orocj mu
H. Б. Мельникова, Г. А. Захарова
Дидактические
материалы
по геометрии
К учебнику Л. С. Атанасяна и др.
«Геометрия. 7-9 классы»
♦	Обучающие работы
♦	Математические диктанты
♦	Тематические проверочные
работы
♦	Контрольные работы
♦ Дополнительные задачи
♦ Ответы
Учебно-методический комплект
Н. Б. Мельникова
Г. А. Захарова
Дидактические материалы
по геометрии
К учебнику Л. С. Атанасяна и др.
«Геометрия. 7-9 классы»
(М.: Просвещение)
7 класс
Издание пятое, переработанное и дополненное
Обучающие работы
Математические диктанты
Тематические проверочные
работы
Контрольные работы
Дополнительные задачи
Ответы
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА «2017
УДК 373:514
ББК 22.151Я72
М48
Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной
книги (ст. 1274 п 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Мельникова Н. Б.
М48 Дидактические материалы по геометрии: 7 класс: к учебнику Л. С. Атанасяна
и др. «Геометрия. 7 9 классы». ФГОС (к новому учебнику) / Н. Б. Мельникова,
Г. А. Захарова. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Экзамен»,
2017. — 127, [1] с. (Серия «Учебно-методический комплект»)
ISBN 978-5-377-11510-6
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному
образовательному стандарту (второго поколения).
Предлагаемые дидактические материалы призваны помочь учителю, работаю-
щему по учебнику Л С Атанасяна и др «Геометрия. 7-9» (М : Просвещение).
Пособие написано к учебнику, переработанному в соответствии с федеральным
государственным образовательным стандартом, и полностью соответствует требо-
ваниям, предъявляемым стандартом, к уровню изложения материала. Предлагаемые
задания удовлетворяют требованиям планируемых результатов обучения как обяза-
тельного, так и повышенного уровня сложности
Данное пособие состоит из нескольких разделов, включающих задания для работы
учащихся на разных этапах учебного процесса. По каждому разделу предлагаются обу-
чающие, проверочные и контрольные работы в 4-х вариантах; математические диктанты,
дополнительные задания разного уровня сложности для дифференцированного обучения.
Почти ко всем задачам даны ответы, а к некоторым — указания к решению. Книга также
содержит раздел задач для подготовки к ОГЭ по математике.
Структура контрольных работ и форма заданий соответствуют структуре
и форме заданий Основного государственного экзамена (ОГЭ).
Приказом № 699 Министерства образования и науки Российской Федерации
учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобра-
зовательных организациях.
УДК 373:514
ББК22.151я72
Подписано в печать 14.09.2016 Формат 60x90/16. Гарнитура «Школьная»
Бумага офсетная Уч.-изд. л. 2,93. Усл. печ. л. 8. Тираж 10 000 экз. Заказ №1049.
ISBN 978-5-377-11510-6
© Мельникова Н. Б., Захарова Г. А., 2017
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2017
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................6
ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ......................................10
Начальные геометрические сведения
Обучающая работа № 1. Измерение отрезков..............10
Обучающая работа № 2. Измерение углов.................12
Обучающая работа № 3. Биссектриса угла................14
Обучающая работа № 4. Смежные и вертикальные углы..15
Обучающая работа № 5. Перпендикулярные прямые.........17
Треугольники
Обучающая работа № 6. Первый признак равенства
треугольников.........................................18
Обучающая работа № 7. Медиана, биссектриса,
высота треугольника...................................20
Обучающая работа № 8. Равнобедренный
треугольник (1).......................................21
Обучающая работа № 9. Равнобедренный треугольник (2) .23
Обучающая работа №10. Второй и третий признаки
равенства треугольников...............................25
Окружность
Обучающая работа №° Л. Окружность.....................27
Построения
Обучающая работа № 12. Построения.....................29
Параллельные прямые
Обучающая работа № 13. Признаки параллельности прямых ... 30
Обучающая работа № 14. Свойства параллельных прямых.. 32
Обучающая работа №15. Параллельные прямые.............34
•а
Содержание
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Обучающая работа №16. Сумма углов треугольника (1).35
Обучающая работа №17. Сумма углов треугольника (2)..36
Обучающая работа №° 18. Прямоугольный треугольник..38
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ............................39
Начальные геометрические сведения
Математический диктант №° 1. Начальные понятия
геометрии...........................................39
Математический диктант №9 2. Знаки £; 0 ............40
Математический диктант №° 3. Измерение отрезков
и углов...........................................  41
Математический диктант №е 4. Смежные углы...........42
Математический диктант № 5. Вертикальные углы......43
Треугольники
Математический диктант №s 6. Треугольник..........  44
Математический диктант № 7. Признаки равенства
треугольников.......................................45
Параллельные прямые
Математический диктант №° 8. Параллельные прямые...46
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
Математический диктант №9 9. Сумма углов треугольника... 47
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ.....................48
Проверочная работа № 1. Начальные понятия геометрии.48
Проверочная работа №> 2. Равнобедренный треугольник.
Признаки равенства треугольников....................52
Проверочная работа № 3. Параллельные прямые.........56
Проверочная работа № 4. Сумма углов треугольника.
Признаки равенства прямоугольных треугольников......60
4
Содержание
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ.............................64
Контрольная работа № 1. Начальные геометрические
сведения.......................................64
Контрольная работа № 2. Треугольники...........70
Контрольная работа № 3. Параллельные прямые....76
Контрольная работа № 4. Соотношения между сторонами
и углами треугольника..........................82
Контрольная работа № 5. Итоговая контрольная работа.88
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ..........................98
Дополнительные задачи. Тема № 1. Начальные
геометрические сведения. Углы..................98
Дополнительные задачи. Тема № 2. Треугольники.
Окружность. Построения........................103
Дополни тельные задачи. Тема № 3. Параллельные прямые... 108
Дополнительные задачи. Тема № 4. Сумма углов
треугольника. Прямоугольный треугольник.......110
ОТВЕТЫ..............................................115
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дидактические материалы предназначены для организации
обучения по курсу планиметрии в массовой школе по учебнику
«Геометрия, 7-9» Л.С. Атанасяна и др.
Данное пособие состоит из нескольких разделов, включающих
задания для работы учащихся на разных этапах учебного процесса.
По каждому разделу предлагаются обучающие, проверочные и кон-
трольные работы в 4-х вариантах; математические диктанты, до-
полнительные задания разного уровня сложности для дифференци-
рованного обучения. Почти ко всем задачам даны ответы, а к
некоторым — указания к решению.
Обучающие работы:
•	для первичного закрепления,
•	для формирования основных умений,
•	для организации текущего контроля,
•	для индивидуальной работы по восполнению пробелов в
подготовке учеников.
Объем каждой обучающей работы не превышает временные
возможности проведения традиционной самостоятельной работы на
уроке. Предполагается, что эти упражнения учитель может исполь-
зовать и в других целях. Кроме того, учитывая подготовленность
класса или подготовку отдельных учеников в случае индивидуаль-
ных заданий, учитель может по-разному отобрать задачи для само-
стоятельных работ. Встречаются обучающие работы, в которых вы-
делены обязательная и дополнительная части (дополнительная
часть включает одну задачу, отмеченную звездочкой).
Математические диктанты:
•	как средство учителю проверить готовность класса к изложе-
нию нового материала,
•	представляют собой систему вопросов, связанных между собой,
6
Предисловие
•	как помощь учителю эффективно тренировать внимание
школьников, оперативную память, умение сосредоточиться,
•	быстрая проверка и самопроверка знаний и умений.
Тематические проверочные работы
В проверочных работах выделены обязательная и дополнитель-
ная части, как правило, включающие по две задачи. Работы даны в
четырех вариантах, равноценных по уровню сложности задач.
Дополнительные задачи:
•	для подготовки к контрольным мероприятиям,
•	как домашнее задание на весь период изучения темы,
•	как средство ученику самостоятельно проверить усвоенность
материала темы.
Контрольные работы
Пособие включает тематические контрольные работы и одну
итоговую работу. Каждая контрольная работа рассчитана на один
урок. Все работы составлены в четырех вариантах одинакового
уровня сложности.
Для подготовки к контрольной работе даются задания, про-
веряющие те же знания и умения, что и задания контрольной
работы. Вместе с тем подготовительные задания по форме не-
сколько отличаются от заданий контрольной работы. Задания
для подготовки к контрольной работе можно предложить уча-
щимся накануне проведения проверочной работы в качестве
домашнего задания. Другой формой подготовки к проверочной
работе может явиться проведение обучающей самостоятельной
работы по заданиям данного раздела. Обучающая самостоя-
тельная работа, с одной стороны, не предполагает выставления
оценок, с другой стороны — после ее проведения необходимо
разобрать решение всех задач или хотя бы тех задач, которые
вызвали затруднения у большинства учащихся.
Структура контрольной работы
Каждая работа состоит из трех частей, соответствующих
форме предлагаемых заданий.
7
Предисловие
В часть 1 включаются задания с выбором ответа. Учащимся
нужно выбрать из предложенных вариантов либо верное утвер-
ждение, либо нужный рисунок. При этом верных ответов может
быть несколько, и учащимся необходимо записать номера отве-
тов, которые, по их мнению, верны. Заметим, что, вообще гово-
ря, в заданиях с выбором ответа применяются два подхода. При
первом подходе среди предлагаемых вариантов ответа имеется
только один правильный. При втором — верных ответов может
быть несколько, и результатом решения задачи является не один
номер, а все номера верных ответов. При этом задание считается
выполненным верно, если указаны номера всех верных ответов.
(Иногда такое задание оценивается несколькими баллами и воз-
можны варианты оценивания в зависимости от числа правильно
выбранных ответов.)
В часть 2 входят вычислительные задачи, которые необходи-
мо решить и записать число, которое получилось в результате
вычислений.
При выполнении частей 1 и 2 контрольной работы учащиеся
не записывают ни обоснования, ни вычисления, нужные для ре-
шения задач. Все записи или рисунки учащиеся, в случае необ-
ходимости, могут делать в черновике. Черновик не сдается учи-
телю и не влияет на оценку за выполнение работы.
В части 3 имеются и задачи на доказательство, и задачи на
вычисление геометрических величин. Решение этих задач долж-
но быть оформлено письменно, как в традиционной контрольной
работе. Следует иметь в виду, что при записи решения вычисли-
тельных задач, так же как и при решении задач на доказательст-
во, необходимо приводить обоснования с использованием изу-
ченных геометрических фактов.
Последняя задача, в каждом варианте отмеченная звездоч-
кой, предназначена для наиболее подготовленных учащихся, ус-
певающих достаточно быстро выполнить все предыдущие зада-
ния. В зависимости от уровня подготовленности класса эту
задачу можно считать дополнительной, и оценивать ее решение
отдельно.
Перед проведением первой контрольной работы необходимо
подробно проинструктировать учащихся о том, как они должны
8
Предисловие
оформить решение задач. Полезно привести пример, показы-
вающий, как должны выглядеть ответы на задачи частей 1 и 2:
1. 123
2.35
Следует напомнить эти инструкции и при проведении каждой
последующей контрольной работы.
Дифференцированный подход к учащимся осуществляется за
счет того, что в работах представлены задания разного уровня,
которые, как правило, расположены по мере возрастания уровня
сложности. Номера заданий обязательного уровня, посильных
для менее подготовленных учащихся, отмечены кружком. Такие
задания представлены во всех трех частях работы.
Следует заметить, что при традиционном письменном оформ-
лении решения задач предлагаемое в контрольных работах коли-
чество задач было бы нереально решить за один урок. Однако
нужно иметь в виду, что задания с выбором ответа и с кратким
ответом не требуют времени на оформление решения и очень час-
то ответы на них могут быть получены устно. Поэтому основные
затраты времени будут связаны с решением задач части 3.
Выражаем огромную благодарность учителям, которые, зна-
комясь с отдельными разделами книги, внесли свои замечания и
предложения.
ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ
НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
____________ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 1_____________
Измерение отрезков
ВАРИАНТ 1
1. Точка М принадлежит отрезку DE, равному 54 см.
Найдите длины отрезков DM и ЕМ, если отрезок DM в 8
раз меньше отрезка ЕМ.
2. Точка N лежит на прямой МК между точками М и К.
Найдите расстояние между серединами отрезков MN и NK,
если MN =17 см, NK = 12 см.
3*. Точки О, Р, К лежат на одной прямой. Известно, что
ОК = 18 м, ОР = 7 м. Может ли точка К лежать между точ-
ками О и Р? Ответ обоснуйте.
ВАРИАНТ 2
1. Точка М принадлежит отрезку DE, равному 30 см.
Найдите длины отрезков DM и ЕМ, если отрезок DM в 5 раз
больше отрезка ЕМ.
2. Точка N лежит на прямой МК между точками М и К.
Найдите расстояние между серединами отрезков MN и NK,
если MN = 32 см, NK = 5 см.
3*. Объясните, почему точки М, N и L не лежат на одной
прямой, если MN = 8 дм, ML = 5 дм, NL = 6 дм.
А о
Обучающая работа № 1. Измерение отрезков
ВАРИАНТ 3
1. Точки М, Р и О принадлежат одной прямой, причем
точки М и Р лежат по разные стороны от точки О. Найдите
длины отрезков ОМ и ОР, если МР = 28 см, а отрезок ОМ
на 12 см короче отрезка ОР.
2. Точка D принадлежит отрезку ОМ. Найдите его длину,
если OD =15 см, a DM в 4 раза меньше, чем ОМ.
3*. Точка А лежит на прямой ВС. Найдите длину отрез-
ка АС, если АВ = 23 м, ВС = 9 м. Сколько решений имеет
задача?
ВАРИАНТ 4
1. Точки М, К и О принадлежат одной прямой, причем
точки М и К лежат по разные стороны от точки О. Найдите
длины отрезков ОМ и ОК, если МК = 48 см, а отрезок ОМ
на 4 см длиннее отрезка ОК.
2. Точка D принадлежит отрезку ОМ. Найдите длину
отрезка ОМ, если ОМ на 6 см больше, чем DM, a OD = 2 DM.
3*. Точка А лежит на прямой ВС. Найдите длину отрез-
ка АС, если АВ = 19 м, ВС = 11 м. Сколько решений имеет
задача?
11
Обучающие работы. Начальные геометрические сведения
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 2 
Измерение углов
ВАРИАНТ 1
1.	Из точки М выходят три луча MP, MN и МК, при-
чем, луч MN лежит внутри угла РМК. Определите градус-
ную меру угла РМК, если XKMN = 40°, XPMN в 3 раза
больше, чем XKMN.
2.	Луч т лежит внутри угла Ьс. Найдите ХЬт и Z ст ,
если Z Ьс =150°, Z Ът в 4 раза меньше, чем Z ст .
3.	Луч ОА лежит внутри угла ВОС. Найдите ХАОВ и
ХАОС, если ХВОС = 75° и ХАОВ на 13° меньше, чем
ХАОС.
ВАРИАНТ 2
1.	Из точки М выходят три луча MP, MN и МК, причем
луч MN лежит внутри угла РМК. Определите градусную
меру угла РМК, если ХРМ N = 110°, XKMN на 50° мень-
ше, чем XPMN.
2.	Луч т лежит внутри угла Ьс. Найдите Z Ът и
Z ст , если X Ьс = 80°, X Ът в 4 раза больше, чем X ст.
3.	Луч ОА лежит внутри угла ВОС. Найдите ХАОВ и
ХАОС, еслиХВОС = 148° и ХАОВ на 28° больше, чем
ХАОС.
12
Обучающая работа № 2. Измерение углов
ВАРИАНТ 3
1.	Из точки О выходят три луча OP, ON и ОК, причем
луч ON лежит внутри угла РОК. Определите градусную ме-
ру угла РОК, если Z.KON = 120°, Z.PON в 3 раза меньше,
чем ЛК ON .
2.	Луч т лежит внутри угла Ьс. Найдите ЛЬт и
Z ст , если Z Ьс =75°, Z Ьт в 4 раза меньше, чем Z ст.
3.	Луч ОА лежит внутри угла ВОС. Найдите Л АОВ и
Z АОС, если Z ВОС = 68° и Z АОС на 22° меньше, чем Z АОВ.
ВАРИАНТ 4
1.	Из точки О выходят три луча OP, ON и ОК, причем
луч ON лежит внутри угла РОК. Определите градусную ме-
ру угла РОК, если APON = 20°, AKON на 50° больше, чем
APON.
2.	Луч т лежит внутри угла Ьс. Найдите ZЪт и Zcm,
если Z&c =60°, ЛЬт в 5 раза больше, чем Лет.
3.	Луч ОА лежит внутри угла ВОС. Найдите Л АОВ и
ЛАОС, еслиZВОС = 168° и ЛАОС на 22° больше, чем
Л АОВ.
13
Обучающие работы. Начальные геометрические сведения
_____ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 3...................
Биссектриса угла
ВАРИАНТ 1
1.	Луч BD является биссектрисой угла АВС. Найдите:
a)	Z DBA, если Z АВС = 146°;
б)	Z АВС, если Z ABD = 15°.
ВАРИАНТ 2
1.	Луч BD является биссектрисой угла АВС. Найдите:
a)	Z DBA, если Z DBC = 46°;
б)	Z АВС, если Z CBD = 42°.
ВАРИАНТ 3
1.	Луч РО является
биссектрисой угла SPK
(см. рисунок). Найдите
ZSPKnZMPS, если
Z SPO = 22°.
М
ВАРИАНТ 4
1.	Луч РО является
биссектрисой угла SPK
(см. рисунок). Найдите
ZSPKn Z ОРК, если
ZMPS= 124°.
М
Обучающая работа № 4. Смежные и вертикальные углы
=___ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 4
Смежные и вертикальные углы
ВАРИАНТ 1
1. Найдите углы, полученные при пересечении двух
прямых, если один из углов равен 74°.
2. Найдите величину каждого из двух вертикальных
углов, если их сумма равна 48°.
3*. Найдите величины смежных углов, если один из них
в 5 раз больше другого.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите углы, полученные при пересечении двух
прямых, если один из углов равен 124°.
2. Найдите величину каждого из двух вертикальных
углов, если их сумма равна 104°.
3*. Чему равны смежные углы, если один из них на 30°
меньше другого?
ВАРИАНТ 3
1. Найдите величины всех углов, полученных при пере-
сечении двух прямых, если сумма двух из них равна 164°.
2. Чему равны смежные углы, если один из них на 40°
больше другого?
Обучающие работы. Начальные геометрические сведения
3*. Какие из высказываний верны и какие неверны?
1)	Если два угла вертикальные, то они равны.
2)	Если два угла равны, то и вертикальные им углы равны.
3)	Если два угла равны, то они вертикальные.
4)	Если два угла с общей вершиной равны, то они верти-
кальные.
Ответ обоснуйте.
ВАРИАНТ 4
1.	Найдите величины всех углов, полученных при пере-
сечении двух прямых, если разность двух из них равна 42°.
2.	Найдите величины смежных углов, если один из них
в 3 раза меньше другого.
3*. Какие из высказываний верны и какие неверны?
1)	Если сумма двух углов равна 180°, то они смежные.
2)	Если два угла смежные, то их сумма равна 180°.
3)	Если два угла равны, то и смежные им углы равны.
4)	Если сумма двух углов с общей стороной равна 180°, то
они смежные.
Ответ обоснуйте.
Обучающая работа № 5 . Перпендикулярные прямые
____ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 5 ____
Перпендикулярные прямые
ВАРИАНТ 1
1.	На рисунке прямые	с
ОВ и АС перпендикулярны,	/
Л COD =138°. Найдите	----/О
ЛВОО.	/
'А
ВАРИАНТ 2
1. На рисунке прямые	,
АО и BD перпендикулярны,	\
Z ВОС =141°. Найдите
ЛАОС.
А
ВАРИАНТ 3
1. На рисунке прямые	. С
ОВ и AD перпендикулярны,	X
ЛАОС = 134°. Найдите
Z ВОС.
В
ВАРИАНТ 4
1. На рисунке прямые	D
D	/
ОС и АВ перпендикулярны,	X.
ЛАОО = 143°. Найдите
Z COD.	D X
Обучающие работы. Треугольники
ТРЕУГОЛЬНИКИ
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 6
Первый признак равенства треугольников
ВАРИАНТ 1
1. Луч ОР является биссек-
трисой угла КОМ (см. рисунок).
Докажите, что ЛКОР = Д МОР,
если ОК = ОМ.
2*. Даны два пересекающихся
отрезка (см. рисунок). Докажите,
что Д ОРМ = Д ОКТ, если извест-
но, что МО = ОТ и МК = РТ.
ВАРИАНТ 2
1. Даны два пересекающихся
отрезка (см. рисунок). Докажите,
что Д авк = Дасе, если точка А
является серединой отрезка ВС и
серединой отрезка ЕК.
2*. Равные углы ВАС nACD от-
ложены по разные стороны от пря-
мой АС (см. рисунок). Докажите,
что ВС =AD, если АВ = CD.
18
Обучающая работа № 6. Первый признак равенства треугольников
ВАРИАНТ 3
1. Даны два пересекающихся
отрезка (см. рисунок). Докажите,
что А ОРМ = А ОКТ, если извест-
но, что РО = ОК и ОМ = ОТ.
2*. Луч РТ является биссек-
трисой угла КРМ (см. рисунок).
Докажите, что А КОР = А МОР,
если РК = РМ.
ВАРИАНТ 4
1. Даны два пересекающих-
ся отрезка (см. рисунок). Дока-
жите, что Амкв = Амес, ес-
ли точка М является серединой
отрезка ВС и серединой отрезка
ЕК.
2*. Равные углы АС В и CAD
отложены по разные стороны от
прямой АС (см. рисунок).
Докажите, что АВ = CD, если
BC=AD.
Обучающие работы. Треугольники
.--.- 	ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 7
Медиана, биссектриса, высота треугольника
ВАРИАНТ 1
1. Найдите длину отрезка AM и градусную меру угла
АВК, если ВМ — медиана, а ВК — биссектриса треуголь-
ника АВС и известно, что АС = 16 м, Z АВС = 84°.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите длину отрезка AM и градусную меру угла
АВК, если ВМ — медиана, а ВК — биссектриса тре-
угольника АВС и известно, что АС = 22 дм, Z^ СВА = 70°.
ВАРИАНТ 3
1. В треугольнике АВС проведена высота ВН, а в тре-
угольнике ВСН — биссектриса НМ. Найдите угол МНС.
ВАРИАНТ 4
1. В треугольнике АВС проведена высота СН, а в тре-
угольнике АСН — биссектриса НК. Найдите угол АНК.
20
Обучающая работа № 8. Равнобедренный треугольник
____ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 8
Равнобедренный треугольник (1)
ВАРИАНТ 1
1. Найдите периметр равнобедренного треугольника
АВС с основанием АВ, если АВ = 7 см, ВС = 8 см.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см.
Найдите боковые стороны, если основание равно 8 см.
3*. Треугольник АВС —
равнобедренный с основанием АС
(см. рисунок). Докажите, что
Z3 = Z4.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите периметр равнобедренного треугольника
АВС с основанием АВ, если АВ = 8 м, АС = 7м.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см.
Найдите основание, если боковая сторона равна 18 см.
3*. Треугольник АВС —
равнобедренный с основанием
АС (см. рисунок). Докажите,
что Z 3 = Z 4.
21
Обучающие работы. Треугольники
ВАРИАНТ 3
1. Составьте выражение для вычисления периметра
равнобедренного треугольника, если его основание равно а
и в 2 раза меньше боковой стороны.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см.
Найдите все стороны, если боковая сторона на 3 см больше
основания.
3*. Докажите равенство двух равнобедренных треуголь-
ников с общей боковой стороной, если равны их углы, про-
тиволежащие основаниям.
ВАРИАНТ 4
1. Составьте выражение для вычисления периметра
равнобедренного треугольника, если его боковая сторона
равна & и на 3 меньше основания.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см.
Найдите все стороны, если основание в 4 раза меньше боковой
стороны.
3*. По разные стороны от прямой АВ взяты точки К nN,
такие, что АК = BK,AN = BN и Z ВАК - Z BAN. Докажите,
что треугольники AKN и BKN равны.
22
Обучающая работа № 8. Равнобедренный треугольник
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 9
Равнобедренный треугольник (2)
ВАРИАНТ 1
1. Треугольник CBD —
равнобедренный с основани-
ем DC, отрезок ВА — медиа-
на. Найдите Z 1, Z 2, Z 3,
Z 4, если ZCBD = 134°
(см. рисунок).
2*. В равнобедренном треугольнике MON с основанием
MN на медиане ОР взята точка D. Докажите, что если на
боковых сторонах отложены равные отрезки ОА и ОВ, то
ДОАО= Aobd.
ВАРИАНТ 2
1. Треугольник
CBD — равнобедренный
с основанием DC, отрезок
ВА — медиана. Найдите
Z 1, Z 2, Z 3, Z 4, если
Z DBC = 121° (см. рисунок).
2*. В равнобедренном треугольнике MON с основани-
ем MN на медиане ОР взята точка D. Докажите, что если
на основании отложены равные отрезки РА и РВ, то
\PAD=\PBD.
23
Обучающие работы. Треугольники
ВАРИАНТ 3
1. Найдите углы треугольника МКС, если МК — ме-
диана равнобедренного треугольника СРМ с основанием СР,
Z СМР = 104°, Z Р = 38°.
2*. В равнобедренном треугольнике АВК основанием яв-
ляется сторона АВ. Точка О лежит на медиане КС. Докажите,
что &ОАК= \ОВК.
ВАРИАНТ 4
1. Найдите углы треугольника МКС, если КС — медиана
равнобедренного треугольника ОКМ с основанием ОМ,
Z ОКМ= 112°, ZO = 34°.
2*. В равнобедренном треугольнике АВК основанием яв-
ляется сторона АВ. Точка О лежит на медиане КС. Докажите,
что ДОАС = ДОВС.
24
Обучающая работа № 10. Второй и третий признаки равенства Д
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 10
Второй и третий признаки равенства треугольников
ВАРИАНТ 1
1. Точки В и D, лежащие по разные стороны от прямой
МК, соединены с концами отрезка МК. Докажите, что
Л МВК = Л KDM, если МВ = KD к ВК = DM.
2*. Даны два пересекающихся
отрезка (см. рисунок). Докажите,
что А ОРМ = А ОКТ, если извест-
но, что МО = ОТ и Z М = Z.T .
ВАРИАНТ 2
1. Точки В и D, лежащие по разные стороны от прямой
МК, соединены с концами отрезка МК. Докажите, что
А МВК = A MDK, если МВ = MD и КВ KD.
2*. Равные углы ВАС и ACD от-
ложены по разные стороны от пря-
мой АС (см. рисунок). Докажите, что
ВС =AD, если Z ВСА = Z DAC.
25
Обучающие работы. Треугольники
ВАРИАНТ 3
1. Луч ОР является биссек-
трисой угла КОМ (см. рисунок).
Докажите, что А КОР = А МОР,
если Z ОРК = Z ОРМ.
2*. Треугольники ACD и ABD — равнобедренные с об-
щим основанием AD. Докажите, что А АВС = А ВВС, если
точки В и С лежат по одну сторону от прямой АО.
ВАРИАНТ 4
1. Даны два пересекающихся
отрезка (см. рисунок). Докажите,
что Амкв = Амес, если точ-
ка М является серединой отрезка
ВС и серединой отрезка ЕК.
2*. Треугольники ACD и ABD — равнобедренные с об-
щим основанием АО. Докажите, что А АВС = A DBC, если
точки В и С лежат по разные стороны от прямой АО.
26
Обучающая работа № 11. Окружность
ОКРУЖНОСТЬ
_______ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА Ns 11 __=^===
Окружность
ВАРИАНТ 1
1. В окружности с центром О проведена хорда КМ.
Найдите Z ОКМ, если Z ОМК = 47°.
2. Точка М — середина хорды ВС. Она соединена с цен-
тром О окружности. Найдите углы ВОМ ОМ В, если
Z ВОС =148°.
3*. В окружности с центром О проведены радиусы ОМ,
ОК и ON. Докажите, что А МОК = ANOK, если известно,
что хорды МК и KN равны.
ВАРИАНТ 2
1. В окружности с центром О проведена хорда КМ.
Найдите Z ОКМ, если Z ОМК = 52°.
2. Точка М — середина хорды ВС. Она соединена с
центром О окружности. Найдите углы СОМ и ОМС, если
Z ВОС = 124°.
3*. В окружности с центром О проведены радиусы ОМ,
ОК и ON. Докажите, что А МОК = A NOK, если известно,
что Z МОК = Z NOK.
27
Обучающие работы. Окружность
ВАРИАНТ 3
1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и
хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если
АВ = 8, BD = 3,5.
2. Точка О — центр окружности. Докажите, что
Даов = Двое, если известно, что хорды АВ и CD равны.
3*. В окружности проведены диаметры МР и DF. Дока-
жите, что хорды MD и PF равны.
ВАРИАНТ 4
1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и
хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если
АВ = 7, ВВ = 2,5.
2. Точка О — центр окружности. Докажите, что
Даов = Двое, если точки А, В, С w. D лежат на окруж-
ности и Z АОВ = Z COD.
3*. В окружности проведены диаметры МР и DF. Дока-
жите, что Z MFD = Z PDF.
28
Обучающая работам 12. Построения
ПОСТРОЕНИЯ
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 12 ____
Построения
ВАРИАНТ 1
1. Начертите произвольный треугольник АВС. По-
стройте медиану СМ.
ВАРИАНТ 2
1. Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте
биссектрису AM.
ВАРИАНТ 3
1. Начертите треугольник МРК с тупым углом Р. По-
стройте высоту КА.
ВАРИАНТ 4
1. Дан отрезок АВ. Постройте окружность, для которой
отрезок АВ является диаметром.
29
Обучающие работы. Параллельные прямые
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
. ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 13 ___
Признаки параллельности прямых
ВАРИАНТ 1
1. Объясните, почему
прямые а и Ъ параллельны
(см. рисунок), если Z 1 = Z 5.
2*. Определите, какие
стороны параллельны у че-
тырехугольника, изобра-
женного на рисунке.
ВАРИАНТ 2
1. Объясните, почему пря-
мые а и & параллельны (см. ри-
сунок), если 4 + Z- 5 = 180°.
2*. Определите, какие сто-
роны параллельны у четырех-
угольника, изображенного на
рисунке, если Z 1 = Z 2.
30
Обучающая работа № 13. Признаки параллельности прямых
ВАРИАНТ 3
1. Объясните, почему пря-
мые а и b параллельны (см. ри-
сунок), если Z 2 = Z 6.
2*. Определите, какие
стороны параллельны у
четырехугольника, изо-
браженного на рисунке.
ВАРИАНТ 4
1. Объясните, почему
прямые а и b параллельны
(см. рисунок), если Z 4 — Z 6.
2*. Определите, какие
стороны параллельны у че-
тырехугольника, изобра-
женного на рисунке.
Обучающие работы. Параллельные прямые
—ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 14
Свойства параллельных прямых
ВАРИАНТ 1
1. Определите Z 1 и Z 2
(см. рисунок), если прямые с
и Ъ параллельны и известно,
что Z 3 = 103°.
2. Прямые а и b парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z 5 и Z 6, если Z 1 = 43°.
ВАРИАНТ 2
1. Определите Z 1 и Z 2
(см. рисунок), если прямые с
и Ь параллельны и известно,
что Z 3 = 113°.
2. Прямые а и b парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z 5 и Z 6, если Z 2 = 121°.
32
Обучающая работа № 14. Свойства параллельных прямых
ВАРИАНТ 3
1. Определите Z 1 и Z 2
(см. рисунок), если прямые с
и Ь параллельны и известно,
что Z 4 = 36°.
2. Прямые а и b парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z7h Z8,если Z4=133°.
ВАРИАНТ 4
1. Определите Z 1 и Z 2
(см. рисунок), если прямые с
и b параллельны и известно,
что Z 4 = 46°.
2. Прямые а и & парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z 7 и Z 8, если Z 3 = 51°.
Обучающие работы. Параллельные прямые
=___= ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 15 ___
Параллельные прямые
ВАРИАНТ 1
1. Найдите величину каждого из двух внутренних одно-
сторонних углов, если один из них больше другого в 4 раза.
2*. Отрезки АС и BD пересекаются в точке К, причем пря-
мые ВС и AD параллельны. Докажите, что углы треугольника
ADK соответственно равны углам треугольника СВК.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите величину каждого из двух внутренних на-
крест лежащих углов, если их сумма равна 72°.
2*. Отрезки АВ и CD параллельны и равны. Докажите,
что А АВМ = A CDM, где М — точка пересечения отрезков
АС и BD.
ВАРИАНТ 3
1. Найдите величину каждого из двух внутренних од-
носторонних углов, если разность этих углов равна 72°.
2*. Прямая, пересекающая боковые стороны равнобед-
ренного треугольника, параллельна основании!. Докажите,
что углы отсекаемого треугольника, соответственно рав-
ны углам исходного треугольника.
ВАРИАНТ 4
1. Найдите величину каждого из двух внутренних на-
крест лежащих углов, если их сумма равна 142°.
2*. Прямая, пересекающая основание равнобедренного
треугольника, параллельна одной из боковых сторон. До-
кажите, что она отсекает треугольник, углы которого со-
ответственно равны углам исходного треугольника.
34
Обучающая работа № 16. Сумма углов треугольника
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 16
Сумма углов треугольника (1)
ВАРИАНТ1
1. В треугольнике DBC проведена биссектриса DK. Оп-
ределите углы треугольника DBC, если Z.CDK = 37°,
ZDKC= 105°.
2*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием
ВС биссектрисы ВМ и CN пересекаются в точке О. Найдите
углы треугольников СВМ и ВОС, если Z А = 68°.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
угол при основании больше угла между боковыми сторонами
в 4 раза.
2*. Прямая, параллельная стороне МК треугольника
MNK, отсекает от него треугольник NOP, в котором Z.N = 71°,
Z NOP = 34°. Определите углы треугольника MNK.
ВАРИАНТ 3
1. В треугольнике DBC проведена биссектриса DK. Оп-
ределите углы треугольника DBC, если ZBDK = 35°,
Z.BKD = 48°.
2*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием
ВС биссектрисы ВМ и CN пересекаются в точке О. Найдите
углы треугольников СВМ и ВОС, если Л АВС = 56°.
ВАРИАНТ 4
1. Найдите углы треугольника, если один из них в 2
раза больше другого и на 20° больше третьего.
2*. В равнобедренном треугольнике один из углов ра-
вен 56°. Найдите остальные углы.
35
Обучающие работы. Соотношения сторон и углов треугольника
____ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 17--------------
Сумма углов треугольника (2)
ВАРИАНТ 1
1. Найдите внешние углы треугольника, если известны
два его внутренних угла 35° и 79°.
2. Найдите неизвестные углы треугольника, если один
из них равен 31°, а один из внешних углов равен 132°.
3*. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
внешний угол при вершине, противолежащей основанию,
равен 54°.
ВАРИАНТ 2
1, Найдите внешние углы треугольника, если известны
два его внутренних угла 37° и 64°.
2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
внешний угол при основании равен 118°.
3*. Найдите углы при основании МР равнобедренного
треугольника МОР, если МК — его биссектриса и
АОКМ= 93°.
ВАРИАНТ 3
1. Найдите углы треугольника, если известны два его
внешних угла 121° и 82°.
2. Найдите неизвестные углы треугольника, если один
из них равен 30°, а один из внешних углов равен 135°.
3*. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
внешний угол при вершине, противолежащей основанию,
равен 154°.
36
Обучающая работа № 17. Сумма углов треугольника
ВАРИАНТ 4
1. Найдите углы треугольника, если известны два его
внешних угла 135° и 153°.
2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
внешний угол при основании равен 146°.
3*. Найдите неизвестные углы треугольника АВС, если
ZA = 84°, а угол В в 5 раз меньше внешнего угла при вер-
шине С.
37
Обучающие работы. Соотношения сторон и углов треугольника
..— ...... ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 18 ____
Прямоугольный треугольник
ВАРИАНТ 1
1. Треугольник АВС — прямоугольный с прямым уг-
лом С, отрезок CD является его высотой. Найдите острые
углы треугольника АВС, если Z.ACD = 42°.
2*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой МК,
AM и ВК — перпендикуляры к этой прямой. Докажите, что
А AM К = Д.ВКМ, если АК = ВМ.
ВАРИАНТ 2
1. Треугольник АВС — прямоугольный с прямым уг-
лом С, отрезок CD является его высотой. Найдите острые
углы треугольника АВС, если Z BCD = 37°.
2*. К прямой АВ проведены в разные полуплоскости
перпендикуляры AM и ВК. Отрезки МК и АВ пересекаются
в точке О. Докажите, что ААОМ = Л. ВОК, если известно,
что AM = ВК.
ВАРИАНТ 3
1. Треугольник АВС — прямоугольный с прямым уг-
лом С, отрезок CD является его высотой. Докажите, что у
треугольников АВС и ACD углы соответственно равны.
2*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой,
AM и ВК — перпендикуляры к этой прямой. Докажите,
что А AM К — А ВКМ, если Z. МАК = Z МВК.
ВАРИАНТ 4
1. Треугольник АВС — прямоугольный с прямым уг-
лом С, отрезок CD является его высотой. Докажите, что у
треугольников ABC, BCD углы соответственно равны.
2*. К прямой АВ проведены в разные полуплоскости
перпендикуляры AM и ВК. Отрезки МК и АВ пересекаются
в точке О. Докажите, что ААОМ = \ВОК, если известно,
что О — середина отрезка МК.
38
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
_____МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 1 ===
Начальные понятия геометрии
1.	Изобразите точку и обозначьте ее А.
2.	Начертите и обозначьте прямую с.
3.	Сколько общих точек имеют две пересекающиеся
прямые?
4.	Могут ли две различные прямые а и с иметь две об-
щие точки М иР?
5.	Прямая проходит через точку А и не проходит через
точку В. Какая из этих точек принадлежит прямой?
6.	Начертите две пересекающиеся прямые а и с. Отметьте
точку А, принадлежащую только прямой а. Отметьте точку В,
принадлежащую обеим прямым. Отметьте точку М, не при-
надлежащую ни одной прямой.
7.	Точки М и Р лежат на одной прямой. Запишите, как
можно обозначить эту прямую.
39
Математические диктанты. Начальные геометрические сведения
___= МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 2
Знаки е; £
1. Отметьте три точки М, Н, Р так, чтобы они принад-
лежали одной прямой с. Запишите с помощью знака 6 при-
надлежность каждой из данных точек прямой с.
2. Для каждого условия выполните чертеж:
1)	Р&а;
2)	МеАВ;
3)	Нёс;
4)	А е МК; В е МК;
5)	Т G Ь; О ё Ъ.
40
Математический диктант № 3. Измерение отрезков и углов
___ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 3
Измерение отрезков и углов
1.	Точка А лежит на отрезке ВС. Найдите длину АВ, ес-
ли ВС = 13 см, АС = 9 см.
2.	Точка К — середина отрезка МР. Найдите длину МР,
если КР = 3,5 см.
3.	Может ли длина отрезка быть равной О?
4.	Чему равна величина развернутого угла?
5.	а) Начертите угол АОВ.
б)	Внутри угла проведите луч ОС.
в)	Найдите величину угла АОВ, если Z.AOC = 12°, а
Z СОВ в 3 раза больше Z АОС.
6. Отметьте точки А, В, С так, чтобы выполнялось ра-
венство АВ + СВ =АС.
41
Математические диктанты. Начальные геометрические сведения
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 4 =_=_=
Смежные углы
1.	а) Начертите тупой угол МРК.
б)	Постройте угол КРС, ему смежный.
в)	Найдите угол МРК, если угол КРС равен 46°.
2.	Даны два угла АВС и КВС. Будут ли они смежными,
если их величины равны:
а)	46° и 144°;
б)	90° и 90°;
в)	45° и 135°?
3.	Закончите предложения:
а)	Сумма смежных углов равна ...
б)	Два угла называются смежными, если одна сторона
общая, а две другие ...
42
Математический диктант № 5. Вертикальные углы
___ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 5 ____
Вертикальные углы
1.	Закончите предложение: Вертикальные углы ...
2.	Чему равен угол, если вертикальный с ним угол
равен 46°?
3.	При пересечении двух прямых один из 4 углов ра-
вен 50°. Найдите остальные углы.
4.	Верно ли утверждение «Если два угла равны, то они
вертикальные » ?
5.	Может ли сумма двух смежных углов равняться
сумме двух вертикальных?
43
Математические диктанты. Треугольники
ТРЕУГОЛЬНИКИ
--	МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 6 ___=
Треугольник
1.	Укажите вершины треугольника МРН.
2.	Укажите стороны треугольника ОТВ.
3.	Вершину В треугольника АВС соединили с серединой
стороны АС. Назовите этот отрезок.
4.	а) Начертите треугольник АВС.
б)	Проведите в нем медиану ВМ.
в)	Проведите в нем биссектрису из вершины С.
г)	Проведите в нем высоту из вершины А.
5.	Как называются равные стороны в равнобедренном
треугольнике?
44
Математический диктант № 7. Признаки равенства треугольников
___ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 7
Признаки равенства треугольников
1.	О треугольниках АВС и МРК известно, что АВ = МР,
АС = МК. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы
эти треугольники оказались равными по первому признаку
равенства треугольников?
2.	О треугольниках АВС и МРК известно, что
ZA = AM, AC = А К. Какое еще условие должно быть
выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по
второму признаку равенства треугольников?
3.	Периметры треугольников равны. Будут ли равны
треугольники?
4.	а) Начертите два отрезка АВ = 6 см и HP = 4 см, пе-
ресекающиеся в их общей середине М.
б)	Соедините отрезками точки А и Н, В и Р.
в)	Отметьте в треугольниках АНМ и ВРМ равные
элементы.
г)	Равны ли треугольники АНМ и ВРМ1
5.	О треугольниках АВС и МКР известно, что АВ = МР,
АВ = А М, А А = А Р. Будут ли равны треугольники?
45
Математические диктанты. Параллельные прямые
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
_^=^_ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 8
Параллельные прямые
1.	Начертите две прямые и секущую. Отметьте какую-
нибудь пару внутренних накрест лежащих углов.
2.	Прямые а и & параллельны. Z 4 = 140°. Найдите Z 6
(см. рис.).
3.	Будут ли прямые а и b параллельны, если Z 2 = 120°,
Z 6 = 120° (см. рис.)?
4.	а) Начертите четырехугольник АВС К.
б)	Проведите отрезок ВК.
в)	Известно, что Z ВКА = Z КВС.
г)	Укажите, какие стороны четырехугольника па-
раллельны.
46
Математический диктант № 9. Сумма углов треугольника
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ № 9 =___
Сумма углов треугольника
1.	Существует ли треугольник с углами 103°, 137°, 40°?
2.	Найдите третий угол треугольника, если два его угла
равны 27°, 70°.
3.	Существует ли треугольник, у которого два тупых
угла?
4.	Один из углов равнобедренного треугольника ра-
вен 140°. Найдите остальные углы.
5.	В треугольнике ABC ZA = 40°, ZB = 50°. Какой это
треугольник: остроугольный, прямоугольный, тупоуголь-
ный?
47
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
______— ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 1
Начальные понятия геометрии
ВАРИАНТ 1
1. Даны две различные точки. Сколько можно провести
через эти точки:
1)	прямых;
2)	лучей;
3)	кривых линий?
2.	Известно, что	/д/
ZAOK=ZMOB	I /
(см. рисунок). Докажите,	\ /
что ААОМ = А КОВ.	\/
°	В
3*. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Луч ОК
является биссектрисой угла DOB. Найдите угол DOK, если
ZAOD = 86°.
4*. Из точки А проведены три луча: AM, AN и АК. Най-
дите угол NAK, если Z_ MAN = 67°, Z. МАК = 48°.
48
Проверочная работа № 1. Начальные понятия геометрии
ВАРИАНТ 2
1. Сколько различных прямых можно провести через
четыре различные точки? Сделайте чертеж.
2. Прямой угол АСВ разделен лучом СМ на два угла
АСМ и ВСМ, такие, что половина угла АСМ равна одной
трети угла ВСМ. Найдите эти углы.
3*. Отрезки МР и ОК пересекаются в точке D, причем
сумма углов MDO и PDK равна 116°. Найдите угол К DC,
где DC — биссектриса угла PDK.
4*. Лучи а и с лежат на
одной прямой, Z сп = 40°
(см. рисунок). Найдите
Z ат, если он в 6 раз боль-
ше, чем Z тп.
49
Тематические проверочные работы
ВАРИАНТ 3
1. Найдите угол, который равен одной трети угла СВМ,
ему смежного.
2. Известно, что отрезки МК и МР лежат на одной
прямой. Найдите расстояние между точками К и Р, если
МК = 2,2 см, МР = 2 —см.
5
3*. Из точки М проведены три луча: МО, MN и МК.
Чему равен угол NMK, если Z. OMN = 78°, Z. ОМК = 30°?
4*. Лучи Ьис лежат на	i
одной прямой, Z аЪ = 25°,	\
Z cd на 85° больше, чем A ad	\
(см. рисунок). Найдите Z cd. h \	\
50
Проверочная работа № 1. Начальные понятия геометрии
ВАРИАНТ 4
1. При пересечении двух прямых получились две пары
вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Может
ли сумма двух вертикальных углов равняться сумме двух
смежных углов?
2. Точки А, В, С, К расположены на прямой h последо-
вательно. Найдите расстояние между серединами отрезков
АВ и СК, если АК = 1 дм, ВС = 88 мм. Ответ запишите в см.
3*. Прямые MN и RS пересекаются в точке В, луч ВК
является биссектрисой угла MBR. Найдите угол МВК, если
сумма углов MBR и SBN равна 86°.
4*. Из точки D проведены три луча: DA, DB и DC. Най-
дите угол BDC, если Z ADB = 92°, Z ADC = 34°.
Тематические проверочные работы
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 2 ___
Равнобедренный треугольник.
Признаки равенства треугольников
ВАРИАНТ 1
1. В треугольнике ВС К стороны ВК и СК равны, КМ —
медиана, Z ВКС = 46°. Найдите углы ВМК и СКМ.
2. Луч SC является бис-
сектрисой угла ASB, а отрез-
ки SA и SB равны. Докажи-
те, что A SAC = A SBC.
3*. Точка D лежит внутри равностороннего треугольника
PRS, причем DP = DR. Докажите, что SD — биссектриса угла
RSP.
4*. В треугольнике CDE стороны СЕ и DE равны, бис-
сектрисы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите, что
ADAM= ДСАН.
52
Проверочная работа № 2. Равнобедренный треугольник
ВАРИАНТ 2
1. Треугольник АРК равнобедренный с основанием АК.
Найдите углы АРН и КНР, если PH — медиана, Z АРК = 86°.
2. Точка О является сере-
диной отрезка МК, Z М = Z К
(см. рисунок). Докажите, что
Дмов = &КОА.
3*. Точка А лежит на медиане, проведенной к основанию
равнобедренного треугольника. Докажите, что она одинаково
удалена от вершин основания.
4*. Медианы ВК и DN равностороннего треугольника DCB
пересекаются в точке О. Докажите, что Д BON = Д DOK.
53
Тематические проверочные работы
ВАРИАНТ 3
1. Треугольник POR —
равнобедренный с основанием
PR (см. рисунок). Найдите
Z 2, если Z 1 = 65°.
2. Луч КС — биссектриса
угла DKB, а отрезок DK равен
отрезку ВК (см. рисунок).
Докажите, что треугольники
KDC и КВС равны.
3*. На основании МК равнобедренного треугольни-
ка МВК отложены отрезки МА = КС. Докажите, что
А КВС.
4*. В равнобедренном треугольнике DEC с основанием
CD медианы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите,
что треугольник DAC также равнобедренный.
54
Проверочная работа № 2. Равнобедренный треугольник
ВАРИАНТ 4
1. Стороны РК и РА треугольника РАК равны, PH —
его медиана. Найдите углы РНК иАРН, если Z АРК = 134°.
2. Точка О является се-
рединой отрезка AD, а углы
А и D равны (см. рисунок).
Докажите, что
Ааов= Двое.
3*. Луч MD лежит внутри
угла М, причем MN = ML,
DN = DL. Докажите, что
MD — биссектриса угла М.
L
4*. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС
взяты точки М и К. Докажите, что если Z ВАМ = Z САК, то
AM = АК.
55
Тематические проверочные работы
----	_ ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 3 _____
Параллельные прямые
ВАРИАНТ 1
1. Прямые а и b парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z 1, если Z 2 = 163°.
2. Отрезки ОР и КМ пересекаются в точке С, а отрезки КР
и МО равны и параллельны. Докажите, что А КРС - А МОС.
3*. Прямая, параллельная основанию МР равнобедрен-
ного треугольника МРК, пересекает боковые стороны в точ-
ках А и В. Найдите углы треугольника АВК, если ЛК = 82°,
ЛМ = 49°.
4*. При пересечении двух прямых тип секущей Z 1 и
Z 2 — внутренние накрест лежащие углы. Известно, что
Z 1 = 45°, a Z 2 — в три раза меньше, чем угол, смежный с
Z 1. Будут ли прямые тип параллельны?
56
Проверочная работа № 3. Параллельные прямые
ВАРИАНТ 2
1.	Прямые а и b парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z 2, если Z. 1 = 63°.
2.	Точки АиС лежат по разные стороны от прямой BD.
Докажите, что если АВ || CD и АВ = CD, то A ABZ) = АСПВ.
3*. В окружности проведены диаметры АВ и CD. Дока-
жите, что хорды АС и BD параллельны.
4*. При пересечении двух прямых тип секущей Z 1 и
Z 2 — внутренние односторонние углы. Известно, что сумма
Z 1 и угла, вертикального Z 2, составляет 180°. Будут ли
прямые т и п параллельны?
57
Тематические проверочные работы
ВАРИАНТ 3
1. Прямые b и d парал-
лельны (см. рисунок). Найдите
Z 1, если Z 2 = 123°.
2. Отрезки AN и ВМ парал-
лельны и равны (см. рисунок).
Докажите, что &AND = &BMD.
3*. В разных полуплоскостях относительно прямой MN
расположены точки А и В. Докажите, что AM || BN, если
известно, что AM = BN, AN = ВМ.
4*. Прямая, проведенная через вершину В треугольника
АВС параллельно стороне АС, образует со сторонами ВА и
ВС равные углы. Определите вид треугольника АВС.
58
Проверочная работа № 3. Параллельные прямые
ВАРИАНТ 4
1. Прямые п и fe парал-
лельны (см. рисунок).
Найдите Z 1, если Z 2 = 137°.
2. В разных полуплоскостях относительно прямой АВ
расположены точки М и N, Докажите, что AM || BN, если
известно, что AM = BN, AN = ВМ.
3*. Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
Прямая МК параллельна основанию (М е ВС, К е АВ). Най-
дите углы треугольника КВМ, если Z-B = 56°, Z_C = 62°.
4*. Прямая, проведенная через вершину В треугольника
АВС параллельно стороне АС, образует со стороной ВС угол,
равный углу АВС. Определите вид треугольника АВС.
59
Тематические проверочные работы
_ ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 4
Сумма углов треугольника. Признаки равенства
прямоугольных треугольников
ВАРИАНТ 1
1.	Чему равны углы треугольников, на которые высота
разбивает равносторонний треугольник?
2.	Один из углов треугольника равен 56°. Найдите ост-
рый угол, который образован биссектрисами двух других
углов треугольника.
3*. Сторону АВ равностороннего треугольника АВС про-
должили за точку В так, что ВМ =АВ. Установите вид тре-
угольника АСМ.
4*. Докажите равенство двух равнобедренных треуголь-
ников по углу при основании и высоте, проведенной к ос-
нованию.
60
Проверочная работа № 4. Сумма углов треугольника
ВАРИАНТ 2
1.	В равнобедренном прямоугольном треугольнике из
вершины прямого угла проведена высота. Найдите углы тре-
угольников, на которые она разбивает данный треугольник.
2.	В равнобедренном треугольнике угол между основа-
нием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34°.
Найдите углы равнобедренного треугольника.
3*. В треугольнике PRS угол Р равен 84°, а угол R в 4
раза меньше внешнего угла при вершине S. Найдите неиз-
вестные углы треугольника.
4*. Треугольник АВС —	q
равнобедренный с основанием	/X
АВ, Z А = 62°, МК || АВ	м/ ^\К
(см. рисунок). Найдите углы	/
треугольника СМК.	А	В
61
Тематические проверочные работы
ВАРИАНТ 3
1.	Чему равны углы треугольников, на которые бис-
сектриса разбивает равносторонний треугольник?
2.	Один из углов треугольника равен 124°. Найдите
острый угол, который образован биссектрисами двух дру-
гих углов треугольника.
3*. Внешний угол равнобедренного треугольника в три
раза меньше угла, смежного с ним. Найдите углы тре-
угольника.
4*. Докажите равенство двух равнобедренных треуголь-
ников по углу при основании и высоте, проведенной к бо-
ковой стороне.
62
Проверочная работа № 4. Сумма углов треугольника
ВАРИАНТ 4
1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике про-
ведена биссектриса прямого утла. Найдите углы треуголь-
ников, на которые она разбивает данный треугольник.
2. В равнобедренном треугольнике угол между основа-
нием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 24°.
Найдите углы равнобедренного треугольника.
3*. Внешний угол равнобедренного треугольника в че-
тыре раза больше угла, смежного с ним. Найдите углы тре-
угольника. 4*. Треугольник BCD — равнобедренный с основанием DC, ZD = 56°, МК || BD (см. рисунок). Найдите углы треугольника СМК.	С В	D
63
V_	КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
______________КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Начальные геометрические сведения
Задачи для подготовки к контрольной работе
1.	Используя рисунок, укажите номера верных утвер-
ждений:
1)	ABAC и ADAE — смежные углы.
2)	АМОК и AMON — вертикальные углы.
3)	ACAD и АВАЕ — вертикальные углы.
4)	AKOL и ANOL — смежные углы.
5)	АВАЕ — тупой угол.
6)	AMON — прямой угол.
7)	ACAD — острый угол.
2.	Луч RM является биссектрисой угла TRS.
а)	Найдите угол A TRM, если A TRS = 174°.
б)	Найдите угол ATRS, если AMRS = 74°.
3.	Найдите АВСК, если на рисунке ААСВ — 78°.
С К
Контрольная работа № 1. Начальные геометрические сведения
4.	Найдите длины отрезков ОВ и ОА, если АВ = 36 см, а
отрезок ОВ в 3 раза меньше отрезка ОА.
5.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Луч ОК
является биссектрисой угла DOB. Найдите /DOK, если
ZAOD = 84°.
6.	Из точки А проведены три луча: AM, AN и АК. Най-
дите угол NAK, если AMAN = 76°, /МАК = 36°.
7.	На прямой отмечены точки А, В и С. Найдите длину
отрезка МК, где М — середина отрезка АВ, К — середина ВС,
причем АВ = 50 см, ВС = 16 см.
65
Контрольные работы
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1.	Используя рисунок,
укажите верные утверждения:
1)	ZLAM и ZLAK— смежные углы.
2)	ZLAM и ZNAM — вертикальные углы.
3)	ZLAK — тупой угол.
4)	ZMAN — прямой угол.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Угол DCL равен 126°, СМ — биссектриса этого угла.
Найдите угол ZMCL.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Найдите на рисунке
ZCPB, если ZBPK = 76°.
4.	Найдите на рисунке
длины отрезков ВР и DP,
если BD = 18 см, а отрезок
DP на 4 см больше отрезка
ВР.
5*. Из точки В проведены три луча: ВМ, BN и ВК.
Найдите угол NBK, если ZMBN = 84°, ZMBK = 22°.
66
Контрольная работа № 1. Начальные геометрические сведения
ВАРИАНТ 2
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1.	Используя рисунок,
укажите верные утверждения:
1)	ZAKD и ZBKD — смежные углы.
2)	ЛВКЕ и ZBKE — вертикальные углы.
3)	ЛАКЕ — тупой угол.
4)	ЛВКЕ — прямой угол.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Угол DCB равен 148°, СК — биссектриса этого угла.
Найдите угол ЛВС К.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Найдите на рисунке
ZADC, если ЛВОЕ = 138°.
4.	Найдите на рисунке
длины отрезков BD и DC,
если ВС = 24 см, а отрезок
BD на 8 см больше отрезка
DC.
5*. Отрезки МР и ОК пересекаются в точке Е, один из уг-
лов при вершине Е равен 110°. Найдите угол КЕС, где ЕС —
биссектриса угла РЕК.
67
Контрольные работы
ВАРИАНТ 3
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1.	Используя рисунок,
укажите верные утвержде-
ния:
1)	ZPBKkZMBL— смежные углы.
2)	ZPBLuZMBK— вертикальные углы.
3)	АМВК — острый угол.
4)	AMBL — прямой угол.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Угол KML равен 104°, МА — биссектриса этого угла.
Найдите угол ZAML.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Найдите на рисунке
ADCE, если ZFCE = 56°.
4.	Най дите на рисунке
длины отрезков CD и CF,
если DF = 21 см, а отрезок
CF в 2 раза больше отрезка
DC.
5*. Из точки М проведены три луча: МО, MN и МК.
Чему равен угол NMK, если zLOMN = 78°, АОМК = 30°?
68
Контрольная работа № 1. Начальные геометрические сведения
ВАРИАНТ 4
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1.	Используя рисунок,
укажите верные утверждения:
1)	AAKD и ЛВКЕ — смежные углы.
2)	ABKD и ЛАКЕ — вертикальные углы.
3)	ЛАКЕ — тупой угол.
4)	ЛВКЕ — прямой угол.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Угол МВК равен 162°, ВС — биссектриса этого угла.
Найдите угол ЛКВС.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Найдите ЛСМО, ес-
ли ЛВМС = 58°.
4.	Найдите длины от-
резков ВМ и DM, если
BD = 34 см, а отрезок ВМ на
12 см больше отрезка DM.
5*. Точки А, В и С лежат на прямой. Найдите длину от-
резка АВ, если он в 3 раза больше отрезка ВС, а отрезок АС
равен 24 см
69
Контрольные работы
....	КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.....-..- .
Треугольники
Задачи для подготовки к контрольной работе
1.	Используя рисунок, укажите номера верных утвер-
ждении
1)	МР — биссектриса треугольника KMN.
2)	МР — медиана треугольника KMN.
3)	МР — высота треугольника KMN.
4)	KL — биссектриса треугольника KMN.
5)	KL — медиана треугольника KMN.
6)	KL — высота треугольника KMN.
7)	NH — биссектриса треугольника KMN.
8)	NH — медиана треугольника KMN.
9)	NH — высота треугольника KMN.
2.	В треугольнике FCD стороны FD и. CD равны, DK —
медиана. Известно, что CF = 18 см, ZCDF — 72°. Найдите
ZCKD, ZFDK и длину отрезка FK.
3.	Найдите углы равнобедренного треугольника АВС с
основанием АС, если Z1 = 41°, Z2 = 82°.
70
Контрольная работа № 2. Треугольники
4.	На боковых сторонах равнобедренного треугольника
АВС отложены равные отрезки AM и АК. Докажите, что
&ВСМ= &СВК.
5.	В окружности проведены диаметр АВ и равные хорды
АС иАВ. Докажите, что А АВС = AABD.
Контрольные работы
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
1)	CD — биссектриса треугольника АВС.
2)	CD — медиана треугольника АВС.
3)	PN — медиана треугольника МРК.
4)	ЕК — медиана треугольника DEC.
5)	ЕК — высота треугольника DEC.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	В треугольнике BCD стороны BD и CD равны, DM —
медиана, угол BDC равен 38°. Найдите углы BMD и BDM.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Луч SC является биссектрисой угла ASB, а отрезки
SA и SB равны. Докажите, что A SAC = A SBC.
4.	В окружности с центром О проведены хорды DE и РК,
причем ADOE = АРОК. Докажите, что эти хорды равны.
5*	. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите
ARDS, если RS = PS, DP = DR, ARDP = 100°.
72
Контрольная работа № 2. Треугольники
ВАРИАНТ 2
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1.	Используя рисунок, укажите верные утверждения:
С	С	L
1)	ВК — биссектриса треугольника АВС.
2)	ВК — высота треугольника АВС.
3)	CN — медиана треугольника BCF.
4)	CN — биссектриса треугольника BCF.
5)	KS — биссектриса треугольника KLM.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Треугольник SPK — равно-	?
бедренный, SK — его основание	/ \
(см. рисунок). Чему равен Z2, если	/	\
Z1 = 48°?	/1	\2
S	К
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Отрезки АВ и МК пересекаются в точке О, которая яв-
ляется серединой отрезка МК, ЛВМО = ЛАКО. Докажите,
что ЛМОВ = /\КОА.
4.	В треугольнике ВМС стороны ВМ и МС равны, точка А
лежит на биссектрисе МК. Докажите, что АВ = АС.
5*. В окружности с центром О проведен диаметр АВ, пе-
ресекающий хорду CD в точке К, причем К — середина
хорды. Известно, что ZCAD = 40°. Найдите ZBAD.
73
Контрольные работы
ВАРИАНТ 3
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
1)	CW — биссектриса треугольника BCF.
2)	CN — высота треугольника BCF.
3)	ЕК — биссектриса треугольника DEC.
4)	ВМ — медиана треугольника CBD.
5)	ВМ — биссектриса треугольника CBD.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Треугольник POR —	О
равнобедренный с основанием PR.	/ \
Чему равен Z1, если Z2 = 42°?	Z \.
Р	7?\2
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Луч КС — биссектриса угла DKB, а отрезок DK равен
отрезку ВК. Докажите, что NKDC = АКВС.
4.	На основании NK равнобедренного треугольника NBK
отложены отрезки NA = КС. Докажите, что AN В А = АКВС.
5*. В окружности с центром О проведены диаметр АС и
хорда BD, пересекающиеся в точке М, причем ВМ = DM.
ABAC = 35°. Найдите ABAD.
ТА
Контрольная работа № 2. Треугольники
ВАРИАНТ 4
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
1) ON — медиана треугольника МОК.
2) ON — высота треугольника МОК.
3) ЕН — высота треугольника DEC.
4) ВР — медиана треугольника ABD.
5) ВР — биссектриса треугольника ABD.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Стороны РК и РМ
треугольника РМК равны,
PH — его медиана (см. рисунок).
Найдите углы РНК и. КРН,
если АМРК = 42°.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, которая
является серединой отрезка AD, углы ВАО и CDO равны.
Докажите, что АЛОВ = ADOC.
4.	Луч MD лежит внутри угла LMN, причем MN = ML,
DN = DL. Докажите, что MD — биссектриса угла М.
5*. В окружности с центром О проведены диаметры
МК и PH, причем АОРК = 40°. Найдите ZOMH.
75
Контрольные работы
____ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Параллельные прямые
Задачи для подготовки к контрольной работе
1. Используя рисунок, укажите номера верных утвер-
ждений:
1)	ZABN и ABNK — накрест лежащие при прямых АВ и
MN и секущей BN
2)	ZBCK и ACDP — соответственные при прямых СК и DP
и секущей CD
3)	ZABN и ZBCK — односторонние при прямых АВ и MN
и секущей ВС
4)	Если ZABN = ZBCK, то BN || СК
5)	Если ZBNK + ZCKP = 180°, то BN || СК
6)	Если ZBNK + ZNKC = 180°, то BN || СК
7)	Если ZBCK = ZCKP, то ВС || NK.
2.	Чему равен на рисунке ZBCK, если ВС || NK, BN || СК,
ZBNM- 125°?
3.	АВ и CD — перпендикуляры к прямой BD, точки А
и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите,
что ВС || AD, если АВ = CD.
76
Контрольная работа № 3. Параллельные прямые
4.	Отрезки МК и РТ явля-
ются диаметрами двух окруж-
ностей с общим центром О.
Докажите, что прямые МТ и РК
параллельны.
5.	Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
На его биссектрисе BD взята точка М, а на основании —
точках-, причем, МК || АВ. Найдите углы треугольника MKD,
если ZABC = 126°, ABAC = 27°.
6.	Докажите, что на рисунке прямые АВ и KN парал-
лельны, если треугольник АВК — равнобедренный с осно-
ванием ВК, а луч КВ является биссектрисой угла AKN.
М
77
Контрольные работы
1)
2)
3)
4)
5)
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
Прямые т и п параллельны.
Z1 и Z2 — накрест лежащие.
Z3 и Z4 — односторонние.
Z3 и Z5 — соответственные.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Прямые а и Ъ параллельны.
Найдите Z2, если Z1 = 38°.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD.
Докажите, что если АВ II CD и АВ = CD, то A ABD = A CDB.
4.	Прямая АВ параллельна основанию МР равнобед-
ренного треугольника МРК и пересекает его боковые сто-
роны в точках А и В. Найдите неизвестные углы треуголь-
ника АВК, если Z.K = 72°, ZM = 54°.
5*. Докажите, что AC || BD,
если СВ — биссектриса угла
ACD, a A BCD — равнобедрен-
ный с основанием ВС.
78
Контрольная работа № 3. Параллельные прямые
ВАРИАНТ 2
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
1)	Прямые а и с параллельны.
2)	Прямые т и k параллельны.
3)	Z1hZ2— односторонние.
4)	Z1 и Z3 — соответственные.
5)	Z4 и Z5 — накрест лежащие.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Докажите, что прямые т и п
параллельны, если Zl = Z2.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Отрезки ОР и КМ пересекаются в точке С, причем
КР = МО и КР || МО. Докажите, что ХКРС = АМОС.
4.	АВ и CD — диаметры одной окружности. Докажите,
что АС || BD и найдите ZABC, если ABAD = 44°.
5*. На рисунке NP || BD, МВ —
биссектриса угла NMC, СР — бис-
сектриса угла MCD. Найдите
AM ВС, если АМСР = 65°.
79
Контрольные работы
ВАРИАНТ 3
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
1)	Прямые k и и параллельны.
2)	Прямые & и с параллельны.
3)	Z1 и Z2 — накрест лежащие.
4)	Z1 и Z3 — соответственные.
5)	Z4 и Z5 — односторонние.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2*. Прямые Ъ и d параллельны.
Найдите Z2, если Z1 = 48°.	х—-----------
d
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	На рисунке AN || ВМ
и AN = ВМ. Докажите, что
\AND = \BMD.
4.	По разные стороны от прямой РК взяты точки В и D.
Докажите, что ВК || DP, если BP = DK и ВК = DP.
5*. На основании AD равнобедренного треугольника ABD
взята точка Е, а на стороне АВ — точка С. Найдите углы
треугольника АСЕ, если СЕ II BD, ZB = 76°, ZZ) = 52°.
80
Контрольная работа № 3. Параллельные прямые
ВАРИАНТ 4
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1.	Используя рисунок, укажите верные утверждения:
1)	Прямые b и d параллельны.
2)	Прямые тип параллельны.
3)	Z2 и Z3 — односторонние.
4)	Z4 и Z5 — накрест лежащие.
5)	Z1 и Z3 — соответственные.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Докажите, что прямые
п и k на рисунке параллельны,
если Z2 = Z1.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Точки А и Е лежат по разные стороны от прямой BD,
AD || BE, AD = BE. Докажите, что ADBA = &BDE и найдите
АВ, если DE = 5 см.
4.	Прямая, параллельная основанию АС равнобедрен-
ного треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точ-
ках М и К, ZC — 66°, ZB = 48°. Найдите /ВКМ и ZBMK.
5*. На рисунке AC II МК, ОА —	______Д___Q
биссектриса угла МОВ, ВК —	\	/ \
биссектриса угла СВО. Докажите, \	\
что АО II ВК.	МО К
81
Контрольные работы
—	КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Задачи для подготовки к контрольной работе
1. Используя данные, приведенные на рисунке, ука-
жите номера верных утверждений:
1)	ААВС — прямоугольный.
2)	ААВС — равнобедренный.
3)	АМОК — прямоугольный.
4)	АМОК — равнобедренный.
5)	ZMAB — внешний угол треугольника АВС.
6)	ЛТСР — внешний угол треугольника АВС.
7)	ZSOM = 107°.
8)	ZCBZ> = 101°.
2.	Угол при основании равнобедренного треугольника
АВС равен 32°, АВ — его боковая сторона, AM — биссек-
триса треугольника. Найдите углы треугольника АВМ.
(Рассмотрите два случая.)
3.	К прямой m проведены перпендикуляры АВ и CD.
Докажите, что AABD — ACDB, если AD = ВС.
82
Контрольная работа № 4. Соотношения сторон и углов А
4.	В равнобедренном прямоугольном треугольнике
МОР на гипотенузе МР отмечена точка К. Известно, что
ZOKP в 4 раза больше, чем ZMOK. Найдите углы тре-
угольника МОК.
5.	Треугольник АВС — равнобедренный с основанием
АВ, МК || АС. Используя данные, указанные на рисунке,
найдите периметр четырехугольника АСМ К.
6.	Докажите, что прямая, параллельная стороне равно-
стороннего треугольника и пересекающая две его стороны,
отсекает равносторонний треугольник.
7.	В окружности с центром О проведена хорда ВС.
Найдите ZOBC и ZBOC, если один из них на 36° больше
другого.
8.	Докажите, что сумма внешних углов треугольника,
взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
83
Контрольные работы
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя данные,
приведенные на рисунке,
укажите номера верных
утверждений:
1)	ААВС — прямоугольный.
2)	ААВС — равнобедренный.
3)	Z1 — внешний угол треугольника АВС.
4)	Z2 — внешний угол треугольника АВС.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Чему равны углы треугольников, на которые высота
разбивает равносторонний треугольник?
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Докажите, что если на
рисунке ZB и ZZ) прямые и
АО = ВС, то ААВС = ЛСОА.
4.	Найдите углы треуголь-
ника ВОР, если ААВС — рав-
нобедренный с основанием ВС,
ZC = 68°, OP II АС.
5*. В треугольнике CDE стороны СЕ и DE равны, бис-
сектрисы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите, что
ADAM = АСАН.
84
Контрольная работа № 4. Соотношения сторон и углов А
ВАРИАНТ 2
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя данные,
приведенные на рисунке,
укажите номера верных
утверждений:
1)	AMNK — прямоугольный.
2)	\MNK — равнобедренный.
3)	Z1 — внешний угол треугольника MNK.
4)	Z2 — внешний угол треугольника MNK.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	ВН — высота равнобедренного прямоугольного тре-
угольника АВС, проведенная к гипотенузе. Найдите углы
треугольника АВН.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Докажите, что если на
рисунке АС и BD — перпенди-
куляры к прямой CD и AD = ВС,
то AACZ) = ABDC.
4.	Найдите углы R и S треугольника PRS, если ZP = 84°,
a ZR в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S.
5*. Прямая ОМ, параллельная боковой стороне АС тре-
угольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках О и М.
Докажите, что\ВОМ — равнобедренный.
85
Контрольные работы
ВАРИАНТ 3
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя данные,
приведенные на рисунке,
укажите номера верных
утверждений:
1)	AMNK — прямоугольный.
2)	AMNK — равнобедренный.
3)	Z1 — внешний угол треугольника MNK.
4)	Z2 — внешний угол треугольника MNK.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	Чему равны углы треугольников, на которые бис-
сектриса разбивает равносторонний треугольник?
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Докажите, что если на
рисунке углы С и D прямые и
MD = КС, то ЬМКС = AKMD.
4.	В треугольнике NPT угол Р равен 88°, а угол N в 5 раз
меньше внешнего угла при вершине Т. Найдите неизвест-
ные углы треугольника.
5*. Треугольник BCD — равнобедренный. Прямая, па-
раллельная основанию DB, пересекает стороны ВС и CD в
точках М и К. Докажите, что СК = СМ.
86
Контрольная работа № 4. Соотношения сторон и углов Д
ВАРИАНТ 4
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя данные,
приведенные на рисунке,
укажите номера верных
утверждений:
1)	ААВС — прямоугольный.
2)	ААВС — равнобедренный.
3)	Z1 — внешний угол треугольника АВС.
4)	Z2— внешний угол треугольника АВС.
Часть 2
Запишите ответ к заданию 2.
2.	AM — биссектриса прямого угла равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС. Найдите углы тре-
угольника АВМ.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 3—5.
3.	Докажите, что если
на рисунке DA и FB — пер-
пендикуляры к прямой АВ,
а отрезки BD nAF равны, то
AABD = ABAF.
4.	Прямая, параллельная основанию ВС равнобедрен-
ного треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точ-
ках М и К. Найдите ZMAK и ZAKM, если ZB = 52°.
5*. В равнобедренном треугольнике DEC с основанием CD
медианы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите, что
треугольник DAC — также равнобедренный.
87
Контрольные работы
— ... КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Итоговая контрольная работа
Задачи для подготовки к контрольной работе
1. Используя данные, приведенные на рисунке, ука-
жите номера верных утверждений:
1)	AM — медиана треугольника АВС.
2)	AM — биссектриса треугольника АВС.
3)	AM — высота треугольника АВС.
4)	В К — медиана треугольника АВС.
5)	ВК — биссектриса треугольника АВС.
6)	ВК — высота треугольника АВС.
2.	В треугольнике АВС даны два угла: ZA = 34°, ZB = 73°.
Укажите номера верных утверждений:
1)	ААВС — равнобедренный с основанием АВ.
2)	ААВС — равнобедренный с основанием АС.
3)	ААВС — равнобедренный с основанием ВС.
4)	ААВС — разносторонний.
3.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если
угол при основании на 15° больше угла между боковыми
сторонами.
88
Контрольная работа № 5. Итоговая контрольная работа
4.	В треугольнике МРК проведены высоты МО и PH.
Найдите АМРО и АКРН, если даны два угла: АМКР = 40°,
АКМР = 30°.
5.	На рисунке прямые CD и EF параллельны сторонам
треугольника АВС. Найдите углы треугольника CED, если
АА = 72°, АВ = 26°.
6.	На рисунке треугольники АВС и DEF — прямо-
угольные, АВ = DF, ВС = DE. Докажите, что прямые АВ и
DF параллельны.
7.	Через концы диаметра АВ окружности с центром О
проведены параллельные прямые, пересекающие окруж-
ность в точках М и К. Докажите, что МК — диаметр окруж-
ности.
89
Контрольные работы
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2.
1. Используя данные, приведенные на рисунках, ука-
жите номера рисунков, на которых изображены равнобед-
ренные треугольники:
2. В треугольнике АВС проведены медиана AM, бис-
сектриса BN и высота СК. Укажите номера верных утвер-
ждений:
1)	ВМ = СМ
2)	AN = CN
3)	АВАМ = ZCAM
4)	ZABN = ZCBN
5)	ZAKC = 90°
6)	/:BNC = 90°
90
Контрольная работа № 5. Итоговая контрольная работа
Часть 2
Запишите ответ к заданиям 3 и 4.
3.	МК — хорда окружности с центром О. Найдите
ЛОМ К, если ЛМОК = 40°.
4.	На рисунке отрезок РТ параллелен стороне AD,
луч РК является биссектрисой угла СРТ. Найдите вели-
чину угла РКТ.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 5—6.
5.	На рисунке точка К является серединой отрезков
AD и ВС. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны.
6*. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника
АВС с основанием АС отмечена точка О, на отрезке AD —
точка М и на отрезке CD — точка К, причем DM = DK.
Найдите ЛМОО, если ЛСКО = 110°.
91
Контрольные работы
ВАРИАНТ 2
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2.
1. Используя данные, приведенные на рисунках, ука-
жите номера рисунков, на которых изображены равнобед-
ренные треугольники:
2. В треугольнике АВС проведены медиана АО, биссек-
триса BE и высота СК. Укажите номера верных утвержде-
ний:
1)	АЕ = СЕ
2)	BD = CD
3)	ABAD = ACAD
4)	ААВЕ = АСВЕ
5)	АСКВ = 90°
6)	АВЕС = 90°
92
Контрольная работа № 5. Итоговая контрольная работа
Часть 2
Запишите ответ к заданиям 3 и 4.
3.	ВС — хорда окружности с центром О. Найдите
ZBOC, если ZBCO = 50°.
4.	На рисунке отрезок МР параллелен стороне СЕ,
луч МК является биссектрисой угла BMP. Найдите ве-
личину угла ВКМ.
С
В К Р Е
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 5—6.
5.	На рисунке отрезки АВ и CD параллельны и равны.
Докажите, что точка К является серединой отрезка ВС.
6*. На биссектрисе ВМ равнобедренного треугольника
АВС с основанием АС отмечена точка D, на отрезке AM —
точка Е и на отрезке СМ — точка F, причем ЕМ = FM.
Найдите ZCFD, если AFDE = 80°.
93
Контрольные работы
ВАРИАНТ 3
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2.
1. Используя данные, приведенные на рисунках, ука-
жите номера рисунков, на которых изображены равнобед-
ренные треугольники:
2. В треугольнике АВС проведены медиана АК, биссек-
триса BN и высота СН. Укажите номера верных утвержде-
ний:
1)	ВК = СК
2)	АН = ВН
3)	ZABN = ZCBW
4)	АВАК = ЛСАК
5)	ZAKB = 90°
6)	АСНВ = 90°
94
Контрольная работа № 5. Итоговая контрольная работа
Часть 2
Запишите ответ к заданиям 3 и 4.
3.	CD — хорда окружности с центром О. Найдите
ZCOD, если ZDCO = 40°.
4.	На рисунке отрезок РК параллелен стороне ВС,
луч РМ является биссектрисой угла KPD. Найдите вели-
чину угла PMD.
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 5—6.
5.	На рисунке точка М является серединой отрезков
АС и BD. Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
6*. На биссектрисе ВК равнобедренного треугольника
АВС с основанием АС отмечена точка F, на отрезке АК —
точка D и на отрезке СК — точка Е, причем EK = DK. Най-
дите ZADF, если ADFE = 100°.
95
Контрольные работы
ВАРИАНТ 4
Часть 1
Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2.
1. Используя данные, приведенные на рисунках, ука-
жите номера рисунков, на которых изображены равнобед-
ренные треугольники:
2. В треугольнике АВС проведены медиана AN, биссек-
триса ВМ и высота СК. Укажите номера верных утвержде-
ний:
1)	АК = ВК
2)	BN = CN
3)	ZABM = ZCBM
4)	ZACK = ZBCK
5)	ZAKC = 90°
6)	ZBMC = 90°
96
Контрольная работа № 5. Итоговая контрольная работа
Часть 2
Запишите ответ к заданиям 3 и 4.
3*. МР — хорда окружности с центром О. Найдите
АМРО, если АМОР = 80°.
4.	На рисунке отрезок МК параллелен стороне АС,
луч MN является биссектрисой угла ВМК. Найдите ве-
личину угла MNK.
А
В N К С
Часть 3
Запишите обоснованное решение задач 5—6.
5.	На рисунке отрезки ВС и AD параллельны и равны.
Докажите, что точка М является серединой отрезка BD.
6*. На биссектрисе CF равнобедренного треугольника
АВС с основанием АВ отмечена точка О, на отрезке AF —
точка Р и на отрезке BF — точка Е, причем DF = EF. Най-
дите ADOE, если ZAPO = 110°.
97
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
-----------ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕМА № 1________
Начальные геометрические сведения. Углы
1.	Точка М лежит на стороне BD треугольника BDE.
Известно, что сторона BD равна 24 см. Найдите отрезок
ВМ, если он: 1) в 3 раза больше отрезка DM; 2) на 4 см боль-
ше отрезка DM.
2.	На одной прямой от точки М отложены два отрезка:
МК = 1,8 см и МР = 7,4 см. Найдите расстояние между се-
рединами этих отрезков.
3.	Даны три точки А, В, С. Известно, что АС + ВС = АВ
и АС = ВС. Как расположены эти точки? Сделайте чертеж.
4.	На одной прямой лежат два отрезка МР = 12 см,
МК = 6 см. Как расположены точки М, Р, К, если РК < 18 см?
5.	Расстояние между точками Н и Т равно 5 см. Най-
дите на прямой НТ все такие точки М, для которых вы-
полняется условие МН + МТ = 9 см.
6.	Точки Н, О, Р, К принадлежат одной прямой. Найди-
те длины отрезков НК и КР, если известно, что НО = 20 см,
HP = ОК = 15 см. Сколько решений имеет задача?
7.	Луч d лежит внутри угла Ьс. Найдите Z de, если
АЬс = 97°, Zbd = 54°.
98
Тема № 1. Начальные геометрические сведения. Углы
8.	Найдите ХВОЕ, если ХАОВ = 70°, ХАОЕ = 37°.
Сколько решений имеет задача? Выполните чертеж для
каждого случая.
9.	Известно, что ХАВС = 120°. Постройте луч ВК так,
чтобы ХАВК = 60°. 1) Найдите угол КВС. 2) Является ли
луч ВК биссектрисой угла АВС? Сколько решений имеет
задача?
10.	Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки об-
разуют развернутый угол?
11. Определите по рисункам:
a)	XAMD;
б)	XRSP;
в)	XNOH;
г)	ХСМВ.
12. Один из четырех углов, полученных при пересечении
двух прямых, равен 57°. Определите остальные три угла.
13. Определите градусную меру каждого из двух смеж-
ных углов, если:
1.	один из них в 8 раза больше другого;
2.	один из них на 42° меньше другого;
3.	они равны между собой.
14.	Луч ВК является биссектрисой угла АВС. Найдите:
99
Дополнительные задачи
1.	ХАВК, если ХАВС = 109°;
2.	Z СВК, если ХАВК = 76°;
3.	X АВС, если X СВК = 32°.
15.	Через точку О прямой АВ проведен луч ОС перпен-
дикулярно прямой АВ. Луч OD является биссектрисой угла
ВОС. Определите X BOD и X AOD.
16.	Биссектриса угла перпендикулярна его стороне.
Найдите величину угла.
17.	Точки А, В, С и D лежат на одной прямой, причем
точка С лежит между точками А и D, а точка В — между
точками А и С. Через точку К, не лежащую на данной пря-
мой, проведены лучи КА, КВ, КС и KD. Укажите, какие из
равенств верны и почему:
1.	ХАКВ + X CKD = X AKD;
2.	X ВКС + X CKD = X BKD-,
3.	X ВКС + ХАКВ = XАКС.
18.	Чему равен угол между биссектрисами смежных
углов?
19.	Чему равен угол между биссектрисами вертикаль-
ных углов?
20.	Дан треугольник КМР. На прямой МР взята точка D,
причем XMKD = 20°, XPKD = 80°. Найдите Z МКР.
Сколько решений имеет задача? Сделайте рисунок для каж-
дого случая.
21.	Известно, что смежные углы АВС и CBD равны, ВК
и ВМ — их биссектрисы. Найдите: a) XDBK и ХАВК',
б) XDBMn ХАВМ.
22.	Прямые ВС и AD перпендикулярны, М — точка их
пересечения, МК — биссектриса угла АМВ. Найдите:
а) X КМС; б) X KMD.
100
Тема№ 1. Начальные геометрические сведения. Углы
23.	Угол между биссектрисой одного из смежных углов и
их общей стороной равен половине другого смежного угла.
Найдите величины смежных углов.
24.	Биссектрисы двух углов с общей вершиной образуют
между собой развернутый угол. Являются ли данные углы
вертикальными?
25.	Среди углов, изображенных на чертеже, укажите
смежные углы.
101
Дополнительные задачи
28. Проведены три прямые
(см. рисунок).
1) Чему равна величина
Z1+Z2+Z3?
2) Найдите Z 1 + Z 3, если
Z 2 = 35°.
29. На плоскости проведены четыре луча АВ, AC, AM, АК.
Известно, что Z ВАС = 50°, Z САМ = 60°, Z МАК = 70°.
Найдите градусную меру угла ВАК. Сколько решений имеет
задача?
102
Тема № 2. Треугольники. Окружность. Построения
- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕМА № 2 „
Треугольники. Окружность. Построения
1.	Отрезок BD лежит на биссектрисе угла АВС, причем
АВ = ВС. Докажите, что A ABD = A CBD.
2.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, причем
СО = ВО мАО = OD. Докажите, что ААСО = A DBO.
3.	Отрезки МК и PH пересекаются точке О, являющейся
серединой отрезка МК. Докажите, что Z МРО = Z КНО,
если Z РМО= АН КО.
4.	Докажите, что биссектриса, проведенная к основа-
нию равнобедренного треугольника, разбивает его на два
равных треугольника.
5.	Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС,
Z АВО = Z СВК (точки Он К лежат на стороне АС). Докажи-
те, что А АВО = А СВК.
6.	Найдите стороны равнобедренного треугольника,
если его периметр равен 10 см, а боковая сторона на 2 см
больше основания.
7.	Основание равнобедренного треугольника в 4 раза
меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника,
если его периметр равен 36 см.
8.	В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС
проведена медиана ВО. Найдите углы треугольника АВО,
если известно, htoZ С = 20°, ААВС = 140°.
9.	Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС,
отрезок BD — его медиана, О — точка на медиане. На стороне
АВ взята точка К, на стороне ВС — точка М, причем
ВК = ВМ. Докажите, что А ОКБ = А ОМ В.
103
Дополнительные задачи
10.	В окружности с центром О проведены две равные
хорды АВ и АС. Докажите, что ZAOB = Z АОС.
11.	В окружности с центром О проведены диаметры
АВ и MN. Докажите, что хорды AM и BN равны.
12.	Постройте угол, равный данному углу.
13.	Начертите произвольный отрезок. Разделите его
пополам.
14.	Начертите произвольный угол. Постройте его бис-
сектрису.
15.	Постройте серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
16.	Разделите отрезок на четыре равные части.
17.	Определите вид треугольника АВС, если:
1)	внешний угол при вершине А меньше угла ВАС;
2)	внешний угол при вершине В равен углу АВС;
3)	внешние углы при вершина А и В равны.
18.	Медиана, проведенная к боковой стороне равнобед-
ренного треугольника, делит его периметр на части 18 см и
10 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.
Сколько решений имеет задача?
19.	Периметры двух треугольников равны. Будут ли
равны треугольники?
20.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана ВМ, на ней отметили точку К. Докажите,
треугольники АКМ иСКМ равны.
21.	Докажите, что в равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию, делит его на два
треугольника с равными периметрами.
104
Тема№ 2. Треугольники. Окружность. Построения
22.	В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 15 см,
АС = 24 см. Найдите длину биссектрисы ВК, если периметр
треугольника СВК равен 36 см.
23.	В равнобедренном треугольнике проведена медиана.
При этом периметр треугольника разделился на две части,
равные 9 см и 12 см. Найдите стороны треугольника.
Сколько решений имеет задача?
В
24.	На сторонах угла ВАС
отложены равные отрезки АК	Р
и АН (см. рисунок). Докажите,	---------
что РК = PH, если известно,
что АР — биссектриса угла
САВ.
н
25.	В четырехугольнике	/Т\
РМНК проведены диагонали	у'
PH и МК, О — точка Пересе-	/	^\К
чения диагоналей (см. рису-	q /
нок). Докажите, что МР = НК, \	/
если известно, что МО = НО и	\	/
ОР = ОК.	\	/
26.	На боковых сторонах
равнобедренного треугольника
МРН {МН — основание) отло-
жены равные отрезки АР и ВР.
Найдите длину отрезка АН,
если МВ = 5 см.
105
Дополнительные задачи
27.	В равнобедренном
треугольнике АВС с основани-
ем АВ провели два отрезка СН
и СЕ так, что Z АСЕ = Z ВСН
(см. рисунок). Докажите, что
АН = ВЕ.
С
28.	Через данную точку, лежащую внутри данного угла,
проведите прямую, отсекающую равные отрезки на сторо-
нах угла.
29.	Известно, что АВ = АК
и ВС = СК (см. рисунок).
Докажите, что:
1)	ZABC- ЛАКС-,
2)	АС — биссектриса Z ВАК;
3)	СА — биссектриса угла
ВСК.
30.	Докажите, что прямая, перпендикулярная биссек-
трисе угла, отсекает равные отрезки на его сторонах.
31.	Существует ли треугольник, у которого одна сторона
равна 54 см, а периметр — 10 дм?
32.	Одна сторона треугольника равна 12 см, а другая —
20 см. Найдите неизвестную сторону треугольника, если из-
вестно, что она в два раза меньше одной из данных сторон.
Сколько решений имеет задача?
33.	В равнобедренном треугольнике две стороны равны
соответственно:
1) Зсм и 9 см;	3) 7 см и 1 дм;
2) 11 см и 12 см;	4) 4 дм и 15 см.
Какие из сторон могут быть основанием равнобедренного
треугольника?
106
Тема № 2. Треугольники. Окружность. Построения
34.	Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см.
Найдите его стороны, если известно, что одна из сторон равна
7 см. Сколько решений имеет задача?
35.	Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см.
Найдите его стороны, если известно, что одна из сторон в
два раза больше другой. Сколько решений имеет задача?
36.	В равнобедренном треугольнике
АВС АВ = ВС = 12 см. Из точки М, сере-
дины стороны АВ, проведен перпенди-
куляр МР к стороне АВ (см. рисунок).
Периметр треугольника АРС равен
18 см. Найдите сторону АС.
107
Дополнительные задачи
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕМА № 3 __
Параллельные прямые
1.	Прямые а и Ь параллельны
(см. рисунок). Докажите,
что Z 1 = Z 2.
2.	Прямые аиЪ параллельны
(см. рисунок). Найдите Z 3,
если Z 1 = 38°.
3.	Докажите, что прямые аиЬ
параллельны (см. рисунок), если
известно, что Z 1 = Z 2.
4.	Отрезки КМ и HP пересекаются в точке С. Докажите:
А КСР = А МСН, если КР параллельна НМ и КС = СМ.
5.	Чему равны внутренние односторонние углы при
двух параллельных прямых и секущей, если один из них:
1)	в 3 раза больше другого;
2)	на 36° меньше другого?
108
Тема № 3. Параллельные прямые
6.	По разные стороны от прямой MN взяты точки А и В
так, что отрезки AM и BN равны и параллельны. Докажите,
что &AMN= &.BNM.
7.	В окружности с центром О проведены диаметры АВ
и MN. Докажите, что хорды AM и BN параллельны.
8.	Как построить прямую, проходящую через данную
точку и параллельную данной прямой?
9.	Найдите углы, образующиеся при пересечении
биссектрис внутренних односторонних углов при двух
параллельных прямых и секущей.
10.	Прямая, параллельная боковой стороне равнобедрен-
ного треугольника, отсекает от него новый треугольник.
Установите вид нового треугольника.
н
11.	Известно, что КМ = МР,	/\
PH = НТ (см. рисунок). Докажите,	/ \
чтоКМЦяТ.	/	\
109
Дополнительные задачи
=___= ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ.ТЕМА №4_
Сумма углов треугольника. Прямоугольный
треугольник
1.	Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный,
если Z МАВ = Z BCN, где М — точка на продолжении сто-
роны АС за вершину А, N — точка на продолжении стороны
АС за вершину С.
2.	Найдите угол В в треугольнике BCD, если:
1)	Z С = 37°, ZD = 55°;
2)	ВС ICDn ZZ> = 41°;
3)	ВС = CD и Z С = 76°;
4)	Z С = 100°, а внешний угол при вершине D равен 125°.
3.	Найдите углы равнобедренного прямоугольного
треугольника.
4.	Найдите углы треугольников, на которые медиана
разбивает равносторонний треугольник.
5.	В прямоугольном треугольнике АВС из вершины
прямого угла С проведена высота CD. Найдите угол BCD,
если Z А — 60°.
6.	По разные стороны от прямой АВ взяты точки С и D,
такие, что СА ± АВ и DB ± АВ, СВ = AD. Докажите, что
Аавс = Abad.
7.	Точки А и В лежат по разные стороны от прямой и
на одинаковых расстояниях от нее. Докажите, что прямая
пересекает отрезок АВ в его середине.
8.	Дано: АВ — диаметр окружности с центром О,
ВС — хорда. Определите углы треугольника ВОС, если
ZAOC = 130°.
110
Тема № 4. Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник
9.	Даны отрезки а, Ь, с. Постройте треугольник, стороны
которого равны этим отрезкам.
10.	Постройте равнобедренный треугольник по:
1)	основанию и углу при основании;
2)	основанию и медиане, проведенной к основанию.
11.	Постройте прямоугольный треугольник по:
1)	двум катетам;
2)	катету и гипотенузе.
12.	На сторонах АС и А1С1 треугольников АВС и А1В]С1
взяты точки D и Du такие, что &.ABD = /\.A1B1D1 и
Л DBC = Д	Отметьте на рисунке равные элементы
этих треугольников. Верно ли, что ДАВС = AAjBjCj?
Ответ обоснуйте.
13.	Могут ли два внешних угла треугольника быть ост-
рыми?
14.	В равностороннем треугольнике проведены две ме-
дианы. Найдите меньший угол между ними.
15.	Один из углов треугольника равен 30°. Найдите
меньший угол между биссектрисами двух других углов
треугольника.
16.	В равнобедренном треугольнике проведена высота
к боковой стороне. Угол между высотой и основанием ра-
вен 32°. Найдите углы треугольника.
17.	Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного
треугольника, проведенными из одной вершины, равен 18°.
Найдите углы треугольника.
18.	В треугольнике АВС проведены высоты АН и ВТ, О —
точка их пересечения. Найдите ZAOB, если Z САВ = 48°,
Z СВА = 53° .
111
Дополнительные задачи
19.	Высота ВН треугольника АВС образует со сторонами
ВА и ВС соответственно углы 54° и 36°. Найдите углы тре-
угольника.
20.	Постройте равнобедренный треугольник по углу при
основании и высоте, проведенной из вершины этого угла.
21.	Постройте треугольник по углу и двум высотам,
проведенным к сторонам этого угла.
22.	Внешний угол равнобедренного треугольника в три
раза больше внутреннего угла, смежного с ним. Найдите
углы треугольника. Сколько решений имеет задача?
23.	В прямоугольном треугольнике угол равен 50°.
Найдите угол между высотой и медианой, проведенными
к гипотенузе.
24.	В треугольнике АВС угол А равен 40°. Провели
биссектрисы ВК и СМ, которые пересекаются в точке О.
Найдите градусную меру угла ВОС.
25.	Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С
треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол
ВОС, если угол А равен 40°.
26.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведены биссектриса ВК и высота СН. Прямые ВК и СН,
пересекаясь, образуют угол 40°. Найдите градусные меры
углов треугольника АВС.
27.	Известно, что КМ = МР и	Z\^
PH = НТ (см. рисунок).	/
1)	Докажите, что Z МКР = Z РТН.	/	\.
2)	Найдите углы треугольника £--------А-----------
РНТ, если Z МКР = 50°.	\ /Р
112
Тема № 4. Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник
28.	В равнобедренном треуголь-
нике АВС на основании АС отложены
равные отрезки АТ и СН.
1)	Докажите, что ZAHB = Z СТВ.
2)	Найдите градусную меру утла
Z АВН, если Z АТВ = 102°, Z С = 57°.
АТ НС
29.	В треугольнике АВС про-
вели два отрезка СН = АН и
СЕ = BE (см. рисунок).
Найдите градусную меру утла
НСЕ, если известно, что Z А = 36°,
Z В = 28°.
30.	Какой вид имеет треугольник, если:
1)	один из его углов равен сумме двух других углов;
2)	один из его углов больше суммы двух других углов?
31.	Можно ли построить треугольник, чтобы каждый
его угол был:
1)	меньше 60°;
2)	больше 60°?
32.	В равнобедренном треугольнике высота, проведен-
ная к основанию, в два раза меньше этого основания. Най-
дите углы треугольника.
33.	В треугольнике НСЕ из-
вестно, что Z Н = 68°, Z Е = 44°.
На продолжении НЕ отложены
отрезки НА и ЕВ так, что
АН = НС и BE = СЕ. Найдите
углы треугольника АВС.
113
Дополнительные задачи
34.	1) Найдите в равнобедренном треугольнике соотно-
шение между внутренним углом при основании и внешним
углом при вершине.
2)	Существует ли равнобедренный треугольник, у ко-
торого внешний угол при основании является: прямым;
острым; тупым?
3)	Если один из внешних углов треугольника острый,
то какими являются остальные внешние углы треугольника?
35.	В прямоугольном треугольнике один из углов ра-
вен 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 33 см.
Найдите длину гипотенузы.
114
ОТВЕТЫ
ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ
- ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 1
	ВАРИАНТ	1
1) 6 см и 48 см;	2) 14,5 см	
	ВАРИАНТ	2
1) 5 см и 25 см;	2) 18,5 см	
	ВАРИАНТ	3
1) 8 см и 20 см;	2) 20 см;	3) 32 м или 14 м
	ВАРИАНТ	4
1) 26 см и 22 см;	2) 9 см;	3) 30 м или 8 м
_ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 2 ^==
	ВАРИАНТ	1
1) 160°;	2) 30°; 120°;	3)31°; 44°
	ВАРИАНТ	2
1) 170°;	2)64°; 16°;	3) 88°; 60°
	ВАРИАНТ	3
1) 160°;	2) 15°; 60°;	3) 23°; 45°
	ВАРИАНТ	4
1) 90°;	2) 50°; 10°;	3) 95°; 73°
----- _д_ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 3 ==_==^==
ВАРИАНТ 1
1) а) 73°; б) 30°
ВАРИАНТ 2
1) а) 46°; б) 84°
115
Ответы
ВАРИАНТ 3
1) 44°; 136°
ВАРИАНТ 4
1) 56°; 28°
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 4 __
ВАРИАНТ 1
1) 74°; 74°; 106°; 106°	2) 24°	3) 30°; 150°
ВАРИАНТ 2
1) 124°; 124°; 56°; 56°	2) 52°;	3) 75°; 105°
ВАРИАНТ 3
1) 82°; 82°; 98°; 98°	2) 70°; 110°; 3)12
ВАРИАНТ 4
1) 69°; 69°; 111°; 111°	2) 45°; 135°; 3)23
------ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 5 ...-
		ВАРИАНТ	1
1)	132°		
		ВАРИАНТ	2
1)	129°		
		ВАРИАНТ	3
1)	136°		
		ВАРИАНТ	4
1)	127°		
=__^=== ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 7 __
ВАРИАНТ 1
1) 8 м; 42°
ВАРИАНТ 2
1) 11 дм; 35°
116
Ответы
	ВАРИАНТ	3
1) 45°		
	ВАРИАНТ	4
1) 45°		
=_=_==_ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 8 ^__=
	ВАРИАНТ 1
1)	23 см;	2) 18,5 см ВАРИАНТ 2
1)	22 м;	2) 9 см ВАРИАНТ 3
1)	5а;	2) 13 см; 16 см; 16 см
	ВАРИАНТ 4
1)	35 + 3;	2) 5 см; 20 см; 20 см ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА№9 = ВАРИАНТ 1
1)	67°; 67°; 90°; 90° ВАРИАНТ 2
1)	60,5°; 60,5°; 90°; 90° ВАРИАНТ 3
1)	52°; 38°; 90° ВАРИАНТ 4
1)	56°; 34°; 90° ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 11 ВАРИАНТ 1
1)	47°;	2) 74°; 90° ВАРИАНТ 2
1)	52°;	2) 62°; 90°
117
Ответы
ВАРИАНТ 3
1) И,5
ВАРИАНТ 4
1) 9,5
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 13 =
ВАРИАНТ 1
2) ВС HAD
ВАРИАНТ 2
2) АВ и CD
ВАРИАНТ 3
2) BChAD
ВАРИАНТ 4
2) АВ и CD
____ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 14
ВАРИАНТ 1
1) 77° и 103°;	2)43°; 137°
ВАРИАНТ 2
1) 67°; 113°;	2)59°;121°
ВАРИАНТ 3
1) 36°; 144°;	2)47°;133°
ВАРИАНТ 4
1) 46°; 134°;	2) 51°; 129°
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 15 =
ВАРИАНТ 1
1) 36°; 144°
ВАРИАНТ 2
1) 36°; 36°
118
Ответы
ВАРИАНТ 3
1) 126°; 54°
ВАРИАНТ 4
1) 71°; 71°
„ ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 16 
ВАРИАНТ 1
1) 74°; 38°; 68°
2) В ЛСВМ: 28°, 56°, 96°; в А ВОС: 28°, 28°, 124°
ВАРИАНТ 2
1) 20°; 80°; 80°;	2) 71°; 34°; 75°
ВАРИАНТ 3
1) 70°; 97°; 13°
2) В треугольнике СВМ — 28°; 56°; 96°;
в треугольнике ВОС — 28°; 28°; 124°
ВАРИАНТ 4
1) 40°; 60°; 80°;	2) 56°; 68° или 62°; 62°
ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 17
ВАРИАНТ 1
1) 145°; 114°; 101°	3) 126°; 27°; 27°
2) 48°; 101°
ВАРИАНТ 2
1) 143°; 116°; 101°	3) 62°; 62°
2) 62°; 62°; 56°
ВАРИАНТ 3
1) 59°; 98°; 23°	3) 26°; 77°; 77°
2) 45°; 105°
ВАРИАНТ 4
1) 45°; 27°; 108°	3) 21°; 75°
2) 34°; 34°; 112°
119
Ответы
	. ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 18__=_===_
ВАРИАНТ 1
1) 42°; 48°
ВАРИАНТ 2
1) 37°; 53°
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
=_=_== ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 1 ____
	ВАРИАНТ	1
3) 47°;	4) 115° или 19°	
	ВАРИАНТ	2
2) 36°; 54°;	3)29°;	4)120°
	ВАРИАНТ	3
2) Точки К и Р совпадают; 4,4 см		
3) 108° или 48°		
4) 120°		
	ВАРИАНТ	4
2) 9,4 см;	3)21,5°;	4) 126° или 58°
	ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 2	
	ВАРИАНТ	1
1) 90°; 23°		
	ВАРИАНТ	2
1) 43°; 90°		
	ВАРИАНТ	3
1) 65°		
	ВАРИАНТ	4
1) 67°; 90°		
120
Ответы
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 3.
ВАРИАНТ 1
1) 17°	3) 82°; 49°; 49°	4) да
ВАРИАНТ 2
1) 117°	4) да
ВАРИАНТ 3
1)57°	4) равнобедренный
ВАРИ АНТ 4
1) 43 °	3) 56°; 62°; 62°	4) равнобедренный
..	ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 1		
1)	30°; 90°; 60°	2) 62°	3) прямоугольный ВАРИАНТ 2
1)	45°; 45°; 90°	3) 28°; 68°
2)	56°; 56°; 68°	4) 62°; 56°; 62° ВАРИАНТ 3
1) 2)	30°; 90°; 60° 28°	3) 135°; 22,5°; 22,5° ВАРИАНТ 4
1)	45°; 45°; 90°;	3) 36°; 36°; 108° или 36°; 72°; 72°
2)	66°; 66°; 48°;	4) 56°; 56°; 68°
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
= КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
	Задачи для подготовки к контрольной работе		
1.	3456	5.	48°
2.	а) 87°; б) 148	6.	40° или 112°
3.	102°	7.	33 см или 17 см
4.	9 см и 27 см		
121
Ответы
	ВАРИАНТ 1
1. 13	4. 7 см и 11 см
2. 63°	5. 106° или 62°
3. 104° 1. 14	ВАРИАНТ 2 4. 8 см и 16 см
2. 74°	5. 55° или 35°
3. 138° 1. 23	ВАРИАНТ 3 4. 7 см и 14 см
2. 52°	5. 48° или 108°
3. 124° 1. 24	ВАРИАНТ 4 4. 11 см и 23 см
2. 81°	5. 36 см или 18 см
3. 122° _=^=_ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.. Задачи для подготовки к контрольной работе 1. 267;	2. 90°, 36°, 9 см; 3. 41°, 41°, 98°	
1. 25;	ВАРИАНТ 1 2. 90°, 19°;	5. 130°
1. 24;	ВАРИАНТ 2 2. 132°;	5. 20°
1. 14;	ВАРИАНТ 3 2. 42°;	5. 70°
1. 34;	ВАРИАНТ 4 2. 90°, 21°;	5. 40°
122
Ответы
===^=_=^= КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3	
Задачи для подготовки к контрольной работе
1.	12467;	2.55°;		5. 90°, 27°, 63°
		ВАРИАНТ	1	
1.	235;	2. 142°;		4. 54°, 54°
1.	245;	ВАРИАНТ 4. 44°;	2	5. 65°
1.	135;	ВАРИАНТ 2.132°;	3	5. 52°, 52°, 76°
1.	134;	ВАРИАНТ 3. 5 см;	4	4. 66°, 66°
=....КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 ____
Задачи для подготовки к контрольной работе
1.	1457; 2.	116°, 16°, 48° или 32°, 58°,		90°; 4. 15°, 45°,
120°; 5. 38; 1. 14;		7. 48°, 84° или 36°, 72° ВАРИАНТ 2. 90°, 60°, 30°;	1	4. 68°, 68°, 44°
1.	23;	ВАРИАНТ 2. 90°, 45°, 45°;	2	4. 28°, 68°
1.	24;	ВАРИАНТ 2. 90°, 60°, 30°;	3	4. 22°, 70°
1.	13;	ВАРИАНТ 2. 90°, 45°, 45°;	4	4. 52°, 76°
123
Ответы
____ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 -
Задачи для подготовки к контрольной работе
1. 24; 2. 3; 3. 50°, 65°, 65°; 4. 70°, 50°; 5. 72°, 26°, 82°
ВАРИАНТ 1
1. 124; 2.145; 3. 70°; 4. 80°; 6. 20°
ВАРИАНТ 2
1. 123; 2.245; 3.80°; 4.85°; 6.130°
ВАРИАНТ 3
1. 134; 2.136; 3. 100°; 4. 95°; 6.140°
ВАРИАНТ 4
1. 123; 2. 235; 3. 50°; 4.100°; 6. 40°
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
- - ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ.ТЕМА№ 1	
Начальные геометрические сведения. Углы
1.	1) 18 см; 2) 14 см
2.	4,6 см или 3,7 см
3.	точка С — середина отрезка АВ
4.	М-К-Р
5.	М — Н — Т, МН = 2 см или Н — Т — М, ТМ = 2 см
6.
1)	ЦК ? ?	НК = 5 см; КР = 10 см
2)	£___________9	НК = 5 см; КР = 20 см
3)	?_____И______9 % НК = 35 см; КР = 50 см
4)	£____F	НК = 35 см; КР = 20 см
7. 43°; 10. 22 раза; 15. 45°; 135°; 17. 2) и 3); 18. 90°;
19. 180°; 20.100° или 60°; 23. 90°; 90°; 24. нет; 27.120°
124
Ответы
А
К ВАК = 80°.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕМА № 2
Треугольники. Окружность. Построения
6. 2 см, 4 см, 4 см; 7. 4 см, 16 см, 16 см; 8. 90°; 70°; 20°
17. 1) тупоугольный; 2) прямоугольный; 3) равнобедренный
18. 4 см, 12 см, 12 см; 22. 9 см; 23. 5 см; 8 см; 8 см или 6 см;
6 см; 9 см
Решение.
Из условия задачи следует, что медиана проведена к боко-
вой стороне. Пусть АЛТ — медиана, проведенная к боковой
стороне ВС.
125
Ответы
-В	1 случай.
1. Пусть АВ + ВМ --- 12 см,
/	\ М	АС + СМ = 9 см, тогда АВ-АС = 3 см.
/	\	2. Пусть АС = х см, АВ = х + 3 см.
/s''	q, о х + 3
___________\ Тогда 9 = х+-------,
А	С	о 2
Ч Г»	о X 4~ 3	„
12 = х + 3 +—-—, откуда х = 5
АС = 5 см, АВ = 8 см.
2 случай.
1. Пусть АВ + ВМ = 9 см,
АС + СМ = 12 см, тогда АС - АВ = 3 см.
2. Пусть АВ = х см, АС = х + 3 см,
X
Тогда 9 = х + —,
2
х
12 = х + 3 + —, откуда х = 6
АВ = 6 см, АС = 9 см.
33.	1) 3 см; 2) 11 см или 12 см; 3) 7 см или 1 дм; 4) 15 см
34.	7 см; 7 см; 4 см или 7 см; 5,5 см; 5,5 см
35.	одно решение: 6 см; 12 см; 12 см
36.	6 см
Решение.
1. Точка Р лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
АВ, поэтому АР = РВ.
2. Рарс=АС+АР + РС=АС + ВР+РС=АС + ВС
18 см = АС + 12 см
АС = 6 см
126
Ответы
- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕМА № 4 _____
Сумма углов треугольника. Прямоугольный треугольник
14.	60°
15.	75°
16.	58°; 58°; 64°
17.	72°; 72°; 36°
18.	101°
19.	90°; 36°; 54
29. 52°
33.	34°, 22°, 124°
34.	2) нет; нет; да
3)	тупые
35.	22 см
127
Учебное издание
Мельникова Наталия Борисовна
Захарова Галина Алексеевна
Дидактические материалы по геометрии
7 класс
к учебнику Л. С. Атанасяна и др.
«Геометрия. 7-9 классы»
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ РОСС RU.nilJOl.HOO 199 от 19.05.2016 г.
Главный редактор Л. Д. Лаппо
Редактор И. М. Бокова
Технический редактор Л. В. Павлова
Корректоры О. А. Андрейчик, Е. В. Григорьева
Дизайн обложки М. С. Михайлова
Компьютерная верстка Н. М. Судакова, О. Н. Савина
107045, Москва, Луков пер., д. 8.
www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz;
по вопросам реализации: sale@examen.biz
тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры,
литература учебная
Отпечатано в полном соответствии с предоставленными материалами
в типографии ООО «Чеховский печатник».
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1.
Тел.: +7 915 222 15 42, +7 926 063 81 80.
По вопросам реализации обращаться по тел.:
8(495)641-00-30 (многоканальный).