PUBLICATIONS DE L'lNSriTUT DE MATHEMATIQUE
DE L'UNIVEUSITE DE NANCAGO
ANDRE WEIL
Introduction
a l'etude des varietes
kahleriennes
HERMANN
Paris, 195 8

Лндре Вейль
Введение в теорию
кэлеровых
многообразий
Перевод с французского
С. Г. Гиндикина
Под редакцией
И. И. Пятецкого-Шапиро
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 19 61

Монография А. Вейля содержит систематическое изложение
основных фактов теории кэлеровых многообразий. Теория
кэлеровых многообразий, т. е. многообразий с так называемой
кэлеровой метрикой, относится к числу наиболее интенсивно
развивающихся в настоящее время областей математики.
В книге также очень систематично и ясно изложена теория
абелевых многообразий. Книга Вейля будет одной из первых
монографий по этому ропросу, изданных на русском языке.
Книга написана подробно и ясно, она доступна студентам
старших курсов и аспирантам физико-математических факуль-
факультетов университетов и пединститутов. Много нового материала
найдут в ней и специалисты.
Редакция литературы по математическим наукам

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория кэлеровых многообразий интенсивно разви-
развивается в течение четверти века. Эти многообразия были
впервые определены, по-видимому, Кэлером в одной его
заметке 1933 года (Hamb. АЫг., 9, стр. 173). Однако их
значение стало ясно лишь после выхода первых работ
Ходжа и особенно после того, как результаты этих работ
были объединены в пятой главе.его книги The theory
and applications of harmonic integrals (Cambridge, 1941).
Ходж независимо от Кэлера всесторонне изучил «кэлерову
метрику», которую можно определить на всяком алге-
алгебраическом многообразии без особых точек, вложенном
в проективное пространство, и вывел отсюда' ряд очень
важных для алгебраической геометрии следствий. 'Даль-
'Дальнейшие исследования велись главным образом В указан-
указанном им направлении. ;:
Настоящая книга не является монографией по дан-
данному предмету. Как свидетельствует ее заглавие, она
представляет собой лишь введение в эту теорию, в основу
которого положен курс лекций, читанных в Чикаго
и Геттингене в последние годы. Эта книга призвана
облегчить читателю изучение современных работ, отно-
относящихся к рассматриваемому кругу вопросов, и в первую
очередь работ Кодаиры и его учеников. Я не смог устоять
перед искушением посвятить отдельную главу теории
тэта-функций и абелевых многообразий над полем ком-
комплексных чисел. Эту теорию можно рассматривать как
теорию кэлеровых структур специального типа (инвариан-
(инвариантных структур на торе), и эта точка зрения приводит
к наиболее естественному доказательству одной из основ-
основных теорем этой главы —теоремы существования (так
называемой теоремы «Аппеля — Эмбера»). •
Библиография не приводится; очень подробная библио-
библиография имеется во многих последних работах. Я пытался

Предисловие
свести до минимума объем знаний, требующихся от чи-
читателя: некоторые элементарные результаты из анализа
и теории функций; некоторые понятия алгебры и общей
топологии (за которыми читатель отсылается к книге
Bourbaki N., Elements1)); основные определения теории
дифференцируемых многообразий (все они имеются в книге
G. de Rham, Varietes differentiables, Paris, Hermann, 19552));
определения операторов *, б, А из теории гармонических
форм (имеются в той же книге) и некоторые факты
и понятия теории целочисленных когомологий. Я старался
по возможности напоминать используемые результаты
и определения. Всюду, где имеется ссылка «де Рам, §...»,
подразумевается указанная выше книга; ссылки на книги
Бурбаки даются в обычной форме. Из теорем сущест-
существования теории гармонических форм, играющей весьма
существенную роль в настоящей книге, читателю потре-
потребуется лишь теорема о существовании операторов де Рама
Я и G, а также формальные свойства этих операторов,
перечисленные в п. 1 гл. IV. Для частного случая торов
прямое доказательство этих результатов, не зависящее
от приведенного в книге де Рама доказательства для
общего случая, содержится в п. 2 гл. IV, что позволяет
при желании строить теорию тэта-функций, не прибегая
к общей теории гармонических форм.
Париж, 31 мая 1957 г.
1) В тех случаях, когда речь идет о книгах Бурбаки, переведен-
переведенных на русский язык, ссылки даются на перевод. — Прим. перев.
2) Имеется русский перевод: де Рам Ж.. Дифференцируемые
многообразия, ИЛ, М., 1956.—Прим. перев.

Глава I
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
НА ЭРМИТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Пусть Т — векторное пространство конечной раз-
размерности п над полем комплексных чисел С; размерность
пространства Т над полем вещественных чисел R равна 2л.
Пусть F — множество R-линейных отображений простран-
пространства Т в С. Другими словами, F — множество комплексно-
значных функций t—>f(t), определенных на Г и удовле-
удовлетворяющих условиям
f(t + t') = f(t)+f(t') (t?T, t'?T), A)
(*(E7\ Я-CER). " B)
Рассмотрим F как комплексное векторное пространство,
определяя сложение и умножение на комплексные скаляры
естественным образом. Пусть f?F; через / обозначим
отображение t—>f(t), где функция f(t) комплексно сопря-
сопряжена f(t). Отображение f—»/ является антилинейным
отображением пространства F на себя. Напомним, что
так называется всякое отображение и —»ф (и) одного
комплексного векторного пространства в другое, удов-
удовлетворяющее условиям
для произвольных и, и' и произвольного Я-?С. Элемент
f?F назовем вещественным, если функция f(t) принимает
вещественные значения; для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы f — f.
Рассмотрим векторное пространство Т, двойственное
пространству Т, т. е. совокупность С-линейных форм на Т.
Пространство 7" есть не что иное, как совокупность
элементов f?F, удовлетворяющих условию f(it) = if(t)
для всех t ? Т; оно является векторным подпространством
размерности п пространства F. Пусть Г" —образ 7" при

8 Глава J
отображении f —*] пространства F на себя. Множество Т"
представляет собой совокупность автилинейных отобра-
отображений пространства Г в С, или, что то же самое, сово-
совокупность элементов f?F, удовлетворяющих условию
f(it)= —if(t) для всех t?T. Оно. также является ком-
комплексным векторным подпространством пространства F.
Назовем пространство Т", снабженное структурой ком-
комплексного векторного пространства, индуцированной
структурой пространства F, антидвойственным простран-
пространству Т; /—>/ —взаимно однозначное, антилинейное, а зна-
значит, и R-линейное отображение 7" на Т"; следовательно,
Т' и Т" имеют равные вещественные размерности 2«
и равные комплексные размерности п.
Ясно, что Т'[}Т" = {0}. Пусть /gF; положим
Непосредственно видно, что /'g V, f gT" и 2/ = /' + /".
Значит, пространство F является прямой суммой про-
пространств Т' и Т"; следовательно, если (zv ... , гп) —базис
в Т', то (zl ... , zn, zv , zn) —базис в F.
Как обычно, через /\F обозначим внешнюю алгебру
над комплексным векторным пространством F1). Рассмо-
Рассмотрим внешние алгебры AT' и ЛТ", построенные на 7", Т"
и естественным образом погруженные в /\F. Пусть Fai0 =
= ЛаТ' — совокупность однородных элементов степени а
алгебры AT', т. е. векторное пространство, порожденное
элементами вида z1A- ¦ • Aza, где za?T' при 1<а<а;
при а — 0 это произведение считается равным 1. Анало-
Аналогичным образом определим F0<a= АаТ". Обозначим через
Fa>b векторное подпространство пространства Л F, поро-
порожденное элементами вида u/\v, где u?Fa0, v?Fob.
Элементы F Oib назовем биоднородными элементами. сте-
!) Внешней алгеброй над комплексным векторным пространством
называется комплексная ассоциативная алгебра, образующими кото-
которой являются элементы базиса этого пространства, удовлетворяющие
соотношениям антикоммутативности и не связанные никакими дру-
другими соотношениями. Очевидно, каждый элемент внешней алгебры
представим в виде суммы произведений различных образующих.—
Прим. перев,

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 9
пени {а, Ь). Пусть (zv .. ., гп) базис в Т'. Очевидно, что
элементы вида
\ )
... <аа<л; 1< ^ < .. . < Рь<и)
образуют базис в Fa>b и что /\F является прямой суммой
Fa<b. Другими словами, всякий элемент u?/\F записы-
записывается и притом единственным образом в виде суммы
биоднородных элементов мО) b . соответственно степеней
(а, Ь). Отображение и—>иаЬ' алгебры Л^ на Fab обозна-
обозначим через Ра> ъ и назовем «оператором проектирования».
Совокупность APF однородных элементов степени р
алгебры /\F (которые называются также р-ковекторами
с комплексными значениями на пространстве Т, или,
точнее, на вещественном векторном пространстве, порож-
порожденном Т), очевидно, является прямой суммой подпро-
V
странств FaiP.a, где 0<а<р. Положим Рр= 2 Ра.р.а-
а=0
Рри представляет собой однородную часть степени р
элемента u?/\F.
Эндоморфизм L векторного пространства, порожден-
порожденного алгеброй /\F, будем называть биоднородным эндо-
эндоморфизмом степени (г, s), если L(Faib)CZFatTi bts при
любых а, Ь. Примером такого эндоморфизма может служить
эндоморфизм u—>w/\u алгебры /\F, если w?Fr^s.
Пусть G — группа автоморфизмов комплексного вектор-
векторного пространства Т. Она изоморфна группе комплексных
невырожденных матриц л-го порядка. Всякому X g G
соответствует автоморфизм X' — 1Х двойственного про-
пространства Т', называемый транспозицией X, и автомор-
автоморфизм X" пространства V, называемый антитранспозицией
автоморфизма X. Тем самым определяется автоморфизм
пространства F = T' + T" и автоморфизм Хг алгебры /\F.
При отображении /—>/ пространства 7" на Т" автомор-
автоморфизм 1Х переходит в X"; имеем X" — 1Х. Ясно, что Х1
индуцирует автоморфизм каждого пространства Fa> ь или,
другими словами, Х} перестановочен со всеми операторами
проектирования Ра> ь. Если, в частности, выбрать в ка-

И) Глава I '
честве X автоморфизм t-+it пространства Т и обо начить
через С соответствующий ему автоморфизм Xlt то С будет
индуцировать на Fab автоморфизм u—>ia~bu; другими
словами, имеем
С= 2^ьЯа,ь- D)
а, Ь
Из предыдущего следует, что Х-^-Х1 — представление
группы, инверснойг) группе G, в группу автоморфизмов
алгебры AF. Это представление приводимо; оно распа-
распадается в сумму представлений, индуцируемых им на про-
пространствах Fut b, которые, как можно показать, уже не-
приводимы.
Пусть Fo —множество вещественных элементов про-
пространства F. Множество FQ является вещественным
векторным пространством, двойственным пространству Т,
рассматриваемому также как вещественное векторное
пространство. Очевидно, что всякое z?F можно одним
и только одним способом представить в виде z = х + iy,
где x?F0, y?F0. Имеем x = (z + z)/2, y = (z — z)/2i. Выбе-
Выберем в V базис (z1( ... , 2„);_пусть za-=xa + iya, где xa?FOt
ya?F0 A<сс<и). Тогда za = xa — iya. Это показывает,
что (xlt yv ..., хп, уп) — базис в F (над С), а значит,
и система образующих алгебры AF. Всякое f?F записы-
записывается единственным образом в виде
где |a € С, т)абС. Ввиду того что f?F0 тогда и только
тогда, когда f=/, совокупность
(*1. У1,.-., Хп, Уп)
является базисом в Fo над R. Значит, во внешней алгебре
Л^о на вещественном векторном пространстве Fo элементы
вида
(Хо,Л . •. ЛЧ)д ^PiA • • ¦ лУО
образуют базис над R; они образуют также базис над С
в алгебре /\F. Однородные элементы степени р алгебры
х) Группа, инверсная к G, состоит из элементов G с умноже-
умножением в обратном порядке.—Прим. ред.

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 11
/\F0 называются вещественными р-ковекторами на Т (или,
точнее, на Т, рассматриваемом как вещественное про-
пространство). Алгебру Л^о можно рассматривать также
как часть алгебры А^> состоящую из линейных комби-
комбинаций с вещественными коэффициентами произведений
элементов Fo A будем включать в число этих произве-
произведений). Всякий элемент u?AF единственным образом
представляется в виде u = v-\-iw, где w, и6 Л^о- Положим
м = и — iw. Отображение «—»ы алгебры Л^ на себя анти-
линейно, представляет собой автоморфизм /\F, как кольца
(и даже автоморфизм /\F, как вещественной алгебры),
продолжает отображение f —> f пространства F на себя.
Обратно, этими свойствами указанное отображение пол-
полностью определяется. Элемент и?/\F является веще-
вещественным, т. е. принадлежит /\F0, тогда и только тогда,
когда и = и.
Отображение и—>и при любых a, b индуцирует анти-
антилинейное взаимно однозначное отображение Fai ъ на Fbi о.
Точнее, имеем (Ро> ьи) = Рь> а (и), что записывается также
в виде Ра,ь — Рь,а- В частности, отображение и—>и
индуцирует антилинейное отображение Fai a на себя. Зна-
Значит, в JFaia можно выбрать-базис из вещественных эле-
элементов. Это справедливо, в частности, для двух из этих
пространств Foo и Fnn размерности 1. Fo 0 порождает-
порождается 1, единичным элементом алгебр Л^ и Л^о- Если, как
и выше, элементы za = xa-\-iya образуют базис в Т', то
Fn.n порождается вещественным элементом
(у)" (ZiAZx)A ¦ • • A{znAzn) = (XiAj/i)A ... Л{хпЛуп)- E)
Этот элемент можно записать также в виде
A...A?n), E)
откуда следует, что при переходе от базиса (zv ... , zn)
к базису (z[, .. . , z'n) он умножается на //, где / — де-
детерминант второго базиса по отношению к первому; таким
образом, знак этого элемента не зависит от выбора базиса.
Условимся всегда выбирать в Т (точнее, в соответству-

12 Глава J
ющем Т вещественном пространстве) такую ориентацию,
при которой вещественный 2п-ковектор E) положителен.
Для этого достаточно выбрать координаты в следующем
порядке: xv yv ..., хп, уп (или во всяком другом порядке,
получающемся из указанного четной перестановкой).
Эндоморфизм А векторного пространства, соответ-
соответствующего алгебре Л/% назовем вещественным, если он
оставляет инвариантной совокупность вещественных эле-
элементов, или, что то же самое, если (Аи) = А(и) для всех
u?AF- Например, как нетрудно проверить непосред-
непосредственно, оператор Раа при любом а и оператор С, опре-
определенный формулой D), вещественны.
2. Эрмитовой формой на пространстве Т называется
комплекснозначная функция Н (t, t'), определенная на
Т х Г и такая, что отображение V —> Н (t, t') простран-
пространства Г в С при любом / ? Т является С-линейным (и опре-
определяет тем самым линейную форму на Т) и выполняется
условие «эрмитовой симметричности»
Очевидно, что для всякого V 6 Т такое отображение
t—>H{t, t') пространства Г в С антилинейно.
Положим
H(t,t')^S(t,t') + iA(t,t'), F)
где формы S(t, t') и A(t, t') вещественны. Из сформули-
сформулированных выше условий на Н непосредственно следует,
что S — симметрическая R-билинейная форма, Л — косо-
симметрическая R-билинейная форма и что
S(t,t')=-A(ittt') = A(t,it'),
A(t,t')*=S{U,t')=-S(t,W), G)
S(it,it') = S(t,t'), A(it,it') = A(t,t'). (8)
Обратно, предположим, что нам дана симметрическая
R-билинейная форма S, удовлетворяющая первому из
соотношений (8), или кососимметрическая R-билинейная
форма А, удовлетворяющая второму из этих соотношений.

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 13
В первом случае второе из соотношений G) определяет,
как легко проверить, кососимметрическую форму А; во вто-
втором случае первое соотношение G) определяет симметри-
симметрическую форму 5. В обоих случаях соотношение F) опре-
определяет эрмитову форму Я. Соотношение (8) означает,
что формы S и А инвариантны относительно автоморфиз-
автоморфизма t-^ it пространства Т. Значит, можно сказать, что при-
приведенные выше соотношения устанавливают взаимно одно-
однозначные соответствия между совокупностью эрмитовых
форм на Т, множеством симметрических форм, инвариант-
инвариантных относительно автоморфизма t—>it, и множеством
кососимметричееких форм, инвариантных относительно
того же автоморфизма.
Полагая, далее,
мы получим квадратичную форму Ф, при помощи которой
можно восстановить S по формуле
2S (/, Г) = Ф (/ + Г) - Ф (/) - Ф (Г)
и, следовательно, определить формы Л и Я, если только
форма 5 инвариантна относительно автоморфизма t—>it.
Последнее справедливо тогда и только тогда, когда
инвариантна форма Ф. В этом случае квадратичную фор-
форму Ф называют иногда «эрмитовой формой».
Выберем в двойственном к Т пространстве 7" базис
(zx zn). Тогда всякая С-линейная форма на 7 запи-
запишется в виде 2 loZo @> а всякая антилинейная форма
в виде 2 ?aZa @- Отсюда следует, что всякая «полутора-
линейная» форма от t, V, т. е. форма, антилинейная по t
и линейная по V, является линейной комбинацией форм
za(t)zfi(t'). В частности, если Я —эрмитова форма, то
H(t,t')= 2 hafza{t)zz{t'), (9)
a, p=l
причем условие «эрмитовой симметричности» означает, что
ftpa = 7iap. Известно, что для всякой такой формы Я мож-
можно выбрать в 7" базис (га), другими словами, систему
«комплексных координат» на Т так, чтобы /iap = 0 при аф$

14 Глава I
т. е. чтобы матрица || Лаэ II стала диагональной. Коэффи-
Коэффициенты haa всегда вещественны.
Форму Я называют невырожденной, если для всякого
V Ф О существует такое t?T, что Н(t, t') Ф 0. Согласно
формулам F) и G), для этого необходимо и достаточно,
чтобы форма S или, что равносильно, форма А была не-
невырожденной. Пусть форма Н записана в виде (9), тогда
она невырожденна в том и только в том случае, когда
det (/гар) Ф 0. Эрмитова форма Я называется положитель-
положительной, если соответствующая квадратичная форма Ф поло-
положительна, т. е. если <E>(t) = H(t, t)>0 при любом /.
Форма Н положительна и невырожденна тогда и только
тогда, когда Ф (t) > 0 при любом t Ф 0. В этом случае
базис (za) можно выбрать так, чтобы матрица || ha& \\ стала
единичной.
Пусть (/г, ... , /2п) — базис в Fo. Тогда элементы /м Л /v»
1<ц< v<2n образуют базис в A*F0- С другой стороны,
кососимметрические формы
образуют при 1 < ц < v < 2п базис в пространстве косо-
симметрических R-билинейных форм с вещественными
значениями на Т. Очевидно, что изоморфизм совокуп-
совокупности Л2^о на это последнее пространство, ставящий Л^
в соответствие /ц Л fv. l<n<v<2n и, вообще, форму
f(t)g(t')-g(t)f(n элементу fAg при fgf0> g?F0,
полностью определяется этим условием. Его называют
каноническим изоморфизмом между рассматриваемыми
пространствами. Пусть теперь и — какой-нибудь элемент
A2F0- Его можно рассматривать как элемент Д2/7. Поло-
Положим v — Pz^u,' w — Pi^u. Тогда v^Pq^u, так как
и — вещественный элемент. По той же причине w — w.
Итак, имеем
, Си= —v + w — v.
Но С, по определению, действует на и, как автоморфизм
алгебры Л^. индуцированный автоморфизмом t—>it про-
пространства Т. Очевидно, для того чтобы элемент и был
инвариантен относительно указанного автоморфизма, не-
необходимо и достаточно, чтобы соответствующая и косо-

__ Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 15
симметрическая R-билинейная форма оставалась инвари-
инвариантной при автоморфизме t—>it. В силу предыдущих
формул равенство и —Си эквивалентно условию v-\-v = 0,
т. е. и = w, или и б F1) v Итак, кососимметрическая
R-билинейная форма инвариантна относительно автомор-
автоморфизма t —> it тогда и только тогда, когда соответствую-
соответствующий ей биковектор является биоднородным биковектором
степени A,1). Определенный выше канонический изомор-
изоморфизм индуцирует изоморфизм между пространством этих
форм и пространством вещественных элементов совокуп-
совокупности Fu v
Применим полученные результаты к только что рас-
рассмотренной эрмитовой форме Н (t, t'), выраженной при
помощи формулы (9) через za и гр, и к ее мнимой части
A (t, t'), определенной соотношением F). Имеем
А V, Г) = ±2 *аЭ [га (t) гр (/') -zp (t) ~za (t')];
а,Э
следовательно, соответствующий биковектор можно за-
записать в виде
42 га. A0)
Заметим, что если ||Лар|| —единичная матрица, т. е.
если
и = \ 2 z» Л г„,
то ип/п1 есть не что иное, как определенный формулой E)
элемент Fn>n; следовательно, если выбрать ориентацию
в пространстве Т так, как было условлено в конце п. 1,
то ип будет вещественным строго положительным Bл)-
ковектором. Но так как для всякой невырожденной
положительной эрмитовой формы Н матрица || Аар || в под-
подходящем базисе является единичной, мы получаем, что
Bп)-ковектор ип строго положителен, если и —биковек-
—биковектор, соответствующий невырожденной положительной
эрмитовой форме.
3. Условимся до конца этой главы предполагать,
что на пространстве Т фиксирована некоторая эрмитова

16 Глава I
форма Н. Так же, как в п. 2, обозначим соответственно
через S, А и и связанные с Я симметрическую и косо-
симметрическую формы и биковектор. Предположим, что
форма Н положительна и невырожденна. Впрочем, это
предположение не является необходимым для чисто алге-
алгебраических результатов настоящей главы (а также для
чисто локальных результатов следующей главы). Они
остаются в силе, если форма Я невырожденна. Это можно
проверить непосредственно или при помощи принципа
продолжения алгебраических тождеств.
Говорят, что задание невырожденной эрмитовой фор-
формы Я определяет на Т структуру эрмитова простран-
пространства. Для удобства предположим раз навсегда, что в 7"
выбран базис (га) («система координат» в Т), в котором
форма Я записывается в виде
Как и прежде, положим za = xa + iya, где ха и уа вещест-
вещественны. Тогда имеем
Ф @ = Я (t, t) = S г„ @ Za (t) = S W @ + Уа2 (t)}-
a a
Известно, что задание положительной квадратичной формы
на вещественном векторном пространстве Е определяет в
алгебре поликовекторов на Е оператор * (см. де Рам, § 24).
Пространство Е будем считать ориентированным, а ква-
квадратичную форму приведенной к сумме квадратов f\+...+fm
путем выбора подходящего базиса (fv .. . , fm) в простран-
пространстве, двойственном пространству Е. Тогда, если (ilt ...
. .., гр, j1 /m_p) — четная перестановка индексов
A,2, ... , т), то мы имеем
При всяком р оператор * при помощи указанных формул
устанавливает изоморфизм между пространством р-ковекто-
ров и пространством (т — р)-ковекторов. Можно показать,
что этот изоморфизм не зависит от выбора базиса (/;),
а зависит лишь от заданной на Е квадратичной формы,
с которой он, следовательно, связан инвариантным обра-
образом (см. Bourbaki, Alg. Chap. Ill, § 8).

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 17
Оператор * можно ввести, в частности, в алгебре
вещественных поликовекторов на Т при помощи квадра-
квадратичной формы Н (t, t). Продолжим этот оператор на Д^
так, чтобы он был С-линейным на A F. Требование
С-линейности обеспечивает единственность продолжения.
Оператор * будет тогда вещественным в смысле п. 1
оператором на /\F, устанавливающим изоморфизм между
Чтобы описать оператор * более явным образом,
введем теперь следующие обозначения. Пусть N =
= {1, 2, ...,«} и пусть М — какая-то часть множества N.
Обозначим через v (М) число элементов М и положим
Bц Л 2Д) = (— 2i)v <м> [ | (Хц Л Уц)-
нем нем
Это произведение не зависит от порядка сомножителей,
так как все они имеют* степень 2 и потому перестано-
перестановочны между собой и со всеми элементами Л F.
Пусть, далее, ft — множество последовательностей,
у которых первый член равен + 1 или —1, а остальные
члены — различные элементы множества N. Если Л =
= (± 1, cij ао) —такая последовательность, то через
| Л | обозначим множество {av .... ао}, через v (А) — целое
число а = г(|Л|). Положим
ZA= ±ZaiA ... Л 2аа,
где знак в правой части совпадает со знаком первого
элемента множества А. Аналогично определим хА и уА.
Пара (А', А")?& х ft называется разбиением множества Л,
если zA = zA'AzA". Два разбиения (А', А") и (А[, Л^')
называются эквивалентными, если |Л'| = |Л1| (и, следо-
следовательно, IЛ"| = |Л''|). В этих обозначениях имеем
где суммирование ведется по полной системе представи-
представителей классов эквивалентных разбиений множества А.
Всякий базисный элемент вида C) можно записать
также в виде zA A zB A wM, где множества \А\, \В\
и М попарно не имеют общих элементов. Вычислим
2 Андре Вейль

ljj . Глава 1
теперь, как преобразует этот элемент оператор *. Имеем
{] (* д y)t
нем
где суммирование ведется по полной системе представи-
представителей (А', А") и (В', В") классов эквивалентных разбиений
соответственно множеств А и В.
Положим
Принимая во внимание сказанное выше относительно опе-
оператора *, соответствующего форме, представленной в виде
суммы квадратов, мы получаем
где
Пусть А\ — элемент множества &, который может отли-
отличаться от А" только знаком и такой, что пара {A"v A') —
разбиение множества А. Тогда, если (Л', А") пробегает
полную систему представителей классов эквивалентных
разбиений множества А, то (А[, А') также пробегает пол-
полную систему. Воспользовавшись этим замечанием, полу-
получаем после несложных вычислений следующий резуль-
результат:
* (zA AzBA wm) =
где M' = N — (| A j [J | б | [j M), (a, b) — степень элемента
zA A zb A wm, t: e.
b = v(B)-\-v(M), p = a-\-b

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве Н>
Эти формулы показывают, что оператор * преобразует
всякий р-ковектор степени (а, Ь) в Bп — /?)-ковектор сте-
степени (п — Ь, п — а). Другими словами, имеем
* "а, Ъ = "п-Ь, п-а *'
откуда следует, что * коммутирует с С; мы запишем это
следующим образом:
[•,С] = 0. A)
Здесь, как обычно, используется запись [X, Y] —
= XY — YX, где X,Y — эндоморфизмы векторного про-
пространства. Заметим еще, что вещественная размерность
пространства Т четна и, значит, оператор ** совпадает
с оператором w (де Рам, § 24), который умножает вся-
всякий р-ковектор на (— 1)р и может быть записан в виде
w — C2. Итак,
In
ji=0
*'1 = ю* = *щ), С'1 = wC = Cw. ' '
4. Как в п. 2, обозначим через и биковектор, связан-
связанный с мнимой частью формы Я, определяющей на Т струк-
структуру эрмитова пространства. В выбранной нами системе
координат имеем
это вещественный биковектор степени A, 1). Пусть и? /\F.
Положим
Lv — uf\v, Ли = w*(u/\*v) — w*L*v — * ~XL * v.
Операторы L, Л — вещественные биоднородные операторы
степеней соответственно A,1) и ( — 1,-1). Непосред-
Непосредственно проверяется, что они перестановочны с операто-
операторами w и С:
[L, w] = [L, С] = [Л, w] = [Л, С] = 0. (ТТI)
Ясно, что в обозначениях предыдущего пункта
L{zA AzuA wm)=-^za Л zb Л

20 Глава 1
С другой стороны, формулы п. 3 позволяют при помощи
простых выкладок убедиться в том, что
Л (гА А гв A wM) = Д z* Л *в л (
нем
Следовательно,
(AL — LA) (zA Л гв Л wM) = (п - р) гл Л гв Л ^а/,
где р—степень zA/\zB AwM- Отсюда
2п
[A,L] = AL-LA= S (л-р)Рр. (IV)
При г> 1 получаем
[Л, U] = 5? Z/-*-1 [Л, L] L" = 51 I (л ' Р) L'-*-^.
0=0 0=0 Р=0
Но L — однородный оператор степени 2, и, значит, PpL =
= LPp_2, откуда
[Л, Z/] = L-i 2 S(n-P)^P-20.
q=0 р=0
где Pp-2q считается равным 0, если р — 2q < 0. Коэф-
Коэффициент при Pq в правой части равен
"S (л-<7-2q),
Q=0
если только ^ + 2(г—1)<2п. Если <7 не удовлетворяет
последнему неравенству, то ^'гРй = 0, так как LrPqu
имеет степень >2(г— 1) + <7- Итак, можно записать
[|]5]G + )в
9=0
Назовем однородный элемент v ? AF примитивным, если
Ли = 0.
Пусть и — примитивный р-ковектор. При г>1, s>l
имеем
AsLrv = Л8'1 (Л1Г- UA) v = r{n-p-r+ 1)Л''1//*».

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 21
Применяя эту формулу / раз при всяком i < min (r, s),
мы представим левую часть в виде произведения
А8~гЬг~1и на числовой коэффициент, который легко сосчи-
сосчитать. В частности, при / = s<r имеем
AsLrv = r(r-l) ... (r-s+l)x
X (n-p — r+l)(n — p-r + 2) ... (n- p-r + s)Lr~*v.
Предположим теперь, что s = n+l, r = n + <7+l. <?>0.
Тогда степень элемента Uv больше 2n, и, значит, он
равен 0. Но числовой коэффициент в правой части отли-
отличен от 0, если д>л — р+1. Следовательно, в этом слу-
случае L9v = 0. Положим х* = max (х, 0) для всех x?R.
Нами доказана следующая
Теорема I. Если v — примитивный р-ковектор, то
= 0 при всех q>{n — p-\-\у.
Следствие. Не существует ненулевого примитив-
примитивного р-ковектора степени р> п.
Это утверждение получается из теоремы при q = 0.
Теорема 2. Пусть v — произвольный примитивный
р-ковектор. Тогда
*Lrv = (-l)p{p+i)/2-/ r-±—Ln-p-rCv, (V)
если 0 < г < п — р, и * Uv = 0, если г > п — р.
Второе утверждение следует из теоремы 1. Формально
можно считать формулу (V) верной также и при г > п — р,
интерпретируя множитель \/(п — р — г)! как функцию
1/Г (л — р — г + 1), которая при г>л — р равна нулю.
Как обычно, считается, что 0! = ГA)=1.
Итак, предположим, что г<п — р. Представим v в ви-
виде линейной комбинации элементов гА Л %в Л ^>м'-
А, В, Л1
Условие Ли = 0 можно переписать тогда следующим
образом:

22 Глава I
Отсюда следует, что ковектор vA,
примитивен. Значит, доказательство достаточно провести
для р-ковектора вида Va, в. или, другими словами, для
случая, когда v имеет вид
v = ZaA~zb A
где суммирование ведется по всем частям М множества
N — | А [ — | В |, состоящим из т элементов, а т определяет-
определяется равенством 2т = р — v (Л) — v(B). Положим N' =
— N — |Л| — |S|. Условие Аи = 0 запишется тогда так:
для всякой части М' множества Л/', такой, что vGW') =
= т-\.
Предположим, в частности, что Nlt N2 — две непересе-
непересекающиеся части Л/', такие, что N' = N1[jN2. Положим
M'1 = N1 f] М', Л?2 = Л'2 П М'. Тогда рассматриваемое соот-
соотношение перепишется следующим образом:
Пусть теперь задано целое число г A < г < т) и пусть ЛГ —
такое подмножество Л/', что v(Mj) = r— I, v(М'2) = т — г.
Если [д. g Л/j — М[, то для множества М = М' \J {ц,} имеем
v(M) = /n, v (Nt f] 7W) = r. Всякую часть М множества Л/',
удовлетворяющую последним условиям, можно г различ-
различными способами представить в виде М' {J {ц.} с М' и \i,
такими, как было ранее оговорено. Точно так же, если
М' обладает прежними свойствами и n?N2 — M'2, то для
множества M = M'\J{\i} имеем: v(M) — m, v(N1f]M) =
= r—1, и всякая часть М множества N' с такими свой-
свойствами (т —г+1) различными способами представима
в виде М' [j {ц}, где М' и \i удовлетворяют ранее указанным

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 23
условиям. Положим теперь
Sr М) = 2 & (М) (М С Л/', v (М) - m, v (#, П М) = г).
м
Суммируя написанные выше соотношения по всем рас-
рассматриваемым множествам М', получаем
i
откуда сразу следует, что 5m(/V1) = (- l)mS0(/Vj). С дру-
другой стороны,
sm(tf,)= 2 iW
.V/CVi
и S0(N1)^Sm(N'~~N1). В частности, Sm(^) = S(^),
если v(Nj) = m.
Теперь применим результаты предыдущего пункта.
Получим
* V = yZA Л ZB Л ( 2 S (M) O>JV'-AJ ) .
Л/
где коэффициент у имеет вид
Y=(-l)
С другой стороны,
где суммирование ведется по всем частям R множества N,
таким, что v(/?) = n — p. В результате
Ln-vv = (- 2if-n (n-p)lzAA гв Л ( 2 '6 (Л*) и*и*) •
М, R
где суммирование ведется по всем парам (М, R) непере-
непересекающихся частей множества N', таких, что v(M) = m,
v (R) — п — р. Последний множитель в правой части есть
не что иное, как ^Sm{T)wT, где суммирование ведется
по всем частям Т множества N', для которых v(T) =
= tn-\-n— p, a Sm(T) определяется указанным выше спо-
способом. Воспользовавшись ранее доказанными формулами
для Sm(N1) и S0(Wj), получаем

24 Глаза I
Но Ln'pv и *v имеют одинаковую степень 2п — р, поэтому
степень последнего сомножителя в выражении для Ln~pv
та же, что и степень последнего сомножителя в приве-
приведенном выше выражении для *v. Отсюда следует, что
т-\-п — p — v (N') — т.
Если ТСЛГ и \(Т) — т + п — р, то v(N' — T) = m и, следо-
следовательно, Sm (N' — Т) = | (N' — Т). Теперь ясно, что полу-
полученные нами выражения для Ln~pv и *v отличаются лишь
фигурирующими в них числовыми множителями. Сравнивая
эти множители, мы убеждаемся в справедливости формулы
теоремы 2 в случае г = 0.
Чтобы перейти к общему случаю, заметим, что
и, следовательно, применяя уже доказанную часть тео-
теоремы, получаем
Но С коммутирует с Л, значит, элемент Cv примитивен,
если примитивен элемент v, а так как г<п — р, то при-
применяя формулу A1), мы завершаем доказательство тео-
теоремы 2.
Теорема 3. Пусть v—однородный элемент алгебры
/\F степени р. Тогда v можно одним и только одним
способом представить в виде
v= S ^Ч. (VI)
г^(Р-п)*
где vr — примитивный (р — 2г)-ковектор при всяком
г~^{р—п)*. Существуют некоммутативные полиномы
G>pr(L, Л) с рациональными коэффициентами, такие, что
для всякого р-ковектора v элементы vr, фигурирующие
в выражении (VI) для v, имеют вид
vr = ®p,T{L,A)v.

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 25
Под некоммутативным полиномом Ф(Х, У) от двух
переменных X, Y с рациональными коэффициентами пони-
понимается, как обычно, всякий элемент свободной алгебры
с единицей, порожденной над полем рациональных чисел Q
элементами X, Y, т. е. линейная комбинация с рацио-
рациональными коэффициентами единицы и одночленов, поро-
порожденных X и Y. Если задан такой полином, то можно
подставить вместо X и Y два элемента любой рациональ-
рациональной алгебры с единицей, например, два эндоморфизма
векторного пространства над полем характеристики 0.
При помощи соотношения (IV) без труда проверяется,
что полиномы (DPiI.(L, Л) можно считать приведенными
к виду
2
с рациональными ар> r, s; но это для нас неважно.
Докажем сначала единственность представления v
в виде (VI), т. е. покажем, что равенство v = 0 влечет
за собой равенства иг = 0, если vr — примитивные (р — 2г)-
ковекторы. Предположим противное. Пусть s — наиболь-
наибольшее число, при котором vs ф 0. Применяя к v оператор As,
мы получим
2 AsLrvr = 2 Л»-ГЛГ(^Ч) = °.
Т Г
где суммирование ведется по всем г, таким, что(р — п)+<
< г < s. В силу A1) ковектор ArLrvr отличается от vr лишь
числовым множителем, а потому примитивен. Следова-
Следовательно, все слагаемые в нашей сумме, у которых г Ф s,
равны нулю, а значит, и AsL"vs = 0. Отсюда, согласно
равенству A1), vs = 0, что противоречит предположению.
Теперь докажем следующую лемму.
Лемма. Существуют такие некоммутативные поли-
полиномы ФР)Г S(L, Л) с рациональными коэффициентами
@</7<2n; (p — «)+<s <.r), что, если положить
q = (p-n)\ vs = O (L, Л) и, v' = v- 2 14.
то степень vs равна р — 2s, где р означает степень
v, и для всякого р-ковектора v, удовлетворяющего

26 Глава I
уравнению Л'Ъ = О, имеем \v, — 0 при q~4s<r
и AV = 0.
При r = q утверждение очевидно. Формула, определяю-
определяющая v', принимает в этом случае вид v' = v. Доказа-
Доказательство мы будем вести по индукции. Пусть г > q.
Пусть, далее, v — р-ковектор, удовлетворяющий уравне-
уравнению Лг+1у = 0. Тогда ATv — примитивный (р — 2г)-ковектор,
и потому в силу A1) имеем A'Lr(Arv) — yArv, где множи-
множитель у имеет вид
у = г\ (п- р + r -\- I) . . .(п- р + 2г);
он отличен от нуля, так как г>р —л. Итак,
Ar(v-y~1LrArv)=0
и, следовательно, к р-ковектору о — y^UA^'v можно при-
применить предположение индукции. Теперь положим
Фр1Г+1?,(/.,Л) = Ф|IГ1,A1Л).A-у-^гА'-) (q<s<r);
требования леммы выполнены.
Применим сначала лемму в случае р<«, т. е. когда
<7= 0. Тогда равенство Aqv' = 0 означает просто, что v' = 0.
Если в то же время г таково, что 2г > р, то Arv — 0 для
всякого элемента v степени р. Итак, в этом случае тео-
теорема доказана. Пусть теперь р > п. Тогда элемент *vf
имеет степень 2n — p < п, и, воспользовавшись доказанной
частью теоремы, мы можем записать
r=sO
где v'r — примитивные Bп — р — 2г)-ковекторы. Из равенства
AV = 0 следует тогда, что
0 = *Aqv' = L4v' = 2 L^v'r.
Слагаемые в правой части этого равенства имеют степень р.
В силу единственности представления (VI) для р-ковекторов
(когда такое представление существует) из полученного
равенства следует, что v'r = 0 при всех г, а значит и ь' = 0.

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 27
Дальнейшее доказательство теоремы проводится так же,
как и при р<п.
Следствие. Пусть v — р-ковектор, такой, что
Lmv — 0. Тогда в выражении (VI) для v элементы vr
равны 0 при /-> (р — п-\-т)\ В частности, при р<п
равенство Ln~pv = 0 влечет за собой равенство v = 0.
Для того чтобы элемент v был примитивным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы р < п и Ln~p+1v = 0.
Действительно, запишем предположение следствия
в виде 2] Lm*rvr = 0. Так как v,. — примитивные {р — 2г)-
т
ковекторы, из теоремы 1 следует, что ковекторы Lm*rvT
равны нулю при г < р — п-\~т. Значит, 2 Lmtrvr = 0 (сум-
(суммирование ведется по всем г> (р — п-\-т)*). Слагаемые
в левой части равенства имеют степени р-\-2т, и, в силу
единственности представления (VI) для (р-|-2т)-ковек-
тора, все v,., фигурирующие в левой части, равны нулю.
Следствие показывает, что при 0</n<n — p опера-
оператор L'" осуществляет вложение /\°F в /\Vt'imF, другими
словами, он устанавливает изоморфизм между /\PF н его
образом при отображении Lm. Пусть а>р — векторное про-
пространство примитивных /7-ковекторов, причем 0<р<«.
Оно является ядром отображения А пространства APF
в /\VF или, согласно полученным выше результатам,
ядром отображения /Лрч1 пространства APF в про-
пространство Bп — р + 2)-ковекторов. При всяком /?<п
и всяком т<я — р оператор Lm устанавливает изомор-
изоморфизм между сор и Lm(cop). В результате первую часть
теоремы 3 можно сформулировать следующим образом:
пространство /\F представляет собой прямую сумму
векторных пространств Lm(a>p) при 0</?<л, 0</п<
<л — р.
Можно продолжить это разбиение /\F в прямую сумму.
Действительно, как мы уже видели, всякий примитивный
р-ковектор представляет собой сумму примитивных биод-
нородных р-ковекторов. Это непосредственно следует из
биоднородности оператора Л, так как по этой причине
биоднородные компоненты Ра< v примитивного элемента v
тоже примитивны. Итак, пусть wtt(i)- пространство при-

28 Г лава I
митивных ковекторов степени (а, Ь), 0<а + &<"- В част-
частности, шО) 0 = /ГО) 0 и coOj о = Fo> a при 0<rz<n, ибо биодно-
родный оператор Л степени (—1, —1) переводит в нуль
всякий ковектор степени (а, 0) или @, а). Тогда пространство
сор — прямая сумма пространств coajb) где а -\-Ь = р. При
0</п<п — {а-}-Ь) оператор Lm устанавливает изомор-
изоморфизм между ©в|Ь и его образом Lm((oa)b) в Fa.mtbtn.
Пространство Л^ является прямой суммой пространств
Lm(co0)b), и для произвольных аи b пространство Fa ъ —
прямая сумма пространств Lm(aa_m> ь_т), где 0<т<
<min(a, b).
Из доказанных выше формул следует, что простран-
пространства Lm (co0) ь) преобразуются одни в другие операторами
Ра,ъ, L, *, Л и, стало быть, всеми эндоморфизмами век-
векторного пространства Л^7. принадлежащими алгебре, по-
порожденной этими операторами. Этот факт, получившийся
при помощи выкладок, можно пояснить иначе. Пусть U —
группа автоморфизмов эрмитова пространства Т с задан-
заданной по нем формой Я, т. е. группа автоморфизмов
комплексного векторного пространства Т, оставляющих
инвариантной эрмитову форму Н. В базисе, выбранном
условленным ранее способом, группа U отождествляется
с унитарной группой n-го порядка. Но в п. 1 мы видели,
что всякий автоморфизм пространства Т и, в частности,
всякий автоморфизм X g U определяет некоторый автомор-
автоморфизм X' — 'X пространства Т' = Flt 0, автоморфизм X" = 1Х
пространства Т" = /¦"„, v и, следовательно, автоморфизм про-
пространства F — T' + V и автоморфизм Х1 алгебры AF.
Ввиду того что операторы L, *, Л каноническим образом
связаны с эрмитовой структурой пространства Т, и так как
X — автоморфизм этой структуры, эти операторы переста-
перестановочны с Xv и, следовательно, пространства Lm(aat ъ)
инвариантны относительно Xv Другими словами, отобра-
отображение X —»Xj осуществляет представление группы, инверс-
инверсной U, в группу автоморфизмов алгебры /\F, которое
разлагается на представления той же группы, индуциро-
индуцированные им в пространствах Lm (шО) ь). Можно показать, что
представления группы, инверсной U, индуцированные

Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве 29
таким образом на Lm(aa>h), неприводимы. Другими сло-
словами, разложение пространства /\F ъ прямую сумму про-
пространств Lm(cottjb) влечет за собой разложение представ-
представления X—>Xt на неприводимые представления группы,
инверсной U. Отсюда, как известно, следует, что всякий
оператор, перестановочный со всеми операторами Xv пре-
преобразует одни пространства Lm(coaib) в другие. Отметим
еще, что, применяя весьма общие результаты, установлен-
установленные Чжэнь Шэн-шэнем 1), можно получить теорему Ходжа,
которую мы докажем в конце следующей главы. Из нее
следует, что лежащие в Lm(coa)b) компоненты всякой
гармонической формы гармоничны.
х) С h e r n S. S., On а generalization of Kahler geometry, in
Algebraic Geometry and Topology, A Symposium in honor of S. Lej-
schetz, Princeton, 1957.

Глава II
ЛОКАЛЬНАЯ КЭЛЕРОВА ГЕОМЕТРИЯ
1. Мы будем предполагать известными понятия много-
многообразия со структурой С° и многообразия с веществен-
вещественной аналитической структурой (см. § 1 книги де Рама).
Слово «дифференцируемость» будет означать принадлеж-
принадлежность классу С°°. Все многообразия, функции, формы,
которые мы будем рассматривать, предполагаются диф-
дифференцируемыми, т. е. принадлежащими классу С°°, если
из контекста не следует противного.
Нам понадобится также понятие многообразия с ком-
комплексной аналитической структурой комплексной раз-
размерности п. По айалогии с многообразием С°° (де Рам, § 1)
назовем таким многообразием хаусдорфово топологическое
пространство V со счетной базой, если каждой его точке
х 6 V поставлен в соответствие класс комплекснозначных
функций, называемых голоморфными или комплексными
аналитическими в точке х, каждая из которых опреде-
определена в некоторой открытой окрестности точки х, причем
выполняется следующая аксиома:
Для каждой точки - и gV существуют открытая
окрестность U и отображение F этой окрестности в Сп,
обладающие следующими свойствами: a) F гомеоморфно
отображает окрестность U на открытое множество в
С"; Ь) пусть х—некоторая точка окрестности U, U' —
открытая окрестность точки х и F' — сужение ото-
отображения F на U P) U'. Тогда функция /, определенная
в окрестности U', голоморфна в точке х тогда и только
тогда, когда функция f о F'1 х) голоморфна в точке F(x)
(т. е. в окрестности точки F(x) в С").
Такое отображение F назовем картой окрестности V.
Если
F (х) = (гх (*), ... ,zn (х)),
х) Через f о F'1 обозначена функция f (F (и)) в окрестности
точки F (х) пространства С".— Прим. перев.

Локальная кэлерова геометрия 31
то говорят, что zt, которые голоморфны на U в силу
аксиомы комплексных аналитических структур, обра-
образуют систему локальных координат на U. Часто ком-
комплексную аналитическую структуру на V мы будем опре-
определять, задавая покрытие {0г} пространства V, и в каж-
каждом иг—карту, т. е. систему локальных • координат
(см. книгу де Рама).
Комплексная аналитическая структура комплексной
размерности п на V порождает некоторую вещественную
аналитическую структуру размерности 2п. Действительно,
в качестве локальных координат в окрестности каждой
точки достаточно взять вещественные и мнимые части
комплексных локальных координат. В свою очередь зада-
задание на V вещественной аналитической структуры обуслов-
обусловливает задание дифференцируемой структуры той же раз-
размерности, определяемой теми же локальными коорди-
координатами.
На всяком дифференцируемом многообразии можно
рассматривать дифференциальные формы (произвольных
степеней) с комплексными значениями. Если V — такое
многообразие, а Т — пространство векторов, касательных
к V в точке x?V, то всякая комплекснозначная диффе-
дифференциальная форма со первой степени определяется
в окрестности точки х на V заданием R-линейного ото-
отображения t—*(u(x;t) пространства Т в С. Предположим,
в частности, что V — комплексное аналитическое много-
многообразие комплексной размерности п. Пусть гл, ... ,zn —
комплексные локальные координаты в окрестности точки х.
Тогда, если га = лга + /уа, то ха, уа образуют систему
вещественных локальных координат (для структуры
С°, порожденной заданной комплексной структурой)
в той же окрестности точки х на V. Следовательно, 2п форм
t—>dxa(x; t), t—>dya(x;t) на пространстве Т линейно
независимы. Другими словами, отображение
t-+(dz1(x;t),...,dzn(x;t))
пространства Т в С" устанавливает изоморфизм между Т
и пространством С", рассматриваемым как вещественное
векторное пространство. Значит, обратное отображение
можно использовать для перенесения на Т структуры

32 Глава И
комплексного векторного пространства, которая канони-
каноническим образом определена на Сп. Эта структура удов-
удовлетворяет условию dza (х; Ы) = X dza (x; t) для любых 1? Т,
Х?С и а= 1, 2, ... , л и однозначно определяется этим
условием. Пусть z — какая-либо голоморфная функция
в окрестности точки х на V. В силу аксиомы комплекс-
комплексных структур в достаточно малой окрестности точки х
на V функцию z можно представить в виде z = f (zv ...,zn),
где / — голоморфная функция от п комплексных перемен-
переменных za в окрестности точки (z: (%),..., zn (x)) в Сп. Следо-
Следовательно, в окрестности точки х имеем
dzm>f'1d21+... +fndzn,
где через f'a обозначены частные производные функции /
по za. Итак, имеем dz (x; kt) = kdz (x; t) при любых 16 Т,
К ? С, если функция z голоморфна на V в окрестности
точки х. Как следует из предыдущего, это условие пол-
полностью определяет на Т структуру комплексного вектор-
векторного пространства, которая, таким образом, не зависит
от выбора локальных координат za.
Теперь определим структуры более общего вида, чем
комплексные аналитические, а именно квазикомплексные
структуры. Мы будем говорить, что на пространстве V
задана такая структура, если на V задана структура диф-
дифференцируемого многообразия четной размерности 2п и,
кроме того, на пространстве Тх векторов, касательных к V
в точке x?V, задана структура комплексного векторного
пространства, удовлетворяющая следующей аксиоме:
Для всякой точки и g V существуют открытая окрест-
окрестность U и п определенных (и дифференцируемых класса С°°)
в U комплекснозначных дифференциальных форм а>1г..., (оп,
такие, что для всякой точки x$.U отображение
/->(©1(х; t), .. .,(on(jc; t))
х,
устанавливает изоморфизм между Сп и пространством Тх
снабженным структурой комплексного векторного про-
пространства.
В этом случае говорят, что соа образуют систему форм
структуры в окрестности точки и. Ясно, что если формы а'а

Локальная кэлерова геометрия 33
образуют другую аналогичную систему, то в окрестности
точки и имеем а>а = 2/ар«>р, где j|/op|| — невырожденная
Р
матрица, элементы которой — комплекснозначные функции
класса С°°.
Определения и результаты п. 1 гл. I очевидным обра-
образом переносятся на комплексные дифференциальные формы
на произвольном квазикомплексном многообразии. В част-
частности, дифференциальная форма называется биоднородной
формой степени (а, Ь), если в окрестности всякой точки
и 6 V ее можно представить в виде линейной комбинации
(с комплекснозначными функциями класса С°° в качестве
коэффициентов) форм
(<% Л ... Л о»ав) Л (% Л ••• Л «рь),
A<аг< ... <аа<п; 1<р\ < ..
где соа принадлежит системе форм структуры. Всякая
дифференциальная форма г\ записывается в виде суммы
своих биоднородных компонент Ра,ьг\. Оператор С опре-
определяется формулой D) п. 1 гл. I. Форма г\ вещественна
тогда и только тогда, когда л = ц.
Выберем (раз навсегда) на квазикомплексном много-
многообразии ориентацию так, чтобы форма
(у) КЛЙ,)Л ••• Л К Л <•>„),
где соа образуют систему форм структуры в окрестности
некоторой точки этого многообразия, была положительной.
Следовательно, всякое квазикомплексное многообразие
ориентируемо. Однако не всякое ориентированное четно-
мерное многообразие класса С°° можно снабдить квази-
квазикомплексной структурой. Для этого оно должно удовле-
удовлетворять некоторым дополнительным условиям топологи-
топологического характера, рассмотренным в ряде последних
работ.
2. На комплексном аналитическом многообразии всякая
биоднородная форма степени (а, Ь) может быть локально
представлена при помощи локальных координат za в виде
3 Лндре Вейль

34 Глава II
суммы выражений вида
/• (dza, Л • • • Л dzaj Л (dz^ Л ... Л dz$b).
Ввиду того что df — линейная комбинация dza и dzp, диф-
дифференциал такого выражения равен сумме биоднородных
форм степеней соответственно (а + 1, Ь) и (а, Ь + 1). Итак,
для всякой биоднородной формы т] степени (а, Ь) форма dv\
является суммой двух биоднородных форм степеней соот-
соответственно (а + 1, Ь) и (а, Ь + 1).
На квазикомплексном многообразии это не всегда так.
Пусть мы имеем такое многообразие, и пусть (соа) — система
форм структуры в окрестности некоторой его точки.
Положим
410 =-Р2, о (du>a), T)a = Plti(d<>>a), Ца = Ро, 2 (dwa).
Дифференциал формы
/• (% Л • • • Л Ща) Л (% Л ... Л wpb)
равен сумме выражений, полученных, с одной стороны,
путем замены множителя / на df, с другой стороны,
путем замены множителя соа. на ± Ola. + 'Ча+'Па.) или
множителя щ на ± (tip. -j- щ. -\- щ.) с надлежащим образом
выбранными знаками. Следовательно, всякий такой диф-
дифференциал равен сумме биоднородных форм степеней
соответственно (а— 1,6 + 2), (о, 6+ 1), (а+ 1> Щ и (а + 2,
ft—1); он равен сумме биоднородных форм степеней
(й, Ь + 1) и (а -+-1, Ь) только тогда, когда т)а = 0 при всех а.
Этот результат можно сформулировать следующим образом:
Предложение 1. Пусть V — квазикомплексное мно-
многообразие. Для того чтобы при любых а, Ь дифференциал
всякой биоднородной формы степени (а, Ь) был суммой
биоднородных форм степеней соответственно (a -f 1, b)
и (а, &+1), необходимо и достаточно, чтобы, это имело
место для форм степени A, 0), другими словами, чтобы
Р0] 2 (dco) = 0 для любой формы со степени A, 0).
В том случае, когда указанное условие выполняется,
говорят, что заданная квазикомплексная структура на V
интегрируема. Всякая комплексная аналитическая струк-

Локальная кэлерова геометрия 35
тура является квазикомплексной интегрируемой струк-
структурой.
Пусть V — квазикомплексное интегрируемое многообра-
многообразие. Пусть, далее, т] —биоднородная форма степени (а, Ь)
на V. Положим
Очевидно, что тогда
di\ = d'i) + d*r\, d(Cv>) = -j(Cd'i)-Cd'i\). (I)
Определим теперь оператор d° при помощи формулы
dc = C'idC.
Формулы (I) показывают, что для всякой биоднородной
формы имеем
2d' = d + idc, 2d" = d-idG.
Если теперь вообще определить операторы d', d" по этим
формулам, то для биоднородных форм они совпадут с опе-
операторами, определенными выше. Значит, это биоднородные
операторы степеней соответственно A, 0) и @, 1). Отметим,
что d°, как и d, является вещественным оператором, т. е.
он не меняется при трансформации оператором т) —> т) или,
иначе говоря, он перестановочен с указанным оператором.
Операторы d' и d" комплексно сопряжены, т. е. трансфор-
трансформируются оператором г)—>ч] друг в друга, что можно
выразить формулой
Ясно, что в силу линейности формулы (I) остаются спра-
справедливыми для произвольных форм т).
Имеем d (а Л Р) = (da) Л Р + (wa) Л <^Р- Так как
С — автоморфизм внешней алгебры дифференциальных
форм, аналогичное тождество, справедливо и для опера-
оператора dc, а следовательно, и для операторов d' и d".
С другой стороны, для любой формы ц имеем
0 = d (dt\) = d'2r\ + d'd"x\ + d"d'i\ + d"\.
Применим, последнее равенство к форме степени (а, Ь).
Так как d'2r\, (d'd" -\-d"d')r\ и dx\ — биоднородные формы

36 Глава И
степеней соответственно (о+ 2, b), (a+1, b+\), (а, Ь + 2),
то мы получаем, что все они порознь равны нулю. Итак,
имеем
d'« = 0, d = 0, d'd" + d"d' = O. (II)
Принимая во внимание определение оператора dG, полу-
получаем, что
2id'd" = - Щ! = ddP=- dcd. (Ill)
3. Голоморфную функцию от п переменных (гг zn),
заданную в области пространства Сп, можно определять
как бесконечно дифференцируемую (в смысле структуры С°°,
порожденной комплексной структурой С") комплексно-
значную функцию /, такую, что дифференциал df есть
линейная комбинация dza. Во введенных выше обозна-
обозначениях это условие означает просто, что d"f = 0. Дру-
Другими словами, уравнение d"f=O эквивалентно условиям
Коши—Римана. Условие бесконечной дифференцируемое™
(в вещественном смысле) можно значительно ослабить,
но для нас это не очень важно.
В форме d"f = O указанное выше условие очевидным
образом переносится на всякое многообразие с комплек-
комплексной аналитической структурой. На таком многообразии,
следовательно, голоморфными являются функции, удо-
удовлетворяющие уравнению d*/ = 0, где оператор d" опре-
определен при помощи квазикомплексной структуры, поро-
порожденной заданной комплексной аналитической структу-
структурой. Квазикомплексная структура не может быть поро-
порождена более чем одной комплексной аналитической струк-
структурой. Для существования порождающей структуры
необходимо, чтобы исходная квазикомплексная структура
была интегрируема. Как показали Ньюлэндер и Нирен-
берг1), это условие является также достаточным, и, сле-
следовательно, на многообразии класса С°° нет различия
между комплексными аналитическими структурами и инте-
интегрируемыми квазикомплексными структурами (совмести-
^Newlander A., Nirenberg L., Complex analytic
coordinates in almost complex manifolds, Ann. Math., 65 A957),
391—404. (Имеется русский перевод: см. сб. Математика, 3:6
A959) 131 — 145.)

Локальная кэлерова геометрия 37
мыми с заданной структурой С00). Однако мы сохраним
это различие, так как это позволит при определенных
условиях избежать ссылок на эту теорему. Нам доста-
достаточно того, что на вещественном аналитическом много-
многообразии нет различия между комплексными аналитиче-
аналитическими и квазикомплексными интегрируемыми структурами,
согласованными с заданной вещественной аналитической
структурой. Чтобы убедиться в этом, достаточно дока-
доказать следующее предложение.
Предложение 2. Пусть V — вещественное ана-
аналитическое многообразие размерности 2п. Предположим,
что на V задана такая квазикомплексная интегрируемая
структура, что в окрестности каждой точки много-
многообразия существует система аналитических форм струк-
структуры. Тогда на V существует комплексная аналитиче-
аналитическая структура, согласованная с заданными вещественной
аналитической и квазикомплексной структурами.
Ввиду чисто локального характера теоремы можно
ограничиться случаем, когда V — окрестность нуля в R2".
Пусть (сйа) — система аналитических форм структуры
в этой окрестности. Мы можем записать
2п
где faj — комплекснозначные функции, которые в окре-
окрестности точки 0 можно разложить в сходящиеся ряды
Тейлора по х1г ... , хы. Если погрузить R2n в С2п, то
существует окрестность U точки 0 в С2П, где сходятся
ряды Тейлора для /щ-; эти ряды определяют голоморф-
голоморфные функции, которые мы также будем обозначать через
faj. Формулы соа = 2 faj dxj определяют тогда п диффе-
дифференциальных форм на U, которые индуцируют на R2"!~|^
заданные формы структуры. Пусть, далее, gaj — ряд Тей-
Тейлора, который получается из ряда Тейлора для faj при
замене каждого коэффициента комплексно сопряженным.
Ряд gaj сходится в U. Положим t]a = 2gajdXj. На 9?
, _ i
эти формы индуцируют формы <о„.

38 Глава II
Так как ©„ — формы некоторой квазикомплексной
структуры, 2п форм
«а @; 0 = S f«,- @) tit па @; 0 = 2 ^у @) t,
образуют базис множества R-линейных отображений про-
пространства Т, состоящего из векторов, касательных к много-
многообразию V в точке 0, в пространство С. Они линейно
независимы над С, откуда следует, что 2п форм соа, т]а
линейно независимы в точке 0, а значит и в ее доста-
достаточно малой окрестности U' в U. Поэтому dxj можно
представить в (У' в виде линейной комбинации с голо-
голоморфными коэффициентами форм <i>a, т]а, а, следовательно,
dcoa можно представить в виде линейной комбинации
с голоморфными коэффициентами форм соа Д сор, соа д т]р,
ЛаЛлр:
d(Oa = 2 Фару (*) <°Р Л <йу + 2 XaPv W WP Л % +
P<Y P.V
+ S ^apY (X) T)p Д T]v.
P<Y
Заданная квазикомплексная структура, по предполо-
предположению, интегрируема. Значит, %$у (х) равны нулю
на R2nf)^', а так как эти функции голоморфны, они
равны нулю всюду в U'. Отсюда следует, что в V
формы d(na можно записать в виде 2 ffip Л 9ар. где 6аР —
линейные комбинации d,Xj с голоморфными коэффициен-
коэффициентами. Но это в точности условия вполне интегрируемости
системы Пфаффа соа = 0. По теореме Фробениуса о вполне
интегрируемых в комплексной аналитической области
системах Пфаффа существуют окрестность U" точки 0,
содержащаяся в U', и п голоморфных в 11" функций
Fa{xlt... , x2n), таких, что в U" дифференциалы dFa
можно представить в виде линейных комбинаций соа,
а формы (оа—в виде линейных комбинаций dFa с голо-
голоморфными коэффициентами. Следовательно, если обозна-
обозначить через га сужение Fa(xlt ... , х2п) на Rinf)U", то
дифференциалы dza образуют систему форм в U" для за-
заданной квазикомплексной структуры на V. Далее, 2л
форм dza(O; 0, dza(O; t) образуют базис множества R-ли-

Локальная кэлерова геометрия 39
нейных отображений Т в С. Значит, если za = ua-\-iva,
где иа и va — вещественны, то формы dua@; t), dva(O; t)
образуют базис в пространстве R-линейных форм на Т,
т. е. они линейно независимы. Следовательно, по теореме
о неявных функциях существует окрестность Uo точки О
в R2n[~\U", такая, что отображение х —>(za(x)) индуци-
индуцирует гомеоморфизм окрестности Uo на некоторое откры-
открытое множество в С". Определим в Uo комплексную струк-
структуру, принимая za за локальные комплексные координаты.
Построенная комплексная структура удовлетворяет всем
требованиям нашего предложения.
Будем называть дифференциальную форму х\ степени р,
заданную на интегрируемом квазикомплексном многооб-
многообразии, голоморфной, если она является биоднородной
формой степени (р, 0) и удовлетворяет уравнению d"r\ = 0.
В частности, функция / называется голоморфной, если
d"f = 0. На комплексном аналитическом многообразии это
понятие совпадает с обычным, и чтобы форма степени р
была голоморфна, необходимо и достаточно, чтобы в ок-
окрестности всякой точки многообразия ее можно было
представить в виде линейной комбинации с голоморф-
голоморфными коэффициентами форм dzai Л ••• Л dza , где za — ло-
локальные комплексные координаты. Доказательство этого
факта очевидно. Ясно, что всякая замкнутая форма сте-
степени (р, 0) голоморфна.
Предложение 3. Пусть V — многообразие с ин-
интегрируемой квазикомплексной структурой. Тогда вся-
всякая комплекснозначная функция F на V вида F = f-\-"g,
где fug — голоморфные функции, удовлетворяет ура-
уравнению d'd"F = 0. Обратно, если одномерная группа гомо-
гомологии многообразия V тривиальна, то всякая функция F
на V, для которой d'd"F = O, имеет вид F — f-\-g, где f
и g — голоморфные функции. Если F задана, то fug
определяются этими условиями однозначно с точностью
до константы.
Первая часть предложения следует непосредственно
из соотношений (III). Обратно, пусть d'd" F — 0. В силу
формул (II) и (III) это эквивалентно уравнению d(d'F) = 0.

40 Глава II
Так как одномерная группа гомологии многообразия V
тривиальна, из уравнения d(d'F) = 0 следует, что на V
существует функция f, для которой df — d'F. Это равен-
равенство эквивалентно паре равенств d'f = d'F и d"f==O,
которые можно переписать в виде d' (g) = 0 и d"f = 0,
положив g = f — F. Но равенство d'(g) = 0 эквивалентно
равенству d"g = 0. Значит, функции fag голоморфны,
и F = f + g. Если F = 0, то d'f= 0, d" (g) = 0, и функции f
и g будут в этом случае константами.
Следствие 1. На интегрируемом квазикомплексном
многообразии V всякая функция F, являющаяся веще-
вещественной частью голоморфной функции, или, что то же
самое, имеющая вид F — log | /12, где f — всюду отличная
от нуля голоморфная функция, удовлетворяет уравнению
d'd"F — 0. Обратно, если одномерная группа гомологии
многообразия V тривиальна, то всякая функция F,
принимающая вещественные значения и удовлетворяющая
уравнению d'd"F = 0, является вещественной частью
некоторой голоморфной функции, определенной однозначно
с точностью до чисто мнимой константы.
Что касается последнего утверждения, то достаточно
заметить, что если функция F = f-\-g принимает только
вещественные значения, то f—g — f — g, и, значит, функ-
функция h = f — g также принимает только вещественные
значения. Если / и g — голоморфные функции, то d"h = O;
если, кроме того, h принимает только вещественные зна-
значения, то d'h = 0, откуда dh = 0. Значит, h — константа,
a F — вещественная часть голоморфной функции 2f—h.
Следствие 2. Пусть V — комплексное п-мерное
многообразие, в — вещественная положительная диффе-
дифференциальная форма на V степени 2л. На V существует
единственная вещественная биоднородная форма Q сте-
степени A,1), имеющая в окрестности U какой-либо точки
на V вид id'd" (\ogF), где F —функция, определяемая
соотношением
S = inF f\ (Л^ЛйгД
1

Локальная кэлерова геометрия 41
a z,, ... , zn — некоторая система локальных комплексных
координат в этой окрестности.
Ввиду того что многообразие V ориентировано так,
как было оговорено в конце п. 1, из предположения
0 > 0 следует, что F > О на U. Если в окрестности
некоторой точки из U выбрана другая система локальных
координат (z'v ... , z'n), то в окрестности этой точки
dz[ Л • • • Л dz'n = / dzt Л ... Л dzn,
где J — якобиан системы (z[, ... , z^) относительно системы
(z,, ... , zn) и, стало быть, отличная от нуля голоморф-
голоморфная функция. Коэффициент F' в выражении 0 через z'
имеет вид F' = F (JJ)'1. Отсюда следует, что
d'd" (log F') = d'd" (log F) - d'd" (log [ J |2).
Второе слагаемое в правой части равно нулю в силу
следствия 1. Это показывает, что форма Q не зависит
от выбора локальных координат.
4. Соотношение d'2 = 0 на дифференцируемом много-
многообразии означает, что если со = drj, то dco = O. Обратно,
если со —форма степени р > 0 и если dco = 0, то (де Рам,
§ 19) всякая точка обладает окрестностью, в которой со
можно представить в виде dv\. Равенство d'2 = 0 наводит
на аналогичный вопрос для оператора d'. Ответ на него
будет дан в следующей главе. Пока что мы докажем
один частный результат.
Предложение 4. Пусть V — комплексное много-
многообразие, со — вещественно аналитическая форма на V,
такая, что d'co = 0. Тогда всякая точка многообразия V
обладает окрестностью, в которой со можно предста-
представить в виде (n = d'i]-\-t,, где Z, — голоморфная форма.
Наше утверждение чисто локального характера, по-
поэтому можно ограничиться случаем окрестности точки О
в С". Пусть А = (ац ..., cttt) — возрастающая последова-
последовательность различны^ элементов множества {1, 2, ... ,п],

42 Глава И
Положим
соА = dza} Л ••• Л dzaa,
а
Па = 5j (- 1)ж za dzai Л ... Л ^20 Л dza f\..
считая (Од = 1, tja == 0 при а — О. Если заданная в области
пространства С" форма вещественно аналитична, то ее
можно представить в виде линейной комбинации форм
йдДйв с аналитическими функциями от вещественных
и мнимых частей za в качестве коэффициентов. Эти коэф-
коэффициенты можно разложить в окрестности всякой точки
в сходящиеся ряды Тейлора. В окрестности начала коор-
координат их можно разложить в ряды по степеням za, za.
Образуем последовательность (Mv (z)) из множества всех
одночленов от гх, ... , zn с коэффициентами 1. Всякий
ряд по степеням za, za можно записать в виде 2 Mv (г) Pv (г),
V
где Pv(z) — ряды по степеням z0. Значит, всякую веще-
вещественно аналитическую в окрестности точки 0 функцию
можно представить в окрестности точки 0 в виде такого
ряда. Ряды Pv(z) и ряд ^,Mv(z)Pv(z) абсолютно схо-
v
дятся в этой окрестности. Следовательно, всякую веще-
вещественно аналитическую в окрестности точки 0 диффе-
дифференциальную форму можно представить в этой окрестности
в виде суммы форм вида
(SAfv(z)Pv(z))«OAA ©В,
V
причем. это представление единственно. Для каждого v
обозначим через dv степень одночлена Mv(z); через а
обозначим степень формы <оа- Определим оператор /'
при помощи формулы
Л

Локальная кэлерова геометрия 43
считая, что при а = 0 правая часть равна 0. Ясно, что
ряд в правой части абсолютно сходится во всякой окре-
окрестности точки 0, в которой сходится ряд, стоящий в левой
части. Продолжим этот оператор по линейности на все
вещественно аналитические в окрестности точки 0 диф-
дифференциальные формы. Если (о —форма такого типа, то
тем же свойством обладает форма /'<о, причем Гч> опре-
определена не обязательно в той же окрестности точки 0,
что и (о. С другой стороны, предположим, что одночлены
Mv (z) упорядочены так, что М0(г) = 1 и, следовательно,
d0 = 0. Определим оператор J', полагая
J' [B Mv B) Pv (г)) ©в] = Ро (г) ©в
v
и считая, что У'со==0 для всякой биоднородной формы со
степени (а, Ь) с а > 0. Продолжим этот оператор по ли-
линейности на все формы, вещественно аналитические в ок-
окрестности точки 0. При помощи простых выкладок можно
убедиться, что если ш —такая форма, то
причем это соотношение выполняется во всякой окре-
окрестности точки 0, в которой сходятся все степенные ряды,
фигурирующие в выражении для <о. Предложение 4 сразу
следует отсюда, если заметить, что для всякой формы со
форма «/'(о голоморфна по определению.
5. Пусть V — квазикомплексное многообразие. Предпо-
Предположим, что на V задана вещественная биоднородная
дифференциальная форма Q степени A,1). Локально Q
можно выразить через формы структуры соа следующим
образом:
а, В
где /гар — комплекснозначные дифференцируемые функции.
Чтобы форма Q была вещественной, необходимо и доста-
достаточно, Чтобы /lpa = ^ap-
Форма Q в каждой точке многообразия V определяет
биковектор, с которым, как показано в п. 2 гл. I, можно
инвариантным образом связать эрмитову форму на про-

44 Глава JJ
странстве векторов, касательных к многообразию в той же
точке. Если эта форма всюду положительна и невыро-
жденна, то говорят, что форма Q положительна и невы-
рожденна. В этом случае эрмитова форма, связанная с Q,
определяет на V метрическую форму ds2, которая сле-
следующим образом выражается через формы структуры <оа
и коэффициенты Лар, фигурирующие в выражении для Q:
2
a,p
Здесь имеется в виду обычное умножение, так что сумма
является квадратичной дифференциальной формой.
Структура, определенная на многообразии V при по-
помощи квазикомплексной структуры и вещественной поло-
положительной невырожденной формы Q степени A,1), назы-
называется эрмитовой структурой. Форма Q называется
фундаментальной формой структуры. Форма ds2, связан-
связанная с Q указанным выше способом, определяет тогда на V
структуру риманова пространства. Эта форма позволяет
определить (де Рам, § 24 и 25) операторы *, б и А, дей-
действующие на вещественные дифференциальные формы,
которые затем можно по линейности продолжить на ком-
комплексные дифференциальные формы. Оператор * действует
на поликовекторы в каждой точке; он был обстоятельно
изучен в гл. I. Принимая во внимание, что размерность
(вещественная) многообразия V четна, можно записать
два других оператора так:
б= -*d*, A =
причем оператор Д перестановочен с операторами *, d и 6.
Подобно оператору d операторы б и Д локальны, т. е.
если форма а равна нулю на некотором открытом мно-
множестве U в V, то в U равны нулю также формы ба и Да.
С. другой стороны, определение операторов L, А,
распространенное в гл. I на поликовекторы, очевидным
образом переносится на дифференциальные формы на мно-
многообразии V:
La = Q/\a, A — *~1L* = w*L*.
Теорема 1. Пусть V —эрмитово многообразие,
фундаментальная форма Q которого замкнута, т е.

Локальная кэлерова геометрия 45
dQ = O. Тогда
[L, d] = О, [Л, 6] = О, [L, б] = dc = С dC,
[Л, d]=-б' =-С^бС. (IV)
Первое соотношение можно переписать так: Ld — dL,
что означает перестановочность операторов L и d, а это
тривиально следует из предположения dQ, = 0. Точно
так же второе равенство означает перестановочность опе-
операторов Л и б, что, если учесть определения Л и б,
является очевидным следствием предыдущего результата.
Два других соотношения можно записать в виде
Из определений Л и б видно, что каждое из этих
равенств является следствием другого. Докажем, напри-
например, последнее. Пусть ц — дифференциальная форма сте-
степени р. Положим
цг = ФР| r (L, Л) ц,
где Фр,,. —полиномы, определенные в формулировке тео-
теоремы 3 гл. I. Тогда Лт]г = 0 и *i = 2^rili- Итак, для до-
доказательства нашей формулы достаточно проверить равен-
равенство
Ad (Lrti) - dA (Lri)) = - С'1 6С (Lr\])
для всех форм г), удовлетворяющих условию Лг) = 0. Пусть
р —степень формы т|. По теореме 1 гл. I можно считать,
что р<я и г^.п — р, ибо в противном случае Z,rrj = 0.
Имеем Ln-p+'T] = 0, откуда в силу перестановочности
операторов d и L следует, что Ln~p+X (dr\) = 0. Но форма dr\
имеет степень р+1. Применяя к dr\ теорему 3 гл. I
и следствие из этой теоремы, получаем, что dr\ — цо + Lv\lt
где Лт10 = 0, Лт}1 = 0. Итак, принимая во внимание пере-
перестановочность операторов d и L и используя формулу (П)
п. 4 гл. I, получаем
AdLrt\ = AL\0 + AZ/+1 Tji =
= r(n-p-r+l)

46 Глава II
С другой стороны,
- С'1 б С (Lrn) = C'^dC (*Z/ti).
По теореме 2 гл. I имеем *Ьгц = уЬп~р~гСг\, где у —чи-
—числовой коэффициент, фигурирующий в правой части фор-
формулы (V) в формулировке этой теоремы. Ввиду того что
операторы d и С перестановочны с оператором L,
- С б С Z/ri = (- I)? у C~4{Ln-v-r щ + Ln-V'r^ ri,).
Теперь достаточно еще раз применить к обеим слагаемым
правой части последнего соотношения теорему 2 гл. I
и воспользоваться перестановочностью операторов С и L;
после этого проверка доказываемого равенства будет
закончена.
Следствие 1. В предположениях теоремы 1 имеем
[L, dC] = О, [Л, 6С] = О, [L, вс] = _ d, [Л, dC] = б. (IV)
Действительно, эти соотношения получаются, если
умножить обе части соотношений (IV) слева на С"
и справа на С и воспользоваться перестановочностью С
с L и Л и равенством С2 = w, из которого следует, что
(dC)C = _ d и ^сс б
Следствие 2. В предположениях теоремы 1 имеем
дт) = 0 для всякой биоднородной формы ц, такой, что
dr\ = 0, Л11 = 0, и, в частности, для всякой замкнутой
биоднородной формы степени (а, 0) или @, а).
В силу последнего из соотношений (IV) из равенства
dr\ = Ах\ = 0 следует, что С б Crj = 0, т. е. 8 Сц — 0 и,
следовательно, бт] = 0, если rj — биоднородная форма.
Л¦—биоднородный оператор степени (—1, —1), поэтому
Лт] = 0 для всякой формы ц степени (а, 0) или @, а),
откуда следует последнее утверждение.
Следствие 3. В предположениях теоремы 1 имеем
AF = 0 для всякой функции F, удовлетворяющей условию
d'd"F = 0.
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить вто-
вторую часть следствия 2 к формам d'F и d"F.

Локальная кэлерова геометрия 47
6. Пусть V — эрмитово многообразие с интегрируемой
квазикомплексной структурой. Поскольку операторы С
и * перестановочны, бс = — *dc*. Значит, можно положить
б'= -*d"*=-iF-/6c), e"=--*d'* = -i(e + /flC). (V)
Первое выражение для 6' показывает, что б' —биодно-
родный оператор степени (—1,0). Точно так же б" —би-
однородный оператор степени @, — 1). Из соотношений (II)
п. 2 непосредственно следует, что
б'2 = б = б'б" + 6"б' = 0. (VI)
Для операторов б' и б" также имеют место соотношения,
аналогичные соотношениям (III) п. 2.
Мы будем говорить, что на многообразии V определе-
определена кэлерова структура, если на V задана эрмитова
структура, удовлетворяющая следующим двум условиям:
a) соответствующая квазикомплексная структура
интегрируема;
b) фундаментальная форма Q замкнута, т- е. dQ = 0.
Тогда можно применить теорему 1, а также ее след-
следствия. Получаем, что на всяком кэлеровом многообразии
выполняются соотношения
[L, d'] = [L, d"] = 0, [Л, б'] = [Л, б"] = 0, [L, б'] = id",
(VII)
[L, б"]= -id', [Л, d'] = ib", [Л, d"]= -гб'.
Отметим также соотношения
6dc= -dc6 = 6L6= -dcAdc,
ddc = - bcd = 6CL6C = - dAd, (VIII)
d'b" = - b"d' = - гб'Хб" = - id'Ad',
d"b' = - b'd" = ib'Lb' = id" Ad".
Для того чтобы получить, например, первое из этих
соотношений, нужно подставить в bdc или в dcb выра-
выражение для dc из третьего соотношения (IV) и выраже-
выражение для б из четвертого соотношения (IV'). Другие соот-
соотношения получаются аналогично.

48 Глава И
Теорема 2. На кэлеровом многообразии оператор
Д — биоднородный оператор степени (О, 0), перестановоч-
перестановочный с операторами *, d и L; справедливо равенство
~ А. = d'b' + 6'd' = d'b" + b"d". (IX)
Сразу ясно, что А перестановочен с * и d. Пользуясь
перестановочностью операторов d и L, получаем
AL - LA = dbL - L db + б dL - Lbd =
= - d{Lh - 6L) - AД - fiL) d.
По теореме 1 правую часть можно переписать в виде
— ddc — dcd; она равна нулю в силу соотношений (III)
п. 2, что доказывает перестановочность операторов А и L.
С другой стороны, заменим в определении А оператор
fi его выражением из последнего соотношения (IV):
А = dK dp - ddPA. + Adcd - dcAd.
Умножая обе части равенства слева на С и справа на
С, получаем
Дс = - d°Ad + dcdA - Add0 + dAdc.
В силу соотношений (III) п. 2 выражения для А и Дс
совпадают, и, значит, А = ДС. Рассмотрим выражение
4 {d'b' + 6'd') = (d + idc) (б - i6c) + F - i6C)(d + id^) =
В правой части два последних слагаемых равны нулю
в силу соотношений (VIII), а два первых равны между
собой, так как первое из них равно А, а второе Дс, сов-
совпадающему с Д. Это доказывает первое из соотноше-
соотношений (IX). Заменяя в проведенных выкладках / на —/,
мы точно так же получим второе соотношение. Как пер-
первое, так и второе из этих соотношений показывают, что
Д — биоднородный оператор степени @, 0).
Следствие 1. На кэлеровом многообразии опера-
оператор А принадлежит центру алгебры операторов, поро-

Локальная кэлерова геометрия , 49
жденной операторами *, d, L и Ра_ ь. В частности, Д
перестановочен с операторами С, Л, d', d", б, б', б".
Перед тем как сформулировать следующий результат,
напомним, что гармонической называется форма ц, удов-
удовлетворяющая уравнению Дт] = 0.
Следствие 2. Пусть т\ — гармоническая форма
степени р на кэлеровом многообразии. Тогда в канони-
каноническом разложении для г\, полученном при помощи
теоремы 3 гл. I:
4= S ?4; т]г-Фр,г(Ь, Л)г1, Лг1г = 0 (X)
г?(р-п) +
формы т]г и Lrr\r гармоничны.
Это сразу следует из перестановочности Д с L и Л
и из выражения rjr через ц во втором соотношении (X).
4 Лндре Befljii.

Глава III
ИНДУЦИРОВАННЫЕ СТРУКТУРЫ;
ФАКТОР-СТРУКТУРЫ;
ПОСТРОЕНИЕ КЭЛЕРОВЫХ МЕТРИК
1. Пусть V и IF —два комплексных аналитических
многообразия комплексной размерности соответственно п
и р. Пусть далее ф — непрерывное отображение W в V.
Назовем отображение ф голоморфным, или комплексно
аналитическим, в точке xg W, если для всякой функции /,
определенной в окрестности точки ф(х) многообразия V
и голоморфной в этой точке, функция /°фх) голоморфна
в точке x?W. Пусть zlt ... , zn — система локальных
координат в окрестности точки ф (х) на V, и wv ... , wp —
аналогичная система в окрестности точки х на W. Пред-
Предположим, что отображение ф голоморфно в точке х.
Тогда функции га°ф голоморфны в точке х на W,
так что по аксиоме комплексных структур существует п
функций фо(а;1) ...,wp), голоморфных в окрестности
точки (ojj (х) wp(x)) пространства Сп, причем для
точек и, достаточно близких к х:
2а (ф («)) = фа (Щ (U) , Wp (и)) A< а < л).
Обратно, из аксиомы комплексных структур непосредствен-
непосредственно следует, что так определенное отображение ф голоморф-
голоморфно в точке х. Если отображение ф голоморфно в каждой
точке многообразия W, то говорят, что ф — голоморфное,
или комплексно аналитическое, отображение многообра-
многообразия W в V.
Предложение 1. Пусть V и W — два комплекс-
комплексных аналитических многообразия комплексной размер-
размерности соответственно п и р, и пусть ф — голоморфное
г) Через / о ф обозначена функция / (ф (х)) на многообразии W.
— Прим. перев.

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 51
в точке x?W отображение многообразия W в V. Тогда
три следующих свойства эквивалентны:
a) всякая функция g, определенная в окрестности
точки x?W и голоморфная в этой точке, совпадает
в некоторой окрестности х с функцией вида /°ф, где f
определена в окрестности точки ф (х) на V и голоморф-
голоморфна в этой точке;
b) отображение ф осуществляет вложение простран-
пространства векторов, касательных к многообразию W в точке
х, в пространство векторов, касательных к многообра-
многообразию V в точке ф(х);
c) существуют открытая окрестность U точки х
в W, открытая окрестность V точки ф (х) в V и система
локальных комплексных координат zlt ... ,zn в окрест-
окрестности U' в V, такие, что отображение ф индуцирует
изоморфизм окрестности U на множество тех точек
окрестности Ь", в которых zJ)+1= ... =гп = 0, благодаря
чему в окрестности U можно ввести комплексную струк-
структуру при помощи локальных координат zlt ..., zp.
Свойства а), Ь), с) носят чисто локальный характер,
поэтому при доказательстве предложения можно заменить
многообразия V и W окрестностями точек ф (х) и х,
которые в свою очередь можно считать изоморфными
окрестностям точки 0 соответственно в Г и Ср. Други-
Другими словами, можно считать, что V и IF —такие окрест-
окрестности и что л: = 0, ф(х) = 0. Пусть zv ..., zn — коорди-
координаты в С",и wlt ..., wp — координаты в Ср. Тогда отобра-
отображение ф имеет вид
где, по предположению, фа — голоморфные функции на
W. ЕСЛИ ?=/оф, ТО
да), ... , фп (да))
и, следовательно, dg = 2 fad<pa, где fi определяются из
а
равенства df — 2 /a dza.
и
Предположим, что выполняется условие а). В качест-
качестве g можно выбрать любую голоморфную в точке О
4*

52 Глава III
функцию на W, например, wv. Тогда выполняются р
соотношений вида dwv = ^] f'va dq>a (l<v<p). Следова-
a
тельно, среди п ковекторов, определенных в 0 формами
d(pv ..., d(fn, имеется р линейно независимых над С.
Если положить d<pa = 2 4>'av dwv, то это означает, что
a
матрица || cpav @) || имеет ранг р, а это эквивалентно
свойству Ь).
Предположим, что выполняется условие Ь). Тогда
среди ковекторов, определяемых формами d(pa в точке 0,
имеется р линейно независимых. Переставив в случае
необходимости za, можно считать, что линейно незави-
независимые ковекторы определяются формами dq>v ... , dq>p.
По теореме о неявных функциях можно выбрать ф1? .. • , фр
в качестве локальных координат на W в достаточно
малой окрестности точки 0. Заменив W этой окрест-
окрестностью, можно предположить, что qv (w) = wv при 1 < v < p.
Из теоремы о неявных функциях следует, что можно
принять
(zv . . . , zp, zp+1 - фр+1 (Zj, ... , zp), ..., zn — фп (Z], ... , zp))
за локальные координаты на V в достаточно малой
окрестности точки 0. Заменяя многообразие V этой
окрестностью и выбирая указанным способом локальные
координаты, мы получаем, что ф имеет вид
(wv ... , шр) -»{wv ... ,wp,0 0),
откуда следует, что условие с) выполняется.
Наконец, предположим, что выполняется условие с).
Пусть иг — образ окрестности U при отображении ф.
Можно заменить V на U', W на О, а затем U на ?/1;
отождествляя U с Ил посредством отображения ф. Чтобы
проверить условие а), достаточно заметить, что всякую
голоморфную в 0 функцию G (z1( . .. , zp) на U1 можно
тривиальным образом представить в виде F (zv ... , zp,
0, ... , 0), где F — голоморфная в 0 функция на U'; для
этого определим F, например, при помощи равенства
F(zv ... , zn) = G(z1 zp).

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 53
Рассмотрим теперь непрерывное отображение ф хаус-
дорфова топологического пространства W со счетной
базой в комплексное аналитическое многообразие V ком-
комплексной размерности п. Назовем функцию g, определен-
определенную на IF в окрестности точки x$W, голоморфной
в этой точке, если она совпадает в некоторой окрест-
окрестности точки x?W с функцией вида /-ф, где f определе-
определена на V в окрестности точки ср (х) и голоморфна в этой
точке. Мы докажем, что это определение голоморфных
функций удовлетворяет аксиоме комплексных структур
размерности р тогда и только тогда, когда выполняется
следующее условие:
(С) Для всякой точки x?W существуют открытая
окрестность U точки х в W, открытая окрестность V
точки ц>(х) в V, система локальных координат zv ..., zn
на V в 0', такие, что ф осуществляет гомеоморфное
отображение окрестности U на множество тех точек
окрестности V, в которых zp+1= ... =zn = 0.
Действительно, если аксиома комплексных структур
выполняется, то для определенной на W комплексной
структуры размерности р отображение ф удовлетворяет
условию а) предложения J, а значит, и условию с) и,
следовательно, условие (С) тем более выполняется.
Обратно, если условие (С) удовлетворяется, то, очевид-
очевидно, аксиома комплексных структур размерности р выпол-
выполняется, если в обозначениях условия (С) принять
2х°ф, ... , грсф за локальные координаты на № в окрест-
окрестности U.
Пусть условие (С) выполнено; тогда на W указанным
выше способом определяется комплексная структура раз-
размерности р; ее называют прообразом заданной на много-
многообразии V комплексной структуры при отображении ф.
Когда WczV и ф — естественное вложение W в V, гово-
говорят, что эта структура индуцирована на W структурой
многообразия V.
Если естественное вложение в многообразие V неко-
некоторой его части W удовлетворяет условию (С), то мы
будем называть многообразие W, снабженное комплекс-
комплексной структурой, индуцированной структурой многообра-

54 Глава III
зия V, многообразием, погруженным, в V. Если, кроме
того, W — замкнутая часть V, то его называют подмно-
подмногообразием многообразия V.
Пусть V и W — два многообразия с комплексной
структурой и пусть непрерывное отображение ф много-
многообразия W в V всюду удовлетворяет • эквивалентным
условиям а), Ь), с) предложения 1; тогда комплексная
структура на W является прообразом структуры на V
при отображении ф. В этом случае говорят, что ф —
локально бирегулярное отображение многообразия W на его
образ в V, или, короче, W в V.
2. Пусть ф—голоморфное отображение комплексного
многообразия W в комплексное многообразие V. Всякой
дифференциальной форме со на V соответствует тогда
на W ее прообраз ф*ю (де Рам, § 4), представляющий
собой форму той же степени. Используя локальные коор-
координаты, можно непосредственно убедиться, что прообраз
биоднородной формы степени (а, Ь) есть биоднородная
форма той же степени. Следовательно, оператор ф* при
любых а и b перестановочен с Ра> ь, а значит, и с опе-
оператором С. Как известно (см. там же), ф* перестановочен
с оператором d, а значит, и с операторами d', d". Если
(о — голоморфная форма, то форма ф*со также голоморфна.
Пусть, в частности, Q — вещественная дифференциаль-
дифференциальная форма степени A,1) на комплексном многообразии V.
Пусть x?W и г1? ... ,zn —система локальных координат
на V в окрестности точки ф(х). Форма Q выражается
через za следующим образом:
а, р
Тогда эрмитова форма на пространстве векторов, каса-
касательных к многообразию V в точке ф(х), связанная
с биковектором, определенным при помощи формы Q
в точке ф(х), имеет вид
H(t, П=
а,
где t, V — два вектора, касательных к многообразию V
В точке ф(х).

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 55
При этих условиях имеем
а, Р
Но, по определению, ф*Лар есть не что иное, как Лар°ф,
т. е. значение функции /гор(ф(#)) в точке х. Если обозна-
обозначить через ф' линейное отображение пространства векто-
векторов, касательных к многообразию W в точке х, в прост-
пространство векторов, касательных к многообразию V в точ-
точке ф(*), индуцированное отображением ф, то, снова по
определению,
<p*dza{x; u) = dz
для любого вектора и, касательного к IF в точке х.
Значит, эрмитова форма, связанная с биковектором,
определенным при помощи формы ф*Я в точке х, есть
не что иное, как форма Н(ц>'и , ф'и'). Отсюда следует,
что форма ф*О положительна, если Q положительна,
и что форма ф*й. положительна и невырожденна, если Q
положительна и невырожденна и если, кроме того, ф' —
вложение, т. е. если отображение ф удовлетворяет усло-
условию Ь) предложения 1 п. 1. Итак, имеет место следую-
следующее предложение:
Предложение 2. Пусть V — кэлерово аналити-
аналитическое многообразие и Q — его фундаментальная форма.
Пусть W — комплексное аналитическое многообразие и
Ф — голоморфное и локально бирегулярное отображение
многообразия W в V. Тогда форма q*Q, прообраз формы
Q при отображении ф, определяет на многообразии W
кэлерову структуру.
Назовем эту последнюю структуру прообразом при
отображении ф структуры, заданной на многообразии V.
Будем говорить, что она индуцирована структурой мно-
многообразия V, если W с V и ф — естественное вложе-
вложение W в V.
3. Пусть V и IF —два связных топологических прост-
пространства и ф — непрерывное отображение W на V. Будем
говорить, как обычно, что пространство W с заданным
отображением ф на V представляет собой накрытие

56 Глава HI
пространства V, если ф удовлетворяет следующему
условию:
(R) Всякая точка пространства V обладает такой
открытой окрестностью U, что ф (U) является объеди-
объединением непересекающихся открытых множеств ?/*,, на
каждом из которых ф индуцирует гомеоморфное отобра-
отображение (р% множества Ux на U.
В этом случае ф —открытое отображение (т. е. всякое
открытое множество переходит в открытое), и V гомео-
морфно фактор-пространству пространства W по отноше-
отношению эквивалентности ф(х) = ф(х')х). Пространство V
можно отождествить с этим фактор-пространством.
Предположим еще, что на V задана комплексная
аналитическая структура размерности п. В этом случае
пространство V хаусдорфово и имеет счетную базу. Оче-
Очевидно, что тогда пространство W также хаусдорфово, и,
следовательно, в силу общих теорем о накрытиях W
обладает счетной базой. Ясно, что отображение ф удов-
удовлетворяет условию (С) п. 1 с р=я, значит, пространст-
пространство W можно снабдить комплексной структурой, являю-
являющейся прообразом при отображении ф структуры, задан-
заданной на V. Если, кроме того, на V задана кэлерова струк-
структура с фундаментальной формой Q, то форма ф*?2 опре-
определяет на многообразии W кэлерову структуру. Наконец,
в обозначениях условия (R) отображение ф^сфд откры-
открытого множества Оц на открытое множество Ох является
изоморфизмом для комплексных (соответственно, кэлеро-
вых) структур, индуцированных на GМ и U^ структурой,
определенной на W.
Обратно, предположим, что на пространстве W задана
комплексная (соответственно, кэлерова) структура, и,
значит, пространство W хаусдорфово и имеет счетную
базу. Очевидно, что тогда пространство V также имеет
счетную базу. Предположим, что V — хаусдорфово про-
пространство и что выполняется следующее условие:
(R') Всякая точка пространства V обладает откры-
открытой окрестностью U, такой, что множество ф1С
2) См. Бурбаки Н., Общая топология. Основные струк-
структуры, Глава I, § 9. Приложение, § Ъ. — Прим. п$рев.

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 57
является объединением непересекающихся открытых
множеств Ux, на каждом из которых отображение ф
индуцирует гомеоморфное отображение фх множества U%
на окрестность U, причем при любых i и \i отобра-
отображение фх1офц представляет собой изоморфизм множест-
множества Ufi на 1)% для комплексных {соответственно, кэлеро-
кэлеровых) структур, индуцированных на U^ и U^ структурой
многообразия W-
Тогда в обозначениях условия (R') на окрестность U
при помощи фх можно перенести комплексную (соответ-
(соответственно, кэлерову) структуру многообразия U\, причем
определенная таким образом структура на U не зависит
от выбора К. В результате на пространстве V задается
комплексная (соответственно, кэлерова) структура. Назовем
ее фактор-структурой структуры, заданной на W, по
отношению эквивалентности ф(х) = ф(х'). Ясно, что тогда
структура, заданная на W, является прообразом при
отображении ф этой фактор-структуры.
Рассмотрим частный случай, когда IF —связное хаус-
дорфово пространство, а V — фактор-пространство W/G
пространства W по* отношению эквивалентности, опреде-
определяемому группой гомеоморфных отображений простран-
пространства W на себя (т. е. отношению, при котором класс
эквивалентных точек x?W состоит из точек s(x), полу-
полученных из х при помощи всех преобразований s группы G).
В этом случае пространство W вместе с естественным
отображением ф на пространство V = W/G образует на-
накрытие пространства V тогда и только тогда, когда
группа G удовлетворяет следующему условию:
(D) Всякая точка пространства W обладает такой
окрестностью Uo, что Uo Q sil0 — 0 для всякого преоб-
преобразования s?G, отличного от тождественного.
Действительно, если это так, то выполняется условие
(R): для z?V выберем x?W так, чтобы г = ф(х); далее,
положим ?/ = ф(?/0), где Uo — окрестность точки х на W,
удовлетворяющая условию (D), и, наконец, в качестве
множеств (Д возьмем все образы sU0 окрестности UQ при
преобразованиях ,s?G. С другой стороны, можно без

58 Глава III
труда проверить, что условие (D) является также и необ-
необходимым для того, чтобы пространство W было накры-
накрытием пространства W/G. Условие (D) означает, что группа
G «дискретна и не содержит нетривиальных преобразова-
преобразований с неподвижными точками» на пространстве W. Тогда,
если пространство V хаусдорфово, то для выполнения
условия (R') достаточно, чтобы G была группой изомор-
изоморфизмов для комплексной (соответственно, кэлеровой)
структуры на многообразии W. Это условие является
также и необходимым. Итак, всякий раз, когда выполне-
выполнены перечисленные выше условия, на пространстве V = W/G
можно определить комплексную (соответственно, кэлерову)
структуру, называемую фактор-структурой структуры
многообразия W по группе G.
4. Предыдущие рассуждения можно применить в слу-
случае, когда W — комплексное векторное пространство Е
размерности п, a G — дискретная группа параллельных
переносов пространства Е. Известно (см. Бурбаки Н.,
Общая топология, гл. VII), что условие (D) при этом
удовлетворяется и что пространство E/G хаусдорфово.
Топологическая группа E/G изоморфна произведению
тора на, вещественное векторное пространство. Комплекс-
Комплексная структура пространства Е инвариантна относительно
параллельных переносов, поэтому на пространстве E/G
можно определить комплексную структуру, являющуюся
фактор-структурой структуры пространства Е по груп-
группе G. Эта фактор-структура, очевидно, инвариантна отно-
относительно всех сдвигов пространства E/G, снабженного
структурой группы.
Пусть ранг G равен 2л, тогда пространство E/G ком-
компактно и, как топологическая группа, изоморфно тору
вещественной размерности 2п. Если на пространстве E/G
задана структура топологической группы и одновременно
комплексная структура, представляющая собой фактор-
структуру структуры пространства Е по группе G, то
будем называть его комплексным тором комплексной
размерности п. В противоположность тому, что имеет
место в вещественной области, два комплексных тора
одинаковой размерности, вообще говоря, не изоморфны
(см. гл. VI).

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 59
' Пусть теперь Е — эрмитово пространство. Как показа-
показано в п. 2 гл. I, заданная на нем эрмитова форма опре-
определяет в точке 0 положительный невырожденный бико-
вектор. Если при помощи параллельных переносов сдви-
сдвигать его во все точки пространства Е, то мы получим
на Е дифференциальную форму Q степени A,1). В систе-
системе координат, в которой фУнДаментальная эрмитова
форма имеет вид 2^apzazp, форма Q записывается сле-
следующим образом:
a, p
Эта форма имеет постоянные коэффициенты, значит, она
замкнута и определяет на пространстве Е кэлерову струк-
структуру, инвариантную относительно параллельных переносов
и каноническим образом связанную со структурой эрми-
эрмитова пространства на Е.
Если G — дискретная группа параллельных переносов
пространства Е, то на пространстве E/G можно задать
кэлерову структуру, являющуюся фактор-структурой
структуры пространства Е по группе G. Если ранг G
равен 2я, то мы будем называть полученное так кэлерово
многообразие E/G, снабженное, кроме того, структурой
топологической группы, кэлеровым тором.
5. Чтобы определить кэлеровы структуры в некоторых
других случаях, используют следующее
Предложение 3. Пусть fv...,fN — голоморфные
функции на комплексном многообразии V комплексной
размерности п. Тогда форма
Q = id'd" log B Ш,
V
определенная на множестве точек многообразия V, в ко-
которых не все функции fv обращаются в нуль, положи-
положительна на этом множестве. Она положительна и невы-
рожденна в точке х, в которой fVo (х) ф 0, тогда и толь-
только тогда, когда среди ковекторов, определяемых в точ-
точке х формами d(fv/fvQ), имеется п линейно независимых.

60Глава 111
Так как функции fv голоморфны, dfv = d'fv, d"fv = 0,
и, следовательно, dfv = d"fVy d'fv = 0, откуда
V V Ц, V
Если / — вектор, касательный к многообразию V в точке
х, в которой не все функции fv обращаются в нуль,
и если положить
то квадратичная форма, связанная с биковектором, опре-
определенным при помощи формы Q в точке х, в силу опре-
определений п. 2 гл. 1 принимает вид
Она, очевидно, положительна и равна нулю только тогда,
когда все т^{1) равны нулю. Но так как fv(x) не все
равны нулю, последнее эквивалентно существованию та-
такого ggС, что dfpix; t)t=lfll(x) при любом [i. Если
/vo(*)?=O, то это означает, что
fVo(x)dfv(x; t)-fv(x)dfVo(x; 0 = 0
при любом v, или, если положить gv = fv/fVo, что dgv(x;t) —
= 0. Чтобы существовал касательный вектор t в точке
х, удовлетворяющий этим условиям, необходимо и доста-
достаточно, чтобы число линейно независимых ковекторов,
определенных в точке х при помощи форм dgv, было
меньше п.
Воспользуемся предложением 3 для определения кэле-
ровой структуры на комплексном проективном простран-
пространстве Рп размерности п. Напомним, что пространство Рп
можно определить следующим образом. В пространстве
С"*1 назовем «прямой» всякое множество D —{0}, где D —

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 61
прямая, проходящая через точку 0. Тогда Рп получает-
получается из Са+1 — @) факторизацией по отношению эквивалент-
эквивалентности, классами которого служат «прямые». Если (х0, xv . ..
... , хп) — точка на «прямой», соответствующей точке х?Рп,
то говорят, что (х0, ... , хп) — система однородных коор-
координат точки х. Пространство Рп, снабженное фактор-то-
фактор-топологией топологии пространства Cn+1 —{0} по указанному
выше отношению эквивалентности, компактно. Пусть Uv,
0< v< n, — множество точек х?Рп, для которых х^фЬ.
Множества Uv образуют открытое покрытие пространства
Рп, и при каждом v отображение
(Х1; . . . , Хп) —> [Xv Xq, ... , Xv Xv—\, Xv XV-|-1, . . . , Xv Xn)
определяет гомеоморфизм Uv на Сп. Если выбрать
X\ Xq, . . . , Xv X\— i, Xv Xv+l, . . . , Xy Xn
в качестве локальных координат в окрестности Uv, то
в пространстве Рп будет определена комплексная струк-
структура размерности п. Действительно, локальные координа-
координаты в окрестности Uv являются рациональными функциями
координат в окрестности U^ при любых |j, и v; кроме
того, как одни, так и другие координаты конечны всюду
на множестве Uv |~] U^ и, следовательно, одни координаты
являются голоморфными функциями других на этом мно-
множестве. Ясно, что так определенная комплексная струк-
структура на пространстве Рп инвариантна относительно всех
проективных отображений Рп на себя (т. е. всех отобра-
отображений, индуцированных линейными отображениями про-
пространства Cn+1 на себя).
Для определенной таким образом структуры на про-
пространстве Рп функции x^Xfi голоморфны в окрестности
Uv. В Uv рассмотрим форму
(S |v%|)
ц=0
Среди голоморфных функций Ху'Хц в окрестности Uv имеет-
имеется константа Xvxxv = 1, а остальные образуют систему
локальных координат в Uv, поэтому их дифференциалы
линейно независимы во всякой точке Uv. Применяя пред-

62 Глава 111
ложение 3, получаем, что форма Qv положительна и не-
вырожденна во всех точках Uv. Далее, в Uv Г) U» имеем
Qn - Qv = id'd" log | хд1 xv|2.
Правая часть равна нулю в силу следствия 1 из предло-
предложения 3 п. 3 гл. II; значит, на пространстве Рп суще-
существует форма Q, совпадающая с формой Qv B окрестности
Uv при любом v. Форма ?2V положительна и невырожден-
на в любой точке окрестности Uv, значит, форма Q обла-
обладает этими свойствами во всякой точке пространства Рп.
Итак, форма Q определяет на пространстве Рп аналити-
аналитическую кэлерову структуру. Отметим, что она не инва-
инвариантна относительно всех проективных отображений
пространства Рп на себя.
Из результатов пп. 1, 2 следует, что кэлерову струк-
структуру можно определить на. всяком многообразии W, до-
допускающем голоморфное и локально бирегулярное отобра-
отображение в комплексное проективное пространство. В част-
частности, структура на пространстве Рп индуцирует кэлерову
структуру на всяком комплексном многообразии, вложен-
вложенном в Рп, например, на всяком подмногообразии Рп, а
значит, на всяком алгебраическом многообразии без осо-
особых точек в Рп. С другой стороны, из теоремы Чжоу
(Chow) следует, что не существует подмногообразий прост-
пространства 'Рп (в смысле определения п. 1), отличных от
алгебраических многообразий без особых точек1).
6. Распространим теперь предложение 3 на случай
бесконечного числа функций /v. Для этого нам потребует-
потребуется следующая
Лемма. Пусть V и W — два многообразия с ком-
комплексной структурой, и пусть (Д,) и (gv) — dee последова-
последовательности голоморфных функций на многообразиях V
и W соответственно. Если существуют такие констан-
константы А и В, что
х) Простое доказательство этого факта см. в Am. J. of Math,
78, № 4 A956), 898. (Это доказательство приведено в примечаниях
переводчика в книге Чжэнь Шэн-шэня «Комплексные многообразия»,
М., 1961, стр. 197. — Прим. перев.)

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 63
при всех x?V, убй7, то ряд 2 /v (x) gv (у) сходится
V
абсолютно и равномерно на всякой компактной части
многообразия V X W, всюду почленно бесконечно дифферен-
дифференцируем, и его сумма— вещественно аналитическая функ-
функция на многообразии V х W.
В этой формулировке почленная дифференцируемость
ряда означает, что всякая точка многообразия V X W
обладает компактной окрестностью, в которой все ряды,
полученные из ряда 2/v (*) gv (#) почленным дифферен-
v
цированием любое число раз по локальным координатам
в этой окрестности, равномерно сходятся.
Пусть V — многообразие с комплексной структурой,
сопряженной со структурой V, т. е. многообразие, кото-
которому соответствует то же топологическое пространство,
что и V, но для которого, по определению, функция h
голоморфна в точке х, если Л голоморфна в точке х
в смысле комплексной структуры многообразия V. Рас-
Рассмотрим на многообразии V х V функции
Fn(x, x')= 2
v=l
В силу предположений леммы и неравенства Шварца они
голоморфны и всюду по модулю не превосходят А. Тогда
по известной теореме каждая точка многообразия V х V
имеет компактную окрестность, в которой некоторая под-
подпоследовательность последовательности (Fn) сходится рав-
равномерно. В частности, всякая точка многообразия V
обладает такой компактной окрестностью U, что некото-
некоторая подпоследовательность (Fn.) последовательности (Fn)
равномерно сходится в U x U. Поэтому последователь-
последовательность
Р (у у\ _ V f (y\f (y\ _ V I f /y\|2
v= 1 v= 1
равномерно сходится в окрестности U, и, следовательно,
ряд 2 I М*)!2 также равномерно сходится в U.

64 Глава III
Аналогично, всякая точка многообразия W обладает
компактной окрестностью V, в которой ряд 2|gv(y)|2
v
равномерно сходится. Используя неравенство Шварца,
получаем, что ряд
равномерно сходится в U X V. Члены этого ряда голо-
голоморфны на многообразии V х W, где IF —многообразие,
сопряженное многообразию W. Поскольку ряд равно-
равномерно сходится в окрестности всякой точки, его можно
бесконечное число раз почленно дифференцировать в ука-
указанном выше смысле, и его сумма является голоморфной
функцией на многообразии V X W. Это доказывает утвер-
утверждение леммы.
Предложение 4. Пусть V — комплексное многооб-
многообразие комплексной размерности п, и (/v) — последователь-
последовательность голоморфных функций на V. Пусть, далее, суще-
существует такая константа А, что 2l/vl2<^ во всех
V
точках многообразия V. Тогда форма
определенная на множестве тех точек многообразия V,
в которых функции fv не все равны нулю, положительна
на этом множестве. Она положительна и невырожденна
в точке x?V, в которой /Vo(x)=?O, тогда и только
тогда, когда среди ковекторов, определяемых в точке х
формами d(fv/fVo), имеется п линейно независимых.
Из леммы следует, что форма Q определена и веще-
вещественно аналитична в окрестности всякой точки, в кото-
которой не все функции Д, равны нулю. Биковектор, опреде-
определяемый в точке х, где /Vo (*) Ф 0, при помощи формы Q,
является пределом биковекторов, определяемых в точке х
формами
Qn = id'd'log (ЕШ,
v=l
где n>v0. Воспользуемся выражением, полученным
в процессе доказательства предложения 3. Определяя

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 65
ЩчA) так же> как там> получаем, что квадратичная фор-
форма, соответствующая биковектору, определенному посред-
посредством формы Q в точке х, имеет вид
п п
F(t)= lim B IfvOOIT2 2 wlxv(t)wllv(t) =
п -> oo Vs51 (-1, V— 1
Доказательство заканчивается точно так же, как доказа-
доказательство предложения 3.
7. Рассмотрим теперь некоторые понятия, определен-
определенные для многообразия V с комплексной структурой, вве-
введенные и изученные Бергманом в интересном частном
случае ограниченных областей в пространстве С".
Пусть V — комплексное аналитическое многообразие
комплексной размерности п. Пусть а — биоднородная форма
степени (п, 0) на многообразии V. Используя формулы
п. 3 гл. I, можно без труда проверить, что для всякой
эрмитовой структуры на многообразии V, совместимой
с его комплексной структурой, *a = /~n2a, т. е. для форм
такого типа оператор * зависит только от комплексной
структуры на многообразии V. Следовательно, г'а Л а > 0
во всех точках, в которых форма а не обращается в нуль.
Это видно также из выражения формы а через локаль-
локальные координаты. Положим, следуя де Раму (§ 24),
(а, р) = /»2^
у
для любых форм a, (J степени (п, 0), для которых этот
интеграл сходится. При помощи этой же формулы опре-
определим (а, а), независимо от того, сходится интеграл или
нет. Тогда для всякой формы а степени (п, 0) имеем
0<(а, а)< +00. Все рассматриваемые нами формы имеют
непрерывные, коэффициенты, так как они всегда предпо-
предполагаются бесконечно дифференцируемыми, поэтому (а, а) >
> 0, если а ф 0. Из. неравенства Шварца следует, что
(а, Р) определено всякий раз, когда (а, а) < + оо и ф, Р) <
< + оэ, и что (а, а) удовлетворяет неравенству треуголь-
треугольника:
(о + Р, a + p)l/2<(a, a)l/2 + (p\ P)Vt.
5 Андре Вейль

66 Глава 111
Введем обозначение N (а) = (а, а). Для всякого компакт-
компактного множества К многообразия V положим
Nt
Назовем семейство (at) форм степени (п, 0) на многооб-
многообразии V ортонормированным, если {аи ai) = l при любом
i и (at, (v) = 0, когда i Ф i'.
Предложение 5. Пусть гг, ..., zn—комплексные
локальные координаты в открытой окрестности V точки
х g V. Тогда существуют компактная окрестность U1
точки х, содержащаяся в U, и константа А, такие,
что для любой голоморфной формы а степени п на мно-
многообразии V, представимой в окрестности V в виде
a = fdz1 Л ... Л dzn, имеет место неравенство |/|2<
<Л-(а, а) во всякой точке окрестности Uv
Можно предположить, что гц равны нулю в точке х.
Тогда карта окрестности U определяет отображение V
на открытую окрестность точки 0 в пространстве Сп.
Пусть е > 0 таково, что эта последняя окрестность содер-
содержит «полицилиндр» тах[2ц|<е. Обозначим через (У (б),
ч-
0<6<б, множество точек окрестности U, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию max | z^ \ < б. В соответствии с принятыми
обозначениями, f" — голоморфная функция в окрестности U;
значит, ее можно разложить в этой окрестности в ряд
Тейлора
f VI V. V
Этот ряд абсолютно и равномерно сходится в полици-
полицилиндре U (е). Имеем
... Л^ = Bле2)п

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 67
Следовательно, в силу неравенства Шварца, в окрестности
U (q, б) при 0 < q < 1 справедливо неравенство
|Л2<( S |aVi...v
vl vn
«)-п(а. a) S
Ряд, который стоит последним сомножителем в правой
части неравенства, сходится (и его сумма равна A — g2)~2n)
при Q<1. Доказываемое предложение следует отсюда,
если выбрать, например, 11^ = 11 (е/2).
Следствие. В обозначениях предложения 5 щсть
(av ..., o,n) — конечное ортонормированное семейство го_
ломорфных форм av степени п на многообразии V. Тог^а^
если av = fvdz1 Л • • • Л dzn в окрестности V,то 21 fv I2 < A
V
во всякой точке окрестности Uv
Действительно, из предложения 5 следует, что для
любых констант av
в любой точке окрестности Uv Выбирая xi 6 иг и av = /v (Xj),
получаем утверждение следствия.
8. Рассмотрим теперь, следуя Бергману, пространство
B(V) голоморфных форм а степени п на многообразии V,
таких, что (а, а)< + со. Вводя на В (V) «скалярное
произведение» (a, P), мы задаем на нем структуру «пред-
«предгильбертова»1) пространства. Следующее предложение по-
показывает, что оно является (комплексным) гильбертовым
пространством.
2) Предгильбертовым называется векторное пространство Т, на
котором задана положительная эрмитова форма Н (t, t') (см. п. 2,
гл. I). При помощи этой формы на Т вводится полунорма ||<|| =
—У^Н (t, t) и соответствующая топология. Если Н, кроме того, невы-
рожденна (это означает, что пространство Т хаусдорфово) и Т полно,
то его называют гильбертовым пространством.—Прим. перев.
5*

68 Глава'III
Предложение 6. Пространство В(V) — полно.
Напомним (де Рам, § 9), что последовательность диф-
дифференциальных форм, выраженных в окрестности точки
х ? V через локальные координаты, сходится на многообра-
многообразии V «в смысле пространства tp(V)», если существует
компактная окрестность точки х, в которой последователь-
последовательности коэффициентов этих форм и их частных производных
до порядка р равномерно сходятся, причем этим свойством
обладает любая точка x?V. Если последовательность об-
обладает указанным свойством при любом р, то говорят, что
она сходится «в смысле Ш (V)». Пусть (av) — последова-
последовательность Коши в пространстве B(V), т. е. такая после-
последовательность, что N(а^— av) стремится к нулю при |Л
и v, стремящихся к бесконечности. Тогда из предложения 5
следует, что последовательность (av) сходится «в смысле
g°(V>; из этого же предложения и из известной теоремы
о последовательностях голоморфных функций следует, что
Лоследовательность (av) сходится в «смысле % (V)»
к голоморфной форме а. Для доказательства предложения 6,
таким образом, достаточно убедиться в том, что a ? В (V)
и что последовательность (av) сходится к а в смысле про-
пространства В (V). Пусть е > 0, и пусть ц таково, что
JV(av — ац)<е при г>|л. Пусть, далее, /С —такое ком-
компактное множество, что
и К' — некоторое компактное множество, не имеющее общих
точек с К- Из определения множества К следует, что
Мк'(ац)<е, а из определения \i, — что NK> (av — <Хц) < е
при v>ji. Тогда, применяя неравенство треугольника
к Nk', получаем, что для любого v>fx и для любого
компактного множества К' С V — К имеет место соотноше-
соотношение NK> (av) < 4е. Последовательность (av) сходится к a
«в смысле %°(V)y>, а значит, равномерно на всяком ком-
компактном множестве, поэтому Л^'(а)<4е. Так как это
справедливо для любого компактного множества К' CZV—
— К, получаем, что А/(а)<Л^(а) + 4е. Тем самым дока-
доказано, что a?B(V). Далее, из неравенства треугольника
следует, что Nk' (av — a) < 16е при v>[i для всякого ком-
компактного множества К'CV — К, значит,
N (av - a)< NK (av - a) + 16e.

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 69
Последовательность (av) сходится к а равномерно на мно-
множестве К; следовательно, N(av-~ a)<17e при достаточно
большом v. Это доказывает, что последовательность (av)
сходится к форме а в смысле пространства B(V).
Следствие. Пространство В(V) со скалярным про-
произведением (a, P) является гильбертовым пространством
со счетной базой.
Нужно доказать только, что B(V) обладает счетной
базой. Если бы это было не так, то в В (V) имелось бы
несчетное ортонормированное семейство (at). В силу след-
следствия из предложения 5, если х?У, то множество I (х)
тех I, для которых форма а^О в точке х, счетно. Пусть
(xv) — счетное всюду плотное множество точек многообра-
многообразия V. Форма at не может обращаться в нуль во всех
точках xv, поэтому все i принадлежат объединению мно-
множеств I(xv); значит, их счетное число, и следствие дока-
доказано.
По-прежнему следуя Бергману, мы можем теперь дока-
доказать основной результат.
Теорема 1. Пусть V — комплексное аналитическое
многообразие комплексной размерности п, В(V)— гиль-
гильбертово пространство голоморфных форм а степени п
на многообразии V, таких, что (а, а)< + оо, и пусть
(av) — максимальное ортонормированное семейство элемен-
элементов пространства B(V). Пусть, далее, рг и р^ — проекции
V X V соответственно на первый и второй сомножители
этого произведения. Тогда ряд
© = 2 P*av Л
коммутативног) сходится в % (V X V), и его сумма в —
вещественно аналитическая форма степени (п, п), не за-
зависящая от выбора максимального ортонормированного
семейства av.
В силу следствия из предложения 6 семейство (av)
счетно. Пусть (х, y)(-VxV, и пусть (zv ... , zn)
J) Ряд называется коммутативно сходящимся, если он сходится
при любой перестановке его членов. — Прим. перев.

70 Глава III
и (wlt . .. , wn) — системы локальных координат на много-
многообразии V в окрестностях точек хну соответственно.
Пусть, далее, fvdzx Л ... Л dzn и gvdwt Л ... Л dwn -
выражения формы сц, в этих окрестностях через локальные
координаты. Тогда в окрестности точки (х, у) многообра-
многообразия V х V
Л P*av = /v(z)gv(w)dzi A ¦ ¦ ¦ Л dzn Л dwi Л ¦ ¦ ¦ Л dwn.
Из следствия предложения 5 п. 7 и леммы п. 6 вытекают
все доказываемые результаты, за исключением того, что
форма в не зависит от выбора последовательности ctv. Для
доказательства этого факта снова выберем локальные ко-
координаты 2j гп в окрестности U точки x?V. Функ-
Функции /v определим так же, как и ранее; тогда форма 0
запишется в UxV в виде
6 = dZl Л • • • Л dzn Л B /v (г) р2Х).
V
Чтобы доказать, что форма 6 определена единственным
образом, достаточно доказать, что форма цх — 2 Л> (х) сц,
V
определена единственным образом, если заданы точка х
и локальные координаты гц. Из доказанного ранее следует,
что ряд, определяющий х\х, сходится в смысле i(V)
и определяет форму типа @, п) на многообразии V. В
силу следствия из предложения 5 ряд 2/\>(*)сц, схо-
дится в смысле пространства B(V), причем к той же сум-
сумме т)х, что и в смысле Ш{У). Пусть а —какой-либо элемент
пространства B(V); при помощи ортонормированного семей-
семейства (av) его можно представить в виде a = 2 flv°v, где
2 |av |2 < + 00. Тогда, если a = /dz, Л . • . Adzn в окрест-
V
ности U, то
(a, 4x) = Havfv(x) = f(x).
V
Если Цх — форма, аналогичная форме цх, определенная при
помощи другого ортонормированного семейства (сц), то точно
так же (а, т)ж) = /(*) для любой формы a?B(V). Итак,

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 71
форма цх — х\'х принадлежит пространству B(V) и ортого-
ортогональна любому элементу B(V), откуда следует, что
Следствие 1. В обозначениях теоремы 1 ряд
коммутативно сходится в %{V), и его сумма — веще-
вещественно аналитическая форма 0 степени 2п—всюду
неотрицательна, не зависит от выбора форм ctv и инва-
инвариантна относительно всех комплексных аналитических
автоморфизмов многообразия V.
Без множителя in форма 9 есть не что иное, как
форма, индуцированная формой в на диагонали произ-
произведения V х V. Инвариантность 6 относительно автомор-
автоморфизмов многообразия V является следствием того, что
форма 6 каноническим образом связана со структурой
многообразия V.
Следствие 2. Пусть в принятых выше обозначе-
обозначениях V —множество тех точек многообразия V, в ко-
которых форма б не равна нулю. Тогда если формы av
(те же, что и в теореме 1) представлены в окрестно-
окрестности точки x?V при помощи локальных координат Zp.
в виде . av = fvdzl Л •. • Л dzn, то на V существует,
и притом единственная форма Q, имеющая в окрестно-
окрестности точки х вид
Q — вещественно аналитическая форма степени A.1),
положительная на V и инвариантная относительно всех
комплексных аналитических автоморфизмов многообра-
многообразия V.
Это утверждение является очевидным следствием
теоремы 1, ее следствия 1, следствия 2 из предложения 3
п. 3 гл. II и предложения 4 п. 6.
Следствие 3. Пусть в принятых выше обозначе-
обозначениях x?V. Для того чтобы x&V, необходимо и доста-

72 Глава 111
точно, чтобы существовала форма ао?В(V), отличная
от нуля в точке х. В этом случае форма Q положи-
положительна и невырожденна в точке х тогда и только тогда,
когда существуют п форм av65(V)(l<v<n), таких,
что если в окрестности точки х записать их в виде
av = (jpva0, то tpv образуют систему локальных коорди-
координат на многообразии V в окрестности точки х.
Первое утверждение очевидно. Итак, пусть форма
<z0 ? В (V) отлична от нуля в точке х, и z^ — локальные
координаты в окрестности V точки х. В окрестности V
форму <х0 можно записать в виде а0 = /0 &гг Л . • • Л dzn,
где /о(х)=?0. Значит, в U содержится окрестность V'
точки х, в которой /0 ф О, и всякую голоморфную форму
степени п можно записать в виде фа0, где ср — голоморф-
голоморфная функция в окрестности U'. Тогда предложение 4
п. 6 вместе с определением формы О, и теоремой о неяв-
неявных функциях показывают, что указанное в формули-
формулировке следствия условие необходимо для того, чтобы
форма Q была невырожденной в точке х. Обратно, пред-
предположим, что av и фу таковы, как указано в этой форму-
п
лировке. Если имеет место соотношение ^ av«v = 0 с по-
v=0
п
стоянными коэффициентами av, то а0 + 2 av9v = 0. а,
п
значит, и ^ avd<fv = O. Так как <pv образуют систему
локальных координат в окрестности точки х, их диф-
дифференциалы линейно независимы, значит, все av равны
нулю. Следовательно, формы а0, ах>... , а„ линейно
независимы и порождают векторное подпространство про-
пространства B(V) размерности п-\-\. В этом подпростран-
подпространстве можно выбрать ортонормированный базис с^, а[,...
... „aj,, такой, что a^ = aa0, где а Ф 0. Если формы ay
записываются при помощи локальных координат z^ в виде
a'v = f'vdz1A ... Л dzn, то f'o (x) = afQ (x) ф 0. Ввиду того
что формы av являются линейными комбинациями форм а^,
функции q>v являются линейными комбинациями функ-
функций 1, /v//o> а> следовательно, cftpv — линейными комби-
комбинациями дифференциалов d(f'v/f'o), т. е. они линейно
независимы в точке х. Для завершения доказательства

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 73
нужно применить предложение 4 п. 6 к максимальному
ортонормированному семейству пространства В (V), содер-
содержащему формы с^, а[, . . . , а'п.
Если Z —некоторый поливектор степени (п, 0) в точ-
точке х € V, то часть полученных выше результатов
можно выразить следующим образом: функция tpz на
пространстве B(V), определенная соотношением cpz(a) =
= a(Z), является непрерывной линейной формой на B(V)
или, другими словами, элементом пространства В' (V),
двойственного пространству B(V). В результате мы опре-
определили каноническое отображение Z —^cpz множества W
поливекторов степени (п, 0) на многообразии V в про-
пространство В' (V). Но W является «расслоенным про-
пространством» с многообразием V в качестве базы и одно-
одномерным комплексным векторным пространством в качестве
слоя. Оно каноническим образом связано с многообрази-
многообразием V, и на нем, также каноническим образом, можно
ввести комплексную структуру размерности я + 1. Про-
Пространство В'(V), двойственное пространству B(V), можно
рассматривать как гильбертово пространство. Тогда ото-
отображение Z—»cpz голоморфно в том смысле, что если
F — какая-то линейная форма на пространстве В'(V), то
F (cpz) — голоморфная функция на W. Дифференциальную
форму в теоремы 1 можно определить тогда, ставя в соответ-
соответствие всякой паре (Z, Z') элементов W, рассматриваемой
как поливектор в точке многообразия V X V, скалярное
произведение (фг, cpz-) их канонических образов в простран-
пространстве В' (V).
9. Может случиться, что связанное с многообразием V
пространство В (V) сводится к нулю. Легко проверить,
что это имеет место, например, при V = Сп и, следовательно,
при V = Pn. В таких случаях теорема 1 и ее следствия
бессодержательны.
Для нас основное значение полученных результатов
состоит в том, что довольно часто на комплексном много-
многообразии V можно ввести кэлерову структуру (структуру
Бергмана), которая связана с ним каноническим образом.
Это имеет место тогда, когда условиям следствия 3 из
теоремы 1 удовлетворяют все точки многообразия V.

74 Глава 111
Эти условия выполняются, если V — «ограниченная об-
область» в пространстве Сп-, т. е. открытая относительно
компактная1) часть пространства С™. Действительно, чтобы
в этом случае в каждой точке многообразия V выпол-
выполнялись условия следствия 3, достаточно выбрать а0 =
= dzx А ¦ ¦ ¦ A dzn, av = zva0, где zv — координаты в про-
пространстве Сп. Более общо, пусть V — комплексное много-
многообразие комплексной размерности р, допускающее ло-
локально бирегулярное отображение ср в относительно ком-
компактную часть пространства С*. Тогда всякая точка
многообразия V, в которой выполняется первое условие
следствия 3, т. е. существует форма ao?B(V), отлич-
отличная от нуля в этой точке, удовлетворяет также второму
условию, так как, полагая фу = г^ф, в силу предполо-
предположения относительно ф можно среди п форм ф1о0, ... , фпа0
выбрать р форм av, удовлетворяющих требуемому усло-
условию. Далее, при таких V и ср всякая точка многообразия V
удовлетворяет первому условию следствия 3, если
при любых \iv . .., \хр. Действительно, предположение
относительно ф означает, что во всякой точке много-
многообразия V по крайней мере одна из этих форм отлична
от нуля. Если, в частности, ф — естественное отображе-
отображение в пространство Сп многообразия V, вложенного в С",
то в том случае, когда последнее условие удовлетво-
удовлетворяется, говорят, что V—многообразие конечного типа.
Итак, структура Бергмана существует на всяком много-
многообразии V конечного типа, вложенном в относительно
компактную часть пространства С". Этим свойством обла-'
дает, например, всякая- открытая относительно компакт-
компактная часть V многообразия W, вложенного в пространство С".
Пусть, наконец, V — комплексное аналитическое мно-
многообразие, обладающее структурой Бергмана. Эта струк-
структура инвариантна относительно всех комплексных ана-
аналитических автоморфизмов многообразия V. Тем же свой-
свойством обладает связанная с ней квадратичная дифферен-
дифференциальная форма ds2 и, следовательно, определяемое при
х) Множество в топологическом пространстве называется отно-
относительно компактным, если компактно его замыкание. — Прим. перев.

Индуцированные структуры; построение кэлеровых метрик 75
помощи последней формы геодезическое расстояние (де
Рам, § 27). Рассмотрим далее группу G комплексных
аналитических автоморфизмов многообразия V, удовле-
удовлетворяющую следующему условию:
(Do) Всякая точка x?V обладает такой окрестно-
окрестностью 0, что s(x)$U при любом s?G, отличном от еди-
единичного элемента.
Пользуясь инвариантностью геодезического расстоя-
расстояния, легко проверить, что G удовлетворяет тогда усло-
условию (D) п. 3 (т. е. она «дискретна и не содержит нетри-
нетривиальных преобразований с неподвижными точками») и что
фактор-пространство V/G хаусдорфово. Следовательно,
в силу результатов п. 3 на V/G можно определить ком-
комплексную аналитическую структуру и кэлерову структуру,
являющуюся фактор-структурой по группе G структуры
Бергмана на многообразии V. Эти понятия играют важ-
важную роль в теории автоморфных функций.

Глава IV
КОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
КЭЛЕРОВА ТИПА
I. Известно (де Рам, § 31, теорема 23), что на компакт-
компактном римановом пространстве можно определить операторы
Я и G, удовлетворяющие соотношениям
dH = Hd = О, ЬН = НЬ р= О,
A, (I)
где символом 1 обозначен тождественный оператор. Это
однородные операторы нулевой степени, т. е. для любой
дифференциальной формы а степени р формы Яа и Оа
имеют ту же степень. Они не являются локальными опе-
операторами, т. е. если форма а равна нулю в некоторой
области, то формы На и Ga, вообще говоря, отличны от
тождественного нуля в этой области.
Большинство свойств операторов Н и G получается не-
непосредственно из соотношений (I).
Лемма 1. Справедливо равенство ЯД = ДЯ = 0. Че-
Четыре соотношения: A) Да = 0, B) а = Яа, C) da = 6a = 0
и D) Ga = О эквивалентны. Справедливо равенство Я2 = Я.
Первое утверждение является очевидным следствием
соотношений (I). Из соотношений (I) сразу видно, что из
A) следует B), из B) —C); из C), очевидно, следует A).
Точно так же ясно, что D) влечет за собой B); из B)
при помощи (I) получается равенство AGa = 0. В силу
соотношений (I) Ga = Я (Ga) + GA (Ga); кроме того, HG = О,
поэтому из B) следует D). Наконец, так как Д(Яа) = 0,
имеем Яа = Я(Яа), потому что A) и B) эквивалентны.
Значит, Н2 = Н.
Лемма 2. Форма а имеет вид а — Р + Ay, где ДР = О,
тогда и только тогда, когда
Р = Яа, A(v-Ga) = 0.

Компактные многообразия кэлерова типа 77
При этом у = Ну + Ga.
Достаточность следует из соотношений (I). Если
а = Р + Ду, то Яа = Яр\ значит, Яа = Р, если ДР = О.
Тогда имеем также, что a = f5 + AGa, значит, Д (у — Ga) = 0.
Далее, Ga = G ($ + by), следовательно, в силу леммы 1,
Ga = (?Ду. Последнее утверждение леммы следует отсюда
и из того, что у = Ну -\-Ghy.
Лемма 3. Пусть V — компактное риманово прост-
пространство, F —аддитивное и коммутирующее с Д отобра-
отображение множества дифференциальных форм на V в себя
(т. е. F (a-\-$) = Fa-{-Fp, F\a = AFa при любых а и Р).
Тогда F коммутирует с Н и G. В частности, G комму-
коммутирует с d и 6.
Действительно, Fa — F(Ha-\-AGa); применяя предпо-
предположения леммы относительно F, это можно переписать
в виде Fa = FHa-\- Д-FGa. Из этих предположений следует
также, что Д (FHa) = FkHa — 0. Применяя лемму 2 к фор-
форме Fa, получаем, что FHa = H (Fa), т. е. F и Я комму-
коммутируют и FGa — Я (FGa) -f G (fa). Так как F и Я комму-
коммутируют, то Я (FGa) = FHGa = 0 и, значит, FGa = GFa,
что и требовалось доказать.
Лемма 4. Форма а имеет вид а = |3 + dr\ + бсо, где
Др = 0, тогда и только тогда, когда
Р = На, d (т) - SGa) = 0, б (со - dGa) = 0.
?сли, крсше того, 6т] = 0, то ц = Нц + bGa. Аналогично
если da = 0, то со = Ясо + dGa.
Из соотношений (I) следует, что указанное условие
достаточно. Обратно, если a = f5 -f- dr\ + бсо, то, применяя
оператор Я к обеим частям этого равенства, получаем
Яа = ЯР; значит, в силу леммы 1, Яа = р, если Др = О.
Применяя к обеим частям того же равенства оператор dbG,
который по лемме 3 совпадает с оператором G db, получаем
при Р = На:
ddGa = Gdbdr\ = GAdi) = A - Я) dr\ = dr\.
Точно так же, применяя оператор 6 dG = G6d к обеим
частям того же равенства, получаем, что SdGa = 6co.

78 Глава IV
Наконец, если 6т] = 0, имеем
= Gbdr\ = G6 (dbGa) = GAbGa = A - Я) bGa = bGa,
откуда в силу (I) следует утверждение леммы относи-
относительно формы т). Так же доказывается аналогичное утвер-
утверждение относительно формы со.
2. На торе, снабженном формой ds2, инвариантной от-
относительно сдвигов, можно записать операторы Н и G
в явном виде, не прибегая к общей теории гармониче-
гармонических форм. Действительно, всякий такой тор веществен-
вещественной размерности т можно идентифицировать с фактор-
пространством E/D евклидова пространства Е размер-
размерности т по дискретной подгруппе D пространства Е
ранга т. Пусть (ж, у) —скалярное произведение векторов
х и у пространства Е. Предположим, что в этом прост-
пространстве выбрана такая система координат, что (х, х) =
= 2 х*. Будем отождествлять функции и дифференциаль-
i
ные формы на торе E/D с их прообразами на простран-
пространстве Е. В результате каждая функция на E/D отождест-
отождествляется с функцией на Е, имеющей все векторы d g D
своими периодами. Как известно, всякую такую функцию
можно разложить в ряд ФурьеJ)
/= 2 a(s)e((s, x)), п)
где D'— группа векторов s?E, таких, что (s, d) — целое
число при всех d?D. Коэффициенты a(s) определяются
при помощи формул Фурье:
a[(s) = ms/D[f(x)e(-(s, x))],
где 9Л обозначает среднее значение на торе по инва-
инвариантной мере dx1 dxm. Функции, которые мы рас-
рассматриваем, принадлежат классу С, следовательно, их
ряды Фурье абсолютно и равномерно сходятся и их можно
бесконечное число раз почленно дифференцировать.
Здесь и всюду в дальнейшем мы полагаем t(t)=e2nit.

Компактные многообразия кэлерова типа 79
Рассуждая так же, как в пп. 3 и 4 гл. III, получаем,
что формы dxb являются прообразами дифференциальных
форм степени 1 на E/D, инвариантных относительно
сдвигов, которые в силу принятого выше соглашения
обозначаются также через dxt. При этих условиях форма
ds2, заданная на торе E/D, запишется в виде 2 dxb
г
Тогда всякая дифференциальная форма на E/D пред-
представляет собой сумму форм вида f dxii А ¦ ¦. A dxi , где
функция f разлагается в ряд Фурье.
Локальные операторы d, б и А имеют на торе E/D
точно такой же вид, как и в пространстве Е. В част-
частности, имеем (де Рам, § 26)
A (fdx4 А ... Л dxip) = -B d?j)dxh Л ... Л dxip.
Операторы Н и G определим следующим образом. Для
функции /, заданной при помощи ряда Фурье (I), положим
Hf = a(O)=ME/D[fl G/ = Bnp 2 (s,sy1a(s)e((s,x)).
s?D-
зфО
Ряд, определяющий Gf, равномерно сходится и почленно
бесконечно дифференцируем, так как, по предположению,
этими свойствами обладает ряд A). Положим также
Я {fdxh A ... Л dxip) = (Hf) dxii Л]. • • Л dxip>
G (f dxh Л ... Л dxip) = (Gf) dxti A •¦¦ Adxip
и распространим операторы Н и G по линейности на все
формы. Соотношения (I) проверяются непосредственно
(что касается соотношения ЬН — НЬ = 0, то его можно
не проверять непосредственно, а вывести из соотношений
dH = Hd = 0 и *Н — Н*). Заметим, что оператор Н не за-
зависит от выбора на торе инвариантной относительно сдви-
сдвигов формы ds2.
Следовательно, когда мы применяем полученные выше
результаты к комплексным торам (в частности, это отно-
относится к изложенному ниже доказательству теоремы 2,
а главным образом к результатам гл. VI), мы по существу
не используем общую теорию гармонических форм; мы

80 Глава IV
опираемся лишь на полученные в предыдущих главах
локальные результаты и на элементарную теорию рядов
Фурье.
Сформулируем в виде леммы часть полученных резуль-
результатов, которые используются в гл. VI.
Лемма 5. На торе, снабженном формой ds2, инва-
инвариантной относительно сдвигов, гармоническими являют-
являются формы, инвариантные относительно сдвигов. Они
образуют градуированное кольцо, которое порождается 1
и элементами степени 1.
3. Ясно, что операторы Н и G можно по линейности
продолжить на комплекснозначные дифференциальные
формы.
Теорема 1. На компактном кэлеровом многообразии
операторы Н и G, связанные с римановой структурой,
индуцированной кэлеровой структурой многообразия, ком-
коммутируют со всеми операторами алгебры, порожденной
операторами *, d, L и Pai ь. В частности, они являются
биоднородными операторами степени @, 0) и коммути-
коммутируют с операторами С, A, d', d", Ь, б', 6".
Это утверждение является непосредственным след-
следствием доказанной выше леммы 3 и следствия 1 из тео-
теоремы 2 п. 6 гл. II.
Следствие 1. На компактном кэлеровом много-
многообразии
d°H = 0, 8сЯ = 0, d'H = d"H = Q и 6'Я = 6"Я = 0.
Действительно, из равенства dH = 0 следует, что
dcH° = 0, а так как оператор Н коммутирует с С, имеем
Нс = Н. Точно так же ЬСН = 0. Отсюда следуют осталь-
остальные равенства.
Следствие 2. Для компактного кэлерова многообра-
многообразия леммы 1 и 4 п. 1 остаются в силе, если заменить
в них d и 6 на d' и 26' или на d" и 26".
Напомним, что А = 2d'b' +26'd' = 2d"&"+ 2b"d" [фор-
[формула (IX) теоремы 2 п. 6 гл. II]. Из теоремы 1 и ее

Компактные многообразия кэлерова типа 81
следствия 1 видно, что доказательство лемм 1 и 4 п. 1
останется в силе, если заменить в нем d и 6 на d' и 26'
или на d" и 26".
Следствие 3. Пусть ц — форма степени (р, 0)
на компактном кэлеровом многообразии. Тогда три сле-
следующих свойства эквивалентны: A) ц — замкнута; B) х\ —
голоморфна; C) ч\ —гармонична.
Эти свойства можно записать соответственно в виде
йц = 0, d"r\ = 0, Дт) = 0. Уже отмечалось (п. 3, гл. II),
что на всяком квазикомплексном интегрируемом много-
многообразии из A) следует B). На всяком кэлеровом много-
многообразии, компактном или нет, оператор 6" имеет степень
@, —1), и, значит, для всякой формы г\ степени (р, 0)
имеем 6"г) = 0, откуда по теореме 2 п. 6 гл. II Дг] = 26'd"r\.
Итак,' при этих условиях из B) следует C). Наконец,
если рассматриваемое многообразие компактно, то по
лемме 1 п. 1 из C) следует A).
Пример эрмитова пространства показывает, что след-
следствие 3 не остается в силе для некомпактных кэлеровых
многообразий. Уже при р — 0 на таком пространстве
существуют гармонические функции, не являющиеся
ни константами, ни голоморфными функциями. С другой
стороны, на компактном комплексном многообразии могут
существовать голоморфные незамкнутые формы. Напри-
Например, пусть G — комплексная «нильпотентная треугольная»
группа, т. е. группа комплексных матриц Z=|j2^v|
(|i, v=l, ... , п), где гцм.= 1 при 1<ц</г и 2цУ = 0
при l<v<fx<n, и пусть g — группа матриц из G, со-
состоящих из целых элементов поля Q(V — l). Это дискрет-
дискретная подгруппа группы G, так что G — накрытие простран-
пространства Gig; легко видеть, что Gig — компактно. Используя
результаты п. 3 гл. III, на G/g можно ввести комплексную
структуру, являющуюся фактор-структурой комплексной
структуры на G по группе g. Элементы ?nv матрицы Z'1 dZ
являются левоинвариантными относительно G дифферен-
дифференциальными формами. Это голоморфные формы степени (I, 0).
Рассуждая так же, как в гл. III, мы можем рассматривать
их как прообразы при естественном отображении G на G/g
голоморфных форм Цу на Gig. Кроме того, при «>3
6 Андре Вей ль

82 Глава IV ^
группа G некоммутативна; в этом случае из результатов
теории групп Ли следует, что формы ^v не все замкнуты;
значит, среди форм ?^v имеется хотя бы одна незамкнутая.
Итак, в силу следствия 3 из теоремы 1, G/g является
примером компактного многообразия с комплексной струк-
структурой, на котором нельзя ввести кэлерову структуру1).
4. Прежде чем приступать к изучению компактных
кэлеровых многообразий, мы покажем, что в предложе-
предложении 4 п. 4 гл. II предположение об аналитичности формы о>
излишне.
Теорема 2. Пусть V — многообразие с комплексной
структурой, и ш — дифференциальная форма, определен-
определенная в окрестности U точки х многообразия V, такая,
что d'(a = 0 в U. Тогда существует окрестность U'
точки х, содержащаяся в окрестности U, в которой
форма ш представила в виде ш = с!'т]-1-?, где форма ?
голоморфна в V.
Теорема носит чисто локальный характер, поэтому ее
достаточно доказать для произвольно выбранного комплекс-
комплексного многообразия, например для кэлерова тора. Итак,
предположим, что V — такой тор и что U—открытая окрест-
окрестность точки x?V. Пусть ф —бесконечно дифференцируемая
функция на V с носителем, содержащимся в окрестности U,
1) Остановимся на этом примере подробнее. На самом деле имеет
место следующий более общий факт. Пусть G—комплексная группа
Ли, © — соответствующая ей алгебра Ли, Х\, ..., ХТ — базис в ©,
cijk — структурные константы. Будем считать, что алгебра Ли © реа-
реализована как касательное пространство к группе G в единице. Тогда
"в пространстве левоинвариантных дифференциальных форм степени
(I, 0) на G (в этом случае их называют формами Маурера — Картана)
можно выбрать базис он, ..., сог, двойственный базису Хх Хг.
Эти формы голоморфны, и для них dwk=— ^ сцкЩАа}> т- е->
i, i
если группа G некоммутативна, не все щ замкнуты. Пусть в этом
случае g—дискретная подгруппа группы G, такая, что фактор-про-
фактор-пространство G/g компактно. Тогда формы %, .... шг индуцируют
на G/g голоморфные формы, среди которых есть незамкнутые, т. е.
на многообразии G/g нельзя ввести кэлерову структуру. —Ярил.
перев.

Компактные многообразия кэлерова типа
равная 1 в некоторой окрестности Uo точки х (де Рам,
§ 2, лемма). Пусть далее ft^ — форма, равная фю в U и О
в V — U. Тогда (Oj = ш2 + 5'а, где ш2 = Я©! + 26'd'Gcoj,
a = 26'Gco1. Далее, й'ш2 = ??'«>! и б'ш2 = 0. Следовательно,
Дш2 = 26'd'щ и, в частности, Дш2 = 0 в окрестности ?/0,
так как в Uo форма оI совпадает с со, а потому удовле-
удовлетворяет в этой окрестности уравнению d'coj — 0. Используя
результаты, содержащиеся в § 34 книги де Рама, или
результаты классической теории гармонических функций
в евклидовом пространстве, получаем, что форма щ веще-
вещественно аналитична в окрестности ?/0. Поскольку в окрест-
окрестности Uo справедливо равенство <5'ю2 = 0, к форме ю2
можно применить предложение 4 п. 4 гл. II, что и дока-
доказывает утверждение теоремы.
Следствие 1. В условиях теоремы 2 предположим,
что ш — биоднородная форма степени (а, Ь), где а>1.
Тогда существует окрестность точки х, в которой ш
можно представить в виде ш = d'y\, где ц — биоднородная
форма степени (а—1, Ь).
Действительно, представим форму и в виде co = ] ^
где ?—голоморфная форма.. Тогда, очевидно, co = d' (Ра_и
Следствие 2. Пусть на комплексном многообра-
многообразии V задана замкнутая вещественная биоднородная
дифференциальная форма Q степени A, 1). Тогда всякая
точка х многообразия V обладает окрестностью, в кото-
которой форму Q можно представить в виде Q = id'd"<?>, где
Ф — вещественная функция.
Действительно, так как dQ = 0, существует окрестность
точки х, в которой Q можно записать в виде Q = dco,
где ш — вещественная форма степени 1. Положим a = Риоа>,
тогда a = РОA(о, ш = a + а, и, следовательно,
Q = d (a + a) = d'a + (d"a + d'a) + d"a.
Три члена правой части являются формами степеней соот-
соответственно B, 0), A,1) и @, 2). Так как Q —форма
степени A, 1), эти члены равны соответственно О, Q, 0;
поскольку d'a = 0, из следствия 1 вытекает, что в некоторой
6*

84 Глава IU .
окрестности точки х форму а можно записать в виде
a = d'<$. Значит, в силу соотношения dnd' — —d'd",
Q = d"a + d'a = d'd" (<p - <p).
Итак, требуемому условию удовлетворяет функция Ф =
5. Теперь мы применим полученные результаты к изуче-
изучению гомологических свойств компактных кэлеровых много-
многообразий.
Определения, содержащиеся в § 18 книги де Рама,
очевидным образом распространяются на комплекснознач-
ные дифференциальные формы. Будем писать а~а', если
формы а и а' гомологичны, т. е. если существует такая
форма р\ что а — а' = сф. Обозначим через С/(а) класс
когомологий замкнутой формы а, т. е. множество форм,
ей гомологичных. Комплексное векторное пространство
классов когомологий на многообразии V обозначим через
е%? {V). Оно является прямой суммой пространств е%;Р (V)
классов однородных форм степени р. Размерность про-
пространства 3WP(V) обозначим через hp(V). Вместо e%p{V)
и hp(V) мы часто будем писать ?&р и hv. Если а = С7(а),
то через а обозначим класс С1(а). Если а = а, то а =
= С/((а + а)/2); значит, а = а тогда и только тогда, когда
класс а содержит вещественную форму. В этом случае
класс а называют вещественным. Если а = С/ (a), b = Cl ф),
то положим а Л Ь = С/(а л Р). Этот закон композиции
представляет собой произведение Александера — Колмого-
Колмогорова, соответствующее комплексным коэффициентам.
Лемма 6. Пусть а — замкнутая форма на компакт-
компактном римановом пространстве V. Тогда На — аи На —
единственная гармоническая форма, гомологичная а. Если
а'—другая замкнутая форма на V, то соотношения
а ~ а' и На = На' эквивалентны.
Имеем а = На + dbGa + bdGa. Ввиду того что G и d
коммутируют, последнее слагаемое равно нулю, если da = 0.
Тогда а ~ На. Если а = |J + dy, где р — гармоническая
форма, то в силу леммы 4 п. 1 имеем |J = На. Из пре-
предыдущего следует, что если а' —другая замкнутая форма,

Компактные многообразия кэлерова типа 85
то соотношения а ~ а' и На — На' эквивалентны, а из
последнего соотношения следует, что На = На'.
Пусть а — класс когомологий на компактном римановом
многообразии. Из леммы 6 следует, что для любой формы
а б а форма На является единственной гармонической
формой класса а. Эту форму будем обозначать через На..
Отображение а—>На представляет собой изоморфизм
векторного пространства <J%? (V) на векторное простран-
пространство гармонических форм на многообразии V. Вообще
говоря, произведение двух гармонических форм не является
гармонической формой. Но если многообразие V таково,
что на нем произведение гармонических форм всегда
гармонично (например, если К —тор с формой ds2, инва-
инвариантной относительно сдвигов), то отображение а->#а
является изоморфизмом и для закона композиции /\.
Пусть V — многообразие с квазикомплексной интегри-
интегрируемой структурой. Назовем вещественный класс когомоло-
когомологий степени 2 на многообразии V классом кэлерова типа,
если он содержит замкнутую биоднородную форму степени
A, 1), положительную и невырожденную во всех точках
многообразия V. Будем говорить, что V — многообразие
кэлерова типа, если на нем существует класс когомологий
кэлерова типа, или, что то же самое, если многообразие V
можно снабдить кэлеровой структурой, совместимой с его
квазикомплексной структурой. В п. 3 приведены примеры
компактных многообразий с комплексной структурой,
не являющихся многообразиями кэлерова типа.
На компактном многообразии V кэлерова типа назо-
назовем класс когомологий биоднородным степени (а, Ь), если
он содержит биоднородную форму этой степени. Обозначим
через ^6'а< ь (У), или просто через М'а> ь, комплексное
векторное пространство биоднородных классов степени
(а, Ь) и через ha>b(V), или просто через ha>ь, размерность
этого пространства. Голоморфные формы на таком много-
многообразии V будем называть формами первого рода. В силу
следствия 3 из теоремы 1 п. 3 такая форма обязательно
замкнута, а в силу того же следствия и леммы 6 всякий
биоднородный класс степени (р, 0) содержит форму первого
рода, и притом единственную. Поэтому можно естествен-
естественным образом идентифицировать S€v< ° (V) с векторным

86 Глава IV
пространством форм первого рода степени р на много-
многообразии V; №> ° (V) — размерность этого последнего про-
пространства. Ясно, что формы первого рода на многообразии V
образуют кольцо. Следовательно, прямая сумма про-
пространств iffiv> ° (V) является подалгеброй комплексной
алгебры S6' (V) с произведением а Л Ь.
Теорема 3. Пространство когомологий ?f6(V) ком-
компактного многообразия V кэлерова типа является прямой
суммой пространств e%?a'b(V). В каждом классе когомо-
когомологий а на многообразии V имеется по крайней мере
одна форма а, такая, что dGa = 0, причем эту форму
можно выбрать вещественной, если класс a — веществен-
вещественный. Если а —такая форма, то формы Ра<ьа замкнуты,
и классы Cl (Pat ьа) являются компонентами класса a
в разложении 36' {V) на 3@a'b{V).
Зададим на многообразии V кэлерову структуру, сов-
совместимую с его квазикомплексной структурой. Пусть
а б Ш {V). Тогда форма На принадлежит классу а и удо-
удовлетворяет условию dc (На) = 0 (следствие 1 из теоремы 1).
Если а — вещественный класс, то На — вещественная форма.
Пусть а —форма класса а, такая, что dca = 0. Поскольку
a'a = 0, имеем d'a = 0, d"a = 0. Если aa> ь = Ра> ьа — биодно-
родные компоненты формы а, то формы d'ajb и d"aa> ь —
соответствующие компоненты d'a и d"a, значит, все они
равны нулю; таким образом, daai b = 0 при любых а, Ь.
Следовательно, класс а представляет собой сумму биодно-
родных классов С1 (аа_ ь). Далее, оператор Н коммутирует
с операторами Ра< ъ, поэтому биоднородными компонентами
формы На являются формы Н(аа ь). Значит, если а=0,
то Яа = 0 (лемма 6) и #(aab) = 6 при любых а, Ь; таким
образом (лемма 6), С1 (ааЬ) = 0. Это доказывает, что про-
пространство ?fe (V) разлагается в прямую сумму пространств
Пусть а —некоторый класс когомологий; через Ра,ьа
обозначим его компоненту, лежащую в J^a>ь. Значит,
если а —такая форма из класса а, что d°a = 0, то Pat ьа =
= С1 (Ра> ъа). В этом случае положим Са = С1 (Са)\ так
определенный оператор совпадает с оператором С, опре-
определенным на gf$ (V) формулой D) п. 1 гл. I. Здесь снова

Компактные многообразия кэлерива типа 87
С — вещественный оператор, и C2 = w, где оператор w
определяется формулой w& — { — l)pa, если а —класс
степени р. Заметим, что на вещественном векторном про-
пространстве конечной размерности может существовать эндо-
эндоморфизм, квадрат которого равен — 1, лишь в том случае,
когда эта размерность четна. Действительно, при по-
помощи такого эндоморфизма ф на этом пространстве
можно ввести структуру комплексного векторного про-
пространства, полагая (| + Щ)х—\х-{-щх для любых ? 6 R,
т] g R. Это замечание в применении к пространствам веще-
вещественных классов когомологий нечетной степени р на много-
многообразии V показывает, что их вещественная размерность
четна. Эта размерность равна размерности hv(V) простран-
пространства ??6Р{У), рассматриваемого как комплексное векторное
пространство. Значит, пр (V) четна при нечетных р. Непо-
Непосредственно из теоремы 3 следует, что при любых р
,b(V); (II)
при этом, как легко заметить, hb> ° = ha>ь для любых an b.
Теорема 4. На компактном многообразии V кэлерова
типа оператор С осуществляет автоморфизм алгебры
e%?(V) с произведением А-
Действительно, пусть а и Ь —два класса когомологий.
Пусть, далее, формы а ? а, E g b таковы, что d a = 0
и dcp = O. Тогда имеем Са = С7(Са) и СЬ = С7(СР)и, сле-
следовательно,
(Са) Л (СЪ) = С1 (Са Л Ср) = С1 (С (а Л Р)) = С (а Л Ь),
так как dc(aAP) = 0.
6. Пусть и — класс когомологий кэлерова типа на ком-
компактном многообразии V комплексной размерности п
с интегрируемой квазикомплексной структурой. Определим
оператор L на пространстве S&(V), полагая /,а = иДа.
Назовем класс когомологий а степени р примитивным
относительно и, если р<яи Ln"p+1a = 0.

Глава IV
Теорема 5. Пусть V —компактное многообразие
кэлерова типа комплексной размерности nun — класс
когомологий кэлерова типа на V. Всякий класс когомо-
логий а степени р на многообразии V можно единствен-
единственным способом представить в виде
2 L%, (III)
P-n)* v '
где ат — примитивные относительно и классы когомоло-
когомологий степеней соответственно р — 2г.
Введем на многообразии V кэлерову структуру, фун-
фундаментальная форма которой лежит в классе и. Возмож-
Возможность представления класса а в виде (III) сразу следует
тогда из аналогичного результата для гармонических
форм, т. е. из следствия 2 теоремы 2 п. 6 гл. II, и из
характеристического свойства примитивных поликовек-
торов, указанного в следствии из теоремы 3 п. 4 гл. I.
Для доказательства единственности предположим, что
мы имеем представление (III) для класса а = 0. Поло-
Положим ar = #ar. Тогда 2 Lrar — 0 и так как аг — прими-
примитивные классы степеней соответственно р — 2г, имеем
Ln"p+2r+1 ar ~ 0. Так как операторы А и L коммути-
коммутируют, левые части этих соотношений —гармонические
формы; значит, из того, что они гомологичны нулю,
следует, что они равны нулю. Но тогда из упомянутых
выше результатов гл. I и II следует, что аг примитивны,
значит, они равны нулю.
Следствие. В предположениях теоремы 5 опера-
оператор Ln~p осуществляет при р < п изоморфизм прост-
пространства sep{V) на sv2n~p(V).
Для доказательства достаточно в выражении (III) заме-
заменить р на 2п — р.
Из определения примитивного класса следует, что
биоднородные компоненты примитивного класса прими-
примитивны. В предположениях теоремы 5 условимся обозна-
обозначать через ё^а'ь (V, и), или просто через ё"а'ъ, простран-
пространство биоднородных примитивных классов когомологий
степени (а, Ь) и через pa-b(V, u), или ра<ь, их комплекс-
комплексную размерность. Теорема 5 утверждает, что простран-
пространство $в (V) является прямой суммой пространств U (?Ра'ь),

Компактные многообразия кэлерова типа 89
где a-[-6 + r<n, и что пространство $@а'ь (V) есть пря-
прямая сумма пространств Ls (&>a~St b~s), где s>(a-|- b — n)*,
s<Ca, s<6. В то же время она показывает, что отобра-
отображение LT пространства е^а'ь на U (е/ь°'ь) при а + Ь + г < п
взаимно однозначно. Отсюда сразу следует, что ядром
отображения L пространства М'°"ь на L (@%;а'ь) является
пространство 1а+ь~п (^п~ь> п~а), сводящееся к 0 при
а + b < п. Одновременно мы получаем, что пространство
S&a+i'b+i- прямая сумма L(^?a>b) и ^a+1-b+1. В част-
частности, отображение L пространства 3@а'Ь в простран-
пространство e%?a+1>b+1 является вложением при а-\-Ь<п, так
что ha' ь<Ла+1'ь+1, если а + Ь<п и, следовательно,
ЛР<ЯР+2 при р<п; точнее, имеем Ла+1> b+1 = Ла' ь +
+ib+i
p р
Пространство ^?(К) есть прямая сумма пространств
//(еГ°а'ь), где а -\-Ь + г<п. Определим операторы * и Л
на пространстве J?? (V), полагая
где af^a>b(K, u), p p
Эти операторы, как и оператор L, зависят от выбора
класса и, тогда как операторы Ра>ъ и С зависят лишь
от квазикомплексной структуры многообразия V.
Теорема 6. Пусть V — многообразие кэлерова типа,
и —класс кэлерова типа на многообразии V и Q — форма
класса и, определяющая на V некоторую кэлерову струк-
структуру. Пусть далее операторы L, А и * определены при
помощи класса и на пространстве Ц? (V) и при помощи
формы Q на множестве дифференциальных форм на
многообразии V. Тогда отображение а—>#а простран-
пространства <§%' (V) на множество гармонических форм на V
устанавливает изоморфизм между этими двумя множе-
множествами, рассматриваемыми как векторные простран-
пространства с операторами РагЬ, С, L, Л, *, w. Этот изомор-

90 Глава IV
физм переводит классы, примитивные относительно
класса и, в примитивные гармонические формы.
Это утверждение является непосредственным следст-
следствием предыдущих результатов этой главы и соответствую-
соответствующих результатов гл. I. Отметим, что все соотношения между
этими операторами, полученные в гл. I и II, остаются
в силе для аналогичных операторов, определенных на
пространстве <gfe (V).
Следствие. Оператор * индуцирует на е%?о>ь(V)
изоморфизм 3@a'b{V) на 3@n~b'n~a(V). Справедливы ра-
равенства
«.а, Ь Оз, а hn~b- п~а _ hn~a' п~ь
7. Если V — ориентируемое компактное многообразие
вещественной размерности т, то всякая форма а степени т
замкнута на V; по теореме Стокса (де Рам, § 5) из того,
что а ~ 0, следует, что \ а = 0, где интеграл берется по
многообразию V; обратное утверждение верно, если
многообразие V связно. Пусть а —класс ко гомологии
размерности т; через /(а) обозначим величину интеграла
\ а для а ?а, которая, очевидно, не зависит от выбора
а б а; если а —однородный класс когомологий степени,
не равной т, то положим /(а) = 0 по определению. Рас-
Распространим / по линейности на все пространство e%?(V).
Часто пишут /(а, Ь) вместо /(аДЬ). Если К —многооб-
—многообразие с квазикомплексной структурой, то очевидно, что
\ Са = \ а для любой формы а степени т, откуда сле-
следует, что на многообразии кэлерова типа /(Са) = /(а).
Теорема 7. В предположениях теоремы 6 имеем
/(a, *b) = /(b, *а); /(а, *а) > 0 при афО.
Из определения / следует, что /(а, *Ь) = 0, если а
и b — однородные классы разных степеней, значит, при
доказательстве можно ограничиться случаем, когда а и Ь —

Компактные многообразия кэлерова типа 91
однородные классы одной и той же степени. Положим
а = #а, Р = НЪ. В силу теоремы 6 имеем *а = #(*а),
* Р = Н (* Ь). Доказываемая теорема следует тогда из
того, что
для любых форм аир одинаковых степеней и что форма
а Л * а равна нулю только тогда, когда а = 0 (де Рам, § 24).
Следствие. В тех же предположениях пусть а
и Ь — два класса когомологий одной и той же степени р,
заданные своими каноническими представлениями
а== 2 Lrar, b= S ?rbr,
r 2s (P-n)+ r 5s (p-n)+
где ar u br — примитивные классы степени р — 2г при
любом г. Положим
V(p+D+r
Л(а,Ь)= 2 (-1) 2 цг/(и-^2'ЛагЛЬг),
r2s(p-n)+
где цг — произвольные положительные константы. Тогда
А (а, Ь) — билинейная форма на пространстве g№v{V),
обладающая следующими свойствами:
А (Ь, а) = (- 1 )М (а, Ь), Л (Са, СЬ) = Л (а, Ь),
А (а, СЬ) = Л (Ь, Са), Л (а, Са) > 0 при а # 0.
Первое соотношение очевидно; второе следует из тео-
теоремы 4. С другой стороны, непосредственно из опреде-
определения оператора * следует, что
Л (а, СЬ) = ^ {n~prl+r)] iir I (U ar, * U br),
r
откуда при помощи теоремы 7 получаются два послед-
последних соотношения.
Наконец, если V — компактное многообразие четной
вещественной размерности 2я, то на пространстве effin(V)
можно рассмотреть билинейную форму /(а, Ь), которая
будет симметрической или кососимметрической, в зависи-
зависимости от того, четно или нечетно п. Эта форма веще-

92 Глава IV
ственна, когда классы аи b вещественны. Если п четно,
то, как известно, в пространстве е%/П(У) можно выбрать
базис (а^) из вещественных форм таким образом, что
/ (ац, av) = 0 при \i ф v. Обозначим через т' (соответ-
(соответственно через т") число значений \i, при которых
/(ац, ац) > 0 (соответственно < 0); т' и т" не за-
зависят от выбора базиса в силу закона инерции. Будем
говорить, что симметрическая билинейная форма /(а, Ь)
имеет тип (т', т") и индекс инерции т' — т".
Теорема 8 («Теорема Ходжа»). Пусть V — многооб-
многообразие кэлерова типа четной комплексной размерности п.
Тогда симметрическая билинейная форма I (a, b) на про-
пространстве 3@n{V) невырожденна и ее индекс инерции
равен
¦ »(Ю = 2 (-1)°л°>ьоо= 2 (-i)aha'b(V).
а, Ь а=ЪB)
Действительно, пространство е%?п(К) является прямой
суммой пространств Ьг(оР'а"ь), где a + b + 2r — n; для
а.(-Ьг(№а'b), a + b-j-2r — n, имеем, в силу определения
оператора *, * а = /va, где
v = (а + Ь) (а + Ь + 1) + а - b = л2 + 2а - Аг (п - г),
причем это равенство не зависит от четности п. При
четном п получаем *а = (—1)°а. Далее мы будем пред-
предполагать, что п четно. Обозначим через $в' (соответст-
(соответственно <$?") сумму пространств LrCi°"b), для которых
a + b-\-2r = n, asO (mod 2) [соответственно a + b + 2r = n,
as 1 (mod2)]. Если а'6^?', а"б<^?", то *а' = а',
* а = — а". Из теоремы 7 и из того, что форма / (а, Ь)
симметрична на e%?n(V), следует, что /(а', а") = 0.
Эта же теорема показывает, что если а' и а", кроме
того, вещественны и отличны от нуля, то 7(а', а')>0
и / (а", а") < 0. Пространство S@n (У) является прямой
суммой пространств J%?' и ?16", которые вместе с каждой
формой содержат комплексно сопряженную. В простран-
пространстве $@п(У) можно выбрать вещественный базис, состоя-
состоящий из базиса в J?>' и базиса в &в"¦ Если т! и т" —
размерности ?№' и $?", то форма 7(а,Ь) имеет тип

Компактные многообразия кэлерова типа 93
(т', т"). Так как т' + т" — размерность пространства
e&"(V), форма /(а, Ь) невырожденна (это следует также
из известного «принципа двойственности Пуанкаре»).
Далее, т' задается формулой •
а+Ь <п а+Ь<п
= 2 /г°'Ь- 2 ha'\
а=Ь=0 B) а=ЬН1 B)
a-j-b<n a-j-b<n-2
Аналогичная формула имеет место для т", в ней сумми-
суммирование ведется по й s 6 = 1 B) вместо asi = 0B)
и наоборот. В силу следствия из теоремы 6 формулу
для т" можно записать также в виде
()
a+b$:»—2
откуда получается формула теоремы 8.
Заметим, что результаты п. 5, 6, 7 дают нам неко-
некоторое число условий, необходимых для того, чтобы ком-
компактное многообразие с комплексной структурой было
многообразием кэлерова типа. Например, в силу следст-
следствия из теоремы 5 для этого необходимо, чтобы сущест-
существовал класс и степени 2, такой, что отображение
а-»и"'рЛа определяет изоморфизм пространства ?№v
на е%?2П"р, если р < я, где п — комплексная размерность
многообразия. Это условие чисто топологическое, оно не
использует комплексной структуры. Необходимым при-
признаком является также четность hp при всех нечетных р.
Другие необходимые условия, уже опирающиеся на ком-
комплексную структуру, получаются, например, при помощи
теорем 3, 4 и следствия из теоремы 6.
8. До сих пор мы употребляли когомологии исклю-
исключительно с комплексными или вещественными коэффици-
коэффициентами, однако, важную роль, особенно в применениях
изложенной здесь теории к алгебраической геометрии,

§4 Глава IV
играют также когомологии с целыми и рациональными
коэффициентами. Коротко покажем, как можно ввести
эти классические понятия, оставаясь на точке зрения,
которой мы здесь придерживались 1). Пусть V — многооб-
многообразие вещественной размерности т. Класс когомологии
можно определить для потоков на многообразии V (де
Рам, § 18 и 23). Это расширение не меняет пространств
когомологии, так как всякий замкнутый поток гомологи-
гомологичен дифференциальной форме, и всякая форма, гомоло-
гомологичная нулю как поток, гомологична нулю также и как
форма (де Рам, § 18). Цепи можно рассматривать как
частный случай потоков (де Рам, § 6). Аналогичными рас-
рассуждениями можно доказать, что когомологии, опреде-
определенные при помощи цепей, не отличаются от когомоло-
когомологии, определенных при помощи потоков или форм (де Рам,
§ 23). Все это тривиально переносится на формы и потоки
с комплексными значениями и на цепи с комплексными
коэффициентами. Назовем класс когомологии целочислен-
целочисленным (соответственно, рациональным), если он содержит
поток, являющийся цепью с целыми (соответственно,
рациональными) коэффициентами. Можно показать, что
произведение а Л b двух целочисленных классов снова
целочисленный класс. Другими словами, целочисленные
классы образуют подкольцо кольца когомологии $& (V).
То же самое имеет место для рациональных классов.
Назовем оператор на пространстве gffi (V) рациональным,
если он преобразует всякий рациональный класс в рацио-
рациональный. Например, если и — рациональный класс, то
оператор а—>и Л а рационален.
Ограничимся случаем, когда многообразие V ком-
компактно. Тогда всякую цепь можно записать в виде конеч-
конечной суммы 2 ?v Cv, где Cv—цепи с целыми коэффициен-
коэффициентами и где коэффициенты ?v линейно независимы над
полем рациональных чисел Q. Для того чтобы такая цепь
была замкнута, необходимо и достаточно, чтобы была
замкнута каждая из цепей Cv. Значит, пространство SW (Ю
порождается рациональными классами. Ясно также, что
*) Короткое изложение несколько иного характера читатель мо-
может найти в моей статье Sur les theoremes de de Rham, Comm,
Math. Helv,, 26 A952), 119—145.

Компактные многообразия квлерова типа. §5
если рациональные классы линейно независимы над
полем Q, то они независимы и над полями R и С. Сле-
Следовательно, рациональные классы степени р образуют при
каждом р векторное пространство размерности ИР (V) над по-
полем Q, и базис этого пространства является базисом прост- ¦
ранства S&P(V). над полем С. Можно показать, что цело-
целочисленные классы степени р образуют дискретную под-
подгруппу в е%р (V), а значит, свободную абелеву группу
ранга hv(V).
Пусть а — замкнутая дифференциальная форма степени
р; периодом формы а называется значение любого интег-
интеграла а по замкнутой целочисленной цепи размерности р.
В частности, если степень а равна т и многообразие V
ориентируемо, то интеграл а по многообразию V является
периодом а. Доказывается, что замкнутая форма принад-
принадлежит целочисленному классу тогда и только тогда,
когда все ее периоды целые числа. Например, если мно-
многообразие ориентируемо и а — целочисленный класс сте-
степени т, то число /(а) —целое. Из предыдущих резуль-
результатов следует, что если ф — отображение (как всегда,
бесконечно дифференцируемое) компактного многообра-
многообразия W в компактное многообразие V и если а — замкну-
замкнутая форма из целочисленного класса на многообразии V,
то ее прообраз ф*а принадлежит целочисленному классу
на многообразии W. Аналогичные результаты имеют место
для рациональных классов.
Назовем многообразием Ходжа всякое компактное
многообразие с интегрируемой квазикомплексной структу-
структурой, на котором существует рациональный класс когомо-
логий кэлерова типа. Всякое компактное многообразие V
кэлерова типа, для которого h^(V) — \, является много-
многообразием Ходжа. Действительно, пусть и —некоторый
класс кэлерова типа на таком многообразии V. Ввиду
того что Л2(К) = 1, всякий рациональный класс степени 2
можно записать в виде tu, где t?R; он является клас-
классом кэлерова типа при t > 0. Значит, если и' — отличный
от нуля рациональный класс степени 2, то и' или —и' —
рациональный класс кэлерова типа. В частности, комплекс-
комплексное проективное пространство Рп представляет собой
многообразие Ходжа. Действительно, хорошо известно,
что Л2 (Рп) — 1, Это можно доказать, например, исполь-

96 _ Глава IV ^
зуя «клеточное» разбиение пространства при помощи убы-
убывающей последовательности линейных подмногообразий
размерности соответственно я— 1, я — 2, .... 0. Из резуль-
результатов гл. III следует, что всякое компактное многообра-
многообразие с комплексной структурой, допускающее голоморф-
голоморфное и локальное бирегулярное отображение в простран-
пространство Рп, является многообразием Ходжа. Этим свойством
обладает, например, всякое алгебраическое подмногообразие
пространства Р" без особых точек. Обратно, в силу важной
теоремы Кодаиры*) всякое многообразие Ходжа с комплекс-
комплексной структурой изоморфно некоторому подмногообразию
проективного пространства. Из цитированных ранее резуль-
результатов (ссылки на стр. 36 и 62) следует, что всякое
многообразие Ходжа изоморфно алгебраическому под-
подмногообразию без особых точек комплексного проектив-
проективного пространства.
Мы докажем следующую теорему о многообразиях
Ходжа, являющуюся непосредственным следствием резуль-
результатов этой главы.
Теорема 9. Пусть V — многообразие Ходжа и и —
рациональный класс когомологий кэлерова типа на V.
Пусть, далее, при помощи класса и на пространстве
36'НУ) определены операторы L, А и пусть &*р —прост-
—пространства примитивных классов степени р, 0<р<я.
Тогда операторы L, Л и операторы проектирования,
связанные с разложением пространства Зв (V) в прямую
сумму пространств Lr(alip), 0<p -\-г<Сп, рациональны,
а билинейная форма А (а.. Ь), определенная в следствии
из теоремы 7, принимает рациональные значения при
рациональных а и Ъ, если константы цг выбраны рацио-
рациональными.
Ясно, что //—рациональный оператор при любых г.
Ввиду того что &"р — ядро отображения Ln"p+1 простран-
пространства q№v в пространство е%*2п~р*2, оно является рацио-
^Kodaira K-, On Kahler varieties of restricted type (an
intrinsic characterization of algebraic varieties), Ann. Math., 60
A954), 28—48.
(См. также книгу Чжэнь Шэн-шэня «Комплексные многообра-
многообразия», М., 1961.—Прим. перев.)

Компактные многообразия кэлерова типа 97
нальным подпространством пространства <§/?/Р (т. е. оно поро-
порождается рациональными классами). Значит, тем же свой-
свойством обладают пространства Lr(aP'p), а так как про-
пространство J?> (V) является их прямой суммой, то по тео-
теореме 5 п. 6 в е%? (V) можно выбрать базис, состоящий
из рациональных классов, каждый из которых лежит
в одном из этих пространств. Отсюда следует, что лежа-
лежащие в U (&>р) компоненты всякого рационального класса
рациональны. Поскольку U — рациональный оператор,
осуществляющий изоморфное отображение рационального
пространства 3^ на U фр) при р -\- г < п, обратный изо-
изоморфизм пространства U (&v) на ^р также рационален.
Из определения оператора Л сразу следует, что он раци-
рационален на каждом пространстве Lr(^p), а значит,
и на пространстве 3&(V). Наконец, утверждение отно-
относительно формы А (а, Ь) сразу следует из предыдущих
результатов и из того факта, что / (а) — рациональное
число, если класс а рационален.
В частности, рассмотрим пространство Е s= J??2P+1 (V, R)
вещественных классов когомологии нечетной степени 2р 4-1,
где 0 < р < п. Пусть G — подгруппа Е, состоящая из
целочисленных классов. Ее ранг равен h2P*l(V), т. е.
вещественной размерности пространства Е. Оператор,
индуцированный на Е оператором С, удовлетворяет соот-
соотношению С2 =—1, где 1 — тождественный автоморфизм;
значит, в пространстве Е можно ввести структуру ком-
комплексного векторного пространства, полагая /а = Са для
любого а?Е. Тогда E/G — комплексный тор. В терминах,
которые будут введены в гл. VI, результаты теоремы 9
и следствия из теоремы 7 относительно Е означают, что
А (а, Ь) — вещественная часть невырожденной римановой
формы для E/G, откуда вытекает, что E/G — абелево
многообразие. При р = 0 так определенное абелево
многообразие называется многообразием Пикара для
многообразия V; при р = п—1 — многообразием Альба-
незе для V.
Андре Вейль

Глава V
ФУНКЦИИ ПЕРЕХОДА И ДИВИЗОРЫ
1. Пусть (Xt)ie/ — некоторое покрытие множества Е\
словимся для всякой части J множества / считать
= f] ^i- в том случае, когда J = {ilt ... , im}, будем
писать также Хн lm вместо Xj. Совокупность N
конечных частей J множества /, таких, что Xj не пусто,
называется нервом покрытия (Xt). Пусть G — некоторая
группа. Совокупность отображений (/iH)im}e№ таких, что
всякой паре (цх), удовлетворяющей условию {i, x}?N,
соответствует отображение Дн множества Х1И в группу G,
причем отображение fa совпадает с отображением Ди/иа,
на множестве Х1ка, всякий раз, когда {i, х, k}?N, назовем
системой функций перехода относительно покрытия (X,,)
множества Е и группы G. Последнее условие при
i = и = Я влечет за собой равенство fu = е для любых ц
где через е обозначен единичный элемент группы G
(точнее, функция /и равна постоянной и переводит Xt в е).
Полагая i = А., получаем, что /Н1 = /^ при {i, x} С N. Пример
системы функций перехода мы получим, полагая flK = e
при (i, x}6jV. Если gt при каждом i дает отображение
множества Х1 в G и (Дн)— некоторая система функций
перехода, то система (Д'и), состоящая из отображений
/i'« = gi/ixgx1» также является системой функций перехода.
В том случае когда G — коммутативная группа, совокуп-
совокупность систем функций перехода относительно покрытия
(Xt) со значениями в группе G можно рассматривать как
коммутативную группу, считая произведением систем
(Д*) и (Дн) систему (ДнД'и).
Пусть (Yx)^l — покрытие множества Е более мелкое,
чем (Xt). Это означает, что существует такое отображе-
отображение ф множества L в /, что КхСХф(х) для всех X.
Всякая система функций перехода (Ди) относительно
покрытия (Xt) определяет аналогичную систему (/,,(*,), ф(м,))

^ Функции перехода и дивизоры §9
относительно покрытия (У*,). Ее называют производной
первой системы относительно ф.
Часто в качестве (Xt) рассматривают открытое покрытие
некоторого многообразия V, а в качестве G — группу Ли;>
при этом требуют, чтобы функции перехода Дн были
дифференцируемыми, а в случае, когда V и G снабжены
комплексной структурой, голоморфными функциями.
Системы функций перехода можно определить также
следующим образом. Пусть опять (Xt) — покрытие множе-
множества Е. Каждой паре (i, и), такой, что {i, и} принадлежит
нерву N этого покрытия, поставим в соответствие ото-
отображение Дн множества Х1Н в группу G. Пусть Z —
часть произведения / х Е х G, состоящая из элементов
(i, х, s), в которых x?Xv. Введем следующее отношение R
между элементами ? = (i, x, s) и т| = (и, у, t) множества Z:
Для того чтобы R было отношением эквивалентности в Z,
необходимо и достаточно, чтобы (Ди) была системой функ-
функций перехода. В этом случае фактор-множество Z/R
множества Z по отношению эквивалентности R назы-
называется главной расслоенной системой с базой Е, опре-
определяемой системой (Дн). Проекция 2 на Е порождает
отображение я множества Z/R на Е, которое называется
канонической проекцией Z/R на Е.
Предположим, в частности, что Е — топологическое
пространство, G — топологическая группа, (Xt) — открытое
покрытие и функции Ди непрерывны. Снабдим / дискрет-
дискретной топологией. Тогда Z — открытая часть пространства
/ х Е х G, и при каждом i множество Zt точек Z, имею-
имеющих i своей проекцией на /, является открытым под-
подмножеством Z, гомеоморфным Xt v G. Далее, отношение R
открыто (Бурбаки, Общая топология, гл. I, § 9, п. 6).
Это означает, что насыщение Q' относительно R всякого
открытого множества Q в Z открыто. Множество Q
является объединением открытых множеств Qt = Q f] Zl}
поэтому достаточно доказать, что насыщение fi[ множе-
множества fii открыто, а для этого нужно убедиться в том,
что каждое из множеств Q[x — Q,[ f] Zx открыто. Множе-
Множество Q^ есть не что иное, как образ множества
7*

100 Глава V
при отображении (i, x, s)—>(x, x,fM(x)s) множества
{i} х Хм х G на множество {и} х XlJt x G. Эти последние
множества открыты соответственно в Zt и Z* и рассматри-
рассматриваемое отображение является, очевидно, гомеоморфизмом,
откуда следует доказываемый результат.
В указанных выше условиях главная расслоенная
система Z/R, снабженная фактор-топологией топологии
пространства Z по отношению R, называется главным
расслоенным пространством, определенным на базе Е
при помощи системы (Дн)- Так как отношение R открыто,
естественное отображение пространства Z на Z/R инду-
индуцирует на каждом Zt (см. Бурбаки, там же, предложе-
предложение 6) гомеоморфизм Zt на его образ в Z/R, являющийся
открытой частью пространства Z/R. Отсюда следует, что
пространство Z/R хаусдорфово, если хаусдорфовы ?иб1
Лемма 1. Пусть (Xt) — покрытие хаусдорфова связ-
связного и односвязного пространства. Е связными откры-
открытыми множествами XL. Пусть G — некоторая группа
и (Ди) — система постоянных функций перехода со значе-
значениями в группе G относительно покрытия (XJ. Тогда
существуют элементы gt группы G, такие, что flK = gigx1
на множестве Х1И, если только Хш Ф 0.
Снабдив G дискретной топологией, рассмотрим главное
расслоенное пространство Z/R и его каноническую
проекцию я на пространство Е. Множество я(Х1) есть
не что иное, как образ множества Zt в пространстве Z/R;
оно является объединением образов Yls в пространстве
Z/R множеств {ijxXtXls}, где s?G; эти множества
открыты в Z, так как группа G дискретна. Далее, есте-
естественные отображения множеств {i} х X,, х {s} на Yl: s
являются гомеоморфизмами. Условимся называть множе-
множество У в пространстве Z/R (Х^-связным, если оно содер-
содержит всякое множество Ylt s, имеющее с ним непустое
пересечение. Ясно, что всякое пересечение (Х^-связных
частей пространства Z/R является (Х^-связным множе-
множеством. Если Y — (Х,;)-связная часть пространства Z/R,
то множество я'1 (Xt) f] Y является объединением мно-
множеств YblS, содержащихся в Y. Следовательно, множе-
множество У вместе с отображением в пространство Е, индуци-
индуцированным на У проекцией я, представляет собой накрытие

Функции перехода и дивизоры 101
пространства Е. Предположим, что множество Y является
объединением двух непересекающихся открытых множеств
У и Y". Если множество У1)8 содержится в Y, то оно
является объединением непересекающихся открытых
множеств Kl]S П У, Ylt s f| Y"; так как FljS гомеоморфно
множеству Хь и, следовательно, в силу сделанного пред-
предположения связно, то одно из двух множеств, на которые
разбивается Ft, s, пусто. Другими словами, Ft> s содержится
в одном из множеств У, Y" и не пересекается с другим.
Следовательно, множества У и Y" (Х,,)-связны. Отсюда
сразу следует, что если yo$Z/R, то пересечение Уо всех
(Х^-связных частей пространства Z/R, содержащих
точку у0, является связным накрытием пространства Е.
Но, по предположению, пространство Е односвязно.
Значит, по определению, проекция на пространство Е
всякого связного накрытия Е является гомеоморфизмом.
Поэтому л индуцирует на Yg гомеоморфизм на про-
пространство Е. Следовательно, множество л (Xt) f~) Уо,
которое, как было показано, является объединением
множеств Ylt s, содержащихся в Yo, сводится к одному
из этих множеств. Обозначим его через Yligl. Тогда,
если х?Х1К, то Yo содержит образы в пространстве Z/R
точек (i, х, gt) и (х, х, gy) множества Z. Но в Уо имеется
лишь одна точка, проектирующаяся в точку х, значит,
образы указанных точек должны совпадать, т. е.
gn = fm(x)gi и f^(x)=gng:1-
2. Пусть заданы многообразие V вещественной размер-»
ности т и его' открытое покрытие (X,,). Известно, что
всегда существует открытое покрытие (?/х) многообразия V,
более мелкое, чем (Xt), локально конечное и (дифференци-
(дифференцируемо) простое. Это означает, что всякое непустое пере-
пересечение Окх ...km (дифференцируемо) гомеоморфно выпукло-
выпуклому открытому множеству в пространстве Rm (доказатель-
(доказательство см. в статье, цитированной на стр. 94). Если {U%) —
такое покрытие, то можно установить изоморфизм между
«коциклами» его нерва N и классами когомологий на
многообразии V. В случае классов степени 2, который
является для нас наиболее важным, этот^ изоморфизм
определяется следующим образом. Пусть (pj) — разбиение
единицы, подчиненное покрытию {11%) (де Рам, стр. 22^и 25).

102 Глава V
Пусть а —замкнутая форма степени 2 на многообразии V.
В силу предположений относительно покрытия (Ui),
в каждом U% можно записать а в виде а = d$%, где через
ря, обозначена форма степени 1 в 11% (см., например,
де Рам, стр. 136). Всякий раз, когда {%, \i}?N, имеем
йРя, = фц в Uxy,, т. е. (Рц — Ра,) — замкнутая форма в U^.
Значит, в силу сделанного предположения можно запи-
записать Рц — fa = dfx)X, где Дд —функция в ?/X|i. Но тогда,
если {X, ii, v}?N, то d(f^- f%v + fXll) = 0 в ?/X(lv. Послед-
Последнее множество связно, поэтому можно положить
a*nv = /nv — hv + hn, A)
где fl^v —некоторая константа. Это соотношение спра-
справедливо во всех точках множества f/xnv- Можно предпо-
предположить, что функции /хц выбраны таким образом, что
Ал = — hp. при {К, ii}?N, в частности, /и = 0 при всех Я,.
Тогда система (a^v) кососимметрична по индексам %, ц, v.
Ясно, что (axpiv) — коцикл нерва N. Это означает, что для
всех {k, fx, v, q} С ^
Обратно, предположим, что задан некоторый коцикл (аяцу)-
Для всякой пары (к, р), такой, что {X, ц} ? N, положим
h^ = 2 аяцо/?о, гДе суммирование ведется по всем q, та-
таким, что {q, %,h)?N. Далее, при любом % положим Рх =
= — 2j00dfxo, где суммирование ведется по всем q, таким,
что {qA} С N. Непосредственно проверяется, что во вся-
всякой точке множества О\^ (если оно не пусто) выполняется
соотношение A), а во всякой точке множества и%^ (если
оно не пусто) имеет место равенство df%v. = Рц — р\. Сле-
Следовательно, формы сфа, и ^Рц совпадают на множестве
f/хц при любых % я ц, поэтому Существует замкнутая
форма а степени 2 на многообразии V, совпадающая
с dp*, в 11% при любом к.
Если a ~ 0, то существует форма р степени 1 на
многообразии V, такая, что a — d^; значит, в принятых
выше обозначениях d (р\ — Р) = 0 на множестве 1\ при
любом X. Это можно переписать так: ря, = Р + dg% на

Функции перехода и дивизоры '103
множестве JJ%. Следовательно, при {X,\i}$N функция
Дм — gn + gx равна константе Ьхц на множестве Ui,^. Если
выбирать Дц кососимметрическими по индексам % и \х,
то тем же свойством будут обладать Ьхц. Тогда соотноше-
соотношение A) при {%, ц, v}?N примет вид
Это означает, что коцикл (a^v) является кограницей
«коцепи» (&?ф,). Коцикл называется гомологичным нулю,
если он является кограницей некоторой коцепи. Обратно,
предположим, что нам задан некоторый коцикл (а^),
гомологичный нулю. Положим /хц = /хц — *хц на множе-
множестве f/хц и Дц = 0 вне множества ?/хц. Положим g% =
— — V jOq/xq, где суммирование снова ведется по тем Q,
для которых {q, A,} g Л/. Можно проверить, что функция g'%
дифференцируема на множестве U\ и что f^ — gli — gL
на множестве f/хц, откуда следует, что Ра, — dg'\ и рм — dg^
совпадают на ?/а,ц. Значит, существует форма р', совпа-
совпадающая с Ря, — dgx на f/x при всех X. Но тогда а = ф'
на каждом множестве U%, а, значит, и на всем многооб-
многообразии V, т. е. форма а гомологична нулю. Итак, для
того чтобы форма а была гомологична нулю, необходимо
и достаточно, чтобы этим свойством обладал коцикл (fl^nv).
В результате установлен изоморфизм (канонический, если
задано покрытие (Ux)) между группой когомологий сте-
степени 2 на многообразии V и группой классов коциклов
(a^nv) нерва N с комплексными коэффициентами. Далее
ясно, что вещественным формам соответствуют классы
коциклов, содержащие вещественные коциклы. Кроме
того, можно показать (см. статью, цитированную на
стр. 94), что класс когомологий на многообразии V
является целочисленным (соответственно, рациональным)
тогда и только тогда, когда ему соответствует класс
коциклов нерва N, содержащий коцикл с целыми (соответ-
(соответственно, рациональными) значениями.
Нам понадобятся аналогичные результаты для классов
степени 1, которые получаются проще. Пусть а —форма
степени 1 на многообразии V. На каждом множестве Ux
можно записать а в виде a = dfx, где f^ —некоторая
функция на Ux. Тогда /д — fx = axv. на множестве

104 Глава V
при {к, \i}?Ny где а^ц — константы, удовлетворяющие
соотношению a^v = ^Лц + Я(п» или a)XV—axv + axlx = 0, при
{%, ц, v} ? N. Эти соотношения означают, что (а^н) — коцикл
нерва Уу. Они означают также, что мы имеем систему
постоянных функций перехода относительно покрытия (U%)
со значениями в аддитивной группе С. Обратно, если
задан такой коцикл, положим f%— — 2я^оРо> гДе сумми-
0
рование ведется по всем q, таким, что {q, %}?N. На
множестве U^ имеем а^ = /ц — f%, откуда df% = df^, таким
образом, существует замкнутая форма а степени 1 на
многообразии V, совпадающая с df% на множестве Ux
при любом К. Если a = df, то функция /я,— / равна кон-
константе Ьх на множестве 1!% и а^ц = йц— Ь%. Это означает,
что коцикл (а%1х) — кограница коцепи (Ь^) и, стало быть,
гомологичен нулю. Обратно, пусть нам задан такой
коцикл. Тогда функции f% — b% и /ц —Ьц совпадают на
множестве 11%^, и, значит, существует функция /, совпа-
совпадающая с fx — bx на множестве U% при любом %. Тогда
a = d/. Итак, установлен изоморфизм между клас-
классами когомологий степени 1 на многообразии V и клас-
классами коциклов (а^ц) нерва N. Лемма 1 п. 1 показывает,
что если многообразие V односвязно, всякий коцикл
(алм) нерва N гомологичен нулю. Значит (как хорошо
известно), ^$?1A/) = 0 для всякого односвязного много-
многообразия.
3. Перейдем теперь к рассмотрению систем функций
перехода со значениями в мультипликативной группе С*,
состоящей из комплексных чисел, отличных от нуля.
Функции перехода будем считать дифференцируе-
дифференцируемыми, а в случае, когда многообразие V снабжено ком-
комплексной структурой, голоморфными.
Пусть F — функция (как всегда, дифференцируемая) со
значениями в группе С*, заданная в открытой односвяз-
ной части U многообразия V. Тогда о» = dF/F — замкнутая
форма степени 1 на множестве U; значит, ее можно пред-
представить в виде o» = d/, где / — некоторая функция на U.
Имеем d(e-fF) = O; добавляя к / подходящую константу,
мы можем считать, что F = ef, т. е. f = \og(F). Функция f
определена однозначно с точностью до аддитивной кон-

Функции перехода и дивизоры 105
станты вида 2ят с целым п. Значит, вместо dF/F можно
писать dlog^).
Пусть теперь (F^) — система функций перехода со
значениями в группе С* относительно простого покрытия
A/ь) многообразия V. Пусть N — нерв покрытия (Ux)-
Положим
при {X, [х}?ЛЛ Так же как и в п. 2, для каждого X можно
выбрать форму % степени 1, определенную на множестве
Ux таким образом, что соя|л = % — к\х на множестве
Для этого достаточно, например, положить т]^ = 2 Pqq
где суммирование ведется по всем q, таким, что {q, X} g N,
и считать, например, a>xQ равной нулю вне множества
Uxq- Всякая система форм (%), определенных соответ-'
ственно на множествах Ux и удовлетворяющих на U^
соотношениям % — тц = (Оа.ц, называется связностью для
системы функций перехода (/^ц). Всякая другая связность
для той же системы, очевидно, имеет вид (т]я, + $), где Р —
какая-либо форма степени 1 на многообразии V. Если
(iu) — связность для системы (/*яц), то форма dr\x совпадает
с d% на множестве V^ при любых %, [i. Значит, суще-
существует форма а степени 2 на многообразии V, совпадаю-
совпадающая с dr\x на множестве Ux при любом X. Эта форма
называется формой кривизны связности (т^). Из преды-
предыдущих результатов следует, что класс когомологий а = Cl (а)
определяется системой (Т7^) единственным образом.
Класс а называется классом кривизны системы (F^I).
В тех же обозначениях, что и выше, пусть для каждой
пары (X, ц), такой, что {X, н-}?Л/, функция Дц имеет вид
Bл/) logOF^n) на множестве U^. Ясно, что функции /^
можно выбрать кососимметрическими относительно индек-
х) При помощи связности (г)^) в расслоенном пространстве с ба-
базой V, слоем С* и системой функций перехода (F^) определяется
параллельный перенос слоя вдоль кривой на V. Параллельный пере-
перенос слоя в расслоенном пространстве аналогичен параллельному
переносу вектора на поверхности в трехмерном евклидовом простран-
пространстве (Раше веки й П. К., Курс дифференциальной геометрии,
М., 1950, гл. VII, § 86, 87). В последнем случае можно считать, что
мы имеем дело с расслоенным пространством, базой которого является

106 Глава V
сов к, \i. Поскольку (Fxn) — система функций перехода,
имеем
Дп> — hv + /я.ц = a*,nv, B)
где в правой части стоит целое число. Значит, (^)
целочисленный коцикл. Если (%), как и выше, связность
для системы (/^ц). то d/хц = % — iu на множествах U^
при {A.,jj.}?N. Значит, если а —форма кривизны связно-
связности (%), то из п. 2 следует, что а = Cl (a) — класс кого-
мологий, соответствующий классу коцикла (a^nv). а по-
потому это целочисленный класс.
рассматриваемая поверхность, а слоем — касательное пространство
в точке. Таким же способом можно связать расслоенное простран-
пространство с произвольным дифференцируемым многообразием. Параллель-
Параллельный перенос слоя вдоль кривой на базе является линейным пре-
преобразованием слоя в начальной точке кривой в слой в конечной
точке. Эти преобразования должны удовлетворять естественному
закону композиции, если перенос производится по двум кривым,
одна из которых является продолжением другой. Заметим, что, как
н в случае двумерной поверхности, результат параллельного пере-
перенесения, вообще говоря, зависит не только от начала н конца кри-
кривой, но и от кривой в целом. Параллельный перенос касательного
пространства на дифференцируемом многообразии, о котором шла
речь выше, задает линейную связность. Если многообразие снабжено
структурой риманова пространства, то на касательных пространствах
индуцируется структура евклидовых пространств, и в результате мы
приходим к расслоенному пространству с евклидовым пространством
в качестве слоя. Параллельный перенос в этом случае должен быть
ортогональным преобразованием, и мы приходим к понятию евклидо-
евклидовой связности. На римановом пространстве евклидова связность
не единственна, однако существует некоторая каноническая евкли-
евклидова связность, называемая римановой связностью (связность без
кручения), которая уже единственна. Чтобы охватить эти два случая
единой схемой, удобно рассматривать в качестве слоя вместо каса-
касательных пространств совокупности соответственно линейных и орто-
нормированиых реперов в них. Подобно тому, как в случае двумер-
двумерной поверхности с параллельным переносом связана полная кривиз-
кривизна, связность в расслоенном пространстве индуцирует форму кри-
кривизны. Однако в настоящей книге геометрический смысл связности
и формы кривизны не выясняется. Читатель, интересующийся этой
стороной вопроса, найдет ее подробное освещение в книгах:
Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ,
М., 1955: Яно К. и БохнерС, Кривизна и числа Бетти, М., 1957;
Номидзу К., Группы Ли н дифференциальная геометрия, М., 1960;
Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий,
М., 1960; Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, М., 1961.
— Прим. перге.

Функции перехода и дивизоры 107
Обратно, пусть а —замкнутая форма степени 2 из
целочисленного класса на многообразии V. В силу п. 2
существует целочисленный коцикл (аяду) нерва N, класс
которого соответствует классу формы а. Так же, как
в п. 2, можно сконструировать функции Дц, определенные
соответственно на множествах 1]%^, и удовлетворяющие
соотношению B), а также формы %, определенные соот-
соответственно на множествах V% и такие, что dfm = % — т^.
Тогда форма а', совпадающая с dx\% на множествах V%
при всех %, гомологична форме а, и поэтому может быть
записана в виде a + d|3; таким образом, если заменить
*U на 1U — P при каждом К, то будет выполняться равен-
равенство dr\x = a. В этих условиях ясно, что функции
^Чц = е(/\ц) образуют систему функций перехода со значе-
значениями в С* для покрытия @).), (т^) — связность для этой
системы и а —ее форма кривизны. Отметим, что для
заданного коцикла (a^v) можно выбрать а, /яц и %
с вещественными значениями; функции (F^) принимают
тогда значения в мультипликативной группе E = e(R)
комплексных чисел, по модулю равных I.
Наконец, пусть (Хь) — открытое покрытие многообра-
многообразия V, не обязательно простое. Пусть (/•"„,) — система
функций перехода относительно покрытия (Л\) со значе-
значениями в С*. Систему форм (rit), определенных соответ-
соответственно на множествах X,. и удовлетворяющих условию
^#Ч C)
на множестве Х1Ху если оно не пусто, также назовем
связностью для системы (Fiyi), а форму а, совпадающую
в этих условиях с dt)! на множестве Xi при всех i, назо-
назовем формой кривизны этой связности. Существует простое
покрытие (U),), более мелкое, чем покрытие (Л\), т. е.
такое, что U% С Х^) при всех % для надлежащим образом
выбранного ф. Тогда (Ар(Ь), ф(и))~ система функций пере-
перехода для покрытия Фх), совокупность (т1Ф№)) — связность
для этой системы, и а —ее форма кривизны. Из преды-
предыдущего следует, что а принадлежит целочисленному классу.
Наряду с другими результатами мы доказали следую-
следующую лемму:

108 Глава V
Лемма 2. Для того чтобы замкнутая форма сте-
степени 2 на многообразии V принадлежала целочисленному
классу, необходимо и достаточно, чтобы она была фор-
формой кривизны связности для системы функций перехода
со значениями в С*.
Для классов гомологии степени 2 и дифференцируемых
отображений можно легко получить элементарный и хорошо
известный результат теории гомологии, в силу которого
прообраз при непрерывном отображении целочисленного
класса является целочисленным классом. Действительно,
пусть ф —отображение (как всегда, дифференцируемое)
многообразия V в многообразие W, и а — замкнутая форма
степени 2, принадлежащая целочисленному классу на W,
Существуют открытое покрытие (X,,) многообразия W,
система функций перехода (FlH) со значениями в С* относи-
относительно этого покрытия и связность (т),,) для этой системы,
такие, что а —форма кривизны связности (т^). Но тогда
множества ф(Л'1) образуют открытое покрытие много-
многообразия V, функции (/Чк°ф) образуют систему функций
перехода относительно этого покрытия, а ср*а —форма
кривизны связности (cp*T]t) для этой системы.
4. Нас интересует случай многообразий с комплексной
структурой. Рассмотрим на таком многообразии V замкну-
замкнутую вещественную форму а степени A,1). В силу след-
следствия 2 из теоремы 2 п. 4 гл. IV всякая точка много-
многообразия V обладает окрестностью, в которой а предста-
вима в виде а = Bт)'1 d'd"Q), где Ф —вещественная
функция. Другими словами, существует открытое покры-
покрытие (Xt) многообразия V, такое, что на каждом множе-
множестве Ху. форму а можно представить в указанном виде.
Пусть (U%) — простое покрытие многообразия V с нер-
нервом N, более мелкое, чем покрытие (Xt). Существуют
такие вещественные функции Ф?„, определенные соответ-
соответственно на множествах V%, что а = Bni)~l d' d"Q)% на U%.
Тогда к функции Фц — Фа, на множестве U^ можно при-
применить следствие 1 из предложения 3 п. 3 гл. II, кото-
которое показывает, что она является вещественной частью
некоторой голоморфной функции на этом множестве,
определенной однозначно с точностью до аддитивной

Функции перехода и дивизоры 109
чисто мнимой константы. Этот факт можно сформулиро-
сформулировать также следующим образом: на каждом непустом
множестве ОЧц определена голоморфная функция /*,„,
такая, что
D)
Функции Дц определены однозначно с точностью до веще-
вещественных констант, поэтому функция Да может отличаться
от — Дц лишь на такую константу. Выбирая подходящим
образом функции Дц, можно добиться выполнения равен-
равенства Да= — fxy,-
Положим т)^ = — Bл/) й'Ф%; тогда т)я. — форма степени
A,0) на множестве ?/*,. Имеем а = йцх на множестве U%,
и % — т)я. = d/яц на множестве ?/&„, так как d"fklx = O
и d'/яй = О- Если при {Я,, ц, v} g /V положить
то a^v — голоморфная функция на множестве t/^v, при
нимающая, как следует из соотношения D), вещественные
значения, а значит, константа (в силу следствия ] из
предложения 3 п. 3 гл. II), т. е. (a^nv) — вещественный
коцикл нерва N, соответствующий, как следует из преды-
предыдущего, форме а. Всякий другой вещественный коцикл
(a^nv) из того же класса отличается от него лишь на ко-
кограницу, т. е. на коцикл вида 6UV — Ь^-\-Ь%^ где Ь^
вещественны. Если заменить fXlt функциями Дц = /\д + Ь^,
удовлетворяющими всем условиям, наложенным на функ-
функции ft.»., то коцикл (a^nv) заменится коциклом (a^v)-
Другими словами, при надлежащем выборе функций Дц
в качестве коцикла (a^v) можно получить любой из ко-
коциклов класса, соответствующего классу формы а.
Предположим, в частности, что форма а принадлежит
целочисленному классу. В этом случае при надлежащем
выборе функций /яц, удовлетворяющих соотношению D),
можно сделать так, чтобы a^v были целыми. Но тогда
голоморфные функции F^ = е (/^ц) образуют систему функ-
функций перехода со значениями в группе С*. Значит, в силу
леммы 2 п. 3 мы доказали следующее
Предложение 1. Для того чтобы замкнутая фор-
форма а степени A,1) на комплексном многообразии V при-

ПО Глава V _^
надлежало, целочисленному классу, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она была формой кривизны связности для
системы голоморфных функций перехода со значениями
в группе С*.
Для компактных кэлеровых многообразий можно сфор-
сформулировать более точный результат.
Теорема 1. Пусть а — класс когомологий степени 2
на компактном многообразии кэлерова типа. Для того
чтобы класс а был целочисленным классом степени A,1),
необходимо и достаточно, чтобы он был классом кривиз-
кривизны для системы (FlK) голоморфных функций перехода со
значениями в группе С*. В этом случае всякая форма а
степени A,1) из класса а является формой кривизны
связности (%) степени A, 0) для системы {Fw).
Необходимость этого условия следует из предложения 1.
Обратно, пусть (/ч«) — система голоморфных функций пере-
перехода со значениями в группе С* относительно открытого по-
покрытия (Л\) компактного кэлерова многообразия V. Предпо-
Предположим, что эта система обладает связностью (т^), т. е. формы
¦Hi удовлетворяют соотношениям C) на множествах Xw.
Правые части этих соотношений имеют степени A,0).
Указанные соотношения останутся в силе, если заменить
в них при каждом i форму % на Pi,0{%), значит, можно
предположить, что связность (%) имеет степень A,0),
т. е.* состоит из форм этой степени. Пусть а —фор-
—форма кривизны этой связности. Тогда Р02 (а) = 0,
так что а = а' + а", где формы а' и а" имеют сте-
степени B,0) и A,1) соответственно. В силу теоремы 1 п. 3
гл. IV формы На' и На" имеют ту же степень. Но так
как класс а формы а в силу леммы 2 п. 3 является цело-
целочисленным, а значит, и вещественным, форма #а = Яа' +
+ #а"—гармоническая форма класса а—вещественна. Зна-
Значит, ее биоднородные компоненты степени B,0) и @,2)
комплексно сопряжены. Ввиду того что одной из них яв-
является форма На', а другая равна нулю, имеем На' = 0,
т. е. На имеет степень A,1). Итак, доказано, что а —
класс степени A,1). Пусть теперь c^ —форма степени A,1)
из класса а. Мы докажем, что она является формой кри-
кривизны связности (*ii + Р) для системы (FiK), причем степень

Функции перехода и дивизоры Ш
Р равна A,0), или, что то же самое, мы покажем, что
можно выбрать форму р степени A,0) на многообразии V,
такую, что dp = ах — а. Поскольку разность аг — а гомо-
гомологична нулю, ее можно записать также в виде d (P' +
-f P"), где Р' и р" имеют степени A,0) и @,1) соответ-
соответственно. Тогда условие того, что компонента этой формы
степени @,2) равна нулю, запишется так: d"P" = O. В соот-
соотношении dp" = с?Д Gp", которое получается непосредствен-
непосредственно из соотношения р" = Щ" + AGP", заменим Д на 2d"8" +
+ 26"d" (теорема 2 п. 6 гл. II). Далее, заметим, что
d" GP" = 0, потому что d"P" = 0 и оператор G коммутирует
с d" (теорема 1 п. 3 гл. IV). Наконец, заменим dd" на
— dd'. Получаем dp" = dv. где y = — 2d'6"Gp"; но в силу
однородности операторов d', 6", G форма у имеет степень
A,0). Полагая P = P' + Y> мы удовлетворим всем требуемым
условиям.
Следствие. Пусть (Ux) — простое покрытие с нер-
нервом N компактного многообразия V кэлерова типа. Пусть
{Fxix) — система голоморфных функций перехода со значе-
значениями в С* относительно этого покрытия. Предположим,
что нулевой класс является классом кривизны для си-
системы {F^fi). Тогда существуют система (е^) постоянных
функций перехода со значениями в Е (мультипликативной
группе комплексных чисел, по модулю равных 1) и систе-
система (фя,) голоморфных функций, всюду отличных от нуля,
определенных соответственно на U% и таких, что F^ =
= емхФяФЦ1 на U%v всякий раз, когда {%, ц} g N. Функции
Фа, определены однозначно с точностью до постоянного
множителя.
Применим теорему 1; из нее следует, что существует
связность (tia,) для системы (F^), состоящая из замкнутых
форм степени A,0); формы % можно представить в виде
% = Л^, где ij)*, — голоморфные функции. По определению
связности это означает, что функции
являются константами. Кроме того, ясно что они образу-
образуют систему функций перехода со значениями в С*. Эта
система и система функций (е( — %)) удовлетворяют уже
всем требованиям, за исключением того, что функции пер-

112 Глава V
вой системы должны принимать значения в группе Е.
Изменим указанные системы таким образом, чтобы выпол-
выполнялось и это требование. Заметим, что функции (logical)
образуют систему функций перехода со значениями в ад-
аддитивной группе R. Другими словами, это вещественный
коцикл нерва N. Пусть а —его класс. В силу результа-
результатов п. 2, если а — вещественная форма из класса а, то
существуют вещественные функции g%, определенные соот-
соответственно на Ux и такие, что dg% — а на (]% и g», —g\ =
— log | с*,ц I на U%\i.- Предположим, что многообразие V снаб-
снабжено кэлеровой структурой, и в качестве а выбрана гар-
гармоническая форма класса а. Тогда d'a = 0, значит, d' d'gx =
= 0 на U\. В силу следствия 1 из предложения 3 п. 3
гл. II функция gx является на U% вещественной частью
голоморфной функции 6ь а разность 6^—6^, равна констан-
константе на Охц. Вещественная часть этой разности равна
lil и на Ukv. имеем
9ц - h = log \ci.ll\ + 2niakll,
где константы ащ вещественны. Чтобы удовлетворить тре-
требованиям следствия, достаточно положить
= е(-
Г1
Что касается единственности функций фь то нужно пока-
показать, что если Рщ—] при {к, ц.}еЛ/. т° Ф^ — константы.
Действительно, в этом случае |фя| = |фц| на множестве
Uxtx при {X, \i}?N. Значит, на многообразии V имеется
функция Ф, совпадающая с функцией log j фя |2 на множест-
множестве U% при любом X. Применяя следствие 1 из предложе-
предложения 3 п. 3 гл. II и следствие 3 из теоремы 1 п. 5 гл. II,
получаем, что ДФ = 0, и, следовательно, ЙФ = О. Значит,
на множестве U% функция log | ф^, |а постоянна. В силу
следствия 1 из предложения 3 п. 3 гл. II отсюда вытека-
вытекает, что фа, — также константа.
5. При применении леммы 2 п. 3 часто бывает удобно
одновременно пользоваться следующим результатом:
Предложение 2. Пусть (FIV) — система голоморф-
голоморфных функций перехода со значениями в С* относительно

Функции перехода и дивизоры 113
открытого покрытия (Хь) многообразия V, снабженного
комплексной структурой. Пусть (Ф^ — система вещест-
вещественных функций, определенных соответственно на мно-
множествах Xi таким образом, что на каждом непустом
множестве Х1К
Тогда система форм (%), где г\1 = Bт)~1й'Ф1, является
связностью для системы (FlK),'а ее форма кривизны за-
задается формулой а— — Bni)'1 d' й"'Ф1 на множестве Xt
при всяком I.
Для доказательства достаточно переписать указанное
выше соотношение в виде
и применить к обеим частям оператор d'.
Следствие 1. Пусть Qi —форма степени A,1) на
проективном пространстве Рп, определенная в п. 5 гл. III;
тогда форма Bя)"хй принадлежит целочисленному классу.
Действительно, в обозначениях п. 5 гл. III открытые
множества Uv образуют покрытие пространства Рп. Функ-
Функции ^ = х^Хц образуют систему функций перехода отно-
относительно этого покрытия. Тогда, полагая
ц=0
и применяя предложение 2, получаем, что Bл) Q —фор-
—форма кривизны связности для системы (Fjiv)-
Следствие 2. Всякое компактное многообразие с
комплексной структурой, допускающее голоморфное и ло-
локально бирегулярное отображение в комплексное проек-
проективное пространство, является многообразием Ходжа.
Действительно, если V — такое многообразие, и ф — ука-
указанное отображение, то форма Bя)ф*?2, где Q определе-
определена в следствии 1, принадлежит целочисленному классу
на V. В гл. III было показано, что эта форма является
фундаментальной для кэлеровой структуры многообразия V.
Отсюда следует доказываемый результат. Напомним, что
8 Андре Вейль

П4 Глава V
этот результат был уже получен в п. 8 гл. IV; однако
здесь мы получили одновременно явное выражение для
фундаментальной формы целочисленного класса.
Следствие 3. Пусть V — многообразие с комплекс-
комплексной структурой. На V имеется целочисленный класс кого-
мологий а степени 2, такой, что если Q —какая-либо
из форм степени A,1), которые можно определить на
многообразии V при помощи следствия 2 из предложе-
предложения 3 я. 3 гл. II, то форма Bл) Q принадлежит клас-
классу а.
Заметим, что такие формы всегда существуют, так как
многообразие V ориентируемо (п. I гл. II), и, следователь-
следовательно, если п —его комплексная размерность, то всегда можно
(например, при помощи разбиения единицы) построить
вещественные и всюду положительные формы степени 2я.
Пусть (Xi) — покрытие многообразия V открытыми множе-
множествами Хи каждому из которых соответствует некоторая
карта на открытом множестве пространства С", получен-
полученная при помощи локальных комплексных координат (ги, ...
..., zln). На множестве Х1К имеем
dzxi Л •¦• AdzKn-^Jwdzn Л ••• Л dzm>
где Ли — голоморфная, всюду отличная от нуля функция,
а именно, якобиан системы координат гх, относительно
системы Zu- Очевидно, что (Ли) — система функций пере-
перехода со значениями в С*. Доказываемое следствие полу-
получается непосредственным применением предложения 2
к этой системе.
Класс а, определенный на комплексном многообразии V
при помощи только что доказанного следствия, известен
под названием класса Чжэня степени 2 многообразия V.
Пусть V — проективное пространство Рп\ обозначим через
О0 форму, определенную в п. 5 гл. III. При помощи про-
простой выкладки можно убедиться, что классом Чжэня в этом
случае является класс формы —Bл)'1(п+1)п0.
Следствие 4. Пусть V — комплексное аналитиче-
аналитическое многообразие, обладающее структурой Бергмана
(п. 9 гл. Ш), и G — группа комплексных аналитических
автоморфизмов многообразия V, удовлетворяющих уело-

Функции перехода и дивизоры 115
вию (Do) п. 9 гл. III. Тогда, если многообразие V/G ком-
компактно, то оно является многообразием Ходжа.
Действительно, в силу следствия 2 из теоремы I п. 8
гл. III и приведенного выше следствия 3 класс фунда-
фундаментальной формы, определенной на многообразии V/G
при помощи факторизации структуры Бергмана многооб-
многообразия V, отличается от класса Чжэня многообразия V/G
лишь множителем Bл). Значит, фундаментальная форма
с точностью до этого множителя принадлежит целочис-
целочисленному классу.
6ч Пусть D — дивизор на комплексном многообразии V.
По определению дивизора (см. п. 5 Приложения) и в силу
результатов, упомянутых в п. 2, существует простое покры-
покрытие (U^) многообразия V, такое, что на каждом множе-
множестве U% дивизор D можно представить в виде ?) = div (фя)>
где фь — мероморфная функция на множестве U%. Тогда
функции фя, и фц индуцируют на множестве i/щ, ¦ если оно
непусто, функции с одним и тем же дивизором; таким
образом, функция F^ = ф^Фц голоморфна и не обращается
в нуль на множестве U^. В этих предположениях очевидно,
что (F^n) — система голоморфных функций перехода со зна-
значениями в С*. Если заменить функции фя другими функ-
функциями фь также удовлетворяющими условию D = div (щ)
на U%, то щ — (fxgx, где функции g\ голоморфны и не
обращаются в нуль на множестве 1/\. Система (Fx^) заме-
заменится тогда системой функций F^ = gVP^g^. Если (%) —
связность для системы (F^), то связность (%) для систе-
системы (Fx,x) можно определить, полагая
Эта связность имеет ту же форму кривизны, что и преды-
предыдущая. Значит, системы (F^J) и (F^) имеют один и тот
же класс кривизны. Как показано в п. 3, он не меняется
при замене покрытия (Ux) более мелким. Замечая, кроме
того, что всегда существует простое покрытие, более мел-
мелкое, чем два заданных, мы приходим к выводу, что класс
кривизны для системы (^хц) не зависит ни от выбора функ-
функций фх, ни от выбора покрытия (?Л); он зависит лишь
от дивизора D. Обозначим его через a (D). Из леммы 2
п. 3 следует, что a (D) — целочисленный класс, а из теоре-

116Глава V
мы I п. 4 следует, что на компактном многообразии кэле-
рова типа он является классом степени A,1).
Если, например, выбрать в качестве D гиперплоскость
п
2 a\Xv = 0 в проективном пространстве Рп, то на каждом
v=0
из множеств ?/ц покрытия пространства Рп, определенно-
определенного в п. 5 гл. Ill, D можно представить в виде D —
= divB OvXv/Хд). Тогда соответствующую систему функ-
функций перехода образуют функции F^ — x^x^, эту систему
мы рассматривали при доказательстве следствия 1 из пред-
предложения 2 п. 5. Значит, a(D) является классом формы
Bл) Q, которая была введена в этом следствии.
7. Далее мы будем предполагать, что многообразие V
связно; обозначим через V его универсальную накрываю-
накрывающую, снабженную комплексной аналитической структурой,
являющейся прообразом структуры многообразия V при
естественной проекции л многообразия V на многообразие V
(п. 3 гл. III). Пусть G — фундаментальная группа много-
многообразия V; если рассматривать ее как группу автоморфиз-
автоморфизмов многообразия V, то V = V/G. Обозначим через аи об-
образ точки u?V при преобразовании o?G. Если и — точка
многообразия V и и — я (и) — ее проекция на многообра-
многообразие V, то я определяет изоморфизм в смысле комплексных
структур некоторой окрестности U точки и на ее образ
U в V. Следовательно (в обозначениях п. 2 Приложения),
проекция я определяет изоморфизмы кольца A~(V), поля
/C~(V) и группы ростков дивизора в точке и на многооб-
многообразии V соответственно на кольцо AU(V), поле KU(V) и
группу ростков дивизора в точке и на многообразии V.
Последний из этих изоморфизмов будем также называть
проекцией.
Мероморфную функцию ф на многообразии V, не рав-
равную тождественно нулю, назовем мультипликативной1),
если для любых точек и и и' на V, имеющих одну и ту
х) Иногда это название сохраняют для функций с постоянными
мультипликаторами.

Функции перехода и дивизоры 117
же проекцию и на многообразии V, ростки, определяемые
в этих точках дивизором div (ф), имеют одну и ту же про-
проекцию на V. Этой проекцией служит, следовательно, рос-
росток дивизора Du в точке u?V, который для заданной
мультипликативной функции ф зависит лишь от точки и.
Поскольку проекция л определяет локальные изоморфизмы
на достаточно малых открытых множествах многообразия
V, отображение u—>Du задает некоторый дивизор на мно-
многообразии V. Назовем его дивизором функции ф относи-
относительно многообразия V, или, когда не может возникнуть
недоразумение, дивизором ф; обозначим его через Шуу(ф),
или просто через div(qp).
Пусть / — мероморфная функция на многообразии V
и а? G; часто вместо /W мы будем писать f, обозначая
так мероморфную функцию, определенную равенством
f («)= / (ои) (см- п- ? Приложения). Мероморфная функ-
функция ф, не равная тождественно нулю на V, мультипликатив-
мультипликативна тогда и только тогда, когда функция ф~° имеет тот же
дивизор, что и функция ф, при всех e?G, или, другими
словами, когда дивизор функции ф на многообразии V
инвариантен относительно группы G. Тогда из предыдущего
следует, что этот дивизор есть не что иное, как n(divy(9)).
То же условие можно выразить еще и так: функция /0 =
= Ф°ф~^ голоморфна и не обращается в нуль на многооб-
многообразии V при всех o?G. Очевидно, что тогда fax = (fa)xfx
при всех а, т из группы G. В частности, если fa — констан-
константы, то отображение о —> /о является представлением груп-
группы G в С*. В этом случае говорят, что ф имеет постоян-
постоянные мультипликаторы /о.
Если, в частности, ф — мультипликативная голоморф-
голоморфная функция с постоянными мультипликаторами, не обра-
обращающаяся в нуль на многообразии V, то Bm) d log ф —
голоморфная форма, инвариантная относительно группы G;
значит, она является прообразом я*? при отображении я
некоторой замкнутой формы ?, голоморфной на много-
многообразии V. Обратно, если ? —замкнутая форма степени
I, голоморфная на многообразии V, то форма л% пред-

И8 Глава V .
ставляет собой (так как многообразие V односвязно; см.
п. 2 этой главы) дифференциал голоморфной функции /
на многообразии V. В том случае, когда V — компакт-
компактное многообразие кэлерова типа, f называют интегралом
первого рода (относительно многообразия V, или просто
на V). Тогда функция е(/) мультипликативна, имеет по-
постоянные мультипликаторы, голоморфна и не обращается
в нуль на многообразии V. Мультипликативная меро-
морфная функция G на многообразии V, для которой б^б
при всех а ? G представляет собой мультипликативную
функцию с постоянными мультипликаторами, называется
тэта-функцией на многообразии V (относительно много-
многообразия V, или группы G). Иногда так называют только
голоморфные функции, обладающие этим свойством.
8. Предложение 3. Пусть V — связное комплекс-
комплексное многообразие, V — его универсальная накрывающая,
8 — тэта-функция на V. Предположим, что комплексное
векторное пространство, порождаемое формами d log@°6),
где а —элемент фундаментальной группы G многообра-
многообразия V, имеет конечную комплексную размерность. Тогда
класс a(D), где D = divyF), принадлежит подкольцу коль-
кольца 3W{V), порожденному элементами из Jif?1(V). Если,
кроме того, функция 8 имеет постоянные мультиплика-
мультипликаторы, то а(Ь) = 0.
Для а ? G положим Fa = б^б. По предположению, имеем
-2^dlogF0 = n*?0, _ E)
где 1,а — замкнутая голоморфная форма на многообразии
V. Каждую t,a можно представить в виде линейной ком-
комбинации с постоянными коэффициентами форм ?i> . .. , ?d,
которые можно считать линейно независимыми. Пусть
(?/*,) — простое покрытие многообразия V. При любом %
множество rt(f/^) является накрытием множества U%.
Множество U% односвязно, поэтому проекция л индуци-
индуцирует на каждой связной компоненте множества л"х(^)
изоморфизм этой компоненты на L\. Выберем для каждо-
каждого % некоторую компоненту U% множества л'1 (Uk). Пусть

Функции перехода и дивизоры П9
Фх — мероморфная функция на множестве U^, полученная
из сужения функции 0 на множество U^ при помощи изо-
изоморфизма U), на Ux, порожденного проекцией п. Другими
словами, на множестве U\ имеем 0 = <р^ ° л. Тогда D =
= div (фх) на множестве 0%, т. е. функции F^ = ф^фй об-
образуют (в смысле п. 6) систему голоморфных функций
перехода со значениями в группе С*, связанную с диви-
дивизором D. Если множество 0%^ непусто, то существуют
связная компонента V множества я (?/д,ц), содержащая-
содержащаяся в^ Up, и такой элемент о группы G, что V содержится
в aU\. Для ~й^а~гО и и = п(и) имеем Ь(й) = щ{и),
6 {аи) = фц (и) и 6 {аи) = Fo (и) б (и). Значит, FXtl (и) = Fa (и),
откуда, в силу E) и сделанного выше замечания о фор-
формах ta, получаем
d
где c»,ni — константы. Принимая во внимание, что (/¦'хц) —
система функций перехода со значениями в С*, мы полу-
получаем сразу, что при каждом / совокупность (c^i) являет-
является системой функций перехода со значениями в аддитивной
группе С. Другими словами, она является коциклом нерва по-
покрытия (Ux). Тогда, как показано в п. 2, при каждом /
можно определить систему (/xt) функций, определенных
соответственно на множествах Ux и таких, что с^ =
— /цг — fu на множестве U^; кроме того, на многообра-
многообразии V существует замкнутая форма pt, совпадающая с фор-
формой df%i на множестве U), при всяком Я,. Тогда B/яг^) —
• связность для системы (f^). Ее форма кривизны принад-
принадлежит, по определению, классу a(D) и равна 2 Pi A ?f
г
Это доказывает первую часть предложения. Если 8 — функ-
функция с постоянными мультипликаторами, то ?с = 0.при всех
a?G, значит, @) — связность для системы (F^), откуда
следует, что a (D) = 0.
Заметим, что в силу формулы E) предположение отно-
относительно 0, сделанное в формулировке предложения 3,

120 Глава V
выполняется, если пространство замкнутых голоморфных
форм имеет конечную размерность, в частности, если V —
компактное многообразие кэлерова типа, так как тогда
это пространство изоморфно пространству J^1'0 (V). В этом
случае можно сформулировать более точный результат:
Теорема 2. Пусть V —связное компактное много-
многообразие кэлерова типа и D — дивизор на многообразии V.
Дивизор D является дивизором относительно V некоторой
тэта-функции на универсальной накрывающей V много-
многообразия V тогда и только тогда, когда класс a (D) при-
принадлежит подкольцу кольца <Ш (V), порожденному эле-
элементами, принадлежащими ^?1(V).
Это условие необходимо в силу предложения 3. Дока-
Докажем, что оно является достаточным. Пусть (?х, ... , ?9) —
базис векторного пространства форм первого рода степени
1 на многообразии V. В силу теоремы 3 п. 5 гл. IV про-
пространство ^?1(V) представляет собой прямую сумму про-
пространств 3%?i>0{V) и ей?0'1 (V); классы форм ?t и ?4 обра-
образуют базис в пространстве gtf1 (У)- Предположение отно-
относительно класса a (D) эквивалентно тому, что a (D) содер-
содержит форму а, являющуюся линейной комбинацией с по-
постоянными коэффициентами форм li А Ь,, ?{ Л Хр Xi Л X,-
Пусть а0, av а2 — суммы слагаемых каждого из этих трех
видов в указанном выражении для формы а. Они явля-
являются замкнутыми формами степеней соответственно B,0),
A,1), @,2). В силу определения класса a(D), данного в
п. 6, и теоремы 1 п. 4, степень a(D) равна A,1). Из тео-
теоремы 3 п. 5 гл. IV следует, что формы а0 и а2 гомоло-
гомологичны 0. Другими словами, в классе a (D) можно выбрать
некоторую форму а, являющуюся линейной комбинацией
форм tj Л ?,-, т. е. представимую в виде 2 ?i Л Х'и где
г=1
?,; —формы первого рода. На многообразии V имеем
Д и f'i — «интегралы первого рода»), откуда л*а = d'd"<&,

Функции перехода и дивизоры 121
где
Пусть F^) — простое покрытие многообразия V, доста-
достаточно мелкое для того, чтобы на каждом множестве U^
дивизор D можно было представить в виде D = div (фа,),
где функция фа, мероморфна на U%. Пусть /чц = ф^Фй на
множестве U^, если оно не пусто. В силу теоремы 1 п. 4
существует связность (%) степени A,0) для системы (F^),
формой кривизны которой служит определенная выше фор-
форма <i.
Так же, как при доказательстве предложения 3, вы-
выберем для каждого К связную компоненту U% множества
я'1 (Ui). Тогда совокупность множеств (aUx), где o$G, a
Я, пробегает множество индексов покрытия (U%), является
простым покрытием V. Пусть Ф^ —функции соответ-
соответственно на множествах ?Д, такие, что Ф = Фх°я на 11%.
На UK имеем dr\% = d'd"(?>%, т. е. % + й'Ф^ —замкнутая
форма на U%. Тогда на множестве U% существует функ-
функция gx, для которой с/?;(, = т1а, + ^'Фа,. Ввиду того что сте-
степень формы dg% равна A,0), функция g% голоморфна. Если
заменить функции ф^ соответственно функциями ф^е(— g%),
то функции F^ заменятся, очевидно, функциями, допу-
допускающими в качестве связности систему форм (— о!'Фя).
Значит, можно предположить, что функции ф^ выбраны
так, что это выполняется. Тогда форма
совпадает с формой d'<?>% — й'Фц на множестве 11%^,. Как
и при доказательстве предложения 3, пусть V — связная
компонента множества я~х\и%^), содержащаяся в множе-
множестве U»,, и пусть а —элемент группы G, такой, что мно-
множество aU% содержит U. Если H^a'lU и и —л (и), то
— Фх(и), Ф(аы) = Фй(«), и, следовательно,
п* D'Qh - й'Фд) = сг'Ф - d'O° = 2 (?i - 7i

122 Глава V
Но коэффициенты при формах dfi в правой части постоян-
постоянны. Итак, мы получаем, что
где Схт — константы. Этот результат можно сформулиро-
сформулировать также следующим образом: полагая ф^ = ф^оя на
aU% и . .
Чо\, тц = фл'фтце (— 2
на множестве af/^ f~) т?/й, если оно не пусто, получаем,
что Yox, тд — константы. Положим тогда
1 <зХ, тц — (YctX., тц!
Это элемент группы С* х С4, являющейся произведением
группы С* на аддитивную группу С4 векторов комплекс-
комплексного аффинного пространства размерности q. Очевидно,
что (Гст^тц) —система постоянных функций перехода со
значениями в группе С* х С9 относительно простого
покрытия (аС\) многообразия V. К ней можно применить
лемму 1 п. 1, из которой следует, что существуют такие
элементы
группы С* х С9, что Гах, тц= Г^Г^, если множество
aU% П т^ц не пусто. Если положить
на множестве oU%, то это означает, что функции 8СТ^
и бТц совпадают на множестве aU% Г) т^ц. если оно не
пусто. Значит, существует мероморфная функция 6 на
многообразии V, совпадающая с функцией 6<д на мно-
множестве aU% при всех а и X. Очевидно, что эта функция
обладает всеми свойствами, сформулированными в условии
теоремы.

Функции перехода и дивизоры 123
Следствие. Пусть V — связное компактное мно-
многообразие кэлерова типа и D —дивизор на многообразии V.
Если D является дивизором мультипликативной функ-
функции с постоянными мультипликаторами, то a(D) = O.
Обратно, если a(D) = O, то D —дивизор мультиплика-
мультипликативной функции с постоянными мультипликаторами,
по модулю равными 1, которые определены однозначно
с точностью до постоянного множителя; если при этом
дивизор D положителен, то D = 0.
Первое утверждение содержится в предложении 3.
Предположим, что a(D) = 0. Пусть (U%) — простое
покрытие, настолько мелкое, что на каждом множе-
множестве 11% дивизор D представим в виде D = div(q>a,). При-
Применяя следствие из теоремы 1 п. 4 к функциям /\ц = ф^фц,
мы получаем, что последние представимы в виде ^ц^^Л1,
где константы е%^ равны по модулю 1, а функции г|^
голоморфны и не обращаются в нуль на множествах U%.
Если заменить функции ср^ функциями фл.'Фл» т0 Функ-
Функции /^ц превратятся в константы, по модулю равные 1.
Положим Yo^,th = ^m. если множество о6\ f) xU^ не
пусто. Тогда (Y(A> тц) — система постоянных функций пере-
перехода относительно простого покрытия (aU\) многообра-
многообразия V со значениями в мультипликативной группе Е
комплексных чисел, по модулю равных 1. Значит, в силу
леммы 1 п. 1 ее можно представить в виде (YoxYti). где
Уак — элементы группы Е. Положим 6^ = Yoa, (фл ° я) на
множестве aU%, тогда существует функция 6 на много-
многообразии V, совпадающая с %а% на aU% при всех а и X
и представляющая собой мультипликативную функцию
дивизора D на многообразии V с мультипликаторами из
группы Е. Для доказательства единственности-, а также
последнего утверждения следствия достаточно убедиться
в том, что голоморфная функция с постоянными муль-
мультипликаторами, по модулю равными 1, —константа. Пусть
б —такая функция, тогда функция |б| инвариантна отно-
относительно группы G, действующей на многообразии V, и ее
можно рассматривать как функцию на многообразии V.
Если эта функция на V не является константной, то
обозначим через М ее верхнюю грань, через и — гранич-
граничную точку множества точек многообразия V, в которых

124 Глава V
|0| = М, и через и точку многообразия V, такую, что
я (и) — и. Тогда в окрестности и голоморфная функция 6
отлична от константы, а | б | достигает максимума в точ-
точке It. Это невозможно. Если 161 — константа, то по прин-
принципу максимума (или, если угодно, в силу следствия 1
из предложения 3 п. 3 гл. II) функция 6 также постоянна
в окрестности каждой точки многообразия V, а значит,
и на всем многообразии V.
Может случиться, что на компактном многообразии
кэлерова типа совокупность Jfc'1'1(V) содержится в под-
кольце кольца e%?(V), порожденном множеством е%;г(У).
Из теоремы 2 следует, что на таком многообразии всякий
дивизор D является дивизором некоторой тэта-функции.
Пусть 6 —тэта-функция с дивизором D; через б0 обозна-
обозначим тэта-функцию, соответствующую дивизору D'. Тогда
6 = 81/80, где 631 = 606 имеет своим дивизором D*. Итак,
в этом случае всякая тэта-функция является отношением
двух голоморфных тэта-функций. Этим свойством обла-
обладает, в частности, всякая мероморфная функция на мно-
многообразии V (или, точнее, прообраз на многообразии V
всякой мероморфной функции на многообразии V). В со-
совокупности голоморфных тэта-функций на многообразии V,
снабженной операцией умножения, можно определить есте-
естественным образом понятия делимости, взаимно простых
функций и т. д. Тогда можно сказать, что всякая тэта-
функция на многообразии V может быть представлена
в виде отношения двух голоморфных взаимно простых
тэта-функций, определенных однозначно с точностью до
обратимых множителей.

Глава VI
КОМПЛЕКСНЫЕ ТОРЫ, ТЭТА-ФУНКЦИИ,
АБЕЛЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ
1. Как известно, кольцо когомологий тора поро-
порождается классами степени 1; это следует также из резуль-
результатов п. 2 гл. IV (см., в частности, лемму 5 этого
пункта). Значит, результаты, полученные в конце пре-
предыдущей главы, применимы к комплексным торам. Рас-
Рассмотрим теперь конкретно этот случай и выведем неко-
некоторые следствия.
Сначала рассмотрим вещественный тор размерности т.
Его можно представить в виде E/G, где Е — веществен-
вещественное векторное пространство размерности т, a G — дискрет-
дискретная подгруппа в Е ранга т. Пространство Е является
универсальной накрывающей тора, a G —его фундамен-
фундаментальной группой. Пространство Е можно также отожде-
отождествить с пространством векторов, касательных к тору E/G
в какой-либо его точке. В результате пространство
р-ковекторов на Е идентифицируется с пространством
дифференциальных форм степени р на E/G, инвариант-
инвариантных относительно сдвигов. Первое из этих пространств
естественным образом отождествляется с пространством
полилинейных кососимметрических форм на простран-
пространстве ? X ... X Е (произведении р пространств Е, см.
Bourbaki, Alg., Chap. Ill, § 5 и 8). По лемме 5
п. 2 гл. IV в каждом классе когомологий на E/G имеется,
и притом единственная, форма, инвариантная относительно
сдвигов, поэтому <J^?P(?/G) можно идентифицировать
также с пространством р-ковекторов на Е, а е%? (E/G) —
с внешней алгеброй, порожденной этим пространством
ковекторов на Е. Всюду в дальнейшем под естествен-
естественными соответствиями упомянутых выше пространств под-
подразумеваются только что определенные соответствия.
Пусть а — дифференциальная форма степени р на торе
E/G, инвариантная относительно сдвигов; так же, как
в гл. IV, мы будем отождествлять форму а с ее про-
прообразом на пространстве Е при естественном отображе-

126 Глава VI .
нии я пространства Е на тор E/G. Выберем в качестве
базиса в Е минимальную систему (gv ..., gm) образую-
образующих группы G. В выбранном таким образом базисе
форма а запишется в виде
а = 2 аи •. лР dxiL A ... Л dxiv.
i< <
Форма а принадлежит целочисленному классу на торе
E/G тогда и только тогда, когда коэффициенты at ip —
целые числа. Коротко напомним известное доказательство
этого результата. В первую очередь нужно проверить
справедливость нашего утверждения при р = т = I, т. е.
для формы а = a dx на торе R/Z размерности 1. Это
можно сделать при помощи простого покрытия этого тора
(взяв образы на R/Z трех подходящим образом выбран-
выбранных открытых интервалов на R) или показав, что всякий
период дифференциала степени 1 на торе R/Z есть целое
кратное интеграла от этого дифференциала по отрезку [0, 1].
Так как отображение
(*i. ¦•¦>xn)-*xi
пространства Е на R порождает при всяком i гомомор-
гомоморфизм тора E/G на R/Z, получаем, что при всяком i форма
dxi — прообраз формы dx при этом гомоморфизме—принад-
гомоморфизме—принадлежит целочисленному классу на E/G. Значит, тем же
свойством обладает всякая форма dxix Л... Л dxip и,
следовательно, всякая линейная комбинация таких форм
с целыми коэффициентами. Обратно, при любых iv ... , ip
р
отображение (ult ..., ир) —> 2 uvgiv порождает гомомор-
гомоморфизм тора Rp/Zp в тор E/G. Пусть /х < .,. </р; тогда
прообраз при указанном отображении формы а запи-
запишется в виде a^.^ipduj A ••• Л dup. Если а принад-
принадлежит целочисленному классу, то тем же свойством обла-
обладает последняя форма. Ее интеграл по Rp/Zp является
периодом и равен а\{,.Ар. Более общо, можно показать,
что периоды формы а степени р на торе E/G являются
линейными комбинациями с целыми коэффициентами

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 127
интегралов по Rp/Zp прообразов формы а при гомомор-
гомоморфизме тора Rp/Zp в тор E/G, порожденном отображением
(«1 ир) -> 2 «vgv.
V
где g[, ..., g'p — какие-либо р элементов группы G. Отсюда
следует, что инвариантная относительно сдвигов форма а
принадлежит целочисленному классу тогда и только
тогда, когда полилинейная кососимметрическая форма на
пространстве Е х ... X Е, связанная с ней естественным
образом, принимает целые значения на G х .. . XG. Зна-
Значения, которые она принимает на G X ... X G и их линей-
линейные комбинации с целыми коэффициентами являются
периодами а.
Нам понадобятся указанные результаты при р = 2.
Сформулируем их для этого случая в виде леммы.
Лемма 1. Пусть а — дифференциальная форма сте-
степени 2 на торе E/G; инвариантная относительно сдвигов.
Для того чтобы форма а принадлежала целочисленному
классу, необходимо и достаточно, чтобы связанная с ней
естественным образом билинейная кососимметрическая
форма на пространстве Е х Е принимала на GxG целые
значения.
Мы будем использовать также следующую лемму
о кососимметрических формах, обладающих этим свойством.
Лемма 2. Пусть А — билинейная кососимметриче-
кососимметрическая форма на Е х Е, принимающая целые значения
на GxG. Пусть Ео — подпространство пространства Е,
состоящее из точек х?Е, таких, что А(х, g)~0 при
всех g?G, и пусть G0 = G П Ео. Тогда Ео — подпростран-
подпространство пространства Е, порожденное элементами Go;
форма А тождественно равна нулю на Е х Ео и на Е0Х Е;
существует билинейная форма В на Е х Е, равная нулю
на Е х Еаи Еох Е, принимающая целые значения на GxG
и такая, что А (х, у) = В {х, у) — В (у, х) для всех х и у.
Докажем сначала, что существует форма В, при-
принимающая целые значения на G x G и такая, что А(х, у) =
— В (х, у) — В (у, х). Для этого выберем в пространстве Е

128 Глава VI
базис, состоящий из минимальной системы образующих
группы G. Тогда
А (х, у) = 2 аа(*if// - *,-«/()- A)
где aij — целые числа, и указанные выше условия будут
выполняться, если положить В (х, у) = 2 аих1Уу В том
же базисе каждое из уравнений А (х, g) = 0, определяю-
определяющих Ео, имеет целые коэффициенты. Следовательно, под-
подпространство Ео порождается сюими точками с рациональ-
рациональными координатами (см., например, Bourbaki, Alg., Chap. II,
§ 5, п. 3), а значит, и точками с целыми координатами
в рассматриваемом базисе; но эта совокупность точек есть
не что иное, как группа Go. Из соотношения Go = G f] Eo
следует, как известно, что Go обладает в группе G до-
дополнением Gt (см., например, Bourbaki, Alg., Chap. VII,
§ 4, п. 2, следствие из теоремы 1), т. е. что G является
прямой суммой Go и Gv Тогда пространство Е представляет
собой прямую сумму ?0 и вещественного векторного про-
пространства Ег, порожденного Gv Пусть f — естественное
отображение пространства Е на пространство Е* — Е/Ео;
тогда / индуцирует на пространстве ?, изоморфизм Ег на Е*,
отображающий Gj на группу G* — f (G). Форма А поро-
порождает кососимметрическую форму Л* на пространстве
Е* х Е*, принимающую целые значения на G* x G*, причем
А (х, у) = A* (f(x), f(y)). Из предыдущего следует, что
на пространстве Е* X Е* существует билинейная форма В*,
принимающая целые значения на G* x G* и такая, что
А* (и, v) = В* (и, v) — В* (и, и) для всех и и v из Е*. Тогда
форма В(х, у) — В* (f{x), f(y)) удовлетворяет всем требова-
требованиям леммы.
В предположениях леммы 2 всякую форму В, обладаю-
обладающую всеми свойствами, указанными в условии леммы,
будем называть сателлитом формы А на GxG.
В обозначениях леммы 2 коразмерность подпростран-
подпространства Ео в пространстве Е называется, как известно, рангом
формы А. Ранг является всегда четным числом. Известно,
что если форма А имеет ранг 2р, то всегда можно вы-
выбрать минимальную систему (glt ... , gm) образующих

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 129
группы G таким образом, чтобы, приняв эту систему
за базис, получить представление А в виде
р
А(х, у)= % еа(хаур+а — уахр+а), B)
а=1
где еа — целые числа, отличные от нуля. Такой базис в G
будем называть адаптированным для формы А. Можно
говорить также, что еа равны «элементарным делителям»
формы А на G х G, но мы не будем употреблять это
выражение.
Если А — кососимметрическая форма на Е X Е, пред-
представленная в виде A) в некотором базисе пространства Е,
то канонически связанный с А биковектор имеет в этом
базисе вид «= 2 auxi Л *,•• Если размерность простран-
ства четна, т — 2п, то
-±-un
где Р — однородный полином степени п от aijt называемый,
как известно, пфаффианом матрицы ||alv-j|, или пфаффи-
пфаффианом формы А относительно выбранного базиса. Для того
чтобы он равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы
ранг формы А был меньше 2/г. Из последней формулы сле-
следует, что при преобразовании базиса с детерминантом б
пфаффиан умножается на б. Поэтому если G — дискрет-
дискретная подгруппа пространства Е ранга 2л, то пфаффиан
формы А имеет одно и то же абсолютное значение во
всяком базисе, представляющем собой минимальную
систему образующих группы G. Это абсолютное значение
называется пфаффианом формы А на G x G, или отно-
относительно G. Если форма А принимает целые значения на
G х G, то Л задается в базисе группы G, адаптирован-
адаптированном для А, формулой типа B). Тогда простое вычисле-
вычисление показывает, что пфаффиан формы А на G x G равен
\eje2-. .еп\, если р = л, и нулю, если р < п. Если подпро-
подпространство Ео определено так же, как в лемме 2, то
форма А порождает форму А* ранга 2р на пространстве
Е* — Е/Ео размерности 2р. Пфаффиан формы А* относи-
относительно группы G*, образа группы G в пространстве Е*,
называется редуцированным пфаффианом формы А на
9 Андре Вейль

130 Глава VI
GxG. Очевидно, что если форма А задана при помощи
формулы B) в базисе G, адаптированном для А, то реду-
редуцированный пфаффиан равен \ег.. .ер\. Он равен пфаф-
фиану, если р = п; при р = 0 мы полагаем его равным 1.
Итак, во всех случаях редуцированный пфаффиан положи-
положителен.
2. Пусть теперь Е — комплексное векторное простран-
пространство размерности п и G — дискретная подгруппа простран-
пространства Е ранга In. Тогда E/G — комплексный тор. При
естественном соответствии между формами, инвариантными
относительно сдвигов на E/G, и полилинейными формами
на вещественном векторном пространстве, порожденном
пространством Е, формы степени A,0) на E/G соответ-
соответствуют С-линейным формам на Е; С-линейной форме г
на пространстве Е соответствует на E/G форма dz (в п. 2
гл. IV мы условились обозначать так форму на E/G, про-
прообразом которой при естественной проекции пространства Е
на E/G является форма dz). Значит, в силу определений
п. 7 гл. V интеграл первого рода на пространстве Е отно-
относительно E/G представляет собой функцию вида z-\-c,
где z — некоторая С-линейная форма на Е, а с —константа.
Точно так же, относительно сдвигов инвариантны те
формы степени A,1), которые можно записать в виде
п
Q = Т 2 Л°Р d2P Л dza,
а, р=1
где через za обозначены координаты относительно базиса
в пространстве Е, или, другими словами, элементы базиса
в пространстве С-линейных форм на Е. Такая форма Q
вещественна, если /гар = /гра при всех а, р. В этом случае
говорят, что она канонически связана с эрмитовой формой
п
Н (г, W) = 2 ЛаргаШр
на Е х Е. Как было показано в п. 2 гл. I, мнимая часть А
формы Я —кососимметрическая R-билинейная форма на
ЕхЕ, а именно форма, естественным образом связанная
с формой Q в смысле определений п. 1 этой главы.

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 131
Значит, в силу леммы 1, для того чтобы Q принадле-
принадлежала целочисленному классу на E/G, необходимо и доста-
достаточно, чтобы форма А принимала целые значения на
G х G. Напомним, что в силу результатов п. 2 гл. I
формы Н и А удовлетворяют соотношениям
Н(х, у) = А (х, iy) + iA(x, y)= -A(ix, у) + iA (х, у),
Н (х, у)-И (у, х) = 2iA (х, у), A (ix, iy) = A (x, у). {д)
Лемма. 3. Пусть Н — эрмитова форма на ЕхЕ
и А —ее мнимая часть. Тогда множество Ео точек
х?Е, таких, что А(х, ?/) = 0 при всех у?Е, совпадает
с множеством точек х?Е, для которых Н(х, t/) = 0 при
всех у?Е, и является комплексным векторным подпро-
подпространством пространства Е. Если, кроме того, форма Н
положительна, то Ео — множество таких точек х?Е,
что Н (х, х) = 0.
Первое утверждение следует непосредственно из соот-
соотношений C). Предположим, что форма Н положительна
и пусть Н (х, х) = 0. Тогда при всех у справедливо
равенство
Н(у + хх, у + хх) = Н(у, у) + хН(у, х) + хН(х, у).
Для того чтобы правая часть была неотрицательна при
всех т, необходимо, чтобы Н (х, у) — 0.
Векторное пространство Ео, определенное в лемме 3,
будем называть в дальнейшем ядром эрмитовой формы Я.
Лемма 4. Пусть F — комплекснозначная ^-билиней-
^-билинейная форма на ЕхЕ. Предположим, что при всех х?Е
отображение y—>F(x, у) является С-линейным и что
кососимметрическая ^.-билинейная форма
А(х, y) = F(x, y)-F(y, x)
принимает только вещественные значения на ЕхЕ.
Тогда 2iF = Н + Ф, где Н — эрмитова форма на ЕхЕ,
Ф — симметрическая С-билинейная форма на ЕхЕ.

132 Глава VI
Далее, Н и Ф однозначно определяются этими условиями,
причем А является мнимой частью формы Н.
Пусть F' и F" — соответственно вещественная и мни-
мнимая части формы F. Так как F (х, у) — С-линейная форма
от у, т. е. F(x, iy) = iF(x,y), то F' (x, y) = F"(x, iy).
Поскольку А принимает вещественные значения, форма г
симметрична и
А (х, у) = Р (х, у) - F' (у, х) = F" (х, iy) - F" (у, ix).
Используя симметричность F", сразу получаем, что
A(ix, iy) = A{x, у),
откуда следует (см. п. 2 гл. I), что Л —мнимая часть
некоторой эрмитовой формы Н, определяемой первым
из указанных выше соотношений C). Тогда форма Ф =
= 2iF — Н, очевидно, симметрична; так как Ф (х, у)
С-линейна по у, форма Ф —С-билинейна. Единствен-
Единственность Н и Ф следует из того, что С-билинейная форма,
не равная нулю, не может быть эрмитовой. Заметим, что
из предыдущего сразу следует формула
Н (х, х) = - F" {х, х) - Г (ix, ix). D)
• 3. В силу следствия из теоремы 2 п. 8 гл. V голо-
голоморфная мультипликативная функция ф с постоянными
мультипликаторами на пространстве Е относительно груп-
группы G всюду отлична от нуля. Из п. 7 гл. V следует,
что Bл;/) log ф — интеграл первого рода, т. е. в силу
предыдущего ф имеет вид e(z-fc), где г—С-линейная
форма на ?, а е-константа.
Пусть 6 — тэта-функция на пространстве Е относи-
относительно группы G. Тогда в силу определений п. 7 гл. V
и из предыдущего получаем, что
д
при любых g g G и х ? Е, где для каждого g ? G через Ьд
обозначена С-линейная форма на Е, а с (g) — константа.
Отсюда сразу же получаем, что при всех х g E и
g> g' € G, справедливо соотношение
') = Lg (x + g') + L/(x) + c(g) + c (g1)
(mod. 1).

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 133
Это эквивалентно соотношениям
Lg+, = Lg + Le., c{g + g')-c(g)-c(g')=LB(g')
(mod. 1).
Первое из них означает, что g—±Lg — гомоморфизм
группы G в пространство, двойственное пространству Е;
G — свободная группа, поэтому существует, и притом
единственная R-билинейная форма F на Е X Е, такая,
что Lg(x) — F(g, x) при всех g?G и х?Е и форма F(х, у)
С-линейна по у. Тогда для любых g, g' ? G
c(g + g')-c(g)-c(g')^F(g, g') (mod. 1).
Левая часть симметрична относительно g и g', поэтому
кососимметрическая форма
A(x,y) = F(x,y)-F(y, х)
принимает целые значения на G х G и, следовательно»
вещественные значения на Е х Е. Значит, в силу леммы 4
п.2 2iF= H + Ф, где Я —эрмитова форма с мнимой
частью А, а Ф —С-билинейная симметрическая форма.
Если положить d(g) — c (g) — F (g, g)/2, то
= ±A(g, g') (mod. 1).
Следовательно, функция f(g), равная мнимой части d(g),
осуществляет гомоморфизм группы G в R, который про-
продолжается до R-линейного отображения / пространства Е
в R. Если положить L(x) = f(ix)Jrif(x), то L является
С-линейной формой на Е, мнимая часть которой равна /.
Значит, функция d(g) — L{g) вещественна для всех g^G.
Пусть В — сателлит формы А на G x G, т. е. форма,
обладающая свойствами, сформулированными в лемме 2
п. 1; положим
В этих обозначениях имеем
'(g'), (mod. 1),

134 Глава VI
т. е. функция е [d' (g)] является характером группы G
(в строгом смысле) или, другими словами, задает гомо-
гомоморфизм группы G в мультипликативную группу Е комп-
комплексных чисел, по абсолютному значению равных 1.
Функция if (g) = e [d (g) — L (g)] отображает G в Е,
причем i|)(g)e[B(g, g)/2] является характером G. Это
свойство не зависит от выбора сателлита В формы А.
Действительно, всякий другой сателлит формы А можно
представить в виде В 4- S, где S — симметрическая форма,
принимающая целые значения на G x G. Очевид-
Очевидно, что e[S (g, g)/2] — характер группы G. Отображе-
Отображение я|з группы G в Е, обладающее рассмотренными свой-
свойствами, мы будем называть семихарактером группы G,
связанным с формой А, или с эрмитовой формой Я, мни-
мнимая часть которой равна А.
В результате доказано следующее утверждение:
Предложение 1. Пусть б — тэта-функция для
комплексного тора E/G. Тогда существуют эрмитова
форма Н, симметрическая С-билинейна.ч форма Ф, С-ли-
С-линейная форма L и семихарактер г|) группы G, связанный
с формой Н, такие, что при g?G и х?Е справедливо
соотношение
9(^ + g) = 9(x)H)(g)e [±.H(g,x) +
+ ^rH{g,g) + ^rO(g,x) + ±O(g,g) + L{g)]- E)
Формы Я, Ф, L и г|) определяются однозначно. Мнимая
часть А формы Н принимает на GxG целые значения.
Мероморфную функцию б, не равную тождественно
нулю на Е, удовлетворяющую соотношению E), будем
называть тэта-функцией типа (Я, -ф, Ф, L) относительно
группы G. Если Ф = 0 и L = 0, то будем называть ее
редуцированной тэта-функцией типа (Н, г|>); другими
словами, так мы будем называть мероморфную функцию 8,
не равную тождественно нулю, которая при g?G, x?E
удовлетворяет соотношению
в (х + g) = 6,(*)> (ё) е [4г н &' *) + 1ГЯ & 8)

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 135
Функция на Е вида Р (х) = Ф (х, x)/4i -f L (x) + с, где
Ф — симметрическая С-билинейная форма, L — С-линейная
форма и с —константа, называется полиномом второй сте-
степени на Е. Действительно, для того чтобы функция
могла быть представлена в таком виде, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она была полиномом второй степени относи-
относительно координат точки х при любом выборе базиса над С
в пространстве Е. Если Р — полином, определенный ука-
указанной выше формулой, то t[P (х)] — тэта-функция типа
(О, 1, Ф, L) относительно группы G, причем это имеет
место для любой дискретной подгруппы группы G ранга 2п
в пространстве Е. Функция вида е [Р (х)], где Р — поли-
полином второй степени на пространстве Е, называется три-
тривиальной тэта-функцией. Имеют место следующие утвер-
утверждения, справедливость которых проверяется непосред-
непосредственно:
Предложение 2. Всякую тэта-функцию можно
единственным образом представить в виде произведения
редуцированной тэта-функции б0 и тривиальной тэта-
функции 9', равной 1 в точке 0. Если исходная тэта-
функция имеет тип (Я, г|з, Ф, L), то 90 имеет тип (Я, г|з),
и 6' = е[Ф(*. x)/Ai L()]
Предложение 3. Если 9 — тэта-функция типа
(Н, i|j, Ф, L) относительно группы G, то функция 61;
определенная равенством Ьх{х) = б(х + а), является тэта-
функцией типа (Я, ¦фх, Ф, Lj) относительно группы G,
где г)?! и Lx задаются формулами
a)],
L1{x) = L(x) + -±fH(a, х) + ±Ф(а, х);
через А здесь обозначена мнимая часть формы Н.
Следствие. Если б — редуцированная тэта-функция
типа (Я, 1|з), то функция
является редуцированной тэта-функцией типа (rH,
для любых а;.

136 Глава VI
4. Теперь изучим дивизор тэта-функции и связан-
связанный с ним класс когомологий (см. п. 6 гл. V). Имеет
место следующий результат:
Предложение 4. Пусть 6 — тэта-функция типа
(Н, i|j, Ф, L) относительно группы G, и пусть D — диви-
дивизор функции б относительно тора E/G. Тогда a (D) —
целочисленный класс когомологий степени A, 1), канони-
канонически связанный с эрмитовой формой Н.
При помощи предложения 2 доказательство этого
утверждения сводится к случаю, когда б — редуцирован-
редуцированная тэта-функция типа (Я, г|)). Поступим так же, как
в п. 8 гл. V. Пусть A1%) — простое покрытие простран-
пространства E/G и я — естественная проекция пространства \? на
E/G. Для каждого X выберем связную компоненту U%
множества я~1((У/.). Пусть g?G; обозначим через Тд сдвиг
х—>x + g пространства Е; тогда множества ТдA1%) обра-
образуют простое покрытие пространства Е. Если множество
U^fi = U% Г) Ufi не пусто, то одна из связных компонент
множества я (U%n) содержится в U^., и существует такой
элемент g^^G, что та же компонента содержится
в TgXtl(Ux). Обозначим через z^ отображение U% на 11%,
обратное отображению 11% на 11%, индуцированному на 11%
проекцией я. Можно рассматривать z(M и как отображе-
отображение множества 11% в пространство Е. По определению
элементов g%]l, имеем z^ — zW = g%]i, на 1/%ц всякий раз,
когда множество 11%ц не пусто. Если положить q^ = 6ozW,
то функция (f% мероморфна на U% и на 11% имеем
D — div (q%). Функции FXil = ф^'фц образуют систему функ-
функций перехода, связанную с дивизором D в смысле п. 6
гл. V. Но из соотношения F) при и?11%ц получаем
F*» (и) = 6 (z<w (и))"» 6 (zM (и)) = cklxe [ -L H (gKll, z!V (и)) ] ,
где с%11 — константа, не равная нулю. Выберем некоторый
базис в пространстве Е; предположим, что форма Н
выражается через координаты в этом базисе формулой
Z, W) = 2
a,

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 137
Формы dza образуют базис в пространстве форм первого
рода на E/G. Далее, если положить zW = (zW, ..., z^>),
то формы dz^ индуцированы формами dza на ?/>,. Так
как #хц = zM — zW, на (Ухд. имеем
o,3
Следовательно, формы
определяют связность для (F^). Форма кривизны этой
связности имеет вид
а,Р
она инвариантна относительно сдвигов и канонически свя-
связана с формой Я.
5. В том случае, когда дивизор D положителен, т. е.
функция 0 всюду голоморфна, имеет место следующий
результат:
Предложение 5. Пусть б — голоморфная редуци-
редуцированная тэта-функция типа (Н, if). Тогда форма Н
положительна, и всякий вектор, принадлежащий ядру
формы Н, является периодом функции б.
Из соотношения F) непосредственно следует, что
функция
| 6 (х)\2 е [ \ Н(х, х) ] = | 6 (х) |2 е~яН<*. *>
имеет своими периодами все элементы группы G и, стало
быть, определяет непрерывную функцию на E/G; значит,
она ограничена. Другими словами, существует константа
С > 0, такая, что
| б (х)|2 < СепН <*. *>.
Пусть а и b — два каких-либо вектора пространства Е.
При т ? С имеем
| б (та f bf < i

138 Глава VI
где q определяется равенством
q = Я (та -\-Ь, ха + Ь) =
= Н(а,а)хх + хН(Ь, а) + хН(а, Ь) + Н(Ь, Ь).
Предположим, что Н(а, а) < 0. Тогда для всякого е>0
найдется такое R > 0, что jtQ<loge при всех г, для
которых | х | > R. Это показывает, что б (та -\- Ь) при задан-
заданных а и b представляет собой голоморфную на всей комп-
комплексной плоскости функцию от т, по абсолютндму значе-
значению не превосходящую (СеI/а вне окружности | т ] = R,
а, следовательно, на всей плоскости. Поскольку это имеет
место при любом е, она обращается в нуль тождественно;
так как последнее в свою очередь имеет место при про-
произвольном Ь, функция 6 также тождественно равна нулю,
что противоречит определению тэта-функции. Значит,
Н(а, а)>0 при любом а. Предположим теперь, что
Н (а, а) = 0. Тогда в силу леммы 3 п. 2 при всех Ь имеем
Я (а, Ь) — 0. Приведенные выше неравенства показывают,
что в этом случае функция б (та -f b) ограничена на всей
плоскости, и, следовательно, постоянна. Это означает,
что а — период функции б.
Следствие 1. В предположениях предложения 5
пусть Е0 — ядро формы Н и G0 = Gf)E0. Тогда семи-
характер я|з тождественно равен 1 на Go.
Для доказательства заметим, что всякий вектор
является периодом б, и используем соотношение F).
Следствие 2. Всякая голоморфная тэта-функцил,
всюду не равная нулю, тривиальна.
Пусть б —такая функция. В силу предложения 2 мы
можем представить ее в виде б = 606', где 60 —редуциро-
—редуцированная, а 8' — тривиальная тэта-функции. Если 60 имеет
тип (Я, if>), то, применяя предложение 5 последовательно
к функциям б0 и б^\ мы получаем, что форма Н одновре-
одновременно положительна и отрицательна, т. е. Н — 0; поэтому
всякий вектор пространства Е является периодом функ-
функции б0, т. е. б0 постоянна.
Если теперь соединить полученные результаты с тео-
теоремой 2 п. 8 гл. V, получится следующая

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 139
Теорема 1. Всякий дивизор D на E/G является
дивизором на E/G некоторой редуцированной тэта-функ-
тэта-функции относительно группы G, определенной однозначно с
точностью до постоянного множителя. Если дивизор D
положителен и если (Н, if) — тип редуцированной тэта-
функции дивизора D, то форма Н положительна.
Следствие 1. Для того чтобы два дивизора D и D'
были линейно эквивалентны на E/G, необходимо и доста-
достаточно, чтобы редуцированные тэта-функции дивизоров D
и D' были одного и того же типа.
Пусть 0 и б' — рассматриваемые тэта-функции. Тогда
6/6'— редуцированная тэта-функция дивизора D — D'. Если
вив' одного и того же типа, то все элементы группы G
служат периодами функции в/6'. Значит, 6/6' определяет
мероморфную функцию на E/G, дивизором которой
является D — D'. Обратно, если D — D'— дивизор некото-
некоторой мероморфной функции ф на E/G и если через я, как
обычно, обозначена естественная проекция я простран-
пространства Е на E/G, то ф°я — редуцированная тэта-функция
типа @,1) с дивизором D — D'. В силу теоремы 1 она
может отличаться от 6/6' лишь на постоянный множитель.
Значит, функции 6 и 6' имеют один и тот же тип.
Следствие 2. Пусть D и D' — два положительных
дивизора на E/G; a(D) = a(D') тогда и только тогда,
когда на E/G существует сдвиг, переводящий D в диви-
дивизор, линейно эквивалентный D'.
Пусть 6, 6'— редуцированные тэта-функции дивизоров
D, D' и (Н, ij)), (#', ijj') — их типы. В силу предложе-
предложения 4 п. 4 равенство a(D) —a(D') эквивалентно равен-
равенству Н = Н'. Из приведенного выше следствия 1 и пред-
предложения 3 п. 3 следует, что сформулированное условие
является достаточным. Обратно, предположим, что Н = #'.
Пусть А — мнимая часть формы Я, а Ео — ее ядро. Лемма 3
показывает, что А определяет кососимметрическую невы-
невырожденную форму А* на пространстве Е* = Е/Ео. Поло-
Положим G0 = Gf]E0; тогда всякий характер образа G* = G/G0
группы G в Е* может быть представлен в виде е [A*(g*, a*)],
где а*?Е*. Это означает, что всякий характер группы G,
равный 1 на Go, имеет вид t[A(g, а)], где а б Е. Но в силу

140 Глава VI
следствия 1 из предложения 5 функция i|f4|}' равна 1
на Go; поскольку она является характером группы G,
существует точка а ? Е, такая, что ijf Ч|>' совпадает на G
с e[A(g, а)]. Применяя предложение 3 п. 3, получаем,
что тэта-функция 6(л: + а) имеет тип (Я, г|/, О, L), где
L — линейная форма. Ввиду того что ее дивизор является
образом при сдвиге —я(а) дивизора D, последний в силу
предложения 2 п. 3 является дивизором редуцированной
тэта-функции типа (Я, г|/). Из следствия 1 получаем тогда,
что он линейно эквивалентен D'.
Следствие 3. Пусть D — положительный дивизор
на E/G, H — эрмитова форма, канонически связанная
с a(D), и Ео — ядро Н. Тогда образ Ео в E/G замкнут
в E/G и является подгруппой конечного индекса группы Г
сдвигов на E/G, оставляющих инвариантным дивизор D.
Поскольку мнимая часть А формы Н принимает целые
значения на G х G, из лемм 2 п. 1 и 3 п. 2 следует, что
группа G0 = G[]E0 дискретна в Ео и что ее ранг равен
вещественной размерности подпространства Ео; таким
образом, гомоморфизм Е~о на его образ л(?0) в E/G, инду-
индуцированный на Ео естественной проекцией л пространства Е
на E/G, порождает изоморфизм комплексного тора Ea/G0
на я(Е0). Значит, я (Ео) — замкнутая подгруппа в E/G.
В силу предложения 5 всякий вектор подпространства Ео
является периодом редуцированной тэта-функции диви-
дивизора D. Следовательно, л (Ео) содержится в группе Г.
С другой стороны, Г содержится в группе Г' сдвигов
на E/G, преобразующих D в линейно эквивалентный ему
дивизор. Из приведенного выше следствия 1 и предло-
предложений 2 и 3 п. 3 следует, что Г' —образ в E/G множе-
множества тех а?Е, для которых e[A(g, а)] = 1 при всех gб G.
Так как А принимает целые значения на G X G, функция
е [A (g, x)\ имеет своим периодом любой элемент g' группы G,
и, значит, порождает характер %д группы E/G. Группа Г'
представляет собой совокупность элементов E/G, в кото-
которых %д=1 при всех g?G. Следовательно, она является
замкнутой подгруппой в E/G. Известно, что при этих
условиях связная компонента нуля Го в Г' имеет конеч-
конечный индекс и является образом в E/G некоторого R-линей-
ного подмногообразия Е'о пространства Е. Далее, E'Q —

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 141
множество а?Е, таких, что п(Ха) принадлежит Г' при
всех Л, ? R; иначе говоря, это множество тех а?Е, для
которых A (g, Xa) =г 0 (mod 1) при всех Я g R. Ясно, что
это множество есть не что иное, как Ео. Значит, Го = я (Ео).
Группа Го имеет конечный индекс в Г', а поэтому и в Г.
Следствие 4. Пусть ф — мероморфная функция на
E/G и b = div(q>). Пусть Н —эрмитова форма, канони-
канонически связанная с классом a(D+) = a(D~), и Е0 — ядро Н.
Тогда образ Ео в E/G является подгруппой конечного
индекса в группе сдвигов, оставляющих ф инвариантной.
Применяя следствие 3, получаем, что этот образ имеет
конечный индекс в группе сдвигов, оставляющих инва-
инвариантными D* и D'. С другой стороны, если 6 —редуци-
—редуцированная тэта-функция дивизора D~, то 6ф — редуцирован-
редуцированная тэта-функция дивизора D*. В силу предложения 5
всякий вектор а?Е0 является периодом для обеих этих
функций, откуда следует доказываемый результат.
6. Пусть E/G — комплексный тор. Всякая положитель-
положительная эрмитова. форма Я на Ex E, мнимая часть которой
принимает целые значения на G XG, называется рима-
новой формой для E/G.
Предложение 6. Пусть комплексный тор E/G
снабжен невырожденной римановой формой Н, мнимая
часть которой равна А. Пусть (g,, ..., g2n) — базис eG,
адаптированный для А, т. е.
2n 2n n
^(SSvgv, S T1vgv)= S ea(laT]n+a-T)a|n+a), G)
v=l v=l а=1
где ?v, r|v — вещественны. Тогда (gv ... ,gn) —базис
в пространстве Е над С; положим
п
gn+fi= 2 Papga A<Р<Л), (8)
а=1
тогда Z — \\eapa^\\ —симметрическая матрица, мнимая
часть которой является матрицей положительной невы-
невырожденной квадратичной формы. Обратно, пусть Z =
= II 2ор 1| — симметрическая матрица, мнимая часть кото-

142 Глава VI
рой является матрицей положительной невырожденной
квадратичной формы, и пусть {ev ... ,еп) — не равные
нулю целые числа; пусть (gv ..., gn) — базис в векторном
пространстве Е над С и G— группа, порожденная
ii> ¦ • ¦ ) gn u векторами
п
gn+f, = 2 еа lz^ga (К Р < Л).
а=1
Тогда G — дискретная подгруппа в Е, а билинейная
форма, определяемая формулой G), является мнимой
частью невырожденной римановой формы для E/G.
По определению базиса, адаптированного для формы А,
числа еа целые; они не равны нулю, потому что Н и, сле-
следовательно, А — невырожденные формы. Пусть Е' и Е" —
подпространства пространства Е, порожденные над R
соответственно векторами gv ..., gn и gn+i, • • • > gin-
Как видно из формулы G), форма А обращается в нуль
на Е' х Е' и на Е" х Е". Если векторы glt . .., gn
линейно зависимы над С в Е, то найдутся два ненулевых
вектора х и у в Е', таких, что x-\-iy = 0, т. e. y = ix.
Тогда, используя формулы C) п. 2, получаем
Н (х, х) = А (х, ix) = А {х, у) = О,
что невозможно, так как форма Н положительна и невы-
рожденна. Значит, совокупность векторов (gv ..., gn)
можно принять за базис в пространстве Е над С. В этом
базисе форма Н имеет вид
а=1 a=l
где ha> и = Лар. Поскольку мнимая часть А формы Н равна
тождественно нулю на Е' X Е', Н принимает на Е' х Е'
вещественные значения; следовательно, коэффициенты
/гар вещественны и образуют симметрическую матрицу,
являющуюся матрицей положительной невырожденной
квадратичной формы, индуцированной формой Н (х, х)

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 143
на Е' X Е'. Положим теперь
п
Z°g°> 2
а=1
а=1
(9)
а, 0=1
и, кроме того, F = (Н + Ф)/2/. Тогда Ф —симметрическая
С-билинейная форма на Е х Е, a f — R-билинейное ото-
отображение ? х ? в С, тождественно равное нулю на Е' х Е
и такое, что F (х, у) — С-линейная форма от у при всех
%G E. Итак, имеем
a=l
a=l
п
= 2
а=
и, следовательно,
Далее,
2п
р ( >п
Г \ /\
v=l
Ы
FB 6
v=l
в силу (8),
ы
v=l
[^(^.ga)-
1
n
Н^,х)]га = 2^
a=l
если ?v вещественны, то
n
vgv, 2 Z*8")
a—i
если |v, t)v
n
?v)=—2 e«
a=l
n
= -2 eaWaZa.
a=l
вещественны, то
n
^п+аЛа — 2 ^Z*0
о. 8=1
(П)
Но форма А равна тождественно нулю на Е" X Е"\
значит, Н, а следовательно, и F — симметрические били-
билинейные формы на Е" х ?"'. В силу формулы A1) это озна-
означает, что матрица || еара$ \\ симметрическая. С другой сто-
стороны, из формулы (9) следует, что
п
"> 2 Z^0 = i
a=l
a=l
Поскольку коэффициенты /гар вещественны, мнимая часть
выражения, стоящего в правой части этой формулы, равга
— 2 Ktiz'az'fi, где через z'a обозначена мнимая часть za.

144 Глава VI
Так как || /гар || — матрица положительной невырожденной
квадратичной формы, мнимая часть F (х, х) отрицательна
при х= ^zaga, если мнимые части za не все равны нулю,
т. е. если х не принадлежит Е', в частности, если х —
ненулевой вектор подпространства ?"'. Выразив это свой-
свойство при помощи формулы A1) для F, мы получим,
что мнимая часть матрицы || еарар, \\ является матрицей
положительной невырожденной квадратичной формы.
Переходим к доказательству обратного утверждения.
Векторы gv ..., gn, ig1 ign образуют базис в про-
пространстве Е над R. Выражая векторы gv .'.., g2n через
элементы этого базиса, получаем, что они линейно неза-
независимы над R тогда и только тогда, когда мнимая часть
матрицы lle-'ZapH имеет ранг п; предположение, сделан-
сделанное относительно Z, обеспечивает это. Положим рар = ^~1га^;
пусть F — комплекснозначная R-билинейная форма на Е х Е,
определенная формулой A0), или, что то же самое, фор-
формулой A1). В силу A0) форма F (х, у) С-линейна по у
при всех х?Е; из формул A1) и G) следует, что
F(x,y)-F(y,x) = A(x,y).
Значит, к F можно применить лемму 4 п. 2 и записать
2iF = H + Ф, где Я —эрмитова форма с мнимой частью А,
а Ф — симметрическая С-билинейная форма. Далее, если
обозначить через F" мнимую часть формы F, то, приме-
применяя формулу D) п. 2, получаем
Н (х, х)=- F" (х, х) - F" (ix, ix).
Но из формулы A1) и из предположения, сделанного
относительно матрицы Z, следует, что F" (х, х) < 0, если х
не принадлежит ?'; так как х и ix не могут одновременно
принадлежать Е', еслих Ф 0, то мы получаем, что форма Н
положительна и невырожденна.
Следствие. Всякий комплексный тор комплексной
размерности 1 можно снабдить невырожденной римано-
вой формой.
Пусть E/G — такой тор, и пусть (gv g2) — минималь-
минимальная система образующих группы G. Поскольку комплекс-
комплексная размерность Е равна 1, gr2 = zgri. гДе zgC; так как

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 145
gt и g2 линейно независимы над R, z не может быть
вещественным. Доказываемое следствие получается тогда
из второй части предложения 6 при п = 1 и е1 = 1 или
ех = — 1, смотря по тому, положительна или отрицательна
мнимая часть г.
7. В предположениях и обозначениях, принятых в пред-
предложении 6 и при его доказательстве, пусть Б —сателлит
формы А на G X G, который при вещественных |v и %
определяется формулой
2n 2n n
ДB ^' 2 Tlv^Tv)= S eaWl«+a. A2)
v=l v=l a=i
Пусть -ф — семихарактер группы G, связанный с Н; это
означает, по определению (см. п. 3), что функция
является характером G; при l<v<2n имеем %(gv) =
= e(A,v), где ^—вещественны. Обозначим через L С-ли-
нейную форму на Е, определяемую равенством
( )
Тогда x(g) совпадает с е( — L (g)) на подгруппе G' = G f) ?'
группы G, порождаемой элементами glf ... , gn; иначе
говоря, если положить
X'(Я) = x(ff)e (!•(?)),
то х' — гомоморфизм группы G в С*, переводящий G' в
1. Положим Ya = X'(gn+a) при 1< a < п.
Теперь найдем все голоморфные тэта-функции типа
(Н, ф, Ф, L). Такими функциями являются голоморфные,
не равные тождественно нулю функции, удовлетворяющие
при всех g?G соотношению E) п. 3, т. е. соотношению
Принимая во внимание предыдущие формулы и, в частно-
Ю Андре Вейль

J46 Глава VI
сти, формулы A0), A1) и A2), получаем, что для g'?G'
и целых s1? ... , sn справедливо соотношение
n
B
a=l
= e('
zaga + ,
n
2j Zag<
a=l
n
?' + 2
a=
n
»)• n
a=l
| Sagn+aJ =
1
n
ч Z' VI
<\» Cl a / X1 о с '
ia "I — /i - ca^cf
" a=l
n
¦а о Z_l ^oHc
o,P=l
jpSaSp)-
A3)
Эта формула показывает, что b(Y,zaga) — целая функция
от 21? ... , zn, периодическая с периодом 1 по каждому
из этих переменных; значит, ее можно разложить в схо-
сходящийся ряд Фурье:
a=l гх,..;, rn=—c» a=i
Подставляя это выражение для 6 в соотношение A3)
и сравнивая ряды Фурье, стоящие в правой и левой
частях, получаем после простых вычислений, что
С (ra + easa) =
А ' n n
2 ?Л
a=i ¦ a,p=l a, |
где вместо С {rv .,., гп) стоит С (ra) и аналогичная замена
произведена в левой части. Эта формула позволяет убе-
убедиться, что коэффициенты С (га) полностью определяются
своими значениями при 0<ra<|ea| (l<a<n); значит,
целые функции, удовлетворяющие соотношению A3),
образуют комплексное векторное пространство размерности,
не превосходящей е = \ел ... еп\, т. е. пфаффиана формы А
на G х G (см. п. 1). Чтобы доказать, что размерность
этого пространства в точности равна е, достаточно пока-

Комплексные торы, Игэта-функции, абелевы. многообразия 147
зать, что каждый из рядов Фурье
00 П П
SiТТ v-sa^jY_ V (r _i_e
в.,..., в =-оо a=1 0=1
п
1
а,р=:1 а, р=1
всюду сходится и определяет некоторое решение уравне-
уравнения A3). Действительно, ясно, что те из этих рядов,
которые получаются при 0<ra<|ea| для 1<а<л, фор-
формально линейно независимы, и определяют, следовательно,
линейно независимы над С функции, если они сходятся.
Непосредственно проверяется, что каждый ряд A4) фор-
формально удовлетворяет уравнению A3); это следует также
из проведенных выше выкладок. Сходимость рядов A4)
следует из того, что мнимая часть матрицы || еар^ || яв-
является матрицей положительной невырожденной квадратич-
квадратичной формы. Действительно, обозначим через е наимень-
наименьшее собственное значение этой формы. Легко убедиться
в том, что для всякого б, удовлетворяющего неравенству
О < б < яе, и всякого компактного множества К в Е
существует положительная константа С > 0, такая, что
ряд A4) мажорируется почленно в К рядом
который, как известно, сходится. Ряды вида A4) назы-
называются «тэта-рядами».
Отсюда легко выводится следующий результат:
Предложение 7. Пусть E/G — комплексный тор,
Н — риманова форма для E/G, А —мнимая часть формы
Н, и Ео — ее ядро. Пусть, далее, т|з — семихарактер группы
G, связанный с Н, Ф — симметрическая Q-бишнейная
форма на Е х Е, и L — Q-линейная форма на Е. Пред-
Предположим, что семихарактер г|з равен тождественно 1
на группе Go = G f~| Eo. Тогда константа нуль и голо-
голоморфные тэта-функции относительно G типа (Н, iM, Ф, L)
ю*

1_48 Глава VI
образуют комплексное векторное пространство размер-
размерности, равной редуцированному пфаффиану формы А
на GxG.
Если б' — тривиальная тэта-функция типа (О, 1, Ф, L),
то из предложения 2 п. 3 следует, что 8—>68' —изомор-
—изоморфизм пространства голоморфных редуцированных тэта-
функций типа (Я, г|з) на пространство голоморфных тэта-
функций типа (Я, г|>, Ф, L); размерность пространства,
образованного функциями последнего типа и константой
нуль, не зависит поэтому ни от Ф, ни от L. Предыдущие
рассмотрения вместе с предложением 6 п. 6 содержат дока-
доказательство нашего предложения для случая, когда форма Я
невырожденна. Общий случай легко получается путем
перехода к фактор-пространству. Действительно, как мы
убедились, достаточно рассмотреть случай Ф = О, L = 0.
Положим Е* = Е/Е0, и пусть G* — образ G в Е*; пусть,
далее, Я* — эрмитова форма на Е* х ?*, порожденная
формой Я. Без труда проверяется, что функция т|)* на G*,
индуцированная семихарактером if>, является семихарак-
тером группы G*, связанным с Я*. С другой стороны,
в силу предложения 5 п. 5 всякая голоморфная реду-
редуцированная тэта-функция типа (Я, г|э) имеет своими
периодами все векторы подпространства Ео; значит,* она
порождает функцию на Е*, которая, как легко проверить,
является голоморфной редуцированной тэта-функцией
типа (Я*, т|)*). Верно и обратное: всякая такая функция
определяет на Е тэта-функцию типа (Я, г|з). Поскольку
форма Я* невырожденна, окончательный результат следует
из уже доказанного частного случая.
Из результатов п. 3, 4 и 5 следует, что условия,
наложенные на Я, т|), Ф и L в формулировке предложе-
предложения 7, необходимы для того, чтобы существовала голо-
голоморфная тэта-функция типа (Я, т|), Ф, L). Предложение 7
показывает, между прочим, что эти условия также
и достаточны.
Условимся называть класс когомологий степени A,1)
на E/G положительным, если положительна канонически
связанная с ним эрмитова форма Я. Принимая во внима-
внимание теорему 1, мы получаем следующий результат:

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 149
Теорема 2. Пусть а —целочисленный класс кого-
мологий степени A,1) на комплексном торе E/G. Для
того чтобы на E/G существовал положительный диви-
дивизор D, такой, что a (D) = а, необходимо и достаточно,
чтобы класс а был положительным.
8. Пусть E/G — комплексный тор. Ясно, что если Я
и Я' — римановы формы для E/G, то тем же свойством
обладает форма Н-\-Н', и что ядром Н-\-Н' является
пересечение ядер Я и Я'. Следовательно, среди ядер
римановых форм для E/G имеется такое ядро Ео, которое
содержится во всех других; Ео называется ядром прог
странства Е относительно тора E/G, а его образ в E/G —
ядром E/G. Комплексная размерность пространства Е* =
= Е/Ео называется рангом E/G. Риманова форма для E/G
с ядром Ео называется доминантной формой для E/G.
Если Я — какая-либо риманова форма для E/G, то ее ядро
содержит Ео и, следовательно, Я определяет эрмитову
форму Я* на Е* х ?*; пусть G* — образ G в Е*, тогда
Я* является римановой формой для E*/G*. Для того
чтобы Я была доминантной формой для E/G, необходимо
и достаточно, чтобы форма Я* была невырожденной.
Если Я — доминантная форма, а Я' — какая-либо риманова
форма для E/G, то существует положительная константа К,
такая, что Я' (х, х)<ХН (х, х) при всех х?Е; это полу-
получается, если перейти к фактор-пространству по Ео.
Предложение 6 п. 6 показывает, что при каждом п
существуют комплексные торы комплексной размерности п
и ранга п. В силу следствия из этого предложения всякий
комплексный тор комплексной размерности 1 имеет ранг 1;
при п>2 и 0<г<л существуют комплексные торы
комплексной размерности п и ранга г. Комплексный тор,
ранг которого равен его комплексной размерности, назы-
называется абелевым многообразием. Другими словами, ком-
комплексный тор является абелевым многообразием, если он
обладает невырожденной римановой формой. Следующее
предложение показывает, что это понятие не отличается от
понятия многообразия Ходжа в случае комплексных
торов.

150 Глава VI
Предложение 8. Комплексный тор является
абелевым многообразием тогда и только тогда, когда
он является многообразием Ходжа.
Докажем сначала необходимость этого условия. Дей-
Действительно, если Я — невырожденная риманова форма для
комплексного тора E/G, то естественным образом связан-
связанная с Я форма Q степени A,1). инвариантная относитель-
относительно сдвигов, принадлежит целочисленному классу и опре-
определяет на E/G кэлерову структуру. Обратно, пусть
замкнутая форма Q степени A,1). принадлежащая цело-
целочисленному классу, необязательно инвариантная относи-
относительно сдвигов, определяет на E/G кэлерову структуру.
Выбрав какой:либо базис в Е над С, мы можем записать
а,р=1
где /а, р — такие функции на E/G, что матрица |)/а,|з|| в каж-
каждой точке E/G положительно определена. Тогда в силу
п. 2 гл. IV гомологичная Q гармоническая форма не зави-
зависит от выбора инвариантной относительно сдвигов формы
ds2 и записывается в виде
где через sjft обозначено среднее значение на E/G. Ясно,
что естественным образом связанная с Ц, эрмитова форма Я
положительна и невырожденна. Поскольку Q принадлежит
целочисленному классу, тем же свойством обладает Qo
и, следовательно, Я является римановой формой для E/G.
Применим теперь введенные выше понятия к изучению
поля мероморфных функций на комплексном торе. Следую-
Следующая теорема позволяет ограничиться при этом случаем
абелевых многообразий.
Теорема 3. Пусть E/G — комплексный тор, Ео — ядро
пространства Е относительно E/G, Е* = Е/Е0, и
G* — образ G в Е*. Тогда E*/G* — абелево многообра-
многообразие; естественное отображение f, пространства Е на Е*

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 151
порождает гомоморфизм h тора E/G на E*/G*, ядро
которого N является ядром комплексного тора E/G.
Далее, всякая редуцированная тэта-функция относи-
относительно E/G имеет вид Q ° f, где б — редуцированная тэта-
функция относительно E*/G*- В частности, отображе-
отображение ф —> ф о h определяет изоморфизм поля мероморфных
функций на E*/G* на поле мероморфных функций на E/G.
Первая часть теоремы следует непосредственно из
предыдущего. По теореме 1 всякая редуцированная тэта-
функция относительно E/G является отношением двух
голоморфных редуцированных тэта-функций; поскольку
каждая из них в силу предложения 5 п. 5 и определе-
определения Ео имеет своими периодами все векторы Ео, такая
функция может быть представлена в виде 9 о /; тогда
ясно, что б — редуцированная тэта-функция относительно
E*/G*. Последнее утверждение теоремы следует из того,
что мероморфную функцию на E/G можно рассматривать
как редуцированную тэта-функцию типа @, 1).
Теорема 4. Пусть E/G — абелево многообразие ком-
комплексной размерности п. Тогда поле К мероморфных
функций на E/G является полем алгебраических функ-
функций размерности п над С, т. е. конечным алгебраическим
расширением чисто трансцендентного расширения поля С
степени трансцендентности п.
Докажем сначала, что степень трансцендентности
поля К над С не меньше п. Действительно, пусть Я —не-
—невырожденная риманова форма для E/G, т|> — семихарактер
группы G, связанный с Я, б —голоморфная редуцирован-
редуцированная тэта-функция типа (Я, т|э) и D — ее дивизор на E/G.
В силу следствия из предложения 3 п. 3 функция
/(х) = 8(л;+а)8(х-а)[8(х)Г2
мероморфна на E/G при всех а?Е. Применяя следствие 3
из теоремы 1 п. 5, получаем, что если X и X' — две ком-
компоненты дивизора D, то множество сдвигов на E/G, пере-
переводящих X в X', или пусто, или образует класс смежности
по некоторой замкнутой подгруппе группы E/G. Отсюда
сразу же получаем, что существует бесконечное множество
векторов а?Е, таких, что дивизоры функций б(х + а)
и 9(х —а) на E/G не имеют общих компонент с D. Диви-

152 Глава VI
зор функции / тогда имеет вид D' — 2Д где D' — поло-
положительный дивизор, не имеющий общих компонент с D.
Следствие 4 из теоремы Г п. 5 показывает, что сдвиги
на E/G, оставляющие / инвариантной, образуют конечную
группу.
Предположим, что функция / выбрана указанным выше
способом. В каждой точке Ь, в которой в(Ь)фО, диф-
дифференциал df определяет ковектор, который при помощи
сдвига, переводящего & в 0, можно отождествить с ковек-
тором б (Ь) в точке 0. Покажем, что среди ковекторов
Ь{Ь) имеется п линейно независимых. В самом деле,
если бы это было не так, то в Е существовал бы нену-
ненулевой вектор с, такой, что в каждой точке Ь. в кото-
которой 6 не обращается в нуль, DTf(b-{-xc) = O, где через Dx
обозначен оператор djdr в точке т = 0. Но отсюда следо-
следовало бы, что f инвариантна относительно сдвигов п (тс)
при всех т?С, а это противоречит установленному выше.
Значит, имеется п точек 6,. ..., Ьп, в которых 6 не обра-
обращается в нуль, а ковекторы 6(Ьг) линейно независимы;
это означает также, что дифференциалы функций / (х + &;)
линейно независимы в точке 0. Следовательно, по теореме
о неявных функциях, существует окрестность точки 0,
в которой эти функции голоморфны и образ которой при
отображении
.. ,f(x+bn))
содержит открытое множество пространства С™. Поскольку
полином не может обращаться в нуль на открытом мно-
множестве, не обращаясь в нуль тождественно, отсюда сле-
следует, что п функций f(x+bt) алгебраически независимы.
Теперь покажем, что степень трансцендентности поля К
не может быть больше п. Действительно, пусть /, /„ ..., /п—
мероморфные функции на E/G; их дивизоры можно пред-
представить в виде
где D, Do Dn — положительные дивизоры. Пусть
б0 — редуцированная тэта-функция дивизора Do, и пусть
.(Я, ¦ф) — ее тип. Тогда функции 0 = /60, 6{ = /{90 — тэта-
функции типа (Я, т|)), дивизорами которых являются соот-
соответственно дивизоры D, Dv При каждом целом v>J

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 153
всякий одночлен степени v от 6, 60, ..., бп является
голоморфной редуцированной тэта-функцией типа (vH, i|>v);
число таких одночленов равно
+ я+Г-. (у + п+1)(у + п)...(у+1)
п+1 ) (п+1)!
Однако если е — редуцированный пфаффиан мнимой части А
формы Н ранга 2т, то редуцированный пфаффиан формы
vA равен \те; предложение 7 п. 7. показывает, что среди
рассматриваемых одночленов имеется не более \те линейно
независимых над С. Если v достаточно велико, то эти
одночлены не могут быть все линейно независимы, так
как т<«. Следовательно, если v достаточно велико, то
имеется однородный полином Р степени v, не равный
тождественно нулю, такой, что Р (б, 60, ..., 6П) = 0 или,
что то же самое, Р (f, 1, /,,..., /„) = 0.
Предположим теперь, что /,,..., fn — мероморфные
функции на E,G, алгебраически независимые над С; пока-
покажем, что К имеет конечную степень над С(/,,..., /п).
Для этого вновь представим дивизоры функций fi в виде
Dt — Do, где Do Dn — положительные дивизоры; пусть
0О — редуцированная тэта-функция дивизора Do, (H, ty) —
ее тип, который является одновременно типом голоморф-
голоморфных тэта-функций 6t = /te0. В силу следствия 4 из теоре-
теоремы 1 п. 5 векторы, принадлежащие ядру Ео формы Н,
являются периодами Д. Пусть Е* = Е/Ео, и G* — образ G
в ?"*. Тогда /4 отождествляются с мероморфными функ-
функциями на комплексном торе E*/G*; значит, в силу дока-
доказанного они не могут быть алгебраически независимы,
если комплексная размерность этого тора меньше п, т. е.
если Ео Ф {0}. Отсюда следует, что форма Н невырожденна.
Пусть теперь f[, ..., /у — функции из /С; представим их
дивизоры в виде D'Q — D'o, где D'o, ..., D'r — положитель-
положительные дивизоры; пусть (Я', т|>') — тип редуцированной тэта-
функции 8^ дивизора D'o; он является также типом функ-
функций 6о = /д0^. Если М — любой одночлен степени v от
{п+1) переменных Х0,...,Хп, то всякая функция
6'qM(80, ..., 6П) —это редуцированная тэтафункция типа
(H' + vH, i|/, i|3v); число их равно г (v + «)... (v + l)/A!.
Как и раньше, они не могут быть линейно незави-
независимы, если их число превосходит пфаффиан мнимой

154 Глава VI
части формы H'-\-vH на GxG. Но если Л и Л' —мнимые
части форм Н и #', то, выбирая в качестве базиса какую-
либо минимальную систему образующих группы G, мы
получаем, что пфаффиан формы A'+ vA является одно-'
родным полиномом степени п от элементов матрицы формы
.А'4-\А, а значит, полиномом степени п от v с коэффи-
коэффициентом при vn, равным пфаффиану е формы А. Следо-
Следовательно, при г > п\ е и достаточно большом v между
функциями 6оМ(8о, ..., 0П) имеется линейное соотношение
с постоянными коэффициентами, среди которых есть отлич-
отличные от нуля. Это означает, что если v достаточно велико,
то существует нетривиальное линейное соотношение меж-
между /q, коэффициентами которого служат полиномы сте-
степени, не превосходящей v, от flt ..., fn. Другими словами,
К. представляет собой конечное алгебраическое расшире-
расширение поля C(fv...,fn) степени, не превосходящей п\е.
9. Пусть б0, ..., 6jv — голоморфные тэта-функции одного
и того же типа (Н, т|), Ф, L) и Е' — множество тех точек
пространства Е, в которых не все эти функции обраща-
обращаются в нуль; через я, как всегда, обозначается естествен-
естественная проекция пространства Е на E/G; тогда Е' = я~1 (Т'),
где Т — дополнение до EIG пересечения носителей диви-
дивизоров cHve/g(9v)- Рассмотрим отображение множества Е'
в комплексное проективное пространство PN размер-
размерности N, при котором каждой точке х?Е' ставится
в соответствие точка с однородными координатами
(90 (х) 9jv(#))- Ясно, что это голоморфное отображе-
отображение Е' в PN, для которого все векторы из G являются
периодами; значит, оно порождает голоморфное отображе-
отображение ¦& множества Т' в PN. Если Т" = E/G, то будем
говорить для краткости, что 0 — определенное всюду
отображение тора E/G в PN, порожденное функциями
0о, ...,0/у. Мы покажем, что функции 6V можно выбрать
таким образом, что Ь будет определенным всюду бирегу-
лярным вложением, или, иначе говоря, изоморфизмом E/G
на его образ в PN, который при этих условиях представ-
представляет собой алгебраическое подмногообразие пространства PN
без особых точек. Доказательство опирается на следующие
леммы:

Комплексные торы, тэта-функции, абемвы многообразия 155
Лемма 5. Пусть Н — невырожденная риманова форма
для E/G и -ф — семихарактер группы G, связанный с Н.
Тогда существует голоморфная редуцированная тэта-
функция типа (Я, т|э), дивизор D которой на E/G имеет
только компоненты кратности 1 и инвариантен только
относительно тривиального сдвига на E/G.
Пусть V — векторное пространство, состоящее из голо-
голоморфных тэта-функций типа (Я, г|)) относительно E/G
и функции, тождественно равной нулю; из предложения 7
п. 7 следует, что размерность V равна пфаффиану е мни-
мнимой части А формы Я на G x G. Пусть 8 — одна из рас-
рассматриваемых тэта-функций, и D — ее дивизор на E/G.
В силу следствия 3 из теоремы 1 п. 5 группа Г сдвигов,
оставляющих инвариантным D, конечна; значит, группа
G' = я (Г) дискретна в Е, и G имеет в G' конечный
индекс, равный порядку v группы Г. Из предложения 3
п. 3. следует, что при g' ? G' функция 8(;t + g') является
тэта-функцией для E/G типа (Н, ty^ 0, Lj), указанного
в формулировке этого предложения. По определению G'
эта функция имеет на E/G тот же дивизор D, что и 8;
тогда, применяя следствие 2 из предложения 5 п. 5, полу-
получаем, что ¦ф1 = 'ф и 8 (л. + g')/d {х) — тривиальная тэта-функ-
тэта-функция типа @, 1,0, L,); значит, она имеет вид e[L1(x) + c],
где с —константа. Другими словами, 8 является тэта-
функцией относительно тора E/G'. Пусть (Я', i|/, Ф', L') —
ее тип относительно EjG'; из формулы E) п. 3 следует
тогда, что если г|з0 — функция, индуцированная функцией i|/
на G, то 6 имеет тип (Я', ify, Ф', L') относительно E/G;
значит, Ф'= 0, L' = 0, Н' = Н, и ij/ индуцирует г]з на G;
отсюда следует, в частности, что А принимает целые
значения на G' X G'. Тогда, если е' — пфаффиан фор-
формы А на G'xG', то e = ve'\ поэтому v делит е и, следо-
следовательно, G' содержится в группе е'Ю, состоящей из
векторов e'xg, где g?G. Значит, если заданы G и Я, то
для выбора G' имеется конечное число возможностей.
Пусть группа G' фиксирована и ^ — семихарактер G',
связанный с Н, индуцирующий г]э на G. Всякий другой
семихарактер г|/, обладающий этими свойствами, имеет
вид грд. где % — характер группы G', равный 1 на G, или,
другими словами, характер G'/G. Если G, H, G' и т|) заданы,
то г))' можно выбрать конечным числом способов. При фикси-

156 Глава VI
рованных G' и i|/ голоморфные редуцированные тэта-функ-
тэта-функции типа (Я, г))') относительно E/G' вместе с константой
нуль образуют векторное подпространство V простран-
пространства V размерности e' = e/v, где v —индекс G в &'. Сле-
Следовательно, множество тэта-функций, принадлежащих про-
пространству V, дивизоры которых инвариантны только отно-
относительно тривиального сдвига на E/G, образует в V
дополнение к объединению конечного числа векторных
подпространств пространства V размерности, меньшей е;
это множество открыто и всюду плотно в V. Если 8 при-
принадлежит этому множеству, то ему принадлежит и всякая
8' ? V, достаточно близкая к б в смысле топологии про-
пространства V.
Пусть 6 —функция, принадлежащая указанному мно-
множеству, D — ее дивизор на E/G, D% — компоненты . диви-
дивизора D и пх — их кратности; далее, при каждом % пусть
8^ —редуцированная тэта-функция дивизора D%. В силу
теоремы 1 п. 5 имеем 0 = с[]б^, где с —некоторая кон-
константа. Положим
в'(*) = сП П
К (=1
применяя следствие из предложения 3 п. 3, получаем,
что 6' — тэта-функция того же типа (И, т|)), что и Ь, если
только axi удовлетворяют при всех К условию 2 ам = 0;
значит, когда это имеет место, 8' принадлежит простран-
пространству V. Далее, если выразить 8' через элементы базиса
пространства V, то коэффициенты этого выражения будут
непрерывными (и даже голоморфными) функциями от аи-
Применяя предыдущий результат, получаем отсюда, что
если пц выбраны достаточно близкими к 0, то дивизор D'
тэта-функции 8' на E/G инвариантен только относительно
нулевого сдвига.
Для каждого К пусть {Н%, %) обозначает тип 8^
и Е%— ядро Н%. В силу следствия 3 из теоремы 1 п. 5
л,(Ех) является подгруппой конечного индекса группы 1\
сдвигов, оставляющих инвариантным дивизор D^. Далее,
если Оц при (х ф X является образом D% при некотором
сдвиге, то Гц = Тх, и сдвиги, которые переводят Dx в D^,

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 157
образуют класс смежности по 1\, отличный от 1\. Отсюда,
во-первых, следует, что если a^i достаточно близки к нулю,
то дивизоры функций 6^ {х + а«) и 6ц (х + а>и) на E/G — раз-
различные неприводимые дивизоры при i Ф {х; далее, если
при каждом X выбрать коэффициенты аи достаточно
близкими к нулю и удовлетворяющими условиям
то дивизоры функций 6^ (х + a%i) и h{x + a%j) на E/G при
/ ф j являются различными неприводимыми дивизорами.
Значит, выбирая а^ указанным способом, мы получим
тэта-функцию 6', удовлетворяющую всем требованиям
леммы.
Лемма 6. Пусть 8 — голоморфная редуцированная
тэта-функция типа (Я, г))) относительно E/G и D — ee
дивизор на E/G. Предположим, что форма Н невырож-
денна и что дивизор D имеет только компоненты крат-
кратности 1. Для каждой точки b?E, в которой 6 (р) = О,
обозначим через б (Ь) ковектор в точке 0, получающийся
при сдвиге ковектора, определяемого в точке b диффе-
дифференциалом d%. Тогда среди ковекторов б (Ь) имеется п
линейно независимых.
Предположим противное. Тогда в Е имеется вектор
а Ф 0, такой, что в каждой точке Ь, в которой 6 (Ь) = О,
имеем db{b\ a) = 0, где db (b; a) — значение на а линейной
формы на Е, определяемой ковектором б (Ь). В силу след-
следствия 3 из теоремы 1 п. 5 связная компонента группы
сдвигов на E/G, оставляющих инвариантной одну из ком-
компонент дивизора D, имеет вид я (?'), где Е' — век-
векторное подпространство пространства Е; далее, в силу
того же следствия пересечение этих групп является конечной
подгруппой группы ?/G, так как форма Н невырожденна,
и, следовательно, пересечение подпространств Е' сводится
к {0}. Значит, существует компонента Ц, дивизора D, такая,
что если я (Ео) — связная компонента группы сдвигов,
оставляющих ее инвариантной, то векторное пространство
Ео не содержит а. При этих условиях можно выбрать
такое е > 0, что при всяком х g С, удовлетворяющем усло-
условию 0 < | х J < 8, образ Dx компоненты Do при сдвиге я (та)

Vl
не совпадает с Do. Пусть теперь Ь — точка пространства Е,
для которой я (Ь) является простой точкой на Do и не
принадлежит никакой компоненте дивизора D, отличной
от Do; такие точки существуют в силу теоремы 7 п. 10
Приложения. Тогда db ф 0 в b и существует вектор а',
такой, что db (b; а') Ф 0. Выберем в Е базис (ех еп)
таким образом, чтобы ех = а, еп = а'; пусть blt...,bn —
координаты точки b в этом базисе. Используя лемму
Вейерштрасса (Приложение, п. 3, лемма 2), мы можем
в окрестности точки b представить 6 в виде
Q(z) = F(z)[zn-bn-f(Zl zn_x)\,
где функция F голоморфна и не обращается в нуль
в окрестности точки Ь, а функция / голоморфна в окрест-
окрестности точки (blt ..., 6n_j) в С". Если при помощи проек-
проекции л отождествить достаточно малую окрестность точки
b в Е с ее образом при отображении я в E/G, то можно
сказать, что Do совпадает в окрестности точки b с мно-
множеством нулей функции 6, т. е. с множеством точек,
определяемых условием
Zn-bn = f(zlt -.., zn_x).
В окрестности точки b при всяком Ь', при котором 6 F') = 0,
имеем db(b'\ а) — 0; поэтому df/dz1 = O в окрестности Ь.
Отсюда следует, что при достаточно малом т дивизор Dx,
получающийся из Do при сдвиге я (та), содержится
в окрестности точки b на Do, а это, принимая во внимание
следствие 2 из теоремы 7 п. 10 Приложения, противоречит
доказанному выше.
10. Теперь мы в состоянии доказать теорему, о которой
шла речь выше.
Теорема 5. Пусть E/G — абелево многообразие,
Н — невырожденная риманова форма для E/G и т|) — семи-
характер группы G, связанный с Н. Пусть (90, .. .,BN) —
базис в пространстве голоморфных редуцированных тэта-
функций типа C#, ty2) относительно E/G. Тогда б0, ..., 9jv
задают определенное всюду, взаимно однозначное и бире-
гулярное отображение ¦& многообразия E/G на алгебраи-
алгебраическое подмногообразие V без особых точек комплексного

Комплексные торы, тэта-функции, аёелевы многообразия 15
проективного пространства PN. Далее, отображение
/—»/сд определяет изоморфизм поля L рациональных
функций на V на поле К мероморфных функций на E/G.
Пусть б —тэта-функция типа (Н, i|)), обладающая свой-
свойствами, указанными в лемме 5 п. 9, и D —ее дивизор.
Положим
Ф (х; а, и, v) = б (х -\- и) б (х — а -\- v) 6 (х + а — и — v).
В силу следствия из предложения 3 п. 3 при любых а, и
и v функция ф является тэта-функцией типа (ЗЯ, т|K),
а значит, линейной комбинацией 0О, ..., bN с постоянными
коэффициентами. При всяком а можно выбрать v так,
чтобы б (v) Ф 0, а затем м так, чтобы
б (а + м) 6 Bа - м — v) Ф 0;
тогда ф не равна нулю в точке а; следовательно, функ-
функции б0, ..., 0jv не могут одновременно обращаться в нуль.
Это показывает, что отображение •& является определен-
определенным всюду.
Пусть а и b—точки пространства Е, имеющие различ-
различные образы в E/G; если положить t = л(а — Ь), то ?=^0.
Поскольку 6 определена при помощи леммы 5 п. 9, образ Dt
дивизора D при сдвиге t не совпадает с D. Так как
дивизоры D и Dt имеют одинаковое число компонент,
и все эти компоненты имеют кратность 1, отсюда следует,
что имеется по крайней мере одна компонента D, не
являющаяся компонентой Dt; значит, множество точек
этой компоненты, принадлежащих носителю дивизора ?),,
нигде не плотно на ней (Приложение, следствие 2 из тео-
теоремы 7 п. 10), таким образом, можно выбрать точку v ? Е,
такую, что я (v) принадлежит этой компоненте, но не при-
принадлежит |D,|. Иначе говоря, б(и) = О, 0(и — а-\-Ь)фО.
Тогда выберем и так, чтобы
В этом случае функция ф (х; а, и, v) равна нулю в точке а
и не равна нулю в точке Ь. Если представить ее в виде
L@0, ..., блг), где L —линейная форма, то Ь (а) принад-
принадлежит гиперплоскости, определенной уравнением L = 0,
а Ь{Ь) не принадлежит ей. Значит, Ф —вложение.

160 Глава VI
В силу леммы 6 п.9 имеется п точек Ь1г...,Ьп,
в которых бF?)=0, а ковекторы бF{) независимы, или,
что то же самое, дифференциалы функций Ь(х + Ьг) линейно
независимы в точке 0. Пусть, далее, Ьо^точка, в которой
6 (Ьо) Ф 0, а — какая-либо точка пространства Е и и — точка,
в которой
п
9(а + м) \]Ь{2а-и-ЬЛфО.
г=0
Положим <pj (х) = ф (х; а, м, 6t) при 0</<п; тогда ф4
можно записать в виде ф; = L{ (90, ..., влг), где /^ — линей-
линейные формы. Очевидно, что при этих условиях п функций
/^Фг/Фо- 1^г<^я> голоморфны в точке а и равны нулю
в ней, а их дифференциалы линейно независимы. Это озна-
означает, что если обозначить через /{ мероморфную функцию
Li/L0 в PN, то функции /|од голоморфны в точке л (а),
обращаются в ней в нуль, а их дифференциалы линейно
независимы. Следовательно, отображение # локально
бирегулярно в этой точке (см. п. 1 гл. III).
Поскольку Ф—вложение компактного многообразия E/G
в PN, оно является гомеоморфизмом E/G на его образ;
так как оно локально бирегулярно, то $ (E/G) — подмно-
подмногообразие пространства PN и ¦& — изоморфизм многообра-
многообразия E/G на $ (E/G) в смысле комплексных аналитических
структур. Пусть $ — идеал в кольце С[Х0, ... ,XN],
порожденный однородными полиномами Р, тождественно
равными нулю на #(?/G), или, другими словами,
однородными полиномами, для которых тождественно
Р F0, ..., 6д') = 0. Пусть V — множество нулей идеала $.
Ясно, что ф — однородный простой идеал и, значит, V —
алгебраическое многообразие; точнее, V—наименьшее алгеб-
алгебраическое многообразие, а также наименьшее алгебраи-
алгебраически замкнутое множество (объединение конечного числа
алгебраических многообразий), содержащее $(E/G). По-
Поскольку множество особых точек многообразия V является
таким множеством, отсюда следует, что $(E/G) в нем
не содержится, т. е. имеется по крайней мере одна точка и
пространства E/G, такая, что $ (и) — простая точка на V.
Значит, в силу теоремы 8 п. 11 Приложения размерность
многообразия V не меньше п. С другой стороны, из тео-

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 161
ремы 4 п. 8 следует, что для любой системы индексов
i0, ... ,'/п+1, выбранных из множества {0, ..., N}, идеал $
содержит однородный полином от Xig, ...,Х»п+1, не рав-
равный тождественно нулю; это означает, что размерность V
не превосходит п. Значит, размерность многообразия V
равна п. Обозначим через V' множество простых точек
многообразия V; мы уже убедились, что множество V" —
— V [)¦& (E/G) непусто; оно замкнуто в V", а также
открыто в V, так как по доказанному и по теореме 8
п. 11 Приложения в окрестности каждой его точки $(E/G)
и V являются многообразиями комплексной размерности п,
первое из которых вложено во второе. Поскольку по той же
теореме V связно и всюду плотно в V, отсюда следует,
что V" = V"; значит, •& (?/G) содержит V, и, стало быть, V.
Итак, d {E/G) — V; из той же теоремы Приложения следует
тогда, что V не имеет особых точек.
Покажем, наконец, что # определяет изоморфизм между
полем L рациональных функций на V и полем К меро-
морфных функций на E/G; это равносильно тому, что
всякая мероморфная функция на E/G может быть пред-
представлена в виде
где Р и Q —однородные полиномы одной и той же сте-
степени, причем Q не принадлежит идеалу $. Заметим сна-
сначала, что функции, которые можно представить в таком
виде, образуют поле Кг, изоморфное полю L. Поскольку
размерность V равна п, Кг является полем алгебраических
функций степени трансцендентности п над С. Применяя
теорему 4 п. 8, получаем, что К — расширение поля Кх
конечной степени d, и можно записать К^КгО), где/ —
элемент К, удовлетворяющий неприводимому уравнению
степени d над Кг; это уравнение можно записать в виде
.2 РгК ¦••.Mfd"i = o.
где коэффициенты Pt являются однородными полиномами
одной и той же степени v, причем Ро не принадлежит ф.
11 Андре Вейль

162 Глава VI _^
Функция
0' = РоFо Од,)/
является тогда тэта-функцией типа Cv#, \|Kv), а также
целым элементом над кольцом полиномов от 60, .. ., 8^.
Кольцо ростков голоморфных функций в точке про-
пространства Е является кольцом с разложением, значит,
оно целозамкнуто (Приложение, теорема 1 п. 4 и п. 1),
откуда следует, что функция 6' всюду голоморфна. Пусть
6„, • •.. бд — базис в пространстве голоморфных тэта-функ-
тэта-функций типа Cv#, i|Kv) относительно E/G. Применяя к vH
и i|)v доказанное для Н и -ф, получаем, что эти функции
определяют изоморфизм О' многообразия E/G на алгебраи-
алгебраическое подмногообразие V размерности п пространства PR;
значит, существует изоморфизм q многообразия V на V
в смысле комплексных аналитических структур, такой, что
¦д = qoO'. Далее, О определяет изоморфизм между полем L'
рациональных функций на V и полем К[ мероморфных
функций на E/G, представимых в виде однородных рацио-
рациональных функций степени 0 от 9^,..., 6д. Поскольку каж-
каждый одночлен степени v от 60, ..., 6^ может быть записан
в виде линейной комбинации 6д, поле К[ содержит все
функции 6V/6O и, значит, содержит К^, так как 6'
и Ро (®о< ¦ • • ' fyv) могут быть записаны в таком виде, отсюда
следует, что К[ содержит /. Итак, К[ = К. Следовательно,
отображение F-^-Foq определяет изоморфизм поля L на
подполе Lx поля L', такое, что V имеет степень d отно-
относительно Lx. Значит, q — рациональное отображение V на V;
так как q взаимно однозначно, оно бирационально, т. е.
имеем L' = Z.j, d—l, откуда К = Кг, что и требовалось
доказать.
11. Относительно абелевых многообразий и эндомор-
эндоморфизмов абелевых многообразий имеют место следующие
результаты, первый из которых известен под названием
«теоремы Пуанкаре о полной приводимости».
Теорема 6. Пусть V = E/G — абелево многообразие
комплексной размерности п и Н — невырожденная рима-
нова форма для V. Пусть Е' —подпространство про-

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 163
странства Е комплексной размерности р, такое, что
группа G' = G[~\E' имеет ранг 2р, и Е" — подпространство
пространства Е, ортогональное к Е' относительно
формы Я. Тогда Е" имеет комплексную размерность
q = n — p, группа G" = G f) E" имеет ранг 2q, а образы
V' и V" пространств Е' и Е" в V являются абелевыми
многообразиями, изоморфными соответственно E'/G'
и E"/G", причем их пересечение является конечной под-
подгруппой группы V.
По определению, Е"—множество точек х ? Е-, в которых
Я (х, у) = 0 при всех у ? ?'; в такой точке также А (х, у)— О
при всех у$Е', где через А, как обычно, обозначена мнимая
часть формы Я. Обратно, первая из формул C) п. 2 показы-
показывает, что если в некоторой точке х имеем А (х, у) = О
при всех у?Е', то и Н (х, у) = 0 при всех у$Е, т. е.
тогда х ? Е". Так как по предположению Е' порождается
над R элементами группы G', Е" можно определить, как
совокупность точек х?Е, в которых А(х, g) = 0 при всех
ggG'. Если принять за базис в Е над R минимальную
систему образующих группы G, то, так как форма А прини-
принимает на G X G целые значения, Е" определяется уравнениями
с целыми коэффициентами. Следовательно, Е" порождается
над R своими точками с рациональными координатами,
а значит, и своими точками с целыми координатами, т. е.
точками, принадлежащими G". Это означает, что G" имеет
ранг 2<7, где q — комплексная размерность подпро-
подпространства Е", которая равна п — р, так как форма Я невы-
рожденна. Ясно, что эрмитовы формы, индуцируемые на
Е' и Е" формой Я, являются невырожденными римановыми
формами для E'/G' и E"/G" соответственно. Ясно также, что
естественное отображение л пространства Е на E/G инду-
индуцирует на Е' отображение с ядром G', которое определяет,
следовательно, изоморфизм тора E'/G' на многообразие
V = jt(?'); точно также л определяет изоморфизм тора
E"/G" на У" = я(?"). Пусть, наконец, G^G' + G"; по-
поскольку пространство Е является прямой суммой подпро-
подпространств Е' и Е", Gx имеет ранг 2п, а значит, конечный
индекс в G. Следовательно, л определяет гомоморфизм /
тора E/G1 на E/G, ядро которого у является конечной
группой, изоморфной группе G/Gv Далее, обозначим через
V[ и V{ образы подпространств Е' и Е" в E/G^ тогда ?/Gj
11*

164 Глава VI >
является прямым произведением V[ и V", и / индуцирует
на V[ и V" изоморфизмы этих торов на V' и V" соответ-
соответственно. Следовательно, группа Г = V f) V" является пере-
< сечением f{V[)n f{Vl), или, другими словами, образом при
отображении / множества точек и ? V[, для которых
существуют точки v ? V"v удовлетворяющие условию f(u) —
= f(v), или, что то же самое, условию и — v?y. Иначе
говоря, Г —образ при отображении / проекции мно-
множества y на V[ (относительно разложения ?/Gx в прямое
произведение V[ и VI). Значит, это конечная группа.
Следствие. В предположениях и обозначениях тео-
теоремы 6 существуют два эндоморфизма а' и а" абелева
многообразия V и целое положительное число v, такие,
что vd = a' + a", a'(V) = V, a"{V) = V", где б -тож-
-тождественный автоморфизм абелева многообразия V.
Пусть р' и р" — операторы проектирования, определяемые
в пространстве Е разложением Е в прямую сумму под-
подпространств Е' и Е", или, другими словами, ортогональные
проекции на Е' и Е" в смысле эрмитовой геометрии, опре-
определяемой формой Н. Оба они проектируют группу Gt —
= G'+G" в G; значит, если v —общее кратное порядков
всех элементов группы G/Glt т. е. vGczG^ то vp', vp"
переводят группу G в себя и определяют, стало быть,
эндоморфизмы а', а" абелева многообразия V. Непосред-
Непосредственно проверяется, что они удовлетворяют требованиям
следствия.
12. Теперь перейдем к изучению кольца эндоморфизмов
абелева многообразия. Начнем с более общих рассмотре-
рассмотрений. Пусть X — гомоморфизм комплексного тора E/G
в комплексный тор E'/G'; имеются в виду гомоморфизмы
в смысле комплексной структуры, т. е. гомоморфизмы,
которые являются одновременно голоморфными отображе-
отображениями. Как и раньше, отождествим пространства Е и Е'
соответственно с пространствами векторов, касательных
к E/G и E'/G' в точке 0; тогда главная линейная часть
отображения Я в точке 0 является С-линейным отображе-
отображением L пространства Е в Е'. Как известно, при наших
условиях L переводит G в G' (см., например, Бурбаки Н.,
Общая Топология. Числа и связанные с ними группы

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 165
пространства, гл. VII, § 2, пп. 3 — 4). Обратно, .всякое
С-линейное отображение пространства Е в Е', переводящее
G в G', определяет гомоморфизм тора E/G в тор E'/G'.
В дальнейшем вместо гомоморфизма комплексного тора
в комплексный тор будет удобно рассматривать его глав-
главную линейную часть в точке 0; иногда для краткости мы
не будем отличать одно из этих отображений от другого.
В частности, отождествим кольцо эндоморфизмов ком-
комплексного тора E/G с кольцом ЭД эндоморфизмов про-
пространства Е, переводящих G в себя. Обозначим через
ЭДо. расширение кольца 31 при помощи поля рациональных
чисел Q. Если GQ—векторное пространство над Q, порож-
порожденное над Q элементами группы G, то 2JQ является
кольцом эндоморфизмов пространства Е, переводящих
Gq в себя. Ясно, что всякий автоморфизм пространства
Е, переводящий Gq в себя, индуцирует на Gq авто-
автоморфизм Gq, а значит, обратим в 2tQ.
Обозначим через Е пространство, антидвойственное
пространству Е (см. п. 1. гл. I), т. е. пространство анти-
антилинейных форм на Е, снабженное структурой комплексного
векторного пространства; обозначим через (х, х) при х ? Е
их?Ё значение в точке х антилинейной формы на Е, опре-
определяемой элементом х; значит,(х, х) — полуторалинейная1)
форма на Ех Ё. Всякий базис (elt ..., еп) в пространстве Е
над С, порождает в Е базис (ev ..., еп), называемый двой-
двойственным к первому, такой, что (et, е;) = 6tj при всех / и /.
Мнимая часть / (х; х) формы (х, х) является R-билинейной
формой на ЕхЁ, которая, как легко проверить (например,
при помощи ее выражения через элементы базиса про-
пространства Е и двойственного ему базиса пространства Ё),
невырожденна. Отсюда следует (см., например, Бурбаки Н;
Общая топология, Числа и связанные с ними группы
пространства, гл. VII, § 1, п. 3), что если G —дискрет-
—дискретная подгруппа ранга 2п в пространстве Е, то множество б
векторов g ? Ё, таких, что / (g, g) = 0 (mod 1) при всех g ? G,
является дискретной подгруппой ранга 2п в пространстве Ё;
См. п. 2. гл. \. — Прим. перед,

166 Глава VI
далее, при этих условиях G — множество тех g?E, для
которых / {g, g) = 0 (mod 1) при всех g ? &. Будем называть
в этом случае группы G и G ассоциированными относи-
относительно билинейной формы /. Если G и G ассоциированы отно-
относительно /, то говорят, что комплексный тор Ё/G двойст-
двойствен комплексному тору E/G; этот последний тогда в свою
очередь двойствен Ё/G (пространство Е допускает есте-
естественное отождествление с пространством, антидвойствен-
антидвойственным пространству ?).
Пусть теперь Я — риманова форма для комплексного
тора E/G. При всяком у ? Е отображение х—*Н(х, у)
пространства ? в С антилинейно; значит, существует такое
отображение фн пространства Е в Ё, что
Н(х,у) = (х, <рну)
для всех х и у из Е; форма Я эрмитова, а отображение
Фя линейно. Мнимая часть формы Я запишется в виде
A(x,y) = I(x, (fHy).
Утверждение, что А принимает на G x G целые значе-
значения, равносильно тому, что <рн отображает G в под-
подгруппу G пространства Е, ассоциированную с G относи-
относительно /, или в силу предыдущего тому, что фн опре-
определяет гомоморфизм комплексного тора E/G в двойственный
ему комплексный тор Ё/G. Для того чтобы отображение фн
было изоморфизмом Е на Ё, необходимо и достаточно,
чтобы форма Я была невырожденна. В этом случае фн
отображает Gq на Gq, а ф^1 является отображением про-
пространства Ё на Е, отображающим GQ на Gq; таким обра-
образом, существует целое число v > 0, такое, что уфд1 опре-
определяет гомоморфизм Ё/G на E/G. Если Н — невырожденная
риманова форма и Я' — какая-либо риманова форма для E/G,
то фдХфя/ является эндоморфизмом пространства Е, перево-
переводящим Gq в себя, или, другими словами, принадлежащим
расширению 2Iq при помощи поля Q кольца эндоморфизмов

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы. многообразия 167
комплексного тора E/G. Если v выбрано так, как указано
выше, то эндоморфизм vy^q>H, принадлежит этому послед-
последнему кольцу. В частности, всякое абелево многообразие,
обладающее двумя существенно различными римановыми
формами (т. е. такими, что ни одна из них не является
скалярным кратным другой), допускает нетривиальный эндо-
эндоморфизм (т. е. такой, который не является целым кратным
тождественного автоморфизма).
Пусть E/G и E'/G' — два комплексных тора, a E/G
и E'/G' — двойственные им торы. Как и в п. 1 гл. I, каж-
каждому линейному отображению L пространства Е в про-
пространство Е' ставится в соответствие линейное отображение
L — 'L пространства Е' в пространство Ё. Оно называется
антитранспозицией L и удовлетворяет равенству (Lx, x') =
= (х, Lx') при всех х? Е, х' ? Ё'; выделяя справа и слева
мнимые части, получаем I (Lx, х') = Г (х, Lx'), где через /'
обозначена форма, аналогичная форме /, связанная с про-
пространством Е'. Отсюда сразу следует, что если L отобра-
отображает G в С, то L отображает G' в G. Иначе говоря,
отображение L-^-L ставит в соответствие каждому гомо-
гомоморфизму комплексного тора E/G в комплексный тор E'/G'
гомоморфизм комплексного тора E'/G' в комплексный
тор Ё/G. Если, в частности, Е' = Е, то тем самым каж-
каждому эндоморфизму L тора E/G ставится в соответствие
эндоморфизм L тора E/G.
Пусть Н — невырожденная эрмитова форма на Е х Е; за-
запишем ее в виде {х,уну), где фн — линейное отображение
пространства Е на Е; тогда каждому эндоморфизму L про-
пространства Е можно при помощи Н поставить в соответствие
сопряженный эндоморфизм V', т. е. такой, что
при всех х и у пз Е. Простая выкладка показывает, что
L' можно задать также при помощи формулы

Ш8 Глава VI
Из предыдущего следует, что если Я — риманова форма
для EJG и L отображает Gq в себя, то тем же свойством
обладает V'.
Обозначим через Tr (L) след эндоморфизма L про-
пространства Е и через a (L) — след эндоморфизма L про-
пространства Е, рассматриваемого как вещественное
векторное пространство. 'Если {еъ ...,еп) — базис в про-
пространстве Е над С, то 2п векторов ev, iev образуют базис
в пространстве Е над R, и при помощи этих базисов можно
проверить, что a(L) = TV (L)-f7>(L). Далее, если Я —
положительная невырожденная эрмитова форма на Е х Е,
то a (LL') > 0 для всякого отличного от нулевого эндо-
эндоморфизма L пространства Е (через V всегда обозначается
эндоморфизм, сопряженный эндоморфизму L относи-
относительно Я). Чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать
в Е базис, в котором форма Я представляется в виде
Я (г, хю) = 2 zawa; тогда, если X = || ха$ || — матрица эндо- •
о __
морфизма L в этом базисе, то 1Х = || х$а || — матрица эндо-
эндоморфизма L'; таким образом, a(LL') = 2 2 | *ар|2- Пусть
а, р
E/G — комплексный тор, и L — эндоморфизм этого тора; при-
приняв за базис в Е над R минимальную систему образующих
группы G, мы получим, что o(L) — целое число.
В результате доказана следующая
Теорема 7. Пусть E/G — абелево многообразие,
41 — кольцо эндоморфизмов E/G, Щ — расширение кольца 31
при помощи Q и Я — невырожденная риманова форма
для E/G. Для всякого эндоморфизма L пространства Е
обозначим через L' эндоморфизм, сопряженный ему отно-
относительно Я. Тогда отображение L—^-L' индуцирует на Wq
инволютивный антиавтоморфизм 2Iq. Далее, если обозна-
обозначить через а след эндоморфизма пространства Е, рас-
рассматриваемого как вещественное пространство, то о при-
принимает целочисленные значения на 'к и рациональные
значения на 5(q, причем <J(LL') >0 для всякого L Ф О1).
*) Верно и обратное: всякая алгебра § над Q с дефинитной инво-
инволюцией L -> U (т. е. о (LL1) > 0 при L ф 0) изоморфна расширению
при помощи Q кольца эндоморфизмов некоторого абелева многообра-

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 169
Из этой теоремы вытекают основные свойства алгеб-
алгебры $Iq; в частности, из нее следует, что Mq — полупро-
полупростая алгебра и что центр каждой ее простой компоненты
является или абсолютно вещественным полем алгебраи-
алгебраических чисел, или абсолютно мнимым квадратичным рас-
расширением этого поля1).
13. Мы закончим эту главу доказательством ряда
теорем существования некоторых типов комплексных
торов.
Предложение 9. При любом положительном п
существуют абелевы многообразия размерности п, до-
допускающие в качестве эндоморфизмов только целые
кратные тождественного автоморфизма.
Мы будем опираться на вторую часть предложения
6 п.6, где для определенности и простоты записи поло-
положим целые числа еа равными 1. Пространство симметри-
симметрических матриц Z = ||zap|| можно рассматривать как комп-
комплексное векторное пространство размерности п(п+1)/2.
В этом пространстве множество матриц, мнимые части
которых являются матрицами положительных невырожден-
невырожденных форм, открыто и непусто. Как и в предложении 6,
пусть (gv ..., gn) — базис векторного пространства Е
зия. См. Albert A. A., A solution of the principal problem in the
theory of Riemann matrices, Ann. of Math., 35, 3A934), 500—515;
Involutorial simple algebras and real Riemann matrices, Ann. of Math.,
36, 4 A935), 886—964; Пятецки й-Ш а п и р о И. И., Теория моду-
модулярных функций и смежные вопросы теории дискретных групп, УМН,
XV, 1(91), A960), 99—136.— Прим. перев.
*) Пусть К—поле вещественных алгебраических чисел. Для
простоты будем считать, что К является расширением поля рацио-
рациональных чисел Q при помощи одного алгебраического числа в сте-
степени п (К— Q (в)). Если 6 —корень неприводимого полинома Р степе-
степени п над Q, все корни которого вещественны, то поле К называется абсо-
абсолютно вещественным. Все элементы К представимы в виде полиномов
от 6 степени, меньшей п, с коэффициентами из Q. Элемент S (в) ? К на-
называется абсолютно положительным, если положительны числа S (8j),
где 6j — корни полинома Р. Пусть t — абсолютно положительное
число из поля К и а = У—t\ тогда поле К (а) называется абсо-
абсолютно мнимым расширением А'. —Прим. перев.

170 Глава VI
над С и G —группа, порожденная векторами ga
и векторами gn+B, определенными по формуле (8), если
положить в ней pap = zap- Пусть L — эндоморфизм про-
пространства Е, преобразующий G в себя. Тогда
2 ар?р 2 pgn+p (К a < Л),
Р=1 р=1
S CaPgp + 2 4.pgn+p (K a < /i),
P=l p=l
где элементы матриц Л = ||аар||, Б = ||6ар||, С = ||сар||
и D = H'rfop |l — целые числа. Принимая во внимание то, что
gn+a определены при помощи формулы (8) и что L — С-
линейное отображение, получаем после простых выкладок
2 avPY 2 YPY« 2 ^буаРб = 0
(l<a, p<n).
Левые части этих соотношений являются полиномами
второй степени с целыми коэффициентами от элементов
гар матрицы Z; значит, при фиксированных А, В, С и D
совокупность матриц Z, удовлетворяющих этим соотно-
соотношениям, является алгебраически замкнутым множеством
F (А, В, С, D), или, иначе говоря, объединением конечно-
конечного числа алгебраических многообразий. Для того чтобы
F (А, В, С, D) совпадало с пространством всех симметри-
симметрических матриц, необходимо, чтобы указанные выше соот-
соотношения выполнялись тождественно или чтобы для вся-
всякой симметрической матрицы Z имело место равенство
C + DZ-ZA-ZBZ^O.
Полагая Z — z-\n, где через 1П обозначена единичная
матрица, получаем, что С — О, fi = 0, D — A; выбирая
в качестве Z какую-либо диагональную матрицу, полу-
получаем, что матрица А диагональна; так как А перестано-
перестановочна со всякой симметрической матрицей Z, она имеет
вид а-1п. Пусть F — объединение всех множеств
F (А, В, С, D), где А, В, С и D не удовлетворяют систе-
системе условий: В = С = 0, A = D = a-\n с целым а; каждое
из этих множеств нигде не плотно, их объединение

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 171
является множеством первой категории и, значит, не
может содержать никакого открытого множества (В о и г-
baki, Top. Gene., Chap. IX, §5, п.2, 3). Следовательно,
существует симметрическая матрица Z, мнимая часть
которой является матрицей положительной невырожден-
невырожденной квадратичной формы, не принадлежащая множе-
множеству F. Тогда комплексный тор E/G, определенный при
помощи этой матрицы, допускает в качестве эндомор-
эндоморфизмов только целые кратные тождественного автомор-
автоморфизма. Поскольку этот тор в силу предложения 6 яв-
является абелевым многообразием, предложение 9 доказано.
Заметим, что в силу следствия из теоремы 6 п. 11
абелево многообразие E/G, обладающее свойством, сфор-
сформулированным в предложении 9, не имеет собственных
абелевых подмногообразий (т. е. отличных от {0] и E/G);
такое многообразие называется простым.
Предложение 10. При любых целых п и г, удов-
удовлетворяющих условиям п> 2, 0<г<п, существуют
комплексные торы размерности п и ранга г.
При г — п это следует из предложения 6, потому что
комплексный тор, ранг которого равен его размерности,
есть не что иное, как абелево многообразие. Предполо-
Предположим, что г = 0. Пусть М — комплексное векторное про-
пространство размерности 2п2, образованное матрицами II =
= !|«av|l (l<a<n; I <v<2«). Для U?M пусть G(U) —
подгруппа в пространстве С", порожденная 2п векторами
= {uiy, ..., unv) (l<
Пусть, наконец, Q — множество точек U(iM, таких, что
G {U) — дискретная подгруппа ранга 2п, т. е. таких, что
2п векторов «<v> линейно независимы над R. Если обо-
обозначить через II' и U" вещественную и мнимую части
матрицы U, то Q —множество тех U, для которых опре-
Г IV \
„ J не равен нулю. При f/gQ про-
пространство Cn/G(U) — комплексный тор; покажем, что со-
совокупность точек U?u, для которых этот тор имеет
положительный ранг, содержится в объединении счетного

172 Глава VI
семейства алгебраических подмногообразий пространства
М размерности, меньшей 2п2, а значит, в подмножестве
первой категории пространства М; отсюда будет следо-
следовать, что существует точка U?п, такая, что Cn/G(U)
имеет ранг 0.
Предположим сначала, что ранг CnjG(U) равен п;
пусть в этом случае А — мнимая часть невырожденной
римановой формы для этого тора. Если С = ]| Cp,v || [\i, v =
= 1,... , 2n) — целочисленная матрица с определите-
определителем ± 1, то очевидно, что отображение U —>UC является
автоморфизмом пространства М, переводящим Q в себя,
и что G (U) = G (UC) при всех U. Положим g- = 2 с^и^\
тогда gv образуют минимальную систему образующих
группы G(U). Если матрица С выбрана таким образом,
что эта система — базис в G(U), адаптированный для
формы А, то предложение 6 показывает, что векторы
gv ...,gn линейно независимы над С, и, если еа и рар
определены так, как в этом предложении, то ||еарар|| —
симметрическая матрица. Положим ^/С=||1/ W\\, где
V и W — две матрицы с п строками и п столбцами,
и обозначим через Е диагональную матрицу ||еадар||;
тогда последнее утверждение эквивалентно тому, что
матрица V обратима, а ЕVXW — симметрическая матри-
матрица. Поскольку Е — симметрическая и обратимая матрица,
это последнее условие означает, что матрица
~* -'V =
симметрическая. Это условие выражается при помощи
однородных алгебраических соотношений второй степени
относительно элементов матриц V и W, а значит, и отно-
относительно uav. Следовательно, при любых фиксированных
С и Е эти соотношения определяют алгебраически замк-
замкнутое множество F (Е, С) в М. С другой стороны, ясно,
что при п>2 всегда F (Е, С) ф М. Если U не принад-
принадлежит объединению всех F(E, С), то тор Cn/G(U) имеет
ранг, меньший п.
Предположим, что Cn/G (U) имеет ранг г, причем
0 < г < п. Ядро Ео пространства Сп относительно этого
тора имеет тогда комплексную размерность п — г, а груп-
группа Go = G (U)[]E0~ ранг 2n —2r. Значит, существует

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 173
минимальная система (gv ..., g2n) образующих группы
G (U), такая, что Со порождается элементами gly ..., g2n_2r,
а Ео порождается над С элементами gv ..., gn_r. Как
и раньше, мы можем записать: g = 2 с^и^ при 1 < v < 2п,
где С = || c^v || — целочисленная матрица с определите-
определителем ±1. Запишем UC = \\V W ГЦ, где V и W-матрицы
с п строками и п — г столбцами, а Т — матрица с п стро-
строками и 2г столбцами. Поскольку gn_r+1, ... , g2n-2r яв-
ляются линейными комбинациями gx, ..., gn_r с ком-
комплексными коэффициентами, имеется такая матрица X
с п — г строками и п — г столбцами, что W — VX. Но
совокупность матриц \\V VX Т\\, где V — матрица с п
строками и п — г столбцами, X —матрица с п — г строка-
строками и п — г столбцами и Т — матрица с п строками и 2г
столбцами, является алгебраическим подмногообразием Vr
в пространстве М размерности 2п2 — г(п — г). Таким
образом, показано, что если Cn/G(U) имеет ранг г, то U
принадлежит образу VТС'Х подмногообразия Vr при авто-
автоморфизме U—>UC'1 пространства М. Значит, если вы-
выбрать в качестве U точку множества Q, не принадле-
принадлежащую объединению всех многообразий Vfi'1 и всех
алгебраически замкнутых множеств F (Е, С), определенных
выше, то ранг тора Cn/G (U) будет равен 0. Указанное
объединение является множеством первой категории в М
при п > 2, следовательно, существование такого тора
доказано.
Построим, наконец, комплексный тор размерности п
и ранга г, где 1<г<п—1. Положим s = n — r. Пусть
Е— векторное пространство комплексной размерности п;
обозначим через gt gs, g2stl, ..., gn+s векторы, обра-
образующие базис в Е над С, и через Ео — подпространство
пространства Е, порожденное над С векторами glt ..., ga.
При помощи предложения 8 в ? можно построить век-
векторы
s
&+|i=S2Mk (l<H<s), A5)
Л—1
такие, что если Go —подгруппа в Ео, порожденная век-
векторами gv ..., g2s, то Eo/Go — абелево многообразие, до-
допускающее в качестве эндоморфизмов только целые крат-

174 Глава VI
ные тождественного автоморфизма. Тогда, применяя тео-
теорему 6 п. 11 и следствие из нее, получаем, что не су-
существует комплексного векторного подпространства Е'о
пространства Ео, отличного от Ео и {0} и такого, что
ранг группы GO[]E'O равен 2d\mE'i). С другой стороны,
положим
S Г
gn+s+Q = 2 UQkgx + 2 ZQ0g2s+a (К Q < Г), A6)
Л— 1 0:=1
где || z'Qa || — симметрическая матрица, мнимая часть кото-
которой является матрицей положительной невырожденной
квадратичной формы, и где || иох|| — произвольная матри-
матрица с г строками и s столбцами. Пусть G —группа, по-
порожденная векторами glt ¦•¦,g2n и С* —ее образ в про-
пространстве Е*=Е/Е0. Из предложения 6 следует, что
G* — дискретная группа ранга 2г в Е* и ?*/G* — абелево
многообразие размерности г. Отсюда легко получается,
что G — дискретная группа ранга 2п в Е, и ясно, что
тогда ЕЮ имеет ранг, равный по крайней мере г, а ядро
Е'о пространства Е относительно E/G содержится в Ео.
Так как группа Gf)E'0=Gof)E'0 должна при этом иметь
ранг, равный 2 dim E'o, из сказанного выше следует, что
или Е'о= Ео, или Е'0 = {0}; другими словами, тор E/G
либо имеет ранг г, либо является абелевым многообразием.
Предположим, что E/G — абелево многообразие, и при-
применим к E/G и Ео теорему 6. Из нее следует, что в Е
имеется подпространство Е1 размерности г, являющееся
дополнением к Ео и такое, что группа Gx= О[)Ег имеет
ранг 2г; группа G' = G0-|-G1 имеет тогда ранг 2я, и су-
существует целое положительное число v, при котором
G'ZDvG. В частности, vg2s+Q(:G' ПРИ l<Q<2r; таким
образом, существуют элементы g'Q ? G1 и целые числа aQx,
такие, что
2s
+ 2 aQxgx (l<e<2r). A7)
Тогда векторы^ g'r имеют те же образы в Е* = Е/Ео,
что и векторы соответственно vg2s+l, ... , vgn, s; значит,
эти образы линейно независимы над С. Это можно выра-
выразить иначе, сказав, что векторы g[, ... , g'r линейно не-

Комплексные торы, тэта-функции, абелевы многообразия 175
зависимы над С по модулю Ео. Они тем более линейно
независимы над С в ? и, следовательно, порождают над С
подпространство Ev Таким образом, векторы gr+i. •.. , g'zr
являются линейными комбинациями векторов g[, ..., g'r
с комплексными коэффициентами. Но при 1 < q < г имеем
г г
g'r+Q = vgn+s+Q = v2 z'Qag = 2 z^agc (modEo).
Поскольку g'v ..., g'r линейно независимы над С по мо-
модулю Ео, коэффициенты, которые фигурируют в выраже-
выражениях g'r+u ..., g'2r через g[, ..., g'r, совпадают с z'QC, т. е.
2 pg (
a=l
Используя формулы A5) —A7), получаем
Г S S ¦
V«qX= 2 4а(ааЯ+ 2 ао, s+n^n) — аг+оД — 2 ar+Q,
a=l ц=1 M=l
Итак, если выбрать г^ц и ZqO указанным способом, а иоа,
выбрать так, чтобы они не удовлетворяли приведенным
выше соотношениям ни при каких целых v > 0 и ао\, то
тор E/G будет иметь ранг г.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ДИВИЗОРОВ
НА КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
1. За всеми сведениями, касающимися частично упоря-
упорядоченных групп и отношений делимости, мы отсылаем
к книге Bourbaki, Alg., Chap. VI, § 1. Напомним, что
если А—область целостности (коммутативное кольцо без
делителей нуля, содержащее единичный элемент, отлич-
отличный от 0), Е — мультипликативная группа обратимых
элементов кольца А, К — поле отношений А и К*—муль-
К*—мультипликативная группа отличных от нуля элементов К, то
на Д=/С*/? можно определить структуру частично упо-
упорядоченной группы, принимая за множество положитель-
положительных элементов А+ образ в А множества Л* = Л —{0}.
Отношение делимости в К (относительно А) выражается
через свойства А. Для обозначения операции в группе Д
мы будем использовать аддитивную запись.
Два элемента группы К* называются ассоциирован-
ассоциированными, если они имеют один и тот же образ в А, т. е.
если их отношение принадлежит Е. Элемент группы А
называется неприводимым, если он является минимальным
элементом в А+—{0}. Элемент х множества А* — Е имеет
своим образом в А такой элемент тогда и только тогда,
когда его нельзя представить в виде х = уг, где у, г?А* — Е.
В этом случае элемент х также называется неприводи-
неприводимым. Назовем кольцо А кольцом с разложением, если
А — прямая сумма подгрупп, порожденных его неприводи-
неприводимыми элементами, или, что то же самое, если всякий
элемент 6 ? Д+ можно одним и только одним способом
(с точностью до порядка слагаемых) представить в виде
п
б = 2 ^v, где п > 0, a 6V — неприводимые элементы. Кольцо
А является кольцом с разложением тогда и только тогда,
когда множество А+ удовлетворяет следующим двум
условиям:

Элементарные свойства дивизоров VH
(a) Всякое непустое множество элементов А+ содер-
содержит минимальный элемент (это «условие минимальности»
для А+);
(b) Если б—неприводимый элемент и б1; б2 6 А+, то из со-
соотношения б -< 6j -f б2 следует, что или б -< 6^ или б -< б2,
Действительно, необходимость этих условий очевидна.
Предположим, что условие (а) удовлетворяется, и пусть
п
б?А+. Множество X элементов Д+ вида б— 2 ^v (где
v=l
п>0, а элементы 6V неприводимы) содержит тогда мини-
минимальный элемент б'. Если б' ^ О, то множество (непустое)
элементов б" -< б' совокупности Д+ — {0} содержит мини-
минимальный элемент 6S; очевидно, что он неприводим. Тогда
б' — Ь'ё?Х, что противоречит определению элемента б'.
Значит, 6=0, и б — сумма неприводимых элементов.
С другой стороны, очевидно, что если условие (Ь) выпол-
выполняется, то элемент множества А+ не может быть более
чем одним способом (с точностью до порядка) представ-
представлен в виде суммы неприводимых элементов.
Если А — кольцо с разложением, то А — структура
(Bourbaki, там же). Это означает, что для любой
конечной совокупности элементов из К наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное относительно коль-
кольца А определены однозначно с точностью до множителя,
ассоциированного с единицей. В частности, всякий элемент
z ? К можно представить в виде z = х/у, где х, у — два взаимно
простых элемента кольца А, т. е. элементы, не имеющие
в А общих делителей, кроме ассоциированных с 1. Сле-
Следовательно, кольцо А целозамкнуто. Действительно, если
х и у взаимно просты в А и г = х/у — целый элемент
п
над А, то имеет место соотношение zn + 2 х{гп'1 = 0, где
xt б А, которое можно переписать в виде
хп = - У 2 ъх"" V •
г=1
Значит, элемент хп является кратным элемента у,
так что всякий неприводимый делитель элемента у де-
12 Андре Вейль

i f 8 Приложение
лит xn, а, следовательно, также и х. Элементы х
и у взаимно просты, поэтому у не имеет неприводимых
делителей и для него существует обратный элемент в А;
значит, z ? А.
Напомним еще следующий элементарный результат:
Лемма 1. Пусть А — целозамкнутая область цело-
целостности и К—ее поле отношений. Пусть Р —унитар-
—унитарный полином1) в А[Т] и Q — унитарный полином в К[Т],
причем Р делится на Q в кольце К[Т). Тогда Q при-
принадлежит А[Т] и Р делится на Q в А [Т].
Коэффициенты полинома Q можно представить в виде
полиномов от его корней. Последние являются также
корнями полинома Р и, стало быть, целыми элементами
над А, а значит, и коэффициенты полинома Q —целые
элементы над А. Согласно предположению леммы, эти
коэффициенты принадлежат К, а кольцо А целозамкнуто;
поэтому они принадлежат кольцу А, а полином Q —коль-
—кольцу А [Т]. Полином P/Q также принадлежит А [Т].
2. Пусть / — голоморфная функция в окрестности точки
и комплексного многообразия V. Множество функций,
определенных в окрестности точки и на V и совпадающих
с / в некоторой окрестности точки и, называется ростком
голоморфной функции, определенным в точке и функцией /,
и обозначается через yu(f). Пусть (zv ... ,zn) — система
локальных комплексных координат в окрестности и на V,
равных нулю в и. Голоморфную в окрестности точки и
функцию / можно представить в этой окрестности в виде
ряда Тейлора по zv ..., zn; yu(f) можно определить тогда,
как совокупность функций, имеющих в некоторой окрест-
окрестности точки и то же разложение в ряд Тейлора, что к
функция /. Очевидно, что совокупность ростков голоморф-
голоморфных функций в точке и на V можно рассматривать как
кольцо. Обозначим его через Аи (V). Оно изоморфно
!) Полином над кольцом А называется унитарным, если его
старший коэффициент равен единице. Корни унитарного полинома
называются целыми элементами над А. Если всякий целый элемент
над кольцом А, принадлежащий его полю отношений, принадлежит
самому кольцу А, то кольцо А называется целозамкнутым в своем
поле отношений. —Прим. перев.

Элементарные-свойства дивизоров 179
кольцу рядов по степеням zv ..., zn, сходящихся в окрест-
окрестности точки 0. Это кольцо представляет собой область
целостности. Поле отношений кольца AU(V) обозначим
через KU(V); его элементы называются ростками меро-
морфных функций в точке и на V.
Пусть у = Yu (/) — росток голоморфной функции в точке
и на V, определенный голоморфной в окрестности точки
и функцией /. Он однозначно определяется разложением
Тейлора функции f в окрестности точки и по степеням zt.
Если у ф 0, то сумма членов, имеющих наименьшую сте-
степень по zv ..., zn в этом разложении, представляет собой
однородный полином, отличный от нуля. Обозначим его
степень через т (у). Легко проверить, что т (у) не зави-
зависит от выбора локальных координат zt. Равенство т (у) = 0
выполняется тогда и только тогда, когда }(и)фО, т. е.
когда росток у принадлежит мультипликативной группе
Еи (V) обратимых элементов кольца Аи (V). Для любых
Y, у' из AU(V) — {0} имеем: т(уу1) = т(у)+ tn (у').
Как и в п. 1, рассмотрим фактор-группу KZ(V)/EU(V)
как аддитивную частично упорядоченную группу; ее эле-
элементы называются ростками дивизоров в точке и на V.
Если y$KZ{V), то образ y в этой группе обозначим через
div(Y). Если y = Yu (/) —росток голоморфной функции,
определенный голоморфной в окрестности точки и функ-
функцией /, то будем иногда писать divu (f) вместо div(Yu(f)).
По определению рост,ок дивизора положителен в точке и,
если он имеет вид divu(/), где /—голоморфная в окре-
окрестности точки и функция, такая, что уи (/) Ф 0.
Два ростка голоморфных функций y> Y' определяют
один и тот же росток дивизора в точке и тогда и только
тогда, когда y/Y' ? Еи (V). В этом случае т (y/y) = 0> от"
куда т (у) = т (у'). Значит, т (у) зависит только от рост-
ростка дивизора d = div (y) и определяет функцию jx (б) = т {у)
с целыми положительными значениями на множестве положи-
положительных ростков дивизоров в точке и. Если б —такой росток,
то равенство ц F) = 0 эквивалентно равенству 6 = 0; если б,
б' —такие ростки, то }х(бб') = (х(б) + {х(б'). Пусть X —мно-
—множество таких ростков; тогда всякий элемент 6gX, для
которого fx F) принимает наименьшее значение, является
минимальным элементом множества X; значит, множество
положительных ростков дивизоров в точке и на многооб-
12*

180 Приложение
разии V удовлетворяет условию минимальности (условию
(а) п. 1).
. 3. Напомним теперь лемму Вейерштрассах) («Vorbereit-
ungssatz»).
Лемма. 2. Пусть f— голоморфная в окрестности точки
0 функция в Сп. Предположим, что функция z~m f @, ...
..., О, zn) голоморфна в окрестности точки 0 в С и не
равна нулю при гп = 0. Тогда:
(I) Существуют окрестность U точки 0 в С™ и голо-
голоморфная всюду отличная от нуля в U функция е, такие,
что в U функцию ef можно представить в виде
где ф( — голоморфные в окрестности точки О функции
в С", равные нулю в точке 0. Далее, ростки голоморф-
голоморфных функций уо(е), уо(ф4) однозначно определяются со-
соотношением A).
(II) Для любой голоморфной в окрестности точки 0
функции g в Сп существуют окрестность V точки 0 в
С" и голоморфная в V функция h, такие, что функцию
g — fh в V можно представить в виде
т
g-fh = ^i(zv...,zn_1)z^-\ B)
где г|^ — голоморфные в окрестности точки 0 функции в
С". Далее, по заданным fug ростки yo(h), Yoi^i) оп-
определяются из соотношения B) однозначно.
Правая часть соотношения A), где функции <р4 обладают
указанными выше свойствами, т. е. голоморфны в окрест-
окрестности точки 0 и равны нулю в точке 0, называется поли-
полиномом Вейерштрасса.
Применяя лемму Вейерштрасса, часто используют сле-
следующую лемму:
*) См. Фукс, Б. А. Теория аналитических функций многих
комплексных переменных,. М.—Л., 1948, стр. 147; Зигель К.,
Автоморфные функции многих комплексных переменных, М., 1954,
стр. 8. В литературе эту лемму называют иногда подготовительной
теоремой Вейерштрасса. — Прим. перев. v

Элементарные свойства дивизоров 181
'Лемма 3. Пусть f1, ..., fr — функции, голоморфные
в окрестности точки и на комплексном многообразии V.
Предположим, что уи (fQ) Ф О при 1 < q<г. Пусть mQ —
— fn(yu(fQ)), где l<Q<r. Тогда существует система
локальных координат (zv ..., zn) в окрестности точки
и на V, равных нулю в точке и, и таких, что функции
z~mofQ (О, ..., О, zn) голоморфны в окрестности точки О
в С и не равны нулю при zn = О.
Пусть wlt ...., wn — локальные координаты в окрестно-
окрестности точки и, равные нулю в и. Пусть Ре при каждом q
обозначает сумму членов степени т0 в разложении Тей-
Тейлора по wi функций fQ и (av ..., ап) — отличная от точки
О точка пространства С", в которой полином РхРг... Рг
не равен нулю. Переставляя в случае необходимости wv
можно предположить, что ап Ф 0. Тогда положим ку{ =
= zi + аггп при 1</<п-1 и wn = anzn; zi образуют
систему локальных координат, удовлетворяющую требова-
требованиям леммы.
В предположениях леммы 3, принимая ¦zi за коорди-
координаты, можно применить лемму Вейерштрасса к каждой
из функций /р, т. е. определить при каждом q голоморф-
голоморфную и неравную нулю в окрестности точки и функцию ее,
чтобы функция eofQ представлялась в виде полинома
Вейерштрасса от zn степени т0.
4. Чтобы упростить запись, обозначим через А кольцо
ЛО(СП'1) ростков в точке 0 голоморфных в окрестности
точки 0 функций от Zj, ..., zn_j и через К—поле отноше-
отношений А. Отождествим естественным образом кольцо A [zn]
полиномов от zn с коэффициентами из Л с подкольцом
кольца ЛО(СП). Если / — полином Вейерштрасса, то yo(f)
принадлежит A [zn]. Обозначим через W множество ростков
уо(/), соответствующих полиномам Вейерштрасса. Элемент
множества W степени т > 0 по zn не имеет обратного
элемента в Ао (Сп).
Лемма 4. Пусть y?W; тогда всякий элемент
у' ? A [zn], кратный у в Л0(С"), является кратным у так-
также и в Л[2П].

182 Приложение
Пусть т — степень у по zn. Поскольку у — унитарный
полином из A[zn], в A[zn] можно разделить y' на у, т. е.
представить y' в виде y'— YY" + Q> где y". Q принадлежат
Л[гп], причем степень q меньше т. С другой стороны,
так как полином y' делится на у в А0(Сп), то y'^=yYi>
где у^А0(Сп). Из утверждения единственности леммы
2A1) следует тогда, что у' =у" и q = 0.
Теорема 1. Кольцо Аи (V) ростков голоморфных
функций в любой точке и комплексного многообразия V
является кольцом с разложением.
В силу результатов п. 1 и 2 для доказательства тео-
теоремы достаточно убедиться в том, что если y. y'> У" ~
такие элементы Аи (V), что элемент y неприводим в Аи (V)
и делит y'y"> т0 У Делит y' или У"- Доказывать будем
при помощи индукции по комплексной размерности п мно-
многообразия V. При п = О утверждение не нуждается в до-
доказательстве. Обозначим через 1П утверждение теоремы
для размерности, равной п. Сначала проверим, что из ин-
индуктивного предположения, т. е. из утверждения \п_1
следует
Лемма 5. Пусть y?W; тогда всякий унитарный
полином из K[zn), который делит у в K[zn], принадле-
принадлежит W и делит у в A [zn]. Если элемент у неприводим
в Д, (С"), то он неприводим и в K[zn].
Как мы видели в п. 1, из ln.j следует, что кольцо А
целозамкнуто. Значит, в силу леммы 1 п. 1, если y = Y'Y">
где y' и y" — унитарные полиномы из K[zn], то у' и y"
принадлежат A [zn]. Тогда, если записать соотношение
Y = y'y" как соотношение между рядами Тейлора по
Zj, ..., zn и положить Zj = . .. = zn_x = 0, то сразу видно,
4TOY' и y" принадлежат W. В частности, если элемент y
не является неприводимым в К [zn], то его можно пред-
представить в виде y = Y'y"> гАе Y' и Y" —унитарные поли-
полиномы положительных степеней из /([zn]. В силу преды-
предыдущих результатов y' и у" принадлежат W и, следова-
следовательно, не имеют обратных элементов в Ло (Сп), т. е. эле-
элемент y не является неприводимым в А0(Сп).
Перейдем к доказательству утверждения \п. Пусть
Y = Yu if) — неприводимый элемент AU(V), у'.=* уи if) и

Элементарные свойства дивизоров 183
Y* = уи (Г) — Два элемента AU(V), такие, что y делит y'y"-
Используя леммы 3 и 2A), мы. сводим наши рассмотре-
рассмотрения к случаю, когда V = C", н = 0, а f — полином Вейер-
штрасса; пусть т — его степень. Применяя лемму 2A1)
к / и /', а также к / и f, мы приходим к случаю, когда
f и /" — полиномы от zn. Ввиду того что элемент у непри-
неприводим в Ао (Сп) по предположению, он в силу леммы 5
неприводим также и в /([zn]; значит, y делит или у',
или y" b K[zn\- Но так как y~ унитарный полином из
Л[г„], частное от деления на него полинома из A[zn]
также принадлежит A [zn]; значит, y делит или y\ или y"
в A[zn] и тем более в А0(Сп). Это завершает доказатель-
доказательство теоремы 1 и одновременно леммы 5 для всех п.
Заметим, что приведенное выше доказательство теоре-
теоремы I существенно опирается на леммы 2 и 3. Первая из
них, как известно, остается в силе для кольца формаль-
формальных'рядов от п переменных над произвольным основным
полем k. Доказательство другой леммы остается в силе
для этого кольца только в том случае, когда k бесконеч-
бесконечно. Значит, это кольцо является кольцом с разложением
для бесконечных полей k. Легко показать, что этот резуль-
результат имеет место и для конечных полей k.
5. На комплексном аналитическом многообразии V мож-
можно рассматривать кольцо голоморфных функций. Это коль-
кольцо не пусто, так так оно содержит во всяком случае кон-
константы, а также функции, постоянные на каждой связной
компоненте многообразия V. Если / — голоморфная функ-
функция на V, то множество точек и многообразия V, в кото-
которых уи (f) ;= 0, открыто и замкнуто, а значит, является
объединением связных компонент многообразия V. Очевидно,
что делителями нуля в кольце голоморфных функций на V
являются функции, тождественно равные нулю на какой-
либо связной компоненте, отличной от всего многообра-
многообразия V- В частности, это кольцо есть область целостности,
если V связно. Определим обычным образом кольцо (со-
(соответственно поле, если V связно) отношений кольца го-
голоморфных функций на V; его элементы, которые записы-
записываются в виде f/g, где / и g голоморфны и g не является
делителем нуля на V, называются мероморфными дробями

184 Приложение
на V. Если U — открытое подмножество многообразия V,
то всякая мероморфная дробь на V индуцирует естествен-
естественным образом мероморфную дробь на U.
Пусть ф = fig — мероморфная дробь, fug голоморф-
голоморфные функции и g не является делителем нуля на V. Оче-
Очевидно, что в каждой точке и ? V росток мероморфной функ-
функции Yu (f)/Yu (g) зависит только от и и ф. Назовем его
ростком в точке и мероморфной дроби ф и обозначим через
уи(ф). Ясно, что две мероморфные дроби совпадают, если
они определяют один и тот же росток в каждой точке
u$V. Более общо, пусть и —> уи — отображение, ставящее
в соответствие каждой точке «? V элемент Yu€^u(^)> T- е-
росток мероморфной функции в точке и. Будем говорить,
что это отображение определяет мероморфную функцию i|)
на V, если каждой точке и многообразия V можно поста-
поставить в соответствие ее открытую окрестность U и мероморф-
мероморфную дробь i|)u в U, такие, что y«' = Y«' МО в каждой точ-
точке и' g U. В этом случае мы будем писать yu W = Yu Для
всех u?V. Если ф —мероморфная дробь на V, то отож-
отождествим ф с мероморфной функцией, определяемой отобра-
отображением и—>Yu(t)- Совокупность мероморфных функций
на V можно естественным образом рассматривать как коль-
кольцо (или поле, если многообразие V связно), тогда меро-
мероморфные дроби образуют подкольцо (соответственно под-
подполе).
Рассмотрим теперь отображение u—>Du, которое каждой
точке и 6 V ставит в соответствие росток дивизора Du в точке
и, т. е. элемент множества /С* (V)/EU(V). Будем говорить,
что это отображение определяет дивизор на V, если каж-
каждой точке и многообразия V можно поставить в соответ-
соответствие ее открытую окрестность U и мероморфную функ-
функцию i|)u в U, такие, что уи> (i|)u) фО я Du> = div (yu, (i|iu))
для всех и' g ?/. В силу этого определения для мероморф*
ной функции ф на V, необращающейся тождественно в нуль
ни на одной связной компоненте многообразия V, отображе-
отображение и —» div (yu (ipu)) определяет на V дивизор, который мы
обозначим через div (ф). Совокупность дивизоров на многооб-
многообразии V можно естественным образом рассматривать как
частично упорядоченную коммутативную группу; мы будем
использовать для нее аддитивную запись. Если D, D' —
два дивизора, определяемые соответственно отображениями

Элементарные свойства дивизоров 185
и —» Du и u—>D'u, то соотношение D>-D' означает, что
Си >- D^ при всех и. Мероморфная функция i|) на V, не
обращающаяся в нуль тождественно ни на одной связной
компоненте многообразия V, голоморфна тогда и только
тогда, когда div (гр) >- 0. Отображение ф —> div (ф) являет-
является гомоморфизмом (мультипликативной) группы мероморф-
ных функций на V, не обращающихся тождественно в нуль
ни на одной связной компоненте многообразия V, в (аддитив-
(аддитивную) группу дивизоров на V. Ядро этого гомоморфизма
состоит из голоморфных функций на многообразии V, не
обращающихся в нуль ни в одной точке V. Как известно, если
многообразие V компактно, то в силу так называемого
принципа «максимума» эти функции постоянны на каждой
связной компоненте V. Дивизоры вида div^), где ф —меро-
—мероморфная функция на V, называются линейно эквивалент-
эквивалентными нулю на V; два дивизора D и D' на,1/ называются
линейно эквивалентными, если дивизор D — D' линейно
эквивалентен нулю.
6. Из теоремы 1 п. 4 следует, между прочим, что
группа ростков дивизоров в точке и комплексного много-
многообразия V образует структуру, т. е. что для всякой ко-
конечной совокупности таких ростков {6j, ..., 6Г} существуют
нижняя грань infFQ) и верхняя грань supFQ). Теперь
мы покажем, что тем же свойством обладает группа диви-
дивизоров на многообразии V. Этот факт содержится в следую-
следующем более точном результате:
Теорема 2. Пусть D и D'— два дивизора на ком-
комплексном многообразии V, и при каждом u?V пусть Du
wD'u— ростки дивизоров, определяемые в точке и диви-
дивизорами D и D'. Тогда отображение u~^>D"u—\nl(Du, Di)
определяет дивизор D" на многообразии V.
Мы докажем теорему, если убедимся в том, что для
всякой точки и g V существуют окрестность U и мероморф-
мероморфная в U функция а|), такие, что Dl = div (у„ (ty)) для всех
точек v?U. Для этого выберем мероморфную в открытой
окрестности Сточки и функцию i|), такую, что div (yu (т|))) =
= D'u. Заменяя V на W, D и D' на D - div (i|)) и D' — div(i|>)
соответственно, мы сводим все к доказательству того, что
если Du — 0, то Du = 0 для всякой точки v, достаточно

186 Приложение
близкой к и. Из равенства D« = 0 следует, что Du >- О,
Di >- 0; поэтому существует окрестность точки и, в кото-
которой D и D' можно представить в виде D = div(f), D' =
;=div(/'), где / и /' — голоморфные в этой окрестности
функции. В силу лемм 3 и 2 (I) п. 3 можно ограничиться
случаем, когда V — окрестность точки 0 в С", « = 0, а /
и /' — полиномы Вейерштрасса. В обозначениях п. 4 yo(f)
и Yo(/') принадлежат W. Следовательно, применяя лемму
5 п.4, мы получаем, что унитарный полином из /*C[zn],
который является в K[zn] наибольшим общим делителем
Yo(/) и Yo(D» принадлежит W; значит, он не имеет в А0(Сп)
обратного элемента, если Только его степень отлична от
нуля или, другими словами, если он не равен 1. Предпо-
Предположение D"u — 0 означает, что Yo(/) и Yo(f') взаимно просты
в А0(Сп) и, следовательно, в /([zj. Значит, существуют
голоморфная в окрестности точки 0 функция ф от гг, ¦.., гп_г
и полиномы g и g' от zn, коэффициенты которых — голо-
голоморфные в окрестности точки 0 функции от zv ...,гп^
такие, что yo{fg + f'g' — ф) = 0 иуо(ф)=#=О- Тогда имеется
открытая окрестность U точки 0 в С™, в которой функции
/, Г, g, g' и ф голоморфны и fg + f'g' — W- Пусть
о = (о1, ..., vn) — точка этой окрестности U. В силу тео-
теоремы 1 п.4 наибольший общий делитель y^(f) и yv(f)
принадлежит кольцу Av(Cn). Запишем его в виде Yd(^)>
где F — голоморфная в окрестности точки v функция.
Функции / и /' обращаются в нуль во всех точках окрест-
окрестности U, в которых обращается в нуль F; так как / и f —
унитарные полиномы от zn, коэффициенты которых — голо-
голоморфные функции от zv ..., zn_v функция F (vi, . .., wn_iZn)
от zn, голоморфная в окрестности vn, не может тождест-
тождественно обращаться в нуль в этой окрестности. Следовательно,
F относительно локальных координат z4 — у4 удовлетворяет
в точке v предположению леммы 2 (при подходящем выборе
показателя т), и, значит, в силу этой леммы F можно
заменить полиномом Вейерштрасса от zi — vi. Но в окрест-
окрестности II имеем: fg-\- f'g' = ф. Отсюда следует, что росток
Y,,^) является кратным y^(F) в Av(Cn), а, стало быть,
в силу леммы 4 и в кольце A' [zn], где через А' обозначено
кольцо ростков голоморфных функций в точке (vv ..., уп_г)
пространства С"'1. Следовательно, функция F, рассматри-
рассматриваемая как полином от zn — vn, делит ф, степень которой

Элементарные свойства дивизоров 187
по zn — vn равна нулю; тогда и степень F равна нулю,
а так как F — унитарный полином, это означает, что F = 1.
Другими словами, yv{f) и yv(f) взаимно просты в Аи(Сп)
при всех v ? U, что и требовалось доказать.
Следствие. Частично упорядоченная группа диви-
дивизоров на комплексном многообразии является структурой.
Итак, рассматривая дивизоры на некотором многообра-
многообразии, можно употреблять обычные обозначения теории струк-
структур. В частности, если мы имеем дивизор D, то D* —
= sup(D, 0) и D~ = sup( — D, 0); D* и D' — положитель-
положительные взаимно простые дивизоры, причем D = D+ — D~.
Заметим еще, что в силу теоремы 2 ростки D? и Du,
которые эти дивизоры определяют в какой-либо точке и
многообразия V, взаимно просты. Более общо, теорема 2
утверждает, что если D и D' — два дивизора, то дивизоры
inf(Z), D') и sup(D, D') определяются соответственно
отображениями и—>inf(Du, D'u) и и—>sup(Du, Du).
Пусть D — дивизор на многообразии V и пусть Du —
росток, определяемый дивизором D в точке и многообра-
многообразия V. Назовем носителем дивизора D и обозначим через
\D\ множество точек и б V, в которых Du Ф 0. Из опре-
определения дивизоров следует, что это множество замкнуто
и нигде не плотно в V. Из определений и из теоремы 2
также следует, что для всяких дивизоров D и D' носители
дивизоров D-\-D', inf(D, D') и sup(D, D') содержатся
в \D\[j\D'\. Если 0<D<D', то |D|c|D'|. Для вся-
всякого дивизора D имеем
Теорема 3. Если D — дивизор на связном комплекс-
комплексном многообразии V, то множество V — | D | связно.
Заменяя в случае необходимости D на D+-\-D~, можно
считать, что D >- 0. Предположим, что множество V — \D\
несвязно. Тогда оно допускает разбиение на два открытых
непустых множества V и V", не имеющих общих точек.
Пусть V и V" — замыкания V и V". Множество \D\ нигде
не плотно в V, поэтому V'[]V" — V. Многообразие V
связно, поэтому множества V и V" должны иметь общие

188 Приложение
точки. Пусть u?V'f)V". Если U — произвольная открытая
окрестность точки и, то множества U f) V и U f) V" образуют
разбиение множества U' = U — (Uf]\D\) на два открытых
непустых множества, не имеющих общих точек; отсюда
следует, что U' не связно. Если U — окрестность точки и,
в которой D = div(f), где f— голоморфная в U функция,
то U' — множество точек окрестности 0, в которых / ф 0.
Выбирая в окрестности точки и локальные координаты»
мы сводим все к случаю, когда U — открытая окрестность
точки й = 0 в Сп; эту окрестность можно считать выпук-
выпуклой. Для любых точек а ? U' и b?U' множество Т
точек / g С, таких, что а + (Ь — a) t б U, открыто и выпукло
в С и содержит 0 и 1; функция f (а + (Ь — а) /) голоморфна
в Т и не равна нулю ни в 0 ни в 1, значит, ее нули
изолированы в Т и множество точек, в которых она не
равна нулю, связно. Следовательно, а и b принадлежат
одной и той же связной компоненте множества U', а это
означает, что U' связно.
7. Пусть ф — голоморфное отображение комплексного
многообразия W в комплексное многообразие V. Пусть
функция / голоморфна на открытом множестве U много-
многообразия V и ф'— сужение отображения ф на f/' = ф (С);
тогда функция /'=/сф' голоморфна в W. Очевидно, что
если x?l/', то росток y' = yx(f) зависит только от х, ер
и от ростка Y = Yq,(X) (/)'> мы будем писать y'=y°(fx. Ото-
Отображение Y-^Y0(Px является гомоморфизмом кольца A^x)(V)
в кольцо AX(W); оно переводит группу E^X)(V) обратимых
элементов первого кольца в группу Ех (W) обратимых эле-
элементов второго кольца. Пусть у — элемент /СФ(Ж)(К), т. е.
росток мероморфнои функции в точке ф (х) на V. В силу
теоремы 1 п. 4 его можно представить в виде y = Y'/y">
где у' и y"~взаимно простые элементы кольца A^iV),
определенные однозначно с точностью до обратимого мно-
множителя. Если у"сЦ>хФ 0, то положим Yc(Px — (у'°Ух)/(у''0(Рх)'>
эта запись оправдывается тем, что правая часть зависит
только от х, y и ф. Если, кроме того, у'°ц>хф0, то опре-
определен росток дивизора сИу^оф.,.) в точке х на многообра-
многообразии W; .условимся писать
(v°q>x) = Фх1 (div (y));

Элементарные свойстёа дивизоров 189
эта запись оправдывается тем, что левая часть зависит
только от х, (р и ростка дивизора div (у) в точке ф (х)
на многообразии V.
Чтобы перейти к соответствующим глобальным опреде-
определениям, нам потребуется следующая
Теорема 4. Пусть у— голоморфное отображение
связного комплексного многообразия W в комплексное
многообразие V и D —дивизор на V. Тогда или <p(W)a\D\,
или множество ф (| D |) нигде не плотно в W.
Утверждение теоремы равносильно тому, что множе-
множество X внутренних точек множества ф'1 (| D \) замкнуто
в W. Действительно, множество X также открыто, поэтому
или X — W или Х= 0, так как W связно. Можно считать,
что D >- 0, заменяя в случае необходимости D на D*-\-D~.
Пусть x?W — X и U — открытая окрестность точки ф(х)
на многообразии V, в которой дивизор D можно предста-
представить в виде D = div (/), где функция f голоморфна в U.
Тогда \D\f]U—множество нулей функции / в U; обозначим
через ф' сужение ф на множество II' =ф~х (U), тогда
Ф (| D |). совпадает в U' с множеством нулей функции
/' = /Сф'. Согласно предположению, точка х не принад-
принадлежит множеству X, поэтому существует окрестность И"
точки х в II', в которой множество нулей функции /'
нигде не плотно и которая, стало быть, не имеет общих
точек с X. Это завершает доказательство теоремы.
Следствие 1. Пусть ф — голоморфное отображение
связного комплексного многообразия W в комплексное много-
многообразие V и D —такой дивизор на V, что ф (W) ф \D\.
Пусть Du — росток дивизора, определяемый в точке и
многообразия V дивизором D. Тогда для всех x?W опре-
определен росток ?>^ = фж1 (Ар(*)). Отображение x—>D'x опре-
определяет дивизор D' на W, причем \D' \CZФ (|^|). и если
D>0, то \D'\ = <f-1(\D\).
Пусть U — открытая часть многообразия V, в которой
D+ = div(f) и D" = div(g), где fag голоморфны в U,
и пусть ф'— сужение ф на V =(p~1(U). В U носитель
дивизора D совпадает с совокупностью нулей функции fg.
Согласно теореме 4, множество ф^1(|О|) нигде не плотно
в W, поэтому голоморфные в LJ' функции f = /оф'

190 Приложение
и g'=g°cp' отличны от тождественного нуля на всяком
открытом множестве в U'. Тогда для всякой точки x^U'
имеем Dx = div (yx {f'/g'))- Множества U', соответствующие
всем открытым частям О многообразия V, образуют откры-
открытое покрытие многообразия W. Таким образом, показано,
что отображение x—>D'x определяет дивизор D', который
в принятых выше обозначениях совпадает с div {fig') в U''•
Если x?(J', а точка ф(л:) не принадлежит \D\, то ф(л:)
не является нулем функции fg; значит, х не является
нулем функции fg' и Di = 0. Итак, \D'\aq>"l{\D\). Если
дивизор D положителен, то носитель D в U совпадает
с множеством нулей функции /, а носитель дивизора D'
в U' — c множеством нулей функции /'. Значит, в этом
случае \D'\ есть не что иное, как множество (f'1(\D\).
Если дивизор D не является положительным, это не всегда
так, потому что в этом случае ростки ух (/') и ух (gr)
могут не быть взаимно простыми в Ах (W).
В обозначениях следствия 1 положим О'=ф
В частности, если IF —связное многообразие, вложенное
в многообразие V, и если ф — естественное отображение W
в V, то дивизор ф (D) называется дивизором, индуциро-
индуцированным дивизором D на многообразии W, если он опре-
определен, т. е. если W не содержится в | D \. Эти определения
распространяются естественным образом на тот случай,
когда многообразие W не связно. В этом случае необходимо
предположить, что множество ф (| D |) не содержит
ни одной связной компоненты многообразия W.
Следствие 2. Пусть ф — голоморфное отображе-
отображение связного комплексного многообразия W в связное
комплексное многообразие V и т|> — мероморфная функция
на V, не равная тождественно нулю. Пусть D = div(^).
Предположим, что q(W)<Jz\D~\. Тогда в любой точке
x?W определен росток мероморфной функции ty'x =
= Уф(*)(г1'HФ* и отображение x—>ty'x определяет меро-
морфную функцию а|/ на W. Далее, если ф(й^)CZ|-О*|,
то функция г|/ равна тождественно нулю; в других
случаях i|/ не равна тождественно нулю и div AM') =
1di())

^__^ Элементарные свойства дивизоров 151
Пусть U — открытая часть многообразия V, на ко-
которой D~ = div(g), где функция g голоморфна в U,
и пусть / = ?ф в U. Имеем: div(/) = D+, значит, / голо-
голоморфна в U. Обозначим через ср' сужение отображения ср
на О' = <fy(U) и положим /' = /сф'. §'=ё">ф'. Согласно
теореме 4, множество ф (| D' \) нигде не плотно в W,
поэтому функция g' отлична от тождественного нуля
в любой открытой части множества U' и, следовательно,
f'Ig' — мероморфная дробь в И'. Тогда ty'x = Yx(f'/g')
для всякой точки x?U', так что ф'— мероморфная функ-
функция, совпадающая с fig' в V для всех t/. Так как|?)*|
совпадает в U с множеством нулей /, то f — О, если
q>(W)CZ\D* \. В противном случае ф(|О*|) нигде
не плотно bFh, следовательно, /' не равна тождественно
нулю ни на одной открытой части множества U'. Послед-
Последнее соотношение следствия сразу получается из опре-
определений.
В обозначениях следствия 2 запишем i|)' = ij3^. Ясно,
что если функция ф голоморфна, то это обозначение сов-
совпадает с обычным. Сказанное выше естественным образом
распространяется на тот случай, когда V и W не_ пред-
предполагаются связными.
8. Пусть X — подмножество комплексного многообра-
многообразия V и х € X. Если существует открытая окрестность U
точки х в V, такая, что Xpt/ —подмногообразие U (и,
следовательно, многообразие, вложенное в V; см. п. 1
гл. III), то будем говорить, что X — подмногообразие
многообразия V в окрестности точки х. Если при этом п
ир — комплексные размерности V и X f] U соответственно,
го будем говорить, что X в окрестности точки х пред-
представляет собой подмногообразие многообразия V размер-
размерности р и коразмерности п — р;Х обладает тем же свой-
свойством в окрестности каждой точки Xf]U. Следовательно,
совокупность точек множества X, в окрестности которых X
является подмногообразием многообразия V коразмерно-
коразмерности п — р, представляет собой открытое множество в X.
Пусть D —дивизор на V; точку его носителя \D
назовем простой на \D\, если \D\ является в окрестности
этой точки подмногообразием многообразия V коразмер-

Приложение
ности 1. Множество W простых точек носителя | D | является
вложенньм в V многообразием коразмерности 1.
Пусть функция f голоморфна в окрестности точки и
на V и равна нулю в и. Используя обозначения п. 2,
предположим, что т (уи (/)) = 1. Это означает, что если
zv ...,zn — локальные координаты в окрестности точки и,
то по крайней мере одна частная производная df/dzt
не равна нулю в и. Если, например, df/dzn Ф 0 в точке и,
то в окрестности и можно выбрать в качестве локаль-
локальных координат (г,, ..., zn_lt /). Следовательно, в том слу-
случае когда tn(yu(f))= 1, множество нулей функции / или,
что то же самое, носитель дивизора div (/) является в ок-
окрестности точки и подмногообразием многообразия V
коразмерности 1. С другой стороны, ясно, что тогда
росток yu(f) неприводим в AU(V).
Лемма 6. Пусть fug — две голоморфные в точке и
функции на V, такие, что росток уи (/) неприводим,
а росток уи (g) не является кратным уи (/) в Аи (V).
Тогда во всякой окрестности точки и имеется такая
точка v, что т (yv (/)) =1 и g (v) Ф 0.
В силу лемм 3 и 2 (I) п. 3 можно считать, что V = С",
и = 0, а / и g — полиномы Вейерштрасса. Тогда в силу
сделанных предположений и леммы 5 п. 4 росток Yo(/)
неприводим в К [zn] и не делит yo(g). Положим /' = df/ozn.
Росток Yo(/) не делит росток yo(f) в K[zn]; значит, yo(f)
и yo(f'g) взаимно просты в /([z^j. Это равносильно суще-
существованию такой функции ф от zlt ..., zn_v голоморфной
в окрестности точки 0, и таких полиномов h и h' от zn,
коэффициенты которых — голоморфные в окрестности точки 0
функции от zv ..., zn_lt что Yo (fh + f'gh' - ф) = 0
и уо(у) ф 0. Пусть U — окрестность точки 0 в С", в которой
все рассматриваемые функции голоморфны и fh-\-f'gh' = ф.
Ввиду того что Yo(t) ^ 0> в пространстве С"~' имеются
сколь угодно близкие к 0 точки (zv . .., zn_i), в которых ф
не равна нулю. Выберем такую точку настолько близкой
к 0, чтобы функция /, рассматриваемая как полином от гп,
имела корень С. обладающий тем свойством, что точка
d = (z, zn-i> S) принадлежит окрестности U. Это воз-
возможно в силу теоремы о непрерывной зависимости корней
полинома от его коэффициентов. Тогда f(v) = O, <р(о)Ф0;

Элементарные свойства дивизоров 193
значит, g (v) ф 0 и /' (v) ф 0. Из последнего соотношения
следует, что т (yv (/)) = 1, что и требовалось доказать.
Лемма 7. Пусть D — дивизор на комплексном мно-
многообразии V, и — точка, принадлежащая его носителю | D \,
Du —росток, определяемый дивизором D в точке и, f —
голоморфная в и функция на V, такая, что росток уи (/)
неприводим в Аи (V). Носитель \ D | в окрестности точки и
содержится в множестве нулей функции f тогда и только
тогда, когда Du = div (yu (fm)), где т — целое число. .
Ясно, что указанное условие является достаточным.
Итак, предположим, что носитель \D\ в окрестности U
точки и содержится в множестве нулей функции /.
Можно считать окрестность U настолько малой, что
в ней D* и D~ можно представить в виде D+ = div(g),
D~ = div (Л), где g и h голоморфны в U. Предположим,
чт0 Yu (gh) имеет в Аи (V) неприводимый множитель
уфуи(!). Torp,ayu(gh) = yry', где г —целое положитель-
положительное число, а росток у' взаимно прост с f в AU{V). Далее,
Y = Y«(Z) и Y'=Y«(z')' гДе г и z'— голоморфные в и
функции на V. Тогда существует содержащаяся в U
окрестность W точки и, в которой функции z и г' голо-
голоморфны и gh — fz'. Применяя лемму 6 к z и /, получаем,
что существуют сколь угодно близкие к и точки, в кото-
которых z =* 0 и / Ф 0. Эти точки принадлежат носителю
дивизора D*-\-D~, т. е. \D\, а это противоречит предпо-
предположению. Значит, росток Yu (gh) не имеет неприводимых
множителей, отличных от yu(f), откуда следует доказы-
доказываемое утверждение.
Теорема 5. Пусть D —дивизор на комплексном
многообразии V. Тогда множество W простых точек
носителя | D | представляет собой вложенное в V много-
многообразие коразмерности 1, открытое и плотное в \D\.
Далее, для того чтобы множество \D\ было подмного-
подмногообразием многообразия V в окрестности точки и б | D |,
необходимо и достаточно, чтобы росток Du, определяе-
определяемый в точке и дивизором D, имел вид Du = mb, где
б — неприводимый росток дивизора, такой, что \i (б) = 1;
в этом случае и — простая точка на \D\.
V4 13 Андре Вейль

194 Приложение
Сначала покажем, что множество W плотно в [ D |;
при этом можно ограничиться случаем, когда D > О, ибо
в противном случае дивизор D можно заменить дивизором
D*-\-D~, имеющим тот же носитель. Пусть u?|Dj и
U — окрестность точки и, в которой дивизор D можно
представить в виде D-div(f), где f голоморфна в U.
Пусть у — неприводимый множитель ростка уи (/) в Аи (V).
Мы можем записать Y«(/) = YrY'> гДе ростки у' и у вза-
взаимно просты; далее, y = yu(z) и у' = yu(z'), где z и
г' — голоморфные в и функции на V. Тогда в U имеется
окрестность U' точки и, в которой гиг' голоморфны
и f = zrz'. Из леммы 6, примененной к г и г', следует,
что существуют точки о, сколь угодно близкие к и,
в которых m(yo(z)) = 1, г' (v) ф 0. Поскольку \D\ совпа-
совпадает в окрестности точки и с множеством нулей функции f,
такие точки v являются простыми на |D|; тем самым
доказано первое утверждение. Если в окрестности неко-
некоторой точки ы?|?)| носитель \D\ является подмногооб-
подмногообразием многообразия V, то из предыдущего следует, что
это подмногообразие имеет коразмерность 1, т. е. что
« — простая точка на |D|. Тогда в точке и на V можно
выбрать локальные координаты гг, ..., zn так, что носи-
носитель | D | совпадает в окрестности точки и с множеством
нулей zn, а отсюда в силу леммы 7 следует, что Du = mb,
где 6 = div (Yu(zn))- Остальное очевидно.
Следствие. Пусть D — дивизор на комплексном
многообразии V, W — многообразие простых точек его
носителя \D\ и X — вложенное в V многообразие кораз-
коразмерности 1, содержащееся в \D\. Тогда множество Xf]W
открыто в W, а также открыто и плотно в X.
Как и прежде, можно считать, что D > 0, заменяя
в случае необходимости D на D* + D~. Пусть и ? X,
U — окрестность точки и и zv ..., гп — локальные коор-
координаты в U, такие, что X определяется в U уравнением
zn = 0, a ?> = div(f), где функция f голоморфна в U.
В силу сделанного предположения множество нулей функ-
функции / содержит множество нулей функции zn в U.
Тогда из леммы 6, примененной к zn и f, следует, что
росток Yu(/) кратен ростку yu{zn) в AU(V). Значит,
Yu (/) = уи (z^) у', где г —целое положительное число, а у'

Элементарные свойства дивизоров 195
и Yu(zn) взаимно просты в AU(V); далее, у' = уи(г'),
где функция г' голоморфна в точке и. Применяя к zn
и г' лемму 6, получаем, что существуют точки много-
многообразия X, сколь угодно близкие к и, в окрестности
которых | D | совпадает с X. Значит, эти точки принад-
принадлежат множеству Xf)W. Для того чтобы точка и также
принадлежала X[)W, необходимо и достаточно в силу
теоремы 5, чтобы Du — mb и ц (8) = 1; в принятых выше
обозначениях это равносильно тому, что т — г, 6 = уи (zn)
и у' — 1. Тогда W совпадает с X в окрестности точки и,
что и требовалось доказать.
Пусть и — простая точка носителя \D\ дивизора D и
Du — росток, определяемый дивизором D в точке и; тогда
в силу теоремы 5 или Du >- О, или Du -< 0. Целое число т,
фигурирующее в формулировке этой теоремы, определяется
в первом случае равенством m — \n{Dv), во втором случае
т= — |л( — Du). Это число будем называть кратностью
дивизора D в точке и, а точки, в которых оно равно 1, —
простыми точками дивизора D (а не только его носи-
носителя | D |). Ясно, что множество простых точек носи-
носителя |D|, в которых кратность дивизора D равна задан-
заданному значению, открыто в многообразии W простых точек | D |.
Отсюда следует, что кратность дивизора D постоянна
на каждой связной компоненте многообразия W.
Теорема 6. Дивизор D на комплексном многообра-
многообразии V однозначно определяется носителем \D\ и крат-
кратностью в некоторой точке каждой из связных компонент
многообразия W простых точек носителя \D\.
Пусть дивизор D' имеет тот же носитель, что и D.
Кратности D и D' постоянны на каждой из связных ком-
компонент многообразия W, значит, они равны всюду,
если равны в одной точке каждой из этих компонент.
Пусть u?W; в окрестности точки и многообразие W задается
уравнением / = 0, где функция f голоморфна в и и
т (уи (/)) = 1. Из леммы 7 и теоремы 5 следует, что D
и D' совпадают в окрестности точки и с div(fm), где
т — их общая кратность в точке и. Следовательно, и не при-
принадлежит носителю дивизора D" — D — D'. Обозначим
через W" многообразие простых точек носителя jD"|.
13*

196 Приложение
Поскольку |D"|CZ|D|, в силу следствия из теоремы 5
множество W"f]W плотно в W", а значит, по теореме 5,
и в \D"\. Но было показано, что W не имеет общих точек
с \D"\ и тем более с W". Следовательно, множество \D"
пусто, т. е. D" = 0.
Из теоремы 6 следует, что два дивизора D и D', име-
имеющие один и тот же носитель | D | = | D' | и равные
кратности во всех точках всюду плотного подмножества
многообразия простых точек носителя |?>|, совпадают.
Часто бывает удобнее применять теорему 6 в этой форме.
9. Чтобы сформулировать следующую лемму, введем
некоторые обозначения. Через Р(п), где г\ > 0, обозначим
полицилиндр в пространстве С", определяемый неравен-
неравенствами | 2{ | < г\ A</<л —1), и через С(е), где е > 0,
круг | гп | < е в С.
Лемма 8. пусть f — полином Вейерштрасса, такой,
что росток у0 (f) неприводим в Ао (Сп), и пусть е > 0.
Тогда существует такое г\0 > 0, что коэффициенты
полинома f голоморфны в Р (х\0) и для любого ц, удовле-
удовлетворяющего неравенству 0<11<т)о, множество точек
w?P(r\)xC(е), в которых т(yw(/)) = 1, представляет
собой вложенное в Сп связное многообразие, плотное
в множестве нулей полинома f в Р (г\)хС (е).
Пусть т — степень / по zn; тогда т > 0 (за исключе-
исключением случая, когда /=1). В силу леммы 5 росток Yo(/)
неприводим в К [zn]. Положим /' = df/dzn и будем рас-
рассуждать, как при доказательстве леммы 6. Существуют
голоморфная в окрестности точки 0 функция ф от zlt... , zn_x
и полиномы h и h' от zn, коэффициенты которых — голо-
голоморфные в окрестности точки 0 функции от гх, ..., zn_j,
причем yo{fh + f'h' — ф) = 0 и Yo (ф) =^ °- Выберем ,%>()
так, чтобы ф, а также коэффициенты полиномов /, h
и h' были голоморфны в Р(тц)- Тогда /Л + /'А' = ф
в Р (rij) x С Значит, в силу теоремы о непрерывности
корней полинома можно найти такое т]0, удовлетворяющее
условию 0 < х\0 < гц, что все корни полинома / от zn лежат
в С(е), если только ^Кл,, при 1<л<л— 1. Покажем,
что т]0 обладает нужным свойством.

Элементарные свойства дивизоров 197
Действительно, пусть 0<тКт]0. Для краткости будем
писать Ро, Р и С вместо P(r\0), P (г\) и С(е). Пусть
Z — множество нулей полинома / в Р х С, W — множество
точек w?PxC, в которых т(yw(f)) = 1, и W — множе-
множество точек, принадлежащих Z, в которых ср ф 0. Тогда W
является множеством простых точек div (/) в Р х С,
а значит, вложенным в Р хС многообразием коразмер-
коразмерности Г, так как f Ф0 во всех точках W, W содер-
содержится в W. Покажем сначала, что W связно. Действи-
Действительно, множество Р' точек, принадлежащих Р, в кото-
которых ф Ф 0, связно в силу теоремы 3. Если (zv ..., zn_^j ? Р',
то полином / от zn взаимно прост с /' и, значит, имеет т
различных корней ?t, .... ?m, принадлежащих С. В силу
теоремы о неявных функциях каждый из корней ?ц — голо-
голоморфная функция от Zj, ..., zn_x в каждой точке множе-
множества Р'. Следовательно, многообразие W вместе с его
проекцией на Р' является накрытием Р' степени т (т. е.
«/и-листным»). Если W не связно, то оно является объе-
объединением двух накрытий W[ и W't, непустых и не име-
имеющих общих точек. Предположим, что имеет место этот
последний случай. Пусть тх — степень накрытия W'v
и для каждой точки (zv ..., zn_x), принадлежащей Р',
пусть ^i, ..., Z,mi — корни полинома /, соответствующие
точкам множества W'v проектирующимся в эту точку.
Положим
Это полином от zn, причем его коэффициенты голоморфны
и ограничены в Р', так как все его корни голоморфны
и принимают значения из С. Если при 1 < ц < т продиф-
продифференцировать соотношение /(Сц) = О, то получим
где /"j — полиномы от ?ц с коэффициентами, голоморфными
в Ро. Умножая обе части этого равенства на А'(Сц), мы
получаем, что <р dt,^ = 2 ^i ^zi. где Gt — полиномы, обла-
обладающие прежним свойством. Следовательно, если ty —
какой-либо из коэффициентов полинома fv то <pdi|) имеет
'/г 13 Андре Вейль

198 Приложение
вид 2 Hi dzu где Нь — полиномы от ?х, ..., ?mi> коэффи-
коэффициенты которых голоморфны в Ро; значит, Ht ограничены
в Р'. Отсюда сразу следует, что функция, равная ср2ф
на Р' и нулю на Р — Р', непрерывна, принадлежит
классу С1 (т. е. имеет непрерывные частные производные
первого порядка) на Р, равна нулю вместе со своими
частными производными первого порядка в тех точках,
где ф = 0, и что ее дифференциал в каждой точке является
линейной комбинацией dzt. Значит, эта функция голо-
голоморфна на Р, а, следовательно, ф мероморфна на Р. Но
тогда росток Yo(fi) принадлежит K[zn] и делит Yo(/)
в K[zn]. Таким образом, или fx=l и /и1=0, или fx=f
и т1 = т, что противоречит предположению о том, что
W[ и W!, не пусты. Значит, W связно. Поскольку
WdW(Z.Z, для завершения доказательства достаточно
убедиться в том, что множество W плотно в Z. Для
этого предположим, что а^=(а1, ..., ап)-— точка множе-
множества Z и уа(f0) — неприводимый множитель ростка ya(f)
в Аа(Сп)\ функция /0 голоморфна в точке а. Ввиду того
что функция f/f0 голоморфна в точке а, а / — полином
от zn, функция /0 удовлетворяет в точке а относительно
координат zi — ai предположениям леммы 2 п.З.. В силу
этой леммы, заменяя ya(f0) элементом, ассоциированным
с ним в Аа(Сп), можно предполагать, что /0 —полином
Вейерштрасса относительно zi — ai. Но тогда из леммы 4
следует, что росток 7а(ф) не может быть кратным ростка
У a (fo) B Aq, (?")• Значит, в силу леммы 6 п. 8 в любой
окрестности а имеются точки, в которых /0 = 0 и, сле-
следовательно, / = 0, и в которых ф Ф 0.
10. Назовем семейство (Da) дивизоров на многообразии V
локально конечным, если каждая точка и € V обладает
окрестностью U, такой, что множество тех а, для которых
\Da\ имеет общие точки с 11, конечно. В этом случае
на V имеется дивизор D, который определяет в каждой
точке и росток Du, равный сумме ростков Da(u), опреде-
определяемых в точке и дивизорами Da; в любой точке и среди
этих ростков лишь конечное число отлично от нуля.
В таких случаях мы будем писать D=2Da.

Элементарные свойства дивизоров 199
Теорема 7. Пусть D —дивизор на комплексном мно-
многообразии V, W— многообразие простых точек \D\, Wa —
связные компоненты W и та —кратность дивизора D
в точках Wa. Тогда для любого а существует неприво-
неприводимый дивизор Da, для которого замыкание множества Wa
является носителем, а все точки Wa — простыми точками;
Wa —множество простых точек дивизора Da, не принад-
принадлежащих никакому носителю |DP| при $фа. Семейство
(ДО локально конечно; далее, D = 2 rnaDa, причем это
а
выражение D через локально конечное семейство различных
неприводимых дивизоров единственно.
Пусть и — точка многообразия V; в окрестности точки и
дивизор D можно представить в виде D = 2 ni d'v (ft), где
i
функции /. голоморфны в и, а ростки yu(ft) неприводимы
и попарно неассоциированы в AU(V). Согласно теореме 2
п. 6, ростки Yv(fi) попарно взаимно просты в Д,(У), если
только точка v достаточно близка к и. Значит, можно
выбрать открытую окрестность Uo точки и таким образом,
чтобы функции Д были в ней голоморфны, дивизор D
представлялся в виде D = У, пг div(Д), а ростки yv(fi) были
попарно взаимно просты в Д.(У) при всех v?Uu. Приме-
Применяя к функциям /4 леммы 3 и 2 (I) п. 3, а затем лемму 8
п. 9, получаем, что существует открытая окрестность V
точки и, содержащаяся в Uo и такая, что при каждом i
множество W{ принадлежащих U точек w, в которых
m(Yw(/V))= ^> связно и плотно в множестве Zi нулей функ-
функции /4 в U.
В силу теоремы 5 п. 8 точка z^U — простая точка
носителя \D | тогда и только тогда, когда в ней обращается
в нуль только одна из функций fi и росток Yz(/i) ассо-
ассоциирован в A2(V) с ростком видаухСё'), где т(yz(g)) — 1;
это означает, что fi — gmh, где функция h голоморфна
и не равна нулю в точке 2. Отсюда следует, что т(yn,{fi))
кратно т для всех до, достаточно близких к г. Поскольку
при этих условиях точка z принадлежит Zi? а множество Wt
плотно в Zj, то /и= 1, z^Wi и целое число ni есть не что
иное, как кратность дивизора D в точке г. Обозначим
через gt произведение /3-, где / Ф i, и через Wi —множество
точек, принадлежащих Wv в которых g; Ф 0. Мы пока-
13*

200 Приложение
зали, что множество W f] U точек окрестности U, являю-
являющихся простыми на \D\, представляет собой объедине-
объединение множеств W'i. Применяя теперь лемму 6 п.8 к функ-
функциям fi и git получаем, что W[ не пусты. Другими сло-
словами, функция g{ голоморфна и не равна тождественно
нулю на Wv Применяя теорему 3 п.6 к Wi и к носителю
дивизора div (gj на Wx, получаем, что множество W'i связно.
Далее, в силу теоремы 4 п.7 множество W[ плотно в W{,
а значит, и в Zt.
Рассмотрим одну из связных компонент Wa многообра-
многообразия W. При каждом i множество W[ связно и содержится
в W, поэтому оно или содержится в Wa, или не имеет
с Wa общих точек. Из того, что Wf]U — объединение W'i,
следует, что Wa f] U — объединение тех Wi, которые в нем
содержатся; обозначим их через W'v ..., W'r. Далее,
поскольку кратность дивизора D на Wa равна та, имеем
ni = ma при 1<г<г. Положим ha — f1f2...fr (значит,
в частности, ha=\, если множество Waf)U пусто)
и Da (U)= div (ha). B U имеем D = 2/"oDa (U); носитель
a
|Da(U)\ —объединение множеств Zv ..., Zr, следовательно,
он совпадает с замыканием множества Waf)U; кроме того,
точки множества Wa[]U — простые точки дивизора Da{U)-
Таким образом, показано, что многообразие V обладает
открытым покрытием, состоящим из множеств U, в каждом
из которых при любом а можно определить дивизор Da(U)',
для него замыкание множества Waf[U является носи-
носителем, а все точки множества Wa{\U — простыми точками.
Из теоремы 6 п.8 следует, что каждый из указанных
дивизоров Da(U)определяется этими условиями однозначно.
Далее, в силу той же теоремы для всяких двух множеств
U и 0' этого покрытия дивизоры Da(U) и Da(U') совпа-
совпадают в U[]U'. Из определения дивизора следует, что
при каждом а существует дивизор Da на V, совпадающий
с Da(U) в U при всех U и, значит, имеющий замыкание
множества Wa своим носителем, а все точки Wa — простыми
точками. В принятых выше обозначениях число дивизоров
Da, носители которых имеют общие точки с U, не пре-
превосходит числа функций /t, т. е. конечно. Соотношение
D = 2j triaPa следует из сказанного ранее. Для того чтобы

Элементарные свойства дивизоров
точка и принадлежала W, необходимо и достаточно в силу
предыдущего, чтобы в ней лишь одна функция /{ обраща-
обращалась в нуль и чтобы m(YM(/i))= 1". если обозначить через
Wa связную компоненту многообразия W, содержащую и,
то в силу сказанного выше это означает, что и — простая
точка дивизора Da, не принадлежащая никакому носи-
носителю |Ьр| при р Ф а. Отсюда следует, в частности, что Wa
не имеет общих точек с | Dp | при |5 Ф а, т. е'. что все Da
различны.
Чтобы доказать неприводимость дивизоров Da, мы дока-
докажем следующий более общий факт. Пусть Do — дивизор,
носитель которого является замыканием вложенного в V
связного многообразия Wo коразмерности 1, и кратность
которого на Wo равна 1. Тогда всякий дивизор, носитель
которого содержится в |Д,|, имеет вид mD0, где т — целое
число. Отсюда сразу следует, что дивизор ?>0 неприводим.
Пусть й^ — многообразие простых точек носителя \D0\;
поскольку W0ClW0CZ\D0\, многообразие Несвязно. Пусть
D — дивизор, отличный от нуля и такой, что | D \ CZ \ Do |,
и пусть W — многообразие простых точек его носителя \D\-
Применяя следствие из теоремы 5 п.8 к Do я W, полу-
получаем, что множество W (~) W'o плотно в W, значит, не пусто,
и что оно открыто в W'o. Следовательно, W^HI^M не
является нигде не плотным в W'o. Теорема 4 п.7, при-
примененная к дивизору D и к естественному вложению W'o в V,
показывает, что W'u CZ | D |, откуда | D \ = | Do |. Из теоремы 6
п.8 следует тогда, что если /и —кратность дивизора D
в точках W'o, то D совпадает с mD0.
Покажем теперь, что дивизор не может быть двумя
различными способами выражен через локально конечные
семейства неприводимых дивизоров. Действительно, в про-
противном случае можно было бы найти неприводимый диви-
дивизор Do, локально конечное семейство (D*,) попарно различ-
различных и не равных Do дивизоров и целые числа тоф0 п т%,
такие, что mj)u = 2 trt%D'%. Дивизоры D'% неприводимы
и различны, они обязательно попарно взаимно просты. Но-
Носитель правой части является объединением носителей ] D'% |
и совпадает с |?>0|. Пусть Wa — многообразие простых
точек носителя |Д,|. Если Wo не связно или если Do имеет
на Wo кратность, отличную от 1, то, применяя к Do полу-
полученные выше результаты, получаем, что дивизор Do не может

202 Приложение
быть неприводимым. Поскольку \Dx\ содержится в \D0\
при всех К, из доказанного выше следует, что D'x — mxD0
при всех X, что противоречит сделанным предположениям.
Следствие I. Дивизор D на комплексном многооб-
многообразии V неприводим тогда и только тогда, когда мно-
многообразие W простых точек носителя \D\ связно и D
имеет на W кратность 1.
В силу теоремы 6 п.8 неприводимый дивизор вполне
определяется своим носителем; часто мы будем отожде-
отождествлять их друг с другом. Неприводимые дивизоры, фигу-
фигурирующие в выражении дивизора D, часто называют ком-
компонентами дивизора D, а коэффициенты, с которыми они
входят в это выражение — их кратностями. Из единствен-
единственности представления дивизора через неприводимые дивизоры
обычным образом следует закон построения inf и sup в группе
дивизоров. В частности, если D = 2 rnaDa — такое предста-
представление, то ?>+ = 2mjDa и D' = 2таАь Для того чтобы
два положительных дивизора были взаимно просты, необ-
необходимо и достаточно, чтобы они не содержали ни одной
общей компоненты.
Следствие 2. Пусть два дивизора D и D' на ком-
комплексном многообразии V не имеют общих компонент.
Тогда множество \D\f\\D' \ нигде не плотно e\D\ue\D'\.
В силу теоремы 7 дивизор D* + D~, имеющий тот же
носитель, что и D, имеет и те же компоненты. Заменяя
в случае необходимости D на D* + D' и проделывая то же
самое с D', можно считать, что дивизоры D и D' положи-
положительны; тогда, как следует из предыдущего, сделанное
предположение означает, что они взаимно просты. Пред-
Предположим, что множество | D | П | D' | не является нигде
не плотным на \D\, т. е. что имеется точка и? \D\, такая,
что всякая точка \D\, достаточно близкая к и, принадле-
принадлежит \D'\. Пусть U — окрестность точки и, в которой
Z) = div(/) и D' = div(/'), где / и /' голоморфны в U.
Пусть функция g голоморфна в точке и и пусть росток
Чи(§) является неприводимым множителем ростка Y«(/)-
Применяя лемму 6 п.8 к функциям g и /', мы сразу же
приходим к противоречию.

Элементарные свойства дивизоров 203
Следствие 2 показывает, что компонентами дивизора D
являются неприводимые на V дивизоры, носители кото-
которых содержатся в носителе D. ¦
Заметим, что на компактном многообразии локально
конечное семейство отличных от нуля дивизоров обяза-
обязательно конечно; из теоремы 7 следует, что группа дивизо-
дивизоров на таком многообразии является свободной группой,
порожденной неприводимыми дивизорами. , . >
11. Полученные выше результаты можно применить,
в частности, к алгебраическим многообразиям ,над полем
комплексных чисел (т. е. к алгебраической геометрии,
выбрав в качестве «универсальной области» С1)).
х) Полем определения k алгебраического многообразия V назы-
называется поле, которому принадлежат коэффициенты полиномов, его
определяющих. Поле к заранее предполагается погруженным в неко-
некоторое фиксированное алгебраически замкнутое поле S, имеющее бес-
бесконечную степень трансцендентности относительно к. Поле S назы
вается «универсальной областью»; это название связано с тем, что все
расширения поля k, с которыми приходится иметь дело при изучении
многообразия V, можно считать подполями поля S.
Сразу же поясним некоторые другие понятия алгебраической гео-
геометрии, которые встретятся в дальнейшем. Будем для простоты счи-
считать, что многообразие V вложено в аффинное пространство SN. Пусть
х ? SN; через ЧИХ обозначим идеал в кольце k \Х\, . • •, Xjv], состоящий
из полиномов, обращающихся в точке х в нуль. Если Их, с ЭД^., то
х' называется специализацией точки ж над ft (обозначается: (х) -* (*'))•
Через k(x), где х? SN, обозначается расширение поля k при помощи
координат х. Степень трансцендентности k(x) относительно k назы-
называется размерностью точки х над k.
Размерностью многообразия V называется степень трансцендент-
трансцендентности поля рациональных функций на V относительно поля опреде-
определения V. Точка х многообразия V размерности г называется про-
простой (в смысле алгебраической геометрии), если касательное много-
многообразие к V в точке х имеет размерность N—г.
Пусть х С SN, и точка х' — специализация х над полем k. Кольцом
специализации точки х' в k (x) называется совокупность элементов
z?k(x), представимых в Bup,ez=F(x)/G(x), где F,Gd k(X),G(x')=t= 0.
Через 91 у обозначим идеал многообразия V. Если %у—%х
(тогда х ? V), то х называется общей точкой многообразия V над к.
На всяком неприводимом алгебраическом многообразии имеется общая
точка. Верно и обратное: алгебраическое многообразие, имеющее
общую точку, неприводимо (в настоящей книге рассматриваются лишь
неприводимые многообразия). Все точки многообразия V являются
специализациями его общей точки. Если л: ? S^ и k(x)—регуляр-

204 Приложение
Как обычно, такое многообразие отождествляется с мно-
множеством его точек. На алгебраическом многообразии можно
рассматривать, с одной стороны, «обычную» топологию
(которая в случае аффинного или проективного многооб-
многообразия индуцируется обычной топологией объемлющего
аффинного или проективного пространства, а в случае
абстрактного многообразия на каждом его «представителе»,
который является аффинным многообразием, совпадает
с обычной топологией), с другой стороны, топологию
Зариского, в которой замкнутыми подмножествами много-
многообразия V считаются конечные объединения алгебраиче-
алгебраических подмногообразий многообразия V. Топология Зари-
Зариского не является хаусдорфовой; эта топология слабее,
чем обычная. В дальнейшем всюду речь идет об обычной
топологии, если не оговорено противное.
Лемма 9. Всякое алгебраическое многообразие связно.
В силу одной элементарной леммы алгебраической геомет-
геометрии (см. Weil A., Math. Ann., 128 A954), 103, лемма бI).
ное расширение k (k — алгебраически замкнуто в k(x), и k{x)—сепара-
<5ельно), то существует единственное многообразие, имеющее х общей
точкой над k. Построение этого многообразия проводится обычным
способом. Его уравнения получаются при помощи элементов базиса
в ЭДЖ, существующего по теореме Гильберта. Таким образом, алге-
¦браичаское многообразие можно задавать, как пару (k, x), где k и х
обладают указанными выше свойствами. Точками многообразия
являются специализации х над k. Два многообразия эквивалентны,
-если совпадают совокупности их точек.
Пусть V и Ws—два алгебраических многообразия в SN, точка
x€V!~}W и является простой на V и W. Многообразия V hW назы-
называются трансверсальными в точке х, если пересечение касательных
многообразий k имеет размерность r-\-s — N. — Прим. перев.
г) Приведем доказательство этой леммы, следуя цитированной
статье автора. Для простоты будем вести доказательство для алге-
алгебраического многообразия V, определенного над полем k и вложен-
вложенного в аффинное пространство SN, хотя, как нетрудно убедиться,
доказываемый результат остается в силе для произвольного абстракт-
абстрактного многообразия. Пусть Р — точка многообразия V и М—общая
точка V относительно k{P). Покажем, что на V существует кривая,
проходящая через М и Р и имеющая М простой точкой, причем,
если Р — простая точка на V, то она является простой также и на
этой кривой. Обозначим через п размерность многообразия V. Сдвигом
Пространства SN точку Р можно перевести в 0. Многообразие, в кото-

Элементарные свойства дивизоров 205
если Р и Р' — две точки алгебраического многообразия V,
то существует точка M?V и две кривые Си С' на V,
такие, что точки Р и М лежат на С, а точки Р' и М —
на С; значит, достаточно доказать лемму для кривой С.
Пусть Со — кривая без особых точек, бирационально экви-
эквивалентная кривой С, вложенная в комплексное проектив-
проективное пространство Рп. Пусть С± — связная компонента Со;
Сх представляет собой комплексное подмногообразие про-
пространства Рп комплексной размерности 1. Предположим,
что кривая Со не связна. Пусть Р^С0 — С1 и Р1^С1.
Согласно теореме Римана — Роха для всех достаточно
больших v существует не равная тождественно нулю меро-
морфная функция / на Со, такая, что div(f) >- Р, — \Р.
Эта функция / обращается в нуль в точке Рг и не имеет
полюсов, отличных от Р, на Со, а значит, не имеет полю-
рое V переходит при этом сдвиге (мы будем его также обозначать
через V), определено над полем K = k(P). Пусть L — линейное много-
N
образие размерности N — п-\-1, определяемое уравнениями ^ u\jxj =0
У=1
A<><п—1), где через иц обозначаются N (п—1) независимых
над К переменных. Пусть С—компонента Vf]L, проходящая через 0.
Если 0 — простая точка на V, то L—трансверсаль к V в точке 0;
значит, в этом случае компонента С единственна, она имеет размер-
размерность 1, и 0 —простая точка на С. В общем случае С имеет размер-
размерность d !> 1 и определена над алгебраическим замыканием К' поля
К' = К(и). Пусть x=(xlt ..., jcjv)—общая точка С относительно К'.
Поскольку х Ф 0, можно считать, например, что хг ф 0. Тогда
N
«ii=— 2 uihxh/Xi A<(<п— !)•
h=2
Значит, К (и, х) имеет размерность над К (х), не превосходящую
(я—\)(N—1), и, следовательно, размерность над К, не превосходя-
превосходящую (n—l)(Af—l)+v (через v обозначена размерность х над К).
Поскольку, с другой стороны, К (и, х) имеет размерность d над
К (и), и значит, размерность d-\-(n—])N над К, имеем (п— l)(N— 1)+
¦\-\^.d-\-(n—\)N, т. е. v>d-r-n—1. В результате, так как d>l
н v>n, получаем: d=l и \ = п. Иначе говоря, С—кривая и х —
общая точка на V относительно К. Поскольку М также является
общей точкой на V относительно К, существует изоморфизм поля К' (х)
на поле KJJW), переводящий х в М и оставляющий инвариантными
элементы К. Образ С при этом изоморфизме обладает нужными
свойствами.—Прим. перее.
' Андре Вейль

206 Приложение
сов на Сг Таким образом, / голоморфна всюду на Сг
и равна нулю в точке Рг; тогда, например, из принципа
максимума следует, что / равна нулю всюду на С1( а это
невозможно, так как она имеет на Со лишь конечное число
нулей. Следовательно, Со связна. В силу теоремы 3 п.6
дополнение к любому конечному подмножеству в Со также
связно; значит, связна и кривая С, являющаяся непре-
непрерывным образом этого дополнения.
На алгебраическом многообразии V всякое открытое
в смысле топологии Зариского множество, т. е. дополне-
дополнение (предположим, что оно не пусто) ко всякому конеч-
конечному объединению подмногообразий многообразия V, также
является алгебраическим многообразием; значит, по лемме 9
оно связно. Это имеет место, в частности, для множества
точек многообразия V, простых на У в смысле алгебраи-
алгебраической геометрии. Чтобы сравнить это последнее понятие
с введенным в п.8 понятием простой точки, нам потре-
потребуется следующая
Лемма 10. Пусть V — алгебраическое многообразие
и k — поле определения многообразия V. Тогда множество
общих точек многообразия V относительно k всюду
плотно в V.
Напомним, что в алгебраической геометрии обычно
неявно предполагается, что С имеет бесконечную степень
трансцендентности над k. Пусть « — размерность много-
многообразия V. Лемма очевидна, если V — аффинное простран-
пространство; действительно, если xv ..., хп — элементы С, алге-
алгебраически независимые над k, то ясно, что точки
где |t пробегают поля алгебраических чисел над Q, а г
пробегает множество отличных от нуля рациональных
чисел, образуют всюду плотное множество в этом аффин-
аффинном пространстве; эти точки имеют размерность п над k.
Лемма чисто локальна, так что можно при желании счи-
считать V вложенным в аффинное или проективное простран-
пространство. Предположим сначала, что V вложено в аффинное
пространство и имеет в нем коразмерность 1; тогда V
задается уравнением Р (X) = 0, где Р — неприводимый поли-

Элементарные свойства дивизоров 207
ном от Хх Хпц с коэффициентами из k\ можно пред-
предположить, что степень d полинома Р по Хп+1 отлична
от нуля. Пусть а —некоторая точка многообразия V;
имеем: Р (а) = 0. По теореме о непрерывности корней алге-
алгебраических уравнений для всякого е > 0 найдется такое
6 > 0, что если точка (х1г . .., хп) удовлетворяет условию
|хх — ai|<б при \<i<n, то уравнение
Р (Xl, ..., хп, Хп+1) = 0
степени d по Хп+1 имеет по крайней мере один корень xniV
удовлетворяющий условию \хп+1 — ап+1|<е. Мы можем
выбрать точку (xlt ..., хп), удовлетворяющую этим нера-
неравенствам и имеющую размерность п над k, и тогда на V
имеется точка (xlt ..., хп+1), сколь угодно близкая к а,
если е и б выбраны достаточно малыми. Переходим
к общему случаю. Предположим, что V вложено в проектив-
проективное пространство Рп*г и имеет в нем коразмерность г.
Как показано, выше, доказываемое утверждение справед-
справедливо при г = 1; проведем индукцию по г, предполагая
г>2. Пусть а —некоторая точка многообразия V, и —
общая точка пространства Рп*г над k(a) и k' = k(a, и).
Поскольку г > 2, прямая D, проходящая через точки о
и и, не имеет общих точек с V, отличных от а. Обозна-
Обозначим через V проекцию многообразия V из точки и, т. е.
образ в рп*г-г конуса С, проектирующего V из точки и
(образ множества прямых, соединяющих и с точками
многообразия V), или, что то же самое, пересечение
конуса С с гиперплоскостью, определяемой над \k и не
проходящей через и. Пусть а' —образ точки а в V. По
предположению индукции на V существует последова-
последовательность точек x'v, стремящихся к а' и являющихся
общими точками на V относительно k'; каждая из них
является образом некоторой точки xv? V, которая должна
быть общей точкой на V относительно k. Прямые Dv,
соединяющие точку и с точками xv, имеют своим пределом
прямую D. Так как проективное пространство компактно,
из последовательности xv можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность; ее предел принадлежит D[)V и сов-
совпадает с точкой а. Доказательство закончено.
Из леммы 10 следует, что на многообразии V всякое
непустое множество, открытое в топологии Зариского.
14*

208 Приложение
всюду плотно в смысле обычной топологии. В частности,
множество простых точек многообразия V в смысле алге-
алгебраической геометрии плотно на V.
Лемма 11. Пусть V — алгебраическое многообразие
размерности п в аффинном пространстве размерности
п + г, k — поле определения V и а —некоторая точка
многообразия V. Пусть «v» A <v<n + 1; 1</<л'+г) —
алгебраически независимые над k (а) величины и
x = (xv ... , *n+r) — общая точка многообразия V над
полем K=k(a, и). Положим
п+г
yv=2«vi*i (l<V<rt+l).
Пусть W — совокупность y = {yv .... */п+Л над К и F —
отображение V на W, определенное над К и такое, что
y = F(x). Тогда F — бирациональное соответствие между V
и W; а — единственная специализация точки х, соответ-
соответствующая специализации y—>F(a) над К\ для того
чтобы точка а была простой на V, необходимо и доста-
достаточно, чтобы точка F (а) была простой на W.
Доказательство этой леммы содержится, например,
в доказательстве теоремы 5 в книге Weil A., Foundations
of algebraic geometry, Chap. V, § 3. Заметим, что W пред-
представляет собой проекцию многообразия V по «общему
направлению» на пространство размерности п + 1; послед-
последнее утверждение леммы означает по существу, что точка а
является простой на V тогда и только тогда, когда она
является простой на цилиндре (коразмерности 1 в объем-
объемлющем пространстве), проектирующем V по общему
направлению.
Теорема 8. Пусть V — алгебраическое многообразие
размерности п, вложенное в аффинное или проективное
комплексное пространство. Тогда множество точек, про-
простых на V в смысле алгебраической геометрии, совпадает
с множеством точек V, в окрестности которых V
является подмногообразием объемлющего пространства;
это множество — связное комлексное многообразие комп-
комплексной размерности п, открытое и всюду плотное в V.

Элементарные свойства дивизоров 209
Уже доказано, что множество точек многообразия V,
простых в смысле алгебраической геометрии, связно,
открыто и всюду плотно в V. То, что осталось доказать,
носит чисто локальный характер, а потому можно считать,
что объемлющее пространство аффинно. Предположим
сначала, что V имеет коразмерность 1; тогда V опреде-
определяется уравнением Р (X) = 0, где Р — неприводимый поли-
полином от Xlt ..., Xni.v совпадающий с носителем дивизора
?>=div(P) голоморфной функции, определяемой полино-
полиномом Р в объемлющем пространстве. Простыми в смысле
алгебраической геометрии являются те точки, в которых
по крайней мере один из полиномов дР/дХг отличен от
нуля; другими словами, это простые точки дивизора D.
Поскольку они всюду плотны в V = \D\, дивизор D не
имеет компонент с кратностями, отличными от 1; значит,
в данном случае простые точки D и простые точки носи-
носителя \D\, определенные в п.8, — одно и то же. Для
окончания доказательства в рассматриваемом случае
остается принять во внимание теорему 5 п.8. Заметим,
что дивизор D неприводим в силу следствия 1 из тео-
теоремы 7 п. 10. Предположим теперь, что размерность объем-
объемлющего пространства равна п-\-г, где г>2. Пусть с —
некоторая точка многообразия V; применим к V и а
лемму 11, которую можно интерпретировать следующим
образом. После «общего» преобразования координат в объем-
объемлющем аффинном пространстве V и а обладают следую-
следующими свойствами. Если обозначить через я проекцию
объемлющего пространства на пространство размерности
п+1, определяемого /г+1 первыми координатами, или,
иначе говоря, отображение
X = [Xi, . . . , Xntr) —> X = Я \Х) = [Xv . . . , -?n+l)>
то имеется такое поле определения К многообразия V,
что если л;— общая точка на V относительно К, то
К (х) = К(х'), и а является единственной специализацией х
над К, соответствующей специализации а' = я (а) точки
х' — п(х); для того чтобы точка а была простой на V,
необходимо и достаточно, чтобы была простой точка а'
на совокупности V точек х' над К. Если Т — линейное
многообразие, проходящее через точку а, то можно счи-
считать, что сделано общее преобразование координат над

210 Приложение
полем, содержащим поле определения Т; при этом Т
преобразуется в трансверсаль к многообразию, определяе-
определяемому уравнениями Х1 = а1, ..., Хп+1 = ап+1.
Предположим сначала, что а —простая точка на V
в смысле алгебраической геометрии, тогда а'—простая
точка на V. Поскольку а — единственная специализация х,
соответствующая х'-^-а' над К, каждое из хпН при
2<i<r конечно в точке а' на V; так как а' —простая
точка на V и К{х) = К{х'), каждое из хпН принадлежит
кольцу специализации точки а' в К{х'), или, другими сло-
словами, его можно представить в виде
г),
где Р4 и Qi — полиномы с коэффициентами из К, причем Qt
не обращаются в нуль в а'. Так как коразмерность V
в объемлющем пространстве равна 1, можно воспользо-
воспользоваться нашей теоремой. Значит, существует открытая
окрестность V точки а', такая, что V |~1 U' — вложенное
в U' комплексное многообразие комплексной размерности п;
можно считать окрестность W настолько малой, что Qt
не обращаются в ней в нуль. Тогда, если U = я~1 (U'),
то очевидно, что V [~| U — множество таких точек г, что
n(z) принадлежит V'f]U', a zn+i при 2<г<г опреде-
определяются равенствами
Значит, V[)U является вложенным в V комплексным
многообразием комплексной размерности п. Обратно, пред-
предположим, что V в окрестности точки а является под-
подмногообразием объемлющего пространства комплексной
размерности d; покажем, что тогда d = n и а —простая
точка на V в смысле алгебраической геометрии. Действи-
Действительно, пусть Т — касательное линейное многообразие
к многообразию V в точке а в смысле дифференциальной
геометрии; как показано выше, можно считать, что Г —
трансверсаль к многообразию Х1 = а1> ..., ^n+i = an+i-
Если при этих условиях d>n+l, то V' должно содер-
содержать окрестность точки а' в пространстве размерности
п +1, что невозможно, ибо, как мы видели, множество
У —носитель некоторого дивизора, значит, оно нигде
не плотно. Поскольку а — единственная специализация х.

Элементарные свойства дивизоров
соответствующая х' —>а' относительно К, каждое из xn+i
при 2</<г является целым элементом над кольцом спе-
специализации точки а' в К{х'), или, другими словами, удо-
удовлетворяет уравнению
т.
iJA (х, хп+1) х™?» = О,
где коэффициенты Qi и Рщ — полиномы с коэффициентами
из К, причем Qt не обращаются в нуль в точке а'. Пусть
U'— компактная окрестность точки а', в которой Qt
не обращаются в нуль; существует 6 > 0, такое, что
\Qi(x')\>6 при любом x'^U', 2<г<г. Тогда, если
z'?V'C]U', то хпН — целые элементы над кольцом специа-
специализации точки г' в К(х'), т. е. всякая специализация
zn+i точки xn+it соответствующая х' —>z', конечна. Далее,
в силу указанных выше соотношений имеется такое М > О,
что для каждой из этих специализаций |гп+1|<УИ. Сле-
Следовательно, если обозначить через U множество точек t,
таких, чтоя(/)€*Л \tnii\<M при 2</<г, то V f[U' —
образ множества V[]U при отображении п. Точка а —
единственная специализация точки х, соответствующая
х'—>а', а значит, единственная точка многообразия V,
которая проектируется в а' при отображении я; отсюда
легко получаем, что если Их — какая-либо окрестность
точки а, то V совпадает с л{У[\и^) в окрестности а'.
Но из предположений, сделанных относительно V и Т,
следует, что если окрестность Их достаточно мала, то
я(УП^1)~комплексное многообразие размерности d, вло-
вложенное в объемлющее пространство. Так как V имеет
в нем коразмерность 1, отсюда, как мы уже доказали,
следует, что d = n и а' —простая точка на V. Значит,
а —простая точка на V.
Теорема 8, доказанная для аффинных многообразий,
распространяется на многообразия, вложенные в какое-либо
многообразие без особых точек. Более общо, имеет место
следующий результат:
Теорема 9. Пусть F — алгебраически замкнутое мно-
множество на некотором многообразии W без особых точек

212 Приложение
и а —точка F. Для того чтобы F было комплексным
подмногообразием комплексного многообразия W в окре-
окрестности точки а, необходимо и достаточно, чтобы а
принадлежала одной и только одной компоненте F и была
простой на ней.
Тот факт, что W можно рассматривать как комплекс-
комплексное многообразие, следует из теоремы 8 и из предполо-
предположения о том, что W не имеет особых точек. Утверждение
относительно F чисто локального характера, поэтому W,
а следовательно, и F можно считать вложенным в аффин-
аффинное пространство. Остается только показать, что если
F — подмногообразие этого пространства в окрестности
точки а, то а не может принадлежать более чем одной
компоненте F. Пусть Vlt ..., Vh — компоненты F, содер-
содержащие а. При каждом / множество простых точек Vt,
не принадлежащих ни одной компоненте Vj при } ф i,
открыто в смысле топологии Зариского на Vi и, значит,
плотно на Vv Пусть щ — размерность Vt; тогда во всякой
окрестности точки а имеются точки, окрестности которых
в F являются многообразиями размерности nv Значит,
если F — многообразие и в окрестности точки а, то все /г,
имеют одно и то же значение п. В том случае, когда
размерность объемлющего пространства равна п +1, из
доказательства теоремы 8 следует, что V\ являются носи-
носителями неприводимых дивизоров Dt в этом пространстве:
принимая во внимание теорему 7 п. 10, мы заканчиваем
доказательство для этого случая. Если же размерность
объемлющего пространства равна п + г, где г > 2, то нужно
использовать лемму 11 подобно тому, как это было про-
проделано при доказательстве теоремы 8. В тех же обозна-
обозначениях, пусть V't определяются по Vt так же, как V
по V; в силу элементарных результатов алгебраической
геометрии Vi совпадают с замыканиями множеств Jt(V\).
Как показано выше, ^совпадают в окрестности точки а'
соответственно с множествами п (Vt (~| С/х) для любой окре-
окрестности иг точки а. По предположению объединение мно-
множеств Vг является в окрестности точки а комплексным
многообразием размерности п; касательное к нему (в смысле
дифференциальной геометрии) линейное многообразие Т
является трансверсалью к многообразию Х1—а1, ...
..., ХпМ — а|1+1. Значит, то же самое имеет место и для

Элементарные свойства дивизоров 213
объединения множеств V[ в окрестности точки а'; отсюда,
как было доказано, следует, что VI совпадают друг с дру-
другом. Это означает, что всякое линейное многообразие
размерности /• —1, пересекающееся с одним из Vt, пересе-
пересекается и с другими; из хорошо известных элементарных
соображений (которые основаны на использовании «коор-
«координат Чжоу» в алгебраической геометрии) следует, что
компоненты Vt также совпадают. Так как они различны
по определению, их не может быть более одной.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ1)
Общие обозначения. Используемые в этой книге
обозначения совпадают в основном с обозначениями Бур-
баки. В частности, через Q, R, С обозначаются соответ-
соответственно поля рациональных, вещественных и комплексных
чисел. Если К — некоторое поле, то через К* обозна-
обозначается мультипликативная группа отличных от нуля эле-
элементов поля К; через Е обозначается подгруппа группы С*,
состоящая из комплексных чисел, по модулю равных 1;
используется также обозначение e(t) = e2nit. Если ЭД —
некоторое кольцо, то 9Iq —его расширение посредством Q.
Далее, /\Е обозначает внешнюю алгебру на векторном
пространстве Е, А РЕ— векторное пространство элемен-
элементов степени р этой алгебры; через Д обозначается закон
композиции в ней. В алгебре когомологий (с веществен-
вещественными или комплексными коэффициентами) на некотором
многообразии через Л обозначается произведение Алек-
сандера— Колмогорова. Обозначение [X, Y] применяется
для «скобки Ли» эндоморфизмов векторного пространства,
или, другими словами, для эндоморфизма XY—YX.
В частично упорядоченной группе отношение порядка
обозначается символом >-; в структуре обозначения inf.
sup, x*, x~ имеют обычный смысл.
а, Ь» ' р> С
I,
II,
IV,
1,
1,
5,
9-
33
86
10
1) В указателе первая римская цифра означает номер главы,
следующая цифра — номер пункта, последняя—страницу. —Прим, ред.

Указатель обозначений 21 о
Г1*
{II,-
(IV,
w I,
L, А {II,
(IV,
d\ d", dc II,
б, А II,
б', б", 6е II,
<р* (прообраз некоторой формы) . . .III,
B(V) III,
%(V), ШР(У) ¦ Ill, ¦
Я, G IV,
2JJ (среднее значение на торе) .... IV,
Ж$У), &€V(V), Зе°" b(V),hp(V), ha' b(V) IV,
Cl(a) IV,
Я(а) IV,
&a>b(V, u), pa'b(V, u) IV,
/(a), /(a, b) IV,
a(D) V,
divv(<p) V,
E VI,
AU(V),KU(V) Прил.,
m(y), (iF) Прил.,
div(Y) Прил.,
A^A^C"), K — KoiC1'1) Прил.,
div(/) Прил.,
JD| Прил.,
3,
5,
6,
3,
4,
5,
со"
4,
2,
5,
6,
2,
8,
8,
1,
2,
5,
5,
5,
со*
7,
6,
7,
12,
2,
2,
2,
4,
5,
6,
16-
44
89
19
19
44
87,
27
35
44
47
54
67
68
76
78
84,
84
85
88
90
115
117
165
179
179,
179
181
184
187
-17
89
85
180

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ»)
Абелево (многообразие) VI, 8, 149
Адаптированный (базис) VI, 1, 129
Алгебраическое (многообразие) Прил .,11, 204
Альбаиезе (многообразие) IV, 8, 97
Антидвойственное (пространство) I, 1, 8, 165
Антилинейное (отображение) I, 1, 7
Антитранспозиция I, 1, 9
Ассоциированные (группы) VI, 12, 165
— (элементы) Прил. 1, 176
Бергмана (структура) III, 9, 73
Бирегулярное (отображение) III, 1, 54
Вейерштрасса (полином) Прил., 3, 180, 181
Взаимно простые (элементы) Прил., 1, 177
Всюду определенное (отображение) .... VI, 9, 154
Главное расслоенное (пространство) .... V, 1, 100
Главная расслоенная (система) V, 1, 99
Голоморфное (отображение) III, 1, 50
Голоморфная (форма) II, 1, 30
— (функция) II, 3, 39
Гомологичные (коциклы) V, 2, 102
— (формы) IV, 5, 84
Дивизор i . . Прил., 5, 184
— (мультипликативной функции) ... V, 7, 117
Доминантная (форма) VI, 8, 149
') См. прим. ред. на стр. 2\<1. —Прим. ред.

Предметный указатель 217
Зарнского топология Прил., 11, 204
Индуцированная (комплексная структура) . . III, 1, 53
— (кэлерова структура) III, 2, 55
Инерции (индекс) IV, 7, 92
Интегрируемая (квазикомплекснаяструктура) . II, 2, 34, 35
Квазикомплексные (структура, многообразие) II, I, 32
Класс когомологий IV, 5, 84
Кограница V, 2, 103
Кольцо с разложением Прил., 1, 177
Комплексные (многообразие, структура, раз-
размерность) II, 1, 30
Компоненты (дивизора) Прил., 10, 202
Коцикл V, 2, 102
Кратность (дивизора, компонент дивизора) J Прил., 8, 195
Прил., 10, 202
Кривизна V, 3, 105
Кэлерова типа (многообразие) IV, 5, 85
Кэлеровы (структура, многообразие) .... II, 6, 47
Линейно эквивалентные (дивизоры) .... Прил., 5, 185
Локально конечное (семейство дивизоров) . . Прил., 10, 198
Мероморфные (дробь, функция) Прил., 5, 184
Мультипликативная (функция) V, 7, 116, 117
Мультипликаторы V, 7, 117
Накрытие III, 3, 55, 56
Неприводимый (элемент) Прил., 1, 176
Нерв (покрытия) V, 1, 98
Носитель (дивизора) Прил., 6, 187
Ориентация [ I, 1, 12
33
¦ Г I. 1.
1 II, 1,
Первого рода (интеграл) V, 7, 118
- - (форма) IV, 5, 85

218 Предметный указатель
Перехода (функции) . V, 1, 99
Период (формы) IV, 8, 95
Пикара (многообразие) IV, 8, 97
Погруженное (многообразие) III, 1, 53.
Подмногообразие III, 1, 54
Примитивный (класс когомологий) IV, ' 6, 87
— (элемент) I, 4, 20
Проективное (пространство) III, 5, 60
Прообраз III, 2, 54
— (комплексной структуры) III, 1, 53
— (кэлеровой структуры) III, 2, 55
Простая (точка) f Прил., 8, 191
t Прил., 8, 195
Простое (покрытие) V, 2, 101
Пфаффиан VI, 1, 129
— (редуцированный) VI, 1, 130
Ранг комплексного тора VI, 8, 149
Расширение кольца (посредством Q) . . . . VI, 12, 166
Рациональный (класс когомологий) IV, 8, 94
Редуцированный (пфаффиан) VI, 1, 130
Редуцированная (тэта-функция) VI, , 3, 134
Риманова (форма) VI, 6, 141
Росток (дивизора, голоморфной функции,
мероморфной функции) Прил., 2, 178,
Сателлит (формы) VI, 1, 128
Связность V, 3, 105
Семихарактер I, 3, 134
Степень (а, Ь), биоднородные (элементы,
формы) f I, I, 9
I, 1, 33
Тип (кэлеров) IV, 5, 85
— (тэта-функции) VI, 3, 134
Тор комплексный III, 4, 58
Тривиальная (тэта-функция) VI, 3, 135
Тэта-функция V, 7, 118

Предметный указатель 21 &
Фактор-структура III, 3, 57
Фундаментальная (форма) II, 5, 44
Ходжа (многообразие) IV, 8, 95
Целочисленный (класс когомологий) .... IV, 8, 94
Чжэня (класс) V, 5, 114
Эрмитова (форма) I, 2, 12
Эрмитово (пространство) IV, 3, 16
Эрмитовы (структура, многообразие) . • • . II, 5, 44
Ядро (эрмитовой формы, пространства от- /VI, 2 131
носительно тора) \ VI, 8, 149

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Внешняя алгебра на эрмитовом пространстве . . 7
Г\л\а в а 11. Локальная кэлерова геометрия 30
ГлаваШ. Индуцированные структуры; фактор-структуры;
построение кэлеровых метрик 50
Глава IV. Компактные многообразия кэлерова типа ... 76
Глава V. Функции перехода и дивизоры 98
Глава VI. Комплексные торы, тэта-функции, абелевы мно-
многообразия 125
Приложение. Элементарные свойства дивизоров на ком-
комплексных многообразиях 176
Указатель обозначений . . ¦ • 214
Предметный указатель ' 216
Андре Вейль
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КЭЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Редактор Н. И. ПЛУЖНИКОВА. Переплет художника И. А. Лапана
Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технические редакторы Ю. И. КорО-
теева и Ф. X. Джатиева
Сдано в производство 14/IV 1961 г. Подписано к печати 7/VIII 1961 г.
Бумага 84х 108 '/32=3,4 бум. л. 11,3 печ. л. Уч.-изд. л. 10,6 Изд. № 1/5534
Цеиа 94 к. Зак. 995
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 5 Мосгорсовнархоза. Москва, Трехпрудный пер., 9.

Стр.
13
18
20
88
92
101
107
142
Строка
2 ся.
13 св.
9 св.
7 св.
10 сн.
20 сн.
13 сн.
6 сн.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Напечатано
(«0
= i) — 2/v(Jtf) 2
PpL
*в — в"
Следует читать
Bо)
= (—20v(M)S
аг
*а' = —а"
yi,(>i
dFi*
v=v
Зак. 995