/
Автор: Полонский В.Б Мерзляк А.Г. Якир М.С.
Похожие
Текст
Условные обозначения
Простые задачи
Задачи среднего уровня сложности
Сложные задачи
Окончание доказательства теоремы
Задачи для взаимоконтроля
3
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры
и их свойства
§ 1. Точки и прямые
, Повторяем теорию
о _
1. Заполните пропуски.
1)— единственная геометрическая фигура, которую нельзя разбить
на части.
2) Через любые точки можно провести прямую, и притом
3) Прямую можно обозначить, называя___________________________________________
4) Если хотят разъяснить смысл какого-либо слова (термина), то используют
5) Две прямые, имеющие, называют пересекающи-
мися.
6) Утверждение, истинность которого _______________________________________
__________________________________________________, называют теоремой.
7) Любые две пересекающиеся прямые имеют об-
щую точку.
Практическое задание \------
2. Проведите прямую, проходящую через точки А и Б. Определите, принадлежит ли
точка С прямой АВ.
2)
4
Ответ: 1) точка С прямой АВ;
2) точка С прямой АВ;
3) точка С прямой АВ.
** 3. Запишите, какие из точек, изображённых на рисунке, принадлежат прямой т, а ка-
кие — не принадлежат.
Точки принадлежат
прямой т.
Точки не принадлежат
прямой т.
—. Практические задания \------
© \_____
4. Постройте точки пересечения прямых АВ и MN, MN и РК, АВ и РК и обозначь-
те их.
5. Проведите прямые АВ, АС и ВС. Проведите
прямую, пересекающую каждую из этих прямых.
— Решаем задачи 4 _
© \______
6. Найдите точку пересечения прямых:
1)аи6; 3) b и d; 5) а пр;
2) ап с; 4) b п с; 6) b пр.
Ответ:
1)------; 3)------; 5)-----;
2)------; 4)------; 6)-----
-*♦- 7. Используя рисунок, заполните пропуски.
1) Прямая проходит через точку Л ине проходит че-
рез точку В.
2) Прямая проходит через точку С и не проходит ни
через точку В, ни через точку Е.
Практическое задание \------
8. Проведите прямую а и отметьте на ней точки А, В, С и D.
Запишите все возможные обозначения прямой а, исполь-
зуя отмеченные точки.
Ответ:_________________________________________________________________
-—. Повторяем теорию \---------
о о \----
9. Докажите теорему о пересечении двух прямых: лю-
бые две пересекающиеся прямые имеют только одну
общую точку.
Доказател ьство.
Пусть пересекающиеся прямыеамЬ, помимо, име-
ют ещё одну Тогда через две точки А и В проходят
_________________________А это противоречит______________________________
Следовательно, предположение о существовании
______________________________________________________прямых а и b
Решаем задачи
10. Прямые т и п пересекаются в точке А. Прямая т проходит через точку В. Проходит
ли прямая п через точку В?
Ре Шл гн ie
/7/ 761 7П ЗЛА си. и, 41 пс г 1М ая Г г 1.р( w 777 1 1 ГВ? ? 7 ПО ЧЕ U В. 7 ог 1а
че1 ое 3 б
А эп ю П] >О? пи во ve чъ ст
6
Практическое задание
11. Отметьте пять точек так, чтобы они определяли пять прямых. Проведите эти прямые.
§ 2. Отрезок и его длина
- Повторяем теорию
о \_____
12. Заполните пропуски.
1) Точку X называют внутренней точкой отрезка АВ, если она принадлежит
________________________________ и не совпадает ________________________________
2) Отрезок АВ состоит из точек, а также всех точек прямой АВ, лежащих
3) Два отрезка называют равными, если
4) Равные отрезки имеют длины.
5) Если длины отрезков равны, то___________________________________________
6) Если длина отрезка АВ больше длины отрезка CD, то говорят, что отрезок АВ
отрезка CD, и записывают:
7) Говоря «сумма отрезков», подразумевают
8) Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен
, т. е. АВ = ___________________________________________________________
7
Это утверждение называют
9) Расстоянием между точками А и В называют
АВ.
10) Если точки АиВ совпадают, то расстояние между ними
11) Серединой отрезка АВ называют такую его точку С, что
Г Ппяитииогип» 9ЯПЯЫМО \
» — П
13. Проведите все возможные отрезки с концами в точках М, N, К и Р. Запишите обозначения всех проведённых от- М. •К
резков. N»
Ответ: •Р
Решаем задачи
-*► 14. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке.
Ответ: а)______________________________; б)
Практическое задание
15. Проведите прямую и отметьте на ней точки М, N и К так,
чтобы выполнялось равенство MN = МК + NK.
Решаем задачи
16. Сравните изображённые на рисунке отрезки с отрез-
ком АВ и запишите результат сравнения с помощью
знаков =, >, <.
Ответ: АВ
CD; АВ EF; АВ МК- АВ NP.
8
*► 17. Запишите, какие из отмеченных точек
прямой с:
1) лежат между точками D и F;
2) принадлежат отрезку DF;
3) не принадлежат отрезку DF.
Ответ: 1)_________; 2)______________; 3)
18. Известно, что АВ = ВС = CD = DE = EF = FM.
Закончите предложения.
1) Точка F является серединой отрезка
2) Серединой отрезка АЕ является точка
3) Точка С является серединой отрезков
4) Точка D является серединой отрезков
19. Отрезок AM разделён на 6 равных отрезков. За-
полните таблицу.
АВ С D Е F М
А В С D Е F М
Ее Шл
Oi пв еп ТА
2-
9
23. Точка В принадлежит отрезку AD, длина которого
равна 32 см. Найдите длины отрезков АВ и BD, если
АВ : BD = 3 : 5.
АВ D
Ре ш не
П. пъ А 8 с И, т За в 0
П< ) г 'Ch ое 'W '/ < 'в( 'т ву а, чи нъ (. о т, че 7 / + В D —
То ?д 7 Зх + ?;
Ci )of пе ПЪ Н( , ( С^\ 1> В] Г М.
Ch пе er т
ОС \-----
24. Проведите три отрезка так, чтобы их концами были:
1)3 точки; 2) 4 точки.
10
25. На прямой отметили точки М, N и К так, что точка N лежит между точками М и К.
Могут ли отрезки MN, NK и МК иметь соответственно длины 4 см, 2 см и 7 см?
Решение.
Если точка N лежит на прямой между точками М и К, то
по основному свойству длины отрезка
Из условия задачи следует, что MN + NK = см,
МК -см.
Ответ:_____________
26. Точки D, Е и F лежат на одной прямой, DE = 6 см, FE — 4 см. Найдите отрезок DF.
Сколько решений имеет задача?
11
27. Дано: N — середина отрезка МК,
МК = 10 см, КР — MN = 12 см.
Найти: МР.
Ре UL we
М ът с-- С1 1
То гд а </ > — съ ~)н 1С1 од а М Р
Oi П(\ ег 21
<>
28. Точки А, В к С лежат на одной прямой, АВ = 18 см, ВС = 12 см, точка D — середина
отрезка ВС. Найдите расстояние между точками А и D. Сколько решений имеет за-
дача?
Ре UL ЕН UP
Bi э ll 1C в Cl r
>
Р( 'С( Ml HL 7?7 'M dt hi cn П'Ч (p
п ОН KE ле ж urt 1 не ж ^y и ?О' 4К 7 V п А
и_
2А 7i w, Ш c 'in n we ж тп оъ ко 'М, 1 t 1 1 / i
Ch НЕ eel 2L_
12
29. На прямой а от точки А отложили отрезки АВ и АС так, что АВ = 9 см, АС = 6 см.
Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача?
30. Длина отрезка АВ равна 2 см. Отметьте на прямой АВ цветным карандашом все точ-
ки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка АВ равна: 1)2 см;
2) 5 см.
1)
1 4
J. 4
к 3
1 3
13
31. На отрезке АВ отмечены точки С и D так, что каждая из них делит отрезок АВ в от-
ношении 1 : 4. Найдите длину отрезка АВ, если CD = 6 см.
14
?) Т< )Ч1 са А 7/ АК Ш п ме Зу тп оу ко / 1 3 1 i (
Oi пв еп г:
§ 3. Луч. Угол. Измерение углов
1—. Повторяем теорию
о
33. Заполните пропуски.
1) Луч состоит из точки, лежащей на прямой, и всех точек этой прямой, лежащих
_________________________________от этой точки Эту точку называют
2) Луч обозначают, называя: первой обязательно указы-
вают , второй — любую другую
3) Два луча, имеющие
и лежащие______________
, называют дополнительными.
Решаем задачи
** 34. Рассмотрите данный рисунок. Верно ли утверждение:
1) точка К принадлежит лучу NM;
2) точки М и Р принадлежат одному и тому же лучу
с началом в точке N;
3) точка N принадлежит и лучу КР, и лучу РЮ
Ответ: 1)______; 2); 3)
о \___
35.
Практическое задание
На прямой МК отметьте:
1) точку А, принадлежащую лучу МК\
2) точку В, принадлежащую лучу МК, но не принадле-
жащую отрезку МК,
3) точку С, принадлежащую лучу КМ, но не принадлежащую отрезку КМ.
15
J—. Решаем задачи х---
о \_____
36. Запишите все изображённые на рисунке:
1) лучи; 2) пары дополнительных лучей.
Ответ: 1)___________________;
2)-----------------------------
37.
Запишите все возможные обозначения изображён-
ного на рисунке: 1) луча DC; 2) луча BE.
Ответ: 1); 2)
** 38. Укажите все пары дополнительных лучей, изображённых на рисунке.
А В С D
2)
Ответ: 1)____________________________________; 2)
—. Повторяем теорию
о \_____
39. Заполните пропуски.
1) Угол состоит из двух лучей, имеющих, и одной
из частей плоскости, на которые эти лучи её Эти лучи называют
__________________________угла, а их общее начало —_________________________
угла.
2) Угол, стороны которого являются_____________________________________.____—
, называют развёрнутым.
3) Любая прямая делит плоскость на две, для кото-
рых эта прямая является
4) Два угла называют равными, если их можно
5) Биссектрисой угла называют ___________________________________________
, делящий этот угол______________________________________
6) Градусная мера развёрнутого угла равна
7) Острым называют угол, ________________________________________________
16
8) Прямым называют угол, ______________________________________________
9) Тупым называют угол,________________________________________________
10) Равные углы имеют величины.
11) Если величины углов равны, то____________________________________
12) Из двух неравных углов большим считают тот,
13) Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АО С и СОВ, то АОВ -
Это утверждение называют __________________________________________________
—< Решаем задачи \---
о _____
40. Подчеркните неверные обозначения угла, изображённого
на рисунке.
ZAED, ZEAD, ZDAC, ZBCA, ZDAE, ZCAD, ZCBD, ZBAD
41. Запишите все углы, изображённые на рисунке.
Ответ:________________________________________________________
—. Практическое задание \-----
о \_____
42. Начертите два угла так, чтобы они:
1) составляли развёрнутый угол;
2) не составляли развёрнутый угол, но имели общую сторону.
Решаем задачи
43. Найдите угол АВС, изображённый на рисунке.
Ответ:___________________________
17
3
44. На рисунке Z.BOC = 52°. Найдите Z.AOC.
45. Из вершины прямого угла AOD проведены два луча ОВ
и ОС так, что ЛАОС = 68°, Z.BOD = 52°. Вычислите вели-
чину угла BOD.
46. Известно, что луч СК — биссектриса угла АСМ,
ААСК = 62°. Тогда А АСМ =
Пользуясь транспортиром, постройте угол АСМ
и проведите луч СК.
18
47. Сравните изображённые на рисунке углы с углом А и запи-
шите результат сравнения с помощью знаков =, >, <.
Ответ: АА АВ\ АА AC, АА AD\ АА АЕ.
48. Известно, что ААОВ = АВОС - ACOD = ADOE = AEOF. За-
кончите предложения.
1) Луч ОЕ является биссектрисой угла
2) Биссектрисой угла BOD является луч
3) Луч OD является биссектрисой углов и
49. Найдите угол МОР, изображённый на рисунке, если
луч ON — биссектриса угла МОК, луч ОК — биссектриса уг-
ла МОР.
50. Найдите градусную меру угла АОЕ, если ААОВ = АВОС =
= ACOD, луч ОЕ — биссектриса угла COD, ADOE = 12°.
19
52. Угол АОМ разделён на 6 равных углов. Заполните таблицу.
Измеряемый угол Единичный угол
/АОВ /СОЕ /DOM /AOF
/AOF 5 3
/COD 0,5
/АОМ 1,2
/AOD 3
/DOF
20
оо
54. Луч AD проходит между сторонами угла ВАС. Может ли угол ВАС быть равным 78°,
а угол BAD — 84°?
21
55. Известно, что ZABC - 70°, Z.ABD = 30°. Найдите угол CBD. Сколько решений имеет
задача?
Практическое задание \-----
56. Угол АВС равен 20°. Проведите луч BD так, чтобы:
1) угол ABD был равен 70°, а угол CBD — 90°;
2) угол ABD был равен 90°, а угол CBD — 70°.
22
57. Луч BD — биссектриса угла АВС. Найдите угол АВС, если:
1) ZABC-ACBD = 2A°-,
2) А АВ С + ACBD = 63°.
58. Развёрнутый угол поделён на 4 угла, величины которых пропорциональны числам 2,
3, 4 и 6. Найдите величины этих углов.
23
<2? па ег V.
59. Сколько раз за сутки часовая и минутная стрелки образуют
развёрнутый угол?
Ответ:________________________________
60. Дано: луч ВМ — биссектриса AABD,
луч. BN — биссектриса Z.CBD,
Z.MBN= 24°.
Найти: /ЛВС.
61. Дано: луч ОМ — биссектриса Z.AOB,
луч ON— биссектриса Z.COD,
АВОС = 100°.
Найти: Z.MON.
24
Ее Шд НЕ '4£_
/ / Ю о > f 'ОС КС >7? >К1 г г 'А 9/ Э -
// ю В + /( г> — 4Г >0
О? пв еп 22_
§ 4. Смежные и вертикальные углы
Повторяем теорию
62. Заполните пропуски.
1) Два угла называют смежными, если у них одна сторона ,
а две другие являются____________________________________________________
2) Сумма смежных углов равна
3) Два угла, отличные от, называют вертикальными, ес-
ли стороны одного угла являются__________________________________________
сторон другого.
4) При пересечении двух прямых образуются вертикальных
углов.
5) Вертикальные углы
X—. Решаем задачи \----
© \____
63. Заполните пропуски, используя данный рисунок.
1) Z.ABE и Z______— вертикальные;
2) AABD и Z.CBE —_____________________________
3) Z.CBE и ACBD -_____________________________
4
25
—. Практические задания —
о_______
64. Начертите угол, смежный с углом МКР. Сколько та-
ких углов можно построить?
Ответ:
65. Начертите угол, который с углом О ST образует пару
вертикальных углов. Сколько таких углов можно по-
строить?
Ответ:
Решаем задачи
-*► 66. Заполните таблицу, вычислив градусную меру угла, смежного с данным.
Угол 150° 42° 90° а
Угол, смежный с данным
67. Заполните таблицу, определив вид угла, смежного с данным.
Угол Угол, смежный с данным
Острый
Тупой
Прямой
Повторяем теорию —
68. Докажите теорему о сумме смежных углов: сумма
смежных углов равна 180°.
Пусть углы АОС и СОВ — смежные. Надо доказать,
что________________________________
Так как углы АОС и СОВ смежные, то лучи ОА и ОВ являются
Тогда АЛОВ —Следовательно,
ААОВ =Луч ОС принадлежит углу По основному свойству
_______________________________имеем:________________________________________
26
69. Докажите теорему о свойстве вертикальных углов: верти-
кальные углы равны.
На рисунке углы 1 и 2 — вертикальные. Надо доказать, что
Каждый из углов 1 и 2 с углом 3. Тогда Z1 + Z3 =
и Отсюда Z1 = и Z2 =
Получаем, что градусные меры углов 1 и 2, а значит,
70.
Решаем задачи х---
Дано: A.ABD и Z.DBC — смежные,
AABD в 4 раза больше Z.DBC.
Найти: AABD, ADBC.
Практическое задание
71. Начертите два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона принадлежала
горизонтальной прямой.
27
Решаем задачи
72. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 108°. Найдите
градусные меры остальных углов.
28
74. Дано: Z1 + Z2 + Z3 = 250°.
Найти: Zl, Z2, Z3, Z4.
Ре Uli гн ie
Z' 1 и '2 ) j пе гд а /1 + У ?
И we • > — 24 ^2 э
Ch пв ей т
75. Луч ОМ — биссектриса угла ВОС, луч ОБ — биссектриса уг-
ла DOM. Найдите угол АОС.
Ре Uli ie
Ch пв ей г
29
76. Чему равен угол, если сумма двух смежных с ним углов равна 180°?
77. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы
также равны.
Доказательство.
На рисунке углы 1 и 3 — смежные, углы 2 и 4 - смежные
и Zl = Z2. Надо доказать, что
По свойству смежных углов: Zl + Z3 = ,
Z2 + Z4 = 180°.
Тогда Z3 = 180° - Z_, Z4 = 180° - Z2 = 180° - Z_
Следовательно,◄
30
79. Разность двух смежных углов равна одному из них. Найдите эти углы.
Pf UL 'HL де
Qi пв еп г:
80. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них
в 14 раз больше другого.
Ре ш хн че
Н1 ип еы е_ 112 лъ L, о£ пл 13( >вс VH1 1Ъ1 е т »7/ п гр Ш а ви Y пт МЪ 'X,
яв пя Ю1 пе я
Qi пе еп т
31
§ 5. Перпендикулярные прямые
Повторяем теорию
82. Заполните пропуски.
1) Две прямые называют перпендикулярными, если
2) Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину
, образовавшегося при их пересечении.
3) Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними---------
4) Два отрезка называют перпендикулярными, если
5) Расстоянием от точки до прямой называют
, опущенного из данной точки на
6) Если точка принадлежит прямой, то расстояние от этой точки до прямой считают
7) Через каждую точку прямой проходит
, перпендикулярная данной.
32
Практические задания
83. Пользуясь угольником, проведите через точку А прямую, перпендикулярную пря-
мой т.
84. Проведите через точку М прямые, перпендикулярные
прямым CD и DE.
85. Опустите из точки А перпендикуляр на прямую Ь.
Обозначьте основание перпендикуляра буквой О.
Проведите из точки А две наклонные к прямой b так,
чтобы их основания лежали по разные стороны от ос-
нования проведённого перпендикуляра. Найдите с по-
мощью линейки расстояние от точки А до прямой Ь.
Ответ:____________
5-
33
——. Решаем задачи \---
о \____
86. Чему равен угол между прямыми а и Ь, изображёнными на рисунке?
Решение. Поскольку угол между пересекающимися не-
перпендикулярными прямыми считают величину
угла, образованного при их пересечении,
то искомый угол равен
Ответ:_______
87. Известно, что АС С ВС, CD ± АВ. Запишите отрезок,
длина которого равна расстоянию:
1) от точки С до прямой АВ;
2) от точки А до прямой ВС.
Ответ: 1)______; 2)
88. Дано: АВ ± CD, /СОЕ = 34°.
Найти: /.ВОЕ.
** 89. Известно, что прямые а тлЬ перпендикулярны. Перпен-
дикулярны ли отрезки:
1)АВиВХ; 3) CD и MX;
2) АВ и CD- 4) АВ и BD?
Ответ: 1)______; 2); 3)_____________; 4)
34
90. Докажите, что прямые АВ и CD, изображённые на рисун-
ке, перпендикулярны.
91. Сумма двух вертикальных углов, образованных при пересечении двух прямых, рав-
на 180°. Докажите, что данные прямые перпендикулярны.
35
ОО \-----
92. Дано: Zl = Z2 = Z3 = Z4.
Доказать: МО ± ОК.
Ж( 13< 'Ш ъс т< ю
1 4 2 + / 3 + 4
Го ?д 1 41 2- '3 / л / =
93. Дано: PN ± МК,
АВ ± АС.
Доказать: АРАБ = АСАМ.
Доказател ьство.
Поскольку PN ± МК и АВ ± АС, то АРАМ = АС АВ =
АРАМ = АРАБ + А__, тогда АРАБ = 90° — А_
АСАВ = АСАМ + А__тогда АСАМ = 90° - А_
Следовательно,◄
94. Дано: Zl = Z2, Z3 = Z4.
Доказать: AC ± BD.
D
АВС
36
95. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О, луч ОМ проходит меж-
ду сторонами угла АОС, а луч ОК — между сторонами угла BOD, ZAOK = 110°,
Z.DOM = 140°. Найдите угол МОК.
37
96. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, ни один из которых не яв-
§ 6. Аксиомы
- Решаем задачи х---
о
97. Выпишите номера утверждений, которые выбраны в качестве аксиом.
1) Вертикальные углы равны.
2) Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
3) Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
4) Сумма смежных углов равна 180°.
5) Через каждую точку прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная
данной.
6) Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме
отрезков АС и СВ.
Ответ:_____________________________
38
Глава 2. Треугольники
§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса
треугольника
Повторяем теорию
о .
98. Заполните пропуски.
1) Треугольник называют и обозначают по
2) В треугольнике АВС угол В называют углом,
стороне АС, углы А и С — углами,__________________________________________
к стороне АС, сторону АС — стороной,______________________________________
углу В, стороны и— сторонами, прилежащими к углу А.
3) Периметром треугольника называют_______________________________________
4) Треугольник называют остроугольным, если
5) Треугольник называют, если один из его
углов прямой.
6) Треугольник называют тупоугольным, если
7) Два треугольника называют, если их можно совместить на-
ложением.
8) Стороны и углы треугольников, которые совмещаются при наложении треуголь-
ников, называют сторонами и
__________________________________углами.
9) Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит
, перпендикулярная данной.
10) Две фигуры называют равными, если________________________________________
11) Высотой треугольника называют , опущенный
из треугольника на, содержащую
39
12) Отрезок, соединяющий треугольника
__________________________________________, называют медиа-
ной треугольника.
13) Биссектрисой треугольника называют отрезок
___________________________________________, соединяющий вершину треугольника
___________________________________________стороны.
14) Каждый треугольник имеет высоты, медианы и биссек-
трисы.
—!—. Решаем задачи
о \___
99. Рассмотрите треугольник MNK, изображённый на рисунке, и заполните пропуски.
1)— сторона, противолежащая углу К.
2) Z______и Z_______— углы, прилежащие к стороне МК.
3) Z______— угол, противолежащий стороне NK.
4)и— стороны, прилежащие к углу N.
100. Заполните таблицу, указав вид треугольника АВС.
Углы треугольника Вид треугольника
АА = 40°, АВ = 80°, ZC= 60°
АА = 20°, АВ = 90°, АС= 70°
АА = 15°, АВ = 55°, АС= 110°
АА = 86°, АВ = 48°, АС = 46°
101. Используя транспортир, угольник и линейку со шкалой,
определите, какой из отрезков AD, AM, АК является
биссектрисой, какой — высотой, а какой — медианой
треугольника АВС.
Ответ: — биссектриса,
— медиана.
высота,
40
Практические задания
102. В каждом треугольнике, изображённом на рисунке, проведите все его высоты.
103. В треугольнике DEF, изображённом на рисунке, прове-
дите медиану DP.
104. В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, прове-
дите биссектрису СК.
Решаем задачи
105. Укажите, какой геометрической фигурой является:
1) биссектриса угла; 2) биссектриса треугольника.
Ответ: 1)_________; 2)
106. Дано: АЛБ С,
ВС : АС : АВ = 2 : 6 : 7,
АВ на 25 см больше ВС.
Найти: РАВС.
Ре ш гн ле
Пг (Ct пъ В С 2х С; и, ТПл ->гс )а А( AL t =
П( (Ci СО; 1Ы су А. В ла 2 5 с :м бс улъш е . ти. А В — В( р
Сл )С7 по ей м yt at mt mt ле.
41
оо
42
§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников
Повторяем теорию
108. Заполните пропуски.
1) Первый признак равенства треугольников (по двум
и между ними): если две стороны и угол од-
ного треугольника равны соответственно
другого треугольника, то такие треуголь-
ники _______________
2) Серединным перпендикуляром отрезка называют
отрезку ________________________________________________________________
3) Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от
4) Второй признак равенства треугольников (по и двум приле-
жащим ): если сторона и
одного треугольника равны соответственно
другого треугольника, то такие треугольники
—. Решаем задачи >--
о
109. Из точек А и В, лежащих в одной полуплоскости от-
носительно прямой а на одинаковом расстоянии от
неё, опущены на эту прямую перпендикуляры AM
и ВК. Найдите длину отрезка ВМ, если АК — 8 см.
43
Практическое задание
110. С помощью угольника и линейки со шкалой найдите точку, равноудалённую от всех
вершин треугольника АВС.
—, Решаем задачи \----
о \_____
111. Серединный перпендикуляр отрезка CD проходит через точку А, не принадлежащую
отрезку CD. Докажите, что ZACD - ZADC.
44
112. Дано: AABD = ACBD, BD1 AC.
Доказать: ABAD = AB CD.
113. В треугольниках ABC и A1B1Cl известно, что AB = A^^ AA = AAy Добавьте одно ус-
ловие так, чтобы можно было доказать равенство этих треугольников:
1) по первому признаку равенства треугольников;
2) по второму признаку равенства треугольников.
Ответ: 1)_____; 2)
-!—. Повторяем теорию х----------
ос \-----
114. Докажите первый признак равенства треугольников: если
две стороны и угол между ними одного треугольника равны
соответственно двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
45
Доказательство.
Рассмотрим треугольники АВС и AaBxCv у которых АВ = ВС = ВХСХ,
АВ = АВу
Докажем, что ДАВС = ДА^Су
Наложим ДАВ С на ДА[В1С1 так, чтобы луч В А совместился с
, а луч ВС совместился с Это можно сделать, так как по
условию Поскольку по условию В А =и ВС =,
то при таком наложении сторона ВА , а сторо-
на ВС —_______________________________
Следовательно, ДАВ С и A-AjBjCj полностью совместятся, значит,
115. Докажите теорему о свойстве точек серединного перпенди-
куляра отрезка: каждая точка серединного перпендикуляра
отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
Доказательство.
Пусть X — произвольная точка серединного перпендикуля-
ра а отрезка АВ, точка М — середина отрезка АВ. Надо до-
казать, что_____________________
Если точка X совпадает с точкой М (а это возможно, так как X —
__________________________________________), то________________
Если точки X и М не совпадают, то рассмотрим треугольники АХМ и
В этих треугольниках AM = МВ , так как точка М —
________________, сторона— общая, ААМХ — А_______________________=
Следовательно, треугольники АХМ и ВХМ равны по
_______________________________________________________________Значит, отрез-
ки и равны как_________________________________________________
116. Докажите второй признак равенства треугольников: если
сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники АВС и A^BXCV у которых
АС = А1С1, АА = ААр АС = ACV Докажем, что лАВС =
= ДА1В1С1.
46
Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы точка А совместилась
с точкой , отрезок АС — с отрезком (это возможно, так как
АС =) и точки В и Вг лежали в одной полуплоскости относительно пря-
мой Поскольку АА =и Z.C =, то луч АВ совместится
с лучом, а луч СВ — с лучом Тогда точка В — общая точка лучей
и — совместится с точкой — общей точкой лучей А1В1
и Значит, Д АВС и ДД/^С^ полностью совместятся, следовательно,
Решаем задачи
117. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, являю-
щейся серединой отрезка AC, ADAO = АВ СО. Дока-
жите, что треугольники АОВ и COD равны.
47
118. Докажите равенство углов МСР и MDP, изобра-
жённых на рисунке, если СК - DK и Z.CKP =
= Z.DKP.
)К( 131 гтп ел ъс mt ю
)К( 1Л< :ei\ ЧГГ !О mi че 1П1 и р( 1вг (Ъ(
П,( жаэн 1.. ЧП Ю т, 1в 1П\ 1Н чк и И * и вг ы
—
119. Докажите равенство отрезков АК и БК, если
Z.AST = АВ ST, AATS = ABTS.
48
49
50
51
§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства
Повторяем теорию
124. Заполните пропуски.
1) Треугольник, у которого , называют
равнобедренным.
2) Равные стороны равнобедренного треугольника называют
сторонами, а третью сторону —
52
3)равнобедренного треугольника называют общую точ-
ку его боковых сторон.
4) Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, называют
5) Углы, прилегающие к основанию равнобедренного треугольника, называют
6) Треугольник, у которого ________________________________, называют
равносторонним.
7) Равносторонний треугольник — частный случай
треугольника.
8) В равнобедренном треугольнике углы при основании
9) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из его вершины, являет-
ся и треугольника.
10) В треугольнике против равных сторон лежат углы.
11) В равнобедренном треугольнике___________________________________
, проведённые из его вершины,
12) В треугольнике все углы равны.
13) В равностороннем треугольнике___________________________________
_______________, проведённые из одной вершины,
14) Треугольник, у которого, назы-
вают разносторонним.
'Решаем задачи \---
О X____
125. Периметр равнобедренного треугольника равен 56 см, а основание — 16 см. Найдите
боковые стороны треугольника.
Ре ш гн ив
Оз Пв еп г:
53
126. Найдите стороны равнобедренного треугольника ЛВС, пери-
метр которого равен 90 см, если боковая сторона АВ на 6 см
меньше основания АС.
127. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его основанию как 4 : 5,
а его периметр равен 52 см. Найдите основание треугольника.
54
128. Чему равна сторона равностороннего треугольника, если его периметр равен 48 см?
Ответ:_____________
129. В треугольнике MNK известно, что MN= МК. Укажите равные углы треугольника.
Ответ:__________________
55
131. Отрезок ВМ является медианой равнобедренного треугольника АВС с основани-
ем АС, отрезок MD — биссектриса треугольника АВМ. Найдите угол DMC.
132. Найдите градусную меру угла DAE, если
Z.BCF — 145°, а треугольник АВС — рав-
нобедренный с основанием АС.
1Ш за ие
/г \С В 18 0° /
/ f \С в Кб \к иг лъ и VI ' с сн ов U7 >(7( ml ле лн и пр е-
I
и? Э7 ън ЦК а
()1 пв еп ?
56
J—. Повторяем теорию \------------
О О X----
134. Докажите теорему о свойствах равнобедренного треуголь-
ника: в равнобедренном треугольнике: 1) углы при основа-
нии равны; 2) биссектриса треугольника, проведённая из
его вершины, является медианой и высотой.
Доказательство.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, у которо-
го АВ = ВС, отрезок BL — его биссектриса. Требуется
доказать, что Z______ = Z______, = ,
_______1__________
В треугольниках ABL и CBL сторона— общая, Z_________________= Z_________, так
как по условию— биссектриса угла АВС, стороны и равны
как равнобедренного треугольника. Следова-
тельно, &ABL = &CBL по _____________________________________________________
57
Отсюда можно сделать такие выводы:
1) Z.A = Z_; 2) AL =___; 3) ZALB = Z___
Так как отрезки и равны, то— медиана треугольника АВС.
Углы ALB и CLB, следовательно, Z_____________________+ Z__ =
— 180°. Учитывая, что ZALB = Z_, получаем: Z.ALB = Z_= 90°. Значит,
отрезок BL —треугольника АВС. ◄
-!—. Решаем задачи v_
о о ----
135. Дано: AD = BD, ВЕ= СЕ,
ZX = 36°, ZABC = 120°,
ZC = 24°.
Найти: Z.DBE.
58
137. В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС), периметр кото-
рого равен 72 см, провели высоту BD. Найдите длину проведён-
ной высоты, если периметр треугольника ABD равен 58 см.
Ре ш че
В п но еъ ж. 1М п IDs e,ij 411 fee В с в! оп ж 1 я >т ГЯ
Г
т. '<К. itcf di 1 / Г —
Рл — 'А В -1-
Л Ж:
Оте еп т
J
59
138. Дано: ААВС, АВ = ВС,
AACD = АСАЕ.
Доказать: AD = СЕ.
139. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соот-
60
140. Дано: АВ = ВС, ААВМ= АСВК.
Доказать: &МВК — равнобедренный.
61
141. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К такие,
что АА.ВМ — АСВК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что AM = СК.
142. Медианы AM и СК равнобедренного треугольника АВС {АВ =
= ВС) пересекаются в точке О. Докажите, что ОМ = ОК.
62
143. На сторонах АВ, ВС и АС равнобедренного треугольника АВ С
с основанием АС отметили соответственно точки D, Е и F та-
кие, что AD = СЕ, AADF = ACEF. Докажите, что луч ЕВ — бис-
сектриса угла DFE.
63
§ 10. Признаки равнобедренного треугольника
Повторяем теорию
144. Заполните пропуски.
1) Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник
2) Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник
3) Если в треугольнике два угла___________, то этот треугольник равнобедренный.
4) В треугольнике против равных углов лежат
5) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник
145. Докажите, что если медиана треугольника является его высо-
той, то этот треугольник равнобедренный.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АВС, у которого отрезок ВМ —
и Надо доказать, что
АВ =_____
64
Из условия теоремы следует, что прямая ВМ —
__________________________отрезка АС.
Тогда по свойству_________________________________________________________________
146. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот тре-
угольник равнобедренный.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АВС, у которого отрезок BL —
и Надо дока-
зать, что=
В треугольниках ABL и сторона BL — ,
AABL — Z, так как по условию BL — биссектриса угла
ABC, ZALB ==_____________, так как по условию BL — высота.
Следовательно, треугольники ABL и равны по при-
знаку равенства треугольников. Тогда стороны АВ и ВС равны как
-!—. Решаем задачи \----
о \____
147. В треугольнике DOK известно, что Z.D = Z.K. Укажите равные стороны треуголь-
ника.
Ответ:________________
148. Дано: Zl = Z2.
Доказать: &CDE — равнобедренный.
65
-—ч Повторяем теорию V —
о о \-----
150. Докажите, что если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобед-
ренный.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АВС, у которого ZA = ZC. Надо доказать, что=
Проведём серединный перпендикуляр а стороны АС. Докажем, что прямая а прохо-
дит через__________
Предположим, что это не так. Тогда пересекает во внутренней точ-
ке сторону АВ (рис. а} или(рис. б).
66
Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть точка К — точка пересечения прямой а со
Тогда по свойству серединного перпендикуляра =
=Следовательно, треугольник АКС — ,
а значит, АА =Но по условию Z.A =Тогда имеем: Z.ACB = ЛАСК,
что противоречит основному свойству-----------------------
Аналогично получаем и для второго случая (рис. б). Следова-
тельно, наше предположение Прямая а проходит через точ-
ку В (рис. в), и по свойству серединного перпендикуляра=------◄
151. Докажите, что если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот тре-
угольник равнобедренный.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник АВС, у которого отрезок ВМ —
-----------------------------------------Надо до-
казать, что АВ =
На луче ВМ отложим отрезок MD, равный
В треугольниках AMD и СМВ имеем: AM =(так как
по условию ВМ —), ВМ =по по-
строению, углы AMD и равны как
Следовательно, треугольники AMD и СМВ
равны по признаку равенства треугольников.
Тогда стороны AD и, углы ADM и равны как----------------------------
______________________________________________треугольников.
Так как BD — биссектриса угла АВС, то Z_______ = Z__Поскольку
АСВМ = Z________, то получаем, что ААВМ = Z___
Тогда получаем, что треугольник DAB — ------------------------, откуда
AD ~И уже доказано, что AD —Следовательно, АВ = ВС. ◄
67
Решаем задачи
152. Дано: ВМ ± AC, Zl = Z2.
Доказать: AM = МС.
Доказательство.
Z1 и ABAC -Z2 и АВ С А -
, Zl = Z2 по условию. Следова-
тельно, ABAC = А.
Тогда треугольник АВС —, а его высота ВМ также
является его Следовательно,
153. На биссектрисе AD треугольника АВС отметили точ-
ку М. Известно, что отрезок MD — высота треугольни-
ка ВМС. Докажите, что треугольник ВМС — равнобед-
ренный.
Доказательство.
Поскольку MD — высота треугольника ВМС, то AD —
треугольника АВС. Следовательно,
треугольник АВС —_________________________________
с основанием
По свойству равнобедренного треугольника точка D —
ка ВС.
Следовательно, MD — высота и треугольника ВМС.
Тогда треугольник ВМС —◄
154. Биссектрисы AM и СК треугольника АВС пересекаются в точке О, треуголь-
отрез-
68
155. На медиане ВМ треугольника АВС отметили точку О. Извест-
но, что ОА - ОС, АВ = 12 см. Найдите ВС.
Ре ш гн не
AM — JL глс tK( >К1 / и ip °.у £0 Lb't IU К 4С >С Р ав нс бс дт fHl Ын s ? но
Oi М 1
Ch вс СП С
69
156. В треугольнике DEF известно, что Z.D = Z.F, биссектриса FC делит сторону DE попо-
лам, CD = 3,6 см. Найдите сторону ЕЕ.
157. На высоте KD треугольника МКР отметили точку О. Извест-
но, что Z.MOD = APOD, АКМР = 64°. Найдите АКРМ.
Ре гн
Oi въ 1С( а 7 ( "Cf \К1 пр НС а ед ов 'ап 7,е./ 1М 7,0
mi iei 12( mi IK
70
§ 11. Третий признак равенства треугольников
•> ' Повторяем теорию
158. Заполните пропуски.
1) Третий признак равенства треугольников (по):
если одного треугольника равны соответственно
треугольника, то такие треуголь-
ники равны.
2) Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит
этого отрезка.
Решаем задачи
159. Дано: АВ = CD, АС = BD.
Доказать: Z.BAD = Z.CDA.
71
161. Дано: Z.DEF = Z.DFE, Z.MEF= Z.MFE. Доказать: ts.DEM~ &DFM. Доказательство. По признаку равнобедренного треугольника _ и — равнобедренные. Отсюда DE = — общая сторона треугольников DEM и ники DEM и рг вны по ◄ 72 Е F ,МЕ = , Следовательно, треуголь-
Повторяем теорию
162. Докажите, что если точка равноудалена от концов отрезка, то
она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
Доказател ьство.
Пусть точка X равноудалена от концов отрезка АВ,
т. е. —Рассмотрим треугольники АХМ
и , где точка М —______________________________________
А М В
Тогда А АХМ = по
признаку равенства треугольников. Отсюда ZAMX = Z
Сумма этих углов равна, следовательно, каждый из них равен Зна-
чит, прямая ХМ —_________________________________________________________________
Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка X не принадлежит
Если точка X принадлежит прямой АВ, то она совпадает с
отрезка , а значит, принадлежит его
^-^ДИиГраш'аем задачи
€© X--—
163. На сторонах угла А отметили точки D и Е, а между его сторонами — точку F такие,
73
164. Равнобедренные треугольники MKN и MDN имеют общее основание MN, точки К
и D лежат в одной полуплоскости с границей MN. Докажите, что &MKD = &NKD.
74
75
§ 12. Теоремы
Повторяем теорию \----
167. Заполните пропуски.
1) Утверждение, истинность которого устанавливают
, называют теоремой.
2) Формулировка теоремы состоит из частей: первую часть теоремы (то,
что ) называют теоремы, вторую часть теоремы
(то, что требуется) —
3) Теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-_
4) Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно
, т. е. отнести её к тому или иному
5) Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют
___________________________________________________ или ______________
6) Если условие и заключение одной теоремы являются соответственно заключением
и другой теоремы, то такие теоремы называют
____________________Если какую-то из этих теорем назвать
____________________, то вторую называют_________________________
7) Одним из методов доказательства теорем является метод от
: предполагают, что теоремы неверно, и на ос-
новании этого предположения с помощью
получают факт, который ________________________________
ранее доказанным свойствам фигур.
76
8) Приём ______________________________________________________________
заключается в дополнении чертежа элементами, о которых не шла речь в
_________теоремы.
Решаем задачи
** 168. 1) Условие теоремы о свойстве вертикальных углов:
2) Заключение теоремы о свойстве вертикальных углов:
169. 1) Условие теоремы — третьего признака равенства треугольников:
2) Заключение теоремы — третьего признака равенства треугольников:
170. Запишите в правой колонке утверждение, обратное данному. Поставьте в квадратике
в конце каждого утверждения знак плюс, если оно истинно, или знак минус, если оно
ложно.
Прямое утверждение Обратное утверждение
Если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны треугольника равны. —
—
Если луч BD проходит меж- ду сторонами угла АВС, то /ABD + /CBD = /.АВС.
—
77
Окончание
Прямое утверждение Обратное утверждение
Есл лю( ост и данный угол меньше 5ого тупого угла, то он рый. — — ——
Если два отрезка равны, то ИУ ЛПИНЫ ПЙРШ
—
—
Если две прямые перпенди- кулярны, то они имеют об- щую точку.
—
Если два отрезка перпенди- кулярны, то они имеют об- щую точку.
—
171. Запишите в правой колонке утверждение, отрицающее данное.
Прямые awb параллельны
Отрезки АВ и CD не равны
Треугольники АВС и DEF равны
Точка К принадлежит лучу ВС
78
оо
172. Докажите методом от противного, что если точка D принадлежит прямой МК
и MD + DK > МК, то точка D не лежит между точками М и К
79