/
Текст
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ТЕХНИЧЕСКОЙ
КИБЕРНЕТИКИ
.
i
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
rЛАВНАН РЕДАIЩИН
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ,ПНТЕI:'АТУРЫ
в этой И следующей rлавах будет изучаться УСТОЙ
чИвость нелинейных систем автоматичеСItоrо реrУЛ!1рОВD.
НИЯ. ДЛЯ результатов, представленных в этих rлаDах,
хараI\.терны следующие особенности: (1) раССll(8триваются
системы произвольно BblcoKoro ПОрЯДItа; (2) рассматри
ваются не только обычные, непрерывны{) нелинеЙНОСТ:i!,
но разрывные И rпстерезнсные нелинейпостl:'i, а также He
ЛИнейности операторы, которыми описываются Иlv;шульс
ные модуляторы со слоiкны\1и типами модуляции (частот
ная, широтная и др. :модуляции); (З) основные излarае--
мые критерии устойчивости охватывают все УСЛОВИЯ
устойчивости, которые можно получить с помощью фу.нI\.
ций Ляпунова из определенноrо мноrопараl\(етрпчеСI{оrо
семейства функций; (4) условия УСТОЙЧИВОСТИ формул:и
руютсн в частотной форме с использованием частотных
характеристик линейной части и неI\.ОТОрЫХ общих свойств
в:елинейностей; (5) услоnия устойчивости относятся не
к конкретной системе, а :к некоторым :классам СИСтем:
системы ОДноrо класса имеют различные нелинейные блоки,
обладающие некоторы:,1И общими свойствами; устойчивость
имеет место и в определенном смысле равномерна для
всех систем одвоrо КЛасса. Это последнее свойство опп
сывается термином абсолютная УСТОЙ'ШВОС'!'Ъ (в заданном
классе иелинейностей). Для HeItoTOpblX Rлассов неЛИней
wйрмулирyeмъ:пr ниже a CTOTHыe условшf аБСО
ЛЮТной УСТОЙЧИВОСТИ не ТОJIЫI.О достаточны, но и He
обходимы.
Большой объем результаТОD по теории абсолютной
устойчивости и их разнообразие делают Е:евозможным
полное изложение их р пределах этой I\.Ниrи. Проrрамма
изложения основных результатов выполняется следующим
образом. Сначала формулируется I{вадратичный критерий
абсолютной устойчивости, относящийся к систеМам Becь
ма общеrо вида. Общность формулировки этоrо критерия
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
позволяет с ero поIllощыо ПОЛУЧIIТЬ основные, IIзвестные
в настоящее время, частотные условия абсолютной устой
чивости. В следующей rшше будет ПОI.азано также, что
с ПО:\ЮЩЫО Iшадратичноrо КРIIтерия иноrда l\IOrYT быть
получены частотные условия устойчивости, Rоrда ранее
известные условия (Itруrовой I,ритерий, критерий Попова)
либо HenpIIMeHIIl\Ibl, либо не дают результата *).
э 2.-1. Исходныс ураnнсшш. Основные ПОНЛТIIЛ
11 опреДСЛСНIIЛ
в случае, Rоrда система содержит лишь ОДИН нели
нейный блок""" s == q> (о') со СIШЛЯрl1ЫМ ВХОДОМ о' И СI{алнр
НЫ!\1 ВЫХОДОМ S, уравнения системы Иll1еют ВИД
dx А b f: '
"(jt х + ,<>, о == с Х,
== rp (а).
(2.1)
(2.2)
Здесь А поСтоянная вещественная матрица ПОрЯДIЩ
п Х п; Ь, с одностолбцовые матрицы порядка п, при
ЭТОll( с' lI1атрица строка; х вектор Состояния систе
мы ПОрЯДI{а п; о' == с'х СIщлярная величина. Уравне--
ния (2.1) ЯВЛЯЮТСЯ уравнениями линейной стационарной
части системы, уравнение (2.2) описыВает нелинейный
блок. В (2.2) q> (О") неI\оторая СIщлярная фУЮЩИЯ Be
Щественной переменной 0", причем функция q> (о') может
быть разрывной. Уравнение (2.2) описывает стациов:ар
ный БЛОI{. В случае, если харaI{'!'ерИСТИI\а БЛОIЩ меняется
со временем, уравнением: нелинейноrо блока вместо (2.2)
будет
s == q> (0', t). (2.3)
в частности, уравнение (2.3) мощет описывать и линей
ный, но нестационарный БЛОI{: Тоrда q> (О", t) == 1.1. (t) 0".
Более сложная rистерезисная нелинейность описывается
нелинейным операторным уравнением внда
S (t) == q> [о- (т) I , t]. (2.4)
Это уравнение показывает, что ВЫХОД (t) нелинейноrо
*) Автор блаrодарит В. r. Антонова, и. М. Бурнпна и r. А. Ле
онова, проверивших все вычислепил n uримерах в rлавах Il и 111.
76 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОЙ устоЙчивости [rл. II
блока в момент t зависит в общем. случае от t и от зн:аче
ПИЙ входа" а (1:) во все предыдущие lIюменты времени
О < 1: < t. Часто значение (t) зависит не только от
а (1:) ' и t, но еще и от <шачальноrо. значению> нелиней
норо БЛОI\а (О), причем ;)'1'0 начальное значение может
быть взято произвольно из HeKoToporo lI ножества Ей.,
зависящеrо от а (О) == а о . Чтобы не заrрОllIождать запись,
эту зависимость будем подразумевать, но не выписывать
в (2.4) явно. Отметим, что уравнение (2.4) описывает не
только rистерезисные нелинейности, но и нелинейност:и
совершенно иноrо типа, например, широтно или частот
но импульсные модуляторы.
В дальнейшем часто будет использоваться передаточ
ная функция линейной части системы. Если преобразоваТI
по Лапласу уравнения (2.1), считая, что Х (О) == О, и BЫ
разить изображение выхода а липейной части через изо.
бражение ее входа , '1'0 из (2.1) получим
3 == w (8) ,
(2.5:
rде 8 переl\Iенная преобразования Лапласа, и
\
vV (8) == с' (А 8I) Ib.
(2.6:
ФУНI\ЦИЯ (2.6) называется передаточ-н,ой ФУ1Uщией линей
ной части cucme.lttbL (2.1) от входа ( ) 1f, выходу а. В даль
нейше:м критерии устойчивости нелинейной системы бу"
дут выражены через фУЮЩШО W (s).
П Р II М ер 2."1. Пусть рассыатрипаеыал система ОШIсьшаlJТСJ
ОДНIIЫ СI\аЛЛрНЫМ уравшшиом
Полаrая
"и + аи + ( + '1' соз t) а ===0.
.
=== cos t. а,
(2.7.
(2.8
ваIШшеы (2.7) в Bnp;e
(j + аа + a + 'I'G == о:
(2.9
в данноы случае уравненио (2.9) ОПlIсыпает лnнеi1ную стаЦlIонарнув
часть cIIcTeMLI, а ураппеНIIе (2.8) (<неЛIIнейную» (точнее, линей
ную нестаЦIIонарную) часть СlIстеыы. 3аыенлл в t2,9) d/dt Н3
веЛIIЧIIНЫ а II G на а II '(, получим равенство (2.5) с фУЮЩRе.а
r
V (8) == ." ." .
(2.10
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Таким образом, уравпение (2.7) IIреобразовано к DИДУ (2.8) «(He
пив;еiiв:ая» часть) и (2.8) (Лllиейвая стационарная часть) с передаточ
:вой функцией (2.10). ДальнеЙШllе критерllП в прпменеНlI1I к ypaB
:вевию (2.7) будут использовать лuшь уравнеНllе' «нелинейвой» часТII
(2.8) и выраженпе для передаточной функции (2.10).
ОТloШТIIМ, что в уравнении (2.7) можно было бы по--друrому BЫ
делить «велинейнуro» (точнее, линейную нестационарную) часть;
при этом ПОЛУЧllлась бы, естественно, и друrая линеiiная часть.
Ijапример, полаrая == ( + '1' соз t) а, из ( .7) получим (2.5)
с функцией
1
Н' (s) == ., + as .
Результаты ПРlшевеПIIЯ далыruiillШХ l\рптерпев Не будут ;ЩВIIС ТЬ от
TOrO, ка}(п [ способом разбпвается З8даппая система па <'ШlшэiiпуlO»
и «неЛllНеllНУЮI) чаСТII, хотя объе [ алrебрапqеСl\IIХ вьшлндо\( иожет
от этоrо заDllС '1'Ь.
П р п l е р 2.2. Пусть ураВllеНШI ClICTe ILI ш[сют IШД
Полаrая
'а + 2аа + а == 1"},I.
+ 11 == qJ (а): J
s == (j) (а),
(2.11)
(2.12)
заменяя d/dt на s, а на и, s на 1 и выраiI\ая из (2,11) о- через!, по
лучим (2.5) с функцией
1
J-V(s)== (s+ >t. 2+2cts+1) (2.13)
в даппом слуqае (2.12) является ураnнешlCМ ПСЛllllейной '13СТ1I,
ураnиешrе (2&) с передаточной фуш:цuей (2.13) является ураВПСППСМ
Лllнейцой части.
Выше раСС lатривался случай системы с ОДНИМ нели
r нейны:м блоком. Предположим. теперь, что дана система
с несколь:кими нелииейными блоками. V равнения нели
нейных (или линейных нестационарных) . блоков можно
записать В виде.l.2.-2}, (2.3) или (2.4), rде, однщ{о, теперь
е == (t} -и ; == а (t) будут веIcrорными величинами, BO
обще rоворя, разной размерности. В этой и следующей
rлавах будем придерживаться следующих обозначений.
Через п будем обозначать число нелинейных БЛОI{ОВ, т. е.
размерность вектора S. Через fii будем обозначать число
'входов внелинейные БЛОI\И, т. е: размерность BeI{TOpa О.
Б наиболее часто ВСТречающеl\fСЯ случае, коrда Rаждый
БЛОI{ и еет .g"H СRалярный вход и один скалярный выход,
имееll-l т :;=; п?Если, КрОМе Toro, эти БЛОRИ стационарны
78 МЕТОДЫ ТЕОРШI АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИВОСТII [rл. 11
п оппсываются обычнымп функцпями, то уравпеппя
uелипейноп частп СПСТOiIШ Ш\ЮЮТ DIfД
j == (r j (и J,
j == J, . . ., п,
(2.14)
rде а j СI{алярный вход, } скалярный ВЫХОД j ro
нелинейноrо бло.ка. Эти скалярные уравнения Можно за
писать в виде одноrо B KTopHoro уравнения вида (2.2),
{'де == n i j l' а == 11 а j 111==1' В более общем случае ypaB
нения нелинейных (в частности, JIинейных нестационар
ных) блоков имеют вид
j == rpj «(jj, t),
j == 1, .., п.
(2.15)
ЭТИ ураВПСllIfП ыо,юю заПlIсать в ВИДС ОД110rо nCI,TopHoro
урашюшш (2.':3). Ha!-;ОJlСЦ, сщо uолее общем случае
уравпенпя не:шпеuпы:х БЛОКОIJ имеют ВIIД
j (t) == (pj [(Jj (т) I , t],
j == J, . . ., п,
(2.Н»
I\.ОТОРЫС Jo.ЮЖFIO записать в виде одноrо BeKTopHoro ypaB
нения вида (2.4). О'пreтиы, однако, что пекторное ypaB
неuие вида (2.2) охватывает более ШИрОI\ИЙ I\ласс нели
нейностей, чем (2.14), таи I\:aI{ оно описывает таRже слу
чай, I(оrда пелипейпыс БJCОIШ зависят ОТ несколы\хx
входов. Точно ты{ же вщ{торное уравнение вида (2.3) OXBa
тывает более mИРОI\ИЙ I\ласс ш линейныx БЛОI\ОВ, чем
(2.15), а веI\торное уравнение вида (2.4) более широкий
класс нелинейных блоков, чем (2.16). В дальнейшем буде:r.(
считать, что в векторных )1равнениях (2.2), (2.3), (2.4)
размерность т вектора а lIюже'f быть отлична от раЗl\fер
ности n веI\тора . Случай одноrо нелинейноrо БЛОI\а
с одним входом характеризуется условием т == п == 1.
В общем случае будем предполаrать, что уравнения
линейной стационарной части системы Иll-fеют по преж
нему вид (2.1), {'де, одшшо, Ь постоянная вещественная
матрица ПОрЯДI\а п Х n, с постоянная вещественная
матрица порядка п Х т. Знак I во BTOPOll[ уравненип (2.1)
означает трапспонироnание. Вектор х по пре)-I\нему яв
ляется веI\ТОРО!lr СОС'l'ОЯRИЯ СИстемы ПОрЯДlШ п. Преобра
зуя, :каI\ и выше, ПО Лапласу уравнения (2.1), получим
из (2.1) формулы (2.5), (2.6). При этом W (s) в (2.6) будет
теперь матрицей порядка т х п, называемой, I\ак из
вестно, передаточ1tой .матрицей от входа ( S) к выходу а.
2.1]
ОСНОВНЫЕ пuня.тия. И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
79
в дальнейшем (если ИСI\ЛЮЧИТЬ некоторые особые случаи)
на1>1 потребуются лишь передаточная матрица системы и
уравнение нелинейной части. Поэтому, если уравнения
линейной части системы имеют вид не (2.1), а состоят из
системы уравнений более BыoI\oroo порядка, то передаточ
в:ую матрицу лучше находить непосредственно из этих
уравнений, преобрэзуя их по Лапласу, с учетом, что вю{
тор начальноrо состоянил системы нулевой. Не следует
заданную систему приводить к виду (2.1), а затем опреде
лять W (s) по формуле (2.6) этот путь при больших n
связан часто со СЛОЖНЫМII И притом ненужными выклад
1\ аI\IИ.
При м е р 2.3. Рассмотрим систему
d 2 (JI d;Jj
dt 2 + а dt + (3:1L + <р2 (::;2, С)
d 2 cs2 dcs!
cfi2 + а dt + (3J2 + <р! ('JI, t)
== О, . )
== О,
(2.17)
rде все величины СRалярны и вещественны, а, параметры. Дей
ствуя описанным выше образом, получим из (2.17)
a == х (s) , }
а2 == x (s) 1;1'
(2.18)
rде
1
X(s)== s2+a s +13 '
1 == <Р1 (aJ.' t), 2 === <р2 (а2' t).
(2.19)
(2.20)
Уравнения (2.20) являются уравненияьpr нелинейиой части систе
МЫ. Уравнения (2.18) (с обозначением (2.19» являются уравненияыи
линейной части системы. Ураnнепия (2.18) имеют вид (2.5), rде
[ О х (s) ]
117 (s) == .
х (s) О
== ( t! ) a== ( ;I )
s _, ,
1;2 CS2,
в даином случае т == n == 2.
П Р II М е р 2.4. Рассмотрим спстему
тj + 2aij + 1] === а 2 , }
(2.21)
cr + a + I ЮЗ == 1],
rде все велllЧIIНЫ с}шлярны и вещественны, а, ,'I' параметры,
П олаrая
:;1 == cs 2 , 2 == аЗ, (2.22)
80 МЕТОДЫ ТЕОРIIII АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [rл, II
получим из (2.21)
ii 'Xl (s) fx Х2 (8) ,
(2.23)
rде
1
;(1 (s) == (S2 + 2as + 1) (8 + 13) ,
r
;(2 (s) == 8 + 13 .
(2.24)
Уравнения (2.22) ЯВЛЯlотся уравпенишш неШlllеilноЙ' части Сllстеыы.
Уравнение (2.23) является уравнением ЛlШСЙllОЙ 'шсти. В данпом
случае 7fi == 1, ii == 2 11 Ш ТрIlца J<V (s) Шlеет вид
J<V (s) == [;(1 (s), Х2 (s)].
В примерах 2.3, 2.4 система реrулирования была за
дана дифференциальными уравнениями, I<оторые служили
для определения передаточной фушщии или матрицы
W (s) линейной части системы. В прило;кениях часто, oд
нако, линейная часть систеll1Ы задается непосредственно
функцией или матрицей W (s). Известно, что любой Ma
трице правильных раЦиональных фУНlщий W (s) (в част
ности, по правильиой рациональной фУНI\ЦИИ W (s)) может
быть построена управляемая и наблюдаемая система (2.1)
такая, что выполнено paBeHcTllo (2.6) с заданной W (s).
В дальнейшем, rоворя о том, что уравнения ли.нейпой
части системы заданы в виде (2.5) (или что линейная часть
задана т х ii передаточной ма'Iрицей W (s)), будем иметь
в виду, что нормальные уравнения ЛИнейной части систе
мы имеют вид (2.1), причем систеllt:8 (2.1) управляема и
наблюдаема. Напомним:, что ynРqвляемость системы (2.1)
равносильна тому, что ран!' п Х nп матрицы [Ь, АЬ, . . .
. . ., А n lь] равен n и что наблюдаемость системы paBHO
сильна тому, что paHr п Х пт матрицы [С, А *с, . . .
. . ., А *n lc] равен п. Относительно опреде.тrения друrих
критериев управл.яемости и иаблюдаемости см., напри
мер, [101].
Выше отмечалось, что все постоянные и переменные
величины, входящие в уравнения (2.1} (2.4), вещест
венны. Ииоrда, одню<о, будем рассматривать случай,
:коrда все (или HeI{OTOpble из этих величин) ПрИНIOrают
комплексные значения. (Время t всеrда предполаrается
вещественным:.) Будем: rоворить, что имеет lIIесто вещест
венный случай, если все величипы :в (2.1) и (2.2) (или (2.3)
и (2.4)} вещественны, и о.}tnлексный случай, если они,
вообще rоворя, I{ОllШЛeI{СIILI.
...-1
I
--;t<
.......
ИСНОВНЫI!: ПИНПТIIН It ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Резюмируем ИЗЛQженное. В дальнейшем в rлавах П,
III будут рассматриваться систе?(ы реrулирования, ypaB
нение нелинейноц части которых имеет вид либо (2.2),
либо (2.3), либо (2.4), rде (J и вещественные векторы
порядков соответственно m и п, а уравнение линейной
части имеет вид (2.1}"rде А, Ь, с вещественные (вещест<-
венный случай) или комплексные (комnлеI{СНЫЙ случай)
матрицы ПОрЯДI\ОВ соответственно п Х п, п Х п, п Х т.
"Уравнения линейной части MorYT б,ЫТЬ записаны в виде
системы уравнений не первоrо, а более высоких ПОрЯДIШВ,
важно лишь, чтобы они моrли быть приведены к виду'(2.1}.
В дальнейшем (если ИСI\ЛЮЧИТЬ некоторые особые случаи)
будет нужна лишь передаточная m х ii маТрИца (2.6)
линейной части системы. При т == ii == 1 система имее'l'
один нелинейный блок с одним ВХОДОМ.
!+, Всюду в ДЭЛЬ1!ейшеи будем предполаrать, что :MaTeMa
тичеСI\ое описание системы реrулирования I(OppeI{THO
в следующем Сll1ысле: для систе?lIЫ (2.1), (2.2) (или (2.1),
(2.3), или (2.1), (2.4)} имеет lIIt3C'(O локальная теорема cy
ществования решения. Именно, будем считать ВЫПОJIнен
НЫll(И следующие два условия:
(1) для любоrо х (О) имеется интервал [О, t o ), на Ko
тором существует решение х (t), S (t) рассматриваемой
системы, причеl\( xCt} абсоЛIO'l'НО непрерырная функция,
I (t) I Е L (О, t o ) для любоrо t o < t o ;
(2) если решение х (t) оrраничено на интервале
[О, t o }, то оно существует на некотором большем интервале
[О, t 1 }, t 1 >t o . Если правые части выражений (2.2), (2.3),
(2.4) разрывны, то решение понимается в соответствующем
неI\лассичеСI{ОМ смысле (см. подробнее по этому поводу
3.3).
Квадратичные u Эр1lIUТОВЫ фОРИЫ. Ниже используются
неIшторые элементарные сведения об Эрl\IИТОВЫХ и I{вадра
тичпых формах, I\оторые Иl\fеет смысл рассмотреть пред
варительно.
Пусть === 1! Jllf 1 веI\торная перемепная, KOlvmo
ненты I{ОТОРОЙ 1'" ., '1 вещественные числа. Веще
ственной квадратичной Фор.>,LOй называется выражение
k
l;( ) (lJ1Ll.j l"
З, 11 1
(2.25)
82 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИвОСТИ [rл. II
rде ал/, вещественные числа, и без оrраничения общно
сти ajh == ам. Примеры таких форм:
Fl ( ) == 1 2' F2( ) == + 3 1 2 ,
F з ( ) == l (t2 3 1)'
Пусть теперь == 11 I j IU l комплексная веБТорная
пере reнпая, т. е. 1"j комплексные числа. 9р.,штО80й
фор.1tоЙ пазывается выраженпе вида
k
G } == Re ( jJi ), (2.26)
j, h l
{'де f3jh :комплексные числа; звеЗДОЧI{а в верхнем ин
дексе означает комплексное сопряжение. В (2.26) через
k
== [ JJj l обозначен I{ОllшлеI{СНЫЙ вектор, а через }
I{омnлексные переменные (I\OМnOHeHTЫ веI\ТОРа. ). Вез
оrраничения общности можно считать, что f3jJ вещес
венные числа. Из (2.26) следует, что значение G } ве--
щественно при любо.м: I{ОllШЛeI{СНОМ ве:кторе {. Примеры
эрмитовых форм::
G 1 }. == rtl 12 :::::: 1:11; , G 2 п} == 1 112 2Re ct;"tj,
G з ( ) == Не ( 11;) == Не a; l}'
G 4 (1) == Не [(1 + i) ; ;J.
Всю.ал вещественная Rвадратичнал форма может быть
расширена ДО DРМИТОВОЙ. .иначе, для любой вещественной
I\вадраТИЧIIОЙ фОрl\IЫ (2.25) (определенной, по условию,
лишь для вещественных ) !\lOiI\:eT быть построена Эр!\1итова
форма (определенная длп I\О!\IПЛeI.СНЫХ ), совпадающая
с формой (2.25). если вещественнып вектор. Эта эр
l\Iитова форма пмеет, очевпдно, ВИД
k
F(б == Re ( aj/ j ),
i, h l
(2.27)
ПОСI\ОЛЬКУ значение формы (2.27) соnшщает со значением
(2.25) при вещественных , то, не РИCl{уя вызвать Heдopa
зумений, будем обозначать эти фОРМЫ с1дной БУI<БОЙ.
Тю\:, например, для УI\:азанпых выше форм Fl' Р2' F з
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
соответствующие Эр1\lИТОВLI фор:.[ы будут с едующШ\IИ:
F l } == Re ( ;),
Р? ( ) == I 112 + 3Re a ;) 11з 12,
F 3 ) == Re Й;1( 2 3 lП'
ЛеrI\О убедиться в 1'01\1, что указанное распространеппе
вещественной квадратичной фОрМЫ до Эр1\lитовоii един
Стнеппо: если две эрмитовы формы с вещественнымп коэф
фициеитаrrш совпадают при вещественных векторах == S,
ТО они совпаДЮОТ и при всех ко;\шлеI{СНЫХ векторах .
Пусть U == IIUjll;::l, == II jllt l вещественные, а
m h
а == Ilajl\i l' == 11 jllj l КОМПЛeI{сные векторы раЗ1.reр
ностей т и n. Веществеииой квадратичной (или ЭР,},Lито
вой) формой F ( , а) (или F (f: а)} двух вепториых пepe
.менных называется вещественная I{вадратичпuя (или эр
l\IИтова) форма BeHTopnoro пероиеппоrо == ( ) (или1 == ( ))
ПорЯДI{а k == т + п. Примеры таю,I.:I,:: вещественных Iшад
ратичных форм:
Fl ( , с;) == + 3 la2' l ( , <:1) == 2 ,аз ai.
/
Распрострапяя их с сохраПОIIlIOl\1 ;)рыитовости на комплекс
ные зпачения 11 <У, получим следующие эрмитовы фОрl\[Ы:
F 1 @,а} == I '[112 + 3Re ( a;),
FД,а) == 2Re l;;} I а';: 12.
Аналоrично определяются вещественные квадратичные и
эрмитовы формы нескольких векторных арrуиентов.
Форму (2.26) можно записать в нескоЛько ином Биде.
Преобразуя слаrаемое Re ( j/Xj + hj h ;)' прпведем
........ ,....,......... 1 .
ero к впду 1'jh j h + 1'hj j h' rде 1'jh =="2 ( jh + hj).
Полаrая 1'п == jj и ВСПОl\шная, что ЭТII числа веществен
ны по условию, заПIIШЮ[ (2.26) в ВIIде
h'
G (t') == Ijl, j h ==1.11,
;, h l
(2.28)
и""
...""'.V.....D. '''''Vl'HH АЬ UJ.нUТtlUИ УСТОИЧИВОСТИ [rл. I1
rде
=== ( ';,. ) , r == [ :1.1' 1а ] (2.29)
<"" IJ:l Ik//
3везДОЧI{а над вектором или матрицей означает ЭрМИ
тово сопряжение, т. е. транспонирование и КОllfПлеI сное
#"'w . 1""'JIi<
сопряжение. Поэтому *,:= ( , . . ., k) BeKT CTpO
ка. Точно также, если r === rl'ih)j'.\ I' ТО r* == [l'itj]i\ I'
TaR как для матрицы r в выражении (2.29) выполнено
'Yih == I'hj, и, h == 1, . . ., п), то r == r*. Матрица r,
удовлетворяющая условию r == r*, называется, как И3
вестно, эр.."'; uтО80Й. ТaI{ИИ образом, ЭР1ЙИТОВУ форму
G (Q можно всеrда представить 13 виде G (б == *r'e', rде
r эриитова матрица. Леrко проверить, что ЗРllIитова
матрица r в этом представлении определяется однознач
но. Например, это представление для указанных выше
форм G 1 , G 2 , G з (прп условии, по == ( :), т. е. что k == 2)
имеет следующий вид *):
( 1 ) " [ 1 О ] ( t"l )
G 1 ( ) == 2 . О 1 '
( [1 ) . r 1 "1 ] ( l )
C ( ) == с . L 1 l' (2 '
Gз( ) == (fl ) '. [ 1°.. 1 2 ] . ( 1 ) ,
' 2 I 2
G4 }== ( f1 ) . [ О. 11i ] . ( ' 1 )
1 t О 2
ЯапОМIIИМтЧ'ro mr эр raтрица (1' == I'*j,
то все ее собственные значения, т. е. корни уравнения
det (r ЛI) == О (rде 1 единичная МАтрица) явлнются
вещественными числаlllИ.
*) Следует обраТIIТЬ ВНl1машrе на то, что выражениlO
* . .
Re ( 1 2) == "2 1 2 + 2 1 2 соответствуют элемеIIТЫ 1'12 == /2 II
1'21 == */2 на побочноп Alral'OIl JI!1 ЩТРIЩЫ r.
основньШ понятия и ОПРЕДЕЛЕНИЯ
АСIIIIШТОТllческая устойчивость в цеЛОI\1 и абсолютная
устойчивость. Рассмотрим систему (2.1), (2.4), а таЮRе
системы (2.1), (2.2) и (2.1), (2.3). ИаI{ известно, устойчи
востъ систе,мы (2.1), (2.3) в ,мало,м (в частности, по Ляпу
нову) означает малость в неI\ОТОРОМ смысле решения х (t)
при условии малости 'Х (О) I И, возможно, в случае rи
стерезисных фунRЦИЙ при условии мал6сти I (О) 1.
Для устойчивости по Ляпунову ДО.;Ij-Iша быть малой Be
личина sup Ix (t) I АсимптотичеСI,ая устойчивость (в Ma
1;;;>-0
ЛОМ) означает, что Д.;IН рассмаТрlшаС lLlХ MaJlLIX
Ix (t) I ---+ О при t ---+ 00.
Ix (0)1
(2.JU)
Асимптотическая устойчивость в "цело,м означает устой
чивость в малом и, кроме Toro, выполнение соотношения
(2.30) для любоrо решения х (t). Иноrда rоворят, что си
стема устойчива в целом, если вместо (2.30) Выполнено
какое либо Apyroe условие малости любоrо решешIЯ
Х (t) при t ---+ 00, например УСJlовие
00
IIxl12 == I х (t) I dt < 00.
о
Термин абсолютпая устойчивость подразумевает наличпе
HeKOToporo класса gn == {q:>} нелинеii:ных БЛОIШВ (2.4)
(или (2.3), или (2.2)}. Система (2.1) (т. е. линейная часть)
называется абсолютпо устойчивой в классе gn нелиней
ных блоков, если любая система (2.1), (2.4) с q:> Е gn
устойчива в целом, и притом эта устойчивость равномерна
дла всех q:> Е gn. При ЭТОМ должно бытц пояснено, в I\a
ЕОМ смысле понимается устойчивость и в Ral{OM paBHO
мерность. Отметим, что во мноrих работах по. абсолютной
устойчивости требование равномерности по q:> Е gn не
формулируется, равномерность не устанавливается (хотя
она имеет место) и тем самым обедняются понятие <<8бсо
лютная устойчивосты} и соответствующие результаты.
Физически требование абсолютной устойчивости означает,
что система обладает достаточно хорошими качествами
(формулируеМЫI\Ш при определении устойчивости), не
меняющимися при люБОlll изменении нелинейных БЛОRОВ
в классе gn.
В. М. Попов ввел терllШН аиперусто , йчивость озна
чающий :выполнение некоторых специальных оцеНОI{ [101].
.
(2.31)
86 МЕТОДЫ ТЕОРШI АБСОЛЮТНОй УСТОЙЧИВОСТll [rЛ. II
I
э 2.2. !{вадраТlIчиыii I,pll'l'epuii ДЛ:I иеВЫрQilщеIШОl'О
и пеI\рИТlIчеСIЮI'О случал
Рассмотрим систему (2.1), (2.4) (в частности, системы
(2.1), (2.2) или (2.1), (2.3)) предполаrая, что т:;;> 1,
ii :;;> 1.
Пусть F ( , а, а) неI{оторая вещественная KBaдpa
т:ичная (в вещественном случае) или эрмитова (в комплекс
ном случае) фОРl\(а трех векторных apryмeHToB: (поряд
ка п), а (ПОрЯДI\а т) и а (ПОрЯДI\а т). Отметим, что от
неI\ОТОРЫХ из этих перемепных или от некоторых их I\ОМПО
нент форма F ( , а, а) может, на самом деле, не зависеть
и ЧТО здесь nORa а и а независи:мые aprYMeHTbl.
Пусть (t), а (t) определенные на (О, оо) веI\торные
фУНI\ЦИИ таI\пе, что а (t) абсолютно непрерывна и
1; (t) I Е L 2 (О, Т), 1 1'" (1) I с т ( I d /dt I Е
Е L 2 (О, Т) дЛЛ любоrо Т> О.
О п р е Д е л е н и е 2.1. Вуде.-к еоворить, что фупх
ции; (t), а (t) удовлетворяют uптеzраЛb1iОЙ свяаи с форJtLОЙ
F (;, а, а), если существуют последовательность t А ---+ 00
и число r > О тапие, что
t k
F[S(t}, a(t), d: t) ] dt> r, (2.32)
о
т. е. если не выполпепо соотпошепие
t
" [ dU(t) ]
\F S(t}, a(t}, dt dt oo'npu t +oo.
L .
Отметим, что для различных пар а (t), (t), удовлетво
ряющих Ив:теrральной связи с формой F ( , а, а), число r
и последовательность t k ---+ 00 В (2.32) MorYT быть различны.
-' В дальнейшем а (t) и (t) будут означать векторные
вход и выход нелинейных БЛОI\Оn. Форма F ( , а , а)
должна быть построена с учетом KOHKpeTHoro ВИда нели
нейностей (2.2) (или (2.3), или (2.4)} TaIt, чтобы любые
а (t) и (t) в рассматриваемой системе удовлетворяли
интеrральной связи с ЭТОЙ фОрl\ЮЙ. Ниже будет подробно
пояснено, как строить такие фор1>1ыl F в различных ПраI\
тически встречаroщихся случаях. Сейчас оrраНИЧИ1>1СЯ
2.2]
:НВАДРАТНЧНЫЙ I.РПТЕРПЙ
одним простым, но ва;rшы:,[ ПРI! [еро:\[. Пусть т == n == 1,
имеет место вещественный с.,учаii н известно, что любые
вход () (t) и выход 1; и) нслшrейноrо блока лежат все
время при а и} =1= О в lIС!l:ОТОРО I CCI\TOpC
а -< 1;/ а -< В
(2.33)
на ПЛОСI\ОСТИ {а, О. ЭТО будет, например, для нелиней
Horo БЛОRа, описываемоrо уравне.нием (2.2), если вели
чины
а == inf Ip (а)
ci '
а
р == sup <р '(О')
а а
известны и I\онечны. Аналоrпчное утверждение справед
ливо и дЛЯ БЛОI\ОВ С уравнениями (2.3), (2.4). Мпоrие ти
повые нелинейности удовлетворяют условию (2.33), при
чем числа а, определяются по этим велипейпостям.
ИтаI\, пусть выполнены неравенства (2.33). "У"словие (2.33)
равносильно соотношению
(В() 1;)( аа) ;> О.
(2.34.)
Поэтому в рассматриваемом СJlучас любые вход а (t)
и выход 1; (t) не:шнеuпоrо бj[О[\il УДОllJ!СТЕОРНЮТ ИI1Те
rральноii связи с формоЙ
Fl (s, а) == О)а s) (s (10),
(2.35)
:которая не зависит от &. В данном случае r == О, а после
довательность {t$} произвольна.
В привецеННОlll примере неравенство (2.32) (с фОрМОЙ
F == F (6, а)} явилось следствием более сильноrо COOTHO
шения F 1 [6, (t), а (t)] > О, I\оторое выполнено для
всех t. Этот более специальный случай часто встречается;
в связи с этим в общем случае, с ПРОIIЗВОЛЬВЫМИ n :> 1,
iJi> 1 и произвольной формой F ( , (1, и) (вещественной
в вещественном случае), введем следующее определение.
О п р е Д е л е н и е 2.2. Буде.l' 20ворить, что Фунх
ции 6 (t) и (1 (t) удовлетворяют лохалЬНОU связи с фОрJ.tOU
F (6, (1, и), если почти всюду на [О, 00] выполнено
( cl(! (t» )
F s(t), аи), dt ;>0.
(2.36)
88
МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИЕОСТИ
frл. II
Очевидно, что если (1 (t) И 6 (t) удовлетворяют ЛОI\аль
ной СВЯЗИ, то они удовлетворяют и интеrральной связи
с ТОЙ же формой.
В npиведенном выше примере неравенство (2.34)
ЛОI\альная связь, которой удовлетворяют любые ВХОД и
выход нелинеЙIIоrо блока.
Рассмотрим слеДующие четыре множества пар фУНR
ций (5 (t), (1 (t)}: в вещественном: случае множество
всех вещественных (6 (t), (1 (t)}, удовлетворяlOЩИХ ЛОI\аль
ной связи С формой F (6, (1, п), а также множество всех
вещественных ( (t), (1 (t)}, удовлетворяющих интеI'раль
ной связи с форМОЙ F (5, (1, п); в комплексном случае
множества всех комплекснозначных (6 (t), (1 (t)}, YДOB
летворяющих одной из этих связей. Кан<дое из этих
множеств определяется еще числами т, ii И формой
F (5, (1, а).
Пусть ОДНО ИЗ этих четы.рех множеств или кю{ое--
либо ПОД!'.lНожество одноrо и указанных четырех MHO
жеств. Часто шожеСТDО Оllределяется заданием HeKO
Toporo множества нелинейностьй, входы и выходы которых
удовлетворяют некоторой локальной или интеrральной
квадратичной связи, и ВКЛlOчает все выходы и входы всех
нелинейвостей из этоrо множества.
О п р е Д е л е н и е 2.3. Система (2.1) (т. е. лuнейная
частъ cucme.1tbl рееулuрованuя) на8ывается абсолютно yc
тойчuвой е acce , если для любой вектор---фующuи х (t)
(вещественной в веществеННОJ.t СЛУ1юе) , удовлетворяющей
почти всюду ура81le1lUЮ (2.1) и та11:0Й, что в (2.1) пара
(6 и), (1 (t)) принадлежит .7tаюжеству ro?, выполнены сле
дующuе условия: I
(а) сходятся. uнтеzралы
ro
ro
11 х 112 :== I,x; (t) 1 2 dt,
O
11 s 112 == I s (t) 1 2 dt;
o
(2.37)
( ) существуют 1}остоянные C 1 > О,. . ., С 4 > О, 8a
висящие ЛЩUЬ от 1iоэффzщuеюпов cиcтe. cЫ (2.1) lt форлы
F (5, (1, и), тание, что справедлuвы неравенстпва
11 х 112 + 11 s 112 < r 11 х (n) I! +- с :!r.
шах I х (t) I < С з l х (О) 12 +:CJ'.
1:;;"0
(2.:i8)
(2.39)
:КВАДРАТИЧНЫй :КРИТЕРИй
3 а 1 е ч а 11 и е 2.1. В СJl учас, I.оrда функции
( и), и (t}) И3 удовлетворяют локадьной квадратич
ной связи, в (2.37), (2.38) r === О. HepaBellCTBo (2.39) c:re
дует из соотношений (2.1) и (2.38). Кроме TOI'O, из (2.1)
И (2.38) следует, что
I х (t) 1----+ о при t 00.
(2.40)
Оба ЭТИ утверждения ДОI,азаны в приложенпи при ДОI.а
sательстве теоремы 2.1.
3 а 111 е ч а н И е 2.2. Обычно в условии (2.32)
r == r [х(О}] зависит от х (О)'и r [х (О}]----+ О при I х(О) 1----+ О.
в этом случае абсолютно УСТОЙЧlшая система является
асимптОтически устойчивой в цеЛО1l1.
Поясним определение абсолютной устойчивости, взяВ
для определенности случай, коrда множество ВСех
вещественных S (t), о (t), удовлетворяющих интеrраЛЬной
I\вадратичной связи с НeIЮ1'ОрОЙ заданной формой
F (6, о, п). Будем расс],штривиь, таRИМ образом, класс
нелинейных систем (2.1), (2.4) t: одной И той же линейной
частью (2.1) И С различныыи неЛlшеЙНЫlllИ БЛОI\ами, ВХОДЫ
и выходы :которых удовлеТВОРЯЮТ'УСЛОВИЯll1, СфОрll1УЛИрО
ванным в определении 2.1.
Предположим, что ЛИIIейшlЛ 'lПС1Ъ (2.1) абсолютно
устойчива в классе . Тоrда дли любоrо решения систе
мы (2.1), (2.4) выполнено (2.40), конечны величины (2.36)
и справедливы оценки (2.37), (2.3В) с ОДНИllIИ и теми же
числами С 1 , С 2 , С з , С 4 . ТаI\ИМ обраЗОll1, имеет место аси:мп
ТОТИЧ СЮJ.я устойчивость в целом, равномерная (в смысле
выполнения оценок (2.З ), (2.39)} во всем классе нели
нейностей, для которых (6 (t), о (t)} Е .
В двух приводимых ниже определениях' rоворится u
свойствах, I\оторые, неСlllОТРЯ на Ш)I\ОТОРУЮ rрОМОЗДI\ОСТЬ
фОРМУЛИрОВОI\, обычно леrко проверяются.
Оп р е Д е л е н и е 2.4 *). Систе",щ (2.1) н,ааывается
.м,ин,и,м,аЛb1iО устойчивой в клш:сепар функций 6 (t), (J' (t),
удовлетворяющих инmе<JраЛb1iОЙ свяаи с фор:м.ой F (6, о, а),
если для дюБО<JО n Be1i,mOpa xo;:f= О (веществен,НО<JО
*) Свойство .пultu.lщлыtой. устОй<Ш60стu неявно ПСПОЛЬЗ0валось
во иноrих работах по абсолютноп УСТОЙ'lИDОСТИ, БЛП3I(ое опреде
ленпе имеется в 1101].
90 МЕТОДЫ 'l'I.,:OI'IIII АБСUЛIO'ПIOЙ ;t:ТОЙЧIIВОСТll [rл. 11
в вещественн,о.}t СЛУ1tае} существуют абсодютн,о н,eпpepыв
н,ая вектОр фУТ-{,1щия Х (t) и функции 6 (t), а (t) такие,
что
(а) х (t), S (t) (а аиачит, и а (t)} веществен,н,ы в вещест
венном случае;
I (б) почти всюду выподпено (2.1);
(в) х (О) == Хо;
(r) функции (t), а (t) удовлетворяют ин,теералъной
связи с формой F (6, а, а);
(д) I х (t,J 1---+ О при t/ ---+ 00, аде t A посдедователъ
н,остъ в (2.32);
(е) в условии (2.32) число r == l' (х о ) при любом фиJ;,си
роваННОА' хо удовлетворяет соотношению *)
inf I л ' 2 r(л хо} == О.
1#0
В последнем соотноmепии л I,омплексное число в
:комплеI\.СНОМ случае и вещественное в веществеННО1l-1
случае.
Следующее определение поЧТИ повторяет определев.ие
2.4; вместо интеrральной в нем rоворится о локальной
СВЯЗИ.
О n р е Д е л е н и е 2.5. Система (2.1) называется
мин,и.:палъно устойчивой в Кltacce фую.ций (6 (t},O' (t)},
удовлетворяющих лоnальн,ой связи (2.36), если для дюбоао
n вenтopa хо =F О (веществе1-шоао в вещественном случае)
существуют абсOltюrrщо непрерывная веnтор фующия х (t)
и функции 6 (t), а (t) таnие, что
(а) х (t), 6 (t) (а 8T-l,Шtит, и а (t)} вещественны 8 вещест
венном случае;
(б) почти всюду выполнен,о равенство (2.1);
(в) х (О) == Хо;
(r) фунnции 6 (t), (J (t) удоомтворяют лоnалъной связи
(2.36);
(д) Ix(t) 1---+0 при t---+oo.
ПОЯСНИМ эти определения. РасеМОТрИllJ, например,
ЛОI\альную евязь (2.34) в случае т == n == 1. Пусть J.L
произвольное число такое, что ((. < J.L < . Возьмем
*) Условие (д) означает, что для любоrо хо =1= о существует
последовательность чисел ').,/> =1= О такая, что F (').,kхо)/Ч О.
:НВАДРАТИЧНЫf1 :НРИТЕРНf1
(<нелинрйносты) (2.1) вида
== U. (2.4.1)
Для любых входа и (t) и выхода (t) этоrо БЛОIШ, очевидно,
выполнена локальная связь (2.34). Расс],ютрим линейную
«систеl\(У сравнению} (2.1), (2.41). Если эта система не
асимптотически устойчива; то система (2.1) и не абсо
лютно устойчива в I\лассе нелинейностей, удовлетворяю
щих ло:кальной связи (2.34). (Действительно, нарушено,
например, (2.40).) Пусть система сравнения (2.1), (2.41)
асимптотически устойчива. Тоrда система (2.1) мини
мально устойчива в I\лассе ФУЮЩИЙ, удовлетворяющих
локальной связи (2.34). Действительно, в I\ачестве х (t),
(t), и (т в определении 2.5 можно взять решение х (t)
системы (2.1), (2.41) с начаЛЬНЫl\I условиеы х (О) == х о '
а таI\же вход и == и (t) и выход == (t) БЛОI\а
(2.41).
Аналоrичное утверждение справедливо в случае ПрОИз
вольной формы' и произвольных т>1, n>1: Для удоб
ства ССЫЛОI\ выделим ero в вид!.: следующеrо замечания.
З а м е ч а н и е 2.3. Пусть m > 1, n:> 1 и
F (6, (7, а) произвольная ЭРlllитова форма или вещест
венная I\вадратичная форма в вещественном случае.
Пусть существует n х т матрица /-1. (вещественная в Be
щественном случае) таI\ая, что F ( (7, о, а) > о для
любых х. (Здесь а == с' (Ах + b (}'), о == с'х.} PaCCMO
трим «систему сравнению} (2.1), (2.41) (в :которой теперь
m >'1, n:;;;. 1, а /-1. указаНШ1Я матрица). Если система
сравнения не является аСИl\fПтотичеСI\И устойчивой, то
система (2.1) не является' абсолютно УСТОЙЧИВОЙ ни
в :классе фУНI\ЦИЙ, удовлетворяющих локальной связи
F (5, (7, а) > О, НИ В классе функций, удовлетворяющих
интеrральной связи с формой F (6, о, п). Если система
сравнения асимnтотически устойчива, то система (2.1)
минимально устойчива n указан ых Iшассах фушщий.
В.качестве х (t), 6 (t), о и} можно взять фУНRЦИИ, опреде
ляемые решением системы сравщшия (2.1), (2.41) с Ha
ЛрНЬ1 I, усцощrем х (О) == хо'
Ч Т(j ,5<tIелинейность сравнеНИJ1» беrется в' виде
6 == о.
(2.42)
в ЭТО I С:lучае-система (2.1) ШШПШ1.'IЫЮ устоuчпва n I.Шlссе
92 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй устойчивости [rл. 11
фУНI\ЦИЙ С локальной связью F (6, а, а) ;;;;;. О (а таI\же
в классе фУНI\ЦИЙ, удовлетворяющих интеrральной СВЯЗИ
с фОРМОЙ F (6, а, ёr)}, если F (О, о, а) ;;;;;. О при любых х
и если в (2.1) А rурвицева матрица. НаПОllIНИМ, что
в Rашеl\1 случае (система (2.1) управляема и наблюдае
ма) последнее условие равносильно тому, что все полюсы
матрицыфунI\циии W (s) лежат в левой ПОЛУПЛОС:КОСТИ.
ДЛЯ фОрМУЛИрОВI\И частотноrо условия абсолютной
устойчивости потребуется некоторое преобразование фо
мы F (6, а, а). Во первых, в вещественном случае, pac
сматривая по преiI\нему 6, а, а I\ак незаВИСИl\lые apry
менты, распространим фОрlllУ F (6, а, G) с сохранением
эр:митовости на комплеI\сные значения а prYMeHToB , ROTO
рые обозначим череа 1, ;, а. (3наI\ над буквой здесь
означает, что переМ Нlrая принимает I\омплеI\сные значе--
ния.) ТаI\, например, для формы (2.35) имеем
Fl ' а} == Re [фа 1}. мН, (2.43)
rде, ка:к и выше, звеЭДОЧI\а означает I\Оl\шлеI\сное co
пряжение. В комплеКСНОlll случае ИlIfеем F (6, а, а) ==
::::::: F( , а, 'i;}. BO BTOpЫX, В форму p , а, ;} вместо а
и подставим значения а == w (s) 1, (J == sW (s) ,
rде W (s) передаточная ма'Iрица (или функция при
ii ::::::: т ::::::: 1) линейной части системы. После этих преоб
разований получим форму
F (s, r> == F ( ,a, J), rде а == w (s) , == == sW (s) .
(2.44)
Таким образом, для получения формы F (s, 1) следует в
уравнениях линейной части системы сделать преобравова
ние Лапласа при условии х (О) ::::::: О, затем выравить а
через (при этом будет а == sa) и подставить найденные
значения о, (f в фОрl\1У F , о, ). Полученная форма
(2.44) будет эрмитовой формой I\ОllшлеI\сноrо векторiюrо
aprYMema .
Отметим, что исходнаЯ' форма F (6, а, а) в общем слу
чае зависит от трех веI\ТОРНЫХ арrумептов (порядков co
ответственно п, т, т), КQ:\шлеI\СНЫХ в КОi\IплеКСНОlll слу
чае или вещественных в вещественном случае. Преобра
зованная форма F (s, ) форыа одноrо, в общем случае,
КВА,J:РАТПЧНЫН I->l"IIТЕРпfI
BeKTopIIoro apry IeHTa (ПОРЯ;:J;I.а n), ЯВЛЯlOщеrося KOM
плексным ЮIR В I\оыплеI.сно [, тю. и в веществеНIIОМ слу
чаях. :Коэффпцпенты ;ПОll ФОР:IIЫ зависят от КО!l[ШIексноrо
парамстра s. Например, при 'т == ii == 1 для фОР Ш (2.35)
получпм вначале ФОР:IlУ (2.43), зате [, подставляя в (2.43)
значение (j == V (s) , Haii::te I ОI>ончательно
F (s, ) == Re {(1 + а fV (s)] [1 + BW (s)] '1112.
Ниже буде!lI предпо:rarать выполненным следующее
условие.
. (А). Матрzща А в (2.1) не и.4ьеет собственных
JNдчений на ,мни.JWЙ OCZL, или, иначе, ltютриlfа фУН1J,ция
W (s) не и.l-bеет полюсов па .IН-/U.ILОЙ оси.
Равносильность ЭТIIХ утперщдепцй следует из управ
ляемости и иаблюдаеМОСТII системы (2.1). ВТОРОЙ форму
лиров:кой удобнее пользоваться В случаях, I{оrда известна
лишь передаточная матрица И' (s).
"Условие (А), взятое нзолиро анно, на самом деле не
является оrраничением и введено лишь для простоты даль
нейших формулировок. Еслп 0110 не выполнено, то в CII
стеме (2.1) следует сделать за!l[ея:у S == 1 + g*x, rf(c {}
подходяще выбранная п х n laтрица (вещественная в
Бl3ществевном случае). При этои первое уравнение (2.1)
преобразуется к виду
dx 1 . I Ь 1":
di . lX", l'
rде Al == А + bg*. Из управляемости (2.1) следует (см.,
НаП})ИМЩ!, L101l)L -qт щш ШЩХОДНЩА выбr ншШ ма'I'pИ
це g мноrочлен det (лI А l) l\южет быть сделан любым
со старшим члеНОllI л'" и с веществеННЫllШ коэффициен
тами ,в веществеНllОИ случае. Поэтому существует матри
ца g такая, что А 1 rурвицева матрица. ЛОRальная (или
интеrральная) связь с фОРМОЙ F ( , 0', и) преобразуется
В аналоrичную связь с фОрМОЙ F 1 (;1' х) == F (;1 g*x,
с' х, с' (AIoo + b;l)' (ТаКИllI образом, новым выходом
линейной части н общеl\I случае будет 0"1 == 00.)
Теорема 2.1.10 (I{вадратичный I{рите
р и й а б с о л ю т II О Й У с т о й ч и в о с т 1I Д Л Я 11 H
Т е r р а л ь н о й с в я з и). Предположи.и, чтовъzполнено
условие (А) и 'zmo сzzсте.IШ (2.1) .шиаZ.4ЮЛЪНО устОЙ'Ч.lLва
94 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСоЛЮ'l'НО:Й УСТО:й:Iивости [rЛ.II
в 1мдссе фУl-('''7fий (s (t},O (t)). удов.летвОРЯЮ11fих иH
теера./1,ЬНОЙ связи с формой F (6, о, й) (см. оnреде.леl-(,ие 2.4).
Д./1,я аБСО./1,ютl-(,Ой устойчивости системы (2.1) в у"аiаю-(,ом
"./1,ассе ФУ'-(,"7fий "а" в вещественном, тап и в "ОМn./1,е"сном
С./1,У 1 taях Ш!обходu.м,о и достаточно, чтобы форма F иro, )
БЫ./1,а отри7fате./1,ЪНО оnреде./1,еl-(,НОЙ при ./1,юбом ro, 00-<
-< ro -< 00, т. е. ина'Ч.е, чтобы бы./1,О вЫnО./1,нено
F иro, ) < о при 00, ro -< + 00 и ./1,юбом =1= О. (2.45)
20 (к в а Д р а т и ч н ы й к р и Т е р и йl а б с о
ЛIOтной устойчивости для локальной
с в я з и). Пусть F множество всех "омn.ле"сных
(в "омn.лек-сно,м, С./1,учае) и./1,и вещественных (в вещественlЮ,м,
с.аучае) пар ФУ'-(,"7fий (6 (t), о (t)}, удов./1,етворяющих ./1,o
"альной связи с формой F (6, а. о). ПредnOJlО3Iси.\1" что вы
nолнено УС./1,овие (А) и что систе.иа (2.1) ,м,ини,м,мьно ycтoй
чива в 1i,./1,acce p (с..и. определение 2.5). Д./1,Я аБСО./1,ютной
устойчивости системы (2.1) 6 т;,./1,ассе F "а" в веществен
НОМ, та.,. и в "о,м,n.лeпсно.м С./1,УЧGЯХ достаточно, чтобы бы./1,О
выnо.анено (2.45}.,При вЫnО./1,пении (2.45) абсо.аютная yc
тойчивость' ЭJrenонеl'щиальна: существуют nостОЯ1,tные
С > О и е > О, зависящие ./1,ишъ от 1i,оэффи7fиентов cиcтe
,м,ы (2.1) ифор.мы F (s, о, а), ma/f,иe, что при ./1,юбых t;;;;;' t o
для ./1,юбоео решения х (t) системы (2. ) (в'kоторой S (t) и
о (t) удов.летворяют почти всюду соотношению (2.36))
ВЫnО./1,нено неравенство
Ix (t}1 -< Ce E(I to)lx (to}l. (2.46)
В "oMn./1,e"CHoJ.6 с.аучае, J;;oeoa матрица Фор",/,ы F (joo, €)
невырождена, УС./1,овие (2.45) та1>ж:е и необходимо для абсо
./1,ютной устойчивости в 1>./1,ассе F.
11 словие (2.45) ниже будем называть 'ч-астотны"66 ус./1,О-
вие,м,. Подчеркнем, что вторая часть теоремы 2.1 не YTBep
ждает необходимость частотноrо условия для локальной
связи в вещественном случае. На самом деле соответствую
щее утверждение неверно. Именно, из одноrо результата*}
следует, что при т == ii =>: 1 частотное условие (2.45) не
является необходимым для формы F == Fl вида (2.35).
Таким образом, в вещественном случае и в случае ло
кальной связи частотное условие (2.45) может быть
*) А. ю. Л () D 11 Н, ДАН СССР, Т. 141. М U, 1961.
lШ,\ДРАТПЧНLIiI Нl'llТJ,,;РПй
заменено на :менее оrраничительное условие. (1\
ЭТОМУ вопросу вернемся в 3.2.)
Недавно получено *} необходимое и достаточное
условие абсолютной устойчивости в нлассе p при
т == ii == 1 с формой F == F 1. вида (2.35). Это очень важ
вый результат; тем пе менее мы ero эдесь не приводим:,
ПОСRОЛЬКУ это условие эффективно не проверяется.
Отметим, Что для системы (2.1), дополненной COOTBeT
ствующим интеrралом, необходимое и достаточное усло
вие rиперустойчивости по В. М. Попову [101] совпадает
(при некоторых дополнительных малооrраничительных
предположениях) с частотным условием (2.45), в котором
знак < заменен на ,.
Из Teope1fЫ 2.1 следует, что система (2.1) (дополненная
соответствующим интеrралом: [101]) может быть rипер
устойчивой, но НО аБСОJIIОТНО устойчивой в Iшассе фун«
ций {s (t), (J (t}}, удовлетворяющих интеrральной связи.
Это имеет место в случае, Kor,r:a 17(jro, ) ,О дЛЯ всех ro
и t и 17 (jro o , o) == О для неli:ОТОРЫХ ro o и 60' в ЭТОlll случае
будем rоворить, что при (о == (.)0 имеет место вырождение.
Неноторые :вырожденные случаи будут рассиотрены
ниже.
Отметпм еще, что ПЗ упо;шшутоrо выше результата
А. Ю. JIевина следует, что система (2.1) MOrl\eT быть аб
солютно устойчивой в Iшассе веществl:OННЫЛ: функций
(6 (t), (J (t)), удовлеТВОРШDЩПХ лоI>алыIйй СВЯЗII, по
дополненная соответствуIOЩШ[ IIllTerpa;rO I [101] не
rиперустойчивой.
НаRонец, УЕаа.ем, что квадратичный щштuрий спра
ведлпв ив случае, I.оrда лппеЙнаячасть (2.1) задается ип
теrральпьш уравпением определеппоrо 'l'lша [134, 141].
Дальнейшее изложение в rлавах II, III будет построе
но следующим обраЗОАI. Будут прнведепы достаточпые
условия устойчивости спстемы (2.1), (2.4), которые OXBa
тывают наиболее существенные результаты, известные
к наСтоящему времени, Важно О.Т Iетить, что ПОЧТИ все
они либо следуют из I>вадра IIqпоrо I,рптеРШI (и если
этот вывод прост, то он будет приведон ПШЕе), либо (шочти
следуют» IIЗ lIe ro. Слоnа (шочтп следуют}) озпачшот, что
*) Е. С. П я т 11 И Ц К И й, АВТО&lатшш и тслемехаНИRа, .м 1,
19701 стр. 5 15. '
96 МЕТОДЫ ТЕОРИП АБСОЛЮТНОЙ устоЙчивости [rл. II
слабое измепепие условий задаЧII (наПРИJ\Iер, за Iеuа
условий О ер/а LO или ер' (а);. О соответственно на
условия € ер/а flo или ер' (а) :> е со сколь уrодно
малым € > О} приводит К задаче, для которой из KBaдpa
тичноrо критерия получаются условия устоЙчивости _ (Они
переходят в пределе при е --7- О в условия формулируемых
критериев, но обоснованпе этоrо предеЛьноrо перехода
иноrда очень непросто; обычно леrче предельные крите
рии устанавливать независиыо.)
Сделаем несколько замечаний ОТНОСIIтелыIO Прlв[е
нения квадратичноrо критерия. .
З а м е ч а н II е 2.4. Пусть выполнены условие (А)
и условие минимальной устойчивости в соответствующем
Rлассе функций. Пусть для рассматриваемой СlIстеыы (2.1),
(2.4) локальная (пли интеrральная) связь выполнена не
для всех, а лишь для некоторых решений х (t). Тоrда,
как следует из теоремы 2.1, для этих решений I,онечны
интеrралы (2.37), справеДJllrвы оценки (2.38), (2.39) и,
в случае локальвой связи, оценка (2.46).
З а I\f е ч а н и е 2.5. Ипоrда вместо связи впда (2.32)
или (2.36) удается построить неСI{ОЛЬКО квадратичных
связей слеДУlOщеrо впда: Д:IЯ первоЙ rруппы Рl связей
выполнено тождество
[ (la (I) ] .
F j s (t), cr (t), dt О, ] === 1, . . ., Рl'
(2.47)
для второй rруппы Р2 связей выполпепо
[ da (I) ] .
Fj s (t), а (t), dt :> О, J === р1 + 1, , . ., Рl + Р2' (2.48)
для третьей rруппы Рз связей выполнено (2.32) с ОДПIIа
ковы 1И последоватеЛЬНОСТЯllIИ t k 00, т. е.
'1;
Fj [ s т,
о
da (I) ] .
cr (t) dt >- rj, J ==
=== р1 + Р2 + 1,. . ., Рl + P + Рз.
(2.49)
Здесь Fj (s, cr, а) вещественные квадратичные формы.
Некоторые из rрупп MorYT, конечно, отсутствовать (co
ответствующие Pj == О). Пусть Р === Рl + Р2 + Рз общее
I
2.2]
НВАДl'АТИЧНЫЙ НРИТЕРПй
97
число связей 11
р
F (6. cr, ) 'jFj (s, а, ;), (2.50)
j l
{'де Tj некоторые вещественные числа. Пу1:;ть значения
'j дЛЯ j == 1, .' ., pl, т. е. значения коэффпциентов, COOT
ветствующих rруппе (2.47), произвольны, и '} о для
j == Рl + 1, . . ., Рl + Р2 + Рз (т. е. '), отвечающие свя
зяи (2.48) и (2.49), неотрицательпы). Указанные значения
для чнсел '} будеи наЗpIвать допустп.lt,ы.IЩ. Очевидно, что
при любых допустшщх значениях '} форма (2.50) удовле
творяет неравенству (2.32). ПрЮl1еняя теоре::\1У 2.1, полу
ЧIIМ условия абсолютпой УСТОЙЧIIВОСТИ, прпчем основным
из них будет частотное условие (2.45). Форма F (jш, )
в ЭТОМ условии будет зависеть от параметров .}. Само
частотное условие будет в даНIIОМ случае формулировать
ся так: должно быть ВЬПIолпено неравенство (2.45) при
НaIшх либо допустимых значеНIIЯХ параметров '}.
В 3.6 будет пояснена ыето J;ика отыскапия необходи
мых значений парюrетров '} для Р < 3.
3 а ! е ч а н и е 2.6. Представшr фОР IУ F (jш, )
в виде (2.28): F (jш, s) == s*Q (jш)f,. Таю(м образом,
[ Q (jш)] матрица Порядна ii х п формы F (jш, ).
Условие (2.45) равносильно соотношеНIIюr
Q (j оо) > О, det Q (jw) '* О ( oo < Ш < + 00). (2.51)
Первое неравенство (2.51) означает, что матрица
Q (j оо) == Нт Q (jш) является положителы} определен
"' co
ной, т. е. положительны все ее rлавные МИНОРЫ.
Докажем это утверждение, т. е. что (2.51) равносильно
условию Q иro} > О для всех 00 < ш < + 00. Поло
жительнан определенность матрицы Q (jш) равносильна,
IШН известно, ПОЛОiIi:ительности ее собственных значений
q} (jш). Поэтому из условия (2.45) следует, что det Q (jш) ==
== I ql (jш), . . ., q7i (j(j)} I =/= О, т. е. выIlлненыы состноше
ния (2.Ы). Обратно, из (2.51) следует, что q} иоо»о и что
q) (jw) =1= о (j == 1, . . ., п, 00 < ш < + 00). Поскольку
q} (jш) непрерывные фушщпи (п, то q) иш) > о для всех
(п, т. е. Q (j(j)) > О, что и утверждалось.
4 Иод ред. Р. А. НелеПllН:J.
98 l\ШТОДЫ ТЕОРПИ АБСО.'lЮТНОН УСТОЙЧИВОСТИ [rЛ, 11
g 2.3. Rруrовой I>'рllтерllЙ для системы
с одной пелпнейностыо
Круrовой критерий был незаВIIСИ1lfО получен рЯДОМ
авторов *}. Ero можно рассматривать как обобщение IфИ
терия Михайлова НаЙIшпста на системы с одним неЛII
нейным или линейным нестациопарным БЛОI(ОМ.
РаССl\IОТрlПI систему с одной нелинейностыо (т == ii ==1),
т. е. систему, которая описывается уравнениями (2.1) (ли
нейная часть) и (2.4) (пелинеilность) и:ш (2.5) и (2.4). YpиB
ненне пеЛИIlейuоrо БЛOl.i:l .иОiI,ет н.ис 1'[, ВIIД, в чаСТIIОl:ТII,
(2.3), или дaa e == (t)a, {'де (t) Сl,алярная ФУ1П.
ция, т. е. <шелинейпый)} БЛОI( может быть на самом деле
линейным, но не стационарным. Будем вначале предпола
{'ать, что имеет место вещественный случай, т. е. что все
величины n (2.1) веществепны. При этом дробно рацио
нальная фушщня vV (s) В (2.4) имеет пеществеПIlые КОJф
фициенты.
Предварительно рассмотрим ааi\IКНУТУЮ линейную CTa
ционарную систему, получае:\lУЮ из систе:\IЫ (2.5), (2.4)
заменой пелинейноrо БЛОI>3 (2.4) линейным 6ЛОRОМ с ypaB
нение:\l
== I-lII (2.52)
( вещественное ЧIIСЛО). ПреДПОЛОiIШМ, что vV иы} =1= О,
00 < ы < + 00, или, иначе, если ЛIшейная часть си
стемы описывается уравнением (2.1), то матрица А не
имеет чисто мнимых собственных значений.
ОбознаЧ1Щ через kp степень неустойчивости ра30МЮlУ
той спстемы, т. е. число полюсов фУIШЦИИ VV (А) (или соб
ственных значений матрицы А), расположенных в правой
полуплоскости с учетом их кратности. Пусть ТОЧRа
( l) не лешит на rодоrрафе W иы}. Обозначим через ko
число оборотов rодоrрафа ТУ иш} при возрастании ы от
(J) == 00 до ы == + 00 вокру!' ТОЧIШ ( l). По критерию
Михайлова НаЙКВlIста заl\шнутая система (3.1), (3.52)
асимптотически устоЙчива тоrда Е толыоo тоrда, коrда
ko == k p .
*) Первые пубшшаЦIIП: [20], [62], [103], [113], [135]. Приведен
ная ниже фОРМУЛIIрОDНа KpyroDoro }(рlIтерил ЭIШIIвалентна :крпте
) J 10, сфОРМУЛИРОDапному D Teope Ie 1 работы [135].
I
O':J
2.3]
..:круrовой :КРИТЕРИЙ
99
Перейдем теперь к рассмотрению нелинейной системы
(2.4), (2.5) или (2.1), (2.4). Основным предположением
о нелинейности будет следующее: вход а (t) и выход S (t)
нелинейноrо блока вещественны и при IJ (t) =1= О лежат все
время на плоскости {а, s} в неКОТОРОl\l секторе а -<,S/a -< В.
Обозначим через m a /3 класс нелинейных блоков, удовле
творяющ:nх этому условию.
Пусть С [а, ] область на I{омплексной плоскости
{z}, определяемая неравенства ш
Re [(1 + az) (1 + z)*] -< О,
если а =F. 00, =1= + 00, (2.53)
Re [(1 + az}z*] -< О, если а =1= 00, === + 00, (2.54)
Re [z (1 + z)*] -< О, если а === 00, === + 00. (2.55)
rраница области С [а, }, I{ОТОРУЮ обозначим через
В [а, }, определяется уравнениями, получаемыми из
(2.53} (2.55) заменой знаI\ОВ < на ===. Очевидно, что при
а =1= О, =1= О кривая В [а, ) окружность, проходя
щая через точки ( a l.), ( P l) С центром на оси абсцисс,
а область С [а, ] либо внутренность (при а/3 > О),
либо внешность (при a < О) этой окружности. При
а === О или == О область С lа, ] полуплоскость, а
В [а, ] вертикальная прямая. На рис. 2.1 показано
расположение областей С [a, ] для р,азличных а, .
Пусть а =1= 00, /3 =1= + 00 и rодоrраф W и(()} при
00 -< (J) -< + 00 не пересеl{ает отрезок [ a \ ч.
Это значит, что матрица линейной системы (2.1), (2.52)
не имеет собственных значений на МНИМОЙ оси при
а -< .... < . (В случае, I{оrда а === 00 или === + 00,
это справедливо для 00 < .... -< , а -< f.t < + 00.) Пред
положим также, что для. всех значений f.t из интервала
а -< f.t-< (из интервала oo < f.t < , если а == oo)
либо из интервала а < f.t < + 00, если /3 == + оо} вьшол
нено равенство
ko == k p .
(2.56)
Это условие по критерию Михайлова Найквиста paBHO
СИЛьно УС1LОВИЮ устойчивости замкнутой ЛlШейной систе--
мы (2.1), (2.52) для всех указанных значений ....' т. е. для
всех замкнутых линейных систем, удовлетворяющих yc
ловиlO (2.34). Rруrовой критерий утверждает, что если
4*
100 nlЕ'fОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УС'l'UЙ'lИВUСТll [rл. 11
rодоrраф W иro} не пересеКает не только отрезок [ o. l,
ч, но и окружность (ИЛИ прямую) В [а, }, то устой
чивость имеет место и дпя всех нелинейных систем (2.1),
(2.4) с нелинейностями из Iшасса аjЗ. Более точно это
СфОрl\lулировано в следующей TeOpei\le.
С [crз,о]
'a ' -tt:J
'%
:"
'\.."-
", ,,""'" .'
., :-.......
Рис. 2.1. РаСlюложеНlrе областеu С [а, ] для разлпчных а, .
т е о р е м а 2.2 (к р у r о в о й к р и т е р ий
..АЛ JLJl л.}" :g:..а,.я .(k =t= , f! + flplЙJ п-ОJЮ:J/С u.М;, 'Что
(1) а =t= 00, =t= + 00; (II) фун"ЩUЛ W (s) не имеет no
ЛЮС06 на Jlжи.мой оси; (III) выпОЛНe1l0 wpaeeHcmeo (2.56),
т. е. все лиl-tейnые системы (2.1), (2.52) с а. -< J.I. -< 13
ас и.мптотU"teCKU устойчuвы; (IV) еодоераф W (jю),
00 < (1) < + 00 не и.иеет общих точек с окружностъю
(или прямой) В [а, /3]. Тоеда нелuней-н,ая cucтeJl a (2.1),
(2.4) абсолютно Э/f,споненциалъно устОЙ 1 tuва в классе al>
нелиней-н,остей, удовлетворяющих условию .(2.34), т. е.
д.ля любоео реШe1lUЯ cucme.Jtbl (2.1), (2.4) u любых t:> t o
выполнено неравенство (2.46), еде Чllсла С>О, е>О oBull.a
К06Ы для всех q> Е al3. Kp(Mte тоео, 11 < .00.
3 а 1\1 е ч а н и е 2.7. УСЛОВIIЯ (1II), (IV) в Формули
ровке Kpyronoro критерия MorYT быть, очевидно, BallleHe
2.3]
круто13UЙ КРl1ТЕРIIЙ
101
ны следующими: (IlIa) аcuмптотuчес-хи устойчива л'иней
ная система (2.1), (2.52) с не-хоторым ,... из интервала
а < ,... < ; (IVa) 80доараф W ио>}, oo < о> < +00 не
имеет общих точе-х с областью С [а, J.
Rруrовой критерий является простым следствием KBaд
ратичноrо критерия для локальной связи (теорема 2.1,2 0 )
Проведем соответствующий вывод, поскольку ЭТОТ вывод
будет служить иллюстрацией прим нения квадратичноrо
критерия.
В 1 было отмечено, что условие а < 61а < paBHO
сильно соотношению (2.34), т.. е. локальной связи (2.36)
с формой F (6, а) == (jЗа s) (6 аа). Таким образом;
класс a(3 совпадает с множеством 9n F дЛЯ указанной
формы. "Условие (А), совпадающее с предположением (II)
теоремы 2.2, выполнено по условию. Система (2.1) мини
мально устойчива в Rлассе 9nF. Действительно, соrласно
предположению (III) теоремы 2.2" «система сравнению)
(2.1), (2.52) (rде а < ,... ) асимптотически устойчива
и для этой системы ВЫJ10лнено неравенство F (6, а) ==
== (13 ,...) (,... а}а 2 ;> О при любых входаХ а == а (t)
и выходах S == 6 (t) «нешшейноrо» БЛОI{а (2.52). Соrласно
замечанию 2.3 система (2.1) мишшально устойчива в
классе 9пF.
В нашем случае, как было ОТl\Ieчено выше, форма F (s, )
имеет вид
F (s, == Не [(/30' f>* (f аО')} ==
== He {[1 + aW (s}J [1 + W (s}J)* 11. 12. (2.57)
Частотное условпе (2.45) по rому lшеет вид
Re (['1 + aJY(j(i)}] [1 + BJ'V(j }]*} > О.
(2.58)
Это неравенство совпадает с условием (IV) теореиы 2.2.
Таким образом, все предположения раздела 20 теоремы
2.1 выполнены. Из утверждения 20 теоремы 2.1 следует
теорема 2.2.
Отметим, что неравенство (2.58), являющееся аналити
ческой записью OCHoBHoro условия (IV) теоремы 2.2,
может быть переписано в виде
Re {[1 + avV(jw}] [1 + I3vV(jw}]} =1= О,
oo<(i)<+oo.
(2.59)
102
МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[rл. 11
Действительно, из (2.59) следует, что левая часть в (2.59)
положительна, поскольку она не может менять знаI\а,
и положительна при о> 00. ПОЭТОМУ из (2.59) следует
(2.58). Обратное очевидно.
Применение KpyroBoro критерия поясняет рис. 2.2.
Предположим, что rодоrраф W ио>} имеет вид, показан
ный жирной линией. Пусть степень неустойчивости разом:
кнутой системы равна двум, т. е. функция W (s) имеет два
Рис. 2.2. ПоясНсППС ЩJIIМСll ШШ l,pyrUlJoro ЩJIlТСрllН.
полюса (матрица А имеет два собственных значеlIlIЯ) D
правой полynлоскости (kp == 2). Тоща интервалом устой
чивости системы (2.1), (2.52) является 1-11 < f.L < 00., rде
значение f.Ll определяется с помощыо rодоrрафа W ио>}
,по абсциссе ero точки пересечения с отрицательной по-:-
луосы.. Действительно, для указанных значений f.L для
любой Точки ( f.L 1) из интервала f.L 1 < f.L 1 < О имеем
ko == 2, т. е. ko == kp. Рассмотрим значения а1, l такие,
что интервал [ <li\ l] содержится в интервале устой
чивости ( f.Li\ оо.). Для Toro чтобы СООТDеТСТDующая He
2.ЗJ
Rруrовой RРИТЕРИЙ
103
, линейная система была устойчива при условии al -< 'S/cr-<
< 1' достаточно по I\pyroBoMY I\ритерию, чтобы ОI\РУЖ
НОСТЬ В [а1' 1]' имеющая центр на вещественной оси
и проходящая через точки a \ l\ не пересеI\ала
rодоrраф W (jffi) (т. е. чтобы она была расположена таI\,
I\ак ПОI\азано на рис. 2.2). "У"казанное условие определяет
интервал устойчивости [а1' 1] нелинейной системы.
Этот интервал определяется неодиозначно. Например,
если IЫ хотим, чтобы аl было БЛИЗI<О I{ 111' то этот интервал
будет малым (при а1 111 Иl\reем 1 112' cr.!. рис. 2.2).
Пусть степень неус'rойчивости разомкнутой системы
равна единице: kp == 1. Тоrда интервалои устойчивости ли
нейной системы ( == l1а) будет О < 11 1 < 112"1 (рис. 2.2),
ибо для точек ( 11 1) из этоrо интервала ko == 1. Интер
валом устойчивости нелинейной системы а 2 'S!cr < {3:а
будет снова таI\ОЙ интервал, д;lIЯ RoToporo ОI\РУЖНОСТЬ
В [аа, {3а] не пересеI\ает rодоrраф W (iffi). Если rодоrраф
имеет вид, указанный на рис. 2.2 (в частности, в OI\peCT
ности ТОЧI\И J..L;\ он расположен вне СОПРИI\асающейся
окружности, показанной на рис. 2.2 ПУНI\ТИрОМ), то ин
тервалом устойчивости [а 2 , 2] нелинейilOЙ. системы будет
любой из интервалов, для I\l)1'oporo О < a21 < {3;1 <
< 11;I. в этом случае из устойчивости линейной систе
мы (2.1), (2.52) в интервале J..L2 < 11 < О следует устой
чивость нелинейной системы в любом, СI\ОЛЬ уrодио MeHЬ
тем интервале. т. е. для <р Е А а .р. с любыми а2' 2'
для которых [а 2 , 2] Е (112' 01. Для подобных систем
справедлива известная rипотеза Айзермана [1].
Пусть, наI\онец, степень неустойчивости раЗОМI\НУТОЙ
системы равна нулю (kp==O), т. е. все полюсы W (8) И
собственные значения матрицы А расположены в левой
ПОЛУПЛОСI\ОСТИ. В этом случае интервалом устойчивости
линейной системы является (112' 111), rде числа J..L2 < О,
111 > О имеют прешние значения и определяются, I\аI\ и
выше, через абсциссы точеI\ пересечения rодоrрафа
W (i(J)} с вещественной осью. Интервалами устойчивости
нелинейной системы будут, например, (аз, з), (а4' 4)'
rде числа О < аз < з, а4 < О, 4 > О определяютСя,
каI\ и выше, из условий отсутствия пересечений rодоrрафа
с ОI\РУЖНОСТЯМИ В [аз, з], в [a-t, 4] (рис. 2.2). В это}(
случае нельзя утверждать, что для рассматриваемой
104 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТП [rл. II
системы справедлива rипотеза Айзермана. Если в интер
вале устойчивости [аз, ], полученном по I\pyroBoMY
I\ритершо, з --+ fll, то, I\ак видно из рис. 2.2, интервал
[аз, зl стяrивается в ТОЧI{У, т. е. аз --+ fll' Отмстим, ЧТО
в данном случае С [аз, зl I\рУ!' (аз> О, з > О),
а С [а" {3,] внешность Kpyra (а, < О, ,> О).
Отметим, что I\руrовой критерий остается справедли
вым и для случая неустойчивости. И}lенно, пусть rодо
rраф W (iro) не пересекает область С [а, l, и линейная
система (2.1), (2.52) неустойчива при а < fl < . ОI\азы
Вается, тоrда неустойчива в цеЛОllI и нелинейная система
(2.1), (2.4) для <р Е Аа/3. Неустойчивость в.целом означает
в данном случае существование в пространстве {х} OT
I\рытоrо I\онуса К с вершиной в ТОЧI{е х ==: О TaI\OrO, что
при х (t o ) Е К решение х (t) ЭI\споненциально возрастает
при t --+ 00. ТаI\Иl\l образом, если rодоrраф W (iro) не пе
ресеI\ает ОI\рУЖНОСТЬ (или прямую.) В [а, ], то нелиней
в:ые системы (2.1), (2.4) с <р Е Аа/3 уСТОЙЧИВЫ или неустой
чивы одновременно с линейными системами (2.1), (2.52)
с а < fl < . (Соответствующая ТОЧI\а fl l принадле
жит отрезку, полученному пересечением оси абсцисс
с областью С [а, ].)
До сих пор рассматривался: случай а =1= 00, {3 =1= + 00.
Пусть либо а ==: 00, либо Р ==: + 00 *}.
т е о р е м а 2.3 (1\ Р У r о в о й I{ Р И 'J; е р и й д л я
с л у ч а я, 1\ о r Д а л и б о а ==: 00, Л И б о ==: + оо).
Предположим, 'Что (I') либо а ==: 00., =1= + 00, либо
а ::F 00, ==: + 00; (11') функция W (s) не имеет полю
сов на .мнимой оси; (III') выполнено равенство (2.56),
т. е. все линейные cucme.Aflbl (2.1), (2.52) со З1Ш'Чениями fl
из интервалов 00< fl < (3 или а < fl < +00 acиMптo
ти'Чески устой'Чивы; (IV') еодоераф W (jro) рри 00 <
< ro < + 00 не и.к,еет общих mо'Чек с окружностью
*) Соrласно введенной в 2.2 теР1.шнолоrии ЭТИ случаи являют
ся вырожденными. Действительно, в данном случае выполнено
(2.36) с формой F == а ( a 6), если а == OQ И С формой F ==
:= а (6 аа), если 13 == + 00. Поступая так, Кa".I, указано в 2.2,
получим F == Re а ( 1)., F == +Re {W (ioo) I!3W (ioo) + 1]*} I I Z
нри а== 00. ТаКИ1.1 образом, нмеем вырожденность: F == о при
00 == 00. R тому же выводу мы придем в случае 13 == 00, в этом
случае F == Re {(! + cxW (ioo)) W (ioo)*} 1112, и снова имеем
F == о при 00 == 00.
:круrовой :КРИТЕРИЙ
в [а., ]; У'} выполнено неравен.ство
Нт (1)2 Re W и(1)} =1= О.
(0)....00
(2.60)
Тоеда не.линейная система (2.1), (2.4) абсолютно Э11:спо
ненqиалъно устойчива в 11:лассе a(3 ншщнейностей, yдo
влетворяющих условию (2.34), т. е. для лю60ео решения
системы (2.1), (2.4) и любых t :;;;;;. t o Вьznолн.ено соотноше
ние (2.57), еде чиС. а С > О, е > О одина11:0вы для всех
DO
<р Е afj. Кроме тоео, сходится интеерал Ji\ (G, а) dt,
о
еде Рl (s, о") == а (Ва s) npll а == 00, Рl (s, а) ==
== а (!; аа) при == + 00.
3 а м: е ч а н и е 2.8. "Условия: (III', IV') в теореме 2.3
MorYT быть заменены условиями: (1 II а') асимптопшчеС11:и
устойчива одна иа систе"',/, (2.1), (2.52) с некоторым f.I. иа
интервала а -< f.I. , ; (IY' а) 20доераф W и(1)}, 00 ,
-< (1) -< +00, не U"lteem оБЩIlХ lnO'leK с областъю С [а, J.
Отметим, что условие (1 У' а) записывается аналитиче
СI\И в случае а == 00 в виде
Re {W иоо} [1 + W (jю}]*} < О (О -< ю < + ос), (2.61)
а в случае == + 00 в виде
Re {О + aJiV (j(,)HV и(,)*} > О
(О -< (i) < (0). (2.62)
ПроиллюстрируеllI теорему 2.3 для случая, I\оrда
== 00. И rодоrраф имеет вид, ПОI\азанный на рис. 2.1.
ПреДПОЛОSRШI, что kp == 2, т. е. W (s) имеет два полюса
в правой ПОЛУПЛОСI<ОСТИ. Тоrда интервалом устойчиво
сти линейной системы (2.1). (2.52) явля:ется интервал
f.l.l < f.I. < + 00, rде ЧИСJrО ( f.I. I) нахоДИТСЯ по rодоrрафу
так, I\аI\ указано на рис. 2.1. Пусть С [а4' 00] каI\ОЙ
либо KPyr, расположенный тю{, нак показано на рис. 2.1,
имеющий с rодоrрафоы толы\o одну общую точку W == О.
(Нал ие этой общей точки и означает вырожденнос'rЬ.)
Пусть выполнено неравенство (2.60) дополнительное
требование при наличии вырожденности. Тоrда нелИRей
ная система (2.1), (2.4) абсолютно и ЭI\спонеНЦИальНО
устойчива (выполнено условие (2.46)} в классе неЛИRей
ностей, удовлетворяlOЩИХ неравенству !; (t)/a (t) > а4 при
(j (t) =1= О.
106 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АВСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [rл. II
Наибольшее значение а4 получается следующим об
разом:. Проведем I{ rодоrрафу в точке W === о СОПРИI{8саю
щуюся окружность (т. е. Щ{РУЖНОСТЬ, имеющую с rодо
rрафом касание BToporo ПОРЯДI\а). Если ЭТа ОI\РУЖНОСТЬ
не пересечет rодоrраф в точке, отличной от W == О, то
соответствующее значение а4 будет наибольшим. Если же
эта ОI\рУЖНОСТЬ будет иметь общие ТОЧI\И с rодоrрафом,
I\роме точки И7 == О, то
наибольшсrо значения а4
не существует; при этом
верхняя {'рань ай COOTBeT
ствующих значений а 4
реализуется на I\асаю
щейся rодоrрафа такой
окружности, что ее BHYТ
ренность не имеет об
щих' точек с rодоrрафом
(рис. 2.3). "Устойчивость
будет при s (t}/(J (t):> а4'
rде а4 произвольное чис
ло, та1\.ое что а4 < ай.
При ПОМощи I\pyroBoro
крптерия можно получать
оцеНI\У с-верху роста или
убывания решений. Для
этоrо следует в системе (2.1), (2.4) сдеЛать замену
х == eKtx, S == e>(l l' подбирая число х так, чтобы rодоrраф
W иCIJ + х) не пересеI\ал область С Са, f)J, и применить
теоремы 3.2, 3.3. ОПУСI\ая простые раССУiRдения, приведеl\{
ОI\ончательный результат.
т е о р е м а 2.4. Пусть выnол1tепы неравещтва
а -< /a <; и вещественное 1lисло х таково, 1lmO на линии
Re s == XHeт полюсов функции W (в). Предположим, 1lmo
20дО2раф W иCIJ + х) не пересекает область С (а, Р) при
00. -< CIJ < + 00. (если а =1= 00., =1= + оо.) и при
oo.< CIJ < + 00. (если либо а == oo., либо === +оо.}.
Если а == 00. или === + 00., то предnОЛО:JlCu.и, КРО.4(;е
тоео, 1lmO Нт ClJ 2 W иш + х) =1= О. ОБОЗ1tаtJ.U. 1lерез k
"'--++00
число полюсов (с Y1lemOM npamHocmu) фу1-t1щии W (в) в об
ласти Re в> х, через k 'Число оборотов 20доарафа
W иCIJ + х) во 11,руа любой внутренней mO't11,U обttаст
Рис. 2.3. 1\ теореме 2.3. СлучаЙ,
коrда окружность Иllюет общпе
точки с rодоrрафом.
I\руrовой I\РПТЕРПЙ
С [а, ]; nредложи.А , что k == ko *}. Тоада для любоао
решепия х (t) cиcтe.A Ы (2.1), (2.4) и любых t>- Е о выnол1tено
нepaeeTlcmeo (2.46), аде С > О, ( E) < %, nри'Чем, 'Числа С
и Е oiJu1ta1i.oebL для всех систе."" с <р Е а13'
Для иллюстрации теореllIЫ 2.4 рассмотрим случай,
коrда rодоrраф J-V иоо} имеет вид, изображенный на
рис. 2.4 пунктирной лп
пией, а нелпнейность
удовлетnоряет условию
O<I;/O'< , т. е. <рЕ оl3'
Пусть, I\рО!\1е Toro, все
полюсы l'V (s) располо
жены в области Re s<O.
Соrласно KpyroBOl\1y I{рИ
терию нелинейная си
стема абсолютно устой ,
чива в классе о13, еСЛll
l + Re W(j(jj} > О прь
О < (jj < 00. или, иначе,
если < l' rде l оп
ределяется поrодоrрафу Рис. 2.4. Н теореме 2.4. Оиреде
W иоо) таI\, I\аI\ YI\a ленле чисел l и I!'
зано на рис. 2.4. П peд
ПОЛОЖИll(, однаI\О, что для данноrо значения {3 усло
вие < L не выполнено. Пусть при этом нас интересует
оцеНI\а возможноrо возрастания решения, т. е. наимf'НЬ
шее из значений % > О таI\ИХ, что для любоrо решения
системы (2.1), (2.4) выполнено неравенство
I х (t) I < СеХ(Но) I х (to) I (2.63)
при любых t > t o . По теореме 2.4 УI\азанное значение %
находится из частотноrо услоnия
С[О' I З ]
;' ([.?, I:'
. //.......,
, I
'
-\
. \
',..... .
,3;: ' I ;' . . // ...... ........ .-
" з:
'" \ 1. ..
,
"
............ ---..;
,"
........, 11' fjcvl
,
'\ ,,,-(jw.x)
\-
\
\
I
J
I
I
I
I
I
/
.-
./
l + Re W иоо + %) > О (О < (jj < оо.).
Иначе, если по rодоrрафу W иоо + %) определить эна
чение 2 таI\, I\аI\ УI\азано на рис. 2.4. то выполнение
оцеНI\И (2.63) rарантируется при условии, что {3 < (32.
*) Чпсло k1 может быть таюь;е опрсделено пз УСЛОВИЯ, что MaT
рпца коэффпциентов Q (/-t) == А + /-tbc* шiнейной системы (2.1),
(2.4) прп пропзnольпоъ[ I>онечпом /-t из пнтервала а, /-t , /3 Не
имеет собстnепных значенпи в полупЛОСI>ОСТII Re ').. > к
1QR МЕТОДЫ ТЕОРШI АБСОЛЮТНОЙ устойчивости [rл II
Частотные условия теорем 2.2, 2.3 в общем случае
лишь достаточны для абсолютной устойчивости в I{лассе
нелинейностей а13' Тем не менее, I\ак было отмечено
выше, при определенноlо( расположении частотной xapaR
теристики эти частотные условия MorYT быть и необходи
мыми условиями абсол1ОТНОЙ устойчивости в классах
m a + e , l3 e с любым сколь уrодно малым е > О. KaI{ было
отмечено выше, это имеет место, например, для случая,
ПОI\азанноrо на рис. 2.2, коrда интерваЛDМ устойчивости
линейной системы (2.1), (2.52) является интервал (О, Jl2)'
Оказывается, что I\руrовой критерий охватывает все
условия, ROTopble MorYT быть получены при ПОlllОЩИ Функ
ций Ляпунова вида квадратичной формы, т. е. является
весьма ШИрОКИl\I достаточным услоnием. (Подробнее
и более точно об этом будет сказано ниже, в 2.5.)
Рассмотрим специальный случай, I\оrда линейная часть
описывается уравнением BT,)pOro порядка
a :; dз
dt 2 + l dt + 11 == О,
а квадратичная связь имеет вид т < ч/а < Л1, rде
l, 111, т> О зv.даШIЫС 'IНCJШ. ДЛЯ ;)TOI'O СJIУ'lая полу
чено необходи:\юе и достаточпое условне аБСОЛIOТIIОЙ устой
чивости в классе ЩтМ нелипейностсй, удовлетворшощи,(
указанной ЛОI{альной н:вадратпчной связи *). Это условие
имеет вид:
либо
l > 2У М ,
либо
r r n: 11 1 12 1 1
2 r т < l < 2 r М и t + 2 ln т > -----:- tl + 2 In N ,
g 11 1 12
{'де числа 11, 12 определяются из соотношений
COSi1.== 2 ' 0<11.< , chI2== 2tт , 12>0,
либо \
r :L T1 1 1" 1
l<;2r т и t +?IIlт> t + 2 1IlЛI,
g 11 g I
*) А. Ю. Л е в и н, Об УСТОЙЧПDОСТИ решениii уравнений BToporo
порядка, ДАН СССР, Т. 141, М 6, 1971.
2.3]
нруrовоЙ НРIIТЕРИЙ
109
rде 1'1 имеет прежнее значепие и cos 1'2 == 2т ' О < '\'2 <
< л/2.
Достаточное условие абсолютной устойчивости, полу
чаемое по KpyroBOl\IY критерию, имеет iшд * }
[> Y J\lI у т .
Это условие выделяет более узкую область в пространстве
параметроп. Тюшм обrаЗОl\I, дсйствительно, в общем
случае круrовой I\ритерий лишь достаточное, HU не
неоБХОДИ:'lOе условие абсолютноЙ устойчивости в классе
a(3' Д;IЯ общеrо случая необходпмое 11 достаточное, но
трудно проверяеl\Iое условие абсолютной устойчивости
в классе a(3 получсно в работе [1111.
На ПОl\IIПIl\I , что дО СIIХ пор рассматривался всщестnен
вый случаЙ. ИптереСIIО О'1':Ilетить, что 13 IШl\lПлеl.сном слу
чае (коrда 6 и (j" !\IOryT быть КОl\IП.'lеIiСНЫl\Ш) круrовой КрИ
терий пс толы\О l\OCT3.T,)'1110C, 110 :и Ilсобходимое усло
вие абсолютной УСТОЙЧИJJОСТИ в аналоr:ичном Iшассе.
Именно, рассмотрим вместо a(3 I\лаСС I\Оllшлекснознач
ных нелинейностей (2.4) , I\оторые вместо соотношений
(2.24), эквивалентных нера.венству (6 ал) ( a ) > О,
удовлетворяют неравенству Re [(6 аа)* ( a }1 > О.
Этот Rласс нелинейностей обозначим: через a(3.
т е о р е м а 2.5. Пусть а =/= oo, =/= +00 и Фунх
ЧИЯ W (s) не имеет полюсов на мнимой оси. Для абсолют
ной устой'Чивости CUCmeJtLbl (2.1), (2.4) в 1Wtacce a(3 HC
обходиJЮ и достаточно, 'Чтобы еодоераф W (jro),
00 < ro < + 00 не и.Jсел общих то'Ч х с охружностью
(или прямой) В [а, l и 'Чmобы было выполнепо равенство
kp == k o , еде ko 'Число оборотов 20доерафа вохруе любой
то'Чхи области С [а, l, а kp 'Число полюсов (с у'ЧетОJtс их
*) ПОСJШ замены 1'] та + 1; (ЦСЛЬ 1\0Topoii IIзбашпьсн от
d 2 a ,Z'3
крптическоrо случая) получим уравнсние dt 2 + l dt + rпG + !; == о
с квадратичдоп связью О S/a М т. В даlШоМ случае W (8)
== [s2 + ls + m] l, а частотное УСЛОDие имеет вид (М т) l +
+ Не W аоо) > О. Это условие преобразуется к неравенству (й 4 +
+ (12 М т)ы 2 + Мт> О, которое должно быть выполнено
при всех 00, что равносильно неравснству l > У м Ут. (Послед
нее соотношение леrко получпть, если воспользоваться лем,\юй
3.2, S 3.6.)
НО МЕТОДЫ 'rЕОРIШ АБСОЛЮТНОй УС'rоffЧi!ВОСТII [1'31. 11
кратности} фУНКЦUll W (s), расположенных в правоЙ
полуплоскости. Если нет пересе'lений zодоарафа с В [а, ],
то выполнено соотношеuие (2.57), zae числа С > О, е > О
одинаковы для всех q> Е i аrз .
Теорема 2.5 выводится из I{вадратичноrо критерия для
ЛОI\альной связи (пункт 20 теоремы 2.1) дословно так же,
как и в вещественном случае. Необходимость можно
получить очень просто и непосредственно. Действительно,
пусть имеет место абсолютная устойчивость в классе al3'
Условие J!cr Е al3 означает, что Re [(р.* а) ( р.)] >
> О, т. е. что rL Е С [а, l. При УIщзанных I{Омплек
сных р. система (2.1), (2.52) должна быть асимпто
тически устойчива. По I\ритерию Михайлова Найк
виста р. l =1= W (jro) для этих р. и k p == ko. В частности,
rодоrраф W иro) не имеет общих точек с rраницей
В Ca, ] I\pyra (или внешности I{pyra) С Са, l.
в заI\лючение этоrо параrрафа отметим, что известен
ряд результатов, уточняющих (при выполнении ряда дo
полнительных условий) теоремы 2.2, 2.3, 2.4. Эти резуль
таты относятся в основном 1\ BыpoiКдeHHЫM случаям, коrда
в часТQТНЫХ условиях (2.58), (2.61), (2.62) знаки >
заменены на ;>.
2.4. Частотное условие Попова для системы
с одной нелинейностью
Частотное условие Попова относится 1\ системе со CTa
ционарной нелинейностью (2.2). Уравнения системЫ имеют
вид (2.1), (2.2) или (2.5), (2.2) с т == ii ::= 1. Функция (2.2)
является либо непрерывной, либо раарывной, с изоли
рованными ТОЧI\ами разрыва первоrо рода *}. Предпола
rается, что в ТОЧI\ах непрерывности и при (j" =1= О выполне
ны неравенетва
о < q> (а}/а < fLo,
(2.64)
*) Последнее означает, что для. I<аждой точки раЗрЫl3а аи
существуют и конечны пределы Нт q> (а), Нт <р(а).
о........ао.о<оо ....0........001 c:J>oo
Можно рассматривать системы (2.1), (2.2) с пропзвольной измери
мой функцией <р (а), НО это несущественное обобщение усложнит
фОрМУЛИрОВI<У результатов. В случае разрыl3НОЙ функции <р (а) pe
шение системы (2.1), (2.2) должно пониъ(аться. в каком либо неКЛQС
сическом смысле, учитывающем CI<ользящие режимы. Ниже решеппе
повnмается в смысле Филиппова [122], Подробпее об определешщ
решения для разрывных Iji (а) будет сказано в 3.3.
ЧАСТОТНОЕ YC:IOBIIE ПОПОВА
'1". е. что rрафИI\ функции 6 == fP (О') раСПОЛОiIiен на плос
кости в сеI\торе S == \-10', О -< !1 -< \-10' При этом не ИСIШIO
чается случай J!o == 00. (В дальнейmе\l( считаем t;;l == О,
если 'J.Lо . оо.) ОбознаЧИll[ через 61'-0 мно,!,ество вСех ФУIlК
ций fP (О') УI\азанноrо вида.
. т е о р е м а 2.6 (ч а с т о т н ы й к р и т е р и й
В. М. Поп о в а) (178]. Пред положU.iK , что всистеле
(2.1) А 2урвицева Jlштрица (т. е. что все полюсы Функ
чии w (s) расположепы в левой nО:lуnлоскости) , а также
что длл некотОРО20 веществеЮ-1020 {t и всех ro, 0-< ro -< + 00,
выполнено неравенство
f.L + Re [(1 + jco{})JV исо)] > О.
(2.65)
ТО2да ("Ucme.1ta (2.1) абсолютна устойчива в классе 6!-,0
нелинеиносmeй (2.2), lIpll 1 le.1l 'Число r в. (2.32), (2.38), (2.39)
определяется ФОРМУЛОЙ
" (о)
r =;: fP (о) d .
о
(2.66)
Частотное условие Попова (2.65) допускает простую
rеометричеСI\УЮ интерпретацию. ПОЛОЖИМ
S (ro) == Не W (jro), 11 (ro) == ro 1т W иro)
и построим на плоскости {s, 1']} кривую 6 == 6 (ro),
1'] == 1'] (ro), которую будем называть видОllЗ. tененной. 'l.{ac
тотнои хараюперистиn.oЙ. :Кривая == s (ro), 1'] == 1'] (СО)}
получается из частотной характеРИСТИI\И W иro} YllIHO
жениеl\l ординат па теI\ущее значение ro. Из (2.1) сле
дует таI\же, что
s (ro) == с' (А2 + ro2I) lAb, }
1'] (ro) == ro 2 c' (А2 + ro2I} lb.
(2.67)
Проведеl\l на плоскости {s, 1']} прямую, называемую nря
мой Попова, таI\, чтобы а} видоизмененная частотная xa
раI\теристика находилась справа от этой пряыой, б} аб
сцисса Sп точки пересечения этой прямой с осью 11 == О
была бы неположительной, в) значение sп было бы l\IaK
симально возможным. Прямая ПОПОlJа lIюжет, очевидно,
!!lIIет!> общие точки с видоизr. еlIе ной частотной xavaKTe
112 МЕТОДЫ ТЕОРИII АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИВОСТИ [rл. 11
ристикой (рис. 2.5). ПОЛОiКШI llп == 1, еслп 6п о,
и ILп == 00, если п == О. Критерий Попова (условие (2.65))
утверждает, что И:lшет место абсолютная устойчивость
в указанном в теоре!\ю 2.6 C"lblC:Je в Iшассе пелинейностей,
уДовлетворяющих условию 0-< (jJ (а)/а -< /-1-0 < /-I-п, если
/-I-п =F 00, ИЛИ условию (jJ (а}/а > О, если f.l.п == 00. "YI{a
занное rеО!\Iетрическое построение позволяет по линейной
части СИСТе:\IЫ (точнее, по ее ВИДОИЗ lененной частотной
.
7j
'1
а)
6)
r;
РИС, 2.5. В:ШIШ/ll,ш П()ЛОiJ(СППЛ лr,sаюii ПОЛОn:1 п ШJДОП3МСПСIJIlOlr
час'l'ОТНОU хар;щтерIlСТШШ.
хараI\теристике} получать максимальное значение flo
(точнее, ero верхнюю rрань lп) ты{ое, что по критерmо
Попова система абсолютно устойчива в классе <5......
Остановимся на связи крnтериев Попова и Михайло
ва НаЙI{виста. Обозпачим через I1 абсциссу I\райней
слева ТОЧIЩ пересечения видоизмененной хараI\теРИСТИ1\Jl
с осью Ч == О, если эта абсцисса неПОЛО)lштельна. В про
ТИВНОl\i случае ПОЛОЖИМ H == О. Значение H' очевидно,
не изменится, если вместо видоизмененной хараI\теристи
I\И взять характеристику W (j(jJ). Поэтому соrласно кри
терию Михайлова Найквиста, линейная. система, полу
чающаяся из (2.1), (2.2) при (jJ (а) == /-1-0", будет устойчива
для 0-< /-1- < /-I-H == ;;:\ если H =F О, или для всех /-1- > О,
если H == О. Возможен случай (рис. 2.5, б), IшrДа SH == п.
Для системы этоrо типа справедлива rипотеза Айзермана
[1] в классе нелинейпостей <5......
Выведе?l! крюерий Попова (теорему 2.6) {} > о из
Qбщеrр квадрат чпоrо критерия. (Случа 'о' < о сводитсп
ЧАСТОТНОЕ УСЛОВИЕ ПОПОВА
h С.:IУЧШО 1) > о посреДСТНШI npocToro llриема, УЮ:lаанноru
в работе [3].) Этот вывод IIЛЛJOстрирует ИСllОJl[,зоuаUIIС
оБЩf'rо IшадраТlIчноrо н:ритсрпя (н соотпетствпп с за:lН"
чанпем 2,;'i) в случае неСI,ОЛЬЮI:Х спяаеп.
"Условие (2.64) означает пыполнение ло!,альноп связи
РI ( , а) (а t I ) > О. Обозначпы
а
Ф (6) == ср (.::;) d::;.
о
Из (2.64) следует, ЧТО Ф (а) > О. ПОJI'U IУ, ПО:I8rCl.Н
F! ( , 6) 6, имею!
I
Fz (s. G) dt Ф [б и)1 ф [G (О)] > r 2 ,
о
, {'де r 2 == ф [а (O}J. Поступая. ка}> УIШЗННО в замечании
2.5, введем форму
F (G, а, а) =..: LIFl ( . а) + Т2Е2 (G, 6), (2.В8)
{'де "tj > О. Очевидно, что для любой последовательности
tk 00 выполне.но неравенство (2.32) с формой (2.68)
и с числом r == 't 2 r 2 - Т8IШМ образом, для любоrо решения
рассматриваемой системы вход а (t) и ВЫХОД S (l) нелиней
Roro БЛОКа удовлетворяют пнтрrральной связи с формой
(2.68)
Система сравнения, получаемая добаВJiением к (2.1)
уравнения (шелинейностп сравнению) О, очевидно,
асимптотически устойчива и F (О, Cf, б) = О. Соrласно
замечанию 2.3 система (2.1) миншraльпо устойчива в
классе (51-'-0'
Перейдем н. осповпоыу частотuому условию (2.45).
ИR выражения для форм Fl' Е 2 И из СООТI10шения (2.68)
следует, ЧТО соответствующей эрмитовой формой будет
I
F (s, a, ) == 'I Пе [ * (.::; l; s)j + '2 Re (;*б). (2.69)
Здесь ,a, б llезюшсимые IШИПЛСI.сные пере:llВнпые.
В 500тветстпип с праЫI.'10 [ 2.2, расс:нuтрпвая теперь O
и Q J\aK преобраЗОDЮШЯ Jlац.'Ii1са, подаПlе\I 3 == vv' (8) ,
114 МЕТОДЫ TEOPIIII АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧПВОСТIl [rл. II
G ==: S6. ИЗ (2.69) ПО.:!УЧШ[
1 . 2
F(S,S) {1"l IO +Re[ 1+S1"JTV(s)]}I1;I. (2.70)
Условие отрицательности формы (2.70) прп , = jw
(Т. е. условие (2.45)} даст неравепство (2.65), rде {} =-, 1"2
И Тl ==: 1. (Равенство Т 1 ::=:: О противоречит (2.45) для
(J) == О, поэтому, ие ослабляя критерия, полаrаеll1 '"1 == 1.)
ТаКИll1 образом, частотное условие (2.15) совпадает с усло
вием (2.65). Следовательно, условие (2.45) выполнено.
По пункту 10 теореА[Ы 2.1 система (2.1) абсолютно устой
чива в классе (5[-'0 с числом r === т 2 Ф [О' (О)]. Относя эна
чение Т 2 ==:'-6> к постояrшым C z , СА В (2.38), ПОЛУЧИlll YTBep
Ж]l;ение теоремы 2.6.
Важно отметить, что ПрИDi?деНRЫЙ вывод справедлив
це ТОЛЫЮ для нелипейностей <р Е (5\-'-0' но таюке и для
нелинейностей общеrо l!ида (2.4), для которых выполнены
СЛСДУЮD\ие два условия,
о < 1; (t)/O' (l) =< to прн о' (t) О,
(2.7"1)
t .
(Р [о (т) I I, [1] d.:i (tl) ;> r о [J (О)],
О
(2.72)
тде [о (о) > О некоторая фующпя (споя для I(аШДОll [р).
Леп\О проверпть, что прпведенный ВЫВОД спранедлИ!з и
цля {} < О, ТО.'1Ы\О DЖ'СТО (2, 7'2) )JO. IiI\IlO быть ПЫПОJIнеIIО
УСJIОВПС
t
{ loj (l1) ЧJ [6 (1") ' \ l1J} d::; ид:> 1'0 [6 (O)J. (2.73)
о
Условпя (2.72), (2.73) n f'лучае rисrерезисных фушщпй
ШI("ЮТ простой rеоыетрпчеСI\JIЙ СIIJЫСЛ. Услош[е (2.72)
означает, что при обходе любой l1етлп rпстерезпса МОfl(ет
I1РОПСХОДЛТЬ хит!> нриращенне площадп (т. е. в обычных
случаях обход любоЙ неТЛIf тпстерезпса )Jo.'I;{,elI COBep
шаТLСЯ по часовой стреш(е). Соотношение (2Л3) означает
ВЬШО:LНеШll тото же условия ДJШ фуш.ЦIlН f1- 0 0' (р.
Е обычных случаях услонне ('2.7:3) завеДО:l1O ВЫПОЛНРIlО,
еСЮI обход любоп петщ[ rИС'f IJС3IIса совершается пrотп
2.4]
ЧАСТОТНОЕ УСЛОВIIF. ПОПОВА
rI5
часовой стрелки *}. Например, для rnстереЗDСНОИ фуНI{
ЦИИ, rрафик которой ияображен на рис. 2.6, а, выполнены
условия (2.71) и (2.72), а дЛЯ ФУШЩIIИ, rрафин I{ОТОрОЙ
f'
60
о)
6
6
60
6)
Рис. 2.6. [\ опр"дr.ШШlllO ус IJOHllii устойqIlDОСТ![ CIIC[Cl\[
С rlleTcl'l':.!IICO [
изображен на рпс. 2.6, б, ВЬШО.IНены уел.ОВIIЯ (2.7'1) и (2.7д).
ТаRИМ образом, справедливо следующее утверждение:
т е.о р е м а 2.7. Пусть е систе.ие (2.1), (2.4) или (2.5),
(2.4) А еурвицева матрlща (по.люсы W (s) распо.ложены
в левой по.лупдОС1f,()сти},и неЛllнейн,остъ (2.4) удовлетворяет
либо условиям (2.71), (2.72), либо усливия.;к (2.71), (2.73).
Пусть выпо.лн,ен,о частотпое условие Попова (2.75) для
пекотороео {)о :> о, если нелинейпость удовлетворяет cooт
пошепиlО (2.72), и для пехотО)1020 {)о < О, если не.липей
пость удовлетворяет соотношеН1l10 (2.73). Тоеда для лю
6020 решепия cucт.eJltbl (2.1), (2.4) (или (2.5), (2.4)} cпpaвeд
лuвы утверждепия (а) и ( ) определения 2.3.
Можно рассмотреть еще более широкий Iшасс нелиней
ностей. Пусть rol класс нелинейностей (а точнее, всех
вещественных пар функций (о- (t), (t)}, удовлетворяIOЩИХ
интеrральной связи с формой F ( , а, 6) == (а !!оl ) +
+ {)o (r. Это нелинейности, для которых не выполнено
*) Отметим, что условие (2.73) заведомо выполнепо, если
отрицательно приращеНIIе площаДll при обходе шЬбоi1: петЛIl rHcTC
реаиса. Однако условие (2,73) может быть выполнено (из аа наличия
перВоrо слаrаемоrо в фurурных СRобках в (2.73» и в случае, коrда
приращение площади ПОЛОiЮIтельно.
116 МЕТОДЫ ТЕОРШI АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [rл. II
предельное СООТIlOшение
I
[S(J p l )+1J ]dt х)
о
ври t > 'Х).
Пусть в (2.1) А rурвицева матрица. Torдa по ПУНI{
ту 1 О теоремы 2.1 частотное условие Попова (2.65) н-e
обходи;J.ше и достаточное условие абсолютной устоiiли
вости в R.Лассе gп.
В критерия Попова частотное условие (2.65) можно
неСRОЛЬ:КО ослабить, заl.Iени.r.s (при некоторых дополни
тельных предположениях) знак> на :;>. Если, например,
известно, что q> (а) стационарная оrраНlJченная неJIИ
нейность (т. е. I q> (а) I -< const при oo < о" < + 00), то
верна теорема 2.6 с заменой в выражеНIIП (2.65) знака>
на :;>. В случае с' Ь == О, (!о == 00 условие (2.65) заведомо
нарушается (переходя в ра венство) при (J) == 00. в этом
случае иноrда можно воспользоваться I\ритерИЕ'l\1 Попова
в следующей формулировке. Пусть в (2.1) А еурвицева
;J.lampUZfa и для некотороео -t} выполнено 1lеравенство
л (ы) == 11-01 + Не [С,, -+ jwU) н' иш)] > О ( .74)
при О < (J) < 00, а тtll-f,же
+ 00 :;> Нт ы 2 :n; (ы) > О. (2.75)
Пусть не.линеиnость (2.4) при -t} :;> о удовлетворяет усло
вНЯ.1t (2.71), (2.72), а при {} -< О условиям (2.71), (2.73).
Тоада для любоео решрщlЯ cиcтe;J.lbl (2.1), (2.4) выполнено
условие I х (t) I о при t 00 и справедлива OlfeH1ia
I х (t) I + 'Ф ( I х (О) I),
еде 1jJ (р) неl-f,оторая неотрицательна.<t неубывающая
фУН1щия, зависящая лишь от l-f,Qэффициеnfпое системы (2.1)
и чисел -t}, (!о, 1jJ (О) == о.
Отметим, что если :rt (оо) =1= О, то Нт (J)2:n; (ш) :::=; + 00 и
"'......""
соотношение (2.75) выполнено. В этом случае соотноше
ния (2.74), (2.75) раВRОС.ИЛЬНЫ (2.65).
Отметим еще, что если фУНI\ЦИЯ 1iV (s) имеет полюсы
в праnой полynлос.кос.ти, не и.меет их на мнимой оси и
если выполнено (2.65), то система (2.1), (2.2) абсолютно
неустойчива в классе нелинейностей 61 o' Последнее
1
I
1
.
.\
I
;i
2.5]
связь HPyrOBOrO НРИТЕРИЯ
117
означает, ч.то для любой функции ({J (а) Е (511-0 имеет
место неустойчивость в малом, а таI{же .ЧТО на любой
сфере I х I == р > о найдется точка хо, через КОТОРУЮ
проходит (при t ==- О) неоrраниче,ННО растущее решение
х (О) === хо и I х (t) I 00 при t 00.
Пр 11 М е р 2.5. РаССМОТРШl СlIстеиу (2.11), rде а> О, > О,
О <щ> (':i) < 110з 2 . УСЛОВIIе устоi:lЧIIВОСТI1 линсi:lнui:l части (получа
eMoi:l из (2.1) за:r.lеной q> (а) на О), очеВllДНО, выполнено. Используя
:выражение (2.13) для W (s), ПОЛУЧШl, что
n (ы) == l Re (1 + ;rot})
V-o (13 + ;ы) (1 + 2а;ы ( 2 )
(2.76 )
И1ше)1 11: (О) == /-1;;-1 l > о. ПU<JТU)IУ ДОЛ;IШО быть to < . ПUСJIе
ряда ВЫlшаДОl{ (Iюторые облеrчаются, если воспользоваться при
веденными ниже в 3.6 лемиа:r.ш 3.2 и 3.3) получим, что при
""0 < существует искомое значеНllе параМ61'ра 'v (для Hero
n (ы) > О, 00 < ro < + 00). Мы получили, что при 110 <!3
система (2,11) устоЙчива в целом. УСТОЙЧlfВОСТЬ абсолютна в Rлас
се стацнопарных НСЛ1l11сiiпостсii 6 == rp (J) таl':йХ, что f.L O :s 2
crrp (а) О. Так l{aR уже Л1шсiiпая спсте (а (2.11) с rp (<1) == fl':i
ие ЯВJ1Яется аСl1МUТОТ11'1UСIШ YCTu1i'iIlBUii UPI( 11 , то условие
""0 < не только достаточно, но й неоБХОДIIМО для абсолютной
устойчивости в указанном классе функций.
2.5. С:Вязь KpyroBoro критерия п критерия Попова
с критериями, которые MorYT быть получены на основе
функций Ляпунова вида «Iшадратичная форма плюс
интеrрал ОТ нелинейностп»
Рассмотрим вначале I\руrовой I\ритерпй и систему
(2.1), (2.4) (или (2.5), (2.4)) с т == п == 1 для веществеl1
Horo случая. ОI{азывается, что [{руrовой нритерий, rоворя
нешюлъко uеточно, охватывает все критерии, которые
MOryT быть получены построением ДЛЯ системы (2.1), (2.4)
функции Ляпунова, являющейся квадратичной формой
V (х) == х* Нх, (2.77)
rде Н == Н* симметричная постоянная вещеСТRР.llная
матрица. Более точно и более полно это утверждение
фОРl'.fулируется следующим образом.
Пусть W (s) не имеет полюсов На .lltНИJtОЙ оси. Тоеда
круеовой критерий, т. е. условие (1"\7) теор'3МЫ 2.2
при а. :=/= 00, =1= + 00, ЯIJJlяетс.'l необходимы.tt и дocтa
118 МЕТОДЫ тЕОРИИ АБСО'nЮТНОn устойчJiвости [rл, ir
точным условu.е,м сущестsовани.q, квадратичной формы
(2.77) такой, что в СЩIУ cucтe }f,bl (2.1), (2.4) 8ыполнепо
перавенство dVldt < О для любых <р Е "i3 и I х I =1= О.
"Указанное УТlIерждсни.е остается еправедливьш после
замены I\Ласса (> ПРОИ3ВОЛЬНЫl>1 :клаССOl\1 нелинейностей
т,,(> (состолщим:, может быть, из одной функции), ДЛЯ
ROToporo !a принимает ЛIобые знэчения из интервала
[а., ]. Аналоrичное утверждение справедливо и ДЛЯ а. ==
== :)о или == + ос. ДЛЯ существования фор,мы (2.77)
та1f,ОЙ, что dVldt О при любых <р Е ,,(> (или <р Е т",!3)
пеобходи 1to и достаточно, чтобы было выполнено HepaвeH
ство (2.58) (для а. + 00, + + ос), либо (2.61) для
а == 00, =1= + х>}, либо (2.62) (для а =1= 00, ==
== + 00) при условии, что в 1f,аждОJU из этих неравеш:тв
анан, > ааменен на ;;..
Приведенное утверЖ)Jение относительно класса a В
означает, что заведомо безнадежны попытки усилить
руrовой критерий за счет использования каRих либо
дополнительных свойств нелинейностей, I\роме (2.33)
(наПрИl\lер, за счет рассиотреПl:lЯ нелинеиностей, дЛЯ KOTO
рых. I <р (а) I 'К), если ИСI,ать фующиiо Ляпунова в виде
какой либо квадратичной формы. Попытки УСIlЛИТЬ I{pyro
вой критерий при помощи метода Ляпунова должпы сопро
вождаться расmирением класса функций Ляпунова по cpaB
нению с IшаССОllf фушщий (2.77) или должны быть исполь
зованы какие--либо друrие соображения (СМ. ниже 3.2).
Частотное условие Попова охватывает, rоворя He
сколько неточно, все условия, которые MorYT быть полу
чены при помощи функций Ляпунова вида
а
V(x}==x.Hx+-& <р(d}da. (2.78)
о
Эдесь Н == Н* симметричеСIШЯ матрица, а {}
параметр в условии Попова. Более точно и более полно
3ТО утверждение формулируется СJlедуIOЩИМ' образом.
Пусть JtV (s) не U"ueem полюсов на JltнИ;м,ой оси. Товда
flыполненue условий (2.74), (2.75) необходимо и достаточно
д.tя существова1iUЯ функции (2.78) та1f,ОЙ, что в силу cиcтe
мы (2.1), (2.2) выполнено dVldt < О для любой функции
<р (а), удовлетворяющей соотношению (2.64), и I х 1=1=0.
Более то?о, пусть ILO проuавольный класс фун"Кцuй
2.5З
связь RPyrOBOrO RРИТЕРИЯ
119
<р (О') такой, что nplL <р (а) Е (tl'-., о' =1= О, 00 < о' <
< + 00, выраженzLЛ ер (а}/а nриНИJН,аlОт дюбъzе апачения
ив иптервала (О, Lo), ТО2да вЫnОДl.t8ние (2.74), (2.75) He
обходu.,-ко и достатQЧНО для существования фУН1щии (2.78)
такой, что в ClL.lty cucme.1fbl (2.1), (2.2) выподнено dV/dt < О
дд}! дюбой функции <р (а) ив 1f,Дacca (t\J-о и I х I 4= О. Дл.п
существования ФУН.КЦUlL (2.78) такой, что в силу систе.1fЫ
(2.,1), (2.2) выполпепо dV/dt < О, пеобходиJН,О и достаточно,
чтобы для Ш!которосо 't' ;;;;.. О и всех <.u ;;;;.. "XJ.
't' [1101 + Не W (j<.u)] + {} Не [jw 11' (jw)] ;;;;.. О, (2.79)
В приведенных утвер7lщениях V (х) не обяза
теJIЬПО положительно определенная фующил. Поэтому
они остаются справед:'ШВЬШИ и в случае неустойчпnости.
Аналоrичные утверждения имеют место II для I{рИТИ
чеСI{ИХ случаев, I{оrда vV (s) И!lreет полюсы + jWh на
мнимой оси; при ЭТОМ в (2.74) и (2.79) W =1= + Wh'
Заметим, что сформулированные в этом пар&.rрафе YT
верждения были первоначально установлены Иlllенно для
критичеСI{оrо случая в <<ПРОСТОllD) Rритическом случае
(по терминолоrии [3]) в [136] 11 в [162] и R общем KpHTH
ческом: случае в [138]. ДОI{аЗ.lтельстпо ЭТIIХ у'rвержде
НИЙ для неI{ритичеСI{оrо случая приводило к ТРУДНОСТЯАJ.
Одной из них была необходпмость оправдания так Ha8Ы
ваемой S процедуры [31. Сформулпрованное выше YTnep
ждение относительно частотноrо условия Попова доказано
в [139] (теорема 1). Утверждение относительно I{pyroBoro
критерия сразу следует из доказатедьства теоремы 1 pa
боты [139]. БЛИЗl'iое, по несн:олы.о менее 1I0лное YTBep
ждение установлено нсзаВНСИl\10 Поповым [103]. Относи
тельно оправдания S процедуры в общем случае см. [140].
Функция Ляпунова вида (2.78) была впервые предло
жена А. И. Луръе [56], и этим было положено начало
направлению исследоnаnий, описанных в rлавах II и III.
Эта фующия зависит от n пара.иетров, для которых
получается система n квадратных уравнений «(разреmаю
щие уравнения Луры'..» см. [3], [51] и др.}. из [162],
[138], [140] следует, что условия разреmИl\1ОСТИ этих ypaB
нений совпадают с Rрптерием: Попова; таким образом,
функция [56] ОI{азал:ась (<оптималъной»: соответствующие
критерии нельзя улучшить использованием всР о що! щ,IX,
ФУНJщи вида (2.78). (См. подробнее [26].} ,
r л д в д 111
МЕТОДЫ ТЕОРИИ
АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(специальные случаи)
rлава III является неиосредственныll1 продолжением
предыдущей rлавы:. Здесь будет рассмотрена абсолютная
устойчивость спсте 1 авто:матичеClюrо реryлирования
с дифференцируемой нелшrейностъю, с разрывной He
линейностью, со l\1ноrlll\IИ нелинеЙНОСТЯl\11J, а также устой
чивость систем с ШИрОТНОИl\ШУЛЬСНЫМ И частотно ИМ
пульсным МОДУJIяторами. Будет изложена методика
применения квадратичноrо I{ритерия к системам с He
сколькими нелинеЙIIОСТЯl\Ш, СФОР!l(УЛllроваn I{вадратич
lIЫй критерий «по выходу Ур>, прим:енимый в RритичеСRИХ
и вырожденных" случаях, а также рассмотрены задаЧI-I
об устойчивости вынужденных движений.
3.1. Спсте ш с одноii дпффереllЦllруеэюii
неJпlllсiiно,'тыо
Рассмотрим систе IУ (2.1), (2.2) с п"" == ii == 1 и вещест
венными I\оэффициеитами, предполаrая ПО llрежlltШУ. что
выполнено условие О < <р (<J}/a < LO при (J =f=- О. Пред
ПОЛОЖИМ теперь ДОПО.'1НПТGЛЫIO, что ФУИIЩПЯ <р (о) диф
ференцируеМil и БыполнеIil.,I Ilеравеllстnа
ll!p (G)
Vl< < V 2 , (3.1)
rде V I , V 2 лиоо конечные ЧПС"I11, ,'11100
=F + 00, лпбо .У 1 == <Х, V 2 =F + 00.
общностп БУДШI СЧПТ1l1Ъ, что
"1 -< (1, "2 "> to'
V 1 ==--' 00, V 2 =1=-
Без оrРilюиеюш
(3 2)
Условие (3."1) ДОСТLlБJIяет I1СI.оторую РОПОЛШIте.'IЫIУЮ ип
фОр I8ЦПЮ о нелпнеUНОСТIJ по сравнению с той, которая
пспользовалась в 2.4, II это позволяет получить 'Ia
стотное условие УСТОUЧПВОСТII, улучшающее в ряде
случаев частотное условие Попопа. Вuедем следующие
3.1] СИСТЕМА С ДIIФФЕРЕНЦIlРУЕl\ЮЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 121
оБОЗlJ8чепин:
а(ы) === 1 1 + Re Y иео), Ь(ш) =е Re [jwИ/ исй)], (3.3)
\ <.02 [1 + ('\'2 + 'Уl) Re vV (jw) + 'V 1 'V21 w ОШ 12],
если 'Уl =/= 00, 'У2 =/= + х>;
С (ш) ===
ю 2 (Re W ию) + v21 vV и<.о} 12], если '\'1 === ;х),
<.02 [Re W и<.о} + 'Уl1 vV ию} 12] , если 'У2 === + :>о.
(3.4)
Пусть , -&, 1: неноторые параlllетры. Положим
JCl (<.о) === 1:а (ш) + ftb (<U) + ХС (ш). (3.5)
Отметим, что выражение для :rt 1 (w) при Vl === 00 полу
чается из выражения для п 1 (<.о) при '\'1 * 00, если .iJ по
следнеl\l положить % === %O/'Vl И перейти :к пределу при
"1 , 00, %0 === const" а затем Хо обозначить через х. AHa
лоrично получается выражение для 311 (ей) при '\'2 == + 00.
При f3ыlдеe чаСТОТl!оrо УСJЫВИЯ Ilопова I:l З 2.4 бьша
получена функция Л 1 (ш) С % === О. Именно, величина в фи
ryрных скобках в (2.70) совпадает с Л 1 (ro) для s == j<.o,
'\"1 == '\", '\"2 == '1), % =:.: О. В рассматриваемом случае допол
нителъное условие (3.1) означаез.' наличие еще ОДIlОЙ KBaд
ратичноii: связи: F з === ( '\'i ) ('V26 ) > О. Поэтому
вместо (2.68) следует ввести форму F == 'tF 1 (6, о) +
+ {}Р 2 (6, 0') + %F з ( , 6), тде т > О, х > а. в COOTBeT
ствnи с общи:и правилом ( 2.2) получае!l(
F з == e C(t "l * ['V 2; mJ с (<.0)1 12 ,
F== nl(w)I 12.
ОтмеТИIII, ЧТО фОрllIa Р == Р (о, 1, ) заППСIIТ еще и от
. (Фующия G === с* (Ах + b'S) липейно зависит от х
и s}. в таких случаях следует ДОIIОЛПИТЬ (2.'1) уравнением
== 1] и считать 'S фазопой пере!\IеНБОЙ, а 1] входом по
вой, дополненной линейной qастп. По Iшадратичному I{рИ
терию (теоре:.ш 2.1.10) аБСU,I11UТШН.I УСТОЙЧIIВОСТЬ l'араl1ТИ
руется, если выполнено nерапенстпо 1[1 (со) > О, а также
nеноторые друrие менее сущсстuенuые усл:овrш.
Из Сl\азаПНОl о выше и n€liOTOpblX ДОПОJlНllтеЛЫlЫХ pac
суждений вытеI\ает следующая теореМа.
122 МЕТОДЫ ТЕОРИП АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [rЛ. rп
т е о р е м а 3.1. 10. Пусть выполнены следующие усло
вия: (1) q> (О') дифференцируе.'И.ая фующия, удовлетво
ряющая соотНОllte1ШЯ.l1, (3.1) и нера6енствам 0-< о"ч> (О') <
-< 1100'2 (при конечном 110) или О'ср (о) > О (при 110 == оо);
(П) все собственные значения матрицы А в (2.1) (все полю
сы передаточной фующии (2.6)} расположены в левой по.лу
плоскости; (III) для неноторых 't" ;,;;. О, -6-, х :> о выполнено
«частотное условие» n 1 (<u) > О при 0-< ы < 00, и если
n 1 (оо) == О, то liш ы 2 Л 1 (ы) > о; (IУ) при to * :х) вы
"'.....+""
полнепо предеЛЬ1l0е соот1l0шеНllе
+ 00 > {j- Нт [ <p (а) d;J rя р 2 (,:;) ] > О, (3.6)
laf....."" о
а при /10 == 00 более СllЛЫiOе соотношение
а
{), lilll [ Ч>(J)ll GCP2(V) ] == +- 00 (; .7)
lal....."" о
(предел в (З.7) должен сущеСlш!Овать). Тоада cucme.lta (2.1),
(2.2) аси"ltnтотически устоzlлuва в це.lO.,lt и более тО20: (а)
если Л 1 (оС) =1= О, то cur.тe.ltta (2.1) абсо.лют1l0 устойчива
в классе жлинейностей, удовлетворяющих условиям (I)
с фиксированными flo. Vl' 'У2' причем в выражениях (2.38),
(2.39) имеем
а(о)
r == . ер (а) а:; + Сер [а(О}]1!
о
(постоянная С и постОЯllные С lI . . . , C/j, fI (2.38), (2.39)
одни и те :Jlсе для всех нелинейностей рассматриваеМО20
пласса); (б) если Л 1 (оо) == О, то копечна норма 11 х 11 и cпpa
8r!длива оцею.а (2.3В) счислим r, име1Ощи.1t. указанный вид.
20. Пусть выполнено условие (I) с дополнительным пpeд
положеnием, что каждое из равенств в (3.1) может иметь
место лишь для изолированных значений 0". ПредпОЛО:J/сим,
что: (На) аСИJJттотически устойчивы все линейные системы
(2.1) при ==..: 110", еде О" 11 -< 110' если to конечно, и
fl ;> О, если 110 == 00; (IIIа) для некоторых 't" > О, {j-, х > О
выполнено «ослаблеnnое частотnое условие»: Лl (cu) ;,;;. О при
О" cu < 00; (IVa) либо все решеnuл оzраничены при
!i 3.11 СИСТЕМА С ДIIФФЕРЕНЦИРУЕlIlОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 123
t 00, ди60 ддя тоео же значения {} выnоднено усдовие
(1\7). Тоада систе.ltlа (2.1), (2.2) асимптотичес1f,И устойчuва
в цедом *).
3 а м е ч а н и е 3.1. В выраженпп (3.6) имеется в "ВИДУ
нижний предел. "УСJIOпие (З.6), очевидно, выполнено, еСJIИ
квадратная СI\оБI\а в этом выраженпи для ЛIOбоrо а имеет
знак {}. ПОСJrеднее условие имеет простой rеомеТРIlчеСIШЙ
смысл. Пусть {} > О. Тоrда для а > О названное условие
означает, что фУНI\ЦИЯ q> (а) ВЫПУI\ла J;\Bepxy, а для а <
< о ВЫПУI\ла !{НllЗУ. ЕСJIИ ВЫПОJlI-Iено YCJIODlIВ (3.7),
то ВЬШОJIнено и (З.6). Условие (3.6), очевидно, выполнено,
если q> (а) оrраниченная фУНJ;\ЦИЯ. _
3 а м е ч а н и е 3.2. УСJIOвие (II) в раздеJlе 10 Teope
мы 3.1 может быть эаменено СJlеДУЮЩШIl: (II') JПшейная
«систеllrа сравнения», ПОJlучаемая добаВJlенnеl\I J;\ (2.1)
уравнения ' LO', асш.ШТОТlIчесюr устойчива для HeI\OTO
poro I\онечноrо /1' О < t < /10'
Расr.мотрим теперь систему (2.1) с IIО13ЫМ выходом
11 == [[*х + Yo Yl(ls/clt,
l'де 1'0' 1'1 вещественные ЧПС:Ia, f! вещ стuеllШШ OДII()
столбцопал матрица. Для сnотпС1 стпующсrо ф()р lа"'lЫlOrо
преобразопаIIИЯ по Лапласу (c [. S 2.2) Iшсе 1
11 === (jro) ,rде иro) g* иroI A} l Ь + '\'0 + jro'\'l"
т е о р е м а 3.2. 10. Пусть выпОДlены следующие ycдo
вuл.: (Iб) q> (а) дифференцируемая ФУН1f,цuя, удовлет
воряющая соотнozueнилм (3,1) и Hepaeeнcтea,?rt О < О'ср (а) <
< 1-10 а 2 (при конечном /10) или аср (а) ;;> О при ( to === 00);
(Пб) acиlttnтomU'teCKU устОЙЧШJ"Ы все динейпые cucтe.)tbl
(2.1) nplt /10', 0< !L < /10; (IПб) зt 1 (ro) ;;;;;. б I (ro) I 2
*) Доказательство теоремы 3.1 (в неСКОЛЬRО менее полных фор
мулировках) имеется в статьях автора (ДАН СССР, т. 160, .N2 2,
1965; «Автоматика и телемеханшш», т. 26, .м 4, 1965). Исправим
опечатку в статье (ДАН СССР, т. 160, .м 2,1965), В теореме 2 усло
вие !J. l + Х иro) =1= о ДОШi\НО быть заыnеиоo УСЛО1ЗИСЫ !J. l +
+ 'Х. (jro) =1= о ДЛЯ всех (i) Е ( со, т- со) 11 ДJrя псех ' Е [О, IO]'
если lO =1= со IIЛП дЛЯ всех C О, ССЮI lO == со. II:ак ПОlщзал нсднвпu
А. В. Нечитайло, теорема 3.1 uстается справедливой без предположе
пий (IV), (IVa). Излишне таюие предположе\ше (IVб) в теореме 3.2.
124 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОЙЧ.ИВОСТИ [rл. 111
для та их ro;> О, что det иroI А) =F О, и для He o
торых б > О, 't ;;;.. О, -&, % > О, 't + % > о; (IVб) сущест
вует постОЯНllая r о ;;;.. О такая, что
" [ , GIjJ(C5) ] ,
1'}. .)(p(::;)a::; ;;;" Lo'
о
Тоеда систе.м-а (2.1), (2.2) абсолют1l0 устойчива по
выходу 1'), т. е. О1ieчна норма 11 и справедлив(j.. oцeн a
" (о)
1111 112 < Cl I х «()} I 2 + C2 r о + С з I ер [::; (О)] 12 + С4 Jo <р ( ) d ,
еде числа Cl' . . . , С 4 одни и те же для всех llелипейнос
тей, удовлетворлющих условию (3.1) и условию О < ер (а)/а <
< 110 с фиксироваННЫJ.tи числа.-".tu 110' "1' "2' ,
20. Пусть известllU, что любое решенuе CUCтe.ilibl (2.'1),
(2.2) oepaHzt'leHo, т. е, I х (t) I < r 1 . ПредпОЛОЖU.Аl, что
выполнеН,ы условия (lIб) и (1IIIб) раздела 10. Тоеда систе.на
(2.'1), (2.2) абсо.цот1l0 устойчива по выходу 1'), т. е. Оllечllа
nopJ.la 111') и справедлива ущ,;;а1l1ШЯ выше oцeн a для 11'1/12,
в к.оторой r о == r .
Отметим, что в I ачестве 1') можно брать а, о, а, s, ,
тоrда Ь равно, соответствошо, веJШЧIшам W (i(J),
j(J) W(i(J), ( j(J)) 2 W (1(J), 1, j(J). При.х == О частотное
УСJIOвие л «(J)} > О переход.ит в частотное условие Попова.
При х> О (а Torдa можно считать, что х == '1) частотное
УСJIOвие л «(J)) > О ДОПУСI\ает ПРОСТУЮ rеометричеСI\УЮ
npOBepIty.
Положим а о «(J)} а «(J)}/C «(J)), Ь о «(J)} == ь «(J)}/C «(J), и
построим на ПЛОСI\ОСТИ {Sl' S2} I\РИВУЮ Sl == а о «(J), S2 ==
== ь о «(J)}. Обозначим через + и через части этой I\рИ
ВОЙ, для I\ОТОРЫХ соответственно с «(J)} > о и С «(J)} < О.
Будем называть допустимой прЯ.iliОЙ на ПЛОСI\ОСТИ
{Sl' S2} прямую, Jшбо отсеI\ающую на оси S отрицатеJIЬНЫЙ
отреЗОI\, либо параллеЛI>НУЮ ОСИ . VСJIOвие (ссуществуют
't ;> О, -& и% > о та-кие, что л «(J)) > о» означает, что можно
провести ДОПУСТИМУЮ прямую, разделяющую :кривые
ех+ и C (по одну C"l'OPOHY ДОПУСТИМОЙ ПРЯМОЙ должна
находиться I\ривая т..., по друrуIO mJ.
СлеДующий ваЖIIЫЙ прпмер ПОI{азьшает, что TeOpel\Ibl
3.1,3.2 усиливают (для дифферен,цируемой неJIИнейности)
частотное УСJIOБие Попова.
3.11 СИСТЕМА с ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОй НЕЛИНЕйНОСТЪЮ 125
При м е р 3.1. Рассмотрим следующее уравнение Выщнеrра
ACRoro:
( )
itЗ + р dt z +a dТ + у == (Р dt 2 ' (3.8)
rAe а, > О, > О, a, > 1 и ФУНRЦIlЯ <р (cr) удовлетворяет УСЛОВIIЯМ
ч/ (G) > О при а =1= О, <р (О) == О. Полаrая <S == aJ'I/dt2, == <р (б),
получпы, ОЧСВIIДНО, CIICTe IY paCCMaTpIlBaeMoro Вllда с псредаточпой
фУВlщпеи W (9) "'" 92 (1 +- a.s -+ S2 + 9З) 1. Фушщил ер (-:;) УДовлст
ворлет УСЛОВIIЮ (2.64) длп /10 == 00. Поэтому мошпо ПРllмеНIIТЬ ча
стотное УСЛОВllе Попова (2.65). ПOIшже'l, ОДПЮ';О. что чаСТО1вое
условие Попова в данном с,лучае не выполнено. Более TOro, понажсм
что не выполнено частотное условие (2.79), rAe.;;?:- о, 1. I + I -& I
=i= О (это будет означать, чтО для уравнения (3,8) нельзя построить
функцию Ляпунова впда (2.78), для ноторой dV/dt , O, см, 2.6).
ПУСТЬ выполнено условие (2.79). Тан нан W (8) == 8 2 р (8) l,
тде р (8) == 1 + а,8 + 82 4- s3 и ,... 8 == 00, то пз (2.76) имеем
.. Re Р (jW) l + -& Re [jwP (jw)] l, . Полаrая w == О, получим
., О. Тан нан.;;?:- О, то .. == О. Условие (2.79) преобразуется R ви
JJY Re [-& l UW) lP иы)] == {}> l (а, ( 2 ) , О. Последнее HepaвeHCT
во при всех w не може't быть выполнено. ИТaI,; не существует
чисел..;>. О, {} таких, что выполнеIЮ (2.79), т. е. частичное условнu
Попова в прю.reнении }{ уравнению (3,8) результата не дает.
Понажем, что найдутся..;>. О, -t , 1<. 'О, для ноторых выполнен"
частотное условие n 1 (ы) О. в данном случае V 1 == О, V 2 "'" 00.
Соrласно (3.3), (3.4), (3.5) иыеем П 1 (ы) == (1: 1<. w l!) Re fV иы) +-
-f- -& Re [jw W иы)]. Нак н выше, lIа СООТВОШСШIЯ :lt 1 (ы) О сле
дует, что.. == О. Неравенства а, > О, > О, a, > 1 озпачают, что
нули Р (8) расположены в левой полуплосности. Поэтому Р (9) ==
== (8 + '\10) (82 + <'>08 + '\1;;'1), тде '\10 > О. <'>0 > О.
:Имеем n 1 (ы) == ы 2 Re [( )(ы 2 -&jw) Р (jw) 1). Неравенство
Re z;>' О при z =1= О равносильно, очевидно, неравенству Re т. 1
О. Поэтому условпе nl (ы) О равносильно соотношенпю
Ве [( 1<. оо l! {}>jw) 1 Р иы)] О при u) =1= О. При 1<. == 1, -& == ,\,0
оно преобразуется н впду
Ro {(jW) l Юы)2 +- боjW +- '\Io 1 ]) == б о > О.
:Итан, мы показалп, что выполпено условпе (IIIa) теоремы 3.1 при
. == О, 1<. == 1, -& == '110 < О. При <р (а) =< ,...а иа соотношения (3.8)
получаем уравнение, ноторое по приведенному выше нритерию
аСIIМПТОТJIчеСНИ устойчиво для всех ,... О. Следовательно, выпол
вепо условне (lIа). Пусть <р (а) удовлетворяет условию (3.6) с
отрицательным -&. Напрпмер, I <р (а) I , cOn8t или для всех (j отрИ
цательна Rвадратная снобна в (3.6); последнее ииеет место, напри
мер, для фУННЦИИ ер (о-) == а 2n +1 с целым n. TorAa выполнено УСЛО
вие (IVa) и по пувкту 20 теоремы 3.1 решение If -.::::: О уравнения
(3.8) асиъmтотичеСЮI УСТОЙ'lИВО в целом,
В ЗaIшючеПIlе этоrо п3.раrраф3. ОТ.\lGТИl\1, что при ВЫПОЛ
ненни условий теоремы 3,1, 3.2 у системы (2.1), (2.2)
126 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [rл. III
существует фушщпя ЛЯl1упопа вида
о
V (х) == х.Н х + 2h*xep (cr) + ХОСР (cr? + {} S!P (cr) сИ,
О '
rде 1I == Н*, h постоянные матрицы, ХО чпсло (/l
одностолБЦОIJая м3.трпца). В УСJIОШШХ теорсмы 3.1
clJ1/dt < О, в условиях теоре:\IЫ 3.2 dT'/dt < О.
э 3.2. ДIIС lIпаТIIБПОСТЬ J[ ее II ПОЛЬ30П3.Шlе
для улучшеНIIЯ чаrТО'l'lIЫХ У('!ЮШJЙ
Система (2.1), (2.4) называется диссипатuвной, если
в п MepHOM пространств.е {х} существует оflpаниченная
эаМI\нутая оБJlастъ притюнения 1[. :Множество 1[ наЗLI
вается областью притяжения, еСJIИ: (I) дЛЯ Jlюбоrо реш&--
ния х (t) найдется момент t o такой, что х (t o ) Е 1[.
(П) множество 1[ инварианПlО, т. е. из х (to) Е ;f сл&--
дует х (t) Е ;f при всех t;;;;; t o .
Можно ПОI\азать, что у lJСЯI\ОЙ Дllссипативной CIlCTe
мы, решения l<ОТОрОЙ определеllЫ при 00 < t < + 00,
существует решение х о ([), принаДJlежащее g: ДJIЯ всех
00 < t < + 00 (бл:и:шое утверждение впервые ДOHa
заIj:О Н. Н. ЛУЗИRЫМ). Из оrраниченности следует orpa
ниченностъ решения х о и}. Отметим, что для диссипатив
ной системы с т == ii =-= 1 существуют таI\ие числа а}, 0"2'
что для любоrо решения х (t) выполнены неравенства
а 1 < а (t) < аз при t:> t o . (3.9)
ЧИСJIO t o В (3.9) зависит, вообще rоворя, от выбранноrо
решения. Известны разнообразные частотные уСЛОВИЯ дис
сипативности. rоворя неСI\ОЛЫЮ неточно, еСJIИ Rруrовой
I\ритерий или I\ритерии 2.4, 3.1 выполнены при всех
достаточно больших а, то система диссипативна.
СфОрМУJIИруем точио условие диссипативности, aHa
лоrичное частотноы1y условию ПОIIова. Рассмотрим си
стему (2.1), (2.2) с т == ii == 1 и с rурвице1ЮЙ матрицей А.
Пусть для nекотороео {} выполнено частотное условие По
пова (2.65), а функция ер (О") удовлетворяет условию
1 " !f (G) [ 1 } ЧJ (:;) ] ....... О
lШ РО ,р .
cr G
lal oo
Тоеда cucme.7tta (2.1), (2.2) диссипативна.
(3.10)
3.2]
ДИССИПАТИВНОСТЬ II ЕЕ ПСПОЛЬ30ВАНlIЕ
(27
Отметим, что если СР (О') УДОВJIетворяет уСJIОВИIO О
< aq> (О') < ""00'2 или еСШI СР (О') оrраниченная фУШЩИЯ,
т е.
I СР (О') I CPl'p,
(3.11) ,
'10 неравеНСТБО (3.10), очеnnдно, выполнено. Для послед
Hero случая (lюrда /10 l\ЮiI..:ет быть CI\OJIL уrодно малым
i:юложительным ЧПСJIОIl1) ДIlссипативность расс:\rатривае [Ой
системы ПОЧТII очевидпа. ДОI аFf\еl\I диссипатпвность ДJIЯ
этоrо СJlучая, установив попутно явные фор (улы для
0'1,0'2 В неравепствах (3. ). Из уравнений (3.1) имееы
I
x(t} == eA1x(O} + eA(I ")b6('t'}d't', (3.12)
о
I
а (t) == a(t} + Q (t '() 6 (-r) d-r,
о
(3.13)
rдс
а (t) == с*е А1 х (О), Q (о == c*eA1b. (3,14)
Из Бырашений (3.12), (3.11) и rурnuцсвостп А следует
дпссппатпвпость СIIСТС ILI. На (3.1 i), (3.12) шцуч:ае:1I
00
I а (t) I I r:J. (t) I + <rI'P I Q (t) I dt.
о
Tal{ «а!{ I а (t) I о ПрИ t :X>, ТО В фОР (У.;Iе (3.9)
00
al == V:! == CPI'P I Q (t) I dt + 8,
о
(3.15)
rде 1> СI\ОЛЬ уrодно малое число.
Соотношение (3.9) MOiRHO использовать для раСlliире
ния Б пространстве параll1етров области абсолютной yc
ТОЙЧИВОСТИ, достаВJlяеl\ЮЙ частотными I\ритериями. Пусть,
например, rрафИI\ фУПI\ЦИИ 6 == СР (О') имеет ВИД, изобра
жеявый на рис. 3.1. Не будем вначале использовать
соотношение (3.9). И.мее:и О 6/0 < , т. е. I\Baдpa
ТИЧНОЙ связью будет F == 6 (а 1 ) ;;> О. ОТСlOда
Р == Re * (3 IS), и условие Р. < О (при I I =/= о)
дает следующее частотное условие ЭI\споненциальной
128 МЕТОДЫ ТЕОРШI АБСОЛЮТНОй устой'пшос'f{[ [rЛ.III
УСТОЙЧИВОСТИ (см. З 2.2):
l + Re J;V lj(J) > О (О -< (J) -< ос) (3.16)
По теореме 2.1, 20 условие (3.16) rараитирует экспо
ненциальную устойчивость в целом. ИСПОЛЬ8уеr.( теперь дo
полнительную информацию, содержащуюся Б соотношении
диссиnативности (3.9), выведенном на ОСНОвании (3.Н).
ДЛЯ всех t> t o . rде t o значение Б форz.rуле (3.9), BЫ
ПОJIНены неравенства а. < /(J < , rде
. f q> (G)
(1.== lП
.......al a a:! ":i
ПОЭТОМУ RвадраТlIЧНОЙ связью (ДJIЯ УIшзанных t) будет He
равенство р:::..:: ( a s) ( аа) > О. Мы имеем F ===
== Re ([ )* ( ао», 111 rде а == w (j(J) . Boc
пользовавшись теоре!lЮЙ 2.1 и замечанnем 2.3, получиы,
(3.17)
с,
ь
: ,
""
I
Е. p(6)
4 6
(-.. f'f1)
Рис. 3.1. К ОЩ1ОдеЛСIIlIЮ услопuп УСТОЙ ЧПБОСТП
ДНССJIШ1ТIlВllUii енс j'CM ы
:как и в 2.3, частотное уСJIOвие (2.58). ТаRИМ обраЗО I,
окончательно, частотным условиеllI ЭRспоненциальной yc
ТОЙЧИВОСТИ рассматриваемой систеиы является условпе
(2.58), в :котором число а определяется соотношеllИЯ:\IИ
(3.17) и (3.15).
"УСJювие (2.58) вырезает в пространстве параметров
системы ббльшую область, чем УСJIOвие (3.16). Действи
3.3]
СИСТЕ:\(А С РАЗРЫВНОЙ НЕЛIП-lЕйНОСТЬЮ
129
тельно, условие (3.16) требует, чтобы характеРИСТИI\а
W иоо) располаrалась в полуПJIOСI\ОСТИ Re z > l.
Условие (2.58) требует, чтобы характеРИСТИI\а W (jw)
располаrалась вне окружности,' проходящей через ТОЧКИ
( a l), ( l) И имеющей центр на действительной ОСИ.
Эта допуСТИlliая область расположения хараlперистики co
держит ДОПУСТИМУЮ область для nepBoro случая.
Все изложенное справедливо не только для стационар
ных нелинейностей, но и для неJIинейностей общеrо вида
(2.4).
Для стационарных неJIинейностей соотношение (3.11)
ПОЗВОJlяет указанным спосоБОllI усилить критерий Попова.
Проводя аналоr:ичпые рассуждения, ПОЛУЧЮI СJlедующий
результат.
т е о р е М а 3.3. Пусть в Cllcme.lte (2.1), (2.2) с т ===
== ii == 1 Jltатрlща А .q,вляется еурвlщевой (полюсы ФУНIЩllll
(2.5) расположены в левой пО l,упЛОС1l,ости). Пусть выполне
но условие (3.11) и О<ер ('Т}/СУ< 110 прп СУ =1=0 (110<
< + оо). Оnреое.zщt 'ЧuСло CG фОР:J1lулаЛlt (3.17) и (3.15).
П реОnОЛОЖu.lt, 'Что ол.</, пe1l,omopoeo {} и всех 00 <: w < + 00
выполнено неравенство
Re{['1 + avV(jw)]* f t 1+ vV(jш)]} + '0Re fjcuvV иы)] >0.
Тоеда cucтeltta (2.1) (2.2) аСUJtnтотu-ческu устой-чuва в
целом и оля любоео ее решенд<т, 1l,оне-чны HOp.'>tbl Х 11, I1 11.
3.3. СIIС'l'е ш с одноii раЗрЫШlOii неДlIнсiiностыо
II нееДШIствеНIIЫЛ полоn.еllllС3I равновесия
Рассмотрим систему (2.1), (2.2) для т === ii === 1 с Be
щественными коэффициентами И с разрывной, в общем
случае, фУНI\цией ер (СУ). Будем предполаrать, что ТОЧI\И
разрыва функции ер (СУ), если они есть, изолированы и
что разрывы конечны. Последнее означает, что сущест
ВУЮТ I\онечные верхний и нижний пределЫ
(j)JCY) '== Нт ер (СУ 1 ), (р+ (СУ) '== liш (р (СУ 1 ).
(3.18)
°l.....a
al a
в точке непреРЫВПОСТII ep (и) === fP+ (G) '== (р (СУ). В точке
разрыва СУ О значение (р (СУ О ) вообще не определено. ПОЭТО:\IУ
5 ПОД ред, Р. А. НеСIeПИНD.
130 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИВОСТИ [rл. п
уравнение (2.2) не имеет смысла для значений t, при KOTO
рых а (t) == ао. В связи с ЭТИМ (в соответствии с определе
нием решения А. Ф. Филиппова [122]), будем понимать
уравнения (2.1), (2.2) в следующем Сl\1ЫСJlе. Вместо (2.2)
рассмотрю.1 соотношения
6 == 1 (О, ep [су (t)] <'Ф (t) < ер+.[су (t))J,
(3.1 а)
Абсолютно непрерыапая вектор фующия Х (t) назы
вается решение.1L czzcme.ltbl (2.1), (2.2), если существует
су;м,;щzруе.,tая на каждоJ1t 1>oHe<t1-fД,L интервале фующия
'Ф (t) (назыаае.иа.<z дополненной функцией ер [а (t))) такал,
что пO'lтu всюду выпОЛllены соотношеllия (2.1) и (3.19).
Если су (t) точка непрерывности ФУНI\ЦИИ ер (а), то
(3.19) переходит в (2.2), и мы Щ>и. ОДШI К обычному попи
манию решения.
ЕСJIИ а (t) == а о на интервале [t 1 , t 2 ], rде а о ТОЧБа
р;\зрыпа фушщии (Р (а), то (,оnорят, что на [t], t 2 J имеет
место скользящий режzш; решение Х (t) на интерпале
[t 1 , t 2 ] называется решениеJ>L скользящеео реЖU.J.tа.
PaCCMOTp {, с УI\азанными дополнениямп, вопрос о
существовании стационарноrо реmения системы (2.1),
(2.2). Предположим вначал;е, 'lТО det А =F о. При х (t) ==
== const из (3.1), (3.2) имеем Ах + Ь6 == о, а == с* х, х ==
== А lb6, т. е.
о" + w (о) 6 == О. (3.20)
ПУСТЬ ПРЯllIая (3.20) пересеБает rрафИIi ФУНIщии ер (а)
внекоторой ТОЧI\е непрерывности ао (СМ. рис. 3.2, а).
Тоrда выполнены соотношения (2.1), (2.2) для
х == A Ib,(p (СУО), (:-3.21)
т. е. (3.21) является стационарным решением системы
(2.1), (2.2). Пусть прямая (З.20) пересеI\ает Н6!{ОТОРЫЙ
rЮРТИI\альный отреЗОR с I\ОIщами (а о , ep (о"о)), (а о,
(Р+ (а о )}, {'де а о ТОЧБа разрыва фУНI\ЦИИ ер (а) (см. рис.
3.2 б, в) и 60 ордината ТОЧЮ1 пересечения. Тоrда BЫ
полнены Соотношения (2.1), (3.19) ДJIЯ'Ф (t) == 60' о" (t) ==
== ао и
х == А lb o'
(3.22)
Поэтому выражение (3.22) является стационарным реше
lIие:\I СIюльзящеrо P();I\II .ra, ОДIlОПрЮНО'IIlIО IIIOrYT существо
3,3]
СПСТЕilI.-\ С Р.\ЗРЫШfUН НЕ;IПНЕПIIOСТЫО
131
вать и друrпе стационарные решенпя, например, COOT
ветстпующие значения;\{ а == О, а == a на рис. 3.2, б.
При W (О) * О из (3.20) следует, что == vV (0(1:)0 ==
== const. ПОЭТОillУ прп ТУ (О) =1=- О все стационарные реаш
мы исчерпываются фор [уламп (::3.21), (3.22).
< ::J ( oj
t .. I
а)
.:
6; 5
6
t,)
О)
Рпс. 3.2. Взапмные положения прямой (3. 20) и rрафика
фУНКЦИII q> (а),
PaCCMOTplIM случай, кorД<:. И/ (О) == О и а о ТОЧI,а
разрыва функции ер (а). 11з (3.20) СЛС,,\ует, чrо д:ш СТ<Ш,IlО
парноrо реiliЮIa <J == О о == о. в этом случае :lIоб()п Et'r,TOp
х == А lb;, rAe; == const., ep (О) <; <; ер+ (О), (3.23)
является стационаРНЫ I решением сн:ользящеrо реШИl\[а.
ДействитеJIЬНО, дЛЯ ЭТIIХ значений выполнены соотноше
ния (3.20) и (3.19), т. е., иначе, (2.1) и (3.19). ЛеrI\О видеть
что при W (О) == О фОрМУJIа (3.23) описывает псе стациона]1
ные режимы.
Сформулируеl\I получеНIIЫЙ реЗУJlьтат. Пусть det А ,:....
=1= О. Все стационарные режимы определяются фОРМУ.'Iаr.rп
(3.21) (обычное решение) и (3.22) (решение СI.ользящеrо
режи:иа), rде (ио, ер (<J o )) И (00. o) ТОЧIШ пересеч-ения
прямоfr (3.20) с rрафшшы фУНIЩШI <р (<J), ДОПОJшеПНЫI\I
вертиI\8льпыil11 отре 31\аl\1И, соеДИПЯIOЩЮIlI ТОЧЮI разрыва
(00' (P (и о )) и (ио, <р+ (ао)) (рис, 3.2а, б, в). Ес.J:И И 7 (О) .=.,
== О И и == О точка разрыва фУШЩIШ (Р (и). то УI{азап
нЫе значения == o заПОJIНЯIOТ интервал <p (О) <; <;
< (Р+ (О); В этом случае имеется «отрезок nOI{O}1» (3.23),
5*
А 3.3]
СИСТЕМА С РАЗРЫВНОй НЕЛИНЕйНОСТЬЮ
133
Ниже будет употребляться следующий термин. Бу
дем rоворить, что стационарное множество системы (2.1),
(2.2) точечноустой'шво в чеЛО.llt, если любое решение х (t)
этой системы стремится при t ----+ 00 к некоторому вектору
из этоrо множества.
т е о р е м а 3.4. Предположи.lt, 'Что вьтолнены сле
дующие условия: (I) <p (О) =1= <р+ (О), в mО'Ч1>ах Heпpepыв
ности при о" =1= О выполнено неравенство о"<р (О") >- О и
существует та1>ое 'ЧllСЛО е > О, 'Что
<р (О") ;;;;;. <р+ (О) при О < о" < е, 1
<р (О") -< <p (О) при е < о" < о; f
(3.27)
(П) nW'Ч1>а s == О двляетс.'! npOCmbl.lt нуле.lt фУl11>lfии W (s);
(IП) все полюсы W (s) расположены в левой полупЛОС1>оспш
и W иф} =1= о; (IV) существует 'Чllс.1О 'lt ;;;;;. О та1>ое, 'Что
при всех ro выполнено неравенст,10 Re [(1 + j(j)'lt) W иro}l ;;;;;.
;;;;;. О, а если -& > О, то ( .-&) l) не являетсд полюсо;,t фуn
1щии W (s). Тоеда отреЗО1> пО1;ОЯ (3.23) то'!е'Чно устОЙ'Чllв
в целом.
3 а м е ч а н и е 3,3. ПреДПОЛОffiИ I, что Юlесто (3.27)
функция <р (О") удовлетворяет ; ля пекотороrо > О He
равенством
<р (О") ;;;;;. <р+ (О) '.1.0 при О < о" < В, }
<р (О") < <p (О) ,.I.O при B < о" < О.
(3.28)
Тоrда теорема 3.4 остается справедливой, если потребо
вать, чтобы Все полюсы фУНКЦИИ W.... (s) == W (s) [1
r1W (S)J l имели отрицательные вещественные части,
а условие (V) заменить следующим:
(V') Существует 'lt;;;;;. О такое, 'Что Re [(1 + jro1})
W.... иro}] ;;;;;. О, а если {} > О, то ( 'lt l) не явлдется полю
с0;" фУНКlfий W (s) и W.... (s).
Пр II М ер 3.2а. Следующие ураllНСПIIfJ UШIСLlЩl!UТ ДШJa IIШУ
спстемы реrУЛПРОD<lНIIЛ парОllоii турбпны:
'lYJ1 == 1]l + 1]з . ,"ip == 1]1 112. 1
iJз == 1] . == si n 1]". J
(З. 9)
Здесь .1 > О, .2 > O ОТLIсюшаи стацпонарное IПО;I;еСТDО. по;rУЧIП!
уравнении 1]1 == 1] == О. 1]з == . Из DToporo ураDнешlП (3.29)
D СООТlJСТСТВlШ со СIШЗaJШLI ! uыше по.'lУЧiJ.С ! ДЛЛ значеПIlЯ
'134 IIШ'l'ОДЫ ТЕОРIIП ,.;.Бсолютноfi VСТИЙЧIШОСТII [rл. 111
1 == cp (О) < < СР+ (О) == + 1. Поэтощ' отре:щом ПО!,ОЯ t 3.23)
яеляеТСJ1 D даппо [ CJIY'Hl!J миошестпо
1J1 == 1J2 == О, 1 < 1']3':;;;; +1.
(3.30)
Любое ив этих реmений является стацIIонарныM решением СRОЛЬ
зящеrо режима. приыоляя теорему 3.4, полУ'ШМ следующее условие
точечной УСТОЙЧIlВОСТИ в целом отрезка покоя (з.30): 'tif2 < 'tl + 't2.
То же стационарное мпожество и то же условие ero устойчиво сти в
целом получится для любой ВеЛlшейпосТ1I 1; == ер (1'}2) таlЮй,
Ч:ТО выполнено условие (1) Teope lbI 3.4 и ер+ (О) == 1, cp (О) 1. OT
метим, что неравенство 't 1 T2 < Тl + "2 совпадает с условием rYPBII
ца для линейн()й системы, нолучающейся из (з.29) :заменой IIослед
пеrо уравнения на = О. Поэтому для системы (з.29) выпол
вяется rиnотева Лйзермапа (1) для УRазанноrо выше Rласса
пелпне:йв:остей.
Следующая теорема ОТIIОСI1ТСЯ к критическому случ IO,
I..оrда маТрица А в (2.1) имеет два чисто мнимых корня.
т е о р е м а 3.5. Предположи.1l, 1I.mo выполнены усло
вил (I), (II), (IП) теоре.-.",ы 3.4, а также следующие усло
Gия: (IV) фующия W (s) пр,.дсmаВll.ltа в вссде
W(s} == + + WI(s},
S2+w O
iJue все полюсы W 1 (s) распо. ожеIlЫ iJ левоii IlUЛУТlЛОСh:остll,
с(. > О, > О, и если > О, то чис.'lО ( a; ) не двлдетсд
пOJt1OCOJ,l фупJ:lfUU W 1 (s); (V) при. всех си > О выпОлllеRО
частотпое условие
+ Re [( 1 + i 13U)2 ) Vl(iW) ] :>о о. (З.31)
(Q(j C((QO
ТО2да ompeJOi>- пOJiO:l (3.23) Cl1Cтe.llbl (2-:1), (2.2) точечно
устой 'Чll8 в чеЛОJ1I.
П р n м е р 3.26. РаССМQТРЮI UС1щлллтоr с пе!IllПсiiны r raa
рывпыи треппем, ОШIСL1па(' ILlЙ УР,ШI10ШIC 1
1i + (р (li) + (й Т] == О.
ПередаТОЧllоii: ФУШ{ЦJlСЙ (от <r l{ il) Нllлается, ОЧС'lllIДПО, 1У (s) ==
s
Q . В Д<\IШО IСJIУ'I'НJt;(. == 1, 13 == О, II/I О.Н:.! rсоремы 3.5
s2+ U )ii
следует, что отрезок цОRОЯ iJ О, (й 2cp (О) тj (й о 2 ср+ (О) то--
чеЧНО--УСТОЙЧIIВ в цеЛО ,I. Italшва СЫ Н11 была нелинейвостъ <р (и).
УДОllлетворяющая УСЛОВIlЮ (1) теоремы 3.4.
3.з1
СИСТЕМА С 1' -\.3рывойй НЕЛIIНЕfIНОСТЬЮ
135
Перейдем R рассмотрению случая, Rоrда det А == О,
причем будем предполаrать, что л == О простое или
ДВУЕратное собственное значение lIIатрицы А. Это связа
но с тем, что даже линейная система (2.4), (2.2) с ер (а) ==
== ,.,.а неустойчива при lIIаЛI.IХ /l > О, если краТllОСТЬ соб
cTBeHHoro значенпя л == О lIIатрицы А больше ДВУХ.
т е о р е м а 3.б. Предnоложи,д, что уравнение
det (А лI n) == о U.lteem одпо-пратныЙ корень J.. == О:
а остаД,ъные е20 КОрНН дежат в левой полуплоскостu. Пусть,
1OpoJtte тоео: (I) фун-пцuд, ер (а) такова, «то <р (а) == О при
а1 < а < 0'2' еде 0'1 < О, а2 >- О, а 2 > 0'1' 11 в точхах He
прерывности вЫnО.znепы llepaeellcmca
о < <р (а) < flo (а а2) при а > а 2 :
""0 (а a 1 ) < <Р (а) < О при а < а 1 ;
88есь О < lto -< + 00, прuче.lt при Lo =1= 00 выпО.Ulено
условие
:I<x>
[110::1 ер (о)] d;J == .;)0;
о
(П) cucтe.lta (2.1), (2.2) упра(Jл:zе,1tа и nаб.'/.lОDае.lll!, т. е,
передато'Чна.q, ФУluщия W (s) не nредставu.щ1. в виде oтиo
1.UeHU.q, ,,1t1i020 t /леitoв СО ВUQ.1zенателе.1t, cтenellb котороео
.1/еllьше порлд-па систе,иы; пусть r;,po.lte тоео
р == lill1 sW (s) > о;
Б
(III) существует такое -{}, чти для всех u) > о вЫnIJД/сНО
Il I + Rc [(1 + i(J){J) I;f иш)] >- о,
прuче,,}t в случае i} > О ЧUс.zо ( {} 1} не Я(]"lJlетс.'l пЙ.ZlОСО.lt
ФУ1Щq.uu JV (s).
Тоеда отрево}!, покоя (3.26) систе",1.Ы (2.1), (2.2) тО'lеl/н.о
устойчuв в lfe.'lo.l1..
т е о р е м а 3.7. Предпо.ИЖll.l/, что урu.виение
det (А лI n) == о U,l1.eem двУ1Ораmный нулевоЙ JLOpeHb,
а оста.л.ьные еео ОрlЬп лежат в левой nолуп,n,оскост1l. Пусть
таRЖе (I) футщu.q, ер (а) ттюва, 'апо С? (а) == О при
136 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОЙЧИВОСТИ (rл. 111
a 1 а < а 2 , еде a 1 < О, б 2 :> О, и в точке непрерывности
вЫполнено неравенство <р (а) а > О при а> а 2 u а < a 1 ;
к-ро;ме тоео,
:f:oo
S <р (о) d:1 == ::ю;
о
(II) ФУН1ЩU.q, J-'V (s) npeacmaGU.1La в виде
W(s) == Рl + Р: + W1(S},
S S.
еде Pl > О, Р2 > О 1I все полюсы W 1 (s) расположены в ле
вой nО/tуп.лоскостu; (III) выполнено неравенство Pl +
+ Re иro W 1 (jcu}l > о при О < ro -< + 00.
Тоеда отреаок- nOf>,o.q, cucme..1Lbl (2.1), (2.2) устойчив
в це.п.ОJlt.
П р n [ е р 3.3. Рассы"три [ ;laдачу ётабилизацпп са юлета
автопплотОМ с ;зопои пеЧУВС!'DитеЛLНОСПI *). Уравпешш ДDшкеНllЯ
имеют вид
+ t( == Nrl, 11 == , u == + B сС!,), ;; == 'р (о).
Эдесь q> (а) == О при ao < а < ао, q> (а) == К при а> 0"0' q> (а) ==
== K при а < ао, уrол рысканья самолета, 1] уrол поворо
та руля, К, М, N, а, положительные постоянные, ао > О
число, характеризующее величину зоны неч:увствительности cep
вомотора. А. А. Андроновым и Н. Н. Баутиным было показ&но,
что прп отсутствпп зоны нечувствнтельности (ао == О) область yc
тойчивости в целом положения равновесия в пространстве парамет
ров определяется неравепствоь[ А + В> 1, rде А == Jl;J , В ==
== мЦ N а. MeTOДO [ ТОLlечных преобразовапии ll Ш была исследована
качественная I{артпна в фазовом прострапстве этОП систе [ы ПрIl
наЛИЧШI зоны нечувствuтельностп (аоф О) и на ПЛОСI,ОСТП парамет
ров А, В выделепа область существованпя автоколебаНIIИ. Допол
няя этп исследоваНIIЯ, ПОl{ажем, что и при наличии зоны нечувст
вптельносТII область устойчивости в целом имеет ВИД А + В> 1,
причем этот вывод справедлпв для любой неЛl1нейности, удовлетво
ряющей условию (1) теореыы 3.7, Заменяя в ураВllеЦШIХ cIIcTe ILI
d/dt на s, получю[ а == w (s) , rде .
. 1 I N (1 + )
11 ( s ) == I ., ( ' /)
as s s + ..
*) См. А. А. А II Д Р О 11 О В П Н. Н. БаУТJI н, Известпя.-\Н
СССР, ОТН .м 3, .;\ 6, 1945.
СИСТЕМА С РАЗРЫВНОй НЕЛИНЕйНОСТЬЮ
в данном случае
Рl == N/M> О, Р2 == :x l + N (M 1) M 2 > О,
W 1 (s) == (a l Р2) (s + M) l.
Условие (111) приоuретает ВИД N (M 1) M 2 + a l > О,
что равносильно нерапенству А + В> 1.
Теоремы 3.4 3.7 ([27,28] и др.) распространяют I\рите
рий Попова на важные В прикладном отношении особые
или критические случаи (фун:кция W (s) имеет полюсы на
мнимой оси), вырожденные случаи (условие Попова выпол
няется со знаКО!ll :>, а не >), случаи раЗР!,IБНОЙ нелиней
ности и связанные с этиr.i случаи наличия стационарных
множеств вместо еДинственноrо стационарноrо решения.
Следующая теорема, установленная r. А. Леоновым, pac
пространяет на HeI.oTopbIe из ЭТИХ случаев частотный кри
терий 3.1.
Т е о р е м а 3.8. Предпс :tOЖUllt, что CUC1пe.ilta (2.1),
(2.2) диссиnативна и что все ПолЮСЫ W (s) расположены в
левой nОЛУnЛОС}j,ости. Пусть, хроме тоео, выполнены yc
ловия: (I) ФУlтция <р (а) дllффеРе1щируе.1ta при а *' О,
<р+ (О) == <p (О) > О, а<р/аа;.> в > О при а *' о; (П) пe
редаточu,ая фующи.'l W (s) ll.1tt eт не .1сеиее двух нулевых
корнеЙ и Нт sW (s) *' о; (ПI) существуют такие числа
8......00
. :> о, х :> о, -&, что 1(1 (U):> о для всех (й:> о, еде
11:1 (ш) == Re [(. + fJicu + х( 2 ) }У иш)],
Тоеда отреаок- покоя (3.23) систе.1СЫ (2.1), (2.2) устойчив
в целолt.
П р JI Ы е р 3.4. PaCC IOTpIВ! СI!СТЮ!У
.,. I .
1] + BIJ + 11] == 2sigl1l]. 1;. == \', av + \' == 1], (3.32)
ОIIIIсывающую дина шку реrулuрования паровой турбlIНЫ. Первое
уравнение является уравнением движения реrулятора, второе ОIII!
СЫвает ДIIнамину машины и третье работу сервомотора, В слу
чае, коrда постояниая сервомотора а == О, СIIсте?>1а (3.32) изучена в
работе [101, rде, в частности, показано, что отрезок покоя устойчив
в целом, если А > О, В> О, АВ> 1. ПрШlCняя теорему 3.8, по
кажем, что при а О отрезон ПОf\ОЯ устойчив в целом, если
.4>0, В>О, АВ> 1, О (,{ <
AB 1
В
138 МЕТОДЫ ТЕUI'IШ .\I3Сt>ЛЮТНОfI УСТОЙЧIIВОСТII [l'Л. [11
Положим q; (а) == sign а + еа, rде а == ij, е> О. Передаточная
ФУНIЩИЯ (2.5) прп этом имеет ВИД
Cl.s3 -+- S2
W (s) == ctS + (C(B :1. -+- 1) $3+ (ctA +- B E) S3+ As -+ 1 .
Пользуясь IIЗDестнызщ I\IЩТСРIIЯ Ш, леrI(О установпть, что при дo
статочно шлоы 8 > О 11 при Е == О f\ОрНИ зназшиателя W (s) лежат
в левой полуплоскостп. Очевидпо, что при достаточно J,ШДО?I е> О
фУНIЩИЯ W (8) несократпыа. Так 1(:11\ неЛIIнейпость (3.32) оrраниче
на, то спстема дnссипаТИDна ( 3.2). Леrко показать, что при т == О.
1
х == 1, в +- е < -& < ct А выполнено условие (П!). T8J...>IM
образом, выполнены все условия теоремы 3.8 и отрезок ПОI\ОЯ
1 1 .
2 2' v == О, Ч == О, 11 == О
СIIСТСШLl (3.32) устоii'lIШ n ЦСJНШ
ОТ IeТИИ, что этот реЗУ.:Iьтат на осrrоваППII теUI)е IЫ 3.8 остается
справедлпвы1lI для системы, IIолу-щеыоii из (3.32) заменоп ФУНIЩIIП
1
q; (а) == 2"sigп а любой оrраНИЧI'lшоii неJ!Ппейностыо I:p (а), раз
рывной в нуле, диффереНЦl1руеиоu прп а =f=. О, q;' (а) О и такой,
что
1
qJ+ (О) == Ч' . (n) == 2
3.4. Спстеi\Ш с ОДШIЛ lIIIIРОТПО lI)IПУЛЬСНЫ31
ПЛlI чаСТОТНО II:\IПУЛЬСIIЫЫ МОД)'ЛЛТОрО:\1
Рассыотрш[ спстему (2.1), (2.4) с ." == n == 1 в случае,
Iюrда уравнение (2.4) ОППСLшает работу иыпу.'Iьспоrо 3.'1c
мента (ИЭ) достаточно ПрОПЗВО.JIьноii прпроды, nырабn
ТЫВ<llOщеrо ИМПУЛЬСЫ копеЧRОU длительно.сти.
Оппmе 1 вначале рnботу IШПУJIЬСRоrо элемента. Пусть
а (t) и (t) вход 11 ВЫХОД ПЭ, 6. ве.'1ичшrа нсчувстви
тельносцr, t], юмснт ПОСLIJIIаr k ro и:нпульсз. Работа
ИЭ описьшается урnвпепшнlП
0(1,) == о (t);;), t);;+1 == 'Р' (t);;, o(l.)}, )
S (t) == О для t);; < t < t);;+1' если I (j(l.) I < D., (3.33)
s (t) == 51( (t) для t k t < t k +1' если I :::;(К) I :> 6..
Функцпя S1>. (t) определяет фориу k ro юшульса 11 1I1Oi'i\eT
зависеть от а ('t"), tk l < 't" < t R , ПраnыР. части ураЕIIеП!IП
СIIСТЮ,IЫ С' ИИIIу.;тЬСНЫi\Ш !lIOДУЛНТОР \ЫП
(3.3З) определяют некоторый оператор <р [а (.) I o, t].
ТаIШ!\{ образом, уравнения (3.33) в совокупности опреде
ляют для Данноrо случая уравнение вида (2.4.) Первая
СТрОI\а в (3.33) задает момент посыЛIШ слеДУIOщеrо Иl\I
пульса. В дальнейшем будем предполаrать, естественно,
что t1>. ---+ 00 при k ---+ 00. Последние ДВа уравнения опреде
ляют сиrнал на выходе ИЭ.
в случае ШИрОТНО ИllIПУ:IЬСНОI'О модулятора, Bыдa
ющеrо прююуrОЛЬRые импульсы, футщия Sk (t) Иi\Iеет
вид
811. (t) == signa(I.) для t" < t < t" + т (1 a(/()I), } 91.'
81>. (t) == О для t h + т (1 a(k)I) < t < t"+1' (З" Н:i
{'де Т (а) неI\оторая заданная для а > О :\iОНОТОllная н
оrраниченная фушщия, Фо}шулы (3.34) ОППСЫЩIIOТ "o
ДЛРОВI(У сиrнала посредством :ИЭ.
Дальнейшее изложение о.,новано на простоы сообра
iIШНИИ, ПОI{азываlOще:о.I, что ори достаточно общих пред
положениях ИЫПУЛЬСНЫЙ эле;\Iент, описываемый ypaBHe
НИШIИ (3.33), удовлетворяет некоторой интеrральноii
Iшадратичной, СВЯЗII вида (2.32). Идею ПОJIученuя COO1'HO
шения (2.З2) ПОЯСНИl\I, преД110лаrая, для простоты, что
выполнено (3.34). Если В И0мент t" имеет. i\IeCTO а (t J "'---=
== а(К) > д, то соrласно (З.34) s (t,,).a (t,<) > tl > О.
Естественно считать, что сиrпал на входе меняется с or
раниченной скоростью. Тоrда для JIюбых ВХОДНЫХ сиrна
лов S (t) а (t) > О при t, достаточно БЛИЗIШХ к t1>.' Если
значение т 1>. == Т (1 а(/() I} не СЛИШl\ОМ веЛИl\О, то
111'+1
S (t) (j (t) dt ==
'11' '11'
И, следовательно, выполнено (2.З2) (В качестве последо
вательности t" ---+ 00 в (2.З2) берутся моменты посы.:ши
юшульсов). Неравенство (З.35) ВLШОJIflепо лишь при
определеННОI\I соотношении, связывающпм CI{OPOCTb н:>
i\Iенения входноrо сиrналD., величину нечувствительностп
tl и интервал между юшульсами; это соотношение и бу
дет одним из условий устойчивости.
Указанное соображение при более ПОЛНОi\I и более 'Iоч
1I0:\l изложенпи ПРИВОДИТ I{ с.!Jедующе::\IУ утnеРiIщению.
'ь;+Т "
s(t} (t}dt >0,
(3.35)
14.0 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСолютной устойчивости [rл. III
л е м м а 3.1. Пусть известно, .'что вход а (t) и выход
(t) импУЛЬС1-LOео элемента с уравнениями (3.33) связаны
соотНОШение. t
dad t) == а. s (t) +- 11 (t) +- (t),
еде футЩllll 1"] (t) l{. (t) уg,овлетвор:uот
/11 (t) I Е L (О, 00), I (t) I < ь. ОбознаЧll.lt
1"+1 1"+1
S" (t) == s" (t) dt, S" == S (t/(), Q" == I s/( (t) I dt,
I/(+1
М" == S [s/(t)j2dt
1"
и предпОЛОЖll..;ll, что I S k (t) I < с д..1.<[ всех k, а также 'Imo
(3.36)
условиЯJ<t
(3,37)
М 1 / [ а:% + ::,(/()Sf, bl}l,] > v при I (")I > 6., (3.38)
еде 'v не завиС.<z,щая от k посmО.<z,НliGЯ. Тоеда для указан
ных Значений t k выполнепо (2.32), еде
00
F ( , о, о) == (о 'Vs) , r == с 111 (t) I dt.
о
(3.39)
Из (3.36) получим, что в случае прлмuуrолъных импуль
сов (3.34) значение 'V находится по следующей простой
формуле:
'V == inf [с; + (Й Ь) т (G}'j
0;;;'.6.
(3.40)
д о к а 3 а т е л ь с т Б О Л е 111 м Ы 3,1. ОбознаЧЮf
//'+1
I/( == (СI v(рдСРtdt.
t/ c
При I а(") I < 6. Иl\!еЮI 1 h == О. ПУСТЬ I а"l > 6.. ИН
теrрирул по частям, найде;\!
aSE
I/c == + a(/;)S/c yM" +
I"+l
(1"]+ }S,,(t)dt.
t"
СIIСТЕl\IЫ С ПIlIПУЛЬСНЫIШI lIiОДУЛНТОРАl\IИ
При lЗыполпешIИ (З.З8) имеем
tk+1
Ik > с S 1 1 11 dt .
/к
Суммируя эти нерапенства, ПОЛУЧИМ, что' выполнено yc
ловие (2.32) с уIшзанныllIи n (3.39) значениями F и r. Ле!\l
ма доказана.
ПОI\ажем, что для рассматриваемой СИСТЮIЫ (2.1),
(3.З3) выподнепы основные предполол.ения ле ШЫ 3.1,
и найдем попутно числа а, ь, ". Из (2,1) имее)1
(t) == а (t) + S Q (t -с) (-с) а-с,
о
rде
Q (t) == с*еА/в
li а; (t) == с*еА/х (О). Поэтому выполнено условие
в котором
(3.41)
(3.36)
/
ii == 2 (О) 11 (t) == d() ;;) (t -с) а-с.
1)
При условии, что импульсы оrраничены' т. е. что
181>. (t) I < во, а значит, и I (t) I < во, из последнеrо
соотношепия ПОЛУЧЮI I (t) 1< ь, {'де
<х>
Ь == со I d t) I си. (3.43)
u
(3.42)
ИтаI\, выполнены все предположе:&ия леммы 3.1. Таким
образом, выполнено условие (2.32) с формой F и числом
r из (3.39). Из выражения для 11 (t) следует, что r ==
== Су I х (О) \, rде
'у == тах I е А '/ Ас 1.
t:;;'o
Наличие интеrральной квадратичной связи (2.32) поз
воляет ПРЩIeНИТЬ общий I{вадратичный критерий ( 2.2)
и получить сразу же некоторое частотное условие абсо
ЛlОтной устойчивости. Из теоремы 2.1 (g 2.2) получаем сле
дующий результат:
( а. !М. (,t у l' wl w» о ""),.». О-)lLJ>tо.
14 ЫЕТОДЫ ТЕОРШI АnС()ЛIOТНОй УСТОЙЧIIВUС'l'П [rл. 111
т е о р е 1\1 а З.9 [141). PaccJН,oтpи.мcиcтe.мy(2.1}, (3.33)
с т == п == 1. П редположu.1t, что все полюсы футщии fV (s)
(собственные значения .1tатрицы А) распо.л.ожены в девой
полупЛОС1fOсти. Пусть и.1тульсы J.tодулятора 02раничены:
Is;,(t} I co' IS,,(t) I C.
Определи.1t числа а, Б по фор.иула},t (ЗА1), (3А2), (ЗАЗ).
Предположи"'t, что для пекотОРО20 v > О выполиено {3.З8},
аде числа 1I1 h , 8,,, Q" определяютс.<t из (З.37}V'Тоада cиcтe
.1Щ (2.1), (3.З3) а6солютно устойчива в Rлассе J.toдулятОр06
(З.33) с фиRсирова.нны.Шl числаJtЩ СО' С и '\1, а именно, для
.'1,1060130 ее решения выполнепо
11 х 11 < 00, 11 11 < 00, I х (t) I О прп t ---+- 00,
I! .х; 11 1\ I х (О) 1, 11 11 1' I х (О) 1, тиХ I х (t) I <
'1'3 I х (О) Iж
aд постоянные '1'1' 'I':!, 'Уз зависят лишь от 1>оэффициентов
линейной части систеJИЫ и чисел СО, С и '\1.
Следующая теореыа, которую припедем без ДОl\аза
тезьства, дает несно.IIЬКО Иное условие УСТОЙЧИВОСТИ pac
Сi\IатрпваеllIОЙ системы. Обозначим через 'Сп длительность
ИllIПульса, Т. е. меру' значепий t на иn, tn+I)' дЛЯ ROTO
рых Sn (t) > О. Положим
1
т n == т
7L
1n+l
s,,(t)dt,
ln
1'НI
d" === т п
n n '
1
Sn и? dt,
2
х n ==
т n 1:'n I (n) I
111+1
.
(t t n ) Sn (t) dt,
l"
} (З.44)
1lI === Stlp { знр I s" и) I},
10,,1>6 1,, I ln+l
т == inf т'l' Х === Stlp Х n '
lon l >6 10(")1>
d == Stlp d",
I"(n)'>'"
""
r === I o I + I (l (t) I al.
о
ОпreТl1Ы, что Д.1Н ll ), выраоатыпающеl'О прн;ноуrО.iILные
з 4]
СИСТЕi\IЫ С IIl\IПУЛЬСНЫl\IИ МОДУЛЯТОРАМИ
1 '
шшульсы (3.44),
т п == d n == ЛI === т == d == '1,
'Х п ==
't" ...!.. 2\.
11. I -n
I :;(п) I
Для шпротпо импульr.поii IOДУЛНЦIIП обычн()
t n + 1 t n == const, "п == О.
в ЭТОi\1 случае величина х == Sup '"С п / I О"(n) I совпаДает с
lo{H)1 > j.
рассматрrшпеJ\lоii в 11:2.51 КРУТIIзпоii хараhтер!IСТIIЫ И -i.
В даJIыюuшеi\I бу;::r,см ПРС..1п()лаrап" что 111 < <х). тn> О
и что частоrа IПШУ:II,саЦIШ оrраНlIчепа сперху н сппзу:
......- 1 .
".. t t ",'"
71+1 'а
т е о р е 1\1 а 3.10. (А. Х. rеJIпr [2{)]). Пусть в систе.щ
(2.1), (3.33) .-иатрица А является zypeulfeeou. Пусть сущест
2
вует б > О такое, что выполн,ен,о н,еравен,ство r х> б,
zae велиЧ,ины " и х определяются из выражений (3.44), и тa
кое, что r2 il + Re JiV иro} ;> О при всех ro;;> О. Tozaa cиcтe
.па (2.1), (3.33) устойчива в цеЛО.ilt в С:Lедующе.1t С.щ сле:
о" (t) ---+ О при t ---+ 00, тах I о (t) I ---+ о при I х (О) 1---+ О,
1>0
ОШ!:JТlШ, что фушщшо Q (t) n (З.41) IOашо вырази'[[,
Rспосредственно через YV (j (,»:
1 .,
n вт (j[u) е;Ы/ аы == Q (t).
ca
(3.45)
Пореiiдеi\l h paCCi\IO l'peHIIIo пыпу.1ЬСRоiI спстемы с ИЗ.
вырабатываlOЩИi\I мrповеипые J[ ШУЛЬСЫ. частота которых
i\IOдулпруется снrпалом (J (t). Спстеi\Ш опuсьшаетсп ypaB
е ниямп J2J) т п УJШIШе IIП illШ
са
r sign f;, если I <5k I :> 6., (3.46)
Лk == l О, I I
если .j/; < t1.
(t) == Лl\fJ (t t/;),
k o
ЗдеСL
О"/. == о" ([1< О)
(3.47)
:lf("1'iCIIIIC BXO.JIIOPJ C"II:i.I.l В ,\lu)ICI!T. ПРС.1ШССТВУIOШIlii
144 I\1ETO;:J;bJ ТЕОРПII АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТII [rл. IП
подаче и?шульса, В (t) дельта функция- ДираlШ, !::,. >
> О постоянная, характеризующая величину нечувст
витеЛЬНОСТII иэ. Моменты подач:и импульса определяются
по фор (уле
t'!+l == t" + т (1 а" I ) (k == О, 1,. . ., t o О), (3,48)
rAe т (х) ;;> О заданная на интервале [О, оо} непрерыn
ная, М0НОТОННО возрастающая функция, описывающая
закон 1II0ДУЛЯЦИИ, причем Iim Т (х) == Т ос> =f:= +00. Фор
3:----+00
мулы (3.46) (3.48) определяют для данноrо случая
нелинейный оператор (2.4).
т е о р е )I а 3.11. (А. Х. rелиr). Пусть выполнено следу
ющее YC.'loeue: (I) все полюсы передаточной функции JiV (s)
(все собственные значеНllЯ .чатрицы А) лежат в левой полу
nл.ос-пости lt числа 1'0' 1'1' во таковы, что I Q (t) I -< 1'oe E.I,
I { (t) I -< r1e Eot, 2де Q (t) определяется из (3.41) llли из
(3.45). Пусть также Нт sJiV (s) == О. 060значиJlt Через ro
8--+00
наи60льший ftOpeHb уравнения ro ==)'0 {1 ехр [ ВоТ(]'оН } 1
и положим ]'1 == y!ro/Yo, Т о == т (1'0). Если существуют
постоянные в > О, 'v > О maftlle, что выполнено частотное
условие
v + Re [(в + iU)W (iU))] ;;> О, ----,---00 < U) < + ос, (3.49)
и оцеНftа
E(..'I+To)
fV БТ о
r + +(l e т, }r1<в.1,(З.50 )
2(1 eE 0)2 e.TO l
то система (2.1), (3.46) (3.48) устойчива в целом в следу
ющем смысле: для .1106020 ее решения а (t) --+ О при t --+ 00 .
т е о р е ( а 3.12 (А. х. rелиr). Пусть выполнено УСЛ()
вие (I) предыдущей meope.ltbl. Пусть таftже при нтоторых
в> О, 'v '> О и р выполнено частотное условие
р + v + Не [(в + iU) V (iU)1 :> о (3.51)
инеравенство (3.50), в ftOmopo. t То == Т]'о, ' 1 ==
== (То р/2) 1'1 (21'O) 1, а ro наибольший ftOpeHb ypa8
нения 'о == 2уо {1 ехр [ вТ (ro}]} + р/2. ТО2да cиcтe
ма (2.1), (3.46) (3.48) устойчива в целом в следующе.-и
С.ltысле: при t --+ 00 для .пюбоао решения Фунftция (J (t)
и.-иеет предел, nринад.'lежащий отрезку [ !::", !::,.].
3.5] СИСТЕ!IIА СО !IIН()rIf!llП НЕЛИНЕ1'!НОСТНl\III
Теоремы 3.9 3.12 распространяют частотное условие
Попова на системы, нелинейность IЮТОрЫХ является опи
санным выше частотно илп ШIrрОТНО П:\lПУЛЬСПЫllI MOДY
лятором. .
Ряд результатов для спстеllI с одним или неСliОЛЬRИl\1И
импульсными элеl\НШТRМП получен в работах [29, 30, 36,
49, 1281 и др. Существует таЮf\е мпоrо работ, посвященных
абсолютной УСТОЙЧIIВОСТII lIР.тшнейнЪJХ аМПЛПТУДНО IIМ
пульсныx систем. ЭТП СIIСТЮIЫ ошrсываются нелинеЙНLIМП
разностными уравнению,ш' вида
Х/Т! = Ах! + Ы;" S/ == ер (0-/), О, '1,
ИЗ:lOiRенпе рсзультатов, ОТllоrящпхся н 3ТН;\[ спстс ta!\(,
ВЫ:.\.О]lПТ за препелы нас.тоящеп юшrп,
3.5. СlIсте;\13 ('О ;\1II01'II:.\Ш не:lшн'iiНОСТЯЧII.
Kpyronoii nРllтерпи 11 I.pllTCpllii ПОlIона
Перейдем Ii расс ютреНl!Ю систе I с неСRОЛЫШМИ He
:пшеЙНЫllIИ БЛОl\аМII. т. е. CIlcТt :\i RIща (2.'1), (2.4) с fii ;>
:> '1, ii? 1. В данном случае "ходы (J == (о- }; l 11 выходы
== ( j)j l пелпнейных б;IОl\ОВ являются векторами по
рЯДIЮВ т и ii соответственно.
Предварительно раССll10тршr линейную сис,тему, полу
чаемую заllIеноп уравнения (2,4) ураnнеНIIе I
6 == JlO, (3.52)
rде J.I. неI\,оторая постоянная ii х fii Iaтрiща. Д..-rя си
СТРllIЫ (2.1), (3.52) справеДЛIlВ следующий I\ритерий, aHa
лоrичный :критерию Михайлова НаЙI\виста. Пусть ЮЩ
у раЗОМIШУТОЙ системы (т. е. у СИС'Iемы (2.1) с 6 === О),
1аI\ и у замкпутой систеЩ,I (2.'1), (3.52) хараI{ТСРИСТИ
ческие уравнения не имеют корней на lIIНИМОЙ оси. Леr«о
показать, что в ЭТОМ случае
dct [/п + flИ' иro}] =1= О, oo < ro < + 00.
Здесь J n еДIJничная ii х lнщтрица, W (s) переда
точная fii Х ii штрпца (2.6). Следовательно, можно оп
ределить прР.ращсние aprYlIIeHTa
Д Arg det 1Jn + f.LH' (iu)}]lt= oc == 2лk о , (3,53)
14.6 МЕТОДЫ ТЕОРИИ .АБСОЛЮТНОй УстойЧИВОСТИ [rл. 111
причем число ko будет целым. Обо;шаЧПJ\l через kp и k3
степени неустойчивостп соответствЕ'ННО РАЗОМКНУТОЙ и
ЗШ\IlШУТОЙ с.истем, Т. е. чис ra собственпых ;шачений MaT
риц А и Р === А + Ьрс*, расположенных ь правой по.!IУ
плоскости с учетом их кратности. Имеет место соотношение
k з k p . ko (3.54)
Форыула (3.54) при т == ii == 1 переходит в извеСТ1'I.ое
правило Мпхайлова НаЙI{виста. При т;;> 1, ii ;;> 1 бу
дем Ш\аыnать фОр \fУЛУ (3.54) АtатриЧН,Ы.ilt правuло."I1. 1I'1и
хаЙ.1сва HaU1ieur;тa. Из (4.54) следует, ЧТО для УСТОЙ
чиностп заашпутоD: системы необходимо и достаточно, что
бы ko =:-: k p . Последнее утвержденир (переходящее при
m === ii == 1 1:1 изnестuоD: l\ритерий l\,lихайлова Н айквис
та) будем называть J,taтpu'тbMf, хритерие.-п lIiихайлова
Найкеиста. Формула (3.54) выводится очень просто, если
воспользоваться леММQЙ Шура [25] *}. Рассмотрим теперь
нелинейпуlO систему (2,1), (2.4) с т === ii ::> 1 в предпо
ложеllПИ, что аходы Oj (t) и выходы j (t) нелинейных
б.JIОБОВ связаuы (при Oj (t) =1= О) соотношениями
Ct-j < 5j (t}/aj (t) < Pj, j == 1, ., т, (3..15)
rде t:Xj, j невоторые инвестпые числа. Обозначим через
i"g) :класс нелинейных блOlЮВ (2.4), обладающих этим
СВОЙСТВОl\I.
Т е о р е 1II а 3.13 (1\ р у r о в о й I( Р И Т е р и й д л я
и е с I{ о Л Ь К:И Х Ilелине йностей). Пусть урав"fU!НUЯ
линейной чrzстzt cucтe.ltbl имеют вид (2.1) (или (2.5)} с т == п,
уравшния н,елuнейных блоков uмеют fJltO (2.16). Пусть
."J(,ampUlfa А не zt.ilteem собственных значений (."I1.ampulfa W (s)
"') Имеппо, обознаЧШI через Llp(s) == uet (А sI n ), Llз(S) ==
== det (Р 8In) хараI\терПСТIIЧескпе определители разо IКНУТОЙ. n
замкнутой систем. Используя лемму Шура [25], имеем
Ll з (s) == Llp (s) det [I + IL W (s»,
rдe W (s) передаточная матрица (2.6). Для ЛlОбоrо мноrочлена
Ll (s) степеnл п, не lIмеlОщеrо чисто мшшых KopHeil, справедлива
очеВlIдная формула
Ll Arg tJ. (iw) I :!:: == :Jtп 2лk,
rде k ч:ис.;rо ero кпрпеп В правой ПОЛУП:IOСSОСТII. Прrш нял зту
фОр JУolУ К )шоrО'l.lСНУ !lз (8), IIO.iIУ'l;Щ (3,54),
СИСТЕМА СО мноrИЫll НЕЛПНЕйНОСТЯIIШ
не и иеет полюсов} на Щ/'uJ'lf.ОЙ оси и kp ("тепен,ь н,eycтoЙ
'IUBOCтu раЗОАtК1f,утой cucme ltbl, т. е. lЩСЛО собствl:'1tн,ьtх
JНШlен,uй .матрицы А, расположенных в правоЙ nолуплuс
"ости. Пусть /J-j проиЗ80льные числа в шиперва.'Urх
(1..j -< /J-i -< ; (j ==, 1, . . ., т), а == diag ((1..1' .,., (1..т), ==
== diag ( l" ., т)' ft == <liag (f.tJ" ., f.tm:) диааи1lам"
1lые lштрllЦЫ с указаЮiы.1tll DllП20liа.IЫlbL.1Ш Э.IВ.1Iеliinа.1111.
ПУСl1lЬ таl<же ЧllС.lО /;0 ощжDе:lено фор.щроЙ (0.5:3), ие
!l У1iазанла.'/ [)llа;;опалыlлл .IUlmрLща. lfр(!(II/l.J lUЖIl.it. 'tlllО
1.-0 == kp, а танже что д.ш п:1lO0mорой Пl > . allтoпa.lbflOii
.11тпрtlцы Т,! с поло;дсите.lЬНЫ.IШ DllCl.!OJla.tUiibl..Ut. Э.lе.ILРшnа.,!ll,
(JЫllолнеlLl' ча тотнпе YC.I06!le
det Re {[Т т + а1У (j(t)J* 1:,{ [Е т + ! I/" исо)}} .;... О } 3;:6
( oo < Ф< + :х)}. ( .и )
l'o дa Сllсте.1Щ (2.1), (2.1G) ;л.спОllеНЦllа.LЫLr;J аОСОЛlOlIIltО
<;)(1"1)"
!lС1ll0ltЧL,ва 8 1iJlacce "':'i : иля ,нооосо решенuд CltCme.llbl
(:2.1\, (2.16), дЛ.'1 h'OтOPOii 6bL1l0лн,'!iО УС.;овпе (3.;15), cпpaf:ea
.шва оценна (:2 .4.(», аде t;>- t" прОll.160.1Ыiые чltс.Ш t/.
l/OClJlO.'tНllble С.> о, ё > О nе ,IaЫ:С.71ll от (1' Е A :) .YC.l()
т((' 1.-11 kJ> .l1O:J/Cиll (}ЫII/l, ,1il.1/С1U:l/П fJ l-Ill"С/l../I>iIЫ.lt l!.uy !lc./(IтIt'.;t:
aClI.itlzтnllZU'leCh'1l ycтnii'1l16a «ClIcme.lta сравнения» (2.1), в liO
тороЙ S == Ю, fl t Уliа,ШНllал йыте дllа(J(Jнальпа:1 .!lшnрzща.
Отмстпм, что В (3.56) через Пе Z, rде Z матрица,
1
обозначепо Re Z =--= (Z + Z*), а звеЗДОЧIШ означает
эрмитово сопряжение: если Z == (Zjh), то Z*=== (Zhj).
При т :::: 1 формула (3.56) переходит в условие OTCYT
СТВИЯ общих точеR у rодоrрафа W иф) И ОRРУЖНОСТИ
(ШIИ прямой) В [17." pl. см. 2.3.
3 а l\1 е ч а н и е 3.4.. В случае системы (2.1), (2.4) с
ПрОIIЗВОЛЬНЬШИ п I1 п, KorAa B?IeCTO (3.55) выпuлнено He
р веIlСТВО
[ (t) а.а (t}l * [ a (t) s (t)1 ;> О, (3.57)
{'де а. и произвольные вещеС1БеUliые :матрицы (поряд
IЮ Х тh сп аведливд У'l'ВepЖД{jНII 'i'€ftj!eмft .+a a
IIICIIОЙ условпя (3.5n) УСJIOвие?I
det Re {[1Пi +- :.GИ' (i(J)}J* [1т + pvY (i(J))]} =/= О
( :х) < (J) < + Х)}.
} (3.58)
148
lIIЕТОДЫ ТЕОРIПI АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧIIВОСТИ
[rЛ.I11
3 а м е ч а н и е 3.5. ПреДПОЛОiI\Иl\f, что т х тn ыaT
рпца И' (s) имеет лишь простые полюсы, т: е. что liV (s) ==
иl + . и р . У
== . . . --r ' {'де Uj постоянные rп . 1rH\[aT
8 1 s Р
рпцы. Пусть пеrDыG q чпсел Л 1 , .., 'i.q имеют по:юаште.'[Ь
мые вещественныечастп, а остадьные ЧIIСJrа tCQ+l' ., "р nMe
ЮТ отрицательные DеЩССТDснные ,ЧfiСТИ. ОбознаЧПI\[ Чf\рез Vj
paHr матрицы 'uj. Можно покаЗ8ТЪ, что D этом случае CTe
пень неустойчивостп раЗОllfRПУТОЙ СИС'l'емы определнется
формулой kp == "1 + .. + "q. Если все Re Лj < О, то
kp == О *}.
3 а ы е ч а н и е 3.6. Пусть выполнены все условия TCO
ремы, :КpOM соотношепия ko ==k(l п, в частностп, выпол
нено частотно€: УСЛОВJТе (3.56). Можно ПОI\8эать, что прп
ko =1= kp система (2.1), (2.4) ЭI.спонеНЦJТаJrЬНО пеУСТОЙЧIIва
в делом: D пространстве {х} 'существует ОТRРЫТЫЙ копус
;JC такой, что при любых t;> 10 из х (t o ) ЕХ t ле,'JУСТ
I х (t) I ;> Cee(I I.)1 Х (t o ) 1, rде 8 > О.
П р 1I ;\1 е р 3.5. РаСС;\ЮТРШl трехюl.НUЛЬНУЮ СJIСТlШУ с Ш!JШ
нейныьш обратнымп СВflЗfШll, схе ш нотороlI изображена на рпс.
3.3, а. Уравнения линеiiНОII частп ШIeЮТ вид
аl ;{1 (8) 3, cr2 "=' X (5) I, crз -== АЗ (8) Ъ,
rде все веЛИЧI1НЫ скалярны. 3'1'11 уравнеН1Ш совпадают с
т == ii == 3. Передаточная ыаТрllца пыеет вид:
[ О О;{1 (8) ]
W (s) == ;{2 (s) О О ..
О ;(з.(s) О
Предположим, что ВХОДЫ и выходы неШIнейны:х блоков 1'1; (j ==
== 1, 2, 3) связаны соотношениm.ш (3.55) и что "!.; (iw) =f= О, oo <
< w < +00.
Рассыотрпм вначаJ1е соответствующую линейную СIlстеыу,
в которой уравненпе блока 1'1; есть Б; == f.!.;crj (j == 1, 2, 3). Здесь
f.!.; =1= о пока пропзвольные чпсла Пусть
/.1. == diag (J,t.l, /.1.2, /.1.з) == [ 1 ] .
о о /.1.3
(3.59)
(2.5) для
*) Отметпм, что при m. == ii > -l стспень неУС1'оi1ЧПВОСТIl pa30;\I
кнутой систеыы (число собственных зпаченпЙ Ь1llТрПЦЫ А, располо
женных в правоЙ полуиЛОСКОСТI1 с учетом I1X ираТНОСТII) не равна,
в общем слyq:ае, Ч1IСЛУ полюсов y (s), раСIIоложенны.х в правой
ПОЛУПЛОСКОСТl1 (с учетом 11Х KPUTHUC'l'I!).
СИСТЕМА СО мноrиыи НЕЛИНЕйНОСТЯМИ
вычиляяя определитель det [I з + fAW (ioo)), rде
ная 3 Х 3--матрица, получим
det [I з + fA W (ioo)] == 1 + fAlfA2!lзG (ioo),
G (s) == 'Хl (s) 'Х2 (s) 'Хз (s).
rде
I 3 единпч
Пусть числа IУ таковы, что 1 + fAlfA2!lзG иоо) =1= о, oo < 00 < + 00.
По формуле (3.53) чпсло ko является в дашюм слyqас 'iIIСЛОЫ оборо
ТОВ rодоrрафа G (ioo) BOl\pyr ТОЧIШ ( !l1!l2!lз) I. Леrl.о показать,
171
50
6
6,
PIIC. 3.:3. Схемы ююrOl.iшаЛЫIЫХ cllcTc r.'"
6
что в данном случае степень неустойчиnости k p разикнутоЙ систе
мы равна *) числу полюсов с учетом их I\ратностей у функции
G (s). Соrласно матричному правил у Михайлова НаЙl\виста cтe
пень' неустойчивости заМI\НУТОЙ системы (3.59), (3,52) определяется
формулой (3.54). УСТОЙЧIШОСТЬ заМRНУТОЙ линейной системы (3.59),
("З.52) будет иметь место при ko == k p . Пусть равенство ko == kp
имеет место для некоторых чисел !l; из иНтервалов aj fA; 13;,
i == 1, 2, 3. Рассыотрим заьшнутую неШlНейную Сllстему 11 пред
положим, для простоты, ЧТО В (3.56) 1:<1 == 13. Частотное условие
(3.56) преобразуется 1\ виду
1 + б 1 I Хl I'
12'Х2
I1X
.
I:!Л
1 + 02 I Л2 12
I:!ХЗ
I1Хl
IзЛа
I + б з I Хз 12
O,
(3ЛО)
*) Это слс;з,ует, ШШРШIСР, 11:\ ТОН) фаli"fL\, 'ПО (;l[(;fеШl (:3.59),
(3.52), rде ' == diag ( tl' 12' tз), 3ЮШПilлснтна ураПНСШl1U [1 +
+ tl t2 tзG (' )I а 1 == О.
150 МЕТОДЫ ТЕОРIIИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧIIВОСТН [rл. III
rAe 6; а; 13; , "(1 (а; + 13;)/2, Zj == 7..; (iw), а звеаДОЧIШ, оапа
чает, IIO прежнему, I\О?оШЛСl\сное сопряженпс. При выполнсюш
условпя (з.60) рассыаТРIlDас шя неЛlшейнuн састема ЭI СlIOненцuаль
но УСТОЙЧIIва в целом.
Совершенно аналоrIIЧIIО с небольmш.ш усложнеНIIЯМIl paCCMaT
рпвается т канальнаfi нелпнсiiная система, уравнения ЛIIнеnноU:
чаСТII I\ОТОРОll IIMelOT ВIIД'
(;[ == 7..1 (s) . G . x (s) !, . . . , G x (s) .
,п 1Н 1Н i"'Il l
а выходы j I1 ВХоды :5; неЛIlНСllНЫХ блоF.ОВ связаны соотношеЮIЯllIIl
(3.55). (Ддя m == 2 БЛОК СХС1l1а системы наоБР<1жена на рис. 3.3, 6),
Условия устоiiЧIIDОСТИ заыIутоii лннсйпоп сIIстеыы ( } == 1.Lj:3j,
j 1, . . :, т) иыеIОТ ПО IIрежнем.l вид ko == k p ' 'rAe ko ЧIlСЛО
оБОрОТОD rодоrрафа G (iw) == ( 1)7п' lЛl (iW). . . x (i<U) BORpyr ТОЧ
т
IШ ( !l1112f.1.8' . . 1lт) I, а kp число полюсов фУШЩIШ G (s), распо
ложенных в правоЙ полynЛОС!ЮСТII. (Предполаrается, t"JTO G (s)
не имеет чисто ЫНUMЫX полюсов U 'I'l'0 (!l1112' . . fJ т) l + G (iw) =1= О).
При БЫПОJlнеШIII УСЛUDНП ko == "1' для IICI_OTCPLL"{ ЧIlсел [j 113 :IН
тсрваЛОD а; I1j J3j УС.'lО[)![С зю;нонснциалыroii устоii'шносТI! н
целом ПСJlIшеilноii: спетемы нмеет IШД
1 + 611 Х112 ')"2Л2 О О 'С1л l
t + 621 x I . о о
')" X2 'C:s1.J
О , X:; 1 ! 6 з I 1.з 12 '(IZ О =f=. о.
')"й::;
о
о
. . ')" X ; I -+.. O I x 12
т 111. I m т
rAe снопа 6j a;f3j, Ij (::>:j + ;Зj)i , /.} 1.j (1 ), i 1, . . ., т.
Теореиа 3:14 ВЬШОДПТСЯ просто ПЗ Iшадратпчноrо
критерия ( 2.2). ПровеДGМ этот ВЫВОД, пллюстрируя ПрJ!
менение этоrо критерия В случае мноrих нелинейностей.
У(:ловия (3.55) озпачаlOТ, что выполнены юн\ДраТlIчные
СВЯ3II
Fj (О" S} ::= (Sj a.Pi) ( jO'j Sj) :;;. о, j == 1, ..., т.
(З.61)
Следуя правилу, изложенному Б заыечании 2.5 ( 2.2),
вовьмем произвольные 1:};> О и составим форму
F (и, S) =--= '{I Р l + + 1:m.Fm.
Испольауя выражения для Fj (О" ), эаПИШG!lI эту форму
СИСТЕМА СО мноrими НЕЛИНЕйНОСТЯМИ 151
в виде
F (о, ) == ( ао) >1< "t u (130 ),
(3.62)
rде а, , 't'd диаrональнъте матрицы порядка т х т
с диаrонаЛЬНЫl\1И элементами соответственно СЧ, j3j, Tj;
В силу (3.61) будет выполнено перавенство F (а, ) > о.
Ta-КИll( образом, выполнена связь вида (2.313) (см. 2.2) с
фОРМОll (3.62). РаСПрОСТрAlJЯЯ фОрlllУ (3.62) с сохранением
ЭРМI1ТОВОСТИ на RОl\шлеRсные значенпя О, (J{()торые обо
значmr через а, '[), ПОЛУЧИМ
F (;, ) == Re( и;)* Td (В; :;). (:1.133)
Полаrая по правилу 2.2 и (3.63) ::; == Н!" (л.) , найде I
фо рму 17 (л, ) :
F (л, 1;) == "'Q (1.) ,
rдe
Q Щ --== По и.... + аН' (A)]' Т,! [[т + r:iП' 0.)1.
3д cь 1;:;; единичная а, Td введенные выше матр:ицы.
Частотное неравенство 2.2, ююющие ВИЦ Q и()}} >
> о ( oo ro < + оо) рfl.ВПОСПЛЬНО перавенству (3.58).
Прпмепяя теорему 2.1,20 n матричнып Il:ри'rерий Найк
виста Михайлова, получим утверждение теоремы 3.14.
Отметим, что в УС:IОВИЯХ теоремы 2.1, 20 существует
Jl:Бадратпчная форма V (х) таIШЯ, что dVldt < О при всех
q> Е r;) и I х I =F О. Одпано неизвестно, являются ли
ус.ловин теоремы 3.14 (при т> 1) не только достаточными,
но 11 необходимыми условиями существования у системы
(2.1), (2.4) ФУНRЦИИ Ляпунова УRазанноrо. вида. Вместе
с тем можно цоказать, что в УСЛОВИЯХ замечания 3.4 час
тотное условие
det Re [Jm + аИ" (iro)] * [1т + I3W (iш)] =/= О
является Ре толыю ДОСТНТОЧIlLШ, НО П ПGоБХОjl.ШIЫЫ усл(}
впем существования фУНIЩИП Ляпунова в I,лассе Бпадра
тичных форы.
Перейде ! к рассмотрепиlO с:исте IЫ с неСIiOJIЫШI\Ш CTa
l\ионаРIIЫllШ нелппеппостюш. 'Пусп. n (2.14) функции
{pj (о j) (в(\()бще РЯЗРЫВl!ые) УДОRлетворяют в ТОЧI,ах
МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй "УСТОЙЧИВОСТИ [rл. 111
непрерывности И при а =1= О УСЛОВИЯМ О } (G;}/o; ILj,
причем возl'>IOЖНО, Ч О не:которые IL; == 00. Обозначим через
6 > множество вектор фун:кций ер == [<р; «(J}Jf l' обла
дающих уназанными свойстваl\1И.
т е о ре 111 а 3.15 (1\ р и т е р ИЙ Поп о в а Д Л Я
С И С Т е l\I ы С н е с :к о л ь к и l\( и н е Л и н е й н o
с т Я l\I и). Пусть m == ii и уравllени.ч .линейной части
UJ.t,еют вид (2.1) и.ш (2.5), а уравНСllиЯjни нелинейной час
ти явл.q,ются уравнеnид (2.14), еде фуп1>ции <Р; (а;) yдoв
.летвор.q,ют сформу.лироваЮ-tы.lt ус.лови.'l.,.t. Пусть JotampUlfa
А еурвицева (все полюсы ,J,итрицы W (s) расположены в ле
вой по.лУПЛОС1Wсти). Bвeдe. " диаеО1-ta. Ьную _ltampUlfY ILдl ==
d . ( l l ) д
== 18g IL1"", 1L;п с иаеОllа.!ы/ыми эле,J,tенrmМtи
1 l l О
IL1 ..., 1L;:n, приче.lt IL; == , ес.ш !Lj == 00, 'а также
диаеоналъные ;матрицы "д == diag ("1" ., ";N), {)од ==
== diag (-&1' ' . ., -&;п), еде все > О. П редпо.ложuм, что
для не1>Оrrюрых "; > О, {)о; и всех 00 (t) -< + 00 вы
полнено соотношение
Тдflдl + Re [(Т д + iu)'{}д) п т ишн > О, (3.64)
т. е. 'т Х т .иaтpицa в левой части неравенства (3.64)
является ПОЛООlсите. ыю опреде.леnной. Тоеда pacc.иaтpи
ваемая система асllмтпотичеСl1и устойчива в целом,
у стойчивостъ абсолютна в классе S >: вьтолненbZ УСЛО
вия (2.43), (2.44) и при I х (О) 1 о имеют :место
предельные соотнощеnu.'l х 112 О, 11 s 112 ---+ О, тах I х (t) I
t o
С
---+ О paBHOJotepHO по всем <р Е 6r>.
3 а м е ч а н и е 3.7, В условии (3.64), :ка:к и выше, че
рез Re Z, rде Z матрица, обозначается Re Z == (Z + Z*).
3 а l\I е ч а н и е 3.8. T слопие (3.64) Р,ШIlОСllЛЬНО ДBY (
уСЛОВПЯМ
det {"n t;l + Re [(Т д + jlO{};J,) V (Jш}} =t= U ]
при :)() -< ш -< + :)(),
't'nf.1;l + Re {{)од Нт [sW (s)J} > О.
/81---+""
Это утвержденпе сразу следует И3 3i1ыеЧLlIШЯ 2.6 (c [. 2.2),
(3.65)
3.5]
СИСТЕМА СО :мноrими НЕЛИНЕйНОСТЯl\IИ
'15:1
3 а М е ч а н и е 3.9. 3аI\ЛIOчепнетеоремы3.15 остается
справедливым не только для стационарных неJТинейностей
(2.14) из Rласса 6 1, по и для пеЛПl1епностей (2.15) Ta
КИХ, что (1) при а; (t) =1= О выполнены соотношения О -<
-< 6; (t)la; (t) -< f.Li « + со), j == 1, . . ., т; (2) для I\аж
дой иа пелииейностей (2.15) выполнепо либо соотношение
t '
cp; [jo(-с}I " t 1 ] d:j;(t 1 }:> r j [ j(O}], (3.66)
о
Jшбо (при f.L; =1= оо) соотношение
t
[f.Lj:Jj (t 1 ) cpj [:10 (-с) I 'tl] d j (t l) :> r; [Jj (О)], (3.67)
о
,rде rj (а) некоторые непреРЫВllые функции, r j (О) ;;;.;.: О.
При ЭТО:М,в (з.64) -&; ;> О, если выполпено (3.66) и -&; < О,
еСJIИ выполнено (3.В7).
rеОl\штрический СМЫСЛ УС.'совнй (З.67), (3,68) был пояс
нен выше, в 2.4. Так, условие (3.67) означает, в случае
rистерезисных ФУН1ЩИЙ, что при обходе любой петли
rистерезиса происходит лишь приращение площади.
Теорема 3.15 ВЬ1DОДИТСЯ на ,)бщеrо квадратпчноrо ICри
терия ( 2.2) *}.
В случае т ;> 2 при праRТl]чеСIСОllI применении Rрите
рllев (теорем 3.14, 3.15) ВОЗНИI\аЮ'f трудности, связанные
с оптимальным выбором параметров Tj, -&j. При т == 2 YC
ловил существования параметров Tj. дЛЯ I\ОТОРЫХ выпол
нено соотношение (3.56), ъюrут быть получены просто.
Пусть (это не оrраничивает общности) в (3.56) а == О,
> О. Положим
Х «i)} == /2 + W (i(i)} == 11 Лill «i)} I , Il I" (3.В8)
Неравенство (3.56) преобразуется ('т ==.2) R виду
T2a (u» + 2тЬ (u» С «i)} > о,
*) Отметим, что непосредственно IIЗ TeOpe}lbl 2.1, 10 ( 2.2)
следует теорема 3.15 для случая, lюrца все ftj О. Ес;ш некоторые
f}j, О, то в уравненпя.."I.: спстемы следует ПРl>дварптельно сделать
замену sj == !J.;a; Sj дЛЯ :ЭТИХ j 11 sj == Sj в остаlIЬНLLХ случаях,
При ЭТОIll слеДУе'f ВОСПОIIЬЗ0ватьсл тем обстонтельстпом, что в силу
(3.64) полученная система при !;i = о будет таRже аСIllIШтотичеСКII
устойчива. Последнее может быть выведено, например, из маТрllЧ
Horo Rрптерия Михайлова НаiiИDиста.
rде
't' == ' а (<й) == I X121Z, ь (<й) == 2ае Xl1 Re Х22 ае (ХаХ21),
с (<й) == I Х2212, Xjh == X;h (<й)
- элементы матри цы (3.6 7). Положим
Tl (ш) == и УЬ 2 ас, Т 2 (<й) == Ь + y Ь 2 ПС, (3.69)
{'де а == а (<й), Ь == Ь (<й), с == с (<й). Леrко видеть, что
условиями существовапия параметров Tl > О, Т 2 > О,' для
«оторы:х. выполиено (3.56) при (J.. == О, т, == 2, являются
I1epL1BeHCTBa
Ь (<й)2 ;> а (<й}с (<й) ( co < <й + со),
0< sup Т 1 (<й) < inf Т 2 (<й),
'" '"
Здесь а (<й), Ь (<й), Tl (<й), Т 2 «1)) опреДeJrяются через
элементы матрицы W и<й) по формулам (3,68), (3.69)
В случае, если ПОрЯДОI\ систс:,ш небольшой (п < 4), из
частотных УС:IОВИЙ (3 .56} , (3.64) :можно по.т.rУЧIIТЬ Уf;ЛО
НИЛ, непосредственно СDязываЮЩU8 параыетры системы.
Это иллюстрирует следующий пример.
П р 11 М О Р 3.6. РаССllIОТрПl\l спстему (2.17) 113 2.1 IIJП1, иначе,
cllcTeмy (2.18), (2.20) с фУШЩllеii Х (5) из (2.19), rдe СХ > О, > О.
Предположим, что неЛ1lнеЙНОСТ1I (2.20) удовлетворяют УСЛОВИЯМ
О , 'р; (aj, t)/;jj, /-Lj, j == 1, 2. ТаЮIll1 образом, выполнены Hepn
вепства (3.55) для CXj == О, ; == /J-j, m == 2. В I\ачеств.е линейной
системы сравнения берем раЗОl\1I\НУТУIO систеМУ, для 1\oTopoii
'р; (aj, t) = О. Эта система, очевидно УСТОЙЧIIва. Поэтому в COOTBeT
ствш! с замечаlШем в I(опце теоремы 3,13 достаточно провеРllТЬ
выполнение частотпоrо условпн (3,56) дЛЯ СХ; == о, m == 2, т. е.
условпя
det Re {т g [([:\ + !ЗJV (iw)]) сМ Не [ '1 О ] х [ 1 lLX J } =1= о.
0"(2 /-L2X 1
Для т; == /-Ljl частотное условие абсолютной устоiiЧIIDОСТII
принимает вид /J-i 1 /-L2"1 I Re Х 12 +- о. ПодстаВ1IЯЯ значенпе Х (5) 113,
выражеНIIН (2.19), преобразуеи после ряда ВЫ.I\лаДОI\ это условпе
к виду
у /-Ll/12 < 2(;( -y <:(2, если (3 > а 2 , } . (3.70)
-у tJ.l L2 < 13. ссли 13, (;(2.
Нерапенстна (3.70) l'UрL\liТlLРУЮТ ,ЩСllопеЕЩШ\ЛLНУIO устоii'ш
вость в целом решешш (>1 О. С2 О системы (2.17).
3.6. MeToД1IK3 непоrредствеШlOrо ПРIl)fепеНIIЯ
БвадраТIIЧIIоrо I,РIIтерп}( в случае uдноЙ 11 :'rIIЮТНХ
пеЛ1шеiiнuстеii
в 2.3, 2.4, 3.4, 3.5 для различных Елассов систем внда
(2.1), (2.4) были СФОРМУJIированы п частично доI\азапы
различные теоремы об абсолютной УСТОЙЧИВОСТII. Мпоrие
И3 ЮIХ являются следствие!ll I\ВClдраТIrЧRоrо I\рП'1"СрПЯ
( 2.2). В ряде слуqаев, ОДНflI\О, УI\азапные 'l'eOpeMLI не
ПРl!менимы (или примеНИl\IЫ, но не дают результата),
в то время БаБ КDадратичпый критерий ПрШЮНIIМ и дает
неI\О'fОРУЮ об.'Iасть устойчивости в пространстве парамет
po систе.\lЫ. Это связано с '1"ем, что при пр.н fCпепин KBaд
раТnЧНОI'О крптерия в ряде случаев Moryr быть пспользо
ваны I\вадратнчные СВЯ3II, Iюторые не использованы прп
выводе названных теорем. При ЭТОIII применяется ряд про
стых приС\мов 01ыскания I\вадратичных связей и проверI\И
частотноrо ус,:ювия. Основные пз ЭТllХ приемов будут рэс.
смотрены в ЭТ01ll паР2трафе.
Начнем (', рассмотрения совсем простоrо ПрП1llера, Б I{O
торому ПрИl\lеНIIl\f таЕ же и круrово:й критерий. Этот при
мер служит для иллюстрации вьщлаДОI., IIpn помощи I\O
торых удаеfСЯ д.:IЯ CnCTe:\I неВЫСОБоrо порядка (п < 4)
перейти от услоnий аБСОЛЮТllОЙУСТОЙЧИВОСТИ в виде час
тотных неравенств 1\ HepaneHcTBnM, свяэываlOЩИМ параl\tет
ры (;истемы. При этих пыклаДRах полезны следующие
два элементарных предположения.
Л е l\f м а 3.2. Для, тоео чтобы при люб!Мt р > О было
выполнено А р 2 + 2Вр + С > О, необходи.uо и достаточно,
чтобы было либо А> О, С> О, У АС + в > О, либо
А == О, В:> О, С > О.
л е 111 l\1 а 3.3. Для тоео, чтобы существовало.. > О {паnое,
что А..2 + 2В.. + С > О, необходиjUО и достаточно, что
бы было либо А > О, .либо С > О, либо В > О, АС === О,
либо А<О, С<О, В>У АС.
Пр п м е р 3,7. РаСС !О1'рIl1\l уравнеюrе (2.7), тде CG > О, > О,
'У> О. 3аШlсыпая ето в виде системы (2.8), (2.9), ПОЛУЧllм ДЛЯ W (5)
значение (2.10). Из (2.8) следует, что имеет иес1'О ):[Оhальная СDЯ3Ь
F ( , а) = (j2 2 О. Условие (А) ( 2.2), очеВIIДНО, выполнспо.
Взнв D IшчеС1'Dе пслпuсiiпост!! сраDпеmш ='" О, получrrи по
заl\IeчаНIIЮ 2.3 ( 2,2). что уравцеНIIС (2.7) I\шшшально УСТОЙЧIIВО
в классе ФУНRЦПЙ, УДОВЛе'fВОРЯЮЩИХ укававной ЛОl\альной связи.
156
МЕТОДЫ ТЕОРПII АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТII
[rЛ.IП
ПереЙДем к частотному УСЛОВlIЮ. Имееы F ( , а) == 1 ; 111 I 12.
Полаrая а == w (jCJ) , получим, что частотное условие имеет
ВИД 1 > I W UCJ) 12. ПодстаВЛЯf( значеЮlе (2.10), преобразуем
частотное условие к ВIIДУ ",2 < ( CJ)2)2 + а( 2 6)2. По лемыe 3.2
ПОЛУЧИМ, что это условие ЭКВIIвалеll'ТНО следуюЩIlЫ HepaBeHCTBaIll:
'}'!! < {32 прп а 2 213 о, }
'}'2 < 132 .,..( а. 2 -; 213 У прп :х2 213 < О. (3.71)
По теореме 2.1 нсраВСНСПJа (3.71) ОUССПС'illlJlIЮТ ,RСПОНСIIЦIIaДЫIУIU
устоiiЧIlВОСТЬ В целом IIсходноrо ураПШ'IШЯ (2.7). 31'11 ;Iie HepaBeI1CT
ва обеспеЧllпаlOТ абсолютную эIiспонснцшlлыlIo УСТОUЧIIВUСТЬ [J
целом спстеыы (2.9), (2.4) n классс НСЛlшеiiНQстей, УДОIJлетпорпющнх
ЛОIшльноii СПЯ311 F ( , a) a 2 ;;;:. О.
Соrласно результата'I, IIзлоаiСППLШ n Э 2.5, перапепстпа (3.71)
охпатывают все УСЛОВIIЯ, котирые MorYT быть получены для ypaBHe
ння (2.7) с пш!ощью ФУШЩШI ЛЛlIупопа ШlДа V == х 11 ::;2 + 2X12::;cr +
+ ){zzcr 2 ТЮiоii, что V < О. .
Прежде чем переХОДIIТЬ 1\ при reрам с неСRОЛЫWМИ He
линейностями, укаж.еи, I\аI\ИМ образом lIforyт быть coc
тавлены квадратичные СШI3И (2,. 7), (2.4.8), (2.49) в случае
типовыx неЛI:Iнейиостей.
1. ВЬПlIе было отмечено, что для пе:rинейных БЛОI\ОВ,
УДОВЛI:'ТВОРЯЮЩIlХ у(шовиIO (2.3;3), выполнена связь (2.34).
Точно так же, если О -< ,Ia -< J.!o, {'де V-o -< + 00, то
выполнено F} (а, 1;) == s (о L I ) ;> о. Если, кроме Toro
S == rp (o), стаЦIlонарная неЛllнеfiНОСТh, то выполнена
интеrрR.1Iьная связь
t
\ F 2 ( , G) dl :> r,
о
{'де
0(0)
F:!( ,G)===S и "['== Ip(:J)d::;.
о
11. ЕСJШ В систеие имеются нелинейностп l == 02,
S2 == АЗ ИJIИ l == оЗ, S2 == 05, то они удовлетворяют свя
зп }i' == 0 2 1;i == о вида C .47). J{ нерпому С:Iучаю CBO
дится произволыraя систе ra с двумя нелпнейностя ш,
ЯВЛЯЮЩIlМПСЯ ПОJIIIl/tНIЮШ третьеЙ степени пере:\lепноО: о,
ко второму с.'1учаю СВОДIIТСЯ ПРОIl3[ЮЛЫШЯ СIIствыа с ДBY
мя нечетныI!!II нелннеПНОСТЯ:lШ, ЛВ.1ЯЮШI!?llfСЯ П().'1ИНОllIа
МИ не выше пятоЙ степеНII ОДIIОЙ перю!енной о.
ПРИМЕНЕНИЕ НВАДРАтичноrо НРИТЕРИЯ
lП. Если система содержит два нелинейных блока с оди
НaIЮJiЫМП харантер.иСТИI,аl\fИ 6j ==: ф (aj, t), причем Ф (р,
t) неубывающая функцпя р, то имеет "Место I\Baдpa
ТИчная СВЯЗЬ F (6, О') = (а I ( 2 ) (61 62) >= о. Если из
дФ .....- ()
вестно, ЧТО CI. дР р, Т() JшеЕ'Т место н:вацратичнан
связь
F (6, О') == [ (а 1 0'2) (;1 2)] [(SI S2)
а (аl (;1.2)] :> О.
Аналоrичные СВЯ8И имеют :место в случае несколы\хx бло
IЮВ УI\азапноrо ВIIда.
IV. Пусть пмеется неСБОЛЫЮ линейных нестационар--
ных БЛОIЮВ вида
Sj == «(;I.; cos t + р; sin l + ,\,j сов 2t + 6; SiIl 2t) а,
rде а СI\алярный вход, а;, j, '\';, 6; вещественные
постоянные. Подставляя эти зпачепия в уравнения систе
МЫ, преобразуем последние к виду, I,оrда вместо УI\азClН
Hыx (шелинейностей» являются следующие четыре:
;1 =-= d СОБ t, 2 == а sin t, Sз == а cos 2t, 6.1 == а SiIl 2t,
Эти (шелинейности>} удовлетворяют ('.ледуIOЩИМ ЛОI{алn
пым связям:
F 1 == 1)'2 si s; == О, F 2 == О' з si + s; == О,
F3 == 2 1;2 а;. == о.
V. Предположим, что имеются две не:IИнейпости 61 ==
== flJl (а 1 ), 62 == 'Р2 (а1) одной переменпой а 1 , ЯВЛЯIOЩllеся
НСПРСрЬШIIЫl\lИ, IЮЧСТНLI!IIII, I\УСО'lIlO ЛИllСЙIlЫl\lII ФУIlI>r пя
МИ, rрафИI\И I\ОТОрЫХ составлены из трех отреЗI\ОВ пря
lI1ЫХ линий. fеометричеСI\ИМ местом точеI\ 11"1 == 'Р1 (а 1 }/а 1 ,
fl2 ::.:: 'Р\I (а 1 }!а 1 при oo < а 1 < + 00 на плоскости
{11"1' Jl2} является ломаная, составленная из двух отрез
ков. Пусть II (11"1' 112) == о, l2 (11"1' f..t2}:::::. О уравнения
соответствующих линий и L (fll' I.з) == О lSаЮ1.я.:.либо
Rривая BToporo ПОРЯДRа, вырезающая указанные два OT
резка из ЛИНИЙ II == О, l2 == О, т. е. таRая, что эти отрезни
содержатся в :множестве L (fll' );> О, II (fll' ) -== О,
[2 (fll' fl2) == О. Тоща свЯЭП (2,47), (2.48), соответствующие
заданным неЛlIнепностям. Ш\fеют вид
Fl = crill ( , ) l2 ( ' Е,е ) ==о, F2 jiL ( Е.l I Е.2 ) :>0,
аl аl аl аl :::!l а2
:158 МЕТОДЫ ТЕоРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИВОСТИ [rл. III
приче 1 Fl' F 2 являются, очевидно, ОДНОрОДНЫ?fИ KBaдpa
ТИЧНЫШI фОрi\IЮIИ a 1 , l' 1;2'
Этот способ определенпя еОO'lFошенпй .(2.47), (2.48)
примешщ n любом случае д:ш двух нелппейпоr,тей, Iшrда
rеомеТРП'lеСI{ИJII местом точек tI == Sl/a l , p == s)a 1 па
IJЛОСКОСТП tl' Р2 является лпния, составлепная из двух
о:
/-==Р'f(6..J
I
с:
7
! Р/(;
IL[;
с с
......i."--:
;
IX
I
о
Рис. 3.4, н: Прl1;о.lCрУ 3.8.
ОТр<'<!IiOВ. Это имеет место, например, в случае I.yCOqH\)
щщеЙных функций l === CPl (a 1 ), 2:::::: fP2 (0'), rрафИI\И
:которых состоят не более, чем из ПЯТИ отрезков ПрЯМЫХ
ЛИНИЙ, при условии, что соответствующие ТОЧI\И излома
у ЭТих rрафИI\ОВ ииеют одинаRовые абсциссы. Поясним
этот прием следующим простым ПрИl\Iером.
При м е р 3.8. ПОCl{ольку за счет изменешlЯ 'линейной частп
можно менять множители перед 51 и S2' ТО можно СЧIlтать, без OTpa
ниченпя общности, что совпадают уrловые коэффициенты отрезков
51 == 'Рl (:;1) п S2 ==- IJ>2 (а 1 ), проходящих через начало координат.
Пусть ФУНIЩIШ IJ>1 (а 1 ), 'Р2 (а l ) Ш1еют ВИД, УI<азанный па рис. 3.4,
т. е. IJ>1 ('31) == 0"1 ПрII О, а l , , IJ>1 (а l ) == прп а l ,
IJ>2 (аl) == а 1 при О, а l < а < , IJ>2 (0"1) == а при 0"1 а 11
Ipj ( а l ) == lJ>j (0"1) (j == 1, 2),
На ПЛОСIЮСТИ f.L2' f.Ll у:казанпым rеометрпчесющ местом точеli
является ломаная ОЛВ, rде точЮI О, А, В имеют координаты
О (О, О), А (a/ , 1), В (1, 1). УравнеШlЯ линий ОА пАВ пмехот впд
II = Щ1l f.L:I == О, [2 = f.Ll 1 == О. в Rачестве :КрИВОЙ L можно
взять параболу L = (а + ) f.L2 f.L af.L1 == О, проходящую
через ТОЧ:КIl О, А, В. СООТIIоmСШIЯ (2.47), (2.48), соответствующпе
УlщзаНПЫ11 неШШСUПОСТIIМ, запнсываются в виде
Fl (<<1;1 jЗ!;2) (1;1 (1) == О,
Р2 = (<х + (3) аl!;2 jЗ!;: <xal!;1 О.
9 3.6]
ПРИМЕНЕНIШ RВА.::J:РАТI1чноrо HPIlTF.PIlH
15У
3шtаНЧИВ8Я рассыотренпе приеМОD, ПОЯСllЯЮЩИХ про
цесс I.I.Oлучения услоьий (2.47), {2.49}, ОТlllетИl\1 следующее.
В квадратичном крптерии Ш:ПОЛЬ8УЮТСЯ лишь условия
(2.47) (2.49). Поэтому при их состаnлении следует
стремиться R тому, чтобы они возможно более полно УЧII
ТЫН8ЛИ известные свойства нелинейностей: из дву>" na
риантов условий (2.47) (2.49) преДlюqтптельнее тот,
IЮТОрЫЙ описывает более УЗI\.ое lI1пожество в простраНСТllе
{0'1' ., О'т' l' ., n}' С друrоii, с']'ороны, l{Ы{ будет
слеДОn8ТЬ ин даJIьнейшеrо, чем больше чис.ло р условий
(2.47) (2.49) (СQвпаДaIощее с ЧИСЛОМ введенпых допол
lllIтельиых параметров '(1' .. . '(р), тем труднее исчерпы
вающая npOBepl(a qастотпоrо крптериЯ. Поэт()му с.'1едует
стреr.шться I\. уиеньmепиIO, по возможности, числа усло
вий вида (2.47) {2.49}. Напршreр, ОДНО нераnснство
(2.34) равносильно ДВУА! нер.lВеистваr.I
F' === scr а;а 2 > О, Р' == Ва 2 a > О.
ROTopble являются, соrласно СIШЗ8НllО"IУ. менее ПрШШ:Iе
МЫМИ, чем неравенство {2,34}.
При 111 е р 3.9. РаССl>10ТрШ.! систему (2.21) или, иначе, систе lУ
(2.22), (2.23) с Функцищш Х; (s) 113 (2.24), Будеи СЧIIТ8ТЬ, ЧТО а> О,
> О. При этом, очеВiIДНО, фУЮЩПИ Х; (5) имеют полюсы в левой
ПОЛУПЛОСIЮСТИ, т. е. выполнено условпе (А) ( 2.2). НеЛiIнеUНОСТII
(2.22) связаны квадратIfЧПЬШ соотношешreы б 2 '== 6i. Поэтому,
полаrая Fl ( , Ci) = Sz I. полyчn:ы F (6. 0-) О. Нроме Toro.
с l .
Шlеем JI) !;zCldt (O) /4. т. е. вьшолнено УСЛОВlIе (2.33) npll
F B ( , а) == za. Поступая таЕ, I\aK указано I! замечании 2.4, по
ЛОЖИ!'.I F (s, CI, а) '== "1 ( Cl S 2 i) + "Z 2 ' Допустимыми значения
мц являются следующие: 00 < "1 < + 00, ..в О. ДЛЯ этих
значений выполнена пнтеrралънан сш.!зъ с указанной фор
моп F ( , CI, ) (см. определение 2,1, 2.2). Прпменим l<вадратпчпый
критерпй (теорема 2.1, 10). Систеr.1ft сравнения, у котороП l = О,
2 == О, т. е. у RОТОроп «неЛlIнеD:пость сравпения» пиеет вид (2.42),
очевидно, аСИllIптотпчеСRП устойчива. Кроме Toro, F (О, с;, б) О.
Поэтому (см. замечание 2.3, 2.2) линейная часть рассматриваемой
системы минимально устои'шва в классе нелпнеiiностеii:, удовлетво
ряlOЩIU. интеrральноii связи с указанной формой. Перейдем к OCHOB
НОМУ частотному УСЛОВIl10 (2.45) ДЛЯ IШ:\.Ш.'18RСНЬL\: . а, :=; IШ8{Щ
F ( , a\ ) ==..\ [Re (-; ) I 112] +1:2 Re «(;1;;),
МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИВОСТИ
[1' Л. 111
ПодстаВЛJlН значение а 113 (2.23), получим
F иы, ) {'С11 Ё,1 p + Re [('С1 + ;WТ:2) X1 1 ;I +
+ Re [('С1 + ;(й'С2) Х2] . I 212,
rAe Xi == ОХ} (;ы). Матрица формы F иы, ) им еет вид
[ ('С1 + I (I)'С2);(1 ]
'Сl 2
('Сl ;Ы'С2) х. .
2 1 [te [(С1 + ;[о)С2) ;(2]
(3.72)
По теореме 2.1, 10 для абсолютной устойчивости систеыы (2.21)
в классе нелинейностей, удовлетворяющих интеrpальной связи с
указанной выше формой F (1;, а, 6), необходимо II достаточно, чтобы
матрица (3.72) была ПОЛОЖIIТельно определенной при всех 00 ..;;;
w + 00. Возьмем Т1 7 , Та ==, 1. оrда условио положитель
ной определенности матрlIЦЫ (3.72) примет впд-4у 1 (1 + iw ) Х
Х Хl (tffi) 12 > О. По лемме 3.2 последнее условие равносильно Hepa
венствам
1
"1 4"([3 >0,
r
,.
1
1 , ')..2 1 > О
4rf3 T J, .
(:3,7;1)
Эти неравенства 11 являютсн УСЛОВШI}Ш устойчивости В целоы CII
стемы (2.11). При 2а 2 > 1 уСЛОШIЯ (3.73) выделяют «сильно неЛII
нейные» устойчивые системы (1' > 1/'1)'
'Условия (3.73) MorYT быть расширены за счет выбора ОПТIrмаль
Horo эначеВ1IЯ 7:1/7:2' при нотором матрица (3,72) является ПОЛОЖII
теЛЬНО ОlIределенной при всех 00 ..;;; w + 00.
Отметим, что к системе (2.12) завеДОАЮ неПРIlМеним I(рптерий
Попова, IIОСI\ОЛЬКУ значение Sl/cr является при 00 < cr < + 00 He
оrраниченным ни CB PXY, ни снизу.
При м е р 3.10. ПРIrВОДПМ:ЫЙ ниже пршreр ПОl\азывает, что
I\вадраТlIЧНЬ!Й l(РlIтеРИll (теорема 2.1) lOше1.' AilTI, РС3УЛJ,тат n слу
чаях, коrда частотный I\рlIтерпй Попова хотн 11 IIрПМешШ (в частно
сти, нелпнеuности являются стаЦllонаРНЬThIll 11 однознаЧПЫЩI), но
результата не дает. Это свнзано' с те:'1, что I\вадраТIfЧНЫЙ критерий
дает возможность более полно использовать известные cBoircTBa
нелинейностей И, в чаСТНОСТII, учесть те :из них, которые не ИСllОЛЬ
зуются в критеРИII Попова. Этот Пр1шер, KpOl\le Toro, является дo
статочно интересным в пршшадном отношенип, ПОСIЮЛЬКУ в этом
примере рассмаТРllвается про.ПЗВQльная система с двумя нечетНblIIIlI
нелинейностями, являющим1iся ПОЛИНОI\ШI\Ш не выше чем пятой
степени.
Отметим, однаRО, что в этом прю.reре (I{аl\ n в критерии Пuпова
с числом нелинейностеu n;>. 2) остается нерешенньш вопрос об
оптимальном выборе параметроп .'t"j.
Рассмотрим систему (2.1) для т == 1, n.== 2. Уравнения для
нее возьмеJ\[ в впде (2.5), т. е.
G + XI (s) l + Х2 (s) 2 == О, (3.74)
ПРIШЕНEIШЕ КВАДРАТllЧllоrо !,РПТЕrлн
rде все величины являются СЩIЛЯРНЫI\IН. НеЛlIнеШЮСТIf, по предпо
ложеRlIЮ, имеют впд } == аjОЗ + Ь}о5, rAe L 1, 2, aj' Ь }
постоянные; ЛIlпепные чаСТII, без оrраUП'lешIЯ оощностп, можно СЧН
тать нулеВLШIl. ПОДСТС\lJ:IЛЛ 31'11 ЗШI'lеПIIЯ IIваl\lеRЯЯ 'Х} (8) IlX ЛJlНеii
нымп 1\омбllнаЦllЯМll, прпдем )( С.:Iyqаю (IЮТОрЫЙ и буде ( paCCJl(aT
рПDать), )(orдa l 03, 2 == 05. ПОСI(ОЛЬRУ 0< 61/0 < (.1.1 == 00,
О 62/0 < 112 00, то Ы()j{ШО ПРЩlеипть Rритерпй ПО1ЮDil. Для
двух нелинейностей этот Rрllтерпй 1II\1еет вид
n (ro) == 't"d!1;'? + Re I(ч + iW-&d) fV иro)] > О ( oo ro <+00),
rAe
[ "1 О ]
Td
О '1"2 '
tJI = [ l :;1]. 'и == [ I J, '\V ==[ : :J.
Соотношеипе n (ro) > о, 0:3IIачающее ПОЛОilштеЛ-ЬНУ10 определенность
ы8рпцыы n (w), должно быть выполне.но для Н8Iшх лпбо значенпп
параlllетров 't"j о, -&j' ПУЕТЬ [ ВСJi"l'ор сто;)бсц с .з;ПУАШ 1,0 1ПJ[СJ{
сныr.П1 КО 1Поцентамп 1, 62' Y'ITH, 'I'CO tl"d1 == о, ПО;I ItШ 1
*n (ro) == Ве (vlfl + 'Y2 2)* (ZI(l + 'X2 2)'
rдe 'У} "} jro-(}j. Для fl == ;{2, [2 =" Xl соотноmеппе *л (ш) >
> О нарушается. Поэтому I{рптерllii Попова не "10;1>1'1' быть DЫПОJl
нен для раССl\lатрпваеlllоii clIcTe Ibl 1111 при RЮШХ зна'IеюIЯХ пара
метров "[}, flJ.
Выше было уназано, ЧТО DОВЫОЖНЫ раВЛПЧIIые обобщення RрП
терпя Попова, связанные с заl\1сноii: УI:JlОDIIЯ n (ro) > О на YCJJoDlle
n (ro) о и с введеЩlеJII неrЮТОРЫХ ДОlIОЛНIIТСЛLНЫХ предположенпii.
Для рассматриваемоu системы нераоепстnо *:n; (ш) О может
быть выполнено (прп любых [) JШШЬ lJ нт с;rу'ще, ес:щ ;(1 (s)/
/Х2 (5) = Vl/V2 ЕСЮI выра;Ii<ШIIС 7.1 (s)/z (s) IIеЛJ,:Ш IIре;\стаlJJlП, в
Buдe отношеШIЯ двух ЛUlIеuных фУШiЦllii, то УliaЗl1lIпое ТОilщеС"I'lJU
невовможно и, следовательно, для таRОЙ CIIC'l'eMbl не мощет быть
выполнено ии одно из обобщеНIIU 'RРИТСрIIЯ Попова УI,азаниоrо
типа. '
Этот вывод существенно использует вырошденность l\Iатрицы
W, 1lТO В свою очередь явпяется следствпеlll Toro фанта, что неШIRСU
ностя имеют ОДllпаRОВЫЙ вход. ЛеrRО провернТЬ, что этот вывод oc
тается справедлпвblМ в случае произвольноrо 'Шсла нелинеiiв:о
стей с одниМ входои.
IIрnмеRПМ теперь R рассматриваемой системе Теорему 2.1, 10.
В нашем случае нелпнеiiностп удовлетворяют слеДУIOЩIЩ Ивадра
)'ИЧНЫМ СВЯЗЯМ:
t
S Fjdl;> f j , rд.с Fj j;' i == 1,2, [l == J (0)1/4,
о
r 2 == о (0) /6, F э = O l > о, Р4 = O Gi == о.
6 ПОД ред. Р. .А. Пелепиuа
162 МЕТОДЫ ТЕОРJШ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТП [1'01, 111
Связь F5 = 062 О fiBJНJCTCfi С.'lеДСТJJlЮ l двух последппх, II ПО::JТО
му ее УЧIIтывать ne нужпо. По общему праВUЛУ'И1>lCеЬ1 1:1 О, 1:2
О, 1: з О, 1:01 пропзволыlO, F == TIFl + . . . + L4F4'
ПреЦIIОЛОЖПЫ, ЧТО все IIО;ПОСЫ фУВlЩПll XL (8), Х2 (8) ЛС;Rат в .'ш
вой ПОЛУПЛОClюстп; тоrда выполнено условие (А)ПСI1стомасравпеНLlЯ
с l = О, = О аСИIIЩТОТll'IеСIШ устойчива, Ироме Toro, очевидно,
что F = О ПРII- l == О, 1;2 = 0, Б СIIЛУ замеЧ8Нl1Я 2.3 ( 2.2) система
(3.74) ЩJНJшально устоi(ЧJIва D Iшассе нелпнепностеu, удовлетво
РЩОЩI!Х J1HTerpaJIuHOfJ СВЯ31l с у"азаllПОU фОР:.\lоii. П?РСlrд<ш J{
чаСТUТIlШIУ УСЛОDlIlО. д.iт !;ОIlШЛОJ,СПЫХ а, 1, Юlещi
Рl == Не (8* * 1), 12 == Не (8* *[2)'
F з == Не (З* ), F.a == Не (a* ) I 112
11, следовательно,
,.. '"'-"
/: (s, ) == li [::;" (Vl 51 + V2 2») T 1 ;1 I 2,
r;\e Vl == Т 1 8* + Т:), "2 ==..... Т 2 8 * + Т.а' ИСRомое частотное услошIC
ПОЛУЧII'ССЯ, ССЛ11 B 1::!C'CO ;:; ПОДСТ8D1JТЪ ero значение для 8 == joo 11
потребовать выполненпя УСЛО11I!ii отрицательной определеПНОСТll
формы 1 ДJJЯ DCI!X [1, 2'
ВЫ!;Щ1ДI;Н Gудут бо.:II'С пр(" 'rЫ IJI, еС:1I1 JЗ)IССТО t, 1'2 JЗIЮСТll "e
РСШ'IIIlые Ъ, 1j.', ЦIO 11) == (1 + 8) -;; == (1 + 8) XI 1 (1 + в) 1.2[."
ВJЗеДС 1 ОUО.!ШI'IСIШН .
Ь==НШ8Х,(, ). j==1.2 p 71a)
} s.........OO )
3аЫ('II., I, 2 на [1, Ф нв_шетсн Hcocouoii ДШI JЗсех 8 == jw ( ao
[)) + DO), селн ТО.IЫ;О
&J Ф О, 1.2 (iw) =1= О ( o: < 00 < +00),
(3,740)
'lTO ТЮ\;1Ш б)'ДI?Ы пр(щполаrать ВЫlIолненпым. Тоrда УСЛОВПЯ ОТРII
ЦRтельноu определеНIIОСТИ ОТНОСIlТСЛЬЦО 1. 2 JI ОТНОСIIтельно 1;1,
'ФраВПОСIIЛЬНЫ. Выражая (2 через 1 11 \ , паХО;J;IlМ, что J\I:lТРlщеп фор
:мы [ p (8, f)] ОТНОСJLТСШ,ПО IIсрсмеIШЫХ G п '1' ЯIJЛ>IетсS1 матрица
[ " ::1. ]
<:t: ;З ,
['де
W'2 12\'1 \'2
а. == 2 (1 + 8) x 1r==--------R e 11 + 8 12 /.:2
По крптерIlIО СI[Львестра УСЛОDПЯМII ПОЛОiIШТСЛЬН;ОЙ опрсдслеНН;ОСТII
формы ( P) будут неравенства L4 >,0, L4 I а: 12> О. Послед
нее перавенство преобразуется I{ DПДУ
4. He r(L Lj!iw) Х2 (iw)J
I (Tliw Т З )'Х2 (iw) (тзiоо Т,,) 'X1(ioo) 12> О
00 00 + 00). (3.74в)
3.6]
ПРIIМЕНЕНИЕ НВ.\Дl'АТl1чноrо НРIIТЕРШl
1б3
Ох{ончательно, по теореме 2.1, 10 IIмеем: пусть псе полюсы ФУIlli
цпй %1 == %1 (8) П ')(2 == %2 (8) В (3.74) лежа'!' в левой ПОЛУПЛОСI{ОСТИ и
выполнены перавенства (3.7 4б), {'де число <S2 имеет зна чеШIе
(3.74а); для абсототной устойчивости системы с линейной частью
(3.74) в классе нелинеfurостей, удовлетворяющих интеrральной
связи с указаииой выше формой, необходш.1O н достаточно, чтобы
было выиолнено неравепство (3.74в). При тобом выборе чисел
,,} О, удовлетворяющих ЭТОl> 'у иеравепству, исходпая нелинейпая
система асимптотпчески УСТОИЧlIва в целом.
v
v
v
v
Рпс. 3.5. С ;:(ша спммстр([чпоji ДIIУХI,апа;II>НОU: СllСТС IЫ.
Не рассматривая, как было отмечено выше, вопрос об оmIIмаль
пом выборе параметров Ч, прпведем простой пример ФУИIщпй ')(1 (8).
')(2 (8), коrда указаииые выше УСЛОВШI УСТОЙЧIlвости удовлетворяют
ся. Пусть ')(2 == А {(8 + т), ')(1 == (В8 + С) / (82 + 1"18 + т 2 ), {'де
А > О, В, С, т> О, 1"1 > О, Т2> О вещественные постоянные.
Для "1:1 "3 == О, "4 == Т2Т условие (3.74в) примет вид 4А т> I (т +
+ jro) (Вjro + С) ( ro2 + jro1"1 + r:Tl I 2 (О < ro < 00). Это усло
вне, очевидно, ВЫПОЛПlШО при достаточно большом А. Система с
Функцнями ')(1 (8), %2 (8) УI\азаnпоrо впда абсолютно устойчива, но
для нее не выполпеп крmерий Попова, Можно привести МRoro дpy
rпх примеров подобных систем, удовлетворяюЩIIХ частотному yc
ловпю (3.74в).
П Р Н М е р 3.11. РаССМОТрIШ СШfМетричную ДВУХRапальную
спстему, блок схема которой изображена на рис. 3.5. Уравнения
этой системы при отсутствпи внешнеl'О воздействия имеют вид
аl == а (р) t;.1 + Ь (р) t;.2. а2 == Ь (р) t;.1 а (р) t;.2
61 == Ф (а1, t), 62 == Ф (а 2 , t).
(р == 1t ), (3.75)
(3.76)
6*
164 II1ЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОИ УСТОИЧИВОСТИ rrл. 111
Пусть а (р), Ь (р) правильные рациональные функции, все по
пюсы которых пежат в певой иолуплоскостп, Ф (р, е) неубываIO
щая Функцня р при любом t пО, рФ (р, t) , J.l-opll. Имеют место
следующие локальные СВЯЗИ:
Fl == (0'1 . J.l-i)lSl) 61> О, F == (0'2 J.I-(j162) 62> о.
ИСIIользовашю ТОЛЫiО ЗТIIХ СlJязеu дает KpyroBoii lipIlTepllll длл
;;; == 2. То обстоятельство, что IIелrШСllНLIсблOIШ пмеют ОДllпаКОВLIе
и ПрlIТОМ неубьшаЮЩllе хаРaIiтерпстпнп, ПРIlВОДПТ ДОIIолнптельцо
и наЛIIЧПIО лоналы!Оii СUЯЗIl F3 == «(Н 0'2) ( l 2) > О. Это дает
В03МOilШОСТЬ ПОЛУЧIIТЬ болсе ШllрОliое УСЛОUIIС УСТОUЧIlВОСТП. СJl()
дуя замечаНIllО 2.5 ( 2.2), состашш Фор:иу
F ( , а) == 'пFl + 1: 2 Е 2 + 1:з Р з,
rде 1:} > о. ПРШlеюш теорему 2.1, 20. Условне (А), по предиоложе
нию. выполнено. Следовательно, ,система сравнеиия с SI == О, 6t == о
аСИМIIтотичеСКII устойчива. Таи нан F == О при 61 ' = О, 62 == U, то
ио замечанию 2.3 ( 2.2) система (3.75) мпиимально УСТОЙЧIIва в
классе нелпнепностеJi, удовлетворяющих ЛОRа.:IЬНОП СВЯЗll F > О.
Перейдем к частотному условruо. Из соображений симметрии возь
мем 1:2 == 1:1 == 1:. ДЛЯ КОМПЛе1 СНЫХ r. а имеем
,..., 1....-..1 ... .-w 1""'" .
F (S, 0') == Не {Оl (0'1 J.I- 6) 61 + 02 (0'2 J.I- 1;2)62 +
+ОЗ (а;, <Т2) ( 1 2)*}' (3.77)
Из (3,75), заменяя d/dt на КОllпше:ксное s, наПдем
cr;, == a (s) + ь (s) 2' и 2 == ь И' 1 а (s) 2'
ПодставЛЯЯ ЭТII значешlЯ n (3.77) для s == j(f), получпм
] иы, '() == А I l I 11 + 2Не (ВЪ, ;) + с 1%212 +
+1:3 (а' + Ь') 111 212, (3.78)
rде
а' Не а (i(f), Ь' == Не Ь иы), А == С == 1:(J.I- l + а'), В == 1:, Ь'.
УСЛОШIе F(i 00, [) < о Прll r Ф о выполнено для 1: > О. в co
отвеТСТВИII с замечанпеlll 2. 6 ( 2.2) достаточно, чтобы определитель
формы (3.78) не обращался в нуль при oo < (f) < 00. Это усло
рие приводпт к нерапенстваlll
'l' и())).== l 1 + а' + ь' > О,
v (а' += Ь') 'У > I ь' I з I l l + ((' I з ( ao < ()) < +00), (3.79)
rде'V == 21:зi1: ЧистоПlЫС YC!loВlIН (3.7П), liOTopbIe долашы быть BЫ
IIОЛlIеuы длл IICliOTOporo v > О, ДОIIУС)"НОТ rео){етрачеСliУЮ IIрОВСр
ку, аналоrllЧUУЮ r('о)!Стрнчес)\оii ПрОIlСрКС частотноrо условпл
П оиОВiI. По TCOp(' lC 2.1, 20 3ТН УС;)ОВШI l'араllТllрУЮТ ЭliСПОllеПЦIШЛl..
ную УСТОU:ЧIlВОСТЬ В цс.;rШI раСС)IaТрIllшемоп СIlстемы,
3.6]
ПРИИЕНIJJНИШ НВАДРАтичноrо НРИТЕРИЯ
165
Аналоrичные условия [Qryт быть получены (с небольmим yc
ложнением выкладок) для системы, схема которой изображеиа на
рис. 3.5, с пропзвольнымп четырьмя различными передаточныыи
функциями линейных блоков. '
При м е р 3,12. Этот пример иллюстрирует применение KPy
rOBoro критерия в несколько, нестапдартной ситуацин. Рассмотрим
систему
. . I
111 == 111 112' 't1'J2 == 112 + ь, ь == L [111 (1:)I",:;()]. (3.79а)
Здесь > О, "> О, анелинейность L [(111)1: ol является люфтом,
т. е. функцией, rрафик которой изображен на рпс. 3,6; ь (t) OДHO
звачно определяется по заданным функции 111 (-r) I :;() и числу
Ь (О), прн этом должно быть 111 (О) < ь (О) 111 (О) + б.
(,," 't\'
т
I
;(t)
о)
!J,
Рис. З.6. I1СJIIшеiiн,\Л хараl\ТерllСТJIIШ Тllпа люфта.
Наrлядно можно представить процесс получения (t) ио (О)
и 111(1:) I следующим образом. Пусть по некоторой осп перемещает
ся (вместе с корпусом) поршень, изображенный на рис. 3.6, б,
ИрИ'lем сам порmень стоит на мосте, если только ero не толкает и не
тяиет кориус. Пусть 111 (t) абсцисса точки А (корпус) и (t)
абсцисса точки В (поршень), Для ПрОИЗВОЛЬНОl'О Т}1 (-r) и (О) T KO
ro, что '1)1 (О) < (О) 111 (О) + б, получим некот!>рое движение
порmня {; (t).
Отыскивая стационарные решения 111 == const, 112 == const,
получим, что эти реmеmIЯ заполняют на фазовой плоскостн {111,
112} отрезок
б
,1 + f:J '11 < О. 1] '== fЗЧI.
(З 796)
Этот отрезок получается иересечеНlIем прямой 111 + {; == О с rpa
фиком нелинейности; он показан на рпс. 3.6, а жирной лидией,
Из вида rрафика следует, что не существует квадратичной связи
F (ь, 111) О, поэтому неясно, как ирпменять квадратичныЙ
166 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОйЧИВОСТИ [rл. III
критерий. На самоы деле 1\ раСС ЩТРIIваеыой системе Iша;.t:раТI-I<ШЫЙ
J\рптерuй непрuыенпм, ПОСliОЛЬКУ он утвер<lщаст. аСlIЬШТОТIIЧССКУIO
устойчивость состоянпя равновесия, а в даI{ПО 1 случае пысется
целый отрезок состоянпй равновеспя. Леrно заметпть, однано,
IIТO выполнено либо 1}1 == (во время ДВШRенпй по ЛIIНlIЯЫ ==
== 111, t == 111 + В), лпбо == о (во ВрJМЯ двшкенпй по отрезкам
t В < 111 < ). Такпм образом, почти всюду ВЫПОЛНGНО (i)
С) = 0*). Мы получили, ЧТО в даПНОI\1 случае имеется lшадраТllчдая
связь вида (2.34) между iJ п . В связп С этим следует перейтп к HO
IIОЙ системе с нелинеЙНЫ1ll блOI{ОМ; входом KOToporo является СУ ==
== ijl, а выходом 1; == , Ур:ншешш новой лшН!iiuоii 'ШСТfI получа
ются из старои ДIlфферепцпропПППСМ:
cr == cy 1]. . == 11 + 1;. (З.791J)
ДЛЯ новои cllcTeMbl IIMeeT I('CTO следующая .'Iокальная кваI\IНТП'l
пая свнзь:
F (СУ, ) == (СУ ;) = О.
ТахШlol образом, выполнено условие (2.34) 'с а. == О, == 1. ПрШIe
ниы:к вновь полученной спстеме квадраТIIЧНЫЙ крдтерпп, т. е. тeo
рему 2.2, 20; пмеем а == w (s) 1, rдe
W (s) == 1/ ( + s) (.s + 1).
Условие (А) выполнено, так I\ак 13> О, .. > О. CIICTe Ia сравuшщя
(3.79в) с 6 = О аспмптотнчески устоiiЧlша п F = О nplI = О.
Поэтому, как и выше, снстема (3.79в) ЪШНIIмально устойчпва в
классе нелинейностей со связью F О. Основное частотное условие
ЗаПИшеТся 11 mrAe 1 + Re W (jоо) > О. После несложпых ВЫКЛадок
с использованием леМloIЫ 3.2 преобразуем последнее неравенство :к
впду
1 + .2 2 . + 2. -y (1 + j) > О. (З.79r)
Прп выполнеmш этоrо соотпошешIН по пущ,ту 2°.Teope lbI 2.1 полу
чим, что для вентора х с I,омпонентамп СУ l! 11 выполнено условне
(2.46). Из (2.46) следует, что сходятся пптеrРllЛЫ
t t
11 clt. j dt.
u u
ВСlIомпиая, что t] == i]2' СУ == iJI, ПОЛ)"IIIм. qто 112 11 СУ ;)1,СПОНСНЦШI.1Ь
80 стремятся к нонеЧIlЫЫ прсделаы:
111 (е) ......11 .1]2 (t) ......1];' I1рИ t....... <XJ. (3.79д)
Леrl\О видеть, что ТОЧI,а (111' 1];') лешuт на отрезне (3.79б).
Действительно, в ПРОТIIВНОЫ случае вентор СI\ОрОСТП (i]l, i']2) В OE
рестности этой ТОЧЮI был бы отличен от пу.:хевоrо п ТОЧI,а (111 (t),
'1з (t» Dонинула бы эту OI\pCCTIIOCTb, т. е. было бы нарушеIIО УС IOвне
(3.79д). Итак, оl\ончателыIo получае l, что при выполнении COOTHO
тенил (3.79r) отреЗ OIi покоя (3.79б) устойчив в цеЛОlor: имеют JIreCTO
*) Это утверждение требуеr Н3 самом деле более CTpOI'OI'O
,иатеы:аТJl1iеСRоrо обоснования.
3.7] I\РПТПЧЕСIШЕ п ЕЫI'ОЖДЕННЫЕ СЛУЧАИ
УСЛОВlIЯ (3. 79д) I rдс ЧIIС ла Т] , 11;' УДОDлеТDОРШОТ СООТlIОШСЮlЛЫ
(3.796).
П рпмер 3.12 IШJIlострпрует прпменеЮIе квадратпчв;оrо кри
терия, KorAa неЛIIнеiiностью является люфт. Леrко видеть, что все
рассуждеВlIЯ сохраняются без изменения в случае произвольной
сIlстеыlы (2.1), (2.4) с одНОЙ неШlВейностыо (т == ii == 1). Отрезком
покоя на плоскости {а, } 6удет в этом случае отрезок, rраничвые
ТОЧЮI KOToporo ПОJIучаются пересечешlеы1 лпmrn cs + w (О) t == о
с rрафпко)[ люфта; это будут ТОЧIШ
( БИТ (О) 6 )
«(), О), 1 + 1V (О)' 1 + JV (О) .
Дав;ный отрезок будет точечно уr.ТОЙЧlIВ в цеЛО"I, если ПОJIЮСЫ W (s)
JIежат 11 левой ПОЛУПЛОСКОСТII Х[ 1 + Re W иы) > О.
При наЛIIЧИИ у систеl\IЫ неСДОЛЬКIIХ неЛIlнеiiностей, cpeДlll'OTO
рых Иl\lеется люфтj
61 .; L [аl (1:) ' o)'
следует ввестп новые иереl\lенные 61, <Н IТ ЦilрЯДУ С ApyrlIМII KBaдpa
ТIIЧПШШ связями использовать свнзь fl ( gl) = O.
3.7. Rритические, ПОЧТII I\РIlТические
1I вырожденвые случаи
I\ритичеСI\Иl\-IИ случаЯ1lIИ бы.'1И выше названы случаи.
коrда матрица А ИllIеет собственные значения + jO)h
на МНИМОЙ оси. Некоторые из этих случаев сразу же CBO
дятся к некритичеСКОllIУ ПОДХQдящей липейной заменой
S == Sl + ба. rде б неН.оторая постоянная ii х т MaT
рица (число при ii == т == 1). Таl\ие случаи в Дальнейшем:
будем называть не критическими, а почти хритичесхи.ми
случаями. ОтмеТИl\l, что возмо,I{НОСТЬ указанноrо CBeдe
НИЯ 1\ некритическому случаю определяется в значитель
ной степени формой F (6, 0", а), поскольку после этоrо CBe
дения, должно быть выполнено частотное условие. Пояс
/ ним :каl\ зто делается на примере критерия Попова для
одной нелиней.в:ости. Пусть в системе (2.1), (2.2) с fii ==
== ii == 1 матрица А имеет собственные значения на мни
МОЙ оси, а функция qJ (О") вместо условия О < о" qJ (О") <
< f.toO" удовлетворНIОТ условию
ва 2 < UqJ (а) < J.1 o a 2
с некоторым е > О. Полаrая 6 == 61 + БО", rде
ло, ПОЛУЧИ1lI систему (2.1), в которой вместо
(3.80)
б чис
А будет
168 МЕТОДЫ ТЕОРIIIl АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [rл. 111
l\щтрица Al == А БЬс*. Пусть Al rурвицева матрица
при некотором б, в < б < f.t0' Это означает, что линей
ная система <р (о) == бо является асимптотически устой
чИвой. Так как в0 2 < ( l + бо) о < f.t002, то для этой си
стемы удовлетворяется обычная квадратичная связь. Поэто
МУ для этой системы выполнены условия теоремы 2.1,
применение которой дает ню{оторое частотное условие аб
солютной устойчивости исходной системы, для которой
матрица А имеет собственные значения на мнимой оси.
Приведем соответствующие выкладки. Первая локаль
ная Связь для новой системы имеет вид
Fl ( l' о) == (f.to o Ю ( во) 1;; 1+50;> о.
Вторая будет
t 0(0)
F2dt > r == <p(a}d . rде F'}. == sa == a(sl + б ).
О о
Rю{ И В 2.4, ПОЛУЧШI, что 1 ыполпено условuе (2.33) с
формой F ( l' о, G) == TIFI ( l' ст) + T'lF2 ( l' о, (j).
ПО общему праnнлу имеЫ.l
[ (1 L l 1 2 !l 2 )]
F ( l' а, а) == I 12 n (ш) + в V + l + ,(3.81)
rде ==!l + б5 и 3(0) == 1:1 (f.tO"l+....Re W) + 1: 2 Re (iO)W),
W ..:..... W ОО). Без оrраничепия оБЩН9СТИ можно считать
число в в (3.80) достаточно малым, так как если условие
(3.80) выполнено, то при уменьшении числа в > О оно
остается выполненным. Пусть 1t (О)} > о при 00 <
< О) < + 00, О) =1= O)h' + 00 > 1t (O)h) > о. Тоrда
1t (О)} Bf.t0"1/4> О при достаточно малых в > о, О) =1= O)h'
Подставляя в правую часть (3.81) == [1 + БW (iO)}] l l
И вспоминал, что полученное значение должно быть KO
нечным при всех О) (хотя W имеет полюсы на ьшимой оси),
цолучим, ЧТО F" al' a,?S} == 1t 1 (0) 1 12, rде 1t 1 "(0)} >
> О при oo О) +00. Выше было {};> о. Случай
{} < О сводится к случаю {} > О посредством замены I ==
== f.too . Сформулируем окончательный результат.
Т е о р е м а 3.16 (1\ р и т е р ий П о i:r о в а Д л я
п о ч т и :к р и т и ч е с к о l' О С Л У Ч а я [3]). Пусть
(I) т == ii == 1 и фУНКЦия W (s) имеет пРОU880лъное число
3.7] НРИТИЧЕСНИЕ И ВЫРОffiДЕННЫЕ СЛУЧАИ
полюсов j(i}h на М1ШМОЙ оси; (П) асиllттотически ycтoй
чива линейная система (2.1), (2.2) с qJ(a) == ба для HeKoтo
роео б, еде О < б -< f.to. Тоеда для тоео чтобы была acиMп
тотичесхи устойчива в целом нвлинейная система (2.1)
(2.2) с фунхцией qJ (а), удовлетворяющей условию (3.ВО),
достаточно, чтобы для шкотороео {} было выполнено yc
ловие (2.65) д.ля всех (i) =1= (i}h и предел левой части Hepa
венства (2.65) при (i) ----+ (i}h был бы положителен или pa
вен +00.
При помощи значительно более с:,южных рассуждений
этот результат можно уточнить 037], что приводит к сле
дующей фОРМУЛИРОВI(е. ;
Теорема 3.17 (I\р:й:териii Попова для I{РИТИ
ч е С к о l' О С Л У Ч а я). Пусm:ь выполнены условия (I), (П)
meopeJftbl 3.16. Для тоео чтобы была асuмnтотичесхи
устойчива в целом нелинеuная сuсте.1Ш (2.1), (2.2) с функ
цией <р (а) (вообще еоворя, раарштоu) , удовлетворяющей
условию 0< aqJ (а) -< f.toa2 при а =# О (f.to +оо), доста..
точно, чтобы были выполнены условия (2.74), (2.75) д.ля
всех (i) =1= (J)h и, если s == О полюс второй кратности, то
чтобы выnолнялись равенства
<р (а) [1::; == 00,
о
+""
'(> (;:;) а:) == :х).
(3.82)
oo
о
Если л (оо) 'i= О, то условие (2.75) выII::шеноo aBTOMa
Т IчеСКJI.
ОТИСТИ I, чтu нри палпчии простых чисто мнимых по.
JПОСОВ + jш о (Шо'i=О) у функцииfV(s) значение п3.раметра
{}, для KOToporo выполнено соотношение условия (2.65),
опреде:IНется сразу; же из УСЛОВИЯ выполнения HepaBeH
ства (2.65) в ОI{рестности ш == Ш U ' ЭТО значенпе имеет вид
{t == /(() а, rде числа а, определяются шf разложения
cts + rз W
w (s) == 2 + 1 (s),
S?+W o
(3.83)
в Б.ОТОрО 1 ФУНIщия fV 1 (s) не имеет особенностей при s ==
== + j(i}o. Если фующия W (s) Шlеет четыре простых
полюса + jШl' + j(i}2 (rде Ф1 =1= Ш 2 , Шj =I= ,O), ТО должно
быть выполнено равенство 11 (i}i a 1 == i <й a2' rде
ЧИсла aJ' } 'определяются так, как указано выше. Таким
170 ИЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй устойчивости [rл. 111
образом, при наличии двух пар чисто МНИМЫХ полюсов
частотное условие Попова выполняется' лишь в исключи
тельном случае. По непрерывности заключаем, что если
.А. rурвицева матрица, то частотное условие Попова
дает плохой результат, коrда матрица А имеет четыре соб
ственных значения, расположенных достаточно близко к
мнимой оси.
С друrой стороны, оказывается, что при наличии толь
ко двух чисто мнимых полюсов у функции W (s) условия
теоремы 3.17 иноrда не только достаточны, но и необ
ХОДИМЫ. Более точно, имеет место следующий результат.
Т'е о р е м а 3.18 (r. А. Леонов). Пусть W (s) имеет
вид (3.83), причем все полюсы фун'Кции W 1 (s) расположены
tJ полупдОС1Wсти Re s < О и а> О, X > О, zae х ==
== Нт АХ (/\.). Пусть л «(U)== L;l.+ Re [(1 + i(U'O) W иш)],
},......,
еде {} == I ш а, 11:00 == Нт л (ш), flo =1= 00.
"'.....""
Предположим, что выпuлнены условия л (ш) > Л"" при
всех 00 :> О, Нт ооз [11: (оо) :n:",,] > О. Tozaa условие (2.74),
"'--000
т. е. условие 11: (оо) > О при 0-< (u < 00, достаточно II
необходимо для аси."}f,nтотil'lеской устойчивости в целом
л.юбой cucтe tbl (2.1), (2.2) с непрерывной функцией <р (а),
удовлетворяющей соотношепuя.м О < а<р (а) -< f.l. o a 2 .
Пусть функция W (s) имеет полюсы на МНШЮЙ оси.
Асимптотическую устойчивость линейн()й систюlЫ (2.1),
(2.2), rде <р (а) == ба (с достаточно малым б > О) буде)I Ha
Зывать предельной устойчивостью. Можно показать, что
предельная устойчивость имеет место лишь если полюсы
W (s) на МНИМОЙ оси имеют не более чем вторую кратность.
Представим W (s) в виде W (s) == W 1 (s) + W 2 (s), rде
W 1 (s) сумма простейших дробей, отвечающих ПОЛЮСЫI
на МНИМОЙ оси, а все ПDЛЮСЫ функции W',! (s) расположены
вполуплоскости Re s < О. в табл. 3.1 приведены условия
предельной устойчивости для различных типов «критиче
ских) слаrаемых, содержащихся в W 1 (s).
Если W 1 (s) содержит нескольно Rритических слаrае
мых, то совонупность всех соответствующих условий яв
ляется необходимы!\( (или достаточным) услоппем предель
ной устойчивости.
Перейдем снопа к раССllютрению системы (2.1), (2.4)
общеrо вида с т :> 1, п:> 1. Будем рассматривать кан
3,71
RРIlТПЧЕСI-ШЕ 11 ВЫРОЖДЕННЫЕ СЛ 'ЧАИ
111
т а б л 11 Ц а 3 1
Условия IIредельной устоii'швости в КРИТИ'lССIOlХ СЛУ'ШJIХ
НеоБХОДlIмые УС':ЮПИА Достаточные условия
RрlIТllче'::lюе с:шrае'lOе ПРС;J.е.:IЬНОЙ предельноЙ
уста liч 'ШОСТII УСТО!\ЧIIПОСТll
Р I р>О I р>О
s
.P+ I р;;;;..о, Pl>O I р>О, PI>O
s S2
as + rз а;>О I а>О
S2 + Сйо 2
I
as + rз I ys+ 6 а;>О, 6<0, 1 ==0 а> О, 6< О, ,==0
(S2 + шо2) -т (sч шо2)2
комплексный, так и вещественный случаи. ЕСJIИ частот
ное условие (2.45) выполняется со знаком < вместо <,
причеl\I знак равенства достиrаетсл для некоторых == 10
и 6) == 6)0' то, как и выше, будем rоворить, что при 6) ==
== 6)0 имеет .место вырождение.
Введем наряду с о" новый выход 'I'J систеllIbl (2.1) по фор
муле
fJ == C Х + YS.
(3.84)
Здесь С 1 , '\' некоторые l х п и l х п матрицы (вещест
венные в вещественном случае), так что 1) вектор поряд
ка l. Отметим следующие три частных случая формулы
(3.84): 1} 1) == а (тоrда С 1 == С, '\' == О), 2} l == 1 и 'I'J фик
сированная компонента вектора х (тоrда С 1 орт, т. е.
вектор с КОllшонентаll-IИ О, . ., О, 1, О. ..0 и '\' == О), 3} 1) == S
(тоrда С 1 == О, l == п, '\' == In). Передаточной матрицей от
BeKTopHoro входа S к BeKTopHollIY выходу ( 1)} будет
И (s) == c (А Лl n) l Ь 'у. (3.85)
ДеЙствительно, преобразуя по Лilп.-тасу систему (2.1),
172 МЕТОДЫ ТЕОРШI АБСОЛЮТНОЙ 'стойчивости [rn. 111
v
(3.84) ДЛЯ Х (О) == О, ПО:IУЧИМ
11 ==-и (s)
(3.8В)
с указанны:!'.! значением для и (s). ПУС"IЪ F (6, а, а) He
которая эрмитова фор:ма (вещественная в вещественноы
случае). Пусть множество всех пар ФУНI\ЦИЙ
( (t), а (t)) (вещественных в вещественном сдучае), YДOB
летворяющих интеrральной СВЯЗИ с фОрМОЙ F (6, а, о)
(см. определение 2.1, 2.2), и p какое либо ero под
множество.
Оп р е Д е л е н и е 3.1. Система (2.1) называется
абсо.ltютпо устойчивой по выходу '1} в Jt>.Itacce gпp, еС.ltи для
.ltюбой вектОр фУН1щии х (t) (вещественной в вещественном
случае), удовлетворяющей почти, всюду (2.1) и такой, что
в (2.1) пара « (t), а (t}) арuнадлеЖllт множеству p,
выпо.ltнепы следующие условия:
сх>
(а.') сходится интеерал 1J112 == 11J1 2 dt;
о
(13') существуют постОЯ1lJtые C J > О, С 2 > О, Сз> О,
ааВUСЯЩие .ltишь от -коэффициентов систе.7tLЫ (2.1), формы
F (6, 0', а) и уравнепия (3.84), тахие, что справед.ltивы пe
раввнства
("
!i 11/,2 < С I I х (О) 12 + czr, F (5, с, -:5) dt <;;; сзlх (О) I \ (з.87)
о
еде число r и пос.ltедовательность t k те же, что и в cooт
тwшении (2.32).
ПрИВОДИl\fОЙ виже теоремой 3.19 можно, в отлич:ие от
теоремы 2.1, пользоваться в вырождеввом И в КРИ'l'ическом (()
случаях. .
т е о р е l'r1 а 3.19 (к в а Д р а т и ч вый к р и т e
р И Й а б с о л ю т н о й у с т о й ч и в о с т и n о в ы
х о Д у Тj). Пусть система (2.1) миншtалъно устойчива I
в х.лассе (см. опреде.ltenие 2.5 и замечание 2.3 в 2.2) '"
7'WмniteXC1taM,lтU u; в 7Je([[e cmBeHпO M случаях lf.itя а,б
со.ltютпой устойчивости по выходу 1J в l1.11ассе необхо
димо U достаточно, чтобы бы.llО выполнено следующее
мслабленное частотное ус.ltовие»: существует б> О тахое,
что
F иы, + l>1 и иы) 12 <о
(3.88)
з.1J :f{I'IIТIIЧЕСIШЕ 11 ПЫРОiI,ДЕННЬШ СЛУЧАВ
при дюбь/'х '[ и (J) =f= (J) /., аде j (J) /, 'LUCmO M1LUJ.Lble собстве1L
пые 81Lаче1Lия .матрицы А, а U (s) имеет вид (3.85).
С л е Д с т в и е 1. Пусть ВЫХОД и ВХОД системы (2.1),
(2.4) удовлетворяют интеrральной связи с фор:иой F ( ,
(1, а) и Система (2.1) мини:иально устойчива в указанном
классе функций. Пусть в (3.85) '\' == О и вместо (3.88)
выполнено условие
F (i(J), I) т- <')(J) I И( iCI)} I о
(3,89)
при любых и (J) =f= (J)/, С пеIШfОрЬШ б> О. TorAa 11 ; 11 < 00,
а также оrраничен сnерху интеrрал
I}.
F (s, о, G) dt.
о
Действительно, пусть 1)1 == dr/dt. Тоrда f)1 == Sf), т. е.
ifl == и 1 (B) , {'де U 1 (а) == s V (а). Приыепим теорему
3.19 к выходу '111" Соотношение (3.88) перейдет в (3.89).
Из теоремы 3.19 получим сфОРll(улированное утверждение.
С л е Д с т в и е 2. В крлтичеСI{Оllf случае, при паличии
чи то МНИllfЫХ собственных значений у матрицыI А, под
ходящим неособым преобразованием х == S [: ] система
(2.1) сводится к виду
ах, t
lIt == ..А 1 Х 1 + ы':,
ax ,1 . + Ь t
r......,X.) " )1... ,
,.t
о == C Xl + С;Х;!,
rде матрица Al не имеет собственных значений на мнимой
оси, но все собственные значения j(J)h матрицы А 2 располо
жены на мнимой оси. Пусть система (2.1) IIIИнимально
УСтойчива в классе и в системе (2.1), (2.4)
( (t), (1 (t)} Е , т. е. выход и вход неJIинейноrо БЛОI\а
удовлетворяютинтеrральной связи с формой F (s, 0', 6).
Пусть выполнено
17 (i Си, ) D I I 2
(3 90)
':Н! HeKOToporo <') > О, nce \ S п всех W =F WJI" Tur,:.(a
11 Х 1 11 < 00, 11 s 11 < 00, 'Х 1 и) I о n {JП 1 , 00,
174 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮ'l'НОй УСТОйЧИВОСТИ [rл. III
'к
RpoMe Toro, оrраНlrчеп сверху интеrрал S F' (1;, о, о) dt, cy
о
ществуют ЧIIсла С 1 > О,. . ., Св> О, зависящие ЛИШЬ 01'
коэффициентов ЛIШСПНОЙ части СИСТe:lIЫ и формы F (s, а, Ci),
TaI\IIe, что
11 х 1 11 2 С 1 1 х (О) 12 + c 2 f, 11 li2 С З I х (О) 12 + С 1 1' ,
шах I Хl (t) 12 С 4 1 х (OH + Св!"
Здесь r ;;;;. О число n соотношеШIlI (2.32).
Это У1'першдеНlIе С:IGдует сразу из теОРС11L1 3.1U, ес:ш
взять
ч == 11 ;111.
Таким образом, в I{ритичеСI{ОМ: случае справедливы YT
верждения квадратичноrо кр;перия, если частотное усло
вие заll.Jенено условием (3.90), а вектор х вектором «He
кри'.rических переменных» Xl'
За 1.1 е ч а н и е 3.10. При использовании теоремы 3.19
бывают полезными следующие элемеп'.rарные предложения,
которые позволяют иноrда ПОIщзать, с учетом KOHKpe'.rHo
1'0 вида системы, что либо I х (t) 1---+ О либо Х (t) ---+ const
при t ---+ 00 или что указанпые соотношепия справедливы
для некоторых компонентов вы;:тора Х (е).
(а) ЕСЛII 11 11 < 00 и Т; 11 < 00, то 11) (t) I ---+ о при
t ---+ 00.
(б) Если скалярная функция 1) (t) и ее производная
а1) (t}/dt оrраниченыпри t>- О и сходится ивтеrрал
00
S 'ф [1) (t)] dt, {'де 'ф (а) непрерывная фУНI\ЦИЯ, 'Ф (О} ==
о
== О, 'Ф (а) > О для а =1= О, то 11 (t) ---+ О при t ---+ 00.
п р 1I М е р 3.'13, РUССМUТрIШ спстему
аа ,аТ] ....:;-1&, .
T1"dt + cr == Ч, T2"dt + ч ==- , == r (t) slgn а,
rAe y(t);>O, Tl>O, Т2>0,
Нелпнеiiность УДОDJIеТDорпет СIШ311 Z" == a;> О, В
случае
даНlIО I
F == Re (1'*а) == Пе IV иы) I 12
3.8]
УСТОйЧПВОСТЬ ВЫНУ;-КДЕННЫХ ДШIЖЕНlIfi
175
и частотное условие устоii'IIIВОСТП (2.45) иршшмает вид
Re И Т (j(J» > О ( oo й) + 00). Оно совпадает с УCJIовпе:м, по
лучаемым по RpyroBoMY RрI1тершо, Из первых двух уравненпй:
системы П},lеем:
s
J-V (8) === (7'18 + 1) (Т28 + 1) .
ПОЭТО},IУ заведомо имеет место nырождепnе при ro == О 11 при ro ==
== 00. ТаRПМ обраЗОIlI. YRаЗnНRое частотное условие в даВНО},1 слу
чае не 1Iюжет быть выполнено. ПримеПn1l! теорему 3.19. Очевидно,
'Что для любоrо решеШIЯ удовлетворяется пнтеrральная связь с
фОр1lЮЙ F == a. Система сраDнеПШI прп == О, очевидно, асиып
тотnчеСRII устой'шnа (полюсы JV (8) лежат n леВОI! ПОЛУПЛОСRОСТП).
TaR RaI( F О при == О. то лппепная часть системы мпmПIaЛЬНО
устойчива (см. замечаппе 2.3. 2.2). Ео:зьмеJ\I f) == 0", TOrдa и иы) ==
== W Ой». -Неравенство (3.88) переХОДIIТ в данно:м случае в He
равенство Re W (jro) б I "fV и(о) (2 О, т. е. в HepaDeHcTDo
Re [W (jro) Ч 6 > О. И:з nырашенпя для W (в) получаем
Re [W (jro) Ч == Tl + Т 2 . По теореме 3.19 ш.lеем 11 и 11 < 00.
'УСТОЙ'lИвость ПО выходу (J абсолютна в Iшассе неЛI1нспностей (nоз
lIЮЖfiО, rистереЗIIСНЫХ), для которых и О.
(в) Если (1, s СRалярные в личины, S == rp «(1) CTa
ционарная (может быть, разрыъпая) нелиней-ность, в ТОЧ
:ках непрерывности (1qJ «(1) > о при а =F О и сходится ип
теrрал
I I
J dt == (Р [:1 (т аа (t),
о о
v
то (1 (t) ---+ const при t ---+ 00.
(r) Если В системе (2.1), (2.2) (rде m ;> 1, ii :> 1) со
стационарными, может быть, разрывными нелинейностя
l\1И Х (е) ---+ q (q некоторый постоянный BeRTOp), ТО
х (t) == q стационарное решение системы (2.1), (2.2)
(может быть, решение СКОЛЪЗRщеrо ре/IШllШ).
(д) Если в системе (2.1) А rУрDицева матрица и либо
Н (t) < 00, либо I s (t) 1---+ О при t ---+ 00, то I х (е) 1---+
--+ о при t ---+ 00.
3.8. АБСОЛlOтпап устоiiчшюсть nЫIlУiкдеШIЫ:\ :П;ВШI-';СШlii
В этом параrрафе будут расс:\ютрены "pC\TI;(} ('yYCTC IЫ,
подперженные пнеШПШI В():ЩGПСТППЯМ. Вместо (2. J) урпв
нениями лпнейпоii: чаСТII будут ураШlенпя
== .'1х + Ь; + f(t),
::J ==(' Х I
(Э.9!)
176 ЫЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй УСТОЙЧИВОСТИ [rл. III
{'де f (t) веКТОР фУНI\ЦИЯ (порядка п) внешних ВОЗМУ
щений, а все остальные величины имеют прежниЙ СМЫСЛ.
ВСЯ система описывается уравнеНИЯll-Ш (3.91) и (2.2), или
(3.91) и (2.3), или (3.91) и (2.4). Мноrие результаты Пре
дыдущих параrрафов переносятся сразу на рассматривае
мый сейчас случай. Поясним это на примере системы (3.91),
(2.3) с fii == n == 1. Пусть Х 1 (t), l (t), <11 (t) и Х 2 (t), 2 (t),
<12 (t) два ПРОИЗВОЛЬНЫХ решения этой системы. По
ЛОЖИl\I
у (t) == Х 1 (t) Xt (t), 1) (t)
1;1 (t) 1;2 (t),
(t) == <11 (t) <1:! (t).
Из (З.91) Ю1GG:\I
dy
dt == Ау + b1l, == с.у_
(З.92)
Пусть фушщrш ер (<1; t) n C _1) У,'\ОПЛСТВОРНGТ УС.'IОRПШI
...... дер (а, !) /" Р
а""" "",,I--"
(З.93)
{'де либо а =F сх>, либо В =F +СХ>. Очевидно, что спра
вадливы соотношения
11 (t)
а <Т(i) < при S (t) + О.
(3.94)
Систему (3.92) можно рассматривать каI\ линейную
часть неI{ОТОРОЙ системы, ВХОД S (t) и выход 1) (t) нелиней
ной части которой удовлеТВОР}IЮТ соотношениям (3.94).
Следовательно, к этой системе применимы все результаты
2.3. Из теоре.мы 2.2 (для конечных а и ) или из теоремы
2.3 (для случая, коrда либо а == CX>, либо == +сх>)
получим условия Toro, ч'rо для' произвольных двух реше
пий X 1 (t), Х 2 (е) систеl\IЫ (3.91) выполнено условие I Xl(t}
Х 2 (t) I о при t ---+ сх> и, более Toro,
I Х 1 (t) Х 2 (t) I <Се (t I.) 1, Х 1 (to) Х 2 (to) I (3,.95)
для произвольных t> t o ' (Постоянные С> О, 8> О .за
висят лишь от А, Ь, с, а, .) Если выпопнено условие
(3.95), то rоворят, ЧТО для системы (3.91), (2.3) имеет Mec
то эnспоненцuалъная nонвереенцuя. Неравепство (3.95)
не означает, что рассматриваемая система устойчива D
Р:ра тическо С fысле? посI\олы\y из Ij:ero H следует даже,
УстоИчивость ВЫНУЖДЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ 177
что решения систеll-rbl (3.91), (2.3) являются оrраниченны
ми ФУНRЦИЯМИ времени: в общем случае этоrо может и не
быть. Можно ПОRазать, что при оrраниченном внешнем
воздействии f (t) и при выполнении условий теорем 2.2,
2.3 все решения системы (3.91), (2.3) на самом деле or
раничены. Более 1'01'0, в ЭТОМ случае у системы (3.91),
(2.3) существует единственный предельный ре им pe
шение х(О) (t), которое оrраничено при 00 < t < +00.
Из соотношения (3.95) следует, что любое друrое решение
х (t) ЭRспоневциально приближается при t ---+- 00 R реше
НШО Х(О) (t). Пусть нелине;;'пый блок стационарен, т. е.
описывается уравнением (2. ). При этом дополнительном
предположении можпо ПОI\азать, что при периодичеСRОМ
или почти периодичеСI\ОМ внеIПНем воздействии f (t) пре
дельный режш,1 Х<О) (t) будет соответственно таRже пери
одичеСRИМ с тем же периодом или почти периодичесним.
Если f(t} случайный стаЦИОНаРНЫЙ (ИЛИ эрrодиче
ский) процесс, то х: о ) (t) будет также соответственно CTa
ционарным или эрrодичеСКИlI случайным процессом *}.
Для нестационарных нелинейностей справедливо сле
дующее утверждение: если f (t) почти периодичеСRая
ФУНRЦИЯ и qJ (<1, t) ........: почти пеРИОДllчеСRая фУНRЦИЯ (paB
номерно по <1 при I а I < const), то _ предельный реЖИl\1
будет тоже почти периодической ФУНRцией.
Аналоrичные результа'rы имеют l>leCTO и для т;;> 1,
n ;;> 1. Сформулируем точно некоторые из них, относящие
! ся к наиболее часто встречающемуся случаю, коrда т == п,
нелинейные блоки стационарны и выход каi-ндоrо нелиней
Horo БЛОRа завИСИТ лишь от одноrо ВХода, т. е. Rоrда
ср( а} == 11 <р j (а j) It l'
(3.96)
{'де qJj (<1j) СI\алярная ФУНRЦИЯ скалярноrо nepeMeHHoro
<1j (j == 1, . ., т).
т е о р е м а 3.20 [142]. РаСС.1rютрим систему (3.91),
(2.2) с т == ii. ;;> 1, -поада qJ (а) имеет вид (3.96), еде
qJj (aj) диффере-н,цuруе.мые фу-н,-пцuu, удовлетворяющие
УС.lовия.1L
aj < qJ} (<1j) < j, j == 1, . ., т
(з.97)
*) Результат, касаЮЩIIПСЯ случайных процессов, получен
Э. М. Браверманом и Е. С. ПЯТНIIЦIШМ (<<Автоматика !{ телемехц
ЩIRа», 2, 1 71, Щ'р. S6 41),
178 МЕТОДЫ ТЕОРИИ АБСОЛЮТНОй 'УстойчивОСТИ [rЛ.111
Предпо.ltожим, что асимnтотичеспи устойчива .ltuнейная
система (2.1), (2.2) с <Р; (и) == I-1JU, еде 1-1} апие .ltибо
числа 8 llнтерва.ltах а} -< 1-1} -< }, и что д.ltЯ капих .ltибо
Т} > О и == 1, . . ., т} выпO.ltнепо неравеш:тво (3.56), еде
а, , Td диaeOHa.ltЪHъze т х т .матрицы с диаеона.ltЫI.Ы
.ми э.ltемента "Jtи соответственно aj, }, Т} (j == 1, . :, т).
Тоеда (I) д.ltя .ltюбых i..;;;yx решепий хэ. (t) и Х 2 (t) системы
(3.91), (2.2) и .ltюбых ;. > t o выnмнено условие (3.95), еде
ЧИС.ltа С> О, е> О зависят .ltИШЪ от А, Ь. с, а}, {3} и не
зависят от вида не.ltинейностей <р} (и}); (П) ес.ltИ f (t)
оераниченная на интервале ( 00, +оо) вептор фунпция,
то сиcme.ма (3.91) U."Чееm едllястветuюе оераНшtенное на,
интерва.ле ( oo, +оо) решеJ-tllе (предеЛиНЫЙ режим) х(о) (t);
(111) ес.ltи f (t) пеРllодпttеС1fая с nеРllодо.м Т фунпция
U.ltи почти Тf8риодичеспая фунпция, то и предельный pe
жим х(О) (t) будет соответственно Т nериодичеС1iИ.'tt uли
почти периодичеспu 'tt; (IV) еслп f (t) стационарныЙ (и.щ
эрzодичеспий) случайный ПрОЦЕСС, то х(О) (t) будет таl же
стационарным (эреодичеспи.м) С.ltучаUНЫ.llL процессом.
т е о р е м а 3.21 [1431. Расс toтри.'tt cucтe.'tty (3.91),
(2.3) с 1ii == n > 1, 1>оеда <р (а, t) == 11 <р} (а}, [} l' еде
Фунпция <Р} (а}, t} удовлетвО}J.1ет услови,Я."Jt
а} < orpj (O"j, t)/Daj < Bj
(j == 1, . ., 1п).
.. .:, 7' "
, :: i. I
. ,
Пусть вЫnО.ltнены предположения теоремы 3.20. Тоеда
справедливы утверждения (I), (П) meope.ll[bL 3.20, а тапже:
(111) если f (t) и <р} и, (J j) nериодичеспие С периодо.м . Т
фунпции, то предельный режим является Т nеРllодичеспой
фунпцией; ес.ltи <р} (t, и) почти периодические фунпции
равно.мерно по и при I и I -< const и f (t) почти nери
одичеспая фунпция, то и nреде.ltЬНЫЙ режим яв.ltяется nоч
ти периодичеспой фующией.
Рассмотрим далее систему (3.91), (2.2), с т == ii > 1,
коrда <р (О") имеет ВИД (3.96), rде <р} (и}) дифференци
руемые функции, удовлетворяющие условиям: С; 1 (),
0< <р; (Uj) < !lj"< 00, j == 1. . ., 'т. 1iЯ&)..1
Предположим:, что все полюсы т Х т матрицы W (s)
расположены в левой полуплоскости (матрица А ryp
вицева}:Пусть для I{аких либо Т} > О, 'V} выполнено час
тотпое условие Попова (3.64). Тоrда систеllIа (3.91), (2.2)
3.в1
УС10ЙЧИВОС'I'Ь ВЫНУЖДЕННьr ДВИЖЕНИЙ
179
Н1Шlе'l'СИ диссипативной. ЕСJIИ f (t) является Т периоди
>r6'СКОЙ Функцией, то существует Т периодическое реше
ние ж(О) (t) системы (З.91), (2.2). Последнее утверждение
С '1'ае'l'СЯ сD])аведливы,' если в (3.91) вектор функция
f (t) заменена вектор функцией f (t, х) такой, что
Нш I f (t, xH/1 х I == о равномерно по t.
'''' 1.........
II Р JI I е р 3.14. РЗССМО1'\1IiЫ СIlС,!'11)'
,,/"" С. ol.. :::, (;)
i' J .
/.
rAe а.;:: О, > о и фУНIЩlIИ q>j (о), t) удовлетворяют УСЛОВlIЯМ ''::./I
(з.98). стема' (3.99) отличается от сис'rемы ПРlIмера 3.6 лишь Ha ' --'
nичиеивозмущениii/l (t). /2 (t). По теоремам 3,20,3,21 условие (3.56)
экспоненциальной конверreНЦПII (при /1. (!) '$ О, /з (t) =1= О) совпа
дает с условием акспоненциальной УСТОIIЧИВОСТII (при /1 (t) = О,
1. (t) = О). Это условие было получено в примере 3. 6 оно пмеет
BIIД (3.70). По теоремам 3.21 и 3.13 неравенства (3.70) rapaHTIIpyIoT,
что для системы (3.99) выполнено условие (3.95) для любых двух
ее решений хl (t), Х О (t). (РешеНIIем X(t) являотся вектор с компонеп
та:r.ш (11' <!1' (1\1' <1\1)' Есnи 11 (t) И/а (t) оrранпченные на ( oo, +00)
ФУИКЦПIl, то существует оrрапичеппое на ( oo, +00) реше:ние
предельнып режим х о (t), Это решение является Т перподическим,
если виеmипе воздействпя /1 (t), /2 (t) и q>1 (а 1 , t), q>'J. (а2, е)
функции Т периодпческпе_ Решение является почти Ilериодичес
КОЙ функцией, если fl(t), /2(е) иочти перIIОДlIчеСRие, ерl «()"1, t),
q>й «(111' t) равномерно по (11., (12 ИОЧТИ иерлодичerЮlе функции.
Пр П ы е р 3.15. РаССМОТРIШ СlIстему
t 1 + а l + [3 С5 1 + 2 11 (1), \
d 2 cr2 dJ2 d!',l
([i2"" + а dt + [3J2 + == 12 (t),
!',1 !jJl (C51, t), !',2 ср2 (-:;2, t),
d!(11 dcrl J
---ёfj2"" + ct dt + e;1 +- 1;2 /1 (t),
d2a2 аа2 R
+ a +JJб"t+!',1 /2(t),
dt 2 dt
1;1 !jJl «1" t), 1;2 == qJ2 (а2, t),
(З,Qn)
(3.100)
I ') .{. !(
С с' I !.-:.;.!" I '
J- .,. .'
rде а> О, > 011 ФУШЩIlII IPj (Uj, t) УДО!JJ((;ТIJОРЯIOТ УСЛОDИЯМ (3.98). /
ПеРi!даточная матрица II ШСТ вид
о X(S) II S
fV (s) , rде Х (s) == 2 + + [3 .
хИ о s ctS
(3.101)
"
180 M TOДD1 ТЕ;QР1Ш АЕ':олютной устойчивости Irл. ПI
ЛУС1"Ъ T I :;>" ,....1.. "(2 == 1-1-2"1; можно ПОlшзать, ЧТО ЭТIr значеНIIЯ на ca
:!!ОН дсле ОIl'rЛЬёэ'JiЫIЫ. НЕ-ро.вепство (3.56) ШICРТ ВIIД
I 1-1-11
а,,1; I:." [f.I. l + W (iro)] ==
Re Х (iro)
Re Х (iw) I .
=1=0.
v.;1
(3:102)
3r:zcb ,.... диаrональнал матрица с ДШlrонаЛЬRЫМИ элемента
Mli H, Р2- Нерапенство (';'/.102), т. е. неравенство P11 112"1 =1=
Ф I Re Х иы) 12, преобраэуется с ИСП{JЛЬЗОШ1Ешем леммы 3,2 ( 3.6)
R следующему простому ВП/\ У
z..
/L :"2 < 0:.
ПрlI Dыполневии этоrо УСЛОВИfl (лраведЛJ1ВЫ эiщлючеция предыду
щеrо примера. Нром:е Toro, по тесреме 3.13 при /1 (е) = О, 12 (t) = О
положение равновесия 0"1 = 0"2 = О экспоненциально устойчиво в
цепом.