Автор: Рыбников К.А.
Теги: история математики математика комбинаторика
ISBN: 5-87597-023-5
Год: 1996
Текст
ББК 22.1г
Рецензенты:
доктор фиэ.-мат. наук И.Г. Башмакова
доктор фнз.-мат. наук С.С. Демидов
Рыбников К.А.
Комбинаторный анализ. Очерки истории. Учебн. пособие. М.: Изд-
во Механико-математического факультета МГУ —125 с.
Тираж 500 экз.
В учебном пособии представлена серия очерков о причинах,
обстоятельствах, способах и путях формировния теоретических
основ комбинаторного анализа во второй половине ХХ-го века.
Для студентов, преподавателей, научных работников, а также
читателей, интересующихся историей и методологией науки.
ISBN 5-87597-023-5 © механико-математический
факультет МГУ
© Рыбников К.А., 1996г.
К.А.Рыбников
К.А.Рыбников. Комбинаторный анализ; очерки истории.
Аннотация
Серия очерков о причинах, обстоятельствах, способах и путях
формирования теоретических основ комбинаторного анализа во второй
половине 20-го века.
ПЕРЕЧЕНЬ ОЧЕРКОВ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 4
2. КОМБИНАТОРНЫЙ "ВЗРЫВ"; ПРИЧИНЫ И ОБСТОЯТЕЛЬСТВА 6
3. ОБРАЩЕНИЕ МЁБИУСА И ТЕОРИЯ ДЖ.-К.РОТА 18
4. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК И ТЕОРИЯ Д.ПОЙА 32
5. КОМБИНАТОРНЫЕ ГЕОМЕТРИИ И МАТРОИДЫ 39
6. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ТРУДНОСТИ 58
7. КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ В ОБЩЕЙ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ. 65
8. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 72
9. ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КОМБИНАТОРИКЕ 80
10. О ГРАФАХ 92
11. ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕЙ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ 115
12. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИТОГИ И НОВЫЕ ЗАДАЧИ 122
4
К.А.Рыбников
1. Постановка задачи и вводные замечания
У автора настоящих очерков накопился значительный запас
информации, позволяющий обсуждать достаточно конкретно и обоснованно
причины и обстоятельства, под воздействием которых во второй половине
20-го века складывался современный (по состоянию на конец века) облик
комбинаторного анализа, а также то, как этот процесс протекал. Привести
эту информацию в порядок и сохранить ее тем самым для будущих
исследований - такова цель, ради достижения которой пишутся эти очерки.
Формирование сколько-нибудь значительной части математики -
процесс сложный. Сложность изучения подобных процессов резко
возрастает, когда выбирают для исследования состояние науки во времена,
не столь от нас отдаленные. В таких ситуациях трудности проистекают не
от недостатка материала для изучения, а скорее от его избытка. На первый
план выступают своеобразные проблемы выбора: выделения и анализа
подлинно фундаментальных результатов, имеющих принципиальное
значение.
Неизбежная разнородность фактов, подлежащих изучению,
заставляет расширять поле исследований и не торопиться с уточнениями
определений и с жесткой формализацией суждений. И в нашем случае, в
применении к комбинаторному анализу, мы будем вынуждены применять,
для начала, широкий подход к математическому исследованию дискретных
систем в их разнообразных интерпретациях, исходящий из общих
комбинаторных представлений о наборе операций. По мере накопления
информации будут реализовываться возможности выделять, уточнять,
ограничивать и формализовать постановки конкретных задач в рамках
общей проблемы.
Аналогично мы будем поступать, когда речь будет идти о системах
взглядов и общих концепциях, составляющих теоретические основы
математических наук. Дискретные системы, изучаемые в комбинаторном
анализе, появляются и существуют во многих видах: графы, сети
(транспортные, электрические, информационные и др.), матрицы, блок-
схемы, производственные технологические линии, логические построения
относительно дискретных множеств вообще... Единство теоретических
основ выявляется в сравнительном анализе интерпретаций дискретных
систем, видов оперативного воздействия на них, выделения классов задач,
в группировке методов их решения. Признаками, указывающими на
выявление элементов единых теоретических основ оказываются:
формирование системы понятий, разработка системы операций и
построение типов моделей.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
5
Наши исследования относятся к довольно короткому периоду
времени: ко второй половине 20-го века1. Математическое содержание
этого периода обильно и разнообразно. Это обязывает нас в нашем
изложении принять тематический принцип распределения информации по
отдельным очеркам. При этом, чтобы избежать потери цельности всей
работы, приходится допускать "перекрытия", повторные обращения к
источникам и фактам. Однако, если такие повторения будут не очень часты
и уместны, то они могут помочь раскрытию разных сторон одного и того же
явления. Тем самым, они могут оказаться весьма полезными.
Мы посчитали ненужным приводить в тексте заявления и доводы,
обосновывающие или прокламирующие актуальность или значимость
рассматриваемой в очерках проблемы. Это означало бы стремление
ломиться в незапертую дверь. Будут говорить факты. Они мгновенно
убедят Вас, что они нужны, полезны и даже привлекательны.
1 Информацию об истории комбинаторного анализа до середины 20 века см. в книге: Рыбников К.А.
История математики. М.: Изд-во МГУ, 1994. С.399-455.
6
К.А.Рыбииков
2. Комбинаторный "взрыв"; причины и
обстоятельства
В настоящем очерке речь пойдет о тех общих теориях, которые в
основном сформировались в 60-ые годы 20 века и сейчас, в самом конце
столетия, составляют теоретическую основу комбинаторной части
математики. Вот как это начиналось.
К середине века, в особенности тотчас после мировой войны 1939-
1945 гг., математики стали получать для своей работы возможности
использовать быстро действующие вычислительные устройства: ЭВМ. Это
обстоятельство буквально преображало их труд и позволяло быстро
наращивать результаты. Стали происходить изменения и в структуре
математической науки. По мере того, как выяснялось, что те ЭВМ, которые
действовали на принципах дискретного счета, начинали преобладать
количественно и быстрее совершенствоваться качественно, на первый план
стали выступать дискретные математические модели, постановки задач на
них и соответствующие методы их решения.
Для комбинаторных методов математического исследования это
обстоятельство открыло новые и отнюдь не малые возможности.
Облегченными оказались переборы ситуаций и подсчеты вариантов
решений, - занятия необходимые, порой неизбежные, весьма трудоемкие, а
зачастую практически невыполнимые без электронных вычислительных
средств. Возникли условия для решения задач типа дискретных
оптимизаций, в которых переборы вариантов и сравнения данных
составляют саму сущность их решения. Стало делом реальным,
достижимым, изучение больших и сложных систем. Расширились
возможности для теоретических достижений и постановок новых
перспективных проблем.
В конце войны и вскоре после ее окончания появились и стали
множиться признаки, свидетельствующие о том, что крупнейшие военные и
промышленные организации США, их научно-технические подразделения,
всерьез разворачивают исследования комбинаторного характера или
активно им содействуют. Вскоре эта информация была подтверждена. А в
50-е годы, в их конце, в математической научной литературе произошел
настоящий комбинаторный "взрыв". Резко стало возрастать число работ, в
которых были поставлены и решены как прикладные, так и теоретические
проблемы комбинаторного характера. В 1950 г. дважды и в 1958 г. (с
изменениями и дополнениями) в США была издана книга В.Феллера (1906-
1970) "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", целиком
посвященная задачам, поставленным на дискретных пространствах
элементарных событий и естественным образом использующая
преимущественно комбинаторный аппарат. По свидетельству самого
Комбинаторный анализ. Очерки истории
7
В.Феллера книгу эту он писал 7 лет (1941-1948). Русские издания книги
появились в 1952 г. и 1964 г. соответственно. Второй том книги В.Феллер
написал к 1965 г. Через год, в 1966 г., она появилась в высокой печати. У
нас ее уже ожидали и в следующем 1967 г. опубликовали на русском
языке. К концу 50-х годов стали появляться монографические работы, где с
различных позиций строились общие комбинаторные теории, как составные
части математики. Так, в 1958 г. вышли в свет сразу три книги:
Riordan J. An introduction to combinatorial analysis. N.Y.: John Wiley & Sons,
1958. Русское издание : Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.
М.: ИЛ, 1963.
• Berge С. Theorie des graphes et ses applications. Paris: Dunod,1958.
Русское издание: Берж К. Теория графов и ее применения. М.: ИЛ, 1962.
• Hall M.Jr. A survey of combinatorial analysis // Surveys in applied
mathematics, V.4, Some aspects of analysis and probability. N.Y.: John Wiley
& Sons, 1958. P. 37-104. Русское издание: Холл М. Комбинаторный анализ.
М.: ИЛ, 1963.
Авторами этих работ были люди, в научном мире хорошо известные.
Джон Риордан был ведущим сотрудником Bell Telephone Laboratories,
специализирующимся в области теории массового обслуживания и ее
применениям к анализу работы систем связи. Клод Берж занимал ведущие
позиции (он был Maitre des recherches) в CNRS (Centre National des
recherches scientifiques) во Франции и руководил научными мероприятиями
по математике в НАТО. Маршалл Холл, как ученый в области теории
групп и вообще алгебры, в характеристиках и подавно не нуждается. В
упоминаемое нами время он принимал руководство математическим
департаментом в California Institute of Technology (Caltech), переезжая туда
из университета штата Огайо.
Начались и широкие научные мероприятия. Так, например, 24-26
апреля 1958 г. в Колумбийском университете (США) Американское
математическое общество (AMS) провело очередной, 10-й, симпозиум по
прикладной математике. Труды этого симпозиума (Proceedings of Symposia
in Applied Math. V.10. AMS, 1960), целиком посвященные комбинаторному
анализу, содержали 24 статьи. Лейтмотивами издания, явно
формулируемыми в тексте, были:
а) многочисленные и разнообразные дискретные задачи, как правило,
могут быть описаны немногочисленными комбинаторными моделями;
б) использование ЭВМ в большинстве случаев оказывается
необходимым в исследованиях комбинаторных ситуаций;
в) решение практических, частных задач комбинаторики приводит к
теоретическим продвижениям и зависит от них;
г) опыт комбинаторных исследований, по мнению редакторов (editors)
Proceedings М.Холла и З.Беллмана, убедительно показывает, что деление
8
К.А.Рыбников
математики на прикладную и теоретическую - искусственно и что ее
структурное деление тоже должно быть пересмотрено.
Работа симпозиума проходила в 4 секциях:
1) Существование и построение комбинаторных конфигураций;
2) Комбинаторный анализ дискретных экстремальных проблем;
3) Задачи транспорта, связи и автоматики;
4) Численные методы решения дискретных задач.
Не менее, чем в четверти всех статей рассматривались вопросы
программирования и технических особенностей компьютерного счета при
решении задач комбинаторного характера (Типичной является, например,
статья: Lehmer D. Teaching combinatorial tricks to a Computer, pp.175-193).
Авторы докладов и статей не скрывали, что их интерес к построению
общей комбинаторной теории продиктован весьма практическими
обстоятельствами. Позднее, лет через 30, еще более откровенные
высказывания на этот счет можно найти, например, в сборнике: A century
of mathematics in America. V.l-3 // Amer. Math. Soc, 1988-1989.
Стало уже тогда предельно ясно, что многие математики (в
большинстве, в США), имеющие до этого весьма разнообразные научные
интересы, повели общую разработку задач и теоретических проблем
комбинаторного характера и что делают это энергично и довольно
согласованно, под воздействием единых плановых установок и
побуждающих стимулов материального порядка.
Следующее десятилетие, 60-е годы, ознаменовалось еще более
высокой активностью. Множилось число научных коллективов и отдельных
ученых, симпозиумов и других научных собраний, нацеленных на
комбинаторную тематику. В большом числе публиковались статьи и
монографии. В июне 1966 г. вышел в свет первый номер первого
специализированного журнала: Journal of Combinatorial Theory в системе
издательства Academic Press.
В 1963 г. автор настоящих заметок находился в США в научной
командировке. В течение нескольких месяцев ему удалось поработать в
ряде университетов (почти везде - с пользой), посетить несколько научных
учреждений (к сожалению, без большой пользы) и установить личные
контакты. В части, представляющей интерес для изучения деятельности в
области комбинаторики, это были: Нью-Йорк - В.Магнус, Дж.-К.Рота;
Кембридж Масс. - тот же Дж.-К.Рота, Г.Крапо, Г.Биркгоф; Чикаго -
А.Альберт; Энн Арбор, Мичиган - Ф.Харари; Мэдисон, Висконсин -
С.Клини; Лос Анжелес и Пасадена, Калифорния - М.Холл, Э.Беккенбах,
Свифт, Пейдж; Сан Фоанциско - Д. и Э.Лемер, О.Таусски. Кстати,
добавим: беседы в Нью-Йорке с Р.Курантом (1888-1972) и в Кембридже
Масс, с Н.Винером (1894-1964) состоялись; однако, они остались лишь
престижными мероприятиями, данью уважения.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
9
К сожалению, вследствие убийства президента США Дж.Ф.Кеннеди
22.11.63 и немедленно вспыхнувшей антисоветской истерии, дальнейшая
деятельность в США оказалась невозможной. К Новому, 1964, году удалось
покинуть США и вернуться в Москву. Научная информация, которая была
к тому времени накоплена, послужила исходным материалом для
дальнейшей работы над комбинаторным анализом. К сожалению, начало
активной научной работы самого автора заметок задержалось вследствие
длительной (1965-1969) работы за рубежом, что, впрочем, способствовало
также накоплению информации и расширению научных связей.
Задача ознакомления с работой коллег в США в 1963 г. оказалась
непростой. Картина получалась очень пестрой. Впрочем, можно уже было
увидеть, что завершается процесс выделения комбинаторных задач,
понятий и группировка соответствующих методов из абстрактной алгебры,
топологии, логических оснований математики, теории игр, задач линейного
программирования - из многих, уже сложившихся областей
математической науки и практики. Это создавало возможность включения
в складывающуюся структуру комбинаторного анализа богатого набора
разнообразных методов. Явно ощущалось могучее воздействие требований
решения комбинаторных по своей сущности задач в весьма практических
постановках. Осуществлялось финансирование (по всей видимости,
щедрое) работ над транспортными задачами и задачами типа составления
расписаний. Rand Corporation проявляла интерес к задаче о коммивояжере
и к задаче о назначениях. General Electric Co, фирма IBM и другие
организовывали исследование комбинаторных проблем в интересах
программирования и конструирования электронных схем. В г.Мэдисон,
штат Висконсин, при местном университете функционировал
(функционирует и сейчас) математический институт армии США, где
активно работали и над комбинаторными проблемами.
Эти и иные сведения, разумеется, были получены из личных бесед и
из легальных, открытых источников. Они, очевидно, были неполными. Не
удалось, например, встретиться с Дж.Риорданом, Г.Дж.Райзером,
поработать в других университетах. Но и так было видно, как нарастал
поток работ, теоретических, но со ссылками на то, что они были
финансированы военными и промышленными организациями, открыто
говорилось о заказах и т.п. Общая обстановка и тенденции развития, в
ходе которого складывалась система комбинаторной части математики,
просматривались отчетливо.
Математики, привлекаемые к этой целенаправленной и, по всем
признакам, заботливо координируемой работе, исходили, что естественно,
из близких им областей научных интересов в меру своей компетентности.
М.Холл, Р.Брук (Brook; сам он называл себя: Брак), А.Альберт, В.Магнус
и другие исходили из опыта алгебраических исследований,
сосредоточиваясь, прежде всего, на алгебрах инцидентности, теоретико-
групповых концепциях, конечных проективных плоскостях. Супруги Д. и
Э.Лемер привносили в занятия комбинаторикой теоретико-числовые
10
К.А.Рыбииков
трактовки. Томпкинс, Флуд, Кук, Гофман пришли к комбинаторной
тематике от занятий математической логикой, теорией игр, линейным
программированием.
Г.Дж.Райзер (1923-1985) проявлял стремление максимально
использовать таблично-матричный аппарат. К слову, именно этот круг
проблем был рассмотрен 14-16 октября 1963 г. на семинаре в
математическом институте армии США (см. сборник Recent advances in
matrix theory, 1964, Univ. of Wisconsin Press). К сожалению, попасть на
семинар не удалось; "attendance at the seminar was necesserely limited.
Participants came from the US armed forces and Govt establishments, some
came from abroad." Такие закрытые тематические научные семинары
институт собирал регулярно. На этот семинар было приглашено 6
докладчиков; каждому предоставлялось 2 часа с условием, чтобы 1 час был
expository, а второй - содержал оригинальные результаты. Опубликованы
были доклады:
• A.Brauer (Univ.North Carolina). On the characteristic roots of non-negative
matrices;
• A.S.Householder (Univ.Tennessi). Localization of the characteristic roots of
matrices;
A.M.Ostrowski (Basel, Switzerland). Positive matrices and functional analysis;
M.Marcus (Santa Barbara, California). The use of multilinear algebra for
proving matrix inequalities;
H.J.Ryser (Univ. of Syracuse). Matrices of zeros and ones in combinatorial
mathematics;
O.Taussky-Todd (Caltech., Pasadena, Calif.). On the variations of
characteristic roots of a finite matrix under various changes of its elements.
Весьма значительный вклад в становление комбинаторного анализа
сделал приглашенный из Индии Р.Боуз (Bose). Он привнес опыт индийских
статистиков, работавших примерно с 1935 г. над построением и
исследованием блок-схем. Департамент статистики, куда и был приглашен
Боуз, в университете штата Северная Каролина в г. Chapel Hill, был
организован в 1946 г. Это был весьма энергичный коллектив, наладивший
регулярное печатание монографий и сборников. 10-14 апреля 1967 г. он
провел важную и интересную конференцию по комбинаторной математике.
Proceedings были изданы под редакцией R.C.Bose and T.A.Dowling.
Участниками конференции были математики, статистики и электронные
инженеры из США и Японии. Среди них: 33 американских математика и
статистика, около 60 наблюдателей, 10 военных, представляющих научно-
исследовательское подразделение военно-воздушных сил США и 10
японских ученых и инженеров. В части теоретических основ
комбинаторики и путей формирования этой науки ведущими были, по
мнению редакторов, следующие идеи.
С середины 20 гг. нашего столетия R.A.Fisher в своих исследованиях
of designs and analysis of experiments пришел к комбинаторным понятиям
ортогональных латинских квадратов и блок-схем. Последующие
Комбинаторный анализ. Очерки истории
11
исследования и введение ЭВМ позволили работать над кодами,
исправляющими ошибки, транспортными сетями, информационными
системами, задачами линейного программирования и т.д. При этом, были
использованы методы и понятия теории чисел, теории групп, конечных
геометрий, абстрактной алгебры, теории матриц, теории графов и начал
теории выпуклых тел. А что касается предмета и метода комбинаторного
анализа, то, по словам редакторов (М.Холла и Т.А.Доулинга):
"Combinatorial mathematics concern itself with the problems of operations on
or arrangement and selection from a finite and discrete sets".
В 60-е годы большинство математиков, с которыми приходилось
беседовать, видели разнородность и множественность путей, приводящих к
комбинаторным результатам. До сих пор вспоминаются разноречивые
объяснения относительно предмета комбинаторного анализа, его методов,
характера построения, а в некоторых случаях - относительно
правомерности самого его существования. Американские коллеги, как
правило, охотно и в дружелюбной манере делились своим пониманием
проблем, планами и замыслами, но не спешили менять свои взгляды в
пользу иных идей, тоже еще не проработанных. Монографии, вышедшие в
течение этого десятилетия, эту особенность хорошо отразили. Чтобы в
этом убедиться, достаточно сравнить хотя бы следующие книги:
• Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in networks. Princeton: Princeton University
Press, 1962. Русское издание: Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях.
М.:Мир, 1966.
Ryser H.J. Combinatorial mathematics. N.Y.: Math.Assoc.of America, 1963.
Русское издание: Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. М.Мир, 1966.
Hail M.Jr. Combinatorial theory. Waltham, Mass.: Blaisdell Publ.Co,1967.
Русское издание: Холл М. Комбинаторика. М.:Мир,1970.
• Liu C.L Introduction to combinatorial mathematics. N.Y.: McGraw-Hill Book
Co, 1968.
Berg C. Principes de combinatoire. Paris:Dunod,1968.
В ряде монографических изданий было явно выражено стремление
показать, что объединение комбинаторных знаний в единую систему
увеличивает возможность приложений, например:
• Applied combinatorial mathematics. // Ed. by E.EBeckenbach. N.Y.: John
Wiley & Sons, 1964. Русское издание: Прикладная комбинаторная
математика // Сборник статей под редакцией Э.Беккенбаха.М.:Мир,1968.
Busacker R.G., Saaty T.L Finite graphs and networks. An introduction with
applications. N.Y.: McGraw-Hill Book Co, 1965. Русское издание: Басакер Р.,
Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.
Birkhoff G., Bartee T.C. Modern applied algebra. N.Y.: McGraw-Hill Book Co
(год издания не указан). Русское издание: Биркгоф Г., Барти Т.
Современная прикладная алгебра. М.:Мир, 1976.
Аналогичные тенденции проявились в те же годы в Европе. См.
например:
12
К.А. Рыбников
Kaufman A. Introduction a la combinatorique en vue des applications. Paris:
Dunod, 1968. Русское издание: Кофман А. Введение в прикладную
комбинаторику. М.: Наука, 1975.
Впрочем, многообразие трактовок комбинаторных объектов
сохраняется и теперь. Выходят, например, книги по комбинаторике
алгебраической, перечислительной, алгоритмической, графической,
геометрической. Кстати, в Математической энциклопедии (т.4, 1984г.)
рядом помещены две статьи с одинаковым названием "Комбинаторная
геометрия" с весьма отличным друг от друга содержанием (на этом мы
остановимся ниже в очерке: б.Комбинаторные геометрии и матроиды. и
рассмотрим этот вопрос подробнее).
После 1970 г. комбинаторный анализ продолжал переживать
"...сильнейший взрыв деятельности". Поток научных статей приобрел такое
наполнение, что вынудил к основанию новых специализированных
журналов и других мероприятий. Так, в 1969 г. состоялись 4 (!)
международных конференции: в Калгари (Канада), Обервольфахе (ФРГ),
Оксфорде (Великобритания) и в Балатонфюреде (ВНР). Последнее
мероприятие было особенно многолюдным и значительным. Оно называлось
Colloquium of Combinatorial Theory and its Applications и происходило 24-29
августа 1969 г. Это было первым международным мероприятием по
комбинаторной математике, в котором приняли участие советские
математики: Ю.Линник и А.Зыков. Всего же коллоквиум собрал 145
участников: 58 - из ВНР и 87 - из других стран. Труды коллоквиума изданы
в 1970 году в 3-х томах. А в сентябре того же года в Ницце (Франция)
работал 16-й Международный съезд математиков, уделивший должное
внимание докладам по комбинаторной тематике. НАТО организовала два
NATO Advanced Study Institutes: 8-20 июля 1974 г. в Нидерландах (held at
Nijenrode Castle, Brenkelen) и 1-10 сентября 1976 г. - в Западном Берлине.
В первом из них доклады были сгруппированы по следующим
направлениям: 1) Theory of designs; 2) Graph theory; 3) Combinatorial group
theory; 4) Finite geometry; 5) Foundations, partitions, combinatorial geometry,
6) Coding theory. Структура второго мероприятия была несколько иной. Ее
составили 5 разделов: 1) Counting theory; 2) Combinatorics, set theory and
other theories; 3) Matroids; 4) Designs; 5) Groups and coding theory. В этих
мероприятиях явно доминировала убежденность, что "Combinatorics has
come of age" (слова редакторов Proceedings: M.Hall, vanLint). Наконец,
упомянем, что даже в Австралии, в ее университетах поочередно, начиная
с 1972 г., стали происходить ежегодные конференции по комбинаторному
анализу,
1-ая конференция происходила в 1972 г. в Newcastle, New South
Wales. (Публикация Proceedings by the University of Newcastle Research
Assotiate Ltd.)
Комбинаторный анализ. Очерки истории
13
2-ая - в университете of Melbourn, Parkville, Victoria, 1973 (see:
Lecture Notes in Math., №403; бюлл. НКЗ. 1975. №10. C.17-18).
Участников - 37, в том числе из США - 3, Японии - 2, Англии - 2,
Сингапура - 1, Индии -1.
3-я, 1974, Kanberra. (См.: Lect.Not.Math., 1975. №452);
4-ая, 1975.Aug.27-29 в University of Adelaida. Участников - 50, в том
числе из Канады - 4, Англии - 1, Новой Зеландии - 1 (см. НКЗ, 1978. №5,
39; Lect.Notes, 1976. №560).
Приведенных фактов, как мы думаем, достаточно, чтобы можно было
себе представить обстановку, в которой происходило в те годы бурное
развитие комбинаторной части математики. Процесс, разумеется, протекал
многоплановый, не без особенностей. Перенесем теперь описание в область
содержательных математических характеристик процесса,
сосредоточиваясь преимущественно на вопросах, относящихся к разработке
теоретических основ комбинаторного анализа.
В математике, когда говорят и судят о теоретических основах,
обычно имеют в виду:
а) систему понятий, устоявшуюся и достаточно богатую;
б) сравнительно высокую степень формализации суждений, вплоть до
системы аксиом;
в) набор операций, как обще математических, так и
специализированных. На достаточно высоком уровне образованности
принимают во внимание также неабсолютность, изменчивость всех
элементов теоретических основ и те обстоятельства и мотивы, которые
подобные изменения вызывают.
Математик, в ходе своей работы, в большей или в меньшей степени,
но неизменно обращается к изучению теоретических основ. Это помогает
ему : 1) лучше понимать единое, общее в многообразии частных
результатов, о которых он получает информацию; 2) увидеть ход развития
науки в области, близкой его интересам; 3) увереннее выбирать свой путь.
В бурном развитии комбинаторной математики, о котором идет речь,
обращение к теоретическим основам было особенно необходимо, и коллеги
это сознавали.
Так уж удачно получилось, что в 1963 г., во время пребывания в
США, мне удалось познакомиться с весьма интересной и, как оказалось,
значительной работой по построению теоретических основ комбинаторного
анализа. Я имею в виду беседы в Нью-Йорке и в Кембридже
Массачусетском с профессором Джан-Карло Рота (Gian-Carlo Rota) и его
учеником Генри Крапо (Henry Сгаро). Речь шла о новой концепции
построения единых теоретических основ для всех разновидностей
комбинаторной части математики. Отсутствие к тому времени публикаций
на эту тему, вынужденная краткость пребывания в стране, жесткая
14
К.А.Рыбиикон
регламентация of my itinerary затрудняли, к сожалению, проникновение в
детали и даже в самую сущность замысла. Однако, и первичная, далеко
еще неполная, информация, сама обстановка целенаправленной и
продуманной работы Рота и его молодых коллег, заинтересовали
необычайно.
Прошел год, и в 1964 была опубликована первая работа из
задуманного Рота цикла. Это была статья Rota G.-C. On the foundations of
combinatorial theory 1: Theory of Mobius functions // Zeitschrift fur
Wahrsheinlichkeitstheorie. Bd 2. №4. S.340-368 (далее в сокращении: Rota
1). Оттиск ее был любезно прислан мне автором. Статья многое прояснила,
но и вызвала множество вопросов. Дальнейших же публикаций,
развивающих общий замысел, пришлось ждать 5 лет. Зато потом, в период
1970-1974 гг., были опубликованы под тем же, частично общим,
заголовком, еще 8 статей. Вот их перечень:
• Crapo H., Rota G.-C.On the foundations of combinatorial theory 2:
Combinatorial geometries // Studies in applied mathematics. MIT, 1970. N.49.
P.109-133 (Preliminary edition: MIT.1968).
• Rota G.-C, Mullin R. On the foundations of combinatorial theory 3: Theory of
binomial enumerations // Graph theory and its applications. N.Y.:Academic
Press, 1970. P. 167-203.
• Goldman J., Rota G.-C. On the foundations of combinatorial theory 4: Finite
vector spaces and Eulerian generating functions // Studies in applied
mathematics. MIT, 1970. №49. P.239-258.
Andrews G.E. On the foundations of combinatorial theory 5: Eulerian
differential operators//Studies in applied mathematics. MIT, 1971. №50, V.4.
P.345-375.
Doubilet P., Rota G.-C,, Stanley R. On the foundations of combinatorial theory
6: The idea of generating functions // Proceedings of the 6-th Berkeley
symposium on mathematical statistics and probability. V.2. Univ.California
Press, 1972. P.267-318. На русском языке: в сборнике "Перечислительные
задачи комбинаторного анализа" под ред. Г.П.Гаврилова. М.:Мир, 1979.
С. 160-228.
• Doubilet P. On the foundations of combinatorial theory 7: Symmetric functions
through the theory of distribution and occupancy // Studies in applied
mathematics. MIT,1972. №51. V,4. P.377-396.
Rota G.-C., Kahaner D, Odlyzko A.J. On the foundations of combinatorial
theory 8: Finite operator calculus // Math.An.and Appl. 1973, №42. V.3.
P.684-760.
• Doubilet P., Rota G.-C., Stein J. On the foundations of combinatorial theory 9:
Combinatorial methods in invariant theory // Studies in applied mathematics.
MIT, 1974. №53. P. 185-216.
Дальнейшие упоминания об этих работах в очерках будут иметь вид:
Рота 2,..., Рота 9.
В этот же, примерно, отрезок времени выходили и другие работы
Дж.-К. Рота и его учеников, развивающие или разъясняющие отдельные
части общей концепции. Например:
Комбинаторный анализ. Очерки истории
15
Frucht R.W., Rota G.-C. La function de Mobius para partitiones de un conjunto
//Sciencia (Valparaiso, Chile), 1963. №122. P.111-115.
Rota G.-C. The number of partitiones of a set // Amer.Mathematical
Monthly, 1964. №71. P.498-504.
• Rota G.-C, Frucht R.W. Polinomies de Beil у particiones de conjunto-finitos //
Sciencia (Valparaiso.Chile), 1965. №126. P.5-10; 1966. №130. P.67-74.
• Crapo H. The Mobius function of a lattice // J.Comb.Th., 1966. №1. P. 126-
131.
. Crapo H. Mobius inversion in lattices // Arch.Math., 1968. V.19. P.595-607.
Rota G.-C. Baxter algebras and combinatorial identities // Bull Amer.
Math.Soc, 1969. №75. V.2. P.325-329; ibid., P.330-334.
Goldman J.R.,Rota G.-C.The number of subclases of a vector space. //
Recent progress in combinatorics ed.W.T.Tutte. N.Y.-London: Acad. Press,
1969. P.75-83.
• Rota G.-C. On the combinatorics of the Euler characteristic.// Stud, in pure
Math. ed. LMirsky. N.Y.: Acad.Press, 1971. P.221-233.
Серия работ Рота и его соавторов сразу же обратила на себя
внимание практически всего научного математического мира. По устному
свидетельству ряда участников 16-го Международного конгресса
математиков (Ницца,сентябрь 1970 г.), когда Дж.-К.Рота читал свой доклад
"Combinatorial Theory old and new" (речь в котором шла о комбинаторных
геометриях), то все другие секции либо оказались необычайно
малолюдными, либо даже отменили свои заседания.
Интерес к работам Рота, выходящим в объявленной им серии, был
велик и в последующие годы. Можно с полным основанием утверждать,
что был в новейшей истории комбинаторного анализа период, когда его
развитие происходило под заметным влиянием концепции Рота. Более того,
этот период еще не закончился. На наш взгляд, данная концепция
заслуживает подробного монографического описания. Это нужно сделать,
тем более, что, насколько автору очерков известно, такого еще не сделано.
Начнем эту работу, описывая с возможной подробностью содержание всех
девяти публикаций с необходимыми комментариями.
Тематически придется рассматривать:
• операцию обращения Мёбиуса и функцию Мёбиуса (Рота-1,4);
• идею производящей функции (Рота-6);
• операторные усовершенствования в комбинаторном
перечислительном аппарате (Рота-3, 5 и 8);
• комбинаторную геометрию (Рота и Крапо - 2);
• комбинаторику в ее связях с теорией симметрических функций (Рота-
7);
• комбинаторику и теорию инвариантов (Рота-9).
Эти и другие вопросы, характеризующие развитие комбинаторного
анализа в его теоретических основах, освещены в последующих очерках.
Неизбежные для серии тематических очерков повторения автор стремится
сводить к минимуму.
16
К.А. Рыбников
Уместно добавить, что серия работ, о которой пойдет речь, была
заметной, во многих отношениях ведущей, но не единственной и не
обособленной линией развития комбинаторного знания. "Золотоносную
жилу" общих комбинаторных построений и теорий разрабатывали многие.
Поэтому, очерки неизбежно "страдают" многоплановостью и в то же время
неполнотой, "вызывают жажду" пополнения информации и, как мы
надеемся, повлекут за собой новые историко-научные исследования.
Десятилетие, прошедшие после серии Рота, характерно еще
появлением большого числа монографий, в которых комбинаторный анализ
трактовался как самостоятельная и значительная часть математики, с
богатым содержанием, с широкими теоретическими и практическими
приложениями, а также как необходимая часть высшего математического
образования. Теоретические объекты, основные понятия достигают в них
высоких степеней обобщений (теоретико-множественная трактовка,
обобщенные графовые, блочно-схемные и другие понятия). Подобное
нарастание общности, по нашему мнению, отражает не только раскрытие
достаточно общих закономерностей развития, но и принципиальный
характер трудностей, преодолеваемых при решении комбинаторных задач и
в теоретических работах.
Примерами могут служить в этом случае следующие книги:
• Aigner M. Kombinatorik. V.1,2. Berlin: Springer Verlag, 1975,1976.
• Higher Combinatorics. Paris:Reidel,1977.
• Combinatorial Theory, Berlin: Springer, 1979. Русское издание: Айгнер М.
Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
• Comtet L Advanced Combinatorics. Paris:Reidel, 1974.
• Welsh D.J.A. Matroid Theory. N.Y.:Academic Press, 1976.
• Lovasz L Combinatorial Problems and Exercises. Budapest: Akademiai Kiado,
1979.
• Lawler E.F. Combinatorial optimization, networks and matroids. N.Y.
(издательство не указано), 1976.
Упомянем, кстати, несколько подобных изданий на русском языке,
свидетельствующих о несколько более позднем, но активном начале
научной деятельности наших отечественных математиков в области общей
комбинаторной теории:
• Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1972
(1-е изд.); 1985 (2-е изд.).
• Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.:
Наука, 1977.
• Сачков В.Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М.:
Наука, 1978.
• Комбинаторный анализ: задачи и упражнения. М.:Наука, 1982 (в 1979 -
ротапринтное издание).
Комбинаторный анализ. Очерки истории
17
• Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики.
М.: Наука, 1982.
Сюда следует добавить серию из 8 сборников под одинаковым
заголовком: "Комбинаторный анализ" (М.: Изд-во МГУ, 1971, 1972, 1974,
1976, 1980, 1983, 1986, 1989). Это - сборники трудов всесоюзных
семинаров по комбинаторному анализу, собираемых в МГУ. В МГУ же
регулярно работает научный семинар под руководством проф.
К.А.Рыбникова. Что же относится к более поздним временам, то в МГУ
проводят семинары с более широкой тематикой, включая и комбинаторную.
Они называются теперь семинарами по дискретной математике и ее
приложениям. Их периодичность - один раз в три года (1984, 1987, 1990,
1993). Организует эти семинары кафедра дискретной математики
(зав.кафедрой чл.-кор. РАН О.Б.Лупанов) С 1989 г. начал выходить
журнал "Дискретная математика" с периодичностью один раз в квартал.
Последующие очерки являются тематическими. Ссылки на источники
(книги, статьи) помещаются в тексте без составления общего списка
литературы1. Сделаем лишь одно исключение, упомянув здесь один
источник общего для всех очерков значения. Это Gessel /., Rota G.-C.
Classic papers in combinatorics, Birkhauser, 1987 - сборник, составленный
из 39 статей, опубликованных в течение 1930-1973 гг. Они воспроизведены
в факсимильном виде, расположены в хронологическом порядке без каких-
либо комментариев, кроме краткого предисловия. Тематика статей
разнообразна: теорема Рамсея, теория матроидов, теория паросочетаний,
алгебры инцидентности, обращения и функции Мёбиуса, экстремальные
задачи, метод включений и исключений, перестановки с ограничениями на
расположения элементов, вероятностные методы комбинаторики.
1 При написании очерка "О графах" пришлось составить список литературы и поместить его в конце
текста вследствие изобилия необходимых ссылок.
18
К. А. Рыбников
3. Обращение Мёбиуса и теория Дж.-К.Рота
К концу 50-х годов среди математиков США распространилось
убеждение, что весьма многие задачи практического характера являются
по своей сущности комбинаторными; комбинаторная теория обладает еще
весьма ограниченным набором методов; решение комбинаторных задач
оказывается делом трудоемким; для отыскания менее громоздких методов
необходимо дополнительное развитие теории и повышение уровня
мастерства.
Подобные мысли были основными, исходными в обзоре: Hall M. А
survey of combinatorial analysis // Surveys in applied mathematics. V.4.
1958. N.Y.: J.Wiley. P.37-104. (Русское издание: Холл М. Комбинаторный
анализ, М.: Мир, 1963), представляющем собою самое раннее
систематическое изложение общей комбинаторной теории. В этот обзор его
автор включил: гл.1. Введение и резюме; гл.2. Методы перечисления; гл.З.
Теоремы выбора; гл.4. Существование и построение схем.
Говоря о методах перечисления, М.Холл отметил, что
упорядочиваемые решения задач легче находить, нежели
неупорядочиваемые. Тем самым он обратил внимание на принципиальную
задачу теории: расширить класс изучаемых в комбинаторике объектов на
множества, обладающие частичными упорядочениями. Именно эту задачу
решил в начале 60-х годов Дж.-К.Рота на основе анализа операций
обращения Мёбиуса, посвятив этому упомянутую серию из 9 работ.
Значение этих исследований М.Холл подчеркнул, посвятив им полностью
гл.2 "Inversion formulae" своей книги: Hall M. Combinatorial Theory. Blaisdeil
Publ.C, 1967 (русское издание: Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970).
Заслуги Рота М.Холл отметил словами: "Недавно эта идея была
значительно развита Дж.-К. Рота. Данное здесь краткое изложение
основано на работах Рота" (Р. 15; в русском издании: 28).
Классическая функция Мёбиуса Августа Фердинанда (1790-1868)
существует в математике с 1832 г. (Journal fur die reine und angewandte
Mathematics, Bd.9. P.105-123). Это арифметическая функция, т.е. функция
целочисленного аргумента п, принимающая значения:
ц(1)=1;
ц(п)=0 для п, делящегося на квадрат простого числа;
|i(n)=(-l)k, если п равно произведению к различных простых
делителей числа п.
Применялась функция Мёбиуса в формуле обращения конечных сумм
по делителям п:
1) /"ОО-Е/ОО; /(*) = 2>(<0/X"/<0;
din din
Комбинаторный анализ. Очерки истории
19
2) если Р(п) - вполне мультипликативная функция, P(l)=l, a f(x)
определена для всех действительных чисел х>1, то из g(x) = J^P(n)f(x/п)
яйл
следует, что /(*) = ^M(n)P(n)g(x/n).
>ISJC
Последующие расширения в трактовке формулы обращения Мёбиуса
произошли лишь через 100 лет, в 30-х годах XX в. (Weisner L. Abstract
theory of inversion of finite series // Trans. Amer. Math. Soc, 1935. №38.
P.474-484). Аналогичные результаты в то же время были получены в двух
статьях Ф.Холла (Hall Ph. A contribution of the theory of groups of prime
power order // Proc. London math. Soc. (2), 1932. №36. P.39-95; The
Eulerian functions of a group // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1936. P.134-
151). Включение этих трактовок в еще более общую теорию произошло в
конце тех же, 30-х гг. (M.Ward. The algebra of lattice functions // Duke
math. J., 1937. №5. P.357-371).
Дальнейших существенных более ранних теоретических продвижений
в работе Рота упомянуто не было. Рота отметил лишь два приложения к
статистической физике: Green M.S., Nettleton R.E., Mobius function on the
lattice of dense subgraphs //J. Res. nat. Bur. Stand. 1962. №64B. P.41-47 и
другую статью тех же авторов, появившуюся несколько ранее: Expression
in terms of modular distribution functions for the entropy density in an infinite
system // J.Chem.Phys., 1958. №29. P. 1365-1370.
Замысел Рота, осуществляемый в начальной работе серии, т.е. Рота-
1, в первом приближении можно описать так: пусть Р - локально конечное
частично упорядоченное множество элементов. Для него он строит алгебру
инцидентности, исходя из известных в алгебре понятий: систем
инцидентности (см. Математическую энциклопедию 4, 467) и полурешеток
(полуструктур, полугрупп), которые при специальном задании частичного
порядка превращаются в частично упорядоченные множества.
Алгебру инцидентности над Р образуют функции f(x,y), где х,уеР,
принимающие действительные значения, обладающие свойством, что
f(x,y)=0, еслих<у; операции сложения и умножения на число для них
определяются, как обычно, а умножение: fog = h(x,y)- ^f(x,z)g(z,y).
xZz&y
Вводится дзета-функция: <; - элемент алгебры инцидентности, такой,
что <;(х,у)=1 для х<у; ^(х.уЖ) во всех остальных случаях. Обратная ей
функция в алгебре инцидентности и есть функция Мёбиуса |i(x,y) на
частично упорядоченном множестве Р. Далее вводится формула обращения
Мёбиуса, в которой показано (с надлежащими уточнениями), что если две
функции f(x) и g(y) связаны одним из соотношений
g(x) = ^f(y) и f(x)^^dg(y)ju(ytx)J то они связаны и другим.
у£х у£х
Последующие рассуждения раскрывают аналогии. Во-первых, в
теоретико-числовой трактовке формула Мёбиуса интерпретируется как
известная формула обращения между римановой ^-функцией и
20
К.А.Рыбников
производящей функцией Дирихле с помощью классической функции
Мёбиуса. Если частично упорядоченное локально конечное множество Р
является решеткой натуральных делителей числа п, то налицо - совпадение
с данным выше определением. Когда Р всюду упорядочена и ее элементы
образуют цепочку, то формула сводится к связи между операциями
суммирования и взятия разности. Если Р является решеткой подмножеств
некоторого конечного множества, то формула оказывается обобщением
метода включения и исключения, чем и определяется значение обращения
Мёбиуса для комбинаторного анализа.
Такова, вкратце, общая идея. Она очевидным образом открыла
возможности построения одного из наиболее общих из существовавших
методов решения перечислительных задач комбинаторного анализа.
Для полноты характеристики общей идеи следует учесть (и Рота это
учитывал) тесную связь того, что было сказано выше с замечательным
комдинаторным результатом Дилуорса (R.P.Dilworth), выраженным в
теореме:
В конечной модулярной решетке число элементов, покрывающих
точно К элементов, равно числу элементов, покрываемых в точности К
элементами (Dilworth R.P. Proof of conjecture on finite modular lattices //
Annals of Mathematics, 1954. V.60. №2. P.359-364).
Частный случай теоремы Дилуорса (при k=l) содержит
доказательство гипотезы, известной с середины 30-х годов, что в конечной
модулярной решетке число v-неприводимых элементов равно числу л-
неприводимых элементов. Существенную роль в доказателстве теоремы
Дилуорса играют функции Мёбиуса локально конечных частично
упорядоченных множеств, которые Дилуорс называл функциями Вайснера-
Мёбиуса.
Статья Рота-1 начинается с введения большого числа определений и
вводных замечаний. Затем следует очерк алгебр инцидентности над
локально конечными частично упорядоченными множествами и связанных
с этим инвариантов: (^-функции, функции Мёбиуса, функции
инцидентности, эйлеровой характеристики. Решается вопрос о значениях
функции Мёбиуса на решетках в усложненных условиях, когда речь идет о
функциях множеств, связанных условием Галуа. Напомним, что
соответствие Галуа (с.Г.) между частично упорядоченными множествами
(ч.у.м.) М и М* есть пара отображений: М—^М', М'—*->М,
удовлетворяющих условиям:
1) если а<Ь, то a<p>b<p, a,beM\
2) если а'<Ь\ 70а'у/>Ь'у/л а'у/>Ь'у/, а'у/>Ь'ц/.
Понятие с.Г. связано с понятием замыкания в ч.у.м.: если М >М\
то
а = а<ру(а еМ)
а' = а'(рц/{а' еМ')
Комбинаторный анализ. Очерки истории
21
определяют отношение замыкания вМиМ' соответственно. Исторически
с.Г. возникло как соответствие между всеми промежуточными подполями
расширения РсК и системой подгрупп группы Г. этого расширения. Этот
результат обозначен как главный. Рассматриваются сечения, называемые
cross-cuts. Именно: cross-cut конечной решетки L есть подмножество {c}cL
со свойствами:
1) С не содержит 0 и 1;
2) С - антицепь;
3) Всякая максимальная цепь от 0 к 1 пересечет С.
Дан набросок теории представлений решеток, т.е. отображений,
позволяющих переходить от булевой алгебры подмножеств к операциям
над решетками подпространств векторных пространств над конечным
полем. Наконец, также в предварительном порядке, рассмотрены две
конкретные задачи: об окрашивании графов и о потоках в сетях.
По охвату тематики первая работа серии оказалась гораздо шире,
нежели это можно заключить из ее заголовка. В этом "виновата" уже
предвкушаемая и осознанная широта всего замысла. Впрочем, автор этого
и не скрывает: "Мы убеждены, что формула Мебиуса об обращениях на
частично упорядоченных множествах является основной для перечислений;
мы надеемся в последующих работах данной серии это убеждение привести
в жизнь (to implement)" (p.342).
Implementation последовало, но только через 6 лет, в 1970 г. в работе
Рота-4. Постановка задачи и здесь весьма четкая. "Цель настоящей работы
состоит в том, чтобы выполнить небольшую часть программы, начатой в
Рота-1. Мы будем изучать главным образом комбинаторные аспекты
решеток подпространств векторного пространства над конечным полем и
использовать их для вывода тождеств, как классических, так и новых,
чтобы они могли быть отыскиваемы в литературе в разнообразных случаях.
Центральная идея состоит в том, чтобы получить систему теоретико-
множественны^интерпретаций тождеств, известных как q-тождества в
терминах перечисления и линейных преобразований векторных
пространств над конечными полями".
Тут все ясно. Пояснений не требуется. Итак, в работе Рота-4 общие
идеи Рота-1 (и др.) переносятся на более общие объекты: конечные
векторные пространства, точнее, на решетки подпространств векторных
пространств над конечными полями. Главная задача состоит в том, чтобы
решать в теоретико-множественной интерпретации задачи о перечислениях
и о линейных преобразованиях векторных пространств. Получающиеся при
этом соотношения названы q-тождествами; их аналогии с классическими
биномиальными тождествами очевидны.
Подобный подход на новизну не претендует. Ряд выражений для q-
тождеств уже был получен, например, в теории разбиений чисел и в
теории эллиптических функций. Авторы Рота-4 (J. Goldman, G.-C.Rota) это
отмечают и видят свою задачу в систематическом изучении проблемы,
чтобы полнее раскрыть структуру аналогий.
22
КА.Рыбников
В начале статьи Рота-4 вводятся гауссовы коэффициенты. Это q-
( п\
аналоги биномиальных коэффициентов. Известно, что символом в
комбинаторике обозначают число /г-подмножеств «-множества. Аналогично,
есть символ для числа подпространств размерности к в решетке
\К)
я
L(Vn) подпространств n-размерного векторного пространства над
конечным полем GF(q). Числа, обозначаемые
к
названы гауссовыми
коэффициентами. Для них выведены формулы, аналогичные биномиальным
и совпадающие с ними для <?=/.
При таком ходе мыслей и суждений производящие функции,
называемые авторами эйлеровыми, получают интерпретацию как
подалгебры алгебры инцидентности решетки конечномерных
подпространств бесконечномерного векторного пространства (всюду над
конечным полем) (см.Рота-6). Эта подалгебра названа редуцированной
алгеброй инцидентности (reduced incidence algebra).
Ход рассуждений в этой части Pota-4 (раздел 3. Eulertan generating
functions, P.243-247) таков: выводится формула обращения Мёбиуса на
L(Vn) и определяется подсчет значения функции. Формула разительно
напоминает классическую и совпадает с ней при q-1 (с.244), что
естественно. Вводится понятие алгебры инцидентности. Из этой алгебры
выбирается подалгебра, наиболее подходящая для рассматриваемого типа
комбинаторных задач. Она составлена из всех функций, значения которых
постоянны на классах изоморфизмов. Последние трактуются в терминах
множеств, частично упорядоченных. Центральной для этого раздела работы
является теорема на стр.245, устанавливающая изоморфизм алгебры
степенных рядов и редуцированной алгебры инцидентности решетки
L(VM)ncex конечно-размерных подпространств счетного
бесконечномерного векторного пространства над конечным полем из q элементов.
Вслед за этим авторы вводят иную интерпретацию алгебры
инцидентности, опираясь на понятие коалгебры (см. в книге Маклейн С.
Гомология, Наука, 1966. Английское издание - MacLane S. Homology. Acad.
Press and Springer Verlag, 1963r.).
Выявляется мультипликативность арифметических функций и
комбинаторный смысл конволюции как числа окрашенных цепей. Очерк
еще беглый, смысл разъяснен на ряде примеров. Обращения Мёбиуса
распространяются на задачи типа разбиения чисел, причем они доставляют
новые доказательства уже известных тождеств.
Эта статья (то есть Рота 4) была опубликована в 1970 г. Но еще
осенью 1969 г. (28 августа) она была доложена в Венгрии на
Международном коллоквиуме по комбинаторной теории и ее приложениям
и также опубликована в трудах этого коллоквиума.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
23
Идеи Рота, опубликованные в 1964 г., позволили расширить
возможности перечислительных методов комбинаторики и притом весьма
существенно. Сделалось возможным принцип включений-исключений
распространить на решетки подмножеств посредством формулы обращения
Мёбиуса. К 1970 г. в работе Рота-4 было получено обобщение результата
на решетки подпространств векторного пространства и вообще
геометрические решетки. В промежутке, в 60-е годы, были получены
(H.Crapo, FLFrucht, Foata и др.) многочисленные результаты относительно
значений функции Мёбиуса при решении комбинаторных задач на
множествах с частичными упорядочениями, найдены связи с близкими
алгебраическими исследованиями (например, см. Delsarte. Fonction de
Mobius sur les groupes abeiiens finis. Ann. Math. 1948, 49, 600-609).
С дальнейшим развитием исследований, относящихся к теории
функций Мёбиуса, можно ознакомиться по статье: M.Barnabei, A.Brini, G.-
C.Rota. La theoria delle funzioni di Mobius, которую авторы написали
специально для журнала "Успехи математических наук", где и был
опубликован ее русский перевод (1986, т.41, вып.З (49), с.113-157) с
обширным списком литературы (153 назв.). Из введения можно заключить,
что основные идеи теории, вытекающие из операции обращения Мёбиуса,
практически остались теми же. Они базируются по-прежнему на
эквивалентности категорий множеств с частичными упорядочениями и
категории конечных дистрибутивных решеток. Теория обогащается за счет
систематического использования кольца нормирования дистрибутивной
решетки, алгебраического аналога процесса линеаризации, применяемого в
функциональном анализе. Для тех же конечных дистрибутивных решеток
введен комбинаторный аналог Эйлеровой характеристики, как
единственное нормирование, принимающее значение 1 на каждом
ненулевом sup-неприводимом1 элементе. Приведены постановки 5 задач,
которые представляются перспективными для определения связей теории
функций Мёбиуса с другими разделами современной математики.
Построение теоретических основ общей комбинаторной теории в ее
перечислительной части, начатое в Рота-1 и продолженное в Рота-4,
получило определенную завершенность в Рота-6, названной при
публикации "Идея производящей функции". Авторы этой работы: Дж.-
К.Рота, П.Дубиле и Р.Стенли приступили к осуществлению своего замысла
не позднее 1966 г., когда они работали в Лос Аламосе, в ядерном научном
центре. Появилась же статья, в качестве итога их труда, лишь в 1972 г., в
Proceedings of the 6-th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and
Probability, Univ. California Press, v.2, 1972, 267-318. Симпозиум
организовывала лаборатория статистики Калифорнийского университета в
июне и июле 1970 г. и в апреле, июне и июле 1971 г.
Издание Proceedings состоит из 6 томов:
1 Пусть L - дистрибутивная решетка. Обозначим ее элемент peL. Если из условия p=avb следует,
что либо р=а, либо р=Ь, то такой элемент р называется sup-неприводимым.
24
K.A. Рыбников
1) Theory of statistics;
2) и 3) Probability theorie;
4) Biology and problems of health;
5) Darvinian, neo-darvinian and non-darvinian
evolution;
6) Pollution and health.
В них, к слову, имеются в тт. 1 и 2 статьи наших отечественных
математиков: Беляева Ю.К., Линника Ю.В., Романовского И.В., Боровкова
А.А., Гнеденко Б.В., Сазонова В.В., Соловьева А.Д., Ширяева A.M. Второй
том, в который входит Рота-6, открывается некрологами на смерть
В.Феллера (1906-1970) и А.Реньи (1921-1969). Других статей, кроме Рота-
6, посвященных комбинаторике, в этом томе и вообще в Proceedings, нет.
Русскую публикацию текста Рота-6 см. в сборнике переводов:
"Перечислительные задачи комбинаторного анализа" под ред.
Г.ПТаврилова, изд. Мир, 1979, 160-228. К сожалению, другие работы
серии Рота на русском языке в печати не появлялись.
По поводу этой работы, целей ее написания, содержания и
обстоятельств, к этому относящихся, считал бы существенно необходимым
принять во внимание нижеследующие факты. Когда осенью 1963 года
началась калифорнийская часть моей научной командировки в США, то
почти тотчас же по прибытии в г.Лос-Анжелес проф. Э.Беккенбах сообщил
мне, что он готовит к печати и вскоре опубликует сборник "Applied
combinatorial mathematics". Тогда же удалось просмотреть рукопись
сборника. Последний был составлен из 18 самостоятельных очерков,
написанных авторитетными специалистами. Очерки были сгруппированы в
тематические разделы:
1А) Computation and evaluation;
IB) Counting and enumeration;
2) Control and examination;
3) Construction and existence.
Охват тематики был для своего времени универсальным, прикладная
направленность в подборе и компоновке математического материала -
очевидной. Через год, в 1964 г., сборник увидел свет в издательстве John
Wiley and Sons, Inc. А еще через 4 года он вышел в переводе на русский
("Прикладная комбинаторная математика". Сборник статей. Изд.Мир,
1968), но, к сожалению, в сильно урезанном виде (только 9 статей из 18).
Производящим функциям в сборнике Э.Беккенбаха посвящен краткий
очерк Дж.Риордана. Последний начал работать в комбинаторике не
позднее 1943 г., издал в 1958 году книгу "Введение в комбинаторный
анализ" (издана на русском в 1963 г.) В этой книге "комбинаторным
считается все то, что перечисляемо" (стр 6 в русском издании), а
производящие функции считаются основным орудием комбинаторики (см.
там же). В русское издание сборника очерк Дж.Риордана не вошел.
Главным теоретическим достижением, имеющим наивысшую общность,
Риордан считает теорию Пойа (1887-1985), изложенную в большой статье
Комбинаторный анализ. Очерки истории
25
"Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen, und Chemische
Verbindungen", Acta Math. 1937, 68, 145-253. При этом он ссылается на
очерк "Polya's theory of counting" by N.G.de Bruijn в том же сборнике
(ss. 144-184). Текст сочинения Пойа в переводе на русский язык см. в
сб."Перечислительные задачи комбинаторного анализа", Мир, 1979, 36-136.
В том же сборнике на стр.229-255 см. статью НГ.де Брейн "Обзор
обобщений перечислительной теоремы Пойа", где подробно изложены
результаты, объявленные в докладе "Последние достижения в теории
перечисления" на 16-м Международном математическом конгрессе в Ницце
(сентябрь 1970).
Об идеях, высказываемых Дж.-К.Рота, в сборнике Э.Беккенбаха нет
даже упоминания. Попытки выяснить сразу же причины такого положения
остались безуспешными. Казалось, что и Э.Беккенбах, и М.Холл какое-то
мнение имели, но обсуждать неопубликованные еще результаты Рота с
незнакомым им человеком не хотели. Что же касалось более общих
вопросов, относящихся к построению единой теоретической основы
комбинаторики, то и в этом пункте заинтересованность, если и была, то
также не проявлялась.
Сборник Э.Беккенбаха и первая статья серии Рота вышли в один и
тот же год. Тем самым, вольно или невольно, но тотчас обозначилось
противостояние двух принципиально различных подходов к построению
теоретических основ комбинаторного анализа. Как было уже рассказано,
Рота развивал аппарат перечислений, основывая его на обращениях
Мёбиуса и вообще на изучение структуры решеток подмножеств.
Прикладников же пока устраивала и теория Пойа. Напомним, что
последняя исходила из обобщенного понятия эквивалентности,
индуцированного группами подстановок; образно говоря, она оказывалась
combinatorics under group action. Это была уже хорошо развитая теория
(более подробно см.следующий очерк). Ее основная теорема охватывала
сразу три аспекта комбинаторных перечислений: производящие функции,
эквивалентности и веса. Де Брейн, которому принадлежат многочисленные
результаты, обобщающие теорию Пойа, называл эту теорему
фундаментальной для всей перечислительной комбинаторики. Многие были
с этим согласны. Поэтому, думается, авторы Рота-6 так долго и так
тщательно готовили свою разработку идей производящей функции.
Поэтому же, мы в характеристике этой разработки не будем избегать
повторений авторских резюмирующих высказываний. В работах историко-
научного профиля подобная практика отнюдь не вредит делу, если об этом,
конечно, сказано открыто.
Статья Рота-6 начинается с решительного утверждения: чтобы
распространить теорию производящих функций за пределы ее настоящих
границ и построить новые виды алгебр, лучше соответствующих
разнообразным дискретным задачам, представляется необходимым
отказаться от понятий групповой или полугрупповой алгебры (и тем самым
лишить теорию Пойа ее центральной позиции). В подтверждение
26
К.А.Рыбников
приводится пример: алгебра формальных рядов Дирихле, которую не
удается охарактеризовать как подалгебру групповой алгебры, но можно
построить как алгебру инцидентности решетки конечных циклических
групп. Порядковая структура дискретных систем оказывается богаче,
нежели групповой подход к ее описанию. Отметив это обстоятельство,
авторы поставили перед собою цель: разработать методику (в оригинале
термин: технику) построения алгебр, единообразно применяемую для
любого вида производящих функций и которая оказалась бы действительно
универсально применимой.
Вводятся обозначения, термины и определения понятий, среди
которых главное, исходное: алгебры инцидентности. В описании структуры
этих алгебр продолжена соответствующая часть работ Рота-1 и Рота-4:
алгебры оснащаются топологией, вводятся решетки идеалов, трактовки
алгебр как функторов. Завершает этот раздел теорема Стенли о том, что
упорядоченное множество однозначно определяется своей алгеброй
инцидентности.
В следующем разделе Рота-6 (разд.4) содержится более детальное
описание редуцированных алгебр инцидентности. Их выбирают, исходя из
подходящих отношений эквивалентности на сегментах локально конечных
частично упорядоченных множеств и последующего рассмотрения функций,
принимающих одинаковые значения на соответствующих сегментах.
Обсуждается вопрос о совместимости отношений эквивалентности со
структурой (порядком), что приводит к коэффициентам инцидентности -
обобщениям классических биномиальных коэффициентов. На
многочисленных примерах показано, как известные производящие функции
могут быть интерпретированы как функции редуцированных алгебр
инцидентности.
В разделе "Универсальные алгебры инцидентности" понятие
редуцированных алгебр инцидентности распространяется на семейства
упорядоченных структур. Наиболее важным результатом здесь авторы
считают введение понятия мультипликативных функций на разбиениях
множества и изоморфизм с полугруппой формальных степенных рядов без
свободного члена относительно функциональной композиции, а затем -
алгебры мультипликативных функций на классе упорядоченных структур.
Наконец, при перечислении абелевых групп в качестве универсальной
алгебры инцидентности оказалась алгебра Ф.Холла.
В разделе "Резидуальный изоморфизм" отмечено еще раз, что два
эквивалентных сегмента при максимальной редукции не обязательно
бывают изоморфными. Поэтому, максимально редуцированная алгебра
инцидентности может не совпадать с алгеброй, получаемой при
отождествлении изоморфных сегментов множества. Решается задача
определения условий эквивалентности двух сегментов в максимально
редуцированной алгебре.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
27
Авторы Рота-6 считали, что простого критерия рудуцируемости,
видимо, не существует. К 1981 г. такой критерий был найден и
опубликован в двух статьях:
• Kreige A. A charakterization of reduced incidence algebra // Discrete
mathematics, 1981. V.34. P.141-144.
• Longstaff J., Harrison J. Subalgebras in incidence algebras determined by
equivalence relations//J.Comb.Th. 1981. V.A31, P.94-97.
Три последних раздела этой большой работы содержат детальный
анализ алгебр тех производящих функций, которые наиболее близки к
известным видам: алгебры типа Дирихле (разд.7), алгебра полного
биномиального типа (разд.8) и алгебры треугольного типа (разд.9). В
первых из них оказалось возможным определить все аналоги классических
теоретико-числовых функций, вплоть до формулы произведения для дзета-
функций. Алгебры биномиального типа объединяют классические
экспоненциальные производящие функции, естественно возникающие в
связи с некоторыми блок-схемами. Что же касается алгебр треугольного
типа, то это те редуцированные алгебры инцидентности, которые
изоморфны алгебре всех верхних треугольных матриц над основным полем.
К ним относятся многие типы комбинаторных объектов, модулярные
решетки которых треугольны: цепи, проективные геометрии, булевы
алгебры, блок-схемы и др.
Появление работы Рота-6 проблему противостояния концепции Рота
и теории Редфилда-Пойа казалось бы разрешило в пользу первой из них.
Это выглядело тем более убедительно, что в конце статьи был приведен
внушительный перечень результатов, не обсуждавшихся в тексте из-за
недостатка места. Но для полного выявления реально существующих
взаимоотношений между этими двумя теориями результатов Рота-6 все
равно оказывалось недостаточно. И поэтому через 5 лет эта проблема
всплыла вновь в статье "Enumeration under group action" by G.-C.Rota and
D.A.Smith в журнале "Ann.Scu.norm.sup. Pisa, ai.sci, 1977, 4,No4, 637-646.
Здесь представлено новое доказательство теоремы Пойа и
последующих обобщений де Брейна. Рассматривается вопрос о связях
между решеткой разбиений множества и решеткой подгрупп группы
перестановок его элементов. Между ними устанавливается соответствие
Галуа (См. Рота-1, с.343, Более полно об этом в кн. Э.Баннаи, Д.Ито.
Алгебраическая комбинаторика. М.Мир, 1987, 331-367). Замкнутые
разбиения названы периодами, замкнутые группы - периодическими.
Вводятся подходящие формальные степенные ряды в качестве
производящих функций для ситуации типа "окрашиваний", а также
обобщения эйлеровой (^-функции и др. Для них строится алгебра и
операция обращения. Эти функции используются при выводе производящих
функций для эквивалентных классов функций, на которых группа
действует. В ходе выкладок происходит двойное обращение Мёбиуса,
28
К.А. Рыбников
вследствие чего в окончательном результате функция Мёбиуса не
фигурирует. Ее не надо вычислять явно, что, очевидно, является
облегчением. Когда полученный результат переформулируется в теоретико-
групповых терминах, то получается обобщенная формулировка теоремы
Пойа. Тем самым, противостояние двух подходов к перечислениям: under
group action и с применением обращения Мёбиуса, оказалось снятым.
В серии работ Дж.-К.Рота уделено внимание операторным
усовершенствованиям перечислительных методов.
Это направление исследований отражено в трех статьях серии:
1. Рота-3 (Muilin R.M., Rota G.-C. The binomial enumeration. 1970);
2. Рота-5 (Andrews. Eulerian differential operators. 1971);
3. Рота-8 (Rota G.-C, Kahaner D., Odiyzko. Finite operator calculus.
1973).
(Полные библиографические данные об этих работах см. на стр.14).
В первой из упомянутых работ рассматриваются последовательности
полиномов биномиального типа, т.е. таких, что обладают следующим
свойством:
РЛ* + У) - Z<?>P*МрЛу)\п = 0.1,2,...
К этому типу относятся многие классы последовательностей,
например:
полиномы Абеля: Рп (х) = х(х - апУ"1, л = 0,1,2,...
экспоненциальные: <рп(х) = JS(n,fe)jc\ где
S(n,k) - числа Стирлинга 2-го рода;
полиномы Лагерра: 4, U) - Z ^7 ^ )(-xY;
Pn (x) = (х)л =x(x-l)...(x-n + 1);
РЛх) = {xY = x(x +1)... (x + n-l).
факториалы:
Эти последовательности подвергались изучению примерно с 1900 г.
(Pincherle, Amaldi, Sheffer, Stefenson) в составе теории конечных
разностей. Интерес к ним, проявленный Рота и его учениками, объясняется
тем, что они участвуют в интерпретациях решений хзадач типа
распределений и заполнений (в производящих функциях).
Основная задача, решаемая в Рота-3, такова: пусть даны две
последовательности полиномов биномиального типа: Рп(х) и qnM-
Требуется найти коэффициенты связности Спк в выражениях вида
Р«(*) = £C«jA.(*)- Главной особенностью разрабатываемых здесь методов
является настойчивое применение разнообразных операторов, в том числе
"теневых" ("umbral calculus"), введенных в математику еще
Дж.Д.Сильвестром.
В конце статьи в последнем разделе "A glimpse of combinatorics" речь
идет о приложениях, "хотя мы намерены оставить комбинаторные
Комбинаторный анализ. Очерки истории
29
приложения предыдущей теории для второй части настоящей работы".
Формулы используются в перечислительных задачах теории графов,
именно к подсчетам числа лесов укорененных помеченных деревьев. В
качестве следствия получается известная теорема Кэли: The number of
labeled trees on n vertices is nn~^. Обращение к графической
интерпретации, видимо, объясняется характером издания, в котором
помещена статья Рота-3. Это сборник Graph theory and its application, Acad.
Press., 1970 Proceedings of the Advance Seminar of Mathematics Research
Centre US Army, Madison, Wisconsin, 1969.
Прямым продолжением Рота-3 оказалась работа Рота-8,
опубликованная тремя годами позднее. Цель сформулирована аналогичная:
развить единообразную теорию последовательностей полиномов рп(х),
n=0,lt2,... с коэффициентами из фиксированного поля. Рассмотрены три
класса последовательностей:
1) Последовательности того же биномиального типа;
2) Последовательности типа Шеффера: {Sn(x)}t
удовлетворяющие свойству:
Sn(x+y) -J(VWprtW;n = 0,1,2,...
где рп(х) - заданная биномиальная последовательность;
3) Cross-sequences, т.е.такие биномиальные последовательности
[p.wU)lfl = 0,1,2 Ц] <=Я, для которых
^1(^^) = Z(yiU)Abb = o,i12,..
В свете общих постановок изучаются различные полиномиальные
последовательности, в том числе классические: Эрмита, Лагерра, Котляра
и др. Последовательность типа 2 трактуется как последовательность
собственных функций, подходящих линейных операторов в гильбертовом
пространстве. Широко используется операторная техника, включая
"теневую" алгебру.
Серию работ Рота по основаниям комбинаторного анализа завершают
две статьи с отличной от другой постановкой вопросов.
Когда формируются математические теории, то в процессе их
формирования возможно (и нужно) видеть проявления общих
закономерностей развития науки. Начинается процесс всегда с решения
задач. В ходе этой деятельности накапливаются предпосылки, элементы
теории. До некоторого момента они обычно рассматриваются как
разнородные. Постепенное осознание их общности, сопричастности к чему-
то общему, приводит на определенном этапе к перевороту в методе. Этот
переворот состоит в том, что на первый план в суждениях выходят
элементы общих концепций, новые абстракции, которые выстраиваются в
системы суждений, принимающие в математике, как правило,
аксиоматический характер. Наступает период логических упорядочений,
30
КА Рыбников
сопровождаемый расширениями области изучаемых объектов и методов
исследования.
Этот последний (упомянутый последним) этап, в части поисков и
попыток построения общей комбинаторной теории Дж.-К.Рота и его
учениками и единомышленниками, нашел в рассматриваемой серии
отражение в статьях Рота-7 и Рота-9. Напомним их названия:
• Doubilet P. On the foundations of combinatorial theory VII: Symmetric
functions through the theory of distribution and occupancy // Studies in
applied mathematics. MIT. December, 1972. V.51, №4. P.377-396.
• Doubilet P., Rota G.-C, Stein J. On the foundations of combinatorial theory IX:
Combinatorial methods in invariant theory // Studies in applied mathematics.
MIT. September, 1974. V.53. №3. P. 185-216.
В первой из двух упомянутых работ речь идет об интерпретациях
результатов теории симметрических функций в терминах решеток
разбиений множеств. Такие интерпретации, по мнению автора, создают
возможности расширения класса симметрических функций, а также
продвижения теории линейных представлений симметрических групп.
"Сердцевиной" проводимых доказательств и интерпретаций является опора
на установленные ранее фундаментальные результаты:
а) группа Sn перестановок множества {1, 2, 3, ..., п} может быть
представлена в виде произведения разобщенных (не имеющих общих
частей) циклов. Каждой перестановке creSn сопоставляется разбиение
МРХ*,...) элементов множества. Здесь г. есть число циклов длины i, a X -
тип а. Число элементов Sn типа X нетрудно вычисляется по формуле
п\
l'V2V2!...
б) Решетка разбиений fl(D) конечного множества D состоит из
разбиений я е 17(D). Разбиение it множества D есть семейство
подмножеств #,...,/?*, объединение которых равно D. Оно упорядочивается
по уточнению, например по теоретико-множественному включению. Для
двух разбиений <т< л определяют сегмент [ct.ttj; изоморфный прямому
произведению ах копий лХУ аг копий л2 и т.д., где а{ - число блоков я,
составленных из i блоков о\
Еще более общую постановку проблемы содержит работа Рота-9,
имеющая своей задачей построение алгебраической системы,
предназначенной для вычислений с подпространствами конечномерного
векторного пространства над произвольным полем. В этой системе
используются лишь две операции: join and meet. Для этого строится
специальное пространство Кэли, снабженное невырожденной
альтернативной мультилинейной формой, называемой brackets (см. Алгебра
Кэли, Кэли число и Кэли-Диксона алгебра в Математической
энциклопедии). Новым здесь является замечание, что это понятие -
Комбипагорный анализ. Очерки истории
31
осознанно или нет, - оказывается основным для классической теории
инвариантов. Следуя этим путем, и используя материал Рота-3, -5, и -8,
Рота получает разновидность классической теории представлений
симметрических групп, а также 2 элементарных доказательства первой
фундаментальной теоремы теории инвариантов для произвольных полей.
Статью Рота-9 и вообще серию Рота завершает раздел "12. Further
work" с перечнем проблем и соображений о новых возможностях для
исследования задач и усовершенствования методов. Та часть концепции
Рота, которая имела целью дать теоретическую основу для перечисляющих
комбинаторных методов, к нашему времени переросла в более широкую
область - "алгебраическую" комбинаторику. Представление об этой области
можно получить из монографии: Баннаи Э., Ито Т. Алгебраическая
комбинаторика. М.: Мир, 1987, или из других, например:
• Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.гМир, 1990.
• Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. М.: Наука, 1990.
• Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука,
1974.
• Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп. М.: Мир,
1985.
В них раскрываются еще более широкие направления развития
современной математики, в которых комбинаторные идеи и методы имеют
важную роль. Что же относится к общей характеристике рассмотренных в
настоящем очерке фактов и их исторических судеб, то вполне обоснованно
утверждать следующее: с 1964 г. в математике начала свое существование
общая комбинаторная теория. Своим созданием она обязана американскому
математику из Эквадора Джан-Карло Рота (Gian-Carlo Rota, 1932- ).
Общность этой теории такова, что ее средствами возможно ставить и
решать комбинаторные задачи на множествах с частичными
упорядочениями. В ней объединяются и согласуются многие разделы
комбинаторики.
В своей перечислительной части эта теория исходит из операции
обращения, введенной А.-Ф.Мёбиусом (1790-1868) еще в 1832 г. в
теоретико-числовой постановке. Теория обращений Мёбиуса, будучи
развита для частично упорядоченных множеств оказалась обобщением
комбинаторного принципа включений и исключений. Теория же
биномиальных частично упорядоченных множеств представляет
универсальный источник производящих функций.
За 30 лет своего существования рассматриваемая здесь часть теории
Дж.-К.Рота развивалась, как видим, активно. Об ее современном состоянии
и месте в системе комбинаторного анализа можно узнать не только из
упоминавшейся в тексте статьи М.Барнабеи, А.Брини и Дж.-К.Рота, но и
из книги Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.
440с, где обращению Мёбиуса и смежным вопросам посвящена отдельная
глава (гл.3, с. 147-300).
32
К.А.Рыбииков
4. Группы подстановок и теория Д.Пойа
В предыдущих очерках мы отмечали, что общая теория решений
перечислительных задач комбинаторики, берущая начало в обращениях
Мёбиуса, не оказалась ни первой, ни самой общей. Ко времени ее
появления, уже около 30 лет, в комбинаторном анализе такое место
занимала построенная на совсем иных принципах теория Д.Пойа (George1
Polya, 1887-1985), Появилась она в середине 30-х годов. Серия из 5 статей
(1935-1936) этого уже известного тогда математика получила в 1937 г.
завершение в виде необычно большой статьи: Polya G. Kombinatorische
Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen und chemische Verbinbungen.
Act. Math., 1937. №>68. PЛ45-254.
В переводе на русский язык эта статья впервые была опубликована
лишь через 42 года в сборнике "Перечислительные задачи комбинаторного
анализа". М.: Мир, 1979. С.36-138 (при дальнейших упоминаниях для
краткости "Сборник"). Составлен сборник из текстов 8 статей, вышедших в
разное время в период 1927-1975 гг., и из обзора "О некоторых тенденциях
теории перечислений". Обзор написал составитель сборника Г.П.Гаврилов
в сотрудничестве с В.А.Лисковец, П.П.Пермяковым и Б.И.Селивановым.
Все работы, включенные в Сборник, содержат информацию о важных
достижениях, не потерявших актуальности и к нашему времени. Обзор
составлен квалифицированно, списки привлеченной литературы достаточно
обширны. Наличие этого Сборника и вообще обильной литературы о
методах перечислений позволяют нам в настоящих заметках не стремиться
к полноте описания проблематики, а - выделять главное, применять шире
отсылки к литературе, или даже ограничиваться краткими
высказываниями.
Комбинаторные задачи перечислительного типа, решению которых
посвящена работа Пойа, существуют издавна. Долгое время методы их
решения были индивидуальными. Первым общим методом, охватившим
богатый набор конкретных пересчетов, рекуррентностей и т.п. приемов,
оказался метод производящих функций. Этот метод вызревал в течение
почти всего 18 в. в самых, казалось бы, разнородных группах задач:
теоретико-числовых (Эйлер, Монмор, Ламберт), вероятностных (Муавр,
Я.Бернулли), ошибок наблюдений (Симпсон, Лагранж) и иных. В явной и
достаточно общей формулировке метод впервые появился в трудах
П.Лапласа: "Мемуар о рядах", 1779 и, более четко: в "Аналитической
теории вероятностей", 1812.
В последующем, 19 веке роль метода производящих функций
возрастала. Наибольшие стимулы для его усовершенствования и
расширения области его применения проистекали из теории инвариантов
1 Имя George произносится на венгерском как "Дьсрдь"; поэтому в печати появляются разные
инициалы имени Пойа.
Комбинаторный апалпз. Очерки истории
33
форм и из проблемы перечисления деревьев. В этих областях ведущая роль
принадлежала исследованиям А.Кэли (1821-1895). Не менее сильное
воздействие исходило позднее от П.А. Мак Магона (1854-1929), в
многочисленных работах которого, целеустремленно и последовательно,
строилась обширная комбинаторная перечислительная доктрина,
основанная на применениях, кроме функций производящих,
симметрических функций и символических операторных исчислений.
В упомянутой серии работ Пойа главным орудием исследования были
тоже производящие функции. Их следовало находить для решения задач о
перечислении деревьев, т.е. графов древовидной структуры, что
характеризуется отсутствием в них циклов. Тем самым, речь шла о
продолжении исследований Кэли, который в течение почти 40 лет находил
рекуррентные формулы для подсчета числа деревьев, свободных и
укорененных. Метод, разумеется, должен был быть как можно более
общим, так как деревья бывают по структуре весьма разнообразными.
В задаче перечисления деревьев Пойа, как в свое время и Кэли,
привлекала возможность непосредственных приложений. Дело в том, что
атомная теория строения вещества к середине 19 в. выработала в своем
составе графическую модель строения молекулы, где атомы изображаются
вершинами графа, а ребрами графа - валентности. Такими же средствами
отображалось и явление изомерии, состоящее, как известно, в том, что
существуют химические соединения, обладающие одинаковым составом и
молекулярным весом, но различающиеся по строению, физическим и
химическим свойствам. Задача изучения явления изомерии была
актуальной, так как изомеров открывали все больше и больше, в
особенности среди органических соединений.
Дополнительный интерес для Пойа вызывали результаты химиков,
допускающие математизацию. Было найдено, что в определенных условиях
число теоретически возможных изомеров равно числу деревьев; высказаны
также соображения о возможности привлечения группы подстановок. Два
химика из США: Blair CM. and Henze H.R. в 1931-1934 гг. опубликовали
серию из 6 статей о числе изомеров ряда химических углеводородных
соединений.
Вот на таком фоне и сформировалась математическая проблематика
для Пойа. Предстояло: найти методы перечисления деревьев с учетом
свойств эквивалентности; разработать для этого алгебраический аппарат,
который позволял бы найти особые виды производящих функций;
соотнести эти результаты с реальными ситуациями в химии.
Соответственно, главная статья Д.Пойа составлена из следующих частей:
1. Группы; 2. Графы; 3. Химические соединения; 4. Асимптотическое
поведение рассмотренных комбинаторных чисел.
Для выполнения графической части своей триединой проблемы Пойа
смог опереться на книгу Konig D. Theorie der endlichen und unendiiche
Graphen. Leipzig, 1936, которая в изложении теоретических основ теории
графов практически не устарела и к нашему времени. Кроме того, он
34
К.А. Рыбников
регулярно ссылался на результаты Кэли и Жордана. Свои рассуждения он
начал с того, что ввел понятие конгруэнтности (неразличимости) графов,
как взаимно-однозначного отображения с точностью до групп перестановок
отдельных классов элементов, например, пучков ребер. В интересах
последующих приложений в химии он выделил 2 типа графов: таких, в
которых нет точек, где сходятся >5 ребер (С-граф) и таких, которые имеют
лишь 4-реберные точки и 1-реберные концевые. Детализировал для них
условия конгруэнтности и определил различные числа в зависимости от
характеристики свойств (например, числа всех топологически
эквивалентных деревьев). Для их последовательностей построил
производящие функции. Наконец, ввел понятие группы автоморфизмов для
свободных (неукорененных) деревьев.
Графической части в статье Пойа предшествует алгебраическая. В
ней также рассмотрены результаты Кэли по перечислению деревьев, но
уже с позиций теории групп перестановок и в самой обшей постановке.
Именно: рассматривается совокупность объектов, которая названа запасом
фигур. Для них выписывается перечисляющий степенной ряд
(производящая функция). С запасом фигур связывают группу подстановок,
образуя таким образом конфигурации. В группе образуют цикловой индекс
(п.48). Задача ставится так: найти число конфигураций, неэквивалентных
относительно группы подстановок и содержащих одинаковое число
элементов. Решение состоит в том, чтобы подставлять перечисляющий
степенной ряд для запаса фигур в цикловой индекс группы. Этот общий
вывод порождает великое множество формул, сходных по принципу
построения, хотя и довольно громоздких.
Явление изомерии в химии - неоднозначное, одним математическим
языком не объясняемое. Пойа, это разумеется, понимает. Он выделяет
класс соединений типа С - Н, состоящее из атомов углерода (4-валентных)
и атомов водорода (Ьвалентных). Они должны иметь древовидную
структуру (не иметь бензольных колец). Для них решение задачи о
теоретически возможном числе изомеров принимает вид, когда химическая
подстановка радикалов в основную молекулу трактуется в духе
алгебраической подстановки соответствующих перечисляющих степенных
рядов в цикловой индекс группы подстановок молекулы.
Чтобы распространить свой метод на усложнения структуры
молекулы и образование гомологических рядов Пойа предпринял
исследование поведения функциональных уравнений, определяющих
степенные ряды на границах круга сходимости. Для 50-летнего ученого,
уже имевшего много работ по теории аналитических функций, это было
делом привычным, и он определил асимптотические значения
комбинаторных характеристик, введенных им в этой статье.
Значение этого исследования Пойа, безусловно, велико и название:
классическое, появляющееся в литературе, сомнений не вызывает. В части
теоретических основ комбинаторного анализа оно означает принципиально
новое действие, распространяющее перечислительный метод производящих
Комбинаторный анализ. Очерки истории
35
функций на те случаи, когда понятие эквивалентности определяется на
группах подстановок. Это было названо удачно в англоязычной литературе:
enumeration under group action.
Мне неизвестно сейчас, продолжал ли Пойа сам работу в этом
направлении. Скорее всего - нет, так как в работе Н.Г. де Брейна "Обзор
обобщений перечислительной проблемы Пойа", опубликованной в 1971 г.,
об этом нет никаких упоминаний или литературных ссылок (см.Сборник,
с.229-255). Отражение внимания к теории Пойа в математической
литературе тоже заставило себя ждать. Впервые о ней упомянул Р.Оттер
больше чем через 10 лет (Otter R. The number of trees // Ann. Math.,
1948. V.49. №3. P.583-599; перевод на русский - Сборник, с.139-159), когда
предложил свои общие методы для нахождения асимптотических значений
коэффициентов каждой из изучаемых производящих функций, - методы
чисто комбинаторные без привлечения теории функций комплексного
переменного.
Еще через десяток лет напомнил о теории Пойа и Дж.Риордан (см.
Riordan J. The combinatorial significance of a theorem of Polya // Soc.
Indust. Appl. Math. 1957. №5. P.225-237). Через год, в 1958 г., он выпустил
свою широко известную книгу: Риордан Дж. Введение в комбинаторный
анализ (русск.изд. М.: ИЛ, 1963), где теорию Пойа поместил в гл.6
"Разбиения, композиции, деревья и сети". В параллель, даже несколько
раньше, небольшая заметка Френка Харари открыла длинную серию его
работ о перечислениях графов (см. Harary F. Note on the Polya and Otter
Formuies for enumerating trees // Michigan Math. J., 1955-1956. №3.
P.109-112). Такую же роль сыграла и другая заметка того же автора
(Harary F. The number of linear, directed, rooted and connected graphs //
Trans.Am.Math.Soc, 1955. №&. P.445-463).
Определенным итогом этой серии явилась книга: Харари Ф., Палмер
Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977 (Английское .издание: Acad.Press.,
1973).
С 1959 г. в печати регулярно появлялись статьи КГ.де Брейна (N.G.
de Bruijn), содержащие обобщения теоремы Пойа. На международном
математическом конгрессе в Ницце в сентябре 1970 г. де Брейн прочитал
доклад: "Последние достижения в теории перечисления". В нем он, по
собственному его выражению, не только сделал обзор достигнутого, но и
представил несколько новых направлений, связанных с обобщениями
теоремы Пойа, указав при этом, как эти направления можно охватить
небольшим числом теорем. Подробное изложение доклада см. de Bruijn
N.G. A survey of generalizations of Polya's enumeration oh Theorem //
Nieuw Archief voor Wiskunde, 1971. V.2. №19. P.89-112. На "русском языке
см.Сборник, с.229-255. Кстати, заметим, что в списке литературы указаны
10 работ самого де Брейна (всего в списке 15 наименований).
Наиболее удачным и полным изложением довольно громоздкой .
информации о теореме Пойа, ее обобщениях и приложениях, по нашему
мнению, оказалось то, что было приготовлено для сборника: Applied
36
K.A.Pu6iiukou
combinatorial mathematics ed. by E.Bekkenbach, 1964 (русское издание,
1968) в двух статьях. В одной из них: "Теория перечисления Пойа" де
Брейн излагает эту теорию отчетливо, ясно, с большим числом примеров.
Приложения общей теории к перечислению деревьев (древовидных графов)
находятся в статье Ф.Харари "Комбинаторные задачи перечисления
графов" (с. 107-140). Уместно здесь вспомнить, что первая статья о теории
Рота, т.е. Рота-1, вышла в свет в том же 1964 г.
Мы не будем здесь затрагивать вопрос о приложениях теории Пойа к
химическим задачам. Известно, что математические модели исследования
изомерии до недавнего времени разрабатывались на химическом
факультете МГУ под руководством академика Зефирова.
Упомянем, наконец, об одном событии или, вернее, о цепи событий,
имевших отношение к работам Пойа 30-х годов. В 1950 г. Д.Е. Литтлвуд
обратил внимание (см. Liittlewood D.E. The theory of group characters and
matrix representations of groups. 2-nd ed. 1950, Clarendon Presse, Oxford) на
статью Redfield J.H. The theory of group-reduced distributions //
Amer.J.Math., 1927. V.19. №3. P.433-455, где доказаны результаты,
аналогичные или совпадающие с теоремами в 1-ой (теоретико-групповой)
части сочинения Пойа.
В 1960 г. Френк Харари (F.Harary, University of Michigan, Ann Arbor,
USA) также обратил внимание на эту работу Редфилда и сделал вывод, что
в ней предвосхищены, хотя не всегда в явной форме, многие идеи и
результаты теории Пойа (см. Harary F. Unsolved problems in the
enumeration of graphs // Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci., 1960. V.5.
P.63-95). Интерес Харари к методам перечисления Пойа и Редфилда
оказался устойчивым, так как находился в связи с его исследованиями
общей проблемы перечисления графов. В 1964 г. в сборнике Э.Беккенбаха
"Прикладная комбинаторная математика" (русское издание: М.:Мир, 1968.
С. 107-140) появилась статья Ф.Харари "Комбинаторные задачи
перечисления графов", где в списке литературы уже фигурировала под
номером [561. упомянутая статья, а в тексте (с. 124 русск.изд) о ней лишь
однажды сказано: "В целях исторической справедливости заметим, что
перечисляющая теорема Пойа и несколько других, относящихся к ней
приемов подсчета, были предвосхищены Редфилдом в прекрасной статье
(56], которая в основном осталась незамеченной".
Зато через десять лет в книге Ф.Харари и Э.Палмер "Перечисление
графов" ("Grafical enumeration"), вышедшей в 1973 г. (на русском издана в
1977) результаты Редфилда заняли заметное место: сообщены некоторые
биографические сведения (с. 104), дана вначале краткая информация (с.46)
и , наконец, целая глава 7 (с. 190-210) "Суперпозиция" посвящена
"изложению перечислительных методов Редфилда в современных
обозначениях и терминах" (с. 190).
Сочинение: "Теория распределений, приведенных по группе", долгое
время считавшееся единственной научной статьей Редфилда, в переводе на
русский язык впервые появилось в печати в Сборнике, С.9-35. В конце
Комбинаторный анализ. Очерки истории
37
1981 г. стало известно, что найдена вторая работа Редфилда. Она имела
название: "Enumeration by frame group and range group" и была
представлена 19 октября 1940 г. в Amer.J.Math. редактору A.Cohen.
Однако, редакция журнала ее отклонила и 7 января 1941г. возвратила
автору. Обстоятельства обнаружения этой второй работы описаны в
рукописи: Harary F., Robinson R.W. The rediscovery of J.Howard Redfieids
papers, которую авторы направили в 1983 г. вместе с текстом Редфилда в
Journal of Graph Theory для планировавшегося специального выпуска,
посвященного работам Редфилда (см. J.Gr. Th., 1984. №8. Р.205-223).
Об этом сообщил в том же 1983 г. J.Sheehan в докладе "Redfield
discovered again" 9-ой Британской комбинаторной конференции. Доклад
опубликован (London Math.Soc. Lecture note series, 82. Surveys in
Combinatorics: Invited papers, ed. E.K. Lloyd. Cambridge Univ.Press, 1983.
135-155).
В опубликованном докладе подробно рассказано об обоих работах
Редфилда и произведено детальное сравнение хода рассуждений Пойа и
Редфилда. К слову, в этом сравнении полностью и совершенно
исключаются могущие возникнуть соображения о связях и заимствованиях.
Информацию о научной деятельности Редфилда существенно
дополнила статья: Lloyd E.K. Redfield's proofs of Mac Manors Conjecture
// Historia Mathematica, 1990. №17. P.36-47. Об этой статье во Введении
и комментариях к гл. 14 Collected papers by Mac-Mahon (1986) George
Andrews писал, что она "может рассматриваться как предшественница
работы Littlewood D.E., Richardson A.R. Group characters and algebra //
Philos.Trans.Royal.Soc, London Series, 1934. № A233. P.99-141, в которой
перманенты и детерминанты включены в общую теорию, относящуюся к
теории представлений симметрических групп". А относительно ее
конкретного содержания, то дело в том, что в 20-е годы 20 века П.А.Мак
Магон предпринял исследования свойств детерминантов и перманентов. О
некоторых полученных результатах он доложил 7-му Международному
конгрессу математиков (Торонто, Канада, 1924). При этом он высказал
предположение, что общее число симметрических функций в случае d-
размерного перманента п равно
где сумма берется по всем целочисленным решениям к,,1с,,кз,.. уравнения
кх+2кг+3къ+... = п, т.е. по всем разбиениям п. Печатание трудов конгресса
задерживалось. Через 3 года, 7 июня 1927 года, Мак Магон повторил свою
гипотезу, когда читал доклад в Кембриджском университете на заседании,
посвященном памяти Роуз Болла. Доклад был тотчас опубликован; а через
год вышли из печати Труды конгресса. Это были последние прижизненные
публикации Мак Магона: 25 декабря 1929 года он умер.
В том же 1927 году Мак Магон попросил Редфилда заняться этим
вопросом, так как сам он стар и болен, а первая опубликованная статья
Редфилда показывает, что доказательство будет для того легким делом
(childish play). К концу 1927 года Редфилд отослал свое доказательство
38
К.А.Рыбников
Мак Магону, но для публикации его не представлял, хотя и Мак Магон ^в
1928 г.) и Т.Мюир (в 1931 г.) старались его в необходимости публикации
убедить.
Статья Е.К.Ллойд, которую мы здесь рассматриваем, примечательна
тем, что ее содержание оказывается гораздо более широким, нежели это
можно заключить из заглавия. Я имею ввиду то, что в ней содержится
описание математической части архива Дж.Г.Редфилда, находящегося у его
сестры. Невелика эта часть; всего 4 машинописных текста:
1. "Further development of the theory of group-reduced distributions",
датированная 1935 г.;
2. "Enumeration by frame group and range group", 1940;
3. "Enumeration of distinguishable arrangements for general frame
group", 224 стр., 1940;
4. Без названия, 19 стр., не закончена.
Кроме того, в архиве имеются 4 письма от Мак Магона (от
19.11.1927, 9.01.1928, 10.01.1929, 6.04.1928), 2 письма от Мюира
(22.03.1931 и 31.12.1931) и одно письмо от Кока (Cock) от 9.04.1928.
Наконец, сохраняется черновик письма Редфилда Мак Магону от
26.12.1927, в котором помещено первое из доказательств гипотезы
последнего. Что особенно интересно, Е.К.Ллойд предпринял в статье свое
собственное описание достижений Редфилда не только в части
доказательства предположения Мак Магона, но и в более широком плане.
Он последовательно рассматривает:
1. Введение (Introduction), где описаны обстоятельства дела;
2. Детерминанты, перманенты и симметрические функции;
3. Многоразмерные перманенты.
В этих пунктах им собраны и разъяснены определения, введена и
усовершенствована символика и рассмотрена сама гипотеза Мак Магона.
4. Теорема Редфилда-Рида о суперпозициях, где говорится о числовых
индексах для матриц, относительно групп, действующих на строках.
5. Первое доказательство Редфилда.
6. Второе доказательство Редфилда.
7. О письме Мак Магона Редфилду.
Мы не будем здесь продолжать обсуждение вопросов, относящихся к
научной деятельности Пойа и Редфилда. Поступать подобным образом в
настоящей серии очерков приходится нередко, так как они имеют
тенденцию разрастаться сверх всяких границ.
Комбинаторный апализ. Очерки истории
39
5. Комбинаторные геометрии и матроиды
Однозначная, общепринятая, трактовка термина: комбинаторная
геометрия, еще не сложилась. Смысловая, изначальная нагрузка этого
термина интуитивно должна вызывать представление о такой части
математики, объекты которой обладают свойствами геометричности,
являясь одновременно дискретными системами. В этом нет ничего
необычного. Стремление использовать геометрические интерпретации при
исследовании дискретных систем (в том числе, конечных) и тем самым
привнести свойственные геометрии наглядность и аксиоматический строй
суждений, всегда математике были присущи.
Что относится к требованию наглядности, то в рассматриваемом
здесь контексте в наиболее полном и систематизированном виде оно
удовлетворяется в теории графов. Аксиоматичность же ярче проявляется в
таких геометриях, для которых естественно было их название: дискретная
(или конечная) (см. например, книгу Картеси Ф. Введение в конечные
геометрии. М.:Наука, 1980). В состоянии, близком к современному,
геометрии дискретных систем включают в себя и соответствующие
разновидности общих понятий, восходящих к Н.И.Лобачевскому, Б.Риману,
Ф.Клейну и др.: пространство, инварианты, группы преобразований и т.п.
При таком подходе в семействе различных геометрических теорий
сформировалось представление о комбинаторной геометрии как о
математической науке, изучающей расположения фигур и тел в различных
пространствах: евклидовом, гиперболическом и эллиптическом при разном
числе измерений. В Математической энциклопедии, т.2, 1979, 968-969 в
одной из двух статей под одинаковыми названиями: комбинаторная
геометрия (автор - П.С.Солтан) роль этой науки еще более ограничена. К
ней отнесены лишь решения задач, в которых исследуют "экстремальные
свойства комбинаторного характера для систем фигур". Это утверждение
разъясняется ссылкой на типичные задачи:
а) задача о 13 шарах: каково максимальное число равных
материальных шаров, которые можно приложить к равному, такому же
шару. Задача восходит к И.Кеплеру, который в 1611 г. указал число 12;
точное решение - 13 принадлежит Ван дер Вардену и К.Шютте (середина
XX в.);
б) задача (или проблема) Борсука о разбиении фигур: существует ли
для каждого ограниченного множества разбиение диаметра d>0 евклидова
n-мерного пространства на не более чем п+1 подмножеств, диаметр
каждого из которых <d ? Проблема была поставлена в 1933 г., получила
положительное решение для п=2 и 3, но для более высоких размерностей
получены лишь частичные результаты;
в) группа задач о плотнейших упаковках и редчайших покрытиях,
куда отнесены и задачи об освещенности, т.е. о минимальном числе
40
К. А. Рыбник ов
направлений пучков параллельных лучей или источников, освещающих
выпуклые тела.
В такой комбинаторной геометрии, кроме комбинаторных методов,
широко используют методы топологии, функционального анализа,
геометрии в целом, теории графов, теории выпуклых множеств. Появление
названия "комбинаторная геометрия" и придание ему описанного выше
смысла принято относить к 1955 г. к работам Хадвигера.
Комбинаторные геометрии и сопряженные с ним матроиды, о которых
идет речь во второй из статей (автор: А.М.Ревякин), представляют собой
математическую теорию, предназначенную для изучения специального
класса дискретных систем. Эти системы являются объектами исследования
для современной общей комбинаторной теории. Их принято в настоящее
время (конец 20 в.) определять так: дано S - множество, составленное из
дискретно расположенных элементов. Обозначим P(S) множество всех его
подмножеств. На множестве S зададим отношение замыкания. Это
означает: каждому элементу A<=P(S) сопоставляют однозначно элемент
AeP(S); его и называют замыканием А. Это сопоставление для всех А, В
должно удовлетворять условиям:
1.ЛсЛ; _ _
2. Если Л ей, то Л с5 (свойство сохранения порядка);
3. A =i4 (свойство идемпотентности).
Если множество совпадает со своим замыканием, то оно считается
замкнутым.
Множество S с оператором замыкания , обладающее свойствами:
1) замены (для любых p,qeS и всякого AeP(S) из р eAU{q} и р^А
следует, что qeAUfp});
2) конечного базиса (для всякого AeP(S) существует конечное
подмножество Af с А такое, что а7 =а);
называют пред геометрией или матроидом. Если же к свойствам,
определяющим понятие матроида, добавить условие замкнутости всех
одноэлементных подмножеств, включая пустое, то получим определение
комбинаторной геометрии. Мы уже разъясняли в предыдущем очерке, что
эти дополнительные условия было необходимо ввести, чтобы отразить
свойства, характерные для классической геометрии. Было также
разъяснено, что переход от комбинаторных геометрий к матроидам и
обратно, влияния на общность получаемых результатов не оказывает.
К нашему времени (к концу 20 в.) комбинаторные геометрии
(матроиды) достигли высокого уровня разработанности. Сложилась
значительная литература научно-теоретического, прикладного и учебного
назначения. Определились: актуальная проблематика, место матроидов в
общей комбинаторной теории и математике вообще, связи и
взаимодействия. Монографическое описание содержания теории,
проделанное в конце 60-х гг., составило лишь один небольшой том: Рота-2.
Лет через 15 для такого же издания потребовалось уже 3 тома:
Комбинаторный анализ. Очерки истории
41
1. Theory of matroids, ed. by N.White. Cambridge Univ.Press, 1986.
2. Combinatorial qeometries. Там же, 1987.
3. Combinatorial qeometries: recent advances. Там же, 1992.
Этот трехтомный сборник явился уже коллективным трудом
большого числа математиков.
Обратим для начала внимание на некоторые особенности того, как
комбинаторные геометрии в наше время определяют (мы это определение
воспроизвели выше). Во-первых, буквально бросается в глаза необычайно
высокая общность изучаемых в ней математических объектов,
превосходящая необходимость и возможности комбинаторных трактовок.
Это создает возможность предвкушать, предвидеть и находить
многочисленные и разнообразные интерпретации и, как естественное
следствие, приложения. Во-вторых, из общего историко-научного опыта, из
текста предшествующего очерка и из последующего текста, читатель
сможет увидеть, что столь высокая общность является результатом
комплексного рассмотрения многих линий развития математики, в том
числе весьма, казалось бы, разнокачественных. В-третьих, определения
основных понятий таковы, что допускают алгебраическую формализацию, а
это обычно облегчает оперирование с вводимыми объектами.
Нельзя не обратить внимания и на то, что весь вводимый в теорию
материал и далее оказывается настолько абстрактным, а в изложении
"заформализованным", что может затруднить содержательное понимание,
растянуть во времени изучение, или даже отвратить от этой части
математики. Комбинаторные геометрии в их аксиоматически-дедуктивном
построении обладают теми же недостатками, доставляют такие же
затруднения, воздвигают перед стремящимися их изучить те же
препятствия, что и большинство математических теорий современности. И
чтобы аксиоматический строй теории матроидов, как и других
математических теорий, не порождал ограниченности математической
мысли, следует информацию о них дополнять сведениями исторического и
общенаучного характера, всеми способами расширять научный кругозор
математиков.
Именно такие соображения будут определять цели написания
настоящего очерка: воссоздать ход научных событий, приведших к
формированию и определивших направление развития комбинаторных
геометрий. Речь пойдет, естественно, о событиях недавних. Источники, как
правило, оказываются доступными. Они могут быть отысканы и извлечены
для последующего анализа из сравнительно свежих наслоений,
оставленных потоком математических событий (т.е. из статей и книг). Эти
обстоятельства, впрочем, не делают задачу более легкой. Могуч и
многоструен был поток, сложна структура наслоений. Неэлементарна,
наконец, задача установления и доказательства того, что обнаружена в
самом деле ценная находка. Трудности историко-научного анализа не
снимаются, они просто становятся иными.
42
К.А.Рыбнньов
Рассмотрим для начала факты, свидетельствующие о том, когда, в
каком виде и при каких обстоятельствах сложились основные понятия
комбинаторных геометрий и теории матроидов. Что касается первой из
них, то, как было сказано, суждения о ней не приобрели еще однозначной
трактовки и без дополнительных уточнений и разъяснений обойтись не
удастся. Начнем, поэтому, с теории матроидов, которая подобным
недостатком не страдает.
Термин "матроид" появился в 1935г. в одной из статей профессора
Гарвардского университета, США, Г.Уитни (Whitney H. On the abstract
properties of linear dependence // AmerJ.Math., 1935. №57. P.509-533).
Введен он был так: обозначим С[, С2,..., Сп - множество столбцов
матрицы. Всякое подмножество этого множества либо будет линейно
независимым, либо - нет. У линейной независимости отмечают два
свойства: а) всякое подмножество независимого множества независимо, б)
если Np и Np+i - суть независимые множества, составленные из р и р+1
столбцов матрицы соответственно, то Np вместе со столбцом из Np+1
образует независимое множество. Систему, обладающую свойствами а) и
б), Г.Уитни назвал матроидом, отметив тут же, что фундаментальный
вопрос полной характеризации систем, представляемых матрицами, все еще
остается нерешенным, и что вместо столбцов матриц можно с тем же
основанием рассматривать точки и векторы в евклидовом пространстве,
полиномы и другие объекты.
Матричный язык, использованный при введении понятия, объясняет,
почему выбран именно такой термин: матроид. Мы уже упоминали в
предыдущем очерке, что он вызвал справедливую критику многих
математиков, но... прижился. Само же исследование систем независимости,
начатое Уитни, было встречено с интересом и его инициатива не забыта до
сих пор.
Рассмотрим подробнее, что же нового внесли упомянутые результаты
Уитни. К этому времени (к середине 30-ых гг. 20 в.) уже многие
математики знали, что в математике рассматривают два вида
независимостей: линейную и алгебраическую и что последнюю ввел около
1930г. в своих работах ван дер Варден. Вскоре после Уитни, в конце 30-ых
гг. Мак Лейн ввел р-независимость, о которой мы рассчитываем рассказать
позже. Было также известно, что системы независимости,
рассматриваемые применительно к различным объектам, сохраняют общие
свойства, что этим свойствам можно придавать аксиоматическую форму и
даже установить такой факт, что базисы систем независимых множеств
эквикардинальны.
Статья Уитни состоит из 3 частей и добавления. Именно: Введение,
1. Матроиды, 2. Сепарабельные и двойственные матроиды, 3. Матроиды и
матрицы, Добавление: матрицы из целых чисел по модулю 2 (иначе: из
нулей и единиц).
В первой части формулируются различные системы аксиом в
зависимости от трактовки общего понятия матроида: в терминах ранговых
Комбниаторпый анализ. Очерки истории
43
функций, независимости, баз и циклов. Доказана эквивалентность этих
систем. Это явление Г.Биркгоф позднее назвал криптоизоморфизмом ( от
греческого круято^ - скрытый) (см.напр. Г.Биркгоф. Теория решеток. М.,
Наука, 1984, гл.б, п.П, с.202-205).
Вторая часть статьи Уитни посвящена, как написано выше,
сепарабельности и дуальности матроидов. Эти характеристики автор
вводил ранее в работах по общей теории графов (Whitney H. Non-separable
and dual graphs" // Trans.Amer.Math.Soc, 1932. №34. P.339-362).
Сепарабельность сформулирована в терминах понятия ранговой
функции. Основной результат здесь: всякий матроид допускает
единственную декомпозицию на связные компоненты. Здесь же развит
метод построения матроида, начиная от единственного цикла, путем
индуктивного поэлементного наращивания. Понятие дуальности, или иначе,
сопряженности (об этом см. в упомянутой книге Г.Биркгофа, в гл.15, п.7),
введено также в терминах ранговой функции. Показано, что оно
эквивалентно построению матроидов, использующему не базисы, а их
дополнения. Декомпозиция матроидов при наличии дуальности
сохраняется. Дуальность сохраняет и все элементы определения
матроидов: дуальный - тоже матроид, в отличие от графов. Именно в
результатах этой части статьи, заметно обособление, отделение матроидов
от графов, и начало общей теории матроидов.
В третьей части статьи, Уитни возвращается к столбцам матриц, с
помощью которых в начале статьи он вводил понятие матроида.
"Столбцовому матроиду", т.е. матроиду, определяемому, как система
линейных независимостей векторов-столбцов, он сопоставляет
пространство строк или гиперплоскость (row space or hyperplane) -
подпространство m-размерного пространства, образованное векторами
строк. Главный результат: подпространство размерности d определяет
единственный матроид ранга d. Правда не было сказано, что различные
подпространства могут определять один и тот же матроид, но заметить это
для математиков не составило никакого труда. Рассмотрено понятие
дуальности: доказано, что она имеет место для матроидов, чьи
гиперплоскости ортогональны. Впоследствии Данциг использовал этот
результат в качестве геометрического обоснования соотношения между
primal и dual программами в линейном программировании (Dantzig G.B.
Linear programming and extensions. Princeton University Press, 1963, ch.6).
В аппендиксе, наконец, речь идет о матроидах бинарных, т.е. о таких,
которые могут быть представлены векторами над конечным полем из двух
элементов (здесь: матроид Фано).
Содержание и стиль статьи убеждают, что в ней в математику
вводится новая теория, в которой исследуют дискретные системы с
позиций зависимости или независимости между элементами. Многие
принялись за разработку открывшейся области (см. напр. библиографию в
Рота-2). Думаю, что именно манящие перспективы новых открытий, а
также удачно поставленная проблематика как-то отодвинули, затмили
44
K.A. Рыбников
неудовольствие неудачным термином, избранным для обозначения главного
понятия. Сам же Уитни занятий теорией матроидов не продолжал.
Причины, как думаю, для принятия такого решения были: а) он тотчас
после публикации увидел, что права на единоличный приоритет у него нет;
б) тогда же обнаружилось, что принятый им способ введения понятия
матроида не является ни единственным, ни лучшим среди возможных; в)
введение матроидов не решало еще основной общей задачи, поставленной
им себе: характеристика структуры графов комбинаторными методами.
Расскажем об этом подробнее.
Одновременно с Уитни, независимо от него, то же самое, чего он
достиг, проделал японский математик Т.Накасава (Nakasawa Т.- Zur
Axiomatik der linearen Abhangigkeit, I, II, III. // Sci. Report, Tokyo Bunrika
(later: Kyoiku Daigaku): 2A, 1935. P.235-255; ЗА, 1936. P.45-69, P.123-136).
Реферат статей Накасавы см. в книге: Kung J.P.S. A source book in matroid
theory. B.:Birkhauser, 1986. P.35-36.
В реферате говорится, что Накасава изучал В\ -пространства, (т.е.
матроиды) на множестве из В\ элементов, определяемые из условия
зависимости или независимости конечных последовательностей a„a2,...,as
элементов (т.е. циклов).
Символически это выглядело так: апа2,...,ая=0 означало наличие
зависимости, а неравенство а19а29...,ая*0 - независимости. "Зависимые
циклы" удовлетворяли четырем аксиомам:
1. рефлективности а ;
2. преемственности: aua2,...ias-^al,a2i...,asx;
3. перестановочности: al9a2f...tas^anaxta2,...,al_ltaM1...,as;
4. транзитивности: aX9a2i...,as^0;
х,а1,а2,...,ахлаХ1а2,...,ах,у -» х^а,,...,^,^.
Остальные понятия, введенные в первой части, были: замыкание,
ранг, объединение и пересечение замкнутых множеств и субмодулярное
неравенство. Для независимых циклов сформулированы некоторые
"правила вывода", например: из ' aIar..anxJx:...xK и х,х3...хку следует
а1а2...а„х1х:...хкт]у или хрс2...хК.
Во второй части вводится В2-пространство на множестве В2,
заданное отношением зависимости на конечных последовательностях
элементов. Для них выполняются аксиомы 2, 3, 4 и также еще:
1*: а*0 и аа;
5. Пересечения: из существования a,a:...asxyz следует, что существует
г, ata:...a^z И xyz.
Кроме того, доказано, что из аксиомы 5 следует модулярное
равенство для ранговой функции. Рассмотрены также прямые суммы,
связности и циклы.
Часть 3 посвящена разъяснению эквивалентности определений и
результатов Накасавы и Уитни.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
45
В том же томе журнала, где была опубликована пионерная статья
Уитни о матроидах, но несколькими страницами далее, его коллега
Г.Биркгоф, работавший также в Гарвардском университете, поместил
небольшую заметку, в которой новоявленная теория матроидов получала
совсем иное теоретическое обоснование (Birkhoff G. Abstract linear
dependence and lattices // Amer. J.Math, 1935. №57. P.800-804).
Г.Биркгоф здесь решал задачу: "соотнести матроиды с абстрактными
системами весьма общего вида, которые он (Г.Биркгоф) назвал
"решетками" (lattices). Заметка состоит из 6 параграфов. Начинается она
со ссылки на статью Уитни, который "...показал, что трудно теоретически
отличить свойства линейной зависимости обычных векторов от свойств
элементов гораздо более широкого класса систем, названных им
"матроидами". В следующем параграфе 2 он вводит понятие линейно
полного (т.е. замкнутого) множества. В параграфе 3 определяется операция
объединения двух замкнутых множеств: а и Ь. Делается это двумя
способами: с использованием свойства независимости из определения
матроида и доказательством того, что для всякого набора С замкнутых
подмножеств, полученного рассечениями, существует единственное
минимальное подмножество в С, содержащее любую пару подмножеств из
С. Из этого и делается вывод, что замкнутые множества матроида
образуют решетку. В следующем параграфе 4 вывод проверяется на
наличие свойств semimodularity (т.е. если и Ь, и с покрывают а, то b<jc
покрывает Ь) и atomicity (т.е., что любой элемент решетки есть
объединение точек - элементов единичного ранга). Решетки, обладающие
этими свойствами, называют геометрическими.
Таким образом, геометрические решетки определяют матроиды
(простые, т.е. без циклов "of size one or two") и обратно, всякий простой
матроид определяет геометрическую решетку. Ранг г(а) замкнутого
множества в матроиде равен длине максимальной цепочки, протянутой от
минимума до точки а. Из этого следует, что ранговая функция матроида
полумодулярна. В параграфе 5 речь идет о случаях, когда теоремы о
матроидах могут быть интерпретированы в терминах решеток и наоборот.
Наконец, в параграфе 6 говорится о том, что проективно-геометрическая
интерпретация простых матроидов возможна тогда и только тогда, когда
"the order dual" их решеток замкнутых множеств является также
геометрической решеткой.
Решетки - понятие пришедшее из алгебры. Истоки теории решеток
принято относить к концу 19в., когда Ч.Пирс и Э.Шредер применяли их
при исследованиях булевых алгебр. Понятие же решетки (иначе -
структуры, lattice) было сформулировано на рубеже 19 и 20 вв. в двух
работах Р.Дедекинда (1831-1916):
1. Uber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grossten gemeinsamen Teiler
// Festchrift. Tech. Hochsch. Braunschweig, 1897;
2. Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe // Math. Annalen,
1900. №53. P.371-403.
46
К.А.Рыбииков
В собрании сочинений Дедекинда (R.Dedekind. Gesammelte
mathemaiischen Werke. Vieveg Braunschweig, Bd.1-3) эти статьи см. V.2.
1931. P. 103-147 и Р.236-271 соответственно. В течение последующих 30
лет особого внимания математиков они, видимо, не привлекли. Во всяком
случае, известно высказывание о них Э.Нетер (1882-1935), что они
"главным образом известны как ранние аксиоматические исследования" и
только. Нельзя установить также еще никаких связей с комбинаторными
идеями, хотя булевы алгебры и комбинаторные конфигурации уже были
известны.
Положение дел в алгебре стало изменяться в 30-ые гг. после
классических работ ван дер Вардена (1930-1931). В интересующей нас
здесь части исходными оказались введенные в этих работах понятия
независимости: линейной (уже, впрочем, издавна известной) и
алгебраической.
И вот эти части алгебры: теория независимости и теория решеток,
совместно с проективной геометрией дискретных объектов (о чем речь
пойдет ниже) явились тремя источниками формирования теории матроидов.
Оказывается возможным восстановить ход мыслей Уитни, приведших
его к введению понятия матроида. Непосредственной побудительной
причиной написания своей первой статьи о матроидах Уитни считал свои
работы по изучению структуры графов комбинаторными методами. "Эта
статья тесно связана с работой автора о линейных графах" - говорит он,
имея в виду свою статью, опубликованную тремя годами ранее (Whitney H.
Non-separable and planar graphs // Transactions of the American
Mathematical Society, 1932. №34. P. 339-362) текст которой был
представлен к опубликованию еще 25 октября 1930 г. Достаточно
взглянуть на текст статьи, чтобы убедиться, что связь в самом деле тесная.
В этой статье: найдены условия несепарабельности графа, изучены
декомпозиции сепарабельных графов на несепарабельные подграфы,
разработан метод построения несепарабельных графов, позволяющий
применять метод математической индукции, введены дуальные графы,
доказана теорема о необходимых и достаточных условиях того, что у
планарного графа есть дуальный.
Разумеется, для выяснения связей между теорией графов и
появлением матроидов, одного только установления созвучности
конкретных единичных результатов недостаточно. В начале 30-ых гг.
Г.Уитни, как мы уже упоминали, активно работал над проблемой изучения
свойств графов комбинаторными методами и получил большое количество
новых результатов. Среди его публикаций той поры можно выделить такие,
в которых накапливались предпосылки построения будущей теории
матроидов. Это были:
а) Две статьи, посвященные в основном проблеме окрашивания
графов: Whitney H. A logical expansion in mathematics //
Bull.Amer.Math.Soc, 1932. Ш8. P.572-579, а также: Whitney H. The
colorings of graphs // Annals of Math. 1932 (2). №33. P.688-718.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
47
В этих работах была дана новая формулировка комбинаторного
принципа включений и исключений в терминах подмножеств, введен
хроматический полином для выражения числа способов окрашивания
графов, изучены свойства коэффициентов этого полинома, фактически
получены полиномы Белла, переоткрытые самим Беллом в 1934г., найдена
ранняя форма декомпозиции Татта-Гротендика (см. Tutte W.T. A ring in
graph theory // Proceed.Cambr.Phiios.Soc. 1947. №43. P.26-40)
б) Две статьи о структуре графов и об установлении их изоморфизма:
Whitney H. On the classification of graphs // Amer.J.Math, 1933. №55.
P.236-244, а также Whitney H. 2-isomorphic graphs // Amer.J.Math., 1933.
№55. P.245-254.
Здесь вводятся операции соединения разобщенных графов и
разбиения связных графов на разобщенные части, вводится понятие 2-
изоморфизма, когда графы переходят один в другой применением
последовательностей обеих этих операций. Условие 2-изоморфизма
оказывается эквивалентным условию изоморфности циклических
матроидов.
в) Одна статья о топологических инвариантах графов (Whitney H. А
set of topological invariants for graphs // Amer.J.Math., 1933. №55. P.231-
236) т.е. об определении на графах таких функций, значения которых не
изменяются при разбиениях ребер (в иной постановке задачи можно
говорить о наращениях). Инвариантными оказываются выражения, которые
впоследствии были интерпретированы как значения коэффициентов
хроматического полинома дуального матроида. Приведен пример двух
графов, не 2-изоморфных, но инвариантных в указанном смысле.
г) Одна статья о плоских графах (Whitney H. Planar graphs //
Fundamenta math. 1933. №21. P.73-84). Здесь доказана эквивалентность
двух условий планарности графа: условие Куратовского (1930), что граф
является плоским тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов
типа Кз,3 или ^5; условие Уитни, что ortogonal dual циклического
матроида тоже графический.
Таким образом, рассмотрение серии из 7 статей Уитни показывает
предметно, как в них на графическом материале накапливались элементы
будущего рассмотрения абстрактных систем линейных зависимостей
(=матроидов).
Современное определение матроидов включает в себя требование
удовлетворения аксиомы замены ( иначе: аксиомы Мак Лейна-Штейница).
Появилась эта аксиома в 1938 г., через три года после введения в
математику понятия и термина: матроид, в статье: Mac Lane S. A lattice
formulation for transcendente degrees and p-bases //Duke Math.J., 1938.
№4. P.455-468. Речь идет об алгебраической проблеме расширения полей.
Для ее исследования строят специальные виды решеток подполей.
Описывается одна из решеток, названная "обменной". Основная аксиома
этого описания формулируется так: пусть а - элемент решетки L и пусть р
и g - суть точки L (т.е. элементы, покрывающие минимум).
48
К.А.Рыбников
Тогда из a<avp<avg следует g<avp (аксиома Е в параграфе 2). Это и
есть аксиома, о которой идет речь.
Теперь принято формулировать эту аксиому в терминах операции
замыкания: дано множество S. Функцию А-> , переводящую
подмножество A<S^ в подмножество A<S называют операцией замыкания,
если А< и А=А, а также, что из А<В следует А<В. Эта операция
принимает конечный характер, если для каждого подмножества А
существует конечное подмножество а,,а: а^А и такое, что
А={а,,а:,..., а,}. В таком контексте аксиома выглядит так: пусть даны A<S и
p,qeS. Тогда из p,q« и р eAU{q} следует, что q eAU{p}.
Эта принятая сейчас формулировка входит в определение матроида.
Мак Лейн это видит и явно на это указывает: "В конечном случае
существует аналогичная связь с матроидами Уитни, выраженными в
терминах решеток Биркгофа" (стр. 457).
В том, что относится к упоминанию имени Штейница (1871- 1928),
дело обстоит следующим образом: Мак Лейн начинает свою работу
словами: "Степень трансцендентности расширения поля есть кардинальное
число максимального множества независимых трансцендентностей в
расширении" ("The transcendence degree of an extension of a field is the
cardinal number of a maximal set of independent transcendents in the
extension") и тотчас же ссылается на книгу Steinitz E. Algebraische Theorie
der Korper. ed. by R.Baer and H.Hasse, 1930. Книга является переизданием
одноименной работы Е.Штейница, опубликованной в J.reine u. angew.
Math., 1910. №137. P. 167-309. Вероятно, в этой работе и содержится
самая ранняя форма аксиомы замены; в ней (параграф 22) идеи, созвучные
теории матроидов, высказаны в явном виде, хотя и в контексте проблемы
расширения полей. О приложениях теории матроидов к алгебраической
теории полей Мак Лейн писал подробно позднее: в 1940 г. (Mac Lane S.
Modular fields // Amer.Math. Monthly, 1940. №47. P.259-274) и в 1976 г.
(Mac Lane S. Topology and logic as a source of algebra // Bull. American
Mathematical Society, 1976. №82. P. 1-40).
Существовала еще одна форма, в которой теория матроидов
появилась в математике. Речь здесь пойдет о геометрической
интерпретации. Появилась она одновременно с двумя другими
интерпретациями в начале 30-ых гг. нашего века. Общим было также место
их открытия: Гарвардский университет в г.Кембридж Масс, близ г.Бостона
США. Напомним, что в этом случае принято отдавать пальму первенства
Гасслеру Уитни (р. 1907), внуку Симона Ньюкомба. В начале 30-ых гг. одну
за другой он опубликовал десятка полтора статей по общей теории графов,
получил в 1932 г. в своем университете ученую степень Ph.D. В 1935г.,
как мы уже отмечали, была опубликована его статья, где он первым ввел
понятие матроида и начал разработку общей теории матроидов как
(условно говоря) систем независимости. В том же томе журнала, где эта
статья появилась, научный руководитель Г.Уитни, Дж.Биркгоф (1884-1944)
Комбинагорпый анализ. Очерки истории
49
опубликовал свою интерпретацию матроидов в терминах алгебраических
решеток. Сам же Уитни матроидами больше не занимался. В 1946 г. он
стал full professor своего университета и в 1952 г. уехал в Принстон для
работы в самом престижном научном учреждении США: Institute of
Advanced Studies. В 1988 г. он был жив и работал в качестве Professor
Emeritus.
Автором геометрической интерпретации матроидов явился Саундерс
Мак Лейн (рЛ909). Всего на четыре месяца позже своих двух коллег по
Гарвардскому университету, а именно 28 декабря 1934 г., представил он
Американскому математическому обществу свою работу на эту тему.
Опубликована же она была в 1936 г. в следующем томе журнала. Вот ее
данные: Mac Lane S. Some interpretations of abstract linear dependence in
terms of projective geometry // AmerJ.Math., 1936. №58. P.236-240.
Проективную геометрию, в терминах которой Мак Лейн
интерпретировал матроиды, сделалось возможным строить на дискретных
системах лишь тогда, когда была осознана и доказана независимость той
части геометрической аксиоматики, где рассматриваются непрерывные
объекты. Произошло это к самому концу прошлого века. В работах
посвященных этой проблеме, выдающуюся роль играла книга Д.Гильберта
"Основания геометрии", впервые изданная в 1899г.
Исследования в этом направлении были, в частности, активно
продолжены в так называемой Чикагской математической школе,
возглавляемой Э.Г.Муром (Moore E.H. 1862-1932). Ученик Мура, О.Веблен
(O.Veblen 1880-1960) был особенно последовательным в применении
проективно геометрических суждений и терминов к множествам дискретно
расположенных элементов. К 1906 г. Веблен, в соавторстве с Басси,
построил конечную проективную геометрию, в которой речь шла о
"плоскостях", состоящих из конечного числа "точек" и "линий" (Veblen О.,
Bussey N.J. Finite projective geometries // Transactions of Amer.Math. Soc,
1906. №7. P.241-259). Тот же Веблен, совместно с J.W.Young, к 1907 г.
усовершенствовали систему аксиом для таких геометрий. Многие
математики США и логики, например, Хантингтон (Huntington, 1874-1952)
и Фано (1871-1952) работали в этом круге проблем. Так что для Мак
Лейна и вообще для математиков Гарварда применение конечных
проективных геометрий было делом знакомым. Заинтересованность же
проявилась в том, что в потоке работ над этой тематикой все чаще
появлялись указания, что к геометрии конечных проективных пространств
могут быть сведены задачи комбинаторного характера (вероятно, начиная
от статьи Sommerville D.M.J. On certain projective configurations in space of
n-dimensions and related problems on arrangements // Proceed. Edinbourgh
Math. Soc, 1906. №25. P.725-747).
Примерно в тоже время, в 1907 г., обнаружились связи между
свойствами конечных ассоциативных линейных алгебр и проективных
плоскостей (см., например, Veblen О., Wedderburn J.H.M. Non-Desarguesian
and non-Pascal geometries // Transact. Amer. Math. Soc, 1907. №8. P.379-
50
К.А.Рыбников
388). Этот круг идей позднее нашел яркое продолжение в серии работ
Маршалла Холла (р. 1910) по теории групп (Hall M. The theory of groups.
The Macmiilan Co, 1958. Русское издание : Холл М. Теория групп. М.: ИЛ,
1962) и комбинаторному анализу. В этой последней области им были
сделаны две последовательные попытки построения общей комбинаторной
теории. Именно:
а) Hall M. A survey of combinatorial analysis // Surveys in applied
mathematics, V.4: Some aspects of analysis and probability. N.Y.: John Wiley,
1958. Перевод на русский: Холл М. Комбинаторный анализ, М.:ИЛ, 1963, в
составе серии: "Библиотеки сборника: Математика";
б) Hall M. Combinatorial Theory. Blaisdell Publ. Company, 1967.
Издание на русском: Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. Второе
английское издание 1986, ed.Wiley. В него добавлены: доказательство
гипотезы ван дер Вардена о значении перманента дважды стохастических
матриц, найденное Г.П.Егорычевым; глава о кодировании; R.Wilson's
asymptotic result on block-designs.
Возвратимся однако к статье С.Мак Лейна о геометрической
интерпретации матроидов. Она невелика, всего 5 неполных страниц, на
которых помещены всего 4 теоремы. Как известно, задача интерпретации
оборачивается проблемой представимости. Вопрос, решение которого при
этом ищут, таков: возможно ли матроид представить в виде множества
векторов с координатами из некоторого поля так, чтобы абстрактная
независимость матроида совпадала с линейной независимостью векторов. В
случаях, когда применяется геометрическая интерпретация, постановка и
осмысление подобных вопросов происходят легче.
Уитни проблему представимости затрагивал. В конце своей статьи он
описал плоскость Фано как пример матроида, представимого только над
полем характеристики 2. Мак Лейн, естественно, ставит общую задачу и
вырабатывает общий подход. Именно: выписывает аксиоматику конечных
проективных геометрий, называя ее объекты "схематическими
геометрическими фигурами", (далее для краткости, будем писать о
"фигурах"). Затем сопоставляет системы аксиом рангов, а затем и матриц.
Представимость матроидов понимается как возможность реализации их как
"фигур" и наоборот. Это, разумеется, имеет место не всегда.
Как для "фигуры", так и для матроида рассматриваются их решетки
гиперплоскостей (иногда пишут: гиперповерхностей) соответствующего
ранга, состоящих каждая из конечного множества точек. Конечную
комбинаторную геометрию (=матроид) выделяет то, что в ней всякая к-
поверхность и 1-поверхность, не лежащая на ней, лежат на единственной
(к + 1)-поверхности.
Теорем, как сказано, всего 4. В них:
1. Устанавливается 1 - 1 соответствие между "фигурами" размерности
п и матроидами ранга п + 1 путем введения или, соответственно, удаления
упомянутой особенности.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
51
2. Устанавливается такое же соответствие с помощью тех же
действий, но относительно циклических дополнений дуального матроида.
В двух теоремах, 3 и 4, говорится о представлениях над конечными
алгебраическими полями:
3. Пусть к - конечное алгебраическое поле над полем рациональных
чисел. Существует матроид М ранга 3, могущий быть представленным
матрицей из элементов к. Он - единственный, так как всякие другие
представления могут быть осуществлены лишь на k, z>k.
4. Пусть матроид М представлен матрицей из комплексных чисел.
Тогда он может быть представлен матрицей из элементов алгебраического
поля конечной степени.
Сущность рассматриваемой здесь геометрической интерпретации
получила в 1974 г. замечательное разъяснение в работе: Мейсон X.
Изучение матроидов как геометрических конфигураций // Математика:
новое в зарубежной науке, №19, проблемы комбинаторного анализа. М.:
Мир, 1980. С.7-50.
Итак, теперь ясно, как, при каких обстоятельствах, и в каких видах в
середине 30-ых гг. сформировалась теория матроидов. Но до вхождения
последней в более общую комбинаторную теорию оставалось еще лет 25-
30.
Серия работ Дж.-К.Рота, где строится теоретическая основа новой
общей комбинаторной теории, начинается, как было указано в предыдущем
очерке, с работы, посвященной теории функции Мёбиуса (Rota G.-C. On
the foundations of combinatorial theory: I.Theory of Mobius function //
Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeits-theorie und verwandte Gebiete, 1964. №2.
P.340-368).
Во введении к этой работе сказано, что как только значение функции
Мёбиуса для перечисленных задач окажется осознанным, интерес
естественно будет сконцентрирован на вопросе о свойствах этой функции
на упорядоченных структурах. В качестве последних он указал две: 1)
частично упорядоченные, в большинстве локально конечные, множества,
отношение порядка для которых обозначено с ; 2) решетки, т.е. частично
упорядоченные множества, в которых определены максимумы и минимумы
пар элементов, называемые объединением (join) и пересечением (meet) и
обозначаемые wvw и waw. Для локально конечных частично
упорядоченных множеств он строит и изучает алгебры инцидентности и
связанные с ними инварианты: дзета-функцию, функцию Мёбиуса,
функцию инцидентности и Эйлерову характеристику. На решетках же
строятся комбинаторные геометрии и матроиды.
Приведем здесь слова самого Дж.-К.Рота: Once the importance of the
Mobius function is realized, interest will naturally center upon relating the
properties of this function to the structure of ordering. This is the subject of
the first paper of this series; we hope to have at least begun the systematic
study of the remarkable properties of this most natural invariant of an order
relation (s.341).
52
К.А.Рыбиикон
Systematic study к 1963 г. уже сильно продвинулось. Их вел сам Рота
со своим учеником Генри Крапо (Сгаро). Оба они, в особенности
последний, в ряде бесед вводили автора настоящего очерка в курс этого
нового дела. Через год, в 1964 г., Г.Крапо защитил диссертацию (Сгаро
Н.Н. On the theory of combinatorial dependence. Thesis. MIT, 1964). К концу
1968 г. была готова и книга Rota G.-C., Сгаро Н. Combinatorial geometries,
о которой мы расскажем далее.
Рота не мог ждать завершения и оформления систематического
исследования. Все, или почти все, ему было уже ясно. Поэтому, в своей
первой работе он уже сформулировал ряд исходных положений и
результатов. В основном они таковы. Ансамбль подмножеств, с которым
имеют дело в теории функций Мёбиуса, будучи упорядочиваем по
теоретико-множественным включениям, образует решетку в
алгебраическом смысле. Как пишет сам Рота, алгебраические решетки
являются order-theoretic counter-parts (близнецами) соответствующих
комбинаторных понятий.
Из многообразия решеток Рота выбрал подходящий для его теории
вид. "Оказывается, что модулярные решетки для комбинаторики не столь
интересны, как тот тип решеток, который первым изучал Уитни и который
мы назвали геометрическим...". Все сведения об этом типе решеток он
выделил в специальный раздел: "7.Geometric lattices" (с.356-360). Главные
результаты в этом разделе относятся к вычислению значений функции
Мёбиуса на геометрических решетках. Термина "комбинаторная геометрия"
еще здесь нет. Но все элементы неназванного еще объекта - налицо. О них,
например, сказано:"Упорядоченная структура, столь часто встречающаяся в
комбинаторной терии, что есть та, которую по-разному называют: матроид
(Уитни), матроидная решетка (Биркгоф), отношение замыкания,
удовлетворяющее свойству обмена (Мак-Лейн), геометрическая решетка
(Биркгоф), отношение абстрактной линейной зависимости (Блейхер и
Пристон)... Мы кратко просуммируем необходимые факты из теории этих
структур... " (с.356-357).
Размеры журнальной статьи Рота-1 и ее основная тема (обращение
Мёбиуса) не оставляли ее автору возможности для сколько-нибудь
детального описания объектов комбинаторно-геометрического характера.
Однако, он все-таки сумел определить необходимые объекты и найти их
свойства. Комбинаторная геометрия в 1963 году фактически уже
существовала, и в 1964 г. о ее существовании было заявлено.
Через 4 года, в 1968 г. появилось первое монографическое сочинение
о комбинаторных геометриях. Это была работа Рота-2, - книга объемом 294
стр., выполненная на ротапринтной технике. Я получил ее 18 марта 1969
года, в Париже от Г.Крапо, который к тому времени работал в
университете г.Ватерлоо (Канада). Название книги: Сгаро Н., Rota G.-C.
On the foundations of combinatorial theory: Combinatorial geometries. Ha
титульном листе типографским шрифтом было отпечатано: December 1968.
Комбипаторный анализ. Очерки истории
53
Книга тотчас получила широкую известность. Но в ссылках на нее
неукоснительно упоминалось, что это - preliminary edition, а в датировке
оказался определенный разнобой. В большинстве ссылок относят ее
появление к 1970 г., но в ряде ссылок указан 1971 г. (например, в книге
Гретцер Г. Общая теория решеток. М.:Мир, 1982 (англ. изд. 1978) на
стр.288 и 426 и в статье Bender S.A., Goldman J.R. On the applications of
the M6bius inversion in combinatorial analysis // Amer. Math. Monthly,
1975. V.82. №8. P.789-803). Оказалось к тому же, что книга никогда не
была издана средствами высокой печати. Такая публикация была начата в
Studies in applied mathematics, МГГ edition (June 1970, V.49. №2. P.109-
133), но в нее вошли лишь первые 3 главы из 17 с пометкой: "продолжение
следует". Продолжения же не последовало. Некоторое объяснение такому
странному положению дано в предисловии составителя и редактора
упомянутого нами ранее 3-томного сборника: 1. Theory of matroids, 1986; 2.
Combinatorial geometries, 1987; 3. Combinatorial geometries; recent advances
ed. Neil LWhite (выход был запланирован на 1988 год, но книга появилась
лишь в 1992 г.), выходившего в серии Encyclopedia of Mathematics and its
applications, ed. G.-C.Rota, МГГ. Так вот Нейл Уайт писал: "Эта книга
(книга Н.Уайта К.Р.) появилась свыше десяти лет тому назад как простой
пересказ (rewriting) предварительного издания книги Крапо и Рота о
комбинаторной геометрии".
Столь необычная судьба первенца книг по комбинаторной геометрии
вызывает необходимость и даже требует от нас сравнительно подробного
ее описания. К этому и приступим.
Книге был предпослан стихотворный эпиграф на староанглийском
языке, который можно истолковать как заявку на приоритет:
Faceste come quei che va di notti,
Che porta il lume dietro e se non giova,
Ma dopo se fa le person dotte.
В переводе на современный литературный английский читается
(перевод Leo Fernig, UNESCO): You travel at night with the light behind of
you; in this way you your-self do not benefit, but these, who follow you,
benefit of it. По-русски: "Вы продвигаетесь во мраке, освещая пройденный
вами путь; вам от этого не легче, но другие могут этим воспользоваться".
Ну чем не изящное притязание на приоритет? Однако тут же авторы
пишут: "Нам доставляет удовольствие посвятить эту работу
основоположникам данной теории: Гаррету Биркгофу, Роберту Дилуорсу,
Саундерсу Мак Лейну, Ричарду Радо, В.Т.Татту, Гасслеру Уитни". В
развитие такого заявления они отметили, что еще в 30-х годах 20 в. в
исследованиях Г.Уитни, Г.Биркгофа, С.Мак Лейна, Р.Радо, а затем в 40-х
гг. Р.Дилуорса, в 50-х гг. - Татта В.Т. были выработаны в достаточном
числе главные элементы теории комбинаторных геометрий. Этих шестерых
математиков Г.Крапо и Дж.-К.Рота объявили основателями этой части
математики, и книгу свою им посвятили. Впрочем, тут же они отметили
условность этих посвящений, на том основании, что в упомянутых работах
54
K.A. Рыбников
решались относительно узкие конкретные проблемы и отсутствовала
единая общая цель. К заслугам Биркгофа, например, была отнесена
разработка аксиоматики теории решеток, Мак Лейна - аксиома замены и
понятие независимости базисов, Дилуорса - первые приложения теории
решеток к комбинаторике, а Татта - координатизацию. Что же касается
лекций Татта с кратким изложением теории матроидов в 1965 и в 1966 гг.,
то о них сказано, что он . доверяется преимущественно теоретико-графовой
аргументации и пренебрегает геометрическими мотивировками, доступ к
которым открыли его предшественники. Также к теории графов, к
изолированной попытке обобщить понятие двойственного, отнесен
результат Уитни. Что же касается "Rado's work", важных для теории
паросочетаний и для обобщения понятия независимости на бесконечные
множества, то они оказались в неблагоприятной изоляции. Кроме того, в
предисловии приведена еще пара десятков имен, чьи работы, "а некоторые
из них - блестящие", служат только для того, чтобы подчеркнуть срочную
необходимость в тщательной проработке этой теории. Обратим внимание,
наконец, на необычно большой список литературы; он составлен из работ
246 наименований 118 авторов, 64 из них датируются позже 1964 года,
когда появилась первая работа серии Рота.
Столь большое внимание к истории идей и достижений облегчило
осознание возможности и целесообразности появления новой
математической дисциплины - комбинаторной теории - и определило ее
структуру. Текст насыщен историческими справками. Логически строгий и
последовательный, он приобрел жизненность. Прекрасный пример единства
исторического и логического. Хотелось бы все же узнать, почему
сочинение Рота-2 так и не появилось в высокой печати. Научных,
математических причин для этого не видно.
Авторы определили общую цель своей большой работы: "дать
систематическое и детальное изложение основ комбинаторной геометрии".
Последнюю они определяют: "отношение замыкания, определенное на
подмножествах множества S, удовлетворяющее свойству обмена".
Содержание книги составляют (кроме введения и списка литературы) 16
глав (нумерация страниц у каждой главы своя):
1. Introduction (1.1-1.21)
2. Geometries and geometric lattices (2.1-2.20)
3. Six classical examples (3.1-3.31)
4. Span,bases,bonds,dependence and circuits (4.1-4.17)
5. Cryptomorphic versions of geometry (5.1-5.17)
6. Simplicial geometries (6.1-6.11)
7. Semimodular functions (7.1-7.21)
8. A glimpse of matching theory (8.1-8.5)
9. Maps (9.1-9.44)
10. The extension theorem (10.1-10.21)
11. Orthogonality (11.1-11.12)
Комбинаторный апализ. Очерки истории
55
12. Factorization on relatively
complemented lattices (12.1-12.13)
13. Factorization of geometries (13.1-13.12)
14. Connected sets (14.1-14.7)
15. Representation (15.1-13.11)
16. The critical problem (16.1-16.10)
17. Bibliography (17.1-17.20)
Как в общем замысле, так и в составе книги главными частями
являются:
1. Построение аксиоматической структуры комбинаторной геометрии;
2. Приведение возможно большего числа примеров и разъяснений;
3. Рассмотрение и обсуждение проблемы отображений (maps) между
геометриями;
4. Описание теории координатизации;
5. Наброски дальнейших исследований по двум направлениям:
критические проблемы и теория паросочетаний (matching theory).
Во "Введении" (Introduction) на стр.1.20 и 1.21 авторы особо
отметили, что книга Рота-2 написана как продолжение программы,
провозглашенной в Рота-1. Они старались в каждом конкретном случае
указывать автора (авторов) и выделять тем самым полученные ими самими
новые результаты; трактовки почти всех результатов оригинальны и
предшественников в этом не имеют.
Вряд ли возможно на ограниченном числе страниц дать достаточно
подробный реферат всего содержания книги. Поэтому, в дальнейшем мы
будем сосредоточиваться на отдельных особенностях проблемы,
преимущественно таких, которые в наибольшей степени способствуют
освещению исторического пути комбинаторных геометрий.
Прежде всего, авторам книги надо было разобраться в соотношении
между вводимыми ими комбинаторными геометриями и матроидами,
которые в математике уже существовали в течение около 30 лет и теория
которых имела, казалось бы, тот же предмет. Позиция авторов в этом
вопросе состоит в следующем:
1. На множествах S, рассматриваемых в комбинаторике, вводят
отношение (операцию) замыкания. Это: функция А-±А, где \fA4A^S и
AqI, а также, что для VA.B^S из А^В-^А^В. Показывают, что в этом
отношении сохраняется порядок, и что оно - идемпотентно. Само
подмножество A^S считается замкнутым тогда и только тогда, когда А-А
(совпадает со своим замыканием).
2. Обнаруживают, что существует свойство замены: для VaMeS и
\fAcS: если аеЖП> и а*АУ то Ь^ЖГа (иначе: имеет место аксиома Мак
Лейна-Штейница). Этой аксиомы достаточно, чтобы вывести все
стандартные результаты относительно понятий независимости и базисов.
56
К.А.Рыбников
3. Определяют понятие конечного базиса: для всякого AcS
признаком наличия конечного базиса является наличие конечного AxqA,
такого,что Af = A.
4. Систему G(S), состоящую из множества S, удовлетворяющего 1, 2,
3, назвали матроидом. Термин "матроид" авторы считают несказанно
неблагозвучным, и избегают егог предпочитая термин "предгеометрия"
(pregeometry).
5. Если в G(S) имеет место: ф=~ф и а = д VaeS, то такой объект
называется комбинаторной геометрией. Его определяют как отношение
замыкания на подмножествах множества S, удовлетворяющее свойству
обмена.
6. Связь между 4 и 5 устанавливается посредством отношения
эквивалентности: для VG(S) эквивалентность а~Ь имеет место тогда и
только тогда, когда д = £. Это отношение разбивает элементы S, не
являющиеся замыканиями, на классы, которые можно считать элементами
S0. Они имеют свойство 1. S0 есть комбинаторная геометрия, канонически
связанная с G(S), не ведущая при её введении к потере общности.
Отсюда следует позиция авторов книги: "всюду, где это будет
возможно, мы будем стараться выражать все результаты в терминах
геометрий, а не матроидов. У матроидов возможность того, что две точки
могут быть зависимы друг от друга, приводит к существенной
неприятности (nuisance), которая устраняется при переходе к
соответствующей геометрии. Все значительные результаты теории
получены относительно геометрий, а не матроидов, и единственным
основанием для того, чтобы рассматривать вообще матроиды, является то,
что они на самом деле возникли в приложениях и в некоторых
конструкциях".
Время сгладило полемичность этого заявления, не уменьшив заслуги
авторов в построении комбинаторных геометрий и предгеометрий. Предмет
комбинаторной теории приобрел такую высокую степень общности, что
забота о последней практически не беспокоит уже исследователей.
Видов конкретных комбинаторных геометрий невероятно много. Это
понятие охватило многие объекты, до сих пор считавшиеся разнородными.
Среди них: chain groups, function spaces, algebraic extension of fields,
coverings, Wiile incidence geometries, graphs, simplicial geometries and so on.
Эти теории были порождены многими, весьма между собою различными,
идеями и располагались в разных областях математики. Для истории науки
такая множественность источников необычайно интересна и важна. Она
укрепляет тезис о единстве математики, опирающийся на материальное
единство мира, и о взаимной связанности ее частей, отображающей
многоообразие форм существования материи. Проблема истории
формирования комбинаторных геометрий и вообще комбинаторного
анализа актуальна, огромна, многопланова и еще почти не затронута. Для
Комбиидториый анализ. Очерки история
57
ее освещения, разумеется, потребуется много работ и много времени. Но...
случилось следующее:
Когда настоящий очерк был практически написан, удалось найти и
прочитать книгу: Kung J.P.S. A source book in matroid theory. Birkhauser,
1986. Это - хрестоматия, составленная из 18 текстов статей, комментариев
и библиографического списка^ Знакомство, с этой книгой позволило
несколько обогатить фактический состав нашего очерка. Однако, замысел,
структура и основной (почти весь) фактический состав очерка остался
неизмененным. Материал же о работах более поздних, та есть 40-х и 50-х
гг., которого в нашем очерке еще не было, в. книге имеется. К этой книге
мы пока и отсылаем заинтересованного читателя. Наш же очерк
завершаем, чтобы не заниматься дублированием.
58
К. А. Рыбников
6. Теоремы существования и
алгоритмические трудности
В истории комбинаторного анализа наиболее заметны, наиболее
распространены методы решения задач перечислительного характера; их
обычно кратко называют: перечислительные или перечисляющие. Совсем
нередки примеры такого понимания предмета и состава этой части
математики, которая сводит их к указанной группе методов. Например,_в
широко распространенной книге: Риордан Дж. Введение в комбинаторный
анализ. М.: ИЛ, 1963, впервые изданной в 1958 г., утверждается, что
комбинаторным считается все то, что перечисляемо (с.6). У книги имеется
гордо звучащий подзаголовок: "Современное изложение идей в этой
области, покрывающее ее развитие за более чем половину проходящего
столетия" (в русском издании не сохранен), а на суперобложке: "О книге"
подчеркивается ее значение для широкого круга математически
образованных (зрелых, mature) читателей. Более того: когда в 1963 г.
вышла в свет книга Ryser H.J. Combinatorial mathematics (русское издание
М.: Мир, 1966), тот же Риордан реферат о ней начинает с оттенком
осуждения словами: "Хотя автор приравнивает комбинаторную математику
к комбинаторному анализу, центр тяжести в книге находится в проблемах
существо-вания, а не вычислений". Риордана нельзя "обвинить" в
непреднамеренной узости понимания; он про праву, обладал высоким авторитетом в
математике и ее приложениях. Это - позиция.
Теоремы существования в истории науки по отношению к
алгоритмике играют роль своеобразного ограничителя. Они самим своим
существованием выявляли возможности алгоритмических,
перечислительных методов, характер непреодоленных еще трудностей,
стимулировали усилия по их преодолению. В плане логического развития к
ним примыкали проблемы трудно разрешимые. В настоящем очерке мы не
будем их разделять жестко, так как это не соответствовало бы реальному
историческому процессу. Дело в том, что в тридцатые годы 20 в. было
получено необычно много результатов комбинаторного характера
первостепенной важности. Теоремы существования и смежные задачи были
неотъемлемой частью в этой волне достижений.
Хронологически первым, в данном контексте, пополнением
комбинаторных знаний является теорема Рамсея. Она датируется не позже
1928 г.(представлена Лондонскому математическому обществу 28.11.1928
г.), опубликована в 1930 г. (см. Ramsey F.P. On a problem of formal logic
// Proceed. Lond. Math. Soc, 1930. V.2. №30. P.264-286). Сравнительно
быстро были найдены ее приложения, сначала в геометрической
интерпретации (начиная с Erdos P., Szekeres G. A combinatorial problem in
geometry // Compositio Math., 1935. V.2. P.463-470).
Комбипаторцый анализ. Очерки истории
59
Вскоре после упомянутой статьи Рамсея вышла в свет статья другого
английского логика Ф.Холла о представителях систем множеств (Hall P.
On representatives of subsets // J.London Math.Soc, 1935. №10. P.26-30).
Еще через год появилась книга Konig D. Theorie der endlichen und
unendlichen Graphen. Leipzig: Verlaggeseilschaft, 1936, выход которой
"...означал, что через 200 лет (со времени Эйлера - К.Р.) теория графов
сделалась, наконец, полноправной областью математики" (цитир. из книги:
Biggs N.L. Lloyd E.K. Wilson R.J. Graph Theory 1736-1936. Oxford: Clarendon
Press, 1976. P.206).
Буквально в течение 2-3 лет, в середине 30-х гг., в математику вошли
и начали свое активное существование матроиды и вообще комбинаторные
геометрии. Об этом рассказано в предыдущем очерке: "5. Комбинаторные
геометрии и матроиды". Серия работ Д.Пойа, в особенности
Kombinatortsche Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen und chemische
Verbindungen // Acta Math., 1937. №68. P. 145-254, придала в те же годы
новое, теоретическое обоснование перечислительным методам
комбинаторики и существенно расширила область их применения. Из
области статистики выделились блок-схемы. Их появление зафиксировано
(по всей видимости, впервые) в таблицах: Fisher A., Yates J. Statistical
tables for biological, agricultural and medical research. Edinburg, 1936. Их
комбинаторная сущность сомнениям не подвергалась. Она была очевидна.
Столь же очевидными были и задачи: существование специального класса
моделей (block-designes), названных блок-схемами, классификация, способы
построения, связи с другими частями комбинаторики и вообще математики.
Практически тотчас появились и специальные исследования блок-схем (см.
напр. Bose R.C. On the construction of balanced incomplete block-designs / /
Annals Eugenics, 1939. №9. P.353-399). Началось распространение аппарата
блок-схем на конечные и частичные геометрии.
Особую значимость этому впечатляющему сгустку открытий и
свершений придает то, что и поныне, в самом конце 20 века, т.е. через 60
примерно лет, каждое из них актуальности не потеряло и прочно занимает
свое место в структуре общей комбинаторной теории. Далее мы будем
стремиться воссоздавать возможно более полную картину столь
интересного историко-научного феномена.
О теореме Ф.Рамсея. Теорему Рамсея нашел и доказал Франк
Пеннистон Рамсей (Ramsey, Рэмси?). Он родился, учился и жил в течение
всей короткой (22.2.1903-19.1.1930) жизни в Кембридже. Умер в
результате тяжелой хирургической операции. Его отец был президентом
кембриджского колледжа Магдалена, а брат достиг самого высокого
положения в англиканской церкви, - стал архиепископом Кентерберийским.
В биографии Ф.Рамсея отмечено, что ему принадлежат важные работы по
теоретической экономике. Логики считают основным его достижением
упрощение разветвленной теории типов Б.Рассела, а также введенное им
разделение логических парадоксов на логические и семантические.
60
КЛ.Рыбников
Работа, в которой рассматриваемая здесь теорема появилась, была
представлена Лондонскому математическому обществу 28 ноября 1928
года, 13 декабря того же года доложена и в 19?Й году опубликована в
Трудах общества. Это была работа по формальной логике; так автор ее и
назвал (см. выше). В ней рассматривалась "„.проблема нахождения
регулярной процедуры для определения истинности или ложности любого
заданного логического соотношения". Добавлено по-немецки (видимо, для
большей определенности) что речь идет об Entscheidungsproblem со
ссылкой на сочинения Д.Гильберта и Аккермана. Комбинаторным является
лишь первый из четырех разделов статьи. Автор пояснил, что для решения
задач исчисления предикатов оказывается необходимым применить
"некоторые теоремы о комбинациях, которые, впрочем, имеют и
самостоятельное научное значение".
Теорема Рамсея относится к задачам о разбиениях множеств, о
распределениях их элементов на непересекающиеся части. Операция
разбиения множеств лежит в основе бесчисленного множества
практических и теоретических задач. Поэтому, теорему Рамсея непременно
включают в учебники и во многие научные сочинения. Напомним, все-таки,
что же оказывается доказанным в этой теореме: пусть требуется
произвести операцию разбиения п - множества S на i частей. Элементами
разбиения пусть будут г-подмножества (г>1). Части разбиения обозначим qj
(i=l, 2,...,t). Очевидно, что qj>r (i=l,2,...,t). В теореме утверждается, что,
как 6bi ни происходило разбиение, существует для всякого определенного
t, min n = N, начиная с которого будет существовать такое qj, все г-
множества которого будут попадать в одну и ту же часть разбиения.
Доказательство этого утверждения Ф.Рамсей производит в трех
теоремах. Сперва он доказывает его для бесконечых множеств.
Доказательство практически такое же самое, как делают и сейчас, с
широким использованием математической индукции и с опорой на аксиому
выбора. Затем он проводит доказательство для конечных п и, наконец для
случая, когда число частей разбиения t=2. Однако, он тут же признает,
что не знает, как можно найти min n N(q,,...,<i;r), хотя его
существование, в силу доказанной теоремы, обеспечено.
Неизвестно это и сейчас. Еще нет никакого метода определения,
вычисления, таких чисел - чисел Рамсея. Даже в случае, казалось бы
простейшем, когда г=*=2 найдено лишь 7 таких чисел. Кроме того, в
немногих (в шести) случаях удалось определить границы, верхнюю и
нижнюю, внутри которых значения чисел Рамсея заключены (см. напр.
таблицу в книге: Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.:
Изд-во МГУ, 1985. С.80). Результаты же для случаев, когда t, r>2 совсем
редки, единичны. Однако, несмотря на исключительные трудности,
граничащие с полной бесперспективностью, усилия в части отыскания
значений чисел Рамсея или их оценок не прекращаются.
Пока алгоритмические результаты этих усилий невелики. См. Graham
R.L., RSdl V. Numbers in Ramsey Theory // London Math.Soc, Leci. Not.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
61
Sep., 1987. №123. Р.111-153, ref. 90 items (Лит. 90 назв.). Реф. см. РЖ
Мат. 1988, 2В547. Авторы пишут: "В этой работе мы попытаемся описать
современное состояние знаний в этой области и в некоторых связанных с
нею других областях". Теоремы, которые при этом получаются,
преимущественно имеют вид теорем существования. В "рамсеевской"
тематике к настоящему времени преобладают теоретические построения,
интерпретации и распространения результатов на новые и новые области:
графы, гиперграфы, векторные пространства, булевы алгебры, категории,
разбиения множеств, имеющих частичные упорядочения элементов...
Обзор обобщений и аналогов теоремы Рамсея с позиций общей теории
множеств был проведен в середине 50-х гт* (см. Erdos P., Rado R. А
partition calculus in set theory // Bull.Amer.Math.Soc., 1956. №62. P.427-
489) с большой общностью. В последующие годы рамсеевская
проблематика не была снята. Она осталась частью общей проблемы
изучения свойств разбиений дискретных множеств. Рассуждения в этой
части выглядят примерно так:
Обозначим п—;—►(4,4,....О утверждение: если к-подмножества
дискретного множества S распределены по г классам, то для конкретного i
существует /4. - подмножество Lt^S такое, что все k-подмножества из L
входят в i-ый класс.Тогда мы можем утверждать, что для любого набора
натуральных /г,г,/р...,/г (с необходимыми оговорками) существует
N = N(k%r^t...tlr), такое, что если n£N, то л—j-^/,,..../,;.
Когда в 1958 г. Маршалл Холл предпринимал попытку (думаю,
первую в истории математики) составить полный и цельный обзор общей
комбинаторной теории (см. брошюру: Холл М. Комбинаторный анализ. М.:
ИЛ, 1963), он включал рамсеевскую тематику в ч.З "Теоремы выбора"
(стр.38-59) на том общем основании, что в ней гарантируется
существование определенных выборов при соответствующих условиях. К
1967 году, когда он издавал свою книгу (Hail M. Combinatorial Theory.
Blaisdell Publ.C*, 1967. Русское издание: Холл М. Комбинаторика. М.: Мир,
1970), он изменил структуру сочинения и отвел рассматриваемой нами
здесь тематике гл.4. Разбиения (с.45-63) и гл.6 (с.79-84), а между ними
поместил гл.5. Системы различных представителей (с.64-78). Об этих
системах мы ниже и поведем речь.
О теореме Ф.Холла. Введение в математику приема замены
рассматриваемых, множеств их представителями принято относить к
небольшой заметке, английского математика-алгебраиста и логика Ф.Холла
(1904-1982), появившейся в 1935 г. (Hall P. On representatives of subsets
//J. London Math. Soc., 1935. №10. P.26-30), но представленной к
опубликованию 23.4.1934 г. Сам автор заметки относит начало воплощения
этой идеи в математике к более ранним временам.
Он указывает на свидетельства Д.Кенига (Konig D. Uber Graphen und
ihre Anwendungen // Math.Ann., 1916. №7. P.453), ван дер Вардена и
Е.Шпернера (van der Waerden B.L. Ein Satz uber Kiasseneinteiiungen von
endlichen Mengen // Abhandlungen Hamburg, 1927. №5. P.185, 232). Свою
62
К.А.Рыбинков
же задачу Ф.Холл определяет как "the problem of the existence of a C.D.R.
(=complete system of distinct representatives) for a finite collection of
(arbitrary overlapping) sub- sets of any given set of things" ("задачу о
существовании С.Р.П. (=полной системы различных представителей)
конечного набора подмножеств любого множества, допускающих
произвольные перекрытия").
Напомним, что в теореме Ф.Холла утверждается, что система
подмножеств SpS2,...,Sm имеет СРП тогда и только тогда, когда любая
подсистема S^tS4,...,S;k содержит по меньшей мере к различных элементов.
Необходимость этого условия для Ф.Холла очевидна и он доказывает его
достаточность в трех теоремах:
а) в общем виде, допускающем совпадения представителей;
б) для разбиений;
в) когда имеются два различных разбиения одного и того же
множества; при этом получается система общих представителей.
Интерес к теореме Ф.Холла и к проблематике, которая в ней
выражена, возродился в конце 40-ых гг. Последовала довольно длинная
серия работ. Открыла ее статья Hall M. Distinct representatives of subsets
// ButLAmer.Math.Soc, 1948. JS&54. P.922-926. В ней доказана теорема о
числе СРП для случая, когда подмножества состоят не менее чем из
заданного числа t элементов. В ряде работ совершенствуется
доказательство и видоизменяются условия теоремы, например Everett C.J.
and Whapples G. Representations of sequences of sets // Amer.J.Math.,
1949. №71. P.287 - 293. Таков же характер заметки Halmos P.R., Valighan
RE. The marriage problem, в том же журнале в следующем томе (1950.
№72. Р.214-215). Распространение теоремы Ф.Холла на частично
упорядоченные множества происходит в Dilworth R.P. A decomposition
theorem for partially ordered sets // Ann.Math., 1950 (1). №1. P.161-166.
Применение этой теоремы в теории графов имеет место в Tutte W.T. The
factors of graphs // Canad.J.Math., 1952. №4. P.314-328. Еще одну
интерпретацию - в терминах транспортных задач - теорема Ф.Холла
приобрела в статье Galz D. A theorem of flows in networks // Pacific
J.Math., 1957. №7. P. 1073-1082. Автор специально упомянул, что он
выполнил эту работу, будучи сотрудником Rand Corporation.
Теорема Рамсея и теорема Ф.Холла, появившиеся в 30-х гг. породили
довольно большую литературу. Множились их интерпретации,
отыскивались приложения. К концу 50-ых гг. сложились необходимые и
достаточные условия для общетеоретических рассмотрений этой области
комбинаторных знаний и определения ее места в более общей
комбинаторной теории. Изменялась и литература; помимо потока статей,
где изучались конкретные проблемы, стали появляться теоретические
обзоры и монографии. В интересующей нас здесь области на рубеже 50-ых
и 60-ых гг. наиболее полезными явились: уже упоминавшийся обзор: Холл
Комбинаторный анализ. Очерки истории
63
М. Комбинаторный анализ. 1958 (русское издание: 1963 г.) и Г.Дж.Райзер.
Комбинаторная математика (1963; русское издание 1966).Другие издания,
например, книга Riordan J. Introduction to combinatorial analysis. 1958
(русское издание: М.:ИЛ, 1963), теорем Рамсея и Ф.Холла не содержат.
Охарактеризуем сжато тот уровень, который был достигнут
. комбинаторной математикой к концу 50-ых гг. в части, ведущей свое
происхождение от теорем Ф.Рамсея и Ф.Холла. Было осознано, что они
имеют общий исходный пункт: разбиение множеств. Найдены
интерпретации, например, матричная (теорема Кенига), графовая,
теоретико-числовая. Построен алгоритм решения задачи о различных
представителях для конечного числа множеств. Алгоритм распространен на
случай, когда число множеств неограничено велико. Решен вопрос о числе
различных и общих представителей. Найдены значения ряда чисел Рамсея.
Теоретическим результатам были найдены приложения:
геометрические, матричные, к задаче о назначениях. Обнаружена и начата
разработкой связь между комбинаторным анализом и теорией линейных
неравенств и, более общо, с теорией выпуклых пространств. В этой связи
рассмотрены двойные стохастические матрицы; доказано, что они могут
быть выражены через матрицы перестановок. Установлена связь между
выпуклым пространством двойных стохастических матриц и дискретным
пространством матриц перестановок, которые играют роль экстремальных
точек (являются экстремальными точками). В свою очередь, общая теория
двойственности из теории линейного программирования нашла свое
приложение к решению комбинаторных задач. Начато исследование задач
типа транспортных и коммивояжера.
Особо упомянем о применении к рассматриваемым в комбинаторном
анализе задачам понятия перманента. Это понятие в математику введено в
1812 г. в работах О.Коши и Бине. Долгое время данные о перманентах
рассматривались в рамках теории детерминантов и теории матриц. В
комбинаторику они вошли вместе с матричными интерпретациями
комбинаторных задач. Оказалось, что выражения перманентов стали
появляться в формульном аппарате метода включений и исключений.
Число систем различных представителей совпадает со . значением
перманента; доказательство этого состоит просто в сопоставлении
определений.
Начальное знакомство с перманентами легче всего приобрести из
книги: Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966. Материал
о перманентах рассмотрен в гл.2 и 5 этой книги. Существует монография
научно-справочного характера: Минк X. Перманенты. М.: Мир, 1982
(англ.изд. 1978), где материал подобран с почти исчерпывающей полнотой.
Такой же полнотой отличается список литературы в конце книги; он
насчитывает 368 названий, каждое из которых снабжено аннотацией. Из
списка видно, что в течение столетия после мемуаров Коши и Бине (1812)
было опубликовано всего 20 работ о перманентах. В большинстве речь шла
о тождествах, включающих в себя детерминанты и перманенты. В краткий
64
КА.Рыбников
последующий период в работах ван дер Вардена, Пойа и Шура были
поставлены задачи принципиального характера. Затем, с 1926 до 1950 г.
появились снова лишь 14 работ. "Период спячки" (выражение Х.Минка)
завершился к 50-ым годам и сменился возрастающей активностью.
Продвижения алгоритмического характера в теории перманентов
необычайно затруднены из-за отсутствия эффективного метода вычисления
перманентов матриц инцидентности. Вообще, относительно перманентов и
к концу нашего века остается много нерешенных проблем, доставляющих
большие трудности. Приведем характерный пример. В 1967 г. 10-14 апреля,
в университете Северной Каролины (г. Чепел Хилл, Chapel Hill, США)
проходила американо-японская научная конференция: Combinatorial
Mathematics and its Applications.
Участвовали в ней и несколько ученых из других стран: A.Barlotti и
C.Berge Италия; Schutzenberger, P.Camion, Франция; H.Crapo, W.Tutte,
Канада; T.Ostrom, ФРГ; S.Shrikhande, C.R.Rao, Индия; A.Renyi, Венгрия. В
числе докладов был: "Permanents and Systems of distinct representatives" by
HJ.Ryser (Caitech). Докладчик в ходе характеристики современного
состояния теории, как водится, уделял много внимания нерешенным
вопросам. Среди них был такой: еще в 1926 г. ван дер Варден поставил
вопрос: каково минимальное значение функции перманента на множестве
С1п, т.е, множестве всех дважды стохастических матриц? Он же высказал
гипотезу: пусть Jn - матрица, все элементы которой равны / /п. Если АсПп
и A*J, то предполагается, что per A> per Jn =n!/ nn = nlIn, где I составлена
только из единиц.
В 1980 г. гипотеза ван дер Вардена была доказана. Это сделал
русский математик Г.ПЕгорычев из Красноярска (см. Х.Минк, стр.202, в
списке литературы №306). Однако, перманенты таят в себе еще много
недоказанного, неизвестного. Приведем два примера:
1. Пусть А и В суть дважды стохастические матрицы одного и того
же порядка. Считалось достоверным, что per(AB)<{perA,perB}. Однако,
существует контрпример:
А =
24
11 5 8
13 11 0
0 8 16
;B-i
2
1 1 0
1 1 0
0 0 2
3808 ^ /AD4 3840
<рег(АВ) sB-
13824
13824
2 Пусть А - дважды стохастическая матрица, Ат - транспонированная.
Считалось, что ре<ААт)<регА. Контрпример:
А»:
110 0
0 110
0 0 11
10 0 1
:**4
2 1 0 1|
12 10
0 12 1
10 12
О о
рег(ААт) =77 ^Рег(А) =—
64 > 64
Примеры приведены в упомянутом выше докладе Г.Дж.Райзера.
Опубликован в книге: Combinatorial Mathematics and its Applications. 1969,
Univ. North Caroline Press, pp. 55-70, esp. 63.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
65
7. Конечные геометрии в общей
комбинаторной теории.
В современную общую комбинаторную теорию, развитию основ
которой посвящены настоящие очерки, вросли и сделались ее составной
частью идеи, методы и даже термины из конечных геометрий.
В наше время, в самом конце 20 в., когда говорят о конечных
геометриях, то имеют в виду дискретные системы, составленные из
конечного числа элементов. Последние распределены на подмножества, не
имеющие непустых пересечений. Чаще всего речь идет о двух
подмножествах. В настоящем очерке мы будем поступать так же,
специально оговаривая случаи, когда имеют место иные, более сложные
ситуации. Элементы множеств, которые в общей постановке считаются
неопределяемыми, наделяют геометризированными названиями: точки Р и,
соответственно, прямые L (или линии). Между элементами одного из
множеств по отношению к элементам другого вводят симметричное
отношение инцидентности J. Это понятие тоже получает геометрическую
трактовку:
PJL = точка Р лежит на линии L Двойственное утверждение: LJP
означает: линия L содержит точку Р. Заданную таким образом систему
подчиняют аксиомам геометрического звучания; например:
1. Две различные точки инцидентны с одной и только одной линией;
2. Две различные прямые инцидентны с одной и только одной точкой;
3. Существуют 4 точки в общем положении, когда никакие три из
них не инцидентны с одной прямой.
Определенную таким образом систему называют конечной
проективной плоскостью (далее, в сокращении: кпп). Слово проективная,
употреблено потому, что такого рода аксиоматика характерна для
проективно-геометрических построений (конфигураций). Третья аксиома,
равно как и двойственная ей, необходимы, чтобы избежать вырожденных
ситуаций.
Видоизменения исходных высказываний, уточнения и дополнения
приводят к различным видам конечных геометрий, а также к близко к ним
относящимся, сопредельным частям математики. Так, например,
устанавливаются связи с проблемами комбинаторной топологии,
дискретной геометрии, проективной геометрии, геометрической теории
чисел, теории графов, комбинаторной геометрии и др. Изучение конечных
геометрий, вероятно, лучше производить по книге: Картеси Ф. Введение в
конечную геометрию. М.: Наука, 1980. Монографическое сочинение:
Dembowski P. Finite geometries. Springer, 1968. История конечных
геометрий наиболее полно освещена во многих статьях А.Е.Малых и ее
ее
К.А.Рыбвиков
диссертациях: кандидатской "Возникновение и развитие конечных
геометрий" (защищена в МГУ 25.3.1983 г.) и докторской "Комбинаторный
анализ в его развитии" (защищена в ИИЕиТ РАН 19.11.1992 г).
К середине 20 в., ко времени, с которого и следовало бы начинать
очерки данной серии, конечные геометрии обросли уже значительной
совокупностью теоретических разработок. Идейная близость многих из них
к комбинаторной математике секретом не являлась. Те ученые-математики,
кто в 50-ые - 60-ые гг. строил общую комбинаторную теорию современного
уровня, не оставили без внимания и ее конечно-геометрический аспект. В
первой же попытке построить комбинаторику на единых теоретических
основах, конечные геометрии, в частности, конечные проективные
плоскости, уже нашли свое место. Они были помещены в гл.4
"Существование и построение схем" обзора 1958 г. (в русском издании:
Холл М. Комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963), в качестве частного вида
симметричной уравновешенной неполной блок-схемы. А еще через год, в
1959 г., в книге по теории групп (русское издание Холл М. Теория групп.
М.:ИЛ, 1962) появилась глава 20 "Теория групп и проективные плоскости"
(стр. 373-45).
Относительно них приведено (стр.89) необходимое условие
существования (теорема Брука-Райзера, доказанная в 1949 г.) и сказано,
что они в прошлом подвергались интенсивному изучению (стр.72). Через
несколько лет в книге Hall M. Combinatorial theory. Blaisdell Publ.Ce, 1967
(русское издание: Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970) конечным
геометриям была отведена отдельная гл.12 (стр.230-260).
Таким образом, конечные геометрии, вносившие свой вклад в
формирующиеся теоретические основы комбинаторной математики,
оказывались сами в сложном переплетении своей геометрической
сущности, теоретико-групповых представлений и, как будет сказано далее,
методики планирования экспериментов и статистической обработки
данных. Рассмотрим эту ситуацию подробнее.
Конечные геометрии начали свое существование во второй половине
20-го века. Образно говоря, это происходило в период между
Н.И.Лобачевским и Д.Гильбертом. По мере усвоения достаточно широкими
кругами математиков того факта, что логически мыслима и эффективно
может быть осуществлена не только единственная евклидова
геометрическая система, разворачивалась работа по построению новых
возможных геометрий. Идея же, что новые геометрии могут быть
построены посредством изменения системы аксиом и вообще исходных
высказываний, породила к концу 19 века значительное число исследований
по основаниям геометрии и разработки видоизменений аксиоматических
систем. Новые системы воспринимались в течение почти всего
полустолетия как разновидности именно геометрических систем.
Определенный итог в этом плане подвели "Основания геометрии"
Д.Гильберта(1899).
Комбинаторный анализ. Очерка истории
67
Дискретные геометрии, к которым принадлежат и геометрии
конечные, появились в результате построения такой геометрической
системы, в которой оказываются исключенными аксиоматические
высказывания, вводящие непрерывность. Такую систему первым построил
Веронезе в 1891 г. (см. Veronese G. Fondamenti di geometria a piu
dimension! la piu specie di unita rettilinee. Padova, 1891). Арифметические
модели дискретных геометрий известны с 1898 г. T.Levi-Civita (1873-1940)
опубликовал такую модель в Memoire della Reaie Academia dei Lincei, 1898,
t.7. К концу века была разработана и общепризнана общность
сложившихся основ дискретной геометрии и аксиоматики геометрии
проективной (см. Pash M.Vorlesungen uber neuere Geometrie. Leipzig,
1882). Результаты фон Штаудта, обосновавшего еще в середине столетия
независимость проективной геометрии от евклидовой (Staudt von J.K.C.
Geometrie der Lage. Nurenberg, 1847), к концу века странным образом
оказались забытыми; о них мы упомянем позже. Упомянутое же выше
сочинение Д.Гильберта "Основания геометрии" (1899) и для дискретных
геометрий обозначило завершение формирования теоретических основ,
практически совпавшее с концом 19 века.
В последующей истории конечных геометрий в частях, наиболее
близких к рассматриваемому в настоящем очерке вопросу,
преимущественное внимание мы будем обращать на теорию конечных
проективных плоскостей. Уже в самом начале века определилась
актуальная для них проблематика: условия существования; установление
единственности; отыскание наименьшего порядка при заданном свойстве
(напр. дезарговости); нахождение интерпретаций. Устойчивым оставался
интерес к подобным проблемам. Однако, побудительные причины и
характер исследований становились все в меньшей степени
геометрическими. Ведущими все чаще оказывались алгебраические или
иные мотивы.
Рассмотрим цепочку математических событий, которые, как мы
думаем, оказали наибольшее влияние на то, как складывалась и какие
формы приняла структура общей комбинаторной теории. Начинается эта
цепочка с того, что на далеком американском континенте Э.Г.Мур
(E.RMoore, 1862-1932) профессор Чикагского университета (с 1892 г.),
продолжил исследования Д.Гильберта по основаниям геометрии. Это был
видный и авторитетный ученый. Он закончил Йельский университет
(1885), после чего некоторое время обучался (или, как теперь говорят:
стажировался) в немецких университетах. Имеет прочную репутацию
основоположника внедрения в американскую математику новых передовых
для того времени научных направлений. Свой интерес к основаниям
геометрии он выразил в работе Moore E.H. On axioms of projective
geometry // J.Amer.Math.Soc, 1902. V.3. Ser.l. P.142-158. Вскоре, через
два года, его ученик О.Веблен (1880-1960) построил конечную систему,
состоящую из класса элементов ("точек") и инцидентности ("порядок"). В
68
К.А.Рыбников
терминах этой системы О.Веблен сформулировал всю систему
геометрических аксиом (см. Veblen О. A system of axioms lor geometry //
Trans. AMS, 1904. Nk5. P.343-384).
Тем самым, получали дальнейшее развитие давние идеи фон Штаудта
(1798-1867). Как известно, в своей работе "Геометрия положений" (Staudt
von, J.K.C. Geometrie der Lage. Nurnberg, 1847) и в добавлениях к ней
(Staudt J.K.C. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nurnberg, 1856-1860, Heft 1-
3) он строил проективную геометрию без введения метрики. В качестве
примера он приводил конечные проективные пространства, где на каждой
прямой лежат р+1 точек, через каждую точку, согласно принципу
двойственности, проходит р+1 прямых. Ближе к концу века Фано.Дж.
(1871-1952) пополнил теорию конечных геометрий, приведя пример
геометрии n-мерного пространства над полем вычетов по mod p и конечных
проективных плоскостей из 7 и 13 точек (см. Fano G. Sui postulati della
geometria projettiva in uno spacio lineare a un numero queiqunque di
dimensioni // Giorn.Mat.Napoli, 1892. V.30. P.106-131). Любопытно, что
никто из тех, кого мы упомянули, и никто из их современников самого
термина "конечная геометрия" ещё не употреблял.
Однако, к тому времени, когда О.Веблен включился в исследование
дискретных и конечных геометрий, сам термин уже существовал. Он
появился впервые в .статьях Гессенберга Г. (1874-1925), ученика Цермело
(см. Hessenberg G. Uber die projective Geometrie // Sitzungsberichteu der
Berliner mathematischen Gesellschaft, 1902-1903. P.36-40, и его же Uber
einen geometrischen Calcul. Acta Math., 1903. Bd.29. S.l-23), в которых
проективная геометрия строилась аналитически посредством специальной
числовой системы.
Последующие два года (что в истории науки практически
эквивалентно одновременности) были временем, когда информация о
конечных геометриях пополнилась весьма существенно. О.Веблен и
НТ.Басси опубликовали свой общий метод построения геометрий
размерности п>3 и всех двумерных конечных геометрий над полями Галуа.
Они также обобщили геометрию Фано Дж. на случай произвольного
конечного поля Галуа GF[q], где q=pr (р - простое число, г натуральное),
подсчитали количество точек, прямых и плоскостей, а также исследовали
коллинеации (см. Veblen О., Bussey N.J. Finite projective geometries //
Transact.Amer.Math.Soc, 1906. №7. P.241-259). В том же году Соммервиль
нашел число r-мерных плоскостей конечного n-мерного пространства,
проходящих через заданную s-мерную плоскость и лежащих в данной t-
мерной плоскости (см. Sommerviile D.U.V. On certain projective
configurations in space of n dimensions and related topics on arrangements //
Proc.Edinb.Math.Soc., 1906. V.25. P.725-747). Веблен и Веддербарн (1882-
1948) исследовали связи между свойствами конечных линейных
ассоциативных алгебр и проективными плоскостями над ними (см. Veblen
О., Wedderburn J.H.M. Non Desarguesian and non-Pascalian Geometries
//Transact.AMS, 1907. №8. P.379-388.). К этому примыкает двухтомная
Комбинаторный анализ. Очерки истории
69
монография: Veblen О., Young J.W. Projective geometry. Boston: Gian and
C°, 1916 (2-me ed, in 2 vol-s). Первое издание, однотомное, появилось там
же, в 1910 году.
Для целей настоящего очерка перечисленная группа работ интересна
тем, что в них, видимо, впервые и с возрастающей систематичностью
отмечены примеры комбинаторных задач, решение которых сводится к
задачам конечно-геометрическим. Тем самым, расширялся класс
интерпретаций, позднее вошедший в состав общей комбинаторной теории.
Но при более внимательном рассмотрении приходится признать, что
непосредственный интерес к работам первого десятилетия 20 в., подобных
тем, что мы рассматривали, проявлен был в.области алгебраической, а не
комбинаторной. Потенциальные возможности теоретической
комбинаторики в части комбинаторных схем стали реализовываться
позднее, лишь в 40-ых гг. Самую значительную роль в доследующем
процессе сыграли работы американского математика,.Маршалла Холла
(M.Hall, р.1910), крупного специалиста по теории групп. Конечным
геометриям и связанной с ними тематике он посвятил, начиная с 1943 г.
25 работ, в большинстве {18 названий) без соавторов. Почти полный,
список этих его работ приведен в книге Dembowski P. Finite geometries.
Springer, Veriag, 1968, на стр.335. Комбинаторные задачи появляются в
работах М.Холла лишь в 50-х гг., первая попытка целостного построения
комбинаторного анализа относится к 1958г. (в списке работ в книге
Дембовского эта работа, естественно, не упомянута). А когда в 1967г.
М.Холл опубликовал книгу "Combinatorial Theory", то конечным
геометриям он посвятил специальную главу (гл. 12, с.230-260), как об этом
было упомянуто в начале очерка. В ней конечные геометрии
рассматривались как частный случай блок-схем, симметрических,
неполных. Вообще же, блок-схемам и примыкающим к ним вопросам он
отвел буквально 2/3 книги: главы 10-16 (из 16 всего) и 2 приложения
(всего 273 стр. из 400). Время, впрочем, быстро исправило этот "перекос".
В заключение, несколько слов о блок-схемах, не отклоняясь слишком
далеко от основной темы очерка. В 1938 г. индийский математик и
статистик Боуз опубликовал свой метод установления соответствия между
аффинными и проективными плоскостями порядка п, с одной стороны, и
множеством из (п-1) латинских квадратов того же порядка, попарно
ортогональных (Bose R.C. On the applications of the properties of Galois
fields to the problems of construction of Hyper-Graeco-Latin squares //Indian
J.Stat., 1938 (3). №4. P.323-338). Через год он же опубликовал статью о
построении уравновешенных (или симетрических) неполных блок-схем (On
the construction of balanced incomplete block designs //Ann.Eug., 1934. №9.
P.353-399). Блок-схемам, их частным видам, перекрестным интерпретациям
комбинаторных схем он затем посвятил около двух десятков работ, создав
единую теорию. Переезд Боуза во главе группы индийских статистиков в
США стимулировал работы над исследованием комбинаторных схем,
70
K.A. Рыбников
наряду с уже имевшими место алгебраическими подходами М.Холла,
ААльберта, О.Веблена и др.
Для конечных геометрий {скажем, порядка п) полезным следствием
такого хода событий явился, в первую очередь, комплекс интерпретаций:
1) как системы из п-1 попарно ортогональных латинских квадратов
порядка п;
2) как симметричной неполной блок-схемы с параметрами
v=b=n2 + n+l; k=n+l; r= I;
3) как системы троек Штейнера: 5(2,л +1,/г +п +1), где п=ра (р -
простое число, а - натуральное).
Блок-схемы являются комбинаторными построениями высокой
степени общности. Они не только являются средством сплочения
отдельных частей единой общей комбинаторной теории, но и проникают в
другие дисциплины дискретной математики. Приведем некоторые факты,
характеризующие, насколько активно шел этот процесс в течение первых
примерно 20 лет после окончания мировой войны. Примерно с 1942 г.
американский математик Манн Г.Б.(1905- ), известный своими работами по
математической теории статистики, в 40-ые гг. применял аппарат блок-схем
к задачам планирования экспериментов и последующей обработке
результатов (см. напр. Mann H.B:^ Analysis and Design of Experiments. N.Y.
1949). Представление о том, какое распространение в статистике получили
блок-схемы в последующие годы, могут дать монографии: Cochran W., Сох
G.M. Experimental designs. N.Y., 1957, а также Уилкс С.С. (1906-1964),
М.:Наука, 1967. Аналогичную информацию можно получить: для теории
кодирования (см. Hamming R.W. Error detecting codes //Bell System
TechJ., 1950. JVfe29. P.147-160, а также Рид И.Ф., Соломон Г.
Полиномиальные коды над некоторыми конечными полями.
Кибернетический сборник. 1963. №7. Р.74-79), для теории игр (см.
Richardson M. On finite projective games //Proceed. AMS, 1956. №7.
P.458-465 или Hoffman A.J., Richardson M. Block-design games
//Canad.J.Math., 1961. №13. P.l 10-128). В первом же выпуске первого
специализированного журнала: Journal of Combinatorial Theory
опубликована статья о связях блок-схем и графов: Di Paola J.W. Block-
designs and Graph theory //JCT, 1966. V.l. №1. P.132-148). Наконец, но
не в последнюю очередь, сошлемся на статью Маршалла Холла "Блок-
схемы", которая была им написана для сборника "Applied combinatorial
mathematics", 1964, 369-405 (в русском издании: "Прикладная
комбинаторная математика", М.: Мир, 1968. С.203-242). Автор настоящего
очерка начинал изучать блок-схемы по этой статье лет около 30 назад, но
и поныне остается убежденным в ее превосходных качествах.
Мы говорили о внедрении блок-схем во многие области математики.
Естественно, что шел и обратный процесс ассимиляции методов теории
групп, теории чисел, конечных алгебраических структур, матриц,
квадратичных форм, обогащающий возможности исследователя блок-схем.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
Но для характеристики этого процесса нужен другой очерк. Надеюсь, он
будет написан.
72
КА.Рыбников
8. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Сосуществование упомянутых в заголовке математических дисциплин
характерно тем, что в них всегда наличествовали и совместно развивались
общие части. В то же время в исходных установках и структуре
добываемого знания сохранялись неустранимые различия. Общеизвестно,
что начала исчисления вероятностей лежали в области комбинаторики. И в
дальнейшем, вплоть до наших дней, комбинаторика сохраняла
значительное место в составе теории вероятностей, хотя содержание обеих
наук изменилось необычайно. Сейчас общепризнано, что когда в теории
вероятностей речь идет о дискретных (тем более, о конечных)
пространствах элементарных событий, то математический аппарат
исследования является комбинаторным. С исчерпывающей полнотой это
было показано впервые в широко среди математиков известной двухтомной
монографии: В.Феллер. "Введение в теорию вероятностей и ее
приложения", начавшей свое существование с 1950 года.
Лет через 10-15 после этого события, в 60-ые гг., в период бурного,
буквально "взрывного" развития комбинаторного анализа (об этом см.
очерк 2), в нем, в свою очередь, обозначилась и стала постепенно крепнуть
группа методов, имеющих вероятностный характер. В современной общей
комбинаторной теории эта группа заняла свое, притом заметное место.
Исторический путь самой теории вероятностей освещен в историко-
научной литературе с изрядной обстоятельностью. Существуют сочинения,
где этот путь изложен систематически и детально. Среди них:
1. Шейнин О.Б., Майстров Л.Е. Теория вероятностей // История математики с
древнейших времен до начала 19 столетия. М.: Наука, 1972. Т.З. С. 126-
152.
2. Гнеденко Б.В., Шейнин О.Б. Теория вероятностей // Математика 19 века.
М.: Наука, 1978. С.184-258.
3. Гнеденко Б.В. Очерк истории теории вероятностей // Курс теории
вероятностей. М.: Наука, 1988. С. 386-440.
4. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967.
Содержание этих сочинений позволит вдумчивому читателю достичь
довольно высокого уровня компетентности. Нам же здесь это позволяет (и
даже обязывает) не отвлекаться от темы,обозначенной в заголовке и быть
кратким.
К началу рассматриваемого в наших очерках периода времени, т.е. к
середине 20 века, теория вероятностей уже приобрела современный нам
облик. Произошло это в течение весьма краткого промежутка времени.
Ещё в 1900 г. на Втором международном конгрессе математиков в Париже
Д.Гильберт в своей, ставшей знаменитой, речи относил теорию
вероятностей к разряду физических наук, в которых математика играет
Комбипаториыи анализ. Очерки истории
73
выдающуюся роль (см. сборник "Проблемы Гильберта" под ред.
П.С.Александрова. М.: Наука, 1969. С.34-36).
Оформление теории вероятностей как математической науки,
изучающей общие закономерности случайных явлений (событий, величин,
процессов) и аксиоматическая ее структура сложились в основном в 30-ые
гг. (об этом см. комментарий Б.В.Гнеденко в том же сборнике, с. 116-120).
На столь высоком уровне теоретического развития сравнительно
несложный вычислительный аппарат элементарной комбинаторики,
используемый в вероятностных иследованиях, казалось бы, потерял уже
свое прежнее значение, или, по крайней мере, застыл в достигнутом
объеме. Однако, оказалось, что это не так; автор очерка имел счастливую
возможность в этом плане кое-что увидеть.
В 1965 году, в первой половине, я работал в Лондоне, где изучал и
готовил к напечатанию математические рукописи Карла Маркса (позднее
они были опубликованы; см. книгу: Маркс К. Математические рукописи.
М.:Наука, 1968). В течение этого же времени я интересовался, что
естественно, работами английских математиков, главным образом, по
истории науки и комбинаторному анализу. Встречался и беседовал с
коллегами, в том числе с Г.Девенпортом (1907-1969), Дж.Нидемом (в
Кембридже), К.Роджерсом (1920- ) в Лондоне» Р.Радо в Рединге. О
полученной в те же дни полезной информации об упаковках и покрытиях,
о геометрии чисел, о теоретико-множественных и логических основах и
проблемах комбинаторного анализа я рассчитываю рассказать в других
очерках.
В части же, относящейся к связям теории вероятностей и
комбинаторики, особенно ценными были общения с сотрудниками кафедры
статистики Лондонского университета (точное название: Department of
Statistics, University College, London), которой руководил М.Дж.Кендалл.
Они привлекали к себе внимание и вызывали симпатии широтой научных
интересов и заинтересованностью в проблемах истории науки. При
подготовке к поездке в Англию я успел прочитать кое-что из их работ,
например: David F.N. Studies in the history of probability and statistics //
Biometrika, 1955. V.42. №1-2 и продолжение, под тем же названием, но
написанное Кендаллом, появившееся годом позже (см. Biometrika, 1956.
V.43. №1-2). Это и определило мое стремление познакомиться поближе с
деятельностью этого коллектива.
Прием был товарищеским, контакты - приятными и полезными, и я до
сих пор храню благодарные воспоминания об этих людях, в особенности о
самом М.Кендалле и его молодом тогда сотруднике Бартоне (D.E.Barton).
Во время моей командировки в Лондон, на кафедре Кендалла
завершалась работа над таблицами "Symmetric functions and Allied Tables"
(вышли в свет в 1966 г. в издательстве Cambridge University Press).
Непосредственным руководителем и главным составителем таблиц была,
насколько я помню, доктор наук F.N.David. Её интерес к связям между
математической статистикой и теорией вероятностей определился уже
74
К.А. Рыбников
довольно давно (см. например, книгу David F.N. Probability Theorie for
Statistical Methods. Cambridge University Press, 1949). Огромный
многолетний труд коллектива кафедры давал результаты; таблицы
выходили из печати в 1949, 1951, 1955, 1959. Может быть, это еще и не
всё, что нужно было бы здесь упомянуть.
Исходными источниками комбинаторных сведений, необходимых для
работы, в том числе и над таблицами, были приняты две книги:
• Whitworth W.A. Choice and Chance. N.Y.: Hafner Publ.Co., 1948 (5-th.ed., 1-
th.ed. -1886).
• Whitworth W.A Exercises in choice and chance. Cambridge: Deighton
Bell&Co., 1897 (First edition).
Эти книги пользовались высокой репутацией, их много раз
переиздавали. По мнению коллег с кафедры Кендалла они содержали всё,
что было необходимо, т.е.вообще всё.В США они были переизданы в 1942
и 1945 гг. соответственно, включая задачи (около 700) с подробными
решениями.
Сотрудники кафедры систематически и целеустремленно изучили
огромное число самых разных публикаций и к началу 60-ых годов пришли
к следующим выводам:
• Интерес к комбинаторике, широко распространившийся и
возросший после мировой войны 1939-1945 гг., породил много
переоткрытий и неверных историко-научных утверждений;
• Учение о комбинаторном аппарате теории вероятностей было
разработано (firmly established) "великим триумвиратом":
Я.Бернулли (1654-1705), А.Муавром (1667-1754), ПР.Мон-мором
(1678-1719);
• Существенный вклад в эту область математики впоследствии
смогли внести только П.Лаплас (1749-1827) и, позднее, ПА.Мак
Магон (1854-1929); однако, даже в их работах, и притом нередко,
дублируются более ранние, не ими открытые результаты;
• Что же относится к более поздним работам, то число
переоткрытий, умалчиваний, неверных историко-научных
утверждений исключительно велико. В результате появилась книга:
Davfd F.N., Barton D.E. Combinatorial chance. 1st ed. Ch.Griffin and
C°, 1962; являющаяся, по утверждениям её авторов, синтетическим
; ' курсом, в котором восстановлена историческая справедливость и
логическая последовательность. Посвятили авторы свою книгу
А.Муавру, "его величественной тени" (to his illustrious shade). В
конце каждой из 18 тлав помещены References and Readings
(справки и списки литературы), а в конце всей книги словарь
понятий и символов и другой справочный материал.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
75
Очень вовремя появилась эта книга, в самом начале "комбинаторного
взрыва" (см. очерк 2). Роль подобных работ, в которых воссоздается
реальный исторический процесс развития науки в сочетании с попытками
логически последовательной классификации его результатов,
исключительно велико.
Не смогу я этого документально доказать, но в памяти моей
сохранилась информация, что Дж.Риордан был одним из рецензентов книги
Ф.Давид и Д.Бартона. Это было бы вполне возможным и естественным.
Книга Риордана "Введение в комбинаторный анализ" вышла в свет в 1958
г., четырьмя годами ранее, на неё авторы "Combinatorial chance" ссылались.
Косвенным доказательством (и прямым доказательством общности научных
интересов) может служить появление вскорости еще одной книги Riordan
J. Combinatorial identities. N.Y.: Wiley, 1968 (русск.издание М.: Наука,
1982).
Во всяком случае, можно утверждать, что комбинаторные тождества,
даже самые казалось бы простейшие, и соотношения между ними, в 60-ые
гг. продолжали являться объектом исследований. На них сфокусировались
на время общие интересы и комбинаторного анализа и теории
вероятностей. В примерах подтверждающих этот тезис, недостатка нет.
Достаточно взглянуть на многочисленные статьи той поры самого
Дж.Риордана, а также Л.Карлитца, Г.Гоулда, Д.Лемера и других.
Риордан, когда писал свою книгу о комбинаторных тождествах, имел
целью построить хоть сколько-нибудь упорядоченную систему
комбинаторных тождеств и связей между ними. В качестве критерия
классификации он принял "математическое окружение" тождеств: их
применение в определенной группе задач, способ доказательства, свойства
биномиальных коэффициентов, область приложимости ..., хоть что-нибудь.
Работал долго, не менее 10 лет.
Книгу он построил так: в ней 6. глав.. В них расположены: 1)
тождества, выводимые из основного рекуррентного соотношения для
биномиальных коэффициентов; 2) и 3) взаимнообратные соотношения, т.е.
пары тождеств, вытекающие из пары соотношений вида: а*=]£аяА:
к
^=2Жа*» где коэффициенты, например, выражаются в виде сумм или
разностей биномиальных коэффициентов; 4) и 5) использование
производящих функций для вывода или проверки комбинаторных тождеств;
6) применение разностных и дифференциальных операторов (и
соответствующего символического аппарата) для получения и проверки
комбинаторных тождеств.
Книга богата конкретными задачами, отдельными результатами,
изящными формулами; её завершают десятка два таблиц. Однако, итоги,
авторские выводы, печальны: "основным выявившимся фактом является то,
что комбинаторные тождества неисчерпаемы и непредсказуемы. Старая
76
К.А.Рыбников
мечта навести порядок в этом хаосе, кажется,обречена на провал". И
другой: "... не удалось также обнаружить полезные критерии для градации
тождеств по степени их значимости и тому интересу, который они
представляют".
Возможной причиной неудач Риордан считает то, что тождества
теряют своеобразие в зависимости от их математического окружения.
Положение к концу 60-ых гг. оказалось тупиковым. Но течение
научной мысли не допускает безвыходных ситуаций. Оно и в этом случае
не остановилось, а пошло другими (двумя, в основном) путями. Риордан
сам указал на один из этих путей. Он отметил, что специалисты-
комбинаторики, помимо рекуррентных соотношений, производящих
функций, преобразований вида свертки Вандермонда и т.п. "к моему ужасу,
используют ещё и контурные интегралы, дифференциальные уравнения и
прочий арсенал математического анализа".
Мы рассчитываем в одном из последующих очерков рассмотреть
проблему взаимосвязи комбинаторной математики и анализа бесконечно
малых. Здесь же, в интересах читателей, могущих этим заинтересоваться,
дадим краткую справку: примеры того вида, о котором писал Риордан,
можно найти, например в книге: Сачков В.Н. Введение в комбинаторные
методы дискретной математики. М.: Наука, 1982.
В целях полноты освещения историко-научных фактов, упомянем
здесь о пионерной работе: Гончаров В.Л. Из области комбинаторики //
Изв.АН СССР, сер.мат., 1944. Т.8. №1. С.3-48), где, с использованием
метода производящих функций, получен ряд предельных теорем о сериях
случайных подстановок. Для серьёзного вхождения в современное
состояние теории и практики этого направления можно рекомендовать
изучить книгу: Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление
комбинаторных сумм. Наука, Сиб.отд., 1977. Вторым направлением, более
присущим вероятностной линии развития, явилось продолжающееся
составление таблиц формул и значений специальных чисел, комбинаторных
сумм и т.п. Приведем два примера изданий более поздних, нежели
монография Риордана о комбинаторных тождествах:
• Gould H.W. Combinatorial identities; a standardized set of tables, listing 500
binomial coefficients summations. Morgantown: West Virg.Univ., 1972 (106
PP.).
• Kaucky J. Kombinatoricke identity. Bratislava: Veda, 1975 (476 pp.).
Привнесение в комбинаторный анализ методов и суждений
вероятностного характера сделалось возможным тогда, когда:
а) сама теория вероятностей определилась как математическая наука,
построенная на аксиоматических основах; мы отмечали выше, что это
произошло в 30-ые гг.;
б) получила достаточное содержательное наполнение та её часть, где
подвергаются изучению дискретные (тем более, конечные) пространства
элементарных событий.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
77
Значение монографии Феллера, уже неоднократно нами упомянутой,
в этом плане трудно переоценить. Кстати, в ней были рассмотрены и
комбинаторные задачи: использующие центральную предельную теорему
(с.197 и 262); связанные со случайными выборками (с.300).
Применения вероятностной методики к решению комбинаторных
задач стали заметным явлением не сразу. Их значение возрастало по мере
того, как выяснялись задачи, при решении которых выявлялись трудности,
заставляющие ограничиваться утверждениями о существовании решения
или оценками его величины. Число ученых, успешно работавших в этом
направлении, было относительно невелико. Наибольшую активность здесь
проявляли венгерские математики, в особенности ПЗрдеш (1913- ) и
А.Реньи (1921-1969).
Лет через 10-12, когда накопились результаты и вырисовались общие
черты метода, он был обнародован в книге: П.Эрдёш, Дж.Спенсер.
Вероятностные методы в комбинаторике (Erdos P., Spencer J. Probabilistic
methods in combinatorics. 1974; русск.издание - 1976), изданной венгерским
академическим издательством: Akademiai Kiado. Существо метода состоит в
том, что исследуемые комбинаторные объекты интерпретируются как
совокупности событий в некотором вероятностном дискретном
пространстве. Требуется вычислить вероятность существования объекта,
обладающего заданными свойствами. Если вероятность строго
положительна, то это доказывает существование решения. Метод не дает
возможности построения объекта, что является недостатком, к сожалению,
неустранимым. Зато он хорошо работает для получения асимптотических
формул.
Ко времени написания настоящего очерка, т.е. лет за 20 своего
существования, вероятностные трактовки оказались привнесенными в
широкие классы комбинаторных структур: матрицы, графы, подстановки,
разбиения. Опыт этого привнесения, в результате которого возникли
случайные подстановки и др. систематически описан, например, в книге:
Сачков В.Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М.: Наука,
1978.
Автор настоящего очерка в своей книге: Рыбников К.А. Введение в
комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985, посвятил специальную
главу вероятностным методам. Материал сгруппирован вокруг задач о
планировании экспериментов, главным образом, отсеивающих. Некоторые
задачи этого типа состоят в отыскании алгоритма поиска, выявляющего за
возможно меньшее число экспериментов элемент с искомой особенностью
(например, фальшивую монету). Теоретическое продвижение при этом
приводит к проблеме построения систем разделяющих подмножеств.
Мы завершаем настоящий очерк необходимым уточнением. В нем, в
этом очерке, рассматривались вопросы сосуществования и взаимодействия
идей комбинаторного и вероятностного характера в том научном
материале, который составляет теоретические основы комбинаторной
математики. В жизни же этой науки, пронизанной многими
78
К.А.Ры6пиков
разнообразными связями и приложениями, такие взаимодействия
происходят в иной обстановке и принимают тот вид, который оказывается
более пригодным для решения задачи, чаще всего практической.
Приведем пример. Мы уже упоминали в предыдущих очерках, что лет
30 тому назад, в 1964 г., в Калифорнийском университете было
предпринято издание: Engineering and physical sciences extension series.
Один из 12 сборников этой серии был: Applied combinatorial mathematics.
Составителем и редактором этого сборника был профессор Эдвин
Ф.Беккенбах. Он сумел собрать очень сильную и авторитетную группу
авторов. Последние, в 18 очерках, составивших том, обрисовали широкую
картину приложений комбинаторной математики, отнюдь не во всех частях
устаревшую, а для учебных целей - просто превосходную. Существует и
издание сборника на русском языке, к сожалению сильно урезанное: всего
9 глав из 18 (сборник: Прикладная комбинаторная математика. М.: Мир,
1968). К тематике нашего очерка ближе других относится статья: Эллиот
В. Монтролл. Статистика решеток (стр. русск. изд. 9-60). Об авторе
известно, что он в то время являлся ведущим специалистом в военно-
прикладных частях математики (точно: Elliot W. Montroll. Vice-President for
research, Institute for Defense Analysis, Washington, D.C).
Решетки, о которых идет речь, это математические абстракции
кристаллических структур, рассматриваемых в физике. В трехмерных
ситуациях решетку образуют трехмерные векторы J = !,i + I2j + ljk,
коэффициенты которых пробегают целочисленные значения 0, ±1, ±2, ±3,...
Обобщения - очевидны.
На таких решетках рассматривают два типа задач: случайные
блуждания на решетках и покрытие решеток димерами (включая задачи
Айзинга).Что касается первой задачи, то речь идет о вычислении
вероятностей разных ситуаций, которые могут получиться на решетках:
главным образом, возможности возврата в исходную точку. Значения
вероятностей вычисляются точные, приближения не применяются.
Решетки рассматриваются только одно- и двумерные, ввиду сложности
задачи для большего числа измерений. Комбинаторику здесь представляют
лишь непосредственные рассуждения и производящие функции.
Димеры - это два точечных объекта, соединенных отрезком прямой.
Операция покрытия состоит в попарном соединении узлов решетки
изолированными отрезками. Требуется найти число способов покрытия.
Производящей функцией для числа димерных конфигураций, как было
установлено в начале 60-ых гг., оказался пфаффиан - полином,
построенный на элементах специально построенной матрицы. Описание
пфаффиана и его применения, в том числе к задаче Айзинга о
ферромагнетизмах решеток, заняло свыше 40 страниц - почти весь текст
статьи Монтролла. Сделано это ясно, хорошо, кратко. Нам не удалось
изложить это здесь короче и яснее, да в этом и не было бы пользы для
настоящего очерка. Укажем лишь, что з той части статьи Монтролла, где
Комбинаторный анализ. Очерки истории
79
рассматриваются покрытия решеток димерами, вероятностных суждений
нет; они не потребовались.
В прикладных областях математики так бывает почти всегда:
содержание, постановка задач диктует средства их решения;
упражнениями для демонстрации метода такие задачи не являются
практически никогда.
80
К. А. Рыбников
9. Об алгебраической комбинаторике.
В предыдущих очерках мы неоднократно рассматривали вопрос о
связях между комбинаторикой и алгеброй. Речь шла, главным образом, о
том, как в складывающуюся общую комбинаторную теорию привносились
алгебраические элементы: частичные упорядоченности в теории Рота,
группы в теории Пойа, решетки в комбинаторных геометриях. Здесь мы
возвратимся к общей проблеме, чтобы рассмотреть еще одно, качественно,
по-видимому, иное явление. Мы имеем в виду появление таких
математических дисциплин, в которых (по крайней мере, в названиях)
проявляется сращивание алгебраических и комбинаторных терминов:
комбинаторная теория групп, алгебраическая комбинаторика.
Начнем, как нами принято во всех очерках, с середины 20-го века. К
тому времени алгебра представляла собою объединение уже многих
научных дисциплин, воспринимаемых в ряде случаев как самостоятельные.
Ни одно единое определение, вроде: алгебра есть математическая наука об
алгебраических операциях, уже не могло охватить все многообразие
алгебраических теорий. Становилось недостаточным и историко-научное
утверждение, что алгебра, начинавшая свое существование как теория
решений алгебраических уравнений, складывалась в дальнейшем как
растущая совокупность дискретных систем, снабженных алгебраическими
операциями, которые оказывались все дальше и дальше идущими
обобщениями операций сложения и умножения. Среди математиков
широко распространилась интуитивная убежденность, что алгебра является
универсальной наукой о дискретном (тем более конечном), как бы
противостоящей анализу бесконечно малых.
Современный взгляд на алгебру как на общую теорию
алгебраических операций начал складываться к рубежу 20 в. в работах
Д.Гильберта, а затем и Э.Штейница, Э.Артина, Э.Нетер и др.Первым
систематическим изложением этого взгляда принято считать книгу Л. ван
дер Вардена "Современная алгебра", 1930. К тому же времени относятся
первые работы Г.Биркгофа по общей теории произвольных универсальных
алгебр. Вскоре это направление сомкнулось с тем разделом
математической логики, где изучаются математические модели.
Дальнейшее развитие такой обобщающей тенденции привело к 50-ым
гг к становлению теории алгебраических систем, в которых дискретные
множества наделяют не только алгебраическими операциями, но и
отношениями. Универсальные алгебры оказались при таком развитии
обобщений совсем не универсальными, а лишь такими алгебраическими
системами, множество отношений в которых пусто.
Комбинаторика же к середине 20 в. не могла, конечно,
рассматриваться как сравнимая со столь могуче развитой алгеброй. Ее
даже пытались рассматривать еще как раздел элементарной математики
(см. напр. БСЭ, 2 изд., т.22, 1953, стр.119). Однако, чаще всего ее
Комбинаторный анализ. Очерки истории
81
относили к алгебре, хотя никто не отрицал своеобразия комбинаторных
знаний, их права на самостоятельное существование, на приложимость
комбинаторики не только к алгебре, но и к теории вероятностей. Сказать
точнее: с алгеброй соотносили лишь перечислительный аппарат
комбинаторики, где основную роль играли, кроме бесчисленных тождеств,
производящие функции, имеющие вид формальных степенных рядов.
Алгебраической убежденности среди тех, кто размышлял о предмете и
составе комбинаторики, способствовали и другие факты, например то, что
подстановки, как было открыто еще в 19 веке, образуют группу в
алгебраическом смысле.
Так сложилось в истории комбинаторного анализа, что к началу 20 в.
появилась книга, где подробно и систематически описано все то, что в то
время считалось входящим в состав этой науки. Это была книга немецкого
математика Е.Нетто (1846-1919); Netto E. Lehrbuch der Combinatorik. 1901.
Она была написана как расширенный вариант статьи того же автора,
написанной для Encyclopaaie der mathematischen Wissenschaften, (Leipzig,
1898, 28-46) в ознаменование начала нового века. В книге сохранился тот
же энциклопедический стиль, в том числе четкое определение понятий,
обязательные ссылки на первоисточники, стремление к полноте
информации.
В основу книги положены комбинаторные операции и связанные с
ними понятия и задачи, в постепенно усложняющихся постановках.
Постепенно в текст включаются инверсии, последовательности,
перестановки и сочетания с ограничениями на расположения элементов, на
суммы и произведения. Затем, и столь же постепенно, круг
рассматриваемых объектов расширяется за счет троек Штейнера,
построений Киркмана, задач Шредера из алгебры логики, разбиений
многоугольников на треугольники. В последних двух главах Нетто
рассмотрел: приложения комбинаторики к вероятностным задачам,
обращения степенных рядов, методы вычисления определителей, матрицы,
собрал таблицу формул, включающих в себя биномиальные коэффициенты
и рассмотрел их приложения в теории рядов и в теории определителей.
Кажется, ничто из свершённого, построенного, доказанного, в рамках
принятой Е.Нетто системы, не ускользнуло от его внимания.. Однако, во
второе издание этой книги (1927 г.) норвежские математики В.Брун (1885-
1978) и Т.Сколем (1887-1963), которые его готовили, вынуждены были
внести 21 существенное дополнение и написать каждый по дополнительной
главе. Так быстро шло обогащение фактических достижений в
классической комбинаторике, и столь многое свершалось, когда Нетто
писал свою книгу.*
В дополнительной главе 14, написанной В.Бруном, рассматривается
функция распределения и ее приложения. Глава 15, принадлежащая
Сколему, содержит материал о тройках Штейнера, о методе включений и
исключений и о теории графов, которые у него называются системами пар
(Paarsysiems). Этот материал тоже быстро устаревал. Тем не менее, в 1950
82 К.А.Рыбников
г. в США вновь опубликовали книгу Нетто в факсимильном
воспроизведении второго издания.
В то время, когда Нетто собирал и классифицировал опыт
исторического развития комбинаторики, его младший современник,
английский математик П.А.Мак Магон (1854-1929) строил новую общую
комбинаторную теорию. Делал он это буквально единолично Его теория, в
силу ее алгебраического характера, особенно интересна для темы
настоящего очерка.Поэтому, расскажем о ней несколько подробнее.
Начиная с 1881 г. Мак Магон опубликовал свыше 120 работ, в
подавляющем большинстве которых преследуется единственная цель:
построение общей комбинаторной теории. Единство замысла сочетается в
его работах с редкостной логической последовательностью и
систематичностью в разработке всех аспектов проблемы.
Венцом всех этих работ была книга P.A.Mahon. Combinatory analysis,
вышедшая в 1915 и 1916 гг. в двух томах. Она - впечатляет. В ней 40
страниц вводного текста, 613 - основного и 29 страниц, заполненных
таблицами. Материал распределен по 52 главам, объединенным в 11
секций. Уникальность книги проявляется во всем: в замысле, структуре,
педантичной обстоятельности. Уникальна и судьба ее: она существовала
всегда обособленно, всегда была заметна. Мы не можем указать ни одного
математика, кто бы сотрудничал с Мак Магоном или соперничал с ним в
разработке его проблематики. Уважительная отстраненность сменилась
живым интересом и сопричастностью к идеям и трудам Мак Магона лишь
в конце 50-ых гг., что продолжается и в наши дни (конец века). Настолько
он обогнал время. Исходным пунктом комбинаторного анализа Мак Магона
является теория производящих функций Лапласа. Ход мыслей был такой:
Лаплас для последовательности чисел F(x) строил производящую функцию
л
£ F{x)tx, значения которой для всех целых х выступают как
коэффициенты при х* (i=l,2,...,n) в разложении некоторой функции. Речь,
следовательно, идет о F (*,,*,,...,х„) при производящей
функции]>\./£ Z-S^^i^j.-^-yi*1'!'-'.''-
Каждая величина х» суммируется в неограниченном интервале (0,Х),
так что, если ряды поддаются суммированию, то F(xlJx2,...,xH) выступает
как коэффициент при tx,t22...t*n в разложении функции от t,,t, t0, в которую
величины х,,х2,...,хп явно не входят. Главная, по выражению Мак Магона
производящая функция получается из функции Лапласа подстановкой
вместо произведения t*'t?2...tnx" симметрической функции £ tx,t22...t*\
которую для краткости он записывает в виде (х,,х:,...,хп).
Преимущество такого подхода, по мысли Мак Магона, состоит в том,
что отпадает необходимость рассматривать громоздкие выражения с
t,,t2 tn. Внимание может быть переключено на последовательности
х,д, хп. Получается, что и просуммированная компактная форма
Комбинаторный анализ. Очерки истории
83
производящей функции оказывается такой же симметрической функцией.
Таким образом, производящие функции могут быть интерпретированы и
исследованы в терминах и средствами теории симметрических функций. В
этом и состояла главная идея Мак Магона: построить комбинаторный
анализ как теорию симметрических функций. В секции 1 книги
Combinatory analysis содержится описание симметрических функций и их
комбинаторных интерпретаций, формулируется в возможно более общем
виде проблема разбиения натуральных чисел, вводятся операторы
Хаммонда. Обобщение, проведенное в секции 2 (тоже 5 глав), состоит во
введении понятия разделений разбиения (separation of a partition), в
которых исходными являются сами разбиения. Такой подход повел к
построению групп разбиений, а затем и групп разделений. В интересах
единообразия биномиальные коэффициенты представлены как
симметрические функции разбиений на нуль частей.
Секция 3, состоящая из б глав, посвящена теории перестановок. Ее
также Мак Магон излагает в терминах симметрических функций.
Центральное место в секции занимает Master theorem . Так ее назвал сам
Мак Магон; название сохранилось. Впервые в окончательном виде с
большим числом пояснений и примеров эта теорема появилась в 1894 г.
(см. Memoire on the theory of the composition of numbers in: Phil.Trans. Roy.
Soc. London, 1894, ser.A,v.l84, 835-901, а затем "A certain class of
generating functions in the theory of numbers" в следующем томе того же
журнала, стр. 111-160). В теореме доказано, что коэффициенты при
jc,'jc:-...*„• в произведении линейных алгебраических форм
П(аЛ+...+аЛ)А
совпадают с коэффициентами при *i'*=l—V в разложении определителя
-аих{ -я,2*2 ••• -в»**»
-агххх 1-ДцХ, ... -ainXn
"ап\х\ ~алх2 ••• \-<*™хп
Доказательство этой теоремы эквивалентно введению в общем виде
производящей функции для разбиений, что обеспечивает широкую область
ее применений, облегчает суммирование степеней биномиальных
коэффициентов, упрощает решение задачи о встречах и многих вопросов
теории перестановок. В 50-60-ые гг. теорема и ее приложения широко
обсуждались в комбинаторной литературе. Современное состояние теории
разбиений см. Г.Эндрюс. Теория разбиений, М/.Наука, 1982 (1-st ed. 1976).
В той же секции 3 введены решетки перестановок.
Секция 4 (5 глав) целиком посвящена композиции чисел. В ней
выделен и описан соответствующий класс симметрических функций и
рассмотрена задача Симона Ньюкомба. В секции 5 (3 главы) рассмотрены
84
К.А.Рыбников
задачи о расположениях фигур на шахматной доске, введены совершенные
разбиения, магические и латинскиие квадраты и комбинаторные задачи в
исчислении конечных разностей.
В двух главах заключительной для 2-го тома секции 6 теорию
разбиений применяют к разбиению составных (multipartite) чисел. 1-ый
том сочинений Мак Магона завершают таблицы. Второй том состоит из 26
глав. Начинается он с детального описания известных уже сведений об
алгебраической теории разбиений, начиная с работ Л.Эйлера. Работы
А.Кэли и Дж.Сильвестра в свое описание Мак Магон не включил, так как
посчитал, что они - недостаточно алгебраические (!?). Важнейшим
достижением в этой области он в то же время считал применение
точечных графов, а также тождества, найденные Рамануджаном ' при
изучении проблемы разбиений натуральных чисел. Затем, описаны
различные специальные преобразования производящих функций,
выполненные в терминах симметрических функций, а также связи своей
комбинаторной теории с теорией графов.
В семи главах секции 8 (нумерация секции в обоих томах сквозная)
излагается новый подход к исследованию разбиений в терминах
диофантовых неравенств. Под ними подразумевается следующее: разбиение
натурального числа п на i натуральных слагаемых можно рассматривать
i
как последовательность натуральных чисел а,,а: ,...<*,; £а*=п. Если
упорядочить элементы этой последовательности по величине: а{ > аг >...> а,
,то они, по Мак Магону, будут называться диофантовыми неравенствами
(или: отношениями). Используются они здесь следующим образом:
уак
сравниваются суммы вида Y*x и алгебраические дроби
[ ,_AlxX, * m,__*l.x) ]-
Чтобы установить между ними соответствие, следует в разложении
дроби по степеням Л отбросить члены, содержащие отрицательные степени
Я и положить Д,=1 (1=1,2,...). Мак Магон назвал это: применить операцию
Q. В ходе применения этой операции он получил ряд интересных формул,
например:
5>2>=[0-х)(1-х2М1-;О Г'
Остальные 3 секции, по 4 главы в каждой, содержат обобщение
результатов, описанных в 1-ом томе, на задачи о разбиениях элементов,
размещенных в пространствах двух и трех измерений. Для дальнейших
обобщений Мак Магон использует предложенную Д.Гильбертом в 1897 г.
для решения неравенств теорию сизигий, т.е. алгебраических выражений,
составленных из величин, связанных линейными отношениями. Термин
Комбинаторный анализ. Очерки истории
85
"сизигия" заимствован из астрономии, где так обозначают ситуацию, когда
три небесных тела располагаются на одной прямой.
Таким образом, комбинаторный анализ Мак Магона оказался, в
основном, общей теорией разбиений, построенной в терминах
симметрических функций и направленной, главным образом, на решение
перечислительных комбинаторных задач. В общей системе математических
наук он занял место между алгеброй и теорией чисел. Так решил сам Мак
Магон, так думали и думают многие специалисты, такое место в системе
математических наук для комбинаторного анализа определил всемирно
известный рефера тивный журнал Mathematical Reviews.
Существует и иная позиция. Она отражена в другом рефера тивном
журнале: Математика (Москва). В нем комбинаторный анализ перемещен
в разряд прикладных ветвей математики, рядом с математической
кибернетикой. Автор очерка считает это ошибкой, в основе которой лежит
непонимание логических и исторических основ общей комбинаторной
теории.
Вплоть до второй мировой войны 1939-1945 гг. перечислительные
достижения комбинаторики находились в тени быстро развивающейся
алгебры и как бы укладывались в рамки алгебраических представлений.
Решения же комбинаторных задач, сформулированных в иных
интерпретациях объектов (например, графов), обладали большей
самостоятельностью. Не изменилось такое соотношение и во время войны.
Для решения задач сугубо практических, однако, требовалось все больше
математиков. Алгебраическая подготовка научных кадров оказывалась в
числе предпочтимых.
Но вот кончилась война, были сняты многие запреты на научные
публикации, широко и бурно стали распространяться (в большинстве
дискретные) ЭВМ, и лицо математической науки быстро стало меняться.
Все резче на этом лице стали выступать комбинаторные черты (об этом см.
очерк 2). Ко второй половине 50-х годов определились и направления, по
которым эти изменения происходили.
Наступала пора безоговорочного признания самостоятельного
существования комбинаторного анализа как математической науки,
сравнимой с другими по своей теоретической обоснованности,
содержательности и практической значимости. Ярче, чем в других
источниках, это убеждение отражено в следующих двух крупных работах
нами ранее уже упоминавшихся: Дж.Риордан. Введение в комбинаторный
анализ. 1958; М.Холл. Комбинаторный анализ, 1958,
Первый из авторов еще до начала войны вместе с Шенноном и
другими учеными работал над решением задач комбинаторного характера.
К нему обращался Феллер, когда готовил свою книгу о теории
вероятностей для дискретных пространств элементарных событий, и
Риордан внимательно прочитал два варианта рукописи книги. Он разделял
мнение Феллера о могуществе комбинаторных методов. В своей книге он с
86
К.А.Рыбпиков
большой полнотой рассмотрел перечислительные методы комбинаторного
анализа. Метод производящих функций он отнес к алгебре
последовательностей, что не мешало его использованию. Место же
комбинаторного анализа в системе математических наук, как Риордан
считает, еще надлежит уточнить.
Маршалл Холл продемонстрировал в своем, только что упомянутом
нами, обзоре более широкую и общую оценку ситуации, в которой начинал
свое существование комбинаторный анализ. Он показал, что эта наука
формируется из элементов, которые раньше относили не только к алгебре,
но и к другим наукам: теории чисел, статистике, математической логике и
др., а также из современной математической практики: программирования,
теории игр, - комплекса, порождаемого деятельностью ЭВМ.
Алгебраические корни и составляющие части Холл также не
забывает. Указано, что многие проблемы теории групп, например
исследование мультипликативных транзитивных групп, по своей природе
являются комбинаторными. О себе он сказал, что он сам, а также Брук,
Райзер и другие вошли в круг комбинаторных проблем, исходя из
исследований оснований геометрии, в частности конечных геометрий, и
соответствующих задач в неассоциативных алгебрах. Интерес к системам
троек, а затем и комбинаторных наборов вообще, вырос из проблем
алгебраической геометрии, восходящих к Я.Штейнеру. В бурном потоке
статей и книг по комбинаторному анализу, - потоке, ставшем в 60-е годы
особенно обильным, - сравнительно быстро укреплялось положение этой
науки, определялся ее состав, совокупность присущих ей методов. При
этом как бы сами собой, без больших дискуссий проявлялись и
воспринимались сходства, различия и связи алгебры и комбинаторики.
Говоря об этом, мы имеем ввиду: общность объекта исследования
(дискретные множества элементов); своеобразие классов операций,
присущих им, взаимопроникновение методов и понятий; общая
нацеленность на решение актуальных задач, в большинстве отчетливо
практических, трудная разделяемость вклада, вносимого в решения задач
средствами алгебры или комбинаторики. Без труда можно приводить
примеры, подтверждающие эти общие высказывания. Много таких
примеров уже содержится в тексте наших очерков. В большинстве
примеры были взяты из работ математиков, работавших в США. Но
немалой была роль математиков других стран, в особенности, европейских.
Приведем такие примеры: Клод Берж, один из ведущих математиков
Франции (он был Directeur de recherches du CNRS) в 1958 г., будучи еще
Maitre de recherches этого центра, издал книгу: "Теория графов и ее
применения" (русск. изд. 1962 г.) Theorie des graphes et ses applications"
Paris: Dunod, 1958. Но ему всегда (как он неоднократно говорил в беседах
с автором очерков) не давал покоя вопрос: как можно было бы определить
комбинаторную математику в ее возможно более общем понимании. С 1967
г. он начал читать в Парижском университете курсы лекций о
Комбинаторный анализ. Очерки истории
87
комбинаторном анализе. В 1968 г. эти лекции были изданы книгой: Berge
С. Principes de Combinatoire. Paris: Dunod, 1968.
Относительно пространное (10 стр. из 149) введение так и
озаглавлено: "Что такое комбинаторика?" Ответ таков: комбинаторика - это
наука, изучающая конфигурации. После нескольких примеров,
способствующих интуитивному восприятию этого заявления, оно
математизированно определяется как "application d'un ensemble d'objets
dans un ensemble abstrait . fini muni d'une structure connu". Такое
отображение всякий раз должно удовлетворять определенным условиям.
Последние чрезвычайно разнообразны.
"Так же как арифметика изучает целые числа (и классические
операции над ними), алгебра - операции вообще, анализ - функции,
геометрия - неизменяемые (rigid) формы, а топология - celles qui ne le sont
pas, так и комбинаторика изучает конфигурации", - пишет автор книги.
Относительно конфигураций в комбинаторике изучают:
1) внутренние присущие им свойства;
2) установление существования или несуществования конфигураций
с заданными свойствами;
3) пересчет числа конфигураций, удовлетворяющих данным
условиям;
4) оценки таких чисел, как это имеет место в химии (теория Пойа о
числе изомеров), в физике (задачи о димерах), в математической
экономике и в теории исследования операций (задача о коммивояжере), в
статистике (планирование экспериментов), в теории информации (задачи о
пропускной способности информационных каналов) и др;
5) оптимизация.
Для решения комбинаторных задач могут применяться либо уже
известные методы (из булевой алгебры, теории графов, теории Галуа или
каких-либо иных), либо приходится изобретать новые методы. В книге
Бержа, как и в его курсе лекций, рассматриваются лишь перечислительные
задачи. Всего в ней 5 глав: 1 .Элементарные функции перечислений;
2.3адачи о разбиениях; 3, Формулы обращения и их приложения; 4.
Группы перестановок; 5. Метод Пойа. Изложение ведется на высоком
уровне обобщений, не превзойденном и в 90-ые гг.
В качестве другого примера симбиоза алгебраических и
комбинаторных методов можно привести книгу: А.Кофман. Введение в
прикладную комбинаторику (Introduction a la Combinatorique en vue des
applications. Paris: Dunod, 1968; русск. издание 1975). В ней содержится
даже специальное приложение, в котором собран материал о бинарной
булевой алгебре, о кольце классов вычетов по модулю и о полях Галуа
характеристики Р. Притом, книга имеет определенную практическую
окраску. В ней, наряду с доказательствами теоретических предложений,
содержится много практических рецептов и алгоритмов решения
комбинаторных задач, позволяющих получать численные результаты.
88
К.А.Рыбников
Аналогичную структуру приняли и другие книги, см. например, Liu CL.
Introduction to Combinatorial Mathematics. Mac-Grow Hill Book, 1968.
Развитие комбинаторного анализа, причем не только накопление
новых фактов, но и видоизменение теоретических основ, провоцировалось
быстро разрастающимися приложениями. Последние к 60-м гг. были уже
значительны. Это убедительно показал Э.Беккенбах, организовавший
выпуск сборника: Прикладная комбинаторная математика в 1964 г. (не
полностью издан на русском в 1968 г.). Те же тенденции несколько позже
отразились и в алгебраической литературе. В своей книге Биркгоф Г.,
Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.:Мир, 1976 (первое англ.
изд. 1969), авторы перемежают главы теоретического и прикладного
характера следующим образом ( мы показываем это смещениями названий
глав вдоль строк):
1. Множества и функции
2. бинарные отношения и графы
3. Конечные автоматы
4. Языки программирования
5. Булевы алгебры
6. Оптимизация и проектирование
вычислительных машин
7. Моноиды и группы
8. Двоичные групповые коды
9. Решетки
10. Кольца и идеалы
11. Полиномиальные кольца и
полиномиальные коды
12. Конечные поля
13. Рекуррентные
последовательности
14. Вычислимость.
Таким образом, Биркгоф и Барти старались добиться единства в
изложении фундаментальных идей и основанных на них алгоритмов. К
современной алгебре они относили теорию таких алгебраических систем
(групп, колец, булевых алгебр и т.д.), элементы которых, вообще говоря, не
являются числами. О классической алгебре, где речь идет об
алгебраических уравнениях и их системах, в которых символы обозначают
вещественные или комплексные числа, сказано, что она уже постепенно
вытеснена из программ американских университетов. Мы не беремся здесь
освещать построение математического образования в американских
колледжах. Это - слишком обширная и пестрая картина: общие
высказывания о ней, которые можно было бы сделать здесь в силу
недостатка места и моей пока скромной компетентности, не отразили бы ее
удовлетворительно. Приведем лишь один пример, не очень далеко
отстоящий от темы настоящего очерка.
Лет около 30 тому назад, в область дискуссий о математическом
образовании, - как известно, непрерывно и постоянно кипящих,- вошла
Комбинаторцый анализ. Очерки истории
89
информация об опыте и устремлениях некоторых колледжей США. Ее
внесла книга: Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение'в конечную
математику. М.: ИЛ, 1963 (англ.изд. 1957 г.). Редактор русского издания
И.М.Яглом не только представил книгу читателям, но и охарактеризовал
обстановку и тенденции в построении соответствующих учебных курсов.
. Авторы книги составили свой курс из следующих частей:
1. Составные высказывания (т.е. элементы математической логики);
2. Множества и подмножества;
3. Разбиения и сочетания (т.е. элементы комбинаторного анализа);
4. Теория вероятностей;
5. Векторы и матрицы;
6. Линейное программирование и теория игр;
7. Применение к бихевиористским проблемам, т.е. необязательные для
учеников колледжа примеры приложения математики к деятельности
социологов, генетиков, психологов, антропологов и экономистов.
Бихевиористика, behaviour science, т.е. наука о поведении - появилась
как ветвь психологии во втором десятилетии нашего века. Ее научная
проблематика и приложения постепенно перешли в область
кибернетических дисциплин. Н.Винер в 1963 г. (в беседе с автором очерка)
считал, что она таким образом поглощена кибернетикой, комплексом наук
об управлении. Однако, это название в США сохранилось. Оно
закрепилось за ветвью социальной психологии, где разрабатываются
способы воздействия на поведение людей в сфере общественных
отношений, например, с помощью средств массовой информации.
Бихевиористику поддерживают и используют агрессивные круги США.
Необходимо, пожалуй, напомнить уже сказанное выше, что
длительный период сосуществования комбинаторики и алгебры при более
высоких темпах развития последней, вызывал у немалого числа
математиков представление, что комбинаторика будто бы самостоятельного
существования не имеет. К.Берж в своих "Principes de Combinatoire"
(стр.3) говорит об этом, что "... это просто поразительно, что
комбинаторика развивалась либо на окраинах основных течений науки,
либо ими затенялась". И далее он критикует "многоголового" математика
Н.Бурбаки за то, что в 20(!) томах своего коллективного труда он не
привел ни одной (!) общей комбинаторной теоремы, хотя это и вызывалось
ходом рассмотрения.
И уже совсем понятно (в пределах моих личных воспоминаний)
почему в Чикаго в 1963 г. проф.А.Альберт (1905-1972) настойчиво убеждал
меня в том, что теоретические основы комбинаторики в основном состоят
из теории конечных полей (полей Галуа). Он не пожалел для этого двух
вечеров (о чем я всегда вспоминаю с признательностью) и подарил на
прощание свою книгу: Albert A.A. Fundamental Concepts of Higher Algebra.
University of Chicago Press, 1956.
90 К.А.Рыбникок
Бурный всплеск в 60-е годы в потоке работ по комбинаторному
анализу оказался возможным и действенным по мере того, как осваивались
новые алгебраические объекты для решения задач комбинаторики.
В последующем, во времена совсем недавние, для нашего очерка
важно отметить появление серьезных работ, в самом названии которых
подразумевается более тесное сплетение алгебраических и комбинаторных
идей и методов. Я имею в виду комбинаторную теорию групп и
алгебраическую комбинаторику.
Вопрос о соотношений комбинаторной теории групп с идеями
построения возможно более общей комбинаторной теории ясен. Она-, эта
теория, имеет своим объектом группы, представленные своими
образующими и определяющими соотношениями. Это четко, доходчиво и
подробно описано в книге: Магнус В., Каррас А., Солитэр Д.
Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. В первом издании на
английском языке (1966) название книги было иным: "Combinatorial group
theory: presentations of groups in terms of Generation and Relations" что не
давало поводов для неточностей. И в предисловии было сделано уточнение,
что название книги говорит лишь о частом употреблении комбинаторных
методов. Почему это было необходимо делать, разъяснено не только в
тексте книги, но и в предисловии редактора. В памяти остался курьезный
эпизод. Первым пунктом научной командировки в 1963 г. в США был
университет в Нью Йорке, где я надеялся в Курантовском математическом
институте получить общую по США информацию и внести в свои планы
необходимые уточнения. Но ... я "попал в лапы" Вильгельма Магнуса,
который охотно и даже настойчиво стал "просвещать" меня в части своих
работ по комбинаторной теории групп, к чему я был совершенно не готов;
да и время надо было беречь. Пришлось, при содействии Дж.-К.Рота,
просто убежать в Бостон, в Гарвардский университет, что вызвало
немалый переполох у надзирающих служб. Сам В.Магнус этого, наверняка,
не запомнил; однако, чувство личной неловкости перед ним у автора
очерка осталось.
История комбинаторной теории групп была позднее описана в книге:
Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп: очерк
истории развития идей. М.: Мир, 1985 ( на английском издана в 1982 г.).
Об алгебраической комбинаторике в настоящем очерке не удалось
написать подробно, но по другим причинам. Этот термин появился в книге:
Баннаи Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений. М.:
Мир, 1987 (на английском издана в 1984 г.). В ней, по утверждению
авторов, построена теория для исследования широкого класса
комбинаторных объектов методами алгебраической теории характеров.
Редакторы русского издания, А.И.Кострикин и Ю.И.Журавлев, осветили в
предисловии этот подход, по их выражению, коротко и довольно
популярно.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
91
Истоки идей, составивших алгебраическую комбинаторику в смысле
Э.Банаи и Т.Ито, прослеживаются во многих разделах как алгебры, так и
комбинаторики. Историко-научное исследование столь большого числа
направлений развития, приводящих к формированию теорий,
промежуточных между этими двумя областями математики, сложно и
требует изрядного времени. Это еще никем не сделано.
92
К.А.Рыбников
10. О графах.
В настоящей серии очерков, написанных в 1992-1993 гг., автор
рассматривал причины, обстоятельства, способы и пути формирования
теоретических основ комбинаторной части математики во второй половине
20-го века. Написаны были эти очерки намеренно сжато, порою
фрагментарно, в них автор стремился к накоплению информации, к
анализу материала, не спешил высказывать подытоживающие суждения и
делать выводы. Особое внимание было обращено на связи между рядом
уже сложившихся к середине века математических дисциплин и быстро
набирающими силу и общность комбинаторными концепциями.
Настоящий очерк по существу входит в эту серию. Однако, сделать
его кратким не удается. Дело в том, что в математике теория графов
занимает особое место. Огромная по количеству вошедших в нее фактов, с
признаками универсальности в приложениях, эта теория превратилась в
столь обширный раздел дискретной математики, что сделалось вряд ли
возможным изложить все его основные направления в одной работе, будь
это даже целая книга. В то же время в ней, в этой теории, проявляются
ярко такие особенности, что мы оказываемся вынужденными обратиться к
более детальному рассмотрению ее состава и теоретических основ.
Язык теории графов удобен для восприятия и использования. Он
почти непосредственно выводится из общераспространенной практики
людей, когда они, при рассмотрении самых различных вопросов,
вычерчивают схемки, чертежики, наброски, в которых дискретно
воспринимаемые объекты дискуссии (люди, населенные пункты, станки в
заводских цехах, железнодорожные станции и проч.) обозначают точками
или кружочками, а связи, отношения между ними (маршруты,
производственные потоки, родственные отношения, служебные
соподчинения, координируемые действия и проч.) линиями. Последние, в
случае необходимости, оснащают стрелками для обозначения
направленности отношений или действий.
Является фактом то, что до сих пор не удается построить логически и
структурно единой системы не только всей теории графов, но и системы
понятий и даже терминов. Не выглядит большим преувеличением
любопытное замечание одного из математиков США, что количество
систем терминов, используемых в настоящее время в теории графов, равно
с большой точностью числу специалистов в этой теории (см. книгу Стенли
Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990, с.430; англ.изд.
1986). И не является ненужной роскошью, когда почти все авторы
сопровождают свои книги и даже статьи перечнем применяемых ими
графических терминов с необходимыми пояснениями.
Большинство, если не сказать подавляющее большинство задач,
поставленных на графах, - комбинаторные. Это - задачи следующих типов:
перечисления подмножеств графов, обладающих заданными свойствами,
Комбинаторный анализ. Очерки истории
93
или лишенными их; о существовании и несуществовании графов по
отношению к задаваемым свойствам, или об алгоритмах построения таких
графов; выбор тех графов из заданного множества, которые обладают
заданным свойством в наибольшей или наименьшей степени;
комбинаторные операции на графах. Комбинаторными, по своей сущности,
являются также операции разборки, композиции и преобразования графов.
Эти обстоятельства вливают теорию графов в общую комбинаторную
концепцию дискретной математики.
Среди математиков существуют и другие мнения относительно
характера, роли и места теории графов в комплексе математических
дисциплин. В большинстве они основаны только на личном опыте. Самые
высокие оценки, как правило, исходят от тех ученых, которые регулярно и
успешно работают методами теории графов и повседневно убеждаются в
неисчерпаемости теоретической проблематики и неограниченности
возможных приложений. Отдаленность от такого рода занятий
способствует формированию оценок более скромных. Объективная же
значимость и содержательность суждений и оценок будет возрастать по
мере изучения исторического пути накопления знаний и обогащения опыта
их приложений. Описанию этого пути и выделению главных,
принципиальных моментов развития и посвящен настоящий очерк.
Мы будем рассматривать здесь только ту часть истории, в которой
графы предстают уже как самостоятельные математические
объекты.отвлекаясь тем самым от логико-психологических проблем
формирования математических абстракций графового типа. Выбранная
нами часть охватывает короткий период истории, начинающийся не ранее
18 столетия. Основные факты этого периода более или менее известны,
хотя было бы явным преувеличением утверждать, что они
проанализированы. Историко-научную литературу, не очень богатую,
буквально украшает книга: Biggs N.L, Lioyd E.K., Wilson RJ. Graph Theory:
1736-1936. Oxford Univ. Press, 1976 [Ij1. Основу этого прекрасно изданного
тома составляют 37 отрывков математических сочинений, составляющих в
совокупности фундамент теории графов. Они соединены связными
комментариями, дающими представление об истории соответствующих
вопросов. Основной текст книги дополнен краткими сведениями из истории
теории графов после 1936 года, биографическими справками и списком
литературы из 246 названий, упорядоченным по времени.
Несколько лет тому назад автор настоящей статьи предпринял
попытку систематического изложения истории теории графов и выделения
в ней принципиально важных моментов развития. Итогом явилась статья:
Рыбников К.А. Очерк истории теории графов // История и методология
естественных наук, изд-во МГУ, 1989. Вып.36. С.109-122. Материалы этого
очерка войдут и в наш текст. Мы сочли, что повторное обращение к
системам исторических фактов, - допустимо. К тому же, упомянутый
Цифры а прямых скобках указывают на номер в списке литературы в конце настоящего очерка.
94
К.А.Рыбников
сборник вышел из печати совсем маленьким тиражом; по всей видимости,
он остался мало кому известным.
Начало своей истории теория графов ведет с 18 века. Самый ранний
теоретический результат в этой области был получен Л.Эйлером в 1736 г.
при решении задачи о кенигсбергских мостах. Рассматривалась ситуация:
через город протекает река; ее русло разветвляется, образуя острова.
Разделенные водою части города соединены мостами (их семь), как это
изображено на рис.1. Задача состоит в том, чтобы отыскать маршрут,
позволяющий пройти по всем
мостам, побывав на каждом из них
с один и только один раз. Когда Эйлер
приступал к решению этой задачи,
она была давно уже известна.
Упоминания о ней встречаются в
литературе с 1650 года. Эйлеру
была известна также идея Лейбница
об исчислении расположений,
которую тот высказал в 1679 г. в
письме к Гюйгенсу [2|. Подошел же
Эйлер к задаче так: он обозначил обособленные части суши заглавными
буквами, т.е. стал рассматривать их фактически как вершины графа
(см.рис.2). Переход через мост из одной части в другую он обозначил
с двухбуквенной последовательностью
/> из неодинаковых букв. Маршрут
с I \ d ^^*^2^_ интерпретируется как последова-
1 J ^^^^^^^^ тельность заглавных букв,
а /т J^> d обозначающих проходимые участки
j J ^—^^"^ суши. Требование одноразовости
3 I / \~*-^*^*^ прохождения каждого моста
V^-""""^ приводит к соотношению между
в ^ „ числом мостов и числом букв и их
Рис.2. „ J
повторении в последовательности,
соответствующей маршруту. Перебрав все возможные ситуации, Эйлер
сформулировал следующие правила:
"Если существует больше, чем две области, к которым ведет нечетное
число мостов, то требуемый маршрут невозможен. Если, однако, число
мостов нечетно в точности для двух областей, то маршрут возможен, если
отправляться от одной из этих областей. Наконец, если не существует
областей, к которым ведет нечетное число мостов, то требуемый маршрут
осуществим при отправлении из любой области" [3].
Именно от этих результатов Эйлера началась линия достижений того
же характера, внесшая в теорию графов эйлеровы обходы, лабиринты,
затем соответственно класс эйлеровых графов и вообще той части этой
теории, которая оказалась сопредельной с топологией. Рассуждениям же
Эйлера более строгая форма была придана лишь в 1873 г. (4|.
^rtij»
бшш|7М
Комбииагорпъш анали*. Очерки истории
95
Другая тематика, тоже ведущая свое начало с 18 в., относилась, как
и предыдущая, к обходам графов, но не по всем ребрам, а по вершинам.
Это привело к понятию гамильтонова цикла. Вокруг этой тематики
естественно объединились такие, например, задачи, как исследование
маршрутов шахматного коня, который должен посетить по одному разу все
клетки доски и возвратиться в исходное положение. Подобные задачи
имеют много разновидностей и довольно длинную историю. Последняя
описана в ряде книг: см. например, (5]-[7]. Теоретико-графовая
интерпретация таких задач делается очевидной, если клетки шахматной
доски интерпретировать как вершины графа. Систематическое
исследование и начало построения общей теории является заслугой Эйлера
(8) и Вандермонда [9] .
Историко-научное значение исследований, связанных с задачами
этого вида, состоит главным образом в том, что они привели к общей
теоретической проблеме эффективного построения гамильтоновых циклов и
гамильтоновых графов, - проблеме, не нашедшей окончательного решения
вплоть до нашего времени.
В 18 веке был получен и третий важный для последующей истории
теории графов результат. В ноябре 1750 г. Эйлер сообщил в письме
Христиану Гольдбаху [10], что, размышляя над общими свойствами
многогранников (полиэдров), он нашел, что числа вершин - Nv, ребер - N, и
граней - Nf связаны инвариантным соотношением:
Nv + Nf - N, = 2
и что это соотношение является общим, важным и никем до него не
замеченным; однако, общего доказательства его справедливости он дать не
может. Позже, до 1752 г., по поводу этой формулы Эйлер написал еще две
работы [11]. В первой он проверил справедливость формулы для ряда
семейств многогранников, а во второй - попытался применить в целях ее
доказательства метод разбиения многогранников на тетраэдры.
Первое строгое доказательство этого соотношения принадлежит
А.М.Лежандру [12]. Позднее, в 1859 г. было обнаружено, что Декарт был в
свое время весьма близок к тому, чтобы ее сформулировать, а затем, быть
может, и решить. Об этом узнали, когда нашли выписку из сочинения
Декарта, сделанную рукой Лейбница [13].
Упомянутая здесь топологическая характеристика полиэдров,
обнаруженная Эйлером, перешла позднее в состав теории графов, когда
научились представлять полиэдры графами (Киркман, Гамильтон). Она
стала приобретать особую актуальность и популярность, когда очередь
дошла до исследования проблем, связанных с планарностью графов
(Веблен, Куратовский). Особое место занимают возникшие ранее других
вопросы, относящиеся к области применимости формулы Эйлера,
например, для невыпуклых многогранников (Пуансо, Люилье).
Насколько удалось установить, эти три результата практически
исчерпывают все, что появилось в 18 в. существенного для истории теории
графов. Вряд ли можно сделать из этого иной вывод, нежели тот, что к
96
К. А. Рыбников
19 в. в математике было накоплено слишком мало фактического материала,
чтобы можно было говорить о скором появлении особой теории графов.
Даже если сузить задачу и иметь в виду лишь сведения о топологических
свойствах графов, то и в этой области фактов оказывалось недостаточно.
Прав был Гаусс, когда в 1833 г. писал:"0 геометрии положения, вызванной
к жизни Лейбницем и на которую только два геометра, Эйлер и
Вандермонд, пролили слабый свет, - об этой геометрии мы почти ничего не
знаем" [14].
Следующему 19 столетию предстояло продолжить процесс
накопления предпосылок, достаточных для того, чтобы теория графов или
хотя бы ее достаточно крупные, самостоятельные, разделы могли явным
образом сформироваться и проявиться.
В значительной части научных сочинений, опубликованных в 19 в.,
которые могут быть отнесены к истории теории графов, продолжалась
разработка тематики, наметившейся в прошлом 18 веке. Это естественно,
так как между столетиями не существует рубежей, при переходе которых
вмиг изменялся бы ход развития науки. Так, не была забыта решенная
Эйлером задача о прохождении по мостам. В 1851 г. был издан перевод
работы Эйлера, где это решение содержалось, на французский язык 1151.
Перевод предназначался преимущественно для студентов Политехнической
школы в Париже. Переводчик внес добавление о том, как применяется
метод Эйлера к аналогичной задаче относительно мостов через реку Сену.
А когда в 1875 г. в самом Кенигсберге был построен еще один мост,
соединивший участки суши В и С (см.рис. 1 и 2), то было тотчас
объявлено в печати и разъяснено [16], что горожане могут совершить по
мостам требуемый вояж.
Задачи о путешествии коня по
шахматной доске или (что равносильно)
о гамильтоновых путях на графах,
нашли необычное продолжение у
самого Гамильтона. В одном из писем в
> 1856 г. он сообщил, что придумал
новую поучительную и занимательную
игру "в двадцатку". Ее надо было вести
на графе из 20 вершин, соединенных
ребрами в таком точно порядке, как это
имеет место между вершинами
правильного 12-гранника (додекаэдра).
Игра состоит в нахождении обходов и
циклов, удовлетворяющих заданным в
описании задачи условиям. В частности, ставится задача и об отыскании
полного обхода по всем вершинам. Последним даны названия городов,
чтобы придать задаче занимательность. Гамильтон очень гордился своей
выдумкой, сделал о ней публичный доклад, запатентовал и продал идею, а
также опубликовал о ней несколько статей, например [17].
Рис. 3.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
97
Большое число работ было посвящено исследованиям, отправным
пунктом которых являлась формула для полиэдров, найденная Эйлером:
Nv + Nr - N, = 2
Существенно более общую постановку придал теореме Коши [18]:
если внутрь полиэдра помещать новые вершины и если в результате
произойдет распадение полиэдра на Р других, то формула примет вид:
Nv - N, +Nf= P+l
для которой формула Эйлера - лишь частный случай.
Этот результат и последующие в том же направлении появились в
следующей цепи обстоятельств: было замечено [19], что Эйлер имел в виду
лишь правильные выпуклые многогранники, известные еще с древних
времен. Позже, в дополнение к ним были найдены еще четыре полиэдра,
правильных, но не выпуклых. Все 9 найденных полиэдров имели 4, 8, 12
или 20 граней. Был поставлен вопрос: все ли возможные правильные
полиэдры найдены? Коши доказал, что это так [18]. Главной идеей в работе
было проектирование полиэдров на плоскость, получение тем самым графа,
установление, что этот граф планарен. Разновидностью этого хода мыслей
у Коши и у других авторов является интерпретация получаемых графов как
географических карт. Затем Коши развертывает поверхность многогранника
на одну из плоскостей, содержащих какую-либо из граней, показывает, что
это может быть рассматриваемо как тот случай, когда в формуле Р=1 и
доказывает
Nv + Nf - N, = 2.
Подобное доказательство по своей сущности является теоретико-
графическим, использующим триангуляцию. В сочетании с
проектированием оно подчеркивает топологический характер
доказательства, да и самой формулы Эйлера. Естественно, что это
сопровождалось появлением первых работ по топологии и постановкой
общих проблем топологического характера. Мы здесь имеем в виду серию
работ И.-Б. Листинга [20] и [21].
Иоганн-Бенедикт Листинг (1808-1882), ученик Гаусса, профессор (с
1836 г.) университета в Геттингене, был оригинальным и разносторонним
ученым. Он первым придумал термин: топология, составив его из двух
греческих слов: xonoq- место, положение и Лоуод - учение. Это он сделал,
чтобы заменить восходящие еще к Лейбницу термины: латинский
geometriae situs и французский geometrie des positions. Первый термин ему
не нравился, поскольку он не освобождает от необходимости вводить
измерительную методику, а второй в математике уже утвердился в
качестве названия для проективной геометрии. О работах Листинга см.,
например, в сборнике "Математика 19 века (геометрия, теория
аналитических функций)". М.: Наука, 1981. С.98-100.
Итак, первыми шагами на пути, ведущему к построению теории
графов, были:
1) привлечение в математику графических объектов, производимое в
иллюстративных целях;
98
K.A.Рыбников
2) переворот в методе, поведший к превращению этих объектов в
предмет математического исследования;
3) постановка и решение задач, в которых рассматривались обходы
графов по ребрам и по вершинам, выявление топологических свойств
многогранников и соответствующих им графов.
Следующим шагом (как это всегда бывает при формировании
математических теорий) явилось выделение отдельных видов графов в
целях их математического исследования. В данном случае это были
деревья, т.е. связные графы, не имеющие в своей структуре циклов.
Название "деревья" появилось впервые в работах А.Кэли [22]. По существу
же выделение и изучение древовидных графов производилось и несколько
ранее [23] и 124].
Когда класс деревьев оказался выделенным, осознанным в
своеобразии своих свойств, логично и неизбежно встали задачи
перечисления деревьев или хотя бы отдельных их видов. Этим занялся
Кэли. О проблемах, связанных с перечислениями деревьев, он опубликовал
довольно длинную серию работ. В упомянутой выше работе [22] Кэли
нашел числа Д, укорененных деревьев с п ветвями, построил
производящую функцию, в которой Д.А.А,,... выступали как
коэффициенты и последовательно эти коэффициенты вычислял. В работе
[25] он перечислил корневые деревья, в которых каждая из свободных
ветвей находится на одном и том же расстоянии от корня. Несколько ранее
КЖордан ввел понятие изоморфизма графов, центра и бицентра, центроида
и бицентроида [26].
Вслед за этим Сильвестр и Кэли, а затем и другие математики
начали активно публиковать задачи перечисления в терминах графов в
специальной колонке журнала "Educational Times" [27]. А в работах самого
Кэли до конца 19 в. появились еще два достаточно крупных результата:
решение задачи о перечисленнии неукорененных графов [28] и такой же
задачи для помеченных графов [29].
Последняя задача ставится у Кэли так: заданы п вершин. Сколько
существует путей tn, которыми их можно соединить так, чтобы получалось
дерево? Ответ: /„ = л"*2. Например, если п=4, то ta=16.
XHZNKXXIX
Рис. 4.
В рассуждениях Кэли характерно то, что он рассматривал конечные
графы, результат определял на малом числе элементов, высказывал затем
более общие суждения, для большего числа элементов без доказательства,
Комбинаторный анализ. Очерки истории
99
как естественные. Характерно также и то, что выкладки, эквивалентные
рассуждениям Кэли, но в других интерпретациях, существовали как до
Кэли, так и после, оставаясь в понимании математиков как новые,
оригинальные. И это продолжалось до двадцатых годов 20 века [30-32].
Столь запоздалое установление эквивалентности суждений - явление
в истории науки нередкое. Оно показывает, как сложно протекает процесс
раскрытия связей как между различными частями математики, так и
между математикой и другими науками. А в теории графов переоткрытия
были совсем нередким явлением.
В 1845 г. Г.Р.Кирхгоф (1824-1887), будучи еще студентом, нашел
правила, которым подчиняется течение тока в электрической сети [33]. К
1847 г. [24] законы Кирхгофа были четко сформулированы, обоснованы и с
тех пор существуют как основные законы электротехники. Их
интерпретация на языке графов была нетрудной, но время на это
требовалось немалое.
Пришлось вводить понятие суммы циклов. Она составляется из всех
тех ребер графов, которые не являются общими. Множество циклов
называется независимым, если ни один из них не является суммой других.
Максимальное множество независимых циклов образует фундаментальное
множество.
Значительно обогатилась теория графов от попыток применять ее
средства к решению проблемы анализа структуры химических соединений.
Существующая сейчас в химии практика графического изображения
структур молекул сложилась в 60-е гг. прошлого столетия. Особо
заинтересовавшая ученых проблема изометрии, т.е. научного объяснения
ситуации, когда молекулы веществ имеют одинаковый количественный
состав, но различные свойства, насколько оказалось возможным судить,
была графическими средствами разъяснена в 70-е гг. и общепризнана.
А.Кэли интересовался такими структурными формулами химических
соединений, которые не имеют бензольных колец и тем самым напоминают
деревья. В 1984 г. он опубликовал совсем небольшую статью [34J, в
которой разъяснял, как можно применять древовидные графы к подсчету
возможных изомеров. На раскрытие сущности химического процесса
образования изомеров он и не претендует; "исключительная сложность
вопроса воспрепятствовала бы достижению общего решения, даже если бы
это и было возможно."
И все-таки Кэли вновь и вновь обращается к "химическим деревьям".
К 1875 г. он нашел и опубликовал [35] метод систематического пересчета
изомеров класса углеродных (органических) соединений древовидного типа.
Применениями теории графов к химическим проблемам занимались в
те времена, кроме Кэли, еще Клиффорд, Сильвестр и другие. В одной из
работ Сильвестра 1878 г. [36] впервые появился термин "граф",
понимаемый в том же смысле и примененный в том же контексте, как и в
наши дни.
100 ^^rC^W Л 3. Явь %% ^-^^Ф^ К.А.РЫ6..Е0В
В последующем более тридцати лет многие ученые, как химики, так и
математики обращались к проблеме построения математической теории
химической изомерии и вообще структуры химических соединений,
добиваясь решения, которое обладало бы возможно большей общностью. В
публикациях 19 в., однако, не обнаруживается существенно новых
результатов. Можно думать, что их и не было; об этом см. например [37].
Лишь в 20-30 гг. нашего века в работах Редфилда и Пойа был достигнут
прогресс (об этом см. наш очерк: 4. Группы подстановок и теория Пойа).
В истории математики нередки случаи, когда удачно и вовремя
поставленная задача вызывает интерес большого числа ученых, а их
усилия по решению такой задачи способствуют энергичному продвижению
науки. Для истории теории графов в 19 в. такую роль играла, например,
задача о четырех красках. Сущность задачи (или, как ее называют,
гипотезы) такова: предполагается и требуется доказать, что любую
географическую карту на плоском листе (и на сфере) можно раскрасить
четырьмя красками так, чтобы никакие две соседние страны не оказались
окрашенными в одинаковый цвет. Каждая страна представляется как
односвязная область, а соседними, или смежными, считаются страны,
имеющие с ней не точечное соприкосновение, а протяженную границу.
Самым ранним письменным сообщением, где эта задача была
поставлена, является письмо от 23 октября 1852 г. лондонского математика
Де Моргана в Дублин У.Р.Гамильтону (письмо хранится в коллекции
рукописей в Дублине). Распространившееся же в литературе по теории
графов сообщение [38], что задачу о 4-х красках решил Мёбиус, - неверно.
На самом деле, Мёбиус в своих лекциях в 40-х гг. прошлого века
упоминал о другой задаче, в которой речь шла о короле, завещавшем своим
пяти сыновьям разделить между собою его владения так, чтобы каждая из
частей имела общие границы с каждой из остальных частей.
Происхождение ошибки теперь выяснено. Дело обстояло так: в 1885 г.
была опубликована небольшая заметка [39]. В ней сообщалось, что
профессор Вейске, друг Мёбиуса, филолог по специальности, предложил
тому только что упомянутую задачу о королевском наследстве. Автор
заметки утверждал, что авторитетные специалисты якобы указывали на
сходство этой задачи с гипотезой о четырех красках. Лет через десять
появилась заметка [40], в которой по поводу гипотезы о четырех красках
говорилось, что "Мёбиус рассматривал этот вопрос в несколько иной
постановке в своих лекциях в 1840 г." Это утверждение, видимо, было
принято на веру, затем перепечатывалось и практически вошло в
"математический фольклор". В 1959 г. эта ошибка была обнаружена [41] и
получила правильное разъяснение. Однако, инерция действует; ведь книга
Харари [38] вышла в свет совсем недавно, в 1973 г.
Но возвратимся к письму Де Моргана. Гамильтон довольно быстро
прислал ответ; в нем, в частности, было написано: "Вряд ли я смогу
заняться Вашими "цветными кватернионами" в ближайшее время". Де
Морган же своих попыток решить задачу не оставлял. Он исследовал
Комбинаторный анализ. Очерки истории
101
конфигурации различных частных видов, но общее решение получить ему
не удавалось. Тогда в одном из своих научных обзоров 142] он задачу
обнародовал. Вскоре появились отклики. Американский логик и философ
Ч.Пирс сообщил, что задачу он решил, а решение свое представил
Гарвардскому университету 143]. О судьбе решения Ч.Пирса дальнейших
сведений не сохранилось.
И вот задачей занялся сам А.Кэли. 13 июня 1878 г. Кэли сделал на
заседании Лондонского математического общества официальный запрос:
решена ли эта задача? Через год он опубликовал короткую статью [44], гле
разъяснял сущность проблемы и связанных с ее решением трудностей,
сформулировал задачу и признал, что решить ее в общем виде он не
может.
В том же году в одном из научных журналов 145] было объявлено,
что доказательство гипотезы о четырех красках поступило к ним 11 июля
1879 г. Его представил А.В.Кемпе (1849-1922), адвокат по роду занятий,
изучавший математику в Кембридже под руководством А.Кэли. Почти
одновременно оно было опубликовано в США в журнале, основанном
Сильвестром [47J.
Энтузиазм был велик. О решении Кемпе сообщали многократно, в
различных изданиях. Его заслушивали на заседаниях научных обществ. По
предложению Кэли, поддержанному и другими учеными, Лондонское
королевское общество избрало Кемпе своим членом. Тэт (1831-1900)
опубликовал пару статей об окрашиваниях графов,, отправляясь от
доказательства Кемпе как правильного. Отозвался и тот студент, который
некогда попросил Де Моргана решить задачу о четырех красках. Им
оказался Ф.Гатер»( 1831-1899), профессор университета в Кейптауне. И так
продолжалось около десяти лет.
Метод Кемпе строился на следующих соображениях: пусть мы имеем
карту, на которой все страны, кроме
одной, уже раскрашены четырьмя
красками. Пусть случилось худшее: для
окрашивания областей, смежных с
неокрашенной, уже использованы все 4
краски. Обозначим их: А, В, С, D.
Рассмотрим области А и С. Возможны
две ситуации: или эти области
соединены цепочкой, состоящей из
областей попеременно окрашенных в
цвета А и С, или такой цепочки нет. В последнем случае мы сможем
поменять окраску А на С или наоборот в областях, связанных с А, но не
связанных с С. Получится, что в окрестности неокрашенной области
вместо области А появится область С. Тогда неокрашенную область можно
окрасить в цвет А. Если же цепочка из областей, попеременно окрашенных
в цвета А и С, существует, то повторим рассуждения, но уже относительно
102
К.А.Рыбников
В и D. А так как не может существовать двух цепочек с переменами
цветов одновременно, то задача решена.
Но вот в 1890 г. было обнаружено, что Кемпе ошибся. Ошибку
обнаружил П.Хивуд (1861-1955), скромный преподаватель математики
университета в Дергеме. Оказалось [48], что если на карте неокрашенная
область окружена пятью окрашенными в четыре цвета областями, то метод
цепочек Кемпе решения не дает. Зато Хивуд доказал раскрашиваемость
карты пятью красками.
Кемпе ошибку признал, сам сообщил о ней Лондонскому
королевскому обществу и добавил, что исправить ее он пока не может.
Примечательно, что в научных кругах Великобритании и США открытие
Хивуда никакого одобрения не получило. Более того: само имя Хивуда в
работах по смежной тематике долгое время даже не упоминалось. Еще в
1894 г. выходили работы, в которых утверждалось, что Кемпе все-таки
[>ешил задачу о 4 красках [6, 49]. А в 1896 г., когда в одной из рецензий
50] известный математик Балле Пуссен (1866-1962) написал, что решение
Кемпе было неверным, то о Хивуде он даже не упомянул. Последний же, в
течение всей своей долгой жизни занимался почти исключительно
проблемами окрашивания. Он опубликовал значительное число работ,
последняя его статья вышла в 1950 г., когда ее автору было около 90 лет;
однако сведений о значительных достижениях нет.
Весь известный фактический материал не позволяет все же
утверждать, что в течение 19 века теоретико-графические средства
математического исследования получили бурное развитие. Однако, и
сделано было немало. Главнейшими достижениями оказались:
• выделение из всей совокупности графических образов класса
деревьев, изучение их свойств и решение задач на деревьях, по
преимуществу перечислительного характера;
• применение графических средств к решению задач, относящихся к
электротехнике и к проблемам, связанным с определением структуры
химических соединений;
• укрепление связей формирующейся теории графов с алгеброй и
топологией, а также взаимопроникновение их методов;
• постановка и решение собственно графических задач, например,
задач типа раскрашивания;
• начало разработки системы основных понятий теории, в том числе
основного понятия: граф.
На рубеже 19 и 20 вв. положение дел стало сравнительно быстро
изменяться. Помимо работ по тематике, уже упоминавшейся, появились
два новых направления. Первому из них положил начало датский ученый
Петерсен (1839-1910). Его научные интересы вообще были широки и
Комбинаторный анализ. Очерки истории 103
разнообразны. В его работах можно обнаружить немалый вклад в алгебру,
теорию чисел, математический анализ, механику и геометрию. Здесь важно
отметить общетеоретические работы Петерсена по теории графов, в
частности, по проблеме факторизации графов. Они были начаты в 1891 г. в
работе "Теория регулярных графов" [51].
Граф у Петерсена считается регулярным, если каждая его вершина
инцидентна одному и тому же числу ребер. Число вершин графа
называется его порядком, число ребер, инцидентных каждой его вершине -
степенью. В упомянутой работе Петерсен решает задачу о факторизации,
т.е. о разбиении графа на совокупность других графов того же порядка, но
меньшей степени. Неразложимый граф называется примитивным. Задача
состоит в нахождении всех примитивных графов.
Постановку теоретико-графической задачи Петерсен связал с
алгебраической теорией инвариантов бинарных форм. В 1889 г. Д.Гильберт
доказал [52], что число этих инвариантов конечно. В качестве следствия из
доказательства Гильберта получается, что для заданного п можно
построить конечное число произведений вида
jc,-x2)a(jc,-хъ)\хг -хъу..{хп_х -хпУ таких, что все другие произведения
того же типа могут быть получены как их произведения (см. напр. [1],
с. 190).
Для алгебраических выражений такого типа Петерсен построил
графическую интерпретацию: хх,хг,...,хп - вершины плоского графа, их
разности - ребра, соединяющие соответствующие вершины. Например,
произведение (х{ -х,)2(х3 -х4):(х, -х3)(х2 -х4)(х1 -*4)(*2 -х3) выражается
графом, изображенным на рис.6.
Относительно графов, чья
степень четна, Петерсен доказал
теорему, что любой из них может
быть разложен на факторы второй
степени. Он доказал также довольно
много менее общих теорем. Что
А 2 A 4 касается регулярных графов
Рис б нечетной степени, то ему удалось
доказать, что граф третьей степени
(иначе: трехвалентный граф) всегда имеет 1-фактор при условии, что он
обладает не более чем двумя лепестками, т.е. такими его частями, которые
отделяются от графа, если убрать только одно ребро.
Одна из последующих статей Петерсена, опубликованная в 1898 г.
[53], примечательна тем, что в ней построен трехвалентный граф, не
имеющий лепестков и не могущий быть расщепленным на три
разобщенных 1-фактора, широко известный как граф Петерсена (см. рис.7).
А в работе 1899 г. (см.Ц], с.207) он показал наличие связей между
задачами о четырех красках и о факторизации трехвалентного плоского
графа.
104
К.А.Рыбпиков
vis. Этот цикл работ Пете рее на положил
yS I >v по нашему мнению, начало общетеорети-
уг А ^Ч. ческим рассмотрениям графов и постано-
yS I \ ^v вкам задач, достаточно специализиро-
^С^^ / \ ^^1 ванных по тематике, но в то же время
\ ^s. / \ yS I достаточно общих по постановке и по
\ ^st 3^ / теоретической терминологии. От них
\ / ^^ \ / прослеживается устойчивая преемственная
\ Lr ^ч\ / связь с серией работ Д.Кенига, вплоть до
\Х N7 его монографии "Теория конечных и
бесконечных графов" [54], появившейся в
рис у 1936 г., которая общепризнана первой- по
времени монографией по теории графов.
Другой существенный вклад в построение общей теории графов внес
на рубеже 19 и 20 в. А.Пуанкаре. В течение 1895-1904 гг. он опубликовал
серию работ, в которых развивал круг идей, составивших со временем
основы алгебраической топологии. В одной из них [55] содержится метод
построения общих геометрических объектов, которые Пуанкаре называл,
следуя Листингу, комплексами. Элементы, из которых комплекс строится,
он назвал клетками (cells). Простейшими клетками у него были 0-клетки
(точки) и 1-клетки (ребра). Клетки образуют граф. Чтобы описать способ
построения комплекса (графа) Пуанкаре применил матрицы; их теперь
называют матрицами инцидентности графа. Сделал он это, по его
собственному свидетельству, отправляясь от работ Кирхгофа, заменив
лишь системы линейных уравнений матрицами.
Это нововведение Пуанкаре сразу же попало на страницы
"Энциклопедии математических наук" [56], солидного издания, 23 тома
которого публиковались в 1898-1935 гг., в главу о топологии. Там теория
графов получила название: "система линий" (Liniensystem), накопленные
результаты были систематизированы, приведена обширная библиография.
С тех пор связи теории графов с топологией сделались настолько
прочными, что на время стало привычным весь фактический материал,
относящийся к графам, считать частью топологии. Поэтому, даже тогда,
когда в 1901 г. появилась монография Нетто по комбинаторному анализу
[57], то теория графов в ней еще отсутствовала. Но уже во второе издание
этой книги (1927 г.) Т.Сколем включил дополнительную главу, где ввел
теорию графов в общей комбинаторной интерпретации как системы пар
дискретных элементов (Paarsystem). Правда, в подстрочной ссылке на стр.
292 книги Сколем еще написал: "Теория графов есть часть топологии
(Analysis situs)", сославшись на упомянутую энциклопедию. Но в тексте
своем он об этом больше не вспоминал, и связывал графы с
комбинаторикой, в особенности с работами Д.Кенига и Петерсена.
Этим он сразу определил свою позицию сторонника независимого
существования теории графов, приверженца точки зрения Кенига.
Последний в [57] высказывал ее так: "В настоящей работе
Комбинаторный анализ. Очерки истории
105
рассматриваются задачи из Анализис ситус, теории детерминантов и
теории множеств. Центральным понятием, посредством которого все
проблемы соотносятся между собою, есть понятие графа. Метод графов
раскрывает в силу большой ясности своих геометрических интерпретаций
эквивалентность исследований, кажущихся не относящимися друг к другу,
что ведет к решению многих недавно поставленных задач".
Вот таким путем к началу 20 века в математике, в той ее части, что
относится к теории графов, были осознаны и приняты: понимание
теоретической целостности сведений о графах; роль графических
интерпретаций; сущность теории графов и ее роль как своеобразной части
математики, в которой изучают дискретно расположенные объекты,
учитывают связи между ними, работают методами, имеющими достоинство
наглядности.
Теория графов тем самым начала свое самостоятельное
существование.
В течение 20-го века в научной литературе о графах четко
различаются три периода развития, разделенные двумя мировыми войнами
1914-1918 и 1939-1945 и сопутствующими им временами разрухи.
Короткими были два первых периода, не столь обильными были
результаты. Заботливо составленный авторами книги (1] список
литературы для первой половины века насчитывает едва 120 названий. Но
и в этом ограниченном материале проявились по меньшей мере 4
направления развития теории графов.
Первое самое заметное направление определилось серией работ
Д.Кёнига (1894-1944), выходивших в течение более чем 30 лет [58]. Все
работы этой серии (статьи, опубликованные на венгерском языке автор
настоящего очерка прочитать не сумел) посвящены одной теме:
последовательному построению общей теории для графов. Последняя из
этих работ, - книга [54], вышедшая в 1936 г., - уже близка к современным
образцам. Теория строится как самостоятельная, но все ещё
подчеркиваются тесные связи с топологией.
Цитата, приведенная выше, взята нами из работы 1916 г. [57]. Но и в
работе 1936 г., т.е. через 20 лет, Кёниг подчеркивает эту связь, дав книге
сложноватое заглавие: "Теория конечных и бесконечных графов.
Комбинаторная топология линейных комплексов".
Первый из трех рассматриваемых периодов истории теории графов
оставил самое скудное наследие; всего около 20 публикаций. Результаты
Кёнига и статья Пуанкаре [55] практически исчерпывали все достигнутые в
то время результаты. Остальные работы по преимуществу
сосредоточивались вокруг конкретных задач, больше всего - окрашивания
графов.
Период между двумя мировыми войнами оказался для теории графов
гораздо более продуктивным, особенно в 30-ые гг., когда время, отведенное
историей для этого периода, уже истекало. Число работ заметно превысило
106
К.А.Рыбников
сотню. Кроме продолжающейся серии работ Кёнига, наиболее заметным
явлением оказались полтора десятка работ Г.Уитни, ученика О.Веблена,
опубликованных всего за 4 года: 1931-1935: [59|.
Особая примечательность этой группы работ Уитни обусловлена
двумя обстоятельствами: 1) они, вместе с известной работой
ККуратовского [60] о планарности графов и об условиях планарности,
практически полно отражают уровень, достигнутый в общей теории графов
к 40-ым гг., к началу второй мировой войны; 2) в самой поздней по
времени публикации работе этой серии были впервые введены и
рассмотрены системы независимости, которые Уитни назвал матроидами.
Этим было положено начало еще одной значительной части общей
комбинаторной теории. Об этом см. в нашей серии очерк 5:
Комбинаторные геометрии и матроиды.
Третье направление развития теории графов второго периода
представлено серией работ [61] Д.Пойа (1887-1985), вышедших в 1935-
1937 гг. В них продолжены исследования А.Кэли, долголетние (1857-1889)
и настойчивые, комбинаторных задач, относящихся к перечислениям
деревьев, - графов, не имеющих циклов. В собственно графовой части этих
исследований Пойа вводится понятие конгруэнтности графов, условия
конгруэнтности определяются как для укорененных, так и для свободных
графов.Задачи перечисления графов ставятся и решаются с учетом
определенных на них групп автоморфизмов. Об этом см. в нашей серии
очерк 4: Группы перестановок и теория Д.Пойа.
К четвертому направлению можно отнести все остальные работы, по-
прежнему пока немногочисленные. Они группируются вокруг более
конкретных, частных задач. Большинство статей этой группы посвящено
проблемам, относящимся к окрашиванию графов и раскраске карт.
Но вот закончилась вторая мировая война и жизнь становилась все
более близкой к нормальной. Возрождалась и научная, в том числе и
математическая жизнь. Постепенно выходили из-под покрова секретности
математические достижения, полученные при решении задач военных,
государственных, промышленных и иных. Возрождалась и практика
научного общения: съезды, конференции, симпозиумы.
Ранней осенью 1950 года в Будапеште проходил первый после войны
съезд венгерских математиков. Хотя этот год был годом 11-го Всемирного
математического конгресса (в США, в Гарвардском университете), давно
ожидаемого (предыдущий, 10-й конгресс проходил в Осло, Норвегия, в
1936 г.), венгерский съезд был многолюдным и представительным. Во главе
венгерской делегации, самой многолюдной, были Рис Фридьеш (1880-1956)
и Фейер Липот (1880-1959), математики всемирно авторитетные, отцы (как
их называли) венгерской математической науки. Организацией работы
съезда ведал ученик Ю.В.Линника, новый директор Института математики
Венгерской Академии наук Альфред Реньи (1921-1969). Внушительно
выглядела делегация математиков СССР. Ее возглавлял академик
Комбинаторный анализ. Очерки истории
107
И.М.Виноградов (1891-1983), директор Математического института им.
В.А.Стеклова Академии наук СССР. В делегацию входили академик
А.Н.Колмогоров (1903-1987), академик П.С.Александров (1896-1982) и
другие математики.
События и утраты военного лихолетья были еще свежи в памяти
участников съезда. Нередко в разговорах вспоминали о трагической гибели
венгерского математика Денеша Кенига (1884-1944), автора, как мы уже
упоминали, многих работ по теории графов, в том числе известной
монографии 1936 г., где эта теория была построена впервые достаточно
полно и на современном уровне. Дополнительный интерес к личности и
трудам Кёнига вызвало то, что в этот самый год в Нью-Йорке издательство
Челси перепечатало упомянутую монографию (равно как и другие книги по
комбинаторному анализу: Нетто в 1950 г. и позднее Мак Магона в 1960
г.).
Через 10 лет на Втором всевенгерском математическом съезде
(Будапешт, 1960) сделалось еще более ясным, что теория графов, как и вся
комбинаторная проблематика, обрели в этой стране не только область
устойчивого традиционного интереса, но и положение научного центра
международного значения. Активно и плодотворно начали работать Пол
Эрдеш (1913- ), Дьердь Хайош (1912-1972) и другие, более молодые
математики.
За десятилетие 1950-1960 гг. многое изменилось в "мире графов".
Они как-то разом получили всеобщее распространение, "выплеснулись" за
пределы математики, затем и физико-технических и естественно-научных
дисциплин, сделались математической моделью всяких систем, в которых
имеют место бинарные отношения. Легкая воспринимаемость графических
изображений, их универсальность, порождали надежды на их
универсальное применение, на то, что помимо иллюстративных
возможностей, графы приобретут и алгоритмический аппарат решения
задач.
. Математики, разумеется, так не думали. Для них наступили времена
тяжелого труда по построению общей теории графов, выработке в ней
алгоритмической части, - труда, полного надежд и разочарований. Логика
такой задачи и тотчас встретившиеся трудности вынуждали к объединению
усилий, к коллективному скоординированному труду.Такие формы
организации научных исследований по теории графов стали проявляться в
50-ые гг. одновременно в разных местах.
В Соединенных Штатах уже в самом начале этого десятилетия
заявила о себе группа молодых "графистов" из Мичиганского университета;
в ней явно выделялся Френк Харари. Они быстро поставили курсы лекций
по комбинаторному анализу и специально по теории графов. Не позже
1956 г. они начали предпринимать попытки написания монографии, что им
удалось сделать лишь к 1969 г. Это известная и сейчас книга: Харари Ф.
Теория графов. М.:Мир, 1973 [38]. К этому же времени они сумели
подготовить и издать библиографию научных работ по теории графов (62).
108
К.А.Рыбников
Такую же работу они проделали специально для работ по теории графов в
СССР [63]. Опубликовали они огромное, без преувеличения, число статей,
преимущественно о перечислениях графов. Определенный итог этому
направлению был ими подведен в книге, вышедшей в 1973 г. Это книга:
Харари Ф., Палмер Э. Перечисления графов. М.: Мир, 1977. [64].
Вспоминается своеобразная картина семинаров по теории графов в
университете штата Мичиган в тихом городке Энн Арбор, где разместился
многолюдный университет. Сам Ф.Харари, подвижный, энергичный и
остроумный, вел заседания семинара в обстановке шумной и
перевозбужденной. Попытки поднять вопросы общего характера о
сущности, роли и месте теории графов в системе математических
дисциплин буквально тонули в ворохе суждений о конкретных видах
графов, как на заседаниях, так и в личных беседах с Ф.Харари.
Впрочем, тогда уже всем было ясно, что главные усилия математиков
направляются не на решение задач о перечислениях графов, а на
разработку проблем алгоритмического характера в интересах приложенй. К
началу 60-ых гг. два сотрудника могущественной корпорации Рэнд:
Л.Р.Форд и Д.Р.Фалкерсон разработали в этих целях метод потоков в
сетях. Сети - это разновидности графов, приспособленные к
математическим описаниям управляющих систем и практики
программирования путем придания элементам графа количественных и
направленных характеристик ( см. напр. Математическую энциклопедию,
т.4, 1984, с.1121-1122). Метод опубликован в книге: Л.Форд, Д.Фалкерсон.
Потоки в сетях. Русское издание этой книги появилось в 1966 г. в
издательстве "Мир". Впрочем, и английское издание 1962г. [65] может
показаться нашему читателю небезынтересным, так как в нем приведены
некоторые сведения об авторах, а также перечень книг, изданных Рэнд. В
этом перечне математические сочинения составляют малую часть общего
списка литературы, откровенно и агрессивно служащей целям холодной
войны против СССР.
Другим не менее ярким примером заботы о приложениях может
послужить книга: Т.Басакер, Т.Саати. Конечные графы и сети; русское
издание 1974 г., английское [66] - 1966 г. Авторы этой книги - в то время
были работниками правительственных учреждений США. Книга интересна
описанием многочисленных разнообразных приложений и компактным
изложением сведений из теории графов.
Европейская литература по теории графов в 60-ые и последующие
годы базировалась на книге К.Бержа. Теория графов и ее применения.
Впервые она вышла в 1958 г. Затем последовали переиздания: в 1962 г. -
два английских (в США и Англии) и русское, в 1963 - второе французское.
А в 1970 г. появилась книга Бержа о графах и гиперграфах. Издания книг
Бержа и проводимые под его руководством научные мероприятия в
Западной Европе в значительной мере субсидировались из средств НАТО.
Для математиков Советского Союза графы никогда не являлись чем-
то чуждым. В 30-ые гг. они уже регулярно применялись в ускоряющих
Комбинаторный анализ. Очерки истории
109
свой темп исследованиях проблем кибернетики, автоматики,
вычислительной техники, математической экономики и др.
Систематическая работа над теоретическими проблемами относительно
самих графов стала разворачиваться в 50-ые гг. сразу в нескольких местах:
в группе кибернетики МИАН СССР, в АН УССР, в высших учебных
заведениях Москвы, Ленинграда, Киева, Одессы и др. На русский язык
были переведены и изданы большинство книг по комбинаторному анализу
вообще и специально по теории графов. Появились ученые, сделавшие
исследования графов одной из олбластей своих научных интересов.
В 1969 г. в Новосибирске произошло событие примечательное: вышел
в свет первый том монографии: А.А.Зыков. Теория конечных графов,
тиражом 6 тысяч экземпляров. Эта книга, - капитальная по замыслу,
большая по объему, детальная в изложении, - особенно интересна тем, что
в начале ее говорится о возникновении теории графов и о ее месте в
системе математических дисциплин, а в конце - о приложениях и
обобщениях графов, а также о перспективах развития. Задумана была эта
монография как двухтомная. Позднее А.А.Зыков пришел к выводу о
нецелесообразности издания второго тома или переиздания первого тома в
прежнем объеме, ввиду перегруженности текста деталями. И он написал
другую книгу: Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука, 1987,
определив ее как систематическое введение в теорию графов, построенное
в соответствии с внутренней логикой ее развития.
К этой книге, или к другим, например, к книге четырех белорусских
математиков: Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич
Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990, мы будем рекомендовать
обращаться тем нашим читателям, кто заинтересуется современным
состоянием этой теории.
Историческое же наше исследование уже необходимо
приостановить. Оно может оказаться преждевременным, недостаточно
обоснованным, неизбежно будет содержать ошибки. Формами накопления
и первичного анализа информации о развитии науки во времена, близкие к
современным, являются теоретические обзоры. В части теории графов
самые ранние из нам известных обзоров появились в научной печати США.
Мы их уже упоминали. Один из них был посвящен целиком прогрессу
теории графов в СССР [63]. Двумя годами позднее упомянутого обзора, но
уже в советской печати, был опубликован другой обзор: Козырев В.П.
Теория графов // Итоги науки и техники, серия "Теория вероятностей",
1972. №10. С.25-74. В этом же весьма полезном издании можно найти
обзоры и по другим частям комбинаторной математики, например: Носов
В.А., Сачков В.А., Тараканов В.Е. Комбинаторный анализ (матричные
проблемы, теория выбора) // Итоги науки и техники, 1981. №18. С.53-93.
Очерк истории теории графов, произведенный в настоящей работе,
позволяет, как мы думаем, перейти к высказываниям общего характера -
no
К.А.Рыбников
методологическим, и пригласить читателя над этими суждениями
поразмышлять.
Объектами теории графов являются дискретные множества, в
подавляющем большинстве конечные, между элементами которых могут
существовать бинарные отношения. В понятиях этой теории отражаются
структурные особенности состава множеств. Она является их языком.
Операции, производимые над графами, являются комбинаторными. Графы
нельзя отделять от других комбинаторных объектов; они - часть
комбинаторного анализа.
Для конечных графов, как и для других комбинаторных систем,
ответ на любой вопрос может быть принципиально получен в результате
конечного числа испытаний. Однако, практически этот путь закрыт,
настолько он неэффективен. Проблема почти всегда сводится к поискам
таких алгоритмов для конкретных ситуаций (задач), которые существенно
уменьшали бы числа возможных вариантов.
Вопрос же о том, существует ли универсальный алгоритм, который
позволял бы устанавливать истинность или ложность любого высказывания
о графах, решен отрицательно еще в 1963 году (см. Лавров И.А.
Эффективная неотделимость множества тождественно истинных и
множества конечно опровержимых формул некоторых элементарных
теорий" // труды семинара Института математики Сибирского отделения
АН СССР, Алгебра и логика, 1963. Т.2. №1. С.5-18. Реферат: РЖМат,
1964, 1А112):
"если к узкому исчислению добавить индивидуальный предикат
J(x,y), подчиненный аксиомам рефлективности и симметрии (т.е.
отношение несмежности вершин обыкновенного графа), то в полученной
теории множество А всех истинных формул рекурсивно неотделимо от
множества В всех конечно опровержимых формул, т.е. не существует
такого рекурсивно перечислимого множества формул С с рекурсивно
перечислимым дополнением F\S до множества J всех формул
рассматриваемой теории, чтобы было AcS и BdF\S.
Разумеется, теория, состоящая из формул F, далеко не охватывает
всей теории графов; так, с помощью формул F нельзя записать
утверждение более чем об одном графе, а в случае одного графа с
неизвестным числом вершин нельзя записать, например, высказывания о
наличии цепи, соединяющей две данные вершины, ибо, не зная заранее
верхней оценки длины этой цепи, мы вынуждены были бы употребить
бесконечное множество предметных переменных и кванторов.
Но рассуждениями, относящимися к теории моделей, можно
показать, что если столь бедная часть теории графов, как только что
рассмотренная, и то уже алгоритмически неразрешима, то это тем более
имеет место и для всей теории графов" (выписка сделана из книги: Зыков
А.А. Теория конечных графов. М.: Наука, Сиб. отд., 1969. С.503-504).
Комбинаторный акали.*. Очерки истории
ш
Общей теории бесконечных графов не существует. Такая метатеория,
если ее попытаться вообразить, была бы сложнее общей теории любых
бесконечных множеств.
Последнее замечание на тему: что же такое теория графов, чем она в
математике является? Графы - это модели, отражающие структуру
множеств, их язык и ничего больше. Более полное исследование
дискретных структур достигается за счет привлечения данных из
математической логики, комбинаторики, оснащения элементов множества
числовыми характеристиками. Возникают сети. Дальнейшая
эффективизация теории с выходом на приложения достигается за счет
расширения числа интерпретаций (например, матрицы), привлечения
объектов и методов алгебры (например, группы) и других математических
дисциплин.
Так что вопрос типа: что же такое, эта теория графов? неизбежно
вызывает тавтологизирующую реакцию: а о какой теории графов Вы
спрашиваете? В различных степенях развития она играет разную роль.
Впрочем, такое положение будет иметь место в применении к любой
математической дисциплине. К этому следует относиться спокойно, с
пониманием различий в определении понятия графа и развития теории, и
не допускать формалистических помех содержательному научному труду.
Список упомянутой и цитированной литературы
1. Biggs N.L, Lloyd E.K., Wilson R.J, Graph Theory: 1736-1936. Oxford:
Clarendon Press, 1976.
2. Leibnitz G.W. Mathematische Schriften. Berlin: Halle. V.2. 1850. P.18-19.
3. Euler L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis //
Comm.Acad.Scientarum fmper.Petropol., 1736. V.8. P.128-140.
4. Hierholzer C. Uber die Moglichkeit einen Linienzug ohne Wiederholung und
ohne Unterbrechnung zu umfahren // Math.Ann., 1873. V.6. P.30-32.
5. Ahrens W. Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Leipzig, 1901.
6. Lucas E. Recreation mathematiques. Paris, 1882-1894. V.1-4.
7. * Rouse Ball W. Mathematical recreations and problemes of past and present
times. London, 1892.
8. Euler L. Solution d'une question curieuse qui ne paroit soumise a aucune
analyse // Mem.Acad.Sci.Berlin, 1759 (published 1766) V.15. P.310-337;
Opera omnia (1), V.7. P.26-56.
9. Vondermonde A.-T. Remarques sur les problems de situations//
Mem.Acad.Sci., 1771. P.566-574.
10. Euler L, Goldbach Chr. Briefwechsel, 1729-1764, P. 1965.
11. Euler L Opera omnia (1). V.26. P.72-93, 94-108.
12. Legendre A.-M. Elements de geometrie. Paris, 1794.
13. Adam C, Tannery P. Oeuvres de Descartes. Paris, 1913. V.10, P.257-277.
14. Gauss C. Werke. Gottingen, 1867. Bd.5. S.605;
15. Coupy E. Solution d'un problime appartenant a la geometrie de situation par
Euler// Nouv. Ann.Math4,1851. V.10. P.106-119.
16. Saalschultz. Schr. Phys.-Okon. Ges. Konigsberg, 1876. Bd.16. P.23-24.
17. Hamilton W.-R. Account of the icosian calculus // Proceed. Roy. Irish. Acad.,
1858. V.6. P.415-416.
112
К.А.Ры6ников
18. Cauchy A.-L Researches sur les polyedres; 1-re memoire // J.Ecole
Polytech., 1813. V.9. N16, P.68-86.
19. Poinsot L Sur les polygones et les polyedres // J. Ecole Polytech, 1810. V.4.
№10. P. 16-48.
20. Listing J.B. Vorstudien zur Topologie // Gottingen Studien. Abth., 1847. V.1.
P.811-875.
21. Listing J.B. Der Census raumlichen Complexe Oder Verallgemeinerung des
Eulerschen Satzes von der Poryedern // Abh. K.Ges.Wiss. Gottingen Math. CI.,
1862. Bd.10. P.97-182.
22. Cayley A. On the theory of analytical forms called trees // Phil.Mag., 1857.
V.4. P. 172-176.
23. Von Staudt G.K. Geometrie der Lage. Nurenberg, 1847.
24. Kirchhoff G.R. Uber die Auflosung der Gleichungen, auf welche man ber der
Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer. // Strome gefuhrt wird.
Ann.Phys.Chem., 1847. Bd.72. P.497-508.
25. Cayley A. On the theory of analytical forms called trees. Part 2 // Philos. Mag.,
1859. V.4. P.374-378.
26. Jordan C. Sur les assemblages de lignes // J.reine u. angew. Math., 1869.
V.70. P. 185-190.
27. Sylvester J.J. Quest. 5208 // Math.Quest.SoI.Educ.Times, 1877. V.27. P.81.
28. Cayley A. On the analitical forms called trees // Amer.J.Math., 1881. V.4.
P.266-268.
29. Cayley A. A theorem on trees // Quart. J.Pure Appl. Math., 1889. V.23. P.376-
378.
30. Sylvester J.J. On the change of systems of independent variables // Quart. J.
Pure Appl.Math. 1857. V.1. P.42-56, P.126-134.
31. Borhardt C.W. Uber eine der Interpolation entsprehende Darstellung der
Eliminations-Resultante // J.reine u. angew. Math., 1860. V.57. P.111-121.
32. Prufer H. Neuer Beweis eines Satzes uber Permutationen // Archiv d.Math. u.
Phys.,1918. V.3. P.142-144.
33. Kirchhoff G.R. Uber den Durchgang eines electrischen Stromes durch eine
Ebene unsbesondere durch eine Kreisformige // Ann. Phys. Chem., 1845.
V.64. P.497-514.
34. Cayley A. On the mathematical theory of isomers // Phil.Mag., 1874. V.47.
p, 444-446.
35. Cayley A. On the analytical forms called trees, with application to the theory
chemical combinations// Rep.Brit.Assoc.Adv.Sci., 1875. V.45. P.257-305.
36. Sylvester J.J. Chemistry and algebra // Nature, 1878. V.17. P.284.
37. Henze H.R., Blair CM. The number of isomeric hydrocarbons of the metane
series // J. Amer.Chem. Soc, 1931. V.53. P.3077-3085.
38. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973, С.17. (Англ.изд. -1969).
39. Baltzer R. Eine Erinnerung an Mobius und seinen Freund Weiske // Bar.
K.Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-Phys.CL, 1885. V.37. P. 1-6.
40. Madison Isabelle. Note of the history of the map-colouring problem // Bull.
Amer. Math. Soc, 1897. V.3. P.257.
41. Coxeter H.S. The four colour map problem // Math. Teacher, 1959. V.52.
P. 283-289.
42. Athenaeum. London, 1860. P.501-503.
43. Eisele C. The New elements of mathematics by Charles Pierce. V.3. Menton,
1976. P.476-477.
44. Cayley A. On the colouring of maps // Proc.Geogr.Roy.Soc (New Series),
1879. V.1. P.259-261.
45. Nature, 1879. V.20. P.275.
Комбииаторный анализ. Очерки истории
113
46. Kempe A.B. How to colour a map with four colours // Nature, 1880. V.21.
P.399-400.
47. Kempe A.B. On the geographical problem on the four colours // Amer.J.Math.,
1879. V.2. P. 193-200.
48. Heawood P.J. Map-colour theorem // QuartJ. Pure and Appl. Math., 1890.
V.24. P.332-338.
49. Delannoy H., Ramsey A.S. Reponse a question 51 // Intermed. Math., 1894.
V.1. P. 192.
50. De la Valle'e Poussin. Probleme de quatte couleurs, deuxieme reponse //
Intermediare Mathematicien, 1896. V.3. P.179-180.
51. Petersen J. Die Theorie der regularen Graphen // Acta Math., 1891. №15.
P. 193-220.
52. Hilbert D. Uber die Endlichkeit des Invariantlensystems fur binare Grundformen
// Math. Ann., 1889. №33. P.223-226.
53. Petersen J. Sur le theorem du Tait// Intermed. Math., 1898. №5. P.225-227.
54. Konig D. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Leipzig, 1936.
55. Poincare H. Second comple'ments a Г analysis situs // Proceed. London
Math.Soc, 1900. №32. P.277-308.
56. Dehn M., Heegaard P. Analysis situs// Enc.Math.Wiss., 1907. №3. P.153-220.
57. Konig D. Uber Graphen und ihre Anwendung auf Determinanten theorie und
Mengenlehre // Math.Ann., 1916. №77. P.453-465.
58. Последовательно выходили следующие работы Д.Кенига:
1904: Matematikai mulatsa'gok. V.2. Magyar Konyvtar, №418.
1905: A terkepszinezesrol // Mat.Fis.Lapok. №14. P.193-200.
1911: Vonalrendszerek ketordalu feluleteken // Mat. Term., Erst. №29. P. 112-117.
1916: [57];
1923: Sur un probleme de la theorie gene'rale des ensembles et la theorie des
graphes // Rev. Metaphys. Morale. №30. P.443-449.
1926: D.Konig und Valko S. Uber mehrdentige. Abbildungen von Mengen //
Math.Ann. №95. P. 135-138.
1927: Uber eine Sehlussweise aus dem Endlichen und Unendliche // Acta Lift.
Sci., Szeged. №3. P. 121-130.
1931: Graphok e's matrixok// Mat. Fis. Lapok. №38. P.116-119;
1933: Uber trennenden Knotenpunkte in Graphen // Acta Litt. Sci. Szeged. №6.
• P. 155-179.
1936: [54].
59. Здесь имеются в виду следующие работы ПУитни:
1931: A theorem on graphs // Ann. Math. 2. №32. P.378-390; The colouring of
graphs // Proc. Nat. Acad. Sci USA. №17. P.122-125; Non-separable and
planar graphs // Ibid. P. 125-127.
1932: Congruent graphs and connectivity of graphs // Ann. J. Math. №54. P. 150-
168; The colouring of graphs // Ann.Math., 2. №33. P.688-718; Conditions
that a graph have a dual // Bull.AMS. №38. P.37; A logical expansion in
mathematics // Ibid. P.572-579; Non-separable and planar graphs //
Transact.AMS. №34. P.339-362.
1933: A set of topological invariants for graphs // Am.J.Math. №55. P.231-235;
On the classification of graphs // Ibid. P.236-244; 2-isomorfic graphs //
Ibid. P.245-254; Planar graphs// Fund. Math. №21. P.73-84; A
characterization on the closed 2-cells // Transact. AMS. №35. P.261-273.
114
К.А. Рыбников
1935: On the abstract properties of linear dependence. Am.J. Math., 57, 509-
533.
60. Kuratowski K. Sur le probleme des courbesganches en topologie //
Fund.Math., 1930. №15. P.271-283.
61. Перечислительные задачи комбинаторного анализа, под ред.
Г.П.Гаврилова. М.: Мир, 1979. С.136.
62. A bibliography of graph theory by Turner // Proof Technique in Graph Theory,
ed. F.Harary. New York : Acad. Press., 1969.
63. A survey of progress in graph theory in the Soviet Union // SIAM Rev., 1970.
№12. suppl. P. 1-68.
64. Harary F., Palmer E.M. Graphical Enumeration. N.Y. : Acad. Press, 1973.
65. Ford L.R., Fulkerson D.R. Flows in networks. Princeton: Princeton Univ. Press,
1962.
66. Busaeker R., Saaty T. Finite graphs and networks. N.Y. Mac Grow-Hill, 1966.
Комбинаторный анализ. Очерки истории
115
11. Вопросы построения общей
комбинаторной теории
В десяти предшествующих очерках было рассказано, в какой
обстановке и какими разнообразными путями формировались во второй
половине 20 в. элементы, составившие общую комбинаторную теорию.
Здесь же мы коснемся обстоятельств и фактов непосредственного
появления этой теории в форме единой и близкой к современной.
Своеобразие постановки подобных вопросов состоит в том, что
математики издавна, еще с самого начала века, даже не сомневались, что
такая теория уже существует. Другое дело, что задачи комбинаторного
типа, чтобы быть решенными, могли быть поставлены на относительно
бедных классах множеств объектов, а методы - ограничены в своих
возможностях. Это обусловливало и медленное накопление теоретического
материала, и слабость приложений, и скромное положение комбинаторики
в кругу математических дисциплин.
Но вот по земле прокатились войны 1939-1945 гг., вовлекшие в
сражения большую часть человечества. Математики в своем
профессиональном качестве были также привлечены к работе по
совершенствованию средств и способов ведения боевых действий. Они
достигали при этом значительных успехов как в приложениях своей науки,
так и в теории. А когда войны закончились и стало возможным снять
ограничения, наложенные на публикации в силу условий военного
времени, изучать весь этот новый материал, сравнивать методы и факты,
то оказалось, что многое в нем имеет комбинаторный характер. Осознание
этого феномена достигалось различными путями, о них мы не раз
упоминали в других очерках.
В такой обстановке не понадобилось много времени, чтобы идея
построения общей комбинаторной теории, организующей научный богатый
материал на более высоком уровне общности, возродилась. Рассмотрим
факты, в том числе и те, которые мы уже упоминали, но в ином контексте.
Вскоре после окончания второй мировой войны отдел науки военно-
морского флота США (Office of Naval Research) организовал издание серии
монографий под общим названием: Surveys in applied Mathematics. К 1958
г. вышли в свет уже 5 книг:
1. Упругость и пластичность: Goodier J.N., Hodge P.G.Jr. Elasticity and
Plasticity;
2. Динамика и нелинейная механика: Leimanis E., Minorsky N.
Dynamics and nonlinear Mechanics;
3. Математические аспекты газовой динамики: дозвуковой и
сверхзвуковой: Bers L. Mathematical aspects of subsonic and transsonic gas
Dynamics;
lie
К.А.Рыбиикон
4. Некоторые аспекты математического анализа и теории
вероятностей: Some aspects of analysis and probability. О составе этой книги
см. чуть ниже;
5. Численный анализ и дифференциальные уравнения в частных
производных: Forsythe G.E., Rosenbloom P.C. Numerical analysis and partial
differential equations.
Четвертая книга этой серии составлена из 4 самостоятельных частей:
1.Functional analysis by Irving Kapiansky.
2. A survey of combinatorial analysis by Marshall Hall Jr; Русское
издание: М.Холл. Комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.
3. A survey of abstract harmonic analysis by Edvin Hewitt.
4. Resent advances in probability theorie by Robert Fortet.
Вторая из этих частей является первым, самым ранним примером
построения новой общей комбинаторной теории. Ее автором был Маршалл
Холл (1910- ), уже известный к тому времени алгебраист. Участие военно-
морского ведомства в создании этой серии не является чем-то необычным.
Во время войны и ряда последующих лет именно ему было поручено
курирование и финансирование многих (возможно, большинства)
математических исследований. Автор обзора, М.Холл, профессор
университета штата Огайо, а затем (1959-1981) Калифорнийского
технологического института, в военные годы служил на флоте в
криптографической службе.
Структура рассматриваемого обзора такова: а) автор утверждает и
показывает на примерах, что комбинаторные результаты входят в
математику различными путями в разнообразных интерпретациях; б)
описывает методы решения перечислительных комбинаторных задач; в)
дает общую характеристику теорем о выборках, о представителях, Рамсея,
и их приложений; г) группирует материал относительно блок-схем:
латинские квадраты, системы Штейнера и Киркмана, теоремы о
построениях блок-схем и об условиях их существования.
Содержание обзора и манера изложения отражают осознание
теоретической общности комбинаторных объектов несмотря на
разнообразие интерпретаций. Чувствуется устремление к более полному
монографическому изложению новой и в то же время такой извечной
части математики как комбинаторика, что М.Холл и осуществил через 10
лет.
В том же 1958 г., 24-26 апреля в г.Нью-Йорке, Колумбийском
университете Американское математическое общество провело 10-ый,
симпозиум, целиком посвященный комбинаторному анализу. Труды
семинара вышли из печати в 1960 г. Их составили тексты 24 докладов.
Общую характеристику материалов симпозиума дали в совместном
предисловии М.Холл и Р.Беллман (Rand Corporation). Главная мысль,
которую они проводили, состояла в том, что хотя комбинаторные проблемы
вырастают из широкого круга математических дисциплин (конечные
Комбинаторный анализ. Очерки истории
117
геометрии, алгебра, теория чисел, теория коммуникаций, транспортных
сетей и др.), они имеют общие теоретические основы, и статьи в Трудах
это ясно показали (the basic unity of the whole theory is brought to light).
Эта общая позиция была подкреплена организацией работы
симпозиума. Он состоял из 4 тематических заседаний:
1. Существование и построение комбинаторных схем;
2. Комбинаторика в дискретных экстремальных задачах;
3. Задачи: транспортные, связи, логистические;
4. Численный анализ дискретных проблем.
Наибольшей теоретической трудностью, которую приходилось здесь
преодолевать, считалось противоречие между дискретным характером
задач, в которых рассматриваются комбинаторные построения, и
непрерывным - в применении линейных неравенств, составляющих основу
программирования. Комбинаторика была тем и привлекательна для
математиков, что в ней соединяются наиболее абстрактные и самые
неколичественные (most nonquantitative) части математики с
арифметическими и численными аспектами. В то же время отмечалось, что
решение многих задач еще невозможно без значительных продвижений в
теории.
Таким образом, можно считать установленным, что к концу 50-х
годов нашего века среди математиков США распространилась
убежденность в единстве основ и высокой общности формирующейся
комбинаторной теории, в актуальности и эффективности ее методов.
Наступала пора определения структуры этой теории, совокупности
решаемых ее средствами задач и перспектив дальнейшего развития.
Наступление нового периода развития науки обычно начинается и
сопровождается появлением монографий. На упомянутом симпозиуме 1958
г. вопрос о виде и составе общей комбинаторной теории еще не
обсуждался. Только в предисловии к Трудам симпозиума об этом писали
Р.Беллман и М.Холл. Сами же они, как и другие участники, представили
доклады на другие темы, их в данный момент интересующие: М.Холл
Современные исследования в области блок-схем; Р.Беллман
Комбинаторные процессы и динамическое программирование.
Появления сочинений монографического характера ждать не
пришлось. Они уже существовали. К 1958 г. их было два: уже
упоминавшийся обзор М.Холла и книга: Риордан Дж. Введение в
комбинаторный анализ. Автор этой книги, крупный инженер-электрик и
электронщик, ведущий сотрудник (с 1934 г.) телефонно-телеграфной
компании Белл, выпускник Йельского университета, в математике -
ученик В.Феллера. Когда последний в 1941 г. начал работу над своей
книгой о теории вероятностей над дискретными пространствами
элементарных событий, Риордан взял на себя систематическую разработку
необходимого комбинаторного аппарата. Работа завершилась, когда вышла
118
К.А.Рыбников
упомянутая книга, т.е. черз 15 лет. В 1968 г. Риордан издал еще одну
книгу "Комбинаторные тождества" и посвятие ее В.Феллеру.
Тем временем в университете штата Огайо, при заметном влиянии
М.Холла, его младший коллега Герберт Джон Райзер написал и в 1963 г.
издал книгу "Комбинаторная математика". Он представил эту науку как
теорию структур конечных дискретных множеств. Аппарат при этом
строится, естественно, матричный, а основной научной задачей является
исследование комбинаторных схем.
Сам М.Холл тоже работал, готовил книгу под названием
"Комбинаторная теория", но издал ее позже, в 1967 г. Мы думаем, что
одной их причин задержки было начало (с 1964 г.) серии работ Дж.-К.Рота
и его учеников; о ней в наших очерках было уже рассказано. Во всяком
случае, в своей книге М.Холл посвятил исследованиям Рота специальную
главу (вторую).
Тем временем началось проникновение комбинаторного анализа в
область высшего математического образования. Первый курс лекций по
этой дисциплине прочитал профессор Рота Джан-Карло в Массачусетсом
технологическом институте в осеннем семестре 1962-1963 учебного года.
Мы владеем конспектом этих лекций (183 стр. текста, титульный лист - 1
стр., предисловие лектора - 1 стр., оглавление - 3 стр., перечень
замеченных опечаток - 9 стр. Всего: 207 стр.), записанных студентами
G.Feldman, J.Levinger, Richard Stanley. Конспект озаглавлен: Introductory
lectures in combinatorial analysis. Лектор в предисловии, датированном
"август 1963" выразил недовольство качеством конспекта и намерение
переделать его "предположительно в 1964 г.". Мы не знаем, осуществилось
ли это желание. Конспект же оказался интересным.
Дж.-К. Рота родился в 1932 г. в Италии. Там он жил и учился до 9
класса средней школы. Вскоре после мировой войны с семьей переехал в
Эквадор. Там он закончил среднее образование и сделался гражданином
этой страны. В 1950 г. поступил в Принстонский университет США, через
3 года закончил с отличием. Продолжил занятия в Йельском университете,
где получил степень доктора философии (Ph.D.) в 1956 г. за диссертацию
из функционального анализа, выполненную под руководством проф.
Шварца (J.T.Schwartz). Некоторое время он работал в Гарвардском
университете, но вскоре перешел на работу в Массачусетский
технологический институт, где с тех пор и работает. Основные научные
работы Рота выполнил в теории операторов, эргодической теории и в
комбинаторике. Американское математическое общество присудило ему
специальную премию (Steel Prize) за плодотворную деятельность в области
комбинаторики. Он также является членом Американской национальной
академии наук и ведущим сотрудником (senior fellow) национальной
ядерной лаборатории в Лос Аламосе.
Свой курс лекций (который мы ниже будем описывать,
воздерживаясь пока от комментариев, кроме самых необходимых) Рота
начинает с "Введения" (2 страницы), в котором на примерах 7 задач
Комбинаторный анализ. Очерки истории
Ц9
решенных и 7 нерешенных дает неформализованное представление о
комбинаторной области математики. В частности, в качестве нерешенных
поставлены такие задачи:
1. Найти алгоритм решения задачи о странствующем торговце;
2. Найти число способов построения латинских квадратов;
3. Задача о 4 красках;
4. Задача о числе способов размножения клеток;
5. Отыскать методы подсчета числа графов заданной структуры;
6. О числе рассечений геометрических фигур прямыми;
7. О числе способов покрытия заданного квадрата другими
квадратами, попарно неравными.
За этим следуют Analytic Preliminaries (8 страниц), где введены
определения следующих понятий: степени, факториалы (нисходящие и
восходящие), операторы 9 видов, разностные уравнения и числа
Стирлинга.
Основное содержание курса сгруппировано в 3 главы; подразделение
по лекциям отсутствует.
Глава 1 (37 страниц) названа "Упорядоченные структуры". Ее
составляют 6 разделов, занумерованных от 1-А до 1-F. Состав этих
разделов.
1-А. "Булевы алгебры": аксиоматика, штрих ("черточка") Шеффера,
изоморфизмы.
1-В. "Алгебра множеств": множества, функции, комбинаторные
операции, подсчеты числа отображений, треугольник Паскаля.
Комбинаторные операции (всего 8) введены как виды отображений
конечных дискретных множеств. Соответствующие комбинаторные числа.
1-С. "Множества упорядоченные и частично упорядоченные":
упорядоченность элементов в множествах; полная, частичная.
Определения, диаграммы Хассе, изоморфизмы.
1-D. "Решетки": общие определения, частные случаи. Решетки
разбиений.
1-Е. "Теорема Дилуорса": формулировка, доказательство.
1-F. "Приложения теоремы Дилуорса" к задаче о назначениях,
дополнениях латинского прямоугольника до латинского квадрата, теоремы
Холла и Кёнига.
Глава 2 "Алгебры инцидентности" (44 стр.) составлена из 5 разделов:
2-А, ... , 2-Е.
2-А "Алгебры инцидентности" определены как кольца, соотносимые с
локально конечными частично-упорядоченными множествами Р.
Представление их как подалгебр алгебры всех верхне-треугольных матриц
над векторным пространством размерности, равной числу элементов Р.
Выделено 5 матриц, необходимых в первую очередь, Z, Мёбиуса, строгой
инцидентности, покрытия и строгого покрытия.
120
К.А.Рыбников
2-В. "Функция Мебиуса". Необычайно подробное описание того, как
появляется эта функция в ходе рассмотрения задачи о дискретном аналоге
X
обратной теоремы математического анализа (если j f(t)dt = g(x), то
о
Dg(x) = f(x), поставленной на локально конечных частично упорядоченных
множествах, и как такие функции вычисляются.
2-С "Приложения функции Мёбиуса": вычисления значений функции
Мёбиуса на решетках делимости (division lattices). Задачи о круговых
перестановках (циклических разбиений, типа ожерелья). Задача из теории
коммуникаций: пусть дано к букв в n-буквенном алфавите слов. Каково
максимальное число слов in a comma-free dictionary?
2-D. "Принцип включений и исключений": связывается с
вычислением функции Мёбиуса для булевых алгебр. Задача
раскрашивания карты интерпретируется как задача окрашивания вершин
графа. Хроматическое число графа.
2-Е "Алгебры Пуассона": 1-я и 2-я, т.е. схемы, разъясняющие
сущность принципа включений и исключений.
К 2-ой главе добавлены два digressions (отклонения от темы):
а) Теорема Биркгофа-фон Неймана о том, что перестановочные
матрицы являются экстремальными элементами в пространстве дважды
стохастических матриц;
б). Замечание, что обращение Мёбиуса, действующее по правилам
двузначной логики, может быть распространено на формальный аппарат
многозначных логик. Это может повести к перечислительным приемам
более общим, нежели принцип включений и исключений.
Конспект второй главы - наиболее аккуратная часть всей рукописи. О
ней в предисловии проф.Рота написал: "Материал о функциях Мёбиуса
теперь можно найти в моей статье "Об основаниях комбинаторного
анализа". Это - та статья, которая открыла серию работ Рота и его
учеников. Для краткости мы ее упоминали, как Рота-1. Ее автор отправил
в журнал "Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeits theorie". Поступила она туда 2
сентября 1963 г., напечатана в 1964 г. (Bd 2, Heft 4, ss.340-368).
Содержание первых двух глав лекционного курса Рота позволяет
расширить класс объектов, на которых оказывается возможным ставить и
решать задачи комбинаторного характера. Новым, более широким,
оказывается класс всех локально конечных частично упорядоченных
дискретных множеств. Задачи же остаются прежними. Следующие две
главы посвящены методам решения перечислительных задач.
Глава 3. Классический комбинаторный анализ (39 стр.);
Глава 4. Кратные производящие функции и теорема Пойа (37 стр.).
В -них уже заметны недостатки, характерные для большинства
студенческих конспектов. Но ход лекторского изложения еще доступен для
понимания. Отрабатывается теоретико-множественный язык суждений. На
нем изложены самые начала теории трех видов производящих функций и
Комбинаторный анализ. Очерки истории
121
теорема Пойа. Методически это не лишено интереса, но текст конспекта
не проработан.
Глава 5 "Графы и отношения" (15 стр.) в конспекте оказалась
последней и самой неудачной. Поэтому мы оказались в состоянии лишь
перечислить вопросы, о которых есть записи в тексте: 5-А. "Соответствия
Галуа" и отношения замыкания для частично упорядоченных множеств;
5-В. "Теорема Радо" о локальной конечности отношений множеств; 5-С.
"Теория выбора" о методах паросочетаний (matching) при заданных
отношениях. В самом конце конспекта говорится о переходе к
доказательству теоремы Дилуорса.
Таковы факты, описывающие конкретно процесс оформления в конце
50-х и в начале 60-х гг. XX в. современной комбинаторной теории.
122
К. А. Рыбников
12. Предварительные итоги и новые задачи.
Общая задача, которую мы здесь решали, состояла в том, чтобы
рассмотреть причины, обстоятельства, пути и способы формирования
теоретических основ комбинаторной части математики во второй половине
20 века. В очерках, составивших настоящую работу, сделано следующее:
1. Разъяснена постановка задачи и особенности подходов к ее
решению.
2. Охарактеризована общая обстановка, т.е. указаны причины, под
воздействием которых формировался комбинаторный анализ,
обстоятельства, при которых, и пути, по которым эта часть
математики приобретала структурный облик и содержательное
наполнение, приближающиеся к современным.
3. Рассказано о появившейся в 60-ых годах новой теории
комбинаторных перечислений, распространенной на частично
упорядоченные множества.
4. Дан обзор алгебраического, теоретико-группового подхода к
построению основ общей комбинаторной теории.
5. Написан очерк истории комбинаторных геометрий и матроидов.
6. Проанализирована роль теорем существования и их связей с
проблемой алгоритмических возможностей комбинаторики.
7. Рассмотрены конечно-геометрические системы в составе общей
комбинаторной теории.
8. Рассказано о сосуществовании комбинаторики и теории
вероятностей.
9. Затронут вопрос о формировании в последние годы новых теорий,
сопредельных как с комбинаторным анализом, так и с комплексом
алгебраических дисциплин (комбинаторная теория групп,
алгебраическая комбинаторика).
10. Написан очерк теории графов.
11. Показано конкретно, как и в каком виде появлялись первые
построения общей комбинаторной теории.
Как и было задумано, большинство очерков написано с соблюдением
единства тематики в их содержании. Лишь в первых двух очерках
поставлена и разъяснена задача и описана общая обстановка, да еще в
этом, последнем пока, очерке перечислены итоги проделанного и
поставлены новые задачи. Последние - очевидны. Следует полнее
раскрывать многообразие средств научного исследования, которыми
Комбинаторный диализ. Очерки истории
123
комбинаторный анализ уже располагает. Это потребует написания еще
нескольких очерков, в первую очередь о таблично-блочном аппарате
комбинаторики, кодировании, дискретных оптимизациях.
Перекрытия, повторения, о неизбежности которых мы говорили в
первом очерке, мы стремились преобразовывать в новые аспекты
освещения историко-научных событий, избегая дублирования. Число
перекрытий мы сократили, кое-где, возможно, чрезмерно. Очерки кратки. В
них преобладают факты. Все они достоверны, даже те, что приведены без
ссылки на источник, а извлечены из личной памяти автора. В то же время
"не была предоставлена свобода" анализирующим рассуждениям, кроме
самых необходимых. Их черед придет позже.
Наши усилия ограничить изложение внутриматематическими
фактами и соображениямибыли успешными не всегда. Воздействие
вне математических обстоятельств, определявших время, место и значение
рассматриваемых математических событий и процессов, было
исключительно велико. Вот как оно описано в первом же томе весьма
интересного издания "A century of mathematics in America" (1988-1989,
V.l-3) в главе Mathematics in American Society автора Duren W.L.Jr.
(стр.399-448) "В математическом мире (США - К.Р.), начиная примерно с
1940 г. и до середины 60-ых годов, имела место большая активность.
Математики продолжали свои исследования, в то же время они
привлекались к военной службе; учреждали новые журналы и издавали
уже существующие; возрождали многие математические кафедры и
факультеты; устанавливали (established) новые программы экзаменов для
получения ученых степеней; проводили летние конференции учителей
математики; укрепляли и расширяли свои научные объединения и
создавали новые, а также проводили новые организационные мероприятия
для сотрудничества в части решения задач, имеющих общий интерес.
Многие из этих мероприятий были поддержаны (финансированы -
К.Р.) by National Research Council, the Office of Naval Research, the National
Science Foundation и другими федеральными агенствами, а также
некоторыми крупными частными фондами. Математика процветала в эру
поддержек, предоставляемых ей за ее вклад во время Второй мировой
войны, в ответ на запуск (в СССР - К.Р.) в 1957 г. Спутников 1 и 2 и на
достижение Луны в I960 г.
А вот о более позднем, но близком к описанному времени говорится
так: "Математика потеряла былое значение. Конгресс произвел
значительные изменения в National Science Foundation, и тот к 1970 г.
прекратил финансирование... (следует длинный перечень. К.Р.) и других
мероприятий в области науки и образования. Замечательная
(значительная, significant) эра в математике (США - К.Р.) закончилась"
(с.399-400).
Сравнимые по значимости и результативности усилия по развитию
математической науки и образования имели место только в Советском
Союзе. Но в развитии комбинаторики ускорение наступило позже.
124
К.А.Рыбников
Остается добавить, что высвободившиеся и другие огромные средства
конгресс США направил на усиление войны (пока "холодной") против
нашей Родины. Эта война ведется сейчас. Не в последнюю очередь удары
наносят по системе образования и по науке, достигнутых при
социалистическом общественном строе громадных успехов.
Эта серия очерков была написана в 1992-1993 гг. Для Московского
университета это было тяжелое время, вследствие сильного регрессивного,
разрушающего воздействия на нашу науку и на нашу Родину в целом.
Однако на механико-математическом факультете университета сохранились
обстановка и дух научного творчества. В ходе выполнения этой работы
автор неизменно получал поддержку руководства факультета и содействие
товарищей. По просьбе автора текст очерков был размножен
предварительно в небольшом числе экземпляров, что позволило в
настоящем издании учесть замечания и пожелания первых читателей.
Непосредственную помощь в подготовке рукописи к опубликованию
оказали сотрудники факультета: к.ф.-м.н. Иванов О.В. и к.ф.-м.н. Смирнова
Г.С., научный сотрудник Е.И.Фалунина. Всем им автор выражает свою
сердечную благодарность.
Что же касается персонифицированных трактовок, появлявшихся в
тексте, то они просто являются следствием многолетней научной
деятельности и личной сопричастности автора. Итогами этой деятельности
являются, например, его книги "Введение в комбинаторный анализ", М.:
Изд-во МГУ, 1972 и 1985; "Комбинаторный анализ: задачи и упражнения",
М.: Изд-во МГУ, 1979 и М.: Наука, 1982; сборники "Комбинаторный
анализ", вып. 1-8, 1971-1989; материалы Объединенных семинаров по
дискретной математике, проведенных в МГУ в 1984-1993 гг.; работа с
учениками; чтение лекций и семинары в МГУ; другие устные и письменные
выступления.
Рыбников Константин Алексеевич
Комбинаторный анализ. Очерки истории.
Подписано в печать 20.5.1996г.
Формат 60x90 1/16. Объем 8 и.л.
Заказ 36 Тираж 500 экз.
Издательство механико-математического факультета МГУ
г. Москва, Ленинские горы.
Лицензия на издательскую деятельность ЛРЛ«020806, от 23.08.1993г.
Отпечатано на полиграфическом оборудовании механико-математического
факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.
Для заметок
]
1