Автор: Калаев А.И.
Теги: подземное строительство земляные работы фундаменты строительство тоннелей строительство несущие основания
ISBN: 5-274-00365-6
Год: 1990
Текст
А.И.Калаев
НЕСУЩАЯ
СПОСОБНОСТЬ
ОСНОВАНИЙ
СООРУЖЕНИЙ
А.И.Калаев
НЕСУЩАЯ
СПОСОБНОСТЬ
ОСНОВАНИЙ
СООРУЖЕНИЙ
Ленинград
Строймздаг
Ленинградское отделение
1990
УДК 624.131.524
Каляев А. И. Несущая способность оснований сооруже-
ний.— Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1990— 183 с.: ил.
ISBN 5-274-00365-6
Изложены теория расчета предельно напряженного состояния естест-
венных оснований с линейной и нелинейной зависимостью графика сдвига,
инженерные методы определения статической и динамической несущей спо-
собности в условиях пространственной задачи, плоской и осесимметричной,
приведены размеры и формы уплотненного ядра, результаты эксперимен-
тальных исследований, сравниваются результаты несущей способности
оснований с данными экспериментов.
Для научных и инженерно-технических работников.
Рецензент — канд. техн, наук А. И. Шкляров
3304000000—116
047(01)—90
111—90
ISBN 5-274-00365-6
© А. И. Калаев, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
Принятый в нашей стране курс ускоренного экономиче-
ского и социального развития предусматривает значительный
рост капитального строительства, реконструкцию и реставра-
цию существующих зданий и сооружений, значительное по-
вышение эффективности строительного производства.
Затраты на новое строительство и реконструкцию во мно-
гом зависят от всесторонней оценки несущей способности
грунтов и грунтовых оснований. Наиболее распространенные
до последнего времени методы расчета оснований содержат
в большинстве своем внутренние излишние запасы. Рацио-
нальное их использование может быть достигнуто примене-
нием методов, основанных на использовании теории предель-
ного равновесия.
В настоящей работе изложены результаты теоретических
и экспериментальных исследований предельной несущей спо-
собности оснований от статической и сейсмической нагрузок.
Выполненные исследования позволили сделать практиче-
ские предложения для расчета предельной прочности одно-
родных и слоистых оснований.
Глава 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА
Основные сведения и анализ решений, посвященных во-
просу предельной прочности оснований, приведены в трудах
В. Г. Березанцева [8], М. И. Горбунова-Посадова [26, 27],
В. А. Флорина [122], Н. А. Цытовича [127, 128], В. Н. Нико-
лаевского [88] и др. В связи с этим в первой главе остано-
вимся кратко на основных результатах работ, которые в даль-
нейшем используются при сравнении данных расчета и при
решении задач рассматриваемой проблемы.
Существующие методы определения предельной прочности
оснований делятся [122] на две группы. К первой группе от-
носятся методы, основанные на применении теории линейно
деформируемой среды и поверхностей скольжения простей-
ших форм; во второй группе объединены методы, разработан-
ные с использованием теории предельно напряженного со-
стояния грунта.
1. Методы расчета предельной
прочности оснований,
разработанные на основе теории
линейно деформируемой среды
и поверхностей скольжения простейших форм
С. И. Белзецкий [5], К. Тарцаги [120], Н. М. Герсеванов
[19], В. Феллениус и другие принимали допущение о сущест-
вовании плоских (рис. 1.1), круглоцилиндрических (рис. 1.2
[29]) поверхностей скольжения и на этой основе находили
самое невыгодное их положение в основании.
Метод Н. М. Герсеванова получил дальнейшее развитие
в работах П. А. Лаупмана [70], Б. А. Ур едко го и др. В этих
работах формулы для определения углов а и си наклона
пересекающихся плоскостей к горизонту (см. рис. 1.1) при-
водятся к обобщенному выражению следующего вида:
ax3 + &x2+cx = d, (1.1)
где а, Ь, с — коэффициенты, зависящие от величины плотно-
сти грунта и других данных; d — коэффициент, не зависящий
4
от плотности; x=tga, где a — угол наклона к горизонту по-
верхности скольжения под подошвой штампа; си — вне по-
дошвы.
Расчетная ширина подошвы ВР=В—2е (е — величина экс-
центриситета). Путь решения задач с использованием круг-
лоцилиндрической поверхности скольжения имеет и в настоя-
щее время широкое распространение (рис. 1.2).
Строительными нормами [118] допускается определять
предельную прочность оснований, сложенных неоднородными
грунтами, методами, основанными на использовании кругло-
цилиндрической поверхности скольжения.
По методу [29] предполагается, что грунтовой массив,
ограниченный круглоцилиндрической поверхностью скольже-
ния в однородном основании, ведет себя в момент предель-
ного состояния как твердое тело; в расчет вводятся равно-
действующие силы.
Применение вариационного метода к расчету предельной
прочности однородных и неоднородных оснований выполнено
в [151, 142].
Используя теорию линейно деформируемого полупростран-
ства, Н. П. Пузыревский [98] получил формулу для опреде-
ления величины q равномерно распределенной нагрузки, без-
опасная величина которой будет обеспечена при развитии
пластической области лишь
в точках, совпадающих с
границами ширины полосы
внешнего давления на осно-
вание.
Развитие неустойчивых
зон при различных значе-
ниях коэффициента боково-
го давления грунта было
рассмотрено В. А. Флори-
ным [122], М. И. Горбуно-
Рис. 1.2
5
вым-Посадовым [26] и др. Д. Е. Польшин и Р. А. Токарь
[93] получили зависимости для определения среднего дав-
ления от нормативных нагрузок при глубине развития пла-
стических деформаций утах=0,25В.
2. Методы определения предельной
прочности оснований,
разработанные на основе теории
предельно напряженного состояния грунта
Основные положения теории предельного равновесия были
сформулированы К. Кулоном (1773) и применены для опре-
деления давления грунта на ограждения при допущении су-
ществования плоской поверхности скольжения.
В. Ренкин [152] дал теорию сопряженных напряжений и
ввел понятие о поверхностях скольжения, заполняющих об-
ласть предельно напряженного состояния сыпучей среды.
Препятствием на пути развития теории предельного равнове-
сия была трудность исследования напряженного состояния
среды в окрестности поверхности, на которой приложенное
внешнее давление терпит разрыв. Л. Прандтль [96] разрешил
это препятствие и рассмотрел ряд задач, в которых разрыв
непрерывности эпюры внешнего давления является центром
пучка одного семейства кривых скольжения в области сыпу-
чей среды, находящейся в особом предельном состоянии.
Ф. Кеттер [145] получил систему дифференциальных урав-
нений предельного равновесия и преобразовал ее к соответст-
вующим криволинейным координатам. Работы Ренкина, Кет-
тера, Прандтля были использованы Г. Рейснером (1925),
Т. Карманом (1927), А. Како (1934), В. Н. Новоторцевым
(рис. 1.3) при решении некоторых задач предельной прочно-
сти оснований [90].
В. В. Соколовский (1939—1942) создал общий метод, по-
зволяющий рассматривать в аналитической форме [109]
основные вопросы предельной прочности оснований для весо-
мой сыпучей среды в условиях плоской задачи. Дальнейшие
работы В. В. Соколовского (1947—1960) посвящены разрыв-
ным решениям задач для весомой среды. В его трудах полу-
чены формулы и таблицы для определения интенсивности
предельного давления на грунт. Основные из них приведены
в учебной литературе, а также в разделе «Основания и фун-
даменты» справочника проектировщика.
С. С. Голушкевич (1948) разработал [23] графический
метод интегрирования уравнений предельного равновесия, ко-
торый был усовершенствован и дополнен (1957) разрывными
решениями статики сыпучей среды.
6
Рис. 1.3
Рис. 1.4
В. Г. Березанцев (1948—1960) изучил полное предельное
равновесие сыпучей среды [8] при осевой симметрии, по-
строил методы определения предельной прочности оснований
сооружений с учетом результатов экспериментальных иссле-
дований [9].
М. И. Горбунов-Посадов (1925—1983) дал решение задачи
о прочности песчаного грунта под жестким штампом в усло-
виях плоской задачи на основе использования теории упру-
гости и теории предельно напряженного состояния грунта
[26, 27]. В монографии [26] определены границы упругой /,
пластической 2 частей уплотненного ядра (рис. 1.4) и зоны 3
предельного состояния основания. Когда р = 40°, то Ru=
= 383,56; в [27] приведены результаты исследований по опре-
делению величины /?п для других углов внутреннего трения
песка.
3. Соботка [108] получил диференциальные уравнения
осесимметричной и трехмерной задач при равенстве среднего
главного напряжения наибольшему или наименьшему глав-
ному напряжению.
В. X. Пигулевский (1929), К- Терцаги (1933—1961),
А. Н. Зеленин (1950), В. С. Христофоров (1950—1971),
М. В. Малышев (1952—1980), В. Г. Березанцев, В. А. Яро-
шенко (1952—1970), М. М. Гришин (1939—1954), А. С. Кана-
нян (1954—1970), М. М. Минцковский (1957—1970), П. Д. Ев-
докимов (1956—1973), А. А. Ничипорович, Н. Я. Хрусталев
(1957), А. С. Строганов (1956—1983), Ю. А. Соболевский
(1965—1973), Ю. Н. Мурзенко (1962—1981), Биаре (1961),
Б. Хансен (1953—1961), А. Юмикис (1961), А. Балла (1962),
X. Мус, X. Каль (1961—1973) и ряд других ученых выпол-
нили экспериментально-теоретические исследования прочно-
сти основания.
Под жесткой шероховатой подошвой сооружения возни-
кает [92] уплотненное ядро (рис. 1.5). Учитывая ядро и по-
верхности скольжения для невесомой среды, К. Терцаги [ 120]
получил формулу для определения предельного вертикального
симметричного давления в условиях плоской задачи:
Rn = B^hNQ + ±tB^+CNcY (1.2)
7
Рис. 1.5
Коэффициенты Nq, Nv, Nc находятся по графикам [118]
в зависимости от угла внутреннего трения грунта р. Этому
углу принят равным угол при основании уплотненного ядра.
А. Како и Ж. Керизель [139], Г. Мейергоф [149] разра-
ботали методы для определения предельной прочности осно-
ваний на основе учета поверхностей скольжения для невесо-
мой среды и уплотненного ядра, возникающего под подошвой
жесткого шероховатого штампа. При действии вертикальной
симметричной нагрузки угол при основании уплотненного
ядра принят равным . М. В. Малышев [77, 78],
X. Лундгрен [146], А. С. Строганов [115] получили форму
уплотненного ядра, возникающего под подошвой жесткого
штампа, который нагружен вертикальной центральной на-
грузкой. Она имеет вид треугольника с криволинейными боко-
выми сторонами. Эти стороны представляют линии скольже-
ния, начинающиеся на некотором удалении от краев фунда-
мента (рис. 1.6). Кроме того, М. В. Малышев [78] предложил
метод проверки прочности основания при несовпадении экс-
центриситета еп равнодействующей предельного давления на
грунт с эксцентриситетом е внешнего давления на штамп.
В. Г. Березанцев [8, 9] на основе экспериментальных ис-
следований пришел к выводу, что для плотных песков в зави-
симости от отношения глубины h заложения подошвы фунда-
мента к его ширине В следует рассматривать незаглублен-
ные фундаменты мелкого (0,5^/i/B^l,5... 2) и глубокого
(1,5... ... 4) заложения. Методы определения пре-
дельной прочности оснований построены с учетом уплотнен-
Рис. 1.6
8
ного ядра, угол при вершине которого равен л/2, при дейст-
вии на штамп вертикальной симметричной нагрузки. Для
глинистых грунтов используется [9] уплотненное ядро с вы-
сотой h = 1,06.
В. Г. Березанцев разработал также методы определения
предельной прочности основания в случае действия на прямо-
угольный фундамент эксцентричной вертикальной и наклон-
ной к вертикали внешней нагрузки.
В работе [10] выполнен учет криволинейности графика
сдвига для оценки предельной прочности оснований;
в табл. 1.1 приведены результаты экспериментальной ее про-
верки [6].
Т аблица 1.1
По данным работы [6] По предлагаемому рас- чету с учетом нелиней- ности (гл. 3) F, Н
Но- мер песка Начальные коэффици- енты пори- стости По опы- ту F, Н По расчету с учетом
нелиней- ности Г, Н линей- ности F, н Криволи- нейные границы ядра Линейные границы ядра с углом при основании 45°
1 0,54 280 248 20 99 118
2 0,64 205 498 53 386 —
2 0,56 420 381 83,7 i 1013 —
Арпад Балла [135] пришел к выводу, что в основании
жесткого заглубленного в грунт фундамента образуется круг-
лоцилиндрической формы отделяющая поверхность скольже-
ния в пределах зоны Прандтля.
Г. А. Гениев [16] теоретически получил границы жесткой,
упругой и пластической зон, которые возникают в основании
под жестким штампом при действии вертикальной равномер-
но распределенной нагрузки.
В. С. Христофоров [124] предложил метод определения
предельной прочности основания для случая наклонной силы
R, центрально приложенной к жесткому фундаменту
(рис. 1.7), под подошвой которого образуется несимметричное
треугольной формы ядро. Точка приложения силы R2 принята
совпадающей со средней точкой длины отрезка СВ. Методы
решения этой задачи предложены в [ПО, 157] и др.
В работе Г. А. Дубровы [32] в отличие от метода
В. С. Христофорова [124] принято, что в области, ограни-
9
ченной отделяющей поверхностью скольжения, грунт пол-
ностью находится в предельно напряженном состоянии.
П. Д. Евдокимов, [34—37] разработал графоаналитиче-
ский метод определения предельной прочности оснований
гидротехнических сооружений. Схема деформации основания,,
приведенная на рис. 1.8, принята [117] в качестве расчетной
для случая смешанного сдвига: часть подошвы перемещается
по контактной поверхности, другая ее часть вызывает призму
выпора. Сопротивление R выпору этой призмы находится
графоаналитически. Наряду с этим в [117] предусматрива-
ются схемы плоского и глубинного сдвигов. Схему глубинного
сдвига предлагается использовать, когда основание несет
только вертикальную нагрузку.
Г. Г. Мейергоф действие вертикальной эксцентричной на-
грузки заменяет эквивалентным симметричным давлением на
штамп и использует поверхность скольжения, полученную по
теории предельно напряженного состояния грунта. В [149]
предложена также расчетная схема для основания с откосом.
Шень Чжуцзянь [130] разработал решение задачи о проч-
ности основания с учетом кинематических смещений грунта.
В этом случае сетка поверхностей скольжения под подошвой
штампа близка к той, которая получается без учета кинема-
10
тических параметров, а расчетная прочность незначительно
превышает ее величину, определенную по методу В. В. Соко-
ловского ЕЮ9].
Ю. А. Соболевский [107] получил решение задачи по
определению прочности откосов с учетом действия сил филь-
трационного потока.
Ю. Н. Мурзенко [85] разработал решение смешанной за-
дачи теории упругости и теории пластичнссти для основания,
в котором учитывается процесс развития :юн сдвигов. В пре-
дельном состоянии расчетные границы призм выпора строго
совпадают с результатами по Прандтлю [150]; опытная пре-
дельная нагрузка для шероховатых штам! ов близка к теоре-
тической по В. Г. Березанцеву.
А. С. Строганов [114—116] получил дифференциальные
уравнения плоской задачи, основанные на использовании па-
раметров грунта как нелинейно-упруговязк ой среды. В [114—
116] показано, что использование услови$. пластичности Гу-
бера—Шлейхера приводит к весьма сущее твенному увеличе-
нию предельной прочности основания:
Rn = 6i—Omtglp, (1.3)
где tg ф — коэффициент трения по октаэдр лческой площадке;
от — среднее напряжение; щ — интенсивность касательных
напряжений.
В работе дано решение задачи по определению прочности
основания [115] с подстилающим слабым слоем (р1>рг)
в неконсолидированном его состоянии.
А. К- Бугров, А. А. Зархи [12] получили решение задач
теории упругости и пластичности грунтовых оснований с по-
мощью МКЭ. Решение задач МКЭ приведено также в рабо-
тах [102, 144] и др.
Модель сплошной среды в допредельном состоянии была
принята [12] линейно деформируемой и переходящей в пре-
дельное состояние по условию текучести Кулона. В резуль-
тате расчета глинистого основания авторы пришли к заклю-
чению о том, что характер развития пластической области
под жестким шероховатым штампом (рис. 1.9, а) не отлича-
ется существенно от случая действия равномерной нагрузки
(рис. 1.9,6; 1.9, а' и б', см. гл. 8).
В теории Д. Друкера, В. Прагера [140], Р. Шильда [154]
учитывается скорость пластических деформаций. В соответст-
вии с [154] угол между направлением скоростей в зоне мак-
симально напряженной области грунта и горизонтальной по-
верхностью основания равен + -у-. Движение частиц на
поверхность грунта в зоне Ренкина может происходить под
11
Рис. 1.9
более крутым углом по сравнению с углом наклона площадок
скольжения [76]. . .
Н. А. Цытович, 3. Г. Тер-Мертиросян [128] получили за-
висимости, которые позволяют определить изменение поро-
вого давления во времени с учетом прочности связей в грун-
товом скелете, ползучести скелета и сжимаемости поровой
жидкости.
В соответствии с СН [118], вертикальная составляющая
предельной прочности основания в стабилизированном его
состоянии
Rnv=Bl(AiBy+Bxhy'+DlCi)t (1.4)
где В=В—2еВг 1=1—2er, ев, et — эксцентриситеты приложе-
ния равнодействующей всех нагрузок соответственно в на-
правлении поперечной и продольной осей фундамента; коэф-
фициенты Ль Bi, Ci, D\ определяются по формулам и графи-
кам. В [118] приведены также формулы для определения
несущей способности медленно уплотняющегося водонасы-
щенного грунта.
12
3. Основные результаты выполненных
экспериментальных исследований
предельной прочности оснований при действии
статической нагрузки
В выполненных исследованиях траектории движения ча-
стиц песка определялись с помощью фотофиксации [68, 77г
81, 82, 9], путем использования полос из цветного песка, рас-
положенных по высоте основания, филигранной бумаги, со-
вмещенной с плоскостью стеклянных стенок лотка [8, 48],
парафиновых экранов [100], вертикальных тонких свинцовых
полос [58], свинцовых шариков, фиксируемых рентгеновски-
ми лучами и др.
Опыты с фотофиксацией показали, что высота уплотнен-
ного ядра [157] равна 0,30—0,50 ширины подошвы штампа
(рис. 1.10, а).
Траектории движения частиц [77] имеют плавный харак-
тер. Они похожи на логарифмические кривые в пределах
особой зоны; далее переходят в прямые, выходящие на по-
’t р
верхность горизонтального основания под углом = — 2—
Выше поверхности подошвы заглубленного штампа Zcc>
^3______Р_
^4 2 ‘
При действии наклонной к вертикали нагрузки также об-
разуется уплотненное ядро, которое начинается на некотором
удалении от задней грани подошвы штампа. Горизонтальная
составляющая внешней нагрузки прикладывалась выше по-
дошвы штампа на 0,4 см.
В опытах [137] с использованием сыпучего модельного
материала (р=26°) оказалось, что угол при основании уплот-
ненного ядра изменяется от 35 до 60°. Его большие значения
соответствовали увеличению пригрузки на. поверхности
основания.
Из опытов, выполненных М. Ш. Минцковским [83], сле-
дует, что высота ядра уменьшается по мере увеличения плот-
ности песка; при рыхлом сложении (у=1,58 т/м3, р=30°)
угол при основании уплотненного ядра (рис. 1.10,6) практи-
чески равен 44°. Эта величина угла получена в результате
продавливания под штампом окрашенного песка в неокра-
шенный песчаный- слой [83]. Нагрузка на штамп передава-
лась в направляющих. В [83] отмечается, что трение на гра-
ницах между стенками лотка и песком искажает качествен-
ные результаты опытов.
На основе выполненных экспериментальных исследований
авторы [9] выделяют три основных случая предельного со-
стояния основания: для штампа, расположенного на поверх-
13
Рис. 1.11
ности основания, мелкого (0,5^/i/B^ 1,5 ... 2) и глубокого
заложения (1,5 ... 2^.hlB^.2 ... 4). С помощью полос из
цветного песка получено [8] уплотненное ядро, представле-
ние о . размерах и форме которого можно получить из
рис. 1.10, в.
В. Г. Березанцев [8, 9] полагает, что характер деформа-
ции связного грунта напоминает деформацию песчаной среды.
Однако в основании из глинистого грунта не наблюдалась
граница выпора; форму поверхности скольжения выявить не
удалось.
Рис. 1.13
Рис. 1.12
14
А. С. Кананян [58] получил с помощью копировальной
бумаги границы ядра (рис. 1.11,а), определил общую кар-
тину перемещений частиц песка (рис. 1.11,6) и несущую спо-
собность основания в условиях плоской задачи. На рис. 11, в
приведено очертание уплотненной зоны (ядра) и линий сколь-
жения по одному из опытов [58] при е=0, 0=10°, р=38° и
у =1,72 т/м3.
С. Е. Кагановская [47] экспериментально определила
размеры и форму упругого и уплотненного (рис. 1.12) ядра,
возникающего в основании из связного грунта при действии
на жесткий шероховатый штамп центральной вертикальной
нагрузки.
А. П. Криворотов [65] отмечает, что при действии верти-
кальной центральной нагрузки на жесткий с шероховатой
подошвой штамп в основании образуется уплотненное ядро;
его размеры близки к тем, которые теоретически получены
Н. И. Горбуновым-Посадовым [26].
X. Мус, X. Каль [147, 148] выполнили крупномасштабные
опыты по исследованию предельной прочности естественного
основания и разной плотности песка, укладываемого в ка-
меру стенда. На рис. 1.13 отчетливо зафиксированы размеры
ядра и след отделяющей поверхности скольжения в верти-
кальной плоскости симметрии, перпендикулярной большему
измерению штампа, на который действует вертикальная цен-
тральная нагрузка. В сечении ядра не возникает относитель-
ных смещений песчаных частиц; из вершины ядра начинается
криволинейный след отделяющей поверхности скольжения,
который затем переходит в прямую, образующую с горизон-
том угол — у.
В [148] приведены результаты опытов по определению
предельной прочности оснований под штампами, нагружен-
ными центральной вертикальной и наклонной к вертикали
равнодействующей внешнего давления. Грунт в основании
находился в подводном положении. Качественные результаты
опытов приведены на рис. 14, а, бив соответственно для угла
0=10°, 20° и 30° (0 — угол наклона к вертикали равнодейст-
вующей давления на штамп). На этом рисунке результаты
опытов [148] отмечены сплошными линиями, результаты рас-
четов [53] — штриховыми.
Экспериментальные исследования [89] Всесоюзного науч-
но-исследовательского института водоснабжения, канализа-
ции, гидротехнических сооружений и инженерной гидрогеоло-
гии (ВОДГЕО) показали, что действие наклонной к верти-
кали нагрузки с отрицательным эксцентриситетом вызывает
в основании призму выпора, начальная область которой за-
рождается на некотором удалении от заднего ребра подошвы
15
Рис. 1.14
штампа. При положительном эксцентриситете призма пере-
мещения начинается у заднего ребра подошвы. Размеры
призм выпора зависят от соотношения величин вертикальной
и горизонтальной составляющих нагрузки.
В [34] отмечается, что результаты опытов, выполненных
в лотках и котлованах сооружений, близки друг к другу. Это
позволяет использовать для оценки лабораторных опытов
величину и знак эксцентриситета, определяемые по опытам
[34] в котлованах сооружений (рис. 1.15). Из рисунка сле-
дует, что высота h точки приложения силы Fh (рис. 1.15, а)
над плоскостью сдвига штампа равна 12—15 см.
Величина эксцентриситета может быть определена на
основе учета значения h, касательных тп и нормальных оп
напряжений, распределенных по подошве, и угла крена 0
штампа к горизонту. При минимальном отношении тп к оп,
приведенных в [34], и 0 = 0 эксцентриситет
\e\ = ^L= 37ff5 ' = 0,073 м, (1.5)
Это значит, что качественная картина деформации грунта,
зафиксированная под подошвой штампов [34], соответствует
случаю действия нагрузки с отрицательным эксцентриситетом
(рис. 1.15,6).
В слоистом основании с гравийной постелью [61] также
возникает призма выпора, размеры которой увеличиваются
по мере роста величины нормальных оп напряжений
(рис. 1.16). Лишь при напряжении сгп = 0,0024 МПа происхо-
дит сдвиг по поверхности гравийной постели штампа, на пе-
реднюю грань которого передавалась горизонтальная сила.
17
Рис. 1.17
Рис. 1.18
На основании экспериментальных данных предложены
[34] значения Na(Norf> ) в зависимости от величины угла р
внутреннего трения грунта и его плотности у (табл. 1.2).
Деформация грунта, полученная при проведении опытов
И. Н. Щербиной [131], приведена на рис. 1.17. На этом .ри-
сунке результаты опытов отмечены линией с крестиками.
Автор исследования пришел к выводу, что характер деформа-
ции основания существенно зависит от величины и знака
эксцентриситета.
Д. М. Миловичем [82] проведены натурные опыты с ис-
пользованием основания из связного грунта (р=/=0, с=#0).
Автором этих опытов получены
Таблица 1.2
Y, т/м5 р, град ^(^кр)
1,60 26 7,0
1,65 28 6,0
1,70 30 3,5
1,75 31 2,0
1,80 32 1,0
та с учетом приведенного
графики зависимости между
напряжениями и осадкой. На
кривых графиков можно фик-
сировать точку, которая соот-
ветствует предельному или
близкому к нему состоянию
связного грунта в основании.
Экспериментальные иссле-
дования с разрезными штампа-
ми показали [115] совпадение
результатов опытов и расче-
угла внутреннего трения грунта р;
, — , — 2 sin р
tgP = tgq> = yf -
' 1 — -у Sin р
(1.6)
т. е. прочность основания
увеличивается более чем
в пять раз по сравнению
с той, которая получает-
ся по условию пластич-
ности Мора. Предельная
прочность основания при
одинаковых перемеще-
ниях секций разрезного
штампа будет равна
прочности грунта под
жестким штампом, имею-
щим эквивалентные раз-
меры и перемещения. Од-
новременно с этим сле-
дует отметить, что ре-
зультаты расчетов суще-
ственно меньше данных
R
19
опытов (рис. 1.18) [135]. В некоторых опытах внешнее дав-
ление на штамп передавалось в направляющих [8, 157, 137,
82]. Это приводило к тому, что ядро естественной формы
и размеров разрушалось (рис. 1.19) дополнительными на-
пряжениями, возникающими от включения в работу новой
зоны грунта, например dbc, находящейся вне начальной по-
верхности скольжения.
4. Методы определения предельной
прочности оснований при действии
динамической нагрузки
Деформации, которые могут возникать в грунтах, зависят
в основном от их физических свойств и характера динамиче-
ского воздействия. Например, из исследований, выполненных
Д. Д. Барканом [3], следует, что величина коэффициента
внутреннего трения песка зависит от ускорения при колеба-
ниях.
О. Я. Шехтер [132] на основе рассмотрения решений кон-
тактных задач для круговых плит (фундаментов) на упругом
полупространстве под воздействием периодической осесим-
метричной нагрузки пришла к выводу, что эпюра реактивных
давлений по форме получается близкой к статической.
Деформативные свойства грунтов учитываются различ-
ными зависимостями о—8 между напряжениями и деформа-
циями (рис. 1.20): линейной [106] (штрихпунктирная линия),
криволинейной [ПО] (сплошная), реологической моделью
Прандтля (штриховая линия) и др. В [106] принято, что воз-
никают колебания только той грунтовой призмы, на поверх-
ности которой действует динамическая нагрузка. Инерцион-
ные свойства такой призмы учитываются [106] величиной
приведенной массы.
Динамические перемещения стенки, расположенной на
поверхности или частично заглубленной в основание,
Н. К. Снитко [Ю6] находит на основе использования обоб-
щенной линейной зависимости о—Д. Нелинейную зависимость
между сопротивлением грунта и смещением сооружения
Г. И. Глушков [21] заменяет также линейной обобщенной
связью между напряжениями о и деформацией основания Д.
В предельном состоянии учитывается образование в грун-
те клина обрушения и клина выпирания [106, 21] и др.
Г. А. Гениев считает, что в задачах о предельном равновесии
сыпучей среды в основном всегда можно выделить семейство
линий скольжения, в направлении которого развиваются мак-
симальные деформации сдвига. В [16, 17] получен вывод и
дан анализ дифференциальных уравнений динамики грунто-
20
Рис. 1.21
вых сред, рассмотрены задачи об одностороннем выпирании
грунта под нагрузкой без учета инерционных членов в урав-
нениях движения и др.
Н. Н. Маслов [79] полагает, что наиболее приемлемой
является круглоцилиндрическая форма отделяющей поверх-
ности скольжения, когда основание подвергается действию
колебательных движений, возникающих, например, во время
землетрясения.
Ш. Окамото [81] пришел к заключению, что в условиях
сейсмики зона предельного равновесия ограничивается по-
верхностью ADEC (рис. 1.21); углы при основании уплотнен-
ного ядра:
б = р + ₽с; а = р—₽с. (1.7)
Из вершины ядра начинается криволинейный участок по-
верхности, касательная к которой в точке D параллельна
направлению линии действия равнодействующей внешней на-
грузки. Величина углов а и б изменяется в зависимости от
силы землетрясения [81]. Из формул (1.7) следует, что при
рс = О величина угла 6 = а=р, т. е. в качестве исходной при-
нята расчетная схема, предложенная К. Терцаги [120].
Т. Татеиси [81] считает возможным использовать кругло-
цилиндрическую форму отделяющей поверхности в слое гли-
ны при наклонном на фундамент-давлении во время земле-
трясения.
В целом Ш. Окамото [81] полагает, что расчетные схемы
с круглоцилиндрической поверхностью скольжения и схема,
приведенная на рис. 1.21, требуют усовершенствования и раз-
вития.
В СНиП [119] расчет предельной прочности оснований
в сейсмических районах рекомендуется выполнять на дейст-
вие, как правило, только вертикальной составляющей на-
грузки, передаваемой фундаментом на грунт. Прочность
основания определяется с уменьшенным значением угла р
внутреннего трения грунта в зависимости от балльности зем-
летрясения. Горизонтальная составляющая нагрузки учиты-
21
вается лишь при проверках зданий на сдвиг и опрокидыва-
ние. В статье [113] приведен пример, поясняющий приме-
нение формулы [119] для расчета фундаментов при действии
сейсмики.
Действие кратковременных динамических нагрузок не из-
меняет состава грунта (минеральных частиц, воды и газа)
в единице объема. Для водонасыщенных и неводонасыщенных
грунтов диаграммы сжатия о=о(е) имеют эффекты нелиней-
ности, определяющие скорости распространения сильных
ударных волн [75].
Тейлор [155] рассмотрел распространение одномерных
плоских волн в грунте; уравнения волнового движения замы-
кались связью плотности р(сТ1) и нормального осевого дав-
ления (Уь
Б. А. Олисов предложил аппроксимировать диаграмму
о=о (е) ломаной линией, состоящей из двух отрезков, соот-
ветствующих упругим и пластическим состояниям грунта.
Расчетные модели для грунтов приведены в [75] и др. В этих
случаях могут быть оправданными модели затвердевших сред.
Жестко затвердевшую пространственную модель предложил
Прагер [95] при определении критического значения дав-
ления.
X. А. Рахматулин [99] и другие использовали модель
грунта в виде пластического газа; в деформационной модели
[2] приняты конечные связи для объемных и сдвиговых де-
формаций.
Имеются [64] приборы, позволяющие фиксировать нагру-
зочную и разгрузочную ветви диаграммы объемного сжатия.
Данные о компонентах напряжений для плоских, сферических
и цилиндрических волн с учетом напряжений oi и <Тп, опре-
деляемых с помощью приборов, позволили [28] получить
условие пластичности типа Мизеса—Шлейхера:
Г=£о+Ь, (1.8)
где Т — величина, пропорциональная интенсивности касатель-
ных напряжений; для плоских волн T=y2(<ri—оц), для ци-
линдрических волн 7’=y(oi—оц)2+ (он—<тш)2+ (бш—<ti)2;
k и b — постоянные для вида грунта, находятся на основе
обобщения экспериментальных данных.
По исследованиях [45] грунт в предельном состоянии опи-
сывается моделью С. С. Григоряна [28]. В серии работ
Г. М. Ломидзе, И. Н. Иващенко, А. Л. Крыжановского [73,
74] на основе опытов о сложном деформировании грунтов
строятся конечные связи между инвариантами тензоров на-
пряжений и деформаций.
22
В [144] отмечается, что для грунтов при нагружении бо-
лее существенной является составляющая, определяемая
средним давлением, и анализируются напряжения и смеще-
ния с использованием зависимости модуля [3] продольной
упругости £=Е0(14-₽р)-
Исследования Г. А. Гениева [17] и других посвящены раз-
витию деформационной теории пластичности грунтовых сред
с учетом нелинейных связей и условий дилатансии.
В. Н. Николаевский [88] использует в качестве условия
текучести — условие Кулона или условие текучести Мизеса-
Шлейхера; условие дилатансии является кинематических
ограничением для компонент скоростей деформаций.
5. Экспериментальное определение предельной
прочности оснований
в условиях динамики
На основе выполненных опытов- [81] установлено, что
предельная прочность основания уменьшается в условиях
действия сейсмики; в грунте образуется призма выпора, раз-
меры и форма которой приведены на рис. 1.21. Г. П. Чебота-
рев [156] отмечает, что уменьшение предельной прочности
основания происходит линейно с возрастанием ускорения
колебаний.
И. Н. Щербина [131] выполнил экспериментальное изуче-
ние длительного действия вибрационной нагрузки на предель-
ную прочность песчаного основания. В результате оказалось,
что при колебаниях с ускорением Ц7 = 0,01g прочность осно-
вания уменьшается; грунт в таких случаях имел рыхлое
сложение.
В. П. Карпенко [60] исследовал предельную прочность
песчаного основания при действии на грунт горизонтальных
колебаний, создаваемых вибратором направленного действия.
Ширина подошвы равнялась 0,1 и 0,2 м. На штампы переда-
вались центральная и эксцентричная нагрузки через шарик
с помощью штока, вертикальность перемещений которого до-
стигалась применением специальных направляющих. В [60]
отмечается, что качественная картина разрушения основания
при колебаниях грунта аналогична статической, но предель-
ная нагрузка является убывающей функцией ускорения коле-
баний. «При внецентренном нагружении потеря устойчивости
основания происходит в сторону, противоположную эксцен-
триситету независимо от динамического воздействия».
Здесь отметим, что создание колебаний грунта с помощью
направленного действия вибратора, опущенного в основание
штампа, на который ступенями передается внешняя нагруз-
23
ка, — процесс длительный, он не модулирует кратковремен-
ность возмущения основания в условиях сейсмики. Действие
же на основание штампа одной, вертикальной, составляющей
внешней нагрузки в направляющих — отсутствует при сейсме
[81, 52] и др.
6. Определение параметров прочности
грунта
Расчетная величина предельной прочности основания су-
щественно зависит от правильной оценки угла р внутреннего
трения грунта и сцепления с [39, 43, 73, 74, 78, 86, 102, 113,
114, 115, 127].
Параметры рис определяются в настоящее время на при-
борах в лаборатории, в полевых и натурных условиях, напри-
мер на основе сдвига штампов в лотках и котлованах соору-
жений. Для штампов, нагруженных вертикальной централь-
ной нагрузкой определяется [34, 36] предельная
горизонтальная сила Fh, при которой возникает площадка
текучести на графике сдвига. В результате построения гра-
, Fh N ,л
фика в координатах т= —р, о=-^- И — площадь подошвы
штампа) находятся значения р и с. В этом случае предпола-
гается, что происходит сдвиг штампа по поверхности грунта.
На основе выполненных опытов, как отмечается в [36], реко-
мендуется использовать следующие значения параметров
прочности грунта: с'=0,0; p,=26°30z (tgp = 0,5).
Получим значения р" и с" по данным опытов [36] с дове-
рительной вероятностью р=95°/о, доверительным интервалом
а, вычисленным с учетом коэффициента Стьюдента, при вы-
равнивании по прямой T=aio+a2, в которой коэффициенты
си и аг находятся [44] из уравнений метода наименьших
квадратов:.
«1 Е Oi2 + a2 Е (Уг= £ ТгОг; «I Е ОГг + а2П= Е T;s (1.9)
t = ) 4—1 i—1 Z’=l 4=1
В результате выполненных расчетов оказалось, что р" =
= ЗГ50', с"— 0,01 МПа. Значения расчетных величин опреде-
лялись по следующим формулам [44]:
п п
’ = а = с^-- z = z-a; а? = 2(т<-т)2’
(1.10)
где сап — коэффициент Стьюдента.
24
Рис. 1.22 Рис. 1.23
Данные опытов [34, 36] соответствуют действию нагрузки
на штамп с отрицательным эксцентриситетом (см. рис. 1.15).
Результаты расчетов предельной прочности оснований с уче-
том величины и знака эксцентриситета, параметров р"=р,
с"=с удовлетворительно согласуются с данными опытов [35]
и др. Следовательно, угол р,(Др=р"—р=5°20') не является
углом внутреннего трения грунта; он равен углу р наклона
к вертикали равнодействующей R внешнего давления на
штамп (р' = р) в момент предельного состояния основания,
когда в основании образуется призма выпора. Доказательст-
вом того, что угол р' = р, служат и другие опыты, выполнен-
ные [34—37] сотрудниками отдела механики грунтов ВНИИГ
им. Б. Е. Веденеева.
В существующих стабилометрах используются для испы-
таний образцы грунта в форме куба [73, 74], цилиндра [ЮЗ]
и пр. Их торцы или грани жестко связываются с каркасом
прибора. Это приводит, во-первых, к тому, что возникающие
в образце [73, 74] поверхности скольжения пронизывают
друг друга (рис. 1.22) и тем самым искажают расчетное на-
пряженное состояние грунта. Во-вторых, возникает искаже-
ние напряженного состояния образца, торцы которого жестко
связаны с каркасом прибора. В стабилометре [54] с шари-
ковой обоймой разрушение рыхлых и плотных образцов про-
исходит по наклонной к вертикали поверхности скольжения,
соответствующей разрушению в предельном состоянии естест-
венных оснований.
Из решения дифференциального уравнения [8] для вто-
рого семейства поверхностей скольжения получим величину
предельной прочности песчаного образца (oii=oin<oi)
7?р ==-^-7r/*o [1 — sinpsin(23 4-р)12^ +
Г D' - a) tg о 1
+ L(^o — k.)e k2 + М\, (1.11)
где г0 — радиус образца;
25
h 1СЪ с ~ BD \ л г,
°о — ап, k0 — £ s0 —j; % = y;
м = “ а) в^~~] w, D = D' tg p.
Ct В — определяются по графику (рис. 1.23).
Прочность образца с учетом сцепления
R—Rp+Rc-
Величина предельной прочности образца при скалывании
ядра [50]
к/2 _ __
/? = 2yA/?jSint; Гц-------------1 (1.12)
где
&Ri Гн.рг cos р [ (ai+2a2i) (ТЛ2г + (2ai+a2i) <тон];
fli=O,262ro; (hi=0,262 (r0—n); ?=-£- + y-
при отклонении радиальных вертикальных сечений образца
друг от друга на 15°;
= Гн.рг COS £; ®ал~~^в%пг~\~Ч?пг>
Гн.рг — начальный расчетный радиус особой зоны; аПг, Tni—
нормальная и касательная составляющие напряжения в f-й
точке грунта; напряжения могут быть определены по фор-
мулам точного и приближенного решений (см. гл. 2—4).
Из сравнения угла р, полученного на предлагаемом ста-
билометре, с результатами расчетов следует, что угол внут-
реннего трения по Мору <р=р.
Предельная величина сопротивления образца при пара-
метре Лоде т]= +1,0:
^?п =“з" кго [2°£(а)а2(0)], (1.13)
тде
^>=-тт^-2’‘,е₽; c=v--t:
^=-Г+7П7Ге-Л—^-2Ctgp + -5^r;
Во = |р"Sp)-X = 2tgptgC.
26
Из сравнения результатов расчетов и опытов следует, что
величина угла р внутреннего трения грунта, определенная по
условию прочности Ренкина—Мора при осевом сжатии (т] =
= — 1), соответствует случаю, когда деформация образца на-
правлена (т] = + 1) к продольной оси симметрии (oi = crn).
Увеличение же сопротивления грунта при деформации, на-
правленной к оси симметрии образца, учитывается непосред-
ственно расчетными формулами. Экспериментально не под-
тверждается необходимость увеличения угла внутреннего тре-
ния грунта по Мору за счет параметров X и У [78] или при-
веденного угла внутреннего трения [115]. Данные расчета,
полученные на основе использования параметров прочности
грунта по Мору, совпадают с результатами эксперименталь-
ных исследований, выполненных в лаборатории, в полигонных
и натурных условиях (см. гл. 8).
Деформации образца целесообразно определять с исполь-
зованием оптической системы измерений [125].
В реальных условиях поверхность скольжения — это целая
зона грунта, условно называемая поверхностью скольжения,
в пределах которой происходит вращение одних частиц, сме-
щение по контактам у других и т. д. Следовательно, поверх-
ность скольжения не «пересекает частицы грунта» [70].
При сейсме вращение (смещение) частиц будет большим.
Это обусловливает в итоге уменьшение сопротивления грунтов
сдвигу при колебаниях. Этот результат подтверждается экс-
периментальными исследованиями, выполненными И. А. Сав-
ченко под руководством Д. Д. Баркана, Н. А. Преображен-
ской, И. А. Савченко [97], Т. Могами, Ш. Окамото [81],
В. А. Ершовым, Се-Дин-И [39], Н. Н. Ермолаевым [38],
И. Н. Щербиной [131] и др. Точный теоретический учет фак-
торов, определяющих снижение параметров прочности грунта
при вибрации, в литературе отсутствует; определение их
в условиях динамики может быть выполнено эксперимен-
тально.
Из краткого обзора известных теоретических, эксперимен-
тальных исследований, посвященных проблеме предельной
прочности оснований, следует, что:
I. В литературе не имеется теоретических решений прост-
ранственной задачи по определению предельной прочности
оснований, когда эксцентриситет е или угол р наклона к вер-
тикали равнодействующей 7? внешнего давления на штамп не
равны нулю (gii^Qiii, oii=/=ai). В работе [108] получены
лишь дифференциальные уравнения трехмерных задач для
условий: ctii = cti или а» = ащ.
2. Методы, включенные в нормативную и справочную ли-
тературу [117—119], [78], разработаны на различных идеях
и предпосылках и по существу различны (см. рис. 1.1—1.9).
27
Это приводит к значительным расхождениям в окончательных
результатах расчета предельной прочности оснований в усло-
виях пространственной и плоской задач (см. гл. 8). В целом
результаты расчета оказываются меньшими по сравнению
с данными экспериментальных исследований. Следовательно,
расчетные методы определения предельной прочности осно-
ваний имеют внутренний запас, подлежащий дальнейшему
исследованию.
3. Качественные и количественные закономерности, на-
блюдаемые при выполнении экспериментальных исследова-
ний, существенно различны для одного и того же варианта
равнодействующей внешнего давления на штамп (см.
рис. 1.8, 1.10—1.13, 1.14, 1.17) и поэтому подлежат дальней-
шему изучению.
4. Учет криволинейности графика сдвига, с одной стороны,
приводит [6] к сближению результатов расчета и опытов
(табл. 1.1), с другой — возникает резкое расхождение (до
14 раз) результатов исследований, полученных с использова-
нием нелинейной и линейной теорий расчета предельной проч-
ности оснований.
Такое расхождение результатов не представляется воз-
можным для штампов весьма малых размеров (d0=5 см),
расположенных на поверхности оснований.
5. Отсутствует в литературе и единое мнение по определе-
нию параметров прочности грунта. Из множества предложен-
ных условий прочности следует использовать для определе-
ния параметров грунта рис условие пластичности Мора [69,
67] и др.
6. Расчет по методу конечных элементов (МКЭ) напря-
женно-деформированного состояния (НДС) глинистого осно-
вания [12] дает практически одинаковые результаты (см.
рис. 1.9, а и б) под жестким и гибким штампами. Это несоот-
ветствие получилось, по-видимому, и потому, что не имеется
еще в литературе достоверных данных о НДС грунтов
(рис. 1.22), которые можно было бы использовать в расчетах
по МКЭ.
Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
ГРУНТОВОЙ СРЕДЫ
1. Условия предельного равновесия
Действие внешней нагрузки на основание может вызвать
предельное состояние грунта. В этом состоянии на элементар-
на
ной площадке скольжения предельное значение касательного
напряжения
|тп| =ontgp+C. (2.1)
Выражение (2.1) принято записывать [109, 23] в следую-
щей форме:
тах{|тп|—antgp} = C;
для идеально связного грунта
тах|тп| =С:
(2.2)
Если грунт находится в предельно напряженном состоя-
нии, то через каждую точку в таком грунте проходят две пло-
щадки скольжения, пересекающиеся под углом ----р; в иде-
ально связном грунте — под углом . Элементарные пло-
щадки образуют поверхности скольжения в основании, нахо-
дящемся в предельно напряженном состоянии [109, 23].
. В основании ' образуется односторонняя призма выпора
(рис. 2.1, а) при действии наклонной к вертикали нагрузки.
Касательные напряжения достигают предельного значения
в точках на поверхности скольжения. Из рассмотрения равно-
весия элементарной призмы Z), выделенной в призме выпора
(рис. 2.1,б и в), получим:
(стг tg С ctg ф + ctg ф + тг6) cos p cos C cos ф
cos p cos ф sin C + sin p cos Z
— (•% + Te,tgC)ctg<p;
(2.3)
29
(ar tg ~ -г \z + Tr6 tg <P) (cos p cos \ cos — sin p sin ')
°z cos p cos ф sin C + sin p cos Z
— •'«tgt —'zetg't’- (2-3'>
График зависимости между касательными тп и нормаль-
ными оп напряжениями может иметь незначительную кри-
визну. Указанное положение позволяет при решении приклад-
ных задач заменить данную пологую кривую прямой. Для
этого случая получены следующие выражения напряжений
[109, 23].
Иг=о (1 + sin р cos 2<р) — k, oz=o (1—sin р cos 2<р) — k\
Trz=osinpsin2(p, o= (oi—Ош)/2 sin p, &=cctgp. (2.4)
Главные напряжения с черточкой (cri, ош) принято [109,
23] называть приведенными, без черточки (оь оП1) — дейст-
вительными;
Ol = ni + ^, (Tiii = (Tiii + &.
Подставив напряжения (2.4) в формулу (2.3), получим
[53]:
ое=4- [1 - 4£гcos <26 +?)] - ctg * ~ 4 - <2-5i
где
•4=1 + tg р ctg С sec ф, C = -С—J-+4’
д-tgc- 2=ф+с
В направлении перпендикуляра к радиальному сечению,
отклоняющемуся от плоскости симметрии призмы выпора на.
угол 0, площадок скольжения не возникает и, следовательно,
в этом направлении семейство поверхностей скольжения не
образуется (рис. 2.1,а). Касательные напряжения тг0, tz0 бу-
дут оказывать влияние на предельную прочность основания
своими допредельными значениями.
В общем случае не получена, как известно, связь между
напряжениями и деформациями грунта в момент предельного
его состояния. Построим в связи с этим приближенные выра-
жения для тг0, т2е [53]. Максимальное касательное напряже-
ние в данной точке грунта в момент до наступления [4] пре-
дельного пластического состояния
ттах = —-9 --- — -j У(31 ~ <*11 )2 + (°П ~ ^ш)2 + (^Ц — О])2
(2.61
30
В формуле для тге будем использовать величину (ш—
—ош)/2. С увеличением угла ф увеличивается значение тге;
оно достигает максимума при 0=-у- (ф=фтах). Если ф=0, то
тГ0 = О. Из изложенных соображений можно принять, что
м = 2SinpIH sin р sin ф cos 2<р=о sin р sin ф cos 2<р. (2.7)
Подставив в формулу (2.3) выражения для напряжений ог,
Trz, Тге, получим
a Sin Р Sin I [-Щ- + ctg С sin 2<f) - асоД5|пр +
+ ( Лсовф---я)cos2<pj = а sin Р sin <р sin 2<р, (2.8)
где
1 t 1 i u-j О 1
A cos ф ® ' * A cos ф ~ ’ A cos ф sin р
__ °е_________1_
' ' a cos ф sin р
при изменении угла ф в пределах 0^ф^35°. Формулы (2.7),
(2.8) с учетом отклонения радиального сечения на угол 0 от
вертикальной плоскости симметрии призмы выпора
тГ0~ о sin р sin ф cos 2<р sin 0;
TZ0~osin р sin ф sin 2<р sin 0. (2.9)
Учитывая инвариантные характеристики напряженного
состояния: среднее напряжение от, интенсивность напряжен-
ного состояния о/, параметр 0а— угол между стороной равно-
стороннего треугольника, построенного на разности главных
напряжений oi—Ош, и линией — направлением ог-, получим
[104] главные напряжения в следующем виде:
2 о ,
Oi--3- О/ COS p<r+ От,
Он = COS (60°—0а) + От; (2.10)
2
Ош =----з~О/ cos(60°— Ра) +от.
из выражений (2.10) следует, что
on#=Oi; oii=/=oin. (2.11)
следовательно, действие наклонной или эксцентрической на-
рузки на жесткий штамп в условиях пространственной за-
31
дачи вызывает в основании образование «неполного» предель-
ного равновесия, т. е. огибающая кругов напряжений может
касаться большего из них.
2. Дифференциальные уравнения
неполного предельного равновесия
грунтовой среды
Состояние движущейся грунтовой среды для пространст-
венной задачи описывается [54] следующей системой урав-
нений:
D 1 ( даг I 1 дтга , dxrz . ar~ae \ диг
* Pl \ dr + г дЬ и дг ' г ) dt 1
+ 7ir (<‘7’) + ^Uz —
1 /
Pi \ dr
1 , daz ) тгг \ duz
г дв ‘ dz ‘ г ' dt
4- ("7") + (“гИв — шв«г);
6 —
I / Лгг 1 *в Лвг 2т,в \ диь
Pi \ дг г дО ' дг г J dt
+ "эг(“зг)+ «а);
шах{|тп|—antgp} = C;
dPl . ( ur . диг , 1 диЧ , duz \ Л
— t pi (— -г —+т->- -г -gr)= °;
/ диг диг \ / диг диг \
2irz __ \ дг dr ) ~ \ dr дг / ^ ₽
ar — ~ / диг диг \ / диг ди2 \
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Конвективными членами в уравнениях (2J2), записанных
в переменных Эйлера с правой частью в форме Громеко
можно пренебречь в связи с малыми изменениями формы на-
груженного грунта в момент предельного состояния основа-
ния. Уравнение (2.13) является условием предельного равно-
весия грунта по Мору, а уравнение (2.14) представляет собой
условие сплошности сжимаемой среды. Уравнение (2.15)
определяет условие совпадения направления максимальной
скорости деформаций сдвига в фиксированном сечении приз-
мы выпора со следом второго семейства поверхности сколь-
жения. Подобное уравнение использовалось ранее [17]. Мас-
совая ПЛОТНОСТЬ Грунта Р1=р1(0тп).
32
Для определения шести компонентов напряжений и трех
проекций вектора скорости имеются уравнения (2.12) — (2.15)
и должны быть использованы уравнения переноса (баланса)
массы, импульса, энергии. Величина pi находится экспери-
ментально.
По известным эпюрам на поверхности граничных условий
определяются аналитически (графически) скорости, ускоре-
ния в узлах сетки поверхностей скольжения, в зонах частей
призмы выпора (см. гл. 5). Это дополняет недостающие урав-
нения для определения неизвестных, входящих в выражения
(2.12)—(2.15).
Выражения (2.4), (2.5), (2.9) для составляющих напря-
жения в данной точке радиального сечения учитывают усло-
вия неполного предельного равновесия. Подставив эти выра-
жения для напряжений в уравнения (2.12) в цилиндрической
координатной системе и выполнив преобразования, получим
дифференциальные уравнения неполного предельного равно-
весия для фиксированного радиального сечения призмы вы-
пора:
-^- + 2otgp-£- + -r((1~4-)^+slnpsin <28 + р)1-^7 +
+ cos (28 + р) |-i- ctg С — tg (р + 8) 11| cos (8 + p) tg P +
+ sin 6 cos ф Со'Ур~~ [sin № + p) & ~ cos (2S + p)] [cos 8 —
—sin p sin (6+p) ] + -£- cos 0 sin ф sin p[sin (26+p) (cos 6—
—sin 6 tg p—cos (26 -Ьр) (sin 6+cos 6 tg p) ] = ;
-at--2’tgPW + v((1-^)fz + SinpSln(28 + ₽>1^ +
+ cos (28 4- p) ctg C + ctg 81| sin 8 tg p +
+ ““• cos Ф sin 0 tg p sin 6[B sin (26 + p)—cos(26 + p)] +
+ sin ф cos 0 tg p[sin 6 sin (26+p) +cos 6 cos (26+p) ] =
__(2.16>
cos p dxx ’
где Si и 3г — длина следа первого и второго семейств поверх-
ностей скольжения в радиальном сечении; Xi и Хг оси> nePj
пендикулярные касательным Si и 5г к следам поверхностей
33
скольжения, пересекающимся в данной точке (рис. 2.2,а);
Х=1----; U\ — потенциал объемных (массовых) сил;
—!---^Э- = —!—[Acos(8 + p) + fi,sin(8 + p)],
COS р дХ-2 COS Р 1 1 ' 1 г/ 1 V г/17
_= _[Л, Sin 8 - Вг cos 8];
cos р дхт cos р 1 1 1 J
Равнодействующая объемных (массовых) сил у< в i-й
точке призмы выпора (рис. 2.2,6) в данный момент времени
[52, 53] слагается из объемного веса грунта у, напряжений
oxi, oZi, возникающих при распространении сейсмических
волн, переносной силы инерции /Пг, относительной силы инер-
ции Joi, гидродинамического порового давления Dit скорост-
ного напора Jui и др.
Направления скоростей движения частиц грунта совпа-
дают с направлениями касательных к следам поверхностей
скольжения второго семейства в рассматриваемых точках
призмы [16, 49]. Призма выпора разделяется на части-потоки
следами второго семейства поверхностей скольжения и верти-
кальными сечениями, отклоняющимися от плоскости симмет-
рии на угол 0г- (рис. 2.1,а). Это позволяет определить изме-
нение, например, эпюры скоростей, заданной на линии гра-
ничных условий, применяя условие неразрывности движения.
34
3. Интегрирование дифференциальных уравнений
неполного предельного равновесия
грунтовой среды
Заменив частные производные в (2.16) разностными отно-
шениями и умножив первое уравнение на Д5ь второе — на
Д52, получим:
ao4-2ctgp Д8 4- — Jrj[x + slnpsin(28 + p)]-jjjj +
+ COS
(2г+р) [4 ctg —tg <8+р)]}
cos(8 + p)tgp -f-
+ {sin 0 cos ф [5 sin (28 + Р) - cos (28 4- р); (cos 8 -
—sin р sin (6+р) ] + sin р sin ф cos 0 [sin (26+p) (cos 6—
—sin 6 tgp)—Cos(2d+p) (sin6 + cos 6tgp)])j = t/iASi; (2.17)
До - 2a Ig p д g + f(|1 _ * \ [z 4- sin P sin (28 4- p)] 4-
4- cos (28 4- p) {4 ctgC 4- Ctg 8 sin 8 tg P 4- Sin 6 cos ф sin 8 X
X tg p [B sin (264- p) —cos (264- p) ] 4- cos 6 sin ip tg p X
X (sin (26 4- p) sin 6 4- cos (26+p) cos 6] |= C'2AS2.
Проинтегрировав первое уравнение (2.17) по малому уча-
стку A„S1=/nhmA+1 (рис. 2.3, а) заданного следа кривой
скольжения, будем иметь:
тЛ+1 m«+l "V1 „ ( )
°*+i —°s + 2tgp j ad8= J UxdSx— j —{ (2-18)
mk mk т,г
Рис. 2.3
35
где
J -£-( JdS,J-^H-Jlfl-^fx+sinpsin^ + pMx
mk v ' ( r^+1 (l\ /
X ^IK7 + cos <28л+1 + p) ["T dtg C ~tg (8*+1 + p)]} fg p +
+ sine cos ф [sin (26ft+i+p) B—cos (26ft+1+p) ] [cos d—
—sin p sin (6 + p) ] + sin p sin ф cos 0[sin (26ft+I+p) (cos dft+i—
I \
—sin 6ft+I tg p) —cos (2dfe+i +p) (sin 6ft+i + cos 6ft+I tg p) ] < +
+ (((1 -t) [x+s,n p sin <28*+p)J +
+ cos (28, + p) [4- cig C - tg (8, + p)] | cos (8, + p) tg p +
+ s*n ® cos4>[s*n (2бл4-р)£?—cos(26fe+p)}[cos 6k—
—sin p sin (6 + p)] + sin p sin ф cos 0[sin(26ft+
+p) (cos 6k—sin Mgp)—cos(26fe+p) (sin6fc+
+ COSOfttgp] .
Из выражений (2.18) найдем, что
°,t] = g*_L^lgp^2i£3-5 + pI(,+1) + t/lft| X
i + ea tg p + a2 + a4 + a6
X-----------Ur _ , (2.19)
1 + ek tg p + «2 + a4 + a6
где
= -W- ((1 - 4) I x+ sin P sin (28, + ₽)1 -JL- +
+ cos (28, + р) [Ц- ctg C - tg (8* + P)]| cos (8, + p) tg p;
^=^{(1-^^Iz+slnps,n(28-1+p),-^r+
+ cos (28,+1 + p) [-J- ctgC - tg (8,+1 -j- p) J| cos (8,+I + P) tg p;
“з = ^7- [^sIn 9 cos Ф [Sin (28, + p) В -
36
—cos (26fe+ p) ] [cos 6ft—sin p sin (6a+p) ] |;
«4 - 4^7 {"^7 sin e cos Ф [ si n (2«л+, + p) В -
—cos (26k+i + p) ] [cos 6ft+i—sin p sin (6A+i+p) ]};
д2^1- {sin p sin -ф cos 0[sin (26&+p) (cos бл—sin бл tg p)
—cos (26fe+p) (sin 6ft + cos 6ft tg p) ]};
76 = ~ {sin p sin -ф cos 0[sin(26fe+i + p) (cos 6*+i—
—sin 6fe+i tg p) —cos (26ft+i + p) (sin 6ft+i + cos 6ft+i tg p) ]}.
Обозначим
oi + a3+a5 + efe tg p = ai, (2.20)
аг+сц+аб+ел tg p = O2- (2-21)
Тогда уравнение (2.19) с учетом (2.20) и (2.21):
I U, (m) + Utk] е~\ (2.22)
Для следа поверхности второго семейства (рис. 2.3,6)
пя+1 = V’ ,?'+'W + [I/. (<>+» + (2.23)
где
Р1 = ₽1 + ₽з+ ₽б + Sn tg р,
₽2=р2+р4+рб+еп tg р,
ft = ((1 - 4г) [X + si n р sin (28„ + р) I +
+ cos (28„ + Р) (-1- ctg С + ctg 8„ )| sin 8„ tg р;
" 2^Г ((1 - [Z + 8'П Р Si" (28"« + ₽)' -ir +
+ cos (2&я+1 + р) Ctg С + ctg 8я+1 j| sin 8я+1 tg р;
83 = {tg р sin 0 cos ip sin 6n [sin (2бп + p) В—
—cos(26n + p)]};
₽4 = 2гпД~ {tg P Sin 0 C0S Ф Sin 6n+! tsin (2^n+l + p) B—
37
Рис. 2.4
Рис. 2.5
—cos(26n+i + p)]};
р = {cos 0 sin ф tg p[sin bn Sin (2bn + p) +
zrn
4- cos bn cos (2bn + p) ]};
p6 = -^2 {cos 0 sin ф tg p [sin 6n+i sin(26n+i + p) X
X cos dn+i cos (2bn+i + p) ]}.
Формулы (2.22), (2.23) позволяют определить средние на-
пряжения на кривых скольжения, дифференциальные урав-
нения которых [108, 23] приведены ниже:
-^-=tg(? + Q; -^- = tg(<P-Q. (2.24>
Среднее давление в точке и ее координаты определяются по
упомянутым формулам на основе конкретных операций, кото-
рые, следуя С. С. Голушкевичу [23], будем называть элемен-
тарными.
Первая элементарная задача состоит в том, что по задан-
ным значениям среднего давления и о2 в близких точках
Ki и К2 (рис. 2.4) и направлениям пересекающихся в них
следов элементарных площадок скольжения определяются
среднее давление о3 и положение точки Кз" пересечения
следов кривых скольжения. При движении по первому сле-
ду— по кривой скольжения от точки Ki в сторону точки Кз"
в соответствии с выражением (2.22) среднее напряжение
q31 = (jje—[2(4>3-q>i)tg p-ai-a2] -J-g31e—[(<₽3-<Pi)tg p+a2], (2.25) <
38
где
£з1= 2’ [^Лз--С/п], ai = ai + a3+a5, a2=a2+ai+a6.
При движении по второму следу —по кривой из (2.23) — по-
лучим:
СУ32 = О2в2<*»-’№ P-0r-p2-|_g32e(4Pa-t2)tg р-₽2, (2.26)
где
S32-— 2~ [^32 U22], pl = Р1 + Рз + ₽5» Р2 = Р2 4-Р4+Рб,
где 0з2 —среднее давление в точке К3, лежащей на кривой S2.
Значение давлений g3i, g32 находится по величине и на-
правлению равнодействующей массовых сил у, (рис. 2.2,6).
Вычисление их может быть выполнено по формулам:
_ Z>i sin (р + 7) - sin (р + ъ) ~
631 COS (р + а 3) ‘3. 531 cos ,р т a j Тз»
t - - (2.27)
_ о2 sin (р + ?2) - _ sin (р + 7з) -
^32 cos (р ± а13) ‘3> 632 cos (р ± ат3) Ь,
Где
61= У(2з—Z1)2+ (Гз—и)2; Ti = arctg ;
62= V(z3—21)2+(г3—r2)2; у2=а г ctg ~~ J2 ;
*2 '3
'Уз — величина равнодействующего вектора массовых сил» дей-
ствующих в данный момент времени t в точке Кз" радиаль-
ного сечения, отклоняющегося от плоскости симметрии на
угол 0. Верхние знаки в формулах (2.27) соответствуют пово-
роту вектора у3 по ходу часовой стрелки относительно точки
Я3" (рис. 2.4); нижние — против хода стрелки.
Если вектор у3 имеет вертикальное положение, то
£з1=7з [2з—21+ (гз—H)fg р],
^32 = Тз[2з—22+ (г2—r3)tgp]. (2.28)
В минимально напряженной области грунта вместо фор-
мул (2.27) будут соответственно выражения:
_ bj sin(7-P) - - t
COS(P±-«T) Tf” 71 arctg rt~rt ’
39
g31 = sin (Yi—p) Уз : cos (av± p);
(2.29)
= ^2 Sin fo-p) - - .
*32 COS(pTaT) ^2 r2-r3 *
g32 = sin (72—p)ys : cos (pTcty).
Из выражений (2.25) и (2.26) без учета влияния массовых
сил и параметров <ц, аг, Рь Рг на величину <т3 получим
tf3=Vcria2e(<₽'_<₽2), (2.30)
?3 = 4(?1 + v2)- 4tF7ln V <2-31)
Координаты точки К3" найдем в результате интегрирования
дифференциальных уравнений (2.24) для кривых, проходя-
щих через точки Ki и Кг и пересекающихся в искомой точ-
ке Кз". При малых промежутках интегрирования (г3, и),
(гз, г2) [23]:
гз= (22—г\—г2т+г\п)1(п—т),
z3= \z2n—Z\m~nm(r2—г\)}1(п—пг),
(2.32)
n=0.5[tg(q)3 + ?) +tg(<jpi +?) ]»
т=0,5 [tg (фз—£) + tg (фг—£) ] •
При решении задачи вначале по формуле (2.31) прибли-
женно определяется значение ф3 и по формуле (2.32) — коор-
динаты r3, z3 точки К3". Затем учитывается влияние массовых
сил и пространственных параметров на величину среднего
давления в точке Кз". Для этой цели по формулам (2.25),
(2.26) определяются значения u3i, о3г в точке Кз" пересечения
кривых скольжения; среднее давление
Оз=Уоз1Сгз2- (2.33)
Поправка к величине ф3
Д|р __i-ln-’». (2.34)
тз 4 tg р о31
Значение ф в точке Кз" с учетом поправки
Фз=Фз+Л<Рз- (2.35)
Затем с учетом поправки Дф3 определяются координаты r3, z3
точки Кз" (рис. 2.4) по формулам (2.32) и напряжение о3 по
выражению (2.33).
40
Выполнив первую элементарную операцию, получим зна-
чения г, г, ф, а в точках радиального сечения АВСО (в на-
правлении радиуса ДС0, рис. 2.5, а и б). Длина О А разделя-
ется на т равных частей. Вначале по данным в точках 0.0,
1.01 (рис. 2.5,6) находятся параметры точки 1.02. Затем
определяется величина угла аОЬ раствора особой зоны:
Ф=л—£—а, а=-^-—Pi, (2.36)
где находится по формуле (4.3).
Угол qp разделяется на т равных частей. Параметры
точки 1.03 в области особой зоны вычисляются по данным г,
z, ф, о точки 0.0 и точки 1.02. При этом в точке 0.0 для кри-
вой первого семейства 0.0—1.03
е ==-*-
Л1 т
Параметры точки 1.04 определяются по данным точки 0.0 и
точки 1.03. Здесь для кривой 0.0—1.04 в точке 0.0 фг=2(ф/т).
В такой же последовательности рассчитываются параметры
г, z, ф, а в области особой зоны.
Вычисления при решении первой элементарной операции
с помощью ЭВМ выполняются по формулам (2.37):
1. ©з = 4“ (?i + фг) —:
• 2 1 *2' 4tgp
з. m=y[tg(V3—?)+^(ф2—?)];
4. Гз= (22—Zi~r2m+rin):(n—/и);
5. z3= (zzti—zxtn—nm (r2—r\): (п—tn);
6. 6А1=ф1+£;
7. 6лз=фз+£;
8. (гз—Г1) : cos блз;
9. at = пх 1 —. Jp) [z 4. sin р sin (2йЛ1 + р)]
-4- cos (2&А1 + р) j-i-ctgС — tg (&А1 4- р)]| cos (§« + р)tgр’
а3=«1 {sin 6 cos i|> [В sin (S*i+р) —cos (2fifti+Р> 1х
X [cos 6fti—sinpsin(6AI-f-p)]}; : ^rhlf
4!
ai=П, {cos 0 sin ip Sin p[sin(2d*i+p) (COS d3l-sin дм tg p)
—cos (2d*i+p) (sin дм+cos дм tg p) ]};
10. a2 = /i2 1 —тг} [X + sin P sln <26» + p)l "ЖГ +
+ cos (28и + p) ctg C - tg (8ft3 + Р)]|С08(й*з + P) tgp ’
o<=n2{sin0cos ip[Bsin(2dM+p)-cos(20M+p)JX
X[cosdM—sinpsin(6M+p)]}; П2=ДкВ1:2гм.
Об—Пг {cos 0 sin гр sin р[sin (2дм+Р) (cos s*n ^кз
—cos (2дм+ р) (sin дм+cos блз tg р) ] } I
11. g^sin^i+pW^cosfp^a?);
— 4- Z3 ~~ 2l- -
1Г. gi = disin(Yi+p)T:cos(p4-ay); ?i = arctg Гз _ Г] ’
bl=у (z3—Z1)2+ (Гз—Г1Р;
12. 031 = (Jie2<’₽*-’₽3)tg р-а + ^1е«Р1-ф№ p-a;
Л— — — — —
a=S«i; а=а2 + сц + аб;
13. дП2=ф2—
14. дпз=<рз—
15. iAnS2= (гз—r2) : cos дпз; Ci=AnS2: 2r«2,
16. ₽i = Cj^l — -^][x + sinpsin(23n24-p)|-7iHp'^
+ cos (28„3 + P) (-L ctg C + ctg 8л2) sin 8„, tg P:
Ъ=Cl {cos ip sin 0 tg p sin dn2 [B sin (2dn2+p) -cos (2дП2+p) ] I ’
₽5=c, {sin Ip cos 0 tg p[sin d«2 Sin (26,2+p) +
+cosdn2cos(2d„2+p)]}:
17. ₽2 = c2|p — +Sin psin(28„3 - p)l ^b‘p' +
+ cos (28„s + p) (-L Ctg c + ctg 8n3)| sin 8„3 tg?: c2 = '
p>c2{cos ip sin 0 tg p sin dn3[B sin (2dn3+p)-cos(2d»s+₽)D’
Рб=C2 {sin Ф cos 0 tg р [sin бп3 sin (26n3+р) +
+cos бпз cos (26n3+р) ] };
18. g2=sin(y2+p)Y; cos(p±Ov);
18'. g2=t>2Sin(Y24-p2).y2: cos(p±av);
ъ = arctg : =У(гз_г5)2 + (г:) -r2)-
19. a32=a2e2<<P3-v2)tg p-T^2е(фЭ-фгНе p-₽;
P= 21^*’ P = ₽2+₽4 + ₽6;
20. a3=Vo3ia32;
21. Дф3==— __±_ln-^1.;
‘3 4 tg p o31 ’
22. <p3=qp3+Лфз-
Если жесткость штампа равна нулю, то необходимо вы-
полнить определение г, z, <р, а в зоне OD0C (рис. 2.5, б) мини-
мально напряженного состояния грунта. В точках на поверх-
ности основания под гибким штампом [108, 23]
=-%- - 4 (₽ -arcsin -йкг) • (2-38)
След поверхности 1.К+1—2.K+2(Ki—Кз") первого семей-
ства и след 2.К+1—2.К+2(К2—Кз") второго семейства
(рис. 2.5,6 и рис. 2.4) пересекаются в точке 2.К+2(К3").
Координаты точек 1.К+1, 2.К+3 и других на прямой ODQ
(2.39)
Характеристика напряжений в этих точках находится по
формулам пп. 13—19 в (2.37); составляющие напряжений —
по (2.4), (2.5), (2.9).
Координаты точки 2.К+2 и других области OCD0 вычис-
ляются по формулам (2.32), характеристика напряжений —
по формулам (2.37), в которых значения g3i, g32 определя-
ются по формулам (2.29).
По значению о нормальная оп и касательная тп составля-
ющие напряжений на площадках скольжения определяются
по формулам [122]:
<Tn = o[l + sin psin (26+р—20)].
тп=—a sin р cos (26+р—20)], (2.40)
где 0 — угол, образуемый нормалью к площадке с осью Or.
43
Рис. 2.6
Вторая элементарная задача используется, когда макси-
мально напряженная область грунта (рис. 2.6) ограничена
плоскостью z= (г—r0)tge. По известным значениям нагрузки
на поверхности в виде системы параллельных сил, положения
вблизи поверхности точки Kv действующего в ней среднего
давления и направления пересекающихся элементарных пло-
щадок скольжения требуется найти положение точки Яг, ко-
торая лежит на пересечении граничной плоскости и следа по-
верхности скольжения, проходящего через точку Ki и сред-
нее напряжение 02(0^2).
Из рис. 2.6 следует, что
Ф2=е-Н—со. (2.41)
Величина [23] угла
ш = 0,5(90°- р - ₽- arcsin-g-) , (2.42)
координаты точки Я2
г2 = z' ~ г'т + г°я z = —(rt — г0)л/и .
n=tge; m=0,5[tg(q>2-g)+tg(q>1-g)]. (2.43)
Среднее давление в точке Кг в соответствии с (2.26)
02 = O1e2(4)2-q)i)tg р—(₽i+Pj) Р—₽2,
= (2.44)
4. Дифференциальные уравнения неполного
предельного равновесия идеально связной
грунтовой среды и их интегрирование
Уравнения (2.16) позволяют получить дифференциальные
уравнения неполного предельного состояния идеально связной
44
грунтовой среды. Положим, что в формулах (2.16) над знач-
ком о имеется черточка.
Используем следующие [23] формулы:
o=a+^ = o+Cctg р;
cos р дх2 cos2 р ( dSj dS2 Sin J * (2.45)
1 dUt 1 ( dUT dUx . \
cos p dxx cos® p \ dS2 dS\ s,n P) •
Приравняв p = 0 в выражениях, полученных после подста-
новки формул (2.45) в (2.16), будем иметь
-А- + 2С [cos 28 (cos 8 - sin 8) +
+sin 0 cos ф cos б (B sin 6—cos 26) +
+ cos 6 sin ф sin 3] ,
12.46)
- 2С-Д- + -7- lcos 28 <sln 8 + cos 8> +
4-cos ф sin 0 sin 6 (B sin 26—cos 26) +
+ sin ф cos 6 cos 8] = ,
где
° = -J- (°i + °ni); c (°i — °ni), з = <? + в — 1 — tg2^.
Выражения (2.4), (2.5), (2.9) для напряжений при р=0
будут:
Ог=о+ С sin 26;
oz=o—С sin 26;
ое=п+С (sin 26—cos 26) — (т2е+Втге) ctg ф;
(2.47)
Trz=—С cos 26;
тг6=С sin 26 sin ф sin 0;
Tze=—С cos 26 sin ф sin 0.
Выполним ниже интегрирование уравнений (2.46). Заме-
ним в них частные производные разностными отношениями и
умножим первое на ASj, второе — на ДВ2; уравнения (2.46)
будут:
Д6+2СД6 + -—-[cos 26 (cos 6—sin 6) +sin 0 cos ф cos 6X
45
X (В sin 26—cos 26) + cos 0 sin гр sin 6] ASi = AUlt (2.48)
A6—2CA6 + —• [cos 26 (sin 6+cos 6) +
+ cos гр sin 0 sin 6 (B sin 26—cos 26) +
+ sin гр cos -0 cos 6] AS2=AU2.
Проинтегрировав первое уравнение (2.48) по заданному
участку Ал51 = /пл/пл+1, получим:
6а+1=6л+ ~2“ (^Л4-1 + C/fc)—2С(6л+1—бл)—
— С [cos 28д+1 (cos 8Л+1 — sin 8д+1) 1-
4- sin 0 cos гр cos 6&+i (В sin 26&+i—cos 26л-м ) + (2.49)
+ cos 0 sin гр sin б/ж] + [cos 26ft (cos 6^—sin 6&) +
•k
+ sin 0 cos гр cos 6л (В sin 26ь—cos 26ь) + cos 0 sin гр sin 6*]}.
Для участка AnS2 следа поверхности скольжения второго
семейства
On+l = 0Чг4—9”.(^п+14“ Un) ~i~2C(бп+1 бп)
— С AS— (—5— [cos 2о„+1 (sin 8 , 4- cos 8и+1) 4-
2 I г п+1
+ cos гр sin 0 sin 6n+i (В sin 26n+i—cos 26n+i) + (2.50)
+ sin гр cos 0 cos 6n+i] + -^-[cos26n(sin 6n + cos 6n) +
' n
+ cos гр sin 0 sin 6n (B sin 26n—cos 6n) + sin гр cos 0 cos 6n]} -
Формулы (2.49), (2.50) позволяют определить средние на-
пряжения в узлах сетки кривых скольжения, дифференциаль-
ные уравнения которых имеют следующий известный вид:
-£-=tg'<?4-45°); -£-=tg(?-45°). (2.51)
Вычисление г, z, ср, о при решении задач на ЭВМ выпол-
няется в следующей последовательности:
1- фз= (ф1+Ф2) * 2+.(ai—ст2) :4С;
2. n=4-[tg(<P3+45°)4-tg(<Pl + 45°)];
3. m=^-[tg(<p3—45°)+tg(q?2—45°)];
__ г«> — Zj — г^п -4- гхп
-1 п — т
46
Г „ — z2n — 2хт — пт (r2 — Fj) .
О. -:----------»
6. Дл51= (гз—и) : cos(фз+45°);
7. 6fci=<p1+45°;
8. дл2=фз+45°;
9. «J = [cos 2&*3 (cos олз — sin 8ЛЗ) +
+.sin 0 cos ф cos 6*3 (В sin 26ft3—cos 26*з) +
+ cos 0 sin ф sin дкз] 4——[cos 26м (cos 6м—
rk\
—sin 6м) + sin 0 cos ф cos 6м (B sin 26м—
—cos 26*1) +cos 0 sin ф sin 6м] | *,
10. g3l = 73 C03sct^ sin (^3 ± a7);
11. cr*3 = tfAi+2C(qp1—фз)+Яз1—Car,
12. &nS2= (>з—r2) :cos((?3—45°);
13. 6п2=Ф2—45°;
14. 6пз=фз—45°;
15. a2 = [cos 28я3 (sin 8„3 + cos 8J 4-
+ cos ф sin 0 sin бпз (B sin 26пз—cos 26пз) +
+ sin ф cos 0 cos бпз] 4——[cos 26n2 (sin 6n2 +
Г П2
+ cos 6712) + cos ф sin 0 sin 6П2 (B sin 26пг—
—cos 26ns) + sin ф cos 0 sin 6пг] j;
16. gs2= 73co3saT C0S ^л3 — а^’
17. Опз=Оп2—2C(|ф2—Фз) +^32—Саг;
(2.52)
18. 03— (олз+Опз) :2;
19. Дфз= [(о*з—Опз) + (gsi—£зг)] • 4С;
20. фз=фз+Дфз-
Среднее давление в точке 3 (Я3") первого семейства Ki—
—Яз" поверхности скольжения (рис. 2.4)
(Гз==О1+2С(ф1—фз)+Язь (2.53)
47
на поверхности второго семейства (К2—Кз")
(Уз = (Уг—2С (фг—фз) + £зг- (2.54)
Из формул (2.52), (2.53) получим
?з = 4“ + ~?С Ка* — °2' + (^31 ~ <2-55>
Поправка к величине <р3
Дфз=-££-[ (<*3i—0зг) + (gsi—£32)]. (2.56)
Счет повторяется по формулам (2.52) с учетом <р3, начиная
с п. 2 по п. 18 включительно.
5. Интегрирование дифференциальных уравнений
полного предельного равновесия
грунтовой среды
Вертикальное перемещение штамца под действием верти-
кальной осесимметричной нагрузки может вызвать в грунте
«полное» напряженное состояние, при котором [8]
cfii:=o'iii или o’n=(Ti« Tr0=TZ0=O;
o0=cr(l+sm р)— С ctg р; (2.57)
знак минус в формуле (2.57) соответствует деформации
грунта, направленной от оси z, знак плюс — к оси z. Теорети-
чески осесимметричная задача решена В. Г. Березанцевым
[8, Ю]. Это решение выполнено в первом приближении, по
которому координаты г, z искомой точки и действующее в ней
давление о находятся на пересечении касательных, проведен-
ных через смежные точки кривых следов поверхностей сколь-
жения.
Выполним ниже решение осесимметричной задачи, в ко-
тором положение искомой точки находится на пересечении
хорд, стягивающих дуги-элементы кривых скольжения (вто-
рое приближение) с последующим учетом влияния объемных,
массовых сил (см. рис. 2.2,6) на очертание кривых скольже-
ния (третье приближение). Подставив выражения для напря-
жений (2.4), (2.57) в уравнения (2.12) и выполнив преобра-
зование, получим:
да . о , dt> .а , 1 д1\
dSi ь г до! 1 г 1 8 cos о дх2
да п дЪ а , 1 дЦ\
~Тё------2а tg р Ч-----------------tit* —----------х—1 ,
<)S2 6 r dS2 ~ г 12 cos p dxi ’
(2.58)
48
где и Х2 — оси, перпендикулярные касательным Si и $2
к следам поверхностей скольжения, пересекающимся в точке
А (см. рис. 2.2,а);
zi = tgp ’cosp”9 ’ z2 = sin (8 + р) + cos 8.
Верхние знаки в (2.58) соответствуют случаю деформации,
направленной от оси z; нижние — к оси z [8]. Заменив част-
ные производные в (2.58) разностными отношениями, по-
лучим:
Ao+2otg рДбЧ——Z1/2 ASi= t/iASi,
До—2 tg рДд±-^М2 Д$2= С/2Д$2. (2.59)
Проинтегрировав первое уравнение (2.59) по малому участку
^hSi — mkrnh+i заданного следа — кривой поверхности сколь-
жения и выполнив преобразования (см. § 3), будем иметь:
ОА+1 = ahe-<2ek tg р+а/4-а/) 4. gft+le~<*k tg Р+а/), (2.60)
где
gk+i — 2 1 ‘ ^*+1 ел — Фз — Tv
Для следа поверхности скольжения второго семейства
On+i = ипе2еп tg p-₽i '~^'-l-gn+ieen tg р-Р/,
₽;=±4^za;
лгп zrn+i
Sn+1 ~ 2 W п+1 4" п ' ~ Фз
(2.61)
Формулы (2.60) и (2.61) позволяют определить средние на-
пряжения на следах — кривых скольжения, дифференциаль-
ные уравнения которых имеют вид (2.24).
При решении осесимметричных задач на ЭВМ по опреде-
лению предельной прочности оснований с использованием
первой элементарной операции, пп. 9, 10, 16, 17 формул
(2.37) заменяются соответственно пп. 9', 10' 16' 17' формул
(2.62):
10')
яЗ
49
16')₽;=.±-g-^. = (2.62;
17') 4"v<1<2"3-
zr лЗ
Дополнения к f2, kl, k2 и n2, n3 в формулах (2.62) отно-
сятся к величине угла 6.
Уравнения (2.58) позволяют получить [46] дифференци-
альные уравнения осесимметричной задачи для идеально
связного грунта. Положим, что над значками <т имеется чер-
точка. Тогда, приравняв р = 0 в выражениях, полученных
после подстановки формул (2.45) в (2.58), получим:
| С Z . * I ft, dUy
+2С—=— Н---(sin 6 + cos о) —-L- ,
- 2C-dS7 ± — <s,n 8 ± ccs 8| = да2-
(2.63)
Верхние знаки формул (2.63) соответствуют деформации,
основания, направленной от оси симметрии, нижние—к оси
симметрии. Из формул (2.4), (2.57) следует, что напряжения
or=o+Csin 26, oz=o—С sin 26,
Trz=— С cos 26, </e=a=FC, (2.64>
C =-гу (ai — °ш); 3 = -7-(^i 4-ojn).
Знак минус в формуле для ое отражает деформацию, направ-
ленную от оси 2, знак плюс — к оси z [46].
Заменив частные производные в уравнениях (2.63) раз-
ностными отношениями Д?- , —- , и умножив,
первое на ASi, второе на AS2, получим
Да+2СДб+ ~(sin6±cos6)AS|=At/i;
с
До—2СА6±—(sin 6±€os 6) AS2=A(/j. (2.65)
Проинтегрировав первое уравнение в (2.65) по заданному
участку первого семейства поверхности скольжения AftSi =
= mkmk+i, будем иметь:
= ---(Uk+i + Uk)—2C(6*+i—6л) —
— С - 2*1 - J—(sin &Л+1 ± cos ВЛ+1) + -J- (sin оЛ + cos oft) 1. (2.66)
50
.Для участка Дп$2 следа поверхности скольжения второго се-
мейства
Gn+l = <7n+ "^"(Wn+l + Wn) +2C(6n+i—би)-?
+ С—ф-Г-— (sin 8я+1 X Cos8„tl) + 7-(sin8„ ± cos8„)l (2.67)
Z L гл+1 rn J
Формулы (2.66) и (2.67) позволяют определить средние на-
пряжения на кривых скольжения, дифференциальные урав-
нения которых имеют вид (2.51).
Вычисления при решении первой элементарной операции
с помощью ЭВМ выполняются по формулам (2.52), в которых
пп. 9, 11 и 15, 17 заменяются соответственно на пп. 9', 11' и
15', 17'в (5.68).
9') а! = - -1- (sin ойз + cos 8И) + -А_ (sin 8W + cos 8M)j ;
llz) Oft3=tffci+2C(<pi—Фз)+£з1—Са/;
15') аг - —2~[“Г— (sinS»3 ± cos8„3) 4—^- (sinS„2 + cos8„2)];
L ГПЗ гП2 J
(2.68)
17') ОпЗ==Оп2—2С(фг---фз)+^32"FCa2Z«
6. Плоская задача предельного
равновесия грунтовой среды
Дифференциальные уравнения предельно напряженного
состояния грунта в условиях плоской задачи получим из
уравнений (2.16). Положив в них -у—0, будем иметь:
I а 4,- дБ 1 диА
dSi +23t^P dSt “ cos р” дх2 ">
dS2 3 S Р cos p dx2 ’
(2.69)
Интегрирование уравнений (2.69) разработано в аналити-
ческой форме [109] и графически [23]. Результаты этих ис-
следований используются в нормативной [117, 118], справоч-
ной [91] и учебной [127] литературе.
Определение на ЭВМ характеристик напряжений в узлах
сетки поверхностей скольжения выполняется с учетом массо-
вых сил по формулам (2.37) В пп. 9, 10 и 16, 17 этих формул
нужно Принять ai = 0, 1, 2... 6; рг=0, 2... 6.
51
Положив в формулах (2.46) С/г = 0, получим дифференци-
альные уравнения предельно напряженного состояния иде-
ально связного грунта для условий плоской задачи,
+ = -А--2С-^- = -^-. (2.70)
<*02 ^^2 VO2
Интегрирование уравнений (2.70) выполнено в аналитической
[109] и графической [23] формах.
Определение на ЭВМ характеристик напряжений в узлах
сетки поверхностей скольжения выполняется с учетом массо-
вых сил' по формулам (2.52), в которых значения си и аг
нужно положить равными нулю.
Глава 3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
грунтовой среды с нелинейной
ЗАВИСИМОСТЬЮ ГРАФИКА СДВИГА
Изменение свойств грунта, например с увеличением глу-
бины, приводит к тому, что отклонение графика сдвига от
прямолинейного очертания будет ощутимым. В таких случаях
необходимо уточнение вопросов предельного равновесия грун-
тов с учетом криволинейной зависимости между касатель-
ными и нормальными напряжениями на графике сдвига.
Решение плоской и осесимметричной задач с нелинейной
зависимостью графика сдвига выполнено В. В. Соколовским
[109], В. Г. Березанцевым [10] и др. Ниже излагается реше-
ние пространственной задачи по определению г, z, <р, о в уз-
лах сетки поверхностей скольжения заданного радиального
сечения призмы выпора с учетом массовых сил в фиксирован-
ный момент времени t при сейсме.
1. Дифференциальные уравнения неполного
предельного равновесия грунтовой среды
с нелинейной зависимостью графика сдвига
Криволинейный график зависимости между тп и оп может
иметь выпуклость, направленную от оси а (рис. 3.1,а и б).
Из рисунка следует, что [109]
S2 = + Ош) = оп + | т„ I ctg 2g;
f2=-rr.(oi—Ош) = | Тп | cosec 2g;
52
»>=’»+К (з-i)
, , , cos2C — 1 . j ±
0П1=- Сд + |тл I ---- , *4 = ^nctg2<,.
В соответствии с (3.1) выражения для напряжений (2.4),
(2.5), (2.9) будут:
С 1 , о ~ I I I cos 2Г + cos 2?
°г = 52 + /2 COS 2<р = оя 1' I ХЛI-—-;
о г» ill cos 2; — cos 2е
аг — 5г — Z2COs2<? = o„ + |t„|-----------х. ;
, . л II sin 2<э
't2r = ^Sin2<p = |Tn|4r-^-;
(Те= ^-(Or+TrzCtg?) —(Tz0+BTre)ctgt|) =
= (угр sin %*•+ cos 2? + cos 2^ “i“ sin ctS —
---si^”fsin в cos (sin 2(P+£ cos 2<f) ]»
lx | (3’2)
Tre—/2 cos 2(p sin 0 sin ф= cos 2(P s*n ® s’n
Iт I
tze« /2 sin 2q> sin 6 sin гр = 7i'ny sin 2<p sin Osin гр;
A = 1 4- tgpctgCseci|>; B= tgC- —.^^«7Ф- •
Связь между напряжениями тп и оп получим на основе ис-
пользования [108] функции напряжений
ds-^V~d- (3-3)
Подставив выражения для напряжений (3.2) с учетом (3.3)
в уравнения для элементарного объема среды в цилиндриче-
53
•ской координатной системе и выполнив преобразования, по-
лучим дифференциальные уравнения неполного предельного
равновесия с учетом криволинейной зависимости между тп и
4УП на графике сдвига:
(1 + cos 2С cos 2?) + cos 2^ sin 2? —
- sin 2c(sin2? - cos 2?-^-) = [------
- [(A -1) (t’tj- sin 21;+cos +cos 2<p) -
—sin 2ф ctg £]---sin 2£ cos 2cp cos 0 sin ф—
— ~51^ [sin 0 cos ф (sin 2<p+В cos 2ф) ] = C\
cos 2C sin 2ф 4- (1 — cos 2C cos 2?) +
+ sin2c(cos2<p-^- + Sin2? = ~,г— (3-4)
sin 2C . n sin 2:1 . n r. . ,
-----— sin 2y----27—sin 2? cos 0 sin ф = D,
где yr, yz — проекции объемных, массовых сил на горизон-
тальную и вертикальную оси (см. рис. 2.2, б).
Выполним преобразование уравнений (3.4). Умножим пер-
вое из них на sin (ф—£), второе на —соз(ф—£) и результаты
сложим. Затем умножим первое уравнение на зт(ф+?), вто-
рое на —соз(ф+£) и вновь их сложим. После деления полу-
ченного первого уравнения на sin2£cos^+£)» а второго — на
sin 2^ cos (ф—у будем иметь:
^r(S + ¥) + tg(T + C)4-(S + ?) =
'____ С' sin (<р — С) — D' cos (у — С) _ р,_ С
cos (у + г) sin2C ’
(35)
-^(S-?) + tg(?-C)-^-(S-?) =
_ С' sin (у 4- 0 — D' cos (у + С) _ , nz — D
cos (у — С) J 2' sin 2* *
Так как функции S и ф являются функциями координат гиг,
то полный дифференциал этих функций для первого уравне-
ния (3.5)
d (S + ?) = dr + d(^+v) dz. (3.6)
54
Из решения системы (3.5, первое уравнение) и уравнения:
(3.6) получим:
| -Л, tg(<p + :)|
d (S + ?) _ i d (S + ?). dz I =
dr I 1 tg(y + C)l
I dr, dz I
_ ~fdz~d{S -by) tg (у (-H) /о 7,
dz — drtg(y + Г) * V ’ 1
Приравнивая нулю числитель и знаменатель в (3.7), получим
уравнения характеристик первого семейства:
или
dr ____ dz ____________ d (S 4- у)
1 ~ tg(? + C) “
dz * / I \ d (S'-*- y) x
-^ = tg(? + 0;
(3.8).
Аналогично получим уравнения характеристик второго семей-
ства поверхностей скольжения:
-> = tg(?-Q; —(5,~у) = f,. (3.9).
2. Интегрирование дифференциальных уравнений
неполного предельного равновесия
с нелинейной зависимостью графика сдвига
Уравнения (2.4), (2.5) и (2.9) позволяют получить фор-
мулы для построения следов — кривых скольжения в назна-
ченном сечении призмы выпора и определить напряжения при
фиксированном графике сдвига в условиях пространственной
задачи. Интегрирование уравнений выполним с использова-
нием графика сдвига в виде параболы
Тпт=а(оп+Я),
(3.10)
где И — параметр, имеющий размерность напряжения; а —
безразмерный параметр.
Из выражений (3.3), (3.10) и зависимости ^|тп| =
= d(jnctg2£ (рис. 3.1, а) следует, что
ds= 2~™ + t.g—
т------------1
а0= 1 кГ/см2 = 0,1 МПа;
(3.11>
55
Уравнения (2.4), (2.5) и (2.9) с учетом (3.11) будут:
। 2 - т + tg2 2С дС _
дг+ т-1 -дг-А-
, 2-m+tg?2: ас о
dr т — 1 дг 11
где
_ 1 I----------- Sin - [Yr Sin (а — С) —
А1— 2rcos(=-M) < I а
— ЪС05(<р— С)| — sin (ср — С) ~4“) [-^-tg2C—
- tg] sin 2С + (1 - 4-) (cos2C + cos 2?) -
—sin 2? ctg C + cos 2? cos 6 sin ф -j-
+ sin 0 cos гр (sin 2<p + В cos 2<p)} +
+ cos (<p—I) sin 2<p (1 + cos 0 sin гр)|;
= frcosiy-C) j—^^-bsin (? + <)-
Po^tgac)
— 7г COS (<p+0| — sin (<p + o{( 1 — -j) —
—J-(-£ tg 2^^] sin 2C+ (1 - 4) (cos 2C + cos 2y) -
—j-sin 2<p ctg t;+cos 2^ cos 0 sin ip+sin 0 cos гр (sin 2<p+
-h В cos 2<p)} + cos(<p+£)sin2(p(l,O+cos0 зшгр)|.
Заменив производные в (3.12) разностными соотношени-
ями и выполнив преобразования, получим выражения (3.13)
для определения в данный момент времени давления в точке
56
по известному его значению в ближайшей точке тпъ на
следе — кривой первого семейства поверхности скольжения
(см. рис. 2.3, а):
. ~ /и — 1 . , щ — 1 «л
~ — 2-m+ tg2 2C + 2-/n + tg2 2C ^1ДГ’
^А+1 = ------тр- [£(*+1) + Ek\ 4- -A^r- - ) + FJ, (3.13)
где
p __ m 1 p m “ 1
(ft+"- 2-m + tg2 2CA+, ’ = г-т-Нв’Я» :
Л*+1) = - (2 - m + tg2 2Cft+1) 2rs+1 cos (W+1 + C»+1) X
X f-----r^sin2^\_ h, Sin (?Jt+I - CA+1) - 7г COS (<p*+1 - £*+.)]-
| °o(‘m *S2C*+i)
- sin(?*tl - Cft+I){( 1 -4)[± tg2^+1 - tg 2C»+l)]^ x
x Sin 2Cft+1 + (I — -£) <cos 2^+i + cos 2<*W) —
— 4"sin 2?**i ct£^+i + cos 2ул+1 cos 0 sin Ф +
+sin 0cosi|)(sin2(pfc+i+Bcos2(pft+i)| 4-
+ cos (фл+i—£ft+i) sin 2<pft+i (1 + cos 0 sin ф)| ;
P ________________i_______________( rfesin2Cfe
(2-m +tg2 2Cft)2rftcos(^ + CA) z \ A
i / Cl \m—i
I ‘obr‘g2’*)
x [7,sin (<p* — у — ьCOS (<P* — CA)] — sin (?»~Л) X
xIO -4)[^2Ь—Ste^^^Jsin2^
+(i—4") (c°s +c°s 2'f_ ~rsin 2?*ctg +
+ cos 2<pfc cos 0 sin i|>+sin 0 cos *ф (sin 2<pA+
+ B cos 2<pft) | 4*cos(<pfe—SfeXsin 2<pft(14-cos 0 sin-ф) |.
Дмр1 = <рл+1—фГ, ДаН = Пн-i—Га-
57
На следе — кривой поверхности второго семейства (см.
рис. 2.3,6)
*- ^+-s (ЗН|
1.., -С. + A- I"' « + М.1 + + ".!•
тде
Л/f 1 • Л/f 1 •
/И(„+1 )= 2-m + tg2 2Cn+1 ’ = 2-m + tg22C„ ’
д г______________________m I__________________. V"
(п+” — 2гл+, cos (<рл+1 - Сл+1) (2 - т + tg, 2Сл+1)
X (-----г<ч-1sln 2|-”+» ;— |Tr sin (<ря+1 4- Сл+1) — TzCOS(<p„+i + Сл+1)1~
I ’<’(£'‘8 2C«+i)m
- sin (?л+1 + Сл+1) {(1 - tg 2Сл+| - % (£ х
.Xsin2C„+i+(l —-j-) (cos2C„+1+cos2<p„+l)—-i-sin2<?„<.,ctgC„+i +
+cos 2<pn+i cos 0 sin if+sin 0 cos if (sin 2<pn+i+В cos 2<p„+i)} +
+cos (фп+i+£n+i) sin 2q>„+i (1+cos 0 sin ф)| ;
W =________________m~1________________ у
" 2r„ cos (<ря-—C„) (2 —m + tg2 21л) л
X |------ [7r Sin (p„ + C„> -
i
— COS (<p„ + U1 — sin (?„ + cn) 1 — -L) [_L tg2i;„ —
tg2C„)^] sin 2C„+ (1 - 4-) (cos 2C„ + cos 2Тл) -
_ _L sin 2<pn ctg gn+cos 2<pn cos 0 sin if 4- sin 0 cos if (sin 2<pn 4-
4-Bcos2<pn) । 4-cos(<pn+£n)sin2<p(14-cos0sinif)|;
Дпф2=’фп+1—фп; 2—r n+1 Г n-
58
Характеристика напряжения в точке Къ" для первого се-
мейства поверхности скольжения (рис. 2.4)
°31 = °1£2 tff Рз1; Рз1 — 2С31: (3.15)
для второго семейства
оЭ2=a2e2(’,j~<₽2)tg ра2; р32 = —2£32- (3.16)
В точке Лз значения
°3 = Vo31°32i ^3 — р4 ^зЛз‘2’> Рз = ~~2 2С3. (3.17)
Среднее значение угла внутреннего трения на участке
следа первого семейства (см. рис. 2.4)
рз1 = 4~(Р1 + Рз); (3.18)
на участке следа второго семейства
Р32 = — (р2 + рз) • (3.19)
Давление на отрезке следа первого семейства поверхности
скольжения в точке ^зz,
о3 = (T3ie-2[«p8-b)-«p1-ti)]tg р31; (3.20),
на отрезке следа второго семейства
СГ3 = 032g2[(<p3-b)-(<P2-fc)]tg р32> (3.21 )•
Из формул (3.20) и (3.21) получим, что
“з __ <Р1 tg Р31 + ?2 tg Рз?__________1 _ |n °32 ।
3 - tg + tg732 2 (tg p3l + tg ft2) G31
+ Л. —+ \ (3 22>
V 'g P31 + tg p32 J
Поправка Дф к величине
?з = 4-Ь + ^- 4TgP ln^ <3 23>
учитывается при повторном счете на ЭВМ с помощью фор-
мулы (3.22).
Вычисления при определении характеристик напряжения
в узлах сетки следов — кривых скольжения на ЭВМ выпол-
няются в следующей последовательности:
1. ч,8 = Х(ф1 + ф2)__п1_1п^;
59
2- Рз==4-(Рх + Рг);
3. Са=4-(С1+У: С1=Л._^_; С2=Л—*_.
4. «o=4-ltg(4’3+b)+tg(q>i + Ei)l;
5. т0 = - [tg (ф3—Ь) + tg (ч>2—Ь) ];
6. гз=(а2—г,—r2mo+rino)/(no—wo);
7. z3= [z2no—zimo—пото(г2—п)]/(«о—Wo);
8. Д*фз=ч>1—фз;
9. Av3 = ra—П;
10. £з(т—1)/(2—m+tg22^3);
11. E1(m-l)/(2-m + tg225i);
«• h Г,"п21,_г-1?» *" <’ - « -
— U cos (?3 — C3)J — sin (<p3 — Сз) {(1 — -Ltg 2£з —
---£-(-£-tg %)~] sin2£, + (1 - 4-)(cos2£з + С08 2фз) -
—i- sin 2<ps ctg £3+cos 2ф3 cos в sin ф+sin в cos ф (sin 2ф3+
+ В cos 2ф3)| + cos (фз — Сз) sin 2ф3 (1 +cos в sin ф) |;
|3-
- V., COS (Ф, - ы] - sin (ф, “ ?,) {(1 —у) [4- fe 2?| ~
— 2^,у^ ] sin %, -I (l — ^-)(cos 21 + cos 2ф,) —
—1- sin 2ф1 ctg gi+cos 2ф1 cos 0 sin ф+sin 0 cos ф (sin 2ф!+
+ В cos 2ф,)| + cos (Ф1 — Si) sin 2ф, (1 + cos 0 sin ф) (;
60
14. С,, = С,- (Е3 + £)) + (F3 + F,);
15. Рз> =-j-— 2С31;
16. <Тз1 == a1e2(vi-Ts)tg рз>;
17. ДП(р3=ф3—ф2;
20. Дпгзг=г3—Г2;
21- = ~2^os fa - С3) - 1 Va Sin (<?, + U -
1 (а \rn-l
- Тгз(Тз + Q] - sin (<р, + у 1(1 - -J-) [^Г1®2^ ~
—V (•£ ‘g Яз)^] sin 2С3 4- (1 — -А-) (cos 2С3 + cos 2?3) -
— -^-sin 2ф3 ctg £3+cos 2<рз cos 0 sin гр + sin 0 cos гр (sin 2<p3+
+ В cos 2<p3) + cos (срз+£3) sin 2<p3 (1 + cos 0 sin гр)|;
22- 2r8COS7; + C3-| — r,Sin2;8_L_ t-^sinfa+Q-
{ (a \m—1
le*V5r,g2c’)
- Ъ, (?2 + У1 - sin (<Рз + Сз) {( 1 - 4-) [4- *g -
- v tg 2^)^]sin2^+(i - 4-) <cos 2^+cos 2<fJ -
--J_ sin 2(p2 ctg £2+cos 2q)2 cos 0 sin гр + sin 0 cos гр (sin 2<p2+
+ В cos 2<p2)| 4- cos (<p2 + ^2) sin 2<p2 (1 4- cos 0 sin гр)|;
23. (Л*з + M2) + + N2)-,
24. p32 ~~2 2^32»
61
25. (Уза—or2e2<4’3-q)2)tg рз2«
26-_Ь“У&1£зг:
27.
28. ff8=Va31<j32;
29. P3i = ~.(pi+ps);
30. Р32=-|-(р2 + рз);
(3.24>
31. = У»»gfa. + <P2.2gP32___ _1 1п а32 .
tg Р31 + tg Р32 2 (tg р31 + tg р32) °31
_|_ / _______tgP£l 47 C2tgp32 \
\ tg р31 tg р32 у
Счет повторяется, начиная с формулы (3.24) п. 2. В этой
формуле и последующих используется значение фз, £3 вместо
<Рз, £з.
С увеличением плотности грунта возрастает его сопротив-
ление сдвигу в пределах призмы выпора. График сдвига бу-
дет иметь кривую с выпуклостью, обращенной в сторону оси
нормальных напряжений оп. Выполним ниже интегрирование
уравнений (3.8), (3.9) с использованием зависимости (3.25)
между тп и оп на графике сдвига:
(3.25)
где а, т — безразмерные параметры; ао=О,1 МПа (10 кПа).
Из выражений (3.3), (3.25) и зависимости d|Tn| =dan ctg2£
следует, что
dS = йи-1 + mtg^.
|т„ | = «ад,(т tg ; (3.26)
1 1
a„ = a0(amtg2£)a0=a'^r.
Уравнения (3.8), (3.9) с учетом зависимостей (3.26) будут:
дю . 2т — 1 + т tg2 2£ TJ .
~дГ +----дг -и'’
<Эф , 2nt-l + mig22g—д£_ = п (3.27)
~ дг г 1 — т дг
62
где
U>------2r cos'? 4-;) (m tg 2С)" 17г sin (? - Q -
— Y ; <<$(? — c — sin (<? — £) [f 1--у j(mtg2Csin2C 4~
+ cos 2C 4- cos 2?) —jp sin 2<p ctg £4- cos 2<p cos 0зшф4-
4-sinl0cos,i|)(sin2(p4-B,cos 2<p) ] 4-
4- cos (<p—£) sin 2<p (14- cos 0 sin ф)} •
Ui = —,----------ft (------CS1? 2L\n- | ь sin (<p 4- Q — izcos(s 4-Q|—
1 2rcos(<p —Q [ aoao tg'M ,r T ' 1 v n
— sin (<p 4- С) К1 — -3-) (/n tg2C sin 2C 4- cos 2C 4- cos 2<p) —
—i- sin 2<p ctg £4- cos 2<p cos 0 sin ф 4- sin 0 cos ф (sin 2cp +
+B cos 2<p)] 4-cos(<p4-£)sin 2<p(l 4-cos0 sin ф) I .
Заменив производные в (3.27) разностными отношениями
и выполнив преобразования, получим выражение (3.28) для
определения давления в точке т&+1 по известному его значе-
нию в ближайшей точке т* на следе — кривой первого семей-
ства поверхности скольжения
(зи)
-с. - <Е, + Л) + 4-'- <Л + ГЛ
тде
a} F =_____________1 ~т_________-
' 2m — J 4- т tg22C3 ’
fix F _3___________1 ~ т________.
' 2m — 1 -1- т tg2 2:г ’
— ь, cos (<f3 — Сз) I — sin (?s — cft) I _ _L) (m tg 2C3 sin 2C3 +.
4-cos 2£з4- cos 2£3)-----sin 2<p3 ctg £34-cos 2<p3 c°s 0 sin ф 4-
4-sin 0 cos ф (sin 2cp34-B Cos 2<p3) ] +
63
+ cos (фз—£з) Sin 2ф3 (1 + cos б sin ф) J ; п = j ;
* 2ncos(^ + cy- l?rt 81П (?1 “ ~
— 7zi COS (<Pi — У ] — sin (<F, — Cl) [(1 ~ "t) (m tg sin 2!’1 +
+cos 2£i+cos 2q>i)---sin 2<pi ctg £1+cos 2<j>i cos <3 sin tp -t-
+ sin6cos\|)(sin2q>i + B cos <pi) ] +
+cos(<pi—£i)sm2<pi(l+cosflsiim>)|.
На следе—кривой поверхности скольжения второго семей-
= 2«-1 4-mtg2 2i Л?2 + 2m — 1 + m tg2 2С U'ДГ’
С32 = С2 + -^~ (Af, + Л12) + (tf3 + Ы),
где
«) 2ГзД3-Сз) {^W^Sln(?8 + U"
— Тгз COS (?3 + У] — sin (ф3 + Сз) К1 — -i-j (т tg 2С3 sin 2С3+
+cos 2£3+cos 2ф3)—-2- sin 2ф3 ctg £3+cos 2фз cos 0 sin ф 4-
+sin 0 cos ф (sin 2фз+В cos 2фз)] +
+ co?s (фз+g3) sin 2фз (1 + cos >0 sin ф) j ;
- ya cos (<pj + C2)| - sin (<p2 + у 1 _ -Lj (m tg2C3 sin 2C2 +
+cos 2&+ cos 2q>2) — sin 2<p2 ctg g2+cos 2<p2 cos 6 sin ф+
+ sin Ю cos ф (sin 2ф2+В cos 2фг) ] +
+cos (!ф2+?2) sin 2ф2 (1 + cos 0 sin. ф) ] •
64
Вычисления при определении характеристик напряжения
в узлах сетки следов — кривых скольжения с помощью ЭВМ
выполняются с соблюдением последовательности формул
(3.24). В этих формулах пп. 9, 10 и 12, 13 заменяются соот-
ветственно формулами а), б) и в), г) в (3.28), а формулы
пп. 18, 19 и 21, 22 заменяются формулами а), б) ив), г)
в (3.29).
3. Интегрирование дифференциальных уравнений
полного предельного равновесия
грунтовой среды с нелинейной
зависимостью графика сдвига
Полное предельно напряженное состояние основания с не-
линейной зависимостью графика сдвига возникает в условиях
осесимметричной задачи, которая решена В. Г. Березанцевым
[8] в первом приближении. По этому решению координаты
г, z искомой точки и действующее в ней давление о находятся
на пересечении касательных, проведенных через смежные точ-
ки кривых — следов поверхностей скольжения. Выполним
ниже решение осесимметричной задачи, в котором положе-
ние искомой точки находится на пересечении хорд, стягиваю-
щих дуги — элементы кривых скольжения (второе приближе-
ние), с последующим учетом влияния объемных (массовых)
сил на давления в узлах пересечения кривых скольжения и
их очертания (третье приближение).
Дифференциальные уравнения осесимметричной задачи
[8] имеют следующий вид:
dS , d<? _ A sin (у — У) — В cos (<р — С)
dr 1 dr cos (у 4- ~) ’
dS 6fy _ -Л sin (г 4-С)-5 cos (у + О .
dr dr cos (у — C) ’ sty
A = - (cos 2<₽ ± 1) + 4кг :
где S — функция напряжений [108]; <р — угол наклона мак-
симального главного напряжения к горизонтальной оси 0rt
Tn — составляющие массовой силы, действующей в точке
радиального сечения призмы выпора (см. рис. 2.2,6).
Решение уравнений (3.30) выполним с учетом зависимо-
стей (3.31):
dS = 2-'” + *g22t
m- 1 ’ \ °о /
65
р = --4г ; о0 = 0,1 МПа (10 кПа), (3.31)
где а — безразмерный параметр.
Подставив выражения (3.31) в уравнения (3.30) и выпол-
нив преобразования, получим
dy . 2 — /п + tg2 2ч rfC _
drm-1 dr ~ : (3.32)
Й . 2-m + tg»2C __p
dr * m — 1 ’
где при деформации среды от оси z
р_______1_ sin ъ cos Ф | sin 2С [1г cos (у — ч) — 7r sin (у — £)]
Г COS(? + Q 2(£tg2t)'cos(T + 0
г\=__ sin С cos у___sin 2£ [?z cos (у — С) ~ ъ- sin (у 4~ Q]
rcos(T-C) 2(-£-tg2<)'cos(?_t)
При деформации грунта, направленной к оси симметрии
(к оси z), первые слагаемые в формулах (3.32) для С и D
соответственно будут:
___1 sin у cos С 1 sin у cos С
г cos (у + С) г cos (у —С)
Заменив производные в (3.22) разностными отношениями и
выполнив интегрирование по малым участкам кривых сколь-
жения, получим при деформации среды от оси z:
на следе поверхности скольжения первого семейства
(К1-Лз")
Си=С, - (Е3 + (£3 + А), (3.33)
где
т — 1
Р ___ т — I . р ______ _____т 1
^3“ 2 — m + tg22C3 ’ 2 —m + tg3 2Cj
1 sin Сэ cos Уз .
Гз cos (уз + С3) '
(3.34)
F з — Ез
sin 2С$ [ха cos (уз — £з) — Тгз sin (у3 — С3)1
2а0(-^-tg2C3) cos (у3 + С3)
(3.35)
66
1 sin Cl cos ?!
Г\ COS (?! H- CJ
sin 2C1 hzi cos (?J — c,) — 7ri sin (?1 — Cl)]
2oo(“^-tg2CJ₽cos (?« +
(3.36)
на следе
(Я2-Кз")
поверхности скольжения второго семейства
Сз, - Ъ (М3 + MJ + (Nt + NJ, (3.37)
где
M — m~' • M — m~‘
3— 2-m + tK2 2fe ’ « 2 —/n+tg22Cs
ki ____м ( cos Уз sln 1
W3— ЛУз r8 cos (ft —у +
(3.38)
sin 2С3 hz3 cos (?з + C3) - 7гз sin (?3 4- C3)J
2g°Gt tg2C3)P C0S (^-’3)
(3.39)
- N2=-M2
COS ?2 Sin C2
r3 cos (?2 - C2)
sin 2C2 |yz2 cos (?2 4- £a) - Т/-2 sin (?2 + C3)|
2o° 2С«У COS (?2 ~ "з)
(3.40)
Значения среднего давления ffi и o2 в близких точках Ki
и К2 (см. рис. 2.4) и пересекающиеся в них следы элементар-
ных площадок скольжения позволяют методом конечных раз-
ностей определить среднее давление о3 и положение точки
Кз" пересечения следов — кривых скольжения. Вычисления
при определении характеристик напряжения в узлах сетки
кривых скольжения на ЭВМ выполняются с соблюдением по-
следовательности формул (3.24), в которых пп. 12, 13 и 21, 22
заменяются соответственно на формулы (3.35), (3.36) и
(3.39), (3.40).
Если кривая графика сдвига будет обращена выпуклостью
к оси ип [тЛ=Оо«(— tfn)m], то выражения для величин, вхо-
дящих в формулы (3.28) и (3.29), соответственно будут:
1 —т р 1 —т
2/72-1 + /П tg~ 2:3 ’ “ 2т— 1 + mtg2 2^ ’
67
р ___р / sin С3 cos уз
3 3 I r3 cos (Уз + Сз) -
_ sin 2С3 [cos (Уз - Сз) Ъз - sin (уз - С3) ъ-з] 1 . /о 4п
2о0а0 (т tg 2C3)P1 cos (у3 + С3) J ’ V ‘ '
р __ р [ Sin Cl COS У!
1 11 П COS (?1 + С1)
— sin 2Ci [cog (yt - Q Ь1 - sin (У1 - ct) Yn] 1 . (o 42
‘-Mo (m tg 2Cj)^ cos (yx + Q J ' * J
яд =_________1 — m_______. яд ______ 1 —m n__________ _rn
' 3 2/n-l + /ntg2 2C3 ’ 2~rw-l+/ntg2 2C2’ Pl~
JV _ _ M f cos y3 sin C3 ,
3 r3 cos (уз - C3) +
I sin 2C3 frz3 cos (y3 4- Сз) — Тгз sin (уз + Сз)1 ) . (3 43)
2а0 (т tg 2C3)Pl cos (у3 - С3) J ’
дг — - М / cos Ъ sin С2
rTcosTy2-C2)
sin 2С2 [ь2 cos (у2 + С2) - 7г2 sin (у2 + С2)] ) @
2а0 {т tg 2C2)P1 cos (у2 - С2) J* к* '
Формулы (3.41)—(3.44) получены так же, как и формулы
(3.35), (3.36) и (3.39), (3.40).
4. Плоская задача теории
предельного равновесия
грунтовой среды с нелинейной
зависимостью графика сдвига
Эта задача решена В. В. Соколовским [109]. В этом реше-
нии координаты искомой точки К3" находятся на пересечении
касательных, приведенных к кривым — следам поверхностей
скольжения в двух смежных точках К\ и Кг (см. рис. 2.4).
Дифференциальные уравнения предельно напряженного
состояния грунтовой среды в условиях плоской задачи с нели-
нейной зависимостью графика сдвига и учетом массовых сил
получаются из уравнений (3.8), (3.9), в которых члены, зави-
сящие от напряжений о0, тг0, tz0, нужно принять равными
нулю, т. е.
-S-ig(T+Q; =
68
где
sin 2С [fr sin (у — С) — cos (у — 0]
21 | cos (y + 0
_ sin 2C pfrsin (? + О — ~jz cos (y + 0]
a2 “ . I T„ ! COS (у - 0
Уравнения (3.45) с учетом (3.11) будут:
d<f> . 2 — m + tg2 2C dC >
~dr~ "* * m^l
___ Jy_ , ^~/n+tg2 2C dC
dr m — I dr ~~a2t
(3.46)
где
' sin 2^ r— , - „
«1 =---------j-a----------------h,sln(4>-C)-
2so\~inte2') cos(t + ^
— Tzcos(<p —Q|;
«2 = -- , a-----\P-----------I Tr Sin (? + Q - b cos (<p + Q ];
2o°('77tg2Q cos(<p —0
Уравнения (3.45) с учетом (3.25) имеют вид:
dy . 2m — 1 + m tg2 2C dC .
dr ' 1 —m dr lf
dy , 2m - 1 + m tg2 2C dC A (3‘47)
dr + I -m dr ~ °2'
где
____________sin 2C_____________
2a0Oo (m tg 2C)P1 cos (y + Q
llr Sin (<P - Q — Тг cos (<p - 0J;
*2 = —----- hrsin(? +Q- bcos(<p + Q];
2aoa0 (m tg 20P1 cos (у — C)
Выполнив преобразования уравнений (3.46) подобно пре-
образованиям формул (3.12), получим выражения для опре-
деления давлений на участках следов — кривых скольжения.
Вычисления при определении характеристик напряжения
в узлах следов поверхностей скольжения с помощью ЭВМ
выполняются в последовательности формул (3.24), в которых
пп. 12, 13 и 21. 22 заменяются соответственно.формулами 12х,
13х в (3.38) и 21х. 22' в (3.39);
69
12') F3 =----------- - £3S‘"2;ii--------X
2-o V/7 tg 2:3J cos + <з)
X [Тгз sin (фз—£3) — Tz3 cos (фз—^3) ] J
(3.48)
13') P —_____________£1 sin ??2------x
U ' ri - / a \p , 4
2°o\Wtg2:i) cos0pi + ^i)
X [Tri зт(ф1—£1)— Tzi cos (ф1—£i)]-
21') ^ = —Ta----------V----------Г X
2оо(“^"^2:з) COS(f3-’3)
X [Тгз5т(ф3+£з)— ?z3 С08(ф3+^з)]; x
(3.49)
22') = —Ta----------V------------X
2a° V7 tg 2’2) cos (cf2 —
X [?r2 sin (ф2 + £2) —Tz2 COS (ф2 + Ь) ] •
Преобразование зависимостей (3.47) выполняется так же,
как и формул (3.27), для того чтобы получить выражения,
используемые в счете на ЭВМ.
Глава 4. ФОРМА И РАЗМЕРЫ
УПЛОТНЕННОГО ЯДРА,
ВОЗНИКАЮЩЕГО В ОСНОВАНИИ
ЖЕСТКОГО ШЕРОХОВАТОГО ШТАМПА
Форма и размеры ядра зависят от величины и знака экс-
центриситета равнодействующей внешнего давления на со-
оружение. Эксцентриситет, расположенный в сторону призмы
выпора, принято называть отрицательным, в противополож-
ную сторону — положительным. Штампом называется поверх-
ность сооружения, в пределах которой образуется призма
выпора.
1. Действие на штамп нагрузки
с положительным эксцентриситетом
Из экспериментальных [92], теоретических [26] и других
исследовании следует, что в основании шероховатого жест-
70
кого штампа возникает уплотненное ядро. Границами ядра
являются поверхности скольжения. Их след в плоскости чер-
тежа (рис. 4.1) представляется при р = const отрезками пря-
мых линий de и е/, так как влияние объемных сил в пределах
ядра незначительно сказывается на их кривизне [51]. Будем
полагать, что на контактной границе между штампом и грун-
том не изменяется угол р> образуемый касательными и нор-
мальными напряжениями, т. е.
tg₽=-^- = const.
Получим формулы для определения углов a=^fde и 6=
= Z dfe, исходя из того условия, что в вершине уплотненного
ядра отрезки прямых пересекаются под углом %----р.
Граница ядра de является следом поверхности скольжения
первого семейства. Она образует с горизонтальной осью угол
y=90°+.Pi, где Pi — угол между прямой de и вертикальной
осью, проходящей через точку d.
Значение напряжений в точке d [109]:
Tn = crsin р cos(2pi + p), on = o[l + sin psin(2Pi+p)]. (4.1)
Тогда
ЬО Sin р COS (2Pt + р)
lg p 1 + sin p sin (2Pj + P) •
(4.2)
Из выражения (4.2) получим
11 Г tg2 В
= Г ₽ + V arcsln [ sin р (1 + tg2 ₽) +
+ -r+T^/l-tg2₽ctg2p]-
(4.3)
71
Величина углов при основании уплотненного ядра
а= Z.fde
---pi; 6= Z.efd=p+ pi.
Определим величину угла б наклона к горизонту началь-
ного участка fe следа отделяющей поверхности скольжения
из условия минимальной прочности основания (рис. 4.1). Из
рисунка следует, что величина начального радиуса особой
зоны
В sinb
sin (а -Ь о)
(4.5)
Напряжение Gd в точке d радиуса особой зоны зависит от
глубины h заложения подошвы штампа, пригрузки q на по-
верхности основания, напряжений а2 на отметке подошвы
штампа, угла раствора особой зоны и других факторов (см.
рис. 2.2, б). В конечной точке е радиуса гн
ae=Od+oTH, (4.6)
где
Gd — Gzqh^nq' &zqh~ Gz~{-.q4“У^; ОТи = 7иГн COS phnzg]
hnzq, knzg — коэффициенты пассивного сопротивления грунта.
Величины Gd, о?и находятся на основе теории предельного со-
стояния грунта.
Сопротивление призмы выпора с начальным радиусом осо-
бой зоны гн
#1 = GzqhrH COS pknzq + уиГн2 COS2 pXnzg- (4.7)
Величина равнодействующей напряжений на участке по-
верхности ef уплотненного ядра
А* о--
sin (д - р —р)
sin (В 4- — р) *
(4-8>
Предельная прочность основания
Rn ~ (.Gzqh^-R COS pXnzg Ч УмГCOS2 p%nzg) X
X [cos(a—р—р) +sin(a—р—₽)ctg(6+₽—р)]. (4.9)
Из выражения (4.9) найдем то значение угла д, при котором
величина прочности основания будет минимальной:
---[°z«A«+] sin a [ctg (р - W - ctg 8]2х
X [cos(a—р—Р) +sin(a—р—p)ctg(e+p—р)] X
72
X p2^^^ + 4lA..ficOsp] X
Xsin(a—p—₽) [l + ctg2(p—p)] =0. (4.10)
По формуле (4.10) рассчитаны с точностью ± 151 значе-
ния угла б (табл. 4.1). Величина угла б может быть подсчи-
тана [58] по приближенной формуле, т. е.
б« (—0,0011р2 + 0,1р—3,4) ₽+
+ (0,1/и2—0,36m + 1,0)р—8,7m2+25,7m +13,5,
Wag
(4.U)
где I — характерный размер штампа.
Из сравнения значений углов (ц (табл. 4Л) и углов б;, по-
лученных по формуле (4.4), следует, что б»<бг (рис. 4.1).
Таблица 4.1
^zgh’^nzq р=10° р=20° р=34° р=40° р=45°
б 3 6 Р б 3 б ₽ б
YiAnzy/ 1=1
0 0 20,5 0 35,5 0 50 0 55 0 57
3 15 6 25,5 10 36,5 12 40 13,5 42
6 8 12 15 20 23 24 24,5 27 25
9 2 Т8 4 31 5,5 36 7,5 40,5 8
0,5 0 31 0 43 0 55 0 57,5 0 60,5
3 23 6 33 10 41 12 43 13,5 45
6 17 12 22 20 27 24 29 27 30
9 7,5 18 9,5 31 10 36 11,5 40,5 12
1,0 0 36 0 46 0 56 0 60 0 62,5
3 28 6 36,5 10 43 12 45,5 13,5 47
6 19,5 12 •25 20 29,5 24 30,5 27 32
9 9 18 11 31 11,5 36 12,5 40,5 13
1,5 0 39 48 0 57 0 60,5 0 63,5
3 30,5 38 10 44 12 45,5 13,5 48
6 20 26 20 30 24 31 27 32,5
9 9,5 11,5 31 12 36 13 40,5 13,5
Это значит, что в пределах уплотненного ядра возникает по-
верхность, по которой происходит скалывание — уменьшение
размеров ядра с одновременным уменьшением размеров
призмы выпора и предельной прочности основания; расчет
давления на штамп при относительном его смещении в грун-
73
те необходимо выполнять с учетом скалывания ядра. В этом
случае длина начального радиуса гн особой зоны
Кроме естественного скалывания может возникать и вы-
нужденное скалывание уплотненного ядра, когда размеры
нескального слоя грунта недостаточны для развития общих
размеров призмы выпора (рис. 4.2) или сопротивление пер-
вого слоя меньше по сравнению с сопротивлением второго
слоя (Т1 <Тг) •
Из рис. 4.2 следует, что величина угла dfei, возникающего
при вынужденном скалывании ядра,
где
61 = л— (а+у),
(4.13)
к Q , В sin а
а = “о-----7 = arctg---------------о-----
2 Г1’ 1 & гн — В cos а
С = (^- + Р1 — 7 ±*
х— угол наклона к горизонту
следа контактной границы ме-
жду первым и вторым слоями
грунта. Для угла х знак плюс
соответствует повороту следа
против хода часовой стрелки
при совмещении с горизонтом;
знак минус — повороту его по
часовой стрелке; hi — длина
перпендикуляра, проведенного
74
от полюса d особой зоны до следа плоскости — границы ме-
лсду слоями грунта.
Вынужденное скалывание уплотненного ядра может при-
вести к увеличению предельной прочности основания, когда
это допускает подстилающий слой грунта.
Если Р<р2 и мощность первого слоя недостаточна
для развития полных размеров ядра, то оно захватывает вто-
рой слой грунта (рис. 4.3). Величина угла erf 162=62 может
быть определена по формуле (4.10) или по формуле (4.11)
с использованием 0, рг и других данных.
Действие на жесткий шероховатый штамп равнодействую-
щей внешней нагрузки с положительным эксцентриситетом
вызывает [49] в основании образование общей призмы вы-
пора и местной nbk (см. рис. 4.1). Возникновение местной
призмы ограничивает максимальное значение положительного
эксцентриситета, при котором в основании образуется уплот-
ненное ядро и удовлетворяются уравнения равновесия. Это
следует из того, что наибольшее напряжение на границе ядра
ef перемещается из точки f в положение точки и; перемеща-
ются, в связи с этим, в сторону точки d и линии действия сил
/?2 и Rn, обозначенных на рис. 4.1 штриховыми линиями.
Следовательно, для определения максимального отноше-
е
ния при котором удовлетворяются уравнения равновесия
ядра, необходимо найти положение точки п на границе ef
уплотненного ядра. В этой точке имеется равенство напряже-
ний, возникающих вследствие образования общей и местной
призм выпора.
Из условия образования призмы выпора напряжения, дей-
ствующие в данный момент времени t на границе ядра de,
определяются на ЭВМ с использованием формул (2.37). Эти
напряжения позволяют определить величину, направление и
точку приложения их равнодействующей (см. рис. 4.1).
Величина силы /?1 слагается из сопротивления призмы вы-
пора, обусловленного массовыми силами уи и пригрузкой ал,
т. е.
Rl = ^1уи + Rich- (4-14)
Геометрическая сумма сил /?1 и массы ядра Сяи уравновеши-
вается (рис. 4.4, а и б) силами R2 и Rn,
/?1 + С?яи = ^2 + ^п>
/?2 = Rzyn + Rzch-
Напряжение в точке е на прямой ef (рис. 4.4,6)
_____________________________^2 л
"е~ refCOS'S ’
(4.15)
(4.16)
75
D точке f
2^Яуи
r^/cosp
(4.17)
Напряжения на границе fe ядра при образовании местной
призмы выпора fnk рассчитываются также на ЭВМ с по-
мощью формул (2.37). На границе fe строятся эпюры напря-
жений, возникающие вследствие образования общей и мест-
ной призм выпора. Точка /п0 пересечения прямых, ограничи-
вающих ординаты эпюры напряжений, определяет положение
точки п на границе ядра ef (рис. 4.4,6). Находится центр
тяжести эпюры напряжений с максимальной ординатой
в точке п. Через этот центр пройдет линия действия
равнодействующей /?£• Пересечение линий действия сил Ri
и R2 дает точку, через которую пройдет равнодействующая
Rn внешней нагрузки в момент предельного состояния
основания. Расстояние между центром тяжести подошвы и
точкой приложения силы Rn равно значению предельного по-
ложительного эксцентриситета еп.
В частном случае, когда oz=q=h = 0, возникает макси-
мальное отношение е/В = 0,11 для условий плоской задачи
[50]; отношение e/d=0,10 [53].
Следовательно, величина отношения еп1В зависит от па-
раметров прочности грунта р, с, угла 0 наклона к вертикали
внешней нагрузки, пригрузки ozqh основания, сил инерции» на-
пряженного состояния грунта, величины угла 6, возникаю-
щего при скалывании уплотненного ядра.
В условиях пространственной задачи [54] значение угла а
(рис. 4.5, а) в сечении, совпадающем с плоскостью симметрии
призмы выпора, находится по формуле (4.4); угла б — по
формуле (4.10) или (4.11). Величина начального радиуса
особой зоны гнр (rde) рассчитывается по формуле (4.12).
Графическое определение значения угла щ, например, для
второй части призмы выпора (аг) приведено на рис. 4.5, а—г.
Вначале находится след линии 2—2 (рис. 4.5, а) пересечения
радиальной вертикальной плоскости II с поверхностью уплот-
ненного ядра, вызывающего в основании образование призмы
выпора с границами еол. След линии 2—2 обозначен цифрами
2"—2" на рис. 4Д6 и цифрами 2'—2' на рис. 4.5, в. Длина
следа 2—2Н и угол аг находятся с помощью рис. 4.5, г. Для
этой цели проектируются на вертикальную плоскость II вер-
шина конуса и точка /г; на плоскости II получаются соответ-
ственно точки еон и /гн (рис. 4.5,а). На рис. 4.5,г отклады-
вается длина отрезка 2—2, определенная с помощью
рис. 4.5, а, и длина отрезка 2—фиксируются точки <?он
и /гн. Через точку еон, отмеченную стрелкой на рис. 4.5. г, и
77
точку 2 проводятся вертикали до пересечения с продолже-
ниями прямых ео"—е0' и 2"—2'. В результате получается
точка 2Н на прямой еон—пн (рис. 4.5,г). Точка 2Н соединя-
ется прямой с точкой 2; угол пи2—2Н равен искомому углу
аг- Зная аг (oi), находим угол раствора особой зоны
и2=л— (а2+£); = (oi+g). (4.18)
Определяются напряжения в начальной и конечной точках
начального радиуса особой зоны г2, равного длине отрезка
2—2Н. Подсчитывается величина т по формуле b (4.11) и
находится значение угла 62, возникающего при скалывании
уплотненного ядра, по. формуле (4.10) или (4.11).
Величина начального расчетного радиуса особой зоны
с учетом скалывания уплотненного ядра для второй части
призмы выпора
____ d sin 62 cos __ d sin 6/ cos (4 191
r-’₽— slO(aa + M ’ G1’ “ sin (ar + M ' ’
Значение угла наклона к горизонту касательной к поверх-
ности скольжения в направлении перпендикуляра к радиаль-
ному сечению
i2 = arctg = arctg . (4.20)
Величины аг-, bi находятся в соответствии с рис. 4.5, a; bi —
среднее значение ширины i-й части призмы выпора.
Начальный радиус особой зоны г* и угол щ для радиаль-
ного сечения, отклоняющегося на Z6i = t'A0 от плоскости сим-
метрии призмы выпора, могут быть также определены с по-
мощью следующих зависимостей:
Г4=ГнрСОЗп 0г; Оа=а—Aa(i—1);
Za=Zfde (рис. 4.5,a); (4.21)
параметры п и Аа находятся с помощью графика (рис. 4.5, д).
Значения величин п и Аа в формуле (4.21) [54] получены
расчетом (рис. 4.5) и проверены по данным эксперименталь-
ных исследований [9, 49, 51, 52, 58, 82, 147, 148, 157].
Если е>еп, то под передней частью штампа возникают
минимальные напряжения или они равны нулю; не образу-
ется в основании особая зона с полюсом в точке d (рис. 4.6)
и максимально напряженная область грунта. Максимальные
напряжения возникают у заднего ребра подошвы штампа;
след поверхности скольжения в момент предельного состоя-
ния основания имеет круглоцилиндрическую форму [51].
Расчетная ширина подошвы при е>еп
Вр=ЗЬ0, (4.22)
78
где &о — расстояние между точкой f и точкой приложения на
подошве равнодействующей Rn внешнего давления на штамп
(рис. 4.6,а). Если ВР>В, то принимается в расчете ВР=В.
В слоистом основании с Ti>T2 (ti и тг — касательные напря-
жения на площадках скольжения в пределах первого и вто-
рого слоев грунта) и мощностью первого слоя, недостаточной
для развития полных размеров призмы, уплотненная зона
с основанием Вр захватывает два слоя грунта (рис. 4.6,6).
Радиусы г} и га участков следа отделяющей поверхности
скольжения могут быть определены [49, 53] с помощью номо-
граммы (рис. 4.6,в).
На рисунке 4.6, в по оси ординат отложены отношения
е/В, по оси абсцисс — значения
_ ___ а0 . О
Г
~В ’
(4.23)
По отношению е/В на оси ординат определяется точка, через
которую проводится горизонтальная прямая до пересечения
с кривыми аа и рг, соответствующими различным значениям
79
величин p/р. Значения p/р в точках пересечения могут не со-
впадать с заданными их значениями для конкретного расчет-
ного варианта. В таких случаях искомые величины находятся
на проведенной горизонтальной прямой по линейной интер-
поляции между точками пересечения. Полученные таким об-
разом точки проектируют на ось абсцисс и тем самым опре-
деляют величины аа, рг. Зная эти коэффициенты, определяют
по (4.23) координаты а0 и г центра круглоцилиндрического
следа поверхности скольжения (рис. 4.6,а и б). Из центра
проводится след поверхности скольжения радиусом гх
(рис. 4.6,6), из центра О2— след радиусом г2. На границе
слоев получается отрезок длиной l = b2b2. Параллельно этому
отрезку проводится прямая О2О2, равная длине Z, из точки
О2 , как из центра, — след поверхности в пределах второго
слоя.
На границе слоев получим отрезок длиной Ь2Ь/. Прово-
дится прямая 1О о> = 1Ь>Ь>, параллельная линии Ь2'Ь\ . Из
точки О/, как из центра, проводится участок b/а следа по-
верхности скольжения; он может выходить на поверхность
основания под углом £1 к горизонту. Используется то положе-
ние конечного участка следа поверхности скольжения, при
котором получается минимальное значение прочности основа-
ния. Если т2>Т1, то поверхность скольжения с радиусом
лишь касается границы второго слоя [51, 53].
Номограмма для определения аа, рг учитывает все основ-
ные факторы, от которых зависит характер деформации и
предельная прочность основания: величину положительного
эксцентриситета е>еп, угол р наклона к вертикали равно-
действующей Rn внешней нагрузки, действующей на штамп,
характерный размер В подошвы штампа, параметры прочно-
сти грунтбв, служащих основанием штампа (угол р внутрен-
него трения).
Расчетная ширина подошвы круглого штампа для сече-
ния, отклоняющегося на угол 0 • от плоскости симметрии
призмы выпора,
Ze=Bpcos0, (4.24)
где 60е=(/е/2)—е, Вр=ЗЬо6.
Отложив от точки приложения силы Rn отрезок, равный
Ьое, найдем положение точки f' (рис. 4.6,а). С помощью но-
мограммы и формул (4.23) определяются параметры аа, рг и
по ним фиксируется центр О*, из которого проводится след
f'b'c' поверхности скольжения для расчетной ширины по-
дошвы /е (рис. 4.6, а).
80
2. Действие на штамп нагрузки
с отрицательным эксцентриситетом
Эксцентриситет, расположенный в сторону призмы выпора,
называется отрицательным. В этом случае сечение уплотнен-
ного ядра def (рис. 4.7,а), совпадающее с плоскостью сим-
метрии призмы выпора, имеет несимметричную треугольную
форму. Грунт за гранью de переходит в предельное состояние.
Это определяет положение и направление равнодействующей
Ri сопротивления призмы deba. При q=/=09 oz=^=0, Лу=0
Ide cos р = -| а—*о> (4.25)
ГДе = 3 (./+,,) ' a = ^COSP;
Od, ое — напряжения в точках d и е радиуса de.
Точка приложения силы R2 определена [48, 49, 51] на
основе учета эпюры распределения напряжений по подошве
штампа и эпюры напряжений, возникающих непосредственно
81
в зоне отделяющей поверхности скольжения ef; = ое=
= o’max- Между точками е и f напряжения распределяются по
линейному закону, так как грунт за пределами границы ядра
ef находится в допредельном состоянии при отсутствии зон
сдвигов. Линия действия силы R2 образует угол с нормалью
к поверхности ef, равный углу р внутреннего трения грунта.
На уплотненный клин действуют: искомая критическая
сила Rn, силы Ri, R2, собственный вес бя уплотненного ядра
и его сила инерции.
Перейдем к определению величины расчетной ширины по-
дошвы штампа ВР. Если бы максимальная величина ординаты
эпюры совпадала с точкой d подошвы (рис. 4.7,6), то его
расчетная ширина ВР=ЗЬ. Из рис. 4.7, а и б следует, что мак-
симальная ордината эпюры напряжений не совпадает с точ-
кой d. Максимальное ее значение совпадает с точкой е (вер-
шиной уплотненного ядра). Это значит, что контакт подошвы
штампа с грунтом основания будет достигать величины Вр<
<ЗЬ, точка fo переместится в положение точки f (рис. 4.7,а).
При ВР=2Ь имеем случай действия внешней нагрузки с по-
ложительным эксцентриситетом. Следовательно, 26<ВР<36.
Обозначим расстояние между точками f0 и f буквой х
(рис. 4.7,6). Из уравнения SMo=O получим:
[-4-*•> <’+*₽)]+х‘ [4 о - м - 4- (1—4- f)]+
+х [4 й2* - ± ь (1+*p)+bkf (4 - лР) 4] + (4-26)
+ 4 Ар*2 (1 - Ар) - 4 *2АР(1 - *р) = 0;
ъ = • 0 <Г k С
Вр ’ и Р В •
Величина напряжения р обусловлена (рис. 4.7,6) нали-
чием пригрузки ^=/=0, <Jz¥=O и h^=Q. При ^ = oz=0 и
можно принять, что р = 0. В этом случае уравнение (4.26)
будет:
х3 [ 186 ^р(^р 4 1)] Н- Jc2 pg" (1 ^Р) 2”^р^| Н-
+ X [4 А2*------1- b (kf + 1)] + 4 Ар*2 (1 - *р) = 0. (4.27)
Значение kp (0<&Р<—д—) определяется из решения урав-
„ ^р
нении равновесия уплотненного ядра. Составим уравнения
равновесия без учета веса ядра, так как его влияние на вели-
чину других сил невелико. Из уравнений Sx=0, 2 у~0,
ZMd=0 получим:
82
Rn sin p—Rt sin (p—a) = 0,
Rn cos p—Ri—R2 cos (p—a) ® 0, (4-28)
Rnb cos ₽ — 7?! (4"a ” ^2 —— cos (P ~ —
—/?2-|-(Bp —a) tgasin (p — a)=0,
b=2---------------e. -
Из (4.28) следует:
k2 [4 tg p+4 tg p tg2 p+2m (tg p—6 tg p—tg P tg2 p] —
—k[2n tg p+2 tg p—tg P+3 tg p tg2 p+3m(tg p—tg P)] +
+ (n tg p—tg p) = 0, (4-29)
где
x0 3b
т = —^- ; n = .
a Bp
При Xq-^0 выражение (4.29) имеет вид:
k2 (4 tg p+4 tg p tg2 p)—k (2n tg p+2 tg p—
—tg P+3 tg p tg2 p) + (n tg p—tg P) =0. (4.30)
Из решения уравнений (4.26) и (4.29) или (4.27) и (4.30)
найдем те значения п и х, которые выражение (4.26) или
(4.27) обращают в тождество.
Расчетная ширина подошвы в момент предельного состоя-
ния основания
Вр=ЗЬ—х. (4.31)
Данные расчета по формулам (4.27) и (4.30) в зависимости
от отношения приведены на рис. 4.7, в. Когда -у- >2,5» то
л=1,3; 1,25<4-^2«5, 1,07<и<1,30.
Р
Если -р >2,73, то Вр=2,3 ( — е) (рис. 4.7.в).
Величина эксцентриситета е может быть такой, при кото-
рой ВР = 2,ЗЬ>В (Вр>/) (/=B = d). В этом случае напряже-
ние а/ в точке fo подошвы штампа (рис. 4.7, а) не будет равно
нулю. В таких случаях точка К приложения силы R2 на гра-
нице ядра fe (рис. 4.7, а) не совпадает с третьей точкой, она
смещается в сторону точки f (х=0). Точка же приложения
равнодействующей нормальных напряжений, распределенных
по ширине df подошвы штампа (рис. 4.7,6), совпадает с точ-
кой действия на штамп вертикальной составляющей внешнего
83
давления; связь между нормальными напряжениями nd=c и
cry найдем из условия:
I ap + 2IZ
3 Orf + v ’
ИЛИ
Gf — Gdlkty
= (4.32)
Напряжение в точке е (е'), совпадающей с вершиной
уплотненного ядра, находится по значению силы Rг,
Ое=^--^ф. (4-33)
где (Тйф — фактическое значение напряжения в точке d по-
дошвы штампа; Od$=P (рис. 4.7,6). Это позволяет уточнить
величину напряжения о/ф, действующего в точке f.
Фактическое напряжение сг/ф, возникающее в точке f по-
дошвы штампа, найдем из уравнения SMo=O для заштрихо-
ванных площадей эпюры нормальных напряжений, приведен-
ных на рис. 4.7,6:
4 (о<* - *)а (ь ~ 4"а)=4"~ —х
X [4 U-«)-(*-«)]. (4-34)
ИЛИ
_ (°d — dd^)a(3b1 — а)
°/Ф “ °'— (1-а) (21 +а -ЗЬ)~
Вертикальная составляющая равнодействующей R2 нор-
мальных напряжений, распределенных по длине e'f подошвы
штампа, пройдет через центр тяжести трапеции с основанием
I—а. Координата ее центра тяжести, отсчитываемая по гори-
зонту от вертикали, проходящей через вершину уплотненного
ядра,
_ I — a °е Ф + 2°/ Ф _______ I — а ф
3 ф + ф 3
(4.35)
Точка пересечения линии ef с вертикалью, проведенной через
центр тяжести трапеции с координатой he (рис. 4.7,6), будет
точкой К приложения силы R2 на границе ядра, когда Вр>/=
= d=B. Из уравнений равновесия уплотненного ядра Sx=0,
St/=O, = 0 получим:
Rn sin p—R2 sin (p—a) =0;
Rn cos p—7?i— R2 cos (p—a) =0; (4.36)
84
R„b cos ₽ -(4a - - [а(3-з-Ф)- + -4] Rt cos (p - a) -
_ (/— a)/?, Sin (p — a) = 0,
О
ИЛИ
k3 (—4 tg p—tg p+Ф tg P—5 tg ₽ tg2 p+6g tg p—
—3g tg p+3g tg p tg2 р+Ф tg p tg2 p) +k2 (2n tgp+
+6 tg p+2 tg p+8 tg p tg2 p—3 Ф tg p—Ф tg P tg2 P—
(4.37}
—9g tg p—3g tg p tg2 p+6g tg p) — k (3л tg p+2 tg p—
-3g tg p+tg p+3g tg р-ЗФ tg p+3 tg p tg2 p) +
+ («tgp—0tgp)=O,
где n=36/Z; *=a//; x0=ga; tg(p—a) = (1— fe+Atg2p):(l—
—2fc)tgp.
Выражение (4.37) позволяет определить значение «Р
(#р>0) с учетом ширины подошвы I и напряжений о^ф, ое, о/ф.
Минимальная прочность основания будет, когда угол
fde=Zp. Действительно, если Z.fde больше угла р, то точка
О2 удаляется от точки О2 пересечения сил Ri и Rn
(рис. 4.7,а); угол наклона силы R2 к вертикали уменьшается
и величина Rn прочности основания увеличивается. При угле
fde меньше угла р нарушается условие равновесия уплотнен-
ного ядра (силы, действующие на уплотненное ядро, не
пересекаются в одной точке). Это значит, что расчетным при
действии нагрузки с отрицательным эксцентриситетом будет
Zftfe=Zp.
Величина угла dfe
а = arctg tg р) ; (4.38)
длина ef границы ядра
lef = kpBp tg р cosec а. (4.39)
Размеры уплотненного ядра def уменьшаются вследствие
вынужденного его скалывания, когда толщина первого слоя
недостаточна (рис. 4.7, г) для развития полных размеров
призмы выпора и В этом случае длина расчетного ра-
диуса
rK=lde^ldne-Q^^ (4.40)
где 6=Zndei; длина границы ядра erf
/е,; = УВр2 + гн2—2ВрГн cos р,
8&
Рис. 4.8
fei = arcsin -Гп ^-Р .
Уплотненное ядро может захватывать второй слой грунта
(рис. 4.8), когда толщина первого слоя недостаточна и каса-
тельное напряжение Ti в первом слое больше касательного
напряжения т2 во втором. В этом случае находятся значения
&Р1 и ВР1 для первого слоя грунта. Из точек d и f проводятся
прямые, наклоненные к горизонту под углом pi и под углом
Фиксируются точки di и fi на границе слоев грунта. Из этих
точек проводятся в пределах второго слоя прямые die и ед,
образующие с границей difi углы:
Z.f\die= Zp2;
^2 = arctg(-f^~rtgp2).
Эти прямые пересекаются в точке е (рис. 4.8) вершины уплот-
ненного ядра ddiefif.
Действие центральной вер-
тикальной нагрузки (е=0,
Р = 0) на штамп вызывает в
основании образование сим-
метричного относительно вер-
тикальной оси уплотненного
ядра (рис. 4.9).
Величины напряжений, дей-
ствующие по длине начального
радиуса особой зоны, могут
быть определены на ЭВМ по
формулам (3.24). Это дает воз-
можность определить угол 6t
86
наклона к горизонту границы ядра в зависимости от измене-
ния угла pi внутреннего трения грунта и других факторов.
При криволинейной зависимости между касательными и нор-
мальными напряжениями графика сдвига будут криволиней-
ными и границы ядра. В частном случае, когда ozhq = G, из
формул (4.10) и (4.11) следует, что
М^-о = Р/+14°. (4.41)
Следовательно, границы ядра могут быть прямолинейными и.
криволинейными (см. рис. 4.9).
3. Форма и размеры ядра,
возникающего в основании идеально
связного грунта
Действие центральной нагрузки на жесткий шероховатый
штамп, расположенный на идеально связном основании
(с=/=0, р=0), вызывает в предельном его состоянии образова-
ние уплотненного ядра (рис. 4.10,а—в). Из рис. 4.10,6 и в
следует, что площадки скольжения пересекаются под прямым
углом, а действующие на них касательные напряжения по-
стоянны и равны удельному сцеплению грунта; нормальные
напряжения также равны друг другу и равны среднему дав-
лению в рассматриваемой точке [23]. Значение угла dfe
(рис. 4.10, б и в)
8 = аг< tg-rl0s2o • (4.42)
ь 1 + sm 2а v 1
87
Угол наклона равнодействующей Rn напряжений, распре-
деленных по длине df подошвы штампа,
₽ = arctg
предельное его значение
Зпрел " arctg - arctg = 20*35'. (4.43)
Радиус особой зоны (l=B = d) в плоскости симметрии призмы
выпора
r=l sin 6. (4.44)
Максимальное значение радиуса ге особой зоны, возника-
ющей в основании под круглым штампом, будет совпадать
с плоскостью симметрии односторонней призмы выпора
(0<р<рПред)- Для радиального сечения, отклоняющегося от
плоскости симметрии призмы на угол 0 = 90°, радиус особой
зоны ге=0. Промежуточные их значения (О<0^9О°)
rQ—d sin 6 cos 0, (4.45)
где d — диаметр штампа.
В частном случае, когда на штамп действует центральная
вертикальная нагрузка (р = 0, а=0), то, как следует из фор-
мулы (4.42), угол 6 = 45°.
Глава 5. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ОСНОВАНИЙ
1. Предельная прочность оснований
с линейной зависимостью графика
сдвига
В соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 5.1,
формулы (2.37), (2.62) записываются в виде (5.1), (5.2).
Применение формул (5.1) и (5.2) рассмотрим на примерах
определения прочности оснований при действии на круглый
.штамп эксцентричной внешней нагрузки, отклоняющейся от
вертикали на угол р.
2. ^=-2“[tg(Tfe,z+£) +tg(<pk-i,i+$)],
;88
n, TL + lTL
Рис. 5.1
3. m=-§-[tg(<p*,(—£)+tg(<PM-i-£)];
4. Гц I = Zk'l~V l ~ г!г,1-\т-У rk-\,in
n — m »
5. zk I = Zk' l~'n ~ Zk-'' tm~nm -^-1, /) . (5J
6. 6л1 = (рь-1,г+£;
7. 6лз=фм+£;
8. AfcSi=(rfe,z—: cos(<jpft,z+£);
9- =~Йт l(1 - 4) !x +SIn Psin <28*. + Р)! 4т
+ cos (28*, + p) J 4 ct§ ’ - te (8« + p)] cos '8m + p) tg p| ►
^==4£r{sinecos'1'-^r iSsin<8*>+p)-
—cos (26*,+p) ] [cos 6fti—sin p sin (dfti+p) ]},
a6 = -2Ar*S-‘—• (cos 6 sin |sin p [sin (28*| + p) (cos 841 —
—sin tg p) —cos (26ai+p) (sin бы+cos бы tg p) ]};
'°’ “2==^чН(1-4) lx + ship sin (28*з+ p) I-^- +
+ cos (28*з + p) ctgC - tg(8*3 + p)j| cos (8*3 + p) tg p ,
a4 = {sin 0 cos ф [# sin (28*3 + p)~
—cos(26*s+p)][cos6*3—sinpsin(d*3+p)l) . (5.1>
89‘
а6 = {cos 0 Sin ф sin p [sin (26«3 + p) (cos dft3 —
—sin dft3 tg p) —cos (26/t3 + p) (sin Cft3+cos 6ft3 tg p) ]};
11. gi = sin(yi + p)T:cosfpTav),
ft = arctg -Zk'----Zk~}'-1— ;
11 6 rk,i-rk_bl
11', g.=m.02+(a, 1=^F- -sc‘” ;
12. Qzfe, i=Oft-i, i e2^k-i, i-Фл. Pts p-«+
4-g-ie(<pft-i, i-Фл. p-a,
a= S «г, a=a2+a4+a6;
Z=1
13. 6n2=<Pkj-i—£;
14. 6пз=фь, i—£;
15. &'ns2= rk'lrr~l~h •
n 2 cos (-Pfe, / - о
,6- = "^йг К1 - 4) [x sin ₽sin <2^ + p)] -Ж7 +
+ cos (28„2 + p) (Jj- ctg c + ctg 8„2 jj sin 8я2 tg p.
₽3 = — {cos ip sin e tg p sin 6n2 [B sin (26ns+p)—
^’kl I—I
—cos(26n2+p)]}>
₽з = ~2F~~ {sin ip cos 6 tg p [sin 6n2 sin (26b2+p) +
+cos 6n2 cos (26n2+p) 1};
(5.1)
17’ 1(1 - 4) IX + s’" P s'" <28n3 + P)1 -^+
4- cos (28„3 + p) (-i- ctg C + ctg 8„3)J|sin 8„3 tg p,
₽4 = 2Г^Г tC0S 81П tg P 81П 6ПЗ I-5 81П (2Sn3 + p)“
—cos(2dn3+p)]},
06 = {sin ф cos 0 tg p [sin 6n3 sin (26n3+p) +
zrk, i
+cos dn3 cos (26n3+p) ]};
'90
18.g2 = -sin + p) v
cosjp + aY) »
<y2 === - i .
rk, I -1 ~ rk, I
18/ gi=V(Z*. I—— ) 2 sin fa + plv .
cos (p + а^)
P>’> Р = ?2+Р4+Рб!
a lt’l=='Vk, Г-Ч’К, i-i>,8₽-'p-)-
+ §26%. |-»ь, 1-1П8 p-fi;
9'. ai =
(5.1)
20- °rA,l=Va'*,|O"Sii;
21. Дф),;== 1 ln4
4tgp
22- *Рм=ч>м+Дч>м-
ЫЬ. 11
K,,
z tgp 1Tsinp ;
1 о r COS P *
10'. 02 = 2Д *. Л^2А2»
£-’ k, I
16'. ₽'1=±-^-/л,
17. ₽;=±-2^-r,^.
Z2fei = sin (6fti + p) ± cos dfei;
/2/12=sin (6h3+p) ±cos dfes;
^2n2— Sin (6n2 + p) + COS 6n2l
tznz—sin (6пз + p) + cos 6n3.
(5.2)
В точках и, /-4-Л п на поверхности основания вне подошвы
гибкого штампа (рис. 5.1, а) для сечения, совпадающего
с диаметральной плоскостью симметрии призмы выпора,
г — расстояние по горизонту от центра подошвы штампа до*
рассматриваемой точки фиксированного радиального сечения
призмы выпора: г\,п=г^ гп,\ — г^+а(п—1), где г0 — радиус
подошвы штампа.
Шаг (величина) а уточняется в результате приближений.
В точке особой зоны величина ф рассчитывается по формуле
(2.36); она разделяется на т равных частей, и граничным
для них направлениям присваиваются индексы л+1,
+т, 1. Напряжение в особой точке [109, 23]
0 —°2— ^2<р tg р
1 — sin р
Определение г, z, <р, о для остальных точек первой и вто-
рой области выполняется по формулам (5.1). При статиче-
ском действии объемных сил пп. 11, 11'; 18, 18' формул
(5.1) заменяются соответственно на формулы:
gi=?[z*. (rk, i—rk-i, i) tg p];
g2 = T[Zft, i—zk, M + (r*, i-i—rk, i) tg p].
Определение параметров в точках третьей области
(рис. 5.1, а) выполняется в следующей последовательности.
Для точек 2, п+т 4-1
__________ П - г1,п+т т п+т
%2, л-i-m+l e U, /2, п+т4-1 — “------- »
П в+т+1 = - 4- 4- arcsin ;
<T2,n+m+i рассчитываются по формулам (5.1)—пп. 13—19.
При статическом действии объемных сил значения gi и gz
определяются по формулам:
gl= У [^2, п+т+1—%1, п+т— 1, п+тГ2, n+m+1) tg р],
g2=v[Z2, п+т—^2, п+т+1 (г2, п+т Г2, n+m+1) tg р]•
Вычисление параметров для узловых точек 3, п+т+2+
+п, 2n+m выполняется аналогично.
Определение параметров остальных точек третьей области
производится по формулам (5.1), в которых параметры точки
k—1, I заменяются параметрами точки k—1, /—1. Этот этап
расчета заканчивается определением параметров точки и,
2п+т. Указанная точка должна быть близкой к точке-Р; для
осесимметричной задачи — вблизи центра штампа, т. е. [57]
1 _ гп, чп+т -
где бд — допускаемая относительная погрешность. Если по-
грешность 6>ед, то выполняют корректировку шага а на
поверхности области I (рис. 5.1), чтобы достигнуть задан-
ной точности.
Для первого приближения можно принять [57]
2гр У2ек — sin t
а==* п —У. sin е ’
— p)tg-|- .
«2
Нормальная оп и касательная тп составляющие напряже-
ния на границе уплотненного ядра находятся по следующим
формулам:
On=o[l + sinpcos2(6—о) ],
Tn = osinpsin2(6—и), (5.3)
Вершина ядра не вызывает выпора грунта (гл. 4 и 7), она
скалывается или вызывает местную деформацию грунта. Ве-
личина начального радиуса особой зоны и угол щ для ради-
ального сечения, отклоняющегося от вертикальной плоскости
симметрии на угол 0j = iA0, определяются по формулам (4.21)
и (4.19); контроль сходимости результатов счета выполняется
по точке и, п+т (рис. 5.1,а).
По значениям напряжений оп, тп, распределенных по дли-
не начального радиуса гп особой зоны, вычисляется их равно-
действующая R'u. Проекция ее на плоскость симметрии
призмы выпора при щ<90° или c2l<ci
cos p[(ci + 2c2i)o2i+ (2ci + c2i) оъ] cos ф, cos 0/, (5.4)
где Ci = 0,262r, c2i — 0,262 (r—rHiCOsaj), фг = -^—; «г — величина
изменения высоты призмы при переходе от i—1 к t-й части
призмы на вертикали, проведенной через границу штампа;
г — радиус подошвы штампа;
Ог=Уо2пг+т2пг-
Когда Oi>90° и c2i>ci, то
Ни = 4" C0S РI (С2< + 2Ci) (J2i + (Ci + 2c2i) Он] COS ф; COS 0;. (5.5)
Величина равнодействующей R2i напряжений, распределен-
ных на участке поверхности fe уплотненного ядра,
#2i=/?ii[sin(ai—р—0) : sin (6+0—р)]. (5.6)
Нагрузка на i-ю часть круглого штампа радиусом г0
Rit=Rn[cos(ai—р—0f) +sin (at—р—0)ctg(d+0f—р)].
(5.7)
Предельная нагрузка на штамп в данный момент вре-
мени t
2п
Rnt= ZRu- (5.8)
93
Для жесткого штампа
ограничивается величина по-
ложительного эксцентриси-
тета (0^е/го^0,2, р#=0„
cfz=q=h=O (гл. 4). В этом
случае сетка линий сколь-
жения строится для первой
и второй области (рис. 5.1, б).
В области Пб сетка линий
скольжения достраивается..
Это выполняется аналогич-
но построению сетки линий
скольжения третьей области
для точек 2, л + тп+1; 3, п+т+2,..., и, 2п + т.
Рис. 5.2
(рис. 5.1, а)
На линии этих точек величина
? = -£--(₽ + arcsin-|£|-);
остальные параметры рассчитываются по формулам (5.1 )>
в которых используются параметры точки п—1, I—1 вместо-
параметров точки k—1, I. Контроль сходимости при построе-
нии сетки линий скольжения осуществляется по точке и, 2и+
+ т.
Определение прочности основания при действии нагрузки
на штамп с отрицательным эксцентриситетом (рис. 5.2) вы-
полняется так же, как и для нагрузки с положительным экс-
центриситетом. Отличие состоит в следующем:
1. Угол а принимается равным углу внутреннего трения
грунта р.
2. Расчетная ширина части подошвы штампа
Bi — 3bi—Xi, bj = rocos0i—е. (5.9}
Величина Xi (хг^0) рассчитывается по формулам (4.26)
и (4.27) с использованием зависимостей (4.29), (4.30), (4.37)
или рис. 4.7, в.
3. Начальный радиус особой зоны
ri=kvBi seep cos 0г;
=2,зМг — при oz=y/z = 0, p/f>2,73.
Значение kv (0^A?p^0,435) определяется по формулам
(4.29), или (4.30), или (4.37).
4. Величина сопротивления г=й части призмы выпора
/?.= cose‘ OS^~G^ 1*Л+3<*пг+ссо8ао)| (5 1 п
3 [£рВ/ 4- с cos а0 — bi cos P + (d — c) sin P sin do] *
94
где
а0=arctg ( ts р) ; d=kvBi ecosec
c=-y, p = 3 при p/p^l,73;
p=2,3+(-|-- 1 j 0,103 при p/₽<l,73;
Xq — определяется по формуле (4.25).
Очертание уплотненного ядра под подошвой прямоуголь-
ного штампа при е=#0, рУ=0 имеет форму опрокинутой вер-
хом вниз крыши со смещенной в сторону сдвига вершиной
(рис. 5.1,в). Определение предельного сопротивления грунта
под торцами подобно расчету предельной прочности основа-
ния для круглого в плане штампа; по длине 1о,о2 сопротивле-
ние основания соответствует условиям плоской задачи.
Применительно к обозначениям, приведенным на рис. 5.1,
переписываются другие алгоритмы для расчета на ЭВМ пре-
дельной прочности оснований (см. гл. 2).
2. Предельная прочность оснований
с нелинейной зависимостью графика
сдвига
Расчет на ЭВМ параметров г, г, ф, о в узлах сетки ради-
ального сечения призмы выпора выполняется на основе ис-
пользования формул (3.24) и (3.29), (3.35), (3.36), (3.39),
(3.40) и заданной криволинейной зависимости между нор-
мальными Оп и касательными тп напряжениями на графике
сдвига. Эти формулы переписываются аналогично формулам
(5.1), (5.2) в соответствии с рис. 5.1. С изменением угла
внутреннего трения грунта изменяется и угол щ между гра-
ницей уплотненного ядра и подошвой штампа.
Исходными данными для расчета при р#=0 будут:
1) в точках на поверхности основания жесткого штампа
с нагрузкой oZh
а = т^------. <? = 0, (5.12)
1 — Sin Рн т
где рн — начальное значение угла внутреннего трения грунта;
2) угол раствора особой зоны (0 = 0)
?р="-(“/ + «. = <5-13>
а‘ ~ Т + ТГ — arcsin [ sin р( (f +tg2 ₽) +
95
+ 1 + tg»Pi V1 — tg2 ₽ ctg’ Pi]- (5-14)
Если р = е=сг2лд=О, то щ (а2=бг) находится по формуле
(4.41).
В ходе счета контролируется правильность определения
угла р внутреннего трения грунта по величине нормального
напряжения заданного графика сдвига.
Перейдем к примерам расчета.
1. Пусть требуется определить предельное вертикальное
давление (р=е = О) круглого жесткого с шероховатой подош-
вой штампа диаметром d=5 см для песков: № 1, eHi = 0,54 и
№ 2, еН2=0,64 и ен2 = 0,56 (см. табл. 1.1).
В результате решений этих задач на ЭВМ определены ко-
ординаты г, z и параметры ср, а в узлах сетки поверхностей
скольжения для радиального сечения призмы выпора. На
границе уплотненного ядра (рис. 5.3) напряжение о2=о(1 +
+ sinp). По эпюре напряжений о2 рассчитывается величина
Rn предельной прочности основания (см. табл. 1.1). Из таб-
лицы следует, что с увеличением углов внутреннего трения
грунта при нелинейной зависимости между тп и ап графиков
сдвига растет и предельная прочность оснований. Минималь-
ное их значение, при прочих одинаковых условиях, получа-
ется на основе использования расчетных формул третьей
главы.
Значение угла а=45° [6] при основании уплотненного
ядра не приводит к минимальной величине прочности грунта
(см. табл. 1.1) и не соответствует (рис. 5.3) результатам экс-
периментальных исследований по определению размеров и
формы уплотненного ядра [157, 147, 148].
96
2. Требуется определить предельную прочность основания
при действии на штамп наклонной нагрузки с положительным
эксцентриситетом при следующих данных: тп7П = аоп, т=1,1;
п = 0,6, Р=15°, 0 = 22,5°, плотность грунта у= 1,6 т/м3, диаметр
штампа d= 1,0 м, ~ <0,10.
а
В результате решения этой задачи [56] определены пара-
метры г, г, ф, о в узлах сетки радиального сечения и на гра-
нице уплотненного ядра (рис. 5.4). На этом рисунке по длине
начального радиуса особой зоны сплошной линией обозначена
эпюра напряжений при р=30°, штриховой — эпюра напряже-
ний, соответствующая криволинейному графику сдвига (дру-
гие данные для этих примеров одинаковы). Из сравнения сле-
дует, что ординаты эпюры с учетом криволинейности превос-
ходят ординаты эпюры при линейном графике сдвига.
3. Практические методы определения
предельной прочности оснований
в условиях пространственной задачи
Рассмотрим на примерах ход решения задач по опреде-
лению прочности оснований с учетом скалывания уплотнен-
ного ядра, возникающего под жесткой шероховатой подош-
вой штампа.
1. Пусть требуется определить предельное вертикальное
давление (е = 0; Р = 0) кругового жесткого с шероховатой по-
дошвой штампа диаметром d—\ м на основание при следую-
щих данных: у=1,6 т/м3, р = 30°, с=0. На поверхности грунта
действует вертикальная равномерно распределенная нагрузка
<7 = 2 кПа (рис. 5.5).
На рис. 5.5, а приведены: построенная по формулам (5.1)
и (5.2) сетка линий скольжения, границы ядра и величина
начального радиуса особой зоны.
Прочность Rn основания слагается из сопротивления вы-
пору грунта с расчетным начальным радиусом особой зоны
в вертикальном диаметральном сечении, равном части длины
образующей конуса, определяемой с учетом скалывания ядра
(гл. 4), и сопротивления вершины конуса, которая вызывает
лишь местную деформацию грунта.
Из эпюры cfz, приведенной на рис. 5.5,6, следует, что на-
пряжения по мере приближения к оси z увеличиваются по
криволинейному закону.
Разделим эпюру напряжений о по длине радиуса штампа
97
на части (рис. 5.5,6). Тогда величина сопротивления, напри-
мер, первой кольцевой части эпюры между радиусами га и гъ
= [2га2оа 4- Ос (га2—гь2) —2гь2оь],
где ос — напряжение, равное длине отрезка между точкой с и
точкой пересечения прямой, проведенной через вершины ор-
динат напряжений в точках а и b и вертикалью, проведенной
из вершины конуса.
98
Определение прочности оснований выполнено при измене-
нии угла внутреннего трения грунта от 20 до 45°. Данные
расчета приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Методы определения прочности
jRn основания, кН
предлагаемые
д, р, у,
м кПа град т/мэ
приближенные
1,0 2 20 1,6
1,0 2 30 1,6
1,0 2 34 1,6
1,0 2 45 1,6
62
356
780
9966
60
370
860
9600
64
370
880
10 000
59
267
530
3600
По расчетным значениям напряжений определялись их
равнодействующие Т?2, Rs на участках отделяющей по-
верхности скольжения (рис. 5.5,в и г); затем находилась
прочность основания Rn (рис. 5.5, д). Расчеты и сравнения
показали, что для практических целей может быть принята
длина участков /ПС1 =0,47/пЬ, /тС1=0,48/тп, /^^=0,49/^.
В инженерных’методах не учитывалось влияние простран-
ственных параметров и плотности грунта на очертание отде-
ляющей поверхности скольжения. Это позволяет упростить
графоаналитические методы расчета предельной прочности
основания. По графоаналитическому методу определяется
масса 2Gi, G2, G3, G4 объемов, поперечные сечения которых
на рис. 5.5, в обозначены буквами b\bd, dbn, dnm, dme, и
строится многоугольник этих сил (рис. 5.5, д). Из этого ри-
сунка следует, что сила 2Gi уравновешивается силами Т\
и Т2. Линия действия силы 7\ параллельна линии dbi Т2 па-
раллельна линии ab. Равнодействующая сил Т2 и G2 разла-
гается на направления сил R\ и Т3. Линия действия силы Т3
параллельна касательной к кривой, наклоненной к лучу
dn под углом ---р, Т3+С3=7?2+Т4; линия действия силы Т4
наклонена к лучу dm под углом—р, T4+G4=Rs+T^\ ли-
ния действия силы Тъ наклонена к лучу de под углом — р.
₽4+?5=₽i, Ri имеет вертикальное направление (0=15°).
99
Расчетные параметры Размер- ность Части приз
I ...1 1 II 1
Реше
1 2 3 1 1 2 3
Гв м 0,46 0,46 0,37 0,40 0,40 0,32
д град. 97 97 97 102 102 102
п 2 2 2 15 15 17
6 7,5 7,5 7,5 22,5 22,5 22,5
Rt Т 1,75 1.8 1.8 0,72 0,75 0,78
2 2Яц=5,80 т; 2 2₽2<
/=1 i=i
Предельная прочность основания (е—0, р=0) /?п=24/?ь
Результаты расчета по точному и графоаналитическому мето-
дам удовлетворительно совпадают (табл. 5.1). Точным наз-
ван метод расчета на ЭВМ по формулам (5.1) и (5.2) на-
пряжений, действующих на поверхности уплотненного ядра
при е=0, р—0.
2. Требуется определить предельную прочность основания
при действии на штамп наклонной нагрузки с положительным
эксцентриситетом при следующих данных: р=15°, е=0,09 м
(0^ -^- ^0,1). Параметры прочности грунта и другие расчет-
ные значения приняты одинаковыми с данными предшествую-
щего примера.
Решение пространственных задач по определению пре-
дельной прочности основания (е=/=0, р=#0) выполняется с ис-
пользованием метода сечений призмы выпора (рис. 5.6). Для
фиксированного сечения (9j = const) находятся вначале пара-
метры сч, 6г-, (гл. 4).
Для сечений каждой части призмы выпора строится сетка
поверхностей скольжения (рис. 5.6,а), в узлах которой и на
границе уплотненного ядра фиксируются координаты (г, z) и
параметры <р и о, полученные по алгоритму (5.1). Рассчиты-
ваются напряжения оп и тп по формулам (5.3) и определя-
ется их равнодействующая Л на границе ядра (рис. 5.6,6).
По напряжениям на участках поверхности в пределах особой
зоны (рис. 5.6, а и д) определялись их равнодействующие Rit
R2 и величина R' сопротивления выпору части призмы
[рис. 5.6,в).
Величина сопротивления второй части по направлению
сдвига штампа (угол наклона касательной к поверхности
100
Таблица 5.2
мы выпора
| Ш | IV
НИЯ
1 2 3 1 2 3
0,35 0,35 0,28 0,29 0,29 0,23
111 111 111 123 123 123
32 32 - 34 52 52 49
37,5 37,5 37,5 52,5 52,5 52,5
0,37 0,41 0,46 0,06 0,13 0,10
=6.18 т; 2 2Я3<=6,28т
скольжения в направлении перпендикуляра к радиальному
сечению для второй части призмы выпора-ф2= 15°) R2—
= R2 cos 82 cos ф2, предельная прочность основания
Rn = 2 S Ri' COsOi COS фь
f=l
где n — число частей для полуширины призмы выпора. Вели-
чина Rn может быть определена по формуле (5.8).
Графоаналитическое определение предельной прочности
основания Rn аналогично приведенному на рис. 5.5, в, гид.
Отличие состоит в том, что при е^О, р=#0 начальные ра-
диусы особой зоны уменьшаются с увеличением угла 8
(рис. 5.6,г и д); их величина находится по формулам (4.12)
и (4.21). Определение предельного сопротивления второй
части призмы выпора R2' приведено на рис. 5.6, д и ё.
Сопротивление выпору каждой части, на которые* разде-
ляется призма, приведено в табл. 5.2. Здесь точным назван
расчет 1 на ЭЦВМ по формулам (5.1) с учетом касательных
напряжений тге, тге; приближенным — расчет 2 на ЭВМ по
формулам (5.1) при тге=тге=0. В приближенном графоана-
литическом методе 3 очертание отделяющей поверхности
скольжения находится без учета пространственных парамет-
ров и влияния плотности грунта. Начальный радиус особой
зоны в радиальном сечении, совпадающем с плоскостью сим-
метрии призмы выпора, принимается равным длине радиуса,
определенного по формуле (4.12). Результаты расчета по точ-
ному и графоаналитическому методам удовлетворительно
совпадают (табл. 5.2).
Из сравнения данных табл. 5.2 следует, что расхождение
величин сопротивления частей призмы выпора с учетом каса-
101
Рис. 5.6
тельных напряжений тге, ъе и без их учета не превышает
10%. Незначительное влияние касательных напряжений на
прочность основания объясняется тем, что для первой и вто-
рой частей призмы выпора Тге->0, tzo->O. Эти части состав-
ляют главную в'еличину сопротивления призмы выпора. Влия-
ние Тге, т2е на сопротивление последующих частей призмы
возрастает. Однако, как следует из табл. 5.2, например, чет-
вертая часть призмы выпора составляет около 4% предель-
ной прочности основания. Это значит, что для практических
целей прочность основания может быть определена без учета
касательных напряжений тге и тге. В этом случае максималь-
ное расхождение данных расчета и опытов не превышает
10—15% (табл. 5.3).
3. Действие внешней нагрузки с положительным эксцен-
триситетом вызывает две формы деформации основания
(гл. 4 и 7). При -^->0,1 под подошвой штампа (d — диа-
102
Таблица 5.3
В (2г), м /, м град е, м у, т/м3 Р» град 7?г, кН | Приме- чание
ПО опыту по расчету
0,5 30 0,08 1,74 34 2,45 2,68
0,3 — 40 0,05 1,7 45 2,1 2,3
0,2 25 0,01 1,74 34 1,3 1,4
0,3 — 33 0,05 1,70 45 5,4 6,0
0,2 0,2 20 —0,03 1,74 34 1,86 1,65
1,0 1,0 7 —0,21 1,7 • 32 375 330 [147]
0,5 2,0 7 —0,38 1,7 32 330 300 [147]
метр) возникает круглоцилиндрической формы след отделяю-
щей поверхности скольжения в вертикальной плоскости сим-
метрии (рис. 5.7). Центр следа поверхности может быть опре-
делен [51] с помощью номограммы, приведенной на рис. 4.6, в,
по данным: угла р внутреннего трения грунта, расчетной ши-
рины Bi части, на которые разделяется штамп (рис. 5.7,а),
угла р наклона равнодействующей внешнего давления на
штамп и величины положительного эксцентриситета е. Часть
длины хорды в радиальном направлении вне подошвы штам-
па (рис. 5.7,6) уменьшается на величину cos0 (0 — угол от-
клонения радиального сечения от диаметральной вертикаль-
ной плоскости, 0i = 7°3O'; 02=22°ЗО' и т. д.).
Через точки пересечения периметра круглого штампа
с лучами, отклоняющимися на угол 0» (рис. 5.7,а и б), опу-
скаются перпендикуляры к поверхности основания. Пересе-
Рис. 5.7
юз
Рис. 5.8
чения их с круглоцилиндрическим следом отделяющей по-
верхности скольжения дают точки bi. Промежутки между
точками периметра штампа и точками bi есть высота h^.
тогда hi=h\ cos 0г-.
Через три точки at b, d проводится след отделяющей по-
верхности для каждой части призмы выпора (см. рис. 5.7, а
и б).
В направлении перпендикуляра к радиальному сечению
изменяется угол ф наклона к горизонту касательной к поверх-
ности скольжения. Среднее его значение для i-й части призмы:
(см. рис. 5.7, а)
^. = arctg-y-, b = 2rotg-^- = 0,262г 0,
где го — радиус штампа.
Для определения величины сопротивления, например»,
третьей части (рис. 5.7, а и б) находится масса Gi, Gs, G3, G4
объемов, на которые разделяется эта часть призмы выпора.
Точка приложения сил Gi проходит через центр тяжести ча-
стей призм. Строится [51] многоугольник этих сил
(рис. 5.7,в), находится величина Я3' и сопротивление третьей-
части призмы
Rz=R' cos ф3 cos 03.
Так же поступаем и с другими частями призмы.
Предельная прочность основания
Rn=2£Ri- (5.15)
7=1
Сопротивление второй и последующих частей может быть,
определено по формуле [50]:
104
Rm - Ri cos2 eM cos <|)M,
(5.16)
где 7?! — сопротивление первой части призмы.
Для общего случая действия сил (см. рис. 2.2, б) на осно-
вание штампа (рис. 5.8) величина Ri находится по формуле
(5.17).
Z?i = T4sin(a4—р—р) :sin(a4—р), (5.17)
где
a4 = arcsin -y- sin fp, ?p = — — 0 — a₽; h = r sin a;
Л o/_Dl„ .z h .
sin«p *
~G. COS a
“3 = arctg *_ /•------;
T3 + G4 sin «lt
“₽ = агс‘8-в^Г-
В' == В ± л0» /*₽
__ cos a
64=?4 [r2xo—h (ЗЬ0+h3 tg a'—h32 tg a'] Z4' tg, l45
a' = a+x—ту-, &3=rsin(a+x)—h, /i=/ocos0=15°,
a = arcsin-yr» Zo==2rcosa—0,5B;
тз = T2 4- G3 [sin an 4- COS xT, tg (p — ₽з)], ₽з == a + 4 ₽i “ T ;
бз=?з|Л22—/i32|Z3'ctg|Рз'Нё~2“ ’ ^з' —4 2~ 1
b3=\h3—/i2|ctg|p3'|, /3=/i—U>i+W; ^2=rsin(a+2pi)— h,
f П 3 Q
&2= |h2—hl | ctg p2 » ₽2 2 — a 2" P1’
^1=r[sin(a+Pi)—sina], &i=Aictg0i', Pi'=-j> “ g-?1»
0i=x:3;
T2 = 4\ + <?s [ sin alt + cos aT, Ctg (a + -5- ft - 4)] •
Gj COS (aTi 4- P " Л1)
^1-_ sin (*1 " pl
D2 = T“/Ai-/i4/2tg(a-i-
. xi=a + -|-₽i;
ctgpUg-^’
^=Л._а-Ар,; /2 = ^3 -Г’ z2 = zi-*i;
105
Рис. 5.9
Gi=Vi[r2Pi—ftfti (ctg р/4-tg a)—fti2tg ai]//tg-^- ,
где aVz (i=l, 2, 3, 4) —угол наклона к вертикали равнодейст-
вующей Gi сил, действующих на 7-й объем первой части
призмы выпора.
4. Графические построения, необходимые для определе-
ния прочности основания в случае действия нагрузки с отри-
цательным эксцентриситетом, приведены на рис. 5.9. Данные
для расчета: величина отрицательного эксцентриситета равна
0,07 м, диаметр штампа d=l,0 м, интенсивность пригрузки
<7 = 2 кПа, плотность грунта у=1,6 т/м3, угол наклона к вер-
тикали равнодействующей внешнего давления р=15°, угол
внутреннего трения грунта р=30°. Значение у (у) определя-
ется в соответствии с рис. 2.2, б при действии сейсмических
и других сил.
106
Прочность основания слагается из сопротивления каж-
дой части, на которые разделяются радиальными сечениями
призма выпора (рис. 5.9, о и б) и сопротивления R2 грунта на
участке ef отделяющей поверхности abnef. Начальный радиус
особой зоны для радиального сечения, отклоняющегося на
угол 0 от плоскости симметрии призмы выпора, re=re=ocos0.
Значения <р, от и координат (г, z) подсчитывались на ЭВМ
для узловых точек сетки линий скольжения (рис. 5.9,а).
По значениям ординат эпюры напряжений на отделяющей
поверхности скольжения в пределах особой зоны определены
точки приложения их равнодействующих R', R" и R'"
(рис. 5.9, б) и, наконец, сопротивление Ri части призмы вы-
пора (рис. 5.9,в). Равнодействующая сил G0 + Gi разлагается
на направление силы 7\ (Ti||d6) и направление силы Т2
(Т’гНаб): GQ=qA0, До — площадь поверхности aib\did2b2a2
призмы с поперечным сечением abd (рис. 5.9,6); Gi — масса
этой призмы (GOi — масса призмы с учетом сейсмы, GOi =
= Go+Gi). Для частей призмы с поперечными сечениями
dbn, dnm и dtne\
T2+Gq2=1R'+Т^ ГЛп&з;
Т4+С?оз=/?,,+7’б, ТбП^з*,
7в+ Go4=R"'+Ri.
Линия действия силы /?1 имеет вертикальное направление.
Сопротивление i-й части призмы выпора
Ri'=RiRi—Ri' cos яр» cos 0i,
предельная прочность основания
Rn=2£Ri,
i = l
где п — число частей для полуширины призмы выпора.
Определение сопротивления i-й части призмы выпора мо-
жет быть также выполнено по формуле (5.11). В табл. 5.4
Таблица 5.4
d, м
1,0
1,0
1,0
е, м Я, кПа т/м3 Р. град град Прочность Rn оснований, Н
1 2 3
—0,07 2 1,6 32 15 104 106 100
—0,07 2 1,7 25 15 56 55 54
—0,07 2 1,7 40 15 390 366 378
Коэффици-
ент умень-
шения к
радиусу
особой зоны
0,77
0,88
0,66
Ю7
даны результаты расчета по точному 1, приближенному 2 и
графоаналитическому 3 методам.
Из сравнения предельных значений прочности оснований
(табл. 5.1—5.4) следует удовлетворительная сходимость ре-
зультатов расчета по точным и приближенным методам. Это
следует из того, что при изменении угла внутреннего трения
в пределах от 20° до 45° расхождение между предельной
прочностью оснований по точному решению и приближенному
методу не превышает 15%. Последнее служит основой для
разработки инженерных способов определения предельной
прочности оснований.
5. Дано: q=aZq, с=1, р=0, у=1,6 т/м3, d=\ м, е=р==0.
Требуется определить напряжения о2 эпюры предельного дав-
ления на границе уплотненного ядра, угол при основании ко-
торого 6 = 45°.
Результаты расчета на ЭВМ по формулам (5.52), (2.68)
приведены в табл. 5.5.
Таблица 5.5
г, м ст:, кПа
0,50 0,0 41,400c+oZh
0,4552 0,0478 44,686c-j-o2h
0,4103 0,0897 45,772с-)-<Ьл
0,3531 0,1409 51,678c-j-oXh
0,2980 0,2019 52,873с-|-(Ух л
0,2377 0,2627 57,768с-|-огл
0,1822 0,3178 59,4/ > c~^~Ozh
0,1253 0,3807 63,41 lc-i-oZh
0,0559 0.4441 71,218с+о2Л
На рис. 5.10, а дано распределение предельного давления
az на границе уплотненного ядра.
Действие на штамп наклонной к вертикали центральной
нагрузки изменяет углы при основании уплотненного ядра
(рис. 5.10,6). Величина силы Rc для части призмы выпора
(0=0) уравновешивается силами Рщ, 6 и P2n, действую-
щими на гранях de и ef части уплотненного ядра (рис. 5.10,6).
Известными силами по величине и направлению будут: Pin>
71, Т2. Точка приложения силы Pin находится по данным рас-
чета на ЭВМ характеристик напряжения на границе ядра de:
Tl = Clde, Т2 — Clef.
Без учета сил Ту и Т2 (рис. 5.10, в)
Rc =Pln + P2n,
108
Рис. 5.10
с учетом сил Т} и Т2 (рис. 5.10, г)
Rc = Pi + Лг, /31 = /?1п + 7'ь Ръ — Ръп+Тя.
Для радиального сечения, отклоняющегося на угол 0, вы-
полняются построения, аналогичные приведенным на
рис. 5.10,6—г для проекций сил на плоскость симметрии
призмы выпора.
Примеры расчета предельной прочности оснований с от-
косом и слоистых оснований приведены в [49, 51]. Расчетные
результаты имеют удовлетворительную сходимость с данными
опытов.
109
4. Практические методы определения
предельной прочности оснований
в условиях плоской задачи
Из решения пространственных задач по определению пре-
дельной прочности оснований следуют решения для усло-
вий плоских задач. Эти решения могут быть выполнены с ис-
пользованием ЭВМ по формулам (2.37), (2.52) и (3.24),
(3.28), (3.29). Предельная прочность оснований с нелиней-
ной зависимостью графика определяется на ЭВМ по форму-
лам (3.24) и (3.48), (3.49).
Приближенное определение предельной прочности двух-
слойного основания (р<Р1<рг) для условий плоской задачи
дано на рис. 5.11. Оно состоит в том, что влияние объемных
сил на очертание поверхности скольжения не учитывается
[150]; радиальные криволинейные поверхности заменяются
плоскостями скольжения.
Вначале находится сопротивление /?/' призмы da2b2c2e
(рис. 5.11,а—в). Точка с2— точка касания отделяющей по-
верхности с границей второго слоя грунта.
Длина начального радиуса
г de=гдсгв-*1 tg pl, v i = Z c2de.
Точка b2 находится на одной вертикали с точкой О;
== ^dob2 *=а—2~ Pi» ^a2b2d = ~2 F Pi*
rdbt == rdCxe^ = b2dc2.
Масса частей da262, db2c2, dc2e обозначена буквами G', G",
6"'. Линия действия силы 7\ параллельна линии db2, Т2Ца2Ь2;
Tslldn, Т4Ппт, Ta\\dm,
R"\\em (emWerf), /Ldc2m=~—рь
Величина сопротивления R\ призмы abdid находится ана-
логично определению величины /?/'.
По данным сил /?/, /?1" определяются напряжения в точ-
ках d, di, е и величина равнодействующей Ri напряжений,
распределенных на участке de.
Действительная эпюра напряжений фиксируется из усло-
вия Gd<Od^Oe. Определение прочности основания Rn при-
ведено на рис. 5.11, в.
Если pi>p2>p, то отделяющая поверхность может прохо-
дить в пределах второго слоя. В этом случае (рис. 5.11, г)
определяется масса призм daaba, dbaCa, dcatia, driae. Строится
(рис. 5.11, д) многоугольник этих сил Gi, G2, G3, G4 и опреде-
по
ляется величина R2 сопротивления призмы a3b$ed
(рис. 5.11,г). Здесь T^dbs, Т2Ца3Ь3, R'lldm, T3\\mk, R"\\dk,
T4\\n3k, R"'\\kid, R2'\\ef.
По величине силы R2 находится напряжение в точке е
радиуса de (рис. 5.11,г). Подобно изложенному определя-
ются величины R2" и R2" сопротивления призм a2d2d и abd^d.
По значению сил R2, R2" и R2"' находятся напряжения
в точках е, d2, d\ и d.
Если уплотненное ядро возникает в пределах двух слоев
грунта (р1>рг>Р), то определяются напряжения в точках
d, du d2t е (рис. 5:11,е).
Ординаты эпюры напряжений фиксируются из условия
°d < adt °е‘
По полученным ординатам эпюры напряжений на границе
ядра dd2e находятся их равнодействующие /?1 и R2 на участ-
ках dd2, d2e и предельная прочность Rn основания
111
Рис. 5.12
(рис. 5.11, ле). Из сравнения данных расчетов предельной
прочности оснований с наблюдаемыми в опытах следует, что
расхождения между ними не превышают 14%.
Если величина положительного эксцентриситета больше
предельного его значения (е>еп), то в основании возникает
круглоцилиндрическая форма отделяющей поверхности сколь-
жения. Графические построения, необходимые для определе-
ния предельного сопротивления Rn слоистого основания
>0,11), приведены на рис. 5.12. Координаты аОь и; Яог, г2
центров 01 и О2 (рис. 5.12, а) находятся по данным: <?, В,
Р, рь е, В, р, р2 с помощью номограммы (рис. 4.6); pi>p2-
Участок поверхности ab\ проводится из центра О\ (рис. 5.12, а)
радиусом и; в пределах второго слоя bycd (bycdy)—из цен-
тра О2' радиусом О2Ь\ = Г2. Отрезок О2'О2 равен расстоянию
между точками by и 62 и параллелен контактной границе
слоев. Из рассмотрения равновесия призмы abyfd (abifdy) на-
ходится величина Rn прочности основания (рис. 5.12,б). На
этом рисунке буквами G4 и 65 обозначены масса призм byb^f
и ab\bQg\ точка т приложения силы Т?4 делит участок byf на
части так, что =0,4 (гл. 7); /а?=Вр<ЗЬ0.
Из рис. 5.12,6 следует, что
Gi = Ti+Rit Ti +G2 = T2 + /?2,
Г2+Оз=Тз+7?з, 7,з=7’з, + Гз,,.
Величина силы Тз' равна горизонтальной проекции сил R2
и Вз (рис. 5.12,6).
T'3 + G4=R4+R't R'WRn; R'+T3"+G5=R5+Rn.
112
Действие на водонасыщенное глинистое основание внеш-
ней нагрузки вызовет изменение порового давления. Величина
его зависит [122, 127 и др.] от прочности связей между ча-
стицами, сжимаемости и жесткости грунта.
При водопроницаемой площади нагружения линии равных
давлений в поровой воде обозначены на рис. 5.13, а сплош-
ными линиями с цифрами 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 от интенсивности
внешнего давления. На этом рисунке штриховой линией
113^
с цифрой 0,5 ограничена область, в которой уплотнение
грунта протекало под действием максимальных напряжений,,
вызванных действием статической нагрузки. В этой части
активной зоны будут максимальные значения угла р трения,
грунта.
В области, включающей поверхность основания вне по-
дошвы сооружения, будет иметь место минимальное значе-
ние угла р. Границы изменения величины угла р (pi <рг<ра<
<Р4<рб) в деформируемой толще основания могут проходить,
через точки 6, с, d' и т (рис. 5.13,а).
Затем определяется поверхность abcd'mef призмы, возни-
кающей в предельном состоянии основания, подверженного*
действию сейсмики. Точка а является общей точкой для по-
верхности скольжения и ломаной линии dobo'a. Величина на-
чального радиуса
Гde=^pfip/C0S Р5.
Значение kp находится по формулам гл. 4. Длина радиуса
г dm—rdeeei tg рв, 0i = Z mde-
rdd • = rdmee*tg p«, 02 = Z mdd';
rdc=rdd1 e03 tg рз, 0з = Z cdd'.
Угол fccd=90°+p2, а угол aM=90°+pi.
На участках ab, be, cd', d'm, тп отделяющей поверхности
строятся ординаты [79] порового давления воды, значения
которых показаны на рис. 5.13, а; по длине ge и ef поровое
давление в воде принято равным нулю, так как эти участки
поверхности находятся в области грунта, в которой возни-
кают отрицательные напряжения (напряжения присоса) при
взаимодействии сооружений и основания [52, 53] в условиях
сейсмики. Точка g удалена от центра тяжести подошвы
(точки 0) на величину, равную В/2. Точка т отделяющей по-
верхности удалена от точки 0 на величину В, равную [52]
ширине подошвы. В точке т гидродинамическое давление
может достигать значения, на которое не оказывают влияние
напряжения присоса. В соответствии с этим на участке отде-
ляющей поверхности gm принято изменение гидродинамиче-
ского (порового) давления по линейному закону до макси-
мальных значений в точке т.
Равнодействующие G? равны геометрической сумме сле-
дующих сил: массы Gi частей призмы выпора, переносных Цп
и относительных До сил инерции, равнодействующих по-
рового давления в воде на границах призм. Поровые давле-
ния, распределенные по объему частей призмы выпора, за-
меняются граничными значениями давлений в воде по
114
теореме о замене интеграла по площади интегралом по кон-
туру [122].
Графическое определение равнодействующей 62° сил, дей-
ствующих на вторую часть b'bcd призмы выпора, приведено
на рис. 5.13,6. Величина и направление относительного уско-
рения частей призмы находятся в соответствии с направле-
нием переносного ускорения, силы землетрясения и направ-
лениями (рис. 2.2, б) относительных смещений частей призмы
выпора [52].
Затем строится многоугольник сил Gi° (рис. 5.13, в) и
определяется величина R\ сопротивления призмы выпора
acedaz. Сила Gi° уравновешивается силами Т\ и Т’2. Линия
действия силы Т2 параллельна прямой ab, а угол между ли-
ниями действия сил Т{ и 7'2 равен —---Рь
620+72 = Тз+74, T3\\cd; ~T4\\bc.
G3°+f4=T5+T6. T5\\c'd- T6\\d'c'.
64°+Tq = Г7 + Т3, Tjflm'd', Tgll/n'm.
Gs°+7,8=7'g-l-7'io, Tglln'd; 7'юНл'л.-
^6°+7’io= T^i+l?i, 7’iiHe'J.
Линия действия силы Ri имеет вертикальное направление.
Точки с', т', п', е' находятся на пересечении касательных
к отделяющей поверхности, проведенных соответственно
в точках с, d'\ d', m\ m, n\ n, e.
Величина динамического сопротивления основания
(рис. 5.13, г) /?д=1?1+7?2; аналитическое определение вели-
чины Rz выполняется по формуле (5.11), в которой 1=1,
6i=,ipi = 0.
Если величина ускорения при колебаниях основания будет
меньше значения порогового ускорения [3, 38, 39, 54, 81, 96
133], то параметры рис прочности основания будут равны
их значениям, полученным при статических испытаниях.
5. Учет сцепления грунта
Прочность основания существенно зависит от величины
связи — сцепления между частицами грунта.
Влияние сцепления на прочность грунта учитывается [34,
116] как действие на поверхности основания равномерно рас-
пределенной нагрузки <7c=cctgp. В этом случае напряжения
ос, например, на границе уплотненного ядра, обусловленные
сцеплением грунта, одинаковы. В действительности длина
115
Рис. 5.14
поверхности скольжения в точке d, совпадающей с полюсом
особой зоны, равна нулю (/i=0), а ее длина, идущая из вер-
шины уплотненного ядра, максимальная. Это значит, что на-
пряжения ос в различных точках по длине границы ядра не
будут одинаковыми.
Влияние сил сцепления на прочность грунта будем учи-
тывать как сопротивление обобщенных удельных сил с, рас-
пределенных вдоль поверхности скольжения (рис. 5.14). Это
соответствует принятой методике определения рис (тп =
— (Уп tg р4-с), теории, результатам лабораторных опытов [89,
48, 49], натурных опытов [83, 129] и наблюдениям за фор-
мой поверхностей обрушения части массивов грунта в есте-
ственных условиях. Из этих исследований следует, что сцеп-
ление грунта практически не влияет на параметры поверх-
ности скольжения.
Возьмем на прямой de некоторую точку х (рис. 5.14, а) и
определим величину давления ох, которое необходимо прило-
жить на участке dx, чтобы преодолеть сцепление на поверх-
ности abx. Составим уравнение моментов относительно точки
d сил, действующих на призму abxd:
V
crL-cosp-l- с J rx(<p)df —Гн cos р = 0, (5.18>
Из выражения (5.18) получим
o* = Tfcle2o,g?<1+2s,nP)_1l- <5Л9>
116
Рис. 5.15
Напряжение в точке на границе уплотненного ядра, возни-
кающего в основании с откосом (рис. 5.14,6):
<те= lev*р Г 2sin/*^ +11-11, (5.20).
е 2 sin р ( [ cos (?i + р) 1 J J ' 7
v=n—а—ci—фь
При горизонтальной поверхности основания и величине h
заглубления штампа (рис. 5.14, а) напряжение в точке, совпа-
дающей с вершиной ядра,
a‘ = -2^1c2S,gP(,+2slnP)-1l+°‘' (5.21)
<5-22>
Напряжения, вызванные влиянием сил сцепления (р¥=0,
с=#0) на прочность слоистого основания (рис. 5.15,а), опре-
деляются (Ti>T2 = (J2 tg р + с2):
в точке d — по формуле (5.22);
в точке п — по формуле (5.21) с использованием значений
Ci, рь th = —л—си + -~; ai===Zfdn;
в точке ег.
с С (ЗА, — А) ( , я .
O€i = —2—^------- (rdC1COS + Ло) Н-
^.COSP1
Зс2 cos р2
rde. cos Pi
117
X M"' -4rcA)+-2^r*^’,,!f’- 1>] . (5.23)
Г«-«+—, А„- tgtltgC2
в точке е
а'—Сте^е}
<£ = Jitfh—ЛО (2Гасcos+
rde ZQS Р2
4^г)+-Аг(^,е₽- ’>] • <5-24>
При этом необходимо, чтобы Odc<anc^oeic^aec. Формулы
(5.23), (5.24) для напряжений на границе ядра в точках ei
и е получены аналогично формуле (5.19). Отличие состоит
лишь в том, что по длине участка поверхности скольжения
в пределах каждого слоя учитываются расчетные данные
этих слоев грунта.
Величина Rc прочности слоистого основания определяется
в соответствии с рис. 5.15,6. Сила Rf есть равнодействующая
напряжений, распределенных на границе ядра dert Rzc— рав-
нодействующая напряжений, действующих на отрезке е^е
(рис. 5.15,а). Линии действия сил Rf, R2C, /?зс и Rf откло-
няются на величину угла внутреннего трения грунта от нор-
малей к отрезкам dei, eie, ет и mf.
Следует отметить, что прочность Rnc основания, обуслов-
ленная силами сцепления, необходимо определить с учетом
скалывания уплотненного ядра. Это относится и к случаю
действия нагрузки на штамп в условиях пространственной за-
дачи. Здесь влияние сцепления на прочность основания учи-
тывается для каждой части призмы выпора.
Если криволинейный участок отделяющей поверхности
скольжения пересекает границу слоев (рис. 5.16,а), то напря-
жение в точке d определяется по формуле (5.22), в точке п —
по формуле (5.21), в точке е
3ci
2 sin pj
„ (4^ + 6^^^) +
Qec°sPl
г2 1
rde
_ 3C2 C0S P2
J” 2 cos sin p2
.2
(e2vt tg p,___
(5.25)
118
где v\ = Z.bdc\ V2=Z.cdm; t»3= Z.mde, r — расстояние между
точками, например, между d и т — гат.
Предельное сопротивление основания Rc определяется гра-
фически (рис. 5.16,б).
Глава 6. УСТРОЙСТВА, АППАРАТУРА
И МЕТОДИКА, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
1. Условия моделирования
Грунт при распространении сейсмических волн находится
в состоянии неустановившегося движения, в нем возникают
относительные вертикальные, горизонтальные и угловые де-
формации [126, 54] и др.
Состояние движущейся среды, находящейся в предельно
напряженном равновесии (в зоне призмы выпора), описыва-
ется уравнениями (2.12) —(2.15). Получим необходимые и
достаточные условия механического подобия двух геометри-
чески подобных случаев неустановившегося движения грун-
товой среды, находящейся в предельно напряженном состоя-
нии. Используем новые безразмерные переменные, отмечен-
ные черточкой,
оу—ocFr» Oz*-ocTj;, ое— оюв,
Trz ~ ТгО = ОТгО, Tz6 = OTz0,
C = kc, Хп = ОТп, = pl=<7p, t = Tt\
(6.1)
R=MR, z=Mz; 0=М0;
r=Lr,’z=Lz, 6=0;
Ur—vUrt uz=vuz, Ue=viie, u=vu.
С учетом (6.1), значение угловых скоростей
V — V — V — 0V
(О0= —we, Wz = = (0.2}
Подставив (6.1), (6.2) в уравнения (2.12) —(2.15), получим:
MR< + -*-^- + -dS- + =
q p! L \ dr r dO dz r /
11»
_ V dvr
" T дТ
1/2 д ( «2 \ V2---------
--дГ
Mz —
\ а ( dt 1 дтв, да т
L \ д7 "Г г дв~ дг г
К диг
д7
, V2 д / «2 \ V2------
+ — -^г hr)+—(m'ae -
jwe--L
7Р1
а ( ^rz . I до0 *б2 2тг6 \
L [ + г м дг + г )
V । V2 д ( и* \
““ дТ + L дЬ \ 2 '
J/2---
—К’г
шл); (6.3)
СТщах {Тп Пп tg р} — Ck\
Я , л- V ( “г , 5“г ,1 ^“в , <4 л.
7-^r + ^-^ + ^- + --^ + irJ=0:
^xrz
°~r — °z
Из (6.3) следуют безразмерные параметры
V R2 . z, _ k . л _ VT .
^1— а J ^2“ МТ ) Чз— ML » 44— а 45— L >
(Q.4)
Если числа qt (t=l, 2,..., 5) будут равны между собой для
двух случаев неустановившегося движения грунта, находя-
щегося в предельно напряженном состоянии, то уравнения
(6.3) состояния среды в безразмерных величинах для этих
двух геометрически подобных случаев будут одинаковы. Сле-
довательно, условия механического подобия двух геометри-
чески подобных задач заключаются в равенстве для них
чисел qi (6.4).
2. Грунты, используемые при проведении
опытов
В задачу экспериментальных исследований входило изу-
чение прочностных свойств грунтов, характера деформации,
форм и размеров призм выпора, распределения напряжений,
возникающих в однородном и слоистом грунте, предельной
J20
прочности оснований в зависимости от величины и знака экс-
центриситета статической и динамической нагрузок, действу-
ющих на модель сооружения или его фундамент.
Среднезернистый песок оснований при проведении опытов-
в лаборатории имел гранулометрический состав, приведенный
в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Крупность зерен, мм Плотность, г/см3
10-3 3-2 2-1 1- 0,5 0,5 0,25 0,25 0,10 0,10 0,05 0,05 0,01 0,01 0,002 0,002 0,001 рых- лого уплот- нен- ного
Содержание, %
5,68 | 13 I 30 | 36,71 10 | 2,04 | 1,2 | 0,8 | 0,56 1,56 | 1,81
Угол внутреннего трения песка р=34°; в подводном поло-
жении р=32°, плотность уг=2,65 г/см3. Угол внутреннего тре-
ния грунта уменьшался в условиях сейсмики (при колеба-
ниях) до 17°.
Угол внутреннего трения щебенки, используемый для уст-
ройства слоистой толщи, рл.=45°.
Величина угла р внутреннего трения грунта определялась
на сдвиговом приборе с площадью среза 7? = 40 см2 и в при-
боре трехосного сжатия. Угол внутреннего трения щебенки
находился путем сдвига в лотке одной ее части относительно
другой. Опыты имели 6—8-кратное повторение, и итоговые их
данные определялись на основе использования метода наи-
меньших квадратов [44].
В условиях сейсмики (вибрации) угол внутреннего трения
грунта рс определялся по длине радиусов особой зоны призмы
выпора, углу 0 раствора между ними, т. е. r2=rieetgpc, и по
величине угла £с между горизонтальной поверхностью основа-
ния и поверхностью скольжения максимально напряженной
области грунта ------------в момент предельного со-
стояния основания.
Для создания связного грунта в основании (р=/=0, с=/=0)
.использовались по массе компоненты: песок, цемент, молотая
глина в отношении 8:1: 0,3; марка цемента 400.
Сцепление песчаных частиц обеспечивалось цементом,
пластические свойства связного грунта достигались добавле-
нием молотой глины. Добавка цемента и молотой глины
121.
уменьшала величину угла внутреннего трения песка на 2—3°.
Величина сцепления грунта определялась растяжением (раз-
рывом) стандартных балочек, приготовленных из испытуемой
смеси.
Искусственный связный грунт использовался для того,
чтобы выявить влияние сцепления на размеры и форму
призмы выпора, отделяющую поверхность скольжения и ве-
личину предельной прочности основания в условиях, когда
напряжения в жидкой фазе р(/)=0.
Угол внутреннего трения грунтов, используемых при про-
ведении опытов, изменялся от 0 до 45°; сцепление грунта —
от 0,0062 до 0,195 МПа. Величина сцепления глины (с=/=0,
р=0) с=0,0062-?0,015 МПа, число пластичности /р = 29-?25;
показатель текучести IL = 0,954-0,63.
3. Устройства, аппаратура, используемые
при выполнении экспериментальных
исследований
Статическое действие внешней нагрузки на штамп изуча-
лось в условиях плоской и пространственной задач. Для этой
цели были запроектированы и изготовлены большой (рис. 6.1)
и малый плоские лотки, а также пространственный лоток.
Длина большого лотка 300 см, высота 120 см; расстояние
между продольными стеклянными стенками 50 см. Длина
малого лотка 120 см, высота 60 см, ширина 20 см; диаметр
пространственного лотка 95 см, высота 50 см. При исследо-
ваниях штампы располагались на поверхности и заглубля-
лись в основание; ширина их подошвы изменялась от 4 до
97 см. Штамп, использованный в большой плоском лотке,
Рис. 6.1
122
приведен на рис. 6.2. К
его подошве 1 прикрепле-
ны ребра жесткости 2,
препятствующие сколь-
жению по поверхности
грунта.
Величина, направле-
ние и точка приложения
равнодействующей внеш-
него давления на основа-
ние фиксировались с по-
мощью домкрата <?, мано-
метра 4, центрирующего
шарнирного устройства 5,
подвижной каретки 5,
транспортира 7 и полого цилиндра с пружиной 8. Наличие
пружины в полом цилиндре сохраняло практически постоян-
ной величину нагрузки при малых перемещениях модели.
Конструкция грузового устройства позволяла изменять
в желаемых пределах величину угла отклонения от верти-
кали равнодействующей нагрузки. Это достигалось с по-
мощью платформы Р, на которой смонтирована подвижная
каретка 6. Каретка перемещалась на нужную величину вин-
том 10 в направляющих платформы 9. Такое грузовое устрой-
ство не препятствовало естественному развитию отделяющей
поверхности в основании, формированию и развитию предель-
ных зон грунта, возникающих под моделью сооружения; оно
позволяло строго фиксировать направление и точку приложе-
ния внешнего давления на штамп. Величина эксцентриситета
изменялась от —9,0 см до +14 см; угол р наклона равнодей-
ствующей к вертикали — от 0,2р до 0,9р.
Конструкция грузового устройства для малого лотка отли-
чалась от конструкции для большого лотка лишь размерами.
Вдоль продольной оси подошвы штампа размещались
мессдозы для регистрации напряжений, возникающих в грун-
те, с точностью до 0,001 МПа. В мессдозах тензометр омиче-
ского сопротивления наклеивался на металлическую мем-
брану. Давление на мембрану передавалось через жидкость
камеры, что уменьшало величину прогиба резиновой мем-
браны, соприкасающейся с грунтом.
В сериях опытов были использованы фигурные штампы
(рис. 6.3). Такие штампы представляли одно целое с зоной
«уплотненного ядра» или областью недеформированного
грунта (рис. 6.3,а—в), размеры которых были выяснены
предварительно проведенными опытами. Это позволяло опре-
делить напряжения, возникающие непосредственно в зоне от-
деляющей поверхности скольжения.
123
Для определения прочности оснований под фундаментами
'мелкого, глубокого заложения использовались штампы, пока-
занные на рис. 6.3, г—и.
При проведении экспериментов в большом и малых лотках
замерялись перемещения штампов, деформации поверхности
основания с помощью мессур, величина равнодействующей
давления на штамп, напряжения на поверхности штампов и
в грунте. По этим данным строились эпюры давления грунта
по подошве, а достоверность их контролировалась показани-
ями манометров, установленных на домкратах. Перед опы-
тами была выполнена тарировка измерительной аппаратуры.
При выполнении опытов последовательно изучалось влия-
ние: 1) величины, знака эксцентриситета равнодействующей
внешней нагрузки и угла ее наклона к вертикали; 2) вели-
чины угла откоса в основании и ширины бермы — расстояния
между бровкой откоса и передним ребром подошвы; 3) вели-
чины сцепления грунта; 4) мощности слоев грунта и после-
довательности изменения их углов внутреннего трения;
5) размеров и формы ядра, возникающего под жесткой шеро-
ховатой подошвой штампа.
Экспериментальные исследования прочности оснований
при действии динамических нагрузок выполнялись с исполь-
зованием сейсмических лотков, которые приводились в дви-
жение с помощью предварительно сжатых пружин. В дан-
ный момент времени замок открывался, и энергия сжатых
пружин приводила в колебательное движение лоток, подве-
шенный на П-образных рамках. Рамы вращались относи-
тельно валов, закрепленных на стойках, жестко связанных
с основанием лотка.
Второй лоток (рис. 6.4) состоял из каркаса /, жестко при-
крепленного к днищу 2; каркас 1 поверху связан съемными
ребрами жесткости 3. На полки каркаса опираются продоль-
ные стеклянные стенки 4.
124
Рис. 6.4
Торцевые стенки 5 выполнены из листового железа. Днище
лотка 2 представляет собой жесткую железобетонную плиту,
опирающуюся на четыре стойки-пластины 6, практически не
оказывающие сопротивления колебаниям лотка, которые вы-
зывались ударником-маятником 7 и пакетами пружин 8 и 9.
Колебания лотка после удара происходили с определенной
амплитудой и периодом, это достигалось изменением вели-
чины импульса и жесткости пружин. Опоры (стойки) 6 ста-
вились также под углом к вертикали для создания наклонных
к горизонту колебаний лотка. Внутренний объем лотков за-
Рис. 6.5
полнялся грунтом, на поверхность которого или внутри раз-
мещались модели сооружений.
На вертикальных стенках и днище модели размещались
датчики местного давления, мессдозы, чертилки (рис. 6.5).
Лентопротяжный механизм 1 приводился в движение с по-
мощью зубчатой передачи 2 и электромотора 3.
На перемещающейся с фиксированной скоростью бумаж-
ной ленте 6 отмечалось чертилкой 7 колебание точки каркаса
модели 8. Корпус 9 чертилки жестко соединялся с моделью,
а лентопротяжный механизм 1 — с неподвижным основанием
с помощью жестких опор 4 и 5. Абсолютные и относительные
колебания точек модели и сейсми-
ческого лотка фиксировались чер-
тилками.
Датчики местного давления ис-
пользовались для определения гид-
родинамического давления воды в
точках смоченного периметра попе-
речного сечения модели и в порах
грунта — основания сооружения.
Для определения давления в поро-
вой воде датчики обертывались ме-
таллической сеткой и марлей. Это
позволило лишь жидкой фазе грун-
та передавать давление на их чув-
125
ствительное устройство. Регистрация гидродинамического
давления воды выполнялась также с помощью [79] пьезо-
метрических стеклянных трубок.
В центре тяжести модели размещался акселерограф [49].
Он фиксировал ускорение, возникающее при колебаниях мо-
дели. Акселерограф обладал высокой чувствительностью и
устойчивостью в работе.
Показания тензометрических приборов как при статике,
так и в условиях динамики записывались с помощью осцил-
лографов ПОБ-14, Н-700. Эти приборы и устройства были
использованы для записи напряжений, перемещений и уско-
рений.
Устройства, используемые на сейсмическом и малом пло-
ском лотках, позволили выяснить связь между динамическими
и статическими напряжениями, определить упругие и оста-
точные перемещения штампов с помощью чертилок, размеры
и форму’ уплотненного ядра, отделяющую призму выпора по-
верхность скольжения.
Масса приборов, закрепленных на 'стенках или располо-
женных внутри каркаса, суммировалась при определении об-
щей массы моделей, которая наряду с другими данными учи-
тывалась при моделировании.
4. Методика определения качественных
результатов опытов
Деформация грунта фиксировалась с помощью бумажного
экрана [48]. По этому методу разделенная карандашом на
квадратики бумага, имеющая весьма малую механическую
прочность, натягивалась по оси всей предполагаемой зоны
деформации грунта. Затем загрузка песка велась одновре-
менно по обе стороны экрана с тщательным уплотнением.
При деформации среды бумага рвется и мнется по тем
направлениям, по которым возникают поверхности сколь-
жения. Доказательством этому служит опыт, в котором бу-
мага была разрезана на квадратики размером 5x5 см. Эти
квадратики разрывались так, как проходила поверхность
скольжения в испытуемой среде. Смещения прямоугольной
сетки и разрывы бумаги дают четкие поверхности сколь-
жения.
Кроме того, для уменьшения трения песка о стеклянные
стенки лотка нами было использовано жидкое мыло (тавот)
и филигранная бумага. Указания на возможность применения
жидкого мыла даны в сообщениях Франциуса [141] о резуль-
татах его экспериментальных работ. В проведенных опытах,
связанных с разработкой методики его применения [49—51],
126
«оказалось, что бумага и жидкое мыло (тавот) снижают угол
трения песка о стеклянные стенки лотка до 2—4°, а бумага
с нанесенной на ней прямоугольной сеткой мнется и рвется
так же, как мнется и рвется бумажный экран.
Относительные смещения зон грунта или группы частиц,
даже минимальные, возникающие в основании, копировались
но смещениям тонких линий прямоугольной сетки, нанесен-
ной карандашом на филигранную бумагу. Относительные
смещения вертикальных и горизонтальных линий прямоуголь-
ной сетки позволяли видеть, что происходило в основании
в допредельном и в момент предельного его состояния.
Методы фотофиксации [68, 77], парафинированного экра-
на [100], свинцовых шариков не позволяют отделить упругие
от пластических деформаций основания, не сводят к мини-
муму трение между стеклом — стенкой лотка и грунтом, не
четко фиксируют границы между уплотненным ядром и дру-
гими зонами грунта [157] (см. рис. 1.10, а; 1.12) в момент
предельного состояния основания. Траектории перемещения
частиц грунта, копируемые на фото, слагаются из допре-
дельных перемещений зерен грунта, вызываемых уплотнением
(разрыхлением) основания, и перемещений зерен среды
в момент образования линий скольжения; траектории пере-
мещений частиц грунта и возникающие в нем площадки
скольжения в таких случаях не совпадают.
Деформация глинистого основания также определялась
с помощью бумажного экрана с нанесенной на него прямо-
угольной сеткой из горизонтальных и вертикальных линий.
Мыльная (тавотная) пленка использовалась между поверх-
ностью стеклянной стенки лотка и бумажным экраном с
целью снижения трения тонкого слоя песка, расположенного
между экраном и испытуемой глиной. Это позволило четко
фиксировать (по относительным смещениям тонких верти-
кальных и горизонтальных линий прямоугольной сетки эк-
рана) размеры и форму уплотненного ядра и других зон
испытуемой глины при действии на штамп центральной вер-
тикальной и наклонной к вертикали равнодействующей внеш-
него давления на штамп.
Качественная картина деформации основания определя-
лась с помощью метода бумажного экрана и при проведении
опытов в сейсмических лотках.
Глава 7. РЕЗУЛЬТАТЫ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
И ДЕФОРМАЦИИ ОСНОВАНИЙ
Изучение характера деформации и прочности грунта в ла-
боратории было выполнено с соблюдением натурных условий
сопротивления основания. Не изменялись траектории пере-
мещения частиц грунта направляющими для жесткого штам-
па и силами трения, которые возникали на боковых стенках
лотка. Последние практически были исключены, сведены
к минимуму с помощью бумаги и жидкого мыла (тавота).
Угол р наклона к вертикали равнодействующей 7? внешней
нагрузки и точка ее приложения на штамп сохранялись по-
стоянными при увеличении в грунте деформаций. Последние
фиксировались в начальный момент и в предельном состоя-
нии основания по смещениям вертикальных и горизонтальных
линий прямоугольной сетки и разрывам бумажного экрана.
Для различных групп опытов значения р и е изменялись
в широких пределах.
В условиях сейсмики внешнеее воздействие на основание
передавалось непосредственно моделью натурного соору-
жения.
1. Деформация и предельная прочность
однородного основания в условиях
плоской задачи
Вертикальная симметричная нагрузка вызывает под по-
дошвой жесткого фундамента, расположенного на поверхно-
сти основания, образование уплотненного ядра, представляю-
щего одно целое, ограниченное пластической полосой малой
толщины — поверхностью скольжения, составляющей с пло-
скостью подошвы угол+-J- (рис. 7.1 и 7.2). С ростом
плотности грунта ширина ядра не изменяется (рис. 7.2,а).
При увеличении высоты ребер, создающих шероховатость
подошвы штампа, возникают разрывы бумажного экрана
в зоне ядра (рис. 7.2,6). Эти разрывы образуют линии, на-
клоненные к вертикали под углом ------Общие размеры
ядра подобны между собой (см. рис. 7.2,а и б). Отделяющая
поверхность скольжения при действии на штамп симметрич-
128
ной вертикальной нагрузки является плавной кривой, не име-
ющей излома в вершине ядра. Ограниченная поверхностью
скольжения призма состоит из ядра, особой зоны и макси-
мально напряженной области. Границей для последней яв-
ляется плоскость, пересекающая горизонтальную поверхность
основания под углом ------.
Ядро под штампом, заглубленным на величину h
(Ог^-^-^4), имеет форму ядра, возникающего под подошвой
незаглубленного фундамента. Отделяющая поверхность так-
же не имеет излома в вершине ядра [49]. Криволинейная ее
часть переходит в прямолинейную и пересекает горизонталь-
ную поверхность основания под углом —?- (Рис- 7-3).
Призма перемещения состоит из ядра, особой зоны и мак-
симально напряженной области. Между этой областью и зо-
ной грунта высотою h не возникает относительных смещений.
129
Начальный радиус особой зоны является одной из границ
уплотненного ядра, конечный ее радиус составляет с горизон-
том угол ------Это относится к незаглубленным фунда-
ментам и фундаментам, для которых отношение ^4. Такое
отношение ограничивалось размерами лотка.
Действие вертикальной симметричной нагрузки на штамп,
расположенный на основании с откосом, вызывает также об-
разование начального участка отделяющей поверхности, угол
наклона которого к горизонту равен (рис. 7.4). Под
средней частью подошвы отделяющая поверхность переходит
в криволинейный ее участок, далее — в плоскую поверхность,
которая выходит на поверхность откоса (конечная часть от-
деляющей поверхности на рис. 7.4 не показана). Ее положе-
ние в основании с откосом приведено в [48].
Угол при основании уплотненного ядра, образуемый на-
чальным участком отделяющей поверхности с плоскостью
подошвы, изменяется при повороте штампа на некоторый
угол р' к горизонту в случае, когда действует вертикальная
эксцентричная нагрузка (рис. 7.5,а). При увеличении давле-
ния происходит неравномерная осадка штампа; большие
перемещения возникают у ребра, в сторону которого распо-
ложен эксцентриситет. Это вызывает постепенное увеличение
угла между линией действия вертикальной нагрузки и пер-
пендикуляром к плоскости подошвы. Нормальная и касатель-
ная составляющие напряжений от вертикальной эксцентрич-
ной нагрузки вызывают образование призмы перемещения
со стороны эксцентриситета (рис. 7.5,6) и под подошвой
штампа области грунта, которая в поперечном сечении имеет
форму несимметричного треугольника с основанием Вр«2,36
(Ь — кратчайшее расстояние между точкой приложения рав-
нодействующей и передним ребром подошвы штампа) [48,
49, 52], когда — >2,5. С уменьшением отношения увели-
чивается значение Вр.
Огибающая ординат эпюры напряжений на границах
уплотненного ядра имеет практически треугольную форму
для незаглубленных в грунт штампов и форму трапеции —
для заглубленных.
Действие внешней нагрузки с положительным эксцентри-
ситетом вызывает образование в основании отделяющей по-
верхности двух характерных форм: круглоцилиндрической
при -^->0,11, р=/=0, q=h=O (рис. 7.6) и поверхности, соот-
ветствующей теории предельно напряженного состояния
130
грунта, когда 0<-|-^0,11, 0=/=О (рис. 7.7) [48, 53]; р=34°;
0=20°.
Из рис. 7.6 видно, что призма выпора, ограниченная круг-
лоцилиндрической поверхностью скольжения, ведет себя как
твердое тело, поворачивающееся в момент предельного рав-
новесия совместно со штампом относительно некоторого цен-
тра. В этом состоянии у задней грани подошвы образуется
незначительная местная призма выпора. Центр круглоцилин-
дрической поверхности может быть определен (см. рис. 4.6, в)
с помощью номограммы [49]. Если ширина подошвы В^бе,
то ее расчетная величина Вр=3&0 (Ьо — кратчайшее расстоя-
ние между задним ребром и точкой пересечения линии дейст-
вия равнодействующей с плоскостью подошвы). Подобная де-
формация основания возникает (-~>0,11) и при использова-
нии фигурных штампов.
Центр круглоцилиндрической поверхности скольжения
(-^->0,11; р=/=0) остается неизменным в подобных случаях
действия внешней нагрузки на штамп, расположенный на
основании с горизонтальной и ломаной поверхностью.
Рис. 7.7
б)
С учетом
скалывания ядра
131
Уплотненное ядро возникает под подошвой штампа, когда
0=/=О (рис. 7.7,а). Криволинейный участок по-
верхности, начинающийся из вершины ядра, переходит далее
в плоскую поверхность скольжения, след которой образует
с горизонтальной плоскостью основания угол ----[48].
Увеличение угла 0 наклона к вертикали равнодействую-
щей давления на штамп вызывает уменьшение размеров
призмы перемещения; характер же деформации основания
остается неизменным.
Влияние откоса на размеры уплотненного ядра не сказы-
вается, лишь уменьшаются размеры второй части призмы,
а третья отделяется снизу плоской поверхностью, выходящей
на поверхность откоса [49—53].
При действии нагрузки с положительным эксцентрисите-
том (0< 5^0,11; р=/=0) возможно скалывание уплотненного
ядра, сопровождающееся уменьшением призмы перемещения
(рис. 7.7,а). На этом рисунке зафиксирован начальный мо-
мент скалывания. При скалывании начальный радиус особой
зоны уменьшается на 1/3 своей длины, когда 0=0, е=0,
' р=34°, и на большую величину при 0=/=О [49]. Уменьшение
призмы при скалывании ядра в однородном основании сопро-
вождается снижением предельной прочности основания. Оно
достигает 6—18% при 0^-^-^0,6 и 35% при ~~ =0,9; р=34°.
Подобная деформация наблюдалась также в основании раз-
резного штампа, части которого имели возможность относи-
тельного вертикального перемещения без трения между сек-
циями. Вначале в основании (р=32°, с=0) возникает призма
выпора под подошвой первой секции (рис. 7.7,6). С ростом
на штамп равнодействующей нагрузки происходит образова-
ние призмы, которая ограничивается поверхностью скольже-
ния, начинающейся под подошвой второй секции штампа.
В целом призма перемещения (0^-|-^0,11, р=И=О) со-
стоит из уплотненного ядра особой зоны, максимально на-
пряженной области грунта и грунта высотою Л, равной за-
глублению штампа.
Радиусы особой зоны, определяющие размеры призмы
выпора, начинаются в точке, совпадающей с передним реб-
ром подошвы штампа как в однородном, так и в слоистом
основаниях.
Не возникает скачкообразного перехода от одного явления
(0< ^-<0,11) к другому (4->0,11) при переходе через
границу, например 0,11 (см. рис. 7.12,6). Предельные на-
132
грузки с образованием уплотненного ядра под подошвой
штампа и с возникновением круглоцилиндрической поверх-
ности скольжения практически одинаковы при отношении
Кт)=°>11(0,10).
Скалывание уплотненного ядра возникает в однородном
основании с уменьшением начального радиуса особой зоны
до 0,67 и менее. Величина угла 6 (6^6) между основанием
ядра и поверхностью, по которой возникает скалывание, за-
висит от величины угла р внутреннего трения грунта, при-
грузки oz на поверхность основания, сцепления грунта с, глу-
бины h заложения подошвы штампа, отношения p/р. Вели-
чина угла 6, возникающего при скалывании уплотненного
ядра, подтверждается данными опытов, выполненных в лабо-
ратории и в полигонных условиях [148, 157, 83, 135, 58,, 51,
52] и др. __
Расхождение в величинах угла 6, определенных по резуль-
татам опытов [157, 83] и расчету по формуле (4.10), дости-
гают 4° при угле внутреннего трения грунта 37—38° и р,
изменяющемся от 0 до 20°. Меньше значения угла 6 получены
в опытах, выполненных без уменьшения трения грунта по
поверхности стеклянных стенок лотка [157, 83, 135], см.
рис. 1.10. __
Результаты расчета величины угла 6 и данные полигон-
ных опытов [148] практически совпадают (см. рис. 1.14),
максимальное расхождение не превышает 1—2° при р = 39°.
При определении прочности оснований необходимо исхо-
дить из условия скалывания уплотненного ядра.
Действие нагрузки с положительным эксцентриситетом
0^-g-^0,ll вызывает в основании образование общей приз-
мы выпора и местной [49, 51]. Местная призма малых разме-
ров возникает у заднего ребра подошвы штампа в однород-
ном основании, слоистом и при наличии откоса. Образование
местной призмы выпора fnk перераспределяет напряжения
на границе уплотненного ядра (см. рис. 4.1) и ограничи-
вает максимальное значение положительного эксцентриси-
тета. Из условия равновесия уплотненного ядра получается
величина отношения положительного эксцентриситета к ши-
рине подошвы -^-^0,11 [49,51].
Мощность слоев и последовательность изменения углов
внутреннего трения грунта определяют прочность основания
наряду с данными oz, у, р, с, ±е, р.
Действие нагрузки на штамп с отрицательным эксцентри-
ситетом вызывает отрыв (отделение) от грунта части по-
133
Рис. 7.8
дошвы, обращенной в сто-
рону ее задней грани, когда
В>ВР. Под подошвой шири-
ной Вр~2,36 (~jg—>2,5) воз-
никает несимметричное тре-
угольной формы ядро, вер-
шина которого позволяет
фиксировать начальную точ-
ку криволинейного участка
отделяющей поверхности
скольжения (рис. 7.8,а). Ко-
нечная ее часть представля-
ет собой плоскую поверх-
ность, образующую угол с горизонтальной поверхностью
основания ~— -g- .
Размеры призмы выпора и прочность основания не изме-
няются в подобных условиях действия нагрузки, когда к пло-
ской подошве штампа заранее прикреплено «уплотненное»
ядро (рис. 7.8,б). Из рисунка следует, что из вершины жест-
кого ядра начинается криволинейный участок отделяющей
поверхности скольжения. Конечная ее часть образует угол
------с горизонтальной поверхностью основания. В осно-
вании с каменной постелью под подошвой штампа возникает
призма трапецеидальной формы (рис. 7.9). Нижняя граница
этой призмы совпадает с плоскостью контакта между слоями
или проходит в слое грунта, прилегающем к каменной по-
стели [50]. В целом участок отделяющей поверхности под
подошвой штампа может полностью располагаться в зоне
каменной постели при большой ее толщине.
Деформация основания с откосом приведена на рис. 7.10, а.
Минимальные размеры призмы в основании, ограниченном
ломаной поверхностью, зависят от ширины бермы а0 и угла
откоса е [51].
Действие нагрузки с отрицательным эксцентриситетом на
заглубленный в грунт штамп вызывает, кроме общей призмы
перемещения, местную призму выпора (рис. 7.10,6). Осталь-
134
ная область грунта высотой h
не деформируется, она переме-
щается совместно с макси-
мально напряженной частью
грунта как твердое тело. При
этом необходимо учитывать
влияние сопротивления грунта
высотой h на величину и знак
эксцентриситета.
Деформация дресвяного
грунта (р = 45°) подобна де-
формации песчаного основа-
ния; различаются лишь разме-
ры частей призм и предельная
их прочность.
Величина равнодействующей
внешнего давления практи-
чески совпадала с ее значением, полученным с помощью
мессдоз, расположенных на поверхности плоской подошвы
штампа (рис. 7.11,а и б), «жесткого» уплотненного ядра
135
(рис. 7.11, в), на границе между каменной постелью и грун-
том (рис. 7.11, а). Из рис. 7.11,6 следует, что изменение орди-
нат эпюры давления грунта по ширине подошвы штампа за-
висит от величины и знака эксцентриситета. На графике
зависимости между давлением на штамп и его перемещением
отчетливо фиксируется площадка текучести (рис. 7.11,6).
Подобные графики наблюдались для штампов с шириной по-
дошвы, изменяющейся от 4 до 97 см. Расчетная ширина по-
дошвы Вр, определенная по формуле (4.31), совпадает с дан-
ными экспериментальных исследований [133, 34 и др.1. Если
•j- ^2,5, то Вр=2,36. С уменьшением отношения p/р увеличи-
вается расчетная ширина подошвы штампа. Если ВР>В, то
точка k приложения равнодействующей R2 на отрезке ef
перемещается в сторону точки f (см. рис. 4.7,а).
Основание уплотненного ядра равно расчетной ширине по-
дошвы Вр и в случае, когда штамп расположен на поверх-
ности грунта с откосом.
Средняя величина предельной равнодействующей внеш-
него давления на штамп, определенная с помощью домкрата,
практически совпадала с ее значением, полученным по пока-
заниям мессдоз. Средние значения данных опытов изменя-
лись в пределах /?пСр (1 ±0,08) [51].
С увеличением ширины подошвы предельная нагрузка на
штамп плавно изменялась (рис. 7.12,а и б).
Для основания с каменной постелью (см. рис. 7.11, г)
(точка е' совпадает с вершиной ядра) точка приложения
равнодействующей R2 на вспомогательной прямой e'f', оп-
ределенная по экспериментальному графику (рис. 7.13,а),
совпадает с точкой, рассчитанной по формулам четвертой
kpBp
главы. На графике отношения —-— обозначены цифрами,
а буквами с' и d'— длины отрезков e'k' и e'f'. Величина kp
определяется на основе решения уравнения (4.29) с ис-
пользованием р и рк (рк — угол внутреннего трения каменной
постели).
Для определения положения точки К' с помощью графика
вычисляется величина p/р и фиксируется точка на оси орди-
нат. Через эту точку проводится горизонталь, пересекающая
кривые графика (рис. 7.13,а). Затем определяется отношение
kpB„
—2-------число, которое может совпадать с одной из точек
пересечения кривых прямой, или находится точка, соответ-
л’р^р
ствующая заданному значению —-------- на проведенной гори-
лл
зонтальной прямой (dn — толщина каменной постели). Для
нахождения искомой точки используется линейная интерпо-
136
ляция. Найденная таким образом точка проектируется на ось
абсцисс; она фиксирует на оси искомое отношение c'/d' и по-
ложение точки К' приложения силы R2 на прямой e'f' (см.
рис. 7.11, г).
При скалывании уплотненного ядра (рис. 7.13,6) точка
приложения равнодействующей R% совпадает с точкой пере-
сечения прямых КО' и ef. Угол а0 между прямыми КО' и КО
находится по графику рис. 7.13, в.
2. Деформация и предельная прочность
слоистого основания
Мощность слоев и последовательность изменения их углов
внутреннего трения вызывает существенные изменения в ха-
рактере деформации и прочности основания. При недостаточ-
ной мощности первого слоя и р1>р2>рз призма выпора со-
держит область грунта второго слоя.
Когда -^-^0,11, р#=0 отделяющая поверхность, ограни-
чивающая призму, имеет круглоцилиндрическую форму
(рис.7.14). Для определения напряжений в зоне поверхности
скольжения использовались фигурные штампы (рис. 7.14,а).
По показаниям мессдоз, расположенных на поверхности
штампа, соприкасающейся с грунтом, строились ординаты
эпюры напряжений (рис. 7.14,6). В результате анализа ока-
залось, что точка приложения равнодействующей напряже-
ний, распределенных на участке bif поверхности afd, незна-
138
чительно отклоняется от точки т при изменении угла р в пре-
делах 0^р^34°. Отношение отрезков ~~ может быть
принято равным 0,4. При малой толщине первого слоя
С ^./) точка приложения равнодействующей напря-
жений на участке поверхности af практически совпадает с
точкой пересечения следа поверхности и линии действия
силы R.
Если угол внутреннего трения первого слоя меньше, чем
второго (pi <p2i P<pi) и мощность первого слоя недостаточна
для образования полной призмы перемещения, то центр О
поверхности (рис. 7.14, в) поднимается вверх и перемещается
в сторону заднего ребра подошвы. При этом радиус отделя-
ющей поверхности практически не изменяется с уменьшением
толщины слоя. Область грунта, ограниченная круглоцилин-
дрической поверхностью скольжения, ведет себя как твердое
тело, поворачивающееся совместно со штампом относительно
центра О.
На рис. 7.15 показана деформация двухслойного основа-
ния (pi>p2<P) при действии на штамп нагрузки с положи-
тельным эксцентриситетом (0^-~^0,11; р=/=0). Из рисунка
Таблица 7.1
61
6г
Углы, град
₽, град
10 15 20 25 30 36
56 50 44 37 31 23
48 41 34 -25 14 —
следует, что отделяющая поверхность начинается у заднего
ребра и образует угол 61 с плоскостью подошвы. В пределах
второго слоя угол между отделяющей поверхностью и кон-
тактной границей слоев бг<б1. В табл. 7.1 приведена опыт-
ная зависимость углов
и 62 от величины угла р * Л
(рис. 7.15). Отношение
максимального измерен- \
ного угла б к среднему
его значению, полученно-
А
Р2
Рис. 7.15
му по данным группы
опытов, равно 1,06.
139
Рис. 7.16
В двухслойном основании при ₽<pi<p2 и 0^-1-^0,11;
Р#=0 призма перемещения ограничивается мощностью пер-
вого слоя; отделяющая призму выпора поверхность скольже-
ния касается контактной границы слоев. Угол между грани-
цей и лучом особой зоны, конечной точкой которого является
точка касания, равен — р, -f- . Величина этого луча
и угол раствора особой зоны Определяют размеры призмы и
уплотненного ядра, образующегося под подошвой штампа.
Конечный участок отделяющей поверхности образует с гори-
„ пр
зонтальнои плоскостью основания угол —4------ту-; величина
этого угла не зависит от высоты h^z4B. Уменьшение разме-
ров призмы, скалывание ядра происходит и при действии на-
грузки с отрицательным эксцентриситетом (см. рис. 7.13,6).
Ординаты эпюр давления грунта слоистого основания
(pi<P2) для угла 0=20° приведены на рис. 7.16. Здесь оги-
бающие ординат отмечены: сплошной линией — при действии
нагрузки с положительным эксцентриситетом -^>0,11;
штриховой — при 0^-^- ^0,11, р=#0; штриховой с точкой —
с отрицательным эксцентриситетом. Из рисунка следует, что
при отношении толщины первого слоя hi к ширине подошвы
штампа В меньше 0,3 прочность двухслойного основания
увеличивается, когда это допускает подстилающий слой.
С увеличением угла р эффект упрочнения уменьшается.
140
Деформация и прочность трехслойных оснований изуча-
лась при горизонтальном расположении слоев и наклонном
к горизонту под углом £i<pi. Величина разности углов вну-
треннего трения грунта между слоями достигала 11—13°
[51].
Изучались две последовательности слоев в зависимости от
величины р и 0. В первом сочетании было: р1>рг<рз, 0<рг1
во втором— р1<р2<рз (Р1>Р2>Рз), Р^Р2- В первом случае
призма возникала лишь в пределах первых двух слоев. При
недостаточной их мощности размеры призмы уменьшались^
возникало скалывание уплотненного ядра. Это явление на-
блюдалось при действии на штамп нагрузки с отрицательным
и положительным эксцентриситетом [49].
Скалывание уплотненного ядра возникало и при мощности
первого слоя, достаточной для образования максимально воз-
можных размеров призмы О^С ~^0,11. Оно сопровождалось
уменьшением прочности основания, которое достигало 6—18%
при 0<-|<0,6; р = 34°.
Круглоцилиндрическая форма отделяющей поверхности
возникала в основании, когда -^->0,11, 0=#О; е>еп- Радиус
поверхности практически не изменялся с уменьшением высоты
второго слоя (/ii = const, 0 = const), лишь уменьшались раз-
меры призмы.
Во втором случае (р1<рг<рз; рг>Р) призма перемещения
возникала в пределах высоты первого слоя. Отделяющая по-
верхность касалась контактной границы между первым и
вторым слоями, когда мощность слоя недостаточна для раз-
вития призмы.
3. Действие нагрузки на жесткий штамп
в условиях пространственной задачи
Остановимся вначале на результатах опытов при действии
осесимметричной нагрузки на штамп.
Под подошвой круглого фундамента, расположенного на
поверхности или заглубленного в однородное основание, воз-
никает уплотненное ядро конической формы, образующая
которого составляет с основанием угол —£ +~2~ (рис. 7.17).
В вертикальной плоскости симметрии след поверхности сколь-
жения, начальный радиус которй составляет 0,6—0,7 длины
образующей ядра, выходит на поверхность основания под
углом —-------. Эта поверхность ограничивает область осо-
141
Рис. 7.17
бой зоны и максимально напряженного грунта, границы ко-
торого проявляются на горизонтальной поверхности основа-
ния при глубине заложения штампа, равной нулю. Граница
призмы на поверхности грунта фиксировалась мессурами.
Шток мессур опирался на подкладки из фанеры размерами
5x5 см. Действие вертикальной симметричной нагрузки на
штамп, расположенный на поверхности основания с откосом
(рис. 7.18), также вызывает образование уплотненного ядра
с углом при основании 4- . В момент предельного со-
стояния основания возникает наклон и смещение штампа в
сторону откоса совместно с призмой выпора. При этом про-
исходит скалывание уплотненного ядра с начальным радиу-
сом особой зоны Гн, равным 0,6—0,75 длины его образующей.
Под квадратным штампом формируется пирамидальной
формы уплотненное ядро с граничными плоскостями, накло-
ненными к плоскости подошвы под углом 4- • Конеч-
ная часть ядра, составляющая одну треть своей высоты, вы-
зывает местные смещения грунта (вблизи этой части ядра).
Углы ядра, зафиксированные с помощью слоев из цветного
песка в горизонтальном сечении, имеют форму овалов, и это
ранее было отмечено в [8]. Призма выпора возникает в на-
правлениях- по перпендикуляру к сторонам квадратного
Рис. 7.20
142
штампа и под ребрами ядра, имеющими вид овалов. Началь-
ный радиус особой зоны призмы выпора равен 0,6—0,75
длины образующей ядра. Конечный участок следа отделяю-
щей поверхности составляет с горизонтальной плоскостью
к р
основания угол ------.
Под прямоугольным штампом деформация основания про-
текала, как правило, с односторонним выпиранием грунта
в направлении перпендикуляра к большему его измерению.
Начальный радиус особой зоны составляет 0,6—0,7 длины
образующей ядра, наклоненной к плоскости подошвы под
углом -£- + * При этом радиусе отделяющая поверхность
выходит на поверхность основания, однако резкого ее прояв-
ления не наблюдалось. Графики зависимости между сопро-
тивлением и деформацией грунта (7? и S) имеют площадку
текучести [9] для круглых и квадратных штампов; для пря-
моугольных— такая площадка наблюдается более отчетливо.
Действие внешней нагрузки с положительным эксцентри-
ситетом вызывает две формы деформации основания. При
~->0,1, р#=0, под подошвой штампа (d — диаметр штампа)
возникает круглоцилиндрической формы след отделяющей
поверхности скольжения в плоскости, совпадающей с верти-
кальной плоскостью симметрии.
В направлении перпендикуляра к радиальному сечению
изменяется угол ф наклона к горизонту касательной к отде-
ляющей поверхности; величина его равна нулю для сечения
призмы перемещения, совпадающего с диаметральной верти-
кальной плоскостью симметрии призмы выпора.
На рис. 7.19, а приведены разрывы бумажного экрана
(0^-^-^0,10), расположенного в вертикальной плоскости
симметрии, при ₽=Ю°, р = 34°, e/d=0,075. Из этого рисунка
следует, что в зоне вершины конуса возникают деформации
сетки бумажного экрана, которые распространяются на одну
треть его высоты. В вертикальном сечении, перпендикулярном
плоскости симметрии призмы, возникают также разрывы бу-
мажного экрана, расположенного под центром тяжести по-
дошвы штампа (рис. 7.19,6); на левой части рисунка приве-
дены разрывы и деформации экрана при р = 20р, р = 34°; на
правой — при р=15°. Положение разрывов экрана совпадает
с огибающей, проведенной в сечении через точки с высотами,
равными 2/3 высоты ядра.
Действие нагрузки с отрицательным эксцентриситетом
изменяет характер деформации грунта в условиях простран-
ственной задачи (рис. 7.20). Из рисунка следует, что в вер-
143
тикальной диаметральной плоскости симметрии призмы вы-
пора след отделяющей поверхности скольжения под подош-
вой штампа совпадает с прямой, наклоненной к плоскости
подошвы под углом а (а=10-Н2° при р=20°, р=34°). Затем
он переходит в криволинейную часть, которая сменяется пря-
мой, образующей угол с горизонтальной поверхностью осно-
вания, равный . Размеры призмы выпора в ради-
альных направлениях (0=/=О) уменьшаются пропорционально
cos 0.
Расчетная ширина в сечении уплотненного ядра под по-
дошвой штампа ВР~2,ЗЬ; р/Р>2,5; здесь b = rcos0—е; г —
радиус штампа; е — величина отрицательного эксцентриси-
тета. Размеры сечения ядра, возникающего под подошвой
штампа в основании с откосом, практически не зависят от
параметров е^=0; ао=#О.
При недостаточной мощности первого слоя (p2>pi>₽)
возникает уменьшение размеров призмы в сечении и .одно-
временно с этим — скалывание соответствующей части уплот-
ненного ядра.
По ординатам давления грунта, фиксируемым с помощью
мессдоз и осциллографа, строились эпюры (см. рис. 7.20) и
определялась величина R прочности основания (рис. 7.21);
величина ординат эпюр изменяется в зависимости от вели-
чины и знака эксцентриситета. Здесь следует отметить, что
действие на штамп внешней нагрузки с положительным экс-
центриситетом вызывает две формы деформации основания.
При 0^-^-^0,10; р=/=0 под подошвой штампа образуется
конической формы уплотненное ядро, вершина которого вы-
зывает лишь местную деформацию грунта. Начальный радиус
особой зоны в вертикальной плоскости симметрии составляет
часть длины образующей конической поверхности. Величина
угла б наклона следа поверхности скалывания в вертикаль-
ной плоскости симметрии призмы выпора совпадает с его
значением, рассчитанным по формуле'(4.11).
Величина начального радиуса для радиального сечения,
отклоняющегося от вертикальной плоскости симметрии
призмы выпора на угол 0, рассчитанная по формуле (4.19),
совпадает с его значением, определенным экспериментально.
При >0,10; Р#=0 в основании возникает круглоцилин-
дрической формы след отделяющей поверхности в вертикаль-
ной плоскости симметрии призмы выпора (рис. 7.22,а). Центр
следа, определенный с помощью номограммы (см. рис. 4.6)
по данным: р, В, е, Bi (Bi — расчетная ширина частей, на ко-
торые разделяется штамп), совпадает с его положением.
144
определенным по опыту.
Часть длины хорды в ра-
диальном направлении
вне подошвы штампа
уменьшается на величину
cos 0 (0 — угол отклоне-
ния радиального сечения
от вертикальной диамет-
ральной плоскости сим-
метрии призмы выпора),
0! = 15°, 02 = 30° и т. д. Че-
рез три точки a, b, d про-
водится след отделяющей
поверхности. для каждой
части Bi (рис. 7.22,6).
Точки bi на кривых а&сЦ
•совпадают с конечными
точками перпендикуляров
метра штампа, по длине которого образуется призма выпора:
Jii = hi-i cos 0/.
В направлении перпендикуляра к радиальному сечению
изменяется угол яр наклона к горизонту касательной к поверх-
ности скольжения. Среднее значение для i-й части призмы
(рис. 7.22, а)
== arct ;
6о=О,262го,
где г0 — радиус штампа; А0=15°.
Действие нагрузки с отрицательным эксцентриситетом
вызывает образование следа отделяющей поверхности, кото-
Рис. 7.22
Рис. 7.23
145
рый на рис. 7.23, а и б обозначен буквами abnef. Начальный
радиус следа rH = &p£pSecp; конечный
, , 3 р
Гк гне'’ 6 Р» 77 — — 71---тр •
Начальный радиус особой зоны радиального сечения
уменьшается на величину cos0 (рис. 7.23,а).
Под средней частью прямоугольных штампов с отноше-
нием сторон -^-^2 возникает деформация основания, соот-
ветствующая условиям плоской задачи; под торцами штампа
„ В
длиной —2~ деформация грунта соответствует условиям про-
странственной задачи [51, 52].
Деформация оснований для заглубленных штампов (О^С
^-^-^2, р=#0) происходит с односторонним выпором грун-
та; при е=0, 0 = 0 под квадратными и круглыми штампами
возникает, как правило, осесимметричное поднятие поверх-
ности грунта [9, 49, 147, 148].
Деформация слоистых оснований с откосом, скалывание
ядра, изменение наклона следа отделяющей поверхности при
переходе из одного слоя в другой, уменьшение угла раствора
особой зоны при наличии откоса протекают так же, как слои-
стого грунта и оснований с откосом в условиях плоской за-
дачи [50, 51].
4. Исследование деформации и предельной
прочности связного грунта
(р=#0; с=#0)
Существенным является вопрос о влиянии сцепления ме-
жду частицами на очертание отделяющей поверхности сколь-
жения и прочность грунта. В связи с этим были проведены
опыты, в которых штамп размещался на поверхности связ-
ного грунта. Размеры использованных штампов изменялись
от 8 до 40 см.
Характер деформации связного грунта при действии вер-
тикальной центральной нагрузки на жесткий штамп в усло-
виях плоской задачи приведен на рис. 7.24, а. Из рисунка
следует, что под подошвой штампа возникает уплотненное
ядро. Угол, образуемый начальным участком отделяющей
поверхности с плоскостью подошвы, изменялся от 59 до 61°
при р~0. Из вершины ядра идет криволинейный участок по-
верхности, который далее переходит в плоскую поверхность,
выходящую на ненагруженную плоскость основания под
146
углом ------£- . Грунт области особой зоны в момент пре-
дельного состояния разрушался (рис. 7.24,6); зона макси-
мально напряженного грунта оставалась в виде недеформи-
рованнбго тела.
Деформация грунта призмы перемещения определялась
также с помощью непосредственного замера мессурами.
В результате наблюдения оказалось, что увеличение переме-
щений поверхности основания начинается при величине на-
грузки, близкой к предельной. В момент предельного состоя-
ния происходило резкое уменьшение внешнего давления на
штамп (рис. 7.24,в). Из этого рисунка следует, что связный
грунт имеет существенно большие остаточные деформации по
сравнению с упругими.
В целом формы отделяющих поверхностей скольжения для
песчаного и связного грунтов близки друг к другу. Это на-
блюдалось при действии на штамп нагрузки с положитель-
ным и отрицательным эксцентриситетом. Размеры призм для
связного грунта меньше размеров призм для песчаного осно-
вания. Объясняется это, по-видимому, уменьшением в связ-
ном грунте угла внутреннего трения на 2—3°, вызванным до-
бавками цемента и молотой глины.
В условиях пространственной задачи сцепление грунта не
изменяло практически форм отделяющей поверхности, оно
в основном увеличивало прочность основания (р=/=0, с=/=0).
147
5. Деформация и предельная прочность
идеально связного грунта
(с=/=0; р=0) '
Действие центральной вертикальной нагрузки на штамп,
расположенный на поверхности или заглубленный в глини-
стое основание, вызывает образование уплотненного ядра,
угол по вершине которого равен (рис. 7.25). Из вершины
ядра начинается след круглоцилиндрической поверхности
скольжения, имеющий радиус, равный 3,5—3,6 см при ширине
подошвы штампа В = 5 см. Величина угла раствора особой
зоны v— К внешней границе особой зоны прилегает мак-
симально напряженная область грунта с зоной высотою Л,
равной заглублению штампа. Эти зоны отделяются от осталь-
ной части грунта поверхностью скольжения, след которой об-
разует с горизонтом угол, равный . Действие наклонной
к вертикали центральной нагрузки на штамп уменьшает
высоту ядра (рис. 7.26). Если угол наклона центральной рав-
нодействующей нагрузки 0=20-4-2 Г, то происходит сколь-
жение штампа по поверхности глинистого основания (с=
= 0,0625-?0,015 МПа, р=0). Величина угла при основании
уплотненного ядра 6=Zdfc=26° при 0 = 8°; с=0,0063 МПа
(рис. 7.27). В пределах ядра прямоугольная сетка деформи-
Рис. 7.27
Рис. 7.28
148
ровалась; ее ячейки имели форму
параллелограмма в момент пре-
дельного состояния основания,
когда число пластичности грунта
/р = 29, консистенция /ь = 0,95.
С увеличением сцепления грунта
с=0,009<-0,015 МПа (/в=25,
/ь=0,63) ячейки сетки в преде-
лах ядра подвергались меньшей
деформации.
Деформация глинистого осно-
вания (с=/=0, р=0) с откосом,
начинающимся у передней грани
подошвы штампа, приведена на
рис. 7.28. Из рисунка следует,
что под подошвой штампа также
образуется уплотненное ядро, к
внутренней границе которого
прилегает особая зона, а к по-
следней — максимально напря-
женная область, над которой по-
коится грунт высотой h, равной
заглублению подошвы штампа. При приведении опытов вели-
чина угла откоса е изменялась от 5 до 18°.
Действие наклонной к вертикали предельной нагрузки на
круглый штамп, расположенный на поверхности или заглуб-
ленный в основание, вызывает одностороннюю призму вы-
пора, которая в плане имеет форму, близкую к кругу
(рис. 7.29). Центр этого «круга» совпадает с точкой плоско-
сти симметрии призмы выпора. Наиболее выпуклая часть
призмы была удалена от центра тяжести площади подошвы
штампа на 8 см при заглублении Л =1,8 см и сцеплении
грунта с=0,015 МПа. В направлении перпендикуляра к пло-
скости симметрии наибольший размер призмы равняется
11 см при диаметре штампа d=5,8 см и р=10°. Из рисунка
7.29 также следует, что размер призмы выпора уменьшается
пропорционально cosO, 0 — угол отклонения радиального се-
чения призмы от ее плоскости симметрии.
Предельный угол наклона к вертикали центральной на-
грузки на штамп ((b=^=p=0, с=#0) рпред=20-?2Г. Если
р<рпреД, то угол б при основании уплотненного ядра совпа-
дает с его величиной, определенной по формуле (4.44).
Количественные результаты опытов приведены в гл. 8.
149
6. Действие динамической нагрузки
на штамп, расположенный на поверхности
и заглубленный в основание
Внешняя динамическая нагрузка, передаваемая пружин-
ным импульсатором на основание, возрастала в течение 10—
30 мс и убывала в промежутке от 30 до 60 мс. Действие им-
пульсивной нагрузки вызывало колебания частиц грунта и
перемещения, которые начинались непосредственно под реб-
рами подошвы штампа. С ростом величины импульса в осно-
вании увеличивались напряжения и зоны пластических пере-
мещений, которые в предельном состоянии ограничивались
отделяющей поверхностью скольжения. Действие на штамп
вертикального импульса (удара) вызывало под его подошвой
образование уплотненного ядра, угол при основании которого
б^-4-+т- [521-
При скалывании ядра величина угла уменьшалась так же,
как и при действии статической нагрузки [54].
Увлекаемые в перемещения области грунта при ударе
не ограничивались вертикальными границами призмы, на по-
верхность которой передавалось внешнее динамическое дав-
ление: деформированные области грунта возникали с правой
и левой сторон от уплотненного ядра. Размеры перемещаю-
щихся зон увеличивались с ростом величины действующего
импульса, и в предельном состоянии некоторая область в ос-
новании ограничивалась снизу отделяющей поверхностью
скольжения. Эта поверхность подобна поверхности, возни-
кающей при статическом действии внешней нагрузки на
штамп с положительным и отрицательным эксцентриситетом.
Деформация водонасыщенного основания соответствовала
перемещениям, возникающим в воздушно-сухом грунте.
Уплотненное ядро, образующееся под подошвой, совершало
практически совместные движения со штампом, расположен-
ным на поверхности основания.
Ординаты эпюры напряжений по подошве штампа имели
огибающую, обращенную выпуклостью в сторону основания
(рис. 7.30,а); наибольшие ординаты соответствовали сред-
ним точкам ширины подошвы штампа. На рис. 7.30,6 приве-
ден график зависимости между 7? и S, построенный по дан-
ным экспериментальных исследований, с учетом инерцион-
ного (штриховая линия) и статического (штрихпунктирная)
сопротивления основания.
Перемещение заглубленного в грунт штампа под дейст-
вием импульса вызывало образование уплотненного ядра.
Уменьшение размеров призмы, вызванное скалыванием
ядра, зафиксировано на рис. 7.31; угол между плоскостью
150
скалывания и основанием яд-
ра равнялся 48—50° при р=
= 34°. На рис. 7.31 показана
начальная стадия развития по-
верхностей скольжения; конеч-
ная их стадия не приведена.
При отношении -£->0,11;
Р=Н=О в основании возникала
отделяющая поверхность круглоцилиндрической формы.
В целом деформация основания, скалывание уплотненного
ядра происходят так же, как и при действии на грунт стати-
ческой нагрузки; предельная же нагрузка на основание уве-
личивается за счет сил инерции частей призмы выпора.
7. Предельная прочность основания,
подверженного действию колебаний,
возникающих в условиях сейсмики
Для определения прочности однородного и слоистого осно-
ваний в условиях сейсмики использовались модели сооруже-
ния с шириной подошвы до 0,5 м [52].
Действие внешней нагрузки на колеблющееся основание
в условиях сейсмики вызывало в предельном состоянии обра-
зование двухсторонней призмы перемещения (рис. 7.32). От-
деляющая поверхность, например левой части призмы, по-
добна поверхности, которая возникала при действии нагрузки
с отрицательным эксцентриситетом на статическое (непод-
вижное) основание [48].
Подобная деформация наблюдалась в однородном и двух-
слойном (с каменной постелью) основании с пригрузкой берм
массивами — бетонными блоками, щебенкой. Призма выпора
быстрее возникает при наклонных к горизонту колебаниях
с малой частотой. При большой частоте колебаний (со=33с-1)
151
модель сооружения вызывает смещения грунта в стороны от
вертикальной плоскости симметрии и опускается в основание
[52].
Ускорение модели меньше ускорения основания. Зависи-
мость между ускорениями при коэффициенте трения грунта
по подошве модели f=0,5 и частоте колебаний основания
моделей со =(15—33) с"1 приведена на рис. 7.33, где Wn и №м
обозначают соответственно ускорения лотка и модели: g—
ускорение свободного падения. Сейсмическое воздействие на
сооружения значительно ослабляется податливостью и демп-
фирующими свойствами основания.
Под частью ширины подошвы колеблющейся модели воз-
никает сжатие грунта, а под другой ее частью в этот момент
образуется присос (растяжение) в жидкой фазе. Ординаты
напряжений по подошве изменяются по величине и знаку
в зависимости от направления поворота при колебаниях. От-
рицательные напряжения в жидкой фазе грунта, вызванные
напряжениями присоса, распространяются в основание до
глубины, равной ширине В подошвы штампа, и в стороны от
вертикальной' плоскости, проходящей через центр подошвы,
на расстояние до 0,75В.
Изменение знаков напряжений под подошвой в процессе
колебания штампа способствует нарушению прочности осно-
вания. Напряжения- присоса в момент образования призмы
выпора имеют незначительную величину.
Величина угла внутреннего
Рис. 7.34
трения водонасыщенного пес-
ка уменьшается,- как показали
опыты, по мере роста вели-
чины ускорения (рис. 7.34).
Уменьшение угла трения при
вибрации воздушно-сухого пес-
ка установлено ранее.
Каменная постель не изме-
няет общих закономерностей,
возникающих в однородном ос-
новании при-сейсме; динами-
152
ческая же прочность основания существенно возрастает. Уве-
личение прочности достигается заглублением каменной по-
стели в основание.
Глава 8. СОПОСТАВЛЕНИЕ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
И РАСЧЕТНЫХ ДАННЫХ
1. Сравнение результатов экспериментальных
исследований
Экспериментальное изучение деформации и предельной
прочности оснований выполнялось нами с использованием
малых и больших штампов. Поэтому представляется весьма
существенным выяснить сходимость результатов, полученных
на моделях, с данными крупномасштабных и полигонных
опытов. Сравнение выполнено на основе использования тео-
рии моделирования (гл. 6).
При статическом действии нагрузки на песчаное основание
в условиях плоской задачи несущая способность натурного
основания
п =
-^- = const; -|- = const; ?к — к, рн = Рм- (8.1)
В условиях пространственной задачи
«. = #• (8.2)
«м
В связном грунте [89] силы сцепления в модельном осно-
вании
kv.
(8.3)
Рассмотрим вначале качественные результаты опытов.
В модельном (из дюралюминиевых цилиндров длиной
50 мм) грунте под шероховатой жесткой подошвой штампа,
нагруженного вертикальной симметричной силой, возникало
уплотненное ядро с углом при основании, изменяющимся от
60 до 35° [137]. Максимальное его значение равно ~ ,
153
а минимальное — величине угла, образующегося при скалы-
вании ядра (р = 26°).
Форма отделяющей поверхности, полученная [147, 148]
в песчаном грунте, совпадает с данными выполненных иссле-
дований, приведенных в главах 2—5 и 7 (см. рис. 1.13 и
рис. 7.1—7.3; рис. 1.14); на рис. 1.14 расчетные результаты
отмечены штриховой линией.
Размеры уплотненного ядра, зафиксированные, например,
на рис. 1.10, а и б [157, 82], близки к тем, которые получены
в опытах при скалывании ядра (рис. 7.7).
Размеры призмы выпора в предельном состоянии основа-
ния [34] при е=—1/50 В подобны тем, которые получены
в выполненных нами опытах (см. рис. 1.15 и рис. 7.8).
В слоистом основании (с каменной постелью [50]) также
возникает призма выпора перед штампом, размеры и форма
которой (см. рис. 1.1.6) соответствуют приведенным на рис. 7.9.
Зависимость характера деформации основания от величины
и знака эксцентриситета [89] подобна результатам опытов,
приведенным на рис. 7.5—7.10.
Из сравнения форм и размеров уплотненного ядра, полу-
ченных в опытах [9] и нами (гл. 4, 7), следует, что имеются
расхождения: угол при основании ядра не равен 45° (р=/=0,
с=/=0), не совпадают размеры призм и положение отделяю-
щих поверхностей скольжения в зависимости от отношения
hl В (рис. 7.3, 8.1 и др.). •
Исследования прочности песчаных оснований, выполнен-
ные сотрудниками Гидропроекта [131], показали, что наличие
эксцентриситета и его знак оказывают существенное влияние
на размеры и положение зоны выпора в основании сооруже-
ния. Этот экспериментальный результат [131] совпадает
с данными опытов [48, 49]. Кроме того, имеется удовлетво-
рительное совпадение размеров призм выпора и форм отде-
ляющих поверхностей скольжения. Это следует из рис. 1.17,
на котором поверхности скольжения [131] отмечены линией
с крестиками, а опытов [48, 49] — штриховой линией.
Некоторое несовпадение отделяющих поверхностей можно
объяснить трудностью фиксирования их границ полосками из
цветного песка, трубками, прилегающими торцами к стеклу,
искажающим влиянием сил трения между песком и стен-
ками лотка [131, 59].
Под круглым штампом получено [8, 9] уплотненное ядро
конической формы, образующая которого может быть накло-
нена к плоскости подошвы под углом 4- -у- • При скалы-
вании ядра величина этого угла уменьшается (гл. 4).
154
155
в (d), м 1г, м . Л в у, т/м8 р, град 0, град е, м
1 1 1,0 32
0,1 0,1 — 1,0 32 —
0,63 — — 1,79 34 — —
0,063 1,79 34 — —
1,65 — 0,7 1,71 34°30' —— —
0,1 — 0,7 1,75 34 — —
1,65 — 1,16 1,71 34°30' — —.
0,1 — 1,16 1,75 34 — •—
10 1 1,71 32 23
0,27 1 — 1,75 32 23 —
7,12 1 —— 1,74 32 22 — 1,19
0,27 1 —— 1,75 32 22 —0,045
1,0 1,0 —— 1,7 32 7 —0,21
0,15 0,15 «_ 1,75 32 7 —0,03
0,5 2 — 1,7 32 7 —0,38
0,075 0,3 — 1,75 32 7 —0,057
1,42 1 1,7 31 28°30' 0,03
0,47 1 — 1,75 32 28°30' —0,01
1,42 1 1,7 31 22 —0,03
0,47 1 — 1,75 32 22 —0,01
2,5 1 •— 1 34 —0,05
0,47 1 1 34 28°30' —0,01
1,25 1 1 34 20W —0,03
0,37 1 1 34 22°30' —0,01
1,25 1 1 34 29 0,03
0,37 1 1 .34 29 —0,01
1,25 1 — 1 34 26°30' —0,03
0,37 1 *— 1 34 26°30' —0,01
Таблица 8.1
Коэффици- ент модели- рования Rn, кН Литера- тура
по опыту с учетом коэф- фициента моде- лирования
1 480 480 [147]
1000 0,46 460
1 273 273 [9]
1000 0,3 300
1 7300 [9]
4500 0Л8 8100
1 10000 10000 [9]
4500 2,4 10900
1 8600 8600 [89]
1000 7,5 7500
1 3020 3020 [81]
710 4,5 3200
1 375 375 [147]
300 1,3 390
1 330 330 [147]
300 1 300
1 176 176 [34]
9 196 176
1 280 280 [34]
9 26 234
1 580 580 [131]
28,4 19 540
1 270 270 [131]
11,5 19 200
1 173 173 [131]
11,5 125 143
1 200 200
11,5 160 183
№ опыта Размеры штампа, м h В (т) у, т/м3 р, град с, т/м3
В Ю 1
1 0,3 1,68 33 . .
2 0,63 — — 1,79 34 —
3 0,63 — — 1,77 33,5 —-
4 1,65 — 0,7 1,71 34,5 —
5 1,65 — 1,16 1,71 34,5 —
6 0,5 2,0 — 1,6 37 0,65
7 0,5 2,0 1,0 1,67 35,5 0,4
8 0,5 2,0 1,0 1 i 1,74 38,5 0,5
9 1,0 1,0 0,5 1,74 38,5 0,8
10 0,71 0,71 0,57 1,8 22 1,3
11 0,71 0,71 0,7 1>8 25 1,5
12 0,71 0,71 — 1,74 20 1,0
13 0,71 0,71 — 1,74 20 1,0
14 1,0 1,0 — 1,0 32 —
15 0,5 2,0 1,0 1,8 32 —
16 1,0 1,0 0,5 1,8 32 —
17 1,0 1,0 0,5 1,8 32 —
18 1,0 1,0 — 1,7 32 —
19 0,5 2,0 — 1,7 32 —
Примечания: 1. Результаты опытов 1—5 заимствованы из [9],
слоя была соответственно равна 0,5, 0,5 и 0,9 м; плотность второго слоя
триситет е = —0,21 м, а в опыте 19 е=—0,38 м.
Сравнение количественных результатов лабораторных
опытов (гл. 7) с данными полигонных экспериментальных
исследований дано в табл. 8.1. Предельная прочность осно-
вания, полученная под штампами малых и больших разме-
ров, практически совпадает.
Из приведенного выше сравнения следует, что имеется
удовлетворительная сходимость полученных (гл. 2—7) каче-
ственных и количественных результатов с данными крупно-
масштабных опытов.
Деформация связного грунта (р=^0, с=/=0) при действии
вертикальной центральной нагрузки на жесткий штамп
в условиях плоской задачи дана на рис. 7.24. Из сравнения
рис. 7.24, а и рис. 1.12 следует, что в целом имеется совпаде-
ние формы уплотненного ядра; более четкие его границы со-
ответствуют рис. 7.24, а. Расчетную нагрузку на грунт необ-
ходимо выполнять с учетом величины и знака эксцентриси-
тета, угла р наклона к вертикали равнодействующей внеш-
него давления на штамп в момент предельного состояния
основания.
156
Таблица 8.2
Сопротивление основания Rn, кН
, по опыту по расчетным методам
предла- гаемому В. Г. Бере- занцева i к. Тер- цаги А. Бал- ла X. Муса В. Нан- сена
2,82 2,52 1,1 3,6
273 267 136 40
160 237 ПО 38,6
7300 9300 6500 2530
10000 10900 7260 3550
1050 1083 650 — 1034 1080 623
1200 1160 — 850 1400 1200 880
2300 2050 — — 2500 2420 1750
3350 4100 2760 1000 3200 4600 2200
210 214 .— 220 340 — 200
242 362 —— ПО 516 290
126 136 — —
140 136 120 150 220 130
480 420
980 810 — — — — —
1250 1140 — .— — — —
1700 1520 — •— •— — —
375 330 .— •— — — —.
330 300 — — — — —
6—13 —из [82], 14—19 —из [147]. 2. В опытах 15—18 мощность первого
грунта в этих опытах у2=1,0 т/м8. 3. В опытах 18, 19 угол 0=7°; эксцен-
2. Расчетные и экспериментальные результаты
предельной прочности оснований
при статическом действии на штамп
внешней нагрузки в условиях
пространственной задачи
Сравнение экспериментальных данных с результатами
расчета по существующим методам выполняли А. Балла
[135], X. Мус, X. Каль [147], Д. М. Милович [82], В. Г. Бе-
резанцев [9], Ю. Н. Мурзенко [85] и др. Эти сравнения
показывают, что данные расчета по предложенным ранее
методам отличаются от опытных в меньшую сторону и это
уменьшение достигает двух и более раз (см. рис. 1.18,
табл. 8.2). Такое расхождение результатов расчета прочности
однородных оснований с данными крупномасштабных экспе-
риментальных исследований объясняется тем, что расчетные
схемы не совпадают с физической картиной деформации
основания под круглым штампом, квадратным и прямоуголь-
157
ным. В расчетных схемах [118, 137] угол при основании
уплотненного ядра принят равным углу р внутреннего трения
грунта или 45° [9]. Здесь не учитываются изменения, которые
возникают при взаимодействии шероховатой подошвы штам-
па и грунта, величины и знака эксцентриситета, скалывание
ядра, а также и то, что расчетная ширина подошвы ВР=/=
—2е. Это приводит к тому, что нарушается условие по-
добия между сопротивлением основания и размерами штампа,
принятыми в расчетной схеме; размеры призмы выпора в на-
туре и по расчету существенно отличаются друг от друга
(рис. 8.1). Отделяющие'призму выпора поверхности скольже-
ния по существующим [9] методам, обозначенные на рис. 8.1
штриховыми с точкой линиями, лежат выше наблюдаемых
в опытах (сплошные линии) и расчетных с учетом скалыва-
ния ядра (штриховые линии). Из табл. 8.2 следует, что име-
ется удовлетворительная сходимость результатов расчета по
предложенным (гл. 2—5) методам и данным крупномас-
штабных и полигонных опытов [9, 82, 137, 147 и др.]. Это
относится как в однородному, так и слоистому основаниям.
На рис. 8.2, а результаты расчета с учетом скалывания
ядра обозначены штриховой с точкой линиями; на рис. 8.2, б,
виг данные опытов и расчета обозначены соответственно
сплошной и штриховой линиями.
Действие наклонной к вертикали внешней нагрузки вызы-
вает в основании одностороннюю призму выпора (рис. 8.2,0
и в), размеры и форма которой зависят от величины и знака
эксцентриситета.
Учет величины и знака эксцентриситета при определении
предельной прочности основания и скалывания уплотненного
ядра приводит к удовлетворительной сходимости форм и раз-
меров призм выпора, полученных по расчету и в опытах
(гл. 7). В СНиП 2.02.01—83 [118] предложены формулы для
расчета Fu предельной прочности оснований в условиях про-
странственной и плоской задач. Формулы для определения.
158
Таблица 6.3
№ опыта Ь, м Р, град fln = Fu, кН Примечание
по опыту по расчету
1 2 3 4 5
1 0,16 10 15 8 12 1 —по СНиП 2.02.01—83;
2 0,2 10 21 — — 19 — 2 — по теории предельно на-
3 0,2 15 12 6,75 11 — 3 пряженного состояния грунта с
4 0,24 15 21 — — 17 — учетом образования уплотнен-
5 0,3 15 35 — — 44 ного ядра;
6 0,16 20 9,9 3,75 — 5 — 3 — с учетом естественного и
7 0,2 20 8,1 5,8 — 7,1 — вынужденного скалывания
8 0,24 20 11,6 8,1 — 10,2 — 2,2 ядра;
9 0,3 20 ч 21,5 — — 16,2 •— 4 — с учетом отрицательного
10 1,0 0 2130 1635 — 2600 — эксцентриситета;
11 1,0 10 1730 1285 — 1460 _ 1 1 _ 5 — при р=30°
12 1,0 20 1040 563 — 870 — —
13 1,0 30 360 320 — 300 W—
14 1,0 10 — 53 77,6 65,7 103 —
15 1,0 20 — 22,4 42 28,6 84 —
16 1,0 25 — 12 15,5 4,9 44,4 —
В опытах № 1—9: ЛР=А—ДА= 18,5 см [59]; е=0, /=0,82 м, у=1,72 т/м3, р=38°;
в опытах № 10—13: /=3 м, е=0, ДЛ=0,2 м, у= 1,2 т/м3, р=39° [148];
в опытах № 14—16: /=5 м, р=32°, е=±6 см, -у=1 т/м3, Ги (1—9)—в расчете на 1 м.
величины Fu в условиях пространственной задачи получены
[118] на основе обработки результатов экспериментальных
исследований. В табл. 8.3 приведены данные опытов [59».
148], расчетов Fu по СНиП [118] и предлагаемым методам.
Из сравнения данных расчета по предлагаемым методам с ре-
зультатами опытов (табл. 8.2, 8.3) следует, что их расхож-
дение не превышает 20%, по [118] —достигает 50% и более.
Следовательно, определение прочности оснований по предла-
гаемым формулам и методам приводит к результатам доста-
точной для практики точности.
3. Расчетные и экспериментальные результаты
предельной прочности оснований
при статическом действии на штамп
внешней нагрузки в условиях
плоской задачи
Результаты опытов и расчета предельной прочности осно-
ваний при действии на штамп вертикальной центральной на-
грузки приведены в табл. 8.4. Из сравнения значений сопро-
тивления основания при 0^“^4 следует, что предельная
нагрузка, полученная в результате использования расчетных
схем [9], преуменьшена до двух раз в сравнении с данными
экспериментальных исследований.
160
Таблица 8.4
№
опы-
та
h/B е, м
Р,
град
Т»
т/м3
р.
град
Прочность основания
Rnt кН/м
по
опы-
ту
по методам
расчета
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
>18
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
10,0
7,12
7,12
7,12
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
J,8
1,8
0,03
0,69
0,55
1,09
1,12
1,09
0,14
0,06
—0,09
-0,09
—0,09
-1,19
-1,19
—1,19
25
30
30
25
25
23
22
20,5
22,5
1,75
1,75
1,75
1,75
1,75
1,71
1,74
1,74
1,74
1,8
1,78
1,64
1,72
1,79
1,71
1,8
1,68
1,69
34
34
34
34
34
32
32
32
32
42
37
36
37
40,5
36,5
42
36
36
62
40
87,5
65
45
8600
3020
4460
4460
8100
2380
2200
3310
9000
4150
10400
4500
5600
53
34
73
60
41
7000
3300
4000
3260
7300
2670
2300
2660
8100
3900
13000
5220
5220
5570
1830
1400
1850
6700
3500
12200
4100
4100
1870
1380
1920
2180
2840
2820
В, м
Примечание. В опытах № 2, 4 и 5 ширина бермы а0 соответст-
венно равна 0,8, 0,5 и 0,25 м; угол откоса ei—15, 20 и 25°.
Для заглубленного в грунт штампа определение прочности
основания в справочнике проектировщика [91] рекомендуется
производить по методу В. Г. Березанцева [9] с отделяющей
поверхностью, отмеченной на рис. 8.1 штриховой с точкой
линией. По этому методу форма отделяющих поверхностей и
размеры призм выпора, ограниченных ими, существенно отли-
чаются от получениях при выполнении крупномасштабных
(см. рис. 1.13) и лабораторных (см. рис. 7.3) опытов. Этим,
в основном, можно объяснить расхождение результатов опре-
деления предельной прочности оснований по имеющимся
в литературе формулам и полученных при проведении опытов
(табл. 8.4, 8.5).
Действие на штамп предельной вертикальной эксцентрич-
ной нагрузки вызывает наклон штампа к горизонту на угол
р' и призму выпора, которая ограничена на рис. 8.3 штрихо-
вой линией; сплошной — обозначена граница расчетной приз-
мы [91]. Как видно из рисунка, в целом имеет место несо-
161
впадение в основании даже зон возникновения призм выпора.
Естественно, что в этом случае будет иметь место расхожде-
ние результатов расчета.
Для определения предельной эксцентричной и наклонной
к вертикали нагрузки, действующей на штамп, предлагается
Таблица 8.5-
№ опы- та В, см A-J-S п у, т/м3 р, град Прочность основания Rn, кН/м
по опыту по методам расчета
В
предла- гаемым В.Т.Бе- резан- цева
1 6 0,03 1,73 41 6,6 6,2 4,1
2 6 0,07 1,75 42,5 7,9 8,4 6,4
3 6 0,06 1,72 41 6,5 6,3 4,3
4 6 0,08 1,72 41 7,9 7,1 4,5
Б 6 0,05 1,73 41 6,9 6,5 4,4
6 8 0,15 1,77 42 8,8 14,1 11
7 8 0,10 1,77 42 10 13,3 10,1
8 180 0,11 1,8 42 7750 7200 5570
9 180 0,11 1,8 42 8200 7200 5570
10 180 0,11 1,79 40,5 6400 5600 3600
11 180 0,06 1,79 40,5 6500 5540 3600
12 180 0,07 1,73 37 3420 2800 1980-
13 180 0,01 1,74 37 2380 2800 1980
14 180 0,03 1,72 37 3300 2800 1980
15 180 0,01 1,64 36 2200 22.00 1550
16 180 0,03 1,63 36 1440 2200 1470
17 6 0,72 1,72 41 10 10 8,6
18 6 0,75 1,72 41 11,8 11 9
19 8 1,19 1,77 42 21,6 25,3 26.
20 8 1,18 1,77 42 24 25,3 25,4
21 180 0,69 1,79 40,5 9000 8100 6700
22 180 0,67 1,79 40,5 9000 8100 6700
23 180 0,55 1,71 36,5 4150 3900 3500-
24 180 0,58 1,71 36,5 4150 3900 3600
25 180 1,12 1,68 36 4500 5220 4100
26 1-80 1,09 1,69 36 5600 5220 4100
162
[91] использовать расчетную схему, которая соответствует
теории предельно напряженного состояния грунта [109].
В этой расчетной схеме не учитываются образование уплот-
ненного ядра под подошвой штампа, его скалывание, возмож-
ная величина и знак эксцентриситета, при которых совпадают
расчетные и опытные размеры призм, прочность основания.
В справочнике проектировщика [91] предложен метод
проверки прочности основания при несовпадении значений
расчетного эксцентриситета ер [78] с эксцентриситетом е рав-
нодействующей внешнего давления на штамп. Это значит,
что вызываемые в основании перемещения (деформации
грунта) с одной стороны расчетным давлением, а с другой —
действующей нагрузкой — не совпадают. В таких случаях не
будут совпадать предельные значения прочности основания
по расчету и в реальных условиях, так как не выполняются
критерии подобия [101].
Опыты с разрезными штампами [115, 116] показали со-
впадение результатов расчета с учетом приведенного угла р
и увеличение прочности основания более чем в пять раз по
сравнению с той, которая получается при использовании
условия пластичности Ренкина—Прандтля (Кулона—Мора).
Абсолютная величина предельной прочности при уск=
= 1,46 т/м3, ф=30°, е=0, р=0, р=35°20' (р=25°20') получена
• ПИ] равной 7?п = М-гУ-
Предельная прочность Rn, подсчитанная на основе исполь-
зования условия прочности Ренкина—Прандтля (Кулона—
Мора), с учетом скалывания уплотненного ядра, приведена
в табл. 8.6.
Таблица 8.6
у, т/м3 р, град р, град ip, град В, м Rn, кН-м Rn, кН-м
1,46 30 35°20' 30 6 6600 9900
1,46 35 35°20' 30 6 16300 9900
1,46 25°20' 35°20' 30 6 3480 9900
Из таблицы следует, что предельная прочность Rn осно-
вания при р=35°20' больше в Кб раза абсолютной величины
предельной прочности_/?п при ф=30° [115, 116]. Если р=
25°20', то Rn меньше Rn почти в 3 раза. Это значит, что пра-
вильное определение угла р внутреннего трения грунта и ис-
пользование расчетной схемы, соответствующей работе грунта
в реальных условиях, обеспечивает сходимость результатов
расчета с использованием условия пластичности Кулона—
163
Мора с данными опытов, выполненных в лаборатории и в на-
турных условиях (табл. 8.1—8.6).
Для определения предельной прочности оснований при
действии на штамп наклонной к вертикали внешней нагрузки
рекомендуются [117, 118] различные по содержанию методы.
Остановимся вначале на методе ломаных (пересекаю-
щихся) плоскостей [19, 119]. Из табл. 8.7 следует, что наи-
Таблица 8.7
Расчет- ные па- раметры Методы расчета однородного основания
пе- ресе- каю- щихся пло- ско- стей В. С. Христо- форова ВНИИГ предлагаемый
₽, град 20 25 20 15 25 20 15 25 20 15
Ь, м 4,35 4,35 4,35 4,35 4,35 4,35 4,35 4,35 4,35 4,35
Вр, м 8,7 8,7 8,7 8,7 8,7 8,7 8,7 10 10 10
kP — — 0,116 0,15 0,245 — — — 0,149 0,149 0,244
Rn. кН 6400* 5600 8160 13500 4250 4770 11000 10800 11000 22500
3100 . 8250 17500
* В числителе — при у=1,05 т/м3; в знаменателе — при у=1>85 т/м3.
меньшее значение прочности однородных оснований и осно-
ваний с каменной постелью получается по методу [19, 119].
Это объясняется тем, что расчет по этому методу приводит
к выражению (1.1), из которого следует, что при увеличении
плотности грунта и неизменных других данных величина угла
наклона к горизонту отделяющей поверхности скольжения
под подошвой штампа (рис. 1.1) уменьшается. Последнее вы-
зывает уменьшение размеров призмы перемещения, а следо-
вательно, и уменьшение предельной прочности основания. Из
опытов и теории предельно напряженного состояния грунта
вытекает, что с ростом плотности грунта увеличивается проч-
ность основания (табл. 8.7).
Методы [19, 70] пересекающихся плоскостей не от-
ражают сущности рассматриваемого вопроса и дают умень-
шенные результаты предельной прочности как в случае гори-
зонтальной поверхности основания с каменной и без каменной
постели, так и в случае ломаной поверхности основания;
пересекающиеся поверхности скольжения, отмеченные на
164
рис. 1.1 сплошной линией, лежат значительно выше расчетных
и опытных кривых, обозначенных штрихпунктирной линией.
Методы, основанные на использовании круглоцилиндриче-
ской поверхности скольжения [29, 93], рекомендуются [118]
для практического использования вне зависимости от вели-
чины и знака эксцентриситета е равнодействующей R внеш-
него давления по подошве сооружения. При нагрузке с экс-
центриситетом предлагается [117, 118, 134] уменьшать рас-
четную ширину подошвы на величину, равную двойному зна-
чению эксцентриситета. Уменьшение же действительной ши-
рины подошвы сооружения нарушает критерии подобия [101]
между расчетной схемой и работой основания в реальных
условиях.
Количественные результаты расчета по методу [93] мень-
ше данных опытов (штрихпунктирная линия на рис. 8.4) и
данных расчета по предлагаемому (гл. 5) графоаналитиче-
скому методу (сплошные линии).
По аналитическому методу М. М. Гришина [29] отыски-
вается наиболее опасная поверхность скольжения на основе
учета лишь только действующей на основание внешней на-
грузки. Из этого следует, что коэффициент запаса, определен-
ный по методу [29], не учитывает статически возможную
прочность основания [51]. Нормами [117, 118] рекоменду-
ются для практического использования методы, разработан-
ные на основе теории предельно напряженного состояния
грунта. К настоящему времени предложено большое число
методов для определения предельной прочности оснований
при действии на штамп наклонной к вертикали и эксцентрич-
ной нагрузок (гл. 1).
165
При действии нагрузки с эксцентриситетом расчетная
[123, 32] ширина подошвы ВР^=В—2е и точка приложения
равнодействующей R2 напряжений на поверхности скольже-
ния ВС под подошвой штампа не делит ее пополам при
0<₽^р [124]. Эти недостатки метода приводят к уменьше-
нию расчетной предельной прочности основания (см.
табл. 8.7).
Расчет прочности оснований и устойчивости гидротехниче-
ских сооружений рекомендуется [117] выполнять по схемам
плоского сдвига, когда Отах^ЗВу, смешанного и глубинного
сдвига, который, как утверждается в [34], возможен только
при действии вертикальной центральной нагрузки.
Теоретических доказательств о сдвиге сооружения по по-
верхности при Na^3 в литературе не имеется. Этот результат
является экспериментальным [34, 36]. Из данных опытов,
выполненных сотрудниками ВНИИГ [61], следует, что в
основании с гравийной постелью возникает призма выпора
при Mjcp <1,0. Это значит, что в основании из мягких грун-
тов без гравийной (каменной) постели будет возникать приз-
ма выпора при Мст<1,0.
В [117] рекомендуется схему смешанного сдвига исполь-
зовать вне зависимости от величины положительного эксцен-
триситета е равнодействующей R внешнего давления по по-
дошве штампа и с расчетной шириной ВР=В—2е при дейст-
вии нагрузки с отрицательным эксцентриситетом. По этой
схеме под частью подошвы возникает призма выпора, раз-
меры и величина сопротивления которой соответствуют тео-
рии предельно напряженного состояния грунта [109]. Равно-
действующая внешнего давления по этой части ширины
подошвы имеет положительный знак эксцентриситета; пово-
рот ее к горизонту должен происходить против хода часовой
стрелки. Другая часть подошвы должна сохранить горизон-
тальное положение из условия плоского сдвига по поверхно-
сти основания. Однако такой относительный поворот частей
подошвы жесткого сооружения не может быть достигнут под
действием реактивного давления грунта. Следовательно, схе-
ма смешанного сдвига кинематически невозможна.
Из анализа данных табл. 1.2, заимствованной в [34], сле-
дует, что с уменьшением угла р внутреннего трения грунта
растет N0 (МОкр). Это противоречит физической сущности
о предельной прочности оснований и формулам (а) и (б)
М = (а)
<’т.х=4 + ^-’ (б>
166
так как для более прочного грунта будут большими угол р,
Стах и значения Na по сравнению с их величинами для сла-
бого с малой прочностью основания (величина угла р увели-
чивается до 6°, а у — на 2 Н/м3 [34]).
Сравнение результатов опытов (см. рис. 1.15) [34] с дан-
ными расчета по предлагаемому методу для случая действия
нагрузки с отрицательным эксцентриситетом (см. рис. 7.5
и 7.8) показывает удовлетворительную их сходимость
(табл. 8.8).
Таблица 8.8
№ опы- та В, м II * СП I _ „ о 1 £ Со Р> град р, град Прочность основания, кПа
по опыту по расчету
о ; т о । т
1 1,42 —0,03 31 24 2,54 61,2 27,1 94 42
2 1,42 —0,03 31 25 3,55 85,5 40,3 86 40,5
3 1,42 —0,03 31 22 7,59 183 73,2 155 62
4 1,42 —0,03 31 22 9,6 231,3 92 155 62
5 3,50 —0,12 30 26 .— 77,1 37,5 71 36
6 3,50 —0,12 30 27 — 77,7 39,8 70 36,5
7 3,50 —0,12 30 28 .— 77,7 41,4 69 37
8 0,96 —0,03 32 27°20' 2,07 33,8 17,5 40 20,8
9 0,50 —0,028 32 25 3,0 25,5 11,9 22,4 10,5
10 0,50 —0,029 32 26 4,0 34 16,5 30 13,5
11 2,5 —0,05 34 28°30' 8 200 108,2 200 109
12 1,25 —0,03 34 29 9,6 120 65,6 120 66,5
13 1,25 —0,03 34 26°30' 12,8 160 79,6 138 69
14 1,25 —0,03 34 22°30' 29 200 83,5 178 7,4
Расхождение результатов расчета с данными опытов 1 и 4
(табл. 8.8) достигает 35% и это, по-видимому, объясняется
условиями и техникой проведения [34] экспериментов, так
как исходные данные В, е; р, р опытов 1, 2 и 3, 4 одинаковы
или близки друг к другу, а опытные данные предельной проч-
ности основания [34] отличаются до 28%.
Глубинный же сдвиг грунта в основании происходит не
только при действии на штамп вертикальной симметричной
[34] нагрузки; образование призмы выпора возможно при
различных значениях величины и знака эксцентриситета, от-
„ h е
ношении -g-, -g-, характере напластования и последо-
вательности изменения углов внутреннего трения слоев
грунта. При недостаточной мощности первого слоя для раз-
вития призмы выпора в двухслойном основании (₽<р1<рг)
167
происходит увеличение предельного давления на штамп, кото-
рое наступает в зависимости от отношения параметров h\IBt
₽/р, е/В (см. рис. 7.16).
На графике зависимости между касательными т и нор-
мальными о напряжениями в [34] дано сравнение результа-
тов расчета прочности основания по методам [19, 124, 109,
29] с данными опытов. Расчетные данные, например, по ме-
тоду В. В. Соколовского [109] в несколько раз меньше дан-
ных опытов [34]. Такое расхождение результатов объясня-
ется в основном тем, что расчетные данные по методу
В. В. Соколовского справедливы для случая действия на-
грузки с положительным эксцентриситетом (0^е/В^0,11),
а результаты опытов [34] соответствуют случаю действия на-
грузки с отрицательным эксцентриситетом (см. рис. 1.15).
Следовательно, сравнение результатов опытов и расчета так-
же следует выполнять с учетом величины и знака эксцентри-
ситета равнодействующей внешнего давления на штамп.
Сравнение опытных результатов [133] с данными расчета
по предлагаемым методам приведено в табл. 8.8. Величина
отрицательного эксцентриситета принята равной 1/50 В [34].
Незначительное расхождение результатов расчета и опы-
тов (табл. 8.8) показывает, что действию на штамп нагрузки
с отрицательным эксцентриситетом соответствует расчетная
схема, приведенная на рис. 7.5. В целом результаты расчета
по предлагаемым схемам (гл. 2—5, 7) подтверждаются экс-
периментальными исследованиями [34, 61, 82, 83, 147, 148]
и другими (табл. 8.1—8.8).
Данные расчетов [12] основания из связного грунта под
жестким (рис. 1.9, а) и гибким (рис. 1.9,6) штампами, полу-
ченные на основе использования МКЭ, практически совпа-
дают: «пластические области в обоих случаях достигают дна
лотка и далее расширяются к боковым его стенкам». Из
сравнения результатов опытов (рис. 7.24,6, 1.9, а' и 1.9, а;
рис. 1.9,6' и'1.9,6) следует, что имеются существенные расхо-
ждения. Например, пластические области под гибким штам-
пом развиваются вначале под краем фундамента и не могут
достигать дна и торца лотка (рис. 1.9,6'). Это следует также
из теории предельного равновесия [109, 23] и опытов (гл. 7).
Количественные результаты опытов, выполненные с гли-
нистым грунтом, приведены в табл. 8.9.
В опытах (табл. 8.9) использовалось основание с откосом;
угол откоса равнялся соответственно 18° и 5°. Сцепление ча-
стиц песчаного грунта с' получено в результате растяжения
(разрыва) стандартных образцов, приготовленных из испы-
туемой смеси (гл. 6). Значения сцепления с, приведенные
в таблице, соответствуют отрезкам на оси ординат, отсекае-
168
Таблица 8.9
кН
B(d),
см
I, см
b, см е, см
с,
МПа
Р.
град
Р.
град
h, см
по
рас-
чету
по
дан-
ным
СНиП
4
4
4
4
4
4
5
9
8
4,2
4,2
5
5
5
5
5
5,8
5,8
12
12
12
12
12
12
12
12
5
5
5
5
5
5
5
2
2
2
2
1,7
1,7
2,5
4,5
4
2,1
2,1
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,9
2,9
0,162
0,324
и,и/
0,27
0,4
0,407
0,162
0,08
0,063
0,066
0,075
0,075
0,088
0,15
0,066
0,15
0,088
32
32
32
32
32
32
32
32
32
7
5
10
7°30'
10
5
10
3,5
21
2,5
1,0
1,8
1,7
2,2
1,8
4100
83000
10100
14900
4150
6000
15800
18000
2400
190
156
220
130
160
230
150
260
190
4000
7900
10200
13200
3900
5800
14300
16700
2420
143
250
126
190
240
145
280
210
2000
4100
5120
7240
мым касательными к кругам напряжений. Расчеты и опыты
показали, что c=c'(l+tgp).
Сцепление грунта с учитывалось действующим вдоль по-
верхности скольжения.
4. Предельная прочность оснований
при действии динамической нагрузки
Действие динамической нагрузки на штамп, расположен-
ный на поверхности или заглубленный в основание, вызывает
наряду с упругими и остаточные деформации (см. рис. 7.30).
В предельном состоянии в основании возникает отделяющая
призму выпора поверхность скольжения (см. рис. 7.31, 7.32).
Не подтверждается- положение [119, 112] о том, что при
сейсме возникает в основании призма выпора со стороны,
противоположной эксцентриситету, так как в реальных усло-
виях отсутствуют направляющие для штока, передающего
на штамп вертикальную эксцентричную нагрузку.
Сравнение форм отделяющих поверхностей скольжения,
возникающих в основании при действии сейсмы, дано на
рис. 8.5. На этом рисунке штриховой с двумя точками линией
169
Рис. 8.5
обозначена огибающая поверхность, принятая в расчетной
схеме [79], штрихпунктирной — поверхность, принятая на
основе исследований Ш. Окамото [8Ц; сплошной — поверх-
ность— полученная нами при проведении опытов [48, 54].
Из рисунка следует, что отделяющие поверхности не со-
впадают между собой. Это можно объяснить тем, что кругло-
цилиндрическая форма поверхности возникает в случае дей-
ствия нагрузки с положительным эксцентриситетом >0,11.
В условиях же сейсмики на основание действует нагрузка
с отрицательным эксцентриситетом; эпюра напряжений по
подошве штампа будет неравномерно распределенной и грунт
зоны D [81] (рис. 8.5) не будет перемещаться параллельно
направлению внешней нагрузки. Кроме того, в расчетной
схеме, обозначенной на
рис. 8.5 штрихпунктирной
линией [81], принято, что
угол при основании уплот-
ненного ядра S=ZDdf=
=p + evz; а=р—ew- При пе-
Рис. 8.6
реносном ускорении ^ = 0,
Ew = 0. Тогда а=6 = р, т. е.
эти углы равны углу при
основании уплотненного яд-
ра, принятого в расчетной
схеме Терцаги [120]. Эта
схема не подтверждается
опытами при статических
испытаниях и при испыта-
нии в условиях сейсмы. При
колебаниях в основании воз-
никает [48, 54] двухсторон-
няя (см. рис. 7.32) или од-
носторонняя призма выпо-
ра, ограниченная на рис. 8.5
сплошной линией.
170
Не подтверждается также теоретически полученное [154,
140] значение угла а выхода отделяющей поверхности сколь-
жения на горизонтальную поверхность основания (а= +
+ ) за счет учета скорости пластических деформаций. Об
этом говорилось ранее в [26]. Траектории перемещения ча-
стиц грунта, копируемые методами фотофиксации, слагаются
из допредельных перемещений, вызванных уплотнением (раз-
рыхлением) основания и перемещением зерен среды или ее
зон в момент образования призмы выпора. Участие этих
слагаемых в образовании траектории движения частицы
грунта, фиксируемой во времени на фото, зависит от началь-
ной пористости песка. С уменьшением пористости уменьша-
ется процесс уплотнения, линии скольжения практически
будут совпадать с направлением максимальных скоростей де-
формаций сдвига; траектории перемещений и площадки
скольжения в одной и той же точке грунта совпадают в мо-
мент предельного состояния основания (см. рис. 1.14, 1.17,
7.5, 7.7, 7.8, 7.31, 7.32 и др). Выход линий скольжения на
поверхность грунта под более крутым углом вызывается
в основном трением песка о стеклянные стенки лотка; в плос-
кости симметрии призмы выпора линии скольжения выходят
в зоне Ренкина под углом —-----[48, 52, 54 и др.]. На
рис. 8.6, а сплошной линией обозначена отделяющая по-
верхность по данным опытов [53]; штриховой — расчетная.
Определение величины Ri (рис. 8.6, б) сопротивления призмы
выпора abc'd выполнено с учетом действия гидродинамиче-
ского порового давления воды Dzi [79], сил инерции 1п частей
призмы выпора и уменьшения величины угла внутреннего
трения грунта при вибрациях [52]. Величина уменьшения
угла трения при вибрации определялась нами по значению
радиусов особой зоны гн и гк и углу наклона к горизонту от-
деляющей поверхности скольжения при фиксированном уско-
рении (см. рис. 7.34).
На рис. 8.6, & приведено определение прочности основания
в условиях сейсмы. Из рисунка 8.6, в следует, что величина
равнодействующей Р2 напряжений на отрезке c'f' по опыту
близка к расчетной Р2. Подобное совпадение наблюдалось
в опытах, выполненных с использованием сейсмических лот-
ков (см. рис. 6.4). Предельная динамическая 7?д прочность
основания определяется графически (рис. 8.6, б и в) и анали-
тически по формуле (5.11), где /=1, (^ = -^ = 0; результаты
расчета даны в табл. 8.10.
Круглоцилиндрическая форма отделяющей поверхности
могла бы возникнуть в условиях сейсмы [81], если бы макси-
171
Таблица 8.10
№ опы- та Расчет- ные па- раметры Каменная постель ри=39°, рп=21°
В=0,51 м В=0,43 м В=0,35 м
Dz G~ Dz Dz Gi-Dz Dz Gi-Dz
1 О/, Н 240 136 179 101 126 71
2 G2', н 125 60 90 97 62 35
3 g2", н 77,5 43,5 58,3 31,9 38,5 21,5
4 G2"', н 47 23 35 19,6 24,8 13,8
5 р2', н , — 1085 — 885 — 726
6 Р2, н — 1290 р— 1070 — 880
7 Я1. н 1 — 340 — 250 — 185
8 Ь, см — 21 •— 17,5 — 13,5
9 Р, град — 9 — 9 — О
10 Rn, Н — 1650 •— 1370 — 1120
Примечание. Модуль динамического уплотнения Ап =0,005 1/с;
плотность песка в воде увзв = 1,05 т/м3; Р2— по данным мессдоз; Gi —
масса i-й части призмы выпора Ic = G'\kc\ Dz=yBIvt v — объем призмы,
kc — коэффициент сейсмичности, ув — плотность воды [79].
мальные напряжения на подошве штампа (гравитационного
сооружения) совпадали с его задним ребром. Действительная
эпюра напряжений такова (рис. 8.6,а), что в момент предель-
ного состояния основания ее максимальная ордината переме-
щается в сторону точки с'. Это вызывает призму выпора
abc'd лишь под передней частью подошвы сооружения.
Размеры уплотненного ядра dDf' и призмы [8 Г] выпора
dDa (см. рис. 8.5) не подтверждаются опытами [48, 54], ре-
зультаты которых отмечены на рисунке сплошной линией.
Действие же на основание динамической нагрузки (без виб-
рации) практически не уменьшает угол внутреннего трения
грунта [48]; прочность основания увеличивается с ростом
величины ускорения и скорости перемещения штампа.
Результаты расчета предельной прочности оснований и
данные опытов, приведенные в табл. 8.1—8.10, свидетельст-
вуют о том, что наиболее близкими к данным экспериментов
являются расчетные результаты, полученные по предлагае-
мым формулам и расчетным схемам (гл. 2—5, 7). Из таблиц
следует, что наибольшее расхождение результатов не превы-
шает 20%. Это относится к определению предельной проч-
ности грунта в условиях пространственной (е=/=0, р=/=0), осе-
симметричной и плоской задач при статическом и динамиче-
ском воздействиях на основание.
В заключение отметим, что выполненные исследования
дают основание для дальнейшей работы, которая должна осу-
ществляться в направлении:
172
определения несущей (предельной) способности грунта
с учетом естественнсго и вынужденного скалывания уплот-
ненного ядра, величины и знака эксцентриситета равнодей-
ствующей внешнего давления на штамп;
создания новых и совершенствования существующих при-
боров, устройств, позволяющих изучать параметры прочности
грунта, напряженно-деформированное состояние (НДС), со-
ответствующие физическим условиям, возникающим в осно-
ваниях реальных сооружений;
выполнения экспериментальных исследований по изучению
характера деформации и предельного равновесия в началь-
ный момент при снятии — сведении к минимуму трения на
боковых сечениях и стенках плоского лотка;
развития методов расчета НДС для систем сооружение—
основание, грунт.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Амусин Б. 3., Фадеев А. Б. Метод конечных элементов при реше-
нии задач горной геотехники. М.: Недра, 1975. 144 с.
2. Алексеев И. А., Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я. Об основных
уравнениях динамики грунта//Прикл. механ. и техн. физ. 1963. № 2.
С. 17—26.
3. Баркан Д. Д. Динамика оснований и фундаментов. М.: Стройвоен-
издат. 1948. 411 с.
4. Безухов И. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.
М.: Высшая школа, 1968. 512 с.
5. Белзецкий С. И. Статика сыпучих тел и расчет подпорных стенок//
Статика сооружений. 1914. Т. 1. Вып. 1. 127 с.
6. Беленькая В. Б. Экспериментальная проверка нелинейной теории
прочности для песчаного основания под круглым штампом//Основания,
фундаменты и механика грунтов. 1972. № 1. С. 11—14.
7. Бент Хансен. Приближенный метод расчета зоны разрушения в гли-
нах//Доклад 3/15 на VI Международном конгрессе по механике грунтов
Й фундаментостроению. Канада, 1965. С. 31—37.
8. Березанцев В. Г. Осесимметричная задача теории предельного рав-
новесия сыпучей среды. М.: Гостехиздат, 1952. 120 с.
9. Березанцев В. Г. Расчет оснований сооружений. Л.: Госстройиздат.
1970. 207 с.
10. Березанцев В. Г., Ковалев И. В. Влияние криволинейной огибаю-
щей предельных кругов на несущую способность оснований//В кн.: Проч-
ность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 31—38.
11. Бугров А. К., Гребнев К. К. Численное решение физически нели-
нейных задач для грунтовых оснований//Основания, фундаменты и меха-
ника грунтов. 1975. № 2; 1977. № 3. С. 39—42.
12. Бугров А. К., Зархи Д. А. Некоторые результаты решения смешан-
ных задач теории упругости и пластичности грунтов оснований//Основа-
ния, фундаменты и механика грунтов. 1978. № 3. С. 35—39.
13. Валишев Н. Г. Учет некоторых особенностей сейсмического режима
при оценке степени динамической устойчивости песчаных масс в основа-
нии и в теле гидротехнических сооружений. Л., 1958. 19 с.
14. Винокуров Е. Ф., Микулич В. А. Исследование напряженно-дефор-
мированного состояния заглубленного ленточного фундамента МКЭ//Осно-
вания, фундаменты и механика грунтов. 1975. № 5. С. 34—37.
15. Вялов С. С. Осадки и контактные давления нелинейно-деформи-
руемого основания при полосовой нагрузке//Основания, фундаменты и ме-
ханика грунтов. 1977. № 6. С. 15—20.
16. Гениев Г. А. К вопросу обобщения условия предельного равнове-
сия сыпучей среды//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1968.
№ 2. С. 1—2.
17. Гениев Г. А., Эстрин М. И. Динамика пластической и сыпучей
сред. М.: Стройиздат, 1972. 216 с.
18. Герсеванов Н. М. Основы динамики грунтовой массы. М.: Строй-
яздат, 1937. 311 с.
174
19. Герсеванов Н. М. Собрание сочинений. 1948. Т. 2. 260 с.
20. Гольдин A. JJ. и др. Упругопластическое деформирование основа-
ния жестким штампом//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1983.
№ 5. С. 25—27.
21. Глушков Г. И. Статика и динамика сооружений, заглубленных:
в грунт. М.: Стройиздат, 1967. 211 с.
22. Глушков Г. И., Клейн Г. К. Строительная механика сыпучих сред//
Основания, фундаменты и механика грунтов. 1978. № 1. С. 47—48.
23. Голушкевич С. С. Статика предельных состояний грунтовых Mace-
М.: Гостехиздат, 1957. 288 с.
24. Гольдштейн М. Н. Механические свойства грунтов. М.: Госстрой-
издат, 1952; 2-е изд. 1971. 367 с.
25. Гольдштейн М. Н., Кушнер С. Г., Шевченко М. И. Расчеты оса-
док и прочности оснований зданий и сооружений. Киев: Будивельник^.
1977. 208 с.
26. Горбунов-Посадов М. И. Устойчивость фундаментов на песчаном'
основании. М.: Госстройиздат, 1962. 96 с.
27. Горбунов-Посадов М. И. Учет структуры уплотненного грунтового*
ядра при расчете устойчивости песчаных основанйй//Основания, фунда-
менты и механика грунтов. 1982. № 3. С. 24—27.
28. Григорян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов//
Прикладная математика и механика. 1960. Т. XXIV. Вып. 6. С. 1157—
1172.
29. Гришин М. М. Гидротехнические сооружения. М.: Госстройиздат-
1954. Ч. 1. 500 с.
30. Доклады к VI Международному конгрессу по механике грунтов,
и фундаментостроению/Под ред. Н. А. Цытовича. М.: Стройиздат, 1965.
182 с.
31. Домбровский В. Н. О расчете устойчивости несвязных оснований
при наклонных нагрузках//Основания, фундаменты и механика грунтов.
1982. № 5. С. 26—28.
32. Дуброва Г. А. Оценка устойчивости гидротехнических сооружении
и допускаемых давлений на грунт//Гидротехническое строительство. 1951.
№ 10. С. 19—25.
33. Егоров К. Е. Распределение напряжений в основании жесткога
ленточного фундамента//Сборник трудов лаборатории оснований и фун-
даментов НТС Фундаментстроя. 1958. № 9. С. 37—42.
34. Евдокимов П. Д. Устойчивость гидротехнических сооружений и
прочность их оснований. Л.: Энергия, 1966. 129 с.
35. Евдокимов П. Д. К вопросу о расчетах общей устойчивости гра-
витационных портовых сооружений//Труды координационных совещаний
по гидротехнике. Л.: Энергия, 1967. Вып. 40. С. 127—139.
36. Евдокимов П. Д. и др. Экспериментальные исследования по опре-
делению устойчивости здания Нижне-Камской ГЭС//Гидротехническое-
строительство. 1970. № 3. С. 21—26.
37. Евдокимов П. Д, и др. Сопротивление грунтов сдвигу. Доклад
1/17//Труды VIII Международного конгресса по механике грунтов и фун-
даментостроению. М. 1973. Т. 1. Ч. 1. С. 131—138.
38. Ермолаев Н. Н. К теории разупрочнения дискретной грунтовой
среды при вибродинамических воздействиях//Труды к VIII Международ-
ному конгрессу по механике грунтов и фундаментостроению. М.: Стройиз-
дат, 115—121.
39. Ершов В. А. Сопротивление сдвигу песчаных грунтов вовлеченных
в колебания//Доклады к I научной конференции молодых ученых-строи-
телей. Л., 1965. С. 39—46.
40. Зарецкий Ю. К., Орехов В. В. Напряженно-деформированное со-
стояние грунтового основания под действием жесткого ленточного фунда-
мента//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1983. «№ 6. С. 21—24-
175
41. Зенкевич. О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
541 с.
42. Златоверховников Л. Ф. Усовершенствование существующего ме-
тода расчета устойчивости по круглоцилиндрическим поверхностям сколь-
жения в условиях плоской задачи//Труды координационных совещаний по
гидротехнике. Л.: Энергия, 1976. Вып. 40. С. 36—46.
43. Иванов П. Л. Разжижение и уплотнение несвязных грунтов при
динамических воздействиях: Учебное пособие. Л., 52 с.
44. Ильницкая Е. И., Тедор Р. И., Ватолин Е. С., Кунтыш М. Ф.
Свойства горных пород и методы их определения. М.: Недра. 1969. 392 с.
45. Иоселевич В. А О законах деформирования нескальных грун-
тов//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1967. № 4. С. 3—7.
46. Ишлинский А. Ю. Осесимметричная задача теории пластичности и
проба Бринеля//Прикладная математика и механика. 1944. Т. VIII.
Вып. 3. С. 201—224.
47. Кагановская С. Е. Исследование устойчивости глинистого основа-
ния с помощью экранов//Основания. фундаменты и механика грунтов.
1973. № 3. С. 29—31. <
48. Калаев А. И. К расчету устойчивости оснований массивных соору-
жений на песчаных грунтах//Основания, фундаменты и механика грунтов.
1962. № 5. С. 1—5.
49. Калаев А. И. Экспериментальные исследования устойчивости осно-
ваний сооружений на нескальных грунтах//Основания, фундаменты и ме-
ханика грунтов. 1965. Вып. 4. С. 7—10.
50. Калаев А И. К расчету устойчивости гравитационных сооружений,
расположенных на основании с каменной постелью//Труды координацион-
ных совещаний по гидротехнике. Л.: Энергия, 1967. Вып. 40. С. 46—56;
1968. Вып. 46. С. 37—38.
51. Калаев А. И. К вопросу определения прочности основания в усло-
виях пространственной задачи//Труды координационных совещаний по
гидротехнике. Л.: Энергия, 1967. Вып. 40. С. 56—68.
52. Калаев А. И. К вопросу сейсмостойкости оснований гравитацион-
ных сооружений//Труды координационных совещаний по гидротехнике.
Л.: Энергия, 1971. Вып. 66. С. 162—168.
53. Калаев А. И. К вопросу о предельной прочности оснований при
действии сейсмических нагрузок//Труды координационных совещаний по
гидротехнике. Л.: Энергия. 1973. С. 139—143.
54. Калаев А. И. Предельная прочность оснований в условиях сей-
смики. В кн.: Совершенствование методов расчета и проектирования гид-
ротехнических сооружений, возводимых в сейсмических районах. Л.: Энер-
гия. 1976. С. 202—208.
55. Калаев А. И. Определение предельного давления грунта на обо-
лочку сооружений. Межвузовский тематический сборник. № 1 (136). Л.,
1977. С. 95—104.
56. Калаев А. И. Прочность основания в условиях пространственной
задачи с нелинейной зависимостью графика сдвига. Известия высших
учебных заведений. Строительство и архитектура. Новосибирск. 1968.
№ 11. С. 35—40.
57. Кандауров И. И. и др. Расчет напряженного состояния и осадок
оснований с применением цифровых вычислительных машин. Л.: Стройиз-
дат, 1969. 191 с.
58. Кананян А. С. Экспериментальное исследование устойчивости осно-
ваний конечной толщины//Основания, фундаменты и механика грунтов.
1970. № 2. С. 12—15.
59. Кандауров И. И. и др. О взаимном влиянии в зернистой среде
поля напряжений и поля деформаций. О напряжениях в зернистом полу-
пространстве от сосредоточенной наклонной силы к поверхности. О терми-
176
нологии//Труды координационных совещаний по гидротехнике. Л.: Энер-
гия, 1972. Вып. 77. С. 1Q3—109.
60. Карпенко В. П. Исследование несущей-способности песчаного осно-
вания при сейсмическом воздействии//Основания, фундаменты и механика
грунтов. 1985. № 1. С. 22—24.
61. Кашкаров П. Н. Экспериментальное исследование сопротивляемо-
сти сдвигу песчаных оснований гидротехнических сооружений при нали-
чии гравелистой подготовки//Известия ВНИИГ. 1965. Т. 77. С. 128—134.
62. Клейн Г. К. Строительная механика сыпучих тел. М.: Стройиздат,.
1977. 256 с.
63. Копейкин В. С., Соломин В. И. Расчет песчаного основания с по-
мощью физически и геометрически нелинейных уравнений// Основания,
фундаменты и механика грунтов. 1977. № 1. С. 30—32.
64. Красников Н. Д. Динамические свойства грунтов и методы их
определения. Л.: Стройиздат. 1970. 239 с.
65. Криворотое А. Н. О распределении касательных напряжений в зо-
не формирования грунтового ядра//Оспования, фундаменты и механика
грунтов. 1975. № 1. С. 35—38.
66. Кулъмач П. П. Сейсмостойкость портовых гидротехнических соору-
жений. М.: Транспорт, 1970. 310 с.
67. Кустов В. П., Руппенейт К. В. Экспериментальная проверка неко-
торых решений плоских, осесимметричных упругопластичных задач меха-
ники грунтов//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1983. № 2.
С. 27—30.
68. Курдюмов В. И. К вопросу о сопротивлении естественных основа-
ний. СПб. 1891. С. 31—35.
69. Крыжановский A. Л., Харин Ю. И. Использование закона Кулона
в решении задач предельного состояния основания//Основания, фунда-
менты и механика грунтов. 1983. № 2. С. 24—27.
70. Лаупман II. А. Устойчивость гидросооружений на фильтрующем
основании. Гидротехническое строительство. 1933. № 1. С. 17—24.
71. Ленков М. И. Несущая способность оснований фундаментов мел-
кого заложения с наклонной подошвой, нагруженных наклонной силой//
Сб. научных трудов ин-та стр-ва и арх. Минск, 1977. № 16. С. 108—116.
72. Логинов В. Н. Изучение колебаний оградительных сооружений
под волновым воздействием//Труды координационных совещаний по гид-
ротехнике. Л.: Энергия, 1965. Вып. XX. С. 88—98.
73. Ломидзе Г. М. и др. О деформируемости, прочности и ползуче-
сти глинистых грунтов ядер высоконапорных плотин//Гидротехническое
строительство. 1970. № 11. С. 26—32.
74. Ломидзе Г. М., Крыжановский А. Л., Петрянин В. Ф. Исследова-
ние закономерности развития напряженно-деформированного состояния
песчаного основания при плоской деформации//Основания, фундаменты и
механика грунтов. 1972. № 1. С. 4—8.
75. Ляхов Г. М., Полякова Н. И. Волны в плотных средах и нагрузки
на сооружения. М.: Недра, 1967. 232 с.
76. Малышев М. В. О линиях скольжения и траекториях частиц в сы-
пучей среде//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1971. № 6.
С. 1—5.
77. Малышев М. В. Теоретическое и экспериментальное исследование
несущей способности песчаного основания. М.; 1953. С. 83.
78. Малышев М. В. Прочность грунтов и устойчивость оснований со-
оружений. М.: Стройиздат. 1980. 137 с.
79. Маслов Н. Н. Условия устойчивости водонасыщенных песков. М.—
Л.: Госэнергоиздат, 1959. 328 с.
80. Маслов Н. Н., Лыонг Ле Ба. К вопросу о повышении прочности
и несущей способности глинистых грунтов под нагрузкой во времени//Осно-
вания, фундаменты и механика грунтов. 1972. № 1. С. 1—4.
177
81. Международная конференция по сейсмостойкому строительству
М.: Госстройиздат, 1961. 213 с.
82. Милович Д. М. Сравнение между численными и экспериментально
полученными значениями предельной несущей способности. Доклад 3/30 на
VI Международном конгрессе по механике грунтов и фундаментострое-
нию. Канада. 1965. С. 131—137.
83. Минцковский М. Ш. Об упругом ядре и песчаном основании под
предельно-нагруженным штампом//Основания и фундаменты. 1957. № 18,
19. С. 20—25.
О траекториях перемещения частиц песка под моделями ленточных
•фундаментов//Основания, фундаменты и механика грунтов. 1961. № 4.
С. 9—13.
84. Мороз Л. Р., Смирнов Г. Н. Исследование динамических напряже-
ний в основании оградительного сооружения гравитационного типа//Труды
координационных совещаний. Л.: Энергия, 1967. Вып. 40. С. 13—15.
85. Мурзенко Ю. Н. Экспериментально-теоретические исследования си-
лового взаимодействия фундаментов и песчаного основания. Автореф.
дисс. ... докт. техн. наук. Новочеркасск. 1972. 44 с.
86. Мустафаев А. А. Об одном методе изучения прочности и деформи-
руемости грунтов в условиях пространственного напряженного состояния//
Основания, фундаменты и механика грунтов. 1978. .№ 3. С. 39—44.
87. Напетваридзе Ш. Г. Сейсмостойкость гидротехнических сооруже-
ний. М.: Госстройиздат, 1959. 216 с.
88. Николаевский В. Н. Динамика упруго-пластических дилатирующих
-сред//Успехи механики деформируемых сред. (К 100-летию академика
Б. Г. Галеркина). М.: Наука, 1975. С. 397—413.
89. Ничипорович А. А., Хрусталев Н. Я. Устойчивость водно-транс-
портных сооружений на нескальных грунтах. М.: Госстройиздат, 1957.
.190 с.
90. Новоторцев В. И. Уточнение формул для расчета устойчивости
оснований сооружений//Известия НИИГ. М., 1938. Т. 24. С. 201—205.
91. Основания и фундаменты. Справочник проектировщика/Под ред.
В. Г. Березанцева, М. И. Горбунова-Посадова, Б. И. Долматова и О. А. Са-
винова. М.: Стройиздат, 1964. 512 с.
92. Пигулевский М. X. Физико-механические свойства рыхлых дорож-
ных материалов. М.: Транспечать, 1929. 112 с.
93. Полыиин Д. Е., Токарь Р. А. Приближенный графо-аналитический
-способ расчета оснований на устойчивость. В кн.: Механика грунтов. М.:
Госстройиздат, 1952. № 18. С. 109—116.
94. Полыиин Д. Е. Центробежное моделирование оснований сооруже-
ний//Труды к VIII Международному конгрессу по механике грунтов и
«фундаментостроению. М.: Стройиздат, 1973. С. 21—30.
95. Прагер В. О теории упруго и идеально-затвердевших материалов:
Механика//Сб. перевод, и. статей. 1964. № 3. С. 107—113.
96. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивле-
нии резанию//Теорня пластичности. М., 1948. С. 112—117.
97. Преображенская Н. А., Савченко И. А. О влиянии вибрации на
сопротивление глинистых грунтов сдвигу. Динамика грунтов. М.: Госстрой-
издат, 1958. № 32. 117 с.
98. Пузыревский Н. П. Фундаменты. Госстройиздат, 1934.
99. Рахматулин X. А., Шапиро Г. С. О распространении плоских упру-
го-пластических волн//Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12.
Вып. 4. С. 369—374.
100. Ремизников В. К. Новый метод исследования деформаций грун-
тов и некоторые его практические приложения//Известия ВНИИГ. 1948.
Т. 36. С. 51—54.
101. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Гос-
техиздат, 1951. 328 с.
178
102. Синицын А. П. Метод конечных элементов в динамике сооруже-
ний. М.: Стройиздат. 1978. 231 с.
103. Сипидин В. П., Сидоров Н. И. Исследование грунтов в условиях,
трехосного сжатия. М.—Л.: Госиздат, 1963. 92 с.
104. Смирнов-Аляев Г. А. Сопротивление материалов пластическому
деформированию. М.—Л.: Машгиз, 1961. 463 с.
105. Смирнов Н. В., Дудин-Барковский И. В. Курс теории вероятно-
стей и математической статики для технических приложений. М.: Наука.
1969. 278 с.
106. Снитко Н. К. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1960.
356 с.
Статическое и динамическое давление грунтов и расчет подпорных
стенок. Л.: Госстройиздат, 1963. 295 с; 2-е изд. 1970. 207 с.
107. Соболевский Ю. А. Устойчивость откосов мелиоративных каналов.
Минск: Урожай, 1965. 212 с.
108. Соботка 3. Осесимметричные и трехмерные задачи предельного-
равновесия неоднородных сплошных сред: Механика. Сб. перев. ин. период,
лит-ры. № 5/69. ИИЛ. 1961. С. 143—155.
109. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. М., 1942; Гостехиздат.
1954. 276 с.; Физматгиз. 1960. 243 с.
НО. Соловьев Ю. И. О постановке и решении задачи устойчивости
оснований фундаментов//Труды к VII Международному конгрессу по ме-
ханике грунтов и фундаментостроению. М.; Стройиздат, 1969. С. 108—112.
111. Ставницер Л. Р., Карпу шина 3. С. Динамические трехосные ис-
пытания песчаных грунтов//Основания, фундаменты и механика грунтов.
1973. № 1. С. 23—26.
112. Ставницер Л. Р., Карпенко В. П. Лабораторное изучение устой-
чивости песчаного основания при вибрации//Основания, фундаменты и ме-
ханика грунтов. 1977. № 2. С. 26—28.
ИЗ. Ставницер Л. Р. Метод расчета несущей способности оснований
при сейсмических воздействиях//Основания, фундаменты и механика грун-
тов. 1975. № 6. С. 16—20.
114. Строганов А. С. Анализ плоской пластической деформации
грунта. Инженерный журнал. 1965. Т. V. Вып. 4. С. 67—72.-
115. Строганов А. С. Некоторые проблемы пластичности грунтов. Ав-
тореф. дис. . . . д-ра техн. наук. М.: Госстройиздат, 1968. 68 с.
116. Строганов А. С. и др. Приближенный энергетический метод рас-
чета несущей способности оснований. и его экспериментальная оценка//
Основания, фундаменты и механика грунтов. 1983. № 1. С. 19—23.
117. Строительные нормы и правила. Ч. II, гл. 16. Основания гидро-
технических сооружений. М.: Госстройиздат, 1977. 37 с.
118. Строительные нормы и правила. 12.02.01—83. Основания зданий
и сооружений. М.: Госстройиздат, 1983. 65 с.
119. Строительные нормы и правила. Ч. II, гл. 12. Строительство в
сейсмических районах. М., 1982.
120. Терцаги К Теория механики грунтов. М.: Госстройиздат. 1961.
507 с.
121. Федоровский В. Г., Кагановская С. Е. Жесткий штамп на нели-
нейно-деформируемом связном основании (плоская задача)//Основания,
фундаменты и механика грунтов. 1975. № 1. С. 41—44.
122. Флорин В. А. Основы механики грунтов. Т. 1, 1959; Т. 2, 1961,.
Госстройиздат.
123. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТЛ. 1956.
407 с.
124. Христофоров В. С. Расчет устойчивости грунта в основании со-
оружений с учетом клина уплотненного грунта. Гидротехническое строи-
тельство. 1951. № 2. С. 32—36.
179
125. Христофоров В. С., Караганов В. И. Исследование несвязцых
грунтов в стабилометре с оптической системой измерений деформаций//
Основания, фундаменты и механика грунтов. 1979. № 3. С. 13—17.
126. Цшохер В. О., Быховский В. А. Антисейсмическое строительство.
М.: Центральная строительная библиотека. Новое время. 1937. 344 с.
127. Цытович Н. А. Механика грунтов. М.: Госстройиздат, 1963. 635 с.
Механика мерзлых грунтов. М.: Высшая школа. 1973. 446 с.
128. Цытович Н. А., Тер-Мартиросян 3. Г. Основы прикладной гео-
механики в строительстве. М.: Высшая школа, 1981. 309 с.
129. Шафир И. Н. Причины повреждений портовых оградительных
сооружений. М.: Морской транспорт, 1950. 360 с.
130. Шень Чжузянь. Теория предельного равновесия сыпучей среды и
ее применение в расчетах устойчивости грунтов. Дисс. канд. техн. наук.
МИСИ. 1960. 15 с.
131. Щербина И. Н. О динамических характеристиках грунта при рас-
четах устойчивости гидротехнических сооружений//Труды Гидропроекта
им. С. Я. Жука. 1971. № 20. С. 213—218.
132. Шехтер О. Я. Об учете инерционных свойств грунта при рас-
чете вертикальных вынужденных колебаний массивных фундаментов//Тру-
ды НИИ оснований и фундаментов. 1948. № 12. С. 106—111.
133. Широков В. Н. Теория пластического течения и деформации
грунта при сложном нагружении//Основания, фундаменты и механика
грунтов. 1976. № 3. С. 33—36.
134. Яковлев П. И. Несущая способность оснований портовых соору-
жений. М.: Транспорт, 1978. 207 с.
Несущая способность и устойчивость однородных оснований и откосов
при наличии или отсутствии сейсмических воздействий. М.: Мортехинформ-
реклама, 1983. 74 с.
135. Balia A. Bearing capacity of foundations. Journ. of the soil mech.
Div. PASCE,. oct., 1962. C. 29—36.
136. Biarez J., Burel M., Wack B. Contribution of the study of the Bea-
ring Caracity of Foundations//Proc. of the V Intern. Conf, on soil Mech.
a Found. Eng., Paris, 1961. C. 131—135.
137. Beer R. Influence of the mean normal stress on the shearing
strength of sand//Proc. 6-th Internat. Conf, soil Mech. Foundat. Eng., v. 1,
Montreal, 1965. C. 25—31.
138. Brinch Houseп J. A general formula for bearing capacity//Geotekn.
Inst. Bull., N 11, Copenhagen, 1961. C. 11—15.
139. Caquot A., Kerlsel J. ТгаИё de mecanique de soil. Paris, 1949.
387 c.
140. Drucker D. G., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis on
limit design. Quart. Appl. Math., v. X, N 2, 1952. C. 71—78.
141. Franzius. Erddruckversuche im natiirlichen Masstabe//Bauingenieur.
N 2. 1926. C. 13—17.
142. Garber M., Boker R. Beraing capacity by variational method//J.
Geotechn. Eng. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., N 11, 1977. C. 73—81.
143. Hansen B. Rep. 3A/17, de Beer E. E., La danyi B. Rep. BA/Proc.
of the V Intern. Conf, on soil Mech. a Found. Eng., Paris, 1961. C. 116—
121.
144. Jamada I., Joschimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix
and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite
element method//Intern. Journal of Mechanical Sciences. 1968, vol. 10, N 5.
C. 87—96.
145. Ketter F. Bestimmung des Druckes an gekrummten Gleitflachen,
eine Aufgabe aus der Lehre von Erddruck. Berl. Ber., 1903. 126 c.
146. Lundgren H., Mortensen K. Determination by theorie of plasti-
city of the bearing capacity of continuous footings on sand/Proc. Ill Inter-
nat Conf. Soil. Mech. and Found Eng., v. 1, Zurich, 1953. C. 114—121.
180
147. Muhs H., Kahl H. Ergebnisse von Probebekastungen auf groBen
Lastflachen, zur Ermittlung der Bruchlast im Sand. Degebo, H. 14, 1961//
Die zulassige Belastung von Sand auf Grund mehrere Versuche und Er-
kenntnisse. Degebo. H. 10, 1963.
148, Muhs H., Weiss K. Inclined load test on shallow strip footings/
Proc, of the Eigth Inter. Conf, on Soil Meeh and Found. Eng., V. 1. T. 3.
M., 1973. C. 173—179.
149. Meyerhof G. G. The ultimate Bearing Capacity of Foundations
on slopes. Proc, of Fourth Inter. Conf, on Soil Meeh. C. 115—119.
150. Prandtl L. Uber die Harte plastischer Korper. Gottingen Nachrich-
ten, 1920. C. 134.
151. Ramamurthy T., G. P. Narayan, Bhatkar V. Variational Method
for slope stability Analysis. 3/26 IX ICSMFE, Tokyo, 1977. C. 17—24.
152. Rankine W. On the stability of loose earth. London, Phil. Trans.,
1857. C. 125.
153. Saviclis S. A.. Richter T. Dinamic interaction of Rigid foundations.
4/36 IX ICSFE, Tokyo, 1977. C. 89—93.
154. Shield R. T. Mixed Boundary value problems in soil mechanics.
Quart. Appl. Math. V. IX, N 1, 1953. C. 17—21.
155. Taylor G. I. Propagation of earth waves from an explosion (1940).
Sci. Papers. V. 1. Cambridge Univ. Press, 1958. 119 c.
156. Tschebotarioff G. P. Soil Mechanics Foundation and Earth Struc-
tures. New-York, 1953—1958. 124 c.
157. Zaharescu E. Contributii la studiul capacitiv portante a Funda-
iiilor. Bucuresti, 1961. 372 c.
Научное издание
Калаев Анатолий Иванович
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ОСНОВАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
Зав. редакцией Н. Н. Днепроеа
Оформление художника М. А. Федоровой
Художественный редактор О. В. Сперанская
Технический редактор Е. В. Полиектова
Корректор Н. С. Лукьянчук
ИБ 5378
Сдано в набор 03.04.90. Подписано в печать 17.08.90. Формат 60x90’/i6.
Бумага типографская № 2. Гарнитура «Литературная». Печать высокая.
Усл. печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 12,03. Усл. кр.-отт. 11,75. Изд. № 2650Л. Тираж 6600 экз.
Заказ № 278. Цена 2 р. 50 к.
Стройиздат. Ленинградское отделение
191011. Ленинград, пл. Островского, 6
Межвузовская типография (3) СППО-2 Ленуприздата
198005, Ленинград, ул. Егорова, 5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............. . . .................. 3
Глава 1. Состояние вопроса...................................... 4
1. Методы расчета предельной прочности оснований, разрабо-
танные на основе теории линейно деформируемой среды и
поверхностей скольжения простейших форм..................... 4
2. Методы определения предельной прочности оснований, раз-
работанные на основе теории предельно напряженного со-
стояния грунта ............................................. 6
3. Основные результаты выполненных экспериментальных ис-
следований предельной прочности оснований при действии
статической нагрузки....................................... 13
4. Методы определения предельной прочности оснований при
действии динамической нагрузки....................... 20
5. Экспериментальное определение предельной прочности осно-
ваний в условиях динамики............................ 23
6. Определение параметров прочности грунта.......... 24
Глава 2. Теоретические исследования предельного равновесия грун-
товой среды............................................... . 28
1. Условия предельного равновесия ........ 28
2. Дифференциальные уравнения неполного предельного равно-
весия грунтовой среды...................................... 32
3. Интегрирование дифференциальных уравнений неполного
предельного равновесия грунтовой среды..................... 35
4. Дифференциальные уравнения неполного предельного равно-
весия идеально связной грунтовой среды и их интегриро-
вание ..................................................... 44
5. Интегрирование дифференциальных уравнений полного пре-
дельного равновесия грунтовой среды ..................... 48
6. Плоская задача предельного равновесия грунтовой среды 51
Глава 3. Теоретические исследования предельного равновесия грун-
товой среды с нелинейной зависимостью графика сдвига .......... 52
1. Дифференциальные уравнения неполного предельного равно-
весия грунтовой среды с нелинейной зависимостью графика
сдвига .................................................... 55
2. Интегрирование дифференциальных уравнений неполного
предельного равновесия с нелинейной зависимостью графика
сдвига .................................................... 55
3. Интегрирование дифференциальных уравнений полного пре-
дельного равновесия грунтовой среды с нелинейной зависи-
мостью графика сдвига...................................... 65
4. Плоская' задача теории предельного равновесия грунтовой
среды с нелинейной зависимостью графика сдвига.......... 68
Глава 4. Форма и размеры уплотненного ядра, возникающего в ос-
новании жесткого шероховатого штампа........................... 70
1. Действие на штамп нагрузки с положительным эксцентри-
ситетом ................................................... 70
182
2. Действие на штамп нагрузки с отрицательным эксцентриси-
тетом .............................................. ..... 81
3. Форма и размеры ядра, возникающего в основании идеаль-
но связного грунта........................................... 87
Глава 5. Инженерные методы решения задач по определению пре-
дельной прочности оснований..................................... 88
1. Предельная прочность оснований с линейной зависимостью
графика сдвига............................................... 88
2. Предельная прочность оснований с нелинейной зависимостью
графика сдвига............................................... 95
3. Практические методы определения предельной прочности
оснований в условиях пространственной задачи .... 97
4. Практические методы определения предельной прочности
оснований в условиях плоской задачи...........................ПО
5. Учет сцепления грунта...................................115
Глава 6. Устройства, аппаратура и методика, используемые при
выполнении экспериментальных исследований.......................119
1. Условия моделирования..............'.....................119
2. Грунты, используемые при проведении опытов .... 120
3. Устройства, аппаратура, используемые при выполнении экс-
периментальных исследований .................................122
4. Методика определения качественных результатов опытов 126
Глава 7. Результаты экспериментальных исследований предельной
прочности и деформации оснований..............................128
1. Деформация и предельная прочность однородного основания
в условиях плоской задачи ............................... 128
2. Деформация и предельная прочность слоистого основания 138
3. Действие нагрузки на жесткий штамп в условиях простран-
ственной задачи..............................................141
4. Исследование деформации и предельной прочности связного
грунта (р=/=0; с#=0).........................................146
5. Деформация и предельная прочность идеально связного
грунта (с^=0; р=0).......................................... 148
6. Действие динамической нагрузки на штамп, расположенный
на поверхности и заглубленный в основание.................150
7. Предельная прочность основания, подверженного действию
колебаний, возникающих в условиях сейсмики .... 1Б1
Глава 8. Сопоставление экспериментальных и расчетных данных 153
1. Сравнение результатов экспериментальных исследований 153
2. Расчетные и экспериментальные результаты предельной проч-
ности оснований при статическом действии на штамп внеш-
ней нагрузки в условиях пространственной задачи ... 157
3. Расчетные и экспериментальные результаты предельной проч-
ности оснований при статическом действии на штамп внеш-
ней нагрузки в условиях плоской задачи ..................... 160
4. Предельная прочность оснований при действии динамиче-
ской нагрузки............................................... 169
Список литературы . .............. .....................174