/
Автор: Прасолов В.В. Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б.
Теги: воспитание обучение образование геометрия методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика 7 класс дидактические материалы
ISBN: 978-5-09-01955-6
Год: 2010
Похожие
Текст
.
Q
.
L
I'!!I
..
8'1111 '11111
'11111111
.
,
,
\
,
t
»
I
,
.
\
\ \
,
j
.... ..
,
: I
В. . Бу З0В
C
Б. Кадомцев
В. В. n асолов
а
,
,
t
,
MrY .. WКОЯЕ
В. Ф. Бутузов
с. 5.
aДOMцeB
В. В. Прасопов
reOMeTplt1l
Дидактические
материалы
S ....l
'" '
:
:1'
Москва
«Просвещение»
2010
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
Б93
Серия «MrY
школе» основана в 1999 rоду
Бутузов В. Ф.
Б93 rеометрия. Дидактические материалы. 7 класс /
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, В. В. Прасолов.
М. : Про
свещение, 2010.
62 с. : ил.
(MrY
школе).
ISBN
978
5
09
019455
6.
Дидактические материалы ориентированы на учебник В. Ф. Бу
тузова, С. Б. Кадомцева, В. В. Прасолова «rеометрия, 7 ».
В них представлены самостоятельные и контрольные работы
в нескольких вариантах и различноrо уровня сложности, а также
математические диктанты и примерные задачи R экзамену. Ко всем
заданиям даны ответы, а ко мноrим
указания.
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
ISBN 978
5
09
019455
6
@ Издательство «Просвещение» , 2010
@ Художественное оформление.
Изда тельство «Просвещение », 2010
Все права защищены
предuсловuе
Пособие содержит дополнительный задачный матери
ал по курсу rеометрии 7 класса. Оно ориентировано на
учебник В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, В. В. Прасолова
«rеометрия, 7 » под редакцией В. А. Садовничеrо.
В пособии представлены 12 самостоятельных работ,
4 контрольные работы, 3 математических диктанта, при
мерные задачи к экзамену по rеометрии, тестовые задания
и дополнительные задачи.
Самостоятельные работы обозначены буквой С с COOT
ветствующим номером. Темы самостоятельных работ:
С..l. Простейшие rеометрические фиrуры (э 1, п. 1
3).
С..2. Измерение отрезков и уrлов (э 3, п. 6, 7).
С..3. Перпендикулярные прямые (э 4, п. 8, 9).
С..4. Равнобедренный треуrольник (э 5, п. 10
13).
С..5. Признаки равенства треуrольников (э 6, п. 14
17).
С..6. Прямоуrольные треуrольники (э 7, п. 18
24).
С..7. Соотношения между сторонами и уrлами треуrоль
ника (э 8, п. 25
27).
С..8. Отрезки и уrлы, связанные с окружностью (э 9,
п. 28
33).
С..9*. Отрезки и уrлы, связанные с окружностью (э 9,
п. 28
33).
С..I0. Задачи на построение (э 10, п. 34
41).
С..ll*. Задачи на построение (э 10, п. 34
41).
С..12. Итоrовое повторение.
Все самостоятельные работы даются в четырёх вариан
тах. В каждом варианте 3 задачи, но если на самостоятель
ную работу отводится меньше 30 минут, то третью задачу
нужно исключить и оставить только первые две задачи.
Третий и четвёртый варианты, как правило, более слож
ные, чем первый и второй. Самостоятельные работы по
двум темам «<Отрезки и уrлы, связанные с окружностью»
И «Задачи на построение») приведены в двух версиях, при
чём версия со звёздочкой более сложная. Она предназначе
на для наиболее подrотовленных классов.
Контрольные работы обозначены буквой I
с COOTBeTCT
вующим номером. Они предназначены для итоrовой про
верки знаний по каждой из трёх rлав учебника (работы
1*
3
&..1, &..2 и &..3) и по всему курсу rеометрии 7 класса (рабо
та &..4). В каждой контрольной работе 4 задачи, причём по
следняя задача
дополнительная, ее следует предлаrать
только в наиболее подrотовленных классах. Каждая KOH
трольная работа даётся в четырёх вариантах.
Математические диктанты обозначены буквами мд
с соответствующим номером: МД..1, МД..2 и МД"3. ОНИ
предназначены для итоrовой проверки знаний по каждой
из трёх rлав. Все математические диктанты даются в двух
одинаковых по сложности вариантах.
Дополнительные задачи можно предложить для caMO
стоятельной работы учащимся, успешно справляющимся
с задачами из учебника. Их можно также использовать для
про ведения занятий в кружках и при орrанизации факуль
тативов.
В конце книrи даны ответы ко всем задачам самостоя
тельных и контрольных работ, а также указания к наибо
лее сложным задачам самостоятельных работ.
" стоятеп
tt L.-'
боты .. 7"
С..1
,:
ВАРИАНТ 1
1. Три точки А, В и С лежат на одной прямой, три
точки В, С и D также лежат на одной прямой. Лежат ли
точки А, В и D на одной прямой?
2. Три прямые а, Ь и с пересекаются в одной точке, а пря
мая d не проходит через эту точку, но пересекает пря
мые а, Ь и с. Чему равно число всех точек пересечения
этих прямых?
i<
3. Точки А и В лежат в одной полуплоскости С rраницей а,
точки В и С лежат в разных полуплоскостях с rpa
ницей а. В одной или в разных полуплоскостях с rрани
цей а лежат точки А и С?
С..21 ..
1. Точка С лежит на отрезке АВ, длина KOToporo равна
18 см. Найдите длины отрезков АС и ВС, если длина
отрезка АС в два раза больше длины отрезка ВС.
2. Точка С лежит на отрезке АВ. Чему равно расстояние
от точки С до середины отрезка АВ, если АС == 13 см
и ВС == 3 см?
3. Луч делит развёрнутый уrол на два уrла, один из KOTO
рых на 60° больше друrоrо. Найдите образовавшиеся
уrлы.
с..зl ::
1. Один из смежных уrлов на 20° больше друrоrо. Найдите
эти уrлы.
2. Точка М лежит на биссектрисе уrла АОВ. Найдите
уrол СОМ, если LAOC == 10°, LBOC == 50° и точка С ле
жит внутри уrла АОВ.
3. Равны ли острые уrлы АОВ и COD, если СО
АО
и DO
ВО? Ответ обоснуйте.
5
c
4I l1
.
1. Медиана треуrольника разделяет ero на два треуrольни
ка, суммы длин сторон которых равны. Докажите, что
этот треуrольник равнобедренный.
2. На основании АС равнобедренноrо треуrольника АВС
отмечены точки D и Е так, что AD == СЕ. Докажите, что
треуrольник DBE равнобедренный, используя наложе
ние копии треуrольника на сам треуrольник.
3. MorYT ли медиана и биссектриса треуrольника, прове
дённые из одной вершины, быть взаимно перпендику
лярными? Ответ обоснуйте.
C
5
:'
1. Точка О
общая середина отрезков АВ и CD, не лежа
щих на одной прямой. Докажите, что АС == BD.
2. В треуrольнике АВС проведена медиана АМ и на
луче АМ отмечена точка D так, что DM == АМ. ДOKa
жите, что BD == АС.
3. На биссектрисе AD треуrольника АВС отмечена точ
ка Р. Известно, что LBP А == LCP А. Докажите, что Tpe
уrольник АВС равнобедренный.
С-б 1 ;:;;.
1. Уrол В прямоуrольноrо треуrольника АВС равен 600.
Сумма rипотенузы и катета ВС равна 12 см. Найдите
rипотенузу.
2. На серединном перпендикуляре к отрезку АВ отмече
на точка М так, что АМ == 2АВ. Периметр треуrольни
ка АВМ равен 25 см. Найдите длину отрезка АВ.
3. Можно ли произвольный прямоуrольный треуrольник
разрезать на два равнобедренных треуrольника? Ответ
обоснуйте.
6
c
71 I
1. Найдите уrлы треуrольника, если они пропорциональ
ны числам 2, 3 и 7.
2. В треуrольнике АВС сторона АС наибольшая, а сторона
ВС наименьшая. Может ли выполняться неравенство
АС > 2АВ? Ответ обоснуйте.
3. На стороне АВ треуrольника АВС отмечена точка D.
Известно, что LABC == LBCD. Выразите уrол ADC через
уrол АВС.
C
81, ;
':;
1. Из точки окружности проведены две хорды, равные ее
радиусу. Найдите уrол между ними.
2. Стороны уrла касаются окружности. Точки касания яв
ляются концами двух дуr, одна из которых равна 1600.
Найдите величину уrла.
3. Боковая сторона равнобедренноrо треуrольника явля
ется диаметром окружности. Докажите, что эта окруж
ность проходит через середину основания треуrоль
ника.
C
9* 1 '"'
1. Две окружности имеют общий центр. Докажите, что
все хорды большей окружности, касающиеся меньшей
окружности, равны между собой.
2. Окружность, диаметром которой служит биссектри
са AD треуrольника АВС, пересекает прямые АВ и АС
в точках Р и Q, отличных от точки А. Докажите, что
АР == AQ.
3. Из точки М, расположенной внутри oCTporo уrла с Bep
шиной А, проведены перпендикуляры МР и MQ к CTO
ронам уrла. Докажите, что LAPQ == LAMQ.
7
С..10 I
1. Постройте равносторонний треуrольник по ero стороне.
2. Постройте равнобедренный треуrольник АВС по уrлу А
и высоте, проведённой к основанию ВС.
3. Постройте прямоуrольный треуrольник по rипотенузе
и проекции одноrо из катетов на rипотенузу.
С..11* I:
;:
1. Даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Про
ведите через точку А прямую так, чтобы точки В и С ле
жали по разные стороны от этой прямой и находились от
нее на равных расстояниях.
2. Проведите через данную точку А прямую, которая пе
ресекает данную окружность в таких точках В и С, что
точка С
середина отрезка АВ.
3. Даны две точки А и В. С помощью одноrо циркуля (без
линейки) постройте точку С так, что L.ABC == 600.
С..121 ?::
1. Две пересекающиеся прямые образуют четыре нераз
вёрнутых уrла. Найдите эти уrлы, если сумма трех из
них равна 2300.
2. Точки В и С лежат по одну сторону от серединноrо
перпендикуляра к отрезку АВ. Сравните длины отрез
ков АС и ВС.
3. Равные хорды АВ и CD окружности с центром О пересе
каются в точке М. Докажите, что луч МО
биссек
триса одноrо из уrлов АМС, ВМС, AMD, BMD.
8
ВАРИАНТ 2
C
1 ( .
,
1. Три прямые а, Ь и с пересекаются в одной точке, три
прямые Ь, с и d также пересекаются в одной точке. Пе
ресекаются ли прямые а, Ь и d в одной точке?
2. Три точки А, В и С лежат на одной прямой,. а точка D
не лежит на этой прямой. Сколько различных прямых
проходит через все пары точек?
3. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях с rрани
цей а, точки В и С также лежат в разных полуплоско
стях с rраницей а. В одной или в разных полуплоско
стях с rраницей а лежат точки А и С?
C
21{: :
1. Точка С лежит на отрезке АВ, длина KOToporo равна
8 см. Найдите длины отрезков АС и ВС, если длина
отрезка АС в три раза меньше длины отрезка ВС.
2. Точка В лежит на отрезке АС, длина KOToporo равна
10 см. Чему равно расстояние между серединами отрез
ков АВ и ВС?
3. Луч делит развёрнутый уrол на два уrла, один из KOTO
рых В два раза больше друrоrо. Найдите образовавшие
ся уrлы.
C
3
: ::
1. Один из смежных уrлов в три раза больше друrоrо.
Найдите эти yr лы.
2. Точка М лежит на биссектрисе уrла АОВ. Найдите
уrол СОМ, если LAOC == 500, LBOC == 300 и точка С ле
жит внутри уrла АОВ.
3. Равны ли тупые уrлы АОВ и COD, если АО
СО
и ВО
DO? Ответ обоснуйте.
2
Бутузов, 7 кл.
9
С-l0 l '
1. Постройте квадрат по ero стороне.
2. Постройте равнобедренный треуrольник по основанию
и высоте, проведённой к основанию.
3. Внутри уrла с вершиной А дана точка о. Постройте
прямую, которая проходит через точку О и пересекает
стороны данноrо уrла в таких точках В и С, что
АВ == АС.
С-11* В ':
1. Постройте уrол, равный данному уrлу, так, чтобы одна
ero сторона лежала на данной прямой, а друrая прохо
дила через данную точку.
2. Постройте прямоуrольный треуrольник по катету и CYM
ме друrоrо катета и rипотенузы.
3. Даны две точки А и В. С помощью одноrо циркуля (без
линейки) постройте концы какоrо
нибудь отрезка, пер
пендикулярноrо к прямой АВ.
C-121
i
1. Две пересекающиеся прямые образуют четыре нераз
вёрнутых уrла. Найдите эти уrлы, если сумма двух из
них равна 2200.
2. Высота треуrольника разделяет ero на два треуrольни
ка, периметры которых равны. Докажите, что этот Tpe
уrольник равнобедренный.
3. Одна из двух взаимно перпендикулярных хорд окруж
ности делится второй хордой пополам. Докажите, что
вторая хорда является диаметром.
12
ВАРИАНТ 3
C
l
,:.
1. MorYT ли три полуплоскости иметь общую точку? Если
MorYT, то изобразите такие полуплоскости.
2. На прямой отмечены пять точек. Сколько лучей с Ha
чалами в отмеченных точках расположено на этой
прямой?
3. Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
Проведите прямую через каждую пару точек и отметьте
точку Х, которая расположена во внешней области
уrлов ВАС, АВС и АСВ.
C
2 fI :
1. Точка С лежит на отрезке АВ, длина KOToporo равна
11 см. Найдите отрезки АС и ВС, если отрезок АС на
3 см меньше отрезка ВС.
2. Точка С лежит на отрезке АВ; точки Р и Q
середи
ны отрезков АВ и ВС. Найдите отрезок АС, если OTpe
зок PQ равен 4 см.
3. Луч делит прямой уrол на два уrла, один из которых
на 300 больше друrоrо. Найдите образовавшиеся уrлы.
с
зl :)':
1. Найдите все неразвёрнутые уrлы, образованные при пе
ресечении двух прямых, если разность двух из них paB
на 400.
2. Точка М лежит на биссектрисе уrла АОВ, а точка С
лежит внутри уrла, смежноrо с уrлом АОВ. Найдите
уrол СОМ, если LAOC == 100, LBOC == 1300.
3. Чему равна сумма oCTporo уrла АОВ и тупоrо уrла COD,
если СО
АО и DO
ВО? Ответ обоснуйте.
13
c-41 ;:
1. MorYT ли медиана и высота треуrольника, проведённые
из одной вершины, быть взаимно перпендикулярными?
Ответ обоснуйте.
2. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе уrла с Bep
шиной А, пересекает стороны уrла в точках В и С. Дo
кажите, что треуrольник АВС равнобедренный.
3. Через вершины А и С треуrольника АВС проведены пря
мые, перпендикулярные к биссектрисе уrла АВС. Они
пересекают лучи ВС и ВА в точках D и Е соответственно.
Найдите отрезок АВ, если ВЕ == 5 см и CD == 2 см.
С-б [ ::':
1. Равные отрезки АВ и CD, не лежащие на одной пря
мой, пересекаются в точке о. Известно, что АО == СО.
Докажите, что AD == ВС.
2. По одну сторону от прямой АВ отмечены две точки С
и D. MorYT ли одновременно выполняться равенства
АС == AD и ВС == BD?
3. На равных сторонах АС и ВС треуrольника АВС OTMe
чены соответственно точки А 1 и В 1 так, что СА 1 == СВ 1 .
Докажите, что АВ 1 == ВА 1 .
С-б :, :
1. Внешний уrол при вершине А прямоуrольноrо Tpe
уrольника АВС равен 1200. Сумма rипотенузы и KaT
та АВ равна 9 см. Найдите катет АВ.
2. На сторонах АВ и АС paBHOCTopOHHero треуrольника
АВС отмечены точки Р и Q так, что АР : Р В == 2 : 1
и AQ: QC == 1 : 2. Докажите, что прямые АС и PQ пер
пендикулярны.
3. Катеты АС и А 1 С 1 прямоуrольных треуrольников АВС
и А 1 В 1 С 1 равны, а друrие катеты удовлетворяют Hepa
венству ВС < В 1 С 1 . Докажите, что АВ < А 1 В 1 .
14
c..71 .
1. Может ли наибольший уrол треуrольника быть MeHЬ
ше 60°? Ответ обоснуйте.
2. В треуrольнике АВС уrол В острый. На продолжении
стороны АВ за точку В отмечена точк.а D. Может ли BЫ
полняться неравенство CD < СВ? Ответ обоснуйте.
3. В треуrольнике АВС проведена биссектриса AD.
Известно, что BD == AD == АС. Найдите уrлы треуrоль
ника АВС.
С..8 :'
1. Дуrа АВ окружности равна 90°, хорда АВ равна 10 см.
Найдите расстояние от центра окружности до пря
мой АВ.
2. Точка О середина стороны АВ paBHocTopoHHero Tpe
уrольника АВС. Окружность с центром О и радиу
сом ОА пересекает стороны АС и ВС в точках К и L.
Найдите уrол KOL.
3. Расстояние между серединами двух перпендикулярных
хорд окружности равно 10 см. Найдите расстояние от
центра окружности до точки пересечения хорд.
С..9* l i f
1. Докажите, что если три окружности имеют общую xop
ду, то их центры лежат на одной прямой.
2. Прямая касается двух окружностей в точке А. На этой
прямой отмечена точка М и через неё проведены Kaca
тельные МВ и МС к этим окружностям. Докажите, что
МВ == МС.
3. Продолжения равных хорд АВ и CD окружности за точ
ки В И С пересекаются в точке М. Докажите, что Tpe
уrольник МВС равнобедренный.
15
r:I С..10 t P.
1. Постройте равносторонний треуrольник по ero высоте.
2. Постройте треуrольник по двум сторонам и высоте, про
ведённой к одной из них.
3. Даны окружность и две точки внутри её. Постройте
прямоуrольный треуrольник, вершины KOToporo лежат
на данной окружности, а катеты проходят через данные
точки.
С..11* I T.
1. Постройте треуrольник по двум сторонам и высоте, про
ведённой из общей точки этих сторон.
2. Постройте прямоуrольный треуrольник АВС по KaTe
ту АС и разности острых уrлов А и В.
3. Даны две точки А и В. С помощью одноrо циркуля (без
линейки) постройте точку С так, чтобы точка В была ce
рединой отрезка АС.
r:I C..121 ; .
1. Точки С и D лежат на отрезке АВ. Известно, что
АС == BD. Докажите, что середины отрезков АВ и CD
совпадают.
2. В треуrольнике одна сторона на 1 см меньше друrой
и на 3 см больше третьей. Может ли ero периметр быть
равен 10 см? Ответ обоснуйте.
3. На сторонах АВ и АС треуrольника АВС отмечены co
ответственно точки М и N, причём АМ == М N == BN.
Найдите уrол CNB, если LA == а.
16
в А И,А,Н Т 4
С..l . ' . . . ' . ' . ". .
" >,
1. MorYT ли три полуплоскости не иметь ни одной общей
точки? ,Если MorYT, то изобразите такие полуплоскости.
2. На прямой отмечены четыре точки. Сколько получи
лось отрезков с концами в этих точках?
3. Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
Проведите прямую через каждую пару точек и отметьте
точку У, которая расположена во внутренней области
уrла ВАС и во внешних областях уrлов АВС и АСВ.
C..21 :
1. Точка С лежит на отрезке АВ, длина KOToporo равна
8 см. Найдите отрезки АС и ВС, если отрезок АС на
2 см больше отрезка ВС.
2. Точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ. Чему
равно расстояние от точки С до середины отрезка АВ,
если АС == 1 7 см и ВС == 3 см?
3. Луч делит прямой уrол на два уrла, один из которых
в два раза больше друrоrо. Найдите образовавшиеся
yr лы.
с..зl ?'
1. Найдите смежные уrлы, если их rрадусные меры OTHO
сятся как 7 : 8.
2. Точка М лежит на биссектрисе уrла АОВ, а точка С
лежит внутри yr ла, вертикальноrо по отношению к
уrлу АОВ. Найдите уrол СОМ, если LAOC == 1100,
LBOC == 1300.
3. MorYT ли уrлы АОВ и COD быть неравными, если
АО 1. СО и ВО 1. DO? Если MorYT, то изобразите такие
уrлы.
3 Бутузов, 7 кл.
17
C 41 ;'?:
1. MorYT ли биссектриса и высота треуrольника, проведён
ные из одной вершины, быть взаимно перпендикуляр
ными? Ответ обоснуйте.
2. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе уrла с Bep
шиной А, пересекает стороны уrла в точках В и С.
Докажите, что биссектриса делит отрезок ВС пополам.
3. Через вершины А и С треуrольника АВС проведены пря
мые, перпендикулярные к биссектрисе уrла АВС. Они
пересекают лучи ВС и ВА в точках D и Е соответственно.
Найдите отрезок ВС, если АВ == 7 см и CD == 3 см.
C 51
1. Равные отрезки АВ и CD, не лежащие на одной пря
мой, пересекаются в точке о. Известно, что АО == СО.
Докажите, что L.OAD == L.OCB.
2. По одну сторону от прямой АВ отмечены две точки С
и D. MorYT ли при этом одновременно выполняться ра
венства L.CAB == L.DAB и L.CBA == L.DBA?
3. На равных сторонах АС и ВС треуrольника АВС OTMe
чены точки А 1 и В 1 так, что СА 1 == СВ 1 . Докажите, что
L.AB 1 B == L.BA 1 A.
C 61 ';
1. Внешний уrол при вершине С прямоуrольноrо треуrоль
ника АВС равен 1500. Разность rипотенузы и катета АВ
равна 4 см. Найдите катет АВ.
2. Биссектриса oCTporo уrла прямоуrольноrо треуrольника
разделяет ero на два треуrольника, один из которых
равнобедренный. Найдите уrлы исходноrо треуrоль
ника.
3. Катеты прямоуrольных треуrольников АВС и А 1 В 1 С 1
удовлетворяют неравенствам АС < А 1 С 1 И ВС < В 1 С 1 .
Докажите, что АВ < А 1 В 1 .
18
C-71 il Ш
1. Может ли наименьший уrол треуrольника быть боль
ше 60°? Ответ обоснуйте.
2. В треуrольнике АВС уrол В тупой. На продолжении
стороны АВ за точку В отмечена точка D. Может ли BЫ
полняться неравенство CD < СВ? Ответ обоснуйте.
3. Две стороны треуrольника равны 1 см и 5 см, а третья
сторона также равна целому числу сантиметров. Найди
те третью сторону.
1 . . . . . . ... . . . . .: . . . . .
С-8 .J,\
1. Дуrа АВ окружности с радиусом 10 см равна 120°. Най
дите расстояние от центра окружности до прямой АВ.
2. Точка О лежит на катете АС треуrольника АВС с пря
мым уrлом С. Окружность с центром О и радиусом ОА
пересекает rипотенузу АВ в точке К. Выразите уrол
АОК через уrол В.
3. Две равные окружности пересекаются в точках А и В.
Прямая, проходящая через точку А, пересекает одну
окружность в точке С, а друrую в точке D. Докажи
те, что ВС == BD.
С-9* 1 :;
1. Две окружности пересекаются в точках А и В; отрез
ки АМ и AN диаметры этих окружностей. Докажи
те, что точки М, N и В лежат на одной прямой.
2. Прямая касается каждой из двух окружностей в точ
ке А, а друrая прямая касается этих окружностей в точ
ках В и С. Докажите, что точка А лежит на окружно
сти, диаметром которой служит отрезок ВС.
3. Продолжения равных хорд АВ и .CD окружности за точ
ки В И С пересекаются в точке Е. Докажите, что Tpe
уrольник EAD равнобедренный.
3*
19
c-l01 !':
1. Постройте квадрат по ero диаrонали.
2. Постройте треуrольник по уrлу и биссектрисе и высоте,
проведенным из вершины этоrо уrла.
3. Постройте окружность, которая касается одной стороны
данноrо уrла в данной точке и касается друrой стороны
этоrо уrла.
С-ll* If ;
1. Постройте остроуrольный треуrольник по yr лу и двум
высотам, проведенным из вершин двух друrих уrлов
треуrольника.
2. Постройте прямоуrольный треуrольник по rипотенузе
и разности катетов.
3. Даны две точки А и В. С помощью одноrо лишь цирку
ля (без линейки) постройте какую нибудь точку, KOTO
рая лежит на продолжении отрезка АВ.
С-12 1 (;;
1. Лучи ОС и OD расположены во внутренней области
уrла АОВ. Известно, что LAOC == LBOD. Докажите, что
биссектрисы уrлов АОВ и COD совпадают.
2. Может ли сторона треуrольника быть вдвое меньше
друrой стороны и вдвое больше третьей стороны? Ответ
обоснуйте.
3. Хорда АВ окружности продолжена за точку В на OTpe
зок ВС, равный радиусу окружности. Через точку С
и центр О окружности проведена секущая; она пересе
кает окружность в точке D, лежащей вне отрезка ос.
Найдите уrол AOD, если уrол ACD равен а.
20
ОНТР ,........,. . , .., .. / 'O ... , ... .. . . . .... н bl е
pai7oT 7\
К-1 1} ":
,:<..-::;.. .
ВАРИАНТ 1
1. Отметьте на рисунке точку, которая лежит на луче АС,
но не лежит на луче ВС.
.
А
.
в
.
с
2. С помощью транспортира начертите уrол, равный 1140,
и проведите биссектрису смежноrо с ним уrла.
3. Во внутренней области прямоrо уrла АОВ проведён
луч ОС. Найдите уrол между биссектрисами уrлов АОС
и ВОС.
4. Даны три прямые, каждая из которых пересекает хотя
бы одну друrую. Сколько точек пересечения MorYT
иметь эти прямые? Для каждоrо возможноrо случая
сделайте рисунок.
K-11 '
ВАРИАНТ 2
1. Отметьте на рисунке точку, которая лежит на луче АС
и на луче ВА.
.
А
.
в
.
с
2. С помощью транспортира начертите уrол, равный 720,
и проведите биссектрису смежноrо с ним уrла.
3. Во внутренней области прямоrо уrла АОВ проведены
лучи ОС и OD так, что LAOC == LBOD == 300. Найдите
уrол между биссектрисами уrлов АОС и BOD.
4. На сколько частей MorYT разделить плоскость три пря
мые, каждые две из которых пересекаются? Для каждо
ro возможноrо случая сделайте рисунок.
21
К 1 1 . ( . . . ' . . . .... . . . .
- ;:;".
хЕ::
ВАРИАНТ 3
1. Может ли каждый из трёх отрезков АВ, ВС и СА пере
секать прямую а, не проходящую через точки А, В и С?
2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причём
АВ == 2,3 см и ВС == 1,2 см. Какой может быть длина
отрезка АС? Рассмотрите все возможные случаи.
3. Какой уrол (острый или тупой) образуют стрелки часов
в 3 ч 1 мин?
4. На линейке отмечены три деления: О см, 3 см и 8 см.
Постройте с её помощью отрезок длиной 7 см.
K_1 1 . : \ H..
': --.
:t: ....
ВАРИАНТ 4
1. Нарисуйте три прямые так, чтобы они имели ровно две
точки пересечения.
2. MorYT ли точки А, В и С лежать на одной прямой, если
АВ == 4,3 см, ВС == 1,1 см и АС == 3,1 см?
3. Какой уrол (острый или тупой) образуют стрелки часов
в 2 ч 59 мин?
4. На линейке отмечены три деления: О см, 4 см и 11 см.
Постройте с её помощью отрезок длиной 10 см.
К-21 ,
ВАРИАНТ 1
1. На высоте равнобедренноrо треуrольника АВС, прове
дённой к основанию АС, отмечена точка Р, а на CTOpO
нах АВ и ВС отмечены точки М и N так, что ВМ == BN.
Докажите, что уrлы ВМР и BNP равны.
2. В треуrольнике с прямым уrлом С уrол А равен 30°.
Докажите, что АС < 2ВС.
3. В треуrольнике АВС с прямым уrлом С проведена BЫCO
та CD. Известно, что АС < ВС. Докажите, что AD < BD.
4. Можно ли какой нибудь прямоуrольный треуrольник
разрезать на равносторонний треуrольник и равнобед
ренный треуrольник? Ответ обоснуйте.
23
I!] . ' . ,, - :. : . ' : ' ._ ' . ' . ' . . . '.
К 2 1'.'.
- ,,;;.,..
К/., .
ВАРИАНТ 2
1. Внутри равнобедренноrо треуrольника АВС отмечена
точка Р, а на равных сторонах АВ и ВС отмечены точ
ки М И N. Известно, что ВМ == BN и РМ == PN. ДOKa
жите, что прямые ВР и АС перпендикулярны.
2. В треуrольнике АВС, в котором АВ < ВС < АС, один из
уrлов вдвое меныпе друrоrо и втрое меныие третьеrо.
Найдите уrол А.
3. В треуrольнике АВС с прямым уrлом С проведена бис
сектриса AD. Докажите, что CD < BD.
4. Можно ли какой нибудь прямоуrольный треуrольник
разрезать на четыре равнобедренных треуrольника?
Ответ обоснуйте.
I!] K 21 ;
ВАРИАНТ 3
1. Докажите, что в четырёхуrольнике, все стороны KOTO
poro равны, диаrонали перпендикулярны.
2. Точки М и N середины сторон АВ и ВС треуrольни
ка АВС. Докажите, что прямая MN перпендикулярна
к высоте, проведённой из вершины В.
3. На стороне ВС неравнобедренноrо треуrольника АВС
отмечена точка D. MorYT ли треуrольники ABD и ACD
быть равными? Ответ обоснуйте.
4. Можно ли разрезать треуrольник, не являющийся paB
носторонним, на равносторонние треуrольники?
I!] K 21[ '
ВАРИАНТ 4
1. Докажите, что в четырёхуrольнике ABCD, все стороны
KOToporo равны, уrлы АВС и ADC равны.
2. Точки М и N середины сторон АВ и ВС треуrольни
ка АВС. Докажите, что точки В и С равноудалены от
прямой MN.
3. Внеравнобедренном треуrольнике АВС уrол А равен 600.
Докажите, что АВ + АС < 2ВС.
4. Можно ли разрезать треуrольник, не являющийся paB
нобедренным, на два равных треуrольника?
4 Бутузов, 7 кл.
25
к..зlt "
ВАРИАНТ 1
1. Найдите множество центров всех окружностей, прохо
дящих через две данные точки.
2. Дуrа АВ окружности радиуса 10 см равна 600. Найдите
длину хорды АВ.
3. Постройте равнобедренный треуrольник, вершины KO
Toporo лежат на данной окружности, а основание равно
данному отрезку.
4. С помощью циркуля и линейки постройте уrол в 11015'.
к ..3 1 . : . .. . : . ."
Х:У/.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите множество центров всех окружностей, касаю
щихся данной прямой в данной точке.
2. Хорда АВ равна 10 см. Дуrа АВ окружности равна 900.
Найдите длину перпендикуляра, проведённоrо из цeH
тра окружности к хорде АВ.
3. Постройте равнобедренный треуrольник, вершины KO
Toporo лежат на данной окружности, а боковая сторона
равна данному отрезку.
4. С помощью циркуля и линейки постройте уrол в 67030'.
B ;
к ..3 {J'":
ВАРИАНТ 3
1. Найдите множество всех точек, для каждой из которых
отрезки касательных, проведённые из этой точки к дaH
ной окружности, имеют заданную длину.
2. Окружность, диаметром которой является катет прямо
уrольноrо треуrольника, проходит через середину rипо
тенузы. Найдите острые уrлы этоrо треуrольника.
3. Даны окружность, точка на ней и хорда, отличная от
диаметра. Через данную точку проведите хорду, KOTO
рая делилась бы данной хордой пополам.
4. Дан уrол в 340. С помощью циркуля и линейки построй
те уrол в 120.
4*
27
к..зlI
ВАРИАНТ 4
1. Найдите множество середин всех хорд данной окруж
ности, имеющих заданную длину.
2. Окружность, диаметром которой является катет прямо
уrольноrо треуrольника, делит rипотенузу в отношении
1 : 3. Найдите острые уrлы этоrо треуrольника.
3. Даны уrол и две точки внутри ero. Постройте окруж
ность, проходящую через эти точки и высекающую на
сторонах yr ла равные отрезки.
4. Дан уrол в 190. С помощью циркуля и линейки построй
те уrол в 1 о .
К..4 I у '
:;;. : ..
ВАРИАНТ 1
1. На основании АС равнобедренноrо треуrольника АВС
отмечена точка D, а на ero бо'КОВЫХ сторонах АВ и ВС
точки Е и F. Известно, что ED == DF, LBDE == LBDF
и LABD == 100. Найдите уrол А.
2. Дан треуrольник АВС, в котором LA == 300 и LC == 600.
Точка М середина стороны АС. Найдите уrол СВМ.
3. Окружность с центром О касается сторон уrла ВАС,
paBHoro 600, в точках В и С. Найдите длину отрезка АО,
если ВО == 2 см.
4. Постройте окружность данноrо радиуса, высекающую
на сторонах данноrо уrла отрезки, равные данному OT
резку.
К..4 ; :
ВАРИАНТ 2
1. Внутри треуrольника АВС отмечена точка о. Известно,
что АО == ОС, LAOB == L-COB и LA == 700. Найдите уrол В.
2. Дан треуrольник АВС, в котором LA == LC == 450. Точ
ка М середина стороны АС. Найдите уrол СВМ.
3. Окружность с центром О касается сторон уrла ВАС в точ
ках В и С. Найдите уrол ВАС, если АО == 2 см и ВО == 1 см.
4. Постройте окружность данноrо радиуса, проходящую
через данную точку на данной прямой и высекающую
на этой прямой отрезок, равный данному отрезку.
29
K 4
ВАРИАНТ 3
1. Отрезок ВС длиной 2 см расположен на отрезке AD
длиной 7 см. Точка Х лежит на отрезке ВС (неизвестно,
rде именно). Чему равна сумма длин отрезков АХ, ВХ,
СХ и DX?
2. На катете АС треуrольника АВС с прямым уrлом С
и уrлом А, равным 15°, отмечена точка D так, что
LCDB == 30°. Известно, что ВС == 5 см. Найдите AD.
3. Через точку А проведены касательные АВ и АС к окруж
ности С центром О (В и С точки касания). Точка М
расположена вне окружности так, что LAMO == 90°. Дo
кажите, что LBMO == LCMO.
4. Даны окружность и точка А внутри её. Постройте хорду
этой окружности, про ходящую через точку А, так, что
бы разность длин отрезков, на которые точка А делит
хорду, была равна длине данноrо отрезка.
K 41: "
ВАРИАНТ 4
1. Внутри уrла AOD проведены лучи ОВ и ОС, а внутри
уrла ВОС проведён луч ОХ. Известно, что LAOD == 120°
и LBOC == 30°. Найдите сумму rрадусных мер уrлов
АОХ, ВОХ, СОХ и DOX.
2. На катете АС треуrольника АВС с прямым уrЛОl\1I С
и уrлом А, равным 22°30', отмечена точка D так, что
LCDB == 45°. Известно, что AD == 5 см. Найдите BD.
3. Через точку А проведены касательные АВ и АС к окруж
ности С центром О (В и С точки касания), а затем про
ведена касательная, пересекающая отрезки АВ и АС
в точках М и N. Найдите уrол MON, если LBAC == 40°.
4. Даны точка А и окружность. Постройте прямую, прохо
дящую через точку А так, чтобы окружность высекала
на ней хорду, равную данному отрезку.
31
,
I
атеlVl'атичetкие
диктанты'
МД..l ,
ВАРИАНТ 1
1. Серединой отрезка называется
2. Каким свойством обладают вертикальные уrлы?
3. Может ли один из смежных уrлов быть прямым, а дpy
rой тупым?
4. Найдите все неразвёрнутые уrлы, образовавшиеся при
пересечении двух прямых, если сумма двух из них paB
на 140°.
5. Биссектриса уrла, смежноrо с уrлом в 80°, делит ero на
два уrла, каждый из которых равен ... .
6. Может ли разность rрадусных мер двух смежных yr лов
быть равна 90°?
7. "У"rол АОС равен 120°. Луч ОВ расположен во BHYTpeH
ней области этоrо уrла. Чему равен уrол между биссек
трисами уrлов АОВ и ВОС?
8. Можно ли нарисовать три попарно пересекающиеся
прямые а, Ь и с так, что а ..l Ь и Ь ..l с?
МД..1 ;,
ВАРИАНТ 2
1. Биссектрисой уrла называется
2. Сумма смежных уrлов равна ... .
3. Может ли один из смежных уrлов быть прямым, а дpy
rой острым?
4. Найдите все неразвёрнутые уrлы, образовавшиеся при
пересечении двух прямых, если один из них на 20°
больше друrоrо.
зз
5. Биссектриса уrла, смежноrо с уrлом в 100°, делит ero на
два уrла, каждый из которых равен ... .
6. Может ли разность rрадусных мер двух смежных уrлов
быть равна 170°?
7. Уrол АОС равен 40°. Луч ОВ расположен во внутренней
области этоrо уrла. Чему равен уrол между биссектри
сами уrлов АОВ и ВОС?
8. Можно ли отметить три точки А, В и С так, что
LABC == 90° и LACB == 90°?
MД 21) (:
ВАРИАНТ 1
1. Медианой треуrольника называется
2. Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС,
причём LBAC == LDAC и LBCA == LDCA. Каким при
знаком равенства треуrольников нужно воспользовать
ся, чтобы доказать равенство отрезков АВ и AD?
3. Отрезки АС и BD, не лежащие на одной прямой, пере
секаются в точке О, причём АО == ОС и ВО == OD. Каким
признаком равенства треуrольников нужно воспользо
ваться, чтобы доказать равенство отрезков АВ и CD?
4. Катет прямоуrольноrо треуrольника, лежащий против
уrла в 30°, равен ... rипотенузы.
5. rипотенузы АВ и А 1 В 1 прямоуrольных треуrольников
АВС и А 1 В 1 С 1 равны, LA == 25° и LB 1 == 65°. Сравните
отрезки АС и А 1 С 1 .
6. Дан треуrольник АВС, в котором АВ == 14 см и
АС == 15 см. Сравните уrлы В и С.
7. В треуrольнике АВС уrлы А и В равны 20° и 80°. Внеш
ний уrол треуrольника с вершиной С равен ... .
8. Две стороны треуrольника равны 1,9 см и 0,8 см. Най
дите третью сторону, если ее длина выражается целым
числом сантиметров.
34
MД..21 ; .
ВАРИАНТ 2
1. Высотой треуrольника называется
2. Точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС,
причём АВ == AD и L-BAC == L-DAC. Каким признаком
равенства треуrольников нужно воспользоваться, чтобы
доказать равенство отрезков ВС и CD?
3. Отрезки АС и BD, не лежащие на одной прямой, пере
секаются в точке О, причём ВО == OD и L-ABO == L-CDO.
Каким признаком равенства треуrольников нужно BOC
пользоваться, чтобы доказать равенство отрезков АВ
и CD?
4. Катет прямоуrольноrо треуrольника равен половине
rипотенузы. Уrол, лежащий против этоrо катета, pa
вен ... .
5. rипотенузы АВ и А 1 В 1 прямоуrольных треуrольников
АВС и А 1 В 1 С 1 равны, L-A == 40° и L-B 1 == 50°. Сравните
отрезки АС и А 1 С 1 .
6. Дан треуrольник АВС, в котором L-A == 42° и L-B == 43°.
Сравните стороны АС и ВС.
7. В равнобедренном треуrольнике АВС уrол при основа
н:ии ВС равен 25°. Уrол при вершине А равен ... .
8. Две стороны треуrольника равны 1,1 см и 0,8 см. Най
дите третью сторону, если ее длина выражается целым
числом сантиметров.
мд..зl :'
ВАРИАНТ 1
1. Диаметром окружности называется
2. Диаметр окружности равен 19 см, расстояние от её цeH
тра до прямой равно 9 см. Пересекает ли эта прямая
окружность?
3. Расстояние от точки О ДО прямой а равно 14 см. Каким
должен быть радиус окружности с центром О, чтобы
она касалась прямой а?
4. Прямая а касается окружности в точке А. Проходит ли
через центр окружности прямая, проходящая через точ
ку А и перпендику лярная к прямой а?
35
5. Точки А, В и С лежат на окружности. Биссектриса
уrла АВС пересекает эту окружность в точке D. CpaB
ните уrлы ABD и CAD.
6. Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки по
стройте ero середину.
7. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедрен
ный треуrольник по ero боковой стороне и уrлу при Bep
шине.
8. Даны прямая и две точки А и В. Постройте с помощью
циркуля и линейки на данной прямой точку, paBHoyдa
лённую от точек А и В.
1 , "' , '"
мд 3 ",»,
.. -Ч:. о :>,-
:,
xJ::.:>
ВАРИАНТ 2
1. Окружностью называется
2. Диаметр окружности равен 21 см, расстояние от её цeH
тра до прямой равно 11 см. Пересекает ли эта прямая
окружность?
3. Расстояние от точки О ДО прямой а равно 10 см. Каким
должен быть радиус окружности с центром О, чтобы
она касалась прямой а?
4. Прямая АВ касается окружности в точке А, OTpe
зок АС диаметр окружности. Чему равен уrол ВАС?
5. Точки А, В и С лежат на окружности. Биссектриса
уrла АВС пересекает эту окружность в точке D. CpaB
ните уrлы ACD и CAD.
6. Начертите уrол и с помощью циркуля и линейки по
стройте ero биссектрису.
7. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедрен
ный треуrольник по основанию и уrлу при основании.
8. Даны окружность и две точки А и В. Постройте с помо
щью циркуля И линейки на данной окружности точку,
равноудалённую от точек А и В.
36
+ \\
;n y з ачи
Начальные понятия rеометрии
1. Внутри уrла ВАС, paBHoro 1100, проведён луч AD.
Найдите уrол BAD, если известно, что он в четыре
раза меньше уrла CAD.
2. Внутри уrла ВАС, paBHoro 500, проведён луч AD. Най
дите уrол между биссектрисами уrлов BAD и CAD.
3. Лучи АВ и CD имеют общую точку, лучи CD и EF
тоже имеют общую точку. Имеют ли лучи АВ и EF
общую точку? Для каждоrо возможноrо случая cдe
лайте рисунок.
Смежные и вертикальные уrлы
4. Один из смежных уrлов в восемь раз меньше друrоrо.
Найдите эти уrлы.
5. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных уrлов
лежат на одной прямой.
6. Уrлы АВС и ABD смежные. Луч ВО биссектриса
уrла АВС. Найдите уrол OBD, если L-ABD == 800.
7. Уrлы АВС и CBD смежные. Луч ВО биссектриса
уrла CBD, а луч ВС биссектриса уrла АВО. Найдите
уrол АВС.
Равнобедренный треуrольник
8. В равнобедренном треуrольнике АВС с основанием АС
биссектрисы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке о. ДOKa
жите, что треуrольник АОС равнобедренный.
9. Внешние уrлы треуrольника АВС с вершинами А и С
равны. Найдите медиану ВМ, если периметры Tpe
уrольников АВС и АВМ равны 6 см и 5 см.
10. На сторон.е АВ треуrольника АВС, в котором L-A == 300
и L-C == 500, отмечена точка D так, что L-BCD == 200.
Сравните отрезки AD и CD.
37
Признаки равенства треуrольников
11. Уrлы АВС и DAB на рисунке
равны, отрезки АО и ОВ также
равны. Докажите, что LBCA ==
== LADB.
12. В равнобедренном треуrольнике
АВС с основанием АС проведе
на высота BD и на сторонах АВ
и ВС отмечены точки Е и F так,
что LBDE == LBDF. Докажите, А В
что АЕ == CF.
13. На сторонах АВ и ВС треуrольника АВС отмечены
точки С 1 и А 1 . Отрезки АА 1 и СС 1 пересекаются в точ
ке о. Известно, что LACC 1 == LCAA 1 И ОА 1 == ОС 1 . Дo
кажите, что ВА 1 == ВС 1 .
Прямоуrольные треуrольники
14. Отрезок АВ пересекает прямую а в точке М. Известно,
что АМ == ВМ. Докажите, что точки А и В находятся
на одинаковом расстоянии от прямой а.
15. Отрезок АВ пересекает прямую а в точке М. Известно,
что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии
от прямой а. Докажите, что АМ == ВМ.
16. Из точек М и N середин боковых сторон АВ и ВС
равнобедренноrо треуrольника АВС проведены пер
пендикуляры МЕ и NF к прямой АС. Докажите, что
LAME == LCNF.
17. В равнобедренном треуrольнике АВС уrол В тупой,
высота ВН равна 1 см. Найдите пери метр треуrольни
ка АВС, если периметр треуrольника АВН равен 6 см.
18. На отрезке AD отмечены точки В и С так, что точка В
лежит между А и С. Точки F и G середины отрезков
АВ и CD, точка Е не лежит на прямой AD. Известно,
что EF == Еа == 9 см, AD == 13 см и ВС == 5 см. Найдите
уrол FEG.
19. Высота прямоуrольноrо треуrольника, проведённая из
вершины прямоrо уrла, делит rипотенузу на отрезки
длиной 1 см и 3 см. Найдите острые уrлы этоrо Tpe
уrольника.
38
Сумма yrпoB треуrопьника
20. На стороне АВ треуrольника АВС, в котором LA == 60°
и LB == 20°, отмечена точка D так, что LACD == 70°.
Найдите уrлы треуrольника BCD.
21. В равнобедренном треуrольнике уrол при основании
на 24° меньше одноrо из друrих уrлов. Найдите уrлы
этоrо треуrольника.
22. В тупоуrольном равнобедренном треуrольнике один из
уrлов в четыре раза больше друrоrо. Найдите уrлы это
ro треуrольника.
23. Внутри треуrольника АВС отмечена точка Р. Прямые
АР и СР пересекают стороны ВС и АВ в точках D и Е
соответственно. Известно, что LB == 80°, LADC == 100°
и LAEC == 110°. Найдите уrол АРС.
Соотношения между сторонами
и уrпами треуrопьника
24. На стороне ВС треуrольника АВС с прямым уrлом С
отмечена точка D. Докажите, что AD < АВ.
25. На стороне ВС треуrольника АВС с тупым уrлом С
отмечена точка D. Докажите, что AD < АВ.
26. Периметр равнобедренноrо треуrольника равен 12 см,
а одна из ero сторон больше друrой на 3 см. Найдите
стороны этоrо треуrольника.
27. Периметр равнобедренноrо треуrольника равен 21 см,
а одна из ero сторон больше друrой на 6 см. Найдите
стороны этоrо треуrольника.
28. Одна из сторон тупоуrольноrо равнобедренноrо Tpe
уrольника больше друrой на 8 см, а ero периметр pa
вен 38 см. Найдите стороны этоrо треуrольника.
Окружность
29. В окружности проведены диаметр АВ и хорда АС, paB
ная радиусу. Найдите уrол АВС.
30. Серединный перпендикуляр к радиусу ОА окружности
пересекает её в точках В и С. Найдите уrлы треуrоль
ника ОАВ.
39
31. В окружности с центром О проведены радиусы ОА,
ОВ и ОС так, что LAOB == LBOC. Докажите, что
LOAB == LOCB.
32. На окружности с диаметром АВ отмечена точка С так,
что LCAB == 400. Найдите уrол АВС.
33. В окружности с центром О проведены радиусы ОА, ОВ
и ОС так, что ОВ ..1 АС и отрезки ОВ и АС пересекают
ся. Докажите, что АВ == ВС.
34. На прямой, касающейся в точке А окружности с цeH
тром О, отмечена точка В, и из точки А проведён пер
пендикуляр АН к прямой ОВ. Найдите уrол АВО,
если ВН == 3 см и НО == 1 см.
Построения
35. Постройте треуrольник по высоте и двум отрезкам, на
которые эта высота делит сторону треуrольника.
36. Постройте прямоуrольный треуrольник по катету
и прилежащему к нему острому уrлу.
37. Постройте равнобедренный треуrольник по основанию
и сумме боковых сторон.
38. Постройте прямоуrольный треуrольник с уrлом в 300
по rипотенузе.
39. Постройте прямоуrольный треуrольник, у KOToporo
один катет равен данному отрезку, а друrой катет в два
раза меньше rипотенузы.
40. Постройте прямоуrольный треуrольник по катету
и противолежащему ему острому уrлу.
41. Постройте равнобедренный прямоуrольный треуrоль
ник по rипотенузе.
42. Постройте прямоуrольный треуrольник по острому
уrлу и высоте, проведённой из вершины прямоrо уrла.
40
* ?
..,,"....' .,eCTOBble
(:,,:':;'{ ;:,\\<' . а '"
i:: . ,&,j ,; <, aAa Н И Я
...;.....06 :$. '.
'\
\
\
\
1. Внутри уrла АОВ проведены лучи ОС и OD. Сколько
уrлов изображено на полученном рисунке?
А. Три.
Б. Четыре.
В. Пять.
r. Шесть.
2. Через одну точку проведены три прямые. Сколько при
этом образовалось неразвёрнутых уrлов?
А. Шесть.
Б. Девять.
В. Двенадцать.
r. Пятнадцать.
3. Отрезок а в полтора раза больше отрезка Ь. Во сколько
раз отрезок 2а + 3Ь больше отрезка а + Ь?
А. В 2 раза.
Б. В 2,4 раза.
В. В 2,5 раза.
r. В 3 раза.
4. На рисунке отрезки АВ и CD равны, отрезки АС и BD
также равны. Какой признак равенства треуrольни
ков позволяет доказать равенство треуrольников АВС
и DCB?
D
А. Первый признак.
Б. Второй признак.
В. Третий признак.
r. Ни один признак не применим.
41
5. На рисунке уrлы BAD и CDA равны, уrлы BDA и CAD
также равны. Какой признак равенства треуrольников
позволяет доказать равенство треуrольников ABD и DCA?
в D
с
А
А. Первый признак.
Б. Второй признак.
В. Третий признак.
r. Ни один признак не применим.
6. На рисунке отрезки АС и BD равны, уrлы АСВ и DBC
также равны. Какой признак равенства треуrольников
позволяет доказать равенство треуrольников АВС и DCB?
в D
А
А. Первый признак.
Б. Второй признак.
В. Третий признак.
r. Ни один признак не применим.
7. Определите вид треуrольника, две высоты KOToporo COB
падают с ero сторонами.
А. П рямоуrольный треуrольник.
Б. Остроуrольный треуrольник.
В. Тупоуrольный треуrольник.
r. TaKoro треуrольника не существует.
8. Определите вид треуrольника, две высоты KOToporo ле
жат вне треуrольника.
А. Прямоуrольный треуrольник.
Б. Остроуrольный треуrольник.
В. Тупоуrольный треуrольник.
r. TaKoro треуrольника не существует.
42
9. Высота, проведённая из вершины А треуrольника
АВС, лежит вне треуrольника. Какое из следующих
утверждений верно?
А. Уrол А или уrол С тупой.
Б. Уrол А тупой.
В. Уrол В или уrол С тупой.
r. Уrол А или уrол В тупой.
10. Высота, проведённая из вершины А треуrольника
АВС, лежит внутри треуrольника. Какое из следую
щих утверждений верно?
А. Уrлы А и С острые.
Б. Уrлы В и С острые.
В. Уrол А острый.
r. Уrлы А и В острые.
11. В треуrольнике АВС проведены медиана АМ и высота
СН. Чему равен отрезок Н М, если ВС == 20 см?
А. 10 см.
Б. 40 см.
В. 20 см.
r. 30 см.
12. В треуrольнике АВС из вершины прямоrо уrла про
ведена высота СН. Чему равна rипотенуза АВ, если
ВС = 8 см и ВН = 4 см?
А. 32 см.
Б. 8 см.
В. 16 см.
r. 12 см.
13. В равнобедренном треуrольнике АВС с основанием АС
уrол В равен 200. Чему равен внешний уrол при Bep
шине А?
А. 1000.
Б. 1200.
В. 800.
r. 1100.
43
14. В равнобедренном треуrольнике АВС с уrлом 72° при
основании АС проведена биссектриса AD. Сравните OT
резки AD и BD.
А. AD > BD.
Б. AD == BD.
В. AD < BD.
r. Возможны разные варианты.
15. В равнобедренном треуrольнике АВС с уrлом В, paB
ным 120°, проведены высоты ВМ и АН. Их продол
женин пересекаютсн в точке о. Чему равен уrол АОВ?
А. 25°.
Б. 40°.
В. 35°.
r. 30°.
опо нитelьные
зада*tи /
rлава 1
1.. Сколько точек пересечения MorYT иметь три прямые,
каждые две из которых пересекаются?
2. Сколько точек пересечения MorYT иметь четыре пря
мые, каждые две из которых пересекаются?
3. Сколько точек пересечения MorYT иметь пять прямых,
каждые две из которых пересекаются?
4. Даны три точки. Сколько может получиться прямых,
если через каждые две точки провести прямую? Pac
смотрите все возможные случаи.
5. Даны четыре точки. Сколько может получиться пря
мых, если через каждые две точки провести прямую?
Рассмотрите все возможные случаи.
6. Даны пять точек. Сколько может получиться прямых,
если через каждые две точки провести прямую? Pac
смотрите все возможные случаи.
7. Проведите на рисунке три прямые так, чтобы они OTдe
лили коз от капусты.
. .. ':
,}J
'" ,";:
.
. . ':
v.
.
..
. 1'.
:{I , f ,
\))
J'f:'
... .. . . . . .......'
. ,
I-
'
t:. , ,}
i J'f:'
'1'. ' - . iC
.. I ; -V 1
i/( ,)) , -
.. 'F I,i. >r;::
. t:.
. '<
.. \
45
8. На прямой отмечены п точек. Сколько получилось
отрезков с концами в этих точках?
9. На прямолинейной дороrе из избы А в избу В располо
жены избы С и D. В какой точке дороrи нужно постро
ить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до
всех четырёх изб была бы наименьшей?
10. На прямой отмечены 10 точек. Докажите, что сумма
длин всех отрезков с концами в отмеченных точках
больше 8 см, если длина наибольшеrо из них равна
1 см.
11. В деревне А живёт 50 школьников а в деревне В жи
вёт 100 школьников. Расстояние между деревнями
равно 3 км. В какой точке дороrи из\А в В нужно по
строить школу, чтобы суммарное расстояние, проходи
мое всеми школьниками, было как можно меньше?
12. На сколько частей MorYT делить плоскость 4 прямые,
каждые две из которых пересекаются?
13. На сколько частей MorYT делить плоскость 5 прямых,
каждые две из которых пересекаются?
rлава 2
14. На стороне ВС треуrольника АВС отмечена точка М
так, что ВМ == АВ. Найдите разность уrлов ВАМ и
САМ, если L-ACB == 35°.
15. Биссектриса АК треуrольника АВС перпендикулярна
к ero медиане ВМ. Найдите АС, если АВ == 1 см.
16. Может ли сумма любых двух уrлов треуrольника быть
больше 120°?
17. В равнобедренном треуrольнике АВС уrол при OCHOBa
нии АС равен 75°. Докажите, что высота АН вдвое
меньше боковой стороны.
18. В треуrольнике АВС проведены высоты АА 1 и ВВ 1 .
Докажите, что середина стороны АВ равноудалена от
точек А 1 и В 1 .
19. В треуrольнике АВС уrол А равен 120°. Докажите, что
существует треуrольник, стороны KOToporo равны АС,
ВС и АВ + АС.
20. В треуrольнике АВС с уrлом А, равным 120°, прове
дены биссектрисы АА 1 , ВВ 1 и СС 1 . Докажите, что
L-B 1 A 1 C 1 == 90°.
46
21.
22.
23.
24.
в треуrольнике АВС, в котором LA == 360 и LB == 1080,
проведены биссектрисы АА 1 и ВВ 1 . Докажите, что
АА 1 == 2ВВ 1 .
Найдите ошибку в решении следующей задачи. « Через
вершину А равнобедренноrо треуrольника АВС прове
дён луч, пересекающий ero основание ВС, и на этом
луче отмечена точка D, для которой LABD == LACD.
Обязательно ли точка D равноудалена.ОТ точек В и С?»
«Решение». Треуrольник АВС равнобедренный с OCHO
ванием ВС, поэтому LABC == LACB. Следовательно,
учитывая, что LABD == LACD по условию, получаем,
что LCBD == LBCD, т. е. в треуrольнике DBC уrлы В
и С равны. Поэтому этот треуrольник равнобедрен
ный и BD == DC, т. е. точка D равноудалена от точек
В и С.
Найдите ошибку в следующем
рассуждении:
«Докажем, что если АВ == А 1 В 1 ,
ВС == В 1 С 1 И LA == LA 1 , то Tpe
уrольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.
Приложим треуrольники АВС и
А 1 В 1 С 1 друr к друrу так, чтобы в
их равные стороны ВС и В 1 С 1 co
вместились, причём точка В COB
пала с точкой В 1 , а точка С
с точкой С 1 , И точки А и А 1 оказа
лись бы по разные стороны от
прямой ВС. Треуrольник АВА 1
равнобедренный, поэтому LBAA 1 ==
== LBA 1 A. Из равенства уrлов А и А 1 следует, что
LCAA 1 == LCA 1 A. Поэтому треуrольник АСА 1 paBHO
бедренный и АС == А 1 С. Таким образом, COOTBeTCTBeH
ные стороны треуrольников АВС и А 1 В 1 С 1 равны, по
этому эти треуrольники равны » .
А
с
А 1
Найдите ошибку в следующем рассуждении:
«Докажем, что сумма уrлов треуrольника равна 1800.
Искомую сумму уrлов обозначим буквой х. Разо
бьём треуrольник АВС на два треуrольника отрез
ком AD. Сложим равенства LACD + LCAD + LADC == х
и LABD + LBAD + LADB == х. Учитывая, что LADC +
+ LADB == 1800 и LCAD + LBAD == LA, получаем:
LA + LB + LC + 1800 = 2х. Таким образом, х + 1800 == 2х,
т. е. х = 1800».
47
25. Равнобедренный треуrольник АВС разбит отрезком
AD на два равнобедренных треуrольника ACD и ABD.
Найдите yr лы треуrольника АВС.
rлава 3
26. Точка D лежит на биссектрисе уrла А. Две окружно
сти, проходящие через точки А и D, пересекают одну
сторону этоrо уrла в точках В 1 и В 2 , а друrую в точ
ках С 1 и С 2 . Докажите, что В 1 В 2 == С 1 С 2 .
27. На какое наибольшее число частей MorYT разделить
плоскость три окружности?
28. На какое наибольшее число частей MorYT разделить
плоскость четыре окружности?
29. Нарисована окружность, но её центр не отмечен. С по
мощью одноrо лишь чертёжноrо уrольника постройте
центр этой окружности.
30. На одной стороне уrла с вершиной А отмечена точка В.
С помощью циркуля и линейки постройте на друrой
стороне данноrо уrла точку С так, что L-ABC == 3L-ACB.
31. Задача Архимеда. На окружности отмечены точки А,
В, С и Е, причём точка Е середина дуrи АВ, а точки
В и С лежат по разные стороны от прямой АЕ. Из точ
ки Е проведён перпендикуляр EF к прямой ВС. ДOKa
жите, что АС + CF == BF.
Е
А
48
!
TBeT 1 "-
и указания
Самостоятельные работы
С..1 ,::
Вар. 1. 1. Да. 2. 4. 3. В разных.
Вар. 2. 1. Да. 2. 4. 3. В одной.
Вар. 3. 1. Да, MorYT (рис. 1). 2. 10. 3. ТОЧКУ Х можно
()'('метить в любой из заштрихованных областей (рис. 2).
[p
l Рис. 2 J
Вар. 4. 1. Да, MorYT (рис. 3). 2. 6. 3. ТОЧКУ У нужно
отметить в заштрихованной области (рис. 4).
/ // / //
// / .-
/ ' ,/ /' /
/ / ../" / / / /
.. / /// ..
! : :
. .У
l Рис. зJ
lРис. 4 J
49
c..21 : :.
Вар. 1. 1. 12 см и 6 см. 2. 5 см. 3. 120° и 60°.
Вар. 2. 1. 2 см и 6 см. 2. 5 см. 3. 120° и 60°.
Вар. 3. 1. 4 см и 7 см. 2. 8 см. 3. 60° и 30°.
Вар. 4. 1. 5 см и 3 см. 2. 10 см. 3. 60° и 30°.
с..зl, >
Вар. 1. 1. 100° и 80°. 2. 20°.
3. Да.
Вар. 2. 1. 135° и 45°. 2. 10°.
3. Да.
Вар. 3. 1. 110°,70°,110° и 70°.
2. 70°. 3. 180°.
Вар. 4. 1. 84° и 96°. 2. 1 70° .
3. Да. Указание. Один из уrлов
может быть острым, а друrой TY
пым (рис. 5).
С..4 f '
в
А
D
l Рис. 5 J
Вар. 1. 1. У к а з а н и е. Разность пери метров двух pac
сматриваемых треуrольников равна разности длин двух
сторон исходноrо треуrольника. 3. Нет. У к а з а н и е. У rол
между биссектрисой и медианой, проведёнными из одной
вершины, меньше половины уrла треуrольника с этой Bep
шиной и, следовательно, меньше 90°.
Вар. 2. 1. У к а з а н и е. В треуrольниках АСВ и ADB
провести медианы к стороне АВ. 3. Нет. У к а з а н и е.
Уrол, образованный стороной уrла и биссектрисой этоrо
уrла, меньше 90°.
Вар. 3. 1. Нет. У к а з а н и е. Предположим, что Me
диана АМ и высота АН перпендикулярны. Тоrда МА
и МН два перпендикуляра, проведённые из точки М
к прямой АН. 2. Указание. Воспользоваться идеей дo
казательства теоремы об уrлах равнобедренноrо треуrоль
ника. 3. 7 см или 3 см. У к а з а н и е. Доказать, что Tpe
уrольники ABD и СВЕ равнобедренные.
Вар. 4. 1. Нет. У к а з а н и е. Предположим, что бис
сектриса AD и высота АН перпендикулярны. Тоrда DA
50
11 DH два перпендикуляра, проведённые из точки D
IC прямой АН. 2. У к а з а н и е. Воспользоваться идеей дo
Iсазательства теоремы об уrлах равнобедренноrо треуrоль
Ilика. 3. 10 см или 4 см. У к а з а н и е. Доказать, что Tpe
уrольники ABD и СВЕ равнобедренные.
C 51 ):
Вар. 1. 1. Треуrольники АОС и BOD равны по первому
lIризнаку, поэтому АС == BD. 2. Треуrольники АМС и DMB
равны по первому признаку, поэтому АС == BD. 3. Tpe
уrольники АР В и АРС равны по второму признаку , поэтому
АВ == АС.
Вар. 2. 1. Треуrольники АОС и BOD равны по первому
IIризнаку, поэтому LACO == LBDO. 2. Треуrольники АМВ
и DMC равны по первому признаку, поэтому АВ == CD.
:-J. Треуrольники АР В и АРС равны по второму признаку ,
IIОЭТОМУ АВ == АС.
Вар. 3. 1. Треуrольники AOD и СОВ равны по первому
признаку, поэтому AD == ВС. 2. Нет. Реш е н и е. Предпо
.ложим, что АС == AD и ВС == BD. Тоrда треуrольники АВС
и ABD равны по третьему признаку . Поэтому луч АС COB
падает с лучом AD, а луч ВС совпадает с лучом BD. Следо
вательно, точки С и D совпадают, что противоречит усло
вию. 3. У к а з а н и е. Треуrольники АВВ 1 и ВАА 1 равны по
первому признаку .
Вар. 4. 1. Треуrольники OAD и ОСВ равны по перво
му признаку, поэтому LOAD == LOCB. 2. Нет. Реш е н и е.
Предположим, что LCAB == LDAB и LCBA == LDBA. Тоrда
луч АС совпадает с лучом AD, а луч ВС совпадает с лу
чом BD. Следовательно, точки С и D совпадают, что про
тиворечит условию. 3. У к а з а н и е. Треуrольники АВ 1 В
и ВА 1 А равны по первому признаку.
C 6I i
Вар. 1. 1. 8 см. 2. б см. Указание. АМ == ВМ, по
этому периметр треуrольника АВМ равен БАВ. 3. Да.
У к а з а н и е. Провести медиану прямоуrольноrо треуrоль
ника.
Вар. 2. 1. 10 см. 2. 4 см. Указание. АМ==ВМ, по
этому периметр треуrольника АВМ равен 7 АВ. 3. У к a
51
з а н и е. Пусть L-BCK == а. Тоrда L-ACK == 90° а, L-B == а,
L-A == 90° а, поэтому треуrольник КАС равнобедренный
и КА == КС == КВ.
Вар. 3. 1. 3 см. 2. У к а з а н и е. Проведём перпенди
куляр РН к прямой АС. В прямоуrольном треуrольни
1
ке АРН уrол АРН равен 30°, поэтому АН == АР == AQ.
2
3. У к а з а н и е. Отметим на катете С 1 В 1 точку В 2 так,
что С 1 В 2 == СВ. Тоrда А 1 В 2 == АВ. Отметив на луче А 1 В 1 Ta
кую точку D, что A 1 D == А 1 В 2 , получим равнобедренный
треуrольник A 1 B 2 D. Уrол A 1 B 2 D при основании этоrо Tpe
уrольника острый, а уrол А 1 В 2 В 1 тупой, поэтому точка D
лежит на отрезке А 1 В 1 . Следовательно, А 1 В 2 < А 1 В 1 .
Вар. 4. 1. 4 см. 2. 90°, 60° и 30°. 3. У к а з а н и е. OTMe
тить на катетах А 1 С 1 и B 1 C 1 точки А 2 И В 2 так, что
С 1 А 2 == СА и С 1 В 2 == СВ, И доказать, что А 2 В 2 < А 1 В 2 < А 1 В 1 .
С..71 ,,:
Вар. 1. 1.30°,45° и 105°. 2. Нет. Указание. Если
АВ ВС и АС > 2АВ, то АС > АВ + ВС, что противоречит
неравенству треуrольника. 3. L-ADC == 2L-ABC. У к а з а н и е.
У rол ADC внешний уrол равнобедренноrо треуrольни
ка BDC.
Вар. 2. 1. 36°, 48° и 96°. 2. Да. У к а з а н и е. Рассмотреть
прямоуrольный треуrольник, в котором один катет в три
1
раза больше друrоrо. 3. L-ADC == L-ABC. У к а з а н и е.
2
Уrол АВС внешний уrол равнобедренноrо треуrольни
ка CBD.
Вар. 3. 1. Нет. У к а з а н и е. Сумма уrлов треуrоль
ника не больше YTpoeHHoro наибольшеrо уrла. 2. Нет.
У к а з а н и е. Уrол CBD тупой, поэтому он наибольший
уrол треуrольника CBD. 3. L-A == 72°, L-B == 36°, L-C == 72°.
У к а з а н и е. Пусть L-CAD == а. Тоrда L-ACD == L-ADC ==
== L-BAD + L-ABD == 2а.
Вар. 4. 1. Нет. У к а з а н и е. Сумма уrлов треуrоль
ника не меньше YTpoeHHoro наименьшеrо уrла. 2. Да.
У к а з а н и е. Провести высоту CD треуrольника АВС.
3. 5 см. У к а 3 а н и е. В соответствии с неравенством Tpe
уrольника длина третьей стороны в сантиметрах больше 4
и меньше 6.
52
c 81 :\
Вар. 1. 1. 120°. 2. 20)°. У к а з а н и е. Уrол между Kaca
тельной (стороной уrла) ]и хордой, соединяющей точки Ka
сания окружности со С1торонами уrла, равен 1600 = 80°.
2
3. У к а з а н и е. Бокова.f.Я сторона и середина основания
равнобедренноrо треуrОJльника являются соответственно
rипотенузой и вершино)Й прямоrо уrла прямоуrольноrо
треуrольника.
Вар. 2. 1.60°. 2.15.0° и 2100. Указание. Уrол
между касательной (сто роной уrла) и хордой, соединяю
щей точки касания окр)ужности со сторонами уrла, равен
1800 300
== 75°. 3. У к alз а н и е. Пусть окружность, диа
2
метром которой служит сторона АВ треуrольника АВС,
проходит через середину' М стороны АС. Тоrда ВМ cepe
динный перпендикуляр к отрезку АС.
Вар. 3. 1. 5 см. 2. 6,0°. У к а з а н и е. Сначала ДOKa
зать, что треуrОЛЬНИКId OBL и ОАК равносторонние.
3. 10 см.
Вар. 4. 1. 5 см. 2. LAOK == 2LB. У к а з а н и е. Bыpa
зить уrлы В и АОК через уrол А. 3. Указание. Уrлы
ВАС и BAD опираются на дуrи, rрадусные меры которых
либо равны, либо состанЛЯЮТ в сумме 3600.
C 9* t
Вар. 1. 1. У к а з а н и е. Рассмотреть прямоуrольный Tpe
уrольник, вершинами KOToporo являются общий центр
окружностей, середина хорды и один из концов хорды.
2. Указание. Прямоуrольные треуrольники APD и AQD
равны по rипотенузе и ()строму уrлу. 3. У к а з а н и е. Точ
ки Р И Q лежат на окру%ности с диаметром АМ.
b a
Вар. 2. 1. . У к !. З а н и е. Пусть Р точка пересе
2
чения хорд, Н основвние прерпендикуляра, проведённо
.... Т Р а+Ь
ro из точки О к одн()и из хорд. оrда Н + а == .
2
2. Указание. Прямоyrольные треуrольники APD и AQD
равны по rипотенузе и JCTPOMY уrлу. 3. Указание. Точ
ки р И Q лежат на окружности с диаметром АМ.
53
Вар. 3. 1. У к а з а н и е. Центры окружностей лежат на
серединном перпендикуляре к их общей хорде. 2. У к а з a
ние. МВ == МА == МС. 3. Указание. Доказать равенство
уrлов МВС и МСВ.
Вар. 4. 1. У к а з а н и е. Прямые МВ и NB перпендику
ляры к прямой АВ. 2. У к а з а н и е. Рассмотреть точку О,
в которой первая прямая пересекает прямую ВС, и ДOKa
зать, что ОВ == ОА == ос. 3. У к а з а н и е. Доказать paBeH
ство уrлов EAD и EDA.
I!] C 10 II '
Вар. 1. 2. У к а з а н и е. Сначала построить биссектрису
данноrо уrла. 3. У к а з а н и е. Сначала построить окруж
ность, диаметр которой равен данной rипотенузе. Затем на
диаметре от ero конца отложить отрезок, равный данной
проекции катета на rипотенузу, и через конец отрезка про
вести прямую, перпендикулярную к диаметру. Вершина
прямоrо уrла искомоrо треуrольника это одна из точек
пересечения построенных окружности и прямой.
Вар. 2. 2. У к а з а н и е. Сначала построить серединный
перпендикуляр к данному основанию. 3. У к а з а н и е.
Сначала построить биссектрису данноrо уrла, а затем
прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную
к биссектрисе.
Вар. 3. 1. У к а з а н и е. Сначала построить уrол в 60°
и на ero биссектрисе отложить от вершины отрезок, paB
ный данной высоте. 2. У к а з а н и е. Если высота, прове
дённая к одной из сторон, равна друrой стороне, то иско
мый треуrольник прямоуrольный, причём ero катеты
равны данным сторонам. Если же высота меньше друrой
стороны, то сначала построить прямоуrольный треуrоль
ник, катет KOToporo равен данной высоте, а rипотенуза
друrой стороне. 3. У к а з а н и е. Рассмотреть общие точки
данной окружности и окружности, диаметром которой слу
жит отрезок с концами в данных точках.
Вар. 4. 2. У к а з а н и е. Если биссектриса не равна BЫCO
те, то сначала построить прямоуrольный треуrольник, rи
потенуза KOToporo равна данной биссектрисе, а один из Ka
тетов данной высоте. 3. У к а з а н и е. Центром искомой
окружности является точка пересечения биссектрисы дaH
Horo уrла и прямой, проходящей через данную точку пер
пендикулярно к стороне уrла, на которой лежит эта точка.
54
C 11* 1+
Вар. 1. 1. У к а 3 а н и е. Провести прямую через точ
({,у А и середину отрезка ВС. 2. У к а з а н и е. Сначала
построить точку D на данной окружности так, чтобы дли
на отрезка AD равнялась диаметру данной окружности,
и провести диаметр BD. 3. У к а з а н и е. Сначала постро
ить окружность С центром А и радиусом АВ, а затем
окружность с центром В и радиусом ВА.
Вар. 2. 1. У к а з а н и е. Сначала провести перпендику
ляр из данной точки к данной прямой, а затем построить
прямоуrольный треуrольник по катету и противолежаще
му острому уrлу. 2. У к а з а н и е. Сначала построить пря
моуrольный треуrольник, катеты KOToporo равны данным
отрезкам, а затем серединный перпендикуляр к ero
rипотенузе. 3. У к а з а н и е. Построить окружности с цeH
тром А и радиусом АВ и с центром В и радиусом ВА.
Вар. 3. 1. У к а з а н и е. Если высота равна одной из дaH
ных сторон, то искомый треуrольник прямоуrольный, при
чём у Hero известны катет и rипотенуза. Если же высота не
равна ни одной из данных сторон, то построить два прямо
уrольных треуrольника, у которых общий катет равен дaH
ной высоте, а rипотенузы данным сторонам. 2. У к а з a
90° + а 90° а
ние. Если LA LB == <х, то LA == и LB == .
2 2
3. У к а з а н и е. Построить окружность с центром В и pa
диусом ВА и затем отложить на ней последовательно от
точки А три дуrи в 60°.
Вар. 4. 1. У к а з а н и е. Сначала построить два прямо
уrольных треуrольника, у каждоrо из которых острый
уrол равен данному уrлу, а лежащий против этоrо уrла
катет равен одной из данных высот. 2. У к а з а н и е. CHa
чала построить треуrольник ABD, в котором сторона АВ
равна rипотенузе, сторона BD равна разности катетов и
LD == 135°. 3. У к а з а н и е. Построить окружность с цeH
тром А и радиусом АВ и затем отложить на ней последова
тельно от точки В три дуrи в 60°.
C 121 :
Вар. 1. 1. 130°,50°,130°,50°.2. АС> ВС. Указание.
Пусть D точка пересечения отрезка АС и серединноrо
перпендикуляра. Доказать, что LABC> LABD == LBAC.
55
3. У к а з а н и е. Провести из точки О перпендикуляры ОК
и ON к хордам и доказать, что прямоуrольные треуrольни
ки ОКМ и ONM равны.
Вар. 2. 1.1100,700,1100,700.2. Указание. Пусть
высота АН треуrольника АВС разделяет ero на два Tpe
уrольника, периметры которых равны, и не является ero
медианой. Тоrда ВН > СН или ВН < СН. Пусть ВН> СН.
Отметим на отрезке ВН точку С 1 так, что С 1 Н == СН. Тоrда
ВА + ВН == ВА + ВС 1 + С 1 Н > АС 1 + С 1 Н == АС + СН, поэто
му периметр треуrольника АВН больше периметра Tpe
уrольника АСН. Приходим к противоречию. Случай, KO
rда ВН < СН, рассматривается аналоrично. 3. У к а з а н и е.
Вторая хорда лежит на серединном перпендикуляре к пер
вой хорде.
Вар. 3. 2. Нет. У к а з а н и е. Если бы пери метр был
равен 10 см, то стороны TaKoro треуrольника были бы
равны 4 см, 5 см и 1 см, что противоречит неравенству
треуrольника. 3. 3а. У к а з а н и е. Сначала доказать, что
LMN А == а, LBMN == 2а == LNBM.
Вар. 4. 2. Нет. У к а з а н и е. Если стороны треуrольни
а
ка равны а, Ь == 2а и с == , то а + с < Ь. 3. 3а. Указание.
2
Сначала доказать, что LBOC == а, LOBA == 2а == LOAB.
Контрольные работы
Вар. 1. 3. 450. 4. Одну, две или
три.
Вар. 2. 3. 600. 4. На шесть или
семь.
Вар. 3. 1. Нет. 2. 1, 1 см или
3,5 см. 3. Острый.
Вар. 4. 1. См. рис. 6. 2. Нет. l Рис. б J
3. Тупой.
К..l ' (:
К..21; '"
Вар. 1. 4. Да.
Вар. 2. 2. 600. 4. Да.
Вар. 3. 3. Нет. 4. Нет.
Вар. 4. 4. Нет.
56
" к зt '
Вар. 1. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку с KOH
I ами в данных точках. 2. 10 см.
Вар. 2. 1. Прямая, перпендикулярная к данной прямой
и проходящая через данную точку, из которой сама данная
r!'очка исключена. 2. 5 см.
Вар. 3. 1. Окружность с тем же центром, что и данная
окружность; радиус этой окружности равен rипотенузе
прямоуrольноrо треуrольника, один катет KOToporo равен
радиусу данной окружности, а друrой имеет заданную дли
ну. 2. 45° и 45°.
Вар. 4. 1. Окружность с тем же центром, что и данная
окружность; радиус этой окружности равен катету прямо
уrольноrо треуrольника, rипотенуза KOToporo равна ради
усу данной окружности, а длина BToporo катета равна по
.новине заданной длины. 2. 30° и 60°.
K 4r :'
Вар. 1. 1. 80°. 2. 60°. 3. 4 см.
Вар. 2. 1. 40°. 2. 45°. 3. 60°.
Вар. 3. 1. 9 см. 2. 10 см.
Вар. 4. 1. 150°. 2. 5 см. 3. 70°.
Математические диктанты
МД-l t
Вар. 1. 3. Нет. 4. 70°, 110°, 70°, 110°. 5. 50°. 6. Да.
7. 60°. 8. Нет.
Вар. 2. 2. 180°. 3. Нет. 4. 80°, 100°, 80°, 100°. 5. 40°.
6. Да. 7. 20°. 8. Нет.
МД..2j i',
Вар. 1. 2. Вторым. 3. Первым. 5. АС == А 1 С 1 . 6. LB > LC.
7. 100°.8. 2 см.
Вар. 2. 2. Первым. 3. Вторым. 5. АС == А 1 С 1 . 6. АС > ВС.
7. 130°. 8. 1 см.
57
мд зl ::.
Вар. 1. 2. Да. 3. 14 см. 4. Да. 5. L-ABD == L-CAD.
Вар. 2. 2. Нет. 3. 10 см. 4. 900. 5. L-ACD == L-CAD.
Примерные задачи к экзамену
1. 220. 2. 250. 3. MorYT иметь, а MorYT и не иметь.
4.200 и 1600.6.1300.7.600.9. 2 см. 10. AD==CD.
17. 10 см. 18. 600. У к а з а н и е. Доказать, что FG == 9 см.
19. 300 и 600. У к а з а н и е. Провести медиану из вершины
прямоrо уrла. 20. 200, 300 и 1300. 21. 520, 520 и 760.
22. 300, 300 и 1200. 23. 1300. 26. 5 см, 5 см и 2 см. У к a
з а н и е. Друrой формальный ответ 3 см, 3 см и 6 СМ проти
воречит неравенству треуrольника. 27. 9 см, 9 см и 3 см.
Указание. Друrой формальный ответ 5 см, 5 см и 11 см
противоречит неравенству треуrольника. 28. 10 см, 10 см
и 18 см. У к а з а н и е. В тупоуrольном равнобедренном Tpe
уrольнике основание больше боковой стороны. 29. 300.
30. 600, 600 и 600. 32. 500. 34. 300.
Тестовые задания
1. r. 2. В. 3. Б. 4. В. 5. Б. 6. А. 7. А. 8. В. 9. В.
10. Б. 11. А. 12. В. 13. А. 14. Б. 15. r.
Дополнительные задачи
1. Одну или три. 2. Одну, четыре или шесть. У к а з a
н и е. Либо все четыре прямые проходят через одну точку,
либо три прямые проходят через одну точку, а четвёртая
прямая пересекает их в трёх друrих точках, либо никакие
три прямые не проходят через одну точку. 3. Одну, пять,
шесть, восемь или десять. У к а з а н и е. Возможны следую
щие случаи: 1) все пять прямых проходят через одну точ
ку; 2) четыре прямые проходят через одну точку, а пятая
прямая не проходит через эту точку; 3) три прямые прохо
дят через одну точку, а две оставшиеся прямые через эту
точку не проходят, но точка пересечения этих двух пря
мых лежит на одной из трёх первых прямых; 4) три пря
мые проходят через одну точку, а две оставшиеся прямые
через эту точку не проходят, причем точка пересечения
этих двух прямых не лежит ни на одной из трёх первых
58
IIрЯМЫХ; 5) никакие три прямые не проходят через одну
'I'ОЧКУ. 4. Одну или три. 5. Одну, четыре или шесть. У к a
а а н и е. Либо все четыре точки лежат на одной прямой,
либо три точки лежат на одной прямой, а четвёртая точка
не лежит на этой прямой, либо никакие три точки не ле
жат на одной прямой. 6. Одну, пять, шесть, восемь или дe
сять. У к а з а н и е. Возможны следующие случаи: 1) все
пять точек лежат на одной прямой; 2) четыре точки лежат
на одной прямой, а пятая не лежит на этой прямой; 3) три
точки лежат на одной прямой, а две оставшиеся точки не
лежат на одной прямой, но задаваемая ими прямая прохо
дит через одну из трёх первых точек; 4) три точки лежат
на одной прямой, а две оставшиеся точки не лежат на oд
ной прямой, причём задаваемая ими прямая не проходит
ни через одну из трёх первых точек; 5) никакие три точки
не лежат на одной прямой. 7. См. рис. 7. 8. п(п 1) .
2
9. В любой точке между С и D. У к а з а н и е. Сумма pac
стояний до точек А и В одна и та же для всех точек отрез
ка АВ, а сумма расстояний до точек С и D равна CD дЛЯ TO
чек на отрезке CD и больше CD дЛЯ точек вне отрезка CD.
10. Указание. Пусть отмечены точки А 1 , ..., А 10 , при
чём точки А 2 , ..., Ag лежат между А 1 и А 10 . Сложить 8 pa
венств А 1 А 2 + А 2 А 10 == А 1 А 10 , ..., A 1 A g + AgAI0 == А 1 А 10 .
11. В деревне В. У к а з а н и е. Пусть расстояние от школы
до деревни В равно х км. Тоrда суммарное расстояние, про
j:
-v
J,
I-
...
, ,}-
,
.'. 1-. 1
1({ , .
'"
f.
.... ,
'!;
'"
l Рис. 7 J
.59
ходимое всеми школьниками от деревни до школы, равно
100х + 50 (3 х) == 150 + 50х. Оно будет наименьшим, KO
rда х == о. 12. На 8, 10 или 11. 13. На 10, 14, 15 или 16.
14. 35°. У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что L-BM А ==
== L-CAM + L-ACB. 15. 2 см. У к а з а н и е. Сначала ДOKa
зать, что АВ == АМ. 16. Нет. У к а з а н и е. Предположим,
что L-A + L-B > 120°, L-B + L-C > 120° и L-A + L-C > 120°. To
rда, сложив эти неравенства, получим, что L-A + L-B +
+ L- С > 180°. 17. У к а з а н и е. В прямоуrольном треуrоль
нике АНВ катет АН лежит против уrла в 30°, поэтому он
вдвое меньше rипотенузы АВ. 18. У к а з а н и е. Каждая из
медиан А 1 М и В 1 М прямоуrольных треуrольников АА 1 В
и АВ 1 В равна половине rипотенузы АВ. 19. У к а з а н и е.
На продолжении стороны АВ за точку А отметить точ
ку А 1 так, что АА 1 == АС. 20. У к а з а н и е. Сначала OTMe
тить точки В 2 И С 2 на продолжениях сторон ВА и СА за
точку А и доказать, что точки В 1 И С 1 лежат на биссектри
сах уrлов А 1 АВ 2 и А 1 АС 2 . Затем доказать, что лучи А 1 В 1
И А 1 С 1 являются биссектрисами уrлов АА 1 С и АА 1 В.
21. У к а з а н и е. Пусть О точка пересечения биссектрис
АА 1 и ВВ 1 . Сначала на продолжении отрезка ВВ 1 за точ
ку В 1 отложить отрезок B 1 D, равный ВВ 1 , а затем ДOKa
зать, что треуrольники AOD и ВОА 1 равнобедренные.
22. Если точка D лежит на отрезке ВС, то треуrольника
DBC нет (он вырождается в отрезок), и наше рассуждение
становится неверным. Неверен и полученный при этом OT
вет, поскольку в качестве D можно
взять любую точку на отрезке ВС. А
23. Ошибка заключается в предпо
ложении, что точка С не лежит на
отрезке АА 1 , т. е. существует Tpe
уrольник АСА 1 . Если точка С ле
жит на отрезке АА 1 , то мы не CMO
жем доказать, что АС == А 1 С (рис. 8).
24. Ошибка состоит в том, что CYM В
ма уrлов любоrо треуrольника пред
полаrается равной одной и той же С
величине х. 25. Возможны три Ba
рианта: 1) 90°, 45°, 45°; 2) 36°, 72°,
720; 3) 1800 ; 5400 ; 5400 . 26. У к a
777
з а н и е. Доказать, что треуrольни А 1
ки DB 1 B 2 И DC 1 C 2 равны. 27. 8. [ J
28. 14. 29. У к а з а н и е. Если по Рис. 8
60
lРис.9J
местить вершину уrольника на окружности, то ero стороны
пересекут окружность в двух точках, являющихся KOHцa
ми одноrо диаметра. Построив два диаметра, получим точ
ку их пересечения, т. е. центр окружности. 30. У к а 3 a
н и е. Сначала на друrой стороне уrла отложить отрезок
AD, равный АВ, а затем на продолжении отрезка AD за
точку D отложить отрезок DC, равный DB. 31. У к а з a
н и е. Отложим на продолжении отрезка BF за точку F
отрезок FD, равный BF (рис. 9). Тоrда DE == ЕВ == ЕА и
L-BDE == L-EBD == L-CAE. Следовательно, АС == DC и АС +
+ CF == DC + CF == DF == BF.
содержание
Предисловие 3
Самостоятельные работы 5
Контрольные работы 21
Математические диктанты 33
Примерные задачи к экзамену 37
Тестовые задания 41
Дополнительные задачи 45
Ответы и указания 49
Учебное издание
Серия «Mry школе»
Бутузов Валентин Фёдорович
Кадомцев Серrей Борисович
Прасолов Виктор Васильевич
rЕОМЕТРИЯ
Дидактические материалы
7 класс
Зав. редакцией Т.А.Бурмистрова
Редактор П. А. Бессарабова
Младший редактор Е. А. Аnдрееnн;ова
Художественный редактор О. П. Боzомолова
Компьютерная rрафика с. А. Крутин;ова
Технический редактор и верстальщик А. Т. Хуторовсн;ая
Корректоры С.В.llиколаева, ВD.Б.Триzорьева
Налоrовая льrота Общероссийский классификатор продукции ОК 005 93
953000. Изд. лиц. Серия ИД N 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с ориrи
нал макета 17.02.10. Формат 60 х 901/16' Бумаrа писчая. rарнитура Школьная.
Печать офсетная. Уч. изд. л. 2,3. Тираж 5000 экз. Заказ М 24946 ( ).
Открытое акционерное общество « Издательство « П росвещение » .
127521, Москва, 3 й проезд Марьиной рощи, 41.
Открытое акционерное общество «Смоленский полиrрафический комбинат».
214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
ПРОСВЕЩЕНИЕ
и 3 Д д т Е Л Ь С Т В О
Издательство «Просвещение))
127521, Москва,
3 й проезд Марьиной рощи, 41
Тел.: (495) 789 3040
Факс (495) 789 3041
e mail: prosv@prosv.ru
www.prosv.ru
Выпускаем
Учебники
Методическую .литературу
Научно познаватеАЬНУЮ .литературу
Словари и справочную .литературу
НаrАЯДНые пособия и KapТbI
Учебные МУАЬтимедийные пособия
Обучаем
Интернет школа «Просвещение.rw>
125315, 11осква, ул. Балтийская, 14
Тел. (495) 155 4403, 729 3522, 729 3533
E mail:office@internet school.ru
Представляем
На сайте издатеАЬства для наших
партнеров, учителей и родителей
Каталоr выпускаемой продукции
11етодические пособия, презентации,
проrpаммы повышения квалификации, поурочные
разработки, аудиокурсы mр3
ИнформаЦИОНIIо публицистический
БJоллетень «Просвещение»
Форумы «Просвещение», «Спрашивайте!
()твечаем!»
Ссылки на образовательные Интернет ресурсы
Адреса реrиональных книrоторrовых С1руктур
ПриrАаmаем к сотрудничеству
Учреждения дополнительноrо педаrОI'Ическоrо
образования и библиотеки с целью проведения
авторских и методических семинаров
Книrоторrовые структуры для сотрудничества
по продвижению литературы издательства
Интернет маrазин Umlit.ru
Доставка почтой по России, курьером по Москве
129075, Москва, ул. Калибровская, 31 А
000 «Абрис Д» (ПР 5)
Тел.: (495) 98 1 1 039
e mail: zakaz@umlit.ru
www.umlit.ru
I
"
I'!'
I i :iiiij ! ,!Ш '111111111
Учебно методический комплект
авторов В, Ф. Бутузова,
С. Б. Кадомцева, В. В.Прасолова
по rеометрии для 7 классов
содержит:
о Учебник под редакцией
В. А. Садовничеrо
. Дидактические материалы
о Поурочные разработки
ISBN 978 5 09 019455 6
111111111111
9 785090 194556
'h
.
.
.
548924
zIIJ1И'ь' JI!1111 f 1 V 11
4....1....1....1
1 Ш1'