за счет притока тепла извне
‘и

через поверхность Р (например, теплопроводностью, излучением)
и притока тепла от внутренних источников (конденсации, хими-
ческих реакций, трения и т. д.), поэтому можно записать
В Эйлеровом представлении уравнение энергии записывается
следующим образом:

— $ рпийЕ + $ фйР	(1.12)

у
о

В левой части уравнения интеграл выражает скорость из мене-
ния энергии внутри объема в результате изменения параметров
потока (удельной внутренней энергии е, плотности р и скорости
и) во времени при неустановившемся движении. Первый интеграл
в правой части уравнения представляет скорость выноса энергии
из объема вытекающим газом. Второй — работу массовых сил;
третий — работу поверхностных сил; четвертый — тепло, под-
веденное через поверхность выделенного объема от внешних источ-
ников; пятый — тепло, подведенное от внутренних источников.

Для того чтобы получить уравнение энергии в дифференциаль-
ной форме, необходимо заменить интегралы по поверхности ин-
тегралами по объему с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
Проделав эту операцию, как в предыдущем разделе, получим:

На основании полученных уравнений динамики газа перейдем
к рассмотрению основных закономерностей одномерного нестацио-
нарного движения идеального газа.
2.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО
ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

2.1.	Базовая система уравнений

В предыдущей главе были получены уравнения сохранения,
учитывающие все основные силы, обусловливающие движение
газа: давления, трения, силы гравитационные и инерции. Учет
всех перечисленных сил создает серьезные трудности при решении
полученной системы уравнений (1.7, 1.11, 1.13). Поэтому для уп-
рощения ее решения можно попытаться одну или две силы, наи-
менее важные, с точки зрения конкретной задачи, отбросить.

Если отбросить силы инерции, возникает возможность прибли-
женного решения ряда задач о движении вязкой жидкости. Напро-
тив, если отбросить силы внутреннего трения и оставить силы
инерции, появляется возможность описать движение идеальной
жидкости и т. д. Во многих практически важных случаях второй
вариант позволяет достаточно точно описать движение газа, у
которого силы внутреннего трения малы по сравнению с другими
силами. Это подтверждает весь опыт применения модели идеаль-
ного газа для решения большого количества прикладных задач,
возникающих при создании различного рода машин и аппаратов.

Изучение нестационарного движения газа в пространственной
системе координат представляет значительные математические и
технические трудности. К счастью большинство практических за-
дач с удовлетворительной точностью могут быть решены и при од-
номерном (в пространстве) рассмотрении газодинамических про-
цессов.

Поэтому в данном учебном пособии будут рассматриваться лишь
одномерные движения идеального газа. В этом случае, исключая
в уравнениях сохранения члены, содержащие у и г, и, учитывая,
что в идеальном газе вязкость равна нулю, получим систему урав-
нений:

неразрывности

д 1 п ? , д 1 п о , ди
----  + и !—| 

д1	дх дх

движения

ди , ди	1 др

----С и — —---------—

д1 дх	р дх

энергии

(2.1)

(2.2)

(2.3)
Преобразуем уравнение энергии в уравнение энтропии, более
удобное для дальнейшего анализа нестационарных течений газа.
Для этого в уравнении энергии (2.3) заменим величину, характе-
ризующую изменение внутренней энергии, через изменение эн-
тропии и удельного объема

Ле = Тдз — рйУ (2.4)
и применим теорему об изменении кинетической энергии движу-
щегося индивидуального объема сплошной среды (теорему живых
сил *). Она утверждает, что дифференциал кинетической энергии
индивидуального объема сплошной среды равен сумме элементар-
ных работ внешних и внутренних массовых и внешних и внутрен-
них поверхностных сил, действующих на этот объем. В р езуль-
тате получим уравнение энтропии

(2.5)

о (К}

Здесь учитывает приток тепла к частице газа в единицу вре-
мени как из внешних, так и из внутренних источников.

В уравнениях (2.1), (2.2) и (2.5) четыре неизвестные величины:
давление р, плотность р, энтропия $ и скорость и. Для того чтобы
система уравнений была замкнутой, необходимо добавить еще урав-
нение состояния для конкретной среды, связывающее его основ-
ные термодинамические параметры. Для термодинамически идеаль-
ного газа это — уравнение Менделеева-Клапейрона

р

р

(2.6)

связывающее давление, плотность и температуру.
Уравнение состояния в виде

устанавливает взаимосвязь между давлением, плотностью и энтро-
пией. Здесь е — основание натурального логарифма, р0, р0, 50 —
какие-либо начальные условия, ср — удельная теплоемкость
при постоянных объеме и давлении, к =

Су

2.2.	Физический смысл уравнений движения

Для того, чтобы выяснить физический смысл уравнений (2.1),
(2.2), (2.5), необходимо максимально их упростить. С этой целью
введем величину а = 1/ (ее физический смысл выяснится

Г С»

* Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2.---М,: Наука. 1976.
ниже). В случае совершенного * газа уравнение (2.4) можно пре-
образовать к виду

~ 2срй 1п а — Пс11п р = 1п р — срд, 1п о.

(2-8)

Перепишем уравнение неразрывности (2.1) и уравнение движе-
ния (2.2), введя в качестве параметров а и 5 вместо р и р. Для
этого воспользуемся соотношением (2.8). Тогда уравнение нераз-
рывности (2.1) примет вид

2 д 1п а ,	2 д 1п а , ди 1 /	. дз

---------+ и------------1--------------у и —
к— 1 д1 к— 1 дх дх Я \ д1 дх

а уравнение движения

ди ди ,	2	9 д 1п а а2дз

----Ь и------1------а------------------
д1 дх к — 1 дх крдх

(2.Ю)

Эти уравнения можно привести к более удобной для анализа фор-
ме. Для этого вначале умножим уравнение (2.9) на а и сложим
с уравнением (2.10), а затем его вычтем. В результате получим

\ а- дз
и —----------

/ к Я Эх

\ , а- дз

и Н----------

} К Я ОХ

а [дз дз\

— I —(- и — | —

Я д1 дх}

(2.И)

а /дз . дз\
—------Г П — —

Я дI дх}

(2.12)

В этой системе уравнений три неизвестные величины и, а и 5.
Для того чтобы система оказалась замкнутой, необходимо вос-
пользоваться еще уравнением (2.5). Если трение и подвод тепла
отсутствуют и энтропия газа везде одинакова, то из (2.5) следует

дз

д1

дз

дх

В этом случае уравнения (2.11) и (2.12) преобразуются к виду

(2.13)

д ; 2	\	ч д ! 2

— ---------а — и \ 4- (и — а) — ------------- а — и

д1 \к — 1	}	дх \к — 1

(2.14)

* Газ, у которого теплоемкость не зависит от температуры.
2

к —1

Комплексы -

а 4“ и

/+ и

а — и = /- в современной

литературе называют инвариантами Римана. Подставляя обозна-
чения /.и и /. в уравнения (2.13) и (2.14), получим

(2.15)

(2.16)

Очевидным решением этой системы уравнений является /+ = сопз(
и ~ соп81, т. е. какие-либо возмущения кинематических (и)
или термодинамических (а, Т, р, р) параметров отсутствуют (ста-
ционарное состояние).

Более интересен случай возмущенного движения. Предположив
вначале, что возмущения и и а малы по сравнению с а0 = К"
где То — температура невозмущенного газа, и система координат
двигается со скоростью невозмущенного газа, из уравнений (2.15)
и (2.16) получим

д! .	д!__

~дГ~ ~ а° дх 0 ’

(2-17)

(2-18)

Отметим, что а0 имеет размерность скорости.

Легко убедиться прямой подстановкой, что решением уравне-
ния (2.17) является

/+ = Ц (х — я,/),

(2.19)

а уравнения (2.18)

/) зависит от начальных условий за-

дачи.

Введем

новые координаты

О’

Тогда

Сделанное преобразование координат имеет простой кинема-
тический смысл (рис. 2.1а): ось координат 0^ расположена вдоль
оси ОХ и движется поступательно в сторону положительного
направления оси ОХ со скоростью а0. Точно так же ось О2%2 дви-
поршень

Рис. 2.1

жется поступательно в сторону отрицательного направления оси
ОХ с той же скоростью а .

Для примера рассмотрим канал постоянного поперечного се-
чения, в котором в момент времени I — /0 невесомый поршень,
начальное положение которого совпадает с х = 0 (а также с =
= 0 и “ 0), начинает движение. Пусть изменение скорости
поршня в примере происходит по закону и = и05тср/ и в момент
времени 7=4 поршень вновь останавливается на расстоянии
Дх от начального положения. В связи с тем, что передача любого
возмущения происходит с конечной скоростью (наибольшая — ско-
рость света), можно утверждать, что справа от поршня произой-
дет сжатие газа, а слева — разрежение. Действительно, если
скорость передачи возмущения равна И7, то за время I — объем
возмущенного газа будет равен	где Р — площадь по-

перечного сечения канала. В связи с движением поршня вправо,
объем возмущенного газа в этом направлении уменьшится па Р\х,
а в противоположном — увеличится на эту же величину. Это
приведет к увеличению плотности, давления и температуры (в слу-
чае теплоизолированного капала) в правой части канала и умень-
шению плотности, давления и температуры — в левой. В связи с
тем, что а = ~\/кРТ, изменятся по сравнению с состоянием по-
коя и инварианты Римана /„ и (см. рис. 2.1 б).

Если в момент времени / = начала координат (точки О,
От и О2) всех трех систем совпадали, то изменения инвариантов
Римана, вызванные движением поршня, будут иметь вид, пока-
занный па рис. 2. 16. Причем каждой координате оси соответ-
ствует постоянный, независящий от времени, инвариант Римана/-;-,
а каждой координате оси — также постоянный инвариант Рима-
ма /-. Таким образом, в системах координат ОД1 и О2^2 образуют-
ся два фиксированных относительно начала координат распреде-
ления одномерных возмущения, обусловленных, как в приведен-
ном примере, движением поршня. Эти две фиксированные формы
возмущения перемещаются относительно оси ОХ со скоростью а0
в противоположных направлениях.

Отсюда становится ясным физический смысл величины
Так как начало возмущения, вызванное началом движения порш-
ня, совпадает с началом координат и о2^2, которые относи-
тельно покоящегося газа движутся со скоростью а0, а соответст-
вующие инварианты Римана остаются неизменными, а0 представ-
ляет собой скорость распространения малых возмущений. В свя-
зи с тем, что диапазон возмущений давления, воспринимаемых
человеком как звук, заключен в пределах ~10”4...10~2 н/м2, а
флуктуации и и а, соответствующие наибольшему возмущению
давления (болевой порог), составляют ~3,5% и 0,1% от а0, т. е.
удовлетворяют сделанному допущению о малости возмущения при
выводе уравнений (2.17) и (2.18), скорость а0 называют обычно
скоростью звука.

Возмущения в сплошной среде принято называть волнами.
Учитывая, что выражения (2.19) и (2.20) являются решениями
уравнений (2.17) и (2.18), описывающих любое одномерное движе-
ние газа при условии малости возмущения и и а, можно утверж-
дать: любое одномерное движение газа есть результат взаимодей-
ствия двух волн /+ --- /+(х, /) и /— -- /_ (х, /), движущихся в про-
тивоположных направлениях.

О том, что движение газа имеет волновую природу, можно было
установить исходя и из более общих соображений. Ранее в 1.4
отмечалось, что в электрически нейтральном газе движение опре-
деляется четырьмя силами: упругости (внутреннего давления),
вязкости, гравитационными и инерционными.
у

Г&

и>о, а>а

франт волям



ХООСРП" волНЫ

О

Рис. 2,2. Элементарные простые волны

Из курса «Теоретическая механика» известно, что в механиче-
ских системах упругие и инерционные силы всегда приводят к
колебательному (волновому) характеру движения (продольные ко-
лебания пружин, колебания груза, подвешенного на пружине
и т. д.). В данном случае как раз были исключены из рассмотре-
ния гравитационные и вязкостные силы. Оставшиеся упругая и
инерционная сила обусловили волновой характер движения газа.

В общем случае возмущение величин и и а приводит к воз-
мущению обоих инвариантов Римана. Однако возможны ситуации,
когда правый (/+) или левый (/_) инвариант Римана постоянен
в рассматриваемой области течения (как, например, показано на
рис. 2.2: слева от начала координат постоянен во всей зоне тече-
ния 1+ и I— — переменен, а справа от начала координат /- — по-
стоянен, а 1+ —• переменный). В таких случаях говорят, что в пер-
вом случае распространяется простая волна, а во втором —
простая волна.
2.3.	Волны конечной амплитуды

Назовем малое, стремящееся к нулю возмущение прямоуголь-
ной формы * (рис. 2.2), элементарной простой волной. Тогда лю-
бую простую волну можно представить как совокупность таких
волн (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Простая 7+ волна конечной амплитуды



Рассмотрим в простой волне сжатия Г, движущейся слева
направо (/+), две элементарные волны 1 и 2. Первая элементар-
ная волна движется по невозмущенному газу, а вторая — уже по
газу, возмущенному первой волной.

Если фронт первой элементарной волны перемещается со ско-
ростью а0 относительно начала координат О, движущегося со ско-
ростью невозмущенного газа, то вторая волна уже перемещается
относительно первой волны со скоростью аг > а0, так как в ре-
зультате сжатия во фронте первой волны возросла температура,
а следовательно, и скорость звука. Кроме того, вторая элемен-
тарная волна переносится газом с возмущенной скоростью
(для волны типа /+). Таким образом, оказывается, что фронт
первой волны движется со скоростью а0, второй волны — (аг +
+ щ) > а0, третьей волны — (а2 + и2) > (от + щ) > а0 и т. д.
Такие волны называются волнами конечной амплитуды в отличие
от акустических, в которых предполагается, что все фронты эле-

* Такая форма волны может быть реализована, если мгновенно привести в
движение с постоянной скоростью поршень в трубе и мгновенно его остановить
через заданный промежуток времени.
ментарных волн движутся со скоростью звука невозмущенного
газа а0.

Поведение одномерных изоэнтропных волн конечной ампли-
туды описывается системой уравнений (2.15) и (2.16), в которых
учитываются изменения & и а в волне.

Инварианты /+ и /_ являются функциями только хи/, по-
этому

д/ + дх

<11 _

дх д1 *

д!-	дх

д1 дх д1

(2.21)

(2.22)

Ср
дх___

~д1 ~~

авнивая (2.21) с (2.15) и (2.22) с (2.16) видим, что при
.	дх

и + а в первом случае и при -чт = и —а — во втором слу-

чае и должны быть постоянными. Таким образом, наблюдая
за изменением состояния возмущенного газа, движущегося со ско-
ростью и + а, можно заметить, что не изменяется; аналогич-
но при движении со скоростью и — а I- оказывается также не-

изменным.

Отличие системы уравнений (2.15) и (2.16), описывающей дви-
жение волны, от уравнений (2.17) и (2.18) заключается в том, что
коэффициенты при вторых членах (п + а) и (и — а) сами зависят
от инвариантов Римана

(2.23)

(2.24)

в то время как в акустическом случае а0 = сопз!. То есть систе-
ма уравнений (2.15) и (2.16) нелинейная в силу того, что вторые
слагаемые в каждом из них второй степени относительно искомых
функций.

Решения этих нелинейных уравнений описывают волны (в от-
личие от акустических), изменяющиеся по форме в процессе дви-
жения, которые называются волнами конечной амплитуды.

За процессом изменения формы волны конечной амплитуды мож-
но проследить по рис. 2.4.

Зная форму волны /+(х) в какой-то момент времени /г и отме-
чая, что /_ = /0 всюду одинаково, можно описать ее поведение
в последующие моменты времени. Для этого воспользуемся плос-
костью х, /, отмечая на ней траектории, проходимые различными
точками /+ волны. Направления этих траекторий определяются по
заданным начальным условиям исходя из того, что котангенс угла
дх

наклона а равен — — и а (для волны с!да = и —-а), а ве-
личины и и а определяются по уравнениям (2.23) и (2.24).
Рис. 2.4. Изменение формы изэнтроп-
ной волны конечной амплитуды в про-
цессе движения;

ае = —- = а0;
аг

(1х:

ас =	= ~~ = «о — «с

аг

Учитывая, что для каж-
дой точки /+ волны или /_
волны можно построить такую
траекторию и что вдоль нее
соответствующий инвариант ос-
тается неизменным, значения
Л. и I_ определяют всюду в
любой момент времени. При
сопоставлении формы /+волны
в начальный и два последую-
щих момента времени видно,
что она претерпевает сущест-
венные изменения в процессе
распространения: зона сжатия
становится более крутой, а зо-
на разрежения более пологой.
Если достаточно долго наблю-
дать за волной, то можно об-
наружить, что фронты элемен-
тарных волн в конце концов
сольются друг с другом (точка
с на рис. 2.4 и рис. 2.3 дого-
нит точку &, а их трактории в
плоскости х, / пересекутся). В
момент пересечения одной и
той же координате хй будут
соответствовать два инварианта
/+в и /+с, т. е. возможен раз-
рыв величин /+. Дальнейшее
рассмотрение движения волны

указанным способом лишено физического смысла. Однако, очевид-
но, что движение реальной волны будет продолжаться и после того-
момента времени, когда по уравнениям произойдет образование
разрыва. Это несоответствие связано с тем, что система уравнений
(2.15) и (2.16) не учитывает ряд важных свойств среды и, в част-
ности ее вязкости и теплопроводности, которые всегда имеют мес-
то в реальном газе. При большом градиенте скоростей и темпера-
тур становятся существенными силы вязкости и заметно сказыва-
ется теплообмен между частицами газа за счет теплопроводности.
Поэтому для описания таких ситуаций нужна более полная систе-
ма уравнений, учитывающая эти явления или специальные методы
расчета, принимающие во внимание возможность возникновения
разрывов.

Проведенный анализ движения волн конечной амплитуды пока-
зывает, что уравнения в частных производных (2.15) и (2.16) мож-
но заменить двумя парами уравнений в полных производных:

дх

— = и + а,
д1

(2.25)
с!х	I

-^ = и-а, -....~ ~ = 0.	(2.26)

сП	5 I	к

о	д / ч д

Здесь	+ {и ± а)^- •— оператор, обозначающий полную

производную какой-либо величины при движении вдоль °си х
со скоростью и а.

Линии, совпадающие с траекториями движения элементарных
волн и задаваемые уравнениями

с1х

— - и — а

(И ~

называются характеристиками.

2.4.	Параметры заторможенного потока

Рассмотрим энергоизолированное движение газа по длинному
трубопроводу постоянного поперечного сечения. Пусть течение
будет установившимся и ста-

ционарным и направлено в
правую сторону. Параметры
газа: температура Т, давление
р и скорость и известны. Оп-
ределим параметры нестацио-
нарно заторможенного потока.
Для этого перекроем трубопро-
вод перегородкой. Очевидно,
что скорость частиц газа, при-
легающих к неподвижной пе-
регородке как слева, так и
справа, станет равной нулю,
т. е. поток затормозится (рис.
2.5). При перекрытии трубо-
провода перегородкой влево от
нее пойдет волна сжатия, ко-
торая будет тормозить встреч-
ный поток газа, вправо — волна
разрежения, также тормозя-
щая его. Таким образом, неста-
ционарное торможение потока
может осуществляться как вол-
нами сжатия, так и волнами
разрежения; для одного и того
же потока существует два
давления, две температуры и
т. д. заторможенного потока.

Определим давление и тем-
пературу заторможенного по-
тока. Для этого удобнее всего

Р ис. 2.5. Нестационарное торможение
стационарного потока:
а — до установки перегородки;
б-—после установки перегородки
воспользоваться инвариантами Римана. Это объясняется тем, что
в простой волне один из инвариантов остается неизменным, в то
время как масса, термодинамические параметры, энтальпия и т. д,
в волне переменны.

Стационарный поток до перекрытия перегородкой характери-
зовался двумя инвариантами Римана:

для волны, движущейся вправо,

(2.27)

для волны, движущейся влево,

I = а — и = а(—--------М\

к — 1	\к — 1	;

(2.28)

Число М есть отношение скорости частиц газа и к местной ско-
рости звука ал

и

а

М -

(2.29)

Скорость звука — скалярная величина, а скорость потока — век-
торная. Поэтому число М имеет знак плюс или минус в зависимо-
сти от направления движения в выбранной системе координат.
Для того чтобы определить скорость звука в заторможенном по-
токе, надо в выражениях (2.27) и (2.28) положить М = 0. Посколь-
ку слева от перегородки /+ = сопз!, скорость звука затооможен-
ного потока в левом направлении

(2.30)

и, так как справа от перегородки 1~ = сопз1, скорость звука за-

торможенного потока в правом направлении

(2.31)

Как видно из формул (2.30) и (2.31), эти скорости звука различ-
ные. Учитывая, что а = Vк/?Т, можно определить и температуры
заторможенных потоков
Давление заторможенного
потока определим из условия
адиабатичности и изэнтропич-
ности процесса торможения

зоха стационарно
Зат орлсоженного
потока

(2.32)

(2.33)

эпру&еа Пита

Рис. 2.6. Измерение давления
стационарно заторможенного
потока





Из изложенного следует, что для прямого измерения давления
нестационарно заторможенного стационарного потока необходимо
чувствительный элемент датчика давления расположить на соот-
ветствующей стороне перегородки и перекрыть ею поток.

Измерение давления стационарно заторможенного стационар-
ного потока принципиально отличается от измерения нестацио-
нарного. В этом случае зонд с датчиком давления должен иметь
минимальные (стремящиеся к нулю) поперечные размеры, чтобы
возмущения потока, вызываемые им, были минимальные. Тогда
струйка потока, соответствующая по размерам зонду, набегая на
него, будет тормозиться (рис. 2.6). В результате перед датчиком
образуется зона покоя газа с давлением стационарно заторможен-
ного потока. Воспользоваться инвариантами Римана для опреде-
ления давления заторможенного потока, как в предыдущем слу-
чае, не прибегая к сложным расчетам, нельзя. Это связано с тем,
что структура потока (скорость частиц и направление их движе-
ния) перед датчиком отличается от структуры потока до введения
зонда в него и инварианты Римана неизвестны. Обратимся к за-
кону сохранения энергии в стационарном потоке, полагая, что в
уравнении (2.3) производные по времени равны нулю. Пренебре-
гаем членами, учитывающими работу массовых сил, а также при-
ток тепла и механической энергии извне. Будем иметь

(2.34)

из которого видно, что сумма энтальпии и кинетической энергии
в каждом сечении — величина постоянная:

— =--= сопз! I*.

(2.35)

Отсюда нетрудно увидеть, что если газовую струю стационарно
затормозить полностью, то энтальпия газа достигнет максимально
возможной величины. Полученное значение /*: будем называть эн-
тальпией стационарно заторможенного потока, а соответствующую
температуру

Т* = — —	(2.36)

ср
температурой стационарного торможения*.
Выразим члены в уравнении (2.35) через М, Т и к
Су
Для этого разделим обе его части на I. Тогда имеем

Т* — Т _ и*
Т ~ 2с„Т *
Л*
ко
Умножая правую часть на величину -= (К — газовая постоянная)
К/\
и учитывая, что 7? = ср—к == — и а2 = получим

Т	2

ИЛИ

(2.37)

Из условия адиабатичности и изэнтропичности процесса тор-
можения получим давление стационарно заторможенного потока

Учитывая (2.37) имеем

(2.38)

2.5.	Газодинамические функции для одномерных

изэнтропных стационарных течений

В предыдущем разделе были установлены количественные со-
отношения (2.37, 2.38) между давлением р и температурой Т в
потоке и давлением р* и температурой Т*— в стационарно за-
торможенном потоке. Как видно из этих выражений, отношения
температур и давлений являются однозначной функцией числа М.
В практике расчетов газовых течений замечено, что число М вхо-
дит в уравнения в виде нескольких, часто встречающихся комби-
наций или выражений, которые получили название газодинами-
ческих функций. Этим функциям присвоены сокращенные обозна-
чения. Значения их в зависимости от величины М или приведен-
ной скорости X = — (акр — скорость звука в потоке при М = 1)
__________ акр

* Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. —М.: Наука, 1976.
и показателя адиабаты к вычислены и сведены в таблицы (см.,
например, [1], [6]).

Расчет стационарных газовых потоков при помощи таблиц
газодинамических функций получил широкое распространение и яв-
ляется в настоящее время общепринятым. Помимо сокращения
вычислительной работы, преимуществом расчета с использованием
газодинамических функций является значительное упрощение пре-
образований при совместном решении основных уравнений, что
позволяет получить в общем виде решения весьма сложных задач.
При таком расчете более четко выявляются основные качествен-
ные закономерности течения и связи между параметрами газо-
вого потока. Как будет видно ниже, использование газодинамиче-
ских функций для стационарного и нестационарного течения поз-
воляет достаточно просто рассчитывать одномерные нестационар-
ные потоки.

Первая простейшая группа газодинамических функций, упро-
щающая записи соотношений между параметрами в стационарном
потоке, параметрами стационарного торможения* и числом М
имеет вид:

(2.40)

(2.41)

(2.42)

(2.43)

Следует заметить, что эти уравнения связывают параметры
газа в одном и том же сечении потока и справедливы независимо
от характера течения и происходящих в газе процессов: переход
от параметров в потоке к параметрам заторможенного газа по
определению происходит по идеальной адиабате (по изэнтропному
адиабатному процессу).

Рассмотрим далее две газодинамические функции, которые
используются в уравнении расхода газа. Подставим в формулу
секундного расхода газа О = риР через сечение площади Р соот-

* В дальнейшем тексте, где речь будет идти о стационарных течениях, слово
«стационарный» будем опускать.
ношения, выражающие плотность газа р и скорость и через пара-
метры торможения /?* и Т* и число М:

и = Мп = М ]/ к/?Т =

V кет*.

Тогда

ят*

— ; к +--....../кет*.

/ 1 ! *  М2/(К“ 1)

\	2	/

Умножив обе части этого уравнения на пкр, т. е.
звука, соответствующую скорости движения потока,
роста звука а = п*а(М = 1) = к—'!после
получим

(2.44)

на скорость
равной ско-

сокращений

Оа‘" = 1к4] ’ “1’’р;-------

(1 + -—-	- 0

\	2	/

(2.45)

Это уравнение выражает расход газа в данном сечении через пол-
ное давление, критическую скорость звука и некоторую функцию
числа М.

Подобрав коэффициент пропорциональности, преобразуем эту
функцию таким образом, чтобы при М = 1 она была равна
также 1. В этом случае полученная новая газодинамическая
функция

*

я (М) ==

м

- м2

2

2(К—1)

(2.46)

приобретает физический смысл безразмерной плотности тока

Я (М) =

(?«)кр

где (рп)кр — максимальное значение плотности тока (при задан-
ных параметрах торможения), соответствующее течению со ско-
ростью звука.
При увеличении числа М от нуля до единицы величина ?(М)
растет от нуля до своего максимального значения ?(М) =1, а.
далее вновь снижается до нуля при значении М = оо. Таким об-
разом, плотность тока или расход (при заданных параметрах тор-
можения) максимальны при М = 1 и снижаются как с уменьше-
нием, так и с увеличением скорости по сравнению с критическим
значением. Одно и то же значение функции ?(М) соответствует
двум возможным значениям числа М, одно из которых больше,
а другое меньше единицы.

Подставляя в выражение (2.45) функцию <?(М), имеем

1

6акр~^(-^'р*рд(м).
К т 1 \К "г 1 /

(2.47)

Заменяя в (2.47) величину акр ее значением, получаем следую-
щую формулу для вычисления расхода газа:

где

1^7*

(2.48)

Для воздуха (к — 1,4; 7? = 287,3 Дж/кг. К) численный коэф-
фициент т = 0,0404 м-1 • с • К0,5)- Для продуктов сгорания уг-
леводородных топлив (к = 1,33; 7? = 288,3 Дж/кг. К), т =
= 0,0396 м-1 • с • К0’5.

При решении ряда задач требуется иногда связывать расход
газа не с полным, а со статическим давлением в потоке. Такую*
связь легко получить из выражений (2.47) или (2.48), если заме-
нить в их правых частях величину полного давления

Тогда получаем соотношения

1

2к /	2 \К1 г,

6аКр = —— —-	рРу (М);

К И- 1 ’ К + 1/

(2.49)

и

о

(2.50)
где функция

У(М)

г, (М)

(2-51)

является второй газодинамической функцией, с помощью которой
можно вычислить расход газа. Значения ее, так же, как и значения
функций ^(М) для различных к, обычно даются в таб-
лицах. С увеличением М функция #(М) монотонно возрастает,
причем при М = оо #(М) = оо. Как формула (2.48), так и фор-
мула (2.51) выражают расход газа через параметры его состоя-

ния в рассматриваемом сечении потока и потому справедливы не-

зависимо от характера процессов, происходящих в потоке газа.

В стационарной газовой динамике чаще пользуются газодина-
мическими функциями, записанными через приведенную скорость

X = — .

Якр
является

Это объясняется тем, что в установившемся потоке акр
функцией только Т*, которая не изменяется при адиаба-

тическом движении газа от сечения к сечению, в то время как в
число М входит местная скорость звука, которая меняется от
сечения к сечению. Но при изучении нестационарных течений
удобнее пользоваться числом М, так как нестационарное движе-

ние газа характеризуется перераспределением энергии в потоке и
поэтому акр от сечения к сечению будет всегда изменяться.

Связь между М и к выражается формулами

к 1 м2

=------- .

к — 1

1 н——м*

(2.52)

(2.53)

Полученные выше газодинамические функции через
жаются следующим образом:

к

к выра-

(2.54)

(2.55)

(2.56)
(2.57)

(2.58)

Рассмотрим газодинамические функции, которые используют-
ся в уравнении количества движения газа. Сумму секундного ко-
личества движения и силы давления в рассматриваемом попереч-
ном сечении потока принято называть полным импульсом потока

I = Си рр = С (и + —\
\ ри /

(2.59)

Если в (2.59) подставить соотношения

то получим

Си + рр = С

^кр +

Приводим выражение (2.60) к виду

(2.60)

(2.60)

Си + рР =



где

Через М функция г(М) выражается соотношением

г(М)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

Минимальное значение функции г(^) = 2 соответствует крити-
ческой скорости течения (% = 1). Как в дозвуковых, так и в сверх-
звуковых потоках г(%) > 2; значениям г(%) < 2 не соответствуют
какие-либо реальные режимы течения. В отличие от всех осталь-
ных газодинамических функций г(%) не зависит от величины по-
казателя адиабаты к.

Выражение (2.61) для импульса потока значительно упрощает
запись и преобразование уравнения количества движения газа.
Заменив в соотношении (2.61) произведение С • цкр его значением
согласно (2.47) или (2.49), получим выражение для импульса га-

2 Заказ 1608	33
зового потока в первом случае через полное давление, а во вто-
ром—через статическое давление:

1

Си + рР = /—‘ р*Рд (X) г(Х)
1 К + 1 )

1

би + рР = (Ц-гУ ' рРу (X) г(Х).

\ К + 1/

(2.64)

(2.65)

Введем обозначения для двух новых функций приведенной ско-
рости % (или М), входящих в правые части этих выражений:

I	Г

/(X) = (^-У1 <7(Х) г(Х) = (X* + 1) (1-^ Х*У’ 1	Г2.66)

\к 4- 1 /	\ к + 1 /

или через М

/ (М) =-------^кМ2 -	(2.67)

или через М

Г (М) = IX М2 '	(2.69)

1 4- кМ2

Подставляя эти обозначения в (2.64) и (2.65), получим оконча-
тельно

Си + рР^р*Л/(л),

би + рР

рР
г(\)

(2.70)

(2.71)

Функция г(%) введена как величина, обратная произведению
//(%)  г(%), с тем, чтобы облегчить пользование таблицами (про-
изведение у(к) • г(%) быстро возрастает с увеличением стремясь
к бесконечности при к = %тах; величина же г(к) изменяется в
пределах от единицы до нуля).

Возможно получение газодинамических функций и в зависимо-

сти от безразмерной скорости Л =

и

и П1 ах

где итах — максимально

возможная скорость потока при заданных начальных условиях
(скорость истечения в вакуум). Максимальную скорость истече-
ния в вакуум можно определить из уравнения (2.35), предполо-
жив, что все теплосодержание (энтальпия) потока I* преобразует-
ся в кинетическую энергию. Тогда

^тах

= /2/*.

(2.72)

В практике расчетов стационарных течений газодинамические
функции от безразмерной скорости Л широкого распространения
не получили. Поэтому здесь не приводятся.

2.6.	Газодинамические функции для одномерных
изэнтропных нестационарных течений

Нестационарные газодинамические функции, в сравнении со
стационарными, обладают рядом особенностей. Наиболее сущест-
венное отличие заключается в том, что в нестационарных течениях
возможны различные направления движения газа и движения вол-
ны, что находит свое отражение в существовании двух инвариан-
тов Римана (см. раздел 2.3).

Рассмотрим длинный трубопровод, расположенный вдоль оси
х,  в котором движутся два поршня с одинаковой скоростью и0
в положительном направлении оси х. Пространство между поршня-
ми заполнено идеальным газом, который также перемещается со
скоростью п0. Скорость распространения звука в нем равна п0.
Инварианты Римана равны

2

к — 1

(2.73)

и

2

—о —-	и0.

к — I

(2.74)

Если скорость одного из поршней начнет изменяться, то в газе
возникнет простая волна, что приведет к изменению скорости в
газовом потоке.

Предположим вначале, что скорость поршня 1 (рис. 2.7 а) воз-
растает. Тогда по трубопроводу пойдет обращенная вперед прос-
тая волна сжатия, ускоряющая поток. В некоторый момент вре-
мени возникнет режим течения газа, при котором скорость газа
станет равной местной скорости звука и = а (режим течения га-
за, при котором и = а, в дальнейшем по аналогии со стационар-
ными течениями будем называть критическим). Этому режиму
будет соответствовать характеристика, выходящая из точки к.
Обозначим скорость звука, соответствующую рассмотренному
режиму, как а+кр.

Если скорость поршня 1 будет уменьшаться, то по газу пойдет
обращенная вперед волна разрежения (рис. 2.7 б). Она замед-
ляет движение газа и при некоторой интенсивности характеристи-
ке, выходящей из точки Т, будет соответствовать режим полного
торможения (и = о, а =
6)

Рис. 2.7. Характерные скорости нестационарного потока

Дальнейшее уменьшение скорости поршня в конечном счете
приведет к тому, что при некотором значении скорости и = и^ах
из точки М выйдет последняя характеристика и частицы газа отор-
вутся от поршня 2. Наступает режим нестационарного истечения
в пустоту. При некотором промежуточном значении интенсивно-
сти волны разрежения характеристике, выходящей из точки к
(рис. 2.7 б), вновь будет соответствовать критический режим те-
чения газа (и = а_кр), отличный от рассмотренного ранее (и = а^кр)-
В связи с тем, что возмущения генерируются только с одной
стороны (поршнем 1), на характеристиках изменяются только
инварианты Римана /+, а инвариант во всей области течения
остается неизменным. Поэтому на любой характеристике первого
семейства для скорости звука и скорости газа можно получить
связь с соответствующими параметрами режимов — начального,
критических, торможения и истечения в пустоту

- — Юнах- (2.75)

Аналогично, рассматривая ускорение поршня 2 (рис. 2.7 в, е),
получим связь скорости потока и скорости звука на любой харак-
теристике второго семейства с соответствующими параметрами ре-
жимов — начального, критических, торможения и истечения в
пустоту

т 2	। к Ч- 1 "	2 „п 3 — к ,

О о-------4“	---- п — - -- ---- С1- кр —7 ПП1ах.

К - 1	К — 1	К — 1	К - — 1

(2.76)

Таким образом, из приведенного выше анализа видно, что в
нестационарном потоке имеют место четыре критические скорости
звука и две максимальные скорости истечения газа в пустоту,
т. е. для нестационарных течений должно существовать четыре
газодинамические функции от X, две функции от А и одна от М.

и . '	и . ”	и ," и

а -	----, л -- --------,	л..	, л - - ------,

I	?	’	/	’	)	V	г*	’

а Т- кр	а - кр	а -Ькр	а - кр

А7 11 А" ---	.

и	и"	а

шах	шах

Преобразуя зависимости (2.75) и (2.76), отношения статических
параметров в газовом потоке, таких как скорость звука, темпера-
тура, плотность, давление, к соответствующим значениям парамет-
ров, которые получаются при торможении потока изэнтропными
простыми волнами, можно представить как функции приведенных
скоростей. Эти функции сведены в таблицу 2.1. Из таблицы вид-
но, что наибольшей простотой, а, следовательно, и преимуществами
при расчетах и анализе нестационарных течений обладают газо-
динамические функции, в которых аргументом является число М.
Это объясняется тем, что местные скорость звука и скорость по-
тока являются общими для любых течений: стационарных и не-
стационарных, для волн обеих семейств, в то время как критиче-
скую скорость или максимальную скорость нужно еще выбирать.
Это усложняет логику пользования газодинамическими функция-
ми. Однако решение некоторых задач при использовании газоди-
намических функций, в которых аргументом является X или Л,
оказывается более простым. Таблицы газодинамических функций
для к = 1,4 и 1,33 приведены в приложении.

Таблица 2.1
Продолжение табл. 2,[
3.	НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

3.1.	Начальные и граничные условия

Система уравнений (2.1),.,(2.3) имеет бесчисленное множест-
во частных решений. При решении конкретной физической задачи
необходимо из всех возможных решений выбрать то, которое удов-
летворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из
ее физического смысла. Такими дополнительными условиями яв-
ляются начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь
моменту времени, с которого начинается изучение данного физи-
ческого процесса, и граничные или краевые условия. Краевые ус-
ловия обычно задаются из опыта или той, или иной гипотезы. Вопрос
заключается лишь в том, значения скольких величин должны
быть заданы на границах.

Проблема задания начальных условий связана с существова-
нием и единственностью решения для искомых функций, непре-
рывных вместе со своими первыми производными в области, гра-
ничащей с некоторой исходной кривой Г, вдоль которой искомые
функции должны подчиняться заданным условиям. Число произ-
вольно задаваемых начальных или граничных величин зависит
от природы исходной кривой Г. В общем виде начальные данные
могут быть определены вдоль некоторой кривой Г или вдоль двух
кривых Гх и Г2 (рис. 3.1), охватывающих угловую область Д и
имеющих общую точку О. Для гиперболической системы из трех
уравнений (2.1)...(2.3) через каждую точку этих кривых будут
проходить три характеристики %. Из этих характеристик только
часть входит в область Д. Обозначим через п число характеристик,
выходящих из каждой точки кривых, но не входящих в область Д.

Для системы из трех уравнений
возможны следующие комбина-
ции правильно выбранных на-
чальных и граничных условий:

1.	Вдоль кривой, не являю-
щейся характеристикой, произ-
вольно заданы непрерывные
значения всех трех неизвест-
ных функций.

2.	Вдоль двух пересекаю-
щихся кривых заданы непре-
рывные значения для (3—м—т)



Рис. 3.1
Р и с. 3.2

произвольно выбранных неиз-
вестных функций, а в точке
пересечения кривых о заданы
три конкретные величины. Ве-
личина т равна единице, если
кривая является характеристи-
кой, и нулю, — если не явля-
ется.

Пользуясь этими двумя ос-
новными правилами, можно ре-
шить, какие должны быть за-
даны данные для получения в
некоторой области единственного

Рассмотрим пример. Пусть в трубопроводе (рис. 3.2), одним
концом выходящим в резервуар с постоянным давлением р дви-
жется поршень со скоростью и ~ и(1). Определить, какие и сколь-
ко краевых условий должно быть задано в плоскости х, I. Началь-
ные и граничные условия должны быть заданы вдоль кривой АС,
изображающей движение поршня, и следовательно, являющей-
ся характеристикой третьего семейства (траектория движения
частиц газа), и вдоль прямых АВ и ВД, не являющихся харак-
теристиками. Неизвестные функции и(х), р(х) и 5(х). Согласно
установленным правилам, вдоль АВ функции и(х), р{х) и $(х)
могут быть заданы произвольно (3—0—0 3). Вдоль характери-
стической АС может быть задана произвольно только одна функ-
ция (3—1 — 1 1). Это и	Вдоль прямой ВД можно про-

извольно задать (3 — п — 0 — 3 — п) величин. Для того, чтобы
определить п, заметим, что характеристика, направленная вправо,
и траектория, проходящая через точку В при истечении, явно не
попадут в область Д между кривыми ЕВ и ВД. Третья характе-
ристика наклон которой равен и — а, попадет в область Д,
если и С а, и наоборот, не попадет в область Д, если и 2> а.
Таким образом, если и С а, то п = 2, и на отрезке ВД можно задать
одну величину, а именно, давление на срезе р^ - рЦ). Если и>а,
то и З, и вдоль ВД нельзя задать никаких величин. Физичес-
кое объяснение этого результата хорошо известно: если газ выхо-
дит из трубы со сверхзвуковой скоростью (и > а), то течение не
должно зависеть от давления в резервуаре. В случае втекания
газа в область Д попадут уже две характеристики (траектории и
второго семейства). Тогда п — 1 и для решения необходимо за-
дать уже две величины.

3.2. Отражение волн от

движущегося поршня

Обозначим скорость поршня через с. Газ, прилегающий к порш-
ню, в силу условия прилипания всегда остается в контакте с ним
и движется со скоростью поршня *. Тогда единственная неизвест-

Это условие справедливо до тех пор, пока с < /-у (или I
ная ас может быть определена из инвариантов Римана, если в вы-
ражения для /+ и / . (см. раздел 2.2) поставить скорость с вместо
и:

для правого конца

(3.1)

для левого конца

к — 1

Если скорость поршня

0, из

к

(3.1)	имеем

а из (3.2)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

а

Инвариант отраженной волны можно определить, предполагая
процесс отражения изэнтропным, из равенства а.г на стенке для
правой и левой волн:

(3.5)

Таким образом, если один из инвариантов увеличивается со вре-
менем, то другой тоже будет увеличиваться со временем, и на-
оборот. Из этого следует, что при отражении от неподвижной стен-
ки отраженная волна того же типа (сжатия или разрежения), что
и прибывающая.

3.3. Отражение волн от

открытого конца трубопровода

В случае отражения волн от открытого конца трубопровода,
граничащего с резервуаром, в котором поддерживается постоян-
ное давление, или с окружающей средой, граничные условия не
так очевидны, как рассмотренные в предыдущем разделе.

Достигнув открытого конца трубопровода, волна взаимодейст-
вует с окружающей средой, вызывая в ней область неустановив-
шегося движения газа. В этом случае граничное условие должно
отражать тот факт, что параметры внутреннего и внешнего пото-
ков должны быть равны в точке взаимодействия. В деталях все
явления, происходящие на открытом конце трубы, проанализиро-
вать трудно, так как там возникает трехмерное движение газа.

Чтобы избежать трудностей, связанных с расчетом трехмерного
неустановившегося движения газа, обычно делают упрощающие
предположения: истечение из трубы происходит так же, как ста-
ционарное истечение газа из сопла, т. е. считают, что давление на
конце трубопровода при дозвуковом истечении равно давлению
окружающей среды. Втекание происходит так же, как и при ста-
ционарном втекании газа из ресивера, в котором поддерживаются
постоянными давление и температура.

3.4.	Отражение волн при истечении

Количество граничных условий, задаваемых на открытом конце
трубопровода, в соответствии с правилами, изложенными в 3.1,
при истечении газа должно быть равно единице или нулю.
При дозвуковом истечении считают, что давление на срезе
равно давлению окружающей среды р0. При звуковом и сверх-
звуковом истечении нет необходимости задавать граничные усло-
вия, так как отражения волн не происходит: они сносятся пото-
ком за пределы трубопровода.

Проверка данной гипотезы может быть осуществлена достаточ-
но просто. Для этого необходимо установить датчик давления на
срезе трубопровода и замерить изменение давления в момент при-
хода волны. На рис. 3.3 представлены осциллограмма замера дав-
ления на срезе трубопровода и осциллограмма исходной волны
сжатия.

а)

Р и с, 3.3. Осцилограммы изменения давления па конце трубопровода
при отражении волны сжатия (истечение):

1	—первичная волна вдали от конца трубопровода;

2—давление на конце трубопровода

Как видно из осциллограмм, флуктуация давления на срезе тру-
бопровода мала и несравнима с исходной волной. Это указывает
на то, что условие на границе рс = р0 достаточно точно отражает
суть явлений, происходящих при нестационарном истечении газа
из трубопровода.
Рассмотрим расчет отражения волн от открытого конца трубо-
провода при истечении. Пусть инвариант первичной волны
известен. Тогда инвариант отраженной волны I с можно найти
из следующих соображений. Так как рс = р0, а скорость звука
на срезе

(3.6)

используя уравнение (2.7), можно записать

(3.7)

Если энтропия вытекающего газа постоянна

то величина

2к аое 2 р соп§1.

Ро'

Из этого следует, что сумма инвариантов прибывающей и отра-
женной волн есть величина постоянная, т. е., если инвариант при-
бывающей волны возрастает, то инвариант отраженной волны
уменьшается. Это значит, что при отражении волна меняет знак:
если прибывающая — волна сжатия, то отраженная — волна раз-
режения, и наоборот.

3.5.	Отражение волн при втекании

Если в эксперименте замерить давление на срезе трубопровода
при втекании, обнаружим, что регистрируемая волна на срезе
вполне сравнима с исходной волной разрежения (рис. 3.4). Это
указывает на то, что граничное условие, справедливое для истече-
ния, не может быть использовано для случая втекания.

В соответствии с правилами определения количества гранич-
ных условий при втекании необходимо задавать два параметра на
границе.

Первое граничное условие получают из предположения об ус-
тановившемся адиабатическом характере втекания из большого
резервуара в трубопровод. Тогда в силу закона сохранения энер-
гии для установившегося адиабатического течения можно записать
/с = 10. Или, полагая ср = сопз!,

Второе граничное условие выбирают в соответствии с потерями
на входе в трубопровод. Так как гидравлические потери приводят
к росту энтропии, то энтропия газа в области среза будет отличать-
ся от энтропии газа окружающей среды

— 80 — АР 1п о.	(3.9)
ОА ~	।	।	।	।	।	।	।	।	।	।	# ._л

0	2	4	6	6	10	12	/4 16	18 20	1ЮС

г)

Рис. 3.4. Осциллограмма изменения давления на конце трубопровода при
отражении воли разрежения (втекание):

1—первичная волна вдали от конца трубопровода; 2—Давление
на конце трубопровода

Здесь а—коэффициент восстановления полного давления, представ-
ляющий отношение полных давлений в трубопроводе и окружающей
среде	•

а = —	(3.10)

Ро

среде и учитывающий гидравлические потери, которые зависят от
конструкций входа в трубопровод.

В общем случае величина <т может быть определена экспери-
ментально. Число вариантов входов, для которых теоретически
можно определить о, мало. В частности, это «насадок Борда» и
плавный вход, выполненный по лемнискате Бернулли. При лем-
нискатном входе с достаточно высокой точностью можно считать
$с $0'
Рис. 3.5. К расчету а в ,,насадке Борда“

«Насадком Борда» назы-
вают патрубок с бесконечно
тонкими стенками, достаточ-
но далеко входящий в ре-
зервуар большого объема
(рис. 3.5). В этом случае по
всему внешнему контуру вы-
деленного объема действует
давление, равное давлению
в резервуаре.

Лишь в трубопроводе в
сечении «а— а» давление ра
отличается от р0. ПОЭтому
сумма всех сил, действую-

щих на выделенный контур, будет равна р()Рт —РаР? (сумма сил,

действующих на внешние и внутренние стенки трубопровода, равна
нулю). Течение газа происходит только в сечении «а—а». Тогда
уравнение импульсов можно записать следующим образом:

Ро Рт = РаРт +

(З.П)

Секундный расход газа т равен раиаРт- Тогда

РоРт = РаРт + Ра иа ртиа.

(3-12)

р„

Сокращая на Рт и учитывая, что ра = имеем

Умножая и деля член ра!Р-Ра на
к/?Т = а2, а М = —, получаем

Р<>

Ша

к и вспоминая, что

(3.13)

Ро = Ра (1 + кМа).

(3.14)

Таким образом,

Ро
1-'-кМ2

(3.15)

Если бы течение было изэнтропным, то давление ра было бы до-
стигнуто при давлении в резервуаре, равном

К

найдем величину

(3.16)

Сравнивая (3.15) и (3.16),

мГГ1

1 + км2

(3.17)
Зная граничные условия (3.8) и (3.9) или (3.10), можно опре-
делить инвариант отраженной волны и все параметры газа на
срезе трубы в случае втекания.

Скорость звука на срезе трубопровода определяется по фор-
муле*

&С ^0 а (Мс) —

(3.18)

Учитывая то, что на границе скорость звука одинаковая для
первичной и отраженной волн, имеем



«о =

(3.19)

В отличие от истечения, при втекании сумма инвариантов не ос-
тается величиной постоянной, а зависит от числа Мс. Однако де-
тальный анализ этого выражения показывает, что, как и в случае
истечения газа, возрастание одного из инвариантов ведет к уменьше-
нию другого, т. е. если прибывающая волна — волна разрежения,
то она отражается волной сжатия, и наоборот.

Определим инвариант отраженной волны если известен
инвариант прибывающей волны 7+й, предполагая втекание из-
энтропным ($с — 50). По уравнению (3.19) находим

(3.20)

В этом уравнении две известные !с и Мс. Число Мс можно опре-
делить из выражения для инварианта прибывающей волны

+ (-Мс)

(3.21)

Преобразуя это выражение и разрешая его относительно числа
Мс, получаем квадратное уравнение:

* Все потери, связанные с конструкцией входа, приводятся к срезу трубо-
провода.
Из корней этого квадратного уравнения выбирается тот, модуль
абсолютной величины которого |МС| 1. Подставляя этот корень
в уравнение (3.20), определяем инвариант отраженной волны
/_с. Это решение будет справедливо до тех пор, пока Мс 1
После того, как на срезе трубы установится звуковая скорость,
физическая картина течения несколько изменится. Определим
критическое значение инварианта Римана прибывающей волны,
при котором начнется втекание со звуковой скоростью. Для этого
в выражении (3.21) положим Мс = 1

ПК

а0.

(3.23)

Таким образом, дозвуковое втекание может существовать лишь
в диапазоне инвариантов Римана

(3.24)

Если инвариант /+п </+лк, то на входе в трубопровод об-
разуется нестационарная волна разрежения, увеличивающая ско-
рость течения газа до сверхзвуковой, а отраженных волн уже не
будет, так как возмущения, создаваемые внутри трубопровода,
будут сноситься сверхзвуковым потоком.

Если втекание происходит с ростом энтропии газа (как в слу-
чае «насадка Борда») и, кроме того, возможно сжатие струи, рас-
чет отражения лучше всего производить по методике расчета рас-
пада произвольного разрыва на диафрагме (разд. 4). Однако для
случая, когда конец трубопровода выходит в окружающую сре-
ду (или резервуар относительно большого объема), можно считать
площадь широкого канала равной бесконечности. Это позволяет
пренебречь изменением параметров в волне, движущейся за пре-

делами трубопровода, и считать,

ср рант хоятахтхая
Зол мы лоВерххостпъ
(и2~и5,Рг=Р3)

что у входа в трубу давление и
температура равны давлению и
температуре окружающей среды
(или в резервуаре) (рис. 3.6).
Тогда все параметры можно
найти, решив систему

Ро Ро Рз Ра .

Д3М3 — ^2^2-	(3.26)

Р 11 С. 3.6.

К расчету инварианта Римана
отраженной волны при втекании

Выразим неизвестные величины
давлений и скорости звука че-
рез известные с помощью газодинамических функций и подставим их
в (3.25) и (3.26):

Ро . _	1	(М2) .

Р1 ” о~(М3) к"(Мх)’

(3.27)

М3а0 а (М3) —

(3.28)

Здесь неизвестные М3 и М2. Коэффициент восстановления полного да-
вления о должен быть известен из экспериментов или определять-
ся теоретическим путем (как в случае «насадка Борда»). После
того как будет решена система (3.27) и (3.28), не составит труда
найти инвариант отраженной волны

(3.29)

и скорость движения контактной поверхности

^3	^3 а (Мз) •

(3.30)

Рассмотренные граничные условия не исчерпывают всех воз-
можных их вариантов. Поэтому к выбору граничных условий

в каждом конкретном случае
необходимо подходить индиви-
дуально. Но в большинстве
встречаемых в практике слу-
чаев граничные условия могут
быть сведены к рассмотренным.

3.6. Влияние близости стенки
на отражение волн конечной
амплитуды от открытого
конца трубопровода

В некоторых случаях необ-
ходимо определять отражения
волн конечной амплитуды, ког-
да вблизи конца трубопровода
находится стенка.

Теоретическое решение по-
ставленной задачи представля-
ет большие трудности, поэтому
здесь приведены результаты
экспериментального исследова-
ния по отражению волн конеч-
ной амплитуды для двух вари-
антов входа — лемнискатного
и с острыми кромками, нахо-

Р и с. 3.7.

Отражение волны разрежения
от конца трубопровода, вблизи
которого на расстоянии I находится
стспка (вход выполнен по
лемнискате Бернулли):
а — отражение от открытого конца
трубопровода; б — отражение при
наличии стенки
дящихся вблизи стенки, расстояние до которой могло измениться
(рис. 3.7).

Интенсивность первичных волн сжатия и разрежения выбира-
лась предельная, т. е. обеспечивающая максимально возможную
интенсивность отраженных волн. Такой выбор интенсивностей
первичных волн гарантирует применимость полученных резуль-
татов для всех практически важных случаев.

В связи с тем, что знак и интенсивность отраженных волн
зависят от проходного сечения на конце трубопровода, естествен-
но, за определяющую принять площадь кольца (в случае трубо-
провода с острой кромкой на входе), равную

Рк = 2тс ,

где I — расстояние между трубой и стенкой.
В случае лемнискатного входа

кл



Здесь I — минимальное расстояние между лемнискатной образую-
щей входа и стенкой, а — диаметр лемнискатного входа в се-

Р и с. 3.8.

Отражение волны сжатия от конца
трубопровода, вблизи которого на
расстоянии / находится стенка:
а — вход в трубопровод

с острыми кромками;

б — вход в трубопровод выполнен
по лемнискате Бернулли

чении, где I — минимальное.

На рис. 3.7 представлены
результаты экспериментально-
го исследования отражения
волны разрежения от лемнис-
катного конца, расположенно-
го вблизи стенки. Из рис. 3.7
видно, что при малых отноше-
ниях площадей кольца и тру-
бопровода (Р ) интенсив-
г т

ность отраженной волны
___ р ____р

р = ——2 (р3 — максималь-
*о

ное давление в волне, р0— дав-
ление окружающей среды) су-
щественно отличается от ин-
тенсивности волны, отражен-
ной от открытого (без стенки)
конца, уровень которой задан
на рис. 3.7 прямой а. Но уже
при р > 5 интенсивность от-

раженной волны от стенки
практически не отличается от
интенсивности отраженной вол-
ны от открытого конца.

Результаты исследования
отражения волны сжатия от
стенки представлены на рис.
3.8. Из рисунка видно, что
интенсивность отраженной волны зависит от конфигурации вы-
хода из трубы. Причем труба с лемнискатным выходом (кривая
б) при меньших отношениях У7 достигает уровня отражения волны
сжатия от открытого конца, чем при выходе с острыми кромками
(кривая а). При Р > 3 отражение волны сжатия практически про’
исходит как от открытого конца. Различия в величинах Г, при ко-
торых экспериментально не обнаруживаются отклонения отражений
при наличии стенки и открытого конца, объясняются различными
значениями коэффициента расхода для разных конфигураций вы-
хода.

Таким образом объясняется и различие в предельных значе-
ниях Р^ при отражении волн сжатия и разрежения при одном и
том же входе. В случаях отражений волн разрежения в прове-
денных экспериментах газ втекал в трубопровод, а волн
сжатия — происходило истечение газа из трубопровода. Но для
различных направлений течения газа будут различными коэф-
фициенты расхода, что и нашло отражение в различных минималь-
но допустимых значениях Р.

Таким образом, при отражении волны от конца трубопровода,
расположенного вблизи стенки, нормальной к оси трубы, для
исключения влияния ее на интенсивность отраженной волны, не-
обходимо конец трубопровода располагать так, чтобы Р при вте^
кании было не меньше 5 при лемнискатном входе, а при истече-
нии — не менее 3 при любой конфигурации входа.
4.	ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ РАЗРЫВЫ
ИВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С НИМИ

4.1.	Виды газодинамических разрывов

В разделе 2.3. было показано, что система дифференциальных
уравнений, описывающая движение идеального газа, теряет смысл
в случае больших градиентов изменения термодинамических и
кинематических параметров. Выход из этих ситуаций можно най-
ти, используя уравнения Навье-Стокса, учитывающие вязкость
и теплопроводность газа. Однако и в рамках модели идеального
газа имеется возможность учесть большинство эффектов, связан-
ных с существованием таких зон в рассматриваемой области дви-
жения газа. Для этого отвлекаются от структуры потока и ее про-
тяженности в зоне с большими градиентами параметров, считают,
что параметры изменяются скачкообразно в одном и том же се-
чении от параметров на входе до параметров на выходе этой зоны.
Такие участки газового потока при использовании модели идеаль-
ного газа получили название газодинамических разрывов. Выяс-
ним, какие разрывы могут существовать в газовом потоке.

Основные законы сохранения справедливы для любых газоди-
намических течений, в том числе и для течений с разрывами.
Поэтому если предположить, что в теплоизолированном канале
единичной площади поперечного сечения, заполненном стационар-
но движущимся идеальным газом, имеет место газодинамический
разрыв и параметры газа до него и за ним постоянны, хотя и раз-
личны (рис. 4.1), в системе координат, связанной с разрывом, за-
коны сохранения можно записать в следующем виде:

га 3 одина леи ч есасаи
/	разры.3

Рис. 4.1
закон сохранения массы

91^1	?2^2>

закон сохранения импульса

91^1^1 Г Р1 - р2^2^2“Гр2»

закон сохранения энергии

9

Р1^1 I 9	। Г Р1Р1 ) : - ?2^2

(4.1)

(4.2)

+ ^2 4“ р2и2

или, учитывая, что е + ри = I для единичной площади сечения



(4.3)

Уравнения (4.1)...(4.3) совместно с уравнением состояния (2.4),
которое предполагается известным, полностью определяют усло-
вия на поверхности разрыва. Зная давление и состояние среды с
одной стороны поверхности разрыва, на основании этих четырех
уравнений определяются четыре неизвестные величины и2, р2,
р2, 12, характеризующие движение и состояние среды с другой
стороны поверхности разрыва.

Анализируя полученную систему уравнений, можно сделать
вывод, что существуют два вида поверхностей разрыва.

Рассмотрим случай, когда

= и2 0.

(4-4)

Это означает, что через поверхность разрыва нет потока среды.
При этом уравнения (4.1), (4.2) и (4.3) удовлетворяются автомати-
чески. Из уравнения (4.2) следует, что

Р1 Ръ

(4.5)

т. е. давления одинаковы с обеих сторон разрыва. При этом как
плотности, так и температуры могут быть любыми с обеих сторон
поверхности разрыва. В частности, некоторые из этих параметров
могут быть одинаковыми. В том случае, когда они все одинаковы
с обеих сторон,— разрыва не существует. Рассмотренный разрыв
называется контактной поверхностью.

Если поток вещества через поверхность разрыва существует,
то и и2 и иг отличны от нуля и

п2.

(4.6)

В этом случае плотность, давление и другие термодинамические
параметры действительно испытывают скачок на поверхности раз-
рыва, как это очевидно из выведенной выше системы уравнений
(4.1), (4.2) и (4.3). Разрывы указанного вида называются ударными
волнами. Поверхность разрыва в этом случае называется фронтом
ударной волны. Как было сказано выше, поверхность разрыва
может обладать собственной скоростью движения до. В этом слу-
чае в неподвижной системе координат частицы в области 1 будут
иметь скорость

о —	(4.7)

а в области 2

ц2 0 = п.2 + до.	(4.8)

Перейдем от подвижной к неподвижной системе координат.
Тогда основные уравнения примут вид

2 п

(4.9)

Р1 (^1 о — Р2 (^2 о ^)1

/ц 4- (и! (1

(4.10)

Кроме рассмотренных двух газодинамических разрывов, в од-
номерных задачах газодинамики к газодинамическим разрывам
относят «скачок сечения». Если газ движется по каналу с площадью
поперечного сечения, равной рг, который в сечении х = 0 стыкует-
ся с каналом другого поперечного сечения К2, то параметры сле-
ва и справа от скачка сечения будут отличаться. Движение газа
в районе скачка сечения является двумерным (плоские и осе-
симметричные течения), но если предположить, что зона пере-
хода, заключенная между плоскостями х = 8г и х = 82, бесконеч-
но тонкая (е->0), то приближенная картина течения будет состоять
из двух гладких одномерных зон движения газа, разделенных
«скачком сечения». Принципиально понятие разрыва является
математической абстракцией, так как ни контактный разрыв,
ни ударная волна не являются физическими разрывами. Просто
в этих областях течения наблюдаются большие градиенты пара-
метров, но сами параметры не терпят разрыва. В этом смысле «ска-
чок сечения» ничем не отличается от ударной волны и контактной
поверхности и при анализе картины течения в одномерной поста-
новке может рассматриваться как устойчивый газодинамический
разрыв. Устойчивость его обеспечивается самой геометрией ка-
нала.

На скачке сечения при адиабатическом течении должны выпол-
няться соотношения (3.65), (3.67), являющиеся следствиями зако-
нов сохранения:

т * __ т *•
^1	— 12 »

Р1Я (М1) = ^2<7(М2)о.
Рассмотрим основные соотношения на фронте ударной волны.
Для этого, вспоминая, что

(4.12)

преобразуем уравнение энергии (4.11), учитывая уравнение (4.9),
к виду

2к

К — 1

(4-13)

Из уравнения импульсов (4.10) найдем отношение —

Р2

(4-14)

Используя уравнения

в (4.14) через

неразрывности, заменим отношение

Подставив полученное выражение

в (4.13), получим

Р1

Р2
?2

Р2



ау)(«10 — ж) —(«2 0

да)2 — («го — да)2.

йу)2

Р1

Р1 .

(4.15)

Введем число Маха ударной волны

(4.16)

Это число определяется как отношение относительной скорости
ударной волны ш — и1() (по отношению к газу, в котором она дви-
жется) к соответствующей скорости звука.

Выполнив несложные преобразования и учитывая, что

«У - к/?Т, к

?1

найдем относительное приращение скорости потока при переходе
через ударную волну

И2 О	°

«1

(4.17)

Выразим через число М^ изменение термодинамических пара-
метров на ударной волне.

Из уравнения неразрывности (4.9) имеем

р2 _ Ц1 о — ш

Р1 ^2 О
Преобразуем правую часть этого равенства

Ц2о —

Ра _____________а1_________

р-	И2 О	О ,	^10 -

а1 а1

С учетом (4.16) и (4.17) окончательно имеем

(4.18)

Из уравнения импульсов (4.10), учитывая (4.17) и (4.18), легко
определить отношение давлений на ударной волне

= 1 + (Му2 __ 1). (4>19)

Р1	к + I

А отношение температур и скоростей звука определяется из урав-
нения состояния (2.6) и уравнений (4.18) и (4.19)

(4.20)

Изменение энтропии находится из уравнения (2.7)

= ]п

С .у

2к

К 4- 1

(М* - 1)

(4.21)

Замечательное свойство уравнений (4.18)...(4.21) заключается
в том, что они не зависят от абсолютных значений скоростей и
и до, т. е. инвариантны по отношению к общему переносу с постоян-
ной скоростью.

Теперь найдем связь между термодинамическими параметрами
на ударной волне. Выразив Му через — в уравнении (4.19) и
подставив его в (4.18), получим

к + 1

Р2 _ К -	}	?2

Р1 1+^^1

К — 1 р2

(4.22)

Это соотношение носит название уравнения Гюгонио. Вспоми-
ная связь между плотностью и давлением в адиабатном процессе,
определяемую изэнтропной адиабатой Пуассона
видим, что уравнение Гюгонио
(4.22) представляет адиабату
(в силу принятых допущений),
отличную от изэнтропной. Эту
адиабату называют ударной
или адиабатой Гюгонио.

Таким образом, адиабата
Гюгонио справедлива для раз-
рывных движений газа с конеч-
ным скачком параметров на по-
верхности разыва в отличие
от ранее рассмотренного неп-
рерывного, гладкого движения
газа, для которого справедли-
ва адиабата Пуассона. Отсюда
следует сделать заключение,
что прохождение идеального
газа сквозь скачок уплотнения

Изэнтропа и ударная адиабата:

1 — асимптота ударной адиабаты;

2 — изэнтропа;

3 — ударная адиабата

не является изэнтропным процессом, так как сопровождается не-
обратимым переходом механической энергии в тепловую.

На рис. 4.2 показаны для сравнения графики двух адиабат:
изэнтропной и ударной.

Как видно из этого графика, при — > 1 ударная адиабата

Р1

располагается ниже изэнтропной. Заметим, что ударная адиабата
имеет асимптоту

р2  К 1

Р1	к — 1

(4.23)

при р2~^оо. Поэтому в отличие от обычного адиабатного и из-
энтропного сжатия газа, например в теплоизолированном цилинд-
ре с поршнем, как бы ни было велико сжатие — газа в ударной
Р1

волне, создаваемое ею уплотнение газа р2/Р1 не может превзойти
К__________I 1

величины —-г. Так, для к = 1,4 предельное отношение р2/Р1 = 6.
К 1

Можно показать, что в случае прохождения газа сквозь ска-
чок уплотнения отнесенная к единице массы энтропия газа будет
возрастать. Воспользуемся с этой целью выражением энтропии,
которое можно получить из уравнения (2.7):

Р1 ?2 / _

(4.24)

ПрИ р2/р! > 1

выражение

больше единицы для ударной

адиабаты (для

изэнтропы оно равно единице), логарифм поло-

жителен, следовательно,

«2 — 51 > 0.
а

&

Рис. 4.3.

Сглаживание ударной волны
разрежения

Из той же формулы (4.24) сра-
зу следует, что скачка разре-
жения быть не может, так как
кривая, соответствующая удар-
ной адиабате, должна лежать
выше изэнтропы (на рис. 4.2
показана пунктиром), т. е. при
р2/р! < 1 ДОЛЖНО быть

0.

$2

в

Это означает, что при про-
хождении сквозь предполага-
емый скачок разрежения эн-
тропия газа должна была бы
уменьшиться, что привело бы
к противоречию со вторым на-

чалом термодинамики. Из общих термодинамических законов сле-

дует: скачок разрежения невозможен, что можно показать и чисто
физически. Действительно, если каким-либо способом удастся в
какой-то момент времени создать ударную волну разрежения
(рис. 4.3), то в следующий момент времени разрыв исчезнет: точ-
ка а, соответствующая фронту волны разрежения в силу большей
скорости звука, чем в «хвосте» волны (точка в), а также скорости
потока в волне разрежения, направленной в противоположную
сторону движения самой волны, пройдет большее расстояние, чем
«хвост» волны разрежения (точка в), и разрыв сгладится.

Рассмотрим стационарную ударную волну (йу = 0). Из урав-
нения энергии (4.11) следует, что полная энтальпия газа до и за
скачком остается постоянной, следовательно, при одинаковой теп-
лоемкости во всей области движения газа температуры заторможен-

ного потока до и за скачком одинаковы

Т/ = Т2*.	(4.25)

Так как процесс течения газа вне разрыва можно считать изэн-
тропным, то в уравнении (4.24) вместо статических параметров
можно подставить соответствующие параметры торможения. Тогда,
учитывая, что

получаем

и
Окончательно, принимая во внимание (4.25), имеем

52 — 5Х - —/?1п	(4.26)

Так как энтропия в потоке возрастает, то р* > р*. Вводя
*
р>
коэффициент восстановления полного давления о , получим

$2 —	-- — /?1по.	(4.27)

Таким образом, при прохождении газа через стационарную
волну температура торможения остается постоянной, а полное
давление уменьшается, так как часть механической энергии превра-
щается в тепло.

Вследствие того, что полное давление за скачком падает, а
давление в газе (статическое давление) возрастает по сравнению
с давлением до скачка, скорость потока в области 2 (см. рис. 4.1.)
должна уменьшаться. К этому выводу можно прийти и непосред-
ственно из уравнения импульсов (4.10). Действительно, если р2 > рг
и р2 Д> р1т то из уравнения импульсов следует, что |н10| :> |н20| .

Найдем связь между скоростью потока до скачка и после скач-
ка. При неподвижной ударной волне (относительно неподвижной
системы координат) число Мх на входе в ударную волну долж-
но быть равно числу Му. Тогда, подставляя в (4.17) вместо Му
число Мь получим

выполнив несложные преобразования и учитывая, что

получим следующее выражение:

.2
~ ’ $кр

ИЛИ

^2»	1 о ... |

Щр Щр

Но — - X, поэтому

С кр

“ 1.

(4.28)

Из этого равенства видно, что в прямом скачке уплотнения
сверхзвуковая скорость газа в системе координат, связанной со
скачком, всегда переходит в дозвуковую. Одновременно можно
заметить, что, чем больше значение приведенной скорости перед
скачком, тем меньше его значение после скачка, т. е. чем выше
начальная скорость, тем сильнее получается скачок уплотне-
ния.

Если фронт ударной волны не стационарный, а перемещается
по каналу, то полученные выше результаты можно интерпрети-
ровать следующим образом: скорость волны по отношению к газу,
в котором она движется, будет сверхзвуковой на входной стороне
волны и дозвуковой — на выходной.

В заключение раздела необходимо отметить глубокую связь
между простыми волнами и ударными. Если основные соотношения
на фронте ударной волны (4.17), (4.20) и (4.21) разложить в ряд.
Тейлора в окрестности Му = 1 и взять первые два члена разло-
жения, получим следующие соотношения:

Если в формулах (4.29) и (4.30) положить иго — 0 и выпол-
нить несложные преобразования, то выражение (4.30) примет вид

(4.32)

При сравнении с формулой (2.31) видно, что они идентичны. Это
указывает на то, что при малой интенсивности ударной волны ее
можно рассматривать как простую изэнтропную волну. С другой
стороны, простые волны (в том числе элементарные) можно рас-
сматривать как вырожденные ударные волны.

Таким образом, мы установили, что в потоке газа могут су-
ществовать только два вида устойчивых разрывов: ударные волны
и контактные поверхности. Однако при одномерном рассмотрении
некоторых каналов переменной геометрии выделяют еще и геомет-
рический разрыв - «скачок сечения». Это связано с тем, что в
случае движения газа по каналу с площадью поперечного сечения,
равной который в сечении х = 0 стыкуется с каналом другого
поперечного сечения Г2, параметры слева и справа от скачка се-
чения отличаются, т. е. па некотором конечном расстоянии имеет
место распределение параметров со значительными градиентами,
как и в случае реальной ударной волны или контактной поверх-
ности, на которой в силу диффузионных процессов есть проникно-
вение вещества через первоначальную границу.
Указанные разрывы называют сильными. В них разрыв тер-
пят непосредственно сами параметры, определяющие движение и
состояние среды. Слабыми называют разрывы, на которых пара-
метры не претерпевают разрывов, но значения производных от
этих параметров по координатам (при постоянном времени) или по
времени (при постоянных координатах) изменяются на конечную
величину в течение бесконечно малого времени. Примером слабого
разрыва является звуковая волна: фронт звуковой волны несет
бесконечно малые возмущения среды, поэтому значения самих
параметров, определяющих движение и состояние среды р, р, иг
а в заданной точке в момент прихода фронта, не изменятся, а
значения производных изменятся на конечную величину.

Наличие сильных разрывов в потоке приводит к необходимо-
сти разработки процедуры расчета взаимодействия разрывов как
между собой, так и с простыми волнами. Базой для разработки
такой процедуры является теория распада произвольного разрыва,
основы которой были заложены Н. А. Кочиным.

4.2.	Распад произвольного разрыва и основы теории
ударных труб

Произвольным разрывом в гидромеханике называют начальное
состояние двух бесконечных масс газа, характеризуемых постоян-
ными параметрами и1ч рь 7\, р1 и м0, р0, То, ро и граничащих в
начальный момент времени I = 0 вдоль плоскости х = 0. При этом
величины слева и справа от разрыва произвольны и подчиняются
лишь уравнениям состояния, которые могут быть различными для
граничащих газов. Если разрыв не является ни контактной поверх-
ностью, ни ударной волной, ни «скачком сечения», в потоке он
существовать не может, а должен распасться на определенную
конфигурацию устойчивых разрывов и зон стационарных газоди-
намических течений между ними. Наиболее общими свойствами
решения задачи о распаде произвольного разрыва являются сле-
дующие:

1.	В каждом из газов, соприкасающихся в точке х = 0 в мо-
мент времени / = 4» распространяется не более одной ударной
волны.

2.	В каждом из газов распространяется не более одной центр-
рированной * волны разрежения.

3.	Присутствие в одном из газов ударной волны исключает
возможность распространения в этом же газе волны разрежения и,
наоборот, распространение в одном из газов центрированной вол-
ны разрежения исключает возможность распространения в нем
ударной волны.

Как следствие этих свойств решение задачи о распаде разры-
ва содержит контактный разрыв, разделяющий правый и левый

* Все характеристики волны разрежения выходят из одной точки в плос-
кости х, Л
диафрагма

Распад произвольного разрыва
в простейшей ударной трубе

ж ом т ахлжя

газы, в каждом из них распространяется не более одной волны
(бегущей или ударной), граничащей с зонами постоянного тече-
ния.

К задаче о распаде произвольного разрыва приводятся все
задачи о взаимодействии сильных разрывов между собой: это вза-
имодействие ударных волн с ударными и простыми волнами, взаи-
модействие ударных и простых волн с контактными разрывами,
слияние простых и ударных волн и т. д. Суть теории (или задачи)
о распаде произвольного разрыва заключается в отыскании такой
комбинации устойчивых разрывов (сильных и слабых) и участков
постоянных течений (в зонах постоянного течения могут сущест-
вовать и стационарные разрывы), которая удовлетворяла бы ин-
тегральным законам сохранения.

Можно показать, что для подавляющего большинства практи-
чески используемых газов решение задачи о распаде произволь-
ного разрыва существует и единственно, т. е. при заданных на-
чальных условиях возможна
единственная конфигурация
волн и разрывов, удовлетво-
ряющая интегральным законам
сохранения.

Это позволяет отыскивать
искомую конфигурацию, не об-
ращаясь каждый раз к провер-
ке законов сохранения, а ог-
раничиваясь лишь выполнени-
ем условий на разрывах. Ре-
шение будет найдено, если
будут определены типы волн и
их интенсивность.

Проиллюстрируем сказан-
ное на примере распада произ-
вольного разрыва в ударных
трубах постоянного поперечно-
го сечения по длине.

Пусть канал постоянного
сечения разделен в сечении
х = 0 перегородкой (рис. 4.4).
Слева от перегородки парамет-
ры газа р4, Т4, р4, справа —
7\, Рх. Налицо имеем произ-
вольный разрыв параметров.
Этот разрыв неустойчив, так
как устойчивое состояние под-
держивается перегородкой. Ес-
ли в момент времени / = /0
перегородку убрать, то газы
придут в движение. Газ из
области высокого давления

Волна
разрежения^

\ Заяма,
начнет перетекать в область низкого давления. Между газами
образуется контактная поверхность (ее можно представить
как невесомую перегородку, которая вначале удерживала газы
в состоянии покоя, а затем строго по периметру была срезана
и стала двигаться вместе с ними). Контактную поверхность
(перегородку) можно рассматривать как поршень. Если внача-
ле р4 > ръ то этот поршень будет двигаться в сторону газа
«1» и выдвигаться по отношению к газу «4». Так как «поршень»
мгновенно приводится в движение со скоростью и, вправо пойдет
ударная волна сжатия, а влево—волна разрежения. Но вследствие
того, что ударная волна разрежения для реальных газов не может
существовать, влево пойдет простая центрированная волна раз-
режения.

Для определения параметров в трубе удобно использовать сле-
дующий прием. Запишем тождество для начального отношения
давления на произвольном разрыве

Р4 ___ Р4 Рз Р2

Р1 РЗ Р2 Р1

(4.33)

Здесь -- — отношение давлений на фронте правой волны. Если
Р1

это ударная волна, то отношение необходимо записать
с помощью уравнения (4.19), а если волна разреже-
ния,— то с помощью газодинамической функции
л'(М) (см. табл. 2.1);

Рз =

Р2

Р4

Рз

— из условия на контактной поверхности;

отношения давлений на фронте ударной волны или
на фронте волны разрежения слева от начального

положения произвольного разрыва.

Перебирая различные комбинации волн и их интенсивностей,
добиваются того, чтобы скорости в зоне 3 и зоне 2 (на контактной
поверхности) были равны. Если это условие будет выполнено, то
искомое решение задачи о распаде разрыва на скачке сечения бу-
дет найдено.

В данном конкретном примере имеем

(4.34)

Так как за начальное состояние приняли неподвижные газы, то
М4 = 0 и л"(М4) = 1. В уравнении (4.34) две неизвестные вели-
чины Му и М3, следовательно, необходимо добавить еще одно
уравнение. Это может быть уравнение, отражающее тот факт, что
на контактной поверхности скорости слева и справа от нее равны:

^2 '	^3,

но «3 = ОзМз = а4а" (М3) М3,
а из (4.17) следует

Тогда имеем

#4	(М3) М3 —	-----

К — 1

(4.35)

Решив совместно уравнения (4.34) и (4.35), определим число Му
и М3, а следовательно, и остальные интересующие параметры га-
зового потока.

Технические устройства, в которых реализуется описанный фи-
зический процесс, называют ударными трубами.

Ударные трубы нашли широкое применение в газодинамиче-
ских исследованиях для создания высокоскоростного и высоко-
температурного газового потока при тарировке различных датчи-
ков (давления, температуры и т. д.), для исследования нестацио-
нарных газодинамических процессов и имеют еще множество
вариантов исследовательских и технологических применений.
Здесь будут рассмотрены лишь три основных типа: простейшая
ударная труба, ударная труба со скачком сечения и двухдиафраг-
менная ударная труба.

Простейшая ударная труба представляет собой трубу постоян-
ного поперечного сечения по длине, состоящую из двух частей
(рис. 4.5): камер высокого и низкого давлений, в начальный мо-
мент разделенных диафрагмой, которая изготавливается из ма-
териала, быстро разрушающегося при заданном перепаде дав-
лений. Это могут быть специальные стали или металлические
сплавы, используются целлофан, целлулоид и другие материалы.
От идеальной реальная ударная труба прежде всего отличается
тем, что диафрагма имеет массу, определенные прочностные ха-
рактеристики. Поэтому процесс раскрытия диафрагмы происходит
не мгновенно, а во времени. Чем длительнее раскрытие диафраг-
мы, тем медленнее и на больших расстояниях от сечения диафрагмы
формируется характерная для идеальной ударной трубы картина те-
чения: первоначально возник-
шая волна сжатия превращается
в ударную волну. Однако волна
разрежения уже не превращает-
ся в центрированную волну раз-
режения. Это приводит к сок-
ращению зон с постоянными
параметрами.

Основные параметры в удар-
ной трубе Му, М2, Мз, р2, Т2,
Т3, $2 находятся из соотноше-

момаметр диафрагма

/камера Высокого \гсамера низкого

। давления	давления

е

, смалши газ

Р и с. 4.5.

Схема простейшей ударной трубы
ний (4.34), (4.35), (4.19), (4.21) и с помощью газодинамических
функций для волны разрежения.

Основные соотношения параметров для простейшей трубы, в
которой рабочим телом является воздух, при одинаковой началь-

ной температуре в камерах высокого Т4 и низкого давлений Т\
и к = 1,4 приведены в табл. 4.1.

Как видно из таблицы, для воздуха, вытекающего из камеры
высокого давления, М3 = 1 достигается при значительно меньших
отношениях давлений на диафрагме р4/рп чем М2 = 1.

Варьируя газами в камерах низкого и высокого давлений, т. е.
к и соотношением температур в них, можно добиться очень ши-

рокого диапазона условий для газодинамических и физических
исследований. Можно добиться, что числа М3 и М2 будут одинако-
выми. Эти условия резко расширяют время для исследований, так
как увеличивается зона постоянных параметров за фронтом удар-
ной трубы.

В таблице 4.2 приведено потребное соотношение давлений на

диафрагме для получения заданного Му в зависимости от отноше-

ния температур воздуха в камере низкого и высокого давлений
7\П\. Как видно из этой таблицы, увеличение температуры в каме-

ре высокого давления существенно снижает потребное отношение

давлений на диафрагме. Причем чем больше потребное Му, тем
сильнее эффект от увеличения отношения температур. Связь меж-

р4 т4

к4, — и к4 устанавливается уравнением

ду Му,

Существуют ударные трубы, в которых нужного отношения тем-
ператур добиваются за счет непосредственного разогрева газа в
камере высокого давления и (или) охлаждения газа в камере низ-
кого давления (за счет теплопередачи через стенки камеры, элект-
рического разряда и др.). Но существуют и газодинамические
методы увеличения отношения температур на диафрагме.

Рассмотрим ударную трубу, у которой не одна диафрагма, а
две. Причем первая диафрагма (рис. 4.6) разрывается под дейст-
вием внешнего воздействия при достижении заданного отношения
давления (например прокалывается специальной иглой), а вторая —
под воздействием пришедшей ударной волны, возникшей в резуль-
тате распада произвольного разрыва при разрушении первой диаф-
рагмы.

Очевидно, что при одинаковых начальных температурах во всех
трех камерах до разрыва второй диафрагмы отношение температур
газов, до и за ней будет больше единицы, так как газ перед ней
нагревает первичная ударная волна.

Обычно требуется получить определенные параметры в камере
низкого давления, подобрав для этого рациональные начальные
параметры во всех трех камерах.

3 Заказ 1608

65
Параметры течения в ударной трубе (к4 — к2 = 1,4; Т41 ~ 1)

Таблица 4.1

м„	Ли	Р21	м2	М3	($2'51)/Л7
1,000	1,000	1,000	0	0	0
1,050	1,258	1,120	0,0797	0,0827	0,00012
1,100	1,560	1,245	0,1542	0,1643	0,00051
1,150	1,925	1,377	0,2228	0,2451	0,0017
1,200	2,354	1,514	0,2878	0,3254	0,0027
1,25С	2,862	1,657	0,3480	0,4054	0,0046
1,300	3,453	1,805	0,4054	0,4852	0,0085
1,350	4,148	1,959	0,4593	0,5651	0,0129
1,400	4,958	2,120	0,5101	0,6452	0,0174
1,450	5,900	2,287	0,5583	0,7256	0,0224
1,500	7,004	2,459	0,6044	0,8064	0,0289
1,550	8,282	2,637	0,6483	0,8879	0,0364
1,600	9,758	2,820	0,6897	0,9702	0,0443
1,650	11,47	3,010	0,7294	1,053	0,0531
1,700	13,45	3,205	0,7670	1,137	0,0631
1,750	15,73	3,407	0,8033	1,222	0,0719
1,800	18,39	3,614	0,8383	1,308	0,0833
1,850	21,47	3,827	0,8709	1,396	0,0947
1,900	24,99	4,045	0,9028	1,485	0,1051
1,950	29,03	4,270	0,9331	1,575	0,1180
2,000	33,71	4,500	0,9622	1,667	0,1315
2,100	45,30	4,979	1,017	1,855	0,1573
2,200	60,80	5,480	1,068	2,051	0,1861
2,300	81,38	6,005	1,114	2,256	0,2159
2,400	108,8	6,554	1,138	2,469	0,2460
2,500	145,4	7,125	1,197	2,692	0,2786
2,600	198,5	7,720	1,234	2,927	0,3105
2,700	260,3	8,339	1,268	3,174	0,3436
2,800	349,1	8,980	1,300	3,434	0,3780
2,900	469,1	9,645	1,330	3,709	0,4114
3,000	633,2	10,37	1,358	4,000	0,4444
3,200	1166	11,78	1,408	4,639	0,5144
3,400	2190	13,32	1,451	5,366	0,5840
3,600	4242	14,96	1,490	6,203	0,6530
3,800	8493	16,68	1,523	7,179	0,7221
4,000	17740	18,50	1,553	8,333	0 7900
Значения р41 для различных Му и Т61 в простейшей ударной трубе

Таблица 4. 2

5

6

7

8

9

10

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

о» 3,3

1,0

1,5612

2,3532

3,4516

4,9580

7,0020

9,7571

13,453

18,389

24,966

33,713

45,342

60,797

81,360

108,77

145,35

194,32

260,11

348,84

468,99

632,60

856,54

1165,3

1593,6

1,0

1,4599

2,0616

2,8368

3,8236

5,0684
6,6270

8,5656

10,966

14,767

17,562

22,021

27,470

34,128

42,248

52,137

64,183

78,851

96,700

118,44

144,94

177,21

216,62

264,72

1,0

1,4175
1,9460

2,6049
3,4184

4,4131

5,6204
7,0763

8,8234

10,912

13,400

16,354

19,852

23,982

28,857

34,594

41,348
49,282

58,596

69,527
82,357

97,525

115,01

I 135,67

1,0

1,3928
1,8806
2,4776
3,2003
4,0681
5,1033
6,3295
7,7760
9,4737

11,459
13,774
16,466
19,590
23,210
27,393
32,213
37,780
44,180
51,550
60,010
69,739
80,896
93,706

1,0

1,3763
1,8295
2,3944

3,0605
3,8512

4,7823
5,8724

7.1416
8,6156

10,319

12,283

14,538

17,123

20,080

23,458

27,307

31,688

36,670
42,328

48,744

56,020
64,253

73,582

1,0

1,3644

1,8060

2,3349

2,9620

3,6990

4,5595

5,5584

6,7120

8,0400

9,5601

11,299

13,278

15,527

18,079

20,966

24,229

27,908

32,052

36,724

41,965

47,858

54,468

61,876

1,0

1,3552
1,7823

2,2902

2,8880

3,5858
4,3950

5,3277

6,3982
7,6224

9,0154

10,595

12,385

14,406

16,680

19,236

22,109

25,323
28,924

32,949

37,440

42,443

48,026

54,241

1,0

1,3475
1,7635
2,2546
2,8295

3,4973
4,2672
5,1495
6,1574
7,3036

8,6009

10,066

11,714

13,568

15,643

17,963

20,553
23,442
26,655
30,227
34,192

38,593
43,466
48,862

1,0

1,3415

1,7479

2,2258

2,7824

3,4259

4,1647

5,0079

5,9666

7,0512

8,2745

9,6495

11,191

12,915

14,838

16,980

19,360

21,999

24,926

28,166

31,748

35,697

40,061

44,861

1,0

1,3363
1,7347

2,2015
2,7433

3,3667

4,0796
4^8907

5,8094
6,9276

8,0095
9,3118

10,768

12,391

14,194

16,194

18,410

20,860

23,567

26,549

29,828

33,446

37,415

41,770
3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

2192,7

3041,5

4239,6

5970,1

8488,2

12198

17740

323,60

396,03

484,16

592,96

727,10

892,62

1097,5

159,90
188,44

221,70
260,84
306,82
360,92

424,52

108,41

125,31

144,59

166,77

192,20

221,36

254,85

84,144

96,112

109,56

124,81

142,07

161,55

183,55

[70,179
79,504
89,902

101,55

114,58

129,15

145,44

61,144

68,846

77,374

86,848

97,383

109,06

122,03

54,823
61,441

68,708
76,762
85,644
95,433

106,25

50,156
55,994

62,375
69,405
77,138

85,622
94,927

46,549
51,800

57,526
63,815
70,696
78,195

86,414
баяна
разрежения

баяна.

разрежения

Рис. 4.6. Течение газа в двухдиафрагменной ударной трубе

Расчет осуществляется на основе соотношений для ударной
волны и волны разрежения (4.17), (4.19), (4.20), (табл. 4.2)

(4.37)

(4.38)

(4.39)
Из (4.39) и (4.40), (4.41), (4.42) получаем

Соотношения давлений

на волнах разрежения:

Рь

Рз

Р1

^(М5) .

^(М3) ’

(4.44)

(4.45)

(4.46)

так как Л17 = 0 из начальных условий задачи, а

«6 а7	(Мб)

«3 =	(М3)

«5 а" (М5)

Но а3

м3 м3

и2 _ о/' (М3)

М3бГ5 а" (М5)

Тогда

(4.47)

(4.48)

(4.49)

Число М в зоне 6 определяется из условия на контактной по-
верхности и5 = и& и формулы (4.47)

(4.50)

Система уравнений (4.37...4.50) позволяет определить все ос-
новные параметры (М, р, а, и) во всех зонах течения двухдиаф-
рагменной ударной трубы.

Рассмотрим специальный случай двухдиафрагменной ударной
трубы, характерный тем, что вторая диафрагма не разрывается
под действием первичной ударной волны М1/4 в момент взаимодей-
ствия с ней, а несколько позднее — под действием внешнего воз-
Рис. 4.7. Течение газа в двухдиафрагменной ударной трубе с отраженной
ударной волной от второй диафрагмы

действия. Картина течения в этом случае показана на рис. 4.7.
Отличие ее заключается в том, что ударная волна вследствие
того, что ее воздействия не хватает для разрыва диафрагмы, от-
ражается от нее как от твердой стенки. Поэтому для определения
параметров во всех зонах течения необходимо рассмотреть матема-
тическую модель отражения ударной волны от твердой стенки.

Параметры газа за ударной волной М?1 известны из формул
(4.38), (4.40), (4.42), (4.44). При взаимодействии ударной волны
МУ4 со стенкой образуется отраженная волна М?м, вначале движу-
щаяся по зоне 5. Для определения М 5 воспользуемся тем фактом,
что вследствие условия «прилипания» газа к стенке, скорость ко-
торой относительно трубы равна нулю, за ударной волной скорость
потока будет также равна нулю. Используя уравнение (4.17) и
учитывая, что в данном случае и10 есть	а «2о—«4,

получим квадратное уравнение

М2 +41—' ^Му -1 =0.	(4.51)

2 а5
Зная Мув, легко определить р4 и Т4 по формулам (4.19) и (4.20),
подставив соответствующие индексы рассматриваемых зон.

Дальнейший расчет осуществляется как для простейшей удар-
ной трубы, принимая за начальные параметры в камере высокого
давления р4, Т4 и ьц = 0.

Рассмотрим теперь ударную трубу со скачком сечения. Схема
движения волн в ней показан на рис. 4.8.

Вначале сравним потребный перепад давления для получения
заданной Му в ударной трубе с площадью камеры высокого давле-

Площадь сечения

хакеры
ниьхою

да&лехия Р,

диафрагма

, ^5, и*=0> х5,
Площади сечехая
хамеры высохого
да&яехия Р^

диафрагма

I 5оха~ста-

I ц-иохархого
I рас ширехия

разряжемая

азрежеяи#

( р,/ хризпич.

I)

Рис. 4.8. Течение газа в ударной трубе со скачком сечения:

а — площадь камеры высокого давления Гв = оа; б — площадь
камеры высокого давления — конечная величина
ния, равной бесконечности и в простейшей ударной трубе. Для этого
необходимо оценить эффективность преобразования энергии газа в
кинетическую для стационарного и нестационарного потоков. Мерой
эффективности преобразования может служить производная ~ или,
С*- -*

учитывая, что а =	к/?7\ производная В стационарном по-

токе уравнение энергии в адиабатном потоке имеет вид

2

к — 1

а2 + и2 сопзС

Из него следут, что

ди \

да /стац.

(4.52)

Для нестационарной волны разрежения, принимая, что направления
движения газа у стационарного и нестационарного потоков совпада-
ют и характеризуются постоянным инвариантом Римана 11 , имеем

----а + и I г- =•” сопзТ
к -I

Отсюда

\ да / пестац.

(4.53)

Сравнивая (4.52) и (4.53) видим, что до чисел М = 1 более эффек-
тивно газ разгоняется в стационарном потоке, а при М > 1 — в
нестационарном потоке. По этому факту можно оценить наиболь-
шую возможную эффективность использования ударной трубы со
скачком сечения. Для этого необходимо сравнить потребные дав-
ления заторможенного потока при одинаковых статических давле-
ниях и М 1, используя газодинамические функции л(М - 1)
и л ДМ 1). Для воздуха имеем

~(М	1)

к" (М --- 1)

0,5283

0,2791

- 1,893.

Таким образом, предельный коэффициент эффективности, харак-
теризующий снижение потребного давления в камере высокого
давления для получения заданного Мк. по сравнению с простейшей
ударной трубой, выражается формулой

(4,54)

При Р5 < оо коэффициент эффективности ударной трубы умень-
шается. Влияние отношения площадей Р» Г\ на коэффициент эф-
фективности представлен на рис. 4.9.
Рис. 4.9.

Зависимость коэффициента
эффективности для ударной трубы
со скачком сечения от отношения
площадей Р$!Р\

Для расчета ударной трубы
со скачком сечения воспользу-
емся тождеством

Ръ.	_ Рь Р1 Рз р2

Р1 Ра Рз Р-2 Р1

Здесь

Рь _ *

Р1 (М4)

разрежения,

(4.55)

— соотношение дав-
лений на волне
движущейся влево;

Ра ~(М4)

Рз ~ (Мз)

— соотношение давлений в зоне стационар-
ного расширения потока в камерах вы-
сокого и низкого давлений;

Рз _ (М3Г - 1).

Рз	(М3)

соотношение давлений на нестационарной
волне разрежения, возникающей на входе
в камеру высокого давления, которая дви-
жется влево, но сносится потоком вправо,
так как М3' = 1, а М3>1. ЕслиМ3'<1,
то М3' = М3 и нестационарная волна раз-
режения не возникает;

Рз

?2

— из условия на контактной поверхности;

== 1 Н—(Му— 1) — соотношение давлений на фронте удар-
Р1	К1 +1	ной волны.

Подставляем все эти отношения давлений в (4.55):

Рь =	(М5)	к(М4)	+ 2к4 М2

р, Г." (М4) к(М3'=1) я" (М3) [ к, + Р '

(4.56)

Связь между М3 и М4 устанавливаем из уравнения расхода

Л<7(М4)о43^Г1(7(Мз),	(4.57)

а между М3 и М2 —из соотношения на контактной поверхности
д3М3 = «2, используя газодинамические функции и уравнение
(4.39):

М3а5

а" (М4)
а" (Мв)

т (М3')
т(М4)

т (М3')

«" (М3)
Связь между Мз и М3 в волне разрежения в камере низкого
давления определим из условия постоянства инварианта Римана

(М4)

(МБ)

(4.59)

Учитывая, что

а* = а5

из (4.59) имеем

а" (М4)
а" (Мв)

т (М/)1-Г	(М3)

т (М4) ] а" (М3')’

^3	^5

2

к — 1

-Мз'

а" (М3) / 2

а" (М/) \К — 1

(4.60)

Если волна разрежения в камере низкого давления существует»
то обязательно Мз = 1, если нет, то в уравнениях (4.56), (4.58),
(4.60) Мз = М3. Решая систему уравнений (4.56), (4.57), (4.58) и
(4.59), можно определить числа Му1, М3, М3, М4. Используя соот-
ношения на фронте ударной волны и соответствующие газодинами-
ческие функции, по начальным параметрам определяются все ин-
тересующие параметры в зонах. Зная скорости в зонах, легко оп-
ределяются потребные длины камер для проведения соответствую-
щих исследований.

Сравнение максимальных чисел Му, которые можно получить
в рассмотренных ударных трубах, представлено на рис. 4.10.

В заключение составим баланс энергии в простейшей ударной
трубе. Для простоты будем считать, что ударная труба заполнена
идеальным газом, границы системы, для которой составляется ба-
ланс энергии, находятся от диафрагмы на расстояниях, равных пути,
проходимому соответствующей волной в единицу времени (рис. 4.11).
Пусть температуры в камерах низкого давления одинаковы (Т4 =
= 7\), а давление р4 > рг. В момент времени I = /0 диафрагма
удаляется. Тогда в соответствии с теорией распада произвольного
разрыва по зоне 1 пойдет ударная волна и за единицу времени дос-
тигнет границы системы 1—1, а по зоне 4 пойдет волна разрежения.
За единицу времени фронт волны разрежения дойдет до границы
системы 2—2. Распределение основных параметров в этот момент
будет таким, как показано на рис. 4.11.

Пренебрегая теплообменом между рассматриваемой системой
и окружающей средой и гравитационными силами, из уравнения
(1.3) получаем

рийР.

• /
р

(4.61)
Рис. 4.10.

Сравнение максимальных чисел Му,
достижимых в ударных трубах
различного типа:

а — многодиафрагменная ударная
труба; б — двухдиафрагменная
с отраженной ударной волной;

в — двухдиафрагменная с
нестационарным расширением потока;
г — ударная труба со скачком сечения;
д — простейшая ударная труба

Рис. 4.11

В связи с тем, что границы системы 1 — 1 и 2—2 за рассматрива-
емый промежуток времени не перемещаются

УРиаГ = О.	(4.62)

Поэтому

4гЫе + -тИ = °.	(4-63)

и? у \	/

т. е. за рассматриваемый промежуток времени сумма внутренней
и кинетической энергий системы не изменяется.

Обратимся теперь к двум подсистемам, образующим всю рас-
сматриваемую систему. Составим для них баланс энергии. Первая
подсистема представляет собой массу газа, в начальный момент за-
ключенную между сечением х — 0 (диафрагма) и сечением 1 — 1, а
вторая — между х = 0 и сечением 2—2. После удаления диафраг-
мы вторая подсистема в силу того, что начальное давление в ней
было больше, чем в первой, начнет расширяться, а первая сжимать-
ся, т. е. вторая подсистема начнет совершать работу над первой.
Тогда в соответствии с (4.61) работа, совершенная второй подсис-
темой за единицу времени, равна

Ь — риР = I р I е +

V,” \

—) (IV"
2 /

—йУ".

2 ]
Здесь и далее V' и V" есть объемы первой и второй подсистем.
Работа, совершаемая над первой подсистемой:

В силу того, что работа, совершаемая второй подсистемой, в точ-
ности равна работе первой подсистемы (давления и скорости на
контактной поверхности слева и справа одинаковые), течение одно-
мерное, а труба — постоянного поперечного сечения по длине,
можно записать:

Х2	Х1

г /	, и? \ , Г /	। и2 \ , Г /	. и2 \ ,

е Ч-----\ ах — о е Ч-------ах = | р е Ч-------их —

Ь \	2 ) И 2 )	•’ '{	2 /

к

Х1

+ <466)

Хк V	7

Энергии подсистем в начальный момент времени:

В связи с тем, что на фронте ударной волны изменение давле-
ния происходит скачком, параметры между ударной волной и кон-
тактной поверхностью постоянные, поэтому

(4.69)

Параметры же между фронтом волны разрежения и контактной по-
верхностью — переменные вдоль оси х. Эту зону можно разбить на
два участка, участок центрированной волны разрежения и участок
между «хвостом» (хх) волны разрежения и контактной поверх-
ностью хк. Тогда

Так как параметры газа между «хвостом» волны разрежения и

контактной поверхностью постоянные:

(4-71)
Для того чтобы определить энергию в зоне центрированной
волны разрежения, выразим координаты волны разрежения через
число М. Учитывая то, что в центрированной волне все характе-
ристики выходят в один и тот же момент времени из одной и той
же координаты (х = 0), уравнение характеристик Нх = (и — а)й1
можно записать:

йх а" (М) (М — 1) Л.

(4-72)

Таким образом, из (4.72), задавая число М, можно определить
координату х соответствующего участка волны для данного момента
врем ли

х ао

(4.73)

Расстояние меж, двумя сечениями волны в заданный момент
времени от начала процесса можно определить, продиффе-
ренцировав уравнение (4.73)

(4-74)

Энергия газ между двумя соседними сечениями волны

(4.75)

С учетом выражения (4.74) получаем

(4.76)

Выразим р, Т и и в (4.76) через М, тогда

аЕ =	(м) М- т„т" (М) + ^-Ма'-(-м—1Ц2 т—X

(к-!	2	) 2 Л.к-----1М\

\	2	/

(4-77)

Проинтегрировав уравнение (4.77), получаем энергию массы газа,
возмущенного волной:

м=м

Е = роао А I 'X-1	/ (М) г" (М) (-М То т" (М) + а*1М°"(МЩ Ж.

2 м=о	’к ~1	1	’
Пределы интегрирования числа М на фронте и хвосте волны
разрежения обычно известны из расчета распада произвольного раз-
рыва.

Поэтому в данном случае можно записать:

м,

С в" (М) х" (Ж} {-&-
М.	1К4

2 [М а" (М)]2

Т4 X" (М) +

(4.79)

Таким образом, зная параметры газов начальные и после
распада произвольного разрыва, легко проверить баланс энергии,
просуммировав выражения (4.67), (4.68), (4.69), (4.71), (4.79).

Рассмотрим теперь, как изменится энергия в зоне между диаф-
рагмой (х = 0) и сечением 1 — 1 через некоторый единичный про-
межуток времени. Для этого предположим, что в тот момент,когда
фронт ударной волны достигает сечения 1 — 1, в этом сечении и в
сечении х = 0 мгновенно устанавливаются непроницаемые перего-
родки. Тогда энергия газа, заключенного между этими перегород-
ками, будет равна:

Ех — р2 |'-^-Т2 + -^-р(М а1-Ыг)+Рз(-^-,Тз

\к — 1	2 / у	\к4 — 1

Но из (4.66), (4.67), (4.78), (4.79) следует

Еи3. (4.80)

м,

+	-^-7 Т4Га4 - р4а4 Д /Г [ г" (М) т" (М) Т4 х" (М) +

к, — 1	2 к,	к. —

2 [М а" (М)]2

с/М

(4.81)

Подставляя (4.81) в уравнение (4.80), получим

Ег - Р1 Т4ГМ аг + р4 -Ь- Т.Ра, -

к2 — 1	7	К4 — 1

ма

- р4а4Г А I I в" (М) х" (М) Т4 х" (М) + а1 [-^а"(М)? 1М -

2 м.	(к4-1	2	)

(к 1 ^3 + 4) °3 7 Р3 ' К* Тз “т) ^и3‘	(4.82)

\к4 — I 2 /	к4 — 1	2 /	4

Но Р1/7Му«1 = 01 — масса газа, возмущенного за единицу време-
ни ударной волной, р^Рал = 64 — масса газа, возмущенного цент-
рированной волной разрежения, а р^Гиз —	— дополнительная

масса, поступившая в зону низкого давления. Тогда (4.82)можно
записать:

Т4т"(М) +

(4.83)

Как видно из уравнения (4.83), энергию газа, заключенного между
сечениями х = 0 и 1 — 1, можно выразить через начальные парамет-
ры и параметры движущегося газа вне этого объема. Аналогично
можно выразить энергию газа в зоне между фронтом волны разреже-
ния и сечением диафрагмы через начальные параметры газа вне
объема, заключенного между этими сечениями.

Рассмотренные зависимости позволяют в дальнейшем построить
приближенный метод расчета наполнения и опорожнения сосуда
произвольной формы, в том числе и с подвижными стенками, через
одномерный канал.

4.3. Распад произвольного разрыва на диафрагме

В практических расчетах приходится часто встречаться с раз-
личного рода местными сопротивлениями: дросселями, диафрагма-
ми, скачками сечения трубопровода и т. д. Необходимо разрабо-
тать метод расчета взаимодействия волн с такого рода нарушения-
ми гладкости канала. Основой для такой методики может служить
задача о распаде произвольного разрыва. Местное сопротивление,
как и скачок сечения, можно рассматривать как разрыв в виде
диафрагмы: здесь есть изменение сечения канала, характерное для
многих местных сопротивлений, есть и различные гидродинамиче-
ские потери как на входе в него, так и на выходе.

В дальнейшем, учитывая вывод о том, что при малых интенсив-
ностях ударные волны можно рассматривать как изэнтропные вол-
ны конечной амплитуды, и, учитывая искусственность понятия
«газодинамический разрыв», соотношения на фронте ударной вол-
ны будем заменять соответствующими соотношениями на фронте
изэнтропной волны конечной амплитуды.

Для конструирования математической модели нестационарного
течения газа на «местном сопротивлении» рассмотрим взаимодейст-
вие двух элементарных простых волн, движущихся навстречу друг
другу и встречающихся в сечении диафрагмы (рис. 4.12). В соот-
ветствии с теорией распада произвольного разрыва при взаимодей-
ствии двух волн в общем случае образуются новые две волны и
контактная поверхность (см. рис. 4.12). В связи с принятым до-
пущением об изэнтропности волн сжатия и разрежения любую
задачу о их взаимодействии можно свести к классической зада-
че о распаде разрыва с непод-
вижным газом слева и справа
от произвольного разрыва.

Действительно, если заданы
параметры волны (р, Т, М), то,
используя газодинамические
функции для неустановившего-
ся потока, можно привести па-
раметры газа за фронтом волны
к параметрам заторможенногс
потока (М = 0): для 1+ волн
параметры нестационарно за-
торможенного потока

Р°г =	;

п'(М)

то т .
'' (М)

ДЛЯ /— волн

р° = Р--

Г."(М) ’

'-рО  р
к"(М)

(4.84)

(4.85)

(4.86)

(4.87)

л о&ерхжослг ь

Рис. 4.12

Такое приведение параметров потока к заторможенным физи-
чески можно интерпретировать как установление перегородки в
канале в месте и в момент взаимодействия волн. Тогда в силу усло-
вия прилипания на перегородке слева и справа скорости равны
нулю, и следовательно, равны нулю числа М. Если в тот же самый
момент перегородку убрать, то произойдет распад произвольного
разрыва при неподвижном газе слева и справа от перегородки.
Этот прием помогает четко определить направление течения газа
при различного рода взаимодействиях, так как газ будет течь в
область с меньшим давлением нестационарно заторможенного
потока.

Для определения параметров газового потока (см. рис. 4.12)
после взаимодействия волн запишем тождество:

Ръ   Рь рд Рз р2

Р1	Р± РЗ Р-2 Р1

(4.88)

Выразим отношения давлений через газодинамические функции.
Для волны, движущейся справа налево:

А> (М5)

Ра л" (М4) ’
Так как в соответствии с теорией распада произвольного разрыва
между фронтами волн должна быть зона стационарного течения,то
между параметрами газа в зонах 4 и 3 справедливы закономерно-
сти для стационарного течения. Поэтому

Рд =

Рд

Р-1

Рз

* (М4)

* (Мд) 34д

ММД)

л (М3)

(4.90)

(4.91)

Здесь а4д учитывает гидравлические потери на участке между
сечением 4 и сечением диафрагмы, а од3 — между сечением диаф-
рагмы и сечением 3.

На контактной поверхности

Рз — Рг*

(4.92)

На фронте волны, обращенной вперед (по оси х)

Рэ =	(М2)

Р1 *'(МХ) ’

(4.93)

Подставляем (4.89), (4.90), (4.91), (4.92), (4.93) в (4.88):

р5 =	(М5)	т:(М4) к (Мд) (М2)

Р1 (М4)	* (Мд) 54д	к (Мз) СдЗ	г/ (Мг)

(4.94)

В уравнении (4.94) четыре неизвестные величины М4, Мд, М3 и М2.
Поэтому для их определения необходимо составить еще три урав-
нения. Одно из них можно получить из условия равенства скоростей
на контактной поверхности

М^3 —

(4.95)

Выразим скорости звука а3 и а2 через газодинамические функ-
ции и начальные условия

2 “ и1

а (МЛ

__ ^5(мр г т (м3)

3	а"(М5) V ~ (М4)

Тогда уравнение (4.95) примет вид

М3а5^1

«" (М6)

ла (М2)

= ахМ2 —
а' (МО

(4.96)

(4.97)

(4.98)

Связь между М3, Мд и М4 можно получить из условия равен-
ства расходов в зонах 3 и 4 для адиабатного стационарного те-
чения. Так как в этом случае Т\ = Т*л — Т3, то

и
Р и с. 4.13

<7(М3) Г3®дз = д (МД)ГД;

(4.99)

?(М4)Г4 = <?(МД) Гда4д •

(4.100)

Таким образом, при известных значениях а4Д и адз, которые
определяются экспериментально или получаются расчетным путем
(как, например, в случае внезапного расширения канала), имеем
замкнутую систему уравнений (4.94), (4.98), (4.99), (4.100), позво-
ляющей однозначно рассчитать параметры газа после взаимодейст-
вия волн с диафрагмой. Однако эта система уравнений в получен-
ном виде неудобна для расчетов на ЭВМ, особенно, если они
проводятся в большом количестве, так как необходима смена
индексаций параметров потока при изменении направления дви-
жения газа (при этом существенно усложняется логика расчетов).
Этот недостаток является следствием несимметричности картины
течения при распаде разрыва, обусловленной существованием толь-
ко одной контактной поверхности, движущейся в направлении
течения газа, и может быть устранен, если ввести (для принятых
при выводе направлений движения газа и направления оси х) в
зоне 4 фиктивную контактную поверхность (на рис. 4.13 обозна-
чена тонкой штриховой линией). Тогда система уравнений примет
вид

Ре = л" (М6) п' (Ма) 71 (М4) °Д4 л (Мд) а4д

Р1 (Мв) л' (М4) я (Мз) азд 71 (М3) Одз

д (М4) Рл вд4 = д (Мд) Рл о4д;

д (Мз) Рз Здз = д (Мд) Рл а3д ;

мв

6 «" (М<)

3 = -1(М?) М4ма

«'(Мх) 4 2
при М. ' • О

М5 = м4,

Од4 --	1,

°3д	1 -

при Мд < О
м2 - м3,
адз 1,
а 4 д -•••- 1.

Для определения направления потока в сечении диафрагмы не-
обходимо определить величину отношения нестационарно затормо-
женных давлений на ней. Для этого достаточно разделить на
л"(М)6, а — на л^МТ Если/7° =	>р° ' =	, то Мо > О,

т. е. газ движется в сторону положительного направления осих.
В противном случае Мд <7 0.

При расчетах чаще всего известны инварианты Римана прибы-
вающих волн. Покажем, как по инвариантам Римана определяет-
ся давление нестационарно заторможенного потока. Так как

ЛО

Аналогично

Из уравнения состояния (1.6) следует, что

а

(4,102)

(4.103)

(4.104)

(4.105)

Параметры состояния с индексом «0» характеризуют состояние
газа, принятое за начальное (например, параметры окружающей
среды). Поэтому, если известна энтропия в зонах би 1, а она обыч-
но известна, то легко определяется давление р§ и р° нестационар-
но заторможенного потока:

(4.106)

(4.107)

Если щ к6 и Т?1 — /Д = Я, то отношение давлений нестацио-

нарно заторможенных потоков на произвольном разрыве равно
„о / ,о

2б_==|_^.) ек ;	(4.108)

Р° \ «? /

с учетом выражений для ав и а? получим

2к

_О	/ Т \   $1—5Я

= (-Г^ Г ' е~^~-	(4.109)

Р\ ' 1 I >

Принимая во внимание полученные выше соотношения из
(4.101), получаем математическую модель взаимодействия волн на
диафрагме:

2К ^.._е
(М2) - (М*) т: (Мд) ст4д .

и .1/	тг"(М5) к (Мд) °3д *(М3) 3дЗ ’

<?(М4) -у- ад4 = <7(Мд)в4д ;

* д

Я (М3) Ядз = Я (Мд) з3д ;

Г т

7+б а" (М5) М5 М3 ]/ -ЦМз) = /.1а' (М2)М2М4,

г Т (М4)

ПРИ Мд>0 при Мд<0
М5 - М4,	М2 - Мз,

°Д4 = 1>	°ДЗ = 1,

$3д “ 1,	$4д “ 1 •

(4.110)

Применим полученные соотношения для некоторых частных слу-
чаев течения.

1.	Скачок сечения. Если площадь отверстия диафрагмы Ед
равна площади ру узкого трубопровода, то получим вариант взаи-
модействия двух волн на стыке двух каналов с различными пло-
щадями поперечного сечения. В этом случае система (4.110) при-
мет вид

2к -5в

/	5 \к - I	к' (М2)	(М4)	с34 ,

\ Л.| / е ~ я" (М5) к (М3)	а43

Я (М4)	О34 = д (М3) О43;

1.,6 а" (М5) М5М3 1/ т ^3) = (М ) м2м4
г т (М4)

(4.1Н)
при М4 > О

М5 = М„

34

при М4 < О

М3 = М2

Ф 43 ~~ 1 •

2.	Открытый конец трубопровода. Этот случай соответствует
варианту скачка сечения с площадью широкого канала
Если широким является канал справа от скачка сечения (рис.
4.13), то М3 = 0, а, следовательно, и М2 = 0.

Тогда система (4. 111) приобретает вид

2к

* (М4)

*"(М5)

а34 .

а43

/+6а"(М5) МзМзТ/^Ь

Г ' (М4)

М4>0
м5 = м4,
«34 = 1.

а' (М2) М2М4;

М<0

Мз = М2,
$43 = 1 •

(4.112)

При дозвуковом истечении в связи с тем, что на срезе канала
давление равно давлению окружающей среды, величина о4з =
*

л(М4). Действительно, раз л(М4)

*

то о43 = 4- а р3

4	Р4

р0. Поэтому при истечении систему (4.112) можно записать

1

*"(М5)

(4.113)

При втекании она имеет вид

*(м4)

Т?'(М5)

" 34 *

(4.114)

3.	Гладкий канал. В этом случае Г4 = Ря = Р3, потери от-
сутствуют (озд =1, Стд4 = 1, одз = 1, Стдз = 1, 56 = 54), и система
сводится к одному уравнению

^+6 __«'(М»)

/_1 --"(М5)'

(4.115)

Таким образом, задавая соответствующие параметры сечения,
в котором происходит взаимодействие волн, можно учесть прак-


тически все представляющие
интерес конструктивные осо-
бенности неразветвленного га-
зового тракта. Таких пара-
метров семь: Р& Р^ Р7Л, од4,
а4д, ад3, о3д- Здесь надо от-
метить, что в расчете должны
участвовать эффективные пло-
щади поперечного сечения, т.е.
только те части площадей по-
перечных сечений, которые за-
полнены газовым потоком. С
конструктивной площадью (Рк)
эффективные площади сечений
связаны через коэффициенты
сужения струи е:

Р и с. 4.14.

Отражение волн сжатия от
диафрагмы на конце трубопровода:
1 — I .	1,04;

2-/ + «//0 = 1,17

К4 *4

КЗС31

(4.116)

Обычно коэффициент сужения струи определяется эксперимен-
тально. Лишь для некоторых частных случаев, например для от-
верстий с острыми кромками, существует теоретическая зависи-
мость для коэффициента сужения струи.

В практике часто встречаются устройства, в которых волна
сжатия отражается от диафрагмы на конце трубопровода. В связи
с этим рассмотрим следующую задачу.

Пусть на конце трубопровода, имеющего площадь поперечного
сечения Гт, находится диафрагма с площадью отверстия Рд. Най-
дем зависимость интенсивности отраженной волны 7-ов от отно-
шения площадей Рд/Рту если интенсивность исходной волны из-
вестна (рис. 4.14). Известны также начальные условия в трубо-
проводе р0, То, равные параметрам окружающей среды, а и = 0.

Обозначив давление за исходной волной через р3, давление за
отраженной волной ров и предполагая, что отражение от диафраг-
мы происходит изэнтропно, а также воспользовавшись гранич-
ным условием для дозвукового истечения	(рд — давление

в отверстии диафрагмы), можно записать тождество:

рп _ рв ров
Ро Ров Ро

и уравнение неразрывности

т Я (Мов) Рт р*т _ а (Мд) Рд р*

/II'	. -	__ *—- / г Ь	____ - -

|/Тг~	ЦТ7

г А ов	г д

При ИЗЭНтрОПНОМ течении Тов = Тд И Ров = Рд.

(4.117)

(4.118)
Тогда

^7 (Мд) Лл = 7(М„В)ЛТ.

(4.119)

Записав выражение (4.117) через газодинамические функции,
получим

Ро

т'' (М4)

*"(Мон)

У(Мд)

'/(М.ж)

(4.120)

В уравнениях (4.119) и (4.120) две неизвестные величины
Мов и Мд. Решив эту систему, можно найти инвариант отражен-
ной волны:

-Моь (4,121)

На рис. 4.14 представлена зависимость инварианта отраженной
волны от отношения площадей трубопровода и диафрагмы для двух
различных интенсивностей исходных волн: первая кривая соот-
ветствует отношению инварианта в волне к начальному /+„ /70 ~
1,04, а вторая	=- 1,17.

Как видно из графиков на рис. 4.14, при отражении волн сжа-
тия от диафрагмы существует диапазон отношений Рд/Рт, в кото-
ром знак отраженной волны не меняется (отношение > 1).
'о

Причем этот диапазон тем шире, чем больше интенсивность исход
ной волны сжатия.

4.4.	Коэффициент расхода

При расчете нестационарного течения газа через местное со-
противление в одномерном приближении требуется знание коэф-
фициентов, которые на современном этапе развития газодинамики
еще редко можно получить аналитическим путем. Чаще всего они
определяются экспериментально. Рассмотрим уравнение расхода

р* т'э

6 = т

(4.122)

Эффективная площадь Рэ в этом уравнении может отличаться
от геометрической Р, что обычно учитывается коэффициентом су-
жения струи 8. Приведенная скорость К определяется с помощью
газодинамической функции л(А,) в этом же сечении. Однако чаще
всего известны термодинамические параметры р* и Т* вне рас-
сматриваемого сечения. Например, при расчете расхода газа через
клапан пульсирующего двигателя обычно известны параметры в
камере сгорания или входном или выходном канале, а не в про-
ходном сечении клапана. В связи с этим возникает необходимость
в согласовании этих параметров.
Для адиабатных стационарных течений температура затормо-
женного потока не меняется (если ср = сопз!, что обычно подразу-
мевается). Согласование давлений заторможенного потока в расчет-
ном сечении р* с известным давлением в базовом сечении рт осу-
ществляется коэффициентом восстановления полного давления

о

(4.123)

который учитывает гидравлические потери на участке между базо-
вым сечением и расчетным.

Так как приведенная скорость X определяется из отношения
статического давления в расчетном сечении к давлению затормо-
женного потока рт в базовом сечении, реальное ее значение от-
личается от определенного описанным образом. Это несоответствие
учитывается скоростным коэффициентом



(4.124)

Если же определяется по параметрам в расчетном сечении
(т. е. с учетом р* -- ар?), то необходимость в ср отпадает.

С учетом изложенного на основании (4.122), (4.123), (4.124)
расход газа в расчетном сечении запишется следующим образом:

'Д-р) • Ер
о — т----------=--------

Кт*

(4.125

Коэффициентом расхода называют отношение действительного
расхода к теоретическому, который получают, предполагая, что ф,
<г, е равны 1:

(4.126)

Как видно из уравнения (4.126), коэффициент расхода являет-

ся интегральной величиной,
разл ичной природы. Комплекс

учитывающей физические эффекты

Хт)

ст учитывает

гидравличе-

ские потери между сечением, в котором определяется расход, и ба-

зов ым.

Для установления физического смысла коэффициента сужения
струи е обратимся к хорошо изученному течению идеального газа
через отверстие с острыми кромками в бесконечной стенке. В этом
случае гидравлические потери отсутствуют, т. е. о и ф равны 1,
а сечение полностью заполнено газом. Однако, как было показано
Чаплыгиным А. А., расход газа отличается от теоретического для
заданного перепада давлений. Это объясняется тем, что ускорение
некоторых частиц газа должно было бы быть бесконечным, а для
этого необходим бесконечно большой перепад давлений до и за
стенкой. Поэтому частицы газа, двигающиеся к отверстию вдоль
стенки, не могут, когда достигнут острой кромки, мгновенно изме-
нить направление движения на 90°, а развернутся на меньший
угол. Причем, чем ближе вначале частицы находились к оси от-
верстия, тем на меньший угол им необходимо разворачиваться.
Частицы, движущиеся по оси, направления движения не меняют.
Следствием этого является неравномерность поля плотности тока
ри в сечении отверстия или площадь сечения струи, в котором
поле плотности тока становится равномерным на некотором рас-
стоянии от отверстия (теоретически на оо), в е раз меньше площади
отверстия. Таким образом, коэффициент сужения струи фактиче-
ски учитывает неравномерность поля плотности тока в расчетном
сечении, но так как эта неравномерность обусловлена геометрией
отверстия, коэффициент сужения струи допустимо перенести на
сечение определения расхода.

Все вышерассмотренное относится к стационарным течениям.
Поэтому необходимо оценить возможность использования коэф-
фициентов, полученных в стационарных условиях, к нестационар-
ным течениям. Надо отметить незначительное количество
экспериментальных данных об этих коэффициентах в нестацио-
нарных потоках. Чаще всего пользуются коэффициентами, особен-
но это относится к сг, ф, используемыми для стационарных пото-
ков, и получают удовлетворительное согласование расчетных и
экспериментальных данных. В то же время в соответствии с тео-
ремой Глансдорфа-Пригожина, в которой отмечается, что в чисто
диссипативных процессах производство энтропии (она однознач-
но связана с коэффициентами ф, а, уменьшается во времени,
если система приближается к стационарному состоянию, опреде-
ляющемуся не зависящими от времени граничными условиями.
Поэтому применение коэффициентов ф, ст, полученных в ста-
ционарных условиях, несколько занижает уровень потерь в не-
стационарных условиях. Хорошей моделью для проверки харак-
тера нестационарного течения газа через местное сопротивление
является отверстие с острой кромкой в перегородке трубопровода,
через которую пропускается уединенная волна конечной ампли-
туды.

На рис. 4.15 представлена кинограмма прохождения волны
сжатия через отверстия с острыми кромками в трубопроводе.
Съемки производились с частотой 4000 кадров в секунду. На
рис. 4.16 показано стационарное течение газа через то же
отверстие с острыми кромками при различных избыточных давле-
ниях заторможенного потока в том же диапазоне, что и в волне
конечной амплитуды. Сравнение коэффициентов сужения струи в
обоих случаях показывает, что за исключением относительно ко-
роткого промежутка времени (—1/4000 с) они близки по значе-
ниям как в стационарном случае, так и в нестационарном. Это
сравнение подтверждает возможность использования при расчетах
90
I ИС. 4.10 Кинограмма прохождения волны сжатия через отверстие
с острыми кромками в трубопроводе

нестационарного течения через местные сопротивления коэффи-
циента сужения струи, полученного при стационарных продув-
ках. Однако необходимо помнить, что существует короткий про-
межуток времени, за который струя формируется. Поэтому если
длина волны слишком короткая (в рассмотренном случае она долж-
на быть порядка 1/4000 • а), то ошибка в расчетах будет больше.
(Для отверстия с острой кромкой может достигать 15-35% в за-
висимости от отношения давлений на диафрагме).
Р и с. 4.16.

Стационарное течение газа
через отверстие с острыми кромками
в трубопроводе при различных
избыточных давлениях
заторможенного потока

Что касается гидравличес-
ких потерь, то сравнение ки-
нограммы на рис. 4.15 и фото-
графий на рис. 4.16 показыва-
ет, что структура потока фор-
мируется относительно дли-
тельное время. Причем дли-
тельность формирования зави-
сит от объема отрывных зон.
Это видно из сравнения вре-
мени образования отрывных
зон слева от диафрагмы и
структуры потока справа от
нее: слева формирование закан-
чивается на 4 кадре, а спра-
ва — на 7—8 кадрах. Это под-
тверждается и замерами давле-
ния в местах формирования от-
рывных зон.

Таким образом, тщательным
профилированием канала в
районе местного сопротивле-
ния, прежде всего уменьшением
объема отрывных зон, можно
снизить величину гидравли-
ческих потерь, связанную с
нестационарностью процесса.
В технической литературе по-
тери чаще всего определяются
с помощью коэффициента мест-
ных потерь

Ар

Т> --- •

ри2

В расчетах удобнее пользоваться коэффициентом восстановле-
ния полного давления о и коэффициентом скорости ср. Между
ср и сг существует однозначная связь.

Если потери напора относятся к кинетической энергии в выход-
ном сечении, то

(4.127)

Здесь Хт находится из уравнения неразрывности по парамет-
рам потока во входном сечении рвх, А.вх и давлению на выходе р^
из местного сопротивления
У ^вх) Рвх ^вх

У (л=Хт) рв Гв.

Если жидкость несжимаемая, то в ней скорость звука а = оо
и Лт — 0, а формула (4.127) приобретает вид, известный из гидрав-
лики

По ф легко определяется о

(4.128)

и прирост энтропии на заданном местном сопротивлении

Д$

/?1П а.

(4.129)

4.5.	Распад произвольного разрыва при подводе или отводе
механической энергии в потоке

В комбинированных двигателях как компрессор, так и турби-
на часто работают в условиях пульсирующего или переменного во
времени газового потока. В связи с этим возникает необходимость
разработки математической модели взаимодействия волн конеч-
ной амплитуды с лопаточными машинами. Характерной особен-
ностью такого нестационарного потока является то, что его внут-
ренняя и кинетическая энергия изменяется за счет отвода меха-
нической энергии в турбине или подвода ее в компрессоре.

Вновь используем задачу о распаде произвольного разрыва,
предполагая, что параметры слева и справа от сечения х = 0 из-
вестны, а в момент времени I = происходит распад произволь-
ного разрыва. В отличие от предыдущих случаев в сечении х = О
газ совершает техническую работу (рис. 4.17).

Рассмотрим задачу в изэнтропном приближении, т. е. будем
считать, что на фронте ударной волны энтропия газа не меняет-
ся.

Для определения параметров в зоне движения газа снова обра-
тимся к тождеству

Рз _ Рз Ра Рз Рз

Р1 Рз Р1 Р1 '

Отношение давлений на фронте волны разрежения

Рз __ *"(М5)

Р1 *"(М4)’

(4.130)

(4.131)
х=о

Рис. 4,17. Распад произвольного разрыва с отводом
механической работы

Отношение давлений на фронте волны сжатия

Рг = Д..(мз)	(4.132)

Р1 (М1)’

На контактной поверхности р^/ръ = 1- Отношение давлений
р^Рз можно найти из выражения для удельной (отнесенной к
1 кГ/с газа) технической работы газа:

Отсюда

Р*

Рз

Р4 71 (М<)

Р^(МзГ

(4.133)

•' (М<)

“ (М3)

(4.134)
Подставив (4.131), (4.132), (4.134) в (4.130) и учитывая, что

Т* — т т" (м<)

4	5 т (М4) т"(М6) ’

(4.135)

получим



_ *'(М2) ^"(Мд) ТС(М4)

Р1 ~

(4.136)

В этом уравнении три неизвестных величины: М2, М3, М4, по-
этому необходимо добавить еще два уравнения, чтобы система ста-
ла разрешимой. Второе уравнение можно получить из условия
равенства скоростей на контактной поверхности

Используя газодинамические функции, имеем

2

й1м2^ = аъ Мз [Т (Мз)] 2

(4.137)

Но

Так как

(4.138)

с учетом совершаемой газом работы можно записать

(4.139)

Подставив (4.138) в (4.137), учитывая (4.135) и

получим

М2 кг Тх

«'(М2)

а'(М!)

К5Я5

т

5Т (М4) т"(Мв)

-------М3я(М3).

Кб /?5

(4.140)

После несложных преобразований имеем

мг а' (мг) = м л 1/ к5/?5Т5 | т"(М4)_________к5 — 1 I

а'(Мг) 3 ( 3’ ' кЛТ1 । г (М4) т"(М5) к5 /?5Т5

Третье уравнение получим из уравнения неразрывности

?(М4)Р4 Р _ <7(М3)Рз Р

----=  г ц —-----т=---' 3 •

Гт; Гт;

(4.141)

(4.142)
Это уравнение с учетом выражений (4.133), (4.138) и равенства
площадей и преобразуется к виду

<7(М3)

д(М4)

I

к5+!

(4.143)

Система уравнений (4.135), (4.141) и (4.143) позволяет определить
параметры движущегося газа в зависимости от удельной техни-
ческой работы /, совершаемой газом. В связи с тем, что рассмат-
ривается изэнтропный процесс, I является удельной располагаемой
технической работой (в дальнейшем просто располагаемой рабо-
той).

Рассмотрим теперь случай, когда сечение, в котором газ совер-
шает работу, граничит с окружающей средой. В этом случае М2 =
— 0 и давление р3 при дозвуковом истечении в сечении х = О
равно давлению окружающей среды р0. Поэтому остаются две не-
известные М3 и М4, для определения которых достаточно двух урав-
нений (4.135) и (4.143).

Система уравнений (4.135), (4.140) и (4.143) справедлива для
изэнтропного случая. В реальных условиях энтропия газа меняет-
ся как за счет гидравлических потерь, так и за счет теплообмена
с деталями турбины. При отсутствии охлаждения лопаток тепло-
вые потери незначительны. Поэтому течение через решетку рабо-
чего колеса можно принять адиабатным. В этом случае рост энт-
ропии обусловлен только гидравлическими потерями.

Из уравнения состояния следует

(4.144)

При рассмотрении газовых течений отношения статических па-
раметров потока можно заменить отношениями соответствующих
параметров торможения. Тогда

50

(4.145)

В случае теплоизолированных процессов изменение темпера-
туры торможения возможно лишь за счет совершения газом внеш-
ней механической работы. Если процесс изэнтропный, то при
совершении внешней механической работы

р*
*

Ро

(4.146)
При наличии гидравлических сопротивлений часть общей ме-
ханической работы, совершаемой газом, соответствующей затра-
чиваемой на преодоление сил сопротивления, преобразуется в
тепло, что приводит к росту энтропии газа. В этом случае урав-
нение (4.146) уже несправедливо

к

Но при совершении одинаковой внешней работы, соответствую-
щей разности температур торможения ДТ*, отношение темпера-
тур торможения остается одинаковым для процессов изэнтропного
и сопровождающегося гидравлическими потерями, т. е. рост
энтропии возможен лишь за счет отличия отношений давлений
торможения. Покажем это.

Пусть в реальном потоке, совершающем внешнюю механиче-
скую работу, изменение энтропии равно:

(4.147)

Вычтем из левой и правой частей этого уравнения такое же

выражение для изэнтропного случая



(4.148)

Учитывая, что

получим

Д$ — — /? 1п

7? 1по*

/ р*
*

\ />о

/ р*

\ Ро /аЛ'-О

(4.149)

Так как Д$ положительная величина, о* < 1. Если внешняя

работа, совершаемая газом, равна нулю,

то /	= 1 и о*

\ ро Р5 = 0

представляет собой известный коэффициент восстановления полного
давления о, учитывающий гидравлические потери.

Таким образом, из уравнения (4.149), которое, используя обоз-

р

начения для отношения давлений торможений л* =—можно

записать

4 Заказ 1608

97
о*,

(4.150)

следует, что для совершения одной и той же полезной механиче-
ской работы в реальном случае	должно быть в раз

больше, чем л* в изэнтропном случае:

*

о*

Назовем ст* обобщенным коэффициентом восстановления полного
давления. Если известен о*, при заданных начальных условиях
можно определить работу, совершаемую газом:

*

/?Т0 1

При принятых обозначениях
вершаемая на турбине,

для распада разрыва работа,

со-

(4.151)

Определив все параметры в зоне 4, решив систему (4. 135),
(4.141), (4.143) и (4.151), легко определить инвариант отражен-
ной волны

г _	2

к 	^4 •—(4.152)

Р ис. 4.18

Графики характеристик турбин

При численных расчетах
нестационарного движения га-
за удобно использовать в ка-
честве одного из параметров
энтропию, которая однозначно
связана с о или о*. Однако в
практике расчетов турбин поте-
ри учитываются соответствую-
щим КПД *. Для нерасчетных
режимов работы рассчитыва-
ются или экспериментально
снимаются характеристики
турбины. Пример характерис-
тики турбины представлен на
рис. 4.18. Здесь т]* —• КПД,
учитывающий все внутренние
потери в турбине: на лопатках
соплового аппарата и рабочего

* С номенклатурой КПД турбины можно ознакомиться в [10].
колеса, связанные с трением и отрывами потока, с утечками,
вентиляционные, на трение диска турбины с газом.

Если расход газа до турбины и после турбины неизменен
(т. е. утечки газа не выходят за пределы турбины) и существует
обмен газа в зазоре между диском турбины и ее корпусом с ос-
новным потоком, то внутренний КПД однозначно связан с а*.
Покажем это:

<4Л53>

Но располагаемый теплоперепад Н*о (или располагаемая ра-
бота 1О) определяется по формуле (4.133), а внутренняя работа
= Ц при сделанных выше замечаниях меньше в связи с гид-
равлическими потерями, которые обуславливают рост энтропии
газа на выходе из турбины (4.151). Подставляя (4.133) и (4.151)
в (4.153), получим

Разрешив это уравнение относительно о*, имеем

к

(4.154)

Импульсные турбины практически все время работают в нерас-
четном режиме, поэтому в первом приближении можно пользо-
ваться характеристикой турбины (см. рис. 4.18), связывающей
тр, 6, начальные условия р4, Т4 (они меняются на каждом расчет-
ном шаге), и лт = —• (или л^ = —). Связь между лт и л^ уста-

Рз	Рз

навливается формулой

т

ъ

ММ3) 

Если имеют место утечки тепла, то расчёт необходимо проводить
с учетом модели, изложенной в следующем разделе. А в случае
утечек газа (64=^03) необходимо использовать модель, изложенную
в разделе 4.7. И, наконец, если нет обмена газа, заключенного в
пространстве между диском турбины и; ее корпусом с основным
потоком, то Ц не должно учитывать эти потери, а они должны от-
носиться к механическим потерям, учитываемым механическим
КПД Т]м-

Отметим интересную особенность связи между а* и тц. Из фор-
мулы (4.154) следует, что при постоянном тц с ростом л г обобщен-
ный коэффициент восстановления полного давления падает, т. е.
энтропия потока растет. Это указывает на то, что с ростом рас-
тет использование тепла, выделившегося в результате гидравличе-
ских потерь в процессе расширения.

Используя приведенную выше методику расчета распада про-
извольного разрыва при совершении газом технической работы,
можно численно рассчитать нестационарное течение газа в меж-
лопаточных каналах как турбины, так и компрессора, но для этого
необходимо знать изменение работы, совершаемой лопаточной ма-
шиной по длине межлопаточного канала, что требует дополни-
тельных исследований. Наиболее просто осуществляется расчет
осевых турбин, характеризующихся малыми продольными разме-
рами каналов (малыми длинами межлопаточных каналов) и малыми
объемами отрывных зон, позволяющими выбирать расчетный шаг
по времени А/ значительно больший, чем время прохождения зву-
ковой волной расстояния, равного удвоенной продольной длине
межлопаточного канала, и соизмеримый на начальной стадии рас-

чета

временем формирования

Рис. 4.19. Взаимодействие волн
при подводе тепла



отрывной зоны. При таком ус-
ловии течение газа через рабо-
чее колесо турбины в течение
расчетного шага можно прини-
мать близким к стационарному
при заданных средних парамет-
рах за шаг. Сопловой аппарат
считается как обычный глад-
кий канал переменной площа-
ди поперечного сечения.

4.6.	Распад произвольного
разрыва при подводе или
отводе тепла

Пусть в сечении х = х, ка-
нала постоянного сечения по
длине (рис. 4.19) встречаются
простые волны /+ и Па-
раметры за фронтами волн к5,
т5, р5, Я3 и кх, 7\, /?х, ИЗ-
вестны. Пусть в момент взаи-
модействия волн начинается
подвод или отвод тепла интен-
сивностью ±7 [Дж/кг - с1. Для
определения параметров в зо-
нах 4, 3, 2 вновь запишем тож-
дество
Ра = Ра Р4 Рз Ра

Р1 Р4 Рз Ра Р1

На фронтах волн

Рз _ гг(м5).
р4 ~ *"(М4)’

Ра -'(М,)

Р1 -'(Мх)
и на контактной поверхности р31р2 = 1•
Отсюда

Рз г/'(М5) Я'(М2)

Р1	^"(М4) г.фЛф)'

(4.155)

В этом выражении две неизвестные М2 и М4. Используем условие
на контактной поверхности

М3а3-- М2°2’

(4.156)

для чего необходимо выразить а2 п а3 через известные начальные
параметры и числа М2, М3 и М4

сс

а 2	-

сс

'(М2)

'(М4)

(4.157)

Для определения а3, проследим изменение температур от Г5до Т3

(4.158)

При переходе из зоны 4 в зону 3 осуществляется подвод (отвод)
теплоты, что приводит к изменению полной энтальпии газа

Или при ср3 Д ср4

Но

(4.159)

(4.160)

Учитывая, что а = )/"кД7" и принимая во внимание (4.158),
(4.159), (4.160), имеем

<'(М4)

т"(М6) т (М4)

(4.161)
Подставляя (4.157), (4.161) в (4.156), получаем

М3 к к37?

т"(Мл)

5 х"(М5) X (М4)

(4.162)

Здесь появилась еще одна неизвестная величина М3. Для ее
определения воспользуемся уравнением неразрывности в зонах
4 и 3:

_ Рз^(М3) „ т Р^У (М4)
___	— т4 _ —_ 

(4.163)

Если Р3 = Р±, то р3 — и окончательно из (4.163) имеем с
учетом (4.158), (4.159) и (4.160)

*/(М3)

т3

ИМ4)
т"(М5) т (М4)

= т

(4.164)

Решая систему алгебраических уравнений (4.155), (4.162),
(4.164), определяем М3, М3 и М4, а затем и параметры в соответ-
ствующих зонах, что в конечном счете позволяет определить ин-
варианты Римана после взаимодействия исходных волн.

4.7. Взаимодействие волн с
контактной поверхностью

На рис. 4.20 представлена
схема взаимодействия волн /+
и встречающихся на кон-
тактной поверхности, разделя-
ющей два газа с различными
параметрами. Система уравне-
ний, позволяющая определить
параметры в зонах после взаи-
модействия, такая же, как для
взаимодействия двух волн в
канале постоянного сечения:

(4.165)

Рь _ *"(М6)

Рг >(М4)

Рис. 4,20. Взаимодействие волн
с контактной поверхностью

В этой системе две неизвестные
величины М2 иМь которые лег-
ко определяются. Необходимо
лишь учитывать, что к2, /?2 и
к4, /<4 различные на контакт-
ной поверхности.
А=о,б	А- /4 м^о,б

Рис, 4,21, Изменение интенсивности уединенной волны конечной амплитуды
при прохождении через контактную поверхность в зависимости

ОТ ^4’ ^1» ^1^'1 > ^1^4:
Практический интерес представляет влияние параметров на
контактной поверхности на интенсивность проходящей через нее
волны. Это обычно бывает необходимо для оценки степени влияния

непостоянства параметров по длине канала в пульсирующих и
циклически работающих двигателях, компрессорах периодическо-
го действия, системах пневмоавтоматики на изменение интенсив-
ности, замеренной в каком-либо сечении канала волны конечной

амплитуды.

Для этого рассмотрим частный случай взаимодействия простой
волны конечной амплитуды с контактной поверхностью. Расчет-

ная схема представлена на рис. 4.21. Используя систему урав-
нения (4.165), расчеты были проведены при следующих комбина-
циях к4 и к4: к4 — 1,40 и кх == 1,40; к4 - 1,40 и кт — 1,10; к4 —
— 1,10 и !<! — 1,40; к4 1,25 и кх — 1,1; к4 = 1,10 и кх =- 1,25

для интенсивностей волн р^рх =



- = 0,6...1,4. При этом было проверено
1

имеющих отношение

влияние числа Мх в

диапазоне от 0 до 1,0.

В случае, когда показатели адиабаты по обе стороны контакт-
ной поверхности равны между собой (к4 -- кх), интенсивность про-
шедшей волны

При этом опа не зависит от числа Мх. Влияние к в диапазоне
1,14-1,4 на интенсивность прошедшей волны мало (менее 0,296).

На рис. 4.21а приведены графики относительного изменения
интенсивности волны

8р21 = -51	Р21 100%

т р

для случая кх = к4 при различных отношениях = А.

На рис. 4.216, в, г также представлены результаты расчетов
относительного изменения интенсивности прошедшей волны для
некоторых характерных вариантов. Как видно из графиков, для
принятого диапазона значений амплитуд волн для крайних вариан-
тов изменений амплитуда прошедшей волны может отличаться от
исходной до — 10%. С уменьшением различий в к и А отноше-
ние уменьшается.

4.8.	Взаимодействие уединенной волны конечной
амплитуды с отверстием в трубопроводе

Рассмотрим трубопровод, по которому движется уединенная
волна конечной амплитуды. Пусть трубопровод имеет на боковой
поверхности отверстие или это отверстие выполнено в виде сплош-
Рис. 4.22
уединенной волны разре-

ного кольца (т. с. трубопровод
имеет разрыв). Очевидно, что при
подходе волны к отверстию в ре-
зультате разницы в давлениях в
волне и в окружающей среде че-
рез отверстие будет поступать ка-
кое-то количество газа из окру-
жающей среды) в случае уединен-
ной волны разрежения) или нао-
борот вытекать в окружающую
среду (в случае уединенной волны
сжатия). Для выяснения особен-
ностей взаимодействия волны с
отверстием обратимся к конкрет-
ным экспериментам.

Вначале рассмотрим взаимодей

жения с отверстием. На рис. 4.22 представлены зависимости ин-
тенсивности отраженной волны рон, прошедшей волны в тру-
бопровод за отверстием в зависимости от отношения площадей от-
верстия на боковой поверхности Е(} и трубопровода Гт Экспери-
ментальные данные представлены для двух исходных волн, имею-
щих амплитуду Л/\,	— 0,028 МПа и — 0,054МПа. Сплошные

липни соответствуют волне разрежения интенсивностью - 0,054
МПа, а пунктирные -0,028 МПа. Там же тонкой сплошной линией
показан уровень отраженной волны интенсивностью —0,054 МПа,
от открытого конца имеющего острые входные кромки (как насадок
Борда), тонкая пунктирная линия соответствует отражению волны
разрежения от открытого конца интенсивностью —0,028 МПа.

Как видно из приведенных графиков, с увеличением площади
отверстия интенсивность отраженной волны Лров растет, а ин-
тенсивность прошедшей волны Арп падает и при площади, равной
~2,5 Гт, становится практически равной нулю (т. е. возмущение
конечно же проходит и в трубопровод за отверстием, но уровень
его снижается до акустического). При этом же отношении площа-
дей практически прекращается и рост интенсивности отраженной
волны. Однако, как видно из рис. 4.22, интенсивность отраженной
волны от окна меньше волны от открытого конца, выполненного
как «насадок Борда» (в конкретном примере па ^15% и на ~30%
меньше, чем отраженная волна от конца трубопровода, выполнен-
ного по лемнискате Бернулли). Как показали дальнейшие экспе-
рименты, эта разница обусловлена величиной поджатия струи в
отверстии при втекании и гидравлическими потерями. Специаль-
ное «облагораживание» входа в отверстие значительно повысило
интенсивность отраженной волны. На рис. 4.22 для отношения
площадей Г0/Гт 2,5 показана экспериментальная точка, поме-
ченная буквой «К», при кольцевом разрыве и входе в конце тру-
бопровода, выполненном по лемнискате Бернулли. Отражение при
указанном отношении площадей происходит как от конца трубо-
провода без его второй части.
Ри с. 4.23

В случае исходной уединен-
ной волны сжатия (рис. 4.23)
(здесь приведены эксперимен-
тальные данные для двух ис-
ходных уединенных волн ам-
плитудой Ар/г =	= 0,085

Ро

и 0,046) с увеличением
площади отверстия, как и в слу-
чае уединенной волны разреже-
ния, амплитуда отраженной
волны разрежения растет и
при Р0^2,5Рч—она становит-
ся равной интенсивности вол-
ны, отраженной от открытого
конца трубопровода.

Изменение интенсивности
прошедшей волны в участок

трубопровода за отверстием от площади отверстия существенно
отличается от случая для уединенной волны разрежения. Если в
случае уединенной волны разрежения интенсивность прошедшей вол-
ны рп уже при отношении площадей Е0/Ет = 1,0... 1,5 находится
за пределами чувствительности датчика давления, то в случае уеди-
ненной волны сжатия интенсивность прошедшей волны монотонно
падает и при отношении площадей Р0/Рт = 3,5 еще мало отличает-
ся от интенсивности прошедшей волны при Е0/Ет = 1,5 (см. рис.
4.23) и сохраняет значительную величину амплитуды, равную
~45—50% амплитуды исходной волны.

Таким образом, отверстие или разрыв в трубопроводе начиная
с некоторого отношения площадей может служить, по ана-
логии с электроникой, «полупроводником» для знакопеременных
волн конечной амплитуды, т. е. пропускать волны сжатия (с не-
которыми потерями) и блокировать проход волн разрежения.

Физическую природу этого .явления можно объяснить следую-
щим образом. При подходе к отверстию уединенной волны разре-
жения начинается втекание газа из окружающей среды (или ре-
сивера), часть массы газа поступает из участка трубопровода за
отверстием, тем самым формируя прошедшую волну разрежения.
По мере увеличения площади отверстия все большая масса посту-
пает из окружающей среды, формируя при этом волну сжатия как
для первого участка, так и для второго. Это усиливается двумя
факторами. Во-первых взаимодействие волны с окружающей сре-
дой начинается раньше в силу того, что она находится ближе, чем
вход во второй участок трубопровода. А во-вторых, если возни-
кает пониженное давление во входном сечении второго участка,
то естественно и уменьшится расход из этого трубопровода, а
следовательно, увеличится расход через отверстие из окружающей
среды. Эти два фактора и обуславливают преимущественное вте-
кание газа через отверстие из
окружающей среды и формиро-
вание волны сжатия, часть ко-
торой проходит в первый
трубопровод в виде отражен-
ной волны, а вторая часть
компенсирует волну разреже-
ния, стремящуюся пройти во
второй трубопровод, тем самым
уменьшая резко амплитуду
прошедшей волны.

Несколько иной механизм
взаимодействия уединенной
волны сжатия с отверстием.

При подходе волны сжатия к

отверстию начинается истечение газа в окружающую среду (реси-
вер) в результате этого формируется волна разрежения, с одной
стороны уменьшающая амплитуду прошедшей волны, а с другой
стороны, уменьшая давление в последующих участках исходной
волны на подходе к отверстию и увеличивая скорость. Если бы не
было второго участка трубопровода, то за срезом трубопровода
сформировалась бы струя газа. Начиная с определенного отноше-
ния площадей отверстия и трубопровода давление на участке от-
верстия падает до давления, близкого к давлению окружающей
среды, и формируется обычная струя газа, которая, попадая во вто-
рой участок трубопровода, тормозится и возбуждает прошедшую
волну сжатия. Учитывая большую «дальнобойность» высокоско-
ростной струи, составляющую несколько десятков колибров, понят-

но почему увеличение отверстия в значительно меньшей степени
уменьшает амплитуду прошедшей волны в случае волны сжатия,
чем в случае волны разрежения. Эта физическая картина хорошо

подтверждается осциллограммами давления, представленными на
рис. 4.24, и кинограммой начальной фазы прохождения волны
сжатия через разрыв в трубопроводе —• на рис. 4.25.

Рассмотрим математическую модель взаимодействия волны
конечной амплитуды с отверстием в трубопроводе.

4.9.	Распад произвольного разрыва при отводе или подводе
массы

Пусть в сечении х --= х0 встречаются две волны /+ и А_. При
взаимодействии начинается сток или приток массы газа в этом
же сечении (рис. 4.26). Составим математическую модель распада
произвольного разрыва для данного случая.

Как и ранее запишем тождество для отношений давлений в раз-
личных зонах

Рб _ Рй_ Р1 Рз	Р2

Р1 Р* Рз Р2	Р1

(4.166)
Рис, 4,25. Кинограмма прохождения волны

сжатия через разрыв

Р и с. 4.26

Рассмотрим вначале случай истечения газа из трубопровода.
Для этого раскроем содержание отношений давлений. Как обычно,
на фронте волны, движущейся справа налево,

Ръ ___ ГДМ5)

Р, ^(М4)

(4.167)
Для волны, движущейся в правую сторону,

Р% ___ ''ДМ 2)

Р1

(4.168)

На контактной поверхности р3 = р2. Отношение давлений р^р3
в общем случае, как показывают эксперименты, рассмотренные в
предыдущем разделе, не равны. Для определения отношения дав-
лений р$!р3 воспользуемся уравнениями расхода в соответствую-
щих зонах. В зоне 4 расход

О4 --

или через начальные параметры, учитывая, что

— Р5Я5М4Е 4

ДМ4)
е"(М5)

(4.169)

(4.170)

С другой стороны, расход можно выразить через параметры ста-

ционарного потока



С? 4 — т

гт;

(4.171)

но здесь необходимо температуру стационарно заторможенного
потока выразить через начальные параметры

т*_т т"(М4)

4	5 т"(М6) т (М4)’

(4.172)

Разрешая уравнение (4.170), (4.171), (4.172) относительно р^
получим

1 1

Т62р5а5М4е"(М4)а"(М4) т"(М4) 2

р± 	1	1

тг"(М5) *"(М5) т"(М5) 2 Т(М4) 2 г/(М4)

(4.173)

Определим давление в зоне 3. Его можно найти из уравнения
расхода для этой зоны, учитывая, что О3 = 64 — ДО, где ДО —
масса вытекающего из трубопровода газа

о. — \0 =	рз,	(4.174)

]/т;
но здесь неизвестные ЛО, М3, Т3.

Для определения ДО необходимо принять во внимание, что
полным давлением, определяющим скорость истечения из отвер-
стия, является статическое давление рл основного потока в зоне 4.
То же самое относится и к полной температуре. Принимая эти
допущения, можно определить массу вытекающего из отверстия
газа

ДО — т

еТ0р5-"(М4) <?(М0)

(4.175)

Расходную газодинамическую функцию <?(М0) в сечении отверс-
тия Ро можно определить через газодинамическую функцию
л(М0) = ^, где р0 — давление окружающей среды на выходе из
отверстия, а —статическое давление в зоне 4 (являющееся дав-
лением заторможенного потока ро в направлении, перпендикуляр-
ном движению основного потока).

При истечении масса газа уносит с собой и часть энергии по-
тока (внутренней и кинетической) поэтому полная температура
Т3 в зоне 3 отличается от полной температуры в зоне 4. Для ее
определения запишем баланс энергии в зонах 4 и 3.

С^С^-ДО^	(4.176)

Воспользовавшись
тем, что I* = ярТ*, а
получим

(4.176), и

уравнениями (4.172), (4.174),

(4.177)

Зная Т3 в С4 и ДО, можно определить М3 из уравнения импульсов
для симметричного разрыва

^4^1ф^(М4) — (^4 ДО) ^зкр^ (М3)

М	С*

и условия равенства скоростей на контактной поверхности

М3Я3 — М2^2'

Вспоминая, что а8 к/?Тз*т(М3), а2 — ах ^4^
имеем

М3 Vк/?Т3’т (М3) = М2ах “-^4 •
“ (мх)

(4.178)

(4.179)
Из равенства давлений р3 и р2 и (4.174), (4.168) имеем

(64-А6)УТ^	т:'(М2)

пгР3у(Ь\3) “

(4.180)

Подставив значения р4 и р3, а также выражения (4.167), (4.168)
в тождество (4.166), получим

Р5_ _	^(М5) Т505д5М4 е"(М4) *"(М4) Т7(М4) ^(М3) ИМ2) __	(4181)

Р1 ” ^"(М4)€"(М5)^(М5)т"(М5)т(М4)г/(М4)(С4-~ЛС)7сЧМ1) у ту 1
Решая совместно уравнения (4.170), (4.175), (4.177), (4.179),(4.180),
(4.181), определяем 64, Аб, М2, М3, М4, Мо, что позволяет найти
и соответствующие термодинамические и кинематические парамет-
ры во всех зонах.

Рассмотрим теперь распад произвольного разрыва, но с подво-
дом массы. Расчетная схема представлена на рис. 4.26. Такой ва-
риант возможен, например, при подходе волны разрежения к от-
верстию, или при прохождении любой волны мимо отверстия, ко-
торое в этот момент открывается, а давление вне трубы больше,
чем в ней.

Вновь воспользуемся тождеством (4.166). Соотношение на
фронтах волн слева и справа выражаются соотношениями (4.167)
и (4.168). Особенность модели заключается в определении парамет-
ров в зоне 3.

Масса втекающего газа определяется из уравнения расхода

ДО = т

УТ0

(4.182)

где То и р0—параметры окружающей среды или в ресивере, сооб-
щающемся с трубопроводом.

Газодинамическая функция <?(М0) определяется через газоди-

намическую функцию л(М0) = —, а Рь— по соотношению (4.173).

Ро

Расход газа в зоне 3 складывается из секундного притока мас-
сы из зоны 4 64 и из окружающей среды АО

О3 ” 64 + АО.

(4.183)

Втекающий в отверстие газ вносит в секунду энергию АО/о,
следовательно, в зоне 3 через сечение Р3 в секунду протекает энер-
гия

6з*з -- 64 /4 ф-	(4.184)

Принимая во внимание, что I* = срТ*, а ср = из (4.184)
можно определить Т3*:

х"(М4)

<(М5)т(М4)

(64 + Л6)
см

(4.185)
Здесь

—г) — начальная теплоемкость газа в трубе припостоян-

К- 1 / г

ном давлении;

теплоемкость газа при постоянном давлении, вте-
кающего из окружающей среды (или ресивера);

-теплоемкость газа при постоянном давлении в
зоне 3 после смешения газов, поступивших через
отверстие из зоны 4;

определяется по формуле (4.170).

Зная 7\, а следовательно, и а3хр, из уравнения импульсов для
стационарного течения, можно определить М3

л^г(М4).

о4 + ло а3кр

(4.186)

Подставив значения давлений р± и р% в тождество (4.166), по-
лучим:

Ръ __Т5 Р5Д5М4 е//(М4) ос^(М4) т 7(М4) ^см ^3 У(^з)	] §7)

Р! ~^(М4) те''(М5) а"(М5) 'ПМб) ^(М4) у (М4) (О4 + Д0 ^(Мх) ’ 1 ’	7

О

Связь между числами М2 и М3 установим из соотношений на
контактной поверхности. Из равенства давлений р2 = р3, исполь-
зуя выражение (4.168) и уравнение расхода для зоны 3, имеем

'4 + Аб) ]/ т*
тСМ Сз Г/(М3)

д'(Мг)

а/(м1)

(4.188)

а равенства скоростей ц2 = ц3

М3|/"к/? т; т(М3) = а±

ма.

(4.189)

Таким образом получаем замкнутую трансцендентную систе-
му алгебраических уравнений (4.170), (4.182), (4.185), (4.187),
(4.188), (4.189), которую можно решить одним из приближенных
методов, например, методом последовательных приближений.

4.10.	Взаимодействие волн с разветвлением канала

Рассмотрим нестационарное течение в простейшем узле раз-
ветвления (рис. 4.27), когда в нем объединены три канала (трой-
ник).
Пусть по каналам Л, в, и
С в направлении к узлу развет-
вления движутся простые вол-
ны. В связи с тем, что в узле
разветвления нарушается глад-
кость канала, произойдет взаи-
модействие простых волн с уз-
лом разветвления. Для расчета
взаимодействия снова исполь-
зуем задачу о распаде произ-
вольного разрыва.

В общем случае течение га-
за в разветвляющемся канале
трехмерное, имеющее сложную
газодинамическую структуру.
Однако для упрощения задачи
будем считать, что течение од-
номерное, а взаимодействие
происходит в сечении, в кото-
ром лежит точка пересечения
осей каналов.

В результате взаимодейст-
вия волн возможны два вари-
анта течения: с одной и двумя
контактными поверхностями
(рис. 4.27а и 4.276 соответ-
ственно). Математические моде-
ли для этих двух вариантов
различны. Вначале рассмотрим
течение с двумя контактными
поверхностями (приточные тро:
сать два тождества:

Р и с. 4.27.

Взаимодействие волн с. разветвлением:
а — вытяжной тройник;

б — приточный тройник

ики). Для этого необходимо запи-

Рб	Р& . Р± . Рз . Рг	.

Р1	Р4	Рз	Р2	Р1	’

Р5	Р5	Р4	Р%

Р\	Р<	РЗ	Р2

(4.190)

(4.191)

Заменив отношения давлений
функций, получим

отношениями

газодинамических

Р5 _

Р1 ~ ИМ4)

р5 ^(М5)

р\ *"(М4)

(743 ТС (Мд)

^(М2)

ТЕ7 ( МД

м

(4.192)

(4.193)
В этой системе уравнений пять неизвестных (а43 и од/ считаем
известными, полученными из опыта). Поэтому необходимо доба-
вить еще три уравнения. Это уравнение неразрывности для зон
4—3 и 4-3'; '

д (М)4	= <?(М3) /=>43 +	з43г,,

(4.194)

и условия равенства скоростей на контактных поверхностях:

(4.195)

(4.196)

Система уравнений (4.192) .... (4.196) при известных потерях
или а) позволяет определить параметры газа после взаимодей-
ствия волн с разветвлением в случае образования двух контакт-
ных поверхностей.

Перейдем к рассмотрению второго варианта, когда образуется
один контактный разрыв (вытяжной тройник).

Строго говоря, в этом случае кроме контактного разрыва об-
разуется еще и тангенциальный разрыв между газами, поступаю-
щими в канал С из каналов В и А. Но так как рассмотрение задачи
ведется в одновременной постановке, будем считать газ в зоне 3 од-
нородным по составу и имеющим одинаковую скорость по сечению.
Изменение энтропии газа, обусловленное смешением, будем учиты-
вать соответствующим изменением коэффициента восстановления
полного давления.

Вновь, как и в первом случае, заменим отношения граничных
давлений отношением газодинамических

Рб_ „ -"(М5)	(М4)

Рх п ('1з~ (М3)

функций

1

Рх М4)	а43,. (М3)

(4.198)

В связи с тем, что сливающиеся потоки в общем случае имеют

различные температуры заторможенного потока, уравнение нераз-
рывности будет иметь иной вид, чем в первом случае (4.194). Ес-
ли в зонах 5 и 5' к одинаковы, его можно записать следующим
образом:
Равенство скоростей на контактной поверхности выразим че-
рез Мь 7* и газодинамические функции:



(М3) — М2а!

»'(М2)

а'(М1) ‘

(4.200)

Температуру заторможенного потока в зоне 3 найдем из зако-
на сохранения энргии для смешивающихся потоков

для с

О 4 +

(4.201)

(4.202)

Значения коэффициентов восстановления полного давления или
эквивалентных им коэффициентов потерь берутся из опытов.

Величина С зависит от выбора сечения, в котором опреде-
ляется кинетическая энергия потока. Если коэффициент местных
потерь устанавливается по кинетической энергии потоков до их
слияния, то коэффициент восстановления полного давления можно
определить по формулам:

Л — 1	*	ДД'Ч	'

С43 “ 1 — ^4з ’ М4

\	2	/ ~ (М3)

„ / ____ / 1 г г к дд '2)	\ 4

3 —	1 -- 3 ’	--------

к	2	] г.(М3)

(4.203)

(4.204)

Проанализируем полученную систему уравнений. Разделив
уравнение (4.197) и (4.198), получим

(4.205)

или с учетом (4.203) и (4.204)

(4.206)

Из этих уравнений видно, что М' и М4 зависят от уровня по-
терь при прохождении газовых потоков через разветвление.

При постоянных начальных условиях р5, р’^ М5, М$ с из-
менением геометрии узла разветвления изменяется значение ^43
и С43 (или о43 и о43). Но это приведет к иным значениям и
Таблица 4.4

Р р.к	Рв	Рх	Р2	Р3
2,0	1,05	0,40	0,38	0,33
1,5	0,91	0,35	0,31	0,27
—0,5	—0,40	—0,16	—0,14	—0,12
-0,8	—0,55	-0,28	—0,19	-0,17

90

Таблица 4,5

Рр-к	В	р 1	Р 2	Рз
2,0	1,02	0,62	0,38	0,31
1,5	0,87	0,61	0,33	0,28
—0,5	—0,42	—0,24	—0,16	—0,13
-0,7	—0,56	—0,28	—0,19	—0,17
Рр.К	Рв	Р1	Р2	Рз
2,0	1,04	0,57	0,38	0,36
1,5	0,86	0,46	0,34	0,32
-0,5	—0,33	—0,19	—0,17	—0,15
-0,8	—0,52	—0,24	—-0,2	—0,18

р»

Рр.К _	Рв	Р1	Р2	Рз
2,0	1,0	0,51	0,41	0,35
1,5	0,83	0,45	0,33	0,31
—0,5	—0,36	—0,21	—0,18	—0,17
-0,7	—0,51	—0,25	-0,19	—0,17

Т а б л и ц а 4.8

Р р.к	Рв	Рх	Р2	Рз
2,0	1,02	0,40	0,32	0,38
1,5	0,87	0,36	0,31	0,35
—0,5	—0,41	—0,23	—0,15	-0,16
-0,7	—0,47	-0,29	—0,17	—0,19
р* и, следовательно, изменится соотношение между статиче-
скими давлениями и р'г Это подтверждается экспериментами.
Результаты опытов представлены в таблицах 4.3... 4.8. Как вид-
но из приведенных данных, экстремальные давления, регистри-
руемые в начале каждого из ответвлений (датчики устанавлива-
лись на расстоянии 100 мм от точки пересечения осей каналов,
чтобы исключить влияние отрывных зон на их показания) замет-
но отличаются, причем достаточно четко просматривается зави-
симость давлений от углов стыковки каналов, т. е. от потерь, так
как площади каналов были одинаковы.

Существование двух математических моделей, описывающих
течение газа в разветвлении, требует критерия для выбора модели
расчета по заданным начальным условиям.

Модель расчета может быть выбрана в результате следующего
анализа. Вначале отбираются два канала: с наибольшим давле-
нием нестационарно заторможенного потока, которому присваи-
вается индекс 5, и с наименьшим давлением нестационарно затор-
моженного потока, которому присваивается индекс 1. (Эту про-
цедуру можно представить следующим образом: в каждом канале
устанавливается перегородка и на внешней по отношению к узлу
разветвления стороне определяется давление). Затем предпола-
гается, что третий канал отсутствует, рассчитываются параметры
течения в этих двух каналах и определяется давление в зоне 4.
После этого сравниваются давление р4 и давление нестационарно
заторможенного потока в оставшемся (третьем) канале р10. Если
р4 > р10, то необходимо воспользоваться моделью для приточ-
ного тройника. В этом случае начальным параметрам в третьем
канале присваивается индекс Г. Если р4 < р10, то справедлива
модель для вытяжного тройника, и начальным параметрам в
третьем канале присваивается индекс 5.
5.	ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ДВИЖЕНИЙ ГАЗА

5.1.	Вычислительный эксперимент

Разработка методов численного расчета характеристик газово-
го потока как внешнего, так и внутреннего является быстрораз-
вивающейся областью вычислительной математики. Главный
импульс этому процессу дало создание цифровых вычислительных
машин.

В настоящее время уже существуют методы, позволяющие спе-
циалистам решать широкий круг пространственных стационарных
и нестационарных задач газодинамики. Причем для решения ста-
ционарных задач (например, для определения аэродинамических
характеристик летательных аппаратов, газодинамических харак-
теристик элементов проточной части двигателя и др.) наряду со
стационарными методиками, которые удобно применять при не-
большом количестве разрывов, заранее выделенных на основе
предварительных физических экспериментов, и на которых задают-
ся соответствующие граничные условия, стали применяться и не-
стационарные методики, для которых уже не требуется предва-
рительного выделения разрывов, так как они выявляются в про-
цессе сквозного счета по единому алгоритму. Так возник метод
установления для расчета сложных стационарных течений. Идея
такого подхода заключается в следующем. Во многих задачах
стационарной газовой динамики течение является «смешанным»
в том смысле, что в потоке имеются области дозвуковых, звуко-
вых и сверхзвуковых скоростей. Как известно, все эти три вида
течения описываются разного типа уравнениями: дозвуковое—
эллиптическим, сверхзвуковое—гиперболическим, звуковое—па-
раболическим. В нестационарном же случае идеального газа
все виды течений описываются гиперболической системой диффе-
ренциальных уравнений. Это обстоятельство и постоянство гранич-
ных условий (начальные условия в этом случае большой роли
не играют) и позволяют доводить численный расчет нестационарного
течения до такого момента времени, когда за какой-либо после-
дующий отрезок времени параметры поля течения изменятся
на величину е, меньшую, чем допустимая с точки зрения расчет-
чика. Так происходит и в реальных ситуациях: любое стационар-
ное течение, прежде чем сформироваться проходит нестационарный
этап развития. Метод установления позволяет при необходимости
проследить и за картиной эволюции течения газа во времени.

Все это в итоге позволяет наиболее совершенные нестационар-
ные численные методы рассматривать как альтернативу натурно-
му газодинамическому эксперименту (есть уже зарегистрирован-
ное открытие, полученное на основании численного эксперимента).

По сравнению с натурным, численный эксперимент экономиче-
ски существенно дешевле, а в ряде случаев, когда физический экс-
перимент трудно осуществим из-за сложных режимов течения, яв-
ляется единственным инструментом исследования. Однако такие
численные газодинамические эксперименты пока требуют высокой
квалификации исследователя-программиста и их реализация в
значительной степени является искусством (в такой же мере, как
и сложный физический эксперимент). Проведем сравнение этапов
натурного и вычислительного экспериментов.

Натурный эксперимент

Вычислительный эксперимент

Анализ и выбор схемы эксперимен-
та, уточнение элементов установки,
ее конструкции

Разработка конструкторской доку-
ментации, изготовление эксперимен-
тальной установки и ее отладка

Пробный замер параметров на ус-
тановке в соответствии с программой
эксперимента

Детальный анализ результатов
эксперимента, уточнение конструкции
установки, ее доводка, оценка сте-
пени достоверности и точности про-
веденных измерений

Проведение чистовых эксперимен-
тов в соответствии с программой

Обработка и анализ эксперимен-
тальных данных

На основе анализа газодинамического
объекта выбирается или создается ее
математическая модель

Для выбранной математической моде-
ли составляется разностная схема, ис-
следуются вопросы устойчивости, соз-
дается программа для машинного счета

Пробный машинный счет в соответ-
ствии с программой вычислительного
эксперимента

Детальный анализ результатов рас-
четов для уточнения и корректив алго-
ритма и программ счета, доводка про-
граммы

Окончательный машинный счет в со-
ответствии с программой

Анализ результатов машинного счета

Отработанные алгоритмы и программы расчетов газодинами-
ческих процессов впоследствии в виде отдельных модулей входят
в предметную часть систем автоматизированного проектирования
(САПР) машин и аппаратов или пакетов прикладных программ
для расчета конкретных задач.

Трудности разработки математических алгоритмов расчета и
программ для сложных пространственных нестационарных течений
требуют разумного к ним подхода. Создание сложной математической
модели не должно являться самоцелью. Математическая модель дол-
жна удовлетворять практическим потребностям и быть экономич-
ной, что во многом зависит от ее сложности. В большинстве важ-
ных для двигателей случаев, систем пневмоавтоматики, испыта-
тельных стендов и др., имеющих большие значения отношения
длиннового размера к его характерному поперечному размеру
(например к диаметру в круглом трубопроводе), могут быть ис-
пользованы одномерные математические модели. Но при расчете
сложных каналов с местными сопротивлениями в одномерной
постановке приходится вводить коэффициенты, учитывающие гид-
равлические потери, изменения геометрии струй. Они, как прави-
ло, определяются опытным путем. Для нестационарных потоков
пока отсутствуют какие-либо экспериментальные данные по уров-
ню потерь в местных сопротивлениях. Это объясняется тем, что
в отличие от стационарного случая они зависят не только от ре-
жима течения и геометрии, но и от времени (например, на фор-
мирование отрывной зоны в канале со скачком сечения требуется
время, часто соизмеримое со временем срабатывания элементов
систем, обуславливающих нестационарность процесса). Постановка
физического эксперимента представляет большие трудности. В этих
ситуациях как раз были бы полезны вычислительные эксперимен-
ты, например, методом крупных частиц, методом распада разрыва
п т. д. для типовых случаев, а результаты, как это делается для
стационарных течений, представлялись в обобщенных переменных.

В связи с изложенным здесь не будут рассматриваться числен-
ные методы для решения многомерных нестационарных задач и
одномерных задач с подвижными разрывами (ударными волнами
и контактными разрывами). При необходимости с ними можно
познакомиться в работах [2], [3]. Для ознакомления с постро-
ением алгоритмов расчета гладких нестационарных течений вполне
достаточно рассмотреть три метода: метод характеристик, сеточно-
характеристический и метод распада разрыва Годунова С. К-

5.2.	Метод характеристик

Этот численный метод расчета нестационарных течений яв-
ляется классическим. Он был применен для расчета пульсирую-
щих воздушно-реактивных двигателей еще во времена, когда ЭВМ
не существовали. Классический метод характеристик при ручном
численно-графическом счете дает возможность глубоко проникнуть
в суть процессов, происходящих в нестационарном потоке: ведь
характеристики можно интерпретировать как траекторию движе-
ния элементарных волн и частиц газа и поэтому можно просле-
дить за их взаимодействиями (как и при расчете сверхзвуковых
течений, например в соплах Лаваля, в стационарном случае).

Рассмотрим трубопровод (рис. 5.1.), в котором навстречу друг
другу движутся два поршня со скоростями, изменяющимися по
законам их = и и% = и2(/). Причем в начальный момент I =
= /0 примем для данного примера	= 0. Начало движения

поршня возбудит движение прилегающих слоев газа, в результа-
те чего от каждого из них пойдет непрерывное возмущение (вол-
на). Эти волны можно представить в виде некоторой конечной со-
вокупности последовательных элементарных волн. Траектории
Р и е. 5.1

их движения в плоскости х, I будут представлены линиями, кото-
рые и являются характеристиками. Бесконечное множество эле-
ментарных волн (характеристик) представляет истинное движе-
ние каждого точечного участка волны. Конечное число волн (ха-
рактеристик) дает уже приближенное описание движения волн,
генерируемых поршнями, но зато позволяет путем проведения
конечного числа вычислений получить численные значения пара-
метров газового потока в пространстве между поршнями.

Назовем семейство характеристик, генерируемых левым порш-
нем, 1+ семейством, а правым — К. семейством. После того, как
первая характеристика семейства встретится с первой харак-
теристикой I- семейства, возникнет зона взаимодействия этих
двух семейств. Возмущения, создаваемые поршнями, приведут
в движение частицы газа. Траектории их движения в плоскости
х, I составляют 5 — семейство субстанциональных характеристик
(на рис. 5.1 они представлены пунктирными линиями). В боль-
шинстве практически важных случаев задача решена в том случае,
если будут определены все параметры газа в области между двумя
122
поршнями в любой или интересующий исследователя момент вре-
мени.

Поэтому рассмотрим метод характеристик, предложенный
Массо, для решения именно этой задачи в наиболее общем варианте
одномерного неизэнтропного движения газа.

Решение методом характеристик заключается в том, что берут-
ся две наиболее близко расположенные друг к другу точки пере-
сечения Д. и характеристик, все параметры в которых извест-
ны. Пусть это будут точки «а» и «6» на рис. 5.1. Тогда /_ - ха-
рактеристика, проходящая через точку «6», и 1+ — характерис-
тика, проходящая через точку «а», пересекутся в некоторой точке
«г», положение которой в плоскости х, I необходимо определить.
Вдоль /+ характеристики имеет место соотношение

йх асИ,

где а =	+ а+.

Вдоль /__ характеристики — аналогичное соотношение

Их = Р А1,

где р = и - —а_.

В общем случае а+, и- и а.. — переменны между точками
а, Ь, с. Поэтому в первом приближении переменную аа на от-
резке а — с заменим постоянной а' а. То же самое сделаем и на
7_ характеристике. Получим приближенные уравнения

г

Ах = сП

и

Ах — Р^ сП,

из которых следует, что

(5.1)

(5.2

Теперь можно вычислить в первом приближении координаты точ-
ки «г». Исключая из этих уравнений х'с, получим:

а Ь Н	% а

а„ — в а
а [ о

(5.3)

Зная I’ можно вычислить хс по любой из формул (5.1)
или (5.2). Остается определить а'с и р'с. Для этого воспользуем-
ся соотношениями вдоль и /_ характеристик, предварительно
сделав следующие несложные преобразования.
Выразим член через субстанциональную

э	д , д

гл =	+ ии

О/	д1 дх

производную
а)

производную по направлению (и

Тогда из (2.5)

Заменяя дифференциалы на конечные разности, получим

(5.6)

(5.7)

+ 8^-^-

Если изменение энтропии частиц газа обусловлено трением га-
за о стенки канала и теплообменом с ним, то для определения
Э5	ЛС1

— необходимо определить величину—^.

При движении газа по трубопроводу часть энергии упорядочен-

ного движения за счет трения превращается в энергию хаотиче-
ского движения молекул, т. е. во внутреннюю энергию. Если по-
тери на трение определять по формуле Дарси-Вейсбаха, то работа
сил трения, отнесенная к массе газа, протекающей в единицу вре-

мени, равна:

где Хт — коэффициент потерь на трение;

йт — диаметр трубопровода (или гидравлический диаметр для
каналов некруглого профиля).

Эта работа с1Ь в виде тепла возвращается в газ, тогда





(5.8)

При наличии теплообмена со стенками по формуле Ньютона
тепло, получаемое газами

- -НТС-ТГ)^.	(5.9)

Здесь а — коэффициент теплоотдачи, Тс — температура трубы,
7\ — температура газа.
Таким образом, если одновременно имеют место трение и теп-
лообмен, учитывая, что а2 = к&Т, изменение энтропии частиц
газа описывается уравнением

О& ____ к/?

[)1 — а2ау

(5.10)

Для нахождения всех параметров в точке «6» остается опре-
делить 8С. Это возможно с помощью третьего 5 — семейства ха-
рактеристик.

Траектория частицы, проходящая через точку «о>, пересечет
линию, соединяющую точки «а» и «&» в некоторой точке «б/», ко-
ординаты которой можно с той же степенью приближения найти
из уравнения

(5.И)

В этой системе два уравнения и три неизвестных. Примем, что
/

на известно и в первом приближении

& в

2



Из (5.11) найдем первое приближение с/'. Зная скорость пото-
ка, можно определить и силу трения, и теплоотдачу, т. е. стано-
вятся известными	что позволяет в первом приближении

определить

(5.12)

а энтропия в точке й*

с __ е 1	(5Л	ХЬ)	/Г 1 П\

5<? — -г ----------------•	(5.13)

* а

После определения можно также найти «инварианты» * Ри-
мана в точке «с»

(5.15)

* Здесь «инварианты» поставлены в кавычки потому, что в связи с измене-
нием энтропии частиц инварианты Римана не остаются постоянными вдоль ха-
рактеристики, а первоначальное название было дано для изэнтропных нестацио-
нарных течений.
В этих уравнениях вместо средних значений на отрезках
«а—с» и «Ь—с» скоростей звука аас и аьс использованы со-
ответственно аа и аь, так как первое приближение ас еще не-
известно. Скорость звука и скорость потока в точке «с» определя-
ются по формулам

(5.16)

(5.17)

Теперь можно существенно уточнить полученный результат,
выполнив второе приближение. Для этого в уравнение (5.1) и (5.2)
вместо аа и ра необходимо подставить

а

г

ас

И

где ас — ис + ас и ис — ас.

Выполнив второе приближение, получим более точное значе-
ние параметров в точке «с» и ее положение в плоскости х, Л
Пересчет выполняется по тем же формулам, что и первое прибли-
жение. В случае, если энтропия частиц не меняется во времени,
т. е.

Рз

Р1

то соотношения вдоль характеристик примут вид

к/?

а д/ 5

о /	к/? д/—1

Расчет несколько упрощается по сравнению со случаем, рас-
смотренным выше, так как энтропии в точках «й» и «о> равны.

Для изэнтропного случая во всей области движения газа доста-
точно рассматривать только два семейства характеристик Д. и
Координаты точки пересечения определяются непосредственно
по уравнениям (5.1) и (5.2). Учитывая, что
а также то, что /+с = /+а и I _с = 1 ь, координаты точки пере-
сечения «хс» определяются при решении системы уравнений

(5.18)

(5.19)

Расчет начинается на границах системы с использованием на-
чальных данных.

Данный метод характеристик плохо приспособлен для машин-
ного счета, так как обладает сложной логикой из-за отсутствия
упорядоченности в пространстве и времени точек пересечения ха-
рактеристик, а при наличии разрывов — и лавинообразного на-
растания количества характеристик, возникающих при взаимодей-
ствиях. Поэтому для вычислений на ЭВМ удобнее пользоваться
сеточно-характеристическим методом.

5.3.	Сеточно-характеристический метод

В газодинамических системах, где отсутствуют подвижные гра-
ницы или подвижностью границ можно пренебречь и получить до-
статочно достоверные расчеты (различного рода клапаны, малые
объемы с подвижными стенками и др), удобнее пользоваться сеточ-
но-характеристическим методом с фиксированными произволь-
ными шагами по I и х. Единственное условие при выборе шага —
это удовлетворение условию Куранта

Ах (а ± а) №.	(5.20)

Рассмотрим вариант сеточно-характеристического метода с рас-
падом произвольного разрыва на границах ячеек. Этот метод удо-
бен при расчетах сложных газодинамических систем с большим
числом местных сопротивлений, источников и стоков механиче-
ской энергии, тепла, массы.

При расчете данным методом плоскость х, I делится на ячейки
(рис. 5.2). Рассмотрим две ячейки между сечениями х^х и л^+1
и временными слоями и (рис. 5.3). Будем обозначать точки
в узлах расчетной сетки буквой Т с индексом вверху, показываю-
щим порядковый номер временного слоя, а внизу — порядковый
номер сечения. На нижнем временном слое (I = ?0) все параметры
в узлах известны из начальных условий. Необходимо определить
параметры на следующем временном слое. Для следующего рас-
Р и с. 5.3

четного шага уже этот верхний
временной слой первого шага
становится нижним временным
слоем второго шага и т. д.

Определим параметры в точ-
ке Т{г[ . В связи с тем, что в
сечении может иметь место
разрыв параметров потока, в
том числе и инвариантов Ри-
мана, точка Т}^х характери-
зуется шестью параметрами:
тремя слева от сечения, кото-
рые будем отмечать стрелкой,
направленной к сечению /+,

тремя

справа

Энтропия газа справа от
сечения связана с энтропией
газа слева от сечения при адиа-
батном течении в общем случае
соотношением (4.27).

Параметры в точке Т}+[ определяются методом последователь-
ных приближений. Для первого приближения полагаем, что в
ячейке слева от сечения хг инварианты /+, /_ постоянны и равны
соответственно	а справа—7^/ и I Тогда имеем

Отсюда по формулам (5.16) и
скорость звука в точках А и В:

(5.17) находим скорость газа

и

Так как скорость потока во всей ячейке принята постоянной,
то в случае течения газа слева направо скорость частицы газа, ко-
торая в момент времени попадет в сечение хь будет равна иа\
в противном случае ив. Это позволяет в первом приближении оп-
ределить координаты точек А', В' и С'

ха=х1 + ССА Д^;
Здесь

— и А 4“ аА

или = %| 4-

₽В “ иВ — аВ-

Инварианты Римана в точках А', В’ и энтропия в точках А',
В1 и С определяются методом линейной интерполяции:

И

Далее по формуле (5.10) вычисляется субстанциональная про-
изводная энтропии и величина энтропии в точке Т*+[:

Это позволяет определить по формуле (5.14) и (5.15) инвариан-
ты Римана в точке Т{-+1

1 /+/1) = 1’+а + — [(К - 1) ~	1 - V) + Ц+' - 5д) - /т ("+1 - />);

к/?

По инвариантам прибывающих к сечению характеристик / У/
и /+}1, а также энтропии 5{+1, используя систему, описывающую
конкретный распад произвольного разрыва (местное сопротивле-
ние, турбину, гладкий трубопровод и т. д.), находим параметры
потока до сечения и за ним, а по ним — инварианты Римана сле-
ва / /+1 и справа / Л 5/ первого приближения:
М 4 >

На этом расчет первого приближения заканчивается. Для после-
дующих приближений и и а, определяющие наклон характеристик,
полагают равными средним арифметическим между точками Т![{
и Д', Т{'1 ив', и С'. Расчет продолжается обычно до двух
приближений.

5.4.	Метод распада разрывов

Как и в сеточно-характеристическом методе среда, процессы в
которой предполагается рассчитывать, делится на ряд слоев по ко-
ординате х при помощи точек хь называемых узлами разностной
сетки (/ — целочисленный индекс).

Но в отличие от него параметры в ячейке предполагаются не
переменными, а постоянными, т. е. в качестве начальных данных
.для расчета слоя берется не непрерывная функция, а кусочно-
постоянная. Как и в предыдущем случае между двумя соседними
слоями возникает распад разрыва. Значения параметров в слое
между узлами х^-1 и х$ обозначают И/-»/,, р( и т. д., присвоив слою
«полуцелый» индекс I — Процедура расчета распада разрыва
сохраняется как и в предыдущих случаях. Особенностью этого
метода расчета является то, что в отличие от предыдущих случаев,
где за счет накопления ошибок могут нарушаться законы сохра-
нения, здесь осреднение параметров идет на основе интегральных
законов сохранения, что гарантирует их выполнение во всей рас-
четной области. Однако надо учитывать, что при интегральном
выполнении законов сохранения во всей рассматриваемой зоне
возможно расчетное перераспределение как между видами энергии,
так и между ячейками, что в конечном счете сказывается на точ-
ности расчета конкретных параметров: скорости, давления, тем-
пературы и т. д. в конкретных точках расчетной области.

Если р = р(х, 0» и = и(х> 0»	О — гладкие функции,

являющиеся решениями уравнений газовой динамики (2.1), (2.2),
(2.3) и (2.5), то для любой подобласти & с границей Г имеют место
равенства

— ] йхИ
дх /

ри(И = 0;

Ь $ х йхсМ = $ ?ис1х

(р — ри2)

(5.21)

(5.22)

= ф ?с1х
г

Г
(5.23)

(5.24)

Интегральные тождества

Ф ос1х — ои(И = о,

г

Ф ()Ы(1х — (р ~ рЦ2) (М = О,

Г

<(> ь8с1х — ри8(11 = О,
Г

являющиеся математическим выражением основных законов физи-
ки — закон сохранения массы, импульса, энергии, и неубывания
энтропии, дополненные уравнения состояния, могут быть исполь-
зованы для расчета параметров в ячейке сетки в плоскости %, Л

Пусть в начальный момент времени I /0 газ разбит на слои
посредством узлов сетки с координатами Длины интервалов
разностной сетки А XI — х^—вообще говоря, могут быть
различны. Внутри каждого слоя величины и, р, р, е, 5 постоян-
ные и для слоя с номером I — заключенного между узлами
х!' 1 и XI, их значения обозначаются и1 р' и т. д. Так как
скорости и давления в соседних слоях в общем случае не одина-
ковы, то на границе между ними, т. е. в точке х = произой-
дет распад разрыва. Значения и, р, р, е и т. д. слева и справа в точ-
ке х = X} будут сохраняться равными некоторым постоянным,
которые будем обозначать соответственно Еь Рь Рг, («большие»
величины) до тех пор, пока в точку х — хг не придут волны, об-

разовавшиеся при распаде разрывов в соседних узлах х = лд_1
и х =-^ АЦ+г Если рассматривать описываемый процесс в течение
не слишком большого промежутка времени А/, то Еь Рь Ег
во всех узлах можно будет считать неменяющимися.

Реальное распределение величин и, р, р, 5, е по координате х
на момент времени I /0 + А/ может быть весьма сложным.
Для реализации метода реальное распределение заменяется ку-

сочно-постоянным распределением, которое получится, если внут-
ри каждого интервала I — считать плотность массы р, импульса
ц2

ри и полной энергии р(е + у) равными их среднему значению по
интервалу. Новые значения полученных таким образом величин на
момент 4 + А/ обозначают	и т. д. Законы сохра-

нения, примененные к ячейке сетки I —2/2 в течение времени от
4 Д° К + позволяют выписать уравнение для средних значе-
ний («, р, р, е)*-1/’, не используя распределение по слою при
I = /° + А/ в виде

или

Здесь М^И), — поток массы; V1 = (р + КИ2)} — поток импуль-

г

са; Е, =	+ -7) + РИ]} — поток энергии и = (Кз)1 —

м

поток энтропии на единицу длины бокового ребра прямоугольной
ячейки на плоскости переменных х, I. Дополнив их уравнением
состояния

1	/	1	1

* 2	(	2	' 2 ,

Р = Р \ Р ,5	/

можно выписать явные формулы для вычисления величин (и, р,
р, с, зу-Ч*. Они приближенно описывают состояние газа в момент
времени 4 + АЛ Если их принять за начальное состояние и опять
провести расчет по описанной схеме, то удастся продвинуться по
времени еще на величину А/; (в принципе отличную от А^ преды-
дущего шага), получив приближенное состояние газа на момент
времени 4 + А^ + А4ь и т. д.

Данная разностная схема на гладких функциях дает аппрокси-
мацию дифференциальных уравнений газовой динамики с первым
порядком точности. Описанный в предыдущих разделах метод ха-
рактеристик обеспечивает аппроксимацию со вторым порядком
точности.
6.	НАПОЛНЕНИЕ И ОПОРОЖНЕНИЕ ЕМКОСТИ

6.1.	Основные закономерности опорожнения и наполнения
емкости через трубопровод

Вначале рассмотрим истечение газа из емкости постоянного
объема и произвольной формы в трубопровод постоянного сечения
по длине (рц > рт). Закон открытия выпускного окна, начальные
параметры в емкости и трубопроводе для всех рассматриваемых
случаев примем одинаковыми.

Пусть выпускное окно в момент времени I — /0 мгновенно от-
кроется на величину ДЕВ. Тогда под действием перепада давления
Ар = р — рх начнется истечение газа из емкости в трубопровод.
За малый промежуток времени Д/ вытечет некоторая масса газа
ЛО и займет в трубопроводе объем = иР^1 (рис. 6.1). Вытекаю-
щий газ вытеснит из начального участка трубопровода газ, на-
ходившийся там до начала истечения, и создаст возмущение, дви-
жущееся со скоростью звука ат (Д6 — считаем малой величиной).
За время Д/ фронт возмущения переместится на расстояние ахД/.
Это возмущение будет волной сжатия, так как объем У2 между
фронтом возмущения и контактной поверхностью будет меньше,
чем 1/х (объем между фронтом возмущения и входным сечением в
трубопровод), а масса газа, заключенная в них, одна и та же.

Если еще увеличить площадь выпускного окна на ДЕВ, то сно-
ва, как в вышерассмотренном случае, возникнет возмущение, но

движущееся уже по предыду-
щему возмущению и т. д. Та-
ким образом, в трубопроводе
возбуждается волна сжатия ко-
нечной амплитуды. При росте
расхода газа через выпускное
окно интенсивность уединенной
волны конечной амплитуды
будет расти.

При втекании в емкость
(Р1> /?ц) в достаточно длинном
трубопроводе образуется уе-
диненная волна разрежения
конечной амплитуды. Действи-
тельно, если площадь впускно-
го окна откроется на ДГВ, то
под действием перепада давле-

Р и с. 6.1
ния в трубопроводе и емкости за время Д/х втечет в емкость масса
газа ДОх- В результате на Дб?х уменьшится масса газа в трубопро-
воде. Но в связи с тем, что скорость передачи возмущения в газе
конечна в трубопроводе в зоне между фронтом возмущения и вы-
ходом в трубопровод из емкости давление станет меньше начально-
му7

го, т. е. возникнет волна разрежения. Если производная —-боль-
64Л

ше, чем

’ то величина (интенсивность) волны разре-

жения будет расти.

Волны возникают не только в трубопроводе, но и в емкости.
Источником возмущения является открывающееся (или закрываю-
щееся) окно на стыке емкости и трубопровода. В деталях рассчи-

тать нестационарное течение можно, лишь используя нестацио-
нарные пространственные математические модели. Эти модели очень
трудоемкие, поэтому в практике чаще используют упрощенные
модели. Если можно принять, что за шаг Д/ возмущение в емкости
может пройти удвоенное наибольшее расстояние за время, мень-
шее Д/, то используют модель мгновенного выравнивания парамет-
ров (давления и температуры) по всему объему емкости, а скорость
газа принимают равной нулю. Если же гидравлический диаметр
емкости в несколько раз меньше ее длины, то тогда может
быть использована одномерная модель нестационарного течения
газа (в этом случае емкость часто называют баллоном), т. е. ем-
кость рассматривается как обычный трубопровод.

Рассмотрим влияние площади и длины трубопровода на процес-
сы наполнения и опорожнения емкости.

Влияние площади трубопровода очевидно: если закон откры-
тия окна неизменен, то она определяет интенсивность уединенной
волны (рис. 6.1) Для установления влияния длины трубопровода
в процессе опорожнения емкости обратимся к рис. 6.2, на котором

представлены экспериментальные диаграммы изменения во времени
давления в емкости и в трубопроводе при различных длинах
трубопровода.

Как уже было показано ранее, при истечении газа из емкости
в трубопровод в нем образуется волна сжатия. Очевидно, что в за-
висимости от интенсивности волны сжатия изменяется перепад
давления, определяющий расход газа через впускное отверстие.
Этот эффект хорошо иллюстрируется на примере ударной трубы со
скачком сечения (см. раздел 4.2). Для воздуха число Мк на входе
в узкий канал становится равным единице при наименьшем началь-
ном отношении давлений р^1рх 5,494, в то время как в стацио-
нарном случае это же отношение давлений всего 1,894.

Если закон открытия выпускного окна и площадь поперечного
сечения трубопровода оставить неизменными, а изменять лишь его
длину, то все возможные диаграммы изменения давления в емко-
сти во времени будут заключены в области между кривой давления
при истечении в трубопровод нулевой длины и кривой давления
для случая истечения в трубопровод бесконечной длины (рис. 6.2а).
।--------г--------1--------1------я

4	8	12	16	1-10 С

Р1

Рис. 6.2. Изменение давлений во времени в рабочей камере ррк и трубо-
проводе при выпуске в зависимости от его длины
При истечении в трубопровод нулевой длины давление за вы
пускным окном можно считать равным давлению окружающей сре-
ды, так как выравнивание давления при истечении практически
происходит мгновенно. Это допущение можно подкрепить следую-
щими рассуждениями. При истечении в окружающую среду первой
порции* газа из емкости вблизи окна образуются зона повышен-
ного давления и фронт первичной полусферической волны сжа-
тия. Движение фронта волны сжатия от отверстия в силу своего
расширения возбуждает вторичную волну противоположного
знака, т. е. разрежения, движущуюся к отверстию. Поэтому по-
вышение давления в окружающей среде в связи с поступлением
второй порции газа в значительной мере компенсируется волной
разрежения и т. д. В этом смысле и нужно понимать «мгновен-
ность» выравнивания давления у отверстия.

С увеличением длины трубопровода давление у выпускного от-
верстия уже не будет выравниваться так быстро, как при истечении
в трубопровод нулевой длины, так как необходим определенный
промежуток времени до прихода отраженной от открытого конца
волны разрежения. В результате задержки ее прихода давление на
входе в трубопровод возрастает. Рост интенсивности волны давле-
ния с увеличением длины трубопровода и определенным начальным
отношением давлений в емкости рц и в окружающей среде р0 про-
должается до некоторого предела, равного максимальному давле-
нию при истечении в бесконечно длинную трубу. Характер из-
менения давления в волне сжатия для трубопровода конечной дли-
ны идентичен изменению давления в волне для бесконечно длин-
ного трубопровода до тех пор, пока к выпускному отверстию не
подойдет отраженная от открытого конца волна разрежения (рис.
6.2).

Закономерность опорожнения рабочей камеры при неизменном
законе открытия выпускных окон и неизменной площади проход-
ного сечения трубопровода определяется первоначальным перепадом
давления в емкости и за впускным отверстием. При опорожне-
нии емкости в трубопровод возможен как надкритический (Мк = 1),
так и докритический режим (Мк < 1) истечения. Рассмотрим ва-
риант, когда отношение давлений в емкости и окружающей среде
выше критического и кривая ррк АВС соответствует закону истече-
ния в бесконечно длинную трубу. На этой кривой можно выделить
два участка: ррк А — надкритический режим истечения и АВС —
докритический режим истечения. В точке А осуществляется пере-
ход от звукового к дозвуковому режиму истечения. Длитель-
ность процесса, соответствующая участку ррк А, различна для раз-
личных перепадов давления (при неизменных размерах системы
«емкость — трубопровод»), но для определенного перепада давле-
ния это — наименьшая длительность существования надкритиче-

* Для удобства анализа явления примем, что газ в окружающую среду по-
ступает малыми порциями (как при численном расчете).
ской фазы истечения для всех возможных длин трубопроводов.
Теоретически изэнтропическое истечение газа из сосуда в трубо-
провод бесконечной длины будет длиться бесконечно долго, если
считать, что процесс истечения заканчивается в момент, когда дав-
ление в цилиндре равно давлению окружающей среды. Если же
рассматривать истечение до давления, большего р0, то длительность
истечения из сосуда в трубопровод конечной длины не может
быть большей, чем в трубопровод бесконечной длины. Приход
волны разрежения (точка В, рис. 6.2а) увеличивает перепад дав-
ления у выпускного отверстия, в результате чего длительность опо-
рожнения уменьшается. По мере уменьшения длины трубопровода
уменьшается и время до прихода волны разрежения к выпускному
отверстию, соответственно уменьшается и длительность опорож-
нения рабочей камеры. Наконец, при определенной длине I = /кр
волна разрежения подойдет в момент, когда завершится надкри-
тическая фаза истечения. Дальнейшее уменьшение длины при-
ведет к увеличению надкритической фазы истечения и дальнейше-
му уменьшению времени опорожнения сосуда. Точка, соответст-
вующая переходу от надкритической фазы истечения к докритиче-
ской, будет перемещаться вдоль кривой опорожнения для трубо-
провода нулевой длины; в точке к на кривой	будет

достигнута крайняя правая граница надкритического режима
истечения, соответствующая отношению давлений:

— — 8

Ркр

Ро

к

<—1

Таким образом, при длине трубопровода /кр < /т < /т =оо
уменьшение времени опорожнения сосуда по сравнению с /т=оо
объясняется приходом волны разрежения от открытого конца тру-
бопровода. Дальнейшее уменьшение времени опорожнения при
уменьшении длины также связано с приходом волны разрежения,
но при этом еще увеличивается и длительность надкритической
фазы истечения.

Рассмотренные закономерности истечения при > ркр ос-
Ро

таются справедливыми и для < ркр, только в этом случае
отсутствует надкритическая фаза истечения (участок рркД).

Поэтому, как и в случае с площадью трубопровода, наиболее
быстро идет процесс истечения в трубопровод нулевой длины, т.е.
непосредственно в окружающую среду.

Давление в емкости и при истечении в трубопровод нулевой
длины (непосредственно в окружающую среду), и при истечении в
бесконечно длинный трубопровод уменьшается лишь до давления
окружающей среды. Однако из рассмотрения диаграмм на рис. 6.2
видно, что при трубопроводах конечной длины из-за возбуждения
первичной волной сжатия отраженной волны разрежения давление
в емкости может быть значительно меньше давления окружающей
Рис. 6.3. Зависимость глубины разрежения от длины трубопровода (</т=22мм)
ч ’ — / = 0; А — / = 430 мм; Д — / = 785 мм;

-1790 мм • -1 = 2400 мм

среды. Из этого следует, что может быть сформулирован вопрос о
полноте очистки емкости от газа, в ней находившегося. На рис.6.3
представлены графики изменения глубины разрежения А/?р =

в емкости объемом ~800 см3 в зависимости от начального отноше-
ния давления р = ~ в ней при разных диаметрах и длинах тру-
Ро

бопровода. Как видно из рис. 6.3, и при / = 0 все же в емкости
возникает разрежение. Это разрежение обусловлено внутренними
волновыми процессами. Действительно, если в момент времени /
давление у выпускного окна сравняется с давлением окружающей
среды, то возбужденные в емкости в предшествующие моменты вре-
мени волны разрежения, отразившись от стенок, будут двигаться
по уровню, близкому к давлению окружающей среды, и следова-
Рис. 6.4. Зависимость величины поджатия от р51 при различной длине
трубопровода = 22 мм)

0 — I — 785 мм: С — — 430 мм;

△ — I ~ 1790 мм; 0 — I = 2400 мм

тельно, создавать давление в емкости в целом меньше давления ок-
ружающей среды. Но интенсивность внутренних волн мала и по-
этому регистрируемая глубина разрежения значительно меньше,
чем в вариантах с трубопроводами. Влияние длины и площади
трубопровода на глубину разрежения, как показывают экспери-
менты, велико. Величина ее может достигать ~30% и более от
уровня окружающей среды. Причем с увеличением площади выпуск-
ного трубопровода экстремальная глубина разрежения смещается
в зону более высоких начальных давлений в емкости, что указы-
вает на ведущую роль в этом процессе интенсивности возбуждаемой
Р и с. 6.5

в трубопроводе первичной вол-
ны сжатия. Во многом анало-
гичный процесс наблюдается и
П при наполнении емкости. На
<0 ; $ рис. 6-4 представлены графики
изменения величины поджатия
газа Ерп в той же ем-
ро

кости при различных длинах
трубопровода. Как видно из

рис. 6.4, поджатие газа при
впуске также может достигать — 30% от уровня давления в
окружающей среде. Эти эффекты необходимо учитывать
при проектировании циклически работающих двигателей, таких

как пульсирующие воздушно-реактивные двигатели, поршневые и
роторные двигатели, а также объемных компрессоров периодичес-
кого действия, элементов пневмоавтоматики.

Из изложенного следует, что, если ставится задача максималь-
но наполнить или очистить емкость, то необходимо принимать во

внимание, что при заданном начальном давлении в емкости есть
оптимальное сочетание площади и длины трубопровода, дающее
наибольший эффект. Существование оптимума объясняется тем,
что для ускорения очистки необходимо увеличивать площадь тру-
бопровода, а для увеличения интенсивности первичной уединенной
волны, а следовательно и интенсивности отраженной волны, не-
обходимо площадь уменьшать. Оптимальная длина обусловлена
двумя факторами: необходимостью формирования первичной
уединенной волны и диссипативными процессами, прежде всего
трением, в трубопроводе. При коротких трубопроводах интеграль-
ное влияние диссипации в волне мало, но она не успевает сформи-
роваться (отраженные участки волны слишком рано возвращаются
к выпускному окну), а при длинном трубопроводе из-за трения
уменьшается амплитуда как прямой, так и отраженной волны.

В заключение рассмотрим еще один эффект, проявляющийся
при наполнении емкости. Для этого вначале рассмотрим полностью
вакуумированную емкость, т. е. когда масса газа в емкости равна
нулю. Пусть в момент времени / = /0 открывается впускное окно
и непосредственно из окружающей среды начинает втекать газ
(длина трубопровода /т = б). Определим температуру попавшего
в емкость газа (рис. 6.5). За время А/ втечет масса газа Аб, кото-
рой соответствует объем в окружающей среде АУ. Если прене-
бречь влиянием волновых процессов в окружающей среде, то тогда
под действием давления р0 в емкость попадет масса газа Аб. Внут-
ренняя энергия газа Е(, попавшего в емкость, равна внутренней
энергии газа окружающей среды Е() и работе р0АУ, совершенной
окружающей средой по проталкиванию объема АУ в емкость. Для
простоты примем, что Аб равна единице массы. Тогда

ее - - /л \1'
или

О,

где Го — энтальпия газа в
Учитывая, что е = сиТ,

окружающей среде,
а I — срТ, получим



То есть в случае втекания газа из окружающей среды в теплоизо-
лированную емкость с жесткими неподвижными стенками (не со-
вершается внешняя работа) температура газа возрастает в к раз.
Например, при втекании воздуха с температурой 300 К, температу-
ра в вакуумированной емкости будет равна 420 К, т. е. возрастет
на АТ = 120К, причем эта температура не зависит от давления
в емкости.

Рис. 6.6

Теперь рассмотрим, как влияет на температуру Те длина тру-
бопровода. На рис. 6.6 представлены экспериментальные данные
по влиянию длины трубопровода на величину повышения темпера-
туры АТе для различных начальных давлений в емкости. Как
видно из рис. 6.7, величина относительного повышения темпера-
туры А7\ = -у- (здесь \Те—повышение температуры при длине
трубопровода /, АТоо — при /->оо) в диапазоне относительных
длин 04-0,555...0,575 (за базовую длину принят трубопровод дли-
ной 2,64 м) зависит от длины трубопровода.
Дальнейшее увеличение длины уже не изменяет величины при-
роста температуры. Это указывает на влияние волновых процессов
во впускном трубопроводе на температуру воздуха при впуске. Дли-
на трубопровода, при которой фронт отраженной волны успевал
дойти к впускному клапану до его закрытия (длительность откры-
тия клапана в приведенных экспериментах составила 0,009с, ско-
рость звука 344 м/с, объем емкости 800 см3, площадь трубо-
провода 3,8 см2)

344 • 0,009

- 1,55 м,

а относительное ее значение /* = 0,587, что хорошо согласуется
с относительной длиной, при которой наблюдается излом на гра-
фиках рис. 6.6.

Таким образом, температура поступающего в емкость газа зави-
сит и от динамики процесса в теплоизолированном трубопроводе.

Все эти эффекты учитываются при численном расчете течения
газа в системе «емкость-трубопровод». В предыдущих разделах бы-
ли рассмотрены численные методы расчета течения газа в трубо-
проводах. Ниже получим математическую модель для расчета пара-
метров газа в емкости и на границе трубопровода в предположе-
нии мгновенного выравнивания параметров в емкости.

6.2.	Расчет параметров газа при наполнении емкости

При наполнении емкости (рис. 6.7) давление в ней ре мень
ше, чем в трубопроводе рт. Так как расчет ведется по шагам и
при этом предполагается мгновенное изменение площади сечения
на предположим, что в результате мгновенного открытия
клапана (окна) эффективная площадь его сечения становится рав-
ной Рк и начинается процесс втекания газа в сосуд. Вследствие
втекания по газу, находящемуся в трубопроводе, пойдет волна
разрежения.

Предполагая, что за малый промежуток времени (на расчет-
ном шаге) давление в емкости ре не меняется, определим парамет-
ры газа вблизи клапана (окна). Запишем тождество

(6.1)

Рт _ Рт , Рв Рк

Ре

Рв

Рк

Ре

Рис. 6.7

где ра— давление за
фронтом
волны раз-
режения;

— давление в
минималь-
ном
проходном
сечении
клапана (окна).

Используя газодинамические функции, получаем

Рт

Ре

х"(Мт)

-"(Мз)

У (Мк)

У (Мв)

Рк

«

Ре

(6.2)

Рт — площадь поперечного сечения трубопровода.

Отношение давлений зависит от режима втекания газа в
емкость. Если Мк< 1, т. е. режим течения докритический, то с
достаточной степенью точности — = 1.

Ре

Если же перепад давлений надкритический, то Мк = 1 и урав-
нение (6.2), учитывая, что

Рк —' (Мк) (Ттк

Рт • 71 (Мп)
тс"(Мт) тс (Мв)



примет вид:

Рт = Рг . ?(Мк) . Отк	(6.4)

Рс Ре Я (Мв) Рг

В этом уравнении единственная неизвестная величина Мв, так
как <?(МК) = 1 при Мк ~ 1 (коэффициент атк, учитывающий по-
тери полного давления на участке вблизи клапана, считаем из-
вестным из опытов). Поэтому

9 (Мв) — “7 стк	(6.5)

Рт

Остается неопределенной граница использования уравнений (6.2)
и (6.4). Для ее нахождения необходимо поступить следующим об-
разом: задавшись значением Мк = 1, из уравнения (6.5) опреде-
лить Ма, а после этого — величину давления стационарного затор-
моженного потока

*	тс"(Мн)

Рв - Рт —„

Затем сравнить —Т— и л(Мк =1). Если

Рватк

(6.6)

Ре

Р>тк

Ре

Рватк

то необходимо пользоваться уравнением (6.4). Если же

л(Мк = 1), то справедливо уравнение (6.2).

В уравнении (6.2) две неизвестные величины: Мк и Мв. Связь

между ними устанавливается уравнением расхода

атк д (Мк) Р,. = д (Мв) Гт.

(6.7)

Решение системы уравнений (6.2) и (6.7) должно удовлетворять
закону сохранения энергии. Составим уравнение баланса энергии
для рассматриваемого случая.
Энергия, заключенная между «головой» и «хвостом» элементар-
ной волны разрежения, определяется по уравнению (4.77). Одна-
ко при численном расчете процессов наполнения и опорожнения
емкости разница между пределами интегрирования Мн, и Мк, (г —
порядковый номер расчетного шага) обычна мала. Это позволяет
центрированную волну разрежения заменять скачкообразной эле-
ментарной волной разрежения, что упрощает расчет при приемле-
мой точности.

При этом допущении энергия в возмущенной зоне

(2 \

-^-Тв| + -^ А/.	(6.8)

к — 1	2 /

г

Энергия, переданная газу в емкости:
/	2 \

АЕг = Ет1 - ЕВ1 = Р1°, 4 Ег Т? -	| АЛ (6.9)

\ к — 1	к ~ 1	2 /

С учетом

Т„ = ТВ°?"(МВ), мв = М.а„ а2 = к/?Т

получим

(6.10)

В результате того, что за счет нестационарности процесса часть
энергии из трубопровода переносится в емкость, температура газа,
находящегося в нем, возрастает на величину

(6.11)

где Ое1 — масса газа в емкости на I расчетном шаге.

Вследствие роста температуры в емкости возрастает и давление,
так как на расчетном шаге объем и количество газа в нем остают-
ся неизменными. Следовательно, при адиабатном процессе имеем:

Ре[ — Рен

К

(6.12)

где Тен, реп — температура и давление в емкости в начале рас-
четного шага.

Решая совместно уравнения (6.2), (6.7), (6.10), (6.11), (6.12),
находят параметры в трубопроводе и емкости на расчетном шаге,
которые удовлетворяют законам сохранения в рамках сделанных
допущений. Далее определяют количество газа, попавшее в ци-
линдр за расчетный промежуток времени,
и исходные данные в емкости для следующего расчетного шага.
При к = сопз! и 7? = СОП51
масса газа

(6.13)

энергия газа

^<+1 (К— 1)
• *

температура газа

(6.15)

Т^н(М-1)

Если объем емкости переменный, то давление и температура
для следующего расчетного шага находятся после соответствующего
изменения объема за расчетный шаг. Для адиабатного процесса:

Т,н

Рен (/ + 1) ~

(6.16)

(6-17)



6-3. Расчет параметров газа при истечении из емкости

При опорожнении емкости (рис. 6.8) давление в нем боль-
ше, чем в трубопроводе рт. В результате мгновенного открытия
клапана (окна) эффективная площадь его сечения становится рав-
ной рк и начинается процесс вытекания газа из емкости. Вслед-
ствие истечения газа по трубопроводу пойдут волна сжатия и
контактная поверхность.

Предполагая, что за малый промежуток времени (на расчет-
ном шаге) давление в емкости ре не меняется, определяем парамет-
ры газа вблизи клапана (окна). Запишем тождество

Ре _ Ре _ Рк . Рг . Рв

Рт	Рк Рг Ра Рт

(6.18)

Здесь ра — давление
рг — давление

за фронтом волны сжатия;

за контактной поверхностью;

рк — давление в мини-
мальном (критиче-
ском) сечении кла-
пана (окна).

Используя газодинамичес-
кие функции и условия на

Рис. 6.8
контактной поверхности, тождество (6.18) можно переписать сле-
дующим образом:

ре

Рг

Г/(МР)
я'(Мт)

(6.19)

В этом уравнении три неизвестные величины Мк, Мг, Мв, Для
их определения необходимо составить еще два уравнения. Связь
между Мк и Мг осуществляется через уравнение расхода

Ч (Мг) - д (Мк)

Рт

(6.20)

Число Мв находится из соотношения на фронте простой волны
и из равенства скоростей на контактной поверхности:

(6.21)

агМга'(Мт) 2

Решения системы (6.19)...(6.21) должны удовлетворять зако-
ну сохранения энергии. Дополним эту систему уравнениями ба-
ланса энергии

Мва'(Ма)

(6.22)

(6.23



(6.24)

и, используя известные приближенные методы решения системы
алгебраических уравнений, определим параметры в трубопроводе
и емкости.

Если объем емкости меняется со временем, следует поступить
так же, как изложено в предыдущем разделе.

6.4.	Максимальное давление газа на входе в емкость при
наполнении

Ранее было показано, что с увеличением интенсивности волны
разрежения (уменьшение инварианта /+) возрастает интенсив-
ность отраженной волны (увеличивается /_). Так происходит до
тех пор, пока скорость газа на срезе трубопровода не станет рав-
ной местной скорости звука. Дальнейшее увеличение интенсив-
ности волны разрежения не приведет к увеличению интенсивности
отраженной волны. Поэтому будем считать, что предельным зна-
146
чениям интенсивностей исходной (/+п) и отраженной (/_п) волн
соответствуют Мс = 1 на выходе из трубопровода в окружающую
среду.

Определим предельное значение давления перед впускным от-
верстием, если впускной канал имеет постоянную площадь попереч-
ного сечения, а вход выполнен по лемнискате Бернулли, обеспечи-
вающей минимальные потери (ос 1 или $с — $0). Параметры
окружающей среды и начальные параметры во впускном канале р0
и То-

Инвариант предельной отраженной волны (сжатия) определяет-
ся сразу, так как число М на срезе известно (Мс = 1), а втекание
в трубопровод принимаем стационарным, т. е.

ас аоа (Мг) а0

и

(6.25)

2

(6.26)

Для того чтобы определить максимальное давление, создаваемое
волной сжатия, ее нужно затормозить. Для этого предположим,
что на входе в емкость мгновенно устанавливается перегородка.
В этом случае скорость течения воздуха ик на закрытом конце тру-
бопровода равна нулю. Поэтому инвариант прибывающей волны
/_п равен инварианту на закрытом конце /_к. Тогда

@кп •

(6.27)

Из этого уравнения определяется отношение скоростей звука

(6.28)

Из условия изэнтропичности процесса отражения волны опреде-
ляется максимальное давление у закрытого конца трубопровода

2к

(6.29)

С учетом (6.27)

(6.30)
Таблица 6.1 Как видно из уравнения (6.30),

к	1,25	1,33	1,4
Ркп/Ръ	1,802	1,843	1,893

величина предельного давления
зависит от начального давле-
ния р0 и к. В табл. 6.1 даны
значения ркп/р° в зависимости

от к. Определим теперь пара-

метры

На
равен

предельной исходной волны (волны разрежения).

границе трубопровода инвариант прибывающей волны 7+
трубы 7+сп

инварианту на срезе

(6.31)

п

а предельная скорость звука в волне

ап

— поа (Мп)

(6.32)

Решая совместно (6.25), (6.31), (6.32) относительно числа Мп в ис-
ходной волне, имеем

(6.33)

Для воздуха (к = 1,4) Мп = 0,7795, а предельное давление в
волне, отнесенное к начальному,

(6.34)

На рис. 6.9 представлен график зависимости давления на кла-
пане от интенсивности исходной волны для идеального газа; кру-
жочками представлены экспериментальные данные, полученные на
установке, состоящей из цилиндра 1 (в нем создавалось раз-
режение), трубопровода 2, в начале которого устанавливался дат-
чик давления 3 и клапана 4. При открытии клапана, воздух из
трубопровода начинал втекать в цилиндр, в результате чего воз-
никала волна разрежения, которая регистрировалась датчиком
давления 3. Затем клапан закрывался, а волна разрежения дви-
галась к открытому концу трубопровода. Там она отражалась вол-
ной сжатия и в определенный момент достигала клапана. Подошед-
шая волна вновь регистрировалась датчиком. Причем регистра-
ция осуществлялась в месте отражения волны от клапана.

Как видно из рисунка 6.9, экспериментальные величины отли-
чаются от теоретических, представленных кривой 1. Причина та-
148
Рис. 6.9. Зависимость давления на клапане от интенсивности
исходной волны:

1 — теоретическая зависимость рк/р0 = I (Ри/РнУ,
2 — экспериментальная зависимость

кого отклонения заключается в диссипативных процессах, имею-
щих место при движении газа по трубопроводу, на котором прово-
дились эксперименты.

6.5.	Минимальное давление газа на входе в трубопровод

при истечении

При выпуске газа из емкости в трубопровод в нем возбуждает-
ся уединенная волна сжатия, которая на срезе трубопровода отра-
жается волной разрежения.
Определим предельное значение разрежения, которое может
обеспечить выпускной трубопровод постоянного поперечного сече-
ния по длине и соответствующую ему исходную волну сжатия.

Инвариант Римана в предельной волне сжатия

4 п

(6.35)

На срезе трубопровода инвариант прибывающей волны /+п
равен инварианту на срезе 1+сп- В связи с тем, что давление в
волне рс на срезе трубопровода падает до давления окружающей
среды р0,

(6.36)

Приравнивая (6.35) и (6.36), имеем:

(6.37)

При звуковом и сверхзвуковом истечении отраженные волны
отсутствуют. Поэтому, полагая Мс — 1, из (6.37) получаем число
М71 в исходной волне сжатия, которая еще будет отражаться от
открытого конца трубопровода

м„ =	.	(6.38)

3 к

Предельное давление легко определяется по формуле

2 к

Рп = Ро "'(Мя) - Ро (3—-^ р1 ’	(6-39)

а предельный инвариант исходной волны — из (6.35) и (6.38)

1+п а0 .	(6.40)

К — 1

Инвариант Римана отраженной волны разрежения для изэн-
тропического истечения определяется из условия:

т 1	4а0

Отсюда, учитывая (6.40), предельное значение инварианта отражен-
ной волны равно:

I ,1 = а03-^	(6.41)

К — 1
Подойдя к клапану (окну), который условно считаем закрытым,
волна разрежения отражается. Полагая, что скорость газа у за-
крытого конца равна нулю, определим минимально возможное
давление у выпускного клапана. В этом случае

(6.42)

Но 1-кп = 1_п и Мк = 0, поэтому из (6.42) и (6.41) имеем

Отсюда

2	3 —к

к— 1	к— 1

Д' 3 ---- К

КП . - _

а0 2

а предельное минимальное давление равно
2

/3 — к\к-1
Ркп ~ ро Т

(6.43)

(6.44)

(6.45)

Таким образом, минимальное давление рк у клапана (окна)
как и предельное давление в исходной волне сжатия зависят
только от показателя адиабаты и начального давления в системе

выпуска р0.

В таблице 6.2 даны значения

На рис. 6.9 представлены
экспериментальные данные по
замеру минимального давле-
ния. Как видно из этого рисун-
ка, разрежение за выпускным
клапаном, несмотря на боль-
шую длину трубопровода, весь-
ма велико, почти 70% от ис-

в зависимости от к.

рки ри

---- щ ----
Ро Ро

Таблица 6.2

к	1,25	1,33	1,4
ря/р<>	1,834	1,895	1,949
Ркп^Ри	0,363	0,234	0,210

ходного давления (вспомним, что для достижения в клапане числа
Мк = 1 достаточно создать разрежение, равное 47% от давления
в цилиндре).

6.6 Воздействие на волну конечной амплитуды

профилированием трубопровода по длине

Впускные и выпускные системы циклически работающих дви-
гателей часто выполняют с переменной площадью поперечного
сечения по длине. Профилирование впускных и выпускных трубо-
проводов по длине производится в тех случаях, когда стремятся
использовать волновые процессы для увеличения амплитуды от-
раженных волн и длительности их воздействия.

Рассмотрим возможность управления этими параметрами вол-
ны за счет профилирования соответствующего трубопровода по
Рис. 6.10

длине. В связи с тем, что
любой гладкий расширяю-
щийся или суживающийся
канал можно представить в
виде бесконечной последова-
тельности секций различной
площади поперечного сече-
ния, рассмотрим картину не-
стационарного течения в ка-
нале, состоящем из двух раз-
личных по площади секций
(рис. 6.10).

Пусть к скачку сечения
(месту стыка двух секций)
подходит элементарная вол-
на сжатия с инвариантом
/+1. В результате взаимо-
действия со скачком сечения
в общем случае образуется
прошедшая в широкий канал
элементарная волна с инва-
риантом	отраженная

волна с инвариантом 1_\ и
контактная	поверхность

(штриховая линия). Если на-
чальные параметры р0 и То
в секциях до прихода волны
были одинаковыми, а энтро-
пия газа всегда остается не-

изменной, то на контактной поверхности равны не только скорос-
ти потока, но и числа М, т. е. М2 = М3. В этом случае для опре-
деления параметров потока во всех зонах достаточно решить сис-
тему из двух уравнений

= Л— .	тс'(М2),	(6.46)

р0 гс"(М4) Ру г/(М4)

д (М3) Рт = д (М4) Ру,

(6.47)

где р® и р® — давления нестационарно заторможенного потока
соответственно в зонах 5 и 1;

р — площадь поперечного сечения соответственно широ-
кого и узкого каналов.

Инвариант прошедшей волны

/ + 1 = (70 а (М2) I 

\к — 1

(6.48)
а инвариант отраженной волны от открытого конца трубопровода

4

к — 1



(6.49)

Пусть одновременно к скачку сечения подходят отраженная
волна /]_1 и волна с инвариантом /+2. Определим инвариант от-
раженной волны Для этого нужно воспользоваться системой
уравнений (6.46) ...(6.47), подставив соответствующие начальные
значения давлений рУ и р^, которые определяются по форму-
лам:

Откуда

(6.50)

(6.51)

(6.52)

Инвариант в отраженной от скачка сечения волне определим

по уравнению

1,0

0,9

О,»

0,7

1	1,05	1,1

Рис. 6.11
(6.53)

На рис. 6.11 дана зависимость относительного инварианта
волны возбуждаемой первой волной /+1, от относительного
инварианта второй исходной волны /+2//0 (кривая 1). На рис. 6.11
нанесены также уровень инварианта отраженной первичной ис-
ходной волны (прямая 2) и уровень инварианта предельной отра-
женной волны от среза узкого канала, граничащего непосредст-
венно с окружающей средой (прямая 3). Как видно из этого ри-
сунка, интенсивность отраженной волны, возвращающейся к вы-
пускному окну, в большой мере зависит от интенсивности исход-
ной волны /+2, с которой она встречается на скачке сечения:
причем возможна такая комбинация этих волн, при которой ин-
тенсивность будет превосходить предельную отраженную вол-
ну от открытого конца канала постоянного сечения. Рассмотрен-
ный пример раскрывает механизм влияния закона изменения пло-

щади проходного сечения на интенсивность отраженных волн,

возвращающихся к выпускному окну.

Аналогичная картина будет наблюдаться и во впускной систе-
ме. На рис. 6.12 представлены экспериментальные данные по влия-
нию конуса в выпускной системе на величину разрежения \рр =
=	2е— Б цилиндре одноцикловой установки, а на рис. 6.13—

на величину поджатия Арп

ре—ро

—— при впуске.

Как видно из

этих графиков, конус существенно увеличивает величину разре-
жения в цилиндре (до —50%). Влияние конуса на величину под-

жатия в проведенных экспериментах менее существенно, что объ-

ясняется следующим различием в процессах наполнения и опо-
рожнения емкости. Если в рассмотренном выше примере при ис-
течении число Ме на скачке сечения становилось равным единице
при отношении давлений —} = 2,35, то при втекании уже не-
обходимо иметь отношение, равное 10,9 (рис. 6.14). Такое отно-
шение давлений, принимая во внимание, что максимальное давле-

ние заторможенного потока справа от скачка сечения даже в слу-
чае предельной отраженной волны не может превышать 1,89 рс
(для к = 1,4), можно получить лишь путем увеличения интенсив-
ности волны разрежения, идущей от впускных органов.

Приведенный пример движения волн в канале со скачком сече-
ния (кривая 1 на рис. 6.11) ясно показывает, что закон изменения
площади проходного сечения канала по длине непосредственно
связан с другими параметрами впускной и выпускной систем и
потому возможно их рациональное сочетание для более полной
очистки или наполнения емкости.

Рассмотрим возможность расширения диапазона положитель-
ного воздействия волновых явлений за счет профилирования впуск-
Ри с. 6.12
Рис. 0.13

ных и выпускных каналов. Вновь обратимся к каналу со скачком
сечения.

Предположим, что по узкому каналу движется простая волна
прямоугольной формы (рис. 6.15а), причем ее длина меньше, чем
длина узкого и широкого каналов. В результате взаимодействия со
скачком сечения возникает первая отраженная волна, а со срезом
трубопровода •— вторая (рис. 6.156).

Если длина широкого канала подобрана таким образом, что
«голова» волны, отраженная от среза трубопровода, подойдет к
скачку сечения в то же время, что и «хвост» первичной волны сжа-
156
Рис. 6.14. Зависимость числа Мс на скачке сечения канала от отношения
давлений —(а0 ~ 344 мс-1; Еш/Е4):

Р1

1 — истечение в широкий канал; 2—втекание в узкий канал

тия, общая длина волны, идущей к выпускным органам, возрас-
тает в результате присоединения к волне, отраженной от скачка
сечения, волны, отраженной от среза трубопровода. Увеличение
длины волны приведет к расширению длительности ее воздейст-
вия у, выпускных органов. Изложенное хорошо иллюстрируется
представленной на рис. 6.16 осциллограммой отражения волны
сжатия от конуса, длина которого больше ее длины. На ос-
циллограмме отчетливо видны две отраженные волны разрежения,
возбужденные одной первичной волной сжатия.

Очевидно, что законы изменения площади проходных сечений
по длине трубопровода для получения более интенсивных волн
и для расширения диапазона воздействия волн будут отличаться.
Действительно, для увеличения интенсивности отраженной волны,
необходимо, чтобы волна, отраженная от среза трубопровода,
складывалась на скачке с отраженной от скачка сечения волной,
т. е. чтобы «голова» второй отраженной волны (см. рис. 6.15)
приходила к скачку сечения значительно раньше, чем туда по-
дойдет «хвост» исходной волны. Для увеличения же длительности
воздействия волны необходимо, чтобы «голова» второй отражен-
ной волны приходила к скачку сечения одновременно или позднее
прихода к нему «хвоста» исходной волны.

Подбор закона профилирования трубопровода по длине опре-
деляется конкретным устройством. Этот подбор может осуществ-
ляться как непосредственно натурным экспериментом, что эконо-
мически чаще всего нецелесообразно, так и численным эксперимен-
том на ЭВМ.
/О»

Л'

/-5? отраженная

8одна______

2-я отраженная
__ Вояна

Рис. 6.15

6.7.

Коэффициент потерь на трение в уединенных волнах

конечной амплитуды

При измерении волны конечной амплитуды в различных точ-
ках трубопровода видно, что с удалением от места зарождения' ее
амплитуда непрерывно уменьшается. Единственной существенной
причиной этого процесса в теплоизолированном трубопроводе мо-
жет быть лишь трение газа о стенки. Подобно тому, как опреде-
ляется коэффициент трения в гидравлике, найдем зависимость
Хт = Х(Ке) в уединенных волнах. Воспользуемся для этого систе-
мой уравнений (2.1) (2.2) и (2.3). Сила трения входящая в урав.-
нение количества движения и уравнение энтропии, определялась с
помощью формулы Вейсбаха-Дарси
(6.54)

А	.	Л

Др	Хт	— •	1—.

г	а	2

Для этого Др необходимо отнести к единице массы протекаю-
щего газа и единице длины трубопровода:

1 и2
а 2 '

Методика определения Хт — /(Не) заключается в следующем. В двух
сечениях трубопровода на расстоянии I — 1 м устанавливаются
датчики давления. Генератором уединенных волн создается в тру-
бопроводе уединенная волна разрежения конечной амплитуды и
регистрируется обоими датчиками давления. Параметры волны,
зарегистрированные первым датчиком, закладывались в ЭВМ.
Задавая различные постоянные значения Хт, добивались равенства
амплитуд расчетной и замеренной волн вторым датчиком, ис-
пользуя для этого метод характеристик. Одновременно вычисля-
лись числа Не, соответствующие максимальным амплитудам ис-
ходной волны Ке! и расчетной Ке2. В первом приближении пола-
гается, что найденному значению 5? соответствует число Рейнольд-
са Не' =	-1	. При таком расчете формы расчетной и

замеренной волн во втором сечении заметно не совпадают. Это
объясняется тем, что в действительности переменно в волне,
так как переменно число Не. Поэтому на основании обработки
экспериментальных данных для исходных волн различной интен-
сивности (в проведенных экспериментах число Не менялось от нуля
до 5 • 106) строится зависимость первого приближения коэффи-
циента потерь на трение Хт = ^(Ке'), которая используется для
второго приближения.

Определение Хт во втором приближении осуществляется по той
же схеме, что и первое, но учитывается полученная зависимость
Рис. 6.17 Зависимость коэффициента потерь на трение от числа Ке

X' от Ко'. Второе приближение дает хорошее согласование как
амплитуды, так и формы расчетных и экспериментальных волн.
Необходимость дальнейшего уточнения определяется точностью
измерения давления в волне. На рис. 6.17 представлена опытная
зависимость = Х(Не) для стационарного течения и в уединенных
волнах разрежения конечной амплитуды. Как видно из рис. 6.17,
различия в коэффициентах трения существенны. По-видимому,
конкретная зависимость Хт = ЦКе) определяется характером не-
стационарного течения, но повышенный уровень потерь на тре-
ние, очевидно, связан прежде всего с процессом формирования
пограничного слоя в волне.
6.«. ПРИЛОЖЕНИЕ

ТАБЛИЦЫ

ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ ИЗЭНТРОПНЫХ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

М а'(М)

а"(М)

т'(М)

т"(М)

т/(М)

1Х"(М)

е'(М)

е"(М)

0,00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36-

37

38

39

40

1,0000

1,002

1,004

1,006

1,008

1,010

1,012

1,014

1,016

1,018

1,020

1,023

1,025

1,027

1,029

1,031

1,033

1,035

1,037

1,040

1,042

1,044

1,046

1,048

1,050

1,053

1,055

1,057

1,059

1,062

1,064

1,066

1,068

1,071

1,073

1,075

1,078

1,080

1,082

1,085

1,087

1,089

1,000
0,9980
0,9960
0,9940
0,9921
0,9901
0,9881
0,9862
0,9843
0,9823
0,9804
0,9785
0,9786
0,9747
0,9728
0,9709
0,9690
0,9671
0,9653
0,9634
0,9615
0,9597
0,9579
0,9560
0,9542
0,9524
0,9506
0,94 88
0,9470
0,9452
0,9434
0,9416
0,9399
0,9381
0,9363
0,9346
0,9328
0,931 Г
0,9294
0,9276
0,9259
0,9242

1,000
1,004

1,008
1,012

1,016
1,020

1,024
1,029

1,033
1,037

1,041

1,046
1,050

1,054
1,058

1,063
1,067
1,072

1,076
1,081

1,085
1,090

1,094
1,099
1,103
1,108
1,113

1,117
1,122

1,127
1,132

1,137
1,141

1,146
1,151

1,156
1,161
1,166
1,171
1,176
1,181
1,187

1,0000
0,9960
0,9920
0,9881
0,9842
0,9803
0,9764
0,9726
0,9686
0,9649
0,9612

0,9574
0,9537
0,9500
0,9468
0,9426
0,9389
0,9353
0,9317
0,9281
0,9246
0,9210
0,9175
0,9140
0,9105
0,9070
0,9036
0,9002
0,8968
0,8934

0,8900
0,8866
0,8833
0,8800
0,8767
0,8734
0,8702
0,8669
0,8687
0,8605
0,8573
0,8542

1,000

1,0141

1,02815

1,0430

1,0578

1,0729

1,0882

1,1037

1,1195

1,1356

1,1519

1,1685

1,1854

1,2025

1,2199
1,2377

1,2557
1,2740

1,2926

1,3115

1,3308
1,3503

1,3702

1,3905

1,4110
1,4320

1,4532
1,4749

1,4969

1,3193

1,5421

1,5652

1,5888
1,6127

1,6371

1,6619

1,6871

1,7128

1,7390

1,7656
1,7926

1,8201

1,000
0,9861
0,9724
0,9590
0,9457
0,9327
0,9199
0,9073
0,8948
0,8806
0,8706
0,8587
0,8470
0,8355
0,8240
0,8131
0,8021
0,7913
0,7807
0,7702
0,7599
0,7498
0,7398
0,7299
0,7202
0,7107
0,7013
0,6920
0,6829
0,6739
0,6651
0,6563
0,6478
0,6393
0,6310
0,6228
0,6147
0,6067
0,5989
0,5911
0,5839
0,5760

1,000
1,010

1,020
1,031

1,041
1,052

1,062
1,073

1,084
1,095

1,106
1,118

1,129
1,141

1,153
1,165
1,177
1,189
1,201
1,214
1,226
1,239
1,252
1,265
1,279
1,292
1,306
1,320
1,334
1,348
1,363
1,377
1,392
1,407
1,422
1,437
1,453
1,469
1,485
1,501

1,517
1,534

0,000
0,9901
0,9802
0,9705
0,9609
0,9515
0,9421
0.9328
0,9237

0,9147
0,9057
0,8939
О,8882
0,8790
0,8710
0,8626
0,8543
0,8461
0,8379
0,8299
0,8219
0,8141
0,8063
0,7986
0,7910
0,7835
0,7761
0,7688
0,7615
0,7544
0,7473
0,7403
0,7333
0,7265
0,7197
0,7130
0,7064
0,6998
0,6933
0,6869
0,6806
0,6743
М а,(М)	я"(М)

т'(М)

т"(М)

НМ)

т/'(М)

е'(М)	е"(М)

0,42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

1,092
1,094

1,096
1,099

1,101

1,104
1,106

1,109
1,111

1,114

1,116
1,119
1,121

1,124
1,126

1,129

1,131

1,134
1,136

1,139

1,142

1,144

1,147

1,149

1,152

1,155

1,157

1,160

1,163

1,165

1,168

1,171

1,174

1,176

1,179

1,182

1,185

1,188

1,190

1,193

1,196

1,199

0,9225
0,9208
0,9191
0,9174
0,9158
0,9141
0,9124
0,9107
0,9091
0,9074
0,9058
0,9042
0,9025
0,9009
0,8993
0,8977
0,8961
0,8945
0,8929.
0,8913
0,8897
0,8881
0,8865
0,8850
0,8834
0,8818
0,8803
0,8787
0,8772
0,8757
0,8741
0,8726
0,8711
0,8696
0,8681
0,8666
0,8651
0,8636
0,8621
0,8606
0,8591
0,8576

1,192
1,197

1,202
1,208

1,213
1,218

1,224
1,229

1,235
1,240

1,246
1,251

1,257
1,262

1,268
1,274
1,280

1,285
1,291

1,297
1,303
1,309

1,315
1,321
1,327
1,333
1,340
1,346
1,352
1,358
1,365
1,371

1,378
1,384
1,391

1,397
1,404

1,410
1,417

1,424
1,431

1,438

0,8510
0,8479
0,8448
0,8417
0,8386
0,8355
0,8325
0,8295
0,8264
0,8235
0,8205
0,8175
0,8146
0,8116
0,8087
0,8058
0,8029
0,8000
0,7972
0,7944
0,7915
0,7887
0,7859
0,7832
0,7804
0,7776
0,7749
0,7722
0,7695
0,7668
0,7641
0,7614
0,7588
0,7562
0,7535
0,7509
0,7483
0,7457
0,7432
0,7406
0,7381
0,7355

1,8481

1,8766

1,9056

1,9351-

1,9652

1,9957

2,0269

2,0585

2,0908

2,1236

2,1570

2,1910

2,2256

2,2608

2,2967

2,3332

2,3704

2,4083

2,4469

2,4862

2,5262

2,5669

2,6084

2,6507

2,6937

2,7376

2,7822

2,8277

2,8741

2,9213

2,9694

3,0184

3,0684

3,1193

3,1711

3,2240

3,2778

3,3327

3,3887

3,4457

3,5038

3,5630

0,5686
0,5613
0,5541
0,5470
0,5401
0,5332
0,5264
0,5197
0,5132
0,5067
0,5003
0,4940
0,4878
0,4817
0,4756
0,4697
0,4638
0,4500
0,4524
0,4467
0,4412
0,4358
0,4304
0,4251
0,4198
0,4147
0,4096
0,4046
0,3996
0,3948
0,3900
0,3852
0,3806
0,3759
0,3714
0,3669
0,3625
0,3581

0,3538
0,3496
0,3454
0,3413

1,551
1,568
1,585
1,602
1,620
1,638
1,656
1,675
1,693
1,712
1,732
1,751
1,771
1,791
1,811
1,832
1,852
1,874
1,895
1,917
1,939
1,961
1,983
2,006
2,030
2,051
2,077
2,101
2,126
2,151
2,176
2,201
2,227
2,254
2,280
2,307
2,335
2,363
2,391
2,420

2,449
2,478

0,6681
0,6620
0,6559
0,6499
0,6440
0,6381
0,6323
0,6266
0,6209
0,6153
0,6098
0,6043
0,5988
0,5935
0,5881
0,5829
0,5777
0,5725
0,5674
0,5624
0,5574
0,5525
0,5476
0,5428
0,5380
0,5333
0,5286
0,5239
0,5194
0,5148
0,5104
0,5059
0,5015
0,4972
0,4929
0,4886
0,4844
0,4802

0,4761
0,4720
0,4680
0,4640
М <	ъ(М)	я"(М)	''(М)	Т"(М)	*'(М)	я"(М)	Е'(М)	е"(М)
0,84	1,202	0,8562	1,444	0,7330	3,6234	0,3372	2,508	0,4600
85	1,205	0,8547	1,452	0,7305	3,6850	0,3332	2,539	0,4561
86	1,208	0,8532	1,459	0,7280	3,7477	0,3292	2,569	0,4522
87	1,211	0,8518	1,466	0,7256	3,8117	0,3253	2,601	0,4484
88	1,214	0,8503	1,473	0,7231	3,8769	0,3215	2,632	0,4446
89	1,217	0,8489	1,480	0,7206	3,943	0,3177	2,665	0,4408
90	1,220	0,8475	1,487	0,7182	4,011	0,3140	2,697	0,4371
91	1,222	0,8460	1,494	0,7158	4,080	0,3102	2,730	0,4334
92	1,225	0,8446	1,502	0,7133	4,151	0,3066	2,764	0,4298
93	1,228	0,8432	1,509	0,7109	4,223	0,3030	2,798	0,4262
94	1,232	0,8418	1,517	0,7086	4,296	0,2994	2,833	0,4226
95	1,235	0,8403	1,524	0,7062	4,371	0,2959	2,868	0,4191
96	1,238	0,8389	1,532	0,7038	4,447	0,2925	2,904	0,4156
97	1,241	0,8375	1,539	0,7015	4,525	0,2891	2,940	0,4121
98	1,244	0,8361	1,547	0,6991	4,604	0,2857	2,976	0,4087
99	1,247	0,8347	1,555	0,6968	4,685	0,2824	3,014	0,4053
1,00	1,250	0,8333	1,563	0,6945	4,768	0,2791	3,052	0,4019
1,01	1,253	0,8319	1,570	0,6921	4,853	0,2758	3,090	0,3985
02	1,256	0,8306	1,578	0,6898	4,939	0.2727	3,129	0,3952
03	1,259	0,8292	1,586	0,6876	5,026	0,2695	3,169	0,3920
04	1,263	0,8278	1,594	0,6853	5,116	0,2664	3,209	0,3887
05	1,266	0,8264	1,602	0,6830	5,207	0,2633	3,250	0,3850
06	1,269	0,8251	1,610	0,6808	5,301	0,2603	3,291	0,3824
07	1,272	0,8237	1,619	0,6785	5,396	0,2573	3,333	0,3792
08	1,276	0,8224	1,627	0,6763	5,493	0,2544	3,376	0,3761
09	1,279	0,8210	1,635	0,6741	5,592	0,2515	3,420	0,3730
10	1,282	0,8197	1,644	0,6719	5,693	0,2486	3,464	0,3700
11	1,285	0,8183	1,652	0,6697	5,796	0,2458	3,508	0,3670
12	1,289	0,8170	1,661	0,6675	5,902	0,2430	3,554	0,3640
13	1,292	0,8157	1,669	0,6653	6,009	0,2402	3,600	0,3610
14	1,295	0,8143	1,687	0,6631	6,119	0,2375	3,647	0,3581
15	1,299	0,8130	1,687	0,6610	6,231	0,2348	3,694	0,3552
16	1,302	0,8117	1,695	0,6589	6,345	0,2321	3,743	0,3523
17	1,305	0,8104	1,704	0,6567	6,462	0,2295	3,792	0,3495
18	1,309	0,8091	1,713	0,6546	6,582	0,2269	3,842	0,3467
19	1,312	0,8078	1,722	0,6525	6,704	0,2244	3,892	0,3439
20	1,316	0,8065	1,731	0,6504	6,828	0,2218	3,944	0,3411
21	1,319	0,8052	1,740	0,6483	6,955	0,2194	3,996	0,3384
22	1,323	0,8039	1,750	0,6462	7,085	0,2169	4,049	0,3357
23	1,326	0,8026	1,759	0,6441	7,218	0,2145	4,103	0,3330
24	1,330	0,8013	1,768	0,6421	7,353	0,2121	4,158	0,3303
25	1,333	0,8000	1,778	0,6400	7,491	0,2098	4,214	0,3277
М а'(М)

а"(М)

т'(М)

т"(М)

ж'(М)

п"(М)

е'(М)

е"(М)

0,2 6

27

28

1,29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

1,337

1,340

1,344

1,348

1,351

1,355

1,359

1,362

1,366

1,370

1,374

1,377

1,381

1,385

1,389

1,393

1,397

1,401

1,404

1,408

1,412

1,416

1,420

1,424

1,429

1,433

1,437

1,441

1,445

1,449

1,453

1,458

1,462

1,466

1,471

1,475

1,479

1,484

1,488

1,493

1,497

1,501

0,7987

0,7975
0,7962

0,7942
0,7937
0,7924
0,7911

0,7899
0,7886
0,7874

0,7862
0,7849

0,7837
0,7825
0,7813

0,7800
0,7788
0,7776

0,7764

0,7752

0,7740

0,7728
0,7716
0,7704
0,7692

0,7681
0,7669
0,7657
0,4645

0,7634
0,7622
0,7610
0,7599

0,7587

0,7576

0,7564
0,7553
0,7542
0,7530

0,7519
0,7508
0,7496

1,787
1,797
1,807
1,816

1,826
1,836

1,846
1,856

1,866
1,877

1,887
1,897

1,908
1,918

1,929
1,940

1,951
1,962

1,973
1,984
1,995
2,006
2,018
2,029
2,041
2,052
2,064
2,076
2,088
2,100
2,113
2,125
2,137
2,150
2,163
2,175
2,188
2,201
2,214
2,228
2,241
2,254

0,6380

0,6359

0,6339

0,6319

0,6299

0,6279

0,6259

0,6239

0,6220

0,6200

0,6181

0,6161

0,6142

0,6123

0,6104
0,6085

0,6066

0,6047

0,6028

0,6009

0,5991

0,5972

0,5954

0,5936

0,5917
0,5899

0,5881

0,5863

0,5845

0,5827

0,5810

0,5792

0,5774

0,5757

0,5739
0,5722

0,5702

0,5688

0,5670

0,5653

0,5636

0,5620

7,633

7,778

7,925

8,075

8,229

8,387

8,547

8,712

8,880

9,051

9,227

9,406

9,590

9,778

9,969

10,16

10,37

10,57

10,78

10,99

11,21

11,44

11,67

11,90

12,14

12,39

12,64

12,90

13,16

13,43

13,70

13,99

14,27

14,57

14,87

15,18

15,50

15,82

16,16

16,50

16,85

17,20

0,2074
0,2051

0,2028
0,2006

0,1983
0,1962

0,1940
0,1919
0,1897
0,1877

0,1856
0,1836

0,1816
0,1796

0,1776
О,1757
0,1738
0,1719
0,1701
0,1682

0,1664
0,1646
0,1628

0,1611
0,1594
0,1577
0,1560
0,1543

0,1527
0,1511
0,1494
0,1479
0,1463
0,1448

0,1432
0,1417
0,1402
0,1387
0,1373

0,1359
0,1344
0,1330

4,270
4,328

4,387
4,446

4,506
4,568

4,680
4,594

4,758
4,824

4,890
4,958

5,027
5,097

5,168
5,240

5,314
5,389
5,465
5,542

5,621
5,701

5,783
5,865
5,950
6,035
6,123

6,211
6,301

6,393
6,487
6,582
6,679

6,778
6,877
6,979

7,083
7,189

7,296
7,406
7,517
7,631

0,3251

0,3225
0,3199
0,3174
0,3149
0,3124

0,3099
0,3075

0,3051
0,3027

0,3003
0,2980
0,2956
0,2933

0,2910
0,2888
0,2865
0,2843
0,2821

0,2799
0,2778
0,2756
0,2735
0,2714
0,2693

0,2673
0,2652
0,2632
0,2612
0,2592
0,2572

0,2553
0,2534
0,2514
0,2495
0,2477
0,2458

0,2440
0,2421
0,2403
0,2385

0,2367
к — 1,40

м	а'(М)	а"(М)	г'(М)	т"(М)	п' (М)	-"(М)	е'(М)



68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

0,20

1,506

1,511

1,515

1,520

1,524

1,529

1,534
1,538

1,543

1,548

1,553

1,558

1,562

1,567
1,572

1,577

1,582

1,587
1,592

1,597
1,602

1,608

1,613

1,618

1,623
1,629
1,634
1,639

1,645
1,650
1,656
1,661

1,667

0,7485
0,7474
0,7463

0,7452

0,7441
0,7430
0,7419

0,7408
0,7397
0,7386
0,7375
0,7364

0,7353
0,7342
0,7332
0,7321
0,7310
0,7299
0,7289
0,7278
0,7268
0,7257
0,7247
0,7236
0,7226
0,7215
0,7205
0,7194
0,7184

0,7174
0,7163
0,7153
0,7143

2,268
2,282

2,296
2,310

2,324
2,338

2,352
2,367

2,381
2,397

2,411
2,426

2,441
2,457
2,472

2,488
2,503

2,519
2,535
2,552
2,568
2,585
2,601
2,618
2,635
2,652
2,670
2,687
2,705
2,723
2,741
2,759
2,777

0,5603

0,5586

0,5569

0,5553

0,5536

0,5520

0,5503

0,5487

0,5471

0,5455

0,5439

0,5423

0,5407

0,5391

0,5375

0,5359

0,5344

0,5328
0,5313
0,5297
0,5282

0,5267

0,5251

0,5236

0,5221

0,5206
0,5191
0,5176
0,5161

0,5146

0,5132

0,5117

0,5102

17,57
17,04
18,53
18,72
19,12
19,54
19,96
20,39
20,84
21,29
21,76
22,24

22,73
23,24
23,75
24,28
24,82
25,38
25,95
26,54
27,14

. 27,75
28,39
29,04
29,70
30,39
31,09
31,81
32,55
33,31
34,09
34,89
35,71

0,1316

0,1303

0,1289

0,1276

0,1263

0,1249

0,1237

0,1224

0,1211

0,1199

0,1186

0,1174

0,1162

0,1150

0,1139

0,1127

0,1115

0,1104

0,1093

0,1082

0,1071

0,1060

0,1049

0,1039

0,1028

0,1018

0,1008

0,0998

0,09876

7,74
7,864
7,984
8,106
8,230
8,357
8,486
8,617
8,751
8,887
9,026
9,176
9,312
9,458
9,608
9,760
9,916

10,07
10,24

10,40
10,57

10,74
10,91

11,09
11,27

11,46
11,64

11,84
12,03

0,09778 12,23

0,09680

0,09583

0,09488

12,44

12,64

12,86

0,2350

0,2332

0,2315

0,2298

0,2281

0,2264

0,2247

0,2230

0,2214

0,2198

0,2181

0,2165

0,2150

0,2134

0,2118

0,2103

0,2087

0,2072

0,2057

0,2042

0,2027

0,2013

0,1998

0,1984

0,1970

0,1955

0,1941

0,1927

0,1914

0,190)

0,1886

0,187 3
0,1859
к= 1,33

г/ (М)

(М)

Е' (М)

г" (М)

0,00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

1,000
1,002

1,003
1,005
1,007
1,008
1,010

1,012
1,013
1,015
1,017
1,018

1,020
1,022
1,024
1,025
1,027

1,029
1,031

1,032
1,034
1,036
1,038
1,039

1,041
1,043
1,045
1,047

1,048
1,050
1,052
1,054
1,056

1,058
1,059
1,061
1,063
1,065

1,067

1 069
1,071

1,073

1,000

0,9984

0,9967
0,9951
0,9934
0,9918
0,9902

0,9 886
0,9870
0,9854
0,9838
0,9822
0,9806
0,9790
0,9774
0,9758
0,9743
0,9727

0,9712

0,9696
0,9681

0,9665
0,9650
0,9634
0,9619
0,9604
0,9589
0,9574
0,9558
0,9548
0,9528
0,9513

0,9498
0,9484
0,9469
0,9454
0,9439
0,9425
0,9410
0,9395
0,9381
0,9366

1,000
1,003

1,007
1,010

1,013
1,017

1,020
1,024

1,027
1,030

1,034

1,037
1,041

1,044
1,048

1,051

1,055
1,059

1,062

1,066
1,069

1,073
1,077

1,080
1,084

1,088
1,092

1,095
1,099
1,103
1,107

1,111

1,115
1,118
1,122

1,126
1,130
1,134

1,138
1,142

1,146
1,150

1,000
0,9967
0,9934
0,9902
0,9869
0,9837
0,9805

0,9773
0,9741
0,9709
0,9678
0,9646
0,9615
0,9584
0,9554

0,9523
0,9492
0,9462
0,9431
0,9401
0,9371
0,9341

0,9312
0,9282
0,9253

0,9223
0,9194
0,9165
0,9136
0,9108
0,9079
0,9050

0,9022
О,8994
0,8966
0,8938
0,8910
О,8882
0,8855
0,8827
0,8800
О,8773

1,000
1,013

1,027

1,041

1,055
1,069

1,084

1,098

1,113
1,128

1,144

1,159

1,175
1,191

1,207

1,224
1,241

1,258
1,275

1,293
1,311

1,329
1,347

1,366
1,385

1,404
1,424

1,444
1,464
1,485
1,506

1,527
1,548
1,570

1,593
1,615
1,638
1,661

1,685
1,709
1,734

1,759

1,000
0,9868
0,9738
0,9610
0,9484
0,9359
0,9237
0,9116
0,8997
0,8880
0,8764
0,8650
0,8538
0,8428
0,8319
0,8211

0,8106
0,8001

0,7898
0,7797
0,7697
0,7599
0,7502
0,7406
0,7312

0,7219
0,7128
0,7036
0,6949
0,6861
0,6774
0,6689

0,6605
0,6522
0,6441
0,6360
0,6281
0,6202

0,6125
0,6049
0,5974

0,5900

1,000

1,010
1,020

1,031

1,041

1,051

1,062
1,073

1,084

1,095
1,106

1,117

1,129

1,140

1,152

1,164
1,176

1,188

1,200
1,213

1,226
1,238

1,251
1,264

1,277

1,291

1,304
1,318

1,332

1,346

1,360
1,375
1,389

1,404
1,419

1,434

1,449
1,465

1,481

1,496
1,513
1,529

1,000

0,9901
0,9802
0,9705
0,9609
0,9514
0,9420

0,9328
0,9236
0,9145
0,90 6
0,8967
0,8880
0,8793
0,8707

0,8623
0,8539
0,8456
0,8375
0,8294
0,8214

0,8135
0,8057
0,7979
0,7903
0,7827
0,7752
0,7679

0,7605
0,7533
0,7462
0,7391
0,7321
0,7252
0,7183

0,7116
0,7049
0,6983
0,6917
0,6853
0,6789

0,6725
м

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

а' (М)

1,074
1,076

1,078

1,080

1,082

1,084
1,086

1,088
1,090

1,092

1,094

1,096

1,098
1,100
1,102

1,104

1,106

1,108
1,110

1,112

1,114

1,116

1,118

1,120

1,122

1,124

1,126

1,128

1,131

1,133

1,135

1,137

1,139

1,141

1,143

1,146

1,148

1,150

1,152

1,154

1,156

1,159

1,161

а" (М)

< (М)

т* (М)

(М)

п" (М)

е (М)

е" (М)

0,9352
0,9338
0,9323
0,9309
0,9295
0,9280
0,9266
0,9252
0,9238
0,9224
0,9210
0,9196
0,9182
0,9168
0,9154
0,9140
0,9127
0,9113
0,9099
0,9086
0,9072
0,9058
0,9045
0,9031
0,9018
0,9005
0,8991
0,8978
0,8965
0,8951
0,8938
0,8925
0,8912
0,8899
0,8886
0,8873
0,8860
0,8847
0,8834
0,8821
0,8808
0,8795
0,8783

1,154

1,159

1,168

1,167

1,171

1,175

1,179

1,184

1,188

1,192

1,197

1,201

1,205

1,210

1,214

1,218

1,223

1,227

1,232

1,236

1,241

1,245

1,250

1,255

1,259

1,264

1,269

1,273

1,278

1,286

1,288

1,293

1,298

1,302

1,307

1,312

1,317

1,322

1,327

1,332

1,337

1,343

1,348

0,8746
0,8719
0,8692
0,8665
0,8639
0,8612
0,8586
0,8560
0,8534
0,8508
0,8482
0,8456
0,8431
0,8405
0,8380
0,8355
0,8329
0,8304
0,8280
0,8255
0,8230
0,8205
0,8181
0,8157
0,8132
0,8108
0,8084
0,8060
0,8036
0,8013
0,7989
0,7966
0,7942
0,7919
0,7896
0,7873
0,7850
0,7827
0,7804
0,7781

0,7759
0,7736
0,7714

1,784

1,810

1,836

1,862

1,889 ।

1,917

1,945

1,973

2,002

2,031

2,061

2,091

2,122

2,153

2,185

2,217

2,250

2,283

2,317

2,352

2,387

2,422

2,459

2,495

2,533

2,571

2,610

2,649

2,689

2,730

2,772

2,814

2,857

2,900

2,945

2,990

3,036

3,083

3,130

3,178

3,228

3,278

3,329

0,5827
0,5755
0,5684
0,5614
0,5545
0,5477
0,5410
0,5343
0,5278
0,5214
0,5150
0,5088
0,5026
0,4965
0,4905
0,4845
0,4787
0,4729
0,4672
0,4616
0,4561
0,4506
0,4452
0,4399
0,4347
0,4295
0,4244
0,4193
0,4144
0,4095
0,4046
0,3998
0,3951
0,3905
0,3859
0,3813
0,3769
0,3725
0,3681
0,3638
0,3596
О83554
0,3513

1,545
1,562
1,579
1,596
1,613
1,631
1,649
1,667
1,685
1,704
1,722
1,741
1,760
1,780
1,800
1,820
1,840
1,860
1,881
1,902
1,923
1,945
1,967
1,989
2,011
2,034
2,057
2,080
2,104
2,128
2,152
2,177
2,202
2,227
2,252
2,278
2,305
2,331
2,358
2,386
2,413

2,441
2,470

0.6663
0,6601
0,6539
0,6479
0,6419
0,6359
0,6301
0,6243
0,6185
0,6128
0,6072
0,6016
0,5961
0,5907
0,5853
0,5800
0,5747
0,5695
0,5643
0,5592
0,5542
0,5492
0,5442
0,5393
0,5345
0,5297
0,5249
0,5202
0,5156
5,5110
0,5064
0,5019
0,4975
0,4931
0,4887
0,4844
0,4801
0,4759
0,4717
0,4676
0,4635
0,4594
0,4554
к—1,33

м

85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95

96

97
98
99

1,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10

11

12
13
14
15
16

17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

а' (М)

а" (М)

(М)

"" (М)

к' (М)

к" (М)

е' (М)

е" (М)

1,163

1,165

1,168

1,170

1,172
1,174
1,177

1,179

1,181

1,184

1,186

1,188

1,191

1,193

1,195

1,198

1,200

1,202

1,205

1,207

1,210

1,212

1,214
1,217
1,219

1,222

1,224

1,227

1,229

1,232

1,234

1,237

1,239

1,242

1,244

1,247

1,249

1,252

1,255

1,257

1,260
1.262
1,265

0,8770
0,8757
0,8745
0,8732
0,8720
0,8707
0,8695

, 0,8684
0,8670
0,8657
0,8645
0,8633
0,8620
0,8608
0,8594
0,8584
0,8572
0,8559
0,8547
0,8535
0,8523
0,8511
0,8499
0,8488
0,8476
0,8464
0,8452
0,8440
0,8429
0,8417
0,3405
0,8394
0,8382
0,8370
0,8359
0,8347
0,8336
0,8324
0,8313
0,8302
0,8290
0,8279
0,8267

1,353
0,358
1,363
1,369

1,374
1,379
1,385

1,390
1,395
1,401
1,406
1,412

1,417
1,426

1,429
1,434
1,440
1,446

1,451
1,457

1,463
1,469
1,475
1,481
1,487
1,493
1,499
1,505
1,511
1,517
1,523
1,529
1,536
1,542
1,548
1,555
1,561
1,568
1,574
1,581

1,587
1,594
1,600

0,7691
0,7669
0,7647
0,7625
0,7603
0,5813
0,7560
0,7538
0,7516
0,7495
0,7474
0,7452
0,7431
0,7410
0,7389
0,7368
0,7347
0,7326
0,7306
0,7285
0,7265
0,7244
0,7224
0,7204
0,7184
0,7164
0,7144
0,7124
0,7104
0,7084
0,7065
0,7045
0,7025
0,7006
0,6987
0,6968
0,6949
0,6930
0,6911
0,6892
0,6873
0,6854
0,6835

3,381
3,433
3,487
3,542
3,597
3,654
3,711
3,770
3,829
3,890
3,952
4,015
4,079
1,144
4,210
4,278
4,337
4,417
4,488
4,561
4,635
4,710
4,786
4,864
4,944
5,025
5,107
5,191
5,277
5,364
5,452
5,543
5,635
5,728
5,824
5,921
6,020
6,121
6,224
6,329
6,436
6,545
6,656

0,3472
0,3432
0,3392
0,3353
0,3314
0,3276
0,3238
0,3201
0,3164
0,3128
0,3092
0,3057
0,3022
0,2988
0,2654
0,2920
0,2887
0,2854
0,2822
0,2720
0,2758
0,2727
0,2697
0,2666
0,2637
0,2607
0,2578
0,2549
0,2521
0,2493
0,2464
6,2437
0,2410
0,2384
0,2357
0,2331
0,2306
0,2280
0,2255
0,2230
0,2206
0,2182

0,2158

2,499
2,528
2,558
2,588
2,618
2,649
2,680
2,712
2,744
2,777
2,810
2,844
2,878
2,912
2,947
2,983
3,019
3,055
3,092
3,130
3,168
3,206
3,246
3,285
3,325
3,366
3,408
3,450
3,492
3,536
3,579
3,624
3,669
3,715
3,761
3,808
3,856
3,905
3,954
4,004
4,055

4,106
4,158

0,4514
0,4475
0,4436
0,4397
0,4359
0,4321
0,4284
0,4246
0,4210
0,4174
0,4138
0,4102
0,4067
0,4032
0,3997
0,3963
0,3929
0,3896
0,3862
0,3830
0,3797
0,3765
0,3733
0,3701
0,3670
0,3639
0,3609
0,3578
0,3548
0,3518
0,3489
0,3460
0,3431
0,3402
0,3374
0,3346
0,3318
0,3281
0,3263
0,3236
0,3210

0,3183
0,3157
М а' (М)

а" (М)

е (М)

т" (М)

(М)

к” (М)

е' (М)

е" (М)

1,28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

1,268
1,270

1,273
1,276
1,278
1,281

1,284
1,287
1,289
1,292
1,295
1,298

1,300
1,303

1,306
1,309

1,312
1,314

1,317
1,320

1,323
1,326

1,329
1,332
1,335

1,338
1,341

1,344
1,347
1,350
1,353
1,356

1,359
1,362
1,365
1,368
1,371

1,374
1,377

1,380
1,383

1,387
1,390

0,8256
0,8245
0,8234
0,8223
0,8212
0,8200
0,8189
0,8178
0,8167
0,8156
0,8145
0,8134
0,8124
0,8113
0,8102
0,8091
0,8080
0,8069
0,8059
0,8048
0,8037
0,8027
0,8016
0,8006
0,7995
0,7984
0,7974
0,7963
0,7953
0,7943
0,7932
0,7922
0,7911
0,7901
0,7891
0,7881
0,7870
0,7860
0,7850
0,7840
0,7830
0,7820
0,7810

1,607
1,614
1,621

1,628
1,634
1,641

1,648
1,655

1,662
1,669
1,677

1,683
1,691

1,698
1,706

1,713
1,720
1,728
1,735
1,743
1,751

1,758
1,766

,1,774
1,782
1,789
1,797
1,805
1,813
1,821
1,830
1,838
1,846
1,854
1,863
1,871
1,880
1,888
1,897
1,905
1,914
1,923
1,932

0,6817
0,6798
0,6780
0,6761
0,6743
0,6725
0,6707
0,6689
0,6681
0,6653
0,6635
0,6617
0,6599
0,6582
0,6564
0,6546
0,6529
0,6512
0,6494
0,6477
0,6460
0,6443
0,6426
0,6409
0,6392
0,6375
0,6358
0,6342
0,6325
0,6308
0,6292
0,6276
0,6259
0,6243

0,6227
0,6210
0,6194
0,6178
0,6162
0,6146
0,6131
0,6115
0,6099

6,769
6,884

7,001
7,121

7,243
7,367

7,494
7,623

7,755
7,889
8,026
8,165

8,308
8,453

8,601
8,752
8,905
9,062
9,222
9,385
9,552
9,772
9,895
10,07
10,25
10,44
10,62
10,81
11,01
11,21
11,41
11,62
11,83
12,05
12,27
12,49
12,72
12,96
13,19
13,44
13,69
13,94

14,20

0,2134
0,2111
0,2088
0,2065
0,2043
0,2021
0,1999
0,1977
0,1956
0,1935
0,1914
0,1893
0,1873
0,1853
0,1833
0,1813
0,1794
0,1775
0,1756
0,1737
0,1718
0,1700
0,1682
0,1664
0,1647
0,1629
0,1612
0,1595
0,1578
0,1562
0,1545
0,1529
0,1513
0,1497
0,1482
0,1466
0,1451
0,1436
0,1421
0,1405
0,1392
0,1377
0,1363

4,211
4,265
4,319
4,375
4,431
4,488
4,546
4,605
4,665
4,725
4,787
4,849
4,913
4,977
5,042
5,108
5,176
5,245
5,314
5,385
5,456
5,529
5,603
5,678
5,754
5,832
5,910
5,990
5,071
6,154
6,237
6,322
6,409
6,496
6,586
6,676
6,768
6,862

6,957
7,053
7,151
7,251
7,352

0,3131
0,3105
0,3080
0,3054
0,3029
0,3005
0,2980
0,2956
0,2932
0,2908
0,2884
0,286!

0,2838
0,2815
0,2792
0,2770
0,2747
0,2725
0,2703
0,2682
0,2660
0,2639
0,2618

0,2597
0,2576
0,2556
0,2535
0,2515
0,2493
0,2476
0,2457
0,2433
0,2418
0,2396
0,2380
0,2361

0,2342
0,2324
0,2306
0,2288
0,2270
0,2255
0,2235
к~1,33________________________________

м	а7 (М)	а77 (М)	(М)	(М)	л' (М)	к" (М)	е' (М)	г (М)
71	1,393	0,7800	1,941	0,6083	14,47	0,1349	7,455	0,2217
72	1,396	0,7790	1,949	0,6068	14,74	0,1349	7,455	0,2217
73	1,399	0,7780	1,954	0,6052	15,01	0,1321	7,666	0,2183
74	1,403	0,7770	1,968	0,6037	15,30	0,1308	7,775	0,2166
75	1,406	0,7760	1,977	0,6021	15,58	0,1294	7,884	0,2150
76	1,409	0,7750	1,986	0,6006	15,88	0,1281	7,996	0,2133
77	1,412	0,7740	1,995	0,5990	16,18	0,1268	8,110	0,2117
78	1,416	0,7730	2,004	0,5975	16,49	0,1255	8,225	0,2100
79	1,419	0,7720	2,014	0,5960	16,80	0,1242	8,343	0,2084
80	1,422	0,7710	2,023	0.5945	17,12	0,1229	8,462	0,2068
81	1,426	0,7700	2,033	0,5930	17,45	0,1217	8,583	0,2052
82	1,429	0,7691	2,042	0,5915	17,78	0,1204	8,707	0,2036
83	1,433	0,7681	2,052	0,5900	18,12	0,1192	8,832	0,2021
84	1,436	0,7671	2,062	0,5885	18,47	0,1180	8,960	0,2005
85	1,439	0,7662	2,072	0,5970	18,83	0,1168	9,089	0,1990
86	1,443	0,7652	2,082	0,5855	19,19	0,1156	9,221	0,1974
87	1,443	0,7442	2,091	0,5840	19,57	0,1145	9,355	0,1960
88	1,450	0,7633	2,101	0,5826	19,95	0,1133	9,491	0,1945
.89	1,453	0,7623	2,112	0,5811	20,34	0,1122	9,631	0,1930
90	1,457	0,7613	2,122	0,5796	20,73	0,1110	9,773	0,1915
91	1,460	0,7604	2,132	0,5782	21,14	0,1099	9,915	0,1901
92	1,464	0,7594	2,142	0,5767	21,55	0,1088	10,06	0,1887
93	1,467	0,7585	2,153	0,5753	21,98	0,1077	10,21	0,1872
94	1,471	0,7575	2,163	0,5739	22,41	0,1066	10,36	0,1858
95	1,474	0,7566	2,174	0,5724	22,85	0,1056	10,51	0,1844
96	1,478	0,7558	2,184	0,5710	23,31	0,1045	10,67	0,1830
97	1,482	0,7547	2,195	0,5696	23,77	0,1035	10,83	0,1817
98	1,485	0,7538	2,206	0,5682	24,24	0,1024	1.0,99	0,1803
99	1,489	0,7528	2,217	0,5668	24,73	0,1014	11,16	0,1789
2,00	1,492	0,7519	2,227	0,5654	25,22	0,1004	11,32	0,1776
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.	Абрамович Г. И. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука. 1976.

2.	Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой
динамике.—М.: Наука. 1982.

3.	Годунов С. К., Забродин А. В. и др. Численное решение многомерных за-
дач газовой динамики — М.: Наука. 1976.

4.	Дулов В. Г., Лукьянов Г. А. Газодинамика процессов истечения. — Ново-
сибирск: Наука. 1984.

5.	Зельдович Д. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпера-
турных гидродинамических явлений. — М.: Физматгиз. 1963.

6.	ИровЮ. Д., КейльЭ. В., Маслов Б. Н. и др. Газодинамические функ-
ции.— М.: Машиностроение. 1965.

7.	Крауфорд Ф. Волны.— М.: Наука. 1974.

8.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. —- М.: Наука. 1986.

9.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука. 1978.

10.	Локай В. И., Максутова М. Д., Стрункин В. А. Газовые турбины дви-
гателей летательных аппаратов.— М.: Машиностроение. 1979.

11.	Основы газовой динамики. Ред. Г. Эммонс. — М.: ИЛ. 1963.

12.	Рахматуллин X. А. Газовая и волновая динамика М.: Изд. Мос-
ковского университета. 1983.

13.	Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I. — М.: Наука. 1976.

14.	Станюкович Д. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. — М.:
Наука. 1971.

15.	Ударные трубы.//Сборник статей. Под ред. X. А. Рахматуллина и
С. С. Семенова. — М.: ИЛ. 1962.
ЗАДАЧИ

Задача 1. По каналу движется волна сжатия 1—2 (рис.).
Перед волной воздух неподвижный, а инварианты прямой и об-
ратной волн равны 1700 м/с. Инвариант /+ в точке 1 волны —
1900 м/с, а в точке 2—2000 м/с. Через сколько времени вторая
точка догонит первую, если расстояние между ними 1 м.

Решение. Скорость в любой точке волны складывается из ско-
рости движения самого газа и местной скорости звука. Поэтому
для определения момента встречи двух точек волны необходимо
определить скорости их движения в неподвижной системе коор-
динат.

Скорость движения газа в первой точке волны равна

—о

1900—1700 1ПП .

----х----- = 100 м/с,

а скорость звука

_ '+, +	= 1900 + 1700  зм м/с

1	4	10

к — 1

Скорость движения газа во второй точке

2000 — ! 700

—о

= 150 м/с,

а скорость звука

2Ю° + ™ „ 370 м/с.

10

Допустим, что вторая точка догонит первую точку волны че-
рез А/ с. Тогда можно написать

(х0 + 1) = (аг — аг) М;

Хо — (^2



«2 =

К
Вычитая из второго уравнения первое, получим

1 = («г + й2 — «1 —й1)

ы =----------!-------=------------!---------=	0,0167 с.

«а — «1 + а2— 01	150- 100 4-370 — 360	60

Задача 2. В канале постоянного поперечного сечения на рас-
стоянии 0,5 м друг от друга расположены два поршня. В момент
времени /0 они мгновенно начинают двигаться со скоростью 50 м/с
в одну сторону. Построить графики изменения давления на сто-
ронах поршней, обращенных друг к другу за время 0,0005 с от
начала движения. Начальное давление— 105 Я/м2, температура —
273 К. Трение и теплообмен отсутствуют. Воздух до начала дви-
жения поршней неподвижен.

Решение. Так как в момент времени /0 оба поршня начали
двигаться с постоянной конечной скоростью мгновенно, перед пер-
вым поршнем образуется ударная волна, а за вторым поршнем —
центрированная волна разрежения (рис.).

В соответствии с начальными и граничными условиями извест-
но, что скорость газа перед ударной волной ~ 0, а за ней иг —
ип1 — 50 м/с. Начальная скорость звука в межпоршневом про-
странстве

а0 = ]/к/?Т0 = /1,4 • 287,3 • 273 - 331.37 м/с
(для воздуха к = 1,4, 7? =--- 287,3	).

По этим данным определяем число Му из уравнения
ио	____1 \

а9 к + 1 \ у Му /'
Для этого решаем его относительно Му

Му —	- -Ц1 ~му — 1 = о.

2 а0 у

Решением квадратного уравнения являются корни

МУ =	. _50_ ± Л/М+1. . _50_?+ ! =

у 4	331,37	|/ \	4	331,37/

= 0,0942 ± УТД089 = 0,0942 ± 1,0044;

МУ1 - 1,0986,
Му2 =— 0,9102.

Так как |МУ| не может быть меньше 1, то решением является
значение Му — 1,0986.

Зная Му, легко определяется давление за фронтом ударной
волны:

2к

к — 1

2 • 1,4

1,4—1

(1,09862 * *— 1)

= 1,4485 - 106

м2

н

Для определения давления на втором поршне необходимо най-
ти давление за «хвостом» центрированной волны разрежения. Для
этого, учитывая, что в возмущенной зоне у второго поршня левый
инвариант Римана /+о не меняется, определяем скорость звука
а2 из равенства

2	_ 2

:	—	7	+ ^21

К — 1	к — 1

2	2

----а0 — и2 ---------- 331,37 — 50

„ к— 1	1,4—1	ОП1 07	/

а2 —-------5------ =----------5--------=321,37 м/с.

2	2

к-1	1,4—1

Зная а2 и и2, по газодинамическим функциям определяем дав-
ление р2.

106---------

1,031I7

1,4—1 50

2	321,37

0,8070 • 105

м2

Давление на первом поршне рг = 1,4485 • 105 Н/м2 и давление
на втором поршне р2 = 0,8070 105 Н/м2 будут оставаться неиз-
менными до тех пор, пока «голова» центрированной волны разре-
жения не встретится с первым поршнем, а ударная волна не до-
гонит второй поршень. Но прежде чем это произойдет, встретят-
ся ударная волна и «голова» центрированной волны разрежения.
Определим время их встречи. Для этого необходимо решить сис-
тему уравнений:

в = Муа0 . 7В

в 0,5

Отсюда

0,5

а0 (Му + 1)

— 0,0007 с.

Сравнивая со временем, заданным по условию задачи, видим,
что /а > 0,0005 с. Таким образом, за этот промежуток времени
давления на поршнях будут оставаться постоянными (см. рис.)

и равными

- 1,4485 • 105 Н/м2
р2 - 0,8070 • 105 Н/м2.

Задача 3. В трубопроводе находится воздух, разделенный
невесомым абсолютно твердым поршнем на две зоны, имеющие
различные температуры (давление одинаковое во всей трубе).
В момент времени /0 в зоне с температурой 7\ — 900К возбуждает-
ся простая волна сжатия с избыточным давлением 0,411 • 105 Н/м2.
Определить давление в волне, прошедшей во вторую зону, если
начальная температура в ней 273К и начальное давление р =
- 105 Н/м2.

ЛОрШСХб

Решение. В связи с тем, что пор-
шень невесомый и абсолютно твер-
дый (что равносильно поршню с
толщиной, равной нулю), он выпол-
няет роль контактной поверхно-
сти, разделяющей два газа. В соот-
ветствии с теорией распада произ-
вольного разрыва при взаимодей-

ствии волны сжатия с контактной

поверхностью образуется кроме
прошедшей волны отраженная вол-
на от контактной поверхности (рис.)

Для решения задачи составим следующую систему уравнений:

{Р4 __ р4 Рз # Р2
Р1 РЗ ' Рэ Р1 ’
М.3Й3 = М.2^2*

Выразим параметры через числа М в соответствующих зонах

р*=р* Л,!У; ’	^4=л (м4),

л" (М4)

Рз — Р21

Р2 = Р1те'(М2),
й»	’	«4 = а40а'(М4)>

« (М4)

а2 = а± о/ (М2)

и подставим их в систему

' Р4

. Р1

а4

М4 определим
нарного потока

К” (М4)
(М3)

• М3

«' (М2),

«" (М3)

а" (М4)

= М2  аха' (М2).

(1)

по газодинамическим функциям для нестацио-

к' (М4) = -21 = 1,411
Р1

и по таблицам газодинамических функций
М4 = 0,24.

Зная М4 по таблицам газодинамических функций, находим
а'(М4) = 1,05, а а40 = /к/?Т0' = / 1,4 • 287,3 • 900 = 601,66 м/с.
Тогда а4 = «40 • а'(М4) = 601,66 • 1,05 = 631,74 м/с.

Система уравнений решается методом последовательных при-
ближений. Для чего, задаваясь числом М3, подбирается его зна-
чение таким, чтобы удовлетворяло системе (1). Зададимся тремя
значениями М3

Из первого уравнения системы на-
ходим л'(М2), а по этой функции —
а'(.М2)и (М2) и проверяем равенство
левой и правой частей второго урав-
нения в системе. Численный расчет
дал М3 = 0,17, а М2 = 0,306.

Давление в волне, прошедшей во
вторую зону:

М3

0,20

0,30

0,17

М3а3

127,3

187,4
Ю8,8

М2а2

100,6

63.7

108,0

Р2 = Р1 	(М2) = 105  1,55 =

Задача 4. Определить давле-
ние в волне, прошедшей в уз-
кий канал постоянного попереч-
ного сечения, если в первичной
волне, сжатия, двигавшейся по
широкому каналу, число М =
0,2. Начальные условия в кана-
лах: р0 = 105 Н/м2, То = 273 К,
и = 0, отношение площадей рав-
но 3, коэффициент восстановле-

1,55 • 105

Н

м2

ния полного давления а = 0,9 (рис.).

Решение. В соответствии с теорией распада произвольного раз-
рыва при взаимодействии волны со скачком сечения образуются

прямая волна, отраженная волна и контактная поверхность.
Для решения задачи составим систему уравнений

Р5 _ Р5	р4	Рз	Ра

Р1 Р4	Рз	Ра	Р1

М3&3 = М2Я 2,

О4 — С3.

(1)

Выразим парамеры в этой

системе через газодинамические

функции для стационарных и нестационарных потоков.

Ръ _ ^-"(М5)

р4 к" (М4)

Рз

Рз

Ра

Р1

Р4

Рз

у У (М3)
ш У (-М4)

из уравнения расхода

стационарном потоке;



'--ГТТГч (М4)

а3 —	' а" (М5)

т

Я (М<) Ршр4

4

Ут\

3

Я (М3) Ру • р*
= т------=ь—-

Но Т* = Т*, а р* = <зр*. Поэтому ^(М4) Рш — <?(М3) Ру<з. Учиты-
вая все эти выражения система (1) примет вид

М3

0,399

0,2017

0,23

тех пор,

(М5)

М3 • а' (М5)

(Мв)

(М4)

Ру

Рш

»" (М4)

а" (Мв)

д = ?(М3) ру 

Левая

0,417

0,2450

0,249

Правая

0,146

0,254

0,252

У(М„)

 У (М4)

т(М3) =

ЧМ4)

М,

(М2),

а.

Здесь три неизвестные М2, М3, М4.
Система решается численно, путем под-
бора этих чисел М. Для этого задаем-
ся числом М3. Из третьего уравнения
системы находим М4, затем из перво-
го находим я' (М2), а следовательно,
и М2. После этого проверяем равенство
левой и правой частей второго урав-
нения системы. Расчет проводится до

пока левая и правая части не будут совпадать с заданной

^(М2),

точностью.

Таким образом, при М3 = 0,23 левая и правая части второго
уравнения системы совпадают с точностью 1,2%. Данному числу
М3 соответствует число М2=0,24. Следовательно, давление за
фронтом простой волны сжатия, прошедшей в узкий канал, равно

р2 = рок' (М2) = 10* • 1,411 = 1,411 - 10* 4-

м2

Задача 5. Считая течение изэн-
тропным, найти инвариант Римана
отраженной волны от площади диа-
фрагмы на конце трубопровода, ес-
ли инвариант неподвижного воздуха
равен 1700 м/с,а инвариант исход-
ной волны — 1800 м/с. Начальное
давление в трубе равно давлению
окружающей среды 105 Н/м2. От-
ношение площадей диафрагмы к пло-
щади канала Р^1РК = 0,25 (рис.).

Решение. Составим уравнение для
расчета данного случая.

Обозначим давление за исходной
волной через начальное дав-
ление	и давлен	ие за	отраженной

волной	р0. Тогда	можно	записать

Ри _ Ри	в Ро	0)

Рн Ро Рн

(давление в сечении диафрагмы принимаем равным давлению ок-
ружающей среды)

Я(^)РК^
и т-----—----= т —-=——.

Кг;	Ут'л

Так как течение предполагается изэнтропным, то То = Т% и
Р*о = Ра- Тогда

Я (МД)ГД = д (МО)ГК

(2)

Записав уравнение (1) через газодинамические функции, получим:

Рн ___ (Ми)

Рн 71" (Мо)

Рч  У (Мд)
рк  Р(Ми) ’

(3)

В уравнениях (2) и (3) две неизвестные величины Мо и Мд.
Вновь решаем эту систему численно, задаваясь значением Мд
(как в предыдущих задачах 4 и 3). Значения ри и Ми найдем из
начальных условий

350—;

1800—1700

10
50

350

- 0,143,

ри = Ро^'(Ми) = 105- 1,22 = 1,22 - 105

Н

м2

Начальная скорость звука равна

к— 1

1700

и

аи

= 340 —.

Инвариант отраженной волны найдем по уравнению

7_о = а. (-Ц - Мо) = ан а" (Мо) М- - Мо).

\К — 1	/ а" (Ми)	\К — 1	/

В результате численного решения системы уравнений
(3) находим Мд = 0,595; Мо = 0,121.

Теперь, подставляя значения аи, Ми, Мо в формулу (4),
определить искомый инвариант Римана

(4)

(2) и
легко

7_о = 340 (°>143)а> (0.121) (5__о 121) = 1720 —.
а" (0,143)	4	с
СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие........................................................ 3

Введение........................................................... 4

Условные обозначения............................................... 5

1.	ОСНОВНЫЕ	УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ГАЗА................................ 7

1.1.	Модель тела в газодинамике.................................. 7

1.2.	Методы изучения движения газа............................... 7

1,3.	Уравнения сохранения массы.................................. 9

1.4.	Силы, действующие в движущемся	газе........................10

1.5.	Уравнение сохранения количества	движения....................12

1.6.	Уравнение сохранения энергии................................13

2.	ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАР-
НОГО ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА......................................15

2.1.	Базовая система уравнений...................................15

2.2.	Физический смысл уравнений движения........................ 16

2.3.	Волны конечной амплитуды....................................22

2.4.	Параметры заторможенного потока.............................25

2.5.	Газодинамические функции для одномерных изэнтропных стацио-
нарных течений...................................................28

2.6.	Газодинамические функции для одномерных изэнтропных нестацио-
нарных течений...................................................35

3.	НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ.....................................40

3.1.	Начальные и граничные условия...............................40

3.2.	Отражение волн от движущегося поршня........................41

3.3.	Отражение волн от открытого конца трубопровода..............42

3.4.	Отражение волн при истечении................................43

3.5.	Отражение волн при втекании.................................44

3.6.	Влияние близости стенки на отражение волн конечной амплитуды
от открытого конца трубопровода ................................ 49

4.	ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ РАЗРЫВЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН

С НИМИ...........................................................52

4.1.	Виды газодинамических разрывов..............................52

4.2.	Распад произвольного разрыва и основы теории ударных труб .	.	61

4.3.	Распад произвольного разрыва па диафрагме...................80

4.4.	Коэффициент расхода.........................................90

4.5.	Распад произвольного разрыва при подводе или отводе механиче-
ской энергии в потоке............................................93

4.6.	Распад произвольного разрыва при подводе или отводе тепла .	.	100

4.7.	Взаимодействие волн с контактной поверхностью...............102

4.8.	Взаимодействие уединенной волны конечной амплитуды с отверстием
в трубопроводе .................................................. 104

4.9.	Распад произвольного разрыва при отводе или подводе массы .	.	107

4.10.	Взаимодействие волн с разветвлением канала.................112
5.	ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИО-
НАРНЫХ ДВИЖЕНИИ ГАЗА........................................ .	119

5.1.	Вычислительный эксперимент......................................119

5.2.	Метод характеристик.............................................121

5.3.	Сеточно-характеристический метод..............................  127

5.4.	Метод распада разрывов..........................................130

6.	НАПОЛНЕНИЕ И ОПОРОЖНЕНИЕ ЕМКОСТИ....................................133

6.1.	Основные закономерности опорожнения и наполнения емкости через
трубопровод.....................................................133

6.2.	Расчет параметров газа при наполнении	емкости...................142

6.3.	Расчет параметров газа при	истечении из емкости .	.	.	.	.	145

6.4.	Максимальное давление газа	на входе в емкость при наполнении .	146

6.5.	Минимальное давление газа	на Входе в трубопровод при истечении	149

6.6.	Воздействие на волну конечной амплитуды профилированием трубо-
провода по длине................................................151

6.7.	Коэффициент потерь на трение в уединенных волнах конечной ам-
плитуды ........................................................158

6.8.	Приложение.	Таблицы газодинамических функций....................161

Библиографический	список .............................................172

Задачи ......................................................
Борис Петрович Рудой

ПРИКЛАДНАЯ
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКА

Учебное пособие

Редактор Ф. А. Паль

Сдано в набор 24.06.87. Подписано в печать 4.4.88. П01225. Формат бОХЭО’Аб-
Бумага оберточная. Печать высокая. Гарнитура шрифта литературная,
Усл. печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 12. Т. 500. Заказ 1608. Цена 60 к.

Уфимский полиграфкомбинат Госкомиздата Башкирской АССР.

Уфа-1, проспект Октября, 2.