Автор: Гридчин В.А. Драгунов В.П. Неизвестный И.Г.
Теги: электротехника электроника микроэлектроника радиотехника учебное пособие микросистемная техника физматлиткнига
ISBN: 5-98704-054-Х
Год: 2006
Текст
В.П. Драгунов
И.Г. Неизвестный
В.А. Гридчин
основы
НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Каменистые тропы науки - это горы литературы,
уступы книг, которые нужно прочесть, усвоить.
Но книги - это путеводитель, по которому можно
ориентироваться на дорогах науки.
А.Я. Яншин, академик
В.П. Драгунов, И.Г. Неизвестный, В.А. Гридчин
ОСНОВЫ
НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию
в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники
и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по направлению «Электроника
и микроэлектроника», специальностям «Микроэлектроника
и твердотельная электроника» и «Микросистемная техника»
Физматкнига
Москва
2006
Логос
УДК 621.382.017.7(075.8)
ББК 32.85
Д72
Рецензенты
А.А. Орликовский, доктор технических наук,
профессор, член-корреспондент РАН
А.А. Горбацевич, доктор физико-математических наук, профессор
Драгунов В.П., Неизвестный И.Г., Г ридчин В. А.
Д72 Основы наноэлектроники: Учебное пособие. - М.: Универси-
тетская книга; Логос; Физматкнига, 2006. — 496 с.
ISBN 5-98704-054-Х
ISBN 5-89155-149-7
Излагаются основные вопросы физики систем пониженной раз-
мерности, рассматриваются особенности энергетического спектра и
переноса частиц в многослойных структурах с резкими потенциаль-
ными границами. В отличие от первого издания (2004 г., НТГУ) до-
полнительно освещаются вопросы энергетического спектра низко-
размерных систем с цилиндрической и сферической симметрией,
вопросы влияния электрического поля на энергетический спектр
квантовых точек и транспорт частиц в двухбарьерных структурах,
дробного квантового эффекта Холла и особенностей поведения элек-
тронов в квазидвумерных системах.
Для студентов высших учебных заведений, получающих образо-
вание по направлению «Электроника и микроэлектроника» и спе-
циальностям «Микроэлектроника и твердотельная электроника» и
«Микросистемная техника». Представляет интерес для ученых и
специалистов в области физики полупроводников и полупроводни-
ковых приборов, физических основ наноэлектроники.
ББК 32.85
ISBN 5-98704-054-Х
ISBN 5-89155-149-7
© Драгунов В.П., Неизвестный И.Г.,
Гридчин В.А., 2004, 2005
© «Новосибирский государственный
технический университет», 2004, 2005
© «Университетская книга», 2006
© «Логос», 2006
ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения............................................... 9
Предисловие к первому изданию...................................... 10
Предисловие ко второму изданию..................................... 15
Глава 1. Особенности энергетического спектра частиц в системах
пониженной размерности............................................ 17
1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке.......... 18
1.2. Потенпиальный барьер конечной ширины................. 23
1.3. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете
частиц ................................................... 25
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме ........... 28
1.5. Особенности движения частиц над потенциальной ямой .. 37
1.6. Движение частицы в сферически симметричной прямоуголь-
ной потенциальной яме..................................... 39
1.7. Энергетический спектр и волновые функции линейного,
плоского и сферического осциллятора....................... 44
1.8. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме
сложной формы ............................................ 49
1.9. Структура со сдвоенной квантовой ямой................ 56
1.10. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые
структуры ................................................ 60
1.11. Энергетический спектр сверхрешеток ................. 69
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток..... 74
1.13. Низкоразмерные системы с цилиндрической и сферической
симметрией................................................ 88
Список литературы................................................. 95
Глава 2. Влияние однородного электрического поля на энергетиче-
ский спектр систем пониженной размерности ........................ 98
2.1. Энергетический спектр бесконечной прямоугольной потен-
циальной ямы в однородном электрическом поле.............. 98
2.2. Оценка смещения энергетических уровней под действием
электрического поля в прямоугольной КЯ конечной глубины -103
6
Оглавление
2.3. Влияние однородного электрического поля на энергетиче-
ский спектр параболической потенциальной ямы .............. 106
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности
в туннельно-связанных квантовых ямах....................... 109
2.5. Потенциальная ступенька в однородном электрическом поле 114
2.6. Прохождение частиц через двухбарьерную структуру в элек-
трическом поле............................................. 117
2.7. Влияние однородного электрического поля на двухэлектрон-
ные состояния в двойной квантовой точке.................... 123
2.8. Энергетический спектр сверхрешетки из квантовых точек в по-
стоянном электрическом поле................................ 128
Список литературы.................................................. 132
Глава 3. Распределение квантовых состояний в системах понижен-
ной размерности.................................................... 134
3.1. Особенности распределения плотности состояний в 2П-систе-
мах........................................................ 134
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентрации
электронов и толщины пленки для 2В-систем.................. 142
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых проволоках
и квантовых точках......................................... 146
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения
на энергетический спектр связанных состояний в одномер-
ной 8-образной потенциальной яме .......................... 150
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний в сис-
темах пониженной размерности............................... 154
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелкого экси-
тона ...................................................... 161
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок типа
H-GaAs..................................................... 167
3.8. Энергетический спектр электронов в размерно-квантовых
пленках Ge и Si ........................................... 176
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках с вы-
рожденными зонами.......................................... 181
3.10. Энергетический спектр в квантовой точке с параболическим
удерживающим потенциалом................................... 194
Список литературы.................................................. 197
Г л а в а 4. Экранирование электрического поля в структурах пони-
женной размерности ................................................ 200
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда .... 200
4.2. Уравнение Пуассона ................................... 206
4.3. Разновидности областей пространственного заряда.... 209
4.4. Решение уравнения Пуассона ........................... 213
4.5 Определение зависимости потенциала в области пространст-
венного заряда от координаты............................... 216
4.6. Поверхностное квантование............................. 219
Оглавление
7
4.7. Экранирование электрического поля в 2В-системах... 227
4.8. Особенности экранирования электрического поля в кванто-
вых проволоках .......................................... 232
Список литературы................................................ 235
Глава 5. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе 237
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом ......... 239
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном
магнитном поле .......................................... 242
5.3. Проводимость двумерного электронного газа .......... 251
5.4. Дробный квантовый эффект Холла ..................... 261
Список литературы................................................ 271
Глава 6. Особенности фононного спектра в системах пониженной
размерности ..................................................... 278
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в полупроводниковых
сверхрешетках ........................................... 278
6.2. Свертка ветвей акустических фононов ................ 284
6.3. Локализация фононов ................................ 288
6.4. Интерфейсные фононы ................................ 291
Список литературы................................................ 296
Глава 7. Транспортные явления ................................... 297
7.1. Стационарная дрейфовая скорость..................... 297
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости при воздействии
электрического поля ..................................... 307
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках и субмикрон-
ных приборах............................................. 313
7.4. Подвижность электронов в системах с селективным легиро-
ванием .................................................. 321
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия в системах
пониженной размерности................................... 329
7.6. Рассеяние электронов в 21)-системах................. 335
7.7. Особенности рассеяния квазидвумерных электронов в сверх-
решетках................................................. 343
7.8. ТермоЭДС в квазидвумерных системах.................. 348
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле........ 351
7.10. Эффект Ааронова - Бома............................. 363
Список литературы................................................ 367
Глава 8. Туннелирование через квантово-размерные структуры ... 371
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру с квантовой
ямой .................................................... 371
8.2. Вольт-амперная характеристика многослойных структур 382
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характе-
ристик двухбарьерных квантовых структур ................. 385
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры 394
Список литературы................................................ 410
Оглавление
Глава 9. Проблемы одноэлектроники ............................... 413
9.1. Теоретические основы одноэлектроники................ 414
9.2. Реализация одноэлекгронных приборов ................ 422
9.3. Применение одноэлектронных приборов ................ 442
Список литературы................................................ 449
Глава 10. Тенденции создания нанотранзистора..................... 453
Список литературы................................................ 471
Глава 11. Проблемы полупроводниковой элементной базы кванто-
вого компьютера.................................................. 473
11.1. Общие сведения.................................... 479
11.2. Квантовый компьютер на ядерных спинах в кремнии. 479
11.3. Квантовый компьютер на электронном спиновом резонансе
в структурах Ge - Si ................................... 484
Список литературы................................................ 493
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А - векторный потенциал
В - индукция магнитного поля
D, D - коэффициент прохождения (прозрачности); коэффициент диф-
фузии; индукция электрического поля
Е - полная энергия
Н - оператор Гамильтона
F - напряженность электрического поля
К - межатомный коэффициент жесткости
R - коэффициент отражения
J - плотность потока вероятности; плотность тока
U - потенциальная энергия
Т - температура
V - напряжение
р, р - квазиимпульс носителей заряда, концентрация дырок
е5 - диэлектрическая проницаемость материала
р - плотность материала; удельное сопротивление
ст - проводимость
М,тп - масса атома
и - скорость звука
со - угловая частота
соо - циклотронная частота
q — заряд электрона; волновой вектор электрона и фонона
/0 - равновесная функция распределения
Л, к - волновой вектор электрона
Е - константа деформационного потенциала
ц - подвижность; приведенная масса экситона
Ф - электростатический потенциал
Т - волновая функция
п — концентрация электронов
X - длина волны
к0 — постоянная Больцмана
Nc - эффективная плотность состояний у дна зоны проводимости
Nd,Na - концентрация доноров (акцепторов)
£ — химический потенциал
Y - безразмерный поверхностный электростатический потенциал
1В — магнитная длина
Г - уширение квантового уровня
т - время жизни
Qy - кратность вырождения j-го состояния
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Последняя треть XX века проходит под знаком все возрас-
тающего влияния микроэлектроники на общество. Впечатляющие
достижения вычислительной техники, информатики, радиоэлек-
троники и других направлений техники почти всегда базируются
на достижениях микроэлектроники. И не только потому, что она
формирует элементную базу всех современных средств приема,
передачи и обработки информации, автоматизированных систем
управления и т.д., но главным образом из-за революционизирую-
щего воздействия ее технологических принципов, достижений в
области синтеза и применения новых материалов для создания
приборных структур.
В свою очередь, достижения микроэлектроники базируются на
исследованиях и открытиях в области физики твердого тела и
твердотельной технологии. В настоящее время микроэлектроника
«питается» физическими принципами и идеями, выдвинутыми и
развитыми 10-20 лет назад. Сегодняшние же концепции будут оп-
ределять лицо микроэлектроники в начале третьего тысячелетия.
Принципиальное технологическое преимущество микроэлек-
троники перед другими направлениями техники - групповой спо-
соб производства. Производственной единицей в микроэлектрони-
ке является полупроводниковая пластина, содержащая множество
элементных чипов, из которых собираются приборы. Помимо
уменьшения стоимости производства (что принципиально важно),
групповой способ производства, по существу, потребовал последо-
вательного уменьшения размеров электронных компонентов. При
этом не только возрастал выход приборов с одной пластины, но и
открывались возможности повышения быстродействия приборов
при одновременном увеличении надежности их работы.
С начала 60-х годов, когда появились первые интегральные
микросхемы, размеры транзистора уменьшились от I мм до не-
скольких десятых долей микрона. Причем в последней четверти
Предисловие
11
XX века каждые полтора года число транзисторов на одной микро-
схеме увеличивалось вдвое. При такой скорости нарастания числа
транзисторов к началу нового столетия мы должны бы перейти к
эре гигамасштабных схем (более I О9 транзисторов на одну микро-
схему). Однако исследования ведущих специалистов показывают,
что реализация подобных масштабов интеграции требует уже
принципиально новых решений.
Обратим внимание только на одну из проблем, которые обост-
ряются по мере миниатюризации полупроводниковых структур.
Пусть под затвором МДП-транзистора в среднем находятся N ато-
мов легирующей примеси. Тогда неопределенность числа атомов,
действительно присутствующих под затвором, из-за систематиче-
ского разброса в процессе легирования будет порядка 5 ~1/л/у . В
настоящее время такая неопределенность составляет примерно
0,1 %, поскольку N - 106. Уменьшение размеров микросхем приво-
дит к тому, что под затвором МДП-транзистора, например, с ши-
риной канала 0,5 и длиной 0,2 мкм в среднем будут находиться
около 100 атомов примеси. В этом случае неопределенность числа
атомов составит уже 5 ~ 10 %. Если изготовить микросхему из 106
таких транзисторов, то какая-то часть их будет иметь количество
примесных атомов, столь сильно отличающееся от среднего значе-
ния, что микросхема будет дефектной.
В таком транзисторе заряд, необходимый для переноса одного
бита информации, составляет около 1 • 1016 Кл (примерно 600 элек-
тронов) со средним отклонением 4 %. Поэтому встает проблема
исключения ошибок, порождаемых статистическими флуктуация-
ми. Это тем более существенно, что схемы с такими транзисторами
должны осуществлять около 109 переключений в секунду.
Опыт разработки МДП-транзисторов с длиной канала
0,25...0,1 мкм показал, что в таких приборах лавинообразно нарас-
тает количество новых физических явлений, что, естественно, от-
ражается на проектировании и технологии их изготовления. Здесь
принцип пропорциональной миниатюризации перестает работать.
Если диапазон 1,0...0,1 мкм представляет собой сложный тех-
нологический барьер, поскольку требует смены парка техноло-
гической аппаратуры, то диапазон линейных размеров
0,1 ...0,05 мкм - это фундаментальный физический барьер, за кото-
рым все свойства твердого тела, включая электропроводность, рез-
ко меняются, а наглядные образы и привычные теоретические мо-
дели теряют силу. Начинают проявляться в полной мере квантовые
эффекты, а физика проводимости определяется квантово-механи-
ческой интерференцией электронных волн.
12
Предисловие
Характеристические размеры полупроводниковых структур
100... 10 нм (нанометровый диапазон) являются определяющими
для современной микроэлектроники. Именно с ними связывают
дальнейшие перспективы развития. Но обратим внимание на то,
что наноструктуры размером 20 нм содержат примерно 100 атомов
по диаметру и, хотя их внутренняя часть сохраняет кристалличе-
скую симметрию, все свойства наноструктуры сильно зависят от
состояния ее поверхности.
Наряду с изложенным «традиционным» путем перехода к на-
ноструктурам, имеется и другой путь, который приводит к тому
же, но более прямым методом. Он восходит к идеям изготовления
искусственных периодических структур, состоящих из различных
полупроводников, со слоями, толщиной порядка нескольких нано-
метров (Л.В. Келдыш [1], L. Esaki, R. Tsu [2, 3]). В таких структу-
рах открывается возможность изменять энергетический спектр так,
что даже появился термин «зонная инженерия».
Практическая реализация этих идей является, без сомнения,
одним из самых блестящих технических достижений последней
трети XX века, что вызвано развитием техники молекулярно-
лучевой и газовой эпитаксии из металлоорганических соединений.
Реальные структуры в этом случае содержат от нескольких десят-
ков до нескольких сотен тонких, различных по составу полупро-
водниковых слоев с очень резкими границами, а переходные слои
составляют не более одного или двух моноатомных слоев.
В таких структурах в поперечном к плоскости слоев направле-
нии потенциальный рельеф для электронов имеет форму потенци-
альных барьеров и ям, что одновременно влияет на характер их
движения и перенос заряда. Подбором параметров кристалличе-
ской решетки можно превратить электронный газ в двумерный и
подавить движение в третьем измерении. К настоящему времени
уже созданы наноструктуры с одномерным электронным газом -
квантовые проволоки (КП) и нанокристаллиты размером несколько
нанометров, которые получили название квантовых точек (КТ).
Все это открыло принципиальную возможность наблюдения
явлений, обусловленных квантовой природой электрона, и привело
к интенсивному исследованию интерференции и резонансного
туннелирования носителей заряда в полупроводниковых структу-
рах. Появилась возможность проверить ряд принципиальных по-
ложений квантовой механики на новых объектах исследований.
Изучение квантовых эффектов в сверхтонких полупроводнико-
вых гетероструктурах дало толчок к появлению новых классов по-
лупроводниковых приборов - резонансных туннельных диодов
Предисловие
13
(РТД) и транзисторов (РТТ), обладающих высоким быстродейст-
вием (предельные частоты 1012 Гц) и широким спектром возмож-
ностей. Особенно интересны униполярные и биполярные РТТ и
квантовые интерференционные транзисторы, имеющие вольт-
амперные характеристики (ВАХ) с участками положительной и
отрицательной крутизны. Параметры ВАХ можно регулировать
как подбором полупроводниковой структуры, так и изменением
электрических режимов работы, что позволяет по-новому подойти
к построению аналоговых и цифровых устройств.
В настоящее время уже обсуждаются проблемы создания кван-
товых интегральных схем и даже квантового компьютера [4, 5],
основными элементами которых станут квантовые точки, кванто-
вые проводники, квантовые ямы, транзисторные структуры на ос-
нове квантовых размерных эффектов и устройств с управляемой
интерференцией электронов.
Перечисленные базовые элементы показывают, насколько фи-
зические принципы и явления, лежащие в основе наноэлектроники,
отличаются от используемых в микроэлектронике.
В предлагаемом вниманию читателя учебном пособии делается
попытка систематического изложения основных свойств наноэлек-
тронных структур. Материалы по этой теме разбросаны по боль-
шому числу специальных публикаций, и давно назрела необходи-
мость в определенной систематизации накопленного богатого
теоретического и экспериментального материала в форме, прием-
лемой для студентов и аспирантов. В представленном учебном по-
собии отсутствует какое-либо специальное квантово-механическое
введение, поскольку предполагается, что читатель знаком со стан-
дартным курсом нерелятивистской квантовой механики, который
читается студентам электронных и электронно-физических специ-
альностей, с основными идеями и подходами. Но сама постановка
задачи и методы ее решения в учебном пособии рассматриваются
достаточно подробно.
В первых двух главах обсуждаются особенности энергетиче-
ского спектра частиц в системах пониженной размерности и воз-
можности управления этим спектром с помощью однородного
электрического поля. В главах 3, 4 анализируется изменение плот-
ности состояний и обсуждаются проблемы экранирования элек-
трического поля в структурах пониженной размерности. В главах
5, 6 рассматриваются влияние магнитного поля на свойства систем
пониженной размерности и особенности фононного спектра в та-
ких структурах.
14
Предисловие
Теоретические и экспериментальные результаты исследований
транспортных явлений в наноэлектронных структурах изложены в
главах 7, 8. В заключительной главе рассматриваются вопросы по-
строения приборов на основе наноэлектронных структур.
Авторы полагают, что учебное пособие поможет читателю
глубже разобраться в свойствах наноэлектронных структур и по-
зволит увереннее ориентироваться в особенностях этого странного
наноэлектронного мира полупроводниковых приборов, неизбеж-
ность появления которого очевидна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Келдыш Л. В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла //
ФТТ. - 1962. - Т. 4. - С. 2265-2267.
2. Esaki L., Tsu R. Superlattice and negative differential conductivity is semicon-
ductors // IBM J. Res. Develop. - 1970. - Vol. 14. - P. 61-65.
3. Esaki L. A superlattice - periodic array of heterojunctions // Proc, of the Intern. Conf,
on Phys, and Chcm. of Semiconductor. - Budapest, 1970. - Vol. 1. - P. 13-24.
4. Steane A. Quantum computing // Reports on Progress in Phys, 1997. - Vol. 61,
№ 2. - P. 117-173 [Preprint as Los Alamos Physics Preprint Archive, http://xxx.lani.
gov/abs/ quant-ph/9708022],
5. Rane B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer // Nature. -1998. -
№393.-P. 133-137.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание учебного пособия «Основы наноэлектроники»,
вышедшее в свет в 2000 году тиражом 1000 экземпляров при фи-
нансовой поддержке Федеральной целевой программы «Государ-
ственная поддержка интеграции высшего образования и фунда-
ментальной науки на 1997-2000 гг.», быстро разошлось и стало
библиографической редкостью. На конкурсе книг, изданных по
этой программе, книге был присужден диплом второй степени по
разделу учебные издания по естественным и точным наукам.
Многочисленные запросы на книгу в адрес авторов и издатель-
ства НГТУ ясно показали необходимость второго издания.
При сохранении общей идеологии и направленности второе из-
дание охватывает более широкий круг проблем. Это касается осо-
бенностей энергетического спектра низкоразмерных систем с ци-
линдрической и сферической симметрией, влияния электрического
поля на энергетический спектр систем квантовых точек и транс-
порт частиц в двухбарьерных структурах, дробного квантового
эффекта Холла и особенностей поведения электронов в квазидву-
мерных системах.
Развитие технологии микроэлектроники, направленное на уве-
личение быстродействия интегральных схем (ИС), привело за по-
следние годы к значительному уменьшению всех основных
размеров транзистора почти на порядок. Знакомство с этим про-
цессом по периодической литературе затруднено в связи с огром-
ным разнообразием и объемом информации в периодической пе-
чати. Попытка определенной систематизации этого материала с
целью дать читателям как бы путеводитель в этом море информа-
ции определила появление главы «Тенденции создания нанотран-
зистора».
16
Предисловие
Огромный интерес исследователей во всем мире к проблеме
создания квантового компьютера нашел отражение в главе «Про-
блемы полупроводниковой элементной базы квантового компью-
тера». Эта глава, так же как и предыдущая, претендует только на
краткое изложение этого необъятного вопроса и помогает читате-
лю с выбором литературы для получения знаний в этом увлека-
тельном, необычном мире квантовых расчетов.
Главы 1, 2, 3, 6, а также параграфы 4.7, 4.8, 7.4-7.10 и 8.2 напи-
саны В.П. Драгуновым, главы 9, 10, 11 и параграфы 4.1-4.6,
7.1-7.3, 8.1, 8.3 и 8.4 - И.Г. Неизвестным, предисловие и глава 5 -
В.А. Гридчиным.
Мы выражаем глубокую признательность рецензентам настоя-
щей книги профессору А.А. Горбацевичу (МИЭТ, Москва) и
чл.-корр. РАН А.А. Орликовскому (ФТИ РАН, Москва) за деловое
обсуждение и ценные замечания.
Авторы
ГЛАВА 1
ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
ЧАСТИЦ В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Основу развивающейся наноэлектроники составляют структу-
ры, состоящие из чередующихся полупроводниковых слоев с раз-
личными электрофизическими характеристиками. Такие структуры
отличаются от однородных полупроводников наличием дополни-
тельных резких изменений потенциала. С общетеоретической точ-
ки зрения расчет электронных свойств слоистых структур должен
проводиться путем решения соответствующей трехмерной задачи
о зонной структуре кристалла. Для этого без принципиальных ог-
раничений могут быть использованы традиционные методы расче-
та зонной структуры. Однако непосредственные вычисления при
этом существенно усложняются. Именно поэтому в большинстве
случаев анализ свойств слоистых структур проводится на упро-
щенных моделях.
Наиболее часто для описания электронных свойств многослой-
ных структур используют метод огибающих волновых функций, в
котором в области каждого слоя влияние его периодического по-
тенциала сводится к подстановке в оператор кинетической энергии
эффективной массы, а изменения законов дисперсии на гетерогра-
ницах играют роль эффективных потенциалов.
Рассмотрим основные особенности энергетического спектра и
движения частиц в системах с одномерными прямоугольными по-
тенциальными барьерами.
18
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
1.1. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ
НА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ СТУПЕНЬКЕ
Проведем анализ системы, в которой частицы, испускаемые ис-
точником, удаленным на большое расстояние, рассеиваются на той
или иной преграде, уходя после этого в бесконечность.
Простейшей моделью данной задачи, соответствующей случаю
рассеяния на потенциальном рельефе с большим масштабом неод-
нородности, является рассеяние частицы на потенциальной ступень-
ке (прямоугольном потенциальном барьере бесконечной ширины)
(/(х) =
О,
X
х<0,
х>0,
(1-1.1)
где Uq = const (рис. 1.1, а).
Исследуем особенности поведения частицы в таком потенци-
альном рельефе. Будем полагать, что источник частиц находится
далеко слева (при х—>—<ю), а испускаемые им частицы движутся
слева направо.
Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от
времени), отыскание состояний движения частицы сводится к ре-
шению стационарного одномерного уравнения Шредингера
2
W* + (£7(х) - ЕУ¥ = 0,
2/и
(1-1.2)
здесь т - масса частицы; Е — полная энергия частицы.
В данном случае уравнение (1.1.2) удобно решать отдельно для
областей х < 0 и х > 0. В области х < 0 (на рис. 1.1, а область 7), где
Рис. 1.1. Энергетическая диаграмма (а) и зависимость коэффициента от-
ражения R от E/Uo (б) для прямоугольной ступеньки
1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке
19
U(x) = 0, (1.1.2) принимает вид уравнения для свободной частицы,
а его общее решение
Tj (х) = Aj exp(iK1 х) + В} exp(-iK} х) = + Т,(_), (1.1.3)
где
/9ю7
Ki= р^Е. (1.1.4)
V h
Если учесть, что в случае стационарных состояний волновая
функция гармонически зависит от времени, то Tj представляет со-
бой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля. Таким
образом, Aj является амплитудой волны, распространяющейся от
источника к потенциальной ступеньке (падающие на ступеньку
частицы), а 751 — амплитудой рассеянной волны, распространяю-
щейся назад к источнику (отраженные от ступеньки частицы).
В области х > 0 (область 2) уравнение (1.1.2) принимает вид
Й2
_ ^ + (t/o-£)T2=O. (1.1.5)
2т
Характер решения уравнения (1.1.5) определяется соотношени-
ем между энергией падающей частицы Е, задаваемой источником,
и высотой потенциальной ступеньки Uq.
В случае Е> Uo общее решение для волновой функции в облас-
ти 2 имеет вид
Т2 = А2 exp(zX2x) + В2 exp(-iK2x), (1.1.6)
где К2 = ^2т(Е -Uo) / й>0 . (1.1.7)
Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке за-
дачи здесь других источников рассеяния нет), амплитуду В2
«встречной» волны в области 2 следует положить равной нулю.
При этом А2 является амплитудой волны, прошедшей за ступеньку
(частицы, пролетающие над барьером). Таким образом, для Е> Uo
Т2=Л2ехр(^2х) = Т2(+). (1.1.8)
Физический интерес представляют коэффициенты прохожде-
ния и отражения, определяемые отношением плотностей по-
токов прошедших и отраженных частиц к плотности потока
падающих частиц. Для расчета коэффициентов прохождения D и
отражения R воспользуемся понятием вектора плотности потока
вероятности j(квантовым аналогом классического вектора плот-
20
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
ности потока частиц). Выражение для J в одномерном случае при-
нимает вид [1]
y = A(^Aj/*'_xpV). (1.1.9)
2т
С учетом (1.1.9) коэффициент прохождения (коэффициент про-
зрачности)
Z)= lim(U+)|/|j<+)|), (1.1.10)
|х|^оо\1 I/ I I/
а коэффициент отражения
/?= lim (ly^l/ly^l). (1.1.11)
Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в
области 2, для этого подставим (1.1.8) в (1.1.9):
72+)=-^2|Л|2- (1.1.12)
т
Аналогично в области 1 плотность потока вероятности падающих
частиц может быть представлена в виде
yf+)=-^|4|2, (1.1.13)
т
а плотность потока частиц, отраженных от потенциальной сту-
пеньки,
(1.1.14)
т
С учетом (1.1.10) и (1.1.11) имеем
к2 HI2
0 = ^4 (1115)
Ку Ы
И
/?=1^L (1.1.16)
ИГ
Таким образом, для определения коэффициентов прохождения
и отражения необходимо выразить амплитуды прошедшей и отра-
женной волн Аг и В\ через амплитуду падающей волны А}.
1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке
21
Чтобы найти А2 и В\, воспользуемся условиями непрерывности
волновой функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем
случае граница двух сред соответствует х = 0, из этих двух условий
и вида функций Т, (х) и Т2(х) получим
А2=АГ^ ,
(Kl+K2) Х(Кх+К2)
откуда с учетом (1.1.15)-(1.1.17), (1.1.4) и (1.1.7)
4^2 4
(^ + К2)2 + 2 + д/(а-1)/а ’
r=(gizfo ^ = (^ _ V^T)4,
(^i+k2)2
(1.1.17)
где cl = EIUq.
Плотность потока вероятности частиц при х > 0 равна
г(+) = 4/ВД2|Л,|2
2 т(К1+К2)2'
(1.1.18)
(1.1.19)
(1.1.20)
Полученные результаты сильно отличаются от классических.
Согласно законам классической механики частица, обладающая
энергией Е > UQ, всегда проникает в область 2 (при полной потере
кинетической энергии в случае Е = Uq).
Согласно законам квантовой механики при Е > Uq имеется
конечная вероятность отражения частицы от потенциально-
го барьера, так что в области 1 есть встречный поток отра-
женных частиц причем отражение будет пол-
ным, если Е = Uq. В любом случае D + R = 1.
Отметим, что для частиц, движущихся к барьеру из +°о, D и R
могут быть вычислены тоже по формулам (1.1.18) и (1.1.19). При
заданной полной энергии Е (Е > Uo) коэффициенты прохождения и
отражения не зависят от направления движения частиц. То есть
частицы, движущиеся к барьеру слева, имеют такую же веро-
ятность отразиться от него, что и частицы с той же энерги-
ей, движущиеся к барьеру справа. При этом вероятности про-
хождения и отражения определяются только отношением
E/Uq. Смена направления движения приводит к изменению фа-
зы отраженной волны. В нашем случае для частиц, падающих на
22
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
ступеньку слева, отражение происходит в фазе с падающей волной,
а при движении справа - в противофазе.
В случае, когда энергия падающей частицы Е < С70, характер
решения уравнения (1.1.5) радикально меняется. В соответствии с
(1.1.7) Kj становится мнимым и общее решение (1.1.6) будет не
комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных
направлениях, а совокупность двух монотонных функций
Т2(х) = С1 ехр (Рх) + С2 ехр(-рх), (1.1.21)
где р - yl2m(U0 - Е) / Й.
Учитывая требование конечности волновой функции, необхо-
димо положить С] = 0 (х > 0). Таким образом, при E<Uq
Т2 (х) = С2 ехр(-Рх) . (1.1.22)
«Сшивая» волновые функции (1.1.3), (1.1.22) и их производные
при х = 0, получим
в
1 (^1+Ф) ’
2^4
2
(1.1.23)
(1.1.24)
Отметим, что в случае Е < Uq амплитуды В\ и С2 - комплекс-
ные числа, а коэффициент отражения R равен единице
Л=М=
иг
(к, -Ф)Г
(К, +>₽)
Таким образом, при Е < Uo все частицы отражаются от
потенциальной ступеньки так, что в области 2 поток частиц
отсутствует. Несмотря на это, в области 2 волновая функция
отлична от нуля, т.е. имеется определенная, хотя и малая, вероят-
ность проникновения частицы внутрь потенциального барьера. В
области х > 0
|Т21 2= |С212 ехр(-2рх) = 4а • ехр(-2рх) |At |2 0.
Частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и
возвращается назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При
1.2. Потенциальный барьер конечной ширины
23
этом между падающей и отраженной волнами появляется фа-
зовый сдвиг [2]
Лер - arctg
2/ф
л2-р2>
Эффективная глубина проникновения под барьер, на которой
вероятность обнаружения частицы еще заметно отлична от нуля,
имеет порядок величины 1//3.
Зависимость коэффициента отражения R от отношения E/Uq
показана на рис. 1.1,6.
1.2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
В реальной физической ситуации мы всегда имеем дело с барь-
ером конечной ширины. Найдем коэффициенты отражения и про-
хождения при движении частицы через прямоугольный потенци-
альный барьер ширины L и высоты U\ в предположении, что энер-
гия частицы U2 < Е < U\ (рис. 1.2, а).
Используя результаты разд. 1.1, можем сразу записать решения
уравнения Шредингера для трех областей (7, 2 и 5):
Tj = Aj exp(iA^x) + exp^-iKxxj,
'Ег = А1 exp(Px) + T?2 exp(-px), (1-2.1)
T3 = A3 exp(z'A'3x),
где K\ =4ЪпЕ/й, р = yfomfUi -E)/h, К3 = у]2т(Е - Uy) /h .
При записи уравнений (1.2.1) учтено, что в области 3 нет ис-
точников частиц и рассеивающих центров, т.е. будет распростра-
няться только прошедшая волна.
Подставив (1.2.1) в (1.1.10) и (1.1.11), получим
D = K3\A3\2/(Ki\A}\2), Т?=|51|2/|Л1|2. (1.2.2)
Амплитуды Бу и А3 найдем из системы линейных алгебраиче-
ских уравнений, полученной с использованием условия непрерыв-
ности волновой функции и ее первой производной на границе двух
областей.
Так, при х = 0 имеем
ж1(4-Д)=Р(Л2-в2) -----
24
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Рис. 1.2. Энергетическая диаграмма прямоугольного потенциального
барьера
при х = L
А2 exp(PZ) + В2 exp(-pZ) = А3 exp(z’ZT3Z),
P(/l2 exp(pZ) - В2 exp(-pZ)) = iK3A3 exp(zX3Z).
Решив систему уравнений (1.2.3), (1.2.4), для несимметричного
барьера (рис. 1.2, а) получим
D = 4K3K^2/Z-, (1.2.5)
R = 1-4K}K$2/Z;
D + R = l;
(1.2.6)
Z = (к2 + p2 )(к2 + P2 )sh2 (pZ) + + K3 )2 p2.
Отсюда для случая симметричного барьера (рис. 1.2, б), когда
К\ = Кз, запишем
\ , shVpzj
4а( 1 - а)
(1-2.7)
R= 1 +
4а(1 - а)
sh2(pZ)
(1.2.8)
1.3. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц
25
Анализ выражений (1.2.5) и (1.2.7) показывает, что в случае
барьера конечной ширины и высоты появляется конечная вероят-
ность частице пройти под барьером, что абсолютно невозможно в
классическом случае, так как при Е < Uo формально значение кине-
тической энергии Т становится отрицательным:
T = E-U0<0.
Проникновение частицы с энергией Е < Uo через потенциаль-
ный барьер - чисто квантово-механический эффект, что следует из
формулы (1.2.5) (если положить в ней h = 0, получаем D = 0). Это
явление носит название туннельного эффекта.
Отметим, что коэффициенты прохождения (1.2.5) и отражения
(1.2.6) оказываются симметричными по индексам 1 и 3. Это озна-
чает, что проницаемость барьера одинакова для потоков, па-
дающих справа и слева. Из уравнения (1.2.5) также следует, что
прошедший поток монотонно стремится к нулю, если либо К\, ли-
бо К3 стремится к нулю. Заметим также, что проведенный анализ и
формулы (1.2.5), (1.2.6) могут быть распространены и на случай
барьера, показанного на рис. 1.2, в, путем замены потенциала U2
на - U2.
1.3. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
ПРИ НАДБАРЬЕРНОМ ПРОЛЕТЕ ЧАСТИЦ
Рассмотрим особенности прохождения частицы над прямо-
угольным потенциальным барьером (рис. 1.2, а), когда Е > Ц и
Е > U2. Отметим, что надбарьерное прохождение частиц может
служить одним из простейших примеров проявления кванто-
вых размерных эффектов. Последние в этом случае приводят к
квазипериодической осцилляции коэффициента прохождения
частиц при изменении их энергии Е.
В данном случае решение уравнения Шредингера для всех трех
областей будет иметь вид
Т j = Aj exp(iKjX) + Bj exp(-iATyx),
здесь j - номер области. При этом в отличие от (1.2.1)
K2=y]2mE2/h, (1.3.1)
где £2 -Е- Ui.
Полагая, как и ранее, что частицы движутся слева направо, в
отсутствии рассеяния можно получить
D^^KxK}K2IZ-, (1.3.2)
26
Глааа 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРАЧАСТИЦ
R = l-D; (1.3.3)
Z = (к? - К2)[к2 - К2 )sin2 (/T2Z) + К% (Кх + К3)2
Заметим, что выражения (1.3.2), (1.3.3) переходят в (1.2.5),
(1.2.6), если учесть, что К2 = -1Р2 •
В случае симметричного барьера, когда К\ = (рис. 1.2, б),
выражения (1.3.2) и (1.3.3) упрощаются и принимают вид
+ *5 С1-3-4)
R = 1 + 4££2/(f7o sin2(£2Z)j] . (1.3.5)
Анализ (1.3.4) rf (1.3.5) показывает, что при изменении энергии
частицы Е будут наблюдаться осцилляции коэффициентов
прохождения и отражения. При этом, когда D = Z>max, то R - Rmin,
и наоборот. Период осцилляций соответствует условию
sin2(£2Z) = 0
или
K2nL-mt, п = 1,2,..., (1.3.6)
при выполнении которого коэффициент прохождения для частиц с
волновым вектором К2 П обращается в единицу. В этом случае для
частиц с энергией
E2,n=E-U0 (1.3.7)
на ширине барьера Z укладывается целое число полуволн де Брой-
ля и коэффициент отражения равен нулю. Квазиклассически это
можно трактовать как результат интерференции волн, отраженных
от скачков потенциала на границах барьера. Условие (1.3.7) можно
еще записать в виде
2 / \2
£2и =—1-| n2=Vn. (1.3.8)
2m\L )
Величина У„ равна энергии n-го уровня частицы, локализован-
ной внутри потенциальной ямы шириной £ с бесконечно высокими
стенками, т.е. резонансные значения энергии Е2 п совпадают с
энергией и-го уровня такой ямы.
1.3. Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц
27
При изменении энергии частицы коэффициент прохождения
осциллирует, как показано на рис. 1.3. Минимальные значения
Z) = Z)min и соответствующие им значения Е'2<п («антирезонанс-
ные» состояния) можно приближенно оценить из условия
sin2(K2I) = l.
Отсюда
Й2л2(и + 0.5)2
£2,л “
2mL
и = 1,2... ;
(1.3.9)
Втт,п 1+ . .
L 4£2,л(Ц) +^2,л)
(1.3.10)
С ростом номера п и уменьшением ширины барьера L мини-
мальный коэффициент прохождения Z)min п быстро возрастает, так
что осцилляции становятся все менее выраженными. Увеличение
высоты барьера Uo, напротив, уменьшает Z)min „, увеличивая ам-
плитуду осцилляций, при этом соответствующие антирезонансные
значения Е2п остаются постоянными (рис. 1.3).
Используя предыдущие рассуждения (симметричный барьер),
можно получить выражение для оценки отношения концентрации
Рис. 1.3. Зависимости коэффициента прохождения над по-
тенциальным барьером от энергии
28 Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ.
частиц в окрестности точки с координатой 0 < х < L (над барьером)
к концентрации частиц в падающей волне (см. рис. 1.2, б)
|Т2(х)|2 D[£-^0cos2(/r2(Z-x))]
IAI2 Е~и°
здесь D определяется выражением (1.3.4).
Согласно (1.3.11) для частиц, имеющих энергию Е, удовлетво-
ряющую условию (1.3.6), когда D = DmM = 1, получим
/ Г \ р Т J
Q(x = Q) = \, ф=- =—— = 1+-А C(x = Z) = l. (1.3.12)
х х J с ~ (J q
Следовательно, в данном случае концентрация частиц с энерги-
ей Е в области, занимаемой барьером, будет больше, чем в падаю-
щей волне, т.е., несмотря на то, что при Е> волновая функция
электрона «размазана» по всему пространству, существуют из-
бранные значения энергии (и импульса) Еп, при которых вслед-
ствие интерференции электронных волн, отраженных от гра-
ниц барьера, амплитуда волновой функции в области барьера
будет больше, чем в других областях.
Сделанные выводы справедливы и в случае несимметричного
барьера (см. рис. 1.2, а, в, г). Однако при этом Z)max будет меньше
единицы, поэтому все эффекты выражены слабее.
В реальных полупроводниковых структурах наблюдать и тем
более использовать на практике квантовые осцилляции вероятно-
сти надбарьерного прохождения носителей заряда достаточно
трудно, поскольку над барьером могут проходить лишь «горячие»
электроны, причем увеличение эффекта за счет более высоких
барьеров требует соответствующего повышения их энергии. Кроме
того, уменьшение коэффициента прохождения при увеличении
энергии электронов, которое в принципе могло бы привести к по-
явлению падающего участка на ВАХ структуры, реально оказыва-
ется либо малым, либо происходит на интервале энергий
30...50 мэВ, сравнимом с тепловым разбросом при комнатной тем-
пературе, и поэтому при температурах выше комнатной сильно
размыто [3].
1.4. ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
При выращивании пленки узкозонного полупроводника между
двумя слоями широкозонного материала может быть реализован
потенциальный рельеф, показанный на рис. 1.4.
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
29
Рис. 1.4. Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы:
а - асимметричной; б — симметричной
В этом случае задача определения стационарных состояний
движения электрона сводится к задаче о поведении частицы в пря-
моугольной потенциальной яме.
Для асимметричной потенциальной ямы (рис. 1.4, а) с
Ц, x<-0,5W,
[/(х) = М, |х| <0,517,
Ц, х>0,517,
при Е < U2 общие решения уравнения (1.1.2) в областях 1 - 3 (с по-
стоянными значениями потенциала) можно представить в виде
Tj (х) = 4 exp(Pjx), Т3 (х) = В3 ехр(-р2х),
Ч'2 (х) - А2 exp (iAx) + В2 ехр (-/Лх), (1.4.1)
где К = \/2тЕ /й; Ру =^2m(Uj -Е)! ti, j = 1,2.
Решения Tj и Ф3 записаны с учетом того, что они должны
равняться нулю на бесконечности.
«Сшивая» волновые функции и их первые производные при
х = ±0,517, придем к уравнению
l№2 = ctg(K17), (1.4.2)
+ ₽2)
определяющему значения волнового вектора К, удовлетворяющие
условиям данной задачи.
30
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Подставляя Р] и Р2 в (1.4.2), получим трансцендентное уравне-
ние, позволяющее оценить разрешенные значения К:
KW = Hn-arcsin(K/G1)-arcsin(K/G2), (1.4.3)
где п = 1, 2, 3... нумерует разрешенные значения К в порядке их
возрастания; Gj =^2mUj /h, j = 1, 2; значения арксинуса надо
брать в интервале 0... л / 2.
Уравнение (1.4.3) определяет набор положительных значений
волнового вектора Кп и, следовательно, возможные уровни энер-
гии, соответствующие этим состояниям. Таким образом, энергия
Еп = й2ЛГ2/2/и частицы в потенциальной яме оказывается
квантованной и принимает одно из разрешенных дискретных зна-
чений Еп. Чтобы подчеркнуть это, потенциальные ямы (особенно
узкие) часто называют квантовыми ямами (КЯ).
Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, значе-
ния К лежат только в интервале
0<К<(72. (1.4.4)
Если WG2 < л , то в КЯ находится не более одного разрешенно-
го энергетического уровня. В общем случае количество разрешен-
ных энергетических уровней в прямоугольной квантовой яме мож-
но оценить, используя неравенство
п < | [1FG2 + arcsin(^t72 /Ц )]/л + 0,s} < п +1. (1,4.5а)
Согласно (1.4.5а) при U2 * Ц всегда найдутся столь малые зна-
чения WG2, для которых в КЯ не будет ни одного разрешенного
уровня энергии. Заметим, что при U2-Ul (рис. 1.4, б) условие
(1.4.5а) для п = 1 всегда выполняется. Следовательно, симмет-
ричная одномерная потенциальная яма с произвольными значе-
ниями W и U всегда имеет не менее одного разрешенного энер-
гетического уровня. Более того, если в случае произвольного
одномерного потенциала асимптотические значения
U(со) - U(-со) и между ними находится один минимум, то все-
гда имеется, по крайней мере, один связанный уровень. Если же
U (со) ф U (-оо), то связанного состояния может и не быть. В
случае двух и трех измерений в неглубоких узких потенциаль-
ных ямах связанных состояний может не быть даже при
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
31
[/(со) = [/(-со), щ.е. частица не будет «захватываться» ямой.
Отметим, что согласно законам классической механики частица мо-
жет «захватываться» и совершать финитное движение в любой по-
тенциальной яме, лишь бы энергия частицы была достаточно мала.
Особенно простой вид имеют решения уравнения (1.4.3) для
бесконечно больших значений Ц и U2. В случае прямоугольной
ямы с бесконечно высокими стенками (БПЯ) согласно (1.4.3)
ли
Кп =—, (1.4.6)
W
где и = 1, 2, 3... В этом случае на ширине ямы укладывается целое
число длин полуволн де Бройля
2W KnW
---= —-— = и .
я
При этом разрешенные дискретные уровни энергии частицы
определяются соотношением, эВ:
fc2 / \2
и ( л ]
п2
= 0,3737
2
(1-4.7)
где и>0 - масса свободного электрона, W- в нм.
В случае БПЯ нормированные волновые функции частицы в
состояниях с различными значениями Еп могут быть представле-
ны в виде
если и - нечетное,
Т_ (х) = J— sin ---- ,
V1F W )
(1.4.8)
если и - четное.
Согласно (1.4.8) волновая функция основного состояния
(состояния с наименьшей энергией) не имеет нулей внутри кванто-
вой ямы, функция Ч^2 (волновая функция первого возбужденного
состояния) имеет один нуль (узел) внутри КЯ, функция T3 имеет
два узла и т.д. Аналогичную зависимость числа узлов волновой
функции от номера возбужденного состояния демонстрируют
32
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
и другие одномерные системы, в которых движение происхо-
дит в ограниченной области пространства.
В общем случае, когда , разрешенные значения волно-
вого вектора (а следовательно, и энергии) можно найти, решая
уравнение (1.4.3) численно или графически. Однако и в этом слу-
чае удается получить ряд соотношений, облегчающих практиче-
ские оценки.
Во-первых, можно показать [4], что
(W/2) = (-I)"4 7Ц/^/2Тя (-W/2),
т f jlL I 2Е» (L4-9)
4 2 J ^Ц£эфф’
здесь ^эфф =(^ + Рй,1+Рл,г) представляет собой эффективную
длину области локализации частицы с энергией Еп и отражает тот
факт, что частица, преимущественно локализованная внутри КЯ,
все же проникает и в области барьеров.
Во-вторых, раскладывая arcsin в ряд, можно получить выраже-
ние для оценки разрешенных значений волнового вектора. Полагая
Еп « Uj, получим
пп
(1.4.10)
" W + Ri/Gi +R2{G2
В первом приближении Л| = R2 = 1. При этом для
^„/t/min <0,25 ошибка в оценке Кп по (1.4.10) будет менее 5 %.
Во втором приближении следует полагать
Г
Л, = \ + ,
(1.4.11)
I «Л
здесь Е^ - энергия л-го уровня, рассчитанная в первом прибли-
жении при Rj =1. При использовании Rj в виде (1.4.11) ошибка в
оценке Кп по (1.4.10) будет менее 2 % для Еп / t/min < 0,3.
В-третьих, для симметричной КЯ (рис. 1.4, б) волновая функ-
цингхоответствующая состояниям положительной четности (л = 1,
I. V* может быть представлена в виде
ц, , J Л cos(^x),
” *Нс„ ехр[-рл(Ы-1К
it”''2’ (1.4.12)
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
33
где
An = {О,5РГ[1 + sin(KnW)/(KnW) + 2cos2(KnW/2)/(finW)]}-U2,
(1.4.13)
Cn = A„cos(KnW/2).
Волновая функция, соответствующая состояниям
ной четности (и = 2,4,6...),
сп ехр(Р„х),
Ап зт(Кпх),
Dn ехр(-р„х),
x<-W!2
|x|<lF/2 ,
x>W/2
^„(х) =
здесь
Dn = An sin(/^„lK/2)-exp(P„lK/2),
Cn=~Dn,
отрицатель-
(1.4.14)
(1.4.15)
1/2
sin(KnW) 2sin2(tf„ 0,5JT)
Ап = /Ч0,51К 1-
РЛ J
Для симметричной КЯ ширины W и глубины Lq, введя нормиро-
ванные переменные Y = Е/Е* и X = Ug/E* (Е* =h2(n/JV)2 /(2т)
- энергия первого разрешенного уровня в БИЯ), выражение (1.4.2)
можно представить в виде
2Y-X
2y[Yy/X-Y
(1.4.16)
Анализ (1.4.16) показывает, что в симметричной КЯ конечной
глубины для 0 < X < 1 возможно существование лишь одного раз-
решенного состояния с энергией ЕХ<Е*, для 1 < X <4 количество
разрешенных состояний равно 2, для 4 < А7 < 9 равно 3 и т.д. Кроме
того, если в симметричной квантовой яме возможно существование л-го
энергетического состояния (с л^2), то Еп_х(х), fY)<En(l/0,[Y)<
<En (<х>, W) независимо от глубины КЯ 170, а общее число разре-
шенных энергетических уровней л в симметричной прямоугольной
КЯ можно оценить, используя неравенство
п <у[х +1<.п + 1. (1.4.56)
2 Основы наноэлектроники
34
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Выполнив разложение (1.4.3) при У/Х«1 (большие значения
W и (или) То), для основного состояния в первом приближении
получим, что
(2 + пу/Х)2 '
(1.4.17а)
Возникающая при такой аппроксимации ошибка представлена на
рис. 1.5. Видно, что при Y >0,37 ошибка определения положения
первого разрешенного энергетического уровня в КЯ не превысит 5 %.
Рис. 1.5. Характер ошибки, возникающей при ап-
проксимации выражения (1.4.16):
кривая 1 - с использованием (1.4.17а), 2 - с использованием
(1.4.176), 3 - с использованием (1.4.17в), 4-с использованием
(1.4.19), 5 - с использованием (1.4.20)
Во втором приближении выражение для оценки Y принимает вид
7Г2 V
Y =------------ 2------------. (1.4.176)
[2 + 7Г2/з(2 + 7Гл<у) +7Гд/У]2
Такая аппроксимация дает ошибку меньше 5 % для Y >0,13. Если
в (1.4.176) изменить коэффициент перед 4х в круглых скобках,
т.е. положить, что
(1.4.17b)
1.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
35
то погрешность определения Y станет меньше 5 % уже для
Y >0,04.
При очень малых W (узкая КЯ) разложение (1.4.3) в ряд для
симметричной КЯ позволяет представить выражение для оценки
энергии основного состояния в виде
й
(1.4.18а)
или в переменных Хи Y
4Х
4 + л2Х
(1.4.186)
Данное выражение можно использовать только при очень малых
W. Анализ показывает, что расширить интервал приемлемых оце-
нок положения основного состояния в КЯ в области малых Y мож-
но, изменяя коэффициент перед X в знаменателе (1.4.186). На рис. 1.5
представлено поведение ошибки 8 при использовании выражения
4 + 0,93 л2 X'
(1.4.19)
Еще лучшие результаты могут быть достигнуты при использова-
нии выражения
у52.314+У _1_
2.72Х 2,72Х J 1,36
Существует и другая возможность для оценки энергетического
положения разрешенных состояний в симметричной КЯ конечной
глубины. В этом случае, используя (1.4.16), рассчитывают зависи-
мости X от Y. При этом
X - 2Y [ctg2(nV£) - ctg^V^)-^! + ctg2(nV£) +1] =
2Y t sin(27tVY)
зт2(лл/у) 2 |зт(лл/у)|
(1.4.21)
Зависимости X(Y) для первых трех энергетических уровней,
рассчитанные с использованием (1.4.21), приведены на рис. 1.6. По
ним, задаваясь параметрами КЯ W, Uo и т (т.е. X), можно опреде-
36
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
лить Y и энергетическое положение уровней. Видно, что для КЯ за-
данной ширины с уменьшением глубины Uo (т.е. X) будут происхо-
дить уменьшение энергии разрешенных состояний Y и последова-
тельное выталкивание их из ямы (т.е. уровни будут сгущаться
медленнее, чем уменьшается глубина ямы). Причем при изменении
и0 от оо до Еп энергия и-го уровня в КЯ конечной глубины
будет уменьшаться от ЕДсо,^) лишь до Е„_1(со,Ж), а при даль-
нейшем уменьшении Uo п-й уровень будет вытолкнут из ямы.
Рис. 1.6. Зависимости X(Y) для первых трех энергетических
уровней с п = 1, 2 и 3 (кривые 1-3 соответственно),
рассчитанные с использованием выражения (1.4.21)
Решив одномерную задачу, в данном случае легко получить ре-
шение и для двумерного, и для трехмерного случая. Например, если
частица движется в потенциальном поле U= U(x) + U(y) + U(z), где
0,5h [0приу<0,5<7
, C/(y) = J ,
0,5й [oo при у > 0,5d
О при х<
00 прих>
О при z < 0,5W
со при z > 0,5 W
то ее волновая функция ^(x,y,z) = 4r(x)^(y)^(z), а Е=Е1+Е2+Е3.
В этом случае трехмерное уравнение Шредингера распадается на
три независимых одномерных уравнения:
ах п
Ф(х) = 0,
1.5. Особенности движения частиц над потенциальной ямой
37
d2
dy2
+^{Е2-и(у)] ад=о,
2
—+ ^[£3-t/(z)] ВД = 0.
dz h
Таким образом, чтобы получить решение для данной трехмерной
задачи, достаточно решить одно из этих уравнений (что мы уже сде-
лали ранее) и по аналогии записать решения для двух других урав-
нений. Отметим, что при h &d каждому значению энергии бу-
дет соответствовать одна волновая функция T(x,y,z). Другими
словами, в системе отсутствуют вырожденные состояния. В
случае h-d = W симметрия поля совпадет с симметрией куба и
система может иметь двукратно и трехкратно вырожденные
уровни. Кроме того, особый характер зависимости потенциаль-
ной энергии от координаты в данном случае может приводить к
дополнительному (случайному) вырождению.
1.5. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ
НАД ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМОЙ
Мы рассмотрели случай, когда полная энергия частицы Е
меньше высоты стенок потенциальной ямы (финитное движение).
Здесь размерный эффект проявляется в квантовании энергии и
волнового вектора частицы.
Когда энергия частицы превосходит высоту стенок потенци-
альной ямы (E>Uj, см. рис. 1.4), движение частицы инфинитное.
Однако, как и при движении над потенциальным барьером, здесь
возможны отражение частиц от областей с резким изменени-
ем потенциала (в данном случае от краев ямы) и даже своеоб-
разный резонансный захват пролетающих над ямой частиц.
Если частица движется вдоль оси X, то, достигая потенциаль-
ной ямы, она испытывает действие сил. При этом частица либо от-
разится, либо «пройдет» над потенциальной ямой. В областях 7 и 2
(см. рис. 1.4, а) решение уравнения (1.1.2) имеет вид
Ту = Aj exp (iKjx} + Вj exp (~iKjx), (1.5.1)
где К1=^2т(Е-и1)/б, K2=JlmElh.
38
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
В области 3 (х> 1172) решение имеет вид уходящей от ямы волны
Ч'3=А3 exp(i£3x), (1.5.2)
здесь К3 = yj2m(E-U2)/•
Чтобы вычислить коэффициенты прохождения и отражения
(1.2.2), надо выразить амплитуды А3 и через амплитуду падаю-
щей волны Ах. Для этого используем условие непрерывности волно-
вой функции и потока частиц при X - ±W/2. В результате получим
Z =[к1 -AT2)sin2(£2^) + (^i +^з)2^2 • 0-5.4)
Для симметричной ямы, когда Кх =К3 (см. рис. 1.4, б),
sin2(£2lT)1 1
4£(£-t/0) ’
(1.5.5)
(1.5.6)
4£(£-C70)
U% sin2 (K2W)
Отметим, что по виду выражения (1.5.3) - (1.5.6) совпадают с
аналогичными выражениями (1.3.2) - (1.3.5) для прохождения час-
тицы над потенциальным барьером.
Согласно (1.5.3) при прохождении частиц над потенциаль-
ной ямой, как и в случае потенциального барьера, коэффициент
прохождения осциллирует с увеличением энергии частицы
(рис. 1.7). В обоих случаях осцилляции имеют одну и ту же физи-
ческую природу. Квазиклассически их можно трактовать как ре-
зультат интерференции электронных волн, отраженных от скачков
потенциала на границах барьера или ямы. Однако, как показывает
сравнение рис. 1.3 и 1.7, при близком качественном характере за-
висимостей имеются и заметные различия. Так, при равных значе-
ниях ширин и скачков потенциала барьера и ямы размах осцил-
ляций коэффициента D при прохождении частиц над барьером
больше, чем при прохождении над ямой.
1.6. Движение частицы в сферически симметричной прямоугольной...
39
Рис. 1.7. Зависимость коэффициента прохождения
частицы над потенциальной ямой от энергии:
/-17</И=1. 2-[7(/^ = 2, 3-ВД = 3, -/-[/</^ = 4
На первый взгляд движение электронов над потенциальной
ямой оказывается еще менее пригодным для наблюдения и исполь-
зования осцилляций коэффициента прохождения частицы. Однако
в данном случае заметные осцилляции могут наблюдаться при
сравнительно небольших энергиях частицы, что улучшает условия
их наблюдения [3].
1.6. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
В СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
Развитие нанотехнологии инициировало широкое исследование
новых классов нанообъектов, в частности квантовых точек, в кото-
рых осуществляется пространственное ограничение носителей за-
ряда в трех измерениях. Квантовые точки как квазинульмерные
системы важны не только как возможная элементная база для на-
ноэлектроники, но и как модельные объекты для фундаментальных
исследований. Электронный спектр изолированных КТ представ-
ляет собой набор дискретных уровней размерного квантования, и в
этом смысле они могут рассматриваться как гигантские искусст-
венные атомы с контролируемо изменяемыми параметрами, таки-
ми как глубина и характер удерживающего потенциала, число час-
тиц и характерные размеры области их локализации.
Вид удерживающего потенциала определяется способом полу-
чения КТ. Для его представления наиболее часто используются
модель «жестких стенок» и модель параболического удержива-
ющего потенциала.
40
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Рассмотрим движение частицы массы т в сферически симмет-
ричной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины
(модель «жестких стенок»), т.е. в потенциале
U(r) =
0, если г < а,
оо, если г > а.
(1.6.1)
Стационарные состояния частицы, движущейся в сферически
симметричном потенциале, описываются уравнением Шредингера
с гамильтонианом
Л Й
Я = -—b + U(r),
2т
(1.6.2)
где г = -^х2 + у2 + z2 - расстояние от центра КЯ, а А - оператор Лапласа.
Учитывая симметрию потенциала, решение уравнения (1.6.2)
обычно ищут в сферических координатах. В этом случае
2т дг
.2 А
8г
2т г2
+ U(r),
(1.6.3)
где оператор
Д =
1 3 ( . 8 1 д2'
-----(— sin (6)— +-------- У
sin (0) 50 V 50 J sin (0) а<р2
Временная зависимость волновых функций стационарных состоя-
ний характеризуется множителем ехр(-г£//й), где Е - энергия
системы. Поэтому далее мы будем интересоваться только зависи-
мостью волновых функций от г,0 и <р.
Известно, что волновая функция стационарных состояний дви-
жения частицы с определенными значениями квадрата углового
момента L2 и проекции момента Lu в произвольном потенциале
сферической симметрии может быть записана в виде [5]
^£/те(^е,ф) = /д(г)^(0,<р), (1.6.4)
где /ei(t) — радиальная волновая функция, I - орбитальное кванто-
вое число (/ = 0, 1, 2,...), т — магнитное квантовое число
(т = 0, +1, ...) . Поскольку в потенциале сферической симметрии
нет выделенных направлений в пространстве, радиальная функция
1.6. Движение частицы в сферически симметричной прямоугольной...
41
не может зависеть от значения т. В результате каждое из стацио-
нарных состояний с определенным значением I будет(21 + ^-крат-
но вырождено соответственно 21 + 1 значениям т. Состояния,
соответствующие разным значениям / = 0, 1, 2,..., принято обозна-
чать малыми латинскими буквами s,p,d,f,gvi т.д.
Подставляя (1.6.4) в уравнение Шредингера с оператором
(1.6.3) для свободного (U = 0) движения частицы с определенным
значением орбитального момента, уравнение для радиальной вол-
новой функции можно представить в виде
(1.6.5)
где k2 -2mE/ti2 . Уравнение (1.6.5) имеет два независимых реше-
ния ~ В (кг) и r\i(kr), выражающихся через цилиндрические
функции Бесселя порядок которых равен половине нечетно-
го целого числа [6]:
nl(kr)=(-i)MJ^-J_l_1(kr). (1-6.6)
V 2кг ,+2 \ 2кг 1 2
Функции ji(kr) и т]/(^'г) называются соответственно сфериче-
скими функциями Бесселя и Неймана. Явные выражения для пер-
вых трех функций ji(kr) и дДАт) записываются как
. _ sin(fcr) . _ j0 cos(fcr)
Jo -~г —> 71 ~~--------------’
кг кг кг
_ cos(fcr) _По sin(fcr)
По - -~ ’ П1 - “ :—
кг кг кг
. _ 3 . .
J1 “УЛ ~Jo>
кг
3
П2=уП1 "По-
кг
Общее решение уравнения (1.6.5), соответствующее опреде-
ленным энергии и орбитальному моменту, имеет вид
fl(r) = Ajl(kr) + By]l(kr), (1.6.7)
а полная волновая функция данного состояния равна
чк1т =Шкг)+в^кг)]У1т(е,^. (1.6.8)
Постоянные А и В в (1.6.8) определяются граничными условиями и
нормировкой волновой функции. Если частица может двигаться в
42
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
области, включающей точку г = 0, то из условия конечности вол-
новой функции при г = О следует, что В = 0. При этом
^klm ~ (1.6.9)
Именно такая волновая функция соответствует нашей задаче
при г<а. При г > а волновая функция должна равняться нулю,
так как частица не может проникнуть в область с бесконечно
большой потенциальной энергией. Отсюда следует, что
У/(Ь) = 0.
(1.6.10)
Обозначив корни сферической функции Бесселя 7-го порядка через
Хп/, где п = 1, 2, ... - главное квантовое число, из (1.6.10) получим
уравнение, определяющее разрешенные дискретные значения к, а
значит, и энергии стационарных состояний Е\
1 ti2 Х^
к^-Хп1, Еп1=-----(1.6.11)
а 2т а
Значения корней сферических функций
Бесселя
Состояние X„i
1s 3,142
1Р 4,493
Id 5,763
2s 6,283
V 6,988
7р 7,725
В таблице приведены значения корней Хп1 для первых шести
состояний. Подставляя эти значения в (1.Б.11), легко оценить энер-
гии разрешенных состояний в сферически симметричной прямо-
угольной потенциальной яме
бесконечной глубины. Заме-
тим, что по виду (1.6.11) сов-
падает с выражением (1.4.7)
для оценки положения энер-
гетических уровней в БПЯ.
Более того, для s-состояний
Xnt кратны л. Однако в зна-
менателе (1.6.11) стоит ради-
ус КЯ, в то время как в (1.4.7)
учитывается полная ширина
потенциальной ямы.
Для s-состояний удается получить достаточно простое анали-
тическое выражение для оценки положения энергетических уров-
ней и в сферически симметричной прямоугольной потенциальной
яме конечной глубины. Согласно [5] оно имеет вид
Р = -к • ctg(<aA),
(1.6.12)
1.6. Движение частицы в сферически симметричной прямоугольной...
43
где к = J—rE, Р = J~y(Uo ~£) ’ £ _ энергия частицы, a Uo-
V п У п
глубина потенциальной ямы. При этом радиальная волновая функция
. .sin(fcr)
f(r)-A-------, если г<а,
г
если ria.
г
Переходя к нормированным переменным Y-E/E* и X-Uq/E*
(Е - энергия основного состояния в БПЯ с W - 2а), уравнение
(1.6.12) можно переписать в виде
= -x/yctgl|x/r I. (1.6.13)
Из анализа (1.6.13) следует, что данное уравнение может иметь
решения только при (п-0,5)< VF <п, п = 1,2,..., так какXи Y-
действительные положительные числа. Зависимости X(Y) для пер-
вых трех энергетических уровней в сферически симметричной
прямоугольной потенциальной яме конечной глубины, рассчитан-
ные с использованием (1.6.13), приведены на рис. 1.8. По ним,
задаваясь параметрами КЯ a, Uo и т (т.е. X), можно определить Y и
Рис. 1.8. Зависимости X(Y) для первых трех энергетических
уровней (кривые 1 — 3 при п = 1, 2 и 3 соответственно) в сфе-
рически симметричной прямоугольной потенциальной яме
конечной глубины, рассчитанные с использованием (1.6.13)
44 Глава 1.ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
положение энергетических уровней. Также видно, что для
у/Х <0,5 в сферически симметричной прямоугольной КЯ ко-
нечной глубины связанные состояния отсутствуют (т.е. части-
ца не задерживается в такой яме), а для 0,5 < у[х < (и + 0,5) воз-
можно существование не более п связанных состояний.
Из рис. 1.8 следует, что существуют интервалы энергий, кото-
рым не могут соответствовать s-состояния ни при каких парамет-
рах сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы.
Однако для У > 1 этим энергиям могут соответствовать р, d , f и
другие состояния.
Обычно геометрические размеры КТ в плоскости роста значи-
тельно превышают их «высоту». В случае бесконечно глубокой
аксиально-симметричной двумерной потенциальной ямы радиуса а с
{0, если р < а,
(1.6.14)
оо, если р > а,
собственные функции гамильтониана можно представить в виде
~ V'n |m|(p)e'mip» пр~ 0,1,2,...- радиальное квантовое чис-
ло, т-0, ±1, ±2,...- магнитное квантовое число, р,<р- поляр-
ные координаты [7]. При этом энергетический спектр частицы опре-
деляется выражением
£ЛрН
п аЛр+1,/и
2т* а2
(1.6.15)
где апр+1,»1 - («р +1)-й корень функции Бесселя /т(аЛр+1>те) (в по-
рядке возрастания). Например, а10 =2,4; ссц =3,83; а12 =5,14;
а2о = 5,52; а13=6,38.
1.7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
И ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОГО, ПЛОСКОГО
И СФЕРИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Современная технология молекулярно-лучевой эпитаксии с
применением компьютерного управления затворами молекулярных
пучков позволяет получать различные профили потенциала кван-
товой ямы. Поэтому наряду с прямоугольными КЯ в настоящее
время интенсивно исследуются структуры с более сложным ходом
1.7. Энергетический спектр и волновые функции линейного осциллятора
45
потенциала. С этой точки зрения значительный интерес представ-
ляют структуры с параболической КЯ, позволяющие реализо-
вать систему эквидистантных энергетических уровней.
Задача определения стационарных состояний движения элек-
трона в данном случае обычно сводится к задаче о линейном (од-
номерном) осцилляторе.
Стационарное уравнение Шредингера в случае линейного ос-
циллятора имеет вид
'Р'' + 0,5Кх2'Р = Е'Р. (1.7.1)
2т
Важное отличие осциллятора заключается в том, что движение
частиц не ограничено какой-либо непроницаемой стенкой. Поэто-
му у осциллятора нет граничных условий, подобных условиям для
бесконечной прямоугольной ямы. Единственным требованием, ко-
торое налагается на волновую функцию осциллятора, является
требование ее квадратичной интегрируемости [2].
Решение уравнения (1.7.1) с учетом этого условия дает спектр и
собственные функции линейного осциллятора в виде
£^л) = + 0,5; (1.7.2)
'р(лЛ)М = [А] W-TtM-")’ О’7’3)
\.па ) \ 2а ) \а)
здесь со т, а = yjhlта, Hn(z) — полиномы Эрмита; /70(х) = 1;
771(z) = 2Z; /72(z) = 4Z2-2 ит.д.
В случае плоского изотропного осциллятора вместо (1.7.1)
имеем
й2 Г а2 ! а2'
2т дх2 ду2 у
+ у(х2+у2)
(1.7.4)
хр(п) —jpvpln)
Так как операторы
й2 а2 ' кх2
2т дх2 2
Й2 а2 Ку2
2т ду2 2
коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осцил-
лятора, равным И - Нх + Н2, собственные функции и Н2 мо-
гут быть выбраны также собственными функциями Н [7]. Учиты-
46 Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
вая это обстоятельство и известное решение уравнения (1.7.1), мо-
жем найти разрешенные уровни энергии и собственные функции
плоского осциллятора
£^п) = ho)(N + 1), А = 0,1,2..., (1.7.5)
где о = \/к/т; N = ni + n2', пх =0,1,2..., п2 = 0,1,2...
Так как уровню с данным значением А отвечает (А+1)-
независимая собственная функция , пх =0,1,2...А, п2 = N-nx,
он является (N + 1)-кратно вырожденным.
В случае плоского осциллятора с потенциалом
U-0,5К(х2 + у2) + аху (1.7.6)
при а < К уравнение (1.7.6) можно представить в виде
U = 0,25[£, (х + у)2 + К2 (х - у)2 ],
где КХ2 = £ ± а > 0.
Если теперь перейти к новым переменным х1 =(х + у)Д/2 и
ух = (-х + у)/л/2 (поворот на л/4 в плоскости (ху)), то гамильтониан
примет вид суммы гамильтонианов двух независимых осцилляторов:
2т дх2 2 2т ду2 2
Соответственно энергетический спектр системы в данном случае
можно представить как
= h^K + aj/m (пх + 0,5) + hy](K-a)/m (п2 +0,5), (1.7.8)
Аналогично в случае трехмерного осциллятора, когда потенци-
альная энергия имеет вид
U = 0.5(£]Х2 + К2у2 + K3z2 ) ,
1.7. Энергетический спектр и волновые функции линейного осциллятора
47
гамильтониан системы
Н = -—АТ + -(^х2 + К2у2 + K3z2
2т 2'
здесь А - оператор Лапласа, который может быть представлен в
виде суммы гамильтонианов трех независимых осцилляторов. Итак,
задача опять сводится к одномерной. С учетом (1.7.2) и (1.7.3) полу-
чаем, что спектр разрешенных состояний и волновые функции
трехмерного осциллятора могут быть представлены в виде
Е = /to] (nj + 0,5) + йсо2 («2 + О’5) + й(Оз (из + 0’5),
I х2
хехр-----7
I 2of
1
^а2а2а3 )
2 2 А
У____z „
7 7
2а2 2а3)
xl/4
«1
(2"1+"2+'’3и1!и2!и3!)’1/2Х
- н,
«2
— н,
\а2 )
”3
— ,(1.7.9)
l«3 7
У’ z> =
где со,- = yjKj/т; о, - y]h/та, .
В частном случае сферического осциллятора, когда
U = 0,5Kr2, решение соответствующего уравнения Шредингера
можно представить как
Е^=йсо^ + 1,5), AT = ^+fl2 + n3, N = 0,1,2...,
=0,1.2... (1.7.10)
Таким образом, стационарные состояния сферического осцил-
лятора, согласно (1.7.10), образуют эквидистантную последова-
тельность энергетических состояний.
Отметим, что - радиальная волновая функция, а полная
волновая функция имеет вид, аналогичный (1.6.4).
Рассматривая сферически симметричную потенциальную яму с
параболическим удерживающим потенциалом в более общем слу-
чае, можно показать, что каждое из разрешенных состояний харак-
теризуется двумя квантовыми числами -л и / (п-0, 1, 2,... - ради-
альное квантовое число, 1 = 0, 1,2,... - орбитальное квантовое
число). Причем энергия разрешенных состояний зависит только от
комбинации этих чисел 2л +1 = N
Еп1 =Йсо(2л + / + 1.5), (1.7.11)
48
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ..
а соответствующая ортонормированная система одночастичных
волновых функций имеет вид [8]
Vn/m ~~Г^е
yJ2n
(cos е>
2(Z + w)! 1
I /+1.5
2а 2 п\
Г(п + / + 0,5)Х
хехр(—Та гЩг1!™’5 (Va г2 ),
(1.7.12)
где т-магнитное квантовое число; 7)т(х)-присоединенные
функции Лежандра первого рода; Г(х) - гамма-функция Эйлера;
Z*(x)~ обобщенный многочлен Лагерра; г,0,ф- сферические ко-
ординаты от центра ямы; а - параметр крутизны удерживающего
потенциала (7(г,0,ф) = аг2.
Так как каждое значение N > 2 может быть получено несколь-
кими комбинациями значений п и I, стационарные состояния
сферического осциллятора, начиная с третьего, оказываются
g(N)-KpamHO вырожденными, причем
g(N) = 0,5(N + l)(W + 2). (1.7.13)
*7
Например, уровень энергии EN =Е2 - будет шестикратно вы-
рожден. В одном из этих шести состояний угловой момент (а следо-
вательно, и орбитальное квантовое число I) равен нулю (s-со-
стояние), а остальные пять состояний относятся к ^-состояниям,
которые различаются проекциями углового момента.
Необходимо отметить, что в случае сферического осциллятора
вырождение каждого из р-, d-, f - и т.д. состояний является ре-
зультатом сферической симметрии потенциального поля, а вырож-
дение, благодаря которому s-состояние имеет энергию, совпадаю-
щую с энергией ^-состояния (при N — 2), является «случайным».
Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимо-
стью потенциальной энергии от радиуса. Если зависимость потен-
циальной энергии от радиуса будет отличаться от квадратичной
(т.е. от 17(г,0,ф) = аг2), например, членом Рг2*, то вырождение,
связанное со сферической симметрией, сохранится, а случайное -
будет отсутствовать.
1.8. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме сложной формы 49
1.8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
КВАНТОВОЙ ЯМЕ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Возможность получения слоев с произвольным профилем из-
менения состава позволила для улучшения характеристик прибо-
ров использовать структуры с КЯ сложной формы. Так, для созда-
ния нового поколения резонансно-туннельных диодов и
гетеролазеров с раздельным электронным и оптическим ограниче-
нием [9] применяются структуры с прямоугольными КЯ, в центре
которых имеется дополнительный провал (рис. 1.9, а).
Рассмотрим влияние дополнительного провала на энергетиче-
ский спектр КЯ с бесконечно высокими стенками (рис. 1.9, б) [10].
При анализе учтем, что провал получен изменением материала и,
следовательно, в области провала ( -d < х < d ) эффективная масса
электрона т\ может отличаться от эффективной массы т2 в приле-
гающих областях ( d < |jc| <, I ).
Рис. 1.9. Энергетическая диаграмма квантовой ямы с конечны-
ми (а) и бесконечными (б) стенками и дополнительным потен-
циальным провалом
В случае, когда эффективная масса зависит от координаты, од-
номерное уравнение Шредингера может быть представлено так:
2 дх
С/(х)
(1.8.1)
Для областей 1 и 3 (d <| х |< /) уравнение (1.8.1) принимает вид
+ 2
- , +0 |t = £T.
2m, дх2 )
50
Глава 1, ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ.
Аналогично для области 2 (| х |< d) имеем
2т2 дх2
-и Т = ЕТ
Найдем положение разрешенных энергетических уровней для
Е > 0 (т.е. попадающих в широкую часть КЯ). В этом случае волно-
вая функция во всех трех областях может быть представлена в виде
Ту = Aj expfiKjx) + Вj exp(-iKjx), j = 1,2,3,
где
Для нахождения коэффициентов Aj и Bj, как обычно, восполь-
зуемся условиями, обеспечивающими непрерывность волновой
функции (непрерывность плотности частиц) и плотности потока
частиц. Тогда при | х |= d имеем
(1.8.2)
’ гп\ dx т2 dx
Кроме того, так как стенки КЯ бесконечно высокие, при | х |= I
^1,3=0. (1.8.3)
Используя граничные условия (1.8.2) и (1.8.3), получим два
уравнения:
tg|X(/-d)] = -^ -^-ctg(^2J); (1.8.4)
JX2
= ^g(K2d), ' (1.8.5)
mx K2
из которых первое определяет разрешенные К (а следовательно, и
Е„) для четных состояний, а второе - для нечетных.
Анализ выражений (1.8.4) и (1.8.5) позволяет выявить влияние
провала и различия эффективных масс на положение разрешенных
уровней энергии.
Так, для основного (нижнего) четного состояния из (1.8.4) по-
лучаем
Kxl = FQ, (1.8.6)
1.8. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме сложной формы 51
где
Рис. 1.10. Графическое решение уравнения (1.8.6):
1— Ktl; 2 —5 — FQ(Kfy 2— т2=т1 и U= 0; 3 — т2 <т1 И U = 0; 4— т2<т1
и С/ * 0; 5 — m2=ml И 17 * О
^=^ + Kid-arctg —^-tg(K2d)
2 W2
(1.8.7)
На рис. 1.10 представлено решение уравнения (1.8.6) графиче-
ским методом.
Разрешенные значения Ki при известной ширине КЯ (2Z) опре-
деляются точками пересечения прямой 7 (соответствующей правой
части уравнения (1.8.6)) с зависимостями (кривые 2-5).
Анализ (1.8.6), (1.8.7) и приведенных зависимостей показывает,
что для основного четного состояния: 1 - уменьшение эффек-
тивной массы т2 сдвигает разрешенный уровень энергии в об-
ласть больших энергий; 2 - увеличение ширины d и глубины
U провала понижает разрешенный уровень энергии; 3 - резуль-
тирующее смещение уровня энергии определяется суперпозици-
ей данных эффектов, при этом влияние эффективной массы
обычно слабее. Так, при ти2 —> 0 аргумент arctg в (1.8.7) стремится к
’TV(£+c/)’
I
т.е. влияние ти2 на решение уравнения (1.8.6) вообще исчезает, а
влияние du Uостается.
Увеличивая ширину и глубину провала, можно «затянуть» ос-
новной четный уровень из широкой части квантовой ямы в провал.
52
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
В этом случае кривые Рц(КхГ) не будут пересекать прямую 1
(рис. 1.10) при (A7XZ) > 0, а следовательно, производная функции
Fq(KxI) попеременной (^/) в точке (Кх1) = 0 станет меньше еди-
ницы. Отсюда следует, что условие существования основного чет-
ного уровня в широкой части потенциальной ямы имеет вид
где
(1.8.8)
Анализ (1.8.8) показывает, что увеличение d, U, тх или т2
способствует втягиванию основного четного уровня в провал.
Рассмотрим теперь влияние параметров системы на положение
первого возбужденного (нечетного) состояния. Как следует из
(1.8.5), выражение для определения разрешенных значений К мо-
жет быть представлено как
Kxl = Fx, (1.8.9)
где
Fx - п + Кх d - arctg
т2 Кх
тх К2
(1.8.10)
tg(^2J)
Решение уравнения (1.8.9) графическим методом показано на
рис. 1.11.
Рис. 1.11. Графическое решение уравнения (1.8.9):
1— KJ; 2 - 5 — Fj (KJ); 2 — т2 = ml , U = 0; 3 — т2 < гщ , U= 0; 4 — т2=т},
U * 0 ; 5 — т2<т1, U * 0
1.8. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме сложной формы 53
Анализ показывает, что и в этом случае уменьшение m2 уве-
личивает разрешенное значение энергии, а рост d и U умень-
шает, однако теперь ослабляется роль U. Так, устремляя т2 к
нулю, видим, что аргумент arctg в (1.8.10) стремится к
^^-к2а}=^к^,
К2 J «1
т.е. влияние U исчезает.
Различное влияние U и m2 на положение основного и первого воз-
бужденного состояний связано с различным видом волновых функ-
ций, соответствующих этим состояниям. Если для основного состоя-
ния в области провала велико значение (Я']2 и мало значение
|</Т/<&|2 то для первого возбужденного, наоборот, велико |<?'Р/dxf ,
но мало |'Р|2. Так как средняя энергия в данном состоянии
со
J
ь2
2т
то оказывается, что в основном состоянии средняя энергия будет
более «чувствительна» к наличию и величине провала, а в первом
возбужденном состоянии — к значению т2.
В результате оказывается, что можно создать структуру, у
которой наличие слоя с меньшей эффективной массой приве-
дет к понижению энергии основного и повышению энергии воз-
бужденного состояния, т.е. энергетический зазор между этими
уровнями станет больше, чем в случае простой квантовой ямы,
что, например, используют для увеличения контрастности ВАХ
резонансно-туннельных диодов.
Реально мы имеем дело с потенциальными ямами, стенки ко-
торых имеют конечную высоту (см. рис. 1.9, а). Рассмотрим
влияние конечной высоты стенок на разрешенные значения энер-
гии основного и первого возбужденного состояний КЯ при нали-
чии провала.
В этом случае необходимо дополнительно учесть возможность
проникновения частицы под барьеры (т.е. в областях 4 и 5, см.
54 Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
рис. 1.9, а). Решение уравнения (1.8.1) для этих областей (|х|>/)
можно записать в виде
^4,5 =с4,5ехр[-₽(|х|-/)]’ (1.8.11)
где Р2=^3(Г-Я).
Учитывая граничные условия при х = ±d и х = ±1, можно было
бы записать систему алгебраических уравнений, определяющую
разрешенные значения К и Е. Однако при этом пришлось бы ис-
кать совместное решение системы из восьми уравнений. Для уп-
рощения расчетов лучше учесть симметрию задачи и вместо гра-
ничных условий для х < 0 использовать граничные условия при
х = 0. При этом получим:
для четных состояний
Т'2(х = 0) = 0,
для нечетных
Т2(0) = 0.
Учитывая (1.7.12), (1.7.13) и граничные условия при x = d
t2(j)=t3(j), -LT'=_LT' (1.8Л4)
m2
и при X = I
T3(Z) = T5(/), —T'=_L (1.8.15)
(1.8.12)
(1.8.13)
получим две системы по пять уравнений, решения которых и опреде-
лят разрешенные значения КиЕ для четных и нечетных состояний.
Соответствующие дисперсионные уравнения для определения
разрешенных значений энергии и в этом случае (К оо) удается
представить в виде (1.8.6) и (1.8.9), но уравнение для основного
четного состояния теперь будет иметь взид
„ [ ли. В 1 , ли. К?
Fo = arctg —— + AyZ-arctg —L-^-tg^d)
^ЛИ3Л] J |_ЛИ2 Л]
(1.8.16)
1.8. Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме сложной формы 55
Рис. 1 72. Графическое решение дисперсионных уравнений (1.8.6)
и (1.8.9) с учетом (1.8.16) и (1.8.17):
/- KJ,2,4,6- FB(W,3,5,7- FJKJ)2,3—m2=ml, U—0, Г = ™,4,5- т2=т,,
17= О, Г *00 ; 6,7 - т2<т{ , U*0 ,
а уравнение для первого возбужденного (нечетного) состояния
может быть записано как
_ , f fn-iKi I
Fx = п + Kxd - arctg 1 - arctg
I miP J
m2 Kx
ZH] K2
tg(K2d)
(1.8.17)
Решение дисперсионных уравнений (1.8.6) и (1.8.9) с учетом
(1.8.16) и (1.8.17) представлено на рис. 1.12.
Анализ показывает, что понижение высоты стенок КЯ
уменьшает значения разрешенных уровней энергии как для ос-
новного четного, так и для возбужденного состояния. Такому
понижению способствует и увеличение т3 (эффективной массы
материала барьеров). В результате условие существования основ-
ного четного уровня в широкой части потенциальной ямы прини-
мает вид
Оценки [10] показывают, что, например, для структуры, у кото-
рой барьеры изготовлены из AlAs, широкая часть КЯ - из твердого
раствора In0 53Ga047As, провал - из InAs с параметрами V = 1,32 эВ,
U= 0,24 эВ, J=9,2A, 7=18,2 А, тх = 0,046 т0, т2 = 0,023 т0,
56 Глава 1.ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
т3 = О,124то, уровни энергии основного и первого возбужденного
состояний равны соответственно 0,09 и 1,22 эВ. В то же время для
аналогичной структуры без провала эти же уровни соответствуют
значениям 0,22 и 0,94 эВ. Таким образом, наличие провала может
изменять положение уровней на несколько десятых электрон-вольт.
1.9. СТРУКТУРА СО СДВОЕННОЙ КВАНТОВОЙ ЯМОЙ
Выше мы рассмотрели поведение частиц в системах, содержа-
щих изолированные КЯ и потенциальные барьеры. Как уже отме-
чалось, накопленный к настоящему времени опыт и достижения
техники для выращивания эпитаксиальных структур позволяют
создавать и более сложные гетерокомпозиции, содержащие полу-
проводниковые слои со сложным потенциальным профилем. С
этой точки зрения большой интерес представляет изучение энерге-
тического спектра частиц в связанных квантовых ямах, так как в
таких системах возможно направленное регулирование энергети-
ческого спектра и скоростей рассеяния электронов с помощью из-
менения не только формы КЯ, но и связи между квантовыми яма-
ми. Структуры со связанными КЯ стали основой многих электрон-
ных и оптоэлектронных приборов. На их основе созданы лазеры
инфракрасного (ИК) диапазона, приемники ИК-излучения, элемен-
ты нелинейной оптики и быстродействующие транзисторы.
Для выяснения влияния, оказываемого сближением изолиро-
ванных квантовых ям, рассмотрим систему, состоящую из двух
одинаковых одномерных прямоугольных квантовых ям, разделен-
ных проницаемым потенциальным барьером (рис. 1.13).
Следуя [11], обсудим прежде всего качественные изменения.
Известно, что энергетический спектр такой системы имеет вид
дублетов [4]. Волновая функция в данном случае является реше-
нием уравнения (1.1.2) с потенциалом, показанным на рис. 1.13.
Если квантовые ямы достаточно удалены друг от друга, то между
ними волновая функция 'Е практически равна нулю. Решение
(1.1.2) в окрестности каждой КЯ в этом случае будет практически
совпадать с решением (1.4.12) для изолированной квантовой ямы с
тем отличием, что величина |Т|2 вследствие нормировки умень-
шится вдвое. Волновая функция Т для наинизшего квантового
состояния приведена на рис. 1.13, а.
Однако для данной задачи возможно и другое решение урав-
нения Шредингера (рис. 1.13, б). Единственное различие между
Ч' -функциями, показанными рис. 1.13, состоит в изменении знака
1.9. Структура со сдвоенной квантоаой ямой
57
Рис. 1.13. Потенциальный профиль и вол-
новые функции для системы из двух пря-
моугольных квантовых ям
в одной из КЯ и означает, что волновая функция Т (включая зави-
симость от времени) в одной из ям отличается по фазе на 180° от
Т в другой яме. Принято говорить, что волновая функция, пред-
ставленная на рис. 1.1.3, а, симметрична, а волновая функция
(рис. 1.13,6)- антисимметрична.
Между значениями энергии для обоих решений разницы прак-
тически нет, что следует из одинаковой для формы Т (х), а следо-
вательно, одинаковой средней кинетической (~|dT/dxj2 ) энергии и
средней потенциальной (~ U (х)|Ч'|2) энергии.
При сближении квантовых ям волновые функции изменяют
форму (рис. 1.14). В этом случае волновая функция, показанная на
рис. 1.14, а, будет давать меньшее значение полной энергии Е, по-
скольку для нее среднее значение потенциальной энергии приблизи-
тельно такое же, как и в случае, приведенном на рис. 1.14, б, тогда
Рис. 1.14. Изменение волновых функций при изменении рас-
стояния между квантовыми ямами
58
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
как среднее значение кинетической энергии меньше, так как мень-
ше среднее значение |cPP/Jx|2.. В предельном случае (рис. 1.15),
когда ширина барьера между ямами равна нулю, т. е. ямы только
что соприкоснулись, Т -функция (рис. 1.15, а) есть не что иное,
как волновая функция основного состояния для квантовой ямы
шириной 2W. Поскольку^ согласно (1.4.2) и (1.4.7), энергия глубо-
ких состояний Е ~ En(w (w2- ширина рассматриваемой ямы), со-
ответствующее значение Е составит примерно 1/4 энергии Е для
квантовых ям, показанных на рис. 1.13. Аналогично волновая функ-
ция, приведенная на рис. 1.15, б, есть волновая функция с п-2
для КЯ шириной 2W. Таким образом, значение Е, связанное с этой
функцией Т, будет примерно такое же, что и Е для волновой
функции на рис. 1.13, так как п увеличилось в два раза (равенство
будет точным для КЯ с бесконечно высокими стенками).
Зависимость энергии для этих двух состояний от расстояния L
между КЯ показана на рис. 1.16. Для обоих состояний исходным
является значение энергии Ех при L - со (Е} - энергия частицы в
состоянии п = 1 для прямоугольной КЯ конечной глубины). Из
рис. 1.16 следует также, что при любом значении L уровень
соответствующий изолированной квантовой яме, расщепляет-
ся на два уровня (образуется дублет), причем это расщепление
растет с уменьшением расстояния между КЯ. При этом, если
частица находится в состоянии с более низкой энергией, то волно-
вые функции в обеих КЯ оказываются в одной фазе, если частица
находится во втором состоянии, то волновые функции оказываются
Рис. 1.16. Зависимости энергии от L
для симметричного (а) и антисиммет-
ричного (б) состояний в связанных
квантовых ямах
Рис. 1 15. Волновые функ-
ции для предельного слу-
чая, когда барьер только
что исчез
1.9. Структура со сдвоенной квантовой ямой
59
в противоположных фазах. Отметим,
что расщепление уровней во взаимо-
действующих квантовых ямах анало-
гично расщеплению резонансных час-
тот в связанных резонансных контурах.
Рассмотрим более подробно энерге-
тический спектр частицы в системе, со-
стоящей из двух квантовых ям, разде-
ленных S-образным барьером (рис. 1.17).
Распределение потенциала можно запи-
сать в виде
Рис. 1.17. Энергетическая диа-
грамма КЯ с 8-образным
потенциалом
[/(*)=
С/(х) = аб(х) при |х| < РИ,
U (х) = оо при |х| > W,
причем а>0.
Для | х| < W состояния частицы в этом потенциале описываются
уравнением Шредингера
й2 J2vP
-------- + а5(х)Т = £Т. (1.9.1)
2т dx2 ' '
В интервале 0 < х < W решение (1.9.1) имеет вид
Т] = Л] exp(zXx) + В} exp(-zXx), (1-9.2)
а для -W < х < О
Т2 = А2 exp(zXx) + В2 exp(-zXx), (1.9.3)
здесь К = ^(2m/h2)E.
С учетом граничных условий в точках |х| = W получаем
Т] = 2iB{ exp(-z'X'lK)sin[X' (W - х)]; (1-9.4)
Т2 = 2iB2 exp(zX7K)sin[.K' (W + x)] . (1-9.5)
При наличии 5-образного потенциала граничные условия в
точке х = 0 принимают вид
Т, (0)=Ч-2 (0), +«4 (0) -Ч"2 (0) =^аТ(0).
60 Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ.
Отсюда получаем выражение, определяющее спектр четных раз-
решенных состояний в данной системе,
КЪ2
та
= -tg(KW).
(1.9.6)
Анализируя (1.9.6) в пределе а »-и а »—К (последнее
mW т
неравенство ограничивает рассмотрение состояний с достаточно
низкой энергией), для четных (симметричных) состояний получим
Еп = Епх
t 2h2
maW
(1.9.7)
здесь Епх - энергия п -го уровня в БПЯ шириной W, найденная по
формуле (1.4.7), п = 1,2, 3,...
Для нечетных состояний волновая функция при х = 0 должна
равняться нулю. Согласно (1.9.4) и (1.9.5) данное условие выпол-
няется, если
KW = mt.
При этом энергия частицы, находящейся в нечетном (антисим-
метричном) состоянии, будет определяться выражением
Е^Епх, (1.9.8)
т. е. в нечетном состоянии частица как бы «не чувствует» наличия
3-образного потенциала в точке х = 0 симметричной системы.
Сопоставляя (1.9.7) и (1.9.8), заметим, что Е~ >Е„ Именно та-
кое расположение состояний и вытекало из предшествующего рас-
смотрения подобной системы.
1.10. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ МНОГОБАРЬЕРНЫЕ
КВАНТОВЫЕ СТРУКТУРЫ
При исследовании поведения частицы (электрона) в системах,
содержащих изолированные КЯ и потенциальные барьеры, уста-
новлено, что при туннелировании через одиночный потенциаль-
ный барьер коэффициент прохождения D всегда будет меньше
единицы. Казалось бы, что при туннелировании через два и более
потенциальных барьеров общий коэффициент прохождения дол-
1.10. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры
61
жен стать еще меньше. Однако это
не всегда так и в ряде случаев ко-
эффициент прохождения через
многобарьерную систему может
стать больше коэффициента
прохождения через любой барьер
этой системы. Данный эффект
связан с интерференцией волн де
Бройля и также может служить
примером проявления размерных Рис ] ]8 Энергетический про-
эффектов. филь двухбарьерной квантовой
Рассмотрим прохождение час- структуры
тицы через систему из двух потен-
циальных барьеров (рис. 1.18). Будем полагать, что потенциальная
энергия системы не зависит от времени. Тогда состояния движения
частицы через эту систему могут быть найдены из решения одно-
мерного уравнения Шредингера (1.1.2). Для энергий, соответст-
вующих туннелированию частицы через оба барьера, решения
(1.1.2) в областях 1,3 и 5 можно записать в виде
(x)=A, exp(iKix) + Д exp(-zA?zx), i = 1,3,5, (1.10.1)
здесь Ki = д/(2ли/Й2)£,- (полагаем, что масса частицы во всех об-
ластях одинакова).
Для областей2и4
(*) = 4 ехр(р,х) + В, ехр(-р,х),
(1.10.2)
* = 2’4’
Подставляя (1.10.1) и (1.10.2) в (1.1.10), коэффициент прохож-
дения D представим в виде
к' И12'
(1.10.3)
Используя в качестве граничных условий равенства волновых
функций и их первых производных на каждой границе, с учетом
(1.10.3) получим
D = —-{[F] cos^lF) + F2 sm(K3Wtf +
Ki
62
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
+ [F3 cos(K3PF ) + F4 sin(K3W)]2 Г1,
где
(1.10.4)
Л =
l+^|ch(p2Z2)ch(P4Z4)+ sh(p2Z2)Sh(p4Z4),
Л) J к Р2 Л-1 Р4)
F2=f^-^Vh(P2Z2)ch(P4A) + f-|£-^i>|ch(P2Z2)Sh(P44
^К1Л3 Р2 ) ^Л3 AjP4 )
F3=f4-^sh(P2^)ch(P4A4) + f^--^-lch(p2Z2)sh(p4Z4),
Р2 ) кЛ1 Р4 )
( Р2Р4
*1
|sh(p2Z2)sh(p4Z4)-1^-+^- ch(p2Z2)ch(p4Z4).
Р2Р4 ) Л3 7
(1.10.5)
Аналогично можно получить выражение для расчета коэффи-
циента прохождения двухбарьерной структуры, если энергия час-
тицы соответствует интервалу, в котором частица проходит под
первым барьером, но над вторым. Тогда коэффициент прохожде-
ния удается представить в виде (1.10.4), где
Fi=l1 + ^lch(₽2^)“s(F^4)-|^-^-$-|sh(P2£2)sin(/:4£4),
\ Д-1 J k Р2 А1 А4 J
F2=f^"^sh(₽2^)cos(F4£4)"f^’+TF’>lch(₽2£2)sin(F4£4)’
кЛ-|Л-з Р2 у к Л3 AjA^ j
F3=fT-^sh(₽2i2)cos(^4)-f^- + ^-Vh(p2Z2)Sin(/:4£4),
\Л1 Р2/ кК1 Л4 7
F4=-(~^r-^i>|sh(p2z2)Sin(/:4L4)-f^-+^->|ch(p2z2)cos(^4£4).
kAjAj Р2А4 j к Л] A3 J
(1.10.6)
Отметим, что (1.10.4) соответствует выражению для расчета
прохождения электромагнитных волн через интеферометр Фабри -
Перо (рис. 1.19). Причем из геометрической оптики известно, что
если волна, отразившись от пластины Р2, приходит на поверхность
пластины Pi с изменением фазы на 2-n.N, где N - целое число по-
1.10. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры
63
луволн, то происходит усиление
прошедшей волны вследствие
интерференции со следующей
приходящей волной. Это озна-
чает, что для некоторых длин
волн, определяемых расстоя-
нием между пластинами, коэф-
фициент прозрачности системы
равен единице.
В случае симметричной двух-
барьерной структуры, когда
£,=£3=£5 = £ и U2=U4 = U,
выражение (1.10.4) существенно
упрощается и принимает вид
Рис. 1.19. Схема интерферометра
Фабри-Перро:
5 - источник света, Oi и Ог - линзы, Pi и Рг -
плоские пластины, Э - угол падения и отра-
жения
Р = ]1 +
(К2 +Р2 )2 sh2 (pZ)[2#pch(pZ) cos(lW)-(#2 -ft2 )sh(pZ) sin(lW)]2
4tf4p4
(1.10.7)
где и p=
V Й2 V Й2 ’
Данное выражение соответствует формуле Эйри [12]. Анализ
(1.10.7) показывает, что в случае симметричной двухбарьерной
квантовой структуры (ДБКС) коэффициент прохождения оказыва-
ется равным единице, если
1
П —
П
0,5
= cth(pZ)ctg(A:W/),
(1.10.8)
здесь г| = АГ/Р. Это выражение определяет значения энергии час-
тицы, для которых наступает «резонансное» прохождение ДБКС и
отражение полностью отсутствует.
Как уже отмечалось, этот эффект является следствием интер-
ференции волн де Бройля, отражающихся от каждой границы раз-
дела. Конечно, для полного подавления отражения от структуры
(7? = 0, D = 1) необходимо выполнение определенных фазовых и
амплитудных соотношений для интерферирующих волн. При этом
фазовые соотношения определяются энергией частицы и геометриче-
скими размерами барьеров и КЯ, а амплитудные - отношением E/Uq .
Состояния в КЯ, соответствующие значениям энергии, для ко-
торых D = 1, называют резонансными, а когда нужно подчеркнуть
64 Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ.
возможность ухода частицы из КЯ туннелированием через барье-
ры, их еще называют квазистационарными или метастабилъны-
ми. Энергетическое положение квазистационарных состояний оп-
ределяется шириной КЯ и высотой барьеров. Зависимость же их
энергетического положения от толщины барьеров L слабая. Тол-
щина барьеров, в первую очередь, определяет «ширину» квазиста-
ционарных уровней, связанную с конечной вероятностью ухода
частицы из КЯ.
Полагая РА —> , выражение (1.10.8) можно представить в виде
(1.4.2). Таким образом, в случае непроницаемых барьеров уравне-
ние (1.10.8) определяет энергетическое положение стационарных
состояний в КЯ.
На рис. 1.20 представлена зависимость коэффициента прохо-
ждения D от энергии для симметричной двухбарьерной кванто-
вой структуры, рассчитанная по (1.10.7) с L = W = 3,0 нм, т = т0 и
UG = 0,1 эВ. Согласно расчетам в данном случае наблюдаются два
резонансных пика, в максимуме которых D -1. Полуширина (ши-
рина пика на полувысоте) первого пика меньше 0,1 мэВ, полушири-
на второго пика - на порядок больше, что связано с повышением
вероятности туннелирования частицы из КЯ при увеличении энер-
гии частицы. Здесь же показана зависимость коэффициента прохо-
ждения D от энергии частицы для трехбарьерной структуры при
тех же параметрах ям и барьеров. В случае трехбарьерной структу-
ры получить простое аналитическое выражение типа (1.10.7) не
удается. Поэтому проводилось численное решение уравнения Шре-
дингера с учетом «сшивания» волновых функций и их производных на
шести границах.
Из рис. 1.20 видно, что в данном масштабе положение первого пи-
ка для трех- и двухбарьерной структур совпало, а второй пик замет-
но расщепился на два по обе стороны от пика, соответствующего
двухбарьерной структуре.
На рис. 1.21 в другом масштабе представлены зависимости D
от энергии для первого пика трехбарьерной структуры при различ-
ных значениях ширины среднего барьера (параметры внешних
барьеров и квантовых ям соответствуют предыдущему случаю).
Видно значительное влияние ширины среднего барьера на коэф-
фициент прохождения. Согласно расчетам, при уменьшении тол-
щины среднего барьера коэффициент D сначала возрастает, со-
храняя форму резонансного пика, затем достигает единицы, когда
толщина среднего барьера примерно в два раза больше толщин
внешних барьеров, а затем расщепляется на два пика, которые удаля-
ются друг от друга (отталкиваются) по мере уменьшения толщины
1.10. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры
65
Рис. 1.20. Зависимость коэффициента прохождения
D через двух- и трехбарьерную структуры от энер-
гии частицы; на вставке показан потенциальный
профиль структуры
среднего барьера. При этом провал между пиками углубляется. Та-
кое поведение соответствует изменению дублетного расщепления
в системе из КЯ, разделенных туннельно-прозрачным барьером.
Заметим, что крайние пики на рис. 1.21 соответствуют первому
пику на рис. 1.20. При этом из-за изменения масштаба расщепле-
ние не проявляется (пики сливаются).
Рис. 1.21. Зависимости коэффициента прохождения D от
энергии для трехбарьерной структуры:
1 -d=2.5dt,2-d=2A5di,3-d= \ .9dt,4-d= 1.5<4, здесь d-ширина
среднего барьера, dt~ ширина внешних барьеров
3 Основы наноэлектроники
66
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Когда энергия частицы превосходит высоту каждого из потенци-
альных барьеров двухбарьерной квантовой структуры, приведенной
на рис. 1.18 (E>U2, надбарьерное прохождение), интерфе-
ренция отраженных (от скачков потенциала) и падающих волн де
Бройля будет приводить к немонотонной зависимости коэффициен-
та прохождения от энергии частицы. Выражение для расчета коэф-
фициента прохождения можно представить в виде (1.10.4) с
F, = |]+-^-|cos(K2£2)cos(K4£4)-(-^- + -^-^|sin(K2L2)sin(K4L4),
V *4 ) \—2 *^\ ^4 )
~Г2 = (+ тА sin ) cos ) + + СО8(К2^2)sin
-F3 = (sin (K2L2) cos(K4£4 ) +1 | cos (^2 £2) sin (^4£4),
= f sin (K2 ) sin (^4Z4 ) - (cos ( K2 L2 ) cos (K4L4 )
^Л|Л3 Л2К4 J ^Л| A3 J
(1.10.9)
где к2 4 = j-^y-(^2,4-l “^2,4) •
В случае симметричной двухбарьерной структуры, когда Ех =
= Е3 = Е5 = Е , U2=U4~U и L2 =L4 =L , выражение (1.10.4) при-
нимает вид
(К2 -К22)2 sin2 (K2L) Т
*----------5—?---------к (
4/С2/С22 J
(1.10.10)
где = К2 =J~(E-C7) ;
V п V п
[(К2 +K2)sm(K2L)sm(KW)-2KK2 cos(K2L)cos(KW)] 2
(1.10.11)
Согласно (1.10.10) при изменении энергии частицы коэффициент
прохождения будет равен единице всякий раз, когда sin(K2L) или R
будут равняться нулю.
1.10. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры
67
Зависимость коэффициента прохождения D от энергии части-
цы, рассчитанная по (1.10.10), показана на рис. 1.22 (кривая 7).
Расчет проводился для L= 2 нм, W= 5 нм, т= 9.1-10’31 кг и
U = 0.2 эВ . По оси х отложена энергия в относительных единицах
X = Е/Eq , где Ео - энергия первого уровня в БПЯ шириной W .
Рис. 1.22. Зависимость коэффициента прохождения D от энер-
гии для симметричной двухбарьерной структуры (кривая 7);
зависимость, рассчитанная по (1.10.10) при Я = 1 (кривая 2);
зависимость вида 1/(1 + Я) (кривая 3)
Заметим, что при R = 1 (1.10.10) совпадает с выражением
(1.3.4) для расчета коэффициента прохождения частицы над оди-
ночным симметричным потенциальным барьером.
Таким образом, условие sin(/C2T) = 0 соответствует случаю,
когда частица проходит над каждым барьером с коэффициентом
прохождения, равным единице, и не возникает отраженных волн
ни от первого, ни от второго барьера. При этом в области между
барьерами концентрация частиц равна концентрации частиц с дан-
ной энергией, испускаемых источником. Следовательно, частицы с
данной энергией могут накапливаться только в области барьеров.
Согласно(1.10.11)условие R = 0 выполняется, если
+ К2
2 = ctg(K2£)-ctg(/CF). (1.10.12)
2
При этом коэффициент прохождения над каждым барьером по от-
дельности не равен единице. Однако за счет накопления частиц в
68
Глаза 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
области между барьерами полный поток частиц, прошедших вто-
рой барьер, будет равен потоку частиц, испускаемых источником, и
будет подавлено отражение частиц, налетающих на первый барьер.
На рис. 1.23 приведены зависимости распределения отношения
концентрации частиц в окрестности точки х к концентрации частиц
в падающей волне по межбарьерной области симметричной двух-
барьерной структуры. При расчетах, как и ранее, полагали, что
ширина барьеров L = 2 нм, ширина квантовой ямы W - 5 нм, вы-
сота барьеров Uo = 0,2 эВ (в относительных единицах 13,38).
Рис. 1.23. Распределение относительной концентрации
частиц по межбарьерной области симметричной двух-
барьерной структуры:
для X = 10,84; 15,5; 25,76; 20 (кривые 1-4 соответственно)
Кривая 1 на рис. 1.23 соответствует относительной энергии час-
тицы X = 10,84 - энергии наивысшего (четвертого) квазистацио-
нарного состояния в КЯ. При этом частица туннелирует под двумя
барьерами. Амплитуда кривой 1 на рисунке уменьшена в 10 раз по
сравнению с расчетной, т.е. в области между барьерами наблюда-
ется существенное возрастание концентрации частиц.
Кривая 2 соответствует энергии частицы Х = 15,5 (первое над-
барьерное резонансное состояние). Данная энергия отвечает усло-
вию R = 0, т.е. (1.10.12). В области между барьерами также накап-
ливаются частицы (Q > 1), однако значительно меньше, чем в
первом случае. Такое поведение объясняется резким увеличением
коэффициента прохождения области второго барьера с увеличени-
ем энергии частицы при переходе от подбарьерного туннелиро-
вания к надбарьерному прохождению. В результате для создания
1.11. Энергетический спектр сверхрешеток
69
одинаковых потоков частиц, прошедших через область второго
барьера при подбарьерном туннелировании и надбарьерном про-
хождении, в первом случае в области квантовой ямы необходимо
накопить больше частиц (т.е. увеличить поток частиц, падающих
на второй барьер), чем во втором.
Кривая 3 соответствует третьему надбарьерному резонансному
состоянию с энергией Х= 25,76. При данной энергии тоже выпол-
няется условие R = 0 и в области между барьерами накапливаются
частицы. Так как с увеличением энергии частицы коэффициент
прохождения через область второго барьера возрастает, накопле-
ние частиц становится еще менее выраженным.
Распределение относительной концентрации частиц с X = 20 по
межбарьерной области симметричной двухбарьерной структуры по-
казано кривой 4. Данная энергия почти соответствует энергии вто-
рого надбарьерного резонансного состояния и условию R = 1. По-
этому накопления частиц в этом случае практически не происходит.
1.11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЕРХРЕШЕТОК
Рассмотрим прохождение частиц в системе, состоящей из
большого числа тонких слоев двух или нескольких материалов,
чередующихся в одном направлении (см., например, рис. 1.29). Та-
кие системы называют сверхрешетками (СР). Реально период по-
вторения в таких системах составляет от единиц до десятков нано-
метров, что обычно меньше длины свободного пробега электронов,
но больше постоянной кристаллической решетки. Изменения по-
тенциала при переходе от одного слоя к другому также имеют пе-
риодический характер, сам же потенциал во многих случаях может
быть представлен системой чередующихся прямоугольных потен-
циальных барьеров и квантовых ям.
В одномерном приближении прохождение частиц через систе-
му чередующихся прямоугольных потенциальных барьеров может
быть рассмотрено в рамках модели Кронига - Пенни. В основу
этой модели положена правильная цепочка прямоугольных барье-
ров и КЯ (рис. 1.24). Период сверхрешетки d в этом случае равен
суммарной ширине квантовой ямы и барьера (W + L) .
Учитывая периодичность потенциала
U(x) = U(x + d) = U(x + 2d) = ...,
70
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Рис. 1.24. Одномерный периодический потенциал
Кронита - Пенни
решение уравнения Шредингера (1.1.2) следует искать в виде
функций Блоха
'P(x) = w(x)exp(iKx), (1.11.1)
где и(х) - амплитуда блоховской функции, периодичная с перио-
дом сверхрешетки d .
Подставляя (1.11.1) в (1.1.2), получим уравнения для функции и (х)
~ + 21К— + (к2-К2\и = Ъ для 0<x<W; (1.11.2а)
dx2 dx >
~ + 2iK—-(p2 + K2L = 0 для -£<х<0, (1.11.26)
dx2 dx \ >
здесь Кх = yj(2m/h2)E - волновой вектор частицы в области КЯ;
Е - энергия частицы (0 < Е < (70),
fi = ^(U0-E) (1.11.3)
- волновой вектор частицы в области потенциального барьера.
Решения уравнений (1.11.2а) и (1.11.26) имеют вид:
для 0<x<W
и — Яехр[г(Kt -К')х] + Вехр[-г(К1 + К)х]; (1.11.4)
для -Z < х < 0
и = Cexp[i(p-iK)x] + Z)exp[-(p + /X')xJ. (1.11.5)
Константы А, В, С и D должны выбираться так, чтобы и и
du/dx были непрерывны при х = 0 и х = Ж и выполнялось условие
периодичности, согласно которому значения и и du/dx в точке
1.11. Энергетический спектр сверхрешеток
71
х - W должны быть равны значениям и и du/dx в точке х = -L.
Это приведет к системе линейных однородных уравнений:
A+B-C+D,
i(Kx-K)A-i(Kx + K)B = ($-iK)C-($+iK)D,
exp [i - K) W] A + exp [-/ + K) w] В =
= exp[-(P-z^)Z,]C + exp[(P + z^)z]Z>, (1.11.6)
i(Kx -K)exp[i(^-K)W]A-i(Kx + K)exp[-i(Kx +K)W]B =
- -(P - iK)exp[-(P - iK)L\C + (P + iK) exp[(P + iK) L]B.
Система (1.11.6) имеет решение, если ее детерминант, состав-
ленный из коэффициентов при А, В, С и D, равен нулю. С уче-
том этого получим, что разрешенные значения волнового вектора
К (а значит, и энергия Е = h2K2 / (2ли)) должны удовлетворять
следующему дисперсионному соотношению:
cos(^J) = cos(^FF)ch(pZ,) - 0.5[ц -1 /T]]sin(^1lT)5h(pZ), (1.11.7)
где т) = Л7г/р.
Согласно (1.11.7) энергетический спектр СР для 0<E<Uo
разбивается на зоны разрешенных и запрещенных значений энер-
гии. Разрешенным зонам соответствуют такие значения Е, для ко-
торых значение правой части (1.11.7) лежит в интервале от -1 до
+1 и К принимает вещественные значения. Области Е, которым
не соответствуют вещественные К, называются запрещенными
зонами или щелями, так как частицы с такими энергиям согласно
(1.11.1) не могут распространяться по сверхрешетке на значитель-
ные расстояния.
Если сделать барьеры достаточно широкими (L -> оо ), то при-
дем к случаю с изолированными КЯ, для которых разрешены толь-
ко дискретные значения энергии. Согласно (1.11.7) при L -> оо для
определения разрешенных значений К получаем соотношение
0.5^n-^ = ctg(/C^), (1.11.8)
которое совпадает с (1.4.2) для симметричной потенциальной ямы.
74
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
1.12. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
СВЕРХРЕШЕТОК
С момента появления идеи создания искусственных сверхре-
шеток, высказанной Л. В. Келдышем в 1962 г. [15] и возрожденной
L. Esaki и R. Tsu в 1970 г., полупроводниковые сверхрешетки пред-
ставляют собой одну из наиболее развивающихся областей физики
твердого тела. Как уже отмечалось, термин «сверхрешетка»
используют для периодических структур, состоящих из тонких
слоев полупроводников, повторяющихся в одном направлении с
периодом, меньшим длины свободного пробега электронов. В ос-
новном различают два типа искусственных сверхрешеток: компо-
зиционные (КСР), состоящие из периодической последовательно-
сти полупроводников разного химического состава, и
легированные (ЛСР), представляющие собой последовательность
слоев п- и /?-типа одного материала с возможными беспримесными
прослойками между ними (лг/л-кристаллы). Использование этих
двух подходов позволило создать большое число различных сверх-
решеток. Существующее разнообразие полупроводниковых СР
сделало необходимой их классификацию. В данном разделе мы
рассмотрим классификацию полупроводниковых сверхрешеток, в
основном следуя [13].
Потенциальный профиль в КСР создается за счет периоди-
ческого изменения ширины энергетической запрещенной зоны в
направлении роста кристалла; в ЛСР он обусловлен электро-
статическим потенциалом ионизированных примесей.
Расположение краев энергетических зон различных материалов
обычно сравнивают, используя в качестве единого начала отсчета
уровень вакуума. При этом каждый из рассматриваемых материа-
лов характеризуют величиной электронного сродства о, которое
определяет энергию, требуемую для переноса электрона со дна зо-
ны проводимости материала на уровень вакуума. Поэтому в мате-
риале с большим значением электронного сродства край зоны про-
водимости лежит ниже по энергии, чем в материале с меньшим
электронным сродством.
Использование общего начала отсчета энергии позволяет раз-
делить композиционные сверхрешетки на три типа (рис. 1.25).
В сверхрешетках типа I разрывы зоны проводимости АЕС и
валентной зоны АЕУ имеют противоположные знаки, а запре-
щенные зоны Egi полностью перекрываются. Такие сверхрешетки
называют также контравариантпным композиционными сверхре-
шетками.
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
75
в
Рис. 1.25. Расположение зоны проводимости и валентной зоны от-
носительно уровня вакуума (штриховая линия) в отдельных некон-
тактирующих материалах (слева) и КСР различных типов (справа):
а - СР типа I, б - СР типа П, в - политипная СР, по оси абсцисс отложена простран-
ственная координата, по оси ординат - энергия [13]
Характерной чертой данных сверхрешеток является то, что уз-
козонный слой, зажатый между широкозонными слоями, образует
две прямоугольные квантовые ямы - одну для электронов, а дру-
гую для дырок. Глубина этих потенциальных ям зависит от того,
какая часть разности ширин запрещенной зоны A£g = Eg2 - Egi
72
Глааа 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
В промежуточной области L, когда взаимодействие между КЯ
мало, выражение (1.11.7) также можно упростить [9]. Обозначив
через Еп дискретные значения энергии, соответствующие (1.11.8),
а через F(E) - правую часть (1.11.7), разложим F(E)b ряд в окре-
стности Еп (если PZ велико, то F(E) будет меньше единицы
лишь вблизи Еп). Ограничиваясь первым членом разложения,
имеем
E = E„+Sn+2tncos(Kd), (1.11.9)
о ^^dE IdE
где S =-F(En)—; tn -------; значения производных вычисля-
ем 2 dF
ются при Е-Еп.
Выражение (1.11.9) соответствует приближению сильной связи
для взаимодействующих квантовых ям, которые в отсутствие
взаимодействия имели бы связанные состояния, определяемые со-
отношением (1.11.8).
Согласно (1.11.9) взаимодействие между ямами проявляется
двояким образом. Во-первых, связанное состояние Е„ сдвигается
на величину Sn. Во-вторых, в системе из N невзаимодействующих
КЯуровень Е„ будет N-кратно вырожден. Взаимодействие снима-
ет это вырождение и создает зону конечной ширины 4tn.
Ширина энергетических зон в сверхрешетке оказывается зна-
чительно меньше ширины энергетических зон материалов слоев,
образующих сверхрешетки. Чтобы подчеркнуть это, энергетиче-
ские зоны в СР называют мини-зонами. Анализ (1.11.7) показывает,
что ширина разрешенных мини-зон растет с увеличением взаимо-
действия между квантовыми ямами (т. е. с уменьшением высоты и
ширины барьеров) и порядкового номера мини-зоны.
В реальных системах электрон может двигаться в трех направ-
лениях. Обратим внимание на одну особенность энергетического
спектра сверхрешеток, проявляющуюся при учете трехмерного ха-
рактера движения электрона.
Возьмем СР, в которой движение в направлении х происходит
через систему потенциальных барьеров (см. рис. 1.24 ), а в направ-
лениях у и z (вдоль слоев сверхрешетки) движение частицы являет-
ся свободным. При этом будем следовать работе [13]. Рассмотрим
электрон, имеющий в слое А энергию ЕА и волновой вектор К.А с
компонентами Kz, Ку и Кх. Пусть, переходя в слой В, тот же
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
73
электрон имеет энергию Ев, равную ЕА в силу закона сохранения
энергии, и волновой вектор Кв с компонентами Kz, Ку и К2. Из
непрерывности волновой функции на границе слоев вытекает
сохранение у- и z-компонент волнового вектора, т. е. KZ=KZ и
Ку=Ку. При этом, используя закон сохранения энергии, получим
( 1.11.10)
где К\Х = Kz +Ку; С7ср - потенциал сверхрешетки. Так как
*1 =
(1.11.11)
из (1.11.10) имеем
2тв
й2
Ех ~^ср+ЕП
(1.11.12)
где Ех— энергия, соответствующая х-компоненте волнового век-
Й2!^2
тора в области А (т. е. Кх), а Еп --- энергия поперечного
движения в слое А.
Сопоставляя (1.11.3) и (1.11.12), видим, что выражение
[С/ср в (1.11.12) играет роль эффективного по-
тенциала. Причем из-за несовпадения компонент эффективных
масс контактирующих веществ эффективный потенциал за-
висит от Еп (т. е. от Kz и Ку). Последнее, как отмечено в
[14], может даже приводить к изменению знака эффективного
потенциала, т. е. к превращению потенциального барьера в
яму, и наоборот. Из (1.11.12), в частности, следует, что это про-
изойдет при ЕХкр =[17cp-Еп()-т*А1тпв')\, причем в зависимости
от величины т*А1т*в величина ЕХкр может быть как больше, так и
меньше Um.
ср
76
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
приходится на разрыв АЕС, а какая - на разрыв AEV . Например,
наиболее используемые в настоящее время разрывы зон гетеро-
переходов GaAs- Al^Ga^As составляют 0,6AEg для АЕС и
0,4AEg - для АЕГ.
В сверхрешетках типа II изменения краев зоны проводимо-
сти и валентной зоны имеют одинаковый знак, а запрещенные
зоны перекрываются лишь частично либо не перекрываются
вообще (ковариантная сверхрешетка).
Характерной чертой таких сверхрешеток является пространст-
венное разделение носителей, локализованных в квантовых ямах.
Электроны сосредоточены в квантовых ямах, образованных одним
полупроводником, а дырки - в квантовых ямах, образованных дру-
гим полупроводником. Отметим, что в этих многослойных систе-
л1Йх возникает «непрямая в реальном пространстве запрещенная
зона». В качестве примера на рис. 1.26 показаны зонные диаграм-
мы сверхрешеток такого типа на основе систем InAs-GaSb и
In^Ga^As - GaSb^As^ .
Политипная сверхрешетка (см. рис. 1.25, в) представляет
собой трехкомпонентную систему, в которой слои, образую-
щие сверхрешетки типа II, дополняются широкозонным мате-
риалом, создающим потенциальные барьеры как для электронов,
так и для дырок. Пример энергетических диаграмм двух типов по-
литипных сверхрешеток представлен на рис. 1.27. Такие решетки
конструируются из базовых многокомпонентных систем типа ВАС,
АВСА, АСВСА и т.д., где А означает AlSb, В - GaSb и С- InAs .
Термином «легированные СР» принято называть периодическую
последовательность слоев п- и /2-типа одного и того же полупровод-
ника. Результирующее распределение заряда в этом случае создает
совокупность параболических потенциальных ям (рис. 1.28). Потен-
циал объемного заряда модулирует края зон исходного материала
таким образом, что электроны и дырки оказываются пространст-
венно разделенными. Причем соответствующим выбором парамет-
ров структуры (уровней легирования и толщин слоев) это разделе-
ние можно сделать практически полным. В свою очередь
пространственное разнесение минимума зоны проводимости и
максимума валентной зоны кардинально сказывается на парамет-
рах системы. Например, из-за малого перекрытия электронных и
дырочных состояний времена электронно-дырочной рекомбинации
могут на много порядков превосходить свои значения в однород-
ном полупроводнике.
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
77
Рис. 1.26. Зависимость положения краев зон относительно уровня вакуума
в твердых растворах InbxGaxAs и GaSb^As от их состава (а) и зонные
диаграммы сверхрешеток InAs - GaSb (б) и In1_xGaxAs - GaSb, ^As^ (в);
заштрихованные области соответствуют энергиям подзон и участкам
пространства, где концентрируются носители заряда; по оси абсцисс
отложена пространственная координата [13]
Особенностью легированных сверхрешеток является возмож-
ность использования для их создания любого полупроводника,
допускающего легирование как донорами, так и акцепторами.
Другое преимущество легированных сверхрешеток связано с их
структурным совершенством, так как в них отсутствуют гетеро-
границы, с которыми связаны возможности разупорядочения со-
става или появления напряжений несоответствия. И, наконец, в
ЛСР путем подбора уровней легирования и толщин слоев эффек-
тивной ширине запрещенной зоны можно придавать практически
любое значение от нуля до ширины запрещенной зоны исходного
материала.
78
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
L
AlSb GaSb InAs С А ВС А В С С А В А С А
А В С
Рис. 1.27. Энергия краев зон AlSb по отношению к GaSb
и InAs (п) и энергетические диаграммы двух типов поли-
типных сверхрешеток (б); заштрихованные области соот-
ветствуют запрещенным зонам [13]
а
Рис. 1.28. Схема расположения слоев (а) и координатная зависи-
мость зонной диаграммы (б) для легированных сверхрешеток
GaAs; стрелка на левом рисунке показывает направление роста
слоев [13]
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
79
Возможности легирования отдельных слоев используются и
для изменения свойств композиционных сверхрешеток. При этом
обычно осуществляют легирование донорной примесью широко-
зонного материала (материала барьеров). Поскольку край зоны
проводимости узкозонного материала (дно КЯ) в этом случае ока-
зывается ниже по энергии, чем донорные уровни в барьерах, элек-
троны с донорных состояний могут переходить в нелегирован-
ные слои, пространственно разделяясь с породившими их
ионизированными донорами. Такой пространственный переход
подвижных носителей в сверхрешетках с модулированным легиро-
ванием создает в КСР области объемного заряда чередующегося
знака, что вызывает периодические изгибы краев зон (рис. 1.29) и
трансформацию прямоугольных квантовых ям в КЯ параболическо-
го типа. Кроме того, подвижные носители заряда, перешедшие в
квантовую яму, могут двигаться в них параллельно гетерогранице,
испытывая слабое рассеивание на ионизованных примесях из-за
пространственного разделения рассеивающих центров и канала, в
котором движутся подвижные носители заряда.
а
Рис. 1.29. Схема расположения слоев (а) и координатная зависи-
мость зонной диаграммы для сверхрешеток z-GaAs-n+, AljGa^As
с модулированным легированием (б); изгибы зон вблизи гетеро-
границ создаются пространственными зарядами, возникающими
при переходе электронов с ионизованных доноров в барьерах
z^-A^Ga^As в потенциальную яму i-GaAs [13]
80
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
В сверхрешетке с модулированным легированием можно дос-
тичь еще большего увеличения подвижности электронов, если вве-
сти тонкие нелегированные широкозонные прослойки толщиной
5... 10 нм, т. е. еще больше разнести рассеивающие центры и под-
вижные носители. Этот эффект будет наиболее выражен при низких
температурах, когда ослаблены процессы фононного рассеяния.
На рис. 1.30 показан еще один тип легированных КСР, об-
ладающих перестраиваемыми электронными свойствами (как ЛСР)
и одновременно существенно увеличенными подвижностями элек-
тронов и дырок в квантовых ямах (как сверхрешетки с модулиро-
ванным легированием).
Рис. 1.30. Расположение слоев (слева) и координатная зависи-
мость зонной диаграммы (справа) для легированной сверхрешетки
GaAs - AlxGa, xAs; период СР состоит из десяти отдельных слоев;
стрелка на левом рисунке показывает направление роста [13]
Основная идея создания такой легированной сверхрешетки
состоит в периодическом включении специально нелегированных
z-слоев. При этом сверхтонкие нелегированные слои z-GaAs оказы-
ваются зажатыми между чередующимися легированными и- и
//-слоями Al^Ga^As. Эффект пространственного разделения пе-
решедших в слои GaAs свободных носителей заряда и породивших
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
81
Cd i.AMnxTe/Cdi-vMn vTe HgTe/CdTe Si/SiAGe|.
Рис. 1.31. Общая классификация полупроводниковых
сверхрешеток
82
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
их ионизованных примесей усиливается за счет введения тонких
нелегированных прослоек i-Al^Ga^As на гетерограницах. При
этом оказывается, что периодический ход потенциала обычной ле-
гированной сверхрешетки периодически прерывается потенциаль-
ными ямами, образованными материалом с меньшей шириной за-
прещенной зоны.
На рис. 1.31 дана общая классификация сверхрешеток по струк-
турным признакам, относительному расположению краев зон на ге-
терограницах, материалам слоев, образующих сверхрешетку, и сте-
пени рассогласования постоянных решетки на гетерограницах [13].
Следует отметить, что в 1977 году В.А. Петровым предложен
принципиально новый способ создания сверхрешеток в двумер-
ных системах путем ориентации плоскости квантовых ям
(пленки или инверсионного слоя в МДП-структуре) вдоль кри-
сталлографических плоскостей с высокими индексами Миллера
(ориентационные вицинальные сверхрешетки) [16, 17].
Возникающий при этом в плоскости квантовой ямы новый ми-
нимальный период трансляции А » а (а - постоянная решетки)
(рис. 1.32) приводит к появлению в таких системах новых границ
зон Бриллюэна и мини-щелей в энергетическом спектре носителей
заряда. Теория, связывающая положения мини-щелей с ориентаци-
ей вицинальных поверхностей для сверхрешеток на основе много-
долинных полупроводников, развита в [18].
Рис. 1.32. Схема возникновения дополнительного
периода трансляции А, а также системы террас и
ступеней на поверхностях с высокими кристалло-
графическими индексами:
• - атомы в квадратной решетке
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
83
Помимо сверхрешеток, у которых слои разных материалов че-
редуются в направлении роста (перпендикулярно к поверхности), в
настоящее время уже созданы латеральные сверхрешетки, чередо-
вание слоев у которых происходит в направлении, параллельном
поверхности [19,20].
Если к началу 80-х годов наноэлектронные системы создава-
лись главным образом на основе изоморфных (т. е. согласованных
по параметру решетки) гетероструктур Al^Ga^As/GaAs (сейчас к
ним добавились гетероструктуры Ino.52Alo.4sAs/Ino.52Gao.47As/
Ino.52Alo.48As на подложках InP), то в дальнейшем успехи техноло-
гов позволили получать псевдоморфные напряженные гетеро-
системы (например, AlxGai_xAs/InyGai_yAs/GaAs с х = 0,2...0,25 и
у = 0,15...0,22) и метаморфные (метастабильные изоморфные)
(например, InxAl| _xAs/ InyGabyAs с содержанием In до 0,6).
Исследования псевдоморфных гетероструктур продемонстриро-
вали ряд их преимуществ над гетероструктурами AlxGa]_xAs/GaAs,
включая более высокую концентрацию двумерного электронного
газа у гетерограницы (за счет увеличения высоты потенциальных
барьеров), большее значение подвижности 2D электронов при
300 К (за счет меньшей эффективной массы электронов в InGaAs по
сравнению с GaAs) и меньшую концентрацию глубоких DX-центров
в слоях H-AlxGai_xAs вследствие возможности формирования слоев
с х < 0,2 [21]. Однако из-за сильного несоответствия пиромет-
ров решетки InyGa^yAs и GaAs мольная доля In, у и толщина L
слоя InyGai~yAs должны быть всегда ниже некоторых критиче-
ских значений (укр « 0,25... 0,3 и Z45« 20 нм).
В свою очередь метаморфный эпитаксиальный рост позво-
лил выращивать полупроводниковые структуры, сильно рассо-
гласованные по параметру решетки с подложкой. Это стало воз-
можным за счет формирования промежуточного буферного слоя
переменного состава, в котором изменяется параметр решетки. В
результате, например, удается выращивать метаморфные гетерост-
руктуры InjAli^As/In^Gaj^As на подложках GaAs с мольной долей
In, (х, у) в диапазоне 0 < х, у < 0,52.. .0,6.
Напряженные гетероструктуры представляют интерес и еще с
одной точки зрения. Так, в [22] был предложен и реализован под-
ход, позволяющий преобразовывать планарные напряженные гете-
роструктуры и сверхрешетки в трехмерные, имеющие радиальную
симметрию.
На рис. 1.33 схематично представлен процесс формирования
нанотрубок, иллюстрирующий суть данного подхода на примере
84
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ...
Подложка
1пР
GaAs IIIIIIIIIIIIIIIIIHHHI
GaAsAlnAs
а бег
Рис. 1.33. Процесс формирования нанотрубок:
а - слои InAs и GaAs с различными постоянными решеток в свободном состоянии;
б - сопряжение слоев с помощью эпитаксиального роста; в - изгиб двухслойной
пленки при ее освобождении от связи с подложкой; г - самосворачивание двухслойной
пленки в трубку при селективном удалении жертвенного слоя AlAs, дополнительно
выращенного между пленкой и подложкой
полупр» водниковой напряженной гетероструктуры InAs/GaAs, вы-
ращенной на подложке InP.
Постоянные решеток слоев GaAs и InAs значительно различают-
ся (величина рассогласования постоянных решеток Аа/а = 7,2%).
При эпитаксиальном росте этих слоев их решетки подстраиваются
под решетку InP подложки, слой InAs упруго сжимается вдоль по-
верхности, а слой GaAs растягивается (рис. 1.33, а, б). В результате
постоянные решеток выращенных напряженных слоев InAs и GaAs
отличаются от собственных.
При освобождении от связи с подложкой двухслойной пленки
InAs/GaAs межатомные силы будут стремиться увеличить расстоя-
ние между атомами в сжатом слое InAs и уменьшить их в растяну-
том слое GaAs. Возникающие в слоях InAs и GaAs силы межатом-
ного взаимодействия F] и F2 противоположно направлены и созда-
ют момент сил М, изгибающий двухслойную пленку (рис. 1.33, в).
В результате изначально плоская двухслойная пленка сворачивает-
ся в трубку-свиток (рис. 1.33, г). Витки в трубке плотно прилегают
друг к другу и в случае малых диаметров могут образовать моно-
кристаллическую стенку [23]. Диаметр трубок D определяется ве-
личиной рассогласования Ао/а постоянных решеток GaAs и
InGaAs, толщиной слоев d этих материалов (рис. 1.34) и для тол-
стых пленок описывается формулой D « da/ka.
Было также обнаружено, что узкие полоски InGaAs/GaAs, от-
деляемые от подложек GaAs (100) и InP (100), сворачиваются в
кольца при ориентации полосок вдоль направлений [100], а при
отклонении от этих направлений - в винтовые спирали. Шаг спи-
рали определяется углом отклонения полоски от направления
[100]. Эти особенности процесса сворачивания вызваны анизотро-
пией модуля Юнга слоев GaAs и InGaAs.
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
85
Экспериментально были
изготовлены нанотрубки с
диаметрами от 3 нм до 4 мкм
и спирали с диаметром 10 нм.
Для освобождения двух-
слойной пленки InAs/GaAs от
связи с подложкой использует-
ся селективное травление
вспомогательного слоя AlAs,
выращенного между пленкой
InAs/GaAs и подложкой (см.
рис. 1.33, г). Этот слой селек-
тивно удаляется в растворах на
основе плавиковой кислоты,
которые не травят GaAs и InAs
(селективность травителя 109).
Количество витков трубки
определяется временем трав-
ления AlAs и может достигать
40. Трубки остаются закреп-
ленными на подложке в месте,
где слой AlAs не был удален
Рис. 1.34. Фотографии нанотрубок
различного диаметра на основе слоев:
а, б - InGaAs/GaAs (каждый толщиной 4 моно-
слоя), D = 120 нм; в - InAs/GaAs (каждый тол-
щиной 2 монослоя), D = 18 нм; г - InAs/GaAs
(толщина InAs 2 монослоя, GaAs - 1 моно-
слой); D = 4 нм
(рис. 1.35). При использовании многослойных структур имеется
возможность получать массивы идентичных трубок, плотно по-
крывающих поверхность.
Предложенный подход изготовления свободных нанотрубок
InGaAs/GaAs может быть успешно применен и к напряженным ме-
таллам, диэлектрикам или гиб-
ридным эпитаксиальным структу-
рам [24-27].
На рис. 1.36 схематично пред-
ставлен процесс формирования на-
нотрубок на примере полупровод-
никовой напряженной гетерострук-
туры GeSi/Si (рис. 1.37) (постоянные
решеток слоев Ge и Si различаются на
4 %), выращенной на кремниевой под-
ложке [28].
Изменяя толщину слоев и их
состав (рассогласование постоян-
ных решеток), удается получать
Рис. 1.35. Фотографии нанотру-
бок, закрепленных на подложке:
трубки диаметром 4 мкм ориенти-
рованы вдоль направления <100>
86
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
нанотрубки диаметром от 10 нм
до 13 мкм. Результирующий
диаметр может быть оценен
по формуле
a (dx+d2}
ЗДя dxd2
здесь dx и d2- толщины верх-
него и нижнего слоев соответ-
ственно.
На основе слоев Ge и Si
также удается получать упру-
гие винтовые спирали. На
рис. 1.38 приведены фотогра-
фии нанотрубки и винтовой
спирали, изготовленных из
Рис. 1.36. Схема формирования на-
нотрубок на основе слоев Ge и Si
структуры, содержащей слой Ge04Si06 толщиной 10 нм и слой Si
толщиной 20 нм [28]. Диаметр трубки 1,4 мкм, а спирали - 1,8 мкм
при длине более 50 мкм. Используя слои этого же состава, но тол-
щиной соответственно 40 и 100 нм, получают спираль уже диамет-
ром 13 мкм при длине порядка сотни микрометров.
Еще один подход к созданию наноэлектронных систем, базирую-
щийся на регулярной вариации зарядового состояния изолирующе-
го слоя у его контакта с поверхностью полупроводника, предложен
В [29].
Получение регулярного распределения встроенного заряда со-
ответствующих масштабов вдоль межфазной границы диэлектрик-
полупроводник возможно, например, с использованием техники
Рис. 1.38. Фотографии нанотруб-
ки (а) и винтовой спирали (б),
изготовленных на основе двух-
слойной структуры Ge04Si06/Si
Рис. 1.37. Схема формирования на-
пряженного (деформированного) слоя
1.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
87
сканирующей туннельной
микроскопии. Формируя раз-
личные распределения ло-
кальной плотности заряда в
диэлектрике, индуцирующе-
го в приповерхностной об-
ласти полупроводника дву-
мерный потенциальный рель-
еф, можно реализовать все-
возможные низкоразмерные
структуры: квантовые ямы,
точки, проволоки, сверхре-
шетки и т.п.
Необычный подход к
проблеме формирования
Рис. 1.39. Изображения тонких пленок
GaAs с контролируемо введенными
трещинами, полученные просвечиваю-
щей электронной микроскопией высо-
кого разрешения:
а - слой GaAs толщиной 0.25 мкм, 6-0.1 мкм
трехмерных наноструктур
рассматривается в [30]. Для создания нанообъектов авторы предла-
гают использовать механическую «разборку» монокристалличе-
Рис. 1.40. Вольт-амперные характери-
стики планарных туннельных перехо-
дов полупроводник - воздух — полупро-
водник, созданных из различных
полупроводниковых слоев:
1 - GaAs; 2, 3 - InAs (2 - начальное состояние
туннельного перехода, 3- после соприкоснове-
ния берегов трещины); на вставках: сверху -
общий вид структуры, снизу - энергетическая
диаграмма GaAs туннельного перехода при
смещении 1,5 В
ских эпитаксиальных струк-
тур по заданным траектори-
ям или слоям. В рамках это-
го подхода для создания
нанообъектов, имеющих раз-
меры, сравнимые с разме-
ром атома, необходимо име-
ть инструмент, позволяю-
щий разрывать межатомные
связи в заданном месте
твердого тела без воздейст-
вия на соседние области
(атомная разборка). В каче-
стве такого инструмента
предложено использовать
вершину управляемой хруп-
кой трещины. При этом не-
обходимо контролировать
процессы введения и рас-
пространения трещины в
твердом теле. В настоящее
время уже продемонстри-
рована возможность управ-
ления траекторией распро-
gg Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
охранения трещины непосредственно в процессе ее роста. Для этого
осуществляли управление полем локальных растягивающих на-
пряжений в вершине трещины с помощью внешней электростатиче-
ской силы.
В рамках такого подхода изготовлены туннельные полупро-
водниковые структуры, у которых в качестве барьеров (или КЯ)
используются специально сформированные сверхузкие трещины
(рис. 1.39), которые можно заполнять различными веществами в твер-
дом, жидком или газообразном состоянии и вакуумировать [30].
На рис. 1.40 представлены вольт-амперные характеристики та-
ких планарных туннельных переходов полупроводник - воздух -
полупроводник, созданных на базе различных полупроводниковых
слоев. Так как характеристики потенциальных барьеров (или КЯ)
сильно влияют на процессы туннелирования, такие структуры
представляются перспективными и для использования в качестве
сенсоров разного типа.
1.13. НИЗКОРАЗМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
Как уже отмечалось, современные технологические методы по-
зволяют создавать сложные многослойные системы на основе не
только квазидвумерных гетероструктур, но и квазиодномерных
(квантовые проволоки) и нульмерных (квантовые точки) структур.
Достигнутый к настоящему времени прогресс в области создания
таких объектов позволяет получать как отдельные квантовые про-
волоки и изолированные квантовые точки, так и их целые массивы,
достаточно однородные по своим размерам и формам.
Рассмотрим основные особенности энергетического спектра в
подобных структурах.
Энергетический спектр цилиндрической нити с радиусом R и
бесконечно высокими потенциальными стенками имеет вид
Й2 2 Й2й2
(1.13.1)
где п = 0, 1, 2, ... - радиальное квантовое число; т = 0, ±1, ±2,... -
магнитное квантовое число; к - квазиимпульс электрона в продоль-
ном направлении; yn|w| - «i-й нуль функции Бесселя Jn п-го порядка.
Таким образом, энергетический спектр цилиндрической кван-
товой проволоки представляет собой набор отдельных перекры-
вающихся одномерных подзон, положение экстремумов которых
1.13. Низкоразмерные системы с симметрией
89
определяется квантовыми числами п и т, а также радиусом прово-
локи. Движение электронов вдоль КП оказывается свободным (но с
массой т * ), а в радиальном направлении ограниченным R .
Энергетический спектр в квантовой сверхрешетке цилиндриче-
ской симметрии (СРЦС) рассматривался в [31]. Такая гетероси-
стема представляет собой набор коаксиальных квантовых прово-
лок, вложенных друг в друга и образующих периодическую
структуру в плоскости, перпендикулярной к ее оси (рис. 1.41, а).
Дана сверхрешетка создает периодический потенциальный рельеф
аксиальной симметрии. Д ля потенциала вида
, . при рп + Xd<p<po +Z + XJ,
t/(p) = -! 0 F 0 ° (1.13.2)
[0 при р < р0 и р0 + L + kd < р < р0 + (X + l)d,
Х = 0, 1,2,...
(рис. 1.41, б), где d = L + W - период потенциала, L - ширина барь-
ера (материал 1), W - ширина потенциальной ямы (материал 2) и
р0 - радиус внутреннего цилиндра (материал 2) в [31] показано, что
энергетический спектр такой СРЦС представляет собой чередование
разрешенных и запрещенных зон
(мини-зон), а эффективная масса
электрона является тензором. При-
чем, если продольная составляю-
щая эффективной массы электрона
СРЦС, характеризующая движе-
ние вдоль оси сверхрешетки, близ-
ка по значению к эффективной
массе электрона полупроводнико-
вого материала, характеризующе-
го квантовую яму сверхрешетки,
то радиальная составляющая эф-
фективной массы электрона
сверхрешетки существенно зави-
сит от радиуса ядра гетерострук-
туры р0, периода и величины
потенциала, а также толщины по-
лупроводниковых коаксиальных
слоев. Размеры ядра гетероси-
стемы влияют на ширину разре-
шенных зон и кривизну закона
Ро Ро+£ Ро+^ Po+d+w
Рис. 1.41. Структура (а) и потен-
циальный профиль (б) цилиндри-
ческой сверхрешетки
90
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ.
дисперсии. Чем больше р0, тем больше распрямляются границы
цилиндрических поверхностей, расширяются разрешенные мини-
зоны и уменьшается величина радиальной составляющей эффектив-
ной массы электрона.
Согласно [31] энергетический спектр СРЦС с потенциалом
(1.13.2) в первом приближении теории возмущений может быть
представлен в виде
2теп
где Епт - энергетический спектр радиального движения электрона,
к - квазиимпульс электрона в продольном направлении и -
продольная составляющая эффективной массы.
Учитывая непрерывность радиальных волновых функций и
плотности их потоков на границах областей, нормировку радиаль-
ной волновой функции и периодичность потенциала, дисперсион-
ное уравнение для определения энергетического спектра Епт
можно представить в виде [31]
cos(^) = F(E„m), (1.13.4)
где
/w (api )КИ(apo)—L-L------- - (ap0)Kw(aP1 ------------
Л|ти|(аР2) '|/n| (aP2 )
+[^|ФР1)^|(Рр2)-^|(Рр1Ун(Рр2)]х
x[^|(aPo)^|(aPi) -/|m|(aPi)^n(aPo)] +
+—[/m(₽Pi)^|(₽P2)-^|(₽PiVh(₽P2)]x
х[^|(аР1)^м(«Ро) -^|(аРо)^н(аР1)] +
+^м(аР1)^|т|(аРо)
^м(аРг) , , ( /н(аРг)
Км(ар2) WaPo)*WaPi)
X
^|/п| (аРг)
1.13. Низкоразмерные системы с симметрией
91
-x[^|(PPiWM(₽P2)-^|(₽PiVm(₽P2)J
\2гпл ,тт „ ч _ \2rn-) „
® = ^пт ~ 2 ~ ^пт ) ’ Р = Рит — \ 2 ^пт ’
V Й V П
Р1 ~ Ро + ’ Рг _ Ро + >
т* и т-2 - эффективные массы в барьерах и КЯ соответственно,
J|w|(p), A'|w|(p)- функции Бесселя первого и второго рода; 7|т|(р),
^|т|(Р) ~ модифицированные функции Бесселя и Ганкеля.
По виду (1.13.4) соответствует уравнению (1.11.7), определяю-
щему спектр в простой одномерной сверхрешетке, и также указы-
вает на появление мини-зон разрешенных (в случае, если
| F(Enm) |< 1) и запрещенных (| F(Enm) |> 1) значений энергии.
В окрестности экстремумов разрешенных мини-зон энергети-
ческий спектр СРЦС может быть представлен в виде
£(1) _£0
пптк ^пт + * + _ *
2wII 2Рит
(1.13.5)
здесь Ц*т- радиальные составляющие эффективной массы элек-
трона в СРЦС; q — квантовое число, играющее роль радиального
квазиимпульса; значения Е„т, т*} и ц*т могут быть рассчитаны
лишь численно.
Расчеты, проведенные в [31], показали, что начиная с р0 по-
рядка нескольких десятков постоянных решетки материала ядра
СРЦС (в [31] - с тридцати постоянных решетки) и до р0 -> со (гра-
ничный переход к плоской сверхрешетке) закон дисперсии элек-
трона практически не изменяется и совпадает со спектром плоской
СР (при одинаковых параметрах квантовых ям и барьеров). Иссле-
дования также показали, что при р0 -> со (плоская СР), когда тол-
щина барьеров L = 0 (а ширина квантовой ямы W конечная), в
области энергий 0 < Епт < Uo запрещенная зона отсутствует (края
мини-зон соприкасаются).
Иная ситуация имеет место при конечных значениях р0 . Ради-
альная симметрия СРЦС (другими словами, кривизна границ ци-
линдрических поверхностей) оказывается настолько важной, что
92
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
Рис. 1.42. Топология сверх-
решетки из цилиндрических
квантовых проволок
радикально изменяет характер спек-
тра электрона по сравнению с пло-
ской сверхрешеткой. Например, при
конечных значениях р0 и W (но L = 0)
существует запрещенная зона, ши-
рина которой определяется парамет-
рами системы.
Интересным объектом для раз-
вивающейся наноэлектроники явля-
ется также гетероструктура, состоя-
щая из квантовых проволок одного
материала, находящихся в матрице
другого материала и образующих
сверхрешетку в плоскости, перпен-
дикулярной к оси квантовой прово-
локи (рис. 1.42). Энергетический спектр электронов и дырок в та-
кой сверхрешетке, состоящей из цилиндрических квантовых
проволок (материал 1), периодически расположенных в мате-
риале 2, рассчитывался, например, в [32]. Расчеты показали, что ши-
рины образующихся в такой сверхрешетке мини-зон практически не
зависят от величины радиуса квантовой проволоки р0, но их положе-
ние существенно изменяется при изменении р0. Увеличение радиуса
КП приводит к сдвигу мини-зон в область меньших энергий.
В свою очередь уменьшение толщины барьеров при фиксирован-
ном радиусе р0 также приводит к сдвигу мини-зон в область мень-
ших значений энергии и значительному увеличению их ширины (а
значит, и к уменьшению соответствующей компоненты эффективной
массы). Таким образом, изменяя топологию сверхрешеток из цилинд-
рических квантовых проволок, можно целенаправленно управлять
энергетическим спектром электронов и дырок.
Оценки [33-36] показывают, что использование квантово-
размерных структур, в которых движение носителей заряда огра-
ничено по двум (КП) и трем (КТ) направлениям, может приводить
к значительному улучшению характеристик полупроводниковых
приборов.
Как уже отмечалось, электронный спектр изолированной кван-
товой точки представляет собой набор дискретных уровней раз-
мерного квантования и в этом смысле подобен электронному спек-
тру одиночного атома.
Современные технологические методы [37-39] позволяют соз-
давать не только отдельные изолированные квантовые точки, но и
1.13. Низкоразмерные системы с симметрией
93
многослойные сферические на-
ногетероструктуры (рис. 1.43, а).
В приближении эффективной
массы теория дискретных спек-
тров, соответствующих стацио-
нарным состояниям электронов,
дырок и экситонов в таких мно-
гослойных сферических кван-
товых ямах, развивается в [37,
38, 40]. В этих работах предпо-
лагалось, что среда, в которой
находится сферическая наност-
руктура, является потенциаль-
ным барьером по отношению к
внутренним слоям системы, т. е.
рассматривались закрытые си-
стемы.
Исследование квазистацио-
нарных спектров электронов и
дырок в открытых многослой-
ных сферических наногетеро-
структурах с потенциалом, по-
казанным на рис. 1.43, б, про-
водилось в [41]. Отличительная
особенность таких открытых
систем состоит в том, что в них
б
Рис. 1.43. Топология (а) и потенци-
альный рельеф (б) в открытой сфе-
рической наноструктуре
внешняя среда не является по-
тенциальным барьером для элек-
тронов и дырок. При этом появ-
ляется конечная вероятность
пребывания квазичастицы на бесконечном расстоянии от цен-
тра структуры, что кардинально меняет волновые функции
системы и приводит к возникновению квазистационарных со-
стояний с конечным временем жизни.
В приближении достаточно мощных барьеров в [41] получены
аналитические выражения для определения уровней квазистацио-
нарного энергетического спектра и времен жизни электрона и дыр-
ки в соответствующих состояниях.
Численные расчеты показали, что при изменении толщин барье-
ров положение энергетических уровней электрона и дырки практи-
чески не изменяется, а время жизни квазичастиц экспоненциально
увеличивается. При фиксированной толщине барьеров время жизни
94
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
увеличивается с уменьшением энергии соответствующего состояния.
Таким образом, время жизни квазичастиц в квазистационарньгх со-
стояниях оказывается чувствительным к изменению ширины как
квантовых ям, так и барьеров. Увеличение высоты потенциальных
барьеров приводит к увеличению энергии основного состояния и его
времени жизни.
а
Рис. 1.44. Топология (а) и плоское сечение (б) сверхрешеток цилиндриче-
ских квантовых точек
Кроме таких одиночных систем проводились исследования гори-
зонтальных и вертикальных «молекул» из квантовых точек [42], а
также сверхрешеток из цилиндрических квантовых точек (СЦКТ)
[43] (рис. 1.44). Развитый в [43] метод позволяет проводить числен-
ные расчеты законов дисперсии электрона и дырки для систем из
квантовых точек с предельно слабой связью между квазичастицами в
разных слоях и такими расстояниями между квантовыми точками в
слоях, при которых электроны и дырки не локализуются в пределах
КТ, а транслируются по всей СЦКТ. В частности, в [43] показано, что
увеличение расстояния между КТ при произвольных а и L повышает
эффективные массы электрона и дырки, поскольку увеличение этого
расстояния эквивалентно увеличению «мощности» барьера для элек-
тронов и дырок. При фиксированном расстоянии между квантовыми
Список литературы
95
точками (рис. 1.44, б) увеличение высоты точки L или ее радиуса
(рис. 1.44, а} также вызывает увеличение эффективных масс квазича-
стиц, так как оба фактора приводят к эффективному увеличению
«мощности» потенциальных барьеров, поскольку увеличение объема
ямы «понижает» энергетические уровни.
Теоретическому исследованию сверхрешеток из квантовых точек
при наличии электрического поля посвящены работы [44, 45], где по-
казано, что в постоянном электрическом поле энергетический
спектр электронов и дырок в идеальных двумерных и трехмерных
СР из квантовых точек может существенно изменяться и ста-
новиться дискретным или непрерывным в зависимости от ори-
ентации поля относительно кристаллографических осей СР.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Блохинцев ДИ. Основы квантовой механики. - М.: Наука, 1983. - 664 с.
2. Левин В.Г. Курс теоретической физики. - М.: Наука, 1971. - Т. 2. - 937 с.
З. Тагер А.С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупровод-
никовых структурах и перспективы их применения в электронике СВЧ// Элек-
тронная техника. Сер. Электроника СВЧ. - 1987. - Ч. 1, вып. 9(403). - С. 21-34.
4. Петров А.Г., Шик А.Я. Межуровневые оптические переходы в квантовых
ямах // ФТП.- 1993.-Т. 27, вып. 6. - С. 1047-1057.
5. Давыдов А.С. Квантовая механика. - М.: Физматгиз, 1963. - 748 с.
6. Корн ГК. Корн Т.К. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974. - 832 с.
7. Галицкий В.М., Корнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике:
Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
8. Капуткина Н.Е., Лозовик Ю.Е. «Шаровые» квантовые точки // ФТТ. -
1998.-Т. 40, № 11.-С. 2134-2135.
9. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры / Под ред. Л. Ченга,
К. Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
10. Дымников В.Д, Константинов О.В. Уровни энергии в квантовой яме с
прямоугольными стенками сложной формы // ФТП. - 1995. - Т. 29, вып.1. -
С.133-139.
11. Спроул Р. Современная физика. - М.: Наука, 1974. - 591с.
12. Борн М., Вольф В. Основы оптики. - М.: Наука, 1970. - 607 с.
13. Херман М. Полупроводниковые сверхрешетки. - М.: Мир, 1989. - 240 с.
14. Капаев В.В., Копаев Ю.В., Токатлы И.В. Зависимость от импульса раз-
мерности электронных состояний в гетероструктурах // УФН. - 1997. - С. 562-
566.
15. Келдыш Л.В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла //
ФТТ. - 1962. - Т. 4, вып. 8. - С. 2265-2267.
16. Елинсон М.И. Исследования физических проблем микро- и наноэлектро-
ники в ИРЭ РАН (60 - 90-е годы) // Зарубежная радиоэлектроника. - 1998. - № S.-
С. 22-33.
17. Петров В.А. И Тез. 6-го Всесоюз. совещания по физике поверхностных
явлений в полупроводниках. - Киев: Наукова думка, 1977. - Ч. 2. - С. 80.
96 Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ
18. Волков В.А., Петров В.А., Сандомирский В.Б. Поверхность с высокими
кристаллографическими индексами - сверхрешетка для двумерных электронов //
УФН. - 1980. - Т. 131, вып. 3. - С. 423^140.
19. Nakata К, Ueda О., Nishikawa К, Muto S., Yokoyama N. InAs/GaAs in-plane
strained superlattices grown on slightly misoriented (110) InP substrates by molecular
beam epitaxy // J. of Crystal Growth. - 1997. — Vol. 175/176. - P. 168 173.
20. Petr off P.M., Gaines J., Tsuchiya M., Simes R., Coldren L., Kroemer H, Eng-
lish J., Gossard A.C. Band gap modulation in two dimensions by MBE growth of tilted
superlattices and applications to quantum confinement structures// J. of Crystal
Growth. -1989. - Vol. 95. - P. 260-265.
21. Мокеров В.Г., Федоров Ю.В., Гук A.B., Беликовский Л.Э.. Каминский В.Э.
Наноэлектронные СВЧ-транзисторы на основе гетероструктур соединений А3В5 с
двумерным электронным газом // Зарубежная радиоэлектроника. - 1998. - № 8. -
С. 40-61.
22. Prinz V.Ya., Seleznev V.A., GutakovskyA.К. Self-formed InGaAs/GaAs
Nanotubes: Concept, Fabrication, Properties // The 24th Intern. Conf, on the Phys, of
Semiconductors (ICPS 24), Jerusalem, Israel - 1999, Wold Sci. - P. Th3-D5.
23. Prinz V.Ya., Seleznev V.A., GutakovskyA.K, ChehovskiyA.V., Preobrazen-
skiiV.V, PutyatoM.A., Gavrilova TA. Free-standing and overgrown InGaAs/GaAs
nanotubes, nanohelices and their arrays // Phys. E- 2000. - Vol. 5.
24. Prinz V.Ya., Grutzmacher D., Beyer A., David C„ Ketterer B., Deccard E. A
new technique for fabricating three-dimensional micro- and nanostructures of various
shapes superlattices // Nanotechnology. - 2001. - Vol. 12 - P. 399—402.
25. Prinz V.Ya., Chehovskiy A.V., Preobrazhenskii V.V., Semyagin B.R., Gu-
takovsky A.K. A technique for fabricating InGaAs/GaAs nanotubes of precisely con-
trolled length//Nanotechnology. -2002. - Vol. 13. -P. 231-233.
26. Vorob'ev A.B, Prinz V.Ya. Directional rolling of strained heterofilms // Semi-
cond. Sci. Technol. - 2002. -Vol. 17. - P. 614-616.
27. Патент 2179458. Микроигла в интегральном исполнении и способ ее из-
готовления / Принц А.В., Селезнев В.А., Принц В.Я. - Заявка от 01.06.1999; Вы-
дан 20.03.2002.
28. Golod S. V., Prinz V. Ya., Mashanov V.I, Gutakovsky A.К. Fabrication of con-
ducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Tech-
nol. - 2001. - Vol. 16.-P. 181-185.
29. Гольдман Е.И., Ждан А.Г. Новый подход к созданию наноэлектронных
систем в размерно-квантующем потенциальном рельефе встроенных зарядов в
изолирующих слоях у поверхности полупроводника // Письма в ЖТФ. - 2000. -
Т. 26, вып. 1.- С. 38-41.
30. Prinz V Ya., Seleznev V.A., Gutakovsky A.К. Novel technique for fabrication
one- and two-dimensional systems // Surface Sci. - 1996. - Vol. 361/362. - P. 886-889.
31. Ткач H.B.. Пронишин И.В., Маханец A.M. Спектр электрона в квантовой
сверхрешетке цилиндрической симметрии//ФТТ. - 1998. — Т. 40, № 3. - С. 557-561.
32. Головач В.Н., Зегря Г.Г., Маханец А.М., Пронишин И.В., Ткач Н.В. Спек-
тры электронов и дырок сверхрешетке цилиндрических квантовых проволок //
ФТП. - 1999. - Т. 33, № 5. - С. 603-607.
33. Алферов Ж.И. История и будущее полупроводниковых гетероструктур //
ФТП. - 1998. - Т. 32, № 1. - С. 3-18.
34. Леденцов НН, Устинов В.М., Щукин В.А., Копьев П.С., Алферов Ж.И.,
Бимберг Д. Гетероструктуры с квантовыми точками: получение, свойства, лазеры:
Обзор // ФТП. - 1998. - Т. 32, № 4. - С. 385-410.
Список литературы
97
35. Пчеляков О.П., Болховитянов Ю.Б., Двуреченский А.В., Соколов Л.В., Ни-
кифоров А.И., Якимов А.И., Фойхтлендер Б. Кремний-германиевые нанострукту-
ры с квантовыми точками: механизмы образования и электрические свойства:
Обзор И ФТП. - 2000. - Т. 34, вып. 11. - С. 1281-1299.
36. Днепровский В С. Нелинейные оптические свойства полупроводниковых
квантовых проводов и точек // УФН. - 1996. - С. 432—434.
37. Schooss D., Mews A., Eychmuller A., IVellr Н. Quantum-dot quantum well
CdS/HgS/CdS: Theory and experiment // Phys. Rev. B. - 1994. - Vol. 49. - P. 17072 -
17078.
38. Haus J. IV., Zhou H.S., Honma I., Komiyama H. Quantum confinement in semi-
conductor heterostructure nanometer-size particles // Phys. Rev. B. - 1993. - Vol. 47. -
P. 1359- 1365.
39. Mews A., Kadavanich А. V, Banin U., Alivisatos A.P. Structural and spectro-
scopic investigations of CdS/HgS/CdS quantum-dot quantum wells // Phys. Rev. B. -
1996.-Vol. 53.-P. 13242-13245.
40. Ткач H.B Электрон-фононное взаимодействие в сферических многослой-
ных наногетероструктурах // ФТТ. - 1997. - Т. 39, № 6. - С. 1109-1113.
41. Ткач Н.В, Головацкий В.А., Войцеховская О.Н. Особенности спектров
электронов и дырок в открытой сферической наногетероструктуре (на примере
(GaAs/AUGa^As/GaAs) // ФТП. - 2000. - Т. 34, вып. 5. - С. 602 - 606.
42. Капуткина Н.Е., Лозовик Ю.Е. Горизонтальные и вертикальные «молеку-
лы» из квантовых точек// ФТТ. - 1998. -Т. 40, № 11. - С. 2127-2133.
43. Ткач Н.В., Маханец А.М., Зегря Г.Г. Электроны, дырки и экситоны в
сверхрешетке цилиндрических квантовых точек с предельно слабой связью ква-
зичастиц между слоями квантовых точек // ФТП. - 2002. - Т. 36, № 5. - С. 543 -
549.
44. Дмитриев И.А., Сурис Р.А. Локализация электронов и блоховские осцил-
ляции в сверхрешетках из квантовых точек в постоянном электрическом поле И
ФТП. - 2001,-Т. 35, вып. 2- С. 219-226.
45. Дмитриев И.А., Сурис Р.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхре-
шетках из квантовых точек. Общий формализм // ФТП. - 2002. - Т. 36, вып. 12-
С. 1449-1459.
4 Основы наноэлектроники
ГЛABA 2
ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
СИСТЕМ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
2.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР БЕСКОНЕЧНОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ
В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Для создания электронных приборов необходимо научиться
целенаправленно управлять энергетическим спектром носителей
заряда с помощью различных внешних воздействий. Наиболее
часто для управления используют электрические поля. Рассмотрим
влияние постоянного однородного электрического поля на спектр
разрешенных состояний бесконечной прямоугольной потенциаль-
ной ямы. Будем полагать, что поле напряженности F направлено
параллельно оси х. Потенциальная энергия электрона для 0 < х < JV
в этом случае описывается выражением
U(x) = qFx + const,
Рис. 2.1. Энергетическая
диаграмма БИЯ в однород-
ном электрическом поле
здесь q - абсолютная величина заряда
электрона. Выбирая постоянную, так
чтобы U(x) ~ 0 при х = 0, получим
Цх) = qFx (рис. 2.1). В этом случае
отыскание состояний движения час-
тицы сведется к решению уравнения
Й2
T'(x)+9Fx4'(x)=F4'(x) . (2.1.1)
2т
2.1. Энергетический спектр бесконечной прямоугольной потенциальной ямы... gg
Сделав замену переменной х на
уравнение (2.1.1) можно представить как
T"(Z)-ZT(Z) = 0.
(2-1.2)
В свою очередь общее решение уравнения (2.1.2) имеет вид
4'(Z) = C1Ai(Z) + C2Bi(Z), (2.1.3)
Рис. 2.2. График функций Эйри
где Ai(Z) и Bi(Z) - функции Эйри первого и второго рода соот-
ветственно. Известно, что при Z < 0 Ai(z) и Bi(z) - осциллирующие
функции, а при Z > 0 Ai(z) -> 0, Bi(z) -> оо. Зависимости Ai(z) и
Bi(z) показаны на рис. 2.2. Отметим, что расстояния (а„ -an_j) и
(Рл “Рич) уменьшаются с увеличением п (а„- корни Ai(z), рп -
корни Bi(z), а, = -2,34, а2 - -4,09, а3 - -5,52, а4 = -6,79,
Рх - -1,17 , Р2 = -3,27 , Р3 = -4,83 , Рл = -6,17 ), т. е. корни Ai(z) и
Bi(z) сгущаются.
Используя граничные условия (Т = 0, так как рассматривается
БПЯ) при х = 0 и х = W, можно получить дисперсионное уравнение,
определяющее разрешенные значения энергии Еп, в виде
Ai(Z+)Bi(Z~) - Ai(Z~)Bi(Z+) = 0,
(2-1.4)
100
Глава 2 ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
где Z+h Z соответствуют Z при х = W и х = 0. Отметим, что от-
ношение постоянных Q и С2 будет иметь вид
С2 _ Ai(Z+) _ Ai(Z~)
q ” Bi(Z+) ~ Bi(Z“) ’
Для произвольной величины поля и размеров квантовой ямы
решение уравнения (2.1.1) удается найти лишь приближенными
методами.
При W -> оо приходим к случаю с треугольной потенциальной
ямой, когда Т(х)—>0 при х = 0 и х -> оо. Это возможно, если
С2 = 0. Следовательно, дисперсионное уравнение, определяющее
разрешенные значения энергии Еп для треугольной потенциаль-
ной ямы, может быть представлено в виде
Ai<Z)L=o.
Так как значения Z, при которых Ai(z) = 0, соответствуют кор-
ням функции Эйри а„, выражение для разрешенных значений
энергии принимает вид
WW/3
2т
(2.1.5а)
Для оценки разрешенных значений энергии получено и при-
ближенное выражение
h2
2т
Еп
- -|2/3
—qFn(n +0.75)
(2.1.56)
отличающееся от точного решения для бесконечной треугольной
потенциальной ямы не более чем на 2 %.
В слабом электрическом поле при достаточно узкой КЯ (эти
условия конкретизируем позже) решение уравнения (2.1.1) можно
найти, используя теорию возмущений [1].
Для этого, как обычно, разобьем гамильтониан Н в (2.1.1) на
два слагаемых
H = H0 + V,
где Но- гамильтониан задачи, допускающей точное решение, а
V - малая добавка (оператор возмущения).
2.1. Энергетический спектр бесконечной прямоугольной потенциальной ямы... *101
В нашем случае положим
й2 d2
2т dx2 ’
V = qFx.
Тогда для невозмущенной задачи имеем
2 / \2
40)=----1 — I П2, п = 1,2,3..., (2.1.6)
п 2m\Wj
Ч^ =J— sinf—пх | при 0<x<W.
п \W \W )
В соответствии со стационарной теорией возмущения в первом
приближении собственные значения и собственные функции опе-
ратора Н могут быть вычислены по формулам
Е® « 4°) + Vnn, + Е- -(о^ (О)Т!О) > С2-1-7)
ten Еп Е^
здесь
Кй,=^0)|г|'р(°^; (2.1.8)
К/п- матричный элемент оператора V в «Е^-представлении», т.е.
Кии - среднее значение возмущения в состоянии, описываемом не-
возмущенной функцией . Подставляя (2.1.6) в (2.1.8), получим
Vm = f Ч^ dx = 0,5?MF, (2.1.9)
о
т.е. в первом порядке теории возмущений все разрешенные уровни
энергии в БПЯ смещаются одинаково на величину G,5qFW и
,2 ( V
4° «---- — n2+0,5?FJF. (2.1.10)
2т \W )
Заметим, что согласно (2.1.10) положение уровней относи-
тельно дна КЯ в точке х = 0,5W не изменяется, так как при на-
личии электрического поля дно квантовой ямы в этой точке тоже
смещается на 0,5qFW.
102
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Во втором приближении поправка к собственному значению
Е^ определяется выражением
+ . (2.1.11)
/*и Е\ ' -Е} '
Таким образом, для основного состояния во втором порядке
теории возмущений имеем
о 7Г2(/-1)2(/ + 1)2
(2.1.12)
42)
=4°)
+ §.5qFW-
4 У (gFlF)2
nJ ^(°)
у (* + 02
Й>(2£ + 1)5(2£ + 3)5 ’
(2.1.13)
Согласно (2.1.13) во втором приближении при наличии сла-
бого однородного электрического поля энергетический зазор
между дном квантовой ямы и основным состоянием в точке
х= 0,5W будет уменьшаться пропорционально квадрату на-
пряженности электрического поля. Отметим, что вклад в Кд , а
следовательно, и в ЛЕ^ дают состояния только с четными I.
Оценки показывают, что ряд в (2.1.13) быстро сходится и при
вычислении Е^ обычно достаточно ограничиться учетом всего
одного слагаемого. При этом получим
Д(2) а Д(0) + 0,5qFW — 1,08 -102 ^3-.
(2.1.14)
Учет второго слагаемого с к = 1 в (2.1.13) изменит значение
суммы менее чем на 0,2 %. Следовательно, (2.1.14) можно считать
хорошим приближением для (2.1.13).
Для применения теории возмущений необходимо, чтобы мат-
ричные элементы оператора V были малы по сравнению с соответ-
ствующими расстояниями между невозмущенными уровнями
энергии, т.е. выполнялось неравенство
|К/П|«|^О)-^О)|, (2.1.15)
а в нашем случае -
|Кд |«|Д(0)-^0)|
2.2. Смещение энергетических уровней под действием электрического поля ЮЗ
или, если раскрыть К21 и ,
qFW«\6E®\ (2.1.16)
Таким образом, выражение (2.1.14) можно использовать для
оценки положения разрешенных энергетических уровней в БПЯ,
пока максимальное изменение потенциала на краю ямы под дейст-
вием электрического поля не станет порядка Е^.
2.2. ОЦЕНКА СМЕЩЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КЯ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Рассмотрим влияние однородного постоянного электрического
поля на разрешенные уровни энергии в прямоугольной квантовой
яме конечной глубины. Направив поле параллельно оси х, потен-
циальную энергию электрона можно представить в виде
Цх)= V(x) + qFx + const,
здесь F - напряженность электрического поля; V(x) - потенциаль-
ный рельеф КЯ при F = 0 (рис. 2.3, а).
Выбирая const, так чтобы U(x) = 0 при х = 0, получим, что по-
тенциальный рельеф КЯ при наличии электрического поля будет
иметь вид, показанный на рис. 2.3, б.
Основное отличие данного случая от рассмотренного в
разд. 2.1, связано с изменением хода потенциала при |х|> 0,517.
Поскольку при наличии электрического поля потенциальная энер-
гия при больших отрицательных значениях х становится меньше
полной энергии частицы в КЯ, частица может пройти через потен-
циальный барьер в сторону отрицательных х и удалиться на беско-
нечность. То, что при F# 0 все собственные значения гамильтони-
ана оказываются «погруженными» в непрерывный спектр,
принципиально отличает их от стационарных состояний при F = 0.
Вместо дискретных уровней в электронном спектре появля-
ются резонансные пики, называемые резонансами Брейта -
Вигнера [2], и в приближении слабо взаимодействующих уровней
совпадающие по форме с лоренцевым контуром
<°'5Г»>2 2,
ч(£-£„)2+(0,5Г,)2
где п — номер пика (состояния).
104
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Ширина пика Г„ определяется мнимой, а энергетическое по-
ложение резонанса Еп - действительной частью соответствующе-
го собственного значения.
Таким образом, возможность прохождения частицы через
потенциальный барьер проявляется в уширении уровней в яме.
Это уширение будет тем меньше, чем глубже уровень.
Рис. 2.3. Энергетические диаграммы квантовой ямы:
a-npHF=0; fi-npuFxO
В слабых полях для нижних уровней вероятность туннелирова-
ния может быть ничтожно мала, поэтому решения будут мало от-
личаться от стационарных. Наличие таких ярко выраженных
резонансов позволяет говорить о существовании квазисвязанных
состояний с конечным временем жизни. Состояния такого типа
называют еще и квазистационарными.
Если предположить, что слабое электрическое поле мало изме-
няет невозмущенное состояние системы, то затухание волновой
функции под барьером в соответствии с (1.4.12) и (1.4.14) будет
пропорционально
ехр[-р„ (| х | -0,51Е)] при |х| > 0,5Ж,
/? \1/2
здесь р„ =1 —^(С70-£•„) .
V я )
Для того чтобы амплитуда волновой функции на длине d
(рис. 2.3, б) стала пренебрежимо малой, должно выполняться усло-
вие d » 1/ р„. В свою очередь
qf
2.2. Смещение энергетических уровней под действием электрического поля 105
т. е. необходимо, чтобы
Щ~Еп
(2.2.1)
Для нижних уровней широких и глубоких квантовых ям из
(2.2.1) получаем условие квазистационарности состояний
Ур-Еп
0,51г
(2.2.2)
а для узких и мелких КЯ
9F«p„(L70-£).
(2.2.3)
Согласно (2.2.1) для квантовых ям Ga0 7Al0 3As/GaAs при
W= 10 нм основное состояние можно считать квазистационарным
вплоть до полей напряженностью F « 105 В/см [3].
Ограничиваясь случаем слабых электрических полей и полагая
состояния в КЯ квазистационарными, оценим изменение энергии
основного состояния под действием возмущения qFx. В первом
порядке теории возмущений
AEj(,) = ,
где 4*1°^ определены выражением (1.4.12).
В связи с тем, что оператор электрического дипольного момен-
та qFx изменяет знак при операции инверсии пространственных
координат, его среднее значение в основном состоянии равно ну-
лю. Таким образом, поправка к энергии в первом приближении
равна нулю, а во втором -
,2
AFC) =V__I
1 м£(0)-£(0)’
М
(2.2.4)
Учитывая в (2.2.4), как и в (2.1.14), только одно слагаемое, по-
лучим
.(2) (4^2gF)2
W I2
LSm(a‘)F‘ + Sm(a2)F2 “у (F3 + F4)J . (2-2.5)
106
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ГДе
а, = 0,5W(KX +К2), а2 = 0,5ГК(^2 - ^ );
F °>W 1 । 1
1 ₽1+₽2+(р1+р2)2 (к2+кх)2’
F 0,5FK t 1 t I
2 Pi+Р2+(р!+р2)2+(/C2-^j)2 ’
Kt
определяются по (1.4.3) при п = i;
Ej =----—; А,- амплитуда волновой функции /-го невозмущенного
2т
состояния КЯ (см. формулы (1.4.13), (1.4.15)).
Отметим, что Е^ < , поэтому поправка к энергии основно-
го состояния ЬЕ(2} <0, т.е. под действием слабого электри-
ческого поля энергия основного состояния и в этом случае
уменьшается пропорционально квадрату электрического поля.
Однако эти оценки окажутся верными лишь тогда, когда одновре-
менно выполняются условия (2.1.16) и (2.2.1).
Зависимости положения резонансов и их ширины от величины
электрического поля (в широком интервале полей) для КЯ различ-
ной глубины приведены, например, в [2].
2.3. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ
Оценим влияние однородного электрического поля на энерге-
тический спектр системы с параболической квантовой ямой.
Как и в предыдущих случаях, направим вектор напряженности
электрического поля F параллельно оси х. Тогда для одномерного
2.3. Влияние однородного электрического поля на энергетический спектр... 107
(линейного) случая выражение для L'j
потенциальной энергии электрона
может быть представлено в виде !
U(x) = Q,5Kx2 +qFx. (2.3.1) ____________ __________________.
X
При F = 0 зависимость U(x) -
несмещенная парабола (кривая 1 на D , . о
олчг-г ~ „ Рис- 2-4- Энергетическая диаграм-
рис. 2.4). При F ^0 минимум па- ма параболической квантовой
раболы смещается в сторону мень- ямы ПрИ /г = о и F * 0
ших энергий на величину
д = (2.3.2)
2К
и находится в точке х = d (кривая 2)
d=-^. (2.3.3)
К
Зная решение уравнения Шредингера для линейного осцилля-
тора в отсутствие электрического поля, легко найти собственные
функции и собственные значения уравнения Шредингера с потен-
циальной энергией (2.3.1).
Заменой переменной z = х - d уравнение Шредингера с потен-
циалом (2.3.1)
Й2 7
----Ч"(х) + (0,5/Сх2 + qFx)4(x) = Е^>{х) (2.3.4)
2т
сводится к уравнению Шредингера для обычного линейного ос-
циллятора.
В нашем случае получим
Й2 2 (
—— 'P'(z) + 0,5^z2'P(z) = Е +
2т
T(z). (2.3.5)
2К
Сопоставляя (2.3.5) и (1.7.1), получаем, что при наличии элек-
трического поля
Е„ = йсо(м + 0,5) + А, « = 0,1,2...; (2.3.6)
T„(z) = ’pW(x-</), (2.3.7)
здесь со = у]К/т .
108
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В соответствии с (2.3.6) и (2.3.7), как и в классическом случае,
действие однородного электрического поля на осциллятор сво-
дится лишь к смещению его положения равновесия. При этом
энергия всех разрешенных состояний понижается на
(qF)2/(2K).
Например, принимая характер движения электрона в плоскости
КЯ (вдоль у и z) свободным, для трехмерного случая получаем
h2k2
ЕпК =-----— + Йсо(п + 0,5) + Д,
’ р 2т
(2.3.8)
(2.3.9)
здесь а = yjh/mo); к2 = ку + к2; (kpp) = куу + kzz\ kp - волновой
вектор электрона в плоскости квантовой ямы; Ly,Lz -размеры
системы соответственно в направлениях у и г; Нп (х) - полиномы
Эрмита.
Для характеристики параболического потенциала вместо коэф-
фициента квазиупругой силы К часто удобнее пользоваться значе-
нием расстояния г между ветвями параболы при заданном значении
энергии Ес (рис. 2.4). При этом
К = 8^;
гг
16ЕС 8ЕС
(2.3.10)
(2.3.11)
В реальных системах смещение минимума параболического
потенциала КЯ в электрическом поле при разумных значениях
параметров исследуемой системы может достигать нескольких
нанометров. Так, при Ес =0,255 эВ, г = 400 нм и F =103 В/см
смещение d = 8 нм.
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности...
109
Таким образом, изменяя электрическое поле, мы можем как
бы сканировать систему на десяток нанометров в обе стороны
от первоначального положения минимума потенциала.
2.4. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННАЯ ПЕРЕДИСЛОКАЦИЯ
ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛОТНОСТИ
В ТУННЕЛЬНО-СВЯЗАННЫХ КВАНТОВЫХ ЯМАХ
Исследования в области разработки высокопроизводительных
вычислительных систем, средств связи и обработки информации
привели к появлению нового подхода в создании элементной базы
электроники [4-6]. В рамках этого подхода носителем информа-
ции выступает амплитуда электронной волновой функции в кон-
кретной области квантовой системы. Прикладывая внешнее
напряжение, меняющее энергетический спектр, можно вызы-
вать контролируемую передислокацию электронной плотно-
сти в системе, соответствующую преобразованию информации
по заданному закону.
В качестве физической основы для реализации приборов с уп-
равляемой передислокацией электронной плотности могут
быть использованы структуры, образованные набором туннельно-
связанных квантовых ям.
В многоямной квантовой структуре распределение амплитуды
волновой функции определяется, по сути, интерференцией кванто-
вых состояний различных квантовых ям. Поэтому перераспределе-
ние электронной плотности под действием внешнего напряжения
может носить сложный немонотонный характер. Соответствую-
щий немонотонный характер будет носить и изменение физиче-
ских характеристик системы, что открывает широкие возможности
для разработки различных квантовых приборов.
Исследование временной динамики процесса передислокации
волновой функции, определяющей быстродействие данных прибо-
ров, описано в [5].
Рассмотрим эволюцию электронных состояний системы, обра-
зованной набором квантовых ям и барьеров в монотонно меняю-
щемся во времени внешнем электрическом поле. В качестве
объекта возьмем одномерную структуру, состоящую из двух
квантовых ям (рис. 2.5).
Для описания процессов межъямного туннелирования необхо-
димо решить нестационарное уравнение Шредингера для системы
110
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
квантовых ям и барьеров в зависящем от времени электрическом
поле:
ST Й S2T
ih^- = ~ \ 2 + №) " gF(t)X)^, (2.4.1)
dt 2т дх1
здесь F(t)-V(t)!L - напряженность электрического поля; V(t) -
зависящее от времени внешнее напряжение, приложенное к струк-
Рис. 2.5. Энергетиче-
ская диаграмма струк-
туры в отсутствие (о)
и при наличии (б)
электрического поля
туре; L - размер структуры; U(х) - потенци-
альный рельеф структуры при F = 0.
Будем полагать, что прозрачность барье-
ра, разделяющего КЯ, невелика и без учета
межэлектронного взаимодействия систему
можно описать в приближении сильной связи.
При этом свойства отдельной квантовой ямы
удобно характеризовать величиной энергии
размерно-квантованных состояний Е® (левая
яма) и ER (правая яма), соответствующих
изолированным квантовым ямам, ограничен-
ным бесконечно широкими барьерами. Рас-
смотрим случай, когда в «затравочных»
изолированных ямах, из которых образована
структура, имеется только по одному электронному уровню.
В приближении сильной связи волновую функцию системы
можно представить в виде линейной комбинации одноямных соб-
ственных функций
Т(х,^) = £С1(0Ф1(х), (2.4.2)
где коэффициент С,- удовлетворяет условию нормировки. Вероят-
ность обнаружить электрон в z-й квантовой яме определяется квад-
ратом модуля |Сг-|2.
В умеренно сильных электрических полях в качестве Ф; и Фй
в (2.4.2) можно использовать волновые функции изолированных ям,
рассчитанные в отсутствие поля (F = 0). Расстояние Е2 — Д обу-
словлено перекрытием волновых функций Ф/ , Фд и относитель-
ным сдвигом одноямных уровней EL, ER к электрическом поле
Д,2
= 0.5 El+Er±J(El-Er)2+4W2
(2.4.3)
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности. .
111
здесь W - интеграл перекрытия; Ei=E^+q^>i, i-L,R, срг(х) -
электростатический потенциал. Оценки показывают, что для сис-
темы GaAs/AlAs, в которой высота барьеров на гетерогранице со-
ставляет около 1 эВ, приближение сильной связи применимо даже
для барьеров шириной порядка 10 А [7].
Согласно (2.4.3) при увеличении электрического поля происхо-
дит смещение уровней и при определенной полярности и величине
поля V >{Е^ -E^)lq можно даже осуществить инверсию уровней.
В слабо связанной двухъямной структуре при этом имеет место пе-
редислокация амплитуды волновой функции из одной ямы в другую.
В случае медленного адиабатического включения потенциала
изменение распределения вероятности нахождения электрона в
различных областях структуры можно получить, считая величину
поля F(t) в (2.4.1) зависящей от времени как от параметра. Тогда
электрон совершит бездиссипативную передислокацию из ямы 2 в
яму 1 (см. рис. 2.5). На рис. 2.6 представлены зависимости вероят-
ности со,- нахождения электронов в квантовых ямах
чО) = f|'i'CM)|2<fr
(интегрирование в пределах i -й ямы) от приложенного напряже-
ния, полученные в результате решения уравнения (2.4.1) для
двухъямной структуры при медленном адиабатическом изменении
напряжения. Согласно оценкам [4, 5] режим, близкий к адиабати-
ческому, достигается на временах порядка пикосекунды.
Рис. 2.6. Зависимость вероятности нахождения
электронов в квантовых ямах 1 и 2 при = 0,4Х,
а2=0,7Х и й = О,5Х (Х = (2л2Л2Ди*Л£с)1/2,
ЕЕС - высота барьера) от напряжения при его
медленном адиабатическом изменении [4]
112
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Рис. 2.7. Зависимости вероятности нахождения электрона в КЯ 1 и 2 от
времени для двухьямной структуры с параметрами al = 0,4k’ а2 = 0,7Х"
b - 0,5Х; Го = :
а - при ступенчатом изменении напряжения от Ио до V, в момент 1 = 0; б — при ступенча-
том изменении внешнего напряжения от Го до V, [4]
Иная ситуация наблюдается при скачкообразном изменении
напряжения. Электрон, находившийся в основном состоянии пре-
имущественно в яме 2, переходит в возбужденное состояние, но
по-прежнему максимум его волновой функции остается в яме 2,
совершая слабые осцилляции около положения равновесия. Пере-
дислокация максимума амплитуды волновой функции происхо-
дит путем межъямной релаксации с испусканием фонона.
На рис. 2.7, а показаны зависимости вероятности нахождения
электрона со, в каждой из ям от времени при ступенчатом измене-
нии напряжения от нуля до V >(Е2 -Ех)/q. Видно, что максимум
электронной плотности остается во второй яме, испытывая сравни-
тельно малые осцилляции.
Для описания передислокации необходимо включение в рас-
смотрение диссипативных процессов. Переключение же будет
осуществляться благодаря межъямной релаксации с испусканием
фонона.
Время переключения в этом случае определяется временем
релаксации и зависит от расстояния &Е между термами и
прозрачности барьера, определяющей степень перекрытия
волновых функций.
Если скачком изменить напряжение от нуля до резонансно-
го значения Vr, соответствующего равенству вероятности
обнаружить электрон в первой и второй ямах в стационарном
2.4. Интерференционная передислокация электронной плотности...
113
состоянии (см. рис. 2.6), то, как и в предыдущем случае, наблю-
дается осцилляторное поведение и(Г) (рис. 2.7, б), но амплиту-
да осцилляций велика, значения вероятностей в минимумах
обращаются в нуль, т. е. за период колебаний происходит пол-
ная предислокация электронной плотности из одной ямы в
другую. Период колебаний 27). при этом определяется расстоянием
между уровнями стационарных состояний в резонансных условиях
и существенно зависит от толщины барьера.
Сопоставляя рис. 2.7, а и б, можно сделать вывод о том, что для
осуществления бездиссипативной передислокации электронной
плотности необходимо вначале приложить к структуре напряже-
ние Vr, а в момент достижения максимума вероятности в первой
яме (т. е. при t = Тг ) скачком увеличить напряжение до значения
Vx, соответствующего передислокации в стационарных условиях.
На рис. 2.8 представлены зависимости со(/) для такого режима.
При этом передислокация в основном достигается за время Тг и
для структур, сформированных на основе слоев GaxAl1_xAs/GaAs,
составляет 0,15 пс для х = 0,3 и 0,45 пс при х = 0,1.
Отметим, что на таких временах осуществить ступенчатое изме-
нение напряжения на структуре очень сложно, однако оценки [4, 5]
показывают, что и при плавном, например линейном по времени,
включении напряжения можно добиться бездиссипативной пере-
дислокации за время менее 1 пс. Причем это время зависит от раз-
меров КЯ, и соответствующим их подбором оно может быть еще
Рис. 2.8. Изменение вероятностей со12 со
временем для двухьямной структуры при
двухступенчатом включении внешнего на-
пряжения; на вставке зависимость напряже-
ния от времени, т = 9/0 [5]
114
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
уменьшено. В [5], в частности, показано, что оптимальным режи-
мом переключения будет не скачкообразное изменение приложен-
ного к структуре напряжения, а более плавный процесс, при
котором система некоторое время находится в окрестности резо-
нанса уровней энергии различных квантовых ям. Время переклю-
чения в этом случае определяется временем туннелирования в
резонансе, которое для структуры GaAs-AlAs при толщинах барь-
еров и ям -40...50 А может быть порядка 0,1 пс. При этом оказа-
лось, что динамика передислокации волновой функции слабо
зависит от формы временного фронта импульса переключения.
2.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ СТУПЕНЬКА
В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В случае приложения электрического поля к системе металл
(сильно легированный полупроводник) - диэлектрик может быть
реализован потенциальный рельеф, показанный на рис. 2.9. Рас-
смотрим движение электрона через систему с таким треугольным
потенциальным барьером. Будем полагать, что потенциальная
энергия системы не зависит от времени. Тогда состояния движения
электрона могут быть найдены из решения уравнения Шредингера
-—yV{x) + U(x)^(x) = E^(x), (2.5.1)
Рис. 2.9. Потенциальная
ступенька в однородном
электрическом поле
0 при х < 0,
Uo - qFx при х > 0,
здесь F— напряженность электрического
поля, Uo > 0.
Будем полагать, что источник электро-
нов находится при х -> -оо. Тогда волно-
вая функция, описывающая движение
электронов с энергией Е, в области х < 0
может быть представлена в виде
4\(x) = ^(.E)exp(iAx) + B1(.E)exp(-iAx), (2.5.2)
где к — ^2тпЕ/к2 > 0.
2.5. Потенциальная ступенька в однородном электрическом поле
115
Сделав замену переменной х на
z =
Uo Е VImqF^'3
+ Й2 J ’
(2.5.3)
уравнение Шредингера для х > 0 можно привести к виду
dz2
+ z^2 (z) = °-
(2.5.4)
В свою очередь решения (2.5.4) выражаются через функции
Ганкеля первого рода Н®. Причем согласно [1] Т2 (z) следует
выбирать в виде
^2{z)=a2{e)4~zh^3
22з/2
(2.5.5)
так как именно такое решение имеет необходимую асимптотику
4'2(z)~A2(E)-^=exP i [|z3/2
у Пу/z L V 3
5тсЛ
12/
(2.5.6)
при X -> +00 .
Принимая во внимание, что согласно (1.1.9) плотность потока
частиц в состоянии, описываемом (2.5.5), при х->+оо равна
.(+) 31 л |2Г2Й^У/3
72 41^1 bd’
(2.5.7)
а плотность потока частиц, испускаемых источником, равна
;<+)=Ai|4(E) |2,
коэффициент прохождения D можно представить в виде
D = _3_f Y/3 |Л(^) Г
й2 J |д(я) |2 ’
(2.5.8)
116
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Соотношение между А2 (Ё) и Ах (Ё) находится из граничных
условий в точке х = 0. Учитывая непрерывность волновой функ-
ции и ее производной при х = 0, имеем
АХ(Е) + В1(Е) = А2(Е) Hff,
,1/3
z
z0 п-2/3
ik(Al(E)-Bl(E)) = A2(E)
2mqF
~tF
где z0 = z(x = 0) = (2mqFlrt"f,\E - UQ)/qF.
В результате окончательно получаем
D(E) =----------
TtlE-CZol
\2kqF
(2.5.10)
в
и
Как показано
Гэ гЛ1/3
[ 2mqF 1
—7 а>>Х
I Й2 )
(2.5.10) можно преобразовать к виду
[1], в случае барьера, для которого
z_ г-\1/з
Г(Е)»4^а(1-а)ехр -р/у(!-а)3
выражение
(2.5.11)
при E<U0 и к виду
. ч 4Ja(a-l)
Д(£)”,Д г—,2 (2.5.12)
Iva +va-l I
при E>U0. Здесь a = E/Uo , у = U0/Ex, Ex -Й2/(Ima1).
На рис. 2.10 приведены зависимости D[E) от a, рассчитанные
с использованием (2.5.11) для у = 8000, 13824 и 4096 . Видно, что
вероятность прохождения потенциальной ступеньки при приложении
к ней однородного электрического поля сильно зависит от высоты сту-
пеньки, энергии частицы и величины поля. При уменьшении высоты
2.6. Прохождение частиц через двухбарьерную структуру...
117
Рис. 2.10. Зависимости коэффициента прохождения
потенциальной ступеньки в однородном электрическом
поле от приведенной энергии а
ступеньки, увеличении энергии частицы или напряженности элек-
трического поля коэффициент прохождения возрастает.
Заметим, что выражение (2.5.11) совпадает с выражением для
коэффициента прохождения данного барьера, найденным в квази-
классическом приближении при условии, что
|7у(1-«)3 »1
В свою очередь (2.5.12) описывает поведение коэффициента
прохождения при надбарьерном пролете частиц. Согласно (2.5.12)
при увеличении энергии частицы коэффициент прохождения будет
монотонно расти.
2.6. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ
ДВУХБАРЬЕРНУЮ СТРУКТУРУ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Как показано в разд. 1.10, при туннелировании через систему
двух одинаковых одномерных барьеров частица может проходить
их без уменьшения амплитуды волновой функции. В электриче-
ском поле форма барьеров изменяется и они смещаются относи-
тельно друг друга по энергетической шкале. В результате
коэффициент прохождения уменьшается, однако соответствую-
щим изменением параметров системы (обычно за счет увеличения
ширины второго барьера) для определенных напряжений его опять
можно сделать равным единице.
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
118
Рис. 2.11. Энергетическая диаграм-
ма двухбарьерной структуры в
электрическом поле
Рассмотрим прохождение
частицы, изначально имеющей
энергию £р, через систему из
двух потенциальных барьеров и
КЯ (рис. 2.11), к которым при-
ложено постоянное напряжение
V и переменное напряжение с
частотой со. В результате высо-
та барьеров периодически ос-
циллирует во времени и для
нахождения состояний движе-
ния частицы необходимо решать
уравнение Шредингера вида
.„ат й2 а2т тг( ч,„
гй---———— + U( х,1 )Т,
dt 2m dt2 V '
(2.6.1)
где
U(x, f) = Ц (x, t) + U2 (x, f) + U3 (x, f) + U4 (x, /);
Ux------x + t/01 cos(coz), 0<x<Z],
L
0, x < 0, x > Zj;
t/2(x,z) =
x, Ll<x<Li+W,
0, x<Ll, x>L[ +W;
[ qV . .
, . I(72-—x + <702cos(coZ + cp), Ll + W<x<L,
] Z
[ 0, x < Zj + W, x > Z;
!74(x,z) =
o,
x < L,
L = Li+W + L-
x<L,
(2.6.2)
(2.6.3)
(2.6.4)
(2.6.5)
(2.6.6)
Здесь (701, Uo2 ~ амплитуды модуляции высот первого и второго
барьеров; ср - разность фаз.
2.6. Прохождение частиц через двухбарьерную структуру...
119
В области х<0 решение уравнения (2.6.1) может быть пред-
ставлено в виде [8]
W,(x,/) = Z {4-Л.?- }expf-i£f + , (2.6.7)
ЛТ -со \ "7
где кп = yj2m(EF + ийсо) /й, а в области х > L - в виде
гг/ / Л V /- •
'F5(x,Z) = х С„ехр^-1 -----------------
t-kn5(x-L) , (2.6.8)
Й
kn5=^2m(Ev + nh(i)+qV)/h. Первый член в (2.6.7) описывает
падающую на структуру частицу, второй - совокупность отражен-
ных (при Ер + лйсо > 0) или (при Ер + ий<п < 0) локализованных
около барьеров (поверхностные состояния) волн.
В квантовой яме между барьерами решение уравнения Шре-
дингера выражается через функции Эйри
Т3(х,г) = f
П=-оо \ Х0 J \ ^0 .
( . Ер + лйсо
х exp I -I ------1
(2.6.9)
где 02(л) = (Z?F + nha>)/qV, a xQ = (h2L/2mqК)1 /3. Тогда в области
первого барьера волновая функция принимает вид
U i”
Т2(х,/) = ехр -—sin(toz) • £„Ai
\ ЙСО / „__т
+G„Bi
&(n)L + x\ ( .Ep+nho
—------ (exp -i-E—---
x0 J] I 2.
(2.6.10)
а в области второго -
i U i 00 i
Т4 (x,/) = exp -i—— sin(coZ + cp) • HnAi -
l Йю J
G3(n)Z + x
x0
120
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
к
03(л)£ + х
х0
I . Ev + ийо
'еХР1~1~Х-------*
(2.6.11)
0,(«) = (£'f + nh(f>-Ul)/qV, 03(«) = (£’F + nh(f>-U2)/qV.
Из (2.6.7) - (2.6.11) следует, что усредненная по периоду коле-
баний производная от плотности вероятности р = ТТ* по времени
равна нулю и поэтому
Y(Dn+Rn) = l. (2.6.12)
п
Здесь Dn и Rn- коэффициенты прохождения и отражения для ка-
нала с номером п:
Dn= 1£Р+п^+ЯК~IC„\2®(EF + nto + qP); (2.6.13)
V
_ I Ер + । |2 \
Rn = J" ......I 41 ® (ef + "M '>
V
(2.6.14)
®(Z)-единичная функция Хевисайда.
Используя условия непрерывности волновой функции и ее пер-
вой пространственной производной, в [8] получили бесконечную
систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами
для определения Сп и Ап.
На рис. 2.12 приведены зависимости Do от приложенного на-
пряжения V, рассчитанные для случая Ux = U2 =1,8эВ; Z, =1 нм;
l2 =1,3 нм; 17=3 нм; ef =1 эВ; й<о=о,1 эв; (701 =и02 =0,05 эв;
ср = 0, m-rriQ, rriQ- масса электрона. Анализ показывает, что для
основного канала (п = 0), которому соответствует прохождение без
излучения и поглощения частицей квантов колебаний, увеличение
энергии модуляции в диапазоне 0<Йсо<0,15 эВ (при неизменных
отношениях (701/(Йсо) и (702/(Йсо)) приводит к уменьшению значе-
ния DOmax и смещению максимума в область меньших напряжений.
Согласно [8] для данной системы при Йсо = 0.01 эВ максимальное значе-
ние 7)Отах = 0,9938 достигается при 7тах = 0,45075 В, а при
Йсо = 0,15 эВ ВОтах = 0,9111 и У^ = 0,45036 В.
2.6. Прохождение частиц через двухбарьерную структуру...
121
Рис. 2.12. Зависимость коэффициента прохождения Do от
напряжения V:
1 - Йо = 0,1 эВ; 2 - Йо = 0 (статический случай) [8]
Таким образом, для частицы, туннелирующей через два барьера, к ко-
торым приложено напряжение V, а высоты гармонически изменяются
во времени с частотой со, с увеличением частоты модуляции резонанс-
ное значение коэффициента прохождения уменьшается, а резонансная
кривая смещается в область меньших напряжений. Кроме того, измене-
ние кривой прохождения существенно зависит от значений
1701 /(Йсо) и (7о2 /(Йсо) .
Прохождение частиц по каналам с п*0 (с излучением для
и<0 или поглощением для и>0) также носит резонансный
характер и определяется величинами (701 /(Йсо), (702 /(Йсо), EF и со.
Резонансы имеют место при прохождении частиц с поглощени-
ем для Vn<VmaK и V^, ас излучением при Ктах и Ки >Ктах
(здесь Ктах - напряжение, при котором достигается максимум
коэффициента прохождения без излучения и поглощения). При
этом Ки расположено ближе к Ктах, чем Кп, и эта несиммет-
ричность возрастает с ростом со. Дополнительного увеличе-
ния Dn при VK и Кп можно добиться, изменяя величину
барьеров. Для наиболее эффективного поглощения частицей кван-
та колебаний необходимо уменьшить ширину второго барьера, а
для наиболее эффективного испускания - ее увеличить.
122 Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В последние годы в связи с созданием и быстрым совершенст-
вованием квантового каскадного лазера инфракрасного диапазона
на межподзонных переходах интерес к изучению транспорта элек-
тронов через системы потенциальных ям и барьеров в высокочас-
тотном электрическом поле заметно усилился. Наиболее подробно
модель двухбарьерных структур с электронной накачкой в двух-
уровневом приближении, позволяющая учесть произвольные фор-
мы барьеров и возмущения, рассматривается в работах [9-13].
Авторами, в частности, удалось найти аналитические самосогласо-
ванные решения нестационарных уравнений Шредингера и Пуас-
сона, описывающих взаимодействие электронов, туннелирующих
через двухбарьерные структуры, с высокочастотным электриче-
ским полем. Показано, что с приложением высокочастотного поля
в таких структурах может наблюдаться гистерезис вольт-амперной
характеристики, а при определенных условиях могут возникнуть
токовые осцилляции.
Следует отметить, что излучательные переходы в квантовом
каскадном лазере (QC-лазере) с последовательным туннелирова-
нием электронов составляют порядка 10-3...10~4 от общего числа
межподзонных переходов, что заставляет пропускать через струк-
туры большие токи. Вместе с тем в 1994 году Е.И. Толандом,
А.Б. Пашковским и А.С. Тагером выдвинута идея лазера с чисто
баллистическим (когерентным) транспортом электронов, откры-
вающая новые возможности для совершенствования лазеров. При
этом использование интерференционных эффектов в трехбарьер-
ных структурах должно существенно повысить интенсивность и
квантовую эффективность переходов. Дело в том, что в отличие
от двухбарьерных структур, где частота переходов определя-
ется продольным размером квантовой ямы и номерами резо-
нансных уровней, в трехбарьерной структуре частотой
переходов можно управлять, меняя мощность среднего барьера
(см. рис. 1.21). Важной особенностью расщепленных уровней
является их практически одинаковая ширина (в отличие от
двухбарьерных структур, где нижний уровень всегда значительно
уже верхнего), что во многом облегчает получение высоких значе-
ний отрицательной динамической проводимости.
В работах [14,15] развивается математическая модель, описы-
вающая когерентное туннелирование электронов в трехбарьерных
квантоворазмерных структурах в высокочастотном электрическом
поле терагерцевого диапазона. Исследованы частотные зависимо-
сти отрицательной динамической проводимости (интенсивности
2.7. Влияние однородного электрического поля...
123
квантовых переходов) трехбарьерных наноструктур с когерентным
туннелированием электронов по близко лежащим расщепленным
энергетическим уровням.
2.7. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
НА ДВУХЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В ДВОЙНОЙ КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ
Установленная в [16] возможность контролируемым образом
перемещать электронную плотность из одной квантовой точки в
соседнюю и проводить полный набор базовых логических опера-
ций, необходимых для выполнения квантовых вычислений, откры-
—ла перспективы использования двойных квантовых точек в
качестве базовых элементов квантового компьютера и стимулиро-
вала исследование таких систем.
Расчет электронных спектров в двойной квантовой точке в от-
сутствие и при наличии внешних полей проводился в [17-21]. Рас-
смотрим систему из двух одинаковых туннельно-связанных
сферических квантовых точек радиусом R с двумя электронами в
постоянном электрическом поле напряженности F, направленном
вдоль оси структуры. Следуя [21], будем полагать потенциальный
барьер между точками достаточно высоким, а размеры точек -
столь малыми, что энергия размерного квантования существенно
превышает не только энергию расщепления уровней Д, но и энер-
гию кулоновского взаимодействия, и тепловую энергию. В резуль-
тате можно ограничиться двухуровневым приближением.
Анализируя такую двухуровневую систему в приближении
бесконечно глубокой потенциальной ямы, выражение для расчета
спектра электронов можно представить в виде [21]
(Е + Г)[(е + Г)(е-К)2 -4И/2(е + И)-(е-И)Д2] = 0, (2.7.1)
где е = E-U-2Х-Д-Й27г2 I mR1, а X, W, U и V - матричные
элементы, учитывающие межэлектронное взаимодействие в элек-
трическом поле. При этом комбинации матричных элементов U + V
и U-V имеют смысл энергий взаимодействия электронов, соответ-
ственно находящихся в центрах одной и разных квантовых точек.
В случае отсутствия внешнего поля (F = 0) РГ = О и из (2.7.1)
имеем
Ео =и + 2Х + ^- + Л-д/к2+Д2 ,
mR2
124
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
*2 2 2
Е, =U + 2X + —^ + b-V, E2=U + 2X +------z- + A + K,
1 mR2 mR2
E.=U + 2X + ^-^ + t\ + ^V2 +Ь2 . (2.7.2)
mR2
Согласно (2.7.2) в отсутствие внешнего электрического по-
ля кулоновское взаимодействие приводит к сдвигу всех уровней
на величину U + 2Х, а также к снятию вырождения среднего
уровня. Кроме того, анализ показывает, что для основного состояния в
условиях сильного кулоновского взаимодействия (К » А) вероятность
нахождения обоих электронов в одной КТ оказывается малой (порядка
(А/2Г)2),а вероятное-гь" обнаружения электронов в разных точках
близка к единице В первом возбужденном состоянии вероятность
обнаружения двух электронов в одной точке вообще равна нулю. То
есть кулоновское взаимодействие в данном случае с максимальной ве-
роятностью разводит электроны по разным точкам. Во втором возбуж-
денном состоянии с единичной вероятностью электроны окажутся в
одной из КТ и не могут быть обнаружены в разных. В третьем возбуж-
денном состоянии с достаточно большой вероятностью электроны бу-
дут находиться в какой-то одной квантовой точке.
Причиной расхождения электронов по разным квантовым точкам
в основном состоянии является кулоновское отталкивание. В этом
случае имеет место своеобразный запрет на туннелирование электро-
на из одной точки в другую, если
там уже есть второй электрон, -
явление, называемое кулоновской
блокадой туннелирования [21].
Для преодоления кулоновского
отталкивания необходимо прило-
жить дополнительные внешние уси-
лия, например включить постоянное
электрическое поле, направленное
вдоль оси двойной квантовой точки.
Рассмотрим теперь влияние по-
Рис. 2.13. Функциональные зави-
симости Е; (1Р), рассчитанные по
(2.7.1) при Д/И = 0,5 (номера кри-
вых соответствуют стационарным
состояниям)
стоянного электрического поля на
энергетический спектр и распре-
деление электронов в двойной
квантовой точке. На рис. 2.13 при-
ведены зависимости е,(1Р), рас-
2.7. Влияние однородного электрического поля..
125
Рис. 2.14. Зависимости вероятностей
р(0) , р(2) и р(3) от отношения WjV
при Л/И = 0,5:
- сплошная кривая; Р,\ - пунктир и Р/ -
штриховая кривая [21]
считанные с использованием
(2.7.1). Видно, что электриче-
ское поле существенно изменяет
положение энергетических
уровней всех состояний, кро-
ме первого возбужденного
состояния.
На рис. 2.14 приведены
зависимости вероятностей на-
хождения обоих электронов
соответственно в левой P[L и
правой Р^ квантовых точках,
а также вероятности симметрич-
ного 7^ расположения элек-
тронов в разных точках от
отношения W/V для j-0, 2 и
3. Для первого возбужденного
состояния Р,Ф=РР2=0, Р^=1.
Видно, что вероятности /у
являются симметричными
функциями W, a P[L и P^R
при смене знака IV переходят
друг в друга. Можно также заметить, что значениям матричного
элемента W, соответствующим горизонтальным участкам (или
приближающимся к горизонтальным) на зависимости в,-(Ж), все-
гда отвечает симметричное расположение заряда в КТ. Кроме того,
те участки, на которых энергия монотонно изменяется при измене-
нии электрического поля, соответствуют максимально несиммет-
ричному пространственному распределению электронной плот-
ности. Переход от одного «режима» к другому происходит в
точках антикроссинга: для второго и третьего возбужденных со-
стояний - при IV = 0, а для основного и второго возбужденного
состояний - при W - +V. Такое поведение, например, для основ-
ного состояния объясняется тем, что в области |1К < К| электро-
ны находятся в разных квантовых точках и их потенциальные
энергии во внешнем поле компенсируют друг друга (так как имеют
126
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
разные знаки). Это и отражает почти горизонтальный участок на
кривой е0(И7) . При переходе через точку антикроссинга
W = V оба электрона в основном состоянии переходят в левую
точку. В результате их потенциальные энергии во внешнем элек-
трическом поле уже складываются (так как имеют одинаковые
знаки) и энергия основного состояния начинает изменяться про-
порционально изменению поля. Следует отметить, что данные
закономерности в достаточной степени универсальны и не должны
существенно зависеть от формы квантовых точек [21]. Соотноше-
ния матричных элементов и потенциальной энергии электронов
будут в значительной степени зависеть от диэлектрических поля-
ризационных свойств материалов как самих квантовых точек, так и
окружающей среды.
В случае контакта двух материалов с близкими значениями ди-
электрической проницаемости (например, близких по свойствам
полупроводников), пренебрегая искажениями электрического поля
около границ КТ, потенциальную энергию парного взаимодейст-
вия двух электронов можно представить в стандартном виде
q2
v ----------------.
4ле5е0|г]-г2|
(2.7.3)
Если уровень отсчета потенциальной энергии выбрать посередине
между квантовыми точками, то потенциальная энергия каждого из элек-
тронов во внешнем электрическом поле напряженности F будет
описываться выражением V(r) = qFr = qFx (F - проекция вектора
напряженности электрического поля F на ось х). В [21] показано,
что в данном случае симметричные диагональные элементы X то-
ждественно обращаются в нуль (в силу симметрии задачи), а не-
диагональные элементы W - qFL (здесь 2L — расстояние между
центрами квантовых точек).
В свою очередь матричные элементы парного взаимодействия
и=_ 1 _ Si<27t) | , q2 __ q2 (0.893 । 1 >,
4тге5е0/?^ 2л 4л J 16ле5е07, 4ле5е0^ R 4LJ
(2.7.4)
q2 Г _ 51(2л) f 51(4л)> _ q2__________g2 Г 0,893____1J|
4ле5е0/?(< 2л 4л ) 16ле5е0£ 4ле5е0^ R 4L)
где Si(X) - функция интегрального синуса аргумента X.
2.7. Влияние однородного электрического поля...
127
Таким образом, из (2.7.2) и (2.7.4) заключаем, что учет кулонов-
ского взаимодействия повышает энергии основного и первого возбу-
жденного состояний приблизительно на q2 l(^>n£s£0L), а энергии
второго и третьего возбужденных состояний - на 1,78<?2 /(4tfes£0R) .
Кроме того, условие | W |- V, задающее точки антикроссинга, те-
перь принимает вид
-----------------= 2q\F\L (2.7.5)
47ГЕ5ЕоА 8тсе5е0Т
и представляет собой закон сохранения энергии. Левая часть
(2.7.5) соответствует разности энергий взаимодействия электронов,
находящихся в одной и в разных КТ, а правая - работе электриче-
ского поля по перемещению заряда из одной квантовой точки в
другую. Таким образом, (2.7.5) определяет некоторое критическое
значение электрического поля F, при котором кулоновская блока-
да может быть преодолена. При меньших значениях электрическое
поле не может преодолеть силы отталкивания и электроны остают-
ся в разных квантовых точках. Согласно оценкам [21] критическое
значение напряженности электрического поля может превышать
105 В/см, что соответствует разности потенциалов между кванто-
выми точками в несколько десятков милливольт.
Отметим, что в другом предельном случае, когда контактируют
материалы с сильно различающимися диэлектрическими прони-
цаемостями (например, полупроводник и диэлектрик), зависимость
ГЮ(1ЬГ2) может существенно отличаться от обычного кулонов-
ского закона, а К(г) уже не равно </Fr , поскольку поля, создавае-
мые каждым электроном, претерпевают сильные изменения по
сравнению со случаем однородной среды [22]. Кроме того, при
записи полной потенциальной энергии электронов необходимо
учесть еще и энергию взаимодействия каждого электрона с полями
изображений. Энергия взаимодействия электрона с полем собст-
венного изображения будет давать вклад в функцию К(г), ас по-
лем другого электрона - Квз (q, г2 ).
Полагая, что диэлектрическая проницаемость полупроводника
мною больше диэлектрической проницаемости диэлектрика Erf, в
128
Глава 2 ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
[21] выражение для оценки критического поля, достаточного для
преодоления сил отталкивания, удалось представить в виде
г = М1--!.
“Р . 87terfE0Z y.R 2LJ
(2.7.6)
Численные значения FKp имеют тот же порядок величины, что и в
случае контакта двух полупроводников с близкими поляризацион-
ными свойствами.
2.8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЕРХРЕШЕТКИ
ИЗ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК В ПОСТОЯННОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Известно, что в отсутствие электрического поля энергетический
спектр электронов и дырок в сверхрешетках из квантовых точек
(СРКТ) представляет собой набор мини-зон, образующихся в допол-
нительном периодическом потенциале сверхрешетки, модулирующем
дно зоны проводимости и верх валентной зоны материала, в котором
изготовлена сверхрешетка. В постоянном электрическом поле энерге-
тический спектр электронов и дырок в идеальных двумерных и трех-
мерных СРКТ может существенно изменяться и становиться
дискретным или непрерывным в зависимости от ориентации поля
относительно кристаллографических осей сверхрешетки [23-26].
Следуя [23, 24], предположим, что величины электрического
поля и резонансных интегралов перекрытия между квантовыми
точками настолько малы, что применимо одноминизонное при-
ближение. Это соответствует случаю, когда в изолированной КТ
есть только один уровень квантования.
Условие «изолированности» мини-зоны можно записать в виде
(2.8.1)
m*Egd
где F - напряженность электрического поля, т* - эффективная
масса электрона в материале сверхрешетки, Eg - величина энерге-
тической щели между мини-зонами, d - период сверхрешетки [24].
2.8. Энергетический спектр сверхрешетки из квантовых точек
129
В [23] в качестве базиса использованы функции Ванье. Здесь
показано, что уравнение для коэффициентов разложения Ср вол-
новой функции электрона по функциям Ванье имеет вид
(Е + qF • р) Ср - X АР-Р1СР1 = 0, (2.8.2)
pi
здесь р = ^и,а, - собственные векторы СРКТ, а; - базисные кри-
i
сталлографические векторы СРКТ; Др_Р1 - модифицированные
электрическим полем интегралы перекрытия.
Анализ показывает, что решения (2.8.2) даже качественно раз-
личны для двух классов ориентаций электрического поля относи-
тельно базовых векторов СРКТ.
Если все отношения проекций электрического поля на ба-
зисные векторы СРКТ (F a, )/(F ak), i*k, - иррациональные
числа (иррациональные направления поля), то электрические
потенциалы всех узлов СРКТразличны. Для таких направлений
электрического поля векторы сверхрешетки, перпендикуляр-
ные к полю, отсутствуют (так как плоскость постоянного элек-
трического потенциала проходит только через одну квантовую
точку (рис. 2.15)), спектр дискретен и образует двумерную или
трехмерную лестницу Ванье - Штарка'.
Ек = —qF • R = -YQ^F - а,- , (2.8.3)
где R = niai ~ вектор прямой решетки.
Электрон в таких состояниях локализован во всех направ-
лениях.
Когда хотя бы одно из от-
ношений (F-a,)/(F-ak), i^k,-
рациональное число (рациональ-
ные направления электриче-
ского поля), в перпендикулярной
к полю плоскости возникают
цепочки (или плоскости) кван-
товых точек, электрический
потенциал которых одинаков
(рис. 2.15). Это означает суще-
ствование векторов сверхре-
шеток, перпендикулярных к
Рис. 2.15. Рациональные (Fp) и ир-
рациональные (F„pp) направления
электрического поля в 2D СРКТ
5 Основы наноэлектроники
130
Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
полю. В [23] показано, что в данном случае на каждой ступени
штарковской лестницы образуется поперечная мини-зона (рис. 2.16),
а выражение для энергетического спектра с учетом экспоненци-
альной зависимости резонансных интегралов от расстояния между
квантовыми точками для каждого рационального направления
поля может быть представлено в виде
En (к) = -NqFan +-^^cos(faz±), (2.8.4)
где к — волновой вектор поперечного движения; ап - расстояние
между поперечными цепочками; qFa^ - разность электростатиче-
ского потенциала между соседними поперечными цепочками кван-
товых точек; - расстояние между квантовыми точками в
поперечных цепочках; Д± - ширина поперечных мини-зон.
Рис. 2.16. Спектр сверхрешетки из квантовых ям в электрическом поле (а);
спектр СРКТ при рациональных направлениях электрического поля (б) [23]
Следует отметить, что так как расстояния между квантовыми
точками в поперечных цепочках (плоскостях) различаются для
разных рациональных направлений поля (расстояния между кван-
товыми точками увеличиваются с увеличением кристаллогра-
фического индекса направления поля, см. рис. 2.15), а резонансные
интегралы экспоненциально зависят от этого расстояния, ширина
поперечной мини-зоны в (2.8.4) также экспоненциально зависит
от направления электрического поля (рис. 2.17).
Еще одно существенное отличие спектра (2.8.4) от спектра
штарковской лестницы в сверхрешетке из квантовых ям заключа-
ется в узости поперечных мини-зон, образующихся в СРКТ за счет
2.8. Энергетический спектр сверхрешетки из квантовых точек...
131
возможности резонансного тун-
нелирования электронов в по-
перечных цепочках КТ. Как и в
сверхрешетке из квантовых ям,
область локализации электрона
в электрическом поле Тлок оп-
ределяется отношением резо-
нансного интеграла между
ближайшими квантовыми точ-
ками в направлении поля Ап и
разностью электрических по-
Рис. 2.17. Зависимость ширины
поперечных мини-зон от ориента-
ции электрического поля относи-
тельно кристаллографических осей
2D СРКТ (длины лучей соответст-
вуют ширине мини-зон в логариф-
мическим масштабе при данном
направлении электрического поля)
тенциалов этих квантовых точек
А = 2 Ап /(gFa^. В слабых полях,
когда А »1, длину локализа-
ции в направлении поля можно
оценить как Алок = 2Аап. В
противоположном предельном
случае сильных полей (А«1)
электрон оказывается в основ-
ном локализованным в одной цепочке квантовых точек, перпенди-
кулярной к электрическому полю, а амплитуда волновой функции
в соседних цепочках при этом пропорциональна А. В тоже время в
одномерных сверхрешетках из квантовых ям состояния различных
ступеней штарковской лестницы благодаря широкому поперечно-
му спектру остаются вырожденными при любой величине элек-
трического поля (рис. 2.16, а).
Как показали исследования [24, 25], столь сильная зависимость
энергетического спектра электронов в СРКТ от величины и ориен-
тации электрического поля позволяет путем их изменения добиться:
а) полного подавления однофононного рассеяния на оптических
фононах; б) сильного подавления рассеяния на акустических фоно-
нах между поперечными мини-зонами штарковской лестницы;
в) уменьшения скорости затухания блоховских осцилляций при рас-
сеянии на акустических фононах внутри поперечных мини-зон по
крайней мере на два порядка величины, что очень важно для созда-
ния источников и приемников излучения в терагерцевом диапазоне
частот.
432 Глава 2. ВЛИЯНИЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике:
Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
2. Лазаренкова О.Л., Пихтин А.Н. Энергетический спектр неидеальной кван-
товой ямы в электрическом поле И ФТП. - 1998. - Т. 32, вып. 9. - С. 1108-1113.
3. Елинсон М.И., Петров В.А. Электрооптические эффекты в структурах с
квантовыми ямами И Микроэлектроника. - 1987. - Т. 16, вып. 6. - С. 522-532.
4. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В.. Кремлев ВЯ. Квантовые при-
боры на основе эффекта передислокации волновых функций в гетероструктурах //
Микроэлектроника. - 1994. - Т. 23, вып. 5. - С. 17-26.
5. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В. Управляемая эволюция электрон-
ных состояний в наноструктурах // ЖЭТФ. - 1995. - Т. 107, вып. 4. - С. 1320-1349.
6. Горбацевич А.А;, Капаев В.В., Копаев Ю.В., Кремлев ВЯ. Квантовые при-
боры на основе эффекта передислокации волновой функции // Электронная про-
мышленность. - 1995. - № 4-5. - С. 28-31.
7. Ивченко Е.Л., Киселев А.А., Зу Н., Вилландер М. Бистабильность туннельно-
го тока и фотолюминесценция в трехбарьерной структуре // ФТП. - 1993. - Т. 27,
вып. 9.-С. 1561-1568.
8. Олендский 0.3. Прохождение частиц через многослойные туннельные
структуры И ЖТФ. - 1992. - Т. 62, № 1. - С. 92-97.
9. Беляева И.В., Голант Е.И., Пашковский А.Б. Особенности резонансного
взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в двухбарь-
ерных структурах И ФТП. - 1997. - Т. 31, вып. 2. - С. 137-1144.
10. Голант Е.И., Пашковский А.Б. Зависимость резонансной проводимости
симметричных двухбарьерных структур от амплитуды высокочастотного поля //
ФТП. - 1997. - Т. 31, вып. 8. - С. 950- 953.
11. Голант Е.И., Пашковский А.Б. Резонансное взаимодействие электронов с
высокочастотным электрическим полем в несимметричных двухбарьерных струк-
турах и ФТП. - 1997. - Т. 31, вып. 9. - С. 1077-1082.
12. Голант Е.И., Пашковский А.Б. Двухуровневые волновые функции элек-
тронов в двухбарьерных квантово-размерных структурах в электрическом поле
конечной амплитуды // ФТП. - 2000. - Т. 34, вып. 3. - С. 334-339.
13. Пашковский А.Б. Переменный пространственный заряд и неоднознач-
ность квантовых состояний в двухбарьерных структурах И ФТП. - 2000. - Т. 34,
вып. 3. - С. 340-348.
14. Голант Е.И., Пашковский А.Б. Существенное увеличение интенсивности
квантовых переходов в трехбарьерных структурах за счет интерференционных
эффектов И ЖЭТФ. - 1998. - Т. 67, вып. 6. - С. 372-377.
15. Голант Е.И., Пашковский А.Б. Резонансные переходы между расщепленны-
ми уровнями трехбарьерных наноструктур и перспективы их применения в приборах
субмиллиметрового диапазона // ФТП. - 2002. - Т. 36, вып. 3. - С. 330-337.
16. Федичкин Л.Е., Янченко М.В., Валиев КА. Квантовые вычисления, ис-
пользующие электронное туннелирование в квантовых точках со встроенным
барьером // Тез. докл. 4-й Рос. конф, по физике полупроводников. - Новосибирск,
1999. - С. 233.
2.8. Энергетический спектр сверхрешетки из квантовых точек...
133
17. You J.Q., Zheng H.-Z. Spectral properties of a double-quantum-dot structure: A
causal Green’s function approach И Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 60, № 12. - P. 8727-8733.
18 Imamura H, Maksym PA Aoki H. Vertically coupled double quantum dots in
magnetic fields // Phys. Rev. В - 1999. - Vol. 59, № 8 - P. 5817-5825.
19. Nagarajia S., Leburton J.-P., Martin RM. Electronic properties and spin polari-
zation in coupled quantum dots II Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 60, № 12. - P. 8759-8766.
20. Bryant G. W. Electrons in coupled vertical quantum dots: Interdot tunneling and
Coulomb correlation // Phys. Rev. B. - 1993. - Vol. 48, № 11. - P. 8024-8034.
21. Бурдов B.A. Двухэлектронные состояния в двойной квантовой точке в по-
стоянном электрическом поле И ФТТ. - 2001. - Т. 43, вып. 6. - С. 1110-1116.
22. Babic D., Tsu R, Greene RF. Ground-state energies of one- and two-electron
silicon dots in an amorphous silicon dioxide matrix // Phys. Rev. B. - 1992. - Vol. 45,
№24.-P. 14150-14154.
23. Дмитриев И.А., Сурис P.A. Локализация электронов и блоховские осцил-
ляции в сверхрешетках из квантовых точек в постоянном электрическом поле И
ФТП. - 2001. - Т. 35, вып. 2. - С. 219-226.
24. Дмитриев И.А., Сурис Р.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхре-
шетках из квантовых точек. Общий формализм // ФТП. - 2002. - Т. 36, вып. 12. -
С. 1449-1459.
25. Дмитриев И.А., Сурис Р.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхре-
шетках из квантовых точек различной размерности И ФТП. - 2002. - Т. 36,
вып. 12. - С. 1460-1469.
26. Сурис Р.А, Дмитриев И.А. Блоховские осцилляции в сверхрешетках из
квантовых точек // УФН. - 2003. - Т. 173, № 7. - С. 769 — 776.
ГЛАВА 3
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ
В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
3.1. ОСОБЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ
СОСТОЯНИЙ В 20-СИСТЕМАХ
Использование для определения разрешенных значений энер-
гии в объемных (3D) материалах граничных условий в виде усло-
вий цикличности Борна - Кармана приводит к выводу о том, что
компоненты волнового вектора К изменяются не непрерывно, а
принимают ряд дискретных значений. Так,
V 2Л V 2Л 2Л /О 1 1 \
Ах Ly Lz
здесь п, = 0, ± 1, ± 2...; Lx,Ly,Lz - размеры кристалла (в форме
параллелепипеда) соответственно вдоль направлений х, у и z. При
этом объем К-пространства, приходящийся на одно квантовое
состояние, оказывается равен (2л)3/И, где V = LxLyLz - объем
кристалла. Таким образом, число электронных состояний, прихо-
дящихся на элемент объема d3K = dKxdKydKz, рассчитанное на
единицу объема кристалла, будет равно
„ d3K 1 2d3 К
dN -2----7-----=----7-
(2 л)3 IV V (2 л)3
(3-1.2)
здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.
Заметим, что согласно (3.1.2) число состояний, приходящихся на
3.1. Особенность распределения плотности состояний в 20-системах... "135
единичный объем К-пространства g(k) (т.е. плотность состоя-
ний), не зависит от величины К:
dN _ 2
d3K ~ (2л)3 ’
иными словами, в К-пространстве разрешенные состояния
распределены с постоянной плотностью.
В приложениях, однако, необходимо знать количество состоя-
ний, приходящихся на единичный интервал энергии Е (т.е. плот-
ность состояний g(£)), и зависимость плотности состояний от Е, а
не от К. Точное вычисление функции g(£) в общем случае практи-
чески невозможно, так как изоэнергетические поверхности могут
иметь довольно сложную форму. Часто оказывается достаточным
знать функцию g{E) только вблизи краев зон. При этом обычно
удается воспользоваться приближением эффективной массы и све-
сти задачу о нахождении спектра разрешенных состояний, а зна-
чит, и зависимости Е от К к решению уравнения Шредингера для
свободной частицы с эффективной массой т*. Например, для про-
стой изолированной изотропной энергетической зоны решение
уравнения Шредингера в приближении эффективной массы
будет иметь вид плоской волны
Т (х,у, z) = (LxLyLz )’1/2 exp[z(^x + КуУ + /Czz)] (3.1.3)
(а не функции Блоха), а связь энергии с волновым вектором К
представится в виде
Е = ^(к2+К2у+К2\ = ~К2, (3.1.4)
2?и 2/и
здесь К2 ={кх + Ку + Ki}.
Заметим, что в (3.1.3), (3.1.4) отсчет энергии ведется от точки
экстремума зависимости Е от К. В дальнейшем для определенно-
сти будем полагать, что отсчет энергии ведется от дна зоны прово-
димости объемного (3D) материала.
В этом простейшем случае изотропного параболического зако-
на дисперсии (3.1.4) изоэнергетические поверхности представляют
собой сферы (рис. 3.1, а). Объем такой сферы равен
U = ^nK3, (3.1.5)
136 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
а радиус сферы К связан с энергией Ё, определяющей данную
изоэнергетическую поверхность, уравнением (3.1.4). Согласно
(3.1.2) число электронных состояний N, приходящихся на объем
Х-пространства, для единичного объема кристалла равно
U
(2л)3
К3
Зл2
1 Го * У/2
1 2?И ~
—7 ~ГЕ •
Зл2 I Й2 J
.2
(3.1.6)
N = 2
1
Именно столько разрешенных состояний в единице объема
данного кристалла будут соответствовать энергиям менее Е.
Найдем теперь число квантовых состояний, приходящихся на
объем сферического слоя, заключенного между двумя близкими
изоэнергетическим поверхностями, соответствующими энергиям Е
и Е + dE.
а б
Рис. 3.1. Изоэнергетическая поверхность (а) и зависимость
плотности состояний от энергии (б) для ЗВ-систем
Согласно (3.1.5) объем сферического слоя в Х-пространстве
dU = 4nK2dK , (3.1.7)
здесь dK - толщина слоя. На этот объем будут приходиться dn
состояний
, „4nK2dK K2dK
dn = 2----— =---=—
(2л)3 л2
(3.1.8)
или, учитывая связь ЕиК (3.1.4),
1 (э *У/2
dn= —- jEdE.
2л2 Й2
3.1. Особенность рвспределения плотности состояний в 2О-системах...
137
Отсюда плотность состояний будет равна
g(E) =
dn _ (2w*)3/2
dE~ 2л2Й3
(3.1.9a)
В случае эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей
й2
2
преобразованием
выражение для спектра можно привести к сферической форме
Е = —К'2
2
В результате с учетом (3.1.2), (3.1.5) и (3.1.8) для плотности со-
стояний получаем следующее выражение:
/ - ♦ ♦
2тxmvmz I
ДО—1 v (3L96)
dE л й
Таким образом, в объемных (3D) кристаллах с параболи-
ческим энергетическим спектром при увеличении энергии
плотность разрешенных энергетических уровней (плот-
ность состояний) увеличивается пропорционально у[Ё (см.
рис. 3.1, б).
Рассмотрим случай, когда движение электрона будет опреде-
ляться периодическим потенциалом кристаллической решетки и
дополнительным потенциалом
)0 при 0 < z < W,
оо при z<0 и z>W,
ограничивающим движение вдоль оси z. Такая система может рас-
сматриваться как грубая модель для описания движения частиц в
тонкой пленке узкозонного полупроводника (толщина пленки W),
выращенной между двумя слоями широкозонного полупроводника.
Ограничиваясь рассмотрением энергетических состояний только
у края зоны с изотропным законом дисперсии, в данном случае
138
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
(f7(z) = 0 = const для 0 < z < W) также можно воспользоваться при-
ближением эффективной массы. В этом приближении движение
электронов проводимости вдоль осей х и у (в плоскости пленки)
оказывается свободным (но с массой т*), а движение вдоль оси z
будет ограничено потенциалом U(z) (квазидвумерная система или
2В-система).
Для данного профиля потенциала с учетом граничных условий
(Т = О при z = О и z = W) одноэлектронные нормированные вол-
новые функции и энергетический спектр электронов можно
представить в виде
/ 2 \1/2 ( ")
T(x,y,z) = sin ^z exp[i(^x + ^y)];
(3.1.10)
h2 ( э h2 i з э\
E(n,Kx,Kv) =—- — n2+——\KX + K2}, (3.1.11)
x y 2m W 2m ' y'
здесь Lx,Ly - размеры пленки в плоскостиху (предполагается, что
Lx, Ly » W); п = 1, 2, 3..., Кх и Ку определяются (3.1.1).
Согласно (3.1.11) в такой квазидвумерной системе состояния
электрона проводимости определяются тремя числами (и, Кх, Ку),
энергетический спектр разбивается на отдельные перекры-
вающиеся двумерные подзоны Еп-Еп(Кх,Ку), соответствую-
щие фиксированным значениям п (рис. 3.2, а), а кривые постоян-
ной энергии представляют собой окружности. Отметим, что отсчет
энергии ведется от дна зоны проводимости объемного кристалла.
Если дискретному квантовому числу п сопоставить разрешен-
ные значения абсолютной величины z-компоненты волнового
вектора |X”Z| = (л/1Е)и, то распределение квантовых состояний в
.^-пространстве можно представить, как показано на рис. 3.2, б.
Видно, что объем К-пространства, ограниченный замкнутой
поверхностью данной энергии Е, в случае пленки разбивается
на ряд сечений, соответствующих фиксированным значениям п.
Воспользовавшись представлением о распределении квантовых
состояний в .^-пространстве, определим зависимость плотности
состояний от энергии в тонкой пленке (в 2В-системе). Для этого
при заданном п найдем площадь S кольца, ограниченного двумя
3.1. Особенность распределения плотности состояний в 20-системах...
139
Рис. 3.2. Энергетический спектр частиц (а) и распределение квантовых
состояний в /^-пространстве (б) для тонкой пленки
|^2|=7гл/1У
изоэнергетическими поверхностями, соответствующими энергиям
Е и Е + dE :
S = 2nKpdKp;
здесь Кр = +Ку — величина двумерного волнового вектора,
соответствующая данным п и Е; dKp - ширина кольца.
Так как одному состоянию в плоскости (КхКу) соответствует
площадь с?5 = (2л)2/(Ед.Еу), число электронных состояний в коль-
це, рассчитанное на единицу объема кристалла, будет равно
VdS nW 2nW
(3.1.12)
Множитель 2 в (3.1.12) учитывает две возможные проекции спина.
Согласно (3.1.11) для нашей модели
п
(3.1.13)
140
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
_ Л 71 12
здесь Еп -—— и - энергия, соответствующая дну и-и под-
2т \W )
зоны. Таким образом, с учетом (3.1.12) и (3.1.13) для плотности
состояний в пленке имеем
г""(£)=^=“^Е0(£_£") <3|14а)
ah nWn п
где ®(У) - единичная функция Хевисайда, <Э(У) = 1 при Y>0 и
® (У) = 0 при У < 0. Суммирование в (3.1.14) ведется по числу под-
зон, дно которых находится ниже данной энергии Е.
Иногда gnn(E) представляют в виде [1]
gnjI(£) = _—[7Ё7Ё^], (3.1.15)
TiWn
где целая часть у)Е/Е\ , равная числу подзон, дно ко-
торых находится ниже энергии Е.
Из (3.1.14) и (3.1.15) следует, что для пленок с параболиче-
ским законом дисперсии: плотность состояний в любой подзо-
не постоянна и не зависит от энергии; каждая подзона дает
одинаковый вклад в общую плотность состояний gnj] (£); при
фиксированной толщине пленки плотность состояний gnJI (£)
не зависит от энергии, пока величина j не изменится
на единицу, поэтому общая зависимость gnn(E) носит сту-
пенчатый характер (рис. 3.3, а). Скачок плотности состояний
происходит всякий раз, когда энергия Е совпадает с дном очеред-
ной подзоны, т.е. при Е = Еп= Е\п2.
Рис. 3.3. Зависимости плотности состояний пленки от энергии
Е (а) и толщины W (б)
3.1. Особенность распределения плотности состояний в 2О-системах...
141
Выразим gnjl(£) в форме (3.1.15) через gM(£) массивного
образца (3.1.9). Для изотропного случая получим
gra(E)=gM(E)^3. (3.1.16)
Отсюда видно, что при Е = Еп плотность состояний в пленке рав-
на плотности состояний в массивном образце. Из (3.1.16) также
следует, что если при заданной энергии Е увеличивать толщину
пленки W (т.е. уменьшать Ех), то, когдау]Е/Ех будет равняться
целому числу, gnjl (£) = gM (£). При других толщинах с ростом W
плотность состояний gnjl (£) будет уменьшаться пропорцио-
нально 1/W до тех пор, пока дно очередной подзоны не совпадет
е£[1]. Зависимость gnJI(H9 от Жприведена на рис. 3.3, б.
Отметим, что в пленке плотность состояний меняется не-
монотонно и меньше, чем в массивном образце.
Значения толщины, при которых плотность состояний меняется
скачком, можно определить из соотношения
Wn=-rhn—n = W,n, п = 1,2,3..., (3.1.17)
л/2и1*£
где Wj - толщина, при которой дно наинизшей подзоны совпадает
с заданной энергией £.
Из (3.1.17) и рис. 3.3,6 видно, что gnjI^) - периодическая
функция толщины, причем период осцилляций ДЖ = Wx = 0,5Х,
где X - длина волны де Бройля электронов с энергией £. Именно с
этим поведением плотности состояний в условиях размерного
квантования связаны осцилляции термодинамических и кинетиче-
ских характеристик пленки при изменении ее толщины.
В случае анизотропного спектра
кривые постоянной энергии представляют собой эллипсы. Преоб-
разованием
142 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ-
как и для объемного материала, выражение (3.1.18) можно привес-
ти к изотропной форме
здесь К' - + К'у .
Таким образом, с учетом (3.1.12) и (3.1.13) для плотности со-
стояний в пленке в соответствии с анизотропным законом диспер-
сии получаем
• (3.1.146)
«Д TWvn „
В заключение отметим, что в случае произвольного закона
дисперсии или выбора пленочного (ограничивающего) потен-
циала другого вида функции gnjt(E,H/) могут отличаться от
приведенных на рис. 3.3, однако основная особенность - немо-
нотонный ход - сохранится [1].
3.2. ЗАВИСИМОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ФЕРМИ
ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ
И ТОЛЩИНЫ ПЛЕНКИ ДЛЯ 20-СИСТЕМ
Ступенчатый характер зависимости плотности состояний от
энергии (3.1.15) для 2В-систем проявится и в зависимости уровня
Ферми от концентрации электронов.
Равновесную концентрацию электронов п, энергия которых ле-
жит в интервале (Ет2Л - Emin ), можно найти, используя выражение
F
^тах
« = J g(E)f0(E)dE, (3.2.1)
F -
ьтт
гДе /о (Е) - функция распределения Ферми - Дирака; g(E) - плот-
ность состояний.
Если для описания распределения разрешенных энергетиче-
ских состояний электронов использовать модель из разд. 3.1, то
выражение (3.2.1) примет вид
* ^тах
«2D=-vb-E J fQ®(E-En)dE, Еп = Ехп2. (3.2.2)
imW п Е
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентрации электронов
143
Учитывая резкую зависимость f0 от энергии и полагая верхний
предел интегрирования равным бесконечности, из (3.2.2) получаем
«2D = Ln 1 + exp
п
Еу~Еп
коТ
(3.2.3)
Здесь - эффективная плотность состояний; EF-
уровень Ферми.
Для невырожденного электронного газа, когд а exp [(EF - Е\) / к0Т]«1
из (3.2.3)
„2С = ^>ехрС^кехрГ-АД (3.2.4)
VW J П \ ЧЗ1 J
отсюда
Ег = к0Т Ln
(3.2.5)
Заметим, что формально в (3.2.3) - (3.2.5) суммирование по п
необходимо проводить до и = и0=со, однако реально в (3.2.4) и
(3.2.5) можно ограничиться суммированием до
«о
(3.2.6)
где [Z] - целая часть Z.
В случае сверхтонких пленок, когда можно учитывать заполне-
ние лишь нижней подзоны, из (3.2.4) и (3.2.5)
„2DS^°>exp[^K),
Для толстых пленок (квазиклассический случай) выражение
(3.2.4) переходит в соответствующее выражение для массивного
кристалла.
144 Глава 3- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ квантовых состояний в СИСТЕМАХ-.
При сильном вырождении электронного газа и низких темпе-
ратурах, когда Ef - Ех l(kQT) »1, из (3.2.3) получим
Af(2D) ио
^=-~Г^Е¥~Ехп2), (3.2.7)
к0Т п=1
где п0 - целая часть у]Ер /Ех.
Выполнив в (3.2.7) суммирование по п, имеем
^,-^(и°+1Х2и° +1) . (3.2.8)
6
т *
«2D = 2 и0
mi IV
Отсюда получаем связь между границей Ферми (граница Ферми -
уровень энергии, ниже которого при Т = 0 все разрешенные со-
стояния заняты, а выше - все пусты) и концентрацией электронов
для пленок произвольной толщины в виде
(з.29)
т*пц 6
В случае толстых пленок, когда заполнено много подзон и
п0 »1, согласно (3.2.9)
2
£f =^(0,) = А-(ЗЛ2И2О)1/3, (3.2.10)
2т *
т. е. при больших толщинах выражение для EF в пленке переходит
в соответствующее выражение для EF в массивном кристалле.
Для сверхтонких пленок, когда электроны находятся только в
нижней подзоне, п0 -1 и граница Ферми проходит между первым
и вторым пленочными уровнями, согласно (3.2.9)
nh2W
Ef=Ex +-----n2D. (3.2.11)
т*
Таким образом, при W -> 0 граница Ферми EF -> ЕР
Зависимость границы Ферми от толщины пленки, рассчитанная
по (3.2.9) для и = 1025 м-3 и т* - 0,067 т0, представлена на
рис. 3.4. Минимумы на кривой связаны с уменьшением Ех (про-
3.2. Зависимость положения уровня Ферми от концентрации электронов
145
порционально W 2) и плотности состояний (пропорционально
). Максимумы определяются толщинами ГГгпах, при которых
граница Ферми совпадает с дном очередной подзоны с номером
п0. При этом
^(^пах) = ^(^пах)«0
(рассматривается квантовая яма с бесконечно высокими стенками).
Рис. 3.4. Зависимость границы Ферми от толщины
размерно-квантованной пленки
Толщины Wmin и 1Ттах , соответствующие экстремумам на зави-
симости от толщины пленки, можно оценить по формулам
Г -Л/З
_ Л (п0 + 1)(2н0+1)
"min ~ ----"0
_”2D
(3.2.12)
6
где п0 =1,2,3...,
^гпах «О ‘
Л
2h2D
(и0 + 1)(2и0 +1)
би2
1/3
(3.2.13)
здесь и0 =2,3,4..., так как в вырожденном случае граница Ферми
может совпадать только с дном подзон 2, 3, 4 и т.д.
146
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
В минимуме
Г 11/3
EF(W™n) = EFW (wo.+ l)(2>/o+l) } (3.2.14)
L 2н0 J
где п0 = 1,2,3..., а в максимуме
г (w 1 — F (сгЛ 4н02 2/3 ("1 о 1
V'max ) ~ Iе0! • j . а .j j
L(«o -1)(4«о +1)J
Таким образом, при увеличении толщины пленки для смежных
максимумов и минимумов имеем
^гпах ( 4Ир + 1 Y/3
^tnin <4и0 — 2,
^(^пах).2„ 4
°L(4w0+l)2(2«o-1)
(3.2.16)
(3.2.17)
здесь Hq =2,3,4...
3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ
В КВАНТОВЫХ ПРОВОЛОКАХ И КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ
Рассмотрим систему, в которой движение частиц определяется
периодическим потенциалом кристаллической решетки и допол-
нительным потенциальным рельефом вида
0 при 0’ 'd и 0<z<fy,
U(y,z) = - СО при У' ;0, z<0,
СО при У'' >d, z>W,
ограничивающим движение вдоль осей у и z.
Структуры с квантовыми ямами, в которых движение
электронов ограничено по двум направлениям и свободно в
третьем (одномерные или ID-системы), называются кванто-
выми проволоками (проводами).
Рассматривая энергетические состояния только у края невыро-
жденной зоны с изотропным параболическим законом дисперсии,
для данного профиля потенциала одноэлектронные нормирован-
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых проволоках и точках -147
ные волновые функции и энергетический спектр электронов мож-
но представить в виде
^п,т(х,У,г) =
4
LdW
E(n, m,Kx) =
sin —у sin —z exp(zA'rx
(d J (t? J V x '
(3.3.1)
2m * 2m *
(3.3.2)
где ось x - направлена вдоль квантового провода; Кх- одномер-
ный волновой вектор, определяемый (3.1.1); dи W— толщина кван-
товой проволоки вдоль осей у и z соответственно (предполагается,
что Lx » dn W); т, п = 1, 2, 3... - положительные числа, характе-
ризующие квантовые подзоны.
Согласно (3.3.2) энергетический спектр квантовой проволо-
ки разбивается на отдельные перекрывающиеся одномерные
подзоны (параболы) Е(п, т, Кх), соответствующие фиксирован-
ным значениям п и т (рис. 3.5, а). Движение электронов вдоль оси
х оказывается свободным (но с массой т*), а вдоль осей у и z дви-
жение ограничено.
Рис. 3.5. Энергетический спектр электронов при d < W (а) и зависимость
плотности состояний от энергии при d=W(6) для квантовой проволоки
Определим зависимость плотности состояний в квантовой про-
волоке от энергии. Число квантовых состояний, приходящихся на
интервал dKx, рассчитанное на единицу объема, равно
,,r dKx dKx
dN =------— =------—
V(2n/Lx) 2nWd
(3.3.3)
148
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Согласно (3.3.2)
где
Е„ „
п,т
h2
2т
\2
Л ] 2
— \т +
d)
\2
Л ) 2
-- П
W)
(3.3.4)
(3.3.5)
- энергия, соответствующая дну подзоны с заданными п и т. Та-
ким образом,
у] 2т*dE
2h/E-Enjm '
dKx =
(3.3.6)
С учетом (3.3.6) зависимость плотности состояний в квантовой
проволоке от энергии, рассчитанная на единицу объема, может
быть представлена в виде
gkn(-£)-
\]2т* уу®(Е-Епт)
^Wdmn yjE-En,m
(3.3.7)
При выводе (3.3.7) учтено спиновое вырождение состояний и то,
что одному интервалу dE соответствуют два интервала +dKx
(рис. 3.5, а) каждой подзоны, для которой (Е- Еп т ) > 0.
Отметим также, что в (3.3.7) энергия Е отсчитывается от дна
зоны проводимости массивного образца.
Зависимость плотности состояний в КП от энергии представле-
на на рис. 3.5, б. Цифры у кривых показывают квантовые числа п
и т. В скобках указаны факторы вырождения уровней подзон.
Согласно (3.3.7) в пределах отдельной подзоны плотность
состояний уменьшается с увеличением энергии как
1/yjE - Епт . Полная плотность состояний представляет со-
бой суперпозицию одинаковых убывающих функций (соответ-
ствующих отдельным подзонам), смещенных по оси энергии.
При Е - Еп>т плотность состояний gxn равна бесконечности. Од-
нако необходимо заметить, что для любого конечного интервала
энергии число разрешенных состояний оказывается конечным.
Отметим также, что при d = W подзоны с квантовыми числами
п?т оказываются дважды вырожденными.
3.3. Распределение плотности состояний в квантовых проволоках и точквх -,49
При трехмерном ограничении движения частиц мы приходим к
задаче о нахождении разрешенных состояний в квантовой точке
(ячейке) или OD-системе.
В случае, когда наряду с периодическим потенциалом кристал-
лической решетки на частицу действует ограничивающий потен-
циал вида
О
U (x,y,z) = < 00
при 0<x<h, 0<y<d и 0<z<W,
при х<0, у<0, z<0,
при x>h, y>d, z>W,
для состояний вблизи края невырожденной изотропной параболи-
ческой зоны, используя приближение эффективной массы, норми-
рованные волновые функции и спектр разрешенных состояний в
OD-системе удается представить как
(3.3.8)
где h, d и W - размеры квантовой ячейки соответственно вдоль
осей х, у и z; п, т и I = 1, 2, 3... - положительные числа, нумерую-
щие подзоны.
Согласно (3.3.8) энергетический спектр квантовой ячейки
представляет собой набор дискретных разрешенных состояний,
соответствующих фиксированным п, т и I.
Число состояний, соответствующих одному набору п, т, I,
рассчитанное на единицу объема,
t = 2l(hdW).
Полное число состояний, имеющих одинаковую энергию,
рассчитанное на единицу объема,
N=tg,
где g - фактор вырождения уровня.
Вырождение уровней в первую очередь определяется сим-
метрией задачи. Например, в случае, когда d = h = W, уровни
будут трехкратно вырождены, если два квантовых числа равны
между собой и не равны третьему, и шестикратно вырождены, если
150
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Рис. 3.6. Распределение числа разрешенных состояний N в зоне проводи-
мости для квантовой точки при h - d = W-, цифры обозначают квантовые
числа; в скобках указаны факторы вырождения уровней
п т * I. Необходимо также отметить, что конкретный вид по-
тенциала может приводить к дополнительному, так назы-
ваемому случайному вырождению. Например, в нашем случае к
трехкратному вырождению (и = 5, т = 1, I = 1; п = 1, т = 5, I - 1;
«= 1, ?и=1, 7 = 5), связанному с симметрией задачи, добавляется
случайное вырождение (и = 3, т = 3, I = 3), связанное с видом ог-
раничивающего потенциала. Распределение числа разрешенных
состояний N по энергии для квантовой ячейки при h = d = W по-
казано на рис. 3.6.
3.4. ВЛИЯНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОГРАНИЧЕНИЯ
НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
В ОДНОМЕРНОЙ 5 -ОБРАЗНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
Мы рассмотрели влияние потенциальных барьеров на энерге-
тический спектр изначально свободных частиц. Остановимся те-
перь на влиянии дополнительных ограничений (потенциальных
барьеров) на разрешенные состояния локализованных частиц.
Найдем разрешенные уровни энергии и волновые функции свя-
занных состояний частицы в 8-образном потенциале при наличии
дополнительных бесконечно высоких потенциальных барьеров
(рис. 3.7) [2].
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения...
151
Рис. 3.7. Энергетическая диаграмма БПЯ
при наличии 5-образного потенциала
Энергетический спектр частицы и волновые функции стацио-
нарных состояний в этом случае определяются решениями уравне-
ния (1.1.2) с потенциалом
{со при л<0 и x>W,
F (3.4.1)
-a8(x-L) при Q<x<W,
здесь а>0.
Для Е < 0 (связанные состояния) решения уравнения (1.1.2)
имеют вид
'Р1 = А1 ехр(Рх) + Вх ехр(- р%) при 0 < х < L,
(3.4.2)
Т 2 = А2 ехр(- р%) + В2 ехр(Рх) при L < х < W,
где Р = \]~2тЕ / h.
При наличии 5-образного потенциала граничные условия в
точке Х = L можно представить как
-T'(Z + 0) + T'(Z-0) = ^aT(Z); (3.4.3)
й
T(Z + 0) = T(Z-0). (3.4.4)
Кроме того, необходимо учесть, что в соответствии с (3.4.1)
Т1(0) = Ч'2(»Г) = 0. (3.4.5)
Причем именно на проявлении ограничений (3.4.5) мы и хотим
сосредоточить внимание.
152 Глава 3- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ квантовых состояний в СИСТЕМАХ...
Учитывая граничные условия (3.4.3) — (3.4.5) и уравнения
(3.4.2), можно показать, что
Tj (х) = 24sh(Px) при 0 < х < L,
Т2 (х) = -2В2 exp(PfF)sh(P(PF - х)) при L < х < W, (3.4.6)
2/и
р(В2 ехр(Р ^)ch[p()!r - Z)] - 4ch(pz)) = -Л, — а • sh(pZ),
п
В2 exp(P^)sh[P(^ -Z)] = -4sh(pZ) .
Из двух последних уравнений легко получить выражение, оп-
ределяющее спектр разрешенных уровней энергии:
p[cth[P(PF - Z)] + cth(pZ)] = а^-. (3.4.7)
п
Анализ (3.4.7) показывает, что Р, а следовательно, и энергия
связи состояния убывают приуменьшении какЕ, так uW,m.e.
при приближении локализующего потенциала к любой из по-
тенциальных стенок. Более того, связанное состояние (со-
стояние с Е < 0) вообще появляется не всегда, а только при
определенных соотношениях между a, L и W.
Если поместить 8-образный потенциал в центр КЯ, образован-
ной дополнительными границами при х = 0 и х = W, т.е. в точку с
х = L-0.5W, то (3.4.7) примет вид
' p = a-^-th(pZ).
h
(3.4.8)
Согласно (3.4.8) связанное состояние может возникнуть (т.е.
8-образная потенциальная яма сможет локализовать (захватить)
частицу), только если
р=о
а значит, и
т Jth(pZ)
й2
<хт
(3.4.9)
При меньших значениях L влияние дополнительного огра-
ничивающего потенциала «выдавит» уровень из 6-образной
3.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения...
153
ямы. Из (3.4.8) также следует, что при наличии двухстороннего
дополнительного ограничения для связанного состояния
Р<а-^, (3.4.10)
h
т.е. область локализации частицы Дх будет больше 2й2 /(а/и), а
энергия делокализации меньше а2?и/(2й2) .
Если исключить влияние одной из дополнительных потенци-
альных границ, например, положив W = со, но £ со, то из (3.4.7)
имеем
2/и
P(l + cth(P£)) = a^
h
или .. (3.4.11)
pAa^-pj = th(pZ).
Согласно (3.4.11) связанное состояние может образоваться,
только если
й2
L>----- , (3.4.12)
2am
т.е. условие стало менее жестким.
Если исключить влияние дополнительного ограничения во-
обще (устремив W и L к со ), то из (3.4.7) получаем, что в одномер-
ной 6-образной потенциальной яме всегда имеется одно
связанное состояние с
и энергией связи
Е = -^-. (3.4.14)
2й2
С этой точки зрения 8-образная потенциальная яма моделирует
мелкую потенциальную яму 17(х) достаточно произвольного про-
филя, для которой тг2и$ / й2 «1 (здесь Uq и г — характерные
величина потенциала и его протяженность), при этом
a = - §U(x)dx.
154 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ-
Отметим, что тенденция к уменьшению энергии связи и даже
исчезновению связанного состояния за счет появления дополни-
тельных потенциальных границ в одномерных системах сохраня-
ется и при других формах локализующего потенциала. Например,
из анализа, проведенного в разд. 1.7, следует, что при наличии
связывающего потенциала в виде прямоугольной ямы (потенци-
альный провал) связанные состояния появятся, если расстояние до
дополнительных потенциальных границ
(см. формулу (1.8.8)). В общем случае уменьшение высоты допол-
нительных ограничивающих потенциальных барьеров способству-
ет появлению связанных состояний.
3.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР МЕЛКИХ
ПРИМЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ
ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Оценка энергии связи мелких примесных состояний в неогра-
ниченных кристаллах обычно проводится в приближении эффек-
тивной массы. При этом задача сводится к нахождению собствен-
ных значений энергии электрона в атоме водорода с учетом эф-
фективной массы пг* и диэлектрической проницаемости кристалла
8, т.е. к решению уравнения Шредингера вида
(3.5.1)
где Д - оператор Лапласа.
Известно, что для частицы в кулоновском потенциале притя-
жения U = -а/г уровни энергии для состояний дискретного спек-
тра определяются выражением
£л=-а2—л®1,2..., (3.5.2)
а радиальная функция для основного состояния (ls-состояния)
может быть представлена как
£10 =2а-3/2ехр(-г/а), (3.5.3)
где а = й2 /(та) - эффективный боровский радиус.
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний...
155
В нашем случае согласно (3.5.1)
4Л88О
Таким образом, для энергии основного примесного состояния
(и=1) из (3.5.2) получаем
( 2
Е = - Я т -Т , (3.5.4)
1^471880 J 2Й2
а эффективный боровский радиус
й2
ао=—г
т*
47Г88о
< я2
(3.5.5)
Отметим, что в (3.5.4) отсчет энергии ведется от дна зоны прово-
димости.
Если ограничить область движения электрона потенциальными
барьерами, например, поместив слой полупроводника, в который
введен атом примеси, между двумя слоями более широкозонного
полупроводника, то для определения энергии связи примеси вме-
сто уравнения (3.5.1) необходимо решать уравнение
И
—^A + U(r) + V(r)
2т
Т(г) = £Т(г)
(3.5.6)
где F(z) - потенциальный рельеф ямы, ограничивающий движение
электронов вдоль z-направления; U(r) - потенциал, обусловленный
примесным атомом.
Если совместить начало координат с центром потенциальной
ямы и обозначить координату примесного атома по оси, перпенди-
кулярной к стенкам ямы, - z,, то потенциал U(f) можно предста-
вить в виде
2
С/(г) =
-1
4л8807р2 + (г-2,)2
(3.5.7)
2 2 2
здесь р -х +у - расстояние до примеси в плоскости, парал-
лельной стенкам ямы.
456 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Пусть при отсутствии примесного центра система с потенциа-
лом V(z) имела разрешенное значение энергии основного состоя-
ния Е0(К), тогда энергия связи Е’ДР.г,-) примеси определится
соотношением
Ei(V,zi) = E0(7)-E(r,zi),
(3.5.8)
где Е(Р, г,) - собственные значения (3.5.6).
Для упрощения расчетов рассмотрим случай, когда потенци-
ал K(z) имеет вид
?(*) =
при z < 0,517,
при z > 0,51V,
т.е. представляет собой БПЯ.
При этом в отсутствие примесного центра
*2 / _ \2
(3.5.9)
а собственная функция, соответствующая этому состоянию, может
быть представлена в виде
T(r) = ** + ^y)]cos(?C1z), (3.5.10)
здесь S и W- площадь стенок и ширина ямы, К} - л / W.
Поскольку в (3.5.6) переменные не разделяются, точное реше-
ние задачи в общем случае невозможно. Поэтому для оценки энер-
гии связи используют приближенные методы. Кроме того, извест-
ны решения для некоторых предельных случаев. Например, если
поместить атом примеси в начало координат и устремить W -> 0,
то придем к задаче определения спектра связанных состояний час-
тицы в двумерном потенциальном поле вида
1/(р) = -а/р.
(3.5.11)
Разрешенные значения энергии частицы в таком потенциале
определяются выражением
3.5. Энергетический спвктр мелких примесных состояний... 157
а волновая функция, описывающая основное состояние данной
системы, имеет вид
е( о
ехр -2— . (3.5.13)
к °о)
Из сравнения (3.5.2) и (3.5.12) видим, что при переходе от
трехмерной системы к двумерной энергия связи примесного
атома в основном состоянии (п = 1) увеличивается в четыре
раза.
Более детальную зависимость энергии связи (3.5.8) от ширины
потенциальной ямы W и положения примесного центра в направ-
лении нормали к стенкам ямы можно получить лишь приближен-
но, используя, например, прямой вариационный метод [3]. Оценка
Е (V, Zj) при этом сводится к использованию неравенства
Ео < (3.5.14)
где Ео- энергия основного состояния системы; Н - полный га-
мильтониан системы (в данном случае соответствующий (3.5.6));
Т - пробная функция, содержащая некоторое число неизвестных
параметров и удовлетворяющая условиям задачи (в нашем слу-
чае - граничным условиям и условию нормировки)
jT*TJv = l,
здесь, как и в (3.5.14), интегрирование ведется по всему объему
пленки.
Оценка энергии основного состояния E(V, zt) практически
сводится к нахождению минимума интеграла в (3.5.14) при изме-
нении пробной функции.
При удачном выборе вида пробной функции найденное значе-
ние Е может оказаться близким к истинному значению энергии
основного (наинизшего) состояния Ео даже при небольшом числе
варьируемых параметров.
Выбор пробной функции обычно базируется на качественном
анализе решений с учетом симметрии задачи. В нашем случае
пробную функцию удобно выбрать в виде
Т(г) = Д'cos(Tkjz)ехр'
7p2+(z-z,)2 ,
К
(3.5.15)
158
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
здесь N - нормировочный множитель, а X — вариационный пара-
метр.
Заметим, что функция (3.5.15) является одной из простейших
пробных функций, удовлетворяющих симметрии задачи и условию
полного ограничения ямой (Т = О при | z |= 0,5 И7). Кроме того,
функция (3.5.15) - точное решение (3.5.6) в двух предельных слу-
чаях: W = 0 и W= оо (см. (3.5.3) и (3.5.13)).
Используя (3.5.15), выражение для определения собственных
значений (3.5.6) удается представить в виде [3]
. , . h2K2 Й2 (gAX)2
E(V, Z:} = E(W,Zi, X) --x
V ’ 2m* 2m*X2 8e0e
cos(2K1Z/) K?X2 ( W\j2zA
1 +--- , /------Ч-7ехР ch
1 + K2X2 1 + K2X2 I xj lx J
(3.5.16)
Минимизируя это выражение по X, получим уравнение
Е(Е, г,) = E(W, z{) при значении X, обеспечивающем min (3.5.16).
Теперь с учетом (3.5.8) для энергии связи примеси имеем
ip 1^2
Е^)=-±-_e(W,Z'). (3.5.17)
2т*
Анализ [3] показывает, что Et(W, z ,) убывает при увеличе-
нии ширины ямы W и удалении места расположения примесно-
го атома от центра ямы (т.е. при увеличении Zi), причем
Ег (W, zj =Ej W, -zj. При неизменной ширине ямы W энергия
связи Ei (W, z i) максимальна при расположении примеси в цен-
тре ямы (Zj = O) и минимальна при zt ±0»5ЙИ. В пределе И7—>оо
значение Et (W, z i) для zz = 0 уменьшается до значения Е=E(3D),
определяемого выражением (3.5.4), и до E(3D)/4 для zf = ±0.5FK
((3D) обозначает трехмерный случай).
Такое уменьшение энергии связи, когда примесный центр рас-
положен на краю КЯ, поясним, рассмотрев одномерный случай [2].
Пусть заданы два потенциальных рельефа Ц(|х|) и U2(x),
причем при х > О U2(х) = Ц (| х |), а при х < О U2(х) = оо (рис. 3.8).
Сопоставим энергетические уровни дискретного спектра и волно-
вые функции стационарных состояний частицы в потенциальных
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний...
159
Рис. 3.8. Схематическое изображение потенциалов (| х |) и 1/2(х)
ямах с Ц (| х |) и U2 (х). Для этого заметим, что при х > 0 уравне-
ние Шредингера (1.1.2) с потенциалом Ц (| х |) совпадет с анало-
гичным уравнением, но с потенциалом U2(x). Кроме того,
граничные условия для системы с U2(x) (Ч'(О) = *Р(оо) = 0) совпа-
дают с граничными условиями для нечетных состояний в потен-
циале Ц(|х|).
Таким образом, получаем, что спектр разрешенных значений
энергии Е^ для ямы с U2(x) совпадает со спектром нечетных
состояний £^+1 для ямы с Ц(| х|) (к=0, 1,2...), т.е. = £^+1,
а нормированные собственные функции для этих состояний отли-
чаются только множителем, т.е.
тР(х) = л/2Т«+1(х), х > 0.
Проведенный анализ показал, что при переходе от системы с
симметричным потенциалом Ц(|х|) к системе с потенциалом
U2 (х) энергия связи для основного состояния уменьшается
(|42)|<|4')|) . Отметим также, что если потенциал Ц (| х |) при-
водит к появлению только одного (четного) связанного состояния
(яма мелкая), то в потенциале U2(x) связанное состояние не поя-
вится вообще.
В нашем случае при Z, = ±0,517 (атом примеси расположен
точно на краю потенциальной ямы с бесконечно высокими стенка-
ми) и W —> со (вторая стенка находится далеко) пробная функция
(3.5.15) сводится с точностью до множителя к волновой функции
<[ 60 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
У?21 возбужденного 2pz -состояния частицы в трехмерном кулонов-
ском потенциале (7(г) = -а/г (здесь начало отсчета совмещено с
краем ямы).
Таким образом, получаем, что уровень энергии основного со-
стояния примесного атома совпадает с уровнем возбужденного
2pz -состояния частицы в трехмерном кулоновском потенциале.
При этом согласно (3.5.2) имеем
lira EAW, ±0,5W) = E2=-a2-^-. (3.5.18)
гг->°о v 2Й 4
Это значение в четыре раза меньше энергии связи основного при-
месного состояния E(3D) в неограниченном кристалле, что мы и
отмечали ранее.
В реальных квантово-размерных структурах зависимость энер-
гии связи мелкого примесного состояния от ширины ямы и места
расположения примеси несколько ослабляется. Расчеты показыва-
ют, что в квантовой яме конечной глубины при малых значениях
W волновая функция «выжимается» из нее в область барьера, в
результате энергия связи начинает изменяться, стремясь к
величине E(3D) с эффективной массой, соответствующей ма-
териалу барьера. Отметим также, что в широких ямах энергия
связи более чувствительна к положению примеси, чем в узких.
Вариационный метод использовался и для расчета энергии свя-
зи мелких акцепторов [4]. Отличительной особенностью такого
расчета является необходимость учета вырождения валентной
зоны объемных кристаллов. Влияние потенциального рельефа
КЯ в этом случае может приводить к снятию вырождения и
перестройке структуры основного состояния акцептора. Ре-
зультаты расчета зависимости энергии связи акцептора от ширины
КЯ приведены на рис. 3.9. Видно, что, как и для доноров, для ак-
цепторов энергия связи примеси, расположенной в центре ямы,
заметно превосходит энергию связи этой же примеси объемного
материала, используемого в качестве квантовой ямы.
В настоящее время проведены численные расчеты, в которых
учитывалось взаимодействие валентных зон материалов барьера и
ямы и использовалось многозонное приближение эффективной
массы. Результаты этих расчетов оказались в очень хорошем со-
гласии с экспериментом.
Обратим внимание еще на две особенности, связанные с влияни-
ем размерного квантования на энергию связи мелких примесных
состояний. Во-первых, в системах пониженной размерности даже
3.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний...
161
Рис. 3.9. Зависимость энергии связи акцепто-
ра, расположенного в центре (кривая 1) и у
границы (кривая 2) от ширины квантовой ямы
GaAs/GaAlAs:
кружки- эксперимент; сплошные линии - результаты
расчета для бесконечных барьеров [4]
при небольших концентрациях примеси могут возникать при-
месные зоны, причем в данном случае зоны будут образовываться
вследствие различного расположения примесных атомов по шири-
не КЯ. Во-вторых, изучение проблемы водородоподобных примес-
ных уровней с учетом вышележащих двумерных подзон показало,
что в КЯ существуют примесные состояния, «связанные» с раз-
личными квантовыми подзонами энергии. Эти состояния распо-
ложены на фоне непрерывного спектра, связанного с нижними
подзонами, и, следовательно, являются резонансными.
3.6. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРНОГО КВАНТОВАНИЯ
НА СОСТОЯНИЯ МЕЛКОГО ЭКСИТОНА
Влияние потенциала квантовых ям на локализацию волновых
функций сказывается и на энергии связи мелких экситонов (экси-
тонов Ванье - Мотта).
Известно, что спектральное положение минимумов экситон-
ных подзон для слабосвязанных экситонов в трехмерном случае
достаточно хорошо описывается водородоподобной моделью, ко-
торая для изотропных и квадратичных законов дисперсии электро-
нов и дырок выражается формулой
£3D = Ц*94 1 _ ^ех.
2Й2(4яе0е)2 п2 п2
(3.6.1)
6 Основы наноэлектроники
162 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
здесь п - 1, 2... - номер экситонной подзоны; отсчитывается
от дна зоны проводимости; 1/ц -\/me + l/mh - приведенная эф-
фективная масса электрона и дырки; /?ех - эффективная «экситон-
ная» постоянная Ридберга. Соответствующий экситонный
боровскийрадиус - (4ле0е)Й2 !(д2р*). Например, для экситона
в кристалле GaAs Аех = 4,2 мэВ и а 15 нм. Отсюда следует,
что как для температур больше 50 К, так и для электрических
полей напряженностью больше 3000 В/см образование эксито-
нов для процессов поглощения в объемных структурах обычно
несущественно [5].
При уменьшении размеров кристалла (ширины КЯ W), когда W
становится порядка экситонного боровского радиуса, энергия
размерного квантования h2n2
становится сравнимой
и
с энергией взаимодействия электрона и дырки q2 / (4тгЕ0Еа2*)
спектр трехмерного экситона начинает модифицироваться
потенциалом ямы V(z).
Наличие границ не позволяет получить точное аналитическое
решение задачи о спектре экситона в квантовой яме (как и для
примесных состояний) даже для случая простых зон. В приближе-
нии эффективной массы эта задача сводится к отысканию решений
уравнения Шредингера с гамильтонианом [6]
Я = Я1 + Я2+Я3+Я4 + Я5 + Я6,
(3.6.2)
где
1 д2
I д
д I
Р— +
Р2 дф2.
Н =
2цп
- кинетическая энергия относительного движения электрона и
дырки в плоскости квантовой ямы;
А _ Й2 д2 _ h2 д2
2we dz2e 2mhl dz2
— кинетическая энергия движения электрона и дырки соответст-
венно поперек плоскости КЯ;
й - '£2
4 __
Г 2 / ч211/2
4ле0е р + (ze-zh)
(3.6.3)
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелкого экситона
163
- энергия кулоновского взаимодействия электрона и дырки;
#5 = VeW (ze ) ’ #6 ~ ^hW (zh )
- потенциалы КЯ для электрона и дырки соответственно; 1/цп =
= l/me + +\/mhn, цп - приведенная эффективная масса экситона в
плоскости КЯ; mMi - эффективная масса дырки в плоскости КЯ;
mhi~ эффективная масса дырки поперек КЯ. При записи (3.6.2)
использовалась цилиндрическая система координат (Z, р, <р ), при-
чем ось Z направлена поперек квантовой ямы, а начало координат
совмещено с центром.
Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (3.6.2) на-
ходят приближенными методами. Расчеты показали, что, как и для
примесных состояний, основное отличие квазидвумерного экси-
тона от трехмерного заключается в увеличении энергии связи
экситона в КЯ. В предельном случае (IV = 0) энергия связи дву-
мерного экситона должна быть в четыре раза больше соответст-
вующего значения в трехмерном случае.
В квантовой яме с барьерами конечной высоты при уменьше-
нии W энергия связи квазидвумерного экситона при W < 2а^
должна сначала увеличиваться, достигая максимума при 0,5 <
< W < , а затем снова уменьшаться (из-за проникновения в об-
ласть барьеров). Результаты расчетов зависимости энергии связи
экситона от ширины КЯ представлены на рис. 3.10 [7].
Рис. 3.10. Зависимость энергии связи экситона
(пунктирная линия) для квантовой ямы
GaAs/GaO 7Alo3As; зависимость радиуса эксито-
на Оц в плоскости ямы от ширины ямы (сплошная
кривая)
4 64 Глава 3- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ квантовых состояний в системах. ..
Согласно этим расчетам экситонные пики в спектре поглоще-
ния квантовых размерных структур должны быть заметны вплоть
до комнатных температур. Действительно, такие пики наблюда-
ются в экспериментах по межзонному поглощению света в КЯ
на основе GaAs/GaAlAs при комнатных температурах (в КЯ
GaAs/GaAlAs с W = 4,6 нм такие пики наблюдали даже при 500 К).
Реально свойства экситона в КЯ оказываются между свойства-
ми 3D- и 2D-3kchtohob, т.е. соответствуют экситону, находящему-
ся как бы в пространстве дробной размерности а, причем 2 < а < 3.
Выражение для энергетического спектра связанных состояний
частиц, движущихся в пространстве дробной размерности и притя-
гивающихся по закону Кулона, можно представить в виде
(3.6.4)
Г а-3 ]
В настоящее время нет достаточно обоснованного способа вы-
бора а для конкретных квантово-размерных структур. Предпола-
гая, что а определяется отношением Р среднего расстояния между
электроном и дыркой вдоль оси z к эффективному боровскому
радиусу , для аппроксимации зависимости а от W можно, на-
пример, использовать выражение а = 3 - ехр(-Р). В 3D-системе
р —> оо, а в 2D - к нулю. Таким образом, данное выражение дает
правильные оценки в предельных случаях и по крайней мере каче-
ственно, верно отражает тенденцию изменения при измене-
нии ширины КЯ.
Если спектр валентной зоны состоит из подзон легких и тяже-
лых дырок, то возможно существование двух типов экситонов:
электрон - тяжелая дырка (тяжелый экситон) и электрон - легкая
дырка (легкий экситон). При этом под каждой электронной раз-
мерной подзоной появятся две серии уровней, соответствую-
щих тяжелому и легкому экситонам. Край экситонного
поглощения будет определяться тяжелым экситоном.
При интерпретации экспериментальных данных необходимо
также принимать во внимание перемешивание состояний, соответ-
ствующих разным дырочным подзонам (см. разд. 3.8). «Взаимо-
действие» подзон при квантовании может привести к тому,
что в некоторых из них эффективные массы станут отрица-
3.6. Влияние размерного квантования на состояния мелкого экситона
165
тельными (см. ниже рис. 3.21). В этом случае при соответст-
вующем соотношении между эффективными массами элек-
трона те и дырки m*h приведенная эффективная масса ц*
может стать отрицательной. В результате электронно-
дырочная пара не будет иметь связанных состояний, поскольку
кулоновское взаимодействие в этом случае соответствует их от-
талкиванию друг от друга.
Перемешивание состояний, принадлежащих различным подзонам,
необходимо учитывать и при получении граничных условий [8].
Еще один своеобразный экситон, связанный с отрицатель-
ными эффективными массами в дырочных подзонах, рассмотрен
в [9]. Данный тип экситона образуется при возбуждении дырок в
подзонах с разными (по знаку) эффективными массами. При этом
необходимо, чтобы их приведенная масса ц* была отрицательной.
Такой экситон в отличие от обычного электрически нейтраль-
ного имеет положительный заряд, равный 2q. В оптических
спектрах ему должна соответствовать водородоподобная серия,
сходящаяся в область меньших частот, т.е. в красную область
спектра, а не в фиолетовую, как обычно.
Пространственное ограничение и различие диэлектриче-
ских проницаемостей компонентов наноструктуры на малых
расстояниях изменяют характер кулоновского взаимодействия
между электроном и дыркой. Например, для квантовой ямы при
г « W зависимость энергии взаимодействия от расстояния между
электроном и дыркой принимает вид [10]
л2 (
Н4(г) =------In — + const. (3.6.5)
2лее0г \ г )
На больших расстояниях (r»W) вместо (3.6.5) используется
(3.6.3). С учетом (3.6.5) энергия связи 2О-экситона в основном
состоянии при о.;?* » W будет определяться соотношением
Е
е'
4лее01г
|2 W
1 «еТ
+ const
(3.6.6)
где е' - диэлектрическая проницаемость материала барьеров.
Если в сверхрешетках и квантовых ямах на основе гетеропере-
ходов AlGaAs/GaAs и InGaAs/GaAs определяющую роль играют
166 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
эффекты, связанные с пространственной локализацией электронов
и дырок (разница диэлектрических проницаемостей слоев мала и,
как правило, не приводит к существенным эффектам), то в наност-
руктурах на основе гетеропереходов InGaN/GaN, GaAs/ZnSe, а
также полупроводник/диэлектрик (например, пористый кремний)
благодаря сильному различию диэлектрических проницаемостей
слоев существенную роль в электронно-дырочном взаимодействии
начинают играть потенциалы изображения [11]. При этом силы
изображения могут как увеличивать, так уменьшать энергию связи
экситона.
Диэлектрическое увеличение энергии связи экситона (так на-
зываемое диэлектрическое усиление экситонов, или диэлектриче-
ский конфаймент) можно трактовать как следствие добавочного
притяжения электрона к изображению дырки и дырки к изображе-
нию электрона. Если заряд q находится в среде с диэлектрической
проницаемостью е вблизи плоской границы раздела со средой с
диэлектрической проницаемостью г', то заряд изображения равен
(3-6.7)
Е + Е
т. е. его знак совпадает со знаком заряда, если е > е'. Важно отме-
тить, что увеличение энергии связи экситона, казалось бы, должно
приводить к сдвигу экситонных линий в красную область спектра.
Однако в целом за счет диэлектрического окружения экситонные
линии и в этом случае будут сдвигаться в фиолетовую область, так
как помимо притяжения электрона к изображению дырки и наобо-
рот существует отталкивание электрона и дырки от своих собст-
венных изображений (эффект самодействия), а поскольку заряд
всегда ближе к своему собственному изображению, чем к изобра-
жению другого заряда, отталкивание будет превалировать.
Дальнейшее понижение размерности и переход к ID-системам
показывает, что если энергия взаимодействия между электроном и
дыркой остается обратно пропорциональной расстоянию между
ними, то придем к водородоподобной серии типа (3.5.12), однако
из нее выпадет нижний уровень, энергия которого стремится к
бесконечности. Это означает, что в ID-системах экситон
Ванье-Мотта фактически не может существовать. В реаль-
ных квазиодномерных наноструктурах следует ожидать уве-
личения энергии связи по сравнению с 2О-структурами.
Яркий пример увеличения энергии связи экситонов при увели-
чении степени пространственной локализации демонстрируют
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок типа n-CaAs
167
эксперименты с наноструктурами полупроводник/диэлектрик на
основе йодида свинца. С увеличением степени пространственной
локализации энергия связи экситонов в этих структурах нарастает
от ~ 45 мэВ в объемном полупроводнике до 300 мэВ в КЯ, 700 мэВ
в квантовом проводе и более чем до 1 эВ в квантовых точках.
Влияние потенциала сверхрешеток на энергию связи экситона
рассматривалось, например, в [12]. Расчеты показали, что энер-
гия связи экситона (как и энергия связи электрона на доноре)
увеличивается при увеличении периода сверхрешетки d с равной
толщиной слоев, а продольно-поперечное расщепление уменьша-
ется. Такое поведение объясняется изменением ширины мини-зон
при изменении d.
3.7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЕНОК ТИПА n-GaAs
Энергетический спектр электронов полупроводниковых пленок
может быть найден в результате решения уравнения Шредингера
{HQ+U(.z)Y¥ = Exl>, (3.7.1)
где Но- гамильтониан электрона в периодическом поле кристал-
лической решетки материала пленки; U(z) - пленочный потенциал,
создаваемый граничными поверхностями пленки с нормалью
вдоль оси z.
В случае не слишком тонких пленок (W» а, здесь W- толщи-
на пленки, а - межатомное расстояние) для описания электронных
свойств обычно используют метод (приближение) огибающих
волновых функций. Волновая функция электрона в приближении
огибающих функций ищется в виде произведения быстро меняю-
щихся блоховских функций краев зон на медленно меняющиеся
огибающие F(z)
S
Т(г) = £ F(z}uj0(y) • exp(ikpp), (3.7.2)
7=1
здесь UjQ- периодическая часть блоховской функции, соответст-
вующей краю J-й зоны; кр - двумерный волновой вектор для дви-
жения в плоскости пленки (к? = к* + ку ); р - двумерный вектор в
плоскости пленки; s - число зон, учитываемых в разложении
168
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
(3.7.2). Огибающие Fj(z) определяются в результате решения
системы дифференциальных уравнений
5
Е Djj‘
/=1L
8 ъ ь
dz у
-5jfE + U(z) Ff(z) = 0, (3.7.3)
_/=l,2,3...,s,
составленной с использованием эффективного гамильтониана, по-
лученного из к • р-гамильтониана однородного полупроводника
1 ( к
заменой в кинетической энергии kz на оператор -z— , и добав-
лением пленочного потенциала U(z) [3, 4]. В (3.7.3) 5у- символ
Кронекера; Dy (к) - совокупность величин, определяющих элек-
тронный энергетический спектр массивного кристалла.
Найдем в рамках метода огибающих волновых функций поло-
жение энергетических подзон для электронов в КЯ на основе (001)
слоев прямозонных соединений А3В5.
Сначала аппроксимируем пленочный потенциал U(z) потенци-
альной ямой шириной W с бесконечно высокими стенками. В этом
случае на границах КЯ
F/0) = Fy(^) = 0. (3.7.4)
Для получения явного вида системы (3.7.3) воспользуемся
трехзонной моделью Кейна [13], в рамках которой точно учитыва-
ется взаимодействие зоны проводимости Г6 с валентными зонами Г8
тяжелых и легких дырок, а также зоной Г7, отщепленной спин-
орбитальным взаимодействием. Матрица элементов /7у>(к) для
такого случая приведена, например, в [4].
Поскольку нас интересует только положение энергетических
подзон, будем полагать кр = 0. В этом случае матрица Кейна рас-
щепляется на две идентичные матрицы 3x3 (отвечающие состоя-
ниям зоны проводимости, зоны легких дырок и зоны, отщепленной
спин-орбитальным взаимодействием) и два одинаковых уравнения
(отвечающих состояниям зоны тяжелых дырок, т.е. оказывается,
что в трехзонном приближении Кейна состояния зоны тяжелых
дырок не взаимодействуют ни между собой, ни с состояниями ос-
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок типа n-CaAs
169
тальных трех зон). При этом матрицу 3x3 для элементов
Djj'(kz,O) можно представить в виде
О
О
-£^-Д
>
(3.7.5)
здесь Р - матричный элемент Кейна, учитывающий взаимодейст-
вие между зоной проводимости и валентной зоной; Eg — ширина
запрещенной зоны между зоной проводимости и валентной зоной в
точке Г; Д - величина спин-орбитального расщепления; начало
отсчета энергии в (3.7.5) выбрано на дне зоны проводимости.
Подставляя Dy из (3.7.5) в (3.7.3) с учетом (3.7.4), получаем,
что разрешенные значения волнового вектора Кп (характеризую-
щего состояния движения перпендикулярно к плоскости пленки),
как и в идеальной одномерной квантовой яме (см. (1.4.6)), должны
удовлетворять условию
пп
W ’
(3.7.6)
однако в данном случае соотношение между Кп и разрешенными
значениями энергии имеет вид
En(En+Eg)(En+Eg + b')
Й2Р2| Еп+Ее+-Ь I
I а 3 1
(3-7.7)
Согласно (3.7.7) одному значению Кп удовлетворяют три зна-
чения энергии Еп, соответствующие уровням размерного кванто-
вания зоны проводимости, зоны легких дырок и отщепившейся
зоны.
Полагая, что масса свободного электрона много больше
эффективных масс электронов и дырок, из (3.7.7) при малых Кп
170 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ-
(и, следовательно, Еп) для каждой из этих зон соотношения
Еп(Кп) можно представить в виде, соответствующем (1.4.7):
_(2 1 л f2 1 Eln~ ES Е + Е +Д X^g ng + /x) ^~К2=^—К2-, (3.7.8) О Л * Л » V ' 3 2те ^Kn=~Eg-^K2n- (3.7.9) 3
*2
Es = -Ее - Д-----------К2 =-Д------------К2. (3.7.10)
sn g 3(Е^+Д) " s 2m* "
Отметим, что m*, пц и m* в данном приближении (параболи-
ческое приближение) соответствуют эффективным массам на дне
зоны проводимости, потолке зоны легких дырок и отщепившейся
зоны в объемном материале.
2
Для Еп <<Eg +—Д из (3.7.7) имеем
Ееп
1_Уй2
Eg+Д, 3Eg
(3.7.11а)
Е1п=-^ 1 +
2
Esn - Eg
P2f?K2n f
b(Eg+b)
2P2h2K2
ЗД(£^+Д)
(3.7.116)
(3.7.11b)
1 >Р2Й2
----- -----
Eg + Aj 3Eg
На рис. 3.11 показаны зависимости положения первого и
второго Ег уровней размерного квантования от ширины квантовой
ямы W, рассчитанные в параболическом (3.7.8) и непараболиче-
ском (3.7.11а) приближении. Параметры КЯ соответствовали
пленке GaAs (т* = О,О65/ио и Eg (300 К) = 1,43 эВ). Из рисунка
видно, что в этом случае параболическое приближение может быть
использовано для оценки положения первого уровня размерного
квантования Е\ в бесконечно глубокой КЯ лишь при W > 5 нм, а
для оценки E2 - лишь при W > 7 нм.
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок типа n-CaAs
171
Для зоны тяжелых дырок в
рамках трехзонного прибли-
жения Кейна выражения для
расчета уровней размерного
квантования получить нельзя.
Реально мы всегда имеем
дело с потенциальными ямами
конечной глубины. Для нахо-
ждения положения уровней
размерного квантования в этом рис $ ц Зависимость положения пер-
случае необходимо правиль- вого и второго £2 энергетических
ным образом «сшить» на левой уровней от ширины квантовой ямы:
границе потенциальной ЯМЫ 7,3-расчетпо(3.7.11а);2,4--расчетпо(3.7.8)
решение уравнения (3.7.1) для
материала левого барьера (слой 1, см. рис. 1.4) с решением анало-
гичного уравнения для материала КЯ (слой 2), а на правой границе -
решение уравнения (3.7.1) для слоя 2 с решением для материала
правого барьера (слой 3). Естественно использовать при этом обыч-
ную процедуру «сшивания» на границах волновой функции (3.7.2) и
ее производной с учетом различия эффективных масс электронов в
контактирующих слоях. Однако такие граничные условия обычно не
применяются, так как требуют знания точного вида блоховских
функций экстремумов зон [14].
Наиболее простой способ преодоления этих трудностей нашел
Ж. Бастард в [15]. Он предложил считать непрерывными на гра-
ницах огибающие, что равносильно предположению об одина-
ковости блоховских функций краев зон в контактирующих
материалах. Несмотря на заведомую необоснованность такого
предположения [14-22, 42, 43] (оно может быть лишь частично
оправдано одинаковой симметрией свойств контактирующих ве-
ществ и близостью параметров решеток), получаемые таким спо-
собом результаты обычно находятся в удивительно хорошем
согласии как с экспериментом, так и с более последовательными
теоретическими расчетами [14].
Заметим, однако, что в приближении огибающих функций те-
ряются все микроскопические детали, связанные, в частности, и со
свойствами гетерограниц [42]. В результате данное приближение
будет несправедливо при описании узких КЯ и сверхрешеток с
малым периодом (всего несколько атомных плоскостей в слое), где
огибающие Fj(z) будут существенно изменяться на расстояниях
порядка постоянной решетки.
172
Глапа 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Рис. 3.12. Связь между поло-
жением энергетических зон в
контактирующих материалах
Кроме выбора граничных условий
для нахождения положения уровней
размерного квантования в КЯ конечной
глубины необходимо связать между
собой изменения положения краев энер-
гетических зон в контактирующих ма-
териалах. На рис. 3.12. показана связь
между положением зон Ге, Г8иГ7в кон-
тактирующих материалах А и В. Если
положить, что Us, Uh и t/д в материале А
равны нулю, то из (3.7.3) с учетом
(3.7.5) можно получить уравнение Шре-
дингера для огибающих функций, соот-
ветствующих состояниям зоны проводи-
мости, в следующем виде:
где
Р2Й2 д
3 dz pr(z)J&
+ Usr{z)F^ = EF\ , (3.7.12)
2
1
Hr (z)
1_________
FgA + Е + Uhr (z) EgA + E + Aa + Ufa
, (3.7.13)
a r = 1, 2, 3 соответствует номеру контактирующего слоя.
При записи (3.7.12) для упрощения матричный элемент Р пола-
гался одинаковым для контактирующих материалов и равным зна-
чению Р в материале А. Обоснованием этого является малое
изменение кейновского матричного элемента Р для материалов со
структурой цинковой обманки (табл. 3.1).
В качестве материала А можно выбрать материал любого из
слоев системы. Мы будем полагать, что материал А относится к
КЯ (слой 2).
Таблица 3.1
Значения параметров энергетических зон (4,2 К) для соединений А3В5
Соединение InSb InAs GaSb InP GaAs AlSb GaP AlAs
Eg= £гб— £г8, эВ 0,237 0,42 0,813 1,423 1,519 2,37 2,67 3,11
Д, эВ 0,81 0,38 0,752 0,11 0,341 0,75 0,13 0,314
rnJniQ 0,014 0,023 0,041 0,08 0,067 0,11 0,13 0,13
2т0Р2, эВ 23 21,7 23,6 18,2 24,2 23,4 20,9 24,6
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок типа n-CaAs 173
Следуя Бастарду, будем считать, что огибающие функции не-
прерывны на границах слоев. Тогда для получения второго гра-
ничного условия необходимо проинтегрировать (3.7.12) по
отрезку, пересекающему границу. Если при этом Us, Uh и С7Д име-
ют лишь конечные разрывы, то из условия непрерывности F при-
дем к требованию непрерывности на границе и величины
1 ^1,г
Hr dz
(3.7.14)
Представляя теперь огибающую функцию в квантовой яме (т.е.
F12 ) в виде суммы падающей и отраженной плоских волн с волно-
вым вектором К2, а в барьерах (Fj t и Fl 3) - в виде спадающих
экспонент (~ exp(±/3rz) ), с учетом рассмотренных граничных усло-
вий систему уравнений, определяющую положение уровней раз-
мерного квантования для электронов с Е<Usr, можно предста-
вить в следующем виде:
к1_№
Н2 и Из
H2IH1 Из,
= ctg(/C2lO,
f 2
Е(Е + Eg2)(E + Eg2 + Д2) = ti2P2K2 |£ + Eg2 + -Д2
(3.7.15)
-(Е-Usr)(E + Egr -Usr)(E + Egr + \-Usr) =
f 2i
= h2P2^E + Egr+-^r-Usr^2,
здесь г -1,3.
В рамках введенных выше допущений нетрудно также полу-
чить дисперсионное соотношение для сверхрешетки на основе
слоев А3В5. При этом необходимо дополнительно учесть условие
периодичности потенциала сверхрешетки. Поскольку потенциалы
краев различных зон периодичны по z (Us h^(z + d) -Us h & (z)),
справедлива теорема Блоха и для любого целого т
F} (z + md) = exp(iKmd)Fl (z); (3.7.16)
174
Глава 3 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
здесь d -L + W - период сверхрешетки (см. рис. 1.19), К - волно-
вой вектор СР вдоль оси z. С учетом (3.7.16) дисперсионное соот-
ношение для E<UsB удается представить в виде, аналогичном
(1.10.7):
cos(^J) = cos^lC) • ch(/3£) - 0.5
1
Т]----
nJ
sin^PO-shCSZ), (3.7.17)
однако здесь
„ J^Va
W»b ’
(3.7.18)
а КА и /3 определяются соотношениями
Е(Е + EgA )(£ + EgA + Дл ) = h2P2K2A
2
Z’ + Z'g^ + -еа
-{E-UsB\E + EgB-UsB)(E + EgB + AB-UsB) =
( 2 ।
= h2P2\E + EgB+-bB-UsBy2.
(3.7.19)
(3.7.20)
Здесь KA - волновой вектор, соответствующий плоской волне в
КЯ; /3 - параметр, характеризующий спад огибающей функции в
материале барьера; и определяются (3.7.13), где для
необходимо полагать Uh и ил равными нулю.
Сопоставляя (1.10.7) и (3.7.17), можно сделать вывод, что дис-
персионное соотношение (3.7.17) является обобщением модели
Кронига - Пенни на многозонную ситуацию [4].
Подчеркнем, что данное дисперсионное соотношение получено
в приближении кр = 0. При кр * 0 в матрице Кейна не удается
избавиться от перемешивания состояний с различными спинами.
Кроме того, необходимо переформулировать граничные условия. В
результате оказывается, что мини-зоны в сверхрешетках при ко-
нечных кр не только сдвигаются, но и деформируются. В
разд. 1.10 было показано, что из-за несовпадения компонент эф-
фективных масс в контактирующих материалах при изменении
энергии поперечного движения изменяется эффективный потенци-
ал гетероперехода. Причем в зависимости от отношения т*А / тв
3.7. Энергетический спектр полупроводниковых пленок типа n-CaAs
175
при изменении кр эффективный потенциал может увеличиваться,
уменьшаться и даже изменить знак. Это, в частности, приводит к
зависимости ширины мини-зоны от кр. Например, в сверхре-
шетке на основе слоев InAs-GaSb ширина первой электронной
мини-зоны с ростом кр уменьшается.
Как отмечено в [4], дисперсионное соотношение для сверхре-
шетки при кр * 0 можно разложить в ряд в окрестности кр = 0, что
в первом приближении приводит к выражению
h2k2
Еп(к,кр) = Еп0+---£--2гй0(1 + а„А2) cos (kd), (3.7.21)
где £п0 - 2/п0 - положение мини-зоны при к = 0 и кр = 0; т*п -
эффективная масса, характеризующая движение параллельно сло-
ям сверхрешетки; 4ги0- ширина н-й мини-зоны при кр= 0; аи-
коэффициент, отражающий зависимость ширины мини-зоны при
изменении кр.
С использованием (3.7.21) удается получить зависимость плот-
ности состояний для сверхрешетки g(£’) от энергии. Для
Й2
E<E„0-2tn0 g„(E) = 0, а для Е >En0 + 2tn0 при ап<--------?
плотность состояний gn(E) равна константе. При этом
g(D = -kz I " ®{Е- Еп0 - 2t„0) . (3.7.22)
ndfi п 1
V л4
Сравнение (3.7.22) с выражением для плотности состояний в
одиночной КЯ (3.1.14а) показывает, что при ап - 0 (3.7.22) совпа-
дает с (3.1.14а), умноженным на число элементарных ячеек сверх-
решетки Lz/d (Lz- длина сверхрешетки вдоль оси z), а учет
аи ф 0 лишь изменяет массу тп .
176
Глвва 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
3.8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ
В РАЗМЕРНО-КВАНТОВАННЫХ ПЛЕНКАХ Ge И Si
Рассмотрим энергетический спектр электронов в простейшем
варианте приближения эффективной массы, когда не учитывается
взаимодействие с другими зонами, а электроны характеризуются
эффективными массами, соответствующими эффективным массам
электронов в массивном кристалле. Будем также полагать, что по-
тенциальный барьер на границах пленки достаточно велик, так что
огибающую волновой функции электрона в плоскости границы раз-
дела можно считать равной нулю. Последнее допущение представ-
ляется достаточно обоснованным для границы полупроводник-
диэлектрик (SiC>2, CaF2), однако практически неприемлемо для гете-
рограниц Si/Ge.
Расположим декартову систему координат так, чтобы ось z
совпала с направлением нормали к пленке, а оси х и у находились в
плоскости пленки (рис. 3.13, а). Как показано в [23], энергетиче-
ский спектр электронов в пленках с многодолинным характером
зоны проводимости может быть представлен в виде
КУ
(3.8.1)
где Wy - компоненты тензора обратной эффективной массы в сис-
теме координат xyz, а - энергия дна и-й подзоны для i -го
минимума.
Рис. 3.13. Ориентация пленки («) и обозначения энерге-
тических минимумов для Si (б)
3.8. Энергетический спвктр электронов в рвэмерно-кввнтоввнных пленквх... \~П
Чтобы в (3.8.1) избавиться от перекрестных членов, необходи-
мо дополнительно повернуть систему координат вокруг оси z про-
тив часовой стрелки на угол а, определяемый соотношением
tg(2a) =
2(wzzwxy ^xzwyz)
VZZ - WyyW22 - + Wyz
(3.8.2)
В результате (3.8.1) примет вид
-2
E(iex,k'y)=Е®+^-k'2+±-k'2, (3.8.3)
' ' 2mx 2my '
где
sin2(a) +2
sin(2a),
/
(3.8.4)
wzz
cos2(a)+
/
w22
——
wzz
sin2(a) +2
wXz™yz
wzz
sin(2a),
a 7 в нашем случае равно
£(') _
Й2 Г П У
2^[w)
(3.8.5)
где = wQ . Причем именно (3.8.5) будет претерпевать изме-
нения при изменении вида ограничивающего пленочного потен-
циала U(z) и граничных условий.
Главные значения эффективных масс тх и ту зависят от ориен-
тации изоэнергетических поверхностей в объеме полупроводника
относительно поверхности. В табл. 3.2 и 3.3 приведены эффектив-
ные массы электронов для трех ориентаций поверхности полупро-
водниковой пленки типа Si с эллипсоидами постоянной энергии,
расположенными на осях <100>, и типа Ge с эллипсоидами посто-
янной энергии, расположенными на осях <111>, выраженные через
продольную и поперечную эффективные массы электрона в объ-
емном материале [23]. Там же приведена кратность вырождения
каждой совокупности долин gv.
178 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Таблица 3.2
Эффективные массы для трех ориентаций поверхности пленки Si
Ориентация поверхности Шу mz gv
(100) mt m, 2
m, mi m, 4
(ПО) mt 2 m,mi/ (mt + mj) 4
m, mi m. 2
(111) m, (ml+2mi)l3 3m,mil (m, +2mj) 6
Для Si т/=О,916/яо mt = Q, 19m0 6
Таблица 3.3
Эффективные массы для трех ориентаций поверхности пленки Ge
Ориентация поверхности my mz gv
(100) mt (ml+2ml)/3 3mtmil (m, +2m]) 4
(110) m, (2m,+mi)l3 3m,mii (2 m, + m/) 2
m. mt m. 2
(111) mt m. mi 1
mt 9mtmi/ (m, +8mj) 3
Для Ge mt= l,58m0 ля, = О,О82п2О 4
Многодолинный характер спектра при учете размерного кван-
тования в первую очередь проявляется в снятии долинного вырож-
дения и разных скоростях изменения положения квантовых под-
зон, принадлежащих разным экстремумам. На рис. 3.14 и 3.15
приведены зависимости распределения концентрации электронов
по долинам от толщины кремниевой пленки, ориентированной
соответственно в плоскостях (100) и (НО). При расчете полагали,
что полная концентрация электронов остается неизменной.
Из рисунков ввдно, что для данной температуры и концентрации
электронов при увеличении толщины пленки примерно до 5 нм прак-
тически все электроны будут оставаться в подзоне, соответствующей
долине 1, а при дальнейшем увеличении толщины пленки начнет про-
являться перераспределение электронов по долинам. Причем это пе-
рераспределение имеет немонотонный характер.
Согласно зависимостям, представленным на рис. 3.16 и 3.17,
каждый раз, когда дно очередной подзоны приближается к уровню
Ферми, заполнение состояний данной подзоны вызывает уменьше-
ние концентрации электронов в других подзонах. Отметим, что если
3.8. Энергетический спектр электронов в размерно-квантованных пленках... -179
Рис. 3.14. Зависимость концентрации электронов в до-
линах от толщины (100) кремниевой пленки при Т= 30 К
и^=1025м3:
1 - соответствует долинам типа I, 2 - долинам II и III; нумерация
минимумов соответствует рис. 3.13, б
Рис. 3.15. Зависимость концентрации электронов в не-
эквивалентных долинах от толщины (110) кремниевой
пленки при Т= 30 К и Nd = 1025 м .
1 - соответствует долинам типа I и II; 2 - долинам III; нумерация
минимумов соответствует рис. 3.13, б
180
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ-
Рис. 3.16. Зависимости приведенного уровня Фер-
ми и положения квантовых подзон от толщины
(100) пленки Si:
• - Е1(1),о - Е/2-3* ▼ - Е2(1), V - Е2(2'3), - £3<‘>, □ - £з₽-3>;
верхние индексы обозначают долины в соответствии с
рис. 3.13, б, нижние соответствуют номеру квантовой подзоны;
Г=30К,№= 1025 м*3
Рис. 3.17. Зависимости приведенного уровня Ферми
и полоения квантовых подзон от толщины (110)
пленки Si:
• - £,“’•«>, О - £/3>, ▼- Е2“>-<2>, V- Е2<3>, - £з“> <2), □ ~ £з(3);
верхние индексы обозначают долины в соответствии с рис. 3.13, б,
нижние - соответствуют номеру квантовой подзоны. Г = 30 К,
№=Кг’м~3
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках...
181
не принимать во внимание возможное изменение подвижности, то
вследствие анизотропии эффективных масс немонотонное перерас-
пределение электронов по долинам может привести и к немонотонно-
му изменению суммарной проводимости при изменении толщины
пленки.
3.9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЕНКАХ
С ВЫРОЖДЕННЫМИ ЗОНАМИ
Для валентной зоны массивных кристаллов полупроводни-
ков со структурой алмаза и цинковой обманки характерно вы-
рождение зон тяжелых и легких дырок, а также существенное
спин-орбитальное взаимодействие, приводящие в трехмерном слу-
чае к гофрировке изоэнергетических поверхностей (рис. 3.18) и
непараболичности спектра дырок. В результате расчет энергетиче-
ского спектра дырок в общем случае становится достаточно труд-
ной задачей.
Как отмечалось выше, в первом приближении трехзонной моде-
ли Кейна не удается учесть «взаимодействие» состояний тяжелых
и легких дырок. С этой точки зрения для расчета размерно-кван-
тованного энергетического спектра дырок в пленках Ge, Si и соеди-
нений А3В5 удобнее использовать подход Кона - Латтинжера [24], в
котором «взаимодействие» дырочных подзон учитывается сразу.
В рамках модели Латтинжера матрица элементов £)уу(к) имеет вид
F н I 0 Ш Л -гЛ1
н* G 0 1 i(G-F) Л ,Лн 1 42
Г 0 G -Н Лн* -1— л i(G-F) Л , (3-9.1)
0 I* -Н* F чЛг -Ш Л
ш* л/2 i(G-F) Л ,Лн 1—]=- 42 1Л1 F + G А 2 0
i-ЛГ к Лн" -1—1=— V2 i(G-F) д/2 Ш Л 0 F + G д д 2 J
182
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Рис. 3.18. Сечения изоэнергетических поверхностей тяжелых дырок
в кремнии (слева) и германии (справа) плоскостями типа (001) (а),
типа (ПО) - (б), типа (111) - (в); цифры у кривых указывают
энергию в электрон-вольтах, волновой вектор к в нм~*
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках...
183
где F = 0,5(1 + М\кЕ 2+к2) + Мк2-, 3G = F + 2M(к2 + к2) + 2Lk%;
Н = ~^кукх +ikxkz^’ ~k2y)~2iNkxky']-,
L-2B + A, М=А-В, N = j3D.
Величины А, В и D определяют энергетический спектр дырок в
массивном кристалле [25]. В (3.9.1) кх, ку ukz направлены вдоль
осей типа <100>.
Ограничим наше рассмотрение случаем, когда пленочный по-
тенциал U(z) в (3.7.1) аппроксимирован бесконечно глубокой
потенциальной ямой. Даже в таком приближении использование
(3.9.1) позволяет получить аналитические выражения для расчета
разрешенных значений энергии только в отдельных случаях.
Например, при кр = 0 (когда «взаимодействие» между энерге-
тическими ветвями тяжелых и легких дырок исчезает) уравнения,
определяющие разрешенные значения энергии в пленке с норма-
лью вдоль направления [100], имеют вид
Ehn ={А-В)К2,
Е1п = (А + Ъ,5В)К2 - 0,5А + 0,5^9В2К* + 2ВЬК2 + А2, (3.9.2)
Esn = (А + 0,5В)Х2 - 0,5А - 0,5л/9В2^ + 2 ЯЛЕ2 + А2 ,
здесь ЕЛп, Eln nEsn соответствуют уровням размерного квантова-
ния зоны тяжелых дырок, зоны легких дырок и отщепившейся
зоны; Кп = rm / W, W- ширина квантовой ямы (толщина пленки).
Для пленки с нормалью вдоль [111]
ейи=(л-р/7з)е„2,
Eln = (А + £)/л/12)Е2 - 0,5А + О^^ЗЕ2^ +—ЕЛЕ2 + А2 , (3.9.3)
Е _ = (А + d/V12)E2 - 0,5А - 0,5. ЗЕ2 К* + ~ ЕЛК2 + А2 .
о** v ' fl * ri
1g4 Глава 3, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
Для пленки с нормалью вдоль [110]
l(B2+D2)k* Д2 , ч 2 Д
Ehn =2\—4^+V cos((p«)+“7’
£/л = +^2)^.+^.(_со8(фи) + V3sin(<p„)) + Ак2 -у,‘(3.9.4)
1
здесь <р„=-
3 \Т
U к И .
(ЗР2-В2)Вк3
8
Д3
27’
Уп =^2G.25FxD2kl + F2kAn + F3BB3k2i + F4 ,
JO
Fj = 9B4 - 6B2D2 +Da, F2 = 27 Д2 (B2 + D2 )2,
F3=-12(B2-3D2), F4=12A4Cb2 + D2).
Отметим, что выражения (3.9.2) - (3.9.4) не всегда характеризуют
энергию дна квантовых подзон (см., например, рис. 3.19).
Рис. 3.19. Дисперсионные кривые первой (/) и второй (2)
подзон размерного квантования p-Ge: к0 = G,6nlW [26]
У рассматриваемых полупроводниковых материалов (за исклю-
чением Si, InP и InAs) при толщинах W >10-6 см спин-орби-
тальное расщепление оказывается много больше расстояния между
уровнями размерного квантования. В этом случае можно ограни-
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках.
185
читься рассмотрением верхнего края валентной зоны (т.е. зонами
тяжелых и легких дырок). Впервые расчет размерно-квантован-
ного энергетического спектра для полупроводниковых пленок
p-типа с вырожденными гофрированными зонами в рамках пан-
ного приближения приведен в [27].
Используя левую верхнюю 4x4 часть матрицы (3.9.1) и гранич-
ные условия (3.7.4), в результате решения системы (3.7.3) выраже-
ние, определяющее размерно-квантованный энергетический спектр
пленки с нормалью вдоль [001], можно представить в виде
sin(£z2lF) sin(£zllF) =
^Н*+НХ*Н2) [l-cos(frz2lF)cos(frzllF)] Ф(^)Ф(Г2)
|Я1|2Ф2(Г2) + |Я2|2Ф2(Г1) + |/|2(^-Г2)2
где Ф(Гу) = Е-Fj, Hj = H(kx,ky,kzj), Fj = F(kx,ky,kzJ),
k2 = j 1 b2 {j£ + (B2 -Я2 +0л5С2)(^2 +^j) +
+(-1)7 [b2£2 + AC2E(k2 + k2) + C2(B2 - A2 + 0,25C2)x (3.9.6)
x(*2 +k2)2 + C2(A2 -В2)ф2]1/2},
C2=D2-3B2, /=1,2.
В достаточно малой окрестности точки кр = 0 решение уравне-
ния (3.9.5) имеет вид
=U +^i> <*> +*>2)-
(3.9.7)
где в области к2 « (пп / W)2 эффективные массы определя-
ются выражениями
Ъ _ L2-M2-N2 N2J)M(2L+M) (-If'+cos^,)
4') 2(Х-М) ’ (/.-Л/)? iwsin(<p,) ’
186
Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
то _(L-M)(L + 5M) + 3N2
N2^3M(2L + M)
+ sgn(A/)--------=---x
(l-M)2
x(-ir‘^°s«p2). (39
nnsin(<p2)
Г1м~ 8W2k2 [IlTm 8iv2k2
здесь ср. -m.------------tp2 =nn.----------+-------,
\2L + M 2nn 2 \ 3M 2nn
(L-M)2-3N
(L-M)j3M(2L + M) '
Анализ (3.9.7) с учетом (3.9.8) показывает, что вблизи точки
Лр=0 дисперсионные кривые Е^(кр) изотропны в плоскости
пленки и квадратичны от кр. При увеличении кр из-за изменения
mJn эти зависимости становятся неквадратичными.
В области значений kp&(nn/W) анизотропия Е^\кр) стано-
вится существенной и решение (3.9.5) удается получить только
численно. Результаты такого расчета приведены на рис. 3.19, где
( й2 л2 Y1
Е* = Е , Е*^ = 9,94, Е^ =14,4, Е*1с = 10,13
1^2/Ио W )
Ес- энергия, соответствующая седловой точке [26]. Видно, что в
зависимости от заполнения подзон полупроводник может вес-
ти себя как одно- или многодолинный. Кроме того, вследствие
пространственного квантования в вырожденной зоне наряду с
дырочными состояниями могут возникнуть электронные с
положительными эффективными массами.
Отметим также, что в ряде случаев в спектре дырок необходимо
учитывать особенности, связанные с появлением конических точек
[28-30], а также конечной глубиной квантовой ямы [31, 38,44].
При и—>оо правая часть (3.9.5) стремится к нулю, так что ре-
шение, по существу, становится квазиклассическим, когда «взаи-
модействием» между энергетическими ветвями тяжелых и легких
дырок пренебрегают. В этом случае
= Е°>
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках...
187
где
£(1,2)(Ар А) = Ак1 ± ^В2к* + С2(к2ку + к2хк2+к2к2)
определяет дисперсионное соотношение в массивном кристалле.
Анализ особенностей плотности состояний в зависимости
от геометрии изоэнергетических кривых с использованием (3.9.5)
показал [27], что в пленке наряду с изменениями плотности
состояний скачками (при прохождении точки минимума или
максимума квантовой подзоны, см. рис. 3.19.) возможны лога-
рифмические особенности (при прохождении седловой точки), а
также особенности типа \Е - £с| 1/2 . Последняя особенность в
поведении плотности состояний у края подзоны, характерная для
ID-систем, обусловлена тем, что зарождение изоэнергетических
линий у края подзоны происходит не в точке, а на целой кривой,
так называемой петле экстремумов. Например, если закон диспер-
сии в подзоне п имеет вид
h2k2
Еп=Е^+^ + ^р,
2т„
то при тп <0 с учетом (3.1.12) для зависимости плотности состоя-
ний от энергии Еп получим
£«(^) = v{ 4rclP«A/£„-£,1>min} ’,
где v=l при £„>min <Еп <Е<0} и v = 0,5 при £<0) <£„, a £„>min =
(/"’Л,
- энергия, соответствующая минимуму и-й под-
зоны. Конечный скачок gn (Еп) при £„ = Е^ соответствует ис-
чезновению одного семейства изоэнергетических линий в точке
Еп = Е^ при возрастании энергии.
В случае p-Si, InP и InAs ситуация еще больше усложняется,
так как при W < 20 нм обычно необходимо принимать во внимание
и зону, отщепленную спин-орбитальным взаимодействием. В дан-
ных материалах с малой величиной спин-орбитального расщепле-
ния несферичность и непараболичность энергетического спектра
188
Глвва 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
дырок оказываются очень существенными (рис. 3.20) [33]. Расчеты
с учетом взаимодействия с отщепленной зоной [41] показали, на-
пример, что при уменьшении толщины пленки энергетический
зазор между подзонами легких и тяжелых дырок перестает изме-
няться. Согласно (3.9.2) и (3.9.3) для пленок, ориентированных в
плоскостях (100) или (111), этот зазор в точке кр = 0 не превысит
величины (2/3)Д, а в модели (3.9.5) он монотонно растет.
Рис. 3.20. Изоэнергетические поверхности зоны тяжелых дырок в Si для
Е - 40 мэВ:
а - в отсутствие деформации; б- при растяжении вдоль [001] на 0,64 %, в - при сжатии
по [001] на 0,64 % [32]
Когда энергия дырок сравнима с величиной спин-
орбитального расщепления зон Г8 и Г7, можно найти поправку к
Е^(кр) за счет взаимодействия этих зон, используя теорию воз-
мущений. Для этого вместо элементов F, G, Н н! в (3.9.5) нуж-
но подставлять [34]:
G' = G + ^L[(F - G)2 + 31 /Zj2 ),
H' = H +±^H(G -F)~ 2y/3H*l)
Г = Z -^-(х/з№ + 21 (G - F)j,
а вместо уравнения (3.9.6) для определения kzj использовать урав-
нение
, . э 2B3k6+3BC2k2® + 27(2D3+ В3-BD2)klk2k2
В2к4 +с2® +-------------------------------------- х -
А
- Е-Ак2
В2к4 + С2®>\
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках...
189
где к2=кх+ку+к2, ©=кхку +
+к2к2 + к2к2. Таким образом,
в первом приближении мож-
но учесть непараболичность
спектра за счет взаимодейст-
вия зонГ8иГ7.
Вырождение энергетиче-
ских зон необходимо учиты-
вать и при определении энер-
гетического спектра в пленках
и-Si. Известно, что в зоне про-
Рис. 3.21. Строение зоны проводи-
мости n-Si вблизи ^-минимума
водимости кремния, а также большинства соединений А3В5 реализу-
ется так называемая «двугорбая» структура (рис. 3.21) [35]. Такая
особенность обусловлена k-р «взаимодействием» Х\ - и Х% -со-
стояний, приводящим к существенной непараболичности закона
дисперсии электронов, которая в отличие от кейновской наиболее
сильно проявляется вблизи минимума зоны.
Для точки X в электронном кремнии
Dn= Ak2+B(k2+kz) + Dkx,
D22 = -2Dkx, Д2 = Д21 =Mkykz,
(3.9.9)
где ось х соответствует направлению Д, а оси у и z параллельны
направлениям типа [100]. Начало отсчета волнового вектора и
энергии находится в точке X. Константы А, В, D и М определяют
энергетический спектр электронов в массивном кристалле.
В массивных кристаллах совокупность величин (3.9.9) приво-
дит для дисперсионных зависимостей Х^ - и Х% -зон к выраже-
нию вида
Е(1’2)(к) = ЛА2 + В(к2 +k2z) + ^D2k2x + (Mkykz + ZE;z)2 . (3.9.10)
Обычно вместо (3.9.10) используют более простое выражение
Ет(к) = Ак2+В(к2+к2), (3.9.11)
которое получается при разложении (3.9.10) в ряд в окрестности
минимума энергии (с учетом переноса начала координат для энер-
гии и кх в точку минимума) и соответствует простой многодолинной
<190 Главе 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ.,.
модели энергетического спектра. Именно (3.9.11) в большинстве
случаев применяют и для определения спектра в условиях размер-
ного квантования. В этом случае при моделировании пленочного
потенциала бесконечно глубокой потенциальной ямой квантован-
ный энергетический спектр электронов получают подстановкой
вместо ^значения nin/W) в выражение (3.9.11) или (3.9.10) и
Еп(кр) = Е\кр,—. (3.9.12)
Здесь W - толщина пленки, кр — составляющая волнового вектора
в плоскости пленки.
В случае неограниченного кристалла использование (3.9.11)
обычно оправдано, так как минимум А] расположен примерно на
0,11 эВ ниже точки вырождения Х}.
На рис. 3.22 представлены зависимости плотности состояний
от энергии для Xf-зоны в Si, рассчитанные с использованием
(3.9.11) - g0(E) и (3.9.10) - g(E, е) при 6^=0, -0,005 и 0,005. Видно,
что разложение (3.9.11) позволяет получить зависимость плотно-
сти состояний от энергии с достаточной точностью лишь при на-
личии больших отрицательных сдвиговых деформаций. При
отсутствии деформации ошибка в оценке плотности состояний
с использованием (3.9.11) превысит 5 % при Е > 0,04 эВ и 15 % при
Е > 0,08 эВ, а при положительных сдвиговых деформациях ошибка
еще возрастет.
Рис. 3.22. Зависимости плотности состояний от
энергии для Xf зоны в Si:
go(E) - расчет по (3.9.11), g(£,e) - расчет по (3.9.10)
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках...
191
В случае же размерно-квантованных пленок, когда минимум
даже нижней квантовой подзоны может оказаться на 0,15...0,2 эВ
выше минимума Д] в неограниченном кристалле, т.е. даже выше
точки вырождения (см. рис. 3.21), применение (3.9.12) требует
дополнительного обоснования.
Решая систему (3.7.3) с учетом (3.9.9), полагая, что нормаль к
поверхности пленки направлена вдоль оси z (см. рис. 3.13), можно
получить уравнение, определяющее квантованный энергетический
спектр электронов En(kx,ky,W) в минимумах типа I для Еп <
<(Акх +Dkx) в следующем виде [36]:
sh(l^7-^) sin(kzlW) =
2^1А^4ф(^2)[ 1 - сь(^Т^)со8(*г1)п]ф(*г1)
, (3.9.13)
^21Ф2(^2) + ^22Ф2(^1)
где Ф(кя-) = Акх + В(ку + kzi) + Dkx -Е, a kzi - корни уравнения
Для Еп > (Акх +Dkx) уравнение, определяющее энергетиче-
ский спектр En(kx,ky,W) в минимумах I, принимает вид
sin(kz2W) sin(kzlW) =
__ 2^г1^2Ф(Аг2)[1 -со^^со^^Ф^)
k2z&2(kz2) + k2z2<b2(kzl)
Данное уравнение необходимо использовать при определении
спектра квантовых подзон, образованных из представления Д2.
В достаточно малой окрестности ку = 0 решение уравнения
(3.9.13) можно представить в виде
7 h2k2 ( л Л2
En(kx,ky,W) = Ak2x-Dkx+-^ + B\n-^ , (3.9.15)
192
Главе 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
где
й2 М2 (ил У
тп Dkx\w)
2л/ВО(^,ЕГ)[(-1)и+1 + ch(^Q(^))]| 9
DkxWsh(WQ(kx,lP)) J ’
где fi(^x,)^) = J2—. Разложение (3.9.15) верно в об-
ласти значений к2к2 «|2нг*Д£п|, где А£„ = £л+] -Еп .
Анализ выражения (3.9.13) показывает, что положения мини-
мумов квантовых подзон, определяемые с использованием (3.9.13)
и (3.9.12), совпадают (аналогичное свойство имело место и при
квантовании спектра дырок, когда в точке экстремума не происхо-
дило «перемешивание» волновых функций, принадлежащих раз-
ным ветвям спектра). Однако в окрестности минимума поведение
зависимостей Еп(кр), рассчитанных по (3.9.13) и (3.9.12), будет
различным.
На рис. 3.23 приведены зависимости Еп(кх0,ку), рассчитанные
с использованием (3.9.13) (сплошные линии) и (3.9.12) (пунктир),
для W = 5 и 10 нм. Видно, что с уменьшением толщины пленки и
увеличением номера квантовой подзоны различие возрастает. Это
видно и из данных табл. 3.4, где представлены значения эффектив-
ные. 3.23. Зависимости энергии от ку, рассчитанные по (3.9.13), - сплош-
ные линии и по (3.9.12) - пунктирные:
а - для W= 10 нм, б - д ля W= 5 нм; цифры у кривых указывают номер квантовой подзоны
3.9. Энергетический спектр в полупроводниковых пленках...
193
Таблица 3.4
Значения эффективных масс в точке экстремума
W, нм Номер квантовой подзоны
1 2 3 4
5 0,236 -11,2 — —
10 0,204 0,264 0,543 -
15 0,198 0,221 0,275 0,422
20 0,194 0,206 0,232 0,279
При расчетах полагали, что в неограниченном кристалле и-Si
Шц =О,917лио> т± = О,19лио и A2-Aj=0,5 эВ в точке кх=кх0,
ky=kz=0.
Так как ку и kz входят в (3.9.9) симметрично (для минимума I),
сделанные выводы будут в равной степени относиться и к случаю,
когда нормаль к пленке направлена вдоль оси у. В общем случае,
когда нормаль к пленке направлена вдоль оси х, решение системы
уравнений (3.7.3) приводит к следующему выражению, опреде-
ляющему квантованный энергетический спектр электронов в ми-
нимумах I:
sin(/cxJ W) sin(/cxl W) =
_ 2D2kxlkx2[l-Cos(kx2W)Cos(kxlW)] 9
D2(k2xl+k2x2)-A2(k2xl-k2x2)2 ’
где kxi- корни уравнения
det||Z)#(^>M-MI = 0-
При kp - 0 (3.9.17) упрощается и принимает вид
( л Y D2
Е =А\п—-----------. (3.9.18)
" V WJ 4 А
Это выражение и определяет положение минимумов подзон для
долин типа I при квантовании вдоль оси х. Аналогичное выраже-
ние получается и при использовании (3.9.12). Анализ (3.9.17) так-
же показывает, что и в данном случае в плоскости пленки
энергетический спектр практически не зависит от толщины пленки
и может оцениваться с помощью (3.9.12).
7 Основы наноэлектроники
*194 Глава 3- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ квантовых состояний в системах...
Результаты, представленные выше, могут быть использованы и
для расчета размерно-квантованного спектра электронов в мини-
мумах II и III путем замены индексов в (3.9.13) - (3.9.18) в соответ-
ствии с рис. 3.13, б.
Распределение электронов по энергии для системы в целом бу-
дет определяться суперпозицией процессов, происходящих в каж-
дом минимуме. Так, например, при изменении толщины пленки с
нормалью вдоль [100] наряду со снятием долинного вырождения
следует ожидать увеличения эффективной массы в минимумах II и
III для движения вдоль осей z и у соответственно, а для минимума I
такого изменения быть не должно. Обобщение на случай произ-
вольной ориентации пленки может быть получено в результате
аналогичных расчетов.
3.10. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР В КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ
С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ УДЕРЖИВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ
В настоящее время в качестве материала для создания кванто-
вых точек в основном используют полупроводниковые соединения
А3В5 (InAs, GaAs, InSb и т.п.), а также Ge и Si. Все эти материалы
обладают сложным энергетическим спектром, описываемым мно-
гозонным гамильтонианом. В общем случае для расчета энергети-
ческого спектра размерно-квантованных систем необходимо
использовать гамильтониан, учитывающий k-p-взаимодействие рас-
сматриваемой зоны с как можно большим числом состояний. Так,
например, в [8, 37] полагают, что для расчета спектра в низкораз-
мерных системах на основе полупроводников А3В5 необходимо
учитывать как минимум 14 состояний.
Для получения явного вида системы (3.7.3) воспользуемся мо-
делью Кейна [13], в рамках которой состояния валентной зоны Г8 и
Г7 (шесть состояний) и зоны проводимости Гб (два состояния) объ-
единяются в один класс (класс А по Левдину) и взаимодействие
между ними учитывается точно, а все другие состояния относятся
к классу Вик* р-взаимодействия с этими состояниями устраняют-
ся при помощи итерационной процедуры.
В рамках данной модели, учитывая только не зависящую от к
часть оператора спин-орбитального взаимодействия и обозначая
Р±=РЛ±, Pz=Vkz, k±-kx±iky, Z = U-Eg-&; (3.10.1)
3.10. Энергетический спектр в квантовой точке...
195
здесь Р - матричный элемент Кейна, U = С/(г) - внешний, удержи-
вающий потенциал, матрицу 8x8 полного гамильтониана Н со-
гласно [39] можно представить в виде
(3.10.2)
В соответствии с (3.10.2) система уравнений Кейна принимает вид
Р 12 Р Р Р
-ЕС, —^C3+J-PZC4 +-±=С5 +^=С7 + ^=С8 = 0,
V2 V3 z 4 ^/б д/з
Р 12 Р Р Р
-ес2-~^с4 + fac5 +-^С5 +-|С7 -^С8 =0,
^PzCl-^C2-(E + Eg)C4=0, (3.10.3)
^Cl+]^PzC2-(E+Eg)c5=0, -?=C2-(E + Eg)C6=0,
+^C2-(E + £g+A)C7=0,
^С1-^С2-(£ + ^+Д)с8=0.
196 глава 3- распределение квантовых состояний в системах...
В работе [40], введя параболический удерживающий потенциал
U (г) = аг2 путем так называемой минимальной замены и учиты-
вая сферическую симметрию задачи, удалось представить уравне-
ние для радиальной волновой функции в следующем виде:
(3.10.4)
где
P2(£g + £+j Д) . _
———х/ ---J-v2 + х2г2 +з:
2 Р2ДХ ^2 _ ^та
а а - параметр крутизны удерживающего потенциала.
При этом оказалось, что уравнение, определяющее энергетиче-
ский спектр электронов, легких дырок и дырок в спин-орбитально
отщепленной зоне, принимает вид
/(£) = Йи1 2n + l+- I, (3.10.5)
где
Ж =
E(Eg + E)(Eg + £ + A) (^g + j А)
(e_+£ + ^a) £g(£g+A)
Vй 3 /
2 Д ЙсоГ 1 , f, 1
3^£ +£ + ^д1 2 L V 2 J
\ s 3 /
Йсо
2
(3.10.6)
Ek h2 Eg(E?+A)
-- =--------------—
m ’ 2P2 (Eg +|Д)
Выражение (3.10.5) по форме совпадает с уравнением (1.7.11),
описывающим спектр простой сферически симметричной потен-
циальной ямы с параболическим удерживающим потенциалом.
Однако учет межзонного взаимодействия в данном случае приво-
дит к проявлению непараболичности. Кроме того, выражение
Список литературы
197
(3.10.5) с учетом (3.10.6) имеет шесть различных корней. В резуль-
тате при Й(й Ф 0 вырождение подзон снимается.
2
Для E«Eg +—Д выражение (3.10.6) можно упростить. В ре-
зультате получим, что для подзон электронов:
(1) Eg Г | 4МЗ(2и + / + 2) + (4л + / + 4)Д/Е^]>
е Г V + ЗЕР+2Д
к ” 8 7
I 4йсо[3(2п + / + 2) + (4и + 3/ + 5) Д/£gf
ЗЕ + 2Д
& J
.(3.10.7)
В случае же, когда Eg » Е и Eg » А, (3.10.7) переходит в
£ г _____________________________п
Ее « -^l + 4(2« + / + 2)to/£gJ, (3.10.8)
т. е. подзоны остаются вырожденными и при йсо Ф 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аскеров БМ. Электронные явления переноса в полупроводниках. - М.:
Наука, 1985. - 320 с.
2. Галицкий В.М., Карнаков Б. М., Коган В.И. Задачи по квантовой механи-
ке: Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука, 1992. - 880 с.
3. Херман М. Полупроводниковые сверхрешетки. - М.: Мир, 1989. - 240 с.
4. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры / Под ред. Л. Ченга,
К. Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
5. Елинсон М.И., Петров В.А. Электрооптические эффекты в структурах с кван-
товыми ямами // Микроэлектроника -1987. - Т. 16, вып. 6. - С. 522-532.
6. Андрюшин Е.А., Силин А.П. Экситоны в квантовых ямах и квантовых
проволоках // ФТТ. - 1993. - Т. 35, № 7. - С. 1947-1956.
7. Кавокин А.В., Несвижский А.И, Сейсян Р.П. Экситон в полупроводни-
ковой квантовой яме и сильном магнитном поле // ФТП. - 1993. - Т. 27, вып. 6. -
С. 977-989.
8. Глинский Г.Ф., Кравченко КО. Оптика экситонов в системах с резкими
гетерограницами. Приближение сильно локализованной волновой функции //
ФТТ. - 1998. - Т. 40, № 5. - С. 872-874.
9. Белявский В И., Копаев Ю В.. Павлов С. Т., Шевцов С. В. Экситоны
Ваянье в планарных гетероструктурах с квантовыми ямами // ФТТ. - 1995. - Т. 37,
№ 10.-С. 3147-3168.
10. Чаплик А. В., Энтин М. В. Заряженные примеси в очень тонких слоях //
ЖЭТФ. - 1971. - Т. 61, № 6(12). - С. 2496-2503.
11. Гиппиус Н. А , Кулаковский В. Д., Тиходеев С. Г. Влияние перераспределе-
ния электрического поля на электронные и оптические свойства наноструктур //
УФН. - 1997. - Т. 167, № 5. - С. 558-568.
198 Глава 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ В СИСТЕМАХ...
12. Ивченко Е. Л., Кавокин А. В. Экситоны и примесные ценры в
полупроводниковой сверхрешетке в метоле эффективной массы // ФТП. - 1991. -
Т. 25, № 10. - С. 1780-1786.
13. Цидильковский И. М. Электроны и дырки. - М.: Наука, 1972. - 640 с.
14. Тиходеев С. Г. Таммовские мини-зоны в сверхрешетках // ЖЭТФ. -
1991 -Т. 99, вып. 6.-С. 1871-1880.
15 Bastard G. Superlattice band structure in envelope-function approximation //
Phys. Rev. B. - 1981. - Vol. 24, № 15. - P. 5693-5697.
16. Ando T., Wakahata S., Akera H. Connection of envelope functions at semicon-
ductor heterointerfaces. I. Interface matrix calculated in simples models // Phys.
Rev. В. - 1989. - Vol. 40, № 17. - P. 11609-11618.
17. Алейнер И. Л., Ивченко Е. Л. Электронные мини-зоны в СР (GaAs^AlAs^
при четном и нечетном М // ФТП. - 1993. - Т. 27, вып. 4. — С. 594-599.
18. Гриняев С. Н, Караваев Г. Ф., Чернышев В. Н. Модель для описания
взаимодействия электронных волн с гетерограницей в GaAs/AlAs (001) // ФТП. -
1994. - Т. 28, вып. 8. - С. 1393-1402.
19. Брагинский Л. С., Романов Д. А. Междолинная конверсия на границе.
Микроскопическая модель // ФТТ. - 1997. - Т. 39, вып. 5. - С. 839-843.
20. Брагинский Л. С., Баскин Э. М. Неупругое резонансное туннелирование И
ФТТ. - 1998.-Т. 40, вып. 6. - С. 1151-1155.
21. Горбацевич А. А., Токатлы И. В. Интерфейсные электронные состояния в
полупроводниковых гетероструктурах // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - Т. 67,
вып. 6. - С. 393-398.
22. Braginsky’ L., Shklover V. Influence of interface structure on transversal elec-
tron transport // Solid State Comm. - 1998. - Vol. 105. - P. 701-704.
23. Андо T, Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. -
М.: Мир.-1985.-416 с.
24. Luttinger J.M., Kohn W. Движение электронов и дырок в возмущенных пе-
риодических полях // Проблемы физики полупроводников: Сб. статей. - М.:
Иностр, лит., 1957. - С. 515-539.
25. Dresselhaus G., Kip A.F., Kittel С. Циклотронный резонанс электронов и
дырок в кристаллах кремния и германия // Там же. - С. 599-626.
26. Чаплик А. В., Шварцман Л. Д. Кинетические явления в размернокванто-
ванных слоях дырочных полупроводников // Поверхность. Физика, химия, меха-
ника. - 1982. - № 2. - С. 73-77.
27. Недорезов С. С. Пространственное квантование в полупроводниковых
пленках // Физика твердого тела. - 1970. - Т. 12, вып. 8. - С. 2269-2276.
28. Кибис О.В., Шварцман Л.Д. Изменение структуры энергетических подзон
квантовой пленки при деформации // Поверхность. Физика, химия, механика. -
1985 -№ 7.-С. 119-123.
29. Кибис О.В. Влияние деформации на энергетический спектр валентной зо-
ны в двумерных полупроводниковых системах // ФТП. - 1989. - Т. 23, вып. 5. -
С. 820-825.
30. Драгунов В.П. Влияние спин-орбитального взаимодействия на энергетиче-
ский спектр дырок в системе CaF2/Si|.xGex/CaF2 // Докл. СО АП высш. шк. -
2001. - № 2 (4). - С. 20-30.
31. Горбацевич А.А., Жабицкий О.В. Методы зонной инженерии для систем со
сложным энергетическим спектром // Изв. вузов. Электроника. - 2000. - № 4, 5. -
С. 53-57.
Список литературы 199
32. Болховитянов Ю.Б., Пчеляков О.П., Соколов Л.В., Чикичев С.И. Искусст-
венные подложки GeSi для гетероэпитаксии - достижения и проблемы: Обзор //
ФТП. - 2003. - Т. 37, вып. 5. - С. 513-538.
33. Hincley J.M., Singh J. Hole transport theory in pseudomorphic SibxGex alloys
grown on Si(001) substrates // Phys. Rev. B. - 1990. - Vol. 41, № 5. - P. 2912-2926.
34 Бир. Г. Л., Пикус Г. Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупро-
водниках. - М.: Наука, 1972. - 584 с.
35 Копылов А.А. «Двугорбая» структура и параметры А'-минимума зоны про-
водимости кубических полупроводников А3В5 // ФТП. - 1982. - Т. 16, вып. 12 -
С. 2141-2145.
36. Драгунов В.П. Влияние вырождения на энергетический спектр размерно-
квантованных пленок и-кремния // Электронные процессы на поверхности и в
тонких слоях полупроводников. - Новосибирск: СО АН СССР, 1988. - С. 148.
37. Pfeffer Р., Zawadzki W. Conduction electrons in GaAs; Five-level k-p theoty
and polaron effects // Phys. Rev. B. - 1990. - Vol. 41, № 3. - P. 1561-1576.
38. Gorbatsevich A. A., Zhabitskii О. V. Topological transitions in size-quantum
heterostructures // JETP. - 2003. - Vol. 96, № 1. - P. 150-164.
39 Darnhofer T„ Rossler U. Effects of band structure and spin m quantum dots //
Phys. Rev. B. - 1993. - Vol. 47, № 23 - P. 16020-16023.
40 Гашимзаде Ф.М., Бабаев A.M. Кейновский осциллятор // ФТТ - 2002. -
Т. 44, вып. 1.-С. 155-156.
41. Holyavko V.N., Dragunov V.P., Morozov В. V. et al. Study of size quantization
in p-type silicon inversion layers by means of magnetoresistance // Phys. Stat. Sol. (b). -
1976^ Vol. 75. - P. 423-432.
iA2JTokatly I. V., Tsibizov A. G., Gorbatsevich A. A. Interface electronic states and
boundary conditions for envelope functions // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 65 -
№ 16. - 10 p.
43. Белявский В.И., Голъдфаб M.B., Копаев Ю.В., Шевцов С.В. Электроны в
квазидвумерных структурах с неидеальными границами // Конденсированные
среды и межфазные границы. - Воронеж, 1999. - Т. 1, № 1. - С. 30-42
44. Andreani L.C., Pasquarelo A., Bassani F. Hole subbands in strained GaAs-
Gal xAlxAs quantum wells: Exact solution of the effective-mass equation // Phys. Rev.
B. - 1987. - Vol. 36, № 11. - P. 5887-5894.
ГЛABA 4
ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В СТРУКТУРАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
4.1. ПРИПОВЕРХНОСТНАЯ ОБЛАСТЬ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
Наноразмерные структуры практически всегда создаются на
основе пленок с толщиной порядка десятков (единиц) нанометров
либо из тонкопленочных структур, состоящих из таких пленок.
Понятно, что при транспорте электронов вдоль или поперек такой
пленки или структуры основное влияние на все процессы будут
оказывать параметры границы раздела (интерфейс) и приповерх-
ностных областей. На локальные электронные состояния на грани-
цах раздела захватываются электроны, создавая встроенные
заряды. Роль таких поверхностных зарядов может играть и внеш-
нее электрическое поле.
В равновесных условиях любой рассматриваемый образец
должен быть электрически нейтрален. Это возможно только в том
случае, если локальные заряды и внешние поля будут экранирова-
ны. Отсюда следует, что любой поверхностный заряд или внешнее
поле должны быть скомпенсированы равным по величине и обрат-
ным по знаку зарядом в приповерхностном слое полупроводника.
Этот заряд в общем случае состоит из заряда ионизированных до-
норов и акцепторов и заряда подвижных носителей - электронов и
дырок. Располагаясь в приповерхностном слое, он экранирует объ-
ем полупроводника от поля поверхностного заряда. Понятно, что
для создания этого дополнительного экранирующего заряда необ-
ходимо иметь в приповерхностном слое концентрацию подвижных
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда 201
зарядов, отличную от объемных. Таким образом, в приповерх-
ностном слое образуется слой пространственного заряда. По-
нятно, что в этом слое появится электрическое поле и возникнет
распределение электростатического потенциала. Как то, так и дру-
гое определяется уравнением Пуассона при соответствующих гра-
ничных условиях. Такие решения для поверхностных слоев хорошо
известны еще с времен разработки теории выпрямления на контакте
металл - полупроводник, проведенной практически одновременно
Давыдовым в России, Шоттки в Германии и Моттом в Англии [1-3].
Однако в этом случае в формировании пространственного заряда
участвовали только нескомпенсированные доноры и акцепторы. Это
связано с тем, что по своей природе выпрямление на контакте ме-
талл - полупроводник определяется наличием так называемого
истощенного (или обедненного) слоя, который соответствует обед-
нению приповерхностного слоя основными носителями заряда. Яс-
но, что тогда нет необходимости учитывать непосредственный вклад
в заряд подвижных зарядов - электронов и дырок.
Концентрация носителей заряда в термодинамическом равно-
весии в общем случае описывается статистикой Ферми — Дирака
Л=--------Ar-Z-T-
Если уровень Ферми не слишком близко расположен к грани-
цам разрешенных зон, т. е. разность энергий ЕС~Е^, EF-Ey >
> Зк0Т, то единицей в знаменателе (4.1.1) можно пренебречь. Ина-
че говоря, при отсутствии вырождения концентрации подвижных
носителей заряда в любой точке полупроводника определяются
статистикой Больцмана. Если измерять энергию в единицах к^Т,
то функция распределения Больцмана имеет вид
f0(Ec,Ev,Ef) = exp(EF-E). (4.1.2)
Пусть положение всех энергетических уровней измеряется от
уровня Ферми собственного полупроводника. Тогда в случае про-
стой зоны £f определяется по формуле
Ef = -l/2AEg + 314k0T\n(mh /пге) . (4.1.3)
Здесь AEg- ширина запрещенной зоны, те и mh- эффективные
массы плотности состояний соответственно для электронов и дырок.
202
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ .
При mh = те или Т = 0 уровень Ферми действительно распола-
гается в точности посередине между валентной зоной и зоной про-
водимости. В большинстве собственных полупроводников откло-
нение уровня Ферми от этого среднего положения при обычных
температурах невелико. В то же время в некоторых полупроводни-
ках, например InSb, для которого mh/me = 20, отклонение уровня
Ферми в сторону зоны проводимости при комнатных температурах
достигает 0,056 эВ.
Следует помнить, что довольно долгое время в литературе по
полупроводникам при рассмотрении статистики Ферми - Дирака в
качестве нормировочного коэффициента вместо уровня Ферми
употреблялся так называемый химический потенциал [4, 5]. Из-
вестно, что для металлов даже при абсолютном нуле температур
электроны обладают кинетической энергией трансляционного
движения и заполняют все нижние уровни энергии в кристалле
вплоть до уровня химического потенциала. Химический потенциал
£,0 является функцией состояния, используемой для описания тер-
модинамических систем с переменным числом частиц N, и харак-
теризует способность рассматриваемого компонента к выходу из
данной фазы. Для систем, состоящих из заряженных частиц (элек-
троны, ионы), химический потенциал записывается в виде
E>i=t>o+ziW> (4.1.4)
где г, - заряд частицы; q — элементарный заряд; ф- электрический
потенциал. В этом случае называется электрохимическим по-
тенциалом. Смысл двух слагаемых в выражении для электрохими-
ческого потенциала состоит в том, что при внесении (или
удалении) в систему дополнительно новых dNt частиц к обычной
«химической» работе добавляется работа по преодолению
электрических сил.
Химический потенциал вырожденного газа тождественно
совпадает с энергией Ферми, ниже которой все состояния оказы-
ваются заполненными, а выше - свободными. Именно такая си-
туация и характерна для металлов при температуре Т = 0. В
собственном полупроводнике при Т = 0 химический потенциал
электронов численно равен энергии середины запрещенной зоны.
Отсюда и название этой энергии - уровень Ферми собственного
полупроводника. Если система находится при температуре выше
абсолютного нуля, то всегда есть определенное количество частиц
с энергией выше энергии Ферми и равное им количество свобод-
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда
203
ных состояний ниже этой энергии. Соотношения между заполнен-
ными и свободными состояниями отражают различные положения
уровня Ферми. Постепенно в литературе для систем, подчиняю-
щихся статистике Больцмана или Ферми, стали вместо химическо-
го потенциала применять термин «энергия Ферми» (уровень
Ферми) во всех случаях и при любой температуре. В настоящей
работе также используется эта терминология.
В соответствии с вышесказанным при отсутствии вырождения
уравнений для концентраций электронов и дырок в разрешенных
зонах представляются в виде
По = Nc exp(£F - £с); (4.1.5)
Ро = Ny ехр(Еу - Ef ), (4.1.6)
а так как Ncexp(-Ec')-Nvexp{Ey) = ni - для собственной кон-
центрации, для равновесных концентраций в разрешенных зонах
окончательно можно записать
По = л, exp(£F), Ро = n, exp(-£F). (4.1.7)
Используя эту запись, можно сделать один формальный, но
очень важный вывод, который неоднократно нам понадобится в
дальнейшем:
ПоРо = «г2 = NcNv exp(-£g/кот) • (4.1.8)
Это значит, что произведение равновесных концентраций
электронов и дырок в отсутствие вырождения всегда равно
квадрату собственной концентрации.
Из соотношения (4.1.8) видно, что собственная концентрация
является фундаментальной характеристикой для каждого полупро-
водника и определяется его кристаллической структурой и приро-
дой элементов, его составляющих. Собственная концентрация для
данного полупроводника изменяется только с изменением темпе-
ратуры (рис. 4.1) [6]. Это означает, что назвать точную величину
собственной концентрации можно только для определенной тем-
пературы. Если температуру не называют, то обычно имеют в виду
собственную концентрацию при комнатной температуре или
300 К.
При различных расчетах полупроводниковых структур часто
пользуются еще одним полезным понятием. Это так называемая
мера легирования полупроводника. Она определяется как отно-
204
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
шение концентрации основных носителей заряда к их собст-
венной концентрации.
/«/ =«, /«о =у]Ро,по- <4-1 -9>
Из уравнения (4.1.9) видно, что для собственного полупроводни-
ка, если п0 = pQ = nt, то X = 1. Для дырочного полупроводника X > 1,
для электронного X <1.
Используя формулы (4.1.7), можно записать
и0 = п;Х-1, pQ - nf, = In X-1. (4.1.10)
Это означает, что величина In X, также как Е¥, определяет
энергетическое расстояние (в единицах к0Т) между уровнем
0,5 1,0 1,5 2 2,5 3 3,5 4,0
103/Г, К'1
Рис. 4.1. Температурные зави-
симости собственной концен-
трации Si, Ge и GaAs [6]
Ферми при данном легировании и
уровнем Ферми собственного по-
лупроводника (середина запре-
щенной зоны).
Объектом изучения в курсе «Фи-
зические основы наноэлектроники»
обычно являются очень тонкие
(единицы, десятки нанометров) по-
лупроводниковые слои. Иногда рас-
сматриваются отдельные части
более толстых слоев, по своим па-
раметрам отличающиеся от основ-
ной «матрицы» и, конечно, тоже с
базовыми размерами на уровне на-
нометров. Такие слои чаще всего
отделяются друг от друга областью,
называемой границей раздела -
interface.
Границей раздела называют
переходной слой, в котором физи-
ко-химические, кристаллические и
другие параметры полупроводника
отличаются от основного кри-
сталла, пленки или объема образ-
ца. В последнем случае этот слой
чаще называют приповерхностным.
В пределах рассматриваемой
проблемы наиболее частым случа-
4.1. Приповерхностная область пространственного заряда
205
ем являются полупроводниковая поверхность и тонкопленочные
гомо- и гетерополупроводниковые структуры. Из вышесказанного
очевидно, что поведение приповерхностного слоя при воздействии
внешнего электрического поля на полупроводник можно легко
распространить на многие из перечисленных объектов.
Распределение электрического поля и зарядов в этой области
рассматривали многие исследователи. Основой нашего рассмотре-
ния будет работа основоположников науки о физике поверхности
полупроводников К. Гаррета и В. Брэттена [7], которая, несмотря
на давность, считается одной из лучших в этой области знаний.
Если к конденсатору, одной из обкладок которого является
пластина полупроводника, приложить электрическое поле, то
вблизи поверхности последнего возникнет индуцированный заряд.
Этот заряд создается подвижными носителями заряда, присутст-
вующими в полупроводнике. Появившийся заряд экранирует ос-
тальной объем полупроводника от проникновения внешнего
электрического поля.
Область локализации этого индуциро-
ванного заряда называется областью про-
странственного заряда (ОПЗ) (рис. 4.2).
На рис. 4.2 стрелками указаны сило-
вые линии внешнего электрического поля.
Они заканчиваются на локальных зарядах
и не проходят в объем, что служит на-
глядной иллюстрацией эффекта экрани-
рования. Необходимо отметить, что
возникновение ОПЗ в полупроводнике
может быть связано не только с перерас-
ств
Рис. 4 2. Экранирование
объема полупроводника
областью пространст-
венного заряда
пределением подвижных носителей заряда в разрешенных зонах,
но и с перераспределением заряда на локальных энергетических
состояниях в запрещенной зоне.
Общей характеристикой заряда в ОПЗ является величина его
объемной плотности p(z), зависящая от координаты z, нормальной
к поверхности полупроводника. Величина p(z) определяется ал-
гебраической суммой всех типов положительных и отрицательных
зарядов в данной точке пространства. Предполагается, что по ос-
тальным направлениям полупроводник полностью изотропен. Та-
ким образом,
p(z) = q[Nd -Na + p(z) - n(z)],
(4.1.11)
206
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
где Nd и Na- концентрации ионизированных доноров и акцепто-
ров; h(z) и p(z) - равновесные концентрации электронов и дырок
в разрешенных зонах; q - абсолютная величина заряда электрона.
Такая запись возможна при выполнении двух условий:
а) доноры и акцепторы, присутствующие в полупроводнике,
полностью ионизированы в любой точке полупроводника;
б) все легирующие примеси являются однозарядными. Это оз-
начает, что однозарядный нейтральный донор может отдать только
один электрон и его заряд станет равным +q, а однозарядный ак-
цептор может приобрести только один электрон и тогда его заряд
равен - q, т. е. Nd - п0, a Na= р0. С учетом этого условия выра-
жение для оценки объемной плотности заряда в ОПЗ может быть
представлено в виде
p(z) = q[n0 -p0 + p(z)- n(z)]. (4.1.12)
Понятно, что если полупроводник содержит несколько типов
донорных и акцепторных уровней, то при расчете необходимо
брать сумму концентраций зарядов на каждом из них.
При отсутствии индуцированного заряда полупроводник элек-
трически нейтрален вплоть до границы раздела. В этом случае
сумма положительных и отрицательных зарядов всюду равна нулю
и p(z) = 0.
4.2. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Распределение индуцированного заряда в слое некоторой тол-
щины означает, что потенциал в полупроводнике плавно затухает
от некоторого значения на поверхности до нулевого значения за
пределами ОПЗ. Величина распределенного объемного заряда
p(z) и потенциал электростатического поля в нем P(z) взаимно-
однозначно связаны между собой уравнением Пуассона
= (4.2.1)
dz2 £оЕ5
где е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума; - диэлектри-
ческая проницаемость полупроводника.
Величина qV(z) соответствует изменению потенциаль-
ной энергии положительного заряда в ОПЗ относительно зна-
4.2. Уравнение Пуассона
207
чения этой энергии в объеме полупроводника (при г, стремя-
щемся к бесконечности).
На величину qV(z) в ОПЗ смещаются все энергетические
уровни, которые существовали в полупроводнике в данной точке z
при отсутствии индуцированного заряда. Если выразить изменение
потенциальной энергии в единицах k0T и ввести обозначение
Y(z) = qV(z)/()cQ Г), то уравнение Пуассона примет вид
d2Y q . .
(4.2.2)
Как известно, при определенных граничных условиях решени-
ем этого уравнения является некоторая функция Y(z), затухающая
вглубь полупроводника. На величину этой функции смещаются все
безразмерные (в единицах к0Т) энергетические уровни относи-
тельно своих безразмерных значений до возникновения ОПЗ. Эта
же величина определяет безразмерный изгиб энергетических зон в
каждой точке z.
Величина У(г) носит название безразмерного поверхностного
электростатического потенциала.
Расстояние от середины запрещенной зоны до уровня Ферми
обозначается буквой <р, а его значение на поверхности -<ps. В от-
личие от безразмерного электростатического потенциала срЛ. носит
название поверхностного потенциала. Вообще в научной литера-
туре по полупроводникам индекс s принят для обозначения вели-
чины, относящейся поверхности, так как 5 - первая буква
английского слова «surface».
В соответствии с плавным затуханием потенциала плавно из-
меняется положение всех уровней относительно уровня Ферми,
который, как известно, является мерой средней энергии носителей
заряда по всему кристаллу и поэтому остается неизменным вплоть
до границы кристалла (поверхности) при z - 0.
На рис. 4.3 приведена энергетическая диаграмма ОПЗ. Значе-
ние безразмерного электростатического потенциала на поверхно-
сти обозначается . Знак для этой величины в соответствии с
принятым направлением отсчета энергии будет положительным
для изгибов зон вниз и отрицательными для изгибов вверх. Из ри-
сунка хорошо видно, что при наличии изгиба зон значение энергии
Ферми становится функцией координаты z. Отсюда понятно, что
для любой точки (или сечения параллельного поверхности) ОПЗ в
208
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
Рис. 4.3. Энергетическая диаграмма области пространственно-
го заряда полупроводника электронного типа проводимости
для некоторого произвольного значения поверхностного элек-
тростатического потенциала
соответствии с законами статистики выражение для равновесных
концентраций можно записать в ввде
zz(z) = n(exp[£F(z)], p(z) = «;exp[-£F(z)]. (4.2.3)
Из общих соображений и рассмотрения энергетической диа-
граммы на рис. 4.3 видно, что энергия Ферми в каждой точке оп-
ределяется разностью изгиба зон Y(z) и энергии Ферми в объеме
£F(z) = £F-K(z). (4.2.4)
Для поверхности
£Fs=£F-rs. (4.2.5)
Это позволяет нам записать
ns =«,exp(£F)exprs,
(4.2.6)
Ps =«,exp(£F)exp(-rs).
Используя формулы (4.1.7), получим
= «о ехр(Г5 ), ps = р0 ехр(-Г5). (4.2.7)
Остановимся кратко на знаках введенных величин £^ и У5.
Знак безразмерного электростатического потенциала будет отри-
цательным при изгибе зон вверх и положительным при изгибе
4.3. Разновидности областей пространственного заряда
209
вниз. £Fj , так же как Ер, будет иметь отрицательный знак, если
уровень Ферми находится на энергетической диаграмме в нижней
половине запрещенной зоны, и наоборот.
Соотношения (4.2.7) фактически отражают использование для
определения поверхностных концентраций ns и ps статистики
Максвелла - Больцмана. Ранее уже отмечалось, что это возможно,
если уровень Ферми расположен не очень близко к разрешенной
зоне. Фактор близости определяется соотношением между едини-
цей и экспонентой в знаменателе формулы (4.1.1). Если показатель
экспоненты больше 3, то экспонента на порядок превышает едини-
цу - переход к статистике Больцмана. В противном случае имеет
место вырождение и необходимо пользоваться статистикой Ферми.
Рис. 4.4. Энергетические диаграммы, иллюстрирующие пре-
дельные изгибы зон
Для поверхности это означает, что будут рассматриваться та-
кие изгибы зон, при которых уровень Ферми на поверхности не
приближается к краям разрешенных зон ближе чем на 2 - 3 kQT.
Предельные изгибы представлены на графиках рис. 4.4.
4.3. РАЗНОВИДНОСТИ ОБЛАСТЕЙ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
Рассмотрим различные ввды ОПЗ, возникающие на границах
раздела, сначала качественно, еще до решения уравнения Пуассо-
на. В качестве примера выберем формирование поверхностной
ОПЗ для полупроводника с достаточно сильно выраженным
«-типом проводимости. Это означает, что для него выполняется
неравенство Ер - In А. > 3.
210
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
1. Плоские зоны. Название говорит само за себя. Эта ситуация
изображается на энергетической диаграмме с прямыми зонами
вплоть до поверхности (рис. 4.5). Положение уровня Ферми на
поверхности совпадает с таковым в объеме. Область пространст-
венного заряда не образуется: p(z) = 0.
Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма для случая плоских
зон (область пространственного заряда отсутствует)
2. Обогащение. Необходимо отметить, что этот и все после-
дующие термины относятся к изменению концентрации основных
носителей заряда. Например, в рассматриваемом случае ясно, что
обогащение означает увеличение концентрации основных носите-
лей в поверхностной ОПЗ. Эта область «обогатилась» основными
носителями заряда -h(z)>«0 Для выбранного в качестве примера
электронного полупроводника это означает, что уровень Ферми на
поверхности и во всей области пространственного заряда распола-
гается ближе к зоне проводимости, чем в объеме. Все это соответ-
ствует изгибу зон вниз. В выбранной системе отсчета этому
соответствует положительное значение поверхностного электро-
статического потенциала > 0 (рис. 4.6).
Если поверхностная концентрация ns не слишком велика по
сравнению с п0, то это слабое обогащение. Ему соответствуют из-
гибы зон Ys < 2 - 3.
При Ys > 3 наступает сильное обогащение, когда ns » п0. По-
нятно, что при обогащении концентрация дырок в области про-
странственного заряда меньше, чем в объеме, так как при
равновесии всегда пр = п?.
3. Обеднение. В соответствии с принятым выше определением
это состояние должно означать, что концентрация электронов в ОПЗ
4.3. Разновидности областей пространственного заряда
211
Z
Рис. 4.6. Энергетическая диаграмма поверхности полупро-
водника н-типа, соответствующая случаю обогащения > п0
меньше, чем в объеме n(z)<«0. Это возможно в полупроводнике
электронного типа при отрицательных изгибах зон ( Ys < 0). В этой
области, естественно, будет очень мало дырок, так как уровень
Ферми находится в верхней половине запрещенной зоны (рис. 4.7).
При дальнейшем увеличении изгиба зон наступает момент, когда
концентрациями и электронов, и дырок можно пренебречь по
сравнению с концентрацией ионизированных доноров. Следова-
тельно, эти неподвижные доноры и формируют основную часть
поверхностного заряда. Уровень Ферми на поверхности совпадает
с серединой запрещенной зоны на поверхности =lnZ. Электро-
ны как бы отодвигаются в объем на определенную глубину со,
ограничивающую явно выраженный слой обеднения (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Энергетическая диаграмма поверхно-
сти полупроводника и-типа, соответствующая
обеднению
212
Глава4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
Соотношения объемных и поверхностных концентраций при
этом
ns = ps = Hi, ns «n0, ps>Po (4.3.1)
4. Инверсия. По мере увеличения отрицательного изгиба зон
концентрация электронов продолжает падать, а концентрация ды-
рок растет. Этот процесс сильно ускоряется после перехода уровня
Ферми ниже середины запрещенной зоны на поверхности
(рис. 4.8). Когда поверхностная концентрация неосновных но-
сителей заряда на поверхности становится больше, чем кон-
центрация основных носителей в объеме, наступает
состояние инверсии. В приповерхностной области меняется (ин-
вертируется) знак заряда преобладающего типа носителей. Изгиб
зон при этом называется инверсионным. Значение поверхностного
электростатического потенциала легко определить из приведенно-
го выше условия начала инверсии,
Л=«о- (43.2)
Если вспомнить, что п0=п,- exp(EF), pQ = nt exp(-j?F) и £F - In A,,
получим значение изгиба зон (значение электростатического по-
тенциала), с которого начинается инверсия,
Es =21пХ. (4.3.3)
Начиная с этих изгибов зон, вся основная часть неосновных носи-
телей заряда сосредоточена в тонком слое между поверхностью и
плоскостью, за которой расположен слой обеднения.
Рис. 4.8. Энергетическая диаграмма для полупроводника
n-типа, соответствующая инверсии
4.4. Решение уравнения Пуассона
213
Эта плоскость проходит через точку (z,), на которой величина
поверхностного электростатического потенциала равна 2lnX. Из
рис. 4.8 видно, что слой обеднения много толще инверсионного
слоя. Для последующего очень важно отметить, что после
достижения изгибов зон, соответствующих сильной инверсии,
толщина слоя обеднения перестает менять свою величину. Все
изменение экранирующего заряда происходит за счет увеличе-
ния концентрации неосновных носителей заряда между поверх-
ностью и плоскостью z?
Толщина слоя инверсии хотя и возрастает, но все равно всегда
много меньше толщины слоя обеднения.
4.4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
Уравнение Пуассона с использованием понятия безразмерного
электростатического потенциала выше записано в виде
d2Y
dz2
ч
p(z).
Выражение для плотности заряда в ОПЗ - p(z), входящее в это
уравнение, с использованием формул (4.2.7) можно представить как
Р(П = q[p0(e~Y -1)-n0(Z -1)]. (4.4.1)
Уже в этом выражении для удобства вместо T(z) стоит просто Y.
Когда будет необходимо подчеркнуть текущую координату или по-
верхностное значение параметра Y, это будет специально отмечено.
Если использовать еще понятие уровня легирования Y, вве-
денное ранее, то уравнение Пуассона примет вид
^ = -L[X(e-y -1)-A,V -1)], (4.4.2)
dz2 2Ld
где
= 1еоеЬоТ 43)
\ 2q2nt
Выражение (4.4.3) по виду совпадает с выражением для длины
экранирования Дебая. Это понятие возникает из следующих физи-
ческих соображений.
214
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
Если источник электрического поля (заряженная частица, тело,
плоскость) окружен средой, содержащей положительные и отри-
цательные заряды, то вследствие поляризации среды электриче-
ское поле источника на расстояниях, превышающих некоторую
величину, становится очень малым. Иначе говоря, поле «экраниру-
ется». Именно это расстояние, на котором поле уменьшается так,
что его влиянием можно пренебречь, называется длиной экраниро-
вания Дебая. Это расстояние тем больше, чем больше диэлектри-
ческая проницаемость е4. среды, и тем меньше, чем больше зарядов
в этой среде. Известно, что в металле приблизительно 1022см“3
электронов. Если сравнить характерную для металлов длину Дебая
с полупроводником с концентрацией электронов 1015см~3, то от-
ношение Ld для этих двух материалов без учета разницы в бу-
дет равно ЗЮ3.
Другими словами, любое поле в металле будет экранироваться
на длинах, много меньших, чем в полупроводниках, что и обуслов-
ливает изготовление экранов от электромагнитных и электроста-
тических полей из металлов с высокой проводимостью.
Первое интегрирование уравнения Пуассона проводится при
таких граничных условиях, что безразмерный поверхностный
электростатический потенциал и его первая производная стремятся
к нулю при z -> со (т. е. в объеме полупроводника)
Г(2)->0 1
dY(z) (4-4.4)
dz J
Первый интеграл при этих условиях получим в виде
(445)
Jz Ld
где
F(r(z)A)-±[x(e"r — 1) + Л.'(еГ-1) + (Х-V^yJ? (4.4.6)
Перед квадратными скобками стоят два знака - плюс и минус.
Выбор знака перед корнем определяется неравенствами
F > 0 при У < О,
(4-4.7)
F < 0 при У > 0.
4 4. Решение уравнения Пуассона
215
Такой выбор знаков связан с тем, что при отрицательных изги-
бах зон (К < 0) величина У(г) возрастает от больших отрицатель-
ных величин к нулю, а при Y > 0 убывает от положительных
величин к нулю.
Рассмотрим теперь смысловую нагрузку каждого из членов
введенной функции F(Y, X). Первый член в скобках с учетом рас-
шифровки X имеет вид (р0 / п/)(е~¥ -1) . Если учесть, что роё~г^ =
=p(z), то ясно - первый член отражает вклад дырок в формиро-
вание заряда в ОПЗ. Точно такой ход рассуждений приведет к
выводу, что второй член ответствен за вклад заряда электро-
нов в ОПЗ.
В последнем члене отсутствуют экспоненциальные состав-
ляющие, отражающие вклад подвижных носителей заряда в ОПЗ.
Но зато есть ’k = pG/ni, Х = и1/л0, что в свою очередь отражает
вклад ионизированных доноров и акцепторов при условии их пол-
ной ионизации и однозарядное™.
Полученное в результате первого интегрирования выражение
для dY/dz соответствует понятию электрического поля (У - по-
тенциал, z - расстояние). Но У - это безразмерный потенциал в
единицах k0Tlq. Следовательно, для того чтобы получить величи-
ну электрического поля в вольтах на сантиметр, необходимо ре-
зультат первого интегрирования уравнения Пуассона умножить на
величину kQT/q:
(4.4.8)
Q dz q Ld
Иначе говоря, полученная величина dY/dz с точностью до
множителя k0T/q определяет напряженность электрического поля
в области пространственного заряда при каждом значении У (z).
Для того чтобы определить вид зависимости У (z), необходимо
еще раз проинтегрировать уравнение Пуассона. Решению в этом
случае подлежит интеграл вида
J dY/F(Y,k) = -^-. (4.4.9)
Как видно из (4.4.9), функция F(Y, X ) содержит как линейные,
так и экспоненциальные члены по У, и поэтому интеграл в общем
216
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
случае не берется. В то же время искомый интеграл необходим при
расчете поверхностной проводимости, поверхностной емкости,
фотоЭДС, характеристик МДП-транзисторов и т.д. Выход из этого
положения находят в численных расчетах ДУ, А.). Наиболее удоб-
но пользоваться таблицами таких величин, вычисленных в широ-
ком диапазоне Y и опубликованных в книге Г. Пикуса [8].
4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПОТЕНЦИАЛА
В ОБЛАСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА
ОТ КООРДИНАТЫ
При рассмотрении различных характерных изгибов зон отме-
чалось, что в явно выраженных слоях обогащения, обеднения или
инверсии заряд в ОПЗ определяется только одним преимуществен-
ным источником заряда. Это позволяет в указанных частных слу-
чаях произвести определенную аппроксимацию функции ДУ, А.) и
определить с достаточной для практических расчетов точностью
приближенный вид функции У (z).
Эти приближенные расчеты проведем для полупроводника с
явно выраженным электронным типом проводимости в объе-
ме. Эго означает, что А = pQl nt- и, / п0 «1, так как и0 » л,. Со-
ответственно согласно (4.1.9) V1 »1.
Рассмотрим приближение для случаев обогащения, обеднения
и инверсии.
Обогащение. Обогащение для полупроводника с электронным
типом проводимости наступает при положительных изгибах зон
(вниз!), т. е. при Ys > 0. Сильное или явно выраженное обогащение
наступает при Ys > 3. С учетом того, что А.-1 »1, А.»1, e¥s »YS,
es »1, функция F(Y, А) принимает вид
F(i;,A) = A1/2e^/2. (4.5.1)
Первый интеграл уравнения Пуассона приводится к виду
z ¥r dY
Ld~h~l'2e^2’
(4.5.2)
4.5. Определение зависимости потенциала...
217
Решение этого интеграла
или
z
Аэфф
= 2^\e~Y'2-eY’'2)
_£_=е-*72 _е-п/2
Аэфф
(4.5.3)
Рис. 4.9. Зависимость поверхност-
ного потенциала от расстояния в
ОПЗ для случая обогащения об-
разца электронного типа прово-
димости
fggJ1
где £Эфф = I ° ~2 ° определяет эффективную длину экранирования,
V 2<7 п0
куда вместо собственной концентрации и( входит концентрация ос-
новных для данного полупроводника носителей заряда - электронов -
п0. Согласно полученному выра-
жению электростатический потен-
циал в слоях обогащения быстро
уменьшается с расстоянием вглубь
полупроводника, так что основная
часть заряда в приповерхностной
области сосредоточена в тонком
слое. Толщину этого слоя можно
охарактеризовать эффективной
длиной экранирования.
Полученная зависимость пред-
ставляет собой экспоненциаль-
ный спад Y от значений Y »1 до
К= О при значении г = 0,41£эфф
(рис. 4.9).
Обеднение (истощение). Ра-
нее показано, что при обеднении в
приповерхностной ОПЗ концентрации как основных, так и неоснов-
ных носителей заряда пренебрежимо малы. Основную роль в ком-
пенсации поверхностного заряда играет неподвижный заряд
ионизированных доноров и акцепторов. Можно ожидать, что в этом
случае изменение потенциала с расстоянием вглубь от поверхности
будет медленным, а толщина слоя ОПЗ - относительно большой.
Это связано с тем, что увеличение заряда может происходить
только при увеличении толщины слоя. Поскольку в соответствии
с условиями обеднения основных носителей в ОПЗ уже мало, а не-
основных - еще мало, можно с большой точностью записать
218
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
ns = ps - nL. Кроме того, рассматривая явно выраженный электрон-
ный тип проводимости, можно считать А «1, А-1 »1, е¥ «1, так как
Y < 0. Отмеченные условия позволяют пренебречь обоими членами,
содержащими экспоненты, и привести выражение для F к виду
F(E,A) = A4/2V-E-1.
(4.5.4)
Если теперь пренебречь единицей в подкоренном выражении и
подставить его в (4.4.9), то, решив полученный интеграл, имеем
зависимость Y(z) в виде
где
т -Т КЕ(ЛоУ
Lde~LdK -. ^~2
(4.5.5)
2^ п0
Если положить Y = 0 (объем полупроводника), то получим вы-
ражение для расстояния от поверхности, где достигается это зна-
чение потенциала
(4.5.6)
Теперь, используя полученную формулу, выражение (4.5.5)
можно переписать в виде
z \2
-T = -rJl-- . (4.5.7)
V wj
Из (4.5.7) следует, что потенциал зависит от координаты по па-
раболическому закону. Этот вид изменения потенциала с расстоя-
нием в пределах слоя обеднения присутствовал еще в первых
теориях выпрямления «металл - полупроводник» и имеет обще-
принятое название - барьер Шоттки. Наиболее полные и напи-
санные в традиционно классическом виде сведения о барьерах и
ОПЗ, появляющихся при контакте металла с полупроводником,
можно найти в [9, 10].
Инверсия. Как было отмечено выше, инверсия в приповерхно-
стном слое полупроводника характеризуется тем, что основная
составляющая заряда ОПЗ формируется неосновными относитель-
но объема носителями заряда. Для рассматриваемого образца с
электронным типом проводимости это будут дырки. Это означает,
что в выражении для F(E,A) можно пренебречь всеми членами,
4.6. Поверхностное квантование
219
кроме экспоненциального, описывающего вклад неосновных носи-
телей заряда - дырок
Г(ГД) = Л1/2е"’/2 -е’к'/2 . ( 4.5.8)
Решение второго интеграла Пуассона принимает вид
где ^Эфф -
\ 2^2Ро
2 = e-l'/2_e-rs/2
•^эфф
(4.5.9)
Так же как остальные параметры ОПЗ, эффективная длина эк-
ранирования определяется для слоя инверсии не основными для
данного образца полупроводника
носителями заряда. Вся область
пространственного заряда состоит
из собственно инверсного слоя и
следующего за ним слоя обедне-
ния. Как видно из рис. 4.10, инвер-
сионный слой, обогащенный не-
основными носителями (дырками),
много тоньше слоя обеднения и,
соответственно, падение напряже-
ния на первом слое много меньше.
В то же время необходимо
Рис. 4.10. Распределение потен-
циала в инверсионном слое
всегда иметь в виду, что практически весь положительный объем-
ный заряд сосредоточен именно в инверсном слое.
4.6. ПОВЕРХНОСТНОЕ КВАНТОВАНИЕ
Из рис. 4.10 видно, что носители заряда у поверхности распо-
лагаются в потенциальной яме. Одна граница этой ямы - поверх-
ность, другая - слой обеднения. По мере увеличения изгиба зон
поперечный размер такой потенциальной ямы позволяет говорить
о возникновении размерного квантования. Такая квантовая припо-
верхностная яма обычно аппроксимируется треугольной потенци-
альной ямой, которая является вариантом прямоугольной
потенциальной ямы (рис. 4.11).
Движение носителей заряда в потенциальной яме является
хорошо известной задачей в волновой механике для твердого тела.
220
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
Рис. 4.11. Диаграмма энергетических уровней в тре-
угольной и прямоугольной потенциальных ямах (вверху)
и зависимость плотности состояний от энергии 7V(£) для
этих случаев (внизу)
Довольно давно было показано, что в этом случае кинетическая
энергия квантуется. Лауреат Нобелевской премии Шрифер впер-
вые в 1957 году предложил идею о важности учета этого кванто-
вания в узких каналах или очень тонких пленках. Главное —
необходимо принимать в расчет квантование движения в направ-
лении z (перпендикулярно к поверхности). В то же время движе-
ние вдоль поверхности, т. е. в плоскости ху, остается свободным
и может быть рассчитано как движение носителей заряда в объе-
ме полупроводника. Достаточно серьезный теоретический анализ
этой ситуации был проведен в конце 60-х - начале 70-х годов XX
столетия [11, 12]. Причиной такой задержки по сравнению с ос-
тальными квантовыми расчетами явилось то, что только к этому
времени бурное развитие технологии микроэлектроники позво-
лило создать транзисторы, в инверсионных слоях которых одно-
значно проявилось существование двумерных энергетических
зон [13,14].
Выше говорилось, что построение зависимости поверхност-
ного потенциала от расстояния в глубь образца основывается на
4.6. Поверхностное квантование
221
решении уравнения Пуассона. Для его решения необходимо
знать распределение пространственного заряда перпендикулярно
к поверхности p(z).
Для отыскания такого распределения в квантово-механическом
случае необходимо знать вид волновой функции электрона в ин-
версионном слое в условиях размерного квантования. В прибли-
жении эффективной массы волновая функция Т описывается
уравнением Шредингера
(Т - qV(z))'i/(x,y,z) = E4^(x,y,z), (4.6.1)
где Т - оператор кинетической энергии, а Е - энергия электрона.
Потенциал V(z) находится из уравнения Пуассона и обычно явля-
ется функцией расстояния z.
Волновая функция записывается в обычном виде
Т (х,у, z) = £ (z) е‘кхХ+‘к>у^, (4.6.2)
где кхи ку- квазиимпульсы в соответствующих направлениях, а
v - величина, зависящая от этих квазиимпульсов [12].
Уравнение Шредингера можно разделить на два уравнения.
Первое из них описывает одномерное движение в направлении z и
имеет вид
*2 я2 )
£-^Т-^(и) ВД = £Л,(г),
2mz dz J
(4.6.3)
(4.6.4)
причем для z = 0 и z = <x> £(z) = 0.
Второе уравнение описывает двумерное движение вдоль по-
верхности
' й2 д2 й2 д2'
2тх дх2 2ту ду2 ?
Каждое собственное значение Е^ находится из решения урав-
нения (4.6.3) и представляет собой дно i -й подзоны с энергией
д2 *2
ЕЛк) =-----к2+------k2+Eit i = 0,1,2... (4.6.5)
V 7 2т х 2mv у * 7
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
222
Хотя массы в этом уравнении только в исключительных случа-
ях совпадают с таковыми в объеме, использование последних в
расчете поверхностных квантово-размерных структур приводит к
очень небольшим ошибкам.
Если перейти к обычному представлению разрешенных со-
стояний в виде зависимостей Е (А), то получим ряд парабол, каж-
дая из которых начинается в минимуме энергии £,(0), i = 0,1,2...
Для направлений х, у - непрерывные параболы, а для направления
z (перпендикулярно к поверхности) получаем только точки раз-
решенных состояний (рис. 4.12) [15].
Рис. 4.12. Вид энергетических подзон вдоль основных
направлений в кристалле [15]
Двумерная плотность состояний на единицу поверхности
£)(£) для одной подзоны без учета вырождения по спину соглас-
но (3.1.1 46) имеет вид
у]тхту
2лЙ2
(4.6.6)
Эта плотность состояний не зависит от энергии (в отличие от
объема). Теперь достаточно просто рассчитать поверхностную
концентрацию электронов в /-й подзоне. Согласно (3.2.3)
।-----
= —In 1 + exp
лЙ2Х у
Ey-Ej
№
(4.6.7)
Необходимо отметить, что плотность состояний и соответст-
венно концентрация электронов будут зависеть от ориентации по-
верхности кристалла. Это легко понять из рис. 4.13, где
представлены изображение и расположение поверхностей посто-
янной энергии для различных полупроводников.
4.6. Поверхностное квантование
223
Рис. 4.13. Форма и расположение изоэнергетических поверхностей
в Ge, Si, GaAs [16]
Видно, что эти поверхности представляют собой для Ge восемь
эллипсоидов, вытянутых вдоль осей [111], для Si имеется шесть
эллипсоидов, вытянутых вдоль осей [100], а для GaAs - поверхно-
сти постоянной энергии сферы с центром в центре зоны Бриллю-
эна. Ясно, что эффективная масса для различных направлений
будет различна, а следовательно, будут меняться плотность со-
стояний в подзоне и концентрация электронов.
Это хорошо видно на рис. 4.14, где приведены взятые из [14]
результаты расчета концентрации электронов п для классического
случая и при поперечном квантовании энергетического спектра.
Рис. 4.14. Плотность пространствен-
ного заряда, рассчитанная для случая
отсутствия квантования (классический
случай - кривая 7) и при его наличии
для двух ориентаций поверхности
(кривые 2,2')
224
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
Так как в случае инверсии именно они определяют величину ОПЗ,
то, следовательно, представлено и пространственное распределе-
ние зарядовой плотности в поверхностной области кристалла.
Плотность электронов в инверсионном слое в зависимости от ко-
ординаты рассчитывается по следующей формуле:
n(z) = E2Vf|^(z)|2. (4.6.8)
Выражение для плотности заряда от координаты имеет вид
pG3=V-2Ж-(*)|2 +*d-Na]- (4-6.9)
Из рисунка видно, что расчет проводился для температуры жид-
кого гелия. Это важно отметить, потому что расщепление сплошно-
го спектра на локальные уровни будет иметь существенное значение
только, если расстояние между уровнями превышает размытие
(уширение) последних, связанное с теплом или рассеянием. Исполь-
зуя понятие времени релаксации т с учетом всех возможных меха-
низмов рассеяния, это условие можно записать в виде
- < Ем -Et, к0Т < Ем -(4.6.10)
т
В качестве иллюстрации приведем результаты расчета системы
квантовых уровней, полученных в [12], в зависимости от индуци-
рованного заряда (рис. 4.15).
Рис. 4.15. Зависимость энергии кван-
товых уровней от полной плотности
индуцированного заряда
Из рис. 4.13 легко понять
возникновение уровней с
обозначениями EY и EV(EQ и
Ед ). В направлении [100] эф-
фективная масса имеет два
значения. Первое соответству-
ет направлению вдоль большой
оси эллипса, второе - вдоль
малой. Следовательно, имеют-
ся как бы две группы электро-
нов с «легкими» и «тяжелыми»
массами квантования. Эго и
приводит к хорошо видимому
на рисунке чередованию под-
зон квантования.
4.6. Поверхностное квантование
225
Интересно отметить, что в случае
германия, где коэффициент анизотро-
пии К= тп / равен 20 (для крем-
ния 5), для (111) поверхности первые
три подзоны для электронов с тяже-
лой массой (рис. 4.16) лежат ниже
первой подзоны для электронов с лег-
кой массой. В то же время плотность
состояний, определяемая эффектив-
Рис. 4.16. Поверхности посто-
янной энергии (фрагмент) для
(111) поверхности Ge, объяс-
няющие возникновение двух
ными массами вдоль поверхности с
«легкой» массой квантования, значи-
тельно выше. Такое соотношение
масс приводит к парадоксальному
результату — заполнение вышележа- типов подзон квантования
щих уровней оказывается больше, чем
нижележащих. Это хорошо видно на рис. 4.17, взятом из [16], где
впервые был проведен такой расчет для инверсионных слоев на гер-
мании.
В дальнейшем было установлено, что время релаксации силь-
но зависит от среднего расстояния центра симметрии электрон-
ной плотности для различных подзон, что позволило объяснить ряд
Рис. 4.17. Энергетические диаграммы ОПЗ с указанием за-
селенности квантовых подзон для ориентации поверхно-
стей (111) (а) и (100) (б); штриховые линии - положения
квантовых подзон для электронов с более легкой массой
квантования; цифры - процентный вклад заполнения дан-
ного уровня в общую плотность заряда
8 Основы наноэлектроники
226
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
экспериментов, посвященных приповерхностным явлениям пере-
носа (холл-фактора [17] и магнетосопротивления [18]) в инверсион-
ных каналах п -типа на германии.
Необходимо отметить, что большой класс транспортных явле-
ний в МДП-структурах был правильно объяснен только после раз-
работки описанной выше квантово-механической модели. Также
показано, что эти эффекты следует учитывать для случая сильной
инверсии даже при комнатной температуре.
Эксперимент по обнаружению размерного квантования в тон-
ких пленках висмута впервые был выполнен в нашей стране [19,20].
В этих работах однозначно показана осцилляционная зависимость
проводимости, а также постоянной Холла и магнетосопротивления
от толщины пленки (рис. 4.18).
Рис. 4.18. Зависимости магнетосопротивления, хол-
ловской подвижности, постоянной Холла и нормали-
зованного сопротивления от толщины пленки висмута
при различных температурах [19]
4.7. Экранирование электрического поля в 20-системах
227
Суть явления заключается в том, что в пленках, толщина кото-
рых сравнима с длиной волны электрона, при изменении толщины
энергетическое положение уровней размерного квантования меня-
ется. Электронные свойства металлов и вырожденных полупро-
водников определяются электронами, близкими по энергии к
уровню Ферми. Значит, на всех зависимостях кинетических коэф-
фициентов от толщины должны наблюдаться экстремумы при про-
хождении квантовых уровней через уровень Ферми, что и наблю-
дается в эксперименте. Теория этих явлений сформулирована в [21],
в русскоязычной литературе этому вопросу посвящен обзор [22].
4.7. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В 2D-CHCTEMAX
Как показано выше, толщина слоя полупроводника, в котором
существуют заряд и электрическое поле, характеризуется длиной
экранирования Ьэ. При наличии носителей заряда только одного
знака, например электронов, длина экранирования может быть
представлена в виде
L
I-9
№
(4-7.1)
здесь ZD - длина экранирования Дебая
ZD -
^o^.s7-()7
q2n
D - коэффициент диффузии; ц- подвижность электронов.
В случае произвольного легирования соотношение Эйнштейна
принимает вид
D _ п j dL,
р. q\dn
(4.7.2)
здесь £ = £f - Ес - химический потенциал. Отсюда
(4.7.3)
228
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
Таким образом, длина экранирования определяется скоростью
изменения химического потенциала при изменении концентрации
носителей заряда, экранирующих электрическое поле.
Используя (3.2.1) и (4.7.2), для массивных кристаллов (3D-систе-
мы) получим
D _ V Tj/2 (л) .
hJ3d <1 F-i/2(n)’
(4.7.4)
здесь Fj (т]) - интеграл Ферми индекса j,
Fj(y\) =
1 е7<7е
Г(У +1) о 1 + ехр(Е-т|)
т] = -
Аналогично из (4.7.3)
lEoEs I kpT .
\ <72 \^-1/2(п)’
(4.7.5)
здесь
/ „ \3/2
2пт к0Т
— эффективная плотность состояний
Для невырожденного электронного газа, когда ехр(Е-т|)»1,
из (4.7.4) и (4.7.5)
21 -кот
mJ3d 9
£э - ZD.
(4.7.6)
В случае сильного вырождения и низких температур, когда
т] »1, из (4.7.4) и (4.7.5) получаем
=2(£l-E£)j (477)
W3D 3 9
(4.7.8)
4.7. Экранирование электрического поля в 2О-системах
229
Для 2П-систем, когда, например, тонкий слой узкозонного по-
лупроводника выращен между слоями широкозонного, соотноше-
ние Эйнштейна принимает вид
LLn[1+exP(n-En)]
£ = V. л------------------ (4.7.9)
ImAd * Е[1+ехР(еи-п)]
п
где гп=Еп1(коТ), Еп - энергия, соответствующая минимуму подзо-
ны с номером п.
В отсутствие вырождения, когда (еи - т|) »1, согласно (4.7.9)
'DA _kQT _(£>^
< И /2D У I в /3D
Таким образом, в невырожденном случае, когда вероятность
заполнения электронных состояний описывается распределением
Максвелла - Больцмана, соотношения между коэффициентом
диффузии и подвижностью в условиях термодинамического
равновесия для двух- и трехмерного газа электронов совпадают.
При наличии вырождения и низких температурах, когда
(т|-е„)»1 и граница Ферми располагается между минимумами
первой (£|) и второй (£2) пленочных подзон,
(—"l = Ef~E' . (4.7.10)
Таким образом, в вырожденном случае отношение (Z>/g)2D
будет расти с увеличением концентрации носителей заряда
(как и в случае TD-систем в соответствии с ростом £F (4.7.7)).
Используя (3.2.11) и (4.7.10), можно показать, что при заполне-
нии одной подзоны двумерная проводимость G будет связана с
коэффициентом диффузии соотношением
G = ^-£>. (4.7.11)
7t/r
По мере увеличения концентрации и приближения уровня
Ферми к минимуму второй подзоны в (4.7.9) возрастает роль ела-
230
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
гаемых с и >1. В тот момент, когда граница Ферми пересечет дно
второй подзоны,
— 0.5(A) + Е2)
Ч
1 — 1
I Р/2D
т. е. произойдет уменьшение отношения (£>/p)2D, причем в преде-
ле скачок достигнет величины
Д Д
29 ’
Д
Р Ad
(4.7.12)
Рис. 4.19. Зависимость отноше-
ния (Z>/|x)2d от положения уров-
ня Ферми £ в зоне проводимости
GaAs [23]
которая для БПЯ зависит от толщины пленки W как W~2.
Сопоставляя (4.7.10) и (4.7.12), видим, что в момент пересече-
ния границей Ферми второй квантовой подзоны значение
(Z>//i)2D при низких температу-
рах может уменьшиться в два
раза.
Результаты численных расчетов
отношения (Z7/p)2D для слоя GaAs
при W= 20 нм приведены на
рис. 4.19. Видно, что «аномальное»
поведение (Z>/p)2D в этом случае
следует учитывать при температу-
рах ниже 80 К и концентрации
электронов порядка 1018 см-3.
Используя (3.2.11), (4.7.3) и
(4.7.9), выражение для оценки
длины экранирования в условиях одномерного ограничения (2D-
системы) можно представить в виде
42D) =
e0£s
92
ArcD)E[1+exp(E«-'n)]1 (
п
В отсутствие вырождения из (4.7.13) с учетом (3.2.3) получим
jr(2D) _ ^e0es
4.7. Экранирование электрического поля в 20-системах
231
т. е. в отсутствие вырождения выражение для длины экрани-
рования совпадает с соответствующим выражением для
массивных кристаллов.
При наличии вырождения и низких температурах, когда уро-
вень Ферми находится между первой и второй пленочными подзо-
нами и (т| - е„ ) »1, из (4.7.13) получим
42D) = z0 =
e0es
ч2
lnh2w
\l *
V m
(4.7.14)
В предельном случае, когда Т -> 0 и заполнены и0 подзон, из
(4.7.13) с учетом (4.7.14) имеем
Д2Е)) = -^=; (4.7.15)
здесь и0- номер высшей подзоны, дно которой пересек уровень
Ферми.
На рис. 4.20 представлены результаты расчетов зависимости дли-
ны экранирования Д2Е)^ от заполнения зоны проводимости пленки
Рис. 4.20. Зависимость длины
экранирования Д2П) от положе-
ния уровня Ферми в зоне прово-
димости пленки GaAs [24]
Рис. 4.21. Зависимость длины экра-
нирования Д21Э) от толщины пленки
GaAs при различной концентрации
электронов; справа показаны значе-
ния отношения £э/2о в объемном
GaAs при Lo = 6 нм; е = 12,5;
1Г=20нм[24]
232
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
GaAs при W = 20 нм. Видно, что ступенчатый характер зависи-
мости плотности состояний от энергии в КЯ обеспечивает
неизменность длины экранирования Д2В) при заполнении от-
дельной подзоны. По мере заполнения вышележащих подзон дли-
на экранирования уменьшается. С понижением температуры эта
зависимость приобретает ступенчатый характер.
Если концентрация электронов остается постоянной, то при
изменении толщины пленки W значение п0 будет скачком изме-
няться, что вызовет осцилляции длины экранирования Д,213-*
(рис. 4.21).
В свою очередь ступенчатое изменение длины экранирования
может вызвать резкие изменения других характеристик материала
пленки. Например, вариации толщины пленки W, концентрации
или температуры могут приводить к резким изменениям энергии
связи экситона и экситонной полосы поглощения.
Квантование энергетического спектра влияет на экранирование
электрических полей и в легированных сверхрешетках (n-i-p-z-кри-
сталлах). Особенности экранирования с учетом хвостов плотности
состояний, возникающих в результате флуктуаций концентрации
примесей, рассматривались в работах [25-27].
4.8. ОСОБЕННОСТИ ЭКРАНИРОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В КВАНТОВЫХ ПРОВОЛОКАХ
Рассмотрим поведение длины экранирования и отношения ки-
нетических параметров D/\x в структурах с ограничением движе-
ния по двум направлениям (ID-системы). Согласно (4.7.2) и (4.7.3)
выражение для (Z)/p)1D и Lj0-1 можно представить в виде
4.8. Особенности экранирования электрического поля в квантовых проволоках 233
здесь
4'D) =
2т*к()Т
1
hWd
- эффективная плотность состоя-
ний для ID-системы, W и d- толщина квантовой проволоки вдоль
осей у и z соответственно.
Согласно (4.8.1) и (4.8.2) в отсутствие вырождения, когда
(ej j — rj) »1, как и в случае 20-систем,
|£| _ j zPD) = /е°е^ -£
IМ J1D 9 IМ 7зо у q2n
При сильном вырождении и низких температурах, когда
(Л ~ еиото) 1 >
£1 - коТ
<mJid Я
ЕЕ2^"^
п m_____
ЕЕ(п-^г1/2’
(4.8.3)
п m
Если граница Ферми расположена между первой и второй под-
зонами, то из (4.8.3) получим
£"| _2(£F-£n)
М J1D 9
(4.8.4)
Сопоставляя (4.7.7), (4.7.10) и (4.8.4), видим, что и в этом слу-
чае при понижении размерности системы зависимость (D/p.) от EF
качественно не изменяется.
При увеличении EF (т. е. при возрастании концентрации элек-
тронов) отношение (D/ц) будет расти. Когда уровень Ферми пе-
ресечет дно второй подзоны, согласно (4.8.3)
£1 =2 |(£F-£u)(£F-£^)
1х Jid v я2
(4.8.5)
Сравнение (4.8.5) с (4.8.4) показывает, что в момент прохожде-
ния уровнем Ферми дна второй подзоны произойдет уменьшение
234
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
отношения (Z>/p.)1D. При этом предельный скачок (при Г—>0)
(Z>/p)1D составит
£1 -2 (Д2-Д1)
Р J1D ?
(4.8.6)
если структура в сечении имеет размеры W Ф d.
Согласно (4.8.4) и (4.8.6) в предельном случае скачок составит
100 %, т. е. отношение (Z)/p)1D скачком уменьшится до нуля, а
затем будет снова расти в соответствии с (4.8.5). При прохождении
уровнем Ферми дна третьей подзоны должно наблюдаться скачко-
образное уменьшение (Z)/p)1D до нуля.
В общем случае при наличии вырождения и низких темпера-
турах согласно (4.8.1) с увеличением Ev значение (Р/д)1В осцил-
Рис. 4.22. Зависимость отношения
от положения уровня
Ферми С, в зоне проводимости
GaAs [23]
В
ние для
лирует. Эти изменения (Z)/p)1D
связаны с характером зависимости
средней энергии электронов от их
концентрации и в этом смысле
аналогичны осцилляциям (D/p) в
квантующих магнитных полях.
Результаты численных расче-
тов отношения (jD/p)id Д™
квантовой проволоки из GaAs
при W = d — 20 нм приведены на
рис. 4.22. Видно, что «аномаль-
ное» поведение (Z)/p)1D следует
учитывать при температурах
ниже 80 К и концентрации элек-
тронов порядка 1018 см-?
случае сильного вырождения и низких температур выраже-
принимает вид
'eqEs | k0T
q2 V^1D)
ул
EE(n-e„,m)-1/2’
п т
(4.8.7)
4.8. Особенности экранирования электрического поля в квантовых проволоках 235
Рис. 4.23. Зависимость изменения длины экранирования
от положения уровня Ферми для квантовой проволоки
Зависимость Д1Е)) от приведенного уровня Ферми, рассчитан-
ная с использованием (4.8.7), показана на рис. 4.23. В качестве
нормирующих коэффициентов при этом использовались
т _ |eoes I к0Ту/п _ Й2 f л 1
° ’ w ’ е°' WJ м7’
Сопоставляя результаты анализа поведения отношения D/ц и
длины экранирования в зависимости от положения уровня Ферми
(а значит, и от концентрации электронов) для тонкой пленки и
квантовой проволоки, при наличии вырождения газа электронов,
можно сделать вывод, что с понижением размерности системы
осцилляции D/\x и L3 становятся выраженными сильнее.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давыдов Б.И. Выпрямляющее действие полупроводников И ЖТФ. - 1938. -
Вып. 5. — С. 87.
2. Schottky W. О теории полупроводниковых выпрямителей и детекторов // Zs.
f. Fisic. - 1939. - Vol. 113. - P. 367.
3. Mott N.F. Теория кристаллических выпрямителей II Proc. Roy. Soc. A. -
1939. - Vol. 171, № 27. - P. 144.
4. Иоффе А. Ф. Физика полупроводников. - M., Л.: Изд-во АН СССР, 1957.
5. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. - М., Л.: Изд-во физ.-
мат. лит., 1962.
6. Morin F.J., Malta J.P. Electrical properties of Si conteining As and В // Phys.
Rev. - 1954. - Vol. 96. - P. 28 [Conductivity and Hall Effect in Intrrinsic Range of Ge
// Phys. Rev. - 1954. - Vol. 94. - P. 1525].
236
Глава 4. ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ...
7. Гэрретт К., Браттэн В. Физическая теория поверхности полупроводни-
ка // Проблемы физики полупроводников. - М.: Иностр, лит., 1957. - С. 345-365.
8. Пикус ГЕ. Физика поверхности полупроводников. - М.: Иностр, лит., 1959.
9. Хениш Г. Полупроводниковые выпрямители. - М.: Иностр, лит., 1951.
10. Ржаное А.В. Современные взгляды на природу выпрямления кристалли-
ческих детекторов // Кристаллические детекторы. - М.: Сов. радио, 1950.
11. Duke C.D. Optical absorption due to space-charge-induced localized states //
Phys. Rev. - 1967. - Vol. 159, № 3. - P. 632-644 .
12. Stern F., Self-consistent results for n-type Si inversion layers // Phys. Rev. B. -
1972. -Vol. 5, № 12. - P. 4891-4899 .
13. Fawler A.B., Fang F.F., Howard W.E., Stiles P.J. Magneto-oscillatory conduc-
tance in silicon surfaces // Phys. Rev. Lett. - 1966. - Vol. 16, № 20. - P. 901-903.
14. Stern F. Surface quantization and surface transport in semiconductor inversion
and accumulation layers // Pros. Intern. Conf. Solid Surface, Boston, Mass., 1971. -
P. 752-753.
15. Dorda G. Surface quantization in semiconductors // Advances in Solid State
Phys. - 1973. - Vol. Х1П, № 8. [Pergamon Vieweg, 1973. - P. 215-239].
16. Гутов В.И., Квон З.Д., Неизвестный И.Г и др. Приповерхностная ОПЗ
германия в условиях размерного квантования // Поверхность. — 1982. - № 9. -
С. 71-76.
17. Квон З.Д., Неизвестный ИГ, Овсюк В.Н., Ржаное Ю.А. Аномальный
холл-фактор в электронных инверсионных каналах германия // Письма в ЖЭТФ. -
1979.-Т. 30.-С. 363.
18. Квон З.Д., Неизвестный И.Г. и др. Магнетосопротивление инверсионных
каналов на поверхности германия // Физика тонкопленочных систем. — Новоси-
бирск; СО АН СССР, 1978. - С. 61.
19. Огрин Ю.Ф., Луцкий В.Н., Елинсон М.И. О наблюдении квантовых раз-
мерных эффектов в тонких пленках висмута // Письма в ЖЭТФ, 1966. — Т. 3,
вып. 3,-С. 114-118.
20. Луцкий В.Н., Корнеев Д.Н., Елинсон М.И. И Письма в ЖЭТФ. - 1966. -
Т. 4, вып. 7. - С. 267.
21. Сандомирский В. Б. Квантовый эффект размеров в пленке полуметалла //
ЖЭТФ. - 1967. - Т. 52. - С. 158-166.
22. Таегер Б.А., Демиховский В.Я. Квантовые размерные эффекты в полупро-
водниковых и полуметаллических пленках // Успехи физ. наук. - 1968. - Т. 96. -
С. 61-85.
23. Кононенко В.К Отношение коэффициента диффузии электронов к подвиж-
ности в структурах с квантово-размерным ограничением // Плазма и неустойчивость
в полупроводниках: Материалы VI Всесоюз. симп. - Вильнюс, 1986. - С. 138, 139.
24. Kononenko V.K. Nonlinear absorption in quantum-size heterostructures // Phys.
Stat. Sol. (b). - 1988. - Vol. 150, № 2. -P. 695-698.
25. Ushakov D. V., Kononenko V.K. Abnormal character of the diffusivity-mobility
ratio in doping superlattices // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 1999. -
Vol. 2, № l.-P. 18—23.
26. Kononenko V.K., Ushakov D. V. Carrier transport and screening in n-i-p-i crys-
tals // Phys. Stat. Sol. (b). - 1999. - Vol. 211, № 2. - P. 743-749.
27. Кононенко В.К, Кунерт Г.В., Манак И. С., Ушаков Д.В. Перестраиваемые
спектры фотолюминесценции легированных полупроводниковых сверхрешеток //
Журн. прикл. спектроскопии. - 2003. - Vol. 70. № 1. - С. 103-108.
ГЛABА5
КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
В 70-х годах прошлого века идея исследования свойств элек-
тронных систем в структурах с управляемым энергетическим спек-
тром активно претворялась в жизнь в многочисленных работах
теоретиков и экспериментаторов. Управление энергетическим
спектром осуществлялось либо технологически, путем создания
специальной полупроводниковой структуры, как, например, в
сверхрешетках, либо внешним воздействием - электрическим,
магнитным полем или деформацией.
Особенно перспективными представлялись исследования дву-
мерных электронных систем, в которых внешним воздействием -
сильным магнитным полем - удавалось добиться радикальной пере-
стройки энергетического спектра. При этом появились интересные
особенности в электрофизических свойствах исследуемых струк-
тур. На это определенно указывали первые теоретические работы
[1,2]. Экспериментальные исследования, проведенные К. фон Клит-
цингом, Г. Дордой и М. Пеппером [3], подтвердили предсказания
теоретиков и обнаружили принципиально новые свойства двумер-
ных электронных систем в сильном магнитном поле.
Эти свойства оказались столь необычными, что в физику вошел
термин «квантовый эффект Холла». Сейчас этим термином обо-
значаются два явления.
1. Возникновение нескольких плато на зависимости холлов-
ской проводимости от концентрации электронов двумерного
электронного газа или индукции магнитного поля при постоянной
238 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
концентрации электронов. На этих плато указанная компонента с
большой точностью оказывается кратной величине <7 2 Д:
2
(5-1.1)
где q и И - заряд электрона и постоянная Планка; z = 1,2,3 ... -
целые числа.
Для тех же значений концентрации электронов или величин
магнитных полей, при которых наблюдается плато для компо-
ненты проводимости другие компоненты тензора проводи-
мости и вуу обращаются в нуль или проходят через глубокий
минимум.
Эти экспериментально обнаруженные явления получили назва-
ние целочисленного квантового эффекта Холла.
2. В 1982 г., спустя два года после выхода работы К. фон Клит-
цинга и др. [3] исследователи Д. Цуи, X. Штермер и А. Госсард
опубликовали сообщение о наблюдении дробного квантового эф-
фекта Холла [4]. В этом эффекте предыдущее соотношение (5.1.1)
сохраняет силу, но множитель i равен
/-3’ 3’ 3’ 3’ 5’ 5’"’
причем знаменатель обязательно нечетный.
Механизмы этих двух вариантов квантового эффекта Холла
различны. К настоящему времени целочисленный эффект Холла
нашел полное объяснение, а теоретические и экспериментальные
исследования дробного эффекта привели к определенной модели.
По этой причине в данной главе основное внимание уделим цело-
численному эффекту Холла и лишь в заключение коснемся дроб-
ного эффекта.
Первые публикации [1-4] дали толчок всестороннему иссле-
дованию эффекта, и сейчас число работ по квантовому эффекту
Холла исчисляется сотнями, обстоятельное рассмотрение которых
было сделано Э.И. Рашбой и В.Б. Тимофеевым в [5]. В настоящее
время исследования свойств двумерных электронных систем в
квантующих магнитных полях представляют одно из важнейших
направлений физики полупроводников.
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом
239
5.1. ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ДВУМЕРНЫМ
ЭЛЕКТРОННЫМ ГАЗОМ
Рассмотрение квантового эффекта Холла мы начнем с описа-
ния эксперимента, приведенного в публикации, ставшей к настоя-
щему времени классикой [3].
Двумерный электронный газ проще всего получить на границе
диэлектрик - полупроводник в полевом МДП-транзисторе либо на
гетеропереходе между двумя полупроводниками. Первые экспери-
менты были проведены на МДП-структурах, а затем Д. Цуи и
А. Госсард в [6] показали перспективность применения гетерост-
руктур.
На рис. 5.1 изображены схемы МДП-структур, применявшихся
Клитцингом и его сотрудниками. На монокристаллическом p-Si с
ориентацией (100) термически выращивается слой двуокиси крем-
ния толщиной 0,1... 1,0 мкм. Роль затвора играет алюминиевый
электрод. Положительное относительно подложки напряжение на
затворе обеспечивает создание инверсионного слоя и-типа у по-
верхности и управление концентрацией электронов в канале вбли-
зи границы диэлектрик - полупроводник.
Для измерений применялись два вида структур - прямоуголь-
ная и кольцевая. Прямоугольная структура помимо стандартных
Рис. 5.1. Вид сверху (а, 6) и поперечное сечение типичных МДП-структур
(в), используемых в экспериментах;
слева - длинный образец, справа - кольцевой образец; I - исток, 2 - затвор, 3 - сток, 4 -
инверсионный n-слой (двумерный электронный газ), 5 - подложка p-Si, б - «^-контакт
240 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
электродов (стока, истока и затвора) содержала еще две пары хол-
ловских электродов, которые позволяли измерять не только хол-
ловскую разность потенциалов с поперечных электродов, но и
продольную проводимость с помощью потенциальных зондов 1 и
2. Эти измерения позволяли определять компоненты тензора со-
противления Pjy и р^. Кольцевая геометрия, показанная на
рис. 5.1, б, давала возможность найти компоненту тензора прово-
димости
Омические контакты к инверсионному слою образованы силь-
нолегированными //-областями. Поверхностный канал в рассмат-
риваемых МДП-структурах изолируется от остальной подложки
слоем обеднения, который при температурах проведения экспери-
мента (несколько кельвинов) имеет столь высокое сопротивление,
что ток от истока к стоку течет только по инверсионному каналу, а
не по подложке.
Плоские границы инверсионного слоя образуют стенки узкой
потенциальной ямы, исключающие движение по нормали к гра-
ницам (вдоль оси z) и позволяющие электронам свободно двигать-
ся в плоскости ху (рис. 5.2).
Условия эксперимента обеспечивали столь узкие по z размеры
потенциальной ямы, что дискретность энергетического спектра по
z значительно превосходила среднюю кинетическую энергию
электронов. Таким образом, гарантируется принадлежность всех
электронов инверсионного слоя одному и тому же энергетическо-
му уровню.
Важным достоинством МДП-структур является возможность
простым образом управлять плотностью подвижных носителей
инверсионного слоя путем изменения напряжения на затворе.
Рис. 5.2. Зонная диаграмма МДП-структуры
5.1. Эксперименты с двумерным электронным газом
241
Плотность заряда электронов -£?ина и напряжение на затворе свя-
заны соотношением
-еинв=сок(г9-г0),
где Сок - удельная емкость подзатворного диэлектрика; Vo - поро-
говое напряжение; Vq - напряжение на затворе.
По порядку величины поверхностная концентрация электронов
в инверсионном слое составляет ® 1012 см-2.
Двумерный электронный газ можно создать и на границе меж-
ду двумя полупроводниками в гетероструктурах, например
GaAs-AlxGabxAs, (рис. 5.3). В таких структурах концентрация
носителей тока определяется не напряжением на затворе, а уров-
нем легирования слоя Al^Ga^As.
В экспериментах определялись отношение холловского напря-
жения к току между истоком и стоком (т.е. холловское сопро-
тивление 7?н) ЛН=ГН//Х и сопротивление между потенциаль-
ными зондами Rx-Vx/Ix, где Vx - напряжение между
потенциальными зондами.
Найденные экспериментально величины 7?н и Rx практически
равны компонентам тензора сопротивления и рХ(. (см. ниже),
поскольку геометрические поправки, связанные с шунтирующим дей-
ствием токовых и потенциальных
электродов, в эксперименте были
пренебрежимо малы.
Полученные эксперименталь-
ные зависимости холловского со-
противления /?н и сопротивления
Rx от напряжения на затворе и,
следовательно, плотности элек-
тронов электронного газа показа-
ны на рис. 5.4.
Обнаружено, что зависимость
холловского сопротивления 7?н=
= /(^) носит ступенчатый ха-
рактер, причем его значение на
плато не зависит ни от свойств
Рис. 5.3. Зонная диаграмма гетеро-
структуры GaAs-AlGaAs. В GaAs
p-типа концентрация легирующей
примеси меньше, чем в AlGaAs
п-типа. Пунктирная линия - уро-
вень Ферми, зачерненная область
содержит двумерный электрон-
ный газ
242 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Рис. 5.4. Зависимость холловского сопротивления
Ян (= pxj) и сопротивления Rx (= р„) от напряжения на
затворе; измерения производились при В = 18,9 Тл и
Т= 1,5 К
вещества, ни от величины тока или температуры, а определяется
только мировыми постоянными - зарядом электрона и постоянной
Планка.
Сопротивление Rx и продольная компонента тензора сопро-
тивления рХ(. имеют осциллирующий характер. Как раз при тех
значениях напряжений на затворе, когда наблюдается плато на
зависимости 7?н - f(Vq), сопротивление Rx имеет глубокий ми-
нимум. Эксперименты показывают, что уменьшение сопротивле-
ния Rx может достигать 107 раз!
Полученные удивительные экспериментальные результаты по-
казывают, что свойства двумерного электронного газа радикально
отличаются от свойств электронов в трехмерном случае в сильном
магнитном поле.
5.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ЭЛЕКТРОНОВ
В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Для понимания свойств двумерного электронного газа в силь-
ном магнитном поле рассмотрим вначале влияние этого поля на
энергетический спектр электронного газа, в котором электроны
могут двигаться в трех измерениях. Пусть магнитное поле харак-
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 243
теризуется магнитной индукцией В, направленной вдоль оси z, и
для простоты рассмотрения будем считать, что электроны облада-
ют изотропной эффективной массой т*.
Магнитное поле воздействует как на орбитальное движение
электронов, так и на ориентацию их спинов через соответствую-
щие магнитные моменты. Гамильтониан для электронов в магнит-
ном поле имеет вид
^=_L(P + 9A)2 + gpB(QB),
2т
где Р - -ihV - оператор импульса; А — вектор-потенциал магнит-
ного поля; q - величина заряда электрона; второе слагаемое в га-
мильтониане описывает взаимодействие спинового магнитного
момента с магнитным полем; и цБ —qhllm* — магнетон Бора; g —
гиромагнитное отношение для электрона; и - оператор спина
электрона.
Для целочисленного квантового эффекта Холла роль спина не-
существенна, поэтому далее будем рассматривать упрощенный
гамильтониан
- 1/- \2
Н =-----(Р + оА). (5.2.1)
2т v '
Следуя Ландау [7], вектор-потенциал выберем в форме Ах = 0,
Ау — Вх, Д, = 0. Поскольку В = rot А, такой выбор вектор-по-
тенциала обеспечивает наличие только одной отличной от нуля
компоненты магнитного поля, В2 Ф 0.
Квадрат суммы в гамильтониане следует раскрывать, учитывая
перестановочные соотношения, которым удовлетворяет оператор
импульса (перестановочные соотношения Гейзенберга 1-го рода) [8]
Д4,
Л Р ~PjAj = j = x,y,z . (5.2.2)
J J OXj
Кроме того, будем предполагать, что вектор-потенциал удовле-
творяет условию калибровки
div А = 0 .
(5.2.3)
244 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
С учетом (5.2.2) и (5.2.3) гамильтониан (5.2.1) можно привести
к форме
H = -—V2+~ qBx{-ih—
2т т I ду
q—~ . (5.2.4)
2т*
Выражение (5.2.4) можно переписать в эквивалентной форме
й2 а2 Г g ! igBx'? [ а2
2т* дх2 Й у az2
(5.2.5)
Соответствующее гамильтониану (5.2.5) уравнение Шрединге-
ра принимает вид
a2 fa iqBx^ а2 2т* Е
дх2 ^5у Й ) dz2 Й2
'P(xyz) = 0.
(5.2.6)
Компоненты вектор-потенциала не зависят от у и z, поэтому
решение уравнения (5.2.6) можно искать в форме
Т(xyz) = e'(M+A*z)(p(x) . (5.2.7)
Подставляя это решение в уравнение (5.2.6), получаем уравне-
ние на волновую функцию <р(х)
й2 d2q 1 D \2 f й2й2>)
---т+- (ййy+qBxj <р= Е-—7 <р. (5.2.8)
2тdx2 2т*к у > f 2т J
Удобно ввести обозначения
Е' = E—h — , х = х' + х0,
2т*
где x0=-(hky! Bq). С учетом этого уравнения выражение (5.2.7)
принимает вид
Й2 </2Ф q2B2 ,2 17,
---------- + ----х (р -Е<р.
2т* dx'2 2т*
(5.2.9)
Уравнение (5.2.8) совпадает с квантовым уравнением для гар-
монического осциллятора, колеблющегося с частотой
“с
Bq
* ‘
т
5.2 Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 245
Его решения хорошо известны - энергия Е' квантована по закону
Е' - Й<ас
(5.2.10)
где/г = 1,2, 3...
Собственные функции, удовлетворяющие уравнению (5.2.9),
имеют вид
<?(*) = 7Г ехр-
(5.2.11)
к у ;
где y = ^h/(Bq)
— величина, имеющая размерность длины и назы-
ваемая поэтому магнитной длиной;
— полином Эрмита
порядка «77».
Энергия электрона в магнитном поле оказывается состоящей из
двух частей:
Ji2 к2 ( 1А
Е =-----^- + ha> \п— . (5.2.12)
2т Ч 2)
Первое слагаемое описывает энергию электрона, движущегося
вдоль оси z, по которой направлено магнитное поле. Магнитное
поле не оказывает влияния на эту составляющую энергии.
Движение в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю,
оказывается квантованным, и эта составляющая описывается вто-
рым слагаемым в (5.2.12). При фиксированном значении kz энер-
гетический спектр электрона представляет ряд эквидистантных
уровней, разделенных промежутками йюс . Эти уровни именуются
уровнями Ландау.
В целом энергетический спектр распадается на ряд подзон
(рис. 5.5). Учет квантования поднимет энергию дна наинизшей
зоны на величину 0,5Йос. Энергетический спектр в магнитном
поле оказывается сильно перестроенным. Магнитное поле, однако,
не может изменить число степеней свободы электронов в зоне
проводимости, в результате каждый уровень Ландау должен быть
сильно вырожден. Для определения кратности вырождения удобно
взять образец в виде куба со стороной L, поскольку при этом рас-
четы идут наиболее простым образом. Вообще форма образца роли
не играет, поскольку размеры стороны куба много больше разме-
ров постоянной решетки.
246 Глава 5 КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
б
Рис. 5.5. Схема энергетических зон и соответствующая плотность состоя-
ний для трехмерного (а) и двумерного (6) электронного газа
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле
247
По направлениям у и z волновую функцию подчиним условиям
периодичности
T(xyz) = Т(л, у + L,z), Т (xyz) = x(x,y,z + Z).
Учитывая явный вид волновой функции электрона в магнитном
поле (5.2.7), (5.2.11), из приведенных соотношений получаем усло-
вие квантования проекций волновых векторов ку и к2:
ky=^Tny’ kz=^nz> (5.2.13)
Л-1 1-J
где пу и nz ~ квантовые числа, принимающие значения 0, ± 1, ± 2...
По измерению х волновая функция (5.2.7) локализована вблизи
координаты х0 и имеет характеристические размеры порядка маг-
нитной длины у . Поэтому можно ограничить значение х0 естест-
венным условием
(5.2.14)
Отметим, что возможность изменения х0 в соответствии с вы-
ражением (5.2.14) определяется изменением компоненты ку вол-
нового вектора.
Учитывая (5.2.11) и (5.2.13), из (5.2.14) получаем
LЕ 2 Вд < L2 Вд
2лЙ 2 ~~Пу~2лк 2
В результате при фиксированных Е и nz квантовое число пу
может принимать
г2
ЧВ (5.2.15)
2тт
различных значений. Это и есть кратность вырождения уровня
Ландау.
Найдем теперь число состояний на единичный интервал энер-
гий для электрона, движущегося в магнитном поле с индукцией В.
Как показано выше (5.2.12), энергия такого электрона представля-
ется выражением
Е = Ес+^-^- + Лозс(п--\ (5.2.16)
2m I 2J
248 Глава 5- КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
где Ес - энергия дна зоны проводимости, если пренебречь взаи-
модействием внешнего магнитного поля со спиновым магнитным
моментом электрона.
Как следует из законов статистической физики, общее число
электронов N в объеме V дается выражением
<5-217>
j
где fQ{Ej,T) - среднее число электронов в состоянии с энергией
Ej при температуре Т \ О.j - кратность вырождения j-го состоя-
ния; суммирование распространяется на весь спектр энергии Ej.
В рассматриваемом случае состояние j задается номером уров-
тт “ .2л
ня Ландау п и проекцией волнового вектора на ось z-kz =—nz,
L
где nz = 0, ±1, ±2... Кратность вырождения дается формулой
(5.2.15). Для электронов с одной ориентацией спина из (5.2.17)
получаем
(5-218)
п kz I 2/и < 2) J
Расстояние между соседними значениями kz составляет Ekz = 2n/L
и при обычных макроскопических размерах кристалла настолько
мало, что позволяет перейти в (5.2.18) от суммирования по kz (или
nz ) к интегрированию
YfAEn,kz,T) = 2^-}f0(En,kz,T)dkz . (5.2.19)
kz 2л о
На последнем этапе преобразований учтено, что энергия явля-
ется четной функцией от волнового вектора kz. С учетом проме-
жуточного выражения (5.2.19) для общего числа электронов в
кристалле запишем
'2HzS/o (En,kz,T) (5.2.20)
(2л) л о п
Множитель, стоящий за объемом кристалла V -I?, есть кон-
центрация электронов п в единице объема. В интеграле (5.2.20)
5.2. Энергетический спектр электронов в постоянном однородном поле 249
вместо переменной kz введем энергию. Пользуясь выражением
для энергетического спектра (5.2.16), получаем
у/2т 1 1
dkz =-------. =dE.
2 у]Е-Ес-Йюс(п-0.5)
В результате для концентрации электронов с одной ориентаци-
ей спина имеем
г у
(2л) Й ha>c п
2
п -
f0(E,t)dE =
- йсо. \п —
I 2)
j N{E)f0(E)dE,
ha>c
2
где
N(E) = ^^7 Е~г~ - • (5.2.21)
(2лй) n=i yjE -Ес- h<£>c (n - 0,5)
Это и есть плотность состояний электронов в магнитном поле.
Из выражения (5.2.21) следует, что плотность состояний есть
осциллирующая функция магнитного поля. Она имеет острые мак-
симумы для тех значений энергии, где разность Е-Ес равна энер-
гии одного из уровней Ландау
£-£с=Йсос(п-0,5). (5.2.22)
На рис. 5.5, а представлена соответствующая зависимость плот-
ности состояний.
Осцилляция плотности состояний проявляется в том, что в ме-
таллах и вырожденных полупроводниках многие физические вели-
чины, выражающиеся через плотность состояний при выполнении
условия (5.2.22), осциллируют при изменении магнитного поля.
Например, в металлах основную роль в процессах проводимости
играют электроны вблизи поверхности Ферми. Осцилляция прово-
димости возникает при каждом прохождении очередного уровня
Ландау мимо уровня Ферми.
Превращение трехмерного электронного газа в двумерный ве-
дет к дальнейшему изменению плотности состояний. Рассмотрим
250 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
этот вопрос подробнее. Если движение электронов вдоль направ-
ления магнитного поля исключено, то их энергетический спектр
определяется только уровнями Ландау и, следовательно, может
управляться экспериментатором
E = Ec + fa>c(n-0t5). (5.2.23)
Соответствующая плотность состояний (рис. 5.5, б) должна бы
представляться набором дельта-функций с максимумами, локали-
зованных на уровнях Ландау и отделенных промежутками Йюс.
Однако такая ситуация имеет место только в идеальном кристалле,
в котором отсутствуют процессы рассеяния.
В реальных кристаллах из-за действия рассеяния электрон мо-
жет находиться на каждом уровне лишь время т, соответствующее
времени свободного пробега. Как следует из квантово-механи-
ческого принципа неопределенности «время — энергия», это при-
водит к тому, что каждый уровень приобретает ширину ЛЕ ~ й/т .
В результате плотность состояний имеет вид острых максимумов
конечной ширины (рис. 5.5, б, правая часть). Для наблюдения
влияния квантования двумерного электронного газа чрезвычайно
важно, чтобы ширина уровней была много меньше расстояния
между уровнями Ландау
Й *
— « П(йс .
т
Двумерный электронный газ, в котором выполняются эти усло-
вия, начинает вести себя как полупроводник с шириной запрещен-
ной зоны Йсос.
Радикальная перестройка спектра двумерного электронного
газа приводит к упрощению формулы (5.2.18), связывающей об-
щую концентрацию электронов и спектр энергетических уров-
ней. Поскольку движение по оси z подавлено, формула (5.2.18)
принимает вид
(5.2.24)
2ЛИ п
При температурах порядка нескольких градусов Кельвина
функция распределения Ферми f0(E,EF,T) имеет вид, близкий к
единичной ступеньке. Поэтому, если уровень Ферми лежит выше
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
251
уровня Ландау с номером п, то формула (5.2.24) принимает осо-
бенно простой вид
I?qB , „ _
N = —2— п, « = 1,2,3... (5.2.25)
2лЙ
Множитель, стоящий перед п, представляет вырождение уровня
Ландау, одинаковое для всех уровней. Кроме того, стоит вспом-
нить, что полученная формула О,-I^qB K7.-n.ti) относится к элек-
тронам с одной ориентацией спина.
5.3. ПРОВОДИМОСТЬ ДВУМЕРНОГО
ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
Если к сильному магнитному полю добавить слабое электриче-
ское поле, направленное в плоскости образца, движение электро-
нов по циклотронным орбитам не нарушится, однако центры
орбит, определяемые величиной х0, начнут дрейфовать в направ-
лении, перпендикулярном к магнитному и электрическому полям.
Этот дрейф приводит к возникновению холловской ЭДС и появле-
нию недиагональных компонент в тензоре проводимости.
Тензор проводимости двумерного электронного газа в магнит-
ном поле в общем виде имеет форму
Оц а12 '
°21 °22)’
(53.1)
причем а12 = - о21.
Тензор удельного сопротивления является обратным по отно-
шению к проводимости, и компоненты обоих тензоров связаны
соотношениями
2
£ро0а07 = §сгу, 0,^,7=1,2,
0=1
где 8ар - символ Кронекера.
Решение системы (5.3.2) приводит к соотношениям
о _ 0и п _ 021
аи - 2 2 ’ а12 - 71 ТТ’
011+012 (011+012)
(5.3.2)
(5.3.3)
где рп - р22 и р12 --р21-
252 Глава 5 КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Двумерный электронный газ в сильном магнитном поле начи-
нает вести себя как полупроводник с шириной запрещенной зоны,
равной расстоянию между соседними уровнями Ландау Eg = Йсос.
Если уровень Ферми лежит между двумя соседними уровнями
Ландау и температура такова, что Т « (кыс/к'), то такой полупро-
водник будет вести себя как изолятор и диагональные компоненты
тензора проводимости будут стремиться к нулю, О] j —> 0,
а22 ® • Существенно, что при этом недиагональные компоненты
а12, а21 не Равны нулю. В результате тензор проводимости дву-
мерного газа принимает форму
(О
12 . (5.3.4)
о21 0 )
Из соотношений (5.3.3) следует, что тензор удельного сопро-
тивления будет иметь аналогичную (5.3.4) структуру
_( 0 1/с21
Р“Р-^1/о12 о )
Реальные эксперименты проводятся при температурах не-
сколько градусов Кельвина и магнитных полях порядка 10 Тл, так
что вероятность заброса с n-го на п+1 уровень Ландау полностью
исключить нельзя. Это приводит к тому, что проводимости j и
о22 будут хотя и малыми, но все-таки отличными от нуля величи-
нами. Поэтому в работах, где описываются экспериментальные
результаты по квантовому эффекту Холла, говорится об уменьше-
нии проводимости в 106...107 раз по сравнению с исходной при
В = 0, но не об обращении в нуль компонент <Т] i и о22
Общий характер изменения диагональных компонент тензора
проводимости и удельного сопротивления связан со степенью за-
полнения уровней Ландау, которую можно связать с числом квантов
магнитного потока, захваченных двумерным электронным газом.
Для этого учтем, что величина 2у2, где у - магнитная длина,
входящая в экспоненциальную часть волновой функции (5.2.11),
определяет размеры волновой функции электрона на нижнем
уровне Ландау. Тогда магнитный поток, пронизывающий эту ор-
биталь, будет равен
Фо = 2лу25 — h/q.
(53.5)
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
253
Поток Фо имеет смысл минимального магнитного потока, ко-
торый может быть «захвачен» электроном на уровне Ландау. Су-
щественно, что величина этого кванта определяется только
мировыми постоянными.
Кратность вырождения одинакова для всех уровней и опреде-
ляется формулой (5.2.25). Это означает, что электроны, находя-
щиеся на полностью занятом уровне Ландау, могут «захватить»
количество квантов магнитного потока ?\/ф, равное
BL2 Ф
= (5.3.6)
h/q Фо
В экспериментах можно изменять либо число электронов у по-
верхности N, либо магнитное поле и, следовательно, влиять на
Еф . Отношение v = N/N® определяет степень заполнения уров-
ней Ландау электронами. Степень заполнения достигает макси-
мального значения v = п при прохождении уровня Ферми через п-
й уровень Ландау.
В те моменты, когда степень заполнения уровня Ландау дости-
гает максимального значения, диагональные компоненты удельно-
го сопротивления и стремятся к нулю при Т -> 0. Этот
факт был подтвержден прямыми экспериментами Клитцинга, Дор-
ды и Пеппера. Их эксперименты, однако, показали интересные
особенности в поведении недиагональных компонент тензоров
сопротивления и проводимости.
Когда двухмерный электронный газ находится в сильном маг-
нитном поле, напряженность поперечного холловского поля Ен
выражается обычным образом через поверхностную плотность
тока у(Л/м) и поверхностную концентрацию и5(см 2):
Из (5.3.7) следует, что недиагональная компонента тензора удель-
ного сопротивления
— =— (5.3.8)
jx яъ
Эта стандартная форма холловского сопротивления принимает
замечательный вид, когда и-й уровень Ландау полностью занят и,
254 Глааа 5 КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
следовательно, v = п. В этот момент поверхностная концентрация
электронов
N qBn
ns=~ =--
Подставляя (5.3.9) в (5.3.8), находим
2лЙ 1 h 1 , _
Рху п = \,2...
q п ql п
(5-3.9)
(5.3.10)
Отношение h / q2 определяется только мировыми постоянными
и известно с высокой степенью точности
h/q2 =25812,8 Ом.
В ходе экспериментов Клитцинг, Дорда и Пеппер не только
определили величину рху, но и обнаружили горизонтальные плато
на зависимости рху = f(ns). Расположение плато соответствует
областям, где компоненты тензора удельного сопротивления
Р™ и Руу обращаются в нуль (достигают минимального зна-
чения), здесь компонента остается постоянной и равной
(5.3.10) даже при некотором изменении концентрации электронов
в двумерном электронном газе. Экспериментально установлено,
что чем ниже температура, тем больше ширина плато.
Если рассматривать 2D электроны как идеальный газ, то кван-
тование значений рху согласно (5.3.10) и обращение в нуль ком-
поненты р^ будут достигаться только в отдельных точках по
концентрации или магнитному полю, когда выполняется условие
(5.3.9).
Поразительная особенность экспериментов Клитцинга, Дорды
и Пеппера заключалается в обнаружении горизонтальных участков
холловского сопротивления («холловских плато») на концентраци-
онной = f(ns) или полевой рху = f(B) зависимостях компо-
нент рху. Значения поперечной компоненты рху, полученные по
формуле (5.3.10), поддерживаются постоянными с относительной
точностью около 110~7. Осцилляции продольного сопротивления
Pja являются ожидаемым эффектом, происхождение которого
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
255
имеет те же первопричины, что и эффект Шубникова - де Гааза.
Теория, описывающая целочисленный эффект Холла, должна как
минимум ответить на два вопроса.
1. Почему холловское сопротивление имеет плато в некотором
интервале изменения ns или В2
2. Почему на плато рху квантуется в единицах h/q2 со столь
высокой точностью?
Холловские плато
в целочисленном эффекте Холла
Для объяснения происхождения плато необходимо учесть, что
реальные полупроводниковые кристаллы содержат разнообразные
несовершенства кристаллической решетки, которые можно объе-
динить общим понятием беспорядка. Простейшими примерами
могут служить шероховатость поверхности полупроводника или
неоднородность толщины подзатворного диэлектрика в МДП-
транзисторе. Практически всегда можно считать, что потенциал,
вызванный несовершенством решетки, Fdjs, изменяется достаточ-
но медленно в пространстве, т.е.
где у - магнитная длина (у ~ 50...100 А).
В этом случае движение свободных электронов можно рас-
сматривать не как рассеяние, а как перемещение в плавном потен-
циале. Перемещение состоит из двух частей: быстрого движения
по циклотронной орбите с частотой <ас и медленного дрейфа цен-
тров орбит вдоль эквипотенциальных линий, определяемых внеш-
ним электрическим полем и потенциалом беспорядка Kdis.
Направление дрейфа определяется силой Лоренца [VFdis B], а
энергия электронов - круговым движением и потенциальной энер-
гией, связанной с беспорядком.
В идеальном кристалле плотность состояний двумерного элект-
ронного газа представляет собой совокупность вырожденных б -функ-
ционных пиков (рис. 5.5, б). Случайный потенциал беспорядка
снимает вырождение и приводит к гауссовому закону распределе-
(Е-Е„}2
ния плотности состоянии, пропорциональной ~ ехр -— , где
256 Глава 5- КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
En - энергия уровня Ландау; Г - параметр, характеризующий
ширину пика (см. рис. 5.5, б, справа).
Существенно, что поведение электронов в пределах энергети-
ческой зоны, образованной из вырожденного уровня Ландау, весь-
ма различно. Электроны вблизи пика плотности состояний
являются подвижными (делокализованными) и участвуют в пере-
носе тока точно так же, как и электроны в зоне проводимости
трехмерного полупроводника.
Электроны, находящиеся вблизи хвостов пиков плотности со-
стояний, неподвижны (локализованы) и вклада в проводимость не
дают. Граница в энергетической зоне между локализованными и
делокализованными состояниями носит название «край подвиж-
ности», а расстояние между краями подвижности соседних зон -
«щель подвижности». На рис. 5.5, б границы щели подвижности
условно выделены штриховыми линиями.
Уровень Ферми в реальном кристалле может находиться где
угодно между двумя зонами Ландау. При температуре Т 0 все
состояния с энергиями Е < EF заняты и пусты, если Е > EF. По-
этому вблизи минимума потенциальной энергии Г(ху) все экви-
потенциальные контуры (состояния) с энергией Е < EF будут
заняты, образуя квантовую холловскую каплю.
Изменяя поверхностную концентрацию электронов, как в экс-
периментах Клитцинга, или величину магнитного поля, можно
управлять положением уровня Ферми относительно максимумов
плотности состояний зон Ландау.
На рис. 5.6 схематически представлены контуры холловских ка-
пель и их эволюция, позволяющая понять происхождение холловских
Рис. 5.6. Формирование проводяще-
го канала, шунтирующего сопро-
тивление R„ на холловском плато
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
257
плато [9], а на рис. 5.7 показано изменение продольной и попереч-
ной компонент проводимости 0^,0^ при возрастании энергии
Ферми в 2В-системе и связанной с ней концентрации электронов
[10]. Там же приведено распределение плотности состояний и ука-
заны границы щелей подвижности, связанных с разными уровнями
Ландау.
Рис. 5.7. Плотность состояний спектра (а) и ос-
цилляции компонент проводимости (6) в силь-
ном магнитном поле; локализованные состоя-
ния заштрихованы [10]
9 Основы наноэлектроники
258 Глааа 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Если магнитное поле велико (или мала концентрация электро-
нов), размеры капель малы и все электроны сосредоточены в об-
ластях, где потенциал беспорядка минимален. Орбиты краевых
электронов не перекрываются и все электроны локализованы, так
что = 0.
Уменьшение величины магнитного поля (или возрастание кон-
центрации электронов) приводит к расширению размеров капель и
перекрытию орбит, соответствующих соседним каплям. Возможна
ситуация, когда траектории движения центров циклотронных ор-
бит электронов становятся инфинитными и электроны получают
возможность перетекать от одного электрода к другому. В этом
случае уровень Ферми попадает в область делокализованных со-
стояний и продольная компонента электропроводности становится
отличной от нуля, так же как поперечная. Дальнейшее перемеще-
ние уровня Ферми по делокализованным состояниям приводит
вначале к росту так как число носителей в этих состояниях
возрастает. Когда уровень Ферми попадает вновь в область лока-
лизованных состояний (в щель подвижности), электропроводность
обращается в нуль.
В это же время холловское сопротивление монотонно растет,
достигая значения 7?н = hjq1 . Дальнейшее продвижение уровня
Ферми по щели подвижности оставляет концентрацию делокали-
зованных электронов постоянной, что приводит к сохранению зна-
чения Ян и формированию плато. При прохождении следующей
области делокализованных состояний, относящихся к соседней
зоне Ландау, вновь происходит изменение 2?н в соответствии с
(5.3.10). Ширина области делокализованных состояний порядка кТ,
поэтому переходные области между соседними плато оказываются
тем больше, чем выше температура, а размеры плато - соответст-
венно меньше.
Таким образом, существование беспорядка приводит к появле-
нию плато. Экспериментально установлено, что ширина переход-
ных областей уменьшается с увеличением подвижности
электронов в образцах и уменьшением степени беспорядка.
Р. Лафлину принадлежит общее доказательство закона кванто-
вания холловского сопротивления, которое позволяет обосновать
высокую точность последнего, наблюдаемую в экспериментах.
Доказательство не связано с конкретизацией гамильтониана и ис-
пользованием того или иного расчетного метода.
5.3. Проводимость двумерного электронного газа
259
Рассмотрим, следуя [11], мыс-
ленный опыт по определению хол-
ловского сопротивления в геометрии,
представленной на рис. 5.8, где лента
двумерного электронного газа свер-
нута в цилиндр. По ленте течет ток I
и внешнее магнитное поле В на-
правлено по нормали к поверхности,
через ось цилиндра проходит беско-
нечно длинный соленоид. В рассмат-
риваемой геометрии образца и поля на
торцах цилиндра возникает холлов-
ская разность потенциалов .
Если Ф - поток, создаваемый со-
леноидом, то азимутальная компо-
Рис. 5.8. Схема мысленного
опыта Лафлина:
I - азимутальный ток электронов;
FH - холловское напряжение; В -
нормальное к поверхности постоянное
магнитное поле
нента вектор-потенциала от соленоида на поверхности цилиндра
будет равна
Ф
~ 2л7? ’
(5.3.11)
где R - радиус цилиндра.
Изменение магнитного потока 6Ф через цилиндрическую лен-
ту (контур тока), по которому течет ток I, приводит к изменению
свободной энергии б/7 двумерного электронного газа:
6F
/ = —. (5.3.12)
6Ф
Это общее соотношение позволяет получить закон квантования
холловского сопротивления.
Гамильтониан системы заряженных частиц в электромагнит-
ном поле обладает свойствами калибровочной инвариантности, что
связано с неоднозначностью определения вектор-потенциала А (с
точностью до градиента произвольной скалярной функции). По-
этому, если магнитный поток через соленоид изменить на целое
число квантов к (6Ф = кФ0), то калибровочным преобразованием
а^)=а^)4г®’’ (И13)
К- dty'J>
кФ0 , .
где Aw ------<р, j - номер частицы; вектор-потенциал на по-
2л
верхности ленты можно оставить неизменным.
260 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Если основное состояние не вырождено по квантовым числам,
то начальное (5Ф = 0) и конечное (бФ = кФ0) состояния много-
частичного гамильтониана должны быть идентичны. Между тем
при преобразовании (5.3.13) волновая функция умножается на фа-
зовый множитель:
(У)
Этот фазовый множитель можно устранить, совершив трансля-
цию системы электронов вдоль оси цилиндра на расстояние а:
‘чЪ^л'\
т—г | . КФ()
=ПехР
Г I ф0
ехр
(5.3.14)
й
поскольку трансляция в магнитном поле также сопровождается
изменением фазы волновой функции [13]. Нарушения состояний
электронов в двумерном газе не происходит, так как последний
обладает свойством трансляционной инвариантности (в среднем
при наличии беспорядка). Преобразование (5.3.15) означает, что
при изменении магнитного потока на Фо целое число электронов
N перейдет с одного торца цилиндра на другой. Локализованные
состояния в процессе переноса заряда при этом не участвуют.
При отсутствии диссипации энергии изменение свободной
энергии составляет 8F = NqVu . Учитывая (5.3.12), находим соот-
ношение между током и холловским напряжением:
AF _ Nq2VH
ДФ h
(5.3.16)
и Ан -
Nq2 ’
Множитель N выступает как число заполненных зон Ландау.
Таким образом, калибровочная инвариантность, наличие лока-
лизованных состояний, невырожденность основного состояния
сводят задачу квантования холловского сопротивления к задаче
квантования заряда электрона и магнитного потока.
Высокая точность квантования холловского сопротивления и
воспроизводимость экспериментальных результатов привели к
идее создания международного эталона сопротивления, равного
Ян = Д- = 25 812,808 Ом.
9
5.4. Дробный каантоаый эффект Холла
261
Эта идея находится в общем русле развития метрологии, когда для
эталонов стремятся использовать только мировые физические кон-
станты.
Комбинация h Iq1 входит также в постоянную структуры Зом-
мерфельда:
где с — скорость света.
Эта безразмерная постоянная играет исключительную роль в
квантовой электродинамике. Повышение точности определения а
неизбежно влияет на значения комптоновской длины, постоянной
Фарадея, а также все расчетные значения энергетических уровней
в атомах. Таким образом, квантовый эффект Холла позволяет
уточнить большое число фундаментальных параметров и прове-
рить предположения важнейших физических теорий.
5.4. ДРОБНЫЙ КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
Два года спустя после публикации статьи Клитцинга, Дорды и
Пеппера по целочисленному эффекту Холла появилось первое
сообщение Д. Цуи, X. Штермера, А. Госсарда [4] о наблюдении
дробного квантового эффекта, приводящего к появлению плато на
холловской проводимости при некоторых значениях, являющихся
простыми дробями величины q2th. При этом диагональные ком-
поненты сопротивления стремятся к нулю, как и в случае целочис-
ленного эффекта.
По общим оценкам явление дробного квантового эффекта
представляется еще более интересным, чем целочисленный эф-
фект. Теоретический анализ дробного эффекта привел к новому
пониманию свойств двумерных электронных систем.
Мы вначале рассмотрим экспериментальные результаты, полу-
ченные Д. Цуи с сотрудниками, а затем теоретические подходы к
объяснению явления.
5.4.1. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ДРОБНОМУ
КВАНТОВОМУ ЭФФЕКТУ ХОЛЛА
Образцы для измерений были получены методом молекулярно-
лучевой эпитаксии и состояли из монокристаллических слоев неле-
гированного GaAs толщиной 1 мкм, нелегированного Al03Ga07As
262 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
толщиной 500 А, слоя Al^Ga^As, легированного кремнием тол-
щиной 600 А и легированного кремнием GaAs толщиной 200 А.
Вся эта многослойная система была выращена на подложке из изо-
лирующего GaAs . На гетерогранице GaAs - AlGaAs со стороны
GaAs возникал газ двумерных электронов, созданных за счет иони-
зации доноров в AlGaAs. Образцы вырезались в виде стандартных
холловских структур (рис. 5.9, левая верхняя часть). В исследован-
ных образцах поверхностная концентрация электронов изменялась
ц = 9-104 см2 В 'с 1 при I = мкА; фактор запол-
нения уровней Ландау v = NhlqB
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
263
в пределах 1,1...1,4 10" см2, а подвижность в пределах
(8...10)104 см2 В-1 - с-1. Магнитное поле в экспериментах изменя-
лось от 0 до 25 Тл. На рис. 5.9 представлены зависимости холлов-
ского рху и продольного Руа сопротивлений от величины
магнитного поля при четырех температурах от 0,48 до 4,15 К. На
верхней шкале рисунка приведена степень заполнения уровня
Ландау v = n/N^. При v = l наблюдаются холловское плато на
зависимости рху = f (5) и нули на продольном сопротивлении
, как это и должно следовать из теории целочисленного эффек-
та Холла.
При температурах выше 4,2 К зависимость рху = f (В) практи-
чески линейна и эффекты квантования не заметны. С понижением
температуры делается все более заметным плато на зависимости
рху от магнитного поля при степени заполнения уровня Ландау
v = l/3 . Одновременно становится все более отчетливым глубокий
минимум на продольном сопротивлении .
Обнаруженное значение квантового сопротивления рху = 3h / q1
в последующих экспериментах было убедительно подтверждено
для степеней заполнения:
2 2 3 2
v =—, —, —•
3 5 5 7
Полученные данные показывали, что обнаружено новое со-
стояние двумерного электронного газа, которое не реализовалось
для целочисленного квантового эффекта Холла.
5.4.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ДРОБНОГО
КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА
Открытие дробного квантового эффекта в значительной мере
обязано успехам технологии создания наноэлектронных структур.
Важнейшее требование к экспериментальным структурам -
высокая подвижность электронов - удалось реализовать на гетеро-
структурах GaAs - А1хСа,_хAs, полученных методом молекуляр-
но-лучевой эпитаксии.
264 Глааа 5 КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Гетероструктуры, которые Д. Цуи и А. Госсард [4] стали впер-
вые использовать для наблюдения целочисленного квантового
эффекта, оказались в определенном смысле более перспективны-
ми, чем кремниевые МДП-структуры, применявшиеся Клитцин-
гом, в первую очередь из-за величины подвижности электронов.
Высокая подвижность означает относительно малый вклад
процессов рассеяния на потенциале примесей в движение электро-
нов и приводит к проявлению более тонких особенностей взаимо-
действия электронов в двумерном газе. В условиях сильных
магнитных полей и высокой подвижности это проявляется в кор-
реляции движения электронов.
Целочисленный эффект Холла может быть понят на основе
анализа движения отдельного электрона в магнитном поле. При
этом кулоновское взаимодействие электронов несущественно при
объяснении квантования холловского сопротивления Ан =h/(iq2),
где i = 1, 2, 3..., так как энергия взаимодействия много меньше
величины энергетического зазора между уровнями Ландау.
Дробный квантовый эффект Холла удалось объяснить только
после осознания того, что это принципиально не одночастичная
(как в целочисленном эффекте), а многочастичная задача.
В условиях, когда уровень Ландау заполнен лишь частично,
электроны имеют достаточно свободы для того, чтобы переме-
щаться внутри кристаллической решетки, находясь друг от друга
возможно дальше, чтобы минимизировать кулоновскую энергию
отталкивания. Это приводит к согласованному (коррелированно-
му) движению электронов, когда их общая энергия понижается.
Р. Лафлин [10, 11] предложил многочастичную волновую
функцию, которая корректно описывает поведение электронов,
заполняющих уровень Ландау на 1/3 (так же, как и вообще на Мт
часть, где т - нечетное число). Из решения квантовых уравнений
для такой волновой функции следует, что должна существовать
зона запрещенных энергий, не связанная с уровнями Ландау и сле-
дующая из решения многочастичной задачи. Кроме этого, в усло-
виях, когда степень заполнения уровня Ландау чуть меньше или
чуть больше v = l/3, перенос заряда в двумерной системе в маг-
нитном поле можно интерпретировать как движение квазичастиц с
зарядом 9* = ±£/3. При дальнейшем изложении будем следовать
интерпретации эффекта, данной X. Штермером в его Нобелевской
лекции [12].
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
265
Для интерпретации квантового эффекта Холла оказалось чрез-
вычайно удобным и плодотворным представление магнитного по-
ля, пронизывающего двумерный электронный газ, в виде набора
маленьких вихрей, каждый из которых несет по одному кванту
поля &Q = h/q. Размеры вихря примерно равны размеру области,
которая содержит 1 квант - 8 = Ф0/В. Внутри вихря плотность
заряда электронов в центре равна нулю и постепенно возрастает по
мере приближения к краям, до среднего значения по образцу, так
что приближенно можно считать, что электроны перемещены из
вихря. Плотность распределения вихрей в плоскости образца в
однородном магнитном поле постоянна (рис. 5.10).
Электроны и вихри оказываются в некотором смысле противо-
положными объектами. Электрон - это сгусток заряда, вихрь - его
отсутствие. Взаимное расположение электронов и вихрей сильно
влияет на полную энергию двумерного газа. Энергетически чрез-
вычайно выгодно оказывается помещение электрона в центр вих-
ря. При этом остальные электроны максимально отодвинуты от
него, а энергия кулоновского взаимодействия с соседями становит-
ся минимальной.
В целочисленном эффекте Холла на заполненном уровне Лан-
дау каждый электрон присоединяет по одному вихрю (рис. 5.10, б).
а б
Рис. 5.10. Схематическое представление электронного 2D газа
в магнитном поле:
а - вихри магнитного поля (белые кружки) в 2D электронном газе (темный
фон); стрелки представляют собой кванты магнитного потока Фо внешнего
магнитного поля В; б - взаимодействие вихрей магнитного поля и элект-
ронов (случай полного заполнения уровня Ландау, v = 1, соответствующий
целочисленному эффекту Холла)
В более сильных магнитных полях, чем те, что обеспечивают
заполнение первого уровня Ландау, число вихрей магнитного поля
становится больше числа электронов. В этом случае электронам
выгодно присоединить сразу несколько вихрей, что еще дальше
отодвинет соседние электроны и уменьшит энергию электростати-
ческого взаимодействия.
266 Глава 5- «ВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Электрон и присоединенный к нему один или несколько вих-
рей концептуально удобно рассматривать как составную частицу.
Из-за введения составных частиц реальная система взаимодейст-
вующих электронов заменится на систему слабо взаимодействую-
щих составных частиц. Кроме того, поскольку магнитное поле в
виде вихрей уже входит в составные частицы, формально внешнее
магнитное поле можно не учитывать и считать, что составные час-
тицы образуют ансамбль. Однако наиболее существенно то, что
присоединение вихрей изменяет характер составных частиц, пре-
вращая их из фермионов в бозоны или наоборот.
Волновая функция системы фермионов изменяет свой знак при
перестановке любой пары частиц и является антисимметричной.
Система бозонов имеет симметричную волновую функцию и не
изменяет свой знак при перестановке любых двух частиц. Различ-
ная симметрия волновых функций приводит к глубокому отличию
свойств систем частиц-бозонов и частиц-фермионов. В системе
фермионов действует статистика Ферми - Дирака и заполнение
квантовых состояний подчиняется принципу Паули, который запре-
щает нахождение в одном квантовом состоянии двух фермионов.
Это жесткое ограничение приводит к тому, что фермионы предпо-
читают держаться друг от друга подальше и последовательно, один
за одним, заполняют энергетические уровни в твердом теле.
В системе бозонов действует статистика Бозе - Эйнштейна и
никаких ограничений на число частиц в одном квантовом состоя-
нии нет. Частицы-бозоны предпочитают собираться в одном со-
стоянии, что обозначается термином «бозе-конденсация».
Глубокое отличие в статистике между частицами-фермионами и
частицами-бозонами находит свое проявление в качественном раз-
личии физических свойств систем частиц. В системе частиц-
бозонов наблюдаются такие необычные физические свойства, как
сверхтекучесть, лазерный эффект, сверхпроводимость.
Сами электроны являются фермионами, и их волновая функция
антисимметрична по перестановкам. Однако присоединение одно-
го вихря магнитного поля к электрону приводит к образованию
составной частицы, которая является бозоном. Дальнейшее при-
соединение вихрей к электрону меняет характер составных час-
тиц- при четном числе вихрей составные частицы становятся
фермионами, а при нечетном - бозонами. Эти превращения меняют
свойства коллектива частиц. В системе составных частиц, построен-
ных из минимально возможного числа частей - один электрон плюс
один вихрь, - наблюдается целочисленный эффект Холла.
5.4. Дробный квантоаый эффект Холла
267
Следующая по сложности составная час-
тица, которая является бозоном, должна со-
держать один электрон и три присоеди-
ненных вихря (рис. 5.11). В коллективе таких
частиц наступает бозе-конденсация на неко-
тором новом основном состоянии, которое
отделено от следующего возбужденного
состояния энергетическим зазором Eg. Си-
туация оказывается схожей с явлением
сверхпроводимости.
Наличие энергетического зазора при-
водит к квантованию холловского сопро-
тивления и исчезновению продольного
сопротивления. Ширину зазора можно из-
мерить экспериментальными методами,
например, по рассеянию света или темпе-
ратурной зависимости продольного сопро-
тивления. Эксперименты показывают, что
последняя качественно описывается фор-
мулой рхх ~ exp(-£g /Т), где Eg > 4...5 К -
энергия активации. Образование плато на
полевых зависимостях рХ). = f(B) и
Рхх ~ объясняется теми же причинами,
что и в целочисленном эффекте.
Когда значение магнитного поля откло-
няется от величины Bv, обеспечивающей точ-
ное заполнение уровня Ландау на v = l/3,
числа электронов и вихрей магнитного поля
уже не равны друг другу. Если, например,
B>BV, то магнитных вихрей оказывается
больше, чем электронов. Присоединение
добавочных вихрей к имеющимся электро-
нам превращает составную частицу в фер-
мион. Если избыток вихрей не слишком
велик, то перенос электрического тока в такой
системе можно описать с помощью движения
Рис. 5.11. Статистика
электронов и состав-
ных частиц; стрелка и
точка схематически
обозначают состав-
ную частицу: элек-
трон + вихрь магнит-
ного поля
квазичастиц с зарядом +q!3. В противоположном случае B<BV
перенос тока можно описать движением квазичастиц с зарядом
-д/3. Ситуация напоминает электронно-дырочный формализм при
268 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
описании процессов протекания тока в валентной зоне и зоне прово-
димости полупроводников.
Объяснение дробного квантового эффекта Холла для степеней
заполнения v = l/5,1/7 ит. д. с квазичастицами q = 5, q - 7 и т. д.
можно провести аналогично описанному выше случаю заполнения
уровня Ландау на 1/3. В каждом из этих случаев к электрону при-
соединяются 5, 7 и больше вихрей магнитного поля. Если уровень
Ландау заполнен на 2/3, v = 2/3, то вся интерпретация для v = 1/3
сохраняется. Для этого необходимо рассматривать полный уровень
Ландау и 1/3 отсутствующих электронов.
5.4.3. КВАЗИЧАСТИЦЫ С ДРОБНЫМ ЗАРЯДОМ
Рассмотрим некоторые основные идеи, позволившие
Р. Лафлину дать теоретическое объяснение дробного квантового
эффекта. Более детальное обсуждение вопроса можно найти в об-
стоятельном обзоре [15] или в статьях Р. Лафлина [16, 17].
Феноменологическая аргументация Р. Лафлина, предложенная
первоначально для целочисленного эффекта (см. обсуждение фор-
мул (5.3.12), (5.3.16)), может быть обобщена и на дробный эффект.
К целочисленному квантованию приводило предположение о не-
вырожденности основного состояния электронов двумерного элек-
тронного газа. Дробное квантование может быть объяснено, если
предположить, что основное состояние имеет конечное вырождение.
В мысленном опыте Лафлина увеличение магнитного потока
на 1 квант магнитного потока приводило к переносу электронов
между торцами цилиндрической ленты. Если основное состояние
имеет кратность вырождения т, то для возвращения к исходной
конфигурации волновой функции необходимо увеличить поток на
/иФ0 квантов. Пусть при этом р электронов переходят с одного
края ленты на другой. Тогда, повторяя рассуждения, приводящие к
формуле (5.3.16), получаем, что холловская проводимость прини-
мает значение
и фактор заполнения v = р/т может быть меньше единицы.
В условиях реальных экспериментов уровень Ферми совпадает
с энергией наинизшего уровня Ландау, спины электронов ориенти-
рованы одинаковым образом (приближение сильного поля) и рас-
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
269
стояние между соседними уровнями Ландау значительно больше,
чем энергия межэлектронных взаимодействий, оцениваемая как
?2/у:
ha>c »q2/y,
где у - магнитная длина.
Измерения показывают, что при степени заполнения v = l/3
наинизшего уровня Ландау образующееся новое состояние элек-
тронов отделено от наинизшего уровня щелью А = 0,03g2 / у. По-
этому для объяснения дробного квантового эффекта необходим
новый подход, учитывающий многочастичные эффекты, связанные
с кулоновским взаимодействием электронов.
Р. Лафлин впервые ясно показал, что в двумерном газе в сильном
магнитном поле возможны коллективные состояния, характеризую-
щиеся квантованием межэлектронных расстояний, что позволяет
электронам обтекать препятствия без генерации возбуждений.
Для количественного обоснования этой идеи Р. Лафлин внача-
ле подробно проанализировал квантовые состояния коллектива из
двух и трех электронов [15], а затем обобщил результаты на N
частиц [16, 17]. При этом оказался важен рациональный выбор
калибровки вектор-потенциала в магнитном поле. Первый способ
(калиброрка Ландау) описан в подразд. 5.2, Лафлин же использо-
вал симметричную калибровку вида А(Ду/2, -Вх/2,0). Этот тип
калибровки весьма удобен для двумерных систем, поскольку до-
пускает разделение переменных в уравнении Шредингера в поляр-
ной системе координат. В этом случае целесообразно записывать
волновую функцию в комплексных переменных:
z = х - iy, z = x + iy .
В этих переменных решение уравнения для одночастичного
гамильтониана (5.2.1) имеет вид
тп
1
(2m+n+1nrn!n!)1/2
ехр
X +у-
д ,дГ
--1—
( д . д Y
I дх ду J
2
X +у
2
4
X
(5-4.2)
270 Глава 5 КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Причем
+ л = 0,1,...
(5-4.3)
В выражениях (5.4.2) и (5.4.3) и далее энергия и длина измеря-
ются в единицах циклотронной энергии haac = heB I т* и магнит-
ной длины у.
Волновая функция Ч'тл является также собственной функцией
оператора углового момента М , отвечающей собственному значе-
нию т-п. Множество состояний с энергией п +1/2, отличающихся
угловым моментом, составляют и-й уровень Ландау.
Волновые функции наинизшего уровня Ландау и = 0 имеют бо-
лее простой вид, чем (5.4.2):
-____1___zm.P 4
т’ 2т+1лт!
•е
(5.4.4)
где z = х - iy .
Эти состояния описывают циклотронное движение вокруг на-
чала координат и с угловым моментом |л/| = hm. Радиус орбиты
электрона составляет ~ у/2т , поскольку средний квадрат расстоя-
ния равен
r2<^r2Tw<A = 2(m + l)
(5.4.5)
и при т »1, г2 « 2т .
Таким образом, квантование по моменту количества движения
приводит к квантованию размеров циклотронных орбит.
Для одной частицы энергетический спектр определяется только
квантовым числом п. Иная ситуация складывается, если рассмат-
ривать движение двух частиц.
Гамильтониан для двух электронов в магнитном поле имеет вид
+q\ | + -^-|4Д2+?А2 | + — , (5-4.6)
где А,, / = 1,2, означает дифференцирование по координатам пер-
вой и второй частицы, А( - вектор-потенциал в месте нахождения
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
271
частиц. Уравнение на собственные значения энергии и собствен-
ные волновые функции с гамильтонианом (5.4.6) допускает разде-
ление переменных. Вводя координаты центра масс zm и
внутреннего движения za
обычным путем получаем гамильтониан, описывающий внутрен-
нее движение электронов
„ 1 > о2
Яв1| = —— (~ih\/a + qAa) +^~. (5.4.7)
вн а а> 2га
Угловой момент в этой задаче является сохраняющейся вели-
чиной, поэтому собственные функции
HBHT(xy) = FT (5.4.8)
имеют вид
Т(ху) = Я(г)е"”ф, (5.4.9)
где ха - iyа - г ехр(- кр); г, <р - полярные координаты и т - кванто-
вое число углового момента.
Весьма существенным для системы из N электронов является
требование антисимметрии волновой функции. Из этого требова-
ния следует, что т должно быть нечетным. Подставляя (5.4.7),
(5.4.9) в (5.4.8), получаем уравнение для радиальной части волно-
вой функции
2
2
'd2R [ 1 dR
dr2 г dr
^r^ + L^ + jLR^ER, (5.4.10)
2 8 J2r
где E - собственное значение энергии. Это уравнение описывает
радиальное движение двумерного гармонического осциллятора с
добавочным отталкивающим потенциалом q2 /г .
В сильных магнитных полях роль добавочного потенциала неве-
лика, поэтому решение уравнения (5.4.8) можно приближенно ап-
проксимировать волновыми функциями свободной частицы (5.4.4):
(5-4.11)
272 Глава 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
где
2 .
(5-4.12)
Это приближение выполняется тем точнее, чем больше т, и
хорошо выполняется в реальных экспериментах по квантовому
Холлу [15].
Таким образом, уже в двухчастичном приближении появляют-
ся дополнительные энергетические уровни, величина которых за-
висит от углового момента электронов. Физическая картина
процесса представляется как движение двух частиц вокруг центра
массы, организованное магнитным полем, в котором слабое оттал-
кивание может быть компенсировано влиянием внешнего фона
кристаллической решетки, что эквивалентно внешнему давлению
на рассматриваемую пару частиц.
Изложенный подход Р. Лафлин применил для анализа поведе-
ния трех электронов во внешнем магнитном поле. Внешнее давле-
ние имитировалось потенциалом вида
V = ^z2+z2+z2), (5.4.13)
где z!,z2,z3 - координаты электронов, а- параметр потенциала
(«давление»).
Вычисление кулоновских матричных элементов типа (5.4.12)
позволило оценить энергии связи, распределение электронной
плотности и площадь, занимаемую электронной системой. При
этом выяснилась существенная роль суммарного углового момента
М и кратности вырождения состояний. Вырождение по угловому
моменту отсутствует при малых М, и состояния Тт0 являются
собственными. Первым состоянием, вырожденным по угловому
моменту, является состояние с М = 9, что в три раза превышает
минимально возможное значение углового момента М= 3 для
уровня п = 0. Состояние с моментом М = 9 приблизительно соот-
ветствует упаковке электронов с плотностью v = 1 / 3 .
Площадь, занимаемая электронным кластером из трех электро-
нов, дискретным образом зависит от величины потенциала (5.4.13).
На рис. 5.12 приведена зависимость площади электронной системы
(в единицах у2) от обратного давления 1/а. Такая скачкообразная
зависимость площади указывает на несжимаемость двумерной
электронной жидкости, находящейся в сильном магнитном поле.
5.4. Дробный квантовый эффект Холла
273
Свойство несжимаемости позволяет коллективу электронов об-
текать рассеивающие центры кристаллической решетки без гене-
рации возбуждений.
Квантование углового момента системы электронов приводит к
квантованию расстояний между ними. На рис. 5.13 приведено рас-
пределение зарядовой плотности для системы трех электронов с
М= 9. Один из трех электронов зафиксирован в точке у - -3, и
каждый контур соответствует плотности 0,1 от максимальной ве-
личины. Очевидна упорядоченность электронной структуры, что
минимизирует энергию взаимодействия между частицами и явля-
ется прообразом своеобразной электронной «решетки» микроско-
пического состояния при дробном эффекте Холла.
Рис. 5.12. Зависимость приведен-
ной площади А электронной сис-
темы от обратного давления а”1;
величина а измеряется в единицах
л/з/2(<72/у2)
Рис. 5.13. Распределение заря-
довой плотности для состоя-
ния с угловым моментом М = 9
при условии, что центр масс
А лежит в начале координат, а
один из электронов располо-
жен при у = -3(х)
Результаты для систем из трех частиц Р. Лафлин обобщил на
систему из п электронов. В случае простейших типов дробного
заполнения v = l/3,l/5,l/7... для описания основного состояния
электронов им была предложена волновая функция, являющаяся
обобщением одночастичной (5.4.4):
TI(zi-zj)P ехР
Т i=\
(5.4.14)
274 Глава 5- КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Требование антисимметрии приводит к нечетности показателя
р, а величина последнего определяется через угловой момент
системы электронов.
При степени заполнения уровня v = l/p площадь, «заметае-
мая» электроном, вращающимся вокруг центра масс, в соответст-
вии с (5.4.5) равна
Sp=p-2ny2=pS0, (5.4.15)
где So - площадь, занимаемая одним квантом магнитного потока.
Таким образом, для степени заполнения v = l/3 с одним элек-
троном будут связаны три кванта магнитного потока, а изъятие
одного электрона (образование дырки) приведет к изменению
площади, занимаемой электронной жидкостью на S - 3S0.
Можно поставить задачу определить, что будет, если изменить
площадь на величину 50, занимаемую одним квантом магнитного
потока. Теоретически такое можно представить, если поместить в
какую-либо точку электронной жидкости бесконечно тонкий соле-
ноид, поток которого изменяется на Фо. В соответствии с (5.3.14)
изменение потока приведет к изменению фазы одночастичной
волновой функции, что эквивалентно приращению углового мо-
мента т на единицу (zm -> zm+1). С учетом этого многочастичная
волновая функция примет вид
N
4',*= life-У т
-1-1
(5.4.16)
где дается выражением (5.4.14).
Волновая функция (5.4.16) согласно Лафлину есть волно-
вая функция квазидырки с комплексной координатой . Квази-
дырка представляет собой элементарное возбуждение электронной
жидкости и физически описывает недостаток заряда в точке по
сравнению со средней электронной плотностью. Магнитный по-
ток, связанный с квазичастицей, реализуется существованием кру-
гового тока вокруг последней.
Наряду с квазидыркой, в лафлиновской жидкости могут суще-
ствовать другие квазичастицы, которые представляют собой ло-
кальный (в точке £,) избыток заряда по сравнению со средней
электронной плотностью.
5.4. Дробный квантовый эффект Холла 275
Элементарные возбуждения жидкости (квазиэлектроны и ква-
зидырки) и основное состояние разделены энергетической щелью
(5.4.2).
Замечательной особенностью лафлиновских квазичастиц явля-
ется их дробный заряд
q* ~+vq, (5.4.17)
где q - заряд электрона.
Из общих соображений ясно, что при степени заполнения ос-
новного состояния v -11р на один электрон приходятся р кван-
тов магнитного потока (квазичастиц) и, следовательно, заряд,
приходящийся на квазичастицу, составляет qlp. То есть рождение
в одной точке р квазичастиц эквивалентно образованию одного
реального электрона (дырки).
Введение квазичастиц позволяет объяснить дробный кванто-
вый эффект не только для степеней заполнения v = l/р, как это
первоначально сделал Р. Лафлин, но и для других эксперимен-
тальных значений v = 3/5,3/7,5/7... При у = \!р электроны в
основном состоянии образуют конденсат (жидкость), возбуждения
в котором - квазичастицы - имеют конечную энергию активации.
Число квазичастиц при температурах проведения эксперимента
мало, и все они захвачены примесями и вклада в проводимость не
дают, так что ои = 0, а холловская проводимость точно соответ-
ствует (5.4.1). Наличие небольшого количества примесей обеспе-
чивает ненулевую ширину холловского плато. При дальнейшем
увеличении числа электронов увеличивается и число квазичастиц,
в том числе и в делокализованном состоянии. Делокализованные
квазичастицы сами образуют конденсат, приводя к новому устой-
чивому фактору заполнения Vj. Все предыдущие рассуждения
можно повторить и, таким образом, возникает иерархия дробных
состояний, удовлетворяющая закону
1
где а, = ±1, Pi - четные числа.
276 Глвва 5. КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ
Коллектив квазичастиц, которые наряду с зарядом несут и
квант магнитного потока, обладает свойствами, отличными от
свойств коллектива электронов. В трехмерном пространстве для
систем одинаковых частиц реализуются только два типа статистик:
Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. В двумерном газе квазича-
стиц может реализоваться аномальная 6-статистика. Тип статисти-
ки частиц вообще определяется одномерными неприводимыми
представлениями фундаментальной группы гомотопии конфигура-
ционного пространства N неразличимых частиц [18].
В двумерном пространстве неприводимые представления такой
группы имеют вид
%е = exp(-i’O), 0 < 0 < 2л .
Статистики бозононов и фермионов отвечают соответственно
значениями 0 = 0 и 0 = л.
Действие 0-статистики приводит к тому, что квазичастицы с их
комбинациями (кластерами) в зависимости от величины магнитно-
го потока и дробности заряда могут быть и бозонами, и фермиона-
ми, как это на качественном уровне обсуждалось в предыдущем
параграфе.
Обнаруженный еще в 1879 году студентом 5-го курса универ-
ситета в Балтиморе, США, Холлом эффект появления поперечной
ЭДС в результате отклонения движения носителей заряда в маг-
нитном поле стал в настоящее время мощным экспериментальным
методом, позволяющим определять с высокой точностью концен-
трацию носителей и знак их заряда. Долгое время считалось, что в
теории и применении этого эффекта все достаточно ясно.
Однако в 1980 году немецкий физик К. фон Клитцинг с колле-
гами [3], измеряя эффект Холла в сильных магнитных полях, обна-
ружили квантование холловского сопротивления. Авторы
представили свою работу как новый высокоточный метод опреде-
ления постоянной тонкой структуры. Квантование холловского
сопротивления открыло путь к принципиально иному пути по-
строения эталона сопротивления. В 1985 году К. фон Клитцингу с
соавторами была присуждена Нобелевская премия по физике.
Дальнейшие исследования эффекта Холла в сильных магнитных
полях на высокочистых образцах с совершенной кристаллической
структурой привели к открытию дробного квантового эффекта. За
экспериментальные исследования и теоретическое объяснение
этого эффекта американским физикам Б. Лафлину, X. Штермеру и
Д. Цуи в 1998 году присуждена Нобелевская премия по физике.
Эта награда в полной мере отразила признание открытия нового
Список литературы
277
основного состояния в физике конденсированных сред, которое
обладает целым рядом уникальных свойств, в частности дробным
зарядом элементарных возбуждений.
Эффект Холла продемонстрировал огромные возможности фи-
зики твердого тела, микроэлектроники и наноэлектроники.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ando Т, Matsumota.Y., Uetnura Y. Theory of Hall effect in a two-dimensional
electron system// J. Phys. Soc. Japan. - 1975. - Vol. 39. - P. 279-288.
2. Баскин Э.М., Магарилл ЛИ., Энтин МВ. Двумерная электрон-примесная
система в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. - 1978. - Т. 75. вып. 2. - Р. 723.
3. Клитцинг К. фон, Дорда Г., Пеппер М. Новый метод очень точного опреде-
ления постоянной тонкой структуры, основанный на измерении квантованного
холловского сопротивления // Квантовый эффект Холла / Под ред. Шмарцева
Ю.В. - М.: Мир, 1986. - С. 10-17.
4. ЦуиД, Штермер X, Госсард А. Двумерная магнитопроводимость в ульт-
раквантовом пределе // Там же. - С. 83-90.
5. Рашба Э.И., Тимофеев В.Б. И ФТП. - 1986. - Т. 20. - С. 977 с.
6. ЦуиД, Госсард А. Использование квантования холловского сопротивления в
гетероструктурах. GaAs - AlGal AAs для создания эталона сопротивления // Кван-
товый эффект Холла / Под ред. Ю. В. Шмарцева. -М.: Мир, 1986. -С. 18-24.
7. Landau L.D. Diamagnetizm in metals // Z. Physik. - 1930. - Vol. 64.-
P. 629-637.
8. Блохинцев Б. И Основы квантовой механики. - М., 1983.
9. Cardona Р. Y.M. Fundamentals of Semiconductor. - В.: Springer, 1995.
10. Бормонтов Е.Н. Квантовый эффект Холла // Соросовский образователь-
ный журнал. - 1999. - № 9. - С. 81.
11. Лафлин Р. Квантовая двумерная холловская проводимость // Квантовый
эффект Холла: Сб. ст. / Под ред. Ю.В. Шмарцева. - М.: Мир, 1986. - С. 160.
12. Stormer И.: Nobel Lecture: the fractional quantum Hall effect // Reviews of
modem Phys. - 1999. - Vol. 71, № 4. - P. 875-889.
13. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч. II. - М.: Нау-
ка, 1978.
14. Криве И.В., Рожавский А.С. Дробный заряд в КТП и ФТТ // УФН. -
Т. 152.-С. 50-59.
15. Лафлин Р. Квантованное движение трех двумерных электронов в сильном
магнитном поле И Квантовый эффект Холла: Сб. ст. / Под ред. Ю.В. Шмарцева. -
М.: Мир, 1986. - С. 185-197.
16. Лафлин Р. Аномальный квантовый эффект Холла; несжимаемая квантовая
жидкость с дробным зарядом возбуждений // Там же. - С. 198-206.
17. Laughlin R.B. Nobel Lecture: Fractional quantization // Rev. of Modem Phys. -
1999. - Vol. 71, № 4. - P. 863-874.
18. IVilczekF. //Phys. Rev. Lett. - 1982. - Vol. 48. - P. 1144.
19. IVilczekF. // Phys. Rev. Lett. - 1982. - Vol. 49. - P. 957.
ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
6.1. ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ФОНОНОВ
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СВЕРХРЕШЕТКАХ
В многослойных субмикронных структурах, содержащих чере-
дующиеся сверхтонкие слои разных материалов, наряду с
изменением спектра электронов происходит и изменение спектра
фононов. Рассмотрим основные особенности фононного спектра
полупроводниковой сверхрешетки на основе решения задачи о
колебаниях линейной цепочки атомов [1].
Известно, что для линейной двухатомной цепочки (рис. 6.1) в
упругом приближении при учете взаимодействия только с бли-
жайшими соседями уравнение движения атомов обоих типов мож-
но представить в виде [2]
2
m-^. = K\U2r+x + U2r_\-2U2r],
f (6.1.1)
M^~^ = K\U2r+2 + U2r -26/2г+1],
tZr
где т, М - массы атомов, К - межатомный коэффициент жестко-
сти, Un - смещение атома с номером п от положения равновесия.
е r[t S ,1
т м
-9------8 •-------8------•-------8------•-------8 •--------8-
(2г-2)(2г-1) 2г (2г+ 1) (2г + 2)
Рис. 6.1. Линейная двухатомная цепочка атомов
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в сверхрешетках
279
Представляя решения (6.1.1) в виде плоских волн
U2г - exp {i[q2rt - со/]},
^2г+1 = А2 ехР{i[tf(2r + 1)е - со/]}
(6.1.2)
(е- расстояние между атомами), получаем дисперсионное соот-
ношение между волновым вектором q и угловой частотой колеба-
ний со
ч (2К-ты2)(2К-Мы2)-2К2 л
cos(2^e) = -----------------------. (6.1.3)
2К 2
Выражения (6.1.1) и (6.1.2) позволяют также найти соотноше-
ние, связывающее смещения соседних атомов,
^2г _ А?[1 + ехр(±г2де)]
^2г-1 (гл'-тесо2)
здесь «+» относится к волне, бегущей слева направо, а «-» — к вол-
не, бегущей справа налево.
Как следует из (6.1.3), для построения спектра фононов ли-
нейной двухатомной цепочки в данном приближении (гармони-
ческое приближение) требуется знать значения трех
параметров - т, М и К. Так как массы колеблющихся атомов
обычно известны, необходимо определять только значение меж-
атомного коэффициента жесткости К.
Значение коэффициента жесткости можно получить из сравне-
ния результатов расчета с экспериментальными данными. В рас-
сматриваемом случае для этого достаточно иметь эксперименталь-
ные данные хотя бы для одной точки спектра фононов. Чаще всего
для получения параметров, необходимых для расчета спектра фо-
нонов, используют экспериментально определенные значения гра-
ничных частот для ^->0и ^-»k/(2e) (2е - размер элементарной
ячейки цепочки атомов).
В материалах с кристаллической решеткой типа цинковой об-
манки (Л32?5) в плоскостях, перпендикулярных к направлению
[100], содержатся атомы только одного типа (либо катионы, либо
анионы). Поэтому для колебаний, распространяющихся в направ-
лении [100], смещения атомов в монослое одинаковы и задача мо-
жет быть сведена к одномерному случаю. На рис. 6.2 представлены
дисперсионные зависимости, рассчитанные с использованием
(6.1.3), для продольных и поперечных колебаний, распростра-
280
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
Рис. 6.2. Дисперсионные зависимо-
сти для колебаний, распространяю-
щихся вдоль [100] направлений в
кристаллах GaAs и AlAs [1]:
сплошные линии - продольные колебания,
штриховые - поперечные
няющихся вдоль направлений
[100] в кристаллах GaAs и
AlAs. Параметры модели оп-
ределялись по совпадению
результатов расчета с экспе-
риментальными данными в
точках, отмеченных на ри-
сунке кружками. По горизон-
тальной оси отложены вещест-
венная и мнимая части
волнового вектора фонона в
единицах л/2е.
Согласно (6.1.2) величина
(Im ft)-1, обратная значению
мнимой части волнового
вектора, характеризует дли-
ну, на которой амплитуда
колебательного возбуждения
уменьшится в е раз. Поэтому
колебательные возбуждения,
у которых Im ft 0, не могут
распространяться по атом-
ной цепочке (кристаллу) на значительные расстояния. Так,
например, продольные колебательные возбуждения, соответст-
вующие диапазону частот cos(210...350) см-1, будут проникать в
AlAs на глубину порядка 6 А (рис. 6.2), т. е. всего на два монослоя.
Рассмотрим колебания в одномерной сверхрешетке, содержа-
щей чередующиеся слои бинарных соединений (рис. 6.3).
При учете взаимодействия только между ближайшими соседя-
ми в упругом приближении уравнения движения атомов сверхре-
шетки в пределах каждого слоя могут быть записаны в виде (6.1.1).
Однако с учетом возможного отражения колебательных волн от
М2 М, М2 Mt М2 М2 М2 А/| М2
и, й2 и, и2 ц и2 й2 й, й2 и, и2
©—•—®—•—®—•—®—•—Ф—•—©-//—ф—•—Ф—•—®—•—®—►
-d, -2е -в 0 е 2е d2 Z
1 GaAs ] AlAs |
Рис. 6.3. Модель линейной цепочки атомов, используемая для расчета
фононного спектра в сверхрешетке
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в сверхрешетках
281
границ слоев решения уравнений движения следует искать в виде
суперпозиции волн, распространяющихся вдоль и против направ-
ления оси z:
Ц (z) = 4 exp(zaz) + Bt exp^-iaz),
(6.1.5)
Ц(г) = Ct exp(z'Pz) + £>, exp(-z’Pz),
i-1,2, z = le, / = 0, ±1, ±2,...,
здесь 17, (z) и Ц (z)-смещения атомов z-го типа в слоях 1 и 2; а и
р - волновые векторы для слоев 1 и 2, связанные с частотой коле-
баний атомов соотношением (6.1.3).
В качестве первого граничного условия примем, что граничный
атом с массой М2 одновременно принадлежит и слою 1, и слою 2, т. е.
L72(0)=t72(0), U2(d2)=U2(d2). (6.1.6)
В качестве второго условия учтем непрерывность значений ме-
ханических напряжений при переходе через границу между слоя-
ми. Отсюда получим
ад (Е) - ц (-Е)]=ад (Б) - Ц (—Е>],
(6-1.7)
ВД(d2 + 6) - Ц (d2 - е)] = ад(d2 + Е) - ц (d2 - £)].
Кроме того, учет периодичности сверхрешетки приводит к со-
отношению
Ц (z + d) = Ut (z) exp(z<? d}, (6.1.8)
где q - волновой вектор колебательных возбуждений сверхрешет-
ки; d = dx+d2 - период СР, dx и d2 - толщины слоев 1 и 2 соот-
ветственно.
Заметим, что граничные условия (6.1.6) и (6.1.7) по существу
являются дискретными аналогами условий типа (1.7.2).
Подставляя (6.1.5) в (6.1.6) и (6.1.7), придем к системе уравне-
ний, позволяющей рассчитать спектр колебаний сверхрешетки.
Для упрощения расчетов можно учесть, что в рамках линейного
приближения для каждого слоя СР имеют место соотношения типа
(6.1.4). Таким образом, для слоев 1 имеем
u2r _^[l + exp(±z2aE)]
^2r-l (2К — M2<i?')
282
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
аналогично для слоев 2
U2r £[l + exp(±i2PE)]
* й2г_} (2К-М2а2)
(6.1.10)
С учетом сделанных обозначений, а также (6.1.8) система урав-
нений для расчета спектра колебаний СР примет вид
y+e JaE4 + у_е'аЕА - 8+e~ipeq - 8 ефсД = 0,
7+e-^(d1+e)Ajeigd +7_eia(dl+£)£^d _
- 8+eip(d2 ~e)Q - 5_e'₽№ e) Д = 0, (6 1 11
К sin(aE) Ax - К sin(aE)2?] - К sin(Pe)Cj + К sin(pe) Д - 0,
^sin(aE)e“‘arfl Axeigd - К sin(as)e'“rfl Bieigd -
-^sin(pE)e'₽'/2C1 +^8т(рЕ)е’^2Д =0.
Исключив из (6.1.11) коэффициенты А1,В1,С1и Dx, получим
дисперсионное соотношение между волновым вектором q и угло-
вой частотой колебаний со для сверхрешетки
cos(qd) = cos(caZj) cos(fW2 ) - 0,5(F +11F) sin(atZj )sin(pJ2 )> (6.1.12)
F - ---- 2 tg(as)ctg(pE).
(2K-M2<J)
Анализ выражения (6.1.12) показывает:
- спектр частот СР a(q) является многозначной функцией q\
— граница первой зоны Бриллюэна сверхрешетки располо-
жена в точке q-n/d (так как размеры зоны Бриллюэна в этом
случае определяются периодом сверхрешетки d, а не расстоянием
Е между соседними атомами, как в одноатомной решетке, или 2е-
как в двухатомной решетке [2]);
- в спектре частот появляются участки, которым не соответ-
ствуют вещественные значения q (возникают запрещенные зоны
или щели) и которых не было в спектрах фононов материалов сло-
ев, из которых образована сверхрешетка
Таким образом, наличие дополнительной трансляционной
симметрии с периодом d (помимо периодичности, присущей мате-
риалам слоев, образующих СР) привело к появлению разрешенных
мини-зон. В результате спектр сверхрешетки будет содержать
6.1. Дисперсионные зависимости фононов в сверхрешетках
283
2(п + т) ветвей (полагаем, что
= 2еп и d2 - 2ет ). Отметим также,
что выражение (6.1.12) по форме сов-
падает с результатами известной мо-
дели Кронита - Пенни для анализа
энергетического спектра электронов в
одномерной периодической цепочке
прямоугольных потенциальных барье-
ров [3], что позволяет провести анало-
гию между формированием спектров
электронов и фононов.
При F = 1 из (6.1.12) получаем
cos(^cZ) = cos(aJ] + PJ2) >
9=^(0^ + рс/2),
a
t. e. в этом случае волновой вектор
q, характеризующий колебания в
Рис. 6.4. Дисперсионные зави-
симости для продольных коле-
баний СР (GaAs)5(AlAs)4
СР с частотой со, является линейной комбинацией волновых век-
торов аир, соответствующих колебаниям с частотой со в мате-
риалах слоев, из которых состоит сверхрешетка. При этом весовые
Рис. 6.5. Дисперсионные зависимости сверхрешеток (GaAs)10(InAs)2
И (InAs)]0(GaAs)2 [4]
284
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
коэффициенты, определяющие вклад а и р, зависят от отношения
d-Jd2, т. е. толщин слоев, составляющих СР материалов.
Дисперсионные кривые, рассчитанные по (6.1.12) для продоль-
ных волн, распространяющихся в линейной сверхрешетке
(GaAs) 5 (AlAs) 4, показаны на рис. 6.4. На рис. 6.5 представлены
аналогичные зависимости для сверхрешеток (GaAs)10(InAs)2 и
(InAs)10(GaAs)2, а также изображено смещение атомов, соответст-
вующих продольным фононам различных типов. Для наглядности
амплитуда продольных смещений отложена перпендикулярно к
направлению волнового вектора.
6.2. СВЕРТКА ВЕТВЕЙ АКУСТИЧЕСКИХ ФОНОНОВ
Фононный спектр полупроводниковых сверхрешеток интен-
сивно исследовался как теоретически, так и экспериментально (см.
например, [5]).
Остановимся на основных особенностях колебательного спек-
тра СР, проявляющихся в области частот, соответствующих часто-
там акустических колебаний в исходных материалах
При строгом рассмотрении фононный спектр СР нельзя свести
к спектрам образующих сверхрешетку материалов [4]. Тем не ме-
нее данные сравнительного анализа дисперсионных зависимостей
объемных материалов являются весьма информативными для по-
нимания механизмов формирования фононного спектра СР.
На рис. 6.6 приведены дисперсионные зависимости, рассчитан-
ные для колебаний продольного типа в материалах GaAs, AlAs и
InAs. По горизонтальной оси отложены вещественная и мнимая
части волнового вектора в единицах л/2е, где е = п/4 и а - по-
стоянная кристаллической решетки соответствующего материала.
Вертикальными штриховыми линиями отмечены значения Im#,
которым соответствует глубина проникновения толщиной в один
монослой, штрихпунктирными линиями - два монослоя. Диспер-
сионные зависимости были получены из решения задачи о колеба-
ниях линейной двухатомной цепочки, нормировка осуществлялась
по значениям частот продольного оптического фонона с q = 0.
Из рисунка видно, что в низкочастотной области (области
акустических фононов) ветви фононов для различных материа-
лов перекрываются в широком интервале частот. Колебатель-
ные возбуждения, принадлежащие этому диапазону частот,
могут распространяться в обоих образующих СР материалах
6.2. Свертка ветвей акустических фононов
285
Рис. 6.6. Дисперсионные зависимости, рас-
считанные для GaAs, AlAs и InAs [4]
Таким образом, в этом диапазоне частот фононный спектр
сверхрешетки соответствует делокализованным колебатель-
ным возбуждениям.
Этот вывод относится практически ко всему диапазону частот
акустических колебаний пары GaAs-AlAs, а для пары GaAs-InAs
акустические колебания будут делокализованы в диапазоне частот
от 0 до 150 см-1.
Рассматривая распространение колебаний в СР в рамках моде-
ли упругого континуума [1], дисперсионное соотношение можно
представить в виде
cos(^d) = cos
-0.5(F) +1/F])sin
di .
co— sin
(6.2.1)
здесь
F1 = P1HL,
p2V>2
286
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
р!,р2,Ц,«2_ плотности и скорости звука для образующих сверх-
решетку материалов.
Это выражение значительно проще для анализа,'чем (6.1.12),
однако оно может использоваться только для рассмотрения длин-
новолновых колебаний.
В пределе со -» О со и <? —> О со = v^q. При этом из (6.2.1) по-
лучаем
°СР
т2 т2
=</ ^-+4-+<Fi+1/Fi)
_U1 v2 U] V2
иГ и2
cZ] d2
-1-1/2
(6.2.2)
В случае Fx = 1 выражение (6.2.2) упрощается:
kui U2>
(6.2.3)
Именно этот случай характерен для СР на основе слоев GaAs-
AlAs, где Р] всего на несколько процентов отличается от единицы.
Полагая Fx = 1, из (6.2.1) получим
cos(cycZ) - cos
Ji d2\
co—L + co—
k °1 °2 J
Отсюда с учетом того, что колебания могут распространяться
по сверхрешетке в обе стороны, получим
co = Ucp l+q + ln—
(6.2.4)
здесь I = 0, 1, 2... Аналогичные соотношения при F = 1 получаются
из (6.1.12). При этом a = co/Uj, а Р = <в/и2 .
Отметим, что выражение (6.2.4) осуществляет своеобразное
«сворачивание» зависимости со = иср</, приводя ее к первой зоне
Бриллюэна сверхрешетки. Отсюда возникло понятие «свертка»
акустических фононов (СВАФ). В результате «свертки» (проявле-
ния дополнительной трансляционной симметрии) акустические
фононы превращаются в оптические.
Анализ (6.2.1) при »1 показывает, что наиболее значитель-
ные изменения спектра по сравнению со случаем F] = 1 наблюда-
6.2. Свертка ветвей акустических фононов
287
ются около тех значений q, где согласно (6.2.4) имеется вырожде-
ние. При этом в результате интерференции колебаний вырождение
снимается и появляются запрещенные участки спектра (щели) [6]
шириной
Дсо =
2(1
d cpS 1 Ци2+^)
для q = 0, а для q = +nld
Лсо =
d ср
cos( л
гДс^Ог+г/гц)
где I = 1, 2, 3... Отсюда видно, что ширина щели растет с увели-
чением различия произведения ри для слоев сверхрешетки.
На рис. 6.7 представлен фрагмент дисперсионной зависимости
для сверхрешетки (GaAs)5(AlAs)4 в окрестности первой щели при
q = 0, рассчитанный с использованием (6.1.12); кружками показа-
ны данные, полученные из экспериментов по комбинационному
рассеянию света [1].
Наличие щелей в колебательных спектрах сверхрешетки про-
является в селективном отражении фононов. При этом максималь-
ное отражение будут испытывать фононы с длинами волн X = 2d
(условие Брегга). Фильтрующее действие СР GaAs/Al^Ga^As
наблюдалось экспериментально, и оно может быть использовано
для создания фононного спектрометра [6]. Так, сверхрешетка
GaAs/Al^GaqjAs с периодом
d =12,2 нм является фонон-
ным фильтром для частоты
2,2-1011 Гц с шириной линии
0,2-10пГц. При этом, если
поверхности раздела идеальны,
высокочастотные фононы с
длинами волн порядка 10 нм
могут проходить без заметного
ослабления через сотни границ
Рис. 6.7. Дисперсионная зависимость
для сверхрешетки (GaAs)5(AlAs)4 в ок-
рестности первой щели при q = 0
раздела композиционных сверх-
решеток.
Выражение (6.2.1) доста-
точно хорошо описывает спектр
288
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
колебаний продольного типа в сверхрешетках GaAs-AlAs в облас-
ти частот 0...130 см-1. Именно для этой области дисперсию дело-
кализованных колебательных возбуждений можно получить
довольно точно путем свертки ветвей акустических фононов в
пределах первой зоны Бриллюэна СР с границей к/ d [4]. Анализ,
проведенный в [7], показал также, что в области свернутых аку-
стических фононов дисперсионные зависимости для такой сверх-
решетки практически не зависят от ширины переходного слоя на
гетерограницах. Оказалось, что влияние неидеальности гетерогра-
ниц существенно только в центре и на границе зоны Бриллюэна,
причем размытие гетерограниц приводит к уменьшению щелей в
дисперсионных зависимостях.
Для того чтобы подчеркнуть характерные особенности фонон-
ного спектра СР, понятие о «свертке» фононов обычно распро-
страняют на весь диапазон делокализованных колебаний. В случае
сверхрешетки на основе слоев GaAs-AlAs это понятие оказывает-
ся применимо практически ко всему диапазону частот акустиче-
ских колебаний пары GaAs-AlAs (см. рис. 6.6), причем в
результате СВАФ данный диапазон разобьется на (п + т) ветвей.
В случае же сверхрешетки на основе слоев GaAs-InAs представ-
ление о свертке акустических фононов используют до частот по-
рядка 150 см4. Следует отметить, что в этой сверхрешетке в
диапазоне частот со «220...250 см4 имеет место делокализация
оптических фононов и представление о «свертке» (в данном случае
о свертке оптических фононов (СВОФ)) распространяют и на эту
область (см. рис. 6.6).
6.3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ФОНОНОВ
Анализ спектров (см. рис. 6.6) показывает, что для пары GaAs-
InAs имеется интервал частот (примерно от 150 до 180 см-1), где
дисперсионная зависимость фононов InAs расположена в области
мнимых волновых векторов [4], т. е. колебательные возбуждения с
такими частотами затухают в InAs. Оценки показывают, что для
акустического фонона с частотой —160 см4 глубина проникнове-
ния в InAs составляет примерно два монослоя (~6 А). Таким обра-
зом, для этого интервала частот в сверхрешетке GaAs-InAs
возможно образование локализованных акустических фононов
(ЛАФ) в слоях GaAs (при условии, что толщина InAs превышает
два монослоя).
6.3. Локализация фононов
289
Локализация колебаний в слоях одного типа может наблюдаться
и в сверхрешетке GaAs-AlAs. Согласно рис. 6.6 в такой сверхрешет-
ке может наблюдаться локализация оптических мод колебаний (ло-
кализация оптических фононов (ЛОФ)) в слоях GaAs (для
<0 « 220...295 см-1) и в слоях AlAs (для со « 350...405 см-1).
Допустим, что частота колебаний со лежит в разрешенной зоне
дисперсионной зависимости слоя 1 и запрещенной зоне — слоя 2,
причем Р = л/(2е) + 1’Р. Подставив р в (6.1.12), получим выраже-
ние, определяющее дисперсионные зависимости в этом случае,
cos(qd)=(-l)m ! cos(ad])ch(Pd2)-0.5
1
Т]—
Л
sin(ad])sh(pj2)
(6.3.1)
(2^-М2со2)
(2^-М2со2)
tg(ae)th(PE).
(6.3.2)
Если сделать слои 2 широкими ( d2 -» °о ), то придем к случаю,
когда слой 1 толщиной dx будет заключен между неограниченны-
ми слоями материала 2. При этом согласно (6.3.1) спектр колеба-
ний будет определяться выражением
0,5| т]-— | = ctg(ad1), (6.3.3)
которое по виду совпадает с уравнением (1.4.2) для определения
связанных состояний электрона в симметричной квантовой яме с
потенциальными стенками конечной высоты.
Таким образом, как и в случае электронов, приходим к кванто-
ванию спектра фононов. При этом колебания оказываются локали-
зованными в основном в пределах одного слоя, где образуются
стоячие волны. Глубина проникновения колебаний в соседние
слои, как правило, не превышает одного-двух монослоев (в отли-
чие от электронов фононы локализуются гораздо сильнее).
Именно поэтому обычно полагают, что локализованный в слое 1 с
толщиной dx оптический фонон с порядковым номером I имеет час-
тоту, равную частоте фонона объемного материала при значении
волнового вектора cL = (nl)/(dx +5) (5 - глубина проникновения
фонона в слой 2, принимаемая обычно равной примерно одному
монослою) [7].
10 Основы наноэлектроники
290
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
Если частоты колебаний в слое 1 соответствуют диапазону, для
которого волновой вектор в слое 2 становится мнимым, т. е. р = ip,
выражение для спектра колебаний в слое 1 сохраняет вид (6.3.3),
однако при этом
2
(2^—^f2<B ) tg(ae)cth(pe). (6.3.4)
(2ЛГ-Л72<в2)
Из анализа дисперсионных зависимостей, представленных на
рис. 6.6, следует, что в сверхрешетках на основе слоев GaAs-AlAs
наблюдается сильная локализация оптических фононов как в слоях
GaAs, так и в слоях AlAs. В результате дисперсионная зависимость
сверхрешетки (GaAs)5(AlAs)4 (см. рис. 6.4) в этой области частот
содержит девять (п + т) бездисперсионных ветвей, пять (п) из
которых соответствуют колебаниям оптического типа, локализо-
ванным в слое GaAs, и четыре (т) - колебаниям, локализованным
в слое AlAs. При этом в отличие от СВАФ частоты локализации
оптических фононов в данной сверхрешетке могут значительно
изменяться в зависимости от толщины переходного слоя на гетеро-
границах [7].
В свою очередь дисперсионная зависимость сверхрешетки
(InAs)]0(GaAs)2 (см. рис. 6.5) содержит только три бездисперсион-
ные ветви, сильно локализованные в слое GaAs, две из которых
соответствуют колебаниям оптического типа (В2 — антисиммет-
ричное колебание и Ах - симметричное), а третья - акустического
типа. Напротив, для дисперсионной зависимости сверхрешетки
(GaAs)]0(InAs)2 (см. рис. 6.5) характерно, что все фононные ветви,
включая ветви, описывающие колебания на предельных оптиче-
ских частотах, имеют конечный наклон, т. е. dto/di? Ф 0. В данном
случае даже для предельных оптических частот, находящихся в
области ЛОФ, условие сильной локализации не выполняется и
оптический фонон частично проникает в соседние слои.
Особенностью сверхрешетки (GaAs^InAs)/ являются сильные
механические напряжения слоев, обусловленные рассогласовани-
ем параметров решеток GaAs (aj = 5,65 А) и InAs (о2 = 6,04 А) на
уровне 7 %, приводящие к сближению частот оптических фононов.
На рис. 6.6 штриховыми линиями обозначены ветви оптических
фононов растянутого GaAs (кривая I) и сжатого InAs (кривая П).
Видно, что сближение ветвей оптических фононов приводит к пе-
рераспределению областей СВОФ и ЛОФ по шкале частот, а также
меняет условия локализации фононов в слое GaAs.
6.4. Интерфейсные фононы
291
6.4. ИНТЕРФЕЙСНЫЕ ФОНОНЫ
Рассмотрим явления, связанные с распространением колебаний
вдоль границы раздела между двумя средами с различными ди-
электрическими постоянными Е] и е2 (рис. 6.8). Пусть слой 1 за-
нимает верхнюю полуплоскость, а слой 2 - нижнюю и в
материалах слоев присутствует ионный тип связи.
Рис. 6.8. Граница раздела двух материалов
с разными диэлектрическими постоянными
Распространение упругих колебаний в таких материалах будет
создавать поляризацию Р и электрическое поле Е, изменяющиеся
периодически во времени и в пространстве по тому же закону, что
и смещения атомов. Таким образом, в кристалле возникает элек-
тромагнитное поле, связанное с упругими волнами.
Для изотропного материала в рамках «диэлектрической конти-
нуальной модели» [1] согласно уравнениям Максвелла
Шу£) = (11¥ЕоЕ5(-^адФ) = О, (6.4.1)
где D - электрическая индукция; Ф - потенциал.
Таким образом, электрический потенциал должен удовлетво-
рять уравнению
е,ДФ = 0. (6.4.2)
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты в по-
лярных кристаллах может быть представлена в виде
6 ,2 2 Л
еД®) = Еоо 14- 2 2Ютр ; (6.4.3)
^ТО ~ ZCO1
292
Глава 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
Рис. 6.9. Зависимость диэлектрической прони-
цаемости от частоты в полярных кристаллах
здесь <oLO и сото - частоты длинноволновых (q - 0) продольных
и поперечных оптических колебаний; Г - коэффициент затухания;
ею - высокочастотная диэлектрическая проницаемость.
В случае отсутствия затухания колебаний из (6.4.3) имеем
Г 2 2 Л
еДсо) = б00 2 . (6.4.4)
кюто -td >
При этом частоты поперечных и продольных оптических фо-
нонов с q = 0 являются нулями и полюсами диэлектрической
функции Ef(co).
Зависимость (6.4.4) схематически показана на рис. 6.9. Видно,
что в соответствии с (6.4.2) в полярных кристаллах возможно су-
ществование электрических колебаний с со = coLO (е5 = 0).
Другой тип решения, удовлетворяющий (6.4.2) при е$ ф 0 в слу-
чае изотропной модели, можно представить в виде
Ф(х,2) = Ф(г)ехр[г(9пх-со/1)]( 6.4.5)
здесь qIT - волновой вектор фонона в направлении, параллельном
границе раздела; х - произвольное направление, параллельное
границе раздела.
Подставляя (6.4.5) в (6.4.1), придем к уравнению
</2Ф(г) э
—А2-ф(г)^=0, (6.4.6)
dz
решение которого имеет вид
Ф^е 9“z для z>0,
Ф^е9*12 для z<0.
(6.4.7)
6.4. Интерфейсные фононы
293
Таким образом,
Ф(х, z) = Ф^е*911* ехр[г(дцх - ®0], (6.4.8)
здесь «—» для z > 0, «+» для z < 0.
Согласно (6.4.8) данный тип колебаний оказывается локализо-
ванным около границы раздела.
Такие колебательные моды могут распространяться вдоль
границ раздела, экспоненциально затухая в контактирующих
средах. Следует отметить, что глубина проникновения колебатель-
ных возбуждений в контактирующие среды определяется волно-
вым вектором (т.е. длиной волны колебаний X = 2л/qn ). При
этом короткие волны будут затухать быстрее, чем длинные.
Используя условия непрерывности Ех --дФ/дх и Dz на гра-
нице раздела, получим, что Ф^ = Ф^, т. е. амплитуда колебаний
потенциала в слоях по обе стороны границы раздела будет одина-
ковой, и что интерфейсные колебания могут возникать, если
е^=-е<2). (6.4.9)
Анализируя зависимость диэлектрической проницаемости от
частоты (6.4.4), замечаем, что условие (6.4.9) может выполняться
как минимум в двух случаях:
- на границе раздела полярный кристалл - вакуум ( es вакуума
равно 1);
- на границе раздела двух полярных кристаллов.
На границе раздела полярный кристалл - вакуум (6.4.9) прини-
мает вид
£, =-1.
Этому условию будет удовлетворять волна с частотой колебаний
ыт0 < ы < wLO (рис. 6.10).
Таким образом, вдоль границы полярный кристалл —вакуум
возможно распространение бегущей волны (возможно сущест-
вование поверхностного (интерфейсного) фонона).
Для анализа особенностей распространения бегущих волн
вдоль границы раздела двух полярных кристаллов необходимо
сопоставить зависимости еДо) для контактирующих материалов.
На рис. 6.11 представлены зависимости еДсо) для GaAs и AlAs.
Условие (6.4.9) в данном случае будет удовлетворяться для двух мод
колебаний с частотами и со^Р . Таким образом, вдоль гетеро-
294
Глааа 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
Рис. 6.10. Зависимость диэлектриче-
ской проницаемости от частоты
границы GaAs-AlAs возмож-
но распространение двух
типов колебаний (т. е. су-
ществование двух интер-
фейсных фононов).
Аналогично удается рас-
смотреть распространение
колебаний вдоль границы
раздела в многослойных
структурах и сверхрешетках.
При этом, если q^d »1 (d -
толщина самого тонкого слоя),
то колебания, распространя-
ющиеся вдоль соседних границ раздела, будут слабо взаимодейст-
вовать друг с другом и в рамках диэлектрической континуальной
модели параметры интерфейсных фононов должны удовлетворять
условию (6.4.9).
Рис. 6.11 Зависимости е$(ю) для GaAs и AlAs
Если же qu d «1 (длинноволновые колебания и тонкие слои),
то в рамках данной модели сверхрешетку можно рассматривать
как однородный анизотропный кристалл [1]. При этом параллель-
6.4. Интерфейсные фононы
295
но границе раздела могут распространяться продольные моды
(LO), для которых
4° (со) dx = -е<2) (со) , (6.4.1 Оа)
и поперечные моды (ТО), для которых
Ep)(co)c/2=-e(2)(co)d1. (6.4.106)
Зависимости частот интерфейсных фононов от толщины слоев
AlAs для сверхрешетки GaAs-AlAs представлены на рис. 6.12. Как
видно из рисунка, в данном случае наблюдается сильная зависи-
мость частот интерфейсных фононов от соотношения тол-
щин слоев, образующих сверхрешетки материалов.
Такое поведение легко объ-
ясняется зависимостями е5 (со) ,
приведенными на рис. 6.11. От-
метим также, что для сверхре-
шеток с большим отношением
толщин контактирующих слоев
в соответствии с (6.4.10) часто-
ты интерфейсных фононов ока-
зываются близки к частотам
продольных и поперечных оп-
тических колебаний в объемном
кристалле, соответствующем
материалу одного из слоев, об-
разующих сверхрешетку.
Представленные модели яв-
ляются достаточно упрощенны-
ми и описывают реальную
картину лишь качественно. При
анализе реальных систем обыч-
но дополнительно необходимо
учитывать: взаимодействие не
только с ближайшими соседями,
трехмерный характер явления, а
в ряде систем еще и пьезоэлек-
трические эффекты.
Рис. 6.12. Зависимости частот ин-
терфейсных фононов от толщины
слоев AlAs для сверхрешетки
GaAs-AlAs [1]
296 Глааа 6. ОСОБЕННОСТИ ФОНОННОГО СПЕКТРА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Colvard С.. Gant Т.А., Klein M.V. et al. Folded acoustic and quantized optic
phonons in (GaAl)As superlattics // Phys. Rev. B. - 1985. - Vol. 31, № 4. - P. 2080-
2091.
2. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1998. - 608 с.
3. Зеегер К. Физика полупроводников. - М.: Мир, 1977. - 615 с.
4. Гайслер В.А., Говоров А.О., Курочкина Т.В. и др. Фононный спектр сверх-
решеток GaAs-InAs // ЖЭТФ. - 1990. - Т. 96, вып. 3. - С. 1081-1092.
5. Jusserand В., Gardona М. // Light Scattering in Solids V / Ed. M. Gardona and
Guntherodt. - Heidelberg: Springer, 1989. - P. 49.
6. Бузанева E.B. Микроструктуры интегральной электроники. - M., 1990. -
293 с.
7. Гайслер В.А., ТаннэД.А., Машегов Н.Т. и др. Фононный спектр сверхреше-
ток GaAs/AlAs: прямая и обратная спектральные задачи // ФТТ. - 1996. - Т. 38,
№ 7. - С. 2242-2252.
ГЛАВА 7
ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
7.1. СТАЦИОНАРНАЯ ДРЕЙФОВАЯ СКОРОСТЬ
Одним из важнейших параметров, определяющих быстродей-
ствие полупроводниковых приборов, является дрейфовая скорость
носителей заряда. Прежде чем описывать процесс дрейфа электро-
на в электрическом поле, попытаемся представить феноменологи-
чески это движение.
При приложении электрическо-
го поля F(x) электрон начинает
непрерывно ускоряться в направ-
лении поля. Если кристалл идеален
(отсутствуют дефекты), то под дей-
ствием силы F значение квазиим-
пульса электрона кх будет расти,
пока не достигнет kx-nla (точка
А на рис. 7.1, а). Далее значение к
уже окажется за пределами первой
зоны Бриллюэна, что равносильно
появлению электрона в точке А' с
кх - -и/а. Не вдаваясь в подроб-
ные объяснения, отметим, что по
мере приближения к значению
кх-тг/а эффективная масса элек-
трона становится отрицательной.
Это означает, что в координатном
пространстве (рис. 7.1, б) электрон,
Рис. 7.1. Движение электрона
в электрическом поле:
а - в ^-пространстве; б-в координат-
ном пространстве; в - наклон энерге-
тических зон
298
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
выходя из точки О, сначала ускоряется, затем замедляется при
приближении к точке А и, наконец, снова начинает ускоряться, но
уже в обратном направлении (двигаясь к точке В), хотя направле-
ние и величина внешней силы сохраняются неизменными. При
йА.= О электрон снова окажется в состоянии покоя.
Таким образом, под влиянием постоянного внешнего поля
электрон должен в пространстве Е(к) совершать скачкообразное
движение вдоль оси кх около начала координат в схеме приведен-
ных зон, двигаться вверх и вниз по периодической кривой ОАВС в
схеме повторяющихся зон и колебаться на ограниченном отрезке
оси х в координатном пространстве с амплитудой Ах = E/2qF{x) и
частотой Q = qF(x)a/ti (здесь А - ширина энергетической зоны, а -
период решетки в направлении поля).
Однако хорошо известно, что это не соответствует реальному
случаю и поведение электрона в реальном кристалле совсем дру-
гое. Это различие обусловлено наличием даже в самых совершен-
ных кристаллах примесей и различных дефектов, к числу которых
можно отнести и колебания решетки.
Дело в том, что для наблюдения блоховских осцилляций не-
обходимо выполнение чрезвычайно жестких условий слабости рас-
сеяния носителей заряда за период осцилляций (т“фф < Q, здесь
тЭфф- эффективное время рассеяния, Q — частота блоховских
осцилляций).
В обычных условиях за время, необходимое электрону для зна-
чительного возрастания энергии под действием электрического
поля, он успевает много раз столкнуться с различными дефектами
(нейтральными и ионизированными примесями, акустическими и
оптическими колебаниями решетки).
Так как масса ионов примесей очень велика по сравнению с
массой электрона, соударение между ними носит упругий харак-
тер. Электрон при этом практически не меняет своей энергии, из-
меняется только направление его движения. Аналогичный
характер имеет и рассеяние на акустических колебаниях решетки.
В этом случае упругость соударений обусловлена большим разли-
чием в энергиях «партнеров». Обычно энергия электронов на по-
рядок превышает энергию акустического фонона ( йсол » 0,1 к^Г, а
Езп = 3/2 кйТ). Следовательно, при взаимодействии с перечислен-
ными дефектами волновой вектор электрона к, как правило, изме-
няется только по направлению, оставаясь на поверхности равной
энергии в ^-пространстве.
7.1. Стационарная дрейфовая скорость
299
Большой вклад в общее рассеяние может дать рассеяние на оп-
тических фононах. Это обусловлено близостью по величине энер-
гий электрона (Езоок ~ 0,025 эВ) и оптического фонона (Йсо0 ®
» 0,036...0,037 эВ), что значительно повышает вероятность неупру-
гого рассеяния по сравнению с другими механизмами. Понятно,
что решающее значение этого фактора проявится при взаимодей-
ствии электронов с сильным электрическим полем, когда может
произойти увеличение энергии электрона.
Таким образом, движение электрона в кристалле оказывается
аналогичным движению молекулы в газе. Электрон, двигаясь в
отсутствие внешних полей хаотично, обладает при этом опреде-
ленной длиной свободного пробега между двумя последователь-
ными столкновениями. Если прикладывается внешнее поле, то на
это хаотическое движение накладывается направленный дрейф в
реальном пространстве. Естественно, что действительная длина
пути, пройденная электроном, оказывается значительно больше
пути дрейфа.
Чтобы определить среднюю дрейфовую скорость в поле F, необ-
ходимо найти функцию распределения электронов по импульсам,
координате и времени -fik, г, t), например, путем решения кинети-
ческого уравнения Больцмана. Хорошо известно, что аналитическое
решение этого уравнения возможно только для некоторых специ-
альных случаев. Прежде всего это случай, когда неравновесная
функция распределения в электрическом поле отличается от равно-
весной малым приращением. Уравнение Больцмана упрощается
также в стационарном случае для однородного по объему распреде-
ления электронов, когда исчезают производные по времени и коор-
динате. Часто для решения уравнения Больцмана используют
методы последовательного приближения (метод прямой итерации)
или метод Монте-Карло моделирования движения электронов в к, г,
^-пространствах (импульс, координата, время).
Найденную из решения уравнения Больцмана функцию рас-
пределения используют для определения макроскопических
параметров полупроводника: тока электронов, их средней энер-
гии и средней по ансамблю электронов дрейфовой скорости
в поле F.
На практике наиболее часто используется приближение, при
котором так называемый столкновительный член уравнения
Больцмана (столкновительный интеграл) удается записать с ис-
300
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
пользованием времени релаксации т(к). Смысл этого параметра
легко понять при рассмотрении следующего простого выражения:
где т(Л) - время релаксации, в течение которого разность между
неравновесной и равновесной функциями распределения после
выключения внешнего воздействия (поля) уменьшается в е
(~ 2,73) раз.
Обычно приближение времени релаксации является обоснован-
ным, если процессы рассеяния приводят к случайному распределе-
нию скоростей (вероятность перехода от Го к -V или +V одинакова)
либо изменение энергии при столкновении невелико. Для качест-
венной и наиболее наглядной оценки изменения дрейфовой ско-
рости и энергии электронов в однородно легированном
полупроводнике в сильных электрических полях применяются урав-
нения баланса усредненных импульса m*Vd и энергии электрона £
d\m^E)Vd}_ m\E)Vd
-----------— qr-----------, (/. 1.2)
dt тр(Е)
dF
—~ = qFVd-(Е - Ец)/те(Е) , (7.1.3)
at
где £0 ~(3k0T)/2 - средняя тепловая энергия в отсутствие внеш-
него поля F; гр(Е) и Те(Е) - времена релаксации по импульсу и
энергии соответственно.
В условиях стационарности (мы ввели их в начале рассмотре-
ния) можно записать
d(rnV(l')/dt = dE/dt = O, (7.1.4)
т. е. мы считаем, что в течение рассматриваемого промежутка вре-
мени энергия электрона и импульс неизменны. Это дает возмож-
ность из уравнений баланса получить выражения для времени
релаксации по импульсу и энергии в следующем виде:
zp(EJ = mFds/(qF\
TE(Es) = (Es-E0)/(qFFds) ‘ ’
(индекс s означает стационарное значение).
7.1. Стационарная дрейфовая скорость
301
Именно такими уравнениями пользуются при оценке макси-
мальных дрейфовых скоростей и описании динамики их измене-
ния во времени. Эти оценки обычно сравниваются с результатами
компьютерных расчетов методом Монте-Карло, чему посвящено
огромное количество работ. Заметим, что эксперименты с исполь-
зованием ЭВМ обычно легче и дешевле реальных.
Известно, что время релаксации по импульсу, как правило,
много короче времени релаксации по энергии, так как упругие
столкновения до растрачивания накопленной в электрическом поле
энергии могут произойти неоднократно. Это означает, что средняя
частота столкновений носителей заряда с центрами рассеяния в
кристалле, а следовательно, и дрейфовая скорость также опреде-
ляются величиной времени релаксации по импульсу
<TP(E)F
т*(Е)
(7.1.6)
?т„(£)
где ц = — -----подвижность носителей заряда. Из (7.1.6) видно,
т*(Е)
что зависимость подвижности от напряженности электрического
поля определяется зависимостью тр(£) через среднюю энергию
электрона, зависящую от внешнего поля.
Экспериментальные ВАХ полупроводников позволяют опреде-
лить ц, затем Va и, наконец, т. Во всех полупроводниках дрейфовая
скорость увеличивается с ростом электрического поля только до
некоторых максимальных значений, а затем либо насыщается (Si -
рис. 7.2, а), либо уменьшается (АшВу - рис. 7.2, б).
Как мы увидим далее, зависимость дрейфовой скорости от поля
определяется не только механизмами рассеяния, но и структурой
энергетических зон.
В валентных или одноатомных полупроводниках, какими яв-
ляются Ge и Si, основная причина ограничения темпа роста дрей-
фовой скорости - рассеяние на оптических фононах. В отличие от
почти упругого рассеяния на акустических фононах рассеяние на
оптических фононах является резко неупругим, и более того, веро-
ятность рассеяния на оптических фононах на порядок выше веро-
ятности рассеяния на акустических фононах.
Как только энергия электрона становится выше энергии опти-
ческого фонона, частота рассеяния резко возрастает, а значит, вре-
мя релаксации резко падает. Частота рассеяния представляет
собой вероятность рассеяния электрона с волновым вектором
302
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.2. Экспериментальное зависимости дрейфовой скорости
электронов (кривые 1-4) [1] и дырок (кривая 5) [2] в кремнии (а)
и зависимости дрейфовой скорости электронов в GaAs (кривые I,
2) [3, 4] и AlGaAs (кривые 3) [5] (б) от напряженности электриче-
ского поля
107, см/с
О 5 10 15 20 Е, В/см
б
к в единицу времени. Это сугубо неупругое рассеяние на оптиче-
ских фононах ограничивает рост энергии электронов и приводит к
насыщению дрейфовой скорости.
Иначе говоря, резкое увеличение частоты столкновений элек-
тронов при энергиях выше энергий оптических фононов и увели-
Рис. 7.3. Зависимости времен
релаксации импульса и энергии
от разницы между средней и
тепловой энергией в Si и GaAs
при Т= 296 К [6]
чение вероятности взаимодействия
электронов с этими фононами ком-
пенсируют рост хр при дальнейшем
увеличении электрического поля.
Но, как видно из рис. 7.3, время
релаксации импульса и энергии, а
следовательно, и подвижность элек-
тронов для GaAs начинают падать с
дальнейшим увеличением их энер-
гии. Это сильное падение обуслов-
лено еще двумя другими до-
полняющими друг друга явлениями
(механизмами рассеяния): эффек-
том убегания и междолинным пе-
ребросом.
Для описания добавочных ме-
ханизмов рассеяния необходимо
обратиться к энергетической диа-
7.1. Стационарная дрейфоаая скорость
303
грамме GaAs, приведенной на
рис. 7.4. Видно, что энергии
минимумов L- и A-долин распо-
лагаются выше минимума
Г-долины. Энергия минимума
£-долины относительно мини-
мума Г-долины составляет
EVL » 0,3 эВ, а А-долины- Evx »
® 0,47 эВ. Междолинный пере-
брос электрона из нижней
Г-долины в верхние L- и А-доли-
ны происходит, как только энер-
гия электрона в Г-долине дости-
гает значений, близких к мини-
Рис. 7.4. Энергетическая диаграм-
ма для GaAs
мумам верхних долин. Центральная Г-долина имеет большую кри-
визну по сравнению с боковыми L- и A-долинами. Это означает,
что в ней эффективная масса меньше, а подвижность больше, чем
в £ и А. Но в то же время вследствие большей эффективной массы
плотность состояний в боковых долинах много выше, чем в цен-
тральных
f . \3/2
_ [ 2тпи кйТ ]
С I h2 J ’
(7-1-7)
По этой причине, если электроны в Г-долине приобретают энер-
гию порядка энергии боковых минимумов, то вероятность найти
его в боковой долине становится значительно выше, чем в цен-
тральной Г-долине. Это означает высокую вероятность междолин-
ного перехода. Междолинный переход происходит с участием
оптических и акустических фононов с большим волновым числом,
соответствующим разнице волновых чисел между центральной и
боковыми долинами.
Возможен и обратный переход из боковых в центральную до-
лину. Электроны, совершившие такой переход (перешедшие в
Г-долину), теряют в средней направленной скорости, т. е. их дрей-
фовая скорость в момент перехода в среднем стремится к нулю.
Этот эффект внешне очень похож на воздействие неупругого рас-
сеяния на оптических фононах в Si. Наличие в Г-долине опреде-
ленного количества электронов, которые претерпели обратный
переброс, приводит к ускорению насыщения скорости при мень-
ших энергиях, чем та, которая характерна для средней дрейфовой
скорости электронов в Г-долине.
304
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Теперь обратимся ко второму фактору увеличения рассеяния -
«убеганию» электронов. Вообще говоря, это «не прямой» фактор. Он
как бы облегчает условия возникновения междолинного рассеяния.
Обратим внимание на то, что в определенный момент приходит-
ся рассматривать время релаксации по энергии тЕ, а не тр, как это
было до сих пор. Из рис. 7.3, где по горизонтальной оси отложена
разность между энергией электрона и начальной (тепловой) энерги-
ей, видно, что до определенного предела время релаксации по энер-
гии растет с увеличением энергии. Это означает, что, несмотря на
происходящие акты рассеяния и падение тр и Vd до определенного
значения энергии (следовательно, и поля F), скорость приобретения
электронами энергии от внешнего поля оказывается больше, чем
скорость ее потерь. За один акт рассеяния не все электроны, даже
встретившись с оптическим фононом, теряют всю накопленную от
поля энергию.
До столкновения Е = Eq + qFl. При столкновении электрон те-
ряет (рассеивает) часть своей энергии Ерас < Ео + qFl. Тогда после
столкновения новая (стартовая) энергия электрона будет равна
Е = Ео + А£, где А£ = Eq + qFl - Ерас. Следовательно, стартовая по-
зиция этого электрона перед следующим накоплением энергии от
поля будет уже выше, чем Ео. Иными словами, для части электро-
нов избыточная энергия из-за взаимодействия с полем начинает
быстро расти, увеличивая дисбаланс между приобретением и рас-
сеянием энергии в сторону приобретения. В результате при опре-
деленных значениях электрического поля скорость приобретения
энергии от внешнего поля оказывается больше, чем скорость ее
потерь.
Таким образом, можно сказать, что электрон как бы «убегает»
вперед по шкале энергий, пока не достигнет условий включения
какого-либо механизма, сдерживающего этот рост энергии. Имен-
но таким механизмом при энергиях электронов выше 0,3 эВ явля-
ется междолинное рассеяние.
На рис. 7.5 показана зависимость частоты рассеивающих столк-
новений v в GaAs от энергии электрона. Эта величина часто
используется для оценки относительной роли различных меха-
низмов рассеяния в процессах переноса. Она представляет собой
вероятность рассеяния электрона с волновым вектором к в едини-
цу времени и имеет вид
Х(к)= \W(k,k')dVk-.
7.1. Стационарная дрейфовая скорость
305
На рисунке хорошо видны
скачок частоты соударений
при энергиях, соответствую-
щих энергии оптического фо-
нона, и более мощный скачок
частоты соударений при энер-
гиях, соответствующих меж-
долинному рассеянию.
Происходит очень интерес-
Рис. 7.5. Зависимость темпа рассеяния
от энергии электрона: Ео — энергия
оптического фонона, ЕГЬ - энергия
минимума 7-долины, Т= 293 К [6]
означает, что к количеству элек-
ное явление. Процесс «убега-
ния» как бы поставляет
электроны, обладавшие изна-
чально относительно малой
энергией, в область энергий
междолинного рассеяния. Это
тронов, достигших энергии междолинного рассеяния, благодаря
вероятностным процессам (не было рассеивающих столкновений)
прибавляются электроны с изначально малой (относительно энер-
гии междолинного переброса) энергией, т. е. получается, что элект-
роны с малой энергией (относительно междолинного пере-
броса) в результате эффекта убегания испытывают меж-
долинное рассеяние. По этой причине насыщение дрейфовой ско-
рости в Г-долине наступает не при скоростях, соответствующих
междолинной энергии, а на порядок меньше.
Необходимо отметить, что «убегание» - это процесс, который
зависит не только от напряженности, но и от времени действия
поля. Поэтому он может при определенных условиях захватить
электроны с очень низкой энергией, даже близкой к нулю. Но эф-
фект, безусловно, критичен к величине поля, взаимодействующего
с электроном.
Убегают электроны, попавшие в хвост функции распределения,
где их энергия больше энергии убегания. Эффект убегания можно
охарактеризовать средним временем убегания туб, которое, есте-
ственно, зависит от величины электрического поля. С его помо-
щью можно подсчитать число электронов, убежавших в верхнюю
долину из-за эффекта убегания [7],
«Уб /«о = exp[-(r -t0)]/(туб - т0),
(7.1.8)
где t0 - время, за которое электрон приобретает энергию 0,3 эВ
без рассеяния.
306
Глава 7 ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.6. Зависимость распределения
горячих электронов в L- и JV-долинах
зоны проводимости GaAs от электри-
ческого поля [3]
Отсюда видно, что нали-
чие электронов с малой энер-
гией, например, в канале
транзистора увеличивает ко-
личество убегающих электро-
нов, уменьшает дрейфовую
скорость и, следовательно,
ограничивает возможное бы-
стродействие транзистора,
если не принимать специаль-
ных мер.
Основная масса электро-
нов, претерпевших переброс в
верхние долины (опять же вследствие высокой плотности состоя-
ний в них), остается в этих долинах. Из рис. 7.6 видно, что с рос-
том электрического поля сначала заполняется L -долина, а затем
X -долина. Междолинный переброс ведет к снижению средней
дрейфовой скорости электронов, так как подвижность и дрейфовая
скорость электронов верхних долин меньше, чем в Г-долине.
С учетом приведенного распределения можно оценить сред-
нюю скорость электронов в канале транзистора при заданном зна-
чении электрического поля
^d - ^dr^r п0 +VdlAnL ! по + vdx&nx ! ио > (7-1-9)
где Длг + XnL + \пх -п0- сумма долевых вкладов электронов в
разных долинах.
В результате перезаселения долин в GaAs и некоторых других
полупроводниках дальнейший рост поля с определенного момента
не увеличивает, а уменьшает дрейфовую скорость.
Проведенные на основании вышеизложенного расчеты показы-
вают, что стационарная максимальная дрейфовая скорость в полу-
проводнике не может превышать (1-3)-107см/с при Т = 300 К. Это,
казалось бы, накладывает принципиальное ограничение на быст-
родействие приборов. Однако для коротких образцов в динамиче-
ском режиме можно получить дальнейшее увеличение дрейфовой
скорости электронов.
7.2. Всплеск ао времени дрейфовой скорости
307
7.2. ВСПЛЕСК ВО ВРЕМЕНИ ДРЕЙФОВОЙ СКОРОСТИ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Теперь посмотрим, что произойдет с дрейфовой скоростью
(имеется в виду максимальная дрейфовая скорость) в динамиче-
ском режиме. Иначе говоря, будем прикладывать к полупроводни-
ку электрическое поле в виде импульса с крутым передним
фронтом. Задача заключается в том, чтобы отрезок времени, на
котором действует поле, был короче времени между столкнове-
ниями тр. Следовательно, на протяжении этого отрезка времени
электрон будет разгоняться без столкновений до величины дрей-
фовой скорости, определяемой обычной формулой для (7.1.6),
где только время релаксации тр будет заменено на отрезок времени
t - длительность импульса приложенного напряжения:
Vd=qFt/m*, t<zp. (7.2.1)
Исходя из этих простых рассуждений можно ожидать, что в дос-
таточно сильных электрических полях скорость Vd достигнет вели-
чин, значительно больших, чем в случае воздействия более
протяженного во времени стацио-
нарного электрического поля, когда
включаются механизмы рассеяния,
уменьшающие скорость.
Для определения оптимальной
протяженности во времени при-
кладываемого к образцу (каналу
транзистора) импульса поля про-
водят исследования, используя
ступеньки напряжения с идеально
резким фронтом.
На рис. 7.7 приведены рассчи-
танные по методу Монте-Карло
зависимости дрейфовой скорости в
Si для температуры 293 и 77 К; на
вставке изображена зависимость
напряженности электрического
поля (£ = 10 кВ/см) от времени.
Кроме того, показано изменение
средней энергии электронов. Вид-
но, что изменение дрейфовой ско-
рости во времени для таких
Рис. 7.7. Зависимость дрейфо-
вой скорости и средней энер-
гии электронов в Si от времени
при воздействии прямоуголь-
ного импульса электрического
поля: кривые / и 3 для Т= 293 К,
2 —Т= 77 К [4, 8]
308
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
условий характеризуется начальным всплеском (overshoot),
который достигает максимума, а затем быстро спадает до стацио-
нарного значения. Весь процесс разгона и затухания, как видно,
происходит за время 0,5... 1,0 пс.
Электроны сначала разгоняются до скорости 2,2 • 107 см/с, а за-
тем (через тр = 0,1 пс при 77 К), достигнув энергии оптических
фононов, начинают активно рассеиваться на них и теряют накоп-
ленный добавок к стационарной скорости. За время, примерно
равное 0,1 пс, дрейфовая скорость Vd спадает до стационарного
значения, т. е. в сумме всего за 0,2...0.4 пс она достигает стацио-
нарного значения, характерного для сильного электрического поля
Е = 10 кВ/см (rrf =1300см2/(В-с)-10-103В/см = 1,3-107см/с). Из
рисунк. также видно, что средняя энергия электрона при этом
плавно растет во времени, насыщаясь практически в момент дос-
тижения стационарного значения Vd.
В арсениде галлия на изменении дрейфовой скорости на корот-
ких отрезках времени существенно сказывается эффект междолин-
Рис. 7.8. Воздействие на энергию и ско-
рость электронов импульса электриче-
ского поля длительностью 6 пс и напря-
женностью:
7-5 кВ/см, 2-10 кВ/см; а - Va- дрейфовая
скорость всех электронов, Иг - в Г-долине; б-
энергия электронов в Г-долине (штриховые
кривые) и относительное число электронов в
боковых долинах (сплошные кривые) [7]
ного рассеяния (переброса в
вышележащие долины). На
рис. 7.8 можно проследить
этот процесс в динамике.
Видно, что энергия эле-
ктронов в Г-долине после
выключения электрического
поля довольно долго сохра-
няет величину выше стаци-
онарной, а скорость элект-
ронов резко падает. Это про-
исходит вследствие того, что
электроны в Г-долине из-за
столкновений быстро теря-
ют возможность бесстолк-
новительного движения (хо-
тя энергия велика), а боль-
шое количество электронов
в боковых долинах, хотя и
обладает энергией выше ста-
ционарной, имеет гораздо
более низкую скорость (по-
движность). Также хорошо
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости
309
видно, что повышение электрического поля с 5 до 10 кВ/см, увели-
чивает максимальную скорость, но сам эффект всплеска (так как
Ег становится больше Аел(С)) длится гораздо меньше из-за междо-
линного переброса.
После выключения электрического поля некоторое время элек-
троны двигаются по инерции или, как еще говорят, «баллистиче-
ски». Затем многочисленные столкновения быстро прекращают
этот инерционный полет электронов. Причем такой спад идет на-
много быстрее, чем процесс остывания и возвращения электронов
к равновесному распределению между долинами.
Именно задержка последних двух процессов при резком
уменьшении внешнего поля даже на небольшую величину приво-
дит к сильному уменьшению дрейфовой скорости. Этот эффект
называется «обратным всплеском скорости» - в англоязычной ли-
тературе - «undreshoot» или эффект Риса [9] по имени ученого,
впервые объяснившего таким образом это явление.
Подводя итоги, можно сказать, что эффект всплеска скорости
во времени позволяет получить максимальные дрейфовые скоро-
сти, в несколько раз превышающие их стационарные значения.
Величины времен релаксации, получаемые при этом (тр « 10-13с
тЕ & 10 12 с), позволяют предполагать, что возможности использо-
вания исследуемых полупроводниковых материалов сохраняются
до 100... 500 ГГц.
Всплеск дрейфовой скорости
в коротких структурах
Итак, мы показали, что на коротких отрезках времени можно
получить значительное (в разы!) увеличение дрейфовой скорости.
Если приложить к каналу транзистора соответствующее электри-
ческое поле так, чтобы электроны пролетали активную область за
очень короткий промежуток времени, то средняя дрейфовая ско-
рость в этой области окажется значительно выше стационарной.
Проведем элементарную оценку. Если скорость электрона бу-
дет на уровне 107см/с, то он пролетит область 10 5 см (0.1 мкм) за
10~12 с. Это означает, что ожидаемый всплеск дрейфовой скорости
во времени будет достаточно длительным, т. е. будет существовать
во все время пролета. Иными словами, этот всплеск скорости во
времени приведет к всплеску скорости в субмикронных структурах
по пространственной координате на всю толщину структуры. Если
перевести это рассуждение в термины, описывающие работу тран-
310
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
зистора, то всплеск дрейфовой скорости в пространстве обеспе-
чит повышение быстродействия и уменьшение задержки сиг-
нала в транзисторе.
Следует осознать, что наши рассуждения о всплеске скорости
во времени основывались на изменении параметров полупровод-
ников в условиях воздействия «теоретического импульса» со
сверхрезким фронтом (субпикосекундным!), что почти нереально.
В то же время осуществление всплеска скорости в пространстве -
явление, реализуемое в полупроводниковых структурах. И, что
самое важное, пространственный всплеск скорости носит стацио-
нарный характер.
Необходимый скачок (резкое увеличение электрического поля)
реализуется за счет заранее заданной неоднородности полупровод-
никовой структуры по координате. Когда электроны попадают в
область резкого изменения электрического поля, они испытывают
резкое изменение скорости или эффект всплеска. Такой неоднород-
ной структурой может служить хорошо известная и легко осущест-
вимая -структура, которая была получена в [10] с помощью
двусторонней имплантации Si в пластину GaAs. В результате после-
дующего отжига дефектов и неизбежной в таких случаях диффузи-
онной разгонки получена структура с распределением концентраций
доноров, показанным на рис. 7.9.
На рис. 7.10 приведены рассчитанные с использованием рис. 7.9
зависимости концентрации доноров, носителей заряда и потенциала
(в относительных единицах) от нормализованного расстояния XIL, где
Рис. 7.9. Распределение кон-
центрации доноров А по дли-
не канала в n—i—n GaAs [10]
Рис. 7.10. Нормализованные по-
тенциал и, концентрация доноров
N и концентрация электронов п в
зависимости от нормализованно-
го расстояния x!L
7.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости
311
L - длина канала, которая в результате расчета составила 0,75 мкм.
К этой структуре прикладывался импульс напряжения (300 пс),
длинный по сравнению с временами релаксации, которые, как от-
мечалось выше, порядка 1 пс (тимп » тр). Исходя из этого соотно-
шения такую большую длительность импульса можно трактовать
просто как подключение «постоянного» напряжения к структуре.
Амплитуда импульса изменялась от 0,2 до 10 В. Расчеты проводи-
лись для комнатной температуры.
Если вспомнить, как должна бы при этом вести себя дрейфовая
скорость, то ясно, что она сначала должна расти, пока энергия,
полученная электроном от поля, не достигнет энергии переброса, а
затем упадет до стационарных значений из-за междолинных пере-
бросов и рассеяния на оптических фононах. Но эти эффекты начи-
нают сказываться только при значительно больших полях, что и
приводит к насыщению роста тока. До такого насыщения рост тока
обусловлен наличием пространственного всплеска дрейфовой ско-
рости (пространственный «overshoot»).
Измерив ВАХ описанных выше структур, можно определить
подвижность, а затем и скорость электронов в зависимости от
электрического поля и расстояния.
На рис. 7.11 представлена полученная в результате таких рас-
четов зависимость дрейфовой скорости от электрического поля, а
на рис. 7.12 показано изменение дрейфовой скорости в реальном
пространстве структуры. Видно, что дрейфовая скорость во всем
объеме структуры, за исключением районов и+-контактов, порядка
3-107 см/с.
Проанализируем теперь физическую картину происходяще-
го в короткой структуре. Наиболее удачно такой анализ прове-
ден в [6].
Если принять, что после скачкообразного включения электри-
ческого поля в течение всего времени пролета электронов через
структуру напряженность электрического поля остается посто-
янной, то расстояние, которое проходит электрон до достижения
энергии, равной энергии междолинного перехода (£гг), можно
рассчитать по формуле
(7.2.2)
312
Глава 7 ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.11. Зависимость дрей-
фовой скорости от электри-
ческого поля в канале
Рис. 7.12. Зависимость дрейфо-
вой скорости от расстояния при
воздействии на структуру напря-
жения 2 В
где Го = h~\dE/dk)E=£yl ~ максимальная скорость, которую может
достичь электрон, прежде чем испытает междолинное рассеяние;
Т - время, за которое электроны приобретают энергию, чуть мень-
шую Еп- Если d - толщина активной части прибора, то понятно,
что необходимо так подбирать Т (т. е. значение поля F), чтобы
Ed(a) было максимальным.
Результаты таких расчетов из [6] представлены на рис. 7.13.
Видно, что на довольно больших расстояниях (доли микрон)
Рис. 7.13. Зависимость макси-
мального значения дрейфовой
скорости от расстояния в GaAs
для двух концентраций примеси:
кривая 1 -п=0, кривая 2—п — З Ю|7см 3,
Т= 293 К
дрейфовая скорость превышает
стационарную скорость.
Эта ясная и простая картина,
конечно, в реальном случае изме-
няется из-за таких причин, как
неоднородности концентраций,
объемного заряда и средней энер-
гии носителей заряда по толщине
структуры. Наличие этих факторов
приводит к диффузии носителей и
изменению конфигурации поля. К
этому добавляются такие эффекты
второго порядка, как диффузион-
ный перенос тепла и термоЭДС.
Итак, мы видим, что всплеск
скорости в пространстве - явле-
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках
313
ние, реализующееся в полупроводниковых структурах. Такой
всплеск носит стационарный характер. Его возникновение не тре-
бует практически нереализуемого импульса поля с бесконечно
крутым фронтом (субпикосекундным). Скачок поля в простран-
ственном всплеске реализуется за счет неоднородности
структуры полупроводника по координате. Электроны при
движении по полупроводнику, попадая в область крутого скач-
ка поля, испытывают резкое изменение скорости и эффект ее
всплеска.
Приближенная формула (7.2.2) для описания пролета электрона
в этих условиях получена при следующих допущениях:
- среднее электрическое поле на протяжении всего пролета
электронов считается постоянным;
- время между столкновениями хр остается постоянным до дос-
тижения энергией значения EYL междолинного рассеяния и хр « т£.
Именно при таких условиях из уравнения баланса получено
выражение для расстояния, проходимого электронами за время Т,
за которое электроны приобретают энергию чуть меньше EYL
(7.2.2).
Средняя скорость, с которой электрон проходит дистанцию d,
будет при этом равна W) = d/t,
d=\va(t')dt. (7.:2.3)
о
7.3. БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ ТРАНСПОРТ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И СУБМИКРОННЫХ ПРИБОРАХ
Рассмотрим процессы, которые описывались в разд. 7.2, более
детально.
Электрон при взаимодействии с электрическим полем перехо-
дит в возбужденное состояние, затем он возвращается к равнове-
сию в результате взаимодействия (столкновений) с различными
дефектами. Чаще всего для этого достаточно одного-двух столк-
новений. Отсюда можно заключить, что время релаксации (за ко-
торое возбуждение электрона уменьшается в п раз) порядка вре-
мени, необходимого для прохождения длины свободного пробега
электрона,
Zcb=Et.
(7.3.1)
314
Глааа 7 ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Известно, что в общем случае время релаксации есть функция
энергии. Напомним, что существуют два времени релаксации:
время релаксации по энергии и хр - время релаксации по импуль-
су, причем, так как хр < хЕ,
Lp — xpVt < LE — xEVt.
(7.3.2)
Это означает, что размеры активной области нужно сравнить с
этими длинами релаксации. Кроме того, отметим, что в процесс
включился эффект увеличения дрейфовой скорости за времена
менее Хр, что привело к увеличению Lp и, следовательно, возникно-
вению явления, которое мы назвали пространственный overshoot.
Другими словами, ни контакты, ни дефекты кристалла не успевают
нарушить обычного движения электрона, что похоже на свободное
движение тела в классической физике.
Для лучшего понимания другого способа, используемого для
повышения быстродействия электронных устройств за счет уве-
личения скорости движения электрона, вновь рассмотрим за-
висимость хр и Vd от энергии электрона. На рис. 7.14, а приведена
зависимость интегральной частоты (темпа) рассеяния от энергии
электрона, на рис. 7.14, б — скорость, которую может достичь элек-
трон в центральной долине. Штриховая линия соответствует пара-
болической долине, откуда и взято значение эффективной массы,
необходимой для расчета. Точка 1 - энергия оптического фонона,
точка 2 - энергия междолинного перехода. Понятно, что высокую
скорость могут получить электроны, обладающие энергией ниже
энергии оптических фононов и междолинного перехода. Из ри-
Рис. 7.14. Зависимости интегральной частоты столкновений в Г-долине (а) и
скорости электронов (6) от энергии электронов [6]
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках
315
выше 3,5-107см/с и порядка 108см/с во втором. Последний случай,
конечно, более интересен для практики.
Теперь нам нужно отыскать наилучший путь достижения тако-
го состояния электронной системы, когда энергия электронов была
бы чуть меньше энергии междолинных переходов, а скорость и
энергия изменялись вначале как можно более резко. Для этого
имеет смысл рассмотреть возможность влияния электрических
полей различной конфигурации на энергию и скорость электрона.
На рис. 7.15 приведены результаты расчетов методом Монте-
Карло для электрического поля в виде ступеньки бесконечной про-
тяженности (первый случай, рис 7.15, а) и очень короткого им-
пульса поля (второй случай, рис. 7.15, б).
Первый случай - типичный для всплеска дрейфовой скорости,
когда постоянное поле (или ступенька в 7 кВ/см) прикладывается к
ансамблю электронов, находящихся в термическом равновесии.
Этот всплеск продолжается до тех пор, пока энергия электронов не
приблизится вплотную к энергии междолинных переходов.
Так как время наблюдения (воздействия поля) достаточно ко-
роткое, скорость при этом еще не спадает до стационарного со-
стояния и в определенных пределах достигает высокого значения
(Vd > Ю7 см/с). Однако видно, что из-за широкого распределения
скоростей во времени полученные скорости ниже, чем можно было
получить для энергий, близких к ErL. Это означает, что в постоянном
поле накопленная энергия, которая должна увеличивать скорость,
Рис. 7.75. Влияние электрического поля E(t) различной конфигурации,
приложенного к образцу полупроводника, на энергию и скорость
электрона [6]:
а - ступенька бесконечной протяженности; б - короткий импульс
316
Глава 7 ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
интенсивно рассеивается на оптических фононах и скорость пада-
ет. Необходимо отметить также, что из-за инерционных явлений
(разгон термолизованных электронов) увеличение скорости сопро-
вождается неупругими столкновениями.
На рис. 7.15, б представлен второй случай, когда набор энергии
и скорости происходит в течение короткого импульса большой
амплитуды (—70 кВ/см). Видно, что электрон за короткое время
достигает скорости на порядок больше стационарной, а энергия не
доходит до энергии междолинных переходов (Еп). После оконча-
ния импульса скорость и энергия начинают релаксировать, причем
обе величины спадают.
Резкий рост скорости во время действия импульса (или, иначе
говоря, отсутствие значительного затягивания во времени) обу-
словлен именно малым временем воздействия поля - отсутствием
за это время существенного влияния рассеяния. Ничто (почти ни-
что) не тормозит рост скорости. Однако как только такое значение
скорости будет достигнуто, необходимо выключить электрическое
поле, чтобы не дать энергии увеличиться до энергии междолинных
переходов.
После выключения электрического поля электроны будут про-
должать двигаться в направлении поля по инерции или, как приня-
то говорить, движение будет носить баллистический характер. В
этом случае можно считать, что электрон движется по классиче-
ским законам, когда время пролета равно расстоянию между кон-
тактами, деленному на скорость пролета (конечно, если расстояние
между электродами мало, т. е. оно меньше длины свободного про-
бега, обусловленного временем релаксации по импульсу — d < Lp).
Это значит, что движение происходит либо без столкновения с
дефектами, либо с небольшим количеством актов рассеяния. Дви-
жение электронов будет в основном характеризоваться их инерци-
ей, а столкновения очень редко изменяют их регулярное движение.
В механике движение такого свободно брошенного тела описы-
вается баллистической траекторией. Этот термин произошел от
греческого слова «ballo», что означает «бросаю». Затем возникло
немецкое слово «Balistik» - наука, изучающая законы движения ар-
тиллерийских снарядов и пуль, которые, как известно, вылетают из
ствола под давлением пороховых газов, а затем летят по инерции.
В научно-технической литературе в настоящее время использу-
ется следующая терминология:
7.3. Баллистический транспорт а полупроводниках 317
Бесстолкновителъное движение электронов называется балли-
стическим, а с единичным или небольшим количеством актов рас-
сеяния - квазибаллистическим.
В описываемом случае, как видно на рис. 7.15, б, начальная
очень высокая скорость снижается достаточно медленно. В резуль-
тате носители зарядов могут преодолеть очень большие расстояния
за очень короткое время. Понятно, что слово «очень» означает «по
сравнению с обычным стационарным случаем - воздействием на
образец постоянного электрического поля». Основная проблема
теперь заключается в отыскании способа достижения этих условий,
т. е. встает вопрос: как получить максимальную величину средней
скорости на заданном промежутке <7? Для ответа на него проведем
небольшой аналитический расчет, используя хотя и грубые, но для
большинства реальных случаев правильные приближения.
Предположим, что время релаксации по импульсу и эффектив-
ная масса остаются постоянными для энергий, меньших энергии
междолинных переходов. Кроме того, как обычно, считаем, что
Хе >:> хр • Вспомним, что мы обозначили через Т время, за которое
энергия возрастает до величины междолинных переходов, а через
d- расстояние, которое пройдет носитель заряда за это время.
С этими предположениями для нахождения связи между d и Т
можно снова использовать классические релаксационные выраже-
ния или уравнения баланса усредненных импульса и энергии
(7.1.2) и (7.1.3).
Если электрическое поле во время движения носителя заряда
(случай overshoot) остается постоянным, расстояние, пройденное
ими за время Т, записывается, как мы уже зафиксировали, в виде
(7.3.3)
В случае же баллистического движения (предполагая включе-
ние очень короткого импульса электрического поля в самом начале
движения) пройденное расстояние будет равно
^bal
1-е Гр
(Ш)
318
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В рамках принятых нами допущений для точки Е = ErL зависи-
мости Е(к) начальная скорость равна
= ГГ}
dkJE=ErL
(7.3.5)
Эта величина есть также максимальная скорость для Е = ErL.
В предположении постоянства эффективной массы по всей
Г-долине до перехода в верхнюю долину Ко можно найти и из вы-
ражения
♦ т/2
2
-zX£rI.
Тогда do будет являться характеристическим расстоянием (по-
стоянной), зависящим только от природы полупроводника,
4)=*oV (7-3.6)
Из сравнения уравнений, определяющих d для overshoot и bal-
listic, при Т« тр получаем
dbaI=2dov = K0T. (7.3.7)
Это означает, что, используя баллистическое движение, для одного
и того же полупроводника и на одном расстоянии можно достичь
скорости в два раза выше, чем для случая overshoot. Однако это
преимущество, естественно, может быть реализовано только при
прохождении носителем очень коротких расстояний.
На рис. 7.16 показаны кривые, рассчитанные по приближен-
ным формулам (7.3.3) и (7.3.4) (сплошные линии) и методом Мон-
те-Карло (значки) при 77 К, которые могут быть использованы для
оценок условий осуществления режимов overshoot и ballistic для
любых полупроводников. По этим «универсальным», по утвержде-
нию авторов, кривым можно определить максимальную среднюю
скорость V-d/T, которую приобретает носитель, проходя рас-
стояние d в поле 10 кВ/см. Эта величина (значение скорости) по-
строена в зависимости от расстояния в относительных единицах
V/Vo =f{d/do). Из рис. 7.16 следует, что при равных условиях
7.3. Баллистический транспорт в полупроводниках
319
для одних и тех же расстояний баллистическая скорость действи-
тельно приблизительно вдвое превышает скорость носителей в
режиме overshoot. Все это, конечно, справедливо для расстояний
меньше d0. Для расстояний, превышающих этот предел (d > d0),
чисто баллистическое движение невыгодно, но режим overshoot
тем не менее продолжает обеспечивать повышенную среднюю
скорость. В последнем случае инерционным движением можно
пренебречь и средняя скорость будет рассчитываться по формуле
Ю = , (7.3.8)
' ' qd
где д = qrp / т*. Крайняя кривая справа соответствует V/V=d(i/(Zd).
Необходимо отметить, что в большинстве расчетов ballistic ef-
fect, приведенных в [5, 6], предполагалось взаимодействие элек-
трического поля различной конфигурации во времени с объемом
полупроводника, который всегда считался пространственно строго
однородным. Такую ситуацию довольно трудно осуществить на
практике, но это наиболее простой путь при проведении грубых
оценок характера взаимодействия электрического поля с носите-
лями заряда, когда они проходят
активную часть субмикронного
прибора.
Откуда же взять электроны с
такой высокой скоростью, чтобы
они начали двигаться баллисти-
чески? Не приводя подробных
формул или сложных энергети-
ческих диаграмм, рассмотрим на
основании общеизвестных све-
дений о полупроводниковых
структурах «инжектор» таких
электронов на основе гетеропе-
рехода, представляющего собой
границу между двумя полупро-
водниками с различной шириной
запрещенной зоны (например,
GaAs и AlGaAs).
Рис. 7.16. Максимальная среднепро-
летная скорость электронов, прохо-
дящих расстояние d, в функции
координаты [5,6]
320
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.17. Энергетические диаграммы (дна зоны
проводимости) баллистических униполярных тран-
зисторов на горячих электронах:
а - гетероструктурный с туннельным эмиттером,- б - с планар-
но-легированными барьерами,- в - с варизонными барьерами
и индуцированной базой
В AlGaAs электроны проводимости имеют более высокую по-
тенциальную энергию, чем в арсениде галлия. Когда к гетеропере-
ходу прикладывается электрическое поле, электроны с помощью
различных механизмов могут преодолевать барьер и переходить из
широкозонного полупроводника в узкозонный. При этом их по-
7.4. Подаижность электронов в системах с селективным легированием
321
тенциальная энергия уменьшается, но суммарная энергия остается
неизменной. Это значит, что кинетическая энергия электронов
возрастает, а следовательно, возрастает и их скорость.
На этом принципе создан целый ряд быстродействующих
транзисторов с баллистической инжекцией электронов. Энерге-
тические диаграммы таких приборов приведены на рис. 7.17 [11].
Видно, что величина начальной скорости инжектированных элек-
тронов определяется именно структурой барьера эмиттер - база.
Быстродействие транзистора определяется временем пролета
этих электронов через базу. Последнее определяется как t = d6 >
т. е. толщиной базы и начальной скоростью электронов. Как
было показано ранее, эта скорость порядка Iff см/с. Время про-
лета базы составит доли пикосекунды.
7.4. ПОДВИЖНОСТЬ ЭЛЕКТРОНОВ В СИСТЕМАХ
С СЕЛЕКТИВНЫМ ЛЕГИРОВАНИЕМ
Как отмечалось ранее, достижению предельного быстродейст-
вия электронных устройств мешает рассеяние частиц в реальных
системах. Поэтому важной задачей физики и технологии твердо-
го тела является совершенствование материалов и структур с це-
лью получения больших времен жизни, малых вероятностей
рассеяния, высокой подвижности и управляемой концентрации
носителей заряда. Одна из проблем, возникающих при этом, со-
стоит в том, что носители заряда в полупроводниках создаются
введением примесей и тем самым обычно ограничивается увели-
чение времени жизни и увеличивается рассеяние.
Как отмечалось в гл. 1, увеличение подвижности носителей за-
ряда может быть достигнуто в системах с модулированным или
селективным легированием. Гетероструктуры с селективным леги-
рованием (ГСЛ) представляют собой системы с неоднородным
распределением легирующих атомов и с гетерограницами, направ-
ляющими движение подвижных носителей заряда и разделяющими
носители заряда-и примеси. С этой точки зрения, методика се-
лективного легирования полупроводниковых структур пред-
ставляет собой способ обхода ограничений, связанных с
влиянием примесей на характеристики подвижных носителей.
С использованием такой методики удается получать исклю-
чительно высокие подвижности, представляющие интерес как
11 Основы наноэлектроники
322
Глава 7 ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.18. Зонная диаграмма гетеропе-
рехода AlGaAs-GaAs со слоем 2D
электронов у границы: точками обозна-
чены ионизованные доноры, z,- эффек-
тивная ширина области локализации
2Б-газа
для создания приборов, так
и для наблюдения новых
размерных эффектов.
Рассмотрим три вариан-
та реализации этого метода.
1. Селективное леги-
рование широкозонного
материала структуры. Из-
вестно, что при нанесении
легированного широкозон-
ного слоя AGaAs на нелеги-
рованный GaAs вследствие
различия электронного срод-
ства этих материалов у гра-
ницы их раздела формиру-
ется 2D электронный газ.
Зонная диаграмма такой структуры показана на рис. 7.18.
Причиной перехода электронов из барьеров в КЯ является бо-
лее низкая энергия электронных состояний в квантовой яме по
сравнению с энергией электронов, находящихся в зоне проводимо-
сти материала барьера или локализованных в барьерах на донор-
ных состояниях. При этом носители заряда в КЯ оказываются
«прижаты» к потенциальной ступеньке гетероперехода электриче-
ским полем заряженных доноров. Результирующее поле у самой
границы имеет почти треугольную форму и квантует движение
носителей.
Заряд, перешедший с примесных состояний AlGaAs через гра-
ницу раздела в GaAs, можно определить, приравнивая заряды
обедненного слоя в AlGaAs и обогащенного слоя, локализованно-
го в КЯ, и используя условие непрерывности уровня Ферми на
гетерогранице. Расчеты показывают, что в хорошей гетерострук-
туре AlGaAs-GaAs потенциальная яма у гетерограницы обычно
содержит лишь две заполненные квантовые энергетические подзо-
ны. Методика расчета распределения потенциала, концентрации и
подвижности электронов в ГСЛ, а также хода потенциала изложе-
на в [12].
Первыми такими ГСЛ были сверхрешетки GaAs - AlxGaj_x As,
выращенные методом молекулярно-лучевой эпитаксии с легирую-
щей примесью кремния. Эти структуры специально создавались
для разделения в сверхрешетках доноров и подвижных электронов
с целью увеличения промежутка времени между актами рассеяния
7.4. Подвижность электронов в системах с селективным легированием
323
[13], и эксперименты сразу же показали существенное увеличение
подвижности.
В результате многочисленных исследований для увеличения
подвижности (за счет еще большего разнесения ионизованных
доноров и подвижных электронов) было предложено использо-
вать тонкие нелегированные слои (спейсеры) широкозонного
материала непосредственно около границы раздела (рис. 7.18).
Для случая вырожденного 2D газа подвижных носителей с по-
верхностной концентрацией л5(см-2), отстоящего на расстояние
dj от двумерного слоя ионов с концентрацией 7/Дсм-2), в [13]
получено простое выражение для подвижности электронов
3/2
p = 16^J^— d?, (7 АЛ)
где dt - толщина спейсера, q - заряд электрона.
В (7.4.1) следует обратить внимание на рост подвижности с
увеличением концентрации подвижных носителей, поскольку в
случае 2D газа он перекрывает обычное падение р с ростом кон-
центрации ионов примеси Ns, когда ns -Ns. Такое возрастание
подвижности при больших ns связано с увеличением фермиевско-
го волнового вектора при росте
ns и ослаблением рассеяния на
ионах примеси с ростом энергии
электрона.
Возрастание подвижности
электронов с увеличением ns
будет продолжаться до начала
заполнения второго квантового
уровня, так как при формирова-
нии второй подзоны появляется
возможность для многозонного
рассеяния электронов.
Зависимости подвижности
электронов от их поверхностной
концентрации ns представлены
на рис. 7.19-7.21. Для изменения
поверхностной концентрации в
Рис. 7.19. Зависимость подвижно-
сти электронов от их поверхност-
ной концентрации для гетеропере-
ходов AlGaAs-GaAs с селективным
легированием [13]
324
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.20. Зависимость ПОДВИЖНОСТИ содержащей спейсер, верхние кривые - к
(а), поверхностной концентрации (б) структуре с толщиной спейсера 16,5 нм [13]
и проводимости (в) от смещения на
подложке в одиночной гетерострук-
туре AlGaAs GaAs с селективным
легированием Т~ 4,2 К [13]
Рис. 7.21. Зависимость подвижно-
сти электронов от их концентрации
в одиночной гетероструктуре А1-
GaAs-GaAs с селективным леги-
рованием:
нижняя кривая относится’ к структуре, не
экспериментах использовались
фотовозбуждение и эффект по-
ля. В приборах, где концентра-
ция варьировалась от 7 • 1О10 до
6 • 1011 см2, подвижность росла с увеличением концентрации по сте-
пенным законам от и'*’45 до [13].
Влияние заполнения второй подзоны показано на рис. 7.22.
Анализ показывает, что при заполнении второй подзоны подвиж-
ность электронов в первой падает примерно на 25 %. При этом
подвижность во второй подзоне составляет около 50 % от подвиж-
ности в первой [13]. Как уже было отмечено, уменьшение подвиж-
ности электронов в первой подзоне обусловлено межподзонным
рассеянием, а более низкая подвижность во второй связана с мень-
шей величиной фермиевского волнового вектора (меньшей величи-
ной кинетической энергии частиц во второй подзоне).
Возможность увеличения подвижности при увеличении
толщины спейсера показана на рис. 7.23. Видно, что при увеличе-
нии толщины спейсера от нуля до 150 А подвижность электронов
7.4. Подвижность электронов в системах с селективным легированием
325
Рис. 7.22. Влияние заполнения второй квантовой
подзоны на поверхностную {а), холловскую (б)
концентрации и подвижность (в) 2D электронов
от смещения Kg на подложке гетероструктуры;
индексы 1 и 2 относятся к первой и второй кван-
товым подзонам [13]
монотонно увеличивается даже при температурах порядка комнат-
ных. Средняя концентрация подвижных носителей при этом умень-
шается от 1,5 Ю17 до 0,7-1017 см’3 [13]. Следует отметить, что
наблюдаемая зависимость слабее, чем зависимость вида J3 и в
326
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.23. Температурная зависимость
подвижности электронов для ряда мно-
гослойных структур AlGaAs-GaAs с
селективным легированием, имеющих
различную толщину нелегированной
прослойки между каналом GaAs и
легированной областью AlGaAs; на
вставке показана форма холловского
мостика [13]
исследованных образцах с
di >150 А дальнейшего рос-
та р не наблюдалось.
В целом за счет исполь-
зования селективного леги-
рования в гетероструктурах
GaAs-Al^Ga^As при 300 К
достигнуто увеличение под-
вижности электронов в два
раза, а при 77 К - в десять
раз. В настоящее время мак-
симальная подвижность 2D
электронов 14,4 • 10б см2/(В • с)
наблюдалась в селективно-
легированной GaAs - AlGaAs
гетероструктуре со слоем
спейсера толщиной 68 нм
при 0,1 К. Такая величина
подвижности соответствует
длине свободного пробега
120 мкм. Двумерный газ имел
концентрацию электронов
2,4-1011 см 2. Этот экспери-
мент позволил установить, что
подвижность электронов и в
этом случае по-прежнему ог-
раничена примесным рассеянием, что оставляет надежду на ее даль-
нейшее увеличение [14].
2. Селективное легирование КЯ. Пространственного разделе-
ния подвижных носителей и ионизированной примеси можно до-
биться и при селективном легиро- ц
вании КЯ, т. е. узкозонного мате-
риала) (рис. 7.24) [15]. Изменяя
ширину КЯ, можно получить су-
щественное увеличение энергии ква-
зистационарных состояний в ней
по сравнению с энергией, соответ-
ствующей дну зоны проводимости
Ес во внешних слоях. При этом
энергия электронов, локализован-
Рис. 7.24. Энергетический про-
филь и распределение концен-
трации электронов при селек-
тивном легировании квантовой
ямы
7.4. Подвижность электронов в системах с селективным легированием
327
ных на донорных состояниях в КЯ, также может стать больше Ес
(см. гл. 3) и электроны из КЯ будут переходить во внешние слои,
удаляясь от ионизованной примеси.
3. Использование дельта-легирования. Термин «дельта-
легирование» означает получение легированного до вырождения
моноатомного слоя. Распределение легирующей примеси по коор-
динате в этом случае напоминает 5 -функцию, с чем и связано такое
название. Экранировка заряда ионизованной примеси подвиж-
ными электронами приводит к формированию V-образного потен-
циала (рис. 7.25).
Рис. 7.25. Дельта-слой: схема легирования (а), его энергетическая
диаграмма - (б) [16]
При этом характерные размеры квантовой ямы оказываются
сравнимы с длиной волны электрона, что приводит к существен-
ному квантованию энергетического спектра. Анализ осцилляций
Шубникова - де Гааза показывает, что в КЯ одиночных 5-слоев
с Ns = 6 1012 см’ 2 проявляются по крайней мере три уровня раз-
мерного квантования. Вообще говоря, Ns в одиночном 5-слое
может достигать 1014 см-?
Исследования [16] показали, что подвижность 8 -легированного
GaAs высокой чистоты существенно зависит от расстояния d между
отдельными 8 -слоями (рис. 7.26). Такую зависимость можно объяс-
нить, рассмотрев энергетическую диаграмму двухслойной 8 -струк-
туры (рис. 7.27). Оценки показывают, что в этих структурах до
d ~ 240 нм имеет место перекрытие потенциалов соседних КЯ. При
уменьшении расстояния между центрами ям высота барьера А£л
328
Главв 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.26. Температурная зависимость
эффективной подвижности электронов в
8-легированной структуре:
d = 30, 60, 240, 90, 150 нм (кривые 2-6 соответст-
венно); кривая 1- одиночный 8-слой [16]
между ними будет пони-
жаться относительно уровня
Ферми. Это приведет к росту
концентрации электронов п}
в зазоре между 5-слоями.
Причем при Т - 77 К и
d = 150 нм И] составит
20.. .30 % от полной концен-
трации по (в данном экспе-
рименте =3 1012 см 2 при
300 К). Рост концентрации
подвижных носителей, уда-
ленных от ионизованной
примеси, и вызывает рост
полной подвижности. При
этом увеличение оптимального расстояния между 8 -слоями будет
уменьшать количество электронов в зазоре, а уменьшение - при-
ближать электроны к рассеивающим центрам, что, в свою очередь,
приведет к падению общей подвижности в обоих случаях.
Конечно, рассеяние на ионизированных примесях определяет
подвижность лишь при низких температурах. Так, для гетерост-
руктур AlAs-GaAs-AlAs примесное рассеяние становится опре-
деляющим только при Т < 50 К. В области «азотных» темпера-
тур (77...90 К) обычно уже
преобладает рассеяние на
акустических фононах (на
деформационном и пьезо-
электрическом потенциалах),
а Цак~ 5 Ю5 (77/7) см2/(В • с).
При Т > 150 К в гетерост-
руктурах AlAs—GaAs—AlAs
доминирует рассеяние на
полярных оптических фоно-
нах с Цоп = {8,83 • (300/7) +
+ 570(77/7)6} • 103 см2/(В • с).
Рис. 7.27. Энергетическая диаграмма
двойной 6-структуры [16]
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия
329
7.5. ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СИСТЕМАХ
ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Рис. 7.28. Распределение кванто-
вых состояний в К-пространстве
для тонкой пленки
ямы, в первом Л-слое достигла
Проблема увеличения быстродействия электронных компонен-
тов прямо или косвенно приводит к задачам, связанным с необхо-
димостью подавления какого-либо одного или нескольких
механизмов рассеяния. При этом, как отмечалось в [17], пониже-
ние размерности системы способствует подавлению рассеяния. В
самом деле, при рассеянии на электронах, фононах и дефектах
должны выполняться законы сохранения квазиимпульса и энергии.
Так как некоторых значений этих величин в дискретном спектре
низкоразмерных систем нет, соответствующие акты рассеяния
могут быть запрещены. Кроме того, ограничивающим обстоятель-
ством является и уменьшение плотности конечных состояний, в
которые рассеивается частица.
Еще Л.В. Иогансен [18] обратил внимание на возможность частич-
ного подавления рассеяния в тонкопленочных системах. Рассмотрим
с этой точки зрения 2D -систему,
в основном следуя [18].
В гл. 3 показано, что по мере
увеличения концентрации элек-
тронов будут увеличиваться чис-
ло занимаемых подзон в £-про-
странстве и число заполненных
слоев в Х-пространстве (рис. 7.28).
При этом заполнение каждого
нового слоя будет начинаться от
оси | kz |. Например, заполнение
второго Л-слоя начнется с точки А
при условии, что энергия элек-
трона, связанная с движением
параллельно границам квантовой
величины
£п = 3---
П 2т*
(7-5.1)
равной разности энергий поперечного движения для второго и
первого уровней размерного квантования. Можно также показать,
330
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
что при Т=0 заселение второй подзоны (второго к-слоя) начнет-
ся, если концентрация электронов станет больше пкр:
%
(7.5.2)
Например, при ширине КЯ W = 10 нм икр=5-1018 см'3, причем
согласно (7.5.2) значение критической концентрации не зави-
сит от природы материала кантовой ямы, а определяется лишь
ее шириной {приближение БПЯ).
Состояние, отмеченное на рис. 7.28 точкой А, соответствует
электрону на втором уровне, движущемуся перпендикулярно к
границам КЯ. При этом энергия и квазиимпульс электрона будут
равны
4---- —
2т* \W)
Р±=2п—.
W
Испытав упругое рассеяние, такой электрон может перейти из со-
стояния, соответствующего точке А, в состояние, соответствующее
точке В с
х2
Л |
W J
2т
—1 , рп=73л—
W) r W п W
что отвечает рассеянию на угол © = 60°. Причем рассеяние на
меньшие углы невозможно, так как при этом одновременно не
могут быть удовлетворены ограничения, вытекающие из законов
сохранения энергии и квазиимпульса. В результате в тонкой плен-
ке оказываются подавленными все механизмы, вызывающие упру-
гое рассеяние на малые углы. Например, подавление рассеяния на
малые углы должно уменьшать степень диффузное™ при отраже-
нии электрона от стенок пленок с хорошим качеством поверхно-
сти, так как при малой высоте шероховатостей Д? по сравнению с
их средней протяженностью Дх диффузность обусловлена именно
рассеянием на малые углы [19]. Согласно оценкам [18] для элек-
тронов на втором уровне коэффициент диффузности вследствие
подавления рассеяния на малые углы должен уменьшаться по
сравнению со значением коэффициента диффузности одиночной
поверхности по порядку величины в ехр(д/зДх/(8лД?))2 »1 раз.
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия 331
Отметим, что это должно благоприятствовать резонансному про-
хождению электронов через многобарьерные структуры (см. гл. 8).
Л. В. Иогансен обратил внимание также на то, что ограниче-
ния, накладываемые законами сохранения энергии и квазиимпуль-
са, при низких температурах приведут к подавлению рассеяния на
акустических фононах в 2D -системах. Он указал, что при
Го = 73л(йи0 /(kQW)) (и0- продольная скорость звука) средний
импульс акустического фонона к0Т0/и0 станет равным изменению
продольного импульса электрона АРИ = л/Злй/1Р при переходе со
второго квантового уровня на первый. Таким образом, при даль-
нейшем понижении температуры число фононов, способных вы-
зывать рассеяние, будет убывать пропорционально ехр(-Г0/Г),
что должно привести к экспоненциальному росту длины пробега
электрона при рассеянии на акустических колебаниях. Оценки
показывают, что при и0~ 105 см/с W = 10 нм, То =10 К.
Более подробно с оценками электрон-фононного взаимодейст-
вия в низкоразмерных системах можно ознакомиться в [20-22].
С понижением размерности системы роль данных эффектов
должна возрастать.
Рассмотрим одномерный кристалл (атомную цепочку) с перио-
дом а. Энергия электрона е в такой цепочке определяется соотно-
шением [23]
е(Л) = е0 -2A(a)cos(ka), (7.5.3)
где Eq - энергия электрона в изолированном атоме; А(а) - веще-
ственный интеграл перекрытия атомных волновых функций; к-
волновой вектор электрона в атомной цепочке. Для одномерного
кристалла законы сохранения энергии и волнового вектора при
однофононном рассеянии электрона из состояния к в состояние
к' имеют вид
е(&)±Йсо(<7) = е(Л/), k±q = k', (7.5.4)
где q — волновой вектор фонона,
= co0|sin(^a/2)| (7.5.5)
есть частота акустического фонона, а <о0- максимальная частота
акустического фонона в цепочке атомов. После подстановки соот-
332
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ношений (7.5.3) и (7.5.5) в (7.5.4) законы сохранения (7.5.4) при-
нимают вид
4 J(a)sin|^(A: ± 5/2)a]sin(^a/2) - ha>0 [sin (<?а/2)|, (7.5.6)
где знаки «+» соответствуют процессам поглощения и излучения
фонона электроном. Если максимальная энергия акустического
фонона ё = Йо>0 превышает ширину зоны проводимости
Де = 4Л(а), то уравнение (7.5.6) имеет только тривиальное реше-
ние q = ±2nm/a (m = Q, 1, 2,...), которое соответствует сдвигу кри-
сталла как единого целого и не меняет межатомного расстояния а .
Таким образом, критерий исчезновения однофононного механизма
рассеяния электронов на акустических фононах имеет вид [24]
Де<е. (7.5.7)
Отсюда следует, что в кристаллических структурах с узкой зоной
проводимости Де, удовлетворяющей критерию (7.5.7), исчезает
вклад однофононных процессов в рассеяние носителей заряда для
всех электронных состояний данной зоны. Отметим, что рассмот-
ренная ситуация может быть практически реализована в конкрет-
ном физическом объекте - сверхрешетке с большим периодом,
помещенной в квантующее магнитное поле, направленное вдоль
оси сверхрешетки. Эго обусловлено тем, что в магнитном поле
движение электрона носит квазиодномерный характер (поскольку
движение в направлениях, перпендикулярных к магнитному полю,
локализовано на расстояниях порядка радиуса циклотронной орби-
ты), а наличие большого периода сверхрешетки позволяет добить-
ся малой ширины зоны проводимости (подзоны Ландау в
магнитном поле), удовлетворяющей ключевому для обсуждаемого
эффекта критерию (7.5.7) [25].
Еще одна возможность изменения процессов электрон-
фононного взаимодействия при понижении размерности системы
связана с изменением фононного спектра (см. гл. 6). Исследования
показали, что захват электронов в КЯ и локализация фононов
могут существенно изменять скорость электрон-фононного
взаимодействия. Особенно большой вклад дает рассеяние на фо-
нонных модах, обусловленных границами квантовой гетерострук-
туры.
Различная физическая природа захвата (локализации) электро-
нов в КЯ и локализации (захвата) фононов позволяет реализовать
структуры со смещением электронной КЯ относительно области
7.5. Особенности электрон-фононного взаимодействия
333
локализации фононов и осуществить их раздельное квантование,
что может радикально изменять электрон-фононное взаимодейст-
вие, в частности ослабить или даже устранить рассеяние электро-
нов фононами на границах гетероструктуры.
Рассмотрим, следуя [26], особенности, которые вносит в элек-
трон-фононное взаимодействие раздельный захват электронов и
фононов в КЯ. Захват электронов в КЯ возникает вследствие отра-
жения электронных волн от потенциальных барьеров, образующих
«стенки» ямы. В свою очередь локализация фононов является ре-
зультатом отражения упругих волн колебаний решетки от гетеро-
границ. Отметим, что потенциальные барьеры в слоях структуры
не локализуют состояния фононов. Захват колебаний решетки
происходит в полупроводниковом слое, помещенном между двумя
слоями другого полупроводника, если дисперсионные зависимости
колебаний на границах раздела между слоями не пересекаются.
Как показано в гл. 6, примером такой слоистой структуры является
AlAs - GaAs - AlAs, в которой имеет место локализация оптиче-
ских фононов.
На рис. 7.29 приведены примеры двумерных структур с раз-
дельным захватом электронов и фононов, в которых гетерограни-
цы определяют размер области локализации (т. е. КЯ) для
оптических фононов в слое GaAs . В свою очередь потенциальные
барьеры в зоне проводимости в виде р-п -перехода, планарно-
легированной структуры р+ -п-р+, б-слоя и гетеробарьера в по-
левом транзисторе с селективным легированием определяют раз-
мер КЯ для электронов.
С использованием приближения прямоугольных квантовых ям
для электронов и локализованных оптических фононов, в [26] про-
изведен расчет вероятности рассеяния электронов в двумерной КЯ
на локализованных оптических фононах. При этом было установ-
лено следующее.
1. В соответствии с законами сохранения энергии переходы с
эмиссией фонона возможны, если ширина КЯ для электрона равна
I <j2
(7.5.8)
V £ -I
где Z-ojn-=Й27г2/(2т*Йсо0), й<о0 - энергия оптического фонона; i,j-
индексы начального и конечного состояний; S( и S) - номера подзон
334
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.29. Структуры с независимым захватом электронов и оптических
фононов (верхний ряд) и идеализированные схемы этих структур (ниж-
ний ряд): сплошные линии - потенциал зоны проводимости - КЯ ши-
риной L для электронов; штриховые линии - границы гетеропереходов
AlAs -GaAs - КЯ шириной d для оптический фононов:
а - совместный захват электронов и фононов; б - независимый захват электронов в
л-слое р-л-перехода и фононной яме AlAs-GaAs-AlAs; в - то же, в р* -п- р+ -структуре;
г - то же, в 8-легированном слое; д - то же, в канале AlAs-GaAs-AlAs полевого
транзистора с модулированным легированием [26]
электрона до и после рассеяния; е* = гк /($(£$ - кинетическая энер-
гия электрона гк в начальном состоянии в единицах энергии опти-
ческого фонона.
Аналогично, переходы из нижней i -й подзоны в верхнюю с по-
глощением фонона возможны при условии
Z > LoirT
s]-s?
Е*+1
(7-5.9)
2. При совместном квантовании скорости рассеяния с перехо-
дами внутри первой подзоны (5=1) увеличиваются с ростом ши-
рины электронной потенциальной ямы, достигая максимальной ве-
личины при L = Lom, которая соответствует волновому числу элек-
трона с энергией, равной энергии оптического фонона. Затем
скорости внутризонного рассеяния плавно спадают с ростом ши-
рины ямы L. Скорость рассеяния с переходами в верхние подзоны
слабо зависит от ширины L электронной квантовой ямы. Зубчатый
7.6. Рассеяние электронов в 20-системах
335
характер зависимости суммарной скорости рассеяния от L обу-
словлен подключением межподзонных электронных переходов.
3. Раздельный захват электронов в КЯ шириной L, а оптиче-
ских фононов в GaAs в КЯ шириной d , причем L<d, увеличи-
вает скорость электрон-фононного рассеяния по сравнению со
случаем совместного захвата электронов и фононов (L = d ) как в
нижней подзоне электронной ямы, так и при переходах из второй
подзоны в нижнюю.
4. Увеличение рассеяния электронов нижней подзоны на фоно-
нах при их раздельном захвате пренебрежимо мало в толстых сло-
ях (£»£опт) и значительно - в тонких (£«£опт). Это
увеличение достигает десятков процентов, когда электронная КЯ
прижата к стенке фононной, и сотен процентов - при отрыве элек-
тронной квантовой ямы от стенки фононной ямы.
5. Скорость рассеяния электронов из второй в первую (ниж-
нюю) подзону при раздельном квантовании ( L < d ) почти не зави-
сит от сдвига электронной КЯ относительно фононной. Время
релаксации электронов с переходом из второй в нижнюю подзону
за счет эмиссии или абсорбции оптического фонона в узких
(L < 5 нм) и широких (Z > 20 нм) ямах превышает 2 пс и не зависит
от толщины фононной ямы.
7.6. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В 20-СИСТЕМАХ
Одним из основных механизмов рассеяния при 7’>100К в
2О-системэх на основе полупроводниковых соединений А3В5
является рассеяние на полярных оптических (LO) фононах. Учет
этого механизма рассеяния представляет определенные трудности,
связанные с необходимостью решения уравнения Больцмана вне
рамок приближения времени релаксации. В настоящее время для
анализа экспериментальных данных по температурным зависимо-
стям подвижности, определяемой рассеянием на полярных LO-фо-
нонах, в основном используется формула [28]
1 _ Зе2Йюш л/ш*Её1 (е’1 - £-1)
Т 2>/2^ГЙ2[ехр(й(0ЬоД7’)-1]х(е)
где т - время релаксации 2D электронов на полярных LO-фононах,
cdl0 — частота оптического фонона, е — модуль заряда электрона,
336
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ею,е- высокочастотная и низкочастотная (статическая) диэлек-
трические проницаемости; х(6)- задаваемая численно функция,
аргументом которой является отношение /kolq/Eq (x(T’)sl для
Т < 150 К ), Ео- энергия основного состояния бесконечно глубо-
кой КЯ.
В области высоких ( к0Т » /z(Dlo ) и низких ( Йсош » к0Т)
температур формула (7.6.1а) упрощается. Так, в области высоких
температур, где рассеяние носит упругий характер, время релакса-
ции 2D электронов на полярных LO-фононах может быть опреде-
лено по формуле
т~ 8ШЕ±
(7.6.16)
где JV -ширина КЯ; Е± = Й2Л2 /(2ш±), Ау-волновой вектор в
плоскости КЯ. В области низких температур, когда имеют место
только процессы поглощения фононов, для невырожденного элект-
ронного газа время релаксации равно
1 _ е17w*toLOeol (е« - е’1) 7
т 6д/2л A3/2exp(AcoLO /А0Г)х(б)
где
*e2(4+m
м 7 48
^0(4 + 02) (8 + 302) + ехр(-7Ю)-1
-1
- безразмерная функция, зависящая от параметра 0 = луй<оьо/Ео ;
Eq - Й2л2 /(2теп1Т) - энергия нижнего уровня изолированной БПЯ.
Необходимо отметить, что выражение (7.6.1) не учитывает
влияние конфайнмента фононов на рассеяние электронов, эк-
ранировку потенциала LO-фононов и распределение электронов
по состояниям. Реально рассеяние электронов на полярных
LO-фононах зависит от заполнения электронных состояний. Про-
веденные исследования показали, что, управляя спектром и запол-
нением состояний в КЯ, можно достаточно эффективно
регулировать интенсивность данного типа рассеяния. Причем та-
кое регулирование («инженерия рассеяния») позволяет как повы-
7.6. Рассеяние электронов в 2О-системах
337
шать, так и понижать подвиж-
ность электронов, что создает
предпосылки для оптимизации
параметров транзисторов [29].
Следует также обратить
внимание на то, что зависимо-
сти подвижности от ширины КЯ
при доминировании рассеяния
на полярных LO-фононах име-
ют осциллирующий характер.
Например, для квантовой ямы
Alo22Gao78 As/GaAs/Alo^Gao 78 As
зависимости подвижности от
ширины КЯ имеют два мини-
мума: при Z~18 и 30 нм [29].
Дело в том, что в данной КЯ
при Т~18нм энергетический
зазор между первой и второй, а
при L ~ 30 нм - между первой
и третьей подзонами размерно-
Рис. 7.30. Зависимости подвижности
электронов (а) и энергетических за-
зоров между подзонами размерного
квантования (б) от ширины КЯ
Alo,25Gao,75 As/GaAs/ Alo^Gao 75 As:
горизонтальными линиями показаны энергии
локализованных (36,2 мэВ) и интерфейсных
(45,9; 33,1 мэВ) фононов; цифры у кривых
указывают число учитываемых подзон,
начиная с нижней (первой)
го квантования оказывается
близким к энергии LO-фонона.
В результате при этих толщи-
нах КЯ наблюдается резонанс-
ное возрастание межподзон-
ного рассеяния электронов с
поглощением фононов, что и
приводит к оциллирующему
характеру изменения подвиж-
ности.
На рис. 7.30 приведены за-
висимости подвижности электронов ^(И7) и энергетических зазоров
между подзонами размерного квантования от ширины КЯ, рассчи-
танные в [30]. Там же показаны зависимости p(fT), рассчитанные
при учете лишь ограниченного числа подзон (пунктир). Видно, что
при увеличении ширины КЯ наблюдаются периодические смены
роста и уменьшения подвижности при каждом приближении одной
из верхних подзон к нижней (до первой) на расстояние, меньшее
энергии соответствующего оптического фонона.
Приведем основные закономерности, проявляющиеся при рас-
сеянии электронов в КЯ на полярных оптических фононах [30].
338
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
1. Сумма форм-факторов, соответствующих рассеянию элек-
тронов на каждой отдельной моде захваченных (локализованных)
и поверхностных фононов, равна форм-фактору, соответствующе-
му рассеянию электронов на объемных (незахваченных) фононах.
2. При вычислении потенциалов и спектра частот поверхност-
ных фононных мод их следует рассматривать независимо для каж-
дой границы раздела гетероструктуры. Взаимодействие поверх-
ностных фононных мод имеет место лишь в случае совпадения
частот их колебаний, как это имеет место, например, в симметрич-
ных гетероструктурах.
3. Как и в случае элементарной модели, внутриподзонное элек-
трон-фононное рассеяние в отдельной подзоне КЯ уменьшается с
увеличением ширины КЯ (частота переходов Это озна-
чает, что с увеличением ширины КЯ подвижность электронов
может стать больше, чем в объемном материале. Данное противо-
речие снимается при учете межподзонного рассеяния, так как
межподзонное рассеяние с поглощением оптического фонона ог-
раничивает рост подвижности. При увеличении ширины КЯ все
большее число верхних подзон приближается по энергии к нижней
на расстояние, меньшее энергии оптического фонона. В результате
с изменением ширины КЯ будут наблюдаться циклическое возрас-
тание и уменьшение подвижности.
4. Межподзонное рассеяние с участием оптических фононов
носит резонансный характер. Резонанс наблюдается, когда энерге-
тический зазор между подзонами становится равным и большим
энергии оптического фонона. При этом у электронов верхней под-
зоны появляется возможность перехода в нижнюю путем эмиссии
фонона, что резко увеличивает скорость межподзонного рассеяния.
Особенно резкие изменения межподзонного рассеяния наблюда-
ются при резонансном рассеянии на поверхностных фононах. Ко-
гда межподзонный энергетический зазор становится меньше
энергии оптического фонона, интенсивность межподзонного рас-
сеяния резко снижается, что задерживает неравновесные носители
в верхней подзоне.
5. Введение тонкого барьера в КЯ приводит в первую очередь к
изменению спектра фононов и снятию межподзонных электрон-
фононных резонансов, что позволяет увеличить подвижность элек-
тронов. Однако уменьшение рассеяния электронов на разделенных
барьером (фононной стенкой) захваченных фононах частично
компенсируется ростом рассеяния на поверхностных модах. Пол-
ной компенсации не происходит потому, что частота поверхност-
7.6. Рассеяние электронов в 20-системах
339
ных мод (а значит, и сила электрон-фононной связи) отличается от
частоты захваченных фононов.
Таким образом, использование особенностей раздельного за-
хвата электронов и фононов позволяет повысить подвиж-
ность электронов в гетероструктуре, а также создать
условия для образования инверсной заселенности квантовых
уровней.
Возможность подавления резонансного рассеяния путем вве-
дения тонкого барьера в КЯ исследовалась, например, в работах
[29-42]. На рис. 7.31 приведены зависимости подвижности элек-
тронов от ширины КЯ W, рассчитанные для простой квантовой
ямы и КЯ, содержащей три барьера (рис. 7.32). Как показывают
расчеты [32], в данном случае для простой квантовой ямы
вклад резонансного меж-
подзонного рассеяния ста-
новится существенным при
W> 13,6 нм, а для КЯ, со-
держащей три барьера, -
лишь в области 12 < W < 35
нм. В результате при
W > 54,3 нм подвижность,
ограниченная рассеянием
на LO-фононах, должна
возрасти почти в два раза.
При понижении темпе-
ратуры основным механиз-
мом рассеяния на коле-
баниях решетки становится
рассеяние на акустических
фононах.
Если полупроводнико-
вая пленка состоит из не-
Рис. 7.31. Теоретическая зависимость
подвижности от ширины КЯ при учете
рассеяния на LO-фононах:
сплошная линия - расчет для простой КЯ, штри-
ховая - для КЯ с тремя внутренними
барьерами
одинаковых атомов (например, GaAs) и связь между атомами час-
тично ионная, а элементарная ячейка не содержит центра симмет-
рии, то носители заряда могут рассеиваться на продольных
акустических фононах вследствие пьезоэлектрического рассея-
ния. При этом в случае 2П-систем
1 _ 2е2у]2т*кТК2
т Зл3/2Й2еое
(7.6.2)
340
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.32. Зонная диаграмма и волновая функция низ-
шей подзоны; обозначения кривых, как на рис. 7.32 [32]
здесь К2 - коэффициент электромеханической связи (для GaAs К2 -
= 3,39- КГ3).
При прохождении акустической волны кроме пьезоэлектриче-
ского рассеяния будет осуществляться также рассеяние на акусти-
ческом деформационном потенциале. В случае невырожденного
двумерного электронного газа выражение для времени релаксации
при рассеянии на акустическом деформационном потенциале мож-
но представить в виде
1,^, (7.6.3)
где Ех - константа потенциала деформации зоны проводимости,
С/ - модуль упругости продольных акустических колебаний, W -
ширина КЯ. В кубическом кристалле при распространении акусти-
ческой волны в направлении (100) Q =сп, в направлении (ПО)
G - (С11 + с12 + с4д)/2 , а в направлении (111) Q = (qi + 2с12 +
+4с44)/3. При распространении в других направлениях волны не
являются строго продольными и имеют скорости, промежуточные
по сравнению с распространением в направлениях (100) и (111);
сп> с12 и с44~ компоненты тензора упругости.
7.6. Рассеяние электронов в 20-системах 341
Отметим, что выражение (7.6.3) соответствует бесконечно
глубокой КЯ, поэтому время релаксации зависит только от
ширины квантовой ямы и не зависит от высоты и ширины
потенциальных барьеров. Это накладывает определенные огра-
ничения на использование (7.6.3) при анализе подвижности в КЯ с
достаточно узкими и невысокими барьерами.
Одним из важнейших механизмов рассеяния является рассея-
ние на ионизованных примесях. Согласно [31] время релаксации 2D
электронов в этом случае определяется выражением
i_ vi-cose^e (_.Л.
~ 7 7 I 7 7 7’ (7.6.4)
т 87ГЙ3(ЕОЕ1 2)-; (* +*s2)
где Nt — концентрация ионизованных доноров; & = 2&sin(0/2) -
величина 2D поперечного волнового вектора; ks - коэффициент
экранирования Дебая для статического электрического поля, при
низких температурах к2 = е2т* /(ntiE0EW) (см. (4.7.14)).
В области низких температур в рассеянии носителей заряда
важную роль могут играть также точечные дефекты, имеющие
различную природу. Например, в РЬТе с точки зрения рассеяния
кулоновский потенциал ионизированных примесей малоэффекти-
вен и рассеяние происходит главным образом на внутренней части
потенциала примесных атомов [33]. Такой близкодействующий
потенциал примесей и дефектов можно рассматривать как корот-
кодействующий 8-образный потенциал С/(г) = С/08 (г), где начало
координат выбрано на силовом центре [34]. Обычно предполагают,
что короткодействующий потенциал имеет радиус действия г0
порядка межатомных расстояний. Отметим также, что в рамках
борновского приближения UQ и г0 связаны соотношением
Ц) «(й2 //и)г0 •
Предполагая равномерное распределение независимых рассеи-
вающих центров по объему КЯ, выражение для времени релакса-
ции 2D электронов на короткодействующем потенциале можно
представить в виде [33]
1 = (7.6.5)
т 2Й3Ж
( N - объемная концентрация рассеивающих центров).
При низких температурах, когда атомы примеси еще слабо ио-
низованы, важную роль может играть рассеяние на нейтральных
342
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
атомах примеси. Рассеяние носителей заряда на нейтральных ато-
мах примеси обычно рассматривается как рассеяние медленных
электронов с массой тп на атоме водорода, погруженном в среду с
диэлектрической проницаемостью е. При этом можно предполо-
жить [35], что
2
т
ct
(7.6.6)
Для GaAs, например, согласно [32] а = 0,75 • 103 см2 • с-1.
Кроме рассмотренных выше механизмов рассеяния в тонко-
пленочных структурах заметную роль может играть рассеяние на
неоднородностях поверхностного потенциала (шероховатостях
поверхности). В этом случае
de, (7.6.7)
где E(k) = l + ks/k-, Д-средняя высота неровностей (шероховато-
стей) гетерограницы (обычно порядка 1-2 монослоя); Л-харак-
терная длина (протяженность) шероховатостей в направлении,
параллельном границе; Г = 5?70/ЭИ/- сила интерфейсного рас-
сеяния, Uo - глубина потенциальной ямы [36].
Принимая для КЯ модель с бесконечно высокими стенками,
для оценки Г получим
г h2n2
dw m*W3 ’
(7.6.8)
Если барьеры или КЯ изготовлены из твердого раствора, то
флуктуации его состава также приведут к флуктуациям глубины
КЯ. Согласно [37] в качестве флуктуирующего параметра при этом
целесообразно использовать разрыв ширины запрещенной зоны
материалов барьера и ямы (&Eg), считая, что глубина ямы Uo
пропорциональна этой величине.
Отметим, что в общем случае при увеличении ширины кван-
товой ямы рассеяние на неоднородностях и дефектах гетеро-
границ снижается.
7.7. Особенности рассеяния квазидвумерных электронов в сверхрешетках 343
7.7. ОСОБЕННОСТИ РАССЕЯНИЯ
КВАЗИДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В СВЕРХРЕШЕТКАХ
Анализ особенностей рассеяния электронов в полупроводни-
ковых сверхрешетках типа I, следуя работам [38^40], проведем в
одномини-зонном приближении.
Будем полагать, что энергетический спектр электронов в ос-
новной (нижней) мини-зоне сверхрешетки в приближении слабо
взаимодействующих квантовых ям описывается формулой
2 2
Е(к) = Ео + + А[! _ cos(Az J)], (7.7.1)
где Eq - энергия, соответствующая дну нижней мини-зоны сверх-
решетки, отсчитанная от дна изолированной КЯ конечной глуби-
ны; к±=(йх, волновой вектор, перпендикулярный к оси
сверхрешетки; т± - перпендикулярная эффективная масса, близ-
кая по величине к эффективной массе материала КЯ; d = (W + L) -
период сверхрешетки. Для оценки ширины мини-зоны будем ис-
пользовать выражение [35]
Д£16^ (772)
71 у MlyyUq
где L - ширина барьера сверхрешетки, Uq - высота барьера;
mw > ть ~ эффективная масса электронов в КЯ и барьере;
s = y/2mLUQ / Й. Кроме того, для корректного использования урав-
нения Больцмана предположим, что выполняются условия
eFd<h/xn, (7.7.3а)
Й/тп<Д<ЙТ, (7.7.36)
где F - напряженность электрического поля, а тп - эффективное
время релаксации, соответствующее движению электронов вдоль
оси сверхрешетки. Условие (7.7.3а) обеспечивает квазидвумер-
ность электронного газа, условие (7.7.36) предполагает слабость
рассеяния и большую длину свободного пробега вдоль оси сверх-
решетки, что необходимо для формирования мини-зоны. Пренеб-
режем также влиянием конфайнмента фононов на рассеяние
электронов.
344
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В этом случае для невырожденного электронного газа без учета
экранирования дальнодействующего поля полярных оптических
фононов при Ег =1г2к^/(2т±)—>0 выражение для поперечного
и продольного эффективного времени релаксации принимает ана-
литический вид
т,- » т0 (£) = т0 = тх(е), (7.7.4)
где индекс i =Х или ||;
6 V2 леое’ Й3^2 ехр (йсо/ кТ )
(7.7.5)
- низкотемпературное время релаксации на полярных LO-фононах
в полупроводниках А3В5; е* ^е^-е,1; Йсо - энергия фонона;
”в ^4+в ) ^е(4+в2) (8 + 302) + ехр(-тг0)-1
Х(в)= 48
(7.7.6)
- безразмерная функция, зависящая от параметра 0 = д/йсо/Ео ,
Ео = й2л2 /(2типИ/) - энергия нижнего уровня изолированной БПЯ.
Отметим, что согласно (7.7.4) в сверхрешетке низкотемпера-
турное время релаксации на полярных LO-фононах, как и в объем-
ных полупроводниках А3В5, является изотропным и не зависит от
энергии. Кроме того, согласно (7.7.5), (7.7.6) с увеличением шири-
ны КЯ и энергии полярных оптических фононов различие в ин-
тенсивности рассеяния между объемным полупроводником и
сверхрешеткой ослабевает.
В случае упругого рассеяния электронов на деформационном
потенциале акустических фононов в приближении объемного фо-
нонного спектра с учетом конечной высоты и ширины потенци-
альных барьеров сверхрешетки согласно [39] выражение для
продольного и поперечного времени релаксации можно предста-
вить в виде
тп=т±=ат0, (7.7.7)
где т0 определяется выражением (7.6.3),
а
_2F 2
О J
и=—со
7.7. Особенности рассеяния квазидвумерных электронов в сверхрешетках 345
, CL - константы С при значениях параметров, соответствую-
щих материалу КЯ и потенциальных барьеров сверхрешетки;
с=е1л/^77с; — параметр взаимодействия электронов с акустиче-
скими фононами.
Согласно (7.7.7) время релаксации квазидвумерных электронов
сверхрешеткок при рассеянии на деформационном потенциале
акустических фононов является изотропным. Анализ показывает,
что с ростом ширины барьера L (при постоянной ширине КЯ W )
и высоты потенциального барьера Uo (при постоянных L и W)
время релаксации монотонно убывает. Зависимость а от ширины
КЯ имеет немонотонный характер.
При учете упругого рассеяния электронов на однозарядных
ионах примеси в приближении хаотических фаз для рассеивающе-
го потенциала и однородного распределения ионов примеси по
объему сверхрешетки для времен релаксации согласно [38] имеем
1 “г U2(x}
= Cj J- . I 7 dx, (7.7.8)
Т± 0 J(^2+Ys)(4E + x2+Ys)
I _с °°fsm2(0,5T]x) U2(x)(4E + 2x2+2yl)
T"<£) » VP+T?) 3(4£ + x2+7’)3
348
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
области температур близка к величине подвижности, рассчитанной
для объемного GaAs. При рассеянии на ионах примеси поперечная
подвижность сверхрешетки по величине и температурной зависи-
мости также близка к объемной, тогда как продольная и по вели-
чине, и по температурной зависимости существенно от нее
отличается:
ц! ос <тх> К ТХА, ц-ц ос <тп)/Т ос Т~°-5, >4 ос (г) ос Г13.
В случае рассеяния на акустических фононах даже поперечная
составляющая подвижности оказывается существенно меньше
своего значения в объемном материале. При этом
i4c_ Пё~
цхС УлкТ ’
где Е = Й27Г2/(2»1±Ж). Согласно [38] это отношение при азотной
температуре для сверхрешетки GaAs/Alq,36Gao,64As примерно равно 5.
7.8. ТЕРМОЭДС В КВАЗИДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
В случае двумерного газа носителей заряда выражение для
электронной составляющей термоЭДС можно получить, обобщая
известное выражение для коэффициента термоЭДС в случае объ-
емного электронного газа [34]
а(Г)=-
л2к0 к0Т
1 + £f
d Lnt ]
dE L=ef
(7.8.1)
где k0 - постоянная Больцмана; e - заряд электрона; т - полное
время релаксации 2D электронов; Ер - энергия Ферми.
В квазидвумерных системах (например, в сверхрешетках) на-
ряду с переносом носителей заряда в плоскости слоев появляется
возможность переноса и в направлении, перпендикулярном к
плоскости слоев. Обычно параметры, характеризующие распро-
странение носителей заряда вдоль этих направлений, существенно
различаются. Анизотропия кинетических коэффициентов при этом
в первую очередь связана с особенностями энергетического спек-
тра, имеющего квазидвумерный характер (см. формулу (7.7.1)).
Другой причиной анизотропии являются особенности рассеяния,
7.8. ТермоЭДС в квазидвумерных системах
349
которые в приближении времени релаксации в анизотропных сис-
темах описываются тензором обратного времени релаксации.
В общем случае тензор обратного времени релаксации носите-
лей заряда на фононах различного типа имеет вид [41]
~=00Г^к’ (7-8-2)
где g(E) — плотность состояний в квазидвумерной системе; kt оз-
начает продольную к± и поперечную kz компоненты волнового
вектора; г = 0 соответствует рассеянию носителей заряда на аку-
стических и неполярных оптических фононах, а г = 1— рассеянию
на полярных оптических и пьезоакустических фононах.
На основании решения кинетического уравнения в приближе-
нии тензора обратного времени релаксации с учетом особенностей
энергетического спектра квазидвумерных систем можно получить
выражения для коэффициента термоЭДС в плоскости слоев а± и в
перпендикулярном направлении ап. Согласно [41]
а±=а0
аП - а0
T?F л, +1\ А),о,г Ef ®(2Eq Ef}
ЧО.г+1 £0 z0sin(zo)
Ef Г Л,2,0.5г-1 _ ®(^0 ~^f)
koT2 1г,2,о.5г Ео zosin (zo)
7.8.3)
(7.8.4)
где а0=-(л2 /3)(/г0 /1 е IX^T I Ef)', Ef- энергия Ферми; ®(х)- еди-
ничная функция Хевисайда, ®(х) = 0 при х < 0, ®(х) = 1 при х > 0;
(7-85)
z = kzd', Zq=h при Ef>2EQ и z0 =arccos(l-£’F/£,0) при
Ef < 2Eq , Eq — А/ 2.
В случае рассеяния носителей заряда на полярных оптических
и пьезоакустических фононах выражение для коэффициента тер-
моЭДС в аналитическом виде удается получить только для а±
[41]. При Ef >2Е0
а± - 2а0
Ер
.Ео.
Ер/Ер-1
(£F/£o-l)2+O,5
(7.8.6)
350
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
при Ер < 2Е0
a±=2a0tgf—-------------------------------L
I 2 J[_ctg (z0) + l/sin(2z0)-l,5/z0 2z0
(7.8.7)
В случае рассеяния на акустических и неполярных оптических
фононах коэффициенты термоЭДС из-за одинаковой зависимости
времени релаксации от волнового вектора для обоих механизмов
рассеяния описываются одинаковыми выражениями. При Ер > 2Е0
a± “ao/0~^o/^'F) ’ ап = 0 > (7.8.8)
а при Ер < 2Е0
а± = v т/--------ГГЛ
<2j[_Vz0-ctg(z0)
1
z0
au=_aoMfo/^) (789)
z0
Согласно (7.8.8), (7.8.9) в случае рассеяния на акустических и
неполярных оптических фононах коэффициент термоЭДС ап при
Ер > 2Е0 равен нулю, а при Ер < 2Е0 имеет положительный знак.
Такое поведение ап, по-видимому, обусловлено анизотропией
эффективной массы и отражает тот факт, что компонента тип яв-
ляется знакопеременной функцией kz (см. формулу (7.7.1)).
Полученные выражения для коэффициентов термоЭДС и вре-
мен релаксации позволяют оценить термоэлектрическую эффек-
тивность (добротность) многослойных структур:
A: + £ph
(7.8.10)
Здесь а- проводимость системы; А- электронная теплопровод-
ность; kph - теплопроводность решетки.
В предположении, что фононная составляющая теплопровод-
ность £ph неизменна, в [33] с использованием приближения вре-
мени релаксации для учета рассеяния на акустических и полярных
оптических фононах, а также короткодействующем потенциале
примесей было проведено сравнение термоэлектрической доброт-
ности в двумерном и трехмерном случаях. В результате установле-
но, что учет уменьшения времени релаксации в двумерном случае
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
351
приводит к тому, что выражения для термоэлектрической доброт-
ности в обоих случаях совпадают и их величины оказываются рав-
ными, если химический потенциал в каждом случае выбирается из
условия максимума добротности. Следует, однако, отметить, что в
двумерных структурах существуют дополнительные факторы
(туннелирование через барьеры в соседние КЯ, рассеяние на флук-
туациях поверхностного потенциала и т.п.), отрицательно влияю-
щие на их термоэлектрическую добротность, учет которых может
значительно изменить существующие оценки.
7.9. АСИММЕТРИЧНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Среди кристаллов особыми свойствами отличаются системы с
нарушенными фундаментальными симметриями относительно ин-
версии координат и относительно обращения времени [27, 42, 43].
Для создания таких систем могут быть использованы технологии
наноэлектроники, позволяющие в широких пределах изменять
физические свойства структур. Например, квантовые структуры на
основе асимметричных КЯ и инверсионные каналы будут очевид-
ным образом лишены центра инверсии. В качестве же причины,
обеспечивающей нарушение t -инвариантности в таких структу-
рах, может служить внешнее магнитное поле В.
Обсудим основные особенности энергетического спектра и
движения носителей заряда в асимметричной квантовой структуре
при наличии магнитного поля,
в основном следуя [27].
Рассмотрим бесспиновые
носители заряда в квантовой
структуре, описываемой по-
тенциалом C7(z) (рис. 7.33).
Магнитное поле В полагаем
лежащим в плоскости кванто-
вой ямы (в ||у).
При такой ориентации
магнитного поля и квантовой
Рис. 7.33. Потенциальный профиль
асимметричной двухбарьерной КЯ
структуры уравнение Шредингера допускает разделение перемен-
ных. В результате для стационарного случая волновую функцию и
энергетический спектр можно представить в виде
у П (z) = Ф» (kx,z)exp[i(kxx + ^у)],
352
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Еп {кх, ку ) = Еп (кх ) + ——
Компоненты волновой функции <p„(£x,z) и спектра Е„(кх), свя-
занные с движением вдоль оси квантовой структуры, определяют-
ся из решения одномерного уравнения
-^-А- + 4-юо^2(^-2Го)2 + ^) <p„(^,z) = E„<p„(^,z); (7.9.1)
L 2т dz 2 J
здесь u)Q = qB/m - циклотронная частота; =til(qB) - магнитная
длина; z0 = кх1^ - координата «центра орбиты» электрона в маг-
нитном поле.
Основные свойства данной системы проиллюстрируем на про-
стой модели. Рассмотрим две различные КЯ, имеющие вид
5-функций, расположенных на расстоянии а друг от друга. В этом
случае
U (z) = -Ux (z) - U2 (z) = -Ц5(г + 0,5а) - t/25(z - 0,5а). (7.9.2)
Полагаем, что Ux 2 > 0.
Известно, что спектр свободных электронов (17= 0) в магнит-
ном поле вырожден относительно положения «центра орбиты»:
Е„(кх)= E°(z0) = /ko0(n + 0,5) = const. Потенциал (7.9.2) снима-
ет это вырождение и приводит к появлению дисперсии Еп(кх).
В сильном магнитном поле ({7/йсо0 «1) потенциал (7.9.2) можно
считать возмущением. При этом в первом порядке по потенциалу
U(z) для сдвига уровней энергии с п = 0 имеем
E'(kx)^E'(zo)^
Л, ехр
z0 +0,5а
+ Д2 ехр
z0 -0,5а.
< 1в
, (7.9.3)
где Д12 = Jt/12(z)Jz.
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
353
Наличие дисперсии означает возникновение в данном кванто-
вом состоянии тока, текущего вдоль оси х,
(7.9.4)
Необычность ситуации состоит в том, что области локализации
по координате z волновых функций, отвечающих различным кван-
товым состояниям кх - z0lg2, пространственно разнесены. Поэто-
му локальная плотность тока в квантовой структуре в поперечном
(по отношению к оси z) магнитном поле отлична от нуля. Как сле-
дует из (7.9.3), спектр носителей заряда в такой асимметрич-
ной квантовой структуре (Aj Д2) в магнитном поле будет
асимметричен по квазиимпульсу
E(kx)*E(-kx). (7.9.5)
Так как рассматривались бесспиновые носители заряда, асим-
метрия спектра (7.9.5) не связана с релятивистским спин-
орбитальным взаимодействием, а обусловлена исключительно
орбитальными эффектами и может быть велика.
В системе с асимметричным спектром скорости в состоя-
ниях кх и - кх в сумме не равны нулю (и(Ах) + о(-Лх)^0).
Однако поскольку выражение для тока (7.9.4) имеет вид полной
производной, при интегрировании по заполненным состояниям
с функцией распределения, зависящей только от энергии, пол-
ный ток будет обращаться в нуль. Вместе с тем при интегри-
ровании с неравновесной функцией распределения полный ток
может быть отличен от нуля.
Если, например, неравновесность вызвана оптическим воз-
действием, то в системе будет иметь место фотогальванический
эффект. Теория фотогальванического эффекта в структурах с
асимметричным по импульсу спектром подробно изложена в [42].
Отметим также, что в [27] предсказано наличие в рассматри-
ваемой структуре двух типов нелинейных по магнитному полю
магнитоэлектрических эффектов: продольного (по отношению к
оси z структуры), когда электрическая поляризация вдоль оси z
( Bz ), существующая и в отсутствие магнитного поля, изменяется в
слабых полях квадратично по полю, и поперечного, когда в струк-
туре в скрещенных магнитных полях, одно из которых направлено
12 Основы наноэлектроники
354
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
вдоль оси z, а другое - вдоль плоскости КЯ ( Ву ), возникает элек-
трическая поляризация вдоль плоскости ям.
Увеличение локализации волновой функции с увеличением
магнитного поля В приводит к тому, что электрон все меньше
«чувствует» наличие второй КЯ. Так как и при В= 0 данные эф-
фекты отсутствуют, например, ток J - 0, зависимость этих эффек-
тов от магнитного поля должна иметь максимум при
промежуточных значениях В. В этой области информацию о по-
ведении системы можно получить в результате численного реше-
ния уравнения (7.9.1).
Для системы, содержащей две прямоугольные КЯ одинаковой
глубины и барьеры одинаковой высоты с размерами КЯ
Я] = 0,58А, а2 = 0,5А и среднего барьера b - 0,5А (здесь
л^2Л2М, высота барьера), результаты расчета за-
кона дисперсии Е(кх} представлены на рис. 7.34. Видно, что с уве-
личением магнитного поля меняется форма кривой закона
дисперсии и появляется дополнительный минимум. Значение маг-
нитного поля, при котором появляется второй минимум (много-
связность поверхности постоянной энергии), уменьшается с
ростом ширины барьера между КЯ. Для рассматриваемой двухъ-
ямной структуры при ти = О,О677Ио и АС7 = 0,1 эВ, что соответст-
вует разрыву зоны проводимости для гетероперехода
GaAs - Alx Ga^ As при х = 0,1, два минимума появляются при
В = 5 Тл [27]. Аналогичный вид будут иметь и дисперсионные
кривые для дырок. Однако положения экстремумов Е{кх^ для
Рис. 7.34. Дисперсионные кривые для
двухъямной структуры cj = 0,5 8 А ,
а2 = ОЛА , b = 0,5А в магнитном поле В:
кривая / - 0,5 Тл, 2-1,0 Тл, 3 - 2,0 Тл [27]
электронов и дырок в об-
щем случае не совпадают.
Таким образом, прило-
жение магнитного поля
приводит к тому, что
прямозонная асиммет-
ричная структура стано-
вится непрямозонной.
Необходимо также от-
метить влияние магнитного
поля на зависимость элек-
тронной плотности в КЯ от
величины приложенной к
структуре разности потен-
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
355
Рис. 7.35. Зависимость электронной плотности о в
КЯ от приложенной к структуре разности потен-
циалов V при В = 0 (кривые 1- Ю], 2 - <о2 ) и при
В = 3 Тл (кривые 3 - а,, 4 -со2 ) для двухъямной
структуры с й] = 0,5Л, а2 = 0,6Л , b = О,ЗА [27]
цианов. На рис. 7.35 представлены зависимости вероятностей на-
хождения электрона в КЯ 1-<0j и КЯ 2-со2 от приложенной к
структуре разности потенциалов V для двухъямной структуры с
размерами aj=O,5A, «2=0,6Л, 6 = 0,ЗА для значений кх, соот-
ветствующего абсолютному минимуму на кривой Е(кх). Видно,
что при наличии магнитного поля зависимости co(F) становятся
более резкими. Причем при достижении критического значения
Ккр происходит скачкообразное изменение локализации волновой
функции. Вблизи Гкр включение магнитного поля существенно
меняет соотношение между СО] и со2 • Это в свою очередь приводит
к резкому изменению сопротивления как вдоль отдельных слоев,
так и при их параллельном включении, если параметры слоев раз-
личаются, что можно использовать при создании различного рода
электронных устройств [44, 45].
Рассмотрим теперь связанные с асимметрией энергетического
спектра особенности электрон-фононного взаимодействия.
Возьмем квазидвумерную (2D) электронную систему в коорди-
натах (х у, z), где ось z перпендикулярна к плоскости 2D слоя.
Магнитное поле В =(0, Ву, 0) направим вдоль оси у и выберем
векторный потенциал в виде А = (Byz, 0, 0). Тогда выражение для
гамильтониана электрона можно представить в виде
н=+eByZ}2+p2y+pi\+U(z) ’ (7-9-6)
356
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
где т — эффективная масса электрона; е - модуль заряда электро-
на; U(z) - квантующий потенциал 2В-системы, а волновая функция
электрона
= C<p(kx,z)exp(ikxx + ikyy^exp(-iEkt/ti), (7.9.7)
где нормировочная константа
С 00 YV2
с= L*Ly fk(^’z)|2 dz »
Lx и Ly - размеры 2D-системы вдоль осей х и у; к- волновой
вектор электрона, а Ек- энергия электрона. Подстановка (7.9.7) в
уравнение Шредингера с гамильтонианом (7.9.6) приводит к сле-
дующему уравнению:
Л2 d\(kx,z^
2т dz2
к2 к2
2т
heBvkYz
т
(eByz)2
2т
+ U(z}-E(kx) q>(*x,z)=0, (7.9.8)
где энергия
h2k2
Е(кх) = Ч~-^-
2т
Для анализа интересующих нас эффектов воспользуемся моде-
лью треугольного квантующего потенциала (асимметричный по-
тенциал)
Щ*) =
оо,
eEzz,
z<0,
z>0,
(7.9.9)
используемой при расчете энергетического спектра электронов в
инверсионных слоях на поверхности полупроводников, где Ez-
модуль напряженности электрического поля на поверхности. Бу-
дем рассматривать электронную сыистему в квантовом пределе,
когда электроны заполняют состояния лишь в нижней электронной
подзоне, при выполнении условия (d0/1В^ «1,
где
\6meEz>
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
357
— толщина электронного 2Е)-слоя (среднее удаление электрона от
границы z = 0 ) при Ву - 0, а
еВ„
- магнитная длина (радиус циклотронной орбиты электрона в маг-
нитном поле). Тогда решение уравнения (7.9.8) с потенциалом
(7.9.9) для нижней электронной подзоны имеет вид [46]
е(*х) =
ЙеДЛУР3
h2k2x
+-----
2т
(7.9.10)
<p(*x,z)=-
2meEz 2.еВукх' е(Ах) - h2kx /2т
ч Й2 й J eEz+heBykx!m
z-0’ (7.9.11)
z<0,
где Ai(Q - функция Эйри.
Из (7.9.10) следует, что при Ву *0 ив этом случае появляется
асимметричный энергетический спектр электрона
е(их)*8(-их), (7.9.12)
где их =(1/й)[0е(Ах)/Зйх] - скорость электрона вдоль оси х
Физическая причина появления асимметрии (7.9.12) состоит в
следующем. Магнитное поле, параллельное плоскости 2О-системы,
не может обеспечить вращательное движение электрона по цикло-
тронной орбите и приводит лишь к небольшому изменению волно-
вой функции. При движении электрона со скоростью их на него в
направлении {-z} действует сила Лоренца, в связи с чем макси-
мум волновой функции электрона смещается в направлении (-z) .
При движении электрона со скоростью —их направление силы
Лоренца меняется на противоположное и смещение максимума
волновой функции электрона происходит в направлении (-z).
Поэтому в несимметричном потенциале U(z) U(-z) энергия
электрона е(ох) е(-ох) .
358
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Е
Рис. 7.36. Изменение
состояния электрона под
действием силы Fx (пе-
реход 1->2) и силы -Fx
(переход 1->3)
Благодаря асимметрии (7.9.12) дина-
мические свойства электронной систе-
мы оказываются различными для
направлений {х} и \-х). Продемонстри-
руем это различие на примере. Пусть в
начальный момент времени электрон об-
ладает скоростью иХ| = 0 и находится в
состоянии 1, что соответствует минимуму
энергетической подзоны (7.9.10), изобра-
женной на рис. 7.36. Под действием силы
Fx электрон за время t будет переходить
в состояние 2, а под действием силы -Fx
за это же время будет переходить в состоя-
ние 3, так что kx2 - кхХ - кхХ — кх3 = Fxt/h .
Поскольку энергетический спектр электрона E(Arx) асимметричен
для направлений {кх^ и {~кх}, приобретенная электроном ско-
рость и х2 * ох3.
Таким образом, передаваемый электрону со стороны внешней
силы кинетический импульс, равный произведению массы элек-
трона и скорости ох, оказывается различным для сил, действую-
щих в направлениях и (-х). Отсюда следует, что при
возмущении электронной системы внешним воздействием, изо-
тропным относительно направлений (х) и (-х), возникает раз-
личная передача кинетического импульса электронной системе в
этих направлениях и это приводит к появлению дрейфа электронов
вдоль оси х [46]. Иными словами, любое изотропное возмущение
любой электронной системы с асимметричным энергетическим
спектром e(ux)^e(-ox) вызывает возникновение электродвижу-
щей силы вдоль оси х.
Рассмотрим этот эффект подробнее для случая, когда возму-
щение электронной системы обусловлено взаимодействием элек-
тронов с акустическими фононами.
Из асимметрии энергетического спектра электронов (7.9.12)
непосредственно следует пространственная асимметрия электрон-
фононного воздействия: одинаковые фононы ео взаимно противо-
положными направлениями волнового вектора будут по-разному
взаимодействовать с электронами.
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле
359
Рис. 7.37. Структура элект-
ронных переходов при по-
глощении фононов с вол-
новыми векторами q и -q
Физическая причина этой асимметрии состоит в следующем.
При поглощении фонона электрон переходит из одного состояния
подзоны (7.9.10) в другое. При этом начальное кх и конечное к'х
состояния электрона удовлетворяют законам сохранения энергии и
волнового вектора
Е(^1) = Е(*х1) + ЙО/Ы’
к'х\=кх\+(1х’
е«2) = е(^2) + ЙО/ |?х|,
. к'х2=кх2~Ях’
где и/ - продольная скорость звука в
кристалле, что схематично изображено
на рис. 7.37.
Так как электронные подзоны е(Лл)
асимметричны для направлений (кх} и
{~кх}, волновые функции (p(Ax,z) на-
чального и конечного состояний элек-
трона меняются при изменении знака
компоненты волнового вектора qx. Из
уравнений (7.9.10), (7.96.11) следует,
ЧТ» ф(*х1>2)*ф(Лх2>2) и
* ф(^х2>г) Поэтому матричные элемен-
ты потенциала электрон-фононного
взаимодействия (7(q) оказываются различными для процессов
поглощения фононов с компонентами волнового вектора qx и
-qx, так что
|(ф(Лх1»г)| *Лч) |ф(^)|*
* |(ф(*х2» z)|^( Ч)|ф«2>2))| •
Поскольку вероятность взаимодействия электронов с фононом
^(Ч)°°|(ф(*х>2)|^(ч)|ф(*х»z))|2 .
при qx 0 вероятности взаимодействия электронов с фононами q
и - q оказываются различными [47]. В частности, для фонона с вол-
360
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
новым вектором q = (qx,0, qx) при (qxd0)2 «1 вероятность взаи-
модействия с электроном в слабом магнитном поле имеет вид [48]
^(ч)=^о(ч)
1 2 ( л \2 {я
1 + 7т(^о) — ТГ
15
(7.9.13)
где Wo (q) - вероятность взаимодействия электрона с этим фоно-
ном в отсутствие магнитного поля, так что
4 ( В 'I
0W-^(-q)=-(<7z4>) S — Trko(q)-
15
Из проведенного анализа видно, что пространственная асим-
метрия электрон-фононного взаимодействия представляет собой
чисто квантовое явление. Рассмотрим физические ситуации, в ко-
торых это явление приводит к макроскопическим эффектам.
Поскольку поглощение и излучение фононов сопровождаются
изменением импульса электронной системы, различные вероятно-
сти взаимодействия электронов с фононами q и -q приводят к
различной передаче импульса электронам от акустических волн,
распространяющихся во взаимно противоположных направлениях.
Отсюда непосредственно следует аномалия акустоэлектрического
эффекта, заключающаяся в том, что ЭДС фононного увеличения
электронов оказывается различной для волн со взаимно противо-
положными направлениями волнового вектора. В частности, ЭДС
фононного увлечения электронов будет возникать при наличии
стоячей акустической волны, представляющей собой суперпози-
цию акустических волн с одинаковыми амплитудами и взаимно
противоположными направлениями волнового вектора [47].
Другие возможные эффекты обусловлены взаимодействием
электронной и фононной систем, находящихся в неравновесном
состоянии вследствие пространственно-однородного нагрева. Бу-
дем рассматривать ситуацию, когда распределение фононов по
энергии описывается функцией Бозе-Эйнштейна
«(q) = (ехр [Гкщ / к0 Т] -1)-1,
где Т - температура фононной системы, а распределение электро-
нов по энергии - функцией Ферми-Дирака
/(ек ) = (ехр [(еа - ef ) / к0 те ] +1)"1,
где Те = Т + АТ есть температура электронной системы. Тогда при
АТ * 0 вдоль оси х возникает электродвижущая сила ЕК, которая
7.9. Асимметричные наноструктуры в магнитном поле 361
при низких температурах и слабых магнитных полях определяется
выражением [48]
„ f к0Т}5 (Ed0 f ( 2mL YATY В
£k= — ----- Hr ’ <7-9’14)
l V/ J I h M ре Д T )\EZ )
где E - константа деформационного потенциала, p - плотность
кристаллической решетки. Из (7.9.14) следует, что при АТ <0
величина ЕК < 0, при АТ > 0 имеем Ек> 0, а при АТ = 0 величина
£к = 0.
Физическая причина такой температурной зависимости состоит
в следующем. При АТ < 0 происходит передача энергии от фонон-
ной системы к электронной, сопровождающаяся поглощением
фононов электронами. Из (7.9.13) следует, что вероятность погло-
щения фонона q) при qx > 0. Эта передача энергии
сопровождается передачей импульса электронной системе в на-
правлении (х\, вследствие чего Ек< 0. При АТ>0, наоборот,
происходит передача энергии от электронов к фононной системе,
сопровождающаяся излучением фононов. Поскольку согласно
(7.9.13) вероятность излучения фонона FF(q) > PF(-q) при qx >0,
такая передача энергии сопровождается передачей импульса элек-
тронной системе в направлении (-х), благодаря чему Ек > 0. При
АТ - 0 электронная и фононная системы находятся в термодина-
мическом равновесии и соответствии с принципом детального
равновесия вероятности излучения и поглощения равны друг другу
для любого фонона, так что передача импульса от одной системы к
другой не происходит и Ек = 0.
Таким образом, увеличение фононной температуры Т (на-
пример, из-за однородного нагрева кристаллической решетки) или
увеличение электронной температуры Те (например, из-за на-
грева электронного газа с помощью электрического поля) приво-
дят к возникновению ЭДС фононного увлечения электронов
[48]. Этот феномен представляет собой частный случай об-
суждавшегося ранее эффекта анизотропной передачи импульса
электронам при изотропном внешнем воздействии [46], где в
роли изотропного возмущения электронной системы выступает
пространственно однородный нагрев.
В электрон-фонной системе при нагреве кристаллической
решетки (АТ < 0 ) температуры Т и Те выравниваются за характер-
362
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ное время релаксации энергии благодаря поглощению фононов
электронами, что приводит к исчезновению ЭДС. Поэтому описы-
ваемый выражением (7.9.14) при АГ <0 эффект возникновения
дрейфа электронов при однородном нагреве кристаллической ре-
шетки является нестационарным эффектом и будет наблюдаться
при достаточно быстром изменении температуры решетки. Иная
ситуация возникает при нагреве электронного газа ( АГ > 0) элект-
рическим полем Еи = ^ЕХ +Еу , обеспечивающим протекание
электрического тока в плоскости 2О-системы, поскольку в этом
случае ЭДС (7.9.14) является стационарной при фиксированных
значениях Т и Еи. Эта стационарность обусловлена тем, что энер-
гия, передаваемая электронной системой кристаллической решетке
при излучении фононов (тепло Джоуля - Ленца), полностью по-
глощается термостатом, обеспечивающим постоянство температу-
ры кристаллической решетки Т, так что разность температур АГ с
течением времени не меняется.
Рассмотрим подробнее эффекты, возникающие при нагреве
электронного газа электрическим полем. Пусть электрическое поле
направлено вдоль оси х, так что Еп = |£л|. В этом случае проте-
кающий вдоль оси х электрический ток
jx=<s(Ex+EK/Lx), (7.9.15)
где о— проводимость в плоскости 2В-системы. Скалярная вели-
чина АГ зависит только от модуля электрического поля |£л|, в
связи с чем изменение направления поля не меняет ЭДС (7.6.14),
так как ЕК(ЕХ) = ЕК(-ЕХ). Поэтому из (7.9.15) следует, что
jx(Ex)Ф jx (~ЕХ), благодаря чему появляется эффект анизотропии
электрического тока.
Пусть внешнее электрическое поле направлено вдоль оси у, так
что Еп =|£у|. При этом нагрев электронного газа обусловлен про-
теканием тока вдоль оси у, а возникающая при этом нагреве ЭДС
Ек направлена перпендикулярно к внешнему электрическому
полю, вследствие чего появляется эффект поперечной ЭДС. Нагрев
электронной системы может осуществляться не только постоян-
ным, но и переменным электрическим полем. В частности, нагрев
электронного газа и появление ЭДС Ек будут наблюдаться при
падении на 2О-структуру плоской электромагнитной волны, рас-
7.10. Эффект Ааронова-Бома
363
пространяющейся вдоль оси z, в результате возникает эффект фо-
тоиндуцированной ЭДС.
Таким образом, пространственная асимметрия электрон-
фононного взаимодействия приводит к появлению кинетических
эффектов, различных с феноменологической точки зрения, но
имеющих единую микроскопическую природу.
7.10. ЭФФЕКТ ААРОНОВА - БОМА
Рассматривая транспорт электронов вдоль проводящих слоев,
остановимся еще на одной идее, открывающей путь для создания
сверхбыстродействующих электронных приборов с малой мощно-
стью переключения, в том числе квантового интерференционного
транзистора.
В 1959 г. Якир Ааронов и Дэвид Бом обратили внимание на то,
что электромагнитный вектор-потенциал должен сдвигать фазу
волновой функции электрона <р (даже в том случае, когда путь
электрона лежит в области, где нет никаких электрических или
магнитных полей) на величину
А<р = | j(Vdt - ArfS), (7.10.1)
где q — модуль заряда электрона; dS и dt - элементы пути и време-
ни на траектории электрона; V - напряжение электрического поля;
А - вектор-потенциал магнитного поля.
На рис. 7.38 показана схема эксперимента по наблюдению маг-
нитного эффекта Ааронова - Бома (АБ). Пучок электронов, испус-
каемых из источника, в плоскости а расщепляется таким образом,
что огибает магнитный поток с двух сторон. В плоскости б парци-
альные электронные пучки сливаются и электронные волны интер-
ферируют друг с другом. Относительная фаза электронов в двух
пучках определяется магнитным потоком Ф в соленоиде, располо-
женном между путями электронов. При изменении Ф будет меняться
Рис. 7.38. Схема эксперимента по наблюде-
нию магнитного эффекта Ааронова - Бома
364
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
интерференционная картина, а следовательно, электронный ток и
проводимость структуры.
Рассмотрим простейший случай, когда через плоскость а про-
летают два электрона с одинаковыми начальными фазами элек-
тронных волн. Обозначив начальные и конечные амплитуды
электронных волн А, (0) и A^L) (/=1, 2), коэффициент прохожде-
ния от а к б можно представить в виде
4 (О)ехр(Д/) + А2 (0)ехр(Д2£)
4(0)+ 4(0)
(7.10.2)
Пусть в плоскости а электроны находились в одинаковых со-
стояниях. Тогда 4(0) = 4(0) и £> = cos2[(4 -k2)L/2]. Если нор-
мально к структуре приложено магнитное поле с индукцией В, то
согласно (7.10.1) А<р = (кх ~к2)Ь = дФ/Й , здесь Ф = 55эфф - магнит-
ный поток через площадку 5Эфф между средними линиями каналов,
так что коэффициент прохождения равен
2) = со82(#Ф/2Й). (7.10.3)
Таким образом, электронный ток и проводимость структуры
должны периодически осциллировать при изменении магнитного
потока Ф с периодом h/q.
Простейшей цепью, являющейся аналогом геометрии Аароно-
ва - Бома, является колечко из тонкой проволоки с двумя
токоподводами (рис. 7.39).
Если в металлических образцах размах осцилляций Ааронова -
Бома не превышает 0,15 % от среднего сопротивления, то в полу-
Рис. 7.39. Микрофотография
золотого колечка с токопод-
водами [50]
проводниковых интерферометрах на
основе 2О-электронного газа наблю-
дался размах осцилляций 35 %. На
рис. 7.40 приведены изображение и
схематический разрез такого интер-
ферометра на основе гетероперехода
AlGaAs/GaAs. На рис. 7.41 показаны
результаты измерений сопротивления
в зависимости от величины магнит-
ного поля при 20 мК. Видно, что
на осцилляции сопротивления с пе-
риодом hlq наложен флуктуирую-
щий фон. Когда электроны движутся
7.10. Эффект Ааронова-Бома
365
Рис.7.40. Полупроводниковый интерферометр:
а - изображение в расгровом электронном микроскопе; б - схематический разрез [49]
по кольцу, на их траектории действует магнитный поток (сила Ло-
ренца), пронизывающий материал кольца. Этот вклад выглядит
как случайные флуктуации сопротивления при изменении магнит-
ного поля [50]. Такие флуктуации имеют гораздо больший харак-
терный масштаб по магнитному полю, чем первичные осцилляции
АБ. Считается, что в первом приближении различие в масштабе
полей отражает разную площадь пронизывающего потока: для
периодических осцилляций АБ поток ограничен площадью всей
петли, в то время как в случайную компоненту дает вклад только
площадь проводящего канала. Таким образом, отношение масшта-
Рис. 7.41. Зависимость сопротивления ин-
терферометра от магнитного поля; на встав-
ке - поведение осцилляций АБ в области
минимума биений [49]
366
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Рис. 7.42. Микрофотография
структуры для изучения
электростатического эффекта
Ааронова-Бома [50]
бов магнитных полей приблизитель-
но равно отношению соответствую-
щих площадей. При увеличении
магнитного поля характер осцилляций
изменяется слабо до тех пор, пока
поле не достигнет столь больших ве-
личин, при которых диаметр цикло-
тронной орбиты (удвоенная магнитная
длина) станет меньше ширины прово-
дящего канала и нарушится диффуз-
ное движение электронов.
Влияние скалярного потенциала на
интерфренцию электронных волн
(электростатический эффект Ааро-
нова-Бома) изучалось на устройстве, показанном на рис. 7.42. Это
устройство представляет собой металлическую петлю с конденса-
торными электродами вдоль ее сторон. Постоянное напряжение,
приложенное к конденсаторным электродам, обусловливает нака-
пливаемое увеличение фазы (qlti^Vdt электронов в боковых сто-
ронах петли. При этом изменение напряжения AF будет вызывать
осцилляции коэффициента прохождения
Z> = cos2(9tAF72/?), (7.10.4)
где т=Т/о- среднее время пролета электронов через канал; L -
длина канала, на котором действует электрическое поле; и -
средняя скорость электронов. Изменение фазы в данном случае
происходит из-за изменения длины волны электронов и определя-
ется временем пролета участка, где действует электрическое поле,
а не площадью кольца, как в случае магнитного эффекта АБ.
На рис. 7.43 приведены результаты измерений зависимости со-
противления от величины магнитного поля для петли (см. рис. 7.42)
из сурьмы размером 0,8 мкм. Согласно рис. 7.43, а фаза осцилля-
ций h/q в этой петле изменяется на л при изменении напряжения,
приложенного к конденсаторным электродам, на 0,75 В. Амплиту-
да осцилляций при этом практически не меняется. Таким образом,
прикладывая напряжение к конденсаторным электродам, можно
менять выходное напряжение на кольце при постоянном магнит-
ном поле.
Изменение напряжения на конденсаторных электродах приво-
дит к смещению осцилляций по шкале магнитного поля. На
Список литературы
367
рис. 7.43, б показано изменение сопротивления от магнитного поля
при увеличении напряжения на конденсаторных электродах на
0,2 В и переходе от ниже расположенной кривой к выше располо-
женной. Согласно рис. 7.43, б по мере роста электрического на-
пряжения осцилляции сдвигаются сначала в отрицательном
направлении, а после четвертой кривой в положительном. Перево-
рот фазы осцилляций Ааронова Бома наблюдался также и в [51].
Рис. 7.43. Зависимость сопротивления от магнитного поля (а), изме-
нение сопротивления при увеличении напряжения на конденсаторных
электродах (6) [49]
Строго говоря, в приведенных экспериментах эффект АБ также
проявляется не в чистом виде. Электрическое поле, проникая в
проводящий канал, непосредственно влияет на движение электро-
нов, что меняет интерференционную картину.
С результатами исследований влияния температуры на ампли-
туду осцилляций Ааронова-Бома можно ознакомиться в [52].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Денис В., Паужа А. и др. Электроны в полупроводниках. - Вильнюс:
Мокслас, 1980. - Т. 2,- С. 9-72.
2. Jacoboni С., Reggiani L. Bulk hot-electron properties of cubic semicon-
ductors // Adv. Phys. - 1979. - Vol. 28, № 4,- P. 493-533.
3. Pozela J., Reclaitis A. Electron transport properties in GaAs at high electric
field // Sol. St. Electron.- 1980. - Vol. 23, № 9. - P. 927-933.
4. Stanton Ch. J., Wilkins W. Hot - electron nois in two-valley semiconductors //
Phys, Rev. B. - 1987. - Vol. 36, № 3. - P. 1686 -1695.
5. Meyapan, Reskovsky J.P Gribin HL. Numerical stimulation of an
AlGaAs/GaAs bipolar inversion Channel FET // Sol. St. Electr. — 1988. — Vol. 31,
№6.-P. 1023-1030.
368
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
6. Ghis, Constantet Е et al. Ballistic and oovershoot electron transport in bulc
semiconductor and in semiconductor devices // J. Appl. Phys. - 1988. - Vol. 54, № 1. -
P. 214-221.
(7 Nougier J.P., Vissiere J. C. et al. Determination of transient regime of hot car-
ries in semiconductors using the relaxation time approximations // J. Appl. Phys. -
1981,-Vol. 52, №2,-P. 825-832.
8. Матулёнис А., Пожела Ю., Реклайтис Ф. Динамика разогрева электро-
нов И Электроны в полупроводниках. - Вильнюс: Мокслас, 1978,- С. 7-58.
9. Rees Y.D. Time response of the high field distribution function in GaAs //
IBM J.Res. Dev. - 1969. - Vol. 13, № 5. - P. 537-542.
10. Mori T, Hamaguchi C., Shibatomi A. Hot electron effect in short Д-п-Д
GaAs structures//Jap. J. Appl. Phys. - 1984. - Vol. 23, № 2. - P. 212-215.
11. Пожела Ю. Физика быстродействующих транзисторов. - Вильнюс:
Мокслас, 1989.
12. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры / Под ред. Л. Ченга,
К. Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
13. Шур М. Современные приборы на основе арсенида галлия.- М.: Мир,
1991.-632 с.
14. Перс Т. Информационный бюллетень. - 1997. -Т. 4, вып. 13.
15. Тагер А.С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупровод-
никовых структурах и перспективы их применения в электронике СВЧ И Элек-
тронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1989. - Ч. 1, вып. 9(403).- С. 21-34.
16. Мигаль В.П., Лубышев Д.И., Преображенский В.В. и др. Молекулярно-
лучевая эпитаксия структур GaAs И Электронная промышленность. - 1989. -
№6.-С. 6,7.
17. Тиходеев Ю.С., Марков О.Т. Двумерный электронный газ в гетерострук-
турах: свойства, применение в микроэлектронике: Обзоры по электронной техни-
ке. Сер. 2. Полупроводниковые приборы. - М., 1985. - Вып. 8 (1129). -32 с.
18. Иогансен Л.В. Тонкопленочные электронные интерферометры // УФН. -
1965,-Т. 86, вып. 1.-С. 175-179.
19. Займан Дж. Электроны и фононы. - М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
20. Chattopadhyay D. Mobility in n-(Al,Ga)As/GaAs heterojunctions at moderate
electric fields H Electronics Lett. - 1984. - Vol. 20, № 11. - P. 446-468.
21. Vinter B. Phonon limited mobility in AlGaAs/GaAs heterostructures // Appl.
Phys. Lett. - 1984. - Vol. 45, № 5. - P. 581-582.
22. Leburton J.P. Size effects on polar optical phonon scattering of ID and 2D
electron gas in sinthetic semiconductors П J. Appl. Phys. - 1984. — Vol. 56, № Io-
Р. 2850-2855.
23. Фейнман P., Лейтон P., Сэнде M. Фейнмановские лекции по физике. -
М.: Мир, 1978. - Т. 8, 9. - 528 с.
24. Кибис О.В Исчезновение электрон-фононного взаимодействия в узко-
зонных кристаллах И Изв. вузов. Сер. физика. - 1997. - Т. 40, вып. 8. - С. 78-82.
25. Кибис О.В. Исчезновение электрон-фононного взаимодействия в
сверхрешетках в квантующем магнитном поле // ФТП. - 1998. - Т. 32, вып. 6. -
С. 730-732.
26. Пожела Ю., Юцене В. Рассеяние электронов на оптических фононах в
двумерных квантовых ямах с независимым захватом электронов и фононов И
ФТП. - 1995. - Т. 29, вып. 3. - С. 459-468.
27. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В. Асимметричные нанострук-
туры в магнитном поле // Письма в ЖЭТФ. — 1993. — Т. 57, вып. 9. - С. 565-569.
Список литературы
369
28. Adachi S. GaAs and related materials: Bulk semiconducting and superlattice
properties. - Singapore: World Sci, 1994.
29. Мокеров В.Г., Галиев Г.Б., Пожела Ю. и др. Подвижность электронов в
квантовой яме AlGaAs/GaAs/AlGaAs // ФТП. -2002. -Т. 36, вып. 6. - С. 713-717.
30. Пожела Ю Пожела К., Юцене В. Подвижность и рассеяние электронов
на полярных оптических фононах в гетероструктурных квантовых ямах И ФТП. -
2000. - Т. 34, вып. 9 - С. 1053-1057.
31. Zhao Q.X., Wongmanerod S., Willander M. et al. Effects of monolayer AlAs
insertion in modulation doped GaAs/AlxGal-xAs quantum-well structures // Phys. Rev.
B. - 2000. - Vol. 62, - P. 10984 - 10989.
32. Tsuchiya T., Ando T. Mobility enhancement in quantum wells by electronic-
state modulation // Phys. Rev. B.- 1993. - Vol. 48, № 7. -P. 4599-4603.
33. Пшенай-Северин Д.А., Равич Ю.И. Расчет подвижности и термоэлектри-
ческой эффективности многослойных структур с квантовыми ямами // ФТП-
2002,- Т. 36, вып. 8. - С. 974-980.
34. Аскеров Б.М. Электронные явления переноса в полупроводниках. - М.:
Наука, 1985.-320 с.
35. Kozhevnikov М., Cohen Е„ Ron A., Shtrikman Н. Electron and hole micro-
wave cyclotron resonance in photoexcited undoped GaAs/Al0 3Gao 7As multiple quan-
tum wells // Phys. Rev. B - 2000. - Vol. 60, № 24. -P. 16885-16893.
36. Андо T., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных
систем. - М.: Мир, 1985. - 416.
37. Лазаренкова О.Л., Пихтин А.Н. Энергетический спектр неидеальной
квантовой ямы в электрическом поле И ФТП- 1998 - Т. 32, вып. 9. - С. 1108—
1113.
38. Борисенко С.И. Расчет низкополевой подвижности квазидвумерных элек-
тронов сверхрешетки GaAs/Al0 mAs в области температуры 77 К // ФТП. -
2002. - Т. 36, вып. 7. - С. 861-868.
39. Борисенко С.И. Зависимость акустического рассеяния квазидвумерных
электронов от параметров сверхрешетки типа GaAs/AlxGa].xAs И ФТП. -2002. -
Т. 36, вып. 10. - С. 1237-1240.
40. Борисенко С.И. Анализ неупругого рассеяния квазидвумерных электро-
нов сверхрешетки на акустических фононах с учетом дисперсии мини-зоны //
ФТП. -2002. - Т. 36, вып. 12. - С. 1445-1448.
41. Аскеров Б.М., Гулиев Б.И., Фигарова С.Р., Гадирова И.Р. ТермоЭДС в
квазидвумерных системах при рассеянии носителей тока на фононах И ФТТ-
1997.- Т. 39, № 10. - С. 1857-1858.
42. Артамонов Ю.А., Горбацевич А.А., Копаев Ю.В. И ЖЭТФ. — 1992. —
Т. 101.-С. 557.
43. Горбацевич А.А. И ЖЭТФ.- 1989. - Т. 95. - С. 1467.
44. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев ЮВ., Кремлев В.Я. Квантовые
приборы на основе передислокации волновых функций в гетероструктурах И
Микроэлектроника. - 1994. - Т. 23, вып.5. - С. 17-26.
45. Горбацевич А.А., Капаев В.В., Копаев Ю.В., Кремлев В.Я. Квантовые
приборы на основе эффекта передислокации волновой функции И Электронная
промышленность. - 1995. -№ 4-5. - С. 28-31.
46. Кибис О.В. Эффект анизотропной передачи импульса в низкоразмерных
электронных системах в магнитном поле И Письма в ЖЭТФ. - 1997. - Т. 66,
вып. 8.-С. 551-555.
370
Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
47. Kibis O.V. Possible new quantum macroscopic effect in low-dimensional
structures: The appearance of an electromotive force in a standing acoustic coaoe //
Physics Letter A. - 1999 - Vol. 237. - P. 292-296; Phys. Lett. A. - 1998 -
Vol. 244. - P. 574.
48. Kibis О. V. New quantum electron transport phenomena in low-dimensional
system in magnetic field // Phys. Lett. A. - 1998. - Vol. 244. - P. 432-436.
49. Быков A.A., Квон З.Д., Олыианецкий Е.Б. и др. Квазибаллистический
электронный интерферометр И Письма в ЖЭТФ. -1993. — Т. 57, вып. 9. -
С. 596-599.
50. Webb R.A., Washburn S. Квантовоинтерференционные флуктуации в ра-
зупорядоченных металлах И Физика за рубежом 1990. Сер. А: Сб. статей / Пер. с
англ., франц. - М.: Мир, 1990. - 184 с.
51. Квон З.Д., Литвин Л.В., Ткаченко В.А., Асеев А.Л. Одноэлектронные
транзисторы на основе эффектов кулоновской блокады и квантовой интерферен-
ции // УФК - 1999. - Т. 169, № 4. - С. 471-474.
52. Casse М„ Kvon Z.D., Gusev G.M., Olshanetskii Е.В., Litvin L. V., Plot-
nikov A. V., Maude D.K., Portal J.C. Temperature dependence of the Aharonov-Bohm
oscillations and the energy spectrum in a single-mode ballistic ring // Phys. Rev. B.-
2000. - Vol. 62, № 4. - P. 2624-2629.
ГЛАВА 8
ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ
КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
8.1. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ ДВУХБАРЬЕРНУЮ
СТРУКТУРУ С КВАНТОВОЙ ЯМОЙ
Ранее были рассмотрены особенности формирования про-
странственного заряда в инверсионном слое у поверхности полу-
проводника с учетом размерного квантования. Движение электро-
на при этом предполагалось вдоль поверхности, например в канале
МДП-транзистора.
За последние 20 лет проведено множество научных исследова-
ний и технических разработок, посвященных электронным быст-
родействующим приборам, работа которых основана на движении
электронов поперек квантово-размерных слоев. Понятно, что и в
этом случае толщина таких слоев должна быть достаточно малой,
чтобы проявились квантово-механические (волновые) свойства
электрона. Получение таких тонких слоев стало возможным только
с развитием современных технологий. Наиболее распространенной
из них является молекулярно-лучевая эпитаксия. Именно с ее по-
мощью удается получать многослойные тонкопленочные структу-
ры с толщиной отдельных слоев порядка десятков и единиц
нанометров.
Быстродействие приборов основано на закономерностях про-
хождения туннелированием электронов сквозь тонкие потенциаль-
ные барьеры и взаимодействия этих электронов с энергетическими
уровнями размерного квантования в потенциальных ямах, разде-
ляющих барьеры.
372 Глава 8- ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Ранее было отмечено, что критерием перехода к размерному
квантованию служит уменьшение толщины слоя до величины по-
рядка длины волны де Бройля электрона. Именно с этого момента
главными в характеристике электрона и его взаимодействии с
внешней средой становятся его волновые свойства. Для наглядно-
сти и ясного представления рассматриваемых реальных величин
полезно будет провести оценку длины волны электрона для метал-
ла и полупроводника.
В свое время из эксперимента по дифракции электронов при
прохождении их через твердое тело обнаружено, что длина волны
электрона X обратно пропорциональна его скорости
mV
причем коэффициент пропорциональности оказался равным h/m —
постоянной Планка, деленной на массу электрона. Используя эту
экспериментальную зависимость, формулу для квазиимпульса
можно записать в виде
(8.1.1)
h 2лЙ
р - mV - — -,
XX
(8.1.2)
15,4
(8.1.3)
где 2л/Х называется волновым числом (или волновым вектором),
которое, как и в классической механике, определяет направление
движения электрона.
Таким образом,
, 2л h h I 15,4 r п
X =— = — =-----= ------------ [hmJ,
к р mv ]](т /т^Е^
где гп - эффективная масса электрона в твердом теле, т0 — масса
электрона в вакууме, а - кинетическая энергия электрона, вы-
раженная в электрон-вольтах.
Для полупроводников отношение эффективной массы к массе
свободного электрона в приближенных расчетах может быть при-
нято т /то = 10”’. Кинетическая энергия при комнатной темпера-
туре £кин = 0,025 эВ. Подставив все эти числа в (8.1.3), получим
величину Хзоок^ 25 нм = 25-10~3 мкм, что составляет 250 А.
Для металлов, где кинетическая энергия определяется энерги-
ей Ферми EF= 1... 10 эВ, волна де Бройля электрона на порядок и
более меньше, чем в полупроводниках. Это означает, что именно
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру
373
при таких толщинах тонких пленок или структур, содержащих
слои с данной толщиной, можно ожидать проявления волновых
свойств электрона. В частности, это относится и к туннелированию
через тонкопленочные структуры, которое описывается в данной
главе. Отсюда ясно, что эти эффекты технологически легче осуще-
ствить в полупроводниках, чем в металлах, так как возможность
создания тонкой пленки с необходимыми для проявления кванто-
вания размерами и сохранением монокристаллических свойств тем
легче, чем больше ее толщина.
Наибольший интерес при создании новых высокочастотных
приборов представляют не одиночные барьеры, а структуры,
имеющие двойной потенциальный барьер, разделенный квантовой
ямой. Впервые такую задачу с точки зрения как квантово-
механических численных расчетов, так и возможного применения
в электронике подробно рассмотрел наш соотечественник
Л.В. Иогансен [1,2].
На рис. 8.1 приведена схема тонкопленочного туннельного триода
[2]. Эмиттер (справа) служит источником электронов, которые
в
Рис. 8.1. Тонкопленочный резонансный туннельный триод (а); изменение
потенциальной энергии электрона в зависимости от приложенного напря-
жения (б - г):
1 и 5 - металлические эмиттер и коллектор; 2н4 - диэлектрические барьеры, между кото-
рыми расположен тонкий проводящий резонатор 3
374 Глава 8 ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
туннелируют в коллектор (слева) через два барьера и яму. Понят-
но, что если энергия электрона совпадает с энергией уровня в по-
тенциальной яме, их поток принимает максимальное значение.
Происходит так называемое резонансное туннелирование. Надо
сразу сказать, что этот термин со времени опубликования работ
Л- Иогансена, на которые мы ссылаемся, разделился на два: резо-
нансное когерентное и резонансное последовательное туннелиро-
вание. Второе означает, что при приложении потенциала к двух-
барьерной структуре электрон, энергия которого совпадает с
квантовым уровнем в яме, туннелирует из эмиттера на этот уро-
вень. Затем тот же электрон еще раз туннелирует в коллектор через
второй барьер.
Считается, что эффект туннелирования по первому механизму
возникает, когда электронная волна так согласуется с размерными
квантовыми уровнями в яме, что волновая функция резонансных
электронов сохраняет когерентность по всей двухбарьерной сис-
теме. В этом случае так же, как и в оптике, амплитуда волны в яме
должна расти и должно возникнуть резонансное туннелирование
через всю структуру. Именно это туннелирование называют коге-
рентным резонансным туннелированием в отличие от некогерент-
ного, которое называют последовательным резонансным туннели-
рованием. Надо отметить, что различие между этими двумя
механизмами очень размыто.
В [1-4] активно обсуждались возможности использования КЯ
между барьерами в качестве резонаторов для электронных волн.
Считалось, что в отсутствие рассеяния система должна быть
прозрачна для электронов, обладающих резонансными энергия-
ми. Это в свою очередь должно привести к возникновению значи-
тельно большего тока, чем при некогерентном туннелировании.
В этих работах также отмечалось, что для осуществления ко-
герентного туннелирования необходимо выполнить ряд требо-
ваний к параметрам электрона и двухбарьерной системе. Во-
первых, длина волны электрона должна быть сравнима с тол-
щиной резонатора (квантовой ямой), иначе будет невозможно
наблюдать интерференцию. Во-вторых, длина свободного пробега
должна быть достаточно велика, чтобы электрон мог много-
кратно пройти без рассеяния поперек резонатора. Для этого, кста-
ти, он должен испытывать на границах ямы только зеркальное
рассеяние либо с очень небольшой добавкой диффузности.
В-третьих, энергия электрона должна совпадать с энергией од-
ного из локальных квантовых уровней в квантовой яме.
8.1. Туннелирование чврез двухбарьерную структуру
375
Теоретическому и экспери-
ментальному исследованию ко-
герентного туннелирования
посвящено много работ, напри-
мер [5—7]. В качестве иллюст-
рации приведем ВАХ, полу-
ченные в [8], где наблюдалась
модуляция тока по мере увеличе-
ния напряжения смещения. Эта
модуляция объяснялась авторами
статьи присутствием интерферен-
ционных явлений в двухбарьер-
ной структуре InGaAs-AUnAs
даже при комнатной температу-
ре (рис. 8.2).
Еще более четко видны мо-
дуляции на зависимости диффе-
ренциальной проводимости от
напряжения для того же объекта
(рис. 8.3). При обсуждении это-
го эксперимента, так же как в
других работах, посвященных
аналогичным явлениям, предла-
гались два вида «отражения» в
системе. Первый - отражение
электронной волны от границ
квантовой ямы, когда необхо-
Рис. 8.2. Вольт-амперные характе-
ристики двухбарьерной структуры
InGaAs-AUnAs при двух значениях
температур; на фрагменте - в уве-
личенном масштабе модуляция тока,
приписываемая интерференции
димое условие интерференции - кратность длины волны электрона
ширине ямы. Второй — соответствие энергии туннелирующего
электрона энергетическому зазору
Рис. 8 3. Дифференциальная проводимость dl/dV двухбарьерной
структуры InGaAs-AUnAs при 300 и 77 К
376 Глава 8- ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
между квантовыми уровнями в яме. В обоих случаях может воз-
никнуть резонансное туннелирование, которое прежде всего
выражается в росте вероятности перехода (коэффициента прозрач-
ности) для туннелирующего электрона при данных условиях.
Удивительной особенностью характеристик, показанных на
рис. 8.3, б, является количество наблюдаемых осцилляций - 22. По
оценкам [8], в КЯ анализируемой структуры могут быть не более
14 уровней размерного квантования, а с учетом изменения формы
ямы от прямоугольной (при отсутствии внешнего напряжения) до
треугольной (при приложении напряжения) их количество должно
уменьшиться до 10. Таким образом, туннелирование через уровни
в КЯ должно было дать максимум 10 осцилляций. Остальные
12 осцилляций, по мнению авторов [8], соответствуют виртуаль-
ным уровням над КЯ и коллекторным барьером.
Для подтверждения данной гипотезы ими была рассчитана за-
висимость (рис. 8.4) вероятности прохождения от приложенного
напряжения для структуры, показанной на вставке к рисунку. Вид-
но, что в этом случае по мере увеличения напряжения вероятность
перехода, осциллируя, растет, достигая насыщения для энергий
электрона, существенно превышающих высоту входного барьера.
Такое поведение вероятности перехода в целом соответствует ре-
зультатам анализа особенностей движения частицы над потенци-
альной ямой (см. разд. 1.5). Отличие связано с конечной шириной
правого барьера.
Как показывает анализ экспериментальных работ, при объяс-
нении полученных результатов различные исследователи отдавали
предпочтение как механизму когерентного туннелирования, так и
механизму последовательного туннелирования. В теоретических
работах [9,10] можно найти вывод о том, что предпочтение тому
или иному механизму надо отдавать в зависимости от условий
эксперимента. Например, в [9] можно найти довольно подробное и
достаточно строгое определение условий проявления того или
иного механизма. Основой для выбора механизма является отно-
шение ширины волнового пакета электронов (в A-пространстве) к
ширине резонансного уровня в квантовой яме структуры, через
которую туннелирует электрон. Согласно аналитическим расчетам
широкий волновой пакет должен проходить структуру через про-
межуточное состояние в квантовой яме, и это соответствует после-
довательному туннелированию. И, наоборот, узкое распределение
по импульсам приводит к возникновению резонансного когерент-
ного туннелирования.
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру
377
В то же время наиболее
правильным, по-видимому,
является утверждение: «...что
в отсутствие рассеяния в яме
как резонансное, так и по-
следовательное туннелиро-
вание приводят к возникно-
вению одинакового по
величине тока через струк-
туру» [10].
В большинстве экспе-
риментальных (и теорети-
ческих) работ, посвящен-
ных туннелированию через
двухбарьерные структуры, в
настоящее время использу-
D
1,0
0,8
0,6
°,4
0,2
0
0,75 1,00 1,25 1,50 Е, эВ
Рис. 8.4. Изменение вероятности про-
хождения D в зависимости от энергии
электрона; на вставке показана анали-
зируемая система
ется понятие последовательного туннелирования, поэтому даль-
нейшее изложение будет посвящено более подробному изучению
именно этого механизма. Отметим, что в современной литературе
его чаще называют резонансным туннелированием, чему мы и бу-
дем следовать в дальнейшем изложении.
Интерес к протеканию тока через двух- и многобарьерные
структуры возник из предположительной возможности создать
высокочастотные приборы на их основе. Еще в [2] приводилась
вольт-амперная характеристика триода (рис. 8.5), основанного на
такой структуре. На рисунке хорошо видно, что ток периодически
возрастает, а затем спадает, создавая условия для возникновения
отрицательного дифференциального
/п А сопротивления.
/ 1 Обратим еще раз внимание на то, что
« I I ток падает с ростом напряжения.
11 / I Именно этот феномен указывает на
I \ ' наличие отрицательного дифферен-
ту. \ \ ] циального сопротивления (ОДС). Та-
л \J V кое уменьшение тока с ростом
|_____ напряжения эквивалентно сдвигу фазы
v между указанными величинами на 180°.
Рис. 8.5. Осцилляции тун- Иначе говоря, их переменные состав-
нельного тока через двух- ляющие как бы направлены навстречу
барьерную структуру с друг другу. Следовательно, мощность
изменением напряжения переменного сигнала, равная произведе-
378 Глава 8- ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
нию тока на напряжение, будет иметь отрицательный знак. Это
показывает, что отрицательное сопротивление не потребляет мощ-
ность переменного сигнала, а отдает его во внешнюю цепь. С помощью
ОДС можно скомпенсировать потери, вносимые в схему положитель-
ным сопротивлением, и таким образом создавать схемы усилителя, ге-
нератора или преобразователя напряжения. При этом необходимо
помнить, что эта отдаваемая мощность черпается из источника посто-
янного напряжения, подключенного к элементу, обладающему ОДС. *
Качественное объяснение характеристики, кроме необходимости
выполнения условий туннелирования через барьер, основано на
энергетической структуре квантовой ямы. Как упоминалось ранее,
она представляет собой систему локальных уровней размерного
квантования. Если вернуться к рис. 8.1, то легко пояснить повыше-
ние тока после включения напряжения. Это изменение будет связано
с заполнением нижнего уровня в яме, который лежит ниже уровня
Ферми эмиттера (справа), и последующим туннелированием через
второй барьер в коллектор. При дальнейшем увеличении напряже-
ния уровни в квантовой яме двигаются вниз по шкале энергии отно-
сительно уровня Ферми. Понижение первого уровня ниже дна зоны
проводимости эмиттера сделает туннелирование через первый уро-
вень невозможным, что вызовет уменьшение тока. Как только неза-
селенный второй уровень «коснется» уровня Ферми, электроны
начнут резонансным образом туннелировать из эмиттера в коллек-
тор, используя второй уровень для временного пребывания в яме.
Это, естественно, приведет к резкому возрастанию туннельного то-
ка. Далее картина повторяется для следующего уровня в яме, и в
результате можно предположить осцилляции тока с изменением
напряжения. Понятно, что расстояние между пиками на этой кривой
будет пропорционально расстоянию между уровнями в яме. Это дает
возможность установить зависимость энергии электрона от величи-
ны квазиимпульса. Другими словами, полученная в возможном экс-
перименте осциллирующая кривая позволит установить закон
дисперсии электронов. В [2] также рассматривался вопрос о влиянии
напряжения, подаваемого между КЯ и эмиттером, что означало воз-
можность функционирования системы в режиме триода.
К сожалению, как это не раз случалось, практическое осущест-
вление и основные работы по теоретическому их обоснованию
были выполнены не российскими учеными. Это было связано с
технологическим отставанием нашей науки в развитии основного
метода создания туннельно-барьерных структур - молекулярно-
лучевой эпитаксии.
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру
379
Основополагающую расчетную работу в этой области в
1973 году выполнили Р. Цу и Нобелевский лауреат L. Esaki [11].
Они провели расчет процесса туннелирования электронов через
конечную сверхрешетку. Были рассчитаны вольт-амперные харак-
теристики для различных предполагаемых экспериментов. Глав-
ными условиями такого мыслимого опыта были ограниченное
число периодов сверхрешетки и относительно малая длина сво-
бодного пробега электрона.
Здесь уместно сказать об истории возникновения понятия, а за-
тем и объекта исследования - сверхрешетки. Впервые (и это при-
знано всем научным сообществом) к мысли о возможности создать
дополнительный к решеточному периодический потенциал пришел
Л.В. Келдыш [12]. Он показал, что деформации в кристалле, воз-
никающие при прохождении через него ультразвуковой волны,
вызывают качественные изменения в зонной структуре. Это поле
деформации звуковой волны пространственно-периодично, что в
свою очередь приводит к возникновению пространственной пе-
риодической модуляции энергии электронов с периодом гораздо
большим, чем постоянная решетки. Ширина разрешенных зон
Ео ~ 1/А2, где А - длина волны звука. Поскольку А » ао (ао -
постоянная решетки кристалла), для электрона, движущегося в
направлении распространения звуковой волны, спектр разрешен-
ных энергий распадается на ряд относительно узких разрешенных
и запрещенных зон (рис. 8.6).
Е
Ес AlGaAs
}Мини-зона
Ес GaAs
Рис. 8.6. Пример построения зонной диаграммы
сверхрешетки с образованием мини-зоны
Эта идея о возможности кардинальной рукотворной перестрой-
ки энергетического спектра электронов в кристалле была весьма
привлекательна, так как предсказывала возникновение ряда эф-
фектов, не наблюдавшихся ранее. Одним из них является появле-
ние так называемых осцилляций Блоха (см. гл. 7), дающих принци-
пиальную возможность построения сверхвысокочастотных прибо-
ров. Сейчас эта проблема активно обсуждается в научной литера-
380 Глааа 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
туре и на различных конференциях [13, 14] уже с точки зрения
практического использования. Первым изготовил сверхрешетку на
основе гетеропереходов GaAs-AlxGai_xAs L. Esaki [15]. Интересно
отметить, что одновременно с ним на Будапештской конференции
в 1970 году результаты по исследованию изготовленной ими
сверхрешетки доложили советские ученые из Горьковского физи-
ко-технического института (Ю.А. Романов с соавторами) [16,17].
Но они назвали свою работу просто «полупроводниковой много-
слойной периодической структурой», хотя горьковчане использо-
вали технологию близкую к той, что мы называем сейчас МЛЭ, а
Esaki - жидкостную и газовую эпитаксию. Все это привело к тому,
что пионерную работу горьковских ученых редко отмечают нарав-
не с пионерной работой Esaki. Не последнюю роль в этом очевид-
но сыграл и ореол Нобелевского лауреата.
В нашей стране сверхрешетку на основе слоев GaPxAsi_x и
GaAs, полученных газофазной эпитаксией, впервые создал
Ж.И. Алферов с коллегами в том же 1970 году. Свои результаты
они изложили в [18], уже ссылаясь на первую работу Esaki. Прав-
да, и Esaki при объяснении свойств сверхрешетки, основанных на
соотношении амплитуд модуляции зоны проводимости и валент-
ной зоны [19], ссылался на работу Алферова [20]. Все это указыва-
ет на очень высокий уровень отечественной науки, которой мы
вправе гордиться.
Энергетическая диаграмма сверхрешетки без и при приложенном
напряжении приведена на рис. 8.7. Подробно исследовав протекание
Рис. 8.7. Энергетическая диаграмма сверхре-
шетки в равновесии (вверху) и в случае при-
ложенного напряжения (внизу):
1 - падающий поток электронов; R - коэффициент отра-
жения; D - коэффициент прохождения
8.1. Туннелирование через двухбарьерную структуру
381
тока J через эту систему последовательного туннелирования, в [11]
удалось получить выражение для расчета ВАХ многобарьерных
структур.
Зависимости коэффициента пропускания от энергии, рассчи-
танные для структур с двумя, тремя и пятью барьерами, представ-
лены на рис. 8.8. С учетом рис. 8.8 на вольт-амперных харак-
теристиках должны появиться области отрицательной дифферен-
циальной проводимости.
На рис. 8.9 показаны вольт-амперные характеристики, рассчи-
танные для двух- и трехбарьерной структуры для случая Т — О,
когда выражение для плотности тока принимает вид
*
J(EF-Ex)DecdEx . (8.1.4)
2л й п
Одной из важных особенностей этих ВАХ является соотноше-
ние положения пика по шкале напряжений с положением такового
на рис. 8.8 по шкале энергий. Первый пик для двухбарьерной
структуры лежит приблизительно при 0,082 эВ, что соответствует
Рис. 8.8. Зависимость логарифма
коэффициента пропускания от
энергии электрона для случаев
двух-, трех- и пятибарьерной
структур; ширина барьеров 20 А,
ям - 50 А [11]
Ln/
Рис. 8.9. Зависимость плотности
тока для двух- и трехбарьерной
структуры от приложенного на-
пряжения
382 Глава 8 ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
положению первого квантово-размерного уровня в яме. Максималь-
ного значения ток достигает в момент приближения резонансного
уровня в КЯ ко дну зоны проводимости эмиттера. Казалось бы, для
этого к двухбарьерной структуре надо приложить напряжение,
численно равное энергии резонансного уровня, которая выражает-
ся в нашем случае во внесистемных единицах - электрон-вольтах.
Однако пик возникает при напряжении порядка 0.16 В. Это связа-
но с тем, что дно ямы, а с ним и все остальные энергетические
уровни в симметричных структурах сдвигаются в соответствии с
распределением падения напряжения в системе ровно на половину
приложенного напряжения. Это простое правило дает возможность
в эксперименте предсказывать приблизительное положение осо-
бенностей на ВАХ по заранее рассчитанным из параметров ямы
энергиям уровней.
8.2. ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР
Получим выражение для расчета ВАХ сверхрешетки. Будем
полагать (см. рис. 8.7), что эмиттер находится слева, коллектор -
справа, а напряженность электрического поля направлена парал-
лельно оси х. Предположим также, что длина структуры много
меньше длины свободного пробега электрона, т. е. на движение
электрона оказывают влияние только потенциальные барьеры.
Сначала рассчитаем ток, создаваемый электронами, движущи-
мися слева направо. Выделим группу электронов с заданным им-
пульсом рх в направлении, перпендикулярном к барьерам.
Скорость этих электронов vx= рх/тп , и, следовательно, все элек-
троны, находящиеся на расстоянии, меньшем • 1 с, от первого
барьера, за одну секунду достигнут его. Общее число электронов с
данным импульсом, падающих на 1 см2 поверхности барьера за
секунду, равно vx(p)dn(p), где
. . dpxdpvdp,
dn(p) = fedN = 2fe (8.2.1)
(2лй)3
здесь fe— функция распределения для электронов в эмиттере;
dn(j))— число электронов в сантиметре кубическом, имеющих
заданное значение импульса рх .
8.2. Вольт-амперная характеристика многослойных структур
383
Если вероятность перехода электрона на пустой уровень кол-
лектора Z)ec, а вероятность того, что данный уровень не занят
электроном - (1~/с) (здесь fc- функция распределения электро-
нов в коллекторе), то вероятность перехода электрона на данный
уровень коллектора равна произведению £>ес (1 - fc ) и общее чис-
ло переходов для электронов с данным импульсом за 1 с равно
dIe = ~,-0 ~ fc)DecPxdPxdPydPz (8.2.2)
\2ith) т
Если пренебречь падением напряжения на сопротивлении
эмиттера и коллектора, то интервал от уровня с полной энергией Е
уровня Ферми в коллекторе при приложении напряжения V
будет на величину qV больше, чем в эмиттере (см. рис. 8.7). Та-
ким образом,
к0Т )
1__________
. (E-E^ + qVV
I кйТ J
здесь энергия электрона отсчитывается от дна проводимости эмит-
тера.
При туннелировании электрона из эмиттера в коллектор его
полная энергия Е и составляющие импульса ру и pz, перпен-
дикулярные к плоскости барьера, должны сохраняться, а им-
пульс рх и энергия Ех могут изменяться. Поэтому удобно
перейти к цилиндрической системе координат.
В новых переменных
PxdPxdPydPz = PxdPxPi.dPi.d(P, (8-2.3)
где />£ = pj, + pl, а элемент площади dpydpz = p^dpjdq.
Так как от угла <р, определяющего движение электрона в плос-
кости, перпендикулярной к барьеру, ни одна из величин в (8.2.2) не
384 Глава 8 ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
зависит, можно сразу проинтегрировать (8.2.2) по углу ср, что све-
дется к умножению на 2л. Тогда
dIe = „ 2?з тЛ 0 - fc ) DecpxdpxpLdpL. (8.2.4)
2л п т
Для расчета полного тока нужно проинтегрировать dJ = -qdl по
всем состояниям, на которые возможны переходы. Таким образом,
полная плотность тока
Рхтах Р±тах
= Л . J Л(1-/с)^хФх J (8-2.5)
2тг ft th л л
Интегрируя (8.2.5) по р±, получим, что плотность тока, созда-
ваемая электронами, движущимися из эмиттера в коллектор, будет
равна
-дт*к0Т°°г Г 1 + ехр[(^-Ех)/(у)]
2л2Й3 J ес [l + expffEp-E^-^K)/^)],
dEx; (8.2.6)
здесь Ех - кинетическая энергия, связанная с движением электрона
перпендикулярно к слоям сверхрешетки; V - внешнее приложен-
ное напряжение; Ev - энергия уровня Ферми; Dec- коэффициент
прохождения (прозрачности). Аналогично можно получить выра-
жение для расчета плотности тока Jc, создаваемого электронами,
движущимися из коллектора в эмиттер. Полная плотность тока в
этом случае равна
J = Je Ч" Jс
В результате получим
qV
И= 1-exp
v A
|J| = 0 при 7=0.
•|je| при 7*0,
(8.2.7)
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик
385
8.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ВОЛЬТ-АМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ДВУХБАРЬЕРНЫХ КВАНТОВЫХ СТРУКТУР
В [20] исследовались ВАХ структуры Al]_xGaxAs-GaAs-
А11-х GaxAs с различными соотношениями толщин барьеров и ямы.
Эта гетеропара была выбрана по двум соображения. Во-первых,
химические связи Ga и Al с As практически идентичны, и ионы
этих элементов имеют почти одинаковые размеры, что обеспечи-
вает с большой точностью совпадение постоянных решетки дан-
ных соединений. Это дает возможность получать методом
молекулярно-лучевой эпитаксии очень однородные тонкие пленки
с минимальным количеством дефектов как в самих пленках, так и
на границах между ними, что является одним из главных условий
наблюдения резонансного туннелирования. Вторым аргументом
выбора послужил достаточно большой барьер на гетерогранице -
порядка одного электрон-вольта при х = 1. Конфигурация одной из
изготовленных таким образом структур показана на вставке
(рис. 8.10).
Рис. 8.10. Ток и дифференциальный
кондактанс в зависимости от напряжения
для структуры, энергетическая диаграмма
которой приведена на вставке, стрелками
у кривых показаны напряжения, соот-
ветствующие наблюдаемым особенностям
в ВАХ [20]
13 Основы наноэлектроники
386 глава 8- ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Рис. 8.11. Зависимость дифференциального
кондактанса от приложенного напряжения
для двухбарьерной структуры, показанной на
вставке [20]
На рис. 8.11 приведена зависимость производной ВАХ струк-
туры с равными толщинами барьеров и ямы.
Двухконтактная структура для измерения ВАХ представляла
собой мезаструктуру диаметром 6 мкм с верхним контактным сло-
ем из GaAs с концентрацией 1018 см"3. Такая же концентрация но-
сителей заряда была в подложке. Разница в толщине и конфигу-
рации этих двух частей структуры привела к определенной несим-
метричности ВАХ. Полярность напряжения показывает знак, отно-
сящийся к верхнему электроду. Для измерения кондактанса ис-
пользовалось переменное напряжение, имеющее размах по ампли-
туде 2 мВ. Заметим, что в отличие от удельной проводимости кон-
дактанс определяется как отношение тока к падению напряжения
на образце. Таким образом, кондактанс представляет собой свой-
ство образца конечных размеров, а не чисто внутреннюю характе-
ристику материала.
Сравнивая рис. 8.10 и 8.11, видим, что обе кривые кондактанса
похожи и характеризуются двумя парами особенностей (указаны
стрелками). Легко заметить, что величины напряжений, отвечаю-
щих указанным особенностям, приблизительно вдвое больше зна-
чений, соответствующих положению уровней в ямах. Например, на
рис. 8.10 удвоенная величина для первого уровня равна 0,156, для
второго - 0,57, что хорошо соответствует среднему значению для
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик..
387
двух полярностей напряжения - 0,15 и 0,66 В. Такое отклонение
вполне объяснимо тем, что при расчете уровней использовались
значение эффективной массы (0,1 массы свободного электрона) и
высота барьера (0,4 эВ), предназначенные именно для оценки, а не
для точных количественных вычислений.
Следующим важным вопросом является влияние температуры
измерения на исследуемые процессы, которое легко анализировать
по рис. 8.12. Прежде всего обращает внимание полное отсутствие
каких-либо эффектов, связанных с туннелированием, на ВАХ, со-
ответствующей комнатной температуре. Авторы [20] справедливо
связывают это с температурным размытием локальных уровней в
яме и невысоким барьером, который легко преодолевается электро-
нами с относительно высокой для комнатной температуры энергией.
dl/dV Ю2, Ом1
1 }2 1 г*т । । । I । ' 2,4
Рис. 8.12. Зависимость дифференциального
кондактанса от приложенного напряжения
для образцов с конфигурацией, соответст-
вующей рис. 8.10 при 300, 77 и 4,2 К [20]
388 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Хорошо видно, что с понижением температуры, когда практически
исчезают перечисленные осложнения, отрицательная дифференци-
альная проводимость снова четко проявляется. Снижение темпера-
туры до 4,2 К не приводит к ожидаемому обострению особен-
ностей, что, по-видимому, связано с наличием рассеяния на
структурных флуктуациях и примесях. Это, в свою очередь, задает
дополнительное уширение локальных уровней, которое необходи-
мо всегда учитывать наряду с тепловым.
Таким образом, уже в ранних работах по исследованию резо-
нансного туннелирования проявились две существенные задачи
для будущих исследователей - резкость пика отрицательной
дифференциальной проводимости и получение этого эффекта
при комнатной температуре. Как первая, так и вторая даже при
поверхностном взгляде должны быть связаны с совершенством и
конструкцией эпитаксиальных тонкопленочных структур. Важную
роль при этом должны играть и материалы, из которых формиру-
ется структура. Как развивались эти темы, проследим по работам
[21, 22].
Ток, протекающий через двухбарьерную структуру, по природе
возникновения можно выразить суммой двух компонентов
J^Jrj. + Jex, (8.3.1)
где JrT - компонент резонансного туннелирования, a Jex - избы-
точный (или остаточный) компонент тока. Задача разработчика
приборов сводится к созданию структуры с максимальным значе-
нием первого компонента и минимальным второго.
Из рассмотрения процесса туннелирования ясно, что одними из
важнейших факторов, определяющих туннельный ток, являются
величина коэффициента прозрачности D и его зависимость от
приложенного напряжения. С точки зрения конструкции прибора
эта зависимость, в свою очередь, определяется толщиной барьера и
ямы (геометрический фактор) и высотой барьера (энергетический
фактор). Последний задается соотношением ширин запрещенных
зон материалов, составляющих структуру, и взаимным расположе-
нием их в энергетическом пространстве. Чаще всего этот так назы-
ваемый разрыв зон обеспечивается в основном за счет зоны
проводимости, так что высоту барьера в первых работах полагали
примерно равной разности энергий запрещенных зон.
Ток резонансного туннелирования создается электронами, чья
энергия в направлении движения Ех лежит в диапазоне энергий, где
коэффициент туннельной прозрачности достаточно велик. Результа-
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик...
389
ты расчета этого коэффициента в
зависимости от энергии электрона
приведены на рис. 8.13. Двух-
барьерная структура содержала
барьеры AlAs толщиной 2,3 нм (8
атомных слоев) и квантовую яму
толщиной 5, 7 и 9 нм.
Из рис. 8.13 видно, что D, а
следовательно, и ток JRT будут
сильно зависеть от формы D(E).
Другими словами, величина тока
зависит не только от амплитуды
пика коэффициента прозрачности
D, но и от полуширины этого пика
- AEtp. Очень важным парамет-
ром, влияющим на JRT и Jex,
являются величины энергии,
соответствующие максимальному
значению коэффициента прозрач-
ности. Зависимости этих величин
от толщины барьера и ширины
ямы, рассчитанные в [21], показаны
на рис. 8.14 и 8.15. При расчете
авторы полагали, что высота барь-
еров равна разрыву зон.
Из рисунков видно, что энер-
Рис. 8.13. Схематическое изобра-
жение двухбарьерной структуры
AlAs-GaAs-AlAs (а) и зависи-
мость коэффициента прозрачно-
сти от энергии электрона (б);
полуширина пиков соответствен-
но 180, 54 и 22 мкэВ для первых
резонансов и 2900, 660 и
230 мкэВ для вторых [22]
гия пика практически не зависит
от толщины барьера, но сильно зависит от ширины ямы, что соот-
ветствует выводам разд. 1.9. В то же время полуширина в меньшей
степени определяется шириной ямы, но является сильной функци-
ей толщины барьера.
Теперь можно вернуться к наиболее интересной для практики
величине туннельного тока JRT. Из самых общих рассуждений
можно заключить, что этот ток должен быть пропорционален ин-
тегральному потоку электронов, чья энергия совпадает с значе-
ниями энергий, для которых характерны большие коэффициенты
пропускания. Другими словами, JRT пропорционален произведению
высоты пика Dmax на его полуширину АЕхр (ширину на половине вы-
соты). Это произведение получило название «окна» прозрачности.
Согласно рис. 8.15 ЛЕхр экспоненциально уменьшается с ростом
толщины барьера. Следовательно, для достижения значительных
390 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Рис. 8.14. Результаты расчета энер-
гии электронов, при которой должен
наблюдаться пик коэффициента
прозрачности для различных значе-
ний толщины барьера и ширины
квантовой ямы для структуры AlAs-
GaAs-AlAs; цифрами 1 и 2 обозна-
чены значения для первого и второго
резонансных пиков [21]
Рис. 8.15. Полуширина первого
и второго пиков коэффициен-
тов прозрачности в функции
толщины барьера для различ-
ных значений ширины кван-
товой ямы [21]
Рис. 8.16. Схема образования
эффективного барьера U1
значений туннельного тока надо выбирать достаточно тон-
кие барьеры.
Избыточный ток JEX складывается из токов прямого (неупруго-
го) туннелирования сквозь барьер и так называемого термоионного
тока - Jth- Особенно важен последний
компонент, который складывается из
электронов, проходящих над барье-
ром, и электронов, туннелирующих
через более высоко лежащие уровни в
яме. Он вносит наибольший вклад в
избыточный ток, и, обладая сильной
температурной зависимостью, являет-
ся главной причиной, приводящей к
ослаблению (или полному исчезнове-
нию) эффекта ОДС при комнатной
температуре. Для снижения JEX не-
обходимо создавать как можно бо-
лее высокий эффективный барьер
для туннелирования.
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик...
391
Понятие «эффективный барьер» соответствует разности меж-
ду высотой барьера, образованного разрывом запрещенных зон
материалов, составляющих структуру, Uo, и энергией первого
уровня квантования в яме Еххр {Uq=U0-Exp} (рис. 8.16). Для
рассматриваемого случая (AlAs-GaAs) структурный барьер при-
мерно равен 1 эВ и может быть изменен только сменой контакти-
рующих полупроводников.
Увеличения эффективного барьера можно достичь также сни-
жением энергии Ферми электронов в контакте, снижая уровень
легирования [23], но этот путь не очень хорош, так как при этом
увеличивается сопротивление контактов.
Итак, на величину тока JR? влияют следующие факторы: а) тол-
щина барьера; б) ширина ямы; в) высота барьера; г) концентра-
ция примесей в области контактных областей. Если три первых
фактора формируют величину пика и вид зависимости коэффици-
ента прозрачности от энергии электрона, то четвертый определяет
энергетическое распределение этих электронов на входе в двух-
барьерную структуру.
Вклад этих факторов можно описать с помощью интеграла [22]
&хр "Н* оо
Jrt = -V f dEx f dktD(Ex, V)F(EX, V, T, kt, E?), (8.3.2)
где Ex = (hkx}/(2m*) - кинетическая энергия электронов, движу-
щихся перпендикулярно к барьерному слою; kt = yjky + к% - вол-
новое число, характеризующее движение в плоскости,
параллельной барьерам; D - коэффициент прозрачности; V -
приложенное напряжение; Т - температура; ЕР - энергия Ферми;
F - функция, зависящая от распределения электронов в слое, при-
легающем к барьеру (контакт).
Зависимость D(E) имеет резко выраженную пиковую форму
для каждой резонансной энергии Ехр (см. рис. 8.13). Это значит,
что интеграл в (8.3.2) может быть вычислен только в малом интер-
вале энергий в непосредственной близости от пика ( ±о). Этот диа-
пазон определяется, таким образом, формой D(E^ и самой
величиной Ехр, которые зависят от состава и размеров слоев иссле-
дуемой двухбарьерной структуры. Функция F определяется в ос-
новном примесной концентрацией в контактном слое.
392 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Ранее на основании анализа зависимости коэффициента про-
зрачности от ширины ямы Lw [21] предсказывалось, что при уве-
личении Lw туннельный ток должен уменьшаться. Теперь ясно, что
при этом понижается энергия первого (основного) резонансного
пика Ехр и увеличивается эффективный барьер Uq . Это, в свою
очередь, вызывает обострение резонансного пика (уменьшение
полуширины пика) и снижение резонансно туннельного тока.
Результаты расчетов туннельного тока в [22] сравнивались с экс-
периментными данными для структуры AlAs-GaAs-AIAs с AuGe
контактами. Структура состояла из легированной n+ Si (1018 см-3)
подложки GaAs, 1 мкм n+ GaAs (8 1017см ) электрода, слоя нелегиро-
ванного GaAs (спейсер) 15 нм, затем структура с параметрами, ука-
занными на рис. 8.13, а далее- снова нелегированный слой и
электрод. Нелегированный слой вводился для ослабления влияния
Рис. 8.17. Вольт-амперная
характеристика резонанс-
но-туннельного диода для
Lw= 7 нм
примесей контакта на рассеяние в яме.
Высокое легирование в контакте обес-
печивало большой поток электронов и
малое последовательное сопротивление.
Эксперимент показал наличие от-
рицательного дифференциального со-
противления для всех исследуемых
структур, хотя для Lw = 9 нм этот эф-
фект был выражен гораздо слабее. Для
примера на рис. 8.17 приведена зависи-
мость плотности тока от напряжения на
структуре с Lw = 7 нм при температуре
296 и 77 К. Наиболее важным выводом
из этого эксперимента было снижение
пикового тока Jp по мере увеличения
ширины ямы.
Для проведения количественных
сравнений с расчетными необходимо из
экспериментального тока выделить ток
туннелирования JRT, который рассчиты-
вается по (8.3.2). Для этого следует
вычесть из полного тока избыточный
(паразитный !) ток JEX, соответствую-
щий напряжению для пикового тока.
Применяемые термины для токов раз-
личных участков ВАХ легко понять из
8.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных характеристик...
393
идеализированной зависимости тока
от напряжения для прибора с ОДС,
приведенной на рис. 8.18.
Обычно предполагается, что из-
быточный ток растет линейно с
ростом приложенного напряжения.
Это позволило авторам [22] счи-
тать, что значение этого тока, соот-
ветствующее напряжению
будет равно примерно половине
«тока долины» - Jv = Jmm, наблю-
даемого экспериментально. Тогда
Jrt ~ Jp — JyJ2-.
Рис. 8.18. Идеализированная
вольт-амперная характеристика
диодной двухбарьерной кван-
товой структуры
Полученные значения тока JRT сравнивались с рассчитанными в
зависимости от ширины ямы (рис. 8.19).
На рис. 8.20 показаны аналогичные зависимости для тока доли-
ны Jy (Lw, Г). Хорошо видно, что ток долины , во-первых, падает
Рис. 819. Зависимость резонансно-
туннельного тока от ширины кванто-
вой ямы: теоретические кривые -
штриховые линии, рассчитанные для
высоты барьера UB = 0,956 эВ, штрих-
пунктирные - для Uo = 1,355 эВ [22];
значки - эксперимент
Рис. 8.20. Зависимость тока до-
лины от ширины ямы; толщина
барьера 2,3 нм
394 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
с ростом ширины ямы (растет эффективный барьер), а во-вторых,
значительно увеличивается с ростом температуры. Последнее хо-
рошо согласуется с предположением, что главными составляющи-
ми этого тока являются туннельные потоки электронов,
термически возбуждаемых до энергии вышележащих квантовых
подзон в яме.
8.4. ДИАПАЗОН РАБОЧИХ ЧАСТОТ
ДВУХБАРЬЕРНОЙ КВАНТОВОЙ СТРУКТУРЫ
Большой интерес к исследованиям двухбарьерной квантовой
структуры связан со стремлением создать активные
полупроводниковые сверхвысокочастотные приборы, способные
работать в области частот выше сотен гигагерц, и сверхбыст-
родействующие переключатели с задержкой менее одной
пикасекунды. Бурный рост числа экспериментальных и теоретиче-
ских работ по созданию и исследованию таких структур привел к
появлению в литературе различных названий и сокращений для
одних и тех же структур. Это структура с двойным барьером и
резонансным туннелированием (ДБРТ, DBRT), диоды с двойным
барьером (ДБД, DBD), структура с двойным барьером (ДБС, DBS) и,
наконец, двухбарьерные квантовые структуры (ДБКС, DBQS). По-
следнее название и аббревиатуру мы используем в нашей работе.
Исследование частотного предела ДБКС чаще всего начинают
с анализа выражения (8.2.6) для туннельного тока. Одним из вари-
антов этой формулы воспользовались также и авторы [24], где она
представлялась в виде
кр
J = f dklkr |£>|2 (Ef - Е); (8.4.1)
2/гтт q
здесь к^Ег) - волновой вектор Ферми; А7, А7 - величина волнового
вектора слева (эмиттер) и справа (коллектор) от структуры; Е -
продольная энергия. Причем за нулевую энергию принята граница
зоны проводимости, которая во многих работах называется дном
«моря Ферми» (рис. 8.21), а туннелирование происходит в z-на-
правлении.
Выражение (8.4.1) получено для туннелирования электронов
при смещении, превышающем энергию Ферми - Е? <qVc» (Исм -
приложенное напряжение), a D можно представить в виде
кг[(Е-Е0)2 + Г2]
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
395
Рис. 8.21. Прохождение элект-
рона через ДБКС при прило-
жении напряжения V
Параметр Г называется шириной
линии резонанса или просто размыти-
ем (уширением) квантового уровня.
Смысл этого понятия легко уста-
новить, обратившись к одному из
основных положений квантовой ме_
ханики - соотношению неопредепен_
ностей. Согласно этому положецию
координата и импульс, энергия и вре-
мя, а также другие пары динамических
величин, характеризующих состояние
микрочастицы, не могут одновременно
иметь точно определенные значения.
Для квантовой электроники особо
важное значение имеет соотношение
неопределенности для энергии и вре_
мени Энергия электрона имеет опре-
деленное значение лишь в стацион-
арных неизменных во времени состояниях. Конечное время жизни
электрона на резонансном уровне т обусловливает «естественное
уширение» этого уровня. Неопределенность энергии в данном слу-
чае обычно и называют шириной уровня или «уширением уровня»
Ширина уровня Г связана с т соотношением неопределенности
Г = ti/i.
Кроме «естественного уширения», значительный вклад в ущИ-
рение уровней обычно вносят еще тепловое и столкновительное
(релаксационное) уширения. Тепловое уширение обусловлено
температурой и, если не существует никаких других факторов
будет порядка к0Т. Для комнатной температуры к0Т = 0,025 эВ
т. е. порядка двух сотых электрон-вольта. Столкновительное ущи.
рение определяется временем релаксации тр, которое должно учи-
тывать все процессы, разрушающие когерентность волновых
функций.
С учетом смысла параметра Г выражение (8.4.1) в предположе-
нии предельно узкого резонанса (8.4.2) можно записать как
*
J = ^(EV -£0)re(E0)6(£F - Ео); (8.4.3)
2лй
здесь Q(E) — функция Хевисайда.
396 Глава 8 ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
кх
Рис. 8.22. Сфера Ферми с кру-
говым сечением фазового
пространства, определяющим
коллектив электронов, тунне-
лирующих на резонансный
Из этого выражения видно, что
по мере вызванного приложенным
напряжением уменьшения разности
(Ер - Ео) «море Ферми» движется
вверх. Или, с другой стороны, уро-
вень Ео будет опускаться все ниже
по направлению дна «фермиевского
моря», которое принято в данной
системе за нуль энергии. При при-
ближении к положению Ео = 0 резо-
нансный поток электронов на
уровень быстро выйдет на насыще-
ние, а затем вообще прекратится.
Это произойдет в тот момент, когда
Ео = 0. При дальнейшем увеличении
смещения уровень Ео опустится ни-
же дна зоны проводимости, где
электроны отсутствуют.
Для выяснения условий туннелирования с сохранением им-
пульса рассмотрим данный процесс с помощью так называемой
сферы Ферми [24], показанной на рис. 8.22.
Рассмотренное выше туннелирование электронов с энергией в
интервале
Е = Е?-ЕС (8.4.4)
будет происходить только при условии
ij2t 2
-^ = ЕО-ЕС. (8.4.5)
2т
Сохранение импульса требует выполнения условия kz = к0 и сохра-
нения самих величин кх и ку. Радиус сферы Ферми в ^-пространстве
kv=^2m*Ev/h2 .
При увеличении приложенного напряжения с момента, когда
£F становится выше Ео, разность Ео - Ес уменьшается и вектор к0
располагается в промежуточной точке на оси kz между ко = кр и
ко = 0. В этих условиях в туннелирование включаются электроны с
волновыми векторами кх и ку, отличными от нуля. Число таких
электронов пропорционально площади заштрихованного сечения
сферы Ферми (рис. 8.22), т. е. пропорционально 7r(fcp-&o). По
мере увеличения приложенного напряжения этот диск перемеща-
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
397
ется по оси kz к центру сферы. При Ео = Ес вектор ко становится
равным нулю и площадь диска достигает своей максимальной ве-
личины. Именно в этот момент в туннелировании могло бы при-
нять участие максимальное число электронов, приблизительно
равное (m*EF)/(лй2) . Однако D = 0 при kz = 0, таким образом, при
Ес > Ео туннелирование прекращается вообще (к% < 0) . Следова-
тельно, рассматривая режим работы ДБКС, исходя из принципов
сохранения импульса приходим к выводу, что ее ВАХ должна
иметь резкий срыв до нуля, соответствующий высокой отрица-
тельной проводимости.
Отметим, что такая двухбарьерная структура может быть
включена как по диодной, так и по триодной схеме. В последнем
случае смещение на первый и второй барьеры можно задавать не-
зависимо. При этом ВАХ также будет иметь участок с резким па-
дением тока при увеличении напряжения.
Характеристики и принцип формирования отрицательного диф-
ференциального сопротивления ДБКС диода сходны с теми, кото-
рые имеют место в туннельных диодах Esaki. Различие состоит в
том, что туннелирование в ДБКС идет через единичный резонанс-
ный уровень. Это меняет условие сохранения импульса при перехо-
де электронов по сравнению с диодом Esaki, где туннельный эффект
имеет место между широкими зонами.
Приведем более точный результат интегрирования (8.4.1), под-
ставив в него выражение для D из (8.4.2). В результате получим
J = п , Г ( —-------- arctg —£-----— +arctg — -
2л2Й3 (I Г JL I Г J ( Г JJ
2 I Ео +Г2 )}
Для нахождения ОДС необходимо продифференцировать это
выражение по Есм. В результате имеем
dJ_=dE^dJ_+Sr_8J_
dV дУ дЕ0 6V аГ '
В [24] показано, что при ширине уровня много меньше его
энергии Ферми
аГ дЕ0
дУ дУ
(8.4.8)
398 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Это означает, что при выводе формулы для расчета ОДС можно
ограничиться рассмотрением только первого члена в выражении
для полной производной тока (8.4.7). В результате при Ео = 0 по-
лучается следующее выражение для оценки ОДС:
-Rn -rarctg®] (8.4.9)
q m S L \ 1
(S - площадь структуры).
В радиотехнике явление отрицательного сопротивления из-
вестно уже давно. Наиболее часто оно используется для создания
генераторов незатухающих колебаний. Для этого к колебательно-
му контуру, всегда состоящему из емкости, индуктивности и
сопротивления, необходимо подключить отрицательное сопротив-
ление, чтобы скомпенсировать в нем все активные потери. Причем,
чем хуже добротность контура, тем меньшей величиной должно
обладать ОДС. Иначе говоря, чем меньше абсолютное значение
отрицательного дифференциального сопротивления, тем активнее
данный элемент.
Для высокочастотного применения желательно иметь как мож-
но меньшее ОДС. Из приведенных выше выражений ясно, что оно
напрямую зависит от величины Г - ширины резонансного уровня.
Чем меньше Г, тем больше выражение в знаменателе формулы
(8.4.9) и тем меньше величина Rn. В пределе при Г -> 0 величина
R„ достигнет своего минимального значения. Тогда становится
понятно, что для любой конкретной системы, как бы мы ни снижа-
ли Г, мы не сможем получить Rn меньше, чем
Отметим также, что при Г < Ер максимальная плотность тока
пропорциональна ширине резонансного уровня Г, а минимальное
ОДС не зависит от Г.
В целом влияние Rn легко проследить, используя обобщенную
формулу для расчета максимальной частоты генерации
=(2nCjR^Tny\ (8.4.11)
где Rs — последовательное сопротивление прибора; С — емкость;
R„- отрицательное дифференциальное сопротивление.
399
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
Существует, однако, ограничение на уменьшение величины Г,
связанное с частотным пределом использования ОДС. Из упомяну-
того выше соотношения неопределенности замедление процесса
туннелирования (или увеличение времени задержки т3) является
величиной, обратно пропорциональной уширению уровня Г
Л
Г’
(8.4.12)
т. е. чем Г меньше, тем больше замедляются и ухудшаются пре-
дельные частотные характеристики проектируемого прибора. Если
определяющей является инерционность самого процесса резонанс-
ного туннелирования, то
Рис. 8.23. Эквива-
лентная схема двух-
барьерной квантовой
структуры
Если исходить из экспериментально полученных значений
максимальных частот генерации (200...300 ГГц) и усиления
(1...3 ТГц), то величина Г не должна быть меньше 1 мэВ. С другой
стороны, исходя из обычного уровня легирования эмиттера (вели-
чины энергии Ферми) диапазон существования ОДС будет порядка
54 мВ. Таким образом, для осуществления сверхвысокочастотного
применения ДБКС, уширение уровня должно лежать в диапазоне
1 < Г < 54 мэВ. Это позволяет прогнозировать на уровне
1...3 ТГц.
Кроме проведенной оценки максимальной
частоты; исходя из величины ширины резо-
нансного уровня, которая получила в литера-
туре обозначение /^,ах, оценку также про-
водят исходя из эквивалентной схемы
прибора. Пример такой схемы, взятой из [25],
представлен на рис. 8.23, где G - дифферен-
циальная проводимость, С - емкость диода,
Lqw ~ индуктивность квантовой ямы, Rs -
последовательное сопротивление.
Из рисунка видно, что в схему кроме ста-
тических параметров барьера (дифференци-
альной проводимости G и емкости Q
включены эквивалентная индуктивность
квантовой ямы и последовательное сопротив-
400 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
ление. Расчет частоты отсечки по этой модели производится по
формуле
Ж=(-О/^-О2)1/2/(2лС).
Емкости рассчитывалась исходя из параметров структуры с ис-
пользованием обычной формулы плоского конденсатора
С -eoesS/(d + w + d),
где S- площадь; w- толщина слоя обеднения; d - толщина двух-
барьерной структуры; а - толщина слоя обогащения. Квантовая
индуктивность получается из оценки сдвига фаз между током и
напряжением, обусловленного общей задержкой в ДБКС, куда
наибольший вклад дает т = Й/Г.
Термины «обеднение» и «обогащение» относятся прежде всего
к нелегированным областям - спейсерам, которые, как было уже
указано ранее, вводятся для уменьшения рассеяния на примесях,
определяющих нужные свойства контактов. Кроме того, эти облас-
ти используются для согласования параметров решетки компонен-
тов структуры ДБКС, что улучшает границу раздела между слоями
и таким образом также работает в направлении уменьшения рас-
сеяния.
Спейсеры используются также для увеличения скорости дви-
жения электрона. Понятно, что по сравнению с временем пролета в
области обеднения таковое в яме можно считать мгновенным. Сле-
довательно, необходимо увеличивать скорость движения через об-
ласть обеднения. Это достигается увеличением протяженности
такого слоя, где при приложении внешнего напряжения возникает
обедненный слой, в поле которого электрон достигает максимальной
скорости насыщения. Пример структуры, в которой vd= 7,0-107 см/с,
представлен на рис. 8.24, где показано образование обедненной
Рис. 8.24. Структура ДБКС с встроенными нелегирован-
ными областями (спейсерами)
8 4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
401
области для достижения максимальной скорости насыщения элек-
трона [25].
Проведенные рассуждения были использованы для расчета
граничной частоты реальной структуры [25] со следующими
параметрами: область обеднения w = 60 нм, толщина двухбарьер-
ной структуры d - 6,7 нм, обогащенный слой а = 9 нм. Последо-
вательное сопротивление Rs для такой структуры оказалось
равным 4 Ом на постоянном токе и 6 Ом для частоты 600 ГГц.
Чтобы выяснить зависимость частоты отсечки от Rs, аналогичные
расчеты проводились и для Rs = 2 Ом. Величину введенной в [25]
индуктивности квантовой ямы приблизительно можно оценить по
формуле
£ей,=т//6, (8.4.13)
где Т/ = Й/Г .
С использованием перечисленных параметров рассчитана зави-
симость частот генерации и frr* от величины отрицатель-
ной дифференциальной проводимости. Из рис. 8.25 видно, что для
больших значений Rs различие между и невелико. Эти
характеристики построены в предположении, что кроме времени
задержки, определяемой Г, остальные параметры не меняются. Так
Рис. 8.25. Расчет граничных частот генерации для
экспериментально исследованного образца с Rs = 6 Ом
и в предположении Rs= 2 Ом
402 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
как при этом значение /.^ах мало отличается от f™c, делается
вывод, что для больших Rs граничная частота мало зависит от за-
держки, обусловленной уширением. Уменьшение Rs, вызванное
увеличением обедненной области, приводит в соответствии с уве-
личением скорости электрона к возрастанию максимальной часто-
ты до 1,1 ТГц.
Из полученных результатов следует, что основным ограничи-
вающим частоту фактором являются не физический предел
формирования отрицательного дифференциального сопротив-
ления, а паразитные емкости и сопротивления.
При максимальных частотах, описанных выше, паразитные ем-
кости полностью шунтируют ДБКС и отрицательное дифференци-
альное сопротивление исчезает. Этот эффект показан на рис. 8.26,
где приведены экспериментальная и теоретическая зависимости
мощности ДБКС диода от частоты генерации при комнатной тем-
пературе. Хорошо видно, что по мере приближения к граничной
частоте ОДС, включенное в колебательный контур, достаточно
резко уменьшается и уже не в состоянии компенсировать активные
потери. Генерация резонансных колебаний сначала ослабляется, а
затем исчезает совсем.
Результаты расчетов и измерений показывают, что приборы с
использованием ДБКС действительно являются сверхвысокочас-
тотными, работающими в области гигагерц и даже «замахиваются»
Рис. 8.26 Экспериментальная (точки) и теоре-
тическая зависимости мощности W ДБКС диода
от частоты генерации
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
403
на терагерцевый диапазон частот. Таким частотам соответствует
миллиметровый и субмиллиметровый диапазон длин волн. Это
означает, что измерительную схему уже невозможно построить из
обычных пассивных сосредоточенных радиотехнических элемен-
тов (сопротивлений, емкостей и индуктивностей). Следует исполь-
зовать так называемую волноводную технику и сверхвысоко-
частотную аппаратуру. Подробное описание таких систем не
входит в задачу настоящего учебного пособия, поэтому ограни-
чимся только схемой, приведенной на рис. 8.27.
Рис. 8.27. Волноводная система, используемая в качестве резонансной
пёпи при исследовании генерации в схеме с ДБКС [26]
Дальнейшее совершенствование приборов на основе ДБКС и
современное состояние вопроса можно проследить по обзору [27].
Еще одна возможность создания источников и приемников
электромагнитных колебаний в терагерцевом частотном диапазоне
в настоящее время связывается с явлением блоховских осцилляций
в полупроводниковых сверхрешетках. Как уже отмечалось, в таких
структурах период дополнительного периодического потенциала
(период сверхрешетки) в десятки раз превосходит межатомные
расстояния, что приводит к разбиению квазиимпульсных зон
Бриллюэна и разрешенных энергетических зон электрона одно-
родных исходных материалов на совокупность относительно узких
(105...107 см-1) мини-зон Бриллюэна и узких (Ю\..1О' эВ) разре-
шенных и запрещенных энергетических мини-зон. Из-за малых
размеров этих мини-зон уже при приемлемой величине напряжен-
ности электрического поля (ПГ...104 В/см) в сверхрешетке реали-
зуются блоховские осцилляции электрона и возникают уровни
Ванье — Штарка. Эти осцилляции и уровни обуслрвлены брэгов-
скими отражениями электрона в сверхрешеточном потенциале
[34, 35]. При этом в сверхрешетке с периодом 10 нм в электри-
ческих полях F(x) = 4 кВ/см частота блоховских осцилляций
404 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Q = qF(x)a/ti ~ 1 ТГц. Необходимо отметить, что частота блохов-
ских осцилляций Q не зависит от закона дисперсии, а определя-
ется периодом сверхрешетки и величиной электрического поля в
ней. Закон дисперсии мини-зоны проявляется в энгармонизме про-
странственных колебаний электрона, а для обычно используемого
синусоидального закона дисперсии (приближение сильной связи)
одномерной мини-зоны сверхрешетки они гармонические. Все это
делает весьма привлекательной идею создания на основе полупро-
водниковых сверхрешеток терагерцевого блоховского генератора
с непрерывно перестраиваемой статическим электрическим
полем частотой.
Следует, однако, отметить, что в сверхрешетках на основе
кванте ’ых ям, как и в объемных полупроводниках, при любой ве-
личине электрического поля проявляется сильное рассеяние носи-
телей заряда на колебаниях решетки, приводящее к быстрому
затуханию блоховских осцилляций. Даже в области очень низких
температур (~10 К) время жизни блоховских осцилляций составля-
ет всего десяток периодов осцилляций, а при комнатных темпера-
турах время затухания становится порядка периода осцилляций.
Один из путей увеличения рабочих температур систем, исполь-
зующих блоховские осцилляции, связан с понижением размерно-
сти системы. Так, в [36-39] показано, что возможности управления
спектром двумерных (2D) и трехмерных (3D) сверхрешеток из
квантовых точек путем изменения величины и направления элек-
трического поля позволяют существенно подавить в них все кана-
лы рассеяния на фононах и уменьшить скорость затухания
блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек до
величины ~1О10 с-1 при частоте осцилляций Q > 1012 Гц. Заметим,
что для сверхрешеток из квантовых ям скорость затухания блохов-
ских осцилляций составляет ~1013 с-1. Это значительное преиму-
щество сверхрешеток из квантовых точек перед слоистыми
сверхрешетками может быть использовано для создания источни-
ков и приемников излучения в терагерцевом диапазоне частот.
Необходимо обратить внимание на основное отличие всех тун-
нельных приборов от транзисторов с точки зрения их применения в
радиотехнических (интегральных) схемах. Туннельные диоды по
своей конструкции - двухполюсники, т. е. имеют только два выход-
ных зажима. Это приводит к большим, часто непреодолимым труд-
ностям при построении многокаскадных усилительных, импульсных
и других схем, где сигнал обычно передается с входа на выход.
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
405
Дальнейшее развитие быстродействующей микро- и наноэлек-
троники на основе ДБКС в последние годы связано с разработкой
трехэлектродных резонансно-туннельных приборов. Под трех-
электродными ДБКС имеются в виду приборы, получившие назва-
ние резонансно-туннельных транзисторов.
Использование приборов этого типа позволило «развязать»
различные логические элементы в соответствующих функцио-
нальных интегральных схемах. Кроме этого, появилась возмож-
ность как бы комбинировать в одном приборе электронное
усиление транзистора и собственную мультистабильность ДКБС.
Первые разработки таких комбинированных приборов были
скорее так называемыми гибридными приборами, в которых в
едином приборе осуществлялось последовательное соединение
резонансных туннельных диодов с гетеротранзистором) (рис. 8.28),
где РТД используется в качестве стока [28].
Сток
InGaAs/InAlAs-HFET
n+ InGaAs
n InGaAs
Исток
Затвор
п** InGaAs
Ni/Ga/Au
: сплав :
AlAs/InAs RTD
n InGaAs
jSi ^-легирование:
Затвор
AlAs-Барьер Ill
• In Al As-Барьер:
: In Al Аз-Спенсер
InGalAs Канал
Рис. 8.28. Структура гибридного прибора с резонансно-туннельным
диодом, объединенным в монолитном приборе с последовательно
включенным гетеротранзистором; справа - принципиальная схема
соединения элементов
Исток
На рис. 8.29 приведены вольт-амперные характеристики опи-
санной конструкции. Видно, что характеристики резонансно-
туннельного диода и гетеротранзистора не согласованы. Это в ос-
новном касается изменения тока транзистора относительно пико-
вого тока РТД. Изменение затворного напряжения транзистора
406 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
слабо влияет на параметры РТД, и присутствие последнего в каче-
стве стока также мало влияет на характеристики транзистора. В то
же время на характеристике РТД возникают дополнительные сту-
пеньки, которые совсем не улучшают его выходные параметры.
Рис. 8.29. Характеристики гибридного прибора,
показанного на рис. 8.28
На рис. 8.30 приведены фрагмент схемы инвертора, содержащий
РТД и гетеротранзистор, и диаграмма, поясняющая его работу. На
рис. 8.31 показаны соответствующие зависимости, полученные экс-
периментально, и схема, использованная при измерениях.
Стремление к согласованию характеристик элементов схемы с
целью максимально возможного использования преимуществ обоих
Рис. 8.30. Фрагмент схемы инвертора на резо-
нансно-туннельном диоде и гетеротранзисторе
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
407
Рис. 8.31. Зависимости выходного напряже-
ния инвертора от величины управляющего
напряжения
приборов и создания многокаскадных интегральных схем привело
к созданию конструкций трехэлектродного прибора на базе РТД,
где согласование характеристик выполнено внутри самого прибо-
ра. В этих разработках ДБКС используется в качестве различных
элементов транзистора. Это могут быть как эмиттер, база, коллек-
тор для биполярного транзистора, так и затвор, сток, исток и даже
канал полевого гетеротранзистора. Во всех этих примерах ДБКС
придает новые свойства транзисторам и значительно расширяет
его функциональные возможности, а зачастую и быстродействие.
На рис. 8.32 приведена структура транзистора с ДБКС в каче-
стве эмиттера, изготовленного и исследованного в [29], этот при-
бор назван транзистором на горячих электронах с резонансным
туннелированием - ТГЭРТ (RHET).
s/ss/s//////
I-----, f ~GaAs AlxGaAsi-x (50 А)
I — GaAs (56 A)
n+-GaAs AlxGaAS|.x(50 A)
------ (1000 A)
AlyGaAsi.y
(3000 A)
n+-GaAs
Puc. 8.32. Структура и зонная диаграмма ТГЭРТ [29]
408 Глава 8 ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Принцип работы такого прибора
легко понять из рис. 8.33, где показа-
на энергетическая диаграмма ТГЭРТ,
включенного с общим эмиттером;
Е\ - резонансное состояние в кван-
товой яме. Если напряжение база —
эмиттер равно нулю, то инжекция элек-
тронов отсутствует и коллекторный
ток также равен нулю (рис. 8.33, а).
Когда же напряжение база - эмиттер
становится приблизительно равно
2E\lq (рис. 8.33, б), электроны начи-
нают инжектироваться в базу, резо-
Рис. 8.33. Энергетическая диа- нансно-туннелируя через квантовую
грамма ТГЭРТ при трех зна- яму, баллистически (или квазибалли-
чениях напряжения ГБЭ стически) пролетают базу и проходят
над коллекторным барьером, к кото-
рому приложено положительное напряжение. Возникает коллектор-
ный ток. По мере дальнейшего увеличения смешения база - эмит-
тер (рис. 8.33, в) коллекторный ток резко падает, так как перестают
соблюдаться условия резонансного туннелирования.
Отметим, что описываемый прибор благодаря использованию
резонансного туннелирования и баллистистического пролета обла-
дает высокими скоростными параметрами. Отметим также, что в
отличие от общепринятых гетеротранзисторов на горячих электро-
нонах (баллистический пролет!) в данном приборе резонансный
эмиттер инжектирует горя-
чие электроны с очень узким
разбросом по энергии -
0,2 мэВ. При обычной ин-
жекции через гетеробарьер
эта величина составляет
порядка 50 мэВ. Из рис. 8.34
видна главная особенность
созданного прибора - это
наличие на зависимости тока
коллектора от напряжения
база - эмиттер отрицатель-
ного спада.
В [30] описан интерес-
ный прибор, названный
Рис. 8.34. Зависимость тока коллекто-
ра от совмещения база — эмиттер при
различных напряжениях коллектор —
эмиттер
8.4. Диапазон рабочих частот двухбарьерной квантовой структуры
409
«вертикальным резонансно-туннельным транзистором для приме-
нения в цифровых логических цепях» (рис. 8.35). Его отличитель-
ной особенностью, кроме внутреннего совмещения характеристик
РТД и гетеротранзистора, является возможность регулировать ток
прибора с помощью кольцевого затвора Шоттки (рис. 8.36).
Рис 8.35. Структура вертикального резонансно-туннельного
транзистора [30]
Рис. 8.36. Характеристики вертикального резо-
нансно-туннельного транзистора [30]
Особо нужно подчеркнуть, что последние два сохраняют ука-
занные особенности характеристик и при комнатной температуре.
Именно этот факт в сочетании с высоким быстродействием привел
к конструированию высокоскоростных интегральных схем нового
поколения для вычислительной техники.
В настоящее время уже предложены и реализованы планарные
конструкции высокоскоростных устройств, в которых интегриро-
ваны РТД и полевые транзисторы с затвором Шоттки [33].
410 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Описанные выше разработки высокочастотных приборов гига-
герцевого диапазона дали мощный импульс в развитии быстродей-
ствующих схем памяти и логических схем. Так как эти работы
выходят за рамки нашей книги, рекомендуется познакомиться с
ними в статьях [30-32].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иогансен. Л.В. О возможности резонансного прохождения электронов в
кристаллах через системы барьеров И ЖЭТФ - 1963. - Т. 45, вып. 2. - С. 2207-
2213.
2. Иогансен Л В. Тонкопленочные электронные интерферометры // УФН. -
1965. - Т. 86, вып 1. - С. 175-179.
3. Davis R.H, Hosack НН Double barrier in thin - film triodes // J. Appl. Phys. -
1973. - Vol. 34, № 4. - P. 864- 866.
4. Ricco B. Azbel M. Ya. Physics of resonant tunneling. The one-demensional dou-
ble barrier case // Phys. Rev. B. - 1984. - Vol. 29, Xs 4. - P. 1970 - 1981.
5. Liu H. Time-dependent approach to double-barrier quantum well oscillators //
Appl. Phys. Lett. - 1988. - Vol. 52, № 6. - P. 453-455.
-S A 6. Pan D.S., Meng C.C. On the mechanism and frequency limit of quantum well
srructures // J. Appl Phys. - 1987. - Vol. 61, № 5. - P. 2082-2084.
\/ 7. Gering J.M., Grim D.A. et al. A small signal equivalent circuit model for Ga-
As-AlxGa]_x As resonant tunneling heterostructures at microwave frequencies // J. Appl.
Phys. - 1987. - Vol. 61, Xs 5. - P. 271-276.
8. Robert C. Potter, Amir A. Lakhani. Observation of electron quantum interfer-
ence effects due to virtual states in a double-barrier heterostructure at room tempera-
ture//Appl. Phys. Lett. - 1988. - Vol. 52, Xs 16,- 18.-P. 1349-1351.
9. Collins S., Lowe D., Barker J.R. A dinamic analisis of resonant tunneling H
J. Phys. C. Solid State Phys. - 1987. - Vol. 20. - P. 6233-6243.
10. Well T, Winter B. Equivalence between resonant tunneling ad sequential tun-
neling in double - barrier diodes // Appl. Phys. Lett. - 1987. - Vol. 50, Xs 18. -
P. 1281 - 1283.
11. Tsu R., Esaki L. Tunneling in finite superlattice // Appl. Phys. Lett. - 1973. -
Vol. 22, Xs 11. - 1 June. - P. 562-564.
12. Келдыш Л.В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла //
ФТТ. - 1962. - Т. 4, вып. 8. - С. 2265-2267.
13. Валюсис Г. и др. Блоховские осцилляции макроскопического дипольного
момента в сверхрешетках // Тр. III Рос. конф, по физике полупроводников. - М.:
ФИАН, 1997 - 44 с.
14. Андропов А.А., Нефедов И.М. Траспорт в сверхрешетках со слабым пе-
риодическим потенциалом: эффекты и перспективы И Тр. III Рос. конф, по физике
полупроводников. - М.: ФИАН, 1997. - С. 45.
15. Esaki L., Tsu R.. Superlattice and negative differential conductivity is semicon-
ductors // IBM J. Res. Develop. -1970. - Vol. 14. - P. 61-65.
16. Esaki L. A superlattice-periodic array of heterojunctions / Proc. Intern. Conf,
on Phys, and Chem. of Semicond. - Budapest, 1971. - Vol. 1. - P. 13-24.
Список литературы
411
|7. Ovsyannicov ML, Romanov Yu. A., Sharanov V. N. Semiconductor multilayer
periodic structures / Proc, of the Intern. Conf. On Phys and Chem. of Semicond. -
Budapest, 1971. - Vol. IV. - P. 205-211.
18. Алферов Ж. И. Жиляев Ю.В., Шмарцев Ю.В. Расщепление зоны проводи-
мости в «сверхрешетке» на основе GaPxASi~x И ФТП. - 1971. - Т. 5, вып. I. -
С. 196-198.
19. Алферов Ж.И., Андреев В.М., Корольков В.И. и др. Инжекционные свойст-
ва гетеропроходов „-AlxGa;.xAs-p-GaAs // ФТП. - 1968. - Т. 2, вып. 10. - С. 1016—
1017.
20. Chang L.L., Esaki L.,Tsu R. Resonant tunneling in semiconductor double bar-
riers // Appl. Phys. Lett. - 1974. - Vol. 24, № 12. - P. 593-595.
21. Tsuchiya M., Sakaki H., Yochino J. Room temperature observation negative re-
sistance in an AlAsGAs-AlAs resonant tunneling diode // Jap. J. Appl. Phys. - 1985. -
Vol. 24, № 6. - P. L466-L468.
22. Tsuchia M., Sakaki H. Dependence of resonant tunneling current on well width
in AlAs/GaAs/AlAs double barrier diode structures И Appl. Phys. Lett. - 1986. - Vol.
49 (2), № 14. - P. 88-90.
23. Shevchuk T.J., Chapin PC. Resonant tunneling oscillation in GaAs-AlGaAs
heterostructure at room temperature // Appl. Phys. Lett. - 1985. - Vol. 46. - C. 973.
24. Coon D.D., Liu H.C. Frequency limit of double barrier resonant tunneling
oscillators И Appl. Phys. Lett. - 1986. - Vol. 49, № 2. - P. 94-96.
25. Brown ER., Solner T.C.L Oscillation up to 420 GHz in GaAs-AlAs resonant
tunneling diodes // Appl. Phys. Lett. - 1989. - Vol. 55, N 17. - P. 1777-1779
26. Brown E.R., Solner T.C.L. et al. Millimeter-band oscillations based on resonant
tunneling in a double-barrier diode at room temperature // Appl. Phys. Lett - 1987. -
Vol. 50, №2.-P. 8385.
27. SunJ.P., HaddadG.L et al. I Proc. IEEE. - 1998. - Vol. 86. - P. 641.
28. Mazumber P., JCulkarni S, Brattacharia B., SunJ.P., Haddad G.I. Digital cir-
cuit applications of resonant tunneling devices // Proc. IEEE. - 1998. - Vol. 86. -
P. 664-686.
29. Yokoyama N., Imamura K., Muto S, Hiyamizu S. New functional, resonant -
tunneling hot electron transistor (RHET) // Jap. J. Appl. Phys. — 1985. - Vol. 24,
№ 11.-P. L853-L854.
30. Stock J., Malindreros J., Lndlekofer M., Pottgens M., Fforster A., Luth H. Ver-
tical resonant tunneling transistor for application in digital logic circuits // Quantenelek-
tronik: Die Neue Welt. Spektrum der Wissenshaft. - June 1999. - P. 90-93.
31. Van der Wagt P., Seabaugh A.C., Beam E.A. RTD/HFET low standby power
SRAM gain cell // IEEE Elec. Dev. Lett. - 1998. - Vol. 19. - P. 7.
32. Pcha U., Kessler O., Goser K., Prost W., Brennenman A., Auerr U.,
Tegude F.J. Parallel Adder design with reduced circuit complexity using resonant tun-
neling transistor and threshold logic // Analog Integrated Circuit and Signal Proc. Spe-
cial Issue on Circuit Design in Nano and Quantum Device Technology. - 1997.
33. Gorbatsevich A., Kazakov I., Nalbandov B., Shmelev S., TsibizovA. Very-high-
speed planar integrated circuit technology based on monolithic integtation of RTD and
SFET // Междунар. конф. «Микро- и наноэлектроника — 2003» (Звенигород,
Моск.обл., 2003). - 2003. - Р. 63-64.
412 Глава 8. ТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫЕ СТРУКТУРЫ
34. Романов Ю.А. О дифференциальной проводимости полупроводниковых
сверхрешеток И ФТТ. - 2003. -Т. 45, вып. 3. - С. 529-534.
35. Romanjv У. Negative high-frequency differential conductivity in semiconductor
superlatices // J. of Appl. Phys. - 2003. - Vol. 93, Ks 8. - P. 4696-4703.
36. Дмитриев И.А., Сурис P.A. Локализация электронов и блоховские осцил-
ляции в сверхрешетках из квантовых точек в постоянном электрическом поле //
ФТП. - 2001. -Т. 35, вып. 2. - С. 219-226.
37. Дмитриев ИА., Сурис Р.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхре-
шетках из квантовых точек. Общий формализм // ФТП. - 2002,- Т. 36, вып. 12. -
С. 1449-1459.
38. Дмитриев И.А., Сурис Р.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхре-
шетках из квантовых точек различной размерности И ФТП. - 2002- Т. 36,
вып. 12.-С. 1460-1469.
39. Сурис Р.А., Дмитриев И.А. Блоховские осцилляции в сверхрешетках из
квантовых точек // УФН. - 2003 - Т. 173, № 7.- С. 769-776.
ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
В последнее время в связи с приближением к пределам миниа-
тюризации классических микроэлектронных приборов усилился
интерес к приборам, которые могут обеспечить дальнейший про-
гресс электроники. Одним из возможных путей такого прогресса
является создание приборов, в которых контролируется пере-
мещение определенного количества электронов, в частности
одного электрона. Создание так называемых одноэлектронных
приборов открывает заманчивые перспективы цифровой одноэлек-
троники, в которой бит информации будет представлен одним
электроном. В таких приборах электроны перемещаются посредст-
вом туннелирования. Так как времена туннелирования электрона
достаточно малы, теоретический предел быстродействия одно-
электронных приборов очень высок. С другой стороны, работа,
необходимая для перемещения одного электрона, также мала, сле-
довательно, энергопотребление одноэлектронных схем должно
быть чрезвычайно малым. Так, по оценкам основоположника од-
ноэлектроники К. К. Лихарева [1], теоретический предел быстро-
действия одноэлектронного прибора составляет сотни терагерц, а
энергопотребление одного прибора — 3 -10~8 Вт.
Явление одноэлектронного туннелирования впервые предска-
зано в 1986 г. нашим соотечественником К.К. Лихаревым [2]. Че-
рез несколько лет после первой статьи Лихарева начали появляться
работы, в которых описывалось экспериментальное наблюдение
эффектов, открытых Лихаревым. Таким образом, теория блестяще
подтвердилась экспериментально.
В силу особенностей, которые будут подробно обсуждены ниже,
первые эксперименты проводились при очень низких температу-
414
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
рах- несколько милликельвинов, а в настоящее время одноэлек-
тронные эффекты наблюдаются и при комнатной температуре, од-
нако это осуществлено лишь при использовании сканирующего
туннельного микроскопа (СТМ), и приборы, работающие при ком-
натной температуре, до сих пор не созданы. Устойчиво функциони-
рующие приборы с воспроизводимыми характеристиками
существуют лишь при температуре 4.2 К. Однако в отличие от ситуа-
ции с высокотемпературной сверхпроводимостью, где неясно, воз-
можна ли сверхпроводимость при комнатной температуре,
одноэлектронные эффекты при комнатной температуре уже наблюда-
лись, и проблема заключается в создании работоспособных приборов.
9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Базовая теория кулоновской блокады. Теория одноэлек-
тронного туннелирования впервые предложена К.К. Лихаревым
[1-5]. Теоретические вопросы рассматриваются также в статье
М. Tinkham [6], в обзорах L. Geerlings [7] и Van Houten [8].
Рассмотрим теорию Лихарева подробно. Первой была описана
система из одного туннельного перехода между двумя металличе-
скими контактами. Пусть емкость такой системы есть С. Тогда
энергия данной системы, т. е. по сути конденсатора, составляет
где Q — заряд на обкладках конденсатора. Так как заряд электро-
на - дискретная величина, минимальное значение изменения энер-
гии АЛ составит
е2
ДЕ =—, (9.1.2)
2С
где е — элементарный заряд электрона. Для наблюдения эффектов
необходимо, чтобы минимальное изменение энергии было больше
температурных флуктуаций, т.е.
Д£»Л0Л (9.1.3)
где к — постоянная Больцмана, а Т - температура. Кроме того, не-
обходимо, чтобы данное изменение превышало квантовые флук-
туации
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
415
где G = max(G.s,G;), G, - проводимость туннельного перехода, Gs -
проводимость, шунтирующая переход. Исходя из (9.1.4) можно
записать
G«Re\ (9.1.5)
где Rq = h/^e1« 6.45 кОм - квантовое сопротивление.
Одно из важнейших предположений теории одноэлектронного
туннелирования состоит в том, что начальный заряд Qq на тун-
нельном переходе может быть отличен от нуля и более того может
принимать значения, не кратные целому числу электронов. Дан-
ный факт объясняется тем, что начальный заряд может создаваться
поляризацией близлежащих электродов, заряженных примесей и
т.д. и, таким образом, может иметь любое значение. Тогда в урав-
нении (9.1.1) Q = Qo - е. Из всего вышесказанного вытекает, что
если Q лежит в пределах от -е/2 до +е/2, добавление или вычита-
ние целого числа электронов будет увеличивать энергию (9.1.1),
т. е. энергетически невыгодно.
Данный вывод иллюстрируется
рис. 9.1, из которого видно, что если
заряд хотя бы немного меньше зна-
чения е/2, то добавление или вычи-
тание одного электрона (штрих-
пунктирные стрелки) приводит к
увеличению общей энергии. Если
заряд превышает значение е/2, то
выгодным становится туннелирова-
ние электрона через диэлектрик. Так
как напряжение на конденсаторе
V = Q/С, при напряжениях от -е/(1С)
до +е/(2С) ток через туннельный
переход протекать не должен. Дру-
гими словами, для того чтобы обеспечить туннелирование через
переход, необходимо преодолеть силу кулоновского отталкивания
электронов. Данный эффект отсутствия тока при приложении на-
пряжения в указанных пределах был назван эффектом кулонов-
ской блокады.
Таким образом, кулоновская блокада -это явление отсутст-
вия тока при приложении напряжения к туннельному переходу
из-за невозможности туннелирования электронов вследствие их
кулоновского отталкивания. Напряжение, которое необходимо
приложить к переходу для преодоления кулоновской блокады
EK6 = e/(2Q, (9.1.6)
Рис. 9.1. Зависимость зарядовой
энергии перехода от заряда;
стрелками показано добавле-
ние (вычитание) одного элект-
рона [4]
416
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
иногда называют напряжением отсечки. В дальнейшем мы будем
придерживаться термина «напряжение кулоновской блокады» и
обозначения Гкб.
Рассмотрим процесс протекания тока через одиночный тун-
нельный переход. Так как ток - величина непрерывная, заряд на
одной стороне перехода накапливается постепенно. При достиже-
нии величины е/2 происходит туннелирование одного электрона
через переход и процесс повторяется. Это аналогично падению
капель из неплотно закрытого крана: по достижении некоторой
критической массы капля отрывается от крана и начинается обра-
зование следующей (такая аналогия была предложена Лихаревым
в [5]). Заряд одного электрона е накапливается при токе 1 за время t:
е = It, затем электрон туннелирует через переход. Нетрудно ви-
деть, что процесс повторяется периодически с частотой
f=I/e, (9.1.7)
где I - ток через переход. Такие осцилляции были названы одно-
электронными туннельными осцилляциями (Single Electron Tunnel-
ing - SET).
Еще раз отметим, что наблюдение кулоновской блокады воз-
можно лишь при выполнении условий (9.1.3) и (9.1.5). Эти усло-
вия, особенно температурное (9.1.3), накладывают жесткие
ограничения на конструкции одноэлектронных приборов. Из
(9.1.2) и (9.1.3) можно получить значение емкости, необходимое
для наблюдения кулоновской блокады при данной температуре Т:
С«е2/(2к0Т). (9.1.8)
Подставив в формулу (9.1.8) численные значения е и к, получим,
что для наблюдения эффекта при 4.2 К необходима емкость много
меньше 2 10“16 Ф, а для 7’=77КиТ=300К соответственно много
меньше 10“17 и З Ю18. Таким образом, для работы приборов при
высоких температурах (выше 77 К) необходима емкость 10 ...1 (Г19 Ф
или 0Д...1 аФ.
На рис. 9.2. показана эквивалентная схе-
ма рассмотренной системы. Прямоугольни-
ком обозначен туннельный переход. Такое
графическое обозначение для кулоновского
туннельного перехода общепринятое. Пере-
ход характеризуется сопротивлением R и
емкостью С, С - емкость подводящих кон-
тактов. К переходу приложено напряжение
V. Из приведенной схемы видно, что если
Рис. 9.2. Эквивалент-
ная схема туннельно-
го перехода
9.1 Теоретические основы одноэлектроники
417
паразитная емкость С больше емко-
сти перехода, емкость системы будет
определяться этой шунтирующей
емкостью С. В реальных приборах
не удается получить шунтирующую
емкость менее КГ15 Ф [4], что как
минимум на два порядка больше
требуемой для наблюдения одно-
электронного туннелирования даже
Т?2, Сг
Рис. 9.3. Эквивалентная схе-
ма конструкции с двумя пере-
ходами
при температурах жидкого гелия.
Таким образом, наблюдение одноэлектронного туннелирования в
системе с одним переходом при современном развитии технологии
является проблемой. Для ее решения была предложена конструк-
ция из двух включенных последовательно туннельных переходов.
Эквивалентная схема этой конструкции приведена на рис. 9.3.
Как видно, емкость контактов уже не шунтирует емкость каж-
дого перехода. Выражение для общей электростатической энергии
такой системы можно представить в виде
2Q 2С2
(9.1.9)
где индексы соответствуют номерам переходов. Физически такая
конструкция представляет собой малую проводящую частицу,
отделенную туннельными переходами от контактов, поэтому
01 = Qi = Q- заряду, находящемуся на частице. Тогда (9.1.9) мож-
но переписать в виде
Е-&-
2СХ
(9.1.10)
аналогично формуле (9.1.1), за исключением того, что вместо емко-
сти С фигурирует суммарная емкость двух переходов С2 = + С2,
так как С\ и С2 включены параллельно, если смотреть с частицы.
Таким образом, справедливыми остаются формулы (9.1.2), (9.1.4) и
(9.1.8) при замене в них С на Cz. В формулах (9.1.3) и (9.1.4) необ-
ходимо G заменить на max(Gt, G2). Характерная вольт-амперная
характеристика двухпереходной системы с симметричными пере-
ходами показана на рис. 9.4.
В работе [9] представлено точное решение для потенциального
профиля одноэлектронной ловушки. Выведено аналитическое вы-
ражение для общей свободной энергии, соответствующей электро-
14 Основы наноэлектроники
418
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.4. Вольт-амперная характе-
ристика двойного перехода при
20 мК для затворного напряжения,
равного нулю (сплошная кривая)
и е/2С (штриховая); пунктирные
линии соответствуют теоретиче-
ским расчетам для симметричного
перехода с такими же емкостью и
сопротивлением [7]
статической энергии, высоте
барьеров островка при наличии
на нем электрона и напряже-
ния, необходимого для пере-
дачи единичного заряда.
Кулоновская лестница.
Рассмотрим двухпереходную
систему с несимметричными
переходами. Выражение для
темпа туннелирования через
переход можно записать
(9.1.11)
е Ri
где 5£i = eVi - e2/(2Ci) - изме-
нение энергии на первом
переходе при падении на нем
напряжения Vi > Екб [7]. Под-
ставив 5Ei в (9.1.11), получим
(9.1.12)
еТ?! 27?] С] ’
Аналогичное выражение можно записать для Г2. Из (9.1.12)
видно, что при различии 7? и С переходов будут различаться и тем-
пы туннелирования. Если 7? и С переходов равны, то при увеличе-
нии напряжения будет плавно расти ток, так как количество
пришедших на кулоновский остров электронов будет равно коли-
честву ушедших. При несимметричности переходов на островке
будет существовать заряд из п электронов. При увеличении напря-
жения до значения, достаточного для забрасывания на островок
(«+1)-го электрона, вначале будет резко расти ток, что обусловлено
переходом с высоким темпом туннелирования. Дальнейшее увели-
чение тока, обусловленное переходом с низким темпом туннели-
рования, будет медленным до тех пор, пока на островок не сможет
попасть («+2)-й электрон.
Таким образом, хотя ток протекает через систему непрерывно,
в каждый момент времени на островке будет существовать опре-
деленное количество электронов, зависящее от приложенного на-
пряжения. В результате ВАХ двухпереходной системы имеет
ступенчатый вид, называемый кулоновской лестницей. Ступеньки
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
419
кулоновской лестницы будут
тем ярче выражены, чем не-
симметричнее переходы, а при
симметрии переходов, т.е. при
равенстве ЛС-постоянных,
ступеньки исчезают. Семейст-
во кулоновских лестниц, рас-
считанное К.К. Лихаревым [4]
для различных значений Qo,
представлено на рис. 9.5. Ни-
же на рис. 9.9 приведена экс-
периментальная кулоновская
лестница, которую наблюдали
при помощи сканирующего
туннельного микроскопа.
Как уже отмечалось выше,
в уравнении (9.1.1)
Q=Q0-ne (9.1.13)
(п - целое число электронов на
кулоновском острове). Так как
Qo имеет поляризационную
природу, расположив рядом с
кулоновским островом третий
электрод - затворный, можно
-2-10 12
K/fe/Q)
Рис. 9.5. Расчетная ВАХ схемы,
показанной на рис. 9.3, для различ-
ных значений внешнего заряда
(G1«G2,C1 = 2C2)[4]
управлять этим зарядом путем
приложения затворного напряжения. Следует отметить, что этот
заряд можно изменять непрерывно, пропорционально затворному
напряжению. Итак, при непрерывном изменении Qo периодически
будет выполняться условие кулоновской блокады, графически
показанное на рис. 9.1. Следовательно, при изменении затворного
напряжения периодически будет возникать кулоновская блокада и
зависимость тока через точку (или напряжения на ней при посто-
янном токе) будет носить осцилляционный характер. Пример та-
ких осцилляций (напряжение на точке при постоянном токе через
нее в зависимости от затворного напряжения) показан на рис. 9.6.
Со-туннелирование. В системах с несколькими переходами
кроме последовательных событий туннелирования возможно также
туннелирование более высокого порядка, так называемое со-
туннелирование (co-tunneling) [7], при котором сохраняется энергия
лишь между начальным и конечным состояниями всего массива
420
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.6. Зависимость напряжения на кван-
товой точке при постоянном токе через нее
/=300пА в зависимости от напряжения на
затворе [7]
переходов. Другими словами, массив переходов является «черным
ящиком», на входе и выходе которого энергия проходящего через
него электрона сохраняется, однако поведение электрона на каждом
отдельном переходе неопределенно. Кроме того, возможно также
неупругое туннелирование, при котором происходят генерация или
рекомбинация электронно-дырочных пар.
Квантовые размерные эффекты. Рассмотренная выше тео-
рия является полуклассической, так как наряду с классическими
кулоновскими эффектами присутствует квантовое туннелирова-
ние. Однако в одноэлектронных системах возможны и чисто
квантовые эффекты, связанные с пространственными ограниче-
ниями объектов.
При использовании двух- и более переходных систем между
двумя электродами находятся малые объекты, которые при опре-
деленных условиях (геометрические размеры и температура) могут
рассматриваться как квантовые точки, т. е. нуль-мерные объекты, в
которых энергетический спектр представляет собой набор дис-
кретных уровней. Проведя несложный анализ [6], можно увидеть,
что для зерна А1 с характерным размером 4,3 нм для наблюдения
кйантово-размерных эффектов необходима температура мень-
ше 1,5 К.
Для полупроводниковых точек, однако, необходимая темпера-
тура будет выше из-за более низкой плотности состояний. При
наличии в зерне отдельных энергетических уровней электрон смо-
9.1. Теоретические основы одноэлектроники
421
жег туннелировать только че-
рез них и на вольт-амперной
характеристике одноэлектрон-
ной системы на кулоновской
лестнице будет проявляться
структура энергетических уров-
ней. Это хорошо видно на
рис. 9.7, где показана одна сту-
пенька кулоновской лестницы
при наличии квантовых раз-
мерных эффектов. Подробно
транспорт через дискретные
Рис. 9.7. Вольт-амперная характери-
стика, снятая при 320 мК («), соот-
ветствующая началу кулоновской
лестницы; производная dl/dV (б) [6]
энергетические уровни в кван-
товой точке рассмотрен с тео-
ретической точки зрения в
работе Isawa и Suwa [10]. В ней
обсуждается влияние флуктуа-
ций потенциала на транспорт-
ные свойства квантовой точки. Показано, что наличие таких флук-
туаций делает пики кулоновских осцилляций нерегулярными.
Влияние внешних переменных полей на квантовые куло-
новские точки. Несколько работ [11-13] посвящены влиянию
переменных внешних полей на одноэлектронный транспорт. В
работах Adachi и др. [11] и Hatano и др. [12] описано влияние мо-
дулирования высоты потенциальных барьеров квантовой точки на
транспорт через нее. Обнаружено, что область кулоновской блока-
ды сдвигается из-за наличия межзонного возбуждения, появляется
резонансная структура кулоновских пиков [11]. Установлено, что
электрон туннелирует через барьер до того, как достигнет наи-
меньшего значения, причем фаза модулирующего сигнала, при
которой происходит туннелирование, зависит от амплитуды сигна-
ла высоты и толщины барьера [12]. В работе Зорина и др. [13] мо-
дулирование потенциала цепочки металлических островков проис-
ходило при помощи поверхностной акустической волны,
распространявшейся по пьезоэлектрической подложке. Теоретиче-
ски через такую цепочку должен протекать постоянный ток I- + ef,
где f - частота волны, а знак зависит как от величины постоянного
смещения островков, так и от направления распространения вол-
ны. Для проверки теоретических положений проведен экспери-
мент, в котором цепочка из восьми островков с емкостями 0,1 фф
и сопротивлениями 170 кОм модулировалась поверхностной аку-
422
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
этической волной с частотой f= 48 МГц. Было установлено, что
протекающий постоянный ток значительно меньше, чем ожида-
лось. Авторы объясняют это наличием неконтролируемых случай-
ных фоновых зарядов.
Эффекты, связанные с кулоновской блокадой. В некоторых
работах помимо собственно эффекта кулоновской блокады иссле-
дуются эффекты, которые могут возникать при кулоновской бло-
каде, и их влияние на саму блокаду. Так, в работе [14] рассмотрен
случай, когда кулоновский островок может изменять положение
относительно электродов. Такой случай имеет место при исполь-
зовании в качестве туннельных диэлектриков органических мате-
риалов. Показано, что кулоновский островок будет периодически
менять положение относительно электродов, курсируя между ними
наподобие челнока при передаче электронов. В результате даже
при равенстве толщин туннельных барьеров возникает кулонов-
ская лестница.
В работе Hackenbroich [15] проанализировано влияние измене-
ния формы кулоновского островка в режиме кулоновской блокады.
Такая ситуация имеет место, если кулоновский островок образован
ограничивающим потенциалом (областями обеднения). Определе-
но, что это влияние скажется на емкости островка, однако никаких
качественных изменений не произойдет.
Работа Richardson [16] посвящена теоретическому исследованию
возможности одноэлектронного туннелирования в туннельных дио-
дах. Показано, что свойства одноэлектронного туннельного диода
будут существенно отличаться от свойств обычных туннельных
диодов. Среди отличий, например, следует отметить ступенчатое из-
менение тока насыщения с периодом elQC).
9.2. РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Конструкции одноэлектронных приборов весьма различны, од-
нако их можно классифицировать по нескольким признакам [17, 18].
По направлению протекания тока конструкции делятся на го-
ризонтальные (латеральные) и вертикальные. В горизонтальных
приборах направление протекания тока параллельно плоскости
поверхности структуры, в вертикальных - перпендикулярно к
плоскости поверхности.
По способу формирования квантовых точек бывают приборы
на постоянных и временных квантовых точках.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
423
Заметим, что термин «квантовая точка» по отношению к мало-
му объекту не всегда корректен, так как квантования энергетиче-
ского спектра может и не наблюдаться. Однако этот термин
широко используется в силу того, что для квантования спектра
достаточно понизить температуру. В дальнейшем мы будем при-
держиваться такой терминологии.
Постоянная квантовая точка существует все время и представ-
ляет собой чаще всего какой-либо кластер (металлический или
полупроводниковый). Временная квантовая точка создается в дву-
мерном электронном газе путем приложения обедняющих напря-
жений, т. е. существует лишь во время работы прибора. Кроме
того, приборы на временных квантовых точках можно разделить
по способу формирования двумерного электронного газа на ин-
версные и гетероструктурные. В инверсных приборах двумерный
электронный газ формируется в инверсных приповерхностных
каналах путем приложения соответствующего напряжения. В гете-
роструктурных приборах двумерный электронный газ сосредото-
чен на гетерогранице.
По количеству квантовых точек приборы делятся на нуль-
мерные (одноточечные), одномерные (цепочка точек) и двумерные
(массив точек).
По управляемости параметрами квантовых точек приборы
делятся на неуправляемые (двухэлектродные) и управляемые
(многоэлектродные, с одним или несколькими затворами).
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся конструкции одно-
электронных приборов.
Приборы на основе сканирующего туннельного микроско-
па. Примером вертикального одноэлектронного прибора служит
конструкция с использованием сканирующего туннельного микро-
скопа. Идея данной реализации заключается в следующем. Между
проводящей подложкой и иглой СТМ располагается некоторая
малая металлическая частица (металлический кластер), изолиро-
ванная туннельными переходами как от подложки, так и от иглы.
Таким образом, металлическая частица играет роль кулоновского
острова. По приведенной выше классификации это вертикальный
нуль-мерный неуправляемый прибор на постоянной квантовой
точке. Следует отметить, что только реализованный при помощи
СТМ одноэлектронный прибор может работать при комнатной
температуре, что резко отличает его от остальных одноэлектрон-
ных приборов.
Приборы на основе сканирующего туннельного микроскопа
различаются способом изоляции частицы от подложки. Частица
424
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
либо высаживается на тонкий изолирующий слой [19-23], либо
металлический кластер окружают изолирующие органические
лиганды [20, 21].
Схематический вид структуры, общий для всех работ, показан
на рис. 9.8.
а б
Рис. 9.8. Экспериментальная реализация двухпереходной
системы:
а - игла CTM, которая располагается над металлической частицей, ле-
жащей на изолирующем слое; б- металлическая частица окружена
изолирующим слоем лиганд, играющих роль туннельного барьера [21]
Рассмотрим структуры подложка - изолятор — частица - игла.
Для металлических частиц чаще использовали золото, однако мате-
риалы, применявшиеся для подложки и изолятора, различны. В рабо-
тах С. Schonenberg [19, 20] в качестве подложки использован Au,
изолятор - ZrO2. К тем же материалам прибегали Van Kempen и др.
[21], кроме золота для частиц они использовали также индий
М. Dorogi [23], как и С. Schonenberg, для подложки использовали Au,
однако в качестве изолирующей пленки применили полимерную ор-
ганическую пленку дитиола. Y. Uehara [22] в качестве подложки и
изолятора использовал окисленный А1. Толщина диэлектрика в этом
случае составляет около 1 нм; во всех исследованиях способ формиро-
вания частиц Au таков: на изолирующую пленку наносится тонкий (от
0.2 до 1 нм) слой золота, который собирается в кластеры размером
несколько нанометров [19-21], либо на изолирующую пленку осаж-
даются предварительно сформированные кластеры [22,23].
В случае исследования металлических частиц, окруженных ор-
ганическими молекулами, в качестве ядра применяли платину.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
425
С. Schonenberg [20] погружал частицы в водный раствор поливинил-
пирролидона, в результате чего вокруг частицы образовывалась
«шуба» из полимерных металлофильных молекул. Van Kempen [21]
в качестве объекта исследования использовал кластеры Pt309
РЬепзбОзо (Phen - молекула фенантролина).
Вольт-амперные характеристики, полученные в вышеперечис-
ленных исследованиях, сходны и имеют лишь небольшие количе-
ственные различия. Все отчетливо наблюдали кулоновскую
блокаду и кулоновскую лестницу как при 4.2 К, так и при комнат-
ной температуре. Естественно, при комнатной температуре данные
эффекты менее выражены. Типичная ВАХ приведена на рис. 9.9.
Рис. 9.9. ВАХ, полученные при помощи сканирующего
туннельного микроскопа:
верхняя жирная кривая - при 300 К; штрихпунктирная кривая -
дифференциальная проводимость, полученная численно; тонкие
кривые теоретический расчет (сдвинуты для ясности по вертикали);
на вставке - кулоновская лестница при 4,2 К [19]
Для исключения ложной интерпретации полученных результа-
тов большинство исследователей измеряли также ВАХ при уста-
новке иглы СТМ не над частицей, а над свободной поверхностью.
В результате наблюдались омические линейные вольт-амперные
характеристики, что свидетельствовало в пользу интерпретации
нелинейных ВАХ как кулоновских эффектов.
426
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Кроме измерения вольт-амперных характеристик проводились
и другие исследования. Так, в [19] изучено влияние значения на-
чального заряда Qo. Результаты показаны на рис. 9.10. По верти-
кальной оси отложено отношение Rq/R, где Ro - дифференциальное
сопротивление при нулевом смещении; R - асимптотическое сопро-
тивление при большом смещении. По горизонтальной оси отложено
отношение е21(СкТ), где С - емкость, изменяющаяся с изменением
расстояния между частицей и иглой СТМ. Кружками представлены
результаты измерений для различных частиц, сплошные линии —
расчет для внешнего заряда Qo/e, изменяющегося от нуля до 0,5 с
шагом 0,05. Видно, что измеренные значения хорошо согласуются
с теорией, причем начальный заряд случайно распределен по раз-
личным частицам.
В [ ’ 9] также исследовано изменение Qo с изменением расстоя-
ния от иглы до частицы. На рис. 9.11 показаны зависимости Ro1 от
расстояния z. При отсутствии частицы зависимость имеет экспо-
ненциальный характер (кривая а), при наличии частицы видны
осцилляции, наложенные на экспоненту (кривая Ь), осцилляции
становятся виднее при делении а на b (кривая с).
Van Kempen [21] наблюдал зависимость Qo от времени. На рис. 9.12
приведены результаты для трех различных островков Au при 4,2 К.
На рис. 9.13 представлены результаты для одного и того же ост-
ровка индия, но при различных смещениях - 195 мВ (а) и 580 мВ (б)
при 1,3 К. В [21] предполагалось, что такое изменение связано с
наличием ловушек в слое диэлектрика при времени захвата-освобождения
Рис. 9.10. Относительное дифферен- Рис. 9.11. Зависимость R0~l от
циальное сопротивление как функ-
ция приведенной электростати-
ческой энергии одного электрона
e2RCkT) [19]
вертикального расстояния:
а - эксперимент; b - экспоненциаль-
ная подгонка; с - а, деленное на Ь [19]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
427
Рис. 9.12. Зависимость Qo от вре-
мени для трех различных туннель-
ных переходов на островках Au
при 4,2 К [21]
Рис. 9.13. Зависимость Qo от вре-
мени для островка In при 1,3 К:
а-195 мВ; б-580 мВ [21]
от 5 до 20 с. Результаты моделиро-
вания, проведенного на основе дан-
ного предположения, соответствуют
экспериментальным.
В [22] изучена эмиссия видимого
света, возникающая при инжектиро-
вании электрона с иглы СТМ в под-
ложку. Максимальная энергия излу-
чаемого фотона Литах= eV (V - при-
ложенное напряжение). Данное
утверждение справедливо для мак-
роскопических образцов. При малых
размерах частиц, т.е. при наличии
кулоновской блокады, максимальная
энергия должна уменьшиться на
величину Е = е2/(2С), необходимую для
преодоления кулоновской блокады.
Таким образом, смещение составит
A£ = ^vraax- Е- Для исследования на
Рис. 9.14. Спектры излучения:
большой (а) и малой (б) частиц; два
вертикальных штриха показывают
абсолютную точность спектрографа
детектора
428
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
поверхности были выбраны две частицы: «большая» площадью 490
нм2 и «маленькая» площадью 32 нм2. Для большой частицы сдвиг
АЕ составил 3,8 мэВ, для маленькой - 58 мэВ.
Таким образом, разница между сдвигами должна составить около
54 мэВ. Результаты эксперимента (по исследованию зависимости ин-
тенсивности излучения I от энергии фотонов Е) представлены на
рис. 9.14. Разница сдвигов составила около 80 мэВ, что, по мнению
авторов работы [22], согласуется с приведенными грубыми оценками.
В [23] кроме измерений проведен численный расчет ВАХ (ку-
лоновской лестницы) с использованием в качестве параметров 7?ь
Т?2, С\, Сг- Результаты расчетов представлены на рис. 9.15. По оси
абсцисс отложен ток I(V, z) | r=const, z - расстояние от иглы до части-
цы. Индекс «1» соответствует параметрам кластер - подложка, «2» -
игла - кластер. Измеренная и рассчитанная ВАХ совмещались по
методу наименьших квадратов.
При измерениях на металлических частицах, окруженных поли-
мерными молекулами [20, 21], были обнаружены большая неста-
бильность характеристик во времени, зависимость диэлектрической
постоянной и толщины оболочки от расстояния между иглой и час-
Рис. 9.15. Зависимость подгоноч-
ных параметров от установочного
тока I(V,z) при постоянном на-
пряжении [23]
тицей, что объясняется природой
органических полимерных молекул.
В работе Hejo и др. [24] в каче-
стве кулоновского острова исполь-
зовались органические молекулы
жидких кристаллов, а также фул-
лерены. Кулоновские эффекты рас-
сматривались как с точки зрения
классической теории, так и с точки
зрения решения уравнения Шре-
дингера. Соавторами данной рабо-
ты Бакшеевым и Ткаченко раз-
работана математическая модель,
позволяющая определять парамет-
ры одноэлектронных приборов по
измеренным характеристикам.
Вертикальные одноэлек-
тронные приборы на основе сэн-
двичевых структур. Одним из
возможных путей реализации од-
ноэлектронных приборов является
применение многослойных струк-
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
429
тур, выращенных при помощи молекулярно-лучевой эпитаксии.
Так как МЛЭ позволяет выращивать слои с точностью до одного
монослоя, их остается ограничить в двух других измерениях для
получения объектов необходимых размеров. В качестве материала
используются главным образом гетероструктуры на основе
GaAs/AlGaAs.
В работе Austing и др. [25] использовалась двухбарьерная ре-
зонансная туннельная структура на основе AlGaAs/GaAs, показан-
ная на рис. 9.16.
Рис. 9.16. Схематическая диаграмма субмикронного
вертикального одноэлектронного транзистора [25]
После выращивания двухбарьерной структуры на поверхность
наносили верхние контакты диаметром d = 0,3; 0,4; 0,5 и 0,7 мкм.
Затем, используя верхний контакт в качестве маски, стравливали
слой 300 нм и наносили затворный контакт. Расстояние от затвора
до двухбарьерной структуры составляло 50 нм. Подача на затвор
отрицательного напряжения создавала области обеднения, которые
ограничивали квантовую яму между двумя барьерами. Таким обра-
зом, данная конструкция представляет собой вертикальный управ-
ляемый прибор на одной временной точке.
В работе [25] приведены вольт-амперные характеристики струк-
туры: ток стока от напряжения на стоке при различных затворных
напряжениях (рис. 9.17) и ток стока от напряжения на затворе (т. е.
по сути от Qo) при различных напряжениях на стоке (рис. 9.18). Из
первой характеристики видно, что при отсутствии напряжения на
затворе структура ведет себя как резонансно-туннельный диод, а при
отрицательном напряжении на затворе (при формировании кванто-
430
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.17. Вольт-амперные характеристики структуры, приведенной на
рис. 9.16, для прямого (а) и обратного (б) смещений [25]
Рис. 9.18. Сток-затворные ВАХ при различных напря-
жениях на стоке: для наглядности кривые смещены по
вертикали на 10 пА [25]
вой точки) отчетливо видна кулоновская блокада. На второй ха-
рактеристике пики соответствуют определенному количеству
электронов на кулоновском острове. Все характеристики сняты
при Т= 1,6 К.
В [26] реализована трехбарьерная конструкция, т. е. содержа-
щая две квантовые точки. Исследовано влияние взаимного поло-
жения квантовых уровней в точках на электронный транспорт.
Установлено, что при большом несоответствии квантовых уровней
кулоновская лестница значительно подавляется.
Другая конструкция представлена в работе Ashoori [27]. В целом
она аналогична конструкции, описанной в [25], однако затворный
и истоковый контакты совмещены, т.е. прибор двухэлектродный.
Разрез структуры схематично показан на рис. 9.19, а фотография со
сканирующего электронного микроскопа приведена на рис. 9.20. На
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
431
Рис. 9.19. Разрез
структуры [27]
Рис. 9.20. Фотография струк-
туры, выполненная при помо-
щи сканирующего электрон-
ного микроскопа [27]
затвор подавались отрицательное смещение и малый дифференци-
альный сигнал U на частоте 210 кГц. Измерения проводились при
«откачанных» гелиевых температурах. Результаты измерений пред-
ставлены на рис. 9.21. Каждый пик соответствует туннелированию
одного электрона на изолированный энергетический уровень в кван-
товой точке.
Рис. 9.21. Переменный сигнал на входе
измерительного НЕМТа; на вставке —
вольт-фарадная характеристика структуры,
стрелкой отмечено положение первого
пика на основном рисунке [27]
В работе R. Haug [28] использовалась структура, подобная
структуре, описанной в [25], однако столбик протравливался до
подложки и затворные электроды отсутствовали. Диаметр столби-
ка составлял 350 нм. Исследовалось влияние магнитного поля на
транспорт через такую квантовую точку при температуре 22 мК.
432
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.22. Вольт-амперные характе-
ристики структуры в зависимос-
ти от магнитного поля
Результаты измерений (ВАХ
при различных значениях маг-
нитного поля) представлены
на рис. 9.22.
Изменение напряжения ку-
лоновской блокады связано с
изменением положения уров-
ней в квантовой точке под
действием магнитного поля.
В работе [28] исследуется
также транспорт через систему
из двух точек, изготовленную на
основе двумерного электронно-
го газа в гетероструктурах AlGaAs/GaAs. Такие конструкции рас-
смотрены ниже.
Приборы на основе массивов квантовых точек. Приборы,
изготовленные С. Duruoz и др., представляют собой двумерный
массив 200x200 точек [29]. На поверхности AlGaAs/GaAs структу-
ры с двумерным электронным газом (ДЭГ), залегающим на глуби-
не 77 нм, с помощью электронной литографии создавались
крестообразные точки с периодом 0,8 мкм, промежутки между
которыми протравливались на 80 нм, т. е. глубже залегания ДЭГ.
Сверху на весь массив накладывался затвор Cr/Au. Таким образом,
структура представляла собой управляемый планарный двумерный
прибор на постоянных квантовых точках. Электронная фотография
части массива до нанесения затвора показана на рис. 9.23. Вольт-
амперные характеристики массива при различных напряжениях на
затворе, снятые при Т= 20 мК, показаны на рис. 9.24. Напряжение
Рис. 9.23. Электрон-
ная фотография части
массива квантовых то-
чек [29]
Рис. 9.24. Типичная ВАХ массива
при различных затворных напря-
жениях; для наглядности кривые
смещены по вертикали [29]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
433
на затворе увеличивало высоту барьера между точками, однако
было меньше напряжения, полностью обедняющего ДЭГ (630 мВ).
Вольт-амперные характеристики массива в зависимости от Т пред-
ставлены на рис. 9.25. На них отчетливо проявляется кулоновская
блокада.
Рис. 9.25. Вольт-амперная характеристика мас-
сива при различных температурах, напряжение
на затворе 115 мВ; для наглядности кривые
смещены по вертикали [29]
В работе A. Rimberg и др. [30] исследовались как одномерные,
так и двумерные массивы квантовых точек. Точки представляли
собой островки А1, разделенные туннельными промежутками
А1хОу. Структура формировалась при помощи электронной лито-
графии. Между контактами располагались 440 островков в одномер-
ном случае и 38x40 = 1520 островков в двумерном. Площадь
туннельных контактов составляла 70x80 и 70x70 нм2 для 1D и 2D мас-
сивов соответственно. Вольт-амперные характеристики вместе со
схематическими диаграммами массивов представлены на рис. 9.26.
К этим же конструкциям можно отнести прибор на самообра-
зующихся InAs квантовых точках, находящихся в GaAs, описан-
ный в работе [31]. На поверхность GaAs осаждались 2.5 монослоя
InAs, который собирался в островки со средним диаметром 26 нм
со стандартным отклонением 11%, плотностью 8.7-1OВ * 10 * * * * 15 остров-
ков/см2. Высота островков составляла 5 нм. Среднее расстояние
между центрами островков 26 нм, т.е. при отклонении в большую
сторону островки сливались. Небольшое расстояние между остров-
15 Основы наноэлектроники
434
Глава 9 ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.26. Вольт-амперные характеристики для одномерного (а) и двумер-
ного (б) массивов квантовых точек; на правых вставках показаны схемы
массивов [30]
ками создавало высокую вероятность туннелирования. В работе ис-
следовалась фотолюминесценция такого массива квантовых точек.
Кремниевые одноэлектронные приборы. Конструкция, ос-
нованная на принципе работы МОП-транзистора с индуцирован-
ным каналом, предложена Н. Matsuokan др. [32-34]. В [32, 34]
описан транзистор на одной квантовой точке, а в [33] - на двух.
Конструкции этих транзисторов показаны на рис. 9.27 и 9.28. За-
твор таких транзисторов состоит из двух электрически не связан-
ных частей. Подача на нижний затвор положительного напряжения
формирует инверсный н-канал в /^-подложке, а подача на верхний
^с(<о)
Рис. 9.27. Схема кремниевого одноэлектронного транзисто-
ра с двумя затворами на одиночной квантовой точке [32]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
435
Рис. 9.28. Схема кремниевого одноэлектронного
транзистора с двумя затворами на двойной
квантовой точке [33]
затвор отрицательного напряжения разрывает канал областями
обеднения, формируя квантовые точки.
Эти приборы являются планарными управляемыми приборами
на одной или двух временных квантовых точках. На рис. 9.29 пока-
зана зависимость тока стока для одноточечного транзистора от на-
пряжения на нижнем затворе при различных напряжениях на верхнем
затворе [32]. На рис. 9.30 представлены аналогичные характеристики,
Рис. 9.30. Зависимость тока стока от
напряжения на нижнем затворе для
различных температур; напряжение
на верхнем затворе 1 В, на стоке -
200 мкВ [33]
Рис. 9.29. Зависимость тока
стока от напряжения на ниж-
нем затворе для различных на-
пряжений на верхнем затворе
при 4.2 К [32]
436
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
но при различных температурах [33].
Осцилляции на этих зависимостях
соответствуют присутствию отдель-
ных электронов.
Е. Leobandung и др. сделали как
электронный [35], так и дырочный
[36] приборы, использующие эф-
фект кулоновской блокады. Схема
транзистора представлена на рис.
9.31. В кремниевой подложке соз-
давался изолирующий слой путем
Рис. 9.31. Схематическое изо- имплантирования кислорода при
бражение квантового одноэлект- помощи электронной литографии и
ройного транзистора [35] реактивного ионного травления
формировался необходимый рису-
нок. Затем проводилось термическое подзатворное окисление, ко-
торое уменьшало размеры квантовой точки и увеличивало высоту
потенциальных барьеров между точкой и контактами. Сверху на-
носился поликристаллический кремниевый затвор. Разница заклю-
чалась в использовании w-Si для электронного и p-Si для
дырочного транзистора.
Описанные транзисторы являются управляемыми планарными
приборами на одной постоянной квантовой точке. На рис. 9.32
приведены фотографии со сканирующего электронного микроскопа
для электронного и дырочного транзисторов. Зависимость тока
стока от затворного напряжения для электронного транзистора при
различных температурах представлена на рис. 9.33. Аналогичные
Рис. 9.32. Фотографии электронного («) [35] и дыроч-
ного (б) [36] транзисторов, сделанные при помощи
сканирующего электронного микроскопа
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
437
зависимости получены и для дырочно-
го транзистора. Следует отметить, что
эти два транзистора — единственные
одноэлектронные приборы (кроме
реализованных при помощи скани-
рующего туннельного микроскопа),
работающие при температурах выше
77 К. Однако вопрос о воспроизводи-
мости 10 нм структур при помощи
электронной литографии в [35] не рас-
сматривается.
Аналогичная конструкция с анало- Рис. 9.33. Ток стока от напря-
гичными характеристиками создана жения на затворе для элек-
А. Fujiwara и др. [37]. Их транзистор ТРОННОГО транзистора при
отличается большими размерами и различных температурах [35]
работает до температуры 28 К.
В работе A. Ohata и др. [38] предложена конструкция, показан-
ная на рис. 9.34. Прибор изготавливался следующим образом: на
поликремниевый слой наносился толстый слой SiO2. При помощи
электронной литографии и реактивного ионного травления форми-
ровался островок Si-SiO2. Затем проводилось термическое окисле-
ние для получения тонкого (2 нм) окисла на боковой поверхности
островка. После нанесения еще одного слоя поликремния при по-
мощи электронной литографии и реактивного ионного травления
формировались подводящие контакты, как показано на рис. 9.34.
Роль квантовой точки играл островок, туннельные контакты
осуществлялись через тонкий боковой окисел. Емкость перекры-
тия контактов и островка уменьшалась за счет большой толщины
SiO2 (50 нм) сверху островка. В качестве затворного электрода
использовалась подложка. Классификация прибора аналогична
предыдущему.
Рис. 9.34. Схема одноэлектронного транзистора из [38]
438
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.35. Фотография од-
ноэлектронного транзисто-
ра (см. рис. 9.34), получен-
ная при помощи сканиру-
ющего электронного мик-
роскопа [38]
Рис 9.36. Зависимость тока сто-
ка от напряжения на затворе; на-
пряжение на стоке 3 мВ [38]
Как видно из рисунка, площадь туннельного контакта опреде-
ляется высотой островка и шириной подводящего контакта, кото-
рые составляли 30 и 100 нм соответственно. Таким образом,
емкость контактов при толщине бокового окисла 2 нм составляла
50 аФ. Фотография структуры, полученная с помощью СЭМ, пока-
зана на рис. 9.35. На рис. 9.36 представлены характерные одно-
электронные осцилляции тока стока от напряжения на затворе (т.е.
на подложке). Измерения проводились при температуре 42 К.
Приборы на основе двумерного электронного газа в гетеро-
структурах AlGaAs/GaAs. Основная идея таких приборов состоит
в формировании в ДЭГ квантовых точек путем приложения обед-
няющих напряжений к электродам на поверхности образцов [28,
39-41]. Это планарные управляемые приборы на одной или не-
скольких квантовых точках.
Различные конструкции данного типа приборов различаются
конфигурацией управляющих электродов и количеством кванто-
вых точек. На рис. 9.37 представлена СЭМ-фотография прибора из
работы [39]. Толщина электродов около 300 нм. Прибор работает
при темперазуре меньше 1 К.
На рис. 9.38 показана фотография с атомного силового микроскопа
одноточечного прибора из работы F. Hofmann и др. [40]. Прибор ра-
ботает при Т= 25 мК. Схематичное изображение прибора из работы
Рис. 9.38. Фотография одноэлек-
тронного транзистора, получен-
ная при помощи атомного сило-
вого микроскопа [40]
Рис. 9.37. Фотография одно-
электронного транзистора,
выполненная с помощью
сканирующего электронно-
го микроскопа [39]
S. Pasquer и др. [41] (аналогичное [28]) приведено на рис. 9.39.
Прибор работает при температурах менее 35 мК. На рис. 9.40 пока-
заны характерные осцилляции тока от напряжения на электродах,
формирующих квантовую точку [41]. Аналогичные характеристики
получены и в [28, 39, 40], поэтому мы не будем на них подробно
останавливаться.
7г*
rllhi
Рис. 9.39. Схематическое изо-
бражение прибора из [41]
В работе [42] для конструк-
ции, показанной на рис. 9.41,
получена аналитическая форма
зависимости линейной проводи-
мости структуры от затворного
напряжения и температуры.
Рис. 9.40. Зависимость проводимо-
сти о от напряжения на затворе для
транзистора, изображенного на
рис. 9.39 [41]
440
Главв 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.41. Схема транзисто-
ра, по которой производи-
Приборы на основе структуры
А1/А1ХОУ /А1. В приборах такого типа
используется возможность получения
тонкого окисла А1.
Часто используется техника так на-
зываемого теневого испарения (shadow
evaporation), описанная в обзоре [7].
Последовательные стадии данного про-
цесса показаны на рис. 9.42. На стадии
лось моделирование характе- а на трехслойный PMMA-Ge-PMMA
ристик [42] резист наносится рисунок при помо-
щи электронной литографии. Стадии
б - г - последовательное травление трехслойного резиста. Стадия
д - изотропное селективное травление нижнего слоя РММА-резиста с
образованием висящих Ge мостиков. Стадия е - последовательное
напыление А1 под разными углами, после первого напыления А1
окисляется и напыляется еще один слой А1 под другим углом, так
что тень от Ge мостика находится в другом месте. В месте пере-
крытия первого и второго слоя А1 образуется туннельный контакт.
На стадии г удаляется оставшийся резист.
В работе Е. Visscher и др. [43] описаны изготовленные подобным
образом приборы, фотография одного из них показана на рис. 9.43.
Рис. 9.42. Схема процесса теневого испарения [7]
9.2. Реализация одноэлвктронных приборов
441
Рис. 9.43. СЭМ-фотография двух
емкостно-связанных одноэлек-
тронных транзисторов, изготов-
ленных при помощи теневого
испарения [43]
Рис. 9.44. Последовательные ста-
дии самосовмещенной технологии
для изготовления одноэлектрон-
ного транзистора [45]
Туннельные переходы J\ и J2 образованы перекрытием подводя-
щих контактов и квадратным металлическим островком. Прибор
работает при Т= 60 мК.
Сходная технология описана в [44], однако там испарение А1 ис-
пользуется для изготовления шаблона: на вытравленную в резисте
канавку под двумя различными углами напыляется А1, в результате
чего ширина канавки уменьшается. При помощи этого метода дос-
тигнута ширина канавки 100 нм. Достоинство метода состоит в про-
стоте, так как для него достаточно обычной фотолитографии и
жидкостного травления.
Прибор, построенный на основе самосовмещенной технологии,
представлен на рис. 9.44 из работы М. Gotz и др. [45]. Процесс
также является многостадийным. На стадии а формируется узкая
полоска А1; б - наносится резист поперек полоски; в - незакрытые
резистом части полоски стравливаются; г - торцевые части А1 по-
лоски окисляются; д - сверху все закрывается А1; е — удаляется
резист вместе с лежащим на нем А1. В результате формируется
прибор, в котором остаток полоски, окисленный с торцов, примы-
кает к двум электродам, являясь кулоновским островком. Ширина
полоски 80... 150 нм, толщина 50 нм, ширина полосы резиста по-
перек полоски 150 нм. Прибор работает до Т = 2 К.
442
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Имеются и другие способы реализации одноэлектронных при-
боров [46, 47], например, в работе Кубаткина и др. [48] описан
прибор с кулоновским островком 200x150x1000 нм3 из высоко-
температурной сверхпроводящей керамики YBaCuO. Прибор ра-
ботает при Т= 0,5 К.
9.3. ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
Возможные области применения одноэлектронных приборов
были показаны Лихаревым в его первых работах по одноэлектрон-
ным эффектам [1-5]. Он, в частности, предлагал использовать од-
ноэлектронные приборы в качестве электрометров из-за их
высокой чувствительности к внешнему заряду. Исходя из (9.1.7)
можно записать I =fe, что позволяет сделать стандарт тока.
Одноэлектронные приборы могут быть использованы также в
качестве логических элементов цифровых схем. Эта область при-
менения является, очевидно, наиболее важной. Большинство ра-
бот, связанных с использованием одноэлектронных приборов,
посвящено именно цифровой электронике.
N. Yoshikawa и др. в [49] анализируют динамические характери-
стики инверторных схем на одноэлектронных транзисторах с рези-
стивным и емкостным входами (рис. 9.45). Принцип работы таких
инверторов заключается в следующем. Если входное напряжение Ещ
мало, т. е. соответствует логическому нулю, и недостаточно для пре-
одоления кулоновской блокады, то ток через транзистор не про-
текает и выходное напряжение Fout соответствует логической «1».
Рис. 9.45. Принципиальные схемы одноэлектронных
инверторов:
а - емкостного, б - резистивного [49]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
443
Рис. 9.46. Передаточная характеристика емкостного (а) и резистивного (б)
инверторов [49]
При увеличении К|П до значения, снимающего кулоновскую блока-
ду (что соответствует логической единице), через транзистор на-
чинает течь ток и потенциал Knut понижается до логического нуля.
Расчет характеристик проводился методом Монте-Карло. Стати-
ческие характеристики инверторов изображены на рис. 9.46 (на
верхнем графике - для транзистора с емкостным входом, на ниж-
нем - с резистивным входом). Динамические характеристики, полу-
ченные при подаче на вход импульса логической «1», приведены на
рис. 9.47 также для емкостного и резистивного инверторов. Кроме
того, в [49] исследовались каскадное включение инверторов и кас-
кадное включение с обратной связью. Передаточные характери-
стики двухтранзисторного каскада с обратной связью приведены на
рис. 9.48. В результате исследований установлено, что резистивная
схема имеет более высокие коэффициент усиления по напряжению,
а б
Рис. 9.47. Динамические характеристики емкостного (а) и резистивного (б)
инверторов при подаче на вход прямоугольного импульса [49]
444
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Koutl/(e/2C1),VOut2/(e/2C1)
Rl~ C2=0,2Ci, Ц/(е/2С!> ^utl ЗОЛ, Д„=3( -ouZJOCi 1,4; (e2/2Ci) Ri 'kT=IOOO
=
^>ut2
Г1п0/(е/2С,)
Рис. 9.48. Передаточные характе-
ристики для каскада из двух рези-
стивных инверторов [49]
стабильность рабочей точки и
разделение входа-выхода, однако
у нее меньшая разница логиче-
ских уровней, чем у емкостной
схемы. Выходные сигналы ос-
циллируют во времени из-за сто-
хастического характера одноэлект-
ронного туннелирования. Время
включения составляет 100/?iC(.
Логические уровни становятся
стабильными в длинных цепоч-
ках инверторов.
В отличие от схемы, описан-
ной в [49], Н. Fukui в [50] предло-
жена схема, в которой смещение
одноэлектронного транзистора
осуществляется не сопротивлением, а туннельным переходом, как
изображено на рис. 9.49.
Принцип работы такой схемы заключается в следующем.
Внутреннее состояние определяется зарядом, находящимся в точ-
ках А и В. Для схемы были вычислены области стабильности в
зависимости от Fin и ?<м- Диаграмма для схемы, приведенной на
рис. 9.49, а, представлена на рис. 9.50, где заштрихованы неста-
бильные области, пустые треугольники со срезанными углами -
области кулоновской блокады (в скобках указаны зарядовые со-
стояния для точек А и В). При изменении входного напряжения
схема переходит из одного стабильного домена в другой, при этом
меняются зарядовое состояние и, следовательно, напряжение.
Рис. 9.49. Принципиальная схема одноэлектронных
инверторов с использованием туннельного перехода
вместо истокового (а) и стокового (б) резисторов [50]
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
445
На рис. 9.51 представлена
передаточная характеристика
для схемы, приведенной на
рис. 9.49, а, при различных тем-
пературах. Временная зависи-
мость выходного напряжения
при подаче входного импульса
показана на рис. 9.52. Из этого
графика хорошо видно отсутст-
вие осцилляций выходного на-
пряжения, присущее традицион-
ной схеме (см. рис. 9.47). Пред-
Г,„, мВ
Рис. 9.50. Карта доменов стабиль-
ности внутренних состояний схемы,
приведенной на рис. 9.49, а [50]
ложенная конструкция является
более стабильной, чем традици-
онная [49], и ненамного слож-
нее ее.
Принципиально другая конструкция, основанная на SET-осцил-
ляциях (9.1.7), предложена в [51]. Ее схема показана на рис. 9.53.
На каждую ячейку (обведена штриховой линией) подается посто-
янное напряжение смещения , п - номер ячейки, причем смеще-
ние подается с определенной фазой фыоск. Переменное напряжение
накачки Ершпр = Vp cos (2wst) подается одновременно на все ячей-
ки, со,- частота входного переменного сигнала Ein= cos (со,/ + ф;п),
Рис. 9.51. Передаточная характе-
ристика схемы, изображенной на
рис. 9.49, а [50]
Рис. 9.52. Зависимости входного и
выходного напряжений от време-
ни при подаче на вход положи-
тельного импульса [50]
446
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
Рис. 9.53. Принципиальная схема логического элемента, основанного на
бистабильности фаз сигналов [51], (а) и фазовая диаграмма для нее (б);
углы приведены в единицах л/4
ф1П - разность фаз входного сигнала и сигнала накачки, фС1Оск так-
же отсчитывается от фазы накачки. Такая система может нахо-
диться в двух стабильных состояниях из-за неопределенности
фазового соотношения частот со, и 2as.
Рассчитанная фазовая диаграмма разности фаз входного и вы-
ходного сигналов при различных соотношениях ф|П и ф^^ приведе-
на на рис. 9.53, б. Параметр е = CJCj характеризует степень связи.
Из рисунка видно, что в случае сильной связи (е = 0,4) разность
фаз зависит в основном от фазы входного сигнала. Заметим, одна-
ко, что вышеописанная схема представляет главным образом тео-
ретический интерес, так как практическая реализация одиночного
туннельного перехода весьма проблематична по причинам, изло-
женным в разд. 9.1.
К. Nakazato, Н. Ahmed [52, 53] для своих ячеек логики и памяти
использовали приборы, основанные на многотуннельных перехо-
дах (Multi Tunnel Junctions - MTJ). Эти приборы являются единст-
венным примером практической реализации одноэлектронных
логических элементов среди всех рассмотреных в данном разделе.
Схема прибора с MTJ показана на рис. 9.54. В подложке GaAs на
глубине 30 нм создавался 5-легированный слой Si при помощи
металлоорганического химического осаждения. Затем на поверх-
ности на глубину 120 нм вытравливалась структура, показанная на
рисунке. Формирование квантовых точек в канале происходило из-
за флуктуаций потенциала.
9.2. Реализация однозлектронных приборов
447
Рис. 9.54. Схема прибора, построенного
на MTJ [52]
Рис. 9.55. Принципиаль-
ная схема одноэлектрон-
ной ячейки памяти [52]
Рассмотрим одноэлектронную ячейку памяти, принципиальная
схема которой показана на рис. 9.55. При подаче положительного
импульса напряжения Vg, достаточного для преодоления кулонов-
ской блокады, конденсатор Cg заряжается, затем при возвращении
в нуль Cg начинает разря-
жаться до тех пор, пока процесс
разрядки не прервет кулонов-
ская блокада. На MTJ будет
находиться избыточное количе-
ство электронов и напряжение V
будет меньше нуля, вблизи на-
пряжения кулоновской блокады
(V > - Ик6) происходит запись
«О». При подаче отрицательного
импульса напряжения Vg ситуа-
ция повторяется, только значе-
ние V положительно и
находится вблизи положитель-
ного напряжения кулоновской
блокады (К < Икб). На рис. 9.56
показана временная зависи-
мость напряжения на ячейке
памяти при записи «О» и «1».
Верхний график представляет
случай отсутствия кулоновской
Рис. 9.56. Временные характери-
стики записи «О» и «1» в одноэлект-
ронную ячейку памяти [52]
448
Глава 9 ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
1,0 мм! ,4 мм 0,2 мм
Рис. 9.57. Схематическое изображе-
ние фильтра для одноэлектронных
приборов[54]
Рис. 9.58. Частотная характерис-
тика ослабления А фильтра, пред-
ложенного в [54]
блокады, на нижнем графике хорошо виден эффект памяти с раз-
ницей логических уровней, равной около 6 мВ.
Измерения проводились при Т = 1,8 К. При применении MTJ в
качестве логического элемента использовался боковой затвор, при
помощи которого можно управлять режимом кулоновской блока-
ды. В этом случае прибор ведет себя как инвертор, который по
принципу работы аналогичен приборам, описанным, например, в
[49, 50].
Косвенное отношение к применению одноэлектронных при-
боров имеет работа D. Vion и др. [54], содержащая описание ми-
ниатюрных фильтров для уменьшения шумов при работе с одно-
электронными приборами. Проблема заключается в том, что
электромагнитные шумы от высокотемпературных частей обору-
дования проникают к одноэлектронным приборам, находящимся,
как правило, при криогенных температурах, и влияют на эффект
кулоновской блокады. В [54] подробно исследовано это влияние и
предложен фильтр, показанный на рис. 9.57. Частотная характери-
стика фильтра представлена на рис. 9.58. Для сопряжения аппара-
туры при 300 К и 30 мК необходимы четыре фильтра. Проблема
заключается в выборе температуры самих фильтров.
Быстродействие одноэлектронных приборов. Рассмотрим
вопрос быстродействия одноэлектронных приборов. В таблице при-
ведем оценки, сделанные в [1]. Отметим, что структуры на основе
одноэлектронного туннелирования (кулоновской блокады) в насто-
ящее время представляются весьма перспективными для создания
9.2. Реализация одноэлектронных приборов
449
Оценка быстродействия одноэлектронных приборов
Характеристики 5 = ab, нм2 С, аФ Г, К R, кОм т = RC, пс
Современная технология 100x100 300 0,15 30 10
Ближайшая перспектива 30x30 30 1,5 30 1
Пределы нанолитографии 10x10 3 15 30 0,1
Молекулярный уровень 3x3 0,3 150 30 0,01
Примечание: S = ab - площадь туннельного перехода, С - емкость данного
перехода, R - сопротивление, Т- рабочая температура, т - время переключения.
широкого спектра твердотельных приборов, в том числе инте-
гральных схем нового поколения сверхвысокой степени интегра-
ции. Уже сейчас известно большое количество таких структур,
различных по конфигурации и назначению, и число их продолжает
неуклонно расти. Становится сложно ориентироваться в этой об-
ласти, поэтому работы по классификации приборных структур
продолжаются [54].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
< 1? Лихарев К.К. О возможности создания аналоговых и цифровых интеграль-
ных схем на основе дискретного одноэлектронного туннелирования И Микроэлек-
троника. - 1987. - Т. 16, вып. 3. - С. 195-209.
2. - Аверин Д.В., Лихарев К.К. Когерентные колебания в туннельных переходах
малых размеров И ЖЭТФ. - 1986 - Т. 90, вып. 2- С. 733-743.
3. Averin D. V., Likharev К.К. Coulomb blockade of single-electron tunneling, and
coherent oscillations in small tunnel junctions // J. Low Temp. Phys. - 1986. - Vol. 62,
№ 3/4. - P. 345-373.
4. Likharev K.K. Correlated discrete transfer of single electrons in ultrasmall tunnel
junctions // IBM J. Res. Develop. - 1988. - № 1.- P. 144 158.
5. Likharev K.K., Claeson T. Single electronics // Sci. Am. - 1992.- № 6. - P. 80-85.
6. Tinkham M. Coulomb blockade and an electron in a mesoscopic box // Am. J.
Phys. - 1996. - № 64. - 343-347.
7. Geerligs L.J. Charge quantisation effects in small tunnel junctions // Phys, of
Nanostructures. - Cambridge Univ. Press., 1992. - P. 171-204.
8. Van Houten H. Coulomb blockade oscillation in semiconductor nanostructures И
Sur. Sci. - 1992. - № 263. - P. 442-445.
9. Hu G.Y., O’Connel R.F. Exact solution of the electrostatic for a single electron
multijunction trap // Phys. Rev. Lett. - 1995. - № 74. - P. 1839-1842.
450
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
10. Isawa К, Suva F. Transport through discrete energy levels in quantum dots //
Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - № 34. - P. 4492-4495.
11. Adachi S., Fujimoto K., Hatano T. Current Response of quantum dot modu-
lated by time-dependent external fields // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. — № 34. -
P. 4298^1301.
12. Hatano T, Fujimoto K., Isawa Y. Role of displacement current in quantum-dot
turnstile devices // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - № 34. - P. 4488-4491.
13. Zorin A.BPekola., J.P., Hirvi K.P., Paalen M.A. Pumping of single electron
with a travelling wave // Phys. B. - 1995. - № 210. - P. 461—467.
14. Gorelik L. Y., Isacsson A., Voinova M. V Shuttle mechanism for charge transfer
in Coulomb blockade nanodtructures // E-print archive (http://xxx.lanl.gov) cond-
mat/9711196,- 1997.
15. Hackenbroich G., Heiss W.D., Weidenmuller HA. Deformation of quantum
dots in the coulomb blockade regime // E-print archive (http://xxx.lanl.gov) cond-
mat/9702184. - 1997.
'Йу Richardson W.H Possibility of a single electron tunneling diode and a control-
lable saturated tunneling current // Appl. Phys. Lett. - 1997. - № 77. - P. 1113-1115.
17. Неизвестный И.Г. Соколова O.B., Шамирян Д.Г. Одноэлектроника. Ч. I И
Микроэлектроника. - 1999. - Т. 28, вып. 2. - С. 83-107.
18. Неизвестный И.Г. Соколова О. В., Шамирян Д.Г. Одноэлектроника. Ч. II.
Применение одноэлектронных приборов И Микроэлектроника. - 1999. - Т. 28,
вып. 3. -С. 163-174.
19. Schonenberg С., Van Houten Н, Donkersloot НС. Single-electron tunneling
observed at room temperature by scanning-tunneling microscopy // Europ. Lett. —
1992. - Vol. 20, № 3. - P. 249-254.
20. Schonenberg C., Van Houten H, Donkersloot H.C. Single-electron tunneling
up to room temperature // Phys. Scripta. — 1992. - № 45. - P. 289-291.
21. Van Kempen H, Dubois J.G.A., Gerritsen J. W„ Schmid G. Small metallic par-
ticles studied by tunneling microscopy // Phys. B. - 1995. — № 204. — P. 51-56.
22. Uehara Y., Ohayama S., Ito K., Ushioda S. Optical observation of single-
electron charging effect at room temperature // Jpn. J. Appl. Phys. - 1996. — № 35. -
P. L167-L170.
23. Dorogi M., Gomez J., Osifchin R. Room-temperature Coulomb blockade from a
self-assembled molecular nanostructure // Phys. Rev. B. - 1995. - № 52. - P. 9071-
9077.
24. Nejo H, Aono M., Baksheyev D. G., Tkachenko V.A. Single-electron charging of
a molecule observed in scanning tunneling scattering experiments // J. Vac. Sci. Tech-
nol. B. - 1996. - № 14. - P. 2399-2402.
25. Austing D.G., Honda T, Takura Y., Tarucha S. Sub-micron vertical Al-
GaAs/GaAs resonant tunneling single electron transistor // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. -
№34.-P. 1320-1325.
26. Austing D.G., Honda T, Tarucha S. GaAs/AlGaAs/InGaAs vertical triple sin-
gle electron transistors // Jpn. J. Appl. Phys. - 1997. - № 36. - P. 1667-1671.
27. Ashoori R.C., St ormer H.L.. Weiner J.S. Single-electron capasitance spectros-
copy of discrete quantum levels // Phys. Rev. Lett. - 1992. - № 68. - P. 3088-3091.
28. Haug RJ, Blick R.H., Schmidt T. Transport spectroscopy of single and coupled
quantum dot systems // Phys. B. - 1995. - № 212. - P. 207-212.
9.2. Реализация одноэлектронных приборов 451
29. Duruoz С.1., Clarke RM., Marcus С.М., Harris JS. Jr. Conduction threshold,
switching and histeresys in quantum dot arrays // Phys. Rev. Lett. - 1995. - № 74. -
P. 3237-3240.
30. Rimberg A.J., Ho T.R., Clarke J. Scaling behavior in the current-voltage char-
acteristic of one- and two-dimensional arrays of small metallic islands // Phys. Rev.
Lett. - 1995. - № 74. - P. 4714-4717.
31. Tackeuchi A., Nakata K, Muto S., Sugiyama Y„ Usuki T, Nishikawa Y. Time-
resolved study of carrier transfer among InAs/GaAs multi-coupled quantum dots // Jpn.
J. Appl. Phys. - 1995. - № 34. - P. L1439-L1441.
32. Matsuoka H, Kimura S. Transport properties of a silicon single-electron tran-
sistor at 4.2 К // Appl. Phys. Lett. — 1995. — № 66. — P. 613—615.
33. Matsuoka H, Ahmed H. Transport properties of two quantum dots connected in
series formed in s ilicon inversion layer / Jpn. J. Appl. Phys. - 1996. - № 35. -
P. L418-L420.
34. Matsuoka H, Kimura S. Thermally enhanced со-tunneling of single electrons
in a Si quantum dots at 4.2 К // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - № 34. - P. 1326-1328.
35. Leobandung E., Guo L„ Wang Y., Chou S.Y. Observation of quantum effects
and Coulomb blockade in silicon quantum dot transistors at temperatures over 100 К //
Appl. Phys. Lett. - 1995. - № 67. - P. 938-940.
36. Leobandung E, Guo L., Chou S.Y. Single hole quantum dot transistors in sili-
con // Appl. Phys. Lett. - 1995. - № 67. - P. 2338-2340.
37. Fujiwara A., Takahashi Y., Murase K., Tabe M. Time-resolved measurement of
single-electron tunneling in a Si single-electron transistor with satellite Si islands //
Appl. Phys. Lett. - 1995. - № 67. - P. 2957-2959.
38. Ohata A., Niyama H, Shibata T, Nakajima K, Toriumi A. Silicon-based sin-
gle-electron tunneling transistor operated at 4.2 К // Jpn. J. Appl. Phys. — 1995 -
№ 34. - P. 4485-4487.
39. Waugh F.R, Berry M.J., Mar D.J, WesterveltR.M. Single-electron charging in
double and triple quantum dots with tunable coupling I I Phys. Rev. Lett. - 1995. -
№ 75. - P. 705-708.
40. Hofmann F., Heinzel T, Wharam D.A., Kotthaus J.P. Single electron switching
in a parallel quantum dot// Phys. Rev. B. - 1995. -№ 51. - P. 13872—13875.
41. Pasquier C, Glattli D.C., Meirav U, Williams F.I.B., Jin Y., Etienne B. Cou-
lomb blockade of tunneling in 2D electron gas // Sur. Sci. — 1992. - № 263. - P. 419-
423.
42. Furusaki A., Matveev K.A. Coulomb blockade oscillation of conductance in the
regime of strong tunneling // Phys. Rev. Lett. - 1995. - № 75. - P. 709-712.
43. Visscher EH, Verbrugh S.M., Lindeman J., Hadley P. Fabrication of multilayer
single-electron tunneling devices // Appl. Phys. Lett - 1995. - № 66. - P. 305-307.
44. Zimmerman N.M. A simple fabrication method for nanometer-scale thin-metal
stencils // J. Vac. Sci. Technol. - 1997. - В 15(2). - P. 369-372.
45. Gotz M., Bluthner K, Krech W., Nowack A., Fuchs H.J., Kley E.B. Preparation
of self-aligned in-line tunnel junctions for application in single-charge electronics // J.
Appl. Phys. - 1995. - № 78. - P. 5499-5502.
46. Литвин Л.В., Колосанов B.A., Могильников К.П. и др. Создание одноэлек-
тронных устройств методом SECO на системе Ti/TiOx // Микроэлектрони-
ка. -2000. - Т. 29, вып. 3. - С. 189-196.
47. Бакшеев Д.Г., Ткаченко В.А., Литвин Л.В. и др. // Автометрия. — 2001. —
Вып. З.-С. 118-136.
452
Глава 9. ПРОБЛЕМЫ ОДНОЭЛЕКТРОНИКИ
48. Kubatkin S.E., Tzalenchuk A. Ya., Ivanov Z.G., Delsing P. Coulomb blockade
electrometer with a high-Tc island // Письма в ЖЭТФ. - 1996. — № 63. - P. 112—117.
49. Yoshikawa N., Ishibashi H, Sugahara M. Dynamic characteristic of inverter cir-
cuits using single electron transistor// Jpn. J. Appl. Phys. - 1995.-№ 34.-P. 1332-1338.
50. Fukui H., Fujishima M., Hoh K.. Simple and stable single-electron logic utiliz-
ing tunnel-junction load // Ipn. J. Appl. Phis. - 1995. - № 34. - P. 1345-1350.
51. Kiehl R.A., Ohshima T. Bistable locking of single-electron tunneling elements
for digital circuitry // Appl. Phys. Lett. - 1995. - № 67. - P. 2494-2496.
52. Nakazato K., Ahmed H. The multiple-tunnel junction and its application to single-
electron memory and logic circuits // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - № 34. - P. 700-706.
53. Nakazato K., Ahmed H. Enhancement of coulomb blockade in semiconductor
tunnel junction // Appl. Phys. Lett. - 1995. - № 66. - P. 3170-3172.
54. Vion D., Orfilla P.F., Joyez P., Esteve D., Devoret M.H Miniature electrical
filters for single electron devices // J. Appl. Phys. - 1995. - Ns 77. - P. 2519-2524.
55. Абрамов И.И., Новик Е.Г Классификация приборных структур одноэлек-
троник! 7 ФТП. - 1999.-Т. 33, вып. 11. - С. 1388-1394.
56. NangX., Grabert Н. Coulomb charging at large conduction: Preprint. — 1997.
57. Likharev K.K. Single - electron devices and their applications // Proc, of
IEEE. - 1999. - Vol. 87, № 4. - P. 606-632.
ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
В гл. 8 описаны структуры, приборы и сконструированные на
их базе сверхвысокочастотные интегральные схемы, в основе
функционирования которых лежат туннельные переходы. Показа-
но, что времена переключения в этом случае могут составлять
единицы пикасекунд. Иначе говоря, можно выполнять элементар-
ные операции с частотой порядка сотен гигагерц. Однако надо
помнить, что эти выдающиеся параметры получены в основном на
многослойных тонкопленочных структурах, полученных методом
молекулярно-лучевой эпитаксии и с использованием полупровод-
никовых материалов типа А3В5 (GaAs, InSb, InAs, Al].xGaxAs и т.д.).
А это в свою очередь означает, что технология их изготовления
очень сложная и дорогостоящая, и поэтому такие приборы чаще
используются в специальных устройствах военной техники.
Основную потребность в быстродействующих приборах для
микроэлектроники в широком диапазоне сфер применения в на-
стоящее время удовлетворяют кремниевые приборы. Главным
элементом кремниевых интегральных схем является полевой тран-
зистор с изолированным затвором.
Общее название этого семейства кремниевых транзисторов ме-
талл - диэлектрик - полупроводник - транзистор (МДПТ) - легко
понять из приведенного на рис. 10.1 поперечного сечения такого
прибора с инверсионным электронным каналом.
Прибор представляет собой две « области, образующие с под-
ложкой и—р-переходы, имеющие названия «исток» и «сток». Про-
межуток между ними перекрывается металлическим электродом,
отделенным от кремния термически выращенным окислом. Когда
на этот электрод, называемый затвором, подается положительное
454
Глава 10 ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
Рис. 10.1. Поперечное сечение
транзистора с изолированным за-
твором - МДПТ
1926-1933 годах до публикации
М. Atalla [3].
относительно подложки напря-
жение, между истоком и стоком
создается инверсионный элек-
тронный слой. Под воздействи-
ем стокового напряжения в
образовавшемся слое инверсии
проводимости (канал) течет ток,
величину которого можно моду-
лировать напряжением на затво-
ре. Реализация этого на се-
годняшний день очень простого
по идее прибора потребовала
более 30 лет, считая от первых
патентов J. Lilienfield [1, 2] в
о первом МДПТ D. Khang и
Интересно отметить, что в этих очень давних патентах уже
употреблялись названия и обозначения основных составных частей
полевого транзистора: исток (S), сток (D) и затвор (G) (рис. 10.2).
Следующим важным изобретением, давшим мощный толчок
развитию кремниевой планарной технологии, было предложение
конструкции так называемой «комплементарной инверторной схемы»,
1300,01В
UNITED STATES PATENT OFFICE
Рис. 10.2. Рисунки из патента Лилиенфельда
[2], изображающие две предложенные им
структуры полевого транзистора - металл -
окисел - полупроводник (MOSFET) (а) и
современный символ МДПТ (б)
Тенденции создания нанотранзистора
455
впервые предложенной F. Wanlass в 1963 году [4]. Его идея была
проверена с помощью соответствующего последовательного со-
единения и- и />-канальных транзисторов. Но наиболее интересным
является технологическое объединение обоих транзисторов на
одной подложке (КМОП-технология).
На рис. 10.3 представлены электрическая схема, схематический
разрез элементарного КМОП-инвертора и его основные характери-
стики. Видно, что для осуществления идеи понадобилось создание
дополнительной области /2-типа (подложка для и-канального тран-
зистора в общей н-типа подложке), называемой «карманом». Глав-
ной особенностью этого инвертора является почти полное
отсутствие потребления мощности в любом конечном логическом
состоянии. Заметный ток протекает через прибор только при пере-
ключении из одного состояния в другое [5].
Второе изобретение, которое резко ускорило развитие полупро-
водниковой технологии и использование кремниевых интегральных
Рис. 10.3. Принципиальная схема («), поперечный разрез (б)
и характеристики (в, г) КМОП-инвертора [4]
456
Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
схем в вычислительной технике, - это появление однотран-
зисторного элемента динамической памяти [6]. Идея устройства
состоит в объединении конденсатора, заряд которого определял
состояние бинарной логики, и МДПТ (рис. 10.4), позволяющего
обратиться к заданному элементу памяти.
Рис. 10.4. Схематический разрез полупроводникового элемен-
та памяти на основе структуры металл - нитрид - окисел-
полупроводник (МНОП) [7]
При подаче на затвор транзистора напряжения соответствую-
щего знака на локальных состояниях границы раздела оксид крем-
ния — нитрид кремния накапливается заряд, открывающий или
запирающий транзистор (в зависимости от знака носителей в кана-
ле). Этот заряд может сохраняться годы без подачи дополнитель-
ного питания. При включении напряжения противоположного
знака транзистор возвращается в первоначальное состояние.
Время, необходимое для переключения логического элемента,
скорость доступа к элементу и другие временные параметры зави-
сят от скорости переключения транзистора. Поэтому с самого на-
чала применения этого элемента памяти в вычислительной технике
идет разработка методов и соответствующих технологий для уве-
личения этой скорости.
Мы не ставим в настоящем издании задачу дать подробный ана-
лиз развития технологии МДПТ, но считаем необходимым показать
читателю современное состояние проблемы хотя бы для ознакомле-
ния с направлением исследований и основными понятиями и, ко-
нечно, с достижениями в этой области наноэлектроники.
Прежде всего напомним, что для ускорения процесса переклю-
чения транзистора используется самый прямой путь - уменьшение
Тенденции создания нанотранзистора
457
длины канала. Чем короче канал, тем меньше времени понадобит-
ся электрону для перехода от истока к стоку и, следовательно,
меньше время переключения.
Основную роль в этом случае играют процессы фотолитогра-
фии. Несмотря на многочисленные исследования (и полученные в
лабораториях превосходные результаты), в области использования
рентгеновской и электронной литографии в современной техноло-
гии создания транзисторов с длинной канала даже менее 100 нм
(нанотранзисторов) пока используется в основном оптическая
литография. Правда, сегодняшняя оптическая литография сильно
отличается от контактной и даже проекционной литографии, при-
менявшейся много лет для создания структур с проектной нормой
~ 1мкм на пластинах диаметром 100 и даже 150 мм. Во-первых,
источником засветки служат высокостабильные лазеры. В настоя-
щее время применяются лазеры KrF с X = 248 нм. Во-вторых, ис-
пользуется большой набор специальных оптических
вспомогательных приемов и приспособлений (оптическая коррек-
ция близости, фазовые сдвиговые маски и т.п.) для избавления от
оптических явлений, нарушающих четкость, резкость и точность
передачи изображений. Эти приспособления позволяют расширить
предел разрешения до 1/10 X и даже в отдельных случаях до 1/20Х
(X - длина волны излучения). В работе [8] при использовании двух
фазосдвигающих масок с излучателем на 248 нм удалось получить
КМОП-структуры с длиной затвора 30±5 нм.
Система проекции изображения на пластину представляет со-
бой сложное оптико-механическое устройство с отражательными
зеркалами, поверхность которых обработана с точностью до еди-
ниц ангстрема. Пластина засвечивается не вся сразу, а малыми
фрагментами, которые в свою очередь сканируются по площади.
Это делается для равномерности засветки. Предполагается сле-
дующие поколения наноэлектронных компонентов создавать на
установках оптической литографии с лазерными источниками
ArF(193 нм) и F2 (157 нм).
Достаточно большую сложность представляет переход от од-
ного слоя к другому. Главное здесь - применение плазменного
травления. Как мы увидим дальше, в каждом слое используется
много различных материалов, не применявшихся ранее. Например,
для затворов в оперативных запоминающих устройствах (ORAM)
применяется пакет из нитрида кремния, вольфрама, ванадия, поли-
кремния. Это значит, что система газово-плазменного травления
должна быть приспособлена для быстрой смены состава травящего
458
Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
газа, т.е. удаления предыдущего и запуска нового. Затем необхо-
димо поддерживать однородность газового потока, точно управ-
лять потоком ионов и распределением плазмы. И каждая пластина
должна попадать в абсолютно одинаковые условия. Кроме того,
для улучшения планарности поверхности пластины, а следова-
тельно, и точности литографии необходимо применять межопера-
ционную химико-механическую полировку [9].
Итак, оптическая литография позволяет создавать длину канала
в нанометровом диапазоне (100...30 нм), иначе говоря, обеспе-
чивает основу изготовления приборов наноэлектроники.
С перспективами дальнейшего развития литографии можно оз-
накомиться в работе [10]. На рис. 10.5 приведена схема системы
для литографии с использованием глубокого ультрафиолетового
излучения. О сложностях, возникающих при создании подобных
установок совмещения-экспонирования, можно судить по точности
обработки поверхностей оптических элементов, приведенной на
рисунке.
Уже в 1997 году фирма IBM опубликовала результаты исследо-
ваний по созданию транзистора с длиной канала L = 0,07 мкм
(70 нм!) с временем задержки т = 7,9 пс при комнатной температуре
EXTREME ULTRAVIOLET LITHOGRAPHY
Рис. 10 5. Система для литографии с использованием
глубокого ультрафиолетового излучения, на которой соз-
даны структуры с минимальными размерами 50 нм [10]
Тенденции создания нанотранзистора
459
(рис. 10.6). При температуре
жидкого азота эта величина
уменьшалась до 5,5 пс. Эти
параметры были измерены на
специально созданной инте-
гральной схеме, содержащей
83-каскадный кольцевой ге-
нератор [И].
Для достижения таких
высоких результатов был ис-
пользован почти весь извест-
ный к тому времени набор
технологий, минимизирую-
Ly мкм
Рис. 10.6. Рекордные характеристики
КМОП-инвертора фирмы IBM (1997) [11]
щих величины сопротивлений и емкостей, приводящих к увеличе-
нию RC транзистора и интегральной схемы.
Источники их возникновения легко понять из эквивалентной
схемы транзистора, показанной на рис. 10.7. Видно, что сопротив-
ления и емкости определяются размерами и расположением от-
дельных элементов транзистора и материалами, из которых они
изготовлены. В краткий перечень таких элементов входят затвор,
подзатворный диэлектрик, р-н-переходы истока и стока, канал,
металлическая разводка. Каждый из них по отдельности, а также
их взаимодействие могут быть представлены сосредоточенными
элементами. Поняв природу возникновения составляющих эквива-
лентную схему сопротивлений и емкостей, можно разрабатывать
технологические приемы для их уменьшения, а следовательно,
двигаться в направлении уменьшения времени задержки т = RC.
Рис. 10.7. Эквивалентная схема полевого
транзистора
460
Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
В числе технологий, разработанных в конце прошлого - начале
нынешнего столетия, прежде всего отметим создание структу-
ры кремний на изоляторе, высокоаспектной тренчевой изоля-
ции (с большим соотношением глубины изолирующей канавки -
тренча - к ее ширине), мелких исток-стоковых переходов с
ультратонким расширением и самосовмещенные силицидные
процессы.
Кроме появления дополнительных источников паразитных
ЛС-элементов, увеличивающих время задержки, с уменьшением
длины канала возникает еще и ряд так называемых короткоканаль-
ных эффектов, ухудшающих параметры транзистора в случае ис-
пользования их в качестве аналоговых приборов.
При уменьшении длины канала до величины, сравнимой с
шириной обедненных слоев //-«-переходов стока и истока, распре-
деление потенциалов в канале в равной степени будет зависеть
как от потенциала на затворе, так и от напряжения на сто-
ке. Это приводит к нежелательной зависимости порогового
напряжения от длины канала и от напряжения на управляю-
щих электродах транзистора. К этому добавляется увеличен-
ная эмиссия горячих электронов из канала в окисел из-за
сильных электрических полей в коротком канале. А это, в свою
очередь, приводит к изменению и дрейфу пороговых напряже-
ний во время работы и ухудшению крутизны транзистора.
Еще одной серьезной проблемой является исчезновение в связи с
перечисленными причинамиучастков насыщения стоковых ВАХ.
За основными конфигурациями, материалами и свойствами ма-
териалов, использующимися сейчас, и предлагаемыми для исполь-
зования при создания нанотранзисторов в будущем, проследим по
работе [12]. На рис. 10.8 приведен схематический разрез транзисто-
ра, где показаны области, в которых решаются основные проблемы
по уменьшению длины канала. Эти ключевые изменения связаны с
переходом к подзатворным диэлектрикам с высокой диэлектриче-
ской проницаемостью (в англоязычной литературе - к, в русской -
е), осознанием роли различия металлов в составе затвора и контак-
тов, процессов формирования ультрамелких //-«-переходов истока
и стока и их конфигурации. То есть в [10], рассматриваются боль-
шинство процессов, необходимых для создания прибора КМОП с
каналом короче 100 нм.
Несколько пояснений к перечисленным проблемам. Во-первых,
для чего нужен двойной металл в структуре затвора?
Тенденции создания нанотранзистора
461
В КМОП-системе необходимо
иметь два металла с различной рабо-
той выхода для точного управления
пороговым напряжением в и- и
/^-канальных транзисторах. В этой
роли для и-канала используются
металлы с работой выхода, близкой
к 4.1 эВ (совпадение с серединой
запрещенной зоны n+Si), для /7-кана-
ла- с работой выхода 5.2 эВ (p+Si).
В первом случае чаще используются
Та, Ti, Zr, Hf, во втором — TaN, WN,
Pt nNi.
Применение металлов также
предпочтительнее использования ле-
гированного поликремния, так как это
позволяет избежать диффузионного
проникновения бора из высоколеги-
рованных затворов через очень тон-
кий подзатворный диэлектрик в
канал. В качестве второго (верхнего,
контактного) металла используют в
основном алюминий, но усиленно
экспериментируют с нанесением ме-
ди. Это должно привести к увеличе-
нию быстродействия и уменьшению
электромиграции, характерной для А1.
Понятно, что при уменьшении
длины канала до величин L < 100 нм
толщина подзатворного диэлек-
трика уменьшится по правилам
масштабирования до уровня 20.. .40 А.
Рис. 10.8. Схематический
разрез транзистора с указа-
нием основных технологиче-
ских приемов формирования
различных областей при соз-
дании нанотразистора [12]:
А - межтранзисторная изоляция,
заполнение глубоких канавок с
большим аспектным соотношением -
так называемые тренчи (Shallow
Trench Insulating); В - низкоомный
контакт; С - двойной металлический
затвор для ячеек с размерами менее
100 нм; D - спейсер (защитный
диэлектрик на боковых стенках
затвора); Е - подзатворный диэлек-
трик, состоящий из слоя со средним е
(d < 25 нм) и высоким s (d > 2 нм),
для блокирования туннелирования
горячих электронов и повыше-
ния надежности; F - сверхмелкий
р-л-переход с расширением с по-
мощью двойной диффузии для
уменьшения поля вблизи стокового
перехода; Н - подлегирование ка-
нала для управления пороговым
напряжением
Это сразу усилит прямое туннелирование. Для блокирования
этого процесса поверх диэлектрика со «средним» е наносится
диэлектрик с «высоким» Е для увеличения так называемой «фи-
зической толщины» (Teftphys) составного— (двойного) диэлек-
трика’.
I р 1
г _ р . ох -г’
eff.phys 'ox -*h6 ’
kEhe J
462 Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
где Тт - толщина двуокиси кремния, The - толщина диэлектрика с
высокой диэлектрической проницаемостью. Если Ток~ 0,5 нм
(еох = 3,9), ГЬе= 5 нм (е = 30), то 7’cffphys= 0,65 нм. Различие в ди-
электрических проницаемостях в соответствии с теоремой Гаусса
приводит к неравномерному распределению поля в конденсаторе.
В диэлектрике с высокой диэлектрической проницаемостью поле
будет меньше. Поэтому туннельный барьер в этом диэлектрике
из-за слабого поля оказывается широким и туннельный ток будет
заблокирован.
В качестве диэлектрика со средним е (middle к) в настоящее
время вместо оксида кремния (SiO2) используется оксинитрид
кремния (SiOxNy) се» 5...7. Его отличают более совершенная
(даже по сравнению с SiO2) граница с Si, меньшее накопление
положительного заряда при полевой деградации и большая стой-
кость к образованию интерфейсных состояний в электрическом
поле. А на роль диэлектриков с высоким е претендуют Та2О5
НЮ2, ZrO2 и др.
Надо отметить, что несмотря на всю привлекательность идеи
использования диэлектриков с высоким в, они обладают рядом
отрицательных свойств, не позволяющих их полномасштабное
использование. Во-первых, большинство из них вступают в реак-
цию с Si при равновесных условиях, приводя к деградации грани-
цы раздела. Именно поэтому необходимо, чтобы первый слой,
контактирующий с кремнием, был SiO2 или SiOxNy. Кроме того,
при повышении температуры многие из этих диэлектриков меняют
свою аморфную структуру в сторону поликристалла. Это может
привести к возникновению нежелательных токов утечки по грани-
цам зерен. Отметим, что принято конструировать подзатворный
диэлектрик так, чтобы ток туннелирования не превышал 1 % от
рабочего тока. Вопросы high-k и low-k диэлектрика рассмотрены в
обзорах [27], [28].
Большое внимание уделяется формированию областей стока,
истока и канала. Основным элементом технологии здесь является
ионное легирование с широким набором доз и глубин проникнове-
ния ионов [11, 13].
Считается, что существуют две области применения этого ме-
тода, различающиеся по конечной цели формирования области
канала. Первая - задача «проводимости», вторая - «характеристи-
ки транзистора». Особенно большие сложности возникают при
решении второй задачи, где небольшие изменения в расположении
примесей - так называемая галлоимплантация - ГИ (hallo-
Тенденции создания нанотранзистора
463
implantation) и «блокирующий
подзатворный карман» - БПР
(Super Steep Retrograde Weel) -
могут оказывать значительное
влияние на характеристики
транзистора.
Итак, при создании нано-
транзистора, где главным счи-
тается уменьшение длины
Рис. 10.9. Составляющие «внешнего»
сопротивления транзистора [14]
канала, решаются две основные
проблемы: получение макси-
мальных токов насыщения (/sat)
и сведение к минимуму «короткоканальных» эффектов. Для этого
необходимо уметь точно управлять профилем и концентрацией ле-
гирующей примесей в области канала. Главными технологическими
операциями, которые формируют эти профили, являются импланта-
ция, которая меняет проводимость подложки, и последующий тер-
мический отжиг, который и создает окончательную основу системы
«проводимости» транзистора (рис. 10.9).
Эти операции включают формирование истока и стока (И/С),
пространственное расширение вдоль границы раздела И и С - ИСР
(sourse\drain extention - SDE) и легирование поликремния затвора
(если он не заменен на другой металл). Именно совокупность этих
технологических приемов позволила установить в качестве кон-
трольных цифр (для проектной нормы 0,13 мкм) латеральную рез-
кость /^«-перехода - 5 нм на декаду, глубину перехода - менее
300 А и концентрацию активированной примеси в области истока
и стока — 1021 см3. Для выполнения этих высокоточных легирова-
ний обычно используются низкоэнергетическая имплантация и
технология быстрого отжига (Rapid Thermal Annealing RTA) [15].
После проведения имплантации «проводимости» оптимизиру-
ют параметры транзистора. Наиболее важные при этом задачи -
улучшение управления пороговым напряжением и минимизация
токов утечки в транзисторе. Они решаются созданием неоднород-
ного профиля легирования в области канала. Физические основы
воздействия данной операции на параметры транзистора описаны в
[16-18].
На рис. 10.10 приведен схематический разрез области канала
транзистора, где хорошо видно расположение ИСР, ГИ, и БРП.
Создание галлообластей может производиться имплантацией
перпендикулярно к поверхности и под определенными углами к
464
Глава 10 ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
S/D Extension
Рис. 10.10. Схематиче-
ское изображение раз-
личных деталей области
канала транзистора и
КМОП-элемента [14];
прямоугольники между
приборами — это тренчи
ней. В последнем случае используется
известное в имплантации явление «кана-
лирования», что требует точного соблю-
дения угла наклона. Отклонение
последнего в пределах 1° может привести
к изменению параметров транзистора на
8... 10 % [19].
В настоящее время для увеличения бы-
стродействия МДПТ активно пытаются
использовать еще два технологических
приема в области канала. Первый - это
формирование структуры кремний на
изоляторе (КНИ) для использования в
качестве исходной пластины.
На рис. 10.11 приведены схематиче-
ские разрезы МДПТ и КМОП-структуры,
из которых видно, к каким преимущест-
вам приводит происходящее при применении КНИ отсечение объ-
ема подложки от области формирования транзистора. Эта область,
как известно, занимает всего 5...7 % общей толщины шайбы. Вид-
но, что введение «захороненного» окисного слоя вызывает
уменьшение эффективной площади /т-и-переходов истока и стока
и ликвидирует в значительной степени паразитные токи через под-
ложку. А это в свою очередь приводит к исключению из техноло-
гии большинства тренчей и, следовательно, позволяет значительно
увеличить быстродействие и плотность размещения приборов на
кристалле. Кроме того, уменьшается величина емкостей затвор
сток/исток, что также ведет к повышению быстродействия.
Существует несколько различных технологий получения
КНИ-структур [20].
Наиболее распространенными в настоящее время можно счи-
тать технологии SIMOX (Separation by Implantation of OXygen) и
Smart-Cut.
Технология SIMOX, как это видно из рис. 10.12, заключается в
имплантации большой дозы кислорода, который при последующем
отжиге реагирует на определенной глубине с кремнием и форми-
рует заглубленный слой окисла (buried oxide). Выше этого слоя
после отжига образуется свободный от дефектов слой, который
служит подложкой для последующей эпитаксии кремния, пригод-
ного для изготовления прибора микроэлектроники [21].
Для создания КНИ-структуры по технологии Smart-Cut [22] ис-
пользуются две пластины (рис. 10.13). Одна из них, предварительно
Тенденции создания нанотранзистора
465
Рис. 10.11. Схематические разрезы
МДПТ- (а) и КМОП-инвертора (6):
вверху - традиционно применяемые технологиче-
ские схемы,' внизу - структуры с использованием
КНИ
Операции.
Окисление
Имплантация водорода
Кислород Операции:
Рис.10.12. Схема образования
структуры КНИ методом SIMOX
Соединение пластин
Скалывание по слою
водорода
Полировка-травление
Рис. 10.13. Схема образования струк-
туры КНИ методом Smart-Cut
16 Основы наноэлектроники
466
Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
окисленная, подвергается имплантации водородом (гелием), вторая,
служебная, - несущая подложка. Между слоем водорода и окислом
находится будущий рабочий слой кремния. Обе пластины лицевыми
сторонами соединяются методом прямого сращивания (bonding)
[23]. Полученная структура нагревается до температуры
400...600 °C, при которой водород расширяется и имплантирован-
ная пластина раскалывается по имплантированному слою водорода
(CUT). Слой кремния, оставшийся на окисле, чаще всего полирует-
ся, чтобы устранить дефекты скалывания, и травится, после чего
пластина направляется на изготовление приборов.
В качестве второго очень важного технологического приема
Па• |
*I«W)=-1.6 Т
!! ’
S I ‘'
1 п
и о
надо выделить многоуровневую разводку, или иначе «многоуров-
невое межсоединение» элементов интегральных схем.
С уменьшением размера канала до величины менее 100 нм рез-
ко увеличиваются плотность приборов на кристалле и их количе-
ство в интегральной схеме. При этих
условиях на динамические характери-
стики схемы (быстродействие) оказы-
вает большое влияние время задержки
на RC межсоединений.
В добавление к необходимости по-
вышения числа соединительных линий
следует учитывать (использовать) оп-
ределенную иерархию межсоединений.
Это вызвано тем, что мы не можем
простым масштабированием убрать
задержки, вызванные конечным сопро-
тивлением проволочки. Понятно, что
при одновременном пропорциональ-
ном уменьшении длины и ширины
полоски ее сопротивление остается
постоянным. Отсюда возникла идея
расположения межсоединений в по-
следовательных слоях друг над дру-
гом - многоуровневая разводка.
Первые короткие «проволочки» на
нижних уровнях межсоединений ответ-
ственны за внутреннюю связь и обеспе-
Рис. 10.14. Поперечное
сечение межсоединений с
использованием в качестве
металла меди и межслоево-
го диэлектрика (inter-level
dielectric - ILD) из фторси-
ликатного стекла*.
* На рисунке также показано соотношение высоты шины к ее ширине (ас-
пектное отношение), достигающее в приведенном примере T/W= 1,6 [24]
Тенденции создания нанотранзистора
467
чивают достаточным числом каналов для соединения приборов в
элементарные ячейки памяти и логики. Эти полоски должны, как и
остальные детали прибора, масштабироваться литографией. Кроме
того, имеется необходимость в длинных «проволочках», для кото-
рых плотность менее важна, так как они проложены между отдален-
ными частями кристалла, соединяя различные функциональные
блоки. Следовательно, эти проволочки не могут сокращаться (сжи-
маться) вместе с остальными размерами кристалла.
Планарная технология межсоединений является ключом к дос-
тижению высокой плотности низколежащих уровней с приемле-
мыми технологическим выходом и стоимостью. Для того чтобы
замедлить увеличение числа этих уровней межсоединений, необхо-
димо снизить диэлектрическую проницаемость диэлектриков и со-
противление металлов, используемых в этой разводке.
В настоящее время в качестве металла в наиболее передовых
разработках используется медь (рис. 10.14), а в качестве диэлек-
трика с малым е (2,8...3,5) - прежде всего фторсиликатное стекло
(fluorinated SiO2-FSG) [24].
На рис. 10.15 приведены данные, представляющие результаты
применения такой технологии разводки. Видно, что использование
меди и FSG значительно уменьшает время задержки транзистора [9].
В качестве примера применения на практике всех перечислен-
ных технологий можно привести работу [25], где особенно наглядно
показано улучшение характеристик 70 нм транзистора при вклю-
чении в технологию КНИ-структур (рис. 10.16), когда снижаются
Рис. 10.15. Зависимость времени за-
держки интегральной схемы от проект-
ной нормы; при расчете диэлект-
рическая проницаемость межслоевой
изоляции в принималась равной 2
Рис. 10.16. Улучшение час-
тотных характеристик тран-
зистора при применении в
технологии КНИ-структур
468
Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
емкости истока, стока и затвора относительно объема подложки.
Причем это относится как к граничной частоте транзистора f —
основному показателю быстродействия транзистора, так и к мак-
симальной частоте генерации /тлх. Причины такого улучшения
можно проследить по малосигнальной эквивалентной схеме, взя-
той из той же работы (рис. 10.17). Обозначения сопротивлений и
емкостей легко расшифровываются, так как индексы составлены
из названий элементов, участвующих в формировании рассматри-
ваемых распространенных элементов. Например, Cgd означает ем-
кость затвор (gate) - объем (bulk) и т.д.
Рис. 10.17. Эквивалентная малосигнальная схема транзистора и упрощен-
ные выражения для описания его радиочастотных характеристик
Даже из поверхностного знакомства со схемой, приведенной на
рис. 10.17, легко понять, что использование КНИ-структур резко
уменьшает /?С-элементов транзистора Cgb, Csd и Саь и др., что непо-
средственно приводит к уменьшению времени задержки, т.е. уве-
личивает быстродействие транзистора.
Необходимо отметить, что если сообщение в 1997 году фирмы
IBM [И] носило скорее рекламный характер, то рассмотренная
выше публикация Mitsubishi Electr. Со., где приведены близкие
результаты по быстродействию (порядка 130 ГГц), уже имеет хо-
рошую идеологическую, а главное, серьезную технологическую
основу. На эту же роль лидера в разработке нанотранзисторов, ко-
нечно, претендует и фирма Intel. На рис. 10.18 приведены взятые из
Интернета разрезы опытных транзисторов с длиной канала 70, 30,
20, и 15 нм. На нижней части рисунка приведен разрез транзистора,
Тенденции создания нанотранзистора
469
Рис. 10.18. Электронно-микроскопические снимки разрезов
нанотранзисторов, разрабатываемых фирмой Intel
где хорошо видно наличие окисла, отрезающего рабочую область
транзистора от объема подложки (КНИ !).
Перечисленные выше технологические усилия по улучшению
характеристик транзисторов и интегральных схем на их основе за
счет уменьшения размеров до уровня нанометров сопровождаются
ростом диаметра используемых в производстве кремниевых пла-
стин. За последние пять лет практически подготовлен переход
ведущих производителей полупроводниковой микро- и наноэлект-
ронной продукции на диаметр 300 мм. Этот производящий боль-
шое впечатление размер хорошо иллюстрируется фотографией, на
которой оператор демонстрирует такую пластину (рис. 10.19, б).
Надо сказать, что и это не предел и в настоящее время в Японии
выращены слитки 400 мм (рис. 10.19, а) и даже 500 мм.
Переход на новый гигантский размер кремниевых пластин по-
требовал многомиллиардных вложений в перевооружение всей
технологической оснастки и технологического оборудования.
Приходится переходить зачастую на индивидуальную обработку
каждой отдельной пластины с тщательным пооперационным, по-
слойным контролем. Это связано не только с усложнением техно-
логии, но и с удорожанием каждой пластины, когда становится
просто разорительным использовать контроль уже готовой инте-
гральной схемы на выходе из технологического цикла.
470
Глава 10. ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
а б
Рис. 10.19. Монокристалл кремния диаметром 400 мм, выра-
щенный методом Чохральского (а); оператор с пластиной
кремния диаметром 300 мм [11] (б)
Даже из такого краткого обзора достижений разработчиков и
производителей ясно, что приемы масштабирования и новые тех-
нологии, уменьшающие размеры транзисторов и улучшающие их
характеристики, из года в год увеличивают количество транзисто-
ров на кристалле. В начале 70-х годов их насчитывали сотни, а в
середине уже тысячи. В 1982 году на кристалле было размещено
уже 60-70 тыс. транзисторов. В 1990 году эта цифра выросла до
десятка миллионов. В настоящее время уже используются масшта-
бы десятков и даже сотен миллионов транзисторов на кристалл. В
соответствии с этим меняются названия и обозначения интеграль-
ных схем:
ИС - интегральная схема;
БИС - большая интегральная схема;
СБИС - сверхбольшая интегральная схема;
УБИС - ультрабольшая интегральная схема.
Последнее название и используется для схем сегодняшнего
дня. Правда, все чаще слышны прогнозы появления ГИС — гигант-
стких интегральных схем.
Список литературы
471
Интересно отметить, что все вышеприведенные цифры хорошо
укладываются в эмпирический закон Мура. Гордон Мур - сотруд-
ник известной фирмы Intel, анализируя в начале 70-х годов дина-
мику изменения во времени количества транзисторов на кристалле,
установил, что их число удваивается каждые 1,5—2 года. Такой же
закономерности подчиняется и количество операций в секунду,
обеспечиваемых этими элементами в персональных компьютерах.
И хотя Мур предполагал, что при уменьшении длины канала менее
0,52 мкм эта закономерность изменится, закон Мура продолжает
действовать и по сей день (рис. 10.20). Это позволяет разработчи-
кам с определенной уверенностью прогнозировать дальнейшее
развитие микро- и наноэлектроники на несколько лет вперед. Как
видно из рис. 10.20, к 2007 году предполагается увеличение коли-
чества транзисторов на кристалле до одного миллиарда.
Pentium® III
Processor
i :ium® Process or
Ten
8086
Heading toward I billion transistors in 2007
isor (McKinfe )
Its nium™ Proce
386™ Pro essor
100 000 000
sssor
100 000
10 000
1970
1980
2000
1990
‘ 86™ DX Proc
1 000 000 000
Pentium® 4
Processor
10 000 000
Pentium® II Processor
1 000 000
1000
1010
Puc. 10.20. Закон Мура
Что будет дальше, посмотрим. Предела стремления человече-
ской мысли к творчеству, действительно, нет.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Patent 1 745 175 U.S. Method and Apparatus for Controlling Electric current /
Lilienfeld J.E. - Appl. Field 8 oct. 1926; granted 18 jan. 1930.
2. Patent 1 900 018 U.S. Device for controlling electric current I Lilienfield J.E. -
Appl. Field 28 mart 1928; granted 7 mart 1933.
3. Kahng D., Atalla M.M. Silicon-silicon dioxide field induced surface devices //
Presented at the IRE-AIEE Solid State Device Res. Conf. Pittsburg PA, 1960.
4. Wanlass F.M., Sah C.T. Nanowatt logic using field effect metal-oxide semicon-
ductor triodes // Technical Digest of the IEEE: Intern. Sol. St. Circuit Conf. - 1963. -
Feb. 20.-P. 32-33.
472 Глава 10- ТЕНДЕНЦИИ СОЗДАНИЯ НАНОТРАНЗИСТОРА
4. Wanlass ЕМ., Sah С. Т. Nanowatt logic using field effect metal-oxide semicon-
ductor triodes // Technical Digest of the IEEE: Intern. Sol. St. Circuit Conf. - 1963. -
Feb. 20.-P. 32-33.
5. Patent 3 500 142 U.S. Field-effect Transistor Apparatus With Memoiy Involv-
ing Entrapment of Charge Carriers I Khang D. - 5 june 1967.
6. Patent 3 387 286 U.S. Field-effect transistor memoiy I Dennard R.H. - 14 july
1967.
7. Sah С. T. Evolution of the MOS transistor - from conception to VLSI // Proc.
IEEE. - 1988. - Vol. 76, № 10. - P. 1280.
8. Chan R„ Kavalieros J., Roberds B. et al. // IEDM Nech. Digest. — 2000.
9. Wyon C. Future technology for advanced MOS devices // Nucl. Instr. Methods
in Phys. - 2002. - P. 380 - 391.
10. DeJule Ruth. Next - Generation Litography Tools // Semic. Intern. March. -
1999. - P. 48.
11. Braun A.E. «It is Small and It is fast, But Can it be Manufactured?» // Semic.
Intern. Nov. - 1997. - P. 19.
12. Peters L. Outlook on New Transistor Materials // Semic. Intern. Oct. - 2001. -
P. 61-66.
13. Adadi B., Meniailenkov V. Transistor performance: the impact of implant dop-
ing accuracy // Sol. St. Tech. Jan. - 2001. - P. 88.
14. Tompson S„ Packman P. [Http://developer.intel.com/technology/itj/q3 1998/
articles/art],
15. Foad M.A., Jennigs M.A. Formation of ultra - shallow junctions by ion implan-
tation and RTA // Sol. St. Techn. Dec. - 1998. - P. 42-54.
16. Codella C.F., Ogura S. // IEDM Technical Digest - 1985. - P. 23.
17. Hori T. // IEDM Technical Digest. - 1994. - P.75.
18. Taur Y., Nowak EJ. // IEDM Technical Diget. - 1997. - P. 215.
19. Kapila D. et al. // IEEE Trans. Semicon. Manufac. — 1999. — Vol. 12. -
P. 457-461.
20. Plosst AA., Kranter G. Silicon-on-insulator material aspect and applications //
Sol. St. Electr. - 2000. - Vol. 44. -P. 775-782.
21. Izumi F. et al. (NTT) first SIMOX circuits // Electronics Lett. - 1978. -
Vol. 14. - P. 593.
22. Bruel M. // Electron. Lett. - 1995. - Vol. 31, № 14. - P. 1201.
23. Desmond-Colinge C.A., Gosele U. Wafer - bonding and Thinning Technolo-
gies // MRS Bulletin. Dec. - 1998. - P. 30-34.
24. Thompson S. Alavi M. et al. 130 Logic Technology Feature 60 nm Transistjrs,
Low К Dielectrics, and Cu Interconnections // Intel Technology J. - 2002. - Vol. 6,
N 2. - [developer.intel.com/technology/itj/index.htm].
25. Matsumoto T, Maeda S. et al. 70 nm SOI - CMOS of 135 GHz/^ with Duel
Offset - Implanted Sours - Drain Extention Structure for RF/Analog and Logik Applica-
tions // Proc, of Intern. Electron Devices Meeting, Washington, DC, 2001. — P. 2-5.
26. DeJule R. CPM Challenges Below a Quarter Micron // Sem. Intern. - 1997. -
P. 54.
27. Robertson J. High к dielectric constant oxid / Eur. Phys. J. // Appl. Phys,
2004. Vol. 24. P. 265-291.
28. Maex K„ Baklanov M.R., Shamirian D. et al. Low dielectric constant materi-
als for microelectronics // J. Appl. Phys, 2003. Vol. 95. № 11. P. 8793-8836.
ГЛАВА 11
ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ
ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА
11.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Цифровые электронные компьютеры, широко используемые в
настоящее время, созданы с помощью полупроводниковых техно-
логий. Такие компьютеры обычно представляют собой совокуп-
ность элементов только с двумя возможными логическими
состояниями - «О» и «1», так называемых битов (binary digits =
bits), вентильных элементов и соединений между ними. Компью-
теры, в которых логические операции производятся с этими клас-
сическими с точки зрения физики состояниями, в настоящее время
принято называть классическими. Однако классические компьюте-
ры не могут справиться с некоторыми очень важными задачами.
Примерами таких задач являются поиск в неструктурированной
базе данных, моделирование эволюции квантовых систем (напри-
мер, ядерные реакции) и, наконец, факторизация больших чисел.
Интерес к последней задаче связан с тем, что практически все со-
временные шифры для секретной переписки основаны на этой
математической процедуре. Для взлома уже существующего кода
необходима работа классического компьютера в течение несколь-
ких лет. Предполагаемое экспоненциальное увеличение счета в
случае создания квантового компьютера сильно встревожила «сек-
ретное» мировое сообщество, и оно стало вкладывать значитель-
ные средства в исследования и разработки в области квантового
компьютера и квантовых вычислений.
474 Глава 11 ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
Идея квантовых вычислений впервые была высказана
Ю.И. Маниным в 1980 году [1], но активно она стала обсуждаться
только после появления в 1982 году статьи американского физика-
теоретика Р. Фейнмана [2]. В этих работах предложено для вычис-
лений использовать операции с состояниями квантовой системы.
Было обращено внимание на то, что каждое состояние квантовой
системы в отличие от классической может находиться в суперпо-
зиции. В терминах классического компьютера квантовый бит
{quantum bit - кубит) в соответствии с законами квантовой меха-
ники может находиться одновременно в состояниях «0» и «1».
В литературе эта «странность» квантового мира объясняется на
примере спина электрона, наиболее ярко проявляющегося в экспе-
риментах ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Это свойство
электрона часто изображают в виде вращения волчка с осью вра-
щения, направленной вверх или вниз. Спин вверх можно принять
за единицу, спин вниз - за нуль. Но математически можно пока-
зать, что электрон может также находиться в «призрачном» двой-
ном состоянии, состоянии суперпозиции, в котором спин как бы
смотрит одновременно вверх и вниз, что в свою очередь означает,
что такое состояние есть одновременно нуль и единица. Если те-
перь выполнять вычисления с помощью этого электрона, то они
будут осуществляться с одновременным использованием и нуля и
единицы, т.е. два вычислительных действия будут осуществляться,
так сказать, «за цену одного»!
Чтобы построить квантовый компьютер, необходимо иметь
способ осуществлять:
- любые повороты вектора |Ч7 (0)) любого заданного кубита;
- контролируемый одним (контролирующим) кубитом поворот
другого (контролируемого) кубита [3].
Повороты кубита выполняются под воздействием внешнего ре-
зонансного поля. Квантовая эволюция состояния кубита |Ч'(г)>
совершается согласно уравнению Шредингера
(,)!»(,)>,
где Н} (z) = -де0 cos(wz + ф) - энергия взаимодействия дипольного
момента д кубита и внешнего резонансного электрического поля
11.1. Общие сведения
475
(например, лазера). Приведенное уравнение легко решается и дает
результат:
a (z) = cos ) а (0) - Ze'<psin (0),
< >
b (z) = -Ze,<psin f ~ j a (0) + cos fb ( 0),
® = QZ, Q = ps0/2ft.
Пусть в начальный момент кубит находится в состоянии |0)
(когда а(0) = 1, #(0) = 0 ). Тогда
n(z) = cos(®/2), b(t) - -Ze'<psin(®/2),
а вероятности найти кубит в момент Z в состояниях
|0>
и |1>
равны
1 1 ч
—+—cos(fiz),
=|^(z)|2 =sin2
— cos(Qz).
Это показывает, что кубит с частотой Q (частота Раби) переходит
из состояния |0) в состояние |1), а в промежуточные моменты
времени находится в состоянии, описываемом суперпозицией
|'P(z)^= a(z)|o} + Z?(z)|l^. Контролируя длительность и фазу внеш-
него воздействия, можно получить кубит в состоянии, описывае-
мом любой суперпозицией
(рис. 11.1).
Переворот спина квантово-
механической двухуровневой
частицы может произойти под
влиянием внешнего высоко-
частотного резонансного поля
или поля лазера (рис. 11.2).
Итак, предполагаемые пре-
имущества квантового компью-
тера перед классическим заклю-
л 2л Зл 2Q/
Рис. 11.1. Зависимость состояния
кубита от длительности и фазы
внешнего воздействия
476
Глаь 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
Поле лазера
ВЧ-поле
|0>
Рис. 11.2. Управляемая
квантовая эволюция
двухуровневой систе-
мы под влиянием
внешнего резонансного
поля - метод реализа-
ции квантовых вычис-
лительных процессов
чаются в том, что квантовый компьютер
оперирует при вычислениях не числами, а
квантовыми состояниями.
Далее отметим, что в классической фи-
зике индивидуальные состояния частиц
объединяются при помощи обычного
скалярного произведения. При этом воз-
можное число состояний из п частиц
образует векторное пространство раз-
мерностью 2п.
В квантовой системе состояние кван-
товой частицы «квантового бита» (кубита)
может быть выражено через суперпозицию
базисных состояний (суперпозицию {|0) } и
{|1)}) и поэтому квантовые состояния
объединяются при помощи умножения тензоров. Результи-
рующее пространство состояний из п квантовых частиц обла-
дает при этом размерностью 2п.
Таким образом, в предполагаемых квантовых компьютерах
экспоненциальное увеличение пространства состояний требует
всего лишь линейного увеличения физического пространства (т.е.
увеличения и частиц).
Все это означает, что если один кубит может быть одновре-
менно в двух суперпозиционных состояниях - 0 и 1, то два кубита
могут быть уже в четырех суперпозиционных состояниях - 00, 01,
10, и 11, представляя сразу четыре числа!
Видно, что увеличение числа состояний происходит экспонен-
циально: на т кубитах можно выполнять одновременно вычисле-
ние над 2“ числами параллельно. То есть, используя всего
несколько сотен кубитов, можно одновременно представить боль-
ше чисел, чем имеется атомов во вселенной. Это позволяет прогно-
зировать такое же увеличение скорости вычислений квантового
компьютера по сравнению с классическим. Данное предположение
основано на том, что при квантовых вычислениях элементарным
шагом является отдельная унитарная операция над w-кубитной
суперпозицией - принцип квантового параллелизма. Иначе говоря,
когда в классическом компьютере вычисляется единственное
выходное значение для одного входного, в квантовом компьютере
вычисляются выходные значения для всех входных состояний. Имен-
но этот процесс и принято называть квантовым параллелизмом.
11.1. Общие сведения
477
Подробное и полное изложение вопроса о теоретическом обос-
новании и принципах действия квантового компьютера, а также о
проведении квантовых вычислений можно найти прежде всего в
первой книге, изданной в нашей стране по этой тематике на рус-
ском языке, написанной К,А. Валиевым и А.А. Кокиным [3]*. Более
полная информация по этому вопросу содержится в [4-6].
Несмотря на всю привлекательность преимуществ предпола-
гаемого квантового компьютера, вопрос о реальной возможности
его использования долгое время оставался открытым. Однако за
последние несколько лет состояние дел в этой области существен-
но изменилось. Можно указать несколько причин, по которым
интерес к квантовому компьютеру резко увеличился.
1. Разработаны квантовые алгоритмы для решения упомянутых
ранее наиболее трудных задач, например для факторизации боль-
ших чисел (P.W. Shor [7]) и поиска в неструктурированной базе
данных (L.K. Grover [8]).
2. Разработана процедура коррекции квантовых ошибок [9], без
которой практически невозможны попытки создания квантового
компьютера.
3. Экспериментально продемонстрирована возможность кван-
товых вычислений на основе алгоритма Гровера и других на жидкост-
ных ядерных магнитно-резонансных квантовых компьютерах [10-13].
4. Предложены реалистичные варианты конструкций кванто-
вых компьютеров на основе твердотельных элементов:
а) на основе квантовых точек (D. Loss [14], G. Burkard [15],
L. Fedichkin, К. Valiev [16];
б) на основе сверхпроводящих переходов Джозефсона
(D.V. Averin [17]);
в) на ядерных спинах донорных атомов фосфора 31Р в изотопи-
чески чистом 28Si (В.Е. Капе [18]);
г) на электронных спинах тех же атомов фосфора в эпитакси-
альных гетероструктурах GC]_xSix (D. DiVincenzo [19]).
* Один из авторов - академик РАН К.А. Валиев был одним из первых, кто
осознал важность проблемы квантового компьютера в развитии современных
информационных технологий. Кроме [3], им опубликовано много работ по вопро-
сам квантовых компьютеров в периодической печати и прочитано огромное коли-
чество докладов на научных собраниях самого высокого уровня. В процессе
изложения представляемого в данной главе материала мы широко используем
содержание этих докладов (с разрешения автора).
478 Глава 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
В двух последних работах в качестве прообраза квантового
компьютера предложены нанометровые транзисторные структуры,
для создания которых предполагается использовать все технологии
наноэлектроники, описанные в настоящем издании. Но в случае
реализации таких систем в качестве кубитов необходимо выпол-
нить еще ряд дополнительных условий (требований), необходимых
для работы квантового компьютера.
Как следует из вышесказанного, квантовый компьютер должен
состоять из квантовых частиц-кубитов, которые можно рассматри-
вать как единичные векторы в двухмерном комплексном вектор-
ном пространстве с ортогональным зафиксированным базисом
{|0>} и {|1>}.
Кубитом может быть любая двухуровневая квантовая система.
Простейшей системой с двумя состояниями является квантовая
частица со спином ±1/2 в постоянном магнитном поле. Такой час-
тицей могут быть как электрон, так и ядро. Безусловно, при изме-
рениях состояния {|0)} или {|1)} должны быть физически
различимы, т.е. спиновое состояние должно быть каким-либо обра-
зом измерено.
Теперь можно сформулировать наиболее общие условия созда-
ния твердотельного (полупроводникового) квантового компьютера
на электронных (ядерных) спинах.
Для реализации такого компьютера необходимы:
- наличие ансамбля (регистра) кубитов-,
- наличие постоянного магнитного поля, снимающего вы-
рождение по спину, АЕе — \xBgeB (&En = pNgNB), где В - маг-
нитное поле; - магнетон Бора; р.л, - ядерный магнетон; ge N -
электронный (ядерный) g-фактор;
- низкие температуры, приводящие перед началом работы
все кубиты в нижнее (основное) состояние (делающие все элек-
троны спин-поляризованными) и предотвращающие неконтроли-
руемые переходы с нижних уровней на верхние (сопровождаемые
переворотом спина!);
- возможность проведения индивидуализации кубитов с по-
мощью подачи напряжения на специальные операционные затворы
одноэлектронных транзисторов;
- возможность подачи импульсов высокочастотного элек-
тромагнитного излучения различной длительности и фазы для
поворота спина на заданный угол-,
11.2. Квантовый компьютер на ядерных спинах в кремнии
479
- реализация нанометровых (около 100... 1000 А) расстоя-
ний между кубитами для организации взаимодействия между
ними-,
- возможность проведения одно- и двухкубитиых логических
операций с помощью затвора связи между кубитами.
11.2. КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР НА ЯДЕРНЫХ
СПИНАХ В КРЕМНИИ
Конструкция кубита. Все перечисленные выше требования
были учтены В. Капе [18] в его конструкции квантового компьюте-
ра на основе кремния. Реализация такого прибора, безусловно,
возможна только при использовании всех достижений нанометро-
вой кремниевой планарной технологии интегральных схем.
Важным требованием при создании такого квантового компью-
тера является изоляция кубитов от любых степеней свободы, кото-
рые могут вести к декогерентности. Если кубитами являются спины
на доноре в полупроводнике, то ядерные спины в матрице представ-
ляют собой большой резервуар, с которым донорные спины метут
взаимодействовать. Следовательно, матрица должна содержать ядра
со спином 7=0. Это требование исключает все полупроводники
А3В5 из числа кандидатов на матрицу, так как ни один из состав-
ляющих их элементов не имеет стабильных изотопов с нулевым
спином. Для кремния такой изотоп существует: 28Si. Кроме того,
технология получения кремния наиболее развита, и имеется боль-
шой опыт в создании нанообъектов, так что он лучше всех полупро-
водников подходит на роль полупроводниковой матрицы.
Единственным мелким донором в Si со спином / = 1/2 является
31Р. Система Si: 31Р была исчерпывающе изучена 40 лет назад в
экспериментах по электрон-ядерному двойному резонансу. При
достаточно низкой концентрации 31Р и при 7= 1,5 К время релак-
сации электронного спина - порядка тысяч секунд, а время релак-
сации ядерного спина 31Р превышает 10 ч. По-видимому, при
температуре несколько милликельвинов время релаксации ЗГР,
ограниченное фононами, будет порядка 1018 с, что делает эту сис-
тему идеальной в этом смысле для квантовых вычислений. Усло-
вия, необходимые для вычислений при помощи ядерных спинов,
могут возникнуть, только если ядерный спин локализован на по-
ложительно заряженном доноре в матрице полупроводника, следо-
вательно, температура должна быть настолько низкой, чтобы
исключить ионизацию донора. В этом случае волновая функция
480
Глава 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
Т= 0,1 К
Рис. 11.3. Два кубита в одно-
мерном регистре, содержа-
щие два 31Р донора со связан-
электрона концентрируется у ядра
донора (для А-орбиталей и энергетиче-
ских зон, образованных из них), при-
водя к большой энергии сверхтонкого
взаимодействия между спинами ядра и
электрона. Согласно расчетам [18] не-
обходимая температура для работы
должна быть менее 0,1 К.
Пластина кремния при этой темпе-
ратуре помещается в постоянное маг-
нитное поле BQ > (2Т). Два кубита в
одномерном регистре содержит два
31Р донора со связанными элект-
ронами, внедренными в 28Si (рис. 11.3).
Они отделены от управляющих метал-
лических затворов на поверхности
слоем SiO2; А-электроды управляют
(задают) резонансной частотой ядер-
но-спинового кубита; J-затворы управляют взаимодействием элек-
тронов соседних ядерных спинов. В этих условиях электроны пол-
ностью спин-поляризованы (п^/гц,< Ю 6), а ядерные спины будут
упорядочиваться по мере взаимодействия с электронами.
Индивидуализация кубитов и однокубитные операции.
Между спинами электрона и ядра существует сверхтонкое взаимо-
действие, определяемое контактным взаимодействием Ферми. С
учетом взаимодействия спинов с магнитным полем разностная энер-
гия между двумя ядерными уровнями может быть записана как
ными электронами, внедрен-
ными в 28Si
h^A =2g„p„50 + 2>l +
2А2
Р-вЛ)
(11.1.1)
где А - энергия сверхтонкого взаимодействия; А = (8/3)7rpBgZI х
хцп | Ч'(О) |2 и 1Ч'(О) |2 - плотность вероятности волновой функции
электрона, определенная вблизи ядра, a vA - резонансная частота.
Из формулы (11.1.1) видно, что резонансная частота зависит
как от энергии сверхтонкого взаимодействия, так и от величины
магнитного поля.
В [18] предложено для индивидуализации кубитов создать сис-
тему А-затворов, к которым прикладывается напряжение различ-
ных величины и полярности.
Как видно из рис. 11.4, электрическое поле, приложенное к
системе, сдвигает волновую функцию электрона от ядра к барьеру
11.2. Квантовый компьютер на ядерных спинах в кремнии
481
и уменьшает сверхтонкое взаимо-
действие, что приводит к сдвигу
резонансной частоты Величи-
на этого сдвига в соответствии с
расчетом штарковского расщеп-
ления, проведенного В. Капе для
мелкого донора в кремнии, нахо-
дящегося под затвором на глуби-
не 200 А, и показана на рис. 11.4.
Таким образом, приложение
напряжения к затвору А приво-
дит к изменению резонансной
частоты, вследствие чего спи-
ны могут быть селективно
приведены в резонанс с Вас, что
позволяет проводить одновре-
менные произвольные вращения
каждого ядерного спина, т.е.
Рис. 11.4. Зависимость ядерной
резонансной частоты f от напря-
жения И на А-затворе
осуществлять однокубитные
операции.
Взаимодействие кубитов и двухкубитные операции. Двух-
кубитные операции («управляемое не» и «дважды управляемое
не») в принципе осуществимы, если соседние кубиты взаимодей-
ствуют. Взаимодействие ядерных спинов возникает опосредованно
из-за взаимодействия электронов соседних кубитов, когда доноры
расположены достаточно близко друг к другу и волновые функции
электронов перекрываются.
Гамильтониан дважды связанной системы донорное ядро -
электрон (два кубита) для энергии, меньшей чем энергия связи
донор - электрон, записывается как
Н = Н (В) + А1су,п(У2е + А2а2пс2е + /а1ео2е,
где Н(В) — член взаимодействия магнитного поля со спинами; А}
и А2 - энергии сверхтонкого взаимодействия соответствующих
систем ядро - электрон; а - спиновые матрицы Паули; индексы 1
и 2 относятся к первому и второму кубиту; индексы е и п - к
электрону и ядру; 4J - обменная энергия, которая зависит от пе-
рекрытия волновых функций электронов.
482
Глава 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
Для хорошо разделенных доноров
\5/2
е1 ( г'
47(0 = 1,6— —
8авк ав >
( -2г
ехр ----
к ав j
(11.1.2)
где г — расстояние между донорами, е - диэлектрическая постоян-
ная полупроводника, пв - боровский радиус.
Зависимость изменения обменной частоты от расстояния меж-
ду донорами, рассчитанная для кремния, показана на рис. 11.5.
Уравнение (11.1.2) вообще-то справедливо для атомов водорода.
Для кремния оно усложняется из-за вырожденной анизотропной
структуры его долин. Обменные члены от каждой долины интер-
ферируют, что приводит к осциллирующей зависимости J(r). В
данном случае при расчете J(r) особенности, связанные с зонной
структурой кремния, не учитывались, использовались значения
эффективной массы в Si те
ав = 30 А. Поскольку обменная
энергия J пропорциональна пере-
крытию волновых функций
электронов, она может изменяться
за счет электростатического потен-
циала, приложенного к J-затвору,
расположенному между донорами.
Итак, приложение напряже-
ния к затвору J приводит к из-
менению перекрытия волновых
функций электронов, вследст-
вие чего переворот спина одно-
го из электронов осуществля-
ется (или не осуществляется)
в зависимости от состояния
спина второго электрона, что
позволяет проводить двухку-
битные операции.
Как будет показано ниже,
значительная связь между ядра-
ми будет осуществляться, когда
4J « ц.вВ, и это условие требует
уменьшения расстояния между
О,2то и боровского радиуса
Рис. 11.5. Зависимость обменной
частоты для кремния от расстоя-
ния между донорами L при V = 0,
напряжение на электроде ./ изме-
няет электростатический потенци-
альный барьер между донорами,
увеличивая или уменьшая обмен-
ное взаимодействие, пропорцио-
нальное перекрытию волновых
функций
11.2. Квантовый компьютер на ядерных спинах в кремнии
483
донорами до 100...200 А. Однако в
действительности это расстояние
может быть увеличено, если на за-
твор J подавать положительный
потенциал, который уменьшает
барьер между донорами. При этом
размеры затвора, необходимые для
квантовых компьютеров, оказыва-
ются близкими к минимально допус- Рис. 11.6. Иллюстрация метода
тимым для электронной технологии, детектирования спинового со-
измерения спина. Метод для стояния электрона
детектирования спинового состоя-
ния электрона при использовании электронных средств показан на
рис. 11.6. Оба электрона могут быть связаны на одном и том же
доноре (D-состояние), если к А -затворам приложено соответст-
вующее напряжение. Отметим, что только Щ. - 11] электроны с
антипараллельными спинами могут совершать переходы в состоя-
ния, в которых электроны связаны с одним и тем же донором
(принцип Паули !), создавая D -состояния. Электронный ток (за-
ряд) во время этих переходов измеряется с помощью емкостной
техники (одноэлектронного транзистора), что делает возможным
определение спинового состояния электрона и ядра. В Si:P
D -состояние всегда синглетное с энергией связи второго электро-
на 1.7 мэВ. Следовательно, дифференциальное напряжение, при-
ложенное к Л-затворам, может вызывать движение заряда между
донорами, что возможно только в том случае, когда электроны
находятся в синглетном состоянии. Если электроны находятся в
различном состоянии, то под вторым электродом могут оказаться
два электрона (принцип Паули!) - заряд окажется равен 2е. В про-
тивном случае имеем единичный заряд электрона. Движение заря-
да можно измерить, используя одноэлектронную емкостную
технику. Такой подход к измерениям спина дает сигнал во все
время релаксации спина, которое в Si:P может достигать тысяч
секунд.
Таким образом, определение спинового состояния в связан-
ной системе двух электронов производится по измерению заря-
да, когда оба электрона связаны в D'-состоянии. Это
возможно, когда они находятся в синглетном состоянии (с
разными спинами). Для проведения двухкубитных операций
расстояние между донорами должно составлять 100...200 А.
484
Глава 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
11.3. КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР НА ЭЛЕКТРОННОМ
СПИНОВОМ РЕЗОНАНСЕ В СТРУКТУРАХ GE-SI
В работе (D. Di Vincenzo, 1999) идеи, предложенные Кейном,
получили дальнейшее развитие, а само создание квантовых ком-
пьютеров стало делом реальным.
ОТЛИЧИЯ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА
С ЭЛЕКТРОННЫМ СПИНОВЫМ РЕЗОНАНСОМ
Основные новые предложения этой работы сводятся к сле-
дующему.
1. 1 ^пользуется электронный спин, что предпочтительнее ис-
пользования ядерного спина. Работая с электронным спином, мы
удовлетворяем требованиям тонкого спинового перехода между
электронами и ядром для ввода и считывания квантовых данных. В
магнитном поле 2 Тл частота электронного спинового резонанса
(ЭСР) равна 56 ГГц, и из-за высокой зеемановской энергии элек-
тронные спины позволяют работать вплоть до частот гигагерцево-
го диапазона, в то время как ядерные спины - только до 75 кГц.
При Т= 1К электронные спины (в отличие от ядерных) полностью
поляризованы. Кроме того, чистота изотопа матрицы кремния не-
критична для электронных спинов.
2. Вместо кремния используются эпитаксиальные гетерострук-
туры Si/Ge, электронной структурой которых можно управлять
путем изменения состава. Эти напряженные гетероструктуры, про-
изводство которых сейчас широко развивается во всем мире, нахо-
дятся в главном русле кремниевой технологии и в настоящее время
используются для производства высокочастотных компонентов
беспроводной связи. В композиционно модулированной гетерост-
руктуре Si/Ge из-за разницы в электронном g-факторе (g = 1,995
для Si и g = 1,563 для Ge) электронный спиновой резонанс может
подстраиваться электростатическим затвором, а возможность ис-
кусственного создания необходимой энергетической структуры
зоны проводимости позволяет выделить барьерные области. Самое
главное заключается в том, что в гетероструктуре Si/Ge можно
управлять эффективной массой донорного электрона: боровский
радиус связанного электрона в Si/Ge может быть много больше,
чем в кремнии, из-за малой эффективной массы в напряженных
гетероструктурах и большей диэлектрической проницаемости. Это
снижает требования к литографии до уровня существующей элект-
11.3. Квантовый компьютер на электронном спиновом резонансе
485
ронно-лучевой литографии и даже до уровня современной оптиче-
ской литографии (до 2000 А и больше).
3. Исключены J-затворы.
4. Для того чтобы прочесть финальные результаты компьютер-
ных расчетов, предложено детектировать заряд одиночных элек-
тронов. Предполагается, что это может быть сделано обычными
полевыми транзисторами при низких температурах, что избавляет
от применения одноэлектронных транзисторов.
КОНСТРУКЦИЯ ЭСР КУБИТА
Рассмотрим строение ячейки из двух кубитов предлагаемого
квантового компьютера (рис. 11.7). На кремниевой подложке ме-
тодом МЛЭ выращивается буферный слой твердого раствора
Si/Ge, на котором последовательно размещаются еще пять рабочих
слоев, состав и толщина которых определяются необходимой
энергетической диаграммой (левая часть рисунка) и требованиями
эффективного воздействия управляющих затворов. Основными
слоями, в которых проходят квантовые вычисления, являются
слои £>2 (второй донорный слой) и «настроечный» (tuning) слой
Т. В слое £>2 размещаются атомы 31Р на расстоянии 2000 А друг
от друга. Связанные с этими атомами электроны и выполняют
роль кубитов. Слои £>2 и £ отличаются составом и поэтому имеют
Рис. 11.7. Строение ячейки ЭСР, состоящей из двух кубитов:
а - энергетический профиль гетероструктуры Gei_xSix; б - поперечный
разрез двухкубитной ячейки
486
Глааа 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
разный g-фактор: для слоя D он составляет 1,995, а для слоя Т -
1,563. Слои Z>2 и Т заключены между двумя барьерными слоями
В, которые ограничивают перемещение электрона в вертикальном
направлении.
Это ограничение определяется разрывами зоны проводимости
между слоями D2 и В и Ти В, которые равны 20 мэВ. Ограничение
барьером играет важную роль. Оно сохраняет кубитные донорные
электроны в течение долгого времени, не допуская потерь как но-
сителей, так и квантовой информации. Для этого толщина барьера
составляет порядка 200 А, при этом время жизни сравнимо с вре-
менем спин-решеточной релаксации Т\ (« 1ч). Оба слоя толщиной
400 А согласуются с пределом, ограниченным напряжениями
(и 1000 А для х = 0,23). Слои D и Т имеют толщину, сравнимую с
aBz -вертикальным боровским радиусом, и вносят слабый вклад в
возникающие напряжения. Очень важно, что между слоями D2 и Т
разрыв зон равен нулю, так что нет препятствий для перемещения
электрона из слоя Z>2 в слой Т. В слое Д (первый донорный
слой) перпендикулярно к плоскости рисунка размещены каналы
МДП-транзисторов, которые служат для регистрации сигнала в
конце вычислений и пространственно расположены под атомами
фосфора.
ОДНОКУБИТНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Суть однокубитных операций заключается в том, что затвор
может управля ть частотой спинового резонанса. Так же, как и в
квантовом компьютере Кейна, волновая функция электрона за счет
электростатического притяжения, вызванного напряжением затво-
ра, сдвигается в сторону затвора, что изменяет энергию сверхтон-
кого взаимодействия и резонансную частоту. Но, кроме того,
волновая функция электрона проникает в Т-слой с составом
Si0 ,15^0, 85, где g-фактор меньше, чем в слое Д, что вызывает
дополнительное изменение энергии сверхтонкого взаимодействия
и резонансной частоты. На рис. 11.8 хорошо видно, что изменение
напряжения в средней части диапазона дает возможность изменять
резонансную частоту в широких пределах.
Интервал, соответствующий g-фактору, равному 1,563, исполь-
зуется, как мы увидим далее, для организации двухкубитных опе-
раций.
11.3. Квантовый компьютер на электронном спиновом резонансе
487
Рис. 11.8. Схематическая зависимость спин-
резонансной частоты f от напряжения на
управляющем электроде Vg кубита [18]
ДВУХКУБИТНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Как уже говорилось, кубиты должны быть расположены доста-
точно далеко друг от друга, чтобы не осуществлялись взаимное
влияние и внесение фазовых ошибок. В то же время для двухку-
битных операций необходимо, чтобы были возможны перекрытие
волновых функций и обменное взаимодействие между кубитами.
В модели Кейна перекрытие достигалось путем введения J-затво-
ров. В данном случае обменное взаимодействие осуществляется за
счет изменения (увеличения) эффективного боровского радиуса в
ху-плоскости при смещении волновой функции из слоя Д в слой Т.
При увеличении напряжения на затворе (рис. 11.9) уменьшает-
ся энергия связи и увеличивается боровский радиус ав водородо-
подобных доноров. При этом электроны могут быть электростати-
чески притянуты к одному из барьеров, образованных 5-слоями
состава Sio^sGeoj?, формируя тем самым подобие модулирование
легированного канала в ху-плоскости. Притягивание электронов к
слою Sio,23Geo,77 (5-барьер) снижает их энергию кулоновской связи
и повышает перекрытие их волновых функций, разрешая прово-
дить двухкубитные операции [19]. Энергия связи существенно
ослабевает, когда электроны проводят большую часть времени
вблизи барьера. Соответственно, кулоновский потенциал умень-
шается:
y = -q/(r2+d2)0>5,
(11.2.1)
488
Глава 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
lowg
highg
K>0
Puc. 11.9. Схема организации обменного взаимо-
действия между двумя кубитами (двухкубитная
операция)
Ge
Sio.23freo.77 barrier
SiO4Geo.6
Sio.23Geo.77 barrier
ground plane
buffer layer
Si substrate
2 2 2
где г = х + у - квадрат горизонтального расстояния от донора, а
d — вертикальное расстояние от барьера до донора.
Таким образом, изменяя d , можно сделать кулоновский потен-
циал как угодно малым. Малая кулоновская энергия связи означает
большой боровский радиус, что в свою очередь позволяет осуществ-
лять перекрытие волновых функций в ху-плоскости вдоль барьера и
двухкубитное обменное взаимодействие. Это становится возмож-
ным при переходе от пренебрежимо малого обменного взаимодей-
ствия по направлению к созданию проводящего металлического
двумерного газа путем изменения вертикального расстояния d. Все
это позволяет проводить необходимые двухкубитные операции.
ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СПИНОВОГО РЕЗОНАНСА
МДП-ТРАНЗИСТОРАМИ
Как отметил В. Капе в [18], основной проблемой при организа-
ции вычислений на основе управления спиновым состоянием ку-
бита является детектирование спина не по его собственному
магнитному моменту, но на основании принципа Паули, т.е. по
зарядовому состоянию кубита. Донорный центр может связать
второй электрон с энергией 1 мэВ, когда этот второй электрон имеет
противоположный первому спин. Таким образом, проблема детек-
тирования спина переходит в проблему детектирования заряда.
Обычные МДП-транзисторы малых размеров способны изме-
рить одиночный заряд и, следовательно, одиночный спин, но толь-
ко при низких рабочих температурах (= 1 К), когда случайные
11.3. Квантовый компьютер на электронном спиновом резонансе
489
перевороты спинов исчезают, но чувствительность к одиночному
заряду сохраняется.
Как показано на рис. 11.9, канал МДПТ расположен под ато-
мом 3|Р, а последний, в свою очередь, под электродом затвора в
слое Sio4Geo,6- Спиновый кубит оказывается зажат между двумя
электродами - верхним и затвором измерительного транзистора.
Таким образом, последовательные зарядовые состояния: ионизо-
ванный донор, нейтральный донор и донор с двумя электронами
(D-состояние) - легко идентифицировать, измеряя ток канала.
Два соседних транзистора (под соседними кубитами) имеют
раздельные чувствительные каналы, так что они могут быть раз-
дельно опрошены или даже включены дифференциально. Регули-
ровкой затворных электродов электроны обоих доноров могут
притянуться на тот же самый донор. Если они находятся в синг-
летном состоянии, то могут объединиться, формируя D~ - состоя-
ние на одном из двух ионов, но в триплетном состоянии они не
могут занимать тот же самый донор. Поскольку одновременно
формируется D" - состояние на одном транзисторе и ионизованный
донор - D+ - состояние на другом, появляется существенное изме-
нение дифференциального тока, достаточное для того, чтобы
идентифицировать синглетное состояние. Для триплетного состоя-
ния оба донора остаются нейтральными и дифференциальный ток
будет постоянным. Оценки показывают, можно ожидать измене-
ния тока (заряда), связанного с синглетным состоянием, порядка
нескольких процентов, что делает спин наблюдаемым.
ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ПОДЛОЖКИ КРЕМНИЯ
Использование слоев Ge-Si растворов с ориентацией в направ-
лении [001] дает ряд преимуществ. Прежде всего энергия зоны
проводимости изменяется в зависимости от состава быстрее для
этого направления. Кроме того, Х2- и Z-зоны пересекаются при
составе примерно 90 % Ge вместо 70 %, как при ориентации [111].
Это позволяет выбрать твердые растворы с меньшими напряже-
ниями при высоте барьера около 50 мэВ, что более чем в два раза
больше, нежели при ориентации [111]. Соответственно, барьерные
слои при сохранении той же вероятности туннелирования могут
быть тоньше, а допустимые напряжения значительно выше.
49Q Глава 11 ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
Использование ориентации [001] вместо [111] ведет также к
увеличению эффективной массы в плоскости пластины и умень-
шению ее в направлении роста. Эллипсоид зоны проводимости,
расположенный в направлении [111], отклонен на 55° от направле-
ния [001], и, таким образом, z-направление больше не совпадает с
тяжелой массой в направлении [111]. Тяжелая масса переносится
(частично) в лу-плоскость, что приводит к уменьшению боровского
радиуса. Однако в целом слои с большим содержанием Ge будут
всегда иметь в ху-плоскости боровский радиус больше, чем в слоях с
большим содержанием Si. Кроме того, слои с большим содержанием
Ge будут выполнять функции туннельных Т-слоев и барьерных
В-слоев точно так же, как и для направления [111].
Рис. 11.10. Конструкция кубита, измененная по срав-
нению с представленной на рис. 11.7 введением слоя
с высокой диэлектрической проницаемостью
В работе [20] идея использования слоя с параметрами, приво-
дящими к увеличению боровского радиуса и, следовательно, к
увеличению возможного расстояния между кубитами, была разви-
та применением эпитаксиального нанесения активного слоя с
большой диэлектрической проницаемостью. На рис. 11.10 приведена
конструкция кубита, использующая этот принцип.
Так как в соответствии с выражением для боровского радиуса
т0
ав=Е-т
п2
2
т
(11.2.4)
11.3. Квантовый компьютер на электронном спиновом резонансе
491
его величина растет при уве-
личении диэлектрической про-
ницаемости £ материала и
уменьшении эффективной мас-
сы т*. Такой средой может
служить твердый раствор
Pb^Sn^TeOn) (свинец - оло-
во - теллур - СОТ). В работе
[19] были проведены измерения
диэлектрической проницаемо-
сти образца СОТ при различ-
ных температурах. Из рис. 11.11
видно, что при понижении тем-
пературы от 40 до 4,2...5 К ди-
электрическая проницаемость
падает от 2 • 105 до 2 • 103.
Если теперь, используя
формулы (11.2.2) и (11.2.4),
Рис. 11.11. Температурная зависи-
мость емкости и диэлектрической
проницаемости СОТ<1п> от темпе-
ратуры:
1,2 - в темноте, 3 - при освещении
тссчитать зависимости обменной
частоты для различных материалов, то можно получить серию
L, мкм
Рис. 11.12. Зависимость обменной частоты f двух
кубитов от расстояния между ними L:
/- Si(E = 12,m*/mo=0,191);2- Ge-(e = 16, m */m0 =0,082 ) ,
3 - PbTe - (е = 400, т */т0 = 0,05) ,
4 - Pbo,76Sno.24Te<In>(E = 2000, m*/mo = 0,05)
492 Глава 11 ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
Как видно из рисунка, обменная частота для случая, когда в
расчете используются значения диэлектрической проницаемости и
эффективной массы, соответствующие СОТ(1п) с составом х = 0,24,
сохраняет высокое значение даже тогда, когда расстояние между
кубитами увеличивается почти до 10 мкм.
Появились публикации по решению одной из сложнейших
проблем в создании кубита на основе ядерного магнитного резо-
нанса на атомах фосфора в кремнии - точного расположения этих
атомов в матрице кремния на расстояниях всего сотни ангстрем.
На рис. 11.13 приведена схема процесса такого размещения ато-
мов, успешно примененного австралийской группой ученых в
Центре технологии квантового компьютера в Сиднее.
Рис. 11.13. Схема процесса формирования регистра фос-
форных кубитов в кремнии
Сначала производится очистка поверхности кремния в сверх-
высоком вакууме. Затем эта атомарно-чистая поверхность крем-
ния (Si (001) 2x1) пассивируется монослоем водорода. Затем по
специальной программе с помощью зонда сканирующего туннель-
ного микроскопа десорбируются в заданных местах отдельные
атомы водорода. После этого в камеру вводятся пары фосфина при
давлении 10-8 мм рт. ст. Адсорбированные молекулы фосфина за-
тем при температуре 500 °C диссоциируют, оставляя атомы фос-
фора, связанные с кремнием, в местах адсорбции. После этого
производится низкотемпературное заращивание кремнием полу-
ченной структуры [20].
В этом же центре разработан необходимый для считывания ре-
зультатов квантовых расчетов одноэлектронный транзистор на
Список литературы
493
основе структуры А1-А12О3. Все эти подготовительные работы в
настоящее время позволили, как сообщил директор центра, создать
кубит, отвечающий всем требованиям по конструкции В. Капе
[18]. Он также сообщил о запланированном в 2007 году испытании
твердотельного квантового компьютера на основе ЯМР!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Манин Ю.И Вычислимое и невычислимое. - М.: Сов. радио, 1980. - 128 с.
2. Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // Квантовый компь-
ютер и квантовые вычисления. Вып. 2. — Ижевск, 1999 - С. 53-95.
3. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность.
Регулярная и хаотическая динамика. - М., Ижевск, 2001. - 350 с.
4. Стин Э Квантовые вычисления. - М. - Ижевск: РХД, 2000 - 111 с.
5. Белокуров В.В., Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. Квантовая телепорта-
ция - обыкновенное чудо. - Ижевск: РХД, 2000. - 255 с.
6. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации.
М.: Постмаркет, 2002. -375 с.
7. Шор П. Полиномиальные по времени алгоритмы разложения числа на
простые множители и нахождение дискретного алгоритма для квантового компь-
ютера. // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Вып. 2 - Ижевск,
1999.-С. 200-247.
8 Гровер Л.К. Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена //
Там же. - С. 101-109.
9. Preskill J. Reliable Quantum Computer // Proc. Roy. Soc. London. - 1998. -
Vol. A454, № 1969. - P. 385-410.
Shor P. Fault - Tolerant Quantum Computation. - LANL, 1996. - E-print quant-
ph/9605011.- 11 p.
Китаев. А.Ю. Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок //
УМН. - 1996. - Т. 52, вып. 6 (318). - С. 54-111.
10. Cory D.G. et al. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy // Proc.
Natl. Acad. Sci. USA. - 1997. - Vol. 94, № 5. - P. 1634-1639.
11. Cory D.G. et al. Experimentally accesible paradigm for quantum computing И
Physica. - 1997.-Vol. D120, № 1-2.-P. 82-101.
12 Jones J.A., Mose a M Implementation of quantum algorithm on NMR quantum
computer // J. Chem. Soc. — 1998. — Vol. 109, N 5. — P 1648—1653.
13. Чуанг А.Л. и dp. Экспериментальная реализация квантового алгоритма //
Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Вып. 2. - Ижевск, 1999. - С. 130-140.
14. Loss D., DiVincenzo D. Quantum computation with quantum dots// Phys.
Rev. - 1998. - Vol. A57, № 1. - P. 120-126.
15. Burkard G. and others. Coupled Quantum Dots as Quantum Gates// Phys.
Rev. - 1999 - Vol. B59. - P. 2070
16. Fedichkin L. et al. Novel coherent quantum bit using spatial quantization levels
in semiconductor quantum dots // Квантовые компьютеры и квантовые вычисле-
ния. - 2000. - Т. 1.-С. 120-126.
494 Глава 11. ПРОБЛЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ...
П. Averin D.V. Quant Computing and quantum measurement with mesoscopic
josevson junctions. 2000, arXiv.quant-ph/0008114. - P. 13.
18. Kane B. A silicon - based nuclear spin quantum computer // Nature. -1998. -
Vol. 393.
19. Vrijen R., DiVincenzo D. Electron spin resonance transistor for quantum com-
putation in silicon - germanium heterostructure // Phys. Rev. A. - 2000. -
Vol. 62.012306(1-10).
20. Klimov A.T., Neizvestny I.G. Suprun S.P., Shumsky V.N. Medium for interac-
tion between two qubits in quantum computations // Quantum Computer and Quantum
Computing. - 2001. — Vol. 2, № 2. - P 79-84.
21. О Brien J.L. et al. Toward the fabrication of phosphorus qubits for a silicon
quantum computer // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 64, 16140. - P. 1-4.
22. Clare R. Qubit turn up trumps // New Sci. - 2002. - Vol. 1176. - Nov.- P. 21.
Учебное издание
Валерий Павлович Драгунов
Игорь Георгиевич Неизвестный
Виктор Алексеевич Гридчин
Основы наноэлектроники
Учебное пособие
Редактор Т.П. Петроченко
Переплет Т.Ю. Хрычевой
Компьютерная верстка В.Ф. Ноздрева
Корректор Е.В. Комарова
Подписано в печать 26.12.2005. Формат 60x90/16
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 31,0
Тираж 3 000 экз. Заказ № 1516
Издательская группа «Логос»
105318, Москва, Измайловское ш., 4
Издательство «Физматкнига»
141700, Долгопрудный Московской области, Институтский пер., 66
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных
диапозитивов в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
По вопросам приобретения литературы
обращаться по адресу:
105318, Москва, Измайловское ш., 4
Телефакс: (495) 369-5819, 369-5668, 369-7727
Электронная почта: universitas@mail.ru
Дополнительная информация на сайте: http://logosbook.ru
Издательство «Физматкнига »
141700, Долгопрудный Московской области, Институтский пер, 66
Телефакс: (495) 408-76-81, 409-93-28
Электронная почта: fizmatkniga@mail.ru
Дополнительная информация на сайте: www.fizmatkniga.ru
Наноэлектроника - одно из самых пер-
спективных направлений развития науко-
емких технологий. На основе ее достиже-
ний уже разработаны поразительные по
своим возможностям одноэлектронные
приборы. В стадии создания - нанотран-
зисторы и квантовые компьютеры. Неда-
леко и то время, когда появятся нанораз-
мерные робототехнические системы,
действующие на молекулярном и субмо-
лекулярном уровнях.
В своем новом учебном пособии для
студентов вузов видные ученые из Но-
восибирска В.П. Драгунов, И.Г. Неизве-
стный, В.А. Гридчин излагают научные
основы наноэлектроники и последние
результаты ее развития.
ISBN 5-98704-054-Х
7 8 5 9 8 7 "О 4 0 5 4 6