Автор: Гридчин В.А. Драгунов В.П. Неизвестный И.Г.
Теги: физика энергетика полупроводники полупроводниковые приборы учебное пособие для студентов наноэлектроника издательство нгту
ISBN: 5-7782-0281-4
Год: 2000
Текст
ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА
«ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997-2000 ГОДЫ»
В. П. ДРАГУНОВ, И. Г. НЕИЗВЕСТНЫЙ,
В. А. ГРИДЧИН
ОСНОВЫ
НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности
«Микроэлектроника и полупроводниковые приборы»
НОВОСИБИРСК
2000
621.382.017.7(075.8)
В. П. Драгунов, И. Г. Неизвестный, В. А. Гридчин. Основы
наноэлектроники: Учеб, пособие.- Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2000. - 332 с.
ISBN 5-7782-0281-4
В данном учебном пособии излагаются основные вопросы физики си-
стем пониженной размерности, рассматриваются особенности энергетиче-
ского спектра и переноса частиц в многослойных структурах с резкими по-
тенциальными границами.
Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов, спе-
циализирующихся в области физики полупроводников и полупроводнико-
вых приборов. Оно может быть также рекомендовано студентам других
специальностей, научным работникам и инженерам, желающим самостоя-
тельно изучать физику низкоразмерных систем или расширить и системати-
зировать свои знания в области физических основ наноэлектроники.
Ил. 227, табл. 3, список лит. 222 назв.
Рецензенты: А. А. Орликовский, д-р техн, наук, проф.
А. А. Горбацевич, д-р физ.-мат. наук, проф.
Издание осуществлено при финансовой поддержке Федераль-
ной целевой программы «Государственная поддержка интеграции
высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 го-
ды».
ISBN 5-7782-0281-4
© Центр «Интеграция», 2000 г
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А - векторный потенциал
В - индукция магнитного поля
D, D - коэффициент прохождения (прозрачности), коэффициент диф-
фузии, индукция электрического поля
Е - полная энергия
Н - оператор Гамильтона
F - напряженность электрического поля
К - межатомный коэффициент жесткости
R - коэффициент отражения
J - плотность потока вероятности, плотность тока
U - потенциальная энергия
Т - температура
V- напряжение
р, р - квазиимпульс носителей заряда, концентрация дырок
е5- диэлектрическая проницаемость материала
р- плотность материала, удельное сопротивление
а - проводимость
М, m - масса атома
и - скорость звука
угловая частота
<у0 -циклотронная частота
q - заряд электрона, волновой вектор электрона и фонона
/0- равновесная функция распределения
k, к - волновой вектор электрона
Е - константа деформационного потенциала
ц - подвижность, приведенная масса экситона
Ф - электростатический потенциал
Ч7 - волновая функция
п - концентрация электронов
к - длина волны
kQ - постоянная Больцмана
Nc ~ эффективная плотность состояний у дна зоны проводимости
- конценз рация доноров (акцепторов)
Q - химический потенциал
Y - безразмерный поверхностный электростатический потенциал
1В - магнитная длина
Г - уширение квантового уровня
т - время жизни
Q, - кратность вырождения j-ro состояния
ПРЕДИСЛОВИЕ
Последняя треть XX века проходит под знаком все возрастаю-
щего влияния микроэлектроники на общество. Впечатляющие дос-
тижения вычислительной техники, информатики, радиоэлект-
роники и других направлений техники почти всегда базируются на
достижениях микроэлектроники. И не только потому, что она фор-
мирует элементную базу всех современных средств приема, пере-
дачи и обработки информации, автоматизированных систем
управления и т.д., но главным образом из-за революционизирую-
щего воздействия ее технологических принципов, достижений в
области синтеза и применения новых материалов для создания
приборных структур.
В свою очередь, достижения микроэлектроники базируются на
исследованиях и открытиях в области физики твердого тела и твер-
дотельной технологии. В настоящее время микроэлектроника «пи-
тается» физическими принципами и идеями, выдвинутыми и
развитыми 10-20 лет назад. Сегодняшние же концепции будут оп-
ределять лицо микроэлектроники в начале третьего тысячелетия.
Принципиальный технологический момент, обусловивший
преимущество микроэлектроники перед другими направлениями
техники, - групповой способ производства. Производственной
единицей в микроэлектронике является полупроводниковая пла-
стина, содержащая множество элементных чипов, из которых со-
бираются индивидуальные приборы. Помимо уменьшения
стоимости производства (что принципиально важно), групповой
способ производства, по существу, требовал последовательного
уменьшения размеров электронных компонент. При этом не только
возрастал выход приборов с одной пластины, но и, что еще важнее,
открывались возможности повышения быстродействия приборов
при одновременном возрастании надежности их работы.
С начала 60-х годов, когда появились первые интегральные
микросхемы, размеры транзистора уменьшились от 1 мм до не-
Предисловие
5
скольких десятых долей микрона. И в последней четверти века ка-
ждые полтора года число транзисторов на одной микросхеме уве-
личивалось вдвое - при такой скорости нарастания числа тран-
зисторов к началу нового столетия мы должны бы перейти к эре
гигамасштабных схем (более 10’ транзисторов на одну микросхе-
му). Однако исследования ведущих специалистов показывают, что
реализация подобных масштабов интеграции требует уже принци-
пиально новых решений.
Обратим внимание только на одну из проблем, которые обост-
ряются по мере минимизации полупроводниковых структур. Пусть
под затвором МДП транзистора в среднем находится N атомов ле-
гирующей примеси. Тогда неопределенность в числе атомов, дей-
ствительно присутствующих под затвором, из-за систематического
разброса в процессе легирования, будет порядка 8 В на-
стоящее время такая неопределенность составляет примерно 0.1 %,
поскольку 10е. Уменьшение размеров приводит к тому, что под
затвором МДП транзистора, например, с шириной канала 0.5 и
длиной 0.2 мкм в среднем будет находиться около 100 атомов при-
меси. В этом случае неопределенность числа атомов составит уже
8 ~ 10%. Если же изготовить микросхему из 106 таких транзисто-
ров, то какая-то часть их будет иметь количество примесных ато-
мов, столь сильно отличающееся от среднего значения, что
микросхема будет дефектной.
Кроме того, заряд, необходимый для переноса одного бита ин-
формации в таком транзисторе, составляет около 1 -КГ18 Кл. (при-
мерно 600 электронов) со средним отклонением 4%. Таким
образом, встает проблема исключения ошибок, порождаемых при
переключениях статистическими флуктуациями. Это тем более
существенно, что схемы с такими транзисторами должны осущест-
влять около 10’ переключений в секунду.
Опыт разработки МДП транзисторов с длинами канала 0.25 -
0.1 мкм показал, что в таких приборах лавинообразно нарастает
количество новых физических явлений, что, естественно, отража-
ется на проектировании и технологии их изготовления. Принцип
пропорциональной миниатюризации перестает работать.
Если диапазон 1.0 - 0.1 мкм представляет собой сложный тех-
нологический барьер, поскольку требует смены парка технологиче-
ской аппаратуры, то диапазон линейных размеров 0.1 - 0.05 мкм -
это фундаментальный физический барьер, за которым все свойства
твердого тела, включая электропроводности, резко меняются. На-
6
Предисловие
глядные образы и привычные теоретические модели теряют силу.
Начинают проявляться в полной мере квантовые эффекты, а физи-
ка проводимости определяется квантово-механической интерфе-
ренцией электронных волн.
Диапазон характеристических размеров полупроводниковых
структур 100- 10 нм (нанометровый диапазон) является передо-
вым в современной микроэлектронике. Именно с ним связывают
дальнейшие перспективы развития. Но обратим внимание, что на-
ноструктура размером 20 нм содержит около 100 атомов по диа-
метру, и, хотя внутренняя часть сохраняет кристаллическую
симметрию, все свойства наноструктуры сильно зависят от свойств
поверхности, которая составляет ее значительную часть.
Наряду с изложенным «традиционным» путем перехода к на-
ноструктурам имеется и другой путь, который приводит к тому же,
но более прямым методом. Он восходит к идеям изготовления ис-
кусственных периодических структур, состоящих из различных
полупроводников, со слоями, толщиной порядка нескольких нано-
метров (Л.В.Келдыш [1], Есаки и Цу [2,3]). В таких структурах от-
крывается возможность управления энергетической структурой,
так что даже появился термин «зонная инженерия».
Практическая реализация этих идей является, без сомнения,
одним из самых блестящих технических достижений последней
трети XX века Это стало возможным из-за развития техники моле-
кулярно-лучевой эпитаксии (МЛЭ) и газовой эпитаксии из метал-
лоорганических соединений. Реальные структуры содержат от
нескольких десятков до нескольких сотен тонких, различных по
составу полупроводниковых слоев с очень резкими границами, ко-
гда переходные слои составляют не более одного или двух моно-
атомных слоев.
В таких струк гурах в поперечном к плоскости слоев направле-
нии потенциальный рельеф для электронов имеет форму потенци-
альных барьеров и ям, что одновременно влияет на характер их
движения и перенос тока. Подбором параметров кристаллической
решетки можно превратить электронный газ в двумерный и пода-
вить движение в третьем измерении. К настоящему времени уже
созданы наноструктуры с одномерным электронным газом (кван-
товые проволоки) и кристаллиты, размером несколько нанометров,
которые получили название квантовых точек.
Все это открыло принципиальную возможность наблюдения
явлений, обусловленных квантовой природой электрона, и вызвало
Предисловие
7
интенсивное исследование интерференции и резонансного тунне-
лирования носителей заряда в полупроводниковых структурах.
Появилась возможность проверки ряда положений квантовой ме-
ханики на новых созданных человеком объектах исследований.
Интенсивное исследование квантовых эффектов в сверхтонких
полупроводниковых гетероструктурах привело к появлению новых
классов полупроводниковых приборов - резонансных туннельных
диодов (РТД) и транзисторов (РТТ), обладающих потенциально
высоким быстродействием (предельные частоты 1012 Гц) и широ-
ким спектром потенциальных возможностей. Особенно разнооб-
разны функциональные возможности униполярных и биполярных
РТТ и квантовых интерференционных транзисторов, имеющих
вольт-амперные характеристики с участками положительной и от-
рицательной крутизны. Параметры ВАХ можно регулировать как
подбором полупроводниковой структуры, так и изменением элек-
трических режимов работы, что позволяет по-новому подойти к
построению аналоговых и цифровых устройств.
Уже обсуждаются проблемы создания квантовых интегральных
схем, основными элементами которых станут квантовые точки,
квантовые проводники, квантовые ямы, транзисторные структуры
на основе квантовых размерных эффектов и устройств с управляе-
мой интерференцией электронов.
Перечисленные базовые элементы показывают, насколько фи-
зические принципы и явления, лежащие в основе наноэлектроники,
отличаются от используемых в микроэлектронике.
В предлагаемом вниманию читателя учебном пособии делается
попытка систематического изложения основных свойств наноэлек-
тронных структур. Материалы на эту тему разбросаны по большо-
му числу специальных публикаций, и давно назрела необходимость
в определенной систематизации накопленного богатого теоретиче-
ского и экспериментального материала в форме, приемлемой для
студентов и аспирантов. Для того чтобы предлагаемый материал
имел обозримые размеры, в представленном учебном пособии от-
сутствует какое-либо специальное квантово-механическое введе-
ние. Предполагается, что читатель знаком со стандартным курсом
нерелятивистской квантовой механики, излагаемым для студентов
электронных и электронно-физических специальностей. Это зна-
комство предполагает, прежде всего, понимание основных идей и
подходов. Сама постановка задачи и методы ее решения в учебном
пособии рассматриваются достаточно подробно.
8 Предисловие
В первых двух главах обсуждаются особенности энергетиче-
ского спектра частиц в системах пониженной размерности и воз-
можности управления этим спектром с помощью однородного
электрического поля. В гл. 3 - 4 анализируется изменение плотно-
сти состояний и проблемы экранирования электрического поля
в структурах пониженной размерности. В гл. 5 рассматривается
влияние магнитного поля на свойства систем пониженной раз-
мерности, а в гл. 6 - особенности фононного спектра в таких струк-
турах.
Теоретические и экспериментальные результаты исследования
транспортных явлений в наноэлектронных структурах изложены в
гл. 7, 8. В заключительной главе рассматриваются вопросы по-
строения приборов на основе наноэлектронных структур.
Авторы полагают, что предложенное учебное пособие поможет
читателю глубже разобраться в особенностях свойств наноэлек-
тронных структур и позволит увереннее ориентироваться в особен-
ностях этого странного наноэлектронного мира полупроводни-
ковых приборов, неизбежность которого очевидна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Келдыш Л. В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла
//ФТТ.- 1962 - Т. 4. - С. 2265-2267.
2. Esaki L., Tsu R. Superlattice and negative differential conductivity is semicon-
ductors // IBM J. Res. Develop. -1970. -V.14. -P.61-65.
3. Esaki L A superlattice - periodic array of heterojunctions // Proc, of the Int.
Conf, on Phys, and Chem. of Semiconductor. - Budapest, 1970. - V.l - P. 13-24.
ГЛАВА 1
ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Как уже отмечалось во введении, основу развивающейся нано-
электроники составляют структуры, состоящие из чередующихся
полупроводниковых слоев с различными электрофизическими ха-
рактеристиками. Отличие электронных свойств таких структур от
свойств однородного полупроводника связано с наличием в них
дополнительных резких изменений потенциала. С общетеоретиче-
ской точки зрения расчет электронных свойств в слоистых струк-
турах должен проводиться путем решения соответствующей
трехмерной задачи о зонной структуре кристалла. Для этого без
принципиальных ограничений могут быть использованы традици-
онные методы расчета зонной структуры. Однако непосредствен-
ные вычисления при этом существенно усложняются. Именно
поэтому в большинстве случаев анализ электронных свойств слои-
стых структур проводится на упрощенных моделях.
Наиболее часто для описания электронных свойств многослой-
ных структур используют метод огибающих волновых функций, в
котором в области каждого слоя влияние его периодического по-
тенциала сводится к подстановке в оператор кинетической энергии
эффективной массы, а изменения законов дисперсии на гетерогра-
ницах играют роль эффективных потенциалов.
Рассмотрим основные особенности энергетического спектра и
движения частиц в системах с одномерными прямоугольными по-
тенциальными барьерами.
1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке
Проведём анализ системы, в которой частицы, испускаемые ис-
точником, удаленным на большое расстояние, рассеиваются на
той или иной преграде, уходя после этого в бесконечность.
Простейшей моделью данной задачи, соответствующей случаю
рассеяния на потенциальном рельефе с большим масштабом неод-
нородности, является рассеяние частицы на потенциальной сту-
10
Гл. I. Особенности энергетического спектра
пеньке (прямоугольном потенциальном барьере бесконечной ши-
рины)
1/(х) =
0, х <0
Vo, *>°
(1.1.1)
где Uo = const (рис. 1.1, а).
Исследуем особенности поведения частицы в таком потенци-
альном рельефе. Будем полагать, что источник частиц находится
далеко слева (при х->-«), а испускаемые им частицы движутся
слева направо.
Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от
времени), отыскание состояний движения частицы сводится к ре-
шению стационарного одномерного уравнения Шредингера
й2
----Т' + (С/(х)-£)Т=0,
2т
(1.1.2)
здесь т - масса частицы; Е - полная энергия частицы.
Рис. 1.1. Энергетическая диаграмма (а) и зависимость коэффициента
отражения R от £/1/0 (б) для прямоугольной ступеньки
В данном случае уравнение (1.1.2) удобно решать отдельно
для области х<0 и х>0. В области х<0 (область 1), где U(x)=0,
(1.1.2) принимает вид уравнения для свободной частицы, а его об-
щее решение
Т] (х) = А{ expO/qx) + Вх ехрНК,х) = wf+) + , (1.1.3)
где
£| =V2 w £/Л.
(1.1.4)
Если учесть, что в случае стационарных состояний волновая
функция гармонически зависит от времени, то представляет со-
1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке 11
бой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля. Таким
образом, At является амплитудой волны, распространяющейся от
источника к потенциальной ступеньке (падающие на ступеньку
частицы), а В, - амплитудой рассеянной волны, распространяю-
щейся назад к источнику (отраженные от ступеньки частицы).
В области х>0 (область 2) уравнение (1.1.2) принимает вид
Й2
Ч'2+(1/0-£)Ч'2=0. (1.1.5)
2 т
Характер решения уравнения (1.1.5) определяется соотношени-
ем между энергией падающей частицы Е, задаваемой источником,
и высотой потенциальной ступеньки Uq.
В случае E>U0 общее решение для волновой функции в об-
ласти 2 имеет вид
Т2 = Л2 • exp(iK2x) + В2 • ехр(-/ЛГ2х), (1.1.6)
где K2=yj2m(E-U0)/h>0 . (1.1.7)
Учитывая однородность среды 2 (по постановке задачи в об-
ласти х>0 других источников рассеяния нет), амплитуду Бг
"встречной" волны в области 2 следует положить равной нулю.
При этом А2 является амплитудой волны, прошедшей за ступеньку
(частицы, пролетающие над барьером). Таким образом, для E>U0
Т2 = А2 • exp(iK2x) = ^+). (1.1.8)
Физический интерес представляют коэффициенты прохож-
дения и отражения, определяемые отношением плотностей
потоков прошедших и отраженных частиц к плотности по-
тока падающих частиц. Для расчета коэффициентов прохожде-
ния D и отражения R воспользуемся понятием вектора плотности
потока вероятности j (квантовым аналогом классического вектора
плотности потока частиц). В одномерном случае выражение для J
принимает вид [1]
у = А.(ц/.кр*'_ч>*.ч/'). (1-1.9)
2т
С учетом (1.1.9) коэффициент прохождения D (коэффициент про-
зрачности)
(1.1.10)
12
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Аналогично коэффициент отражения R
R =
(1.1.11)
Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в
области 2, для этого подставим (1.1.8) в (1.1.9) и в результате полу-
чим
4+)=-*2|*2|2.
т
(1.1.12)
Аналогично в области 1 плотность потока вероятности падаю-
щих частиц может быть представлена в виде
у}+)»=-АГ||Л||2, (1.1.13)
т
а плотность потока частиц, отраженных от потенциальной сту-
пеньки,
уР = - ^|4|2 (1.1.14)
т
С учетом (1.1.10) и (1.1.11) имеем
D = ^2 4*21 (1.1.15)
*1 1*11
И
я=|51|2/|А|2. (1.1-16)
Таким образом, для определения коэффициентов прохождения
и отражения необходимо выразить амплитуды прошедшей и от-
раженной волн А2 и через амплитуду падающей волны А,.
Чтобы найти А2 и В,, воспользуемся условиями непрерывности
волновой функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем
случае граница двух сред соответствует х=0, то из этих двух усло-
вий с учетом явного вида функций Т,(л) и Ч*2(х) получим, что
Вх = Л, (Кх - К2)/(КХ + К2), А2 = 2 Кх • 4ЦКХ + К2),
(1.1.17)
_____________II- Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке_13
откуда с учетом (1.1.15), (1.1.16), (1.1.4) и (1.1.7)
£>= 4 = 4— (1.1.18)
(Ki + K2)2 >M«-l)+2 + V(«-l)/a
И
Л = (К> - К*\ =(4а- 4сП/, (1.1.19)
(*1+К2)
где а = E/Uq.
Плотность потока вероятности частиц при х>0
Полученные результаты сильно отличаются от классических.
Согласно классической механике частица, обладающая энергией Е
> С70, всегда проникает в область 2 (при полной потере кинетиче-
ской энергии в случае E=U^. Согласно же квантовой механике
при Е > и^имеется конечная вероятность отражения частицы
от потенциального барьера, так что в области 1 есть встреч-
ный поток отраженных частиц - j^, причем отра-
жение будет полным, если E=U0. В любом случае D+/?=l.
Отметим, что для частиц, движущихся к барьеру из -но, D и R
могут быть вычислены тоже по формулам (1.1.18) и (1.1.19). При
заданной полной энергии Е (E>U0) коэффициенты прохождения и
отражения оказываются не зависящими от направления движения
частиц, т.е. частицы, движущиеся к барьеру слева, имеют та-
кую же вероятность отразиться от него, что и частицы с той
же энергией, движущиеся к барьеру справа. При этом вероят-
ности прохождения и отражения определяются только от-
ношением E/Uff Смена направления движения приводит к
изменению фазы отраженной волны. В нашем случае, для час-
тиц, падающих на ступеньку слева, отражение происходит в фазе с
падающей волной, а при движении справа - в противофазе.
В случае, когда энергия падающей частицы E<U0, характер ре-
шения уравнения (1.1.5) радикально меняется. В соответствии с
(1.1.7) К2 становится мнимым и общее решение (1.1.6) будет не
комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных
направлениях, а совокупность двух монотонных функций
4/2(x) = Ci exp(/? x)+C2 -exp(-/? x), (1.1.21)
где р = у]2т- (t/0 - Е) / Я.
14 Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Учитывая требование конечности волновой функции, необхо-
димо положить С,=0 (х>0). Таким образом, при E<U0
Т2(х) = С2 ехр(-/&) . (1.1.22)
"Сшивая" волновые функции (1.1.3), (1.1.22) и их производные
при х=0, получим
Л1(Х-1-1/?) (1.1.23)
И
= 2KiAi (1.1.24)
(*1 + 0?)
Отметим, что в случае E<U0 амплитуды 2^ и С2 - комплексные
числа, а коэффициент отражения R равен единице
м2 +
= 1.
Таким образом, при E<Un все частицы отражаются от по-
тенциальной ступеньки так, что в области 2 поток частиц
отсутствует. Несмотря на это, в области 2 волновая функция от-
лична от нуля, т.е. имеется определенная, хотя и малая, вероят-
ность проникновения частицы внутрь потенциального барьера. В
области х>0
|'Р2|2=|С2|2 -ехр(-2/&с) = 4а • ехр(-2/fr)• |Л1|2 *0.
Частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и
возвращается назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При
этом между падающей и отраженной волнами появляется фа-
зовый сдвиг [2]
A? = arctg [(2/^)/(аГ2 -/72)].
Эффективная глубина проникновения под барьер, на которой
вероятность обнаружения частицы еще заметно отлична от нуля,
имеет порядок величины »1 / р.
Зависимость коэффициента отражения R от отношения £/(70
показана на рис. 1.1,6.
1.2. Потенциальный барьер конечной ширины
1.2. Потенциальный барьер конечной ширины
15
В реальной физической ситуации мы всегда имеем дело с барь-
ером конечной ширины. Найдем коэффициенты отражения и про-
хождения при движении частицы через прямоугольный потенци-
альный барьер ширины L и высоты Ut в предположении, что энер-
гия частицы U2<E<Ut (рис. 1.2, а).
Используя результаты п.1.1, можем сразу записать решения
уравнения Шредингера для трех областей (1,2 и 3):
4*1 = Л) • exp(iAT]x) + Bi ехр(- i^x) ;
Т2 = А2 • ехр(Д) + В2 ехр(- fix);
(1.2.1)
= 4} • exp(iK2x),
где К1=^2-»п £/Л, ^ = 42-т-(Ц-Е)/й, К3 = ^2-m(£-U2)/ft.
При записи уравнений (1.2.1) учтено, что в области 3 нет ис-
точников частиц и рассеивающих центров, т.е. будет распростра-
няться только прошедшая волна.
Подставив (1.2.1) в (1.1.10) и (1.1.11), получим
р=^|Л|2/(^1|4|21
(1.2.2)
1 2 3
0 L х
/?=|^|2/|4|2.
3
1 2
2 1
1 | 2 3
П“
Е Ut U2
I _ _____I >
0 L х
Рис. I 2 Энергетическая диаграмма прямоугольного потенциального
барьера
16 Гл, 1. Особенности энергетического спектра
Амплитуды В, и Ау найдем из системы линейных алгебраиче-
ских уравнений, полученной с использованием условия непрерыв-
ности волновой функции и ее первой производной на границе двух
областей.
Так, при х=0 имеем
А^ + В] = А2 + В2
(1.2.3)
при х=В
А2 • ехр(/? • L)+В2 • ехр(- Р • L) = А3 • exp(iK3L);
Р'(А2- exf(P L)-B2- ехр(- Р • L)) = iK3A3 exp[iK3L).( 1.2.4)
Решив систему уравнений (1.2.3), (1.2.4), получим для несим-
метричного барьера (рис. 1.2, а)
D = 4K3KiP2/Z ; (1.2.5)
В = 1-4Л'1А'з/32/7; (1.2.6)
£> + В = 1;
Z = \rf+ р2]-(к32 + р2)- sh2(fi L}+(K\ + Кз)2 • Р2.
Отсюда для случая симметричного барьера (рис. 1.2, б), когда
К. =Кг,
D = [1 + .5a2QLL)1 (У 2.1)
4а(1-а)
R= 1 +
4а(1 - а)
sh2(p L)
(1.2.8)
Анализ выражений (1.2.5) и (1.2.7) показывает, что в случае
барьера конечной ширины и высоты появляется конечная вероят-
ность частице пройти под барьером, что абсолютно невозможно в
классическом случае, так как при E<U0 формально значение кине-
тической энергии Т становится отрицательным:
T = £-t/o<O.
1.3. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц 17
Проникновение частицы с энергией E<U0 через потенциальный
барьер - чисто квантово-механический эффект, что видно из фор-
мулы (1.2.5) (если положить в ней й=0, получаем £)=0). Это явле-
ние носит название туннельного эффекта.
Отметим, что коэффициенты прохождения (1.2.5) и отражения
(1.2.6) оказываются симметричными по индексам 1 и 3. Это озна-
чает, что проницаемость барьера одинакова для потоков, па-
дающих справа и слева. Из уравнения (1.2.5) также следует, что
прошедший поток монотонно стремится к нулю, если либо Кх, либо
К3 стремится к нулю. Заметим также, что проведенный анализ и
формулы (1.2.5), (1.2.6) могут быть распространены и на случай
барьера, показанного на рис. 1.2, в, путем замены потенциала U2 на
-и2.
1.3. Интерференционные эффекты при надбарьерном
пролете частиц
Рассмотрим особенности прохождения частицы над прямо-
угольным потенциальным барьером (рис. 1.2, а), когда E>UX и U2.
Сразу отметим, что надбарьерное прохождение частиц может
служить одним из простейших примеров проявления кванто-
вых размерных эффектов. Последние в этом случае приводят к
квазипериодической осцилляции коэффициента прохождения
частиц при изменении их энергии Е.
В данном случае решение уравнения Шредингера для всех трех
областей будет иметь вид
= Aj exp(iKyx)+ В j ехр(- iKjx),
здесь j - номер области (1,2 или 3). При этом, в отличие от (1.2.1),
K2=yj2mE2in, (1.3.1)
где Е2 =E-UX.
Полагая, как и ранее, что частицы движутся слева направо, в
отсутствии рассеяния можно получить
D = ^KXK2K3IZ ; (1.3.2)
R = \-D', (1.3.3)
z = l^2 - к1\к% - /:22)sin2(^)+ кЦкх + K3)2
Заметим, что выражения (1.3.2), (1.3.3) переходят в (1.2.5),
(1.2.6), если учесть, чтоК2 = ~'fli
18 Гл. 1. Особенности энергетического спектра
В случае симметричного барьера, когда КХ=К3 (рис. 1.2,6), вы-
ражения (1.3.2) и (1.3.3) упрощаются и принимают вид
D = [1 + sin2(tf2Z))/(4E£2 )f ’ 5 (1.3.4)
R = [1 + 4Е£2 sin2(tf2£)]]’1 . (1.3.5)
Анализ (1.3.4) и (1.3.5) показывает, что при изменении энергии
частицы Е будут наблюдаться осцилляции коэффициентов
прохождения и отражения. При этом, когда D = D^, то R =Rmia,
и наоборот. Период осцилляций соответствует условию
sin2(K2L)=0
или
K2nL = п-л, (л = 1,2...), (1.3.6)
при выполнении которого коэффициент прохождения для частиц с
волновым вектором К2и обращается в единицу. В этом случае для
частиц с энергией
E2,n=E-U0 (1.3.7)
на ширине барьера L укладывается целое число полуволн де Брой-
ля, и коэффициент отражения равен нулю. Квазиклассически это
можно трактовать как результат интерференции волн, отраженных
от скачков потенциала на границах барьера. Условие (1.3.7) можно
еще записать в виде
fe2 /_\2
^.=^7 »= (1-3.8)
2m\LJ
Величина равна энергии л-го уровня частицы, локализован-
ной внутри потенциальной ямы шириной L с бесконечно высокими
стенками, т.е. резонансные значения энергии Е2и совпадают с
энергией л-го уровня такой ямы.
При изменении энергии частицы коэффициент прохождения
осциллирует, как показано на рис. 1.3. Минимальные значения
£>=£>mjn и соответствующие им значения ££„ (“антирезонансные”
состояния), можно приближенно оценить из условия
sin2(K2L) = 1.
1-3. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц 19
Отсюда
£Ь=Л-*(п*05)2. (*> = 1,2...), (13.9)
2mL
а
и1 I’1
^я= 1 + - , । (13.10)
L 4£i.^o+^)J
С ростом резонансного номера п и уменьшением ширины барь-
ера L минимальный коэффициент прохождения быстро воз-
растает, так что осцилляции становятся все менее выраженными.
Увеличение высоты барьера t/0, напротив, уменьшает Dmmn, уве-
личивая амплитуду осцилляций, при этом соответствующие анти-
резонансные значения ££„ остаются постоянными (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Зависимости коэффициента прохождения над потенци-
альным барьером от энергии
Используя предыдущие рассуждения, можно получить выра-
жение для оценки отношения концентрации частиц в окрестности
точки с координатой 0<х<£ (над барьером) к концентрации частиц
в падающей волне (рис. 1.2, б)
|Т2(х)|2 £>(e-£/0cos2(£2(£-x)))
Ы1 ’
(1.3.11)
здесь D определяется выражением (1.3.4).
20
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Согласно (1.3.11) для частиц, имеющих энергию Е, удовлетво-
ряющую условию (1.3.6), когда D= = 1
0(*=o)=i, ef*=|)=F4r=,+7L’ (1-3.12)
к 2) E-Uq Е2
Следовательно, в данном случае концентрация частиц в облас-
ти, занимаемой барьером, будет больше, чем в падающей волне,
т.е. несмотря на то, что при E>U$ волновая функция электрона
"размазана" по всему пространству, существуют избранные зна-
чения энергии (и импульса) Ею при которых вследствие интер-
ференции электронных волн, отраженных от границ барьера,
амплитуда волновой функции в области барьера будет больше,
чем в других областях.
Сделанные выводы справедливы и в случае несимметричного
барьера (см. рис. 1.2, а, в, г). Однако в этом случае будет меньше
единицы, поэтому все эффекты выражены слабее.
В реальных полупроводниковых структурах наблюдать и тем
более использовать на практике квантовые осцилляции вероятно-
сти надбарьерного прохождения носителей заряда достаточно
трудно, поскольку над барьером могут проходить лишь "горячие"
электроны, причем увеличение эффекта за счет более высоких
барьеров требует соответствующего повышения их энергии. Кроме
того, уменьшение коэффициента прохождения при увеличении
энергии электронов, которое в принципе могло бы привести к по-
явлению падающего участка на ВАХ структуры, реально оказыва-
ется либо малым, либо происходит на интервале энергий (30 -
50) мэВ, сравнимом с тепловым разбросом при комнатной темпе-
ратуре, и поэтому при температурах выше комнатной сильно раз-
мыто [3].
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
При выращивании пленки узкозонного полупроводника меж-
ду двумя слоями широкозонного материала может быть реализо-
ван потенциальный рельеф, показанный на рис. 1.4.
В этом случае задача определения стационарных состояний
движения электрона сводится к задаче о поведении частицы в пря-
моугольной потенциальной яме.
Для асимметричной потенциальной ямы (рис. 1.4, а) с
[Ц
U(x) = <0
W2
x<-0.5W
|х| <0.5FF
x>0.51F
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
21
Рис. 1.4. Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы
при Е < Сообщив решения уравнения (1.1.2) в областях 1,2 и 3 (с
постоянными значениями потенциала) можно представить в виде
¥1(х)= 4 ехр(Дх);
4*2 (х) = 4 exp(i'Ajc) + В2 ехр(- iKx), (1-4.1)
где K = y!2mE/tr, -£)/Л; ./=1,2.
Решения У, и Т3 записаны с учетом того, что они должны рав-
няться нулю на бесконечности.
Сшивая волновые функции и их первые производные при
х = +0.5И7, придем к уравнению
(L42)
ад + А>)
определяющему значения волнового вектора К, удовлетворяющие
условиям данной задачи.
Подставляя Ди Д в (1-4-2), получим трансцендентное уравне-
ние, позволяющее оценить разрешенные значения К
KW = nx- arcsm(/C /<?,)- arcsm(tf IG2), (1.4.3)
где «=1,2,3... - нумерует разрешенные значения К в порядке их
возрастания; Gj = ^2mUj /h, j=l,2; значения арксинуса надо брать
_ Л’
в интервале 0, —.
Уравнение (1.4.3) определяет набор положительных значений
волнового вектора яг, и, следовательно, возможные уровни энер-
гии, соответствующие этим состояниям. Таким образом, энергия
22
Гл. L Особенности энергетического спектра
Еп = h2 К2 / 2т частицы в потенциальной яме оказывается
квантованной, принимающей одно из разрешенных дискретных
значений Еп. Чтобы подчеркнуть это, потенциальные ямы (особен-
но узкие) часто называют квантовыми ямами (КЯ).
Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, значе-
ния К лежат только в интервале
0<Я<С2. (1.4.4)
Если WG2 <я, то в КЯ находится не более одного разрешенного
энергетического уровня. В общем случае количество разрешенных
энергетических уровней в прямоугольной КЯ можно оценить, ис-
пользуя неравенство
п < {fVG2 + arcsin^/t/J]/^ + 0.5) < п +1. (1.4.5)
Согласно (1.4.5) при С/2 всегда найдутся столь малые зна-
чения WG2, для которых в КЯ не будет ни одного разрешенного
уровня энергии. Заметим, что при U2 = U\ (рис. 1.4, б) условие (1.4.5)
для п=1 всегда выполняется. Следовательно, симметричная од-
номерная потенциальная яма с произвольными значениями W и
U всегда имеет не менее одного разрешенного энергетического
уровня. Более того, если в случае произвольного одномерного по-
тенциала асимптотические значения U(<x>) = u(~°o) и между
ними находится один минимум, то всегда имеется, по крайней
мере, один связанный уровень. Если же 00), то связан-
ного состояния может и не быть. В случае двух и трех измере-
ний в неглубоких узких потенциальных ямах связанных
состояний может не быть даже при С/(а>)=и(- со), т.е. части-
ца не будет ''захватываться" ямой. Согласно же классической
механике частица может "захватываться" и совершать финитное
движение в любой потенциальной яме, лишь бы энергия частицы
была достаточно мала.
Особенно простой вид имеют решения уравнения (1.4.3) для
бесконечно больших значений Щ и С/2. В случае прямоугольной
ямы с бесконечно высокими стенками (БПЯ) согласно (1.4.3)
где п=1,2,3... . В этом случае на ширине ямы укладывается целое
число длин полуволн де Бройля
2W KnW
— - —— = п.
Ял л
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
23
При этом разрешенные дискретные уровни энергии частицы
определяются соотношением
/ \2
£„= — •[ — ] п2 =0.3737
2т \JVJ
п
РГ(нм)
[эВ],
(1.4.7)
здесь т0 -масса свободного электрона.
Нормированные волновые функции частицы в состояниях с
различными значениями Е„ в этом случае могут быть представле-
ны в виде
если п нечетное,
(1.4.8)
если п четное.
Согласно (1.4.8) волновая функция основного состояния 4*i
(состояния с наименьшей энергией) не имеет нулей внутри кванто-
вой ямы, функция (волновая функция первого возбужденного
состояния) имеет один нуль (узел) внутри КЯ, функция имеет
два узла и т.д.. Аналогичную зависимость числа узлов волновой
функции от номера возбужденного состояния демонстрируют
и другие одномерные системы, в которых движение происходит
в ограниченной области пространства.
В общем случае, когда Uу » разрешенные значения волново-
го вектора (а следовательно, и энергии) можно найти, решая урав-
нение (1.4.3) численно или графически. Однако и в этом случае
удается получить ряд соотношений, облегчающих практические
оценки.
Во-первых, можно показать [4], что
T„(lF/2)=(- ly'-’TLV^’ • %(- WI2) (1.4.9)
И
н= Г^~,
здесь Аэфф + + Д3>) “ представляет собой эффективную
длину области локализации частицы с энергией £„ и отражает тот
факт, что частица преимущественно локализована внутри КЯ, но
частично проникает и в области‘барьеров.
24
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Во-вторых, раскладывая arcsin в ряд, можно получить выраже-
ние для оценки разрешенных значений волнового вектора. Полагая
Еп <<UJy получим
К„ =nn/(W + Ri/Gi + R2/G2).
(1.4.10)
В первом приближении R{ = R2 = 1. При этом для Е„ /<Апт<0-25
ошибка в оценке К„ по (1.4.10) будет менее 5%. Во втором при-
ближении следует полагать
Л,=
е(*)л
дл
61/,
(1.4.11)
здесь Е$р - энергия л-го уровня, рассчитанная в первом прибли-
жении при Rj =1. При использовании Яув виде (1.4.11) ошибка в
оценке Кп по (1.4.10) будет менее 2 % для Еп / C/min < 0.3.
В-третьих, для симметричной КЯ (рис. 1.4, б) волновая функция,
соответствующая состояниям положительной четности (л=1,3.5...),
может быть представлена в виде
^.cos(E„x) 1х|<₽Г/2
1 , (1.4.12)
C„exp[-/?„(|x|-»72)] |х|>1Г/2
где
А„ = + sm(K„^)/(^„FF)+ 2cos2(K„lK l2)l(p„W^l/2 ;
(1.4.13)
Cn=J„cos(E„^/2).
Волновая функция, соответствующая состояниям отрицатель-
ной четности (и=2,4,6...),
С„ ехр(Д,х),
x<-W/2
£>„ ехр(- рпх)
|х|<1К/2, (1.4.14)
х >W!2
1.5. Особенности движения частиц над потенциальной ямой
25
здесь
D„ = А„ ^KnWI2) ^nWI2\
Cn=-Dn (1.4.15)
Ti “1 / 2
t sin(A'„FF) ! 2sin2(^0.51F)
+ pnw
An = t4O.5JF
1.5. Особенности движения частиц над
потенциальной ямой
Мы рассмотрели случай, когда полная энергия частицы Е была
меньше высоты стенок потенциальной ямы (финитное движение).
В этом случае размерный эффект проявляется в квантовании энер-
гии и волнового вектора частицы.
В случае, когда энергия частицы превосходит высоту стенок
потенциальной ямы(£>{/у, рис. 1.4), движение частицы является
инфинитным. Однако, как и в случае движения над потенциальным
барьером, здесь возможно отражение частиц от областей с
резким изменением потенциала (в данном случае от краёв ямы)
и даже своеобразный резонансный захват пролетающих над ямой
частиц.
Если частица движется вдоль оси X, то, достигая потенциаль-
ной ямы, она испытывает действие сил. При этом частица либо от-
разится, либо "пройдет" над потенциальной ямой. В областях 1 и 2
(рис. 1.4, а) решение уравнения (1.1.2) в данном случае имеет вид
'Ey = Aj exp(zXyx)+ Вj • ехр(- iKjx}, (1.5.1)
где Кх =72/п(£-С/1)/й, K2=j2mElh.
В области 3 {x>W/2) решение имеет вид уходящей от ямы вол-
ны
Т3 = Л3 • exp(zX3x), (1.5.2)
здесь Х3 = yl2m(E - й.
Чтобы вычислить коэффициенты прохождения и отражения
(1.2.2), надо выразить амплитуды Я, и 5, через амплитуду падаю-
26
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
щей волны Л|. Для этого используем условие непрерывности вол-
новой функции и потока частиц при X = ±W/2. В результате полу-
чим
D = 4KtK3Kl/Z,
(1.5.3)
R = |[^22 - Фг - K32Jsin2(K2lP) + (*! - K3)2K^]/Z- (1.5.4)
Z = (Кf - - К} )sin2(K2W) + fa + K3 )2 K2.
Для симметричной ямы, когда = К3 (рис. 1.4, б),
C^sin2(K2H
4£(£-t/0)
R = 1 +
4£(£-t/0)
C/q sin2(£2lf)
(1.5.5)
(1.5.6)
Отметим, что по виду выражения (1.5.3) - (1.5.6) совпадают с
аналогичными выражениями (1.3.2) - (1.3.5) для прохождения час-
тицы над потенциальным барьером.
Согласно (1.5.3), как и в случае потенциального барьера, при
прохождении частиц над потенциальной ямой коэффициент
Рис 15 Зависимость коэффициента прохождения над потенциальной
ямой от энергии.
1-</,/Г,=1. 2-£/</Г.=2. 3-иЛ',=3. 4 1/</Г,=4
____________!<> Энергетический спектр и волновые функции ..._27
прохождения осциллирует с увеличением энергии частицы
(рис. 1.5). В обоих случаях осцилляции имеют одну и ту же физи-
ческую природу. Квазиклассически их можно трактовать как ре-
зультат интерференции электронных волн, отраженных от скачков
потенциала на границах барьера или ямы. Однако, как показывает
сравнение рис. 1.3 и 1.5, при близком качественном характере за-
висимостей имеются и заметные различия. Так, при равных значе-
ниях ширин и скачков потенциала барьера и ямы размах ос-
цилляций коэффициента D при прохождении частиц над барь-
ером больше, чем при прохождении над ямой.
На первый взгляд, движение электронов над потенциальной
ямой оказывается еще менее пригодным для наблюдения и ис-
пользования осцилляций коэффициента прохождения. Однако в
данном случае заметные осцилляции могут наблюдаться при срав-
нительно небольших энергиях частицы, что улучшает условия их
наблюдения [3].
1.6. Энергетический спектр и волновые функции
линейного, плоского и сферического осциллятора
Современная технология МЛЭ с применением компьютерного
управления затворами молекулярных пучков позволяет получить
различный профиль потенциала КЯ. Поэтому наряду с прямо-
угольными КЯ в настоящее время интенсивно исследуются струк-
туры с более сложным ходом потенциала. С этой точки зрения
значительный интерес представляют структуры с параболиче-
ской КЯ, позволяющие реализовать систему эквидистантных
энергетических уровней.
Задача определения стационарных состояний движения элек-
трона в данном случае обычно сводится к задаче о линейном (од-
номерном) осцилляторе.
Стационарное уравнение Шредингера в случае линейного ос-
циллятора имеет вид
Й2 7
-----ЧИ’ + 0 SKjS'Y = ЕЧ . (1.6.1)
2т
Важное отличие осциллятора заключается в том, что движение
частиц в данном случае не ограничено какой-либо непроницаемой
стенкой. Поэтому у осциллятора нет граничных условий, подобных
условиям для бесконечной прямоугольной ямы. Единственным
требованием, которое налагается на волновую функцию осцилля-
тора, является требование ее квадратичной интегрируемости [2].
28 Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Решение уравнения (1.6.1) с учетом этого условия дает спектр и
собственные функции линейного осциллятора в виде
4Я,=М»+М; (1.6.2)
Ч4л)(*)= — (^) ехр-^-Нл -|, (1.6.3)
\ла ) V J I 2а1) \aJ
здесь со — чКГпг, а — -JfiTnita, Hn{z) - полиномы Эрмита;
такЯ0(г)=1; Hi(z)=2Z; H2(z)=4Z2 -2 ит.д.......
В случае плоского изотропного осциллятора вместо (1.6.1)
имеем
- —[-^у + -^у] + —(г2 + у2) • (1.6.4)
су ) 2
Так как операторы
- Й2 д2 Кх2 й й2 д2 Ку2
2т ft2 2 2т Sy2 2
коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осцил-
лятора, равным Н = Я, + Я2, то собственные функции Нх и Н2 могут
быть выбраны также собственными функциями я [5]. Учитывая это
обстоятельство и известное решение уравнения (1.6.1), можем най-
ти разрешенные уровни энергии и собственные функции плоского
осциллятора
En = йй)(Я + 1); N = 0,1,2...;
(1.6.5)
где ю = 4кТт\ N = n\+n2', л, =0,1,2...; п2 =0,1,2....
Так как уровню Efj с данным значением Af отвечают (7V+1) не-
зависимая собственная функция с л(= 0,l,2..JV (при этом
n2 = N-n}\то он является (N + 1)-кратно вырожденным.
В случае плоского осциллятора с потенциалом
U = 0.5К (л2 + у2)+ аху (1.6.6)
1.6. Энергетический спектр и волновые функции ...29
при а < К (1.6.6) можно представить в виде
U = 0.25[Кх{х +у)2 + К2(х-у)2},
где Ki2 =К + а>0.
х + у
Если теперь перейти к новым переменным х{ = и
— х + у
У1 = - (поворот на я/4 в плоскости (ХУ)), то гамильтониан
примет вид суммы гамильтонианов двух независимых осциллято-
ров:
2/и^г 2 2т 2
Соответственно энергетический спектр системы в данном случае
можно представить в виде
Ещ„2 =hj(K+a)/m-(nl +0.5)+h^(K-a)/m-(n2 +0.5), (1.6.8)
а
Аналогично в случае трехмерного осциллятора, когда потенци-
альная энергия имеет вид
U = 0.5^, х2 + К2у2 + K3z2 ),
гамильтониан системы
Н = Д'? + |(/ч*2 + К2у2 + K3z2) ,
здесь д - оператор Лапласа, который может быть представлен в ви-
де суммы гамильтонианов трех независимых осцилляторов. Таким
образом, задача опять сводится к одномерной. С учетом (1.6.2) и
(1.6.3) получаем, что спектр разрешенных состояний и волновые
функции трехмерного осциллятора могут быть представлены в виде
Е = й<У](и] +0.5)+й<У2(и2 + 0.5)+Йй>з(«з +0.5);
/ xl/4
д—1 2 2- (2”1’"2*"3", х (1.6.9)
Iя а1 а2а3 /
30
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
2g j
где <У/ = -/К, /т; а, = y[h/7no^.
В частном случае сферического осциллятора, когда U = 0.5Кг2,
решение соответствующего уравнения Шредингера можно пред-
ставить в виде
= h(o(N + 1.5), N = ni+n2+n3, N = 0,1,2... ;
(1.6.10)
4'V24W=,*'^«4'?W*S,(4 »„»2,«з=о.1.2...
Уровни энергии сферического осциллятора оказываются g(N)~
кратно вырожденными, причем
g(W)=0.5(W + lXW + 2).
1.7. Энергетические состояния в прямоугольной
квантовой яме сложной формы
Возможность получения слоёв с произвольным профилем из-
менения состава позволила для улучшения характеристик приборов
использовать структуры с КЯ сложной формы. Так.для создания
нового поколения резонансно-туннельных диодов и гетеролазеров
с раздельным электронным и оптическим ограничением [9] приме-
няются структуры с прямоугольными КЯ, в центре которых имеет-
ся дополнительный провал (рис. 1.6, а)
Рассмотрим влияние дополнительного провала на энергетиче-
ский спектр КЯ с бесконечно высокими стенками (рис. 1.6, б) [6].
2 3
п0
t / х
I X
Рис 1.6 Энергетическая диаграмма КЯ с дополнительным потенциальным
провалом
1.7. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме ...31
При анализе учтем, что провал получен изменением состава твер-
дого раствора, и, следовательно, в области провала (~d<x<d) эф-
фективная масса электрона ш, может отличаться от эффективной
массы т2 в прилегающих областях (d < |х| < I).
В случае, когда эффективная масса зависит от координаты, од-
номерное уравнение Шредингера может быть представлено в виде
T^w(jc)’,Z + t/Wl'p = £4/-
2 дх дх.
(1-7.1)
Для областей 1 и 3 (d </) (1.7.1) принимает вид
дх2
+ 0 'Р = ЕТ .
Аналогично для области 2 (|х| < d) имеем
2^2
-U T = £V
Найдем положение разрешенных энергетических уровней для
Е>0 (т.е. попадающих в широкую часть КЯ). В этом случае волно-
вая функция во всех трех областях может быть представлена в виде
exp(iKjx)+ Вj ехр(- iKjx), j = 1,2,3,
где ^3=^7; x2=^(£ + u).
Для нахождения коэффициентов л, и Bt как обычно воспользу-
емся условиями, обеспечивающими непрерывность волновой функ-
ции (непрерывность плотности частиц) и плотности потока частиц.
Тогда при |х| = d имеем, что
^1.3= *2 И
1 </Ч\з _ 1 <ЛР2
ЛИ] dx m2 dx
(1.7.2)
Кроме того, так как стенки КЯ бесконечно высокие, при |х| = /
Ч\3=0. (1.7.3)
32 Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Используя граничные условия (1.7.2) и (1.7.3), получим два
уравнения:
mj Л2
/И1 Л2
(1.7.4)
(1.7.5)
из которых первое определяет разрешенные К (а следовательно, и
Е„) для четных состояний, а второе - для нечетных.
Анализ выражений (1.7.4) и (1.7.5) позволяет выявить влияние
провала и различия эффективных масс на положение разрешенных
уровней энергии.
Так, для основного (нижнего) четного состояния из (1.7.4) по-
лучаем
^l = F0,
где
Го = - arctg —~tg(K2d)
2 |_?И2 Л]
(1.7.6)
(1-7-7)
На рис. 1.7 представлено решение уравнения (1.7.6) графиче-
ским методом.
Разрешенные значения при известной ширине КЯ (21) опре-
деляются точками пересечения прямой 1 (соответствующей правой
части уравнения (1.7.6)) с зависимостями F0(Kil) (кривые 2-5).
Рис 1.7. Графическое решение уравнения (1.7.6):
1-К|/, 2,3.4 и 5 2 - т2 = т, и С7=0; 3 - т2 < mt и Ц=0, 4-
ги2 < И1| и (У * О, 5 - т2 = и U * О
Анализ (1.7.6), (1.7.7) и приведенных зависимостей показывает,
что для основного четного состояния: 1 - уменьшение эффек-
1.7. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме ...
33
тивной массы т2 сдвигает разрешенный уровень энергии в об-
ласть больших энергий; 2- увеличение ширины d и глубины U
провала понижает разрешенный уровень энергии; 3- результи-
рующее смещение уровня энергии определяется суперпозицией
данных эффектов, при этом влияние эффективной мас-
сы обычно слабее. Так, при т2 -> 0 аргумент у arctg в (1.7.7) стре-
мится к
( т к1 "I
т\ d
/п2 Кх
т.е. влияние т2 на решение уравнения (1.7.6) вообще исчезает, а
влияние dm Uостается.
Увеличивая ширину и глубину провала, можно “выдавить” ос-
новной четный уровень из широкой части КЯ в провал. В этом
случае кривые F0(Aq/) не будут пересекать прямую 1 (рис. 1.7) при
(^/)>0, а следовательно, производная функции Fq(KxI) по пере-
менной (Кх1) в точке (Kxl) =0 станет меньше единицы. Отсюда сле-
дует, что условие существования основного четного уровня в
широкой части потенциальной ямы имеет вид
где
(1.7.8)
Ed =
h2
2m2d2 ‘
Анализ (1.7.8) показывает, что увеличение d, U, или т2
способствует выдавливанию основного четного уровня в провал.
Рассмотрим теперь влияние параметров системы на положение
первого возбужденного (нечетного) состояния. Как следует из
(1.7.5), выражение для определения разрешенных значений К в
этом случае может быть представлено в виде
^1/ = ^,
(1.7.9)
где
Fl = п + К yd - arctg
т2 К\
тх К2
tg(K2d)
(1.7.10)
Решение уравнения (1.7.9) графическим методом показано на
рис. 1.8.
34
Гл. I. Особенности энергетического спектра
Рис. 1.8. Графическое решение уравнения (1.7.9):
1- Кх1\ 2Д4 и 5- Г|(К|/);2-т2 <Ж! и 17=0; 3- т2 < тх и СМ); 4 -
т2 <тх но U#0; 5- т2 <mXMU*0
Анализ показывает, что и в этом случае уменьшение т2 уве-
личивает разрешенное значение энергии, а рост d и U -умень-
шает. Однако в данном случае ослабляется роль U. Так, уст-
ремляя т2 к нулю, видим, что аргумент arctg в (1.7.10) стремится к
= — Kid>
«1 К2 ) ту
т.е. влияние U исчезает.
Различное влияние U и т2 на положение основного и первого
возбужденного состояния связано с различным видом волновых
функций, соответствующих этим состояниям. Если для основного
состояния в области провала велико значение |Т|2 и мало значение
|JT/<ic|2, то для первого возбужденного, наоборот, велико |<ЛР/<йс|2,
но мало |Т|2. Так как средняя энергия в данном состоянии
J 2т dx
—со
dx +
J^(x)|4/|2dr,
-оо
то оказывается, что в основном состоянии средняя энергия будет
более “чувствительна” к наличию и величине провала, а в первом
возбужденном состоянии - к значению т2.
В результате оказывается, что можно создать структуру, у
которой наличие слоя с меньшей эффективной массой приве-
дет к понижению энергии основного и повышению энергии воз-
1.7. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме ...35
бужденного состояния, т.е. энергетический зазор между этими
уровнями станет больше, чем в случае простой КЯ, что, напри-
мер, используют для увеличения контрастности ВАХ резонансно-
туннельных диодов.
Реально мы имеем дело с потенциальными ямами, стенки кото-
рых имеют конечную высоту (рис. 1.6, а). Рассмотрим влияние ко-
нечной высоты стенок на разрешенные значения энергии
основного и первого возбужденного состояния КЯ при наличии
провала.
В этом случае необходимо дополнительно учесть возможность
проникновения частицы под барьеры (т.е. в области 4 и 5, см.
рис. 1.6, а). Решение уравнения (1.7.1) для этих областей (|х|>/)
можно записать в виде
*4,5 =С4,5 expl- /Ф4 - 01 , (1.7.11)
где fl2=^-(V-E).
й
Учитывая граничные условия при x = ±d и х = ±1, можно было
бы записать систему алгебраических уравнений, определяющую
разрешенные значения КиЕ. Однако при этом пришлось бы искать
совместное решение системы из восьми уравнений. Для упрощения
расчетов лучше учесть симметрию задачи и вместо граничных ус-
ловий для х<0 использовать граничные условия при х=0. При этом
для четных состояний получим
Т2(х = 0) = 0, (1.7.12)
а для нечетных состояний соответственно
Ч'2(0)=0. (1.7.13)
Учитывая (1.7.12). (1.7.13) и граничные условия при x=J,
‘P2(t/)=*3(4 — *2=—*з (1.714)
wi2 «1
и при х=/
*3(0 = *5('). — *з= — *5 > (1.7.15)
получим две системы по пять уравнений, решения которых и опре-
делят разрешенные значения К.и Е для четных и нечетных состоя-
ний.
36 Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Соответствующие дисперсионные уравнения для определения
разрешенных значений энергии и в этом случае (¥*<*>) удаётся
представить в виде (1.7.6) и (1.7.9), но Родля основного четного со-
стояния теперь будет иметь вид
F0=arctg(-^-)
+ K}d - arctg
m2 Кд
(1.7.16)
ш-2-к(к2ч)
a Ft для первого возбужденного (нечетного) состояния может быть
представлено как
F\ = п + Kxd - arctg! 1 - arctg tg(K2d)
к miP J L7”! K2
(1.7.17)
Решение дисперсионных уравнений (1.7.6) и (1.7.9) с учетом
(1.7.16) и (1.7.17) представлено на рис. 1.9.
Анализ показывает, что понижение высоты стенок КЯ по-
нижает значения разрешенных уровней энергии как для основ-
ного четного, так и для возбужденного состояния. Такому по-
нижению способствует увеличение т3 (эффективной массы ма-
териала барьеров). В результате условие существования основного
четного уровня в широкой части потенциальной ямы принимает
вид
(1.7.18)
Рис 1.9. Графическое решение дисперсионных уравнений (1.7.6) и
(1.7.9) с учетом (1.7.16) и (1.7.17):
1- К,/. 2,4.6- Г0(К,/); 3,5,7- Г,(К,/), 2.3-m^m,, IM), V = со, 4, 5 -
т2 = /И|, L/=0, V * оо , 6,7 - nt2 Г* со
1 К Структура со сдвоенной квантовой ямой 37
Оценки [6] показывают, что, например для структуры, у кото-
рой барьеры изготовлены из ALAs, широкая часть КЯ - из твердого
раствора /nG 53GaG47As^ провал - из In As, с параметрами V =
о о
= 1.32 эВ, 17=0.24 эВ, d= 9.2А, /=18.2А, =0.046/и0, =0.023т0,
ту =0.124 то уровни энергии основного и первого возбужденного
состояний равны соответственно 0.09 и 1.22 эВ. В то же время для
аналогичной структуры без провала эти же уровни соответствуют
значениям 0.22 и 0.94 эВ. Таким образом, наличие провала может
изменять положение уровней на несколько десятых эВ.
1.8. Структура со сдвоенной квантовой ямой
Выше мы рассмотрели поведение частиц в системах, содержа-
щих изолированные КЯ и потенциальные барьеры. Как уже отме-
чалось, накопленный к настоящему времени опыт и совершенст-
вование техники для выращивания эпитаксиальных структур по-
зволяют создавать и более сложные гетерокомпозиции, содержа-
щие полупроводниковые слои со сложным потенциальным профи-
лем. С этой точки зрения большой интерес представляет изучение
энергетического спектра частиц в связанных КЯ, так как в таких
системах возможно направленное регулирование энергетического
спектра и скоростей рассеяния электронов не только с помощью
изменения формы КЯ, но и изменения связи между КЯ. Структуры
со связанными КЯ стали основой многих электронных и оптоэлек-
тронных приборов. На их основе созданы лазеры инфракрасного
диапазона (ИК), приемники (ИК) излучения, элементы нелинейной
оптики и быстродействующие транзисторы.
Для выяснения влияния, оказываемого сближением изолиро-
ванных КЯ, рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых
одномерных прямоугольных КЯ, разделенных проницаемым по-
тенциальным барьером (рис. 1.10).
Следуя [7], обсудим прежде всего качественные изменения.
Известно, что энергетический спектр такой системы имеет
вид дублетов [4]. Волновая функция в данном случае является ре-
шением уравнения (1.1.2) с потенциалом, показанным на рис. 1.10.
Если КЯ достаточно удалены друг от друга, то между ними волно-
вая функция Ч7 практически равна нулю. Решение (1.1.2) в окрест-
ности каждой КЯ в этом случае будет практически совпадать с
решением (1.4.12) для изолированной КЯ с тем отличием, что ве-
личина |Т|2 вследствие нормировки уменьшится вдвое. Волновая
функция Т для наинизшего квантового состояния показана на
рис. 1.10, а.
38
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Рис. 1.10. Потенциальный профиль и волновые функции для систе-
мы из двух прямоугольных КЯ
Однако для данной задачи возможно и другое решение уравне-
ния Шредингера (рис. 1.10, б). Единственное различие между Т
функциями, показанными рис. 1.10, состоит в изменении знака в
одной из КЯ и означает, что волновая функция Ч* (включая зави-
симость от времени) в одной из ям отличается по фазе на 180° от Ч*
в другой яме. Принято говорить, что волновая функция (а) сим-
метрична, а волновая функция (б) - антисимметрична.
Между значениями энергии для обоих решений (а) и (б) разни-
цы практически нет, что следует из одинаковой для обоих решений
формы Т(х), а следовательно, одинаковой средней кинетической
энергии (-Ijy/dxl2) и средней потенциальной энергии (~£/(х)|Ч'|2).
При сближении КЯ волновые функции (а) и (б) изменяют свою
форму (рис. 1.11). В этом случае волновая функция (а) будет да-
вать меньшее значение полной энергии Е, поскольку для нее сред-
Рис 111 Изменение волновых функций при изменении расстояния между КЯ
1.8. Структура со сдвоенной квантовой ямой
39
нее значение потенциальной энергии приблизительно такое же, как
и в случае (б), тогда как среднее значение кинетической энергии
меньше, так как меньше среднее значение |<7T/dx|2. В предельном
случае (рис. 1.12), когда ширина барьера между ямами равна нулю,
т. е. ямы только что соприкоснулись, Т- функция (а) есть не что
иное, как волновая функция основного состояния для КЯ шириной
2W. Поскольку, согласно (1.4.2) и (1.4.7), энергия глубоких со-
стояний Е ~л2 /(ширина КЯ)2, то соответствующее значение Е со-
ставит примерно 1/4 энергии Е для рис. 1.10. Аналогично, волновая
функция (б) на рис. 1.12 есть волновая функция с л = 2 для КЯ ши-
риной 2W. Таким образом, Е, связанное с этой функцией Т, будет
примерно то же, что и Е для волновой функции на рис. 1.10, так
как л увеличилось в два раза (равенство будет точным для КЯ с
бесконечно высокими стенками). Зависимость энергии для этих
двух состояний от расстояния L между КЯ показана на рис. 1.13.
Для обоих состояний исходным является значение энергии Е} при
L = оо (£j - энергия частицы в состоянии л = 1 для прямоугольной
КЯ конечной глубины). Из рис. 1.13 следует также, что при лю-
бом значении L уровень Ev соответствующий изолированной
КЯ, расщепляется на два уровня (образуется дублет), причем
это расщепление растет с уменьшением расстояния между
КЯ. При этом, если частица находится в состоянии с более низ-
кой энергией, то волновые функции в обеих КЯ оказываются в
одной фазе; если же частица находится во втором состоянии, то
волновые функции оказываются в противоположных фазах. От-
метим, что расщепление уровней во взаимодействующих КЯ ана-
логично расщеплению резонансных частот в связанных резонанс-
ных контурах.
Рис I 12 Волновая функция для
предельного случая, когда барьер
только что исчез
Рис. 113. Зависимость энергии от L для
симметричного и антисимметричного
состояний в связанных КЯ
Кривая а) соответствует симметричной Ч'-функ
ции, б) антисимметричной
40
Гл. I. Особенности энергетического спектра
и 00 и 00
- w 0 w
Рис. 1.14. Энергетическая диа-
грамма КЯ с 5-образным по-
тенциалом
Рассмотрим более подробно энер-
гетический спектр частицы в системе,
состоящей из двух КЯ, разделенных 8-
образным барьером (рис. 1.14). Рас-
пределение потенциала в этом случае
можно записать в виде
С/(х)
U(x) = а8(х)
U(x) = со
при |х| < W
при |х| > W
причем а>0.
Для |х| < W состояния частицы в этом потенциале описываются
уравнением Шредингера
й2 я2Ф
-----^-^ + а<5(х)'Р = ЕТ. (1.8.1)
2m dx2
В интервале 0 < х < W решение (1.8.1) имеет вид
Т, = At exp(iKx) + Bi exp(-zAx), (1.8.2)
а для - W <x<0
^2 = ^2 exp(iAk) + B2 exp(-iKx), (1.8.3)
„ l2m r
здесь л = —-E.
Ъ2
С учетом граничных условий в точках = W получаем
Ч*! = 2iBi exp(-iKlK)sin[K(ir - х)]; (1.8.4)
Т2 = 2iB2 exp(iKW)sin[/C(lF + х)]. (1.8.5)
При наличии ^-образного потенциала граничные условия в
точке х = 0 принимают вид
Т,(0) = Т2(0)
-Т1'(0)+Ч>2(0) = ^аТ(0).
1.9. Прохождение частиц через многоЬарьерные квантовые структуры 41
Отсюда получаем выражение, определяющее спектр разрешен-
ных состояний в данной системе,
---= -tg(KW). (1.8.6)
та
^2
Анализируя (1.8.6) в пределе а»- и —^(последнее не-
mW т
равенство ограничивает рассмотрение состояний с достаточно низ-
кой энергией) для четных (симметричных) состояний,получим, что
Еп — Епсо 1
2h2 У
maW
(1.8.7)
здесь Еп<Х1- энергия и-го уровня в БПЯ шириной W(1.4.7),
л=1,2,3,....
Для нечетных состояний волновая функция при х=0 должна
равняться нулю. Согласно (1.8.4) и (1.8.5) данное условие выполня-
ется, если
KW = nn.
При этом энергия частицы, находящейся в нечетном (антисим-
метричном) состоянии будет определяться выражением
Е~=Епа>, (1.8.8)
т. е. в нечетном состоянии частица как бы «не чувствует» наличия
^-образного потенциала в точке х=0 симметричной системы.
Сопоставляя (1.8.8) и (1.8.7), заметим, что Е~ >Е*. Именно та-
кое расположение состояний и вытекало из качественного рас-
смотрения подобной системы.
1.9. Прохождение частиц через многобарьерные
квантовые структуры
Рассматривая поведение частицы (электрона) в системах, со-
держащих изолированные КЯ и потенциальные барьеры, было ус-
тановлено, что при туннелировании через одиночный потенци-
альный барьер коэффициент прохождения D всегда будет меньше
единицы. Казалось бы, что при туннелировании через два и более
потенциальных барьеров общий коэффициент прохождения дол-
42
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Рис 1.15. Энергетический профиль двухбарьерной
квантовой структуры
жен стать еще меньше. Однако это не всегда так, и в ряде случаев
коэффициент прохождения через многобарьерную систему может
стать больше коэффициента прохождения через любой барьер этой
системы. Данный эффект связан с интерференцией волн де Бройля
и также может служить примером проявления размерных эффек-
тов.
Рассмотрим прохождение частицы через систему из двух по-
тенциальных барьеров (рис. 1.15). Будем полагать, что потенци-
альная энергия системы не зависит от времени. Тогда состояния
движения частицы через рассматриваемую систему могут быть
найдены из решения одномерного уравнения Шредингера (1.1.2).
Для энергий, соответствующих туннелированию частицы через оба
барьера, решения (1.1.2) в областях 1,3 и 5 можно записать в виде
Т, (л) = А, exp(iKlx) + В, ехр(-/Х,х), / = 1,3,5, ( 1.9.1)
здесь К, = Е, (полагаем, что масса частицы во всех областях
V h2
одинакова).
Для областей 2 и 4
(*) = 4 ехр(Д х) + В, ехр(-Д х),
(1.92)
здесь
a i = 2,4.
1.9. Прохождение частиц через многоЬарьерные квантовые структуры 43
Подставляя (1.9.2) и (1.9.1) в (1.1.10), коэффициент прохожде-
ния о представим в виде
д = ^5.Ы_. (1.9.3)
Используя в качестве граничных условий равенства волновых
функций и их первых производных на каждой границе, с учетом
(1.9.3) получим
D = —{[/?! cos^lP) + F2 sin(tf3lF)F + кз cos(K3lF) + F4 sin(F3^)]2 ,
Kl
(1.9.4)
где
F, = [1 + • 4L2 W.^4 >.
k K\) \Р1 Л1 Pa)
Fl = [rr- - t4‘( Ai * ^L‘ > ♦ (ТГ - W A
кЛ1Л3 Pi) kA3 &\Pa )
Ъ = f £ - W2z2 M/^4 ) + [т1 - тфс*2 L2 Ma L4 ),
kKi Pi) kKi Pa)
F4=f^ + ^W2i2M^4)-f^- + ^-W2L2HGB4L4).
^AjAj P2Pa ) \Ai Лз/
(1.9.5)
Аналогично можно получить выражение для расчета коэффи-
циента прохождения двухбарьерной структуры, если энергия час-
тицы соответствует интервалу, в котором прохождение частиц
происходит под первым барьером, но над вторым. В этом случае
коэффициент прохождения удается представить в виде (1.9.4) с:
F\ = [ 1 + |сЛ(/?2£2 )cos(/?4L4 ) -1 )sin(/?4L4 ),
V A-1J \Р1 К\К4)
F1 = (XhUhb )cos(/?4Z4) - )sin(/?4Z4 \
Pl) k^3
F3 = [ - ^U(#> Lq. )cos()94£4 ) ~ f + ^1сЛ(/?2 Lq. );
02) K4)
Ъ = -[- ^^-^(^2^2 )sin(/?4£4 ) - fe. + ^5 \h(02L2 )cos(£4£4 )
\Л1К3 02K4) \k1 k3)
(1.9.6)
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Рис. 1.16. Схема интерферометра Фабри-
Перро:
S- иточник света, Oj и О2 - линзы, Р, и Р2 плоские
пластины, 3 - угол падения и отражения
Отметим, что (1.9.4)
соответствует выражению
для расчета прохождения
электромагнитных волн
через интеферометр Фаб-
ри-Перо (рис. 1.16). При-
чем, из геометрической
оптики известно, что если
волна, отразившись от
пластины Р2 приходит на
поверхность пластины Р,
с изменением фазы на
2nN, где W-целое число
полуволн, то происходит усиление прошедшей волны вследствие
интерференции со следующей приходящей волной. Это означает,
что для некоторых длин волн, определяемых расстоянием между
пластинами, коэффициент прозрачности системы равен единице.
В случае симметричной двухбарьерной структуры, когда
Ei=E3=E^=E и U2=UA=U выражение (1.9.4) существенно упро-
щается и принимает вид
£> = П +
(к2 + sh2(fiL^2Kfich(flL)cosl(KW)- (//2 - p2\h(fiL)sin
-1
(1-9.7)
где К = J-j-E и Д = -(и-Ё).
Ъ2 V й2
Данное выражение соответствует формуле Эйри [8]. Анализ
(1.9.7) показывает, что в случае симметричной двухбарьерной
квантовой структуры (ДБКС) коэффициент прохождения оказыва-
ется равным единице, если
(1.9.8)
здесь т] = К/ft. Это выражение определяет значения энергии час-
тицы, для которых наступает «резонансное» прохождение ДБКС и
отражение полностью отсутствует.
Как уже отмечалось, данный эффект является следствием ин-
терференции волн де Бройля, отражающихся от каждой границы
раздела. Конечно, для полного подавления отражения от структуры
(R = О, D = I) необходимо выполнение определенных фазовых и
амплитудных соотношений для интерферирующих волн. При этом
1.9. Прохождение частиц через многоЬарьерные квантовые структуры 45
фазовые соотношения определяются геометрическими размерами
барьеров и КЯ и энергией частицы, а амплитудные - отношением
Е/1/о.
Состояния в КЯ, соответствующие значениям энергии, для
которых D = 1, называют резонансными, а в случае, когда нужно
подчеркнуть возможность ухода частицы из КЯ туннелированием
через барьеры их еще называют квазистационарными или мета-
стабильными. Энергетическое положение квазистационарных со-
стояний определяется шириной КЯ и высотой барьеров. Зависи-
мость же их энергетического положения от толщины барьеров L
является слабой. Толщина барьеров, в первую очередь, определяет
«ширину» квазистационарных уровней, связанную с конечной ве-
роятностью ухода частицы из КЯ.
Полагая {J3L)-^co, выражение (1.9.8) можно представить в ви-
де (1.4.2). Таким образом, в случае непроницаемых барьеров (1.9.8)
определяет энергетическое положение стационарных состояний
в КЯ.
На рис. 1.17 представлена зависимость коэффициента прохож-
дения D от энергии для симметричной двухбарьерной квантовой
структуры, рассчитанная по (1.9.7) с £ = W = 3.0нм, т = т0 и
и0 =0.1 эВ. Согласно расчетам в данном случае наблюдаются два
резонансных пика, в максимуме которых D = 1. Полуширина (ши-
рина пика на полувысоте) первого пика <0,1 мэВ, полуширина вто-
рого пика - на порядок больше, что связано с увеличением
вероятности туннелирования частицы из КЯ с увеличением энергии
частицы. Здесь же показана зависимость коэффициента прохожде-
ния D от энергии частицы для трехбарьерной структуры при тех
же параметрах ям и барьеров. В случае трехбарьерной структуры
получить простое ана-
литическое выраже-
ние типа (1-9.7) не
удается. Поэтому про-
водилось численное
решение уравнения
Шредингера с учетом
сшивания волновых
функций и их произ-
водных на шести гра-
ницах.
Из рис. 1.17 вид-
но, что в данном мас-
штабе положение пер-
вого пика для трех- и
двухбарьерной струк-
Рис 1 17. Зависимость коэффициента прохожде-
ния D через двух- и трехбарьерную стр\ ктуры от
энергии частицы. На вставке показан потенци-
альный профиль структуры
46
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Рис. 1.18. Зависимости коэффициента прохождения от энергии для
трехбарьерной структуры:
1 - d=2.5dk, 2 - d=2.15dk, 3 - d=1.9dk, 4 - d^-Sd^ здесь d - ширина среднего
барьера, d^- ширина внешних барьеров
тур совпало, а второй пик заметно расщепился на два, расположен-
ных по обе стороны от пика, соответствующего двухбарьерной
структуре.
На рис. 1.18 в другом масштабе представлены зависимости D
от энергии для первого пика трехбарьерной структуры при различ-
ной ширине среднего барьера (параметры внешних барьеров и КЯ
соответствуют предыдущему случаю). Видно значительное влия-
ние ширины среднего барьера на коэффициент прохождения. Со-
гласно расчетам при уменьшении толщины среднего барьера ко-
эффициент D сначала возрастает, сохраняя форму резонансного
пика, затем достигает единицы, когда толщина среднего барьера
примерно в 2 раза больше толщин внешних барьеров, а затем рас-
щепляется на два пика, которые удаляются друг от друга (отталки-
ваются) по мере уменьшения толщины среднего барьера. При этом
провал между пиками углубляется. Такое поведение соответствует
изменению дублетного расщепления в системе из КЯ, разделен-
ных туннельно-прозрачным барьером. Заметим, что крайние пики
на рис. 1.18 соответствуют первому пику на рис. 1.17, представ-
ленному в другом масштабе.
1.10. Энергетический спектр сверхрешеток
Рассмотрим прохождение частиц в системе, состоящей из
большого числа тонких слоев двух или нескольких материалов, че-
редующихся в одном направлении (см., например, рис. 1.24). Та-
I. i 0. Энергетический спектр сверхрешеток 47
кие системы называют «сверхрешетками» (СР). Реально период
повторения в таких системах составляет от единиц до десятков на-
нометров, что обычно меньше длины свободного пробега электро-
нов, но больше постоянной кристаллической решетки. Изменения
потенциала при переходе от одного слоя к другому также имеют
периодический характер, сам же потенциал во многих случаях мо-
жет быть представлен системой чередующихся прямоугольных по-
тенциальных барьеров и КЯ.
В одномерном приближении прохождение частиц через систе-
му чередующихся прямоугольных потенциальных барьеров может
быть рассмотрено в рамках модели Кронига-Пенни. В основу этой
модели положена правильная цепочка прямоугольных барьеров и
КЯ (рис. 1.19). Период СР d в этом случае равен суммарной шири-
не КЯ и барьера (И' +1).
Учитывая периодичность потенциала
U(x) = U(x + d) = U(x + 2d) =...,
решение уравнения Шредингера (1.1.2) следует искать в виде
функций Блоха
Т(х) = «(х)ехр(гКх), (1.10.1)
где и(х) - амплитуда блоховской функции, периодичная с перио-
дом СР d.
Подставляя (1.10.1) в (1.1.2), получим уравнения для функции
и(х)
^ + 2iK — + (/q -K2) u = Q для 0<x<W (1.10.2а)
dx1 dx
И
^-^- + 2iK — -(в2 + К2\и = 0 для -L<x<0, (1.10.26)
dx2 dx '
48
Гл. I. Особенности энергетического спектра
/2/и
здесь fa = —-Е - волновой вектор частицы в области КЯ; Е-
Vft2
энергия частицы (0 < Е < С/о),
0 = fe(t/0-£)
V п
(1.10.3)
- волновой вектор частицы в области потенциального барьера.
Решения уравнений (1.10.2а) и (1.10.26) имеют вид
и = Лехр[/(Л?] -KjxJ+Bexpl-i^! + £)*] (1.10.4)
для 0<x£W и
и = Cexp[i(/?-i/f)x] + £>exp[-(/? + /К)х] (1.10.5)
для -£<х<0.
Константы А, В, С и D должны выбираться так, чтобы и и
du/dx были непрерывны при х=0 и x=W и выполнялось условие пе-
риодичности, согласно которому значения и и du/dx в точке x=W
должны быть равны значениям и и du/dx в точке х = -£. Это при-
ведет к системе линейных однородных уравнений ;
A+B=C+D;
i(fa - К)А-i(fa + К)В = (fl -iK)C-(fl + iK)D\
exp[i(Kj - K)W]A + exp[- i(Kj + K)(P]B =
= exp[-(/?-/tf)A]C + exp[(/? + iX)Z.jD; (1.10.6)
z(Afl - /T)expD(^i - K>T}4 - i(fa + £)exp[- Ufa + =
= -(fl - <x)exp[- (fl - iK)L}2 + (fl + tK)exp[(/? + iK)/.]s.
Система (1.10.6) имеет решение, если ее детерминант, состав-
ленный из коэффициентов при А, В, С и D, равен 0. С учетом это-
го получим, что разрешенные значения волнового вектора К (а
значит, и энергии Е =-----) должны удовлетворять следующему
2т
дисперсионному соотношению:
cos (Kd) = cos (faW) ch (flL) = 0.5 [7 -1/7] sin (faW) sh (flL), (1.10.7)
где /? = —.
fl
1.10. Энергетическим спектр сверхрешеток 49
Согласно (1.10.7) энергетический спектр СР для 0<Е <Uq раз-
бивается на зоны разрешенных и запрещенных значений энергии.
Разрешенным зонам соответствуют такие значения Е, для которых
значение правой части (1.10.7) лежит в интервале от -1 до +1 и К"
принимает вещественные значения. Области Е, которым не соот-
ветствуют вещественные К, называются запрещенными зонами
или щелями, так как частицы с такими энергиям, согласно (1.10.1),
не могут распространяться по СР на значительные расстояния.
Если сделать барьеры достаточно широкими (£-><»), то при-
дем к случаю с изолированными КЯ, для которых разрешены толь-
ко дискретные значения энергии. Согласно (1.10.7) при L -><» для
определения разрешенных значений К получаем соотношение
0.5| т]-- l = ctg(A7FF), (1.10.8)
I *1)
которое совпадает с (1.4.2) для симметричной потенциальной ямы.
В промежуточной области L, когда взаимодействие между КЯ
мало, выражение (1.10.7) также можно упростить [9]. Обозначив
через Еп дискретные значения энергии, соответствующие (1.10.8),
а через F(E) - правую часть (1.10.7), разложим Е(Е)в ряд в окре-
стности Е„ (так как если flL велико, то Г(Е) будет меньше едини-
цы лишь вблизи Е„). Ограничиваясь первым членом разложения,
имеем
E = En+Sn+2tn cos(KJ), (1.10.9)
„ .dE IdE
где S„ = -F(En)—\ здесь значения производных вы-
числяются при Е = Е„.
Выражение (1.10.9) соответствует приближению сильной связи
для взаимодействующих КЯ, которые в отсутствие взаимодействия
имели бы связанные состояния, определяемые (1.10.8).
Согласно (1.10.9) взаимодействие между ямами проявляется
двояким образом. Во-первых, связанное состояние Еп сдвигается
на величину Sn. Во-вторых, в системе из N невзаимодействующих
КЯ уровень Еп будет N-кратно вырожден. Взаимодействие снима-
ет это вырождение и создает зону конечной ширины 4/„
Ширина энергетических зон в СР оказывается значительно
меньше ширины энергетических зон материалов слоев, образую-
щих СР. Чтобы подчеркнуть это, энергетические зоны в СР назы-
вают минизонами. Анализ (1.10.7) показывает, что ширина разре-
50
Гл. 1 Особенности энергетического спектра
шенных минизон увеличивается с увеличением взаимодействия
между КЯ (т. е. с уменьшением высоты и ширины барьеров) и по-
рядкового номера минизоны.
В реальных системах электрон может двигаться в трех направ-
лениях. Обратим внимание на одну особенность энергетического
спектра СР, проявляющуюся при учете трехмерного характера
движения электрона.
Возьмем СР. в которой движение в х направлении происходит
через систему потенциальных барьеров (см. рис. 1.19 ), а в направ-
лениях у и z (вдоль слоев СР) движение частицы является свобод-
ным. При этом будем следовать работе [10]. Рассмотрим электрон,
имеющий в слое А энергию ЕА и волновой вектор Кл с компонен-
тами Kz, Ку и Кх. Пусть, переходя в слой В, тот же электрон имеет
энергию Ев, равную ЕА в силу закона сохранения энергии, и вол-
новой вектор Кв с компонентами Kz, Ку и Кг. Из непрерывности
волновой функции на границе слоев вытекает сохранение у- и z-
компонент волнового вектора, т. е. Kz = Kz и Ку = Ку. При этом,
используя закон сохранения энергии, получим
^2(^я +^2 )+у
2т А 2т*в Ч>'
( 1.10.10)
где Кд =KZ +Ку -, Uq,- потенциал СР. Так как
*1 =
(1.10.11)
то из (1.10.10) имеем
(1.10.12)
где Ех- энергия, соответствующая х-компоненте волнового векго-
12 rs 2
ра в области А (т. е. Кх), а ЕП =-— - энергия поперечного дви-
2">л
жения в слое А.
Сопоставляя (1.10.3) и (1.10.12), видим, что выражение
^Ср-£//(1-«1л/,пв)] в (1-Ю.12) играет роль эффективного
потенциала. Причем, из-за несовпадения компонент эффектив-
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток 51
ных масс контактирующих веществ эффективный потенциал
зависит от Ец (т. е. от Кг и Ку). Последнее, как отмечено в
[11], может даже приводить к изменению знака эффективного
потенциала, т. е. к превращению потенциального барьера в яму,
и наоборот. Из (1.10.12), в частности, следует, что это произойдет
при ЕХ КР = ^/ср -£/Д1-»^ /тв Ц, причем в зависимости от величины
т*А I т'в ЕХ КР может быть как больше, так и меньше Ucp.
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
С момента появления идеи создания искусственных СР, выска-
занной Л. В. Келдышем в 1962 году [12] и возрожденной L.Esaki и
R. Tsu в 1970 году, полупроводниковые СР представляют собой
одну из наиболее развивающихся областей физики твердого тела.
Как уже отмечалось, термин «сверхрешетка» используют для пе-
риодических структур, состоящих из тонких слоев полупроводни-
ков, повторяющихся в одном направлении с периодом, меньшим
длины свободного пробега электронов. В основном различают два
типа искусственных СР. Это композиционные СР (КСР), состоя-
щие из периодической последовательности полупроводников раз-
ного химического состава, и легированные СР (ЛСР), пред-
ставляющие собой последовательность слоев п- и /7-типа одного
материала с возможными беспримесными прослойками между ни-
ми (л1/н-кристаллы). Использование этих двух подходов позволило
создать большое число различных СР. Существующее разнообра-
зие полупроводниковых СР сделало необходимой их классифика-
цию. В данном разделе мы рассмотрим классификацию полупро-
водниковых СР, в основном, следуя [10].
Потенциальный профиль в КСР создается за счет периодиче-
ского изменения ширины энергетической запрещенной зоны в на-
правлении роста кристалла; в ЛСР он обусловлен электростати-
ческим потенциалом ионизированных примесей.
Расположение краев энергетических зон различных материалов
обычно сравнивают, используя в качестве единого начала отсчета
уровень вакуума. При этом каждый из рассматриваемых материа-
лов характеризуют величиной электронного сродства и, которое
определяет энергию, требуемую для переноса электрона со дна
зоны проводимости материала на уровень вакуума. Поэтому в ма-
териале с большим значением электронного сродства (ЭС) край зо-
ны проводимости лежит ниже по энергии, чем в материале с мень-
шим ЭС.
Использование общего начала отсчета энергии позволяет раз-
делить композиционные СР на три типа (рис. 1.20).
52
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
В СР типа Iразрывы зоны
проводимости ЛЕс и валент-
ной зоны ЬЕу имеют проти-
воположные знаки, а запре-
щенные зоны Egi полностью
перекрываются. Такие СР на-
зывают также «контравари-
антными» композиционными
сверхрешетками.
Характерной чертой дан-
ных СР является то, что узко-
зонный слой, зажатый между
широкозонными слоями, обра-
зует две прямоугольные КЯ -
одну для электронов, а дру-
гую для дырок. Глубина этих
потенциальных ям зависит от
Рис 1.20. Расположение зоны проводи-
мости и валентной зоны относительно
уровня вакуума (штриховая линия) в от-
дельных неконтактирующих материалах
(слева) и КСР различных типов (справа):
а - СР типа I; б - СР типа II; в - политипная
СР. По оси абсцисс отложена пространственная
координата, по оси ординат - энергия [10]
того, какая часть разности ши-
рин запрещенной зоны EEg -
-Eg2 - Egl приходится на раз-
рыв ЬЕс, а какая - на разрыв
Д£р. Например, наиболее ис-
пользуемые в настоящее время
разрывы зон для гетеропере-
хода GaAs - AlxGa\_xAs составляют 0.6A£g для ЛЕС и 0.4AEg -
для ЕЕу.
В СР типа П изменения краев зоны проводимости и ва-
лентной зоны имеют одинаковый знак, а запрещенные зоны пе-
рекрываются лишь частично, либо не перекрываются вообще
(«ковариантная» СР).
Характерной чертой данных СР является пространственное
разделение носителей, локализованных в КЯ. Электроны сосредо-
точены в КЯ, образованных одним полупроводником, а дырки - в
КЯ, образованных другим полупроводником. Отметим, что в этих
многослойных системах возникает «непрямая в реальном про-
странстве запрещенная зона». В качестве примера на рис. 1.21
показаны зонные диаграммы сверхрешеток данного типа на основе
систем InAs-GaSb и In^GoxAs-GaSfy-yAsy.
Политипная СР (рис. 1.20, в) представляет собой трехкомпо-
нентную систему, в которой слои, образующие СР типа 11, до-
полняются широкозонным материалом, создающим потенци-
альные барьеры как для электронов, так и для дырок. Пример энер-
LI 1. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
53
готических диаграмм
двух типов политипных
СР представлен на рис.
1.22. Такие политипные
СР конструируются из
базовых многокомпо-
нентных систем типа
ВАС. АВСА, АСВСА и
т.д., где А означает
AlSb, B—GaSb и C-InAs.
Термином «легиро-
ванные СР» принято
называть периодиче-
скую последователь-
ность слоев п- и /7-типа
одного и того же полу-
проводника. Результи-
рующее распределение
заряда в этом случае
создает совокупность
параболических потен-
циальных ям (рис. 1.23).
Потенциал объемного
заряда модулирует края
зон исходного материа-
ла таким образом, что
Рис. 1.21. Положение краев зон относительно
уровня вакуума в твердых растворах ln}_fia„As
и GaSb^yAs от состава последних (а) и зон-
ные диаграммы СР InAs-GaSb (6) и
In}_xGaxAs-GaSbi_yAsy (в). Заштрихованные облас-
ти соответствуют энергиям подзон и участкам
пространства, где концентрируются носители за-
ряда. На рис. б и в по оси абсцисс отложена
пространственная координата [10]
(А) (В) (С)
а »
Рис 1.22. Энергия краев зон AlSb по отношению к
GaSb и InAs (а) и энергетические диаграммы двух
типов политипных СР (б). Заштрихованные области
соответствуют запрещенным зонам [10]
электроны и дырки
оказываются прост-
ранственно разделен-
ными. Причем, соот-
ветствующим выбо-
ром параметров стру-
ктуры (уровней леги-
рования и толщин
слоев) это разделение
можно сделать прак-
тически полным. В
свою очередь прост-
ранственное разнесе-
ние минимума зоны
проводимости и мак-
симума валентной зо-
ны кардинально ска-
зывается на парамет-
54
Гл. 1 Особенности энергетического спектра
Рис. 1.23. Схема расположения слоев (а) и координатная зависимость
зонной диаграммы (б) для легированных СР GaAs (шр-кристаллах
GaAs). Стрелка на рис. (а) показывает направление роста слоев [10]
рах системы. Например, из-за малого перекрытия электронных и
дырочных состояний времена электронно-дырочной рекомбинации
могут на много порядков превосходить свои значения в однород-
ном полупроводнике.
Особенностью ЛСР является возможность использования
для их создания любого полупроводника, допускающего легиро-
вание как донорами, так и акцепторами.
Другое преимущество ЛСР связано с их структурным совер-
шенством, так как в данном случае отсутствуют гетерограницы, с
которыми связаны возможности разупорядочения состава или по-
явления напряжений несоответствия. И, наконец, в ЛСР путем
подбора уровней легирования и толщин слоев эффективной шири-
не запрещенной зоны можно придавать практически любое значе-
ние от нуля до ширины запрещенной зоны исходного материала.
Возможности легирования отдельных слоев используются и
для изменения свойств КСР. При этом обычно осуществляют леги-
рование донорной примесью широкозонного материала (материала
барьеров). Поскольку край зоны проводимости узкозонного мате-
риала (дно КЯ) в этом случае оказывается ниже по энергии, чем
донорные уровни в барьерах, электроны с донорных состояний
могут переходить в нелегированные слои, пространственно
разделяясь с породившими их ионизированными донорами. Та-
кой пространственный переход подвижных носителей в СР с моду-
лированным легированием создает в КСР области объемного
заряда чередующегося знака, что вызывает периодические изгибы
краев зон (рис. 1.24) и трансформацию прямоугольных КЯ в
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
55
КЯ параболическо-
го типа. Кроме то-
го, подвижные но-
сители заряда, пе-
решедшие в КЯ,
могут двигаться в
них параллельно ге-
терогранице, испы-
тывая слабое рас-
сеивание на иони-
зованных примесях
из-за пространст-
венного разделения
рассеивающих цен-
тров и канала, в ко-
тором движутся
подвижные носите-
ли заряда.
В СР с модули-
рованным легиро-
ванием можно дос-
тичь еще большего
ът/тму
Подложка
I GaAs <
Рис. 1.24. Схема расположения слоев (а) и координат-
ная зависимость зонной диаграммы (б) для СР
i-GaAs~n+с модулированным легированием.
Изгибы зон вблизи гетерограниц создаются простран-
ственными зарядами, возникающими при переходе
электронов с ионизованных доноров в барьерах
л+ - AlxGat_xAs в потенциальную яму i - GaAs [10]
Рис. 1.25 Расположение последовательности сло-
ев (слева) и координатная зависимость зонной диа-
граммы (справа) для легированной СР
GaAs-Alfiq_,As. Период СР состоит из десяти от-
дельных слоев. Стрелка на левом рисунке показы-
вает направление роста [10]
увеличения подвижности электронов, если ввести тонкие нелеги-
рованные широкозонные прослойки толщиной 5-10 нм, т. е. еще
больше разнести рас-
сеивающие центры и
подвижные носители.
Этот эффект будет
наиболее выражен
при низких темпера-
турах, когда ослабле-
ны процессы фонон-
ного рассеяния.
На рис. 1.25 пока-
зан еще один тип ле-
гированных КСР, об-
ладающий перестра-
иваемыми электрон-
ными свойствами (как
ЛСР) и одновременно
существенно увели-
ченными подвижнос-
тями электронов и
дырок в КЯ (как СР с
модулированным ле-
гированием).
56 Гл. 1, Особенности энергетического спектра
Основная идея создания такой легированной сверхрешетки со-
стоит в периодическом включении специально нелегированных i-
слоев. При этом сверхтонкие нелегированные слои i-GaAs оказы-
ваются зажатыми между чередующимися легированными п- и р-
слоями A^Ga^As. Эффект пространственного разделения пере-
шедших в слои GaAs свободных носителей заряда и породивших
их ионизованных примесей усиливается за счет введения тонких
нелегированных прослоек i-AI,Gat_,As на гетерограницах. При этом
оказывается, что периодический ход потенциала обычной легиро-
ванной СР периодически прерывается потенциальными ямами, об-
разованными материалом с меньшей шириной запрещенной зоны.
На рис. 1.26 дана общая классификация СР по структурным
признакам, относительному расположению краев зон на гетерогра-
ницах, материалам слоев, образующих СР, и степени рассогласова-
ния постоянных решетки на гетерограницах [10].
Следует отметить, что в 1977 году Петровым В.А. был предло-
жен принципиально новый способ создания СР в двумерных сис-
темах путем ориентации плоскости КЯ (пленки или инвер-
сионного слоя в- МДП-структуре) вдоль кристаллографических
плоскостей с высокими индексами Миллера (ориентационные
вицинальные СР) [13,14].
Возникающий при этом в плоскости КЯ новый минимальный
период трансляции А»а (а - постоянная решетки) (см. рис. 1.27)
приводит к появлению в таких системах новых границ зон Брил-
люэна и минищелей в энергетическом спектре носителей заряда.
Теория, связывающая положения минищелей с ориентацией вици-
нальных поверхностей для СР на основе многодолинных полупро-
водников, развита в [15].
Развивая этот подход помимо сверхрешеток, у которых слои
разных материалов чередуются в направлении роста (перпендику-
лярно поверхности), в настоящее время уже созданы латеральные
сверхрешетки, чередование слоев у которых происходит в направ-
лении, параллельном поверхности [16,17].
Если к началу 80-х годов наноэлектронные системы создава-
лись, в основном, на основе изоморфных (т. е. согласованных по
параметру решетки) гетероструктур AlxGa(_xAs/GaAs (сейчас к ним
добавились гетероструктуры In0 52Al04gAs/Iri052Ga04/As/In0 52Al0,,8As
на подложках InP), то в дальнейшем успехи технологов позволили
получать псевдоморфные напряженные гетеросистемы (например,
AlxGa,_,As/InyGa| yAs/GaAs с х - 0,2-0,25 и у-0,15-0,22) и мета-
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток 57
Cd МоуТе HgTe/CdTe Si/Si^Gcr-x
Рис 1 26 Общая классификация полупроводниковых СР
58
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Рис 1.27. Схема возникновения дополнительного периода транс-
ляции Л, а также системы террас и ступеней на поверхностях с вы-
сокими кристаллографическими индексами:
• - атомы в квадратной решетке
морфные (метастабильные изоморфные) (например, In^Al^As/
In/ja^yAs с содержанием In до 0,6).
Исследования псевдоморфных гетероструктур продемонстри-
ровали ряд преимуществ над гетероструктурами A^Ga^As/GaAs,
включая более высокую концентрацию двумерного электронного
газа у гетерограницы (за счет увеличения высоты потенциальных
барьеров); большее значение подвижности 2D электронов при 300
К (за счет меньшей эффективной массы электронов в InGaAs по
сравнению с GaAs) и меньшую концентрацию глубоких Д¥-цен-
тров в слоях n-AlxGa^KAs вследствие возможности формирования
слоев с х<0,2 [22]. Однако из-за сильного несоответствия пара-
метров решетки InjGa^s и GaAs, мольная доля In, у и тол-
щина L слоя Infia^As должны быть всегда ниже некоторых
критических значений у*М),25-0,3 и L4’ ~20 нм.
В свою очередь .метаморфный эпитаксиальный рост позво-
лил выращивать полупроводниковые структуры, сильно рассо-
гласованные по параметру решетки с подложкой. Это стало воз-
можным за счет формирования промежуточного буферного слоя
переменного состава, в котором изменяется параметр решетки. В
результате, например, удается выращивать метаморфные гетерост-
руктуры InxAl, xAs/InyGa1_yAs на подложках GaAs с мольной долей
In, (х, у) в диапазоне 0<х,у<0,52 - 0,6.
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
59
Рис 1.28 Процесс формирования нанотрубок:
а - слои InAs и GaAs с различными постоянными решеток в свободном состоянии, b -
сопряжение слоев с помощью эпитаксиального роста; с - изгиб двухслойной пленки при
ее освобождении от связи с подложкой, d- самосворачивание двухслойной пленки в
трубку при селективном удалении жертвенного слоя AlAs, дополнительно выращенного
между пленкой и подложкой
GaAs/InAs
Напряженные гетероструктуры представляют интерес и еще с
одной точки зрения. Так. в [18] был предложен и реализован под-
ход, позволяющий преобразовывать планарные напряженные гетпе-
роструктуры и сверхрешетки в трехмерные, имеющие радиальную
симметрию.
На рис. 1.28 схематично представлен процесс формирования
нанотрубок, иллюстрирующий суть данного подхода на примере
полупроводниковой напряженной гетероструктуры InAs/GaAs, вы-
ращенной на подложке InP.
Постоянные решеток слоев GaAs и InAs значительно различа-
ются (величина рассогласования постоянных решеток Да/а =
= 7.2 %). При эпитаксиальном росте слоев InAs и GaAs их решетки
подстраиваются под решетку InP подложки, слой InAs упруго сжи-
мается вдоль поверхности, а слой GaAs растягивается (рис. 1.28, а,
Ь). В результате постоянные решеток выращенных напряженных
InAs и GaAs слоев отличается от собственных.
При освобождении от связи с подложкой двухслойной пленки
InAs/GaAs межатомные силы будут стремиться увеличить расстоя-
ние между атомами в сжатом слое InAs и уменьшить их в растяну-
том слое GaAs. Возникающие в слоях InAs и GaAs силы меж-
атомного взаимодействия Fi и F2 противоположно направлены и
создают момент сил М, изгибающий двухслойную пленку (рис.
1.28, с). В результате этого изначально плоская двухслойная пленка
сворачивается в трубку-свиток (рис. 1.28, d). Витки в трубке плот-
но прилегают друг к другу и в случае малых диаметров могут обра-
зовать монокристаллическую стенку [19]. Диаметр трубок D
определяется величиной рассогласования постоянных решеток
GaAs и InGaAs Да/а, толщиной слоев d этих материалов (рис. 1 29)
и для толстых пленок описывается формулой D~d a!ka.
60
Гл. 1. Особенности энергетического спектра
Рис. 1.29. Фотографии нанотрубок различного
диаметра D на основе слоев: a, b - InGaAs/GaAs
(каждый толщиной 4 монослоя) D=120 run, с -
InAs/GaAs (каждый толщиной 2 монослоя)
D=18 nm, d - InAs/GaAs (толщина'InAs 2 мо-
нослоя, GaAs - 1 монослой) D=4 nm
Было также обнару-
жено, что узкие InGaAs/
GaAs полоски, отде-
ляемые от подложек
GaAs (100) и InP (100),
сворачиваются в кольца
при ориентации поло-
сок вдоль направлений
[100], а при отклонении
от данных направле-
ний- в винтовые спи-
рали. Шаг спирали оп-
ределяется углом от-
клонения полоски от
направления [100]. Эти
особенности процесса
сворачивания вызваны
анизотропией модуля
Юнга GaAs и InGaAs
Экспериметально
были изготовлены на-
нотрубки с диаметрами
в диапазоне от 3 нм до
4 мкм и спирали с диа-
метром 10 нм.
Для освобождения
от связи с подложкой двухслойной пленки InAs/GaAs используется
селективное травление вспомогательного слоя AlAs, выращенного
между InAs/GaAs пленкой и
подложкой (рис. 1.28,d). Этот
слой селективно удаляется в
растворах на основе плави-
ковой кислоты, которые не
травят GaAs и InAs (селек-
тивность травителя I09).
Количество витков труб-
ки определяется временем
травления AlAs и может дос-
тигать 40. Трубки остаются
закрепленными на подложке
в месте, где слой AlAs не был
удален (рис. 1.30). При ис-
пользовании многослойных
Рис 1 30 Фотографии нанотрубок, закре
пленных на подложке. Трубки с диаметром
4 мкм, ориентированные вдоль направле
ния < 100>
структур имеется возмож-
ность получать массивы
идентичных трубок , плотно
покрывающих поверхность.
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток 61
Предложенный подход изготовления свободных InGaAs/GaAs
нанотрубок может быть успешно применен также и к напря-
женным металлам, диэлектрикам или гибридным эпитаксиальным
структурам.
Энергетический спектр в квантовой сверхрешетке цилиндри-
ческой симметрии (СРЦС) рассматривался в [20]. В частности, в
[20] показано, что энергетический спектр такой СР представляет
собой чередование разрешенных и запрещенных зон (минизон), а
эффективная масса электрона является тензором. Причем, если
продольная составляющая эффективной массы электрона СРЦС
близка по значению к эффективной массе электрона полупро-
водникового материала, характеризующего КЯ сверхрешетки, то
радиальная составляющая эффективной массы электрона сверх-
решетки существенно зависит от радиуса ядра гетероструктуры Л,
периода и величины потенциала, а также толщины полупро-
водниковых коаксиальных слоев. Размеры ядра гетеросистемы R
влияют на ширину разрешенных зон и кривизну закона дисперсии.
Чем больше R, тем больше распрямляются границы цилиндриче-
ских поверхностей, происходит расширение разрешенных минизон
и уменьшается величина радиальной составляющей эффективной
массы электрона.
Энергетический спектр цилиндрической нити с радиусом R и
бесконечно высокими потенциальными стенками имеет вид
й2 2 ^к2
*Л2У"М+ 2т* ’
(1.11.1)
где п = 0,1, 2, ....- радиальное квантовое число; т = 0, ±1, ±2,... -
магнитное квантовое число; к - квазиимпульс электрона в
продольном направлении; т-й нуль функции Бесселя J„ и-го
порядка.
Энергетический спектр СРЦС в окрестности экстремумов ми-
низон может быть представлен в виде
£(i) -Е
птк ~ спт п ♦
2/И// 2рл/и
(1.11.2)
здесь тц - продольная и /£т- радиальная составляющие эффек-
тивной массы электрона в СРЦС; q - квантовое число, играющее
роль радиального квазиимпульса, однако значения Епт, т*ц и //*,„
могут быть рассчитаны лишь численно.
62 Гл. 1, Особенности энергетического спектра
Расчеты, проведенные в [20], кроме того показали, что начиная
с R порядка нескольких десятков постоянных решетки материала
ядра СРЦС (в статье с 30 постоянных решетки) и до R -> со (гра-
ничный переход к плоской СР), закон дисперсии электрона практи-
чески не изменяется и совпадает со спектром плоской СР (при
одинаковых параметрах КЯ и барьеров). Исследования также пока-
зали, что при R -> со (плоская СР), когда толщина барьеров £=0 (а
ширина КЯ W конечная), в области энергий 0 < Епт < Uo (здесь
Uo- высота потенциальных барьеров) запрещенная зона отсутству-
ет (края минизон соприкасаются).
Иная ситуация имеет место при конечных значениях R. Ради-
альная симметрия СРЦС (другими словами, кривизна границ ци-
линдрических поверхностей) оказывается настолько важной, что
радикально изменяет характер спектра электрона по сравнению с
плоской СР. Например, при конечных значениях R и W (но £=0)
существует запрещенная зона, ширина которой определяется пара-
метрами системы.
Еще один подход к созданию наноэлектронных систем, бази-
рующийся на регулярной вариации зарядового состояния изоли-
рующего слоя у его контакта с поверхностью полупроводника,
предложен в [21].
Получение регулярного распределения встроенного заряда со-
ответствующих масштабов вдоль межфазной границы диэлектрик-
полупроводник возможно, например, на основе техники скани-
рующей туннельной микроскопии. Формируя различные распре-
деления локальной плотности заряда в диэлектрике, индуцирующе-
го в приповерхностной области полупроводника двумерный потен-
циальный рельеф, можно реализовать всевозможные низко-
размерные структуры: квантовые ямы, точки, проволоки, СР и т.п.
Необычный подход к проблеме формирования трехмерных на-
ноструктур рассматривается в [23]. Для создания нанообъектов ав-
торы предлагают использовать механическую «разборку» моно-
кристаллических эпитаксиальных структур по заданным траекто-
риям или слоям. В рамках этого подхода для создания нанообъек-
гов, имеющих размеры, сравнимые с размером атома, необходимо
иметь инструмент, позволяющий разрывать межатомные связи в
заданном месте твердого тела без воздействия на соседние области
(атомная разборка). В качестве такого инструмента в [23] предла-
гают использовать вершину управляемой хрупкой трещины. При
этом необходимо контролировать процессы введения и распро-
странения трещины в твердом теле. В настоящее время уже проде-
монстрирована возможность управления траекторией распрост-
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
63
Рис. 1.31. Изображение тонких GaAs пленок с контролируе-
мо введенными трещинами, полученные просвечивающей
электронной микроскопией высокого разрешения:
а - толщина GaAs слоя 0,25 мкм; b - 0,1 мкм
ранения трещины непосредственно в процессе ее роста. Для этого
осуществляли управление полем локальных растягивающих на-
пряжений в вершине тре-
щины с помощью внеш-
ней электростатической
силы.
В рамках такого под-
хода изготовлены тун-
нельные полупроводни-
ковые структуры, у кото-
рых в качестве барьеров
(или КЯ) используются
специально сформирован-
ные сверхузкие трещины
(рис. 1.31), которые можно
заполнять различными ве-
ществами в твердом,
жидком или газообразном
состоянии и вакуумиро-
вать [23].
На рис. 1.32 представ-
лены вольт-амперные ха-
рактеристики (ВАХ) та-
ких планарных туннель-
ных переходов полупро-
водник - воздух - полу-
Рис. 1.32. ВАХ планарных туннельных перехо
дов полупроводник - воздух - полупроводник
созданных из различных полупроводниковых
слоев:
1 - GaAs, 2,3, - InAs (2 - начальное состояние туннель-
ного перехода, 3 - после соприкосновения берегов тре-
щины). На вставках- сверху показан общий вид
структуры, снизу - энергетическая диаграмма GaAs
туннельного перехода при смещении 1 5 В
64 Гл. 1. Особенности энергетического спектра
проводник, созданных на базе различных полупроводниковых сло-
ев. Так как характеристики потенциальных барьеров (или КЯ)
сильно сказываются на процессах туннелирования, то такие струк-
туры представляются перспективными и для использования в каче-
стве сенсоров разного типа.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. -М: Наука, 1983. - 664 с.
2. Левин В.Г. Курс теоретической физики. -М.: Наука, 1971.- Т.2. - 937 с.
3. Тагер А.С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупровод-
никовых структурах и перспективы их применения в электронике СВЧ
//Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. -1989.-Ч.1, вып.9(403).-
С.21-34.
4. Петров А. Г, Шик А.Я. Межуровневые оптические переходы в квантовых
ямах//ФТП- 1993.-Т.27, вып.б.-С. 1047-1057.
5. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механи-
ке: Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука, 1992. -880 с.
6. Дымников В.Д.,Константинов О. В. Уровни энергии в квантовой яме с
прямоугольными стенками сложной формы И ФТП- 1995.-Т.29, вып.1-
С.133-139.
7. Спроул Р. Современная физика. -М.: Наука, 1974. -591с.
8. Борн М., Вольф В. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. -607с.
9. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры /Под ред. Л.Ченга,
К.Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
Херман М. Полупроводниковые сверхрешётки. - М.: Мир, 1989. - 240 с.
W.Kanaee В.В., Копаев Ю.В., Токатлы И.В. Зависимость от импульса раз-
мерности электронных состояний в гетероструктурах // УФН-1997-
С.562-566.
12. Келдыш Л.В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла.
//ФТТ.- 1962.-Т.4, вып.8.-С.2265-2267.
13. Елинсон М.И. Исследования физических проблем микро- и наноэлектро-
ники в ИРЭ РАН (60 - 90-е годы) //Зарубежная радиоэлектроника-
1998.-№8.-С.22-33.
14.77е/ирое В.А. !ГУез. 6-го Всесоюз. совещания по физике поверхностных
явлений в полупроводниках. - Киев: Наукова думка - 1977.- Ч.2-С.80.
\5. Волков В.А., Петров В.А., Сандомирский В.Б. Поверхность с высокими
кристаллографическими индексами - сверхрешетка для двумерных элек-
тронов //УФН. - 1980. -Т.131, вып.З.-С.423-440.
Nakata Y., Ueda O.t Nishikawa Y.t Muto S., Yokoyama N InAs/GaAs in-plane
strained superlattices grown on slightly misoriented (110) InP substrates by
molecular beam epitaxy //Journal of Crystal Growth.-1997.-V. 175/176-
P.168-173.
17. Petroff P.M., Gaines J.t Tsuchiya M., Simes R.t Coldren L., Kroemer H.t Eng’
lish J., Gossard A.C. Band gap modulation in two dimensions by MBE growth
of tilted superlattices and applications to quantum confinement structures И
Journal of Crystal Growth. -1989. -V.95. -P.260-265.
1. i 1. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
65
Prinz V.Ya., Seleznev V.A.. GutakovskyA.K Self-formed InGaAs/GaAs
Nanotubes: Concept, Fabrication, Properties //The Physics of Semiconduc-
tors.- 1999, Wold Scientific ISBN: 981-02-4030-9 (CD).
W Prinz V. Ya., Seleznev V.A., Gutakovsky A.K., Chehovskiy A.V., Preobrazen-
skiiV.V., PutyatoM. A.,.Gavrilova T.A. Free-standing and overgrown In-
GaAs/GaAs nanotubes, nanohelices and their arrays // Physica E- 2000 V.5.
20. Ткач H.B., Пронишин И.В., Маханец A.M. Спектр электрона в квантовой
сверхрешетке цилиндрической симметрии //ФТТ. - 1998-Т.40, №3-
C.557-56I.
21. Гольдман Е.И., Ждан А.Г. Новый подход к созданию наноэлектронных
систем в размерно-квантующем потенциальном рельефе встроенных
зарядов в изолирующих слоях у поверхности полупроводника //Письма в
ЖТФ.-2000.-Т.26, вып. 1С.38—41.
22. Мокерое В.Г., Федоров Ю.В., Гук А.В., Беликовский Л.Э., Каминский В.Э.
Наноэлектронные СВЧ-транзисторы на основе гетероструктур
соединений А3В5 с двумерным электронным газом //Зарубежная радио-
электроника.- 1998.-№8.-С. 40-61.
23. Prinz V.Ya., Seleznev V.A., Gutakovsky A.K. Novel technique for fabrication
one- and two-dimensional systems //Surface Science-1996-V.361/362-
P.886-889.
ГЛАВА 2
ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СИСТЕМ
ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
2.1. Влияние однородного электрического поля
на энергетический спектр бесконечной прямоугольной
потенциальной ямы
Для создания электронных приборов необходимо научиться
целенаправленно управлять энергетическим спектром носителей
заряда с помощью различных внешних воздействий. Наиболее час-
то для управления используют электрические поля. Рассмотрим
влияние постоянного однородного электрического поля на спектр
разрешенных состояний бесконечной прямоугольной потенциаль-
ной ямы (БПЯ).
Рис 2.1 Энергетическая диаграмма БПЯ в однородном электрическом поле
Будем полагать, что поле напряжённости F направлено парал-
лельно оси х. Потенциальная энергия электрона для 0<x<W в этом
случае имеет вид
U(x) = qFx + const,
здесь q - абсолютная величина заряда электрона. Выбирая посто-
янную так,чтобы U(\)=G при х=0, получим U(x)=qF\ (рис. 2 I)
2.1. Влияние однородного электрического поля...
67
В этом случае отыскание состояний движения частицы сведется к
решению уравнения
----Ч'Чх)+0ГлЧ'(х)=Е4'(л). (2.1.1)
2т
Сделав замену переменной х на
„ f E\2mqF\/3
I qFk a2 J
уравнение (2.1.1) можно представить в виде
T'(Z)-ZT(Z)=0. (2.1.2)
В свою очередь, общее решение уравнения (2.1.2) имеет вид
4'(Z)=QAi(Z) + C2Bi(Z), (2.1.3)
где Ai(Z) и Bi(Z) - функции
Эйри первого и второго рода
соответственно. Известно, что
при Z<0 Ai(z) и Bi(z) - осцил-
лирующие функции, а при Z>0
Ai(z)-*0, Bi(z)—>oo. Зависимо-
сти Ai(z) Bi(z) изображены на
рис. 2.2. Отметим, что согласно
рисунку расстояния (ап -an-i)
Рис. 2.2. График функций Эйри:
at = -2.34, а2 =-4.09. а3 = -5.52.
а4=-6.79, Д=-1.17, Pi = -3.27,
#=-4.83, #=-6.17
и (р„ - Рп-\) уменьшаются с уве-
личением п (ап- корни Ai(z), рп -
корни Bi(z)\ то есть корни Ai(z)
и Bi(z) сгущаются.
Используя граничные ус-
ловия (»р =0, так как рассматривается БПЯ) при х=0 и х=1Р, можно
получить дисперсионное уравнение, определяющее разрешенные
значения энергии Еп, в виде
Ai(z+ )si(z’)- ^Z")Bi(z+)= 0 , (2.1.4)
где Z+h Z - соответствуют Z при x=W и х=0. Отметим, что в дан-
ном случае отношение постоянных С, и С2 будет иметь вид
Co Ai[Z+) Ai(Z
= —~г—\=-----г—*
С| Bi[Z+) Bi[Z~
68
Гл. 2. Влияние однородного электрического поля ...
В случае произвольной величины поля и размеров КЯ решение
уравнения (2.1.1) удаётся найти лишь приближенными методами.
При IV —> оо приходим к случаю с треугольной потенциальной
ямой, когда Т(х) 0 при х=0 и при х-юо. Это возможно в случае,
если С2 = 0. Следовательно, дисперсионное уравнение, опреде-
ляющее разрешенные значения энергии Еп для треугольной потен-
циальной ямы, может быть представлено в виде
люи=о.
Так как значения Z, при которых Ai(z)=Q, соответствуют кор-
ням функции Эйри а„, то выражение для разрешенных значений
энергии принимает вид
Еп ~ &п
2т
(2.1.5 а)
Для оценки разрешенных значений энергии в данном случае
получено и приближенное выражение
2т
'3 12/3
-^qFn(n + 0.75)
(2.1.5 б)
отличающееся от точного решения для бесконечной треугольной
потенциальной ямы не более чем на 2 %.
В случае слабого электрического поля и достаточно узкой КЯ
(эти условия конкретизируем позже) решение уравнения (2.1.1)
можно найти, используя теорию возмущений [1].
Для этого, как обычно, разобьем гамильтониан Н в (2.1.1) на
два слагаемых
Н = Н0 + V,
где Но- гамильтониан задачи, допускающей точное решение, а Г-
малая добавка (оператор возмущения).
В нашем случае положим
Н
° 2m dx2'
а V = qFx .
2.1, Влияние однородного электрического поля...69
Тогда, для невозмущенной задачи имеем
= Е^^;
п = 1,2,3...;
при 0 < х < W.
(2.1.6)
Теперь, в соответствии со стационарной теорией возмущения в
первом приближении собственные значения и собственные функ-
ции оператора Н могут быть вычислены по формулам
£*(0 w + V • (2-1.7) шО) ~ кр(°) + V* " " Ге®-е^1 ’
здесь =(Ч><О)|К|’Р<°>); (2.1.8)
Vin- матричный элемент оператора V в ”е№ - представлении", т.е.
есть среднее значение возмущения в состоянии, описываемом
невозмущенной функцией В нашем случае, подставляя
(2.1.6) в (2.1.8), получим
w
Упп = f= Q.SqFW , (2.1.9)
О
т.е. в первом порядке теории возмущений все разрешенные уровни
энергии в БПЯ смещаются одинаково на величину Q.SqFW и
+ 2 / \2
Е^~—\— п2+Q.5qFW
(2.1.10)
Заметим, что согласно (2.1.10) положение уровней относи-
тельно дна КЯ в точке x=0.5W не изменяется, так как при нали-
чии электрического поля дно КЯ в этой точке тоже смещается на
0.5<7ГИ<
70
Гл, 2. Влияние однородного электрического поля ...
Во втором приближении поправка к собственному значению
определяется выражением
^2)-^я + Е (0)^(0)-
l^n^n
(2.1.11)
Таким образом, для основного состояния во втором порядке
теории возмущений в нашем случае имеем
о
-4[1+(-1)/]/^F>F
я2(/-1)2(/+1)2
(2.1.12)
и
+ 0.5qFW-
4 A4 (qFW)2 у (* +1)2
я- J 40) ^0(2К + 1)5(2/С + З)5 ’
(2.1.13)
Согласно (2.1.13) во втором приближении при наличии сла-
бого однородного электрического поля энергетический зазор
между дном КЯ и основным состоянием в точке x=0.5W будет
уменьшаться пропорционально квадрату напряженности
электрического поля. Отметим, что вклад в Ид, а следовательно, и
в ДЕ^2) дают только состояния с четными /.
Оценки показывают, что ряд в (2.1.13) быстро сходится и при
вычислении е|2) обычно достаточно ограничиться учетом всего од-
ного слагаемого. При этом получим, что
Е.(2) = е(0) + 0.5qFW -1.08 • 10"2-F%r~ (2.1.14)
С1
Учет второго слагаемого с К=1 в (2.1.13) изменит значение
суммы менее чем на 0.2 %. Таким образом, (2.1.14) можно считать
хорошим приближением для (2.1.13).
Условие применимости теории возмущений требует, чтобы
матричные элементы оператора V были малы по сравнению с соот-
ветствующими расстояниями между невозмущенными уровнями
энергии, т.е. чтобы выполнялось неравенство
Ы«|40)-£/(0)|- (2.115)
2.2. Оценка смещения энергетических уровней ...71
В нашем случае необходимо, чтобы
|к21|«|е(0)-4))|
или, раскрывая Г21 и
(2.1.16)
Таким образом, выражение (2.1.14) можно использовать для
оценки положения разрешенных энергетических уровней в БПЯ,
пока максимальное изменение потенциала на краю ямы под дейст-
вием электрического поля не станет порядка
2.2. Оценка смещения энергетических уровней
под действием электрического поля в прямоугольной КЯ
конечной глубины
Рассмотрим влияние однородного постоянного электрического
поля на разрешенные уровни энергии в прямоугольной КЯ конеч-
ной глубины. Направив поле параллельно оси х, потенциальную
энергию электрона в данном случае можно представить в виде
U(x)~ V(x) + qFx + const,
здесь F- напряженность электрического поля; V(x)~ потенциаль-
ный рельеф КЯ при F=0 (рис. 2.3, а).
Выбирая const так, чтобы U(x)=0 при х=0, получим, что потен-
циальный рельеф КЯ при наличии электрического поля в данном
случае будет иметь вид, показанный на рис. 2.3, б.
Основное отличие данного случая от рассмотренного в п.2.1
связано с изменением хода потенциала при |х| >0.5И/. В связи с
тем, что при наличии электрического поля потенциальная энергия
при больших отрицательных х становится меньше полной энергии
частицы в КЯ, частица может пройти через потенциальный барьер
в сторону отрицательных х и удалиться на бесконечность. То, что
при £*0 все собственные значения гамильтониана оказываются
«погруженными» в непрерывный спектр, принципиально отличает
их от стационарных состояний при F=0. Вместо дискретных
уровней в электронном спектре появляются резонансные пики,
называемые резонансами Брейта-Вигнера [2], и в приближении
слабо взаимодействующих уровней совпадающие по форме с ло-
ренцевым контуром
М*)— ’
я (E-E^+fOSr,,)2
здесь п - номер пика (состояния).
72
Гл. 2, Влияние однородного электрического поля ...
Ширина наблюдаемой линии Г„ определяется мнимой, а энер-
гетическое положение резонанса Е„ - действительной частью со-
ответствующего собственного значения. Таким образом,
возможность прохождения частицы через потенциальный
барьер проявляется в уширении уровней в яме. Это уширение бу-
дет тем меньше, чем глубже уровень.
Рис. 2.3. Энергетическая диаграмма КЯ:
а-приГ=0; б-приГ*О
В слабых полях для нижних уровней вероятность туннелирова-
ния может быть ничтожно мала, поэтому решения будут мало от-
личаться от стационарных. Наличие таких ярко выраженных
резонансов позволяет говорить о существовании квазисвязанных
состояний с конечным временем жизни. Состояния такого типа
называют еще и квазистационарными состояниями.
Если предположить, что слабое электрическое поле мало изме-
няет невозмущенное состояние системы, то затухание волновой
функции под барьером будет пропорционально (см. (1.4.12) и
(1.4.13))
ехр[- Рп (|х| - 0.51F)] при |х| > 0.51F,
здесь =| - Е„)|
Для того чтобы амплитуда волновой функции на длине d (рис.
2.3,6) стала пренебрежимо малой, необходимо, чтобы d было » 1/Д,.
В свою очередь,
= £”-0.51Г.
qF
2.2. Оценка смещения энергетических уровней ...
73
Таким образом, необходимо, чтобы
qF«-U±~-* (2.2.1)
0.5W + \ipn
Для нижних уровней широких и глубоких КЯ из (2.2.1) получа-
ем условие квазистационарности состояний в виде
gF« (2.2.2)
0.51Г
для узких и мелких КЯ - в виде
qF«fin{UQ-E). (2.2.3)
Согласно (2.2.1) для КЯ Ga07Al03As / GaAs при 1Г=10 нм ос-
новное состояние можно считать квазистационарным вплоть до
полей напряженностью F® 105 В/см [3].
Ограничиваясь случаем слабых электрических полей и полагая
состояния в КЯ квазистационарными, оценим изменение энергии
основного состояния под действием возмущения qFx. В первом по-
рядке теории возмущений
Д£<*) = Ги = (T^Fxfrf0^,
где определены выражением (1.4.12).
В связи с тем, что оператор электрического дипольного момен-
та qFx изменяет знак при операции инверсии пространственных
координат, его среднее значение в основном состоянии будет равно
нулю. Таким образом, поправка к энергии в первом приближении
равна нулю, а во втором -
2
Д£(2)-У 1^1
(2.2.4)
Учитывая в (2.2.4), как и в (2.1.14), только одно слагаемое, по-
лучим
* ^о^2~^) !sin(ai )F! + sin(«2)F2 - у (F3 + fa)1 , (2.2.5)
74
Гл. 2. Влияние однородного электрического поля ...
где
а, = 0.5W(Kt + К2); а2 = 0.5И'(^2 - Кх);
F - 0W + 1 + »
1" (А + Pi)+ + р2 ? + (К2 + Кх f ’
F OSff' 11.
2" (A + Pl)+(д + р2 ? + (к2 - кх )2 ’
cos(ai)
(к2 + К])
_ cos(a2) .
^2 ^-2
определяются (1.4.3) при n=i\ =
2т
М/2
| ; А, - амплитуда волновой функции z-го не-
Pi
возмущенного состояния КЯ (см. (1.4.13), (1.4.15)).
Отметим, что < е|°\ поэтому поправка к энергии основного
состояния Д£^<0, т.е. под действием слабого электрического
поля энергия основного состояния и в этом случае уменьшается
пропорционально квадрату электрического поля. Однако в дан-
ном случае эти оценки окажутся верными лишь тогда, когда од-
новременно выполняются условия (2.1.16) и (2.2.1).
Зависимости положения резонансов и их ширины от величины
электрического поля (в широком интервале полей) для КЯ различ-
ной глубины приведены, например, в [2].
2.3. Влияние однородного электрического поля
на энергетический спектр
параболической потенциальной ямы
Оценим влияние однородного электрического поля на энерге-
тический спектр системы с параболической КЯ.
Как и в предыдущих случаях, направим вектор напряженности
электрического поля F параллельно оси х. Тогда для одномерного
(линейного) случая потенциальная энергия электрона может быть
представлена в виде
U(x) = 0.5Kr2 + qFx.
(2.3.1)
2.3. Влияние электрического поля на энергетический спектр...75
При F=0 t/(x) представляет собой несмещенную параболу (кри-
вая 1, рис. 2.4). При F 0 минимум параболы смещается в сторону
меньших энергий на величину
л ^F)2
A = (23.2)
ZA
и находится в точке х = d (кривая 2, рис.2.4)
j
d = (2.3.3)
А
Зная решение уравнения Шредингера для линейного осцилля-
тора в отсутствии электрического поля, легко найти собственные
функции и собственные значения уравнения Шредингера с потен-
циальной энергией (2.3.1).
Заменой переменной z = х + qF / К уравнение Шредингера с
потенциалом (2.3.1)
2
----^’(л) -ь(0.5К? + qF$¥(x) = Ё¥(х) (2.3.4)
2т
сводится к уравнению Шредингера для обычного линейного ос-
циллятора.
В нашем случае получим
- —'P'(z) + 0.5Kz2vP(z) = (Е + (2.3.5)
Сопоставляя (2.3.5) и (1.6.1), получаем, что при наличии элек-
трического поля
Еп = Й4У(л + 0.5) -и=0,1,2... (2.3.6)
2К
и
Тл(2) = ^(мА (2.3.7)
К
здесь J
В соответствии с (2.3.6) и (2.3.7), как и в классическом слу-
чае, действие однородного электрического поля на осциллятор
76 Гл. 2. Влияние однородного электрического поля ...
сводится лишь к смещению его положения равновесия. При
этом энергия всех разрешенных состояний понижается на
(qF)2/(2K).
Например, принимая характер движения электрона в плоско-
сти КЯ (вдоль у и z) свободным, для трехмёрного случая получаем,
что
Й2Л2
+ 05) + А (2.3.8)
г 2т
и
(2.3.9)
здесь а = JhTmto; kp=ky + kz-, (kpp) = kyy + kzr, kp - волновой век-
тор электрона в плоскости КЯ; Ly,Lz -размеры системы соответ-
ственно в направлениях у их; Ни(х)- полиномы Эрмита.
Рис 2.4. Энергетическая диаграмма
параболической КЯ при F=0 и
F*0
Практически для характери-
стики параболического потенциа-
ла вместо коэффициента квази-
упругой силы К часто удобнее
пользоваться значением расстоя-
ния г между ветвями параболы
при заданном значении энергии
Ес (рис. 2.4). При этом
К = 8^; (2.3.10)
Д = и d = -^r2.
\6ЕС 8ЕС
(2.3.11)
Отметим также, что в реальных системах смещение минимума
параболического потенциала КЯ в электрическом поле при разум-
ных значениях параметров исследуемой системы может достигать
нескольких нанометров. Так.при ЕГ =0.255эВ, г= 400 нм и F=\&
В/см смещение J = 8 нм. Таким образом, изменяя электрическое
поле, мы можем как бы сканировать систему на десяток наномет-
ров в обе стороны от первоначального положения минимума по-
тенциала.
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности 77
2.4. Интерференционная передислокация
электронной плотности в
туннельно-связанных квантовых ямах
Исследования в области разработки высокопроизводительных
вычислительных систем, средств связи и обработки информации
привели к появлению нового подхода в создании элементной базы
электроники [4-6]. В рамках этого подхода носителем информации
выступает амплитуда электронной волновой функции в данной об-
ласти квантовой системы. Прикладывая внешнее напряжение,
меняющее энергетический спектр, можно вызывать контролиру-
емую передислокацию электронной плотности в системе, соот-
ветствующую преобразованию информации по заданному закону.
В качестве физической основы для реализации приборов с
управляемой передислокацией электронной плотности могут
быть использованы структуры, образованные набором туннельно-
связанных квантовых ям.
В многоямной квантовой структуре распределение амплитуды
волновой функции определяется, по сути, интерференцией кванто-
вых состояний различных КЯ. Поэтому перераспределение элек-
тронной плотности под действием внешнего напряжения может
носить сложный немонотонный характер. При этом соответствую-
щий немонотонный характер будет носить и изменение физических
характеристик системы, что открывает широкие возможности для
разработки различных квантовых приборов.
Подробное исследование временной динамики процесса пере-
дислокации волновой функции, определяющей быстродействие дан-
ных приборов, было выполнено в [5].
Рассмотрим эволюцию электронных состояний системы, обра-
зованной набором КЯ и барьеров в монотонно меняющемся во
времени внешнем электрическом поле. В качестве конкретного объ-
екта рассмотрим одномерную структуру, состоящую из двух КЯ
(рис. 2.5).
Для описания процессов межъямного туннелирования необхо-
димо решить нестационарное уравнение Шредингера для системы
квантовых ям и барьеров в зависящем от времени электрическом
поле
др ь .э2ф
ih^ = —^^- + {U{x)-qF{t)x)'¥, (2.4.1)
А 2т дх1
здесь F(t) = V(t)l L - напряженность электрического поля; К(г)
зависящее от времени внешнее напряжение, приложенное к струк-
78
Гл. 2. Влияние однородного электрического поля ...
туре; L- размер структуры; U(x) -
потенциальный рельеф структуры
при F = 0.
Будем полагать, что прозрач-
ность барьера, разделяющего КЯ,
невелика и без учета межэлек-
тронного взаимодействия систему
можно описать в приближении
сильной связи. При этом свойства
отдельной КЯ удобно характери-
зовать величиной энергии размер-
но-квантованных состояний
(левая яма) и (правая яма), со-
ответствующих изолированным
КЯ, ограниченным бесконечно
широкими барьерами. Рассмотрим
случай, когда в «затравочных»
изолированных ямах, из которых образована структура, имеется
только по одному электронному уровню.
В приближении сильной связи волновую функцию системы
можно представить в виде линейной комбинации одноямных соб-
ственных функций
'Р(х,г) = £С1(0Ф,(х),
(2-4.2)
где коэффициент С, удовлетворяет условию нормировки. Вероят-
ность обнаружить электрон в i-й КЯ определяется квадратом мо-
дуля |С,-|2.
В умеренно сильных электрических полях в качестве Ф7 и ФЛ
в (2.4.2) можно использовать волновые функции изолированных
ям, рассчитанные в отсутствии поля (F = 0). Расстояние £2 _ бу-
дет обусловлено перекрытием волновых функций Ф£, ФЛ и отно-
сительным сдвигом одноямных уровней EL, ER в электрическом
поле
здесь (V - интеграл перекрытия; Е,= Е? + q<pi (i = L,R), (c,(x) -
электростатический потенциал. Оценки показывают [7], что для
системы GaAs/AlAs, в которой высота барьеров на гетерогранице
составляет около 1 эВ, приближение сильной связи применимо да-
же для барьеров шириной порядка 10А.
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности
79
Согласно (2.4.3)
при увеличении элек-
трического поля бу-
дет происходить сме-
щение уровней, и при
определенной поляр-
ности и величине
ПОЛЯ V E^)lq
можно даже осущест-
вить инверсию уров-
ней. В слабо связан-
ной двухъямной струк-
туре при этом имеет
место передислокация
Рис. 2.6. Зависимость вероятности нахождения
электронов в КЯ I и 2 с параметрами а, = 0.4Л,
а2=0.7Я и Ь=О.5Л (здесь Л = (2я-2Й2/т* Д£с)^2, A£t —
высота барьера) от напряжения при его медленном
адиабатическом изменении [4]
амплитуды волновой функции из одной ямы в другую.
В случае медленного адиабатического включения потенциала
изменение распределения вероятности нахождения электрона в
различных областях структуры можно получить, считая величину
поля F(t) в (2.4.1), зависящей от времени как от параметра. При
этом электрон совершит бездиссипативную передислокацию из
ямы 2 в яму 1 (см. рис. 2.5). На рис. 2.6 представлены зависимости
вероятности <у, нахождения электронов в ямах 1 и 2
л»* (0 =
(интегрирование в пределах /-й ямы) от времени, полученные в
результате решения уравнения (2.4.1) для двухъямной структуры
при медленном адиабатическом изменении напряжения. Согласно
оценкам [4,5] режим, близкий к адиабатическому, достигается на
временах порядка пикосекунды.
Иная ситуация наблюдается при скачкообразном изменении
напряжения. В этом случае электрон, находившийся в основном
состоянии преимущественно в яме 2, переходит в возбужденное
состояние, но по-прежнему максимум его волновой функции
остается в яме 2, совершая слабые осцилляции около положения
равновесия. Передислокация максимума амплитуды волновой
функции при этом происходит путем межъямной релаксации с
испусканием фонона.
80
Гл. 2. Влияние однородного электрического поля...
Рис. 2.7. Зависимость вероятности нахождения
электрона в КЯ 1 и 2 от времени для двухъямной
структуры с параметрами а, =0.4Л,а2 =0.7Л,
Ь=О.5Л,(го =2лй/Д£с):
а - при ступенчатом изменении напряжения от доК, в
момент /=0; б - при ступенчатом изменении внешнего на-
пряжения от Vo до Vr [4]
На рис. 2.7, а пока-
заны зависимости ве-
роятности нахождения
электрона со, в каждой
из ям от времени при
ступенчатом измене-
нии напряжения от ну-
ля до V >(Е2 - E\)lq.
Видно, что в этом слу-
чае максимум элек-
тронной плотности
остается во второй
яме, испытывая срав-
нительно малые ос-
цилляции. Для опи-
сания передислокации
при этом необходимо
включение в рассмот-
рение диссипативных
процессов. Переклю-
чение же будет осуще-
ствляться благодаря
межъямной релаксации
с испусканием фонона.
Время переключе-
ния в этом случае
определяется време-
нем релаксации и за-
висит от расстояния
ЛЕ между термами и прозрачности барьера, определяющей
степень перекрытия волновых функций.
Если скачком изменить напряжение от нуля до резонансно-
го значения Vr, соответствующего равенству вероятности об-
наружить электрон в первой и второй ямах в стационарном
состоянии (см. рис. 2.6), то, как и в предыдущем случае, наблю-
дается осцилляторное поведение co(t) (рис. 2.7, б), но амплиту-
да осцилляций велика, значения вероятностей в минимумах
обращаются в нуль, то есть за период колебаний происходит
полная предислокация электронной плотности из одной ямы в
другую. Период колебаний 2ТГ при этом определяется расстоянием
между уровнями стационарных состояний в резонансных условиях
и существенно зависит от толщины барьера.
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности
81
Рис. 2.8. Изменение вероятностей со временем
для двухъямной структуры при двухступенчатом
включении внешнего напряжения. На вставке зави-
симость напряжения от времени, т = 9z0 [5]
Сопоставляя рис. 2.7, о и б, можно сделать вывод, что для осу-
ществления бездиссипативной передислокации электронной плот-
ности необходимо вначале приложить к структуре напряжение Vr,
а в момент достижения максимума вероятности в первой яме (то
есть при t = Tr) скачком увеличить напряжение до соответст-
вующего передислокации в стационарных условиях.
На рис. 2.8 представлены зависимости &>(t) для такого режима.
При этом передислокация в основном достигается за время тг и
для структур, сформированных на основе слоев
Ga xAl}_xAs I GaAs , составляет 0,15 пс для х-0,3 и 0,45 пс при
х = 0,1.
Отметим, что на таких временах осуществить ступенчатое из-
менение напряжения на структуре очень сложно, однако оценки
[4,5] показывают, что и при плавном, например, линейном по вре-
мени, включении напряжения можно добиться бездиссипативной
передислокации за время менее 1 пс. Причем это время зависит от
размеров КЯ и соответствующим их подбором оно может быть еще
уменьшено. В [5], в частности, показано, что оптимальным режи-
мом переключения будет не скачкообразное изменение приложен-
ного к структуре напряжения, а более плавный процесс, при
котором система некоторое время находится в окрестности резо-
нанса уровней энергии различных КЯ. Время переключения в этом
случае определяется временем туннелирования в резонансе, кото-
82
Список литературы
рое для структуры GaAs-AlAs при толщинах барьеров и ям
о
-40-50 А может быть порядка 0,1 пс. При этом оказалось, что
динамика передислокации волновой функции слабо зависит от
формы временного фронта импульса переключения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ГалицкийВ.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике:
Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
2. Лазаренкова О.Л., Пихтин А.Н Энергетический спектр неидеальной
квантовой ямы в электрическом поле //ФТП- 1998 - Т. 32, вып. 9. -
С. 1108-1113.
З. Елинсон М.И., Петров В.А. Электрооптические эффекты в структурах с
квантовыми ямами // Микроэлектроника. - 1987. - Т. 16, вып. 6. - С. 522-
532.
4. Горбацевич А.А., Капаев В. В., Копаев Ю.В., Кремлев ВЯ. Квантовые
приборы на основе эффекта передислокации волновых функций в
гетероструктурах // Микроэлектроника.- 1994- Т. 23, вып. 5. - С. 17-26.
5. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В. Управляемая эволюция
электронных состояний в наноструктурах //ЖЭТФ- 1995. - Т. 107, вып. 4.
-С. 1320-1349.
б. Горбацевич А.А., Капаев В В., Копаев Ю.В., Кремлев ВЯ. Квантовые
приборы на основе эффекта передислокации волновой функции //
Электронная промышленность - 1995-№ 4-5-С. 28-31.
7. Ивченко ЕЛ., Киселев А.А., Зу Н., Вилландер М. Бистабильность
туннельного тока и фотолюминесценция в трехбарьерной структуре //
ФТП. 1993.-Т. 27, вып. 9 -С. 1561-1568.
ГЛАВА 3
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ
В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
3.1. Особенности распределения плотности состояний
в 2D - системах
Использование для определения разрешенных значений энер-
гии в объёмных (3D) материалах граничных условий в виде усло-
вий цикличности Борна-Кармана приводит к выводу, что
компоненты волнового вектора К изменяются не непрерывно, а
принимают ряд дискретных значений. Так,
^=7%; Кг=^л2; Kz=^n3, (3.1.1)
Lx Ly Lz
здесь n, = 0,±l,±2...; Lx,Ly,Lz - размеры кристалла (в форме па-
раллелепипеда) соответственно вдоль Х,У и Z направлений.
При этом объём К-пространства, приходящийся на одно
квантовое состояние, оказывается равен (2л)3/К, где
V = LxLyLz - объём кристалла. Таким образом, число электрон-
ных состояний, приходящихся на элемент объёма
d3К = dKxdKydKz, рассчитанное на единицу объёма кристалла,
будет
(2л-)3 IV V (2л-)3
(3-1.2)
здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.
Заметим, что согласно (3.1.2) число состояний, приходящихся на
единичный объём /С-пространства g(k) (т.е. плотность состояний),
есть величина постоянная, не зависящая от величины К.
8(‘>=7Г(^-
84
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
т.е. в К-пространстве разрешенные состояния распределены с
постоянной плотностью.
В приложениях, однако, необходимо знать количество состоя-
ний, приходящихся на единичный интервал энергии Е (т.е. плот-
ность состояний g(E)), и зависимость плотности состояний от Е, а
не от К Точное вычисление функции gfE) в общем случае практи-
чески невозможно, так как изоэнергетические поверхности могут
иметь довольно сложную форму. Однако часто оказывается доста-
точным знать функцию g(E) только вблизи краёв зон. При этом
обычно удаётся воспользоваться приближением эффективной мас-
сы и свести задачу о нахождении спектра разрешённых состояний,
а значит, и зависимости Е от К к решению уравнения Шредингера
для свободной частицы с эффективной массой т*. Например, для
простой изолированной изотропной энергетической зоны реше-
ние уравнения Шредингера в приближении эффективной массы
будет иметь вид плоской волны
'P(x,y,z) = (LxLyLzY1'2 ex$Kxx + Kyy + Kzz^ (3.1.3)
(а не функции Блоха). При этом связь энергии с волновым векто-
ром К представится в виде
Е = -^—(к2 + К2 + К2)=^-?К2, (3.1.4)
2/и 2т
здесь К2 = (к2 +Ку +К2).
Заметим, что в этом случае начало отсчёта энергии ведется от
точки экстремума зависимости Е от К. В дальнейшем для опреде-
ленности будем полагать, что отсчет энергии ведется от дна зоны
проводимости объёмного (3D) материала.
В этом простейшем случае изотропного параболического зако-
на дисперсии (3.1.4) изоэнергетические поверхности представляют
собой сферы (рис. 3.1, а).Объём такой сферы U
U=-^\ (3.1.5)
3
а радиус сферы К связан с энергией Е, определяющей данную изо-
энергетическую поверхность, уравнением (3.1.4). Согласно (3.1.2)
число электронных состояний N, приходящихся на объём К-
пространства U, для единичного объёма кристалла
U К3 1 (2т* ~
-----=----=----- ---Е
я)3 Зя2 Зя2 ( Й2
3.1. Особенности распределения плотности состояний в 2D- системах 85
Именно столько разрешённых состояний в данном кристалле
будут соответствовать энергиям менее Ё.
Найдем теперь число квантовых состояний, приходящихся на
объём сферического слоя, заключенного между двумя бесконечно
близкими изоэнергетическим поверхностями, соответствующими
энергиям Е и E+dE.
Рис. 3.1. Изоэнергетическая поверхность - (а) и зависимость плотно-
сти состояний от энергии - (б) для ЗО-систем
Согласно (3.1.5) объём сферического слоя в ^’-пространстве
ди = 4лК2дК , (3.1.7)
здесь 6 К - толщина слоя. На этот объём будет приходиться dn
состояний
. 4лк2ал: /г2ак
ал = 2------— =------—
(2л-)3 я-2
или, учитывая связь Е и К (3.1.4),
*\3/2
2т
(3.1.8)
<1п = -Ц-
2л-2
4ЁдЕ.
(3.1.9а)
Отсюда плотность состояний g(E) будет
d„ (2.-Г
В случае эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей
ft2
Е = — -^- +
2
от* т*у т* /
86
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
преобразованием
можно выражения для спектра привести к сферической форме
F-^ К'2
2
В результате с учетом (3.1.2), (3.1.5) и (3.1.8) для плотности состоя-
ний в этом случае получаем следующее выражение:
#(£)=
d Л2
d£
(3.1.96)
Таким образом, получили, что в объёмных (3D) кристаллах с
параболическим энергетическим спектром при увеличении энер-
гии плотность разрешенных энергетических уровней (плот-
ность состояний) будет увеличиваться пропорционально
(см. рис. 3.1, б).
Рассмотрим теперь случай, когда движение электрона будет
определяться периодическим потенциалом кристаллической ре-
шётки и дополнительным потенциалом U(z)
rr( \ (О при 0 < 2 < IF
|оо при 0 > z > W ’
ограничивающим движение вдоль оси Z. Такая система может рас-
сматриваться как грубая модель для описания движения частиц в
тонкой пленке узкозонного полупроводника (толщина пленки JT),
выращенной между двумя слоями широкозонного полупроводника.
Ограничиваясь рассмотрением энергетических состояний толь-
ко у края зоны с изотропным законом дисперсии, в данном случае
(U(z)=^i=const для 0<z<W) также можно воспользоваться приближе-
нием эффективной массы. В этом приближении движение электро-
нов проводимости вдоль осей X и У (в плоскости пленки) ока-
зывается свободным (но с массой т*), а движение вдоль оси Z бу-
дет ограничено потенциалом U(z) (квазидвумерная система или 2D-
система).
Для данного профиля потенциала с учетом граничных условий
(Т= 0 при z=0 и И7) одноэлектронные нормированные волновые
3.1. Особенности распределения плотности состояний в 2D- системах 87
функции и энергетический спектр электронов можно представить в
виде
4/(x,y,z) =
t ~ Л,/2
2
(3.1.10)
2 / \2 2
„2+Л_/Г2+/Г2)> (3.1.1,,
2m w ) 2т
здесь Lx,Ly - размеры пленки в плоскости (ХУ) (предполагается,
что Lx, £>»W); «=1,2,3..., Кх и Ку определяются (3.1.1).
Согласно (3.1.11) в такой квазидвумерной системе состояния
электрона проводимости определяются тремя числами (п,Кх,Ку),
энергетический спектр разбивается на отдельные перекры-
вающиеся двумерные подзоны Еп = Е„(КХ,КУ), соответствую-
щие фиксированным значениям п (рис. 3.2, а), а кривые
постоянной энергии представляют собой окружности. Отметим,
что отсчет энергии ведется от дна зоны проводимости объёмного
кристалла.
Если дискретному квантовому числу п сопоставить разрешен-
ные значения абсолютной величины Z-компоненты волнового
вектора |/С2| = (л-/И,)п, то можно распределение квантовых со-
стояний представить в /С-пространстве, как показано на рис. 3.2, б.
Видно, что объём К-пространства, ограниченный замкнутой по-
верхностью данной энергии Е, в случае пленки разбивается на
ряд сечений, соответствующих фиксированным значениям п.
Рис 3 2 Энергетический спектр частиц - (а) и распределение кванто-
вых состояний в Я^-пространстве - (б) для тонкой пленки
88
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Воспользовавшись представлением о распределении квантовых
состояний в /^-пространстве, определим зависимость плотности со-
стояний от энергии в тонкой пленке (в 2£)-системе).
Для этого при заданном п найдем площадь S кольца, ограни-
ченного двумя изоэнергетическими поверхностями, соответствую-
щими энергиям Е и Е + dЕ,
S = 2nKpdKp ,
здесь Кр = ^К2 +Ку - величина двумерного волнового вектора,
соответствующая данным п и Е; d Кр - ширина кольца.
Так как одному состоянию в плоскости (КХКУ) соответствует
площадь dS = (2?r)2 l{LxLy), то число электронных состояний в
кольце, рассчитанное на единицу объёма кристалла, будет
2S . KpdKp dK*
VdS nW
(3.1.12)
Множитель 2 в (3.1.12) учитывает две возможные проекции спина.
Согласно (3.1.11) для нашей модели
К2р=~(Е-Еп), (3.1.13)
Й2
г " (л
здесь£"=^1^
2
I 2
п - энергия, соответствующая дну и-и под-
зоны. Таким образом, с учётом (3.1.12) и (3.1.13) для плотности со-
стояний в пленке имеем
&пл(£)“
EdN
dE
т
nWh2
Y^-En)
(3.1.14а)
здесь Q(Y) - единичная функция Хевисайда, 0(г)=1 при Y>0 и
G(Y)=0 при Y<0. Суммирование в (3.1.14) ведется по числу под-
зон, дно которых находится ниже данной энергии Е.
Иногда g.*(E) представляют в виде [1]
лИТт L v Ej
где [JE / Ej ]- есть целая часть ^Е/Еу, равная числу подзон, дно
которых находится ниже данной энергии Е.
3.1. Особенности распределения плотности состояний в 2D- системах 89
Из (3.1.14) и (3.1.15) следует, что для пленок с параболиче-
ским законом дисперсии: плотность состояний в любой подзоне
постоянна и не зависит от энергии; каждая подзона дает оди-
наковый вклад в общую плотность состояний gm(E); при фик-
сированной толщине пленки плотность состояний g^E) не
зависит от энергии, пока величина y]E/Ei не изменится на
единицу, поэтому общая зависимость gHJ1 (Е) носит ступен-
чатый характер (рис.З .3, а). Скачок плотности состояний проис-
ходит всякий раз, когда энергия Е совпадает с дном очередной
подзоны, т.е. при Е = Еп= Е^п2.
Рис. 3.3 Зависимость плотности состояний пленки от энергии Е (а);
от толщины №(б)
Выразим £пл(£) в форме (3.1.15) через g^iE) массивного
образца (3.1.9). При этом получим, что для изотропного случая
yjE/Ex
(3.1.16)
Отсюда видно, что при Е = Еп плотность состояний в пленке равна
плотности состояний в массивном образце. Из (3.1.16) также сле-
дует, что если при заданной энергии Е увеличивать толщину плен-
ки W (т.е. уменьшать £,), то, когда-jE/E] будет равняться целому
числу, gnn(E) = gM(E). При других толщинах с ростом W плот-
ность состояний gm(E) будет уменьшаться пропорционально
1/W до тех пор, пока дно очередной подзоны не совпадет с Е [1].
Зависимость gnn(lf) от приведена на рис. 3.3, б.
Отметим, что в пленке плотность состояний меняется не-
монотонно и меньше, чем в массивном образце.
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Значения толщины, при которых плотность состояний меняется
скачком, можно определить из соотношения
Wn =~Я—П = W,n, п = 1,2,3...
(3.1.17)
здесь FF, - толщина, при которой дно наинизшей подзоны совпада-
ет с заданной энергией Е.
Из (3.1.17) и рис. 3.3, б видно, что gnn(^) является периодиче-
ской функцией толщины, причём период осцилляций ЛИ7 -
= Wx = 0.5Л, где Л - длина волны де Бройля электронов с энергией
Е. Именно с этим поведением плотности состояний в условиях раз-
мерного квантования связаны осцилляции термодинамических и ки-
нетических характеристик пленки при изменении её толщины.
В случае спектра с анизотропным законом дисперсии
кривые постоянной энергии представляют собой эллипсы. Преоб-
разованием
как и в случае объемного материала, выражение для спектра можно
привести к изотропной форме
здесь К' = + К’у .
Таким образом, с учётом (3.1.12) и (3.1.13) для плотности со-
стояний в пленке с анизотропным законом дисперсии получаем
£пл(Я) = = ^Ц1_£0(е - Еп). (3.1.146)
6Е nWn „
В заключение заметим, что в случае произвольного закона
дисперсии или выбора пленочного (ограничивающего) потенциа-
ла другого вида, функции grui(E,H') могут отличаться от приве-
денных на рис. 3.3, однако основная особенность - немонотон-
ный ход - сохранится [1].
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентрации пленки. 91
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентрации
и толщины пленки для 21)-систем
Ступенчатый характер зависимости плотности состояний от
энергии (3.1.15) для 2В-систем проявится и в зависимости уровня
Ферми от концентрации электронов.
Равновесную концентрацию электронов п, энергия которых
лежит в интервале -Emin), можно найти, используя выраже-
ние
^шах
л = Jg(E)/0(E)dE, (3.2.1)
^min
здесь f0(E)- функция распределения Ферми-Дирака; g(E)- плот-
ность состояний.
Если для описания распределения разрешенных энергетических
состояний электронов воспользоваться моделью, использованной в
п. 3.1, то выражение (3.2.1) примет вид
* Е шах
n2p=-V- Е (3-2.2)
л Еп
2
где Е„ - Е\п . Учитывая резкую зависимость /0 от энергии и пола-
гая верхний предел интегрирования равным бесконечности, из
(3.2.2) получаем
и2£> = 1
п
(3.2.3)
здесь /v<2D) =——2—- эффективная плотность состояний; Ер — уро-
nh2W
вень Ферми.
Для невырожденного электронного газа, когда exp^Ef-Ej/Ao?]»
«1 из (3.2.3)
~ rxnf суп Г 1 Г3 2 41
n2D = NC еХР 1 -г / - еХР1 / -г ’
WJn I к0Т)
отсюда
п2Р________!______
W<?D) ^ехр(-Е„/к0Т)
(3.2.5)
92
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Заметим, что формально в (3.2.3-3.2.5) суммирование по п не-
обходимо проводить до п = nQ = оо, однако реально в (3.2.4) и
(3.2.5) можно ограничиться суммированием до
«О <
2.5 V
. J
(3.2.6)
где [Z] - целая часть Z.
В случае сверхтонких пленок, когда можно учитывать заполне-
ние лишь нижней подзоны из (3.2.4) и (3.2.5)
к К(Я
EF=£1+^0T.Ln[-^
Для толстых пленок (квазиклассический случай) выражение
(3.2.4) переходит- в соответствующее выражение для массивного
кристалла.
В случае сильного вырождения электронного газа и низких
температур, когда (Ер -Е\)1к$Т »1 из (3.2.3) получим, что
дг(2Р) «о
n2D =
*0* л=1
где tiQ - целая часть у]Ер 1Е^.
Выполнив в (3.2.7) суммирование по п, имеем
~ т* Гг г (ло+О(2ио+1)
«20^—ef~E\--------7----
(3.2.7)
(3.2.8)
Отсюда получаем связь между границей Ферми (граница Фер-
ми - уровень энергии, ниже которого при Т=0 К все разрешенные
состояния заняты, а выше - все пусты) и концентрацией электро-
нов для пленок произвольной толщины в виде
р + р (л0 + 1Х2л0 + 1)
Др - —; И2£) + Д] --------------------
m riQ °
(3.2.9)
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентрации пленки... 93
В случае толстых пленок, когда заполнено много подзон и
и0 »1, согласно (3.2.9)
Ef = Ef(oo) = —(Зл-2л2Р)^, (3.2.10)
2ти*
т. е. при больших толщинах выражение для Ер в пленке переходит
в соответствующее выражение для Ер в массивном кристалле.
В случае сверхтонких пленок, когда электроны находятся толь-
ко в нижней подзоне, «о = 1 и граница Ферми проходит между пер-
вым и вторым пленочными уровнями, согласно (3.2.9)
г ~ с- .
Ер = Е\ ч------—Л2Р’ (3.2.11)
т*
Таким образом, при W —>0 граница Ферми Ер —> Е(.
Зависимость границы Ферми от толщины пленки, рассчитан-
ная по (3.2.9) для л = 1025 м-3 и т* = 0.067wio, представлена на
рис. 3.4. Минимумы на кривой связаны с уменьшением Е) (про-
порционально W~2) и плотности состояний (пропорционально
И7”1). Максимумы определяются толщинами , при которых
граница Ферми совпадает с дном очередной подзоны с номером
«0. При этом
£г(^тах) = ^1(^п1ах)«0
(рассматривается КЯ с бесконечно высокими стенками).
Рис 3 4 Зависимость границы Ферми от толщины размерно-
квантованной пленки
94
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Толщины FKmin и соответствующие экстремумам на за-
висимости Ef от толщины пленки, можно оценить по формулам
где /%=1ДЗ...
w
min
я » ("о + О(2ло +1)
----й0--------7-------
И2£) 6
(3.2.12)
Л
2n2D
(ир + +1)
6и0
(3.2.13)
^тах ~ «О ’
здесь ир = 2,3,4...., так как в вырожденном случае граница Ферми
может совпадать только с дном подзон 2,3,4 и т.д.
В минимуме
F (W \ — F (ггЛ + 1^2и® +
2лр
(3.2.14)
где пр = 1,2,3..., а в максимуме
^(^тах)=£г(«’)-
4лр
(л0 - 1)(4л0 +1)
(3.2.15)
Таким образом, при увеличении толщины пленки для смежных
максимумов и минимумов имеем
3
W
rr max
W
min
4л0 +1
4и0-2
(3.2.16)
и
^F(^max) 4
----------— ЛПд • ----------------
(^mm ) (4wq + 1) (2/1q — 1)
(3.2.17)
здесь л0 = 2,3,4
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых проволоках ... 95
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых
проволоках и квантовых точках
Рассмотрим систему, в которой движение частиц определяется
периодическим потенциалом кристаллической решётки и дополни-
тельным потенциальным рельефом вида
^(y,z) =
ГО
00
при 0<y<d и 0<z<W
при у<0, z<0
при у > d, z>W
ограничивающим движение по осям У и Z.
Структуры с КЯ, в которых движение электронов ограни-
чено по двум направлениям и свободно в третьем (одномерные
или ID-системы), называются квантовыми проволоками (КП).
Рассматривая энергетические состояния только у края невыро-
жденной зоны с изотропным законом дисперсии, для данного про-
филя потенциала одноэлектронные нормированные волновые
функции и энергетический спектр электронов можно представить в
виде
/ . \l/2 ( X f X
^п,т(х,у,г)= sinl^y sin |-^z exp(iKxx); (3.3.1)
Ху jq Cl rF j d J VY J
fe2 *2 Г/„\2 z x2
'« m k- \-h K2 h I n I «2 4.1 П I »2
7И, 4--— I — I ЛИ +1 - I И
2m 2m
(3.3.2)
где ось X - направлена вдоль квантового провода; Кх- одномер-
ный волновой вектор, определяемый (3.1.1); d и W - толщина КП
вдоль осей У и Z соответственно (предполагается, что Lx»d и 1F);
т, п= 1,2,3...- положительные числа, характеризующие квантовые
подзоны.
Согласно (3.3.2) энергетический спектр КП разбивается на
отдельные перекрывающиеся одномерные подзоны (параболы)
Е(п,т,Кх), соответствующие фиксированным значениям лит (рис.
3.5, а). Движение электронов вдоль оси X оказывается свободным
(но с массой т*), а вдоль осей У и Z движение ограничено.
Определим зависимость плотности состояний в КП от энергии.
Число квантовых состояний, приходящихся на интервал dKx,
рассчитанное на единицу объёма, равно
чх, dA,_
V(27tlLx) 2nWd
(3.3.3)
96
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Согласно (3.3.2)
где
V й
(33.4)
(3.3.5)
энергия, соответствующая дну подзоны с заданными лит. Таким
образом,
d
(3.3.6)
С учётом (3.3.6) зависимость плотности состояний в КП от
энергии, рассчитанная на единицу объёма, может быть представле-
на в виде
gj&=
'J 2т у у ®(Е Епт )
JE-E„m
т п у ^п,т
(3.3.7)
При выводе (3.3.7) учтено спиновое вырождение состояний и то,
что одному интервалу <\Е соответствуют два интервала ±dKx (см.
рис. 3.5, а) каждой подзоны, для которой (Е-Ел/п)>0.
Отметим также, что в (3.3.7) энергия Е отсчитывается от дна
зоны проводимости массивного образца.
Зависимость плотности состояний в КП от энергии представле-
на на рис. 3.5, б. Цифры у кривых показывают квантовые числа и и
т. В скобках указаны факторы вырождения уровней подзон.
Согласно (3.3.7) в пределах отдельной подзоны плотность
состояний уменьшается с увеличением энергии как \/^Е- Епт.
Полная плотность состояний представляет собой суперпози-
цию одинаковых убывающих функций (соответствующих от-
дельным подзонам), смещенных по оси энергии. При Е = Еп т
плотность состояний gKn равна бесконечности. Однако необходимо
заметить, что для любого конечного интервала энергии число раз-
решённых состояний оказывается конечным. Отметим также, что
при d=W подзоны с квантовыми числами nt т оказываются
дважды вырожденными.
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых проволоках ... 97
Е, Е3 Е3 Е4 Es Е
Рис 3.5. Энергетический спектр электронов при d<W- (а) и зависимость
плотности состояний от энергии при d=W-(б) для квантовой проволоки
При трехмерном ограничении движения частиц мы приходим
к задаче о нахождении разрешённых состояний в квантовой точке
(ячейке) или OD-системе.
В случае, когда наряду с периодическим потенциалом кристал-
лической решётки на частицу действует ограничивающий потенци-
ал вида
U(x,y,z) =
О
00
ОО
при 0 < л < й, 0< у <d и 0 <z <№
при х < О, у < О, z < О
при х > Л, y>d, z>W
для состояний вблизи края невырожденной изотропной зоны, ис-
пользуя приближение эффективной массы, нормированные волно-
вые функции и спектр разрешённых состояний удаётся представить
в виде
^n,mJ
(x,y,z
8 V/2
hdWJ
. (л \ . (л \ .(л А
sin —х sin —у sin —z ;
(Л ) \d ) (fP J
(3.3.8)
где h, d и W -размеры квантовой ячейки соответственно вдоль осей
Х.У и Z; п, т и /=1,2,3...-положительные числа, нумерующие под-
зоны.
Согласно (3.3.8) энергетический спектр квантовой ячейки
представляет собой набор дискретных разрешённых состояний, со-
ответствующих фиксированным л, т и I. Число состояний, соот-
ветствующих одному набору п,т,1, рассчитанное на единицу объ-
ёма,
t = 2!hdW.
98
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Полное число состояний, имеющих одинаковую энергию,
рассчитанное на единицу объёма,
N = t-g,
здесь g-фактор вырождения уровня.
Вырождение уровней, в первую очередь,определяется сим-
метрией задачи Например, в случае, когда d=h=W уровни будут
трехкратно вырождены, если два квантовых числа равны между
собой и не равны третьему, и шестикратно вырождены, если
п*т*1. Необходимо также отметить, что конкретный вид по-
тенциала может приводить к дополнительному, так называе-
мому,случайному вырождению. Например, в нашем случае к трёх-
кратному вырождению (п=5, т=1, /=1; и=1, т=5, /=1; и=1, ги=1,
1=5), связанному с симметрией задачи, добавляется случайное вы-
рождение (и=3, ?и=3, 1=3), связанное с видом ограничивающего
потенциала. Распределение числа разрешенных состояний N
N 123(6)
112(3) 122(3) 113(3) 223(3)
111(1) 1 222(1) 1
Е, Ег Е} Et Es Е6 Е-, Е
Рис. 3.6. Распределение числа разрешённых состояний N в зоне прово-
димости для квантовой ячейки при h=d=W
по энергии для квантовой ячейки при h=d=W показано на рис. 3.6.
Цифры на рисунке обозначают квантовые числа. В скобках указа-
ны факторы вырождения уровней.
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения
на энергетический спектр связанных состояний
в одномерной 5-образной потенциальной яме
Мы рассмотрели влияние потенциальных барьеров на энерге-
тический спектр изначально свободных частиц. Остановимся те-
перь на влиянии дополнительных ограничений (потенциальных
барьеров) на разрешенные состояния локализованных частиц.
Найдем разрешенные уровни энергии и волновые функции свя-
занных состояний частицы в 5-образном потенциале при наличии
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения...
99
Рис. 3.7. Энергетическая диаграмма БПЯ
при наличии «5-образного потенциала
дополнительных бесконечно высоких потенциальных барьеров
(рис. 3.7) [2].
Энергетический спектр частицы и волновые функции стацио-
нарных состояний определяются в этом случае решениями уравне-
ния (1.1.2) с потенциалом
/ \ оо,
при х < 0 и х > W
при 0<x<W,
(3.4.1)
здесь а > 0.
Для £<0 (связанные состояния) решения уравнения (1.1.2) в
данном случае имеют вид
Ti = А} ехр(Д)+ Bi ехр(- fix) при 0<х<£
и (3.4.2)
^2 = ^2 ехр(“ А) + ехР(А) при L<x <W,
где Р = 2тЁ / h.
При наличии (5-образного потенциала граничные условия в
точке X=L можно представить в виде
-Т'(£ + 0)+Т'(£-0)=^оТ(£) (3.4.3)
Й2
и
4y(L + 0)= Ч'(А-О). (3.4.4)
100 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Кроме того, необходимо учесть, что в соответствии с (3.4.1)
Ч'1(О)=Т2(И,)=О. (3.4.5)
Причем именно на проявлении ограничений (3.4.5) мы и хотим
сосредоточить внимание.
Учитывая граничные условия (3.4.3), (3.4.4), (3.4.5) и уравнения
(3.4.2), можно показать, что
4х] (х) = 2Л1$А(/&) при 0< х <L;
(3.4.6)
Т2 (х) = -2Вг exp(j3W)sh(j3(W - х)) при L<x< W\
fl(B2 exp(pw)ch\p(W - £)]- Alch(flL))=-А, ^-а • sh(pi)
й2
и
B2exp(fiW)sh[fi(l¥-L)] = -Axsh(/3L) .
Из двух последних уравнений легко получить выражение, оп-
ределяющее спектр разрешенных уровней энергии, в виде
p[dh\fl(W - £)] + cth(flL)]=а^. (3.4.7)
й
Анализ (3.4.7) показывает, что 0, а следовательно, и энергия
связи состояния убывают приуменьшении как L, так и W, т.е.
при приближении локализующего потенциала к любой из по-
тенциальных стенок. Более того, в данном случае связанное со-
стояние (состояние с Е<0) вообще появляется не всегда, а
только при определенных соотношениях между a ,L uW.
Если поместить ^-образный потенциал в центр КЯ, образован-
ной дополнительными границами при х=0 и x=W, т.е. в точку с
x=L=Q.5W, то (3.4.7) примет вид
P = a~th(flL). (3.4.8)
й2
Согласно (3.4.8) связанное состояние может образоваться (т.е.
ё -образная потенциальная яма сможет локализовать частицу),
только если
dth(/?£)
2 |Л
т.е. если
ат
(3.4.9)
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения...
101
При меньших L влияние дополнительного ограничивающего
потенциала "выдавит" уровень из S-образной ямы. Из (3.4.8)
также следует, что при наличии двухстороннего дополнительного
ограничения для связанного состояния
Л2
(3.4.10)
т.е. область локализации частицы Дх будет не менее 2й2 /(ат).
Если исключить влияние одной из дополнительных потенци-
альных границ, например, положив W = «>, но £*<», то из (3.4.7)
имеем
/7(l + cth(/3l))=a^
или
^-/) = th(Z?Z).
п )
(3.4.11)
Согласно (3.4.11) в данном случае связанное состояние может
образоваться, только если
й2
2ат
(3.4.12)
т.е. условие стало менее жестким.
Если исключить влияние дополнительного ограничения во-
обще (устремив Wи L к со), то из (3.4.7) получаем, что в этом слу-
чае в одномерной S-образной потенциальной яме всегда имеется
одно связанное состояние с
Р~
й2
(3.4.13)
и энергией связи
2_
ат
(3.4.14)
С этой точки зрения ^-образная потенциальная яма моделирует
мелкую потенциальную яму U(x) достаточно произвольного про-
филя, для которой mr2U()/h2 «1 (здесь и0 и г- характерные ве-
личина потенциала и его протяженность), при этом
102 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
В заключение отметим, что тенденция к уменьшению энергии
связи и даже исчезновению связанного состояния за счет появле-
ния дополнительных потенциальных границ в одномерных систе-
мах сохраняется и при других формах локализующего потенциала.
Например, из анализа, проведенного в п. 1.7, следует, что при на-
личии связывающего потенциала в виде прямоугольной ямы (по-
тенциальный провал) связанные состояния появятся, если рассто-
яние до дополнительных потенциальных границ
(см. формулу (1.7.8)). В общем случае уменьшение высоты допол-
нительных ограничивающих потенциальных барьеров способству-
ет появлению связанных состояний.
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний
в системах пониженной размерности
Оценка энергии связи мелких примесных состояний в неогра-
ниченных кристаллах обычно проводится в приближении эффек-
тивной массы. При этом задача сводится к нахождению собствен-
ных значений энергии электрона в атоме водорода с учетом эффек-
тивной массы т* и диэлектрической проницаемости кристалла е,
т.е. к решению уравнения Шредингера вида
2т 4^ее0г
(3.5.1)
где Д -оператор Лапласа.
Известно, что для частицы в кулоновском потенциале притя-
жения U = -а 1г уровни энергии для состояний дискретного спек-
тра определяются выражением
£л=-а2-?^-, л=1,2..., (3.5.2)
2й2 п2
а радиальная функция для основного состояния (ls-состояния) мо-
жет быть представлена в виде
/?10 = 2а-3/2 ехр(-г/а), (3.5.3)
2
где а = й /тсс - эффективный боровский радиус.
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний в системах... 103
В нашем случае согласно (3.5.1)
Таким образом, для энергии основного примесного состояния
(л=1) из (3.5.2) получаем
£ = -
д2
4x££q
т
2Й2
(3.5.4)
а эффективный боровский радиус
Й2 (4л£€п'
а^~ —Г~
(3.5.5)
Отметим, что в (3.5.4) отсчет энергии ведется от дна зоны прово-
димости.
Если ограничить область движения электрона потенциальными
барьерами, например, поместив слой полупроводника, в который
введен атом примеси, между двумя слоями более широкозонного
полупроводника, то для определения энергии связи примеси вме-
сто уравнения (3.5.1) необходимо решать уравнение
й2
2т*
Д + U(r) + K(z) Ч'(г) = £Т(г)
(3.5.6)
где V(z) потенциальный рельеф ямы, ограничивающий движение
электронов вдоль Z-направления; U(r) - потенциал, обусловленный
примесным атомом.
Если совместить начало координат с центром потенциальной
ямы и обозначить координату примесного атома по оси, перпенди-
кулярной стенкам ямы - zp то потенциал U(r) можно представить в
виде
2
1/(г)=------ / (3.5.7)
4я££0у/р +(z-zz)
7 7 2
здесь р =х +у - расстояние до примеси в плоскости, парал-
лельной стенкам ямы.
Пусть при отсутствии примесного центра система с потенциа-
лом V(z) имела разрешенное значение энергии основного состоя-
104
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
ния Е0(г), тогда энергия связи Et примеси определится соотноше-
нием
£/(K,z,) = £0(K)-£(P,zJ
(3.5.8)
где Е(у, zf)- собственные значения (3.5.6).
Для упрощения расчетов рассмотрим случай, когда потенци-
ал V(z) имеет вид
при |z|<0.5FP
при |z| > 0.51Р ’
т.е. представляет собой БИЯ.
При этом в отсутствии примесного центра
2
2
(3.5.9)
а собственная функция, соответствующая этому состоянию, может
быть представлена в виде
(3.5.10)
здесь SkW-площадь стенок и ширина ямы, К, = nt W.
Поскольку в (3.5.6) переменные не разделяются, точное реше-
ние задачи в общем случае невозможно. Поэтому для оценки энер-
гии связи используют приближенные методы. Кроме того,
известны решения для некоторых предельных случаев. Например,
если поместить атом примеси в начало координат и устремить
то придем к задаче определения спектра связанных состоя-
ний частицы в двумерном потенциальном поле вида
U(p)=-a/p . (3.5.11)
Разрешенные значения энергии частицы в таком потенциале
определяются выражением
* 2
£?) =----Ь — Ъ- и=1’2" ’ <У5Л2>
2Й2(л-0.5)2
а волновая функция, описывающая основное состояние данной
системы, имеет вид
'р(р)=.р7ехр[-2—)
I ао )
(3.5.13)
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний в системах... 105
Из сравнения (3.5.12) и (3.5.2) видим, что при переходе от
трехмерной системы к двумерной энергия связи примесного
атома в основном состоянии (п=1) увеличивается в четыре
раза.
Более детальную зависимость энергии связи (3.5.8) от ширины
потенциальной ямы W и положения примесного центра в направ-
лении нормали к стенкам ямы можно получить лишь приближенно,
используя, например, прямой вариационный метод [3]. Оценка Е
(V, zj в этом случае сводится к использованию неравенства
Ео < рР*//'РЛ’,
(3.5.14)
где Е0-энергия основного состояния системы; Н - полный га-
мильтониан системы (в данном случае соответствующий (3.5.6));
Т- пробная функция, содержащая некоторое число неизвестных
параметров и удовлетворяющая условиям задачи (в нашем слу-
чае - граничным условиям и условию нормировки)
jVTdv = 1,
здесь, как и в (3.5.14), интегрирование ведется по всему объёму
пленки.
Практически оценка энергии основного состояния E(V, zt) сво-
дится к нахождению минимума интеграла в (3.5.14) при варьирова-
нии пробной функции.
При удачном выборе вида пробной функции найденное значе-
ние Е может оказаться близким к истинному значению энергии ос-
новного (наинизшего) состояния Ео даже при небольшом числе
варьируемых параметров.
Выбор пробной функции обычно базируется на качественном
анализе решений с учетом симметрии задачи. В нашем случае
пробную функцию удобно выбрать в виде
/ч / а vP2+(z~zi)‘
Ч'(г) = N cos(/f| z)exp-j-----------------
(3.5.15)
здесь N- нормировочный множитель, а Л - вариационный пара-
метр.
Заметим, что функция (3.5.15) является одной из простейших
пробных функций, удовлетворяющих симметрии задачи и условию
полного ограничения ямой (Ч* =0 при |z|> 0.51F). Кроме того, функ-
ция (3.5.15) является точным решением (3.5.6) в двух предельных
случаях. W = 0 и W= <х> (см. (3.5.3) и (3.5.13)).
106 Гл, 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Используя (3.5.15), выражение для определения собственных
значений (3.5.6) удается представить в виде [3]
E(K,z/)=E(^,z„A)=^- + -^--^£x
2т 2т Л2
, cos(2E1Zl) К?Л2 ( W\(2zA
1 + — ; ,'----Чг^-ехИ-----сЛ —-
1 + Е^Л2 1 + К2Л2 I А) \ Л J
(3.5.16)
Минимизируя это выражение по Л, получим E(V, zt)=E(W, zt)
при значении Л, обеспечивающем min (3.5.16). Теперь с учетом
(3.5.8) для энергии связи примеси имеем
р.2 is 2
Е&.г,) =-----J- - E(1F,Z(.). (3.5.17)
2т
Анализ [3] показывает, что E,(W, z,) убывает при увеличе-
нии ширины ямы и удалении места расположения примесно-
го атома от центра ямы (т.е. при увеличении z,), причем
El(fE,z,)=Ei(W,-z,). При неизменной ширине ямы W величина
энергии связи Et(W,z,) максимальна при расположении примеси
в центре ямы (г,=0) и минимальна при Z|=±0.5IT. В пределе
FF->oo значение Et(W,z,) уменьшается для zt=0 до значения
E=E(3D), определяемого выражением (3.5.4), и до E(3D)/4 для
Zi =± 0.5РГ (здесь (3D) - обозначает трехмерный случай).
Такое уменьшение энергии связи в случае расположения при-
месного центра на краю КЯ поясним, рассмотрев одномерный слу-
чай [2].
Пусть заданы два потенциальных рельефа t/|(|x|) и С/2(х), ПРИ"
чем при х>0 t/2(*)=Ц(И)» а ПРИ *<0 С2(х)=<ю (рис. 3.8). Сопоста-
вим энергетические уровни дискретного спектра и волновые
функции стационарных состояний частицы в потенциальных ямах
с Ц(|х|) и t72(x). Для этого заметим, что при х>0 уравнение Шре-
дингера (1.1.2) с потенциалом U} (]х|) совпадет с аналогичным урав-
нением, но с потенциалом U2(x). Кроме того, граничные условия
для системы с 1/2(х) (Т(о)= Т(оо) = 0) совпадают с граничными
условиями для нечетных состояний в потенциале Щ (|х|). Таким об-
разом, получаем, что спектр разрешенных значений энергии е|2^
для ямы с С2(х) совпадает со спектром нечетных состояний C^+i
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний в системах... 107
для ямы с t/|(|x|) (k=0,l,2...), т.е. Е^ = £^+1, а нормированные
собственные функции для этих состояний отличаются только мно-
жителем, т.е.
т}2>(х) = Лчф+1(х), х>0.
Рис. 3.8. Схематическое изображение потенциалов C/i(|x|) и U2(x)
Проведенный анализ показал, что при переходе от системы с
симметричным потенциалом Щ(jx|) к системе с потенциалом U2{x)
энергия связи для основного состояния уменьшается (|zTq2^| < |Eq^|)-
Отметим также, что если потенциал U\ (|х|) приводит к появлению
только одного (четного) связанного состояния (яма мелкая), то в
потенциале U2(x) связанное состояние не появится вообще.
В нашем случае при Zt = ±0.5^ (т.е. атом примеси расположен
точно на краю потенциальной ямы с бесконечно высокими стенка-
ми) и W -> «л (т.е. вторая стенка находится далеко) пробная функ-
ция (3.5.15) сводится (с точностью до множителя) к волновой
функции Я21 возбужденного 2pz-состояния частицы в трехмерном
кулоновском потенциале U(r) = -a/r (здесь начало отсчета со-
вмещено с краем ямы). Таким образом, получаем, что в данном
случае уровень энергии основного состояния примесного атома
совпадает с уровнем возбужденного 2pz -состояния частицы в трех-
мерном кулоновском потенциале. При этом согласно (3.5.2) имеем,
что
lim Е, (JT+O.SIF) = Е2 = -а2 . (3.5.18)
fr-wo 2й24
Это значение в четыре раза меньше энергии связи основного
примесного состояния E(3D) в неограниченном кристалле, что мы
и отмечали ранее.
108 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
В реальных квантово-размерных структурах зависимость энер-
гии связи мелкого примесного состояния от ширины ямы и места
расположения примеси несколько ослабляется. Расчеты показыва-
ют, что в КЯ конечной глубины при малых И7 волновая функция
"выжимается" из ямы в область барьера, в результате энергия
связи начинает изменяться, стремясь к величине E(3D) с эф-
фективной массой, соответствующей материалу барьера. От-
метим также, что в широких ямах энергия связи примеси оказыва-
ется более чувствительна к ее положению, чем в узких.
Вариационный метод был использован и для расчета энергии
связи мелких акцепторов [4]. Отличительной особенностью такого
расчета является необходимость учета вырождения валентной
зоны объемных кристаллов. Влияние потенциального рельефа
КЯ в этом случае может приводить к снятию вырождения и
перестройке структуры основного состояния акцептора. Ре-
зультаты расчета зависимости энергии связи акцептора от ширины
КЯ приведены на рис. 3.9. Из рисунка видно, что, как и для доно-
ров, для акцепторов энергия связи примеси, расположенной в цен-
тре ямы, заметно превосходит энергию связи этой же примеси
объемного материала, используемого в качестве КЯ.
Рис 3.9. Зивисимость энергии связи акцептора,
расположенного в центре (кривая I) и у границы
(кривая 2) от ширины КЯ GaAs/GaAlAs: круж-
ки - эксперимент; сплошные линии - результаты
расчета для бесконечных барьеров [4]
В настоящее время проведены численные расчеты, в которых
учитывалось взаимодействие валентных зон материалов барьера и
ямы и использовалось многозонное приближение эффективной
массы. Результаты этих расчетов оказались в очень хорошем согла-
сии с экспериментом.
В заключение обратим внимание ещё на две особенности, свя-
занные с влиянием размерного квантования на энергию связи мел-
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелкого экситона 109
ких примесных состояний. Во-первых, в системах пониженной
размерности даже при небольших концентрациях примеси мо-
гут возникать примесные зоны, причем в данном случае зоны бу-
дут образовываться вследствие различного расположения
примесных атомов по ширине КЯ. Во-вторых, изучение проблемы
водородоподобных примесных уровней с учетом вышележащих
двумерных подзон показало, что в КЯ существуют примесные со-
стояния, «связанные» с различными квантовыми подзонами
энергии. Эти состояния расположены на фоне непрерывного
спектра, связанного с нижними подзонами, и, следовательно, яв-
ляются резонансными.
3.6. Влияние размерного квантования
на состояния мелкого экситона
Влияние потенциала КЯ на локализацию волновых функций
сказывается и на энергии связи мелких экситонов (экситонов Ва-
нье-Мотга).
Известно, что спектральное положение минимумов экситонных
подзон для слабосвязанных экситонов в трехмерном случае доста-
точно хорошо описывается водородоподобной серией, которая для
изотропных и квадратичных законов дисперсии электронов и ды-
рок выражается формулой
ЕЗЛ = _ РЯ* . 1 = Rex
еХ 2й2(4яг0£)2 и2 л2
(3.6.1)
здесь л= 1,2...-номер экситонной подзоны; -отсчитывается от
дна зоны проводимости; М/л =\lme + -приведенная эффек-
тивная масса электрона и дырки; Rex -эффективная "экситонная"
постоянная Ридберга. Соответствующий экситонный боровский
радиус =(4я£0£)й2/(p2/Z). Например, для экситона в кри-
сталле GaAs Rex =4.2 мэВ и а3ех » 15нм. Отсюда следует, что как
для температур >50 К, так и для электрических полей напряженно-
стью >3000 В/см образование экситонов для процессов поглощения
в объемных структурах несущественно [5].
При уменьшении размеров кристалла (ширины КЯ W), когда W
становится порядка экситонного боровского радиуса, энергия раз-
мерного квантования й2л2 становится сравнимой с
энергией взаимодействия электрона и дырки q1 /(4лг0£п^Р) и
110 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
спектр трехмерного экситона начинает модифицироваться потен-
циалом ямы V(z).
Наличие границ не позволяет получить точное аналитическое
решение задачи о спектре экситона в КЯ (как и для примесных со-
стояний) даже для случая простых зон. В приближении эффектив-
ной массы эта задача сводится к отысканию решений уравнения
Шредингера с гамильтонианом [6]
Н = Н1+Н2+Н3 + Н4+Н5+Н6, (3.6.2)
где
2Ап
14 г?) 1г?2
, a I + 9 9
Р<%>\ Ф) р2 ф>2
- кинетическая энергия относительного движения электрона и
дырки в плоскости КЯ;
- кинетическая энергия движения электрона и дырки соответствен-
но поперек плоскости КЯ;
л
------г------------572- (363)
4яг0£р +(ze -za)2J
- энергия кулоновского взаимодействия электрона и дырки;
^5=,e»'(zeX ^6=Vhw(zh)
- потенциалы КЯ для электрона и дырки соответственно; 1//щ=
-Ume+ +1/тЛц, дц - приведенная эффективная масса экситона в
плоскости КЯ; отАН - эффективная масса дырки в плоскости КЯ;
mhi~ эффективная масса дырки поперёк КЯ. При записи (3.6.2) ис-
пользовалась цилиндрическая система координат (Z, р, <р), причем
ось Z направлена поперек КЯ, а начало координат совмещено с
центром КЯ.
Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (3.6.2) на-
ходят приближенными методами. Расчеты показали, что как и для
примесных состояний, основное отличие квазидвумерного экси-
тона от трехмерного заключается в увеличении энергии связи
экситона в КЯ. В предельном случае Ж=0 энергия связи двумер-
ного экситона должна быть в 4 раза больше соответствующего зна-
чения в трехмерном случае.
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелкого экситона 111
В КЯ с барьерами конечной высоты при уменьшении W энер-
гия связи квазидвумерного экситона при W < 2а^ должна сначала
увеличиваться, достигая максимума при 0.5 <W < , а затем
снова уменьшаться (из-за проникновения в область барьеров) Ре-
зультаты расчетов зависимости энергии связи экситона от ширины
КЯ представлены на рис. 3.10 [7].
Рис. 3.10. Зависимость энергии связи экси-
тона (штриховая линия) для КЯ
GaAs/Ga01Al03As. Сплошная кривая зави-
симость радиуса экситона в плоскости ямы
от ширины ямы
Согласно этим расчетам экситонные пики в спектре поглоще-
ния квантовых размерных структур должны быть заметны вплоть
до комнатных температур. Действительно, такие пики наблюда-
ются в экспериментах по межзонному поглощению света в КЯ
на основе GaAs/GaAlAs при комнатных температурах (в КЯ
GaAs/GaAlAs с W=4.6 нм такие пики наблюдали даже при 500 К).
Реально свойства экситона в КЯ оказываются между свойства-
ми 3D- и 2D-3kchtohob, т.е. соответствуют экситону, находящемуся
как бы в пространстве дробной размерности а, причем 2<а<3. При
этом выражение для энергетического спектра связанных состояний
частиц, движущихся в пространстве дробной размерности и притя-
гивающихся по закону Кулона, можно представить в виде
p(aD) _______^ех
^ех — _ ч 2
а-3
п +---
2
(3.6.4)
В настоящее время нет достаточно обоснованного способа вы-
бора а для конкретных квантово-размерных структур. Предпола-
гая, что а определяется отношением рсреднего расстояния между
электроном и дыркой вдоль оси z к эффективному боровскому ра-
112
Гл, 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
диусу а^х , для аппроксимации зависимости а от W можно, напри-
мер, использовать выражение а = 3 - ехр(Д). В 3D- случае /3 -> оо, а
в 2D - к нулю. Таким образом, данное выражение дает правильные
оценки в предельных случаях и, по крайней мере, качественно, вер-
но отражает тенденцию изменения при изменении ширины
КЯ.
Если спектр валентной зоны состоит из подзон легких и тяже-
лых дырок, то возможно существование двух типов экситонов:
электрон - тяжелая дырка (тяжелый экситон) и электрон - лег-
кая дырка (легкий экситон). При этом под каждой электронной
размерной подзоной появятся две серии уровней, соответст-
вующих тяжелому и легкому экситонам. Край экситонного по-
глощения в этом случае будет определяться тяжелым экситоном.
При интерпретации экспериментальных данных необходимо
также принимать во внимание перемешивание состояний, соответ-
ствующих разным дырочным подзонам (см. раздел 3.8). “Взаимо-
действие” подзон при квантовании может привести к тому,
что в некоторых из них эффективные массы станут отрица-
тельными (рис. 3.15). В этом случае при соответствующем со-
отношении между эффективными массами электрона т* и
дырки m*h приведенная эффективная масса р* может стать
отрицательной. В результате электронно-дырочная пара не
будет иметь связанных состояний, поскольку кулоновское взаи-
модействие в этом случае соответствует их отталкиванию друг от
друга.
Перемешивание состояний, принадлежащих различным подзо-
нам, необходимо учитывать и при получении граничных усло-
вий [26].
Еще один своеобразный экситон, связанный с отрицатель-
ными эффективными массами в дырочных подзонах, рассмотрен
в [27] Данный тип экситона образуется при возбуждении дырок в
подзонах с разными (по знаку) эффективными массами. При
этом необходимо, чтобы их приведенная масса р* была отрица-
тельной. Такой экситцн в отличие от обычного электрически
нейтрального имеет положительный заряд равный 2q. В оп-
тических спектрах ему должна соответствовать водородопо-
добная серия, сходящаяся в область меньших частот, т.е. в
красную область спектра, а не в фиолетовую как обычно.
Пространственное ограничение и различие диэлектриче-
ских проницаемостей компонентов наноструктуры на малых
расстояниях изменяют характер кулоновского взаимодействия
между электроном и дыркой. Например, для КЯ при г « W зави-
симость энергии взаимодействия от расстояния между электро-
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелкого экситона 113
ном и дыркой принимает вид [28]
ч <7 2 ,
С/ (г) =--------In — + const.
27CS£Qr \r )
(3.6.5)
На больших расстояниях r»W U(r)определяется (3.6.3). С
учетом (3.6.5) энергия связи 2D- экситона в основном состоянии
при » W будет определяться соотношением:
E - q2
A TT.
4k££qW
In
gV w
+ const
(3.6.6)
где g'~ диэлектрическая проницаемость материала барьеров.
Если в СР и КЯ на основе гетеропереходов AiGaAs/GaAs и 1п-
GaAs/GaAs определяющую роль играют эффекты, связанные с
пространственной локализацией электронов и дырок (разница ди-
электрических проницаемостей слоев мала и, как правило, не при-
водит к существенным эффектам), то в наноструктурах на основе
гетеропереходов InGaN/GaN, GaAs/ZnSe, а также полупровод-
ник/диэлектрик (например, пористый кремний) благодаря сильно-
му различию диэлектрических проницаемостей слоев существен-
ную роль в электронно-дырочном взаимодействии начинают иг-
рать потенциалы изображения [29]. При этом силы изображения
могут как увеличивать, так и уменьшать энергию связи экситона.
Диэлектрическое увеличение энергии связи экситона (Так на-
зываемое диэлектрическое усиление экситонов, или диэлектриче-
ский конфаймент) можно трактовать как следствие добавочного
притяжения электрона к изображению дырки и дырки к изображе-
нию электрона. Если заряд q находится в среде с диэлектрической
проницаемостью £ вблизи плоской границы раздела со средой с
диэлектрической проницаемостью g', то заряд изображения равен
4 =
£-£.'
----;Ч,
£ + £
(3.6.7)
т.е. его знак совпадает со знаком заряда, если е > е' . Важно отме-
тить, что увеличение энергии связи экситона, казалось бы, должно
приводить к сдвигу экситонных линий в красную область спектра.
Однако в целом за счет диэлектрического окружения экситонные
линии и в этом случае будут сдвигаться в фиолетовую область, так
как помимо притяжения электрона к изображению дырки и наобо-
рот существует также отталкивание электрона и дырки от своих
114
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
собственных изображений (эффект самодействия), а поскольку за-
ряд всегда ближе к своему собственному изображению, чем к изо-
бражению другого заряда, отталкивание в целом будет превали-
ровать.
Дальнейшее понижение размерности и переход к 1D- системам
показывает, что если энергия взаимодействия между электроном и
дыркой остается обратно пропорциональной расстоянию между ни-
ми, то придем к водородоподобной серии типа (3.5.12), однако из
нее выпадет нижний уровень, энергия которого стремится к беско-
нечности. Это означает, что в 1D- системах экситон Ванье-Мотта
фактически не может существовать. В реальных же квазиодномер-
ных наноструктурах следует ожидать увеличения энергии связи по
сравнению с 2D- структурами. Яркий пример увеличения энергии
связи экситонов при увеличении степени пространственной лока-
лизации демонстрируют эксперименты на наноструктурах полу-
проводник/диэлектрик на основе йодида свинца. С увеличением
степени пространственной локализации энергия связи экситонов в
этих структурах нарастает от ~ 45 мэВ в объемном полупроводни-
ке до 300 мэВ в КЯ, 700 мэВ в квантовом проводе и более чем до
1 эВ в квантовых точках.
Влияние потенциала СР на энергию связи экситона рассматри-
валось, например, в [30]. Расчеты показали, что энергия связи экси-
тона (как и энергия связи электрона на доноре) увеличивается при
увеличении периода СР d с равной толщиной слоев, а продольно-
поперечное расщепление уменьшается. Такое поведение объясня-
ется изменением ширины минизон при изменении d.
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок
типа n-GaAs
Энергетический спектр электронов полупроводниковых пленок
может быть найден в результате решения уравнения Шредингера
(^0+C/(z))-T = £^, (3.7.1)
где Но- гамильтониан электрона в периодическом поле кристалли-
ческой решетки материала пленки; t/(z) - пленочный потенциал,
создаваемый граничными поверхностями пленки с нормалью вдоль
оси z.
В случае не слишком тонких пленок (W» а, здесь W - толщина
пленки, а- межатомное расстояние) для описания электронных
свойств обычно используют метод (приближение) огибающих
волновых функций. Волновая функция электрона в приближении
огибающих функций ищется в виде произведения быстро меняю-
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок
115
щихся блоховских функций краев зон на медленно меняющиеся
огибающие F(z)
’ U jo (F) exP(^pF> >
y=i
(3.7.2)
здесь ujo- периодическая часть блоховской функции, соответст-
вующей краю j-й зоны; кр - двумерный волновой вектор для дви-
жения в плоскости пленки (кр = к* + ку); р - двумерный вектор в
плоскости пленки; s-число зон, учитываемых в разложении (3.7.2).
Сами же огибающие Fj(z) определяются в результате решения
системы дифференциальных уравнений
y=l,2,3....,s,
составленной с использованием эффективного гамильтониана, по-
лученного из к-p гамильтониана однородного полупроводника за-
меной в кинетической энергии fczHa оператор (-/—), и добавлени-
dz
ем пленочного потенциала C/(z) [3,4]. В (3.7.3) 8jj- символ
Кронекера; Dj-(k) - совокупность величин, определяющих элек-
тронный энергетический спектр массивного кристалла.
Найдем в рамках метода огибающих волновых функций поло-
жение энергетических подзон для электронов в КЯ на основе (001)
слоев прямозонных соединений А3В5.
Сначала аппроксимируем пленочный потенциал L/(z) потенци-
альной ямой шириной W с бесконечно высокими стенками. В этом
случае на границах КЯ
Fy(0) = Fym=0. (3.7.4)
Для получения явного вида системы (3.7.3) воспользуемся
трехзонной моделью Кейна [8], в рамках которой точно учитывает-
ся взаимодействие зоны проводимости Г6 с валентными зонами Г8
тяжелых и легких дырок, а также зоной Г7, отщепленной спин-
орбитальным взаимодействием. Матрица элементов Оу(Л) Для
данного случая приведена, например, в [4].
Поскольку нас интересует только положение энергетических
подзон,будем полагать кр=$. В этом случае матрица Кейна расще-
116 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
пляется на две идентичные матрицы 3x3 (отвечающие состояниям
зоны проводимости, зоны легких дырок и зоны, отщепленной спин-
орбитальным взаимодействием) и два одинаковых уравнения (от-
вечающих состояниям зоны тяжелых дырок, т.е. оказывается, что в
трехзонном приближении Кейна состояния зоны тяжелых дырок не
взаимодействуют ни между собой, ни с состояниями остальных
трех зон). При этом матрицу 3x3 для элементов Dyy(£z,0) можно
представить в виде
здесь Р - матричный элемент Кейна, учитывающий взаимодействие
между зоной проводимости и валентной зоной; Eg - ширина за-
прещенной зоны между зоной проводимости и валентной зоной;
Д- величина спин-орбитального расщепления; начало отсчета
энергии в (3.7.5) выбрано на дне зоны проводимости.
Подставляя Djj- в (3.7.3) с учетом (3.7.4), получаем, что разре-
шенные значения волнового вектора Кп (характеризующего со-
стояния движения перпендикулярно плоскости пленки) как и в
идеальной одномерной КЯ (см. (1.4.6)) должны удовлетворять ус-
ловию
_л--и
(3.7,6)
однако соотношение между Кп и разрешенными значениями энер-
гии в данном случае имеет вид
(^n + EgХ4, + Eg+Е) _ (3 7 7)
й2Р2(Еи+£в + |д)
Согласно (3.7.7) одному значению К„ удовлетворяют три зна-
чения энергии Еп, соответствующие уровням размерного кванто-
вания зоны проводимости, зоны легких дырок и отщепившейся
зоны.
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок 117
Полагая, что масса свободного электрона то много больше эф-
фективных масс электронов и дырок, при малых К„ (и, следова-
тельно, £„) из (3.7.7) соотношения Еп(Кп) для каждой из этих зон
можно получить в виде, соответствующем (1.4.7):
E'en
I Р2Й2
£g+A} 3
jr2 ^2-
2/ие
(3.7.8)
2 1 р2 *2
= -Es -(— + ——)Ki Ki; (3.7.9)
^g ^g + A 5
Р2-Й2 7 h2 7
Esn=-Eg-^-^-K2=-Eg^- — K2. (3.7.10)
Отметим, что m*s- в данном приближении (параболическое
приближение) соответствуют эффективным массам на дне зоны
проводимости, потолке зоны легких дырок и отщепившейся зоны в
объемном материале.
2
Для Еп <<Eg + -Д из (3.7.7)
~ Eg
1 4Р2Й2
Eg+& 3Eg
(3.7.11а)
А 1р2й2К2
2| A(Eg+A)
(3.7.116)
t 2Р2-Й2-К2
3A(Eg + A)
(3.7.11b)
На рис. 3.11 показаны зависимости положения первого Е\ и
второго Ег уровней размерного квантования от ширины КЯ W, рас-
считанные в параболическом (3.7.8) и непараболическом (3.7.11а)
приближении. Параметры КЯ соответствовали пленке GaAs
(т* =0.065 /по и Eg (300К) = 1.43 эВ). Из рисунка видно, что в этом
случае параболическое приближение может быть использовано для
118
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Рис. 3.11. Зависимость положения первого Е\ и вто-
рого Е2 энергетических уровней от ширины КЯ. 1,3 -
расчет по (3.7.11а); 2,4 - расчет по (3.7.8)
оценки положения
первого уровня раз-
мерного квантования
Е\ в бесконечно глу-
бокой КЯ лишь при
w > 5 нм, а для оцен-
ки Ег - лишь при
W > 7 нм.
Для зоны тяже-
лых дырок в рамках
трехзонного прибли-
жения Кейна выра-
жения для расчета
уровней размерного
квантования полу-
чить нельзя.
Реально мы всегда имеем дело с потенциальными ямами ко-
нечной глубины. Для нахождения положения уровней размерного
квантования в этом случае необходимо правильным образом сшить
на левой границе потенциальной ямы решение уравнения (3.7.1)
для материала левого барьера (слой 1, см. рис. 1.4) с решением ана-
логичного уравнения для материала КЯ (слой 2), а на правой
границе - решение уравнения (3.7.1) для слоя 2 с решением для ма-
териала правого барьера (слой 3). Естественно использовать при
этом обычную процедуру сшивания на границах волновой функции
(3.7.2) и ее производной с учетом различия эффективных масс
электронов в контактирующих слоях. Однако такие граничные ус-
ловия обычно не применяются, так как они требуют знания точного
вида блоховских функций экстремумов зон [9].
Наиболее простой способ преодоления этих трудностей пред-
ложил Ж. Бастард в [10]. Он предложил считать непрерывными
на границах огибающие, что равносильно предположению об оди-
наковости блоховских функций краев зон в контактирующих ма-
териалах. Несмотря на заведомую необоснованность такого пред-
положения [9-17] (оно может быть лишь частично оправдано оди-
наковой симметрией свойств контактирующих веществ и близо-
стью параметров решеток), получаемые таким способом резуль-
таты обычно находятся в удивительно хорошем согласии как с экс-
периментом, так и с более последовательными теоретическими
расчетами [9].
Заметим, однако, что в приближении огибающих функций те-
ряются все микроскопические детали, связанные, в частности, и со
свойствами гетерограниц. В результате данное приближение будет
несправедливо при описании узких КЯ и сверхрешеток с малым
периодом (всего несколько атомных плоскостей в слое), где оги-
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок
119
бающие F,(z) будут существенно
изменяться на расстояниях порядка
постоянной решетки.
Кроме выбора граничных ус-
ловий для нахождения положения
уровней размерного квантования в
КЯ конечной глубины, необходимо
связать изменения положения кра-
ев энергетических зон в контакти-
рующих материалах. На рис. 3.12.
показана связь между положением
зон Г6, Г8 и Г7 в контактирующих
материалах А И В. Если ПОЛОЖИТЬ, Рис 312. Связь между положением
что Us, Uh и U& в материале А рав- энергетических зон в контакти-
НЫ нулю, то из (3.7.3) с учетом рующих материалах
(3.7.5) можно получить уравнение
Шредингера для огибающих функций, соответствующих состояни-
ям зоны проводимости, в следующем виде:
Р2й2 а Г 1
3 &|_//r(z)
Г Fiz +u*r Wz = Е’FKr » <3.7.12)
dz
где
a г = 1,2,3 - соответствует номеру контактирующего слоя.
При записи (3.7.12) для упрощения матричный элемент Р по-
лагался одинаковым для контактирующих материалов и равным
значению Р в материале А. Обоснованием этого является малое из-
менение кейновского матричного элемента Р для материалов со
структурой цинковой обманки (табл. 1).
Таблица 1
Значения параметров энергетических зон (4.2 К) для соединений А3В5
Соединение InSb InAs GaSb InP GaAs AlSb GaP AlAs
в, эВ 0.237 0.42 0.813 1.423 1.519 2.37 2.67 3.11
А, эВ 0.81 0.38 0.752 0.11 0.341 0.75 0.13 0.314
0.014 0.023 0.041 0.08 0.067 0.11 0.13 0.13
2т0Р2, эВ 23 21.7 23 6 18.2 24.2 23.4 20.9 24.6
120
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
В качестве материала А можно выбрать материал любого из
слоев системы. Мы будем полагать, что материал А относится к КЯ
(слой 2).
Следуя Бастарду, будем считать, что огибающие функции не-
прерывны на границах слоев. Тогда для получения второго гранич-
ного условия необходимо проинтегрировать (3.7.12) по отрезку,
пересекающему границу. Если при этом Us, Uh и С/д имеют лишь
конечные разрывы, то из условия непрерывности F придем к тре-
бованию непрерывности на границе и величины
1
Pr dz
(3.7.14)
Представляя теперь огибающую функцию в КЯ (т.е. Г12) в
виде суммы падающей и отраженной плоских волн с волновым
вектором К2, а в барьерах (Гц и F13) в виде спадающих экспонент
(~exp(±prz)), с учетом рассмотренных граничных условий, систе-
му уравнений, определяющую положение уровней размерного кван-
тования для электронов с E<Usr, можно представить в следую-
щем виде:
^2 ₽1 Рз
р2 Я
^2 f Pi | Рз Л
Р2 Ipi Рз,
= ctg(/C2FF);
E(E+Eg2){E+Eg2 +E2) = b2P2K2(E+Eg2 +|д2);'
(3.7.15)
-(E-UsrXE+Eg, -UsrKE+Egr +Ar -Usr) =
= h2P2(E+Egr^Er-Usr^2r,
здесь r = 1,3.
В рамках введенных выше допущений нетрудно также полу-
чить дисперсионное соотношение для СР на основе слоев А^В$. При
этом необходимо дополнительно учесть условие периодичности
потенциала СР. Поскольку потенциалы краев различных зон пе-
риодичны по z (Us,h,b(z + d) = Uсправедлива теорема Бло-
ха и для любого целого т
Fl(z + md) = exp(iA'wJ)F](z), (3.7.16)
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок
121
здесь d = L + W- период СР (см. рис. 1.19), К - волновой вектор СР
вдоль оси z. С учетом (3.7.16) дисперсионное соотношение для
Е < UsB удается представить в виде, аналогичном (1.10.7),
I
Л —
7
cos(KJ) = cos^H7) • ch(p£) - 0.5 •
sin^HQslXpZ,),
(3.7.17)
однако здесь
«а/
П = (3.7.18)
/ИВ
а КА иР определяются соотношениями
Е(Е + ЕgA)(E + ЕgA + ^A) = h2P2K^(E + EgA +|дл) (3.7.19)
и
- (Е -UsB№ + EgB -UsB\E + EgB + Дв -UsB) =
2 (3.7.20)
= h2P2(E + EgB+-bB-UsBft2,
КA - волновой вектор, соответствующий плоской волне в КЯ; Р -
параметр, характеризующий спад огибающей функции в материале
барьера; pAv.p.B определяются (3.7.13), где для рА необходимо
полагать С в и [7д равными нулю.
Сопоставляя (1.10.7) и (3.7.17), можно сделать вывод, что дис-
персионное соотношение (3.7.17) является обобщением модели
Кронига-Пенни на многозонную ситуацию [4].
В заключение подчеркнем, что данное дисперсионное соотно-
шение получено в приближении кр = 0. При кр * 0 в матрице Кей-
на не удается избавиться от перемешивания состояний с различ-
ными спинами. Кроме того, необходимо переформулировать гра-
ничные условия. В результате оказывается, чхоминизоны в СР при
конечных кр не только сдвигаются, но и деформируются. В
гл. 1 (разд. 10) было показано, что из-за несовпадения компонент
эффективных масс в контактирующих материалах при изменении
энергии поперечного движения будет изменяться эффективный по-
тенциал гетероперехода. Причем в зависимости от отношения
т*А /пгв при изменении кр эффективный потенциал может увели-
122
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
чиваться, уменьшаться и даже изменить знак. Это, в частности,
приводит к зависимости ширины минизоны от кр. Например, в
СР на основе слоев InAs-GaSb ширина первой электронной мини-
зоны с ростом кр уменьшается.
Как отмечено в [4], дисперсионное соотношение для СР кр*$
можно разложить в ряд в окрестности Лр=0, что в первом прибли-
жении приводит к выражению
h2k2
Еп(к,кр) = Еп() +-^--2tn<i(\ + ank2)cos(kd), (3.7.21)
2/я„
где £„о - 2/я0- положение минизоны при к иЛр=О; те* - эффектив-
ная масса, характеризующая движение параллельно слоям СР;
4/„0- ширина л-й минизоны при кр=0", а„- коэффициент, отра-
жающий зависимость ширины минизоны при изменении kfi.
С использованием (3.7.21) удается получить зависимость плот-
ности состояний для СР g(£) от энергии. Для Е < Еп0 -
й2
£„(£) = 0, а для Е >E„o+2t„o при ап <---------- gn(E) равна
Ко"»л
константе. При этом
;е(£-£яо-^о)- (3.7.22)
« 1 16т«^оап
У ft4
Сравнение (3.7.22) с выражением для плотности состояний в
одиночной КЯ (3.1.14а) показывает, что при ап~ 0 (3.7.22) совпа-
дает с (3.1.14а), умноженным на число элементарных ячеек СР
Lz Id (Lz-длина СР вдоль оси z), а учет 0 лишь изменяет мас-
су т*.
3.8. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках
с вырожденными зонами
Характерной чертой валентной зоны массивных кристал-
лов полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки
является вырождение зон тяжелых и легких дырок, а также су-
щественное спин-орбитальное взаимодействие, приводящие в трех-
3.8. Энергетический спектр в пленках с вырожденными зонами 123
мерном случае к гофрировке изоэнергетических поверхностей
(рис. 3.13) и непараболичности спектра дырок. В результате расчет
энергетического спектра дырок в общем случае становится доста-
точно трудной задачей.
Рис 3.13. Сечения изоэнергетических поверхностей тяжелых дырок в
кремнии (слева) и германии (справа) плоскостями типа (001) - (л), типа
(НО) - (б), типа (111) -(e). Цифры у кривых указывают энергию в эВ,
волновой вектор Л в нм”1
124
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Как отмечалось выше, в первом приближении трехзонной мо-
дели Кейна не удается учесть "взаимодействие" состояний тяжелых
и легких дырок. С этой точки зрения для расчета размерно-кван-
тованного энергетического спектра дырок в пленках Ge, Si и со-
единений А3В5 удобнее использовать подход Кона-Латтинжера
[18], в котором "взаимодействие" дырочных подзон учитывается
сразу.
В рамках модели Латтинжера матрица элементов Djj(k) имеет
вид
F Н I 0 iH 41 -i-Jl!
Н* G 0 I i(G-F) Jl .J3H I 7=- 42
Г 0 G -H .&H* -I— 42 i(G-F) 42
0 Г -H* F -i41I* -iH* 42
iH* V2 i(G-F) J2 ,45h I—r=- 41 i4ii F + G A A 2 0
iV2/* k ,&н* -1—-f=— yfl i-(G-F) iH 42 0 F + G A A 2 J
,(3.8.1)
где F = 0.5(7, + М)(кI + к *)+Мк*; 3G = F + 2М(к* + к*) + 2Lkj;
Н = - Д (кvкх + ikxkz); I = ~^= [(£-М\к] -kl)-2iNkxkv 1;
' у ** л 12 * у л у
L = 2B + А, М = А-В, N = j3D.
Величины А, В и D определяют энергетический спектр дырок в
массивном кристалле [19]. В (3.8.1) кх,куккг направлены вдоль
осей типа <100>.
Ограничим наше рассмотрение случаем, когда пленочный по-
тенциал U(z) в (3.7.1) аппроксимирован бесконечно глубокой по-
тенциальной ямой. Даже в таком приближении использование
(3.8.1) позволяет получить аналитические выражения для расчета
разрешенных значений энергии только в отдельных случаях.
Например, при кр=0 (когда "взаимодействие" между энерге-
тическими ветвями тяжелых и легких дырок исчезает) уравнения,
3.8. Энергетический спектр в пленках с вырожденными зонами 125
определяющие разрешенные значения энергии в пленке с норма-
лью вдоль направления [100], имеют вид
Ehn ~(А-В)К^’,
Е1п = (А+0.5В)К* -0.5Д + 0.5^9В^К^ + 2вЁк* + Д2; (3.8.2)
Esn =(А+О.52?)К 2 -0.5Д-0.5^9В*К* + 2ВЛК* +Д2 ,
здесь Ehn,Efn иЕ^-^-соответствуют уровням размерного квантова-
ния зоны тяжелых дырок, зоны легких дырок и отщепившейся зо-
ны; Кп = ; W - ширина КЯ (толщина пленки). Для пленки с
нормалью вдоль [111]
ЕЛл =(Л-п/Л)К2;
Е,„ =(A+D/yfl2)K^ -0.5Д+0.5J3D2K^ +4=£>ДК2 +Д2;
V л/3
(3.8.3)
Es„ = (А + Dl>l\2)K* -0.5Д - 0.5^3£>2К* +^=DEK* + Д2 .
Отметим, что выражения (3.8.2) и (3.8.3) не всегда характери-
зуют энергию дна квантовых подзон (см., например, рис. 3.14).
Из рассматриваемых полупроводниковых материалов (за ис-
ключением Si, InP и InAs) при толщинах IF al О-6 см спин-
орбитальное расщепление оказывается много больше расстояния
между уровнями раз-
мерного квантования. В
этом случае можно ог-
раничиться рассмотре-
нием верхнего края ва-
лентной зоны (т.е. зона-
ми тяжелых и легких
дырок). Впервые расчет
размерно - квантован-
ного энергетического
спектра для полупро-
водниковых пленок р-
типа с вырожденными
гофрированными зона-
ми в рамках данного
приближения приведен
в [21].
Рис 3 14. Дисперсионные кривые первой (1) и
второй (2) подзон размерного квантования p-Ge
Ао=О.6я/^[2О]
126 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Используя левую верхнюю 4x4 часть матрицы (3.8.1) и гранич-
ные условия (3.7.4), в результате решения системы (3.7.3) выраже-
ние, определяющее размерно-квантованный энергетический спектр
пленки с нормалью вдоль [001], можно представить в виде
sin(Az2^)-sin(/czllT) =
_ (Я,Я2* +Я;Я2).[1-со8(Лг2Ж)со8(А21И')].ф(Г1)Ф(Г2)
~ 'in о п э п ’ (Э.о.Ч)
|Я1|2Ф2(Г2)+|Я2|2Ф2(Г1)+|7|2(^1-Г2)2
где Ф(Г,) = £-Г,, Hj=H(kx,ky,kzJ), Fj. = F(kx,ky,kzj),a
к2 = 2~~ 2 {^ + Й2 - + 0.5C2)a2 + Л2) +
/4 В
+ (-1)у [в2Е2 + AC2E(k2 +Л2) + С2(в2 - A2 + 0.25C2)x (3.8.5)
x (k2 + k2)2 + C2(A2 -B2)k2k2Y2
C2=D2-3B2\ j=l,2.
В достаточно малой окрестности точки кр - 0 решение уравне-
ния (3.8.4) имеет вид
Е?(кх,ку) = (А - Z?)(j^2 + {к2 + к2)-
Е?Чкх,ку) = (А + 5)^ + ^)(к^ + к2у),
(3.8.6)
Z \2
где в области A2 «f — I эффективные массы определяются
формулами
та £2-.M2-/V2 zi ^27зЛ/(2£ + Л/) (-l)n+1+cos(^j)
—— --------------+ sgn(A7)---------------х -— ----------;
,„0) 2{L-M) (L-M)2
3.8. Энергетический спектр в пленках с вырожденными зонами
127
т0 (L-M)(L + 5M) + 3N2 ,N2 73Л/(2£ + Л/)
---=----------------------+ sgn(A/)---------z---х
(L-M)2
6(Л-М)
х(-1)л+1 +cos(ff2)
ЛИ51п(^2)
(3.8.7)
ШГм । 3W2k2p
ЗМ 2т
(Pl ~т
; £2*т,п^9-94; £2*тах=14.4; ^=10.13 (Ес—
Е* =Е
I ЗМ SW2k2p
здесь ср\ =япЛ----------
42L + M 2т
а л-
(L-M\j3M(2L + M)
Анализ (3.8.6) с учетом (3.8.7) показывает, что вблизи точки
кр=0 дисперсионные кривые Е^(кр) изотропны в плоскости
пленки и квадратичны от кр. При увеличении кр из-за изменения
т' эти зависимости становятся неквадратичными.
В области значений кр -(тт/И7) анизотропия Е^\кр) стано-
вится существенной и решение (3.8.4) удается получить только
численно. Результаты такого расчета приведены на рис. 3.14, где
й2 я-2 V1
п тг
2т0 W2
энергия, соответствующая седловой точке) [20]. Видно, что в зави-
симости от заполнения подзон полупроводник может вести се-
бя как одно- или многодолинный. Кроме того, вследствие прост-
ранственного квантования в вырожденной зоне наряду с дыроч-
ными состояниями могут возникнуть электронные с положи-
тельными эффективными массами.
При и -> оо правая часть (3.8.4) стремится к нулю, так что ре-
шение, по существу, становится квазиклассическим, когда "взаи-
модействием" между энергетическими ветвями тяжелых и легких
дырок пренебрегают. В этом случае
E^\kp) = E^\kp^),
где
£(1’2) (кр, к2 ) = А к 2 ± ^Я2*4 + С2(*2*2 +*2*2 + Л2Л2)
определяет дисперсионное соотношение в массивном кристалле.
Анализ особенностей плотности состояний в зависимости от
геометрии изоэнергетических кривых с использованием (3.8.4) по-
128 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
казал [21], что в пленке наряду с изменениями плотности со-
стояний скачками (в случае прохождения точки минимума или
максимума квантовой подзоны, см. рис. 3.14.) возможны лога-
рифмические особенности (при прохождении седловой точки), а
также особенности типа |£-£ср1/2. Последняя особенность в
поведении плотности состояний у края подзоны, характерная для
ID-систем, обусловлена тем, что зарождение изоэнергетических
линий у края подзоны происходит не в точке, а на целой кривой,
так называемой петле экстремумов. Например, если закон диспер-
сии в подзоне п имеет вид
Л2Л2
Еп=Е™Л^Щ,
г.тп
то при тп <0 с учетом (3.1.12) для зависимости плотности состоя-
ний от энергии Еп получим
(£„ ) = р { 4nW ^Еп-Еп^п j"1,
где v 1 при £л>тт < Еп < Е^ и v 0.5 при £л < Еп, a £n>min —
=е-
h2
4m„9i
\2
- энергия, соответствующая минимуму п-й под-
зоны. Конечный скачок g„(E„) при Е„ =Е^ соответствует исчез-
новению одного семейства изоэнергетических линий в точке
Е„ = £*0> при возрастании энергии.
В случае p-Si, InP и InAs ситуация еще больше усложняется, так
как при W< 20 нм обычно необходимо принимать в рассмотрение и
зону, отщепленную спин-орбитальным взаимодействием. Расчеты с
учетом взаимодействия с отщепленной зоной [22] показали, напри-
мер, что при уменьшении толщины пленки энергетический зазор
между подзонами легких и тяжелых дырок перестает изменяться.
Согласно (3.8.2) и (3.8.3) для пленок, ориентированных в плоско-
стях (100) или (111), этот зазор в точке кр =0 не превысит величи-
2
ны -А, а в модели (3.8.4) он монотонно растет. В тех случаях,
когда энергия дырок сравнима с величиной спин-орбитального
расщепления зон Г8 и Г7, используя теорию возмущений, можно
найти поправку к Е^\кр) за счет взаимодействия этих зон. Для
3.8. Энергетический спектр в пленках с вырожденными зонами 129
этого вместо элементов F,G, Нн! в (3.8.4), нужно подставлять
[23]
F'=F+iH2+4l/l2);
G' = G + ^((F-G)2 +3|Н|2);
Н‘ = Н + ^(h(G-F)-2>/ЗЯ*/); F = I-^(ТЗЯ2 + 2/(G- F)),
а вместо уравнения (3.8.5) для определения кч использовать урав-
нение
+ 2_ 2В3*6 + ЗВС2Л2® +27(2D3/V27 + В3-BD2)k2k2k2
A
- Е-ЛЛ2-^4^20
А
= 0
где к1 = кх + ку + к2, 0 = Л2Л2 + А2#2 + к2к2. Таким образом, в
первом приближении можно учесть непараболичность спектра за
счет взаимодействия зон Г8 и Г7.
Вырождение энергетических
зон необходимо учитывать и при
определении энергетического спек-
тра в пленках п - Si. Известно, что
в зоне проводимости кремния, а
также большинства соединений
А3В5 реализуется так называемая
"двугорбая” структура (см. рис.
3.15) [24]. Такая особенность обу-
словлена к-p "взаимодействием"
xf и Х^ - состояний, приводя-
Рис 3.15 Строение зоны проводи-
мости n-Si вблизи ^-минимума
щим к существенной непараболич-
ности закона дисперсии электронов, которая в отличие от кейнов-
ской наиболее сильно проявляется вблизи минимума зоны.
Для точки X в электронном кремнии
£>н = Ак2 +В(ку + k2) + Dkx,
^22 — I — 2£)&г,
£)] 7 — /?2 ] — Мк \ 2 ’
(3 88)
130 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
где ось х соответствует направлению Д, а оси у и z параллельны
направлениям типа [100]. Начало отсчета волнового вектора и
энергии находится в точке X. Константы А, В, D и М определяют
энергетический спектр электронов в массивном кристалле.
В массивных кристаллах совокупность величин (3.8.8) приво-
дит к выражению для дисперсионных зависимостей xf и Х$ -зон
в виде
Ев’2\к) = Ак2 + В(к2 + k.2) + ^D2kl + М2к2к2 . (3.8.9)
Обычно вместо (3.8.9) используют более простое выражение
Ew(k) = Ак2 + В(к2 +к2), (3.8.10)
которое получается при разложении (3.8.9) в ряд в окрестности ми-
нимума энергии (с учетом переноса начала координат для энергии
и кх в точку минимума) и соответствует простой многодолинной
модели энергетического спектра. Именно (3.8.10) в большинстве
случаев применяют и для определения спектра в условиях размер-
ного квантования. В этом случае при моделировании пленочного
потенциала бесконечно глубокой потенциальной ямой квантован-
ный энергетический спектр электронов получают подстановкой
значения и~ в выражение(3.8.10) или (3.8.9) и
Еп(кр) = Е(кр,^), (3.8.11)
здесь W- толщина пленки, кр - составляющая волнового вектора в
плоскости пленки.
В случае неограниченного кристалла использование (3.8.10)
представляется оправданным, так как минимум Д( расположен
примерно на 0.125 эВ ниже точки вырождения Х1. В случае же
размерно-квантованных пленок, когда минимум даже нижней кван-
товой подзоны может оказаться на 0.15ч-0.2 эВ выше минимума А(
в неограниченном кристалле (т.е. даже выше точки вырождения Хх
см. рис. 3.15), применение (3.8.11) требует дополнительного обос-
нования.
Решая систему (3.7.3) с учетом (3.8.8), полагая, что нормаль к
поверхности пленки направлена вдоль оси z (рис. 3.16), можно по-
лучить уравнение, определяющее квантованный энергетический
3.8. Энергетический спектр в пленках с вырожденными зонами
131
спектр электронов Е„(кх,ky,W) в минимумах типа I для Еп <
(Ак2 +Dkx) в следующем виде [25]:
sh(Wyj-k22) sm(kzlW) =
2^Ф(Ц1
(3.8.12)
где Ф(кг1) = Акх + В(ку + kzi) + Dkx -Е,а kzi- корни уравнения
<И|Ру(Лг,Лр)-£#£|=0.
Для Е„ >(Акх +Dkx) уравнение, определяющее энергетиче-
ский спектр Е„(кх,ку,№) в минимумах I, принимает вид
sin(A:z2lP) sin(A:z|IF) =
2Лг1Л22Ф(^2)[1-со8(*г2^)со8(Лг1Ю]Ф(Лг1) ,, о „ч
-------------—---------------------------. (3.6.13)
*^2(*z2) + *^2(*zl)
Данное уравнение необходимо использовать при определении
спектра квантовых подзон, образованных из представления Д2.
В достаточно малой окрестности ку = 0 решение уравнения
(3.8.12) можно представить в виде
£„(^,^,1^) = ЛЛ2-Dkx +—Г + В(А2, (3.8.14)
2m„
где
Й2 = 2В_ мЧия V Г _ 14вОЦкх,^)[(-1)и+1 + сЬ(1Ю(й1,о]
тп~ /МДИ'Д Я^И'зЦИОД,,^))
(3.8.15)
а О(йх,И') =
Разложение (3.8.14) верно в области
значений й2й2 « 2/и*дЕя , где A£„ =F„+i - Еп.
132
Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Рис. 3.16. Ориентация пленки - (а) и обозначения энергетических ми-
нимумов- (6)
Анализ выражения (3.8.12) показывает, что положения мини-
мумов квантовых подзон, определяемые с использованием (3.8.12)
и (3.8.11), совпадают (аналогичное свойство имело место и при
квантовании спектра дырок, когда в точке экстремума не происхо-
дило "перемешивание" волновых функций, принадлежащих разным
ветвям спектра). Однако в окрестности минимума поведение зави-
симостей Е„(кр), рассчитанных по (3.8.12) и (3.8.11), будет раз-
личным.
На рис. 3.17 приведены зависимости £л(Ахо>^у)> рассчитан-
ные с использованием (3.8.12) (сплошные линии) и (3.8.11) (пунк-
тир), для №=5 и 10 нм. Видно, что с уменьшением толщины пленки
и увеличением номера квантовой подзоны различие возрастает. Это
видно и из данных табл. 2, где представлены значения эффектив-
ных масс в минимумах квантовых подзон, рассчитанные по
(3.8.15). При расчетах полагали, что в неограниченном кристалле
Рис. 3.17. Зависимости энергии от ^.рассчитанныепо(3.8.12)- сплош-
ные линии и по (3.8.11) - пунктир; а - для ИМО нм, б - для W=5 нм.
Цифры у кривых указывают номер квантовой подзоны
3.8. Энергетический спектр в пленках с вырожденными зонами
133
Так как ку и входят в (3.8.8) симметрично (для минимума I),
сделанные выводы будут в равной степени относиться и к случаю,
когда нормаль к пленке направлена вдоль оси у.
Таблица!
Значения эффективных масс в точке экстремума
Толщина, нм Номер квантовой подзоны
1 2 3 4
5 0.236 -11.2
10 0.204 0.264 0.543
15 0.198 0.221 0.275 0.422
20 0.194 0.206 0.232 0.279
В случае, когда нормаль к пленке направлена вдоль оси х, ре-
шение системы уравнений (3.7.3) приводит к следующему выраже-
нию, определяющему квантованный энергетический спектр элек-
тронов в минимумах I
sm(/cx2^)- sin(ltxlrr) =
2D2kxXkxl[\-c0^kx2W)cOS(kAW)}
=----г—I----5-----5—,-----> (3.8.16)
где kxi- корни уравнения
det|D jj< (кх ,кр)- 8е| = 0.
При кр = 0 (3.8.16) упрощается и принимает вид
( _ \2 п2
Еп=А \п—\ (3.8.17)
" I WJ 4А
Это выражение и определяет положение минимумов подзон для
долин типа I при квантовании вдоль оси х. Аналогичное выражение
получается и при использовании (3.8.11). Анализ (3.8.16) также по-
казывает, что и в плоскости пленки энергетический спектр в дан-
ном случае практически не зависит от толщины пленки и может
оцениваться с использованием (3.8.11).
134 Гл. 3. Распределение квантовых состояний в системах ...
Результаты, представленные выше, могут быть использованы и
для расчета размерно-квантованного спектра электронов в мини-
мумах II и III путем замены индексов в (3.8.12-3.8.17) в соответст-
вии с рис. 3.16, б.
Распределение электронов по энергии для системы в целом бу-
дет определяться суперпозицией процессов, происходящих в каж-
дом минимуме. Так, например, при изменении толщины пленки с
нормалью вдоль [100] наряду со снятием долинного вырождения
следует ожидать увеличения эффективной массы в минимумах II и
III для движения вдоль осей z и у соответственно, а для минимума I
такого изменения быть не должно. Обобщение на случай произ-
вольной ориентации пленки может быть получено в результате
аналогичных расчетов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
\. Аскеров Б. М. Электронные явления переноса в полупроводниках. - М.:
Наука, 1985.-320 с.
2. Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механи-
ке: Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
3. Херман М. Полупроводниковые сверхрешётки. - М.: Мир, 1989. - 240 с.
4. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры /Под ред. Л.Ченга,
К.Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
5. Елинсон М. И.Метров В. А. Электрооптические эффекты в структурах с
квантовыми ямами //Микроэлектроника- 1987- Т. 16, вып. 6. - С. 522-
532.
6. Андрюшин Е. А., Силин А П. Экситоны в квантовых ямах и квантовых
проволоках // ФТТ.- 1993.- Т. 35, № 7. - С. 1947-1956.
7. Кавокин А В., Несвижский А. И., Сейсян Р. П. Экситон в полупроводнико-
вой квантовой яме и сильном магнитном поле //ФТП- 1993.-Т. 27,
вып. 6.- С. 977-989.
8. Цидильковский И. М. Электроны и дырки - М.: Наука, 1972 - 640 с.
9. Тиходеев С. Г. Таммовские минизоны в сверхрешетках //ЖЭТФ.-1991.
Т. 99, вып. 6.-С. 1871-1880.
10. Bastard G. Superlattice band structure in envelope-function approximation 11
Phys. Rev. В-1981- V. 24, No. 15.-P. 5693-5697.
11. Ando T., Wakahata S., Akera H. Connection of envelope functions at semi-
conductor heterointerfaces. 1. Interface matrix calculated in simples models //
Phys. Rev. В-1989-V. 40, No. 17.- P. 1 1609-11618.
\2.Алейнер И. Л, Ивченко Е Л. Электронные минизоны в СР (GoAs)^(AIAs)m
при четном и нечетном М //ФТП.-1993.-Т.27, вып. 4 - С. 594-599
13. Гриняев С. Н., Караваев Г Ф., Чернышев В. Н. Модель для описания
взаимодействия электронных волн с гетерограницей в GaAs/AlAs (001) И
ФТП.- 1994.- Т. 28, вып. 8.-С. 1J93-1402.
14 Брагинский Л С, Романов Д А Междолинная конверсия на границе
Микроскопическая модель //ФТТ-1997.-Т.39, вып. 5 - С. 839-843.
15. Брагинский Л С, Баскин Э М. Неупругое резонансное туннелирование А
ФТТ - 1998.-Т. 40, вып. 6 -С 1151-1155.
Список литературы
135
16. Горбацевич А. А., Токатлы И. В. Интерфейсные электронные состояния в
полупроводниковых гетероструктурах //Письма в ЖЭТФ. -1998-Т. 67
вып. 6.С. 393-398.
17. Braginsky L., Shklover И Influence of interface structure on transversal elec-
tron transport //Solid State Comm-1998-V. 105- P. 701-704.
18. Luttinger J.M., Kohn W. Движение электронов и дырок в возмущенных
периодических полях //Проблемы физики полупроводников: Сб.статей. -
М.: Иностранная лит., - 1957.-С. 515-539.
19. Dresselhaus G., Kip A.F., Kittel С. Циклотронный резонанс электронов и
дырок в кристаллах кремния и германия // Проблемы физики полупро-
водников: Сб.статей. -М.: Иностранная лит., - 1957 - С. 599-626.
20. Чаплик А. В., Шварцман Л. Д. Кинетические явления в размернокванто-
ванных слоях дырочных полупроводников //Поверхность. Физика, химия,
механика - 1982 - № 2.-С. 73—77.
21. Недорезов С. С. Пространственное квантование в полупроводниковых
пленках//ФТТ.-1970.-Т. 12, вып. 8.-С. 2269-2276.
22. Holyavko Dragunov V.P., Morozov B.V., SkokE.M., Velchev N.B. Study
of size quantization in p-type silicon inversion layers by means of magnetore-
sistance //Phys. Stat. Sol. (b).-1976.-V. 75.- P. 423-432.
23. Бир Г- Л., Пикус Г E. Симметрия и деформационные эффекты в полу-
проводниках. - М.: Наука, 1972. - 584 с.
24. Копылов А. А. "Двугорбая" структура и параметры Л-минимума зоны
проводимости кубических полупроводников А3В5 //ФТП-1982-Т. 16,
вып. 12.-С. 2141-2145.
25. Драгунов В.П. Влияние вырождения на энергетический спектр размерно-
квантованных пленок n-кремния //Электронные процессы на поверхности
и в тонких слоях полупроводников.—Новосибирск: СО АН СССР, 1988 -
С. 148.
26. Глинский ГФ., Кравченко КО. Оптика экситонов в системах с резкими
гетерограницами. Приближение сильно локализованной волновой фун-
кции //ФТТ- 1998.- Т. 40, № 5. С. 872-874.
27. Белявский В. И., Копаев Ю. В., Павлов С. Т., Шевцов С. В. Экситоны
Ваянье в планарных гетероструктурах с квантовыми ямами //ФТТ.
1995.-Т. 37, № 10.- С. 3147-3168.
28. Чаплик А. В., Энтин М. В. Заряженные примеси в очень тонких слоях //
ЖЭТФ-1971 -Т. 61, № 6(12).- С. 2496-2503.
29. Гиппиус Н А., Куликовский В. Д., Тиходеев С. Г Влияние перераспреде-
ления электрического поля на электронные и оптические свойства нано-
структур //УФН.-1997.- Т. 167, № 5.- С. 558-568.
30. Ивченко Е. Л., Кавокин А. В. Экситоны и примесные центры в полупро-
водниковой сверхрешетке в методе эффективной массы //ФТП.- 1991
Т. 25, № I0.-C. 1780-1786.
ГЛАВА 4
ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В
СТРУКТУРАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда
Как ясно из введения, наноразмерные структуры практически
всегда создаются на основе плёнок с толщиной порядка десятков
(единиц) нанометров либо из тонкоплёночных структур, состоя-
щих из таких плёнок. Понятно, что при транспорте электронов
вдоль или поперёк такой плёнки или структуры основное влияние
на все процессы будут оказывать параметры границы раздела (ин-
терфейс) и приповерхностных областей. На локальных электрон-
ных состояниях на границах раздела локализуются электроны, со-
здавая локальные заряды. Роль таких поверхностных зарядов мо-
жет играть и внешнее электрическое поле.
В равновесных условиях любой рассматриваемый образец
должен быть электрически нейтрален. Эго возможно только в том
случае, если локальные заряды и внешние поля будут экранирова-
ны. Отсюда следует, что любой поверхностный заряд или внешнее
поле должны быть скомпенсированы равным по величине и обрат-
ным по знаку зарядом в приповерхностном слое полупроводника.
Этот заряд в общем случае состоит из заряда ионизированных до-
норов и акцепторов и заряда подвижных носителей - электронов и
дырок. Располагаясь в приповерхностном слое, он экранирует объ-
ём полупроводника от поля поверхностного заряда. Понятно, что
для создания этого дополнительного экранирующего заряда необ-
ходимо иметь в приповерхностном слое концентрацию подвижных
зарядов, отличную от объёмных. Таким образом, в приповерхно-
стном слое образуется слой пространственного заряда. Понят-
но, что в этом слое появится электрическое поле и возникнет
распределение электростатического потенциала. Как то, так и дру-
гое определяются уравнением Пуассона при соответствующих гра-
ничных условиях. Такие решения для поверхностных слоёв хорошо
известны еще с времен разработки теории выпрямления на контак-
те металл-полупроводник, проведенных практически одновремен-
но Давыдовым в России [1], Шоттки в Германии [2] и
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда 137
Англии [3]. Однако в этом случае в формировании пространствен-
ного заряда участвовали только нескомпенсированные доноры и
акцепторы. Это связано с тем, что по своей природе выпрямление
на контакте металл-полупроводник определяется наличием так на-
зываемого истощенного (или обедненного) слоя, который соответ-
ствует обеднению приповерхностного слоя основными носителями
заряда. Ясно, что в этом случае нет необходимости учитывать не-
посредственный вклад в заряд подвижных зарядов - электронов и
дырок.
Концентрация носителей заряда в термодинамическом равно-
весии в общем случае описывается статистикой Ферми-Дирака
/о =------А -х. (4-1-1)
1,___f£~£+1
Если уровень Ферми не слишком близко расположен к грани-
цам разрешённых зон, т. е. разность энергий Ес - Ер\ Ер - Еу >
>3*0Г, то единицей в знаменателе можно пренебречь. Иначе гово-
ря, при отсутствии вырождения концентрации подвижных носите-
лей заряда в любой точке полупроводника определяются статис-
тикой Больцмана. Если измерять энергию в единицах к$Т, то функ-
ция распределения Больцмана имеет вид
/0(Ec,EF,EF) = exp(EF-E). (4.1.2)
Положение всех энергетических уровней измеряется от уровня
Ферми собственного полупроводника. Последний же определяется
по формуле
£> =-l/2AEg +3/4Jt0 T\n[mhlme), (4.1.3)
здесь &Eg- ширина запрещенной зоны, те и mh- эффективные
массы плотности состояний соответственно для электронов и ды-
рок.
При mh=tne и Т = ОК уровень Ферми действительно распола-
гается в точности посередине между валентной зоной и зоной про-
водимости. В большинстве собственных полупроводников откло-
нение уровня Ферми от этого среднего положения при обычных
температурах невелико. В то же время для некоторых полупровод-
ников, например InSb, для которого mh!me = 20, отклонение уров-
ня Ферми в сторону зоны проводимости при комнатных темпера-
турах достигает 0,056 эВ.
Следует помнить, что довольно долгое время в научной лите-
ратуре по полупроводникам п'ри рассмотрении статистики Ферми-
138 Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
Дирака в качестве нормировочного коэффициента вместо уровня
Ферми употреблялся так называемый химический потенциал [4],
[5]. Известно, что для металлов даже при абсолютном нуле темпе-
ратур электроны обладают кинетической энергией трансляционно-
го движения и заполняют все нижние уровни энергии в кристалле
вплоть до уровня химического потенциала. Химический потенциал
& является функцией состояния, используемой для описания тер-
модинамических систем с переменным числом частиц Л/, и харак-
теризует способность рассматриваемого компонента к выходу из
данной фазы. В случае систем, состоящих из заряженных частиц
(электроны, ионы), химический потенциал записывается в виде
6= £о + (4.1.4)
где z, - заряд частицы; q- элементарный заряд; <р— электрический
потенциал. В этом случае называется электрохимическим потен-
циалом. Смысл двух слагаемых в выражении для электрохимиче-
ского потенциала состоит в том, что при внесении (или удалении) в
систему дополнительно новых dN, частиц к обычной «химичес-
кой» работе ZodNi добавляется работа по преодолению электриче-
ских сил.
Химический потенциал вырожденного газа тождественно сов-
падает с энергией Ферми, ниже которой все состояния оказываются
заполненными, а выше - свободными. Именно такая ситуация и
характерна для металлов при температуре Т = QK. В собственном
полупроводнике при той же температуре химический потенциал
электронов численно равен энергии середины запрещенной зоны.
Отсюда и название этой энергии - уровень Ферми собственного
полупроводника. Если система находится при температуре выше
абсолютного нуля, то всегда существует определённое количество
частиц с энергией выше энергии Ферми и равное им количество
свободных состояний ниже этой энергии. Соотношение между за-
полненными и свободными состояниями отражает различное по-
ложение уровня Ферми. Постепенно в научной литературе для сис-
тем, подчиняющихся статистике Больцмана или Ферми, стали вме-
сто химического потенциала применять термин - энергия Ферми
(уровень Ферми) во всех случаях и при любой температуре. В на-
стоящей работе также используется эта терминология.
В соответствии с вышесказанным, концентрации электронов и
дырок в разрешённых зонах записываются в виде
по = Nc ехр(£> - Ес); (4.1.5)
ро = Ny ехр(£> - Ef ), (4.1.6)
4,1. Приповерхностная область пространственного заряда 139
а так как Nc ехр(-Ес) = Ny ехр(Еу) = nt - собственной концентра-
ции, то окончательно можно записать для равновесных концентра-
ций в разрешённых зонах
По = гц ck&Ef ), Po=nt ехр(- EF). (4.1.7)
Используя эту запись, можно сделать один формальный, но
очень важный вывод, который неоднократно нам понадобится в
дальнейшем
ПоРо = И? = NcNy ехр(- Eg/к0Т). (4.1.8)
Это значит, что произведение равновесных концентраций
электронов и дырок всегда равно квадрату собственной кон-
центрации.
Из соотношения (4.1.8) видно, что собственная концентрация
является фундаментальной характеристикой для каждого полупро-
водника и определяется его кристаллической структурой и приро-
дой элементов его составляющих. Собственная концентрация для
данного полупроводника изменяется только с изменением темпера-
туры (рис. 4.1) [6]. Это означает, что назвать точную величину соб-
ственной концентрации можно только
для определённой температуры. Если
температуру не называют, то обычно
имеют в виду собственную концентра-
цию при комнатной температуре или
при 300 К.
При различных расчетах полупро-
водниковых структур часто пользуются
еще одним полезным понятием. Это так
называемая мера легирования полу-
проводника. Она определяется как от-
ношение концентрации основных но-
сителей заряда к их собственной кон-
центрации
Я = Ро /ni= ni /по = 4ро/по (4-1 -9)
Из уравнения (4.1.9) видно, что для
собственного полупроводника если
л0 = Ро = п,, то Л = 1. Для дырочного
полупроводника —Л>1, для электронно-
го -Л<1.
Рис 4 1 Температурная зави-
симость собственной концент-
рации Si, Ge и GaAs [6]
140 Гл. 4, Экранирование электрического поля в структурах ...
Используя формулы 4.1.7, можно записать
n0=ntA~1-, Ро = п,Л-, EF = lnA"' (4.1.10)
Это означает, что величина In Л также, как Ер определяет
энергетическое расстояние (в единицах к0Т) между уровнем
Ферми при данном легировании и уровнем Ферми собственного
полупроводника (середина запрещенной зоны).
Объектом исследования в курсе «Физические основы нано-
электроники» чаще всего являются очень тонкие (единицы, десятки
нанометров) полупроводниковые слои. Иногда рассматриваются
отдельные части более толстых слоёв, по своим параметрам отли-
чающиеся от основной «матрицы» и, конечно, тоже с базовыми
размерами на уровне нанометров. Такие слои чаще всего отделя-
ются друг от друга областью, называемой границей раздела - inter-
face.
Границей раздела называют переходной слой, в котором фи-
зико-химические, кристаллические и другие параметры полу-
проводника отличаются от основного кристалла, плёнки или
объёма образца. В последнем случае этот слой чаще называют
приповерхностным слоем.
В пределах рассматриваемой проблемы наиболее частым слу-
чаем является полупроводниковая поверхность и тонкоплёночные
гомо- и гетерополупроводниковые структуры. Из вышесказанного
очевидно, что поведение приповерхностного слоя при воздействии
внешнего электрического поля на полупроводник можно легко
распространить на многие из перечисленных объектов.
Распределение электрического поля и зарядов в этой области
рассматривали многие исследователи. Основой нашего рассмотре-
ния будет работа основоположников науки о физике поверхности
полупроводников Гаррета и Брэтгена [7], которая, несмотря на
давность, является одной из лучших в этой области знаний.
Если к конденсатору, одной из обкладок которого является
пластина полупроводника, приложить электрическое поле, то вбли-
зи поверхности последнего возникнет индуцированный заряд. Этот
заряд создаётся подвижными носителями заряда, присутствующи-
ми в полупроводнике. Появившийся заряд экранирует остальной
объём полупроводника от проникновения внешнего электрическо-
го поля.
Область локализации этого индуцированного заряда называ-
ется областью пространственного заряда - ОПЗ (рис. 4.2).
На рис. 4.2 стрелками указаны силовые линии внешнего элек-
трического поля. Они заканчиваются на локальных зарядах и не
проходят в объём, что является наглядной иллюстрацией эффекта
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда
141
экранирования. Необходимо
отметить, что возникновение
ОПЗ может быть связано не
только с перераспределением £
в полупроводнике подвижных
носителей заряда в разрешён-
ных зонах, а также перерас-
пределением заряда на ло-
кальных энергетических со-
стояниях в запрещенной зоне.
Обшей характеристикой
заряда в ОПЗ является вели-
чина его объёмной плотности
p(z), зависящая от координа-
опз
Рис. 4.2 Экранирование объёма полу-
проводника областью пространственно-
го заряда
ты Z,нормальной к поверхности полупроводника. Величина p(z)
определяется алгебраической суммой всех типов положительных и
отрицательных зарядов в данной точке пространства Z. Предпола-
гается, что по остальным направлениям полупроводник полностью
изотропен
p(z)= - Na + p(z)_ n(z)],
(4.1.11)
где Nj и Na- концентрации ионизированных доноров и акцепто-
ров; n(z) и p(z) - равновесные концентрации электронов и дырок в
разрешённых зонах; q - абсолютная величина заряда электрона.
Такая запись возможна при выполнении двух условий:
а) доноры и акцепторы, присутствующие в полупроводнике,
полностью ионизированы в любой точке полупроводника;
б) все легирующие примеси являются однозарядными. Это оз-
начает, что однозарядный нейтральный донор может отдать только
один электрон и его заряд станет равным +q, а однозарядный ак-
цептор может приобрести только один электрон и тогда его заряд
равен -q, т. е. Nj = и0, a Na - Pq. Учитывая это условие, объёмная
плотность заряда в ОПЗ может быть записана в виде
p(z) = ?[и0 - Ро + p(z) - n(z)]. (4.1.12)
Понятно, что если полупроводник содержит несколько типов
донорных и акцепторных уровней, то необходимо при расчёте
брать сумму концентраций зарядов на каждом из них.
При отсутствии индуцированного заряда полупроводник элек-
трически нейтрален вплоть до границы раздела. В этом случае
сумма положительных и отрицательных зарядов всюду равна нулю
и p(z)=0.
142 Гл. 4, Экранирование электрического поля в структурах ...
4.2. Уравнение Пуассона
Распределение индуцированного заряда в слое некоторой тол-
щины означает, что потенциал в полупроводнике плавно затухает
от некоторого значения на поверхности до нулевого значения за
пределами ОПЗ. Величина распределенного объёмного заряда p(z)
и потенциал электростатического поля в нём И(/)взаимно одно-
значно связаны между собой уравнением Пуассона
= (4-2.1)
dzL £o£s
где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума; es- диэлектри-
ческая проницаемость полупроводника.
Величина qV [^соответствует изменению потенциальной
энергии положительного заряда в ОПЗ относительно значения
этой энергии в объёме полупроводника (при z, стремящемся к
бесконечности).
На величину qV{z) в ОПЗ смещаются все энергетические уров-
ни, которые существовали в полупроводнике в данной точке z при
отсутствии индуцированного заряда. Если выразить изменение по-
тенциальной энергии в единицах к$Т и ввести обозначение
Y(z)~ qV(z)/kQ Т, то уравнение Пуассона примет вид
2
ТГ = —<4-2-2>
Как известно, при определённых граничных условиях решени-
ем этого уравнения является некоторая функция Y(z), затухающая
в глубь полупроводника. На величину этой функции смещаются
все безразмерные (в единицах к0Т) энергетические уровни относи-
тельно своих безразмерных значений до возникновения ОПЗ. Эта
же величина определяет безразмерный изгиб энергетических зон в
каждой точке z.
Величина Y(z) носит название безразмерного поверхностно-
го электростатического потенциала.
Расстояние от середины запрещённой зоны до уровня Ферми
обозначается буквой (р, а его значение на поверхности -<ps. В от-
личие от безразмерного электростатического потенциала уносит
название поверхностного потенциала Вообще в научной литера-
туре по полупроводникам индекс s принят для обозначения пара-
метра, величины, касающихся поверхности, так как s - первая
буква английского слова «surface».
4.2. Уравнение Пуассона
143
В соответствии с плавным затуханием потенциала плавно из-
меняется положение всех уровней относительно уровня Ферми, ко-
торый, как известно, является мерой средней энергии носителей
заряда по всему кристаллу и поэтому остаётся неизменным вплоть
до границы кристалла (поверхности) при z = 0.
На рис. 4.3 изображена энергетическая диаграмма ОПЗ, где
приведены все введённые в тексте обозначения. Значение безраз-
мерного электростатического потенциала на поверхности обозна-
чается Ys. Знак для этой величины в соответствии с принятым
Рис 4.3 Энергетическая диаграмма ОПЗ полупроводника
электронного типа проводимости для некоторого произ-
вольного значения поверхностного электростатического по-
тенциала
направлением отсчёта энергии будет положительным для изгибов
зон вниз и отрицательными для изгибов вниз. Из рисунка хорошо
видно, что при наличии изгиба зон значение энергии Ферми стано-
вится функцией координаты z. Отсюда понятно, что для любой
точки (или сечения параллельного поверхности) ОПЗ в соответст-
вии с законами статистики можно записать выражение для равно-
весных концентраций в виде
n(z) = n,exp[EF(z)]; p(z) = /i,exp[-EF(z)]. (4.2 3)
Из общих соображений и из рассмотрения энергетической диа-
граммы на рис. 4.3 видно, что энергия Ферми в каждой точке опре-
деляется разностью изгиба зон Y(z) и энергии Ферми в объёме
EF(z)-EF~Y(z). (4.2.4)
И для поверхности
= Er Y.
(4.2 5)
(4.2.6)
(4-2.7)
144 Гл, 4, Экранирование электрического поля в структурах ...
Это позволяет нам записать
ns = n,exp(EF)expYs
И
Ps = п,exp(EF ) exp(-rs ).
Используя формулы (4.1.^ теперь можно записать
ns =«oexp(rs);
Ps =Foexp(-rs).
Остановимся кратко на знаках введенных величин EFs и Знак
безразмерного электростатического потенциала будет отрицатель-
ным при изгибе зон вверх и положительным при изгибе вниз. EFs
так же как EF, будет иметь отрицательный знак, если уровень
Ферми находится на энергетической диаграмме в нижней половине
запрещенной зоны, и наоборот.
Соотношения (4.2.7) фактически отражают использование для
определения поверхностных концентраций ns и ps статистики
Максвелла-Больцмана. Ранее уже отмечалось, что это возможно,
если уровень Ферми расположен не очень близко к разрешённой
зоне. Фактор близости определяется соотношением между едини-
цей и экспонентой в знаменателе формулы (4.1.1). Если показатель
экспоненты больше 3, то экспонента на порядок превышает едини-
цу - переход к статистике Больцмана. В противном случае имеет
место вырождение и необходимо пользоваться статистикой Ферми.
Для поверхности это означает, что будут рассматриваться та-
кие изгибы зон, при которых уровень Ферми на поверхности не
приближается к краям разрешённых зон ближе, чем на 2 - 3 IcqT .
Графически предельные изгибы выглядят следующим образом
(рис. 4.4).
Рис 4 4 Энергетические диаграммы, илчюстрирующие предель-
ные изгибы зон
43. Разновидности ОПЗ
145
4.3. Разновидности ОПЗ
Рассмотрим различные виды ОПЗ, возникающие на границах
раздела, сначала качественно, ещё до решения уравнения Пуассо-
на. В качестве примера выберем формирование поверхностной
ОПЗ для полупроводника с достаточно сильно выраженным п ти-
пом проводимости. Это означает, что для него выполняется нера-
венствоЕ/г = In Л > 3.
1. Плоские зоны. Название говорит само за себя. Эта ситуация
изображается на энергетической диаграмме с прямыми зонами
вплоть до поверхности (рис. 4.5). Положение уровня Ферми на по-
верхности совпадает с таковым в объёме. Область пространствен-
ного заряда не образуется: p(z) = 0.
Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма для случая плоских зон. ОПЗ - отсутствует
2. Обогащение. Необходимо сразу отметить, что этот и все по-
следующие термины относятся к изменению концентрации основ-
ных носителей заряда. Например, в рассматриваемом случае ясно,
что обогащение означает увеличение концентрации основных но-
сителей в поверхностной ОПЗ. Эта область «обогатилась» основ-
ными носителями заряда -n(z)>«o Для выбранного в качестве
примера электронного полупроводника это означает, что уровень
Ферми на поверхности и во всей ОПЗ располагается ближе к зоне
проводимости, чем в объёме. Всё это соответствует изгибу зон
вниз. В выбранной системе отсчёта этому соответствует положи-
тельное значение поверхностного электростатического потенциала
- Ys > 0 (рис. 4.6).
Если поверхностная концентрация ns не слишком велика по
сравнению с п0 - это слабое обогащение. Ему соответствуют изги-
бы зон < 2 - 3.
Рис. 4.6. Энергетическая диаграмма поверхности полупро-
водника л-тапа, соответствующая случаю обогащения п, > Пд
При Ys >3 наступает сильное обогащение, когда ns »п0. По-
нятно, что при обогащении концентрация дырок в ОПЗ меньше чем
в объёме, так как при равновесии всегда пр = п?.
3. Обеднение. В соответствии с принятым выше определением,
это состояние должно означать, что концентрация электронов в
ОПЗ меньше чем в объёме n(z)<«0. Это происходит для полупро-
водника электронного типа при отрицательных изгибах зон (У5<0).
В этой области, естественно, будет и очень мало дырок, так как
уровень Ферми находится в верхней половине запрещённой зоны
(рис. 4.7). При дальнейшем увеличении изгиба зон наступает мо-
мент, когда концентрациями и электронов, и дырок можно пренеб-
речь по сравнению с концентрацией ионизированных доноров.
Следовательно, эти неподвижные доноры и формируют основную
часть поверхностного заряда. Уровень Ферми на поверхности
совпадает с серединой запрещённой зоны на поверхности = In Л.
Рис. 4.7. Энергетическая диаграмма поверхности полупровод-
ника и-типа, соответствующая обеднению
4.3. Разновидности ОПЗ
147
Электроны как бы отодвигаются в объём на определённую глубину
со, ограничивающую явно выраженный слой обеднения (рис. 4.7).
Соотношения объёмных и поверхностных концентраций при
этом
ns = ps = л,; ns «л0; Ps> Ро (4.3.1)
4. Инверсия. По мере увеличения отрицательного изгиба зон
концентрация электронов продолжает падать, а концентрация ды-
рок растёт. Этот процесс сильно ускоряется после перехода уровня
Ферми ниже середины запрещённой зоны на поверхности
(рис. 4.8). Когда поверхностная концентрация неосновных но-
сителей заряда на поверхности становится больше чем в объё-
ме, наступает состояние инверсии. В приповерхностной области
меняется (инвертируется) знак заряда преобладающего типа носи-
телей. Изгиб зон при этом называется инверсионным. Значение по-
верхностного электростатического потенциала легко определить из
приведенного выше условия начала инверсии
А=л0. (4.3.2)
Если вспомнить, что и0 = л/ехр(£р), р0 =л,-ехр(-Е/г) и Ер =
= In Я, получим значение изгиба зон (значение электростатического
потенциала), с которого начинается инверсия
Ул=21пЛ. (4.3.3)
Начиная с этих изгибов зон, вся основная часть неосновных носи-
телей заряда сосредоточена в тонком слое между поверхностью и
некоторой плоскостью, за которой расположен слой обеднения.
Рис 4.8. Энергетическая диаграмма для полупроводника н-
гипа, соответствующая инверсии
148
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
Эта плоскость проходит через точку (z,), на которой величина по-
верхностного электростатического потенциала равна 2In Л. Из
рис. 4.8 видно, что слой обеднения много толще инверсионного
слоя. Для последующего очень важно отметить, что после дости-
жения изгибов зон, соответствующих сильной инверсии, тол-
щина слоя обеднения перестаёт менять свою величину. Всё
изменение экранирующего заряда происходит за счёт увеличе-
ния концентрации неосновных носителей заряда между повер-
хностью и плоскостью z,.
Толщина слоя инверсии хотя и возрастает, но всё равно всегда
много меньше толщины слоя обеднения.
4.4. Решение уравнения Пуассона
Уравнение Пуассона с использованием понятия безразмерного
электростатического потенциала было записано в виде
dz2 £Q£s^O^
Выражение для плотности заряда в ОПЗ - p(z), входящее в это
уравнение, с использованием формул (4.2.7) можно представить в
виде
Р(П = q[p0(e¥ -1)- л0(ег -1)]. (4.4.1)
Уже в этом выражении для удобства вместо Y(z) стоит просто
Y. Когда будет необходимо подчеркнуть текущую координату или
поверхностное значение параметра У, то это будет специально от-
мечено.
Если при этом использовать ещё понятие уровня легирования
Л, введённое ранее, то уравнение Пуассона примет вид
2
^4 = Др[Л(е-¥ -1) - Л~\е¥ -1)]. (4.4.2)
dz2 2Ld
Как видно, в этом выражении введено обозначение
Ld = (4.4 3)
V 24ni
Выражение (4.4.3) по виду совпадает с длиной экранирования Де-
бая. Это понятие возникает из следующих физических соображе-
ний
4.4. Решение уравнения Пуассона
149
Если источник электрического поля (заряженная частица, тело,
плоскость) окружён средой, содержащей положительные и отрица-
тельные заряды, то вследствие поляризации среды электрическое
поле источника на расстояниях, превышающих некоторую величи-
ну, становится очень малым. Иначе говоря, поле «экранируется».
Именно это расстояние, на котором поле уменьшается так, что его
влиянием можно пренебречь, называется «длиной экранирования
Дебая». Это расстояние тем больше, чем больше диэлектрическая
проницаемость £s среды, и тем меньше, чем больше зарядов в этой
среде. Известно, что в металле приблизительно 10й электронов.
Если сравнить характерную для металлов длину Дебая с полупро-
водником с концентрацией электронов 10’5см"3, то отношение Ld
для этих двух материалов без учёта разницы в убудет равно 3x103.
Иначе говоря, любое поле в металле будет экранироваться на
длинах много меньших, чем в полупроводниках, что и обуславли-
вает изготовление экранов от электромагнитных и электростатиче-
ских полей из металлов с высокой проводимостью.
Первое интегрирование уравнения Пуассона проводится при
граничных условиях, что безразмерный поверхностный электро-
статический потенциал и его первая производная стремятся к нулю
при z —> со (т. е. в объёме полупроводника)
Y(z)^Q
dY(z)
dz
(4.4.4)
Первый интеграл при этих условиях получим в виде
dY{z) = Г(Г(г),Л)
dz Ld ’
где
F(Y(z),A) = +[2(е Г - 1) + Л-1(еГ -1) + (Л - A~l)Y]^2 (4.4.6)
Перед квадратными скобками стоят два знака - плюс и минус
Выбор знака перед корнем определяется неравенством
F >0 при У<0;
(4.4.7)
Г<0 при К>0.
Такой выбор знаков связан с тем. что при отрицательных изги-
бах зон (}<0) величина У(г) возрастает от больших отрицательных
ISO Гл. 4 Экранирование электрического поля в структурах ...
величин к нулю, а при Y >0 убывает от положительных величин к
нулю.
Рассмотрим теперь смысловую нагрузку каждого из членов
введённой функции F(Y,a). Первый член в скобках с учётом рас-
шифровки Л имеет вид — (e~r -1). Если учесть, что poe Y(z) = p(z),
ni
то ясно - первый член отражает вклад дырок в формирование
заряда в ОПЗ. Точно такой ход рассуждений приведёт к выводу,
что второй член ответственен за вклад заряда электронов в
ОПЗ.
В последнем члене отсутствуют экспоненциальные состав-
ляющие, отражающие вклад подвижных носителей заряда в ОПЗ.
Но зато есть л = — ;Л = —, что в свою очередь отражает вклад
л, «о
ионизированных доноров и акцепторов, при условии их полной
ионизации и однозарядности.
Полученное в результате первого интегрирования выражение
dY
для — соответствует понятию электрического поля (У - потен-
dz
циал, z - расстояние). Но У - это безразмерный потенциал в едини-
цах kGT/q. Следовательно, для того чтобы получить величину
электрического поля в единицах В/см, необходимо результат пер-
вого интегрирования уравнения Пуассона умножить на величину
k0T/q
(4.4.8)
ч Ч t-d
Иначе говоря, полученная величина dY/dzc точностью до мно-
жителя k^T/q определяет напряжённость электрического поля в
ОПЗ при каждом значении У (z).
Для того чтобы определить вид зависимости У (z), необходимо
ещё раз проинтегрировать уравнение Пуассона. Решению в этом
случае подлежит интеграл вида
r(z)
Как видно из (4.4.9), функция F(Y,X) содержит как линейные,
так и экспоненциальные члены по У, и поэтому интеграл в общем
случае не берётся. В то же время искомый интеграл необходим при
расчете поверхностной проводимости, поверхностной ёмкости, фо-
тоЭДС, характеристик МДП транзисторов ит.д. Выход изэюго
4.5. Определение зависимости потенциала в ОПЗ от координаты
151
положения находят в численных расчетах F(y,A). Наиболее удобно
пользоваться таблицами таких величин, вычисленных в широком
диапазоне У и опубликованных в книге Г. Пикуса [8].
4.5. Определение зависимости потенциала в ОПЗ
от координаты
При рассмотрении различных характерных изгибов зон отме-
чалось, что в явно выраженных слоях обогащения, обеднения или
инверсии заряд в ОПЗ определяется только одним преимуществен-
ным источником заряда. Это позволяет в указанных частных слу-
чаях произвести определённую аппроксимацию функции F(Y,i) и
определить с достаточной для практических расчётов точностью
приближённый вид функции У (Z).
Эти приближённые расчёты проведём для полупроводника с
явно выраженным электронным типом проводимости в объёме.
Это означает, что Я = ро/л, = и»7ио «1» так как ио » ni- Соответ-
ственно согласно (4.1.9) Л-,»1.
Рассмотрим приближение для случаев обогащения, обеднения
и инверсии.
А) Обогащение
Обогащение для полупроводника с электронным типом прово-
димости наступает при положительных изгибах зон (вниз!), т. е.
при Ks >0. Сильное или явно выраженное обогащение наступает
при Ks > 3. Учитывая, что Л-1»1, Л«1, eYs » Ys,eYs »1, функ-
ция F(Y, Л) принимает вид
-/2 -YS/2
F(YS,X) = */ е / . (4.5.1)
При этом первый интеграл уравнения Пуассона приводится к виду
(4.5.2)
Решение этого интеграла
ил„ (4.5.3)
^эфф ^эфф
где /-эфф = £o£sjco7’ определяет эффективную длину экраниро-
V 2? и0
вания, куда вместо собственной концентрации п, входит концен-
трация основных для данного .полупроводника носителей заряда -
152
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
электронов - и0. Согласно полу-
ченному выражению электро-
статический потенциал в слоях
обогащения быстро уменьшает-
ся с расстоянием в глубь полу-
проводника, так что основная
часть заряда в приповерхност-
ной области сосредоточена в
тонком слое. Толщину этого
слоя можно охарактеризовать
эффективной длиной экраниро-
вания.
Рис. 4.9. Зависимость поверхностного Полученная ~ зависимость
потенциала от расстояния в ОПЗ для представляет собой экспоненци-
случая обогащения образца электрон- ЭЛЬНЫЙ спад Y ОТ величин
ного типа проводимости ДО УМ) при значении г=0.41/эфф
(рис. 4.9).
Б) Обеднение (истощение)
Ранее было показано, что при обеднении в приповерхностной
ОПЗ концентрации как основных, так и неосновных носителей за-
ряда пренебрежимо малы. Основную роль в компенсации поверх-
ностного заряда играет неподвижный заряд ионизированных
доноров и акцепторов. Можно ожидать, что в этом случае измене-
ние потенциала с расстоянием в глубь от поверхности будет мед-
ленным, а толщина слоя ОПЗ относительно большой.
Это связано с тем, что увеличение заряда может происходить
только при увеличении толщины слоя. В связи с тем, что в соответ-
ствии с условиями обеднения основных носителей в ОПЗ уже ма-
ло, а неосновных - ещё мало, можно с большой точностью запи-
сать П5=Р5=Л|- Кроме того, рассматривая явно выраженный
электронный тип проводимости, справедливо Я«1, Я *»1,
ег«1, так как У<0. Отмеченные условия позволяют пренебречь
обоими членами, содержащими экспоненты, и привести выражение
для F к виду
F\Y,A) = Я"1/27- У -1. (4.5.4)
Если теперь пренебречь единицей в подкоренном выражении и
подставить его в (4.4.9), то, решив полученный интеграл, имеем за-
висимость Y(Z) в виде
где
(4.5.5)
/,л.=Л(/Я1/2 = о ,
V
4.5. Определение зависимости потенциала в ОПЗ от координаты 153
Если положить, что У=0 (объём полупроводника), то получим
выражение для расстояния от поверхности, где достигается это
значение потенциала
и = ^deyFF (4.5.6)
Теперь, используя полученную формулу, выражение (4.5.5)
можно переписать в виде
-У = -У$(1-—)2 . (4.5.7)
w
Из (4.5.7) следует, что потенциал зависит от координаты по
параболическому закону. Этот вид изменения потенциала с рас-
стоянием в пределах слоя обеднения фигурировал ещё в первых
теориях выпрямления «металл-полупроводник» и имеет общепри-
нятое название - барьер Шоттки. Наиболее полные и написанные
в традиционно классическом виде сведения о барьерах и ОПЗ, по-
являющихся при контакте металла с полупроводником, можно най-
ти в [9, 10].
В) Инверсия
Как было отмечено выше, инверсия в приповерхностном слое
полупроводника характеризуется тем, что основная составляющая
заряда ОПЗ формируется неосновными относительно объёма носи-
телями заряда. Для рассматриваемого образца с электронным ти-
пом проводимости это будут дырки. Это означает, что в выражении
для F(Y,A.) можно пренебречь всеми членами, кроме экспоненци-
ального, описывающего вклад неосновных носителей заряда, - ды-
рок
Г(У,Я) = Л“1/2 - e~Ys/2 . ( 4.5.8)
Решение второго интеграла Пуассона принимает вид
= е-’/2 где Ьзфф = (4 5 9)
^эфф у Pq
Гак же как остальные параметры ОПЗ, эффективная длина экрани-
рования определяется для слоя инверсии неосновными для данного
образца полупроводника носителями заряда. Вся область простран-
ственного заряда состоит из собственно инверсного слоя и из сле-
дующего за ним слоя обеднения. Как видно из рис. 4.10, инвер-
сионный слой, обогащенный неосновными носителями (дырками).
154
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
Рис. 4.10. Распределение потенциала в ин-
версионном слое
много тоньше слоя обедне-
ния и соответственно паде-
ние напряжения на первом
слое много меньше.
В то же время необхо-
димо всегда иметь в виду,
что практически весь поло-
жительный объемный заряд
сосредоточен именно в ин-
версном слое.
4.6. Поверхностное квантование
Из рис. 4.10 видно, что носители заряда у поверхности распо-
лагаются в потенциальной яме. Одна граница этой ямы - поверх-
ность, другая - слой обеднения. По мере увеличения изгиба зон
поперечный размер такой потенциальной ямы позволяет говорить о
возникновении размерного квантования. Такая квантовая припо-
верхностная яма обычно аппроксимируется треугольной потен-
циальной ямой, которая является вариантом хорошо известной
прямоугольной потенциальной ямы (рис. 4.11).
Движение носителей заряда в потенциальной яме является хо-
рошо известной задачей в волновой механике для твердого тела.
Довольно давно было показано, что в этом случае кинетическая
энергия квантуется. Лауреат Нобелевской премии Шрифер впервые
в 1957 году предложил идею о важности учета этого квантования в
узких каналах или очень тонких пленках. Главное - необходимо
принимать в расчет квантование движения в z направлении (пер-
пендикулярно поверхности). В то же время, движение вдоль по-
верхности, т. е. в плоскости х-у, остается свободным и может быть
рассчитано как движение носителей заряда в объеме полупровод-
ника. Достаточно серьезный теоретический анализ этой ситуации
был проведен в конце 60-х в начале 70-х годов [11,12]. Причиной
такой задержки по сравнению с остальными квантовыми расчетами
явилось то, что только к этому времени бурное развитие техноло-
гии микроэлектроники позволило создать транзисторы, в инверси-
онных слоях которых однозначно появилось существование
двумерных энергетических зон [13,14].
Выше уже говорилось, что построение зависимости поверхно-
стного потенциала от расстояния в глубь образца основывается на
решении уравнения Пуассона. Для его решения необходимо знать
распределение пространственного заряда перпендикулярно по-
верхности /X-)-
4.6. Поверхностное квантование
155
Рис. 4.11. Диаграмма энергетических уровней в тре-
угольной и прямоугольной потенциальной яме (вверху)
и зависимость плотности состояний от энергии N(E) для
этих случаев (внизу)
Для отыскания такого распределения в квантово-механическом
случае необходимо знать вид волновой функции электрона в ин-
версионном слое в случае наличия условия квантования. В при-
ближении эффективной массы волновая функция Т описывается
уравнением Шредингера
(Г - ^K(z))4/(x,y,z) = £V(x,y,z), (4.6.1)
где Т -оператор кинетической энергии, а Е - энергия электрона.
Потенциал H(z) находится из уравнения Пуассона и обычно явля-
ется функцией расстояния z.
Волновая функция записывается в обычном виде
Т(л, у, z) = ^(z)eikxX+ikyyeivz, (4.6.2)
где кхи kv- квазиимпульсы в соответствующих направлениях, a v-
величина, зависящая от этих квазиимпульсов [12].
Уравнение Шредингера можно разделить на два уравнения.
Первое из них описывает одномерное движение в направлении z и
имеет вид
( ft2 "I
--------^~qV{z) (4.6.3)
I 2,„г й2 J
Причем ДЛЯ Z - О И Г - on ^(г)-0.
156
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
Второе уравнение описывает двумерное движение вдоль по-
верхности
2«х <Эс2 2ту ty2}
*хХ+>куу
(4.6.4)
Каждое собственное значение Е, находится из решения урав-
нения (4.6.3) и представляет собой дно i-й подзоны с энергией
й2 й2
£.(*)=------кх +------Л2 + Е:, i = 0,1,2.... (4.6.5)
л 'Ум У 1 ' '
Л/Пх МПу
Хотя массы в этом уравнении только в исключительных случа-
ях совпадают с таковыми в объеме, но использование последних в
расчете поверхностных квантово-размерных структур приводит к
очень небольшим ошибкам.
Если перейти к обычному представлению разрешенных со-
стояний в виде зависимостей Е(к), то мы получим ряд парабол,
каждая из которых начинается в минимуме энергии Et (0),
i = 0,1,2....
Для направлений х, у - непрерывные параболы, а для направ-
ления z (перпендикулярно поверхности) получаем только точки
разрешенных состояний (рис. 4.12) [15].
Двумерная плотность состояний на единицу поверхности D(E)
для одной подзоны без учета вырождения по спину имеет вид
Jmxmv
D(E) = ^^L. (4.6.6)
2лЙ2
Эта плотность состояний не зависит от энергии (в отличие от
объема). Теперь достаточно просто рассчитать поверхностную
концентрацию электронов в z-й подзоне с помощью статистики
Ферми-Дирака, включая фактор вырождения по спину, равный 2.
кг ко? I-------.
/V, = -^^тхту In
лй
(4.6.7)
Необходимо отметить, что плотность состояний и соответст-
венно концентрация электронов будет зависеть от ориентации по-
верхности кристалла. Это легко понять из рис. 4.13, где предс!ав-
4.6. Поверхностное квантование
157
Рис. 4.12. Вид энергетических подзон вдоль основных направлений в
кристалле [15]
лены изображение и расположение поверхностей постоянной энер-
гии для различных полупроводников.
Рис. 4.13. Форма и расположение изоэнергетических поверхно-
стей в Ge, Si, GaAs [16]
Видно, что эти поверхности представляют собой для Ge восемь
эллипсоидов, вытянутых вдоль осей [111], для Si имеется шесть эл-
липсоидов, вытянутых вдоль осей [100], а для GaAs - поверхности
постоянной энергии сферы с центром в центре зоны Бриллюэна.
Ясно, что эффективная масса для различных направлений будет
различна, а следовательно, будет меняться плотность состояний в
подзоне и соответственно концентрация электронов.
Это хорошо видно на рис. 4.14, где приведены взятые из [14]
результаты расчета концентрации электронов для классического
случая и для случая наличия поперечного квантования энергетиче-
ского спектра. Так как в случае инверсии именно они определяют
величину ОПЗ, то, следовательно, представлено и пространствен-
ное распределение зарядовой'плотности в поверхностной области
158
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
Рис. 4 14 Плотность пространственного заряда, рассчитанная для слу-
чая отсутствия квантования (классич.) и при его наличии для двух
ориентаций поверхности (квантов.)
кристалла. Плотность электронов в инверсионном слое в зависимо-
сти от координаты рассчитывается по следующей формуле:
n(z) = ^^|^(z)|2 .
i
(4.6.8)
Выражение для плотности заряда от координаты имеет вид
P(*) = 9 - YN^i(zf+ND~^A
(4.6.9)
Из рисунка видно, что расчет проводился для температуры
жидкого гелия. Это важно отметить, потому что расщепление
сплошного спектра на локальные уровни будет иметь существен-
ное значение только, если расстояние между уровнями будет пре-
вышать размытие (уширение) последних, связанное с теплом или
рассеянием. Используя понятие времени релаксации г с учетом
всех возможных механизмов рассеяния, это условие можно запи-
сать в виде
-,V<(E/+1 -£,).
г
(4 6 10)
4.6. Поверхностное квантование
159
В качестве иллюстрации приведем результаты расчета системы
квантовых уровней, полученных в [12], в зависимости от индуци-
рованного заряда (рис. 4.15).
Рис 4.15. Зависимость энергии квантовых уровней для О К
в функции полной плотности индуцированного заряда
Из рис. 4.13, легко понять возникновение уровней с обозначе-
ниями £i и £р (£0 и £0-). В направлении [100] эффективная масса
имеет два значения. Первая соответствует направлению вдоль
большой оси эллипса, вторая - вдоль малой. Следовательно, в этом
случае имеются как бы две группы электронов с «легкими» и «тя-
желыми» массами квантования. Это и приводит к хорошо видимо-
му на рисунке чередованию под-
зон квантования.
Интересно отметить, что в
случае германия, где коэффици-
ент анизотропии К= тц!т^ ра-
вен 20 (для кремния 5), для (111)
поверхности (рис. 4.16) первые
три подзоны для электронов с
тяжелой массой лежат ниже пер-
вой подзоны для электронов с
легкой массой. В то же время,
плотность состояний, опреде-
ляемая эффективными массами
вдоль поверхности с «легкой»
массой квантования, значитель-
но выше. Такое соотношение
Рис 4 16 Поверхности постоянной
энергии (фрагмент) для поверхносш
(111) Ge, объясняющие возникновение
двух типов под юн кванювания
160 Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
масс приводит к парадоксальному результату - заполнение выше
лежащих уровней оказывается больше, чем нижележащих. Это хо-
рошо видно на рис. 4.17, взятом из [16], где впервые был проведен
такой расчет для инверсионных слоев на германии
Рис. 4.17. Энергетические диаграммы ОПЗ и заселенности кван-
товых подзон для ориентации поверхности (111) (а) и (100) (б).
Пунктирными линиями показаны положения квантовых подзон
для электронов с более легкой массой квантования. Цифры -
процентный вклад заполнения данного уровня в общую плот-
ность заряда
В дальнейшем было установлено, что время релаксации сильно
зависит от среднего расстояния центра симметрии электронной
плотности для различных подзон, что позволило объяснить ряд
экспериментов, посвященных приповерхностным явлениям пере-
носа (холл-фактора [17] и магнетосопротивления [18]) в инверси-
онных каналах л-типа на германии.
В заключение необходимо отметить, что большой класс транс-
портных явлений в МДП структурах был правильно объяснен
только после разработки описанной выше квантово-механической
модели. Было также показано, что эти эффекты следует учитывать
для случая сильной инверсии даже при комнатной температуре.
Эксперимент по обнаружению размерного квантования в тон-
ких пленках висмута впервые был выполнен в нашей стране [19],
[20]. В этих работах была однозначно показана осцилляционная за-
висимость проводимости, а также постоянной Холла и магнетосо-
противления от толщины пленки (рис. 4.18).
Суть явления заключается в том, что в пленках, толщина кото-
рых сравнима с длиной волны электрона, при изменении толщины
4.7. Экранирование электрического поля в 2Р-системах
161
Рис. 4.18. Осциллирующая зависимость магнето-
сопротивления, холловской подвижности, посто-
янной Холла и нормализованного сопротивления
от толщины пленки висмута при различных тем-
пературах [19]
энергетическое положение уровней размерного квантования меня-
ется. Электронные свойства металлов и вырожденных полупровод-
ников определяются электронами, близкими по энергии к уровню
Ферми. Значит, на всех зависимостях кинетических коэффициентов
от толщины должны наблюдаться экстремумы при прохождении
квантовых уровней через уровень Ферми, что и наблюдается в экс-
перименте. Теория этих явлений была сформулирована в [21], а
наиболее полно в русскоязычной литературе этому вопросу посвя-
щен обзор [22].
4.7. Экранирование электрического поля в ZD-системах
Как показано выше, толщина слоя полупроводника, в котором
существует заряд и электрическое поле, характеризуется длиной
экранирования Ьэ. При наличии носителей заряда только одного
162
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
знака, например электронов, длина экранирования £э может
быть представлена в виде
-I qD
—‘ Lry I 9
(4-7.1)
здесь £р - длина экранирования Дебая
J£O£S
Я2п
D - коэффициент диффузии; подвижность электронов.
В случае произвольного легирования соотношение Эйнштейна
принимает вид
D_n
Р <1 \ dn
(4-7.2)
здесь £ = EF -Ес- химический потенциал. Отсюда
£э =
l£o£s
Я
l£o£s
N Я2
dn
(4-7.3)
Таким образом, длина экранирования определяется скоростью
изменения химического потенциала при изменении концентрации
носителей заряда, экранирующих электрическое поле.
Используя (4.7.2) и (3.2.1), для массивных кристаллов (3D-
системы) получим
_к<>т
(4.7.4)
здесь Fj(rj)~ интеграл Ферми индекса j,
1 £Jd£
Г(у + 1) Jl + exp(£-?7)
и rj = (EF -Ес)!к$Т.
Аналогично из (4.7.3)
J _ £o£s
(4.7.5)
163
4.7. Экранирование электрического поля в 2Р-системах
здесь Л^-эффективная плотность состояний
"с
Для невырожденного электронного газа, когда ехр(р-7)»1,
из (4.7.4) и (4.7.5)
2) = W
Др Я
L3~LD-
(4.7.6)
В случае сильного вырождения и низких температур, когда
т]»1, из (4.7.4) и (4.7.5)
Др 3 Я
(4-7.7)
а
L3 = Ld^cc(^. (4.7.8)
Для 2£)-систем, когда, например, тонкий слой узкозонного по-
лупроводника выращен между слоями широкозонного, соотноше-
ние Эйнштейна принимает вид
£Гл[1+ехр(?-,рл)]
Др Я £[1 + ехр(р„-7)]
(4.7.9)
п
здесь еп =—Еп- энергия, соответствующая минимуму подзо-
Л07’
ны с номером п.
В отсутствие вырождения, когда (еп - 7)»1, согласно (4.7.9)
2^1 W
P/2D Я
Таким образом, в невырожденном случае, когда вероятность
заполнения электронных состояний описывается распределением
Максвелла-Больцмана, соотношения между коэффициентом
диффузии и подвижностью в условиях термодинамического
равновесия для двух- и трехмерного газа электронов совпадают.
164 Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
При наличии вырождения и низких температурах, когда
(т?-£п)»1 и граница Ферми располагается между минимумами
первой (£]) и второй (Е2) пленочных подзон
[—] (4.7.10)
M2D Я
Таким образом, в этом случае отношение будет расти
с увеличением концентрации носителей заряда (как и в случае 3D-
систем в соответствии с ростом Ef (4.7.7)).
Используя (4.7.10) и (3.2.11), можно показать, что в случае за-
полнения одной подзоны двумерная проводимость G будет связана
с коэффициентом диффузии соотношением
G = (4.7.11)
По мере увеличения концентрации и приближения уровня
Ферми к минимуму второй подзоны в (4.7.9) возрастает роль сла-
гаемых с л >1. В тот момент, когда граница Ферми пересечет дно
второй подзоны,
I'D'] Ef -0.5(Ei +е2)
X^JzD
т. е. произойдет уменьшение отношения (£>/р)2£), причем в пределе
скачок достигнет величины
=£2Z£1-, (4.7.12)
x^/2Z) 2?
которая для БПЯ зависит от толщины пленки W как W~2. Сопос-
тавляя (4.7.10) и (4.7.12), видим, что в момент пересечения грани-
цей Ферми второй квантовой подзоны значение может
уменьшиться в два раза.
Результаты численных расчетов отношения (D//j)2£) для слоя
GaAs при ГР=20 нм приведены на рис. 4.19. Видно, что «аномаль-
ное» поведение (D/li)2D в этом случае следует учитывать при тем-
пературах ниже 80К и концентрации электронов порядка 1018 см-3.
4.7. Экранирование электрического поля в 2Р-системах
165
Используя (4.7.3), (4.7.9) и (3.2.11), выражение для оценки
длины экранирования в условиях одномерного ограничения (2D-
системы) можно представить в виде
(2D)
'Э
|g0g5 ________^0^_________
M2D)Ei1+exp(f« -^г1'
I я
(4.7 13)
В отсутствие вырождения из (4.7.13) с учетом (3.2.3) получим
1к0Т
д2 V п
т. е. в отсутствие вырождения выражение для длины экраниро-
вания совпадает с соответствующим выражением для
массивных кристаллов.
При наличии вырождения и низких температур, когда уровень
Ферми находится между первой и второй пленочными подзонами и
{р - еп)»1, из (4.7.13) получим
Z,(2£>) = Lq = j£°£s лЬ2!?
yg2 V т*
(4.7.14)
В предельном случае Т-> 0 и заполнении и0 подзон из (4.7.13)
с учетом (4.7.14) имеем
f(2D)_ А)
э
у1п0
(4.7.15)
здесь пп- номер высшей подзоны, дно которой пересек уровень
Ферми.
Рис 419 Зависимость отношения
от положения уровня Ферми <
в зоне проводимости GaAs[23]
Рис 4 20. Зависимость длины экрани-
рования Л;'”от положения уровня
Ферми в зоне проводимости пленки
GaAs [23]
166
Гл. 4 Экранирование электрического поля в структурах ...
Рис. 4.21. Зависимость длины экранирова-
ния Z5°>OT толщины пленки GaAs при раз-
личной концентрации электронов. Справа
показаны значения отношения Z3/A> Съ-
емном GaAs при Д>=6 нм; £'=12.5;
И-20 нм [23]
На рис. 4.20 представ-
лены результаты расчетов
зависимости длины экрани-
рования от заполнения
зоны проводимости пленки
GaAs при 1Р=20 нм. Видно,
что ступенчатый характер
зависимости плотности
состояний от энергии в КЯ
обеспечивает неизмен-
ность длины экранирова-
ния при заполнении
отдельной подзоны.
По мере заполнения
вышележащих подзон длина
экранирования уменьшается.
С понижением температуры
эта зависимость при-
обретает ступенчатый ха-
рактер.
Если концентрация электронов остается постоянной, то при
изменении толщины пленки W значение пц будет скачком изме-
няться, что вызовет осцилляции длины экранирования (см.
рис. 4.21).
В свою очередь, ступенчатое изменение длины экранирования
может вызвать резкие изменения других характеристик материала
пленки. Например, вариации толщины пленки W, концентрации
или температуры могут приводить к резким изменениям энергии
связи экситона и экситонной полосы поглощения.
4.8. Особенности экранирования электрического поля
в квантовых проволоках
Рассмотрим поведение длины экранирования и отношения
кинетических параметров D/p в структурах с ограничением дви-
жения по двум направлениям (/О-системы).
Согласно (4.7.2) и (4.7.3) выражение для (D/p)\D и в
этом случае можно представить в виде
I — | ; (4.8.1)
п т
4.8. Особенности экранирования электрического поля ...
167
(4.8.2)
. .л/» ( 2т*кгТ
здесь NY’= -----—
я
- эффективная плотность состояний
для /D-системы, W и d толщина квантовой проволоки вдоль осей У
и Z соответственно.
Согласно (4.8.1) и (4.8.2) в отсутствие вырождения, когда
(q ] - 7)»1 как и в случае 2D-CHcreM,
= £1
и
г(1Р)_ £0£S
Э А ~2~
У 9 И
-Lp.
В случае сильного вырождения и низких температур, когда
<П-е„ото)»1
f£l
. „ £п,т
п т
(4.8.3)
п т
Если граница Ферми расположена между первой и второй под-
зоной, то из (4.8.3) получим
2(^-£„)
Я
(4.8.4)
Сопоставляя (4.7.7), (4.7.10) и (4.8.4), видим, что в этом случае
при понижении размерности системы зависимость (D///) от Ер ка-
чественно не изменяется.
При увеличении Ер (т. е. при возрастании концентрации элек-
тронов) отношение (D/будет расти. Когда уровень Ферми
пересечет дно второй подзоны, согласно (4.8.3)
!(£F-£n)(EF-£l2)
э
я
(4.8.5)
168
Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
Сравнение (4.8,5) с (4.8.4) показывает, что в момент прохожде-
ния уровнем Ферми дна второй подзоны произойдет уменьшение
отношения (Z>//^)1D. При этом предельный скачок (при Т->0)
составит
(D) _2 (£12-Ец)
UAd я
(4.8.6)
если структура в сечении имеет размеры W *d.
Согласно (4.8.4) и (4.8.6) в предельном случае скачок составит
100 %, т. е. отношение скачком уменьшится до нуля, а за-
тем будет снова расти в соответствии с (4.8.5). При прохождении
уровнем Ферми дна третьей подзоны должно наблюдаться сле-
дующее скачкообразное уменьшение (D/p)iD до нуля.
В общем случае при наличии вырождения и низких температу-
рах согласно (4.8.1) с увеличением Ер значение (£>/a)ip осцилли-
рует. Эти изменения (D///)ip связаны с характером зависимости
средней энергии электронов от их концентрации и в этом смысле
аналогичны осцилляциям (£>///) в квантующих магнитных полях.
В случае сильного вырождения и низких температурах выра-
жение для принимает вид
(iz>) I£o£s I kpT
'э У я2 VcD)
(4.8.7)
п/е0
Рис 4 22 Зависимость изменения длины эк-
ранирования £(]°>от положения уровня Фер-
ми для квантовой проволоки
Зависимость 1^^ от
приведенного уровня Фер-
ми, рассчитанная с ис-
пользованием (4.8.7), изо-
бражена на рис. 4.22. В
качестве нормирующих
коэффициентов при этом
использовались
l£o£s I
V Я2 Й2^*О>
й2 Г яЛ2 1
2„гЫ W
Список литературы
169
Сопоставляя результаты анализа поведения отношения D/p и
длины экранирования от положения уровня Ферми (а значит, и от
концентрации электронов) для тонкой пленки и квантовой прово-
локи, при наличии вырождения газа электронов можно сделать вы-
вод, что с понижением размерности системы осцилляции D/р и
Lj становятся выраженными сильнее.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давыдов Б.И. Выпрямляющее действие полупроводников//ЖТФ. - 1938-
Вып. 5С.87.
2. Schottky ИС О теории полупроводниковых выпрямителей и детекторов И
Zs.f.Fisic..- 1939.-V 113.-Р.367.
3. Mott N.F. Теория кристаллических выпрямителей И Proc. Roy. Soc. А -
1939.-V 171, N 27.—Р. 144.
4. Иоффе А.Ф. Физика полупроводников - М., Л.: Изд-во АН СССРЛ957.
5. Ансельм А.И Введение в теорию полупроводников. - М., Л.: Изд-во Физ.-
мат. лит., 1962.
6. Morin F.J., Malta J.P. 1. Electrical properties of Si conteining As and В //
Phys.Rev- 1954.-V. 96-P28. 2. Conductivity and Hall Effect in Intrrinsic
Range of Ge //Phys. Rev .- 1954.- V.94.- P.1525.
7. Гэрретт К,Браттэн В. Физическая теория поверхности полупроводни-
ка //Русский перевод в книге «Проблемы физики полупроводников».
М.: Ин. лит., 1957. - С. 345-365.
8. ПикусЕЕ. Физика поверхности полупроводников. -М.: Ин. лит., 1959.
9. Хениш Г. Полупроводниковые выпрямители -М.: Ин. лит., 1951.
10. Кристаллические детекторы - М.: Сов.радио, 1950, - 253 с. (Гл. «Совре-
менные взгляды на природу выпрямления кристаллических детекторов»
А.В. Ржанов).
11. Duke C.D. Optical absorption due to space-charge-induced localized states //
Phys.Rev.- 1967.- V.159, N 3, P. 632-644 .
12. Stern F.t Self-consistent results for n-type Si inversion layers // Phys.Rev. B,
1972.-V.5, N 12.- P. 4891-4899 .
13. Fowler A.B., Fang F.F, Howard W.E. and Stiles P.J.. Magneto-oscillatory
conductance in silicon surfaces //Phys.Rev.Letters- 1966- V.16, N 20-
P.901-903.
14. Stern F., Surface quantization and surface transport in semiconductor inver-
sion and accumulation layers //Pros. 1971 Int. Conf. Solid Surface, Boston ,
Mass., 1971.-P. 752 -753,
15. Dorda G. Surface quantization in semiconductors //Advances in solid state
Physics - 1973 - V.X1II, Pergamon vieweg, P. 215-239.
16. Гутов В.И., Квон З.Д., Неизвестный И.Г, Овсюк В.Н, Ржанов ЮА.
Приповерхностная ОПЗ германия в условиях размерного квантования И
Поверхность - 1982-№9.-С. 71-76.
17. Квон ЗД, Неизвестный И.Г., Овсюк В Н., Ржанов Ю.А. Аномальный
холл-фактор в электронных инверсионных каналах германия // Письма в
ЖЭТФ. - 1979. - Т. 30 - С. 363.
170 Гл. 4. Экранирование электрического поля в структурах ...
18. Квон З.Д., Неизвестный И.Г., и др. Магнетосопротивление инверсионных
каналов на поверхности германия И Физика тонкоплёночных систем. -
Новосибирск: СО АН СССР. - 1978. - С. 61.
19. Огрин Ю.Ф., Луцкий В.Н., Елинсон М.И. О наблюдении квантовых раз-
мерных эффектов в тонких пленках висмута // Письма в ЖЭТФ. 1966. -
Т. 3.-Вып. 3.-С.114-118.
20. Луцкий В.Н., Корнеев Д.Н., Елинсон М.И // Письма в ЖЭТФ- 1966-
Т. 4. Вып. 7- С. 267.
21. Сандомирский В.Б. Квантовый эффект размеров в пленке полуметалла //
ЖЭТФ.- 1967.-Т. 52.-С.158-166.
22. Тавгер Б.А., Демиховский В.Я.. Квантовые размерные эффекты в полу-
проводниковых и полуметаллических плёнках И УФН- 1968 - Т. 96-
С. 61-85.
23. Бузанева Е.В. Микроструктуры интегральной электроники. - М.: Наука,
1990.-293 с.
ГЛАВА 5
КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ
ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
В 70-х годах идея исследования свойств электронных систем в
структурах с управляемым энергетическим спектром активно пре-
творялась в жизнь в многочисленных работах теоретиков и экспе-
риментаторов. Управление энергетическим спектром осуществля-
лось либо технологически, путем создания специальной полупро-
водниковой структуры как, например в сверхрешетках, либо внеш-
ним воздействием - электрическим, магнитным полем или дефор-
мацией.
Особенно перспективным представлялись исследования дву-
мерных электронных систем, в которых внешним воздействием -
сильным магнитным полем - удавалось добиться радикальной пе-
рестройки энергетического спектра. При этом появились интерес-
ные особенности в электрофизических свойствах исследуемых
структур. На это определенно указывали первые теоретические ра-
боты [1,2]. Экспериментальные исследования, проведенные фон
Клитцингом, Дордой и Пеппером [3] подтвердили предсказания
теоретиков и обнаружили принципиально новые свойства двумер-
ных электронных систем в сильном магнитном поле.
Эти свойства оказались столь необычными, что в физику вошел
термин «квантовый эффект Холла». Сейчас этим термином обозна-
чаются два явления.
1. Возникновение нескольких плато на зависимости холловской
проводимости о-g, от концентрации электронов двумерного элек-
тронного газа или индукции магнитного поля при постоянной кон-
центрации электронов. На этих плато указанная компонента с
большой точностью оказывается кратной величине q2/h
(5.1.1)
2 h
где q и h - заряд электрона и постоянная Планка, i = 1, 2, 3 ..
целые числа.
Для тех же значений концентрации электронов или величин
магнитных полей, при которых наблюдается плато для компоненты
172 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
проводимости сг^у, другие компоненты тензора проводимости огх
и Стду обращаются в нуль или проходят через глубокий минимум.
Оба этих явления получили название целочисленного кванто-
вого эффекта Холла.
2. В 1982 г., спустя два года после выхода работы фон Клит-
цинга и др. [3], Д. Цуи, Г. Штеммер и А. Госсард опубликовали со-
общение о наблюдении дробного квантового эффекта Холла [4]. В
этом эффекте предыдущее соотношение сохраняет силу, но множи-
тель iравен:
-1 2 4 5 2 3
/-3’ 3’ 3’ 3’ 5’ 5.’
причем знаменатель обязательно нечетный.
Механизмы этих двух вариантов квантового эффекта Холла
различны. К настоящему времени целочисленный эффект Холла
нашел полное объяснение, а теоретические и экспериментальные
исследования по дробному эффекту привели к определенной мо-
дели. По этой причине в данной главе основное внимание будет
уделено целочисленному эффекту Холла и лишь в заключение кос-
немся дробного эффекта.
Первые публикации [1-4] дали толчок всестороннему исследо-
ванию эффекта и сейчас число работ по квантовому эффекту Холла
исчисляется сотнями, обстоятельное рассмотрение которых было
сделано Э.И. Рашбой и В.Б. Тимофеевым в [5]. В настоящее время
исследование свойств двумерных электронных систем в квантую-
щих магнитных полях представляют одно из важнейших направле-
ний физики полупроводников.
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом
Рассмотрение квантового эффекта Холла мы начнем с описа-
ния эксперимента, приведенного в публикации, ставшей к настоя-
щему времени классикой [3].
Двумерный электронный газ проще всего получать на границе
диэлектрик-полупроводник в полевом МДП транзисторе, либо на
гетеропереходе между двумя полупроводниками. Первые экспери-
менты были проведены на МДП структурах, а затем Д. Цуи и
А. Госсард в [6] показали перспективность применения гетерост-
руктур.
На рис. 5.1 изображены схемы МДП структур, применявшихся
Клитцингом и его сотрудниками. На монокристаллическом p-Si с
ориентацией (100) термически выращивалась двуокись кремния с
толщиной 0.Ы.Омкм. Роль затвора играет алюминиевый электрод.
Положительное относительно подложки напряжение на затворе
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом
173
в
Рис 5.1. Вид сверху (а, б) и поперечное сечение типичных МДП-структур (в),
используемых в экспериментах. Слева - длинный образец, справа - кольцевой
образец. 1 - исток, 2 - затвор, 3 — сток, 4 — инверсионный n-слой (двумерный
электронный газ), 5 - подложка p-Si, 6 - п+-контакт
обеспечивает создание инверсионного слоя n-типа у поверхности и
управление концентрацией электронов в канале вблизи границы
диэлектрик-полупроводник.
Для измерений применялись два вада структур - прямоуголь-
ная и кольцевая. Прямоугольная структура помимо стандартных
электродов - стока, истока и затвора - содержала еще две пары
холловских электродов, которые позволяли измерять не только
холловскую разность потенциалов с поперечных электродов, но и
продольную проводимость с помощью потенциальных зондов 1 и
2. Эти измерения позволяли определять компоненты тензора со-
противления и Рхх. Кольцевая геометрия, показанная на рис.
5.1, б, давала возможность найти компоненту тензора проводимо-
сти СГхх-
Омические контакты к инверсионному слою образованы силь-
нолегированными и+ областями. Поверхностный канал в рассмат-
риваемых МДП структурах изолируется от остальной подложки
слоем обеднения, который при температурах проведения экспери-
мента (несколько Кельвинов) имеет столь высокое сопротивление,
что ток от истока к стоку течет только по инверсионному каналу, а
не по подложке.
Плоские границы инверсионного слоя образуют стенки узкой
потенциальной ямы, исключающие движение по нормали к гра-
174
Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
ницам (вдоль оси z) и позволяющие электронам свободно двигаться
в плоскости ху (рис. 5.2).
Условия эксперимента обеспечивали столь узкие по z размеры
потенциальной ямы, чтобы дискретность энергетического спектра
по z значительно превосходила среднюю кинетическую энергию
электронов. Таким образом, гарантируется принадлежность всех
электронов инверсионного слоя одному и тому же значению энер-
гии волновой функции по z.
Важным достоинством МДП структур является возможность
простым образом управлять плотностью подвижных носителей ин-
версионного слоя путем изменения напряжения на затворе. Плот-
ность заряда электронов -(2инв и величина напряжения на затворе
связаны соотношением
~ £?инв. = (Уд ~ У) ) •
где Сок - удельная емкость подзатворного диэлектрика; Vq- поро-
говое напряжение; Vq- напряжение на затворе.
По порядку величины поверхностная концентрация электронов
в инверсионном слое составляет ~1012 см-2.
Двумерный электронный газ можно создать и на границе меж-
ду двумя полупроводниками в гетероструктурах, например,
GaAs-AlxGa\_x As, (рис. 5.3). В таких структурах концентрация но-
сителей тока определяется не напряжением на затворе, а уровнем
легирования слоя AlxGa\_xAs.
В экспериментах определялись отношение холловского напря-
жения к току между истоком и стоком (т.е. холловское сопро-
тивление RH) RH=VHIIX и сопротивление между потенциаль-
ными зондами Rx = Vx/Ix, где Vx - напряжение между потенциаль-
ными зондами.
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом
175
Найденные эксперимен-
тально величины и Rx
практически равны компо-
нентам тензора сопротивле-
ния Рлу и Рхх (см. ниже),
поскольку геометрические
поправки, связанные с шун-
тирующим действием токо-
вых и потенциальных элек-
тродов, в эксперименте бы-
ли пренебрежимо малы.
Полученные экспермен-
тальные зависимости хол-
ловского сопротивления RH
и сопротивления Rx от на-
Рис. 5.3. Зонная диаграмма гетероструктуры
GaAs-AlGaAs. В GaAs p-типа концентрация
легирующей примеси меньше, чем в AIGaAs
л-типа. Пунктирная линия - уровень Ферми,
зачерненная область содержит двумерный
электронный газ
пряжения на затворе и, следовательно, плотности электронов элек-
тронного газа показаны на рис. 5.4.
Обнаружено, что зависимость холловского сопротивления RH=
- /(Уд) носит ступенчатый характер, причем его значение на плато
не зависит ни от свойств вещества, ни от величины тока или темпе-
ратуры, а определяется только мировыми постоянными - зарядом
электрона и постоянной Планка.
Сопротивление Rx и продольная компонента тензора сопротив-
ления Рхх имеют осциллирующий характер. Как раз при тех значе-
ниях напряжений на затворе, когда наблюдается плато на зависи-
Рис. 5.4. Зависимость холловского сопротивления Я/у(=Рч.) и
сопротивления Я, (=р«) от напряжения на затворе Изме-
рения производились при В = 18,9 Тл, и 1 = 1,5 К
176 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
мости RH = сопротивление Rx имеет глубокий минимум.
Эксперименты показывают, что уменьшение сопротивления Rx мо-
жет достигать 107 раз!
Полученные удивительные экспериментальные результаты по-
казывают, что свойства двумерного электронного газа радикально
отличаются от поведения электронов в трехмерном случае в силь-
ном магнитном поле.
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном
однородном магнитном поле
Для понимания свойств двумерного электронного газа в силь-
ном магнитном поле рассмотрим вначале влияние этого поля на
энергетический спектр электронного газа, в котором электроны мо-
гут двигаться в трех измерениях. Пусть магнитное поле характери-
зуется магнитной индукцией В, направленной вдоль оси z и для
простоты рассмотрения будем считать, что электроны обладают
изотропной эффективной массой т*.
Магнитное поле воздействует как на орбитальное движение
электронов, так и на ориентацию их спинов через соответствующие
магнитные моменты. Гамильтониан для электронов в магнитном
поле имеет вид
#=^(p+qAf+/fa(&),
2т
где р = -ih'V - оператор импульса; А - вектор потенциал магнитно-
го поля; q - величина заряда электрона.
Второе слагаемое в гамильтониане описывает взаимодействие
спинового магнитного момента с магнитным полем и =
= qh/2т* - магнетон Бора; g - гиромагнитное отношение для элек-
трона; о - оператор спина электрона.
Для целочисленного квантового эффекта Холла роль спина не-
существенна, поэтому далее будем рассматривать упрощенный га-
мильтониан
Н = ~(р + дА? (5.2.1)
2т
Следуя Ландау [7], вектор-потенциал выберем в форме Ах = 0,
Av =В х, А2 = 0. Поскольку В -rotA, то такой выбор вектор-по-
тенциала обеспечивает наличие только одной отличной от нуля
компоненты магнитного поля, Bz *0.
Квадрат суммы в гамильтониане следует раскрывать,учитывая
перестановочные соотношения, которым удовлетворяет оператор
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 177
импульса (перестановочные соотношения Гейзенберга 1-го рода)
[8]
дА.
АjPJ ~PJAJ = ih J = Х>У^- (5-2.2)
dxj
Кроме того, будем предполагать, что вектор-потенциал удовле-
творяет условию калибровки
div/1 = 0.
(5.2.3)
С учетом (5.2.2) и (5.2.3) гамильтониан (5.2.1) можно привести
к форме
Н=—^v2+-L-
2т* т*
q2B2x2
+ ------
2т*
(5.2.4)
Выражение (5.2.4) можно переписать в эквивалентной форме
Й2 д2 (д iqBx}2 д2
2т* дх2 Л ) дг2
(5.2.5)
Соответствующее гамильтониану (5.2.5) уравнение Шрединге-
ра принимает вид
д2 f Э iqBx'f
дх2 АЗУ* Л J
2т* Е
1Г
^{xyz)^. (5.2.6)
Компоненты вектор-потенциал не зависят от у и z, поэтому ре-
шение уравнения (5.2.6) можно искать в форме
- е^кгг+кУуЩх\ (5.2.7)
Подставляя это решение в уравнение (2.6), получаем уравнение
на волновую функцию <р(х)
2т* dx2 2т* у
Удобно ввести обозначения
h2k2 ^ку
Е' = Е-—^~, х = х+х0, где х0=~— -
2т Kq
h2k2\
ттк <5-2-8)
2ги J
178 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
С учетом этого уравнения (5.2.7) принимает вид
Й2 d2<p q2B2 ... „ £+- х2(р = Е(р. (5.2.9) 2т* dx 2 2т*
Уравнение (5.2.8) совпадает с квантовым уравнением для гар-
монического осциллятора, колеблющегося с частотой
Bq юс= »• т
Его решения хорошо известны - энергия Е' квантована по за-
кону = (5.2.10)
где п = 1,2,3....
Собственные функции, удовлетворяющие уравнению (2.9),
имеют вид
<p(x) = 77expJ-fc^-L„f^^-l (5.2.11)
2у2 J I У J
где у = - величина, имеющая размерность длины и называе-
мая поэтому магнитной длиной; Нп\ - —х°- - полином Эрмита по-
I У J
рядка «л».
Энергия электрона в магнитном поле оказывается состоящей из
двух частей: h2k2 ( Е = —• (5-2.12) 2т к 2)
Первое слагаемое описывает энергию электрона, движущегося
вдоль оси z, по которой направлено магнитное поле. Магнитное
поле не оказывает влияния на эту составляющую энергию элект-
рона.
Движение в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю,
оказывается квантованным и эта составляющая описывается вто-
рым слагаемым в (5.2.12). При фиксированном значении kz энерге-
тический спектр электрона представляет ряд эквидистантных уров-
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 179
ней, разделенных промежутками йсос. Эти уровни именуются уров-
нями Ландау.
В целом энергетический спектр распадается на ряд подзон
(рис. 5.5). Учет квантования поднимет энергию дна наинизшей зо-
ны на величину О,5АбУс. Энергетический спектр в магнитном поле
оказывается сильно перестроенным. Магнитное поле, однако, не
может изменить число степеней свободы электронов в зоне прово-
димости, в результате каждый уровень Ландау должен быть сильно
вырожден. Для определения кратности вырождения удобно взять
образец в виде куба со стороной L, поскольку при этом расчеты
идут наиболее простым образом. Вообще же форма образца роли не
играет, поскольку размеры стороны куба много больше размеров
постоянной решетки.
По направлениям у и z волновую функцию подчиним условиям
периодичности
\\f(xyz) = i|/(x, у + L, z), у(луг) = х(х* У* Z*+L)
Учитывая явный вид волновой функции электрона в магнитном по-
ле (5.2.7); (5.2.11) из приведенных соотношений вытекает условие
квантования проекций волнового вектора ку и kz
ку=^пу kz=^nz, (5.2.13)
где л, и nz - квантовые числа, принимающие значение 0,± 1,± 2.
По измерению х волновая функция (5.2.7) локализована вблизи
координаты х0 и имеет характеристические размеры порядка маг-
нитной длины у. Поэтому можно ограничить значение х0 естест-
венным условием
<52,4>
Отметим, что возможность изменения х0 в соответствии с вы-
ражением (5.2.14) определяется изменением компоненты ку волно-
вого вектора.
Учитывая (5.2.11) и (5.2.13), из (5.2.14), полу чаем
'2<
2 л Л 2 * 2пИ 2
В результате при фиксированных Е и nz квантовое число wv
может принимать
/2
Q =qB (5 2 15)
2лЛ
180
Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
Два
измерения
Плотность состояний
в идеальном кристалле
Плотность состояний с учетом
беспорядка
Рис 5 5 Схема энергетических зон и соответствующая плотность
состояний для трехмерного (а) и двумерного (б) электронного газа
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 181
различных значений. Это и есть кратность вырождения уровня
Ландау.
Найдем теперь число состояний на единичный интервал энер-
гий для электрона, движущегося в магнитном поле с индукцией В.
Как показано выше (5.2.12), энергия такого электрона представля-
ется выражением
Е = ЕС
2т*
t ( 1
+ пй)с1 п--
А 2
(5.2.16)
где Ес - энергия дна зоны проводимости, если пренебречь взаимо-
действием внешнего магнитного поля со спиновым магнитным мо-
ментом электрона.
Как следует из статистической физики, общее число электронов
N в объеме V дается выражением
N = XAEJ’T)QJ’
J
(5.2.17)
где fo(Ej,T)~ среднее число электронов в состоянии с энергией Еу
при температуре Г; - кратность вырождения у-го состояния и
суммирование распространяется на весь спектр энергии .
В рассматриваемом случае состояние j задается номером уров-
п “ , 2л
ня Ландау п и проекцией волнового вектора на ось z-kz -—nz,
L
где пх = 0, ± 1, ±2... Кратность вырождения дается формулой (5.2.15).
Для электронов с одной ориентацией спина получаем из (5.2.17)
2лЙ I 2/и* I 2/ J
Расстояние между соседними значениями kz составляет Ekz =
= 2л/А и при обычных макроскопических размерах кристалла на-
столько мало, что позволяет перейти в (5.2.18) от суммирования по
kz (или nz) к интегрированию
£/о(£и А7)= 2 А |/0(ЕлЛг . (5.2.19)
^2 О
На последнем этапе преобразований учтено, что энергия явля-
ется четной функцией от волнового вектора kz. С учетом промежу-
182
Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
точного выражения (5.2.19) для общего числа электронов в кри-
сталле получаем
00
N-L3-r^-2\dk^f^E^TY (5.2 20)
(2л)2 Й J п
Множитель, стоящий за объемом кристалла К = £3, есть кон-
центрация электронов п в единице объема. В интеграле (5.2.20)
вместо переменной kz введем энергию. Пользуясь выражением для
энергетического спектра (5.2.16), получаем
-J2m 1 1
ак, =-------, — -=?аЕ.
ft 2Vf-Ec-ft<y(«-0.5)
В результате для концентрации электронов с одной ориентаци-
ей спина имеем
2 V
где
1 — -f0(E,T)dE = jN(E}f0(E)dE,
fuJ п - - j
N(E]=gB^
(2лй)2 YV^-£e-^c(«-0.5)’
(5.2.21)
1
Это и есть плотность состояний электронов в магнитном поле.
Из выражения (5.2.21) следует, что плотность состояний есть
осциллирующая функция магнитного поля. Она имеет острые мак-
^j2 2
симумы для тех значений энергии, где разность Е-Ес-----равна
2т
энергии одного из уровней Ландау
Е-Ес-^- = Йд>с(л-0.5). (5.2.22)
2ти*
На рис. 5.5,а представлена соответствующая зависимость плот-
ности состояний.
Осцилляция плотности состояний проявляется в том, что в ме-
таллах и вырожденных полупроводниках многие физические вели-
чины, выражающиеся через плотность состояний при выполнении
условия (5.2.22), осциллируют при изменении магнитного поля.
Например, в металлах основную роль в процессах проводимости
играют электроны вблизи поверхности Ферми. Осцилляция прово-
димости возникает при каждом прохождении очередного уровня
Ландау мимо уровня Ферми.
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 183
Превращение трехмерного электронного газа в двумерный ве-
дет к дальнейшему изменению плотности состояний.
Рассмотрим поэтому этот вопрос подробно.
Если движение электронов вдоль направления магнитного поля
исключено, то их энергетический спектр определяется только
уровнями Ландау и, следовательно, может управляться экспери-
ментатором
E = Ec+ha)c(n-0.5). (5.2.23)
Соответствующая плотность состояний (рис. 5.5, б) должна бы
представляться набором дельта-функций с максимумами, локали-
зованных на уровнях Ландау и отделенных промежутками йсос.
Однако такая ситуация имеет место только в идеальном кристалле,
в котором отсутствуют процессы рассеяния.
В реальных кристаллах из-за действия рассеяния электрон мо-
жет находиться на каждом уровне лишь время г, соответствующее
времени свободного пробега. Как следует из квантово-механи-
ческого принципа неопределенности «время-энергия», это приво-
дит к тому, что каждый уровень приобретает ширину ЬЕ~Ыт. В
результате плотность состояний приобретает вид острых максиму-
мов конечной ширины (рис. 5.5, б, правая часть). Для наблюдения
влияния квантования двумерного электронного газа чрезвычайно
важно, чтобы ширина уровней была много меньше расстояния ме-
жду уровнями Ландау
— «йсос.
т
Двумерный электронный газ, в котором выполняются эти усло-
вия, начинает вести себя как полупроводник с шириной запрещен-
ной зоны ft(Oc.
Радикальная перестройка спектра двумерного электронного га-
за приводит к упрощению формулы (5.2.18), связывающей общую
концентрацию электронов и спектр энергетических уровней. По-
скольку движение по оси z подавлено, формула (5.2.18) принимает
вид
(5.2.24)
2яй 7
При температурах порядка нескольких градусов Кельвина
функция распределения Ферми (0(Е,Ер,Т) имеет вид, близкий к
единичной ступеньке. Поэтому, если уровень Ферми лсжш выше
184
Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
уровня Ландау с номером п9 то формула (5.2.24) принимает особен-
но простой вид
= (5.2.25)
2лй
Множитель, стоящий перед п, представляет вырождение уровня
Ландау, одинаковое для всех уровней. Кроме того, стоит вспом-
нить, что полученная формула £1 = L2qB/(2fi) относится к электро-
нам с одной ориентацией спина.
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
Если к сильному магнитному полю добавить слабое электрическое
поле, направленное в плоскости образца, движение электронов по
циклотронным орбитам не нарушится, однако центры орбит, опре-
деляемые величиной л©, начнут дрейфовать в направлении, пер-
пендикулярном к магнитному и электрическому полю. Этот дрейф
приводит к возникновению холловской ЭДС и к появлению недиа-
гональных компонент в тензоре проводимости.
Тензор проводимости двумерного электронного газа в магнит-
ном поле в общем виде имеет форму
СТа0 — ^СТ21<У22 J' (5.3.1)
Причем СГ\2 = ~ <Т21 •
Тензор удельного сопротивления является обратным по отно-
шению к проводимости, и компоненты обоих тензоров связаны со-
отношениями
2
ХраРаРу=8а₽’ а,₽.Г = 1,2, (5.3.2)
р=1
где 5ар - символ Кронекера.
Решение системы (5.3.2) приводит к соотношениям
где рн =р22 И Р12 =- рп-
Двумерный электронный газ в сильном магнитном поле начи-
нает вести себя как полупроводник с шириной запрещенной зоны,
равной расстоянию между соседними уровнями Ландау £к = hcoc
Если уровень Ферми лежит между двумя соседними уровнями
Ландау и температура такова, что Т «(fiwc/k), то такой полупро-
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
185
водник будет вести себя как изолятор и диагональные компоненты
тензора проводимости будут стремиться к нулю, оц —>0, о22 -+0-
Существенно, что при этом недиагональные компоненты а12, о2|
не равны нулю. В результате тензор проводимости двумерного газа
принимает форму
' 0
<тор —
сг12'
(5.3.4)
0
Из соотношений (5.3.3) следует, что тензор удельного сопро-
тивления будет иметь аналогичную (5.3.4) структуру
D (0 1/^21 )
\\lo\2 0 /
Реальные эксперименты проводятся при температурах несколь-
ко градусов Кельвина и магнитных полях порядка 10 Тл, так что
вероятность заброса с «и»-го на «п+1» уровень Ландау полностью
исключить нельзя. Это приводит к тому, что проводимости j и
о22 бУДУТ хотя и малыми, но все-таки отличными от нуля величи-
нами. Поэтому в статьях, где описываются экспериментальные ре-
зультаты по квантовому эффекту Холла говорится об уменьшении
проводимости в Ю6 +107 раз по сравнению с исходной, при В = 0,
но не об обращении в нуль компонент Оц и ст22.
Общий характер изменения диагональных компонент тензора
проводимости и удельного сопротивления связан со степенью за-
полнения уровней Ландау, которую можно связать с числом кван-
тов магнитного потока, захваченных двумерным электронным га-
зом.
Для этого учтем, что величина 2/2, где у - магнитная длина,
входящая в экспоненциальную часть волновой функции (5.2.11),
определяет размеры волновой функции электрона на нижнем уров-
не Ландау. Тогда магнитный поток, пронизывающий эту орбиталь,
Фо = 2яу25 = %. (5.3.5)
Поток Фо имеет смысл минимального магнитного потока, ко-
торый может быть «захвачен» электроном на уровне Ландау. Су-
щественно, что величина этого кванта определяется только миро-
выми постоянными.
Кратность вырождения одинакова для всех уровней и опреде-
ляется формулой (5.2.25). Это означает, что электроны, находящие-
186 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
ся на полностью заполненном уровне Ландау, могут «захватить»
количество квантов магнитного потока Nq>, равное
Ф BL2
Фо М
(5.3.6)
В экспериментах можно изменять число электронов у поверх-
ности N или магнитное поле и, следовательно, влиять на . От-
ношение v = Л7МФ представляет степень заполнения уровней Лан-
дау электронами. Степень заполнения достигает максимального
значения v = п при прохождении уровня Ферми через и-й уровень
Ландау.
В те моменты, когда степень заполнения уровня Ландау дости-
гает максимального значения, диагональные компоненты удельно-
го сопротивления р^, стремятся к нулю при Т -> О К. Этот
факт был подтвержден прямыми экспериментами Клитцинга, Дор-
ды и Пеппера. Их эксперименты, однако, показали интересные осо-
бенности в поведении недиагональных компонент тензоров со-
противления и проводимости.
Когда двухмерный электронный газ находится в сильном маг-
нитном поле, напряженность поперечного холловского поля Ен
выражается обычным образом через поверхностную плотность тока
и поверхностную концентрацию «Дем-2)
Ен=^. (5.3.7)
Из (5.3.7) следует, что недиагональная компонента тензора
удельного сопротивления
Рху ~
в
qns
(5.3.8)
Эта стандартная форма Холловского сопротивления принимает
замечательный вид, когда п-й уровень Ландау полностью заполнен
и, следовательно, v = и. В этот момент поверхностная концентра-
ция электронов
N аВп
п= — =-----
Подставляя (5.3.9) в (5.3.8), становится равной
2nh 1 h 1
PrV=—^ -=~ л = 1,2.
qL п q^ п
(5.3.9)
(5.3.10)
53. Проводимость двумерного электронного газа 187
Отношение hIq1 определяется только мировыми постоянными
и известно с высокой степенью точности
Л/*?2 =25812,8 Ом.
В ходе своих экспериментов Клитцинг, Дорда и Пеппер не
только определили величину рх>,, но и обнаружили горизонтальные
плато на зависимости р^ = /(л5). На этих плато, расположение ко-
торых соответствует областям, где компоненты тензора удельного
сопротивления рхх и р^, обращаются в нуль (достигают минималь-
ного значения), компонента остается постоянной и равной
(5.3.10) даже при некотором изменении концентрации электронов
в двумерном электронном газе. Экспериментально установлено,
что чем ниже температура, тем больше ширина плато.
Для объяснения происхождения плато необходимо учесть, что
реальные полупроводниковые кристаллы содержат дефекты и не-
совершенства кристаллической решетки, объединяемых общим по-
нятием беспорядка. Беспорядок приводит к локальным флуктуаци-
ям внутрикристаллического потенциала. Простейшими примерами
беспорядка могут служить шероховатость поверхности полупро-
водника и неоднородность толщины подзатворного диэлектрика в
экспериментах Клитцинга и сотрудников. Электроны будут соби-
раться там, где их потенциальная энергия меньше, что приводит к
неравномерному распределению их плотности в плоскости канала
под затвором. Повышение напряжения на затворе приводит к уве-
личению концентрации электронов и заполнению уровней Ландау
прежде всего в тех местах, где поверхностная плотность выше.
Образуется своеобразная квантовая «капля», в пределах кото-
рой уровень Ландау заполнен и
компоненты сопротивления
Рхх и Руу равны нулю (рис.
5.6). Дальнейшее увеличение
напряжения на затворе приво-
дит к заполнению уровня Лан-
дау в других частях образца и
образованию новых «капель»,
так что при некотором напря-
жении ряд капель сливается и
образуется проводящий канал,
который шунтирует сопротив-
ление всего образца. Шунти-
рование образца будет сохра-
няться до iex пор, пока весь п
Рис 5 6 Формирование проводящем о
канала, шунтирующем о conpoi пиление
Rx на холлоиском плато
188 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
уровень Ландау в пределах образца не будет заполнен. После этого
начинается заполнение /г+1 уровня, и плато заканчивается. При за-
полнении /г+1 уровня описанная выше процедура будет повторять-
ся снова.
Представленное выше описание происхождения плато носит
качественный характер. Строгая теория требует учета особенности
плотности состояний двумерного электронного газа из-за наличия
беспорядка в кристаллической решетке [9].
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
Два года спустя после публикации статьи Клитцинга, Дорды и
Пеппера по целочисленному эффекту Холла, появилось первое со-
общение Д. Цуи, Г. Штермера, А. Госсарда [4] о наблюдении дроб-
ного квантового эффекта, приводящего к появлению плато на хол-
ловской проводимости при некоторых значениях, являющихся
простыми дробями величины q2/h. При этом диагональные ком-
поненты сопротивления стремятся к нулю как и в случае целочис-
ленного эффекта.
По общим оценкам, явление дробного квантового эффекта
представляется еще более интересным, чем целочисленный эффект.
Теоретический анализ дробного эффекта привел к новому понима-
нию свойств двумерных электронных систем.
В данной части главы мы вначале рассмотрим эксперименталь-
ные результаты, полученные Д. Цуи с сотрудниками, а затем теоре-
тические подходы к объяснению явления.
5.4.1. Эксперименты по дробному квантовому эффекту Холла
Образцы для измерений были получены методом молекуляр-
но-лучевой эпитаксии и состояли из монокристаллических слоев
нелегированного GaAs толщиной I мкм, нелегированного
AIqjGooiAs толщиной 500А, слоя Al^Ga^As, легированного
кремнием толщиной 600А и легированного кремнием GaAs толщи-
ной 200А. Вся эта многослойная система была выращена на под-
ложке из изолирующего GaAs. На гетерогранице GaAs - AlGaAs со
стороны GaAs возникал газ двумерных электронов, созданных за
счет ионизации доноров в AlGaAs. Образцы вырезались в виде
стандартных холловских структур (рис. 5.7, левая верхняя часть). В
исследованных образцах поверхностная концентрация электронов
изменялась в пределах 1,1-s-1,4-10+п см-2, а подвижность в преде-
лах (8-Н0)х х104 см2В_|с_|. Магнитное поле в экспериментах из-
менялось от 0 до 25 Тл. На рис. 5.7 представлены зависимость хол-
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
189
ловского сопро-
тивления Рху И
продольного со-
противления Рхх
от величины маг-
нитного поля при
четырех темпера-
турах от 0.48 до
4.15 К. На верх-
ней шкале рисун-
ка приведена сте-
пень заполнения
уровня Ландау,
равная отноше-
нию концентра-
ции электронов п
к числу возмож-
ных на уровне
v = nl N. При
v = l наблюдается
холловское плато
на зависимости
Рху = f(^) И нули
на продольном
сопротивлении
рхх, как это и
должно следовать
из теории цело-
численного эф-
фекта Холла.
При темпера-
турах выше 4.2 К
зависимость рху=
= f(B) практиче-
ски линейна и
эффекты кванто-
вания не заметны.
С понижением
Рис. 5.7. Зависимости и р*у от В в образце GaAs-
AlOJGao7As с N = 1.23 10" см'2 и ц = 9 104 см2 • В'1 •
с'1 при 1=1 мкА. Фактор заполнения уровней Ландау
v=Nh/eB
температуры становится все более отчетливо заметно плато на за-
висимости от магнитного поля при степени заполнения уровня
Ландау v = l/3. Одновременно становится все более отчетливым
глубокий минимум на продольном сопротивлении рхх.
190 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
Обнаруженное значение квантового сопротивления pu, = ЗЛ/ q2 в
последующих экспериментах было убедительно подтверждено для
степеней заполнения:
2 2 3 2
v = -
3 5 5 7
Полученные данные показывали, что обнаружено новое со-
стояние двумерного электронного газа, которое не реализовалось
для целочисленного квантового эффекта Холла.
5.4.2. Теоретические аспекты дробного квантового эффекта
Открытие дробного квантового эффекта в значительной мере
обязано успехам технологии создания наноэлектронных структур.
Важнейшее требование к экспериментальным структурам - вы-
сокая подвижносгь электронов - удалось реализовать на гетеро-
структурах GaAs-AlxGa{_xAs, полученных методом молекулярно-
лучевой эпитаксии.
Гетероструктуры, которые Д. Цуи и А. Госсард [4] стали впер-
вые использовать для наблюдения целочисленного квантового эф-
фекта, оказались в определенном смысле более перспективными,
чем кремниевые МДП структуры, применявшиеся Клитцингом с
сотрудниками, в первую очередь, из-за величины подвижности
электронов.
Высокая подвижность означает относительно малый вклад
процессов рассеяния на потенциале примесей в движение электро-
нов и приводит к проявлению более тонких особенностей взаимо-
действия электронов в двумерном газе В условиях сильных маг-
нитных полей и высокой подвижности это проявляется в
корреляции движения электронов.
Целочисленный эффект Холла может быть понят на основе
анализа движения отдельного электрона в магнитном поле При
этом кулоновское взаимодействие электронов между собой несу-
щественно при объяснении квантования холловского сопротивле-
ния RH где i = 1, 2, 3..., так как энергия взаимодействия мно-
zg2
го меньше энергетического зазора между уровнями Ландау.
Дробный квантовый эффект Холла удалось объяснить только
после осознания того, что это принципиально не одночастичная
(как в целочисленном эффекте), а многочастичная задача.
В условиях, когда уровень Ландау заполнен лишь частично,
электроны имеют достаточно свободы для того, чтобы переме-
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
191
щаться внутри кристаллической решетки, находясь друг от друга
возможно дальше, чтобы минимизировать кулоновскую энергию
отталкивания. Это приводит к согласованному (коррелированному)
движению электронов, когда их общая энергия понижается.
Боб Лафлин [10-11] предложил многочастичную волновую
функцию, которая корректно описывает поведение электронов, за-
полняющих уровень Ландау на - (так же, как и вообще на — часть,
3 т
где т - нечетное число). Из решения квантовых уравнений для та-
кой волновой функции следует, что должна существовать зона за-
прещенных энергий, не связанная с уровнями Ландау и являющаяся
следствием решения многочастичной задачи. Кроме этого, в усло-
виях, когда степень заполнения уровня Ландау чуть меньше или
чуть больше v = -, перенос заряда в двумерной системе в магнит-
ном поле можно интерпретировать как движение квазичастиц с за-
рядом д* = ±^. При дальнейшем изложении мы будем следовать
интерпретации эффекта, данной X. Штоммером в его Нобелевской
лекции [12].
Для интерпретации квантового эффекта Холла оказалось чрез-
вычайно удобным и плодотворным представление магнитного по-
ля, пронизывающего двумерный электронный газ, в виде набора
маленьких вихрей, каждый из которых несет по одному кванту по-
ля Фо =h!q. Размеры вихря примерно равны размеру области, ко-
торое содержит 1 квант - $ = Фо IВ. Внутри вихря плотность заря-
да электронов в центре равна нулю и постепенно возрастает, по
мере приближения к краям, до среднего значения по образцу, так
что приближенно можно считать, что электроны перемещены из
вихря. Плотность распределения вихрей в плоскости образца в од-
нородном магнитном поле постоянна (рис. 5.8).
Электроны и вихри оказываются, в некотором смысле, проти-
воположными объектами. Электрон - это сгусток заряда, вихрь -
его отсутствие. Взаимное расположение электронов и вихрей силь-
но влияет на полную энергию двумерного газа. Энергетически
чрезвычайно выгодно оказывается помещение электрона в центр
вихря. При этом остальные электроны максимально отодвинуты от
него, а энергия кулоновского взаимодействия с соседями - стано-
вится минимальной.
В целочисленном эффекте Холла на полностью заполненном
уровне Ландау каждый электрон присоединяет по одному вихрю
(рис. 5.8, б).
192
Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
Рис 5.8. Схематическое представление электрон-
ного 2D газа в магнитном поле:
а - вихри магнитного поля (белые кружки) в 2D электрон-
ном газе (темный фон). Стрелки представляют собой кванты
магнитного потока Фо внешнего магнитного поля В, б -
взаимодействие вихрей магнитного поля и электронов (слу-
чай полного заполнения уровня Ландау, v=l, соответству-
ющий целочисленному эффекту Холла
В более сильных
магнитных полях, чем
те, что обеспечивают
заполнение первого
уровня Ландау, число
вихрей магнитного
поля становится боль-
ше числа электронов.
В этом случае элек-
тронам выгодно при-
соединить сразу не-
сколько вихрей, что
еще дальше отодвинет
соседние электроны
и уменьшит энергию
электростатического
взаимодействия.
Электрон и при-
соединенный к нему
один или несколько
вихрей концептуально
удобно рассматривать
как составную частицу
(СЧ). Из-за введения
составных частиц ре-
альная система взаи-
модействующих элек-
тронов заменится на систему слабо взаимодействующих СЧ. Вдо-
бавок, поскольку магнитное поле в виде вихрей уже входит в со-
став СЧ, то формально внешнее магнитное поле можно не учиты-
вать, и считать, что СЧ образуют ансамбль свободных частиц.
Однако наиболее существенным является то, что присоединение
вихрей изменяет характер СЧ, превращая их из фермионов в бозо-
ны или наоборот.
Волновая функция системы фермионов изменяет свой знак при
перестановке любой пары частиц и является антисимметричной.
Система бозонов имеет симметричную волновую функцию и не
изменяет свой знак при перестановке любых двух частиц. Различ-
ная симметрия волновых функций приводит к глубокому отличию
свойств систем частиц-бозонов и частиц-фермионов. В системе
фермионов действует статистика Ферми-Дирака и заполнение
квантовых состояний подчиняется принципу Паули, который за-
прещает нахождение в одном квантовом состоянии двух фермио-
нов. Это жесткое ограничение приводит к тому, что фермионы
предпочитают держаться друг от друга подальше и последователь-
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
193
но, один за одним, заполняют энергетические уровни в твердом
теле.
В системе бозонов действует статистика Бозе-Эйнштейна и ни-
каких ограничений на число частиц в одном квантовом состоянии
нет. Частицы-бозоны предпочитают собираться в одном состоянии,
что обозначается термином «Бозе-конден-
сация». Глубокое отличие в статистике меж-
ду частицами-фермионами и частицами- •_ •
бозонами находит свое проявление в качест-
венном различии физических свойств систем
частиц. В системе частиц-бозонов наблюда- Ч7 —► “Ч7
ются такие необычные физические свойства,
как сверхтекучесть, лазерный эффект, сверх-
проводимость.
Сами электроны являются фермионами и
их волновая функция антисимметрична по
перестановкам. Однако присоединение одно-
го вихря магнитного поля к электрону приво-
дит к образованию СЧ, которая является бо-
зоном. Дальнейшее присоединение вихрей к
электрону меняет характер СЧ - при четном
числе вихрей СЧ становятся фермионами, а
при нечетном - бозонами. Эти превращения
меняют свойства коллектива частиц. В сис-
теме составных частиц, построенных из ми-
нимально-возможного числа частей - один
электрон плюс один вихрь - наблюдается це-
лочисленный эффект Холла.
Следующая по сложности СЧ, которая
является бозоном, должна содержать один
электрон и три присоединенных вихря
(рис. 5.9). В коллективе таких частиц насту-
пает Бозе-конденсация на некотором новом
основном состоянии, которое отделено от
следующего возбужденного состояния энер-
гетическим зазором Eg. Ситуация оказывает-
ся схожей с явлением сверхпроводимости.
Наличие энергетического зазора приво-
дит к квантованию холловского сопротивле-
ния и исчезновению продольного сопротив-
ления. Ширину зазора можно измерить
экспериментальными методами, например, по
рассеянию света или по температурной зави-
симости продольного сопротивления. Экспе-
Ч7 — -ч7
Ч7^Ч7
Рис. 5.9. Статистика
электронов и составных
частиц. Стрелка и точка
схематически обозна-
чают составную части-
цу: электрон + вихрь
магнитного поля. Со-
ставная частица с не-
четным числом при-
соединенных вихрей -
фермион, с четным -
бозон
194 Гл. 5. Квантовый эффект холла в двумерном электронном газе
рименты показывают, что последняя качественно описывается в
виде рхх ~exp(-£g/T), где Eg >4 + 5 К- энергия активации. Обра-
зование плато на полевых зависимостях рх>, = /(В) и ри= /(В)
объясняется теми же причинами, что и в целочисленном эффекте.
Когда значение магнитного поля отклоняется от величины Bv,
z- гг 1
обеспечивающей точное заполнение уровня Ландау на v = -, числа
электронов и вихрей магнитного поля уже не равны друг другу. Ес-
ли, например, B>BV, то магнитных вихрей оказывается больше,
чем электронов. Присоединение добавочных вихрей к имеющимся
электронам превращает СЧ в фермион. Если избыток вихрей не
слишком велик, то перенос электрического тока в такой системе
можно описать с помощью движения квазичастиц с зарядом + у. В
противоположном случае В <BV, перенос тока можно описать дви-
жением квазичастиц с зарядом Ситуация напоминает элек-
тронно-дырочный формализм при описании процессов протекания
тока в валентной зоне и зоне проводимости полупроводников.
Объяснение дробного квантового эффекта Холла для степеней
11 q q
заполнения v = -,- и т. д. с квазичастицами —, - и т. д. можно
5 7 5 7
провести совершенно аналогично описанному выше случаю запол-
нения уровня Ландау на 1/3. В каждом из этих случаев к электрону
присоединяется 5, 7 и т.д. вихрей магнитного поля. Если уровень
2 1
Ландау заполнен на 2/3, v = — , то вся интерпретация для v = - со-
храняется. Для этого необходимо рассматривать полный уровень
Ландау и 1/3 отсутствующих электронов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Обнаруженный еще в 1879 году студентом 5-го курса универ-
ситета в Балтиморе, США, Эдвином Холлом эффект появления по-
перечной ЭДС в результате отклонения движения носителей заряда
в магнитном поле стал в настоящее время мощным эксперимен-
тальным методом, позволяющим определять с высокой точностью
концентрацию носителей и знак их заряда. Долгое время казалось,
что в теории и применении этого эффекта все достаточно ясно.
Однако в 1980 году немецкий физик Клаус фон Клитцинг с
коллегами [3]. измеряя эффект Холла в сильных магнитных полях,
обнаружили квантование холловского сопротивления. Авторы
предс 1авили свою работу' как новый высокоточный метод опреде-
Список литературы
195
ления постоянной тонкой структуры. Квантование холловского со-
противления открыло путь к принципиально иному пути построе-
ния эталона сопротивления. В 1985 году Клаусу фон Клитцингу с
соавторами была присуждена Нобелевская премия по физике.
Дальнейшее продолжение исследования эффекта Холла в сильных
магнитных полях на высокочистых образцах с совершенной кри-
сталлической структурой привело к открытию дробного квантового
эффекта.
За экспериментальные исследования и теоретическое объясне-
ние этого эффекта американским физикам Б. Лафлину, X. Штемме-
ру и Д. Цуи в 1998 году присуждена Нобелевская премия по физи-
ке. Эта награда в полной мере отразила признание открытия нового
основного состояния в физике конденсированных сред, которое об-
ладает целым рядом уникальных свойств, в частности, дробным за-
рядом элементарных возбуждений.
Став за двадцатое столетие дважды Нобелевским лауреатом,
эффект Холла продемонстрировал огромные возможности физики
твердого тела, микроэлектроники и наноэлектроники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ando Т., Matsumota.Y., Uemura Y. // J.Phys. Soc. Japan.- 1975. - 39. - 279.
2. Баскин Э.М., Магарилл Л.И., Энтин M.B. И ЖЭТФ. - 1978. - Т. 75. - 723.
3. Клшпцинг К. фон, Дорда Г., Пеппер М. Новый метод очень точного опре-
деления постоянной тонкой структуры, основанный на измерении кван-
тованного холловского сопротивления И Квантовый эффект Холла / Под
ред. Шмарцева Ю.В. - М.: Мир, 1986. - С. 10-17.
4. Цуи Д, Шмермер Г., Госсард А. Двумерная магнитопроводимость в
ультраквантовом пределе // Квантовый эффект Холла / Под ред. Шмар-
цева Ю. В. - М.: Мир, 1986. - С. 83-90.
5. Рашба Э.И., Тимофеев В.Б. IIФТП. - 1986. - Т. 20. - 977 с.
6. ЦуиД, Госсард А. Использование квантования холловского сопротивле-
ния в гетероструктурах. GaAs - AlGax_xAs для создания эталона сопро-
тивления // Квантовый эффект Холла / Под ред. Шмарцева Ю. В. - М.:
Мир, 1986.-С. 18-24.
7. Landau L.D. Diamagnetizm in metals П Z.Physik. - 1930. - 64. - 629-637.
8. Блохинцев Б. И, Основы квантовой механики. - М., 1983.
9. Cardona Р. Y.M. Fundamentals of Semiconductor, Sprinter, 1995.
10. Лафлин P. Аномальный квантовый эффект, несжигаемая квантовая жид-
кость с дробным зарядом возбуждения И Physical Review Letters. -
1983.-V. 50, № 10.- Р. 1395.
11. Лафлин Р. Квантованное движение трех двумерных электронов в силь-
ном магнитном поле И Physical Review В. - 1983. - V. 27, № 6. - Р. 3383.
12. Stormer Н. : Nobel Lecture:the fractional quantum Hall effect И Reviews of
modem Physics.- 1999.- V. 71, № 4. P. 875-889.
ГЛАВА 6
ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА В СИСТЕМАХ
ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
6.1. Дисперсионные зависимости фононов
в полупроводниковых сверхрешетках
В многослойных субмикронных структурах, содержащих чере-
дующиеся сверхтонкие слои разных материалов, наряду с измене-
нием спектра электронов происходит и изменение спектра фоно-
нов.
Рассмотрим основные особенности фононного спектра полу-
проводниковой сверхрешетки на основе решения задачи о колеба-
ниях линейной цепочки атомов [1].
Известно, что для линейной двухатомной цепочки (рис. 6.1) в
упругом приближении, при учете взаимодействия только с бли-
жайшими соседями, уравнение движения атомов обоих сортов
можно представить в виде [2]
2
= +c/2r_,
dr
(6.1.1)
j 2 rj
M-----= K[U2r+2 + U2r - 2U2r+i ],
dr
здесь m, M- массы атомов, К- межатомный коэффициент жестко-
сти, ^„-смещение атома с номером п от положения равновесия.
Е Е
h—►!*—i m м
—О---®---О----®----О---®----О-----0----О---®
(2г-2)(2г-1) 2г (2r +1) (2г+ 2)
Рис. 6.1. Линейная двухатомная цепочка атомов
Представляя решения (6.1.1) в виде плоских волн
U2r = Al exp{/[g2rE-<oZ]},
(6.1.2)
^2r+i = а2 exp{z[<?(2r + 1)е - со/]},
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в полупроводниковых ... 197
(здесь е- расстояние между атомами), из (6.1.1) получаем
дисперсионное соотношение между волновым вектором q и
угловой частотой колебаний со
. (2К-то2Х2К-М<д2)-2К2
cos( 2^е) = ---------------------. (6.1.3)
2К2
Выражения (6.1.1) и (6.1.2) позволяют также найти соотно-
шение, связывающее смещения соседних атомов,
У _ ^2г _ ^[1+ ехр(±/2^6)] (6
^2r-i (2К-ггк>)2)
здесь «+» относится к волне, бегущей слева направо, а «-» - к
волне, бе!ущей справа налево.
Как следует из (6.1.3), для построения спектра фононов
линейной двухатомной цепочки в данном приближении (гармо-
ническое приближение) требуется знать значения трех пара-
метров т, М и К. Так как массы колеблющихся атомов обычно
известны, то необходимо определять только значение межатомного
коэффициента жесткости К.
Значение коэффициента жесткости можно получить из сравне-
ния результатов расчета с экспериментальными данными. В рас-
сматриваемом случае для этого достаточно иметь эксперименталь-
ные данные хотя бы для одной точки спектра фононов. Чаще всего
для получения параметров, необходимых для расчета спектра фо-
нонов, используют экспериментально определенные значения гра-
ничных частот для q -* 0 и q — (2^-размер элементарной ячей-
2е
ки цепочки атомов).
В материалах с кристаллической решеткой типа цинковой об-
манки (Л32?5)в плоскостях, перпендикулярных направлению [100],
содержатся атомы только одного типа (либо катионы, либо анио-
ны). Поэтому для колебаний, распространяющихся в направлении
[100], смещения атомов в монослое одинаковы, и задача может
быть сведена к одномерному случаю. На рис. 6.2 представлены
дисперсионные зависимости, рассчитанные с использованием
(6.1.3), для продольных и поперечных колебаний, распространяю-
щихся вдоль [100] направлений в кристаллах GaAs и AlAs. Пара-
метры модели определялись по совпадению результатов расчета с
экспериментальными данными в точках, отмеченных на рисунке
кружками. По горизонтальной оси отложены вещественная и мни-
мая части волнового вектора фонона в единицах
198
Гл. 6. Особенности фононного спектра в системах ...
Im? Re? Im?
Рис. 6.2. Дисперсионные зависимости
для колебаний, распространяющихся
вдоль [100] направлений в кристаллах
GaAs и Al As [1]. Сплошные линии -
продольные колебания, пунктир - по-
перечные
Согласно (6.1.2) величина
(Im?)1, обратная значению
мнимой части волнового век-
тора, характеризует длину, на
которой амплитуда колеба-
тельного возбуждения умень-
шится в е раз. Поэтому коле-
бательные возбуждения, у ко-
торых Im не могут рас-
пространяться по атомной
цепочке (кристаллу) на значи-
тельные расстояния. Так, на-
пример, продольные колеба-
тельные возбуждения, соответ-
ствующие диапазону частот
а> = (210-350) см-1, будут про-
никать в AlAs на глубину по-
рядка 6А, т. е. всего на два мо-
нослоя.
Рассмотрим колебания в од-
номерной СР, содержащей чере-
дующиеся слои бинарных соединений (рис. 6.3).
мх м2 мх м2 мх м2 мх м2 мх м2 мх м2
их и2 их и2 их и2 их и2 их и2 их и2
ф— о—®—О—®—О—®-—О—ф—О—ф-//-ф—о——о—®—о-®-*
-dx -2е -е 0 е 2е d2 Z
| GaAs | AlAs |
Рис. 6.3. Модель линейной цепочки атомов, используемая для расчета фононного
спектра в СР
При учете взаимодействия только между ближайшими соседя-
ми в упругом приближении уравнения движения атомов СР в пре-
делах каждого слоя могут быть записаны в виде ( 6.1.1). Однако с
учетом возможного отражения колебательных волн от границ сло-
ев решения уравнений движения следует искать в виде суперпози-
ции волн, распространяющихся вдоль и против направления оси z:
и
f/,(z) = A, exp(zaz) + В, exp(-Iaz)
Uj(z) = C, exp(zPz) + £>, exp(-zpz);
(6.1.5)
z = l,2; z = /e; I = 0,±l,±2,..„
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в полупроводниковых ... 199
здесь t/f (z) и t/,(z) - смещения атомов /-го сорта в слоях 1 и 2; а и
/7-волновые вектора для слоев 1 и 2, связанные с частотой колеба-
ний атомов соотношением (6.1.3).
В качестве первого граничного условия используем то обстоя-
тельство, что граничный атом с массой Л/2 одновременно принад-
лежит и слою 1, и слою 2. Таким образом,
t/2(O) = t/2(O) и O2(d2) = U2(d2). (6.1.6)
В качестве второго условия учтем непрерывность значений ме-
ханических напряжений при переходе через границу между слоя-
ми. Отсюда получим
К[Ц(Е)-{/.(-е)] = ВД(е) - Ц(-Е)]
и (6.1.7)
K[Ux(d2 + е)-Ц(</2E)] = K[Ul(d2 +£)-t7j(J2 -Б)].
Кроме того, учет периодичности СР приводит к соотношению
t/,(z + t/) = C/,(z)exp(/?J), (6.1.8)
где q- волновой вектор колебательных возбуждений СР, d
= dx+d2 - период СР; dt и d2- толщины слоев 1 и 2 соответст-
венно.
Заметим, что граничные условия (6.1.6) и (6.1.7), по существу,
являются дискретными аналогами условий типа (1.7.2).
Подставляя (6.1.5) в (6.1.6) и (6.1.7), придем к системе уравне-
ний, позволяющей рассчитать спектр колебаний СР. Для упроще-
ния расчетов можно учесть, что в рамках линейного приближения
для каждого слоя СР имеют место соотношения типа (6.1.4). Таким
образом, для слоев 1 имеем
= Uir = /ф + ехр(±/2ае)] t
1 U2r-\ (2К-М2(й2)
аналогично для слоев 2
“ U2r-1 (2К - М2(О2)
200 Гл. 6. Особенности фононного спектра в системах ...
С учетом сделанных обозначений, а также (6.1.8) система урав-
нений для расчета спектра колебаний СР примет вид
Г+е-,аеАу + - 6^СХ - 6_е,р£1\ = О,
r+e-,a^^Axe^d + r-e,a(dl+E}Bie“jd- 8+e‘P(d^^}Cx-8_e‘P^-E}Dx =0;
К sin(a£)H] - К sin(a£)B] - К sin(/te)C] + К sin(/te)£\ = 0,
Ksm(ae)e~tadl Axe,<ld - К sinCafje*^1 -
-Ksm(jte)eipilCx +Ksm(fi£)e~,pd2Dx =0.
(6.1.11)
Исключив из (6.1.11) коэффициенты А» получим
дисперсионное соотношение между волновым сектором q и угло-
вой частотой колебаний со для СР
cos(qd) = cos(cu/i)cos(PJ2)_0.5(F + l/F]sin(aJi)sin(Prf2). (6.1.12)
здесь F = ^zJ^hlg{a£}ctg^£)
(2К -Мча1}
Анализ выражения (6.1.12) показывает: что спектр частот СР
a>(q) является многозначной функцией q, что граница первой зо-
ны Бриллюэна СР расположена в точке Ч = (так как размеры
зоны Бриллюэна в этом случае определяются периодом СР d, а не
расстоянием е между соседними атомами, как в одноатомной ре-
шетке, или 2с- как в двухатомной решетке [2]) и что в спектре
частот появляются участки, которым не соответствуют вещест-
венные значения q (появляются запрещенные зоны или щели) и
которых не было в спектрах фононов материалов слоев, из которых
образована СР. Таким образом, наличие дополнительной транс-
ляционной симметрии с периодом d (помимо периодичности,
присущей материалам слоев, образующих СР) привело к появле-
нию разрешенных мини-зон. В результате спектр СР будет содер-
жать 2(л? + п?) ветвей (полагаем, что dx =2еп и <72 -2ew). Отметим
также, что выражение (6.1.12) по форме совпадает с результатами
известной модели Кронига-Пенни для анализа энергетического
спектра электронов в одномерной периодической цепочке прямо-
угольных потенциальных барьеров [3], что позволяет провести
анало! ию между формированием спектров электронов и фононов.
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в полупроводниковых ... 201
При F = 1 из (6.1.12) получа-
ем
cos(^J) = cos(aJ] + f3d2)
и
а
т. е. в этом случае волновой век-
тор q, характеризующий колеба-
ния с частотой со в СР, является
линейной комбинацией волновых
векторов аи₽, соответствующих
колебаниям с частотой со в мате-
риалах слоев, из которых состоит
СР. При этом весовые коэффици-
енты, определяющие вклад аир,
Рис. 6.4 Дисперсионные зависи-
мости для продольных колебаний
СР (GaAs^AlAs)^
зависят от отношения dy/d-^, т. е.
от соотношения толщин слоев, со-
ставляющих СР материалов.
Дисперсионные кривые, рас-
считанные по (6.1.12) для продольных волн, распространяющихся в
линейной СР (GaAs)5 (AlAs)4, показаны на рис. 6.4. На рис. 6.5
представлены аналогичные зависимости для СР (GaAs)]o(InAs)2 и
Рис 6 5 Дисперсионные зависимости СР (GaAs)w(InAs)2 и
(1пА v)10(Ga4s)2 [5]
202 Гл. 6. Особенности фононного спектра в системах ..,
(InAs)io(GaAs)2, а также изображено смещение атомов, соответст-
вующих продольным фононам различных типов. Для наглядности
амплитуда продольных смещений отложена перпендикулярно на-
правлению волнового вектора.
6.2. Свертка ветвей акустических фононов
Фононный спектр полупроводниковых СР интенсивно иссле-
довался как теоретически, так и экспериментально (соответствую-
щий обзор содержится, например, в [4]).
Остановимся на основных особенностях колебательного спек-
тра СР, проявляющихся в области частот, соответствующей часто-
там акустических колебаний в исходных материалах.
При строгом рассмотрении фононный спектр СР нельзя свести
к спектрам образующих СР материалов [5]. Тем не менее, сравни-
тельный анализ дисперсионных зависимостей объемных материа-
лов является весьма информативным для понимания механизмов
формирования фононного спектра СР. На рис. 6.6 изображены дис-
персионные зависимости, рассчитанные для колебаний продо-
льного типа в материалах GaAs, AlAs и InAs. По горизонтальной
оси отложены вещественная и мнимая части волнового вектора в
единицах гдее = а/4 и а- постоянная кристаллической ре-
шетки соответствующего материала. Вертикальными штриховыми
линиями на рисунке отмечены значения Im<7 , которым соответст-
вует глубина проникновения толщиной в один монослой, штрих-
Рис 6 6 Дисперсионные зависимо-
сти, рассчитанные для GaAs, AlAs
и InAs [51
пунктирными линиями - два моно-
слоя. Дисперсионные зависимости
были получены из решения задачи
о колебаниях линейной двухатом-
ной цепочки, нормировка осущест-
влялась по значениям частот про-
дольного оптического фонона с
Из рисунка видно, что в низко-
частотной области (область
акустических фононов) ветви фо-
нонов для различных материалов
перекрываются в широком ин-
тервале частот. Колебательные
возбуждения, принадлежащие
этому диапазону частот, могут
распространяться в обоих обра-
зующих СР материалах. Таким об-
6.2. Свертка ветвей акустических фононов
203
разом, в этом диапазоне частот фононный спектр СР соответ-
ствует делокализованным колебательным возбуждениям.
Этот вывод относится практически ко всему диапазону частот
акустических колебаний пары GaAs-AlAs, а для пары GaAs-InAs
акустические колебания будут делокализованными в диапазоне
частот от 0 до 150 см-1.
Рассматривая распространение колебаний в СР в рамках моде-
ли упругого континуума [1], дисперсионное соотношение можно
представить в виде
cos(^cf) = cos(co—)cos(co—) - 0.5(Fi + VZ )sin(co—)sin(co—),
Vj t>2 / rl V! t>2
(6.2.1)
здесь
p2u2
Р1>Р2’иьи2_ плотности и скорости звука для образующих СР ма-
териалов.
Это выражение значительно проще для анализа, чем (6.1.12),
однако может использоваться только для рассмотрения длинновол-
новых колебаний.
В пределе со и ^->0 со = ucpq. При этом из (6.2.1) получаем,
что
(6.2.2)
В случае F\ = 1 выражение (6.2.2) упрощается и
(6.2.3)
Именно этот случай характерен для СР на основе слоев GaAs-
AlAs, где F] всего на несколько процентов отличается от единицы.
Полагая F| = 1, из (6.2.1) получим
/ j\ / cfi
cos(ga) = cos(co— + co—),
u, u2
204 Гл. 6. Особенности фононного спектра в системах ...
Отсюда с учетом того, что колебания могут распространяться
по СР в обе стороны,
(6.2.4)
здесь /=0,1,2..Аналогичные соотношения при F = 1 получаются
из (6.1.12). При этом а = (o/uj, а 0 = со/и2.
Отметим, что выражение (6.2.4) осуществляет своеобразное
«сворачивание» зависимости (О = исрд, приводя ее к первой зоне
Бриллюэна СР. Отсюда возникло понятие «свертка» акустиче-
ских фононов (СВАФ). В результате «свертки» (проявления до-
полнительной трансляционной симметрии) акустические фононы
превращаются в оптические.
Анализ (6.2.1) при F\ «1 показывает, что наиболее значитель-
ные изменения спектра по сравнению со случаем Ft = 1 наблюдают-
ся около тех значений д, где согласно (6.2.4) имеется вырождение.
При этом в результате интерференции колебаний вырождение
снимается и появляются запрещенные участки спектра (щели) [6]
шириной
Д<у =
2(l-fi)
d Ucp
-djUj)
. (^1^2 +^2l>1) .
ДЛЯ q = 0, а ДЛЯ q = ±«-/d
Дй> =
где /=1,2,3... Отсюда видно, что ширина щели растет с увеличени-
ем различия произведения (ру) для слоев СР.
На рис. 6.7 представлен фрагмент дисперсионной зависимости
для СР (GaAs)^{AlAs\ в окрестности первой щели при 7 = 0, рас-
считанный с использованием (6.1.12). На этом же рисунке кружка-
ми показаны данные, полученные из экспериментов по комбинаци-
онному рассеянию света.
Наличие щелей в колебательных спектрах СР проявляется в се-
лективном отражении фононов. При этом максимальное отражение
будут испытывать фононы с длинами волн X = 2d (условие Брегга).
Фильтрующее действие СР GaAs I Al^Ga^As наблюдалось экспе-
риментально, и оно может быть использовано для создания фонон-
ного спектрометра [6]. Так, СР GaAs! Al^GamAs с периодом
d = 12.2 нм является фононным фильтром для частоты 2.2-10 1 Гц
6.3. Локализация фононов
205
с шириной линии 0.2 10нГц.
При этом, если поверхности
раздела идеальны, высокочас-
тотные фононы с длинами
волн порядка 10 нм могут
проходить без заметного ос-
лабления через сотни границ
раздела композиционных СР.
Выражение (6.2.1) доста-
точно хорошо описывает
спектр колебаний продольно-
го типа в СР GaAs-AlAs в об-
ласти частот 0-130 см“*. Имен-
но для этой области диспер-
сию делокализованных коле-
Рис. 6.7. Дисперсионная зависимость
для СР (GaAs)5(AlAs)4 в окрестности
первой щели при q — 0 [I]
бательных возбуждений можно получить довольно точно путем
свертки ветвей акустических фононов в пределах первой зоны
Бриллюэна СР с границей [5]. Анализ, проведенный в [7], по-
казал также, что в области свернутых акустических фононов дис-
персионные зависимости для такой СР практически не зависят от
ширины переходного слоя на гетерограницах. Оказалось, что влия-
ние неидеальности гетерограниц существенно только в центре и на
границе зоны Бриллюэна, причем размытие гетерограниц приводит
к уменьшению щелей в дисперсии.
Для того чтобы подчеркнуть характерные особенности фонон-
ного спектра СР понятие о «свертке» фононов обычно распростра-
няют на весь диапазон делокализованных колебаний. В случае СР
на основе слоев GaAs-AlAs это понятие оказывается применимо
практически ко всему диапазону частот акустических колебаний
пары GaAs-AlAs (рис.6.6), причем в результате СВАФ данный диа-
пазон разобьется на (и + т) ветвей. В случае же СР на основе слоев
GaAs-InAs представление о свертке акустических фононов исполь-
зуют до частот порядка 150 см; Следует отметить, что в этой СР в
диапазоне частот со ~ 220 ч- 250 см'1 имеет место делокализация оп-
тических фононов и представление о «свертке» (в данном случае о
свертке оптических фононов (СВОФ)) распространяют и на эту
область (рис. 6.6).
6.3. Локализация фононов
Анализ спектров (рис.6.6) показывает, что для пары GaAs-InAs
имеется интервал частот (примерно от 150 до 180 см"), где диспер-
сионная зависимость фононов InAs расположена в области мнимых
волновых векторов [5], т. е. колебательные возбуждения с такими
206 Гл. 6. Особенности фононного спектра в системах ...
частотами затухают в InAs. Оценки показывают, что для акустиче-
ского фонона с частотой ~160 см-1 глубина проникновения в InAs
составляет примерно два монослоя (~6А). Таким образом, для это-
го интервала частот в СР GaAs-InAs возможно образование лока-
лизованных акустических фононов (ЛАФ) в слоях GaAs (при ус-
ловии, что толщина InAs превышает два монослоя).
Локализация колебаний в слоях одного типа может наблюдать-
ся и в СР GaAs-AlAs. Согласно рис. 6.6 в такой СР может наблю-
даться локализация оптических мод колебаний (локализация
оптических фононов (ЛОФ)) в слоях GaAs (для а> ~ 220 + 295 см4)
и в слоях AlAs (для а> ~ 350 н- 405 см4 ).
Допустим, что частота колебаний со лежит в разрешенной зоне
дисперсионной зависимости слоя 1 и запрещенной зоне - слоя 2,
причем р = —+ /р. Подставив р в (6.1.12), получим выражение,
2е
определяющее дисперсионные зависимости в этом случае,
cos(9d) = (-1)"Ч co^adx)ch®d2) - 0.5
1
Л
sin(aGf])5/i(P<72) f,
(6.3.1)
здесь
(2K-M2a>2)t / -utzo ,
И = - ~ - ~2 j2 (&(«e)^(Pe).
(2K-M2(o 2)
(6.3.2)
Если сделать слои 2 широкими (d2 ->«>), то придем к случаю,
когда слой 1 толщиной d\ будет заключен между неограниченны-
ми слоями материала 2. При этом согласно (6.3.1) спектр колеба-
ний будет определяться выражением
0.5(ц- — ) = ctg(adi), (6.3.3)
П
которое по виду совпадает с уравнением (1.4.2) для определения
связанных состояний электрона в симметричной квантовой яме с
потенциальными стенками конечной высоты. Таким образом, как и
в случае электронов, приходим к квантованию спектра фононов. В
данном случае колебания оказываются локализованными в основ-
ном в пределах одного слоя, где образуются стоячие волны. При-
чем глубина проникновения колебаний в соседние слои, как прави-
ло, не превышает одного-двух монослоев (в отличие от электро-
нов фононы локализуются гораздо сильнее). Именно поэтому
обычно полагают, что локализованный в слое 1 с толщиной d\ on-
6.3. Локализация фононов
207
тический фонон с порядковым номером I имеет частоту, равную
частоте фонона объемного материала при значении волнового век-
тора а =----— [7] (8 - глубина проникновения фонона в слой 2,
(«1 +5)
принимаемая обычно равной ~ 1 монослою).
Если частоты колебаний в слое 1 соответствуют диапазону, для
которого волновой вектор в слое 2 становится мнимым, то есть
= выражение для спектра колебаний в слое 1 сохраняет вид
(6.3.3), однако при этом
Т] = ^(ое)с/Л(Ре). (6.3.4)
(2К-М2о2)
Анализ дисперсионных зависимостей, представленных на
рис. 6.6, показывает, что для СР на основе слоев GaAs-AlAs на-
блюдается сильная локализация оптических фононов, как в слоях
GaAs, так и в слоях AlAs. В результате дисперсионная зависимость
СР (GaAs)5(AlAs)4 (рис. 6.4) в этой области частот содержит девять
(п + т) бездисперсионных ветвей, пять (л) из которых соответст-
вуют колебаниям оптического типа, локализованным в слое GaAs,
и четыре (т) - колебаниям, локализованным в слое AlAs. При этом
в отличие от СВАФ частоты ЛОФ в данной СР могут значительно
изменяться в зависимости от толщины переходного слоя на гетеро-
границах [7].
В свою очередь, дисперсионная зависимость СР (InAs)l0(GaAs)2
(рис. 6.5) содержит только три бездисперсионные ветви, сильно
локализованные в слое GaAs, две из которых соответствуют коле-
баниям оптического типа (В2 - антисимметричное колебание и А\-
симметричное), а третье - акустического типа. Напротив, для дис-
персионной зависимости СР (GaAs)10(InAs)2 (рис. 6.5) характерно,
что все фононные ветви, включая ветви, описывающие колебания
на предельных оптических частотах, имеют конечный наклон, то
есть dca/dq^O. В данном случае даже для предельных оптических
частот, находящихся в области ЛОФ, условие сильной локализации
не выполняется, и оптический фонон частично проникает в сосед-
ние слои.
Особенностью СР (GaAs)^InAs), являются сильные механиче-
ские напряжения слоев, обусловленные рассогласованием парамет-
ров решеток GaAs (<3| = 5.65 А) и InAs (а2 = 6.04 А) на уровне 7 %,
приводящие к сближению частот оптических фононов. На рис.6.6
штриховыми линиями обозначены ветви оптических фононов рас-
тянутого GaAs (кривая I) и сжатого InAs (кривая II). Видно, что
208
Гп. 6. Особенности фононного спектра в системах
сближение ветвей оптических фононов приводит к перераспреде-
лению областей СВОФ и ЛОФ по шкале частот, а также меняет ус-
ловия локализации фононов в слое GaAs.
6.4. Интерфейсные фононы
Рассмотрим явления, связанные с распространением колебаний
вдоль границы раздела между двумя средами с различными ди-
электрическими постоянными Ej и е2 (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Границы раздела двух материалов с
разными диэлектрическими постоянными
Пусть слой 1 занимает
верхнюю полуплоскость, а
слой 2 - нижнюю, и в мате-
риалах слоев присутствует
ионный тип связи.
Распространение упру-
гих колебаний в таких ма-
териалах будет создавать
поляризацию Р и электри-
ческое поле Е, изменяю-
щиеся периодически во
времени и в пространстве
по тому же закону, что и
смещения атомов. Таким образом, в кристалле возникает электро-
магнитное поле, связанное с упругими волнами.
Для изотропного материала в рамках «диэлектрической конти-
нуальной модели» [1], согласно уравнениям Максвелла,
divD = divEQEs(-grad<&) = 0
(6.4.1)
здесь D - электрическая индукция; Ф - потенциал.
Таким образом, электрический потенциал должен удовлетво-
рять уравнению
с5ДФ = 0.
(6.4.2)
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты в по-
лярных кристаллах может быть представлена в виде
£5(6?) — £оэ| 1
^LO ^ТО
С02о — О)2 -1й)Г
(6.4.3)
здесь и озто - частоты длинноволновых (<? = ()) продольных и
поперечных оптических колебаний, Г - коэффициент затухания;
ею- высокочастотная диэлектрическая проницаемость.
6 4. Интерфейсные фононы
209
В случае отсутствия затухания колебаний из (6.4.3) имеем
2 2 А
^LQ-^
(6.4.4)
При этом частоты поперечных и продольных оптических фо-
нонов с g - 0 являются нулями и полюсами диэлектрической
функции Ef(co).
Зависимость (6.4.4) схема-
тически изображена на рис. 6.9.
Видно, что в соответствии с
(6.4.2) в полярных кристаллах
возможно существование элек-
трических колебаний с
® = cdlo(.£s = 0). Другой тип
решения (6.4.2) для es * 0 в
случае изотропной модели
можно представить в виде
<D(x,z) = O(z)exp[/(g7/x- cor)],
(6.4.5)
Рис 6 9. Зависимость диэлектрической
проницаемости от частоты в полярных
кристаллах
здесь qu - волновой вектор фонона в направлении, параллельном
границе раздела, х- произвольное направление, параллельное гра-
нице раздела.
Подставляя (6.4.5) в (6.4.1), придем к уравнению
2
^-^-Ф(г)^=0, (6.4.6)
dz
решение которого имеет вид
<D(z) =
^e~4l‘z
O<2>e9"z
для z > 0
для z < 0.
(6.4.7)
Таким образом,
Ф(х,г) = Ф^е±9//‘ exp[/(gwx-Д*)], (6.4.8)
здесь «—» - для z > 0, «+» - для z < 0.
Согласно (6.4.8) данный тип колебаний оказывается локализо-
ванным около границы раздела.
210 Гл. 6, Особенности фононного спектра в системах ...
Такие колебательные моды могут распространяться вдоль
границ раздела, экспоненциально затухая в контактирующих
средах. Следует отметить, что глубина проникновения колеба-
тельных возбуждений в контактирующие среды определяется
волновым вектором qa (т. е. длиной волны колебаний Л =—).
Чп
При этом короткие волны будут затухать быстрее, чем длин-
ные.
Используя условия непрерывности Ех =----и Dz на границе
дх
раздела, получим, что =Фр2\ то есть амплитуда колебаний по-
тенциала в слоях по обе стороны границы раздела будет одинако-
вой, и что интерфейсные колебания могут возникать, если
Es _ Es •
(6.4.9)
Анализируя зависимость диэлектрической проницаемости от
частоты (6.4.4), замечаем, что условие (6.4.9) может выполняться
как минимум в двух случаях: а) на границе раздела полярный кри-
сталл-вакуум (е5 вакуума =1); б) на границе раздела двух поляр-
ных кристаллов.
На границе раздела полярный кристалл-вакуум (6.4.9) прини-
мает вид
£S =-1.
Этому условию будет удовлетворять волна с частотой колеба-
ний a)TO<6)<<oLO (см. рис. 6.10). Таким образом, вдоль границы
полярный кристалл-вакуум возможно распространение бегущей
волны (возможно существование поверхностного фонона).
Для анализа особенностей распространения бегущих волн
вдоль границы раздела двух полярных кристаллов необходимо со-
Рис 610. Зависимость диэлектриче-
ской проницаемости от частоты
поставить зависимости е$(<о)
для контактирующих материа-
лов. На рис. 6.11 представлены
зависимости е$(со) для GaAs и
AlAs. Согласно рис. 6.11 усло-
вие (6.4.9) в данном случае бу-
дет удовлетворяться для двух
мод колебаний с частотами (Оур
и (Оур. Таким образом, вдоль
гетерограницы GaAs-AlAs воз-
можно распространение двух
6.4. Интерфейсные фононы
211
Рис. 6.11. Зависимости £s(co) для GaAs и AlAs
типов колебаний (т. е. возможно существование двух интерфейс-
ных фононов).
Аналогично удается рассмотреть распространение колебаний
вдоль границы раздела в многослойных структурах и СР. При этом,
если qud »1, то колебания, распространяющиеся вдоль соседних
границ раздела, будут слабо взаимодействовать друг с другом, и в
рамках диэлектрической континуальной модели параметры интер-
фейсных фононов должны удовлетворять условию (6.4.9).
Если же qnd «I (длинноволновые колебания и тонкие слои),
то в рамках данной модели СР можно рассматривать как однород-
ный анизотропный кристалл [1]. При этом параллельно границе
раздела могут распространяться продольные моды (LO), для кото-
рых
=-e^\et))d2
и поперечные моды (ТО), для которых
e^((o)rf2 =-E(s2)(co)d,
(6.4.10 а)
(6.4.10 6)
Зависимости частот интерфейсных фононов от толщины слоев
AlAs для СР GaAs-AlAs представлены на рис. 6.12. Как видно из
рисунка, в данном случае наблюдается сильная зависимость
частот интерфейсных фононов от соотношения толщин сло-
ев, образующих СР материалов.
212
Гл. 6. Особенности фононного спектра в системах ...
Рис. 6.12. Зависимости частот
интерфейсных фононов от
толщины слоев AlAs для СР
GaAs-AlAs [1]
Такое поведение легко объясня-
ется зависимостями е^(сп), представ-
ленными на рис. 6.11. Отметим так-
же, что для СР с большим отношени-
ем толщин контактирующих слоев в
соответствии с (6.4.10), частоты ин-
терфейсных фононов оказываются
близки к частотам продольных и по-
перечных оптических колебаний в
объемном кристалле, соответствую-
щем материалу одного из слоев, об-
разующих СР.
Заканчивая рассмотрение особен-
ностей фононного спектра в систе-
мах пониженной размерности, необ-
ходимо отметить, что представлен-
ные модели являются достаточно уп-
рощенными и описывают реальную
картину лишь качественно. При ана-
лизе реальных систем обычно допол-
нительно необходимо учитывать: взаимодействие не только с бли-
жайшими соседями, трехмерный характер явления, а в ряде систем
еще и пьезоэлектрические эффекты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
i. Colvard С.,Gant Т.А., Klein M.V. et al. Folded acoustic and quantized optic
phonons in (GaAl)As superlattics //Phys.Rev. B. - 1985. - V. 31, № 4.
P. 2080-2091.
2. БлейкморДж. Физика твердого тела. - М.:Мир, 1998. -608 с.
3. Зеегер К. Физика полупроводников. - М.: Мир, 1977. - 615 с.
Q.Jusserand В., Gardona М. In: Light Scattering in Solids V/ Ed. M. Gardona
and Guntherodt. Springer. - Heidelberg, 1989. - P. 49.
Ъ.Гайслер В.А., Говоров A.O., Курочкина T.B и др. //ЖЭТФ- 1990- Т. 98,
вып.З.-С. 1081-1092.
6. Бузанева Е.В. Микроструктуры интегральной электроники. - М., 1990
293 с.
7.Гайслер В.А., Таннэ Д.А., МашеговНТ. и др. // ФТТ.- 1996 - Т. 38, № 7. -
С.2242-2252.
ГЛАВА 7
ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
7.1. Стационарная дрейфовая скорость
Рис. 7.1. Движение электрона в электриче-
ском поле:
а - в к- пространстве; б - в координатном про-
странстве; в - наклон энергетических зон
Одним из важнейших факторов, определяющих быстродейст-
вие полупроводниковых приборов, является дрейфовая скорость
носителей заряда. Прежде чем описывать процесс дрейфа электро-
на в электрическом поле, попытаемся представить феноменологи-
чески это движение.
При приложении электрического поля F(x) электрон начинает
непрерывно ускоряться в направлении поля. Если кристалл идеален
(отсутствуют дефекты), то под действием силы F значение квази-
импульса электрона кх, будет расти, пока не достигнет кх = л/а
(точка А рис. 7.1, а). Далее значение к уже окажется за пределами
первой зоны Брюллюэна, что
равносильно появлению
электрона в точке А' с
кх=-я/а. Не вдаваясь в
подробные объяснения, отме-
тим, что по мере приближе-
ния к значению кх = л/а,
эффективная масса электрона
становится отрицательной.
Это означает, что в коор-
динатном пространстве
(рис. 7.1, б) электрон, выходя
из точки О, сначала ускоря-
ется, затем замедляется при
приближении к точке А и, на-
конец, снова начинает уско-
ряться, но уже в обратном
направлении (двигаясь к точ-
ке В), хотя направление и ве-
личина внешней силы сохра-
няются неизменными. При
кх= 0 электрон снова окажет-
214
Гл. 7. Транспортные явления
ся в состоянии покоя. Таким образом, под влиянием постоянного
внешнего поля электрон должен в пространстве Е(к) совершать
скачкообразное движение вдоль оси кх около начала координат в
схеме приведенных зон, двигаться вверх и вниз по периодической
кривой ОАВС в схеме повторяющихся зон и колебаться на ограни-
ченном отрезке оси х в координатном пространстве.
Однако хорошо известно, что это не соответствует реальному
случаю и поведение электрона в реальном кристалле совсем дру-
гое. Это различие обусловлено наличием даже в самых совершен-
ных кристаллах примесей и различных дефектов, к числу которых
можно отнести и колебания решётки.
Дело в том, что в обычных условиях за время, необходимое
электрону для значительного возрастания энергии под действием
электрического поля, он успевает много раз столкнуться с различ-
ными дефектами (нейтральные и ионизированные примеси, аку-
стические и оптические колебания решетки).
Так как масса ионов примесей очень велика по сравнению с
массой электрона, то соударение между ними носит упругий харак-
тер. Электрон при этом практически не меняет своей энергии. Из-
меняется только направление его движения. Аналогичный характер
имеет и рассеяние на акустических колебаниях решетки. В этом
случае упругость соударений обусловлена большим различием в
энергиях “партнеров”. Обычно энергия электронов на порядок пре-
вышает энергию акустического фонона «0.1 коТ, а Еэл=3/2
к0Т). Следовательно, при взаимодействии с перечисленными де-
фектами волновой вектор электрона к, как правило, изменяется
только по направлению, оставаясь на поверхности равной энергии
в к-пространстве.
Большой вклад в рассеяние может дать рассеяние на оптиче-
ских фононах. Это обусловлено близостью по величине энергии
электрона (E^g- 0.025 эВ) и энергии оптического фонона
(йй>о «0.036-0.037эВ), что значительно повышает вероятность не-
упругого рассеяния по сравнению с другими механизмами. Понят-
но, что решающее значение этого фактора проявится при взаимо-
действии электронов с сильным электрическим полем, когда может
произойти увеличение энергии электрона.
Таким образом, движение электрона в кристалле оказывается
аналогичным движению молекулы в газе. Двигаясь в отсутствие
внешних полей хаотично, электрон обладает при этом определён-
ной длиной свободного пробега между двумя последовательными
столкновениями. Если же прикладывается внешнее поле, то на это
хаотическое движение накладывается направленный дрейф в ре-
альном пространстве. Естественно, что действительная длина пути.
7.1. Стационарная дрейфовая скорость 215
пройденная электроном, оказывается значительно больше пути
дрейфа.
Чтобы найти среднюю дрейфовую скорость в поле F, необхо-
димо найти функцию распределения электронов по импульсам, ко-
ординате и времени - например, путём решения кине-
тического уравнения Больцмана. Хорошо известно, что аналитиче-
ское решение этого уравнения возможно только для некоторых
специальных случаев. Прежде всего, это случай, когда неравновес-
ная функция распределения в электрическом поле отличается от
равновесной малым приращением. Уравнение Больцмана упроща-
ется также в стационарном случае для однородного по объёму рас-
пределения электронов, когда исчезают производные по времени и
координате. Часто для решения уравнения Больцмана используют
методы последовательного приближения (метод прямой итерации)
или непрямой метод Монте-Карло моделирования движения элек-
тронов в k,r,t - пространстве (импульс, координата, время).
Найденную из решения уравнения Больцмана функцию рас-
пределения используют для нахождения макроскопических пара-
метров полупроводника: тока электронов, их средней энергии и
средней по ансамблю электронов дрейфовой скорости Уй в поле F.
Наиболее употребительным на практике является приближе-
ние, при котором так называемый столкновительный член уравне-
ния Больцмана (столкновительный интеграл) удаётся записать с
использованием понятия времени релаксации т(к). Смысл этого
параметра легко понять при рассмотрении следующего простого
выражения:
pH (7.1.1)
\ /столк 7(^-)
где г(£) - время релаксации - это время, в течение которого раз-
ность между неравновесной и равновесной функциями распределе-
ния после выключения внешнего воздействия (поля) уменьшается в
е (~ 2,73) раз.
Обычно приближение времени релаксации является обоснован-
ным, если процессы рассеяния либо приводят к случайному рас-
пределению скоростей (вероятность перехода от Ко к - V или к +V
равна), либо изменение энергии при столкновении невелико. Для
качественной и наиболее наглядной оценки изменения дрейфовой
скорости и энергии электронов в однородно легированном полу-
проводнике в сильных электрических полях применяются уравне-
ния баланса усредненных импульса и энергии электрона Е
<фя*(Е)М = m*(E)Vd .
dt 4 тр(Е)
216
Гл. 7. Транспортные явления
^ = qFVd-(Е-Е0)/ге(Е), (7.1.3)
at
где Ео = ~ средняя тепловая энергия в отсутствие внешнего
поля F; тр(Е) и те(Е) - времена релаксации по импульсу и по энер-
гии соответственно.
В условиях стационарности, а именно их мы ввели в начале
рассмотрения, можно записать
d(m*Vd)/dt = dE/dt = 0. (7.1.4)
Иначе говоря, мы считаем, что в течение рассматриваемого
промежутка времени энергия электрона и импульс неизменны. Это
дает возможность получить из уравнений баланса выражения для
времени релаксации по импульсу и по энергии в следующем виде:
Гр(Е$) = тУ<к !{qFy, }
rE(Es) = (E5 -EoM^ds).
здесь индекс j означает стационарное значение.
Именно такими уравнениями в основном и пользуются при
оценке максимальных дрейфовых скоростей и при описании дина-
мики их изменений во времени.
Эти оценки обычно сравниваются с результатами компьютер-
ных расчетов методом Монте-Карло, чему посвящено огромное ко-
личество работ. Заметим, что ЭВМ-эксперименты обычно легче и
дешевле реальных.
Известно, что время релаксации по импульсу, как правило,
много короче времени релаксации по энергии, так как упругие
столкновения до растрачивания накопленной в электрическом поле
энергии могут произойти неоднократно. Это означает, что средняя
частота столкновений носителей заряда с центрами рассеяния в
кристалле, а следовательно, и дрейфовая скорость, также определя-
ется величиной времени релаксации по импульсу
<71-6)
т * (Е)
<7гР(Е)
где ц = - - - - - подвижность носителей заряда.
ди*(Е)
Из (7.1.6) видно, что зависимость подвижности от напряженно-
сти электрического поля определяется зависимостью гр(Е) через
среднюю энергию электрона, зависящую от внешнего поля.
Экспериментальные ВАХ полупроводников позволяют опреде-
лить ///затем VA и, наконец, - т. Во всех полупроводниках дрсифо-
7,1. Стационарная дрейфовая скорость 217
вая скорость растет с ростом электрического поля только до неко-
торых максимальных значений, а затем либо насыщается (крем-
ний - рис. 7.2, а), либо уменьшается (ЛщВ¥ - рис. 7.2,б).
Как мы увидим далее, зависимость дрейфовой скорости от поля
определяется не только механизмами рассеяния, но и структурой
энергетических зон.
В валентных или одноатомных полупроводниках, какими яв-
ляются Ge и Si, основной причиной ограничения темпа роста дрей-
фовой скорости является рассеяние на оптических фононах.
Как уже было сказано выше, в отличие от почти упругого рас-
сеяния на акустических фононах, рассеяние на оптических фононах
является резко неупругим и более того вероятность рассеяния на
оптических фононах на порядок выше вероятности рассеяния на
акустических фононах.
Как только энергия электрона становится выше энергии опти-
ческого фонона, частота рассеяния резко растет, а значит, время
релаксации резко падает. Частота рассеяния представляет собой
вероятность рассеяния электрона с волновым вектором к в едини-
цу времени.
Это сугубо неупругое рассеяние на оптических фононах огра-
ничивает рост энергии электронов и приводит к насыщению дрей-
фовой скорости.
Иначе говоря, резкое увеличение частоты столкновений элек-
тронов при энергиях выше энергий оптических фононов и увеличе-
ние вероятности взаимодействия электронов с этими фононами
компенсирует рост тр при дальнейшем увеличении электрического
поля.
10’ см/с
0 5 10 15 20 Е. кВ/см
Рис 7.2. Экспериментальные зависимости скорости электронов (1 -4) [1] и дырок
(5) (2] в кремнии от напряженности поля (а); зависимость дрейфовой скорости
электронов от напряжённости электрического поля для GaAs (1-2) [3,4] и UGaAs
(3) [5] (б)
218
Гл. 7. Транспортные явления
Рис 7.3 Зависимости времён релаксации
импульса и энергии от разницы между
средней и тепловой энергией в Si и GaAs
при Г= 296 К [6]
выше ми-
Но как видно из рис. 7.3,
время релаксации импульса
и энергии, а следовательно, и
подвижность электронов для
GaAs начинают падать с
дальнейшим увеличением их
энергии. Это сильное паде-
ние обусловлено еще двумя
другими дополняющими друг
друга явлениями (механиз-
мами рассеяния): эффектом
убегания и междолинным
перебросом.
Для описания добавоч-
ных механизмов рассеяния
необходимо обратиться к
энергетической диаграмме
GaAs (рис. 7.4).
Из энергетической диа-
граммы видно, что энергии
минимумов L- и X- долин
располагаются
нимума /"-долины. Энергия минимума /-долины относительно
минимума /"-долины составляет £/х“О,ЗэВ, а А"-долины -
EfX «0,47 эВ.
Междолинный переброс электрона из нижней /"-долины в
верхние /- и X- долины происходит, как только энергия электрона
в /"-долине достигает значений, близких к минимумам верхних до-
лин. Как видно из энергетической диаграммы, центральная
/"-долина имеет большую кривизну по сравнению с боковыми L-
и Аг-долинами. Это означает, что в /"-долине эффективная масса
меньше, а подвижность больше, чем в / и X.
Но в то же время, вследствие большей эффективной массы,
плотность состояний в боковых долинах много выше, чем в цен-
тральных •
_ (2ят*к0ТУ/2
с ( h2 J
(7.1.7)
По этой причине, если электроны в Г-долине приобретают
энергию вблизи или выше энергии боковых минимумов, то вероят-
ность найти его в боковой долине становится значительно выше,
чем в центральной /"-долине.
Это означает высокую вероятность междолинного перехода.
Междолинный переход происходит с участием оптических и аку-
7.1. Стационарная дрейфовая скорость
219
стических фононов с большим
волновым числом, соответст-
вующим разнице волновых чи-
сел между центральной и боко-
выми долинами.
Возможен и обратный пе-
реход из боковых в централь-
ную долину. Электроны,
совершившие такой переход
(перешедшие в Г-долину), те-
ряют в величине средней на-
правленной скорости, т. е. их
дрейфовая скорость в момент
перехода в среднем стремится
к нулю. Этот эффект внешне
очень похож на воздействие
Рис. 7.4. Энергетическая диаграмма (за-
висимость Е(к)) для GaAs
неупругого рассеяния на оптических фононах в Si. Наличие в ан-
самбле электронов в /"-долине определенного количества электро-
нов, которые претерпели обратный переброс, приводит к
ускорению насыщения скорости при меньших энергиях, чем те, ко-
торые характерны для средней дрейфовой скорости электронов в
/"-долине.
Теперь вернемся ко второму фактору увеличения рассеяния -
“убеганию” электронов. Вообще говоря, это “не прямой” фактор.
Он как бы облегчает условия возникновения междолинного рас-
сеяния.
Обратим внимание, что на определенный промежуток времени
приходится обращаться к рассмотрению времени релаксации по
энергии т£, а не тр,как это было до сих пор. Из рис. 7.3, где по го-
ризонтальной оси отложена разность между энергией электрона и
начальной (тепловой) энергией, видно, что до определенного пре-
дела время релаксации по энергии растет с энергией. Это означает,
что, несмотря на происходящие акты рассеяния и падения тр и С(1,
до определенного значения энергии (следовательно, и поля - F),
скорость приобретения электронами энергии от внешнего поля
оказывается больше, чем скорость ее потерь. За один акт рассеяния
не все электроны, даже встретившись с оптическим фононом, те-
ряют всю накопленную от поля энергию.
До столкновения Е =Е0 + qFl. При столкновении электрон теря-
ет (рассеивает) часть своей энергии Е РАСС< Ео + qFl. Тогда, после
столкновения новая (стартовая) энергия электрона будет равна Е =
Ей +ДЕ, где &E=E0+qFl -Е^
Следовательно, стартовая позиция этого электрона перед сле-
дующим накоплением энергии от поля будет уже выше, чем £().
220
Гл. 7. Транспортные явления
Иначе говоря, для части электронов избыточная энергия из-за
взаимодействия с полем начинает быстро расти, увеличивая дисба-
ланс между приобретением и рассеянием энергии в сторону приоб-
ретения.
В результате при определенных значениях электрического по-
ля скорость приобретения энергии от внешнего поля оказывается
большей, чем скорость ее потерь.
Таким образом, можно сказать, что электрон как бы убегает
вперед по шкале энергий, пока не достигнет условий включения
какого-либо механизма, сдерживающего этот рост энергии. Имен-
но таким механизмом при энергиях электронов выше 0,3 эВ явля-
ется междолинное рассеяние.
На рис. 7.5 показана зависимость частоты рассеивающих столк-
новений в GaAs от энергии электрона. Эта величина часто исполь-
зуется различными авторами для оценки относительной роли
различных механизмов рассеяния в процессах переноса. Она пред-
ставляет собой вероятность рассеяния электрона с волновым век-
тором к в единицу времени и имеет вид
Я(Л)= jk(MW*-
На рисунке ясно виден скачок частоты соударений при энерги-
ях, соответствующих энергии оптического фонона, а затем еще бо-
лее мощный скачок частоты соударений при энергиях, соответ-
ствующих междолинному рассеянию.
Происходит очень интересное явление. Процесс “убегания” как
бы поставляет электроны, обладавшие изначально относительно
малой энергией в область энергий междолинного рассеяния. Это
Рис. 7.5. Зависимость темпа рассеяния от
энергии электрона. Ео - энергия оптиче-
ского фонона. Eq. - энергия минимума
Ё-долины, Т= 293 К [6]
означает, что к количеству
электронов, достигших энер-
гии междолинного рассея-
ния, благодаря вероятност-
ным процессам (не было
рассеивающих столкновений),
прибавляются электроны с
изначально малой (относи-
тельно энергии междолинно-
го переброса) энергией, т. е.
получается, что электроны с
малой энергией, относитель-
но междолинного переброса,
в результате эффекта убе-
гания испытывают междо-
линное рассеяние.
7.1. Стационарная дрейфовая скорость
221
Из-за этого эффекта насыщение дрейфовой скорости в Г-долине
наступает не при скоростях, соответствующих междолинной энер-
гии, а на порядок меньше.
Необходимо отметить, что “убегание” - это процесс, который
зависит не только от напряженности, но и от времени действия по-
ля. Поэтому этот процесс может при определенных условиях за-
хватить электроны с очень маленькой энергией, даже близкой к
нулю. Но эффект, безусловно, критичен к величине поля, взаимо-
действующего с электроном.
Убегают электроны, попавшие в хвост функции распределения,
где их энергия больше энергии убегания. Эффект убегания можно
охарактеризовать средним временем убегания туб, которое, естест-
венно, зависит от величины электрического поля. С его помощью
можно подсчитать число электронов, убежавших в верхнюю доли-
ну из-за эффекта убегания [8]
Пуб/Пй =ехр[-(*-'0)]/(*> ~го), (7.1.8)
где Zo - время, за которое электрон приобретает энергию 0,3 эВ без
рассеяния.
Отсюда видно, что наличие электронов с малой энергией, на-
пример, в канале транзистора, увеличивает количество убегающих
электронов, уменьшает дрейфовую скорость и, следовательно, ог-
раничивает возможное быстродействие транзистора, если не при-
нимать специальных мер.
Основная масса электронов, претерпевших переброс в верхние
долины, опять же вследствие высокой плотности состояний в них,
остается в этих долинах (рис. 7.6)
Из рисунка видно,
что с ростом электриче-
ского поля сначала за-
полняется £-долина, а
затем А"-долина. Междо-
линный переброс ведет к
снижению средней дрей-
фовой скорости электро-
нов, так как подвиж-
ность и дрейфовая ско-
рость электронов верх-
них долин меньше, чем
электронов Г-долины.
С учётом приведенно-
го распределения, можно
Pul 7.6 Зависимость распределения горячих
гчектронов в I - и Х-долинах гоны провелимо-
еги Ga4s oi электрическою по [1]
222
Гл. 7. Транспортные явления
оценить среднюю скорость электронов в канале транзистора при
заданном значении электрического поля
Vd = Л"Г/ + y<lL ^nL/ + Vdx hnx/ ,
/«о № /«о /ло
(7-1.9)
где Длг + Дид + tsnx = rto - сумма долевых вкладов электронов в
разных долинах.
В результате перезаселения долин для GaAs и некоторых дру-
гих полупроводников дальнейший рост поля с определённого мо-
мента не увеличивает, а уменьшает величину дрейфовой скорости.
Проведённые на основании вышеизложенного расчёты показы-
вают, что стационарная максимальная дрейфовая скорость в полу-
проводнике не может превышать величины (1-3) -107см/с при
7=300 К. Это. казалось бы. накладывает принципиальное ограниче-
ние на быстродействие приборов. Однако в динамическом режиме
и коротких образцах можно получить дальнейшее увеличение
дрейфовой скорости электронов в полупроводниках.
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости
при воздействии электрического поля
Рассмотрим теперь, что произойдет с величиной дрейфовой
скорости (имеется в виду максимальная дрейфовая скорость) в ди-
намическом режиме. Иначе говоря, будем прикладывать к полу-
проводнику электрическое поле в виде импульса с крутым
передним фронтом. Задача заключается в том, чтобы отрезок вре-
мени, на котором действует поле, был короче времени между
столкновениями -тР. Следовательно, на протяжении этого отрезка
времени электрон будет бесстолкновительно разгоняться до вели-
чины дрейфовой скорости, определяемой обычной формулой для
Vd (J-1 -6), где только время релаксации тР будет заменено на отре-
зок времени t - длительность импульса приложенного напряжения
(7-2.1)
где t <тР.
Исходя из этих простых рассуждений, можно ожидать, что в
достаточно сильных электрических полях скорость Vd достигнет
величин значительно больших, чем в случае воздействия более
протяженного во времени стационарного электрического поля, ко-
гда включаются механизмы рассеяния, уменьшающие скорость.
Для определения оптимальной протяженности во времени при-
кладываемого к образцу (каналу транзистора) импульса поля про-
водят исследования, используя ступеньки напряжения с идеально
резким фронтом.
1.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости
223
На рис. 7.7 приведены рассчи-
танные по методу Монте-Карло за-
висимости дрейфовой скорости в Si
для температуры 300 и 77 К; на
вставке изображена зависимость на-
пряженности электрического поля
(Е=10 кВ/см) от времени. Кроме того,
показано изменение средней энергии
электронов. Видно, что изменение
дрейфовой скорости во времени для
таких условий характеризуется
начальным всплеском, который
(overshoot) достигает максимума, а
затем быстро спадает до стационар-
ного значения.
Весь процесс разгона и затуха-
ния, как видно, происходит за вре-
мя 0,54-1 пикасекунды.
Электроны сначала разгоняют-
ся до скорости 2,2 107 см/с, а затем
(~ через тР= 0,1 пс при 77 К), достигнув энергии оптических фоно-
нов, начинают активно рассеиваться на них и теряют накопленный
добавок к стационарной скорости. Именно за это время, примерно
равное 0,1 пикасекунды, дрейфовая скорость Vj спадает до стацио-
нарного значения, т. е. в сумме, всего за 0,2 - 0,4 пс, дрейфовая
Рис. 7.7. Дрейфовая скорость и
средняя энергия электронов в Si
от времени при воздействии пря-
моугольного импульса электриче-
ского поля. Кривые 1 и 3 для
Т= 293 К, 2 - Т= 77 К [4,7]
скорость достигает стационарного значения, характерного для
сильного электрического поля Е=10 кВ/см (Vd =
2"
=1300—10 • 103В/см = 1.3 • 107см/с).
Вс
Из рисунка также видно, что средняя энергия электрона при
этом плавно растет во времени, насыщаясь практически в момент
достижения стационарного значения Vd.
В арсениде галлия на динамике изменения дрейфовой скорости
на коротких отрезках времени существенно сказывается эффект
междолинного рассеяния (переброса в вышележащие долины). На
рис. 7.8 можно проследить в динамике за этим процессом.
Видно, что энергия электронов в /"-долине после выключения
электрического поля довольно долго сохраняет величину выше
стационарной, а скорость электронов падает очень резко. Это про-
исходит вследствие того, что электроны в /"-долине из-за столкно-
вений быстро теряют возможность бесстолкновительного движе-
ния (хотя энергия велика), а большое количество электронов в бо-
ковых долинах, хотя и обладают энергией выше стационарной,
имеют гораздо более низкую скорость (маленькая подвижность).
224
Гл. 7. Транспортные явления
Рис. 7.8. Воздействие на энергию и ско-
рость электронов импульса электриче-
ского поля длительностью 6 пс и
напряжённостью:
1 - 5 кВ/см, 2-10 кВ/см. и - Vd - дрейфовая
скорость всех электронов , Vr - в Г-долине,
6 энергия электронов в Г-долине (штрихи) и
относительное число электронов в боковых
долинах (сплошная линия) [8]
Из этого же рисунка хорошо
видно, что повышение элек-
трического поля с 5 до 10
кВ/см, хотя и увеличивает
максимальную величину ско-
рости, но зато сам эффект
всплеска (так как Ег становит-
ся больше Аг'х(с)) длится гораз-
до меньше из-за междолинного
переброса.
После выключения элек-
трического поля некоторое
время электроны двигаются по
инерции или, как еще говорят,
“баллистически”. Затем мно-
гочисленные столкновения бы-
стро прекращают этот инерци-
онный полет электронов. При-
чем такой спад идет намного
быстрее, чем процесс остыва-
ния электронов и их возвра-
щения к равновесному рас-
пределению между долинами.
Именно задержка последних двух процессов при резком
уменьшении внешнего поля даже на небольшую величину приво-
дит к сильному уменьшению дрейфовой скорости. Этот эффект на-
зывается “обратный всплеск скорости” - в англоязычной
литературе - “undreshoot" или эффект Риса [9] по имени ученого,
впервые объяснившего таким образом это явление.
Подводя итоги всего сказанного в этом разделе, можно сказать,
что эффект всплеска скорости (overshoot) во времени позволяет по-
лучить максимальные дрейфовые скорости в несколько раз больше
их стационарных значений.
Величины времен релаксации, получаемые при этом, тр®10-13
с те»10’12с позволяют предполагать, что возможности использова-
ния исследуемых полупроводниковых материалов сохраняются до
100 4-500 ГГц.
Всплеск дрейфовой скорости в коротких структурах
Итак, мы показали, что на коротких отрезках времени можно
получить значительное (в разы!) увеличение дрейфовой скорости.
Если приложить к каналу транзистора соответствующее элек-
трическое поле так, чтобы электроны пролетали активную область
за очень короткий промежуток времени, то средняя дрейфовая ско-
рость в этой области окажется значительно выше стационарной.
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости 225
Теперь проведем элементарную оценку. Если скорость элек-
трона будет на уровне 107см/с, то он пролетит область 105см
(0,1 мкм) за 10"12 секунды. Это означает, что ожидаемый всплеск
дрейфовой скорости во времени будет достаточно длительным, т. е.
будет существовать во все время пролета. Иначе говоря, этот
всплеск скорости во времени приведет к всплеску скорости в
субмикронных структурах по пространственной координате на всю
толщину структуры. Если перевести это рассуждение в термины,
описывающие работу транзистора, то всплеск дрейфовой скорос-
ти в пространстве обеспечит повышение быстродействия и
уменьшение задержки сигнала в транзисторе.
Следует осознать, что наши рассуждения о всплеске скорости
во времени, в основном, основывались на изменении параметров
полупроводников в условиях воздействия “теоретического импуль-
са” со сверхрезким фронтом (субпикосекундным!), что практиче-
ски почти нереально. В то же время осуществление всплеска
скорости в пространстве - явление, реально реализуемое в полу-
проводниковых структурах. И, что самое важное, пространствен-
ный всплеск скорости носит стационарный характер.
Необходимый скачок (резкое увеличение электрического поля)
реализуется за счет заранее заданной неоднородности полупровод-
никовой структуры по координате. Когда электроны попадают в
область резкого изменения электрического поля, они испытывают
резкое изменение скорости или, иначе говоря, эффект всплеска.
Такой неоднородной структурой может служить хорошо известная
и легко осуществимая n+-i-n+ структура.
Такая структура была получена в [10] с помощью двусторон-
ней имплантации Si в пластину GaAs. В результате последующего
отжига дефектов и неизбежной в таких случаях диффузионной
разгонки была получена структура с распределением концентра-
ций, показанным на рис. 7.9.
На рис. 7.10 изображены рассчитанные с использованием
рис. 7.9 величины: концентрация доноров, концентрация носителей
заряда и потенциал (всё в относительных единицах) в зависимости
от нормализованного расстояния X/L. L - длина, которая по расче-
ту равна 0,75 мкм. К этой структуре прикладывался длинный им-
пульс напряжения (300 пс), длинный, естественно, по сравнению с
временами релаксации, которые, как отличалось выше, будут по-
рядка 1 пикасекунды (тимп»тр).
Исходя из этого соотношения, такая большая длительность им-
пульса может быть трактована просто как подключение “по-
стоянного” напряжения к структуре. Амплитуда импульса изменя-
лась от 0,2 до 10 В. Измерения проводились при комнатной темпе-
ратуре.
226
Гл. 7. Транспортные явления
Рис. 7.9. Профиль плотности доно-
ров вдоль канала в n*-i-n* GaAs [10]
0 0,5 x/L 1
Рис. 7.10. Нормализованные потенциал
и, концентрация доноров п0 и концен-
трация электронов в зависимости от
нормализованного расстояния x/L, где
L - длина канала
Если вспомнить, как должна бы при этом вести себя дрейфовая
скорость, то ясно, что она сначала должна была бы расти, пока
энергия, полученная электроном от поля, не достигла энергии пе-
реброса, а затем упала бы до стационарных значений из-за междо-
линных перебросов и рассеяния на оптических фононах.
Но эти эффекты начинают сказываться только при значительно
больших полях, что и приводит к насыщению роста тока. До такого
ности от электрического поля в канале
насыщения рост тока обу-
словлен наличием простран-
ственного всплеска дрейфо-
вой скорости - пространст-
венным “over-shoot”oM.
Измерив ВАХ описан-
ных выше структур, можно
рассчитать подвижность, а
затем и скорость электронов
в зависимости от электриче-
ского поля и расстояния.
На рис. 7.11 представле-
на полученная в результате
таких расчетов зависимость
дрейфовой скорости от
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости
227
электрического поля и, нако-
нец, на рис. 7 Л 2 показано из-
менение дрейфовой скорости в
реальном пространстве струк-
туры.
Проанализируем теперь
физическую картину проис-
ходящего в короткой структу-
ре. Наиболее удачно такой
анализ проделан в [6].
Если принять, что после
скачкообразного включения
электрического поля в тече-
ние всего времени пролёта
электронов через структуру
напряженность электрическо-
Рис 7.12 Зависимость дрейфовой скоро-
сти от расстояния при воздействии на-
пряжения на структуру 2 В. Величина
ГО ПОЛЯ остаётся ПОСТОЯННОЙ, дрейфовой скорости порядка 3x107 см/с
ТО расстояние, которое прохо- получается во всем объеме структуры, ис-
дит электрон до достижения ключая районы п+контактов
энергии, равной энергии меж-
долинного перехода (£Гь)> можно рассчитать по формуле
(7.2.2)
Рис 7 13 Максимальное значение дрейфовой
скорости от расстояния в GaAs для двух
концентраций примеси I n = 0, 2 - п =
= 3\ 10рсм \Т=293 К
где Ко =h~\dEldk)E=ErL-
максимальная скорость,
которую может достичь
электрон, прежде чем он
испытает междолинное
рассеяние; Т- именно то
время, за которое элек-
троны приобретают энер-
гию чуть меньшую ErL.
Если J-толщина актив-
ной части прибора, то по-
нятно, что необходимо так
подбирать Т (т. е. значе-
ние поля F), чтобы K/J)
было максимальным.
Результаты таких рас-
чётов из [6] представлены
на рис. 7.13.
228
Гл. 7. Транспортные явления
Из рис. 7.13 видно, что на довольно больших расстояниях (доли
микрон) величина дрейфовой скорости превышает стационарную
скорость.
Эта ясная и простая картина, конечно, в реальном случае, изме-
няется из-за таких причин, как неоднородности концентраций, объ-
емного заряда и средней энергии носителей заряда по толщине
структуры. Наличие этих факторов приводит к диффузии носите-
лей и изменению конфигурации поля. К этому добавляются такие
эффекты второго порядка, как диффузионный перенос тепла и тер-
моЭДС.
Итак, мы видим, что всплеск скорости в пространстве - явле-
ние, реально реализующееся в полупроводниковых структурах. Та-
кой всплеск носит стационарный характер. Его возникновение не
требует практически нереализуемого импульса поля с бесконечно
крутым фронтом (субпикосекундным). Скачок поля в пространст-
венном всплеске реализуется за счет неоднородности структуры
полупроводника по координате. Электроны при своем движении
по полупроводнику, попадая в область крутого скачка поля, ис-
пытывают резкое изменение скорости и эффект ее всплеска.
Приближенная формула (7.2.2) для описания пролета электрона
в этих условиях получена при следующих допущениях:
а) среднее электрическое поле на протяжении всего пролета
электронов считается постоянным;
б) тр - остается постоянным до достижения энергии значения
ЕГ1 междолинного рассеяния и гр« тЕ.
Именно при этих условиях и получено из уравнения баланса
выражение для расстояния, проходимого электронами за время Т,
за которое электроны приобретают энергию чуть меньше ErL (7.2.2).
Средняя скорость, с которой электрон проходит дистанцию d,
будет при этом равна Vd(d) = d!t
t
d=fa(t'№. (7.2.3)
о
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках и
субмикронных приборах
Если вернуться к более микроскопическому анализу процессов,
рассмотрение которых проводилось в разд. 7.2, то их можно опи-
сать так.
Электрон переходит при взаимодействии с электрическим по-
лем в возбужденное состояние, затем происходит переход к равно-
весию в результате взаимодействия (столкновений) с различными
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках ...229
дефектами. Чаще всего для этого достаточно одного-двух столкно-
вений. Отсюда можно заключить, что время релаксации (время, за
которое возбуждение электрона уменьшается в п раз) порядка вре-
мени, необходимого для прохождения длины свободного пробега
электрона,
U = Vt.
(7.3.1)
Известно, что в общем случае время релаксации есть функция
энергии. Снова разделим по смыслу время релаксации на два: тЕ -
время релаксации по энергии и тр - время релаксации по импульсу,
причем, так как тР < тЕ, то
LP TpVt < Le xEVt.
(7.3.2)
Это означает, что нужно сравнить размеры активной области с
этими длинами релаксации. Кроме того, отметим, что в игру вклю-
чился эффект увеличения дрейфовой скорости за времена менее тр,
что привело к увеличению Lp и, следовательно, к возникновению
явления, которое мы назвали “пространственным “overshoot”oM”.
Другими словами, ни
контакты, ни несовер-
шенства кристалла не
успевают нарушить обыч-
ного движения электро-
на, что очень похоже на
свободное движение те-
ла в классической фи-
зике.
Для лучшего пони-
мания предстоящего об-
суждения следующего
способа, используемого
для повышения быстро-
действия за счет увели-
чения скорости движе-
ния электрона, вновь
рассмотрим зависимость
тР и Vd от энергии элек-
трона (рис. 7.14).
На рисунке (вверху)
изображена зависимость
от энергии интеграль-
ной частоты (темпа)
рассеяния, внизу при-
Рис 7 14 Интегральная частота сто пловений в
Г-долине {а} и скорость электронов (б) в зависи-
мое ।и от энср1ии электронов |б|
230
Гл. 7. Транспортные явления
ведена скорость, которую может достичь электрон в центральной
долине. Штриховая линия внизу - это параболическая долина, от-
куда и взято значение эффективной массы, необходимой для расче-
та. Точка 1 - энергия оптического фонона, точка 2 - энергия
междолинного перехода. Понятно, что высокую скорость можно
получить для электронов, обладающих энергией ниже энергии оп-
тических фононов и междолинного перехода. Из рисунка хорошо
видно, что в первом случае мы получим скорость не выше
3,5-107см/с и порядка ~108см/с во втором. Последний случай, ко-
нечно, более интересен для практики.
Теперь нам нужно отыскать наилучший путь достижения этого
состояния электронной системы, когда энергия электронов была бы
чуть меньше энергии междолинных переходов, а скорость и энер-
гия изменялись бы
Рис. 7.15. Влияние электрического поля различной
конфигурации, приложенного к образцу полупро-
водника, на энергию и скорость электрона[6]
вначале как можно
более резко.
Для этого имеет
смысл рассмотреть
возможность влия-
ния электрического
поля различной кон-
фигурации.
На рис. 7.15 при-
ведены результаты
расчетов методом
Монте-Карло для
электрического поля
в виде ступеньки бес-
конечной протяжен-
ности (первый слу-
чай, рис 7.15, а) и
очень короткого им-
пульса поля (второй
случай, рис. 7.15, б).
Первый случай
(вверху) - типичный
случай всплеска
дрейфовой скорости,
когда постоянное
поле (или ступенька
в 7кВ/см) приклады-
вается к ансамблю
электронов, находя-
щихся в термиче-
ском равновесии.
7-3. Баллистический транспорт в полупроводниках ...231
Этот всплеск продолжается до тех пор, пока энергия электронов не
приблизится вплотную к энергии междолинных переходов.
Так как время наблюдения (воздействия поля) достаточно ко-
роткое, то скорость при этом еще не спадает до стационарного со-
стояния и в определенных пределах она достигает высокого
значения (Vd > 107 см/с). Однако сразу видно, что из-за широкого
распределения скоростей во времени, полученные скорости ниже,
чем мы могли бы получить для энергий, близких к Е^. Это означа-
ет, что в постоянном поле накопленная энергия, которая должна
увеличивать скорость, интенсивно рассеивается на оптических фо-
нонах и скорость падает. Необходимо отметить также, что из-за
инерционных явлений (разгон термолизованных электронов) уве-
личение скорости сопровождается неупругими столкновениями.
На рис. 7.15, б представлен второй случай, когда набор энергии
и скорости происходит в течение короткого импульса большой ам-
плитуды ~70 кВ/см. Видно, что электрон за короткое время дости-
гает величины скорости на порядок большей стационарной, а
энергия не доходит до энергии междолинных переходов (ErL). По-
сле окончания импульса скорость и энергия начинают релаксиро-
вать, причем обе величины спадают.
Резкий рост скорости во время действия импульса (или, иначе
говоря, отсутствие широкого расплывания во времени) обусловлен
именно малым временем воздействия поля - отсутствием за это
время существенного влияния рассеяния. Ничего (почти ничего)
не тормозит рост скорости. Однако, как только такое значение ско-
рости будет достигнуто, необходимо выключить электрическое по-
ле, чтобы не дать энергии увеличиться до энергии междолинных
переходов.
После выключения электрического поля электроны будут про-
должать двигаться в направлении поля по инерции или, как приня-
то говорить, движение будет носить баллистический характер. В
этом случае можно считать, что электрон движется по классиче-
ским законам, когда время пролета равно просто расстоянию меж-
ду контактами, деленному на скорость пролета (конечно, если
расстояние между электродами мало, т. е. это расстояние меньше
длины свободного пробега, обусловленного временем релаксации
по импульсу - d < Lp). Это значит, что движение происходит либо
без столкновения с дефектами, либо с небольшим количеством ак-
тов рассеяния. Движение электронов будет в основном характери-
зоваться их инерцией, а столкновения очень редко изменяют их
регулярное движение.
В механике движение такого свободно брошенного тела опи-
сывается баллистической траекторией”. Этот термин произошел
от греческого слова “ballo”, что означает “бросаю”. Затем возникло
немецкое слово “Balistik” - наука, изучающая законы движения ар-
232
Гл. 7. Транспортные явления
тиллерийских снарядов, пуль, которые, как известно, вылетают из
ствола под давлением пороховых газов, а затем летят по инерции.
В научно-технической литературе в настоящее время использу-
ется следующая терминология:
Бесстолкновительное движение электронов называется бал-
листическим, а с единичным или небольшим количеством актов
рассеяния - квазибаллистическим.
В описываемом случае, как видно на рис. 7.15, б, начальная
очень высокая скорость снижается достаточно медленно. В резуль-
тате носители зарядов могут преодолеть очень большие расстояния
за очень короткое время. Понятно, что слова “очень” означают “по
сравнению с обычным стационарным случаем - воздействием на
образец постоянного электрического поля”. Основная проблема,
которая теперь возникает, заключается в отыскании способа, как
этих условий можно достичь, т. е., как получить максимальную ве-
личину средней скорости на заданном промежутке d.
Для ответа на этот вопрос проведем для начала небольшой ана-
литический расчет, используя хотя и грубые, но для большинства
реальных случаев, правильные приближения.
Предположим, что время релаксации по импульсу и эффектив-
ная масса остаются постоянными для энергии ниже, чем энергия
междолинных переходов. Кроме того, как обычно считаем, что
гЕ>>Гр-
Далее вспомним, что мы обозначили через Т время, за которое
энергия возрастает до величины междолинных переходов, а через d
- расстояние, которое пройдет носитель заряда за это время.
С этими предположениями для нахождения связи между d и Т
можно снова использовать классические релаксационные выраже-
ния или уравнения баланса усредненных импульса и энергии
(7.1.2) и (7.1.3).
Если электрическое поле остается постоянным, во время дви-
жения носителя заряда (случай overshoot), расстояние, пройденное
этими носителями за время Т, записывается, как мы уже зафиксиро-
вали, в виде
dovershoot ~
V V2 \ тр J
(7.3.3)
В случае же баллистического движения (предполагая включе-
ние очень короткого импульса электрического поля в самом начале
движения) пройденное расстояние будет
т
dballistic •
(7.3.4)
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках ...233
В рамках принятых нами допущений для точки Е= ErL зависи-
мости Е(к) начальная скорость будет
(73.5)
Эта же величина есть и максимальная скорость для Е= Еп..
В предположении постоянства эффективной массы по всей Г-
долине до перехода в верхнюю долину, Vo можно найти и из выра-
жения
= АЕп..
И тогда do будет являться характеристическим расстоянием
(постоянной), зависящим только от природы полупроводника
do = VoTp.
(7.3.6)
Из сравнения уравнений, определяющих d для “overshoot” и
“ballistic”, получаем, что
dballistic ~ ^overshoot ~ VqT
(7.3.7)
ДЛЯ Т « ТР.
Это означает, что, ис-
пользуя баллистическое
движение, можно достичь
для одного и того же по-
лупроводника и на одном
расстоянии скорость в два
раза выше, чем для случая
“overshoot”. Однако это
преимущество, естествен-
но, может быть реализо-
вано только при про-
хождении носителем очень
коротких расстояний.
На рис. 7.16 показаны
кривые, рассчитанные по
приближенным формулам
(7.3.3) и (7.3.4) - (сплош-
ные линии) и методом
Монте-Карло (точки и тре-
угольники), которые могут
быть использованы для
Рис. 7.16. Максимальная среднепролётная
скорость электронов, проходящих расстоя-
ние d в функции координаты [5,6]
234
Гл. 7. Транспортные явления
оценок условий осуществления режимов “overshoot” и “ballistic”
для любых полупроводников. По этим “универсальным”, по ут-
верждению авторов, кривым можно определить максимальную
среднюю скорость V = d/T, которую приобретает носитель, прохо-
дя данное расстояние d в поле 10 кВ/см. Эта величина (значение
скорости) построена в зависимости от расстояния в относительных
единицах V/Го = f(dldo). Из рис. 7.16 следует, что при равных ус-
ловиях для одних и тех же расстояний баллистическая скорость
действительно приблизительно вдвое превышает скорость носите-
лей в режиме “overshoot”. Все это, конечно, справедливо для рас-
стояний меньших do. Для расстояний же, превышающих этот
предел (d>do), чисто баллистическое движение не является выгод-
ным, но режим “overshoot”, тем не менее, продолжает обеспечивать
повышенную среднюю скорость. В последнем случае инерционным
движением можно пренебречь и средняя скорость будет рассчиты-
ваться по формуле
(Корея) = (73.8)
где Ц =
m
тг « V d0
Крайняя кривая справа соответствует — = .
Необходимо отметить, что большинство расчетов “ballistic” ef-
fect, приведенных в [5, 6], предполагали взаимодействие электри-
ческого поля различной конфигурации во времени с объемом
полупроводника, который всегда считался пространственно строго
однородным. Хотя такую ситуацию довольно трудно осуществить
на практике, но это наиболее простой путь при проведении грубых
оценок характера взаимодействия электрического поля с носителя-
ми заряда, когда они проходят активную часть субмикронного
прибора.
В заключение необходимо сказать несколько слов о том, отку-
да же взять электроны с такой высокой скоростью, чтобы они на-
чали двигаться баллистически. Не приводя подробных формул или
сложных энергетических диаграмм, рассмотрим на основании об-
щеизвестных сведений о полупроводниковых структурах
“инжектор” таких электронов на основе гетероперехода, представ-
ляющего собой границу между двумя полупроводниками с различ-
ной шириной запрещенной зоны (например, GaAs и AlGaAs).
В AlGaAs электроны проводимости имеют более высокую по-
тенциальную энергию, чем в арсениде галлия. Когда к гетеропере-
ходу прикладывается электрическое поле, электроны с помощью
7.4. Подвижность электронов в системах с селективным легированием 235
различных механизмов
могут преодолевать
барьер и переходить из
широкозонного полу-
проводника в узкозон-
ный. При этом их
потенциальная энергия
уменьшается, но сум-
марная энергия остаёт-
ся неизменной. Это
значит, что кинетиче-
ская энергия возраста-
ет, а значит, возрастает
и их скорость.
На основе данного
принципа создан целый
ряд быстродействую-
щих транзисторов с
баллистической ин-
жекцией электронов.
Энергетические диа-
граммы таких прибо-
ров изображены на
рис. 7.17, взятом из
[11]. Видно, что вели-
чина начальной скоро-
Рис 717. Энергетические диаграммы (дна зоны
проводимости) баллистических униполярных
транзисторов на горячих электронах:
а - гетероструктурный с туннельным эмиттером, б - с
планарно-легированными барьерами; в - с варизонными
барьерами и индуцированной базой
сти инжектированных
электронов определя-
ется именно структу-
рой барьера эмиттер-
база. Быстродействие
транзистора определя-
ется временем пролёта
этих электронов через базу. Последнее определяется как t = dE/V0,
т. е. толщиной базы и начальной скоростью электронов. Как
было показано ранее, эта скорость порядка 10s см/с. При этом
время пролёта базы составит доли пикосекунды.
7.4. Подвижность электронов в системах
с селективным легированием
Как отмечалось ранее, достижению предельного быстродейст-
вия электронных устройств мешает наличие рассеяния частиц в ре-
альных системах. Поэтому важной задачей физики и технологии
твердого тела является совершенствование материалов и структур
236
Гл. 7. Транспортные явления
с целью получения больших времен жизни, малых вероятностей
рассеяния, высокой подвижности и управляемой концентрации но-
сителей заряда. Одна из проблем, возникающих при этом, состоит в
том, что носители заряда в полупроводниках создаются за счет вве-
дения примесей, и тем самым обычно ограничивается увеличение
времени жизни и увеличивается рассеяние.
Как отмечалось в гл. 1, увеличение подвижности носителей за-
ряда может быть достигнуто в системах с модулированным или се-
лективным легированием. Гетероструктуры с селективным леги-
рованием (ГСЛ) представляют собой системы с неоднородным
распределением легирующих атомов и с гетерограницами, направ-
ляющими движение подвижных носителей заряда и разделяющими
носители заряда и примеси. С этой точки зрения, методика селек-
тивного легирования полупроводниковых структур представля-
ет собой способ обхода ограничений, связанных с влиянием
примесей на характеристики подвижных носителей. При этом,
с использованием методики селективного легирования удается
получать исключительно высокие подвижности, представляю-
щие интерес как для создания приборов, так и для наблюдения но-
вых размерных эффектов.
Рассмотрим три варианта реализации этого метода.
Известно, что при нанесении легированного широкозонного
слоя AGaAs на нелегированный GaAs вследствие различия элек-
тронного сродства этих материалов у границы их раздела формиру-
ется 2D электронный газ. Зонная диаграмма такой структуры
показана на рис. 7.18.
Причиной перехода электронов из барьеров в КЯ является бо-
лее низкая энергия электронных состояний в КЯ по сравнению с
Рис 718 Зонная диаграмма гетероперехода
AlGaAs-GaAs со слоем 2D -электронов у гра-
ницы Точками обозначены ионизованные до-
норы, гt -эффективная ширина области локали-
зации 2D-газа
энергией электронов, на-
ходящихся в зоне прово-
димости материала барь-
ера или локализованных
в барьерах на донорных
состояниях. При этом
носители заряда в КЯ
оказываются “прижаты”
к потенциальной сту-
пеньке гетероперехода
электрическим полем за-
ряженных доноров. Ре-
зультирующее поле у са-
мой границы имеет поч-
ти треугольную форму и
квантует движение носи-
телей.
7.4. Подвижность электронов в системах 237
Заряд, перешедший с примесных состояний AlGaAs через гра-
ницу раздела в GaAs, можно найти, приравнивая заряды обеднен-
ного слоя в AlGaAs и обогащенного слоя, локализованного в КЯ, и,
используя условие непрерывности уровня Ферми на гетерогранице.
Расчеты показывают, что в хорошей гетероструктуре AlGaAs -
GaAs потенциальная яма у гетерограницы обычно содержит лишь
две заполненные квантовые энергетические подзоны. Методика
расчета распределения потенциала, концентрации и подвижности
электронов в ГСЛ, а также хода потенциала изложена в [13].
Первыми такими ГСЛ были СР GaAs - AlxGa\_xAs, выращен-
ные методом МЛЭ с легирующей примесью кремния. Данные
структуры специально создавались для разделения доноров и под-
вижных электронов в СР с целью увеличения промежутка времени
между актами рассеяния [12] и эксперименты сразу же показали
существенное увеличение подвижности.
В результате многочисленных исследований для увеличения
подвижности (за счет еще большего разнесения ионизованных до-
норов и подвижных электронов) было предложено использовать
тонкие нелегированные слои (спейсеры) широкозонного материала
непосредственно около границы раздела (см. рис. 7.18).
Для случая вырожденного 2D-газа подвижных носителей с
~ ~ -7
поверхностной концентрацией ns см , отстоящего на расстоянии
dt от двумерного слоя ионов с концентрацией Ns см'2, в [13] было
получено простое выражение для подвижности
3/2
/Z = 16V^^— d?, (7.4.1)
й NS
здесь dt- толщина спейсера.
В (7.4.1) следует обратить внимание на рост подвижности с
увеличением концентрации подвижных носителей, поскольку в
случае 2D-газа он перекрывает обычное падение ц с ростом кон-
центрации ионов примеси Ns в случае, когда ns=Ns- Такое
возрастание подвижности при больших ns связан с увеличением
фермиевского волнового вектора при росте ns и ослаблением рас-
сеяния на ионах примеси с ростом энергии электрона.
Возрастание подвижности электронов с увеличением ns будет
продолжаться до начала заполнения второго квантового уровня, так
как при формировании второй подзоны появляется возможность
для многозонного рассеяния электронов.
Зависимости подвижности от поверхностной концентрации
электронов /ц представлены на рис 7.19-7.21. Для изменения по-
верхностной концентрации в данных экспериментах использова-
238
Гл. 7. Транспортные явления
Рис. 7.19. Зависимость под-
вижности электронов от их
поверхностной концентрации
для гетеропереходов AlGaAs -
GaAs с селективным легирова-
нием [12]
Рис 7 20. Зависимость подвиж-
ности (а), поверхностной кон-
центрации (б) и проводимости
(в) от смещения на подложке в
одиночной гетероструктуре Al-
GaAs GaAs с селективным леги -
рованием 1 =4 2К [12]
лись фотовозбуждение и эффект поля.
В приборах, где концентрация варьи-
ровалась от 7 • 1О10 до 6 -10й см'2, под-
вижность росла с ростом
концентрации по степенным законам
от до р'-п15 [12].
Влияние заполнения второй под-
зоны показано на рис. 7.22. Анализ
показывает, что при заполнении вто-
рой подзоны подвижность электронов
в первой падает примерно на 25 %.
При этом подвижность во второй
подзоне составляет около 50 % от
подвижности в первой [12]. Как уже
было отмечено, уменьшение подвиж-
ности в первой подзоне обусловлено
межподзонным рассеянием, а более
низкая подвижность во второй - свя-
зана с меньшей величиной фермиев-
ского волнового вектора (меньшей ве-
личиной кинетической энергии частиц
во второй подзоне).
Возможность увеличения подвиж-
ности при увеличении толщины спей-
сера показана на рис. 7.23.
Рис 7 21. Зависимость подвижности
электронов от их концентрации в
одиночной гетероструктуре А1-
GaAs-GaAs с селективным легиро-
ванием. Нижняя кривая относится к
структуре, не содержащей спенсера,
верхние кривые к структуре с
толщиной спейсера 16.5 нм [12]
7.4. Подвижность электронов в системах
239
Видно, что при увеличении толщины спейсера от 0 до 150 А
подвижность монотонно увеличивается даже при температурах по-
рядка комнатных. Средняя концентрация подвижных носителей
при этом уменьшается от 1.5 -1017 см'3 до 0.7 Ю17 см'3 [12].
Следует отметить, что наблюдаемая зависимость слабее, чем
°
зависимость вида df, и в исследованных образцах с Jj>150A
дальнейшего роста р не наблюдалось.
В целом за счет использования селективного легирования в ге-
тероструктурах GaAs - AlxGa\_xAs при 300 К достигнуто увеличе-
ние подвижности в два раза, а при 77 К - в десять раз. В настоящее
время максимальная подвижность 2D -электронов 14.4-106 см2/в -с
наблюдалась в селективно
легированной GaAs-AlGaAs гетеро-
структуре со слоем спейсера тол-
щиной 68 нм при 0.1 К. Такая ве-
личина подвижности соответствует
длине свободного пробега 120 мкм.
Двумерный газ имел концентрацию
Рис 7.22. Влияние заполнения вто-
рой квантовой подзоны на поверх-
ностную (а), холловскую (б) кон-
центрации и подвижность (в) 2D-
электронов от смещения Pg на под-
ложке гетероструктуры. Индексы 1
и 2 относятся к первой и второй
квантовым подзонам [12]
Рис. 7.23. Температурная зави-
симость подвижности электро-
нов для ряда многослойных
структур AlGaAs-GaAs с селек-
тивным легированием, имеющих
различную толщину нелегиро-
ванной прослойки между кана-
лом GaAs и легированной
областью AlGaAs. На вставке
показана форма холловского
мостика [12]
240
Гл. 7. Транспортные явления
Рис. 7.24. Энергетический профиль и
распределение концентрации электронов
при селективном легировании КЯ
электронов ~2.4-10п см’2. Бо-
лее того, этот эксперимент по-
зволил установить, что подвиж-
ность электронов и в этом слу-
чае по-прежнему ограничена
примесным рассеянием, что
оставляет надежду на ее даль-
нейшее увеличение [14].
Пространственного раз-
деления подвижных носите-
лей заряда и ионизованной примеси можно добиться и при се-
лективном легировании КЯ (т. е. узкозонного материала)
(рис. 7.24) [15].
Изменяя ширину КЯ, можно получить существенное увеличе-
ние энергии квазистационарных состояний в ней по сравнению с
энергией, соответствующей дну зоны проводимости Ес во внешних
слоях. При этом энергия электронов, локализованных на донорных
состояниях в КЯ, также может стать больше Ес (глава 3), и элек-
троны из КЯ будут переходить во внешние слои, удаляясь от иони-
зованной примеси.
Еще одна возможность пространственного разделения под-
вижных носителей и рассеивающих центров появляется при
использовании 8-легирования.
Термин дельта-легирование означает получение легированно-
го до вырождения моноатомного слоя. Распределение легирующей
примеси по координате в этом случае напоминает 8 -функцию, с
чем и связано такое название. Экранировка заряда ионизованной
примеси подвижными электронами приводит к формированию
V -образного потенциала (рис. 7.25).
Рис 725 5-слой: а - схема легирования, 6 - энергетическая диаграмма (16]
7.4. Подвижность электронов в системах
241
При этом характер-
ные размеры КЯ оказы-
ваются сравнимы с дли-
ной волны электрона, что
приводит к существенно-
му квантованию энерге-
тического спектра. Ана-
лиз осцилляций Шубни-
кова-де Гааза показывает,
что в КЯ одиночных 8-
слоев с Ns =6-1012 см'2
проявляются, по крайней
мере, три уровня размер-
ного квантования. Вооб-
ще же Ns.b одиночном
6 -слое может достигать
1014 см-2.
Рис. 7.26. Температурная зависимость эффек-
тивной подвижности электронов в S-легиро-
ванной структуре: d=30 нм (2), 60 нм (3),
240 нм (4), 90 нм (5), 150 нм (6). 1- одиноч-
ный 5-слой [16]
Исследования [16] показали, что подвижность 3 -легированного
GaAs высокой чистоты существенно зависит от расстояния d меж-
ду отдельными <5-слоями (рис. 7.26). Такую зависимость подвиж-
ности можно объяснить, рассмотрев энергетическую диаграмму
двухслойной <5-структуры (рис. 7.27). Оценки показывают, что в
рассматриваемых структурах до J~240 нм имеет место перекрытие
потенциалов соседних КЯ. При уменьшении расстояния между
центрами ям высота барьера ДЕИ между ними будет понижаться
относительно уровня Ферми.
Это приведет к росту концентрации электронов п\ в зазоре ме-
Рчс 7 27 Энергетическая диаграмма двой-
ной 5-структуры [16]
и dz 150 нм «1 составит 20-
30% от полной концентра-
ции л0 (в данном экспери-
менте п0= ЗЮ12 см'2 при
300 К). Рост концентрации
подвижных носителей, уда-
ленных от ионизованной
примеси, и вызывает рост
полной подвижности. При
этом увеличение оптималь-
ного расстояния между 8-
слоями будет уменьшать
количество электронов в
зазоре, а уменьшение -
приближать электроны к
рассеивающим центрам,
242
Гл. 7. Транспортные явления
что, в свою очередь, приведет к падению общей подвижности в
обоих случаях.
Конечно, рассеяние на ионизированных примесях определяет
подвижность при низких температурах. Так для гетероструктур
AlAs-GaAs-AlAs примесное рассеяние становится определяющим
лишь при Т<50 К. В области "азотных" температур (77-НХ) К)
обычно преобладает рассеяние на акустических фононах (на де-
формационном и пьезоэлектрическом потенциалах), а ~
5 • 105(77/Т)см2/В-с. При Т>150 К доминирующим становится рас-
, f3OC)V
сеяние на полярных оптических фононах с = <8.83-1 -^1 +
/ *7*7 \ 6 2
+570 f—1 IxlO3—.
ItJ Вс.
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия
в системах пониженной размерности
Проблема увеличения быстродействия электронных компонен-
тов прямо или косвенно приводит к задачам, связанным с необхо-
димостью подавления какого-либо одного или нескольких
механизмов рассеяния. При этом, как отмечалось еще в [17], по-
нижение размерности системы является фактором, способствую-
щим подавлению рассеяния. В самом деле, при рассеянии на
электронах, фононах и дефектах должны выполняться законы со-
хранения квазиимпульса и энергии. Так как некоторых значений
этих величин в дискретном спектре низкоразмерных систем нет, то
соответствующие акты рассеяния могут быть запрещены. Кроме
этого, ограничивающим обстоятельством является и уменьшение
плотности конечных состояний, в которые рассеивается частица.
Рис. 7 28 Распределение кванто-
вых состояний в Я-пространстве
для тонкой пленки
Еще Л.В. Иогансен в [18] обра-
тил внимание на возможность час-
тичного подавления рассеяния в
тонкопленочных системах.
Рассмотрим с этой точки зрения
2£)-систему, в основном, следуя [18].
В гл. 3 было показано, что по
мере увеличения концентрации элек-
тронов будет увеличиваться число
занимаемых подзон в Е-простран-
стве и уисло заполненных слоев в К-
пространстве (рис. 7.28). При этом
заполнение каждого нового слоя бу-
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия
243
дет начинаться от оси |Jtz|. Например, заполнение второго к-слоя
начнется с точки А при условии, что энергия электрона, связанная с
движением параллельно границам КЯ, в первом к-слое достигла
величины
й2 fw-V
Ея=3— — , (7.5.1)
2m'W
равной разности энергий поперечного движения для второго и пер-
вого уровней размерного квантования. Можно также показать, что
при Т=0 заселение второй подзоны (второго к-слоя) начнется,
если концентрация электронов станет больше nip _•
Пкр —1.5 .
Р W3
(7.5.2)
Например, при ширине КЯ 1Р = 10 нм л^, = 5 -1018 см-3, причем
согласно (7.5.2) значение критической концентрации не зависит
от природы материала КЯ, а определяется лишь ее шириной
(приближение БПЯ).
Состояние, отмеченное на рис. 7.28 точкой А, соответствует
электрону на втором уровне, движущемуся перпендикулярно гра-
ницам КЯ. При этом, энергия и квазиимпульс электрона будут рав-
ны
й2 f л-А2 й
Ei -4--- — и Р\=2я—.
2m'\WJ
Испытав упругое рассеяние, такой электрон может перейти из
состояния, соответствующего точке А, в состояние В с
Й2 f Л"У й2 (я\2 п Й /тЙ
Ei =-- — , Еп =3----1— , Pi — л—, Рц = л/Зя—,
2m*W 2m\W) If’ W
что соответствует рассеянию на угол ® = 60°. Причем, рассеяние на
меньшие углы невозможно, так как при этом одновременно не мо-
гут быть удовлетворены ограничения, вытекающие из законов со-
хранения энергии и квазиимпульса. В результате в тонкой пленке
оказываются подавленными все механизмы, вызывающие упругое
рассеяние на малые углы. Например, подавление рассеяния на ма-
лые углы должно уменьшать степень диффузности при отражении
электрона от стенок пленок с хорошим качеством поверхности, так
как при малой высоте шероховатостей Az по сравнению с их сред-
ней протяженностью Ах диффузность обусловлена именно рассея-
244
Гл. 7. Транспортные явления
нием на малые углы [19]. Согласно оценкам [18] для электронов на
втором уровне коэффициент диффузности, вследствие подавления
рассеяния на малые углы, должен уменьшаться по сравнению со
значением коэффициента диффузности одиночной поверхности по
порядку величины в ехр(7зДх/8лДг)2 »1 раз. Отметим, что это
должно благоприятствовать резонансному прохождению электро-
нов через многобарьерные структуры (глава 8).
Л. В. Иогансен также обратил внимание на то, что ограничения,
накладываемые законами сохранения энергии и квазиимпульса,
приведут при низких температурах к подавлению рассеяния на аку-
стических фононах в 2D -системах. Он указал, что при (uq -про-
дольная скорость звука) средний импульс акустического фонона
станет равным изменению продольного импульса электро-
на ДР// = при переходе со второго квантового уровня на
первый. Таким образом, при дальнейшем понижении температуры
число фононов, способных вызывать рассеяния, будет убывать
пропорционально ехр^То/Г), что должно привести к экспоненци-
альному росту длины пробега электрона при рассеянии на акусти-
ческих колебаниях. Оценки показывают, что при l>o~ 105 см/с
1Г = 10нм, То — ю К.
С понижением размерности системы роль данных эффектов
должна возрастать.
Более подробно с оценками электрон-фононного взаимодейст-
вия в низкоразмерных системах можно познакомиться в [20-22].
Рассмотрим одномерный кристалл (атомную цепочку) с перио-
дом а. Энергия электрона е в такой цепочке определяется соотно-
шением [23]
г(Л) = eq - 2H(a)cos(Aa), (7.5.3)
где £q - энергия электрона в изолированном атоме; я(а) - вещест-
венный интеграл перекрытия атомных волновых функций; к - вол-
новой вектор электрона в атомной цепочке. Для одномерного
кристалла законы сохранения энергии и волнового вектора при од-
нофононном рассеянии электрона из состояния к в состояние к'
имеют вид
е(к) + hco(q) = £(£'), k±q = k', (7.5.4)
где q- волновой вектор фонона,
^(<7) = <uo|sin(<7a/2)| (7.5.5)
есть частота акустического фонона, а <уо_ максимальная частота
акустического фонона в цепочке атомов. После подстановки соот-
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия_______245
ношения (7.5.3) и (7.5.5) в уравнение (7.5.4) законы сохранения
(7.5.4) принимают вид
4/l(a)sin[(A: ± q/2)a]sm(qal2) = ftn>o|sin(^a/2)|, (7.5.6)
где знаки (±) соответствуют процессам поглощения и излучения
фонона электроном. Если максимальная энергия акустического фо-
нона е - ha)Q превышает ширину зоны проводимости Аг = 4Л(а),
то уравнение (7.5.6) имеет только тривиальное решение
q = ± 2ящ/а (т = 0,1,2,...), которое соответствует сдвигу кристалла
как единого целого и не меняет межатомного расстояния а. Таким
образом, критерий исчезновения однофононного механизма рас-
сеяния электронов на акустических фононах имеет вид [24]
Le<e. (7.5.7)
Отсюда следует, что в кристаллических структурах с узкой зоной
проводимости Аг, удовлетворяющей критерию (7.5.7), исчезает
вклад однофононных процессов в рассеяние носителей заряда для
всех электронных состояний данной зоны. Отметим, что рассмот-
ренная ситуация может быть практически реализована в конкрет-
ном физическом объекте - сверхрешетке с большим периодом,
помещенной в квантующее магнитное поле, направленное вдоль
оси сверхрешетки. Это обусловлено тем, что в магнитном поле
движение электрона носит квазиодномерный характер (поскольку
движение в направлениях, перпендикулярных к магнитному полю,
локализовано на расстояниях порядка радиуса циклотронной орби-
ты), а наличие большого периода сверхрешетки позволяет добиться
малой ширины зоны проводимости (подзоны Ландау в магнитном
поле), удовлетворяющей ключевому для обсуждаемого эффекта
критерию (7.5.7) [25].
Еще одна возможность изменения процессов электрон-
фононного взаимодействия при понижении размерности системы
связана с изменением фононного спектра (см. гл. 6). Исследования
показали, что захват электронов в КЯ и локализация фононов мо-
гут существенно изменять скорость электрон-фононного .взаимо-
действия. Особенно большой вклад дает рассеяние на фононных
модах, обусловленных границами квантовой гетероструктуры.
Различная физическая природа захвата (локализации) электро-
нов в КЯ и локализации (захвата) фононов позволяет реализовать
структуры со смещением электронной КЯ относительно области
локализации фононов и осуществить их раздельное квантование,
что может радикально изменять электрон-фононное взаимодейст-
вие, в частности, ослабить или даже устранить рассеяние электро-
нов фононами на границах гетероструктуры.
246
Гл. 7. Транспортные явления
Рассмотрим, следуя [26], основные особенности, которые вно-
сит в электрон-фононное взаимодействие раздельный захват элек-
тронов и фононов в КЯ.
Захват электронов в КЯ возникает вследствие отражения элек-
тронных волн от потенциальных барьеров, образующих “стенки”
ямы. В свою очередь, локализация фононов является результатом
отражения упругих волн колебаний решетки от гетерограниц. От-
метим, что потенциальные барьеры в слоях структуры не локали-
зуют состояния фононов. Захват колебаний решетки происходит в
полупроводниковом слое, помещенном между двумя слоями друго-
го полупроводника, если дисперсионные зависимости колебаний на
границах раздела между слоями не пересекаются.
Как показано в гл. 6, примером такой слоистой структуры явля-
ется система AlAs - GaAs - AlAs, в которой имеет место локализа-
ция оптических фононов.
На рис. 7.29 приведены примеры двумерных структур с раз-
дельным захватом электронов и фононов, в которых гетерограницы
определяют размер области локализации (т. е. КЯ) для оптических
фононов в слое GaAs. В свою очередь, потенциальные барьеры в
зоне проводимости в виде р - «-перехода, планарно-легированной
структуры р+ - п-р+, <5-слоя и гетеробарьера в полевом транзи-
Рис. 7.29. Структуры с независимым захватом электронов и оптических фононов
(верхний ряд) и идеализированные схемы этих структур (нижний ряд). Сплош-
ные линии: потенциал зоны проводимости - КЯ шириной L для электронов;
штриховые линии: границы гетеропереходов AlAs-GaAs - КЯ шириной d для оп-
тический фононов;
а - совместный захват электронов и фононов; b - независимый захват электронов в п-слое
р-п-перехода и фононной яме AlAs-GaAs-AlAs, с - то же в р* -п-р*-структуре; d -то же в
S-легированном слое; е - то же в канале AlAs-GaAs-AIAs полевого транзистора с модулиро-
ванным легированием [26]
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия 247
сторе с селективным легированием определяют размер КЯ для
электронов. Используя приближение прямоугольных КЯ для элек-
тронов и локализованных оптических фононов, в [26] был произ-
веден расчет вероятности рассеяния электронов в двумерной КЯ на
локализованных оптических фононах.
При этом было установлено:
1) что в соответствии с законами сохранения переходы с эмис-
сией фонона возможны, если ширина КЯ для электрона
l$2 —S^
Z->ioiTTAH4—L’ (7.5.8)
V £ -i
где £оПТ =—j---;й<уо - энергия оптического фонона; i,j- индек-
2т hc)Q
сы начального и конечного состояний; 5, и 5 - номера подзон
электрона до и после рассеяния; е* кинетическая энер-
гия электрона £к в начальном состоянии в единицах энергии опти-
ческого фонона.
Аналогично, переходы из нижней /-й подзоны в верхнюю с по-
глощением фонона возможны при условии
1$2 -S?
£>ЬОПТлЦг-^ С7-5-9)
V £ +1
2) при совместном квантовании скорости рассеяния с перехо-
дами внутри первой подзоны (5=1) увеличиваются с ростом шири-
ны электронной потенциальной ямы, достигая максимальной ве-
личины при L = £оггг, которая соответствует волновому числу элек-
трона с энергией, равной энергии оптического фонона. Затем ско-
рости внутризонного рассеяния плавно спадают с ростом ширины
ямы L. Скорость рассеяния с переходами в верхние подзоны слабо
зависит от ширины L электронной квантовой ямы. Зубчатый харак-
тер зависимости суммарной скорости рассеяния от L обусловлен
подключением межподзонных электронных переходов;
3) раздельный захват электронов в КЯ шириной L, а оптиче-
ских фононов в GaAs в КЯ шириной d, причем L<d, увеличивает
скорость электрон-фононного рассеяния по сравнению со случаем
совместного захвата электронов и фононов (£=</) как в нижней
подзоне электронной ямы, так и при переходах из второй подзоны
в нижнюю;
4) увеличение рассеяния электронов нижней подзоны на фоно-
нах при их раздельном захвате пренебрежимо мало в толстых слоях
(/, »/wr) и значительно - в тонких (/. « £0|1|). Это увеличение
248
Гл. 7. Транспортные явления
Puc. 7.30. Потенциальный профиль
асимметричной двухбарьерной КЯ [29]
достигает десятков процентов,
когда электронная КЯ прижата к
стенке фононной, и сотен про-
центов - при отрыве электрон-
ной КЯ от стенки фононной
ямы;
5) скорость рассеяния элек-
тронов из второй в первую
(нижнюю) подзону при раздель-
ном квантовании (L<d) почти
не зависит от сдвига электрон-
ной КЯ относительно фононной.
Время релаксации электронов с переходом из второй в нижнюю
подзону за счет эмиссии или абсорбции оптического фонона в уз-
ких (£ < 5 нм) и широких (L > 20нм) ямах превышает 2 пс и не за-
висит от толщины фононной ямы.
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
Среди кристаллов особым своеобразием свойств отличаются
системы с нарушенными фундаментальными симметриями относи-
тельно инверсии координат и относительно обращения времени
[27-29]. Для создания таких систем могут быть использованы тех-
нологии наноэлектроники, позволяющие в широких пределах из-
менять физические свойства структур. Например, квантовые
структуры на основе асимметричных КЯ и инверсионные каналы
будут очевидным образом лишены центра инверсии. В качестве же
причины, обеспечивающей нарушение t- инвариантности в таких
структурах, может служить внешнее магнитное поле В.
Обсудим основные особенности энергетического спектра и
движения носителей заряда в асимметричной квантовой структуре
при наличии магнитного поля, в основном, следуя [29].
Рассмотрим бесспиновые носители заряда в квантовой струк-
туре, описываемой потенциалом t/(z) (рис.7.30). Магнитное поле В
полагаем лежащим в плоскости КЯ (В//у).
При такой ориентации магнитного поля и квантовой структуры
уравнение Шредингера допускает разделение переменных. В ре-
зультате для стационарного случая волновую функцию и энергети-
ческий спектр можно представить в виде
h2k2,
%(z)= pn(Ax,z)exp|i(fcr.x + Avj’)L En(kr,ky)= E„(kx) + ——
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
249
Компоненты волновой функции <pn\kx,z} и спектра Еп{кх), связан-
ные с движением вдоль оси квантовой структуры, определяются из
решения одномерного уравнения
12 _д2 t
~ —2 + Z°^2 + ?n(k*’z)= E"<Pn(kx,z), (7.6.1)
2m dz. 2
an .2 «
здесь too = -— циклотронная частота; /д =----магнитная длина;
т QB
z0 = кх^в ~ координата “центра орбиты” электрона в магнитном по-
ле.
Основные свойства данной системы проиллюстрируем на про-
стой модели.
Рассмотрим две различные КЯ, имеющие вид S-функций, рас-
положенных на расстоянии а друг от друга. В этом случае
C/(z)= CZ2(z) = -U\8{z + 0.5a)- U23(z - 0.5a). (7.6.2)
Полагаем, что C/i>2 > 0.
Известно, что спектр свободных электронов (U=0) в магнитном
поле вырожден относительно положения “центра орбиты”:
E„(kx) = E^(zo)=ti6)o(n + G.5) = const. Потенциал (7.6.2) снимает
это вырождение и приводит к появлению дисперсии Еп(кх). В
сильном магнитном поле (СУ/йо^о«1) потенциал (7.6.2) можно
считать возмущением. При этом в первом порядке по потенциалу
U(z) для сдвига уровней энергии с п=0 имеем
E'(kx)^E'(zo)=
1
• ехр
f zq + 0.5a
I
+ Д2ехр -
z \2
( zo-O.5a ¥
(7.6.3)
где Д1>2 = Jt/1>2(z)dz.
Наличие дисперсии означает возникновение в данном кванто-
вом состоянии тока, текущего вдоль оси х,
(76.4)
й акх
Необычность ситуации состоит в том, что области локализации
по координате z волновых функций, отвечающих различным кван-
товым состояниям кх =zolp2, пространственно разнесены. Поэтому
250
Гл. 7. Транспортные явления
локальная плотность тока в квантовой структуре в поперечном (по
отношению к оси z) магнитном поле отлична от нуля. Как следует
из (7.6.3), спектр носителей заряда в такой асимметричной
квантовой структуре fAj * д2>) в магнитном поле будет асим-
метричен по квазиимпульсу
E(kx)*E(-kx). (7.6.5)
Так как рассматривались бесспиновые носители заряда, то
асимметрия спектра (7.6.5) не связана с релятивистским спин-
орбитальным взаимодействием, а обусловлена исключительно ор-
битальными эффектами и может быть велика.
В системе с асимметричным спектром скорости в состоя-
ниях кхи -кх в сумме не равны нулю (и(кх)+и(-кх)=0). Однако,
поскольку выражение для тока (7.6.4) имеет вид полной производ-
ной, постольку при интегрировании по заполненным состояниям с
функцией распределения, зависящей только от энергии, полный
ток будет обращаться в нуль. Вместе с тем при интегрирова-
нии с неравновесной функцией распределения полный ток мо-
жет быть отличен от нуля.
Если, например, неравновесность вызвана оптическим воз-
действием, то в системе будет иметь место фотогальванический
эффект. Подробная теория фотогальванического эффекта в струк-
турах с асимметричным по импульсу спектром изложена в [27].
Отметим также, что в [29] предсказано наличие в рассматри-
ваемой структуре двух типов нелинейных по магнитному полю
магнитоэлектрических эффектов: продольного (по отношению к
оси z структуры), когда электрическая поляризация вдоль оси z
(Bz), существующая и в отсутствии магнитного поля, изменяется в
слабых полях квадратично по полю, и поперечного, когда в струк-
туре в скрещенных магнитных полях, одно из которых направлено
вдоль оси z, а другое - вдоль плоскости КЯ (Ву), возникает элек-
трическая поляризация вдоль плоскости ям.
Увеличение локализации волновой функции с увеличением
магнитного поля В приводит к тому, что электрон все меньше
“чувствует” наличие второй КЯ. Так как и при В=0 данные эффек-
ты отсутствуют, например, ток J = 0, то зависимость этих эффек-
тов от магнитного поля должна иметь максимум при промежу-
точных значениях В. В этой области информацию о поведении
системы можно получить в результате численного решения урав-
нения (7.6.1).
Для системы, содержащей две прямоугольные КЯ одинаковой
глубины и барьеры одинаковой высоты, с размерами КЯ Л) - 0.58Л,
- 0.5Л и среднего барьера b = 0 5Л (здесь Л = -§2n2h2 /mMJ,
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
251
Д1/- высота барьера), результа-
ты расчета закона дисперсии
£(ЛХ) представлены на рис. 7.31.
Видно, что с увеличением
магнитного поля меняется форма
кривой закона дисперсии и по-
является дополнительный мини-
мум. Значение магнитного поля,
при котором появляется второй
минимум (многосвязность по-
верхности постоянной энергии),
Рис. 7.31. Дисперсионные кривые
для двухъямной структуры ai =
= 0.58Л, ej = 0.5Л, fe=05A в маг-
нитном поле В:
уменьшается С ростом ширины кривая 1-0.5; 2 -1.0; 3-2.0 [29]
барьера между КЯ. Для рассмат-
риваемой двухъямной структуры при т = 0.067пго и AU = 0.1 эВ, что
соответствует разрыву зоны проводимости для гетероперехода
GaAs - AlxGai-xAs при х = 0.1, два минимума появляются при
В=5Тл [29].
Аналогичный вид будут иметь и дисперсионные кривые для
дырок. Однако положения экстремумов Е\кх) для электронов и
дырок в общем случае не совпадают. Таким образом, приложение
магнитного поля приводит к тому, что прямозонная асиммет-
ричная структура становится непрямозонной.
Необходимо также отметить влияние магнитного поля на зави-
симость электронной плотности в КЯ от величины приложенной к
структуре разности потенциалов. На рис.7.32 представлены зави-
симости вероятностей нахождения электрона в КЯ су] и а>2 от при-
ложенной к структуре разности потенциалов V для двухъямной
структуры с размерами aj = 0.5Л, aj =0.6Л, д = 0.3Л для кх, соот-
ветствующего абсолютному' минимуму на кривой Е(кх). Видно,
Рис. 7 32 Зависимость электронной плот-
ности в КЯ со под приложенной к структу-
ре разности потенциалов U при В-0
(кривая 1- й>|, 2 - ) и при В=3 (кривая
3 -со\, 4 -а>г) для двухъямной структуры с
«I =О5Л,а2 =06Л, /> = 03Л [29]
что при наличии магнитного
поля зависимости су(к) ста-
новятся более резкими. При-
чем, при достижении кри-
тического значения Vkp про-
исходит скачкообразное из-
менение локализации вол-
новой функции. При V вбли-
зи Vi(p включение магнитного
поля существенно меняет со-
отношение Между СУ] и й>2-
Это, в свою очередь, приведет
к резкому изменению сопро-
тивления как вдоль отдель-
252
Гл. 7. Транспортные явления
ных слоев, так и при их параллельном включении, если параметры
слоев различаются, что можно использовать при создании различ-
ного рода электронных устройств [33,34].
Рассмотрим теперь связанные с асимметрией энергетического
спектра особенности электрон-фононного взаимодействия.
Рассмотрим квазидвумерную (2D) электронную систему в ко-
ординатах (х у, z), где ось z перпендикулярна к плоскости 2D слоя.
Магнитное поле В=(0, Ву,0) направим вдоль оси у и выберем век-
торный потенциал в виде A=(Byz,O,O). Тогда гамильтониан элек-
трона
Я = -^-[(рг + eByzf + pj + р?]+ U(z), (7.6.6)
2т
где т - эффективная масса электрона; е- модуль заряда электрона;
U(z) -квантующий потенциал 2D системы, а волновая функция
электрона
у/к = C<p(kx,z)exp(ikxx + ifcyy)exp(- (7.6.7)
где нормировочная константа
Lx и Ly - размеры 2D системы вдоль осей х и у; к- волновой век-
тор электрона, а еу- энергия электрона. Подстановка (7.6.7) в
уравнение Шредингера с гамильтонианом (7.6.6) приводит к
й2 <?2y>(fcx,z) ।
2m <^2
Й2Л? heBvkxz (eBvz¥ . ч
^+^L2L+l_JL-L+t/(z)_^x) p(^,z) = 0,
2т т 2т
(7.6.8)
где энергия
г(кх}=£к
h2ky
2т
Для анализа интересующих нас эффектов воспользуемся моде-
лью треугольного квантующего потенциала (асимметричный по-
тенциал)
U(z) = i
оо, z < О
eEzz, z > О
(7.6.9)
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
253
используемой при расчете энергетического спектра электронов в
инверсионных слоях на поверхности полупроводников, где Ez-
модуль напряженности электрического поля на поверхности. Будем
рассматривать электронную систему в квантовом пределе, когда
электроны заполняют состояния лишь в нижней электронной под-
зоне, при выполнении условия (do/lg^f «1,
где
do =
' т2г у3
\6теЕт I
\ * j
- толщина электронного 2D слоя (среднее удаление электрона от
границы z = 0) при By = 0, а
( * 'У2
п
- магнитная длина (радиус циклотронной орбиты электрона в маг-
нитном поле). В этом случае решение уравнения (7.6.8) с потен-
циалом (7.6.9) для нижней электронной подзоны имеет вид [30]
/Ч2^3ГО
п 9л
<2пг) . 8
eEz +
heBJc
-12/3
h2k2
+----
2т
(7.6.10)
т
p(A:x>z) =
+ 'ieBykx c{kx)-ti2kx 1‘i.m'
ti ) eEz+tieBykx/m
0,
где Л/(<) - функция Эйри.
Из (7.6.10) следует, что при Ву * 0 и в этом случае появляется
асимметричный энергетический спектр электрона
(7.6.12)
где их = (1/й)[<^(А:х)/<^х] - скорость электрона вдоль оси х Физи-
ческая причина появления асимметрии (7.6.12) состоит в следую-
щем. Магнитное поле, параллельное плоскости 2D системы, не
может обеспечить вращательное движение электрона по цикло-
тронной орбите и приводит лишь к небольшому изменению волно-
вой функции. При движении электрона со скоростью их на него в
направлении (-z) действует сила Лоренца, в связи с чем максимум
волновой функции электрона смещается в направлении (- :).
254
Гл. 7. Транспортные явления
Рис. 7.33. Изменение состояния электрона
под действием силы F, (переход 1-»2) и
силы-F, (переход I—>3)
При движении электрона со ско-
ростью -их направление силы
Лоренца меняется на противопо-
ложное, и смещение максимума
волновой функции электрона
происходит в направлении (z).
Поэтому в несимметричном по-
тенциале l/(z)*l/(-z) энергия
электрона е(их) * £(-их).
Благодаря асимметрии (7.6.12)
динамические свойства элек-
тронной системы оказываются
различными для направлений
(х) и (-х). Продемонстрируем
это различие на конкретном при-
мере. Пусть в начальный момент
времени электрон обладает ско-
ростью и,! = 0 и находится в со-
стоянии 1, что соответствует
минимуму энергетической подзоны (7.6.10), изображенной на
рис. 7.33. Под действием силы Fx электрон за время t будет пере-
ходить в состояние 2, а под действием силы - Fx за это же время
будет переходить в состояние 3, так что kxi -kx\ =kx\ -kx-i=Fxtlh.
Поскольку энергетический спектр электрона с(кх) асимметричен
для направления и {-кх}, то приобретенная электроном ско-
рость ь>Л2 *ь»хз. Таким образом, передаваемый электрону со сторо-
ны внешней силы кинетический импульс, равный произведению
массы электрона и скорости их, оказывается различным для сил,
действующих в направлениях (х) и (-х). Отсюда следует, что при
возмущении электронной системы внешним воздействием, изо-
тропным относительно направлений (х) и (-х), возникает различ-
ная передача кинетического импульса электронной системе в этих
направлениях, и это приводит к появлению дрейфа электронов
вдоль оси х [30]. Иными словами, любое изотропное возмущение
любой электронной системы с асимметричным энергетическим
спектром £(yx)*£(-vx) приводит к возникновению электродви-
жущей силы вдоль осих.
Рассмотрим этот эффект подробнее для случая, когда возмущение
электронной системы обусловлено взаимодействием электронов с
акустическими фононами.
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
255
Из асимметрии энергетического спектра электронов (7.6.12)
непосредственно следует пространственная асимметрия электрон-
фононного воздействия: одинаковые фононы со взаимно противо-
положными направлениями волнового вектора будут по-разному
взаимодействовать с электронами.
Физическая причина этой асимметрии состоит в следующем.
При поглощении фонона электрон переходит из одного состояния
подзоны (7.6.10) в другое. При этом начальное состояние электрона
кх и конечное состояние электрона кх удовлетворяют законам со-
хранения энергии и волнового вектора
£(k'xX) = €(kxx)+hvi\qx\t
кх\ ~ кх\ + qx;
. кх1 =kxl-qxy
где i?/ - продольная скорость звука в кристалле, что схематично
изображено на рис. 7.34. Поскольку электронные подзоны е{кх)
асимметричны для направлений и {-кх}, то волновые функ-
ции <p(kx,z) начального и конечного состояний электрона меняются
при изменении знака компоненты волнового вектора qx. Из
(7.6.10), (7.6.11) следует, что <({kx\,z}* <p{kX2,z) и <o(*ii,z)*
*<p(kX2,z). Поэтому матричный эле- .
мент потенциала электрон-фонон- е
ного взаимодействия U(q) оказыва-
ются различными для процессов по-
глощения фононов с компонентами
волнового вектора qx и -qx, так что |
|(<0(*х1, z)| q) ’ z)| * , '
* |(^х2,z)|t7(^)|«4A:;2,z))|. /
/
Поскольку вероятность взаимодей- х. —
ствия электронов с фононом у2
H7(q)x \{<р(кх, z )|С/ (q) , z))|2,
ТО отсюда следует, что при qx * 0 Рис. 7.34 Структура электронных
вероятности взаимодействия элект- переходов ПРИ поглощении фоно-
к нов с волновыми векторами q и -q
256
Гл. 7. Транспортные явления
ронов с фононами q и -q оказываются различными [31]. В частно-
сти, для фонона с волновым вектором q={qxfi,Qx) при tox^o)2 «1
вероятность взаимодействия с электроном в слабом магнитном по-
ле имеет вид [32]
Wtq^W^q)
(7.6.13)
где W$(q) - вероятность взаимодействия электрона с этим фононом
в отсутствии магнитного поля, так что
W{q)-W(-^= —| Fofc).
15 \QxkEz)
Из проведенного анализа видно, что пространственная асимметрия
электрон-фононного взаимодействия представляет собой чисто кван-
товое явление. Рассмотрим конкретные физические ситуации, в ко-
торых это явление приводит к макроскопическим эффектам.
Поскольку поглощение и излучение фононов сопровождаются
изменением импульса электронной системы, то различные вероят-
ности взаимодействия электронов с фононами q и -q приводят к
различной передаче импульса электронам от акустических волн,
распространяющихся во взаимно противоположных направлениях.
Отсюда непосредственно следует аномалия акусто-электрического
эффекта, заключающаяся в том, что ЭДС фононного увеличения
электронов оказывается различной для волн со взаимно противо-
положными направлениями волнового вектора. В частности, ЭДС
фононного увлечения электронов будет возникать при наличии
стоячей акустической волны, представляющей собой суперпози-
цию акустических волн с одинаковыми амплитудами и взаимно
противоположными направлениями волнового вектора [31].
Другие возможные эффекты обусловлены взаимодействием
между электронной и фононной системами, находящимися в не-
равновесном состоянии вследствие пространственно однородного
нагрева. Будем рассматривать ситуацию, когда распределение фо-
нонов по энергии описывается функцией Бозе-Эйнштейна
«to)=(exp[fii>/<7/fc0T] -1)-1,
где Т - температура фононной системы, а распределение электро-
нов по энергии описывается функцией Ферми-Дирака
f(£k) = (ехр[(£* - ef )/ Iq, 7^] + I)-1
где Те = Т + ДГ - есть температура электронной системы. Тогда
при ДТ *0 вдоль оси х возникает электродвижущая сила ко-
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле 257
торая при низких температурах и слабых магнитных полях опреде-
ляется выражением [32]
тЬЛ ДТУВу )
I I -з I I I т I г I* ' 7.6.14)
vi ) V ti3 ) \лре \ Т \Ezj
где Е - константа деформационного потенциала; р - плотность кри-
сталлической решетки. Из (7.6.14) следует, что при ДГ <0 величина
£^<0, при АТ > О имеем £j<>0, а при АТ = 0 величина Е^=0. Физи-
ческая причина такой температурной зависимости состоит в следую-
щем. При АТ < 0 происходит передача энергии от фононной системы
к электронной, сопровождающаяся поглощением фононов электро-
нами. Из (7.6.13) следует, что вероятность поглощения фонона W(q)>
>Wr(-q) при > 0- Поэтому эта передача энергии сопровождается пе-
редачей импульса электронной системе в направлении (х), вследствие
чего E%<Q. При АТ >0, наоборот, происходит передача энергии от
электронов к фононной системе, сопровождающаяся излучением фоно-
нов. Поскольку, согласно (7.6.13) вероятность излучения фонона
ИГ(^)>И?(-^) при qx > 0, то такая передача энергии сопровождается пе-
редачей импульса электронной системе в направлении (-х), благода-
ря чему Ек>0. При АГ = 0 электронная и фононная системы
находятся в термодинамическом равновесии и в соответствии с прин-
ципом детального равновесия вероятности излучения и поглощения
равны друг другу для любого фонона, так что передача импульса от
одной системы к другой не происходит и Е^-=0. Таким образом, уве-
личение фононной температуры Т (например, из-за однородного на-
грева кристаллической решетки) или увеличение электронной тем-
пературы Те (например, из-за нагрева электронного газа с помощью
электрического полд) приводят к возникновению ЭДС фононного ув-
лечения электронов [32]. Этот феномен представляет собой ча-
стный случай обсуждавшегося ранее эффекта анизотропной
передачи импульса электронам при изотропном внешнем воздей-
ствии [30], где в роли изотропного возмущения электронной системы
выступает пространственно однородный нагрев.
При нагреве кристаллической решетки (АТ <0) температуры Т и
Те выравниваются за характерное время релаксации энергии в элек-
трон-фононной системе благодаря поглощению фононов электронами,
что приводит к исчезновению ЭДС. Поэтому описываемый выражени-
ем (7.6.14) при АГ < О эффект возникновения дрейфа электронов при
однородном нагреве кристаллической решетки является нестационар-
ным эффектом и будет наблюдаться при достаточно быстром измене-
нии температуры решетки. Иная ситуация возникает при нагреве
электронного газа (АТ >0) электрическим полем Ея = , обес-
258
Гл. 7. Транспортные явления
печивающим протекание электрического тока в плоскости 2D сис-
темы, поскольку в этом случае ЭДС (7.6.14) является стационарной
при фиксированных значениях Т и Е„. Эта стационарность обу-
словлена тем, что энергия, передаваемая электронной системой
кристаллической решетке при излучении фононов (тепло Джоуля-
Ленца), полностью поглощается термостатом, обеспечивающим
постоянство температуры кристаллической решетки Т, так что раз-
ность температур АТ не меняется с течением времени.
Рассмотрим подробнее эффекты, возникающие при нагреве
электронного газа электрическим полем. Пусть электрическое поле
направлено вдоль оси х, так что Ец = |ЕХ|. В этом случае протекаю-
щий вдоль оси х электрический ток
jx=<r(Ex+EKILx), (7.6.15)
где а- проводимость в плоскости 2D системы. Скалярная величина ДТ за-
висит только от модуля электрического поля |ЕХ|, в связи с чем изменение
направления поля не меняет ЭДС (7.6.14), так как ЕК(ЕХ) = Ек(-Ех). По-
этому из (7.6.15) следует, что jx(Ex)* у Д-Ех), благодаря чему появляется
эффект анизотропии электрического тока. Пусть внешнее электрическое по-
ле направлено вдоль оси у, так что Ец = |Еу|. В этом случае нагрев элек-
тронного газа обусловлен протеканием тока вдоль оси у, а возникающая
при этом нагреве ЭДС Е% направлена перпендикулярно к внешнему элек-
трическому полю, вследствие чего появляется эффект поперечной ЭДС.
Нагрев электронной системы может осуществляться не только постоян-
ным, но и переменным электрическим полем. В частности, нагрев элек-
тронного газа и появление ЭДС Е% будут наблюдаться при падении на 2D
структуру плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль
оси z, в результате возникает эффект фотоиндуцированной ЭДС.
Таким образом, пространственная асимметрия электрон-фононного
взаимодействия приводит к появлению кинетических эффектов, различ-
ных с феноменологической точки зрения, но имеющих единую микро-
скопическую природу.
7.7. Эффект Ааронова-Бома
Рассматривая транспорт электронов вдоль проводящих слоев, оста-
новимся еще на одной идее, открывающей путь для создания сверхбыст-
родействующих электронных приборов с малой мощностью переклю-
чения, в том числе квантового интерференционного транзистора.
В 1959 г. Якир Ааронов и Дэвид Бом обратили внимание на то, что
электромагнитный вектор-потенциал должен сдвигать фазу волновой
функции электрона <р (даже в том случае, когда путь электрона лежит
7.7. Эффект Ааронова-Бома
259
в области, где нет никаких электрических или магнитных полей) на ве-
личину
АР = ? to -AdS), (7.7.1)
Л J
где q - модуль заряда электрона; dS и dt - элементы пути и времени
на траектории электрона; V - напряжение электрического поля; А -
вектор потенциал магнитного поля.
На рис. 7.35 показана схема эксперимента по наблюдению маг-
нитного эффекта Ааронова-Бома (АБ). Пучок электронов, испускае-
мых из источника, в плоскости "а" расщепляется таким образом, чтобы
он огибал магнит-
ный поток с двух
сторон. В плоско-
сти "б" парциальные
электронные пучки
сливаются и элек-
тронные волны ин-
терферируют друг
с другом. Относи-
тельная фаза элек-
Рис. 7.35. Схема эксперимента по наблюдению маг-
нитного эффекта Ааронова-Бома
тронов в двух пучках определяется магнитным потоком Ф в соленои-
де, расположенном между путями электронов. При изменении Ф будет
меняться интерференционная картина, а следовательно, электронный
ток и проводимость структуры.
Рассмотрим простейший случай, когда через плоскость "а" проле-
тают два электрона с одинаковыми начальными фазами электронных
волн. Обозначив начальные и конечные амплитуды электронных волн
А, (0) и A,(L) (z=l,2), коэффициент прохождения от "а" к "б" можно
представить в виде
D =
Aj (0)expQ'ki£) + ^2(0)exp(jT:2^)
4(0) + Л2(0)
(7-7.2)
2
Пусть в плоскости "а" электроны находились в одинаковых со-
стояниях. Тогда Я|(0) = А2(0) и D = cos2[(Ai - kz )L12]. Если нормально
к структуре приложено магнитное поле с индукцией В, то согласно
(7.7.1) (£1 -k2)L = q<I>/fi, здесь Ф=В 8эфф - магнитный поток через
площадку Бэфф между средними линиями каналов, так что коэффи-
циент прохождения
£> = соз2(9Ф/2Й). (7.7.3)
Таким образом, электронный ток и проводимость структуры
должны периодически осциллировать при изменении магнитного по-
тока Ф с периодом h/q.
260
Гл. 7. Транспортные явления
Рис 7.36. Микрофотография зо-
лотого колечка с токоподво-
дами [35]
Простейшей цепью, являющейся ана-
логом геометрии АБ, является колечко
из тонкой проволоки с двумя токопод-
водами (рис. 7.36).
Если в металлических образцах
размах осцилляций АБ не превышает
0.15% от среднего сопротивления, то в
полупроводниковых интерферометрах
на основе 2D - электронного газа на-
блюдался размах осцилляций 35%. На
рис. 7.37 приведено изображение и схе-
матический разрез такого интер-
ферометра на основе гетероперехода
AlGaAs/GaAs. На рис. 7.38 показаны
результаты измерений сопротивления в зависимости от величины
магнитного поля при Т®20 мК. Видно, что на осцилляции сопротив-
ления с периодом hlq наложен флуктуирующий фон. Когда элек-
троны движутся по кольцу, на их траектории действует магнитный
поток (сила Лоренца), пронизывающий материал кольца. Этот вклад
выглядит как случайные флуктуации сопротивления при изменении
магнитного поля [35]. Такие флуктуации имеют гораздо больший
характерный масштаб по магнитному полю, чем первичные осцил-
ляции АБ. Считается, что в первом приближении различие в мас-
штабе полей отражает разную площадь пронизывающего потока:
для периодических осцилляций АБ поток ограничен площадью всей
петли, в то время как в случайную компоненту дает вклад только
площадь проводящего канала. Таким образом, отношение масштабов
магнитных полей приблизительно равно отношению соответствую-
щих площадей. При увеличении магнитного поля характер осцилля-
ций изменяется слабо до тех пор, пока поле не достигнет столь
больших величин, при которых диаметр циклотронной орбиты (удво-
а
б
Рис. 7.37. Полупроводниковый интерферометр:
а - изображение в растровом электронном микроскопе, б- схематический разрез [36]
7.7. Эффект Ааронова-Бома
261
енная магнитная длина) станет
меньше ширины проводящего
канала и нарушается диффуз-
ное движение электронов.
Влияние скалярного потен-
циала на интерференцию элек-
тронных волн (электростати-
ческий эффект Ааронова-Бома)
изучалось на устройстве, пока-
занном на рис. 7.39. Это устрой-
ство представляет собой метал-
лическую петлю с конденсатор-
ными электродами вд оль ее сто-
рон. Постоянное напряжение,
Т-20нЯ
К,ком
30 -
/
-fl
10
О 0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 7.38. Зависимость сопротивления
интерферометра от магнитного поля. На
вставке - поведение осцилляций АБ в об-
ласти минимума биений [361
приложенное к конденсаторным электродам, обусловливает накапливае-
мое увеличение фазы электронов в боковых сторонах петли. При
этом изменение напряжения ди будет вызывать осцилляции коэффициен-
та прохождения
£> = cos2(?rAP72fc),
(7-7.4)
где г = Ыи- среднее время пролета электронов через канал; L -
длина канала, на котором действует электрическое поле; и - сред-
няя скорость электронов. Изменение фазы в данном случае проис-
ходит из-за изменения длины волны электронов и определяется
временем пролета участка, где действует электрическое поле, а не
площадью кольца, как в случае магнитного эффекта АБ.
На рис. 7.40 приведены результаты измерений зависимости сопро-
тивления от величины магнитного поля для петли (рис. 7.39) из сурьмы
размером 0.8 мкм. Согласно рис. 7.40, а фаза осцилляций h/q в этой петле
Рис 7 39. Микрофотография струк-
туры для изучения электростатиче-
ского эффекта Ааронова-Бома [35]
изменяется на /г при изменении напряжения, приложенного к конденса-
торным электродам, на 0.75 В. Амплитуда осцилляций при этом практиче-
ски не меняется. Таким образом, прикла-
дывая напряжение к конденсаторным
электродам, можно менять выходное на-
пряжение на кольце при постоянном
магнитном поле.
Изменение напряжения на кон-
денсаторных электродах приводит к
смещению осцилляций по шкале маг-
нитного поля. На рис. 7.40, б показано
изменение сопротивления от магнитно-
го поля при увеличении напряжения на
конденсаторных электродах на 0.2 В
при переходе от нижерасположенной
кривой к вышерасположенной Сог-
262
Гл. 7. Транспортные явления
Рис. 7.40. Зависимость сопротивления от магнитного поля (а), изменение сопро-
тивления при увеличении напряжения на конденсаторных электродах (б) [35]
ласно рис. 7.40, б по мере роста электрического напряжения осцил-
ляции сдвигаются сначала в отрицательном направлении, а после
четвертой кривой обратно в положительном направлении.
Строго говоря, в данных экспериментах эффект АБ также прояв-
ляется не в чистом виде. Электрическое поле, проникая в проводя-
щий канал, непосредственно влияет на движение электронов, что
меняет интерференционную картину.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Денис В., Паужа А. и др. Электроны в полупроводниках. - Вильнюс,
Мокслас, 1980. - Т. 2.- С. 9-72.
l.Jacoboni C.t Reggiani L. Bulk hot - electron properties of cubic semicon-
ductors II Adv. Phys. - 1979,- V. 28, N 4.- P. 493-533.
3. Pozela J.t Reclaitis A.. Electron transport properties in GaAs at high electric
field H Sol.St.Electron.- 1980. - V. 23, N 9. - P. 927-933.
4. Stanton Ch. J., Wilkins W. Hot - electron nois in two-valley semiconductors //
Phys. Rev. B. - 1987. - V. 36, N 3. - P. 1686 -1695.
5. Meyyappan, Rreskovsky J.P., Gribin H.L. Numerical stimulation of an AlGaAs/GaAs
bipolar inversion Channel FET H Sol. St Electr. -1988. - V. 31, N 6. - P. 1023-1030.
6. Ghis, E.Constantet.al. Ballistic and ©overshoot electron transport in bulc semicon-
ductor and in semiconductor devices //J Appl. Phys.-1988.-V. 54, N 1.-P.214-221.
7. Nougier J.P., Vissiere J.C.et.al. Determination of transient regime of hot carries
in semiconductors using the relaxation time approximations // J. Appl. Phys. -
1981. - V. 52, N 2. - P. 825-832.
8. Матулёнис A.t Пожела Ю., Реклайтис Ф. Динамика разогрева электро-
нов И Электроны в полупроводниках. - Вильнюс, Мокслас, 1978.- С. 7-58.
9. Rees Y.D. Time response of the high field distribution function in GaAs // IBM
J.Res. Dev. - 1969. - V. 13, N 5. - P. 537-542.
10. Mori T., Hamaguchi C.t Shibatomi A. Hot electron effect in short n*- n - n+
GaAs structures /7 Jap. J. Appl. Phys. - 1984. - V. 23, N 2. - P. 212-215.
11. ПожелаЮ. Физика быстродействующих транзисторов. - Вильнюс, Мокслас, 1989.
12. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры / Под ред. Л. Ченга,
К. Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
\УШурМ. Современные приборы на основе арсенида галлия-М.: Мир, 1991.-632 с.
Список литературы
263
14. ПерсТ(информационный бюллетень), 1997. - Т. 4, вып. 13.
15. Тагер АС. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупроводни-
ковых структурах и перспективы их применения в электронике СВЧ И Элек-
тронная техника. Сер. Электроника СВЧ. -1989. - Ч. 1, вып.9(403) - С. 21 -34.
16. Мигапь В.П., Лубыюев Д.И., Преображенский В.В. и др. Молекулярно-лучевая
эпитаксия структур GaAs //Электронная промышленность, 1989. -№ 6. - С. 6-7.
17. ТиходеевЮ.С., Марков О.Т. Двумерный электронный газ в гетероструктурах:
свойства, применение в микроэлектронике И Обзоры по электронной технике.
Сер. 2. Полупроводниковые приборы. - М., 1985. - Вып. 8 (1129), -32 с.
18. Иогансен Л.В. Тонкопленочные электронные интерферометры И УФН. -
1965.- Т. 86, вып. 1.-С. 175-179.
19. ЗайманДж. Электроны и фононы. - М.: ИЛ, 1962.
20. Chattopadhyay D. Mobility in n-(Al,Ga)As/GaAs heterojunctions at moderate
electric fields И Electronics Letters. - 1984. - V. 20, N 11. - P. 446-468.
21. Vinter B. Phonon limited mobility in AlGaAs/GaAs heterostructures I I
Appl.Phys.Lett. - 1984. - V. 45, N 5. - P. 581-582.
22. Leburton J.P. Size effects on polar optical phonon scattering of ID and 2D
electron gas in sinthetic semiconductors I I J.AppLPhys. - 1984. - V. 56, N 1 О.-
P. 2850-2855.
23. Фейнман P., Лейтон P., Сэнде M. Фейнмановские лекции по физике. -
М.: Мир, 1978. - Т. 8-9. - 528 с.
24. Кибис О.В. Исчезновение электрон-фононного взаимодействия в узкозон-
ных кристаллах И Изв. вузов, сер. Физика. - 1997. - Т. 40, вып. 8. - С. 78-82.
25. Кибис О.В. Исчезновение электрон-фононного взаимодействия в сверхрешет-
ках в квантующем магнитном поле // ФТП. -1998. - Т. 32, вып.6. С. 730-732.
26. Пожела Ю., Юцене В. Рассеяние электронов на оптических фононах в
двумерных квантовых ямах с независимым захватом электронов и фоно-
нов И ФТП. - 1995. - Т. 29, вып.З. - С. 459-468.
Z1.Артамонов ЮА, Горбацевич АА, АЬтевЮ.Д//ЖЭТФ.-1992.-Т. 101.-С.557.
28. Горбацевич А А. И ЖЭТФ.- 1989. - Т. 95. - С. 1467.
29. Горбацевич АЛ, Капаев В.В., Копаев Ю.В. Асимметричные наноструктуры
в магнитном поле И Письма в ЖЭТФ. - 1993. - Т. 57, вып.9. - С. 565-569.
30. Кибис О.В. Эффект анизотропной передачи импульса в низкоразмерных
электронных системах в магнитном поле И Письма в ЖЭТФ. - 1997. -
Т. 66, вып.8.-С. 551-555.
31. Kibis О. V. Possible new quantum macroscopic effect in low-dimensional structures:
The appearance of an electromotive force in a standing acoustic wave H Physics Letter
A. -1999. - V. 237. - P. 292-296; Physics Letter A. -1998. - V. 244. - P. 574.
32. Kibis О. V. New quantum electron transport phenomena in low-dimensional
system in magnetic field П Physics Letter A. - 1998. - V. 244. - P. 432-436.
33. Горбацевич A.A., Капаев B.B., Копаев Ю.В., Кремлев В.Я. Квантовые при-
боры на основе передислокации волновых функций в гетероструктурах И
Микроэлектроника. - 1994. - Т. 23, вып.5. - С. 17-26.
34. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В., Кремлев В.Я. Квантовые при-
боры на основе эффекта передислокации волновой функции И Электрон-
ная промышленность. - 1995. - № 4-5. - С. 28-31.
35. Webb R.A.. Washburn S. Квантовоинтерференционные флуктуации в разупо-
рядоченных металлах. Физика за рубежом 1990: Серия А; Сборник статей /
Пер. с англ., франц. - М.: Мир, 1990. - 184 с.
36. Быков А.А., Квон З.Д., Олыианецкий Е.Б и др. Квазибаллистический элект-
ронный интерферометр И Письма в ЖЭТФ. -1993 - Т.57, вып.9. - С. 596-599.
ГЛАВА 8
ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО - РАЗМЕРНЫЕ
СТРУКТУРЫ
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру
с квантовой ямой
Ранее были рассмотрены особенности формирования простран-
ственного заряда в инверсионном слое у поверхности полупровод-
ника в случае наличия размерного квантования. Движение элек-
трона при этом предполагалось вдоль поверхности, например, в
канале МДП-транзистора.
В то же время, за последние 20 лет появилось множество на-
учных работ и технических разработок, описывающих работу
электронных быстродействующих приборов, функционирование
которых основано на движении электронов поперёк квантово-
размерных слоёв. Понятно, что и в этом случае толщина таких сло-
ёв должна быть достаточно малой, чтобы проявились квантово-
механические (волновые) свойства электрона. Получение таких
тонких слоёв стало возможным только после развития современ-
ных технологий. Наиболее распространённой из них является мо-
лекулярно-лучевая эпитаксия. Именно с её помощью удаётся
получать многослойные тонкоплёночные структуры с толщиной
отдельных слоёв порядка десятков и единиц нанометров.
Упомянутое выше быстродействие основано на закономерно-
стях прохождения туннелированием электронов сквозь тонкие по-
тенциальные барьеры и на взаимодействии этих электронов с
энергетическими уровнями размерного квантования в потенциаль-
ных ямах, разделяющих барьеры.
Ранее было отмечено, что критерием перехода к размерному
квантованию служит уменьшение толщины слоя до величины по-
рядка длины волны де Бройля электрона. Именно с этого момента
главным в характеристике • электрона и в его взаимодействии с
внешней средой становятся его волновые свойства. Для наглядно-
сти и ясного представления рассматриваемых реальных величин
полезно будет провести оценку длины волны электрона для метал-
ла и полупроводника.
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру ... 265
В своё время из эксперимента по дифракции электронов при
прохождении их через твёрдое тело было обнаружено, что длина
волны электрона X обратно пропорциональна его скорости
пк>
(8.1.1)
причём коэффициент пропорциональности оказался равным h/m -
постоянной Планка, делённой на массу электрона. Используя эту
экспериментальную зависимость, можно записать формулу для
квазиимпульса в виде
h _ 2лй
р = тми =
(8.1.2)
где 2л/1 называется волновым числом (или волновым вектором),
которое, как и в классической механике, определяет и направление
движения электрона.
Таким образом,
h _ h
к р~ ти и т ]
III I ^кин
15,4эВ
--т-----НМ
(8.1.3)
где т* - эффективная масса электрона в твёрдом теле, т0 - масса
электрона в вакууме, а Ект - кинетическая энергия электрона, вы-
раженная в электрон-вольтах. Для полупроводников отношение
эффективной массы к массе свободного электрона для приближён-
ных расчетов может быть принято т*Ляв=10_|. Кинетическая энер-
гия при комнатной температуре Ект =0.025 эВ. Подставив все эти
числа в (8.1.3), получим величину й300К = 25 нм =25-10’3мкм, что
составляет, наконец, 250 ангстрем.
Для металлов, где кинетическая энергия определяется энерги-
ей Ферми Ef= 1-10 эВ, волна де Бройля электрона на порядок и
более меньше, чем в полупроводниках. Это означает, что именно
при таких толщинах тонких плёнок или структур, содержащих
слои с данной толщиной, можно ожидать проявления волновых
свойств электрона. В частности, это относится и к туннелированию
через тонкоплёночные структуры, которое описывается в данной
главе. Отсюда ясно, что эти эффекты технологически легче осуще-
ствить в полупроводниках, чем в металлах, так как возможность
создания тонкой плёнки с необходимыми для проявления кванто-
вания размерами и с сохранением монокристаллических свойств
тем легче, чем больше её толщина.
Наибольший интерес с точки зрения создания новых высоко-
частотных приборов вызывают не одиночные барьеры, а структу-
266
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
Рис 8.1. Тонкоплёночный резонансный туннель-
ный триод (а\, изменение потенциальной энергии
электрона в зависимости от приложенного на-
пряжения (б, в и г):
1 и 5 - металлические эмиттер и коллектор; 2 и 4 - два ди-
электрических барьера, между которыми расположен тон-
кий проводящий резонатор 3
ры, имеющие двойной
потенциальный барьер,
разделённый квантовой
ямой. Впервые подроб-
но такую задачу с точки
зрения не только чисто
квантово-механических
расчетов, но и учитывая
возможное применение
в электронике, рас-
смотрел наш соотечест-
венник Л. В. Иогансен
[1,2].
На рис. 8.1 изобра-
жена схема тонкоплё-
ночного туннельного
триода из [2]. Эмиттер
(справа) служит источ-
ником электронов, ко-
торые туннелируют в
коллектор (слева) через
два барьера и яму. По-
нятно, что, если энергия
электрона совпадает с энергией уровня в потенциальной яме, их
поток принимает максимальное значение. Происходит так назы-
ваемое резонансное туннелирование. Надо сразу сказать, что этот
термин со времени опубликования работ Л. Иогансена, на которые
мы ссылаемся, разделился на два: резонансное когерентное и ре-
зонансное последовательное туннелирование. Второе означает,
что при приложении потенциала к двухбарьерной структуре элек-
трон, энергия которого совпадает с квантовым уровнем в яме,
туннелирует из эмиттера на этот уровень. Затем тот же электрон
ещё раз туннелирует через второй барьер в коллектор.
Считается, что эффект туннелирования по первому механизму
возникает, когда электронная волна так согласуется с размерными
квантовыми уровнями в яме, что волновая функция резонансных
электронов сохраняет когерентность по всей двухбарьерной систе-
ме. В этом случае так же как и в оптике, амплитуда волны в яме
должна расти и должно возникнуть резонансное туннелирование
через всю структуру. Именно это туннелирование называют в ли-
тературе когерентным резонансным туннелированием в отличие
от некогерентного, которое называют последовательным резо-
нансным туннелированием. Надо отметить, что различие между
этими двумя механизмами очень размыто. В уже упомянутых ра-
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру ...
267
ботах [1-4] активно обсуждались возможности использования КЯ
между барьерами в качестве резонаторов для электронных волн.
Считалось, что в отсутствие рассеяния система должна быть
прозрачна для электронов, обладающих резонансными энергия-
ми. Это, в свою очередь, должно привести к возникновению значи-
тельно большего тока, чем для некогерентного туннелирования.
Одновременно в цитируемых работах отмечалось, что для осуще-
ствления когерентного туннелирования необходимо выполнить
ряд требований к параметрам электрона и к двухбарьерной сис-
теме. Во-первых, длина волны электрона должна быть сравнима
с толщиной резонатора (квантовой ямой), иначе невозможно бу-
дет наблюдать интерференцию. Во-вторых, длина свободного про-
бега должна быть достаточно велика, чтобы электрон имел
возможность многократно пройти без рассеяния поперёк резонато-
ра. Для этого, кстати, он должен испытывать на границах ямы
только зеркальное рассеяние либо же с очень небольшой добав-
кой диффузности. Ну и, конечно, энергия электрона должна
совпадать с энергией одного из ло-
кальных квантовых уровней в
квантовой яме. Теоретическому и
экспериментальному исследованию
когерентного туннелирования по-
священо довольно много работ,
примером которых могут служить
[5-7]. В качестве иллюстрации при-
ведём вольт-амперные характери-
стики ВАХ, полученные в [8], где
наблюдалась модуляция тока по ме-
ре увеличения напряжения смеще-
ния. Эта модуляция объяснялась ав-
торами статьи присутствием интер-
ференционных явлений в двухбарь-
ерной структуре InGaAs-AlInAs
даже при комнатной температуре
(рис. 8.2).
Ещё более чётко видны модуля-
ции на зависимости дифференци-
альной проводимости от напряже-
ния для того же объекта (рис. 8.3).
При обсуждении этого экспе-
римента, так же как в других рабо-
тах, посвященных аналогичным яв-
лениям, предлагались два вида «от-
ражения» в системе. Первый - отра-
жение электронной волны от границ
Рис. 8.2. Вольт-амперные харак-
теристики двухбарьерной струк-
туры InGaAs-AlInAs при тем-
пературах ЗООК (а) и 77К (б)
На фрагменте показана в увели-
ченном масштабе модуляция то-
ка, приписываемая интерферен-
ции
268
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
V, В
Рис. 8.3. Дифференциальная проводимость (dl/dV) двухбарьерной стркутуры
InGaAs-AlInAs при 300 К и 77 К
квантовой ямы, когда необходимым условием интерференции яв-
ляется кратность длины волны электрона ширине ямы. Второй -
соответствие энергии туннелирующего электрона энергетическо-
му зазору между квантовыми уровнями в яме. В обоих случаях
может возникнуть резонансное туннелирование, которое, прежде
всего, выражается в росте вероятности перехода (коэффициента
прозрачности) для туннелирующего электрона при данных условиях.
Удивительной особенностью характеристик, показанных на
рис. 8.3, б, является количество наблюдаемых осцилляций - 22. По
оценкам авторов [8] в КЯ анализируемой структуры может быть не
более 14 уровней размерного квантования, а с учетом изменения
формы ямы от прямоугольной (при отсутствии внешнего напряже-
ния) до треугольной (при приложении напряжения) их количество
должно уменьшиться до 10. Таким образом, туннелирование через
уровни в КЯ должно было дать максимум 10 осцилляций. Осталь-
ные 12 осцилляций, по мнению авторов [8], соответствуют вирту-
альным уровням над КЯ и коллекторным барьером.
Для подтверждения данной гипотезы ими была рассчитана за-
висимость вероятности прохождения от приложенного напряжения
рис. 8.4 для структуры, показанной на вставке к рисунку. Из
рис. 8.4 видно, что по мере увеличения напряжения вероятность
перехода в этом случае, осциллируя, растёт, достигая насыщения
для энергий электррна, существенно превышающих высоту вход-
ного барьера. Такое поведение вероятности перехода в целом соот-
ветствует результатам анализа особенностей движения частицы
над потенциальной ямой (см. разд. 1.5). Отличие связано с конеч-
ной шириной правого барьера.
Как показывает анализ экспериментальных работ, при объяс-
нении полученных результатов различные авторы отдавали пред-
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру ...
269
почтение как механизму когерент-
ного туннелирования, так и меха-
низму последовательного тунне-
лирования. В теоретических рабо-
тах [9,10] можно найти вывод, что
предпочтение тому или иному ме-
ханизму надо отдавать в зависимо-
сти от условий эксперимента.
Например, в [9] можно найти до-
вольно подробное и достаточно
строгое определение условий про-
явления того или иного механизма.
Основой для выбора механизма яв-
ляется соотношение ширины вол-
Рис. 8.4. Изменение вероятности
перехода структуры в зависимости
от энергии электрона. На вставке
показана анализируемая система
нового пакета электронов (в ^-пространстве) к ширине резонансно-
го уровня б квантовой яме структуры, через которую туннелирует
электрон. Согласно аналитическим расчётам широкий волновой
пакет должен проходить структуру через промежуточное состояние
в квантовой яме, и это соответствует последовательному туннели-
рованию. И, наоборот, узкое распределение по импульсам приво-
дит к возникновению резонансного когерентного туннелирования.
В то же время наиболее правильным, по-видимому, является
утверждение: « ..., что в отсутствие рассеяния в яме как резонанс-
ное, так и последовательное туннелирование приводят к возникно-
вению одинакового по величине тока через структуру» [10].
Большинство экспериментальных (да и теоретических) работ,
посвященных туннелированию через двухбарьерные структуры, в
настоящее время используют понятие последовательного туннели-
рования, поэтому дальнейшее изложение будет посвящено более
напряжение на структуре
Рис 8.5. Осцилляции тун-
подробному изучению именно этого ме-
ханизма. Отметим сразу, что в совре-
менной литературе его чаще называют
просто резонансным туннелированием,
чему мы и будем следовать в дальней-
шем изложении.
Интерес к протеканию тока через
двух- и многобарьерные структуры воз-
ник из предположительной возможности
создать высокочастотные приборы на их
основе. Еще в [2] приводилась вольт-ам-
перная характеристика триода (рис. 8.5),
основанного на такой структуре. На ри-
нельного тока с изменением сунке хорошо ВИДНО, ЧТО ТОК периОДИЧе-
напряжения через двухбарь- ски возрастает, а затем спадает, создавая
ерную структуру условия для возникновения отрицатель-
270 Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
ного дифференциального сопротивления. Обратим ещё раз внима-
ние на то, что ток падает с ростом напряжения. Именно этот
феномен указывает на наличие отрицательного дифференциаль-
ного сопротивления (ОДС). Такое уменьшение тока с ростом на-
пряжения эквивалентно сдвигу фазы между указанными вели-
чинами на 180°. Иначе говоря, их переменные составляющие как
бы направлены навстречу друг другу. Следовательно, мощность
переменного сигнала, равная произведению тока на напряжение,
будет иметь отрицательный знак. Это показывает, что отрицатель-
ное сопротивление не потребляет мощности переменного сигнала,
а отдаёт его во внешнюю цепь. С помощью ОДС можно скомпен-
сировать потери, вносимые в схему положительным сопротивлени-
ем, и таким образом осуществлять схемы усилителя, генератора
или преобразователя напряжения. При этом необходимо помнить и
понимать, что эта отдаваемая мощность черпается из источника
постоянного напряжения, подключённого к элементу, обладающе-
му ОДС.
Качественное объяснение характеристики, кроме необходимо-
сти выполнения условий туннелирования через барьер, основано на
энергетической структуре квантовой ямы. Как упоминалось ранее,
она представляет собой систему локальных уровней размерного
квантования. Если вернуться к рис. 8.1, то легко пояснить повыше-
ние тока после включения напряжения. Это изменение будет свя-
зано с заполнением нижнего уровня в яме, который лежит ниже
уровня Ферми эмиттера (справа), и последующим туннелировани-
ем через второй барьер в коллектор. При дальнейшем увеличении
напряжения уровни в яме двигаются вниз по шкале энергии от-
носительно уровня Ферми. Понижение первого уровня ниже дна
зоны проводимости эмиттера сделает туннелирование через пер-
вый уровень невозможным, что вызовет уменьшение тока. Как
только незаселённый второй уровень «коснётся» уровня Ферми,
электроны начнут резонансным образом туннелировать из эмитте-
ра в коллектор, используя второй уровень для временного пребы-
вания в яме. Это, естественно, приведёт к резкому возрастанию
туннельного тока. Далее картина повторяется для следующего
уровня в яме, и в результате можно предположить осцилляции тока
с изменением напряжения. Понятно, что расстояние межцу пиками
на этой кривой будет пропорционально расстоянию между уровня-
ми в яме. Это даёт возможность установить зависимость энергии
электрона от величины квазиимпульса. Иначе говоря, полученная в
возможном эксперименте осциллирующая кривая позволит устано-
вить закон дисперсии электронов. В [2] также анализировался во-
прос о влиянии напряжения, подаваемого между КЯ и эмиттером,
что означало возможность функционирования системы в режиме
триода.
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру ...
271
К сожалению, как это не раз случалось, практическое осущест-
вление и основные работы по теоретическому их обоснованию бы-
ли выполнены не российскими учёными. Это было связано с
технологическим отставанием в развитии основного метода созда-
ния туннельно-барьерных структур - молекулярно-лучевой эпи-
таксии (МЛЭ).
Основополагающую расчетную работу в этой области в
1973 году выполнили в соавторстве Р. Цу и Нобелевский лауреат
Л. Есаки [11]. Они провели расчет процесса туннелирования элек-
тронов через конечную сверхрешётку. Были рассчитаны вольт-
амперные характеристики для различных предполагаемых экспе-
риментов. Главным условием такого мыслимого опыта было огра-
ниченное число периодов сверхрешётки и относительно малая
длина свободного пробега электрона.
Здесь уместно сделать несколько общих замечаний об истории
возникновения понятия, а затем и объекта исследования - сверх-
решётки. Впервые (и это признано всем научным сообществом) на
возможность создать дополнительный к решёточному периодиче-
ский потенциал указал в своей давней работе Л.В. Келдыш [12]. Он
показал, что деформации в кристалле, возникающие при прохож-
дении через него ультразвуковой волны, приводят к качественным
изменениям в зонной структуре. Это поле деформации звуковой
волны пространственно периодично, что. в свою очередь, приводит
к возникновению пространственной периодической модуляции
энергии электронов с периодом гораздо большим, чем постоянная
решётки. Ширина разрешённых зон Ео ~ 1/Х2, где X - длина волны
звука. Поскольку X » Эо ( -постоянная решётки кристалла), то
для электрона, движущегося в направлении распространения зву-
ковой волны, спектр разрешённых энергий распадается на ряд от-
носительно узких разрешённых и запрещенных зон (рис. 8.6).
Эта идея о возможности кардинальной рукотворной перестрой-
ки энергетического спектра электронов в кристалле была весьма
привлекательна, так как предсказывала возникновение ряда эффек-
тов, не наблюдавшихся
ранее. Одним из них яв-
ляется возникновение так
называемых осцилляций
Блоха, дающих принци-
пиальную возможность
построения СВЧ прибо-
ров. Сейчас эта проблема
активно обсуждается в
научной периодике и на
различных конференциях
[13-14] уже с точки зре-
Е
Ш7//7//7//7//7//7//7/
Ес AlGaAs
} минизона
Ес GaAs
X
Рис 8.6 Пример построения зонной диаграммы
сверхрешётки с образованием минизоны
272
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
Рис. 8 7 Энергетическая диаграмма СР в равнове-
сии (вверху) и при приложенном напряжении
(внизу):
I - падающий поток электронов; R - коэффициент отра-
жения; D - коэффициент прохождения
ния практического ис-
пользования. Первым
изготовил сверхрешёт-
ку на основе гетеропе-
реходов GaAs-AlxGa,_x
As тот же Есаки [15].
Интересно отметить,
что одновременно с
ним на Будапештской
конференции в 1970
году идею сверхре-
шётки доложили рос-
сийские учёные из
Горьковского физико-
технического институ-
та [16,17].
Но они назвали
Рис 8.8 Зависимость ло-
гарифма коэффициента
пропускания от энергии
электрона для случаев
двух-, трёх- и пятибарьер-
ной структуры. Ширина
барьеров 20 ангстрем, а
ям- 50 [111
свою работу просто
«полупроводниковой многослойной периодической структурой» и
изготовили структуру не новой технологией МЛЭ, а обычной газо-
фазной эпитаксией, да и периодичность достигалась чередованием
слоёв различной степени легированного кремния р- и л-типа про-
водимости. Все это привело к тому, что их пионерскую работу ред-
ко цитируют и не отмечают наравне с пионерской работой Есаки.
В нашей стране сверхрешётку на ос-
нове слоев GaPxAs,_x и GaAs, полученных
газофазной эпитаксией, впервые создал
Ж. И. Алфёров с коллегами в том же 1970
году. Свои результаты они изложили в
[18], уже ссылаясь на первую работу Еса-
ки. Правда, и Есаки при объяснении
свойств сверхрешётки, основанных на со-
отношении амплитуд модуляции зоны
проводимости и валентной зоны [20],
ссылался на работу Алфёрова [19].
Всё это указывает на очень высокий
уровень отечественной науки, которой мы
вправе гордиться.
Энергетическая диаграмма сверхре-
шётки без и при приложенном напряже-
нии изображена на рис.' 8.7. Подробно
исследовав протекание тока J через эту
систему последовательного туннелирова-
ния, в [11] было получено выражение для
расчета ВАХ многобарьерных структур.
8.2. Вольт-амперная характеристика многослойных структур
273
Зависимости коэффициента про-
пускания от энергии, рассчитанные
для структур с двумя, тремя и пятью
барьерами, представлены на рис. 8.8.
С учетом рис. 8.8 на вольт-амперных
характеристиках должны появиться
области отрицательной дифференци-
альной проводимости.
На рис. 8.9 показаны вольт-ам-
перные характеристики, рассчитанные
для двух- и трёхбарьерной структуры.
Характеристики на рис. 8.9 рассчита-
ны для случая Г = О, когда выражение
для плотности тока принимает вид
* Ер
J-^ YEF-Ex)DecdEx. (8.1.4)
2л Й о
t t i io iz и (Г
V( вольт)
Рис. 8.9. Зависимость плотности
тока для двух- и трёхбарьерной
структуры от приложенного на-
пряжения
Одной из важных особенностей (рис. 8.7) является соотноше-
ние положения пика по шкале напряжений с положением такового
на рис. 8.8 по шкале энергий. Первый пик для двухбарьерной
структуры лежит приблизительно при 0,082 эВ , что соответствует
положению первого квантоворазмерного уровня в яме. Макси-
мальное значение тока достигается в момент приближения резо-
нансного уровня в КЯ к дну зоны проводимости эмиттера.
Казалось бы, что для этого надо приложить к двухбарьерной струк-
туре напряжение, численно равное энергии резонансного уровня,
которая выражается в нашем случае во внесистемных единицах -
электронвольтах. Однако же пик возникает при напряжении по-
рядка 0,16 В. Это связано с тем, что дно ямы, а с ним и все осталь-
ные энергетические уровни в симметричных структурах сдви-
гаются в соответствии с распределением падения напряжения в
системе ровно на половину приложенного напряжения. Это про-
стое правило даёт возможность в эксперименте предсказывать
приблизительное положение особенностей на ВАХ по заранее рас-
считанным из параметров ямы энергиям уровней.
8.2. Вольт-амперная характеристика многослойных структур
Получим выражение для расчета ВАХ СР. Будем полагать в
соответствии с рис. 8.7, что в данном случае эмиттер находится
слева, коллектор справа, а напряженность электрического поля на-
правлена параллельно оси х. Предположим также, что длина струк-
туры много меньше длины свободного пробега электрона, т. е. на
274
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
движение электрона оказывают влияние только потенциальные
барьеры.
Сначала рассчитаем ток, создаваемый электронами, движущи-
мися слева направо.
Выделим группу электронов с заданным импульсом рх в на-
правлении, перпендикулярном барьерам. Скорость этих электронов
их = Рх/т* и, следовательно, все электроны находящиеся на рас-
стоянии, меньшем их • 1сек от первого барьера, за одну секунду
достигнут его. Общее число электронов с данным импульсом, па-
дающих на 1см2 поверхности барьера за секунду, равно
их(рШр), где
dn{p)=fedN = 2fe dPxdpy^.t (8.2.1)
(2лй)3
здесь fe- функция распределения для электронов в эмиттере;
cfr?(p)- число электронов в см3, имеющих заданное значение им-
пульса рх.
Если вероятность перехода электрона на пустой уровень кол-
лектора Dec, а вероятность того, что данный уровень не занят элек-
троном - (1-/с) (здесь fc- функция распределения электронов в
коллекторе), то вероятность перехода электрона на данный уровень
коллектора равна произведению Dec на и общее число пе-
реходов для электронов с данным импульсом за 1 секунду равно
о
dle =Г ч3 -fe^-fc)DecPXdpxdpydpz. (8.2.2)
(2лй)3т*
Если пренебречь падением напряжения на сопротивлении
эмиттера и коллектора, то интервал от уровня с полной энергией Е
до уровня Ферми в коллекторе при приложении напряжения V бу-
дет на величину qV больше, чем в эмиттере (см. рис. 8.7). Таким
образом,
________1_____
, (Е-Ер+qV
1 + exp--—
к
8.2. Вольт-амперная характеристика многослойных структур
275
здесь энергия электрона отсчитывается от дна проводимости эмит-
тера.
При туннелировании электронов из эмиттера в коллектор его
полная энергия Е и составляющие импульса ру и pz, перпенди-
кулярные плоскости барьера, должны сохраняться, а импульс рх
и энергия Ех могут изменяться. Поэтому удобно перейти к ци-
линдрической системе координат.
В новых переменных
pxdpxdpydpz = pxdpxpvdpLd<f, (8.2.3)
здесь = Ру + р2, а элемент площади dpydpz = pjdp^dtp.
Так как от угла у, определяющего движение электрона в плос-
кости, перпендикулярной к барьеру, ни одна из величин в (8.2.2) не
зависит, то можно сразу проинтегрировать (8.2.2) по углу <р, что
сведется к умножению на 2л. Тогда
dle = A ,fe^-fc)DecPxdpxpLdpr (8.2.4)
2тСпт
Для расчета полного тока нужно проинтегрировать dJ = -qdl по
всем состояниям, на которые возможны переходы. Таким образом,
полная плотность тока
_ Рхшах Р±тах
Jec 7 з ; \fe^-fc)DecPXdpx (8.2.5)
2л2Й3т* 0J '
Интегрируя (8.2.5) по р±, получим, что плотность тока, созда-
ваемая электронами, движущимися из эмиттера в коллектор, будет
равна
-qm к$Т
2л2й3
СО
fl>ec 'и
О
(8.2.6)
здесь Ех- кинетическая энергия, связанная с движением электрона
перпендикулярно слоям СР; V - внешнее приложенное напряже-
ние; Ef - энергия уровня Ферми; Dec- коэффициент прохождения
(прозрачности).
Аналогично можно получить выражение для расчета плотности
тока Jc, создаваемого электронами, движущимися из коллектора в
эмиттер.
276
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
Полная плотность тока в этом случае равна
•/ = Jе + Jс.
В результате получим, что
и=
•|Je| при И*О,
(8.2.7)
|J|=0 при И=0.
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных
характеристик двухбарьерных квантовых структур
В [20] исследовались ВАХ структуры Al^Ga^As-GaAs-Al],
/j^As с различным соотношением толщины барьеров и ямы. Эта
гетеропара была выбрана по двум соображения. Во-первых, химиче-
ские связи Ga и А1 с As практически идентичны, и ионы этих
Рис. 8.10. Ток и дифференциальный
кондактанс в зависимости от напря-
жения для структуры, энергетиче-
ская диаграмма которой изобра-
жена на вставке. На диаграмме по-
казаны толщины структуры и рас-
считанные в соответствии с этим
положения локальных энергетиче-
ских уровней в яме. На кривых
стрелками показаны напряжения,
соответствующие наблюдаемым
особенностям в ВАХ [20]
элементов имеют почти одинако-
вые размеры, что обеспечивает с
большой точностью совпадение
постоянных решетки этих двух со-
единений. Эго даёт возможность
получать методом молекулярно-
лучевой эпитаксии очень одно-
родные тонкие плёнки с мини-
мальным количеством дефектов,
как в самих пленках, так и на гра-
ницах между ними, что является
одним из главных условий наблю-
дения резонансного туннелирова-
ния. Вторым аргументом выбора
послужил достаточно большой
барьер на гетерогранице - порядка
одного электронвольта при х=1.
Конфигурация одной из изготов-
ленных таким образом структур
изображена на вставке (рис. 8.10).
На рис. 8.11 представлена за-
висимость производной ВАХ
структуры с равными толщинами
барьеров и ямы.
Двухконтактная структура для
измерения ВАХ представляла со-
бой мезаструктуру диаметром
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик 277
6 мкм с верхним контакт-
ным слоем из GaAs с кон-
центрацией 1018см'3. Та-
кая же концентрация но-
сителей заряда была в
подложке. Разница в тол-
щинах и конфигурации
этих двух частей структу-
ры привела к определён-
ной несимметричности
ВАХ. Полярность напря-
жения показывает знак,
относящийся к верхнему
электроду. Для измерения
кондактанса использова-
лось переменное напря-
жение, имеющее размах
по амплитуде 2 мВ. Заме-
тим, что в отличие от
Рис. 8.11 Зависимость дифференциального
кондактанса от приложенного напряжения для
двухбарьерной структуры, изображённой на
вставке [20]
удельной проводимости, кондактанс определяется как отношение
тока к падению напряжения на образце. Таким образом, кондактанс
представляет собой свойство образца конечных размеров, а не чис-
то внутреннюю характеристику материала.
Сравнивая рис. 8.10 и 8.11, видим, что обе кривые кондактанса
похожи и характеризуются двумя парами особенностей (указаны
стрелками).
Легко заметить, что величины напряжений, отвечающих ука-
занным особенностям, приблизительно вдвое больше значений, со-
ответствующих положению уровней в ямах. Например, на рис. 8.10
удвоенная величина для первого уровня - 0.156, для второго - 0.57
хорошо соответствуют среднему для двух полярностей напряже-
нию - 0.15 и 0.66 В. Такое отклонение вполне объяснимо тем, что
при расчёте уровней использовались значение эффективной массы
(0.1 массы свободного электрона) и высота барьера (0.4 эВ), пред-
назначенные именно для оценки, а не для точных количественных
вычислений.
Следующим важным вопросом является влияние температуры
измерения на исследуемые процессы, которое легко анализировать
по рис. 8.12.
Прежде всего, обращает внимание полное отсутствие каких-
либо эффектов, связанных с туннелированием, на ВАХ соответст-
вующей комнатной температуре. Авторы справедливо связывают
это с температурным размытием локальных уровней в яме и невы-
соким барьером, который легко преодолевается электронами с от-
278 Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
Рис. 8.12. Температурная зависимость кон-
дактанса для образцов с конфигурацией,
носительно высокой для
комнатной температуры энер-
гией. Хорошо видно, что с
понижением температуры,
когда практически исчезают
перечисленные осложнения,
отрицательная дифференци-
альная проводимость снова
чётко проявляется. Сниже-
ние температуры до 4.2 К не
приводит к ожидаемому обо-
стрению особенностей, что,
по-видимому, связано с на-
личием рассеяния на струк-
турных флуктуациях и при-
месях. Это, в свою очередь,
задаёт дополнительное уши-
рение локальных уровней,
которое необходимо всегда
учитывать наряду с тепло-
вым.
Таким образом, уже в
ранних работах по исследо-
соответствующей рисунку 8.10 [20] ванию резонансного тунне-
лирования проявились две
существенные задачи для будущих исследователей - резкость
пика отрицательной дифференциальной проводимости и полу-
чение этого эффекта при комнатной температуре. Как первое,
так и второе даже при поверхностном взгляде должно быть связано
с совершенством и конструкцией эпитаксиальных тонкоплёночных
структур. Важную роль при этом должны играть и материалы, из
которых формируется структура. Развитие этих вопросов начнём
рассматривать по материалам [21], [22].
Ток, протекающий через двухбарьерную структуру, по природе
возникновения можно выразить суммой двух компонентов
J = Jrt+Jex*
(8.3.1)
где JRT - компонент резонансного туннелирования, a JEX - избыточ-
ный (или остаточный) компонент тока.
Задача разработчика приборов сводится к созданию структуры
с максимальным значением первого компонента и минимальным
вторым.
Из рассмотрения процесса туннелирования ясно, что одним из
важнейших факторов, определяющих туннельный ток, является
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик 279
величина коэффициента прозрачности D и его зависимость от при-
ложенного напряжения. С точки зрения конструкции прибора, эта
зависимость, в свою очередь, определяется толщиной барьера и
ямы (геометрический фактор) и высотой барьера (энергетический
фактор). Последний задаётся соотношением ширин запрещённых
зон материалов, составляющих структуру, и взаимным расположе-
нием их в энергетическом пространстве. Чаще всего этот так назы-
ваемый разрыв зон обеспечивается в основном за счёт зоны про-
водимости, так что высота барьера считается примерно равной раз-
ности энергий запрещенных зон.
Ток резонансного туннелирования создаётся электронами, чья
энергия в направлении движения Ех лежит в диапазоне энергий, где
коэффициент туннельной прозрачности достаточно велик. Резуль-
таты расчёта этого коэффициента в зависимости от энергии элек-
трона приведены на рис. 8.13.
На рис. 8.13 ясно, что D, а следовательно, и ток JRT будут
сильно зависеть от формы D(E). Иначе говоря, величина тока зави-
Рис. 8.13 Схематическое изобра-
жение двухбарьерной структуры
AlAs-GaAs- AlAs и зависимость
коэффициента прозрачности от
энергии электрона. Двухбарьерная
структура состоит из барьеров
AlAs толщиной 2.3 нм (8 атомных
слоёв ) и ям с толщиной 5,7 и 9 нм
соответственно. Полуширина пи-
ков соответственно 180, 54 и 22
микроэВ для первых резонансов и
2900, 660 н 230 микроэВ для вто-
рых [22]
сит не только от амплитуды пика ко-
эффициента прозрачности D, но и от
полуширины этого пика - &Ехр-
Очень важным параметром, влияю-
щим на JRT и JEX, являются величины
энергии, соответствующие макси-
мальному значению коэффициента
прозрачности. Зависимости этих ве-
личин от толщины барьера и ширины
ямы, рассчитанные в [21], изображе-
ны на рис. 8.14 и 8.15. При расчете ав-
торы полагали, что высота барьеров
равна разрыву зон.
Из рисунков видно, что энергия
пика практически не зависит от тол-
щины барьера, но сильно зависит от
ширины ямы, что соответствует вы-
водам разд. 1.9. В то же время полу-
ширина в меньшей степени опре-
деляется шириной ямы, но является
сильной функцией толщины барьера.
Теперь можно вернуться к наибо-
лее интересной для практики величи-
не туннельного тока JRT . Из самых
общих рассуждений можно заклю-
чить, что этот ток должен быть про-
порционален интегральному потоку
280
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
0,75 1,75 2,75
толщина барьера Цнм
Рис. 8.14. Результаты расчёта
энергии электронов, при кото-
рой должен наблюдаться пик
коэффициента прозрачности для
различных величин толщины
барьера и ширины ямы для
структуры AlAs-GaAs-AlAs. Циф-
рами 1 и 2 обозначены значения
для первого и второго резонанс-
ного пика соответственно [21]
Рис. 8.15 Полуширина (шири-
на на половине высоты) перво-
го и второго коэффициентов
прозрачности в функции тол-
щины барьера для различных
ширин ямы [21]
электронов, чья энергия совпадает с значениями энергий, для кото-
рых характерны большие коэффициенты пропускания. Иначе гово-
ря, JKT пропорционален произведению высоты пика на его
полуширину (ширину на половине высоты). Это произведение
получило название «окно» прозрачности. Согласно рис. 8.15 ДЕхр
экспоненциально уменьшается с ростом толщины барьера. Следо-
вательно, для достижения значитель-
Рис. 8 16 Схема образова-
ния эффективного барь-
ера 1/q
пых значений туннельного тока надо
выбирать достаточно тонкие барьеры.
Избыточный ток - Jex складывается
из токов прямого (неупругого) туннели-
рования сквозь барьер и так называемо-
го термоионного тока - Jm. Особенно
важен последний компонент, который
складывается из электронов, проходя-
щих над барьером, и из электронов,
туннелирующих через более высоко ле-
жащие уровни в яме. Последний вносит
наибольший вклад в избыточный ток, и,
обладая сильной температурной зависи-
мостью, является главной причиной, при-
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик 281
водящей к ослаблению (или полному исчезновению) эффекта ОДС
при комнатной температуре. Для снижения необходимо созда-
вать как можно более высокий эффективный барьер для тунне-
лирования.
Понятие эффективный барьер соответствует разности между
высотой барьера, образованного разностью ширин запрещенных
зон материалов, составляющих структуру - Uq, и энергией перво-
го уровня квантования в яме Е1ХР (c/q =Uo -Еду). Для рассматри-
ваемого примера (AlAs-GaAs) структурный барьер равен ~1 эВ, и
может быть изменён только сменой контактирующих полупровод-
ников.
Увеличения эффективного барьера можно достичь также сни-
жением энергии Ферми электронов в контакте, снижая уровень ле-
гирования [23], но этот путь не очень хорош, так как при этом
увеличивается сопротивление контактов.
Все вышеперечисленные факторы, влияющие на величину тока
JRT, сводятся к следующему:
а) толщина барьера;
б) ширина ямы;
в) высота барьера;
г) концентрация примесей в области контактных областей.
Причём, если три первых фактора формируют величину пика и
вид зависимости коэффициента прозрачности от энергии электро-
на, то четвёртый определяет энергетическое распределение этих
электронов на входе в двухбарьерную структуру.
Вклад перечисленных факторов можно описать с помощью ин-
теграла [22]
ЕхР+а оо
Jrt=~^T ( dEx \dktD{Ex,V)F{Exy,T,kt,Ef), (8.3.2)
r. hkl
где Ex =—-— кинетическая энергия электронов, двигающихся
2/и*
перпендикулярно барьерному слою; kt = -Jky + kj - волновое чис-
ло, характеризующее движение в плоскости параллельной барье-
рам; D — коэффициент прозрачности; V - приложенное
напряжение; Т - температура; Ef - энергия Ферми; F - функция,
зависящая от распределения электронов в слое, прилегающем к
барьеру (контакт).
Зависимость D(E) представляет собой резко пиковую форму
для каждой резонансной энергии ЕХР (рис.8.13). Это значит, что
интеграл в (8.3.2) может быть вычислен только в малом интервале
282 Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
энергий в непосредственной близости от пика ( ±ст). Этот диапазон
определяется, таким образом, формой D(EX) и самой величиной ЕХР,
которые зависят от состава и размеров слоёв исследуемой двух-
барьерной структуры. Функция F определяется в основном при-
месной концентрацией в контактном слое.
Ранее на основании анализа зависимости коэффициента про-
зрачности от ширины ямы Lw [21] предсказывалось, что при увели-
чении Lw туннельный ток должен уменьшаться. Теперь ясно, что
при этом понижается энергия первого (основного) резонансного
пика е\р и соответственно увеличивается эффективный барьер Uq.
Это, в свою очередь, вызывает обострение резонансного пика
(уменьшение полуширины пика) и снижение резонансно туннель-
ного тока.
Расчёты туннельного тока в [22] сравнивались с экспериментом
на структуре AlAs-GaAs-AlAs с AuGe контактами. Структура со-
стояла из легированной n+ Si (1018 см-3) подложки GaAs, 1 мкм п+
GaAs (8 10псм-3) электрода, слоя нелегированного GaAs (спэйсер)
15 нм, затем структура с параметрами, указанными на рис. 8.13,
а далее - снова нелегированный слой и электрод. Нелегированный
слой вводился для ослабления влияния примесей контакта на рас-
сеяние в яме. Высокое же легирование в контакте обеспечи-
вало большой поток электронов и малое последовательное сопро-
тивление.
нпаражеяие (В)
Эксперимент показал наличие ОДС
для всех исследуемых структур, хотя
для Lw = 9 нм этот эффект был выражен
гораздо слабее. Для примера на рис. 8.17
приведена зависимость плотности тока
от напряжения на структуре с Lw = 7 нм
при температуре 296 К и 77 К.
Наиболее важным выводом из этого
эксперимента было снижение пикового
тока JP по мере увеличения ширины
ямы.
Для проведения количественных
сравнений с расчётными необходимо из
экспериментального тока выделить ток
туннелирования JRT, который рассчиты-
вается по (8.3.2). Для этого следует вы-
честь из полного тока избыточный
(паразитный !) ток - JEX , соответствую-
щие 8.17. ВАХ резонансно- ший напряжению для пикового тока,
туннельного диода для Lw = Применяемые термины для токов раз-
= 7 нм личных участков ВАХ легко понять из
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик 283
Рис. 8.18. Идеализированная вольт-
амперная характеристика диодной
двухбарьерной квантовой структуры
идеализированной зависимости
тока от напряжения для прибора с
ОДС, изображённой на рис. 8.18.
Обычно предполагается, что
избыточный ток растёт линейно с
ростом приложенного напряже-
ния. Это позволяет считать, что
значение этого тока, соответст-
вующее напряжению УПИЕ, будет
равно примерно половине «тока
долины» - Jv = JMHH, наблюдаемо-
го экспериментально. Тогда JRT =
= JP - Jv/2.
Полученные значения тока JRT
сравнивались с теоретически рас-
считанными в зависимости от ширины ямы на рис. 8.19.
На рис. 8.20 изображены аналогичные зависимости для тока
долины JV{LW Г). Хорошо видно, что ток долины Jy, во-первых,
падает с ростом ширины ямы (растёт эффективный барьер), а во-
вторых, значительно возрастает с ростом температуры. Последнее
хорошо согласуется с предположением, что главной составляющей
Рис. 8.19. Зависимость резо-
нансно-туннельного тока от
ширины ямы. Теоретические
кривые, изображённые штри-
ховой линией, рассчитаны для
высоты барьера Uo = 0,956 эВ,
штрих с точкой для Uo= 1,
355 эВ [22]
Рис. 8.20. Зависимость тока
долины от ширины ямы
этого тока являются туннельные
потоки электронов, термически
возбуждаемых до энергии выше-
лежащих квантовых подзон в яме.
284
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной
квантовой структуры
Необходимо отметить, что большой интерес к исследованиям
двухбарьерной квантовой структуры связан со стремлением соз-
дать активные полупроводниковые СВЧ приборы, работающие в
области частот выше сотен гигагерц, и сверхбыстродействующие
переключатели с задержкой менее одной пикасекунды. Бурный
рост числа экспериментальных и теоретических работ по созданию
и исследованию таких структур привёл к появлению в литературе
различных названий и сокращений для одних и тех же структур.
Это структура с двойным барьером и резонансным туннелировани-
ем (ДБРТ, DBRT); диоды с двойным барьером (ДБД, DBD); струк-
тура с двойным барьером (ДБС, DBS) и, наконец, двухбарьерные
квантовые структуры (ДБКС, DBQS). Последнее название и аббре-
виатуру мы используем в нашей работе.
Исследование частотного предела ДБКС чаще всего начинают с
анализа выражения (8.2.6) для туннельного тока. Одним из вариан-
тов этой формулы воспользовались также и авторы [24], где она
представлялась в виде
kF
J = ~^2 №kr\tf(EF-E), (8.4.1)
2йл q
здесь кр^Ер) - волновой вектор Ферми (энергия); А7, К - величина
волнового вектора слева (эмиттер) и справа (коллектор) от струк-
туры; Е - продольная энергия. Причём, за нулевую энергию приня-
та граница зоны проводимости, которая во многих работах назы-
вается дном «моря Ферми» (рис. 8.21), а
Рис 8.21 Прохождение
электрона через ДБКС при
приложении напряжения V
туннелирование происходит в z направ-
лении.
Это выражение получено для тун-
нелирования электронов при смещении,
превышающем энергию Ферми - Е F <
< (V—- - приложенное напряже-
ние ) D в (8.4.1) имеет вид
к1Гг
К[(£ - £Ь)2 + Г2)'
(8.4.2)
Параметр Г называется шириной
линии резонанса или просто размытием
(уширением) квантового уровня. Смысл
этого понятия легко установить, обра-
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры 285
тившись к одному из основных положений квантовой механики -
соотношению неопределённостей. Согласно этому положению
координата и импульс, энергия и время, а также другие пары дина-
мических величин, характеризующих состояние микрочастицы, не
могут одновременно иметь точно определённые значения. Для
квантовой электроники особо важное значение представляет соот-
ношение неопределённости для энергии и времени. Энергия элек-
трона имеет определённое значение лишь в стационарных неизмен-
ных во времени состояниях. Конечное время жизни электрона на
резонансном уровне т обуславливает «естественное уширение»
этого уровня. Неопределённость энергии в данном случае обычно и
называют шириной уровня или «уширением уровня». Ширина
уровня Г связана с т соотношением неопределенности Г = hl т.
Кроме «естественного уширения», значительный вклад в уши-
рение уровней обычно вносят еще тепловое и столкновительное
(релаксационное) уширения. Тепловое уширение обусловлено тем-
пературой и, если не существует никаких других факторов, будет
порядка к0Т. Для комнатной температуры к0Т =0.025 эВ, то есть
порядка двух сотых электрон-вольта. Столкновительное уширение
определяется временем релаксации хр, которое должно учитывать
все процессы, разрушающие когерентность волновых функций.
С учётом смысла параметра Г выражение (8.4.1) в предположе-
нии предельно узкого резонанса (8.4.2) можно записать
*
J = -^-(EF -Eo)r0(Eo)0(EF -£о), (8.4.3)
2лЙ3
здесь 0(E) - функция Хевисайда.
Из этого выражения видно, что по мере вызванного приложен-
ным напряжением уменьшения разности (EF - Ео), «море Ферми»
движется вверх. Или, с другой стороны, уровень Ео будет опускать-
ся всё ниже по направлению дна «фермиевского моря», которое
принято в данной системе за ноль энергии. При приближении к по-
ложению Ео = 0, резонансный поток электронов на уровень быстро
выйдет на насыщение, а затем вообще прекратится. Это произойдет
в тот момент, когда Ео = 0. При дальнейшем увеличении смещения
уровень Ео опустится ниже дна зоны проводимости, где электроны
отсутствуют.
Для выяснения условий туннелирования с сохранением им-
пульса рассмотрим данный процесс с помощью так называемой
«сферы Ферми» [24], показанной на рис. 8.22.
286
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
Рис. 8.22. Сфера Ферми с круго-
вым сечением фазового про-
странства, определяющим кол-
лектив электронов, туннели-
рующих на резонансный уро-
вень
Рассмотренное выше туннелиро-
вание электронов с энергией в интер-
вале
E = Ef-Ec (8.4.4)
будет происходить только при усло-
вии
2
---~ = Eq-Ec. (8.4.5)
2т
Сохранение импульса требует вы-
полнения условия Аг= Ао и сохранения
самих величин к* и ку.
Радиус сферы Ферми в А-прост-
2m*EF
ранстве кг = J----~
N ft2
При увеличении приложенного напряжения с момента, когда EF
становится выше £0, разность Е0-Ес уменьшается, и вектор кй рас-
полагается в промежуточной точке на оси Az между Ао =Af и Aq=O. В
этих условиях в туннелирование включаются электроны с волно-
выми векторами Ах и А:у, отличными от нуля. Число таких электро-
нов пропорционально площади заштрихованного сечения сферы
Ферми (рис. 8.22), т. е. пропорционально л(а|-а£). По мере уве-
личения приложенного напряжения этот диск перемещается по оси
Az к центру сферы. При ЕО=ЕС вектор к0 становится равным нулю, и
площадь диска достигает своей максимальной величины. Именно в
этот момент в туннелировании могло бы принять участие макси-
мальное число электронов, приблизительно равное т . Однако
при кг =0 £>=0, таким образом, при £с >£0 туннелирование прекра-
щается вообще (ко2< 0). Следовательно, рассматривая режим рабо-
ты ДБКС, исходя из принципов сохранения импульса, приходим к
выводу, что её ВАХ должна иметь резкий срыв до нуля, соответст-
вующий высокой отрицательной проводимости.
Отметим, что такая двухбарьерная структура может быть
включена как по диодной, так и по триодной схеме. В последнем
случае смещение на первый и второй барьеры можно задавать не-
зависимо. При этом ВАХ также будет иметь участок с резким па-
дением тока при увеличении напряжения.
Характеристики и принцип формирования ОДС ДБКС диода
сходны с теми, которые имеют место в туннельных диодах Есаки
(ДЕ). Различие состоит в том, что туннелирование в ДБКС идёт че-
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры 287
рез единичный резонансный уровень. Это меняет условие сохране-
ния импульса при переходе электронов по сравнению с ДЕ, где
туннельный эффект имеет место между широкими зонами.
Проведём теперь более точный анализ результатов интегриро-
вания (8.4.1), подставив туда выражение для D из (8.4.2). В резуль-
тате получим
2я^Й3 К Г 1 I г J 1г.
1J(£F-£O)2+Г2^~
2 Ч Eq2 + Г2 ]
(8.4.6)
Для нахождения ОДС необходимо продифференцировать это
выражение по V___В результате имеем
d/=a£o _d/_+ara/
dV dv 8E0 dV ЗГ ' 1 ‘ '
В [24] было показано, что при ширине уровня много меньше
его энергии Ферми
ЗГ дЕ0
— « —-
dv dv
(8.4.8)
Это означает, что при выводе формулы для расчёта ОДС можно
ограничиться рассмотрением только первого члена в выражении
для полной производной тока (8.4.7). В результате при Eq = 0 по-
лучается следующее выражение для оценки ОДС
4я-2й3 1
92т*5Гс, г (ЕрЛ
4 Ер - Г arctg ——
\ д )
(8.4.9)
здесь S' -площадь структуры.
В радиотехнике понятие отрицательного сопротивления из-
вестно уже давно. Наиболее часто это явление используется для
создания генераторов незатухающих колебаний. Для чего к колеба-
тельному контуру, всегда состоящему из ёмкости, индуктивности и
сопротивления, необходимо подключить отрицательное сопротив-
ление, чтобы скомпенсировать в нём все активные потери. Причём,
чем хуже добротность контура, тем меньшей величиной должно
обладать ОДС. Иначе говоря, чем меньше абсолютное значение
ОДС, тем активнее является данный элемент.
288 Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
Для высокочастотного применения желательно иметь как мож-
но меньшее ОДС. Из приведенных выше выражений ясно, что оно
напрямую зависит от величины Г - ширины резонансного уровня.
Чем меньше Г, тем больше выражение в знаменателе формулы
(8.4.9) и тем меньше величина R„. В пределе при Г—> 0 величина R„
достигнет своего минимального значения. Отсюда понятно, что для
любой конкретной системы, как бы мы ни снижали Г, мы не смо-
жем получить R„ меньше, чем
_Ли,шп = 4Л-й—1 (8.4.10)
q2m*S Ер
Отметим также, что при Г <EF максимальная плотность тока
пропорциональна ширине резонансного уровня Г, а минимальное
ОДС не зависит от Г.
В целом влияние Rn легко проследить, используя обобщенную
формулу для расчёта максимальной частоты генерации
/7Ттах =-----, (8.4.11)
где Rs - последовательное сопротивление прибора; С - емкость;
R„- отрицательное дифференциальное сопротивление.
Существует, однако, ограничение на уменьшение величины Г,
связанное с частотным пределом использования ОДС. Из упомяну-
того выше соотношения неопределённости замедление процесса
туннелирования (или увеличение времени задержки) является ве-
личиной, обратно пропорциональной уширению уровня Г
^задержки = » (8.4.12)
т. е. чем Г меньше, тем больше увеличивается замедление и ухуд-
шаются предельные частотные характеристики проектируемого
прибора. Если определяющей является инерционность самого про-
цесса резонансного туннелирования, то
—
задержки
Если теперь исходить из экспериментально полученных значе-
ний максимальных частот генерации (200 - 300 Ггц) и усиления (1-
3 ТГц), то величина Г не должна быть меньше 1 миллиэлектрон-
вольта. С другой стороны, исходя из обычного уровня легирования
эмиттера (величины энергии Ферми), диапазон существования
ОДС будет порядка 54 милливольт. Таким образом, для осуществ-
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры 289
ления СВЧ применения ДБКС, уширение уровня •
должно лежать в диапазоне 1мэВ < Г < 54 мэВ. |
Это позволяет прогнозировать f ТТтах на уровне G>
1-3 терагерц. т _ _
Кроме проведенной оценки максимальной час- а
тоты, исходя из величины ширины резонансного
уровня, которая получила в литературе обозначение в i
fn"1" » оценку также проводят, исходя из эквива- *Т
лентной схемы прибора. Пример такой схемы, взя- *
той из [25], представлен на рис. 8.23, где G - Рис. 8.23. Экви-
ДИффереНЦИаЛЬНая ПРОВОДИМОСТЬ, С - ёМКОСТЬ ДИО- валентная схема
да, LqW - квантовая индуктивность ямы, Rs - после- ДБКС диода
довательное сопротивление.
Из рисунка видно, что в схему кроме статических параметров
барьера (дифференциальной проводимости G и ёмкости С) вклю-
чены эквивалентная индуктивность квантовой ямы и последова-
тельное сопротивление. Расчёт частоты отсечки по этой модели
производится по формуле
ZT =(-GfRs-G2)y2l(2nC).
Величина ёмкости рассчитывалась исходя из параметров струк-
туры с использованием обычной формулы плоского конденсатора
С = Eq с !{d + w + а),
где 5- площадь; w- толщина слоя обеднения; d - толщина двух-
барьерной структуры; а - толщина слоя обогащения. Квантовая
индуктивность получается из оценки сдвига фаз между током и на-
пряжением, обусловленного общей задержкой в ДБКС, куда наи-
больший вклад даёт т = ЫГ. Термины обеднение и обогащение
относятся прежде всего к нелегированным областям - спейсерам,
которые, как было уже указано ранее, вводятся для уменьшения
рассеяния на примесях, определяющих нужные свойства контактов.
Кроме того, эти области используются для согласования парамет-
ров решётки компонентов структуры ДБКС, что улучшает границу
раздела между слоями, и таким образом также работает в направ-
лении уменьшения рассеяния.
Спейсеры используются также и для увеличения скорости
движения электрона. Понятно, что по сравнению с временем про-
лёта в области обеднения, таковое в яме можно считать мгновен-
ным. Следовательно, необходимо увеличивать скорость движения
через область обеднения. Это достигается увеличением протяжён-
ности такого слоя, где при приложении внешнего напряжения воз-
290
Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
никает обеднённый
слой, в поле которого
электрон достигает
максимальной скоро-
сти насыщения. При-
мер структуры, в ко-
торой эта скорость vd=
= 7,0-107 см/с, изобра-
жен на рис. 8.24.
Проведенные рас-
суждения были ис-
пользованы для рас-
чёта граничной часто-
ты реальной
Рис. 8.24 Структура ДБКС с встроенными нелеги-
рованными областями (спенсерами). Показано обра-
зование обеднённой области для достижения
максимальной скорости насыщения электрона [25]
структуры [25] со следующими параметрами: область обеднения
w= 60 нм, толщина двухбарьерной структуры - d= 6.7 нм, обога-
щенный слой - а=9 нм. Величина последовательного сопротивле-
ния Rs для такой структуры оказалась равной 4 Ом на постоянном
токе и 6 Ом для частоты 600 ГГц. Аналогичные расчёты проводи-
лись и для Rs = 2 Ом, чтобы выяснить зависимость частоты отсеч-
ки от этого параметра. Величину введённой в [25] индуктивности
квантовой ямы приблизительно можно оценить по формуле
Lqw
(8.4.13)
где Ti"=h!Г.
С использованием перечисленных параметров была рассчита-
на зависимость частот генерации f rci.™1 и max от величины от-
рицательной дифференциаль-
ной проводимости.
Из рис. 8.25 видно, что
для больших значений R$ раз-
личие между fRLCmax и frrirax не-
велико. Эти характеристики
построены в предположении,
что кроме времени задержки,
определяемой Г, остальные
параметры не меняются. Так
как при этом значение fTTn'a’1
мало отличается от Гихпи\ 10
делается вывод, что для
Ж*4<Гсмилыиа 1фмолш«стъ ( мшимснмсас)
Рис. 8.25. Расчёт граничных частот гене-
рации для экспериментально исследован-
ного образца с Rs = 6 Ом й в предполо
жении, что Rs = 2 Ом
больших Rs граничная частота
мало зависит от задержки,
обусловленной уширением.
Уменьшение Rs, вызванное
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры 291
Рис. 8.26. Экспериментальная и теоретиче-
ская зависимости ДБКС диода от частоты
генерации
увеличением обеднённой
области, приводит, в соот-
ветствии с увеличением
скорости электрона, к воз-
растанию максимальной час-
тоты до 1.1 ТГц.
Полученные результа-
ты отражают тот факт, что
основным ограничивающим
частоту фактором являются
не физический предел фор-
мирования отрицательно-
го дифференциального со-
противления, а паразит-
ные ёмкости и сопротив-
ления.
При максимальных час-
тотах, описанных выше,
паразитные ёмкости полностью шунтируют ДБКС, и отрицатель-
ное дифференциальное сопротивление исчезает. Этот эффект хо-
рошо показан на рис. 8.26, где изображены экспериментальная и
теоретическая зависимости мощности ДБКС диода от частоты ге-
нерации при комнатной температуре.
Из рисунка хорошо видно, что по мере приближения к гранич-
ной частоте ОДС, включённое в колебательный контур, достаточно
резко уменьшается и уже не в состоянии компенсировать активные
потери. Генерация резонансных колебаний сначала ослабляется, а
затем исчезает вовсе.
Рис. 8.27. Волноводная системависпользуемая в качестве резонансной
цепи при исследовании генерации в схеме с ДБКС [26]
Результаты расчётов и измерений показывают, что ДБКС при-
боры действительно являются сверхвысокочастотными, работаю-
щими в области гигагерц и даже «замахиваются» на терагерцовый
диапазон частот. Таким частотам соответствует миллиметровый и
субмиллиметровый диапазон длин волн. Это означает, что измери-
тельную схему уже невозможно построить из обычных пассивных
292 Гл. 8. Туннелирование через квантоворазмерные структуры
сосредоточенных радиотехнических элементов (сопротивлений,
ёмкостей и индуктивностей). Следует использовать, так называе-
мую волноводную технику и аппаратуру СВЧ. Подробное описание
таких систем не входит в задачу настоящего учебного пособия, по-
этому ограничимся только примером схемы, изображенной на рис.
8.27.
Дальнейшее развитие приборов на основе ДБКС и современное
состояние вопроса можно проследить по обзору [27].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иогансен. Л.В. О возможности резонансного прохождения электронов в
кристаллах через системы барьеров //ЖЭТФ - 1963. - Т. 45. - Вып. 2. -
С. 207-2213.
2. Иогансен Л.В. Тонкоплёночные электронные интерферометры //УФН. -
1965. - Т. 86, вып.1. - С. 175-179.
3. Davis R.H., Hosack Н.Н. Double barrier in thin - film triodes //J. Appl. Phys.
-V. 34.-N4.-P. 864- 866.
4. Ricco B. Azbel M. Ya. Physics of resonant tunneling. The one-demensional
double barrier case//Phys.Rev .B. - 1984. - V. 29. - N 4. - P. 1970 - 1981.
5. Liu H. Time-dependent approach to double - barrier quantum well oscilla-
tors // Appl.Phys.Lett. - 1988. - V. 52. - N 6. - P. 453-Л55.
6. Pan D.S., Meng C.C. On the mechanism and frequency limit of quantum well
structures //J.AplLPhys. - 1987. - V. 61. - N 5. - P. 2082-2084.
7. Gering J.M., Grim D.A. et. al. A small signal equivalent circuit model for Ga-
As-- AlxGa As resonant tunneling heterostructures at microwave frequen-
cies П J. Appl. Phys. - 1987. - V. 61. - N 5. - P. 271-276.
8. Robert C. Potter, Amir A. Lakhani. Observation of electron quantum interfer-
ence effects due to virtual states in a double - barrier heterostructure at room
temperature // Appl. Phys . Lett. 52, (16), 18 April 1988. - P. 1349-1351.
9. Collins S., Lowe D., Barker J.R. A dinamic analisis of resonant tunneling //
J.Phys. C. Solid State Phys. - 1987. - V. 20. - P. 6233-6243.
10. Well T., Winter B. Equivalence between resonant tunneling ad sequential tun-
neling in double - barrier diodes I I Appl. Phys. Lett. - 1987. - 50, N 18. -
P. 1281 -1283.
11. Tsu R.,Esaki L. Tunneling in finite superlattice //Appl.Phys.Lett. - 1973. -
V.22. - N 11. - 1 June. - P. 562-564.
12. Келдыш Л.В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла //
ФТТ. - 1962. - Т. 4. Вып. 8. - С. 2265-2267.
13. Валюсис Г. и др. Елоховские осцилляции макроскопического дипольного
момента в сверхрешётках // Труд III Российской конференции по физике
полупроводников. - М.: ФИАН 1997.- 44 с.
14. Андронов А.А., Нефёдов И М. Траспорт в сверхрешётках со слабым пе-
риодическим потенциалом: эффеюы и перспективы. Там же, с. 45.
15. Esaki L., Tsu R.. Superlattice and negative differential conductivity is semi-
conductors // IBM J. Res. Develop. -1970. - V. 14. P. 61-65.
16. Esaki L. A superlattice - periodic array of heterojunctions. /Proc, of the Intern
Conf. On Phys, and Chem. of semicond. - Budapest, 1970. V. I. - P. 13-24.
Список литературы
293
17. Ovsyannicov M.I., Romanov Yu. A.t Sharanov И N. Semiconductor multilayer
periodic structures. - Там же. V. IV. - P. 205-211.
18. Алфёров Ж.И. Жиляев Ю.В., Шмарцев Ю.В. Расщепление зоны проводи-
мости в «сверхрешётке» на основе GaPxAS|_x. //ФТП. - 1971. - Т. 5.
Вып. 1.-С. 196-198.
19. Алфёров Ж.И, Андреев В.А., Корольков В.И., Портной Е.Л., Третья-
ковД.Н. И ФТП. - 1968. - Т. 2. - С. 10116.
20. Chang L.L., Esaki L.,Tsu R.. Resonant tunneling in semiconductor double bar-
riers II Appl. Physics Letters. - 1974. - V. 24. - N 12. - P. 593-595. .
21. Tsuchiya M., Sakaki H. and Yochino J.. Room temperature observation nega-
tive resistance in an AlAsGAs-AlAs resonant tunneling diode. // Jap. J. Appl.
Phys. - 1985. - V. 24. - N 6. - P. L466-L468.
22. Tsuchia M., Sakaki H. Dependence of resonant tunneling current on well
width in Al/GaAs/ Al As double barrier diode structures // Appl. Phys. Lett. -
1986. - 49, (2), 14. - P. 88-90.
23. Shevchuk TJ., Chapin P.C., and others // Appl. Phys.Lett, 1985. - 46. - C. 973.
24. Coon D.D. and H.C. Liu. Frequency limit of double barrier resonant tunnel-
ing oscillators//Appl.Phys.Lett. - 1986. - 49, (2) . - P. 94-96.
25. Brown E.R., Solner T.C.L. and others. Oscillation up to 420 GHz in GaAs-
AlAs resonant tunneling diodes I I Appl. Phys.Lett. - 1989. - 55(17). -
P.1777-1779.
26. Brown E.R., Solner T.C.L. et. al. Millimeter-band oscillations based on reso-
nant tunneling in a double-barrier diode at room temperature //
Appl.Phys.Lett. - 1987. - 50, (2) . - P. 8385.
27. Sun J.P., Haddad G.L et. al //Proc.IEEE. - 1998. - 86. - P. 641.
ГЛАВА 9
ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
В последнее время в связи с приближением к пределам миниа-
тюризации классических микроэлектронных приборов усилился
интерес к приборам, могущим обеспечить дальнейший прогресс
электроники. Одним из возможных путей такого прогресса является
создание приборов, в которых контролируется перемещение опре-
деленного количества электронов, в частности, одного электрона.
Создание так называемых одноэлектронных приборов открывает
заманчивые перспективы цифровой одноэлектроники, в которой бит
информации будет представлен одним электроном. В таких прибо-
рах перемещение электрона происходит посредством туннелирова-
ния. Так как времена туннелирования электрона достаточно малы,
то теоретический предел быстродействия одноэлектронных прибо-
ров очень высок. С другой стороны, работа, необходимая для пере-
мещения одного электрона, также мала, следовательно, энергопот-
ребление одноэлектронных схем должно быть чрезвычайно неболь-
шим. Так, по оценкам основоположника одноэлектроники К. К. Ли-
харева [1] теоретический предел быстродействия одноэлектронного
прибора составляет сотни ТГц (терагерц), а энергопотребление одно-
го прибора- 3x1 (Г8 Вт.
Явление одноэлектронного туннелирования впервые было пред-
сказано в 1986 г. нашим соотечественником К.К. Лихаревым [2].
Через несколько лет после первой статьи Лихарева начало появ-
ляться множество работ, в которых описывалось экспериментальное
наблюдение эффектов, предсказанных Лихаревым. Таким образом,
теория блестяще подтвердилась экспериментально.
В силу особенностей, которые будут подробно обсуждены ни-
же, первые эксперименты проводились при очень низких темпера-
турах - несколько мК, а в настоящее время одноэлектронные
эффекты наблюдаются и при комнатной температуре, однако это
осуществлено лишь при использовании сканирующего туннельно-
го микроскопа (СТМ), и приборов, работающих при комнатной
температуре, до сих пор не создано. Устойчиво функционирующие
приборы с воспроизводимыми характеристиками существуют лишь
при температуре 4.2 К. Однако в отличие от ситуации с высокотем-
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
295
пературной сверхпроводимостью, где неясно, возможна ли сверх-
проводимость при комнатной температуре, одноэлектронные эф-
фекты при комнатной температуре уже наблюдались и проблема
заключается в создании работоспособных приборов.
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
Базовая теория кулоновской блокады. Теория одноэлектрон-
ного туннелирования впервые была предложена К.К. Лихаревым
[1-5]. Теоретические вопросы разбираются также в статье М. Тин-
хама [6], а также в обзорах Л. Гирлигса [7] и ван Хоутена [28]. Рас-
смотрим теорию Лихарева подробно. Первой была описана система
из одного туннельного перехода между двумя металлическими
контактами. Пусть емкость такой системы есть С. Тогда энергия
данной системы, т. е., по сути, конденсатора, составляет
О2
Е = ^ (9Л1)
где Q - заряд на обкладках конденсатора. Так как заряд электрона
является дискретной величиной, то минимальная величина измене-
ния энергии ДЕ составит
е2
^ = ic’ (9.1-2)
где е - элементарный заряд электрона. Для наблюдения эффектов
необходимо, чтобы минимальное изменение энергии было больше
температурных флуктуаций, т.е.
ДЕ»ЛГ, (9.1.3)
где к - постоянная Больцмана, а Т- температура. Кроме этого, необ-
ходимо, чтобы данное изменение превышало квантовые флуктуации
где G = тах(С^,Сг,), G, - проводимость туннельного перехода, G, -
проводимость, шунтирующая переход. Исходя из (9.1.4) можно за-
писать, что
G«Rq1, (9.1.5)
где Rq - квантовое сопротивление RQ=h/4e>» 6.45 кОм.
Одно из важнейших предположений теории одноэлектронного
туннелирования заключалось в том, что начальный заряд Qo на
296
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.1. Зависимость зарядовой энергии пе-
рехода от заряда. Стрелками показано до-
бавление (вычитание) одного электрона [4]
туннельном переходе может
быть отличен от 0, и, более
того, может принимать зна-
чения, не кратные целому
числу электронов. Данный
факт объясняется тем, что
начальный заряд может
создаваться поляризацией
близлежащих электродов,
заряженных примесей и т.д.
и, таким образом, иметь
любое значение. Тогда за-
ряд Q в уравнении (9.1.1)
будет иметь вид Q^Qo-e- Из всего вышесказанного вытекает, что,
если Q лежит в пределах от -е/2 до +е/2, добавление или вычитание
целого числа электронов будет увеличивать энергию (9.1.1), т. е.
является энергетически невыгодным. Данный вывод иллюстриру-
ется на рис. 9.1. Из него видно, что если заряд хотя бы немного
меньше значения е/2, то добавление или вычитание одного элек-
трона (штрихпунктирные стрелки) приводит к увеличению общей
энергии. Если же заряд превышает значение е/2, то выгодным ста-
новится туннелирование электрона через диэлектрик. Так как на-
пряжение на конденсаторе V=Q/C, то при напряжениях от -е/2С до
+е/2С ток через туннельный переход протекать не должен. Говоря
иначе, для того чтобы обеспечить туннелирование через переход,
необходимо преодолеть силу кулоновского отталкивания электро-
нов. Данный эффект отсутствия тока при приложении напряжения
в указанных пределах был назван эффектом кулоновской блокады.
Таким образом, кулоновская блокада - это явление отсутствия
тока при приложении напряжения к туннельному переходу из-
за невозможности туннелирования электронов вследствие их
кулоновского отталкивания. Напряжение, которое необходимо
приложить к переходу для преодоления кулоновской блокады
УКБ=е!2С,
(9.1.6)
иногда называют также напряжением отсечки. В дальнейшем мы
будем придерживаться термина “напряжение кулоновской блока-
ды” и обозначения УКБ.
Рассмотрим процесс протекания тока через одиночный тун-
нельный переход. Так как ток является величиной непрерывной, то
заряд на одной стороне перехода накапливается постепенно. При
достижении величины е/2 происходит туннелирование одного
электрона через переход и процесс повторяется. Это аналогично
падению капель из неплотно закрытого крана: при достижении не-
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
297
которой критической массы капля отрывается от крана и начинает-
ся образование следующей (такая аналогия была предложена Ли-
харевым в [5]). Заряд одного электрона е накапливается при токе I
за время /: e=lxt, затем электрон туннелирует через переход. Не-
трудно видеть, что процесс повторяется периодически с частотой
/=//е, (9.1.7)
где I - ток через переход. Такие осцилляции были названы одноэлек-
тронными туннельными (Single Election Tunneling-SET) осцилляциями.
Следует еще раз отметить, что наблюдение кулоновской блокады
возможно лишь при выполнении условий (9.1.3) и (9.1.5). Данные
условия, особенно температурное (9.1.3), накладывают довольно
жесткие ограничения на конструкции одноэлектронных приборов.
Из (9.1.2) и (9.1.3) можно получить значение емкости, необходимое
для наблюдение кулоновской блокады при данной температуре Т
с«^-
2кТ
(9,1.8)
Подставив численные значения е и к, получим, что для наблюдения
эффекта при 4.2 К необходима емкость «2х10-16 Ф, а для 7=77 К и
7=300 К соответственно «10~17 и «Зх10~18. Таким образом, для
работы приборов при высоких температурах (выше 77 К) необхо-
дима емкость 10'18-1019 Ф или 0.1-1 аФ (атгофарада).
На рис. 9.2. показана эквивалентная схема рассмотренной системы.
Прямоугольником обозначен туннельный переход. Данное
графическое обозначение для кулоновского туннельного перехода
является общепринятым. Переход характеризуется сопротивлением
R и емкостью С, С' - емкость подводящих контактов. К переходу
приложено напряжение V. Из приведенной схемы видно, что если
паразитная емкость С больше емкости перехода, емкость системы
будет определяться шунтирующей емкостью С. В реальных при-
борах не удается получить шунтирующую емкость менее Ю1* Ф
[4], что как минимум на два порядка больше требуемой для наблю-
дения одноэлектронного туннелирования даже при температурах
жидкого гелия. Таким образом, наблю-
дение одноэлектронного туннелирова-
ния в системе с одним переходом при
сегодняшнем развитии технологии яв-
ляется проблематичным.
Для разрешения данной проблемы
была предложена конструкция из двух
туннельных переходов, включенных по-
следовательно. Эквивалентная схема этой Рис 9 2. Эквивалентная схема
конструкции представлена на рис. 9.3. туннельного перехода
298
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.3. Эквивалентная схема
конструкции с двумя переходами
Как видно из рисунка, емкость
контактов уже не шунтирует емкость
каждого перехода. Общую электро-
статическую энергию такой системы
можно записать в виде
2Q 2С2
(9.19)
где 1,2 - индексы переходов. Физически такая конструкция пред-
ставляет собой малую проводящую частицу, отделенную туннель-
ными переходами от контактов, поэтому Ci=Q2=6 _ заряду, нахо-
дящемуся на частице. Тогда (9.1.9) можно переписать в виде
е2
2Q’
(9.1.10)
который полностью аналогичен формуле (9.1.1), за исключением
того, что вместо емкости С фигурирует емкость СЕ=С1+С2 - сум-
марная емкость двух переходов, так как Ct и С2 включены парал-
лельно, если смотреть с частицы. Таким образом, справедливыми
остаются формулы (9.1.2), (9.1.4) и (9.1.8) при замене в них С на
С£. В формулах (9.1.3) и (9.1.4) необходимо заменить G на
max(Gl,G2'). Характерная вольт-амперная характеристика двухпере-
ходной системы с симметричными переходами показана на рис. 9.4.
В работе [34] представлено точ-
ное решение для потенциального
профиля одноэлектронной ловушки.
Выведено аналитическое выраже-
ние для общей свободной энергии,
соответствующей электростатиче-
ской энергии, высоте барьеров ост-
ровка при наличии на нем электрона
и напряжения, необходимого для
передачи единичного заряда.
Кулоновская лестница. Рас-
смотрим двухпереходную систему
с нессиметричными переходами.
Темп туннелирования через 1 пе-
реход можно записать [7]
Г.^, (9.1.П)
где <5Е’/=еК/-е2/2С/ изменение энер-
Рис 9.4. Вольт-амперная характери-
стика двойного перехода при 20 мК,
для затворного напряжения 0 (сплош-
ная кривая) и е/2С (штриховая кри-
вая). Точечные кривые соответ-
ствуют теоретическим расчетам для
симметричного перехода с такими
же емкостью и сопротивлением [7]
9.1. Теоретические основы одноэлектроники 299
гии на 1-м переходе при падении на нем напряжения Под-
ставив ЗЕ) в (9.1.11), получим
r.=2L—*—
eR\ 2Л]С]
(9.1.12)
Аналогичное выражение можно записать для Г2. Из (9.1.12)
видно, что при различии Л и С переходов будут различаться и тем-
пы туннелирования. Если R и С переходов равны, то при увеличении
напряжения будет происходить плавный рост тока, так как количест-
во пришедших на кулоновский остров электронов будет равно коли-
честву ушедших. При несимметричности переходов на островке
будет существовать заряд из п электронов. При увеличении напря-
жения до значения, достаточного для забрасывания на островок л+1-го
электрона, вначале будет происходить резкое увеличение тока, обу-
словленное переходом с высоким темпом туннелирования. Дальней-
шее увеличение тока, обусловленное переходом с низким темпом
туннелирования, будет медленным до тех пор, пока на островок не
сможет попасть л+2-й электрон. Таким образом, хотя ток через
систему протекает непрерывно, в каждый момент времени на ост-
ровке будет существовать определенное количество электронов,
зависящее от приложенного напряжения. В результате ВАХ двухпе-
реходной системы имеет ступенчатый вид, называемый “куло-
новской лестницей”. Ступеньки кулоновской лестницы будут тем
ярче выражены, чем несимметричнее переходы, а при симметрии
переходов, т.е. при равенстве RC - постоянных, ступеньки исчеза-
ют. Семейство кулоновских лестниц, рассчитанное К. К. Лихаревым
[4] для различных значений Q& представлено на рис. 9.5. На рис. 9.9
изображена экспериментальная кулоновская лестница, наблюдав-
шаяся при помощи сканирующего туннельного микроскопа.
Как уже отмечалось выше, заряд Q в уравнении (9.1.1) имеет
вид
Q=Qo-*e, (9.1.13)
где л - целое число электронов на кулоновском острове. Так как Qo
имеет поляризационную природу, то, расположив рядом с кулонов-
ским островом третий электрод - затворный, можно управлять этим за-
рядом путем приложения затворного напряжения. Следует заме-
тить, что этот заряд можно изменять непрерывно, пропорционально
затворному напряжению. Таким образом, при непрерывном изменении
Qo, периодически будет выполняться условие кулоновской блока-
ды, графически показанное на рис. 9.1. Следовательно, при изме-
нении затворного напряжения периодически будет возникать
кулоновская блокада, и зависимость тока через точку (или напря-
жения на ней при постоянном токе) будет носить осцилляционный
300
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.5. Расчетная ВАХ схемы, показанной
на рис. 9.3 для различных значений внешнего
заряда (G|«G2, С,=2С2) [4]
характер. Пример таких ос-
цилляций (напряжение на
точке при постоянном токе
через нее в зависимости от
затворного напряжения) по-
казан на рис. 9.6.
Со-туннелирование. В
системах с 'несколькими
переходами кроме последо-
вательных событий тунне-
лирования возможно также
туннелирование более вы-
сокого порядка, так назы-
ваемое со-туннелирование
(co-tunneling) [7], при кото-
ром сохраняется энергия
лишь между начальным и
конечным состоянием всего
массива переходов. Другими
словами, массив переходов
является “черным ящиком”,
на входе и выходе которого
энергия проходящего через
него электрона сохраняет-
ся, однако поведение элек-
трона на каждом отдельном
переходе неопределенно. Кро-
ме того, возможно также неупругое туннелирование, при котором
происходит генерация или рекомбинация электронно-дырочных пар.
Квантовые размерные эффекты. Рассмотренная выше теория
является полуклассической, так как наряду с классическими куло-
новскими эффектами присутствует квантовое туннелирование. Од-
нако в одноэлектронных системах возможны и чисто квантовые
эффекты, связанные с пространственными ограничениями объектов.
При использовании двух и более переходных систем между двумя
электродами находятся малые объекты, которые при определенных
условиях (геометрические размеры и температура) могут рассмат-
риваться как квантовые точки, т. е. нуль-мерные объекты, в кото-
рых энергетический спектр представляет собой набор дискретных
уровней. Проведя несложный анализ [6], можно увидеть, что для А1
зерна с характерным размером 4.3 нм для наблюдения квантово-
размерных эффектов необходима температура <1.5 К.
Для полупроводниковых точек, однако, необходимая темпера-
тура будет выше из-за более низкой плотности состояний. При на-
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
301
личии в зерне отдельных
энергетических уровней элек-
трон сможет туннелировать
только через них, и на вольт-
амперной характеристике од-
ноэлектронной системы на
кулоновской лестнице бу-
дет проявляться структура
энергетических уровней,
что хорошо видно на рис.
9.7, где показана одна сту-
пень кулоновской лестницы
при наличии квантовых
размерных эффектов. Под-
робно транспорт через дис-
Рис. 9.6. Зависимость напряжения на кван-
товой точке при постоянном токе через нее
1=30 рА в зависимости от напряжения на за-
творе [7]
кретные энергетические уровни в квантовой точке рассмотрен с
теоретической точки зрения в работе Исавы и Сувы [30]. В ней об-
суждается влияние флуктуаций потенциала на транспортные свойства
квантовой точки. Показано, что наличие таких флуктуаций делает
пики кулоновских осцилляций нерегулярными.
Влияние внешних переменных полей на квантовые кулоновские
точки. Несколько работ, а именно [31-33], посвящены влиянию пе-
ременных внешних полей на одноэлектронный транспорт. В рабо-
тах Адачи и др. [31] и Хатано и др. [32] теоретически рассмотрено
влияние модулирования высоты потенциальных барьеров квантовой
точки на транспорт через нее. Обнаружено, что область кулоновской
блокады сдвигается из-за наличия межзонного возбуждения, появля-
Рис 9 7. ВАХ, снятая при 320 мК (а), соответ-
ствующая началу кулоновской лестницы;
производная dl/dV (б) [6]
ется резонансная струк-
тура кулоновских пиков
[31], а также, что электрон
туннелирует через барьер
до того, как он достигнет
наименьшего значения [32],
причем фаза модулирую-
щего сигнала, при которой
происходит туннелирова-
ние, зависит от амплитуды
сигнала и от высоты и
толщины барьера. В ра-
боте Зорина и др. [33]
модулирование потенциа-
ла цепочки металлических
островков происходило при
помощи поверхностной
302
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
акустической волны, распространявшейся по пьезоэлектрической под-
ложке. Теоретически, через такую цепочку должен протекать постоян-
ный ток I = def, где f - частота волны, а знак зависит как от величины
постоянного смещения островков, так и от направления распростране-
ния волны. Для проверки теоретических выкладок авторы провели
эксперимент, в котором цепочка из 8 островков с емкостями 0.1 фФ и
сопротивлениями 170 кОм модулировалась поверхностной акустиче-
ской волной с частотой f = 48 МГц. Однако было установлено, что
протекающий постоянный ток значительно меньше, чем ожидалось.
Авторы связывают данный факт с наличием неконтролируемых слу-
чайных фоновых зарядов.
Эффекты, связанные с кулоновской блокадой. Помимо собст-
венно эффекта кулоновской блокады в некоторых работах теорети-
чески рассмотрены эффекты, могущие возникать при кулоновской
блокаде, и их влияние на саму блокаду.
Так, в работе Горелика и др. [48] рассмотрен случай, при кото-
ром кулоновский островок может изменять положение относитель-
но электродов. Такой случай имеет место при использовании в
качестве туннельных диэлектриков органических материалов. По-
казано, что кулоновский островок будет периодически менять по-
ложение относительно электродов, курсируя между ними наподобие
челнока при передаче электронов. В результате даже при равенстве
толщин туннельных барьеров возникает кулоновская лестница.
В работе Хакенбройха [49] проанализировано влияние изменения
формы кулоновского островка в режиме кулоновской блокады. Дан-
тая ситуация имеет место, если кулоновский остров образован огра-
ничивающим потенциалом (областями обеднения). Определено, что
данное влияние скажется на величине емкости островка, однако ника-
ких качественных изменений не произойдет.
Работа Ричардсона [52] посвящена теоретическому исследованию
возможности одноэлектронного туннелирования в туннельных дио-
дах. Показано, что свойства одноэлекгронного туннельного диода
будут существенно отличаться от свойств обычных туннельных
диодов. Среди отличий, например, следует отметить ступенчатое из-
менение тока насыщения с периодом еПС.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
Конструкции одноэлектронных приборов весьма различны, од-
нако их можно классифицировать по следующим признакам [50,51].
По направлению протекания тока конструкции делятся на
горизонтальные (латеральные) и вертикальные. В горизонтальных
приборах направление протекания тока параллельно плоскости по-
верхности структуры. В вертикальных - направление тока перпен-
дикулярно плоскости поверхности.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов 303
По способу формирования квантовых точек конструкции де-
лятся на приборы на постоянных и временных квантовых точках.
Заметим, что термин “квантовая точка” по отношению к малому
объекту не всегда корректен, так как квантования энергетического
спектра может и не наблюдаться. Однако данный термин широко
используется в силу того, что для квантования спектра достаточно
понизить температуру. В дальнейшем мы также будем придержи-
ваться такой терминологии.
Постоянная квантовая точка существует все время и представ-
ляет собой чаще всего какой-либо кластер (металлический или полу-
проводниковый). Временная квантовая точка создается в двумерном
электронном газе путем приложения обедняющих напряжений, т. е.
существует лишь во время работы прибора. Кроме того, приборы
на временных квантовых точках можно разделить по способу фор-
мирования двумерного электронного газа на инверсные и гетеро-
структурные. В инверсных двумерный электронный газ формиру-
ется в инверсных приповерхностных каналах путем приложения
соответствующего напряжения. В гетероструктурных приборах дву-
мерный электронный газ существует на гетерогранице.
По количеству квантовых точек приборы делятся на нуль-
мерные (одноточечные), одномерные (цепочка точек) и двумерные
(массив точек).
По управляемости параметрами квантовых точек приборы
делятся на неуправляемые (двухэлектродные) и управляемые (мно-
гоэлектродные, с одним или несколькими затворами).
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся конструкции одно-
электронных приборов.
Приборы на основе сканирующего туннельного микроскопа.
Примером вертикального одноэлектронного прибора служит кон-
струкция с использованием сканирующего туннельного микроско-
па (СТМ). Идея данной реализации заключается в следующем.
Между проводящей подложкой и иглой СТМ располагается неко-
торая малая металлическая частица (металлический кластер), изо-
лированная туннельными переходами как от подложки, так и от
иглы. Таким образом, металлическая частица играет роль кулонов-
ского острова. По приведенной выше классификации - это верти-
кальный нуль-мерный неуправляемый прибор на постоянной кванто-
вой точке. Следует отметить, что только реализованный при помощи
СТМ одноэлектронный прибор может работать при комнатной
температуре, что резко отличает его от всех остальных одноэлек-
тронных приборов.
Приборы на основе СТМ различаются способом изоляции час-
тицы от подложки. Частица либо высаживается на тонкий изоли-
рующий слой [8-12], либо металлический кластер окружают
изолирующие органические лиганды [9,10].
304
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.8. Экспериментальная реализация двухпе-
реходной системы:
а - игла СТМ, которая располагается над металлической
частицей, лежащей на изолирующем слое; б - металличе-
ская частица окружена изолирующим слоем лиганд, иг-
рающих роль туннельного барьера [10]
Схематический вид
структуры, общий для
всех работ, изображен
на рис. 9.8.
Рассмотрим структу-
ры подложка-изолятор-
частица-игла. В качестве
металлических частиц все
авторы использовали зо-
лото, однако материалы,
использовавшиеся для
подложки и изолятора,
различны. В работах Ше-
ненберга и др. [8,9] в ка-
честве под ложки - Au,
изолятор - ZrO2. Теми же
материалами пользовал-
ся ван Кемпен [10], кро-
ме золота, для частиц он использовал также In. Дороги [12], как и
Шоненберг, для подложки использовал Au, однако в качестве изо-
лирующей пленки применил полимерную органическую пленку
дитиола. Уехара [11] в качестве подложки и изолятора использовал
окисленный AL Толщина диэлектрика у всех авторов составляет около
1 нм; способ формирования частиц Au схож у всех: на изолирующую
пленку наносился тонкий (от 0.2 до 1 нм) слой золота, который собирал-
ся в кластеры размером несколько нанометров [8-10], либо на изоли-
рующую пленку осаждались предварительно сформированные клас-
теры [11,12].
В случае исследования металлических частиц, окруженных ор-
ганическими молекулами, в качестве ядра авторы применяли Pt.
Шоненберг [9] погружал частицы в водный раствор поливинил-
пирролидона, в результате чего вокруг частицы образовывалась
“шуба” из полимерных металлофильных молекул. Ван Кемпен [10]
в качестве объекта исследования использовал кластеры Pt^Phen^Ojo,
где Phen - молекула фенантролина.
Вольт-амперные характеристики, полученные вышеперечислен-
ными авторами, сходны и имеют лишь небольшие количественные
различия. Все авторы отчетливо наблюдали кулоновскую блокаду
и кулоновскую лестницу как при 4.2 К, так и при комнатной тем-
пературе. Естественно, при комнатной температуре данные эффек-
ты менее выражены. Типичная ВАХ приведена на рис. 9.9.
Для исключения ложной интерпретации полученных результа-
тов большинство авторов измеряло также ВАХ при установке иглы
СТМ не над частицей, а над свободной поверхностью. В результате
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
305
наблюдались омические
линейные вольт-амперные
характеристики, что сви-
детельствовало в пользу
интерпретации нелиней-
ных ВАХ как кулонов-
ских эффектов.
Кроме измерения вольт-
амперных характеристик
многие авторы проводили
и другие исследования.
Так,Шоненберг [8] изучал
влияние значения началь-
ного заряда Qo. Результа-
ты показаны на рис. 9.10.
По вертикальной оси
отложено отношение R/R&
где R$ - дифференциальное
сопротивление при нуле-
Рис. 9.9. ВАХ, полученные при помощи СТМ.
Толстая кривая (верхняя) — при 300 К, штрих-
пунктирная кривая - дифференциальная про-
водимость, полученная численно, тонкие
кривые - теоретический расчет (сдвинуты для
ясности по вертикали). На вставке — кулонов-
ская лестница при 4.2 К [8]
вом смещении; R - асимптотическое сопротивление при большом
смещении. По горизонтальной оси отложено отношение еЧСкТ, где
С - емкость, изменяющаяся с изменением расстояния между час-
тицей и иглой СТМ.
Кружками представлены измерения для различных частиц,
сплошные линии - рассчитаны для внешнего заряда QJe, изменяю-
щихся от 0 до 0.5 с шагом 0.05. Из рис. 9.10 вндно, что измеренные
Рис. 9.10. Относительное дифференциальное
сопротивление как функция приведенной
электростатической энергии одного элект-
рона е2/СкТ [8]
значения хорошо согласу-
ются с теорией, причем на-
чальный заряд случайно
распределен по различным
частицам. Авторы [8] также
исследовали изменение Qo с
изменением расстояния от иг-
лы до частицы. На рис. 9.11
показаны зависимости R^'
от расстояния, z. При отсут-
ствии частицы зависимость
имеет экспоненциальный ха-
рактер (кривая а), при на-
личии частицы видны осцил-
ляции, наложенные на экспо-
ненту (кривая Ь), осцилляции
становятся виднее при деле-
нии а) наЬ) (кривая с).
306
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
6z (нм)
Рис. 9.11. Зависимость R^1 от
вертикального расстояния:
а - измерения; b - экспоненциальная
подгонка; с - а), деленное на Ь) [8]
Ван Кемпен [10] наблюдал зави-
симость Qo от времени. На рис. 9.12
приведены результаты для трех раз-
личных островков Au при 4.2 К.
На рис. 9.13 приведены результа-
ты для одного и того же In островка,
но при различных смещениях 195 мВ
(а) и 580 мВ (б) при 1.3 К. Авторы
предполагают, что такое изменение
связано с наличием ловушек в слое
диэлектрика с временем захвата-ос-
вобождения от 5 до 20 с. Результаты
моделирования, проведенного на ос-
нове данного предположения, соот-
ветствуют экспериментальным.
Уехара [11] изучал эмиссию видимого света, возникающую при
инжектировании электрона с иглы СТМ в подложку. Максималь-
ная энергия излучаемого фотона hvmK=eVt где V- приложенное на-
пряжение. Данное утверждение справедливо для макроскопических
образцов. При малых размерах частиц, т.е. при наличии кулонов-
ской блокады, максимальная энергия должна уменьшиться на ве-
личину Е=ег12С, необходимую для преодоления кулоновской
блокады. Таким образом, смещение составит ЛЕ = h v^- Е. Для ис-
следования авторы выбрали на поверхности две частицы: “большую”
площадью 490 нм2 и “маленькую” площадью 32 нм2. Для большой
частицы сдвиг ЛЕ составил 3.8 мэВ, для маленькой - 58 мэВ. Таким
Рис. 9.12. Изменение Qo от функ-
ции времени для трех различных
туннельных переходов на Au
островках при 4.2 К [10]
Рис. 9.13 Зависимость Qo от вре-
мени для In островка при 1.3 К:
а - 195 мВ, />-580 мВ [10]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
307
образом, разница между сдвигами должна составить ®54 мэВ. Ре-
зультаты эксперимента представлены на рис. 9.14. Разница сдвигов
составила ~ 80 мэВ, что, по мнению авторов, согласуется с приве-
денными грубыми оценками.
Дороги [12] кроме измерений проводил численный расчет ВАХ
(кулоновской лестницы), используя в качестве параметров Rh R2, C)f С2.
Индекс 1 соответствует параметрам кластер-подложка, 2 - иг-
ла-кластер. Измеренная и рассчитанная ВАХ совмещались по методу
наименьших квадратов. Результаты расчетов представлены на рис.
9.15. По оси абсцисс отложен ток I(V,z) | v=cona, т.е. z - расстояние от
иглы до частицы.
При измерениях на металлических частицах, окруженных поли-
мерными молекулами [9,10], была обнаружена большая нестабиль-
ность характеристик во времени, зависимость диэлектрической
постоянной и толщины оболочки от расстояния между иглой и час-
тицей, что связано с природой органических полимерных молекул.
В работе Нейо и др. [27] в качестве кулоновского острова ис-
пользовались органические молекулы жидких кристаллов, а также
молекулы фуллерена. Кулоновские эффекты рассматриваются как с
точки зрения классической теории, так и с точки зрения решения
уравнения Шредингера. Соавторами данной работы Бакшеевым и
Ткаченко разработана математическая модель, позволяющая опре-
делять параметры одноэлектронных приборов по измеренным ха-
рактеристикам.
Вертикальные одноэлектронные
приборы на основе сэндвичевых стру-
ктур. Одним из возможных путей реа-
лизации одноэлектронных приборов
является применение многослойных
структур, выращенных при помощи
молекулярно-лучевой эпитаксии. Так
как МЛЭ позволяет выращивать слои с
точностью до одного монослоя, то их
остается ограничить в двух других из-
мерениях для получения объектов не-
обходимых размеров. В качестве
материала используются главным обра-
зом гетероструктуры на основе
GaAs/AlGaAs.
В работе Остина и др. [13] исполь-
зовалась двухбарьерная резонансная
туннельная структура на основе
AIGaAs/GaAs, показанная на рис. 9.16.
После выращивания двухбарьер-
Рис 9.14. Спектры излучения:
а - большой ; b - малой частиц Два
вертикальных штриха показывают
абсолютную точность спектрографа-
детектора
308
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис 9.15. Зависимость подгоноч-
ных параметров от установочного
тока /( V,z) при постоянном V [ 12]
ной структуры на поверхность на-
носились верхние контакты диамет-
ром d=0.3, 0.4, 0.5 и 0.7 мкм.
Затем, используя верхний кон-
такт в качестве маски, стравливался
слой 300 нм и наносился затворный
контакт. Расстояние от затвора до
двухбарьерной структуры составля-
ло 50 нм. Подача на затвор отрица-
тельного напряжения создавала
области обеднения, которые ограни-
чивали квантовую яму между двумя
барьерами. Таким образом, данная
конструкция представляет собой вер-
тикальный управляемый прибор на
одной временной точке.
В работе приведены вольт-ам-
перные характеристики структуры:
ток стока от напряжения на стоке
при различных затворных напряже-
ниях (рис. 9.17) и ток стока от на-
пряжения на затворе (т. е., по сути
от Qo) при различных напряжениях
на стоке (рис. 9.18). Из первой характеристики видно, что при от-
сутствии напряжения на затворе структура ведет себя как резо-
нансно-туннельный диод, а при отрицательном напряжении на
затворе, т. е. при формировании квантовой точки, отчетливо видна
кулоновская блокада. На второй характеристике пики соответст-
вуют определенному количеству электронов на кулоновском ост-
рове. Все характеристики
сняты при Т=1.6 К.
Этими же авторами
[53] реализована трехбарь-
ерная конструкция, т. е.
содержащая две квантовые
точки. В работе исследовано
влияние взаимного положе-
ния квантовых уровней в
точках на электронный
транспорт. Установлено,
что при большом несоот-
Рис. 9.16 Схематическая диаграмма субмик-
ронного вертикального одноэлектронного
транзистора [13]
ветствии квантовых уров-
ней кулоновская лестница
значительно подавляется.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
309
Другая конструкция представлена
в работе Ашури и др. [14]. В целом,
она аналогична конструкции Остина,
однако затворный и истоковый кон-
такт совмещены, т.е. прибор является
двухэлектродным. Схематический раз-
рез структуры изображен на рис. 9.19,
а фотография со сканирующего элек-
тронного микроскопа на рис. 9.20. На
затвор подавалось отрицательное сме-
щение и малый дифференциальный
сигнал на частоте 210 кГц. Измерения
проводились при "откачанных" гелие-
вых температурах. Результаты изме-
рения представлены на рис. 9.21.
Каждый пик соответствует туннели-
рованию одного электрона на изоли-
рованный энергетический уровень в
квантовой точке.
Рис. 9.17. ВАХ структуры (рис.
9.16) для прямого (а) и обратного
(Ь) смешений [13]
В работе Хауга и др. [29] использовалась структура, подобная
структуре Остина, однако столбик протравливался до подложки и
затворные электроды отсутствовали. Диаметр столбика составлял
350 нм. В работе исследовалось влияние магнитного поля на
транспорт через такую квантовую точку при температуре 22 мК.
Результаты измерений (ВАХ при различных значениях магнитного
поля) представлены на рис. 9.22.
Изменение напряжения кулоновской блокады связано с изменением
положений уровней в квантовой точке под действием магнитного поля.
1.6 К <1=400 пт
N>2
-10 -08 -06 -04 -02 00
напряжение на затворе Vg(B)
Рис. 9.18. Сток-затворные ВАХ при различных напряже-
ниях на стоке. Кривые смещены вертикально на 10 пА
для ясности [13]
310
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
n+ GaAs
Рис. 9.19. Схематический раз-
рез структуры [14]
।----------
1 мкм
Рис. 9.20. Фотография структуры,
сделанная при помощи сканирующе-
го электронного микроскопа [14]
В работе Хауга исследуется также транспорт через систему из двух
точек, изготовленную на основе двумерного электронного газа в
AIGaAs/GaAs гетероструктурах. Такие конструкции будут рассмот-
рены позднее.
Приборы на основе массивов квантовых точек. Дуруоз и др.
в своей работе [15] представляют двумерный массив 200x200 точек,
приготовленный следующим образом. На поверхности AIGaAs/GaAs
структуры с двумерным электронным газом (ДЭГ), залегающим на
глубине 77 нм, с помощью электронной литографии создавались
крестообразные точки с периодом 0.8 мкм, промежутки между ко-
торыми протравливались на 80 нм, т. е. глубже залегания ДЭГ.
Сверху на весь массив на-
кладывался Cr/Au затвор.
Таким образом, данная
структура представляла со-
бой управляемый планар-
ный двумерный прибор на
постоянных квантовых точ-
ках. Электронная фотогра-
фия части массива до нане-
сения затвора показана на
рис. 9.23. Вольт-амперные
характеристики массива
при различных напряже-
ниях на затворе, снятые
при Г=20 мК, показаны на
рис. 9.24. Напряжение на
затворе увеличивало высо-
ту барьера между точками.
60
650 -600 -550 -500
Затворное напряжение (mV)
Рис 9 21 Переменный сигнал на входе изме-
рительного НЕМТа. На вставке - вольт-
фарадная характеристика структуры, стрелкой
отмечено положение первого пика.на основ-
ном рисунке [14]
92^ Реализация одноэлектронных приборов
311
однако было меньше напря-
жения, полностью обедняю-
щего ДЭГ (630 мВ). ВАХ
массива в зависимости от Т
представлены на рис. 9.25.
На ВАХ отчетливо проявля-
ется кулоновская блокада.
В работе Римберга и др.
[16] исследовались как од-
номерные, так и двумерные
массивы квантовых точек.
Точки представляли собой
А1 островки, разделенные
туннельными промежутка-
ми А1ХОУ.
Рис 9.22 ВАХ структуры в зависимости от
магнитного поля
Структура формировалась при помощи электронной литогра-
фии. Между контактами располагалось 440 островков в одно-
мерном случае и 38x40=1520 островков в двумерном. Площадь
туннельных контактов составляла 70x80 нм2 и 70x70 нм2 для 1D и
2D массивов соответственно. Вольт-амперные характеристики вме-
сте со схематическими диаграммами массивов представлены на
рис. 9.26.
К этим же конструкциям можно отнести прибор на самообра-
зующихся InAs квантовых точках, находящихся в GaAs, представ-
ленный в работе Такеучи и др. [37]. На поверхность GaAs осаждалось
2.5 монослоя InAs, который собирался в островки со средним диамет-
ром 26 нм со стандартным отклонением 11 %, плотностью 8.7x10’°
Рис 9 23 Электронная фотогра-
фия части массива квантовых то-
чек [15]
Рис. 9.24. Типичная ВАХ массива при различ-
ных затворных напряжениях. Кривые смеше-
ны вертикально для ясности [15]
312
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.25. ВАХ массива при различных темпе-
ратурах, напряжение на затворе -115 мВ. Кри-
вые смещены вертикально для ясности [15]
островков/см2. Высота ос-
тровков составляла 5 нм.
Среднее расстояние меж-
ду центрами островков -
26 нм, т.е. при отклоне-
нии в большую сторону
островки сливались. Не-
большое расстояние меж-
ду островками создавало
высокую вероятность тун-
нелирования. В работе
исследовалась фотолюми-
несценция такого масси-
ва квантовых точек.
Кремниевые одно-
электронные приборы.
Конструкция, основанная
на принципе работы МОП транзистора с индуцированным кана-
лом, предложена Матсуокой и др. [17,18,45].
В [17,45] описан транзистор на одной квантовой точке, а в
[18]- на двух. Конструкции этих транзисторов изображены на
рис. 9.27 и рис. 9.28. Затвор таких транзисторов состоит из двух
электрически не связанных частей. Подача на нижний затвор
положительного напряжения формирует инверсный n-канал в р-
подложке, а подача на верхний
затвор отрицательного напряже-
ния разрывает канал областями
обеднения, формируя квантовые
точки.
Эти приборы являются пла-
нарными управляемыми прибо-
рами на одной или двух
временных квантовых точках. На
рис. 9.29 показана зависимость
тока стока от напряжения на
нижнем затворе при различных
напряжениях на верхнем затворе
для одноточечного транзистора
[17]. На рис. 9.30 представлены
аналогичные характеристики, но
при различных температурах
[18]. Осцилляции на этих зави-
симостях соответствуют присут-
ствию отдельных электронов.
Рис 9.26. ВАХ для а одномерного и
b двумерного массивов квантовых
точек. На правых вставках показаны
схемы массивов [16]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
313
VUG(<OV)
Рис. 9.27. Схема кремниевого одноэлектронного транзистора с двумя затворами
на одиночной квантовой точке [17]
Леобандунг и др. сделали как электронный [19], так и дыроч-
ный [20] приборы, использующие эффект кулоновской блокады.
Схематично транзистор представлен на рис. 9.31. В кремниевой
подложке создавался изолирующий слой путем имплантирования
кислорода, затем при помощи электронной литографии и реактив-
ного ионного травления формировался необходимый рисунок.
После этого проводилось термическое подзатворное окисление,
которое уменьшало размеры квантовой точки и увеличивало высо-
ту потенциальных барьеров между точкой и контактами. Сверху
наносился поликристаллический кремниевый затвор. Разница за-
ключалась в использовании л-Si для электронного и p-Si для ды-
рочного транзистора.
Рис. 9.28 Схема кремниевого одноэлектронного тран-
зистора с двумя затворами на двойной квантовой
точке [•8]
314
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис 9.29. Зависимость тока стока
от напряжения на нижнем затворе
для различных напряжений на
верхнем затворе при 4.2 К [17]
Рис. 9.30 Зависмость тока стока
от напряжения на нижнем затво-
ре для различных температур.
Напряжение на верхнем затворе -
1В, на стоке 200 мкВ [18]
Вышеописанные транзисторы являются управляемыми планар-
ными приборами на одной постоянной квантовой точке. Фотогра-
фии со сканирующего электронного микроскопа представлены для
электронного (рис. 9.32) и для дырочного (рис. 9.33) транзисто-
ров. Зависимость тока стока от затворного напряжения для элек-
тронного транзистора при различных температурах представлена
на рис. 9.34. Аналогичные зависимости получены и для дырочного
Рис 9 31. Схематическое изображе-
ние квантового одноэлектронного
транзистора [19]
транзистора. Следует отметить,
что два вышеописанных транзи-
стора являются единственными
одноэлектронными приборами
(кроме реализованных при по-
мощи СТМ), работающими при
температурах выше 77 К. Однако
вопрос о воспроизводимости
10 нм структур при помощи
электронной литографии авто-
рами замалчивается.
Аналогичная конструкция с
аналогичными характеристика-
ми создана Фудживарой и др.
[21]. Однако их транзистор от-
личается большими размерами
и работает до температуры 28 К.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
315
Рис 9.32. Фотография элек-
тронного транзистора, сде-
ланная при помощи ска-
нирующего электронного
микроскопа [19]
Рис 933 Фотография ды-
рочного транзистора, сде-
ланная при помощи скани-
рующего электронного мик-
роскопа [20]
В работе Охаты и др. [22] предложена конструкция, показанная
на рис. 9.35.
Прибор изготавливался следующим
образом: на поликремниевый слой нано-
сился толстый слой SiO2. При помощи
электронной литографии и реактивного
ионного травления формировался остро-
вок Si SiO2. Затем проводилось термиче-
ское окисление для получения тонкого
окисла (2 нм) на боковой поверхности ост-
ровка. После нанесения еще одного слоя
поликремния при помощи электронной ли-
тографии и реактивного ионного травления
формировались подводящие контакты, как
показано на рис. 9.35.
Рис. 9.34 Ток стока от напря-
жения на затворе для электрон-
ного транзистора при различ-
ных температурах [19]
Рис. 9 35. Схема одноэлектронного транзистора из [22]
316
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Роль квантовой точки играл островок, туннельные контакты
осуществлялись через тонкий боковой окисел. Емкость перекрытия
контактов и островка уменьшалась за счет большой толщины SiO2
(50 нм) сверху островка. В качестве затворного электрода исполь-
зовалась подложка. Классификация прибора аналогична предыду-
щему.
Как видно из рисунка, площадь туннельного контакта опреде-
ляется высотой островка и шириной подводящего контакта, кото-
рые составляли 30 и 100 нм соответственно. Таким образом,
емкость контактов при толщине бокового окисла 2 нм составляла
50 aF. СЭМ-фотография структуры показана на рис. 9.36. На
рис. 9.37 представлены характерные одноэлектронные осцилляции
тока стока от напряжения на затворе (т.е. на подложке). Измерения
проводились при температуре 4.2 К.
Приборы на основе двумерного электронного газа в
AlGaAs/GaAs гетероструктурах. Основная идея таких приборов
состоит в формировании в ДЭГ квантовых точек путем приложения
обедняющих напряжений к электродам на поверхности образцов
[23-25,29]. Такие конструкции являются планарными управляемы-
ми приборами на одной или нескольких квантовых точках.
Различные конструкции данного типа различаются конфигура-
цией управляющих электродов и количеством квантовых точек. На
рис. 9.38 представлена СЭМ-фотография прибора из работы Вауфа
и др. [23]. Толщина электродов около 300 нм. Прибор работает при
температуре меньше 1К.
Рис 9 36. Фотография од-
ноэлектронного транзи-
стора (рис. 9.35), полу-
ченная при помощи ска-
нирующего электронного
микроскопа [22]
На рис. 9.39 показана фотография с
атомного силового микроскопа одно-
точечного прибора из работы Хофмана
и др. [24].
Рис 9 37. Зависимость тока стока
от напряжения на затворе, на-
пряжение на стоке - ЗмВ [22]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
317
Рис. 9.38. СЭМ-фотография одно-
электронного транзистора из [23]
1 о 15 2
Рис. 9.39. Фотография одноэлек-
тронного транзистора, полученная
при помощи атомного силового
микроскопа [24]
Прибор работает при Г=25 мК. Схематичное изображение при-
бора из работы Паскьера и др. [25] (аналогичное Хаугу [29]) приве-
дено на рис. 9.40. Прибор работает при температурах менее 35 мК.
На рис. 9.41 показаны характерные осцилляции тока от напряжения
на электродах, формирующих квантовую точку [25]. Аналогичные
характеристики получены и представленными выше авторами
[23,24,29], поэтому мы не будем на них подробно останавливаться.
В работе Фурусаки и Матвеева [26] для конструкции, показанной
на рис. 9.42, получена аналитическая форма зависимости линейной
проводимости структуры от затворного напряжения и температуры.
Приборы на основе структуры
А1/А1ХОУ /А1. В приборах такого типа
используется возможность получения
тонкого окисла А1.
Часто используется техника так на-
зываемого теневого испарения (shadow
Рис. 9.40. Схематическое изо-
бражение прибора из [25]
-750<nV
-700mV
Рис. 9 41. Зависимость прово-
димости от напряжения на за-
творе для транзистора, изо-
браженного на рис 9.40 [25]
318
Гл 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.42. Модель транзистора, по кото-
рой производилось моделирование ха-
рактеристик [26]
evaporation), описанная в обзоре
Гирлигса [7]. Последовательные
стадии данного процесса пока-
заны на рис. 9.43. На стадии а на
трехслойный PMMA-Ge-PMMA
резист наносится рисунок при
помощи электронной литогра-
фии. Стадии b - d- последова-
тельное травление трехслойного
резиста. Стадия е - изотропное
селективное травление нижнего
слоя РММА-резиста с образова-
нием висящих Ge мостиков. Стадия f - последовательное напыле-
ние А1 под разными углами, после первого напыления А1 окисляет-
ся и напыляется еще один слой А1 под другим углом, так что тень
от Ge мостика находится в другом месте. В месте перекрытия пер-
вого и второго слоя А1 образуется туннельный контакт. На стадии g
удаляется оставшийся резист.
В работе Виссчера и др. [35] представлены изготовленные по-
добным образом приборы, фотография одного из них показана на
рис. 9.44. Туннельные переходы J, и J2 образованы перекрытием
подводящих контактов и квадратным металлическим островком.
Прибор работает при Т= 60 мК.
Сходная технология описана в [46], однако там испарение А1
используется для изготовления шаблона: на вытравленную в рези-
сте канавку под двумя различными углами напыляется А1, в ре-
зультате чего ширина канав-
ки уменьшается. При помо-
щи этого метода достигнута
ширина канавки 100 нм. Дос-
тоинство метода состоит в
простоте, так как для него
достаточно обычной фотоли-
тографии и жидкостного трав-
ления.
Прибор, построенный на
основе самосовмещенной тех-
нологии, представлен на рис.
9.45 из работы Гётца и др.
[36]. Процесс также является
многостадийным. На стадии
а формируется узкая А1 по-
лоска; Ь - наносится резист
поперек полоски; с - неза-
крытые резистом части по-
Рис. 9.43. Схема процесса теневого испа-
рения (описание см. в тексте) [7]
9.3. Применение одноэлектронных приборов
319
Рис. 9.44. СЭМ фотография двух емко-
стно связанных одноэлектронных тран-
зисторов, изготовленных при помощи
теневого испарения [35]
Рис. 9.45. Последовательные стадии
самосовмещенной технологии, ис-
пользовавшейся для изготовления
одноэлектронного транзистора [36]
лоски стравливаются; d торцевые части А1 полоски окисляются; е -
сверху все закрывается Al; f удаляется резист вместе с лежащим на
нем А1. В результате формируется прибор, в котором остаток по-
лоски, окисленный с торцов, примыкает к двум электродам, явля-
ясь кулоновским островком. Ширина полоски составляла 80-150
нм, толщина 50 нм, ширина полосы резиста поперек полоски - 150
нм. Прибор работает до Г = 2 К.
Имеются и другие способы реализации одноэлектронных при-
боров, например, в работе Кубаткина и др. [44] описан прибор с ку-
лоновским островком из высокотемпературной сверхпроводящей
керамики YBaCuO. Размер островка 200x150x1000 нмэ, прибор ра-
ботает при Т = 0.5 К.
9.3. Применение одноэлектронных приборов
Возможные области применения одноэлектронных приборов
были показаны еще Лихаревым в его первых работах по одноэлек-
тронным эффектам [1-5]. Он, в частности, предлагал использовать
одноэлектронные приборы в качестве электрометров из-за высокой
чувствительности к внешнему заряду. Исходя из (9.1.7) можно за-
писать, что I=f-e, т. е. сделать стандарт тока. Одноэлектронные
приборы могут быть использованы также в качестве логических
элементов цифровых схем. Последняя область применения являет-
ся, очевидно, наиболее важной. Большинство работ, связанных с
применением одноэлектронных приборов, посвящено как раз циф-
ровой электронике. Йошикава и др. в работе [38] анализируют ди-
320
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.46. Принципиальные схемы одно-
электронных инверторов:
намические характеристики ин-
верторных схем на одно-
элекгронных транзисторах с ре-
зистивным и емкостным входа-
ми, изображенных на рис. 9.46.
Принцип работы таких инвер-
торов заключается в следую-
щем. Если входное напряжение
V„ мало, т. е. соответствует ло-
гическому “0”, и недостаточно
для преодоления кулоновской
блокады, то ток через транзи-
а-емкостногоиЬ-резистивного[38] СТОр не Протекает И ВЫХОДНОе
напряжение V^, соответствует
логической “1”. При увеличении V* до значения, снимающего куло-
новскую блокаду (что соответствует логической “1”), через транзистор
начинает течь ток и потенциал понижается до логического “0”.
Расчет характеристик проводился методом Монте-Карло. Ста-
тические характеристики инверторов изображены на рис. 9.47 (на
верхнем графике для транзистора с емкостным входом, на нижнем
- с резистивным входом). Динамические характеристики, получен-
ные при подаче на вход импульса логической “1”, приведены на
рис. 9.48 также для емкостного и резистивного инверторов. Кроме
МИЛ
Рис. 9.47. Передаточная характери-
стика емкостного (а) и резистивного
инверторов (Ь) [38]
Рис 9.48. Динамические характери-
стики емкостного (а) и резистивного
(5) инверторов при подаче на вход
прямоугольного импульса [38]
9.3. Применение одноэлектронных приборов
321
того, авторами исследовались каскадное включение инверторов и
каскадное включение с обратной связью. Передаточные характери-
стики двухтранзисторного каскада с обратной связью приведены на
рис. 9.49. В результате исследования авторы утверждают, что рези-
Рмс. 9.49. Передаточная характе-
ристика для каскада из двух
резистивных инверторов [38]
Рис. 9.50. Принципиальная схема одно-
элекгронных инверторов с использованием
туннельного перехода вместо истокового
(а) и стокового (Ь) резисторов [39]
ставная схема имеет более высокий коэффициент усиления по на-
пряжению, большую стабильность рабочей точки и разделение
входа-выхода, однако у нее меньшая разница логических уровней,
чем у емкостной схемы. Выходные сигналы осциллируют во вре-
мени из-за стохастического характера одноэлектронного туннели-
рования. Время ключения составляет 1007?/С,. Логические уровни
становятся стабильными в длинных цепочках инверторов.
В отличие от Йошикавы, Фукуи (Fukui) и др. [39] предлагают
схему, в которой смещение одноэлектронного транзистора осуще-
Рис. 9.51. Карта доменов стабильности внут-
ренних состояний схемы рис. 9.50, а [39]
ствляется не сопротивлением, а
туннельным переходом, как
изображено на рис. 9.50.
Принцип работы такой
схемы заключается в следую-
щем. Внутреннее состояние
определяется зарядом, нахо-
дящимся в точках А и В. Для
схемы были вычислены облас-
ти стабильности в зависимости
от и Vour Диаграмма для
схемы рис. 9.50, а представле-
на на рис. 9.51. Заштрихован-
ные области представляют
собой нестабильные области,
322
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.52. Передаточная характе-
ристика схемы, изображенной на
пустые треугольники со срезанны-
ми углами - области кулоновской
блокады (в скобках указаны зарядо-
вые состояния для точек А и В). При
изменении входного напряжения схе-
ма переходит из одного стабильного
домена в другой, при этом меняется
зарядовое состояние и, следовательно,
напряжение.
На рис. 9.52 представлена пере-
даточная характеристики для схемы
рис. 9.50, а при различных темпера-
турах. Временная зависимость выход-
рис. 9.50, а [39] ного напряжения при подаче входного
импульса показана на рис. 9.53. Из
этого графика хорошо видно отсутствие осцилляций выходного
напряжения, присущее традиционной схеме (см. рис. 9.48). Пред-
ложенная конструкция является более стабильной, чем традицион-
ная [38] и ненамного сложнее ее.
Принципиально другую конструкцию, основанную на SET ос-
цилляциях (9.1.7), предлагают Кихл и Ошима [40]. Принципиаль-
ная схема изображена на рис. 9.54. На каждую ячейку (обведены
пунктиром) подается постоянное напряжение смещения , п -
номер ячейки, причем смещение подается с определенной фазой
Фс/ос*- Переменное напряжение накачки Fpump=Kpcos(2(i)J/) подается
одновременно на все ячейки, сол-частота входного переменного
сигнала К,я=со8((о/+ф<п), ф,„-раз-
ность фаз входного сигнала и
сигнала накачки. фсгос* также от-
считывается от фазы накачки.
Такая система может находить-
ся в двух стабильных состояни-
ях из-за неопределенности
фазового соотношения частот <в,
и 2(о,. Рассчитанная фазовая
диаграмма разности фаз вход-
ного и выходного сигналов при
различных соотношениях фот и
Фс/Ос* приведена на рис. 9.55. Па-
раметр E=CJC. характеризует
степень связи. Из приведенного
рисунка видно,что в случае
35
зо
25
5" 20
а
J15
10
5
0
-5
0 20 40 60 80 100
время (nS)
Рис 9 53. Временная зависимость
входного и выходного напряжений
при подаче на вход положительно-
го импульса [39]
9.3. Применение одноэлектронных приборов
323
Рис. 9.54. Принципиальная схема ло-
гического элемента, построенного на
бистабильности фаз сигналов [40]
Рис. 9.55. Фазовая диаграмма для схе-
мы, показанной на рис. 9.54 [40]
сильной связи (е = 0.4) разность фаз зависит в основном только от
фазы входного сигнала. Заметим, однако, что вышеописанная схе-
ма представляет главным образом теоретический интерес, так как
практическая реализация одиночного туннельного перехода весьма
проблематична по причинам, изложенным в разделе 9.1.
Наказато и Ахмед [41,42] использовали для своих ячеек логики
и памяти приборы, основанные на многотуннельных переходах
(Multi Tunnel Junctions - MTJ). Эти приборы являются единственным
примером практической реализации одноэлекгронных логических
элементов среди всех, которые были рассмотрены в данном разделе.
Физическая конструкция прибора с MTJ показана на рис. 9.56. В
GaAs подложке на глубине 30 нм создавался 5-легированный слой
Si при помощи металлоорганического химического осаждения. За-
тем на поверхности на глубину 120 нм вытравливалась структура,
показанная на рисунке. Формирование квантовых точек в канале
происходило из-за флуктуаций потенциала.
Рассмотрим одноэлектронную ячейку памяти, принципиальная
схема которой показана на рис. 9.57. При подаче положительного
импульса напряжения достаточного для преодоления кулонов-
ской блокады, конденсатор Cg заряжается, затем при возвращении
Vg в 0, Cg начинает разряжаться до тех пор, пока процесс разрядки
не прервет кулоновская блокада. На MTJ будет находиться избы-
точное количество электронов и напряжение V будет меньше 0,
вблизи напряжения кулоновской блокады (V>VKb) происходит за-
пись “0”. При подаче отрицательного импульса напряжения Vg си-
туация повторяется, только V положительно и находится вблизи
положительного напряжения кулоновской блокады (F<KKC). На рис.
324
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
Рис. 9.56. Схема прибора, построенного на
MTJ [41]
Рис. 9.57. Принципиальная схема
одноэлектронной ячейки памяти [41]
9.58 показана временная зависимость напряжения на ячейке памяти
при записи “0” и “1”. Верхний график представляет случай отсут-
ствия кулоновской блокады, на нижнем графике хорошо виден эф-
фект памяти с разницей логических уровней около 6 мВ.
Измерения проводились при Т=1.8 К. При применении MTJ в
качестве логического элемента использовался боковой затвор, при
помощи которого можно управлять режимом кулоновской блока-
ды. В этом случае прибор ведет себя как инвертор, принцип работы
которого аналогичен приборам, описанным, например, у Йошика-
]*запись'0'-4— запись’!*—-|
время (с)
Рис. 9.58. Временные характеристики
записи “0” и “1” в одноэлектрон-
ную ячейку памяти [41]
вы в [38] или Фукуи в [39].
Косвенное отношение к при-
менению одноэлектронных при-
боров имеет работа Виона и др.
[43], содержащая описание миниа-
тюрных фильтров для уменьшения
шумов при работе с одноэлек-
тронными приборами. Проблема
заключается в том, что электро-
магнитные шумы от высокотем-
пературных частей оборудования
проникают к одноэлектронным
приборам, находящимся, как
правило, при криогенных темпе-
ратурах, и влияют на эффект ку-
лоновской блокады.
Авторы подробно исследовали
это влияние и предложили фильтр,
показанный на рис. 9.59. Частотная
9.3. Применение одноэлектронных приборов
325
характеристика фильтра представлена на рис. 9.60. Для сопряжения ап-
паратуры при 300 К и 30 мК необходимо 4 фильтра. Проблема за-
ключается в выборе температуры самих фильтров.
Быстродействие одноэлектронных приборов. В заключение
рассмотрим вопрос быстродействия одноэлектронных приборов.
Приведем оценки, сделанные в [1].
Оценка быстродействия одноэлектронных приборов
Характеристики S=axb, нм2 С.аФ Г, К 2?, кОм r=RC, пс
Современная технология 100x100 300 0.15 30 10
Ближайшая перспектива 30x30 30 1.5 30 1
Пределы нанолитографии 10x10 3 15 30 0.1
Молекулярный уровень 3x3 0.3 150 30 0.01
В таблице S=axb — площадь туннельного перехода, С — емкость данного пере-
хода, R - сопротивление, Т - рабочая температура, т - время переключения.
В заключение отметим, что структуры на основе одно-
электронного туннелирования (кулоновской блокады) в настоящее
время представляются весьма перспективными для создания ши-
рокого спектра твердотельных приборов, в том числе интегральных
схем нового поколения сверхвысокой степени интеграции. Уже
сейчас известно большое количество структур рассматриваемого
10mm 1.4mm 02mm
АА’। ..
AuCu меандр 200 нм
Au подложка 200 нм-
Окисленный&-----
Нитрид
кремния 1 мкм
Рис. 9.59. Схематическое изображе-
ние фильтра для одноэлектронных
приборов [43]
Рис. 9.60. Частотная характеристика ос-
лабления фильтра, предложенного в [43]
326 Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
типа различной конфигурации и назначения, и число их продолжает
неуклонно расти. Становится сложно ориентироваться в згой области [54].
Поэтому работы по классификации приборных структур продолжаются.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лихарев К.К. О возможности создания аналоговых и цифровых инте-
гральных схем на основе дискретного одноэлектронного туннелирования
//Микроэлектроника - 1987-Т. 16, вып. З.-С. 195-209.
2. Аверин Д.В., Лихарев К.К. Когерентные колебания в туннельных перехо-
дах малых размеров //ЖЭТФ. - 1986.- Т. 90, вып. 2 - С. 733-743.
3. Averin D. К, Likharev К.К. Coulomb blockade of single-electron tunneling,
and coherent oscillations in small tunnel junctions //J.Low Temp. Phys. -
1986.- T.62.- N 3/4. - P. 345-373.
4. Likharev K.K. Correlated discrete transfer of single electrons in ultrasmall tun-
nel junctions //IBM J. Res. Develop.- 1988-N 1.-P. 144-158.
5. Likharev K.K., Claeson T Single electronics //Sci. Am. - 1992 - N 6 - P. 80-85.
6. Tinkham M. Coulomb blockade and an electron in a mesoscopic box. Am //
J. Phys.- 1996.- N 64.- 343-347.
7. Geerligs L.J. Charge quantisation effects in small tunnel junctions. In “Physics
of Nanostructures”, Cambridge Univ. Press. -1992. - P. 171-204.
8. Schonenberg C, Van Houten H, Donkersloot H.C. Single-electron tunneling
observed at room temperature by scanning-tunneling microscopy //Europhys.
Lett. 20. 1992.- N 3.- P. 249-254.
9. Schonenberg C, Van Houten H, Donkersloot H.C. Single-electron tunneling
up to room temperature Z/Physica Scripta - 1992. - N 45. P. 289-291.
10. Van Kempen H, Dubois J.G.A., Gerritsen J.W., Schmid G. Small metallic parti-
cles studied by tunneling microscopy //Physica B - 1995 - N 204- P. 51 - 56.
11. Uehara K, Ohayama S, Ito K, Ushioda S. Optical observation of single-electron charging
effect at room temperature //Jpn. J. Appl. Phys. -1996. - N 35. - P. L167-L170.
12. Dorogi M., Gomez J., Osifchin R. Room-temperature Coulomb blockade from a
self-assembled molecular nanostructure //Phys. Rev. B. - 1995. - N 52. - P.
9071-9077.
13. AustingDG, Honda T, Takura Y, Tarucha S. Sub-micron vertical AlGaAs/GaAs resonant
tunneling single electron transistor //Jpn.J.Appl.Phys.- 1995.-N34.-P. 1320-1325.
14. Ashoori R.C., Stormer HL., Weiner J.S. Single-electron capasitance spectroscopy of
discrete quantum levels //Phys. Rev. Lett. -1992. - N 68. - P. 3088-3091.
15. Duruoz CI, Clarke RM., Marcus C.M., Harris JS. Jr. Conduction threshold, switching
and histeresys in quantum dot arrays //Phys. Rev. Lett. -1995. -N 74. - P. 3237-3240.
16. Rimberg A.J., Ho T.R., Clarke J. Scaling behavior in the current-voltage char-
acteristic of one- and two-dimensional arrays of small metallic islands //Phys.
Rev. Lett. - 1995. - N 74. - P. 4714^4717.
17. Matsuoka H, Kimura S. Transport properties of a silicon single-electron tran-
sistor at 4.2 К //Appl. Phys. Lett. - 1995. - N 66. - P. 613-615.
18. Malsuoka H, Ahmed H. Transport properties of two quantum dots connected in series
formed insilicon inversion layer //Jpn. J. Appl.Phys.-1996.-N35.-P.L418-L420.
19. Leobandung E., Guo L., Wang K, Chou S.Y. Observation of quantum effects
and Coulomb blockade in silicon quantum dot transistors at temperatures over
100 К //Appl. Phys. Lett. - 1995. - N 67. - P. 938-940.
Список литературы
327
20. Leobandung E.t Guo L., Chou S.Y. Single hole quantum dot transistors in sili-
con //Appl. Phys. Lett. - 1995. - N 67. - P. 2338-2340.
21. Fujiwara A., Takahashi Y., Murase K., Tabe M. Time-resolved measurement
of single-electron tunneling in a Si single-electron transistor with satellite Si
islands //Appl. Phys. Lett. - 1995. - N 67. - P. 2957-2959.
22. Ohata A., Niyama H, Shibata T, Nakajima K, Toriumi A. Silicon-based single-
electron tunneling transistor operated at 4.2 К //Jpn. J. Appl. Phys. - 1995 - N
34. - P. 4485-4487.
23. Waugh F.R., Berry MJ., Mar D.J., Westervelt R.M. Single-electron charging in
double and triple quantum dots with tunable coupling //Phys. Rev. Lett. - 1995. -
N75.-P. 705-708.
24. Hofmann F., Heinzel T., Wharam D.A., Kotthaus J.P. Single electron switching
in a parallel quantum dot //Phys. Rev. B. - 1995. - N 51. - P. 13872-13875.
25. Pasquier C, Glattli D.C., Meirav U., Williams F.I.B., Jin Y., Etienne B. Cou-
lomb blockade of tunneling in 2D electron gas //Sur. Sci. - 1992. - N 263. -
P. 419-423.
26. Furusaki A., Matveev KA. Coulomb blockade oscillation of conductance in the
regime of strong tunneling //Phys. Rev. Lett. - 1995. - N 75. - P. 709-712.
27. Nejo H, Aono M., Baksheyev D.G., Tkschenko V.A. Single-electron charging of a
molecule observed in scanning tunneling scattering experiments //J. Vac. Sci.
Technol. B.-1996.-N 14.-P.2399-2402.
28. Van Houten H. Coulomb blockade oscillation in semiconductor nanostruc-
tures //Sur. Sci. - 1992. - N 263. - P. 442-445.
29. Haug R.J., Blick R.H., Schmidt T. Transport spectroscopy of single and cou-
pled quantum dot systems //Physica B. - 1995. - N 212. - P. 207-212.
30. Isawa Y., Suwa F. Transport through discrete energy levels in quantum dots
//Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - N 34. - P. 4492-4495.
31. Adachi S., Fujimoto K, Hatano T. Current Response of quantum dot modulated by
time-dependent external fields //Jpn. J. Appl. Phys. -1995. - N 34. - P. 4298-4301.
32. Hatano T., Fujimoto K, Isawa Y. Role of displacement current in quantum-
dot turnstile devices //Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - N 34. - P. 4488-4491.
33. Zorin A.BPekola., J.P., Hirvi K.P., Paalen M.A. Pumping of single electron
with a travelling wave //Physica B. - 1995. - N 210. - P. 461-467.
34. Hu G. Y., О 'Connel R.F. Exact solution of the electrostatic for a single electron
multijunction trap //Phys. Rev. Lett. - 1995. - N 74. - P. 1839-1842.
35. Visscher E.H, Verbrugh S.M., Lindeman J, Hadley R. Fabrication of multilayer
single-electron tunneling devices //Appl. Phys. Lett. -1995. - N 66. - P. 305-307.
36. Gotz M., Bluthner K, Krech W., Nowack A., Fuchs HJ, Kley E.B. Preparation
of self-aligned in-line tunnel junctions for application in single-charge elec-
tronics //J. Appl. Phys. - 1995. - N 78. - P. 5499-5502.
37. Tackeuchi A., Nakata Y, Muto S., Sugiyama Y., Usuki T, Nishikawa Y. Time-
resolved study of carrier transfer among InAs/GaAs multi-coupled quantum
dots //Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - N 34. - P. L1439-L144I.
38. Yoshikawa N., Ishibashi H, Sugahara M. Dynamic characteristic of inverter cir-
cuits using single electron transistor //Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. N 34. -
P. 1332-1338.
39. Fukui H, Fujishima M., Hoh К. Simple and stable single-electron logic utiliz-
ing tunnel-junction load //Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - N 34. - P. 1345-1350.
40. Kiehl R.A., Ohshima T. Bistable locking of single-electron tunneling elements
for digital circuitry //Appl. Phys. Lett. - 1995. - N 67. - P. 2494 -2496.
328
Гл. 9. Проблемы одноэлектроники
41. Nakazato К, Ahmed Н The multiple-tunnel junction and its application to single-
electron memory and logic circuits //Jpn. J. Appl. Phys. -1995. - N 34. - P. 700-706.
42. Nakazato K., Ahmed H. Enhancement of coulomb blockade in semiconductor
tunnel junction //Appl. Phys. Lett. - 1995. - N 66. - P. 3170-3172.
43. Vion D., Orfilla P.F., Joyez R, Esteve D., Devoret M.H. Miniature electrical fil-
ters for single electron devices //J. Appl. Phys. - 1995. - N 77. - P. 2519-2524.
44. Kubatkm S.E., TzalenchukA. Ya., Ivanov Z.G., DelsingP. Coulomb blockade elec-
trometer with a high-Tc island //Письма в ЖЭТФ. -1996. - N 63. - P. 112-117.
44. Matsuoka H, Kimura S. Thermally enhanced со-tunneling of single electrons in a
Si quantum dots at 4.2 К //Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - N 34. - P. 1326-1328.
46. Zimmerman N.M. A simple fabrication method for nanometer-scale thin-metal
stencils //J. Vac. Sci. Technol. - 1997. - B15(2). - P. 369-372.
47. WangX., Grabert H. Coulomb charging at large conduction. Preprint. - 1997.
48. Gorelik L. Y., Isacsson A., Voinova M. V. Shuttle mechanism for charge transfer
in Coulomb blockade nanodtructures //E-print archive (http://xxx.lanl.gov)
cond-mat/9711196.-1997.
49. Hackenbroich G., Heiss W.D., Weidenmuller H.A. Deformation of quantum
dots in the coulomb blockade regime //E-print archive (http://xxx.lanl.gov)
cond-mat/9702184.- 1997.
50. Неизвестный HR СоколоваО.В., ШамирянД.Г. Одноэлектроника. Часть I.
И Микроэлектроника.- 1999.-Т.28, вып.2.- С.83-107.
51. Неизвестный И.Г. СоколоваО.В., Шамирян Д.Г. Одноэлектроника. Часть
II. Применение одноэлектронных приборов И Микроэлектроника. -1999.
-Т.28, вып.З. -С.163-174.
52. Richardson W.H. Possibility of a single electron tunneling diode and a con-
trollable saturated tunneling current //Appl. Phys. Lett- 1997. N 77-
P.l 113-1115.
53. Austing D.G., Honda T., Tarucha S. GaAs/AlGaAs/InGaAs vertical triple sin-
gle electron transistors //Jpn. J. Appl. Phys., 36 (1997), p. 1667-1671.
54. Абрамов И.И., Новик Е.Г. Классификация приборных структур одноэлек-
троники //ФТП-1999.-Т.ЗЗ, вып.11. -С.1388-1394.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения........................................... 3
Предисловие.................................................... 4
Список литературы.............................................. 8
Глава 1. Особенности энергетического спектра частиц в сис-
темах пониженной размерности................................... 9
1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке ...... 9
1.2. Потенциальный барьер конечной ширины.............. 15
1.3. Интерференционные эффекты при надбарьерном про-
лете частиц........................................... 17
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме..... 20
1.5. Особенности движения частиц над потенциальной
ямой ................................................. 25
1.6. Энергетический спектр и волновые функции линейно-
го, плоского и сферического осциллятора............... 27
1.7. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой
яме сложной формы..................................... 30
1.8. Структура со сдвоенной квантовой ямой............ 37
1.9. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые
структуры............................................. 41
1.10. Энергетический спектр сверхрешеток ............. 46
1.11. Классификация полупроводниковых сверхрешеток. 51
Список литературы..................................... 64
Глава 2. Влияние однородного электрического поля на энер-
гетический спектр систем пониженной размерности 66
2.1. Влияние однородного электрического поля на энерге-
тический спектр бесконечной прямоугольной потен-
циальной ямы.......................................... 66
2.2. Оценка смещения энергетических уровней под дейст-
вием электрического поля в прямоугольной КЯ ко-
нечной глубины..................................... 71
2.3. Влияние однородного электрического поля на энерге-
тический спектр параболической потенциальной ямы . 74
2.4. Интерференционная передислокация электронной
плотности в туннельно-связанных квантовых ямах..... 77
Спис ок литературы ................................. 82
330
Оглавление
Г лава 3. Распределение квантовых состояний в системах по-
ниженной размерности.......................................... 83
3.1. Особенности распределения плотности состояний в
2D- системах......................................... 83
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентра-
ции и толщины пленки для 2Б-систем .................. 91
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых про-
волоках и квантовых точках........................... 95
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограни-
чения на энергетический спектр связанных состояний
в одномерной ^-образной потенциальной яме ........... 98
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний
в системах пониженной размерности .................. 102
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелко-
го экситона......................................... 109
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок
типап-GaAs.......................................... 114
3.8. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках
с вырожденными зонами............................... 122
Список литературы........................................ 134
Г л а в а 4. Экранирование электрического поля в структурах
пониженной размерности ...................................... 136
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда . 136
4.2. Уравнение Пуассона.............................. 142
4.3. Разновидности ОПЗ............................... 145
4.4. Решение уравнения Пуассона...................... 148
4.5. Определение зависимости потенциала в ОПЗ от коор-
динаты ............................................. 151
4.6. Поверхностное квантование....................... 154
4.7. Экранирование электрического поля в 2Э-системах .... 161
4.8. Особенности экранирования электрического поля в
квантовых проволоках............................ 166
Список литературы........................................ 169
Глава 5. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном
газе......................................................... 171
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом.... 172
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном од-
нородном магнитном поле........................... 176
5.3. Проводимость двумерного электронного газа..... 184
5.4. Дробный квантовый эффект Холла...................... 188
5.4.1. Эксперименты по дробному квантовому эффек-
ту Холла....................................... 188
5.4.2. Теоретические аспекты дробного квантового
эффекта.......................................... 190
Заключение............................................... 194
Список литературы.................................. 195
Оглавление
331
Глава 6. Особенности фононного спектра в системах пони-
женной размерности .......................................... 196
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в полупровод-
никовых сверхрешетках ............................. 196
6.2. Свертка ветвей акустических фононов ........... 202
6.3. Локализация фононов ........................... 205
6.4. Интерфейсные фононы ........................... 208
Список литературы................................... 212
Глава 7. Транспортные явления ............................... 213
7.1. Стационарная дрейфовая скорость.............. 213
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости при воздей-
ствии электрического поля ......................... 222
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках и суб-
микронных приборах................................. 228
7.4. Подвижность электронов в системах с селективным
легированием....................................... 235
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия в
системах пониженной размерности ................... 242
7.6. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле .. 248
7.7. Эффект Ааронова-Бома .......................... 258
Список литературы................................... 262
Глава 8. Туннелирование через квантово-размерные структу-
ры .......................................................... 264
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру с
квантовой ямой..................................... 264
8.2. Вольт-амперная характеристика многослойных струк-
тур ............................................... 273
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных ха-
рактеристик двухбарьерных квантовых структур...... 276
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой
структуры.......................................... 284
Список литературы................................... 292
Глава 9. Проблемы одноэлектроники ........................... 294
9.1. Теоретические основы одноэлектроники .......... 295
9.2. Реализация одноэлектронных приборов............ 302
9.3. Применение одноэлектронных приборов............ 319
Список литературы................................... 326
Валерий Павлович Драгунов,
Игорь Георгиевич Неизвестный,
Виктор Алексеевич Гридчин
ОСНОВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Учебное пособие
Редактор Н. Ф. Фабричная
Технический редактор Г. Е. Телятникова
Корректор Л. Н. Ветчакова
Лицензия № 021040 от 22.02.96. Подписано в печать 22.02.2000.
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Тираж 1000 экз. Уч.-изд. л. 19,75
Печ. л. 20,75. Изд. № 1370. Заказ № 446. Цена договорная
Отпечатано в ГУП РПО СО РАСХН,
630500, Новосибирская обл., пос. Краснообск