Текст
MARSHALL HALL, JR.
California Institute of Technology
COMBINATORIAL THEORY
BLAISDELL PUBLISHING COMPANY
Waltham (Massachusetts) • Toronto• London
1967
M. ХОЛЛ
КОМБИНАТОРИКА
Перевод с английского
с. а. Широковой
Под редакцией
| А. О. ГЕЛЬФОНДА |
и
В. Е. ТАРАКАНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>
Москва 1 970
УДК 519.1
Известный американский математик М. Холл уже
знаком советскому читателю по изданным в русском пе-
переводе книгам — «Теория групп» {ИЛ, 1962) и «Комби-
«Комбинаторный анализ» (ИЛ, 1963). Настоящая книга являет-
является наиболее полным изданием в области комбинатор-
комбинаторного анализа. Она состоит из трех основных частей:
проблемы перечисления, теоремы выбора и связанные
с ними вопросы и проблемы существования и построе-
построения блок-схем. Книга написана на высоком научном
уровне и освещает самые новейшие достижения в об-
области комбинаторики.
Она доступна весьма широкому кругу читателей и,
несомненно, заинтересует математиков различных спе-
специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
19-70
Предисловие
редактора перевода
„Комбинаторика" М. Холла занимает особое место
среди вышедших за последние годы на русском языке
монографий зарубежных авторов, посвященных комби-
комбинаторике. Если „Введение в комбинаторный анализ"
Дж. Риордана содержит довольно полное изложение
методов решения перечислительных задач, а в „Комби-
„Комбинаторной математике" Г. Дж. Райзера в очень хорошем
изложении представлены разнообразные, но лишь самые
основные, принципиальные стороны комбинаторной тео-
теории, то книга М. Холла характерна, прежде всего, тем,
что в ней весьма подробно и на высоком математиче-
математическом уровне рассматриваются сложные и красивые во-
вопросы существования и построения блок-схем, матриц
Адамара и латинских квадратов !)<
Комбинаторные задачи построения привлекают к себе
внимание уже давно (можно вспомнить, например, зна-
знаменитую задачу Эйлера о 36 офицерах), но их большое
прикладное значение выяснилось сравнительно недавно
и явилось, очевидно, дополнительным мощным стиму-
стимулом, вызвавшим все возрастающее количество комбина-
комбинаторных исследований, посвященных существованию и
построению блок-схем. В книге М. Холла, одного из
ярких представителей именно этого направления комби*
наторики, представлены многие из полученных (в то\с
числе и самим автором) в недавнее время интересны*
результатов, таких, как опровержение предположения
Эйлера, построение матриц Адамара, построение целого
ряда систем разностных множеств и др. Этим вопро-
•) Вышедший на русском языке в 1963 г. обзор М. Холла „Ком-
„Комбинаторный анализ" можно рассматривать как предварительный
эскиз настоящей книги.
Предисловие редактора перевода
сам посвящены гл. 10—16, занимающие две трети книги.
Другим сторонам комбинаторной теории уделено срав-
сравнительно меньшее внимание, что, однако, не мешает
рассматривать книгу М. Холла как книгу по „комби-
„комбинаторике в целом". Следует отметить, что и в гл. 1—9,
наряду с более традиционным материалом, читатель
найдет немало нового и интересного, как, например,
теорию различных представителей для системы конеч-
конечных подмножеств бесконечного множества в гл. 5, ла-
лаконичное изложение основ линейного программирования
в гл. 8, решение с помощью теории графов задачи пере-
перечисления полных циклов в гл. 9.
Инициатором перевода книги М. Холла явился член-
корреспондент АН СССР А. О. Гельфонд, уделявший ком-
комбинаторике много внимания, особенно в последнее вре-
время. Безвременная кончина прервала работу Александра
Осиповича над редактированием книги. Продолжили эту
работу его сотрудники из Математического института
АН СССР. Следует отметить, что в процессе перевода
и редактирования замечено довольно много неточностей
и опечаток, которые были исправлены. Всем принявшим
участие в работе над русским изданием книги я выра-
выражаю свою искреннюю признательность.
В. Е. Тараканов
Предисловие автора
Комбинаторная теория ^ — название предмета, прежде
именовавшегося „комбинаторным анализом" или „ком-
„комбинаторикой"; впрочем, этими терминами многие поль-
пользуются и до сих пор. Как и во многих разделах мате-
математики, границы комбинаторной теории четко не опреде-
определены, но центральной ее задачей можно считать задачу
размещения объектов в соответствии со специальными
правилами и нахождения числа способов, которыми это
может быть сделано. Если правила очень просты, то
основным в этой задаче является подсчет числа воз-
возможностей для осуществления искомого размещения.
Если же эти правила тонкие или запутанные, главной
проблемой становится вопрос существования таких раз-
размещений и нахождения методов их построения. Про-
Промежуточную область образуют вопросы о возможностях,
возникающих при связанных между собой альтернати-
альтернативах, и типичная в этой области теорема утверждает,
что максимум при альтернативе одного рода равен ми-
минимуму при альтернативе другого рода.
Текст книги делится на три большие части. Первые
четыре главы связаны с проблемами перечисления. Главы
5 — 9 посвящены промежуточной области — теоремам о вы-
выборе. В главах 10—16 речь идет о существовании и
построении схем.
Теория перечисления подробно изложена в класси-
классической работе Мак-Магона (М а с М a h о n P. A., Combina-
Combinatorial Analysis, London, vol. I, 1915, vol. II, 1916) и
') В оригинале книга называется „Комбинаторная теория".
Вместо этого {введенного автором) термина в переводе принят тер-
термин „комбинаторика". — Прим. ред.
Предисловие автора
в недавней книге Риордана (J, Riordan, An Introduction
to Combinatorial Analysis, New York, 1958)'). Этот раз-
раздел трактуется в первых четырех главах настоящей
книги довольно кратко, без какого-либо намерения до-
достигнуть той обстоятельности, с которой он представлен
в упомянутых двух книгах. В книге Райзера (Н. J. Ryser,
Combinatorial Mathematics, 1963J) дается сжатое, но
элегантное изложение теорем о выборе, а также вопро-
вопросов построения и существования блок-схем.
При подготовке этой книги большую помощь оказали
.мне многие лица, в их числе д-р Л. Бомер, проф.
Р. Дилуорс, д-р К. Голдберг, проф. Д. Кнут, д-р
М. Ньюман и проф. А. У. Таккер. Профессора Г. Бирк-
гоф, Р. Гринвуд и Г. Райзер прочитали книгу в руко-
рукописи и дали мне ряд ценных советов, за что я глубоко
им признателен. При подготовке рукописи и исправле-
исправлении технических ошибок неоценимой была помощь мисс
К. Гардт, д-ра А. Пфеффера и м-ра Р. Мак-Элайса.
Пасадена, Калифорния
Маршалл Холл
') Русский перевод: Р и о р д а и Дж., Введение в комбинаторный
анализ, ИЛ, М., 1963. — Прим. перев.
2) Русский перевод: Райзер Г. Дж., Комбинаторная матема-
математика, „Мир", М., 1966.— Прим. перев.
ГЛАВА 1
Перестановки и сочетания
1.1. Определения
Перестановка !) есть упорядоченная выборка элемен-
элементов из некоторого множества S.
Сочетание есть неупорядоченная выборка элементов
из некоторого множества S.
В перестановках и сочетаниях мы можем как допу-
допускать, так и не допускать повторений2). Так, выбирая
два из трех элементов а, Ь, с, мы получаем девять
перестановок с повторениями:
аа, ab, ас, Ьа, bb, be, cat cb, cc
и шесть перестановок без повторений:
ab, ас, ba, be, ca, сЪ.
Мы имеем также шесть сочетаний с повторениями:
аа, bb, cc, ab, ас, be
,и три сочетания без повторений:
ab, ас, be.
Число перестановок без повторений из п элементов по г
обозначается через пРг и легко вычисляется. В самом
деле, в перестановке а{а2 ... аг мы можем в качестве а{
взять любой из п элементов, в качестве а2 —любой из
остальных л—1 элементов и, выбрав аи а2, .... ait
в качестве ai+l взять любой из оставшихся п — I
1) Или размещение. — Прим. ред.
2) По другой терминологии {см. Райзер Г. Дж., Комбинатор-
Комбинаторная математика, „Мир", 1966) перестановкой называется только упо-
упорядоченная выборка из множества S, в которой все элементы
различны, а сочетанием — только неупорядоченная выборка из S, все
элементы которой различны (т. е. подмножество множества S). —
Прим. ред.
лег
10
Гл. 1. Перестановки и сочетания
1.1, Определения
П
элементов. Следовательно,
A.1.1)
Сочетание без повторений из п элементов по г, напри-
например а{а2 ... ат, приводит к г! различным перестановкам,
а именно ко всем г! перестановкам элементов аи а2, ...
..., af. Следовательно, число сочетаний из п элемен-
элементов по г, обозначаемое через пСг, равно
п т
п\
{n-r)\r\ \r }' I1-1-2)
хорошо известному биномиальному коэффициенту. Дей-
Действительно, в произведении {х + у)п — (х + у).. .(х + у)
коэффициент при члене хгуп~т — это не что иное, как
число способов выбора г множителей х + у, из которых
берется х\ при этом из оставшихся п — г множителей
х + у берется у. Заметим, что
nCr=nCn..f. A.1.3)
Число перестановок с повторениями из п элементов по
г равно пг, так как в аха2... ат для каждого из а{,
а2, ..., ат существует п возможностей выбора.
Чтобы найти число сочетаний с повторениями из п
элементов по г, мы не можем просто разделить пт на
соответствующий множитель, так как в этом случае
различные сочетания могут давать различное число
перестановок. Так, беря сочетания из а, Ь, с, d, e по
три, замечаем, что сочетание abc дает шесть переста-
перестановок, сочетание aab дает три перестановки, а сочета-
сочетание ааа — лишь одну перестановку. Для подсчета ис-
используем здесь прием, заключающийся в перечислении
элементов другого множества, которое находится во
взаимно однозначном соответствии с исходным. К дан-
данному сочетанию (например, bbd) присоединим все эле-
элементы а, Ь, с, d, e множества и то, что получается,
запишем в следующем порядке: abbbcdde. После этого
разделим различные элементы черточками: а\ bbb\c\dd\e,
В общем случае к сочетанию с повторениями из п эле-
элементов по г добавим все п элементов и напишем по-
полученные п + г элементов по порядку; после этого раз-
разделим различные элементы п — 1 черточками. Таким
образом, имея п + г мест и п + г — 1 промежутков между
ними, мы должны поставить п — 1 черточек. Число воз*
можных способов равно
¦(Г1)-
A.1.4)
Но между способами расстановки п — 1 черточек
в п + г— 1 промежутков и сочетаниями с повторениями
из п элементов по г имеется взаимно однозначное соот-
соответствие. Следовательно, число сочетаний с повторе-
/ п+г-1 \
ниями из п элементов по г равно I r 1.
Выражения для числа сочетаний без повторений и
с повторениями из п элементов по г сходны между
собой. Например, для случая сочетаний из пяти эле-
элементов по три эти числа равны
5-4-3 .. 5-6-7
1-2-3
И
соответственно; здесь множители в числителях убывают
в одном случае и возрастают в другом.
Число сочетаний с повторениями из п элементов
по г есть число решений {хи х2> •••> -О уравнения
г = хх + х2+ .. • +хп A.1.5)
в неотрицательных целых xt, где х{ есть число появле-
появлений /-го элемента в данном сочетании. Это подсказы-
подсказывает и другой, но аналогичный способ подсчета числа
сочетаний. Пусть г/? = л:?-М, /=1, •••» п. Тогда урав-
уравнение A.1.5) принимает вид
П + Г = у{ + у2+ ... +Уа A.1.6)
и число ре-шений {уи ..., уп) уравнения A.1.6) в ^поло-
жительных целых yt совпадает с числом решений для
A.1.5) в неотрицательных целых числах. Если мы возь-
возьмем п + г точек и поставим п — 1 черточек в п + г — 1
промежутках между ними, то можем считать ух числом
точек в первом множестве, у2 — числом точек во втором
множестве и т. д. Таким образом, мы снова видим,
что число решений уравнения A.1.6) равно ( п_^ \,
что в свою очередь равно числу неотрицательных реше-
12
Гл. 1. Перестановки и сочетания
ний уравнения A.1.5), а также числу сочетаний с по-
повторениями из п элементов по г.
Как еще одно применение этого метода, мы найдем
число сочетаний без повторений из п чисел 1, 2, ..., п
по г, не содержащих пар соседних чисел. Запишем
числа 1, 2, ..., п в естественном порядке, и после
каждого выбираемого числа будем ставить в этой
записи черточку. Если имеется л:, чисел перед первой
черточкой, Л'2 чисел между первой и второй черточками
и, наконец, хг+1 чисел после последней черточки, то
тем самым определяется выборка и
n = xl + x2+ ... +хг+и A.1.7)
где Xi^l, х2^2, ..., xr^2, xr+i~^0. Запишем теперь
n-r + 2 = x1 + (x2-l)+ ...+(*r-l) + (xr+1 + l), A.1.8)
что дает представление числа п — г + 2 в виде суммы
г + 1 положительных целых чисел, и число таких пред-
ставлении равно I ] —числу способов расста-
расстановки г черточек в п — г + 1 промежутках.
Имеется очень большое число тождеств, включающих
биномиальные коэффициенты; вот некоторые из них:
A.1.9а)
(M-9b)
ft-0
A.1.9c)
n>r-
Все они могут быть получены из соотношения
(LL9d)
1.2. Приложения к теории вероятностей
Чтобы получить соотношения A.1.9а) и A.1.9Ь), поло-
положим в нем х = 1 и х = — 1 соответственно; для полу-
получения A.1.9с) продифференцируем его по х и затем
возьмем х=-\; для получения A.1.9d) продифферен-
продифференцируем г раз по х, разделим на г! и положим х= — 1.
Если мы имеем все возможные перестановки аха2 ... ап
из п элементов, в которых Ьх элементов первого рода,
Ь2 элементов второго рода и вообще Ь{ элементов /-го рода
(i = 1, 2, ..., г), где, естественно, Ьх + Ь2 + ... + Ь, = п,
то мы можем заменить Ьг элементов г-го рода различ-
различными элементами так, чтобы все элементы в переста-
перестановке стали различными, и получить п\ перестановок.
Каждая исходная перестановка дает Ьх\ Ь2\ ... bf\ пере-
перестановок. Следовательно, число исходных перестановок
равно
A.1.10)
л!
хорошо известному полиномиальному коэффициенту.
1.2. Приложения к теории вероятностей
Предположим, что в некоторой ситуации имеется п
возможных взаимно исключающих исходов, которые
мы обозначим через хь х2, ..., хп. Припишем исходу хй
некоторое число р{ = р (xi), где pt — действительное число,
Pt^O, и Р[ + р2+ ... +рп=\. Если некоторое собы-
событие Е случается при одном из исходов х1х, ..., xim и
не происходит в других случаях, то определим вероят-
вероятность события Е равенством р(Е) = р{ + ... +р{ . При-
Приписывание начальных вероятностей ри .••! Рп является
не математической задачей, а оценкой относительного
правдоподобия различных исходов, и в любом конкрет-
конкретном случае результат подсчета р(Е) зависит от точ-
точности этого приписывания.
Существует много практических ситуаций, в которых
представляется разумным рассматривать п исходов как;
равновозможные. Тогда мы принимаем рх=.р2= ...
••• — Рп= Чп- В этом случае вероятность события Е,
происходящего только при m возможных исходах, равна
14
Гл. I. Перестановки и сочетания
m
р(Е) = —. В такой ситуации вычисление р{Е) стано-
становится чисто комбинаторной задачей на подсчет m — числа
возможных исходов, дающих событие Е. При произ-
произвольном бросании игральной кости, шесть граней кото-
которой пронумерованы цифрами от I до 6, целесообразно
допустить, что выпадение любой ее грани одинаково
возможно, если кость имеет равномерную плотность.
В этом случае мы принимаем р{ = р2— •¦• =Рб=1/б*
где pi — вероятность того, что выпадает грань с номе-
номером L Если нас интересует лишь выпадение 6, то мы
рассматриваем только два возможных исхода, полагая
вероятность того, что выпадет 6, равной р = 1/б и вероят-
вероятность того, что 6 не выпадет, равной р' = 5/$.
Пусть имеется N урн, пронумерованных от 1 до N.
Разместим в урны произвольным образом п шаров, где
n<N, Найдем вероятность того, что каждая из урн
с номерами от 1 до п содержит точно по одному шару.
Эта вероятность зависит от двух условий: 1) разли-
различимы ли шары или нет; 2) имеет ли место принцип
исключения, который не позволяет положить второй
шар в урну, уже содержащую один шар. Если п шаров
различимы и принцип исключения не имеет места, то
существует Nn способов размещения п шаров в N урн
и и! способов размещения их по одному в каждую
из урн с номерами 1, ..., п. Из этих условий и опре-
определяется вероятность
р(Е) =
Nn •
A.2.1)
Если шары различимы и принцип исключения имеет
место, то первый шар может быть помещен в любую
из N урн, следующий — в любую из N — 1 урн, /-й —
в любую из JV — i+ 1 урн; следовательно, число способов
размещения п шаров в N урн равно NPn= N{N~ I) ...
,,. {N — п + 1). Эти шары могут быть размещены п\
способами в урнах с номерами 1, ..., п, и тогда иско-
искомая вероятность равна
(E) = —— =
A.2.2)
1.2. Приложения к теории вероятностей
15
шары неразличимы и принцип исключения не имеет
места, то возникает вопрос о решениях уравнения
Xi + x2+ ... + xN = n в неотрицательных целых xit где
xt — число шаров в Z-й урне. Число таких решений, как
было отмечено в предыдущем разделе, есть число соче-
сочетаний с повторениями из ./V элементов по п, которое
( N + п~ 1 \ ~.
равно I I. Одно из решении:
i = x2= ... =xn=l,
= хп+2 —
в этом случае искомая вероятность равна
1
р(Е) =
(N+ry
A.2.3)
С физической точки зрения „неразличимость" означает,
что все сочетания равновозможны.
Если шары неразличимы и имеет место принцип
исключения, то число способов размещения шаров есть
не что иное, как число сочетаний без повторений из N
(N \
). Выбор первых п урн
является единственным возможным для нас способом,
и, следовательно, вероятность равна
A.2.4)
(?)
Заметим, что мы получили A.2.2), т. е. если имеет
место принцип исключения, то вероятность не зависит
от того, различимы ли шары или нет.
В статистической физике рассматривается некоторая
совокупность п частиц (это могут быть протоны, элек-
электроны, мезоны, нейтроны, нейтрино или фотоны); каждая
из них может быть в любом из N „состояний" (это мо-
могут быть энергетические уровни). Макроскопическое со-
состояние этой системы из п частиц задается вектором
х = {хь хъ ..., xN), где Х( — число частиц, находящихся
в i-м состоянии. Вероятность любого отдельного макро-
макроскопического состояния зависит от того, различимы ли
эти частицы и подчиняются ли они принципу исклю-
исключения Паули, который гласит, что никакие две (нераз-
16
Гл. 1, Перестановки и сочетания
Задачи
17
личимые) частицы не могут находиться в одном и том же
состоянии. Если рассматриваемые частицы различимы
и не подчиняются принципу исключения, то вероятность
любого отдельного макроскопического состояния дается
формулой A.2.1), и тогда говорят, что частицы подчи-
подчиняются статистике Максвелла — Больцмана. Если ча*
стицы неразличимы и не подчиняются принципу исклю*
чения, то вероятность дается формулой A.2.3), и тогда
говорят, что частицы подчиняются статистике Бозе —
Эйнштейна. Если частицы неразличимы и подчиняются
принципу исключения, то вероятность дается формулой
A.2.4), и при этом говорят, что они подчиняются ста-
статистике Ферми —Дирака. Электроны, протоны и ней-
нейтроны подчиняются статистике Ферми — Дирака. Фотоны
и пи-мезоны подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.
Случай A.2,2) различимых частиц, подчиняющихся
принципу исключения, в физике не встречается.
При высоких температурах, когда число N велико
и различные макроскопические состояния почти одина-
одинаково возможны, статистики Ферми — Дирака и Бозе —
Эйнштейна по существу совпадают с классической ста-
статистикой Максвелла — Больцмана. При низких темпера-
температурах низкие энергетические уровни возможны чаще,
чем высокие, и тогда приведенные выше модели следует
различать.
III
Задачи
1. Доказать, что
Указание. A + х)г A + x)s - A + x)r+s. Дать другое
доказательство этого тождества, рассматривая число
способов выбора комиссии в составе m человек из
группы, состоящей из г мужчин и s женщин.
2. Флаг составляется из 13 горизонтальных полос
красного, белого и голубого цвета, причем любые две
соседние полосы должны быть разных цветов. Сколь-
Сколькими способами это можно осуществить?
>; 3. Сколько существует положительных целых чисел,
меньших чем 10* (в десятичной системе), цифры кото-
которых расположены в неубывающем порядке?
4. Сколькими способами можно п одинаковых подарков
раздать г детям: а) без ограничений и б) если каждый
ребенок должен получить хотя бы один подарок?
5. Из колоды в An карт, которая содержит четыре
различные масти, в каждой масти по п карт, п ^5,
занумерованных числами 1, ..., п, выбраны пять карт.
Расположить в порядке возрастания частоты появления,
зависящей от п, следующие наборы:
а) пять последовательных карт одной масти;
б) четыре карты из пяти с одинаковым номером;
в) три карты с одним номером и две карты с другим;
г) пять карт одной масти;
д) пять последовательно занумерованных карт;
е) три карты из пяти с одним и тем же номером;
ж) две карты с одним номером и две с другим;
з) две карты из пяти с одним номером.
2 М. Холл
ГЛАВА
Формулы обращения
2.1. Принцип включения и исключения. Обращение
Мёбиуса
Пусть имеется N элементов и некоторое число
свойств РA), РB) Р(п). Пусть далее Nt~число
элементов со свойством P{i) и вообще Niii2... * — число
элементов со свойствами Р(О, Р(*г), •••. Р (ir)- Тогда
число элементов N @), не обладающих ни одним из
указанных свойств, задается формулой обращения
B.1.1)
Докажем это утверждение. Элемент, не обладающий
ни одним из названных свойств, учитывается один раз
в члене N и ни в какие из остальных слагаемых не вхо-
входит. Элемент А со свойством Р (/) учитывается по одному
разу в N и Nj, поэтому дает 1 в члене N, — 1 в члене
— 2iVt- и, следовательно, 1 — 1 = 0 в правой части B.1.1).
Элемент А, обладающий точно г свойствами, например
/i» •••> In дает 1 в члене
Nn
где s<r.
д
(
i *
для каждого набора iu i2 is из ju ..., jr, т. е. для
( 5 j наборов. Следовательно, вклад А в правую часть
B.1.1) равен
B.1.2)
2.1. Принцип включения и исключения
19
Таким образом, правая часть B.1.1) учитывает каждый
элемент, не имеющий указанных свойств, точно по одному
разу, а всякий другой элемент — нуль раз; следова-
следовательно, она равна N @), что и требовалось доказать.
Использование формулы B.1.1) называется иногда ме-
методом включения и исключения.
Тем же путем можно найти число N(r) элементов
с точно г свойствами. Оно дается выражением
В правой части B.1.3) элемент с точно г свойствами
учитывается один раз в первом слагаемом и не учиты-
учитывается в остальных слагаемых. Элемент с точно t свой-
свойствами, где t>r, дает (— l)s~r(s)( ) в слагаемом
'l <•••<',
Но из соотношения A.1.9d)
t
B.1.4)
s=r
что и доказывает формулу B.1.3).
Как применение метода включения и исключения,
рассмотрим задачу о беспорядках. Сколько существует
перестановок аь а2, ..., ап чисел 1, 2, ..., п,
1
2,
а2
B.1.5)
п,
таких, что а(ф1 при любом /=1, 2 «? Здесь Л^
элементов — это п\ перестановок alt a2 ап, а свой-
свойство P{i) выражается равенством аг = /, г=1, 2, ..., о.
Тогда Ni1i2... /г = (п — г)! — число перестановок, оста-
оставляющих на месте г определенных символов. Далее,
2*
20
Гл. 2,. Формулы обращения
в 2jNtj2... ir имеется (М слагаемых —по числу сйо-
собов выбора ih /2, ..., if из I, 2, ..., п. Применяя
B.1.1), находим, что
. B.1.6)
... +(-l)r(nr)(h-r)\+ .... +(-l
Это выражение можно переписать в виде
1
. B.1.7)
Заметим, что
— это начальные слагаемые бесконечного ряда для е~х.
Этот бесконечный ряд знакочередующийся и первый
отброшенный член есть {—1)п^1{п+1)\. Отсюда видно,
что N @) отличается от п\/е меньше, чем на 1/(п+• 1),
и потому n\je является весьма хорошим приближением
для числа беспорядков из п символов.
Если нас интересует не только число беспорядков
из 1, 2, .... п, но также и число перестановок а{а2 .,. ап
из I, 2, ..., п, для которых а,- = / точно в г местах для
какого-либо из значений г — 0, 1, .... п, то возникает
задача, известная под названием „задачи о встречах".
Ее решение получается несложным расширением за-
задачи о беспорядках: г чисел из 1, ..., п мы можем
выбрать {п\ способами и, выбрав их, умножим на число
беспорядков из оставшихся п — г символов. Это дает
число перестановок точно с г условиями а( — i, равное
Этот результат мржно было бы получить также с по-
помощью формулы B.1.3).
2.1. Принцип включения ii исключения
21
'Чтобы указать формулу обращения другого типа,
рассмотрим одну арифметическую функцию — функцию
Мёбиуса ц{п). Она определяется для положительных
целых чисел п. Если п>1, то п имеет единственное
представление в виде произведения степеней простых
чисел:
п = ре^ре22 ... регт, B.1.9)
где Pi — различные простые числа. Определим \i{n) сле-
следующим образом:
1 при п= 1,
ji(rt)= О, если какое-либо et> \ в B.1.9), B.1.10)
1(-1)г, если ех = е2= ...е,= 1 в B.1.9).
Лемма 2.1.1.
„ { 1, если п = 1,
din I 0, если п>1,
где суммирование производится по всем положительным
делителям d числа п.
Доказательство. Если п = 1, то d = 1 — един-
единственный делитель и цA)=1. Если п>\ ил задано
выражением B.1.9), то пусть п — р\р2 ... рГ- Тогда де-
делитель d числа «, который не является делителем я*,
будет иметь кратный простой множитель, и мы имеем
n(d) = 0. Следовательно,
S I*
d\n*
легко вычисляется:
2
«*!«*
B.1.11)
-1Г = 0, B.1.12)
так как существует ( т. \ делителей, которые являются
произведениями k различных простых чисел, и для ка-
жДото из них |j.(cf) = (-^1)*. Таким образом, лемма до-
доказана.
22
Гл. 2. Формулы обращения
Теорема 2.1.1 (формула обращения Мёбиуса1)!
Пусть f(n) и g{n) —функции, определенные для всякого
положительного целого п и удовлетворяющие условию
d\n
B.1.13а)
Тогда можно обратить это соотношение и выразить g
через f:
S B.1.13b)
g()S
d\n
Из второго соотношения также следует первое.
Доказательство. Мы имеем f(n/d) — 2 Sid')
, i t-r d'\(n/d)
для всякого а\п. Поэтому
2 И (d)f(n/d)= 2 ц (d) 2 ?(d% B.1.14)
d\n din d'\ (n/d)
Пусть n = ddrn{. Тогда d при фиксированном df пробе-
пробегает все значения делителей числа n/d'. Следовательно,
\i(d) • 2л _
d\n d'\(n!d) ' d'\n~
так как по лемме
2 n(d) =
d\(nld')
H(d)-O,
)
B.1.15)
d\(nldr)
если только d' ф п. Таким образом, правая часть фор-
формулы B.1.14) —просто g{n), и теорема доказана. Ана-
Аналогично если дано равенство B.1.13Ь), то мы можем
подставить значение g(d) в правую часть B.1.13а) и убе-
убедиться, что она равна f(n), доказав тем самым равен-
равенство B.1.13а).
Обращение Мёбиуса может быть использовано при
перечислении циклических последовательностей. Если
символы аь а2, ..., а„ расположены в циклическом по-
порядке, так что за ап следует а,, то можно считать, что
любая из линейных последовательностей а2, аг, ..., ап, ах\
а3, ..., ап, аь а2; ...; ап, щ, ,.., ап-х определяет одну
и ту же циклическую последовательность. Но п ли-
линейных последовательностей (линейных „слов"), соот-
соответствующих одной и той же циклической последова-
2.1. Принцип включения а исключения
23
цельности, могут не все быть различными. Если d — де-
делитель числа п и последовательность аи а2, ..., ап
состоит из последовательности d символов а,, а2, ..., аф
повторенной n/d раз, то после первых d соответствую-
соответствующие линейные последовательности начинают повторяться.
Для каждой циклической последовательности длины п
можно однозначно указать минимальный период rf, так
что циклическая последовательность состоит из n/d по-
повторений последовательности d символов. Далее, каждая
циклическая последовательность длины d и периода d,
где d\n, может быть повторена n/d раз, чтобы полу-
получить циклическую последовательность длины п и пе-
периода d. Каждой из этих последовательностей соответ-
соответствует в точности d различных линейных слов длины
п. Для г различных символов существует гп линейных
перестановок аха2 ... ап. Если М {d) — число циклических
последовательностей длины и периода d, то dM(d) есть
число соответствующих линейных последовательностей
длины п. Отсюда имеем равенство
2 dM (d) = rn.
d\n
B.1.16)
Если взять f(x) = rx и g (х) — хМ (х), то к B.1.16) можно
применить формулу обращения Мёбиуса и получить, что
)rn'd, B.1.17)
2
dirt
следовательно,
B.1.18)
d\n
Это есть число циклических перестановок длины и пе-
периода п. Если нам нужно найти общее число цикличе-
циклических перестановок длины п, то, обозначив его через Т(п),
получим
r(n)=2M(d). B.1.19)
d\n
Если мы хотим узнать общее число циклических
перестановок п элементов с определенным числом эле-
элементов некоторого рода (скажем, Ь{ элементов i-го рода,
if=l, —, г, где bi + b2+ ... +br^n), то вспомним,
ча:о число линейных перестановок ^такого типа есть
Гл. 2. Формулы обращения
полиномиальный коэффициент
Ьг = п. B.1.20)
Для циклической перестановки длины п и периода d
такого типа d будет делителем всех by, ..., br, или,
что то же самое, делителем числа (blt ..., ^ — наиболь-
наибольшего общего делителя blt ..,, br. Таким образом, если
МF„ ..., bT), Ьу + Ь2+ ... + Ьг = п, есть число цикли-
циклических перестановок длины и периода п с bt элемен-
элементами г-го рода, i=l, ..., г, то тем же рассуждением,
что и выше, придем к равенству
Л*F, М=4
br)
(bjd)\...{br!d)i
. B.1.21)
„Задача о супружеских парах" ') (probleme des me-
nages) состоит в следующем: хозяйка желает рас-
рассадить п супружеских пар за круглым столом так, чтобы
мужчины и женщины чередовались, но чтобы при этом
ни один муж не сидел рядом со своей женой. Сколь-
Сколькими способами это можно осуществить? Легко видеть,
что этого нельзя сделать, если число пар меньше трех,
но для трех и более пар это осуществимо.
Рассадим сначала на местах через одно женщин,
обозначая их номерами 1, 2, ..., п по кругу. Обозна-
Обозначим место слева от i-\\ женщины и справа от (/ + 1)-й
женщины номером i и номером ,п — место между гс-й
женщиной и первой. Тогда первый муж может сесть
на любое место, кроме n-го и первого, а i-й муж —
на любое место, кроме (i— 1)-го и г-го. Если муж с но-
номером ui сидит на месте /, то а{а2 . • • ап есть переста-
перестановка чисел 1, 2 к, и наше условие означает, что
в таблице
1 2 ... п- 1 п
B.1.22)
2 3 ...
а{ а2 ...
п
I
') В ряде переведенные книг эта задача называется „задачей
о гостях". Настоящий перевод больше отвечает как сущности за*
дачи, так и смыслу французского слова menage (супружеская
чета). — Прим. ред. -
2.1. Принцип включения и исключения
25
перестановка а{а2 ... ап должна быть не согласующейся
с первыми двумя строчками (т. е. а( Ф i, i+ 1). Мы на-
находимся, таким образом, в условиях задачи включения
и исключения со свойствами Р{1): «1=1, 2; ...;
Р(/): aj = f, /4-1; ...; Р(п): ап = п, 1. Если P(i) выпол-
выполняется для г значений а/(, ..., а/ , то существует (п — г)\
способов дополнения перестановки. Таким образом, мы
должны сначала подсчитать, сколькими способами можно
получить перестановки с г свойствами P(i), или, как
мы будем говорить, число способов получения г попа-
попаданий. Число способов получить одно попадание равно 2п,
и в силу циклической симметрии B.1.22) мы можем
предположить, что при этом п будет либо в (п — 1)-м,
либо в и-м столбце. Перепишем теперь оставшиеся
числа, записывая столбцы один за другим
в первом случае:
, п — 2, п — 2, п—\
B.1.23)
1, 1, 2, 2, 3, .
и во втором:
1, 2, 2, 3, 3, .... п-% л-1, п~\.
При выборе остальных г — 1 чисел мы ограничены тем
условием, что в последовательностях B.1.23) мы не мо-
можем выбирать два соседних члена, поскольку такой
выбор означает либо взятие одного и того же числа
дважды, либо взятие обоих элементов из одного
.столбца B.1.22). Тем самым мы приходим к задаче
о числе способов выбора г — 1 элементов, из которых
никакие два не являются соседними, в строке с 2/г — 3
элементами. Это число было найдено в гл. 1, и оно
равно ( г_ \. Его надо умножить на число 2/г воз-
возможностей первого выбора; но то же самое множество г
значений может быть получено рассмотрением любого
из г значений в качестве первого, следовательно, мы
Должны еще поделить на г. Таким образом, искомое
число есть .
2п_ I 2п - г - I \ 2га / In - г \
:.. . , г \ г-\ ) 2п~г\ г )•
B.1.24)
|У1Ъжно, теперь, применить формулу B.1.1) и найти, что
ЧИ'сло Un перестановок, не согласующихся с обеими
26
Гл. 2. Формулы обращения
перестановками 1, 2, .,., п и 2, 3, ,.,, /г, 1, дается
формулой
Un = n\-2n{n-l)l+ ...
B.1.25)
Из этого соотношения можно получить рекуррентную
формулу
+\ B.1.26)
что доказывается без особого труда. Действительно,
для г = 0 и 1 члены в (n — 2)Un и ft (ft — 2)Un-x равны.
Для г = % ..., ft — 1 имеем тождество, включающее
r-е члены из Vп и Vа-х и (г - 2)-й член из t/rt_2:
7 >-'>'• <2Л-27>
Наконец, беря член с г = п в (« — 2) ?/„ и с г = « — 2
в nUn-2, находим, что
(п - 2) (-1)" • 2 = п (- 1Г~2 • 2 + 4 (- l)n+1. B.1.28)
Справедливость формулы B.1.26) тем самым доказана.
2.2. Частично упорядоченные множества и их
функции Мёбиуса
Частично упорядоченным множеством Р называется
система Р{..., х, у, .. .} элементов с отношением по-
порядка х>г/ (читается: „х включает у") для некоторых
пар элементов и равенством х — у, в которой выпол-
выполнены следующие аксиомы:
РО1. х^ х для всякого х из Р.
РО2. Если x>i/ и y^z, то х>2.
РОЗ. Если х^у и у^х, то х = у.
Линейно упорядоченное множество, или цепь, удовлетво-
удовлетворяет также аксиоме
2.2. Функции Мёбиуса
27
RPO4. Если х, у — элементы Р, то либо х^у, либо
У>х1).
Как другой вариант записи х^у, мы пишем также
у < х и х > у (или у < х), если х ^ у (или у < х) и
хфу.
Частичное упорядочение — понятие весьма общее.
Интересны два частных случая:
1. Элементами множества Р являются все подмно-
подмножества некоторого конечного множества Т, где мы
через 0 обозначаем пустое множество, а через 1 — само Т,
и у^х означает, что у есть подмножество х.
2. Элементами множества Р являются целые поло-
положительные числа, иу<л; означает, что у делит х.
Легко проверить справедливость аксиом в обоих
примерах.
Если Г есть подмножество частично упорядоченного
множества Р, то элемент х множества Р, такой, что
х ^ t для каждого t из Т, называется нижней гранью
множества Т. Если г —нижняя грань Г, такая, что
x^z для любой нижней грани х из Т, то z называется
наибольшей нижней гранью Т. Из РОЗ следует, что
если Т имеет наибольшую нижнюю грань, то она един-
единственна. Аналогично если x^t для каждого t из Т,
то х называется верхней гранью множества Т, и если
г — верхняя грань Т, такая, что x^z для всякой верх-
верхней грани х, то z называется наименьшей верхней
гранью; она также единственна, если существует. Если
множество Р само имеет наибольшую нижнюю грань,
то она называется нулевым элементом Р, а если Р имеет
наименьшую верхнюю грань, то она называется наиболь-
наибольшим элементом (или иногда единичным элементом) Р.
Интервал [л:, у], где х^у, есть множество элемен-
элементов w, таких, что xk^w^y. Если в интервале [х, у]
нет элементов, кроме х и у, то будем говорить, что у
покрывает х. Частично упорядоченное множество Р на-
называется локально конечным, если число элементов
в каждом интервале [х, у] конечно.
]) Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее
аксиоме РО4, называется также совершенно упорядоченным мно-
множеством. — Прим, ред.
¦У
28
Гл. 2. Формулы обращения
Функция Мёбиуса и обращение Мёбиуса были p
начально определены Вейснером [1] и Ф. Холлом [2]
для функций над локально конечными частично упоря-
упорядоченными множествами. Эта идея недавно получила
значительное развитие в работе Рота [1]. Основываясь
на этой работе, дадим здесь краткое изложение этого
вопроса.
Рассмотрим класс функций f(x, у), принимающих
действительные значения и определенных для х, у & Р,
где Р — некоторое локально конечное частично упоря-
упорядоченное множество. Потребуем, чтобы f {х, у) »= 0, если
х^у. Сумма двух таких функций, а также умножение
на скаляры определяется обычным образом. Произве-
Произведение h = fg определяется следующим образом:
h(x, y)= 2 f{x, z)g(z, у), х, у фиксированы. B.2.1)
Это произведение определено корректно, так как в силу
локальной конечности Р сумма в правой части конечна.
Посредством операций взятия суммы, умножения
на скаляры и умножения по правилу B.2.1) на функ-
функциях fix, у) определена алгебра инцидентности А(Р)
множества Р. Легко проверить, что умножение в А(Р),
определенное выше, ассоциативно и дистрибутивно и
что А (Р) имеет единицу — функцию дельта Кронекера:
б {х, х) = 1, б {х, у) ¦= 0 при х Ф у.
Лемма 2.2.1. Функция fix, у) в алгебре А(Р)
имеет как левую, так и правую обратные функции в том
и только том случае, когда f (х, х) ф О для любого
*е=Р.
Доказательство. В формуле B.2.1) возьмем
h(x, у) = Ь(х, у) и при данном f попытаемся найти g.
Поскольку для этого требуется, чтобы \—6(х,х) =
•=f(*i x)g(x, x) при любом х, то условие f{x, х)Ф0
для любого х е Р, очевидно, необходимо. Таким обра-
образом, полагаем f {x, х)фО для каждого х, и тогда
g (х, х) =» f (x, х)~~1 при любом х. Чтобы определить
g(x, у) при х < у, мы можем допустить по индукции,
что уже нашли g (г, у) для всех г, удовлетворяющих
2.2. Функции Мёбиуса
29
Соотношению х < Z^y. Тогда
h(x,y)=b(x,y) = 0= 2 f(x, z)g(z, у),
и, следовательно,
;, - / (х, х) g (х, у) - 2 f (x, z) g (г, у). B.2.2)
Мы можем отсюда найти gix, у), так как Цх,х)фОп
все слагаемые конечной суммы в правой части известны.
Таким образом, / имеет правую обратную функцию.
Аналогично, применив предположение индукции к чле-
членам с x*Cz<y, можно использовать B.2.1), поменяв
ролями f и g, чтобы показать, что / имеет левую
обратную функцию. Но если fgi= \=б[х, у) и g2f = 1,
то, обычным способом, g2— ^2 • 1 = g2ifgi) — igof)gi =
= \g\ = g\, т. е. левая и правая обратные функции со-
совпадают.
Определение. Пусть Я —локально конечное ча-
частично упорядоченное множество и А (Р) — его алгебра
инцидентности. Дзета-функция Цх, у) алгебры Л(Р)
есть такая функция, для которой ?(*, у) = 1 при х^у
и I ix> У) = 0 в остальных случаях. Функцией Мёбиуса
\iix, у) алгебры Л(Р) называется функция, обратная
к дзета-функции.
Так как ? (х, х) — 1 ф 0 при любом х, то в силу
леммы 2.2.1 ?(х, у) имеет обратную функцию ц(л;, у),
которая является для нее как левой обратной, так и
правой обратной. Следовательно,
ц („v, х) = 1 при любом х из Р.
Для фиксированных х и у, х <yt получаем
ц {х, у) - - 2 И (х, z);
B.2.3)
B.2.4)
B.2.5)
Здесь B.2.4) выражает функцию Мёбиуса как левую
обратную, а B.2.5) —как правую обратную для дзета-
функции. .
V- {х, У) = - 2 I* (г,
i
Гл. 2. Формулы обращения
Теорема об обращении Мёбиуса: :;чост
Теорема 2.2.1. Пусть Р — локально конечное ча-
частично упорядоченное множество с нулевым элемен-
элементом 0, функция f{x) задана для всех х из Р и g{x)
определяется через f(x) формулой
g(x)= 2 f(y) для всех х из Р.
B.2.6)
Тогда если \i(y, z) — функция Мёбиуса множества Р, то
/1*0= 2 &(#)f-l(«/> x) для всех х из Р. B.2.7)
у<х
Доказательство. Так как каждый интервал
[О, х] конечен, то суммы в B.2.6) и B.2.7) определены
корректно. Для фиксированного х рассмотрим сумму
5= 2 g(y)v(y, *)= 2 ( 2 f(z))v(y, x), B.2.8)
где мы g(y) заменили правой частью B,2.6). Изменим
теперь порядок суммирования и получим
5= 21 f(z) 2 \i(y, *)-2f(*K(*, у) 2 и
2 cfe у)|*(у, *H
B.2.9)
Так как S = f(jc), то утверждение теоремы —равенство
B.2.7) — доказано.
Определим теперь функцию Мёбиуса для двух част-
частных случаев, упомянутых в начале этого раздела.
В первом случае Р есть частично упорядоченное
множество всех подмножеств конечного множества Т,
упорядоченных по включению. Мы утверждаем, что для
двух подмножеств х, у, х^у, множества Т
|i(x, y) = (~l)n{y)-nw, B.2.10)
где п (х), п {у) — число элементов в х и в у соответ-
соответственно. Это утверждение, конечно, справедливо, если
я {у) — п (х) — 0 или 1. Допустим по индукции, что фор-
формула B.2.10) верна при п(у) — п(х) О - 1, и рассмотрим,
случай, когда п(у) — п{х) = г. Тогда равенство B.2v4)
2.2. Функции Мёбиуса
31
принимает вид
-1)г-1, B.2.11)
т-ак как существует (г. ] элементов z, где x^z<y,
с n(z) — n(x} = j, а именно подмножества множества Т,
получаемые присоединением к х j из г элементов у,
не входящих в х. Сравнение B.2.11) с биномиальным
разложением A — 1)г = 0 дает ц(л:, «/) = (—1)г, что и тре-
требовалось доказать.
Пусть Т — множество чисел 1, 2, ..., п, которым со-
сопоставлены свойства РA), РB), .... Р(п). Пусть А" —мно-
—множество из N элементов, каждый из которых имеет свой-
свойства P(i), ('ел; для некоторого подмножества х из Т.
Пусть /(*) — число элементов К, имеющих в точности
свойства P(i)t 1фх (х — подмножество Т). Тогда если
мы полагаем
g(x)= 2 f(y), B.2.12)
у<х
то функция g(x) — это число элементов К, имеющих все
свойства P{i) для 1фх и, быть может, еще другие. При
х — Т формула обращения B.2.7) дает
~ 2 g{y)+ ... +(-1);
... +(-1)" 2 g(y).
(H
2
B.2.13)
Но f {T) = N @) есть число элементов, не имеющих
ни одного из указанных свойств, a g(T) = N, так как
g(T) равно числу элементов, имеющих свойства из
пустого множества свойств и, возможно, еще другие.
Если п(у) = п — j, то g(у) равно числу элементов, имею-
имеющих j свойств P(i) для всех г, не принадлежащих у,
и, возможно, еще другие. Это показывает, что B.2.13)
есть не что иное, как принцип включения и исключе-
исключения B.1.1).
Во втором случае Р — частично упорядоченное мно-
множество-целых положительных чисел, где х^.у означает,
что х делит у.
Гл. 2. Формулы обращения
ГЛАВА
3
Здесь если х < z < у, то z = xd, где d \ (у/х), и, такт
образом, элементы отрезка [х, у] соответствуют дели-
делителям числа у/х. Заметим, что число 1 есть нулевой
элемент Р. Сравнение равенства B.2.4) с леммой, пред-
предшествовавшей теореме 2.1.1, показывает, что в этом
случае \i(x, y) = \i.(y/x). Таким образом, теорема 2.1.1
об обращении Мёбиуса есть частный случай теоремы
2.2.1 для множества целых положительных чисел, ча-
частично упорядоченных отношением делимости.
Задачи
1. Пусть А есть (п X п)%атрица с нулями на глав-
главной диагонали и единицами1 на остальных местах. Де-
Детерминант Л равен (— 1)п~1{п— 1). (Это будет показано
в разд. 10.2.) Сколько из п\ членов в разложении опре-
определителя А будет равно +1,-1 и 0 соответственно?
2. Дана таблица:
01 234 5 6 789
1 2340678 95
а0 ах а2 а3 а4 а5 «6 аь «8 аэ«
Сколькими способами можно выбрать перестановку
а0 ... а9 чисел 0, 1, ..., 9 так, чтобы ни в одном
столбце этой таблицы не было повторяющихся чисел?
3. Доказать, что Un в B.1.25) приближенно равно
4. Функция Л(/г) определяется для целых положи-
положительных п формулой
2 Л {d) - log n.
Доказать, что A(n) = \ogр, если п = ре, р простое,
и Л (/г) = 0 в остальных случаях.
5. Найти функции Мёбиуса двух частично упорядо-
упорядоченных множеств Pi, Р2 с пятью элементами 0, а, Ь,
с, 1, где: а)вР, 0<а<1, 0<6<1, 0<с<1 и дру-
других включений нет; Ь) в Р2 0^а<|1, 0^&^^1
и других включений нет.
Пррпзврдящие функции
и /рекуррентные соотношения
3.1. Правила и свойства
Если и0, к,, U), .... ип, ... —некоторая последова-
последовательность чисел, то с этой последовательностью можно
связать производящую функцию g{x), определенную' по
^следующему правилу:
g (х) = «о + «I* + %*2 + ... + ипхп + C.1.1)
Если этот ряд имеет круг сходимости радиуса /?>0,
то может случиться, что свойства функции g(x) дадут
нам возможность вычислить коэффициенты ип (или
хотя бы оценить порядок их величины) или, быть может,
получить иную ценную информацию. Если h(x) — произ-
производящая функция последовательности у0, о,, v:, ...,vn,...,
то
h(x) = vo+vlx+v2x2+ ... +vnxn+ .... C.1.2)
Если мы сложим теперь равенство C.1.1), умноженное
на с, и C.1.2), умноженное на flf, то получим
eg {х) + dh (х) = (сщ + dva) + {сих + dv{) x +
+ {сщ + dv2) х2+ ... + (сип + dvn) хп + .... C.1.3)
Перемножив функции g и Л, получим
g (x) h (х) = ш0 + wxx + w,x2 + ... + wnxn +...., C.1.4)
где
+ м,у„_, + ...+«„_ ,i» ,+//„0о C.1.5)
для любого п=\, 2, 3 ....
Даже если ряды для g {x) и h (x) не сходятся, мы
можем рассматривать формулы C.1.3), C.1.4) и C.1.5)
как определения формальных операций над формаль-
формальными рядами. Легко проверить, что так определенные
сложение, умножение на скаляры и перемножение рядов
3 М. Холл
84 Гл. 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения
удовлетворяют законам ассоциативности, коммутатив-
коммутативности и дистрибутивности. Кроме того, если и0 ф О и
если взять v0 = и~[, то C.1.5) можно использовать как
рекуррентное соотношение для определения таких vlt
xJt ..., что g{х) h(x)=l.
Вместо производящей функции g(x), связанной с и0,
Mi, ..., ип, ..., можно рассматривать экспоненциальную
производящую функцию G (х), связанную с этой после-
последовательностью следующим правилом:
G(x) = uo + ulX + ^+ ... +^~+ .... C.1.6)
Пусть Н{х) аналогичным образом связана с и0, vb ...,
Н {x) =
Ojjc-Ь-
VqX"
¦+.... C.1.7)
Тогда для произведения G (x) H {x) = К (х) имеем
C.1.8)
где
или символически
wn = (u + v)n.
C.1.9)
C.1.10)
Символическую формулу C.1.10) надо понимать так, что
после разложения (u + v)n по формуле бинома все пока-
показатели степени заменяются на индексы.
Предположим, что последовательность и0, ии и2> .. .
..., ип, ... удовлетворяет рекуррентному соотношению
порядка г:
2+ ... +агип, п = 0, 1, 2, ...„
C.1.11)
где alt /= 1 г, — постоянные. Тогда, если g{x) — про-
производящая функция для последовательности {ип} и если
через k(x) обозначен полином
k (х) = 1 - ахх - а2х2 - ... - агхг, C.1.12)
?
3.1. Правила и свойдтва
35
то, очевидно,
+ ... + Cr-^r-1 = С (л-), C.1.13)
где С (х) — полином степени не выше г — 1. Действи-
Действительно, если сп+г есть коэффициент при хп+г, п^О,
в произведении g{x)k(x), то в силу C.1.11)
cn+r = un+r-alun+r-x- ... -а,ип = 0. C.1.14)
Таким образом, для последовательности {«„}, удовлетво-
удовлетворяющей линейному рекуррентному соотношению C.1.11),
производящая функция g{x) есть рациональная функция:
- С{Х)
C.1.15)
С линейным рекуррентным соотношением C.1.11) мы
связываем характеристический полином
f (х) = хг — аххг~х — ... — аг.
C.1.16)
Без ограничения общности можно предположить, что
ат ф 0, так как если аг = 0, то рекуррентное соотноше-
соотношение будет порядка, меньшего чем г. Рассмотрим раз-
разложение f(x) на линейные множители:
f(х) = (х-щУ1 ... (х-as)es,
. + е, = г,
C.1.17)
где ац ..,, as — корни (возможно, комплексные) поли-
полинома f{x). Сравнивая f {х) из формулы C.1.16) и k(x)
из формулы C.1.12), мы видим, что
k (х) = х7 D-),
C.1.18)
и в соответствии с разложением C.1.17) для f(x) полу-
получаем разложение на множители для k(x):
k (x) = A - a^yi ... A - asx)es, e{ + е2 + ... + et = г.
C.1.19)
3*
36 Гл. 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения
Мы' 'можем рациональную функцию g (х) = С (x')fk {x)
выразить в виде суммы простых, дробей <¦ ? ¦ :
С\Х)
k=\
где bik - подходящие постоянные.
Таким образом, C.1.20) дает выражение произво-
производящей функции как суммы функций вида
-ахУк. C.1.21)
Разлагая выражение C,1.21) по формуле бинома, полу-
получаем, что
"
В этом выражении коэффициент при х" равен
Заметим, что
C.1.23)
C.1.24)
где Pi(n) — полином от «степени не выше ei~\, и что
любой полином Р{(п) может быть получен соответ-
соответствующим выбором постоянных р^. Таким образом,
C.1.20) можно записать в виде
ОО ОО .9
*(*Н 2 ия*п- 2 21 РЖ*», C.1.25)
и, сравнивая коэффициенты при хп, получаем, что
где степень Рг(д) не выше сс— 1.
.2. Комбинаторные задачи
37
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 3.1.1. Пусть последовательность ¦ м0, Mj,
«2, ...» «п> • • • удовлетворяет линейному рекуррентному
соотношению с постоянными коэффициентами
Un + r
Назовем f(x) = xr — alxr~]— ... — аг характеристическим
полиномом этого рекуррентного соотношения, и пусть
I (х) = (а- - а,)'1 ... {х- а/', ех + ег + ... + es = г,
— разложение j {x) на линейные множители. Тогда
для всех п, где Р,(д) — полином степени не выше et — 1
относительно п. Коэффициенты полинома Pi(n) опреде-
определяются начальными значениями и0, ии ..., иг^1 после-
последовательности {ип}.
3.2. Комбинаторные задачи
.: Рассмотрим комбинаторную задачу, решение которой
зависит от линейного рекуррентного соотношения. Пусть
щ, t^2,— число способов найти перестановку а^аг...Щ
чисел 1, 2, ..., t, такую, что для каждого i число аг
находится в г-м столбце таблицы:
1 2 ... f-3 t-2 t-l
1 2 3 ... t-2 t-l t
2 3 4 ... /-1 /
C.2.1)
Непосредственно находим, что и2—2, %==3, ы4==5.
Число. t должно быть использовано либо в t-u, либо
в (t — 1)-м столбце. Таким образом, имеем две воз-
возможности: . .
1 2 ... t-3 t-2 t
1 2 3 ... t-2 t
2 3 4 ... *-l
1
C.2.2)
38 Гл. 3, Производящие функции и рекуррентные соотношения
ИЛИ
1 2 ... <-3 t t-\
1 2 3 ... f-2
2 3 4 ...
C.2.3)
В обоих случаях выбранные числа выделены жирным
шрифтом. В C,2.2) мы исключили t из (t — 1)-го столбца,
так как оно не может быть там использовано. Так как
в C.2.3) t выбрано в (t — 1)-м столбце, то t — 1 мы должны
выбрать в t-м столбце и затем исключить t — 1 из [t — 2)-го
столбца. Число способов выбора в C.2.2) чисел 1,2, ...
. .., ?—1 равно «<_!, а число способов выбора в C.2.3)
равно щ_2- Следовательно, складывая их, получаем все
способы выбора в C.2.1):
Щ—Ut-x
C.2.4)
т. е. линейное рекуррентное соотношение второго по-
порядка для щ. Хотя эта задача не имеет смысла при
t = 0 или 1, значения ио = 1, и, = 1 согласуются с ре-
рекуррентным соотношением C,2.4), и мы имеем последова-
последовательность значений и0 = 1, и{ — 1, и2 = 2, щ = 3, ы4 = 5, ....
Характеристический полином для C.2.4) имеет вид
C.2.5)
где
f (х) ~ х2 - х - 1 = {х - щ) (х - а2),
. 1+/5" 1-/5
C.2.6)
По теореме 3.1.1 и из начальных значений легко
найти, что
Другая, более естественная, комбинаторная задача
также сводится к вычислению ut. Каково число zn,
п^З, перестановок аха2 ... а„ из 1, 2, ..., п, таких,
что at находится в i-м столбце следующей таблицы?
1 23,..п-3п-2п-1й
2 3 4 ... п-2 п-\ п 1
3 4 5 ... и - 1 п I 2
C.2.8)
3.2. Комбинаторные задачи
39
Множество всех таких перестановок может быть разбито
на подмножества в зависимости от номера столбца,
из которого выбирается п, и если это не (п — 1)-й столбец,
то также в зависимости от того, п — 1 или 1 выби-
выбираются в {п— 1)-м столбце. Выбор того или иного числа
обозначим в последних трех столбцах жирным шриф-
шрифтом, как показано ниже:
(а) п - 2 п - 1 п (Ь) п - 2 п - 1 п
п—\ п 1 п—1 п 1
п 12 ¦ п 12
C.2.9)
(с) я - 2 /г - 1 п (d) л — 2 л - 1 /i (е) л - 2 я — 1 л
ft — I п 1 п— 1 п 1 /г — 1 п 1
ft 1 2 и 1 2 я 1 2
Случай (а) оставляет единственную возможность выбора,
а именно верхней строки C.2.8), ибо 1 можно выбрать
лишь из первого столбца. После этого 2 остается только
во втором столбце, и аналогично мы вынуждены выби-
выбирать 3, 4, ..., я —2 в первой строке. В случае (Ь) нам
приходится выбирать из
2 3 ... я-3 я-
3 4 5 ... /i-l
C.2.10)
и число способов выбора равно к„_2. В случае (с) выбор
чисел производится из таблицы для ип-.х. В случае (d)
возможен лишь один выбор, а именно — третьей строки
C.2.8), так как п — 1 можно выбрать лишь из {п — 3)-го
столбца; аналогично ft-2, п — 3, ..., 2 должны быть
. выбраны в третьей строке. В случае (е) выбор чисел
производится из таблицы для ы„._2. Следовательно,
общее число zn искомых перестановок для C.2.8) за-
задается формулой
C.2.11)
40 Гл. 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения
где, как и прежде,
а, =
1 + /5
1-/5
Число и п. беспорядков из 1,2, ..., п, вычисленное
В B.1.6),. также может быть найдено посредством рекур-
рекуррентной формулы. Рассмотрим перестановку (беспорядок)
1 2 ... п \
C.2.12)
Если «! = /, то рассмотрим частичную перестановку
'2 ... j ...n \
а>
а.
C.2.13)
Здесь надо рассмотреть два случая. Первый — переста-
перестановки с а{ф:\, второй —с а; = 1. Эти случаи в сово-
совокупности являются исчерпывающими и взаимно исклю-
исключают друг друга, В первом случае имеем перестановку
/2 ... i ... j ... п
\а2 ... 1 ... а,- ... aj'
которую можно связать с беспорядком из 2, ...,«:
2 ...г.../' ... п
а2 ... j ... а/ ... а
C.2.14)
C.2.15)
Обратно, каждый беспорядок из 2, .... п вида C.2.15)
приводит к п— 1 беспорядкам из 1, 2 п первого
рода, если в качестве j брать поочередно 2, ..., п.
Во втором случае, с ау = 1, частичная перестановка C.2.13)
принимает вид
2 I -"Л C.2.16,
1 ... ап/
Если мы исключим столбец ( . 1, то останется беспоря-
беспорядок из 2 /- I, /+ 1, .... п; обратно, для каждого
/ = 2, ..., п такие беспорядки из п — 2 чисел приводят
к беспорядкам из 1, .... п второго типа. Тем самым
.2У Комбинаторные 'задачи
41
приходим к рекуррентному соотношению
и„ = (л- 1)и„_, +{п- 1)мЛ_2. C.2.17)
Легко можно проверить, что это соотношение дает те же
самые числа, что и формула B.1.6).
Последовательность ххх2 ... хп может быть получена
при помощи бинарного неассоциативного произведения
несколькими способами. Чему равно это число спосо-
способов и„? Для п — 3, 4 существуют следуЕощие возмож-
возможности:
х{{х2х3), (Х|ДГ2)*з;
), хх {(х,х3) х4\
C.2.18)
{х1(х2х3))х4, ((xlx2)xi)xi.
Таким образом, и3 = 2, щ — 5. Мы имеем также и2 = 1 и
условимся считать их = 1. Последовательность х{х2 ... хп
получается в конечном счете как произведение некоторой
композиции из первых г символов на некоторую компо-
композицию из последних п — r символов для какого-либо г:
(л-, ... xr){xr+l ... хп). Первые г символов могут быть
скомбинированы иг способами (условие и] ~ 1 здесь как
раз подходит), а последние п — г символов ип-г спосо-
способами. Таким образом,
2+ . ..+и„_1И„ л>2. C.2.19)
Запишем производящую функцию f(x) в виде
f (х) = щх + и2х2 + ... + ипхп + ... ( C.2.20)
оставив в стороне вопрос о сходимости. Рекуррентное
соотношение C.2.19) формально эквивалентно соотно-
соотношению
(f(x)Y=-x + f(x). C.2.21)
Заметим, что и, = 1 и что рекуррентное соотношение C.2.19)
выполняется только для п ^2; это учтено членом — х
в"прав6й части C.2.21). Решая C.2.21) как квадратное
уравнение относительно f (x), получаем, что
_ у 1 „
C.2.22)
?
42 Гл. 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения
Здесь мы берем знак минус, так как ряд для f(x) не
имеет постоянного члена. Разложим правую часть C.2.22)
в ряд по степеням х и найдем коэффициент vn при хп:
. C.2.23)
п\
Это выражение"упрощается так!
C.2.24)
Заметим теперь, что ряд для функции f (х), заданной
формулой C.2.22), сходится при \x\<-j , и для этих
значений выполнено равенство C.2.21), а следовательно,
имеет место рекуррентное соотношение C.2.19) (с vn
вместо «„). Но так как u]t = vx=\.) то un=vn для всех
п~^\ и, таким образом,
B")! C.2.25)
иг
п\{п-\)\
для всех п ^2. Заметим, что доказать сходимость ряда
C.2.20), используя только соотношение C.2.19), чрезвы-
чрезвычайно сложно.
Задачи
1. Числа в последовательности щ, ии.,., «„,...,
где мо=1, и{ — 2 и ип+2 = ип+1 + ип, называются числами
Фибоначчи. Показать, что всякое положительное целое
число N имеет единственное представление
где at = 0 или 1 и aiai+l = 0, i^\.
2. Числа s (и, г) и 5 (п, г), называемые числами Стер-
Стерлинга первого и второго рода соответственно, опреде-
определяются соотношениями
п
(х)п = х(х — 1) ... (х — п4- 1) = 2 s{п, г)хт, п>0,
г=0
Задачи
43
r=0
Здесь мы принимаем х° = (хH = 1. Показать, что
2 5 (п, г) s (r, m) = 6ят,
где б„т — дельта Кронекера, 6„„ = 1, Ьпт = 0, если пфт.
Вывести отсюда, что одно из двух соотношений
ап = 2 ^ (п, г) Ьп п=1, 2
(a)
(b)
r
_ "V
г
а„ « = 1, 2, ....
влечет за собой другое.
3. Применить соотношение {х)т+1 — (х — т) (х)т к дока-
доказательству рекуррентных соотношений для чисел Стир-
линга первого и второго рода:
s (п + 1, г) = s (п, г — 1) — ns (п, г),
п
4. Пусть Рп — 2 ip)r — общее число перестановок из п
различных элементов.
(а) Показать, что Рп удовлетворяет рекуррентному
соотношению
(b) Показать, что Рп = n'^j~ и чт0 Для «
число Pft есть ближайшее целое к п\ е.
(c) Показать, что jj Рп ~^[ = ех1(\ — х)-
П=0
5. Производящая функция Дирихле A(s) для после-
последовательности чисел аи а2, ... — это формальный ряд
п-1
44 Гл. 3. Производящие функции и. рекуррентные соотношения
W
Пусть
определим сумму
ГЛАВА
Ьп
я = 1
где сп= ап+ Ьп, и произведение
V
vn = 2j
(а) Доказать, что так определенное произведение
коммутативно и ассоциативно.
"(Ъ) Показать, что если /j = l, 0 = »2 = /3 = •••> т0 РЯА
/(s) определяет единицу относительно этого умножения.
(с) Показать, что при ах ф 0 для ряда A (s) имеется
обратный ряд B{s), удовлетворяющий равенству
A{s)B(s)=I{s).
6. Определим дзета-функцию
п-1
Показать, что ряд, обратный к ?(s), представляется
в виде
где \i(n) — функция Мёбиуса, определенная в B.1.10).
Если an=g(n), bn = ]{n) для всех п и В (s) = И (s) ? (s),
то A(s)=B(s)^(sr'. Показать, что это соответствует
формуле обращения Мёбиуса (теорема 2.1.1).
Разбиения
4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства
Разбиением целого , положительного числа п назы-
называется представление п в виде суммы целых положи-
положительных чисел
xk,
k. D.1.1)
Легко найти число упорядоченных разбиений п на k
частей: это будет число способов, которыми можно раз-
разместить k — 1 черточек в п — 1 промежутках между п
. _ . }. Если число частей k не
фиксировать, то черточку а каждом из промежутков
можно как поместить, так и не поместить, и общее
число упорядоченных разбиений равно 2п~1.
Теория неупорядоченных разбиений значительно
сложнее и ставит ряд интересных проблем. Обозначим
через Pk{n) число (неупорядоченных) разбиений п на k
частей. Неупорядоченное разбиение п на k частей можно
представить в стандартной форме, выписывая части
в убывающем порядке. Таким образом, pfe(n)~ это число
решений в целых положительных х{ уравнения
«=х,4-а;2+ ... +xk, A',^A'2^-.,. ^xk^l. D.1.2)
Нетрудно подсчитать Pk{n) для всех п при малых зна-
значениях k, но с возрастанием k вычисления становятся
все более утомительными. Согласно уравнению D.1.2),
мы имеем
„ - k = (.v, - 1) + (.v, - 1) + ... + (jffe - 1), D.1.3)
x2^...^A;fe> {.. Положив yt — x,,— 1, i=\, ..., k,
где X|>
получим
+yk,
. DЛ.4)
46
Гл. 4 Разбиения
Однако если ys>0, a r/5+1= ... = уь = О, то формула D.1.4)
дает разбиение п — k на s частей. Таким образом, число
решений уравнения D.1.4) равно числу разбиений п~ k
на самое большее k частей; другими словами, это число
равно Pk{n — k) + Pk-\{n — k) + ... +pl{n — k). Сравни-
Сравнивая D.1.4) с D.1.2), получаем, что
Pk W =
-k). D.1.5)
Это рекуррентное соотношение определяет pk (n) при
начальных условиях Pfe(«)=0 для n<k и pk(k)=\,
так как единственный способ представить k в виде
суммы k положительных целых чисел — это записать его
в виде суммы k единиц. Мы можем использовать D.1.5)
для построения таблицы значений Pk{n), как это сделано
в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Значения рft («)
1
2
3
4
5
6
7
l
1
0
0
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
0
0
3
1
1
1
0
0
0
0
4
1
2
1
1
0
0
0
5
1
2
2
1
1
0
0
6
1
3
3
2
1
1
0
7
1
3
4
3
2
1
1
Мы можем также использовать рекуррентное соотно-
соотношение D.1.5) для вычисления Рь{п) при малых значе-
значениях k и любом п. Очевидно, р\{п)= 1 для всех ra^sl.
Записав теперь
Р2{п) = р2(п - 2) + Р[ {п-2) = р2{п - 2) + 1,
находим, что р2(п) = п/2 для четных п и р2 (п) = (п — 1 )/2
для нечетных п, поскольку р2{1) = 0 и р2B)=1; р3{п)
можно выразить в виде полинома второй степени отно-
относительно п, коэффициенты которого зависят от класса
4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства 47
вычетов п по модулю 6. Получаем следующие значе-
значения Pk(n) для k= 1, 2, 3:
Рз («) =
D.1.6)
12
гс=0 (mod 2),
я=1 (mod 2);
п==0 (mod 6),
n==l (mod 6),
n = 2 (mod 6),
д^З (mod 6),
rc~4 (mod 6),
n==5 (mod 6).
Без особого труда можно показать, что число pk (n)
является полиномом степени k—l, старший член кото-
которого равен nk~ll{k — \)\k\, и что коэффициенты Pk{n)
зависят от класса вычетов п по mod й!. При k= 1, 2, 3
это верно по D.1.6). Применим индукцию по k. Если
«s==n0(modfe!), iiOn — k^n0 — k (mod/г!) и в равенствеD.1.5)
каждое слагаемое суммы pk^x{n — k) + ... + р}(п — k)
есть полином от а, а вся сумма есть полином со стар-
старшим членом nk~2l(k — 2)! (k — 1)!. Но тогда
пг
12
/i2
12
nr
"HF
n?
12
л2
12
1
12
1
3
*
+ T
1
1
I
12
Pk
pk(n~k) =
где i?ji_3 («) — полином от п степени не выше k — 3. Точно
так же получаем, что
рк (п - ik) -pk(n-{i+\)k)= (k_2"l(k_l}l + Ri~3 (n)
D.1.8)
48
для г~ 1, 2,ч .., (fe-^ 1I-^1. Суммируя, приходим «^ра-
«^равенству ¦ •¦"-.¦• ¦:¦'.-.¦'..; *¦ .. ' ¦./ ¦-...¦• .•¦•¦¦. . , ¦¦ ;-,-
Pk (и) - Pk (п ~ k\)« (fe"_ 2),'+ Sfc-э (tf), D.1.9)
где Sfe-3{tt) — некоторый полином, от п степени не выше,
k — 3. Уравнение D.1.9) определяет теперь все значения
Pk{n) с й==по(ггюсШ) через наименьшее значение р*.(п0).
Нетрудно, однако, заметить, что решение D.1.9) имеет
ВИД . . ; ; ¦
n~ ) D.1.10)
где Rk-o (n) ~~ полином от п степени не выше k — 2. Та-
Таким образом, формула D.1.10) доказана по индукции.
Вспомним теперь, что число упорядоченных разбие-
нии /г на /г частей равно I . —полиному степениr —I
относительно п со старшим членом п lj(k — l)\. Если fe
частей различны, то каждое неупорядоченное разбиение
дает k\ упорядоченных разбиений. Полином A//г!)( " . )
от п имеет степень k— 1, и его старший член равен
nk~ll{k — \)\k\; сравнение с D.1.10) показывает, что для
больших п в-большинстве (в некотором смысле) раз-
разбиений п на k частей все k частей различны.
С разбиением числа п мы можем связать некоторую
диаграмму, изображая каждую часть строкой из соот-
соответствующего количества точек и помещая в верхнюю
строку наибольшую часть, а затем остальные части
в порядке убывания. Таким образом, разбиение 15 ~
= 5 + 5 + 3 + 2 мы представляем следующей диаграм-
диаграммой:
Начала всех строк образуют, как показано, один столбец.
Диаграмму можно читать также по столбцам, и тогда!
разбиение имеет вид 15 = 4 + 4 + 3 + 2 + 2. Два разбие-
разбиения, связанные таким образом, называются сопряжен-
сопряженными. Очевидно, отношение сопряженности симметрично.
4.). Раа&иения. Тож$еств?ь а: арифметические свойства
49,
Теорема 4.1.Ь Число разбиений целого числап.
на k частей равно числу разбиений п ни части, наиболь^
шая из которых есть k.
Доказательство. Сопряженное разбиение для
разбиения с k частями есть разбиение, наибольшая
часть которого равна k, и обратно.
Мы обратимся теперь ко всевозможным разбиениям п,
обозначив их число через р (п). Если расположить
части в убывающем порядке, то, поскольку существует
не более п частей, получаем, что р(п) есть число реше-
решений в целых числах уравнения
П = .V] + Х2
Хп, .V,
Хп
0.
D.1.11)
Мы можем также описать разбиение п числом yk час-
частей величины /г F=1, 2, ..., /г). Тогда р (п) есть также
число решений в целых числах уравнения
л= l//i + 2y2+ ... +пуп, z/i>0, i=l, .... п. D.1.12)
Теорема 4.1.2. Производящая функция для р{п),
f(x)=l+p(i)x + p{2)x2+ ... + p{n)xtl+ ....
имеет вид
/><*) = П.о-*'г'.
Доказательство. Запишем разложение A —
- х') ~1 = 1 + х1 + х%[ + ... + хн + Каждое пред-
представление п вида D.1.12) дает член хп в произведении
OQ
/>(*) = II О-JO"'.
если взять х!у1 из сомножителя A — х*)~1ш, обратно: каж-
каждое х11 в разложении Р (х) получается таким способом.
Следовательно,
4 М. Холл
60
Гл. 4 Разбиения
если принять р@)=1. Разбиения
1 = 1, 4 = 4, 5 = 5,
2 = 2, 4 = 3+1, 5 = 4+1,
2=1-1-1, 4 = 2 + 2, 5 = 3 + 2,
3 = 3, 4 = 2+1 + 1, 5 = 3+1 + 1,
3-2+1, 4=1 + 1 + 1 + 1, 5 = 2 + 2 + 1,
3=1 + 1 + 1, 5-2 + 1 + 1 + 1,
5=1+1+1+1+1
D.1.13)
непосредственно дают нам значения
рA) = 1, рB) = 2, рC) = 3, рD) = 5, />E) = 7. D.1.14)
со
Функция <р (л;) = П A — х1), обратная к Р(х), является
1
производящей функцией коэффициентов сп ряда
П
D.1.15)
где crt" имеет комбинаторную интерпретацию
сп = рч(п)-Ри(п), D.1.16)
рч(п) — число разбиений п на четное число различных
частей, р„{п)~ число разбиений п на нечетное число
различных частей. Эту интерпретацию можно исполь-
использовать для вычисления сп.
Теорема 4.1.3 (тождество Эйлера). Справедливо
тождество
По -*'")= i + 2 (-1)*
i й1
Доказательство. Приводимое доказательство
принадлежит Франклину [1]. Оно использует комбина-
комбинаторную природу коэффициента сю которая отражается
равенством D,1.16). Возьмем диаграмму, представляю-
представляющую разбиение п на неравные части в порядке убыва-
убывания величины. Назовем самую нижнюю строку основа-
основанием Ь этой диаграммы. Из С, крайней справа точки
верхней строки, проведем через точки нашей диаграммы
насколько возможно длинную прямую с угловым коэф-
коэффициентом 1; может случиться, разумеется, что она будет
4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства 51
содержать только одну точку. Эту линию назовем на-
наклонной s:
• • *
* •
• у С
А В
В приводимой диаграмме основание Ь есть линия АВ,
a CDE — наклонная s. Будем пользоваться буквами b
и s также для обозначения числа точек в основании
и наклонной соответственно. Например, 6 = 2, s = 3
означает, что Ь содержит две, a s—три точки.
Определим теперь две операции на диаграммах и
обозначим их через а и |3:
1) а. Если К^и если основание и наклонная не
имеют общей точки, то перемещаем основание,
присоединяя его точки к первым строкам, чтобы
образовать новую наклонную. Если основание и
наклонная пересекаются и b^s—l, эта опера-
операция все еще возможна.
2) р. Если b>s, то перемещаем наклонную и рас-
рассматриваем ее в качестве нового основания. Это воз-
возможно, если основание и наклонная не пере-
пересекаются. Если основание и наклонная пере-
пересекаются, то это все еще возможно при b ^ s + 2.
Так как для а требуется 6<s, a для р требуется
b>s, то к произвольной диаграмме D можно применить
самое большее одну из операций а, р. Далее, легко
проверить, что если операция а допустима, то, применяя а
к D, мы получим диаграмму D', для которой допустима
операция р, и применение р к D' дает D. Аналогично
если р можно применить к D, чтобы получить D"', то а
можно применить к D", чтобы получить D. Таким об-
образом, эти операции устанавливают взаимно однознач-
однозначное соответствие между разбиениями на четное число
различных частей и разбиениями на нечетное число
различных частей во всех случаях, когда эти операции
применимы. Если 6^s, то а нельзя применить только
тогда, когда основание и наклонная пересекаются и
52
Гл. 4 Разбиения
4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства
b = s = k. В этом случав:разбиение, имеет вид
п = k + F 4- 1) + ... Н- B/е — 1) = ^~^~. D.1.17)
Если 6>s, § нельзя применить только тогда, когда
основание и наклонная пересекаются и b— I — s — к.
Здесь разбиение имеет вид
, n = (k + \) + (k + 2) + ... -Ь 2/г = —Ц^~ . D.1.18)
Таким образом, рч{п) — рп(п) и сп — 0, если только п
не имеет,вида C&2 ±. k)/2; в случае n = Ck2 ± k)/2 су-
существует одно разбиение на k частей, заданное либо
формулой D.1.17), либр формулой D.1.18), и его вкла-
вкладом в сп является (— \)к; следовательно, с„ = (— l)fe для
п ~ Ck2 ± k)/2. Таким образом, мы показали, что
О, если n?^Ck2 ± /г)/2,
(A I I ^
"
(-l)
Значит, коэффициенты сл в D.1.15) вычисляются по
D.1.19), и теорема 4.1.3 доказана.
Теоремы 4.1.2 и 4.1.3 дают тождество
D.1.20)
если учесть, что р @) = 1. Это тождество можно исполь-
использовать для получения рекуррентного соотношения р(п),
вычисляя коэффициент при хп, п^ 1, в левой части
D.1.20) и полагая его равным нулю. Тогда получится
Р (п) = Р («¦ — О + Р {п ~ 2) - р (п — 5) - р {п — 7) + ...
....+ (-!)*-> п-
3fe2 - k
2
D.1.21)
причем все аргументы в правой части неотрицательны
и учитывается условие р@)—1. Этим способом можно
вычислить значения р (п), как показано в табл. 4.2.
. Теорему 4.1.3 и другие результаты можно вывести
из некоторого более общего тождества.
[¦ .¦''.¦ t
Таблица 4.2
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
5
7
11
15
22
30
42
56
77
101
135
176
231
297
385
490
627
792
1002
1255
1575
1958
п
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
43
47
48
49
50
' Значения
РКП)
2 436
ЗОЮ
3718
А 565
5 604
6 842
8 349
10 143
12310
14 883
17 977
21 637
2оО]5
31 185
37 338
44 583
53 174
63 261
75 175
89 134
105 558
124 754
147 273
173 525
204 226
/1
51
52
53
5\
55
55
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Pin)
р ('»>
239943
.281 589
329 931
386 155
451 276
526 823
614 154
715 220
831 820
966 467
1 121 505
1 300 15!i
1 505 49Э
1 741 630
2012558
2 323 520
2 679 689
3 087 735
3 554 345
4 087 968
4 697 205
5 392 783
6 185 Ш
7 089 500
8118264
п
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
85
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
р (п)
9 289 091
10 619 863
12 132 164
13 848 650
15 796 476
18 004 327
20 506 255
23 338 469
26 543 660
30 167 357
34 262 91,2
38 887 673
44 108 109
49 995 925
56 634 173
64 112 359
72 533 807
82 010 177
92 669 720
104 651 419
118 114 304
133 230 930
150 198 136
169 229 875
190 569 292
Теорема 4.1.4 (тождество Гаусса — Якоби). Сле-
Следующее тождество справедливо при всех г^0 и всех
qc \q\ < 1:
. D.1.22)
54
Гл. 4. Разбиения
Доказательство. Запишем
l_^«-iz2) (l-^-ijj-aj, D.1.23)
Непосредственно проверяется, что
<?(qz)(-qz2 + q2n) = q>(z)(l - q2n+W). D.1.24)
Справедливо также равенство
Ф (z) = А - Ai <z2 + z-2) + Л2(г4 + z^) Л- ...
... +(-\)nAn(z2n + z-2n), DЛ.25)
где At — полиномы от q и
Aii^qi+3+...+2n-i^qn\ D.1.26)
Подставляя D.1.25) в D.1.24) и приравнивая коэф-
коэффициенты при z~2k+2, получаем
Ак = А.,
D.1.27)
Из D.1.26) и D.1.27) находим Л*:
2n
П 0
4га
~ d?2*) X
X
эта величина при «->оо стремится к
; D-1.28)
D.1.29)
Из D.1.28) получаем, что
- Q
2"
где
2
k——n
определяется равенством
In
An
П
l D.1.30)
D.1.31)
4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства
55
Для любого k limfife=l. Переходя к пределу, уста-
П -> оо
навливаем справедливость теоремы.
Из тождества Гаусса — Якоби без труда получается
теорема 4.1.3, если заменить q, z на q3!l, qi/l соответст-
соответственно:
ПО- qsk) (i - язк~]) A - ягк~2) = 2 (- 1)^3'гЧ*)/2;
D.1.32)
это иная запись тождества теоремы 4.1.3. Выведем еще
одну формулу Якоби.
Теорема 4.1.5 (тождество Якоби). Справедливо
тооюдество
П0-/K = 1 + 2(-1)*B? + 1)
D.1.33)
fe=l
Доказательство. Хотя произведение в левой
части можно связать с разбиениями на части, ни одна
из которых не может быть использована более трех раз,
никакое комбинаторное доказательство этого тожде-
тождества автору не известно.
В формуле D.1.22) заменим q, z на q!\ q4<+e соот-
соответственно и возьмем е сколь угодно малым. Тогда
получим
со
П A - qk) A - qk+2e) (I - qk~l-2€) =
2 (-l)V/2+2sV!/2- D.1.34)
-oc<fe< + oo
Множитель A — q~2e) в левой части можно записать
в виде
1 _e-2eiog<j= { _(i _2elog<7+ ...) = 2e\ogq+ ...,
D.1.35)
где последующие члены содержат более высокие сте-
степени е. Аналогично для члена из правой части
42eft = 1 + Bfe log ?) е + ..., D.1.36)
56
¦ ¦ Г Л- 4 Разбиения
где снова последующие члены содержат более высокие
степени е. .В сумме . !
fe (k2m D.1.37)
члены, не содержащие е, обращаются в нуль, так как
слагаемые с k = r и & = — г — I сокращаются, и формула
D.1.34) принимает вид
оо оо
Belogqr+ ...) ДA -qk)(\ -^f2e)II(l -^-'-*) =
(- l)k {2кг log q+ .. ,)q№+M. D.1.38)
Если мы теперь разделим на 2e\ogq и затем устре-
устремим е к нулю, то получим равенство
u'+«ra D.1.39)
что и доказывает формулу Якоби.
Рамануджан, индийский гений-самоучка, „открытый"
Харди, впервые подметил некоторые любопытные ариф-
арифметические свойства числа разбиений р(п). Это
D.1.40 а)
D.1.40Ь)
D.1.40с)
Мы докажем первые два из них, как это было сделано
Рамануджаном, используя тождества Эйлера и Якоби.
Б'силу этих тождеств
р G т + 5)^0 (mod 7),
q{(\
Запишем это в таком виде:
Г S
у )
D.1.41)
r-s), D.1.42)
4.1. Разбиения. Тождества U арифметические свойства
57
где
E(r, s) =
D-1.43)
и г пробегает значения от — 'со до + сю, в то время
как s изменяется от 0 до оо. Пусть E(r, s) кратно 5.
Отсюда вытекает, что
2 (г + IJ + Bs + 'If = SE{r, s) - Юг2 - 5 D.1.44)
также кратно 5. Hq
2(r+lJs=0, 2, 3(mod5), Bs + lJ = 0, 1, 4(mod 5). D.1.45)
Следовательно, E(r, s)^0(mod5) только тогда, когда
r+ L = 2s+ 1 H=0(mod5). D.1.46)
Поэтому в формуле D.1.42) показатель Е{г, s) кратен 5
лишь тогда, когда коэффициент 2s + 1 также кратен 5.
Значит, в
коэффициент при q5m+5 кратен 5. В биномиальном раз-
разложении A — #)~5 все коэффициенты делятся на 5 за
исключением коэффициентов при степенях 1; qa, q10, ...,
которые сравнимы с 1 по mod 5. Мы выразим это так:
.e i_(mod5),
или
^ = 1 (mod 5),
D.1.47)
D.1.48)
где сравнения означают, что все коэффициенты полино-
полиномов сравнимы по mod 5. Следовательно, коэффициент
при q° в
кратен 5, а значит, и коэффициент при *75w+5 в
- q) [I - q*y..,
D.1.50)
58
Гл. 4. Разбиения
кратен 5; но он совпадает с р E/л + 4). Этим доказано
D.1.40а). Точно так же мы можем использовать квадрат
тождества Якоби, чтобы доказать D.1.40Ь). Никакого
столь же простого доказательства формулы D.1.40с) не
известно ]).
Производящая функция Р (х) = 2j Р (я) хп связана
л=1
с арифметикой еще и другим способом; а именно она
связана с функцией а (п) делителей числа «, определяемой
равенством
о (п) =
Пусть
2
v-1
— производящая функция. Тогда
2
D.1.51)
D.1.52)
D.1.53)
Если взять теперь производную от D.1,53) по х и умно-
умножить результат на х, то получим равенство
хР' (х)
Р(х)
kxk
k-\
— x
k '
D.1.54)
Из разложения по степеням х k-то члена в правой
части видно, что его вклад в коэффициент при каждой
степени хтк равен к. Следовательно, коэффициент при хп
в правой части есть о(п), сумма всех делителей числа п.
Таким образом,
хР'(х)
х '
D.1.55)
п=\
') Элементарное доказательство сравнения D.1.40 с) получено
недавно Винквистом (Winquist L., /. of combinatorial theory, 6
A969), № 1, 56-59). - Прим. ред.
4.2. Асимптотические свойства р(п)
59
4.2. Асимптотические свойства p (п)
Если мы зададим себе вопрос о том, как велико р(п)
для больших значений п, то столкнемся с задачей, от-
относящейся по существу к аналитической теории чисел.
И хотя эта тема выходит тем самым за рамки настоя-
настоящей книги, полученные результаты столь привлека-
привлекательны, что мы вкратце их изложим.
Функция делителей а(п) обладает весьма нерегу-
нерегулярным ростом, однако ее среднее значение достаточно
гладко растет. Если мы определим s{n) посредством
равенства
s(rt)=2or(fe), D.2.1)
ft=i
то несложный подсчет показывает, что
D-2-2>
где-[я] означает наибольшее целое, не превосходящее х.
Так как ряд
h2
D.2.3)
сходится и имеет суммой л2/6, то мы можем получить
довольно хорошую оценку s (n), а именно
12 2
Так как
flogn-f <s(«)<^ + flog* + ?. D.2.4)
A -*)"' 2* («)*"= 2 s(n)xn, D.2.5)
п=-\ я=1
то мы можем представить равенство D.1.55) в виде
оо
*йг = A - х) 2 s (п) х\ D.2.6)
60
Гл. 4. Разбиения
С помощью довольно элементарных вычислений мы
можем, используя в D.2.6) оценку D.2.4) для sin), вы-
вывести, что асимптотически
logр(п)~ А Уп, А=лу J-, D.2.7)!'
где fin)~gin) означает, что
с fin) ,
hm ¦ , = 1.
rt-*oo S\n)
Вывод формулы D.2.7) из D.2.4) и D.2.6) - процесс
весьма длительный, и мы его здесь не приводим, по-
поскольку результат получается довольно слабый. В дей-
действительности асимптотическое значение pin) дается
выражением
Р(«)~ т-7Г7ГеАУп- D.2.8)
Ряд Р{х) сходится в единичном круге и имеет
ничную окружность границей круга сходимости.
теореме Кош и имеем
По
где С — контур, включающий начало координат. Хардм
и Рамануджан [1] изучали асимптотическое значение
р (ft), используя D.2.9) и некоторые функциональные ра-
раВ '
венства. В частности, если комплексные числа я,
л/|<1 связаны соотношением
с 1*
или
то имеет место тождество
D.2.10)
L ехР
х
"
log(l/x)
Р (*0-
Если х действительно и. близко к 1, то %' чрезвычайно
мало и Р{х') практически равно 1, так что D.2,11)
эффективно выражает Р{х) через элементарные функции.
Существуют аналогичные формулы, связанные с корнями
Асимптотические свойства р(п)
61
из: единицы;' так что 'если- к"находится' вблйяй'^-р;^ =¦;
= ехрBш {plq)) для взаимно простых1 р ri q, 'то' мы 'Мб-1'
жем с большой точностью аппроксимировать Я (а1) эле-*'1
меятарными функциями.
( Взяв в качеств^ С в формуле D;2.9) окружность
радиуса I — 1/п и подставив. D.2.1.1)-В. D.2.9), заменив :
при
этом Р{хг) на 1 [с ошибкой порядка ен^п, где
И < А = я 1/ j I, Хардн и Рамануджан вывели формулу
где
>п.— "у п ~
D.2.13)
Символ О в D.2.12) — частный случай общего обозна-
обозначения f (п) = О (g {n)), означающего, что существует
такая постоянная К, что
lim sup
Оценка D.2.12) заключает в себе D.2.8), но является
гораздо более точной.
Формула D.2.12) может быть значительно улучшена.
Когда х приближается к xp<q по радиусу, Р(*) ведет,
себя, в грубом приближении, подобно ехр{я2/6д2A — | а: |)}.
Таким образом, в интеграле D.2.9) „рациональные осо-
особенности" xp>q являются наиболее весомыми особенно-
особенностями, и следует ожидать, что их значения в интеграле
D.2,9) будут перевешивать остальное. Это привело Харди
и Рамануджана к поискам формулы вида
р(«) = Р,(/г) + Р2(я)+ ... +PQ{n) + R(n), D.2,14)
где Р(in) — доминирующий' член в D.2.12), Pq(n) для
q = 2, ..., Q устроены одинаково и в Pq (n) собраны
значения вблизи рациональных точек со знаменателем^/,
a R (п) — остаточный член. Так как Мак-Магон вычислил
р(п) для значений п вплоть до 200, представлялось
62
Гл. 4. Разбиения
естественным проверить формулы для п = 200. К своему
удивлению Харди и Рамануджан нашли, что восемь
членов их формулы дают р B00) с ошибкой всего лишь
0,004. Таким образом, численный анализ Мак-Магона,
как назвали бы мы его теперь, стимулировал дальнейшее
развитие теории Харди и Рамануджана, и они сумели
показать существование таких постоянных а, М, что
р(п)=
где
R{n)\<Mn-\
D.2.15)
D.2.16)
Таким образом, была получена формула, которая
точно описывала бы р(п), если только а и М были бы
найдены. Пытаясь упростить методы Харди и Рама-
Рамануджана, Радемахер [1], сделав незначительные изме-
изменения, нашел сходящийся ряд для р (п). Положив
— Inpm
D.2.18)
где wp,q — некоторый корень 24-й степени из единицы,
Радемахер доказал, что
и что остаток после Q членов меньше, чем
*?.), D.2.20)
где С и D — постоянные, для которых он нашел точные
значения. Для Q порядка Уп этот результат аналогичен
D.2.15) и D.2.16). Но в одном важном отношении ре-
результат Радемахера лучше, ибо, как было показано
Лемером [1], бесконечные ряды Харди и Рамануджана
не сходятся.
w
Задачи
Задачи
63
1. Вычислить р A01), р A02), р A03), р A04) и р A05).
Проверить эти значения, используя сравнения D.1.40).
2. Показать, что р*(п)—р(п) —р(п—\) для п^1
есть число разбиений п на части, большие единицы.
Опираясь на свойства р* (п.), показать, что р (п + 2) —
- 2р (п + 1) + р (п) > 0 при п > 0.
3. Доказать, что число разбиений любого положи-
положительного целого числа п на различные части равно числу
разбиений п на нечетные части, показав, что
^..(iw)...(i_j3);(i_j2,_,u/
4. Доказать посредством комбинаторных рассужде-
рассуждений, что
^ 1-х2 ^ A -x2)
5, Показать, что
-x2n
x2n)
для всех
и
для всех «^1 и k^\. Указать в явном виде такую
функцию f2(n, k), что Pfe(nXf2(n, k) для всех п^\.
й>1 и при фиксированном k отношение f2{n, k)/fl (n, k)
стремится к 1, когда п
оо,
6. Выразить рА{п) через полиномы от п, коэффициенты
которых зависят от класса вычетов п по модулю 12.
ГЛАВА
.Системы различных
представителей
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига
Следующая задача является типичной для этвй
главы. Даны пять множеств:
5, = {1,2, 3},
52 ={1,2, 4},
53 = {1,2,5K
54 = {3, 4, 5, 6},
55 = {3, 4, 5, 6},
E.1.1)
требуется выбрать такие различные числа хх, х2, х3, х4, х*,
что ,t,- б 5,-, / = 1, ..., 5. Одним из способов выбора
является хх = 1, А'2=2, х3=5, хА=*д>> .v5 = 4. Но если
взять множества
Г. = {1,2},
E.1.2)
{3, 4, 5, 6},
{3, 4, 5, 6},
то такой выбор оказывается невозможным, так как
нельзя выбрать три различных числа из множеств Т{,
У\, Тя, содержащих лишь два числа: I и 2. Возникает
вопрос: при каких условиях подмножества Sit i=\, ..., п,
множества S обладают различными представителями хи
i= 1, ..., я, т. е. jijSSj и #j # л:/, если i ф ft Заме-
Заметим, что не требуется, чтобы $t и 5/ с / ф j были раз-
различными подмножествами множества 5. Как видно из
E.1.2), очевидное необходимое условие для существова-
существования различных представителей состоит в том, чтобы
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига
65
в совокупности всех элементов произвольных k мно-
множеств St содержалось не менее k различных элементов.
Мы будем, когда это удобно, систему различных пред-
представителей обозначать сокращенно с. р. п. Примечате-
Примечателен тот факт (доказанный впервые Ф. Холлом [1]
в 1935 г.), что это очевидное необходимое условие
для существования различных представителей является
также достаточным.
Теорема 5.1.1 (Филипп Холл). Пусть I — конечное
множество индексов, / = {1, 2, ..., п), и Si для каждого
i е / — подмножество некоторого множества S. Необхо-
Необходимым и достаточным условием существования различ-
различных представителей д:,-, /= 1, ..., п, xt e Sh xt ф х,- при
i Ф j, является условие С: для каждого k=l, . . ., п и
каждой последовательности k различных индексов
г*!, ..., ik в совокупности всех элементов подмножеств
S/ , ..., S,- содержится не менее k различных элементов.
Доказательство. Мы уже выяснили необходи-
необходимость условия С для существования различных пред-
представителей, и теперь надо доказать его достаточность.
Заметим, что если каждое S{ содержит единственный
элемент xt, то выполнение условия С означает, что
Л',, ..., хп различны и, значит, являются различными
представителями. Нашей основной операцией будет такое
вычеркивание некоторых элементов из некоторых под-
подмножеств 5;, что для получающихся в результате под-
подмножеств S; ? 5Ь /—1, ..., п, условие С все еще вы-
выполняется. Если после ряда вычеркиваний, каждое из
которых сохраняет условие С, остаются множества Sh
содержащие каждое по единственному элементу xh то
Л',, ..., хп будут различными представителями, и наша
теорема будет доказана.
В качестве первого тривиального вычеркивания, кото-
которое не нарушает условия С, мы можем удалить из ка-
каждого множества 5^, содержащего более п элементов,
все, кроме п элементов. Назовем множество г подмно-
подмножеств Si , ..., 5,- блоком и обозначим его через Br, s,
где s — число различных элементов в подмножествах
5 М. Холл
66
Гл. 5. Системы различных представителей
Si{, ..., Str. Тогда условие С эквивалентно утвержде-
утверждению, что s^r для любого блока Br.s. Если s = r, то
такой блок Вг>г назовем критическим блоком. Усло-
Условимся рассматривать пустой блок как критический
блок B0i0. Мы можем определить также объединение
и пересечение блоков. Предположим, что Л,, ..., Ат
Ст+1, ..., Сг — подмножества S; в блоке Br<s и что
Л,, ..., Ат, Dm+U ..., Dt — подмножества в блоке Bt, VJ
где А{, ..., Ат — все подмножества, общие для обоих
блоков (напомним, что подмножества S{, Sj различаются
своими индексами, а не элементами, которые они со-
содержат). Тогда определим пересечение Br>s[]BiiV как
блок BUtW, подмножествами которого являются А{, ..., Ат,
а объединение Br, S\J Bt, v — как блок, подмножествами
которого являются Ah ..., Ат, Ст + Ь ..., Cr, Dm+{, ..., Dt;
это будет блок BlJtZ с у = г -f t — и.
Лемма 5.1.1. Если условие С выполнено, то объе-
объединение Br, r[]Biit и пересечение Br, r{\Bftl критических
блоков — снова критические блоки.
Доказательство. Пусть Bf<r(]Bitt = Btuv и
Br.rU Btti = Ву>г; число z элементов объединения равно
числу r + t элементов в Вгг и Bitt, уменьшенному на
число элементов, содержащихся в обоих блоках, кото-
которое не меньше числа v элементов пересечения. Таким
образом, z^r -\-1 — v. По услсвию С имеем также, что
v%u и z^y. Так как у + и^= г + t, то
г + t ~ v^z^у = г + t — и^г + t — v.
Следовательно, всюду имеем равенство, и z — y, u = v.
Лемма доказана.
Лемма 5.1.2. Если Bk, k — критический блок, то вы-
вычеркивание элементов Bfe>fe из мноокеств, не принадле-
принадлежащих Bk, ft, не нарушает условия С.
Доказательство. Пусть ВГг8 — произвольный
блок. Нужно показать, что если {Br. SY = B'r, S' — блок,
полученный после вычеркивания, то s'^r. Пусть
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёниеа
67
Br,s0Bklk = BUiV, BftBs\Jk,k^ By.z и BTtS состоит из
множеств Аи .,., Ат, Ст+и ..., Сп a Z?ferfe —из мно-
множеств Л„ ..., Лт> Dm+l, ..., Dk, где Аи ..., Лт-все
множества, общие для обоих блоков. Тогда В1и „ состоит
из Аь ..., Ат, a BytZ — u3
После вычеркивания получим блок (Вг,«)' = В'г>sf, состоя-
состоящий из
Но так как Ст+1, ..., СТ входят в By<z, то они в сово-
совокупности содержат z — k элементов, не содержащихся
в Bkik. Таким образом, s'=f + 2 — k, так как в Вг,$'
входят элементы пересечения BUiV вместе с z — k эле-
элементами из Ст+и ..., С'. Поскольку y = r + k — u и
z^y, v^u, то
s' = v + z —
— k = r.
Таким образом, s'^r, т. е. и после вычеркивания усло-
условие С все еще выполняется.
Докажем теперь нашу теорему, используя индукцию
по числу п множеств, поскольку теорема тривиальна
при /г=1. Предположим сначала, что в системе под-
подмножеств U = {Si,..., Sn} имеется критический блок Bkik,
не совпадающий со всей системой, т. е. l^.k<n. Вы-
Вычеркнув, если необходимо, элементы Bkik из остальных
множеств, можем считать, что U состоит из Bkik и
блока Bn-k, v> которые не имеют общих элементов. По
лемме 5.1.2 условие С не нарушается и по индукции
Bk, k и Bn-k,v имеют оба с. р. п., а так как они не пере*
секаются, то в совокупности дают с. р. п. для U. Пред-
Предположим далее, что в системе U = {SU ..., Sn} нет кри-
критического блока, кроме, быть может, всей системы. Вы-
Выберем тогда произвольный элемент какого-нибудь мно-
множества в качестве, его представителя и вычеркнем этот
элемент из всех остальных множеств. При этом блок Br, s
с г<п становится блоком В' ,, где §' ~s или s— 1. Но
f i о
f.8
Гл. 5. Системы различных представителей
по предположению блок Вп , не был критическим и зна-
значит s^r+l, следовательно, s'^r, и условие С вы^-
полняется для системы из п — 1 остальных множеств;
таким образом, по индукции они имеют с. р. п., которая
вместе с выбранным выше представителем одного мно-
множества образует с. р. п. для всей системы. Тем самым
доказательство теоремы завершено.
Следствие теоремы 5.1.1. Если п множеств
5h ..., Sn имеют с. р. п. и если наименьшее из этих
множеств содержит t элементов, то при t^n суще-
существует не меньше, чем t (t — \) ... (t — n+l) различ-
различных с. р. п., а при t <п существует не меньше, чем tl
различных с. р. п.
Это следствие получается при более тщательном рас-
рассмотрении доказательства. Должно существовать хотя
бы одно множество, в котором в качестве представителя
можно выбрать любой элемент, ибо если нет критиче-
критических блоков, это справедливо для любого множества, но
если критические блоки имеются, то это верно для не-
некоторого множества в минимальном критическом блоке.
Множество, которое может иметь в качестве предста-
представителя любой свой элемент, обозначим через S,. Выбор
представителя в S, можно осуществить не менее чем t
способами. Вычеркнем теперь элемент, выбранный в ка-
качестве представителя для Sb из S2, ..., Sn и получим
множества S'2, ..., S^, которые обладают с. р. п. и
в которых наименьшее множество содержит не меньше,
чем / — 1 элементов. Продолжая дальше таким же об-
образом, мы можем получить не меньше, чем t(t — 1) .. .
. .. {t—n+l) с. р. п., если t^n, и не меньше чем tl
с. р. п., если t <п.
Предыдущее доказательство не является первоначаль-
первоначальным доказательством Ф. Холла, а принадлежит автору.
Его можно использовать, чтобы распространить теорему
5.1.1 на тот случай, когда система U содержит беско-
бесконечно много множеств Sh каждое из которых конечно.
Если мы имеем бесконечно много множеств, среди ко-
которых могут быть бесконечные множества, то не ясно',
какое условие гарантирует существование с. р. п. На-
Например, если мы имеем систему из множеств So'==
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига
= {1, 2, 3, .. .} и St = {t\, i — 1, 2, .. ., то эта система не
имеете, р. п., так как представители для Sh г= 1, 2, . . .,
выбираются однозначно и не остается ни одного эле*
мента, который представлял бы только 50. Однако для
любого k, конечного или бесконечного, любые k из дан-
данных выше множеств содержат среди своих элементов
не менее k различных. Таким образом, требование конеч-
конечности для множеств в следующей теореме не является
излишним.
Теорема 5.1.2. Пусть для каждого i из системы
индексов I задано конечное подмножество 5,- множества S.
Система U = {S,}, te/, имеет систему различных пред-
представителей тогда и только тогда, когда выполняется сле-
следующее условие С: для каждого конечного k и любого
выбора k различных индексов ix, i2, ..., 4 в совокуп-
совокупности всех элементов подмножеств 5,- , St , ..., St- име-
ется не менее k различных элементов.
Доказательство. Мы можем ввести частичное
упорядочение для вычеркиваний, полагая D{ ^ D2 для
вычеркиваний ?>, и D2, если каждый элемент, вычерк-
вычеркнутый из некоторого множества по D{, вычеркнут и
по D2. Нас интересуют вычеркивания, которые не нару-
нарушают условия С. Если все вычеркивания D{^ D2?.. .
. .. Di <= . .. в возрастающей цепи не нарушают усло-
условия С, то пусть D обозначает вычеркивание, которое
состоит в том, что элемент Ъ вычеркивается из множе-
множества 5, если только это происходит при каком-нибудь Dt
из возрастающей цепи. Тогда мы утверждаем, что D
также не нарушает условия С, ибо для любого блока BftS
из U (поскольку и г и s конечны) лишь конечное число
вычеркиваний в цепи действует на Br,s, и, значит, суще-
существует последнее вычеркивание Dn, действующее на него.
Но при Dn блок (ВГ sy = B'r s, по предположению еще
удовлетворяет условию С: s'^r. Следовательно, D не
нарушает условия С. По лемме Цорна для всех вычер-
вычеркиваний, не нарушающих условия С, тогда существует
максимальное такое вычеркивание D. Мы покажем, что
если произвести это вычеркивание D, то в каждом мно-
множестве Sft остается единственный элемент, и эти элементы
70
Гл. 5. Системы различных представителей
образуют, следовательно, с. р. п. для исходной си-
системы U.
Действительно, если существует некоторый элемент аь
не принадлежащий никакому критическому блоку, то
вычеркнем а{ из каждого множества Sh содержащего а{.
При таком вычеркивании блок Br s заменяется на B'r s,,
где s' — s, если ах не является элементом какого-нибудь
множества из Bns> и s' = s—l, если ах — элемент мно-
множества из BTtS. Но в последнем случае, по предполо-
предположению, s>r, следовательно, s'^ s — 1 ^г, и условие С
выполняется после такого вычеркивания. К любому
критическому блоку Bft>fe применима лемма 5.1.2 и если
вычеркнуть элементы Bktk из всех остальных множеств,
то условие С не нарушится1). По теореме 5.1.1 крити-
критический блок Bki k, будучи конечным, при выполнении
условия С обладает с. р. п. Если теперь в Bkik выбрать
с. р. п. и затем вычеркнуть в каждом множестве из Bki ^
все элементы, кроме выбранного представителя, то усло-
условие С во всей системе U не нарушится. Поэтому после
вычеркивания D каждый элемент находится в крити-
критическом блоке, и в любом критическом блоке каждое
множество состоит только из одного элемента.
Таким образом, для максимального вычеркивания D,
не нарушающего условия С, каждое множество Sr. со-
состоит из единственного элемента, и эти элементы обра-
образуют с. р. п. для системы U. Доказательство теоремы
завершено.
Если даны п подмножеств Su ..., Sn множества S,
то проверка для них справедливости условия С, вообще
говоря, практически невозможна, так как она сводится
к рассмотрению 2^—1 подмножеств. Мы дадим алго-
алгоритм, который не требует предварительных проверок и
либо заканчивается нахождением искомой системы раз-
различных представлений, либо дает k множеств, которые
не содержат среди своих элементов k различных.
Выберем произвольный элемент а{ из S\ и, пока воз-
возможно, будем выбирать элементы а-ь из Sh отличающиеся
') Поэтому (ввиду максимальности D) пи одно из подмножеств,
входящих в ./??, ft, не имеет общих элементов ни с одним из подмно-
подмножеств, не входящих в В^, и- ~ Прим. ред.
5,1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига
71
от ранее выбранных аи..., «,-„,. Если этот процесс
может быть продолжен вплоть до Sn, то получим с. р. п.
Этого не произойдет, если мы дойдем до множества Sf,
все элементы Ьи ..., 6/ которого были использованы
в качестве представителей. Образуем теперь список Ти
выписывая подряд Ьь ..., bt. Второй список, Тъ будет
состоять из Г,, за которым следуют элементы множе-
множества S(bi), имеющего представителем Ь(, не принадле-
принадлежащие Г,; обозначим их через bt+u ..., bs. Это допол-
дополнительное множество элементов может, разумеется,
оказаться и пустым. Вообще если построен список Tt,
то мы образуем список Ti+U помещая за Т{ элементы
(которые еще не были выписаны) множества 5 (&<), име-
имеющего представителем bt. Если на некотором шаге мы
выписываем элемент Ьи, который не был использован
в качестве представителя, то Ьи не находится в списке 7\,
но находится в некотором списке TUi+u будучи включен
туда в качестве элемента из S {bU2), не содержащегося
в TUl< Здесь и2<и, и если Ьи, не находится в Т[, то bUl
находится в множестве S (bUs) с щ<.и2. Далее,
) и Ьи^Т{.
Таким образом, мы можем использовать Ьи в каче-
качестве представителя S(bu^, и вообще bUl в качестве
представителя SF«.+]), освобождая bUs для представ-
представления Sr. У нас по-прежнему есть различные предста-
представители для S[t ..., Sr_u но теперь имеется также пред-
представитель и для Sr. Повторное применение этой про-
процедуры может дать полную с. р. п. Однако описанным
методом действовать невозможно, если мы приходим
к конечному списку Тт с элементами Ьь ..., bk~h где
каждый элемент bt был использован в качестве пред-
представителя множества SF(), /=1, ..., k—l, и все эле-
элементы этих множеств включены в список. Но тогда эти
k—l множеств вместе с Sr, для которого не найден
представитель, образуют систему из k множеств, и так
как они в совокупности содержат лишь k — 1 различ-
различных элементов, то условие С нарушается. Этот алго-
алгоритм можно без труда запрограммировать на электрон-
электронно-вычислительных машинах.
72
Гл. 5. Системы различных представителей
Из этого алгоритма вытекает следующий факт, не
являющийся очевидным следствием теоремы 5.1.1.
Теорема 5.1.3. Пусть U = {Sh..., Sh..., Sn} -
упорядоченная совокупность подмножеств множества S.
Если Sh .. ., Sr имеют различных представителей аь ...
. . ., аг и если U имеет с. р. п., то U имеет с. р. п., со-
содержащую а{ . . ., ап хотя и не обязательно в качестве
представителей Su ..., Sr
Заметим, что в E.1.1) в качестве представителей
S1( S2, S3 можно взять 3, 4, 5, но в с. р. п. они не мо-
могут быть все представителями именно этих множеств.
Теорема Кёнига [1] о матрицах по существу эквива-
эквивалентна теореме Ф. Холла. Воспользуемся термином „ли-
„линия" для обозначения либо строки, либо столбца в ма-
матрице.
Теорема 5.1.4(Кёниг). Если прямоугольная матрица
составлена из нулей и единиц, то минимальное число
линий, которые содержат все единицы, равно макси-
максимальному числу единиц, которые могут быть выбраны,
так, чтобы никакие две из них не лежали на одной и
той же линии.
Доказательство. Пусть А = (а{1) есть (п X t)~
матрица из нулей и единиц. Пусть m — минимальное
число линий, содержащих все единицы, а М — макси-
максимальное число единиц, из которых никакие две не ле-
лежат на одной и той же линии. Тогда, очевидно, m ^ М.
Мы можем воспользоваться теоремой Ф. Холла, чтобы
доказать обратное неравенство М^пг. Предположим,
что минимальное покрытие т линиями состоит из г
строк и s столбцов, где r + s = m. Мы можем переста-
переставить строки и столбцы так, чтобы указанные линии
были первыми г строками и первыми s столбцами со-
соответственно, так как перестановки строк и столбцов,
очевидно, не влияют на значения Мит. Первым строкам
Ri, ..., Rf сопоставим множества S,, 52, ..., Sr, где
множество S[, i= I, . .., г, состоит из тех значений /', для
которых пц= 1, a j>s. Другими словами, S{ есть мно-
множество индексов столбцов (исключая первые s столбцов),
на пересечении которых с г-й строкой находятся единицы.
5,1. Теоремы Ф, Холла и Д. Кёнига
7:5
Мы утверждаем, что множества S^ удовлетворяют
условию С, ибо если какие-либо k из этих множеств
содержат не более k — 1 элементов, то соответствую-
соответствующие k строк можно заменить не более чем к — 1 столб-
столбцами так, чтобы все единицы содержались в этом но-
новом наборе строк и столбцов. Но ввиду минимальности т
это невозможно. Следовательно, множества St удовлет-
удовлетворяют условию С, и по теореме Ф. Холла они имеют г
различных представителей, т. е. таких единиц в первых г
строках, что никакие две из них не лежат на одной н
той же линии и ни одна не лежит в первых s столбцах.
Рассуждая аналогично, мы можем выбрать s единиц
в первых s столбцах, из которых никакие две не ле-
лежат на одной и той же линии и ни одна не находится
в первых г строках. Тем самым мы нашли т = г + s
единиц с тем свойством, что никакие две из них не ле-
лежат на одной линии. Следовательно, М^т. Учитывая
ранее полученное неравенство т ^ /VI, заключаем, что
т — М, и теорема доказана.
Обратно, легко вывести теорему Ф. Холла из теоремы
Кёнига. Если даны множества S,, ..., Sn с элементами
хи ..,, хт, то образуем матрицу А={аи), где аИ^\,
если Xj находится в 5г-, и аи = 0 в противном случае.
Если единицы в А содержатся в каких-либо г строках
и s столбцах и r + s<n, то в k = n — r строках, не вхо-
входящих в число покрывающих строк, единицы имеются
только в s <n — r = k столбцах, и для этих k множеств
условие С нарушается. Но если минимальное покрытие
линиями содержит r + s--=n линий, то по теореме Ко-
нига имеется п единиц, из которых никакие две не ле-
лежат на одной линии, и соответствующие этим единицам
элементы образуют с. р. п. для 5,, ..., 5„.
Теорию различных представителей можно примените
к изучению латинских прямоугольников и латинских,
квадратов. Назовем таблицу
a{, . . . aUl
a22 . . . аы
ari . . . arn
E.1.3)
7-1
Гл. 5. Системы различных представителей
латинским (г X п)-прямоугольником, если каждая строка
есть некоторая перестановка чисел 1,2, ..., п и в каждом
столбце ни одно число не повторяется. В общем случае
г<п; если г=/г, то такая таблица называется латинским
квадратом и каждое число 1,2, ..., п появляется точно
один раз в каждой строке и каждом столбце. Возникает
естественный вопрос: если г < п, то можно ли добавить еще
одну строку к табл. E.1.3), чтобы подучить латинский
({г + 1) X я)-прямоугольник, и если можно, то сколькими
способами? Если имеется только одна строка, то про-
проблема о числе способов добавления второй строки есть
задача о беспорядках, и мы уже видели, что это число
есть целое, ближайшее к п\/е. Если есть две строки
1 2 3 ... п- 1 п
2 3 4... „ 1, <5Л-4>
то число способов добавления третьей строки — это „за-
„задача о супружеских парах", рассмотренная в гл. 2, и
оно приближенно равно п\/е2. Эрдёшем и Капланским [1]
было показано, что если г мало в сравнении с п, в ча-
частности если r<vn, то число способов добавления
строки приближенно равно n\jer. Следующая теорема
дает нижнюю границу для всех значений г, которая
почти наверняка занижена при г^.п — 3.
Теорема 5.1.5. Число способов добавления строки
к латинскому (г X п)-прямоугольнику, дающих в резуль-
результате латинский ((г + 1) X п)-прямоугольник, не меньше
(п-г)\.
Доказательство. Пусть Sh i = 1, ..., п, — мно-
множество чисел, которые не появляются в 1-м столбце
данного латинского (г X л)-прямоугольника R. Тогда
с. р. п. множеств S; можно добавить к R в качестве
строки, чтобы получить латинский ((г + 1) X ^-прямо-
^-прямоугольник, так как она будет содержать числа от 1 до п
и ни одно из них не будет повторением какого-либо
числа в соответствующем столбце. Обратно, строка,
которая может быть добавлена к R для получения ла-
латинского ((г + 1) X я)-прямоугольника, будет с. р. п. для
множеств St,
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига
75
Задача состоит теперь в том, чтобы показать, что
множества St имеют с. р. п., и найти число возможных
с. р. п. Множество 5г состоит из п — г чисел, не содер-
содержащихся в i-u столбце R. Каждое число 1, 2, ,.., п
появляется г раз в R и, следовательно, п — r раз в мно-
множествах S], ..., Sn, взятых вместе. Набор k из этих
множеств 5],..., 5Г будет содержать k(n — r) чисел
с учетом кратностей. Но так как ни одно из этих чисел
не появляется более чем и — г раз, то среди элементов
этих k множеств должно быть не менее k различных
чисел. Следовательно, условие С удовлетворяется. Так
как каждое из множеств St содержит п — г элементов,
то по следствию теоремы 5.1.1 существует не меньше
(п — г)\ с. р. п., и теорема доказана.
Следующим приложением теоремы о различных пред-
представителях служит
Теорема 5.1.6 (об общих представителях). Если
некоторое множество S представлено как сумма конеч-
конечного числа п подмножеств двумя способами
S = Al + A2+ ... +Ап=В1+В2+ ... +Вп
и если никакие k из множеств А{ не содержатся в менее
чем k множествах Bj для каждого k~\, 2, ..., п, то
существуют элементы хь ..., хп, которые являются одно-
одновременно представителями и для Аь и для Bj.
Доказательство. Для каждого At определим
множество St как множество всех таких индексов /, что
пересечение Аг[\В} не пусто. Условие теоремы есть как
раз условие С для множеств SL. Если ju /2, ..., /„—
различные представители для множеств Sh то выберем
элемент xt в пересечении Aif}Bj.. Тогда хи ..., хл
являются одновременно представителями и Ah и В,-,
Условие теоремы тривиальным образом необходимо; как
только что показано, оно также достаточно для суще-
существования общих представителей. Очевидно, что это
условие фактически симметрично относительно Аь и Bj,
Заметим, что эта теорема справедлива и при беско-
бесконечном п, если только подмножества конечны, так как
тогда применима теорема 5.1.2.
¦ff
76
Гл. 5. Системы различных представителей
Эта теорема имеет интересное приложение в теории
групп.
Теорема 5.1.7. Если Н — конечная подгруппа
группы G, то существует множество элементов, которые
.являются общими представителями для правых смежных
классов по И и левых смежных классов по И.
Доказательство. И правые xLH, и левые Hyt
смежные классы имеют одинаковое число элементов,
равное числу элементов в подгруппе Н. Поэтому усло-
условие теоремы 5.1.6 тривиальным образом выполняется,
и отсюда следует утверждение теоремы 5.1.7. Общие
представители правых и левых смежных классов суще-
существуют и при некоторых других условиях на подгруппу.
Эта проблема довольно подробно была исследована
Оре 11].
Теорема 5.1.8. В бесконечномерном векторном
пространстве любые два базиса имеют одинаковую мощ-
мощность.
Доказательство. Пусть xh i e /, и yt, j es /, —
два базиса векторного пространства V над полем F.
Если каждое xt выразить как линейную комбинацию
элементов yh то получим множество Sh состоящее из г/;-,
связанных с a'j, а именно тех у-, которые в выраже-
выражение х{ через ijj входят с ненулевым коэффициентом.
Множества Sh /e/, конечны и должны удовлетворять
условию С, так как если бы в какой-либо совокуп-
совокупности k множеств St содержалось меньше чем k у;-, то
соответствующие х; были бы линейно зависимы. Следо-
Следовательно, мы можем выбрать различные yt из мно-
множеств Sh и тогда мощность множества / не меньше
мощности множества /. Точно так же мощность / не
меньше, чем мощность У, и, значит, эти мощности со-
совпадают.
Теорему о различных представителях можно приме-
применить для получения сведений о матрицах. Следующая
теорема является важным примером такого приме-
применения.
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Ке'нига
77
Теорема 5.1.9. Пусть А = (аИ), г = 1, .... п, \ —
— 1,..., п, — (пХ п)-матрица, где ац — неотрицательные
действительные числа, такие, что каждая строка и каж-
каждый столбец имеют одну и ту же сумму. Тогда А пред-
представляется суммой матриц перестановки, умноженных
на неотрицательные числа.
Доказательство. Матрица перестановки Р — это
квадратная матрица из нулей и единиц с единственной
единицей в каждой строке и в каждом столбце. Нам
надо доказать, что если А = {ац), где
j=t, /=
п,
п,
аи>0,
1 -1
то
= и1Р
1Р1
... +usPs,
где Ри Р2, ..., Р5—матрицы перестановки. Будем до-
доказывать зто индукцией по числу w ненулезых элемен-
элементов в А. Если А ф 0, то w^sn, и если w = n, то легко
видеть, что А = IP, где Р — матрица перестановки. Для
каждого /=1, ..., п обозначим через St множество
таких индексов /, что ац > 0. Мы утверждаем, что мно-
множества St удовлетворяют условию С. Действительно,
если предположить, что какие-либо k множеств Sh взя-
взятые вместе, содержат не более k — 1 индексов /, то по-
положительные числа в соответствующих k строках лежат
не более чем в k — 1 столбцах. Если мы сложим эти
числа по строкам, то получим kt, в то время как сумма
по столбцам не превысит (k— \)t. Это противоречие по-
показывает, что условие С должно выполняться. Далее,
пусть/,, .. .,/„ — различные представители для S,, ..., Sn.
Это означает, что ац1 >0 для t = l, ..., п, и так как
/и ..., ]п различны, они представляют собой переста-
перестановку чисел 1, ..., п. Поэтому матрица Pl = {cii), где
Сц. = 1, сц = 0 при / ф /j, — матрица перестановки. Если
ui — минимум ац., i = 1, ..., п, то Ау — A ~~ulPi — ма-
матрица с неотрицательными элементами, в которой
78
Гл. 5. Системы различных представителей
каждая строка и каждый столбец имеют сумму t ~ их.
Далее, согласно выбору ии в Л, меньше ненулевых эле-
элементов, чем в А, и по индукции существуют матрицы
перестановки Р2, ..., Ps и неотрицательные числа и2, ..., иЗЛ
такие, что А1 = и2Р2 + ••¦ +usPs; следовательно, А —
= ulPi + u2P2 + ¦•¦ +usPs, что и требовалось доказать.
Это завершает доказательство теоремы.
Задачи
1. Взяв столбцы следующих таблиц в качестве мно-
множеств, показать, что существует соответственно 31 и
24 с. р. п.:
1234567 1234567
2345671 2345671
3456712 4567123
2. Множества Su S2, ..., Sn содержат соответственно
2, 3, ..., n-i-l элементов. Показать, что существует
не менее 2" с. р. п. Указать примеры таких множеств,
для которых существует точно 2п с. р. п.
3. Пусть Su .... Stl — это п множеств, имеющих с. р. п.
Предположим, что аь ..., аь t < п, - с. р. п. для 5,,.. ., St.
Доказать, что S}, ..., Sn имеют с. р. п., включающую
элементы аи ..., at, но не обязательно в качестве пред-
представителей множеств 5|( .. ., St. Дать пример множеств
Su ..., Sn и элементов аи ..., at, которые предста-
представляют Si, ..., 5^, но не могут быть представителями
Su .,., St ни в какой с. р. п. для Su .... 5„.
4. Пусть А есть (п X я)-матрица из неотрицательных
действительных чисел, такая, что каждая строка и ка-
каждый столбец имеют одну и ту же сумму. Доказать,
что А может быть представлена суммой не более чем
п1 — 2п + 2 матриц перестановки, умноженных на неот-
неотрицательные числа. (В действительности это наилучшая
возможная граница.)
ГЛАВА
6
Теорема Рамсея
6.1. Формулировка и доказательство теоремы
Пусть имеется шесть точек, связанных попарно ду-
дугами, окрашенными в красный или голубой цвет. До-
Докажем, что существуют три точки, такие, что дуги
образуемого ими треугольника окрашены в один и тот же
цвет. Мы можем показать это следующим образом.
Возьмем какую-нибудь точку Ро и рассмотрим пять дуг,
соединяющих Ро с остальными пятью точками. Три из
этих дуг должны быть одного и того же цвета (напри-
(например, красного), обозначим их через Р$Р\, Po^2, Ро^з-
Если какая-нибудь из дуг Р{Р2, Р[Р3 или Р2Р3 красная,
то эта дуга вместе с двумя дугами, соединяющими
ее концы с Ро, образует красный треугольник. В про-
противном случае все три дуги PiP2, P\P$ и Р2Р3 голубые,
и тогда Р1Р2Р3 — голубой треугольник. Это есть решение
поставленной задачи, и легко видеть, что шесть — ми-
минимальное число точек, гарантирующее наличие тре-
треугольника одного цвета. Следующий перечень дает при-
пример множества из пяти точек, соединенных попарно
красными или голубыми дугами так, что при этом не
образуется треугольника одного цвета:
Р,Р2~ красная, Р2Р4 — красная,
Р{Р3 - красная, Р2Р5 — голубая,
PiP4- голубая, Р3Р4 - голубая,
PiP5-голубая, Р3Р5-красная,
Р2Р3 - голубая, Р4Р5-красная.
Как сама проблема, так и ее решение, данное выше,
допускают значительное обобщение. Обобщение, данное
здесь, известно как теорема Рамсея.
Теорема 6.1.1 (теорема Рамсея [1]). Пусть
S —множество, содержащее N элементов, и Т — семейство
80
Гл. 6, Теорема Рамсея
всех подмножеств множества S, содержащих в точ-
точности г элементов. Разобьем Т на два {не пересекаю-
пересекающихся) семейства а и р\ Пусть р, q, r — целые числа,
p^r, q^r, r^\. Тогда существует такое минимальное
число п (р, q, г), зависящее только от р, q, r и не зави-
зависящее от множества S, что если N^ п(р, q, r), то либо
существует подмножество А из р элементов, все г-под-
г-подмножества которого находятся в семействе а, либо суще-
существует подмножество В из q элементов, все г-подмно-
жества которого находятся в семействе |3.
Доказательство. Заметим, что задача, решен-
решенная выше, показывает, что п{3, 3,2) не превосходит 6>
а приведенный пример показывает, что /гC, 3, 2) больше 5.
Таким образом, /гC, 3, 2) = 6.
Переходим теперь к доказательству теоремы. Вос-
Воспользуемся методом полной индукции относительно р, q, r,
предполагая теорему справедливой для г — 1 и любых зна-
значений р" ^ г — 1, q' 5^ г — 1, а также для г и троек р', q, r,
где р'<р, и троек р, q'', г, где q'<q. Нужно вычислить
начальные значения n(p,q,\), n{r,q,r) и п{р,г,г).
Нетрудно заметить, что п(р, q, l) = p + q—l. Действи-
Действительно, если N ^ р 4- q — 1 и а содержит не более р — 1
элементов, то fj содержит не менее N — (р — l)^ q эле-
элементов, т. е. п (р, q, 1) ^ р + q — 1. Если же N ^ р + q — 2,
то мы можем взять такое разбиение, что а состоит не
более чем из р— 1 элементов, а (З — не более чем из q — I
элементов, и утверждение теоремы не выполняется.
Покажем далее, что п(г, q, r) = q. Действительно, пусть
N^q. Если а не пусто, то любое r-подмножество из а
дает утверждение теоремы. Если же а пусто, то все
г-подмножества содержатся в |3 и, следовательно, утвер-
утверждение теоремы опять справедливо. При N<q, если
все r-подмножества отнести к fJ, то утверждение теоремы
не верно. Точно так же п (р, г, г)~р. Обозначим теперь
р, =п{р— 1, q, r), q] =(p, q- I, r). Мы утверждаем, что
п(р, q, г)<п(р„ qu г - 1)+ 1.
Пусть S — множество из N ^ п(рь qu г — 1) + 1 эле-
элементов. Выберем в 5 некоторый элемент а0, и пусть
S'= S — а0. Разобьем совокупность всех (г — ^-подмно-
^-подмножеств множества S' на два семейства а' и р' следующим
6.2. Одно приложение теоремы Рамсея
образом: будем считать, что (г — 1)-подмножество при-
принадлежит семейству а', если оно вместе с а0 образует
r-подмножество из семейства а; (г — 1)-подмножество
принадлежит семейству (}', если оно вместе с а0 образует
r-подмножество из семейства р. Так как S' имеет не
меньше n{py,q{, r— 1) элементов, то по индукции 5'
содержит либо множество из р{ элементов, все (г— I)-
подмножества которого принадлежат а', либо множество
из qi элементов, все (г — 1)-подмножества которого при-
принадлежат $'. Поскольку pl = n(p — I, q, r), то в первом
случае, если множество из рх элементов содержит под-
подмножество из q элементов, все r-подмножества которого
принадлежат C, то эти q элементов удовлетворяют
нашему требованию. В противном случае это множество
из Pi элементов содержит подмножество из р — 1 элемен-
элементов, все r-подмпожества которого принадлежат а, и это
(р — 1)-подмножество, взятое вместе с а0, образует р-под-
множество в S, все r-подмножества которого принад-
принадлежат а; снова наше требование удовлетворено. Анало-
Аналогичное рассуждение применяем и тогда, когда S'
содержит множество из qx =n(p, q— I, r) элементов, все
(г — 1)-подмножества которого принадлежат $'. Таким
образом, мы показали, что п(р, q, r)^n{pu qu r —\)+ I
с p{ = n(p—l, q, r), q{ — n(p, q—\, r), и теорема доказана.
6.2. Одно приложение теоремы Рамсея
Как приложение теоремы Рамсея, Эрдёш и Секереш [I]
получили следующий результат:
Теорема 6.2.1. Для данного целого числа п суще-
существует целое число N — N (я), такое, что любые N точек
в плоскости, из которых никакие три не лежат на одной
прямой, содержат п точек, образующих выпуклый
п-угольник.
Доказательство. Более подробно выпуклые тела
мы будем изучать в гл. 8. Тело называется выпуклым,
если любой прямолинейный отрезок, соединяющий две
его точки, лежит целиком внутри тела. Выпуклой обо-
оболочкой какого-либо множества точек называется наи-
наименьшее выпуклое тело, содержащее все эти- точки. Для
6 М. Холл
82
Гл. 6- Теорема Рамсея
конечного множества точек в плоскости, не все из кото-
которых находятся на одной прямой, выпуклой оболочкой
является многоугольник, содержащий все эти точки
либо на своей границе, либо внутри себя.
Лемма 6.2.1. Из пяти точек в плоскости, никакие
три из которых не лежат на одной прямой, четыре
являются вершинами выпуклого четырех угольника.
Доказательство. Если выпуклая оболочка для
пяти точек есть четырехугольник или пятиугольник, то
лемма очевидна. Если выпуклая оболочка — треуголь-
треугольник ABC, а две другие точки D, Е находятся внутри
него, то продолжение отрезка DE пересечет две из сто-
сторон треугольника и не пересечет третьей, например ВС.
Тогда точки В, С, D, Е образуют вершины выпуклого
четырехугольника.
Лемма 6.2.2. Если все четырехугольники, образо-
образованные из п точек, никакие три из которых не лежат
на одной прямой, выпуклы, то эти п точек являются
вершинами выпуклого п-угольника.
Доказательство. Утверждение тривиально для
п = 4, и мы проведем доказательство индукцией по п.
Предположим, что п>5и что все четырехугольники,
образованные из Л]( ..., Ап, выпуклы. Тогда по пред-
предположению индукции точки Аи ..., Л„_[ являются вер-
вершинами выпуклого (п~ 1)-угольника Сп-Х, и мы можем
предположить, что его вершины упорядочены вдоль
периметра. Пусть сначала Ап лежит внутри Сп-\>
Тогда Ап должна находиться внутри одного из треуголь-
треугольников AiA2A3, ЛИ3Л4, ..., А^Ащ, ..., AtAn-zAn-i.
Если Ап находится внутри треугольника Л^Л^,
то четыре точки А{, Аи Ai+U An не образуют выпуклый
четырехугольник, что противоречит предположению.
(Заметим, что, поскольку никакие три точки не лежат
на одной прямой, Л„ не может лежать на стороне
какого-либо из этих треугольников.) Следовательно, Л„
должна лежать вне многоугольника Сп-Х. Соединим Л„
с каждой из точек А{, ..., Л„_1 отрезками. Так как А^
лежит вне Сп~ь существуют две экстремальные прямые
Задачи
83
(скажем, AnAt и AnAj), образующие угол, который за-
заключает внутри себя выпуклый многоугольник Сп-Х.
Если А[ и Л/ — не последовательные вершины, то тре-
треугольник AnAtAj будет содержать еще одну точку Ak
внутри себя, так что четыре точки Ап, At> A-s, Л& не
будут образовывать выпуклый четырехугольник; но это
противоречит предположению. Следовательно, Л(- и
Л/— последовательные вершины, и, помещая Ап между
ними, получаем выпуклый ^-угольник. Лемма доказана.
После установления этих геометрических лемм тео-
теорема 6.2.1 следует почти непосредственно из теоремы
Рамсея, примененной к множеству из N точек в пло-
плоскости, из которых никакие три не лежат на одной
прямой, и разбиению четырехугольников на семейство а
выпуклых четырехугольников и семейство р вогнутых
четырехугольников. В этом случае теорема Рамсея
утверждает, что если N^N(n, 5, 4), то существует либо
л-угольник, все четырехугольники которого выпуклы,
либо пятиугольник, все четырехугольники которого вог-
вогнуты. По лемме 6.2.1 последнее невозможно, и, значит,
выполняется первое. Таким образом, по лемме 6.2.2
эти п точек образуют вершины выпуклого п-угольника,
и теорема доказана.
Задачи
1. Дано шесть точек, соединенных попарно либо
голубой, либо красной дугой. Назовем треугольник
хроматическим, если три его дуги одного и того же
цвета. Показать, что существует не менее двух хрома-
хроматических треугольников.
2. Используя результат задачи 1, показать, что если
имеется семь точек, соединенных попарно голубой или
красной дугой, то существует не менее трех хроматиче-
хроматических треугольников.
3. Доказать, что n(k, m, 2) = n(m, k, 2), если m^2,
4. Доказать для
п (k, m, 2)^
: ^ 2, т ^ 2, что
' /г + т - 2 \ fk + m-2'
k-l j[ m-\ .
81
Гл. 6. Теорема Рамсея
5. Сформулировать п доказать естественное обобще-
обобщение теоремы Рамсея для множества S, /"-подмножества
которого разбиты на т (попарно не пересекающихся)
семейств щ, а2, ..., ат.
6. Доказать, что п(Ъ, 4, 2)<9, где а —красный цвет,
а р —голубой. Показать, что это утверждение справед-
справедливо, если в некоторой вершине имеется четыре красные
дуги или шесть голубых. Показать, что такая ситуация,
при которой в каждой вершине имеется три красных
и пять голубых дуг, невозможна ввиду нечетности
чисел 3, 5 и 9.
7. Доказать, что п C, 4, 2) > 8, и, значит, пC, 4, 2) = 9,
беря в качестве вершин вычеты по модулю 8: 0, 1, ..., 7
и окрашивая дугу, соединяющую i и / в зависимости
толькоотразности/ — /(mod8). Заметим, что цвет, соответ-
соответствующий d = / —/ и — d ss j — it должен быть одинаков.
8. Показать, что п D, 4, 2)> 17, беря в качестве вер-
вершин вычеты 0, 1, . .., 16(mod 17) и считая голубой дугу,
соединяющую / и /, если / — / =s ± 1, ±2, ±4, ±8 (mod 17),
и красной в остальных случаях. Отсюда делаем вывод,
что п{4, 4, 2)= 18.
ГЛАВА
Некоторые
экстремальные задачи
7.1. Задача о назначениях
Теорема о различных представителях оказывается по-
полезной при решении некоторых задач, которые на первый
взгляд не имеют никакого отношения к различным пред-
представителям. Одной из них является задача о назначе-
назначениях. Предположим, что мы имеем п мест, которые
должны быть заняты п людьми, и ац — мера ценности
/-го человека на ;-м месте. Любое назначение опреде-
определяется перестановкой
/1 2 ... и
я = .
\/i h ¦¦¦ In
где }i — я (/) — место, на которое назначается i-й человек.
Оптимальным является назначение, которое максимизи-
максимизирует 2 a;,, (j). Имеется всего п\ перестановок, которые
i
нужно испытать. Однако, даже если п сравнительно
невелико, осуществить практически такое число испыта-
испытаний невозможно. Значение следующей теоремы двояко:
во-первых, она позволяет найти решение за относительно
малое число шагов и, во-вторых, дает метод, позволяю-
позволяющий непосредственно проверить, что найденное решение
действительно является оптимальным.
Теорема 7.1.1. Пусть А = (аи) есть {п X п)-матрица
действительных чисел. Тогда максимум суммы
п
а,-
in (i)
по всем перестановкам я равен минимуму суммы
1
Hi +
Гл. 7. Некоторые экстремальные задачи
7.1. Задача о назначениях
87
по всем числам иг и v
-р таким, что п{ + Vj^a{j для
всех i и /, 1^г, / ^п. Это общее значение для сумм
достигается, когда tic + vn @ = а1л ц}, i = 1, ..., п, и соот-
соответствующая перестановка я дает решение задачи о на-
назначениях.
Доказательство. Если дана матрица А = {пц),
то мы всегда можем найти числа иь Vj, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию iii + Vj^ciij, i, / = 1, 2, ..., п, взяв, на-
например, все Vj равными нулю, а и-ь — максимуму ац,
/ = 1, .... п. Для любой перестановки я тогда имеем
Ui + vn{{)^ai:l{i); следовательно, суммируя по i, полу-
получаем
Отсюда минимум m для сумм
п п
2 «< + 2 У;
существует, а для максимума М сумм
п
V
1 = 1
по всем перестановкам должно выполняться условие
ш^М. Нам нужно доказать, что т=М.
Вначале предположим, что меры ценности ai{ — целые
числа. Каковы бы ни были числа ut и v}, удовлетво-
удовлетворяющие неравенствам и,- + у у ^ агу при всех г, /, мы
можем, сохраняя v} фиксированными, уменьшить uh
если это необходимо, так, чтобы для каждого i суще-
существовало хотя бы одно /, такое, что u-L + Vj = ац. Для
данного выбора н(- и vt и для каждого 1= 1, ..., п обо-
обозначим через 5,- множество таких индексов /, что
Mi + f/ = al'y. Если множества 5f имеют систему различ-
различных представителей (с. р. п.) ju /> /„, то Ui + vI{ =
= a//(. и перестановка n(i) = jtt i=l, ..., л, дает реше-
решение задачи о назначениях. Если с. р. п. не существует,
то условие С (см. гл. 5) нарушается и мы можем
найти k множеств 5,-, :'е/(, где К -множество из k
индексов, таких, что существует не более k — 1 различ-
различных значений / во всех множествах Sh i<=/(. (Заме-
(Заметим, что указанный в гл. 5 алгоритм для отыскания
с. р. п. дает возможность найти множества, нарушаю-
нарушающие условие С, если оно нарушается.) Обозначим через /
подмножество индексов, таких, что /еУ тогда и только
тогда, когда /eS,- при некотором i<^ К. Нарушение
условия С означает, что J содержит не более k — 1 ин-
индексов /. Заменим теперь «; и Vj новыми значениями,
полагая
и] = иi - 1, если i e К,
G.1.1)
и] = ы., если i ф К,
v* = v.+ I, если /е У,
v*. = уу) если / <? У.
Пусть в У имеется t<k индексов. Тогда новые значе-
значения и] и Уу удовлетворяют соотношению
и, поскольку /<&, сумма S "г +
k — t. Мы утверждаем также, что
уменьшается на
u*t
при всех /, /.
G.1.3)
Действительно, из формул G.1.1) следует, что G.1.3),
несомненно, выполняется, если i ф. К.. Пусть / е К,. Если
/ е /, то
Но если / ф J, то из определения 5^ получаем
«г + Vj > пц, или м, + У/ ^ «г/ + 1,
следовательно,
G.1.5)
88
Гл. 7. Некоторые экстремальные задачи
7.1. Задача о назначениях
89
Если условие С выполняется при этом новом выборе и
и v, то мы приходим к решению теоремы и задачи
о назначениях. Если же нет, то, действуя, как прежде,
находим новые значения для tt( и vjt при которых сумма
2"г+2у/ уменьшается, а условие и,- + У/ ^ а-ц при
всех *', j по-прежнему выполняется. Так как исходные
числа «,¦ и vt можно было взять целыми и так как
сумма 2«*+2ц/ уменьшалась каждый раз на целое
положительное число, то процесс должен оборваться
на конечном этапе, что доказывает нашу теорему н
дает искомое решение задачи о назначениях.
Заметим, что если при некотором выборе иг и Vj
имеется с. р. п. /,, /2, ..., \п множеств 5,-, то, конечно,
имеется и решение задачи о назначениях, причем
fli/, + а->,2 + . . . + ап,п = У щ + Е V].
Если, однако, f{, f2, . .-, fK — какая-либо другая пере-
перестановка, то iii + vf- 2^ аа- и равенство выполняется
только при fi^Sh i=l, 2, ..., п. Следовательно,
anfn
и,,
vh
и равенство выполняется только тогда, когда f,, f2, ...
..., fn — с. р. п. множеств St. Другими словами, вы-
выбор iii и Vj, дающий оптимальное назначение, будет
приводить ко всем оптимальным назначениям путем
нахождения всех с. р. п. множеств 5Z.
Этот процесс без труда можно видоизменить, чтобы
доказать теорему и решить задачу о назначениях для
нецелых значений aif. Заменим сначала ац целыми a
if
in
где ац ^ ац > atj — 1. Затем, как и выше, можно найти
перестановку /,, ..., jn и целые числа иь vJt такие,
что
дг + а2/ + ... + an- =H«i+Sy=mi G-l-7)
Ui+vj^uij, 1</, /<«. G.1.8)
Заметим, что в силу выбора а/у-
#!/ + аз/. + •¦¦ + Дп/ >Ш[ —я G.1.9)
и что для любой перестановки fls ..., fw
Выберем теперь натуральное число N и заменим ац
на ^у (ац), где gjV (a{/) — рациональное число с знаме-
знаменателем N, удовлетворяющее неравенствам
-4г- G.1.11)
Если мы изменим правило G.1.1) следующим образом:
1
и. = ut -
если i e /С,
«¦ = ир если г ^ К,
1
G.1.12)
у/ =
г, если / е /,
v] — у., если у ф S,
то доказательство проводится, как ранее, и мы найдем
перестановку /',, ..., /„ и рациональные числа щ, vf со
знаменателем N, такие, что
G.1.13)
g.w(aln)+ ...
и
Итак,
Щ + vi > g.\< (ац) > ач, 1 < i, j < n. G.1.14)
аЧ1+ ... +fl >mjv_ " , G.1.15)
и для любой перестановки fu ..., fn
alfl+ ... +anfn<mft. G.1.16)
Очевидно, если ац рациональны, то мы непосред-
непосредственно приходим к решению, а если нет, то взятием
все больших и больших знаменателей Af мы в пределе
из соотношений G.1.15) и G.1.16) получим решение за-
задачи о назначениях. Действительно, возьмем такую по-
последовательность значений для N (скажем, 2, 4, 8, ...),
чтобы каждое последующее значение было кратно пре-
предыдущему, и возьмем окончательные значения ut и v}
для каждого предыдущего значения iV в качестве исходных
90
Гл. 7. Некоторые экстремальные задачи
7.2. Теорема Дилуорса
91
для следующего значения N. Заметим, что в нашем
процессе на каждом шаге те uit которые изменяются,
убывают, а те Vj, которые изменяются, возрастают, но
ни те, ни другие не изменяются более чем на 1/N.
Следовательно, в пределе имеем:
2 Щ + 2 vt
и теорема полностью доказана.
n, G.1.17)
7.2. Теорема Дилуорса
Следующая теорема Дилуорса [1] дает экстремаль-
экстремальное свойство частично упорядоченных множеств, кото-
которое аналогично теореме Кёнига (теорема 5.1.4) о матри-
матрицах из нулей и единиц.
В разделе 2.2 гл. 2 мы дали определение частично
упорядоченного множества. В этом разделе мы будем
записывать отношение порядка в частично упорядочен-
упорядоченном множестве Р символом ^, и если w=b для а, Ъ
из Р, то будем говорить, что а содержится в Ь. Два
элемента частично упорядоченного множества назы-
называются сравнимыми, если они образуют цепь, в про-
противном случае они называются несравнимыми.
Теорема 7.2.1 (Дилуорс). Пусть дано частично
упорядоченное множество Р. Минимальное число непе-
непересекающихся цепей, которые в совокупности содержат
все элементы Р, равно максимально возможному числу
элементов в подмножестве множества Р, состоящем из
попарно несравнимых элементов, если это число конечно.
Доказательство. Пусть m — минимальное число
непересекающихся цепей, содержащих все элементы
множества Р, и пусть М — максимальное число элемен-
элементов в множестве 5, элементы которого попарно несрав-
несравнимы. Если хь ..., хм попарно несравнимы, то ника-
никакая цепь не может содержать двух из этих элементов,
и тривиальным образом
ш^М. G.2.1)
Мы должны доказать обратное неравенство. Таким
образом, наша теорема сводится к следующей лемме.
Лемма 7.2.1. Если Р — частично упорядоченное
множество и если любые k + 1 элементов {k конечно)
содержат сравнимую пару, то в Р существует множество
не более чем из k непересекающихся цепей, которые
в совокупности содержат все элементы Р.
Сначала докажем лемму для случая, когда Р ко-
конечно. Используем индукцию по числу п элементов
множества Р. Предположим, что лемма верна, когда
число элементов в Р меньше п. Если существует t непе-
непересекающихся цепей С[, С2, ..., Ct, которые в совокуп-
совокупности содержат все элементы Р, то мы скажем, что Р
есть сумма С,, ..., Ct, и обозначим это: Р = Сх + С2 + ...
... + Ct. Если подмножество S элементов из Р не
содержит сравнимой пары, то мы скажем, что эти эле-
элементы независимы, В этих терминах наша лемма гла-
гласит: если k — максимальное число независимых элемен-
элементов в Р, то Р есть сумма k цепей. Вычеркнем произ-
произвольный элемент b из Р. Тогда Р* = Р — b — частично
упорядоченное множество, в котором максимальное
число независимых элементов равно либо k— 1, либо k.
По индуктивному предположению Р — сумма соответ-
соответственно k—\ или k цепей. Если это число есть k — 1,
то k — 1 цепей вместе с Ъ в качестве еще одной цепи
имеют Р своей суммой, и наша лемма доказана. По-
Поэтому мы предполагаем, что Р' есть сумма k цепей:
Р_Ь = />* = С1 + С2+ ... +Ck. G.2.2)
Рассмотрим теперь соотношения между цепями С], ..., Ck
и элементом Ь в Р. Пусть V\ для каждого /= 1, 2, ..., k
есть подмножество, состоящее из всех элементов цепи Сг,
содержащих b, Lt — подмножество, состоящее из всех
элементов цепи Ch содержащихся в Ь, и Л^ — подмно-
подмножество, состоящее из всех элементов цепи С,-, не срав-
сравнимых с Ъ. Введем следующие обозначения:
Здесь
и.
.. +Uk,
.. +Nk.
& -1) ttl) «V»
G.2.3)
92
Гл. 7. Некоторые экстремальные задачи
Заметим, что l^b^Uj для любых li<^Li и «;е[/; и
для всех i и /. Таким образом, если Nt при некото-
некотором i пусто, то Lt + Ъ + U i — С\ — цепь и С[ + ...
... + Ci + ... + Ck = Р, и наша теорема доказана.
Следовательно, можно предположить, что ни одно Nt
не пусто.
Покажем теперь, что при некотором т максимальное
число независимых элементов в N + U — Um меньше k.
В самом деле, предположим, что для каждого /=1,
2, ..., k множество N + U — Uj содержит подмноже-
подмножество 5;- из k независимых элементов. Так как множе-
множество 5у содержит k независимых элементов, оно со-
содержит точно по одному элементу из цепей Ch С2, . - •, Ck,
и так как S} не содержит элементов из [/у, то отсюда
следует, что Ss содержит точно один элемент из Nj.
Далее, в сумме множеств 5 = 5; + 52+ ... +5у-+ ... +Sk
(Sj могут и пересекаться) обозначим через sh i= I, ..., k,
минимальный элемент цепи С,-, принадлежащий S. Эле-
Элемент Si содержится в Nh так как S{ содержит один
элемент из Nh а каждый элемент из А',- содержится
в каждом элементе из Ut. Допустим, что st^Sj при
некоторых / ф /. Пусть s} e 5Г для некоторого г,
l^r^k, и ^ — элемент множества Sr, принадлежа-
принадлежащий С(. В силу минимальности st имеем ^-Э5;. Но
тогда t^s^Sj, что противоречит независимости эле-
элементов tt и Sj множества Sr. Следовательно, ни при
каких 1ф\ не может быть Si^Sj, и потому элементы
su s2, ..., sk независимы. Так как st принадлежит Nt
для 1=1, ..., k, элементы s,, s2, ..., sk, b суть k+\
независимых элементов множества Р. Но было дано,
что в Я не содержится k + 1 независимых элементов,
и, следовательно, предположение, что каждое из мно-
множеств N + U — Uу, /=1,..., k, содержит k независи-
независимых элементов, неверно. Значит, N + U — Um при неко-
некотором т содержит меньше чем k независимых эле-
элементов. Аналогично доказывается, что N + L — L.w при
некотором w содержит меньше чем k независимых эле-
элементов.
7.2. Теорема Дилуорса
93
Пусть Г —подмножество, состоящее из независимых
элементов множества
(N + U - Um) + (N + L- LJ = Р* -Um- Lw.
Множество Т не может содержать одновременно эле-
элемент х из U — Um и элемент у из L — Lw, так как
тогда х^Ь^у, что противоречит независимости эле-
элементов Т. Но тогда Т содержится либо в N + U ~ Um,
либо в N + L~ Lw, и поэтому Т имеет не более ft—1
элементов. По предположению индукции Я* — Um — Lw
есть сумма не более чем k — 1 цепей: P*—Um — Lw =
= C] + Cl+ ... +Ck-u Но С\ - Um + b + Lw - цепь, и
Р=С] + С1+ ... +C*k. G.2.4)
Это доказывает лемму и теорему для конечного Р.
Если Р бесконечно, то мы проводим индукцию по k.
Заключение тривиально при k = l. Допустим, что лемма
выполняется для всех частично упорядоченных множеств,
имеющих не более k— 1 независимых элементов, и что Р
содержит k независимых элементов. Подмножество С
множества Р называется строго зависимым, если для
каждого конечного подмножества 5 множества Р суще-
существует представление S в виде суммы не более чем k
непересекающихся цепей, одна из которых содержит
все элементы подмножества С, принадлежащие 5. Оче-
Очевидно, С должно быть цепью. Свойство строгой зави-
зависимости есть свойство конечного характера (в смысле
определения Тьюки [1, стр. 7]), и, следовательно, для
него справедлив принцип максимальности, т. е. в Р су-
существует максимальное строго зависимое множество С\.
Допустим, что Р — Сх содержит k независимых элемен-
элементов аь аъ ..., ак. Максимальность Сх означает, что ни
одно из множеств С] + аи С{ + (h, ..., С] + ak не является
строго зависимым. Следовательно, для каждого l=\,..., k
существует конечное множество 5,-, такое, что элементы
из множества C{ + ah принадлежащие Sh не находятся
в одной цепи, как бы St ни было представлено в виде
суммы k непересекающихся цепей. При этом Si должно
содержать элемент ah поскольку С, строго зависимо.
Рассмотрим теперь 5 = 5,+52+ ... + Sk. Множе-
Множество 5 содержит все элементы аи а2 ak, и так как
94
Гл. 7. Некоторые экстремальные задачи
5 конечно, мы ввиду строгой зависимости Сх можем
записать 5 в виде такой суммы k непересекающихся
цепей S = K\ + ... + /Сь что все элементы С\, содер-
содержащиеся в S, лежат в одной из них, скажем, в К\>
Но так как элементы а{, ..., ak независимы, они все
лежат в разных цепях, и один из них (скажем, аг)
лежит в /Сг Таким образом, пересечения /С,, ..., Kk
с Sf — это непересекающиеся цепи Ть .... Tk, так что
Sr—Ti+ ... +Tk, и все элементы множества С]+йг,
лежащие в Sr, принадлежат Т{. Но это противоречит
нашему выбору ST. Следовательно, невозможно, чтобы
аь ..., ak были независимы. Таким образом, Р — С\
содержит не более чем k — 1 независимых элементов.
По предположению индукции Р ~-С\ = С2+ ... + Ck и
Р = С1 + С2+ ... +Ck, G.2.5)
что доказывает лемму и теорему.
Задачи
1. Найти E X 5)-матрицу мер ценности для задачи
о назначениях, такую, что ни одна из двух наибольших
мер ценности не может быть использована при опти-
оптимальном назначении.
2. В задаче о назначении четырех лиц на четыре
места меры ценности а,ц, i, j= I, 2, 3, 4, — это упорядо-
упорядоченные некоторым образом числа 1,2, ..., 16. Показать,
что сумма мер ценности при оптимальном назначении не
меньше 34, и привести пример матрицы с такими ме-
мерами ценности, для которой 34 —оптимальное значение.
3. В процессе эксперимента исследуется некоторое
число белых мышей. Если имеется пгп + 1 мышей, то
показать, что либо а) имеется последовательность m -f I
мышей, каждая из которых является потомком следую-
следующей, либо Ь) существует п + 1 мышей, ни одна из ко-
которых не является потомком другой.
\
ГЛАВА
8
Выпуклые пространства
и линейное программирование
8.1. Выпуклые пространства. Выпуклые конусы
и двойственные им пространства
Обозначим через Еп «-мерное евклидово пространство
(п конечно) над полем действительных чисел. Точка
в Еп есть вектор х — (хь х2> ..., хп), где xt — действи-
действительные числа. Нормой точки х называется величина
\х\=Ух"\-\* х\+ ... +х2п, а расстоянием между точ-
точками х и у — величина \х — у\.
Выпуклым пространством 1) С называется такое мно-
множество точек в Еп, что если хеС, У^С, то и
ах + A—а)у^С, где 0<а<1. Геометрически это
означает, что если две точки принадлежат С, то прямо-
прямолинейный отрезок, соединяющий их, также принад-
принадлежит С.
Лемма 8.1.1. Если хи ..., хт принадлежат вы-
выпуклому пространству С, то х = аххх + а2х2 + ... + amxm
также принадлежит С, если at — действительные числа и
г"=1
Доказательство проводим индукцией по пг.
Утверждение тривиально при пг — I и совпадает с опре-
определением выпуклости при m = 2. Если а{ = 0 или 1, то
по индукции j;gC. Если же а{ ф 0,1, то пусть Ъ = 1 — ах
и bi = ai/b, i = 2, ..., m. Тогда b^O, i = 2, ..., m, и
m
2^j—1» следовательно, в силу индуктивного предпо-
2
ложения
+ bmxm = y^C. Но тогда а{х{ +
y = alxl + а2х2+ ... +amxm = x&C.
') Выпуклые пространства автор называет в дальнейшем также
выпуклыми телами и выпуклыми множествами. — Прим. ред.
93 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
Под окрестностью точки х будем, как обычно, понимать
открытый шар, состоящий из всех точек у, таких, что
\х — у\<е при некотором е>0. Точка х называется
предельной точкой множества С из Еп, если существует
такая последовательность точек хт, т = 1, 2, ..., этого
множества С, что
lim xm = x,
т. е. если для всякого е > 0 существует такое N, зави-
зависящее от е, что \хт —-v|<? при всех m^N. Заметим,
что допускается равенство хт = х. Замыкание S мно-
множества S состоит из всех точек S и всех предельных
точек S. Граница множества S состоит из точек у,
таких, что каждая окрестность точки у содержит как
точки, принадлежащие S, так и точки, не принадле-
принадлежащие S.
Приведенные термины применимы к общим множе-
множествам точек. Мы используем также некоторые специ-
специфические термины, относящиеся к выпуклым простран-
пространствам. Экстремальной точкой х выпуклого пространства С
называется такая точка х е С, что если .v = ay + A — a) z,
0<я<1, у, гЕС, то у = г = х. Гиперплоскость
U\XX + ЫоА'о + . . . + 11пХп = 110,
которую мы будем записывать в виде }{х) = щ, назы-
называется граничной гиперплоскостью выпуклого простран-
пространства С, если f(y)>u.Q для всякого у^С Скажем, что
гиперплоскость / (х) •= щ отделяет точку w от С, если
f(w) < «0 и f(y)>«0 при всяком у^С. Гиперплос-
Гиперплоскость f(x) = Uq называется опорной гиперплоскостью
выпуклого пространства С, если / (у) ^ щ при всяком
!/еС и если наибольшая нижняя грань / (//) при //еС
равна uQ. Например, если С лежит в плоскости и огра-
ограничено одной ветвью гиперболы, то асимптота гиперболы
есть опорная гиперплоскость для С. Другим примером
опорных гиперплоскостей могут служить касательные
к выпуклым телам. Через экстремальную точку может
проходить несколько опорных гиперплоскостей. Так,
через вершину квадрата, которая является экстремальной
точкой этого квадрата, проходит много опорных прямых.
8.1. Выпуклые пространства. Выпуклые конусы
97
Частный случай выпуклого тела — выпуклый конус.
Выпуклое тело С называется выпуклым конусом, если
для каждого xgC и любого действительного числа
6^0 имеем Ъх е С. Введем для выпуклого конуса не-
несколько иное определение экстремальной точки. Скажем,
что хеС есть экстремальная точка выпуклого конуса С,
если из х = ау + A — а)г, 0<а < 1, у е С, гЕС, следует,
что y = uxt z=vx при некоторых действительных «^0,
Многие из обычных геометрических объектов яв-
являются выпуклыми телами. Нас здесь будут интересо-
интересовать также и другие выпуклые пространства, которые
обычно не рассматриваются с геометрической точки
зрения. Так, пгп действительных чисел, являющихся
элементами (пг X /г)-матрицы А = (а,:/), можно выписать
в некотором порядке как координаты точки в Етп.
Множество всех таких матриц образует полное про-
пространство Етп, в то время как матрицы с неотрицатель-
неотрицательными элементами образуют выпуклый конус. Анало-
Аналогично дважды стохастические матрицы, т. е. (п X ^-ма-
^-матрицы А = {atj), удовлетворяющие условиям
йг/^О, 2а{у=1, /=1, ..., /г, 2я*/—1» г=1,...,гс,
образуют выпуклое пространство. Симметрические {пХп)-
матрицы А = {ац), ац — пц, образуют выпуклый конус;
симметрические матрицы, для которых соответствующая
квадратичная форма
Q = S а^х,.
полуопределена, также образуют выпуклый конус.
Теорема 8.1.1. Если С — выпуклое множество1),
то замыкание С множества С есть также выпуклое
множество.
Доказательство. Если jcgC, y^C, то суще-
существуют последовательности {xm}, {ym} точек С, такие, что
lim xm — x, lim ym = у.
') См. примечание на стр. 95. — Прим, ред.
7 м. Холл
98 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
Но тогда при 0 ^ а < 1 имеем также
lim (axm + A - a) ym) = ax + {l-a) у.
Поэтому каждая точка прямой, соединяющей х и у,
есть снова точка из С, а это и есть утверждение тео-
теоремы.
Теорема 8.1.2. Если С — выпуклое множество и
Р — точка, не лежащая в С, то существует гиперпло-
гиперплоскость, отделяющая Р от С.
Доказательство. Пусть s — произвольная точка С.
Тогда точки х, такие, что \Р — х\^.\ Р ~ s\= b, обра-
образуют замкнутый шар радиуса Ь с центром Р, который
представляет собой компактное множество. Следова-
Следовательно, существует точка Q^C, ближайшая к Р, т. е.
такая, что \P — Q\ минимально среди всех Q^C. Кроме
тогс^ Q единственна, так как если Q,, Q2 — две точки
из С на одном и том же расстоянии от Р, то PQiQ2 —
равнобедренный треугольник с равными сторонами PQ,
и PQ2. Но если Q{ Ф Q2, то середина отрезка Q$2 есть
точка из С, находящаяся ближе к Р, чем Q{ или Q2.
Пусть теперь f (x)— uixl + и2х2 + ... -\-ипхп=щ —
гиперплоскость, перпендикулярная к отрезку PQ и деля-
делящая его пополам. Тогда f(P) — u0 и f{Q)~ щ имеют
противоположные знаки, и мы можем считать, что
f{P)<u0 и /(Q)>«o. умножая, если нужно, на — 1.
Чтобы показать, что гиперплоскость f (х) = щ отделяет Р
от С, достаточно доказать, что она не содержит ни одной
точки из С. Предположим обратное: пусть S — точка
гиперплоскости f (л:) = и0 и SgC. Тогда S находится
дальше от Р, чем Q; в частности, S не является сере-
серединой отрезка PQ, так что PSQ— равнобедренный тре-
треугольник с равными сторонами PS и SQ и с третьей
стороной PQ, которая короче первых двух. Но тогда
все три угла треугольника PSQ острые, и, значит, пер-
перпендикуляр из Я к SQ пересекает отрезок SQ в точке Т.
Так как S и Q обе лежат в С, Т также является точ-
8.1. Выпуклые пространства. Выпуклые конусы
99
кой С Но РТ короче PQ, что противоречит выбору
точки Q. Это означает, что гиперплоскость f(x) = w0
не содержит ни одной точки из С. Так как f(Q)>u0
и f{P)< «о. отсюда следует, что / (у) > щ при всяком
у^С, и потому f{x) = ио~ гиперплоскость, отделяю-
отделяющая Р от С.
Следующая, несколько более тонкая теорема ана-
аналогична доказанной.
Тео_рема 8.1.3. Пусть Р —точка на границе замы-
замыкания С выпуклого пространства С. Тогда существует
опорная гиперплоскость пространства С, проходящая
через Р.
Доказательство. Так как Р лежит на границе С,
всякая окрестность точки Р содержит точку, не лежа-
лежащую в С. Следовательно, мы можем найти бесконечную
последовательность {zm}, m= I, 2, ..., точек, не лежащих
в С, такую, что Hm zm= P. По теореме 8.1.2 для каждой
т->оо
точки существует гиперплоскость fm{x) = итй, отделяю-
отделяющая zm от С. Предполагаем, что каждая такая гипер-
гиперплоскость задана своим нормальным уравнением
fm{x)^ulmxx+ ... +иптхп,
где и2ш+ ... +и2пт^1 и /т(г/)>ит0-при всяком//е С.
Так как точки и{т) = {иш, и2т, .... ипт) лежат на единич-
единичной сфере, являющейся компактным множеством, то су-
существует некоторая сходящаяся подпоследовательность
последовательности точек и{т\ т= 1, ..., k, ..., с преде-
пределом («1, и2, .... ип). Пусть это будет подпоследователь-
подпоследовательность с индексами /П/, /= 1, 2 .... Тогда
и„хп.
Так как
,= P
/->оо
. то
lim ито= ыо,
100 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
где f (Р) = и0. Для каждого уеС мы имели fm {у) > um_Qm
Следовательно, в пределе, при /-»оо, f{y)^uQ. Таким
образом, гиперплоскость \{х) = ий есть опорная гипер-
гиперплоскость для С, проходящая через Р, так как f{y)^uQ
при всяком уеС и f(P) = и0, где Р — либо точка про-
пространства С, либо предельная точка для С.
Ле_мма 8.1.2. Если Р — граничная точка замыка-
замыкания С выпуклого конуса С, то опорная гиперплоскость
выпуклого пространства С, проходящая через Р, проходит
также через начало координат.
Доказательство. Если Р — начало, то доказы-
доказывать нечего. Пусть Р ф @, ..., 0) и /(*) = «0 —опорная
гиперплоскость, проходящая через Р, где 1{Р) = щ.
Тогда сР есть точка пространства С для любого с>0,
следовательно, f {сР) = с{ (Р) > щ, так как / (х) = и0 есть
опорная плоскость. Поскольку f(P)—uOt это означает,
что cuq^Uq при любом с>0. Это возможно только
при «0 = 0, следовательно, гиперплоскость имеет урав-
уравнение / (л:) = 0 и обязательно проходит через начало
координат.
Скалярное произведение (х, у) векторов х = (хи .... хп)
и У = (Уь •... Уп) определим как обычно:
(х, у) = х1у1 + х-2у2 + ... + хпуп. (8.1.1)
Отметим следующие свойства скалярного произведения:
(*. У) = (#. х),
(Ьх, у) = {х, by) = Ь (х, у)
(Ь — действительное число), {o.i.z)
(х + у, г) = (х, г) + {у, z).
Теорема 8.1.4. Если S —некоторое непустое мно-
множество векторов {х}, то множество Т векторов у, таких,
что {х, у)>0 для всякого jeS, есть замкнутый вы-
выпуклый конус.
Доказательство. Утверждение теоремы почти
очевидно, так как для векторов уь у,, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям (х, г/,)>0 и (лс, #J>0 при всяком Jt<=S,
8.1, Выпуклые пространства. Выпуклые конусы
101
и для любых положительных чисел a, b имеем
(*, аух + Ьу2) = а (х, ух) + b (x, у2) > О
при всяком xsS. Аналогично если
lim ym = y и (х, ут)^0,
то {х, у)^0 при всяком х е S. Теорема доказана.
Определение. Если С —замкнутый выпуклый
конус, то множество точек у, таких, что (х, у)~^0 при
всяком л:еС, называется двойственным пространством
для С и обозначается через С*; пространство С* является
замкнутым выпуклым конусом (по теореме 8.1.4).
Теорема 8.1.5. Если С — замкнутый выпуклый
конус и С* — двойственный ему конус, то {С*)' = С.
Доказательство. Это — основная теорема, но мы
увидим, что она почти эквивалентна теореме отдели-
отделимости 8.1.2. Из определения двойственного простран-
пространства имеем
(8.1.3)
Из симметричности скалярного произведения следует,
что каждый вектор х е С удовлетворяет условию
(у, х)^0 при всяком у е С*, поэтому С е (С")*. Мы
должны доказать обратное включение. Если z— вектор
(точка) из (С*)*, который не лежит в С = С, то по тео-
теореме 8.1.2 существует гиперплоскость f(x) = u0, которая
отделяет z от С = С, так что f{z)<u0, а при всяком
х е С f{x)>u0. Поскольку начало О принадлежит С,
то 0=f(O)>u0, т. е. щ отрицательно. Так как f(х) =
~ u{xi + и2х2+ ... +ипхп^0 для всех леС (в про-
противном случае существовало бы такое с>0, что
f (ex) < «0), то отсюда следует, что и = (и,, и2, ..,, «л)еС*,
но {(г) = {и, z)<uQ<0, т. e. z <ф. (С)*. Получили про-
противоречие. Следовательно, (С*)' s С и С = (СУ.
С={у\(х,
(СУ = {z 1 (у,
у)^
*)*
>0
для
для
всех
всех
х е
У^
а
с%
102 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
8.2. Линейные неравенства
Обратимся теперь к теории линейных неравенств,
или линейному программированию, как стало принято
ее называть. Если х = (хи ..., хт) — произвольный век-
вектор, то мы будем писать
х Ш 0, если х^О, 1=1, .... m;
х ^ 0, если х ^ 0 и х ф 0;
х>0, если Xi>0, i= 1, .... т.
Определим неравенства х^у, х^у и х>у в соответ-
соответствии с соотношением между х — у и 0.
Если А = {аи), г=1, ..., т, /=1,..,,я, есть
(т X л)-матрица и х— (хи ..., хт) таков, что х ^ 0, то
множество всех векторов хА, как легко видеть, есть
выпуклый конус С пространства Еп, определенный стро-
строками матрицы А. Если г,, г2, .... гт — строки А, то
хА = xxrx + X-/-2 + ... + xmrOT.
Пусть вектор-столбец w* есть транспонированный
вектор w = (wb ..., а>„). Утверждение Ли;' ^ 0 эквива-
эквивалентно тому, что скалярные произведения (г(, w)^0
для /= 1 т. В силу линейности скалярного произ-
произведения по каждому сомножителю (у, w)^0 при всяком
у <= С, т. е. гу принадлежит С*, двойственному конусу
для С. Заметим, что С —замкнутый выпуклый конус.
Мы можем теперь сформулировать теорему 8.1.5 в мат-
матричной форме. Эта теорема восходит к Фаркашу [1].
Теорема 8.2.1 (Фаркаш). Пусть А есть {шХп)-
матрица, и пусть у = (Уи ..., уп) —такой вектор, что
yw =(yt w)^0 для всякого вектора w = (wl, ..., wn),
удовлетворяющего неравенству Aw'^0. Тогда у имеет вид
у = хА, где х = (*„ .... xm) ^ 0.
Доказательство. Пусть С —замкнутый выпуклый
конус, определяемый строками А, т. е. С состоит из всех
векторов хуГ\+ ... +хтгт, где гь .... гт~строки Л
и х{^0, i= 1, 2, ..., т. Тогда предположение теоремы
означает, что у е (С*)*, а заключение - что у <= С. По-
Поэтому теорема 8.2.1 следует из теоремы 8.1.5.
S.2. Линейные неравенства
103
Следующая теорема представляет собой более силь-
сильную, неоднородную форму теоремы 8.2.1.
Теорема 8.2.2. Пусть А есть (т X п)-матрица, d =
= (du ..., dm) — некоторый вектор и k —скаляр. Пред-
Предположим, что хотя бы для одного вектора w — (wu .... wn)
выполняется соотношение
^d'. (8.2.1)
Тогда вектор у = {ух, ..., уп) удовлетворяет соотношению
(, w)^k (8.2.2)
при всех w, удовлетворяющих условию (8.2.1), в том
и только том случае, когда существует вектор х =
= (*i хт)^0, такой, что
у = хА и xd'^k. (8.2.3)
Доказательство. Если (8.2.3) выполняется, то
сразу получаем
''^xd'^tk. (8.2.4)
Докажем обратное. Для этого придадим задаче одно-
однородную форму, чтобы можно было применить тео-
теорему 8.2.1. Если ввести обозначения
(A -d'\ «*'=(*„..., *„,*„),
то (8.2.1) принимает вид
Л'и/'^О при zo=I, (8.2.6)
а (8.2.2)-вид
у*и>'*Ш0 при го= 1. (8.2.7)
Если бы при этом получилось, что
у' = х'А' с х' = (хъ ..., хт хт+1) ^ 0, (8.2.8)
то
у—хА И — A:rf' + Xffl + 1= — k, ИЛИ А'б?/= fe + Xm + i ^ k,
что эквивалентно формуле (8.2.3). За исключением огра-
ограничения го=1, предположения (8.2.6) и (8.2.7) — это как
104 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
раз предположения теоремы 8.2.1, и (8.2.8) является
заключением этой теоремы. Необходимо ослабить дейст-
действие указанного ограничения. Если w' = (wx, ..., wn,z0),
где 20>0, удовлетворяет (8.2.6), то w" = A/г0) w'=
= -^-, ..., —, 1) также удовлетворяет этому уело-
вию, а следовательно, и условию (8.2.7). Поэтому, умно-
умножая на z0, мы находим, что w' также удовлетворяет
(8.2.7). Таким образом, доказано, что всякий раз, когда
A'w'* ^ 0 для w' = (wu ..., wn, zQ), где z0 > 0, (8.2.9)
то
tj'w'*^0, (8.2.10)
и мы хотим получить, что
,/ _ х' А' гпе х' = Сг, г y Л >• О (Я 9 \ ]~\
Если (8.2.9.) влечет за собой (8.2.10) также в случае
20 = 0, то формула (8.2.11) вытекает из теоремы 8.2.1
(ввиду (8.2.5)). Остается рассмотреть предположение, что
для некоторого w" = (w", ..., w"n, О), где z0 = 0, фор-
формула (8.2.9) справедлива, а (8.2.10) нет, т. е.
A'w"*^0 и t/wf/t <0. (8.2.12)
Возьмем тогда ьуо с го= 1, для которого выполняются
(8.2.6) и (8.2.7), и образуем w' по формуле
w' = w" + x^w[, где х0 > 0. (8.2.13)
Вектор ц>' удовлетворяет (8.2.9), а следовательно, и
(8.2.10), т. е. -
y'w'^O, или y'{w" + x^w§^0. (8.2.14)
Отсюда
y'w"f^ -xQy'w'*, (8.2.15)
Но y'w'rt < 0, a t/w'J^O, и (8.2.15) не выполняется
при некотором достаточно малом положительном х0.
Таким образом, ситуация (8.2.12) не может возникнуть,
и (8.2.9) влечет за собой (8.2.10) и в случае го = О.
По теореме 8.2.1 заключаем, что соотношение (8.2.11)
выполняется, и теорема полностью доказана.
\
8.2. Линейные неравенства
105
Линейное программирование —это проблема макси-
максимизации или минимизации некоторой линейной формы,
когда переменные подчинены соотношениям, записы-
записываемым в виде линейных неравенств. Трактовка, приво-
приводимая здесь, принадлежит Флуду [1J. Впервые проблема
была рассмотрена в работе Гейла, Куна и Таккера [1].
Предположим, что даны (г X «)-матрица А — (aiy) и
два вектора b={bu ..., bT) и с=(си ..., съ). Рассмо-
Рассмотрим теперь две задачи.
Задача I. Найти вектор х = (хь ..., xs), который ми-
минимизирует
сх' = (с,х) (8.2.16)
и удовлетворяет неравенствам
Ахг ^ Ь1, х^ 0.
Задача II. Найти вектор у=(уи .
максимизирует
уь* - (у, ь)
и удовлетворяет неравенствам
У А ^ с, #
0.
(8.2.17)
уг), который
(8.2.18)
(8.2.19)
Эти две задачи называются двойственными одна другой.
Если существует вектор х, удовлетворяющий соотноше-
соотношениям (8.2.'7), то задача I называется допустимой, а х —
допустимым вектором. Так же определяется допусти-
допустимость для задачи II.
Теорема 8.2.3 (теорема двойственности). Задачи
I и II обладают решениями тогда и только тогда, когда
обе задачи допустимы. Далее, если m — минимальное
значение для сх* в задаче I, a M — максимальное значе-
значение для ybl в задаче II, то ш = М. Если одна из задач
имеет решение, то другая задача также имеет решение.
Доказательство. Предположим сначала, что
обе задачи допустимы. Тогда существуют х = {xv ..., xs)
и у={уи ..., уг), для которых выполняются неравен-
неравенства
Ах1 ^ Ь1, х ^ 0, (8.2.20а)
уА ^ с, у ^ 0, (8.2.20Ь)
106 Гл. 8 Выпуклые пространства и линейное программирование
Отсюда
сх< ^ уАх1 ^ yb1.
(8.2.21)
Следовательно, сх1 ограничено снизу числом уЬ1 при
всяком допустимом у, a yb( ограничено сверху числом сх*
г ри всяком допустимом х. Следовательно, сущест-
существуют наибольшая нижняя грань m для сх1 и наимень-
наименьшая верхняя грань М для уЫ, которые связаны соотно-
соотношением
m
М.
(8.2.22)
В пашем доказательстве будет использована теорема
8.2.2, но, чтобы ее применить, нам нужно заменить два
неравенства (8.2.20а) одним. Определим (г + 5)-мерный
вектор bQ = (Ьъ ..., Ьп 0, ..., 0) путем добавления s ну-
нулей к Ъ. Аналогично построим \(г + s) X sj-матрицу Ло
путем добавления к A s строк, которые образуют еди-
единичную (s X 5)-матрицу. Тогда
Ьг
х* ^
Ь,
о
0
(8.2.23)
Э
то неравенство в точности эквивалентно двум неравен-
неравенствам (8.2.20а): Ах1 > Ъ\ х ^ 0. Поэтому если пг — наи-
наибольшая нижняя грань для сх1, то
сх'^пг (8.2.24)
для всех х, удовлетворяющих (8.2.23). Мы находимся
теперь в условиях теоремы 8.2.2 и можем заключить,
что существует такой вектор у0, что
Un
^ 0,
(8.2.25)
8.2. Лингйные неравенства
107
Если ввести обозначения
« = (иь ..., щ), v = (vu .... vs), (8.2.26)
то результат (8.2.25) можно выразить в следующем виде:
с=иА + и, и^О, v ^ 0, иЫ^пг. (8,2.27)
Но из формул (8.2.22) и (8.2.27) имеем
иА ^ с,
Отсюда
и у=и есть решение задачи II.
Аналогично если построить матрицу
(8.2.28)-
(8.2.29)
(8.2.30)
добавив к А г столбцов, которые образуют матрицу
— /г, где /г —единичная (г X г)-матрица, то два неравен-
неравенства (8.2.20Ь) у А ^ с и у ^ 0 эквивалентны одному
1 ^ -с{0, (8.2.31)
где со= (с^ ..., cs, 0, ..., 0) есть (s + г)-мерный вектор,
полученный добавлением г нулей к с. Отсюда как след-
следствие соотношения (8.2.21) получаем, что
-Ьу'^-М
(8.2.32)
для всех векторов у, удовлетворяющих (8.2.31). Мы мо-
можем теперь применить теорему 8.2.2 и заключить, что
существует такой вектор d — (wu ..., ws,zu • • •» zT\ что
d^0, -b = d(-Bt0), d(-cf0) >-M. (8.2.33)
Если ввести обозначения
w = {wlt ..., ws), z = (zu ..., zT), (8.2.34)
то (8.2.33) принимает вид
ш^О.2^0, b=wA'-z, wc'^M. (8.2.35)
108 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирована*
Но тогда wAl ^ Ь:
'^b', со;'< М < m < со»', w ^ 0. (8.2.36)
Таким образом, x=w решает задачу I, и вновь пока-
показано, что М = т.
Итак, мы показали, что если обе задачи допустимы,
то они обе имеют решения, и при этом минимум m
для задачи I равен максимуму М для задачи II. Заме-
Заметим, что из существования m в (8.2.24) вытекает, что
у = и в (8.2.26) есть решение задачи II, а из существо-
существования М в (8.2.32) вытекает, что х = w в (8.2.34) есть
решение задачи I. Таким образом, если одна из задач
имеет решение, то и другая задача имеет решение, и
все утверждения теоремы теперь доказаны.
На прямолинейном отрезке в «-мерном пространстве
линейная функция координат либо постоянна, либо
принимает на нем минимум на одном конце отрезка и
максимум на другом его конце. Та,ким образом, линей-
линейная функция на выпуклом пространстве, ограниченная
сверху (или снизу), будет принимать в нем максимум
(или минимум) в экстремальной точке. Очевидно,
матрицы перестановки являются экстремальными точ-
точками пространства дважды стохастических матриц, и
теорема 5.1.9 показывает, что в этом пространстве дру-
других экстремальных точек нет. Следовательно, максимум
или минимум линейной функции на пространстве дважды
стохастических матриц достигается на матрице переста-
перестановки. Используя это замечание, мы попытаемся найти
другой подход к задаче о назначениях — с помощью
теоремы двойственности. Будет показано, что числа
//,• и Vj, которые несколько „таинственно" появились
в теореме 7.1.1, вполне естественно возникают из за-
задачи, двойственной задаче о назначениях.
Пусть А = (а(}), I, /=1, ..., и,— матрица мер цен-
ценности при назначениях, рассматриваемая в теореме 7.1.1.
Определим п2 чисел b равенством bi+{j_l)n = ац. Введем
также переменные zl}, i, y=l, .... п, и переменные
yv ..., уп%, где !/i+U-i)n = zir Определим теперь такие
8.2. Линейные неравенства
109
(п2Х4п) = матрицу К и вектор с:
J2 — /2
K=
¦ = %, ~in, h, ~inl (8.2.37)
Т —Г J __ /
где 1п — единичная (п X гс)-матрица, J{ — (nX л)-матрица
с единицами в i-ы столбце и нулями на остальных ме-
местах и in — вектор-строка из п единиц. Возьмем у =
= (Уу, •••» Уа1)- Тогда условие
УК ^ с, у ^ 0, (8.2.38)
означает, что матрица Z — (zti) дважды стохастическая,
поскольку тогда элементы Z неотрицательны, суммы
по строкам и столбцам Z не превосходят +1, а суммы
противоположных значений по строкам и столбцам
не превосходят —1. Следовательно, при
b = (&!,..., М. bi+u-i)n = aii (8.2.39)
проблема максимизации yb* есть в точности проблема
максимизации
где Z = (zfj) - дважды стохастическая матрица. Мы знаем,
что эта задача имеет решение, которое должно быть
матрицей перестановки, так как матрицы перестановки —
экстремальные точки пространства дважды стохастиче-
стохастических матриц. Таким образом, задача о назначениях
есть в точности задача нахождения максимума скаляр-
скалярного произведения (у,Ь) = уЬ\ если у удовлетворяет
неравенствам (8.2.38). Зто указанная выше задача II.
Двойственная задача I состоит в том, чтобы найти ми-
минимум для сх\ где х=(хи ..., дс4п) - вектор, удовлетво-
удовлетворяющий неравенствам
Кх*^Ь\ х^О. (8.2.40)
Если обозначить ut = хг — хга + г для /= 1, ..., п и у;-=
для /= 1, ..., п, то неравенство (8.2.40)
х - —
in
ПО Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирована"
принимает вид
и,
i, /
(8.2.41)
и теорема двойственности утверждает, что минимум m
ДЛЯ
сх' = 2 щ + 2 У/,
где х подчинен условиям (8.2.41), есть максимум М для
цц
где Z = (z,-y) —матрица перестановки. Доказательство
этого утверждения — основная часть доказательства тео-
теоремы 7.1.1.
8,3. Линейное программирование. Симплексный метод
Задачи I и II из предыдущего раздела связаны
с максимизацией (или минимизацией) линейной формы
от действительных переменных хх хг, подчиненных
некоторым линейным неравенствам и дополнительному
условию х^О, i-l, 2, ..., г. В этом разделе мы
рассмотрим более общую задачу, в которой переменные
не обязательно являются неотрицательными. Мы изло-
изложим также метод, принадлежащий Данцигу [1] и назы-
называемый „симплексным методом", который дает конструк-
конструктивное решение этой задачи, когда решение существует.
Мы назовем эту общую задачу задачей III и определим
также задачу IV, двойственную ей в том же смысле,
в котором были двойственны задачи I и II.
Задача III. Найти вектор z=(z,, .
максимизирует линейную функцию
и удовлетворяет неравенствам
.., гт), который
и (8.3.1)
auzl+a23z2+ ... +am.2zm + c2^0,
alnz{ + a2nz2 + .... + amnzm + cn > 0.
(8.3.2)
8.3. Линейное программирование. Симплексный метод 111
Задача IV. Найти вектор y={tj\, ..., уп),
торый минимизирует функцию
®> ко-
ко(8.3.3)
и удовлетворяет уравнениям
... +ainyn + b2=0,
... + amnyn + bm = О
(8.3.4)
Мы скажем, что задача III допустима, если существует
вектор z = {z{, ..., zm), удовлетворяющий неравен-
неравенствам (8.3.2), и что задача IV допустима, если суще-
существует вектор у~ (уи ..., уп), у^О, удовлетворяющий
уравнениям (8.3.4).
Теорема 8.3.1. Задачи III и IV обладают реше-
решениями тогда и только тогда, когда обе задачи допустимы.
При этом для решений имеем u—v. Если одна из задач
имеет решение, то другая задача также имеет решение.
Доказательство. Для доказательства видоиз-
видоизменим задачи таким образом, чтобы можно было при-
применить теорему двойственности. Пусть
=(zb .... zm), У =
= {bu ..., bm),
с={си .... сп\ А = {ач), i=l, .... т, /=1,
Определим также
х = [х^у ..., хт, хт+х, ..., х2т),
где xm+i-Xi^zh i=\, ..., m, и л:>0, и пусть
X — \Х\% . . ., Хт), X =
.. п.
так что .V2 — хх = z, и d = (— bu ..., — bm, b[t ..., bm) =
= [ — b, b]. Определим, наконец, Bm X ге)-матрицу А{:
'¦=[-,]•
(8.3.5)
Сформулируем теперь двойственные задачи в терминах
этих векторов и матриц.
112 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
Задача I. Найти у={уу */J. который миними-
минимизирует
су1 = т' (8.3.6)
и удовлетворяет неравенствам
г/>0, Л,г/>^. (8.3.7)
Задача П. Найти *=(*, хт, хт+и .... х2т), ко-
который максимизирует
xdl = Ш (8.3.8)
и удовлетворяет неравенствам
К этим двум задачам применима теорема двойствен-
двойственности. Здесь неравенство (8.3.7) имеет вид
(8.3.10)
откуда Aif^ — b и — At/^b, что эквивалентно ра-
равенству Ау'+Ь = 0, матричной форме системы уравне-
уравнений (8.3.4), а су1 = тг — то же самое, что и (8.3.3)
с т'=у. Соотношения (8.3.9) принимают вид
х]А-х2А^с, (8.3.11)
или — zA^c, что иначе можно записать так:
гЛ + с>0, (8.3.12)
а это матричная форма системы неравенств (8.3.2).
Наконец, (8.3.8) принимает вид
(8.3.13)
zb' = M', (8.3.14)
а это не что иное, как (8.3.1) с М'= и. Таким образом,
в новой форме задача II есть задача III, а задача I
есть задача IV. Тем самым теорема 8.3.' сводится
к теореме двойственности 8.2.3, и доказательство тео-
теоремы 8.3.1 завершено.
Нам больше не нужны переменные х{, использован-
использованные при доказательстве теоремы 8.3,1, поэтому теперь
или
8,3 Линейное программирование. Симплексный метод 113
через хи ..., хп обозначим левые части неравенств (8.3.2):
X<i = B^;Z[ "т ayiZi ~т~ . . . i ат2^т • ^2 г^ "i \O.o, 1 и)
a,nz2
amnzm + cn
0.
Здесь, разумеется, хг^0, i=\, ..., /г. В следующей
теореме устанавливается простое тождество, которое не
содержит 2j в явном виде.
Теорема 8.3.2. Для xt из (8.3.15) и yt из (8.3.4)
выполняется следующее тождество:
+ •• • +ХпУн= -u + v. (8.3.16)
Доказательство. Заменяя xt в левой части
(8.3.16) их значениями из (8.3.15) и используя (8.3.4),
получаем
п I m
m I n
?=1 \/ = 1 / / = 1
= - 2 bizt + 2 Cjtjj = — и + v.
(8.3.17)
Следствие. ?с/ш г = (г,, г2, ..., zm), г/ = (уи у2, ...
• ••» уп) — решения задач III « IV соответственно, то
xiyi = 0y i—[> ..., я, г<5е xt- заданы соотношениями
(8.3.15).
Это видно непосредственно из (8.3.16), так как для
существования решения, как мы знаем, необходимо,
чтобы и = v, а поскольку xt^0, y-t ^ 0, i = 1, ..., л, это
означает, что каждое слагаемое хгуг в левой части
(8.3.16) должно быть равно нулю. Следовательно, если
решение имеется, то при каждом /(/=1, ..., п) либо
j^ = 0, либо yt = 0, либо xi — yi = 0. Далее, (8.3.16) по-
показывает, что для любых допустимых значений для за-
задач III и IV мы имеем
bmzm = и
v =
с2у2
+ спуп.
(8.3.18)
м. холл
114 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
Таким образом, любой допустимый вектор у дает верх-
верхнюю границу (скажем, v0) для всех возможных и, а лю-
любой допустимый вектор z дает нижнюю границу (ска-
(скажем, и0) для всех возможных v. Следовательно, всякий
раз, когда для каких-либо допустимых векторов обеих
задач мы имеем и = v, эти векторы дают решение обеих
задач. Таким образом, наши задачи свелись к комби-
комбинаторной проблеме нахождения такого подмножества
/ = {г,, ..., Q множества {1, 2, ..., л}, что, полагая
xt = 0 при г?/ и г/7- = 0 при / ф. I, мы приходим к до-
допустимым векторам для обеих задач.
В изложенном ниже простом методе нахождения ре-
решения мы следуем Таккеру [1] и принстонским лекциям
Балинского. Схема
¦ц . .
X
= -у
= -У
(8.3.19)
. . . — I*... — g . . .
является удобной формой одновременного представления
следующих двух систем линейных уравнений:
1. Система по строкам
... + аг\ + ... + br\ + ... = —у*
... +сг)* + ... +di)+ ... = —у
(8.3.20а)
8,3 Линейное программирование. Симплексный, метод 115
в которой зависимые символы —у (переменные или
числа) выражаются как линейные комбинации незави-
независимых TJ.
2. Система по столбцам
...+х'а+ ... + хс + ... = !'
, (8.3.20Ь)
... + х9Ь + ... + хй + ... =
в которой зависимые символы | выражаются в виде лн-
нейных комбинаций независимых х.
„Осевое преобразование" с „осью"') а ф 0 разрешает
обе системы линейных уравнений—систему по строкам
относительно rf, а систему по столбцам относительно х\
где г|* и х* — независимые, а у" и f — зависимые сим-
символы. Разрешая систему по строкам относительно —т\*,
получаем
... + а-у + ... + Ьа~\ + .. . = -у] (8.3.21)
и, подставляя это выражение для ц* в другие уравне-
уравнения по строкам, получаем
(8.3.22)
... -са~1у*+ ... +{d~ca-lb)ri+ ... = -у
') В оригинале «a pivot transformation» и «pivot entry» coot
ветственно,—Прим, перге,
8*
116 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
Аналогично разрешая систему по столбцам относительно
Л'*, приходим к равенству
... + ?а~1 - ... - хса~1 + ... = % (8.3.23)
и, подставляя выражение для х* в остальные уравнения
по столбцам, получаем
— ... — xca
— 1
. (8.3.24)
... + l*ba~l + ... + х (d - ca~lb) ,-...= I
Осевое преобразование с осью а ф 0 — это преобразова-
преобразование, которое заменяет схему (8.3.19) схемой
У
. . . a 1 . . . a ]b
. . . —ca"x . . . d —
(8.3.25)
-у
Преобразованная схема (8.3.25) соответствует системе
уравнений по строкам (8.3.22) и системе по столбцам
(8.3.24). Здесь уравнения (8.3.20а) заменились на (8.3.22)
путем разрешения относительно — г\, а уравнения
(8.3.20Ь) заменились на (8.3.24) путем разрешения отно-
относительно х*.
Другими словами, схема (8.3.25) получена из схемы
(8.3.19) посредством операций:
8.3. Линейное программирование. Симплексный метод 11?
1) замена символов, соответствующих оси а; а именно
if заменяется на у* и — у* на — г\ в системе по стро-
строкам и х* заменяется на |* и ?* на х" в системе по
столбцам;
2) все остальные символы не изменяются;
3) ось а заменяется на обратный элемент а~"; каж-
каждый другой элемент Ъ в той же строке, что и а, заме-
заменяется на a~lb; каждый элемент с в том же столбце,
что и а, заменяется на —са~и, все прочие элементы d
заменяются на d — са~1 Ьу где Ь — элемент, лежащий втой
же строке, что и а, и в том же столбце, что и с?, a
с — элемент из той же строки, что и d, и того же столбца,
что и а, так что а, Ьу с, d образуют прямоугольник
[см. (8.3.19)].
Необходимо подчеркнуть, что единственный резуль-
результат осевого преобразования — это представление двух
линейных систем в терминах других множеств незави-
независимых и зависимых символов. Мы воспользуемся поня-
понятиями схемы и осевого преобразования, чтобы решить
пару двойственных задач типа III и IV, а затем рас-
рассмотрим в общем виде симплексный метод, который по
существу является алгоритмом для решения таких за-
задач. Он может быть использован для непосредственного
доказательства теоремы 8.3.1.
Задача (типа III). Даны неравенства
= -г,
г2
*3= г, +2г,- 2>0,
(8.3.26)
максимизировать
и = Зг, + 2z2. (8.3.27)
Можно записать задачу, двойственную данной.
Двойственная задача (типа IV). Даны уравнения
где tji подчинены условиям
(8.3.28)
(8.3.29)
118 Рл. 8, Выпуклые пространства и линейное программирование
минимизировать
v = 2j/, - ih - 2r/3 + г/4 + 10г/5. (tf .3.30)
Обе задачи одновременно описывает единая схема
У\ Уг Уз /А Уз 1
= 0
1 2-1-2 1 10 0 =i> = min
= Х\ =х2 = хА — х4 = х5 = u = max (8.3.31)
По ней можно проверить непосредственно тождество из
теоремы 8.3.2:
xtfi + ЧУ 2 + *зУз + х$а + хьУ*> + u=v. (8.3.32)
-1* 1
1 1
1 1
О 1
1
2
-2
-1
0
1
-6
-5
10
3
2
0
Будем искать решения обеих двойственных задач. Сна-
Сначала исключим переменные zx и z,, на которые не на-
наложено ограничений. Исключая г, при помощи осевого
1
преобразования с осью
в (8.3.31), получаем
Х\
1
0
— 1
-1
2
У2
-1
0
1
Уз
-1
Г
0
У4
1
1
-1
//5
6
1
-2
1
-3
-1
6
= z{ = х2 = х3 = х4
1, отмеченной звездочкой
= ~У\
= 0
= v — mm
х5 = u = max
(8.3.33)
Теперь исключим z2 аналогичным преобразованием с осью
1, отмеченной звездочкой в (8.3.33):
= — У\
= v = mm
= ,v. =M = max (8.3.34)
^3
]
0
-2
-1
2
y2
-1
0
1
0
1
1
0
У»
2
1
-1
У5
7
1
-2
1
-4
i
Д
6
= г! = л;2 = г2 = х4
5.5. Линейное программирование. Симплексный метод 119
Нулевые „переменные" не входят в уравнения по стро-
строкам, но соответствующие столбцы служат для выра-
выражения переменных без ограничений zx и гг через пере-
переменные с ограничением (^0)х1 и х3.
Мы можем теперь придать задаче каноническую
форму, в которой переменные без ограничений выражены
через переменные с ограничением и имеется единая
схема, представляющая пару систем линейных уравне-
уравнений относительно переменных с ограничением. Итак,
перепишем (8.3.34) в канонической форме с помощью
линейных уравнений
z, = — 2х, — *3 + 2,
, (8.3.35)
Z, = А'] + Хъ
и следующей схемы:
Уг У\ Уз 1
— ~~ Уз
= v = min
= x5 =u = max (8.3.36)
Если мы приравняем нулю все независимые переменные
в системах, которые представляет эта схема, х{ = хя=0,
Уч = Уь = Уэ = ®> т0 мы получим так называемое опорное
решение для (8.3.32) с и — v. Значения остальных пере-
переменных мы можем получить из окаймляющей строки
и окаймляющего столбца нашей схемы, а именно х2= I,
х4 = — 1, хъ — — 2, г/] = 4, уя= \ и и = v = 6.
Поскольку для полученного опорного решения все
//,:^0, вектор у = D, 0, 1, 0, 0) является допустимым по
программе для строк и дает и =6. Однако соответ-
соответствующий вектор х из опорного решения не является
допустимым по программе для столбцов, так как среди xt
имеются отрицательные величины, и поэтому мы не
достигли искомого минимума v для программы по
строкам.
Симплексный метод использует осевое преобразо-
преобразование, которое сохраняет допустимость программы по
Х\
Ч
1
-1
0
1
2
1
-1
7
1
_ 2
-4
_ 1
6
— х2 —
120 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
строкам для опорного решения и не увеличивает зна-
значения v. Рассмотрим влияние осевого преобразования
с осью ars на столбец, которому принадлежит ось, и
столбец правых частей:
als ... b,
- V7
als ... bt
~ aisars ' • • bi -
als • • • br
(8.3.37)
... b.
cs ...d
l7J ¦" bm-U,nsa7s
Числа blt ..., bm неположительны, и мы хотим, чтобы
новые правые части были неположительны. Мы хотим
также, чтобы новое значение и— v было меньше пре-
предыдущего, для чего необходимо, чтобы d — csa~J br < d.
Последнее будет достигнуто, если аг$>0, с5^0, и тогда
неравенство bt — aisa~Jbr < 0, 1фт, выполняется навер-
наверняка при а?^<0, а при ais>0 — только если arjb^
^a~slbr. Заметим, что если с^О в каждом столбце,
то наше полное решение допустимо также по столбцам,
и мы имеем решение двойственной задачи. Далее, если
cs<0 и als, ..., йт5<0, то
X j — CL1
cs,
и xs<0 при любом выборе остальных xt^0; в этом
случае программа по столбцам решения не имеет. Тем
самым получаем правило для выбора оси осевого пре-
преобразования, когда есть опорное решение, допустимое
по строкам.
Правило выбора оси для схемы, допустимой по стро-
строкам: в качестве оси следует выбирать положительное art
8.3. Линейное программирование. Симплексный метод 121
в столбце с с5<0, такое, что a~}br~^aj}b, при а,с>0,
IЬ Г to I * 1о
Так, в схеме (8.3.36) в качестве оси можно выбрать
1 в строке х3 и столбце г/4. Преобразуя относительно
этой оси, получаем
Уч У^ I
У 2
1
-1
0
1
-2
1
1
5*
1
-1
-2
-1
5
= ~У\
= v — min
(8.3.38)
= х2 = л:3 = хь = и = max
Беря 5 (отмечено звездочкой) в качестве следующей
подходящей оси, находим
У-2 Уз
1
-1
5
1
5
4
5
-2
5
7
5
3
5
1
5
-1
5
1
5
-2
5
-3
5
23
5
-у*
1 т т -=--?-= и = min
(8.3.39)
= х? = хг =ЛГ| = и = max
В (8.3.39) опорное решение дает допустимые значения
как по строкам, так и по столбцам, и наши двойствен-
двойственные задачи решены. Решения таковы:
х\—Е"»
_2_
5 '
и = v =
23
(8.3.40)
4_
5 '
Значения г, и г2 получены подстановкой найденных х{
в (8.3.35). В общем случае схема, представляющая
122 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
двойственные задачи III и IV, имеет вид
У\ У г ••¦ Уы 1
«11
а{2 ..
а22 .••
ат •.
с2 ..
a1;V
a2N
aMN
. CN
bx
h
bM
d
= 0
= 0
= 0
= v = min
= X\ —
= xN =« =
(8.3.41)
Первый этап нахождения решения состоит в том, чтобы
исключить как можно больше переменных без ограни-
ограничений 2;. Этот процесс осуществляется осевыми пре-
преобразованиями и продолжается до тех пор, пока в схеме
можно найти ненулевой элемент в столбце с у наверху
и в строке с нулем справа. В результате приходим
к схеме вида
Ут + \ ' • ' Ущ + п
о
... о
1
•т+\
a\x .
<„¦ •
О
О
с\ .
•• <п
' ' тп
.. 0
.. 0
с
*
/
f
<
С
п+1
, п+1
, п + \
1-1
••• <v
/
' • ' пт + \, N
•¦
• • • ClMN
...c'N
Ь'м
df
= -у\
~-Ут
= 0
= 0
= v= min
= X
= u=* max
х\ > 0, у'. > 0
(8.3.42)
8.3. Линейное программирование. Симплексный метод 123
В этой схеме переменные со штрихами —это разме-
размещенные иначе первоначальные переменные из (8.3.41),
а строки и столбцы переставлены в соответствии с по-
положением нулей внутри схемы и нулевых символов.
Уравнения для строк пг + 1, ..., М имеют вид
0= b'j, /= m + 1 М.
Следовательно, если какое-либо из b'lt j= m + 1, ..., М,
отлично от нуля, то мы приходим к противоречию:
О=Ь]фО, и система по строкам несовместна.
С другой стороны, если b] = 0 при / = m + 1, ..., М,
то уравнения по строкам сводятся к тривиальному
уравнению 0=0 и могут быть отброшены из системы
по строкам. Столбцы от п + 1 до N являются теперь
линейными уравнениями, выражающими z\, ..., z'm
ограничениями х[, ..., х'т и пере-
m+I, ..., <,м, которые являются теперь произ-
произвольными параметрами. Остается
соотношения относительно х\, .
где все переменные подчинены ограничениям Q>0), и
мы имеем следующую каноническую форму для двой-
двойственных задач (или программ):
= -Ух
* » •
х
1 ct с„ й = v = min
= хт+1 ... = хт+п = и = max (8.3.43)
Для простоты мы опустили штрихи у переменных. Клю-
Ключевое тождество
через переменные
менные г'
рассмотреть
Х'т+п И У<> • •
ТОЛЬКО
1
т
Ут+1 • • •
ап ...
*
атХ ...
Су ...
Ут+п
сп
1
Ьх
Ьт
d
будет выполняться. Задача теперь состоит в том, чтобы
найти по схеме, полученной из (8.3.43) последователь-
124 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
ностью осевых преобразований, допустимое решение
(если таковое существует) для обеих задач, такое, что
Х{У1 = 0, i= 1, ..., m 4-/г, и xt^0, #,-> 0, /=1, ..., m+n.
Чтобы упростить обозначения, в этой части нашего
рассуждения будем обозначать через + положительное
число и © — неотрицательное число; аналогично через —
и Q обозначим отрицательное и неположительное числа
соответственно. Если мы можем от (8.3.43) прийти к схеме
вида
1
(8.3.44)
= v = min
Ф...Ф
е
ё
= и = max
полагая независимые переменные равными нулю, то мы
тем самым получаем допустимое опорное решение для
обеих программ, т. е. решение обеих двойственных за-
задач. Если на некотором шаге мы имеем строку вида
или столбец вида
е
е
1
0...Ф
+
(8.3.45)
(8.3.46)
8.3 Линейное программирование. Симплексный метод 125
то для системы по строкам или системы по столбцам
нарушается требование — г/г^О или + х{ ^ 0, /=1,
2, ..., пг+п, допустимости по строкам или по столбцам
соответственно.
Предположим, что в схеме (8.3.43) нет строк вида
(8.3.45) и столбцов вида (8.3.46). Если й, <0, ..., 6га<0,
то опорное решение допустимо по строкам. Если опор-
опорное решение не допустимо по столбцам, то с5<0 для
некоторого s и в столбце элемента cs должны быть поло-
положительные числа, ибо в противном случае этот столбец
имеет вид (8.3.46) и программа по столбцам вообще не
допустима. Выберем тогда в качестве оси такой эле-
элемент ars в этом столбце, что
rslbi
arslb
при любом
ah>0.
(8.3.47)
Как это было замечено на примере, такой выбор обе-
обеспечивает допустимость нового опорного решения по
строкам и, если br<0, дает новое значение v, строго
меньшее, чем предыдущее.
Аналогично, если с, ^ 0, ..., сп^0, то опорное реше-
решение допустимо по столбцу, и если каждое Ь неположи-
неположительно, то мы имеем допустимые решения для обеих
задач и на этом кончаем. Если же Ьт > 0, то пусть
строка элемента Ът отлична от (8.3.45). Тогда в этой
строке есть отрицательные числа, и мы можем выбрать
такую ось ars, что
аго <0, а~}с
»о Го о
а~}с, для любого а..<0. (8.3.48)
При этом если cs>0, то новое значение и строго больше
предыдущего. Для схемы, которая допустима либо по
строкам, либо по столбцам, последовательность таких
осевых преобразований либо выявляет недопустимую
строку или столбец и тогда решения не существует,
либо приводит к схеме вида (8.3.44) и, следовательно,
решению обеих двойственных задач.
Разумеется, каноническая форма (8.3.43) может ока-
оказаться недопустимой как по строкам, так и по столбцам.
Переставим строки так, чтобы k неположительных Ъ по-
поместить сверху; тогда получим схему
126 Гл. 8. Выпуклые пространства и линейное программирование
Ут
У.
т+п
xk+l
сх ... сп
е
ё
+
+
= - У\
(8.3.49)
= ~~ Ут
= V
= и
Рассмотрим теперь первые k + 1 строк этой схемы как
допустимую по строкам программу и постараемся мини-
минимизировать — tjk + \- Если на каком-нибудь шаге мы до-
достигнем неположительного значения для —уь+и то мы
получим уже k + 1 строк, а не k в виде допустимой по
строкам программы и продолжим процесс, стремясь
представить в допустимой форме как можно больше
строк. Если же не достигнем, то придем к схеме одного
из следующих видов:
е
*
0
*
0
0
+
или
-Ук+i
= V
tt? • • • и/
0
*
©
+
= и
(8.3.50)
8.3 Линейное программирование. Симплексный метод
Вторая из этих схем содержит недопустимую строку
(8.3.45). Если в первой схеме мы выберем в качестве
оси отмеченное звездочкой отрицательное число, то
легко проверить, что этот выбор дает k + 1 или еще
больше допустимых строк. Таким образом, описаны спо-
способы действия во всех возможных случаях.
ГЛАВА
9
Графические методы.
Последовательности де Брёпна
9.1. Полные циклы
Циклом называется последовательность символов
й,а2 ... пп взятых в таком порядке, что а, следует за аг,
и все последовательности а2 .,. ага{, ..., агах ,.. аг_, —
это один и тот же цикл а^ ... аТ. Существует множе-
множество комбинаторных задач о циклах, но здесь мы рас-
рассмотрим только одну. Если п — положительное целое
число и N = 2", то цикл аЛа2 ... aN, составленный из
нулей и единиц, называется полным циклом, если под-
подпоследовательности
_,, i= 1, ..., N,
состоят из всех возможных N=2n упорядоченных по-
последовательностей Ь{ ... Ьп из нулей и единиц. При
п—\, 2, 3 имеются следующие полные циклы:
л=1: 01,
п = 2: ООП,
л = 3: 00010111, *9ЛЛ)
00011101.
При п = 4 существует точно 16 полных циклов. За-
Задача состоит в том, чтобы доказать существование пол-
полных циклов длины N = 2" и, если это возможно, найти
их число.
Решение этой задачи дает теорема, принадлежащая
де Брёйну [1]. По этой причине полные циклы назы-
называются также последовательностями де Брёйна.
Теорема де Брёйна. Для всякого положитель-
положительного целого числа п существует точно 22 ~ ~" полных
циклов длины N = 2n.
9.1. Полные циклы
Доказательство этой теоремы будет дано в раз-
разделе 9.3. Здесь же мы дадим графическую интерпрета-
интерпретацию полных циклов.
Определение. Графом G называется множество
точек {pi} и дуг {Aj}. Каждая дуга А} соединяет две
точки pt и pk, называемые ее Концевыми точками.
Мы не требуем, чтобы две концевые точки дуги были
различными. Если концевые точки дуги совпадают, то
она называется петлей. Две точки могут как вообще
не соединяться дугой, так и соединяться одной или
большим числом дуг. Мы будем рассматривать только
конечные графы, т. е. имеющие конечное число точек
и дуг. Пусть ри ..., рп — такая последовательность то-
точек в графе G, что существуют дуги Л,, соединяющие
р{ и р,Ч1 для i=l, ..., я—1. Последовательность дуг
Аи ..., Ап-1 называется путем, и мы говорим, что точки
pt и рп связаны. Граф G называется связным, если ка-
каждая пара точек в G связана.
С дугой Л,, соединяющей pt и pk, можно также свя-
связать направление, если одну из точек, pt, назвать нача-
началом дуги Ah а другую, pk, —ее концом. Ориентированный
граф —это граф, все дуги которого имеют направление.
При определении пути Л1, Л2, ..., Л„ в ориентированном
графе требуется, чтобы при любом 1=1, ..., п— 1 конец
дуги AL был началом дуги Л/+1. Такой путь называется
циклом, если конец дуги Ап есть начало Ах. Последо-
Последовательность дуг в цикле берется в циклическом порядке,
т. е., например, А,, ..., Ам Л, отождествляется с А{,
Л2, ..., Ап. Пусть каждой из 2п~1 последовательностей
С[ ... cn_j из нулей и единиц длины п— 1 сопоставлена
точка р;=(с,, ..., crt_]) и каждой последовательности
Ьь Ь2, ..., bn- j, Ъп длины п сопоставлена направленная
дуга, началом которой является точка (Ьи Ь2, ..., ?„_,),
а концом точка {Ь2, ..., Ьп-Ь Ьп). Обозначим такой граф
через Gn. На рис. 9.1 показаны графы О2 и О3» стрелки
указывают направление дуг.
Заметим, что граф Gn связен, так как подпоследо-
подпоследовательности длины п в последовательности сх .., crt_t
d, ... rfrt_, дают путь, ведущий из (сх, .,., <?„_))
в (//[, ..., rfn-i). В множестве всех последовательностей
9 М, Холл
130 Гл. 9. Графические методы. Последовательности дс Брёйна
b{b2 ... bn_xbn каждая подпоследовательность длины
п— 1 встречается дважды в качестве b{b2 ... Ъп^ и дважды
в качестве Ь2 ... bn~xbn. Следовательно, каждая точка
в Gn является началом точно двух дуг и концом точно
двух дуг. Если iV=2re, то полному циклу аха2 ... aN
можно сопоставить путь в Gn, составленный из дуг Аь
Oj«j+t •¦• Qi+n-u t= 1« •••» N. Это есть путь, поскольку
для всякого i конец дуги А{ есть начало дуги Ai+l.
Кроме того, это цикл, так как конец AN есть начало Ах.
A, 0)
(О, !)
Рис. 9.1. Графы G2 и С3.
В этот цикл каждая дуга графа Gn входит точно один
раз. Обратно, ориентированный цикл в Gn, содержащий
каждую дугу точно один раз, сразу приводит к построе-
построению полного цикла a-fl2 ... oN, если проходить по по-
порядку дуги а;а/+1 ... «*+„-), i= 1, ..., N. Поэтому за-
задача построения полных циклов а{а% ... aN, составлен-
составленных из нулей и единиц, эквивалентна нахождению циклов
в Gn, в которых каждая дуга проходится точно один
раз, и такие циклы мы также будем называть полными
циклами.
9.2. Теоремы о графах
Сначала опишем несколько свойств неориентирован-
неориентированных графов; некоторые из них справедливы и для
ориентированных графов. Точка р графа называется
9.2. Теоремы о графах
131
m-вершиной, если р — концевая точка для m дуг. Назо-
Назовем р четной вершиной, если m четно.
Лемма 9.2.1. Любой граф содержит четное число
нечетных вершин.
Доказательство. Если имеется xt точек, кото-
которые являются /-вершинами, то Х\ + 2х2+... + kxk = 2A,
где А — число дуг (так как в левой части подсчиты-
вается число концевых точек дуг, а каждая дуга имеет
точно две концевые точки). Из этого равенства следует,
что Xi+ х3 + х5+ ... + x2y+i — четное число, что и требо-
требовалось доказать.
Теорема 9.2.1 (Эйлер). Цикл, проходящий через
каждую дугу графа точно один раз, существует тогда
и только тогда, когда граф связен и все его вершины
четны.
Доказательство. Если существует цикл, про-
проходящий через каждую дугу графа G точно один раз,
то G, очевидно, связен. Кроме того, каждый раз, когда
цикл проходит через некоторую точку> мы приходим
в эту точку по одной дуге, а выходим по другой, и,
значит, каждая вершина четна. Предположим теперь,
что граф G связен и что каждая вершина четна. Пусть
Р — путь в G, который является максимальным (в смы-
смысле использования наибольшего возможного числа дуг).
Покажем, что Р — искомый цикл, содержащий все дуги
графа. Во-первых, Р — цикл. Предположим, что, напро-
напротив, Р есть Аи А2, ..., Ат и Ат заканчивается в точке q,
которая не является начальной для Ах. Но каждый раз,
когда цикл проходит через q, использовались две дуги
с концами в q. Это дает нечетное число дуг, для кото-
которых <7 — концевая точка; но поскольку д —четная вер-
вершина, то должна существовать еще одна дуга в q,
значит, можно добавить к Р дугу Ат+Ь и получается
более длинный путь, что противоречит предположению.
Следовательно, Р — цикл.
Во-вторых, допустим, что существует некоторая
точка q в Р и дуга В с концом в q, не использованная
в Р. Перенумеровывая дуги, если это необходимо,
можем сделать q концом для Ат и началом для Ах.
9'-
132 Гл. 9. Графические методы. Последовательности де Брёйна
Далее, напишем В~Ви соединяя q = q\ с некоторой
точкой q2. Тогда Л\, Л2, ..., Лт, В! —путь, превосхо-
превосходящий по длине Р, что противоречит нашему выбору Р.
Мы показали тем самым, что Р — цикл и что каждая
дуга, проходящая через всякую точку Р, содержится
в Р. Мы утверждаем теперь, что Р проходит через каж-
каждую точку графа G; в самом деле, если р — точка из G,
не содержащаяся в Р, то пусть q — точка, содержа-
содержащаяся в Р. Так как граф G связный, существует путь
Uu U2, .... Uw, где Ui соединяет точки xt и xi + i и
х\==^' xw+\ = Р- Но поскольку q — точка из Р, дуга Ub
соединяющая хх — q и х2, содержится в Р. Значит.
х2 — точка Р, а тогда и дуга U2 также содержится в Р.
Продолжая рассуждение для х3, ..., xw+l — p, получим,
что р — точка Р, что противоречит нашему выбору
точки р. Следовательно, Р содержит все точки G, а зна-
значит, и все дуги G, и теорема доказана.
Теорема 9.2.2. Если граф G связен и имеет точно
2s > 0 нечетных вершин, то существуют s и не суще-
существует меньшего числа путей Ри ,.., Ps, которые в сово-
совокупности содержат все дуги G точно по одному разу.
Каждый из путей Рь ..., Ps начинается в одной нечет-
нечетной вершине и кончается в другой нечетной вершине.
Доказательство. По лемме 9.2.1, если имеются
нечетные вершины, то их должно быть четное число.
Если это число есть 2s, то разобьем их на s пар и об-
образуем новый граф G\, добавляя s новых дуг к G так,
что каждая дуга соединяет пару указанных вершин.
Тогда G\ есть связный граф, все вершины которого
четны. По теореме 9.2.1 существует цикл С в Gb про-
проходящий по всем дугам G\ точно по одному разу. Если
мы из С удалим s дуг, не принадлежащих G, то остав-
оставшиеся дуги составят s путей, проходящих по всем ду-
дугам G, причем каждый путь начинается в одной нечет-
нечетной вершине и кончается в другой нечетной вершине.
Заметим, что в любой совокупности путей Рь содержа-
содержащей все дуги G, каждая нечетная вершина должна быть
концом пути, и, значит, при 2s нечетных вершинах
нельзя пройти все дуги G, используя меньше чем s
путей.
9.2. Теоремы о графах
ПЗ
Простым приложением этой теоремы является изве-
известная задача о кенигсбергских мостах, впервые решен-
решенная Эйлером. На реке, протекающей по городу, нахо-
находятся два острова. Имеется мост между островами, по
Рис. 9.2. Задача о кенигсбергских мостах.
Рис. 9.3. Граф для задачи о мостах.
два моста на каждый берег от большого острова и по
одному мосту на каждый берег от меньшего острова.
Задача состоит в том, чтобы пройти по всем семи мо-
мостам, ни один мост не проходя дважды. На рис. 9.2
показано расположение мостов. Если за точки графа
принять берега и оба острова, то мы увидим, что эта
134 Гл. 9. Графические методы. Последовательности де Брёйна
задача есть задача о нахождении пути, при котором
все дуги на рис. 9.3 проходятся по одному разу. Так
как все четыре вершины этого графа нечетны, теорема
9.2.2 показывает, что требуется по меньшей мере два
отдельных пути, чтобы пройти по всем дугам, и следо-
следовательно, исходная задача о прохождении по всем семи
мостам, не проходя какого-либо моста дважды, не имеет
решения.
9.3. Доказательство теоремы де Брёйна
Обобщение теоремы 9.2.1, принадлежащее Гуду [1],
показывает, что всегда существует хотя бы один пол-
полный цикл а{а2... aN, где N = 2п.
Теорема 9.3.1 (Гуд). Если G — связный ориентиро-
ориентированный граф и если для каждой точки G число выхо-
выходящих из нее дуг совпадает с числом входящих в нее
дуг, то существует ориентированный цикл в G, который
проходит каждую дугу G в указанном на ней напра-
направлении, ни одну из дуг не проходя дважды.
Доказательство. Теорема доказывается по суще-
существу так же, как теорема 9.2.1. Пусть Р = А1,А2, ...
..., Ат — максимальный ориентированный путь в G,
где Л; начинается врги кончается в pi + l для i = 1, ..., т
и все дуги Л], ..., А,п различны. Если рт+\фри то
каждый раз, когда p,n+i проходится в Р, путь входит
в нее по одной дуге и выходит по другой. Но тогда в Р
дуг, входящих в рт+1, оказывается больше, чем выхо-
выходящих, и, значит, по нашему предположению, должна
быть еще одна дуга Лт+1, выходящая из рт+\, откуда
следует, что Р — не максимальный путь. Следовательно,
Pm+i = Pi и Р-цикл.
Если для точки q из Р существует дуга Ви не при-
принадлежащая Р, то можно предположить, что эта дуга
выходит из q; изменяя нумерацию, если это необходимо,
получаем, что q = pi = pm+1. Но тогда Ль Л2, ..., Ат> В{ —
более длинный путь, что противоречит выбору Р. Сле-
Следовательно, если Р — максимальный путь, то Р есть
ориентированный цикл, содержащий все дуги, которые
проходят через любую точку Р. А так как G — связный
9.3. Доказательство Теоремы де Брёйна
135
граф, то Р содержит все дуги графа G. Следовательно,
Р — искомый ориентированный цикл, проходящий каж-
каждую дугу G точно один раз в заданном на ней напра-
направлении.
В разделе 9Л мы заметили, что граф Gn, сопоста-
сопоставленный полным циклам, связен и что в каждой его
точке имеется две дуги, входящие в нее, и две дуги,
выходящие из нее. Следовательно, по теореме 9.3.1 при
каждом целом положительном п существует хотя бы
один полный цикл аха2... aN, если N = 2п. Но тео-
теорема 9.3.1 не дает числа полных циклов. Суть доказа-
доказательства де Брёйна состоит в выяснении связи между
графами Gn и Gn+] и нахождении соотношения между
количеством полных циклов в Gn и в Gn+l.
Назовем ориентированный граф G Ъграфом, если
в каждой его точке существуют две дуги, выходящие
из нее, и две входящие в нее. Наши графы Gn являются
2-графами. Если дан 2-граф G, то определим двойствен-
двойственный граф G* по следующим правилам:
1. Каждой дуге Во из G соотнесем точку Ьо из G*.
2. Если Bj—дуга из G, начало которой есть конец
дуги В о, то в G* имеется дуга ?/01 с началом в Ьо и
концом в Ьх.
3. Точки и дуги в G* определяются по G правилами I
и 2 и никакими другими.
Легко видеть, что G" есть также 2-граф с удвоенный
по сравнению с G числом точек (таково число дуг в G).
Кроме того (и это весьма важно в доказательстве де
Брёйна), Gn+] есть двойственный граф к Gn, ибо произ-
произвольная последовательность из п + \ нулей и единиц
определяет в Gn точки
{Ьь Ь2, ЬЛ &„_,) = *!,
{Ь2, Ь3, ..., &„_!, Ьп) = х2,
(Ь3, ..., bn-b bn, bn + l)-x3\
дуги в Gn — это точки в Grt+]:
(&!, Ь>, Ь3, ..., 6„_„ &Я) = В0=60
{Ь2, &з. •••> bn, />rt+i) = j3i = Ьх
136 Гл. 9. Графические методы. Последовательности де Бре'йнй
тогда в Gn+l имеется дуга
(&,, Ьь Ь3, ..., ?„_,, bn,
Ввиду этого теорема де Брёйна следует из теоремы 9.3.2.
Теорема 9.3.2. Если G есть 2-граф с m точками,
имеющий в точности М полных циклов, то G* имеет
в точности 2m~'Af полных циклов.
Следствие (теорема де Брёйна). Gn имеет в точ-
ности 2 полных циклов.
Доказательство следствия из теоремы
9.3.2. Граф Gn имеет 2п~] точек —точки (ch ..., crt_,).
В G2 имеется в точности один полный цикл. Поэтому
следствие получается из теоремы индукцией по п, если
учесть тот факт, что Gn+1=G«.
Доказательство теоремы. Следуя де Брёйну,
обозначим через | G \ число полных циклов в G. При
этом циклы Л], Аъ ..., Ат и А2, ..., Ат, Ау рассматри-
рассматриваются как один и тот же цикл. Заметим, что | G | = О,
если G несвязен. Заметим также, что теорема 9,3.2
есть обобщение следствия. Таким образом, мы имеем
здесь пример весьма типичной ситуации, когда доказа-
доказательство важного результата зависит от доказательства
его подходящего обобщения.
Доказательство будем проводить индукцией по т.
Если т—\, то G имеет единственную точку р и две
петли А1 и Аг от р к р. В этом случае G* есть граф G2,
имеющий 21~1=1 полный цикл. В общем случае пред-
предположим сначала, что в каждой точке имеется петля.
Тогда (предполагая, что G связен) граф G описать не-
несложно. Он имеет точки ри р2, ..., рт, петли At\ p^pi
в точках pi и дуги Bt: pf—>p, + i, гДе индексы берутся
по модулю т. Граф G* имеет 2т точек ah biyi= I, ..., nt,
дуги Vt\ а^а^Ус. а,-»-6,, IF,: Ь^а? + [ и Xt: й,-+й*и.
Очевидно, в полном цикле для G* дуга Ut должна рас-
располагаться между IFj-j (предшествует ?/,•) и Vt (следует
за Ui). Но путь Wt-i, Ut, Vt, как и дуга Хг-.и ведет
от /?;_, к Ь{. Следовательно, при прохождении полного
цикла в G* каждая из вершин b{, b2, ..., Ьт встретится
93. Доказательство теоремы де Брёйна
137
дважды, причем в первый раз мы можем попасть в Ьь
используя один из двух возможных путей от bi-x к Ьи
и тогда другой путь используется во второй раз. Это
дает точно 2 полных циклов.
Предположим теперь, что G имеет точку х без петли.
Пусть Р, Q —дуги, входящие в х, a R, S — дуги, выхо-
выходящие из х:
G
Р: О.-+Х, R: х—>с,
Q: b->x, S: x->d.
Здесь Р, Q, R, S различны, но некоторые из точек а,
Ь, с, d могут совпадать между собой, но не с х.
Мы можем, удалив х, образовать из G новый 2-граф
двумя способами, полагая либо Р = R, Q=S, либо
P=S, Q—R. Обозначим эти два графа через G] и G-,
соответственно. Каждый полный цикл в G соответствует
полному циклу либо в G[, либо в G2 (но не в обоих)
в зависимости от способа прохождения точки х. Таким
образом, \G\ = \Gi\ + \G2\:
G, G2
i == i\ * а *¦ с ^ л — о» а ~~' (х у
Q= 5: b-*dt Q= R: b-»c.
Каждый из графов Gx и G2 имеет т— 1 точек, и, следо-
следовательно, по индукции
/"¦* I с\т~- | /-> | I /~<* | п'П — 2 I r\ I
\J\ \ = ? 1 Сгi I» | U2 | ^ ^ | О"з J.
Докажем, что \G |= 2 | G\ \ + 2 [ Gi\. Пусть р, q, r,
s — точки G*. соответствующие дугам Р, Q, R, S в G.
Тогда
G
X,: р-
г,
s,
г,
Gi
Р = г,
q = s,
G2
<7 = r.
Здесь G\ и G2 могут быть получены из G* вычеркива-
вычеркиванием четырех дуг Хи Х2, Х3, Х4 и отождествлением р
138 Гл. 9. Графические методы. Последовательности де Брёйна
и q с г и s, как указано. В полный цикл графа G*
входят четыре дуги Xt, а также четыре пути, ведущие
от г и s к р \\ q. Поэтому при каждом полном цикле
реализуется одна из следующих трех возможностей:
Случай 1 Случай 2 Случай 3
С,:
С2:
С/.
Р>
Р.
?>,:
А:
Р.
Р.
Ьх: г -
Е2: г-
?V s
'Р.
Р-
Используя, напримерj пути случая 1, имеем четыре
полных цикла в G\ а именно:
У /~* У /~* У ^~* У /~* *
У С У С У Г У Г •
Л |, 1>2> Л4, Ьз) Л2, L>4, Л3, L>j,
ли Со, л4, С4, Лз) С], л т, Сз-
Использовать пути С для образования полных циклов
в Gi и Go можно лишь следующим образом:
Gi: L\, C9, ь4, Сз!
Go'- Clt С3, С4, С2.
В случае 2 мы имеем следующие четыре полных цикла
в G*:
У Л У П Y Г) У Г) ¦
Л], LJ\, Л2, ?/¦}, Л4, i-^4, Лз, i/2>
JD У Г) У Г) У Г) •
1> -^h -^2' -^4> -^4» иЪ-> Л3' J-/2?
У Г) У Г) У Г) У Г) •
Л[, JJ2, Л2, и%, Л4, Uit Л3, i/j,
ХГ) У П Y П У П
1» -^/2' А2> ^1> Л4> ^3> А3> ^1*
Эти пути не дают связного цикла в Сп, зато в Go мы
имеем два полных цикла:
G2:
A, D3, D2, ?>4;
?>„ А- А, А-
Аналогично пути случая 3 дают четыре полных цикла
для G*, два —для G' и ни одного для Gl- Заметим, что
9.3. Доказательство теоремы де Брёйна
139
все полные циклы для G\ и G2 составлены из путей С\
А или Et. Следовательно, в любом случае
По индукции
I
I т, ! г*
I И [ G2
I
Так как | G\ = \ G{\ + \ G2\, то
| G* 1 = 2m~l I Gj I + 2m~' I G21 = 2m~[ I G f,
и теорема доказана.
ГЛАВА
10
Блок-схемы
iOA. Предварительное обсуждение
В комбинаторном анализе проблемой весьма общего
характера является проблема размещения элементов
в заданном числе множеств таким образом, чтобы /-й
элемент появлялся rt раз во всей совокупности этих
множеств, чтобы j-e множество содержало k} элементов
и чтобы пары, тройки и тому подобные наборы элемен-
элементов появлялись определенное число раз. Такое разме-
размещение может быть названо „системой инцидентности"
или „тактической конфигурацией".
Здесь мы будем рассматривать системы инцидент-
инцидентности частного вида, которые называются неполными
уравновешенными блок-схемами, хотя большей частью
мы для краткости будем называть их блок-схемами или
просто схемами.
Определение. Уравновешенной неполной блок-
схемой называется такое размещение v различных эле-
элементов по b блокам, что каждый блок содержит точно k
различных элементов, каждый элемент появляется точно
в г различных блоках и каждая пара различных эле-
элементов ah ctj появляется точно в Я блоках.
Каждый из b блоков Вь .... Вь содержит k элемен-
элементов, но различные блоки Bt и В/ могут содержать одни
и те же элементы. Таким образом, блок-схема — это не
просто совокупность подмножеств некоторого множества,
а некоторая конструкция из элементов и блоков с от-
отношением инцидентности, указывающим, какие элементы
какому блоку принадлежат. Термин „уравновешенная
неполная блок-схема", применяемый в статистике, проис-
происходит из теории планирования экспериментов. Множе-
10,1. Предварительное обсуждение
141
ство всех vCk, сочетаний из и элементов по k, взятых
в качестве блоков, — это полная блок-схема. А часть
этих сочетаний, в которых каждая пара элементов at, uj
появляется одно и то же число раз, является неполной,
но уравновешенной, поскольку это касается сравнений
между парами.
Между пятью параметрами блок-схемы имеются два
элементарных соотношения:
bk= vr,
A0.1.1а)
A0.1.1b)
Доказываются они просто. В первом случае подсчиты-
вается двумя способами общее число инциденций; ка-
каждый из b блоков содержит k элементов, и каждый
из v элементов принадлежит точно г блокам. Во вто-
втором — подсчитываются появления пар, содержащих фи-
фиксированный элемент а{. Элемент а^ появляется в г бло-
блоках, и в каждом из них образует пары с остальными
k — 1 элементами, но, с другой стороны, а{ образует X пар
с каждым из всех v — 1 остальных элементов.
Блок-схема описывается своей матрицей инцидент-
инцидентности. Если аи .... av — элементы ийь ..., Вь — блоки,
то матрица инцидентности А = {пц), /=1,..., и,
/=1, ..., Ь, строится так:
ац
[ 1, если at e Bh
0, если а,- ф В*.
A0.1.2)
Основные требования для блок-схемы выражаются ма-
матричными уравнениями:
ААТ = В =
г X
к г
A0.1.3)
142
Гл. 10. Блок-схемы
Здесь Jv — (к X у)-матрица из единиц, a w0 и wb— век-
векторы из к и 6 единиц соответственно. Элемент Ьц ма-
матрицы В есть скалярное произведение г-й и /-й строк Л.
Таким образом, bu = r — это число единиц в г-й строке Л.
Если же / Ф i, то 2-я и /-я строки имеют 1 в столбце t
тогда и только тогда, когда aL и ai оба принадлежат Б/.
Значит, недиагональный элемент bti матрицы В — это
число появлений пары ah a;-; в каждом случае он равен X.
Соотношение wvA = kwb выражает тот факт, что в каж-
каждом столбце имеется k единиц. Обратно, (о X ^-ма-
^-матрица А из нулей и единиц, удовлетворяющая A0.1.3),
есть матрица инцидентности блок-схемы с параметрами Ь,
v, r, k, X.
Соотношение ААТ = В можно, конечно, сформулиро-
сформулировать в виде соотношения между квадратичными формами.
Сопоставим элементам неизвестные хи ..., х0> а блоку
By —линейную форму Lf.
= 2
/= 1, ..., b,
A0.1.4)
где ац — элементы матрицы А (см. 10.1.2). Тогда A0.1.3)
принимает вид
+ xvf.
A0.1.5)
О v)
Lt+ ... + L% = (r -
Ниже приведены три примера блок-схем:
1. Для v=b = 7, r = k=3, 1=1:
Во
2. Для 6=12, о = 9, г = 4, fe=3, Я=1:
В,: 1, 2, 3; Я4: 1, 4, 7; В7: 1, 5, 9; В10: 1, 6, 8;
S2: 4, 5, 6; ?5: 2, 5, 8; В8: 2, 6, 7; В„: 2, 4, 9;
Вг: 7, 8, 9; В6: 3, 6, 9; В9: 3, 4, 8; В12: 3, 5, 7.
0,
1,
2,
1,
2,
со"
со*
4;
5;
В,: 3,
?4: 4,
?5: 5,
4,
5,
6,
6;
0;
1;
6,
0,
2.
/I?./. Предварительное обсуждение
143
3. Для и=&=
В,:
В*
В4:
В,:
В,:
В7:
в!':
0, 1, 2,
0, 1, 2
0, 1, 2
0, 3, 4
0, 3, 4
0, 5, 6
0, 5, 6
1, 3, 5
1, 3, 6
1, 4, 5
1, 4, 6
2, 3, 5
2, 3, 6
2, 4, 5
2, 4, 6
со"
7,
И,
7,
9,
7,
9,
7,
7,
8,
8,
8,
8,
7,
7,
4,
8,
12,
оо"
ю,
оо"
ю,
9,
ю,
ю,
9,
ю,
9,
9,
10,
5,
9,
13,
И,
со"
со"
11,
11,
12,
11,
12,
12,
И,
12,
И,
6;
Ю;
14;
12;
14;
14;
12;
13;
14;
14;
14;
13;
14;
14;
13.
Блок-схема называется симметричной, если v=b (и,
значит, k = r); первая и третья из приведенных схем
как раз этого типа. Вторая схема не симметрична, но
имеет дополнительное свойство другого рода. В приве-
приведенной записи блоки из примера 2 разделены на четыре
группы по три блока в каждой группе, причем каждая
группа содержит все девять элементов. Схема с таким
свойством называется разрешимой блок-схемой. Мы по-
покажем в следующем разделе, что симметричная схема
всегда обладает еще одним свойством: любые два раз-
различных блока имеют точно X общих элементов. Это
свойство дает возможность построить из каждой симме-
симметричной блок-схемы еще две схемы, что можно проил-
проиллюстрировать на третьем примере.
Возьмем один из блоков (скажем, Во) и построим
блоки в\, ..., В'ь-\, где В\ содержит X элементов, общих
для Во и Bh /= 1, ..., Ь—\. Получим схему, которая
называется производной схемой. Если исходная схема
имела параметры v =6, г = k, X, то производная схема
имеет параметры
114
Гл. 10. Блок-схемы
В нашем примере параметры производной схемы — это
v'=7, Ь'= 14, г' = 6, fe'=3, If = 2, и ее элементы--это
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, появляющиеся в блоках В{, ..., В!4.
Если вычеркнуть Во и его элементы из блоков Вь ..., Б14,
то полученные таким образом блоки B\t ..., Вн, соста-
составленные из элементов 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, обра-
образуют остаточную схему. Параметры остаточной схемы —
это v*=v~k, b*=b-l = v-\, k* = k-X, r* = r = k,
X*~X. В нашем примере v* = 8, b* = 14, k* — 4, rr = 7,
1 * Q
A = <J.
10.2. Элементарные теоремы о блок-схемах
Основным соотношением для матрицы инцидентности
блок-схемы является
X ... X
A0.2.1)
Можно без труда вычислить детерминант В и найти, что
vlX + r). A0.2.2)
Чтобы получить это выражение, вычтем первый стол-
столбец из всех остальных и затем прибавим 2-ю, 3-ю, ..., v-ю
строки к первой. Тогда все элементы выше главной диа-
диагонали оказываются равными нулю; на главной диаго-
диагонали первый элемент есть г + (у — 1)А, а остальные
равны г — X. Это и дает A0.2.2). Если г = X, то схема
тривиальна, так как тогда элемент at может появляться
только вместе с каждым другим элементом й/, и каждый
блок содержит все v элементов. В противном случае
г>Х и В невырождена. Отсюда можно получить нера-
неравенство Фишера
b^v, и, следовательно, r'^k, A0.2.3)
ибо ранг А не превосходит Ь, в то время как ранг В
равен v. Но ранг произведения матриц не может пре-
превышать ранга сомножителя, и потому b ^ v.
10,2 Элементарные теоремы о блок-схемах
145
другой множитель
(k — X)v~\ также должен
Следующая теорема доказывается легко, но имеет
очень сильные следствия.
Теорема 10.2.1. Если в симметричной схеме v
четно, то k — X есть точный квадрат.
Доказательство. Так как b=v, то А — квад-
квадратная матрица и из формулы A0.2.1) получаем
(det AJ = det В = (k - X)v~l (vX - X + k). A0.2.4)
Поскольку k(k— 1) = X (v — 1), то vX — X + k = k2. Но тогда
в выражении для det В, а именно
быть квадратом, а так как v
четно, то это означает, что k — Х есть квадрат, что и
требовалось доказать. Эта теорема показывает, что соот-
соотношения A0.1.1) для параметров блок-схемы не являются
достаточными условиями ее существования. Например,
параметры fr = o = 22, r = fe — 7, Х = 2 удовлетворяют
условиям A0.1.1), и схема (если бы она существовала)
должна была бы быть симметричной. Но v = 22 четно,
a k — Л = 5 не есть квадрат, и поэтому такой схемы не
существует.
Следующая теорема дает основное свойство симме-
симметричных схем.
Теорема 10.2.2. Если А — матраца инцидентности
симметричной блок-схемы, то А удовлетворяет следую-
следующим четырем соотношениям:
-X)l + XJ, A0.2.5)
-X)I + XJ, A0.2.6)
AJ = kJ, A0.2.7)
JA = kJ. A0.2.8)
Из них формула A0.2.5) —это фактически A0.2.1),
если вспомнить, что b = v, k = r, а соотношение A0.2.7)
означает, что каждая строка в А содержит k единиц,
т. е. каждый элемент содержится в r=k блоках. Равен-
Равенство A0.2.8) означает, что каждый столбец в Л содержит k
единиц, т. е. число элементов в каждом блоке равно k. Та-
Таким образом, остается только показать, что выполняется
J0 М. Холл
146
Гл. 10. Блок-схемы
A0.2.6). Для этого достаточно показать, что A0.2.6)
является следствием A0.2.5), A0.2.7) и A0.2.8). Это
просто теорема о матрицах, что показывает следующая
теорема, в которой предполагается значительно меньше.
Теорема 10.2.3 (Райзер). Пусть А —невырожденная
{v X и)-матрица, которая удовлетворяет либо A0.2.5),
либо A0.2.6), а также либо A0.2.7), либо A0.2.8). Тогда А
удовлетворяет всем четырем равенствам A0.2.5) —A0.2.8).
Кроме того, v, k, X удовлетворяют соотношению k2 — k =
= h(v-\).
Доказательство. Так как detВ = {k— X)v~l (vX —
— X + k), невырожденность А означает просто, что
k — Хф 0, vX — X + k^O. Допустим, что выполняются
A0.2.5) и A0.2.7). Тогда нам дана невырожденная мат-
матрица А и
AAr (kX)l Xl AJ = kJ. A0.2.9)
~l
Находим теперь: A~l {AJ) = Л (kj), следовательно,
J = kA~lJ, а потому k ф 0 и Л"'/= k~~lL Имеем также
(AJ)T=(kJ)T, или JAT=kJ, так как/г = /. Замечая, что
/2 = vJ, получим
Ат = Л (ААТ) = {k-X) A~
ХА~Ч =
kJ = JAT = {k-X) /Л + Xk~xf =
= (k-X)JA~l +Xk~lvJ.
Таким образом,
г л-\ k — Xk~^V T j
JA = YZ~%— / = mA
где через m обозначена постоянная. Следовательно,
7 = mJA,
vJ = J2 = (т/Л)/= т/(Л/) =
= m/ (/г/) = mkJ2 = mkvj.
Это дает v = m&f, т. e. ink = 1, m = k~\ \\o m(k — X) ~
~k — Xk~lv, Подставляя m = k~l, получим k~~\k~X)=*
10.2. Элементарные теоремы о блок-схемах
147
= k — Xk^ v и, умножив на k, приходим к соотношению
k~X — kl — Xv, или
k2~k = X{v-l), A0.2.10)
что и требовалось доказать. Равенство JA~~x = mJ = k~]J
дает также 7 = /г~'/Л, или
JA = kJ, A0.2.11)
— соотношение A0,2.8), которое требовалось доказать.
Мы можем теперь вернуться к равенству
и, умножив справа на Л, получить соотношение
= {k-X)I
A0.2.12)
которое является требуемым соотношением A0.2.6).
Мы показали, что если Л невырождена, из соотноше-
соотношений A0.2.5) и A0.2.7) следуют A0.2.6) и A0.2.8) и со-
соотношение k2 — k = X{v— 1).
Предположим теперь, что выполняются A0.2.5) и
A0.2.8) и что Л невырождена. Тогда
JA = kJ.
Этот случай несколько проще первого. Имеем
J(AAT) ={k-X)J + XJ\
kIAT ={k-X)J + XvJ=mJ, m= k-X + Xv,
kJ{JA)T =
kJ(kJ)T =
k2J2 = mJ2,
следозательно, k2 = m = k — X + Xv, т. e. k2 — k = X (i> — 1),
что и требовалось доказать. Далее, kJAT = mJ' = й2/, fe^O,
10*
148
Га, 10. Блок-схемы
так как А невырождена. Тогда JAT = kj, что дает
т. е. требуемое соотношение A0.2.7). Наконец,
Но при AJ = kl = IА имеем A JA — J, следовательно,
АтА — {k — Я) / + II, т. е. получено соотношение A0.2.6).
Таким образом, из A0.2.5) и A0.2.8) следуют остальные
соотношения.
Наконец, если в предыдущих рассуждениях заменить Л
на Ат, то получится, что из формулы A0.2.6) и либо
A0.2.7), либо A0.2.8) следуют остальные соотношения,
и доказательство теоремы завершено.
Из теорем 10.2.2 и 10.2.3 вытекает несколько важных
следствий. Если А — матрица инцидентности симметрич-
симметричной схемы, то соотношение АтА — {k — Я) / + ЯУ показы-
показывает, что любые два различных блока схемы имеют
точно Я общих элементов — факт, упомянутый в раз-
разделе 10.1, доказательство которого мы обещали дать
в этом разделе. Точнее, эти соотношения означают,
что Аг также является матрицей инцидентности блок-
схемы. Если D — заданная схема с элементами а,, ..., аи
и блоками В{, ..., Вю то Ат — матрица инцидентности
двойственной схемы D' с элементами Ьи ..., bv и бло-
блоками Аь ..., Av. Можно установить соответствие между D
и D' следующим образом:
В'' t>b" (Ю.2.13)
и определить D' правилом: bj e At тогда и только тогда,
когда й( е Вi в D.
В первом из примеров в конце разд. ЮЛ двойствен-
двойственная схема D' эквивалентна исходной схеме, в чем легко
убедиться, перенумеровав надлежащим образом эле-
элементы и блоки. Но в третьем примере двойственная
схема D', хотя и имеет параметры v = b= 15, r = k — 7,
Я=3, но не эквивалентна исходной схеме D ни при
каком перенумеровании элементов и блоков. Действи-
Действительно, в D следующие тройки элементов: 0, 1, 2; 0, 3, 4;
10.3. Теорема Брука — Райзера — Човла
149
0, 5, 6; 0, 7, 8; 0, 9, 10; 0, 11, 12; 0, 13, 14, и только они,
обладают тем свойством, что входят каждая в три блока.
Заметим, что все они содержат элемент 0. В D' каждая
из троек элементов 60, Ьи Ь2\ Ьо, Ь3, Ьл; b0, b5, b6; bb b3, b5;
bx, bA, 66; b2, 63, 66; 62, Ьь 65 является общей трем блокам,
и никакая другая тройка не обладает этим свойством.
Но эти множества троек не имеют общего элемента,
а при перенумеровании элементов и блоков пересекаю-
пересекающиеся тройки должны переходить также в пересекаю-
пересекающиеся тройки. Следовательно, никакое перенумерование
элементов и блоков не сделает D' эквивалентной D.
10.3. Теорема Брука —Райзера —Човла
Наиболее важная теорема существования для сим-
симметричных блок-схем принадлежит Бруку, Райзеру и
Човла.
Теорема 10.3.1. Если существует симметричная
блок-схема с параметрами v, k, Я, то, полагая n = k — X,
получаем:
1) если v четно, то п есть квадрат;
2) если v нечетно, то уравнение z2 = nx2 + (— 1) 2 Яг/2
имеет решение в целых числах х, у, г, не равных одно-
одновременно нулю.
Условие 1 уже доказано (теорема 10.2.1). Теорема
10.3.1 для случая Я='1, когда схема является конечной
проективной плоскостью, впервые была доказана в 1949 г.
Бруком и Райзером [1]. В 1950 г. эта теорема в своей
полной форме была доказана Човла и Райзером [1],
а Шрикханде [1] независимо от них в том же году
доказал также условие 1. Арифметические соображения
исключают многие параметры, которые удовлетворяют
условию k (k — 1) = Я (v — 1). Например, если v — 43, k = 7,
Я=1, применение условия 2 приводит к уравнению
22 = 6а:2 — г/2, или z2 + у2 = 6х2, которое не имеет ненуле-
ненулевого решения в целых х, у, z. Следовательно, симмет-
симметричной схемы с параметрами v = 43, k =7, Я=1 не
существует. Следует отметить, что это наиболее сильное
из известных условие существования симметричных схем.
150
Гл. 10. Блок-схемы
Возможно даже, что необходимые условия теоремы
Брука — Райзера — Човла являются в действительности
достаточными для существования схемы. До сих пор
нет примера, который показывал бы тем или иным спо-
способом, что не существует симметричной схемы для зна-
значений параметров v, k, X, удовлетворяющих равенству
k (k — 1) = X (v — 1) и условиям Брука — Райзера — Човла.
Существует, разумеется, много параметров, для которых
существование схемы находится под сомнением. В част-
частности, очень интересен вопрос о существовании проек-
проективной плоскости порядка 10— симметричной схемы
с параметрами у= 111, 6 = 11, А= 1, /г = 10.
Основным наблюдением Брука и Райзера было то,
что для симметричных схем соотношение A0.1.5) прини-
принимает вид
где
02=Q, A0.3.1)
A0.3.2)
йц — числа 0 или 1. Используя лишь рациональность
коэффициентов форм Lj, получаем, что из существова-
существования симметричной блок-схемы следует рациональная
эквивалентность формы Q, заданной правой частью фор-
формулы A0.3.1), сумме квадратов L?+ ... +1\. О рацио-
рациональной эквивалентности квадратичных форм имеются
сильные и глубокие результаты Хассе и Минковского.
Приложение этих результатов к A0.3.1) и дает тео-
теорему 10.3.1. Работа Човла — Райзера, которой мы в ос-
основном будем следовать, дает более элементарное дока-
доказательство теоремы 10.3.1, хотя для других целей нам
нужны результаты Хассе — Минковского во всей полноте.
Длл доказательства теоремы нам понадобятся одна
арифметическая теорема и одно тождество. Это тожде-
тождество
1 A0.3.3)
10.3. Теорема Брука — Райзера — Човла
151
где
Ух =
у2 =
(/3=
у 4 =
Ь2х2 -
— Ьгх2
A0.3.4)
Оно наиболее естественно припоминается в связи с ква-
кватернионами, хотя исторически это тождество предшест-
предшествует открытию кватернионов Гамильтоном. Если имеется
система единиц 1, i, j, k, где i2 = j2 = k2^ — 1, lj = k,
jk = i, ki = j, ji = — k, kj = — i, ik = — j, то правило
умножения кватернионов принимает вид
(bx +¦ b2i + b3j + ЬАк) (хх + x2i -
A0.3.5)
где Ух, у2, Уз, У\ заданы равенствами A0.3.4), и если мы
определим норму N (Р) кватерниона C = b{ + b.J. + b3j + b4k
равенством
N{b)=b\ + b\+bl+b% A0.3.6)
то тождество A0.3.3) принимает вид
A0.3.7)
Арифметическая теорема принадлежит Лагранжу. За
доказательством мы отсылаем читателя к книге Харди
и Райта [1, стр. 302].
Теорема Лагранжа. Каждое положительное
целое число п можно представить в виде суммы квадра-
квадратов четырех целых чисел:
Заметим, что если 6j, b>, b:i, bA — целые числа и
rt= b\-\- b\ + bt + b\, то в A0.3.4) определитель линейных
форм от Х( равен п2. Следовательно, мы можем выра-
выразить Xi как линейные формы от yt с рациональными
коэффициентами, имеющими в знаменателе п2.
Продолжим доказательство теоремы Брука — Рай-
Райзера - Човла. Для числа п = к-\ по теореме Лагранжа
152
Гл. 10. Блок-схемы
п
имеем п= bi + Ь} + з +
A0.3.1) принимает вид
с целыми Ь{, Ьь Ьъ, Ь4. Тогда
1+ ..,+xvf. A0.3.8)
Так как при v четном теорема уже доказана (по тео-
теореме 10.2.1), то считаем v нечетным и предположим
сначала, что у ^=1 (mod 4). Преобразуем теперь правую
часть A0.3.8) с помощью тождества
п(х]
х
+1
у}+2
(Ю.3.9)
где использовано представление п = b\ + b\ + b\ + b\ и
тождество A0.3.3), в котором yt и х( связаны между
собой, как в A0.3.4). Применим A0.3.9) к х, взятым по
четыре, и поскольку v = 1 (mod 4), одно х останется
свободным:
A0.3.10)
Полагаем теперь yv = xv и, выражая xt через у%, полу-
получаем рациональное тождество относительно независимых
неизвестных уь ..., yv:
L]+ ... +L\ = y]+ ... +yl_l+nyl+lw\ A0.3.11)
где Lu ..., Lv и w = Xi+ x2+ ... + xv — рациональные
линейные формы от уи ..., yv. Пусть L{~cny]+ ...
. .. + cXoyv. Если сиф\, то мы можем принять Ll=yl
в качестве соотношения, определяющего у{ как линейную
форму от у.2, ..., yv. Если сп = 1, то полагаем Lx =
= — у{. В любом случае ух выражается как рациональ-
рациональная линейная форма от у2, ..., у„, и справедливо ра-
равенство 1?х = у\. Тогда A0.3.11) принимает вид
A0.3.12)
Ц+
т. е. становится тождеством относительно у2, ..., yv.
Аналогично мы можем выразить у2 в виде линейной
формы от i/з i/v> полагая L2 = ± у2- Продолжая этот
процесс для L3, ..., Lv-U мы, наконец, получим, что
A0.3.13)
10.3. Теорема Брука — Райзера — Човла
153
где Lv и w — рациональные кратные yv, которое по-преж-
по-прежнему остается независимым. Последнее существенно,
так как соотношение A0.3.13) ничего не дало бы нам,
если бы Lv, yv и w были тождественно равны нулю.
Взяв в качестве yv целое число х, кратное знаменателям
в Lv и w, мы получаем соотношение для целых чисел
х, у, г с х=^0:
z2 = rt*2 + ?u/2. A0.3.14)
Это равенство есть следствие существования схемы
с о=1 (mod 4).
Если u=E3(mod4), то пусть xv+l — новое неизвестное.
Прибавляя tix2v+l к обеим частям равенства A0.3,8) и
используя A0.3.9), приходим к форме
Ц+
+ L2 +
+ 1
= у2 +
+yl+l+lw\ A0.3.15)
Действуя, как прежде, находим, что
nx2=y2v+[+Xw2,
A0.3.16)
где х, w рационально зависят от независимого неизвест-
неизвестного yv+\- Мы можем взять yv+l кратным знаменателям
в х и w, и это даст нам ненулевое решение в целых
числах уравнения
г2 = пх2 - Ку2. A0.3.17)
Теперь можем соединить A0.3.14) и A0.3.17) в одно со-
соотношение
р-1
'—П 2
A0.3.18)
Тем самым доказана вторая часть, а следовательно, и
вся теорема 10.3.1.
Основное уравнение инцидентности для симметрич-
симметричной схемы имеет вид
AAT={k-k)I + XJ. A0.3.19)
В терминах квадратичных форм его можно записать
в виде
A0.3.20)
154
Гл. 10. Блок-схемы
где
A0.3.21)
Теорема Брука — Райзера — Човла дает необходимые
условия для существования рациональной матрицы А,
удовлетворяющей A0.3.19), или, что то же самое, для
существования рациональных линейных форм L/, удо-
удовлетворяющих A0.3.20). Эти условия являются в дей-
действительности достаточными для рационального решения
A0.3.19) или A0.3.20). Доказательство этого основывается
на глубоких результатах Хассе — Минковского, которые
будут приведены в следующем разделе. Но в двух слу-
случаях достаточность может быть показана непосредст-
непосредственно. Прежде всего, если k — X = n есть квадрат, то
легко проверить, что
А =
^, + ±z?±
A0.3.22)
L; =
+ xv), / = 1,
— рациональные решения уравнений A0.3.19) и A0.3.20)
соответственно. Это доказывает достаточность условия 1
теоремы 10.3.1, когда v четно, и, разумеется, включает
случаи, когда v нечетно, а п — квадрат. Когда Я=1,
мы можем написать k = n-t\, и тогда v~n2 + n + \.
Тождество A0.3.20) можно переписать в виде
T (X-2 "Ь ... Xv)~.
A0.3.23)
Необходимо заметить здесь, что коэффициент при х\
в правой части A0.3.23) равен (v — \)!п= {п2 + п)/п =
= «+1, что согласуется с A0.3.20). Когда и = 1 (mod 4),
тождество
п [и]
== у]
ifi
i+2
10 4. Формулировка теоремы Хассе — Минковского
155
примененное к правой части равенства A0.3.23), приводит
его к виду
L?+ ... +L^yf+ ... +yl, A0.3.24)
где yv = х., 4- ... + xv, и мы непосредственно получаем
Li = yb i=h •••> у. в качестве рационального решения
A0.3120). Очевидно, о = 1 (mod 4), когда гс = 0,3 (mod 4).
Если же /1=1, 2 (mod 4), Toy^3(mod4), и по условию 2
теоремы уравнение
z* = nx2-tf A0.3.25)
имеет ненулевые решения в целых числах. Тогда
и /г = г2 + s2, г — у/х, s = zjx и можно воспользоваться
тождеством
A0.3.26)
+ s>)Ы] + и?+1) = (rut + sui+lf
чтобы привести A0.3.23) к виду
L'i+...+Ll=!fl + ...+yl. A0.3.27)
Снова Lj = yh /=1, ..., v, дает рациональное решение
A0.3.8). Когда v нечетно и Я>1, то, по-видимому, не
существует равенства, аналогичного A0.3.23), которое
давало бы простое доказательство достаточности условий
Брука — Райзера—Човла для рационального решения
A0.3.8).
10.4. Формулировка теоремы Хассе — Минковского.
Приложения
В этом разделе мы сформулируем несколько теорем
из теории чисел, которые необходимы для нашей даль-
дальнейшей работы в комбинаторном анализе. Никаких до-
доказательств приводиться не будет, но будут указаны
источники, где соответствующие доказательства можно
найти.
Пусть р — нечетное простое число. Числа fr#0(modp)
делятся на два класса, называемые квадратичными
вычетами и квадратичными невычетами, в зависимости
от того, имеет ли сравнение х2^= Ь (modp) решение
-v(modp) или нет. Так, по модулю 7 число 2 является
квадратичным вычетом, а 3 —квадратичным невычетом,
156
Гл. 10. Блок-схемы
так как 42 = 2(mod7), a .v2=3(mod7) не имеет решения.
Это свойство выражается посредством символа Лежандра
(—) следующим образом:
(— ]=+1, если b есть квадратичный вычет по modp,
A0.4.1а)
(— )=—1, если b есть квадратичный невычет по mod р.
B\ / 3 \
у]=-Н и (у)=—1. Если Ь =
— j =0. Сле-
Следующие теоремы выражают некоторые из основных
свойств квадратичных вычетов и невычетов. Доказатель-
Доказательства можно найти в книге Харди и Райта [1, стр.68]1).
Теорема 10.4.1. Если р — нечетное простое число, то
b^c (mod р) влечет за собой (— ] = (—1, A0.4.2)
»-(-?-) (mod/>),
bc_
Р
A0.4.3)
A0.4.4)
Эта теорема включает утверждение, что произведе-
произведете /3\ 1 F\
ние двух невычетов есть вычет. Так, 1у|=—1, I у I —
= -1, но 3-6= 18 = 4(mod7) и 22s=4 (mod 7). Имеются
также некоторые более глубокие соотношения между
символами ( —j для различных простых р. Они принад-
принадлежат Гауссу, а второе и третье из следующих ниже
соотношений известны под названием „квадратичного
закона взаимности".
') См. таоке
1952. -Прим. ред
И. М. Виноградов „Основы теории чисел", М. —Л.,
10.4. Формулировка теоремы Хассе — Минковского
157
Теорема 10.4.2. Если р и q — два нечетных про-
простых числа, то
~П=: (- ]\~Т
~ =(-!)"
р-1 q-\
A0.4.5)
A0.4.6)
A0.4.7)
Теоремы 10.4.1 и 10.4.2 не только выражают глу-
глубокие свойства квадратичных вычетов, но и позволяют
— I. Так, (-5Т 1 =
р } \oS /
/ 2 \/ 13 \ / 2 \
= \~83") 1^83")' Здесь> в силу Равенства A0.4.6), [gH ==
A3 \ / 83 \
тг -ту U + 1. Следовательно,
ОО /\ 10 j
-пг = -ттг • И
оо | — 1 |о I " "" \iu-T.t; I ^г^ | — i "ттг I • r1^ AU.4./J СЛе~
/ 5 \/ 13 \ , , / 5 \ ( 11\ I 3 \
дует, что -Р5--Г- =+ 1, поэтому тт=-5-=Г5--
\ 1о / \ о / -1 \ 1о j \ о / \о;
Теперь можно убедиться, что (yj=—1, либо непосред-
непосредственным подсчетом, либо используя формулы A0.4.6)
и A0.4.7): Ш = D) = Ш==_1.Поэтому(^- =(-^W
(
нение ^2^26(mod83) имеет решение. Этот метод не
позволяет, однако, найти само решение, которое нахо-
находится путем перебора: л; = 21 (mod83).
Для сравнений по модулю степеней простого числа р
справедлива
Теорема 10.4.3. Пусть р — простое число, и пусть
b = pabu где р не делит Ь{. Тогда для произвольно вы-
высокой степени ра числа р сравнение
") A0.4.8)
разрешимо в том и только в том случае, если: 1) а четно,
2) I—j=-fl, если р нечетно, и &1^l(mod8), если
158
Гл. tO. Блок-схемы
В разделе 10.3 было дано необходимое условие
(теорема Брука — Райзера — Човла) существования ра-
рациональной (о X к)-матрицы А, удовлетворяющей усло-
условию
ААТ = В = (k - К) I + U.
A0.4.9)
Оно состоит в следующем: 1) при v четном n = k — X
есть квадрат, 2) при v нечетном уравнение
0-1
пх2 + (_\) 2 xtf = zi A0.4.10)
имеет ненулевые решения в целых ху у, z. Эти условия
также достаточны. Если п — квадрат, то мы находим,
что
А = Уп I +
k-Vn
A0.4.11)
— рациональное решение для A0.4.9). Это охватывает
все случаи с четным о. Доказательство достаточности
A0.4.10) для нечетного v опирается на глубокую теорию
квадратичных форм, принадлежащую Хассе и Минков-
скому. Если Ъ и с — целые числа, то положим символ
норменного вычета Гильберта (Ь, с)р равным +1 или —1
в соответствии с тем, имеет или нет сравнение
Ьх2 + су2 = 22 (mod pm)
A0.4.12)
решение в целых числах х, у, г, не все из которых
кратны р, для произвольно больших степеней р. Мы
определим (Ь, с)Р и для р= оо, считая, что {Ь, с)от= +1
или — 1 в соответствии с тем, имеет уравнение
Ьх2 + су2
A0.4.13)
ненулевые решения в действительных числах х, у, z или
нет. Таким образом, (Ь, с)оо—+\, если ни Ь, ни с не
являются отрицательными. Более подробно об этой
теории можно прочитать в книге Джонса [1, стр. 17—81].
Теорема 10.4.4. Уравнение
Ьх2 + су2 = z
A0.4.14)
10.4. Формулировка георемы Хассе — Минковского
159
имеет ненулевые решения в целых числах х, у, z тогда
и только тогда, когда {Ь, с)р— +1 при всех простых р,
включая р = оо.
Мы отмечали, что матричное уравнение A0.4.9) экви-
эквивалентно уравнению
L2+ ... +L2v = (k-X)(x2+ ... +xl)+X(Xl+ ... +xvf.
A0.4.15)
Поэтому существование рациональной матрицы А, удо-
удовлетворяющей A0.4.9), в точности эквивалентно суще-
существованию рационального преобразования, переводя-
переводящего форму х\ + ... + х\ в форму (k - 1){х\ + ... + x2v) +
+ Х(х{+ ... + xvJ. Теория Хассе —Минковского дает
условия для рациональной эквивалентности любых двух
рациональных квадратичных форм. Они выражаются
посредством символа Хассе ср (/), определяемого для
квадратичной формы
f =
m
. 2
= bj{,
и простых чисел р, включая р = <х>.
Если
то определим при г—\, ..., пг величину
Dr= det{bu), i, j=l, .... г,
Dr называется r-м ведущим главным минором матрицы
В = (bij). Будем предполагать, что все Ьц — целые числа,
a Db .. ., Dm все отличны от нуля. Более общая теория
нам не понадобится.
Определим для f и каждого простого р, включая
р — оо, символ
т-\
. A0.4.16)
Приведем основную теорему, на которую мы будем
ссылаться.
160
Гл. 10. Блок-схемы
10.4. Формулировка теоремы Хоссе — Минковскогп
161
Теорема 10.4.5 (Хассе — Минковский). Если /,
и f2 — целочисленные квадратичные формы от m пере-
переменных, ни у одной из которых ведущие главные миноры
не обращаются в нуль, то необходимое и достаточное
условие того, чтобы fl и f2 были рационально эквива-
эквивалентны, состоит в том, что ср (f^ = cp (f2) при всех не-
нечетных простых р и р = оо.
Следующая теорема дает основные свойства символа
норменного вычета Гильберта (Ь, с)р, используемые при
подсчетах.
Теорема 10.4.6. Символ норменного вычета Гиль-
Гильберта обладает следующими свойствами (Ь, с, d, e —целые
числа):
\\{Ь, с)р= 1> где произведение берется по
всем простым числам, включая
р = оо; A0.4.17)
F, с)оо= 1, если только Ъ и с не являются
оба отрицательными) A0.4.18)
(b, с)р={с, b)p; A0.4.19)
(Ь,й2, с)р=(Ьи с)р(Ь2, с)р; A0.4.20)
(bd\ се% = (Ь, с)р; A0.4.21)
(Ь, -b)p=\, (Ь2, с)р=1. A0.4.22)
Если р — нечетное простое число, то
(?t с)р=1, если b и с взаимно просты с р; A0.4.23)
(Ь,р)р = (~), если u#0(modp); A0.4.24)
(р,р)р = (-\,р)р. A0.4.25)
Если bl^b,?^0(modp), то (й„ с)р = (Ь2, с)р. A0.4.26)
Посредством формулы A0.4.17) нам удалось исключить
р = 2 из рассмотрения в теореме 10.4.5, так как
с->(!\) = С2(!г)у есл" Cpifi) ~ cp(fj) при всех нечетных про-
простых р и р — оо.
Задача, которой мы занимаемся, состоит в том, чтобы
при нечетном v показать, что рациональное решение
уравнения A0.4.15) эквивалентно существованию целых
I
х, у, г, не равных одновременно нулю и удовлетворяю-
удовлетворяющих A0.4.10). Рассмотрим рациональные формы
... +x*v
Имеем для f,
Dr=nr-i[k + (r-l)X], r = l, ..., v,
а для f2
Dr= 1, r = 1, ..., v.
Для U без труда находим, что сх (/,) = — 1 и ср (f2) = + 1
при р конечном и нечетном. Так как для /, все Dr
положительны, то соо(/,)=—1. Следовательно, по тео-
теореме 10.4.5 формы f, и /2 рационально эквивалентны
тогда и только тогда, когда ср (f,) = + 1 для всех конеч-
конечных нечетных простых чисел. Это равносильно требова-
требованию, чтобы для конечных нечетных р
v-\
Di+l)p=h A0.4.27)
/= 1, ..., v.
[Dt вычисляется совершенно аналогично deiB в A0.2.2).]
Детальный и довольно трудоемкий подсчет показы-
показывает, что при v нечетном формула A0.4.27) приводит
к равенству
/ tl \
A0.4.28)
cP(fl) = (n, (-
для конечных нечетных простых р. Так как п положи-
положительно, то
( — \
\п, (-1) 2 kL^+l. A0.4.29)
Таким образом, используя A0.4.17), чтобы получить
также равенство \п, (-1) 2 ХJ= +1, мы можем обра-
обратиться к теореме 10.4.4 и заключить, что рациональная
эквивалентность f] и f2 для нечетного v эквивалентна
существованию рациональных чисел х, у, z, не равных
11 лг. Холл
1G2
Гл. 10. Блок-схемы
одновременно нулю и удовлетворяющих уравнению
v-l
~1) 2
A0.4.30)
Тем самым условие A0.4.30) не только необходимо,
но и достаточно для существования рационального реше-
решения A0.4.15) или, что эквивалентно, A0.4.9). Это дока-
доказывает теорему Брука — Райзера — Човла и рациональ-
рациональное обращение этой теоремы.
Остается лишь проделать трудоемкую работу, чтобы
показать, что A0.4.27) сводится к A0.4.28) для нечетных
простых р. Пусть
Ei=k + (i-\)K, i = \ v,
и заметим, что Ev = k2, так как k2 — k = %{v— 1). По-
Поскольку v нечетно, nv~l есть квадрат, поэтому для не-
нечетных простых р
(-1, -
= (_1( _l)p = + l. A0.4.31)
В последующих вычислениях мы для удобства опускаем
индекс р. Используя A0.4.31), мы получаем
f-1
v-l
П (»'-?,.-
( = 1
¦ nV-1.-*')(
Если i четно, то (п(~1,
то (п{~\ — м') = A, —п)
A0.4.32)
¦ft1') — (n, —1). Если г нечетно,
1. Следовательно,
(Ю.4.33)
10.4. Формулировка теоремы Хассе — Минковского
163
Далее,
П («'-',
O-I
= П(«Ж.
0-1
?=2
(Ю.4.34)
- (п\ Ev) П (п', ?у;
так как ? = &2. Подставляя A0.4.33) и A0.4.34)
в A0.4.32), приходим к равенству
О—1 О—1
= («, -l)~(/t, П
Докажем теперь, что
A0.4.35)
О-1
= П (?«, - Еш) = (й, /г) (Л, п) A0.4.36)
для каждого нечетного простого р, Если A0.4.36) верно,
то подстановка его в A0.4.35) дает A0.4.28), что, как
мы уже отмечали, доказывает теорему Брука — Рай-
Райзера — Човла и ее рациональное обращение.
Пусть ра (возможно, р°— 1) — наибольшая степень р,
делящая и k, и Я, так что k = p°k{> h = paXu p)
kl+{v-l)li = pakj. Тогда
Р = II (Ра (fe, + (/ - 1) Я,), - ра (А, + Л,)) -
O-I
П
X
X П ((fe, + (i- 1)U - (Ai, + /Л!)). A0.4.37)
i=i
Очевидно, (^ + (y-l)^, p«) = {p*k\t pa)=(pa, pfl).
161
Гл. 10. Блок-схемы
Таким образом, из формулы A0.4.37) получаем
={К Л (/Л Р°)
^)). A0.4.28)
;-i
Предположим сначала, что р |Я,. Из того, что ft (ft — 1) =
= X(v— 1), мы получаем, что ft, {pakl — 1) = Я, {v — 1),
следовательно, поскольку p-fft,, должно быть а = 0 и
ft, = ft. Кроме того, p-fft = ft —Я, и поэтому p-fk + ih
для всех /. Таким образом, Р~\ и
, я) (А,, «)=1 -(Я, Й-Л)=(Я, ft) =
= ^> ft2)=l,
так как А2 — ft = 0(mod р). Следовательно, в этом слу-
случае Р = {k, п){1, п).'
Пусть теперь р-\ "к{. Тогда самое большее одно из
выражений ft, + (i—1)Я,, k{ + /Я, делится на р, и если
ни одно из них не делится на р, то (ft, + (i— 1)Я,,
— (/г, + /Я,)) = 1. Пусть г — целое число в отрезке 0 ^ г ^
< v — 1, такое, что /г, + r>4 = 0(mod p). Если 1<г<у —2,
то в произведении Р есть точно два члена, содер-
содержащих kx +rXu и их произведение равно
1)= 1,
A0.4.39)
так как р^К{. Следовательно, P=(ku pa)(pa, ра), если
только ни одно из чисел k{ и &,4-(у— \)ХХ не делится
на р. Если а = 0, то /г, = k и /г, + (и - 1)А,, = /г2 и /? не
делит ни одно из них. В этом случае Р= 1, и поскольку
pfk, pJfX, то (ft, «) (Я,, п)= I • 1, если p-f л = ?->,;
насели p\n = k-l, то (/г, я)(A,, n) = (ft, ftJ = 1. Таким
образом, в случае а = 0 мы имеем P = (k, n)(X, п). Если
Формулировка теоремы Хассе — Минкопскогп
165
то /г,
= pak\ и
Так как либо p\kb либо p-f
получаем
P = (kb ра){Хх, ра), если
Я=(/г„ ра){К pa){ku ~k{~X
С другой стороны, очевидно,
(ft, я) (Я, л) = (рв*„ рв (А, -
ра)(Хи рп). A0.4.40)
то, используя A0.4.40),
pJ(kb
если р | ft,
A0.4.41)
A0.4.42)
pa){Xlt fti-Я,). (Ю.4.43)
Если р-fft], то (ft,, ft, — Я,) = (А,|, ft, —Я,), так как если
р-f ft, — Яь то оба числа равны единице, а если plftj —Я,,
то они равны между собой. Таким образом, ввиду
A0.4.41) и A0.4.43) имеем Я = (ft, я) (Я, п), если р f k{.
Если же р |ft,, то
и
(ft,, -ft,-Я!)-(ft,, ft,-Я,)
(Я,, ft, — Я,)= 1,
так как Я, и Я, — ft, оба взаимно просты с р. Снова
сравнивая формулы A0.4.42) и A0.4.43), находим, что
P—(k, ft) (Я, п). Таким образом, мы доказали, что во
всех случаях Р = (ft, п)(к, п).
Как было отмечено выше, подстановка полученного
результата в A0.4.35) дает A0.4.28), откуда в свою
очередь следует теорема Брука — Райзера — Човла и ее
рациональное обращение.
Как приложение этой теоремы, рассмотрим вопрос
о существовании блок-схемы с параметрами v — 29, k — 8,
Я = 2. Здесь условие k2 — k = X(v — I) удовлетворяется.
По теореме Брука — Райзера — Човла необходимым усло-
условием существования блок-схемы с этими параметрами
является разрешимость в целых числах х, у, z, не равных
166
Га. 10. Блок-схемы
одновременно нулю,
уравнения
6л'2 + 2if = z-.
A0.4.44)
Для разрешимости этого уравнения символ Гильберта
F,2)р должен равняться + 1 при всех нечетных р и р= оо.
Это, конечно, верно для р — оо и конечных простых р,
не делящих 6 или 2, т. е. критическим случаем является
р = 3. ()
ремам
имеет решений в целых числах, не
менно нулю, и схемы с параметрами v = 29, /г = 8, Я
не существует.
= -1 по тео-
теоНо F,2)з = B,2)зC,2K=C,2)з =
10.4.6 и 10.4.2, поэтому уравнение A0.4.44) не
решений в целых числах, не равных одновре-
одновреГЛАВЛ 1 1
Разностные множества
11.1. Примеры и определения
Определение. Две блок-схемы В и В' называются
изоморфными, если существует взаимно однозначное
отображение а элементов и блоков В на элементы и
блоки
схемы
В\
В
такое, что если xt — элемент, a
— блок
и
а:
хг —> х\
то
(л:.)а —элемент В',
а: Bj— >Bj = (Б/)а — блок В',
j тогда и только тогда, когда (xt)a e (Bj)a.
Таким образом, две блок-схемы изоморфны, если они
имеют одни и те же соотношения инцидентности, т. е.
являются по существу одной и той же схемой. Если
В'=В, то отображение а называется автоморфизмом
блок-схемы В. Автоморфизмы всякой блок-схемы В
образуют группу, так как если щ и а, — два автомор-
автоморфизма В, то их произведение ata2 есть также авто-
a
-1
и а,
-1 _
снова
морфизм и обратные отображения
автоморфизмы.
Мы будем интересоваться здесь блок-схемами с авто-
автоморфизмами специального вида. В следующем примере В
есть схема с вычетами 0,
элементов и блокам}
Bq
В\
В<2,
в3
ВА
в$
Be
В7
в\
В ю
В .о
i Bh
• о,
: 1,
: 2,
: 3,
: 4,
5,
6,
7,
8,
9,
ю,
И,
12,
1,
i =
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
od"
9,
ю,
И,
12,
0,
• • • 1
0, .
з,
4,
5,
6,
7,
od"
9,
ю,
И,
12,
0,
1,
2,
12(modl3) в качестве
.., 12(mod 13):
9;
Ю;
И;
12;
0;
1;
2; (il.l.l)
3;
4;
5;
6;
7;
8.
168
Гл. II. Разностные множества
Здесь a: i—>i+\, Bi—>Bi+i есть автоморфизм схемы В,
который переставляет как элементы, так и блоки по
циклу длины 13. Вообще симметричная блок-схема В
с параметрами v, k, л, ((t\ k, Я)-блок-схема) назы-
называется В-циклической, если В имеет автоморфизм а,
который переставляет элементы и блоки по циклу
длины v. Заметим, что циклический автоморфизм а
и множество элементов в отдельном блоке полностью
определяют всю схему, как в случае схемы A1.1.1).
Произвольный блок в A1.1.1), например блок ВГу =
= {5, 6, 8, 1}, обладает тем свойством, что 4-3=12
разностей различных элементов в этом блоке дают
каждую разность (mod 13), исключая 0, точно по одному
разу. В самом деле,
2 — 8-6,
\
5 = 6-1,
6=1-8,
7 = 8-
11=6-8,
(П.1.2)
Определение. Множество D, состоящее из k вы-
вычетов аь ..., ак по модулю v, называется (v, k, Я)-
разностным множеством, если для каждого d ^0(mod v)
существует точно Я упорядоченных пар {at, at)t ah at e D,
таких, что at — a, =d (mod v).
Таким образом, {5, 6, 8, 1} есть A3, 4, 1)-разностное
множество по A1.1.2).
Теорема 11.1.1. Множество D, состоящее из k вы-
вычетов а{, ..., ak no модулю v, есть (с, te, X)-разностное
множество тогда и тжшо тогда, когда множества
Bi = {al + i, ..., ak + i} вычетов по модулю v, i = 0, ..., v—l,
являются блоками циклической {v, k, К)-блок-схемы В.
Доказательство. Предположим сначала, что
множества Bt — {а{ + г, ..,, ak + i} вычетов по модулю v
при i= 0, ..., v — 1 "образуют циклическую блок-схему В,
где, очевидно, а: /—>/+1, В,-+В1 + ь / = 0, ..., V— 1,,
по модулю v — циклический автоморфизм, Тогда, если
(), элементы 0, d появляются вместе точно
//./. Примеры и определения
в А, блоках, т. е. для А, наборов ah uj eD и / мы имеем
), A1.1.3)
следовательно, существует точно Я упорядоченных пар
(ah ay), ah uj^D с
аь — uj^d (mod v),
A1.1.4)
так как t = — uj однозначно определяется через а(.
Следовательно, D есть разностное множество. Обратно,
пусть ^ = {0!, ..., ak) есть (v, k, Я)-разностное множе-
множество. Тогда в множествах 5г- = {cj + i, ..., ак + i} вычетов
по модулю v, i = 0, ..., у—1, каждая пара различных
вычетов г, s появляется вместе Я раз. В самом деле,
пусть г — s = d Ф 0 (mod v). Тогда точно для Я упоря-
упорядоченных пар (а,-, аД аь а;- е D,
г — s = а. — a, (mod v),
поэтому и r = at + t и s^a} + t принадлежат Bt, где
t определяется соотношением t = г — at ss s — ау- (mod v).
Таким образом, множества Bt — блоки циклической
(v, k, Я)-блок-схемы Б и a: i-+i+l, В{~>В1 + [, где эле-
элементы и индексы блоков берутся по модулю о,— соот-
соответствующий автоморфизм.
Брук [1] обобщил идею циклического разностного
множества и определил групповое разностное множе-
множество D, которое может основываться на произвольной
конечной группе G.
Пусть С — конечная группа порядка v, и пусть
(у, k, Я)-блок-схема В допускает G в качестве регуляр-
регулярной группы автоморфизмов. Под этим подразумевается,
что если л: — какой-либо элемент, а 50 — какой-либо
блок, то, когда g пробегает все элементы G, {x) g и
(Въ) g пробегают все элементы и блоки схемы В. Назо-
Назовем тогда х базисной точкой. Если у == (х) g\ — другой
элемент, то (x)g = (у)g~lg. Таким образом, мы можем
отождествить элементы схемы с элементами группы, и
170
Гл. //. Разностные множества
при изменении базисной точки g заменяется на g~]g
для подходящего g^
Например, если G — абелева группа порядка 16, по-
порожденная элементами а, Ь, с, d, где а2 = Ь1 = с2 = d2 = 1,
то ?> = {а, Ь, с, d, ab, cd} есть групповое A6, 6, 2)-раз-
ностное множество, и если мы в качестве (Во) g возьмем
множество {ag, bg, eg, dg, abg, edg), где g пробегает
все 16 элементов группы G, то получим A6, 6, 2)-блок-
схему, которая имеет G в качестве регулярной группы
автоморфизмов. Для разностных множеств в группах,
не обязательно абелевых, дадим следующее определение.
Определение. Множество D, состоящее из k
различных элементов a,,..., ak группы G порядка v,
называется групповым (v, k, l)-разностным множеством,
если выполняется одно из следующих условий:
1. Для всякого deG, d ф I, существует точно к
упорядоченных пар (ah аД ah a;- e D, таких, что
afiji = d.
2. Для всякого <1ёС, d^\, существует точно к
упорядоченных пар (а., аХ at, a} e D, таких, что
Эти два условия эквивалентны очевидным образом,
если группа G абелева, но мы увидим, что в действи-
действительности они эквивалентны для всякой конечной
группы С. Заметим, что из определения непосредственно
следует, что k(k— 1) = к (и — 1), так как существует всего
k(k—\) упорядоченных пар, а должно быть к пред-
представлений вида ata~[ или а~'а;. для каждого из и—1
элементов.
Теорема 11.1.2. Свойства 1 и 2 группового раз-
разностного множества D эквивалентны. Если В есть
(v, к, к)-блок-схема, допускающая группу G порядка v
в качестве регулярной группы автоморфизмов, и если
{х)аъ ..., {x)ak —элементы блока Во, то D — {au ..., а^}'
есть групповое {v, k, к)-разностное множество. Обратив,
если D= {au ..., ak}— групповое (v, k, к)-разностное мно-
множество элементов группы G порядка v, то множества
В (ё) ~ {aig> •••> akg\> г$е g пробегает G, образуют
11.1. Примеры и определения
171
(о, к, к)-блок-схему, допускающую G в качестве регу-
регулярной группы автоморфизмов.
Доказательство. Предположим, что В есть
(у, &Д)-блок-схема, допускающая группу G порядка уз
качестве регулярной группы автоморфизмов. Если х —
произвольный элемент В, то, взяв х в качестве базис-
базисной точки, мы можем все элементы представить в виде
(*)g, g^G, и отождествить (х) g с g. Тогда если
«j, ..., ak — элементы блока 50, то (Во) g содержит
a{g, ..., akg. Если d — элемент группы G и д,ф-\,
то существует точно к блоков, содержащих d и 1, т. е.
существует точно к упорядоченных пар {а{, ау), таких,
что для некоторого g имеем aig=d, a;g= 1, и, следо-
следовательно, ata~l = d. Но здесь g=arl определяется эле-
элементом uj. Следовательно, D = {ab ..., ak) есть {v, k, к)-
разностное множество, удовлетворяющее условию 1.
Обратно, если D = {au..., ak} есть (о, к, А,)-разностное
множество элементов группы G порядка v, удовлетво-
удовлетворяющее свойству 1, то построим множества B(g)~
= {a{g, ..., a-kg}, где g пробегает элементы группы G.
Если г, s — два различных элемента G, то полагаем
rs~l — d^l и для любой из к упорядоченных пар
(Oj, ci]), таких, что aiaj{ = d, определим g соотношением
arlr = ау^ = g; следовательно, как г = atg, так и s = a{g
принадлежат В (g).
Таким образом, множества В (g) — это блоки схемы В,
допускающей G в качестве регулярной группы авто-
автоморфизмов. Мы показали эквивалентность разностных
множеств со свойством 1 блок-схемам В, которые до-
допускают G в качестве регулярной группы автоморфиз-
автоморфизмов. Что же сказать о свойстве 2? Из раздела 10.2 мы
знаем, что если d^l, то блоки аи а2, ..., ak и a{d,
a2d, .... a&d имеют точно к общих элементов. Но это
означает, что точно для к упорядоченных пар (а,, а;)
мы имеем atd=ajt следовательно, d = a~xa.. Это свой-
свойство 2, и оно, таким образом, следует из свойства 1,
(Збратно, если нам дано свойство 2, то множества
В,(г) = [а{г, ..., akr) и В(s) = {a{s, ..., aks) имеют точно А,
общих элементов, следовательно, в силу результатов
раздела 10.2 они являются блоками {v, k, Я)-схемы.
172
Гл. 11. Разностные множества
11.2. Конечные поля
Поле F есть множество элементов с операциями
сложения а + b и умножения ab, удовлетворяющими
обычным аксиомам:
АО. Для a, b^F суще- МО. Для a, b e F сущест-
ствует, и притом един- вует, и притом един-
единственный, элемент ственный, элемент
с gs F, такой, что с ее F, такой, что
а + Ь — с. ab — с.
Al. (a + b) + c — a+(b + c). Ml. (ab)с~ а(Ьс).
А2. b + a = a + b. M2. ba=ab.
A3. Существует элемент МЗ. Существует элемент
О €Е F, такой, что 1 е F, такой, что
а + 0 = 0 + а = а для а1 = 1 а = а для вся-
всякого a <= F. кого а е F.
А4. Для всякого а е F M4. Для всякого а ф О
существует элемент из F существует эле-
— a^F, такой, что мент a~l^F, такой,
а + (— а) = ( — а) + а= ^го аа~1 = а~]а= 1.
= 0.
D. а (Ь + с) = ab + ас » (а 4- 6) с = ас + 6с.
Наиболее известные поля —это поле рациональных
чисел, поле действительных чисел и поле комплексных
чисел. Но существуют и поля с конечным числом эле-
элементов. Например, четыре элемента 0, 1, a, b обра-
образуют поле, если мы воспользуемся следующими табли-
таблицами сложения и умножения. Здесь х + у и ху даны
в соответствующей таблице на пересечении строки с но-
номером х и столбца с номером у.
Сложение
0
0
1
а
b
1
1
0
b
а
а
а
Ь
0
1
Ъ
b
а
1
0
0
1
а
Ь
Умножение
0
0
0
0
0
1
0
1
а
Ь
а
0
а
b
1
b
0
b
1
а
A1.2.1)
11.2 Конечные по.1я
Мы приведем некоторые основные факты из теории
конечных полей, отсылая читателя за деталями и дока-
доказательствами к книгам Алберта [2] или Дина [1].
Сравнение рациональных чисел по модулю пг, запи-
записанное в виде
x = y{modm), A1.2.2)
по определению эквивалентно равенству
.V — // == tm
A1.2.3)
при некотором целом t. Аналогичным образом сравне-
сравнение можно определить для полиномов А(х) над полем F
(т. е. для полиномов с коэффициентами из F):
)> A1.2.4)
что по определению эквивалентно равенству
A(x)-B{x)=t(x)f(x) A1.2.5)
для некоторого полинома t (x). Все целые числа х, та-
такие, что x = &(modm) при фиксированном b образуют
класс вычетов по модулю т, который можно обозна-
обозначить через {Ь} или &(modm). Если x = fr(modm),
y==c(modm), то х + </== b + с (mod т) и ху = be (mod m),
и тем самым определены сложение и умножение клас-
классов вычетов по модулю т:
{Ь} + {с} = {Ь + с} и {Ь} {с} = {be}. A1.2.6)
Те же рассуждения применимы и к классам вычетов
полиномов над полем F по модулю f(x). В обоих слу-
маях легко проверить, что все аксиомы поля, исклю-
исключая М4, удовлетворяются для сложения и умножения
классов вычетов, заданных посредством A1.2.6). Однако
М4, вообще говоря, не удовлетворяется. Обычно суще-
существуют делители нуля. Так,
4-3 = 0 (mod 6), A1.2.7)
а для полиномов над рациональным полем
( Cx + 3)E,v-5) = 0(modx2-l). A1.2.8)
Очевидно, что если М4 выполнена и ху — 0, х ф 0,
то у = х~1(ху)= л;~'О = 0.
174
Гл. it. Разностные множества
Далее, пусть р — рациональное простое число; основ-
основным свойством простых чисел (доказательство опускаем)
является то, что если р\ху (р делит ху), то либо р\х,
либо р\у. Следовательно, в терминах сравнений, если
xyz=0(modp), A1.2.9)
то
x=E=0(modp) или ?/E==0(modp). A1.2.10)
Поэтому из определения A1.2.3) следует, что если
ах = ay (mod р), a#0(modp), A1.2.11)
то
x^y{modp). A1.2.12)
Существует точно р классов вычетов по модулю р, и
мы можем взять 0, 1, ..., р— 1 в качестве представи-
представителей этих классов. Тогда если a^O(modp), то числа
а • 1, а • 2, ..., а ¦ {р — 1) все находятся в силу A1.2.11)
и A1.2.12) в различных классах вычетов и все #0(modp).
Мы можем применить „принцип ящиков": если конеч-
конечное число п объектов размещено в п ящиках, причем
ни один из ящиков не содержит двух объектов, то каж-
каждый ящик содержит точно один объект. Если сравнить
а-I, а -2, ..., a(p-l)(modp) и 1, 2, .... р- 1 (mod p),
то принцип ящиков показывает, что это одни и те же
классы вычетов с точностью до порядка. Это дает два
ценных следствия: во-первых, для некоторого х=\, ...
..., р—\ мы имеем
fl.t=l(mod/j), A1.2.13)
и, следовательно, х является обратным к а элементом
в системе классов вычетов по модулю р, т. е. М4 удо-
удовлетворяется. Во-вторых, перемножая, получаем
(а-\)(а-2) ... (а (р _!))=== 1.2 ... (p-l)(modp),
A1.2.14)
и, разделив на (р-1)!, поскольку (р - l)!#0(mod p),
приходим к формуле
a"-!E=l(modp); A1.2.15)
это знаменитая теорема Ферма. Таким образом, A1.2.15)
удовлетворяется при a#0(modp). Если умножим
11.2. Конечные поля
175
A1.2.15) на а, то получим
aP = a(modp), A1.2.16)
что справедливо при всяком целом a(modp). Таким
образом, вычеты по модулю р образуют конечное поле
с р элементами, которое мы обозначим через Jp или
GF(p). (GF означает Galois field — поле Галуа.)
Если мы рассматриваем полиномы над полем jF,
то аналогом простого числа является неприводимый
полином. Мы скажем, что полином f(x) степени п^1
неприводим над полем F, если не существует таких
двух полиномов g(x) и h{x) над F, каждый степени
меньшей п, что f{x) — g(x)h{x). Основное свойство не-
неприводимых полиномов (доказательство опускаем) со-
состоит в том, что если неприводимый полином f (х) де-
делит произведение А (х) В (х), то он либо делит А (х),
либо делит В (х).
Предположим, что f(x) неприводим над JD. Если
для полинома А {х) имеем
A(x) = f(x)q(x) + r(x), A1.2.17)
то
A(x) = r(x){modf(x)), A1.2.18)
и если f (х) имеет степень п, то мы можем взять г (х)
степени не выше п—\. Следовательно, по модулю [(х)
мы имеем в качестве представителей классов вычетов
полиномы
А (х) з= а0 + аух + ... +an_,xn-|(modf(jt)), A1.2.19)
где каждое из а0, ах, ..., ап-х может быть любым из р
элементов поля ]р. Следовательно, существует р" клас-
классов вычетов по модулю [(я) над 1Р.
Обозначим q = рп, и пусть «0= 0, и{= 1, и2, ..., uq-\ —
представители различных классов вычетов по мо-
модулю f{x). Если у^Uj-ФО{modf{x))t то рассмотрим
ущ, .... #Mv_,(modf(*)).
Если yut = yuk (mod f (x)), то у {u{ ~ uk) делится на f (x),
И в силу неприводимости f{x) это означает, что
t/==0(modf{x)) или r^ = «ft(modf(x)), ни одно из кото-
которых не может выполняться. Следовательно, yut
Ф yuk{tt\odf (х)) при 1фк, и аналогично yui^0{df{
176
Гл. 11. Разностные множества
11.2. Конечные поля
177
при 1фО. Таким образом, как и в случае вычетов
по модулю р, мы можем применить принцип ящиков и
заключить, что уих, ..., yu(}-l(modf(x)) — 3To классы
вычетов U[, ..., uq-x (modf {x)) с точностью до порядка.
В частности, при некотором ut
ущ = щ^1 (modf (л-)), (П.2.20)
и здесь щ — обратный к у элемент в совокупности клас-
классов вычетов; таким образом, аксиома М4 выполняется,
и д = рп вычетов образуют конечное поле, обозначаемое
через GF {р'1). Как следствие получаем, что
iyux){yu2) ... iytig-i^u^ ... Ug^imodfix)), A1.2.21)
и. разделив на щиг ¦ ¦. "<,-]> в силу основного свойства
неприводимого полинома f (х) приходим к сравнению
y<?~i = l (mod[(*)), A1.2.22)
выполняющемуся для любого полинома у Ф 0 (mod/ (x)).
Умножая A1.2.22) на у, получаем
у" = у (mod / (х)), A1.2.23)
что справедливо для любого полинома у = А(х) над Jp.
В качестве примера рассмотрим полином f{x) = x2-\-
+ х+1. Он неприводим над /2, так как полиномы сте-
степени 1 над /2 —это только х и х + \, и ни один из них
не делит х2 + х+1. Таким образом, вычеты 0, 1, х,
х + 1 (mod*2 + х + 1) образуют конечное поле GFB2).
Эти вычеты соответствуют элементам 0, 1, а, Ь из при-
примера, данного в начале этого раздела, сложение и умно-
умножение которых определено таблицами A3.2,1).
Поля GF (рп) — это фактически все конечные поля,
и для всякой степени простого числа рп существует
поле GF(p"). Следующие теоремы дают основные свой-
свойства конечных полей. За доказательствами отсылаем
читателя к книгам Алберта [2] или Дина [I]1)-
Теорема 11.2.1. Число элементов в конечном поле
равно степени простого числа рп. Для всякой степени
!) См. также 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, „Теория чисел",
М.; 1964. - Прим. ред.
простого числа рп существует конечное поле GF(pf'), един-
единственное с точностью до изоморфизма. Это поле GF (рп)
можно представить как множество всех классов вычетов
по модулю произвольного полинома f(x) степени п, не-
неприводимого над 1Р.
Теорема 11.2.2. В поле GF (рп) рп — 1 элементов,
отличных от 0, образуют циклическую группу по умно-
умножению. Образующий элемент этой мультипликативной
группы называется примитивным корнем ') поля GF (//').
Теорема 11.2.3. Автоморфизмы поля GF (рп) обра-
образуют циклическую группу порядка п, которая поро-
порождается автоморфизмом а: х->хр для всякого xG(n)
'Г
Теорема 11.2.4. Подполя поля GF(рп) — это в точ-
точности поля GF (pm), где т делит п. Для всякого /п, де-
делящего п, поле GF (рп) имеет единственное подполе GF(p'"),
состоящее из элементов GF (рп), удовлетворяющих урав-
уравнению zp — z. Примитивный корень х поля GF (рп)
удовлетворяет уравнению g (х) = 0, где g (x) — неприво-
неприводимый над GF (р'п) полином степени njm.
Проиллюстрируем содержание этих теорем несколь-
несколькими примерами. Так как 25 = 52 есть степень простого
числа, существует поле GF E2) с 25 элементами, и оно
может быть представлено классами вычетов по мо-
модулю f (х), где f (х) — неприводимый над /5 полином
степени 2; /,(*) = г2 — 2 и f2(x) = х1 + х + 1 — два таких
неприводимых полинома. Таким образом, мы имеем два
поля, F, и F2t с 25 элементами. Теорема 11.2.1 утвер-
утверждает, что F{ и F2 изоморфны. Элемент г/^=2л;-Ь
+ 1 (modx2 + x+ 1) удовлетворяет сравнению
if == Ах'2 + 4х + 1 =з - 4 + 1 == 2 (mod х2 + х + 1).
Отображение
ах + Ь (mod х2 - 2) -> а Bх + 1) + Ь (mod х'2 + х + 1),
как легко проверить, есть изоморфизм между Ft и 7%.
Полином f(x) — x6 + xb + xa + x2+l неприводим над/2,
поэтому вычеты А (х) (mod / (х)) образуют поле GFB(')
]) Или первообразным элементом. — Прим. персе.
12 м. Холл
178
Гл. //. Разностные множества
с 64 элементами. В этом поле х есть примитивный ко-
корень, а степени х, элементы 1, х, х2, .,,, х62, дают 63
ненулевых элемента поля GFB6). Подполями поля GFB6)
являются GFB), GFB2) и GFB3). Поле GFB) состоит
из элементов 0, 1; GF B2) - из элементов 0, 1, х21, хА2\
они удовлетворяют уравнению z"t = z. Поле GFB3) со-
состоит из элементов 0, 1, х9,-х™, х27, х36, х45, х54; они
удовлетворяют уравнению гъ=г. Автоморфизмы обра-
образуют циклическую группу порядка 6, которая поро-
порождается автоморфизмом a: z—>z2^(z)a для всякого
zgGFB6). Например,
{х + х2 + х3) а = х2 + х4 + х6 =
Если мы возьмем w = х21 = х4 + х2 + х + 1, то х3 + wx2+
+ wx + w = 0, и полином F (х) = х3 4- wx2 + wx 4- w непри-
неприводим над полем GFB2), состоящим из элементов 0, 1,
w, w + \, где ш2 + w + 1 =0. Мы можем проверить не-
неприводимость F(x) над GFB2), замечая, что если бы
F (х) имел линейный множитель, то он должен был бы
иметь корнем один из элементов 0, 1, w или w + i,
чего в действительности нет.
11.3. Теорема Зингера
Пусть F — произвольное поле. Пространство всех
векторов (а0, ..., ап), a^F, называется проективной
геометрией размерности п над F и обозначается через
PG(n, F). Нулевой вектор 0 = @, ..., 0) есть пустое
пространство, и мы скажем, что пустое пространство
имеет размерность —1. Точка Р, пространство размер-
размерности 0, — это множество векторов
Ьх = (ЬхОк..., Ьхп),
где х = (хй, ..., хп)ф0, а Ь пробегает все элементы
поля F. Вообще если у0, ..., yk — это k + 1 независимых
векторов, то множество всех векторов
+ ... + bkyk,
F,
11.3. Теорема Зингера
179
есть подпространство Sk размерности k. Подпростран-
Подпространство размерности п — 1 называется гиперплоскостью.
Нетрудно показать, что точки, общие двум различным
гиперплоскостям, образуют подпространство размерности
п — 2. Если (с0, ..., сп) ф @, ..., 0), то можно показать,
что множество всех векторов (,v0, ..., хп), удовлетворяю-
удовлетворяющих равенству
... +спхп = 0, A1.3.1)
есть гиперплоскость, и, обратно, что каждая гиперпло-
гиперплоскость может быть определена таким образом, причем
(с0, ..., сп) и (scQ, ..., scn), зфО, определяют одну и
ту же плоскость.
Если поле F есть конечное поле GF (рг), то суще-
существует qn+1 (здесь q = pr) векторов (х0, ..., хп), х;е GF(pr).
Каждый из qn+l — 1 векторов, отличных от 0, опреде-
определяет точку, и, поскольку (х0, ..., хп) и {Ьх0, ..., Ьхп),
b Ф 0, определяют одну и ту же точку, всего имеется
v = (qn+1 — \)/(q — 1) точек. Аналогично, поскольку
(с0, ..., сп) ф @, ..., 0) и (sc0, ..., scn), 5=^=0, опре-
определяют одну и ту же гиперплоскость, существует и
гиперплоскостей. Если г/0, ..., г/^ — это / + 1 независи-
независимых векторов, то линейные комбинации Ьоуо + ... + btyu
&ге GF(pr), дают qt+1 различных векторов. Исключая
нулевой вектор, имеем (qt+1 — l)/(q — 1) различных точек
в этом пространстве St размерности t. Таким образом,
гиперплоскость имеет k = {qn— \)j{q — 1) различных то-
точек, а пространство Sft_2 имеет I = (qn~l ~ l)/(q — \) то-
точек. Мы обозначим эту геометрию через PG (п, рг).
Теорема 11.3.1 (теорема Зингера [1]). Гиперпло-
Гиперплоскости геометрии PG(n, pr), q=pr, взятые в качестве
блоков, и точки, взятые в качестве элементов, обра-
образуют симметричную блок-схему с параметрами
V —
q-\
и
q-\ '
Я =
,,/г~ 1 _
Эта схема является циклической, и точки в любой ги-
гиперплоскости определяют (v, k, Х)-разностное множество.
Доказательство. Заметим, что при v, k, Я, дан-
данных в теореме, PG (п, рг) имеет v точек и v гиперпло-
12*
180
Г.!. //. Разностные множества
скостей, каждая гиперплоскость содержит k точек, и
две различные гиперплоскости пересекаются по подпро-
подпространству Sn-<2, которое имеет К точек. Таким образом,
гиперплоскости, взятые в качестве блоков, образуют
(v, k, А)-блок-схему. Это несложно. Основная часть тео-
теоремы состоит в доказательстве цикличности этой схемы.
Пусть х — примитивный корень поля GF(^n+1). Тогда
(по теореме 11.2.4) х есть корень полинома F (у) сте-
степени п+1, неприводимого над GF(q). Пусть
q). A1.3.2)
n+l = —
Поскольку F (х) = 0, то xn+l = — с0 — с1х — п
Отсюда следует, что для любой степени х мы можем
записать
X
GF
A1.3.3)
Тем самым устанавливается соответствие между х и
вектором (а0, ..., ап) над GF(^). Все qn+x — 1 различ-
различных степеней х соответствуют qn+1 — 1 различным век-
векторам (а0, ..., ап) над GF(<y) за исключением нулевого
вектора. Если мы положим v = (qn+1 — 1I (q — 1), то 0, 1,
xv, ..., xiq~2)v дадут q решений уравнения zq = z, и
они будут образовывать подполе GF (q) поля GF {qn+l).
Если xsv = t, то f e GF ((?), и потому если A1.3.3) вы-
выполняется, то
V I 1 J {¦' -——
+tanxtl.
A1.3.4)
Следовательно, х' и xJ соответствуют одной и той же
точке из PG (n, q) тогда и только тогда, когда
i = /(mod v). Таким образом, если задано отображе-
отображение а поля GF {qn+l):
а: 0->0,
а:
¦ xl
A1.3.5)
то ввиду A1.3.3) и A1.3.2) отображение векторов над
GF {q) имеет вид
а: (ае, аь ..., ап)->
- апс0,
(И.3.6)
11.3. Теорема Зингера
181
Как показывает формула A1.3.6), стображение а факти-
фактически есть отображение точек в точки и по существу
пространств Sm на пространства Sm, так как если
г/0, ..., ит — независимые векторы, то при Ьо, ..., 6те
е GF (q)
(&о«о + ¦•• + Ьтит) а = 60 Ы а + ••• +Ьт(ит)а. A1.3.7)
Поскольку я» <<?-!> = 1, отображение A1.3.5) является
взаимно однозначным, и потому взаимно однозначно
отображение A1.3.6). Далее, так как х1 и xi+v соответ-
соответствуют одной и той же точке, а 1, х, ..., xv~1 соответ-
соответствуют различным точкам, отображение а в A1.3.6)
переставляет все v точек по единственному циклу. За-
Заметим теперь, что поскольку v — qk = 1, то k и о взаимно
просты. Если и) для некоторого / Ф 0 переводит точки
некоторой плоскости сами в себя, то ау переставляет
их по циклам длины t, где t делит /г. Но тогда,
поскольку a^—l, t должно быть также делителем и,
и, раз v — qk = \, то имеем t=\ и о) — 1. Тогда, вслед-
вследствие того, что никакая степень а, искл очая а"— 1,
не фиксирует гиперплоскость, а должно переставлять
гиперплоскости по циклу длины v. Это доказывает, что
блок-схема В из о точек и v гиперплоскостей, где ка-
каждая из гиперплоскостей содержит k точек, есть цикли-
циклическая блок-схема. Доказательство теоремы завершено.
Приведем пример на применение теоремы Зингера.
Пусть q = 22, п = 2. Здесь GF (qn+[)= GFB6). Тогда
GF (#) = GF B2) можно взять как расширение поля /2
с элементами 0, 1, w, w + \, где w2 + w + 1 = 0. Как
было замечено в разд. 11.2, примитивный корень х
поля GF B6) удовлетворяет неприводимому уравнению
х3 + wx2 + wx + w = 0 над GF B2). Это дает для 1,
х, ..., х21 равенства
х =
х,
xa= w
,4 =
+
Х4= W + 1 +
WX + WX2,
X + X2,
182
Гл. П. Разностные множества
X5 =
AG =
X7 =
x% =
X9 =
x'° =
XU =
xi2 =
xxz =
XH =
xl5 =
A-16 =
A"l7 =
A-18 =
X20 =
y21 _
w
1
1
1
1
w -\
I
I
1
w
w 4
Ш
w.
+
+
+
+
+
-1 +
+
+
-1 +
+
{w-\
{w-i
{w -
(w 4
X
-\)x,
X
X,
x-
wx ¦
- l)x-
wx
wx
Ь l)x
x,
-l)X
wx
+ (w -
+ («H
f
+ (и»4
+ (да^
+
+ (оу Н
+ (йуН
+ (да Н
+
+
+
+
Ь 1) *",
- 1) х2,
- 1)л:2,
- 1) х2,
И) X2,
- 1)х2,
hi) А'2,
h 1)х2,
х\
WX2,
х\
х\
A1.3.8)
Так как х° = x21 = w e GF B2), отображение x'-+xi+l
переставляет точки PG B,22) по циклу длины 21. Если
x' = a0 + a{x + a2x2, то точки (a0, au a2) с a2 == 0 лежат
в гиперплоскости („гиперплоскость" — „прямая" в пло-
плоскости). Если точки, соответствующие х\ i = 0, ..., 20,
заменить вычетами /(mod 21), то точки с а2 — 0 — это
0, 1, 6, 8, 18 (mod 21). A1.3.9)
Эти вычеты образуют B1, 5, 1)-разностное множество,
что /.егко показать непосредственно, и дают B1, 5, 1)-
блок-схему с блоками
Bi = {i, /+1, t + 6, i+ 8, /+18} (mod 21).
Аналогично тот же примитивный корень х поля GFB6)
удовлетворяет над GFB) уравнению
f (х) = х6 + х5 + х3 + х2 + 1 = 0, A1.3.10)
и мы имеем
х* = р. + qiX + rtx2 + siX* + ttx* + utx5. A1.3.11)
Точки в PGE, 2) с «f = 0 образуют гиперплоскость раз-
размерности 4. С помощью A1.3.10) мы можем проверить,
11.4. Теорема о множителе
183
что для любого п
"д + 6= «п + 5 + «n + 3+«n+2 + ttrt. (П.3.12)
а из формулы A1.3.11) следует, что
М0=И1 = М2="зг=«4==0» =1- (П.3.13)
При помощи A1.3.12) и A1.3.13) мы можем вычислить
те индексы i по модулю 63 = v, для которых ut — 0.
Существует й = 31 таких индексов, а Я= 15. Таким об-
образом, имеем следующее F1, 31, 15)-разностное множе-
множество:
0, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 21, 24, 25,
27, 30, 32, 3G, 41, 42, 45, 46, 47, 49, 51,
53, 54, 61 (mod 63). A1.3.14)
Для применения теоремы Зингера достаточно найти
уравнение вида A1.3.10) для примитивного корня
GF {qn+1) и подсчитать соответствующие ut из рекуррент-
рекуррентного соотношения, соответствующего формуле A1.3.12).
Иметь примитивный корень поля GF(^"+1) необязательно,
но нужно иметь элемент х, такой, что х° есть первая
из степеней х, принадлежащая GF (q).
11.4. Теорема о множителе
Разностное множество 0, 1, 3, 9 (mod 13) обладает
следующим свойством: если его элементы умножить
на 3, то в результате получим те же элементы, лишь
в другом порядке. Умножение элементов 0 +/, 1+/,
3-М, 9 + /(mod 13) на 3 переводит эти вычеты в 0 + 3/,
3 + 3/, 9 + 3/, 1 +3/(mod 13) или, что то же самое, блок
В{ — в блок Взи где /=0, ..., 12 (mod 13), циклической,
блок-схемы, дайной в A1.1.1). Это показывает, что отобра-
отображение x-^-Sx(mod 13), Bi-*Bbi вычетов по модулю 13
и блоков порождает автоморфизм схемы. Конечно, это
еще один автоморфизм схемы, в дополнение к цикли-
циклическому автоморфизму /->/+1, Bi~*Bl+l, который
определял саму схему по разностному множеству 0, 1,
3, 9 (mod 13).
Определение. Целое число t называется множите-
множителем циклического разностного множества аи..., ^(mod v)t
Гл. 11. Разностные множества
если х —> xt (mod v) есть автоморфизм циклической блок-
схемы.
Заметим, что t является множителем тогда и только
тогда, когда x—>xt отображает разностное множество
аь ..., ak на другой блок, т. е. tau ..., tak(modv) —
это Oj + s, .,., ak + s (mod v) с точностью до порядка
при подходящем s. Так как 1 должна появляться в ка-
качестве разности, \ = ai — ai
то, очевидно, множитель t
с v. Отсюда следует, что множители образуют мульти-
мультипликативную группу по модулю v. Так, например, 2 есть
и также \^tar — tas(modv),
должен быть взаимно прост
множитель разностного множества а
a3l (mod 63),
2а31 (mod 63),
вычетов а, + 18,
указанного в A1.3,14), так как 2ah
очевидно, является перестановкой
а, + 18, ..., а31 + 18 (mod 63).
Брук, распространивший идею разностного множества
с циклического случая на случай групповых разностных
множеств, заметил, что множитель t циклического раз-
разностного множества — это фактически автоморфизм х—>
-+xt(modv) группы, лежащей в основе схемы (здесь —
циклической группы порядка v), одновременно являю-
являющийся автоморфизмом блок-схемы. Точное определение
множителя для общего случая таково:
Определение. Если х—> (х) 9 есть автоморфизм
группы G, то 9 называется множителем группового раз-
разностного множества D = {ay, ..., ак), если DQ~aDb при
подходящих a, b^G.
Например, если D = {а, Ь, с, d, ab, cd) — разностное
множество в абелевой группе G, порожденной элемен-
элементами a, Ь, с, d, где а2 = Ъ'1 = с'2= d'2= 1, то D0, = Z) при
Э,: а->&, b-*a, c—>d, d->c,
62: а-> с, b -> d, с --> a, d —> b,
03: a—>d, b->c, c—>b, d->a,
G4: a—>b, b —>а, с --¦> с, d ->d.
Знание множителя оказывает большую помощь при по-
построении разностных множеств или доказательстве их
несуществования. Замечателен факт, что неизвестно ни
одного циклического разностного множества, не обла-
11.4. Теорема о множителе
185
дающего некоторым нетривиальным множителем. Сле-
Следующей теоремой, принадлежащей Холлу и Райзеру [1],
устанавливается во многих случаях существование мно-
множителей.
Теорема 11.4.1 (теорема о множителе). Если
{аь ..., afe}(mod v) — циклическое разностное множество,
где k (k — 1) = Я (v — 1), и если р — простое число, делящее
n=k — %, такое, что (р, и)= 1 и р>К, то р — множитель
указанного разностного множества.
Доказательство. Рассмотрим кольцо R(x, x~l)
полиномов от х и .V" с целыми коэффициентами. За-
Заметим, что в R имеем х'^ х* {nnod xv — I) тогда и только
тогда, когда i = / (mod v). Разностному множеству D =
= {??!, ..., ak}(modv) мы можем поставить в соответ-
соответствие полином 8(л") = х+х + ... +х°к. Тогда, по-
поскольку D — разностное множество, то
B(x)Q(x-i) = k + X{x+ ... +**->) (mod **-l). A1.4.1)
Действительно, левая часть равна
н мы получаем 0 как разность ai — al в k случаях и
любое d^O(modu) как разность в X случаях. Если
б k X Т {) 1 l
х + .. . + x
v~l
то
обозначить n = k — X и Т {х) = 1
A1.4.1) примет вид
Э (.v) G (x~y) = n+ XT (x) (mod xv - 1). A1.4.2)
Если t — множитель, то тот факт, что tau..., tak(modv) —
это flj + s, ..., ak + s(modv) при подходящем s, можно
выразить в виде
0 (*') ~ xsQ (x) (mod xv - 1). A1.4.3)
Так как xv — \ = (х—1)Т (х) и по предположению р\п,
¦из A1.4.2) следует, что
е(*N(*-!) = О(moddp, T(x)), (ПАЛ)
где /l(x) = B(x)(moddp, Т{х)) означает, что А(х) — В(х) =
= pU (.v) + Т (х) V [х) для подходящих полиномов U (х)
186
Гл. 11, Разностные множества
11.4. Теорема о множителе
187
и V (х). Умножив A1.4.4) на 6(х)р ', мы получим
Q(x)p Q (х-1) 3z 0(moddp, T {х)). A1.4.5)
Так как все биномиальные коэффициенты \Р), г=1, ...
..., р — 1, кратны р, для любых полиномов Л(х), В(х)
имеем
), A1.4.6)
и повторным применением этого правила находим, что
8 (х)р =з G (xp) (mod р). A1.4.7)
Следовательно, подставляя выражение для &(х)р
в A1.4.5), получаем, что
9(^)9(x-1)^0(moddp, T(х)). A1.4.8)
Взяв этот результат по модулю xv—l, приходим
к сравнению
G {хр) 0 (х~]) = pR (х) + А (х) Т (х) (mod xv - 1). A1.4.9)
Так как х1Т (х) = Г (х) (mod xv - 1), то
ЛA)Г()(^:г' — 1) и, следовательно,
6 (хр) 0 (х-1) = pR (х) + Л A) Т (х) (mod jt* - 1). (II .4.10)
Полагая в A1.4.10) х=1, имеем
k2=pR(l) + A{l)v, A1.4.11)
Но
k2 = k-X+lv = n + hv, A1.4.12)
и поскольку р\п, получаем
A{l)v=zkv(modp), A1.4.13)
а так как р ¦% v, то
), A1.4.14)
следовательно, А{1) = Х+ рпг при некотором целом т.
Таким образом, A1.4.10) принимает вид
0 (хр) 9 (х-1) == pS (x) + XT (x) (mod x* - 1), A1.4.15)
где
A1.4.19)
Подставляя теперь в A1.4.15) х=1, получаем
k2=*pS(l) + Xv, A1.4.16)
и в силу A1.4.12) отсюда следует, что
pS{l) = n. A1.4.17)
В формуле A1.4.15) заменим х на а* и заметим,
что модуль при этом не изменится, так как x~v — 1 =
= -x~v{xv- 1), x~v^ 1 (modx°- 1), и что Т(х~1)^
s=T (x)(modxtl — 1). Таким образом, получается, что
0 {х-р) 6 (х) ^ pS (х) + IT (x) (mod xv - 1). A1.4.18)
Имеем теперь четыре соотношения:
9 (х) 9 (х~х) s=n + KT (x) (mod x11 - 1);
0 {хр) 9 (х-р) = п + ХТ (х) (mod xtf - 1);
0 {хр) 0 (х-1) =э pS (х) + ЯГ (х) (mod x" - 1);
0 (х-р) 9 (х) = pS (х-1) + IT (x) (mod xv - 1).
Первое соотношение — это A1.4.2). Второе выражает тот
факт, что {раи..., pak} (mod у) наряду с {a,,..., ak}(modv)
также является разностным множеством, так как если
at — uj = d (mod v), то pcii — pa^pd, поэтому когда d
пробегает все вычеты Ф 0 (mod и),то, поскольку (р, v) — I,
pd также пробегает все вычеты #0(mody). Произве-
Произведение левых частей первых двух сравнений в A1.4.19)
равно произведению левых частей третьего и четвертого
сравнений. Следовательно, произведения соответствую-
соответствующих правых частей сравнимы, и мы имеем
{pS(x) + XT(x)}{pS(x~i) + XT{x)} ^ (п + ХТ (x)J(modx"~\).
A1.4.20)
Так как pS (х)Г(х) = р5A) Т (х) = пТ (х) (mod xv - 1),
A1.4.20) можно упростить:
p2S (x) S (x'l) = n2 (mod xv - 1). A1.4.21)
Далее, впервые воспользуемся условием р > Я, из пред-
предположений теоремы. В A1.4.15) каждый коэффициент
в 0(хрH (а) — неотрицательное целое число, и это
свойство не меняется при редукции по модулю х"—\.
1Ь
188
Гл. //. Разностные множества
Следовательно, если
9 {хр) 9 (я) = а0 + ахх + ... + av-xxv~x (mod xv - 1),
A1.4.22)
то Gj^O при i=0, ..., у—1. Ввиду A1.4.15)
а; = А(тоAр), i = О, ..., и—1.
Поэтому из предположения р>Л вытекает, что а,^А,
следовательно,
9 (хр) G (х-1) - кТ (*) = pS (x) (mod xv - 1) A1.4.23)
имеет неотрицательные коэффициенты и S(x) тоже имеет
неотрицательные коэффициенты. Но если в
S(x)=b0 + b{x+ ... + bv-lxv-1(modxv-l)
хотя бы два коэффициента положительны, скажем,
&(->0 и bj>0, то в левой части A1.4.21) найдется член
bibjXl~i с btbj>0 и нет никакого отрицательного члена,
сокращающегося с ним, а это противоречит тому, что
в правой части коэффициент при х1~* равен нулю. Сле-
Следовательно, 5 (х) — одночлен (скажем, wx6) и
pS (x) = pwxs == nxs (mod xv - 1), A1.4.24)
так как pS(\) — n в силу A1.4.17).
Подставляя теперь A1.4.24) в A1.4.15), получаем
9 (х") 8 (х) = nxs + IT (x) (mod xv - I). A1.4.25)
Умножим A1.4.25) на 6(х):
6 (хр) 9 (х) 9 (х-1) = /ijcj9 (ж) + Яе (х) Г (х) (mod xv - 1).
A1.4.26)
Из A1.4.2) и сравнения
9 (х) Г (х) = 9 A) Т (х) = kT (x) (mod xv - 1) A1.4.27)
находим, что
6 (хя) (п + IT (х)) = nxsQ (х) + Ш (х) (mod xv ~ 1) A1.4.28)
и, стало быть,
?'-l). (I I.4.29)
11.5. Разностные множества в группах общего вида
189
Разделив на п, получим, что
Q(xp) = xxQ{x)(modxv- 1). A1.4.30)
Сравнение с A1.4.3) показывает, что t = p •— множитель.
Условие р> к, которое использовалось для получе-
получения A1.4.24) из A1.4.15) и A1.4.21), по-видимому, не-
необязательно. Для каждого известного разностного мно-
множества простое число р есть множитель, если р\п и
(р, v)=l. Но мы не можем заключить только из
A1.4.21), что S (х) — одночлен по модулю xv — 1, как
это видно из следующего примера:
(- 1 + 2ха + 2х1а) (- 1 + 2х~а Л- 2х~2а) = 9 (mod x3e - 1).
A1.4.31)
11.5. Разностные множества в группах общего вида
Некоторые результаты теории циклических разност-
разностных множеств можно обобщить на теорию разностных
множеств в любой конечной группе. Пусть D = {ah ...,ак)
есть (и, k, А,)-разностное множество в группе G порядкам.
Тогда некоторый элемент Р можно выбрать в качестве
базисной точки, и элементы схемы — это Pg, g^G,
с базисной точкой Р, представленной единицей группы
G. Если в качестве базисной выбрана другая точка
Q=Pg\, то, поскольку Qg = Pg{g, элемент, соответству-
соответствующий g:g при первом выборе базисной точки, со-
соответствует g при втором выборе.
Таким образом, в нашей блок-схеме умножение всех
элементов g группы слева на фиксированный элемент
g{ соответствует просто изменению базисной точки. Ана-
Аналогично D = {alt ..., ак) есть базисный блок нашей
схемы, a Dg<2={alg2, ..., akg2} — другой ее блок. Следо-
Следовательно, при изменении базисной точки и замене од-
одного базисного блока другим разностное множество D
переходит в g]Dg2, где в качестве gt и g2 мы можем
взять любые два элемента группы G.
Как уже упоминалось, Брук [1] заметил, что мно-
множитель циклического разностного множества — это авто-
автоморфизм группы, являющийся также автоморфизмом
блок-схемы. Пусть a: g-*ga — автоморфизм группы G.
190
Гл. И. Разностные множества
П.5. Разностные множества в группах общего вида
1Э1
Будем говорить, что а есть множитель разностного мно-
множества, если существуют элементы gu g.2 группы G,
такие, что
Da = glDg2. A1.5.1)
Назовем а правым множителем, если Da = Dg2.
Т е о р'е м a 11.5.1 (Брук). Пусть К — симметричная
блок-схема, определенная разностным множеством D
из k элементов группы G порядка v. Пусть N — норма-
нормализатор группы G в группе X всех автоморфизмов /(.
Тогда необходимым и достаточным условием того,
чтобы отображение Т схемы К на себя содержалось
в N, является выполнение при всех х, у е G равенств
A1.5.2)
где Р — базисная точка, В — базисный блок, а —множи-
—множитель D, такой, что Da=aDb. Кроме того, N/G изо-
изоморфна группе правых множителей D.
Доказательство. Сначала предположим, что Т
определяется равенствами A1.5.2). Тогда Т — взаимно
однозначное отображение элементов и блоков К на себя.
Если Рх содержится в By, то ху~х е D и
значит, {Рх)Т содержится в {Ву)Т. Следовательно, 7 —
автоморфизм К- Для любого z из G пусть z' опреде-
определяется равенством (zr)a — z. Тогда
{Рх) Tz = {Pxz') Г, (By) Tz = (Btjz') T
при всех х, у, z^G, а это означает, что Т содер-
содержится в N.
Далее, предположим, что Т содержится в N и РТ =
= Ра~\ ВТ= ВЬ. Определим а соотношением ха = Т~1хТ„
Тогда а есть автоморфизм G, и равенства A1.5.2) по-
получаются непосредственно. Для каждого d <= D эле-
элемент Pd содержится в В, поэтому Pa~da=(Pd)T со-
содержится в ВТ = ВЬ и, следовательно, a dab~ eZ),
Da = aDb.
Наконец, поскольку группа G регулярна на элемен-
элементах К, факторгруппа N/G изоморфна подгруппе группы
N, оставляющей на месте Р. Отсюда если РТ — Р, то
й=1, и для соответствующего множителя а имеем
Da=Db. Таким образом, N/G изоморфна группе пра-
правых множителей.
Для изучения разностных множеств в группах об-
общего вида удобно использовать групповое кольцо G* {R)
группы G над кольцом коэффициентов R, в качестве
которого обычно берется кольцо Z рациональных целых
чисел. Элементы G* имеют вид
Л = «[*!+ ... +agxg, xt^G, а
Сложение в G* определяется правилом
; а умножение — правилом
agxg
A1.5.3)
... +(ag+bg)xg, A1.5.4)
... + bgxg) = clxi + ... + cgxg,
A1.5.5)
где
=S«t&/ Для всех i, j с xtXj = xk в G. A1.5.6)
Легко проверить, что G* — ассоциативное кольцо. Если
R имеет единицу, то G* {R) также имеет единицу (обо-
(обозначим ее через 1), которая является произведением
единицы из R и единицы из G.
Предположим, что D — разностное множество из k
элементов в группе G порядка v. В групповом кольце
G*{Z) положим
Q{d) = d{ + d2+ ... +dk, D = {dlt ..., dk]. A1.5.7)
Если t — любое целое число, то введем также обозна-
обозначение
(f)tf! + 4+ ... +d% (П.5.8)
A1.5.9)
Запишем, кроме того,
192
Гл. 11. Разностные множества
В этих обозначениях соотношение, выражающее тот
факт, что D есть разностное множество над G, прини-
принимает вид
Q{d)B{d-l) = k-X + XT, A1.5.10)
так как по свойствам разностного множества левая
часть должна давать единицу k раз, а всякий другой
элемент из G Я раз. Теорему о множителе {теорема
11.4.1) можно обобщить на разностные множества в абе-
левой группе. Мы дадим здесь более общую теорему,
а в следующем разделе —еще более общую теорему,
доказательство которой опирается на теорию алгебраи-
алгебраических чисел и групповых характеров. Оба обобщения
были бы тривиальны, если бы мы могли исключить
условие р>К в предположениях теоремы 11.4.1.
Теорема 11.5.2. Пусть D — разностное множество
из k элементов в абелевой группе G порядка v. Пусть
п\ = Р\Р% • ¦ ¦ Ps~ делитель числа п = k ~ Я, где ри р.ъ ...
..., ps — различные простые числа. Если {пь и)=1,
гс,>Я, и если t —целое число, такое, что / = p^'(mody)
для некоторой подходящей степени ре.1, i — 1, ..., s, то
автоморфизм а группы G, определяемый равенством
ха = х*, есть множитель разностного множества.
Доказательство. Если D — {d{, ..., dk}— соот-
соответствующие элементы группового кольца G*(Z) группы G
над целыми числами, то поскольку G абелева и поли-
полиномиальные коэффициенты кратны р, когда р — простое
число, мы имеем
11.5. Разностные множества в группах общего вида
193
где W — элемент G*(Z).
Кроме того, так как
t = p^r(mod с), 1=1, ..., s,
, A1.5.11)
A1.5.12)
то х = х 1 при i= 1, ..., 5 для любого ieG. (Кстати,
рместо v в этом сравнении мы могли бы использовать v\
наименьшее общее кратное порядков элементов группы G.)
Таким образом,
>iRh i=\, ..., s.
A1.5.13)
Умножив соотношение
Q(d)Q(d~l) = n + lT
на B(d)q~\ где q = peJ, получим
о {d)q e (<r') = «e (d)q-[ + iB {d)q~l т.
A1.5.14)
.5.15)
Отсюда, поскольку хТ = Т для всякого ,tGG, следует,
что B(d)T = kT, и A1.5.15) принимает вид
i) = nQ{d)q~1+K(k'I~l -l)T + %T. A1.5.16)
По условию /7г делит n — k~%. Если р; не делит k, то
k'1 — 1 кратно pi, а если р-ь делит /?, то pt также де-
делит К. Следовательно, в любом случае формула A1.5.16)
дает
Q(d)QQ{d~l)=plVi + KT. A1.5.17)
Теперь, подставляя A1.5.13) в A1.5.17), приходим к ра-
равенству
@ {dv) + PlRt) 9 (d~l) = PiVi + IT, A1.5.18)
и
е(^)э(<г') = рА + я'Л i = i,..., s. (п.5.19)
Но здесь, так как
e(dfN(rf~')-^ = P/5t-, /-I,..., s, A1.5.20)
правая часть должна быть кратной щ = р\р2 . . . ps. Та-
Таким образом,
в№)В^~1)'^щ8 + М\ A1.5.21)
Если Х|, ..., xv — элементы группы G, то левая часть
равенства A1.5.21) имеет вид aixl + . .. + avx0, где а,—
неотрицательные целые и '^ai = k2. Сравнение с правой
частью показывает, что aL = К (mod «,) при /=1, ..., v,
и, поскольку п,>Я, отсюда следует, что ot-^ Я при вся-
всяком/. Таким образом, если S — ^ л\-л',-, то n^i = aL — Я^ 0,
13 М. Холл
194
Гл. 11. Разностные множества
/= 1, ,,,, v. Тогда ^П\$1 = 2 ai — hv = k'2 — kv — k — к — п.
Таким образом, st — неотрицательные целые числа, та-
такие, что ^]«1^ = п, следовательно,
«1Sr = S»,s,T = nr. A1.5.22)
i
Применяя автоморфизм х—> xi группы G к A1.5.14) и
х—>х~1 к A1.5.21), получаем
e(dOe(d~') = rt + w (п.5.23)
и
b(d)B{d~t) = nlS* + kT, A1.5.24)
где
Произведение левых частей A1.5.21) и A1.5.24) совпа-
совпадает с произведением левых частей A1.5.23) и A1.5.14).
Следовательно, для произведений соответствующих пра-
правых частей имеем
(niS + XT) (п{8* + кТ) = (п + кТJ. A1.5.25)
Используя A1.5.22) и соотношение
n1ST=2»iS/r = «r, A1.5.26)
упростим равенство A1.5.25):
— tv,
или
V'l —- i i
A1.5.27)
A1.5.28)
Так как s-t — неотрицательные целые числа, в левой части
не может быть ненулевого члена s^.x.xr1 при / ф /, по-
поскольку только единица имеет ненулевой коэффициент в
правой части. Следовательно, 5 состоит из единственного
члена sg и nxS = ri\Sg = ng. Равенство A1.5.21) прини-
принимает теперь более простой вид
9(<ф(<Г!) = Л? + >»'Л A1.5.29)
Умножая на Q(d), получаем
О id') {n + IT) = ngQ (d) + № (d) T. A1.5.30)
11.5. Разностные множества в группах общего вида
Но
и, стало быть,
или, если разделить на п,
е (</') =
A1.5.31)
A1.5.32)
Но это означает, что автоморфизм х—> х1 группы G есть
множитель разностного множества, и теорема доказана.
При построении разностного множества удобно строить
блок, фиксируемый множителями (инвариантный от-
относительно множителей), если мы можем быть уве-
уверены, что такой блок существует.
Теорема 11.5.3. Пусть D = {dif
множество в абе.ювой группе G
dk) — разностное
порядка v, Пусть
р у
х -> ха — множитель схемы D(v, к, к), определяемой этим
разностным множеством. Тогда существует блок, фик-
фиксируемый данным множителем. Если v и k взаимно
просты, то существует блок, фиксируемый каждым
множителем.
Доказательство. Первая часть этой теоремы
принадлежит Майну, вторая — Джонсу, обе части объеди-
объединены в одну формулировку автором.
Пусть /1 = (ап-) — матрица инцидентности блок-схемы
D(v,k,k), определяемой D. Тогда множитель х-> ха
переставляет элементы. Будем сложение в G записы-
записывать аддитивно, и пусть gt = 0, gb . . ., gv — элементы G.
Рассмотрим матрицу Р = (рrs), где /?„=1, если #« - gs,
и Prs~^ в остальных случаях. Аналогично если
Вь ..., Вv — блоки D (v, k, К), то х -> ха переставляет Bt.
Определим матрицу Q={qmn), где а,пп= 1, если Я„= Вп, и
qmn=0 в остальных случаях. Тогда утверждение, что
х-->ха индуцирует автоморфизм схемы D{v,k,k), выра-
выражается в матричной форме так:
Поскольку Л невырождена, отсюда получаем
~'
<?=Л~'/М.
A1.5.33)
A1.5.34)
13*
196
Гл. //. Разностные множества
Значит, для следов Р и Q имеем
след Q = след Р.
A1.5.35)
Но, очевидно, g* = 0ге = 0 = gr поэтому /зм=1и след Р
>0. Тогда по формуле A1.5.35) след Q>0, а след Q
равен числу блоков, фиксируемых множителем а. Эта
часть принадлежит Манну и аналогична доказательству
Паркера [1].
В блоке В,- = {d\ 4- g,-, d2+ gt, ..., dk + gt} сумма эле-
элементов равна (d{ + d2+ ... +dk) + kgi. Следовательно,
если (v, k) = 1, то существует в точности один элемент g,-,
такой, что эта сумма равна нулевому элементу G. Оче-
Очевидно, этот блок остается неподвижным при всяком
множителе блок-схемы D(v,k,%),
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
Известно несколько семейств разностных множеств.
Мы сначала приведем их перечень с кратким описанием,
а позже разберем их более детально. Эти семейства
рассмотрены в работе М. Холла [1].
Тип S (зингеровы разностные множества). Это гипер-
гиперплоскости в PG(/7, q), q = pr- Параметры:
v = ^_! . ~ q_Y' * ~~ q- 1
Доказательство существования и способ построения этих
множеств даются теоремой 11.3.1.
Тип Q (квадратичные вычеты в GF (//), // = 3 (mod 4)).
Параметры:
Тип Н6 (р — простое число вида р = Ах2 + 27). Суще-
Существует примитивный корень г по модулю р, такой, что
Ind, C)= I (mod 6). Вычеты аь ..., ap-^{modp), такие,
2
что Indr(a;) = 0, 1 или 3 (mod6), образуют разностное
множество с параметрами
0=^ = 4^-1, k = 2t-\, >.= /-!.
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
197
Заметим, что тип Н6 имеет те же параметры, что и
разностное множество типа Q.
Тип Т (простые числа-близнецы). Предположим, что
р и q = р + 2 — простые числа. Среди (р — \)(q — 1) выче-
вычетов по модулю pq, взаимно простых с pq, пусть аь ..., ат,
т = (р— l)(q— 1)/2, — те вычеты, для которых |^-j = j^M;
обозначим также 0, q,2q, .. ., (p—l)q черезат+ь . . .,ат+Р.
Тогда т + р — (pq — 1)/2 = k. Вычеты аи ..., ak образуют
разностное множество по модулю v с параметрами
v = pq, k = (pq - 1 )/2, Я = (pq — 3)/4; так как всегда
pq = — 1 (mod 4), то
У — 4Г — 1, к — 21 — 1, А = Г — 1.
Аналогично определяется разностное множество для
GF(//) и GF(qs), если gs = /)r + 2. Три типа: Q, Hfi и Т,-
это разностные множества типа Адамара, так как любая
симметричная схема с параметрами v~At—l, k = 2t—\,
Я = t — 1 соответствует матрице Адамара порядка At.
Матрицы Адамара будут рассмотрены в гл. 14.
Тип В (биквадратичные вычеты простых чисел вида
p = 4.v2+l, х нечетно). Здесь
2 X2— \
4
Тип Во (биквадратичные вычеты и нуль по модулю
простых чисел вида р = Ах2 + 9, х нечетно). Здесь
Ах2 + 9, k = х2 + 3, Я =
+3
Тип О (восьмеричные вычеты простых чисел вида
р = 8а2+ 1 =64й2 +9 с нечетными а, Ь). Здесь
v = p, k = а2, К = Ь2.
Тип О0 (восьмеричные вычеты и нуль по модулю
простых чисел вида р =8а2 + 49= 6АЬ2 + 441, а нечетно,
b четно). Здесь
v = р, k = а2 + 6, Я = Ь2 + 7.
Wj (обобщение типа Т, полученное Уитменом [1],
использующее, однако, биквадратичные вычеты вместо
198
Гл. //. Разностные множества
квадратичных). Здесь р и q— два простых числа, таких,
что (р — 1, q— 1)==4, и мы введем обозначение d —
— (р — \){q— l)/4. Если взять число g, являющееся при-
примитивным корнем как р, так и q, то разностное мно-
множество состоит из 1, g, g2, ..., g''~l, О, q,2q, .. ., (р - \)q
по модулю pq, где v = pq, k=(v—\)/4, I = (v — 5)/16.
Тогда должно выполняться равенство q = Зр + 2,
а (у — 1)/4 должно быть нечетным квадратом.
Заметим, что если аи ..., ак — множество вычетов,
образующих разностное множество по модулю нечет-
нечетного v, то — fl), ..., — а.;< не может быть тем же мно-
множеством, ибо если бы это было так, то d = а{— a,- =
s= (— ctj) — (— о,) (mod у) и разность d, не имеющая
вида 2а,-, появлялась бы четное число раз, а разность
вида 2аi появлялась бы нечетное число раз. Как след-
следствие из этого замечания (при нечетном простом р вида
ef + 1) получаем: если множество вычетов по модулю р
образует разностное множество, которое имеет вычеты
степени е в качестве множителей, оставляющих это мно-
множество неподвижным, то f нечетно. Действительно,
сравнение a ss Ье (mod p) эквивалентно сравнению af =
~ bef = bp~l ^ I (modp) и, когда f четно, (~l)fs=
ssl(modp), т.е. —1 есть вычет степени е и, следова-
следовательно, множитель, фиксирующий данное множество, а
это, как мы показали, невозможно.
Автоморфизм a: g —> ga~ gi: группы G — взаимно одно-
однозначное отображение, поэтому отображение a-i: g" —>g —
— gM~x также взаимно однозначно и является автомор-
автоморфизмом. Если даны два автоморфизма a,: g—>ga<,
а2: § -> ga^ т« произведение с^сь: g = (ga'f: = ga'a"- снова
является автоморфизмом. Таким образом, автоморфизмы
группы G сами образуют группу A(G). Мы можем объе-
объединить группу G и ее автоморфизмы A(G) в большую
группу, которая называется голоморфом группы G и
обозначается через Я(С). Для этого введем следующее
правило:
(«Р ?|)(a2> ^2) ) (П61)
где a,,
gu g2eC.
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
19Э
Легко проверить, что пары (a, g) образуют группу Н (G)
относительно операции умножения A1.6.1). Здесь
(a, g)~{ = (a, g~a~l). Если а, = 1 — тождественный авто-
автоморфизм, то A, gjHl, g2) = (l. gig>) и элементы A, g)
группы Н (G) образуют подгруппу, изоморфную G.
Как легко проверить, группа G нормальна в Н (G), и
H{G)jG изоморфна A (G). В группе Н (G) автоморфизм a
группы G индуцируется сопряжением при помощи (а, 1):
(a
1.6.2)
Оба правила A1.6.1) и A1.6.2) применимы, если отобра-
отображения а образуют некоторую группу М автоморфизмов
группы G, где М — любая подгруппа группы A(G),
В этом случае соответствующая группа обозначается
через M(G). Особый интерес для нас представляет тог
случай, когда G —абелева группа порядка v, а А1 —группа
множителей, о которой известно (по теореме 11.5.3 пли
по каким-либо другим соображениям), что она оста-
оставляет неподвижным некоторый блок разностного множе-
множества. Например, если у = 43, & = 21, А= 10, то n = k — K— 11
есть множитель по теореме 11.4.1. Так как (v, k) = 1, то
по теореме 11.5.3 существует блок, фиксируемый всеми
множителями, в частности, всеми степенями автомор-
автоморфизма а: х—>\\х (mod43). Ниже перечислены классы
сопряженных элементов группы G относительно степеней
автоморфизма а, причем сопряженность дается соотно-
соотношением A1.6.2); вычет 0 (mod 43) обозначается через г:
Co: I, 11, 35, 41, 21, 16, 4;
С,: З, 33, 19, 37, 20, 5, 12;
C2: 9, 13, 14, 25, 17, 15, 36;
C3: 27, 39, 42, 32, 8, 2, 22;
C4: 38, 31, 40, 10, 24, 6, 23;
C5: 28, 7, 34, 30, 29, 18, 26.
A1.6.3)
Если операцию в G записывать в мультипликативной,
форме, то элементы G — это b = bl, Ь2 Ь42, 643 = 2=1,
20J
Гл. П. Разностные множества
а числа в A1.6.3) — степени элемента Ь. В обозначениях
A1.5.7) если существует разностное множество D =
= '{du ..., d2l), то Q{dn) = Q{d) = dl+ ... +d.2l. Следо-
Следовательно, 8(d) есть сумма классов. Аналогично, в обо-
обозначениях A1.5.10), ${d~l) есть также сумма классов.
Таким образом, основное уравнение A1.5.10), т. е. урав-
уравнение
'') = n+lT, A1.6.4)
получается с помощью умножения классов. Так как
класс z имеет только один элемент, а классы Со, ..., С5 —
по семь элементов, то ясно, что Q(d) есть сумма трех
из шести классов Со, ..., С5.
Вообще пусть G — абелева группа, и пусть D —
- {d{, ..., dk), 8 (d) = d{ + ... + dk. Если и, = 1, а2, ..., а5
образуют группу М множителей, оставляющих непо-
неподвижным разностное множество D, то Q{d) = d<l + ...
... + dl = 6 (d) = dx + ... + dk для всякого а = a,, . .., as.
В этом случае 8(d) есть сумма классов сопряженных
элементов группы G в M(G). Точно так же Q{d~ ) есть
сумма классов элементов, обратных элементам 6 (d).
Поэтому если мы знаем таблицу умножения классов G
в М (G), то этого достаточно для того, чтобы вычислить
B{d)Q(d~~[) и узнать, удовлетворяется или нет основное
уравнение A1.6.4).
В произвольной группе G пусть Ки Къ • • •» Кг ~
классы сопряженных элементов и
ti ^j Xt I 1,
',
A1.6.5)
— элементы группового кольца G*(Z). Тогда существуют
такие неотрицательные целые числа с.цк, что
CiC, = 2 cl/feCfc, /, / = 1, ..., r; A1.6.6)
действительно, в CiCj, как легко проверить, сопряжен-
сопряженные элементы из G появляются одинаково часто. Пра-
Правила умножения классов из A1.6.3) даются следующими
И.6. Некоторые семейства разностных множеств
201
формулами:
Cl =
= С;2 = С;, /= 0, .... 5,
3=С3С0=72
4 = С4С0= 2С0
2С,
с2
С-2
+
+
2С3
2С3
+
+
+
+
С4
2С4
с4
с4
+
+
4-!
с5.
с5,
A1.6.7)
Кроме того, поскольку 3 — примитивный корень по
модулю 43, отображение fj; jt -> За; (mod 43) является
автоморфизмом группы G, причем рзо = а. Поэтому
{a, G}=M(G) есть подгруппа группы {р, G}=H{G)
индекса [// (G): М (G)] = 6. Элемент р индуцирует на
M{G) автоморфизм порядка 6, при котором С,-—>Ci + lt
i= 0, ..., 5(mod6). Таким образом, из A1.6.7) мы можем
вывести всю таблицу умножения для С{. Класс С{ можно
также описать как совокупность всех вычетов по мо-
модулю 43, индексы которых сравнимы с i по модулю 6.
Так как — 1 = 42 принадлежит С3, то Ct и С,-+з состоят
из взаимно обратных элементов для любого /. Поскольку
6 («О есть сумма трех классов Сь то если никакие два
из них не являются последовательными, мы возьмем
6 (d) — Со 4- С2 + С4, и тогда разностное множество со-
состоит из квадратичных вычетов по модулю 43. Если
два класса С{ последовательны, то в качестве этих двух
классов мы возьмем Со, Ct. Находим, что
6 (d) = Со + С2 + С 4,
Q{d)Q(d~])=l\ + l0T, A1.6.8)
Т - z + Со + С, + С2 + С3 + С4 + С5.
Находим также [вычисления полностью приведены
в A1.6.9)], что
G(d)=C0 + Cl + C3,
0 (d) 9 {d~l) = (Со + С, + С3) (С3 + С, + Со),
C0C3=7z +2C.+ С, +2С4+ Cs,
С0С4= 2С0 + С,, + 2С3+ С4+ СГ),
202
Гл. 11. Разностные множества
Со =
2С0+
Со
2С0+
ЗС0
С3С
3С4
2С,+
С,
С2
+
+
2С3 +
2С4-
2С4-
с4-
2С4-
f с5,
f 2C5,
f Cs, (П.6.9)
¦Ь2С5,
+¦ Cfo
+¦ Сь
и
0
+10С0+ЮС,
+ 10С3+10С4+10С5 =
071.
Таким образом, при v = 43, /е = 21, Я=10 мы нашли,
что существуют, с точностью до эквивалентности, два
разностных множества, определяемые в A1.6.8) и A1.6.9):
первое типа, который мы обозначили Q, а второе
типа Н6. Никаких других разностных множеств не су-
существует.
Большинство перечисленных выше типов можно
классифицировать как разностные множества вычетов.
При этом v = р — простое число, G — циклическая группа
порядка р, а группа М множителей — циклическая
группа порядка f, где p = ef+\, состоящая из мульти-
мультипликативной группы вычетов е-н степени по модулю р.
Можно вообще рассматривать аддитивную группу G
порядка pr = q в поле GF (//) и мультипликативную
группу М с-х степеней в GF(//), где ц = е\+\. Как
уже отмечалось, f не может быть четным при нечет-
нечетном v, так как тогда число — 1 было бы множителем.
Следовательно, нам нужно рассмотреть лишь случаи
с четным е (если исключить возможность q = 2Г).
Пусть теперь M{G) — группа отображении группы
GF {q) на себя:
?), A1.6.10)
где q=l+eff и пусть G — аддитивная группа
АF): х->х + Ь, A1.6.11)
а группа М множителей состоит из отображений
М{се): х->сех, сфО. A1.6.12)
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
203
Легко проверить, что
Л{Ь)М(се)=А(с%).
A1.6.13)
Следующее соответствие определяется соответствием
A1.6.11):
b<^A{b): x~>x+b, b<=GF{q); A1.6.14)
при этом
A{bl)A{b2) = A(bl + b2). A1.6.15)
Когда это не приводит к двусмысленности, мы будем
отождествлять элементы b и А(Ь). Из A1.6.13) следует,
что b и cKb — сопряженные элементы в M(G). Пусть g —
примитивный корень GF (q). Тогда из соотношения
A1.6.13) следует, что gu и gv сопряжены в M{G) тогда
и только тогда, когда существует такое с = gi, что
gu = gvcc — gvg'e — gv+'c', или, иначе говоря, тогда и только
тогда, когда и = у (mode), так как е есть делитель q —- 1,
т. е. порядка элемента g.
Следовательно, сопряженные классы группы G
в М (G) — это нулевой элемент, который мы обозначим
через z, и классы Ki элементов gu с и == /(mode) при
г = 0, 1, ..., е— 1. Запишем это подробно следующим
образом:
z- Kt = {gu\ H = j(mode)}, /= 0, . . ., е - 1. A1.6.16)
Далее, М (G) — нормальная подгруппа ipynnbi L(G) —
полной группы линейных преобразований:
х -> nix + b, m фО, be GF (q). A1.6.17)
В L(G) имеется преобразование a (g) — умножение на
примитивный корень g:
a(g): x-+gx, A1.6.18)
и мы видим, что
a(grlA(g")a{g)^A{g^). A1.6.19)
Таким образом, a=a(^) индуцирует автоморфизм
в M{G), такой, что
i=0, ....
A1.6.20)
204
Гл. П. Разностные множества
Обратимся теперь к групповому кольцу М{Т) группы
M{G) над целыми числами Z. Элемент z — это единица
в M{G) н, конечно, нулевой элемент G, если G запи-
записана аддитивно. В М (Z) представим элементы G в виде
Z, А'о, Х{, ..., -V^^2> ГАе
x^Aig'). A1.6.21)
Кроме того, пусть
, /=0, ...,<?-1. A1.6.22)
2 х
Суммы С,- элементов по классам и элемент z образуют
базис некоторого подкольца кольца М (Z), и мы имеем
e-i
С(С} = ацг+^сикСк, /, /- 0, ..., е - 1, A1.6.23)
где ац и Сцк — неотрицательные целые числа. Здесь ац
есть число решений уравнения
ga+gv = z = Ot M = i(mode), v = /(mode), A1.6.24)
a ri;fe — число решений уравнения
g" + gv = gw, u = i(mode), v^ I (mode),
w фиксировано, w z= k(mode). A1.6.25)
Соотношения A1.6.24) и A1.6.25) вытекают из того
факта, что в любой конечной группе равенство ab = cy
а ?Е К„ b е /С/, с е= /С^,, где /^? — классы сопряженных
элементов, остается справедливым при сопряжении
{х~лах) (x~lbx) = х~1сх для любого элемента л\ Поэтому
при фиксированных с и х~хсх уравнения аЪ=>с и а'Ь' =
= a,'~'c.v имеют одинаковое число решений с а, а' е /Сг,
6, b'^Kj- To же самое справедливо, если зафиксиро-
зафиксировать Ь ИЛИ Q.
Так как —\=g 2 , легко найти значение ац, числа
решений A1.6.24). Заметим, что поскольку q—l = ef,
то — 1 е /Со, если f четно, и -1е КеГ>, если / нечетно.
Тогда из
ро _ _ ри — pu + (]{q-iI2
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
205
в A1.6.24) вытекает, что
аи = f, если / четно;
a. i+ep=f, если f нечетно; A1.6.26)
ац = 0 в остальных случаях.
Если мы умножим A1.6.25) на g~u, то получим
1+^-" = ята-", A1.6.27)
или
l+gv = gwt v'=j-it w'^k-i(mode). A1.6.28)
Так как в каждом классе Ki, 1=0, ..., е—1, число f
элементов одинаково, это дает основное соотношение
Cuk = CQ,i-t,k-i' A1.6.29)
В теории циклотомии число решений уравнения
1+/=^, s^i, t^j(mode), A1.6.30)
обозначается через (i, j); таким образом,
f + s- (П.6.31)
Умножая A1.6.30) на g \ получаем
ё-*+\ = ё<-\ -s==-it t-s = j- i(mode). A1.6.32)
С другой стороны,
g*= _ l+g', A1.6.33)
или
s+-
в 2 =1+я 2 . A1.6.34)
Из A1.6.32) и A1.6.34) получаются соотношения
(i, /)=(-/, /-/),
(/. ^) = ('. /), если f четно, A1.6.35)
(/, /) = (/+у, / + у). если f нечетно.
Подсчитывая элементы в обеих частях A1.6.23), при-
приходим к равенству
A1.6.36)
Г
20(>
Гл. II. Разностные множества
Мы можем A1.6.26) переписать в виде
где
п0— \, f четно,
Пей— 1. / нечетно,
пс = 0 в остальных случаях.
Заметив это, из A1.6.36) получим
A1.6.37)
е-1
/, k) = f-nt, / = 0, .... е-1. A1.6.38)
Соотношений A1.6.35) и A1.6.38) достаточно, чтобы
определить (г, у) при е = 2.
Случай е = 2, f нечетно. Тогда
@,0) +@, 1) = /,
A,0)+ A, l) = f-l, A1.6.39)
@,0) = A, 1) = A,0).
Следовательно,
@H) = A,1)=A,0) = Ь^, @, 1) = -Ц1. A1.6.40)
Это дает разностные множества типа Q, ибо здесь,
в обозначениях A1.5.14), 6 (d) = Со — множеству квадра-
квадратов в GF (q) (по модулю р — квадратичные вычеты), и
б(<Г')=С,. Но соотношения A1.6.39) и A1.6.40) дают
, A1.6.41)
= 1±1 у 4- IZ± Г = (Ь - У \у 4
где у = ^ = 4^-1, 6 = 2*—1, Я = /-1.
Случай е = 2, f четно. Тогда
@,0) +@, l) = f-l,
A, 0) + A, 1) = /,
A, о = A,о) = (о, 1).
Следовательно,
A, 1) = A,0)=@, 1) = 4' @, 0) = 4-1. (П.6.43)
Этот случай не приводит к разностным множествам.
A1.6.42)
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
207
Случай е = 3. Составим таблицу, помещая число (/, /)
в строку i и столбец /. Эта таблица имеет вид
@, 0) @, 1) @, 2)
@,1) @,2) A,2) A1.6.44)
@,2) A,2) @,1),
так как
а = @,0),
A1.6.47)
(,)(, )
по A1.6.35).
При е = 3 имеем q = 3f + 1, и (/, i) = (i, j) для четного f.
Но если / нечетно, то q = 22s; тогда — 1 и +1 совпа-
совпадают и A1.6.30) показывает, что (/, /) — (г, /). Таблица
A1.6.44) показывает, как перемножаются классы в G:
Со = fz + аСо + &Ci + сС2,
С0С,= ЬС0 + сС, + dC2, A1.6.46)
С0С2== сС0 + dC{ + ЬС2.
Из A1.6.38) мы получаем линейные соотношения
а+ b + c = f—l,
b + с + d = f.
В силу A1.6.31) определены все произведения CtCj',
например, С{С-2 = dC0 + bC\ + cC2- Воспользовавшись за-
законом ассоциативности умножения (С0С|) С2 = CoiC^.i),
находим
dfz + (be + cd + bd) С0 + (bd + be + cd)Cl +
+ (b2 + c2 + ad) C2 = dfz + (ad + b2 + c-) Co +
+ (bd + bc + cd)Cx + (cd + bd + be) C,. A1.6.48)
Приравнивая коэффициенты, получаем, что
ad + b2 + с1 = be + cd + bd;
подставляя сюда d= a+ I, c= f — 1 — a — b [из A1.6.47)],
приходим к соотношению
362-C/-5)a-C/-3)ft=-/2+3/-2. A1.6.49)
208
Гл. 11. Разностные множества
Умножив это равенство на 36 и перегруппировав члены,
получим равенство
(9а - 3/ + 7J + 27 ([- 1 -a-2bJ = 12f + 4 = Aq. A1.6.50)
Таким образом, числа из A1.6.44) определяются реше-
решением диофантова уравнения
IJ + 27 М2 = Aq, A1.6.51)
где знак /. определяется сравнением /, = l(tnod3).
Знак М будет зависеть от выбора примитивного корня.
Мы находим:
9а = 9 @, 0) = q - 8 + L,
18ft = 18@, l) = 2<7-4-L-9Af,
18с = 18 @, 2) = 2g - 4 - I + 9Af,
9d=9(l, 2) = <7+l+I.
A1.6.52)
Чтобы получить разностное множество, мы должны
иметь k=(q— 1)/3 и а—Ь = с в первом из равенств
A1.6.46). Но тогда Af = 0, L = 4, q = A=v и, три-
тривиально, k = 1.
Если q = р — простое число, то известно, что A1.6.51)
определяет L и М с точностью до знака единственным
образом. Если q^=pr, p = 2(mod3), то г должно быть
четным, г = 2.ч и в A1.6,51) мы должны иметь AJ = 0
и L=±2qs. Если q = pr, р = 1 (mod 3), г>1, то реше-
решение A1.6.51) не единственно. В этом случае не ясно,
какое из решений A1.6.51) может быть использовано
в A1.6.52), но небольшой подсчет наводит на мысль,
что если (и, v) — единственное решение уравнения
Ар = х2 + 27//2, то для q = pr подходящее решение дается
равенством
L + M )¦"- 27 _ / и + v Y - 27 ' '
Это решение характеризуется тем свойством, что L и М
не кратны р. Это недавно было показано автором
в работе [2] в предположении справедливости резуль-
результатов работы Митчелла [1].
Соотношение
l cC2 (П.6.53)
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
209
дает число решений уравнения
x + y=tt, Л', //е/Со, ti^Ki, U фиксировано. A1.6.54)
Если (х, у) — решение, то (у, х) — также решение, и сово-
совокупность решений распадается на такие пары, исключая
случай у = х, 2x = t/. Ясно, что тогда 2 е Kh и, таким
образом, 2 е/Со, если а нечетно, 2 е/С,, если 6 нечетно,
и 2е К2, если с нечетно.
Аналогично
Со = ф + (а2 + б2 + с2 + f) Со + (аб + be + erf) С! +
+ (ос + 6d + &с) С2 (П.6.55)
дает число решений уравнения
х + у + z= t{, х, у, ге/@, ti^Ku h фиксировано.
A1.6.56)
Переставляя х, у, z в A1.6.56), мы получаем шесть
решений, если все три элемента х, у, z различны, три
решения, если два из них равны, а третий отличен от
них, и одно решение, если х = //==г; в последнем слу-
случае 3x=tt и 3<=/<j. Таким образом, коэффициент
при Cj в правой части A1.6.55) сравним с 1 по мо-
модулю 3 тогда и только тогда, когда 3 е i\t. Вычислим,
учитывая соотношение Aq = L2 + 27М2,
Ло = а2 + if + с2 + f =
Л, = ab + be + cd =
Л о = ас + bd + be =
27
2б?2- 12<7 -Ь 12
27M
- 12</+ t2-t-L-27M
A1.6.57)
54
Чтобы найти Л,(modЗ), нам нужны значения числителей
в правой части по mod 81. Здесь А,= 16Д (mod 3) Посколь-
Поскольку L = 1 (mod3), полагаем L= 1 +3/. Тогда справедливы
сравнения по модулю 3 (используем Aq — I? + 27M2):
Л =-16/4 = (L2 + 27M2J + 12 (IJ + 27М2) + 24П - 64L ==
= ^' + 12L2 - 64L + 240 + 5412ЛТ2 = 27- 108 U - П - 27М2 ^
27
= 1 _ (/
„ Л_12 (mod 3). A1.6.58)
14 М. Х
210
Гл. 11. Разностные множества
Но / — t3 = 0 (mod 3) для всякого целого t и потому
Ло= 1-Al2(mod3). A1.6.59)
Таким образом, Ло = 1 (mod 3), если М = 0 (mod 3); в про-
противном случае ^0 = 0(mod3). Следовательно, 3 есть
кубичный вычет тогда и только тогда, когда М = 0 (mod 3).
Аналогично
- 1С . Z.1 — 24L2 + 8L + 9Г> + 54L2A12 + 216AJ
Л, = 16/1, = yi =
= - / + t3 - М2 - М = - М2 - М (mod 3). A1.6.60)
Следовательно, если М^0 или 2 (mod3), то Л1 = 0(mod3),
а если М = 1 (mod 3), то Д == 1 (mod 3). Поэтому Зе/С[
тогда и только тогда, когда М ss I (mod 3). Точно так же
и Зе/С2 тогда и только тогда, когда M = 2(mod3).
Объединим эти результаты о кубичном характере 2 и 3.
Теорема 11.6.1. Пусть q~ pr = 1 (mod 3), р — про-
простое число, g — примитивный корень в GF (q), Aq = L'1 +
+ 27Ad2, где L ^ 1 (mod 3) и М удовлетворяют соотно-
соотношениям A1,6.52). Пусть, далее, gm = 2, gm' = 3. Тогда
m = 0(mod3), если L = 0(mod2); m=l(mod3), если
L + 9M = 0(mod4); m^2(mod3), если L-9M = 0(mod4);
m' = M (mod 3).
Мы использовали ассоциативность умножения в груп-
групповом кольце G (Z), чтобы получить соотношения для ци-
клотомических коэффициентов (/, /) в уравнении A1.6.48).
Существует другой, несколько более арифметический
подход, основанный на групповом кольце G (?), где
? —первообразный корень уравнения лГ~'=1. В G Ц)
элементами базиса являются z, нулевой элемент группы
и х0, ..., xq-2, где xt — A(g'), как в A1.6.21), а коэф-
коэффициенты пробегают кольцо полиномов от ? над целыми
числами. В G {?)
xtxt+, = A(g* + g*+l)+ Л(8*{1 + gi)).
Если теперь j = {q — 1 )/2, то 1 + gj — 1 — 1 = 0 в GF (q),
и поэтому xtxt+J = z. Если j ф {q — 1)/2, то 1 + gJ = g*
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
при подходящем s, н поэтому
вд+/ = A (gfgs) = Л (g—j = ,r,+i.
Полагаем Т = z + xo + x^ + ... + л^-2, тогда
G-2
\' / * \ , A — 1
у -у 1/7 р I iy ar* TTT7 1
/, z — \ц 11 z* если / — —-—
= T-z, если /
A1.6.61)
.
Пусть a^l—корень уравнения х'~1=1. Определим
функцию ^(a) следующим образом:
7-2
F(a)=Ha4, A1.6.62)
Тогда
-1) = >] akxk
A1.6.63)
i7 (a) F (a-1)
и, полагая k — t = j,
F(a)F(a~l) = 2 a'^"*^,. A1.6.64)
/=o f=o
Используя A1.6.61), приводим это равенство к виду
f (a)/;'(a-1) = a y (^-l)z+ 2 а;(Г-г). A1.6.65)
Но так как
q-1
у-о
то A1.6.65) упрощается:
f (u)F (a~])^a 2
-l)^-a2 (Г-^)-а2 {qz-T).
A1.6.66)
При ^ = 1 -f- ef классы /С(- вычетов е-п степени в силу
(П.6.22) таковы, что
Ct= >j у = 2 а-.-, у = j (mod e). A1.6.67)
J4*
212
Гл. //. Разностные множества
Следовательно, если р — такой корень уравнения xq ! = 1,
что р*с= 1, т. е. р"г = р'* для г 2= s(mode), то при Ct, опре-
определенном соотношением A1.6.22),
i7 <Р) = 2"P*jcfc = 21 э' 2 */ = 2р'с(. (п.6.68)
ft=0 »=0 /si" (mode) i=0
Пусть теперь C —первообразный корень степени е из
единицы, а т,п — целые числа, причем m^O(mode),
п Ф 0 (mod е). Предположим также, что т + п Ф 0 (mod e).
Тогда
F (П F Ю = 21 21 pnJ<CtCh (И.6.69)
и, полагая t = j+ k, получаем
F (П F (П = S Ря* 2 Р'(m+n) С/С/+* =
fr 0 /0
2
/=0
C/+A], (П.6.70)
fe=O /=0
пользуясь правилами умножения A1.6.23) и A1.6.31),
а также A1.6.37). Поскольку мы предположили, что
т + п Ф 0 (mod e), то
е-1
Sp'"'-'-'fiJz=O, A1.6.71)
/=о
Следовательно, A1.6.70) принимает вид
е-1 е-1 е-1
Г IP ) Г (Р ) = 2j Zl Р Р (f?, «) Zl Р
/е=0 h=0 /=0
A1.6.72)
Если определить функцию R(m,n), которая принимает
значения в области целых алгебраических чисел, по-
посредством равенства
e
R(m, n) =
A1.6.73)
то A1.6.72) принимает вид
F{sr)F(fta)=R(m,n)F(fl+n). A1.6.74)
//.6. Некоторые семейства разностных множеств
213
Исключенное значение m + n = 0 (mod e) соответствует
случаю m = — п, для которого мы можем вычислить
F (pm)f(p"m) из A1.6.66).
Сформулируем основные результаты в виде следую-
следующей теоремы.
Теорема 11.6.2. Пусть G — аддитивная группа A (q)
пояя GF (q)t q = р', состоящего из нулевого элемента z,
а также элементов А'о, ..., xq-2, где xt= A(g'), g — при-
примитивный корень в GF (q). Если а Ф- 1 есть корень урав-
уравнения xq~l=\, то полагаем
Если обозначить Т = z + xG + .v, + ... + Хд_2, го
2)
q-\
F{a)F(a-*)=a 2 {qz-T).
Если р — первообразный корень уравнения Xе — 1 и
пг Ф 0 (mod е), гг^е g = 1 + е/, го
е-1
3)
i (р )=
i=0
С; — элемент из A1.6.22). ?с.ш определить R(m,n)
по формуле
е-1 е-1
4) R{rn, п) — ^ zj P" P~ m+"J (&, /?)>
г(?е /;г, », /?г + п Ф 0 (mod е), го
Жы г/л/^ел также
6) R{m, n) R{—m, — п) = q.
Доказательство. Все части этой теоремы, за
исключением свойства 6, уже доказаны. Заменим в свой-
свойстве 5 m и п на — m и — п. Это даст нам
f (р~"') /; (p^'!J = У? (- ш, - /г) f (p~'ft~"). A1.6.75)
2П
Гл. П. Разностные множества
Умножая это равенство на равенство из свойства 5 и
замечая, что кольцо G (?) коммутативно, находим
= R (ш, п) R(-m,~n)F ($m+n) F ((Гm~n). A1.6.76)
Применим теперь свойство 2 с а = р , р и р и по-
получим
, n)R{- m, - n)
A1.6.77)
Поскольку
(qz - Tf = q-z1 - 2qzT + T2 =
= q2z - 2qT + qT =
= «/((/z-n, A1.6.78)
то, сравнивая коэффициенты в A1.6.77), находим
R{m,n)R(-mt -n) = q. A1.6.79)
Теорема 11.6.3. ?сш <7 = рг нечетно и если m
определяется равенством gm = 2, то кр« а=^1, а7 = 1,
f (-l)F(a2) = a2mF(a)F(-a).
Доказательство. Следуя Диксону [1], мы пока-
покажем, что a2m+' при всяком / = 0, ..., ц — 2 имеет один и
тот же коэффициент в левой и правой частях равенства
f(_!)f (a2) = a2m/7(a)/:(_a). A1.6.80)
В правой части коэффициент при a2mf' равен
S(-04*<-/-
A1.6.81)
Если I нечетно, то члены с /=/ и / = / —У дают
{-\)JXjXi-j + i.-YI-1 хг-}х} = Ъ, и сумма равна нулю.
Таким образом, при нечетном i коэффициент при a!'n + i
в правой части равен нулю. Очевидно, левая часть также
содержит лишь четные степени а. Пусть теперь t четно,
i = 2t. В F (а2) и xm+t, и Xm+t+d-W имеют в качестве коэф-
коэффициента a2m+2t, и потому коэффициент при a2m+l = a2m+2'
равен
f (l)(+ l)/2). (П.6.82)
i/.б. Некоторые семейства разностных множеств
215
Но
Так как
A1.6.82) принимает вид
Л
2g%
а сумма A1.6.81) при / = 2^ равна
.6.83)
A1.6.84)
Покажем теперь, что А (с) при любом с появляется
с одним и тем же коэффициентом в A1.6.83) и A1.6.84).
Если с= + 2gl, то А (с) появляется при g> = g( в A1.6.84),
при gk = 4gl — во второй сумме A1.6.83) и совсем не
появляется в первой сумме. Здесь k и / имеют одну и
ту же четность. Если с= —2gt, то А(с) появляется при
gJ'= - g( в A1.6.84), при gk= - Agl — в первой сумме
A1.6,83), а / и k имеют одну и ту же четность. Если
ф 2* J 2tJ F)
сф ±2g* и
с = gJ
g
'2t~J
у
то в A1.6.84) два члена с)=
g g () )
и / = 2t — /, оба одинаковой четности, дают А (с), и мы
замечаем, что
есть ненулевой квадрат. С другой стороны, А (с) полу-
получается при gk = g~J (gJ — g1J в первой сумме A1.6.83) и
при g'* = g~J (gJ + g')-— во второй сумме, причем оба к
той же четности, что и /. Если с не совпадает пи
с каким значением, взятым в A1.6.84), то с-~ 4g'2t не есть
квадрат, и тогда для gk> + 2gt = c и g''~ — 2gl = с в пер-
первой и во второй суммах A1.6.83) соответственно мы
имеем
Числа kx и /г2 — противоположной четности, н эти два
члена сокращаются. Таким образом, при любой степени a
21C
Гл. И. Разностные множества
левая и правая части A1.6.80) имеют один и тот же
коэффициент, и тождество доказано.
Случай е = 4. Здесь р = i и
ЯA, 1) = @, 0)-@, 1) +@,2)-@,3)-B,0)+ B, 1)~
-B, 2) + B, 3) + 2/(A, 0) - A, 1) + A, 2) - A, 3)). A1.6.85)
Под случай с = 4, f четно. Таблица для (/, /) с (i, /) в /-й
строке и /-м столбце, i,j = 0, 1, 2, 3, имеет следующий
вид:
@, 0) @, 1) @, 2) @, 3)
@,1) @,3) A,2) A,2)
@,2) A,2) @,2) A,2) Ul.
@,3) A,2) A,2) @, 1)
Линейные соотношения A1.6.38) в нашем случае таковы:
@,0)+ {0, 1) + @, 2) + @, 3) = f-l,
@, l) + @,3) + 2(l,2) = f,
@, 2) + A,2) = |.
Подстановкой в A1.6.85) находим, что
R(l, 1)= -x + 2iy,
x = 2f+1-8A, 2),
у = @, 1)-@,3).
Тогда по A1.6.79)
<7 = л-2 + 4г/2,
и знак для х выбирается так, чтобы A'
Вместе с A1.6.87) это дает
16@, 0) = <у — 11 — 6л:,
16@, l) = q-Z + 2x + Sy,
16@, 2) = 9-3 + 2х,
16@, 3) = q-3 + 2x-Sy,
16A, 2) = ?+1-2*.
(Ц.6.87)
A1.6.88)
A1.6,89)
l(mod4).
A1.6.90)
Некоторые семейства разностных множеств
217
Под случай е = 4, / нечетно. Таблица для (г, /) имеет
вид
@,0) @, 1) @,2) @,3)
A,0) A,0) @,3) @, 1)
@,0) A,0) @,0) A,0)
A,0) @,3) @, 1) A,0)
A1.6.91)
причем выполняются [по A1.6.38)] следующие линейные
соотношения:
@,0)+ @, 1) + @, 2) + @, 3) = f,
2A, 0) +@,3) +@, l) = f,
A1.6.92)
Отсюда
R{\, \)=-x + 2iy,
x = 2f-\ -8A,0), A1.6.93)
у - @, 3) - @, 1)
и по A1.6.79)
4-х2 + 4у2. A1.6.94)
Знак для х выбирается так, чтобы х s= I (mod 4), и мы
получаем
16@, 0) = <7-7 + 2.v,
16@, \)=q+\+2x-8y,
16@, 2) = q+ I —6л:, A1.6.95)
16@, 3) = q + \ +2x + Sy,
16A, 0) = q-3-2x.
Произвольное е. Если
Ct=nJz + (Q, 0)C0 + @, 1)C,+ ... +@, e-l)Ce_,,
A1.6.96)
то число @, 0) дает число решений уравнения u + v—\
в GF {q) с н, не /Со, и это число четно, если в /Со нет
элемента и со свойством '2и— 1. Если же в /Со такой
элемент есть, то 2 е /С,,. Мы заметили это при доказа-
доказательстве теоремы 11.6.1.
218
Гл. 11. Разностные множества
Соотношения A1.6.40) и A1.6.43) показывают, что 2
есть квадратичный вычет в GF(<?), если q з= 1,7 (mod 8),
и 2 есть квадратичный невычет, если q = 3, 5 (mod 8).
Выясним теперь, для какого q = 1 (mod 4) 2 есть четве-
четверичный вычет. Если q = 5 (mod 8), то 2, будучи квадра-
квадратичным невычетом, не является, конечно, четверичным
вычетом. Но если g s=l (mod 8), т0 можем применить
A1.6.90). Таким образом, 2 есть четверичный вычет для
q == 1 (mod 8) тогда и только тогда, когда
<7-11-6*г= 16(mod32), л-=1 (mod 4). A1.6.97)
Полагая x=\+At и q = х2 + 4у2, мы приводим A1.6.97)
к виду
l+8t + l&2 + 4tf-U -6-24/= 16 (mod 32), A1.6.98)
и, поскольку t + t2s=0(mod2) для любого t, получаем,
что
4у'2 s 0 (mod 32), A1.6.99)
или
у === 0 (mod 4) A1.6.100)
— необходимое и достаточное условие того, что 2 есть
четверичный вычет для #=l(mod8). Сформулируем
полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 11.6.4. Пусть q = pr=\+4f, и пусть
q — x'2 + 4y'2, где знак х выбран так, что ,v== I (mod 4).
Тогда для четного f циклотомические числа {i, j) даются
соотношениями A1.6.90) и A1.6.86), а для нечетного
f — соотношениями A1.6.91) и A1.6.95). В общем случае,
число 2 является квадратичным вычетом для q = pr,
если q=s\,7(mod8), и квадратичным невычетом, если
<7 s= 3, 5 (mod8). Если ^=1 (mod 8), то 2 является четве-
четверичным вычетом в том и только в том случае, когда
у == 0 (mod 4) в равенстве q = x~ + 4y2.
Замечание. Если q простое, представление q = х2 + 4у2,
как известно, единственно. Если q = pr, р = 3 (mod 4), то
г четно, г = 2s, и единственное решение есть х = ±р\ у — 0.
Если q — pr, r>l, ps=l(mod4), то представление не
единственно, и поэтому значения в A1.6.90) и A1.6.95)
не вполне определены теоремой.
11,6. Некоторые семейства разностных множеств il.)
Разностное множество D с четверичными вычетами
в качестве множителей должно состоять из одного или
более классов z, Ко, К\, К>> Кз- Поскольку —1 не
может быть множителем, f должно быть нечетным.
Теорема 11.6.5. Пусть q = рт = 5(mod8). Четве-
Четверичные вычеты в GF (q) образуют разностное множество,
если q имеет вид q = 1 + 4у'2; четверичные вычеты и нуль
образуют разностное множество, если q имеет вид
q — 9 Л- 4у2. Эти разностные множества принадлежат соот-
соответственно типам В и Во, указанным в начале этого
параграфа. Никакие другие комбинации четверичных
вычетов, по существу отличающиеся от указанных, не
образуют разностного мноусества.
Доказательство. Так как \ нечетно, восполь-
воспользуемся значениями (i, j) в A1.6.91) и A1.6.95). Если D
состоит из одного класса, то в качестве D можно
взять Ко. Таким образом, Q(d) = C0, B(d~l) = C2 и A1.6.91)
Показывает, что
:0 + ьсх + аС2 + ьс3,
7 + 2х, A1.6.101)
6 (cl) 6 (<Г') = С0С2 =fz + аС0 + ЬСХ
16а = 16@, 0) = <7~7 + 2х,
166= 16A, 0) = <7-3-2.v.
Разностное множество получается в том и только в том
случае, когда 6 (d) B(d~~l) = (k — }-J)z + KT, и это условие
соблюдено в A1.6.101) тогда н только тогда, когда а = Ь,
т. е. тогда и только тогда, когда х—\. В этом случае q
имеет вид q — 1 + 4if. Если D состоит из одного не-
ненулевого класса и нуля, то мы можем взять 0 (<i)=z + Co-
В этом случае
= (f
l)Ca+bCl
3. A1.6.102)
Разностное множество получается тогда и только тогда,
когда а + 1 — b или х = — 3, ив этом случае q = 9 + 4tf.
При q = p = 1 + 4у2 мы имеем тип В, а при </ = р = 9 +
+ 4у2 — тип Во. Требование нечетности у необходимо
для того, чтобы f было нечетно. Типы В и Во не слу-
случайно были указаны только для простых чисел. Для
220
Гл. 11. Разностные множества
степеней q — рг простых чисел г должно быть нечетным
и р ss I (mod 4). Можно показать, что рг=1+4г/2 и
рГ = 9 + 4//2 в самом деле не имеют решений при не-
нечетном г, большем 1.
Теорема 11.6.6. Если ни одно из чисел tn, n, m + n
не делится на е, то
R(m, n) = R(n, m) = (-\)nfR(-ni-n, n).
Доказательство. В силу теоремы 11.6.2 если
ни одно из чисел т, п, т + п не делится на е, то
F (П F (Г) = R (m, n)
A1.6.103)
Отсюда непосредственно следует, что R {n, m)~R(m, n).
Умножив на F($~m~n) и применив A1.6.66), получим
F
V (Р'г) =
= R(m, n)f
i-i)i2(qz~T). A1.6.104)
Теперь к левой части применима формула A1.6.103)
с —т — п вместо т, и мы получаем
A1.6.105)
Далее по A1.6.66)
$nD-№(q2~T)R(-m-n, n) = R(m, n)
^{qz-T).
A1.6.106)
Сравнивая коэффициенты, получаем
R{m, n) = $~n{q~l)i2R(-m-n, n). A1.6.107)
Так как р —первообразный корень степени е из единицы
и q~ I =ef, справедливо равенство р(<7~1)/2 = (—l)f, по-
поскольку если е четно, то p'J=— 1, а если е нечетно,
то f четно и р(<?~1)/2= 1 = (—l)f. Соотношение теоремы
установлено.
Случай е ~ 6. Здесь рассмотрения зависят от кубич-
кубичного характера числа 2, и соотношение F(— l)F(a2) =
= a?mF (a) F ( — а), где g'n = 2 в GF (q), установленное в тео-
теореме 11.6.3, показывает, каким образом он влияет на
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
221
значения R{m, n). В качестве первообразного корня степе-
степени 6 из 1 мы берем р = (l + У —3)/2.
Вообще при замене р на р;, где / взаимно просто
с е, Rim, п) переходит в сопряженное число R[jtn, jn).
Равенство A1.6.73) приводит к тому же самому выра-
выражению через (/z, k) для R(m, n) и сопряженных с ним.
Поэтому Диксон вводит термин „приведенный" для
минимального множества значений R{mt n), таких, что
все другие могут быть получены из этих с помощью
соотношений теоремы 11.6.6 и сопряжения. При е — 6
множество приведенных R{tn, п) состоит из R(l, 1),
, 2) и Я B, 2).
При сс = р, поскольку р3=—1, A1.6.80) дает
F (pa) F (Р2) = p2W F (p) F (П (П .6.108)
или
4)f (P3). (П.6.109)
Следовательно,
Вычислим
A1.6.110)
R B, 2) F (р4) F (р) = F (р2) R B, 1) F (J33), A1.6.111)
R B, 2) ^ D, 1) F (р5) = /? B, 1) /? B, 3) F (Р5).
Отсюда
Д B, 2) Д D, 1)=ЯB, 1)ЯB,3). A1.6.112)
По теореме 11.6.6
Я B, 3) = Я C,2)= Я 0, 2), Я B, 1) = ЯA,2),
Я D, 1) = ЯA, 4), Я 0, 1) = (-1)уЯD, 1).
Используя A1.6.113), представим A1.6.110) в виде
ЯA,2) = р2т(-1)/ЯA, О, A1.6.114)
а A1.6.112)-в виде
ЯB, 2)(-l)^(l, 1)=ЯA,2J. A1.6.115)
Комбинируя эти два соотношения, имеем
г\ у 1 j 1) — \ — I ) p л\ \?) ?))
2,2).
A1.6.113)
A1.6.116)
222
Гл. 11. Разностные множества
Диксон ошибочно утверждает, что второе из этих соот-
соотношений может быть получено, если в A1.6.80) взять
а —р. Далее, R B, 2) первоначально было определено
в A1.6.74) из соотношения
F(P2)F(p2) = /?B, 2)F(F). A1.6.1I7)
Но f}2 = w — первообразный кубичный корень из еди-
единицы. Обозначив /? B, 2) через #бB, 2), чтобы указать,
что <? = 6, и заменив в A1.6.117) f}2 на w, получим
*6B,2)=tf3(U 1). A1.6.118)
Но при а, Ь, с, d, взятых из соотношений A1.6.46),
A1.6.119)
Поскольку w = (- 1 + \r=3)l2,
¦3 Л/)
A1.6.120)
где L и AT —те же, что в A1.6.51) и A1.6.52).
Мы теперь обладаем достаточной информацией,
чтобы определить цнклотомические числа для с = 6. Для
разностных множеств нам нужны лишь значения q
с нечетным f.
Иодслучай е = 6, f нечетно. Таблица чисел (/, /)
имеет вид
@,0) @, 1) @,2) @,3) @,4) @,5)
A,0) B,0) A,2) @,4) @,2) A,2)
B,0) B, 1) A,0) @,5) A,2) @, 1)
@,0) A,0) B,0) @,0) A, 0) B,0)
A,0) @,5) A,2) @, 1) B,0) B, 1)
B,0) A,2) @,4) @,2) A,2) A,0)
Если ввести обозначения
/?B,2)= ЗЛ|' Л,
A1.6.121)
E+FV - 3
A1.6.122)
/?A,2)= -л + ву -г,
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
223
то выполняются следующие линейные соотношения:
@, 0) + @, 1} + @, 2) + @, 3) + @, 4) + @, 5) = f,
A, 0) + B, 0) + A, 2) + @, 4) + @, 2) + A, 2) = /,
B,0)+ B, 1) + A,0) + @,5) + A,2) + @, l) = f,
@, 0) + A,0) + B,0)=(/-1)/2,
A,0)-B,0)+ @,2)-@,4) = Б,
@, 1) + @, 4)-@, 2)-@, 5) +
+ 2A,0)-2 B, 0)=-М,
@,4)-@,2)+ 3@, 5)-3@, 1) +
+ 2A, 0)-2B, 0)=F, A1.6.123)
@, 0) + @, 2) - @, 3) + @, 4) - A, 0) - B, 0) -
-A,2) + B, 1)=-Л,
6@,0) -3@, 1)-3@, 2)+ 2@, 3)-3@, 4)-
-3@, 5) —6A, 0) —6B, 0) +
2@, 0) +3@, 1)-@, 2)-2@, 3)-
-@, 4)+ 3@, 5)-2A,0)-2B, 0) +
+ 4A, 2)-4B, 1)=-?.
Первые четыре из этих соотношений получаются из
A1.6.38), а остальные — из определения R(m, п)
в A1.6.73) с использованием обозначений A1.6.122).
Решение зависит от кубичного характера числа 2 по
модулю q, который определяет соотношения A1.6.116).
Имеем
q = Л2 + 3S2, Aq = U + 21М1 = Е2 + 3F2, gm - 2. A1.6.124)
Возможны три случая, зависящие от значения m
по модулю 3 (см. таблицу на стр. 224).
Теорема 11.6.7. При q = pr=7 (mod 12) квадратичные
вычеты образуют разностное множество с v = q = At—\,
k = 2t—l, X = t — 1. Если q = Л2 + 27, то кубичные вычеты
и-класс, состоящий из элементов a-t с Ind?(a,)ss I (mod 6)
и включающий вычет 3, образуют разностное множество
с теми же параметрами, принадлежащее типу Н6.
224
Гл. II. Разностные множества
Разностное множество, которое имеет вычеты степени 6
в качестве множителей, эквивалентно одному из этих
типов.
Доказательство. Если D — разностное множе-
множество в GF{^), которое имеет вычеты 6-й степени в каче-
качестве множителей, то Q(d) есть сумма одного или более
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
@,0)
@,1)
@,2)
@,3)
@,4)
@,5)
A,0)
B,0)
A,2)
B,1)
Два — кубичный
?
я-
q +
q +
я +
q*-
я +
q-
q-
q +
q +
iti
L =
— o;
= 2A
11 -
1-
j
1 +
1 -
1 —
5 +
5 +
1 -
I -
,14 CT
-2Л,
I — *2B,
F = ~2B
-8.4
2Л + 12B
2Л+ 12B
16Л
2Л- 12B
2Л-12В
4.4 + 6B
4Л-6В
2Л
2Л
Ц
Я
Я
q
q
q
q
q
я
q
m ¦
L =
Г
-11
+1 -1
+ 1 -
+ 1 4
+ 1 -
+ 1-
-5-
-54
+ 1 -t
+ L -
(mod 31
- Л-АВ
=» A ; В
-A- AB
-A-\ В
-2A
-\A
-2Л+ 12B
- 10Л-12В
-8Л- 12B
-2Л + 12B
- 2Л + 6B
- 4.4 - 6B
-4Л
-8A- 12B
q
я
q
я
q
я
q
q
q
q
L =
AM =
E -
- 11 -
+ 1 -
+ 1 —
+ 1 +
+ 1 -
+ 1 Л
-5 +
— 5 —
4- 1 +
i j
A ¦
-A
-A
Л i
-2/
2Л
8Л
10.
2.4
-1.4
1Л
2 Л
4/1
8.4
d 3i
AB
+ n
1-ЗЯ
-B
1
- 12B
+ 12B
1+ I2B
- 12B
+ fiB
-DB
-i- 12B
элементов С,- и, быть может, z. Если в D входит только
один класс, то мы можем принять 0(tf)=Co. Тогда
e(rf~J)= с3, и
+ (o, o)co + (i, o)Ci + B, o)c2
+ @, 0) С3 + A, 0) С4 + B, 0) С5,
A1.6.125)
где @, 0) = A, 0) = B, 0), если Q(d) — разностное множе-
множество. Отсюда вытекает, что если 2 — кубичный вычет,
то В = 0, 12Л = — 6, а это невозможно. При m = 1 (mod 3)
должно быть А = — 2, В= — 1, следовательно, q==l, и
„разностное множество" состоит из одного единствен-
единственного вычета. Аналогично при m = 2(mod3) мы находим
А = — 2, В=1 и у = 7. Случай 6(<2) = 2 + С0 приводит
к соотношению @, 0) + 1 = A, 0) = B, 0). Если 2 — кубич-
кубичный вычет, отсюда следует, что В = 0, 12/1 = 30, а это
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
225
невозможно. При ш=±1 (mod 3) мы находим А =10,
В = ± 5, q= 175, что снова невозможно.
Для 9(rf) = C0 + Ci + C3
5, A1.6.126)
откуда в зависимости от значения m по модулю 3
m=0 m=\ т=2
5+6/i, 9^-45-18В, 9г/ - 45 +6Л - 65,
27, 9</-27-6Л+12В, 9</ - 27 - 6Л- 125,
36Г =9</-9-6В, 9?-9 + 6Л+65, 9<7-9+18В.
A1.6.127)
Для того чтобы получить разностное множество, мы
должны иметь R = S=T. Если 2-кубичный вычет и
m = 0(mod3), то 5 = 3. При /n = l(mod3) получаем
А =-2, 5=-1 и, следовательно, q = 7. При ш =
= 2 (mod 3) находим А = 2, В= - 1 и q = 7. Когда q=7,
вычеты 1, 5, 6 образуют разностное множество, экви-
эквивалентное множеству квадратичных вычетов I, 2, 4.
В первом случае при 5 = 3 мы имеем ^/=Л2 + 27. Это
приводит к типу Н6. Здесь 4? = BА)'2 + 27 B2), и из
этого представления по теореме 11.6.1 получаем, что 2
есть кубичный вычет, если q=p- простое число,
а также если это подходящее представление q, степени
простого числа. Поскольку -ЗМ = 25, если 2 - кубич-
кубичный вычет, 5 = 3 влечет за собой М = — 2, и по тео-
теореме П.6.1 индекс вычета 3 сравним с 1 по модулю 3.
для ^ = 7 (mod 12) число 3 есть квадратичный невычет.
Следовательно, вычет 3 находится в классе Кл = {g"; и =
= l(mod6)} при надлежащем выборе первообразного
корня, дающего значения в A1.6.73). Таким образом,
наше разностное множество D состоит из кубичных
вычетов и класса, состоящего из элементов at с 1г^.(аг) =
= l(mod6) и включающего вычет 3. Разумеется, ква-
квадратичные вычеты дают разностное множество типа
Q. Никакие другие комбинации, для которых вычеты
6-й степени являются множителями, не дают иных
разностных множеств, хотя, конечно, при замене
15 И. Холл
226
Гл. II. Разностные множества
первообразного корня и В — — 3 мы снова получим раз-
разностное множество D типа Н6 с Э (d) = Со + С3 + С5.
Случай е = 8, f нечетно. Здесь
q = x2 + At/=a2 + 2b2, jc = asl(mod4). A1.6.128)
Таблица для (/, /) имеет вид
@,0) @, 1) @,2) @,3) @, 4) @,5)
A,0)
B,0)
0. 1)
@,0)
0,0)
B, 0)
A, 1)
B, 1)
B, 1)
A. 0)
@,7)
A,7)
B, 0)
B,1)
B,0)
A,3)
A,7)
A,0)
О. О
A,7) A,2)
@,6) A,3)
@,5)
@,6)
@,7)
@,0)
@, 1)
@,2)
A,3)
A,3)
A,7)
0,0)
A,1)
A,2)
A, 1) A,2) A,3) @,5) @,3) @,3)
@,6)
@,3)
@,2)
A,2)
B,0)
B, 1)
B, 0)
A,3)
@,7)
A,7)
A,2)
@, 1)
A, 1)
B, 1)
B, 1)
A,0)
и входящие в нее числа принимают следующие зна-
значения:
Если 2
64@,0)
64@, 1)
64 @, 2)
64@,3)
64 @, 4)
64 @, 5)
64 @, 6)
64@,7)
64A,0)
64A, 1)
64A,2)
64A,3)
64A,7)
64 B, 0)
64B, 1)
— четверичный вычет
q-
<м
<н
<н
q4
<н
q-
q-
q-\
q-
q-\
q-
q-\
-15-2a
i- 1 -1- 2a - 4a +
- 1 + 6a + 8a —
- 1 + 2a -4a-
г1-18а
- 1 -f 2a - 4a +
- 1 + 6a + 8a +
- 1 + 2a - 4a -
- 7 + 2a + 4a
- 7 + 2a + 4a
- 1 — 6a + 4a +
H 1 + 2a - 4a
~ 1 - 6.v + 4a -
- 7 - 2a - 8a
\-l+2x-4a
16//
16//
16//
16?/
16//
16//
166
166
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Ec
—
+
+
+
+
+
+
+
—
—
+
+
+
—
+
in 2
15-
1 +
1 -
1 +
1 +
1 +
1 -
1 +
7-f-
7 +
1 -f-
j _
1 +
7 +
j
— четверичный
невычет
- 10a-8a
2a -4a-
2x + 16//
2a -4a-
6a + 24a
2a -4a +
2a-16//
2a - Aa +
2a + 4a +
2a + 4a -
2a - 4a
6 a + 4a
2a - 4a
6a
6a + 4a
166
166
166
166
16//
16//
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
227
При этих значениях мы находим, что множество D
с d(d) = Со — разностное множество, если х=1, а = — 3,
и это приводит к разностным множествам типа О.
Множество D с 9 (d) = С» Л-г- также разностное множе-
множество, если а-= + 21, а= — 7, - множество типа О0.
Мы продолжим, переходя к разностным множествам
типа Т. Пусть р и </*-степени простых чисел, такие,
что pr + 2=q\ (Это включает случай 52 + 2 = 33, но
автор не знает никакого другого примера, когда г>1
и 5>1.) Рассмотрим систему (с/, Ь) упорядоченных пар
a«=GF(//), 6esGF(o'v), оперируя с ними по правилам
(а, Ь) + (с, d) - (а + с,Ь + d) и (а, Ь) (с, d) = (ас, bd).
Эта система называется прямой суммой GF(p') и
и обозначается через
Если р и о-простые числа, то GF (p)®GF(q) есть си-
система вычетов по модулю pq, где е = A,0) и / = @, 1)
суть такие вычеты по модулю pq, что
e==l(modp), e==0(modq) и f = 0(modp), f=i(modq).
Образуем в S множество D из следующих пар:
1) (с, d), где с и d — ненулевые квадраты;
2) (g, Л), где g и /г-не квадраты;
3) пары («, 0). т т s ^
Так как (за исключением р = 2, q = 4) р и q ооа
нечетны, существует
(// - \){q - l)/4
пар типа 1 и такое же число пар типа 2, а также р'
пар типа 3. Тогда D содержит /г = [(prqs-pr-qA +_1)/21 + р
элементов, и при v = prq\ замечая, что q" == p +2, мы
получаем /г = (и-1)/2. Так как рг и q" нечетны и отли-
отличаются на 2, одно из них сравнимо с 1 по модулю 4,
а другое - с 3 по модулю 4.
Поэтому v = prqs-^- Цтос\4), и если v = 4t-l, то
k = 2t—l. Множество D — такая система в 5, что сово-
совокупность М всех пар типа 1 и 2 можно рассматривать
как множители системы.
13*
228
Гл. II Разностные множества
Далее, (—1, — 1) не содержится в D, так как — 1
есть квадратичный вычет в одном из полей GF (//),
GF (q*) и невычет —в другом.
Если (х, у) - (z, w) = {a, b), где (х, у), (z,w)(=D, и
(ш,, т2) е М, то, умножая на (m,, in.,), получаем
{пцх, m2;/) —(m,z, m.2w) —{mla, m2b).
Следовательно, элементы (й, b) и (пг{а, m,b) появляются
одинаково часто как разности элементов множества D.
Элементы 5 можно подразделить на классы эквива-
эквивалентности относительно умножения на пары из М сле-
следующим образом:
(a, b), a, b — одного и того же квадратичного типа ');
(с, d), с, d~ противоположных квадратичных типов 2);
(е,0), ефО;
(О, 0).
Если {х, у) - (г, и>) = {а, Ь) с (х, у), (г, w) <= D, то
{г, w)-(jc, //) = (- а, - 6).
Поскольку (—1,-1) не содержится в D, то если
о, Ь — одного п того же квадратичного типа, —а, —Ь
будут противоположных квадратичных типов. Поэтому
все элементы (а, Ь), афО, ЬФО, системы 5 появляются
одно и то же число раз (скажем, /ц) в качестве разно-
разностей элементов множества D. Пусть пара вида {е, 0),
фО, задана в виде разности
(яь Ь)-{а2, 6) = (а,-а2, 0),
для каждого из qs — 1 значений b (b фиксировано)
с различными элементами а, и аъ квадратичный тип
которых тот же, что и у Ь.
Таких разностей всего (q* ~ 1)(// — 1) (р' — 3)/4. Для
элементов типа {и, 0) в D
(«!, 0)-(м2,0) = (н1-«2, 0),
') То есть либо и а, и Ь~ квадратичные вычеты, либо оба — ква-
квадратичные невычеты. — Прим. перев.
2) То есть одно из чисел а и b — квадратичный вычет, а дру-
другое — квадратичный невычет. — Прим. перев.
11.6. Некоторые семейства разностных множеств
229
и таких разностей с ихфщ всего //(//—1). Так как
для каждого еФО пара (е, 0) представляется в виде
разности пар одинаковое число раз, то для каждого
из //— 1 элементов (е, 0), ефО, будет
л —
г р
_ /?У-3
4 ' г 4
таких представлений. Так как qs — рг + 2 и v = prqs~4t—\,
мы находим, что л = (v — 3)/4 = / — 1.
Пары вида @, [), f ф 0, получаются в виде разностей
пар из D тремя способами: (a, bi)~ (а, Ь2) = @, b] — b.2),
(а, Ь) - (а, 0) = @, Ь), (а, 0) - (а, Ь) = @, - Ь).
В первом случае мы имеем (// — 1)(<?Л— 1)(<?'9 —3)/4 таких
разностей, а в двух других — всего 2 (// — 1) (^ — 1)/2 раз-
разностей. Поэтому для каждого из q* — 1 значений f,
/ Ф 0, число таких представлений пары @, f) равно
если учесть, что qs = pr + 2.
Пары (е, 0), е ф 0, и @, f), f=^0, представляются
Я = / — 1 раз в виде разности двух пар из D, а общее
число ненулевых разностей элементов из D равно
k(k— 1). Таким образом, поскольку каждый из (рг— 1) X
X (q* — 1) элементов (at b), афО, ЬфО, появляется
Aj раз, мы имеем
2)=--
Так как k = 2t—
(рг - \)(qs -
= At — \, получаем
следовательно, Я, = t — 1.
Таким образом, каждая ненулевая пара (а, 6) в S
представляется X = t — 1 раз в виде разности элементов
из /), и D дает разностное множество типа Т с
Вывод для типа Wt по существу аналогичен выводу для
типа Т. За доказательствами читатель отсылается к
работе Уитмена [1J.
ГЛАВА
Конечные геометрии
12.1. Основания
С точки зрения настоящей книги, геометрия есть част-
частный вид системы инцидентности, в которой неопреде-
неопределяемые элементы суть „точки" и „прямые", а основное
отношение — отношение инцидентности Р е L, которое
гласит: „точка Р лежит на прямой L" или „прямая L
содержит (проходит через) точку Р". Веблен и Юнг [1]
рассматривают точки как неопределяемые элементы,
а прямые — как некоторые выделенные подмножества
точек. Согласно аксиомам, две различные прямые не
могут содержать одни и те же точки. Таким образом,
различие между этими точками зрения небольшое.
Конечной геометрией называется геометрия, в которой
число точек конечно.
Аксиомы проективной геометрии:
PG1. Существует одна и только одна прямая, про-
проходящая через две различные точки.
PG2. Если А, В, С ~ три точки, не лежащие на одной
прямой, Вф А — точка на прямой, проходящей через А
и В, и Е Ф А — точка на прямой, проходящей через А
и С, то существует точка F, лежащая как на прямой,
проходящей через D и Е, так и на прямой, проходящей
через В и С.
PG3. Каждая прямая содержит не меньше трех раз-
различных точек.
Веблен и Юнг [1] определяют „размерность" проек-
проективного пространства индуктивно: точка есть простран-
пространство размерности нуль, прямая — размерности 1; и по
индукции, если Хп_, есть пространство размерности
п— 1, Р — точка, не содержащаяся в Хп-Х, то множество
всех точек на всех прямых РВ, где В — точка из Хп~ь
есть пространство Хп размерности п. В духе этого опре-
12.1. Основания
231
деления целесообразно принять — 1 за размерность пу-
пустого пространства, которое не содержит ни одной точки.
Доказывается, что пространство Хп определяется любым
пространством Хп-Х и точкой РфХп-ь где Хп_х и Р
содержатся в Хп. Подпространства проективного про-
пространства X образуют структуру, в которой, если Л
и В — подпространства X, то пересечение А (]В~ под-
подпространство всех точек, принадлежащих и А, и В,
а объединение A (J В состоит из всех точек, лежащих
на прямых, соединяющих какую-либо точку Р из А
с какой-либо точкой Q из В. Можно показать, что в силу
этого определения A Q В есть подпространство. Размер-
Размерность d(A) подпространств удовлетворяет следующему
соотношению:
d (A [}B) + d (A [\B) = d (Л) + d {В). A2.1.1)
Отсюда и из свойства: если R^S и d(R) = d(S), то
R=S, получаем свойство модулярности для подпро-
подпространств.
Свойство модулярности. Если ЛэВ, то
AO(B{JC)=B\J(A[\C).
Конфигурацией называется конечное множество точек
и прямых с инцидентностями специального вида. С кон-
конфигурациями связаны две важные теоремы.
Теорема 12.1.1 (теорема Дезарга). Если О, Аи Вь
С[, А2, В,, Сч~различные точки и если ОАХА2, OBjB2,
ОСХС2 — различные прямые, причем АХВ{ и А2В> пере-
пересекаются в некоторой точке С3, А{СХ и А2С2 пересекаются
& некоторой точке Д3, В.С{ и В,С, пересекаются в не-
некоторой точке АЛ, то точки /13> ^з> С3 лежат на одной
прямой (рис. 12.1).
Теорема 12.1.2 (теорема Паппа). Если Аь Вь Сх —
точки некоторой прямой, а А.2, В2, С'2~ точки другой
прямой, лежащей в той лее плоскости, и если АХВ2 и A2Bt
пересекаются в точке С3, АХС2 и А,СХ пересекаются
в точке В:и а В{С2 и В2СХ пересекаются в точке Л3,
то Л3, Bit С3 лежат на одной прямой (рис. 12.2).
12.1. Основания
233
Рис. 12.1. Теорема Дезарга.
Рис. 12.2, Теорема Паппа.
Мы не будем здесь доказывать теорем 12.1.1
и 12.1.2. Читатель может найти доказательства в книге
Веблена и Юнга [1] или в более современной книге
Блюменталя [1]').
Теорема 12.1.3. Теорема Дезарга справедлива
в любом проективном пространстве размерности 3 и выше.
Если теорема Дезарга справедлива в проективной пло-
плоскости я, то я может быть вложена в проективное про-
пространство Sn любой конечной размерности п ^ 3, и при
данном п пространство Sn единственно с точностью
до изоморфизма.
Существуют проективные плоскости, в которых тео-
теорема Дезарга не выполняется. Мы будем говорить
о дезарговой или недезарговой плоскостях в зависимости
от того, справедлива или нет в данной плоскости тео-
теорема Дезарга.
Теорема 12,1.4 (введение координат). В дезарговой
плоскости S2 или в проективном пространстве Sn, д^З,
можно ввести координаты так, чтобы точка Р пред-
представлялась левыми скалярными кратными {п Л-\)-мер-
Л-\)-мерного ненулевого вектора над некоторым телом /?:
Р=и{хи
ихп+1),
, .... 0).
Если Px = U\(Xi, ..., *„+,) U P2=U2(ylt ...,
различные точки, то ненулевые векторы вида
uQ = u1P[ + u2P2 =
u2yn + l)
представляют точки на прямой, соединяющей Рх и Р2.
Тело R определяется единственным образом простран-
пространством Sn. Векторы A, 0, ..., 0), @, 1, ..., 0), ..,
..., @, 0, ..., 1) и A, 1, ..., 1) могут быть взяты за
координаты любых и+ 2 точек Ри ..., Рп+2» таких, что
никакое подмножество из п+ \ этих точек не лежит
ни в каком S,j_,. Тогда координаты всех других точек
определяются однозначно. Обратно, если дано произ-
') См. также статью: Л. А. Скорняков, Проективные пло-
плоскости, УМН, 6:6D6) A951), 112 - 154. - Прим. перев.
23-1
Гл. 12. Конечные геометрии
вольное тело R, то точки и прямые, указанные выше,
образуют дезаргово проективное пространство Sn,
Теорема 12.1.5. Из теоремы Паппа следует тео-
теорема Дезарга, а также коммутативность умножения
в R; следовательно, тело координат R есть поле F.
Обратно, в проективном пространстве с координатами
из поля F справедлива теорема Паппа.
В силу теоремы 12.1.4 число точек на прямой беско-
бесконечно, если тело R бесконечно. Поэтому в случае конеч-
конечной геометрии тело R конечно. По теореме Веддербёр;;а
(см. ниже) отсюда следует, что в конечной дезарговой
геометрии справедлива также теорема Паппа.
Теорема 12.1.6 (Веддербёрн). Конечное тело есть
конечное поле.
Очень краткое доказательство теоремы Веддербёрна
дано Виттом [1].
В проективном пространстве Sn с координатами
из тела R множество ненулевых точек Р = и (х{, ..., x,lt,),
удовлетворяющих линейному уравнению
есть S,t_,. Это подпространство называется гиперпло-
гиперплоскостью. Каждое S,,M в'Sn может быть определено
таким образом. Следовательно, гиперплоскости можно
сопоставить с векторами [а,, ..., ап+1]=?0 и их пра-
правыми кратными [я,с, .... а„ + ,о]. Иногда удобно считать
проективную геометрию определяемой точками Р =
= и{хи ...', хп + ]) и гиперплоскостями 5W_, = [«,, .... an+,] о
с отношением инцидентности PeiVi B том и только
в том случае, когда выполняется A2.1.2).
Мы можем образовать тело R*, двойственное к /?,
если возьмем элементы R в качестве элементов /?*,
сохраним ту же операцию сложения, но определим
умножение х°у в R* правилом
х°у = ух в R. ¦¦ A2.1.3)
Это дает соответствие
[а„ ..., an+
A2.1.4)
12.2. Конечные геометрии как блок-схемы
235
ИЛИ
Р -* Р\ К -> К,
A2.1.5)
где Я —точка, К — гиперплоскость в Sn(R), a P" — гипер-
гиперплоскость, К* — точка в Sn(R*) и
Д"еР' тогда и только тогда, когда Р е К- A2.1.6)
Если гиперплоскости рассматривать как блоки схемы,
а точки — как элементы, то эта двойственность — не что
иное, как двойственность, рассмотренная ранее [см.
A0.2.13)].
Точками аффинного пространства Ап размерности п
над телом R будут
= (*„ .. ., хп), x
A2.1.7)
и если Я, Q= 0/i, ..., //„) — различные точки, то прямая,
соединяющая Я и Q, состоит из всех точек Т, таких,
что
Г =f(*i, .... хп) + A -/)(//;> -.., Уп\ tz=R. A2.1.8)
Аффинное пространство Ап может быть получено из
проективного пространства Stl удалением некоторой ги-
гиперплоскости, которая рассматривается затем как бес-
бесконечно удаленная. Это легко можно описать в терминах
координат: из совокупности всех точек проективного
пространства Р=и{хи ..., хп, л'я+1) мы удаляем точки
с xn+i = 0 (т. е. гиперплоскость хп + i = 0) и фиксируем мно-
множитель и, полагая нх„+1=1. Тогда Р = (уи ..., уп, 1),
или, в аффинной форме, (уи ..., уп),
12.2. Конечные геометрии как блок-схемы
Пусть задана проективная геометрия Sn размерности п
над конечным полем Fq=GF(q) с q — pm элементами,
где р — простое число. Мы будем иногда обозначать это
через Sn= PG(n, q). Из теоремы 12,1.4 следует, что все
qn+l— 1 векторов
230
Гл. 12 Конечные геометрии
распадаются на множества из q — 1 векторов, каждое
из которых представляет точку. Следовательно, Sn со-
содержит {q'l+l — 1 )f(q — 1) точек. Гиперплоскость Sn^l
в Sn содержит {qn — \)l{q—1) точек. Поскольку Sn является
объединением любых двух различных гиперплоскостей
5(i_j, из соотношения для размерностей A2.1.1) следует,
что пересечение любых двух гиперплоскостей есть Sn-2
с (qn~] — l)/(q — I) точками. Следовательно, гиперплос-
гиперплоскости в Srl образуют симметричную блок-схему с
V =
q ^ —
q-l
q-\
-. A2.2.1)
По теореме Зингера (теорема 11.3.1) эта схема об-
обладает циклическим автоморфизмом порядка v и может
быть представлена разностным множеством. Полная
группа автоморфизмов этой схемы имеет значительно
больший порядок, так как она является полной груп-
группой коллинеаций пространства Sn. Порядок полной
группы коллинеаций равен
tn(qa+] -
-q)... {qn+l - qn)/{q - 1).
Эта группа представляет собой проективную группу всех
невырожденных матриц порядка п + 1 над GF (/?'"), объ-
объединенную с группой автоморфизмов GF (//"). При зтом
матрицы, отличающиеся скалярным множителем (таких
множителей q — \), определяют одну и ту же коллинеа-
цию, а группа автомог фпзмов поля GF (р'") — цикличес-
циклическая порядка т.
Из PG (и, q) можно образовать несимметричные схемы,
взяв точки в качестве элементов и пространства 5Л,
1 ^s^n—1, в качестве блоков. В Sn имеется всего
(qn+] — 1)/(<7 — 1) точек, и для определения 55 мы можем
выбрать s+1 независимых представителей точек
{qn + l - \)(q'l+l -q)(qtl'?i - q1) . . . {qn+l - q°) способами. Но
внутри Ss эти s + 1 независимых представителей могут
быть выбраны (</s+l — \)(qs+] — q) ... (^/<r+1 — gs)способами.
Таким образом, число Ь блоков, т. е. число различных
подпространств Ss, есть частное этих двух величин.
12.2. Конечные геометрии как блок-схемы
237
Поэтому для такой схемы
V =
!-0Gs+i-?)
- 1
q-\ '
-r)
, A2.2.2)
q-l '
у :__
Аналогично подпространства данной размерности аф-
аффинного пространства образуют блок-схему. Аффинное
пространство Лп размерности п над конечным полем
GF (q), q = pr, содержит qn точек. Взяв точки в качестве
элементов и подпространства As, l^s^n— 1, в каче-
качестве блоков, мы получим блок-схему с параметрами
,
v = q
r=
A2.2.3)
k = q\
I-* = TZs
Заметим, что блок-схема (даже симметричная)
с параметрами, соответствующими какой-либо геомет-
геометрии, не обязательно является геометрией.
Например, при и = 31, ?=15, "к = 7 существуют два
разностных множества:
Во={\, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 16, 17, 23, 24, 27, 29, 30}
(mod 31),
A2.2.4)
В'о - {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28}
(mod 31).
238
Гл 12 Конечные геометрии
Из них первое состоит из гиперплоскостей четырех-
четырехмерного пространства PG{4, 2). Второе состоит из квад-
квадратичных вычетов по модулю 31. В нем блоки В'о, В\
и ?? имеют три общих элемента: 9, 10 н 20, в то время
как B')t B\ и В\ имеют четыре общих элемента: 5, 8, 10,
19. Но над GF B) проективная прямая имеет три точки,
а плоскость — семь точек. Следовательно, вторая схема
не есть PG D, 2).
12.3. Конечные плоскости
Для проективных плоскостей аксиомы разд. 12.1
могут быть сформулированы в более простой форме.
Аксиомы для проективных плоскостей:
РР1. Существует одна и только одна прямая, про-
проходящая через две различные точки.
РР2. Существует одна и только одна точка, общая
двум различным прямым.
РРЗ. Существуют четыре точки, из которых никакие
три не лежат на одной прямой.
Аксиома PG2 может быть интерпретирована так:
две прямые в одной и той же плоскости имеют точку
пересечения. Тогда аксиома РР2 означает, что все пря-
прямые лежат в одной и той же плоскости. Из аксиомы
РРЗ легко получается аксиома PG3. Первые две акси-
аксиомы, РР1 п РР2, очевидно, устанавливают двойствен-
двойственность между точками и прямыми, и нетрудно показать,
что аксиома РРЗ эквивалентна двойственной аксиоме
РРЗ'. Существуют четыре прямые, никакие три из ко-
которых не проходят через одну и ту же точку.
Имеется мало общих результатов, полученных для
конечных проективных плоскостей. Один несложный
результат дает следующая
Теорема 12.3.1. Пусть п^ 2 —целое число. В про-
проективной плоскости л любое из следующих свойств вле-
влечет все остальные:
1. Некоторая прямая содержит точно п + 1 точек.
2. Некоторая точка лежит точно на п+1 прямых.
12.3. Конечные плоскости
239
3. Каждая прямая содержит точно п + 1 точек.
4. Каждая точка лежит точно на п+1 прямых.
5. В 71 существует точно п1 + п + 1 точек.
6. В я существует точно ti2 + п+ 1 прямых.
Доказательство. Пусть А, В, С, D — четыре
точки, из которых никакие три не лежат на одной пря-
прямой. Существование таких точек обеспечено аксиомой
РРЗ. Тогда мы имеем прямые Lu ..., LQ, содержащие
А, В, С, D и еще три точки X, Y, Z:
Л,: А, В, X, .,
L>\ А, С, Y, .
L3: A, D, Z, .
LA: В, С, Z, .
L-o: В, D, Y, .
LQ: С, D, X, .
A2.3.1)
где X, Y, Z — точки пересечения пар прямых Lh Ler,
L2, L6 и L3, L,x. Из аксиом нетрудно заключить, что
шесть прямых Lx
различны и точки А, ..., Z
также различны.
Кроме того, не существует, очевидно, никаких дру-
других инциденций между этими семью точками и шестью
прямыми; например, не может быть /lf=L4, так как тогда
через две различные точки /1, В проходили бы две раз-
различные прямые Lx и L,.
Обратимся теперь к доказательству теоремы и допус-
допустим, что выполняется свойство 1. Пусть L — прямая
точно с п + 1 точками на ней, скажем Q\, Qir ..., Qa+i-
Если Р — точка, не лежащая на L, то прямые PQh
г=1, ..., п+1, различны, так как если PQi = PQj, то
P<=QiQj = L — противоречие. Далее, каждая прямая,
проходящая через Р, пересекает L и, значит, должна
быть одной из п + 1 прямых PQi, i= 1, ..., п+\. По
крайней мере две из точек А, В,С, D из A2.3.1) не ле-
лежат на L, и потому такая точка Р существует. Пусть
теперь Р — точка, лежащая точно на п+ 1 прямых /С,, .. .
..., Кn+i- Если М — некоторая прямая, не проходящая
через Р, то М пересекает К\, ¦ ¦ ., Кп+\ в точках Qh .. .
. .., Qn+u которые все различны, поскольку Р есть един-
единственная точка, лежащая более чем на одной из
240
Гл. 12. Конечные геометрии
прямых К\, • ••> Kn+i- Если бы на М существовала еще
одна точка Qn+2, то существовала бы прямая PQn^2^ не
совпадающая ни с какой K.s, так как в противном слу-
случае PQn+2 содержала бы и некоторое Qy и тогда
PQn+2 = PQn+&i = Q«+2Q/ = м,
что противоречит предположению Р ф. М.
Наша исходная прямая L содержала точно п+1
точек, следовательно, каждая точка, не лежащая на L,
лежит точно на п+1 прямых; к таким точкам относятся
по крайней мере две из точек Л, В, С, D, например А
и В. Поэтому каждая прямая, не проходящая через А
или через В, содержит точно п+1 точек, т. е. каждая
прямая, исключая, быть может, L] — АВХ, содержит
точно п + 1 точек. Тогда L2= ACY содержит точно п + 1
точек, и точка Z, не лежащая на L2, лежит точно на
п + 1 прямых; следовательно, L{ которая не содержит Z,
также должна содержать п+\ точек. Таким образом,
свойство 1 влечет за собой свойство 3.
Но для любой точки Р мы можем найти прямую, пе
проходящую через нее, и потому, так же, как и выше,
существует точно п + 1 прямых, проходящих через Р,
чем доказаны свойства 2 и 4. Пусть теперь Р{) — некото-
некоторая точка, и пусть п + 1 прямых Lb ..., Ln+l проходят
через Ро. Каждая из них содержит точно п точек, от-
отличных от Ро, и поскольку Ро соединяется одной из этих
прямых с любой точкой плоскости я, общее число то-
точек в л, равно 1 + (п + 1)п = п2 + п + 1, тем самым до-
доказано свойство 5. Аналогично если Lo —прямая, содер-
содержащая точки Ри ..., Рп+и каждая из которых лежит
точно на п других прямых, то в л будет 1 + (а + 1)« =
— п2 + п+\ прямых, и свойство 6 также доказано.
Мы показали, что свойство 1 влечет за собой осталь-
остальные пять свойств, поэтому свойство 3 также влечет за
собой все остальные. Аналогично в силу двойственности,
поменяв ролями „точки" и „прямые", мы видим, что
свойство 2 и свойство 4 влекут за собой остальные.
Если выполняется свойство 5, то прямая L, нз A2.3.1)
содержит ш + 1 точек при некотором целом m ^ 2, и
поэтому, как показано выше, л содержит m2 + m + 1
точек. Но из равенства m2 + m + 1 = /г + п + 1 для це-
це12.3. Конечные плоскости
241
лых положительных m и п следует, что m — п, и свой-
свойство 5 влечет за собой свойство 1, а потому и все ос-
остальные свойства. Аналогичным образом из свойства 6
вытекает свойство 2, а значит, и все другие. Теорема
полностью доказана.
О п р е д е л е н и е. Конечная проективная плоскость
имеет порядок п, если некоторая ее прямая содержит
точно п + 1 точек.
Заметим,- что плоскость имеет порядок п, если она
обладает любым из шести свойств теоремы 12.3.1. Если
мы возьмем точки в качестве элементов, а прямые при-
примем за блоки, то конечная проективная плоскость есть
симметричная блок-схема с параметрами
V — п~
l,
= n+\, Я, = 1.
A2.3.2)
Обратно, блок-схема с такими параметрами, есть конеч-
конечная проективная плоскость, так как, очевидно, все ак-
аксиомы выполняются. Конечная проективная плоскость,
в которой можно ввести координаты из поля GF (q),
q = pr, как в разд. 12.1, имеет порядок п = рг. Это де-
зарговы плоскости, и они существуют для любого по-
порядка, являющегося степенью простого числа. Все ко-
конечные плоскости, известные в настоящее время, имеют
порядок, равный степени простого числа, причем неде-
зарговы плоскости существуют для всех порядков, рав-
равных рг, где р — простое число и г^2, исключая 4 и 8.
Применение теоремы 10.3.1 дает необходимое усло-
условие существования конечной проективной плоскости.
Теорема 12.3.2 (Брук — Райзер). Для существова-
существования конечной проективной плоскости порядка п необ-
необходимо, чтобы при п=1, 2 (mod 4) существовали це-
целые х, у, удовлетворяющие равенству п~х2 + у2.
Доказательство. Имеем v =* п2 + п + 1, /г = п + 1,
Я = 1 и k — k = n, следовательно, обозначение п для по-
порядка плоскости согласуется с обозначением n = k — K,-
использованным в теореме 10.3.1. Так как /г(гс+1)==
ss=0(mod2), то v, очевидно, нечетно, и по теореме 10.3.1
должны существовать такие целые х, у, z, не равные
16 М. Холл
242
Гл. 12. Конечные геометрии
одновременно нулю, что
Так как v = n2 + n+i, то (у—1)/2 четно, если и = 0,3
(mod 4), и мы имеем
z--if=nx2. A2.3.4)
Если ге = 3 (mod4), то, полагая л:= 1, //= (/г— 1)/2, г =
= (я + 1)/2, получаем решение A2.3.4); если п ^ 0(mod 4),
то берем х = 1, у = (/г — 4)/4, г = (/г + 4)/4. Если /г =
= 1, 2 (mod 4), то (и — 1)/2 нечетно, и A2,3.3) принимает вид
z2 + tf = nx*. A2.3.5)
Хорошо известно (см., например, Харди и Райт [1],
стр. 299), что при выполнении A2.3.5) существуют такие
целые числа а, Ь, что п = а2 + Ь2, и теорема доказана.
Она показывает, что существует бесконечно много чи-
чисел п, которые не могут быть порядками проективных
плоскостей; первые такие числа п=6, 14, 21, 22, ....
Поскольку для степени простого рг всегда существует
проективная плоскость порядка рг, то первым сомни-
сомнительным случаем является п =10.
Если v = n2 + n+ I, k = n+l, h= 1 — параметры ко-
конечной проективной плоскости, рассматриваемой как
блок-схема, то остаточная схема, определенная в разд.
10.1, есть аффинная плоскость, и параметры этой схемы
суть
b = n2 + n, v = n\ k=n, r = n+l, X=\. A2.3.6)
Если дана схема с такими параметрами, то ее всегда
можно вложить в симметричную схему. Мы докажем
это, используя процесс, эквивалентный присоединению
бесконечно удаленной прямой к аффинной евклидовой
плоскости.
Теорема 12.3.3. Если дана блок-схема D" с пара-
параметрами Ь* = п2 + п, v' = n2, г'=«.4-1, k' = n, Я*=1,
то мы можем присоединить к ней, причем единствен-
единственным способом, еще один блок с п + 1 новыми элемен-
элементами и добавить один из новых элементов к каждому
из данных первоначально блоков так, чтобы получилась
12.3. Конечные плоскости
243
симметричная схема D с параметрами v = Ь = п' + п + 1,
г = k = п + 1, % = 1.
Доказательство. Пусть дана блок-схема D'.
Рассмотрим некоторый блок В* с элементами а{, ..., аа.
Пусть .г — какой-либо элемент, отличный от них. Тогда
п блоков В; = {х, ah ...}, i= I, ..., п, определены един-
единственным образом, так как Л =1, и все различны, по-
поскольку х ф В' и никакой блок, кроме В", не содержит
более одного элемента ah i=\, 2, ..., п. Таким обра-
образом, получены п блоков из «4-1, содержащих эле-
элемент ,v. Поэтому существует точно один блок Во = {а, ,..},
содержащий х и не содержащий ни одного из элемен-
элементов блока В\ Мы назовем блок /30 „параллельным"
блоку В и содержащим х. Мы доказали тем самым по-
постулат Евклида о параллельных для D\ Следовательно,
для любого данного блока В" и любого элемента х, не
принадлежащего В', существует единственный блок,
параллельный В" и содержащий х. Два различны?:,
блока Ви п Bv, параллельные блоку В*, параллельны
и между собой, так как если бы они имели общий
элемент у, это противоречило бы единственности блок?,
параллельного В* и содержащего у. Следовательно,
если дан некоторый блок Ви то не принадлежащие В{
п2 — п элементов содержатся в параллельных блоках
В2, .••, Вп, т. е. ?,, В2, ..., Вп — семейство п парал-
параллельных блоков, которые в совокупности содержат каж-
каждый из п1 элементов точно один раз. Таким образом,
Ь=п2 + п блоков схемы D" могут быть разделены, и
притом единственным способом, на п+l семейств
F\, ..., /•'"„j.j параллельных блоков так, что каждое F-t
содержит п блоков и каждый элемент из D* встречается
точно один раз в некотором блоке семейства /•",-. Возь-
Возьмем теперь новые элементы уь ..., yn+i и новый
блок Вж, состоящий из г/], ..., уп+и а также присое-
присоединим элемент ?/,- к каждому блоку семейства Ь\. Теперь
видно непосредственно, что новый блок Вм и блоки
схемы D* с присоединенными к ним у,- образуют блоки сим-
симметричной схемы с v = й = п1 4- пЛ- I, г = k = п+ I, А, = 1.
Блок-схема из второго примера разд. 10.1 имеет
параметры b — 12, v = 9, г = 4, k= 3, Л = 1, и 12 блоков
IG*
244
Гл. 12, Конечные геометрии
распадаются на четыре семейства:
F{. В„ В2, В3; F,: В,, В5, В*;
1'а- В-п Дч> &/> Fi' Bm, Bu, Вх2.
Мы можем взять новые элементы 10, 11, 12, 13 в ка-
качестве элементов блока В13, добавить 10 к блокам
из Fx, 11 —к блокам из Р%, 12 —к блокам из F3, 13 —к
блокам из F4 и получить симметричную схему с v = b = 13,
f = k — 4, X=l, т. е. конечную проективную плоскость
порядка 3.
По теореме 12.3.3 аффинная плоскость порядка п
существует тогда и только тогда, когда существует
проективная плоскость порядка п, и аффинная плоскость
есть остаточная схема проективной плоскости. Но если мы
возьмем проективную плоскость, то аффинные плоскости,
полученные удалением двух различных прямых, будут
изоморфны в том и только том случае, когда существует
автоморфизм проективной плоскости, переводящий одну
из этих прямых в другую. В самом деле, доказатель-
доказательство теоремы 12.3.3 показывает, что изоморфизм между
аффинными плоскостями единственным образом можно
распространить на изоморфизм между проективными
плоскостями, в которые они вложены.
Аффинная форма конечной плоскости порядка п при-
приводит к представлению этой плоскости семейством по-
попарно ортогональных латинских квадратов порядка п.
Два латинских квадрата порядка п, содержащие числа
от 1 до п (по одному разу в каждой строке и в ка-
каждом столбце), называются ортогональными, если при
наложении одного из них на другой п2 полученных при
этом ячеек (ячейка состоит из упорядоченной пары (г, /),
где i берется из первого квадрата, а / — из второго) все
различны, т. е. получается квадрат, состоящий из всех
пар {и, и), и, V— 1, ..., п, где каждая пара встречается
точно один раз. Несколько латинских квадратов назы-
называются попарно ортогональными, если любые два из
них ортогональны.
Пусть дана аффинная плоскость порядка п. Ее пря-
прямые (т. е. блоки) разделяются на п + 1 семейств парал-
параллельных прямых. Обозначим какие-либо два из этих
12.3. Конечные плоскости
245
семейств через Fr и Fc и назовем их семейством строк
и семейством столбцов, а остальные семейства обозначим
через F\, ..., Fn-X. Каждый из п1 элементов есть точка.
Перенумеруем произвольным образом прямые каждого
семейства от 1 до п. Нумерацию в Fr будем считать
нумерацией строк квадрата, а нумерацию в Ff — нуме-
нумерацией столбцов квадрата. Любая точка Р лежит на
одной прямой из Fr и на одной прямой из Fn и потому
ее можно сопоставить с определенной ячейкой квад-
квадрата.
Таким образом, точку Р из i-й строки и /-го столбца
мы можем обозначить через P = (i, j). Семейства Ff
и Fc просто соответствуют строкам и столбцам. Для
каждого из Fx,...,Fn-x построим латинский пХп-
квадрат следующим образом. Пусть Ftt —одно из этих
семейств, состоящее из прямых L", ..., L", где нуме-
нумерация^ нижних индексов произвольна. Построим квад-
квадрат Su из Fu. Возьмем п X n-квадрат и поместим
число v в ячейку на пересечении г-й строки и /-го столбца,
если точка Р = {«,/) лежит на v-h прямой Z." семей-
семейства Fn. Так как каждая точка лежит точно на одной
прямой из Ftn то мы поместили в точности одно число
в каждую ячейку квадрата Stl. Прямая из Fr (или Fc)
пересекает каждую прямую из Fu точно по одному разу,
и потому строка (или столбец) квадрата Su содержит
каждое из чисел 1, .... п точно по одному разу. Сле-
Следовательно, Su — латинский квадрат.
Рассмотрим теперь два квадрата Su и Sw, w ф и.
Пусть a(i, /)-число в ячейке (/, /) квадрата Su,
а Ь (/, /) - число в ячейке (г, /) квадрата Sw. Если бы
мы имели
а = а (г„ /,) = а(г2, /2) и b = b{ix, /,) = b(ь, }2),
то точки Р} = (/,, /,) и Р = (г2, }2) обе лежали бы на
прямой La из Fu и на прямой Ьь из Fw, что противо-
противоречит условию Я=1, т. е. тому, что через две различ-
различные точки проходит одна и только одна прямая. Сле-
Следовательно, упорядоченные пары (a (i, j), b (г, /)),
i, /= 1, ..., п, все различны, и квадраты Su и Sw орто-
ортогональны.
246
Гл. 12. Конечные геометрии
Таким образом, конечная плоскость порядка п при-
приводит к семейству п — I попарно ортогональных латин-
латинских квадратов порядка п.
Пусть мы имеем семейство из m попарно ортого-
ортогональных латинских квадратов. Свойство ортогональ-
ортогональности не нарушается, если произвести подстановку над
числами любого квадрата. Следовательно, можно пред-
предполагать, что первая строка каждого квадрата — это
1, 2, ..., п. Поэтому число, появляющееся во второй
строке и первом столбце каждого квадрата, есть одно
из п — 1 чисел 2, ..., п. Если бы число / появилось на
этом месте дважды, то при наложении этих двух квад-
квадратов пара (г, /) появилась бы в ячейке B,1) и в ячейке
A, /), что противоречит предположению ортогональности.
Следовательно, в ячейке B, 1) числа не могут повто-
повторяться и потому существует не более п — 1 попарно
ортогональных квадратов порядка п. Пусть пг = п—1.
Рассмотрим теперь каждую ячейку (i, j) как точку P(l, j)
и образуем семейства прямых Fn Fc, Fb ..., Fn^{. P(i, j)
находится на j-й прямой из Fr, /-Й прямой из Fc и на
о-й прямой из Fu, и = 1, ..., п — 1, если число в ячейке
(i, j) квадрата Su есть v. Это дает нам п + 1 семейств
из п прямых, каждая из которых содержит п точек.
Общее число точек равно гг. Свойство быть латинским
квадратом и свойство ортогональности квадратов
5,, .... Sn_t гарантирует нам, что через две различные
точки нельзя провести двух различных прямых. Про-
Произвольная точка Рй находится на п + 1 прямых, каждая
из которых содержит еще п — 1 других точек, поэтому Ро
соединена точно один раз с каждой другой точкой, и
мы имеем К— 1. Таким образом, мы показали, что се-
семейство из п — 1 попарно ортогональных латинских
квадратов эквивалентно конечной плоскости порядка п.
В качестве примера такой эквивалентности рассмо-
рассмотрим блок-схему с параметрами v — '2\, k= 5, ).= 1 (пло-
(плоскость порядка 4), которую мы можем считать определен-
определенной разностным множеством В0 = {3, 6,7, 12, 14(mod 21)}.
Примем Во за бесконечно удаленную прямую и вы-
вычеркнем ее точки из других прямых. Пучки проективных
прямых, проходящие через 3, 6, 7, 12, 14, становятся
семействами аффинных параллельных прямых Fn Fc,
12.3. Конечные плоскости
247
Fb F2, F3 соответственно. Таким образом, если Bt =
= {3 + /, 6-И, 7 + /, 12 + 1, 14 +/(mod21)} и В*-это Bh
из которого вычеркнуто число 3, 6, 7, 12 или 14, то
мы имеем:
Fr C) Fc F)
1: Вн>: 13, 16, 17, 1. 1: /? 9t 10, 15, 17.
2: BV1: 15, 18, 19, 5. 2: в]* 16, 19, 20, 4.
3: В]7: 20, 2, 8, 10. 3: в]3: 18, 0, 1, 8.
4: в;8: 0, 4, 9, 1!. 4: В^; 2, 5, И, 13.
ЛG) F2A2)
4: В\: 4, 8, 13, 15. 1: в\: 8, 11, 17, 19.
2: В\\ 10, 11, 16, 18. 4: в\: 9, 13, 18, 20. A2.3.7)
1: В\{. 17, 20, 0, 5. 2: в1: 15, 16, 0, 2.
3: В'л: 19, 1, 2, 9. 3: В^у. 1, 4, 5, 10.
2: В]: 5, 8, 9, 16.
4: В7: 10, 13, 19, 0.
3: Bl: 11, 15, 20, 1.
1: В"п: 17, 18, 2, 4.
В терминах координат ячеек из Fr и Fc
17 = A,1); 16= A,2); 1=0,3); 13= A,4);
15= B,1); 19 =B,2); 18 = B,3); 5 = B,4);
10 = C,1); 20 = C,2); 8 = C,3); 2 = C,4); A2'3'8)
9 = D,1); 4 = D,2); 0=D,3); 11 =D,4).
Мы перенумеровали прямые семейств Fu F2, F3 так,
что в квадратах 5,, S2, 53 первая строка. — это 1, 2, 3, 4.
248
Г л 12 Конечные геометрии
Следуя описанному построению, получим
1
4
2
3
5
2
3
1
4
1
3
2
4
1
4
1
3
2
1
2
3
4
S
2
1
4
3
0
3
4
1
2
4
3
2
1
1
3
4
2
S
2
4
3
1
3
3
1
2
4
4
2
1
3
A2.3.9)
12.4. Некоторые типы конечных плоскостей
В любой проективной плоскости можно ввести си-
систему координат. Для конечных плоскостей это легче
всего осуществить, если воспользоваться разделением
аффинной плоскости па семейства параллельных прямых
F F F F
Координаты будем обозначать/! символами ап, аь..., ап_и
среди которых два играют роль нуля и единицы и обо-
обозначаются ао = О, al = l.
Если Ро, Pi, ..., Рп-\ — точки на первой прямой се-
семейства F{ (в некотором фиксированном порядке), то
пусть
Р0 = @, 0), Р, = A, 1), ..., Pt = (ah a,), ...
..., />„_,=(<*„_!, an-t). A2.4.1)
Прямую из Fn содержащую Р,-, мы обозначим через
х = ah а прямую из Fc, содержащую Р/; обозначим
через у — а-}. Точку пересечения х = at и у = а;- представим
упорядоченной napoii (ait а,)', заметим, что это предста-
представление согласуется с A2.4.1). В любом семействе Fu
существует единственная прямая, проходящая через
ро = (О, б), и пересечение этой прямой с х = 1 есть точка
(I, w). Мы воспользуемся этим, чтобы перенумеровать
семейства, полагая F,,= Fw. Тогда семейству Fx припи-
приписывается „номер" Й1= 1 [по A2.4.1I, семейству Д.— „но-
„номер" а.*—0, но семейству Fr не приписывается никакого
„номера". Нумеруя семейство, мы как бы задаем угло-
угловой коэф4 и ;нент для параллельных прямых, входящих
12.4 Некоторые типы конечных плоскостей
249
в него, и прямым х = с из Ft мы можем приписать
угловой коэффициент оо, отличный от а0, ах, ..., ап_х.
Определим теперь тернарную операцию x*m<>b на
элементах а0, ах, ..., ап-х.
Тернарная операция: у = х • т * Ь, если точка (х, у)
лежит на прямой из Fm, проходящей через точку (О, Ь).
Легко проверить, что эта операция определена для
любых х, m и Ь, выбранных из а0, аь ..,, ап-х.
Определим умножение хт и сложение х + Ь как
частные случаи тернарной операции следующим образом:
ш = .г-т»0, х + Ь = х ¦ Ub. A2.4.2)
Для тернарной операции выполнены следующие
свойства:
Т1. О • т°с = а • 0° с — с.
Т2. 1 • т о 0 = т • 1 о 0 = т.
ТЗ. Для данных а, т, с существует единственное z,
такое, что а • т ° z = с.
ТА. Для данных тх ф тъ bx, b.2 существует един-
единственное х, такое, что х ¦ тх ° Ьх = х • т2 ° Ь2.
Т5. Для данных а{ ф а2, сь с2 существует единствен-
единственная пара т, Ь, такая, что
а, • т о b = с} и а2 • т ° b = с,').
Свойства Т1 и Т2 непосредственно вытекают из опре-
определений; ТЗ означает, что в семействе Fm есть прямая,
проходящая через точку (а, с); Т4 означает, что непа-
непараллельные прямые имеют единственную точку пере-
пересечения; Т5 означает, что две точки, не лежащие на
прямой л- = а семейства F^, лежат на единственной пря-
прямой одного из остальных семейств. Эти свойства не
являются независимыми, но их достаточно, чтобы опре-
определить проективную плоскость. Доказательство этого
следует непосредственно из определений, и мы его здесь
не приводим.
Координаты и тернар были определены для аффин-
аффинной плоскости. Чтобы распространить их на проективную
') Множество с тернарной операцией, для которой выполняются
свойства Т1 — Т5, будем называть тернаром. См. спиыо Л. А. Скор-
някова „Проективные плоскости", упомянутую выше в примечании
на стр. 223. — Прим. ред.
250
Гл. 12. Конечные геометрии
12.4. Некоторые типы конечных плоскостей
251
плоскость, мы введем бесконечно удаленные точки @),
A), ..., (аге_!) и (оо), лежащие все на единственной
бесконечно удаленной прямой L^, и присоединим (оо)
к прямым из Fr, а (а,-) —к прямым из Fa, / = 0, ...
Может оказаться, что тернарная операция выра-
выражается через умножение и сложение:
х • т° b — хт 4- Ь. A2.4.3)
Можно показать, что алгебраическое соотношение A2.4.3)
эквивалентно в некоторых случаях выполнимости тео-
теоремы Дезарга с L^, взятой за ось перспективы и точ-
точкой (оо) в качестве центра перспективы ').
Один важный тип тернара называется системой Веб-
Веблена— Веддербёрна. В этой системе определены сложе-
сложение а + b и умножение ab и выделены элементы 0 и 1,
причем выполняются свойства:
VW1. Система есть абелева группа по сложению.
VW2. Уравнение xy=z однозначно разрешимо, если
даны два элемента из .v, у, z, отличные от нуля, при
этом решение также отлично от нуля.
VW3. 1л- = xl = х, 0.Y = ,v0 = 0, х + 0 = 0 + А' = х.
VW4. (a + b)m== am + bin.
VW5. Если г ф s, то xr=xs + t однозначно разре-
разрешимо относительно х.
VW6. х • m о b = xm + b.
Если свойства VW1—5 выполняются, то, используя
тернарную операцию VW6, можно определить плоскость.
В конечной системе VW5 является следствием осталь-
остальных свойств, ибо если г ф s и хь х2 — решения уравне-
уравнения at = xs -f /, то л,г — A'jS = х-х — x.jS и в силу VW4
(х{ — x2)i~ = (.Y[ — .Yo)s; элемент (х{ — х<2)г обозначим через tc.
Так как хотя бы одно из г, s отлично от нуля, то при
х{ — х2 Ф 0 no VW2 имеем w ф 0 и г = s. Значит, когда х
пробегает все п элементов конечной системы, то xr — xs
также все различны и, значит, существует единствен-
единственное х, для которого xr — xs = t. Конечно, каждое тело,
') См. М. Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1Э32, гл. 20, — Прим.
ред.
и, в частности, конечное поле, есть система Веблена —
Веддербёрна.
Системы Веблена — Веддербёрна (сокращенно VW-си-
стемы) одного частного вида известны под названием
систем Холла.
Пусть F — поле и / (х) = х2 — rx — s — многочлен второ-
второго порядка, неприводимый над F. За элементы VW-си-
стемы 5 примем всевозможные выражения а+ Ьи, где а,
b e F, а и неизвестное. Вместо введения неизвестного
можно, конечно, оперировать с упорядоченными па-
парами (а, Ь). Сложение в S определяется правилом
А. (ах + b{u) + (а> + Ь.2и) = {а{ + а>) + {b{ + b2) и.
При умножении мы пользуемся двумя правилами:
Ml. При aef полагаем (е + fti)а = ае + aftt.
М2. При z = а + bu, b ф 0, и w = е + fu полагаем
wz= (e + fu){a + bu) =
= {ае - b~laf + b~lraf + b~]sf) + {be - af + rf) u.
Правила умножения легче понять в следующем виде
Ml*. При cgF пусть
с (а + Ьи) = (а + Ьи) с =ас + Ьси.
М2\ (x + y)z = xz + yz.
МЗ*. При z<?F пусть z- = rz + 5.
Если F — конечное поле GF(^), q = pr, то система Холла
определяет конечную плоскость порядка а2. Помимо
случая а2 = 4, плоскость, определенная таким образом,
отлична от дезарговой плоскости порядка q2 с коорди-
координатами из GF (<?-). Для конечного F, поскольку VW5
есть следствие свойств VW1—4, все свойства VW-си-
стем, кроме VW2, легко следуют из определения
системы 5.
Чтобы доказать VW2, нужно установить, что если
в уравнении wz=v заданы и отличны от нуля любые
два из элементов w, v, z, то третий определяется одно-
однозначно и отличен от нуля. Пусть
w — е + {и, z — a + bu, v = с + du,
252
Гл. 12. Конечные геометрии
где а, Ь, с, d, e, f ее F. Если даны w и z и 6 = 0, то
мы используем для определения v правило Ml, а если
Ь ф 0, то правило М2. Если b = 0, w = 0, z = а ф 0, то,
очевидно, v = 0. Поэтому, если даны г = а ф 0 и
у = с + du ф 0, то w = e + fu ф0 и однозначно опреде-
определяется из соотношений ае = с, af = d. Пусть теперь
z = а + bu, b ф 0, тогда применимо М2, и мы имеем
ое
~ a
r)f =d.
A2.4.4)
Рассмотрим эти равенства как систему линейных урав-
уравнений относительно е и f с определителем, равным —s.
Так как х2 ~rx — s неприводим над F, s ф 0. Это пока-
показывает, что когда b ф 0, а значит, и z = a +bu ф 0, то
при ет = е + [«^0 имеем v = c + duф0. Отсюда также
следует, что если даны г и у, то су существует и един-
единственно. Наиболее труден случай, когда даны w=e + fu
и v = c + du. Во-первых, если erf-fc = O, то уравнения
ае=с, af = d разрешимы, следовательно, используя МГ,
получаем решение z = a. С другой стороны, если суще-
существует решение вида z = a, то должно быть ed — fс = 0.
Предположим теперь, что ed - fc ф 0. Нам теперь
даны е, f, с, d, и мы хотим решить A2.4.4) относи-
относительно а и Ь. Если f = 0, то е ф 0, и A2.4.4) сводится
к системе ае = с, be = d, из которой определяются а и 6.
Пусть f ф 0. Решаем второе уравнение относительно а:
а = И"~'-^Г1+'-. A2.4.5)
Подстановка этого значения а в первое уравнение дает
def~i _ Ь~Ы2ГУ + Ь~{ dr + b-'sf = с A2.4.6)
Умножая на f и перенося первый член в правую часть,
получаем
- б (^2 - rd/ - sf) = cf ~ de. A2.4.7)
Из неприводимости многочлена x2 — rx — s следует, что
d2 — rrff — sf2 =т^ 0, если d и / не равны одновременно
нулю, что выполняется в силу cf — de ф 0. Поэтому
из A2.4.7) однозначно определяется b~i ф 0 и, значит,
Некоторые типы конечных плоскостей
253
Ь ф 0, а затем A2.4.5) однозначно определяет а. Тем
самым доказано, что для S выполняется VW2.
Если умножение в VW-системе ассоциативно, то ее
элементы, отличные от 0, образуют группу, и VW-система
называется тогда почта-полем. Все конечные почти-поля
были определены Цассенхаузом [1]. Естественно, сюда
входят и конечные поля GF (рг).
Помимо семи особых случаев, конечные почти-поля
(не совпадающие с полями) описываются так.
Пусть ц = рн — степень простого числа р и v> 1 —целое
число, все простые делители которого делят q —1, и мы
требуем также, чтобы y#0(mod4), если q = 3 (mod 4).
Тогда при hv = r мы можем построить почти-поле К
с п = рг элементами из конечного поля GF (рг) следующим
образом.
1. Элементы К — те же, что и у GF (рг).
2. Сложение в /( — та же операция сложения, что и
в GF(//).
3. Произведение w ° и в К можно выразить в тер-
терминах произведения ху в GF (рГ) следующим образом.
Пусть z — фиксированный первообразный элемент GF(//);
если теперь u=z':v+l, то целое I однозначно определено
по модулю v сравнением
Тогда w о и определяется равенством
w ° и — wq и.
A2.4.8)
Во всех семи особых случаях порядок системы К
равен п = р2 для подходящего нечетного простого pt
элементы К имеют вид a + bu, a, b e GF (р) и выпол-
выполнены соотношения
(а, + biti) + (а2 + Ь2и) = {а{ + а2) + (&, + Ь?) а, A2.4.9)
{х + y)z = xz + yz, {xy)z^x {ijz), \z = 2, A2.4.10)
где х, у, z<= К,
u2=~l. A2.4.11)
254
Гл. 12. Конечные геометрии
12.4. Некоторые типы конечных плоскостей
В каждом из семи случаев имеют место также дополни-
дополнительные соотношения:
Случай I. и = 5-, и{\~ 2а) = - 1 - 2а.
Случай II. д=112, аA+5а) = - 5 - 2а, а D) = 4а.
Случай III. а = 72, аA + За) - - I -2а.
Случай IV. «-232, кA-6и) ==12-2а, «B) =2».
Случай V. л =11-, и B + 4а) - 1 - За.
Случай VI. к = 292, аA -7а,) =- 12 - 2а, и A6)= 16а.
Случай VII. и = 59-, н(9-Н5и)=- 10-10», а D) = 4а.
Хотя это и не очевидно, но указанные соотношения
определяют полностью семь особых случаев.
VW-система, в которой выполняются оба дистрибу-
дистрибутивных закона, называется полу по лея, или, что то же,
неассоциативным телом. Алберт [1] дал метод построе-
построения полуполс-й порядка рг, где р — простое нечетное число,
г — нечетное и г>1. В GF(//) определим новое произве-
произведение {х, у):
± + хру). A2.4.12)
формулой
Равенство нулю произведения (х, у) при х ф 0, у Ф 0
привело бы к соотношению
г/р-'= -хр-1. A2.4.13)
Так как г и р оба нечетны, m == (рг — 1 )/(р — 1) также
нечетно. Возводя обе части A2.4.13) в т-ю степень,
получим
1 = у/-1 = _ .v/-i = _ 1, A2.4.14)
что противоречит предположению р ф 2.
Таким образом, произведение, определенное A2.4.12),
не приводит к делителям нуля. Следовательно, для х ф 0
существует единственное и ф 0, такое, что
* = (и, 1)=1(« + и"). A2.4.15)
Можно определить взаимно однозначное отображение а:
и = ха, A2.4.16)
если и и х удовлетворяют A2.4.15). Мы можем, далее,
получить полуполе К, если определим произведение х- у
х о у = (ха, г/а).
A2.4.17)
Полуполе К, образованное таким способом, не может
быть изоморфно полю GF (рг), и, следовательно, соот-
соответствующая плоскость является недезарговой. Два
построения, A2.4.8) и A2.4.17), дают недезарговы плос-
плоскости всех порядков п = рг для нечетного р и г ^ 2 и
для р = 2, четного г, г^А. Полуполя порядков 2т
с нечетным т были построены Дональдом Кнутом. При
т^5 они не являются полями и потому приводят
к недезарговым плоскостям. Дадим их построение.
Пусть т нечетно, и пусть х — такой элемент в GF B"г),
что 1, х, а'2, .,., л'"'-'1 образуют базис над GFB). По-
Построим полуполе К B"!), элементы и операция сложения
которого те же, что элементы и операция сложения
в GFB'"). Для умножения в К{2'п) считаем выполнен-
выполненными оба закона дистрибутивности, и определим произ-
произведение у с z в К B'") через умножение yz в GFBm) по-
посредством следующих правил перемножения базисных
элементов:
х1 о xj = x!xJ, i, j=0, 1, .. ., т - 2,
yi , vm-\ = ym-l 0 xi __
Л ^ A2.4.18)
= хт-}х1 + х'21 + х1, /=0, .... m-2,
xm~\ oXm-[ = ,v2m-2+ ^
Если у, г —элементы в аддитивной системе S с бази-
базисом 1, х, ..., хт~2, то отсюда получается
(X
m~l
= Z° (X
у + IJ
m~l
у) = Z (A'"
A2.4.19)
yz =
+ zf.
I Так как дистрибутивные законы выполняются и, оче-
очевидно, 1 есть единица, то К есть полуполе, если в нем
нет делителей нуля. Если произведение находим по пер-
) вому из правил A2.4.19), то угфО при уфО и гфО
i в силу отсутствия делителей нуля в GF B"!), если же
256
Гл. 12. Конечные геометрии
второму правилу, то
из
находим произведение по ру р
z (xm~] + z + 1 + у) = 0 и 2^0 следует, что xm~[ + z +
+ 1 + у = 0 и, поскольку у, z, 1 принадлежат 5, хт~~] е 5,
а это противоречит тому, что 1, х, ..., хт~2~- базис
в S. В третьем случае, если произведение
равно нулю, то имеем
у)°(х
uv + v2 = 0,
A2.4.20)
где и = хт~1 + у + \ф0, v — y-^z. Отсюда w = v/u удо-
удовлетворяет уравнению
w'2 + w + 1 = 0.
Но тогда 0, 1, w, w + \ образуют подполе порядка 2а
поля GFB"!), что невозможно, если т нечетно. Следо-
Следовательно, К не имеет делителей нуля и является полу-
полем. Если т^Ъ, то
т =
хт =
= хт + х2 + х
и К не является полем.
При т = 3 в GF B3) элемент х должен удовлетво-
удовлетворять одному из уравнений / (л:) = х'л -f- х + 1 = 0 или
I (х) — л3 + х- +1=0. Произведение , определенное
одним из этих многочленов / (х), дает обычное произ-
произведение, определенное другим f(x). Следовательно, при
т = 3 имеем К B3) = GF B3). Исчерпывающим исследо-
исследованием на ЭВМ было установлено, что для порядка 8
вообще не существует недезарговой конечной плоскости.
Можно использовать почти-поле для совершенно
иного метода построения недезарговой плоскости. Пер-
Первый пример такого рода для порядка 9 был построен
Вебленом и Веддербёрном [1], общее построение было
указано Хьюзом [1].
Пусть F — поле порядка q = ph и К — почти-поле по-
порядка q'2, содержащее F в качестве своего центра.
Здесь К может быть одним из особых почти-полей или
одним из регулярных почти-полей с и —2. Рассмотрим
сначала дезаргову плоскость щ порядка q с координа-
координатами из F. Точки щ представим как тройки (х, у, z),
12.4. Некоторые типы конечных плоскостей
257
х, у, 2G F и (х, у, г)ф@, 0, 0), причем (х, у, z) —
= (хи, уи, ги), если ие F, ифО. Если а, Ь, с не равны
одновременно нулю и являются элементами F, то точки
Р = (х, у, z), удовлетворяющие равенству ах + by + cz =
= 0, лежат на одной прямой, и каждая прямая в л,0
определяется таким уравнением. По теореме Зингера
(теорема 11.3.1) л0 имеет коллинеацию а порядка q2 +
+ q+ 1, которая переставляет точки я0, равно как и ее
прямые, по единственному циклу. Эту коллинеацию а
можно представить как линейное преобразование с коэф-
коэффициентами из F. Таким образом, при Р = (х, у, г) и
Р —> Ра имеем
Ра = (х, у, z)a= (х, у, z) A-,
= (аИ), /, /=1, 2, 3, fl|/G
A-
для некоторой C X 3)-матрицы Л. Здесь А'" = cl, ce F,
при m = q2 + q+\ и ни при каком m<q2 + q+\.
Мы попытаемся построить плоскость я порядка q2
с координатами из К, предполагая, что мы сможем
использовать матрицу А, чтобы определить коллинеа-
коллинеацию в этой большей плоскости. К счастью, все это
проходит.
За точки плоскости я примем тройки (х, у, z) Ф
ф @, 0, 0), х, у, z е /С, причем будем считать (л:, у, z) =
= {хи, уи, zu)t если ифО, и^К- Рассмотрим уравнен.ш
x + ty + z^O, A2.4,22)
где либо /=1, либо t есть один из q2 — q элементов
почти-поля К, не принадлежащих F. Мы определим
„базисные прямые" Lt следующим условием: Р — (х, у, z)
лежит на Lt тогда и только тогда, когда х, у, z удо-
удовлетворяют A2.4.22). В силу правого закона дистрибу-
дистрибутивности (а + Ь) с — ас + be и ассоциативности умноже-
умножения из A2.4.22) следует, что
(х + ty + z) и = 0,
хи + (ty)u + ги = 0, A2.4.23)
хи + t(yu) +zu = 0,
Поэтому если (х, у, z) удовлетворяет A2.4.22), то этому
уравнению удовлетворяет также (хи, уи, zu), ифО,
17 М. Холл
258
Гл. 12. Конечные геометрии
и посредством A2.4.22) отношение инцидентности точки Р
и прямой Lt вполне определено. Мы имеем теперь
q2 — q + 1 базисных прямых Lt. Легко показать, что
каждая из них содержит q2 + 1 точек. Определим да-
далее прямые L\l\ г = 0, 1, ..,, q2-\-q, по следующему
правилу.
Правило, Если (х, у, г) <= Lt, то (х, у, z) A1 e Lf и
L{p не содержит никаких других точек.
Заметим, что Lf} — Lt. Таким образом, мы построили
(q2 - q + \)(q2 + q + \)= q* + q2 + [
прямых, каждая из которых содержит q2 + 1 точек.
Теперь основная трудность состоит в том, чтобы пока-
показать, что если L\l) и L{P различны, то они имеют в точ-
точности одну общую точку.
Рассмотрим множества точек L\\ i=0, I, ..., q2 + q.
Независимо от того, образуют ли они прямые в пло-
плоскости, это — множества точек, которые переводятся
одно в другое какой-либо степенью линейного преобра-
преобразования А. Таким образом, L\s> и L^' имеют общую
точку тогда и только тогда, когда L\s~ ) и Las= Ls имеют
общую точку. Пусть Lf~h) и Lf — Ls имеют общую
точку (х, у, г). Тогда (х, у, г) принадлежит Ls, a
(я, у, г) Ah~g есть точка прямой L\ = Lt. Если Ah~g — (пц),
i, /= 1, 2, 3, то
{х, у, z) Ah~g = (апх + a2iy + a^z, al2x + any + а32г,
ахъх + a23y ¦? a^z). A2.4.24)
Так как (х, у, z) лежит на Ls, а точка прямой A2.4.24)
лежит на Lt, то мы имеем два соотношения:
(аих + a2iy + a-3{z) + I {anx + а22у + azlz) +
+ {al3x + any + ar,z) = 0, A2.4.25)
x-+sy + z = Q. A2.4.26)
Решая A2.4.26) относительно х и подставляя решение
в A2.4.25), находим
Ot A2.4.27)
12.4. Некоторые типы конечных плоскостей
259
где
и = а21 + а23 - (ап + а13) s, v = а22 - ai2s,
а
= a32-ai2.
A2.4.28)
Заметим, что а и b принадлежат F, центру К. Далее
доказательство разбивается на три случая.
Случай 1: 6^0. Перепишем A2.4.27) в виде
(и - ab~]v) у + {ab-{ + t) {vy + bz) = 0. A2.4.29)
Если /=1, то A2.4.25) принимает вид
Ь{х + b2y + b3z = 0, bt e F, A2.4.30)
и это уравнение имеет лишь одно решение, удовлетво-
удовлетворяющее A2.4.26),— точку (х, у, z), если исключить слу-
случай s=\ и 6, = &2=^3=7<fe0, когда A2.4.30) и A2.4.26)-
это одно и то же уравнение х + у + z = 0. Но А пере-
переставляет прямые подплоскости л0 по циклу длины
q2 + q+\, и эта исключительная ситуация может быть
достигнута только тогда, когда s=t—\ и g = h, т. е.
когда две данные прямые совпадают. Если 1ф\,
то t^F, и поэтому w = ab~l + гф$. Умножим A2.4.29)
слева на w~l и, используя ассоциативность и правый
дистрибутивный закон, получим
[w~l(u-ab~lv) + v]y + bz = 0. A2.4.31)
Поскольку Ьф®, точка (х, у, ^ — единственное (с точ-
точностью до множителя) решение системы уравнений
A2.4.31) и A2.4.26), т. е. единственная точка, общая
двум нашим прямым.
Случай 2: Ь = 0, аф<д. Здесь A2.4.27) принимает вид:
(u + tv)y + az = 0, A2.4.32)
и поскольку афО, A2.4.32) совместно с A2.4.26) опре-
определяют единственную точку (л:, у, z).
Случай 3: b = 0, а = 0. Теперь
ail + аЗЗ = аП + а13 и «32 = «12-
17*
Гл. 12. Конечные геометрии
Следовательно, из A2.4.24) получаем
A, 0, -\)Ah~e = (an~a3i){l, 0, -1). A2.4.33)
Здесь аи-а31фО, так как Л невырождена и А'~8
оставляет на месте точку A,0—1) подплоскости я0.
Следовательно, h - g^ 0(mod q2 + q + 1), и так как мы
выбираем g, h среди 0, ..., q2 + q, то h = g и уравне-
уравнения A2.4.25) и A2.4.26) принимают вид x + ty + z = 0 и
х + sy + z = 0. Поскольку наши прямые не совпадают,
t?=s, и эти уравнения имеют единственную общую
точку A, 0—1), что и требовалось доказать.
Итак, мы имеем N = q4 + q2 + У прямых, каждая
из которых содержит q2 + 1 точек. Так как существует
не более одной прямой, проходящей через две различ-
различные точки, то точка Ри лежащая на т, прямых, соеди-
соединена с т$2 другими точками. Так как общее число
точек равно q4 + q2+l, то mj<#2+l для каждой
точки Р{. Общее число упорядоченных пар точек на на-
наших N = q4 + q2+l прямых равно N{q2+\)q2. Поэтому
2 тл2 =#(<?'+
и mt = q2+\ для любого i= 1, 2,
каждая точка лежит на q2 + 1
О-72
..., N, следовательно,
q прямых и соединена
с q4 + q2 другими точками, т. е. со всякой другой точ-
точкой. Таким образом, мы действительно имеем плоскость.
В первоначальном примере Веблена и Веддербёрна
недезаргова плоскость имеет порядок 9. В этом случае
порядок коллинеацни равен 13, и коллинеация отобра-
отображает индексы i—>l+ I (mod 13) как точек, так и прямых.
Семь базисных прямых —это
Lo: А<И,ЛзА.АСоА>ЯоВД.
Af0: AClBlB,D,DuE2E5E6G1G,7
Qo-
50:
ru.
A2.4.34)
ГЛАВА
13
Ортогональные
латинские квадраты
13.1. Ортогональность и ортогональные таблицы
Дональд Кнут и Боуз заметили, что свойство быть
латинским квадратом можно выразить как некоторое
отношение ортогональности. Рассмотрим две (п X п)-
матрицы Л = (а(/) и B = {bii), элементы которых— числа
1, ..., п. Скажем, что А ортогональна к В (в обозна-
обозначениях A J_ В), если для каждой упорядоченной пары
чисел (а, Ь) существует не менее одной пары индексов
(i, /), такой, что ац = а, Ьц = Ь. Так как всего имеется
пг ячеек и п2 упорядоченных пар (а, Ь), мы можем заме-
заменить выражение „не менее" выражениями „не более"
или „точно". Следующие две матрицы
1 1 ... Г
2 2 ... 2
п п
п
С =
1 2 ... п
1 2 ... п
1 2
п
, A3.1.1)
очевидно, ортогональны. Множество матриц называется
множеством попарно ортогональных матриц, если любые
две матрицы в этом множестве ортогональны. Отноше-
Отношение ортогональности не изменяется 1) при любой под-
подстановке Р над числами 1, ..., п в одной из матриц,
если в этой матрице / всюду заменяется на P{i), и
2) при любой одинаковой перестановке п2 ячеек во всех
матрицах одновременно. Если Л 1 В, то каждая из
матриц А, В должна содержать каждое из чисел 1, ..., п
точно п раз, и потому подходящей перестановкой ячеек
мы можем одновременно преобразовать А в R и В в С,
262
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
Из приведенных выше рассмотрений следует, что
(п X ^-матрица L — латинский квадрат относительно
1, ..., п тогда и только тогда, когда L X R и L JL С.
Обратно, если ?, F, G — три попарно ортогональные
матрицы, то мы можем переставить ячейки так, что
две из этих матриц становятся матрицами R и С, а
третья — латинским квадратом L. Таким образом, свой-
свойство быть латинским квадратом можно полностью опре-
определить через свойство ортогональности. Существование
k + 2 попарно ортогональных матриц в точности экви-
эквивалентно существованию k попарно ортогональных ла-
латинских квадратов. Кроме того, любая из этих матриц
может быть преобразована в R и любая другая — в С.
Это соответствует выбору пучков параллельных пря-
прямых в главе 12 для введения системы координат в конеч-
конечной плоскости.
Вопросы существования и построения попарно орто-
ортогональных латинских квадратов сведены, таким образом,
к изучению отношения ортогональности. Этому подходу
хорошо соответствует конструкция, называемая орто-
ортогональной таблицей. Скажем, что два вектора-строки v{
И V2 ДЛИНЫ ft2,
и
У
ортогональны, если среди упорядоченных пар (xit tji),
i = \, ..., п2, каждая пара (а, Ь) встречается точно
один раз, a, b — числа 1, ..., п.
Определение. Ортогональной таблицей ОА(п, s)
порядка п и высоты s называется матрица с s строками
и п2 столбцами, элементы которой — числа 1, ..., п, а
каждая пара строк ортогональна.
Мы можем поставить в соответствие столбцам ОА(д, s),
взятым в произвольном порядке, п2 ячеек (пХтг)-матрицы
и затем построить s матриц Аи Аъ ..., As, используя
i-ю строку ОА{п, s) для заполнения ячеек At в порядке,
определенном соответствием столбцов с ячейками. Орто-
Ортогональность матриц Аг и Л; в точности эквивалентна
ортогональности 1-я и /-й строк ОА{п, s). Обратно, если
даны попарно ортогональные матрицы A[t ..., As no-
13.2. Основные теоремы
263
рядка п, то мы можем обращением этого процесса
построить ОА(я, s).
Перестановка строк или столбцов ортогональной
таблицы OA(n, s) снова дает ОА(п, s). Аналогично
выполнение подстановки над числами 1, ..., п некото-
некоторой строки ОА(ге, s) дает другую ортогональную таблицу
ОА{п, s). Две ортогональные таблицы, которые можно
таким образом получить одну из другой, называются
эквивалентными. Если исключить некоторую строку
из ОА(п, s), то остающаяся таблица есть ОА(/г, s—1).
13,2. Основные теоремы
В гл. 12 было показано, что существует конечная
плоскость порядка п, если п — степень простого числа,
п = р'\ и что это эквивалентно существованию п — 1 по-
попарно ортогональных латинских квадратов порядка п,
или, что то же самое, п + 1 ортогональных матриц. Соот-
Соответствующая ортогональная таблица — это ОА(ге, п+ 1).
Легко видеть, что эквивалентные ортогональные таблицы
определяют одну и ту же плоскость. Мы можем вообще
считать, что ОА(п, s) определяет s пучков параллельных
прямых, где столбцы —это точки, и точка (столбец) j
лежит на «-й прямой г-го пучка, если в OA(n, s)
а-ц — и. Таким образом, эквивалентность ортогональных
таблиц заключается в том, что одна получается из другой
перенумерованием точек и прямых, сохраняющим неиз-
неизменными инцидентности.
Теорема 13.2.1 (Макнейш {1]). Если существуют
OA(rt;, s) и ОА(п2, s), то существует OA(%rc2, s).
Доказательство. Пусть ОА(пи s) — матрица
j)t i= I, .... 5, /= 1, .... п%
а ОА (п2, s) — матрица
В =Fiy), /= 1, .... s, 1= 1, ..., п%
Образуем новую матрицу
D = (d(i), i=l,:..fs, /= 1, .... ft*n|,
264
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
заменяя в А элемент ац вектором-строкой
для любой пары /, /.
Так как числа пц принимают значения от 1 до пи а
числа Ьц — от 1 до п2> то числа bit + mlf принимают
значения от 1 до пхпъ следовательно, d-ц есть одно
из чисел 1, ..., пхп.г. Рассмотрим /z-ю и 1-ю строки D,
и пусть и, а— любые два из чисел 1, ..., пхп2. Тогда
мы можем написать
и = «1 + {щ — \)п2, v — у, + {v2— 1)щ,
где 1 <;«,, v[^.n2, l^u2, v2^nl и иу, v[t и2, v2 опре-
определяются однозначно. Обозначим в А через / номер
столбца, в котором ahj~u2, ai! = v.1. В В обозначим
через t номер столбца, в котором bhi = u.x и bit = v{.
Тогда в О, в столбце g = t + n2(j— 1), получим
dhg = bM + (ahj - 1) n2 = Mi + (и2 - 1) «2 = м
(att- \)n2=
~l)n2= v,
что означает ортогональность /г-й и i-k строк D и,
таким образом, доказывает, что D — ортогональная
таблица.
Можно привести доказательство этой теоремы в дру-
другой форме. Пусть Аи ..., As — попарно ортогональные
матрицы порядка пи где вместо чисел 1, ..., п, стоят
неизвестные хи, и= 1, ..., /г,; и аналогично Вь ..., Вь —
попарно ортогональные матрицы порядка п2, элементы
которых — неизвестные уа, v — l, ..., п2. Тогда прямые
произведения
АхХВи А2ХВЬ ..., ASXBS,
рассматриваемые как матрицы с п^п2 неизвестными
zUv = xuyv, и=\, я„ о=1,..., п2>
в качестве элементов, попарно ортогональны. Для двух
данных индексов /?, / из множества {1, .... s) и для
2Ц1и, и Zuiv* существует ячейка, в которой в Ah стоит xUl,
13.2. Основные теоремы.
265
а в Лг стоит xKj, а также ячейка, в которой в Bh
стоит уи, а в б. стоит (/р>. Соответствующая ячейка
в A!lXB!l содержит zUlVl> а в AtXBt содержит za,V:.
Следующая теорема по существу является следствием
теоремы 13.2.1.
Теорема 13.2.2. Если п = р\1 ре22 ... ре/ есть пред-
представление целого числа в виде произведения степеней
различных простых чисел ри ..., рп то существует не
меньше N (п) попарно ортогональных латинских квадра-
квадратов порядка п, где
( ) i=\, ..., г.
Доказательство. Из существования конечной
плоскости порядка /г. = ре.1, i—\, ..., г, следует суще-
существование Ok{nh tii + 1), i= 1, ..., г. Поэтому если
s —минимум nt+\, то существует OA(nh s). Повтор-
Повторное применение теоремы 13.2.1 дает доказательство
существования OA(n, s), т. е. существования s — 2 —
= min(rtj — 1) попарно ортогональных латинских квадра-
квадратов порядка п, что и составляет утверждение теоремы.
Если через N (п) обозначить максимальное число
попарно ортогональных латинских квадратов, то эта
теорема дает нижнюю границу для N (п). В частности.
если п имеет вид п= At + 2, то утверждение теоремы
тривиально: N(n)^l. Эйлер в 1782 г. предположил, что
для п = 4t + 2 не существует пары ортогональных латин-
латинских квадратов: „Я не колеблясь готов утверждать, что
невозможно построить какой-либо полный квадрат
из 36 элементов, и эта невозможность распространяется
на все случаи п= 10, п= 14 и вообще для всех нечетно
четных чисел". Макнейш в 1922 г. пришел к предполо-
предположению, что
N{n)=
^'- l),
для и =
и опубликовал ошибочное доказательство того, что
NDt + 2)~l, использовав некоторый топологический
метод. Как мы увидим, оба предположения, Эйлера и
Макнейша, были, наконец, опровергнуты в 1959 г.
266
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
В действительности Эйлер был прав только в случаях
п = 2 и « = 6, В случае п = 6 это было подтверждено
в 1900 г. Терри [1] путем перебора всех возможностей.
Не для каждого латинского квадрата существует
другой латинский квадрат, ортогональный данному, или,
как мы будем говорить, ортогональный соквадрат^). Одно
необходимое условие для существования ортогонального
соквадрата было установлено Манном [1].
Пусть п чисел разделены на два множества Л и В,
где А содержит k чисел, а В содержит п — k чисел. По-
Потребуем, кроме того, чтобы k было нечетным. Столбцы
таблицы ОК(п, 3), соответствующей латинскому квад-
квадрату порядка п, могут быть разделены на восемь типов
в соответствии с тем, числа какого множества появля-
появляются в каждой строке. Напишем
Х\ Х2 ХЪ ХА Х5 XQ X7 Х8
ААААВВВВ
ААВВААВВ
АВАВАВАВ
A3.2.1)
где xt обозначает число столбцов данного типа. Орто-
Ортогональность строк дает несколько соотношений для xt.
Заметим, что в любых двух строках имеется k2 комби-
комбинаций вида АА, k(n — k) — вида В A, k(n — k)~ вида АВ
и (п — kJ — вида ВВ. Это приводит к следующим (наряду
с другими) соотношениям:
xi + x2 = k2> х2 + х4 = k (п — k), x7 + xs = (n-kJ,
*1 + *з=?2, xs + x6 = k(n-k), A3.2.2)
xx + хь = k2, x5 + x7 = k(n- k).
Отсюда
x2=k?~xu
A3.2.3)
& ATj,
!) В оригинале orthogonal mate. — Прим. перее.
J3.2. Основные теоремы
267
Назовем нечетными те столбцы, которые содержат А
нечетное число раз, а именно столбцы типов хи #4, хб и xi-
Общее число нечетных столбцов равно 4%t + 3nfe — 6fe2.
Предположим, что
rc. A3.2.4)
Тогда, если можно добавить четвертую строку так,
чтобы получилась ортогональная таблица ОА («, 4), то,
поскольку существует менее п нечетных столбцов,
должно существовать число (скажем, и) в четвертой
строке, появляющееся только в четных столбцах:
А А В В
А В А В
В А А В
A3.2.5)
и
и и
Здесь yt — число таких столбцов каждого вида. Так как
в A3.2.5) учтены все появления и, то
Уг + Уз + Уь + Us = п,
+ Уз= k, t/з + lh =
Уч. + У о = fe.
A3.2.6)
где в первой сумме учитывается общее число появлений и,
а в остальных — число парных комбинаций и с числами
А для первой, второй и третьей строк соответственно.
Но отсюда
2(У2+г/з + У5) = 3/г, A3.2.7)
что противоречит нашему предположению о нечетности k.
Следовательно, если k нечетно, условие A3.2.4) ведет
к противоречию. Возможность такого выбора k, n и х,
чтобы удовлетворялось A3.2.4), обеспечивается усло-
условиями следующей теоремы.
Теорема 13.2.3 (Манн). Пусть L — латинский
квадрат порядка 4^ + 2 (соответственно 4t+1) с под"
квадратом порядка 2t + I Bt), все ячейки которого, за
исключением t (соответственно [{t — l)/2]) или меньшего
268
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
числа ячеек, заполнены элементами из множества 2/ + 1
(соответственно 21) чисел. Тогда не существует латин-
латинского квадрата, ортогонального к L.
Доказательство. В первом случае возьмем
k = 2t+l. Условие A3.2,4) сводится к 4.v,<4^ + 2, или
.г, ^ t. Оно выполняется, так как в подквадрате порядка
'2t + l, соответствующем столбцам из A3.2.1), помечен-
помеченным a'i и Л'2, все элементы принадлежат В, за исклю-
исключением не более t букв из А.
Во втором случае при n = 4t + l, k = 2t + l условие
A3.2.4) сводится к 4х, < 10^ + 4. Подквадрат порядка 2t
из столбцов двух типов x-j и а'й содержит x7 = Xj — 2t— I
элементов из А. Условие A3.2.4) в нашем случае экви-
эквивалентно неравенству
Л'7<—, ИЛИ
и справедливость его вытекает из условий теоремы. Для
п вида М или At +3 результата, аналогичного тео-
теореме 13.2.3, нет.
Островский и Ван Дюрен при помощи вычислитель-
вычислительной машины нашли пару ортогональных латинских ква-
квадратов порядка 10, в которой один из квадратов имел
подквадрат порядка 5, все ячейки которого, за исклю-
исключением трех, были заняты числами от 0 до 4. Таким
образом, неравенство Манна неулучшаемо. Эти квадраты
таковы:
0
3
4
1
2
5
8
6
9
7
1
4
3
2
0
7
9
5
8
6
2
0
1
4
3
6
7
9
5
8
3
1
2
0
7
9
5
8
6
4
4
2
0
7
5
8
6
1
3
9
5
7
9
8
6
3
1
4
0
2
6
9
7
5
8
4
2
3
1
0
7
8
6
3
9
1
0
2
4
5
8
6
5
9
4
2
3
0
7
1
9
5
8
6
1
0
4
7
2
3
0
6
9
3
1
2
4
• 5
8
7
1
7
3
8
4
5
0
6
2
9
9
8
7
2
5
6
1
4
0
3
2
9
4
5
0
1
3
8
7
6
3
5
6
4
7
9
8
0
1
2
8
2
5
7
3
4
6
1
9
0
4
3
8
9
6
0
2
7
5
1
6
1
2
0
9
8
7
3
4
5
5
0
1
6
8
7
9
2
3
4
7
4
0
1
2
3
5
9
6
8
A3.2.8)
13.3. Построение ортогональных квадратов
2ВЭ
13.3. Построение ортогональных квадратов
Мы начнем с построения, которое докажет неравен-
неравенство N (I2t + Щ^2. Пусть т —такое число, что суще-
существует пара ортогональных латинских квадратов по-
порядка т. Определим следующие векторы длины т,
составленные из вычетов по модулю 2т + 1 для I = 0,
1, ..., 2т:
A3.3.1)
at = (i, i, L ...),
&,=(/+1, / +2, .... i + m),
ct = (i- 1, 1-2, ..., i-tri).
Образуем разности этих векторов:
d[—ai — bi = Bт, Ъп — 1, .. ., т + 1),
d\ = bi -a.t = A, 2, . .., m),
d2 = ai — ci = (i, 2, . .., /и),
d'2 = ci — at = Bт, 2т — 1, . . ., т+\),
ds=bi-ci = B, 4, ..., 2т),
dz = ci-bi = {2m-lt 2т - 3, ..., 1).
При любом /, / = 1, 2, 3, dj и d], взятые вместе, содер-
содержат все ненулевые вычеты по модулю 2т + 1. Построим
теперь векторы длины тBт+\):
A3.3.2)
A = (a0, a,, a2,
B = {b0, b{, b2,
C = {c0, сi, с,, .
A3.3.3)
Возьмем т новых букв хх, ..., хт и образуем вектор X
длины тBт +1):
Л
' " " ' 1'
*„,), A3.3.4)
а затем [4 X 4mB/n + 1)]-матрицу D:
'А В С X'
В А X С
С X А В
X С В А
A3.3.5)
270
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
Рассмотрим любые две строки этой матрицы. Они со-
содержат одну из подматриц: L J > \с А\ или С В У Тогда'
если и, у —различные вычеты по модулю 2т+1, то
вычет
е = «-ц (mod 2m + 1)
появляется в соответствующем ds или df.
е == (/ + g) — (i + h) == g — Я== и — w (mod 2m + 1),
где {i + g) — (i + h) есть разность из dj или dj. Опреде-
Определим i сравнением / + h = v (mod 2m + 1), тогда
i + g = (/ + h) + и — v ^ и (mod 2tn+ 1),
следовательно, пара I I появляется как столоец в этих
двух строках. Аналогично в любых двух строках из
A3.3.5) появляется одна из подматриц v ^ ' \х В ИЛИ
и отсюДа мы получаем все столбцы
где и — любой вычет по модулю 2пг + 1, a
и
-и
любое
из Хц ..., хт. Если мы предполагаем, что существует
пара ортогональных квадратов порядка т, то суще-
существует ОА(т, 4) = ? с элементами хь ..., хт, т. е.
матрица размера 4 X т2, строки которой ортогональны
относительно %?. Образуем теперь матрицу F:
О 1 2 ... 2m'
F =
0
0
0
1
1
1
2 ...
2 ...
2 ...
2т
2т
2т
DE.
A3.3.6)
Здесь F имеет четыре строки и 2т + 1 + 4тBт+ 1) +
2(З J
т
2=
(Зт
столбцов. В любых двух строках ма-
ма) у р
трицы F мы получаем столбцы I J, где и— вычет по
модулю 2т +1, из первых 2т + 1 столбцов, столбцы
— из ? и все остальные —из D, Следовательно, F есть
13.3. Построение ортогональных квадратов
271
OACmH-l, 4). Сформулируем наш результат в виде
теоремы.
Теорема 13.3.1. Если N(m)>2, то N (Зпг + 1)> 2.
В частности, так как N {At + 3)^2, отсюда следует, что
Основная теорема о построении ортогональных ква-
квадратов представляет собой рекурсивное построение,
основанное на существовании уравновешенной относи-
относительно пар блок-схемы. Уравновешенной относительно
пар (элементов) блок-схемой BIB (у, kb ..., km, КI)
называется такое размещение v элементов по Ь блокам,
что: 1) каждый блок содержит k{<v различных эле-
элементов при некотором i=l, ..., m; 2) каждая пара
элементов появляется вместе точно в % блоках. Пусть
bt — число блоков с kt элементами. Тогда
2 bt = b, %v (v - 1) = 2 btkt {h - 1). A3.3.7)
Эти &j блоков с kt элементами будем называть i-n рав-
ноблочной компонентой. Свободным множеством назо-
назовем множество всех блоков нескольких равноблочных
компонент, в котором никакие два блока не имеют
общего элемента. Будем писать
BIB (о, k{
km> Я),
если первые г равноблочных компонент образуют сво-
свободное множество. В наших построениях мы будем
использовать только уравновешенные относительно пар
блок-схемы с X = 1.
Следующая теорема, но в более слабой форме, впер-
впервые была получена Паркером [2], позднее обобщена
Боузом и Шрикханде [1], а затем еще более обобщена
всеми тремя авторами совместно [1].
Теорема 13.3.2 (основная теорема). Если сущест-
существует уравновешенная относительно пар блок-схема
BIB {v, k{ kr, .... km, 1),
') Обозначение идет от сокращения термина balanced incomp-
incomplete block design. — Прим. перев.
272
Г я. 13. Ортогональные латинские квадраты
то
Л'(и)
min
), ...tN(kr),
-l, ...,N(km)-\).
Доказательство. Свободное множество будет
рассматриваться иначе, чем остальные блоки схемы, что
отражается в формулировке теоремы. Свободное мно-
множество, грубо говоря, аналогично параллельным пря-
прямым в аффинной плоскости, несвободное множество —
прямым в проективной плоскости.
Полагаем
c = min(N(k1) + 2, ..., N(kr) + 2, N(kr+1)+l, ...
..., N(km)+\),
и для / = 1, ..., г пусть Аг = QK{kv с). Для i = r + 1,..., п
существует
В Dt, матрице с элементами 1, ..., kh переставим kt
столбцов с 1 в первой строке в левую часть матрицы
и перенумеруем элементы в остальных строках так,
чтобы первые k-t столбцов матрицы DL приняли вид
1 1 ... 1
1 2 ... ki
1 2 ... k{
A3.3.8)
,_ 1 2 ... ki_
Затем для i = r+l, ..., m образуем матрицу At вы-
вычеркиванием первой строки и первых kt столбцов из DL.
Матрица A-t есть [с X (&| — ^-)]-матрица, имеющая во вся-
(и \
кой паре строк все столбцы ( _ | с и ф w, и, ш= 1, ...
W
..., kt, но не имеющая столбцов вида I I. Пусть S[t
S2, ..., Sb — это b блоков данной уравновешенной схемы.
и
13.3. Построение орюгональных квадратов
27.1
Если Sj имеет kt элементов, то образуем из At таб-
лицу Bj, заменяя числа 1, ..., k{ матрицы A-t элемен-
элементами из Sj. Наконец, образуем таблицу
С = (Ви Въ .... Bbi E), A3.3.9)
где Е — такое дополнительное множество столбцов, что
каждый столбец в Е состоит из одного и того же числа,
повторенного с раз, и в Е имеется один столбец для
каждого элемента, не появляющегося в блоках свобод-
свободного множества.
Мы утверждаем, что таблица С из A3.3.9) есть
ОА(о, с). Выберем в С две строки. Если и ф w — два
различных элемента из v элементов нашей уравнове-
уравновешенной схемы, то существует точно один блок S7, со-
содержащий оба элемента, и в соответствующем В, в этих
(и \
двух строках найдется столбец I ]. Кроме того, и и w
не появляются вместе ни в каком другом блоке В, они
не могут появиться и в столбце множества Е. Если
и — элемент блока 5,- свободного множества, то ма-
(и\
(
трица Bj содержит столбец ( I в двух выбранных стро-
строках. Если и не есть элемент блока свободного множе-
(и\
ства, то в ? найдется столбец I I. Таким образом,
две строки ортогональны, и С есть ОА(у, с). Следова-
Следовательно, существует не менее с —2 попарно ортогональ-
ортогональных квадратов порядка v и N(v)^c — 2, т. е. утвер-
утверждение теоремы доказано.
Конечная плоскость порядка 4 —это BIB B1,5,1), и
применение к ней теоремы 13.3.2 дает неравенство
N B\)^ N {5)—\=3, что улучшает значение Макнейша,
iVB1) = 2. Это неравенство приведено в работе Пар-
Паркера и было первым опровержением предположения
Макнейша. Следующие две теоремы получаются почти
непосредственно как приложения основной теоремы.
Теорема 13.3.3. Если существует BIB (у, k, l), то
A) N{v~ \)^min{N(k- 1), N{k)-\)
[3 М. No.i.i
274
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
13.3. Построение ортогональных квадратов
275
U
B) N(у - x) > min {N{k -x), N{k-l)~l, N{k)-l)
при любом х, таком, что l^x^k.
В дальнейшем условимся, что N @) = N {I) = оо.
Доказательство. Вычеркнем х элементов неко-
некоторого блока из "этого и всех остальных блоков. Если
х — \, то блоки, из которых был вычеркнут этот эле-
элемент, образуют свободное множество блоков с к— 1
элементами, и мы имеем В1В(и — 1, к— 1, к, 1), При-
Применение теоремы 13.3.2 дает A). Если л>1, то блок
с k — х элементами является свободным множеством,
а все другие блоки имеют к— 1 или к элементов. При-
Применение теоремы 13.3.2 дает B).
Теорема 13,3.4. Если существует BIB (у, к, 1), то
N (v - 3) > min (N {к - 2), N {к - 1) - 1, N {k) - 1).
Доказательство. Вычеркнем из BIB (у, k, 1)
три элемента, не принадлежащие одному и тому же
блоку. Получим
В1В(о-3, /г-2, k-\, k, I),
так как три блока, из которых были вычеркнуты два
элемента, образуют свободное множество, а все осталь-
остальные блоки имеют либо к— 1, либо к элементов. При-
Применение основной теоремы дает требуемый результат.
В частности, из существования BIB B1,5,1) следует
WA8)>min(WC), tfD)-l, N E) - 1) = min B, 2,3) = 2,
что доказывает существование пары ортогональных квад-
квадратов порядка 18.
Схема называется разрешимой, если блоки могут
быть разделены на г множеств (дубликатов) так, что
в блоках каждого из этих множеств каждый элемент
встретится точно один раз. Например, прямые аффин-
аффинной плоскости порядка п, разделенные на п+\ мно-
¦кеств параллельных прямых, образуют разрешимую
схему.
I
Теорема 13.3.5. Если существует разрешимая
BIB (у, к, \) с г дубликатами, то
2)
3)
N
N
(v + r
ip + r
при 1 <
-1)>гшп(Л/
)>min(W(r),
\х<
(r-
N(k
г -
1),
+
-1,
N(k),
0-1).
Доказательство. Пусть l^Cx^r. К каждому
блоку г-го дубликата добавим новый элемент Yh 1<!/<х.
Затем к блокам схемы добавим блок Yu ..., Yx. Если
\<^х<г— 1, то получается В1В(и + х, х, к, k+l, 1);
если х = г — 1, то имеем BIB (v + r — I, г — 1, к, k + 1, 1);
если х — г, то имеем BIB (v + г, г, k+l, 1). Утвержде-
Утверждения теоремы следуют теперь из основной теоремы 13.3.2.
Рассмотрим в качестве примера применение доказанной
теоремы к аффинной плоскости порядка 7, которая
есть В1ВD9, 7, 1). При х = 1 находим, что Л/гE0)>5,
а при х = 5 имеем iVE4)^4.
Другой вид схем, тесно связанных с ортогональными
таблицами,—это схемы с делимостью на группы (group
divisible design) GD (v; k, m; Ab X2) ')• Так называются
схемы, в которых элементы разделены на v/m групп,
с m элементами в каждой из групп, причем 1) каждый
блок содержит k элементов, 2) любые два элемента
одной и той же группы появляются вместе в Я, блоках,
в то время как любые два элемента разных групп по-
появляются вместе в Х2 блоках. Нам нужен лишь тот
случай, когда Х{ = 0, Я2=1.
Теорема 13.3.6. Если k^.N(m)+ 1, то сущеспугт
разрешимая2) схема GD(km; к, пг; 0, 1).
Доказательство. Построим OA(tn, k+l). Рас-
Расположим в ней столбцы так, чтобы последняя строка
имела вид
1, ..., 1, 2, ..., 2, 3, ..., 3, ..., т, ..., т. A3.3.10)
') Схема GD (и; k, т\ Я[, Я.2) — это частный случай так называе-
называемых частично уравновешенных блок-схем (РВШ-схем). — Прим.
пере в.
2) С т дубликатами. — Прим. ред.
18*
276
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
13.4. Опровержение предположения Эйлера
277
Тогда столбцы разделятся на m множеств по m столб-
столбцов в каждом: 1-е множество — то, для которого элементы
в последней строке равны L В результате первые k строк
разделятся на m частей. Выбросим теперь последнюю
строку и заменим каждое число i в /-й строке упоря-
упорядоченной парой (/, /), в результате чего получим km
новых элементов. Столбцы полученной таким образом
таблицы будем рассматривать как блоки новой схемы.
Элементы с одинаковой второй координатой никогда не
повторяются в одном и том же блоке, а элементы, у ко-
которых вторые координаты различны, появляются в одном
блоке точно один раз. Кроме того, схема разрешима,
так как ортогональность (& + 1)-й строки остальным
в исходной таблице гарантирует нам, что в каждой
из m частей каждая из km пар (/, /) встретится точно
один раз.
Теоремы 13.3.5 и 13.3.6 указывают на связь между
ортогональными таблицами и разрешимыми схемами,
так что при помощи таблиц мы можем строить схемы,
и наоборот.
Теорема 13.3.7. Если существует разрешимая схема
GD (с; k, пг, О, I) с г дубликатами, то
1) Л' (у + х) > min [М (m), N (х)} /V {k) - 1, N{k + \)-l)
при 1 ^.х <г,
2) N (v + г) > min (N (tn), N (г), N {k + 1) - 1),
3) N(v+r)^min{N{k), N {г), N(k+\)-l, N{m+\)-l),
4) A'(o + r + l)
Доказательство. Для каждой группы элементов
образуем блок, состоящий из всех m элементов группы
и присоединим к GD(y; k, in; О, 1) эти v/tn блоков.
Тогда получим BIB (и, tn, k, 1), Затем присоединим
к каждому блоку г-го дубликата исходной схемы,
/= 1, ,.., х, новый элемент Yi и образуем также новый
блок Yu ..., Yx. При х<г получаем
о + *, х, tn, ft, k + \, 1).
Первые два утверждения нашей теоремы следуют из
основной теоремы. Для доказательства третьего утвер-
утверждения возьмем х = г—\; оставив последний дубликат
свободным, присоединим Fo к каждому из блоков, со-
составленных из элементов некоторой группы, и образуем
также блок Yo, Yb ..., Yf-{, тогда получим
BIB (v + г, k, r, k+ 1, т + 1, 1).
Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, доба-
добавим Yh i=\, ..., г, к блокам г-го дубликата, Ко — ко
всем блокам, составленным из элементов некоторой
группы, и образуем также Уо, К,, ..., Yr. Тогда по-
получаем
BIB(v+r + I, r+l, k+l, m+ 1, 1),
и теорема доказана.
Теоремы 13.3.6 и 13.3.7 можно объединить в одну и
получить следующий важный результат.
(т) + \, то при 1
При х = г имеем
BIB (о + г, г, m, k+ 1, 1).
Теорема 13.3.8. Если k
имеем
N (km + х) > min (N (m), Nix), N{k)-\, N{k+ 1)-1).
Доказательство. Доказательство получается
из теоремы 13.3.6 и первого неравенства теоремы 13.3.7
с v = km.
13.4. Опровержение предположения Эйлера
Предположение Эйлера о том, что не существует
пары ортогональных латинских квадратов порядка /?,
когда п = At + 2, оказывается верным для п = 2 и п = 6,
но не верно ни в каком другом случае. Данный раз-
раздел посвящен доказательству этого факта и, следова-
следовательно, полному опровержению предположения.
Теорема 13.4.1. Для всякого п>€> существует
пара ортогональных латинских квадратов порядка п.
Доказательство. Требуется доказать, что
N(n)^2 при «>6. В силу теоремы 13.2.2 достаточно
доказать это для n=4t + 2. Следующая лемма сводит
доказательство к конечному числу значений п.
278
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
Лемма 13.4.1. Если N{At + 2)^2 для 10<4f +
+ 2<726, то iV(y)>2 для всех v>6.
Доказательство. Пусть v = At + 2, у>730. Тогда
0_ ю>720 и мы можем написать
o_10=144g + 4«, g>5, 0<«<35. A3.4.1)
Отсюда
v = 4C6g) + Au+\0, ?>5, 0<«<35. A3.4.2)
Обратимся теперь к теореме 13.3.8 при k — A, m =
и х=Аи+\0. Имеем JVD) = 3, ЛГE) = 4. При т =
наименьшая степень простого числа, делящая т, не
меньше 4, поэтому N (т) !> 3, и условие /г < Л/ (т) + 1
удовлетворяется при fe = 4. Поскольку 0 ^ и ^ 35, мы
имеем 10^ х ^ 150; так как g"^54, т^180, условие
1 ^х<т удовлетворяется. Таким образом, из теоремы
13.3.8 следует, что
N(v)^min{N{m), N (х), 2, 3) = min {N (х), 2),
и если М{х)^2, то N{v)^2. Это показывает, что если
ЛМа-)>2 при 10<х<726, то
{v)^N{At
для всех
что и требовалось доказать.
Начнем с трех частных примеров.
Пример 1. Пусть л =14. Рассмотрим матрицу
U X | Л^2 ^з
10 0 0
4 4 6 9
L 6 1 2 8 J
где л.-], хъ лг3 — неизвестные, а остальные элементы рас-
рассматриваются как вычеты по модулю 11. Пусть Рь Р2»
Р3 получены из Ро циклической перестановкой строк.
Полагаем Л0=(Р0> ^i. ^2. ^зХ и пусть At получается
из Ао прибавлением г1) по модулю 11 к каждому вы-
') ( = 1, ..., 10, — Прим. персе.
13.4. Опровержение предположения Эйлера
279
чету в Ай. Если А* есть ОА C, 4) относительно хи х2, х3,
а Е есть D X 11)-матрица, г-й столбец которой содержит
на каждом месте i, то матрица')
Z>=(?, Л, Л*)
— матрица порядка 4X196, и можно проверить, что
она является ОАA4, 4); следовательно, N A4) ^2.
Пример 2. Исходя из матрицы
- о
3
8
. 12
0
6
20
16
0
2
12
7
0
1
16
2
0
20
19
Хо
0
17
6
х3"
0
8
21 _
с вычетами по модулю 23, мы можем, как в примере 1,
построить некоторую матрицу и показать, что она
является ОАB6, 4); следовательно, ()
Пример 3. Если взять вычеты по модулю 41
в качестве элементов, то можно построить схему с па-
параметрами v = 41, 6 = 82, г =10, k = 5, А=1 и бло-
блоками
At = {i, i+\, i + 4, i+U, г+ 29},
Bi = {/' + 1, i+ 10, г + 16, / + 18, I + 37},
i=0, ..., 40 (mod 41).
Мы можем проверить это, заметив, что два множества
вычетов по модулю 41: {0, 1, 4, 11, 29} и {1, 10, 16, 18, 37},
имеют то свойство, что каждый ненулевой вычет d по
модулю 41 можно представить в точности одним спо-
способом в виде
d ?=; х{ — Xj (mod 41),
где Xi и Xj принадлежат или оба первому, или оба
второму множеству. Если теперь и и v — два различ-
различных вычета по модулю 41, то определим хг и х} срав-
сравнением и — v = Xi~л1/(mod41). Полагая t^=u — xi(mod41),
= (А0, Ах Ала). — Прнм. tie рев.
280
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
имеем
и =¦ xt + i (mod 41), v =¦ x; + * (mod 41),
и г/ и с находятся вместе либо в At, либо в В^. Таким
образом, каждая пара различных элементов появляется
вместе в одном блоке, и так как имеется 82 блока,
содержащих каждый по пять элементов, то этого доста-
достаточно, чтобы установить, что мы имеем схему с
Ь = 82, о = 41, /г = 5, г =10, К=1,
т. е. BIB D1, 5, 1). Применяя теорему 13.3.4, получаем
N C8) > min (N C), JV D) — 1, ЛГE)-1) = 2,
т. е. существует пара ортогональных квадратов по-
порядка 38.
Мы теперь в состоянии показать, что N(n)^2 для
всех n = 4t + 2 в пределах 10 <4^ + 2 <!726. Три рас-
рассмотренных примера, теоремы 13.2.2, 13.3.1 и 13.3.8
и еще одно приложение теоремы 13.3.4 исчерпывают
все случаи. В следующем ниже перечне вид, в котором
представлено число, указывает, какая из теорем при-
применяется. Так, 50 = 5 • 10 означает, что по теореме 13.2.2
N E0) > min (Лг E), /VA0))>2.
Аналогично 34= I0(mod 12) означает, что применяется
теорема 13.3.1 и NC4)^2. Представление п = 4т + х
означает, что применяется теорема 13.3.8 с k = 4. Для
этого необходимо, чтобы /V(m)>3 и \<^х<т, что
легко проверяется в каждом случае.
10= 10(mod 12). 50 = 5-10.
14 Пример 1. 54 = 3- 18.
18 = 21-3. [Теорема 58= 10 (mod 12).
13.3.4 приме- 62-4-13+10.
няется к BIB 66 = 3 • 22.
B1, 5, 1).] 70= 10 (mod 12).
(, )]
22= 10 (mod 12).
26 Пример 2.
30-3- 10.
34= 10 (mod 12).
38 Пример 3.
42-3- 14.
46== 10 (mod 12).
(
74 = 4- 16+ 10.
78 - 3 • 26.
82= 10 (mod 12).
86 = 4- 19+ 10.
90 = 4- 19+ 14.
94 = 4. 19+ 18ё
98 = 7 • 14.
13.4. Опровержение предположения Эйлера
281
Чтобы доказать, что N {п) ^ 2 для значений п, боль-
больших 100, достаточно в каждом случае применить тео-
теорему 13.3.8 с k = 4, п = Am + x. В следующей ниже таб-
таблице для каждого данного т х имеет вид 4/ + 2 и может
принимать значения из указанной области; это дает
соответствующую область изменения /г =
т
23
27
31
37
44
53
64
77
92
ИЗ
139
172
Значения х
10—22
10—26
14—30
10—34
10-42
10—50
10—62
14-74
18—90
30—110
10-138
10—38
Значения п = 4га + х
102—114
П8—134
138—154
158—182
186—218
222—262
266—318
322—382
386—458
462-562
566—694
698—726
Нет оснований полагать, что найденные результаты
близки к наилучшим. Например, N{12)^2 — это все,
что мы доказали. Но непосредственным построением
Дюльмаж, Джонсон и Мендельсон [1] нашли пять по-
попарно ортогональных латинских квадратов порядка 12.
Они исходили из абелевой группы порядка 12, являю-
являющейся прямым произведением циклических групп по-
порядков 6 и 2. Пусть а и Ь с а6 = 1 и Ь2 = 1 — ее обра-
образующие элементы.
О
Обозначим
at = al, i=0, ..., 5,
Построим пять строк:
а, а2 а3 а4 а5
bi=bai, /=0, ..., 5.
а0
«о
b0 b2 а2 Ь{
а0 а3 Ьо а,
«о
а0
«5
а2
а2
«з
Ь2
Ьу b2 h
h «4 bt
b2 a5 a4
й4 а2 by
b0 b3 a,
bA b5
а5
00 «4
282
Гл. 13. Ортогональные латинские квадраты
Возьмем эти строки в качестве первых строк пяти квад-
квадратов. Строки со второй но двенадцатую образуются
умножением первых строк соответственно на а{, ..., а5,
Ьо, ..., Ъъ. Нет никакого другого квадрата порядка 12,
ортогонального ко всем этим квадратам, и не было
найдено никакого множества из шести попарно орто-
ортогональных квадратов порядка 12.
Следующая теорема доказана Човла, Эрдёшем и
Страусом [1].
Теорема 13.4.2. Существует число v0, такое, что
JV (у) > 4 у1'91 для всех v > vQ.
О
Доказательство основано на теореме 13.3.8 и
на некоторых сложных арифметических соображениях.
ГЛАВА
14
Матрицы Адамара
14.1. Конструкции Пэли
Матрицей Адамара порядка m называется (пг X tri)-
матрица Я, элементами которой являются +1 и — 1,
такая, что
HHT=mI. A4.1.1)
Это равенство эквивалентно утверждению, что любые
две строки Я ортогональны. Очевидно, что перестановка
строк или столбцов Я, равно как и умножение строк
или столбцов //на —1, сохраняют это свойство. Будем
считать Н{ и Я2 эквивалентными матрицами Ада-
Адамара, если
H2^PHXQ, A4.1.2)
где Р и Q—мономиальные матрицы перестановки
с элементами +1 и — 1. Это означает, что Р и Q имеют
точно по одному ненулевому элементу в каждой строке
и в каждом столбце, и этот ненулевой элемент равен +1
или — 1. Матрица Р осуществляет перестановку и меняет
знаки у строк, a Q — у столбцов. Для данной матрицы
Адамара мы всегда можем найти эквивалентную ей
матрицу Адамара, первая строка и первый столбец
которой состоят целиком из +1. Такая матрица Адамара
называется нормализованной. Перестановка строк, кроме
первой, или столбцов, кроме первого, не нарушает нор-
мализованности матрицы, но, вообще говоря, могут
существовать эквивалентные нормализованные матрицы,
которые не получаются одна из другой простой пере-
перестановкой строк и столбцов.
Будем называть матрицу Адамара сокращенно Н-мат-
рицей. Существуют Я-матрицы порядков 1 и 2:
У/, = [1], Н,
-[! -'•}¦
A4.1.3)
284
Гл. 14. Матрицы Адама pa
Пусть Н есть нормализованная Я-матрица порядка m >2,
тогда ее первая строка целиком состоит из единиц.
Поэтому три строки Я могут быть представлены в виде
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
1
-1
1
-1 A4.1.4)
-1
Пусть число столбцов каждого типа равно соответ-
соответственно х, у, z, w. Тогда
х +у + z
= m,
х — у + z — w = О,
A4.1.5)
В первом из этих уравнений учитывается общее число
столбцов. Остальные три выражают соответственно орто-
ортогональность первых двух строк, первой и третьей строк,
второй и третьей строк. Мы можем легко решить урав-
уравнения'A4.1.5) и найти
A4.1.6)
= у = z= w =
т-.
Отсюда заключаем, что если Н — матрица Адамара по-
порядка m>2, to m кратно 4.
Из нормализованной Я-матрицы порядка m = At мы
можем построить симметричную блок-схему D с пара-
параметрами v=At — 1, k = 2t—\, X=t~\, и, обратно, из
такой схемы D мы можем построить нормализованную
Я-матрицу. Предположим сначала, что дана нормализо-
нормализованная Я-матрица порядка At. Пронумеруем строки и
столбцы Я числами 0, 1, ..., 4/ — 1 так, что строка и стол-
столбец с нулевым номером состоят целиком из +1. Осталь-
Остальным строкам сопоставил! элементы ah i= I, ..., At— 1,
а остальным столбцам сопоставим блоки Bs, /=1, ...
..., At— 1. Полагаем at^.Bh если Ь{,-=+1 в Я, и
o^Bj, если Ьц— — 1.
Таким образом, мы построим систему инцидентности
из v — At — 1 элементов и v блоков с матрицей инци-
инцидентности
14.1. Конструкции Пэ.ш
285
где ct/= + 1, если 6^= + 1, и atj = 0, если Ьи = — 1.
В A4.1.4), A4.1.5) и A4.1.6) было показано, что в нор-
нормализованной матрице Адамара каждая строка, кроме
нулевой, содержит 2t положительных единиц, и две
таких строки имеют t общих положительных единиц.
После исключения нулевого столбца эти значения ста-
становятся равными 2t — I и t — 1 соответственно. Таким
образом, А удовлетворяет равенствам
AAT=tI + (t-i)J, AJ = Bt-\)J. A4.1.7)
В силу теоремы 10.2.3 отсюда следует, что А удовле-
удовлетворяет также равенствам
tI + (t-\)J, JA=.Bt-l)J, A4.1.8)
и потому А, будучи матрицей инцидентности, является мат-
матрицей инцидентности симметричной схемы D с v — At — 1,
k = 2t—[, K=t — \. Обратно, если дана симметричная
схема D с v= At —\, k = 2t—\, % = t—\, то ее матрица
инцидентности удовлетворяет A4.1.7) и A4.1.8). Мы по-
построим теперь матрицу Н = (Ьц), i, j~0 4^—1,
полагая boj= biQ= + I и для I, /=1, ..., 4^—1
bij= + 1, если ац— + 1, Ь-ц= — 1, если ац — 0.
Из того факта, что А удовлетворяет A4.1.7), следует
теперь, что Я удовлетворяет A4.1.1) и потому является
матрицей Адамара.
Таким образом, построение нормализованной матрицы
Адамара эквивалентно построению симметричной схемы
с v = At — 1, k = 2t—\, K=t—l. Но следует заметить,
что неэквивалентные схемы могут давать эквивалентные
матрицы, поскольку матрица Адамара может быть нор-
нормализована многими способами. Условие Брука — Рай-
зера — Човла (теорема 10.3.1) для схем с указанными
параметрами состоит в том, чтобы существовали реше-
решения в целых х, у, z, не равных одновременно нулю;
уравнения
z2=tx*-(t-l)if. A4.1.9)
Очевидно, что х — y = z= \ есть решение, и, значит,
можно предполагать, что матрица Адамара порядка m
286
Гл. 14. Матрицы Адама pa
существует для каждого tnt кратного 4. Так это или
нет, остается нерешенной проблемой.
Можно строить матрицы Адамара из схем другим
путем. Предположим, что Нт не нормализована й
что +1 во всех столбцах определяют принадлежность
элементов блокам. Тогда v=m — 4tt и мы должны
иметь k положительных единиц и v — k отрицательных
единиц в каждом столбце, а так же в каждой строке.
Из условия
ТТ A4.1.10)
следует, что скалярное произведение двух различных
строк равно
X-(k-k)-(k-X) + (v-2k + X) = 0, A4.1.11)
ь (_i) »
где слагаемые равны числу столбцов вида , j
(li) и \Zi) соответственно в этих двух строках. По-
Поскольку v четно, k — X должно быть квадратом (тео-
(теорема 10.3.1). Таким образом, необходимо, чтобы выпол-
выполнялись равенства
k-X = u2, A4.1.12)
A4.1.11) и основное равенство
A4.1.13)
Из этих соотношений, взяв, если это необходимо, — Н
вместо Нт, чтобы k было меньше половины v, имеем
= 2u2~u, I=u2-u.
A4.1.14)
Такие схемы существуют; пример при у = 16, k~6, Я = 2
был построен в начале разд. 11.4. Рассмотрим элемен-
элементарную абелеву группу А порядка 16 с образующими
элементами а, Ь, с, d порядка 2 и групповое разностное
множество а, Ь, с, d, ab, cd. Если мы выпишем эле,*
менты группы А в следующем порядке: 1, а, Ь, с, d,
ab, ас, ad, be, bd, cd, abc, abd, acd, bed, abed, прону-
пронумеровав их от 1 до 16, то блок-схема, соответствующая
14.1. Конструкции Пэли
287
положительным единицам, имеет вид
В,: 2, 3, 4, 5, 6, 11;
В2: 1, 3, 6, 7, 8, 14;
В,: 1, 2, 6, 9, 10, 15;
В,: 1, 5, 7, 9, 11, 12;
В5: 1, 4, 8, 10, 11, 13;
В6: 1, 2, 3, 12, 13, 16;
В7: 2, 4, 8, 9, 12, 14;
В8: 2, 5, 7, 10, 13, 14;
В9: 3, 4, 7, 10, 12, 15;
В10: 3, 5, 8, 9, 13, 15;
В„: 1, 4, 5, 14, 15, 16;
В{2: 4, 6, 7, 9, 13, 16;
В13: 5, 6, 8, 10, 12, 16;
В14: 2, 7, 8, И, 15, 16;
В15: 3, 9, 10, 11, 14, 16;
В16: 6, 11, 12, 13, 14, 15.
A4.1.15)
Соответствующая Я-матрица симметрична, так как i e Bj
тогда и только тогда, когда /еВ[,
Существует несколько методов для построения матриц
Адамара. Можно построить матрицы Адамара следую-
следующих порядков N (в приводимом перечне р — нечетное про-
простое число):
II. Af=pr-M=()
HI. N = h(pr+ 1), где /г>2 —порядок матрицы
Адамара.
IV. N = h(h—l), где h — произведение чисел вида I
и II.
V. iV = 92, 116, 172.
VI. N = fi(h + 3), где h и h + 4 — произведения чисел
вида I и II.
VII. N = hlh2(pr + I) рг, где А,>1 и h2> 1 —порядки
матриц Адамара.
VIII. jV = h^sis + 3), где hy>\, h2> 1 —порядки
матриц Адамара, a s и s + 4 имеют вид рг+\.
IX. N = q(q + 2)+{, где q и q + 2 — степени про-
простых чисел.
X. jV — произведение чисел вида I —IX.
В разделе 11.6 разностные множества типа Q дают
тип II, разностные множества типа Н6 существуют лишь
для таких значений параметров, для которых суще-
существуют Q, и также дают тип II, а разностные множе-
множества Т дают тип IX. Остальные случаи в том виде, как
они представлены здесь, изучены Уильямсоном [1], [2],
288
Гл. 14. Матрицы Адамара
который обобщил ранее известные методы, главным
образом методы Пэли [1].
Эти построения используют прямое (или кронекерово)
произведение двух матриц. Если А = (аИ) есть (m X m)-
матрица и B — (bri) есть (пХя)-матрица, то прямым произ-
произведением АХ В называется (тп X яш)-матрица:
А
апВ
а,2[В
а12В
а.пВ
ашВ
а2тВ
апВ ааВ
A4.1.16)
\_атВ а,п2В .. . аттВ
Легко видеть, что
АХВ = (АХ /„)(/,„ X В) = Aт ХВ)(АХ 1п). A4.1.17)
Очевидно, что (А X В) X С — А X (В X С) во всех слу-
случаях. Матрицу В X А можно получить из А X В под-
подходящей перестановкой строк и столбцов. Прямое про-
произведение обладает полезными свойствами:
а(АХ В)=(аА)Х В = АХ (аВ), а-скаляр,
(Л, + А2) X В = Ах X В + А-2 X В,
АХ{В1 + В2)=АХВ1 + АХВ2, A4.1.18)
(АХ В)(СХ D)= ACX BD,
(АХВ)Г=АГХ ВТ.
Здесь А, Аь А2, С — (т X т)-матрицы, а В, Ву, В>, D —
(п X «)-матрицы.
Теорема 14.1.1. Если существуют И-матрицы по-
порядков m и п, то их прямое произведение есть Н-ма-
трица порядка тп.
Доказательство. Пусть Нт и Я„ —две Я-ма-
трицы порядков тип соответственно. Тогда
{Нт X Нп) (Нт X Hnf - (Нт X Н„) (Нт X Hi) =
= НтНТтХ HnHTn = mlmX nln=mnlmn. A4.1.19)
14.1. Конструкции Пэ.
ш
289
Для некоторых методов требуются Я-матрицы с до-
дополнительными специальными свойствами. Мы начнем
с некоторого построения, основанного на свойствах ко-
конечных полей GF (//), где р — нечетное простое число.
Пусть х(х) — характер, определенный на F = GF (//):
если х —квадрат, и %(х)= — \, если х — не квадрат.
Тогда из свойств конечного поля % (ху) = % (х) % (у) для
всех х, у.
Лемма 14.1.1. Ъ%(Ь)%(Ь + с) = - 1, если с Ф 0.
ь
Доказательство. Ясно, что %@)%@ + с)— 0.
Для Ъф§ существует единственный z ф 0, такой, что
Ъ + с == 6г. Если Ь пробегает все ненулевые элементы F,
то z пробегает все элементы F, исключая 1. (При b = — с
имеем z — 0.) Следовательно,
X(z) =¦
A4.1.20)
Для q—pr пусть ао=О, о,, ..., о,-! — элементы поля F,
пронумерованные так, что aQ = 0, aq-.t~ ~ а(, г=1, ...
..., ?/—1. Полагаем теперь
A4.1.21)
Тогда
Ян = X (а/ - «/) = X (- 1) X (а< - а/),
и так как — 1 есть квадрат, если q ^ I (mod 4), и не
квадрат, если ^ = 3(mod 4), получаем, что Q —симметри-
—симметрическая матрица, если q = 1 (mod 4), и кососимметриче-
ская матрица, если # = 3(mod4).
Лемма 14.1.2. QQT = q!q-J, Q/ = /Q = 0, где J (как
обычно) —матрица, целиком состоящая из единиц.
19 М. Холл
290
Гл 14. Матрицы Адамара
Если
=B = (bij), то
q — 1, если i = j,
— 1, если 1ф\.
A4.1.22)
Последнее соотношение получается из леммы 14.1,1
при b = at — at, c = a}— а,-, Эти соотношения доказывают
первую часть леммы 14.1.2. Соотношения QJ = JQ—O
следуют из того, что 2хB) — 0- Пусть e = eq = (l, ..., 1)
есть ^-мерный вектор из единиц. Тогда если q = pr ^
— 1 (mod 4), то матрица
0 е I
A4.1.23)
A4.1.24)
\
обладает свойствами
S^-S, SST=qIq+l.
Поэтому матрица
Hq+l = {Iq+l + S) A4.1.25)
есть Я-матрица порядка q + \, так как каждый элемент
в Я равен ± 1 и
= I + qI = (q+l)I. A4.1.26)
Скажем, что Я-матрица есть матрица кососимметри-
ческого типа, если она имеет вид
Hm^Im + Sm, STm = - Sm. A4.1.27)
Уильямсон [1] называет такую Я-матрицу матрицей
„типа I". Им доказана следующая полезная лемма.
Лемма 14.1.3. Пусть S — матрица порядка п, такая,
что ST = &S, e=±l, SSr=(n-l)In. Пусть далее А
и В —матрицы порядка /п, удовлетворяющие условиям
AAT=BBT = mIm и АВт=~еВАт.
Тогда матрица К = ЛХ 1п-\~ В X S удовлетворяет усло-
условию K.KJ =mnlmn.
14:1. Конструкции Пэли'
Доказательство. Вычислим
-= (А X /„ + ВХ S)(AT X In + Вт X 5Г) =
- ААТ X /„ + АВТ XST+BATXS + BBTX SST =
= mlm X /„ + (- еВАГ) X (eS) + ВАТ X S +
+ mImX(n-\)In =
= mlmn + m(n~ l)lmn=mnlmn. A4.1.28)
Если q = pr ^ 1 (mod 4), то при n — q-\-\ рассмотрим
матрицу
Г0 el
Sn = [er QJ, e = en-i, A4.1.29)
где матрица Q берется из A4.1.21) и является симме-
симметрической. В силу леммы 14.1.2 матрица Sn удовлетво-
удовлетворяет соотношениям
Sl=Sn, SnSl=(n-\)Ill. A4.1.30)
Пусть теперь А есть любая Я-матрица порядка т>1.
Здесь га четно, и мы можем построить матрицу Um,
[Oil
которая имеет т/2 матриц вдоль главной
диагонали, или
Um = Irn/2 X
Г 0 11
[-1 oj-
Определим теперь В равенством
B=UmA.
Тогда находим
ВВТ - UmAATUTm = UmmImUTm = mlm,
АВ1 = AATUTm = mImUTm = - mUm,
BAT=UmAAT=>Um(mlm)=mUm.
A4.1.31)
A4.1.32)
A4.1.33)
Таким образом, матрица Stl, определенная соотноше<
нием A4.1,29), и матрицы А к В удовлетворяют усло-
условиям леммы 14.1.3. Заметим, что 5;г имеет 0 на главной
диагонали и ± 1 на остальных местах. Следовательно,
матрица К из леммы имеет на всех местах ±1 и
19*
292
Гл. 14. Матрицы Адамара
является Я-матрицей порядка тп. Сформулируем дока-
доказанное в виде теоремы.
Теорема 14.1.2. Если pr=sl(mod4), p простое, и
h>\ — порядок некоторой Н-матрицы, то существует
Н-матрица порядка h(pr+\).
В результате мы получили случай III из приведен-
приведенного выше перечня для порядков N, так как если
рг = — 1 (mod 4), то существует Я-матрица порядка рг+ 1
и можно применить теорему 14.1.1. Эта теорема Уиль-
ямсона (теорема 14.1.2) обобщает результат Пэли [1],
доказавшего, что существует Я-матрица порядка 2(рг+\),
если рт г- 1 (mod 4). Построение Пэли эквивалентно обра-
образованию
г 1 11 г 1 -и
H2n=Snxyx _l\ + InX[_l _1j, A4.1.34)
где Sn берется из A4.1.29). Из A4.1.30) легко следует,
что Н2п — симметрическая Я-матрица.
Лемма 14.1.4, Если п имеет вид п = 2*к{ ... kx,
где либо k. = p\l + 1 = 0 (mod 4), либо k{ = 2 (р"' + l),
p"i == 1 (mod 4), то существует симметрическая Н-матрица
порядка п.
Доказательство. Прямое произведение симме-
симметрических Я-матриц есть симметрическая Я-матрица.
Существует симметрическая Я-матрица порядка 2,
а в A4.1.34) мы имеем симметрическую Я-матрицу по-
порядка 2(рг+1), где pr=l(mod4). Остается показать,
что если п = рг + 1 = 0 (mod 4), то существует симметри-
симметрическая Я-матрица порядка п. Существует Я-матрица А
порядка п кососимметрического типа (см. A4.1.25)):
Г 0 е I
A = In + S = In+y_eT Qj. A4.1.35)
Пусть U — матрица порядка п — 1 = рт = q, где
и = (иц), i, j- 0 g-1,
«00=1, A4.1.36)
Ui.q-i = 1, f= 1, ...,(?- 1,
«,, = 0 в остальных случаях.
14.1. Конструкции Пэли
293
Определим теперь матрицу В равенством
В
¦I
-10 1 Г — 1 0
о и \А=\ о и
— е
UQ
. A4.1.37)
Так как
Q = (Ьц), i, i'= 0, ..., q - 1, и Ьц = к,(а(- а,),
то, полагая 1/С}=(сп), имеем со/ = х(О — а}) и
Cu = %(aq-.i-aj) = %(- ai-aj), i=l, .... q-\.
Отсюда во всех случаях Сц = %(— а,^ — as), поэтому
UQ — симметрическая и Й-также симметрическая ма-
матрица:
ВГ=Б. A4.1.38)
Замечая, далее, что U симметрична и U2 ~ 1, мы по-
получаем
-I 0
о и
ААТ
-1 О
о и
= п/я. A4.1.39)
Матрица В — симметрическая Я-матрица порядка п =
= //4-1, и лемма доказана.
Лемма 14.1.5. Если существует Н-матрица поряд-
порядка п кососимметрического типа и если pr+ Is^0(mod4),
р — простое, то существует Н-матрица порядка п{рг + I)
кососимметрического типа.
Доказательство. По предположению Нп = ln + S,
где ST = — S, и
HnHTn~(ln + S)(In~S)~nIa, A4.1.40)
^ -S2=(n~l)fn. A4.1.41)
Если А и В определены формулами A4.1.35) и A4.1.37)
соответственно, то при пг = рГ + 1 имеем
откуда
ABT=mh
-1 0
0 U
= ВАГ.
A4.1.42)
294
Га. 14. Матрицы Адамара
Таким образом, А, В, S удовлетворяют требованиям
леммы 14.1.3 с е= + 1. Следовательно,
K=AXln + BXS A4.1.43)
есть Я-матрица порядка тп, и поскольку А = 1т + С,
Г 0 el
где С = \ Т п и Ст = — С, мы имеем
(KImn)(CXn+Y
= (- С) X /„ + В X (- S) = - (К - Imn). (I4.1.44)
Таким образом, К есть матрица кососимметрического
типа, и наша лемма доказана.
Лемма 14,1.6. Существует И-матрица кососимме-
кососимметрического типа порядка п, где n — ^k^ ... ksu каждое kL
имеет вид рг + 1 ==0(mod4).
Матрица Н q+x из A4.1.25) порядка q + 1 = рт + 1 =
== 0 (mod 4) удовлетворяет условиям леммы. Кроме того,
если Я кососимметрического типа и порядка п (включая
матрицу [1] порядка 1), то
[! !]
[
есть снова Я-матрица кососимметрического типа по-
порядка 2п. Вместе с леммой 14.1.5 это позволяет полу-
получить все значения п в лемме.
Теорема 14.1.3. Если существует Н-матрица косо-
кососимметрического типа порядка п, то существует Н-ма-
трица порядка п(п—\).
Доказательство. Пусть Я = (Ьц), i, / = 1, ..., п.
Так как Я кососимметрического типа, bu= + \t i=l,...,n.
Если мы умножим r-ю строку и r-й столбец на —1,
то кососимметричность сохранится. Следовательно, мы
можем положить Ьц= + 1, / = 2, ..., п, без ограниче-
ограничения общности. Таким образом,
n +
_\т
A4.1.45)
14.1. Конструкции Пэли
295
Так как ННт=п1п, мы имеем
SST=(n-l)!n,
а также
=e, DeT=eT, eTe=]n_b
Если мы положим
K=Jn-iXln + DxS,
то получим
= (/«-1 Xln+DXS)(Я_, X In + DT X 5Г) =
= /Li X /« + /a-iDr X (- 5) + /n_iD X 5 +
/„_,-/„_,) X ((ft-1)/„) =
A4.1.46)
A4.1.47)
A4.1.48)
+ ft(ft- 1) /„_, X /„-(«- 1) /„_, X /„ =
= /г(/г- l)/rt(n_,). A4.1.49)
Значит, К есть Я-матрица порядка n(n— 1), что и тре-
требовалось доказать. Эта теорема Уильямсона обобщает
результат Скарписа [1], который показал для p^3(mod4)
существование Я-матрицы порядка р(р+1). Вместе
с леммой 14.1.6 теорема 14.1.3 дает случай IV.
Теорема 14.1.4. Если существует Н-матрица по-
порядка п кососимметрического типа и симметрическая
Н-матрица порядка m = п + 4, то существует Н-матрица
порядка п (п + 3).
Доказательство. Пусть Нт — симметрическая
матрица, Нп — матрица кососимметрического типа. Тогда,
заменяя, если это необходимо, Нт на — Нт и умножая,
если это необходимо, строку и столбец с одинаковым
номером на —1, получаем
нт=
I)
]' е=в«-"
A4.1.50)
296
Гл. 14. Матрицы Адамара
Поскольку ml,n= ИтНт= И'т, имеем
in
e + eD "I \т О
eT + DeT eTe+D2\[0 m/ra_,
A4.1.51)
DT=D, eD=-e, DeT=-eT, ?>2 = т/т_,-/т_,. A4.1.52)
Так как eTe=Jm-l, находим, что
Jm_xD^-Jm^ = DJm^ A4.1.53)
Положим теперь Fm_, = 2/w_j — /m_,. Тогда
Fm-lD=DFm-u f2m-, = 4/m_,+(m-5)/m-i. A4.1.54)
Поскольку #,г кососимметрического типа,
Sl=-Sn, SnSTn = (n-l)Ia. A4.1.55)
Определим теперь W равенством
W=Fm^Xln+DXSn A4.1.56)
н заметим, что каждый элемент W равен ±1. Тогда
= F2m-i Xln-D2XS2n= D/m_i + (m -5)/m_,) X /„ +
= (mn-m + 4)/m_,X /„+ (m-w-4)/m_, X/„. A4,1.57)
Следовательно, при т = п + 4 W есть tf-матрица по-
порядка «(м + 3), и наша теорема доказана. Эта теорема
вместе с леммами 14.1.4 и 14.1.6 дает случай VI и даже
несколько более сильное утверждение.
Лемма 14.1.7. Если существует Н-матрица А по-
порядка «>1, то существуют две Н-матрицы В и С по-
порядка п, такие, что
АВТ = - ВАт, АСТ = САТ, ВСТ = СВТ.
Доказательство. По условию п четно, п — 2т.
Полагаем
Г О П ГО 11
* = /«X[i 0], К=/тх[( 0] A4.1.58)
14.1. Конструкции Пэли
297
и проверяем непосредственно, что В — ХА, С —YА удо-
удовлетворяют условиям леммы.
Допустим теперь, что рг = 1 (mod 4), р простое, и
обозначим m = pr+l. Тогда Q из A4.1.21) — симметри-
симметрическая матрица, и в силу леммы 14.1.2
Пусть Ах и Вх — две Я-матрицы порядка п, как в лемме
14.1.7, так что
Л,В[=-В,ЛГ. A4.1.60)
Определим матрицу К порядка {m — \)n{ соотношением
K = AxXIm-x + BiXQ. A4.1.61)
Тогда всякий элемент из К. равен ±1 и
ККТ = Л,Л[ X U-\ + B^B[ X Q1 =
-|-/m-l). A4.1.62)
Если М = Л[Х/т-1, то
ММТ = т1П1Х(т-1Iт-\. A4.1.63)
Пусть теперь Л2 и В, — //-матрицы порядка п,у удовле-
удовлетворяющие условию
А2ВТ2 = - B2Al. A4.1.64)
Определим W соотношением
W = (Л, X М) X Im + {B2XK)XS, A4.1.65)
где
S= °еТ ^], S2=(m-l)/m. A4.1.66)
Тогда
wwT = (а2а1 х ммт) х i,n + {в>в1 х ккт) xs2 =
= [п21п, X (я,/„, X (т - 1) Jm-\) +
+ (m - \)п2/п, X (ni/n, X (m/ffl-i - /,n-i) )] X Im =
= [n2In2XniIni X ((m- l)/m-i +(m- l)m/m_i -
-(/n-1)/„,_!)] X/m-iV/д,, A4.1.67)
где Af = м^^ (^ — О-
298
Гл. 14. Матрицы Адамара
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 14.1.5. Если существуют Н-матрицы по-
порядков щ и п2, fti> 1, п2> 1, и р — простое число, такое,
цТо prE= I (mod4), то существует Н-матрица порядка
щп2(рг+ \)рг.
Если рт = 3 (mod 4), то существует Я-матрица по-
порядка (рг+1)рг (случай (IV)). Этим замечанием вместе
с доказанной теоремой устанавливается случай VII.
Доказательство случая VIII почти аналогично дока-
доказательству случая VII. Пусть Ах, В,, Сх — Я-матрицы
порядка щ, удовлетворяющие соотношениям леммы
14.1.7, и Л2, В2, С2—аналогичные матрицы порядка п2
(С2 нам не понадобится).
Полагаем
и = С1ХB/„.1-/„_,),
y-Ax/,,-, + fl,xQ,, A4Л-68)
где Q, совпадает с матрицей Q порядка пг — 1 = р[,
р, простое, p^=l(mod4) в A4.1.59). Аналогично пусть
Stl — матрица из A4.1.29) порядка n — p^+l, p2 простое,
p|=l(mod4). Наконец, положим
W={A2X U)Xln + (B-2XV)XSn. A4.1.69)
Тогда
UUT = njni X D/m_i + (m - 5) /m_i),
VVT = /li/n, X {mlm-i - /«_,), A4.1.70)
UVT = CiAj X B/w_, - /m_,) + CxBj X 2Q,.
Так как Аь Ви С{ удовлетворяют условиям леммы
14,1.7, то UVT ~ симметрическая матрица,
UVT=VUTt A4.1.71)
Следовательно,
WWT = п21Пг X {UUT XU + VVTX S2n) =
^ X [D/«-i + (m - 5) Jm-i) X In +
— 4—n) Jm~\]Xln.
A4.1.72)
X [D
14.2. Метод Уильямсона
299
Поэтому при m = п + 4
VFir7' = ^/iv, AT = адя (« + 3), A4.1.73)
и W есть Я-матрица порядка N. Тем самым доказана
Теорема 14.1.6. Если п и п + 4 — числа вида рг + 1,
р простое, и п{> 1, д2> 1 —порядки Н-матриц, то суще-
существует Н-матрица порядка пуп2п (п + 3).
Заметим, что если M = 0(mod4), то эта теорема
является следствием случая VI. Предыдущее доказа-
доказательство охватывает значения п = 2 (mod 4). Тем самым
случай VIII доказан.
14.2. Метод Уильямсона
Уильямсону принадлежит также и другой метод для
построения Я-матриц. Этот метод был с успехом при-
применен в ряде случаев, в частности для порядков 92,
116 и 172 случая V.
Рассмотрим матрицу
А
Н
В
-В А
-С D
1.-D -С
Если Л, В, С, D — числа, то
С D
-D С
А -В
В A J
A4.2,1)
(Л2 + В2 + С2 + ?>2)Х/4. A4.2.2)
При некоторых условиях равенство A4.2.2) справедливо,
если А, В, С, D — матрицы порядка п. Для этого до-
достаточно, чтобы Л, В, С, D были симметричны и пере-
перестановочны Друг с другом. Будем предполагать, что это
имеет место.
Пусть U — матрица порядка п, соответствующая
циклической перестановке порядка п:
0 1 0 ... 0
О О I ... О
0 О 0 ... 1
1 О О ... О.
A4.2.3)
300
Га 14. Матрицы Адамара
Если А, В, С, D — полиномы относительно U, то они
перестановочны друг с другом. Полагаем
... +an_]U
С = со1
,n-\
тП-1
,п-\
A4.2.4)
Так как UT = U ', матрицы Л, В, С, D будут симме-
симметрическими, если
n-i = di, A4.2.5)
/ = 1, ..., п—Л.
Если каждый из коэффициентов а, Ь, с, d равен ±1,
то элементы Н равны ± 1 и
ННг=4п1ы, A4.2.6)
если
А2 + В2 + С2+О2=4п1п. A4.2.7)
Таким образом, Н из A4.2.1) при выполнении A4.2.7)
будет //-матрицей порядка 4п, если Л, В, С, D имеют
вид A4.2.4) с коэффициентами ±1, подчиненными усло-
условиям A4.2.5). Например, если « = 3, мы можем взять
¦ 1
1
. 1
Из A4.
1
1
1
2.8)
1 -
1
1.
1 -1
-1 1
-1 -1
J=12/3,
-1 1
-1
1
. A4.2.8)
A4.2.9)
и матрица И вида A4.2.1) есть //-матрица порядка 12.
В дальнейшем будем считать п нечетным и, если это
необходимо, менять знаки у Л, В, С, D так, чтобы
a0=60=c0=flf0=+ 1. A4.2.10)
Можно рассматривать A4.2.4) и A4.2.7) как соотноше-
соотношения между элементами группового кольца R(G) над
целыми числами, где G ~ циклическая группа с элемен-
/4,2. Метод Уильямсона
301
тами 1, и, ..,, ип~], ип = 1; и соответствует U. Таким
образом,
Л = ао + а]^+ ... +о„_,ив-1, A4.2.11)
и аналогично запишем В, С и D. Полагаем
A=Pl-Nl, A4.2.12)
где Ру — сумма положительных членов в Л, a —N^ — сумма
отрицательных членов в Л:
Запишем также
A4.2.13)
B = P2-N2, C=P3-N3, D=Pt-Nt. A4.2.14)
Так как ао= + 1 ив силу A4.2.5) ап^{ — а-п i=\, ...
..., п—\, положительные члены, кроме а0, появляются
дважды, то число р{ членов в Р{ нечетно. Числа р2, рр
/}, также нечетны. Полагаем
A4.2.15)
Тогда
P? + Ni = Tf /=1,2,3,4. A4.2.16)
В силу формул A4.2.12), A4.2.13) и A4.2.14) соотношение
A2 + B~ + C2 + D2=4n, A4.2.17)
соответствующее A4.2.7), принимает вид
BР1-ТJ + BР2-ГJ + BРз~ТJ + {2Р4~ТУ = 477. A4.2.18)
Так как и}Т = Т для всех /, то Р{Т — р[Г и Г2 = пТ, а
A4.2.18) принимает вид
= 4/г. A4.2.19)
Разделив на 4, получаем
Р2 + Р\ + Р\+Р\ = (р, + р2 + р3 + р4 - п)Т + п. A4.2.20)
Так как каждое р, нечетно и п нечетно, мы видим, что
кахсдый член uj, j ф 0, должен появляться нечетное
302
Гл. 14. Матрицы Адама pa
число раз (а именно р[ + р2 + Рз + р4 ~~ п Раз) в левой
части A4.2.20). Для каждого t=\, ..., п— 1 существует
единственное s, такое, что (mjJ=zA Из Рг = B«АJ»
где & пробегает элементы некоторого подмножества из
{0, 1, ..,, п—\}, имеем Pi = 2u2l!(mocl2). Следовательно,
каждое и? = {и$J, чтобы появиться с нечетным коэффи-
коэффициентом в левой части A4.2.20), должно входить точно
в одну или в три суммы Р?, Pi, Pi, Р\. Соответствующее и*
появляется точно в одном или в трех из Ph P2, Р3, РА.
Лемма 14.2.1. Если п нечетно и если матрицы А,
В, С, D из A4.2.4) выбраны с такими знаками, что
а0 = ь0 = с0 = d0 = 1, и удовлетворяют условию А2 + В2 +
+ С2 + D2= 4nln, то для каждого i = 1, ..., п — 1 из ah
bh ch dt точно три имеют один и тот оке знак.
Доказательство. Полагаем A = PX — NU B = P2~N2,
С = PA — N3, D=P4 — NA. Как было показано, член и1
появляется либо в одном, либо в трех из Ри Р2, Р3> ^4
и потому либо и1 появляется точно в трех из А, В, С,
D, либо — и1 появляется точно в трех из них.
Определим теперь Wx, W2, W3, WA равенствами
3=A-B + C + D, 2W4= - A + B + C + D.
Подставляя в A4.2.17), находим
W* + Wl + Wl + Wl =4n, A4.2.22)
и в силу леммы 14.2.1 каждое W-t имеет целые коэф-
коэффициенты и
Wi - 1 ± 2uJ ± ... ± 2uk, A4.2.23)
где для каждого /= 1, ..., п—\ член ±2и> присутст-
присутствует точно в одном из Wt. Например, если и' появляется
с коэффициентом —1 в А, ВиСис коэффициентом +1
в D, то мы имеем — 2W в IF,, и члена с и1 не будет
ни в Wa» ни в W73, ни в W4. Поскольку и< и un~i имеют
один и тот же коэффициент в каждом из полиномов А,
В, С, D, то и в Wi коэффициенты при «/ и и"-* оди-
одинаковы. Обратно, если Wt имеют вид A4.2.23), причем
14.2. Метод Уильямсона
303
коэффициенты при и1 и ип~' равны и удовлетворяют
условию A4.2.22), то следующие А, В, С, D:
2А =
2B =
W2+ W3 -
W2~
2C = Wx - W2
2D = - IF, +
W4,
A4.2.24)
удовлетворяют условиям леммы 14.2.1 и дают //-ма-
//-матрицу в A4.2.1). Так как A4.2.22) должно выполняться
для элементов группового кольца R(G) циклической
группы {и} с и"=1, то это соотношение должно быть
справедливо, когда и заменяется на любой корень
п-й степени из единицы, в частности когда мы берем
и= 1. В этом случае каждое из W( есть нечетное целое
число. По теореме Лагранжа (Харди и Райт [1]) каждое
целое число может быть представлено в виде суммы
четырех квадратов целых чисел. Верно также и то, что
если п нечетно, то 4я можно представить в виде суммы
четырех квадратов нечетных целых чисел. Если п = 23,
то существует два таких представления:
92 = 92 + З2 + I2 + I2 = Т + 52 + З2 + З2. A4.2.25)
я-1
имеем
Обозначая vt = и1 + ип~\ i=\, ...,
Wl=Wi(u)=\ ±2v(±...±2vk, /=1, 2, 3, 4. A4.2.26)
При и = \ имеем сг = 2 для всех г, и знак у Wj(l) выбираем
так, чтобы выполнялось сравнение \F/A) = 1 (mod 4).
Тогда из первого разложения 92 в A4.2.25) получаем
+ A-2ос+ ...J + A+ ...J + A+ ...J, A4.2.27)
где на месте многоточий стоят суммы слагаемых вида
2urf-2ue, 2vf-2vgy 2ий-2г>(, 2o/-2ofe,
а а, &,..., k — числа I, ..., 11, взятые в некотором по-
порядке. В этой форме задача поддается исследованию
на ЭВМ. Бомер, Голомб и Холл [1] нашли следующее
301
Гл. 14. Матрицы Адамара
решение:
ПО _ (\ 1
+ A +
2и2-
2v--
+- 2i>6J H
- 2v7f H
ЬA
(-A
—
+
2и3-
+-2о,-
-2у8Н
2v9
,f, A4.2.28)
Таким образом, существует Я-матрица порядка 92 вида
A4.2.1), которую можно построить исходя из A4.2.28)
и используя (Н.2.24). Другое представление, 92 = 72 +
-г 52 + З2 + З2, не приводит к Я-матрице. Тем же путем
Уильямсон нашел для 4/г=172, что если взять
а;. = v3j + и37+/ + о3м+/, A4.2.29)
то получим
172 = A + 2а0 - 2а2J + A + 2а3 - 2а,J +
+ A + 2а, - 2абJ + A + 2а5J. A4.2.30)
Это дает второе значение, 172, в V. В работе [1] Уильям-
сон дал несколько решений для A4.2.22), в том числе
A4.2.29), но не указал решения для An = 92, и оно не
было найдено до 1962 г. Бомер [1] нашел все решения
для A4.2.22) при нечетном п, п = 3, ..., 23, а также
решения в случаях « = 25 и я = 27. Путем машинного
исследования Бомер недавно обнаружил решение при
4п= 116:
2wv2 +
+ 2а'1О
% + 2w2 - 2wu - 2w9 -
2w1 - 2w% - 2w3 - 2w-0J
16 =
)\ A4.2.31)
Существует парадокс, связанный с изложенным в этом
разделе методом Уильямсона. При всех тех нечетных п,
для которых удалось провести полное исследование, най-
найдены Я-матрицы такого типа порядка An, однако бес-
бесконечного класса Я-матриц этого типа не найдено. Дока-
Доказательство того, что этот метод всегда будет успешным,
решило бы, разумеется, основную проблему об Я-матри-
цах, так как если существует Ны Для нечетного п, то
существует Я /д для у>2 и, значит, существует Нт для
т == 0 (mod 4).
14.3. Три новых метода
305
14.3. Три новых метода
Можно добавить к уже описанным еще два метод я
для построения матриц Адамара. Если А, В, С, D —
симметрические циркуляитные матрицы порядка п, та-
такие, что Я вида A4.2.1) является . Я-матрпцей порядка
An, то существует следующая Я-матрица порядка 12/к
~ А А А В - В С -С -D В С - D -D
А -А В ~А -В -D D-C-B-D-C-C
А - В - A A -D D - В В -С -D С -С
В A -A -A D D D С С - В - В - С
В -D D D А А Л С -С В -С В
В С - D D А - А С - A -D С В - В
1211 ~~ D -С В -В А -С ~А А В С D-D
-С -D -С -D С А - Л -A -D В -В -В
D-C-B-B-B С ¦ С -D А А А П
-D -В С С С В В - D А -Л D -А
С -В -С CD-B-D-B A -D - А А
_ - С -D -D С -С - В В В D А - А -А_
A4.3.1)
ибо мы можэм непосред;твенно проверить, что
НппНТ\2п = [ЗА2 + ЗБ2 + ЗС2 + 3D2) X /]2 = 12п/,2п. A4.3.2)
Это построение было осуществлено Бомером и авто-
автором [1]. Оно привело к Я-матрице порядка 156. Воз-
Возможно, матрица A4.3.1) — пример нового типа компо-
композиции.
Второй из методов принадлежит Голдбергу. Если
Я — матрица Адамара кососимметрического типа по-
порядка ft вида A4.1.45), то D имеет порядок п — 1 и
формулой
тдг D] = — D\.
Определим матрицу А
) -/„_,. A4.3.3)
Тогда элемент в А равен 1, если соответствующий эле-
элемент в D{ равен 1; все остальные элементы в А равны
20 М. Холл
306
Гл. 14, Матрицы Адамара
нулю. Далее,
D = In.{ + А- А\ А + Ат =/„_,-/„_!. A4.3.4)
Из других соотношений в A4.1.47) получаем, что
ея.хА = ел^Ат% А'А = ААТ = (|) /„_, + -^ '»-!•
A4.3.5)
Обозначив через (X, У, Z) прямое произведение матриц
К, Yt Z, определим матрицу
Л(и_,). = (/, A, J) + (/, /, А) + (Л, /, /) +
, А, А) + (А, Ат> АТ) + (АТ, А, АТ) + (АТ, Аг, А). A4.3.6)
Тогда A(n-D* есть матрица из нулей и единиц порядка
(л—IK, удовлетворяющая тем же соотношениям, что
и А, если п заменить на (л—1K+1. Отсюда следует,
что если существует Я-матрица порядка п кососимметри-
кососимметрического типа, то существует и Я-матрица порядка
(п— 1K+1 кососимметрического типа.
Третий метод принадлежит Элиху [I].
Теорема 14.3.1. Если существует Н-матрица по-
порядка п + 1 кососимметрического типа и если п — 2 =
= m = ps === 1 (mod 4), р простое, то существует Н-матрица
порядка (я— IJ.
Доказательство. Нам дана матрица Н* порядка
п+ 1,
Я* = _ т &п , GT=-G, A4.3.7)
и Я*Я*г=(м+1)/ге+1.
При m = p*=l(mod4) существует матрица Q по-
порядка пг, такая, что
Q = [Я lib Я и = 0» Яц ~ — I» i ^ f»
QQr = Q2~mIm-Jm A4.3.8)
[см. A4.1.21) и лемму 14.1.21.
14.3. Три новых метода
307
Элих строит матрицу
К- Q X G ~Im X (/„-/„) + /m X Im A4.3.9)
и матрица
l
A4.3.10)
состоит из ± 1. Предыдущие соотношения дают
HHT=(mn+\)Imn+u mn+l={n~\Jf A4.3.11)
и теорема доказана.
20*
ГЛАВА
15
Общие методы
построения блок-схем
15.1. Методы построения
Известные методы построения блок-схем делятся в ос-
основном на два типа — прямые и рекурсивные. Прямой ме-
метод позволяет построить схему с параметрами частного
вида, обычно с использованием конечных полей или
сравнений. Рекурсивный метод — способ построения блок-
схемы из схем меньшего размера ')¦ При построении
ортогональных латинских квадратов в гл. 13 были ис-
использованы оба эти метода. Прямые методы приводят
обычно к более легкому построению, но применимы
только для частных значений параметров, быть может,
лишь тогда, когда число элементов v есть степень про-
простого числа.
Раздел 15.2 содержит основные рекурсивные теоремы
Ханани. В разд. 15.3 дается несколько способов пря-
прямого построения, большинство из которых принадлежит
Боузу [1]. В разд. 15.4 детально рассмотрены системы
троек — блок-схемы с /г = 3. Раздел 15.5 посвящен схе-
схемам с k> 3, и в нем некоторые результаты скорее
просто сформулированы, нежели полностью доказаны.
15.2. Основные определения. Теоремы Ханани
Уравновешенная неполная блок-схема была опреде-
определена в разд. ЮЛ как размещение v различных элемен-
элементов в b блоках, такое, что каждый блок содержит
точно k различных элементов, каждый элемент появ-
появляется точно в г различных блоках и всякая (неупоря-
(неупорядоченная) пара различных элементов появляется точно
в Я блоках. Была показана справедливость следующих
1) То есть с меньшими параметрами, — Прим. персе.
15.2. Основные определения. Теоремы Ханани
309
соотношении:
bk = vr, A5.2.1)
r(k-)) = K{v-l). A5.2.2)
Мы будем считать, что k^3, поскольку случаи k = l
и k = 2 тривиальны.
Будут рассматриваться также блок-схемы более
общего вида, в которых число элементов может изме-
изменяться от блока к блоку. Пусть К = (ku ..., kn)~конеч-
kn)~конечное множество целых чисел kb где ^-^3, /= 1, ,.., п.
Блок-схема В \К, Я, и] есть такое размещение v различ-
различных элементов в b блоках В{,..., Вь, что каждый
блок В/ содержит kt элементов для некоторого kh
i= I, ..., п, и всякая (неупорядоченная) пара различных
элементов появляется точно в Я блоках. Если К состоит
из единственного числа k, то мы пишем В \К, Я, v] =
= В \k, Я, v]. Здесь всякий раз, когда некоторый элемент
появляется & блоке, он появляется в паре с k — 1 осталь-
остальными элементами. Поскольку он должен встречаться
в паре с каждым из и—1 элементов точно Я раз, этот
элемент входит в Я (у- \)/(k— 1) блоков. Таким образом,
число появлений некоторого элемента в блоках одина-
одинаково для каждого элемента, и B\k,K, v] есть неполная
уравновешенная блок-схема. Класс значений v, для кото-
которых В [К, Я, v] существует, обозначим через В (К, Я).
Ханани в работе [1] ввел трансверсальные системы,
или Г-систем.ы. Это по существу то же самое, что орто-
ортогональные таблицы.
Определение. Пусть дан класс т попарно непере-
непересекающихся множеств wit i = 0, ..., ш-1, каждое из
которых состоит из / элементов. Т-система TQ(m, t) со-
состоит из /2 множеств Yh /=!,..., t2, содержащих ка-
каждое m элементов и таких, что: A) каждое Y} имеет
точно один элемент, общий с каждым из wh и B) если
/ ф k, то Y/ и Yk имеют не более одного общего эле-
элемента.
Предположим, что мы имеем ортогональную таблицу
ОА (t, яг), строки которой мы перенумеруем от 0 до m — 1.
Числам 1, ..., t в i-ti строке поставим в соответствие
310
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
некоторые символы ап, ..., аи; множество {ап, а12,..., alt}
обозначим через wh i = 0, ..., m — 1. Множества Yf,
j=\,..., t2, образуем из t2 столбцов ортогональной
таблицы ОА(^, т): если /-й столбец ОА(*, т) содержит
число и в i-й строке, то мы поместим в Yj элемент а1а.
Таким образом, каждое Yj содержит m элементов, по
одному из каждого wh Утверждение, что если / ф k,
то У/ и Yk имеют не более одного общего элемента,
эквивалентно ортогональности строк таблицы ОА(/, т),
означающей, что в подматрице, образованной любыми
двумя строками, столбец f'M не может появиться более
одного раза. Обратно, если мы имеем непересекающиеся
множества wh i = 0, ..., т, из t элементов каждое и
систему Т0{т, t), то заменим t элементов множества wt
числами 1, 2, ..., t. Образуем теперь из множеств Y{
столбцы матрицы: для /-го столбца мы поместим в i-ю
строку число и, если Y} содержит элемент из wt, соот-
соответствующий числу и. Условие B) для Yj обеспечивает
ортогональность строк полученной матрицы, которая
является, следовательно, ОА(/, т).
Класс чисел t, для которых существует система
70(m, t), обозначим через Т0(т). Множество из t транс-
версалей Yj в Т0(т, t) назовем параллельным множе-
множеством, если никакие две из них не имеют общего эле-
элемента. Таким образом, для данного элемента существует
точно одна траисверсаль параллельного множества, со-
содержащая его. Если система Г0(т, t) содержит е (или
более) параллельных множеств трансверсалей, то мы
обозначим ее через Те{т, t), а класс чисел t, для кото-
которых существует Те(т, t), обозначим через Те(т).
Теорема 15.2.1. Если существует Td (m, s) и Те (m, /),
то существует и Tde{tn,st).
Доказательство. Нам даны s-множества
vt = {ап а,,}, / = 0, .... m - 1,
и s2 трансверсалей Х;> / = 1, .... s2, а также ^-множества
Wt = {bn, ..,, blt}, /=0 m-1,
15,2. Основные определения. Теоремы Ханани
311
и t2 трансверсалей Yk, k = l, ..., t'\ причем имеется d
параллельных множеств трансверсалей Xj и е парал-
параллельных множеств трансверсалей Yk. Определим эле-
элементы ci<Sth = {aig,bih), g=l, ..., s; /г=1, ..., t, как
упорядоченные пары из a-,g и bUli и пусть
«i = {^, i.i. ¦ • " ci,g,n> • • •}, i= 0, .... m-1.
Получаем m множеств uh каждое из которых содержит si
элементов. В качестве трансверсалей возьмем множе-
множества Zlkt /=1, ..., s2; й=1, ..., /2; c,,?]fteZ/k тогда
и только тогда, когда aig^Xj, bih^. Yk. Легко прове-
проверить, что Zjk образуют множество Tde(m, st), если заме-
заметить, что, когда / пробегает индексы некоторого парал-
параллельного множества из Td(m, s), a k — индексы некоторого
параллельного множества из Te{my t), соответствую-
соответствующие Zjk образуют параллельное множество.
Теорема 15.2.2. Система Tt(m—\, t) существует
тогда и только тогда, когда существует система То (m, t).
Доказательство. Пусть существует система
T0{m, t) трансверсалей к w0, wu...t wm.u, wm-x\ t
трансверсалей, содержащих какой-либо элемент из wm-xx),
не имеют других общих элементов. Следовательно, если
мы отбросим av_j и его элементы, мы получим t мно-
множеств параллельных трансверсалей к w0, ..., wm^b
каждое из которых соответствует некоторому элементу
из wm-]t т.е. систему Tt{m — \, t). Обратно, если мы
имеем систему Tt{m—\, t) трансверсалей к w0, ..., wm_2,
то мы можем к каждой трансверсали в параллельном
множестве добавить новый элемент и образовать из
этих t новых элементов множество wm-{. Тогда полу-
получается система Г0(/п, t),
]) Очевидно, любой элемент каждого из множеств wi содер-
содержится ровно в t трансверсалях. Действительно, если бы какой-либо
элемент а^ еда. принадлежал трансверсалям Xv X2, .... Xti, t.>t,
то для любого k, k ф i, k = 0, ..., m — 1, можно было бы пайти два
множества Xit, Xt^ которые содержали бы некоторый элемент afc.
из wk (так как все wk состоят из t элементов), и в пересечении
ХСХ содержалось бы более одного элемента.— Прим. ред.
312
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
Теорема 15.2.3, Если t = р[' • ре/ ... ре/, где р.—
простые числа, и если m = min(p,1, ...tpef}, то сущест-
существует Tt(tn, t).
Доказательство. По теореме 13.2.2 для степени
простого числа ре существует полное множество рс — 1
ортогональных латинских квадратов и ортогональная
таблица ОА(//', ре-\-\), а значит, и ОА(рр, т+1), что
эквивалентно существованию системы Т0(пг + 1, ре). По
теореме 15.2.2 мы имеем тогда систему Тре{ш, ре) и по-
потому, применяя несколько раз теорему 15.2.1, можем
построить систему Tt(m, t).
Некоторые блок-схемы В [К, X, v] обладают свойст-
свойством, похожим в известной степени на разрешимость.
Это свойство используется Ханани. Мы будем называть
его центральной разрешимостью.
Определение. Пусть дзна система В [г\, X, у] на
элементах некоторого множества Е. Если существуют
элемент АеЕ и число m е 1(, такие, что m — 1 делит
с —1, и множество Е — А может быть разбито на
(и— 1)/(ш — 1) попарно не пересекающихся подмножеств
?,-, *= 1, ..., (v — l)/(m — 1), состоящих каждое из т — \
элементов, таким образом, что каждое из множеств
Ei\] A, i=lt ..., (и —1)/(т —1), появляется ровно Я, раз
в качестве блока системы В [К, К v], то мы назовем
эту систему центрально разрешимой и обозначим ее
через Вт [К, К v]. Класс всех чисел v, для которых
существуют системы Вт [К, X, v], обозначим через
Вт(К, А,). Назовем А центром, а ?, U А — выделенными
блоками.
Мы можем теперь доказать две основные рекурсив-
рекурсивные теоремы Ханани, используемые для построения блок-
схем. Первая из них очень похожа на теорему 13.3.2.
Теорема 15.2.4. Если v=*(m-l)u+ 1, гдеи<=В{К', V),
и если для каждого k' е К' имеем (m — \)k'+ lsSm(/C, X"),-
то vE=Bm{K, X), где X = %'К".
Доказательство. Множество элементов ? обра-
образуем из точки А и точек
(лг; ^), 0<л:<«~1, 0<г/<т-2.
15.2. Основные определения Теоремы Ханпни
ЗП
Это дает 1 + (пг — 1) и = v элементов. Возьмем далее под-
подмножества
(А, 0 = {Л, (/, у), 0<у^ш-2}, / = 0, .... н-1.
Пусть в системе В [К', Я,', и] элементы — это числа О,
1, ..., и—\. Если B'j — блок из jB[/C', >/, ы|, то пусть
его элементы суть аи ..., аГ, где, конечно, г е г\\ Возь-
Возьмем теперь множество Е) из (т — 1)г + 1 элементов:
?/ = {Л, (ait у), г=1, ..., г, у = 0, ..., m - 2}.
По предположению, существует система Вт [К, К",
(т — 1)г + 1]. Построим систему
с центром Л и выделенными блоками (Л, а,), /=1 г,
на элементах из Е'г Удалим из Bfmj выделенные блоки
(Л, at) и оставшееся множество блоков обозначим через
Вт/. Пусть теперь В/ пробегает все блоки из В [/(', Х\ и\.
Рассмотрим совокупность всех блоков из всех множеств
Bmj, а также множества (Л, г), взятые в качестве бло-
блоков каждое X раз. Мы утверждаем, что это множество
блоков на v элементах множества Е есть система
Вт[К, К у]. Конечно, т^К, и число элементов в каж-
каждом блоке, построенном в каждом из Bmj, является чи-
числом из К. Точка Л появляется только в выдгленных
блоках (Л, /) и потому встречается в паре с каждым
другим элементом точно X раз. Далее, точки (г, г/,) и
(г, у2) появляются вместе только в выделенных блоках
из Вт; и потому только в выделенных блоках (Л, г)
полученной нами системы. Рассмотрим две точки (s, y{)
и (t, y2), где s ф t, а у{ и у2 могут быть равны; s и t
появляются вместе в X' блоках В\ из В [к\ Я,', и]. При
каждом таком появлении точки (s, y{) и (/, у2) встре-
встречаются вместе в к" блоках соответствующего множества
Bmj< Следовательно, (s, f/,) и (t, y2) появляются вместе
точно в Х'Х" блоках нашей системы, которая является,
следовательно, системой Вт[К. Я, и], т.е. центрально
разрешимой с центром А и выделенными блоками (Л, i).
314
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
15.2. Основные определения. Теоремы Хананы
315
Проиллюстрируем теорему 15.2.4 на простом примере.
Для К' = {4, 3} мы имеем следующие блоки схемы
В[К\ 1, Ю], определенной на числах 0, ..., 9;
В6: 2, 4, 8;
В'г. 2, 5, 9;
Bh 2, 6, 7;
Во: 3, 4, 9;
В\у. 3, 5, 7;
п: 3, 6, 8.
A5.2.3)
Во: О, 1, 2, 3;
В\\ О, 4, 5, 6;
В',: О, 7, 8, 9;
Вз: 1, 4, 7;
В4': 1, 5, 8;
В': 1, 6, 9;
Возьмем щ = 3. На множествах из 1+C — 1K = 7
и 1+C—1L = 9 элементов существуют центрально
разрешимые схемы В3[3, 1, 7] и В3[3, 1, 9]. Для В3[3, 1,7]
на элементах Л, 1, .... 6 мы имеем:
С,: Л, 1,2; С4: 1, 3, 5; С6: 2, 3, 6;
С2: Л, 3, 4; С5: 1, 4, 6; С7: 2, 4, 5. A5.2.4)
С3: Л, 5, 6;
Для В3C, 1, 9) на элементах Л, 1, ..., 8 имеем
Dx\ Л, 1,2; D-a: 1, 3, 5; D8: 2, 3, 8; ?>„: 3, 6, 7;
?>2: Л, 3, 4; D6: 1, 4, 7; D9: 2, 4, 6; ?>12: 4, 5, 8. <15-2-5>
D3: А, 5, 6; ?>7: 1, 6, 8; D10: 2, 5, 7;
?>4: Л 7, 8;
Теорема утверждает существование В3 [3,1,21], где
21 = 1+C—1) 10; 21 элемент множества Е — это Л
и точки (х, у), х = 0 9, у~0, 1. Выделенными бло-
блоками будут
(Л, i) = {A, (i, 0), (/, 1)}, /=0, ..., 9. A5.2.6)
Упростим обозначения. Пусть
(/, 0) = /, (i, 1)=П, г = 0, ..., 9, A5.2.7)
и множество ? состоит из точки Л и чисел 0, 1, ..., 19.
По блоку Во = {О, 1, 2, 3} в A5.2.3) строится множество
?о={Л,О, 1,2, 3, 10, 11, 12, 13} и на нем схема Воз [3, 1, 9]
с выделенными блоками (Л, г), i = 0, 1, 2, 3 (см. A5.2.6)).
В обозначениях A5.2.7) схема Воз состоит из блоков
10, 1, 13;
10, 11, 12;
Ю, 2,
0, 1, 2;
0, 11, 3;
0, 12, 13;
1, 12, 3;
11, 2, 13. A5.2.8)
3;
Л, 1, 10;
Л, 1, 11;
Л, 2, 12;
Л, 3, 13;
Аналогично по блоку Вб = {2, 4, 8} строится множество
?б = {Л,0,2, 4,8, 12, 14, 18} и на нем схема Вез [3, 1,7]. Под-
Подходящая подстановка в A5.2.4) дает следующие блоки
схемы Вбз[3, 1,7]:
Л, 2, 12; 2, 4, 8; 12, 4, 18;
Л, 4, 14; 2, 14, 18; 12, 14, 8. A5-2-9)
А, 8, 18;
Таким путем, использовав все 12 блоков из A5.2.3), мы
построим три системы В3[3, 1, 9] и девять систем
В3[3, Ц7] и, взяв совокупность всех блоков, исключая
выделенные блоки {Л, /, к'}, получим систему В3[3, 1, 21],
которая является уравновешенной неполной блок-схемой
с параметрами v = 21, Ъ — 70, г = 10, k = 3, X = 1. Чита-
Читатель без труда сможет построить все 70 блоков, следуя
данному выше образцу. Это не самый легкий путь по-
построения схемы с с = 21, fe = 3, X=lt но этот пример
иллюстрирует способ, при котором уравновешенная
относительно пар схема из A5.2.3) может быть использо-
использована для построения схемы, в которой К состоит из
одного числа k.
Следующая теорема по своей природе весьма сходна
с теоремой 13.3.5.
Теорема 15.2.5. Пусть s, s+leB(/C, Я), /еГ?(«),
и либо q е В {К, X), либо q = 0 или 1; тогда v = st + q e
еВ (К, Я).
Доказательство. В качестве элементов множе-
множества Е возьмем точки (л:, у) с O^.x^.t—1, 0^.y^.s— If
а также (a:, s)cO<jt<g-l. Рассмотрим Tq (s, t) как t2
трансверсалей к множествам да0,
ws-u где множе-
316
Гл 15. Общие методы построения блок-схем
ство wt состоит из точек (я, /), О^л^/—1. Система
Tq{s, t) содержит q параллельных множеств трансвер-
салей. К каждой трансверсали Ул из /-го параллельного
множества добавим точку (/, s), /=0, .... q — 1. Тогда
получим qt блоков У/,, каждый из 5 + 1 точек, а осталь-
остальные {t — q)t трансверсалей Yh рассмотрим как блоки
с s точками каждый. Если q>\, то образуем множество
Z = {(x, s)}, х-0, ..., q-\.
Образуем теперь систему В[К, Я, v], взяв блоки
из qt систем В [К, Я, s+ 1] на элементах из множеств Yh
и tu — qt систем В [К, Я, s] на элементах из множеств Yh,
Образуем также s систем В [К, Я, /] на элементах из
множеств Wq &V-i- Наконец, если q>\, то обра-
образуем систему В [К, Я, q] на элементах Z. Все эти блоки
вместе образуют систему В [К, Я, v]. Действительно,
множества wh Yh, Yh, Z, взятые как блоки, образуют
уравновешенную относительно пар схему с Я= 1. Следо-
Следовательно, построение В \К, Ъ, г] с г = t, s+1, 5, q на
этих множествах в свою очередь дает В [К, Я, v\. Сле-
Следующие две теоремы тривиальны, но полезны.
Теорема 15.2.6. Если оеВ (/(', Я,) и k'<= В {К, Я2)
для всякого k' из К', то v e В (/С, Я,Я2):
Доказательство. Дано В = В [К', Ки v]. Возьмем
элементы некоторого блока из В, содержащего k' эле-
элементов, и на этом множестве построим систему В [К, Я2, k'\.
Все блоки всех таких систем, взятые вместе, образуют
систему В [К, A-jA.2, и].
Теорема 15.2.7. Если ve=B{K, Я,) и v<=B(K> Я,),
70 0GB {К, Я, + Я2).
Доказательство. Пусть В [К, Я„ v] и В [/С, Я2, v]
представлены на одном и том же множестве ? из а
элементов. Тогда совокупность всех блоков этих двух
систем образует систему В [К, ^\ + Я2, v].
Следствие. Если ие?(/С,Я), то о е В (/(, к)
для произвольного натурального числа п.
Нам понадобится еще одна теорема о трансверсаль-
ных системах.
15.2. Основные определения. Теоремы Ханани
317
Теорема 15.2.8. Если t^Ts(m) и s^T(,(m)t то
st e= TV («О-
Доказательство. Нам даны системы Ts{m, t) и
Ta{m, s). Пусть w0, wlt ..., wm-{ — множества w системы
Ts(m, t), где wx = {bxlt .... bxi}, а множества w
системы T0(m, s)~3to w'o, ..., w'm_v где w'x = {cxX cxs).
Мы будем (в случае надобности) отождествлять эле-
элементы с. из w\ ,v= 0, .,., m —1, с вычетами по мо-
дулю 5, взятыми в некотором произвольном, но фикси-
фиксированном порядке. Удобно рассматривать трансверсаль Y
как некоторую функцию Y(х), где х — 0, ..., in— 1,
и У(х) есть элемент, принадлежащий К в множестве wx.
Следовательно, нам даны трансверсальные функции
для 7/@1, t):
Уь,(л-), ..., Yut(x), Г2,,(а-), .... Y2lt(x), ...
..., Г,.! (jc), .... F^(-v), yrf+1(jc), .... Г/»(дс), A5.2.10)
л- = 0, ..., m — 1,
где Yiu ..., F^- трансверсали из i-го параллельного
множества, t= 1, ..., s, а У/, /= sf+1, ..., ^2,-осталь-
^2,-остальные трансверсали. Трансверсальные функции для 70(m, s)
обозначим через
y((.v), ..., Y'Ax), a- = 0, ..., т-1. A5.2.11)
Определим теперь новые множества w упорядочен-
упорядоченных пар:
/=1, ..., ^; /=1, .... s; а- = 0, ..., т-1. A5.2.12)
Каждое из них содержит st упорядоченных пар (Ь, с).
На этих множествах w определим трансверсальные функ-
функции Y" {х) равенствами
=1 s;
= (Ye.Ax), Y'e{x) + e),
>;
i t2; g=l
318
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
Это дает нам $Ч2 трансверсальных функций Y" (х).
Требуется лишь проверить, что для различных функ-
функций Y". и YJ и х1 ф х2 равенства
невозможны. Это следует непосредственно из соответ-
соответствующего факта для Y и Y'. Следовательно, функ-
функции Y" образуют трансверсальную систему T0(m,st)
для множеств w из A5.2.12). При фиксированном g
функции Y" f, g (х), е = 1, ..., s; f = 1, ..., /, содержат st
трансверсалей. Если бы при некотором х,
то
, и
Y's
Из второго соотношения имеем е2 = е{. Но при фикси-
фиксированном е функции Ye,f{x) образуют параллельное
множество, и потому Уе„и(х{) = Уе„ f, (jcj) возможно лишь
при fi = f2, и трансверсали совпадают. Следовательно,
при фиксированном g трансверсали Ye,f,R{x) образуют
параллельное множество. Поэтому наша система есть
система Т/(т, st), и теорема доказана.
15.3. Прямые методы построения
В своей ранней работе, опубликованной в 1939 г.,
Боуз [1] развил несколько прямых методов построения
блок-схем, первый из которых он назвал методом сим-
симметрично повторенных разностей (method of symmetri-
symmetrically repeated differences). Мы будем называть его просто
методом смешанных разностей (method of mixed diffe-
differences).
Предположим, что блок-схема D{b, v, r, k, к) имеет
некоторую абелеву группу А порядка т в качестве
группы автоморфизмов. Будем записывать операцию
в А аддитивно. Если А циклическая, то ее можно пред-
15.3. Прямые методы построения
319
ставить вычетами по модулю т. Скажем, что два эле-
элемента с, d из D находятся на одной и той же орбите,
если существует такой автоморфизм оёЛ, что {c)a — d.
Аналогично блоки В, и В2 находятся на одной и той же
орбите, если существует такой автоморфизм ссеД что
(В,)а=В2.
Свойство находиться на одной и той же орбите есть
отношение эквивалентности, поэтому группа автомор-
автоморфизмов А разделяет элементы и блоки на непересекаю-
непересекающиеся орбиты. Представим некоторый произвольный,
но фиксированный элемент /-й орбиты через @),-, где
О-нуль группы А. При г/еЛ обозначим (@)() у = (y)t.
Может случиться, что {y)i = (z)i, даже если уф г; в
этом случае @)г инвариантен относительно некоторой
подгруппы группы А. Однако нам не придется рассма-
рассматривать эту ситуацию в полной общности. Мы ограни-
ограничимся крайними случаями, в которых либо (у)( Ф (z)it
если уфг, либо {y)i=:{z)i для всех г/, геЛ. В послед-
последнем случае единственный элемент в орбите мы обо-
обозначим через (oo)j. Орбиты блоков мы будем использо-
использовать как промежуточные конструкции, учитывая, что
число блоков в орбите равно некоторому делителю
числа т. Если выбрать по одному блоку из каждой
орбиты, то тем самым определяется вся схема D. Такой
набор блоков называется базой. Если имеется только
одна орбита элементов и одна орбита блоков, то база
состоит из единственного блока, который является раз-
разностным множеством. Этот случай довольно подробно
рассмотрен в гл. 11.
Мы дадим два примера схем с циклическими груп-
группами автоморфизмов и параметрами и =15, 6 = 35,
г = 7, k = 3t 1=1. В первом случае (см. A5.3.1))
А — аддитивная группа классов вычетов по модулю 5,
во втором (см. A5.3,2)) —по модулю 15.
@,. 12, 42)
{!.- 22, 02)
Bj, 32, Ь)
C„ 42, 22)
D„ 0„ 32)
@„ 22, 32)
0i. 32, 42)
Bi. 42, 0,)
C„ 02, 12)
D„ 1Я, 22)
320
Гл. 15. Общие методы
построения блок-схем
@,
(U
Ba,
C2,
D,,
@3,
da,
B3,
(З3,
D3,
( 0,
( 1.
( 2,
( 3,
( 4,
( 5,
( 6,
( 7,
( 8,
( 9,
A0,
(H,
A2,
A3,
A4,
1з.
23.
33,
43,
O3,
li,
2,,
з„
4i,
0,,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
n,
12,
13,
14,
0,
43)
03)
1з)
2з)
Зз)
4.)
о,)
1.)
2,)
з.)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
И)
12)
13)
14)
0)
1)
2)
3)
<Q*
(и,-
B2,
C2,
D2,
@3,
(lj,
B3,
C3,
Из,
( о
( 3:
( 2
( з
( 4,
( 5.
( 6,
( 7,
( 8,
( 9,
(Ю,
(И,
A2,
A3,
A4,
23, 33)
Зз. 4
43, 0
Оз, 1
1з> 2
2,, 3
3„ 4
4„ 0
0,, 1
1„ 2
, 7,
, 8,
, 9,
, ю,
. И,
, 12,
, 13,
. 14,
, о,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
з)
з)
з)
,)
>)
l)
,)
1)
,)
13)
14)
0)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
И)
12)
@
A
B
C
D
1, 0
1, 1
¦У,
[> 22,
к 3
1, 4
@,
A,
B,
C,
D,
'',
2,
5,
6,
7,
8,
9,
0,)
13)
23) A5.3.1)
33)
43)
10)
И)
12)
13)
14)
A5.3.2)
15.3. Прямые методы построения
321
Заметим, что в A5.3.1) имеются три орбиты элементов
и семь орбит блоков, в то время как в A5.3.2) имеется
только одна орбита элементов и три орбиты блоков,
причем третья орбита содержит только пять блоков,'
где блок в третьей орбите инвариантен относительно
подгруппы порядка 3.
Нам потребуется теорема, устанавливающая усло-
условия, при которых, если даны группа А и множество
I
9"
блоков {В}, мы можем образовать базу для схемы
D{v, b, r, k, X). Если мы имеем блок В = \(а1)-, (а2)-2,...
..., (ak). ], а;еА, то разность ui~at называется раз-
1 • • i\ ¦
костью класса jlt и ); при этом ui — at называется чистой
разностью, если /<• = //, и смешанной разностью, если
У; ^ it- Условия, о которых шла речь, можно описать
в терминах чистых и смешанных разностей.
Теорема 15.3.1. Пусть даны аддитивная абелева
группа А порядка пг и множество {В} блоков из эле-
ментов группы А, снабженных индексами
Множество {В} будет базой для схемы D (v, b, r, k, X),
имеющей А в качестве группы автоморфизмов, если:
1) каждый блок из {В} содержит k элементов; 2) при
действии элементами из А получается b блоков; 3) при
действии элементами из А каждый элемент (y)j по-
появляется г раз; 4) в блоках множества {В}, взятых
вместе, каждая ненулевая чистая и каждая смешанная
разности появляются X раз. При этом если какой-либо
из блоков множества {В} инвариантен относительно под-
подгруппы порядка w группы А, то общее число разностей,
получающихся из него, следует разделить на w.
Доказательство. Пусть у^А. Если {а();. n(at)j
принадлежат В, то {at + y)it и (at + y)!t принадлежат (В)у.
Следовательно, (x)f. и {z)jt принадлежат блоку (В) у
тогда и только тогда, когда х — z = af — at, где у опре-
определено равенством х — аг + у или г = а{ + у и (аг)/. и {at)!t
принадлежат В = {ВH. Если В фиксирован подгруппой
порядка w, то, когда у пробегает А, блоки {В) у про-
пробегают одно и то же множество из mjw блоков, каждый
блок w раз, и потому для подсчета пар элементов,
встречающихся в этих mjw блоках, число разностей,
получаемых из В, нужно разделить на w. Эту послед-
последнюю ситуацию можно проиллюстрировать на примере
') Классы /г j{ и i{, j. не различаются. — Прим ред.
21 М Холл
322
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
в A5.3.2), где блок @, 5, 10) третьей орбиты можно от-
отнести к базе; мы имеем w = 3, и любая из разностей 5, 10
появляется как разность элементов из В = @, 5, 10) три
раза. Для фиксированного элемента (оо)^ следует счи-
считать, что пара (оо); и (ы);- дает каждую смешанную
разность класса /, / один раз.
Теорема 15.3.2. Если А — аддитивная группа клас-
классов вычетов по модулю m = 2t + 1, то блоки
„ 2*„ 02], ..., [Z1(
2, 2t2, 03], .... \h,
3, 2г3) 0,], .... [i3,
t + l-i\, 02] [*.,(*+1)„ 02],
t+l-iJ, 03], .... [t2,(t+lJ, 03],
t + l-iK, 0J, ..., [t3,(t + lK, 0,],
[0„ 02, Од] A5.3.3)
образуют базу для схемы с параметрами v = 6^ + 3,
b = Ct+l){2t+\), r = 3/+l, fe = 3, Л=1.
Доказательство. Условия A) —C) теоремы 15.3.1
выполняются тривиально. Все нулевые смешанные раз-
разности появляются в блоке [0,, 02, 03]. Общий вид блока
в первых трех строках A5.3.3): [xh yh 0/+1], где х + у =
— 2t + 1 и / = 1, 2, 3 (mod 3). Чтобы получить чистую раз-
разность d^ 0 (mod 2/+ 1) класса /, нам необходимо иметь
х — у ^d{mod2t + 1). Поскольку х + y = Q(mod2t + 1),
это дает 2x^d(mod2t + I). Поэтому хну определя-
определяются однозначно. Первая строка дает каждую ненуле-
ненулевую смешанную разность класса 1, 2 точно один раз.
Аналогично другие две строки дают каждую ненуле-
ненулевую смешанную разность классов 2, 3 и 1,3. Таким
образом, все условия теоремы 15.3.1 удовлетворяются,
и блоки A5.3.3) образуют базу схемы, что и требовалось
доказать. Схема из A5.3.1) дает пример доказанной тео-
теоремы с 2t + 1 = 5.
Теорема 15.3.3. Пусть у = 6^ + 3 = 3т, где т —
— 2t + 1 Ф 0 (mod 3). Определим неупорядоченные пары
(г, s) по модулю Зт условиями г = s ^ 1 (mod 3),
r + s^0(modm), r, s ^0(modот). Тогда блоки
[0, г, s](mod3m)
A5.3.4)
15,3. Прямые методы построения
323
вместе с блоком [0, т, 2т] периода от образуют базу
схемы с параметрами v — Ы + 3, Ь — {2t + I) Ct + 1),
г=3/+ 1, 6 = 3, Я= 1.
Доказательство. Так как v = 3m, все элементы
находятся на одной орбите, и поэтому все разности
являются чистыми. Рассмотрим сначала представление
в виде разности для ds=0(mod3), <i#0(modm). Тогда
из сравнений г — s e= d (mod 3m), r + s ^=> 0 (mod m),
r^s= I(mod3) следует, что 2r^rf(modm), r^\(mod3);
тем самым г, а затем и s определяются по модулю Зт
однозначно. Если d^l(mod3), dф0{modm), то срав-
сравнение г-0зс1 (mod 3m) определяет г однозначно;
тогда s также однозначно определяется сравнениями
s as I (mod 3), г + s s= 0(modm). Если d=~t(mod3),
d==0(modm), то 0 — r = d(mod3m) однозначно опре-
определяет г, а тем самым и s:
s==l(mod3),
= 0(modm).
Остаются вычеты от и 2т, каждый из которых по-
появляется трижды как разность элементов блока [0, т, 2т];
поскольку этот блок фиксирован подгруппой порядка 3,
порожденной i—> / + т (mod Зт), число разностей для
этого блока следует разделить на три, что и доказывает
теорему. Пример A5.3.2) — частный случай этой теоремы
при Зт = 15.
В следующей теореме мы потребуем, чтобы v — рп,
где р — простое число. В качестве группы автоморфиз-
автоморфизмов А возьмем аддитивную группу конечного поля
GF(p«).
Теорема 15.3.4. Пусть v = Qt+\=p'\ где р — про-
простое число, их — примитивный корень поля GF (рп).
Тогда блоки
{х\ x
2t
A5.3.5)
образуют базу схемы D с параметрами v = 6^+1,
Ь = Ы2 + t, г = Ш, k = 3, X = 1 и группой автоморфизмов
А — аддитивной группой поля GF (рп).
21*
324
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
Доказательство. Имеем л:6/=1,
Так как х — примитивный корень GF (рп), х™ф\ и
Хм+1 = 0, Поскольку x2t — 1=^0, определим s равен-
равенством x2t — 1 = xs. Далее, образуем шесть разностей
для элементов блока (jc0, x2t, x4t): ± (x2t — 1), + (хи — 1),
±{xu — x2t). Поскольку — \^xbt, имеем
xs+4t = X4t (X2t _ J) = l _ X4t = _ ^At _ !),
Следовательно, эти шесть разностей будут xs, xs+t,
xs+2t, xs+3t, xs+it, xs+5t. Тогда разности элементов лю-
любых блоков базы — это
A5.3.6)
i = 0, 1 t-l,
т. е. все х\ /=0, ..., 6/—1. Таким образом, каждый
ненулевой элемент аддитивной группы А поля GF(p")
представляется как разность двух элементов какого-
либо из блоков базы, и теорема доказана.
Теорема 15.3.5. Если v = ря = I2t+l, где р —про-
—простое число, и если х — примитивный корень поля GF (рп),
такой, что х^ — 1 = xQ с нечетным q, то блоки
(Г\ х° х^ хЩ @ г2' v
|'П v2t—2 v6/-2 v10<— 2\ /1С О 7\
• • •! \«i л , Л , Л ) \Ю. О. I)
образуют базу относительно группы А, аддитивной
группы поля GF (рп), для схемы D с параметрами
v=12t+l, b = t(\2t + l) r = At, k = 4, A,= l.
Доказательство. Замечая, что
-Y-бс __ г 1 х^ —— 1 .... yQ \л у^Л'Ц у8^ (yAt , 1 \ F 1 __ *s$t
имеем двенадцать разностей элементов первого блока
x2t,
A5.3.8)
!5.3. Прямые методы построения
325
Разности элементов других блоков получаются умно-
умножением этих разностей на x2i, f=l, ..., t— 1. Если q
нечетно, то мы получаем каждую ненулевую разность
8 QF(pn) точно один раз, и теорема доказана.
Теорема 15,3.6, Пусть 4/ + 1 = рп, где р — простое
число, их — примитивный корень поля GF (рп). Тогда
существует пара нечетных целых чисел с, d, таких, что
(/+ !)/(*'- l) = xd. Для этих cud блоки
2t+2i+c\
Р
у21 + С у
, xlt+2t,
/=0, ..., t-l, A5,3,9)
(oo, 01( 02, 03)
образуют базу относительно группы А, аддитивной
группы поля GF (рп), для схемы с параметрами
l), r = 4t + l, Л = 4, Я — 1.
Доказательство. Так как х — примитивный ко-
корень поля GF{рп), то x2t = — I. Следовательно, при
сфО, 2t, 0<c<4f-l, имеем хс+[ф0 и Xе-1^0,
поэтому (хс + \I(хс — 1) = xd при некотором d, которое
определяется однозначно через с. Среди At — 2 значений
с: 1, .... 2t- I, 2t+ 1, ..., 4t~ 1 имеется 2*-2 четных
и 2t нечетных. Далее, хаф± 1, так как в противном
случае хс + 1 = ± {хс — 1), откуда либо 2 = 0, либо
2хс = 0, что противоречит нечетности р. Следовательно,
, 2t,
0d<4/l
и d принимает 2^ — 2 четных и 2t нечетных значений.
Следовательно, по меньшей мере для двух нечетных
значений с имеем d также нечетное.
Последний блок дает все смешанные разности фик-
фиксированного элемента оо с элементами других трех
классов, а также нулевые смешанные разности для
трех возможных пар. Так как x2t = —1, чистые разности
первого класса, которые даются первой и третьей
строками, равны ± 2x2i и ±2x2i+c, г = 0, ..., t, или
2x2i, 2x2i+2t, 2х2Пс, 2x'2i+c+2t. Поскольку с нечетно, тем
326
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
самым получаются все ненулевые чистые разности пер-
первого класса. Совершенно аналогично получаем ненуле-
ненулевые чистые разности второго и третьего классов, Для
смешанных разностей класса 2,1 (принимая во внимание,
что x2t =¦ — 1) имеем
Y2l(Yc^.]\ y2f/ve_L.n Y2i+2t (vc A. ]\
2/4-2^ i с \\ уАО«О,1иу
Так как хс + 1 «л^С^-- 1), эти разности принимают вид
(л;с — I)x2i (хс—1)х2С+а (хс — Пx^i+ci+2t
{xc-\)xv+2i, i = 0, .... /~1. A5.3.11)
Но так как d нечетно, эти разности пробегают все не-
ненулевые элементы поля GF (рп), каждый точно по одному
разу. Эти же аргументы применимы к другим смешан-
смешанным разностям, и теорема доказана.
Мы перечислим еще некоторые базы для схем, осно-
основанных на конечных полях GF^"). В каждом случае
х — примитивный корень, и, если нужно, указываются
дополнительные условия. Доказательство в каждом
случае по существу то же самое, что и в предыдущих
теоремах:
v = 20t+\ = pn, b = t{20t+\), г = Ы, 6 = 5, Л=1,
xit + l = xq, q нечетно, A5.3.12)
(Y2l r4f+2i j-8< + 22 Y\2t + 2i Y\6t + 2i\ S __ f) f 1
yA ,A ,A ,A ,A ), V \Jj . . . , t- 1 .
v =20/ + 5, 6 = Ef+l)Df+l), r = 5/+l, 6 = 5, 1=1,
Xе + 1 d
4f+ 1 = p", —-_ . — x , c, d оба нечетны,
i Y2i+2t Y2i+c r2i+c+2t Г) \
\ ' Л1 » Л3 ' Л3 > 2/'
0 \
Г) \
X2l y v
3 ' Л3 ' A5 • Л5
V2t r2i+2t Y2i+c
A5.3.13)
y2i
2t r
2i+c
@„ 0„ 03, 04, 06),
15.4. Системы троек
327
= р\ Ь =
@, аЛ
= /Л 6 =
1), г = At, k = 4, I - 2,
1), г = At, k = 4, X = 3,
A5.3.14)
A5.3.15)
= pn>k, b = {pn-\)p\ r = k{pn-\),
-l), A5.3.16)
5, /г = 3, Л = 2,
Л — аддитивная группа классов
вычетов по модулю §t + 5,
у = 6* + 6, b = 2(t+l) {Gt + 5), r =
вная г
(оо, 0, 3f + 2),
@, /, 2t + S-i), i=\, ..., t + l, A5.3.17)
@, 21, 3t + 3 + t), i=\, ..., f.
у = 6^ + 4, 6 = 2Bf+l)C/ + 2), r = 6^ + 3, /г = 3, Л = 2,
A — аддитивная группа классов
вычетов по модулю 6/ + 3,
(оо, 0, 3* + 1),
@, t, 2/ + 1 - 0, i=U..-,t,
@, 2i, St+l+i), i=\, ..., /,
@, 2f + l, 4/+ 2) период: 2/+1.
A5 3 18)
15.4. Системы троек
Блок-схема с fe = 3 вполне естественно называется
системой троек. Параметры схемы D{v, b, r, 3, Я) должны
удовлетворять условиям
36 = гу, 2r = X{v-\). A5.4.1)
Выразим отсюда rub через остальные параметры:
г-*@о-!), 6= Ар(р). A5.4.2)
328
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
Для целочисленности г и b необходимо, чтобы выпол-
выполнялись следующие сравнения:
X(v- 1) = 0(mod 2), Xv{v- 1) = 0(mod6). A5.4.3)
Основным результатом этого раздела будет доказа-
доказательство того, что эти необходимые условия на пара-
параметры являются также достаточными для существова-
существования таких схем. Это будет доказано при помощи ре-
рекурсивных методов Ханани.
Система троек с X = 1 называется системой троек
Штейнера. Условие у=1, 3(rrod6) необходимо для
существования штейнеровой системы троек. Штейнер [!]
в 1853 г. поставил задачу: являются ли эти необходи-
необходимые условия также и достаточными для ее существо-
существования. Положительный ответ был дан Райссом [1]
в 1859 г. Обе работы появились в журнале Крелля !).
Эти авторы не знали, что эта проблема была поста-
поставлена и решена Киркманом [1] в 1847 г. в статье, по-
помещенной в Кембриджском и Дублинском математиче-
математическом журнале (Cambridge and Dublin Mathematical
Journal); более того, до недавнего времени о работе
Киркмана, по-видимому, не знал никто.
Системы троек Штейнера порядков v = 3, 7, 9 един-
единственны с точностью до эквивалентности (при этом две
системы считаются эквивалентными, если одна из них
может быть получена из другой подстановкой на эле-
элементах и перестановкой блоков):
A5.4.4)
V
1
= 3
2 3
v =
123
145
167
= 7
246
257
347
356
123
145
168
179
v =?
249
256
278
)
348
357
369
467
589
Для v = 13 существует точно две неизоморфных штей-
неровых системы троек. В обе системы мы можем вклю-
!) J. reine u. angew. Math. См. библиографию в конце книги.
Прим. перев.
15.4. Системы троек
329
чить тройки
1, 2, 3, 2, 4, 6
1, 4, 5, 2, 5, 7, 4, 3, 8, 7, 3, И,
1, 6, 7, 2, 8,10, 4, 7, 9, 7, 8,13, 8,5,11, 6,9,11,
I, 8, 9, 2, 9,12, 4,10,13, 7,10,12, 8,6,12, 3,5,12.
1,10,11, 2, 11, 13, 4,11, 12,
1, 12, 13, A5.4.5)
В первом случае мы добавим к этим следующие тройки:
3, 6, 10, 5, 6, 13,
3, 9, 13, 5, 9, 10. A5Л6)
Во втором:
3, 6, 13, 5, 6, 10,
3, 9, 10, 5, 9, 13. A5.4.7)
Коул, Уайт и Каммингс [1] нашли 80 различных
систем троек Штейнера для v =15. Фишер [1] перечи-
перечислил системы из 15 букв, найдя 79 систем и пропустив
одну из списка Коула. Автор этой книги и Свифт (Холл,
Свифт [1]) провели систематическое исследование и
подтвердили правильность перечня Коула.
Теорема 15.4.1. Если существуют системы троек
Штейнера порядков vx и v2, то существует система троек
Штейнера порядка v = vxvb содержащая подсистемы,
изоморфные системам порядков о, и v2.
Доказательство. Пусть A = S(yj) и B = S(v2)~
системы троек Штейнера порядков Uj и v2 соответ-
соответственно, и пусть (aj-, aj, ak) — произвольная тройка из А,
a {bn bs, bu) — произвольная тройка из В. Образуем
новую систему С с элементами ci}, /= 1, ..., vb j = 1, ...
..., v2. Тройка (clT, c!s, cku) принадлежит системе С
в том и только том случае, когда выполнено одно из
следующих трех условий: 1) r = s = u и (ah alt ak) —
тройка из А; 2) i = j=k и (br, bs, bu) — тройка из В;
3) (аг, uj, ak) — тройка из Л и {br, bs, bu) — тройка из В.
Легко убедиться, что С есть система троек Штейнера.
330
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
Тройки с r = s = M = l образуют подсистему в С, изо-
изоморфную системе А, а тройки с i= j = k = \ образуют
подсистему, изоморфную системе В. Таким образом,
теорема доказана.
Существует и другое доказательство.
Из системы троек Штейнера 5 образуем квази-
квазигруппу S* следующим образом. За элементы S* возь-
возьмем -элементы S. Произведение ху определим прави-
правилами:
1) хх = х для всех x^S*, 2) xy=z, если х ф у и
(х, у, г) — тройка из 5. Квазигруппу S* можно охарак-
охарактеризовать следующими свойствами: а) х2 = х (идемпо-
(идемпотентность), б) ух = ху (коммутативность) и в) из ху = z
следует, что yz = x. Такая квазигруппа определяет си-
систему троек Штейнера. Если теперь S{ и S2 —штейне-
ровы квазигруппы с vx и v2 элементами соответственно,
то можно определить новую систему S*, элементы ко-
которой—упорядоченные пары {хи х2), xigSi, Х2е5г>
а правило умножения таково: [хь х2)(уь yi) = (xiyl, х2у2).
Тогда S* имеет те же свойства, что 5* и 5*, и
определяет систему троек Штейнера 5 на v{v2 эле-
элементах.
Рекурсивный метод построения систем троек Штей-
Штейнера, принадлежащий Муру [1], состоит в следующем.
Теорема 15.4.2. Если существует система троек
Штейнера порядка v2, содержащая подсистему порядка v3
(или если и3 = 0> т0 мы можем построить систему по-
порядка v = v3 + У] (t>2 — v3), содержащую v{ подсистем по-
порядка v2 и по одной подсистеме порядков vx и v3 соот-
соответственно.
Доказательство. Построим таблицу из v = vs +
+ vl{v2—v3) элементов, принадлежащих следующим
v{ + 1 множествам:
50: ах а2 ... aVi,
S[- bu bist
S2: bn b2s, s=v2-v3. A5.4.8)
15.4. Системы троек
331
Образуем на этих v элементах систему троек 5 по сле-
следующим правилам:
1. Пусть на элементах множества So задана система
порядка о3; полагаем (ah a;, ak) e 5, если ah a;, ak
образуют тройку в указанной системе.
2. Пусть для каждого i на множествах 50 и S{
(/=1, ..., v{), взятых вместе, построена система по-
порядка v2, причем подсистема 50 определена, как в пра-
правиле 1. Тройки, не принадлежащие 50, содержат не бо-
более одного at и имеют вид (am, bi}, bik), {bu, bik, blT)\
отнесем к S все такие тройки.
3. Определим систему порядка vx на числах 1, ..., v{\
если (/, к, г) — тройка этой системы, то отнесем к S
все тройки (bjx, bky, brz) для индексов х, у, z, удовле-
удовлетворяющих сравнению х + у +z = 0(mod s).
По первому правилу получаем тройки из 50; заме-
замечаем, что тройка, содержащая элементы at, а/,, в каче-
качестве третьего элемента содержит также элемент из 50.
По второму правилу получаем тройки, содержащие не-
некоторое ат и некоторое Ьц, а третьим элементом bik —
другой элемент в той же самой строке, а также все
тройки, содержащие два элемента Ьц, b{k из одной
строки; третьим элементом они будут иметь либо неко-
некоторое ат, либо элемент из той же самой строки. Для
элементов bix, bky из разных строк мы определяем г
из тройки (/, k, r) в системе с о, элементами, а г из
сравнения х 4- у + z = 0(mods). Таким образом, любая
пара из v — v3 + v{ {v2— o3) элементов определяет в 5
единственную тройку, содержащую ее. Тройки из So
образуют подсистему порядка v3, тройки из 50 U 5г об-
образуют подсистемы порядка v2, i=U ..., vu а тройки
из элементов bls, b2s, ..., bViS — подсистему порядка и,.
В каждом случае подсистемы изоморфны заданным
подсистемам. Доказательство теоремы завершено.
Мы можем использовать эту рекурсивную теорему
для построения систем троек Штейнера всех поряд-
порядков v вида v = Qt + l, v =6^ + 3. Тем самым будет
показано, что необходимое условие существования
штейнеровых систем троек будет также достаточ-
достаточным.
332
Гл 15. Общие методы построения блок-схем
Теорема 15.4.3. Если v = 6/ + 1 или и = 6* + 3, то
существует система троек Щтеинера порядка v.
Доказательство. Мы используем несколько ча-
частных случаев теоремы 15.4.2. Приведем их в виде
рекурсивных правил:
(А)
(В)
(С)
2 = 3, о3=
, о=Зо'-2,
(Е) ti! =
о3=3, о = 6о' + 3, о'>3.
о3=7, о = За'-14, и'>15.
Заметим, что всякий раз, когда мы имеем систему
порядка v\ мы можем использовать любое из приве-
приведенных правил, за исключением правила Е, где система
порядка v' должна иметь подсистему порядка 7. Так
как система порядка v — v3+ vx(v2— t>3) имеет подсистемы
порядков vu v2, Уз, изоморфные подсистемам, исполь-
используемым при ее построении, свойство иметь подсистему
порядка 7 переносится при построении на системы боль-
большего порядка. Мы будем строить системы рекурсивно,
используя то или иное из перечисленных выше правил
в зависимости от значения v по модулю 36, как пока-
показано в табл. 15.1.
В некоторых случаях можно пользоваться и другими
правилами, и мы всегда будем предпочитать правило,
которое гарантирует существование подсистемы по-
порядка 7. Построение с помощью правила F всегда дает
систему с подсистемой порядка 7. Мы можем, конечно,
использовать также теорему 15.4.1; в частности, при
v = 3t/ систему троек порядка 3 можно применить для
построения систем с параметрами
36*+
36*+
3 = 3A2*+1),
9 = 3A2^ + 3),
1 = 3A2^ + 7),
A5.4.9)
15.4. Системы троек
333
Таблица 15.1
Подсистемы систем порядка v
Вид v
36/+1
36*4-3
36/+ 7
36f + 9
36/+ 13
36/ + 15
36/+ 19
36/ + 21
36/ + 25
36/ + 27
36/+31
36/ + 33
Правило
(В)
(А)
(F)
(D)
(Е)
(А)
(F)
(D)
(В)
(А)
(А)
(С)
Значение v'
12/+1
18/+1
6/+ 1
6/+ 1
12/+ 9
18/+ 7
6/ + 3
6/ + 3
12/+ 9
18/+ 13
18/+ 15
12/+ 13
Используя эти и некоторые другие следствия теорем
15.4.1 и 15.4.2, мы можем найти системы троек Штей-
нера для всех порядков v вида v = Ы + 1 или 6* + 3,
причем всегда найдется система порядка v, содержащая
подсистему порядка 7, за исключением значений v=\,
3, 9, 13, 25, 27, 33, 37, 67, 69, 75, 81, 97, 103, 201,
289, 321. Может случиться, что другое представление
числа v, а не то, что дается табл. 15.1, позволяет по-
построить системы порядка v с подсистемой порядка 7.
Поэтому полезна следующая таблица:
Таблица 15.2
Подсистемы порядка 7
Вид v
36/ + 3
36/+ 15
36/+ 21
36/ + 25
36/+ 31
Правило
(С)
(С)
(С)
(Е)
(Е)
Значение v'
12/+ 3
12/+7
12/+ 9
12/+13
12/+ 15
334
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
A5.4.10)
Необходимо также дополнить общие правила таблиц 15.1,
15.2 и A5.4.9) следующими частными случаями по-
порядков вида v = vxv2 или v = v3 + и, (v2 — v3), где соот-
соответственно применяются теоремы 15.4.1 или 15.4.2:
49 = 72, 229=1 + 19A3-1),
73 = 3 + 7A3-3), 285=15-19,
85=1+7A3-1), 325 = 3 + 7D9-3),
103 = 3 + 25G-3), 589=19-31,
105 = 7-15, 861=7-123
193 = 3+19A3-3), 865 = 7+13G3-7),
195=13-15, 949=13-73,
225 = 152, 961 =312.
Если исходим из начальных систем троек Штейнера S(v)
порядка у, где v = 3, 7, 9, 13, приведенных в A5.4.4) —
A5.4.7), то по правилам табл. 15.1 мы получаем из них
индуктивно системы для всех значений v вида & + 1
или Ы + 3, если только в каждом случае, когда приме-
применяется правило Е, мы исходим из 5 (у'), содержащей 5G).
Характер наших построений в теоремах 15.4.1 и 15.4.2
таков, что свойство содержать 5 G) является наслед-
наследственным, т. е. если 5(&1), S (v2) или S(v3) содержат
SG), то и S(v), где v = v{v2 или v = v3 + vx (v2 — va\
содержит 5G). Применение правила F всегда дает 5 (v),
содержащую S G). Скажем, что значение v обладает
„здоровой наследственностью", если существует 5 (о),
содержащая 5G), и „нездоровой наследственностью",
если не существует S(v), содержащей 5G). Наша теорема
будет доказана, если мы сможем показать, что v с „не-
„нездоровой наследственностью" исчерпываются значениями
1, 3, 9, 13, 25, 27, 33, 37, 67, 69, 75, 81, 97, 109, 201,
289, 321 1), а все другие числа вида 6^+1 или 6^ + 3
обладают „здоровой наследственностью". Очевидно, зна-
значение v с „нездоровой наследственностью" можно по-
получить лишь в случае применения одного из правил
А Е ко'с тем же свойством. Но для всех чисел v,
не принадлежащих приведенному выше списку, суще-
') Очевидно, для всех этих чисел v системы троек Штейнера
порядка v существуют. — Прим. ред.
15.4. Системы троек
335
ствуют другие представления, которые получаются либо
из табл. 15.2, либо из равенств A5.4.9) или A5.4.10).
Например, если о'= 321, то мы имеем:
(A) 2-321+ 1= 643 = 3-219-14,
(B) 3-321- 2= 961 = 312,
(C) 3.-321- 6= 957 = 3-319, A5.4.11)
(D) 6-321+ 3-1929 = 3-643,
(E) 3-321-14= 949- 13-73,
и ввиду существования представлений, написанных спра-
справа, все „преемники" числа 321 обладают „здоровой
наследственностью". Тем самым теорема доказана.
Эту теорему можно было бы доказать непосредствен-
непосредственным построением систем троек Штейнера порядков 25,
27, 33 и 37, содержащих 5G).
Киркман поставил следующую задачу о системах
троек, общее решение которой неизвестно, во всяком
случае, автору книги. Это так называемая „задача
Киркмана о школьницах ". В первоначальной задаче
требовалось составить расписание прогулок для 15 школь-
школьниц. Девушки ежедневно должны гулять пятью груп-
группами, по три в каждой группе. Задача состоит в том,
чтобы построить расписание прогулок так, чтобы каждая
девушка смогла в течение семи дней точно один раз
попасть в одну группу с каждой из остальных. Это
равнозначно задаче нахождения системы троек Штей-
Штейнера с параметрами и =15, Ъ — 35, г = 7, k = 3, А, = 1,
представляющей собой разрешимую схему с семью
дубликатами, т. е. все тройки должны быть разбиты
на семь множеств, по пять троек в каждом множестве,
так что каждый элемент содержится точно один раз
в каждой такой системе из пяти троек. Дадим решение
этой задачи;с аддитивной группой классов вычетов по
модулю 7 в качестве группы автоморфизмов А и базо-
базовыми блоками:
(оо, 0„ 02),
Elt 12, 62),
C„ 22, 52),
F„ За, 42).
A5.4.12)
336
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
Здесь базовые блоки образуют полный дубликат, а при-
прибавление 1, 2, ..., 6 (mod 7) к элементам в блоках
из A5.4.12) дает еще шесть дубликатов.
Общая задача Киркмана о школьницах состоит в том,
чтобы найти систему троек, в которой тройки могут
быть разделены на г полных дубликатов. Если это
возможно, то число элементов и, будучи числом эле-
элементов в дубликате из троек, должно быть кратно 3,
т. е. v должно быть вида v = 6t + 3. Для v = 9 задача
решается легко, и решением служит совокупность прямых
аффинной плоскости порядка 3, разбитая на четыре
подмножества параллельных прямых. Для f = 15 реше-
решение дано в предыдущем абзаце. Для а = 21 мы имеем
следующее решение с аддитивной группой классов вы-
вычетов по модулю 7 в качестве группы автоморфизмов А.
Параметры схемы:
о = 21, 6 = 70, г= 10, ? = 3, Я = 1.
Базовые блоки:
15.4. Системы троек
337
@„
@2,
@3,
1„ 3,),
12, 32),
3, 33),
B„ 42, 53),
B2, 4з. 5,),
B3, 4„ 52),
F„ 6* 6з).
@„
@2,
@3,
3, 32),
1„ 33),
A5.4.13)
Первые семь из этих блоков составляют полный дубли-
дубликат, и применение А дает нам еще шесть полных дубли-
дубликатов. Каждый из последних трех базовых блоков при
действии А дает полный дубликат. Таким образом,
A5.4.13) приводит к требуемой системе на 21 элементе,
которая разрешима и состоит из 10 полных дубликатов.
Решения задачи о школьницах известны для нескольких
частных значений v — 6t + 3, но решение в общем слу-
случае автору не известно.
Для системы троек с Я ==2 необходимые условия
A5.4.3) относительно v сводятся к ys=0(mod3) или
v = 1 (mod 3). Мы можем теперь легко доказать и доста-
достаточность этих условий.
Теорема 15.4.4 (Б х а тта ч а р и я). Если число
у^З имеет вид v = 3m или t> = 3m+l, то существует
система троек с v элементами и Я = 2.
Доказательство. Если v имеет вид v — Qt + 1
или v — 6t + 3, то существует система троек Штейнера
порядка v. Взяв каждый ее блок дважды, мы получим
систему троек порядка ус Я = 2. Остается рассмотреть
значения v вида v — 6t + Q или v = Qt + 4. Схемы, опре-
определяемые базовыми блоками A5.3.17) и A5.3.18) и най-
найденные Бхаттачария [1], показывают, что и в этих слу-
случаях искомые системы существуют. Теорема доказана.
Теорема 15.4.5 (Ханани). Необходимое и доста-
достаточное условие существования уравновешенной неполной
блок-схемы с & = 3 и любым Я состоит в том, чтобы
Mu-l) = 0(mod2) и Ми-1) = 0 (mod 6). A5.4.14)
Доказательство. В блок-схеме D(v, b, r, 3, Я)
основные условия A5.2.1) и A5.2.2) дают г = Я(и— 1)/2
и b = kv (v — 1)/6. Чтобы rub были целыми числами, оче-
очевидно, необходимы условия A5.4.14). Основная задача,
конечно, доказать достаточность этих условий. Это будет
показано при помощи рекурсивных теорем Ханани из
раздела 15.2. Представим сначала условия A5.4.9) в сле-
следующем виде:
если Я=1 или 5 (mod 6), то и=1 или 3(mod6);
если Я = 2 или 4 (mod 6), то и = 0 или 1 (mod 3);
если Л = 3 (mod 6), то y=l(mod2); A5.4.15)
если Я = 0(гт^6), то на v не накладывается
ограничений.
По следствию теоремы 15.2.7 достаточность A5.4.14)
будет установлена, если мы сумеем показать, что
при и^З:
о== 1 или 3 (mod 6)
v = 0 или 1 (mod 3)
о= 1 (mod 2)
Для всякого v>3 oe=fiC,6). A5.4.16d)
влечет ve
влечет ve
влечет v e
В
В
В
C,
C,
C,
1),
2),
3),
A5
A5
A5
.4.
.4.
.4.
16а)
16Ь)
16с)
22 И. Холл
Г л 15. Общие методы построения блок-схем
Здесь A5.4.16а)— это утверждение теоремы 15.4.3,
a (In. 1.1Gb) — утверждение теоремы 15.4.4. Но мы будем
следовать доказательству Ханани и не воспользуемся
ни одной из этих теорем. Будем опираться на рекур-
рекурсивные теоремы 15.2.4 и 15.2.5 и построения в явном
виде для некоторых начальных значений v. Для удоб-
удобства ссылок повторим утверждения этих теорем.
Теорема 15.2.4. Если v = (m — I) и + 1, где
и е В {К\ А/), и если для каждого kr e /(' имеем
(ш-1)/г'+1е Вт {К, А"), то »еВи {К, Я), где I = К к".
Теорема 15.2.5. Пусть s, s+ le= В {К, Я), tz=Tq(s)
и либо q se В {К, Я), либо q~0 или 1; тогда v = st +
Для доказательства теоремы нам потребуются не-
несколько лемм.
Лемма 15.4.1, Если а = 0 или I(mod3) и и ^ 3,
то иеВ (К3, 1), где Ю3 = {3, 4, 6}.
Доказательство. По теореме 15.2.3 t^TtC)
для t > 3 и f = 0, 1, 3 (mod 4). Поскольку 2eF0 C) и
гс е Г2 C) для п нечетного, п > 1, по теореме 15.2.8 имеем
/ = 2иеГ.,C); следовательно, для /s=2(mod4), /^6,
получаем /<ееТ4C). Доказываем лемму индукцией по и.
Тривиальным образом, 3, 4, бе В (K}v 1). Системы троек
Штейнера с v = 7, 9 из A5.4.4) показывают, что
7, 9gB(/(J, 1). Для и>9 применяем теорему 15.2.5
с s = 3 во всех случаях, выбирая q и ? по следующим
правилам в зависимости от класса вычетов, которому
принадлежит и по модулю 9 (при этом учитываем, что
ЗеГз(З) и ^еГ4C) при ^>4):
и ^з 0 (mod 9), q = 0, ^ —-j'
u=l(mod9),
q=l, t =
ц-1
3
ц-1
/5.4. Системы троек
339
u = 7(mod9),
= 4, f =
ц-3
«-4
I ' A5.4.17)
По индукции лемма 15.4.1 доказана.
Лемма 15.4.2. Если и^З, то и ев В (К2,, 1), где
К23 = {3, 4, 5, 6, 8, 11,14}.
Доказательство. Для и = 0 или I(mod3) эта
лемма есть частный случай леммы 15.4.1, так как К13
есть подмножество /<|. Для значений и — 8, 11, 14 утвер-
утверждение леммы тривиально, поскольку эти и принад-
принадлежат К% Следовательно, первым значением, для кото-
которого требуется доказательство, является «= 17. Доказа-
Доказательство проводим индукцией по и. Выберем q, s и t
в соответствии со значением и по следующим правилам:
«=17, q=\
и= 18, 19, 20, q = u- 15,
u = 21,22, q = u-2\,
и = 23, <? = 3,
« = 24, ..., 28, q = u-2l,
и = 29, <7=1,
г; = 30, .. ., 36, q = u-27,
и = 37, .... 44, q = u- 33,
u = 45 50, <7 = и-39,
s = 3, < = 5,
s = 3, ^ = 7,
s = 4, i = 5,
s = 3, / = 7,
s==4, / = 7,
A5.4.18)
s = 3, /=13,
5 = 3, г = —з"
Здесь, по выбору s, f, </, в каждом случае и = st + q.
Имеем s, s+lefi (X^, 1 j, так как s = 3 или 4 в каждом
случае. По индукции также q e В (/(|, 1). Мы должны
теперь в каждом случае проверить, что t^Tq(s). Заме-
Заметим, что *е=Г*C) и Г, D) для f = 4,5, 7, 9, 11, 13, так
как эти числа — степени простых чисел. Для wj>51
выбор t таков, что ^==0(mod4) и t>q. Но тогда
^еГДЗ) по теореме 15.2.3 и, поскольку t>q, t<^Ttl{3).
Тем самым лемма доказана.
22*
340
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
15.4. Системы троек
341
,Мы использовали трансверсальные системы (по суще-
существу ортогональные таблицы) и рекурсивные методы
теоремы 15.2.5 и построили уравновешенные относи-
относительно пар схемы
В [{3, 4, 6}, 1, и] с «зО или I(mod3), и>3,
и
В[{3, 4, 5, 6, 8, 11, 14}, 1, и] для всех и>3.
Доказательство основной теоремы будет завершено
теперь обращением к теореме 15.2.4 с f(\ или К.\ в роли К,'
или к более простой теореме 15.2.6, которую мы повто-
повторим здесь для удобства ссылок.
Теорема 15.2.6. Если v^B(Kf, ^\) и для всякого
k' е К' имеем ^'ей {К, Я2), то v (= В (К, Я,Я2).
Таким образом, на данном этапе доказательство тео-
теоремы сводится к конечному числу построений, связанных
с конечным множеством чисел k' из К.'.
Лемма 15.4.3. Если и = 1 или 3 (mod 6), то оеБ C, 1).
Доказательство. Если и = 6^+1, то возьмем
и = Ы, а если v = Gt + 3, то возьмем и = 3/ + 1. В обоих
случаях v = 2и + 1 и и ен В ({3, 4, 6}, 1) по лемме 15.4.1.
В теореме 15.2.4 возьмем т^Зи К = {3}. Системы троек
Штейнера порядков 7, 9 и 13, данные в A5.4.4), A5.4.5),
A5.4.6) и A5.4.7), показывают, что 7,9, 13^В3({3}, 1),
и лемма доказана. Тем самым, доказано утверждение
A5.4.16а), эквивалентное теореме 15.4.3.
Лемма 15.4.4. Если и = 0 или I(mod3), v ^ 3, то
оеВC, 2).
Доказательство. По лемме 15.4.1 оеВ({3, 4, 6}, 1).
Воспользуемся теоремой 15.2.6 с ^=1, А,2 = 2; лемма
будет доказана, если мы установим, что 3, 4, 6 е ВC, 2).
Для 3 это тривиально. Для 4 мы построим уравно-
уравновешенную неполную блок-схему В [4, 4, 3, 3, 2]:
1, 2, 3;
1 2 4-
' ' ' A5.4.19)
1, О, Н:,
2, 3, 4,
так что 4 G й C, 2). Для 6 построим уравновешенную
неполную блок-схему В [6, 10, 5, 3, 2]:
1, 2, 3; 2, 3, 6;
1, 2, 4; 2, 4, 5;
1, 3, 5; 2, 5, 6; A5.4.20)
1, 4, 6; 3, 4, 5;
1, 5, 6; 3, 4, 6,
так что 6 G В C, 2). Эти построения завершают дока-
доказательство леммы. Тем самым доказано утверждение
A5.4.16Ь), эквивалентное теореме 15.4.4.
Лемма 15.4.5. Если a=l(mod2), то v е В C, 3).
Доказательство. Это есть утверждение A5.4.16с).
Для о = 1 или 3(raod6), поскольку оеВC, 1), мы
можем взять схему В [3, 1, v] трижды, и тогда получим
tiEB3C, 3). В любом случае мы можем применить тео-
теорему 15.2.4 с т = 3, К' = К% А/= 1, V = 1. Так как по
лемме 15.4.2 мей(^, 1), если «^3, мы заключаем,
что о = 2м+1еВ3C,3), если 2k'+ 1 е Вг C, 3) для
любого k' е К1- Здесь v = 2« + 1 может быть любым
нечетным числом, не меньшим 7. Следовательно, чтобы
доказать лемму, мы должны показать, что 3, 5 е= ??C, 3)
и что 7, 9, 11, 13, 17, 23, 29e=SsC, 3) (эти числа - зна-
значения 2ft'+1 при k! е Щ. Поскольку 3, 7, 9, 13еЕВC, 1),
имеем 3, 7, 9, 13eJ33C, 3), так как соответствующую
схему можно взять трижды. Остальные значения 5, 11,
17, 23, 29 нужно рассмотреть отдельно.
Подленма 1. 5еВ3C, 3). Базовые блоки по модулю 5:
@, 1, 4); @, 2, 3).
Подлемма 2. 11 е В3C, 3). Применим теорему 15.2.4
с т = 3, /(=={3}, ^={3}, а/ = 3, Я"=1. Действительно,
И = C-1M+1, и, так как 5е=ВC, 3), 7еВ3C, 1),
утверждение доказано.
Подлемма 3. 17еВ3C, 3). Покажем сначала, что
8еВD, 3). За элементы схемы примем пары (i, /),
342
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
г"=0, 1, 2, 3(mod4), у' = 0, I(mod2), и определим блоки
{(О, 60), A, &,), B, Ь2), C, й3)}, 2>? = 0(mod2),
{(*, 0), (i, 1), (Г, 0), (/', 1)}, /<Г.
Теперь применим теорему 15.2.4 с m = 3, и =8, Д"'={4},
А' = 3, /С = {3}, Я" = 1. Тогда (т - 1)?'+1 =9еб3C, 1),
и, поскольку 8 g В D, 3), действительно получаем, что
17 = C-1)8+1е=В3C, 3).
Подлемма 4. 23efi3C, 3). Воспользуемся теоре-
теоремой 15.2.4 с т = 3, и =11, #' = {3}, Я'=3, /( = {3}.
Я"= 1. Имеем (т — 1N' + 1 = 7 ge В3C, 1), и, поскольку
11е53C, 3), в силу подлеммы 2 заключаем, что
23-C- 1) 11 + 1«=В3C, 3).
Подлемма 5. 29еБ3C, 3). Мы сначала покажем,
что 14е5({3, 4}, 3), за элементы схемы примем вы-
вычеты i по модулю 13, / = 0, ..., 12(modl3), и оо;
базовые блоки по модулю 13 определим следующим
образом: A, 2, 6, 12), B, 4, 12, 11), (оо, 1, 3, 9), B, 6, 5).
Применим теперь теорему 15.2.4 с m = 3, «=14,
К' = {4,3},
К={3}, Я"=1.
Так как 14е?({3, 4}, 3), а 7еВ3C, 1), 9еВ3 C, 1),
имеем
29-C- lI4+l€=B3C, 3).
Эти пять подлемм охватывают все частные случаи,
нужные для доказательства леммы.
Лемма 15.4.6. Если о>3, то v<=B{3, 6).
Доказательство. Это утверждение есть
A5.4.16d) — последняя часть основной теоремы 15.4.5.
Обратимся к теореме 15.2.6 с /С' = /Сз = {3, 4, 5, 6, 8, П, 14},
Я, = 1, /С = {3}, Я2=6. По лемме 15.4.2 мы знаем, что
v<^B(K', 1). Таким образом, чтобы доказать нашу лемму,
мы должны показать, что 3, 4, 5, 6, 8, 11, 14geSC, 6).
Из следствия теоремы 15.2.7 и лемм 15.4.3, 15.4.4 и
15.4.5 вытекает, что 3, 4, 5, 6, Не 5C, 6). Остается
показать, что 8еВC,6) и 14еВC, 6).
15.5. Блок-схемы с k > 3
343
Подлемма 6, 8е ВC, 6). В GF B3) пусть х — прими-
примитивный корень, удовлетворяющий уравнению х3 — х+1.
Примем блоки (х\ xi+l, xi+2), /=0, ..., 6, за блоки
базы над аддитивной группой поля GF B3). Тогда полу-
получаем частный случай A5.3.16).
Подлемма 7. 14 е В C, 6). Примем за элементы
схемы вычеты по модулю 13 и оо и определим базовыг
блоки:
A, 3, 9), взятый 5 раз,
B, 6, 5), взятый 6 раз,
(оо, 1, 12), (ос, 3, 10), (оо, 4, 9).
Этим завершается доказательство леммы и, в свою
очередь, доказательство основной теоремы.
15.5. Блок-схемы с ?>3
В работе [1] Ханани показал, что для k = 4 ситуация
в точности такая же, что и при k = 3, a именно основ-
основные необходимые условия являются также достаточными.
При k = 5 это неверно, и, может быть, при каждом
k^5 существует хотя бы одно множество параметров,
удовлетворяющих основным соотношениям bk — vr,
г (k — 1) = Я (v — 1) из A0.1.1), для которых не существует
никакой блок-схемы. Тем не менее автор склонен при-
придерживаться мнения, что это в некотором смысле отно-
относительно необычная ситуация. Неизвестно, кто первый
выдвинул следующее предположение.
Предположение. Пусть даны k и X. Тогда, за
конечным числом исключений, существует блок-схема
для всякого множества параметров v, b, r, k, Я, удо-
удовлетворяющих соотношениям bk = vr, r (k — 1) = Я (v — 1).
Мы опишем здесь в общих чертах результаты Ханани
для k — A. За подробностями читатель отсылается к ориги-
оригинальной работе Ханани [1].
Теорема 15.5.1. Необходимым и достаточным
условием существования уравновешенной неполной блок-
схемы с v ^ 4 элементами, k = 4 и любым Я является
344
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
выполнение соотношений
A,(o-l) = 0(mod3) и Kv {v - 1) s=0(mod 12). A5.5.1)
Заметим, что эти условия тривиальным образом
необходимы, будучи следствиями из A0.1.1). Они экви-
эквивалентны следующим соотношениям:
если Я=1 или 5(mod6), то у=1 или 4(mod 12);
если Я = 2 или 4(mod6), то o=l(mod3);
если A,=-3(mod6), то о = 0 или I(mod4); A5'5'2)
если К = 0 (mod 6), то ограничений на v нет.
В свою очередь условия A5.5.1) будут достаточными,
если мы сумеем показать, что при и ^4
t>=l или 4(mod 12) влечет deBD, 1); A5.5.3а)
v = 1 (mod3) влечет ogBD, 2); A5.5.3b)
о = 0 или I(mod4) влечет cgBD, 3); A5.5.3с)
v^4 влечет ое6D, 6). A5.5.3d)
Для доказательства требуются следующие леммы.
Лемма 15.5.1. Если и = 0 или 1 (mod 4)««^4, то
и^ В(к1 1), где к\ = {4, 5, 8, 9, 12}.
Лемма 15.5.2. Если и^4, то и<^в(к\, О, где
/Ci = {4, 5, б, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 22, 23}.
Лемма 15.5.3. Если и г= 1 или 4 (mod 12), о > 4,
то »е В D, 1).
Эта лемма доказывается путем представления о
в виде v — 3« + 1, и = 0 или 1 (mod 4) и применения тео-
теоремы 15.2.4 с/п = 4, так как по лемме 15.5.1 me В{к\, l).
Для этого требуется доказать, что ogB4D, 1) для част-
частных значений о = 4, 13, 16, 25, 28, 37. Лемма 15.5.3-
это утверждение A5.5.3а).
Лемма 15.5.4. Если u=l(mod3), то оеВD,2).
Здесь применяется теорема 15.2.4 с m = 4 и о = 3« +1,
где для и^4 в силу леммы 15.5.2 и^В{к\, l). Для
15.5. Блок-схемы с k> 3
345
этого требуется доказать, что оеВ4D, 2) для всех
значений о = Зм+1, и<=к1- Лемма 15.5.4 —это утвер-
утверждение A5.5.3Ь).
Лемма 15.5.5. Если v = 0 или I(mod4), ro
веВD, 3).
По лемме 15.5.1 v^B(k\, l). Применяется теорема
15.2.6, и нужно только показать, что 4, 5, 8, 9,
12 е= В D,3). Лемма 15.5.5 — это утверждение A5.5.3с).
Лемма 15.5.6. Если v ^ 4, то сеВD,6),
По лемме 15.5.2 имеем включение оеВ(/с|, О-
Лемма доказывается применением теоремы 15.2.6,
если показать, что для всех 15 значений v e кЦ мы
имеем иеВD,6). Лемма 15.5.6 —это утверждение
A5.5.3d). Леммы 15.5.1 — 15.5.6 в совокупности дают
теорему 15.5.1.
Для k^5 ситуация иная. Следующая теорема будет
доказана в гл. 16.
Теорема 15.5.2. Пусть имеется схема D с пара-
параметрами
где kx{kx — \)='k(vx — \) u%=\ или 2. Тогда D может
быть вложена в симметричную блок-схему D* с пара-
параметрами У[, ku X. D получается из схемы D4 как неко-
некоторая остаточная схема.
При помощи этой теоремы можно доказать несущест-
несуществование схемы D. В частности, если бы существо-
существовала схема D с параметрами у =15, 6 = 21, г = 7,
k = 5, K=2, то по теореме 15.5.2 ее можно было бы
вложить в симметричную схему D* с параметрами
О] = 22, k{ = 7, >u=2. По теореме 10.3.1 такой схемы D*
не существует, так как vx четно, но « = /?,— Х = 5 не
есть квадрат. Следовательно, схемы D с указанными
параметрами не существует. Аналогично, так как по
теореме 10.3.1 не существует схемы с параметрами
Oj = 43, &! = 7, К= 1, мы выводим из теоремы 15.5.2,
346
Гл. 15. Общие методы построения блок-схем
что не существует схемы с v = 36, b = 42, г = 7, k = 6,
Я=1. Фактически для большинства значений &^5
применением теорем 10.3.1 и 15.5.2 удается показать,
что существуют некоторые параметры, удовлетворяю-
удовлетворяющие основным соотношениям A0.1.1), которым не соот-
соответствует никакая схема.
Для k = 5 Ханани указывает частные результаты.
Ему нужно доказать следующее:
если о = 1 или 5 (mod 20), то »gB E,1); A5.5.4а)
если у=1 или 5(mod20), tocgB E,2); A5.5.4b)
если о ss 0 или I(mod5), то иеВ E,4); A5.5.4с)
если иг=1 (mod4), то иеВ E,5); A5.5.4d)
если о=1 (mod2), то deB E,10); A5.5.4е)
если о>5, tougB E,20). A5.5.4f)
Он использует при этом два основных множества:
Ks={5, 6, 10, 11, 15, 16, 20, 35, 36, 40, 70, 71, 75, 76},
A5.5.5)
/Ci = E, 6, .... 20, 22, 23, 24, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 38, 39}.
A5.5.6)
Для н^=5, удовлетворяющего условию ы = 0 или
1 (mod 5), доказывается, что и <ее В (/E, l), и этот же
результат даже при отбрасывании 35 из К,\> доказы-
доказывается для всех других и = 0 или I(mod5). Отсюда он
доказывает A5.5.4а) с возможным исключением 141 =
= 4-35+1. Устанавливается также, что aefife, 1)
для и^Ъ. Отсюда выводится A5.5.4с) и A5.5.4f). Он за-
замечает также, что A5.5.4d) верно, если Аи + 1 <ее В5 E, 5),
2
ДЛЯ ВСЯКОГО U GE Кь-
Как мы заметили, схемы с о =15, & = 5, Я = 2 не
существует. Тем не менее существует схема с о =15,
ft = 5, А. = 4:
v =15, & = 42, г =14, jfe = 5, A, = 4.
Элементы: (i, /), 1 = 0, 1, 2, 3, 4 (mod 5), / = 0, 1, 2(mod3).
15.5. Блок-схемы с k~> 3
347
Блоки: {(/, /), (i + 2, /), {i + 3, /), (г, / + 1), (/ + 4, / + 2)},
{(/, /), (i+\, /), (г, / + 1), (/ + 2, / + 1), (г, / + 2)},
{(г, 0), (/ + 2, 1), (i + 3, 1), (i + 4, 1), (/ + 1, 2)},
{(i, 0), (i+ 1, 0), (t + 2, 1), (/ + 3, 2), (t + 4, 2)},
{@,0), A,0), B,0), C,0), D,0)},
{@,2), A,2), B,2), C,2), D,2)}.
Построение схемы Z)A5, 63, 21, 5, 6) показало бы, что
для о=15, k = b и А з=0 (mod 2) все X, за исключением
А = 2, возможны, так как всякое четное число ^4
может быть записано в виде суммы четверок и шестерок.
Но можно заметить, что множество всех ( r J = 3003
сочетаний из 15 элементов по 5 есть схема D(\5, 3003,
1001, 5, 286), и во всяком случае при v =15, k = 5 и
X == 0 (mod 2), Я ^284 схема существует.
Если в любой схеме D(v, b, r, k, X) для каждого
блока взять множество из о — k элементов, не входя-
входящих в этот блок, то, как легко заметить, совокупность
всех этих дополнительных множеств образует блоки
некоторой схемы D' с параметрами v, b, b — r, v — k,
b — 2r + X. Эта схема D' называется дополнением
схемы D, Каждая схема есть дополнение некоторой
другой, и в перечне схем проще приводить лишь одну
из этих схем с меньшим объемом блока; поэтому без
ограничения общности можно принять k ^ о/2. Для
данного значения г соотношения r^k и г (k — 1) = Я (v— 1)
показывают, что существует лишь конечное число воз-
возможностей для k, А, и о. Если эти г, k, v даны, то b
определяется из равенства bk = vr. В приложении I
приведены схемы для г = 3, ..., 15 с k^v/2 и упо-
упорядоченные по г, v, k соответственно.
ГЛАВА
16
Теоремы о пополнений
и вложении
16.1. Метод Коннора
Пусть D (у, b, r, k, X) — блок-схема. Как было от-
отмечено в разделе 10.1, D определяется своей матрицей
инцидентности
А = (аи), /= 1, ..., v, /= 1, ..., Ь,
соответствующей элементам аь ..., av и блокам Ви ...
..., Вь, где
1, если fljGBj,
0, если аьф. Вг
Тогда матрица А удовлетворяет соотношениям
A6.1.2)
Здесь Jv — (у X у)-матрица из единиц, a wv и wb~ век-
вектор-строки из у и & единиц соответственно. Сопоста-
Сопоставим у элементам схемы неизвестные хь ..., xv и опре-
определим линейные формы Ls равенством
ь= 2^/jCi, /=i, ..., ъ. A6.1.3)
Тогда A6.1.2) эквивалентно соотношению
+ ... +4) +
A6.1.4)
/5./.
Коннора
349
Идея, лежащая в основе метода Коннора [1], состоит
в следующем. Для данных параметров v, b, r, k, I
форма Q — Q(xu ..., xv) из A6.1.4) известна, и если мы
выберем первые t блоков нашей схемы В{, ..,, Ви то
ф L L О
формы L
форму Q*
Q'{xu .
{ и
также известны, Определим теперь
хду.
,2 ,2 .
It — Lt+i +
+Ll;
A6.1.5)
если у, b, r, k, X даны, a Blt ..., Bt выбраны, то Q и
1ц..., Lt известны, и потому Q* также известна. Следо-
вательно, в силу A6.1.5), если Bt+l, ..., В„ существуют,
то Q* = Lt+\ + ... + Lft должна быть положительно
полуопределенной формой. Таким образом, необходимое
условие существования блок-схемы D(v, b, r, k, X)
с начальными блоками Вх> ..., Bt состоит в том, чтобы
форма Q\ определенная формулой A6.1.5), была поло-
жительно полуопределенной. Достоинство метода Кон-
нора заключается в том, что с его помощью можно
проверить, является ли форма Q* из A6.1.5) положи-
тельно полуопределенной, путем вычисления опреде-
определителя порядка t.
Начнем со следующей леммы.
Лемма
формулой
а
b
16.1.1. Если | К. \ — определитель, заданный
b
а
b
b
K\=
... a
'1. 0 + 1
-2, o+l
v, v+[
• • • eUo+t
• • • ^2, v + t
v, v + t
v+\. 1 ev+l,2 ¦•• ev + h v ev+\, v + i • •• ev+l.v + t
ev-\-t, 2 • • •
то
A6.1.6)
\K\ = (a + (v-\) b)~t + { (a - &Г'-' I Bt \, A6.1.7)
350
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
где | В t\ — определитель порядка t с элементами
bjU = (a + {v-\)b)(a~ b) ev+!t v+u -
- (о + (у - 1) b) 2 eit 0+ue0+/i,
A6.1.8)
Доказательство. Проведем следующие опера-
ции над | К\-
1. Умножим последние t столбцов на [а + (v — 1) b] X
Х(а— b), а чтобы значение определителя не измени-
изменилось, перед | К I напишем соответствующий множитель.
2. Прибавим к и-й строке 1-ю, 2-ю, ..., (v — 1)-ю
строки.
3. Вынесем множитель [a + {v—\)b] из и-й строки.
4. Умножим v-ю строку на & и вычтем полученное
произведение из 1-й, 2-й, ..., (у — 1)-й строк.
5. Вынесем множитель (а —Ь) из 1-й, 2-й,..., {v — 1)-й
строк,
6. Вычтем из v-й строки 1-ю, 2-ю, .,., (о—1)-ю
строки.
7. Вычтем из (у + 1)-го, (v + 2)-го, ..., (v + t)-ro столб-
столбцов умноженные на соответствующие числа 1-й, 2-й, ...
. . ., v-й столбцы, с тем чтобы обратить в нуль все эле-
элементы, находящиеся в первых v строках и последних t
столбцах.
После этого утверждение леммы становится очевидным.
Если Л = (а//), 1=1, ..., v, /=1, ..., Ь, есть ма-
матрица инцидентности блок-схемы D(v, b, r, k, X), то
обозначим через Аи = (ац), /=1,..., v, /= 1, ..., t,
матрицу инцидентности для некоторых t блоков Bh ..., Bt,
рыбранных в схеме D. Определим теперь матрицу Ct:
u. A6.1.9)
Матрицу Ct назовем характеристической матрицей t
выбранных блоков В{, ..., Bt.
Теорема 16.1Л. Если Ct — характеристическая ма-
матраца любого множества из t блоков, выбранных из
16.1. Метод Коннора
351
уравновешенной неполной блок-схемы с параметрами о,
b, r, k, К, то
1) 1С* |>0, если t<b-v;
2) | ct |= 0, если t>b-v;
3) k(r)
~b+v+i
(г ~
есть квадрат целого
числа.
Доказательство. Определим [(у + t) X 6]-матрицу
Ах формулой
Ах =
где
= (Аи, Ап),
12
= (Я*/). ?=1, ..
t 0 J'
y; /= 1, ..
y; i=t+i..
A6.1.10)
A6.1.11)
6.
Тогда, перемножая матрицы блоками, получаем
AuAu
Al
в л,
A6.1.12)
где B = (r — k)I0 + KJa [см. A6.1.2)]. Применяя лемму
16.1.1, находим, что
= kr~t+](r-l)v't'l\Ct\. A6.1.13)
Из теории квадратичных форм вытекает, что для дей-
действительной матрицы Л, определитель (Л^Г^О, и,
так как k, r, г —К положительны, это доказывает уело-
вне 1 теоремы, т. е. \Ct\^0. Ранг матрицы А\А\ не
превосходит ранга матрицы Л,. Поэтому если t>b — v,
матрица Л1Л[ вырождена, т. е. |Л1Л[| = 0 и |С,.| = 0.
Если t=b — v, то Ах — квадратная матрица и |Л1Л{| =
= | А{ |2. Поскольку элементы Л, — целые числа, то | Л{ |
есть целое число, следовательно, часть 3 теоремы также
доказана.
Формулировка теоремы 16.1.1 по существу равносиль-
на утверждению о том, что форма Q =Q — Lx — ... — Lt
полуопределена. Матрица В{ из A6.1.12) — это матрица
352
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
квадратичной формы:
Qi = QiUi. • • •> х0, уи ..., yt) =
... +L*t A6.1.14)
где г/,, . . ., //^ — дополнительные неизвестные. Для любых
действительных значений х мы можем выбрать уи . ,., yt
так, что L, + ух = ... = Lt + yt = О, и Q, есть положи-
положительно полуопределенная форма тогда и только тогда,
когда форма L?+i + ... +L,l = Q — L*— ... — L2t = Q*
положительно полуопределена.
Определим структурную матрицу St:
St = A]lAn = (sil), i, j=\, ..., t. A6.1.15)
Здесь sa = k, a si}, i ф j, есть число элементов, общих
для блоков Bt и В/. По теореме 10.2.2, если D — сим-
симметричная схема, при / ф j должно быть s{j = к. В этом
случае матрица Ct при любом t равна нулевой матрице,
и получить какую-либо дополнительную информацию,
изучая Ct, не удается.
В разделе 10.1 были определены производные и
остаточные схемы симметричной схемы. Если vu ku Кг —
параметры симметричной схемы D, удовлетворяющие
условию
fe,(fe,-0 = ^@,-1), A6.1.16)
то остаточная схема D, получаемая вычеркиванием из D
некоторого блока Во и всех его элементов, имеет пара-
параметры
о = »,-?], 6=0,-1, r = ku ? = /?,-*.„ Я,=Л„ A6.1.17)
а производная схема D' имеет параметры
v = klt 6 = 0,-1, л = /г,-1, k=Xu Я, = Л,! — 1. A6.1.18)
Естественно возникает вопрос: можно ли схему с па-
параметрами остаточной схемы, указанными в A6.1.17) и
удовлетворяющими условию A6.1.16), вложить в сим-
симметричную схему, добавляя новый блок из k; новых
элементов и ?ц этих элементов к каждому из v{ — 1 бло-
блоков. Это возможно не всегда, как показывает следую-
16.1. Метод Коннора
353
щий пример, принадлежащий Бхаттачария [2]:
v = 16, 6 = 24, г = 9, /г = 6, Я = 3,
A,2,7, 8, 14, 15), C,5,7, 8,11,13), B, 3, 8, 9,13,16),
C,5,8, 9, 12,14), A,6,7, 9, 12, 13)% ( 2, 5, 7,10,13,15),
C,4,7, 10, 12, 16), C,4,6, 13, 14,15), ( 4, 5, 7, 9,12,15),
B,4,9,10,11,13), C,6,7,10,11,14), ( 1, 2, 3, 4, 5, 6),
A,4,7, 8,11,16), B,4,8,10, 12, 14), ( 5, 6, 8,10,15,16),
A,6,8, 10, 12, 13)*, A,2,3, 11,12, 15), ( 2, 6, 7, 9,14,16),
A,4,5, 13,14,15), B,5,6, 11,12, 16), ( 1, 3, 9,10,15,16),
D,6,8, 9, 11, 15), A,5,9, 10, 11, 14), A1, 12, 13, 14, 15, 16).
A6.1.19)
Здесь блоки, помеченные звездочкой, имеют по четыре
общих элемента, а два подчеркнутых блока совсем не
имеют общих элементов. Если бы можно было добавить
новый блок из 9 элементов и по три из этих элементов
к каждому из имеющихся 24 блоков, чтобы образова-
образовалась симметричная схема D с vr = 25, ^=9, Я] = 3, то
любые два блока в D имели бы точно три общих эле-
элемента. Но блоки, отмеченные звездочкой, уже имеют
четыре общих элемента, поэтому дополнить схему до
симметричной невозможно.
Мы можем сформулировать условия, при которых
вложение осуществимо.
Теорема 16.1.2. Схема D с параметрами, удовле-
удовлетворяющими условиям
r = k + K, vh = k(k + h-l), bk = (k + X){k + X-l), A6.1.20)
может быть вложена как остаточная схема в некоторую
симметричную схему в том и только в том случае, если
мы можем найти в D множества блоков Sjt /=1,..., k + K,
такие, что:
1) каждое 5;- состоит из k + X—l блоков D;
2) блоки из некоторого Sj в совокупности содержат
каждый элемент X раз;
3) любые два различных множества Sh Sj содержат
в точности к — 1 общих блоков;
23 М- Холл
354
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
4) любой блок схемы D входит точно в X множеств Ss.
Доказательство. Присоединим к D новые эле-
элементы хь ..., хк+к и новый блок Во, содержащий эти
элементы. Присоединим, кроме того, новый элемент X]
к каждому блоку из Sh Из свойств 1) —4) в формули-
ровке теоремы вытекает, что блок Во и блоки Bt,
/=1, ..., Ь, где Bi есть блок В, из D с добавленными
к нему элементами xt, образуют симметричную схему
с параметрами и, = v + k + Я, kx = г, Х{ = %, Обратно, если
из симметричной схемы* с параметрами у,, ku Я, удалить
блок Bq и его элементы, то остается схема D, пара-
параметры которой удовлетворяют A6.1.20). Если х\,..., Xk: —
элементы блока Во, то множество тех блоков, из кото-
которых удален элемент х/, обозначим через 5;-. Множества
Si, ..., Sfc, обладают свойствами, указанными в фор-
формулировке теоремы.
Пример Бхаттачария показывает, что вложение воз-
возможно не всегда. Мы докажем теорему о том, что вло-
вложение возможно, когда X = 1 или Х = 2.
Теорема 16.1.3. Пусть vu ku Л, удовлетворяют
соотношению kx {kx — 1) = A,L (о, - 1), и пусть дана схема D
с параметрами v=vx—kb b = vx—\, r = fe,, k = kx—kx,
Я = ЯЬ причем Я=1 или 2. Гог<?а D может быть вло-
вложена как остаточная схема в симметричную схему
с параметрами vu k{, hv
Доказательство. При к=\ это есть вложение
конечной аффинной плоскости в конечную проективную
плоскость, а этот результат уже был доказан в тео-
теореме 12.3.3. При А = 2 доказательство значительно услож-
усложняется и опирается на применение теоремы 16.1.1. В
основе его— установление следующей леммы.
Лемма 16.1.2. Каждая блок-схема D с парамет-
параметрами, для которых выполнены соотношения
V =
2, X = 2,
A6.1.21)
16.1. Метод Коннора
355
удовлетворяет условиям теоремы 16.1.2 и потому может
быть вложена в симметричную схему. Это вложение
единственно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Если k = 2, параметрами схемы
будут у = 3, Ь — 6, г = 4, k=2, Я = 2, и схема три-
тривиальна:
A,2) A,3) B,3).
A6 122)
Пусть X], х2, х3, х4 — новые элементы, и мы имеем по
существу единственное вложение в симметричную схему
с параметрами v — b = 7, r~k — A, X = 2:
(х г
(jCg, X4)
(Xj, Xo,
, 1,
1,
1,
2);
2);
3);
(x x ]
f у. у П
/y. y. Q
3);
3);
3).
A6.1.23)
Эта симметричная схема — дополнение') к проективной
плоскости PGB, 2), параметры которой v = 7, k = 3,
Я=1. С этого момента мы будем предполагать, что
?>3.
Доказательство начнем с рассмотрения структуры
пересечения данного блока Во с остальными Ь — 1 бло-
блоками схемы D. Пусть ггг — число блоков из ?},, ..., Вь-\,
имеющих в точности i элементов, общих с Во. Тогда
выполняются следующие соотношения:
k
A6.1.24)
--k* + kt A6.1.25)
l-k) = k2-k. A6.1.26)
') См. конец раздела 15.5.— Ярил. ред.
23*
356
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
В первом из этих равенств просто подсчитывается
число остальных блоков. Пусть
B0 = {ai, ..., ak),
тогда второе равенство отражает тот факт, что каждый
из элементов аь ..., ak появляется г—1 раз в осталь-
остальных блоках, а в каждом блоке Bjr имеющем с Во i об-
общих элементов, фиксируется i появлений элементов из BQ.
Если В} имеет i общих с Во элементов, то он содержит
i(i— l)/2 неупорядоченных пар (ат, ап) элементов из Во,
т, п=\, ..., k, тфПу каждая из которых должна
появляться всего Л—1 раз в остальных блоках. Это об-
обстоятельство учитывается в третьем из равенств. Из
этих соотношений получается, что
ft
t=0
или
[i (t - 1) - 2/ + 2] щ - k2 - k - 2 (k2
2
?-0
(/-l)(i-2)^ = 0.
A6.1.27)
A6.1.28)
При i=0 или />2 коэффициент (i — \)(i — 2)>0, по-
поэтому tii= 0 при i ф 1,2. Соотношения A6.1.24), A6.1.25)
показывают, что я, = 2k, n2 — (k2 — k)/2.
Назовем два блока связанными, если они имеют
один общий элемент, и дважды связанными, если они
имеют два общих элемента. Сформулируем полученные
результаты в виде леммы.
Лемма 16.1.3. Если в схеме D задан блок Во, то
среди остальных Ъ — 1 = {k2 + 3&)/2 блоков 2k блоков
связаны с Во и (/г2 — k)/2 блоков дважды связаны с Во,
Рассмотрим теперь структуру пересечения двух бло-
блоков с остальными 6 — 2 блоками. Выделим блоки Вх
и В2. Пусть
с г и . , f = 1 или 2, A6.1.29)
Здесь zy или zx, z2 — элементы, общие для В, и В2,
в зависимости от того, являются ли В{ и В2 связанными
16.1. Метод Коннора
357
или дважды связанными. Остальные блоки пересекаются
с В) и В2 Цо одному или двум элементам, но мы заме-
заметим, что при t = 2 не может быть других блоков, содер-
содержащих одновременно z{ и z2, так как X = 2. Таким обра-
образом, схему пересечений можно задать следующим
образом:
х,: {zh, at, bs, ...}; ух\ {ah at, bs, bm ...};
x-2- {z/i, au ...}; У%- Ы> «/» bs, ...};
л"з: {г'л» pJ5 •••/; Уз- \ah t>s> °ui •••/;
Здесь ЛГ|, ..., x4, г/ц ..,, г/4 обозначают числа блоков,
имеющих в точности указанный характер пересечения
с В, и В2. Эти числа удовлетворяют следующим соот-
соотношениям:
*i + х2 + Л'з + Х4 = *&, г/, + у2 + i/3 +1/4 = о"" ife»
= f (k - t),
2f/3
(k-t)(k-t-\)
2 '
ij4 = 2(k-tJ. A6.1.31)
Здесь ,t| + x2 + А'з + х4 дает число появлений z{ и ^
в остальных блоках; ух + у2 + г/з + У к дает число блоков,
не содержащих ни zu ни zt. Далее х: + х2 дает число
появлений в остальных блоках всевозможных пар zh,
ah h=\, t; ,v, + x3 — соответствующее число для пар
вида zh, bs, h = 1, /; yx + y2 — для пар вида ah af, У\+Уз~^
для пар вида bs, bu; в последнем равенстве дается число
пар ah bs, i, s = 1, ..., k — t; так как К = 2, каждая такая
пара появляется дважды в остальных блоках. Решения
этой системы уравнений таковы:
1
-
/t ™™ Ort J О
х
А,
y2 = k-2 + x
у3 = й - 2 +
г/4 = /г - х4.
it
A6.1.32)
24 М. Холл
358
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
х - 2k - 8 + хА,
2 = А- х4,
3 = 4 - лг4,
ft2 - Ш + 22
у3 = 2k - 8 + х4,
A6.1.32)
Заметим, что хотя значение хА не определено, мы знаем,
чему равна сумма x4 + yit — это число остальных блоков,
которые связаны как с Bh так и с В2. Аналогично хъ + у3,
х2 + у2 и х{ + ух также известны и дают точное число
остальных блоков с предписанным типом связи с бло-
блоками Вх и В2, Сформулируем полученные результаты.
Лемма 16.1.4. Если Вх и В 2 — связанные блоки, то
существует k блоков, которые связаны как с Ви так и
с В2, k — 1 бЛоков, связанных с Вх и дважды связанных
с В2, k—l блоков, дважды связанных с Вх и связан-
связанных с В2, и (k2 — 3k + 2)/2 блоков, дважды связанных
как с Ви так и с В2. Если В\ и В2 дважды связаны,
то эти числа принимают соответственно значения
4, 2ft-4, 2k -4
A6.1.33)
л
56 =
16.1
'ft
1
1
1
1
.2
емма 16.1.5.
. Метод
1
ft
1
2
2
1
В
должно быть 545 —
1
1
k
2
1
sV
2 и
Коннора
1
2
2
545
2
в
1 2"
2 1
2 1
s45 2
ft 2
2 ft_
359
A6.1.34)
доЛЖНО бЫТЬ S45=\]
Ss доЛЖНО бЫТЬ S45= 1
и (&2-5?
В матрице Ct из A6.1.9) элементы равны
сп = г (г - Я) + %k - rk = (r - k) {r - Я),
/-1 t\
c}u = Xk-rsJa, j Фи, j,u=lt...,t,
где sIa — соответствующий элемент в 5;. В нашем случае
r = ft + 2, Я = 2и в силу леммы 16.1.3 s{a= 1 или 2. Следо-
Следовательно, су/= 2ft и ciu — k — 2, если sju=l, и с}и=— 4,
если s/a = 2.
Применим теорему 16.1.1 в трех частных случаях:
Доказательство. Вычислим определители \Ct\,
соответствующие этим структурным матрицам; исполь-
используя A6.1.33), находим, что
![Св0) | = 4 (ft + 2J Bft - с45) [(ft - 1) с45 + 2 (ft -
4)],
(ft-2)(ft2-ft-18)],
Замечаем, что если с45= — 4 в
ft
1
1
2
2
1
ft
1
1
1
1
1
ft
1
1
2
1
1
ft
2
1
1
«45
sg> =
~k
1
1
1
л
i
ft
1
2
1
1
1
ft
2
1
1
2
2
ft
2
1
«45
ft
A6.1.35)
или !C6j либо
то определитель отрицателен. По
теореме 16.1.i получаем утверждение леммы.
Пусть В{ — некоторый блок, а В2— блок, связанный
с Bj. Тогда по лемме 16.1.4 первые две строки струк-
структурной матрицы всей схемы могут быть представлены
в форме
A6.1.36)
где столбцы слева направо соответствуют блокам В\,
В2 Вь; мы упорядочили множество столбцов и под-
подразделили его на подмножества из 2, ft, ft—I, ft—1,
(ft2 —3ft + 2)/2 столбцов в соответствии с типами связи
блоков с фиксированными блоками В{ и В2- Если Bz — про-
произвольный блок, связанный с В{ и В2 одновременно, то
схема первых трех строк имеет вид
24*
ft
1
1
ft
1
1
1 ...
1 ...
1
1
1
2
... 1
... 2
2
1
... 2
... 1
2
2
... 2
... 2,
360
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
\\k
1
1.
i.
i
..i
.л
i
l.
2.
1
..1
..2
1
2.
1.
1
..2
..1
1
2.
2.
1
..2
..2
о
1.
1.
2
.Л
..1
2
1.
2.
0
.Л
..2
О
^ i
2.
1.
о
..2
• Л
2...2
2...2
2...2
A6.1.37)
К этой схеме, учитывая, что В3 связан и с 5„ и с Bit
применим лемму 16.1.4. Пусть число столбцов вида
1 в A6.1.37) равно /. Тогда разбиение в A6Л.37)
L 1 J
происходит на 3, /, k-l-j, k-l-j, j, k-\-j, j, j
и (k — 3k + 2)/2 — / столбцов соответственно. Рассмотрим
следу ющие^блоки: Ви В2> ?3> / блоков с тремя первыми
строками
.2.
в A6.1.37) и k—\—j блоков стремя
первыми строками
структурную матрицу
в A6.1.37). Образуем для них
к
1
1
1
1
2
•
_2
1
k
1
2
*
2
1
¦
1
1
1
k
2
•
2
I
•
1
1
2
2
• . •
¦ • ¦
F
GT
1
2
2
2
1
1
• * .
• » *
G
H
2~
\
1
A6.1.38)
Рассматривая В{, В2, В3 и любые два блока с
, мы
получаем матрицу вида S^ из леммы 16.1.5; таким
16.1. Метод Коннора
361
образом, каждый недиагональный элемент в Н равен 1.
Аналогично можно получить матрицу вида Sf\ и лемма
16.1.5 показывает, что каждый элемент в G и GT равен 2'.
Точно так же, если k — 1 — />0, образуем матрицу вида
5б и получим, что всякий недиагональный элемент в F
равен 1. Поскольку Q^j^k—l, исключен лишь слу-
случай j=k~-\. Вычислим детерминант \Ck+2\'
A6.1.39)
| = 0. От-
Так как k + 2> b — v, по теореме 16.1.1
сюда заключаем, что если кф§, то
/ = 0, k - 2 или k - 1.
A6.1.40)
Последнее значение, / = ?—1, соответствует случаю,
в котором нельзя получить матрицу S6. Исключим к = 6
из дальнейшего рассмотрения. Специальное доказатель-
доказательство для этого случая дано в первой работе Коннора [1].
Рассмотрим часть структурной матрицы нашей
схемы D, состоящую из блоков, связанных с В{:
В\ В2 Во, Б4 ... fife+2 Sft+з • • • В2и+\
k
1
1
1
щ
1
1
1
¦
. 1
1
k
1
1
t
1
2
2
•
2
1 1 ... 1
1 1 ... 1
A
BT
1 1 ... 1
2 2 ... 2
В
С
A6.1.41)
Здесь В имеет k строк и k — \ столбцов. Так как
В.к+3, ..., B2k+i связаны с В„ каждый из столбцов
362
f.d. 16. Теорщы о пополнении и вложении
k + 3, ..., 2&+1 в A6.1.41) содержит, помимо 1 и 2
в первой и второй строках, в точности к единиц и к — 2
двоек. Поэтому каждый столбец подматрицы В содержит
не менее двух единиц, и поскольку 2(k — \)>к, в В
дояжна существовать хотя бы одна строка, содержащая
не- менее двух единиц. Пусть блоки перенумерованы
так, что такая строка является третьей и соответствует
блоку Въ, В обозначениях A6.1.37) при таком выборе В3
Г
мы имеем к—\ — \ столбцов
2
L 1 J
, причем к — 1 — /^ 2,
или j^.k~ 3. В силу A6.1.40) это возможно только при
/ = 0. Поэтому A6.1.41) принимает следующий вид:
В
!
2
3
4
fe+2
A+3
2k+ 1
В i
k
1
1
1
¦
1
1
•
1
B2
1
k
1
1
*
1
2
•
2
B3
1
1
2
•
2
1
•
1
B4
1
1
2
• • • Bfe+2
... 1
... 1
... 2
A
BT
Вк+з
1
2
1
. •»
,,,
...
В
С
B2k+i
1
2
1
A6.1.42)
В
в
в
Рассмотрим структурную матрицу для блоков В3, В„
В2, Bit Bj при любых i, /, 4^ i, j^.k + 2. Это матрица
вида S{i] [см. A6.1.34)] и по лемме 16.1.5 stt—l, 1ф\.
Следовательно, все недиагональные элементы в Л —
единицы. Каждая строка, соответствующая блокам
??4, ..., Bk+2, содержит в точности к + 1 единиц, поэтому
каждая строка в В содержит одну единицу, а все осталь-
остальные ее элементы —двойки. Это показывает, что наш
выбор блока В3 со строкой, содержащей не менее, двух
16.1. Метод Коннора
363
единиц в столбцах fe + 3, ..., 2k+\, был фактически
единственно возможным. Если взять блоки
В2, Ви В3, Bh В, сНЗ</, /<2/г + 1,
то для них структурная матрица имеет вид S(?) и по
лемме 16.1.5 каждый недиагональный элемент в С
равен 1. Отсюда также следует, что в каждом столбце
подматрицы В найдется в точности одна единица. Можно
так перенумеровать Bfe+3, ..•• B2k + U что все единицы
в В лежат на главной диагонали, так как в каждой
строке и в каждом столбце матрицы В имеется в точ-
точности одна единица.
Предыдущие рассмотрения показывают, что блоки
множества
S^fBi, В2, ВА, В5, ..., Bk+2)
связаны друг с другом, и то же самое верно для бло-
блоков множества
S2~{BU B3, Bfc+з» Bk+A, ..., B2k+it-
Полученные результаты можно сформулировать сле-
следующим образом.
Лемма 16.1.6. Любой блок Вх и 2k связанных
с ним блоков единственным способом распределяются
по двум множествам 5, и S2, имеющим только один
общий блок Вь каждое из которых состоит из k+ 1
попарно связанных блоков.
Доказательство. Все, что требуется для дока-
доказательства леммы, — это установить единственность под-
подразделения блоков Вх, В2, ..., B2k+\ на множества 5(
и S2. Если нумерация блоков Вь+3) ..., B2k+{ такова,
что единицы в матрице В из A6.1.42) лежат на главной
диагонали, то Bt и Bi+k-x при i = 4, ..., k + 2 связаны,
так же как В2 и В5. С другой стороны, любые Bt ф В{
из S, и В}ФВХ из S2 дважды связаны. Поэтому мно-
множество из k + 1 попарно связанных блоков единствен-
единственным образом определяется блоком Вх и любым связан-
связанным с ним блоком; при этом получается либо
множество Su либо множество S2.
364
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
Мы можем теперь продолжить доказательство тео-
теоремы 16.1.3. Для доказательства этой теоремы доста-
достаточно найти множества Sj со свойствами 1) —4), ука-
указанными в теореме 16.1.2. Для каждого блока мы
определили множества S{ и S2, обладающие по лемме
16.1.6 свойствами 1) и 4). Пусть « — общее число таких
множеств. Так как имеется всего b = (k + \)(k + 2)/2
блоков и каждый из этих блоков находится точно в двух
множествах, содержащих по к+l блоков, число п
должно удовлетворять соотношению 2Ъ = n(k+ 1), следо-
следовательно, n — k + 2, как и требуется в теореме 16.1.2.
Далее, любой блок является единственным общим бло-
блоком для двух множеств S, содержащих его. Поскольку
п = k + 2, отсюда следует, что совокупность п (п — 1)/2 = Ь
пересечений множеств S включает каждый блок в точ-
точности один раз. Это есть свойство 3) теоремы 16.1.2.
Докажем теперь свойство 2) теоремы 16.1.2. Пусть
mt — число элементов, появляющихся / раз в каком-либо
множестве Sj. Тогда справедливы следующие соот-
соотношения;
i = о =
k{k+\)
2 ,
«-о
k+l
2*
A6.1.43)
Первое соотношение означает, что каждый элемент
схемы учитывается точно один раз при некотором тс
второе соотношение получается путем подсчета общего
числа элементов в k + 1 блоках множества S/; третье
получается путем подсчета общего числа элементов
в пересечениях k+ 1 блоков из Sj, если при этом иметь
в виду, что любые два блока из 5/ связаны. Эти со-
соотношения приводят к равенству
А+1
23 (* - 2J т, = 0. A6.1.44)
16.2. Коположительные и вполне положительные формы 365
Так как, конечно, mf^0 при любом /, отсюда следует,
что nij = 0 при }Ф2 и m2=v. Это есть свойство 2),
и доказательство теоремы завершено. В силу единст-
единственности построения множеств Sj вложение в теореме
16.1.3 также единственно.
16.2. Коположительные и вполне положительные
квадратичные формы
Метод Коннора не использует в полной мере инфор-
информацию, содержащуюся в неявном виде в уравнении
A6.1.5), которое мы перепишем здесь снова;
?? ... +Ll, A6.2.1)
где Q и Lu .... Lt известны, a Li+U ..., Lb неизвестны.
Коннор использует тот факт, что форма Q* должна быть
положительно полуопределенной. Методы Брука — Рай-
зера — Човла основываются на рациональности форм
Lt+l, ..., Lb. Но в нашем распоряжении также инфор-
информация другого рода, а именно Lt+b ..., Lb — линейные
формы с неотрицательными коэффициентами (точнее,
с коэффициентами 0 или 1). При этом естественно воз-
возникает вопрос, насколько ограничивающей является эта
информация. Конечно, Q* — положительно полуопреде-
полуопределенная форма, имеющая неотрицательные коэффициенты.
Но для квадратичных форм пяти или более переменных
этих двух свойств недостаточно, чтобы гарантировать
возможность представления Q* в виде суммы квадратов
линейных форм, имеющих неотрицательные коэффици-
коэффициенты.
В качестве примера рассмотрим следующую форму:
= х\
х\
Из лервого представления Q видно, что она имеет
положительные коэффициенты, а из второго — что Q
366
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
полуопределена. Но мы покажем непосредственно, что Q
не может быть представлена в виде суммы квадратов
неотрицательных линейных форм. Предположим от про-
противного, что
... +L2r+L2r+i+ ...
A6.2.3)
где линейные формы L имеют неотрицательные коэф-
коэффициенты и перенумерованы так, что /,,, ..., LT — формы,
в которых как л:3, так и хА имеют положительные коэф-
коэффициенты. Так как в Q нет членов с х{х3, х2х4 и х3х5,
формы Lu ..., LT должны иметь нулевые коэффициенты
при хъ х2 и xs, т. е. Li = ui3x3 + ицх4, и/3>0, иц>0,
i=l, ..., г. Следовательно,
L\ + ... + L2r = Axl + у х3хА + Bxl A6.2.4)
Если обозначить
Q, = Q,(*i *5)=^+1 + ••• +L*, A6.2.5)
то A6.2.3) принимает вид
Q(xlt ....
Полагаем
1~
xs). A6.2.6)
„ _
2
3 ~
ДГ3
2 ' 2 4 ' 3 ~ 4
Эта подстановка не изменяет A6.2.4), a Q сводится
-з
(*з+*4J [см. A6.2.2)]. Следовательно, A6.2.6) при-
принимает вид
4
При этой подстановке свойство полуопределенности
формы QE сохраняется, так что 0<Л<-™, 0<В<-|.
Теперь, полагая в A6.2.4) х3= \, хА~ — 1, получаем
-4 + 4=-1, A6.2.9)
16.2. Коположительные и вполне положительные формы 367
что невозможно. Следовательно, предположение A6.2.3),
что Q можно записать в виде суммы квадратов неотри-
неотрицательных линейных форм, неверно. Поэтому свойство
формы Q* в A6.2.1) быть представимой в виде суммы
квадратов неотрицательных линейных форм является,
вообще говоря, более сильным, чем свойство быть поло-
положительно полуопределенной формой, имеющей неотри-
неотрицательные коэффициенты.
Чтобы продолжить рассмотрение общей задачи,
введем следующие обозначения:
хп)=
A6.2.10)
и, если не возникает двусмысленности, можно A6.2.10)
записывать сокращенно <3=2а</*1*/' Условие ?^^0
означает, что
Lf=uuxl + ... +unixn, «si>0, s=l n, A6.2.11)
и x={xl, ..., xn)~^0 означает, что
*,>0, i=l n. A6.2.12)
Определение. Квадратичная форма Q = Q{xu ...,xn)
называется вполне положительной, если Q можно пред-
представить в виде
Q=2}l2, ^/>0, i=l,..., N. A6.2.13)
Определение. Квадратичная форма Q=Q(xlf ...,xn)
называется неположительной, если Q{xu ..., хп)^0, как
только(лГ[, ..., хп)^0.
Квадратичной форме Q{xlf .... xn) = ^lai}xixi можно
поставить в соответствие точку евклидова пространства
Ет, где т = {п2 + п)/2, следующим образом:
п
\а) ^ ^^J dijXiXj *<
f, /=1 _
Hi ^22i • • -i ann> V ^ ^12» • " •> V * al«> ' • '• ' an-\,n)'
A6.2.14)
$68
Гл. /(?. Теоремы о пополнении и вложении
При этом соответствии каждой квадратичной форме от п
переменных соответствует единственная точка в Ет,
и обратно. Будем применять терминологию выпуклых
Пространств и теоремы о них (см. гл. 8).
Теорема 16.2.1. Пространства неположительных
квадратичных форм от п переменных и вполне положи-
положительных квадратичных форм от п переменных — замкну
тые выпуклые конусы. Каждое из них является двойст-
двойственным конусом другого.
Доказательство. Если Q, и Q2—коположительные
квадратичные формы, то непосредственно из определе-
определения следует, что Qi + Q2 и bQu &>0, также коположи-
тельны. Поэтому коположительные квадратичные формы
образуют выпуклый конус. Пусть квадратичная форма Q
есть предел последовательности неположительных форм
Qk> k=l, 2, ... (где предел определяется в терминах евкли-
евклидовой метрики в Ет). Тогда для точки х = (хи ..., хп)^0
в Еп каждое Qk(xlt ..., хп)>0, и поскольку квадра-
квадратичные формы— непрерывные функции своих коэффи-
коэффициентов, отсюда следует, что Q{x{, ..., хп) ^ 0. Следо-
Следовательно, Q коположительна, и пространство [кополо-
жительных квадратичных форм замкнуто.
Аналогично если Q{ и Q2 вполне положительны, то
по определению Q1 + Q2 также вполне положительна.
Если Qj = L2+ __ +?2^ L.>0 и &>0, то при с>0,
таком, что c2=b, bQi = (cLlJ
С
+(cLNJ, где
Следовательно, вполне положительные квадратичные
формы образуют выпуклый конус. Замкнутость этого
конуса уже несколько менее очевидна. Для доказа-
доказательства замкнутости нам нужна следующая лемма.
Лемма 16.2.1. Если Q= Q(x{, ..., хп) = L?+ .. .
... + LNt где Li^Q, г=1, ..., N, то Q имеет также
представление этого же вида с N < 2".
Доказательство. Пусть две из форм L{ имеют
положительные коэффициенты в точности при одних и
тех же переменных х}. Перенумеруем индексы таким
образом, чтобы эти формы были Lx и L2, а перемен-
перемен16.2. Коположительные и вполне положительные формы 369
ные — хи ..., xs. Тогда имеем
I2 = dxxx + ... + dsxs, di>Ot I = 1, ..., s.
Если теперь, 0 — некоторый угол, то имеет место
тождество
L] + h\ = (L[ cos 0 + L2 sin 9J + (- L\ sin 9 + L2 cos 0J =
= Lf + L?. A6.2.16)
При любом 9 из первого квадранта Z-i имеет положи-
положительные коэффициенты, а при достаточно малом 9 это
верно и для L.2, хотя при 9 = я/2 у формы L'2= — Ц
все коэффициенты отрицательны. Поэтому, когда 9 воз-
возрастает от 0 до л/2, найдется значение 0, при котором
по крайней мере один коэффициент в Lo обращается
в нуль, а ненулевые коэффициенты в Ь'г остаются по-
положительными. При этом значении 0 форма L\ имеет
положительные коэффициенты при тех же самых пере-
переменных, что и Lit a L.2 — для меньшего числа перемен-
ных. Таким образом, в выражении Q = L\ + ... + Lff
с ij^O мы можем предположить, что ни одно из Lt
не есть тождественный нуль и что никакие две линей-
линейные формы не могут иметь положительные коэффи-
коэффициенты в точности при одних и тех же переменных.
Следовательно, Л^ не больше числа различных непустых
подмножеств множества из п элементов, т. е. N < 2".
По одной общей теореме о выпуклых конусах, здесь
не приведенной, получается следующая граница для
N: N < m == (п2 + п)/2 — размерности пространства, но гра-
граница N <2п достаточна для наших целей.
Если теперь Q = Q(xu ..., хп) есть предел последо-
последовательности Qk (k— I, 2, ...) вполне положительных
квадратичных форм, то каждое Qk можно представить
в виде суммы квадратов N неотрицательных линейных
форм, где N < Т. Если коэффициенты форм Qk при
k^kQ отличаются от коэффициентов формы Q менее
чем на 7г> то коэффициенты этих N линейных форм
равномерно ограничены, и для последовательности Q^
370
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
формы Lu ..., Ln имеют пределы, являющиеся неотри-
неотрицательными линейными формами, сумма квадратов ко-
которых равна Q. Таким образом, Q вполне положительна,
и конус вполне положительных форм — замкнутый конус.
Если (си ..., с„)^0, то по определению
Q2={cixl+ ... + спхпJ = 2 ctC]Xtx, = 2 bilxixl A6.2.17)
— вполне положительная форма.
Пусть Qi= ^jaijXiXj — квадратичная форма. Если
Яи 42 — точки в Ет, соответствующие Q[ и Q2, то ска-
скалярное произведение (qu q2), согласно A6.2.14), равно
annbnn
... +2а„_.,, „&„_,, n = 2iaijblh i, /=1, .... «. A6.2.18)
Если bi} = cicj, как в A6.2.17), то
(<7i> <7а) = 2 ««/CfC/. A6.2.19)
Предположим теперь, что Qj обладает тем свойством,
что (<7i, 92) s^ 0 ПРИ всяком Q2 вида
Q2 = I2 = (cjXi + ... + crtxj2, (с„ ..., cn) > 0.
Тогда из A6.2.19) следует, что
2 aijcicj > 0 при (с„ ..., с„) > 0. A6.2.20)
Это равносильно утверждению, что Q[ коположительна.
С другой стороны, если
то из (^р ?21))^^> г==Ь •••» '» и билинейности скаляр-
скалярного произведения следует, что (qu q2)^0. Это пока-
показывает, что если Н — конус вполне положительных
квадратичных форм, то Я* есть конус коположитель-
ных форм. Поскольку Н — замкнутый выпуклый конус,
отсюда по теореме 8.1.5 следует, что (//*)* = Я. Это до-
доказывает, что конусы коположительных и вполне поло-
положительных форм двойственны один другому. Тео-
Теорема 16.2.1 полностью доказана.
16.2. Неположительные и вполне положительные формы 371
Заметим, что для множеств А и В в Ет
А^В влечет за собой A* s B\ A6.2.21)
Это утверждение следует непосредственно из определе-
определения двойственности, так как если (х, у)^0 для данного
х и всех #еЛ, то, разумеется, (аг, у)>0 для всех у^В.
Таким образом, х^ А* влечет за собой х е В\
Для любых двух множеств А и В в Еп пусть А [\ В
есть множество точек, общих для А и В, а. А + В —
множество всех точек а + Ь, ае А, Ь е В.
Лемма 16.2.2. Если Сх и С2 — два замкнутых вы-
выпуклых конуса, то Ci Л С2 и С\ + С2 — также замкнутые
выпуклые конусы и (С1 + С2)* = С\ Л С*2, (Сх Л C2J =
Доказательство. Проверка того факта, что
С{ЛС2 и С{ + С2~-замкнутые выпуклые конусы, три-
тривиальна. Рассмотрим (Ct + С2)*. Так как Сг^С\ + С2 и
С2я±Сх + С2, из A6.2.21) следует, что (CL + C2y<=C] и
(С1 + C2J s С^. Поэтому (Ct + С2у^С1 Л С*. Пусть теперь
у е С| Л С2. Любая точка # е Ci + C2 может быть пред-
представлена в виде х = х{ + лг2, #i ^ С и х2 ^ С2. Поэтому
(х, у) = (х 1 + х2, у) = (xt, у) + (х2, у). Так как {хи у) > 0 и
(^2» i/) ^ °» то (л, г/) > 0 и ^ е (Cj + C2)\ Таким образом,
CJ Л С\ S (Ci + C2)\ и из двух противоположных включе-
включений получаем, что (С, + С2)* = С\ Л С*. Используя это
равенство, по теореме 8.1.5 находим, что
Отсюда
(с, л с2)*=с; + с;,
т. е. установлено и второе соотношение леммы.
Обозначим класс вполне положительных квадратич-
квадратичных форм через В; мы используем это обозначение
ввиду связи этого класса с блок-схемами. Класс копо-
коположительных форм обозначим через С. Еще два класса
связаны с этими классами — класс Р форм с положи-
положительными коэффициентами и класс S полуопределен-
полуопределенных квадратичных форм.
372
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
Лемма 16.2.3. Каждый из классов Р и S двои'
ствен самому себе.
Доказательство. К^ласс Р, очевидно, — замкну-
замкнутый конус, В Р возьмем'формы Qrs с brs = I, bl{ = 0
в остальных случаях. Если теперь Q= 2 я*/***/ и QeP",
то
{q, qrs) = ars или 2ar
rs
и aTs^ 0. Следовательно, Qe Р и Р = Р*. Класс S также,
очевидно, замкнут. Пусть
QQ = {cxxl+ ... +спхпJ
— произвольная форма ранга 1 в S. Если Q=
и Q^S*, то
0/> <7о) = 2 <ЗДС/ > 0.
Это означает, что Q неотрицательна для всех действи-
действительных значений хи ..., хп. Следовательно, Qg5 и
S = S\
Так как каждая положительная форма и каждая
полуопределенная форма коположительны, мы имеем
C=>P + S. A6.2.22)
По теореме 16.2.1 С = В и В*=С, а леммы 16.2.2 и
16.2.3 дают
B=C*<=(P + Sy = P*[\S* = P()S. A6.2.23)
Равенство в соотношении A6.2.22) влечет за собой ра-
равенство в соотношении A6.2.23), и наоборот. Диа-
йанда [1] доказал, что C = P + S для форм с числом
переменных не больше четырех, но пример A6.2.2) по-
показывает, что для пяти переменных классы В и Р [\ S
не совпадают.
Легко определить экстремальные точки (экстремаль-
(экстремальные формы) для классов Р, S и В.
Теорема 16.2.2. Экстремальные формы для
класса Р положительных форм, класса S положительно
Нолуопределенных форм и класса В вполне положитель-
положительных форм следующие:
16 2. Коположитвльные и вполне положительные формы 373
1. Для класса Р
ах], а > 0; bxrx., Ь > 0, 1
i, /= 1, ..., п.
2. Для класса S —формы ранга 1
(ctx,+ ... +спхпJ,
где ct — действительные числа, не равные одновременно
нулю.
3. Для класса В —формы ранга 1
{С1Х1 + . . . + CnXaf, Ct > 0, i = 1, . , ., П,
где Ci — действительные числа, не равные одновременно
нулю.
Доказательство. Для класса Р справедливость
утверждения получается непосредственно. Для класса S
каждая форма может быть записана в виде
Q=L]+ ... +L2t.
Пусть Q=(ciX1+ ... + спхпJФ0. Если не каждая Lt
есть скалярное кратное формы Lo = cixl + ... + спхп,
то мы можем найти числа хх хп, не равные одно-
одновременно нулю, такие, что LQ—0, а некоторое Ъьф^.
Но так как Lq=L2i+ ... + L2t, получаем противоречие.
То же рассуждение годится и для класса В. Так как
формы для классов Р, S, В могут быть выражены
в виде суммы конечного числа перечисленных экстре-
экстремальных форм, отсюда следует, что этими последними
исчерпываются все экстремальные формы соответствую-
соответствующих классов.
Экстремальные формы класса С до сих пор не опи-
описаны. В следующей теореме указываются некоторые
из них.
Теорема 16.2.3. Совокупность экстремальных форм
класса С коположительных форм от х{, ..., хп вклю-
включает следующие формы: ах], а>0, i= 1, ..., п, bxtxr
b>0, i?=j, i, /-1 n, и (U-V)\ где
U
atuh V =
at > 0, bt > 0, г > 1,
25 М. Холл
374
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
и {«!, «2. •••! щ) и {уи У2> •••» vs} — непересекающиеся
подмножества множества {хх, ..., л^}. 5т« формы —
экстремальные точки в Р + S.
Доказательство. Если Q= 2#//**#/ кополо-
жительна, то при я*—1, Х] = 0, }Ф1, имеем Q = a^^0.
Далее, если в форме
Q = аих\ + 2а^х, = х, (atixt + 2aijXj)
с anj>0 и aij<0 взять #у = 1 и X/ = е>0 достаточно
малым, то Q<0. Следовательно, если в коположитель-
ной форме пц — 0 или ajj = 0, то пц ^ 0.
Допустим теперь, что аггх2т = Q, + Q2, где Qt и Q2
коположительны и
Тогда при /
Q2
b]t^0, С//>0 и ЬП
следовательно, 6;-/ = Cjj = 0. Точно так же btj ^ 0, с^ ^ 0,
6iy 4- с/у- == 0 во всех случаях с i^j, поэтому Ь^ = с^ = О.
Таким образом,
Q^brrxjt Q2=crrxft brr, crr>0,
т. е. форма Q=arrx2r экстремальна. Аналогично пусть
Q = arsxrxs, гфэ, и Q = QX + Q» Ql = 1ibljxixl, Q2 =•
= 2 citxiXjt где Qj и Q2 — коположительны. Для любого /
Ъц^0, сн^0 и &^ + сп = 0, следовательно, bit — са — 0.
Сделанное выше замечание показывает, что Ьц ^ 0,
Ci/^0 для всех 1ф\. Тогда, исключая случай i = r,
/ = s, имеем bts = Сц = 0. Следовательно, Qx = 2brsxrxs>
Q2 =* 2с„л:гх5 и форма аГ5хгл:4 экстремальна.
Чтобы показать экстремальность формы (U — VJ, где
at>0, bi>0, r>l,
и {«i, «2» •••» «г)» {yi» f2»«"» oj — непересекающиеся
подмножества множества (xlt ..., хп}, достаточно заме-
16.2. Коположительные и вполне положительные формы 375
нить a,«i на
и bjVj на z} и показать, что
^,-Zi- ... -ZsJ, Г>1,
является экстремальной формой относительно перемен-
переменных yi} Zj. Рассмотрим сначала форму (у]— ztf и ее
представление в виде (г/, — 2(J = Q} +Q2, где Qt и Q2 —
коположительные формы от ух и zv. При г/i = г: имеем
Qi = Q2 ~ 0« Следовательно,
A6.2 24)
где а, Ь, с, d неотрицательны и a + c=l, b+d=\.
Если а>&, то, полагая Zi=^yx+t, при положительных
уи z{ и достаточно малом е>0 имеем Qi<0, что невоз-
невозможно. Аналогично при а < Ь, взяв 2, — ух — е, для до-
достаточно малого е>0 получим Qi<0, т. е. снова при-
приходим к противоречию. Следовательно, a = bt
Qi = а О/, - *iJ, Q2=(l~
и Q экстремальна. Пусть теперь
Полагая поочередно г/, и у2 равными нулю, получаем,
согласно предыдущему случаю, что
Щ- 2ylzl - 2y2zl) + kyxy
2,
+ yl + z]- 2yxzx - 2y2zx)
где 0 ^ a ^ 1 и, конечно, k + t = 2. Отсюда
Qi = a {y{ + y2- zxf + (k - 2a) У1у2,
A6.2.25)
^
Если k — 2a<0, то полагаем У\ —y2= 1, zx = 2 и тогда
Q, < 0. Следовательно, должно быть k — 2а ^ 0. Ана-
Аналогично * + 2а — 2 ^ 0. Поскольку k + t = 2,
Q=(k-2a) + {t + 2a-2). A6.2.27)
Значит, k = 2a, t = 2-2a,
Qi = a {У\ + й ~ ZiJ, Q2 = (I - a) (г/! +1/2 - Z1J,
25*
376
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
16.2. Коположительные и вполне положительные формы 377
и Q = (у{ + у2 — 2tJ экстремальна. То же рассуждение
показывает, что
(//! - Z{ - Z2f
— экстремальная форма.
В общем случае предположим, что
где Qx и Q2 коположительны. Пусть
Qi = «У; + . > - и Q2 = A - а) у] +
Полагая соответствующие у{ и 2/ равными нулю, мы
можем воспользоваться уже рассмотренными случаями,
чтобы определить все коэффициенты у Qj и Q2 и убе-
убедиться, что Qi = aQ, Q2 — (\ — a) Q, где 0 ^ а ^ 1. Сле-
Следовательно, Q экстремальна. Заметим, что форма
тельно,
не может быть экстремальной. Так как каждая форма
в Р + S есть сумма конечного числа рассмотренных
форм, то найдены все экстремальные формы класса
P + S.
В С имеются другие экстремальные формы, не со-
содержащиеся в Р + S. Следующая форма, открытая
А. Хорном, носит название „формы Хорна":
Q = (*, + х2 + х3 + хА + х$J - 4х{х2 — 4х2х3 - 4х3х4 -
-4*4*5-4*5*!. A6.2.28)
Мы можем выразить Q следующими двумя способами:
f (*, - *2 + х3 + *4 - х5J + 4х2Хц + 4*3 (*5 - *4).
1 (*, - Хо + Xz — *4 + Х5J + 4л-2*5 + 4*! (*4 - *5).
A6.2.29)
При *5^*4 первое выражение показывает, что
тогда как второе выражение дает, что Q^O, если
*4 ^ *5. Следовательно, Q коположительна. Кроме того,
Q — экстремальная форма, ибо если Q = Qi + Q2, где Q,
и Q2 коположительны, то при *4 = *5 = 0 форма Q сво-
сводится к экстремальной форме (*i — *2 + *3J. Следова-
СледоваQ2 = A - а) {*! - *2 + *3J + *4i/ + х-
A6.2.30)
Точно так же, полагая поочередно xt = xi+l = 0 для i =
= 1, 2, 3 и *5= *! = 0, мы каждый раз получаем экстре-
экстремальную форму. Сравнение всех этих случаев дает со-
соотношения Qx — aQ и Q2=(l— a)Q. Следовательно, Q
экстремальна. Очевидно, Q<? P и Q ф 5, и, поскольку Q
экстремальна, Qf? P + S.
Если мы в качестве Qj возьмем квадратичную форму
A6.2.2), а в качестве Q2 — форму Хорна A6.2.28), то для
соответствующих точек qx и q2 из Е^ будет
(<7t. <?2)=-72. A6.2.31)
Так как Q2eC, это означает, что Q{ ф В, как было пока-
показано непосредственно [см. A6.2.3) —A6.2.9)]. Так как
QxeP f] 5,это показывает, как коположительные формы,
не принадлежащие Р + S, можно использовать для дока-
доказательства того, что какая-либо форма из Р П 5 не при-
принадлежит В.
Недавно Бомер показал существование других экстре-
экстремальных коположительных форм Q от пяти переменных.
Если Q= 2 of/*f*/ нормализована, так чтоаи = а22 = ...
... =а55= 1, то Q имеет нули вида
« = («h и2, 1, 0, 0),
v=@, v2, v3, 1, 0),
ау = (О, 0, a>3> ©4, 1), A6.2.32)
y=(l, 0, 0, г/4, у5),
у — (у 1 0 0 ? ^
где ни одно из чисел щ, ..., г5 не равно нулю. Эти
числа определяют коэффициенты а1}. Один такой набор
нулей следующий:
-(т.
7+ /8'-15
64
1
, о, о) = (о,
125; 1.Ю75 + ; 1;0;0),
v
512
= @; 0,125; 1,1247 + ; 1; 0)
378
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
и>=@,0, т,
4096
= @; 0; 0,125; 1,1249+; 1),
«i-fl О 0-L
15+ /8'°-15
g5
= A; 0; 0; 0,125; 1,1249 + ),
= D096,874+; 1; 0; 0; 4096).
A6.2.33)
Хотя экстремальные формы для класса С неизвестны,
имеется тест для проверки, является ли данная форма
коположительной или нет. Приводимая здесь формули-
формулировка принадлежит Гарсиа.
Тест для неположительных квадратич-
квадратичных форм. Пусть Q=Q(xlt..., хп) = 2 ацХ{*} —
квадратичная форма от п переменных, и пусть прирав-
приравнивание любой из переменных х{, i=l, .... п, нулю
дает кополооюитеяьную форму от п — 1 переменных.
Если А — [аи], то пусть Л (е) = Л + е/, D (в) обозначает
определитель матрицы Л(е) и ?\ (е), ..., Еп(г) — алгеб-
алгебраические дополнения элементов последней строки ма-
матрицы Л(е). Тогда Q не коположительна в том и только
том случае, когда для достаточно малых положитель-
положительных значений г все величины Ех (е) D (е), . .., Еп (е) D (е)
положительны. Это можно проверить путем представле-
представления определителей в виде полиномов от г и исследова-
исследования членов с наименьшей степенью е в каждом случае.
В случае Еп@)ф0 имеет место более сильный результат: Q
не коположительна в том и только том случае, когда
все величины Ei{0)D{0), ..., En@)D{0) положительны,
16.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности
В разд. 16.1 было отмечено, что для симметричной
схемы D(v, k, I) из условия Коннора вытекает требо-
требование su = K i^i* B A6.1.15), необходимость которого
была показана в теореме 10.2.2. При этом возникает
16.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности 379
естественный вопрос: является ли требование рациональ-
рациональности, а также действительности форм Li+l Lb
в A6.1.5) дополнительным ограничением, и если да, то
как это ограничивает выбор начальных блоков для сим-
симметричных схем. Несколько неожиданным оказывается,
что для любой рациональной (v X и)-матрицы А, удо-
удовлетворяющей соотношению
ААТ = (k-
A6.3.1)
существует рациональное пополнение и даже рациональ-
рациональное нормальное (см. ниже) пополнение, для которого
в действительности stj = Я. Этот результат принадлежит
автору и Райзеру [2]
Рассмотрим параметры о, k, X, для которых выпол-
выполнено равенство
\) = K{v-\). A6.3.2)
В доказательстве теоремы 10.3.1 устанавливается
несколько большее, чем сказано в ее формулировке.
Приведем условия Брука — Райзера — Човла:
1) если v четно, то k — X есть квадрат',
2) если v нечетно, то уравнение z2=(k — X) х2 +
+ (—1) 2 1у2 имеет решение в целых х, у, г, неравных
одновременно нулю.
Было доказано, что из существования рациональных
линейных форм
?/= Sty/**, ;= 1, ..., v,
i
удовлетворяющих соотношению A0.3.1), вытекают усло-
условия Брука — Райзера —Човла. Но A0.3.1) эквивалентно
утверждению, что матрица Л = (аи) удовлетворяет A6.3.1).
В разд. 10.4, посредством глубокой теории Хассе — Мич-
ковского, было показано обратное, т. е. что условия 1
и 2 влекут существование рациональных форм Lj, удо-
удовлетворяющих A0.3.1), и, значит, рациональной ма-
матрицы Л, удовлетворяющей A6.3.1). В теореме 10.2.3
было доказано, что если дополнительно выполнено одно
из условий
AJ=kJ, JA = kJ, A6.3.3)
380
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
16.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности 381
то выполнено и другое и матрица А нормальна, т. е.
ААТ = А1 А, а значит,
{k-X)l + M. A6.3.4)
Следующая теорема — основная в этом разделе.
Теорема 16.3.1. Пусть даны положительные целые
числа v, k, к, удовлетворяющие соотношению k(k—\)~
= Я(и —1), и выполняется соответствующее условие 1
или 2. Пусть, кроме того, имеется рациональная {t X о)-
матрица At@<!/sSC о)> такая, что
А, Л[ = (k - Я) It + Mt и Ailv = kit, v. A6.3.5)
Тогда существует рациональная (v X и)-матрица А, в ко-
которой А, составляет первые t строк, такая, что
=JvA=>kJ0. A6.3.6)
Здесь It, /0 —квадратные матрицы из единиц, aJ{, 0 —
— (t X о)-матрица из единиц.
Замечание. С очевидными изменениями в формули-
формулировке мы могли бы предположить, что даны первые t
столбцов. Если нам даны t начальных блоков из k эле-
элементов, таких, что 8ц = %, 1ф }, в их структурной ма-
матрице, то это приводит к условию A6.3.5), записанному
для t начальных столбцов. Но теорема формулируется
всецело в терминах рациональных матриц и не содер-
содержит в явном виде никаких ссылок на блок-схемы. Тем
не менее заключение теоремы резко контрастирует с вы-
выводами Коннора относительно блок-схем. В самом деле,
теорема означает, что при выполнении основных усло-
условий 1 и 2 любой набор t начальных блоков, подчинен-
подчиненных условию Sij — к, может быть пополнен не только
в поле действительных, но даже в поле рациональных
чисел до рациональной матрицы Л, удовлетворяющей
не только соотношению A6.3,1), но также и другим со-
соотношениям A6.3.6). В некотором смысле это является
отрицательной информацией, так как получается, что
никакие t начальных блоков из k элементов с Бц — к не
могут быть исключены. Рациональное пополнение будет
существовать даже для некоторых начальных наборов
блоков, которые заведомо невозможны, ибо некоторая
пара элементов может появиться более чем в Я из на-
начального множества t блоков, не нарушая условия Sit =
= К относящегося лишь к пересечениям блоков.
Доказательство теоремы 16.3.1 опирается на некото-
некоторые предварительные результаты, которые назовем тео-
теоремами, а не леммами ввиду их самостоятельного зна-
значения.
Мы будем следовать некоторым стандартным обоз-
обозначениям, относящимся к квадратичным формам и сим-
симметрическим матрицам, которые даны, например, в книге
Джонса [1]. Пусть
п.
V
Qi= 2j aiixixh Q2= 21 bttytylt ац = а{Ь Ьц~Ьц.
I, / = 1 i, /¦=!
A6.3.7)
Тогда Qj и Q2 соответствуют симметрическим матри-
матрицам А и В:
Если
А ™ (аИ), ап = ац, В = (Ьи), Ь„ = Ъц. A6.3.8)
п,
A6.3.9)
таковы, что при подстановке значений xt в Q, мы полу-
получаем Q2, то, положив
C = (clt), A6.3.10)
находим
СТАС = В. A6.3.11)
В этом случае скажем, что Q, представляет Q2. Если С
невырождена, то Q2 также представляет Q(. Мы скажем
тогда, что Qj и Q2 конгруэнтны и что симметрические
матрицы А и В конгруэнтны. Отношение конгруэнтно-
конгруэнтности обозначаем символом Л ^= В. В силу формулы A6.3.11)
если А и В невырождены, то и С невырождена.
Теорема 16.3,2 (Витт [1]). Пусть Q, и Q2 — квад-
квадратичные формы от xh ..., xm заданные над полем F
характеристики, отличной от 2. Если ах% + Q, предста-
представляет axl + Q2 для какого-либо а из F, то Q{ предста-
представляет Q2.
382
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
Доказательство. Пусть Qi = ^iaijXixj и Q2=
=¦2 **/*/*/• Л = {аи), В = {ЬЦ). Нам дано, что сущест-
существует матрица
С =
такая, что
i
С0\У
A6.3.12)
\a °1-
.0 В]
Это уравнение эквивалентно следующим трем:
ф
A6.3.14)
с[ас, +
= В.
Выберем знак в выражении с0 ± 1 так, чтобы эта величи-
величина не равнялась нулю, и введем обозначение и=(со± 1)" .
Далее определим
5 = С0-«с2с,. A6.3.15)
Тогда
S?AS = (CJ - истхст2) А(Со-ас^) =
= С%АС0 ~ ucJclAC0 - uCZAcfr + u4\c\Ac<fv A6.3.16)
Используя формулы A6.3.14), приходим к соотношениям
STAS = CTQACQ + uc*coacl + uc\ac(fx + иЧ\ [а - ф) сх =
= CIACQ + ucjc.a [c0 + c0 + и A - с*)} =
+ acfc,«B. A6.3.17)
Теорема доказана.
Так как квадратичная форма Q(xh ..., хг) над по-
полем F характеристики, отличной от 2, конгруэнтна диа-
диагональной форме dYx\ + ... + drx*, мы получаем важное
Следствие. Если Qi{xi, .... xr) + Q2{xT+i, .... хп)
представляет
го
•••> ^«) представляет Q${xf+U ..., хп).
/5.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности 383
Обозначим через А®В прямую сумму матриц Л и
В, т. е. матрицу, определяемую следующим образом:
-{
A6.3.18)
где 0 обозначает матрицу из нулей.
Теорема 16.3.3. Пусть AAT=DX@D2, где D{-не-
D{-невырожденная матрица порядка г, D2 — невырожденная
матрица порядка s и г + s = п. Пусть X — произвольная
(г X «)-матрица, для которой ХХТ = D\. Тогда сущест-
существует (п X п)-матрица Z, содержащая X в качестве своих
первых г строк и такая, что ZZT'= D^®D2.
Доказательство. Матрица X имеет ранг г, так
как ?>! невырождена. Следовательно, векторы w = (wu ...
..., к>„), такие, что скалярное произведение (xt> w) = 0
для всякой строки х{ из X, 1=1, ..., г, образуют про-
пространство размерности s = n — r. Пусть W — ($ X ^-мат-
^-матрица, строки которой образуют базис этого простран-
пространства. Тогда для матрицы
Y =
получаем
A6.3.19)
A6.3.20)
Мы утверждаем, что Y невырождена. Поскольку Dx не-
невырождена, существует такая невырожденная матрица С,
что
Тогда
Обозначим вектор-строки матрицы
A6.3.21)
06.3.22)
w J
384
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
через а,, , а„ р„ ..., &. Здесь а(, .... аг- линей-
линейные комбинации строк матрицы X, поэтому
(<*ii Р/г) = О» /= 1, .... Г, fe«= 1 5.
Кроме того, так как D диагональна,
(щ, ау)=0, 1ф\, и (а,-, a;) = d^0.
Если имеем соотношение
а,щ + ... + агщ + bfa + ... + b&s= О, A6.3.23)
то, умножая левую часть скалярно на ah получаем
аД = 0, «== 1 г, A6.3.24)
и так как й.фО, г= 1, ..., г, отсюда следует
ai = a2= ... =аг=0. A6.3.25)
Поскольку р,- были выбраны независимыми, то отсюда,
кроме того, следует, что
Ь{= ... =bs=0. A6.3.26)
Значит, строки матрицы К независимы, и, поскольку С
невырождена, строки матрицы У также независимы,
т. е. У невырождена. Поэтому имеем
D{®D2. A6.3.27)
Следовательно, по теореме Витта существует невырож-
невырожденная матрица Е, для которой ErD3E = D2, и если
то мы получаем
'-
Dx
¦№ il-
A6.3.28)
A6.3.29)
Теорема доказана.
Теорема 16.3.4. Пусть х = (xlt ..., хп) и у =
= {Уи - ¦ -,Уп) — векторы, обладающие свойством:
*?+...+*?-*?+ •¦• +У1 = С^О. A6.3.30)
75.J. Рациональные пополнения матриц инцидентности 335
Тогда существует ортогональная матрица О, такая, что
хО = у. Это утверждение справедливо в любом поле F
характеристики ф 2.
Доказательство. Существует [{п — 1) X ^-ма-
^-матрица W ранга п—1, такая, что
О 1
Х =
ХХГ =
О
По теореме 16.3.3 существует матрица Y,
Y =
У
YYr =
с
О
О
A6.3.31)
A6.3.32)
p--i
Тогда X и У невырождены, и О = Х
Так как
A, 0, ..., 0)ХО={1, 0, ..., 0)У,
получаем
У ортогональна.
A6.3.33)
у, A6.3.34)
что и требовалось доказать.
Теорема 16.3.4 утверждает, что существует вращение,
переводящее вектор данной длины в любой другой век-
вектор той же длины. Это, конечно, хорошо известно, когда
F — поле действительных чисел, но нас интересует слу-
случай поля рациональных чисел, в котором этот результат
не очевиден.
Теорема 16.3.5. Пусть k(k — 1) =X(v — 1) и А — ра~
циональная невырожденная матрица, такая, что ААТ = В =
= (k — K)I + XJ. Тогда существует такая рациональная
матрица С, что
Доказательство. Как было показано в раз-
разделе 10.4, рациональная матрица Л существует, если
выполняются условия Брука — Райзера — Човла из тео-
теоремы 10.3.1. Если S[ есть сумма элементов i-го столбца
матрицы А, то
= JBJ = {kv
A6.3.35)
386
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
Отсюда, сравнивая коэффициенты при /, получаем
s*+ ... +s2v = k2v. A6.3.36)
Поэтому по теореме 16.3.4 существует рациональная
ортогональная матрица О, такая, что
(sls ..., sv)O~{k, ..., k).
Следовательно,
JAO =
. . . Sv
» i
A6.3.37)
A6.3.38)
Если мы теперь возьмем С = АО, то ввиду того, что
ООТ = I, получаем
ССТ = АООГАТ = AAr=B = (k-h)I + Л/, A6.3.39)
а также, согласно A6.3.38),
JC^JAO^kJ. A6.3.40)
По теореме 10.2.3 из условий A6.3.39) и A6.3.40) выте-
вытекает, что также
ргр — d rj — kJ П6 3 4П
Доказательство теоремы завершено.
Теперь мы можем доказать основную теорему.
Доказательство теоремы 16.3.1. Нам дана
(t X у)-матрица Аи такая, что
Поскольку мы предположили также справедливость
условий 1 и 2 Брука — Райзера —Човла теоремы 10.3.1,
по теореме 16.3.5 существует рациональная (у X «^-ма-
«^-матрица С, такая, что
ССТ =
1
16.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности 387
Рассмотрим (t X о)-матрицу Л^. Для нее имеем:
= F - Я)~! #! - Я F - Я)/г. A6.3.44)
Легко проверить, что В совпадает с использованным
здесь выражением. Мы воспользовались обоими свой-
свойствами Alf выраженными формулами A6.3.42). Так как
A6.3.44) упрощается:
:'l)(AiC~lY •« It, A6.3.45)
Следовательно, по теореме 16.3.3 существует рациональ-
рациональная [(v — t)X о]-матрица Q, такая, что
Отсюда
Это дает
A6.3.46)
1}. A6.3.47)
= B. A6.3.48)
Пусть г{ обозначает сумму элементов в г-н строке
матрицы QC. Мы утверждаем, что
A6.3.43)
-1. A6.3.49)
Действительно, формула A6.3.48) дает
АТ\А\ + (QC)TQC = В, A6.3.50)
следовательно,
JVA* AJV + Jv ((QC)T QC) h = hBh = k2v /„. A6.3.51)
Используя A6.3.35) и A6.3.42), находим, что
A6,3.52)
388
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
Но это приводит к соотношению A6.3.49). По тео-
теореме 16.3.4 существует рациональная ортогональная
матрица OTS порядка s со свойством
(г,, ..., rs)OTs -(Л, .... k). A6.3.53)
Определим теперь матрицу
Г Аг 1
. A6.3.54)
А =
Из A6.3.50) получаем, что
АТА = В.
Находим также, что
A6.3,55)
A6.3.56)
так как по A6.3.5) сумма элементов в каждой строке
матрицы Ах равна k, а по A6.3.53) суммы элементов
в строках матрицы OSQC также равны k. В силу тео-
теоремы 10.2.3 из A6.3.55) и A6.3.56) вытекает, что, кроме
того,
ААТ~В, JvA^kJv. A6.3.57)
Таким образом, теорема 16.3.1 доказана.
Эта теорема была обобщена Йонсеном [1]. Доказа-
Доказательство аналогично приведенному выше, но несколько
более сложно.
Теорема 16.3.6 (йонсен [1]). Предположим, что
для v, k, X выполняются условия 1 и 2 теоремы 10.3.1 и
k{k — 1) = Л (у — 1). Пусть заданы первые г строк и пер'
вые s столбцов некоторой (v X v)-матрицы, причем Аг
есть (г X v)-MaTp_uu,a из первых г строк, а А$ есть
(v X s)-матрица из первых s столбцов. Пусть, далее, Аг
и As удовлетворяют соотношениям
(k-X)Is
A6.3.58)
Тогда существует рациональная (v X ь)-матрица А со сле-
следующими свойствами', первые г строк А составляют Аг;
Первые s столбцов А составляют As; А удовлетворяет
уравнениям A6.3.6).
16.4. Целые решения уравнений инцидентности
389
16.4. Целые решения уравнений инцидентности
Пусть A = (atj) есть (о X и)-матрица, где аи — рацио-
рациональные целые числа, и пусть выполняется уравнение
инцидентности
ААТ = В = (k — X)I + X], k {k — 1) = X{v — 1). A6.4.1)
В этом разделе мы коснемся вопроса, существуют ли
такие матрицы Л, и если существуют, то при каких
условиях Л является матрицей инцидентности некоторой
симметричной блок-схемы с параметрами v, k, X. Первая
теорема проста, но не совсем тривиальна.
Теорема 16.4.1. Если всякий элемент а{-} в матрице
Л, удовлетворяющей уравнению A6.4.1), равен нулю
или единице, то А является матрицей инцидентности сим-
симметричной блок-схемы с параметрами о, k, X.
Доказательство1)- Пусть столбцы А соответст-
соответствуют блокам Ви ..., Bv, а строки — элементам аь ..., av.
Определим систему инцидентности S. Пусть at e В;-,
если пц =1,иа;^ В,-, если ац = 0. Условие A6.4.1) озна-
означает, что скалярное произведение некоторой строки на
себя равно k, а скалярное произведение двух различных
строк матрицы Л равно X. Для системы инцидентности 5
это означает, что каждый элемент появляется точно в k
блоках, а каждая пара различных элементов появляется
вместе в X различных блоках. Но пока неясно, сколько
элементов содержится в каждом блоке. Пусть bt — число
элементов в блоке Вп / = 1, ..., v. Тогда имеем
&1 + &2+ ••• + bv= kv, A6.4.2)
b{ (bi — 1) , . bv {bv— 1) _ Kv (v — 1)
2 ¦" ' ' ' "l 2 2
A6.4.3)
') Теорема 16.4.1 — прямое следствие теоремы 10.2.3 из гл. 10.
Действительно, | А |2 = | В | =. (k - Я)и"' (Xv - X + k) [см. A0.2.2)] =
= (k — X)v~l k2 ф 0, и А невырождена. Из A6.4.1) следует, что
AJ = kJ, так как А состоит из нулей и единиц. Таким образом, А не-
невырождена и удовлетворяет уравнениям A0.2.5) и A0.2.7); по тео-
теореме 10.2.3 тогда получается что АтА = (k — X) I + XI и JA = kJ,
т. е. А — действительно матрица инцидентности симметричной
блок-схемы. — Прим. ред.
390
Гл. 16, Теоремы о пополнении и вложении
16.4. Целые решения уравнений инцидентности
391
В первом равенстве (двумя способами) подсчитывается
общее число вхождений элементов в блоки, которое
должно равняться kv, так как каждый из v элементов
содержится в k блоках. Во втором — подсчитываются
пары элементов: блок Bt содержит 6;Fг— 1)/2 неупо-
неупорядоченных пар, а элементы каждой из v (v — 1)/2 неупо-
неупорядоченных пар элементов появляются вместе Я раз.
Эти равенства приводят к соотношению
(b]-kf+ ... + (bv-kJ=lv{v-l)-
-Bk-l)kv + vk2 =vk(k-l)-Bk~\)kv + vk2 = 0,
A6.4.4)
где K(v— 1) заменяется на k(k — 1) no A6.4.1). Но фор-
формула A6.4.4) влечет за собой b} = b2 = ... = bv = k. Таким
образом, каждый блок содержит k элементов, т. е. си-
система инцидентности 5 является симметричной блок-схе-
блок-схемой с параметрами v, k, Я. Теорема доказана.
Следующие теоремы, принадлежащие Райзеру [1],
значительно более глубокие.
Теорема 16.4.2. Пусть A = {aif) есть (v X v)-мат-
v)-матрица целых чисел, k (k — 1)= X(v — 1) и ААТ — Ат А~
= (k — X) I + U. Тогда либо Л, либо —А состоит целиком
из нулей и единиц и является матрицей инцидентности
блок-схемы.
Доказательство.
в /-м столбце Л:
Пусть s,-— сумма элементов
Из выражения для ААТ имеем
Л f k, если i = t,
h atl'aii = I Я, если / Ф L
Следовательно,
откуда в силу A6.4.5)
D
S <*//«/ = k2, i= 1, . .., V.
A6.4.5)
A6.4.6)
A.6.4.7)
A6.4.8)
f
4
Суммируя A6.4.8) по / от I до v, получаем
v
¦V 2 ,2
Zi sj = vk .
A6.4.9)
Из условий теоремы для диагональных элементов АтА
имеем
Sfl(/ = ft. . A6.4.10)
Но теперь, поскольку | х I ^ х2 для любого целого числа х,
^j±a2u=k. A6.4.11)
V
V
Это неравенство вместе с A6.4.9) дает
= 1, . . ., V.
A6.4.12)
Таким образом, в A6.4.11) все знаки ^ нужно заменить
на равенства. Тогда в /-м столбце все ненулевые эле-
элементы имеют один и тот же знак, а также | ац \ = ац,
откуда следует, что О// = 0, +1 или — 1. Следовательно,
каждый столбец содержит либо k положительных единиц
и V — k нулей, либо k отрицательных единиц и v — k
нулей. Так как скалярное произведение любых двух раз-
различных столбцов равно положительному целому числу Я,
ненулевые элементы во всех столбцах имеют один и
тот же знак, т. е. либо Л, либо —Л состоит целиком
из нулей и единиц и, по предыдущей теореме, является
матрицей инцидентности симметричной блок-схемы,
В силу теоремы 10.2.3 получаем такое
Следствие. Если А — матрица целых чисел, удовле-
удовлетворяющая A6.4.1), и либо AJ=kJ, либо JA = kJ, то А
есть матрица инцидентности симметричной блок-схемы.
Следующая теорема носит более арифметический ха-
характер.
Теорема 16.4.3. Пусть А — матрица целых чисел,
удовлетворяющая A6.4.1). Предположим, что k — Я не-
нечетно и что k и k — Я взаимно просты. Тогда, умножая,
если нужно, некоторые столбцы на —1, можно из
392
Гл. 16. Теоремы о пополнении и вложении
матрицы А получить матрицу инцидентности симме-
симметричной блок-схемы.
Доказательство. Обозначим через \А\ опреде-
определитель матрицы А, а через Ars — алгебраическое допол-
дополнение элемента ars матрицы А. Тогда, как хорошо из-
известно, матрица А строится так:
... о; а;в = ^. A6.4.13)
Л-' = К], г, 5=
В силу A0.2.2)
v~l
в | = {k - X)v~l (k + {v - 1) X) = k2(k- A,)
"
поэтому
0-1
\A\=±k{k-X) . A6.4.14)
Из соотношения ААТ = В и того факта, что А невыро-
невырождена, имеем
АТА = А~~ХВА = {k-
Для i, /=1, ..., v определим
A6.4.15)
A6.4.16)
Если мы применим A6.4.13) и приравняем элементы,
стоящие на одном и том же месте (т, п) в матрицах
слева и справа в A6.4.15), то
\A\tmn^(k-X)\A{6mn + X 2 Aimaln, A6.4.17)
t, i
где 6rs — дельта Кронекера. Равенства A6.4.8) и A6.4.9)
в нашем случае выполняются, так как они были выведены
лишь в предположении, что А АТ удовлетворяет A6.4.1).
Умножая A6.4.8) на Aim и суммируя по /, получаем
A
Но
ii^i
i, j i
2j Aimau = 6mj \A |,
im.
A6.4.18)
A6.4.19)
16.4. Целые решения уравнений инцидентности
393
и A6.4.18) упрощается:
MIS
или
S
A6.4.20)
Ьга- A6.4.21)
i.
Отсюда, умножая A6.4.17) на k2 и деля на | А \, получае^
кЧ,ш = k*(k~ X)Ьтп + Xsmsn, A6.4.22)
так как 2 й;-№= srt.
Подстановка в A6.4.21) значения j A \ из A6.4.14) дает
±k{k-K) *
«l, .... о. A6.4.23)
Так как по предположению k w k — X взаимно просты,
из A6.4.23) следует, что
sms30(modfc), m-1 v. A6.4.24)
Любой столбец А можно умножить на —1, не нарушая
справедливости A6.4.1), поэтому можно считать, что
sm>0, m=l, 2, ..., v. Из A6.4.24) имеем sm = kumt
т=\, ..., у, где ит^\ — некоторое целое число. Под-
Подстановка в A6.4.22) дает
tmn =№-%) Ьтп + Хитип. A6.4.25)
Пусть теперь иг = 0 для некоторого /. Тогда
t.. = k-X + Xu]=k~X. A6.4.26)
В этом случае st = 0 и
0=52==аЪ+ ... + а\г s (? - Л) (mod 2). A6.4.27)
Это противоречит предположению о нечетности k — X.
Следовательно, ни одно ut не равно нулю. Из A6.4.9)
имеем
¦ s1 + sl+ ... +s2v~vk2 A6.4.28)
и, подставляя st = kuh находим
и] + и\+ ... +«2 = o. ¦ A6.4.29)
Но если ни одно ut не равно нулю н и^О, то отсюда
следует, что
щ = и2= ... =uv=\ A6.4.30)
23 М-
394
Гл. IS. Теоремы о пополнении и еложении
и
st-kt /= 1 о. A6.4.31)
Поскольку A6.4.25) также дает 1ц = к, то каждое ац
есть нуль или единица, и А является матрицей инци-
инцидентности симметричной блок-схемы. Теорема доказана.
При четном k — X теорема неверна. При Я=1 су-
существует много контрпримеров.
Теорема 16.4.4. Пусть у = я2 + /г+1, k = n+\,
к = 1 и А = {ац) есть (о X ь)-матрица целых чисел, такая,
что
ААт = п1 + 1. A6.4.32)
Умножив соответствующие столбцы каждой такой ма~
трицы на — 1 так, что суммы элементов в них стано-
становятся неотрицательными, можно прийти к матрице А
одного из следующих двух типов:
Тип I. А есть матрица инцидентности конечной
проективной плоскости.
Тип II. п четно, один из столбцов состоит из нуля
и п2 + п единиц, п+1 столбцов состоят из п + 1 единиц
и /г2 нулей, а сумма элементов в каждом из остальных
столбцов равна нулю.
Матрица А типа II существует для всякого п,
являющегося порядком матрицы Адамара, а также для
п=10.
Доказательство. Большая часть доказатель-
доказательства теоремы 16.4.3 проходит и здесь, поскольку k = n+i
и k — X = n взаимно просты. Если п нечетно, доказа-
доказательство повторяется полностью, и А является матри-
матрицей инцидентности конечной проективной плоскости.
Точно так же, если п четно и никакое u-t не равно
нулю, то А дает конечную плоскость. В условиях на-
нашей теоремы A6.4.29) принимает вид
Ы2+ +ц2 = и = „2 + „+1< A6.4.33)
Поскольку х ^ л:2 для любого целого х,
A6.4.34)
16.4, Целые решения уравнений инцидентности
Согласно формуле A6.4.25),
tn = n + u) A6.4.35)
и неравенство A6.4.34) принимает вид
0<n-(rt+l)tt/ + Mj = (l-M/)(n-M/). A6.4.36)
Умножим теперь, если нужно, /-и столбец на —1, чтобы
ВЫПОЛНЯЛОСЬ «у^О. ЕСЛИ Uj ^ 1 ПрИ ВСЯКОМ /, ТО
по A6.4.33) Uj = 1 при всяком /, и, как в теореме 16.4.3,
А является матрицей инцидентности конечной проектив-
проективной плоскости. Если Uj>\ для некоторого /, то в силу
A6.4.36) мы должны иметь Uj^n. Но ясно, что не
может быть «;>/г+1, так как (п + 1J>п2 + п + 1, и
мы получаем противоречие с A6.4.33). Следовательно,
если Му>1 для некоторого /, то и} = п. В A6.4.33) не
может быть более одного «у, равного п. Переставим
столбцы А так, чтобы единственный столбец с tij — n
был первым столбцом, т. е. щ — п. Теперь из A6.4.33)
имеем
«2+ ... +ul = n+l. A6.4.37)
Следовательно, должно быть еще п + 1 чисел щ, равных 1,
а остальные должны равняться нулю. Тогда
Sj = п + 1 для п + 1 значений /
и
S] = 0 для п2 — 1 значений /.
Для tmn из A6.4.25)
Si = tn = n + n2 A6.4.38а)
и
если s} = n+l, то t{j = n, tjj = n+l,
если Sj = 0, то in = 0, 1Ф /, tn = п.
Всякий раз, когда s{ = t/j, /-й столбец состоит из st
положительных единиц и v — sf нулей.
Тем самым, чтобы полностью доказать теорему,
остается лишь построить целочисленные матрицы типа II.
Так как первый столбец содержит п2 + п единиц и один
нуль, мы можем без ограничения общности поместить
26*
A6.4.38Ь)
396
Га. 16. Теоремы о пополнении и вложении
этот нуль на место (I, 1). Для столбцов с S/ = п + 1 мы
имеем tu = n, и поэтому одна из единиц в таком столбце
должна находиться в первой строке. Это дает нам
п+\ единиц в первой строке, и, поскольку скалярное11
произведение этой строки на себя равно п+ 1, то осталь-
остальные элементы ее суть нули.
Пусть п четно и X — {п X п)-матрица целых чисел,
такая, что первый столбец X содержит п положитель-
положительных единиц и
ХХт = пГп. A6.4.39)
Очевидно, этим требованиям удовлетворяет матрица
Адамара, у которой первый столбец нормализован, т. е.
состоит из +1. Построим А следующим образом:
А =
0
1
1
•
1
1
I
.
1
a
1
I
1 0 ...
X
0
0 ..
•
0 ..
0
10...
0
X
. 0 ...
0 ...
0
1 0 ...
0 ...
0 ...
1 0... 0
0
0
0
X
A6.4.40)
16.4. Целые решения уравнений. инцидентности
397
Здесь Л, если удалить первую строку и первый столбец,
представляет собой прямую сумму п 4-1 экземпляров
матрицы X. Единицы в первой строке матрицы А
находятся над первыми столбцами матриц X. Исходя
из свойств X, непосредственно проверяется, что
AAT = nI + J. A6.4.41)
Для п= 10, чтобы получить матрицу А порядка 111,
в качестве X можно взять следующую матрицу:
К =
-1 -1 -1 -1 -1 1
1 -I -1 -1 -1 -1
1-2 1 1 1 1
1 1 2-1-1 0
1 1-12-1 0
1 1-1-1
-110 0
1
0
0
о
1
о
о
о
1
о
2
0
0
о
1
; 0
2
-I
!-1
-1
1
_ j
о
1
о
о
-1
-2
1
1
1
-1
0
о
1
о
-1
1
-2 1
1 -2
A6.4.42)
йонсен нашел бесконечно много решений типа II как
для rt^=2(mod4), так и для п ^0(mod 4).
Приложение I
Уравновешенные неполные блок-схемы с числом
повторений каждого элемента от 3 до 15
В следующей таблице дается одна или несколько
блок-схем D(v, b, г, k, I) с 3<><Л5 и при &^ у/2,
причем приводится по крайней мере одна блок-схема
в каждом случае, когда блок-схемы с указанными па-
параметрами известны. Исключены лишь параметры та-
таких 'схем, как, например, 0G, 14, б, 3, 2), которые
строятся тривиальным образом как кратные известных
схем, в данном случае как DG, 7,3, 3, 1), взятая дважды.
Взятие D (и, b, r, kt К) t раз дает D (и, tb, tr, k, Щ, При-
Приведенные схемы взяты большей частью из книги Фи-
щера и Йетса „Статистические таблицы для биологи-
биологических, сельскохозяйственных и медицинских исследо-
исследований", Эдинбург, 1957 (для З^г^Ю) и из работы
Рао [1] (для И^г^15). Эти авторы не указывали
значений параметров для схем, заданных подпростран-
подпространствами конечных евклидовых или проективных геомет-
геометрий над конечными полями. Здесь EG B, 3) — евклидова
геометрия размерности 2 над GFC), a PGB, 4) —про-
—проективная геометрия размерности 2 над GFD).
В общем виде эти параметры даны в A2,2.2) и
A2.2.3). Под номерами 13 и 31 схемы даны полностью.
В остальных случаях даны базисные блоки относительно
некоторой абелевой группы автоморфизмов. В некото-
некоторых случаях используются обозначения, введенные
Боузом для метода смешанных разностей (см. разд. 15.3).
Блок-схема номер 88 —хороший пример на обозначения
Рао, когда (х, у) mod E, 7) означает, что все вычеты по
модулю 5 прибавляются к х, а все вычеты по модулю 7
прибавляются к у; но (.v, у) mod(—, 7) означает, что х
фиксирован, а все вычеты по модулю 7 надо прибавить
Приложение I
399
к у. В каждом случае «э обозначает элемент, фикси-
фиксируемый группой автоморфизмов.
Если схемы не существует, то делается ссылка на
соответствующие теоремы. В ряде случаев схемы опи-
описаны как остаточные для других схем. Построение оста-
остаточной схемы — процесс, описанный в разд. 10.1, при
котором мы удаляем из симметричной схемы один блок,
а из всех остальных блоков — элементы, входящие в него.
Таблица 1
Номер
схемы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
п
12
13
14
15
16
17
7
9
13
6
11
16
21
10
13
16
25
31
8
15
15
15
22
«,
О
7
12
13
10
11
20
21
15
26
16
30
31
14
35
21
15
22
3
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
К
3
3
4
3
5
4
5
4
3
6
5
6
4
3
5
7
7
X
1
1
1
¦2
о
1
1
2
1
2
I
1
3
1
2
3
2
Номер схемы по
Фишеру и Иетсу fl] i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Решение
(блок-схема с указанными параметрами)
1,2,4 (mod 7). PG B,2).
Остаточная для схемы 3. EG B,3).
0,1,3,9 (mod 13). PG B,3).
Остаточная для схемы 5.
1,3,4,6,9 (mod 11). Тип Q (разд. 11.6).
Остаточная для схемы 7. EG B,4).
3,6,7,12,14 (mod 21). PG B,4).
Остаточная для схемы 10.
[1,3,9]; [2,5,6] (mod 13). (Теорема 15.3.4.)
[A,0,0,0); @,1,0,0); @,0,1,0);
@, 0, 0, 1); A, I, 0, 0); @, 0, 1,1) J (mod B, 2, 2, 2)).
Остаточная для схемы 12. EG B,5).
1,5,11,24,25,27 (mod 31). PG B,5).
1,2,3,4; 1,2,7,8; 1,3,6,8; 5,6,7,8; 3,4,5,6;
2,4,5,7; 1,4,6,7; 1,2,5,6; 1,3,5,7; 2,3,5,8;
3,4,7,8; 2,4,6,8; 1,4,5,8; 2,3,6,7.
[li,4b02]; [2,,3,,02]; [12, 42,03]; [22> 32, 03];
[0i,02,03]; [13,43,0,]; [23,33H,] (mod 5).
He существует. Была бы остаточной для схемы
17. (Теорема 16.1.3.)
0, 1,2, 4, 5, 8, 10 (mod 15). Тип Т (разд. 11.6).
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
18
36 42
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
43
9
21
25
29
49
57
10
10
16
19
19
43
18
28
50
29
56
57
30
18
24
57
19
7
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
7
4
6
4
8
7
8
3
5
6
3
9
1
3
2
1
2
1
1
2
4
3
1
4
II
12
13
14
15
16
17
18
19
Не существует. Была бы остаточной для схемы 19.
(Теорема 12.3.3.)
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
[0,1,2,4]; [0, 1,4,6] (mod 9).
Не существует. Была бы остаточной для схемы 23.
(Теорема 16.1.3.)
[@,0), A,0), @,1), D,4)] (mod E,5));
[@,0), B,0), @,2), A,1)] (mod E,5)).
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
Остаточная для схемы 25. EG B,7).
1,6,7,9,19,38,42,49 (mod 57). PG B,7).
[оо, 0,5]; [0,1,4]; [0,2,3]; [0,2,7] (mod 9).
В A5.3.17).
Остаточная для схемы 30.
Остаточная для схемы 31. Неостаточное- реше-
решение—в A6.1Л9).
[1,7,11]; [2,14,3]; [4,9,6] (mod 19).
(Теорема 15.3.4.)
1,4,5,6,7,9, 11,16,17 (mod 19).
Тип Q (разд. 11.6).
1) Эта часть таблицы 1 взята из книги Фишера и йетса: Fisher "and Yates, Statistical Tables for Biological, Agricul-
Agricultural and Medical Research, Edinburg. 1957.
Таблица 1 (продолжение)
Номер
схемы
31
32
v b r k X
25 25 9 9 3
28 63 9 4 1
Номер схемы по
Фишеру и Иетсу [1]
20
21
а
Ъ
с
d
е
f
g
h
i
j
k
I
m
b с d e f
h j e s p
g о m j e
m x с h j
d у и w q
q t j n m
r m I d a
t r k q b
у р w b n
I w у g r
s и x m |
v q b x о
о f n у I
Элементы -
База: [@,2,
[@,2
[ °°
Все по mod
и B,0,0)
Решение
g h i n
п 1 и о
V Р У р
и w r q
S о f г
i с s s
q s p t
т е о и
k d m v
t f b w
J f Ь V X
d i j у
h a x
xeqlkcgw
ulfkiprc
igotswxb
abpucxyt
csaowbvn
kdhcvytl
j n. g a d о и k
nhivyrqg
watiulme
p k v f h a j q
fvrptend
eisrxjka
-oo и (х, у, z) (mod C,3,3)).
1); @,0,1); A,1,
0); A,2,2); @,0,
; @,1,1); A.1,
2); A,1.0)]
2); A,0,0)]
1); B,1,1)]
C,3,3). Прибавление @,0,0), A,0,0)
к блокам базы дает полный дубликат
(множество блоков, содержащих в совокупности
все элементы схемы, каждый точно по одному
разу); при
[ этом последний
(см. также теорему 15.3.6).
блок не изменяется
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
28
37
46
64
73
21
21
31
36-
41
46
51
81
91
36
37
69
72
73
70
30
31
45
82
46
85
90
91
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
10
10
10
7
9
6
8
9
3
7
10
8
5
10
6
9
10
2
2
1
1
1
1
3
3
2
1
2
1
1
1
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Остаточная для йсемы 34.
1,7, 9,10, 12, 16, 26, 33,34 (mod 37).
Тип В (Теорема 11.6.5.)
Решение неизвестно.
Остаточная для схемы 37. EG B,8).
1,2,4,8, 16,32,37,55,64 (mod 73).
PG B,8)
[0,1,13]; [0,4,10]; [0,16,19] (mod 21) и [0,7,14]
(mod 21) периода 7. Теорема 15.3.3, а также
A5.4.16).
Остаточная для схемы 40.
[1а,б1,22,52, 33, 43,3+, 54, 64, oo,] (mod 7).
[2i,5,,32, 42, .13,63,34,64,64, oo2] (mod 7).
[31>41Л2N2,2з,5з,34,54, 64, оо3] (mod 7).
[li.2j.-4!, 12,22,42,13,23,4з,04] (mod 7).
[0,, 1Ь 2i, 3|, 4i,5j, 61, ооъ оо2, оо3].
[02,12,22 32, 42, 52, 62) oo], 002,,oo3].
[03, I3. 23, 33,43,53, 63,001, oo2, oo3].
He существует. Была бы остаточной для схемы
43. (Теорема 16.1.3.)
[1,37,16,18,10]; [8,9,5,21,39] (mod 41).
В A5.3.12).
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
Решение неизвестно.
Остаточная для схемы 46. EG B,9).
0 1,3,9,27,49,56,61,77,81 (mod 91). PG B,9).
Таблица 1 (продолжение)
Номер
схемы
47
48
49
50
51
52'
53
54
55
56
57
58
59
60
12
12
12
23
45
45
56
100
111
13
19
21
22
25
ъ
44
33
22
23
99
55
56
ПО
Ш
26
57
42
33
100
т
11
11
И
11
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
k
3
4
6
11
5
9
11
10
п
6
4
6
8
3
X
2
3
5
5
1
2
2
1
1
5
2
3
4
1
Номер схемы
по Рао A) 1)
32
33
34
35
36
37'
38
39
40
41
42
43
44
45
Решение
[0,1,3]; [4,5,9]; [2,8,6]; [оо, 7, 10] (mod 11).
Второе решение: [0,1,3]; [0,1,4]; [0,2,6];
[со, 0,5] (mod 11). См. также A5.3.17).
[0,1,3,7]; [2,4,9,10]; [оо, 5, 6,8] (mod 11).
[0,1,3,7,8,10]; [оо,0,5,6,8,10] (mod 11).
1, 2, 3, 4,6, 8, 9, 12,13, 16, 18 (mod 23).
Тип Q (разд. 11.6).
Элементы — (х, у, z) (mod C, 3, 5)).
[@, 1, 0), @,2,0), A,0,2), B, 0, 2), @, 0, 1)] (mod C,3,5)),
[B,1, 0), A, 2,0), B,2, 2), A, 1, 2), @,0,1)] (mod C,3,5)),
[@,0,0), @,0,1), @,0,2), @,0,3), @,0, 4K (mod C,3, —))•
Решение неизвестно. Остаточная для схемы 53.
Решение неизвестно.
Решение неизвестно. Остаточная для схемы 55.
EG B,10.)
Решение неизвестно. PG B,10).
[0,1,3,6,7,11]; [0,1,2,3,7,11] (mod 13).
[0,1,3,12]; [0,1,5,13]; [0,4,6,9] (mod 19).
[0,2,10,15,19,20]; [0,3,7,9,10,16] (mod 21).
Решение неизвестно.
[0,1,3]; [0,4,13]; [0,5, 11]; [0,7,17] (mod 25).
Второе решение:
61
62
63
70
71
33 44 12 9 3
34 34 12 12 4
37 111 12 4 1
64
65
66
67
68
69
45
55
61
67
121
133
45
66
122
67
132
133
12
12
12
12
12
12
12
10
6
12
И
12
3
2
1
2
1
1
27 117 13 3 1
27 39 13 9 4
46
47
48
49
50
51
52
[@,1), D,1), [1,3)]; [A,0), C,3), A,2)];
[C, 2), B, 1), @, 2I; [A,1), B, 4), B, 0)] (mod E, 5)).
Решение неизвестно.
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
Элементы: (х, у), х=0, 1,2 (mod 3), г/ = 0 10
(mod 11), а также г/ = оо и (х, z/) = (oo, оо),
Е @,0), @,1), A,2), A,5)]; [@,1), @,3), @,8),
0.0I.
[@,со), @,7), A,5), B,1)] (mod C,11)),
[(оо,оо), @,0), A,0), B,0)] (mod (-.11)),
[@,оо), A,оо), B, ос), (со, оо)].
Решение неизвестно.
Не существует. Была бы остаточной для схемы
67. (Теорема 16.1.3.)
Решение неизвестно.
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
Остаточная для схемы 69. EG B,11).
1,8,9,11,25,37,69,88,94,99,103,121 (mod 133).
PG B,11).
[0, 1,22]; [0,2,8]; [0,3,14]; [0,7,17] (mod 26).
[оо, 0,13] (mod 26) периода 13. Прямые в EG C, 3).
Остаточная для схемы 75. Плоскости в EG C.3).
1) Эта часть таблицы 1 взята из работы Рао: Rao С, R., A Study of BIB Designs with Replications 11 to 15, Sankhya,
23 A961). 117-127.
Таблица 1 (продолжение)
Номер
схемы
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
В
27
40
40
40
53
66
66
79
144
157
15
15
22
ъ
27
130
52
40
53
143
78
79
156
157
42
35
77
т
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
к
13
4
10
13
13
6
11
13
12
13
5
6
4
Я
6
1
3
4
3
1
2
2
1
1
4
5
2
Номер схемы
по Рао [1]
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
Решение
[ @, 0,1), A, 0, 0), A,2, 0), A, 1, 1), B, 0, 2) A, 1, 0),
A,0,2), @,2,0), @,2,1), A,2.1), B,1,1), @,2,2).
B,2,1)] (mod C,3,3)).
Тип Q (разд. 11.6).
[0,1,26,32]; [0,7,19,36]; [0,3,16,38] (mod 40).
[0,10,20,30] (mod 40) периода 10.
Прямые a PG C, 3).
Решение неизвестно.
1, 2, 3, 5, 6, 9, 14, 15, 18, 20, 25, 27, 35 (mod 40).
Плоскости в PG C,3).
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
Решение неизвестно.
Решение неизвестно. Остаточная для схемы 79.
Решение неизвестно.
Решение неизвестно. Остаточная для схемы 81.
EG B, 12).
Решение неизвестно. PG B,12)
[0,1,4,9,11]; [0,1,4,10,12]; [оо, 0,1,2,7] (mod 14).
Удвоение неразрешимого случая 15.
[оо, 0о,0ь li,2b4j]; [оо,0ь00,60E0,30]; [10, 20,
40,0,.li,3,]; [20,30,60,01, l,,3i]; [00, 40| 50, 0ь
lb3i] (mod 7).
[00, Зо, 90j lOo]; [Oo, 0,, 2Ь 7,]; [00) 0,, 9Ь К),];
85
86
87
88
89
90
91
92
93
22
29
36
43
78
85
92
11
13
44
58
84
86
91
170
92
55
39
14
14
14
14
14
14
14
15
15
7
7
6
7
12
7
14
3
5
4
3
2
2
2
1
2
3
5
64
65
66
67
68
69
70
71
72
[00,20,б,,8,]; [00,30,4ь7,]; [00, 40> Зь 9,];
[Ос 5,0, 2, ь 6:] (mod 11).
Решение неизвестно. Удвоение неразрешимого
случая 17.
[1,7,16,20,23,24,25]; [2,3, 11,14,17, 19,21]
(mod 29).
[0,1,3,5,11,23]; [0,5,8,9,18,24] (mod 35) и
[се, 0, 7, 14, 21, 28] (mod 35) периода 7, взятый
дважды. Удвоение неразрешимого случая 18.
Элементы: (х, у), лг=0,..,,4 (mod 5) и * = <»,
*/=0,..., 6 (mod 7), а также (оо, оо) [(оо, 0).
@, 1), @,6), A,5), A,2), B,3), B,4) ] (mod E,7)).
[(оо.О), @,1), @,6). C,5), C,2), A,3), A,4)]
(mod E.7));
[(оо,0), (оо, оо) @,0), A,0), B,0), C,0). D,0)]
(mod (—,7)), взятый дважды.
[(оо,0), (оо. 1), (оо,2), (оо.З), (оо,4), (оо,5),
(оо, 6)], взятый дважды. Удвоение неразреши-
неразрешимого случая 19.
Не существует. Была бы остаточной для схемы
91. (Теорема 16.1.3.)
Решение неизвестно.
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
[0.1,3]; [0, 1,5]; [0,2,7]; [0,1,8]; [0,3,5]
(mod 11).
[0,1,2,4,8]; [0,1,3.6,12]; [0,2,5,6,10] (mod 13).
Таблица 1 (продолжение)
Номер
схемы
94
95
96
97
98
99
V
16
16
16
16
21
26
ь
80
48
40
30
35
65
т
15
15
15
15
15
15
к
3
5
6
8
9
6
X,
2
4
5
7
6
3
Номер схемы
но Рао |1]
73
74
75
76
77
Решение
[0,1,3]; [0,3,8]; [0,2,12]; [0,1,7]: [0,4,9]
(mod 16). Второе решение: [0i,li,21];
[О^.б,]; [00,70H,]; [10,60,0,]; [20, 50, 0,];
[ЗоЛсО,]; [10,70,0s]; [20, 60, 0,]; [30,50,0,];
[Ос.0,,4,] (mod 8).
[0,1,2,4,7]; [0,1,8,5,10]; [0,1,3,7,11] (mod 16).
[0,1,3,5,9,12]; [0,1,2,3,6,12] (mod 16),
[0,8, 1,9,2,10] (mod 16) периода 8.
[oo,0,l,2,7,9, 12,13];
[3,4,5,6,8, 10,11,14] (mod 16).
[Oo, lo, 20, 40, 0i, li,2,, 4b 22];
[00,60,50,30,62,42,32,22,0,];
[lo, 6ь 5ь 3b 62, 42, 32, 22, 00];
[40, 1O,3O, 0,, 2,, 6,, 42, lj, 22];
[Oo,2ONo, 4,, l,,3,,4a, 12,22] (mod 7).
[oo,@,0), A,3), B,1), C,4), D,2)] (mod (-,5)),
[oo, @, 0), A,2), B, 4), C, 1), D, 3) ] (mod (-, 5)[);
[oo, @,0), A,0), B,0), C,0). D,0)] (mod (-.5)).
[@,1), @,4), A,2), A,3), B,1), B,4)]
(mod E,5)),
[@,1), @,4), B,2), B.3), C,2). C.3)]
(mod E, 5)).
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
28
31
31
31
36
43
46
56
61
71
76
91
91
106
136
196
211
42
155
93
31
36
43
69
70
183
71
190
195
105
106
204
210
211
•
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
10
3
5
15
15
15
10
12
5
15
6
7
13
15
10
14
15
5
1
2
7
6
5
3
3
1
3
1
1
2
2
1
1
1
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
9i
92
- 3-;-¦¦¦ •-те' гаМИШИИИВГ .а*"
Решение неизвестно.
[0,1,18]; [0,2,5]: [0,4,10]; [0,8,20]; [0,9,16]
(mod 31). Прямые в PG D,2). Система троек
Штейне pa.
[1,2,4,8,16]; [3,6,12,24,17];
[9,18,5,10,20] (mod 31).
1,2,4,5,7,8,9, 10,14, 16, 18, 19,20,25,28 (mod 31).
Тип Q (разд. 11.6). 1,2,3,4,6,8,12,15,16,17,23,
24,27,29,30 (mod 31). Тип Н6 (разд. 11.6).
Решение неизвестно.
Решение неизвестно.
Решение неизвестно.
Решение неизвестно.
[1,9,20,58.34]; [4,36, 19,49,14];
[16,22, 15,13,56] (mod 61).
Решение неизвестно.
Решение неизвестно.
[0, 10, 27, 28. 31, 43, 50]; [0, 11, 20, 25, 49, 55, 57]
(mod 91). [0,13,26,39,52,65,78] (mod 91)
периода 13.
Не существует. Была бы остаточной для схемы
113. (Теорема 16.1.3.)
Не существует. (Теорема 10.3.1.)
Решение неизвестно.
Не существует. Была бы остаточной для схемы
116. (Теорема 12.3.3.)
Не существует. (Теорема 10.3.L)
Приложение П
Матрацы Адамара типа Уальямсона
t
3
5
7
7
9
9
11
13
13
13
15
15
17
n
12
20
28
28
36
36
44
52
52
52
60
60
68
I2
I2
I2
I2
32
I2
I2
I2
32
I2
I2
I2
32
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
12 +
12 +
32 +
12 +
32 +
12+
32 +
12 +
32 +
Is +
32 +
lz +
32 +
13 + 32
32 + 32
32 + 32
12 + 52
32 + 32
32 + 52
32 + 52
12 + 72
32 + 52
52 + 52
52 + 52
32 + 72
52 + 52
1
1
1
1
1-2@,
1
I
1 +2«ц-2со2
1
1
1 — 2©2
l + 2a>4- 2(O3
1
1 — 2@, + 2ffii7
1 + 2©e - 2@4
1
1 — 2ш2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
1
1
1
1
— 2co,
— 2w2
— 2tt>2 + 2©,
— 2@4
+ 2@4 - 2to6
-2©4
+ 2u>6 - 2o2
-2(os
-2соз
+ 2ю5—2©,— 2©3
~2oag
1
1
1
1
1
1
1
1
— 2@,
— 2<B2
+ 2@, - 2©2
— 2©3
-2©4
— 2й2
-2ш3
+ 2©,-2аз4 +
+ 2©5 - 2©e
+ 2(os-2©,
— 2@,—2©з+2©6
+ 2©[
+ 2<a6
+ 2(o2
+ 2©7
-2©,—2©5+2©7
-2<й,+2@5+2©е
1
1
1
1
1
1
1
I
-2©,
— 2©2
-2(o3
+ 2©3
-2©4
+ 2a3
+ 2@,
+ 2©3
-2(o2
-2©2
+ 2@9
+ 2co5
+ 2co.
+ 2©4
+ 2ю4
+ 2tt>2
-2co3
-2©4
+ 2©3 + 2©4
— 2©3
— 2©3
— 2<a2 + 2a3 +
— 2©7
+ 2a5 — 2@e
— 2©6+2©2-2o>4
+ 2ш3 + 2u>7
S3 17
*
17
19
19
19
21
21
21
23
23
68
68
76
76
76
84
84
84
92
92
I2 + 52 + 52 + 52
З2 + З2 + З2 + 72
З2 + 52 + 52 + 52
12+12+12 +
12+ ^ + 32 + 92
З2 + З2 + 52 + V
+ 2©6 + 2а7 -
— 2а5 — 2ш3
• 2@9 + 2cd5 -
1
Нет
1
+ 2@8 - 2(о2
+ 2и4 - 2ш8
-2ю7
2ш9 — 2<в3
2<в5 - 2ю4
2со9 - 2ffl5
2©8 - 2а6
Нет
-2со2
+2co6-2@s-2ffl4
+ 2со8+2й>2—2со7
+2©9+2ш8—2ш3
1
2©7 - 2оL
2(о2 - 2а5
+ 2(os-2©10
+ 2©10 + 2(O2 -
-2и9-2(о8-2(йв
+ 2©2 - 2©10 —
-2&H
+ 2@2-2(Oi0-
— 2co4
+ 2co5 - 2w7
l-2©8
1 +2(o7 —2@, —2@
1+2@6
1 +2а7+2©4
1 +2ш6+2©з
1+2@,
1 + 2со6+2со4
1 - 2ю9 + 2@8
1 + 2©э + 2©7
- 2©6 - 2ю5
1 + 2ю4 - 2@5
1 +2Ш]
2(о5
2со3
2©
2@2
+ 2gO+2(O5-2co9
— 2©3 + 2со, -
-2©10
1 — 2©, — 2а>4
1 — 2со8 — 2©2
1 - 2ш7 — 2ш8
1 + 2со7 + 2©9 — 2ш5
1 + 2со,
— 2©2
+ 2ш2 6 9
— 2ш7 —2ю5 —2ю4
— 2©j — 2со5
+ 2со7 - 2©9—2(О6—2@3
+ 2со,-2(й,0
+2юг+2@8 + 2@4
+ 2ю2 — 2<в,о — 2со3
+ 2со7 + 2(
- 2со7 - 2@3
— 2со, — 2со3
1 - 2@, - 2ш3
+ 2@2 + 2©6
<u
окончат
a
1
¦4
a
CO
Ь
еч
т
СЧСО
(NC4
С
¦Я
3
см
1
3
сч
о
3
сч
if*
3
+
•—1
?
сч
1
3
сч
+
3
см
1
1
СО
3
см
з*
см
1
э~
см
I
§
1+2(
СП
еч
со
сч
со
сч
100
сч
3
СЧ
3
см
о
3
+
3
i
\
СМ
3
см
+
и?
3
см
i
3
сч
1
3
сч
2 +
в ^
1 +
СО
3
см
1
О»
3
сч
а*
1+2.
«
ю
сч
ю
ю
100
ю
1
1 f
з" сч
з з2
СЧ °*
1
+ '
в» ^
3 3
см сч
+ 1
•—<
|
«О
3 ?
СЧ '
э* з"
ем сч
+ 1
-
сч
сч
<n"
S
ю
сч
3
сч
1
3
сч
1
3
сч
1
3
сч
1
3
см
1
3
сч
I—"
1
3
1
СО
3
сч
i
з"
сч
1
3
сч
i
3
сч
1
п
3
1+2
О)
3
сч
I
1
О
э"
сч
!
"г*
of) |
3 „
1 '
сч 3
+ °*
2 '
jp 3
^ см
+ +
t I
3 ?
3 3°
см сч
i +
-
с*
ю
сч
сч
с*
I—«
108
CN
3
см
1
3
сч
+
3
см
I
3
сч
со
з
сч
+
—•
3
см
i
1
I"
сч
о
3
см
i
(О
3
сч
сч
3
см
•—*
ю
с«
СО
„
г™*
Ill6
-.85
j
со
3
см
I
СО
3
сч
1
1
3
см
I
Э
см
иэ
3
сч
1
3
сч
1
ел
3
сч
1
сч
1
3
см
1
ГЧ
в
сч
+
—
в
сч
1
1
в
ем
1
00
в
+
сч
¦
1
о
в
СЧ
1
ва
сч
i
_
<ч
^г
сч
^г
еч
Il48
го
в
см
+
3
сч
1
о
см
t
5
сч
1
С4
в
сч
t
1
о
о
1+2
СО
м
+•
еч
1—4
СЧ
Библиография
А л б е р т (Albert А. А.)
[1] On non-associative division algebras, Trans. Amer. Math. Soc,
72 A952), 296—309.
[2] Fundamental Concepts of Modern Algebra, Chicago, 1956.
Блюменталь (Blumenthal L.M.I
[1] A Modern View of Geometry, San Francisco, 1961.
Бомер (Baumert L. D.)
[1] Hadamard matrices of
A965), 442—447.
Williamson type, Math, of Сотр., 19
M. (Baumert L. D., Golomb S. W.,
of order 92, Bull. Amer.
Бомер, Голом б, Холл
Н а 11 М„ Jr.)
[1] Discovery of an Hadamard matrix
Math. Soc, 68 A962), 237—238.
Бомер, Холл M. (Baumert L. D., Hall M., Jr.)
[1] A new construction for Hadamard matrices, Ball. Amer. Math.
Soc, 71 A965), 169—170.
Боуз (Bose R. C.)
[1] On the construction of balanced
Ann. Eugenics, 9 A939), 353—399.
incomplete block designs,
f *
2- вГ
Боуз, Паркер, Шрикханде (Bose R. С, Parker E. Т.,
Shrikhande S.)
[I] Further results on the construction of mutually orthogonal
Latin squares and the falsity of Euler's conjecture, Canad. I.
Math., 12 (I960), 189—203.
Боуз, Шрикханде (Base R. C, Shrikhande S.)
[1] On the construction of sets of mutually orthogonal Latin squ-
squares and the falsity of a conjecture of Euler, Trans. Amer.
Math. Soc, 95 A960), 191—209.
Брук (BruckR. H.)
[1] Difference sets in a finite group, Trans. Amer. Math. Soc, 78
A955), 464—481.
Брук, Ра^зер (B ruck R. H., Ryser H. J.)
[1] The' nonexistence of certain finite projective planes, Canad.
J. Math., 1 A949), 88—93.
414
Библиография
Бхаттачария (BhattacharyaK-N.)
[1] A note on two-fold triple systems, Sankhya, 6 A9431, 313—
314.
[2] A new balanced incomplete block design, Sci. Cult,, 9 A944),
508.
Веблен, Веддербёрн (VeblenO., Wedderburn J. H. M,)
[1] Non-Desarguesian and non-Pascalian Geometries, Trans. Amer.
Math. Soc, 8 A907), 379—388.
Веблен, Юнг (Veblen О., Young J, W.)
[1] Projective Geometry, vol. 1, Boston, 1910.
Вейснер (WeisnerL.)
{1J Abstract theory of inversion of finite series, Trans. Amer.
Math. Soc, 38 A935), 474—484.
Витт (Witt E.)
[1] Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern,
/. fur die reine u. angew. Math., 176 A937), 31—44.
Гейл, Кун. Такер (Gale D, Kuhn H. W., Tucker A. W,, Jr.)
[1] Linear programming and the theory of games, Activity Ana-
Analysis .of Production and Allocation, New York, 1951, 317—329.
Гуд (Good I. J.)
A] Normal recurring decimals, /. Load. Math. Soc, 21 A946),
167—169.
Данциг (Dantzig G.)
[1] Maximization of a linear function of variables subject to li-
linear inequalities, Chap. XXI, Activity Analysis of Production
and Allocation, New York, 1951.
Де Брёйн (De Bruijn N. G.)
[1] A combinatorial problem, Nederl. Akad. Wetensch. Proc, 49,
758—764; Indagationes Math., 8 A946), 461—467.
Джонс (Jones B. W.)
A] The Arithmetic Theory of Quadratic Forms, Carus Mathema-
Mathematical Monograph No. 10, Mathematical Association of Ame-
America, 1950.
Диана н д a (Diananda P. H.);
[1] On non-negative forms in real variables some or all of which
are non-negative, Proc. Cambr. Phitos. Soc, 58 A962), 17—25.
Диксон (D i с k s о n L. E.)
{1] Cyclotomy, higher congruences, and Waring's problem, Amer.
J. Math., 57 A935), 391—424.
Дилуорс (Di Iworth R. P.)
[1] A decomposition theorem for partially ordered sets, Ann.
Math., B) 51 A950), 161—166.
Дин (Dean R.)
[1] Elements of Abstract Algebra, New York, 1966.
Библиография
415
Дюльмаж, Джонсон, Мендельсон (Dulmage A. L.,
Johnson D. M., Mendelsohn N. S.);
[1] Orthomorphisms of groups and orthogonal Latin squares, I,
Canad. J. Math., 13 A961), 356—372.
Зингер (Singer J.)
[1] A theorem in finite projective geometry and some applications
to number theory, Trans. Amer. Math. Soc, 43 A938), 377—
385.
И о н с е н (J о h n s e n E.)
[1] Matrix rational completions satisfying generalized incidence
equations, Canad. J. Math., 17 A965), 1—12.
Кёниг (Konig D.)
[1] Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, New York,
1950.
Киркман (Kirkman Rev. Thomas)
[1] On a problem in combinations, Cambr. and Dublin Math. J.,
2 A847)\ 191—204.
К о н н о р (С о n n о г W. S.)
[1] On the structure of balanced incomplete block designs, Ann.
Math. Stat., 23 A952), 57—71.
Коул, Уайт, Каммингс (Cole F. N., White A. S., Cum-
Cummin g s L. D., Jr.)
[1] Complete classification of triad systems on fifteen elements,
Mem. Nat. Acad. ScL, 14 A925), Second Memoir, 89.
Л е м е р (LehmerD. H.)
[1] On the Hardy-Ramanujan series for the partition function,
/. Lond. Math. Soc, 12 A937), 171—176.
Макнейш (MacNeish H. F.)
[1] Euler squares, Ann. Math., 23 {1922)\ 221—227.
M а н н (M a n n H. B.)
[1] The construction of orthogonal Latin squares, Ann. Math.
Stat., 13 A942), 418—423.
Митчелл (Mitchell H. H.)
[1] On the generalized Jacobi-Kummer cyclotomic function, Trans.
Amer. Math. Soc, 17 A916), 165—177.
Myp (Moore E. H.)
[1] Concerning triple systems, Math. Ann., 43 A893), 271—285.
Ope (Ore Oystein)
[1] On coset representatives in groups, Proc. Amer. Math. Soc,
9 A958), 665—670.
Паркер (Parker E.)
[1] On collineations of symmetric designs,. Proc Amer. Math.
Soc, 8 A957), 350—351.
[2] Construction of some sets of mutually orthogonal Latin squa-
squares, Proc Amer. Math. Soc, 10 A959), 946—949.
4F
Библиография
Пэли (Paley R. Е. А. С.)
[I] On orthogonal matrices, /. Math. Phys., 12 A933), 311-320.
Радемахер (RademacherH.)
[1] A convergent series for the partition function p(n), Proc. Nat.
Acad. ScL, 23 A937)\ 78-84.
P а йзер (Ry ser H. J.)
П] Matrices with integer elements in combinatorial investigati-
investigations, Amer, J. Math., 74 A952), 769-773.
Раисе (Reiss M.)
[1] Ober eine Steinersche combinatorische Aufgabe welche in
45sten Bande dieses Journals, Seite 181, gestellt worden ist,
/. reine u. angew. Math., 56 A859), 326—344.
P а м с e fi (Ramsey F. P.)
[1] On a problem of formal logic, Proc. Load. Math. Soc, 2nd
series, 30 A930), 264-286.
Pao(RaoC. Radhaskrishna)
[1] A study of BIB designs with replications 11 to 15, Sankhya,
23 A961), 117—127.
Рота (Rota G. C.)
[1] On the foundations of combinatorial theory, I. Theory of M6-
bius functions, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie and Verw. Gebie-
te, 2 A964), 340—368.
Скарпис (S с а г р i s V.)
[1] Sui determinant di valore massimo, Rend. R. Ist. Lombardo
Sci. e Lett., B) 31 A898), 1441—1446.
Такер (Tucker A.)
[1] Combinatorial theory underlying linear programs, Recent
Advances in Mathematical Programming, New York, 1963,
1-16.
Терри (Tarry G.)
[1] Le probleme des 36 officiers. С R. Assoc. Fr. Av. Sci., I
A900!, 122—123; 2 A901), 170—203.
Тьюки (TukeyJ.)
[1] Convergence and uniformity in topology, Ann. of Math. Stu>
dies, No. 2, Princeton University Press, 1940.
Уитмен (Whiteraan A, L.)
[1] A family of difference sets, III. J, Math., 6 A962), 107—121.
Уильямсон (W i 11 i a m s о n J.)
[1] Hadamard's determinant theorem and the sum of four squares,
Duke Math. I., 11 A944), 65—81.
[2] Note on Hadamard's determinant theorem, Bull. Amer. Math.
Soc, 53 A947), 608—613.
Фаркаш (Farkas J.)
[1] Ober die Theorie der einfachen Ungleichungen. /. reine u. an-
angew. Math., 124 A902), 1—24.
Библиография
417
Фишер (F i s he г R. A.)
[1] An examination of the different possible solutions of a problem
in incomplete blocks, Ann. Eugenics, 10 A940), 52—75.
Ф'и ш е р, И е т с (F i s h e г R, A., Y a t e s F.)
[1] Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical
Research, 2nd ed., London, 1943.
Флуд (Flood M.)
[1] On the Hitchcock distribution problem, Pacific I. Math., 3
A953), 369-386.
Франклин (Franklin J.)
[1] Sur le developpement du produit infini A — x) (\—x2) ...,
С R. Acad. Fr., 92 A881), 448—450.
X а н a ii и (Н a n a n i H.)
[1] The existence and construction of balanced incomplete block
designs, Ann. Math. Stat., 32 A961), 361—386.
X a p д и, Р а и т (H a r d у G. H., W r i g h t E. M.)
[1] An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 1938.
X a p д и, Рамануджан (Hardy G. H., Ramanujan S.)
[1] Asymptotic formulae in combinatorial analysis, Proc. Load.
Math Soc, B), 17 A918), 75—115.
ХоллМ, (HallMarshall, Jr.)
[1] A survey of difference sets, Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956)
975—986.
[2] Characters and cyclotomy, Proc Symposia in Pure Math.,
Amer. Math. Soc, 8 A965), 31—43.
ХоллМ., Райзер (Hall M. Jr., R у s e r H. J.)
[1] Cyclic incidence matrices, Canada J. Math., 3 A951), 495—
502.
[2] Normal completions of incidence matrices, Amer J Math
76 A954), 581—589.
X о л л М., С в и ф т (Н а 11 М., Jr., S w i f t J. D.)
[1] Determination of Steiner triple systems of order 15, Math.
Tables Aids Comput., 9 A955), 146—156.
Холл Ф. (Hall Ph.|
[1] On representatives of subsets, /. Load. Math. Soc, 10 A935)
26—30.
[2] The Eulerian functions of a group, Quart. I. Math., Ox. Series
7 A936), 134—151.
X ь ю з (Н u g h e s D. R.)
[1] A class of non-Desarguesian projective planes, Canad. I. Math..
9 A957), 378—388. ;
Цассенхауз (ZassenhausH.)
[1] Ober endliche Fastkorper, Abh. Math. Sent. Hamburg, 11
A936J, 187—220. •¦.;¦•¦ .
418
Библиография
Човла, Райзер (Chowla S., Ryser H. J.)
[1] Combinatorial problems, Canad. J. Math., 2 A950), 93—99.
Човла, Эрдёш, Страус (Chowla S., Erdos P., Stra-
Straus F. G.)
[1] On the maximal number of pairwise orthogonal Latin squares
of a given order, Canad. J. Math., 12 (I960), 204—208.
Шрикханде (Shrikhande S. S.)
[1] The impossibility of certain symmetrical balanced incomplete
block designs, Ann. Math. Stat., 21 A950), 106—111.
Ш т е й н e p (S t e i n e r J.)
[1] Combinatorische Aufgabe, /. reine u. angew. Math., 45 A853),
1 о 1—182.
Элих (Ehlich H.)
[1] Neue Hadamard-Matrizen, Arch. Math., 16 A965), 34—36.
Эрдёш, Капланский (Erdos P., Kaplansky I.)
[1] The asymptotic number of Latin rectangles, Amer J Math
68 A946), 230—236. ' '
Эрдёш, Секереш (Erdos P.
[1] A combinatorial problem
A935), 463—470.
, Szekeres G.)
in geometry, Composiiio Math.. 2
Предметный указатель
Автоморфизм блок-схемы 167
Адамара матрица 283
Аксиомы проективной геомет-
геометрии 230
— — плоскости 238
Аффинное пространство 235
База 319
Базисная точка 169
Биномиальный коэффициент 10,
12
Блок 65
— критический 66
Блок-схема 140, 309
— дополнительная 347
— остаточная 144
— производная 143
— разрешимая 274
— с делимостью на группы 275
— связь с ортогональными таб-
таблицами 275, 276
— симметричная 143
— уравновешенная относительно
пар элементов 271
— — неполная 140
— центрально разрешимая 312
— циклическая 168
де Брейна последовательности
128
де Брейна теорема 136
Брука теорема 190
Брука — Райзера теорема 241
Брука — Райзера — Човла тео-
теорема 149
Бхаттачария теорема 337
Веблена — Веддербёрна система
250
Веддербёрна теорема 234
Ведущий главный минор 159
т-вершина 131
Витта теорема 381
Включения и исключения прин-
принцип (метод) 18, 19
Вполне положительная квадра-
квадратичная форма 367
Выделенные блоки 312
Выпуклая оболочка множества
81
Выпуклое множество 95
— пространство 95
— тело 81, 95
Выпуклый конус 97
Галуа поле 175
Гаусса — Якоби тождество 53
Гиперплоскость 96, 179, 234
Голоморф группы 198
Граничная гиперплоскость 96
Граф 129
2-граф 135
Групповое кольцо 191
— разностное множество 170
Гуда теорема 134
Дважды связанные блоки 356
Двойственное пространство 101
Двойственности теорема 105
Двойственные задачи линейного
программирования 105,110, 111
Двойственный граф 135
Дезарга теорема 231
Дезаргова плоскость 233
Диаграммы разбиения 48, 50
Дилуорса теорема 90
Дирихле производящая функция
43
Дзета-функция 29
Дополнение блок-схемы 347
Допустимость задачи линейного
программирования 105, 111
Евклидово пространство 95
Задача о беспорядках 19
встречах 20
-,- — гостях 24
кёнигсбергских мостах 133
— — назначениях 85, 108—109
супружеских парах 24
¦ школьницах 335
Замыкание множества 96
Зингера теорема 179
Зингеровы разностные множест»
ва 196
420
Предметный указатель
Изоморфные блок-схемы 167
Инцидентности матрица 141
— отношение 230
— система 140
Ионсена теорема 388
Квадратичный вычет 155
— закон взаимности 156
— невычет 155
Кёнига теорема 72
Киркмана задача 335, 336
Класс разности 321
Конгруэнтность 381
Конечная геометрия 230
Конечное поле 172
Коннора метод 349
Конфигурация 231
Коположительная квадратичная
форма 367
— тест для проверки 378
Кососимметрического типа мат-
матрица 290
Лангранжа теорема 151
Латинский квадрат 74
— прямоугольник 73, 74
Лежандра символ 156
Линейное программирование 104,
105
Линейно упорядоченное множе-
множество 27
Линия в матрице 72
Локально конечное частично
упорядоченное множество 27
Макнейша теорема 263
Манна теорема 267
Матрица инцидентности 141
— кососимметрического типа 290
Я-матрица см. Адамара матрица
Мёбиуса функция 21
Множитель разностного множе-
множества 183, 184, 190
Модулярность 231
Недезаргова плоскость 233
Независимые элементы 91
Неприводимый полином 175
Несравнимые элементы 90
Нормализованная матрица Ада-
Адамара 283
Норма точки 95
Общих представителей система
75
Опорная гиперплоскость 96
Опорное решение 119
Оптимальное назначение 85
Орбита 319
Ориентированный граф 129
Ортогональная таблица 262
Ортогональные векторы 262
— латинские квадраты 244
— матрицы 261
Осевое преобразование 115, 116
Оси правило выбора 120
Основное матричное соотноше-
соотношение 144
Остаточная блок-схема 144
Отделяющая гиперплоскость 96
Паппа теорема 231
Параллельное множество транс-
версалей 310
Параллельные блоки 243
Первообразный элемент 177
Перестановка 9, 10
Петля 129
Поле 172
Полиномиальный коэффициент
13
Полный цикл 128
Полуполе 254
Порядок конечной проективной
плоскости 241
Почти-поле 253
Представление квадратичной
формы 381
Примитивный корень (первооб-
(первообразный элемент) 177
«Принцип ящиков» 174
Проективная геометрия- 178, 230
Производная блок-схема 143
Производящая функция 33
экспоненциальная 34
Прямая сумма матриц 383
полей Галуа 227
Прямое произведение матриц 288
Путь Г29
Равноблочная компонента 271
Разбиения- целого числа 45,48,50
арифметические свой-
свойства 56
Предметный указатель
421
Разбиения целого числа произ-
производящая функция 49
Различных представителей систе-
система 64, 65
¦ — алгоритм нахождения
70, 71
Размерность проективного про-
пространства 230
(v, k, к) -разностное множество
168
Разностных множеств типы 196,
197
Разрешимая блок-схема 274
Райзера теорема 146
Рамсея теорема 79
Свободное множество блоков 271
Свойство «здоровой наследствен-
наследственности» 334 . ,
— «нездоровой наследственно-
наследственности» 334
Связанные блоки 356
Связный граф 129
Символ норменного вычета Гиль-
Гильберта 158
— Хассе 159
Симметричная блок-схема 143
Симплексный метод 110, 119
Г-система (трансверсальная сис-
система) 309
Система троек 327
Скалярное произведение 100
Смешанная разность 321
Сопряженные разбиения 48
Сочетание 9, 11
Сравнимые элементы 90
Стирлинга числа второго рода 42
первого рода 42
Строго зависимое подмножество
93
Структурная матрица St 352
Тактическая конфигурация 140
Тернар 249
Тернарная операция 249
Трансверсальная система 309
Уильямсона метод 299
Уравновешенная неполная блок*
схема 140
Условие С 65, 69
Фаркаша теорема 102
Ферма теорема о классах выче-
вычетов 174
Фибоначчи числа 42
Фишера неравенство 144
Формула обращения Мёбиуса 22
Ханани теорема 337
Характер 289
Характеристическая матрица
блоков 350
Характеристический полином ре-
рекуррентного соотношения 35,
37
Хассе символ 159
Хассе—Минковского теорема 160
Холла системы 251
Холла Ф. теорема 65
Хорна форма 376
Центр блок-схемы 312
Центральная разрешимость блок-
схем 312
Цепь 26
Цикл 128, 129
Циклическая блок-схема 168
Циклические последовательности
22
Циклическое разностное множе-
множество 168
Частично упорядоченное множе-
множество 26
Чистая разность 321
Штейнера система троек 328
метод построения Мура
330
Эйлера предположение 265, 277
Эйлера теорема 131
обобщение см. Гуда тео-
теорема
Эйлера тождество 50
Эквивалентность матриц Адама-
Адамара 283
— ортогональных таблиц 263
Экстремальная точка 96
—* — выпуклого конуса 97
Якоби тождество 55
ОГЛАВЛЕ НИЕ
Предисловие редактора перевода 5
ПредислоЕ-ие 7
Глава 1. Перестановки и сочетания 9
1.1. Определения 9
1.2. Приложения к теории вероятностей 13
Задачи 16
Глава 2. Формулы обращения 18
2.1. Принцип включения и исключения. Обращение Мёби-
Мёбиуса 18
2.2. Частично упорядоченные множества и их функции
Мёбиуса 26
Задачи 32
Глава 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения 33
3.1. Правила и свойства 33
3.2. Комбинаторные задачи 37
Задачи 42
Глава 4. Разбиения 45
4.1. Разбиения. Тождества и арифметические свойства . . 45
4.2. Асимптотические свойства р (п) 59
Задачи 63
Глава 5. Системы различных представителей 64
5.1. Теоремы Ф. Холла и Д. Кёнига 64
Задачи 4 78
Глава 6. Теорема Рамсея 4 79
6.1. Формулировка и доказательство теоремы , 79
6.2. Одно приложение теоремы Рамсея 81
Задачи 83
Глава 7. Некоторые экстремальные задачи 85
7.1. Задача о назначениях 85
7.2. Теорема Дилуорса » 90
Задачи , 94
О главление
423
Глава 8. Выпуклые пространства и линейное программиро-
программирование 95
8.1. Выпуклые пространства. Выпуклые конусы и двой-
двойственные им пространства 95
8.2. Линейные неравенства 102
8.3. Линейное программирование. Симплексный метод . . ПО
Глава 9. Графические методы. Последовательности де Брёвна 128
9.1. Полные циклы 128
9.2. Теоремы о графах 130
9.3. Доказательство теоремы де Брёйна ......... 134
Глава 10. Блок-схемы 140
10.1. Предварительное обсуждение 140
10.2. Элементарные теоремы о блок-схемах 144
10.3. Теорема Брука — Райзера — Човла 149
10.4. Формулировка теоремы Хассе — Минковского. При-
Приложения 155
Глава 11. Разностные множества 167
11.1. Примеры и определения 167
11.2. Конечные поля '........ 172
11.3. Теорема Зингера 178
11.4. Теорема о множителе 183
11.5. Разностные множества в группах общего вида . . . 189
11.6. Некоторые семейства разностных множеств 196
Глава 12. Конечные геометрии 230
12.1. Основания 230
12.2. Конечные геометрии как блок-схемы 235
12.3. Конечные плоскости 238
12.4. Некоторые типы конечных плоскостей 248
Глава 13. Ортогональные латинские квадраты 261
13.1. Ортогональность и ортогональные таблицы 261
13.2. Основные теоремы 263
13.3. Построение ортогональных квадратов 26Э
13.4. Опровержение предположения Эйлера 277
424 Оглавление
Глава 14. Матрицы Адамара 283
14.1. Конструкции Пэли 283
14.2. Метод Уильямсона 29Э
14.3. Три новых метода 305
Глава 15. Общие методы построения блок-схем 308
15.1. Методы построения 308
15.2. Основные определения. Теоремы Ханани 308
15.3. Прямые методы построения 318
15.4. Системы троек 327
15.5. Блок-схемы с k>Z 343
Глава 16. Теоремы о пополнении и вложении 318
16.1. Метод Коннора 348
16.2. Неположительные и вполне положительные квадра-
квадратичные формы 365
16.3. Рациональные пополнения матриц инцидентности . . 378
16.4. Целые решения уравнений инцидентности 389
Приложение 1. Уравновешенные неполные блок-схемы с чис-
числом повторений каждого элемента от 3 до 15 398
Приложение II. Матрицы Адамара типа Уильямсона 410
Библиография 413
Предметный указатель . 419
Маршалл Холл
КОМБИНАТОРИКА
Редактор Г. М. Цукерман Художник Б. И. Астафьев
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова Корректор Е. Р. Литвак
Сдано в производство 8/Х1Г 1969 г. Подписано к печати 6/V 1970 г.
Бумага № 1 84ХШ87з"=6,63 бум. л. . Печ. усл. л, 22,26. Уч.-изд. л. 19,53.
Изд. № 1/5012. Цена 1р. 59 к. Зак. 487.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография К»'2 "имени Евгении Соколовой
Главтюлиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.