В. Л. КИРПИЧЕВ
БЕСЕДЫ О МЕХАНИКЕ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 195 0 ЛЕНИНГРАД

12-5-2
Редактор В. И, Левантовский, Техн. редактор С. Н. Ахламов,
Подписано к печати 14/XI 1950 г. Бумага 84X108/,». 5,625 бум. л. 18,45 печ. л.
18,97 уч.-изд. л. 41030 тип. зн. в печ. л. Т-09104. Тираж 10 000 экз.
Цена книги 6 руб. 65 коп. Переплет 2 руб. Заказ J4 1887.
Первая Образцовая типографии инени А. А. Жданова Главполиграфиздата
при Совете Министров СССР. Москва, Валовая, 28.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 7
От автора 9
Первая беседа. Начало возможных перемещений. ... 11
1. Что мы называем в механике системой? A1). 2. Силы
связи A2). 3. Исключение сил связи A2). 4. Равновесие си-
систем A3). 5. Возможные перемещения A4). 6. Двусторонние и
односторонние связи A7). 7. Начало возможных перемещений
A8). 8. Доказательство Лагранжа начала возможных переме-
перемещений B0). 9. Другие доказательства начала возможных пе-
перемещений B5). 10. Примеры приложения начала возможных
перемещений B8). 11. Мостовые весы C1). 12. Сколько урав-
уравнений равновесия дает начало возможных перемещений C5).
13. Несвободное (связанное) твердое тело C8). 14. Общий слу-
случай систем с одной степенью свободы C9). 15. Случай, когда
в системе с одной степенью свободы приложены только две
силы. Золотое правило механики D0). 16. Применение золотого
правила D1). 17. Принцип отвердения D3). 18. Равнодействую-
Равнодействующие, или эквивалентные, системы сил D5). 19. Примеры D7).
20. Устойчивое и неустойчивое равновесие D8). 21. Критерий
для определения характера равновесия E0). 22. Равновесие
систем под действием силы тяжести E2). 23. Примеры устой-
устойчивого и неустойчивого равновесия тяжелых систем E4).
Вторая беседа. Равновесие плоских механизмов .... 57
24. Плоские механизмы E7). 25. Мгновенный центр вращения.
Теорема Шаля E8). 26. Нахождение мгновенного центра F0).
27. Примеры F4). 28. Условия равновесия сил, действующих
на звенья механизма F6). 29. Замена силы, действующей на
одно звено механизма, силой, приложенной к какому-нибудь
другому звену F8). 30. Общее условие равновесия произ-
произвольного числа сил, действующих на звенья механизма F9).
Третья беседа. Определение сил связи 73
31. Применение начала возможных перемещений G3). 32. При-
Примеры G4).
Четвертая беседа. Начало Даламбера 82
33. Доказательство начала Даламбера (82). 34. Другое доказа-
доказательство начала Даламбера (85). 35. Примеры (87). 36. Отсутст-
Отсутствие сил связи в уравнениях движения (94). 37. Простые прило-
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
жения начала Даламбера (96). 38. Примеры из гидравлики (99).
39. Видимое направление силы тяжести A00). 40. Кажущееся
направление тяжести на волнах A01). 41. Жидкость в сосуде,
вращающемся около вертикальной оси A03). 42. Уговень воды в
ковшах наливного колеса A04). 43. Измерение сил инерции A06).
Пятая беседа. Определение сил связи при движении си-
системы 108
44. Общий прием определения сил связи AС8). 45. Подвижной
груз на мосту A09). 46. Общий вопрос о реальности или иллю-
иллюзорности сил инерции A11). 47. Пользование силами инерции.
Прибор Осборн Рейнольдса A12).
Шестая беседа. Уравновешивание сил инерции .... 115
48. Вредные действия сил инерции A15). 49. Силы инерции
вращающихся частей A16).5О. Моменты инерции A20). 51. Урав-
Уравновешивание касательных сил инерции A28). 52. Выполнение
уравновешивания на практике A29). 53. Уравновешивание сил
инерции в жерновах A31). 54. Уравновешивание сил инерции
кривошипного механизма. Паровозы A32). 55. Уравновешива-
Уравновешивание сил инерции в пароходных машинах A35). 56. Силы инер-
инерции в заводских паровых машинах A35).
Седьмая беседа. Теорема о подобии в динамике .... 136
57. Вывод теоремы A36). 58. Центральное движение A43)^59.
Качания маятника A44). 60. Числа колебаний воздуха в подоб-
подобных трубах произвольной формы A44). 61. Сопротивление воды
или воздуха движению твердых тел A45). 62. Водослив Джемса
Томсона A46). 63. Движение жидкостей в трубах. Критическая
скорость A48). 64. Движение подобных паровых машин A52).
65. Теорема Аппеля A53).
Восьмая беседа. Общие законы динамики. Закон дви-
движения центра тяжести 155
66. Внутренние и внешние силы A55). 67. Доказательство за-
закона движения центра тяжести A56). 68. Разложение движе-
движения на три прямолинейных движения по трем координатным
осям A62). 69. Применение приемов дифференциального ис-
исчисления A62). 70. Приложения закона движения центра тя-
тяжести A63). 71. Торможение поездов A68).
Девятая беседа. Общие законы динамики. Закон коли-
количеств движения и закон живых сил 170
72. Применение принципа отвердения в динамике A70).
73. Вывод-закона количеств движения A71). 74. Закон живых
сил A74). 75. Сравнение закона количеств движения с законом
живых сил A77). 76. Какие неизвестные исклю1аклся при со-
составлении уравнений количеств движения и живых сил A80).
77. Векторный характер закона количеств движения A84).
78. Сохранение количеств движения A86). 79. Пример прило-
приложения закона количеств движения A86).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Десятая беседа. Общие законы динамики. Закон момен-
моментов количеств движения 191
80. Доказательство закона моментов количеств движения A91).
81. Разъяснение закона моментов количеств движения A94).
82. Какие неизвестные исключаются при составлении урав-
уравнения моментов количеств движения A95). 83. Момент сил инер-
инерции A97). 84. Сколько уравнений дает закон моментов коли-
количеств движения A98). 85. Момент количеств движения для
твердого телэ, вращающегося около неподвижной оси A98).
86. Пример A99). 87. Другая форма закона моментов коли-
количеств движения B00). 88. Устойчивость движения полюса B03).
Одиннадцатая беседа. Приложения закона моментов
количеств движения. Гироскопы 205
89. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку B05). 90. Главные оси B06). 91. Момент количеств дви-
движения B06). 92. Ось (векгор) момента количеств движения B08).
93. Случай быстрого вращения около оси фигуры B09). 94. Тела
вращения B10). 95. Движение тела вращения, имеющего не-
неподвижную точку, в случае, когда на него не действуют
внешние силы B17). 96. Гироскоп Фуко и доказательство вра-
вращения Земли B19). 97.Устойчивость гироскопа B20). 98. Усилия,
необходимые для изменения направления оси быстро враща-
юще1 ося тела B22). 99. Примеры B26). 100. Связанный гирос-
гироскоп B27). 101. Направляющая пара B30). 102. Действие враще-
вращения Земли на связанный гироскоп B30). 103. Астрономическая
прецессия и нутация B32).
Двенадцатая беседа. Закон площадей 237
104. Вывод закона площадей B37). 105. Закон сохранения
площадей B41). 106. Неизменная плоскость B41). 107. Астроно-
Астрономические приложения закона сохранения площадей. Неизмен-
Неизменная плоскость нашей планетной системы B42). 108. Дальней-
Дальнейшее приложение закона площадей к изучению движения
солнечной системы B42). 109. Изменение скорости вращения
Земли при охлаждении ее B48). 110. Влияние движения по-
поездов, кораблей и пр. на скорость вращения Земли B49).
111. Вертящийся ребенок B49). 112. Неправильное примене-
применение закона сохранения площадей к движению человека и
животных B50). 113. Радиометр Крукса B52).
Тринадцатая беседа. Закон живых сил 255
114. Случай, когда работа внутренних сил равна нулю B55).
115. Выражения для живой силы в частных случаях B60).
116. Вращение твердого тела около мгновенной оси B61).
117. Движение центра тяжести и движение около центра
тяжести B63). 118.Работа силы тяжести B66). 119. Примеры B67).

О ОГЛАВЛЕНИЕ
120. Устойчивость вращения твердого тела B69). 121. Теорема
Даниила Бернулли B72). 122. Применение закона живых сил
к изучению движения машин B78).
Четырнадцатая беседа. Закон сохранения энергии . 280
123. Консервативные системы B80). 124. Уравнение живых
сил для консервативной системы B81). 125. Простые примеры
на закон сохранения энергии B84). 126. Рассеяние энер-
энергии B84).
Пятнадцатая беседа. Вечный двигатель 287
1-27. Исторические сведения B87). 128. Доказательство невоз-
невозможности вечного двигателя B94).
Шестнадцатая беседа. Удар и мгновенные силы . . 297
129. Мера удара B97). 130. Видоизменение начала Даламбера
для случая удара B99). 131. Примеры C02). 132. Силы связи
при ударе C05). 133. Центр удара C05). 134. Случай, когда ось
вращения проходит через центр тяжести C09). 135. Простой
опыт, демонстрирующий существование центра удара C10).
136. Практические случаи, когда важно знать положе-
положение центра удара C10). 137. Еще два приложения C11). 138.
Закон количеств движения и закон моментов количеств дви-
движения для случая удара C12). 139. Закон живых сил в слу-
случае удара C12). 140. Общее понятие о неупругом ударе C13).
141. Потеря живой силы при ударе. Теорема Карно C14).
142. Взрывы C16). 143. Примеры C18).
Семнадцатая беседа. Динамические модели 320
144. Модели, или образцы C20). 145. Первый тип: равноуско-
равноускоренное движение C20). 146. Второй тип: вертикальное паде-
падение тяжелого тела, снабженного парашютом C21). 147. При-
Примеры C22). 148. Третий тип: гармоническое движение C25).
149. Гармоническое движение в машинах C32). 150. Четвер-
Четвертый тип: колебания, когда действует сопротивление, пропор-
пропорциональное скорости C34). 151. Колебания регуляторов паро-
паровых машин C37). 152. Пятый тип: принужденные (насильгт-
венные) колебания C43). 153. Накопление колебаний (резонанс)
C46). 154. Случай, когда действует несколько периодических
сил C47). 155. Примеры принужденных колебаний C48). 150.
Шестой тип: колебания маятника при значительной величине
его размахов C50). 157. Пример из теории упругости C54).
Предметный указатель 358

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Выходящая в свет четвертым изданием книга покойного
профессора В. Л. Кирпичева «Беседы о механике» давно уже
пользуется заслуженной известностью в широких кругах чита-
читателей, которым, по роду их деятельности, приходится сопри-
соприкасаться с теоретической механикой. Эта книга — не учебник
и не сборник популярных статей для первоначального озна-
ознакомления с механикой, а именно «беседы о* механике», пред-
предназначенные для лиц, изучающих теоретическую механику и
желающих расширить и углубить свои сведения в этой области.
Всем известно, что чисто формальное усвоение основных
положений механики без глубокого проникновения в их физи-
физическую сущность недостаточно для того, чтобы пользоваться
мощными методами этой науки при исследовательской работе
и успешно применять эти методы при решении практических
задач; для этой цели необходимо, чтобы формулы, выражаю-
выражающие законы механики, были в сознании не отвлеченными
символами, а представляли собою реальную картину действи-
действительности.
В. Л. Кирпичев, выдающийся инженер и профессор, воспи-
воспитавший несколько поколений русских инженеров, в своей
книге преследует именно эту цель — дать читателю ясное
представление о законах механики и их физической сущности.
Автор в живой и увлекательной форме очень ясно
излагает основные положения механики, глубоко проникая
в их детали и иллюстрируя их конкретными примерами.
В книге разбираются довольно сложные и тонкие вопросы;
тем не менее математический аппарат, которым пользуется
автор, необычайно'прост, вследствие чего книга читается очень
легко и доступна широкому кругу читателей, обладающих
элементарными сведениями по «высшей» математике.

8 ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Несмотря на то, что эта книга написана свыше сорока лет
тому назад, она до сих пор не утратила своего значения
и в течение еще долгих лет сможет служить прекрасным
дополнением к курсам теоретической механики.
В настоящем издании исправлены некоторые неточные фор-
формулировки, добавлены некоторые доказательства и опущено
несколько частных мелких примеров.
Четвертое издание подготовлено к печати проф. Г. Н. Свеш-
Свешниковым.

ОТ АВТОРА
Беседы эти велись в небольшом кружке и должны были
служить введением к предположенному членами кружка ряду
рефератов, посвященных динамике машин. Я решился опубли-
опубликовать их, так как предполагаю, что они могут быть полезны
и для более широкого круга читателей. При этом понадо-
понадобились дополнения и развитие первоначального содержания
бесед, и вследствие этого изменилась и самая форма из-
изложения.
Я предполагаю в чшателе предварительное знакомство
со статикой твердого тела и динамикой материальной точки.
Знание этих двух отделов механики очень распространено,
и я не вижу надобности в новом изложении их. Реже встре-
встречается знакомство с динамикой системы, и, может быть, пред-
предлагаемые беседы послужат для некоторых читателей побужде-
побуждением к тщательному изучению этого наиболее интересного и
важного отдела механики.
В этих беседах я задался целью изложить только самые
первые основания механики системы, устраняя все те усложне-
усложнения, которые редко встречаются в приложениях. Поэтому
я не касаюсь вовсе таких вопросов, как, например: случай
связей, содержащих в своем выражении время явным об-
образом; случай связей неголономных и т. д.
Стараясь, главным образом, выяснить основные законы
науки, их характер назначение для приложений, я применяю,
по возможности, простые приемы доказательства. Л\ожет быть,
в некоторых случаях они не удовлетворяют современным высо-
высоким требованиям относительно строгости выводов, но зато
выигрывают в убедительности и гораздо более пригодны для
первого ознакомления с основными принципами.

10 ОТ АВТОРА
Читатели, которых предлагаемое изложение не вполне
удовлетворит, могут после этой книги, служащей введением
в динамику, перейти к изучению более полных сочинений.
Во многих местах этой книги я перехожу прямо на почву
элементарного изложения. Делаю это с намерением, так как
элементарные, непосредственные приемы доказательств всего
лучше способствуют полному уяснению.
Примеры я старался выбирать такие, которые бы имели
прикладное значение. Необходимым условием для всех при-
примеров поставлено требование, чтобы задача могла быть раз-
разрешена вполне, до конца.
С-Петербург, 1907.

ПЕРВАЯ БЕСЕДА
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
1. Что мы называем в механике системой? Научное
содержание механики и характер ее законов определились
историческим ходом ее развития. Установление общих законов
движения начато Галилеем, который рассматривал движение
тяжелых тел на Земле. Затем Ньютон широко развил учение
Галилея и применил его к исследованию движения планет
вокруг Солнца. Все последующее исходило из этих двух
первоначальных гениальных исследований; результаты их стре-
стремились распространить на всевозможные сложные случаи движе-
движения. Но движение тяжелых тел и планетное движение предста-
представляют в одном отношении наиболее простые случаи движе-
движения. Мы здесь имеем дело с движением тел, размеры которых
малы по сравнению с размерами проходимых ими путей и по
сравнению с расстояниями их от других тел. Планеты можно
считать точками, движущимися по орбитам^
Из рассмотрения их движения получаются первоначально
законы движения материальных точек. Затем нужно
распространить эти законы на всевозможные случаи и при-
применять при условиях, когда тело уже нельзя рассматривать
как движущуюся точку, когда необходимо разбирать движе-
движения отдельных частей тела или когда имеем дело не с одним
телом, а с несколькими, связанными, или соединенными, между
собою, как, например, это имеет место в машине, и т. д.
Чтобы применить к этим случаям то, что найдено для
материальных точек, употребляют следующий искусственный
прием: каждое тело мысленно разделяют на мелкие части и
считают их материальными точками. Таким образом всякое
тело и любую комбинацию тел рассматривают как совокуп-
совокупность большого числа материальных точек, как систему

12 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
материальных точек. Для каждой из этих точек движение
определяется по законам, найденным Галилеем и Ньютоном,
т. е. сложный случай системы тел приводят к простому слу-
случаю материальной точки, многократно повторенному.
2. Силы связи. Движение материальной точки определяется
теми силами, которые к ней приложены; например, для пла-
планеты— силами притяжения Солнца и других планет. Переходя
к системе, мы должны для каждой части ее, т. е. для каж-
каждой материальной точки, входящей в состав системы, ввести
действующие на нее силы, например силы тяжести, электри-
электрического притяжения и т. д. В число этих сил необходимо
включить и те силы, которые получаются вследствие связи
отдельных частей системы между собою и с другими телами.
Например, если имеем дело с машиной, в которой две части
взаимно соприкасаются, то, исследуя движение одной из этих
частей, нужно ввести давление, производимое на нее другою
частью; это давление будет силой связи. В машинах,
состоящих из большого числа частей, соединенных определен-
определенным образом, действует значительное число таких сил связи.
Но даже если мы имеем только одно твердое тело, то и
в нем необходимо рассматривать силы связи, а именно, связь
между его отдельными частями; когда мы мысленно разделяем
тело на малые части, предполагая рассматривать эти части
как материальные точки, то должны ввести внутренние
силы, которые представляют взаимные действия между этими
частями. Это — тоже силы связи.
3. Исключение сил связи. Таким образом, занимаясь
вопросами о движении системы, мы имеем дело со значитель-
значительным числом сил связи, которые почти всегда неизвестны и
потому очень затрудняют решение вопроса. Иногда даже
число этих неизвестных должно считаться бесконечно боль-
большим, на тример когда рассматриваем взаимные действия между
бесконечно малыми частями тела или когда разбираем моле-
молекулярные силы взаимодействия частиц. Как известно, труд-
трудности математического решения быстро возрастают с увеличе-
увеличением числа неизвестных. Поэтому в вопросах механики системы
прежде всего нужно постараться исключить как можно большее
число сил связи; только тогда решение становится возможным.
Старания ученых, разрабатывавших механику системы,
были направлены главным образом на такое исключение сил

РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ 13
связи. И многие так называемые законы механики системы
в сущности своей представляют результаты более или менее
успешного исключения сил связи. Ценность этих законов
определяется числом неизвестных сил связи, которые исклю-
исключаются применением того или другого закона. Большее или
меньшее число исключаемых сил связи служит мерилом для
сравнительной оценки значения различных законов и теорем
механики; мы будем на все эти теоремы и законы смотреть
именно с такой точки зрения и будем руководствоваться ею
при выборе теорем и законов, которым нужно отдавать пред-
предпочтение в приложениях.
Все это прямо вызывается тем ходом мысли, который
привел к современной механике: исходя из учения о движе-
движении материальной точки, применили его к движению системы,
рассматривая ее как совокупность материальных точек. При
этом появляются силы связи, и прежде всего нужно исклю-
исключить возможно большее число их. Такое исключение неизвест-
неизвестных сил связи проходит красной нитью по всей механике
системы, составляет сущность ее выводов1).
4. Равновесие систем. Мы начнем с рассмотрения законов
равновесия систем, а потом перейдем к изучению движе-
движения их. Это вполне естественный путь; нужно начинать
.с более простых вопросов и только после решения их пере-
.ходить к более сложным. Обыкновенно решение простых
вопросов помогает решению сложных; часто удается решение
сложного вопроса, при помощи некоторых дополнений и изме-
изменений, свести к прежде уже полученному решению более
простого вопроса. Именно это и встречается в механике;
вопросы равновесия (законы статики) значительно проще
вопросов движения (законов динамики). Кроме того, мы уви-
увидим, что всякая задача движения может быть сведена к не-
некоторой задаче равновесия. Несомненно, нужно начать со
статики и потом только перейти к динамике.
!) На это обстоятельство часто не обращают внимания в эле-
элементарных изложениях механики. Там переход от материальной
точки к системе производится как-то незаметно; о силах связи ничего
не упоминают, и вместо законного исключения происходит незакон-
незаконный, молчаливый пропуск этих сил. Их обыкновенно оставляют без
всякого внимания и даже без упоминания, как будто бы они вовсе
не существовали.

14 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Такой ход изложения вполне согласуется с историческим
ходом постепенного развития науки. Основания учения
о равновесии были положены еще Аристотелем и Архимедом,
а первые начатки учения о движении материальной точки
установлены лишь почти две тысячи лет спустя Галилеем;
движением же систем начали заниматься еще позже Гюйгенс,
Ньютон и, главным образом, Даламбер.
5. Возможные перемещения. Мы предполагаем, что
читатель знаком с простейшим вопросом статики — с законами
равновесия твердого тела, которое рассматривается как не-
неизменяемая система. Оказывается, что в этом случае доста-
достаточно знать внешние силы, приложенные к телу (т. е. знать
величины, направления и точки приложения этих сил). Таких
данных достаточно для того, чтобы судить о том, будет ли
тело находиться в равновесии или нет. В случае, если силы
не уравновешиваются, можно найти, какие силы должны быть
прибавлены для получения равновесия. Так же решаются
вопросы об эквивалентных системах сил, т. е. о группах сил,
которые могут заменять одна другую без нарушения равнове-
равновесия. Для решения всех этих вопросов нет надобности знать,
какое движение получит тело в случае, если равновесие
его будет нарушено, не требуется иметь никаких сведений
о тех перемещениях, которые получат точки тела в слу-
случае, если равновесие не будет иметь места. Во всех рас-
рассуждениях и выводах нам не придется выходить из области
явлений равновесия, покоя.
Такая полная независимость вопросов равновесия от явле-
явлений движения не встречается при изучении других систем,
отличных от неизменяемого твердого тела, например для слу-
случая совокупности нескольких связанных между собою твердых
тел (образцом могут служить различные механизмы) или для
жидких тел и т. п. Здесь для суждения о равновесии необ-
необходимо знать: какое перемещение получится в случае, если
равновесие будет нарушено? Условия равновесия в таких слу-
случаях тесно связаны с этими возможными для системы пере-
перемещениями.
Вообразим себе для примера, что рассматриваем равнове-
равновесие шарика, находящегося внутри чашки (фиг. 1) и при-
прикасающегося к ее поверхности. Здесь для шарика возможны
различные перемещения по поверхности чашки. Если шарик

ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
15
Фиг. 1.
находится в точке А, из которой для него возможны только
горизонтальные перемещения, то вертикальная сила Р не
нарушит его равновесия. Но в точке В, где возможные пере-
перемещения имеют другое направление, та
же сила Р наверное нарушит равновесие.
Для другого примера возьмем сле-
следующую систему (фиг. 2): имеем вполне
гибкую нерастяжимую нить, огибающую
несколько блоков. Нить бесконечная,
т. е. два конца ее сплетены вместе.
Блоки идеальные, т. е. не дающие
трения. Пусть в разных точках нити
а, Ь, ... приложены по длине нити силы
р, д,..., обозначенные на чертеже
стрелками. В чем состоит условие равновесия такой системы?
Для получения ответа на этот вопрос нужно посмотреть,
какое перемещение получит наша нить в случае нарушения
равновесия. Так как нить нерастяжима, то, очевидно, един-
единственное возможное для нее перемещение будет состоять
в том, что все точки нити передвинутся по ее длине на одну
и ту же величину. При
этом некоторые точки
переместятся по направ-
направлению сил, к ним при-
приложенных; другие же
точки получат переме-
перемещения, противополож-
противоположные направлению сил,
которые к ним прило-
приложены. Это рассмотре-
рассмотрение возможных переме-
перемещений сейчас указы-
указывает нам на закон рав-
равновесия: необходимо и достаточно, чтобы арифметическая сумма
тех сил, направления которых совпадают с направлением пере-
перемещения их точек приложения, равнялась сумме тех сил,
направления которых идут противоположно перемещениям их
точек приложения. Действительно, если рассмотрим часть
нити, перекинутую через один блок, то для ее равновесия
к ней по разные стороны от блока должны быть приложены
Фиг. 2.

16
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
силы равной величины (например, в точках а и Ь силы р и q).
При перемещении нити направление одной из этих сил
совпадает с направлением перемещения ее точки приложения,
а для другой будет ему противоположно. Примейяя это
соображение к каждому блоку, н получаем наше утверждение.
Итак, в подобных случаях необходимо знать так назы-
называемые возможные перемещения системы, т. е. те неболь-
небольшие перемещения, которые получатся, как только равновесие
будет нарушено. Эти перемещения
определяются, или, так сказать, на-
назначаются, связями системы.
Машины разного рода представ-
представляют нам много примеров таких воз-
возможных перемещений, определяемых
связями.
Например, пусть в машине какое-
нибудь тело связано с другими ча-
частями так, что должно вращаться
около неподвижной оси О (фиг. 3);
тогда любая точка А этого тела
должна описывать круг, расположен-
расположенный в плоскости, перпендикулярной
к оси О, и имеющий центр на оси О.
Но для вопросов равновесия имеет значение не весь этот круг,
а только та бесконечно малая часть его, которая будет опи-
описана точкою А, как только нарушится равновесие. Это бес-
бесконечно малое возможное перемещение точки Л-(с точностью
до величин второго порядка) может быть изображено беско-
бесконечно малым прямолинейным отрезком Аа, перпендикулярным
к радиусу АО. Оно и должно быть рассматриваемо при
изучении равновесия.
Таким образом, говоря в статике о возможных перемеще-
перемещениях, мы под этим названием подразумеваем не конечные,
а бесконечно малые перемещения. Конечные перемещения не
имеют значения для вопросов равновесия. На это не обращали
должного внимания при первоначальном развитии статики,
вследствие чего получались недоразумения и ошибки. Только
Декарт впервые с ясностью и полной точностью установил
правильный взгляд по этому вопросу, устранил из области
статики рассмотрение конечных перемещений и указал, что
Фиг. 3.

ДВУСТОРОННИЕ И ОДНОСТОРОННИЕ СВЯЗИ
17
Фиг. 4.
нужно рассматривать бесконечно малые перемещения. В своих
объяснениях он приводит следующий пример (фиг. 4): груз Р,
который тянет гиря Q, может перемещаться по кривой ED.
Здесь, изучая равновесие,
мы должны рассматривать
перемещения по касательной
ADC, а не по кривой ED.
Возможные перемещения,
о которых идет речь, в ста-
старинных русских руководствах
механики назывались до- .,
зволяемыми перемеще-
перемещениями. Это очень удачный,
характерный термин; мы рас-
рассматриваем те перемещения,
которые дозволяются связями системы. Такие
бесконечно малые дозволяемые перемещения определяют усло-
условия равновесия системы.
6. Двусторонние и односторонние связи. Всякая связь
дозволяет некоторые перемещения и препятствует другим
перемещениям. Двусторонней связью называется связь, удовле-
удовлетворяющая следующему условию: если она препятствует не-
некоторому перемещению, то она препятствует и противополож-
противоположному перемещению. Например, связь двух частиц твердого
тела — двусторонняя: она мешает как сближению этих частиц,
так и их удалению; иначе говоря, твердое тело сопротивляется
как сжатию, так и растяжению. В жидком же теле 'почти
отсутствует сопротивление растяжению, хотя ' -
сопротивление сжатию значительное.' Поэто-
Поэтому связь частиц в идеальной несжимаемой
жидкости есть односторонняя связь.
В машинах оси и валы ^обыкновенно по-
помещаются в подшипники с крышками, плотно
охватывающими^ шейку вала со всех сторон
(фиг. 5); такой подшипник представляет
Двустороннюю связь. Подшипник без крышки
(фиг. 6) есть односторонняя связь: она препятствует только пере-
перемещению по направлению стрелки <z, обратному перемещению b
эта связь не препятствует. Такие односторонние подшипники
прежде применялись, например, для валов тншяих. водяных
2 В. Л. Кирпичев
Фиг. 5.

18 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
колес или ветряков; вес вала с колесом препятствовал перемеще-
перемещению вверх по направлению Ь, и поэтому вал не закрывался
крышкой. Такое устройство и теперь иногда встречается в
грубых мельничных устройавах; сверх вала кладут большой
кусок сала, который служит для смазки.
Фиг. 5 и 6 представляют примеры этих
двух видов связей.
В современных машинах применяются
главным образом двусторонние связи; одно-
односторонние же связи почти совершенно
' ' исчезли из машиностроения 1).
Фиг. 6. Это обстоятельство позволяет нам да-
далее говорить только о двусторонних связях.
Впрочем, нетрудно, введя небольшие дополнения, распростра-
распространить следующие выводы и на случай односторонних связей
Такое распространение на случай односторонних связей было
сделано русским академиком М. В. Остроградским.
7. Начало возможных перемещений. Условия равновесия
для всевозможных систем выражаются одной общей теоремой
или общим законом, который называется началом возможных
перемещений. Такая простота и единство закона были заме-
замечены не сразу: начало возможных перемещений было сначала
найдено в применении к некоторым простым системам —
рычагу, блокам, полиспастам и тому подобным машинам.
Это было сделано еще предшественниками Галилея. Затем
область систем, для которых справедливо начало возможных
перемещений, постепенно расширялась, и, наконец, Иван Бер-
нулли установил эту теорему как совершенно общий закон
равновесия. Мы сначала изложим, в чем состоит эта теорема,
а потом перейдем к доказательству ее.
Для обширной области систем необходимое и до-
достаточное условие равновесия состоит в том,
что сумма работ активных приложенных сил
1) В мостах часто встречаются односторонние связи: например,
конец моста положен на опору и к ней не прикреплен. Здесь про-
происходит замыкание силой — значительным весом моста. Но и дву-
двусторонние связи также применяются в мостогом деле, например
в консольных мостах: конец консоли лежит на опоре, препятствую-
препятствующей ему перемещаться вниз, а для устранения перемещения вверх
этот конец притягивается болтами к "тяжелому фундаменту.

НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 19
для каждого возможного перемещения систе-
системы должна быть равна нулю. Таково содержание
этого замечательного обобщения, заключающего в себе всю
статику этих систем.
Для правильного понимания этой теоремы нужно сделать
некоторые пояснения. Мы уже указывали, что возможные
перемещения, о которых здесь говорится, суть бесконечно
малые перемещения, дозволяемые
связями системы. Определяя эти
перемещения, мы отбрасываем ве-
величины второго порядка, и потому
перемещения считаем прямолиней-
прямолинейными, как это было указано в при-
примере, изображенном на фиг. 4.
Работа приложенных сил есть " Ф г 7
так называемая элементарная ра-
работа, т. е. произведение следующих трех величин (фиг. 7):
а) величины силы Р, б) перемещения s, в) косинуса угла а между
силой и перемещением:
Ps cos a.
Иначе можно определить эту работу как произведение двух
величин:
Р и s cos a,
т, е. величины силы Р и проекции перемещения на направле-
направление силы.
Выражая начало возможных перемещений в вышеуказанной
форме, мы предполагаем, что вес связи идеальные, не пред-
представляющие трения и тому подобных сопротивлений. Такие
связи не оказывают никакого препятствия возможным пере-
перемещениям.
Отличительным свойством сил, развиваемых такими связями
и называемых силами реакций связей, является то обстоятель-
обстоятельство, что сумма элементарных работ этих сил при любом
перемещении точек их приложения, допускаемом связями,
оказывается равной лулю. Например, если связь состоит в том,
что два тела, входящие в систему, соединены шарниром А
(фиг. 8), то возникают две силы реакции Nt и N2, равные
по величине и прямо противоположные по направлению. Если

20
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
шарнир совершит допускаемое бесконечно малое перемещение
AB = s, то сумма элементарных работ этих сил будет равна
N^s cos c(] -]-iV2.s cos a2.
Так как ^^
cos аг =
= COS 2,
ТО
Nxs cos al -j- N2s cos a2 = 0.
Поэтому в нашей теореме
говорится только об активных
приложенных силах и
умалчивается о силах связи.
Если впоследствии поже-
Фиг. 8. лаем рассматривать трение
в соединениях частей, то
нужно будет силу трения считать одной из внешних прило-
приложенных сил и присоединить ее к остальным внешним силам.
Также нужно присоединить к ним и силы вязкости, силы
упругости и т. д., если они действуют.
8. Доказательство Лагранжа начала возможных пере-
перемещений. Положим, что все активные силы Р, Q, R, . ..,
приложенные к системе в точках А, В, С, ... , имеют общую
меру тг, которая содержится т раз в силе Р, п раз в силе
Q и т. д. (при этом т, п и т. д. можно считать четными
числами). Доказав нашу теорему для этого случая, мы без труда
распространим ее и на случай, когда активные силы несоиз-
несоизмеримы между собою, т. е. не имеют общей меры; это рас-
распространение делается с помощью обыкновенных математических
приемов для перехода от величин соизмеримых к величинам
несоизмеримым.
Все наши активные силы могут быть получены или вос-
воспроизведены с помощью одной силы я, повторенной несколько
раз. Фактически можно получить их с помощью одного груза,
равного тг, пользуясь известным механизмом, называемым по-
полиспастом (фиг. 9). Чтобы получить силу Р, приложенную в
точке А, поступим следующим образом: расположим обойму
с подвижными блоками А{ и обойму с неподвижными блоками
А2 по направлению силы Р; А2 прикрепим к неподвижному
предмету, а с помощью подвижной обоймы блока А1 захватим
точку А. Затем оснастим этот полиспаст гибкой веревкой;

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛАГРАНЖА
21
один конец ее прикрепим к неподвижной точке О, обведем
веревку через блоки Аъ А2 так, что между ними будет т
ветвей веревки; наконец, проведем веревку через отводной
блок и на конце се повесим груз тг. Если веревка вполле
гибкая и если в блоках вовсе нет трения, то на точку А бу-
будет действовать сила, равная т раз тт, т. е. заданная сила Р.
Таким же образом можем получить и остальные силы Q,
R, .. . , причем для получения всех их можно воспользоваться
одним грузом тг и одной
веревкой: нужно после- 'Л
довательно оснастить этой
веревкой полиспасты, со-
соединенные с точками А,
В, С,..., где приложены
эти силы, переходя от
одной точки к другой при
помощи неподвижных от-
отводных блоков, как это
показано на фиг. 10.
Окончив оснастку блоков,
соединенных со всеми точ-
точками приложения актив-
активных сил, проведем веревку
через отводной блок К и
на конце ее повесим груз
тт. Действием его веса
будут вызваны все активные силы Р, Q, R,. . ., приложенные
к системе; он один заменяет их все, изображает всю совокуп-
совокупность активных действий на систему, которые стремятся вы-
вывести ее из равновесия.
Будем мысленно наблюдать за этим грузом; это наблюде-
наблюдение даст нам возможность вывести условия равновесия нашей
системы. Перепробуем мысленно различные возможные пере-
перемещения точек нашей системы. Пусть окажется, что при од-
одном из них груз к опускается. Тогда мы можем с уве-
уверенностью утверждать, что наша система не находится в равно-
равновесии. На самом деле, все активные силы заменены грузом тг,
который стремится опуститься; у нас оказалось, что есть
такое возможное перемещение, при котором груз понижает-
понижается. Но связи идеальные, т. е. не представляют никакого
Фиг. 9.

22
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
препятствия возможным перемещениям. Очевидно, при таких
условиях получится понижение груза тг, т. е. получится дви-
движение, и равновесие будет нарушено.
Предположим теперь противоположный случай, т. е. что,
пробуя мысленно различные возможные перемещения нашей
системы, мы встречаем в числе их такое, при котором груз
я поднимается. Так как у нас связи двусторонние, то
возможно и перемещение прямо противоположное, а при нем,
очевидно, груз тг будет опускайся; следовательно, наверное,
есть такое перемещение, при котором груз тг опускается, и
неизбежно равновесие буде! нарушено.
Итак, если пробы нам покажут, что есть возможные пере-
перемещения, при которых груз тг или поднимается или опускается,
то мы заключаем, что система не находится в равновесии под
действием заданных сил.
Но если, перепробовав все возможные перемещения, мы уви-
увидим, что при всех них наш груз тг не поднимается
и не опускается, а остается па прежней высоте, то мы
должны заключить, что заданная совокупность сил уравнове-
уравновешивается в нашей системе. Это следует из того, что совокуп-
совокупность активных сил заменяется одним грузом тс; стоит только
первоначально уничтожить в нем всякую скорость, и он не вы-
вызовет никакого движения, так как нет ни одного возмож-
возможного перемещения, при котором этот груз опускается.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛАГРАНЖА
23
Выразим математическим языком то, что доказано в пре-
предыдущем параграфе. Для этого посмечрим, как выражается
опускание нашего груза п в зависимости от активных сил
и возможных перемещений системы. Рассмотрим одну из точек
системы, например А, к которой приложена активная сила Р
(фиг. 11), Пусть возможное перемещение точки А будет Аа;
оно не должно непременно со-
совпадать с направлением активной
силы Р, так как это перемеще-
Фиг. 12.
ние определяется связями системы. При передвижении точки А
в а расстояние между блокам!: изменился, н с точностью до ве-
величин второго порядка это изменение представится длиной АЬ,
т. е. проекцией перемещения Аа на направление силы Р. Эту
проекцию назовем буквою р. При нашем перемещении рас-
расстояние блоков уменьшается на р, и если между блоками
веревка проходит п раз, то полная длина веревки, оснащиваю-
оснащивающей эти блоки, уменьшится на пр. Следствием этого перемеще-
перемещения будет то, что груз тт, повешенный на конце веревки, опу-
опустится на высоту пр.
Зт.есь проекция АЬ совпадает с направлением силы Р, и
мы считаем ее положительной. В случае, представленном на
фиг. 12, проекция АЬ=р идет противоположно силе Р, и мы
будем считать ее отрицательной. Тогда результатом пере-
перемещения будет увеличение расстояния между блоками, и на

24 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
оснастку их понадобится длина веревки больше прежней, т. е.
при этом груз тг поднимается. Для обоих случаев (фиг. 11 и 12)
можно формально писать, что происходит опускание груза на
величину пр, но в случае фиг. 11 величина р положи-
положительна, т. е. действительно происходит опускание груза,
а в случае фиг. 12 величина проекции р отрицательна, т. е. по-
получается отрицательное опускание, следовательно.'подъем груза.
Рассматривая все точки приложения сил Р, Q, R, . .. и на-
называя проекции перемещений на направления этих сил через
р, д, г, .. . , а число ветвей веревки, оснащивающих соот-
соответствующие блоки, через п, т, . .. , получим, что результатом
перемещения всех точек системы будет опускание груза тг на
величину суммы:
пр-\-mq-{-...
Если такая сумма окажется не равной нулю, то это означает,
что равновесие не существует. Условие, необходимое и до-
достаточное для равновесия, заключается в том, что опускание
груза тт должно быть равно нулю для каждого возможного
перемещения, т. е. должно быть:
np-\-mq-\-.. . =0.
Умножая на тг, получим:
ля ■ р -{- ттт • q -\- . . . = 0.
Но так как пп = Р, mn = Q, . . . , то имеем условие:
PpJrQqJr...=Q.
Здесь каждая активная сила умножается на проекцию переме-
перемещения; такое произведение есть работа силы для перемеще-
перемещения. Поэтому наше условие заключается в том, что сумма работ
активных сил для возможных перемещений точек их приложения
должна быть равна нулю. A r этом и заключается начало воз-
возможных перемещений, содержание которого мы уже излагали, и
которое, таким образом, доказано предыдущими рассуждениями.
Изложенный прием доказательства начала возможных пере-
перемещений принадлежит Лагранжу ]). Я считаю это доказатель-
доказательство наилучшим и наиболее убедительным из всех предложен-
J) Лаг ран ж Ж,., Аналитическая механика, том I, стр. 42—47.
Москва, Гостехиздат, 1950,

ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 25
ных доказательств начала возможных перемещений; сущность
самого закона, значение возможных перемещений для равно-
равновесия, исключение при этом всех сил связи, о которых даже
не упоминается во время доказательства,— все эти основные
черты начала с полною ясностью выступают во время дока-
доказательства. Также совершенно определенно видно, как нужно
прилагать это общее начало к частным вопросам.
Но я должен при этом упомянуть, что, высказывая такое
мнение о лагранжевом доказательстве, я вхожу в противоречие
с большинством современных писателей о механике. Обыкно-
Обыкновенно упрекают это доказательство в недостатке строгости
и даже иногда называют рассуждения Лагранжа не доказа-
доказательством, а иллюстрацией начала возможных перемещений.
Но даже и противники рассуждений Лагранжа признают гени-
гениальность его соображений, находят их очень полезными для
выяснения начала.
Предоставим лицам, возражающим против него, считать
рассуждения Лагранжа не доказательством, а постулатом. По
крайней мере, нужно сознаться, что это — постулат естест-
естественный и легко приемлемый. Можно сказать, что если выбирать
для начала механики наиболее приемлемый постулат и сравни-
сравнивать, например, закон параллелограма сил и начало возможных
перемещений, то, конечно, нужно отдать предпочтение вто-
второму, как более приемлемому умом.
Прибавим к этому, что когда начало возможных переме-
перемещений установлено (т. е. или доказано или принято в каче-
качестве постулата), то из него можно уже строго вывести все
остальные законы равновесия, а в числе их и параллелограм
сил.
9. Другие доказательства начала возможных переме-
перемещений. Существует совершенно другой прием доказательства;
при нем исходят из законов равновесия сил, приложенных
в одной точке, т. с., в сущности, из закона параллелограма
сил. Зная равновесие точки, переходят к равновесию системы
как совокупности точек. Можно отделить друг от друга точки,
составляющие систему, т. е. мысленно уничтожить связи си-
системы и заменить их силами связи, реактивными силами. Тогда
можно рассматривать каждую точку отдельно. Для равновесия
точки необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая всех
приложенных к ней сил была равна нулю. Но тогда и работа

26 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
этой равнодействующей для возможного перемещения той же
точки будет равна нулю. А работа равнодействующей равна
сумме * работ составляющих, следовательно, эта последняя
сумма тоже равна нулю.
Напишем такие уравнения для всех точек системы и затем
исключим из них силы связи. Тогда получим закон равновесия,
в который не входят силы связи. Если при таком исключении
получим начало возможных перемещений, то, очевидно, оно
этим и будет доказано.
Но, чтобы исключить силы связи, нужно хотя бы что-
нибудь знать о них. Необходимо сказать, в чем состоит связь
двух точек, нужно определить, описать ее, и тогда исключе-
исключение возможно.
Если принять за определение идеальных связей отмечен-
отмеченное и поясненное примером связи, осуществляемой при по-
помощи шарнира, свойство реактивных сил давать сумму эле-
элементарных работ при допускаемых связями перемещениях,
равную нулю, то тем самым и исключаются все силы
реакций.
В большом числе случаев связи можно подвести под сле-
следующие типы: а) расстояние между двумя точками не изме-
изменяется; б) какая-нибудь точка системы принуждена при
своих перемещениях оставаться на определенной поверх-
поверхности (на шаре, на плоскости и г. д.); в) два тела, вхо-
входящие в состав спермы, должны непременно соприкасаться
между собою. Для этих типов исключение сил связи делается
без труда, и в результате получается начало возможных пере-
перемещений.
Подобным путем доказали начало возможных перемещений
'Фурье, Пуассон, а за ними повторено то же доказательство
в большинстве руководств по механике.
Доказательство, изложенное выше, предполагает известным
закон равновесия сил, приложенных к одной точке.
Можно так.ко доказать начало возможных перемещений,
принимая за основание какой-либо другой частный закон равно-
равновесия. Положим, например, что нам известен закон рычага;
пусть он доказан каким-либо способом, например одним из
приелгов, применяемых в статике твердого тела. Принимая этот
закон, мы ,с помощью его можем доказать начало возможных
перемещений для ддарой системы.

ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
27
Таким путем идет Фурье в одном из своих доказательств1).
Фурье прежде всего заменяет все активные силы Р, Q, R, . .. ,
действующие в системе, грузами р, д, г, ... , применяя для
этого механизм, изображенный на фиг. 13. Длины плеч ры-
рычага пЬс подбираются такие, чтобы возможные перемещения
всех грузов /;, q, r, ... были одинаковы по величине. При
рычажных преобразованиях силы изменяются обратно пропор-
пропорционально плечам, а возможные перемещения изменяются прямо
пропорционально плечам. Следовательно, при таких преобра-
преобразованиях работа для
возможного перемеще-
перемещения остается без изме-
изменения. А так как пере-
перемещения для всех гру-
грузов р, д, г, . . . одина-
одинаковы, то эти грузы
пропорциональны воз-
возможным работам сил.
Некоторые силы Р,
Q,R, . .. дают положи-
положительную работу; отве-
отвечающие им грузы р,
д, г, .. У опускаются
при возможных переме-
перемещениях. Другие силы Р', Q', R',
работу, а соответствующие им грузы //, q', г', ... поднима-
поднимаются. Величина опускания грузов первой группы такая же,
как величина поднятия грузов второй группы.
Всегда можно расположить рычаги и^отводные блоки ме-
механизма таким образом, что все опускающиеся грузы р, q,
г, ... придутся в одной точке. Тогда можно заменить сово-
совокупность этих грузов одним, равным их сумме; обозначим его
через II.
То же можно сделать и для всех подымающихся грузов,
которые все заменятся одним грузом 1Г, равным их сумме.
Нетрудно достигнуть того, что "грузы II и И' будут расположены
!) См. Fourier, Memoire sur la Statiqtie в собрании сочинений
Фурье («Oeuvres de Fourier», т. II, стр. 477). Это — самая первая
печатная работа Фурье A798 г.) и единственный его мемуар, отно-
относящийся к области механики.
Фиг. 13.
дают отрицательную

28 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
на одном уровне. Тогда мы их соединим с помощью гори-
горизонтального рычага, точку опоры которого необходимо рас-
расположить посредине его длины, так как повышение одного
конца равно понижению другого конца.
Теперь равновесие всей нашей системы приподится к равно-
равновесию последнего горизонтального рычага. Но он равнопле-
равноплечий, следовательно, грузы II и П' должны быть равны между
собою, или иначе
П — П' = 0.
Умножим обе части равенства на величину возможного
перемещенн51 s, одинакового для всех грузов, р, q, .. . ,
р', q', . .. ; кроме того, заменим П и П', соответствующими
суммами отдельных грузов. Тогда предыдущее уравнение
получает вид:
Очевидно, оно выражает собою начало возможных перемеще-
перемещений.
Это доказательство интересно как указатель тесной связи
нашего начала с машинами и механизмами разного рода. Само
начало возможных перемещений выросло на почве изучения
машин, и следы этого происхождения видны во многих дока-
доказательствах начала.
В заключение приведем е:дэ одно соображение, убеждаю-
убеждающее нас в справедливости начала возможных перемещений.
Противоречие с этим началом неминуемо повлечет за собою
противоречие закону сохранения энергии. А так как изучение
явлений природы установило в нас твердое убеждение в об-
общности закона сохранения энергии, то, следовательно, полу-
получается хотя не прямое, но, тем не менее, вполне убедительное,
подтверждение начала возможных перемещений.
10. Примеры приложения начала возможных перэмещг-
ний. Прилагая начало возможных перемещений к частным
случаям, нужно прежде всего помнить, что эта теоргма исклю-
исключает все силы связи, и ни одна из сил связи не должна фи-
фигурировать в рассмотрении.
Для примера рассмотрим подъемный механизм (фиг. 14),
в котором сила Р вращает рукоятку L; затем с помощью си-
системы зубчатых колес движение передается барабану М, на

Примеры приложения начала
29
который навивается веревка, поднимающая груз Q. Здесь мы
имеем много сил связи: все давления между зубцами колес,
давления опор на оси этих колес и т. д. — все это силы
связи. Мы должны совершенно пропустить их, рассматривать
только две данные силы Р и Q. Для получения условия
равновесия между ними рас-
рассмотрим бесконечно малые
возможные перемещения то-
точек приложения этих сил.
Пусть рукоятка L повер-
повернется на бесконечно малый
угол со, тогда точка прило-
приложения силы Р пройдет по
направлению силы путь £ю,
и работа силы Р будет равна
Фиг. 14.
При поворачивании
рукоятки на угол w барабан
повернется на значительно
меньший угол, так как между ними поставлена система зуб-
зубчатых колес, замедляющая вращение. Пусть замедление про-
происходит в к раз [к называется передаточным числом зуб-
зубчатого механизма). Тогда угол поворота барабана будет
^ . Если радиус барабана есть R, то путь, пройденный
точкой приложения груза Q, окажется равным R~, а работа
силы Q для возможного перемещения будет равна — QR у.
At
Здесь взят знак минус, потому что перемещение происходит
в направлении, прямо противоположном силе.
Применяя начало возможных перемещений, мы должны
написать, что сумма работ активных сил равна нулю, т. е.
Pico — Qtf-£ = <},
откуда получаем условие равновесия:
Для другого примера возьмем дифференциальный
рычаг. Этот механизм, применяемый в сотенных весах и в ма-
машинах, служащих для испытания прочности металлов, состоит

30
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
в следующем (фиг. 15): два рычага АОВ и DEF соединены
между собою шарнирными тягами AD и GF. Первый из них
имеет неподвижную ось вращения О; короткие" плечи его АО
и GO равны между собою; на конце длинного плеча ОВ дей-
действует груз Р. Другой рычаг, подвешенный к первому на тягах,
неравноплечий, а именно, плечо f/7 больше плеча ED. В точке £
приложена сила Q, которую уравновешивает сила Р. Напри-
Например, если имеем машину для разрыва металлических брусков,
то испытываемый брусок Щ
верхним концом прикрепляется
к стержню £7, а нижним — к
неподвижной точке Н. Сила Q
будет равна силе, растягиваю-
растягивающей брусок IK, когда па конце
большого рычага подвешен
груз Р.
В этой машине все давления
в шарнирах, а также силы Хи
Х2, которые появятся вдоль тяг
AD и GF, связывающих два
рычага, представляют силы свя-
связи и поэтому исключаются ил
рассмотрения. Остаются только две активные силы Р и Q.
Рассмотрим бесконечно малое перемещение, допускаемое
связями системы. Оно будет состоять (фиг. 16) в наклонении
рычагов АОВ и DEF на некоторый бесконечно малый угол а,
причем прямоугольник ADFG превратится в параллелограм.
Перемещение точки приложения силы Р будет ВВ', и оно сов-
совпадает с направлением силы, а перемещение точки Е, где
приложена сила Q, идет прямо противоположно направлению
силы Q и равно ЕЕ'. Итак, по началу возможных перемеще-
перемещений имеем следующее условие равновесия:
Но так как оба рычага наклонились на один и тот же угол а,
то отношение перемещений ВВ' и ЕЕ' равно отношению плеч
ОВ и ОгЕ и, следовательно,
Q _ОВ
Фиг. 15.

МОСТОВЫЕ ВЕСЫ
31
Пусть плечо ОВ равно L; что же касается плеча ОгЕ, то из
чертежа видно, что
OVE = OXD— ED = 0^ — in,
Следовательно:
2
Поэтому условие равновесия получает такой вид:
Я _ 2j-
Р" /г — m '
Делая разность я — /л очень малой, мы мажем получить
очень значительную величину отношения --, и для этого
Фиг. 16.
вовсе не потребуется большая длина L. В этом заключается
удобство этого механизма; мы получаем громадное увеличение
Силы, применяя рычаги небольшой длины.
Название «дифференциальный рычаг» дано этому меха-
механизму вследствие того, чао в формулу равновесия сил, при-
приложенных к нему, входит разность плеч п — т рычага DEF.
11. Мостовые весы. Начало возможных перемещений очень
хорошо освещает вопрос о конструкции так называемых.

32 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
мостовых весов. Такие весы не должны изменять свое показание
при передвижении взвешиваемого груза в разные точки плат-
платформы весов; где бы ни был помещен груз на этой платформе,
показание весов, т. е. вес гирь, уравновешивающих этот груз,
должно оставаться без изменения. Но в уравнениях равно-
равновесия каждая активная сила дает слагаемое, состоящее из
произведения этой силы на проекцию перемещения точки при-
приложения силы. Проекция эта должна быть взята на направле-
направление самой силы; так как груз есть вертикальная сила, то мы
должны брать вертикальную проекцию перемещения.
Такое произведение груза на вертикальную проекцию его
перемещения не должно изменяться при передвижении груза из
одной точки платформы в другую. А для этого необходимо
должно быть, чтобы вертикальные перемещения всех точек
платформы были одинаковы. Другими словами, возможное
перемещение платформы должно быть посту-
поступательное; в этом заключается общее правило устройства
мостовых весов. Если оно выполнено, т. е если связи меха-
механизма весов обеспечивают платформе вертикальное поступа-
поступательное движение, или, как иногда его называют, «парал-
«параллельное» движение, то весы усфоены правильно.
Это условие можно выполнить множеством различных спо-
способов, и потому существует очень большое число конструк-
конструкций мостовых весов.
Напомним при этом, что в уравнения равновесия, давае-
даваемые началом возможных перемещений, входят бесконечно ма-
малые возможные перемещения, т. е. мы берем перемещения
первого порядка, отбрасывая величины второго порядка. По-
Поэтому для мостовых весов условие параллельности движения
должно быть выполнено лишь для бесконечно малых переме-
перемещений платформы, и нет необходимости, чтобы это условие
выполнялось также и для конечных перемещений.
Известные весы Роберваля (фиг. 17) дают нам простейший
пример выполнения указанного условия. Механизм весов со-
состоит из двух одинаковых равноплечих рычагов АОВ и COXD
с точками опоры О и Ot. Концы рычагов соединены между
собой одинаковыми шарнирными стержнями АС и BD, так
что получается шарнирный четырехугольник ABDC, который
при всех своих перемещениях сохраняет форму параллелограма.
Такая связь вызывает одинаковость перемещений для точек Л

МОСТОВЫЕ ВЬСЫ
и С, т. е. обеспечивает для стержня АС поступательное дви-
движение; но тогда и чашка весов Е, неизменно связанная со
стержнем АС, также должна двигаться поступательно. То же
относится п к другой чашке F, которая неизменно"соединена
со стержнем BD. Итак, здесь выполнено указанное выше ос-
Фиг. 17.
новное условие правильности весов; следовательно, как взве-
взвешиваемый груз, так и гири, можно помещать в любых местах
чашек Е и F.
На фиг. 18 представлена в плане, г. е. при наблюдении
сверху, схема механизма весов, применяемых для взвешивания
тяжелых повозок, же-
железнодорожных ваго- G
нов и т. д Здесь име-
имеются два одинаковых
рычага, изогнутых в
форме буквы V. первый
из них GEH вращав!ся
около оси ОН, а второй
IFK—вращается около
оси IK. Середины Е,
F этих рычагов соеди-
соединены поперечным рычагом EF, который передает в точке М
давление на рычаг OMN (О — точка опоры). Платформа ве-
•сов опирается на четыре симметричные точки рычагов А,
В, С, D, и полная симметрия всего расположения обеспечи-
обеспечивает для этой платформы поступательное движение. Остается
■дополнить этот механизм приспособлением для помещения гирь;
,это дополнение изображено на фиг. 19 (боковой вид); здесь
конец N рычага OMN соединяется с рычагом QOXP, причем О1
Фиг 18.
В. Л Кирпичев

34
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
есть точка опоры, а в точке Р подвешивается чашка для
гирь.
На фиг. 20 представлена схема известных весов Квинтенца.
Платформа АВ передает давление на рычаг HOGF, который
вращается около оси О и в Я имеет чашку для гирь Р. Ко-
0,
А
о
—о
Фш. 19.
нец платформы А прямо подвешен к этому рычагу с помощью
подвески AG. Давление конца платформы В сначала пере-
передается на нижний рычаг ECD (Е— точка опоры), и затем ко-
конец D нижнего рыча! а с помощью подвески DF соединяется
с верхним рычагом.
Возможные вертикальные перемещения в этой cncieMe опре-
определяются связями се следующим образом перемещения точек
G и F верхнего рычага
0 6 F относятся между собою,
как плечи OG и OF; пе-
перемещение точки Л одина-
одинаково с перемещением G,
а точка D получает та-
такое же перемещение, как
п F. Для нижнего ры-
рычага видим, что переме-
щенпя точек С и D oiho-
Фш\ 20. сятся, как плечи ЕС и ED,
а точка платформыUiiMeei
перемещение, одинаковое с шчкой С. Отсюда следует, чго чере-
мещення точек А и В нашей платформы буду г относиться,
ЕС
как OG относится к OF, уменьшенному в пропорции
ED'
Если

СКОЛЬКО УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДАЬТ НАЧАЛО 35
плечам рычагов придадим такие размеры, что
то перемещения точек А и В будут равны между собою, а
тогда и для всей платформы возможное движение оказывав ich
поступательным. Итак, последнее уравнение дает правило уст-
устройства таких весов.
12. Сколько уравнений равновесия дает начало возмож-
возможных перемещений. Разберем геперь следующий общий вопрос:
Сколько уравнений равновесия дает начало
возможных перемещений?
Согласно этому началу для равновесия необходимо и до-
достаточно, чюбы, равнялась нулю сумма pa6oi активных сил
для всякого возможного перемещения системы.
Следовательно, оно даег нам столько уравнений, сколько
различных возможных перемещений может иметь
система. Здесь нужно считать различными только ге переме-
перемещения, которые не приводятся, не заменяются одни дру-
другими. Если, имея несколько различных перемещений, мы най-
найдем еще перемещение, которое может быть заменено сово-
совокупностью прежних, го это не будет перемещение, отличное
от прежних. Оно не даст нового условия равновесия, а мы
получим лишь уравнение, которое есть следствие других урав-
уравнений равновесия, выведенных для первоначальных различных
перемещений.
Одним словом, число уравнений равновесия определяется
числом неприводимых возможных перемещений, или, иначе,
Числом степеней свободы счет емы.
Для примера возьмем свободное твердое тело, которое
будем рассмагриваib как неизменяемую систему ючек. В этом
случае все внешние силы будут для рассматриваемою 1ела
активными. Все возможные перемещения его можно заменить
следующими двумя i руинами а) поступательным движением
ПО некоторому произвольному направлению, б) вращением
около некоторой произвольно направленной мгновенной оси.
Затем можно нпн дальше в расчленении возможных переме-
перемещений Для этого вообразим ipn взаимно перпендикулярные
координатные оси х, у, z. Всякое поступагельное движение
тела может быгь разложено натри поступательных движения
3*

36 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
по трем координатным осям, Вращение около любой мгновенной
оси может быть разложено на три вращения около осей, па-
параллельных координатным. Таким образом произвольное бес-
бесконечно малое перемещение твердого тела может быть заменено
шестью элементарными перемещениями: тремя поступательными
перемещениями по направлению координатных осей и тремя
вращениями около осей, параллельных координатным. Эти
шесть возможных перемещений неирнводпмы и не могут вза-
взаимно заменяться. Следовательно, свободное твердое тело имеет
шесть степеней свободы, т. е. шесть различных неприводимых
возможных перемещений, а потому начало возможных переме-
перемещений даст шесть условий, или шесть уравнений, необходи-
необходимых и достаточных для равновесия.
Эти уравнения получатся, если рассматривать отдельно
каждое из указанных шести перемещений. Возьмем, например,
поступательное перемещение, параллельное осп х, при кото-
котором все точки тела передвигаются на величину Ьх. Любая
внешняя сила, приложенная к телу, даст при таком переме-
перемещении работу, равную ХЬх, где через X обозначена проек-
проекция этой силы на ось х. Складывая работы всех внешних сил
и обозначая сумму знаком 2> получим сумму работ всех сил
для избранного возможного перемещения:
или, выделяя общий множитель ох:
По началу возможных перемещений эта сумма работ должна
быть нулем, а для этого необходимо, чтобы было:
т. е. сумма проекций всех внешних сил на ось х должна
равняться нулю. Подобные же уравнения получим и для осей
у и z. Итак, суммы проекций всех внешних сил натри коор-
координатные оси необходимо должны быть равны нулю.
Рассмотрим теперь вращательное перемещение около не-
некоторой оси О (фиг. 21). Любая точка тела А получает при
этом перемещение Аа, расположенное в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к оси О, перпендикулярное к радиусу г и пропор-

СКОЛЬКО УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДАЕТ НАЧАЛО 37
циональное величине этого радиуса. Коэффициент пропор-
пропорциональности, т. е. бесконечно малый угол поворота тела
около оси О, обозначим через со; тогда переме цение будет
равно tor.
Если в точке А приложена некоторая сила Р, то работу
ее для перемещения Аа получим следующим образом. Разло-
зким силу Р на две составляющие, из которых одна идет па-
параллельно оси О, а другая Q расположена в плоскости, перпен-
перпендикулярной к оси, и представляет собою проекцию силы Р
на эту плоскость. Работа первой слагающей будет равна
нулю, так как она перпендикулярна к перемещению Аа. Ра-
Работа же слагающей Q будет произведением трех сомножителей:
самой силы Q, перемещения Ла = сог и косинуса угла а между
направлением слагающей Q и пе-
перемещением, т. е. эта работа будет
равна Qcorcosa.
Но, опустив перпендикуляр ОВ
из О на линию действия силы Q,
имеем:
ОВ = г- cos a;
следовательно, предыдущая рабо-
работа представляется в форме:
coQ-OS.
Здесь входит произведение фиг- 21-
Q-OB следующих двух сомно-
сомножителей: проекции внешней силы Р на плоскость, перпенди-
перпендикулярную к оси О, и отрезка ОВ, равного кратчайшему рас-
расстоянию между силой Р и осью О. Как известно, такое про-
произведение называется моментом силы Р относительно оси О;
мы его обозначим буквой М. Итак, работа силы Р равна про-
произведению углового перемещения со на момент силы Р. Составим
такие работы для всех внешних сил, приложенных к телу,
И сложим эти работы; получим сумму работ
иди после вынесения за знак суммы общего множителя со,
©2 м-

38 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
По началу возможных перемещений эта сумма должна быть
равна нулю; следовательно, получаем условие равновесия:
т. е. сумма моментов всех внешних сил для оси О должна
быть равна нулю. Это условие мы можем применить к каждому
из трех вращений около координатных осей и получим, что
для каждой из этих осей сумма моментов внешних сил должна
быть равна нулю.
Окончательно, для свободного твердого тела, имеющего
шесть степеней свободы, получаем шесть условий, необходи-
необходимых и достаточных для равновесия, а именно: сумма про-
проекций всех внешних сил на три координатные
оси должна быть равна нулю, сумма момен-
моментов тех же сил относительно трех координат-
координатных осей тоже должна равняться нулю.
Так получаются из начала возможных перемещений эти
известные условия равновесия.
13. Несвободное (связанное) твердое тело. Теперь свя-
свяжем, стесним свободу перемгщений твердого тела, уменьшим
число степеней свободы его. Соответственно этому уменьшится
и число условий, необходимых и достаточных для равновесия.
Их будет всегда столько же, сколько сохранилось различных
возможных перемещений тела. Мы получим эти условия, выра-
выразив, что сумма работ внешних сил равна нулю для каждого
из различных возможных перемещений.
Для первого примера возьмем следующей случай связан-
связанного твердого тела: одна точка его сделана
неподвижной. Эта связь уншгожает всякую возмож-
возможность поступательного движения; по тело может вращать-
вращаться около любой из осей, проходящих через неподвижную
точку его.
Так как вращение около любой оси может быть разложено
на три вращения около трех координатных осей с началом
в неподвижной точке, то здесь имеем случай трех степеней
свободы. Три вра цення около трех координатных осей пред-
представляют три различные неприводимые возможные перемеще-
перемещения, к которым приводятся все остальные. Для каждого из
этих'трех перемещений сумма работ внешних сил должна быть
равна нулю. А мы уже видели, что это дает следующие три

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 39
у сумма моментов внешних сил для каждой из коор-
координатных осей должна равняться нулю.
Таковы необходимые и достаточные условия равновесия
для случая твердого тела, имеющего неподвижную точку.
Возьмем случай, когда перемещение тела еще больше стес-
стеснено связями, чем в предыдущем примере' пусть тело имеет
две неподвижные точки, и единственное дозволяемое связями
перемещение есть вращение около оси, соединяющей эти точки.
Тут имеется только одна степень свободы, одно возможное
перемещение — вращение около определенной оси, следова-
следовательно, получится одно уравнение равновесия. Оно состоит
в том, что сумма моментов внешних сил относительно указан-
указанной оси должна равняться нулю.
Таким же путем получим условия равновесия и для дру-
других случаев связанного твердого тела, например для тела,
опирающегося одной точкой о неподвижную плоскость, или
для тела, опирающегося на неподвижную плоскость двумя
точками, и пи для тела, опирающегося па несколько различных
йлоскостей. Нужно определить в каждом случае, каковы пере-
перемещения, дозволяемые связями, и сколько таких различных
перемещений. Применяя начало возмо кных перемещений к каж-
каждому из различных перемещений, получим необходимые и до-
достаточные условия равновесия.
14. Общий случай систем с однэй степенью свободы.
Рассмотрим отдельно случай систем, имеющих только одну
степень свободы. Эти системы, прежде натывавшиеся систе-
системами с полными связями, удовлетворяют следующим
двум условиям: а) перемещение каждой точки сис1емы может
происходить только по совершенно определенной траектории;
б) перемещение одной точки системы вполне определяет пере-
перемещения всех остальных ее точек.
Такие системы пргдетавляют особый интерес, потому что
часто встречаются в приложениях. Достаточно указать, что
Почти все наши машины представляют системы с одной степенью
Свободы. Мы встречаем в машинах системы с двумя и более
Степенями свободы только в исключительных случаях. Напри-
Мер, паровая машина с регулятором Уатта представляет систему
С двумя степенями свободы; зчесь перемещения муфты регу-
регулятора не имеют определенной кинематической связи с пере-
перемещениями кривошипного механизма машины. Вообразим себе

40 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
еще паровую машину компаунд; пусть, как для малого цилиндра
машины (для первого расширения пара), так и для большого
цилиндра (для вторичного расширения пара) поставлено по
регулятору Уатта. Это будет система с тргмя степенями свободы.
Таким образом, чтобы привести пример такой системы из обла-
области машин, приходится обращаться к исключительным случаям.
В огромном же большинстве случаев мы в машинах встречаемся
с системами, имеющими только одну степзнь свободы1).
Для таких систем получается одно условие, необходимое
и достаточное для равновесия. Оно выражается одним уравне-
уравнением, которое по началу возможных перемещений будет иметь
следующую форму.
Пусть Р, Q, R, .. . будут активные силы, приложенные
к системе, а р, q, r, ... — перемещения точек приложения
этих сил, проектированные на направления сил. Тогда усло-
условием равновесия будет:
15. Случай, когда в системе с одной степенью свободы
приложены только две силы. Золотое правило механики.
Пусть эти силы будут Р и Q; тогда уравнением равновесия
будет:
Pp-\-Qq = 0.
Отсюда заключаем, что работы Рр и Qq этих двух сил должны
различаться знаками. Если одна из этих работ, например Рр,
положительная, то работа Qq должна быть отрицательной. Та
из двух сил, которая даст положительную работу, называется
движущей силой, а другая сила, дающая отрицатель-
отрицательную работу, называется силой сопротивления.
Далее, из того же уравнения получаем отношение величин
движущей силы Р и сопротивления Q:
Q Р '
г) Говоря эте, мы предполагаем, что части машины представляют
абсолютно жесткие, неизменяемые тела, т. е. пренебрегаем упругими
изменениями этих частей. Если же принять во внимание упругость
частей машины и рассматривать их изменения формы (сжатия, растя-
растяжения, изгибы и т. д.), происходящие от действия сил во время дви-
движения, то машина окажется имеющей не одну, а -значительное число
степеней свободы.

ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО МЕХАНИКИ 41
т. е. отношение численных величин этих сил обратно отно-
отношению проекций точек их приложения. Этот закон равновесия,
применимый к громадному числу случаев для многих, машин
и механизмов, представляет всем известной золотое пра-
правило, которое обыкновенно высказывают в такой форме:
сколько выигрываем в силе, столько же те-
теряем в скорости.
В элементарные курсах излагают это правило в примене-
применении только к так называемым простым машинам. Но из пре-
предыдущего видно, что область прим2шшост,1 золотого правила
гораздо более обширна и обнимает все системы с полными
связями.
• Золотое правило механики иногда приписывают Галилею,
у которого оно встречается в нескольких местах, между про-
прочим, в одном из ранних его сочинений, специально занимающемся
вопросом равновесия сил в машинах. Говоря о рычаге, Гали-
Галилей замечает, что при помощи это?о орудия «то, что приоб-
приобретают в силе, то теряют в пройденном пути, во времени,
в скорости; это замечание относится ко всем другим инстру-
инструментам, которые уже были изготовлены или, может быть,
будут придуманы».
О том же Галилей говорит в позднейшем, самом важном
н наиболее знаменитом своем сочинении «Разговоры». Здесь
он упоминает об этом правиле как о законе, известном и
твердо установленном для всех механических орудий «не только
опытом, но и теоретическими доказательствами». Снмпличио,
который в «Разговорах» служит' представителем взглядов пе-
перипатетиков, замечает при этом: «Это мне очень хорошо из-
известно: это доказано Аристотелем в его „Механических проб-
проблемах"». Итак, Галилей приписывает открытие рассматриваемого
нами закона Аристотелю.
16. Применение золотого правила. С помощью золотого
правила мы сейчас же получаем известные условия равновесия
для многих машин—■ наклонной плоскости, клина, винта, зуб-
зубчатой передачи и т. д.
Не останавливаясь на простых, всем известных случаях,
укажем на коленчатый пресс (фиг. 22). Главную часть его со-
составляет шарнирный ромб ABCD; точка А неподвижна, и при
сближении шарниров В и С получается движение книзу точки D
И при этом—сжатие прессуемого предмета. Для сближения

42
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
шарниров В и С служит винт Е, который проходит через
гайки, соединенные с этими шарнирами; винтовые нарезки
в этих двух гайках имэют противоположное направление. Для
получения требуемого действия остается только вращать винт
Е помощью колеса F.
Здесь имеем две внешние силы движущую Р, которая
вращает колесо F, и сопротивление Q сжимаемого продмэта.
Фш. 22.
При поворачивании колеса на бесконечно малый угол со пере-
перемещение тожи приложения силы Р равно со/? (R — радиус
колеса). Если шаг винта равен р, то при поворачивании винта
па целый оборот каждая гайка пройдет путь /; и гайки сбли-
сблизятся на величину 2р. При поворачивании же на угол со сбли-
сближение будет меньше в отношении ^, т. е. окажется равным
рч- W
Зная это сближение, найдем перемещение точки D. Для этого
обратимся к фиг. 23; здесь стороны нашего ромба обозна-
обозначены через /, длины диагоналей — через h и Ь и угол ABC—
через а. Мы получаем.
A = 2/sma,
ft = 2/cos a.

принцип отвррдьния
43
Дифференцируя эш выражения, мы найдем бесконечно малые
возможные перемещения.
dh = 21 cos a da, db = — 2/sinarfa.
Отсюда получаем
dh = -^.
tga
Здесь знак минус означает, что когда диагональ b уменьшается,
диагональ h увеличивается, и обратно. Вставим сюда вместо
db прежде полученное выражение A) для
сближения точек В и С; тогда dh пред-
представит вертикальное перемещение точки D
и будет равно
,, (й 1
dh=p — .— .
' it tga
Поэтому условием равновесия, выражаю-
выражающим, что силы Q и Робратно пропорцио-
пропорциональны соответствую'цим перемещениям,
будет
При постепенном сжимании прессуемого
предмета угол а будет увеличиваться, и
вместе с тем будет расти отошение -р , т. с. при постоянной
работающей силе Р будет постепенно увеличиваться сжимаю-
сжимающая сила Q. Именно =>го и требуется прч всех работах по
прессованию.
17. Принцип отвердения. Для вывода условий равнове-
равновесия систем (жидких "тел, гибких нитей и т. д.) часто поль-
пользуются принципом, который заключается в следующем:
Если система находится в равновесии, то мы можем пред-
предположить, что эта система отвердела и сделалась вполне
Жесткой, неизменяемой; равновесие при этом не будет нарушено.
Предположив отвердение системы, мы можем применять
к ней уравнения равновесия твердого тела. Таким образом
к вопросам о равновесии различных систем применяются за-
законы равновесия простейшей системы — неизменяемого твер-
твердого тела.

44
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Этот принцип представляет частный случай более общего
принципа, также применяемого для разыскания условий рав-
равновесия, а именно, следую-
щего:
Если система находится
в равновесии, то это равно-
равновесие не нарушится введе-
нием новых связей, т. е. но-
новых стеснений, ограничиваю-
ограничивающих возможныеперемещения.
Как пример приложе-
приложения принципа отвердения
приведем известное рассу-
рассуждение элементарной гидро-
гидростатики (фиг. 24). выделим
мысленно часть жидкости, ограниченную поверхностью abed, и
предположим, что жидкость отвердела; равновесие при этом не
нарушится. Следовательно, давления, производимые жидкостью
на поверхность abed, уравновешивают вес Р отвердевшей части.
Поэтому эти давления должны быгь таковы, что равнодей-
равнодействующая их равна и про-
противоположна силе Р.
Другой пример (фиг.
25): имеем тяжелую гиб-
гибкую нить ABC, подвешен-
подвешенную в точках А и С. Вы-
Выделим какую-нибудь часть
ее аВс, для чего нужно
сделать мысленные раз-
разрезы в а и с и заменить
имеющуюся здесь связь
частей нити силами Ть Т2,
которые называются на-
натяжениями нити и идут
по направлению касательных к нити в точках а, с. Эти две
силы уравновешивают веса р, р, . . . частей нити, лежащих
между а и с. Теперь предположим, что нить отвердела, и
применим к ней условия равновесия твердого тела. Прежде
всего, имея дело с твердым телом, мы можем заменить па-
параллельные силы р, р, . ,. одной равнодействующей Р, кото-

РАВНОДЕЙСТВУЮЩИЕ СИСТЕМЫ СИЛ 45
рая найдется по известным правилам. Тогда мы имеем три
силы Р, 7], Т2) лежащие в одной плоскости и взаимно урав-
уравновешивающиеся на твердом теле. Как известно, si и три силы
должны сходиться в одной точки, т. е. Р должна проходить
через точку пересечения продолженных 7\ и 1\. Затем, если
три силы уравновешиваются на твердом теле, ю, откладывая
их одну за другой по их направлениям, мы должны получить
замкнутый треугольник. Поэтому отложим величину Р по kl,
через k проведем прямую, параллельную Т2, а через / — пря-
прямую, параллельную 7\, и найдем точку m варечи этих линий.
Мы получаем треугольник равновесия указанных сил; отрезок
//и представляет силу Г1; а отрезок mk дает силу Т2-
Принцип отвердения, как всякое частное условие равнове-
равновесия, может бьпь получен из общего закона равновесия,
т. е. из начала возможных перемещений. При этом выясняется,
в каких случаях и при каких условиях может применяться
принцип отвердения.
С точки зрения начала возможных перемещений каждое
уравнение равновесия представляет собою выражение того
закона, что сумма работ активных сил для некоторого пере-
перемещения, дозволяемого связями, равна нулю. Поэтому мы мо-
можем применять уравнения равновесия твердого тела к таким
системам, для которых возможны такие же перемещения, как
для твердого тела. Если связи системы не дозволяют ей иметь
такие перемещения, то нельзя к ней прямо применять урав-
уравнения равновесия твердого тела. Но тогда можно уничтожить
те связи, которые препятствуют указанным перемещениям,
заменить эти связи силами и причислить силы связи к внеш-
внешним силам. Тогда получается возможность приложить к нашей
системе уравнения равновесия твердого тела
Мы так н поступаем в тех двух примерах, которые были
приведены. В жидком теле, отделив часть его abed, мы за-
заменяем связь ее с остальной жидкостью силами давления.
В гибком теле, уничтожив связь в точках а, с, мы заменяем
эту связь силами Ть Т2, которые причисляем к внешним
силам.
18. Равнодействующие, или эквивалентные, системы
Шл, Мы знакомимся с этим понятием прежде всего в статике
твердого тела. Равнодействующими, или эквивалентными, си-
системами, называются такие две системы сил, которые могут

46 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
заменять одна другую без нарушения равновесия.
Такое понятие об эквивалентности двух сие i ем сил можно
распространить и на любую механическую систему с произ-
произвольным числом степеней свободы. Начало возможных пере-
перемещений даст нам общее условие такой эквивалентности.
Предположим, что в системе действуют активные силы,
состоящие из двух групп. P,Q,R,... и Pl,Q1,R1,... и
находящиеся в равновесии. Пусть соо1ве1ствующие им проек-
проекции возможных перемещений будут
р, q, г,..., рь qu rv...
Тогда условия равновесия будут иметь форму:
число их равно числу степеней системы. Вообразим себе ia-
кую новую группу внешних сил
"it Q21 *V2i • • • >
чго работа для возможных перемещений их точек приложе-
приложения, т. е. работа
равна pa6oie сил i руппы
Р\> V], Ri> ■ ■ •,
т. е. положим, чю cyuteciByiOi ранена ва
+ RS, + . . ., C)
удовлетворяюии^ся для всех возможных перемещений
Группа сил
Р„О_,Н2,... (А)
может отличайся oi сил
как по числу сил в группе, так и по величинам, направле-
направлениям и точкам приложения сил. Единственное требование
состоит в выполнении условий F).
Очевидно, мы можем в нашей механической системе за-
заменить всю группу сил (В) новой группой (А), и равновесие
при эюм не нарушится, так как все условия, устанавливав-

примеры 47
мые началом возможных перемещений, будут попрежнему вы-
выполнены. Действительно, эти условия имеют форму B), и
такие уравнения будут попрежнему удовлетворены, только в
них вместо суммы
будет стоя1ь равная ей сумма
Итак, две группы сил эквивалентны на данной
системе, если работы их для всякого возмож-
возможного перемещения системы одинаковы. Вот в чем
состоит общий закон эквивалентности сил для любой меха-
механической системы. Из него сейчас же получаются условия,
определяющие эквивалентные системы сил для различных
частных случаев.
19. Примеры. Начнем со случая свободного твер-
твердого 1ела. Здесь имеем шесть степеней свободы, т. е.
шесть различных неприводимых возможных перемещений три
поступательных перемещения по трем координатнЕ>ш осям и при
вращения около трех координатных осей Для каждого из этих
перемещений две эквивалентные системы сил должны дава!Ь
одинаковые работы. Всего получим шесть условий, разделяю-
разделяющихся на две группы уравнений, по три в каждой группе.
Возьмем одно из условий, относящихся к группе посту-
поступательных перемещений, например условие для перемещений
по оси х. Работа сил для такого перемещения равна вели-
величине самого перемещения, умноженной на сумму проекций сил
: ^аля оси х. Для равенства работ необходимо, чтобы экви-
валентные системы сил имели равными суммы проекций на ось х.
Такие же условия получим и для двух других осей.
Переходим к условиям для вращательных перемещений,
например для вращения около оси х Мы выше показали
{% 12), 410 рабоы внешних сил для такого перемещения равна
произведению из угловой величины перемещения на сумму
моментов сил относительно оси х. Условие равенства таких
работ для двух эквивалентных систем сил требует, чтобы обе
Системы имели одинаковые суммы моментов относительно оси
*. Подобные же два уравнения получим для осей у, z.

48 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Итак, нсобходиыые.н достаточные условия для того, чтобы
две системы сил, приложенные к свободному твердому телу,
были эквивалентными, заключаются в следующем:
Эти две системы сил должны иметь одинаковые суммы
проекций и одинаковые суммы моментов для трех координат-
координатных осей.
Возьмем один на случаев связанного твердого
т ел а. Пусть единственное перемещение, дозволяемое связями,
есть вращение около некоторой осп. Эквивалентные системы
должны удовлетвори]ь только одному условию; они должны
давать одинаковые работы для этого единственного переме-
перемещения. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы эти две си-
системы сил имели одинаковые суммы моментов для оси, около
которой связи дозволяют вращение.
В виде примера приложения общей теории об эквивалент-
эквивалентных системах сил можно разобрать условия, при которых две
пары, приложенные к свободному твердо» у телу, могут счи-
считаться эквивалентными.
Так же легко вывести условие, при соблюдении которого
данная система сил, приложенных к свободному твердому
телу, может быть заменена одной силой. Как известно, это
условие состоит в выполнении уравнения
где X, Y, Z—сумма проекций данной системы сил, a L, М,
N—суммы моментов их для трех координатных осей х, у, г.
Пользуясь той же общей теорией, сейчас докажем, что
пара сил не может быть замена одной равнодействующей
силой. В самом деле, работ игры для всякого поступа-
поступательного движенья равна нулю, it к кък. ргбота одной из сил,
составляющих пару, уничтожается работой другой силы. Между
тем работа равнодействующей силы не будет нулем для вся-
всякого поступательного движения. Следовательно, пара и сила
не могут быть двумя эквивалентными системами.
В следующей беседе мы приведем еще несколько приме-
примеров приложения общей теории эквивалентных, т. е. равно-
равнодействующих, систем сил.
20. Устойчивое и неустойчивое равновесие. Простейшим
примером устойчивого равновесия нам послужит тяжелый шарик,
находящийся внутри чашки (фиг. 26, /). Нижняя точка чашки

УСТОЙЧИВОЕ И НЕУСТОЙЧИВОЕ РАВНОВЕСИЕ
49
А представляет положение устойчивого равновесия для этого
шарика; если мы немного отклоним шарик из этого положе-
положения и затем отпустим его, то шарик будет колебаться около
положения Л. То же произойдет, если мы сообщим неболь-
небольшой толчок этому шарику, когда он находится в положении А.
Напротив того, шарик, расположенный, как на фиг. 26, //,
в верхней точке В выпуклой поверхности, находится в не-
неустойчивом положении.
Наконец, тяжелый шарик, лежащий на горизонтальной
плоскости, находится в положении безразличного равновесия.
Эти общеизвестные понятия о характере равновесия
нуждаются в некоторых дополнениях.
Вместо обыкновенной чашки, как на фиг. 26, предполо-
предположим, что мы имеем дело с цилиндрической поверхностью;
пусть на той же фигуре ВАС представляет направляющую
этой поверхности, а образующей ее будет горизонтальная
прямая. При отклонении шарика из А по направлению такой
образующей мы не заметим в нем стремления вернуться к
первоначальному своему положению, т. е. будем иметь случай
безразличного равновесия. При отклонении шарика по поверх-
поверхности цилиндра для всех других направлений мы будем иметь
случай устойчивого равновесия. Итак, характер равно-
равновесия может быть различным для разных на-
направлений отклонения от равновесного положения.
Вообразим себе обыкновенное седло и поместим шарик
в средней точке седла. И здесь характер равновесия будет
различный для отклонений разного направления. При некото-
некоторых отклонениях шарик повышается; предоставленный самому
4 В. Л. Кирпичев

50 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
себе, он будет стремиться опускаться и вернуться к перво-
первоначальному положению равновесия,— мы будем иметь дело
с устойчивым равновесием. При других направлениях откло-
отклонения шарик понижается, и тогда равновесие оказывается не-
неустойчивым. Итак, и здесь характер равновесия раз-
разный для различных направлений отклонения
от равновесного положения.
Положение равновесия вообще называется устойчивым,
если оно устойчиво при отклонениях во всех возможных на-
направлениях при условии достаточно малой величины этих
отклонений и при достаточно малых начальных скоростях.
Иногда характер равновесия изменяется с
переменой величины отклонения от равновес-
равновесного положения. Так, для чашки, имеющей в разрезе
форму фиг. 26, ///, положение шарика в А оказывается устой-
устойчивым для небольших отклонений или небольших толчков.
Если же отклонения или толчки велики, то шарик будет со-
совсем выброшен из чашки и не вернется к точке А.
Подобный случай иногда замечается при рассмотрении
устойчивости судов на воде. Здесь приходится заниматься,
главным образом, поперечными наклонениями судов и попе-
поперечными их качаниями. Иногда оказывается, чго судно, ко-
которое проявляет хорошую устойчивость при малых углах на-
наклонения, делается совершенно неустойчивым при больших
углах наклонения, например при углах, больших 55°; при
отклонении на такой угол судно должно будет перевернуться.
Это может получиться при известных условиях для плоско-
плоскодонных судов.
Заметим, что в практических конструкциях до-
допустимы только случаи устойчивого равноее-
с и я, притом устойчивость должна соблюдаться для всех на-
направлений отклонения. С технической точки зрения имеется
существенное различие между равновесием устойчивым и двумя
другими видами равновесия; эти последние в технике даже
и не считаются равновесием.
21. Критерий для определения характера равновесия.
Мы не будем разбирать вопрос о характере равновесия во
всей его полноте и общности. Ограничимся несколькими сооб-
соображениями, которым не придаем значения строгих доказа-
доказательств, но они хотя бы отчасти разъяснят этот важный вопрос.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРА РАВНОВЕСИЯ 51
Вернемся к лагранжеву доказательству начала возможных
перемещений. В нем фигурировал груз тг, который один за-
заменял и представлял собою все активные силы, приложенные
к системе. Мы рассматривали бесконечно малые перемещения,
дозволяемые связями.
В случае равновесия высота груза тг не менялась при та-
таких бесконечно малых перемещениях. Теперь предположим,
что перемещения,— хотя и очень малые, но конечные. Опять
мысленно перепробуем все перемещения, дозволяемые связями,
начиная с положения равновесия, и будем следить
за грузом тт.
Предположим, что эта проба покажет следующее' поло-
положение груза тг для равновесного положения есть самое
низкое из всех других положений, занимаемых им при на-
наших пробах. Тогда мы можем утверждать, что это положе-
положение равновесия будет устойчивое.
Если же при наших пробах окажется, что положение груза
тг при равнозесии есть самое высокое из всех положений,
занимаемых им при наших пробах, то тогда, естественно,
что это положение равновесия неустойчивое.
Попрежнему будем называть активные силы через
A Q, R,...,
а соответствующие им проекции бесконечно малых возможных
перемещений через
Р, Я, г,. ..
Тогда, как мы видели в § 8, вследствие таких перемещений
получится понижение груза, равное
пр -f- mq -f- • • •.
т. е. равное
\ + +..)■ D)
Складывая эти величины для элементарных бесконечно ма-
малых перемещений, на которые можно разделить конечное пе-
перемещение, мы получим в сумме понижение груза для конеч-
конечного перемещения системы. Если оно будет всегда положи-
положительное, то равновесие неустойчивое.

52
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Предположим теперь обратное,— пусть выражение D) отри-
отрицательное (это возможно, так как проекции перемещений
р, q, r, ... могут быть отрицательными). Такой результат
укажет на повышение груза тт при перемещениях, и следо-
следовательно, равновесие устойчивое.
Конечно, можно было бы не обращать внимания на вели-
величину груза тг и вместо выражения D) рассматривать только
множитель
Pp + Qq + Rr+..., E)
т. е. работу активных сил. Итак, окончательно получаем та-
такой критерий для различения характера равновесия:
Суммируем выражение элементарной работы активных сил,
начиная от положения равновесия и кончая другим близким
к нему возможным положением. Если эта сумма окажется
положительной для каждого возможного перемещения, то рав-
равновесие неустойчивое. Если же она отрицательная, то равно-
равновесие устойчивое.
22. Равновесие систем под действием силы тяжести.
Чтобы показать, как приводится в исполнение наше правило
*i\
*2\
Н
Фиг. 27.
для различения характера равновесия, рассмотрим следующий
важный частный случай: все активные силы, действующие на
систему, суть силы тяжести.
Пусть А, В, С, ... (фиг. 27) будут места расположения
отдельных грузов Pv Рг, Р3,...; бесконечно малые возможные

РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ 53
перемещения их пусть будут Аа, ВЬ, Сс,... Проведем какую-
нибудь горизонтальную плоскость Н и будем отмечать высоты
хи хг, xs,.. . грузов над этой плоскостью. Проекции беско-
бесконечно малых перемещений на ось х обозначим через
йхъ dx2, dx3,. ..
Тогда сумма работ всех грузов для этих перемещений
будет равна
— {P1dx1 + P2dx2 + Psdxs + ...)•
Здесь поставлен знак минус потому, что направление оси х
противоположно направлению силы тяжести; следовательно,
при увеличении высоты х получается отрицательная работа.
Так как Ръ Рг, ... представляют постоянные величины, то
предыдущее выражение можно написать в форме дифферен-
дифференциала суммы:
+,+...). F)
Пусть G будет общий центр тяжести всех наших грузов, а
х—высота его над основной плоскостью Н. Тогда по опре-
определению центра тяжести, называя сумму всех грузов через Р,
имеем:
Рххх + Ргхг 4- Рьхь 4- • • • = Рх.
Следовательно, выражение F) получит вид:
— d(Px) = — Pdx. G)
Таким образом, работа всех активных сил для бесконечно
малого перемещения имеет очень простой вид; легко просум-
просуммировать эти элементарные работы и получить соответствую-
соответствующую величину для конечного перемещения. Для этого нужно
только просуммировать величины dx. Пусть начальная высота
центра тяжести G над плоскостью Н, отвечающая положению
равновесия, есть h0, а окончательная высота для конечного
перемещения системы есть h; тогда сумма всех элементарных
значений dx будет равна разности h — Ао, и суммирование
величин G) дает:
P(ho-h).
По изложенному общему правилу равновесие будет устойчи*
вое, если это выражение всегда отрицательное, т. е. если всегда

54
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Итак, равновесие будет устойчивое, если
центр тяжести занимает самое низкое из воз-
возможных для него положений.
Наоборот, равновесие будет неустойчивое,
если центр тяжести занимает самое высокое
из возможных для него положений.
Это простое правило позволяет во всех случаях без труда
определить характер равновесия системы, подверженной дей-
действию силы тяжести.
Заметим, что в прежнее время очень часто в элементар-
элементарных курсах предлагали следующее правило: равновесие
устойчиво, если точка опоры выше центра тяжести, и
неустойчиво, если точка опоры ниже центра тяжести.
Такое правило неверно; достаточно указать на известную
игрушку «ванька-встанька», чтобы видеть явное противоречие
этому правилу.
23. ПримерьГустойчивого и неустойчивого равновесия
тяжелых систем. 1. Дверь (фиг. 28), петли которой распо-
расположены по наклонной линии. Очевидно, при закрытой двери
Фиг. 2Р.
Фиг. 29.
А
Фиг. 30.
центр тяжести ее О занимает самое низкое возможное для
него положение. Следовательно, это будет положение устой-
устойчивого равновесия. Такая дверь всегда сама закрывается.
2. При расположении же линии петель, как на фиг. 29,
получается обратное. Когда дверь закрыта, центр тяжести
ее С? занимает самое высокое возможное для него положение;
следовательно, это положение неустойчивого равновесия.
Такая дверь всегда стремится открыться.

ПРИМЕРЫ УСТОЙЧИВОГО И НЕУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ 55
5. При устройстве игрушки, называемой «ванька-встанька»,
должно быть выполнено следующее условие (фиг. 30): центр
тяжести О должен лежать ниже центра С шаровой опорной
поверхности. Тогда при наклонении игрушки центр тяжести
повышается.
4. Рассмотрим равновесие однородного тяжелого трехос-
трехосного эллипсоида, положенного на горизонтальную плоскость.
Если он прикасается к плоскости концом своей малой оси,
то центр тяжести его занимает самое низкое возможное для
него положение, и равновесие устойчивое. Если точка
касания лежит на конце большой оси эллипсоида, то
центр тяжести занимает самое высокое возможное для него
положение, и равновесие неустойчивое. Если эллипсоид при-
прикасается к плоскости концом своей средней оси, то рав-
равновесие его устойчиво для некоторых перемещений и неус-
неустойчиво для других перемещений,
5. Поверхность тяжелой жидкости, налитой в сосуде,
должна быть горизонтальна, потому что при этом условии
центр тяжести жидкости занимает самое низкое возможное
для него положение. Действительно, всякое отступление от
горизонтальной поверхности АВ (фиг. 31), например замена
ее поверхностью abed, влечет за собой повышение центра
тяжести; при такой замене часть жидкости cBd заменяется
таким же объемом аЬА, но расположенным выше.
Фиг. 31.
Фиг. 32.
6. Если в сосуд налиты две жидкости разной плотности,
то поверхность раздела между ними CD (фиг. 32) должна
быть горизонтальна, и более легкая жидкость должна быть
вверху. Такое расположение дает самое низкое возможное
положение центра тяжести, т. е. представляет положение
устойчивого равновесия.
Если же при горизонтальной поверхности раздела жидко-
жидкостей более тяжелая из них расположена вверху, то мы

56 НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
получаем неустойчивое равновесие. Действительно, такое
размещение дает самое высокое возможное положение центра
тяжести этой системы.
7, Обратимся к вопросу о равновесии твердого тела, по-
погруженного в жидкость.
Применим и здесь то условие, что в положении устойчи-
устойчивого равновесия центр тяжести занимает самое низкое воз-
возможное для него положение.- Здесь имеем систему, состоящую
из совокупности погруженного твердого тела и воды, напол-
наполняющей некоторый сосуд; общий центр тяжести этой системы
должен занимать самое низкое положение. Это условие, при-
примененное к вертикальным поступательным перемещениям по-
погруженного тела, даст нам принцип Архимеда.

ВТОРАЯ БЕСЕДА
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
24. Плоские механизмы. Мы будем рассматривать только
плоские механизмы, т. е. такие, в которых все части
движутся в одной и той же плоскости1). Этим ограничением
мы лишь немного суживаем область нашего рассмотрения,
так как большинство употребительных механизмов относится
к разряду плоских. Из числа часто применяемых механизмов
только винт, винтовые колеса, конические колеса и шарнир
Гука не будут включены в наше рассмотрение.
В то же время будем считать, что все силы, действующие
на механизм, расположены в одной плоскости, в плоскости
движения частей его.
При изучении механизмов будем смотреть на них с точки
зрения, установленной Рёло; именно, будем рассматривать
механизм как замкнутую кинематическую цепь, одно из
звеньев которой неподвижно. Такое включение в механизм
неподвижной части, т. е. устоя или рамы машины, оказалось
очень плодотворным. С этим взглядом связан прием обра-
обращения механизмов; из данной кинематической цепи можно
получать несколько разных механизмов, часто вовсе друг на
друга непохожих; для этого нужно делать неподвижным тот
или другой член цепи. Очевидно, число разных механизмов,
получаемых из одной цепи, определяется числом ее звеньев.
Примеры кинематических цепей, которые мы будем рас-
рассматривать, представлены на фиг. 33, 34, 35. Фиг. 33 изоб-
изображает шарнирный четырехугольник; можно сделать непо-
неподвижным любое из четырех его звеньев а, Ь, с, d; таким
приемом получаем четыре разных механизма из этой цепи.
:) Конечно, к этому случаю легко привести и тот, когда все точки
механизма движутся не в одной и той же плоскости, но в параллель-
параллельных плоскостях.

58
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
На фиг 34 представлена цепь, применяемая в паровых
машинах: в —кривошип, й-шатун, с —ползун, d — направ-
направляющая линейка. Если сделаем неподвижным звено а, то
получим механизм обыкновенной паровой машины. Делая не-
Фиг. 34.
Фиг. 33.
подвижным звено Ь, получим механизм паровой машины с
качающимся цилиндром. При неподвижности а или с получаем
другие замечательные механизмы.
Фиг. 35 представляет инверсор Липкина. В этой цепи
восемь звеньев а, Ь, .. ., h. Обыкновенно делается непо-
неподвижным звено к, тогда точка А описывает прямую (если
длина g равна К) или дугу
круга (если g не равно h).
Вместо h можно сделать
неподвижным любое из
остальных звеньев; тогда
получим различные другие
механизмы.
Все механизмы, которые
мы рассматриваем, представ-
представляют системы с пол-
полными связями, или, другими словами,— системы с одной
степенью свободы, т. е. они обладают следующими двумя
свойствами: а) каждая точка системы движется по совершенно
определенной траектории; б) когда назначено перемещение
одной точки системы, то этим вполне определяются
перемещения остальных ее точек.
25. Мгновенный центр вращения. Теорема Шаля. Все
части наших механизмов движутся в одной и той же пло-
плоскости, а движение неизменяемого тела, параллельное неко-
некоторой плоскости, подчинено теореме Шаля1), которою мы и
J) Понятие о мгновенном центре встречается в науке значительно
раньше трудов Шаля, а именно в мемуарах Ивана -Бернулли и Эйлера.
Зачатки этого учения можно найти даже у Аристотеля, в его «Ме-
«Механических проблема*».
Фиг. 35.

МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР ВРАЩЕНИЯ
59
будем руководствоваться при дальнейших выводах. Как из-
известно, теорема эта заключается в следующем.
Всякое бесконечно малое движение неизме-
неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости можно
рассматривать как вращение около некоторого
мгновенного центра.
Напомним доказательство этой основной теоремы кинема-
кинематической геометрии. Докажем, что если имеем два произволь-
произвольных положения I и II какой-нибудь фигуры в ее плоскости
(фиг. 36), то эта фигура может быть переведена из первого
положения во второе с помощью вращения около некоторого
центра. Очевидно, достаточно показать справедливость этого
для двух каких-нибудь точек фигуры, например А и В. Если
вращением около некоторого центра мы эти точки из первого
их положения передвинем так, что они совместятся со вто-
вторыми их положениями А', В\ то и любая точка С фигуры
совместится с новым ее положением С,

60 РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Чтобы найти центр, вращая около которого мы переме-
переместим точки А и В так, что они совпадут с Л' и В', поступим
следующим образом: линии АА' и ВВ' разделим пополам и
из точек деления восставим перпендикуляры, до встречи их
в О. Эта точка встречи и будет искомым центром. Действи-
Действительно, треугольники ОАВ и Ьа'В' равны, потому что имеют
три равные стороны. Следовательно, вращая около О, мы
совместим АВ с А'В'.
Это справедливо при всякой величине перемещений, пере-
переводящих фигуру из положения / в положение //. Теперь
предположим, что эти перемещения бесконечно малы. Тогда
с точностью до бесконечно малых второго порядка мы можем
эти перемещения заменить дугами кругов, описанных из О,
или соответствующими хордами АА', ВВ'. Такая замена
может быть сделана как в уравнении, выражающем начало
возможных перемещений, так и при вычислении скоростей
движения точек фигуры. Итак, для этих операций бесконечно
малое движение фигуры может быть заменено вращением
около точки О, которая и представляет мгновенный центр').
В этом и состоит теорема Шаля.
26. Нахождение мгновэняого центра. Мгновенный центр
легко получается, если известно направление одновременных
скоростей двух точек фигуры. Мгновенный центр лежит на
перпендикуляре к направлению скорости. Поэтому, если для
двух точек А, В фигуры (фиг. 37) имеем направления их
скоростей (или бесконечно малых перемещений) АА' и ВВ',
то, проводя перпендикуляры к этим скоростям, получим в
пересечении перпендикуляров мгновенный центр О.
!) Но такая замена не может быть допущена при решении тех
вопросов, при которых необходимо принимать во внимание величины
второго порядка, например при нахождении ускорения движе-
движения. Это не следует упускать из виду. Одновременные скорости
разных точек фигуры будут пропорциональны расстояниям этих
точек от мгновенного центра, но ускорения их не будут пропорцио-
пропорциональны расстояниям от этого центра. Указанный нами мгновенный
центр есть центр перемещений и скоростей, но не ускорений, для
которых существует совсем другой центр. Мы упоминаем об этом,
чтобы предупредить ошибку, в которую легко впасть, если не обра-
обратить внимания на смысл теоремы Шаля, определяющийся выводом
ее, а прямо руководствоваться словесным ее изложением, поставлен-
поставленным нами в начале доказательства, и понимать его безусловно и без
всяких ограничений.

НАХОЖДЕНИЕ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА 61
На основании теоремы Шаля всякое бесконечно малое
перемещение какой-нибудь части рассматриваемых нами пло-
плоских механизмов будет вращение около мгновенного центра.
Для каждой части (т. е. для каждого подвижного звена)
получаем особый мгновенный центр. Если произведем 'обра-
'обращение механизма, т. е. вместо прежнего неподвижного звена
выберем другое и сделаем его неподвижным, то получим
новый механизм, новое движение,
и мгновенные центры изменятся.
Пусть цепь имеет п звеньев.
Любое из них можно сделать не-
неподвижным и для этого случая
определить я—1 мгновенных
центров остальных звеньев. Отсю-
Отсюда следует, что полное число воз-
возможных мгновенных центров та-
такой цепи будет п (я—1).
■ Чтобы разобраться в этом оби- Фиг. 37.
лии мгновенных центров, устано-
установим следующее обозначение. Все мгновенные центры будем
обозначать буквою О с подстрочными индексами. Усло-
Условимся в этом подстрочном индексе всегда ставить две
буквы: первая из них должна обозначать то звено, движение
которого изображается мгновенным центром, а вторая — отме-
отмечать, какое звено при этом сделано неподвижным. Так, на-
например, название Oad обозначает мгновенный центр, около
которого вращается звено а, когда звено d неподвижно.
Для краткости можно пропускать букву О и обозначать этот
центр знаком ad. Подобно этому обозначение Oda, или
просто da, обозначает для того же механизма центр, около
которого вращается звено d, когда неподвижным сделано
звено а.
Докажем сейчас две общие теоремы, вторая из которых
даст нам возможность определять мгновенные центры много-
многозвенных механизмов.
Первая теорема. Два мгновенных центра, в подстрочные
индексы которых входят одни и те же буквы, но в другом
порядке, например ОаЬ и ОЬа, совпадают между собою.
Другими словами, порядок букв в подстрочных
индексах безразличен.

62 РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Эта теорема почти очевидна. ОаЬ означает центр, около
которого вращается звено а, когда Ь неподвижно; пусть это
будет точка А. Рассмотрим бесконечно малое перемещение,
т. е. вращение около цгнтра А на бесконечно малый угол о>
Затем придадим всему механизму как одному целому враще-
вращение ш около того же центра Л и на тот же угол, но в про-
противоположную сторону. Результатом сложения этих двух
перемещений будет следующее: звено а делается неподвижным,
звено же Ъ получает вращение около А. Следовательно, по
нашему обозначению, теперь точка А делается центром ОЬа,
т. е. теорема доказана.
Поэтому далее мы не будем обращать внимания на поря-
порядок букв в подстрочных индексах, изображающих мгновенные
центры вращения.
Заметим, что на основании нашей теоремы в общей со-
совокупности п(п—1) мгновенных центров механизма, состоя-
состоящего из п звеньев, эти центры будут попарно совпадать
один с другим. Следовательно, число различных мгновен-
мгновенных центров будет равно
A)
Вторая теорема1). Возьмем в какой-нибудь кинема-
кинематической цепи три произвольных звена ее а, Ь, с и рассмотрим
три мгновенных центра ОаЬ, ОЬс, Оас, подстрочные индексы
которых ah, be, ас представляют различные соединения по
два из трех букв а, Ь, с. Эти три мгновенных
центра лежат на одной прямой.
Для доказательства допустим, что эти три центра А, В, С
(фиг. 38) не лежат на одной прямой, и покажем, что такое
предположение приводит к нелепости.
Сначала предположим, что неподвижно звено Ь, и рас-
рассмотрим точку В, т. е. мгновенный центр be или cb (что все
равно, на основании первой теоремы). Около В вращается
звено Ь, когда с неподвижно, и обоатно, около В вра-
вращается с, когда неподвижно Ь. Поэтому точку В можно
считать общей точкой тел b и с; ее можно рассматривать или
г) Она была найдена независимо друг от друга Аронгольдом и
Кеннеди и известна под названием теоремы о трех центрах вра-
вращения.

НАХОЖДЕНИЕ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА
63
принадлежащей телу Ь, или принадлежащей телу с1); при
обоих предположениях она находится в покое.
Затем сделаем обращение механизма; пусть теперь не-
неподвижным будет звено а Чтобы произвести такое обраще-
обращение, нужно всему механизму как целому, всем его частям,
сообщить, кроме прежних перемещений, еще такое, которое
равно и прямо противоположно прежнему перемещению звена а
При этом точка В, которая прежде была неподвижна, теперь
получит некоторое перемещение, но оно будет одно и то же
как в случае, когда В считаем принадлежащей звену Ь, так
Фиг. 38.
и в том случае, если В считаем принадлежащей телу с. Такое
заключение основано на том, что прежде точка В в обоих
случаях была неподвижна.
Но если тело а неподвижно, то для тел Ь и с имеем
мгновенными центрами точки А и С (т. е. ab, ас). Считая
точку В принадлежащей звену Ь, мы заключаем, что она
должна вращаться около центра Ьа, или, что все равно, около
центра ab, т. е. около точки А Бесконечно малое перемеще-
перемещение (ох точки В будет перпендикулярно к радиусу АВ.
Затем, продолжая рассматривать то же движение нашей
цепи (попрежнему неподвижно а), будем считать точку В
принадлежащей звену с. Она должна вращаться около центра
J) Конечно, нет необходимости, чтобы точка В в действитель-
действительности материально принадлежала звеньям механизма Ь, с. Она
может находиться совершенно вне механизма; но идеально
она как бы соединена с этими звеньями. И вообще, рсякий мгновен-
мгновенный центр можно, с кинематической точки зрения,
считать соединенным с соответствующим звеном, хотя бы в действи-
действительном, реальном, механизме между звеном и ei о центром не име-
имелось материальной связи.

64
РЛВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
са, или, что все равно, около центра ас, т. е. около точки С.
Поэтому она получит бесконечно малое перемещение оJ,
перпендикулярное к радиусу ВС.
Итак, оказывается, что точка В получает различные пе-
перемещения cuj или оJ, смотря по тому, считаем ли мы ее
принадлежащей звену b или звену с, т. е. мы входим в про-
противоречие с прежде полученным заключением. Такое логи-
логическое противоречие получилось вследствие неверности основ-
основного предположения, что точки А, В, С не лежат на одной
прямой; неверное предположение привело нас к нелепому
выводу. Противоречие уничтожается, как только примем, что
точка В лежит на прямой АС.
Таким образом наша теорема, которую будем называть
теоремой о трех центрах вращения, доказана
методом от противного.
Эта теорема имеет первостепенное значение при разыска-
разыскании мгновенных центров, очень облегчает это разыскание и
часто представляет единственное средство для их нахождения
27. Примеры. Шарнирный четырехугольник.
Сначала рассмотрим простую цепь, для которой все мгновен-
мгновенные центры м ^гут быть легко
найдены и без помощи теоремы
о трех центрах, а именно
шарнирный четырехугольник
(фиг. 39), состоящий из че-
четырех звеньев а, Ь, с, d,
соединенных шарнирами А,
В, С, D.
Очевидно, каждый из этих
шарниров есть мгновенныйцентр
для одного из двух звеньев,
им соединенных, когда другое
звено будет неподвижно. Следовательно,' точки А, В, С, D
будут представлять собой мгновенные центры ad, ab, be и cd.
Рассматривая три звена а, с, d, мы заключаем, по дока-
доказанной теореме, что центры ad, cd, ас должны лежать на
одной прямой. Следовательно, неизвестный нам центр ас
должен лежать на прямой, соединяющей указанные уже
центры] ad и cd, т. е. на прямой AD. Затем, рассматривая
прямую ВС, соединяющую центры ab, be, заключаем, что
ас-
. 39.

ПРИМЕРЫ 65
центр ас должен лежать на прямой ВС. Итак, центр ас по-
получится как пересечение прямых AD и ВС.
Подобно этому найдем центр bd как пересечение прямой
АВ, которая соединяет центры ad, ab, и прямой CD, которая
соединяет центры cd, be. Полученная нами окончательная
фигура представляет все мгновенные центры шарнирного
четырехугольника.
Для проверки теоремы о трех центрах вращения найдем
один из построенных центров, например bd, непосредственно.
Считая закрепленным звено d, видим, что перемещения то-
точек В и С происходят по окружностям с центрами в точках
А и D. Следовательно, перпендикулярами к этим перемеще-
перемещениям служат радиусы АВ и DC, а потому искомый центр bd
вращения звена b является точкой пересечения прямых АВ
и DC.
Кулисный механизм. На фиг. 40 изображена схема,
представляющая собою обобщение механизмов, известных под
названием кулис, они приводятся в действие двумя эксцент-
эксцентриками, заклиненными на одном валу. Здесь первое звено
цепи есть а; оно изображает собою оба эксцентрика и вал,
на котором они заклинены, так что составляют с ним одно
целое. Затем, звенья b и с представляют эксцентриковые
тяги, d—сама кулиса, е — тяга, на которой подвешена ку-
кулиса. Наконец, / есть неподвижное звено, т. е. устой ма-
машины, в котором вращается вал с эксцентриками (ось враще-
вращения вала обозначена точкою А). К этому же устою в точке G
подвешена тяга е, на которой висит кулиса. Звенья этого
механизма соединены в точках А, В, С, D, Е, F, G шарни-
шарнирами.
Задача состоит в том, чтобы найти мгновенный центр,
около которого вращается кулиса при своем бесконечно малом
перемещении.
Прежде всею обозначим шарниры по установленному нами
правилу для мгновенных центров. Шарнир, соединяющий два
каких-нибудь звена т и я, получает обозначение тп. Следо-
Следовательно, шарниры А, В, С, D, Е, F, G должны быть на-
названы: a/, ab, ас, bd, dc, de, ef.
Искомый мгновенный центр кулисы должен получить
обозначение df. Мы найдем его положение, применяя не-
несколько раз теорему о трех центрах вращения.
б В. Л. Кирпичев

66 РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Сначала найдем центр da. Для этого заметим, что пря-
прямая DB соединяет центры bd, ab; следовательно, -на той же
прямой лежит и центр da. Также видим, что он лежит на
прямой СЕ, соединяющей dc, ас. Следовательно, центр da
получится в пересечении кулисных шатунов Ъ и с, т. е. в
точке К.
Соединим этот центр da прямой линией с точкой А,
т. е. с центром af; на этой прямой должен лежать иско-
С(ас)
"ECdoJ
Фиг. 40.
мый центр df. Но он должен лежать также "на прямой
GF, соединяющей центры е/ и de. Итак, искомый мгновен-
мгновенный центр" кулисы df получится как пересечение прямых КА
и GF.
Следует обратить внимание на то, что это построение
совершенно общее, применимое одинаково, будет ли кулиса
изогнутая или прямая, будет ли она обращена выпуклостью
наружу, как показано на чертеже, или в обратную сторону,
будет ли она подвешена своим концом или какой-нибудь
средней точкой.
В качестве упражнения предлагаем читателю построить
мгновенные центры для инверсора Липкина.
28. Условия равновесия сил, действующих на звенья
механизма. Знание мгновенных центров для звеньев позво-
позволяет легко определить эти условия. Конечно, они получатся
из начала возможных перемещений, как об пего закона рав-
равновесия всевозможных систем; мгновенные центры нужны для
того, чтобы знать возможные перемещения.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ЗВЕНЬЯ 67
Сначала рассмотрим случай, когда имеем только две
силы Р и Q, действующие на два различных звена s n t
(фиг. 41) и взаимно уравновешивающиеся.
Пусть неподвижное звено нашей цепи будет г. Построим
той мгновенных центра, отвечающих звеньям s, t, r, т. е.
sr, tr, st. Эти три точки будут лежать на одной прямой.
Силу Р, действующую на звено s, разложим на две со-
составляющие Р1 и Р2, направленные в центры st, rs, т. е.
Фиг. 41.
центры, имеющие букву s в своем названии. Эти точки можем
считать принадлежащими телу s, составляющими с ним
одно целое, участвующими в его бесконечно малом переме-
перемещении. Составляющая Рг идет в неподвижную точку rs тела s,
следовательно, работа ее для бесконечно малого перемещения
будет равна нулю, и в уравнение равновесия будет входить
только работа силы р1 для бесконечно малого перемещения
точки st.
Перейдем теперь к телу t и силе Q. Продолжим /\ до
встречи ее в А с силой Q, перенесем Q в точку А и разло-
разложим ее на составляющие Qb Q2, направленные в центры st,
tr, т. е. в центры, имеющие букву / в своем названии и
принадлежащие телу t. Слагающая Q2, идущая в неподвиж-
неподвижную точку тела t, дает возможную работу, равную нулю, и

68 РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
остается только работа слагающей Qt для перемещения точ-
точки st, принадлежащей телу t.
Применяя теперь начало возможных перемещений, мы дол-
должны написать, что для равновесия необходимо и достаточно,
чтобы сумма работ сил Р1 и Qx для перемещений точек их
приложения была равна нулю. Но мы вели построение так,
что оставшиеся слагающие Р1 и Qj могут быть рассматри-
рассматриваемы как приложенные к точке st, т. е. к общей точке
звеньев 5 и t. Каково бы ни было перемещение этой точки,
оно остается одно и то же как в случае, когда мы рассмат-
рассматриваем точку st принадлежащей телу s, так и в случае, когда мы
рассматриваем ее принадлежащей телу t. Следовательно, для
равновесия необходимо и достаточно, чтобы слагающие Qj
и Р1 были численно равны между собою и направлены одна
противоположно другой. Тогда сумма работ их будет равна
нулю.
Таким образом, пользуясь нашим построением, всегда
можем узнать, уравновешиваются ли наши силы Р, Q или
нет, а также можем, зная силу Р, приложенную к звену s,
найти, какая сила Q должна быть приложена к звену s, чтобы
уравновесить силу Р.
Совершенно ясно, что здесь вовсе не требуется и не нужно,
чтобы самые силы Р и Q были равны и прямо противопо-
противоположны. Это было бы необходимо, если бы обе они были при-
приложены к одному и тому же твердому телу. В нашем же
случае необходимо и достаточно, чтобы были равны и проти-
противоположны слагающие Ръ Qu идущие в общую для обоих
звеньев точку st. При этом разложение сил должно быть так
сделано, чтобы другие слагающие Р2, Q2 проходили через
центры вращений тех тел, к которым эти слагающие приложены.
29. Замена силы, действующей на одно звено меха-
механизма, силой, приложенной к какому-нибудь другому
звену. Теперь мы легко найдем, как должна быть сделана
такая замена, чтобы при этом равновесие не нарушилось.
Пусть имеем механизм, находящийся в равновесии. Из всех
сил, к нему приложенных, выберем одну Р, действующую
на звено s. Мы желаем заменить силу Р другой силой, при-
приложенной к звену t.
Для нахождения этой заменяющей силы сначала найдем
с помощью построения предыдущего параграфа такую силу Q,

ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ 69
которая, будучи приложена к звену t, уравновешивает силу Р.
Очевидно, равновесие нашего механизма не изменится, если
к числу сил его прибавим две равные и противоположные
силы Q,— Q, действующие на одно и то же звено t. Но,
рассматривая теперь совокупность сил Р, Q,— Q, видим, что
две из них, Р и Q, взаимно уравновешиваются и могут быть
отброшены. Остается одна сила — Q, действующая на звено t.
Она заменила первоначально данную силу Р, приложенную
к другому звену s, причем равновесие не нарушилось.
Итак, мы решили задачу, поставленную в заглавии этого
параграфа. В учении о равновесии механизмов она соответ-
соответствует такой задаче статики твердого тела: силу, действую-
действующую в точке А тела, перенести в точку В без нарушения
равновесия.
30. Общее условиг равновесия произвольного числа
сил, действующих на звенья механизма. Эту задачу всего
лучше решить следующим образом. Выберем одно произволь-
произвольное звено механизма и перенесем на него без нарушения
равновесия, как только что было показано, все силы, дей-
действующие на все звенья механизма. Тогда будем иметь сово-
совокупность сил, действующих на одно и то же звено,
т. е. на одно и то же твердое тело. Равновесие механизма
этим путем приводится к более простой и знакомой нам
задаче: равновесию сил, действующих на одно и то же тело.
По правилам статики твердого тела заменим все эти силы
одной равнодействующей. Но условиями равновесия твердого
тела, имеющего возможность вращаться вокруг одной оси,
будет равенство нулю моментов внешних сил относительно
этой оси. Следовательно, для равновесия механизма необхо-
необходимо и достаточно, чтобы найденная равнодействующая про-
проходила через мгновенный центр того звена, к которому она
приложена.
В этом и заключается общее решение вопроса о* равно-
равновесии плоских механизмов. Особенно простая и изящная форма
условия равновесия сил, приложенных к точкам плоского
механизма, дана Н. Е. Жуковским и известна под названием
рычага Жуковского. Она основана на построении так называе-
называемого плана скоростей точек механизма.
Если, зная закрепленное звено, задаются скоростью одной
ид точек механизма, направляя ее перпендикулярно к радиусу,

70
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
соединяющему эту точку с центром вращения звена, на кото-
котором она лежит, то можно последовательно построить скоро-
скорости всех точек, так как направления их будут перпендику-
перпендикулярны к радиусу, соединяющему эти точки с центром враще-
вращения соответствующего звена, а величины для точек одного и
того же звена пропорциональны
длина этого радиуса. Перенося
построенные таким способом, ско-
скорости в одну точку О, называе-
называемую полюсом, получим план
скоростей точек механизма.
Пусть к точкам А, В, С ме-
механизма приложены силы Р,
Q, R. Построим на плане ско-
скоростей скорости этих точек в
виде отрезков Оа, Ob, Ос
(фиг. 42). Приложим силы Р,
Q, R в точках а, Ь, с. Обо-
Обозначив углы этих сил с напра-
направлениями Оа, Ob, Ос через а,
Р, Yi получим для проекций
р, q, r перемещений точек А,
В, С на направления сил ве-
веФиг. 42.
"О;
, cos р,
личины, пропорциональные vA cos a,
довательно, по началу возможных перемещений уравнение
равновесия механизма напишегся в виде:
PvA cos a -\- QvB cos p -\- Rvc cos у = 0.
Если силы Р, Q, R повернем вокруг точек а, Ь, ев одном
и том же направлении на прямой угол, не меняя их величин,
то для повернутых сил Р\ Q', R' произведения
PvA cos a = Р' ■ Оа sin a',
A
QvB cos
Rvc cos
= Q' ■ Ob sin P,
= R' • Oc sin у
представят моменты сил относительно центра О. Следова-
Следовательно, условие равновесия выражает равенство нулю суммы
моментов сил Р', Q', R' относительно центра О. Если будем
рассматривать план скоростей Oabc как жесткий рычаг, вра-
вращающийся вокруг полюса О, то условием его равновесия под

ОБЩЕЕ УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ
71
действием сил Р', Q', R' и будет равенство нулю суммы их
моментов около центра О. Отсюда н получается вывод:
Условия равновесия механизма, находящегося под дейст-
действием некоторой системы сил, эквивалентны «условиям равно-
равновесия плана скоростей точек приложения сил, рассматривае-
рассматриваемого как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса и
находящийся под действием системы сил, повернутых по от-
отношению к данным на прямой угол с сохранением их вели-
величины и приложенных
к точкам плана, соот-
соответствующим точкам
приложения сил на ме-
механизме 1).
Пусть, например,
дан крпвошипно-ша-
тунный механизм (фиг. va
43), к пальцу А криво-
кривошипа которого прило-
приложена данная сила Р,
и требуется опреде-
определить силу Q, прило-
приложенную к "ползуну В,
направленную вдоль
рейки, по которой он
скользит, и удержи-
удерживающую механизм в ра-
равновесии. Так как ско-
скорость vA пальца А направлена перпендикулярно' к"криво-
к"кривошипу, а скорость ползуна В — вдоль рейки хх, то "центр вра-
вращения К шатуна В найдется на пересечении продолжения
кривошипа ОА и перпендикуляра к рейке в точке В. Так как
скорости vA и vB пропорциональны КА и KB, то на плане
скоростей (фиг. 44) треугольник Oab будет подобен треуголь-
треугольнику КАВ и сторона аЬ будет перпендикулярна АВ. Следо-
Следовательно, задавшись произвольной величиной отрезка Оа,
легко построим отрезок Ob, изображающий скорость точки
В. Построив повернутые силы Р' и Q', видим, что для рав-
Фиг. 43.
*) См. Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Курс теорети-
теоретической механики, ч. II, стр. 255. Гостехиздат, 1948. {Прим. ред.)

72
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
новесия рычага Oab реакция R' опоры О должна проходить
через точку пересечения линий действия сил Р' и Q'. Сле-
Следовательно, по данной силе Р' и ли-
а , р< ниям действия сил Q' и R' без труда
можем построить замкнутый силовой
треугольник (фиг. 45), из которого и
находится сила Q', равная по величине
искомой силе Q,
Hi Читатель видит, что в этой беседе
для плоских механизмов выведены пра-
правила перенесения сил, правила сложе-
сложения и разложения их, условия равнове-
равновесия, и все эти вопросы решены в том
же духе и в (iofl же ^полноте, как
это давно было сделано для твердого
тела.
Предлагаем читателю в качестве
упражнения решить следующие задачи:
'а'
Фиг. 44.
Я'
Фиг. 45.
а'
1. Найти условия равновесия сил Р, Q (фиг. 46), дей-
действующих на звенья а, с шарнирного четырехугольника.
Фиг. 46.
Фиг. 47.
2. Найти условия равновесия сил Р, Q (фиг. 47) на инвер-
инверсоре Лиикина.

ТРЕТЬЯ БЕСЕДА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ
31. Применение начала возможных перемещений. Впер-
Впервой беседе мы видели, что если для составления условий
равновесия применять начало возможных перемещений, то все
силы связи исключаются, к мы можем совершенно игнориро-
игнорировать их; для условий равновесия они не нужны.
Но иногда бывает необходимо знать силы связи для дру-
других целей. В техническом деле, при построении машин и
мостов, силы связи часто определяют давления на опоры, и
их нужно знать для расчета прочности и устойчивости опор.
В машинах силы связи, проявляющиеся в форме давлений на
валы и другие подвижные части, вызывают трение, величина
которого иногда зависит от величины давления. Поэтому
нужно знать силы связи, чтобы вычислить величину трения
и определить степень полезного действия машины.
Но и в тех случаях, когда нужно знать силы связи, нельзя
сказать, что исключение сил связи, произведенное с помощью
начала возможных перемещений, было бесполезно. Напротив
того, оно и здесь приносит большую пользу, а именно тем,
что разделяет сложный вопрос на два вопроса, решаемые
отдельно: а) на определение условий равновесия, т. е. нахож-
нахождение таких активных сил, которые уравновешиваются в сис-
системе, б) на определение сил связи. Если бы мы решали оба эти во-
вопроса сразу без разделения, то имели бы задачу с большим чи-
числом связанных между собою неизвестных. А известно, что ма-
математические трудности сильно возрастают с увеличением числа
неизвестных, связанных между собою. Всякое разделение не-
неизвестных на две или большее число независимых групп влечет
за собою значительное облегчение вопроса. Начало возмож-
возможных перемещений и производит именно такое разделение.

74 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ
Кроме того, и для решения занимающего нас теперь во-
вопроса— определения сил связи — наилучшим приемом послужит
применение начала возможных перемещений.
В первой беседе мы применяли наше начало к перемеще-
перемещениям, дозволяемым всеми связями системы, т. е. к таким
перемещениям, которым связи нисколько не препятствуют;
поэтому все связи исключались. Если теперь желаем найти
силы связи, то необходимо рассматривать перемещения, кото-
которым препятствуют некоторые связи, например хотя бы одна
из связей. Уничтожим мысленно эту связь и заменим ее си-
силой, которая и будет силой связи.
Эту силу причислим к активным силам. Затем вообразим
такое перемещение, которому эта связь препятствовала и
которое теперь, с уничтожением связи, сделалось возможным.
Остается применить начало возможных перемещений, и мы
получим уравнение, в которое входит искомая сила связи.
Этот прием очень удобен, потому что позволяет опреде-
определять не все неизвестные сразу, в совокупности, а разделять
их на группы с небольшим числом неизвестных в каждой
группе. Часто даже возможно достигнуть полного разделения
неизвестных, т. е. так подобрать перемещения, что в каждую
группу будет входить только одна неизвестная сила связи.
32. Примеры. 1. Возьмем случай связанного твердого
тела. Пусть оно имеет одну неподвижную точку. Здесь связь,
т. е. действие опорной точки на тело, выражается одной
силой, проходящей через неподвижную точку; величина и
направление этой силы неизвестны. Мы будем знать эту силу
вполне, если определим три ее проекции на координатные
оси х, у, г.
Уничтожим связь нашего тела и заменим ее тремя сила-
силами X, Y, Z, которые причислим к внешним силам. Пока
существовала связь, она не дозволяла телу двигаться посту-
поступательно; теперь такое движение сделалось возможным. Во-
Вообразим, что тело получило поступательное перемещение но
оси х, и напишем, что сумма работ всех внешних сил равна
нулю для этого перемещения; получим уравнение, в которое
будет входить одна неизвестная X, которую и найдем. Тем
же приемом определим отдельно силы Y и Z.
2. Предположим, что имеем твердое тело, у которого
имеются две опоры, т. е. две неподвижные точки А и В,

примеры 75
определяющие ось вращения АВ. Опишем несколько подроб-
подробнее эти опоры. Пусть опора А такова, что не препятствует
движению вдоль оси АВ, а уничтожает только перемещения,
перпендикулярные к АВ. Следовательно, здесь сила связи,
проходящая через точку Л, не имеет слагающей Хг, парал-
параллельной оси АВ; остаются только две слагающие Y1, Zj,
перпендикулярные к АВ. Что касается опоры В, то пусть
она препятствует не только перемещениям, перпендикулярным
к оси АВ, но и перемещению вдоль этой оси. (При практи-
практическом выполнении этой опоры здесь придется поставить
какой-нибудь опорный подшипник.) Итак, сила связи в точке В
имеет три слагающие по направлению координатных осей
х, у и г, из которых первая совпадает с АВ, а последние
перпендикулярны к АВ. Эти слагающие назовем через Х2,
Y2, Z2. Следовательно, всего имеем пять неизвестных сил
связи: У,, Zu X'z, Y2, Z2.
Уничтожим опоры А, В и вместо них введем эти силы
связи. Теперь наше тело свободно и может иметь любое
поступательное и вращательное перемещение; все они для
него дозволены. Мы можем подобрать перемещения так, что
неизвестные вполне разделятся, и в каждое уравнение будет
входить только одно неизвестное.
Прежде всего вообразим поступательное перемещение
вдоль оси х. Применяя к нему начало возможных перемеще-
перемещений, получим уравнение, в которое входит одна сила Х2.
Далее рассмотрим вращение около оси, проведенной че-
через В параллельно оси у. Применяя начало к этому пере-
перемещению, исключим все неизвестные кроме Zt.
Загем берем вращение около оси, проведенной через В
параллельно оси z. Это перемещение даст нам уравнение,
содержащее одну неизвестную силу связи Y1.
Рассматривая вращения около осей, проведенных через
точку А параллельно осям у и г, получим еще два уравне-
уравнения, и первое из них содержит неизвестную Z2, а второе —
неизвестную Y2.
3. При устройстве мостов, стропил и тому подобных
конструкций часто применяются фермы, т. е. раскосные си-
системы, связанные из нескольких брусков; пример приведен на
фиг. 48. Отдельные бруски фермы представляют связи этой
системы. При действии внешних нагрузок на ферму в этих

76
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ
брусках появятся внутренние усилия, растягивающие или сжи-
сжимающие; это будут силы связи. Их нужно знать для того,
чтобы возможно было рассчитать прочные размеры брусков.
Если мы будем рассматривать равновесие всей фермы
как одного целого, то все силы • связи исключаются, и ни
в одно из уравнений равновесия не попадет ни одна из сил
связи; в уравнениях будут фигурировать только внешние
нагрузки. Поэтому такие уравнения непригодны для опреде-
определения усилий в брусках, из которых составлена ферма. Что-
Чтобы найти эти усилия, нужно уничтожить одну или несколько
Фиг. 48.
связей, мысленно разрезать их и этим самым вместо связи
ввести силу, представляющую усилие в бруске. Эта сила
должна быть причислена к внешним силам.
При разрезании связей мы получаем некоторые новые
перемещения, которые прежде не дозволялись, а теперь
становятся возможными. К этим новым перемещениям и нуж-
нужно применить начало возможных перемещений; получим уравне-
уравнения, в которые входят силы связи; следовательно, эти силы
могут быть найдены. В этом заключаются приемы для нахож-
нахождения внутренних усилий в фермах.
Возьмем ферму, не содержащую лишних брусков, т. е.
такую, что все бруски ее необходимы для придания ферме
жесткости (фиг. 48). Как только разрезан один брусок, ферма
сейчас же теряет свою жесткость и получает возможность
изменять свою фигуру без изменения длины всех остальных
брусков,

примеры 77
Предположим, что мы разрезаем брусок а и вводим вместо
этой связи две силы X, идущие по длине бруска. Ферма
теряет свою жесткость; в ней теперь имеется шарнирный
четырехугольник BCED г), который может изменять свою фи-
фигуру, а при этом изменении получают перемещения и другие
части фермы. Вот это и есть то перемещение, которое сде-
сделалось дозволенным с уничтожением связи а; к нему нужно
применить начало возможных перемещений. Силы X войдут
в это уравнение вместе с остальными внешними силами Р,
Q, R, S. Усилия в остальных брусках исключаются как силы
связи. Поэтому получим уравнение, в которое входит только
одна неизвестная X; из него найдем эту силу.
Тем же приемом найдем усилия в остальных брусках.
Так как каждый из них необходим для жесткости фермы, то
достаточно резрезать один брусок, чтобы появилось некоторое
дозволенное перемещение, изменяющее фигуру фермы; для
него и составим уравнения равновесия. Таким образом в каж-
каждое уравнение будет входит только одна неизвестная — уси-
усилия в том бруске, который разрезан; все прочие неизвестные
исключаются. Это исключение происходит во время са-
самого составления уравнения, вследствие того, что
мы применяем начало возможных перемещений. Пользуясь
этим началом, мы получаем ряд отдельных уравнений, содер-
содержащих каждое по одной неизвестной, т. е. получаем самое
простое решение.
Если бы имели несколько совокупных уравнений, т. е.
таких, что в одно уравнение входит несколько неизвестных,
то решение было бы гораздо сложнее. Понадобилось бы исклю-
исключать неизвестные с помощью алгебраических приемов. А когда
число неизвестных значительно, то такое исключение очень
утомительно.
Способ Риттера. Этот прием часто применяется при
инженерных расчетах. Вот в чем он состоит: разрежем ферму
(фиг. 49) на две части разрезом ab и будем рассматривать
равновесие левой отрезанной части. При разрезе мы уничто-
уничтожаем три связи, производимые брусками /, 2, 3, и вместо
них вводим силы, идущие по направлению этих брусков; их
1) Мы предполагаем, что во всех узлах фермы соединения шар-
шарнирные.

78
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ
причисляем к внешним силам, так что на левую часть фермы
действуют теперь силы Р, Q, 1, 2, 3.
Вследствие уничтожения связей левая часть фермы полу-
получает возможность перемещаться в плоскости чертежа, как
неизменяемая фигура; следовательно, к числу возможных
перемещений ее относятся вращения около любой из точек
плоскости фигуры. Для нахождения силы / вообразим сле-
следующее возможное перемещение: вращение около точки Ru
где встречаются две остальные неизвестнее 2, 3. Применим
начало возможных перемещений для этого вращения, т. е.
напишем уравнение равновесия моментов для точки /?t.
Силы 2, 3 исключаются из этого уравнения, потому что
они проходят через точку /?г и дают для нее момент,
равный нулю. Мы получаем одно уравнение с одной неиз-
неизвестной /.
Чтобы найти силу 2, рассмотрим перемещение, состоящее
во вращении около точки R2, в которой встречаются две
другие неизвестные 1, 3. Получим уравнение моментов для
точки R2, из которого исключаются силы /, 3, дающие для
точки R2 моменты, равные нулю. Опять имеем одно уравне-
уравнение с одной неизвестной.
Наконец, для нахождения силы 3 рассматриваем вращение
около точки R3, где встречаются силы /, 2.
Таким образом при этом приеме получается исключение
неизвестных во время самого составления уравнений равнове-
равновесия. Мы достигаем этого с помощью выбора тех перемеще-
перемещений, к которым применяется общая теорема равновесия. В ре-
результате получаем три отдельных уравнения, и каждое из них
содержит только одну неизвестную.

ПРИМЕРЫ
79
Способ отрезывания углов. Этот способ также
часто применяется при расчете ферм. Здесь j ничтожают сразу
все те связи, которые представляются брусками, сходящимися
в одном узле. Этот узел делается свободным, и можно рас-
сматривать^его^ равновесие. Например, для узла D (фиг. 50)
нужно гразрезать четыре бруска 1, 2, 3, 4 и заменить их си-
силами, которые причислить к внешним силам. Если начнем с
узла А и будем последовательно отрезать узлы в порядке
букв А, В, С, Z), £,..., то в каждом узле будем иметь только
две неизвестные силы связи.
Пусть К (фиг. 51) — один из узлов; Р, Q, R — известные
силы, X, Y— неизвестные. Для нахождения их рассмотрим
следующие перемещения, возможные для узла К, который сде-
сделался свободным вследствие уничтожения связей.
Чтобы найти неизвестную силу X, вообразим для узла К
перемещение по направлению х, перпендикулярному к другой

80 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ
неизвестной силе Y. Другими словами, напишем, что сумма
проекций всех сил на ось х равна нулю. В это уравнение
не войдет сила У; она исключится во время составления
уравнения, которое будет содержать только одну неизве-
неизвестную X.
Чтобы найти неизвестную Y, вообразим себе, что точка К
получила перемещение по направлению у, перпендикуляр-
перпендикулярному к другой неизвестной X. Эта последняя исключается во
время составления уравнения равновесия, и опять получим
уравнение, содержащее только одну неизвестную.
4. Имеем шарнирную систему (фиг. 52) ABCD; шарниры
А и D соединены с неподвижным устоем. К звеньям ВС, DC
приложены силы Р, Q, уравновешивающиеся на этом меха-
механизме. Мы желаем определить силу связи X, действующую
по бруску АВ.
Уничтожим эту связь, разрезав брусок АВ, и заменим ее
силой X. С уничтожением связи в системе оказываются но-
новые возможные перемещения, которые
прежде не дозволялись. Например, те-
теперь возможно вращение бруска ВС
около точки С при неподвижности брус-
бруска CD. Вот к этому перемещению и
применим начало возможных перемеще-
перемещений. Это приведет к составлению урав-
уравнения равновесия рычага ВС, имеющего
опору в С и подверженного действию
внешних сил, включая X в их число. Отсюда найдем X.
Силу X можно найти и другим приемом. С уничтожением
связи АВ мы получаем для нашей системы еще следующее
возможное перемещение, бруски ВС и CD могут, не изменяя
своего взаимного расположения, поворачиваться около оси D.
Применим начало возможных перемещений к этому движению;
другими словами, напишем уравнение равновесия рычага BCD,
для которого D есть ось вращения и к которому приложены
внешние силы со включением А" в их число. Из этого урав-
уравнения найдем X.
5. Рассмотрим ворот с зубчатой передачей (фиг. 53). Сила
Р, действующая на рукоятку L, уравновешивает груз Q, под-
подвешенный к барабану ворота; между осью рукоятки и осью
ворота имеется зубчатая передача. Ранее (стр. 29) мы видели,

ПРИМЕРЫ
81
что для этой системы получается условие равновесия, содер-
содержащее только силы Р и Q, а все давления опор на оси вра-
вращения и все давления между зубьями сцепленных колес ис-
исключаются. Теперь желаем найти давление X, которое пере-
передается от зубьев большого колеса на зубья среднего колеса.
Для этого уничтожим связь между этими колесами, т. е.
мысленно представим себе, что зубья среднего колеса сломаны.
Вследствие этого делается возможным некоторое перемещение,
которое прежде не дозволялось, а именно, теперь возможно
вращение осей / и 2 при неподвижности оси 5. Применяя на-
начало возможных перемещений к этому движению, получим
искомую силу X.
6 В. Л Кирпичев

ЧЕТВЕРТАЯ БЕСЕДА
НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
33. Доказательство начала Даламбера. Во главу дина-
динамики нужно поставить так называемое начало Даламбера —
общую теорему, которая указывает, как должны быть состав-
составлены уравнения движения для всякой механической системы.
Эта теорема была найдена Даламбером, который заметил, что
законы движения и уравнения движения похожи на законы
равновесия и уравнения равновесия. Теорема и высказывает,
в чем именно состоит это сходство.
Мы проще всего придем к ней, если начнем с рассмотре-
рассмотрения равновесия и движения одной свободной (несвязанной)
материальной точки. Все касающееся одной точки получится
с наибольшим удобством, если мы введем три координатные
оси х, у, г и будем разлагать по этим осям как силы, так
и движение.
Сначала предположим, что точка находится в равновесии;
необходимые и достаточные условия для равновесия заклю-
заключаются в том, что суммы проекций сил, приложенных к ней,
должны быть равны нулю для каждой из координатных осей.
Обозначая суммирование знаком 2, получим эти условия
в форме:
Ц,Х=О, 2r=0, 2z = 0. (8)
Перейдем теперь к движению, которое разложим на три
движения по трем осям координат. Назовем массу точки че-
через т, а переменные координаты ее — через х, у, z. Их из-
изменения будут представлять перемещения для трех составля-
составляющих движений, направленных по осям. Вторые производные
d2x №у d?z ,
этих координат, взятые по времени, т. е. -т^, -^, -^- бу-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЧАЛА ДАЛАМБЕРА 83
дут ускорениями трех составляющих движений, направленных
по координатным осям. Будем применять ньютоново обозна-
обозначение, которое очень удобно и состоит в следующем: произ-
производная по времени от какой-нибудь величины а будет
изображаться точкой, поставленной над а; вторая же произ-
производная изобразится двумя точками над той же буквой а.
Тогда наши ускорения по координатным осям обозначатся
через х, у, z. . (9)
Но мы знаем, что ускорение прямолинейного движения
равно силе, действующей по направлению движения, разде-
разделенной на массу точки. Следовательно, ускорения для наших
трех прямолинейных движений будут:
Приравнивая эти последние величины выражениям (9),
изображающим те же ускорения, получим:
кЪ*\ 2>W
или
2*—т'х = 0, %Y — niy=0, 5jZ — mz = 0. A0)
Это будут уравнения движения материальной точки. Они
похожи на уравнения равновесия (8) и отличаются от них
лишь прибавочными членами: — тх, — ту, — tnz.
Условие однородности формул указывает, что эти приба-
прибавочные члены должны быть одинаковой размерности с силами;
в том же можно убедиться и рассматривая размерности мно-
множителей т и х. Итак, на эти члены можно смотреть как на
некоторые силы, конечно, фиктивные, несуществующие; од-
однако введение таких воображаемых сил даст нам большие
удобства. Эги силы называются силами инерции. Можно
рассматривать или отдельно силы инерции для каждой из ко-
координатных осей, или полную силу инерции, т. е. результат
геометрического сложения трех частных сил инерции, идущих
по осям координат. И в том, и в другом случае
сила инерции численно равна произведению
массы на ускорение, а знак минус указывает, что

84 НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
сила "инерции направлена всегда противопо-
противоположно ускорению движения.
Введя такое пошпие о силах инерции, мы еще более под-
подчеркиваем сходство между уравнениями равновесия (8) и урав-
уравнениями движения A0). От (8) переходим к A0), прибавляя
к реальным силам еще силы инерции. Итак, уравнения
движения материальной точки получаются
из уравнений равновесия с помощью прибавле-
прибавления сил инерции к реальным силам.
Рассмотрим теперь не одну материальную точку, а про-
произвольную механическую систему. Разделим ее на отдельные
материальные точки и для каждой точки введем кроме ак-
активных сил еще и все силы связи. Тогда каждая материаль-
материальная точка может считаться свободной, и к ней можно приме-
применить вышеуказанные уравнения равновесия (8) и уравнения
движения A0). Уравнения равновесия будут иметь форму:
2*+2*'=о, (И)
где X обозначает активные силы, а X'— силы связи. Для
каждой точки будем иметь три таких уравнения, соответст-
соответственно трем координатным осям, и вся совокупность таких урав-
уравнений для всех точек определяет условия равновесия системы.
Уравнения движения точки будут отличаться от A1) только
прибавлением сил инерции и получат форму:
2*+2<*" —тх = 0. A2)
Их тоже будет по три уравнения для каждой материальной
точки.
Условия равновесия системы представляют следствия всей
совокупности уравнений A1) и могут быть получены из этой
совокупности исключением сил связи. Каковы бы ни были
приемы, которые нужно применить для такого исключения, во
всяком случае эти приемы могут быть применены для той же
цели и к совокупности уравнений A2). Следовательно, какое
бы уравнение равновесия мы ни получили, всегда можно найти
соответствующее ему уравнение движения, отличающееся от
уравнения равновесия только прибавлением сил инерции.
В этом и состоит начало Даламбера, которое мы вы-
выскажем следующими словами:

ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЧАЛА ДАЛАМБЕРА 85
Все законы равновесия, все теоремы рав-
равновесия, все уравнения равновесия могут
быть применены к нахождению движения си-
системы. Для этого нужно только в условиях
равновесия прибавить силы инерции, и тогда
мы получим законы, теоремы и уравнения,
относящиеся к движению системы.
Таким образом начало Даламбера приводит задачи дина-
динамики, вопросы о движении, к более простым задачам статики,
вопросам о равновесии. Умея решать статические задачи, мы
получаем в начале Даламбера общее правило решения вопро-
вопросов о движении.
До Даламбера не имели такого общего правила и решали
вопросы о движении систем частными приемами, придумывае-
придумываемыми особо для каждого отдельного вопроса. Притом и число
разрешенных; вопросов о движении систем было очень неве-
невелико; например, Гюйгенс решил вопрос о качаниях сложного
маятника. Только с Даламбера начинается динамика системы.
Заметим, что, пользуясь началом Даламбера, мы получаем
законы движения в очень разнообразных формах соответст-
соответственно разнообразию законов равновесия. Законы, даваемые
статикой, могут иметь или форму словесных правил, или тео-
теорем, или получаются в виде геометрических построений, или,
наконец, в форме аналитических уравнений. Вводя силы инер-
инерции в эти теоремы, построения, уравнения и т. д., мы при-
применяем их к случаю движения.
Во многих случаях условия равновесия получаются всего
удобнее применением начала возможчыч; перемещений; поэтому
это начало имеет особое значение и для динамики и по-
постоянно применяется для нахождения уравнений движения.
Мы можем сказать, что общее правило нахождения уравне-
уравнений движения заключается в комбинировании начала Далам-
Даламбера с началом возможных перемещений. Применяя последнее
начало, мы исключаем все силы связи; следовательно, они не
войдут в уравнения движения, которые будут содержать только
активные силы и силы инерции, т. е. ускорения движения.
34. Другоз доказатечьзтво начала Даламбера. Для вы-
выяснения основных законов и теорем очень полезно подходить
к ним с разных точек зрения и доказывать их с помощью
разнородных соображений. Поэтому мы рассмотрим еще дру-

86 НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
roe доказательство основного начала динамики, а именно из-
изложим те соображения, которые приводит сам Даламбер для
оправдания начала, получившего его имя.
При этом доказательстве не будем уничтожать связи и
разделять одну с другой материальные точки, составляющие
систему. Сохраним все связи и будем рассматривать всю свя-
связанную систему в совокупности, определив активные силы,
которые действуют на разные точки системы. Конечно, эти
силы сообщат точкам связанной системы совсем другие дви-
движения, чем те, которые получились бы от тех же активных
сил при действии их на совокупность несвязанных, свободных
материальных точек. Пусть А
(фиг. 54) — одна из этих точек,
имеющая массу т, и пусть АЕ
представляет равнодействующую Р
активных сил, приложенных к этой
" точке.
Если бы точка А была сво-
свободна, то она получила бы ус-
р
корение по направлению силы Р, равное — . Но вследствие
связей точка А получает некоторое другое ускорение а, на-
направленное не по АЕ, а иначе, например по АВ. Произведе-
Произведение массы точки А на ускорение а пргдставляет величину той
силы, которая должна была бы действовать на точку А, по
направлению АВ, чтобы сообщить точке А действительное
ускорение а, если бы точка А была вполне сво-
свободна и ничем не связана. Построим параллелограм ABED
и заменим силу АЕ, т. е. Р, двумя слагающими АВ и AD;
первая из них имеет величину та, вторую же назовем через Q.
Итак, сила Р может быть заменена совокупностью этих двух
слагающих. Если бы точка А была свободна, то ускорение
ее получилось бы как геометрическая сумма двух ускорений,
вызываемых силами та и Q отдельно; таков основной закон
динамики, установленный Ньютоном и называемый законом
независимости совокупного действия сил, или иначе законом
параллелограма сил. Вследствие связи точка А получает только
ускорение а по направлению АВ; выходит, что как будто бы
только одна слагающая та производит свое действие; другая
же сила Q как будто бездействует, теряется, не сообщая ни-

примеры 87
какого ускорения точке А. Таков результат связей системы
и влияние их на движение точки А: некоторая сила Q как
будто теряется, отчего она и называется потерянной силой.
Сказанное о точке А относится и ко всем другим точкам
системы: для каждой из них получится потерянная сила, со-
соответствующая нашей силе Q. Итак, для связанной системы
имеем целую совокупность потерянных сил, которые не про-
производят ускорений, исчезают без видимого действия. Такое
исчезновение их есть результат связей, и очевидно, поте-
потерянные силы уравновешиваются силами свя-
связей системы.
Потерянная сила Q может быть найдена с помощью па-
рал лелограма ABED, который мы построили. Но удобнее на-
находить ее иначе. Для этого на нашей фигуре, имея уже
точки ADE, построим новый параллелограм AEDC. Сторона
его АС будет равна АВ, но направлена в противоположную
сторону. Ее можно рассматривать как силу, которая по вели-
величине равна произведению из массы точки т, умноженной на
действительное ее ускорение а. Направление этой силы прямо
противоположно направлению действительного ускорения а.
Из этого описания видно, что сила АС представляет то, что
мы называли силой инерции материальной точки т. Из парал-
лелограма ACDE видно, ч т о потерянная сила Q есть
равнодействующая внешней силы АЕ, т. е. Р, и
силы инерции АС. Такое опргделение дает наиболее
удобное правило для нахождения потерянных сил.
Итак, из рассмотрения связанной системы мы получили,
что при движении системы потерянные силы
(т. е. равнодействующие из активных сил и сил инерции)
уравновешиваются силами связей системы,
т. е. мы опять пришли к началу Даламбера; при этом выводе
становится вполне ясным исключение сил-связи.
35. Примэры. Рассмотрим несколько простых примеров,
чтобы выяснить, как на основании начала Даламбера полу-
получаются уравнения движения.
1. Несколько грузов А, В, С (фиг. 55) соединены гибкой,
нерастяжимой нитью и приводятся в движение по поверхности
горизонтального стола. Для этого нить перекинута через
блок Е, и к концу ее подвешен груз D, вес которого и служит
движущей силой.

88
НАЧАЛО ДАЛАМВЕРА
Сначала рассмотрим условия равновесия этой системы.
Возьмем ту же гибкую нить (фиг. 56) и приложим к ней
в точках А, В, С горизонтальные силы Рь Р2, Ps, а в
точке D — вертикальную силу Р. Условие, необходимое идо-
статочное для равновесия, заключается
д В с в следующем:
В нашей движущейся системе назовем
массы грузов А, В, С через ти т2, т3,
а массу D — через т. Здесь имеется един-
Фиг. 55. ственная активная сила — вес груза D,
равный mg, где g — ускорение силы тя-
тяжести. Чтобы получить силы инерции, предположим, что
масса D получает ускорение а, направленное вниз. Тогда,
вследствие нерастяжимости нити, массы А, В, С получат
такие же ускорения, направленные в правую сторону. Силы
ингрции этих четырех масс направлены в сторону, противо-
противоположную ускорению, следовательно, получается совокупность
ABC
ABC
Фиг. 56.
Фиг. 57.
сил, изображенных на фиг. 57. Условием равновесия всех
этих сил, т. е. силы движущей и сил инерции, будет:
mg—та — т^а — тга — tnsa = О,
откуда получаем величину ускорения:
т
_ т
ь m-\-ml-\-mi-{-ms '
Эта величина постоянная; следовательно, движение будет рав-
равноускоренное.
2. Имеем два блока А и В (фиг. 58), оснащенные сле-
следующим образом: через блок А перекинута гибкая нить, на
концах которой подвешены грузы; другая нить, перекинутая

ПРИМЕРЫ
89
через блок В, несет на одном своем конце (левом) груз, а
к правому концу ее подвешена ось блока А; ось блока В
неподвижна.
Этот механизм есть система с двумя степенями свободы.
Условия равновесия ее заключаются в следующем (фиг. 59):
а) силы Pj и Р2 действующие на концы нити, перекинутой
через блок А, должны быть равны между собою:
Pi=P2; A3)
б) сумма трех сил Рг, Р2, Р3, приложенных к правому
концу той нити, которая перекинута через блок Л, должна
равняться силе Р4, действующей на левый конец той же нити:
' Р% = Рь. A4)
Переходя теперь к движению, назовем массы грузов и
массу блока А буквами "Wj, т2, щ, т3,"как^'обозначено* на
фиг. 58. Для простоты пре-
пренебрежем силами инерции, воз-
возбуждающимися от вращения
блоков. Пусть ускорение бло-
блока А направлено книзу и равно
k2; тогда ускорение груза т4
будет направлено кверху, и
вследствие нерастяжимости нити
величина этого ускорения бу-
будет равна тоже &2. Ускорение
груза тг относительно блока А
пусть направлено книзу и paR-
но kt; тогда для груза ш2*по-
лучаем то же относительное
ускорение, направленное кверху. Фиг. 58. Фиг. 59.
Полное ускорение груза ml
будет направлено вниз и равно kx-\-k2, а для груза от2
полное ускорение, направленное кверху, будет k^—k2.
Умножая эти ускорения на массы, получим величины сил
инерции, которые, по определению, всегда идут противопо-
противоположно ускорениям. Следовательно, получим картину сил инер-
инерции, показанную на фиг. 60.
Активные силы в пашей системе представляются весами
грузов и блп\\! 4; зги пли полу him, умножая массы на

90
НАЧАЛО ДАЛАМБЕГА
ускорение g силы тяжести. Все четыре внешние силы направ-
направлены вниз.
Применяя теперь условия равновесия A3) и A4) к сово-
совокупности внешних сил и сил инерции, получим два уравне-
уравнения:
-f
= m4g- -j-
A5)
(к _к )
Эти два уравнения дадут ускорения къ kz. Как то, так
и другое оказываются постоянными, и, следовательно, движе-
движение является равноускоренным.
3. Вращение твердого те-
тела около неподвижной оси.
Мы знаем, что для равновесия та-
такого тела необходимо и достаточно
выполнение одного условия: сумма
моментов активных сил относительно
оси вращения должна быть равна
нулю.
Пусть М означает такую сумму
моментов. Для нахождения уравнения
движения нужно к М прибавить еще
сумму моментов сил инерции и ре-
результат сложения приравнять нулю.
Посмотрим, каковы будут здесь силы инерции.
Вращение считаем положительным 3), когда оно направлено
по часовой стрелке (фиг. 61; О — ось вращения). Угол по-
поворота тела от начального его положения назовем через <р.
Тогда угловая скорость будет представляться^ первой произ-
производной угла у по времени, т. е. —, или <р. Вторая же про-
производная того же угла -tJ- , или <р, дает угловое ускорение.
Фиг. 60.
!) В настоящее время в механике почти повсеместно перешли
с левой системы координат на правую систему, как на более удобную.
В правой системе вращение считается положительным, когда оно на-
направлено против часовой стрелки; то же самое относится и к угловой
скорости и ускорению. (Прим. ред.)

ПГИМЕРЫ 91
Оно будет положительным, если направлено по часовой
стрелке').
Какая-нибудь материальная частица т, входящая в состав
нашего тела и находящаяся на расстоянии г от оси вращения,
будет иметь скорость, равную rf. Ускорение же точки будет
состоять из двух слагаемых: касательного, направленного по
касательной и равного rf, и центростремительного, направ-
направленного по радиусу к центру и равного
r-f2.
Силы инерции при этом движении бу-
будут двоякого рода: а) центробежные, иду-
идущие по радиусу от центра, б) касательные,
идущие по перпендикуляру к радиусу в
сторону, противоположную касательному
ускорению, т. е. противоположную направ-
направлению вращения, если угловое ускорение Фиг. 61.
положительное. Для частицы т величи-
величины этих сил будут соответственно равны туг и т<ргг.
Направления их показаны на фиг. 61; при этом мы счи-
считаем, что у положительное; при отрицательном ускорении у
изменится направление касательной силы инерции.
Все центробежные силы пересекают ось вращения, и, сле-
следовательно, моменты их равны нулю. Касательная сила ча-
частицы т дает момент тг2у, который нужно взять со знаком
минус, согласно постоянному условию относительно знака мо-
моментов; этот момент при положительном ускорении стремится
вращать тело против часовой стрелки, поэтому получает
отрицательный знак.
Нужно взять моменты касательных сил инерции для всех
частиц, составляющих наше тело, и сложить эти моменты.
Обозначая сложение знаком 2> получим сумму таких момен-
Но в этой сумме все члены имеют общий множитель <р,
который можно вынести из-под знака суммы; тогда получим:
х) См. сноску на предыдущей странице.

92 НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
У нас получилось выражение, имеющее следующее значе-
значение: нужно взять массу каждой частицы, умножить ее на
квадрат расстояния до оси вращения и просуммировать такие
выражения, распространяя суммирование на все тело. Такое
выражение, постоянно появляющееся во всех вопросах о вра-
вращении твердого тела, называется моментом инерции
тела относительно оси вращения. Назовем его для краткости од-
одной буквой /. Итак, сумма моментов сил инерции равна
Прибавляя сюда момент активных сил М, мы должны, на
основании начала Даламбера, приравнять результат нулю.
Получим уравнение движения
М — yJ=O, A6)
которое определяет величину углового ускорения. Если, на-
например, момент активных сил постоянный, то угловое уско-
ускорение тоже окажется постоянным, т. е. движение будет рав-
равноускоренное. Вообще же угловое ускорение будет равно
М
т. е. частному от разделения момента активных сил на мо-
момент инерции вращающегося тела.
Следует обратить внимание на аналогию этого уравнения
с тем, которое дает ускорение прямолинейного движения ма-
материальной точки. Если сила, действующая по направлению
движения, равна Р, а масса движущейся точки т, то ускорение
р
прямолинейного движения равно а =—. Сравнивая с A7), ви-
видим, что при переходе от ускорения прямолинейного движения
материальной точки к угловому ускорению твердого тела,
вращающегося около постоянной оси, нужно сделать следующие
замены: а) вместо силы Р поставить сумму моментов М актив-
активных сил относительно оси вращения; б) вместо массы точки т
поставить момент инерции тела относительно оси вращения.
Этот момент играет во вращательном движении ту же роль,
что масса в прямолинейном движении точки или в поступатель-
поступательном движении твердого тела.

ПРИМЕРЫ
93
4. Сложный маятник (фиг. 62). Сложным маятником
называется твердое тело произвольной формы, вращающееся
около горизонтальной оси под действием собственного веса 1).
Следовательно, мы имеем здесь вращение твердого тела около
неподвижной оси и поэтому должны применить только что по-
полученное уравнение A7), Активная движущая сила здесь есть
вес тела, который нужно считать приложенным в центре
тяжести его G. Назовем массу всего тела через т и расстояние
00 центра тяжести от
оси вращения О через а.
Фиг. 62.
Фиг. 63.
Момент силы веса относительно оси вращения равен весу
mg, умноженному на длину ОК, т. е. mga cos ср. Подставляя
такой момент в 1,16), получим уравнение движения маятника:
mga cos у — <р J — О,
или
mga
<f = -у- cosy.
A8)
Чтобы уяснить себе смысл этого уравнения, перейдем от слож-
сложного маятника к простому, т. е. вместо большого числа свя-
связанных материальных частиц возьмем одну материальную
точку jj., находящуюся на расстоянии / от оси вращения
(фиг. 63). Для применения предыдущего уравнения к простому
маятнику нужно сделать замены: т заменить через ц, а за-
заменить через / и вместо момента инерции У вставить произ-
J) Сложный мая шик иначе шзывается физическим, а про-
простой — математическим. {Прим. ргд.)

94 НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
ведение из jx на квадрат расстояния / этой точки до оси
вращения. Получим для простого маятника уравнение:
<p=-j
A9)
Если удовлетворяется условие /=—, то уравнения A8) и A9)
делаются вполне тождественными, т. е. они изображают совер-
совершенно одинаковые колебания. Итак, длина / простого маят-
маятника, качающегося в унисон со сложным, представляется
выражением:
i=-L
та '
в котором J есть момент инерции сложного маятника отно-
относительно оси качания, т — его масса и а — расстояние центра
тяжести от оси качания.
Если отложим на прямой OG (фиг. 62) отрезок, равный /,
принимая за один конец его точку О, то точка, соответствую-
соответствующая другому концу этого отрезка, называется центром
качания сложного маятника.
36. Отсутствие сил связи в уравнениях движения.
В рассмотренных примерах, представляющих связанные си-
системы, действуют силы связи. Сюда относятся натяжения гиб-
гибких нитей и давления на оси блоков в первом и втором
примерах, а в третьем и четвертом примерах все молекулярные
взаимодействия между частицами твердого тела и давления
оси вращения маятника. Ни одна из этих многочисленных
неизвестных не входит в наши уравнения движения; все силы
связи исключаются уже самым способом составления уравне-
уравнений движения, т. е. применением начала возможных переме-
перемещений. Это самый простой путь, он дает наиболее простые
уравнения движения. Действуя иначе, мы получим уравнения,
содержащие силы связи; конечно, эти силы могут быть потом
исключены из уравнений алгебраическими приемами, но это
требует сложных и продолжительных выкладок. Поэтому
всегда следут предпочитать такой прием, при котором силы
связи исключаются во время самого составления уравнений
движения.
Для лучшего уяснения этого рассмотрим двойной маятник
(фиг. 64); первый маятник вращается около неподвижной

ОТСУТСТВИЕ СИЛ СВЯЗИ В УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ
95
оси О, а второй маятник соединен с первым осью А. Здесь
давления осей О и А представляют силы связи. Правильный
способ решения этой задачи заключается в следующем. Рас-
Рассмотрим условия равновесия этой системы (фиг. 65); их, оче-
очевидно, два; а) сумма моментов внешних сил Р, Q, . . ., при-
приложенных ко второму маятнику, относительно оси А должна
быть равна нулю; б) сумма моментов всех внешних сил [как
тех (Р, Q), которые приложены ко второму маятнику, так и
тех (R, S), которые приложены непосредственно к первому
маятнику] для оси О должна быть равна нулю. Эти два
условия дают два уравнения для нашей системы, которая
,0
J
Фиг. 64.
Фиг. 65.
имеет две степени свободы. Если в этих уравнениях к внеш-
внешним силам прибавить силы инерции, то получим уравнения
движения.
Вместо этого простейшего способа решения иногда приме-
применяют следующий: вводят силы связи, т. е. давления осей
О, А. Так как не известны ни величина давления, ни его
направление, то имеем для каждой оси две неизвестные. При-
Приходится ввести для каждого давления две его проекции на
координатные оси х, у, лежащие в плоскости чертежа. Таким
образом появляются четыре неизвестные силы связи. Введя
их, рассматриваем маятник ОА и АВ как два отдельных сво-
свободных тела, движение которых параллельно плоскости чертежа.
Уравнение движения каждого из этих тел пишем отдельно.
И здесь эти уравнения будут не что иное, как условия равно-
равновесия со введением сил инерции. Но тело ОА освобождено
от связи О; сохранено только условие, что движение проис-

96 НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
ходит параллельно плоскости чертежа. Поэтому для О А имеем
три условия равновесия: суммы проекций сил на оси х, у
должны быть равны нулю, и сумма моментов сил для оси,
перпендикулярной к плоскости чертежа, должна быть равна
нулю. Следовательно, получим для ОА три уравнения движе-
движения. Также и для тела АВ получим три уравнения движения.
Всего получим шесть уравнений движения; в них входят четыре
неизвестные силы связи, а именно: две проекции давления оси
О и две проекции давления оси А. Исключая эти четыре не-
неизвестные из шести уравнений, мы получим два урав-
уравнения движения, не содержащие связей, притом те же
самые два уравнения, которые могли бы получить сразу и
непосредственно, не вводя сил связи. Очевидно, такое введе-
введение сильно усложнило вывод, притом без всякой нужды.
37. Простые приложения начала Даламбера. Начало
Даламбера дает нам уравнения движения, в которые входят
силы инерции, т. е. уравнения, содержащие в себе ускоре-
ускорения точек. А так как ускорения представляются вторыми
производными от координат по времени, то, следовательно, эти
уравнения будут дифференциальные второго по-
порядка. Для разрешения вопроса необходимо проинтегрировать
такие уравнения, что иногда может представить значительные
и даже непреодолимые трудности. В этом отношении начало
Даламбера не дает никакой помощи и останавливается на
получении дифференциального уравнения. Интеграла оно не
дает и не дает никаких указаний на способ интегрирования,
не облегчает получения интеграла.
Вообще, все общие теоремы динамики можно разделить
на два разряда. Теоремы второго разряда дают один или
несколько интегралов уравнений движения; примером их мо-
может служить закон живых сил.
Теоремы первого разряда не дают интегралов, но приводят
сложный вопрос к более простому вопросу. Таково начало
Даламбера, которое вопрос о движении заменяет простым
вопросом о равновесии.
Этой заменой начало Даламбера бросает яркий свет на
явления движения и сразу непосредственно объясняет многое
в этом явлении.
Простейшие заключения, даваемые началом Даламбера, для
нас теперь представляются почти аксиомами. Но не всегда

ПРОСТЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ НАЧАЛА ДАЛАМБЕРА
97
было так, и интересно проследить, как постепенно выраба-
вырабатывалось понятие о различии между законами равновесия и
законами движения. Для этого нужно обратиться к" самому
зарождению динамики, т. е. к «Разговорам» Галилея. Укажем,
например, на следующее место. Симпличио отстаивает мнение
Аристотеля, что тяжелые тела должны падать быстрее легких;
соображения его приводятся к следующему: если мы на один
камень наложим другой, то этим производим на первый до-
добавочное давление, и следовательно, скорость первого камня
должна увеличиться. Сальвиати, который в «Разговорах»
представляет мнения самого Галилея,
вполне правильно указывает, что та-
такое добавочное давление получается
только при покое, а во время паде-
падения второй камень вовсе не давит
на первый1).
Попробуем, вооружившись на-
началом Даламбера, посмотреть на не-
несколько обыденных явлений.
1. Падающий маятник.
Отклонив маятник от вертикального
положения (фиг. 66), пустим его
падать вместе с доской, поддержи-
поддерживающей ось маятника. Произойдет
свободное падение всего прибора с ускорением тяжести g. Приме-
Применяя начало Даламбера, мы должны кроме веса маятника trig,
направленного вниз, приложить к нему еще силу инерции, ко-
которая в этом случае оказывается тоже равной mg и напра-
направлена вверх. Эти две силы взаимно уничтожаются, и
следовательно, груз, подвешенный на нити маятника, теряет
свое стремление качаться взад и вперед около оси О. Если
начальная скорость груза была равна нулю, то он во все
время падения останется отклоненным на тот же угол а, на
который был первоначально отклонен. Если -же при начале
падения маятник получил некоторый толчок, то угол а будет
изменяться, но, во всяком случае, падающий маятник теряет
свое стремление стать вертикально и теряет свойство изохрон-
изохронных колебаний.
1) См. «Разговоры» Галилея, Сочинения, т. I, ГТТИ, М.—Л., 1934.
7 В. Л. Кирпичев

98
НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
Ж
В
1
ж
ш
2. Парашюты подъемников. Машины, поднимаю-
поднимающие людей в шахтах, всегда снабжаются парашютом, т. е.
приспособлением, которое действует в случае разрыва подъем-
подъемного каната и, упираясь в деревянные стойки шахты, останав-
останавливает клетку, несущую людей, и не позволяет ей упасть
с большой высоты. Попробуем устроить парашют так, как
показано на фиг. 67: А — клеть, внутри которой стоят под-
поднимаемые люди; В — де-
£ ревянные направляющие
стойки по стенам шахты;
С — подъемный канат. Он
прикрепляется к верху
клети не прямо, а через
посредство рычагов D,
точки опоры которых
укреплены на крыше кле-
клети. При подъеме канат
вытянут, поэтому рычаги
становятся в наклонное
положение, показанное на
Фиг. 67.
1 чертеже, не задевают
стойки В и не мешают
подъему. Нужно, чтобы при разрыве подъемного каната рычаги
пришли в горизонтальное положение, с силой ударились в стойки
и вцепились в них своими зубцами. Тогда клеть повиснет на
стойках и не случится несчастья с людьми. Попробуем для
получения такого поворота рычагов поставить на концах их
тяжелые противовесы Е. Разбор движения падающего маят-
маятника, только что сделанный нами, применим и к настоящему
случаю и ясно показывает, что такие противовесы не принесут
никакой пользы. При разрыве каната начнется свободное па-
падение клети, и при этом противовесы Е теряют свою способ-
способность стремиться вниз и с большой силой поворачивать рычаги.
Таким образом здесь противовесы, даже очень тяжелые, ока-
окажутся бесполезными, и вместо них надо поставить сильные
пружины или рессоры F.
3. Волчок (фиг. 68). Часто находят парадоксальным, что
вращающийся волчок не падает, несмотря на наклонное поло-
положение его оси, при котором вес волчка О стремится опроки-
опрокинуть его, вращая его около точки А. Здесь делают ошибку,

ПРИМЕРЫ ИЗ ГИДРАВЛИКИ 99
перенося соображение, заимствованное из статики, целиком
и без поправки на явления динамики; при этом делают заключе-
заключение, что опрокидывающая пара, вызываемая весом тела, как
бы не производит ожидаемого действия. Но нужно вспомнить,
что законы равновесия мы можем применять
к явлениям движения не иначе, как прибав-
прибавляя к внешним силам еще силы инерции.
При наклонном положении волчка он вра-
вращается не около оси своей фигуры, а около
другой мгновенной оси, хотя близкой к оси
фигуры, но все-таки отличающейся от нее.
Центробежные силы этого вращения не урав-
уравновешиваются взаимно, как это происходит
при вращении около оси симметрии, а дают
некоторую пару, которая и уравновешивает
опрокидывающее действие веса волчка.
38. Примеры из гидравлики. Мы можем к движению
жидкостей применять законы равновесия, т. е. законы гидро-
гидростатики, но при том непременном условии, что к внешним
силам прибавлены силы инерции.
На этом основании получаем следующие выводы:
а) Если движение частиц жидкости везде прямолинейное
и равномерное, то ускорения, а следовательно, и силы инерции,
равны нулю. Поэтому потерянные силы, о равновесии которых
говорит начало Даламбера, превращаются во внешние силы,
и условия равновесия при движении ничем не отличаются от
условий равновесия при покое. Следовательно, в этом случае
распределение давлений в жидкости будет следовать гидро-
гидростатическим законам. Однако было бы неправильно распрост-
распространять чисто статические законы распределения давления и
на все другие случаи движения.
б) Пусть частицы жидкости движутся так, что ускорения
их как раз такие, которые были бы сообщены этим частицам
приложенными к ним силами, если бы частицы были отделены
и не связаны между собою, т. е. мы рассматриваем случаи,
когда ускорение каждой частицы равно приложенной к ней
силе, разделенной на массу частицы, и притом направление
ускорения совпадает с направлением силы. В этом случае
силы инерции будут равны и противоположны внешним силам;
следовательно, все потерянные силы равны нулю. По началу
7*

100
НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
Даламбера этот случай движения приводится к тому случаю
равновесия, когда на частицы жидкости вовсе не действуют
внешние силы. А тогда давление во всей массе
жидкости будет одинаковое.
Падающий сосуд, наполненный водою, может служить при-
примером такого случая; в нем давление не будет увеличиваться
по направлению от поверхности воды ко дну сосуда; оно будет
везде одинаково и такое же, как на поверхности, т. е. будет
равно атмосферному давлению.
Другим примером может служить струя воды, вытекающей
из сосуда.
в) Возьмем случай, когда все частицы жидкости движутся
прямолинейно и притом перпендикулярно к некоторой пло-
плоскости. Тогда в этой плоскости давление будет изменяться
по гидростатическому закону.
Все эти выводы имеют особое значение в гидравлике.
Обыкновенно их получают из рассмотрения общих гидродина-
гидродинамических уравнений. Но мы видим, что они представляют не-
непосредственное следствие начала Даламбера.
39. Видимое направление сипл тяжэсти. Притяжение
Земли направлено к ее центру, и потому грузик отвеса вы-
вытягивает нить по направлению
радиуса Земли и уравновеши-
уравновешивается на этой связи. Так дол-
должно было бы произойти, если
бы Земля была в покое. Но она
движется, и нужно к внешней
силе, действующей на грузик
(его весу), прибавить силу инер-
инерции, т. е. центробежную силу.
Равнодействующая этих двух
сил уравновешивается связью,
следовательно, нить располо-
расположится по направлению такой
равнодействующей и не будет
совпадать с радиусом Земли.
На фиг. 69 сделано построение
этой равнодействующей: NS есть ось Земли, т — грузик
отвеса. Вес его q направлен к центру Земли. Центробеж-
Центробежная сила направлена по продолжению радиуса тР того

КАЖУЩЕЕСЯ НАПРАВЛЕНИЕ ТЯЖЕСТИ НА ВОЛНАХ 101
круга, который описывает грузик т при вращении Земли.
Величина центробежной силы равна /яш2г (со — угловая скорость
вращения Земли). Равнодействующая дает направление тВ
нити отвеса. Это будет то, что мы называем вертикальной
линией. Горизонтальная плоскость, определяемая с помощью
уровня с воздушным пузырьком В, будет перпендикулярна к тВ.
40. Кажущееся направление тяжести на волнах. Будем
говорить о правильных волнах, которые поддерживаются на
море некоторое время после окон-
чания бури. Это явление в тех
местах, где глубина моря значи-
значительная, довольно хорошо изобра-
изображается так называемыми трохо-
идальными волнами Герстнера 1).
Трохоидальную волну можно
описать следующим образом.
а) Каждая частица воды описы-
описывает в вертикальной плоскости круг,
центр которого неподвижен; дви- Фиг. 70.
жение по кругу равномерное. _
Для частиц, расположенных на'поверхности, радиус такого
круга наибольший; величина радиуса быстро уменьшается для
частиц, расположенных в глубине (фиг. 70).
б) Форма поверхности волны представляется так называе-
называемой трохоидой, т. е. кривой, которая производится следующим
построением (фиг. 71). Пусть круг радиуса г представляет
путь той частицы воды, которая находится на поверхности
волны. Концентрично с ним построим больший круг такого
размера, что окружность этого круга равна длине волны. Про-
Проведем через верхнюю точку большого круга касательную АВ
и покатим круг по АВ без скольжения; тогда любая точка
малого круга, если считать его неизменно связанным с боль-
большим, опишет трохоиду. На фиг. 71 изображена трохоида MNQ,
описанная точкою М малого круга.
Рассмотрим какую-нибудь частицу массы т, находящуюся
на поверхности. На нее действует внешняя сила — ее вес mg.
х) Теоретическая гидродинамика дает такую форму волн для пре-
предельного случая, когда глубина моря предполагается бесконечно боль-
большой, См. Appell, Traite de Mecanique, т. III, стр. 491,

102
НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
Если бы было равновесие, то поверхность жидкости распо-
расположилась бы перпендикулярной этой силе. Но мы имеем слу-
случай движения; следовательно, законы гидростатики нужно
применять не к внешней силе, а к потерянной силе, которая
получается как равнодействующая из внешней силы и силы
инерции. Наша частица т описывает круг радиуса г, имеющий
центром О; сила инерции здесь будет центробежная сила тю2г,
направленная по радиусу От от центра. Здесь ю есть угловая
скорость вращения точки т, или, что все равно, угловая ско-
скорость большого катящегося круга.
Фиг. 71.
Пусть длина волны есть L, а скорость ее гребня V; час-
частица т, делающая один оборот в течение времени
по прошествии этого времени приходит в прежнее свое поло-
положение; это соответствует передвижению волны на всю ее
длину L. Следовательно, скорость V движения волны получается
из условия:
откуда найдем со. Игак, эта угловая скорость известна, если мы
знаем Vn L. Радиус г определяется высотой волны Я и составляет
ровно половину ее Таким образом, зная V, L, Н, мы получаем
силу инерции яш2ги можем построить потерянную силу, обозна-
обозначенную на чертеже буквами mq. К этой потерянной силе от-

ЖИДКОСТЬ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
103
носятся те явления и условия равновесия, которые дает гидро-
гидростатика для силы тяжести в случае покоя. При волнообразном
движении mq преставляет кажущуюся силу тяжести. Поэтому
поверхность жидкости в точке т, т. е касательная к поверх-
поверхности волны в этой точ-
точке, должна расположиться
перпендикулярно к mq.
Небольшой поплавок с
крошечной мачтой распо-
расположится (фиг. 72) так,
что мачт-а его пойдет по
линии mq. Если бы нам Фиг> 72.
удалось на этот поплавок
поставить стакан, наполненный водою до краев (фиг. 73), то
вода не стала бы выливаться, так как на волне наклонная
плоскость аЬ играет такую же роль, как горизонтальная пло-
плоскость при покое жидкости.
Итак, при волнообразном движении получается кажущееся
направление силы тяжести mq и кажущаяся горизонтальная
плоскость, перпендикулярная
к mq. Если выберем определен-
определенную частицу жидкости т и
будем следить за явлениями,
происходящими с этой частицей,
то увидим следующее (фиг. 71)'
эта частица двигается по кругу
с центром О, в то же время
трохоидальная видимая поверх-
поверхность волны равномерно перемещается по направлению стрелки
со скоростью V. При этом частица т будет постепенно ока-
оказываться в разных точках М, N, Q волны; как наклон види-
видимой силы тяжести mq у частицы т, так и наклон видимого
горизонта у этой частицы будут постепенно изменяться; изме-
изменения эти периодические, и период определяется временем
оборота частицы т.
41. Жидкость в сосуде, вращающемся около вертикаль-
вертикальной оси. При вращении сосуда, наполненного жидкостью,
вокруг вертикальной оси жидкость отбрасывается к стенкам,
и внутри сосуда образуется воронкообразная полость, очер-
очерченная поверхностью вращения АтВС ($ur,J4). Рассмотрим»
Фиг. 73.

104 НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
какую-нибудь частицу жидкости т, расположенную на этой
поверхности, определим потерянную силу тс как равнодейству-
равнодействующую силы тяжести mb и центробежной силы та, равной тш2г
(ю — угловая скорость вращения сосуда).
Равновесие жидкости под действием потерянной силы
требует, чтобы в точке /и поверхность жидкости была нор-
Фиг. 74.
мальна к направлению силы тс, или, другими словами, напра-
направление тс должно быть нормалью к кривой АтВС в точке т.
Продолжим эту нормаль до встречи с осью вращения к точке
d. Из подобных треугольников mdo и mbc получаем:
od mb mg
от be mvfir '
откуда
т. е. поднормаль od нашей кривой АтВС, не зависит от г, сле-
следовательно, одинакова для всех точек этой кривой. Но известно,
что кривая, имеющая постоянную поднормаль, есть парабола.
Итак, кривая АтВС—парабола, и воронка, образующаяся
при вращении сосуда, представляет собой параболоид вра-
вращения.
42. Уровень воды в ковшах наливного колеса. В сочи-
сочинениях по прикладной механике часто приходится встречать
подобный же вывод, как и в § 40, но примененный к случаю
вращения около горизонтальной оси. Разбирают движение
наливного колеса и стараются определить, как изменяется
вследствие вращения колеса уровень воды, налитой в ковши.

УРОВЕНЬ ВОДЫ В КОВШАХ НАЛИВНОГО КОЛЕСА
105
При этом считают, что на частицу воды т (фиг. 75) дей-
действуют ее вес mg (изображенный на чертеже отрезком тК) и
центробежная сила тш2г, соединяемые в одну равнодействую-
равнодействующую тВ. Поверхность воды в ковше у точки т должна быть
перпендикулярна к этой равнодействующей. Продолжим тВ
до встречи в С с вертикалью, которая проходит через центр
колеса О. Из подобия треугольников тВК и СтО получаем:
или
откуда
со
г
СО
тО
тК
~~ ВК'
т<л2г '
Итак, СО не зависит от радиуса г, следовательно, точка
С одна и та же для всех частиц воды, расположенных на
разрезе поверхности nmq воды, которая наполняет ковш.
Следовательно, все нормали к этой по-
поверхности встречаются в одной точке С,
т. е. эта поверхность представляет в
разрезе круг, имеющий центр в С, при- 2
том этот центр одинаков для всех ков- ш '''
шей колеса.
Долгое время этот вывод повторялся
без изменения и встречается даже в но-
новых сочинениях. Между тем он оши-
ошибочен. Легко видеть, почему рассужде-
рассуждение, дающее верный результат в случае
вращения около вертикальной оси, не-
неприменимо к случаю вращения около
горизонтальной оси. В последнем слу-
случае неправильно допускать, что силы инерции воды заклю-
заключаются в одной только центробежной силе. Это былой бы
верно только тогда, когда уровень воды в ковше, приняв
криволинейный вид, сохранял бы такое криволинейное очерта-
очертание неизменно во все время вращения колеса, цак будто бы
вода была неизменно связана с колесом,

106
НАЧАЛО ДАЛАМБЕРА
Но этому противоречит приведенный выше вывод; он дает
постоянный центр С для кругового очертания поверхности
воды в ковше. При вращении колеса, когда ковш будет
удаляться от С, радиус кругового очертания поверхности воды
увеличивается. Следовательно, это очертание постепенно из-
изменяется, и нельзя считать, что вода как бы неизменно со-
соединена с вращающимся колесом. Она имеет в ковше неко-
некоторое движение относительно колеса. А в случае такого
относительного движения силы инерции не приводятся к одной
только центробежной силе. Нужно учесть кориолисово уско-
ускорение и соответствующую силу инер-
инерции и присоединить ее к центробежной
силе. Вследствие этого повторяем, рас-
рассуждение § 40 нельзя применять к на-
наливному колесу и вообще к какому-либо
вращению около оси, которая не верти-
вертикальна.
43. Измерение сил инерции. Всем
знакомы приборы, которыми измеряют
центробежную силу на центробежной ма-
машине физических кабинетов. Подобным
путем можно измерить и другие силы
инерции в различных машинах. Опишем
несколько приборов, устроенных для этой
цели.
Для измерения ускорения (а следо-
следовательно, и силы инерции) при движе-
движении железнодорожного поезда употреб-
употребляется спиртовой уровень с сильно искри-
искривленной поверхностью трубки (фиг. 76).
При покое воздушный пузырек распола-
располагается у точки А, в которой нормаль Аа к поверхности трубки
вертикальна. Но при движении сила тяжести должна быть
заменена потерянной силой. Пусть ab представляет ускорение
силы тяжести; ас — величину ускорения при движении поезда,
отложенную в сторону, противоположную направлению уско-
ускорения, т. е. в сторону, противоположную движению, если ско-
скорость увеличивается, и по направлению движения, если скорость
уменьшается. Тогда ad представит направление потерянной
сиЯы. Воздушный пузырек установится у той точки В, нор-

ИЗМЕРЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
107
маль в которой Ва параллельна силе ad. Опыт дает точки
А и В, а по делениям на уровне найдем соответствующий
угол б между нормалями Аа и Ва. Тангенс этого угла будет
db .
равен отношению —, , а так как ао есть известное ускоре-
ускорение тяжести, то мы найдем db, т. е.
ускорение движения поезда.
Для определения ускорения и сил
инерции при движении паровой машины
употребляется прибор, схема которого
представлена на фиг. 77. На кресто-
крестовине паровой машины А расположена
небольшая тележка В, размахи которой
сдерживаются пружиной С; сжатие и растяжение ее пропор-
пропорциональны действующим на пружину силам, т. е. переменной
силе инерции тележки. Указатель D показывает величину
сжатия и растяжения пружины и чертит эти величины на
особом индикаторе.
Фиг. 77.

ПЯТАЯ БЕСЕДА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ ПРИ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ
44. Общий прием определения сил связи. Начало Да-
ламбера, как мы видели, заключается в том, что потерянные
силы уравновешиваются силами связей системы. Поэтому силы
связи при движении системы найдутся так же, как при рав-
равновесии, но к числу активных сил нужно присоединить все
силы инерции. Можно при этом пользоваться либо общим
правилом определения сил связи, получаемым из начала воз-
возможных перемещений, либо частными правилами для опреде-
определенных систем или машин, если эти правила нам известны
или легко могут быть найдены. Таким образом, вводя силы
инерции, мы заменяем задачу, поставленную в этой беседе,
другой более простой задачей равновесия.
Силы свяЭей в машинах бывают разного рода. Иногда
это давления опор; при движении такие давления от-
отличаются от случая равновесия тем, что к активным силам
нужно прибавить силы инерции.
Или иначе: давления опор при движении могут быть рассмат-
рассматриваемы как происходящие от совокупности двух причин;
а) активных сил; б) сил инерции. Давление, вызываемое пер-
первой причиной, будем называть статическим давлением.
Вторая же причина — силы инерции — вызывает динамиче-
динамическую прибавку к давлению.
Очень обыкновенный случай сил связи представляет сцеп-
сцепление частей одного и того же твердого тела, входящего
в состав системы. Это — внутренние силы получающиеся
в твердом теле от действия на него сил. Силы эти изучаются
в теории упругости и в учении о сопротивлении материалов.
Общий прием, применяемый при этом, заключается в следу-
следующем: пусть на какое-нибудь тело действуют внешние силы

ПОДВИЖНОЙ ГРУЗ НА МОСТУ
109
Р, Q, R, S, Т, находящиеся в равновесии (фиг. 78.) Разре-
Разрежем тело на две части и заменим связь этих частей, проис-
происходящую по разрезу ab, внутренними силами. Часть / нахо-
находится в равновесии под действием внешних сил Р, Q, R и
внутренних, приложенных по разрезу ab. Условия равновесия
такой системы дают искомые внутренние силы.
Но, так как все условия и уравнения равновесия прямо
применяются и к движению, с обязательством только при-
прибавить силы инерции, то для слу-
случая движения получим:внутренние
силы, действующие по ab, должны
уравновесить не только внешние
силы Р, Q, R, но еще и все силы
инерции, приложенные к части /
тела. Другими словами: все
силы инерции должны
быть причислены к силам,
стремящимся разрушить
тело. Этим отличаются условия
прочности в динамике от условий
прочности для случая покоя.
Например, в маховом коле-
колесе следует считать разрушающей
силой центробежную силу его обода. Притом оказывается,
что это — самая важная, наиболее опасная, разрушающая
сила. При больших скоростях движения маховика трудно
устроить его достаточно прочным для выдерживания центро-
центробежной силы, и приходится прибегать к особым конструкциям
для получения достаточного сопротивления. Например, вместо
чугунных ручек маховика ставят железные или заменяют
ручки сплошными железными дисками; нагоняют на чугунный
обод колеса стальной бандаж; обтягивают чугунный обод ма-
маховика большим числом оборотов проволоки, намотанной, как
на катушку.
Наконец, теперь часто вовсе отказываются от применения
чугуна к быстро движущимся колесам значительного диаметра
и делают обод из железных сегментов.
45. Подвижной груз на молу. Так как при переходе
груза мост искривляется (фиг. 79), то появляется центробеж-
центробежная сила движущегося груза, которую для учета давления

ПО ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ ПРИ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ
груза на мост нужно прибавить к весу груза. Изгибающей
силой следует считать сумму этих двух сил, т. е.
V*
(tn — масса груза, g—ускорение силы тяжести, V — скорость
движения груза, р — радиус кривизны искривленного мостаI).
Поэтому прогиб моста
| в случае движения груза
i p будет больше, чем в слу-
I чае покоя. Эту разницу
легко демонстрировать на
модели. При этом неодно-
неоднократно получалось, что
прогиб от движущегося
груза (динамический про-
прогиб) был вдвое и втрое
больше, чем от того же
груза в покое (статичес-
(статический прогиб). Но значитель-
значительное превышение динамического прогиба над статическим можно
получить только на таких моделях, в которых масса мосто-
мостовой балки невелика по сравнению с массой движущегося груза.
„ Настоящие мосты с боль-
большим пролетом имеют
обыкновенно значитель-
значительную массу, и динамичес-
динамический прогиб их лишь очень
. немного превышает ста-
статический, обыкновенно не
более как на 10°/0. Более
тд+т
Фиг. 79.
тд
'Фиг. 80.
значительное превышение
динамического прогиба
над статическим получает-
получается для мостов с малым пролетом и, в особенности, для рельсов.
Вообразим, что груз движется по кривой балке, имеющгй
выпуклость, которая направлена кверху (фиг. 80). Тогда цен-
!) Мы предполагаем, что груз при движении все время прика-
прикасается к балке и не отделяется от нее. При больших скоростях может
случиться, что это условие не выполнено. См. работу Н. П. Петрова
в «Записках технического общества», декабрь 1903 г.

ОВЩИЙ ВОПРОС О РЕАЛЬНОСТИ СИЛ ИНЕРЦИИ 1 1 1
тробежная сила груза направлена противоположно его весу, и
изгиб производится разностью этих двух сил:
уз
mg—nij.
При этом динамический прогиб должен получиться меньше,
чем статический от того же груза.
46. Общий вопрос о реальности или иллюзорности сил
инерции. В предыдущей беседе силы инерции появились
у нас как математическое определение для обозначения неко-
некоторых членов в уравнениях движения. Но теперь мы видим,
что эти силы равны тем, которые производят известные
действия, изгибают пружины или балки, увеличивают или
уменьшают давления на опоры и даже иногда могут про-
произвести разрывы маховых колес и разрушение разных частей
машин.
Все это указывает, что такие силы не представляют матема-
математические фикции, а существуют в действительности и прояв-
проявляют свое существование такими же явлениями, как и дру-
другие известные нам силы. Таким образом, здесь как будто бы
получается некоторое противоречие с первоначальным опре-
определением сил инерции, которое нужно разъяснить.
Заметим, что это противоречие встречается уже при пер-
первом знакомстве с центробежной силой, которое мы получаем
при изучении элементарной физики, где из всех возможных
многочисленных сил инерции рассматривают только одну цен-
центробежную силу. В средней школе вопрос о том, существует
ли центробежная сила в действительности, или она представ-
представляет собою только математическую фикцию, всегда подает
повод к продолжительным спорам. Рассматривая грузик, ко-
который привязан ниткой к некоторой точке и описывает круг
около этой точки как центра, противники существования цен-
центробежной силы рассуждают следующим образом: масса т
движется по кругу под действием натяжения нитки, которая
тянет груз к центру. Это — центростремительная сила, кото-
которая равна произведению из массы т на ускорение кругового
движения, т. е. равна т — (V—скорость равномерного дви-
жения по кругу, R — радиус круга). Под действием этой силы
вместо прямолинейного движения по инерции получается

112 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ ПРИ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ
круговое движение. Допустим, что центробежная сила не есть
фикция, а существует реально. Это означает, что к телу т,
кроме центростремительной силы, приложена еще центробеж-
центробежная. Эти две силы равны и противоположны, следовательно,
взаимно уничтожаются. Следовательно, допущение реальности
центробежной силы равносильно принятию, что на т не дей-
действует никакой силы. Но тогда масса т должна была бы
двигаться по инерции прямолинейно, а между тем она идет
по кругу. Получается противоречие, и оно вызвано допуще-
допущением реального существования центробежной силы, как при-
приложенной к массе т.
Ошибка этого рассуждения состоит в том, что обе силы —
центробежную и центростремительную — считают приложен-
приложенными к одному и тому же телу — массе т. Между тем мы
имеем здесь систему, состоящую из двух тел: массы т и
нити; последняя есть связь системы. Между этими двумя
телами происходит взаимодействие, подчиненное третьему за-
закону Ньютона, т. е. закону равенства между действием и
противодействием. Действие нити на тело есть центростреми-
центростремительная сила. Но и тело т обратно действует на нить; это
противодействие и есть реальная сила, равная центробежной;
она приложена не к массе /и, а к нити; поэтому нить растя-
растягивается и даже может быть разорвана.
То же самое рассуждение относится и ко всем другим
случаям.
Следовательно, можно сказать, что силы инерции суще-
существуют реально как силы, действующие на связи системы.
В этих связях они производят все такие же явления, как и
прочие известные нам силы; силы инерции деформируют
связи, вызывают в них внутренние напряжения, могут раз-
разрушать связь и т. д.!).
47. Пользование силами инерции. Прибор Осборн Рей-
нольдса. Убедившись в существовании сил инерции, мы мо-
можем пользоваться ими для наших целей. Хорошим примером
такого утилизирования сил инерции послужит прибор, устро-
устроенный Осборн Рейнольдсом для испытания сопротивления
х) Никол аи Е. Л., О начале Даламбера и о силах инерции.
Труды Ленинградского Индустриального Института, № 6, 1936.
(Прим. ред.)

ПОЛЬЗОВАНИЕ СИЛАМИ ИНЕРЦИИ
113
\в
металлов действию попеременных сил — то растягивающих,
то сжимающих ]).
В приборе Рейнольдса (фиг. 81) испытываемый металли-
металлический брусочек а соединяется нижней частью своей с гру-
грузом Р, а вверху прикрепляется к ползуну с, кото-^
рый получает попеременное движение вверх и вниз
при помощи шатуна / и кривошипа г. Вал криво-
кривошипа особым двигателем вращается равномерно
с большой скоростью и может делать до 2000об/мин.
При этом_ груз Р движется попеременно вверх
и вниз; при каждой перемене направления ско-
скорость груза Р обращается в нуль, следовательно,
движение его не равномерное, а то ускоренное,
то замедленное. Ускорения эти указывают на по-
появление сил инерции груза Р, которые буду!
действовать как разрушающие силы на испытывае-
испытываемый брусок а. Для двух крайних положений груза Р,
когда пуговка кривошипа становится в А или В, силы
инерции груза Р почти равны той центробежной
силе, которую имел бы этот груз, если бы был
посажен на пуговку кривошипа и вертелся с нею,
описывая круг диаметра АВ. Величина центро-
центробежной силы равна 2)
Фиг. 81.
т-
B0)
(т — масса груза Р, V — скорость, с которой движется по
!) Такое испытание очень важно, потому что в машинах часто
встречается попеременное действие сил. Давно замечено, что металлы
сопротивляются хуже всего такому действию, в особенности если пе-
перемены следуют одна за другою очень быстро. Поэтому уже давно,
еще с половины прошлого столетия, занимаются изучением сопротив-
сопротивления металлов при частых переменах нагрузки. Для этого было
придумано много различных приборов.
*) Это — приблизительная величина силы инерции; точное значе-
значение ее получится, если умножить B0) для точки А на 11—— j, a
для точки Л на A+-т )■ Здесь /—длина шатуна; она в несколько
раз больше г, и потому поправочные множители близки к единице
8 В Л Кирпичев

114 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СВЯЗИ ПРИ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ
кругу пуговка кривошипа, г—радиус кривошипа). Направ-
Направления центробежных сил указаны на чертеже стрелками, та-
таковы же и направления сил инерции груза Р. Когда кривошип
приходит в В, то сила инерции направлена вниз и, присое-
присоединяясь к весу груза Р, растягивает брусок а. При положе-
положении кривошипа в А сила инерции направлена вверх; вычтя
из нее вес груза Р, получим силу, сжимающую брусок а.
Итак, он при каждом обороте вала то растягивается, то сжи-
сжимается. При тех размерах, которые Рейнольде придал своему
прибору, силы инерции для крайних положений груза Р были
в несколько раз (до шестидесяти) больше веса Р, и таким об-
образом можно было получить значительные разрушающие силы.

ШЕСТАЯ БЕСЕДА
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
48. Вредные действия сил инерции. Когда силы инерции
велики, то они могут принести значительный вред тем, что
заметно увеличивают силы связи, давления на опорные точки
и т. д. Иногда это действие сил инерции может совершенно
расстроить движущийся прибор или машину; на железных
дорогах, кроме того, получается порча рельсов и даже рас-
расстройство всего пути. Силы инерции увеличивают трение
в точках опоры вращающихся валов; производят сильное ис-
истирание и быстрое изнашивание подшипников; вследствие
действия сил инерции часто получаются удары и сотрясения
в частях машин. Все это увеличивает расход работы двига-
двигателя, приводящего машину в движение, усиливает расход
топлива, причиняет излишнюю трату смазочных материалов.
На эти неблагоприятные действия не обращали внимания
в прежнее время, когда скорости движения машин, а следо-
следовательно, и силы ичерции были невелики. Но с введением
в употребление быстроходных машин инженеры встретились
с силами инерции, имеющими громадные величины, и значе-
значение этих сил выступило на первый план.
Так, например, в быстроходных паровозах сила инерции
шатуна при 400 об/мин в 55 раз больше его веса; эту силу
необходимо принять во внимание при расчете прочных раз-
размеров шатуна. Самая форма шатуна должна быть выбрана
так, чтобы обеспечить лучшее сопротивление изгибу, про-
производимому означенной силой: шатуну паровоза необходимо
придавать не круглое сечение, как это часто делают в мед-
медленно ходящих заводских паровых машинах, а двутавровое
или какое-нибудь другое.
Можно дать пример паровоза, у которого при скорости
136 километров в час получалась неуравновешенная центро-
8*

116 УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
бежная сила на оси с колесами, доходившая до 5 т. При
каждом обороте колеса, когда центр тяжести его приходится
внизу, эта сила передается на рельс; при дальнейшем же
вращении колеса рельс освобождается от этой силы. Так как
колесо делало около 340 об/мин, то подобное приложение
силы к рельсу и отнимание ее происходило 340 раз в ми-
минуту. Такое явление представляет не что иное, как ряд
сильных ударов на рельс, производимых быстро один за дру-
другим. Это все равно, как будто бы по рельсу колотили тяжелым
молотом: при этом рельс и полотно дорог сильно страдают.
В машинах встречаются части, делающие очень большое
число оборотов; например, веретена прядильных машин — до
15 000 об/мин; валы паровых турбин — до 20 000 и
30 000 об/мин. Центробежная сила массы /и, выражающаяся
через -Р-<л2г{р — вес, g—ускорение силы тяжести, со — уг-
ловая скорость, г — расстояние массы тот оси вращения),
при таких скоростях будет от 5 000 г до 10 000 г раз белее
веса р 1); следовательно, даже при очень малых радиусах г
силы инерции получаются большими, и нужно принимать все
меры для уменьшения этих сил или устранить действие этих
сил на связи — уравновесить их. Вообще, в современном ма-
машиностроении уравновешивание сил инерции составляет
предмет постоянных забот конструкторов.
49. Силы ингрции вращающихся частей. При вращении
твердого тела около постоянной оси нужно рассматривать
силы инерции двух родов: центробежные и касательные. Пер-
Первые из них направлены по радиусу от центра и равны mto2r
(т — масса частицы, о — угловая скорость вращения, г—
расстояние частицы т от оси вращения). Касательные силы
инерции перпендикулярны к радиусу, идут противоположно
rfco dco
направлению касательного ускорения и равны т -гг г, где-тт—
угловое ускорение; они появляются только при неравномер-
неравномерном вращении, тогда как центробежные силы не исчезают
даже и при полной равномерности движения.
Рассмотрим сначала центробежные силы и определим, ка-
какое давление на подшипники вызывают эти силы инерции.
Расстояние г должно быть выражено в см.

СИЛЫ ИНЕРЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ ЧАСТЕЙ
117
Пусть О и А (фиг. 82) — два подшипника. Возьмем начало
координат в О, направим ось г по оси вращения, оси х
и у — перпендикулярно к ней. Координаты какой-нибудь ча-
частицы тела т назовем х, у, г\ ее центробежная сила /ию2г
может быть разложена на следующие две составляющие по
осям х, у:
та2 г cos а, /ш2г sin a.
Но так как
__£_ . у_
г ' г '
то эти составляющие будут равны
т<л2х, т<а2у.
Силы связи в подшипниках Ли О,' т. е. те давления под-
подшипников на вращающееся тело, которые получаются от
Фиг. 82.
центробежных сил, тоже разложим по осям х, у и назовем
слагающие для опоры А через Хъ Yu для опоры О — че-
через Х2, Y2. Чтобы выразить, что эти давления уравновеши-
уравновешивают центробежные силы, напишем два уравнения равновесия
для проекций по осям х, у и два уравнения для моментов
относительно осей х, у, получим четыре уравнения, из ко-
которых найдем четыре неизвестные: Хх, Х2, Yu Yz. Эти
уравнения будут следующие:
а) Сумма проекций сил связи и сил инерции на ось х
равна нулю:
Здесь 2 означает сумму, распространенную на все частицы,
входящие в состав вращающегося тела. Так как во всех чле-

118 УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
нах этой суммы есть постоянный множитель и2, то его можно
вынести за знак суммы; получим:
Появилась сумма ^]«, значение которой известно из уче-
учения о центре тяжести. Если назовем массу всего тела (т. е.
сумму масс его частиц) через М, а координату его центра
тяжести через х0, то, по определению центра тяжести, имеем:
Итак, наше первое уравнение будет иметь вид:
\-^хйМ=0. B1)
б) Второе уравнение, выражающее, что сумма проекций
сил на ось у равна нулю, получится подобно первому и бу-
будет иметь вид:
К, + Г, + <о^о^=0, B2)
где _у0 — координата центра тяжести вращающегося тела,
в) Третье уравнение должно выражать, что сумма момен-
моментов сил инерции и реакций опор относительно оси х равна
нулю.
При составлении этого уравнения исключаются силы Х2,
У2, потому что они пересекают ось моментов; также исклю-
исключается сила Xlt которая параллельна оси моментов. Остается
реакция К], и момент ее будет YJ. Момент той слагающей
силы инерции, которая параллельна оси х, исключается, и
остается только момент слагающей ггшгу; плечо ее равно z,
и момент ее будет равен m(a2yz. Суммируя моменты всех сил
инерции, получим:
2 пш2уг,
или, вынося за знак суммы общий множитель w2:
<о3 2 tnyz.
Следовательно, уравнением равновесия моментов для оси х
будет иметь вид:
= 0. B3)

СИЛЫ ИНЕРЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ ЧАСТЕЙ 119
г) Наконец, четвертое уравнение, выражающее, что сумма
моментов относительно оси Y равна нулю, получается по-
подобно третьему и дает:
X1l~\-(a^mxz = Q. B4)
Из этих уравнений найдем реакции опор Хъ Уъ Х2, Y2.
Посмотрим, нельзя ли достигнуть того, чтобы все эти
реакции были равны нулю? Тогда центробежные силы не бу-
будут производить никакого давления на подшипники. Получе-
Получение такого результата и называется уравновешиванием цент-
центробежных' сил; при этом совершенно устраняются все те
вредные действия сил инерции, о которых мы говорили.
Обращаясь к нашим уравнениям B1) — B4), видим, что
если все четыре опорные реакции суть нули, то уравнения
дают условия:
-«о = О, (а)
Уо = 0, (б)
Лтуг = 0, (в)
2 mxz = 0. (г)
Эти четыре условия необходимы и достаточны для пол-
полного уравновешивания центробежных сил инерции. Первые
два из них указывают, что координаты лг0, у0 центра тяжести
вращающегося тела должны быть равны нулю, т. е. центр
тяжести должен лежать на оси вращения.
Кроме'этого условия нужно еще удовлетворить уравнениям
(в) и (г). Для этого требуется известное распределение масс
частиц т в теле относительно оси вращения, при котором
положительные и отрицательные члены суммы ^myz взаим-
взаимно сокращаются; то же требуется и для другой суммы
2 mxz. Если эти условия выполнены, то ось вращения на-
называется главной осью тела. Итак, получаем еще условия
для уравновешивания центробежных сил: ось вращения
должна быть главной осью тела.
Чтобы показать возможность удовлетворения этого усло-
условия, заметим, что если в теле есть ось симметрии, то
она, наверное, есть главная ось. На самом деле, существо-
существование оси симметрии означает, что для всякой частицы т,

120 УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
находящейся от оси на расстоянии:
всегда можно найти, на продолжении перпендикуляра тВ и
на расстоянии т'В, равном тВ, симметричную частицу т'
такой же массы, что и т (фиг. 83). Эти две частицы имеют
одинаковые координаты г; их координаты х, как и коорди-
координаты у, численно одинаковы, но различаются знаком. Оче-
/ Z
/
т
г
в tT
г
т'
Фиг. 83.
видно, взяв выражения mxz (или туг) для обеих частиц и
складывая, получим нули. Но все тело состоит из таких пар
симметричных частиц; поэтому и полные суммы 2 mxz, 2 "ЦУ
для всего тела будут равны нулю.
Случай оси симметрии не есть единственный случай, когда
ось имеет свойство главной оси. Можно доказать, что в каж-
каждом теле для любой его точки есть три главные оси, взаимно
перпендикулярные.
59. Моменты инерции. Моментом инерции какого-нибудь
тела относительно некоторой оси называется сумма произве-
произведений из масс частиц, составляющих тело, на квадраты их
расстояний до этой оси. Такое выражение появляется во всех
вопросах, касающихся вращения тела.
Оси вращения могут иметь разнообразное положение от-
относительно тела, а с изменением оси изменяется и момент
инерции. Таким образом для данного тела мы имеем не один
момент инерции, а целую группу их, отвечающую комплексу
всевозможных осей, которые можно себе вообразить в раз-
различных положениях и по различным направлениям относи-
относительно тела. Величины моментов инерции такой группы на-

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
121
ходятся между собою в известных соотношениях, позволяю-
позволяющих с легкостью определить значительную часть моментов,
\огда известны некоторые из них. Мы займемся выводом
ix соотношений.
ИПервая теорема. Связь между моментами
инЧрции для параллельных осей. Пусть (фиг. 84)
име\г две оси: одна из них (первая) проходит через центр
тяже\ги тела С перпендикулярно плоскости чертежа; дру-
другая Огорая) параллельна первой и
находиУя от нее на расстоянии АС,
котороеЧюзовем а. Возьмем любую ча-
частицу теда М; пусть масса ее будет т;
расстояни\ ее от первой и второй осей
обозначим Vpe3 r и р. Обозначая через
2 суммирование, распространенное на
все тело, поучим: момент инерции для
первой оси ра\ен
момент инерции ^я второй оси равен
Через первую ось пр\ведем плоскость КК, перпендикулярную
к АС, и расстояние ч\гицы М от этой плоскости обозначим
через х.
Из Д MAC получаел
Следовательно,
2 2<шя.
Вынося из-под знаков 2 те множители, которые одинаковы
для всех членов суммы, получаёч^:
JA=2 тг* + а* 2 т
Первый член этого выражения представляет момент инерции
Jc для первой оси. Во втором входит сумма масс всех частиц
тела 2 я1» т- е> полная масса всего И(ела М. Затем, в третий

122
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
член входит сумма 2 тх> которая
у 2 > р, рд
тин центра тяжести, равна нулю. Поэтому получим:
по определению понят1
т. е. момент инерции для какой-нибудь осп равен о'мме
двух величин: а) момента инерции для параллельной' оси,
проведенной через центр тяжести, б) произведения ис/массь1
тела на квадрат расстояния между этими двумя ося;*/-
Эта теорема позволяет в случае параллельных о&й огра-
ограничиться нахождением момента инерции для одно* из них:
для всех остальных моменты инерции прямо пол/аются мл
уравнения B5).
Уравнение B5) показывает, что среди парал/^льных осей
наименьший момент инерции получаЛся для той
г из них, коУфая проходит
через центр/яжести тела.
Втор*» теорема.
Завис и /ость между
момент/ми инерции
для ос/й, проходящих
через/одну и ту же
точк/тела. 9iy точку О
прнм/i за начало координат-
ной/истемы (фиг. 85).
7усть ОА будет одна из
направление се опре-
Ьляется углами а, р, "{, ко-
орые она составляет с ося-
осями х, у, z. Возьмем одну
из частиц тела М\ координат/ ее назовем х, у, z, массу
частицы обозначим через ?и./Опуская перпендикуляр из М
на ось О А, получим расстояние MD этой частицы до оси;
его назовем через г, а жтф МО — через р. Момент инерции
тела для оси О А будет:
Здесь мы имеем следующие геометрические соотношения:
Г2 __
_ Х2 _|_ у2
_ OD*.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ 123
Рассматривая замкнутый пространственный многоугольник
ODMBCO и проектируя все стороны его на ось АО, получим:
OD = х cos a -\-y cos В -f- z cos у.
Следовательно,
Г2 __ Х3 _j__y2 _|_ ZZ _ (д; cos д _|_ д, cos g _|_ 2 cos уJ. B6)
По известному соотношению между косинусами углов,
образуемых прямой с осями координат, имеем:
1 = cos2 а -\- cos2 8 -|- cos2 у;
поэтому уравнение B6) можно написать в форме:
г2 == (х2 -\-у* -f z2) (cos2 a + cos2 В -f cos2 у) —
— {х cos a -\-у cos 8 -j- z cos уJ.
Производя возвышение трехчлена в квадрат и сокращая, най-
найдем окончательно:
г2 = cos2 а, {у2 -f 22) + cos2 P (-^2 + ■г2) + cos2 Y С-
— 2 cos у cos $-yz — 2 cos a cos у • xz — 2 cos a cos 8 • xy.
Это выражение нужно умножить на т и произвести сумми-
суммирование для всего тела. Так как косинусы углов а, В, у
одинаковы для всех членов суммы, то их можно вынести из-
под знака 2» и мы получим момент инерции в такой форме:
J = cos3 а 2 т (^+^2) + cos2 8 2 «(*3 + *2) +
-f" cos2 у 2 w i*2 ~{~.У2) — ^ cos у cos В 2 "У^ —■
— 2 cos a cos у 2 mxz — 2 cos а cos
Для краткости письма назовем каждую из сумм, входящих
в это выражение, одной буквой; тогда получим:
J = JX cos2 a-\-Jy cos2 8 -j- Уг cos2 у — 2D/Z cos у cos 8 —
— 2Лгх cos a cos у — 2Dyjl. cos 8 cos a. B7)
Здесь буквы У^, У^,, . . ., Dxy имеют следующие значения:

124
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
Так как выражение уг-\-г2 есть расстояние точки М от
оси х, то, очевидно, коэффициент Jx есть момент инерции
тела относительно оси х. Подобно этому Jy и Jz представ-
представляют моменты инерции относительно осей у и Z. Величины
Dyz, Dzx, D изображают так называемые
моменты.
Достаточно знать эти шесть величин /„
D
' х' Jy>
центробежные
, тогда по формуле B7) найдем момент инерции для лю-
любой оси ОА, положе-
положение которой определяется
углами а, [5, Y-
Итак, вопрос об опре-
определении моментов инер-
инерции для всевозможных
осей, проходящих через
одну и ту же точку, по-
получает довольно простое
решение. Шесть величин
определяют всю сложную
совокупность такой груп-
группы моментов инерции.
Для изображения того,
как изменяются моменты
инерции для разных осей, проходящих через одну и ту же точку,
применим следующий прием (фиг. 86). На каждой из осей
ОА, ОБ, ОС, ... отложим отрезок (Оа, Ob, Ос, .. .), пред-
Фиг. 86.
ставляющий величину
т. е. величину, обратную корню
квадратному из момента инерции для этой оси. Концы а, Ъ,
с, . .. этих отрезков образуют некоторую поверхность, кото-
которая будет служить наглядным указателем изменяемости мо-
моментов инерции.
Определим вид этой поверхности, для чего составим ее
уравнение. Пусть ось ОА составляет с координатными осями
х, у, z углы а, р, у.' координаты точки а, т. е. конца от-
отрезка Оа, равного -j=-, назовем S, rj, £; это будут коорди-
наты искомой поверхности, указывающей закон изменения
моментов инерции. По известным формулам аналитической

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ 125
геометрии имеем.
5 = Оа ■ cos a = -p=- cos а,
V] = Оа• cos р = -р= cos p,
2
= Оа • cos у — -у= cos Y-
Определим отсюда cos a, cos g, cos у и вставим в уравнение
B7). Получим по сокращении на J:
'_2D^^2D^-2D%^. B8)
Эта зависимость между координатами £, Г), С, представляет
уравнение искомой поверхности. Оказывается, что мы имеем
поверхность второго порядка.
К этому прибавим то соображение, что ни для одной из
осей момент инерции не может быть равен нулю, так как
он есть сумма положительных членов. Поэтому ни один из
отрезков Оа, Ob, Ос не может быть бесконечностью. Итак,
мы имеем дгло с поверхностью второго порядка, не имеющей
ни одной бесконечно удаленной точки. Следовательно, это
наверное эллипсоид.
Таким образом мы получаем замечательный общий вывод:
изменение моментов инерции для осей, прохо-
проходящих через одну точку, всегда представ-
представляется поверхностью эллипсоида, каковы бы ни
были форма тела и расположение масс его составляющих.
Изменяя направление осей координат, мы всегда можем
упростить уравнение эллипсоида и уничтожить в нем члены
с произведениями координат. Делая это известное преобра-
преобразование Эйлера, получим уравнение эллипсоида в форме:
1=/1£» + Лч8 + ^Р. B9)
Новые координатные оси будут направлены по осям эл-
эллипсоида. Сравнивая это уравнение с B8), находим, что
вследствие перемены координатных осей получились следую-
следующие изменения:
1) Величины Jx, Jy, J3 превратились в Jlt У2, У8. Но
Jx, Jy, J'г были моменты инерции для прежних осей коорди-

126 УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
нат. Теперь Уг, J2, /s будут моменты инерции для новых
координатных осей.
2) Величины D , Dzx, Dxy обратились в нули. Но эти
величины изображают суммы ^mzy, ^mxz, ^тух. Сле-
Следовательно, при новых осях такие суммы равны нулю.
Этот вывод показывает, что для всякого тела можно найти
такое направление координатных осей, при котором выпол-
выполнены условия:
2 тгу = 0, 2т*г = °. ^тух — О. C0)
В § 49 мы дали следующее определение: ось, удовле-
удовлетворяющая тому условию, что для нее равны нулю две суммы,
которые содержат координату х, т. е. ^mxz = 0, ^rnyx = 0,
называется главною осью. Условия C0) показывают, что у
нас не только ось х, но и две другие оси у, z суть глав-
главные оси. Итак, в каждой точке всякого тела име-
имеются три главные оси, вза-
взаимно перпенди кул я р н ы е. Мо-
Моменты инерции для них называются
главными моментами инерции.
Рассмотрим частный случай. Пусть
имеем;
т. е. два главных момента
инерции равны между со-
собою.
Фиг. 87. Тогда эллипсоид [уравнение B9)]
будет эллипсоидом вращения (фиг.
87). При этом получается равенство не только моментов
инерции для осей у, z, но и для всякой оси, лежащей в
плоскости yz, момент инерции будет гоже равен J2. Все эти
оси будут главными осями тела.
Этот случай получается, например, для однородных тел,
имеющих геометрическую форму тела вращения. Главными
осями такого тела будут: его ось фигуры и все оси, к ней
перпендикулярные.
В случае, когда все три главные момента инер-
инерции равны между собою:
г г
1 — J1 — Jа>

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
127
эллипсоид B9) превращается в шар. При этом моменты
инерции для всех осей будут равны межцу собою, и все оси
будут главные.
Чтобы вычислить момент инерции, нужно разделить тело
на элементарные части, составить произведение из массы
элемента на квадрат расстояния
его до оси и затем суммировать
произведения. Число их беско-
бесконечно большое; следовательно,
мы будем иметь дело с суммою
бесконечно большого числа членов.
Подобные суммы находятся по пра-
правилам интегрального исчисления.
Для примера найдем момент
инерции однородного кругового
цилиндра относительно его осн.
Пусть радиус цилиндра будет /?,
а высота его Н (фиг. 88). Разде-
Разделим его на элементы такого вида:
опишем из центра, взятого на оси
цилиндра, два бесконечно близких
круга радиусов р и р -\- dp и на них
построим бесконечно тонкую ци-
цилиндрическую трубку, простираю-
простирающуюся по всей длине цилиндра.
Все точки такого элемента можно
считать находящимися на одинако-
одинаковом расстоянии р от оси цилиндра.
Объем элемента равен 2np-dp-H. Если назовем
единицы объема через 5, то масса элемента будет:
массу
его момент инерции равен
C1)
Весь цилиндр можно считать состоящим из таких элемен-
элементов. Просуммируем выражения C1); это сводится к нахож-
нахождению определенного интеграла в пределах от радиуса, рав-
равного нулю, до радиуса R.

128
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
Искомый момент инерции будет:
Если имеем цилиндрическое кольцо, например обод махо-
махового колеса (фиг. 89), то момент инерции его получится как
разность моментов инерции двух
цилиндров — наружного с радиу-
радиусом #j и внутреннего с радиу-
радиусом Rt
*'51. Уравновешивание каса-
касательных сил инерции. Касатель-
Касательные силы инерции не могут уравно-
уравновешиваться силами давления в
подшипниках, потому что моменты
этих сил давления относительно
оси вращения равны нулю, в то
время как сумма моментов каса-
касательных сил инерции относи-
относительно оси вращения, согласно § 35, имеет величину
Следовательно, если касательные силы инерции уравновеши-
уравновешиваются сами собой, то
dt ~и'
т. е. вращение происходит равномерно; но тогда касательные
силы инерции вообще отсутствуют.
В общем же случае можно потребовать, чтобы давления,
возникающие в подшипниках вследствие наличия касательных
сил инерции, уравновешивались этими силами. Для этого
опять надо написать два уравнения равновесия для проекций
по осям х и у и два уравнения моментов относительно осей
л: и у. Для этого надо найти проекции касательных сил
инерции. Сравнивая эти силы с центробежными, видим, что
те и другие приложены к каждой частице тела и пропорцио-

ВЫПОЛНЕНИЕ УРАВНОВЕШИВАНИЯ НА ПРАКТИКЕ 129
нальны произведению тг. Различие же состоит в том, что
это произведение в центробежных силах умножается на оди-
одинаковый множитель а2, а для касательных сил имеется общий
множитель —-. Кроме того, все касательные силы инерции
повернуты относительно центробежных сил на 90° в плоско-
плоскости вращения (фиг. 90).
Итак, мы можем перейти от системы центробежных сил
к системе касательных сил инерции, умножая первые на не-
некоторый постоянный множитель и поворачивая их на 90°
в плоскости вращения. Вместе с ia-
ким поворачиванием сил повернем на
тог же угол в ту же сторону и ко-
координатные оси х и у, которые ле-
лежат в плоскости вращения. Тогда
проекции и моменты касательных сил
инерции относительно новых коорди-
координатных осей выразятся теми же фор-
формулами, как проекции и моменты цен-
центробежных сил относительно старых фИГ- до.
осей с заменой множителя со3 на
-тт . Так как уравновешивание центробежных сил без реакций
опор было возможно на основании уравнений B1), B2), B3),
B4), если центр тяжести лежит на оси вращения и ось вра-
вращения есть главная ось инерции, то и касательные силы
инерции в этом случае не вызовут дополнительных давлений
на подшипники.
52. Выполнение уравновешивания на практике. Прибли-
Приблизительное уравновешивание вращающихся частей машин до-
достигается тем, что им придают форму тел вращения; для
этого их обтачивают на токарном станке. Но такое уравно-
уравновешивание было бы вполне совершенным только в случае
полной однородности материала, чего в действительности ни-
никогда не бывает. Поэтому, несмотря на форму тела вращения,
в обточенных частях машин центр тяжести не лежит на
оси вращения, и эта ось не есть главная ось. Для оконча-
окончательного выполнения условий уравновешивания делают допол-
дополнительные поправки при помощи ряда попыток, руковод-
руководствуясь следующими приемами.
9 В. Л. Кирпичев

130
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
Если тело может свободно вращаться около оси О и
центр тяжести его G не совпадает с осью вращения, то по-
положением устойчивого равновесия будет такое, при котором
центр тяжести занимает самое низкое из возможных для него
положений; тело будет всегда стремиться установиться в этом
положении. Нужно спиливать часть материала со стороны
центра тяжести до тех пор, пока не исчезнет положение
устойчивого равновесия и все положения будут одинаково без-
безразличны; если достигнем этого, то имеем совпадение центра
тяжести с осью вращения. Остается достигнуть того, чтобы
ось вращения была главной осью. Для этого нужно иметь
какой-нибудь признак, указывающий на такое несовпадение;
он заключается в ударах на опоры; эти удары прекращаются,
если ось вращения сделается главной осью.
Вот как выполняется это уравновешивание для вагонных
скатов (фиг. 91). Вагонный скат (т. е. ось с заклиненными
А В
Фиг. 91.
на ней двумя колесами) располагается на двух подшипниках
А, В, которые поставлены на рессоры С и D; затем особым
двигателем, присоединенным к шейке вала, ось приводится
во вращение с тою же скоростью, с которой она будет вер-
вертеться в курьерском поезде (т. е. 465 об/мин для скорости
96,6 /сж/час). Неуравновешенная ось будет производить на под-
подшипники удары, которые проявятся качанием рессор. Нужно
спиливать часть материала в некоторых местах или прибавлять
небольшие грузы в других, пока не достигнем полного пре-
прекращения качаний.
Хорошее уравновешивание вагонных скатов очень помогает
плавности хода вагона и уничтожению в нем качаний и дро-
дрожаний, неприятно действующих на нервы.
В машинах неуравновешенные части производят при каж-
каждом обороте удары, вызывают стуки и особый звук машин;
высота его определяется числом ударов в секунду. Эта высота

СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ЖЕРНОВАХ
131
тем больше, чем больше число оборотов в минуту. Поэтому
машины разного рода производят особые характерные для
них звуки; здесь можно указать на пение турбин Лаваля,
которые делают от 15 000 до 30 000 об/мин.
Высота звука, издаваемого вращающимися частями машин
и физических приборов, может быть применена для определе-
определения их скорости вращения. Это было в первый раз сделано
Фуко, при его опытах для определения скорости света. Су-
Существенную часть прибора составляло быстро вращающееся
зеркало; Фуко с намерением уравновесил ось его не вполне,
чтобы иметь «звук оси» («son de l'axe»), по которому и оп-
определял скорость вращения.
53. Уравновешивание сил инерции в жерновах (фиг. 92).
Обыкновенно нижний камень (лежняк) неподвижен, а верхний
(бегун) вращается на вер-
вертикальной оси, на которую
он опирается шаровой
поверхностью, так что
может качаться на опоре,
чтобы в случае нужды мог
без порчи пройти над пре-
препятствием, попавшим в за-
зазор между жерновами. При
нормальном ходе атот за- Фиг- 92.
зор должен быть одинаков
по всей окружности; иначе жернов будет молоть неровно,'и даже
может случиться, что верхний камень будет царапать нижний и
стираемая каменная пыль примешается к муке. Для сохранения
постоянства этого зазора бегун должен быть уравновешен на
своей оси, т. е. должны быть соблюдены два условия, при-
приведенные в § 49. После первоначального изготовления бегуна
его пускают в ход и, наблюдая неправильности движения,
постепенно исправляют их, или высверливая дыры в разных
местах камня, или нагружая некоторые места свинцом, зали-
залитым в углубления камня. Это делают до тех пор, пока не
получится совершенно правильный ход. Предлагали для урав-
уравновешивания помещать в особых углублениях грузики а
на винтах Ь\ поворачивая эти винты, можно перемещать не-
немного грузы с той или другой стороны и этим достигать
точного уравновешивания.
9»

132
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
Фиг. 93.
Вопрос об уравновешивании жерновов имел особое значе-
значение в прежнее время, когда на крупных мельницах применя-
применялось много жерновов с огромными, тяжелыми камнями. Но
теперь на усовершенствованных мельницах жернова почти совсем
вытеснены^из употребления и заменены валковыми поставами.
54. Уравновешивание сил инерция кривошипного меха-
механизма. Паровозы. В механизме паровоза (фиг. 93) развиваются
силы инерции поршня со
штоком А, крестовины
: ползуном В, шату-
шатуна С и кривошипа D.
Действие этих сил было
замечено, как только
начали увеличивать
скорость движения по-
поездов и размеры паро-
паровозов; тогда полу-
получились значительные
силы инерции, которые портили рельсы и весь путь, сообщали
паровозу качку и разные неправильности движения, иногда
даже вызывали сход с рельсов. Пришлось позаботиться об
уравновешивании сил инерции, и с этой целью начали ста-
ставить противовесы Е на колесах паровоза. Уже Стефенсон
употреблял это средство, и скоро применение противовесов
сделалось общераспространенным.
Польза противовесов наглядно демонстрируется опытом,
который был в первый раз произведен в 1847 г. Подвесив
паровоз (без противовесов) на четырех цепях, затопили его
котел и пустили пар в цилиндры. Получились сильные кача-
качания паровоза, которые легко можно было записать на особом
чертящем приборе. Затем поставили противовесы и этим до-
достигли значительного уменьшения колебаний.
Противовес при движении паровоза дает центробежную
силу, посредством которой стараются уравновесить прочие
силы инерции. Нетрудно видеть, что этим путем нельзя до-
достигнуть полного и точного уравновешивания всех сил инер-
инерции кривошипного механизма. Из них наибольшие величины
имеют силы инерции поршня А и крестовины В; но эти силы
горизонтальны, их нельзя уравновесить вполне центробежной
силой противовеса, которая идет по радиусу колеса и имеет

СИЛЫ ИНЕРЦИИ КРИВОШИПНОГО МЕХАНИЗМА 133
как горизонтальную, так и вертикальную слагающие. Это было
хорошо видно при опытах Ноллау с подвешенным паровозом.
Сначала в нем были поставлены небольшие противовесы, ко-
которые почти уничтожили вертикальные колебания паровоза,
но горизонтальные колебания еще были значительны. Затем,
постепенно увеличивая противовесы, уничтожили горизонталь-
горизонтальные колебания, но при этом вновь появились вертикальные
колебания, даже большие тех, ко-
которые имелись при отсутствии про-
противовесов. Поэтому на практике огра-
ограничиваются неполным уравновеши-
уравновешиванием сил инерции. Иногда доволь-
довольствовались только уравновешиванием
вертикальных сил инерции; оказалось,
что этого недостаточно, так как тогда
остается значительная неуравнове- ф „.
шенная часть горизонтальных сил ' ' ,
инерции и движение паровоза очень неспокойно. Пробовали
ставить такие тяжелые противовесы, что в положении А (фиг. 94)
центробежная сила вполне уравновешивает горизонтальные
силы инерции. Так было сделано при введении в половине
прошлого столетия паровозов Кремптона, предназначенных
для курьерских поездов. Но тогда в положениях В и С, когда
центробежная сила противовеса становится вертикальной, она
оказывалась почти вовсе не уравновешенной; в положении С
она сильно портит рельсы, а в положении В вызывает опасное
подпрыгивание. И действительно, при первых же пробах па-
паровозов Кремптона с такими противовесами получился сход
с рельсов; пришлось уменьшить противовесы, и теперь им
всегда придают вес меньший, чем тот, который требуется для
полного уравновешивания горизонтальных сил инерции.
Итак, вращающиеся противовесы не годятся для точного
уравновешивания сил инерции поршня и крестовины. Эти силы
горизонтальные, и для уравновешивания их нужны тоже го-
горизонтальные силы. Другой прием уравновешивания состоит
в следующем. С каждой стороны паровоза помещены один
над другим два паровых цилиндра А, В (фиг. 95), действую-
действующие на кривошипы, которые повернуты на 180° один отно-
относительно другого. Поэтому движения поршней цилиндров А
и В прямо противоположны, и их горизонтальные силы инер-

134
УРАВНОВЕШИВАНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
ции почти в точности взаимно уравновешиваются, не требуя
противовесов.
Для выполнения этой идеи нужно применять конструкцию
кривошипа с обратным кривошипом (фиг. 96); один пор-
поршень действует на
шейку кривошипа а,
другой — на обрат ный
кривошип Ь. Очень
трудно достигнуть
прочности такой кон-
конструкции; в^особенно-
в^особенности скоро расстраи-
расстраивается соединение ко-
коленной части аЬ с ко-
колесом паровоза. Поэто-
Фиг. 95.
му такая конструкция
недолго удержалась в практике.
Вместо нее предлагают для той
же цели применять конструкцию,
показанную на фиг. 97; поршни А
и В действуют на два различных
колеса паровоза а и Ь; соединитель-
соединительный шатун С связывает движение
этих колес так, что направления дви-
движений поршней А а В прямо проти-
противоположны.
Теперь"* нередки случаи примене-
применения в паровозах четырех паровых
цилиндров, расположенных' рядом (два наружных цилиндра
и два внутренних) и действующих посредством кривошипов
Фиг. 96.
Фиг. 97.
и колен на одну ось. Это — тот же способ расположения
и уравновешивания, как общепринятый для пароходных машин.

СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ЗАВОДСКИХ ПАРОВЫХ МАШИНАХ
135
j— Q,
55. Уравновешивание сил инерции в пароходных ма-
машинах. С увеличением скорости движения пароходных машин
резко выступило явление, на которое прежде не обращали
внимания: неуравновешенные силы инерции, производя удары
на корпус судна, сообщают этому корпусу колебания; даже
крупное металлическое судно дрожит, как камертон, образуя
два или более узла. Эти коле-
колебания иногда становятся невы-
невыносимыми, и теперь уравнове-
уравновешивание сил инерции в крупных
пароходных машинах совершен-
совершенно необходимо.
Пароходные машины имеют
обыкновенно четыре рядом стоя-
щие цилиндра (фиг. 98), дей-
действующие на один и тот же вал.
Оказывается, что при четы-
рех цилиндрах можно достигнуть
почти полного уравновешивания указанных сил без противо-
противовесов, т. е. эти силы инерции уравновешиваются взаимно.
Для этого нужно только известным образом подобрать сле-
следующие величины: а) углы а, а', а" между кривошипами, на
которые действуют поршни четырех цилиндров, б) расстояния
а, а' а" между осями цилиндров х).
56. Силы инерцчи в заводских паровых машинах. Завод-
Заводские машины прикрепляются болтами к фундаментам, на ко-
которые и передаются все удары. Так как фундаменты всегда
очень массивные, то сотрясений не замечается, если даже силы
инерции вовсе не уравновешены, но тем не менее удары есть,
и они расстраивают конструкцию. Поэтому полезно уравнове-
уравновешивать силы инерции и в заводских машинах, если они быстро-
быстроходные; теперь это обыкновенно и делают.
Фиг. 98.
1) Шуберт, Теория уравновешивания сил инерции, 1902.

СЕДЬМАЯ БЕСЕДА
ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
57. Вывод теоремы. Теорема о подобии выражает усло-
условия, при которых две системы, геометрически подобные, будут
получать геометрически подобные движения, т. е. одна система
будет как бы копировать движение другой, но только изме-
изменив масштаб.
Теорема эта была найдена Ньютоном и изложена в «Мате-
«Математических началах натуральной философии» в той главе этого
сочинения, которая говорит о сопротивлении жидкостей дви-
движению1); закон этого сопрошвления выведен Ньютоном при
помощи теоремы о подобии. Сама теорема получается у Нью-
Ньютона, скорее, как гениальная интуиция, чем как результат
строгого вывода. Почти через двести лет после того Бертран
показал, что эта теорема есть непосредственное следствие
начала Даламбера.
Для вывода ее сначала покажем, в какой форме изобра-
изображается начало Даламбера, если применить к выражению всех
обстоятельств движения декартовы прямоугольные координаты
и рассматривать всякую систему как совокупность материаль-
материальных точек.
Координаты любой из этих точек, имеющей массу т,
назовем х, у, z, а слагающие активной силы, приложенной
к той же точке, обозначим через X, Y, Z.
Прежде всего выразим условия равновесия этой материаль-
материальной системы. Если для нашей точки т проекции возможных
перемещений назовем через Sx, 5y, Ьг, то работа активной
1) II книга, 7-й отдел, русский перевод А. Н. Крылова (Собрание
трудов А. Н, Крылова, т. VII, 1936),

ВЫВОД ТЕОРЕМЫ 137
силы для дозволяемого связями перемещения будет равна
Хдх+Пу + Zte.
Составим такие же выражения работы для всех точек, образу-
образующих нашу систему, и сложим эти выражения:
На основании начала возможных перемещений эта сумма работ
должна быть равна нулю, следовательно:
2 (ЛГдд: + Пу + Zbz) = 0. C2)
Это уравнение выражает начало возможных перемещений.
Уравнения движения получим, если в найденном условии
равновесия активные силы заменим потерянными силами, т. е.
равнодействующими активных сил и сил инерции.
Но, если х, у, z представляют переменные (текущие) ко-
координаты движущейся точки, то проекции ускорения ее на оси
л йгх d2y dfiz
Оудут: ^-, -ф, _— а проекции сил инерции, по определе-
определению, которое было дано в § 33, изобразятся отрицательными
произведениями массы т на эги ускорения, т. е.
Потерянные силы будут иметь своими проекциями
„ d2x .. сРу „ й*г
x~mw Y—mw> z~md*-
Их нужно подставить в уравнение равновесия C2) вместо
внешних сил X, Y, Z; тогда получим уравнения движения:
= 0. C3)
Это и будет та форма начала Даламбера, которую получает
это начало, если применить декартовы координаты и рас-
рассматривать систему как совокупность махериадьных точек.
Вообразим себе теперь другую cncieMy, которая геометри-
геометрически подобна первой системе, но отличается от нее разме-

138 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
рами, а также массами материальных точек. Обозначим отно-
отношение линейных размеров новой системы к размерам прежней
через а, а отношение масс соответственных точек через ц.
Мы желаем, чтобы движения этих систем были геометрически
подобны; следовательно, соответственные точки двух систем
должны двигаться подобно. Определим более полно, что сле-
следует подразумевать под этим понятием «подобные движения».
Мы сказали, что вторая система должна копировать движе-
движение первой, изменив масштаб; это изменение должно рав-
равняться отношению линейных размеров, т. е. ~к. Если текущие
координаты частицы т первой системы суть х, у, z, то ко-
координаты соответственной точки второй системы х', у', z'
должны иметь значения х'=)jc, y'=iy, z'= \z, т. е. должно
быть соотношение:
х^___у^ z^_ .
х у z
Тогда перемещения второй системы будут параллельны пере-
перемещениям первой системы ив), раз больше. В этом и состоит
подобие перемещений двух систем.
Теперь нужно ввести условие относительно того, с какой,
скоростью вторая система будет копировать перемещения
первой. Предположим, что соответственные части путей про-
проходятся двумя системами не в одно и то же время; пусть
вторая система употребляет для этого время в т раз большее,
чем первая; т — число произвольное, но постоянное во все
время движения и одинаковое для всех точек, составляющих
систему. Итак, если в первой системе частица массы т в мо-
момент времени t имеет координаты х, у, z, то во второй си-
системе соответственная частица, имеющая массу тц, будет
иметь в момент времени t' = h координаты Ъс, ly, lz.
Теперь мы вполне определили, что называем подобными
движениями двух систем. Как следствие этого определения
получаем соотношения скоростей и ускорений сходственных
точек двух систем; при этом сравниваем скорости и ускоре-
ускорения, получающиеся для соответственных времен, т. е. для
первой системы берем момент времени t, а для второй — мо-
момент времени Р— it. Так как для этих моментов времени
имеем:
х'=\х,

ВЫВОД ТЕОРЕМЫ 139
то, дифференцируя и помня, что т и 1 не зависят от времени,
получим:
dt' = т dt,
dx' = \ dx.
Следовательно,
dt х dt '
т. е. отношение скоростей — и -т- для сходственных времен
dt ctt
равно постоянной и одинаковой для всех частиц величине —.
Дифференцируя уравнение C4), получим:
а деля обе части этого уравнения на dt', или, что все равно,
на idt, найдем:
(dx'\
dx\ ^(dx
dt' x2 dt
Следовательно, отношение ускорений соответственных точек
двух систем для соответственных времен представляется по-
постоянным и одинаковым для всех частиц множителем -=-.
Отношением сил инерции, т. е. произведений из массы
на ускорение будет: -^-.
Таковы соотношения в тех движениях, которые мы назвали
подобными. Посмотрим, какие активные силы должны быть
приложены к этим системам, чтобы они получили подобные
движения. Если в первой системе на точку m действуют силы
X, Y, Z, то какие силы X', У, Z' должны бшь приложены
к соответствующей точке второй системы?
Для ответа на этот вопрос обратимся к уравнению C3),
изображающему движение первой системы, и посмотрим, как
нужно преобразовать его, чтобы получить движение второй
системы.

140 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
Заметим, что вторая система должна быть подобна первой
во всех отношениях, т. с. не только части второй системы
должны быть подобны частям первой системы, но должно
соблюдаться также и подобие связей. Следовательно, воз-
возможные перемещения второй системы могут отличаться от
возможных перемещений Ьх, by, bz первой системы только мно-
множителем, общим для всех частиц; его можно отбросить.
сРх
Затем, вместо сил инерции — mjfz> B0 второй системе
появятся те же величины, умноженные на -~ . Вместо активных
сил X, Y, Z во второй системе будут силы X', У, Z'. Таким
образом, уравнением движения второй системы будет:
'-$%)*]=<>■
+1
Нужно найти, какие силы X', Y', Z' удовлетворяют этому
уравнению; это будут силы, сообщающие второй системе
движение, подобное тому движению первой системы, которое
определяется уравнением C3). Но, сравнивая уравнения C6)
и C3) между собою, видим, что, если уравнение C3) удов-
удовлетворено, то можно удовлетворить уравнению C6), принимая
и полагая при этом
На самом деле, при такой подстановке уравнение C6)
делается вполне согласным с уравнением C3), за исключе-
исключением лишь постоянного множителя у=^г, на который можно
сократить, так как этот множитель входит во все члены
уравнения.
Итак, силы, которые сообщают второй системе движение,
подобное движению первой системы, должны удовлетворять

ВЫВОД'ТЕОРЕМЫ l4l
следующим условиям:
т. е. 1) активные силы второй системы должны
быть параллельны и пропорциональны соответ-
соответствующим силам первой системы;
2) коэффициент пропорциональности сил
должен равняться произведению из отношения
линейных размеров двух систем на отноше-
отношение соответственных масс этих систем, раз-
разделенному на квадрат отношения соответст-
соответствующих времен.
В этом и заключается теорема Ньютона о подобии.
Для сил связи, конечно, получится такое же соотношение,
как указанное для активных сил.
Работа получается как произведение силы па перемещение:
поэтому отношение соответственных работ для двух подобных
систем изобразится величиной
В технике имеет особое значение величина работы, произ-
производимой машиной в единицу времени; она выражается обык-
обыкновенно в лошадиных силах. Отношение таких работ для двух
подобных систем получится делением выражения C7) на от-
отношение времен т:
^ • C8)
Эту совокупность отношений дополним вышеуказанными
отношениями скоростей
Т C9)
и ускорений
Мы можем притти к тому же результату, подходя к во-
вопросу с совершенно другой точки зрения, а именно, рассмат-

142 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
ривая размерность величин, входящих в урав-
уравнения движения.
В уравнение движения входят разнородные величины; из
них три величины основные, а именно: длина (L), масса (Ж)
и время (Т); прочие же величины — производные. Ускорение
имеет своей размерностью:
а так как сила равна произведению массы на ускорение, то
размерностью ее будет:
MLT-*.
Вообразим себе любой случай движения системы, опреде-
определяемый одним или несколькими уравнениями. Изменим единицы,
которыми измеряются величины, входящие в уравнения движе-
движения; тогда эти величины будут изображаться другими числами,
чем прежде, сообразно с изменением единиц.
Произведем следующее изменение единиц: уменьшим еди-
единицу длины в 1 раз, единицу массы в \з. раз и единицу вре-
времени в т раз. Тогда единица для измерения сил уменьшится
в — раз. Числа же, представляющие величины длин, масс,
времен и сил, увеличатся в тех же отношениях, т. е. в I,
Ц, т, -£■ раз.
Эти новые числа должны удовлетворять прежним уравне-
уравнениям движения, так как они представляют данные, относящиеся
к движению прежней системы. Итак, если в любом уравнении
движения мы все длины умножим на произвольную постоянную
величину X, все массы — на ц, все времена — на х и все силы —
Хц.
на —j-, то уравнение попрежнему будет удовлетворено.'
Но мы можем смотреть на это видоизмененное уравнение
с другой точки зрения. Прежде мы считали, что оно изображает
движение прежней системы, с изменением лишь единиц, кото-
которыми измеряются величины. Теперь предположим, что единицы
остались прежние. Мы можем толковать видоизмененное урав-
уравнение как уравнение движения другой системы, которая полу-
получается из первоначальной путем увеличения всех длин в \ раз,
всех масс в |л раз, всех времен в т раз и всех сил в -у- раз.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 143
Эта новая система подобна первоначальной, и сравнение их
уравнений движения показывает, что новое движете подобно
прежнему движению. Итак, получаем вновь теорому о подо-
подобии; условие подобия, т. е. соотношение сил, конечно, полу-
получилось то же самое, что и в предыдущем способе доказа-
доказательства.
Изложенное второе доказательство показывает, что закон
подобия в динамике представляет непосредственное следствие
необходимой однородности всех членов, входящих в какое
угодно уравнение; его можно называть «законом однород-
однородности». Отсюда легко вывести распространение этого закона
на различные вопросы математической физики *).
Приложения теоремы о подобии весьма многочисленны и
дают очень важные результаты, так что один из теоретиков-
механиков справедливо называет теорему о подобии великим
принципом подобия. Мы приведем примеры из разно-
разнообразных областей науки и техники.
58. Центральное движенче. Пусть система состоит из
материальной точки т, движущейся под влиянием притяжения
к неподвижному центру S; сила притяжения пропорциональна
величине массы т и расстоянию г, возвышенному в степень п.
Другая система ей подобна. Какие указания на соотношения
движений этих систем даст теорема о подобии?
Она указывает, что отношение сил должно быть -^- . С дру-
другой стороны, заданный закон притяжения указывает, что отно-
отношение сил в двух системах составляет jji.". Следовательно,
имеем:
1) Теорема о подобии в теории тепла была выведена Фурье; этот
вопрос разобран в мало известном мемуаре ею, носящем заглавие
«Memoire sur la distinction des racines imaginaires etc.». См. в собрании
сочинений Фур(.е (Oeuvres de Fourier), т. II, стр. 135—144. Эта работа
относится к 1827 г., т. е. появилась пятью годами готике, чем «Theo-
rie analytique de la chaleur». См. также статью: J. Bertrand, Sur
l'homogeneite dans les formules de physique, «Comptes Rendus», 86,
стр. 916 A8/8). Здесь рассмотрено подобие в теории тепла и теории
электричества. [Вопросы подобия и размерности изложены в книге:
Седов Л. И., Методы теории размерностей и теории подобия в ме-
механике. Гостехиздат, 1944. (Прим. ред.)]

144 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
откуда
Т2 = /.!-". D1)
Здесь т представляет отношение соответствующих времен;
если, например, точка т описывает замкнутую кривую (орбиту)
около притягивающего центра S, то т означает отношение
времен обращения масс около центра 5. Уравнение D1) пред-
представляет следующий закон: квадраты времен обра-
обращения относятся, как A — я) - е степени линей-
линейных размеров орбит.
В частном случае, когда п = —2, т. е. когда притяжение
обратно пропорционально квадратам расстояний, получаем:
т. с. находим третий закон Кеплера: квадраты времен
обращения пропорциональны кубам сред-
средних расстояний (т. е. полуосей эллиптических
орбит).
59. Качания маятника. Возьмем два геометрически по-
подобных маятника и заставим их качаться в двух различных
местах земного шара, различающихся между собою величи-
величинами ускорения тяжести. Отношение величин этих ускорений
назовем через g; тогда отношением сил земного притяжения
будет p.g. Но по теореме подобия отношение сил равно -^- ;
следовательно,
X
откуда
Здесь т представляет отношение соответствующих времен
для двух маятников, например отношение времен качания.
Итак, время качания маятника прямо пропорционально
корню квадратному из длины маятника и обратно пропорцио-
пропорционально корню квадратному из ускорения тяжести.
60. Числа колебаний воздуха в подобных трубах про-
произвольной формы. Здесь в качестве движущей силы появ-
появляется упругость воздуха; она при данной степени сгущения

СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОДЫ ДВИЖЕНИЮ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 145
или разрежения пропорциональна площади, на которую про-
производится давление. Следовательно, для подобных труб отно-
отношение сил равно квадрату отношения линейных размеров.
Приравнивая это выражение тому отношению сил, которое
дается теоремой о подобии, т. е. -у-, .получаем:
Но \j. — отношение подобных масс воздуха — равно кубу
отношения линейных размеров. Следовательно, после подста-
подстановки найдем:
т=а.
Итак, отношение сходственных времен, т. е. отношение
чисел колебаний основных звуков, издаваемых трубами, равно
отношению линейных размеров труб (закон Савара).
61. Сопротивление воды или воздуха движению твер-
твердых тел. Вмесю того чтобы рассматривать твердое тело, дви-
движущееся с некоюрой скоростью V в неподвижной среде,
обратим движение: предположим, что 1вердое тело неподвижно,
а на него течет вся среда с той же скоростью V, но в обрат-
обратном направлении. Такое обращение движения упрощает вопрос:
мы теперь можем не обращать внимания на массу твердого
тела; в движении принимают участие только массы воздуха
или другой среды. Рассмотрим давления этих движущихся
жидкостей на твердое тело.
Для сил при подобных системах имеем отношение
U
Отношение подобных масс двух движущихся жидкостей
равно Ы3 C — отношение плотноаей жидкостей). Следова-
Следовательно, имеем:
я= о-5-= ол2
Но — есть отношение скоростей при подобных движе-
движениях, а I2 равно отношению поперечных сечений подобных тел.
Итак, мы получаем, что силы сопротивления воды или воздуха
для подобных тел относятся между собою, как произведения
Ю В. Л. Кирпичев

146
ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
из плотности жидкости р на площадь поперечного сечения
движущегося тела F и на квадрат скорости V2. Это вывод
Ньютона. Выражая его алгебраическими знаками, получаем
для силы сопротивления Q формулу:
Q=fyFV2, D2)
где k — коэффициент, одинаковый для всех жидкостей.
Заметим, что закон, изображаемый формулой D2), отно-
относится только к геометрически подобным телам, и мы не имеем
права распространять его на тела не подобные. Прежде часто
не обращали на это внимания и применяли формулу D2) как
общий закон сопротивления для всяких тел; замечая, что
в формулу не входит длина тела, говорили: сопротивление
пропорционально площади поперечного сечения и не зависит
от длины тела.
Такой вывод неверен и есть результат неправильного рас-
распространения формулы D2) на тела не подобные. Чтобы резко
выставить неправильность подобного расширения закона за
пределы его применимости в вопросе о сопротивлении движе-
движению судов, Фруд приводи г% следующий довод, для геометри-
геометрически подобных судов можно в формуле, дающей отношение
сопротивлений, вместо i? вставить, если угодно, отношение
квадратов высот мачт. Однако никому не придет в голову
распространять этот вывод на тела не подобные и утверж-
утверждать, что сопротивление вообще пропорционально квадрату
высоты мачт! Настолько же нелогично и вышеуказанное рас-
распространение закона о
пропорциональное: и со-
сопротивления поперечным
сечениям движущихся тел.
62. Водооллв Джемса
Томсола. При гидравли-
гидравлических опытах количество
протекающей воды часто
измеряйся с помощью во-
водослива. Обыкновенно отверстие водослива mietT форму
прямоугольника (фиг. 99); здесь ширина струи Ь постоянная,
а толщина ее с и напор h над ребром водослива изменяются
с изменением количества протекающей воды. Размеры Ь, с, h
служат для определения количества воды, протекающей в одну
Фиг. 99.

ВОДОСЛИВ ДЖЕМСА ТОМСОНА 147
секунду. Но при разных h как сечение струи Ь-с, так и форма
ее и, вообще, все обстоятельства движения изменяются без
соблюдения подобия; поэтому здесь нельзя приложить нашу
теорему. Теоретический же разбор получающегося движения
затруднителен. Приходится прибегнуть к эксперименту; но
здесь нужно произвесш обширную серию опытов и находить
количество протекающей воды для различных постепенно изме-
изменяющихся высот /г; составив
предварительно т<л<ую эмпи-
эмпирическою таблицу для дан-
данного водослива, можем за1ем —
пользовался ею при даль- ~
нейших исследованиях. Та- фнг jqq
ким образом, здесь необходи-
необходима довольно продол кнтсльная предварительная работа —
градуирование водослива, т.е. определение расхода воды, кото-
который получае!ся при разные напорах h над ребром водослива.
Джемс TomcoiI предчожш устраивать в водосливах отвер-
отверстие не прямоугольной формы, а треугольное (фиг. 100). При
эЮм для разных напоров h сечения струй будут подобные
треугольники, и такое движение удовлетворяет закону подобия.
В атом вопросе можно принимать только одну внешнюю
силу — вес жидкости'); для подобных спаем отношение весов
будет ).3. Приравнивая это общему coos ношению сил в подоб-
подобных системах, т. е.
U
и вставляя для отношения масс \з. отношение кубов сходст-
сходственных размеров, получим:
откуда
Но — есть отношение скоростей; а так как количество
воды, протекающей в секунду, пропорционально произведению
!) Если ребра водослива острые, как на нашей фигуре, то можно
пренебречь трением струи о стенки отоерстия.
10*

148 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКИ
из скорости на площадь струи, то для подобных систем отно-
шением количеств протекающей воды будет X2 |/~Х = \2. Сле-
Следовательно, отношение количеств протекающей воды равно
отношению сходственных размеров, возвышенному в степень 6/2.
Сходственными размерами нам будут служить напоры h над
вершиной отверстия. Итак, количество воды, протекающей
в секунду, выразится формулой:
где А — коэффициент пропорциональности. Его определим из
опыта; здесь достаточно произвести один опыт для одной
какой-нибудь высоты h, т. е. градуировка прибора значи-
значительно проще, чем в случае прямоугольного отверстия водо-
водослива.
63. Движение жидкостей в трубах. Критическая ско-
скорость. При движении по трубам воды и других жидкостей
они встречают сопротивление в виде трения. Изучение этого
явления имеет особое значение для устройства проводов воды,
воздуха, нефти, керосина, для канализации и т. д.
Опыты показали, что при небольших скорос1ях это сопро-
сопротивление изменяется пропорционально первой степени ско-
скорости; при более значительных скоростях находят другой
закон сопротивления, а именно, оно изменяется пропорцио-
пропорционально квадрату скорости. Осборн Рейнольде показал, что,
если все обстоите лье 1ва опыта осиются неизменными, за
исключением величины скорости г), то такой переход одного
закона сопротивления к другому происходит не постепенно, а
сразу, т. е. имеехся некоторая определенная скорость, слу-
служащая как бы разделом двух явлений; при скоростях, мень-
меньших ее, сопротивление пропорционально первой степени, а для
скоростей, превышающих раздельную, сопротивление изме-
изменяется как квадрат скорости. Скорость, служащая разделом
двух явлений, называется критической скоростью.
Осборн Рейнольде с помощью очень остроумного опыта
!) То-есть не изменяются ни диаметр трубы, ни материал, из ко-
которого она сделана, а также испытываемая жидкость остается одна
и та же.

ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ 149
выяснил причину такого резкого изменения характера явления
у критической скорости1). Вода вытекала из резервуара А
(фиг. 101) по трубе В; по оси трубы у входа в нее из пи-
пипетки С пускалась тонкая струйка окрашенной жидкости. При
скоростях, меньших критической, эта струйка двигалась пра-
правильной тонкой осевой нитью по всей длине трубы, не смеши-
смешиваясь с водою. Но когда скорость была больше критической,
то струя краски сейчас же
по входе в трубу В разбл-
валась, окрашивала всю воду,
заполнявшую трубу, и во-
вода казалась мутной. Чтобы
лучше разобрать явление,
Осборн Рейнольде освещал
СВОЙ прибор рЯДОМ ЭЛСКТрН- фИГ1 101
ческих искр; тогда можно бы-
было видеть, что кажущееся помутнение воды происходило от ря-
ряда вихрей, на которые разбивалась струя краски (фиг. 102).
Этим опытом было доказано, чю, пока скорость меньше кри-
критической, вода движется в трубе правильными продольными
струями. При скоростях, больших критической, движение
делается вихревым. Появление этих
вихрей и вызывает изменение закона
сопротивления.
Надлежащее гсорстическое изуче-
изучение вихревого движения жидкостей Фиг''102
было начато Гельмгольцем, который,
между прочим, доказал, что в идеаль-
идеальной жидкости не могут образоваться вихри. Появление их
объясняется отступлением свойств жидкости от идеальных;
оно указывает, что жип,косгь вязкая Следовательно, в рас-
рассматриваемом явлении действует сила вязкости жидкости.
Достаточно рассматривать только эту силу; вес не имеет зна-
значения в разбираемом явлении.
Напомним основные законы действия силы вязкости. Эле-
Элементарное явление, в котором проще всего проявляется вяз-
вязкость, состоит в сдвиге.
J) См. Седов Л. И., Методы теории рашерностей и теории по-
подобия в механике, § 10. Гостехиздат, 1944. (Прим. ред.)

i/
150 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
Пусть А (фиг. 103) представляет тонкий слой вязкой
жидкости, заключающийся между двумя стеклами В и С. Нижнее
стекло неподвижно, а верхнее приводится в движение дейст-
действием силы д, идущей горизонтально слева направо. Тогда
прямоугольный элемент жидкости abed получает перекашива-
перекашивание и из прямоугольника превращается в параллелограм;
угол перекашивания <р с те-
'IW/ШШ/Л Ь' d1 чением времени постепенно
увеличивается. Сила q, не-
необходимая для произведения
такого явления, и есть сила
вязкости. Она J пропорцио-
пропорциональна площади F основа-
Фиг. 103. ния перекашиваемой жидкой
призмы (г. е. плоскости
прикосновения между жидкостью и одним из стекол В или С)
и, кроме того, пропорциональна скорости изменения угла
перекашивания tp, т. е. величине -~ . Следовательно, эта
сила q определяется формулой:
где \i. — коэффициент, различный для разных жидкостей (коэф-
(коэффициент вязкости).
Это определение силы вязкости показывает, что для по-
подобных систем отношением сил вязкости будет:
аи аJ
где а. — отношение коэффициентов вязкости,
и — отношение площадей, которое равно квадрату отно-
отношения линейных размеров,
т — попрежнему отношение соответственных времен1).
Полученное выражение для отношения сил мы должны
приравнять тому общему выражению
Ь
1) Понятно, что здесь не входит отношение у1лов ф для двух
систем, так как <р есть величина отвлеченная.

ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ 151
которое дается теоремой о подобии. Здесь отношение \i по-
подобных масс равно о i ношению X3 их объемов, умноженному
на отношение 8 плотностей двух жидкостей. Итак:
откуда
а = Ы~. D3)
Вместо — вставим отношение E скоростей движения двух
систем и тогда получим:
о а
р—it-
Гак как р есть отношение сходственных скоростей
двух систем, то оно будет представлять отношение крити-
критических скоростей двух систем. Оказывается, что такое отно-
отношение равно отношению коэффициентов вязкости, разделен-
разделенному на произведение двух множителей отношения плотностей
жидкостей и отношения линейных размеров (например отно-
отношения диамггров труб О). Поэтому критическая скорость для
какой ниЗудь жидкости должна представляться формулой:
где }i. — коэффициент вязкости этой жидкости,
р— ее плотность,
D — диаметр трубы, по которой течет жидкость,
R — постоянный коэффициент, одинаковый для всех
жидкостей.
Таков вывод Осборн Рейнольцса, вполне определяющий
величины критических скоростей для различных случаев.
Заметим, что критическая скорость тем меньше, чем больше
диамыр трубы. Во всех наших водопроводах вода почти всегда
течет со скоростью большей, чем критическая. Поэтому при
расчете водопроводов нужно считать, что сопротивление дви-
движению изменяется пропорционально квадрату скорости.
Чтобы видеть пример течения воды при скорости мень-
меньшей, чем критическая, нужно обратиться к известным опытам
Пуазейля; он употреблял капиллярные трубки малого диаметра,

152 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
и потому даже заметные скорости движения не превосходили
критический предел.
64. Движэние подобных паровых машин. Вес частей
машины всегда хорошо уравновешен, т. е. центр тяжести
почти всех частей неподвижен. Поэтому тяжесть не следует
считать в числе сил нашей системы. При хорошей смазке
можно также пренебречь силами 1рения. Остается давление
работающего пара и полезное сопротивление. Пусть для двух
подобных машин применяется пар различной упругости, и
пусть а означает соответствующее отношение. Тогда давле-
давления пара в двух машинах будут иметь отношение
ак*.
Такое же отношение должно быть и между полезными
сопротивлениями, преодолеваемыми нашими машинами. Это
выражение нужно приравнять величине
т. е. тому отношению сил, которое дает теорема о подобии,
а так как <i — отношение масс—равно Xs, то получим:
откуда
DJ=Р2> D4)
где р означает отношение линейных скоростей двух машин.
Если 0=1, т. е. если в обеих машинах применяется пар
одинаковой упругости, то [5=1, т. с. линейные скорости
обеих машин будут одинаковы. На практике такое соотноше-
соотношение часто соблюдается, или отступления ог него невелики.
Отношение чисел оборотов, делаемых машинами в минуту,
будет -г, т. е. это число меньше для большей машины.
А
Числа лошадиных сил для этих двух машин будут на-
находиться в отношении формулы C8):
А -;3 '

ТЕОРЕМА АППЕЛЯ 153
а так как из D4) при Р = 1 имеем:
то
Но предположим, что мы желаем получить одинаковые
числа оборотов для обеих машин — большой и малой. Следо-
Следовательно, отношение т соответственных времен равно единице.
Тогда из уравнения D4) получаем:
т. е. в большой машине нужно применять пар, упругость
которого в X2 раз больше, чем упругость пара в малой машине.
Такое соотношение никогда не применяется на практике, так
как потребовало бы громадных давлений пара для крупных
машин.
65. Теорема Аппеля. В общем соотношении для сил
установленном теоремой о подобии, сделаем следующие част-
частные положения:
l=\, fi=l, тг = —1.
Тогда получим:
т» = —1;
следовательно,
Отношение скоростей fi = — будет равно величине
Условия \ = 1, JI = 1 означают, что в обоих случаях мы
имеем дело с одной и той же системой, а задание
тт
показывает, что силы сохранили свои величины, но изменили
направление на прямо противоположное.

154 ТЕОРЕМА О ПОДОБИИ В ДИНАМИКЕ
Полученный нами результат:
представляет собою следующую теорему Аппеля:
Если в уравнениях любого движения все времена умножим
на мнимый символ /, а скорости на—/, то получим уравне-
уравнения движения для той же системы, но при обратном направ-
направлении сил J).
г) Аппель выводит свою теорему иначе, чем сделано мною. Он
пользуется для этого вывода лагранжевыми уравнениями движения
в первой или во второй форме.

ВОСЬМАЯ БЕСЕДА
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ
ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
66. Вяутргнние и внешние силы. Когда система состоит
из большого числа частей, то полное изучение ее движения
может оказаться очень сложным и даже невыполнимым. В таких
случаях полезно, ранее подробного исследования движения
частей системы, получить некоторое понятие об общем дви-
движении всей системы в совокупности. Для этой цели имеет
особое значение определение движения центра тяжести, т. е.
центра масс, составляющих систему. Движение этой замеча-
замечательной точки подчинено простому и общему для всех слу-
случаев закону, который мы и рассмотрим.
Воспользуемся здесь приемом, который мы уже неодно-
неоднократно применяли. Разобьем систему на отдельные материаль-
материальные точки и все связи заменим некоторыми силами. Воз-
Возможность такой замены легко себе уяснить: всякая связь
изменяет движение точки, к которой она приложена, другими
словами, производит некоторое ускорение; следовательно,
каждая связь произвели г тл<ое же действие, как сила, а по-
потому все связи мысленно мог\т быть заменены силами. Конечно,
если мы не ограничиваемся такой заменой в принципе, а поже-
пожелаем в подробности найти направление и величину силы, заме-
заменяющей связь, то во многих случаях встретим затруднения. По
этой причине мы постоянно стараемся исключить силы связи.
Пусть все связи заменены мысленно силами; тогда очень
важно различение сил внешних от сил внутренних. Внутрен-
Внутренними силами мы называем тс, которые происходят от дейст-
действия одной части системы на другую часть той же системы.
Внешние же силы представляют действие на нашу систему
других тел, не входящих в состав системы.

156 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
Все силы, вообде, происходят от действия одних тел на
другие. Поэтому различение внутренних сил от внешних опре-
определяется только гем, какие тела мы считаем входящими
в состав"нашей системы. Изменяя задание состава системы,
мы получим, что некоторые силы, бывшие прежде внешними,
сделаются внутренними, и обратно. Например, если рассмат-
рассматриваем движение системы, состоящей из Юпитера с его спут-
спутниками, тогда притяжения между этими телами представляют
внутренние силы; действия Солнца и других планет на Юпи-
Юпитер и его спутников будут внешними силами для этой системы.
Но изменим состав системы; переходим к рассмотрению всей
нашей планетной системы в совокупности: тогда все действия
между планетами и спутниками оказываются внутренними
силами.
Или вообразим себе паровоз; если рассматриваем движение
поршня, то давление пара на него есть сила внешняя. Но когда
рассматриваем весь паровоз в целом, то давление пара везде
в паровозе представляет внутреннюю силу для этой системы.
Таким образом между внутренними и внешними силами нет
разницы по существу. Тем не менее, весьма важно отделять
внутренние силы от внешних, и вот почему: внутренние силы,
как представляющие взаимные действия частей системы одной
на другую, всегда имеются в системе по две вместе, равные
и противоположные. Этот результат указывается нам третьим
законом Ньютона — законом равенства между действием и про-
противодействием. Поэтому, если А и В — две части системы,
то мы получим в ней: во-первых, действие А на В, а во-вто-
во-вторых, обратное действие В на А. В системе, состоящей из
Юпитера со спутниками, мы встретим как притяжение Юпи-
Юпитером одного из спутников, так и обратное притяжение Юпи-
Юпитера спутником. В паровозе, когда рассматриваем его в целом,
имеем давление ползуна на параллели и обратное давление
параллелей на ползун и т. д.
Третий закон Ньютона служит главным орудием для исклю-
исключения внутренних сил. Мы можем не знать ни величин, ни
направлений этих сил; зная только, что они равны между
собою и противоположны, мы часто можем достигнуть того,
что в уравнениях эти две силы сокращают одна другую.
67. Доказательство закона движения центра тяжести.
Переходим теперь к выводу общего закона движения центра

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 157
масс. В следующем доказательстве мы будем подражать
Ньютону и Даламберу.
Рассмотрим, как перемещается общий центр нескольких
масс вследствие перемещения одной из этих масс. Выберем,
например, одну из материальных частиц т нашей системы,
находящуюся в точке А (|зиг. 104); пусть она перемещается,
а все прочие части системы1 непо-
неподвижны. Если полная масса* системы л'
М, то, выключая подвижную массу т,
получим неподвижный остаток, имею-
имеющий массу М — от; пусть центр
тяжести этого остатка есть точка В.
Отметим точкой С положение общего Фиг. 104.
центра всей массы М\ из определения
понятия центра тяжести, или центра масс, имеем, что точка С
лежит на прямой АВ и делит расстояние АВ на части, обратно
пропорциональные массам, сосредоточенным в А и В, т. е.
ВС т
отсюда
т. е.
D5)
Эга пропорция определяет положение общего центра С по
данным А и В.
Если точка А затем переместится в А', а В останется на
месте, то новое положение общего центра тяжести будет точка
С, лежащая на прямой ВА' н делящая ВА' в, том же отно-
отношении, как по условию D5), т. е.
ВС т
ВА' Мш
Отсюда заключаем, что треугольники ВСС и ВАЛ' подобны,
т. е. СС параллельна АА', и величины СС и АА' будут
в том же самом отношении, как и величины ВС и ВА, т. е.
СС гп_
АА1 ~~ М'
С А ~~
ВС
СА-\-ВС
ВС
ВА -
М — т '
т
М — т-\-т
т
' м-

158 закон движения центра тяжести
Итак, если перемещается только одна масса от, а прочие массы
остаются в покое, то перемещение общего центра тяжести
параллельно перемещению массы т и меньше его в отно-
т
шении xf •
М
Это условие справедливо как для конечных перемещений,
так и для бесконечно малых. Отсюда получаем такие следствия:
а) Если масса т описывает кривую АА'А"... (фиг. 105),
то центр С описывает кривую СС'С"..., обладающую тем
свойством, что все хорды ее СС, СС",
С'С",... параллельны и пропорциональ-
пропорциональны' соответствующим хордам пути точ-
точки A t АА', АА", А'А",... Следователь-
Следовательно, центр С описывает кривую, которая
подобна лути точки А и подобным обра-
образом расположена. Центром подобия слу-
служит точка В.
Фиг. 105. б) Скорости центра масс и отдель-
отдельной массы т в соответствующих положе-
положениях параллельны одна другой, и между величинами их суще-
т
ствует то же отношение ^—, как и между перемещениями.
Действительно, по определению понятия о скорости имеем,
например, для скорости в точке А. направление ее есть пре-
предел направления хорды АА', получающийся, когда точка А'
постепенно приближается к А; величина же скорости в точке А
есть предел частного, получающегося от деления хорды АА'
на время, потребное для прохождения пути АА'. Подобным же
образом найдем и скорость центра масс для положения его
в С, заменив только в предыдущем рассуждеыш хорду АА'
хордой СС. Но так как точка С копирует движения точки А,
т
только уменьшив их в отношении -^ , то, несомненно, ско-
скорость центра масс в точке С окажется параллельной скорости
массы т в точке А и уменьшенной в том же отношении
в) Ускорения движения общего центра масс и oi дельной массы
т для соответствующих положений будут параллельны одно
другому и относятся между собой, как -^.
Действительно, обратимся к определению ускорения: пусть
(фиг. 106) линия АV изображает направление и величину ско-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 159
рости массы т для положения Л; и пусть A'V означает на-
направление и величину скорости для положения А', бесконечно
близкого к А. Построив параллелограмм AVVW, стороны ко-
которого АV, AV равны и параллельны скорое 1ям массы т
в точках Л, Л', получаем вектор ЛW, называемый измене-
изменением скорости; будем постепенно приближать точку Л'
к Л, тогда предел направления ЛW называется направлением
ускорения.Величина же
ускорения есть предел
отно"шения A W ко вре-
времени прохождения пути
АА'. Подобное же рас-
рассуждение применимо и к
ускорению центра масс
С, а так как зта точка
копирует скорости точки Л, уменьшив их в отношении j-., то,
разумеется, ускорение центра масс будет парачлельно уско-
ускорению массы т и меньше его в том же самом о [ношении.
Имея ускорение материальной точки т, айчас же получим
силу, движущую эту точку, т. е. равнодействующую всех внеш-
внешних и внутренних сил, приложенных к массе гп Сила будет
ипи параллельно ускорению а и равняться произведению уско-
ускорения на массу, т. с. сила будет равна
р = та.
Если бы эта сила была дана, то мы сейчас же нашли бы все
обстоятельства движения материальной точки т.
Что касается центра масс, то эта точка фиктивная, вооб-
воображаемая, не связанная в действительное!и с какой нибудь
материальной массой; это геометрическая, а не материальная
точка. Но мы можем условно вообразить себе материальную
точку, у которой масса равна массе М вс^й нашей системы
и которая движется так, как наш центр масс. Будем разби-
разбирать условия движения такой материальной точки. Подобное
условное рассмотрение называется сосредоточением
массы всей системы в ее центре тяжести. Сделав такое сосре-
сосредоточение, определим, какую силу нужно приложить к этой
воображаемой материальной точке, чтобы вызвать то движе-
движение, которое наши рассуждения указали для центра масс.

160 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
Искомая сила Р должна быть параллельна ускорению центра
масс, следовательно, параллельна ускорению массы т, а также
и силе, приложенной к т. Далее, величина силы Р получится
умножением массы М на ускорение ее, которое меньше ускоре-
ускорения а точки т в отношении -г:. Таким образом получим:
Р=р.
Итак, получаем следующее заключение относительно сил:
Чтобы сообщить центру масс, в котором счи-
считаем сосредоточенной всю массу системы, то
движение, которое он имеет в действительно-
действительности, мы должны приложить к нему силу, парал-
параллельную и равную той силе р, которая дейст-
действует на материальную точку т. Другими словами:
Центр масс движется, как материальная
точка, в которой сосредоточена масса всей
системы и к которой приложена сила, дей-
действующая на массу т.
Это правило представляет ответ на поставленный нами во-
вопрос: как перемещается центр всех масс вследствие перемеще-
перемещения одной из них?
Мы считали, что перемещается только масса т, а прочие
массы остаются в покое. То, чю сделано для массы т, можно
повторить и для каждой из всех масс, составляющих систему;
можно перебрать их одну за другой: т, т\ т",..., и для
каждой в отдельности определить, какое движение получает
центр масс вследствие движения одной отдельной массы.
Каждый раз придется искать движение материальной точки
массы Мпоц действием той силы, которая приложена к массе т'
или т", или т'" и т. д.
Но предположим теперь, что наши массы т, т' т",...
движутся не поодиночке, а все сразу. Какое при этом полу-
получится движение центра масс?
Очевидно, оно получится как результат геометрического
сложения тех его движений, которые центр получал при част-
частных движениях масс т, т', т",... поодиночке, т. е. нужно
сложить (геометрически) те частные движения, которые полу-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 161
чает масса М под влиянием сил, приложенных к массам т, т',...
Но вспомним закон независимости совокупного действия сил
(второй закон Ньютона); этот закон устанавливает, что резуль-
результат геометрического сложения таких движений, производимых
отдельными силами, тождественен с движением, которое вы-
вызовется, если на ту же массу будет действовать одновре-
одновременно, сразу, вся совокупность этих сил. Итак, оказывается,
что движение центра масс, получающееся, когда сразу дви-
движутся все отдельные материальные точки, составляющие си-
систему, может быть описано в форме следующей теоремы:
Центр масс движется, как материальная
точка, которая имеет массу, равную массе всей
системы, и к которой приложены все силы,
действующие на отдельные части системы.
Но если мы перенесем в одну точку внешние и внутрен-
внутренние силы, действующие в системе, то внутренние силы ока-
окажутся всегда по две равные и противоположные; следовательно,
они взаимно уничтожатся. Останутся только внешние силы
системы. Итак, в вышеприведенной теореме можно прямо вместо
слов все силы вставить: все внешние силы.
Изложенная теорема и представляет общий закон дви-
движения центра масс. Он был найден Даламбером и изло-
изложен в его «Динамике» — сочинении, в котором впервые была
построена динамика системы1).
Следует обратить особое внимание на то, что движение
центра масс вполне определяется внешними силами и что
вся совокупность внутренних сил не оказывает никакого влия-
влияния на это движение.
Возьмем частный случай: пусть на систему вовсе не дей-
действуют внешние силы, и она предоставлена исключительно
своим внутренним силам. Это будет система замкнутая,
изолированная от всяких внешних влияний; но внутри
нее могут действовать многочисленные и разнообразные внут-
внутренние взаимодействия. Общий закон движения центра масс
показывает, что в таких случаях этот центр будет двигаться
как материальная точка, на которую вовсе не действуют
силы. Такая точка будет или покоиться, или двигаться по
инерции, т. е. прямолинейно и равномерно. Итак:
')Даламбер Ж., Динамика. Гостехиздат, 1950. (Прим. ред.)
11 В. Л. Кирпичеа

162 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
Центр масс изолированной системы или на-
находится в покое, или движется прямолинейно
и равномерно.
Этот частный случай общей теоремы был найден еще Нью-
Ньютоном и изложен в его «Математических началах натуральной
философии» ').
68. Разложение движения на три прямолинейных дви-
движения по трем координатным о«;ям. Можно было бы рас-
рассматривать движение центра масс с применением этого приема
разложения, который так часто употребляется в механике со
времен Маклорена. Нужно разложить на эти три оси как дви-
движение каждой отдельной массы, так и движение центра масс.
Также и силы должны быть заменены своими составляющими
по координатным осям. Затем следует рассматривать движе-
движение по каждой из осей отдельно. Получим прежний результат
относительно движения центра масс, но повторенный для каж-
каждой из трех осей.
Такое рассмотрение движения центра масс по каждой из
осей координат отдельно иногда приносит пользу. Может слу-
случиться, например, что хотя внешние силы существуют, но
сумма проекций их на одну из осей (например на ось л:) равна
нулю. Тогда для этой оси будет иметь место результат Нью-
Ньютона, т. е. движение центра тяжести по оси х будет равно-
равномерное. При этом под движением центра тяжести по оси х
следует, собственно говоря, понимать движение по этой оси
проекции на нее центра тяжести.
69. Применение приемов дифференциального исчисле-
исчисления. Мы с намерением вели выводы элементарно, чтобы сущ-
сущность закона лучше выяснилась. Применяя символы и методы
дифференциального исчисления, можно значительно ускорить
вывод. Рассмотрим только движение по оси х; сказанное о ней
применяется и к двум другим осям. Уравнение движения од-
одной из материальных точек, составляющих систему, будет.
сРх
m
Здесь: т — масса точки,
х — ее координата,
1) Русский перевод А. Н. Крылова. См. Собрание трэдов
А. Н. Крылова, т. VII, 1936. {Прим. ред.)

ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 163
др—ускорение по оси х,
X—проекция внешней силы,
Х{— » внутренней силы.
Составим такие же уравнения для всех точек системы и за-
затем сложим эти уравнения. Обозначая сложение знаком 2,
найдем.
Но здесь s^=o,
так как внутренние силы взаимно сокращаются.
Назовем координату центра всех масс через £, а сумму
всех масс через М. По определению понятия «центр масс»
имеем.
Дифференцируя же это уравнение два раза, находим:
Подставляя это выражение в уравнение D6), получим:
^ = 2*. D7)
а это уравнение и выражает закон:
Центр масс движется как материальная
точка массы М, к которой приложены все внеш-
внешние силы, действующие на отдельные точки
системы.
70. Приложения закона движения центра тяжести. За-
Закон этот не дает интеграла уравнений движения, а представ-
представляет только очень простую картину движейия; во многих слу-
случаях такая картина дает важные указания на свойства движения.
Вообще, первое, что нужно получить при изучении дви-
движения системы, есть движение ее центра тяжести; затем идет
вторая задача — движение частей системы относительно ее
центра тяжести. Наш закон дает для первой задачи самое
простое решение.
1. Возьмем систему, состоящую из Земли и падающего
тяжелого тела. Падение тела есть результат действия внут-
11*

164 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА 1ЯЖЕСТН
ренних сил системы, но действием этих сил положение центра
тяжести не может быть изменено. Следовательно, если тяже-
тяжелое тело переместится по направлению к Земле на длину S,
то в то же время Земля переместится по направлению к па-
падающему телу на длину s, которая удовлетворяет условию:
s т
\т—масса тела, М—масса Земли).
2. Рассмотрим cncieMy, состоящую из Солнца и Земли,
и оставим в стороне все внешние притяжения, действующие
_ на эгу систему. Разберем только дей-
,3 Sf \ ствие взаимного притяжения между
Солнцем и Землей; эго взаимодействие
не должно изменять положения центра
тяжести системы. Если будем рассматри-
рассматривать движение относительно центра тя-
тяжести, ю оказывается, чт Солнце Sn
Земля Т (фиг. 107) описывают эллипсы
около общего центра шжесги этой системы С как фокуса;
соотвектвующие их положения отмечены на фигуре одинако-
одинаковыми цифрами.
Так как масса Солнца значительно больше массы Земли
(около 390 000 раз), то общий центр тяжести С будет распо-
расположен очень близко к центру Солнца, и эллипс, описываемый
Солнцем, очень мал по сравнению с орбитою Земли.
3. Возьмем всю нашу планетную систему в совокупности;
ее можно считать изолированной, так как можно пренебречь
влиянием неподвижных звезд. Отсюда заключаем, что общий
центр тяжести планетной системы должен двигаться прямоли-
прямолинейно и равномерно.
4. При ударах между телами, составляющими систему,
возбуждаются внутренние силы. Следовательно, эти удары не
изменяют движения центра тяжести системы. То же заключе-
заключение относится и к взрывам, происходящим в телах, со-
составляющих сие 1 ему. Например, при взрыве бомбы осколки ее
разлетаются во все стороны, но их общий центр тяжести
продолжает прежнее движение.
5. Представим себе человека, сюящего на совершенно
гладкой горизонтальной плоскоеiи; пусть совершенно отсут-
отсутствует трение между этой плоскостью и подошвами ног. Тогда

ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 165
человек представляет систему, на которую действуют только
вертикальные внешние силы. Поэтому возможно только вер-
вертикальное перемещение его центра 1яжестп; человек может
подпрыгивать; для этого нужно вызвать усиленное давление
ног на горизонтальную плоскость, т. е. давление, превышаю-
превышающее вес тела. Но движение по горизонтальному направлению
окажется невозможным за отсутствием внешних сил по этому
направлению; внутренние же силы не могут переместить центр
тяжести тела. Как только нам удается вынести вперед одну ногу,
сейчас же другая нога отодвинется назад, и центр тяжести не
переместится. Каждый замечал это явление на гладком льду.
Вообще перемещение человека по горизонтальной плоско-
плоскости возможно только вследствие трения между этой плоскостью
и подошвами ног; когда человек выносит вперед правую ногу,
левая стремится подвинуться назад, но этому мешает трение
плоскости о подошву левой ноги; последняя остается на месте.
Это трение, мешающее скольжению левой ноги назад, есть
внешняя сила, направленная в сторону движения центра тя-
тяжести тела человека; существование этой силы и делает воз-
возможным перемещение центра тяжести, т. е. ходьбу.
6. Рассмотрим еще паровоз и разберем условие его
движения по горизонтальному направлению. Для этого необхо-
необходима внешняя сила, тоже горизонтальная и направленная
в сторону движения. Откуда она получается?
Давление пара представляет внутреннюю силу и не может
сообщить движение центру тяжести. Это подтверждается опы-
опытом, который неоднократно делали с паровозами: паровоз под-
подвешивают на цепях и, растопив котел, пускают машину в хоч.
Оказывается, что вследствие хода поршня взад и вперед по-
получаются лишь небольшие качания всей остальной массы в об-
обратном направлении, а центр тяжести остается неподвижным.
Когда паровоз поставлен на рельсы и машина его пущена
в ход, то между его везущими колесами и рельсами возбуж-
возбуждается трение, которое и есть горизонтальная сила, необхо-
необходимая для движения паровоза с поездом. Подробности явле-
явления состоят в следующем (фиг. 108): при вращении колеса,
стоящего на рельсе, точка А стремится скользить по рельсу
по направлению стрелки а, но этому мешает трение между
колесом л рельсом; направление этого трения показано боль-
большой стрелкой. Колесо своими неровностями и шероховатостями

166
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
упирается в рельс и испытывает от рельса обратное давление.
Эти шероховатости колеса и рельса представляют как бы
миниатюрные зубцы (фиг. 109), между которыми происходит
упор, и получается давление. Вот это обратное давление,
т. е. трение, передающееся от рельса на колесо, и есть
та внешняя сила, которая
перемещает центр тяжести
паровоза. Она должна пре-
преодолеть сопротивление по-
поезда, припряженного к па-
Фиг. 108. ровозу, т. е. должна быть
больше его. Поэтому для
перемещения поезда требуется значительное трение между веду-
ведущими колесами и рельсом, а трение пропорционально давлению,
следовательно, необходимо, чтобы ведущие колеса произво-
производили значительное давление на рельс. Другими словами, для
того чтобы вести тяжелый поезд, требуется тяжелый паровоз.
Все это относится к ведущим колесам паровоза, т.е.
к тем, на которые действует поршень паровой машины, вра-
вращающий их; та часть'веса паровоза, которая передается на
эти колеса, есть полез-
полезный груз: чем он боль-
больше, тем сильнее паро-
паровоз, т. е. тем более тя-
тяжелый поезд^ он может
вести. Иногда в паро-
паровозе есть поддер-
поддерживающие колеса,
Фиг. 109.
Фиг." 110.
т. е. не соединенные с паровой машиной. Часть веса паро-
паровоза, передающаяся на эти колеса, не приносит никакой
пользы, т. е. не увеличивает силу тяги паровоза. Эти колеса
не дают движущей силы, а, напротив того, сами приводятся в
движение так же, как колеса вагонов. Когда поезд идет по на-
направлению большой стрелки (фиг. 110), то трение рельсов
о колеса (Ь) вращает их. Это трение на вагонных колесах или
на поддерживающих колесах паровоза направлено в сторону,
противоположную движению; оно представляет внешнюю силу,
сопротивляющуюся движению центра тяжести.
Итак, движущая сила паровоза представляется трением его
ведущих колес о рельсы. Мы увеличиваем эту силу тем, что

ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
167
увеличиваем вес паровоза. Если такое средство недостаточно,
то можно прибегнуть к другому, на которое можно смотреть
как на увеличение трения. Рельс делают зубчатым, и с ним
сцепляется стальное зубчатое колесо, сидящее на оси паро-
паровоза, т. е. вместо миниатюрных зубцов, происходящих вслед-
вследствие шероховато-
шероховатости колеса и рельса,
ставят крупные же-
железные и стальные
зубья. Такое устрой-
устройство применяют в
горных паровозах,
которые должны
подниматься по кру-
крутым уклонам.
Обратно, всякое фиг. щ.
уменьшение трения
сейчас же уменьшает- силу 1ягп паровоза; это случается, на-
например, при обледенении рельсов. Сила тяги паровоза также
обратилась бы в нуль, если бы мы его поставили не на рельсы,
а на катки, свободно вращающиеся на своих осях.
В прежнее время, когда еще не был изобретен инжектор
и питание котла водою производилось насосом, приводимым
в действие машиной паровоза, на станциях имелись подобные
катки; паровоз останавливали на них, чтобы можно было пи-
питать его водою при стоянии поезда.
Теперь установка паровоза на катках применяется в лабо-
лабораториях при испытании паровозов. На катки ставят ведущие
колеса, а сам паровоз удерживается на месте болтом, соеди-
соединенным с неподвижной опорой (фиг. 111). Оси катков снабжа-
снабжаются сильными тормозами, с помощью которых можно изме-
изменять сопротивление катков вращению; эти тормозы снабжены
прибором для измерения работы трения. Таким образом по-
получается искусственное сопротивление, заменяющее сопро-
сопротивление поезда движению. Сила паровоза измеряется динамо-
динамометром, указывающим напряжение того болта, который удер-
удерживает паровоз. При увеличении трения на осях катков сила тяги
паровоза растет, и мы получим наглядное подтверждение того,
что выше было сказано о значении трения между рельсами
и ведущими колесами паровоза как внешней движущей силы.

168 ЗЧКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
71. Торможение поездов. Торможение состоит в том, что
тормозные колодки с силою нажимаются на бандажи колес,
чем вызывают значительное трение между нажатыми по-
поверхностями. Но как это нажатие, так и трение, им вызывае-
вызываемое, представляют для поезда внутренние силы, и одно
появление их не объясняет остановку поезда, если на это
япление смотреть с точки зрения закона движения центра
1яжести. Чтобы уменьшить скорость движения всего поезда, т. е.
скорость его центра 1яжест-и, необходимы внешние силы,
которые должны быть горизонтальны и направлены
/"""^^ противоположно движению поезда. Такие силы не-
| о Г пременно должны появиться при торможении. Как сн-
V Уш" лы внешние они могут получиться только там, где
Л ^л к поезду прикасаются внешние предметы, т. е. это
Фиг 112 могут быть или сопротивление воздуха, или дей-
действие рельсов на колеса. Но торможение не влияет
само по себе на сопротивление воздуха, следовательно, необхо-
необходимо заключить, что торможение вызывает в точке А прикосно-
прикосновения заторможенного колеса с рельсом трение Ь (фиг. 112), кото-
которое и есть разыскиваемая нами внешняя сила, останавливающая
поезд. Чем эта сила больше, тем скорее остановится поезд.
Быстрая остановка поезда в некоторых случаях очень
нужна, так как этим можно предотвратить большие не-
несчастия. Поэтому важно указать условия наиболее энергич-
энергичного торможения, при которых получается наибольшая вели-
величина трения Ъ. Это было сделано проф. Н. П. Петровым'),
и вот главный результат его исследования.
Прежде всего посмотрим, имеется ли в нашем распоряже-
распоряжении средство изменять силу трения Ь. Здесь происходит тре-
трение между твердыми телами; оно пропорционально давлению,
но мы не можем изменять давление между колесом и рельсом.
Остается воспользоваться зависимостью такого трения от ско-
скорости движения. В прежнее время думали, что трение не за-
зависит от этой скорости,— таков был результат опытов Морена.
Но такой результат получился только потому, что в опы-
опытах Морена скорости были невелики и изменялись в небольших
пределах. При тех скоростях, с которыми мы имеем дело при
1) См. его статью «О непрерывных тормозных системах» в «Из-
«Известиях С.-Петербургского технического института», 1878 г.

ТОРМОЖЕНИЕ ПОЕЗДОВ 169
движении поездов, трение твердых тел, несомненно, зависит
от скорости; оно заметно уменьшается с увеличением скоро-
скорости, с которой одно из трущихся тел скользит по другому.
Этот вывод был неоднократно подтверждаем экспериментально.
Уменьшение трения с увеличением скорости довольно значи-
значительное; например, при скоростях около 20 км\час коэффи-
коэффициент трения равен 0,2, а при скорости 80 км\час этот коэф-
коэффициент падает до 0,136.
Скорости, о которых здесь говорится, суть скорости от-
относительного скольжения двух трущихся поверхно-
поверхностей— рельса и колеса. Если колесо заторможено так сильно,
что вовсе не может вращаться, то скорость скольжения равна
скорости поступательного движения поезда. Уменьшив надав-
надавливание тормозных колодок на колесо, можем достигнуть
того, что колесо будет отчасти вращаться, и тогда скорость
скольжения меньше, чем в предыдущем случае. Можно тем же
способом, т. е. изменением надавливания колодок, даже до-
достигнуть такого вращения колес, при котором вовсе нет сколь-
скольжения колеса по рельсу, а колесо только катится. В этом
случае скорость скольжения равна нулю; но трение увеличи-
увеличивается с уменьшением скорости; следовательно, это будет
случай, когда трение наибольшее. При таких усло-
условиях тормоза действуют наиболее энергично, и остановка по-
поезда произойдет в возможно кратчайшее время.
Итак, теоретический разбор приводит к следующему пра-
правилу: для наиболее быстрой остановки поезда нужно тормо-
тормозить колеса такими силами, которые не вызывали бы сколь-
скольжения колес по рельсам и были бы настолько велики, чтобы
малейшее увеличение их вызывало уже скользящее движе-
движение колес по рельсам *).
К такому же правилу пришли и техники чисто практиче-
практическим путем.
*) Стр. 301 указанной выше статьи Н. П. Петрова.

ДЕВЯТАЯ БЕСЕДА
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ
ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
72. Применение принципа отвердения в динамике. Так
как законы и уравнения динамики получаются из законов и урав-
уравнений статики, с введением в них сил инерции, то мы можем
и в динамике применять принцип отвердения, которым часто
пользуются в статике. Условия применения в обоих случаях
одинаковы: система не должна иметь внешних связей, со-
соединяющих ее с телами, не входящими в состав системы; или
если такие связи существуют, то их нужно уничтожить и за-
заменить силами и, таким образом, освободить систему. Тогда
для нее оказываются возможными такие же перемещения, как
для свободного твердого тела, а следовательно, можно приме-
применять условия равновесия твердого тела.
Итак, освободив систему и прибавив к внешним силам еще
и силы инерции, мы можем для любой системы применять
уравнения равновесия твердого тела. Этим путем получим об-
общие теоремы, справедливые для произвольной системы; это
будут общие законы динамики системы.
Условия равновесия твердого тела представляются шестью
уравнениями, выполнение которых необходимо и достаточно
для равновесия: суммы проекций внешних сил на координат-
координатные оси должны быть равны нулю, и суммы моментов сил
относительно трех координатных осей тоже должны быть равны
нулю. Соответственно этому получим в динамике шесть урав-
уравнений: первые три будут выражать, что суммы проекций внеш-
внешних сил и сил инерции равны нулю; остальные три устанавливают,
что суммы моментов внешних сил и сил инерции тоже равны
нулю. Внутренние силы не входят ни в одно из этих уравнений,
так как исключаются уже во время самого составления уравнений.

ВЫВОД ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 171
Разбор первых трех из этих уравнений даст закон
количеств движения, а разбирая остальные три урав-
уравнения, можно получить закон моментов количеств
движения.
73. Вывод закона количеств движения. Вместо того чтобы
пользоваться принципом отвердения, мы выведем этот закон
другим путем, самым элементарным. Вывод будет состоять
в обобщении законов наиболее простого динамического явле-
явления— падения тяжелых тел. Такой прием соответствует исто-
историческому ходу развития науки; законы механики сначала под-
подмечали на самых простых случаях, а потом обобщали их.
Так, начало возможных перемещений было найдено на рычаге,
блоках и других простых машинах. Декарт высказал общий
закон сохранения количеств движения, основываясь на свой-
свойстве инерции и законе отражения при ударе. Мопертюи, раз-
разбирая законы трех простых световых явлений (прямолинейное
распространение света, отражение и преломление света) и
обобщая их, получил начало наименьшего действия как общий
закон природы и т. д.
Для скорости v вертикально падающего тяжелого тела,
когда начальная скорость равна нулю, имеем известный закон:
(g— ускорение тяжести, t — время). Если же была начальная
скорость va, то имеем приращение скорости
или, умножая на массу тела т:
mv — mv0 = mgt.
Вместо произведения mg подставим равный ему вес тела Р
и получим: mv — mvo = Pt. D8)
Произведение массы на скорость называется количеством
движения тела; разность mv — mv0представляет увеличение
количества движения, происшедшее за время t, или коли-
количество движения, приобретенное за время t. Произ-
Произведение силы Р на время tназовем импульсом, или толчком,
силы. Принимая эти термины, мы можем прочитать урав-
уравнение D8) в форме следующей теоремы:

172 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖИШЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Количество движения, приобретенное те-
телом за известное время, равно импульсу, или
толчку, силы, сообщенному телу за то же время.
Для падающих тяжелых тел эта теорема н уравнение D8)
не дают ничего нового; это известные законы падения тяже-
тяжелых тел, высказанные в другой форме. Но примем уравнение
D8) за тин, под коюрый постараемся подвести и более слож-
сложные явления.
Во-первых, движение часто бывает не прямолинейное, а
криволинейное. Это усложнение мы устраняем тем, что paj-
лагаем движение на три координатные осп, т. е. заменяем
криволинейное днижение тремя прямолинейными. Уравнение D8)
применяем к любому из этих трех движений; Р будет озна-
означать проекцию силы на соответствующую координатную ось;
v и v0 буду] означать скорости по направлению той же оси.
Во-вторых, сила Р может оказаться не постоянной, а из-
изменяющейся с течением времени. Тогда уравнение D8) нельзя
применять к конечному промежутку времени t, а только к бес-
бесконечно малому промежутку dt. Полное же время t разделим
на бесконечно малые части dt, и для каждой из этих частей
напишем уравнение такого вида, как D8). Обозначая последо-
последовательные значения скорости для этих час]ей через
v0, v, vl% v2, . .,vk_v Г,
а последовательные значения переменной силы через
pop р
получаем ряд уравнений:
mv— mvo = Pdt,
mvl — mv = Я, dt,
mv2 — mv = P2 dt,
niV — mvl _1=.Pkdt.
Сложим все эти уравнения; в левой части равенства 'получим
по сокращении:
mV—mv0,
где щ — начальная скорость, а V — окончательная скорость,

ВЫВОД ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 173
В правой части равенства получается сумма бесконечно
большого числа членов:
Чтобы сокрапнь письмо, примем для этой суммы символиче-
символическое обозначение:
t
\ Pdt.
о
Следовательно, резулыат сложения будет:
t
mV — mvo=\pdt. D9)
о
Левая часть означает количеств движения, приобретенное
массою т ^a время t; правая может быть названа суммою
толчков (импульсов), полученных этой массой за то же время
от переменной силы Р.
До сих пор мы считали, что имеем дело с одной массой т,
т. е. с одной материальной точкой. Теперь переходим к про-
произвольной материальной системе, т. е. любой совокупной и
материальных точек. Прежде всего освободим эти точки, т. е.
заменим все взаимные связи их внутренними силами. Тогда
можно считав каждую точку свободной, отделенной от про-
прочих, и применять к ней уравнение D9); но теперь Розначает
сумму проекций внешних и внутренних сил, приложенных
к точке т.
Напишем уравнения вида D9) для каждой материальной
точки нашей системы и сложим все эти уравнения. Употреб-
Употребляя для обозначения суммы символ ^_, получим уравнение:
mV(j
\Pdt. E0)
Левая час!Ь равенства содержит в себе сумму количеств
движения, приобре!енных отдельными точками. 13 правой —
находится сумма толчков (импульсов), сообщенных всеми си-
силами, действующими на точки, входящие в состав системы.
Уравнение это выражае! теорему:

714 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Количество движения, приобретенное всей
системой по какому-нибудь направлению (т.е.
по направлению какой-нибудь координатной оси), равно
сумме импульсов, сообщенных всеми силами
по тому же направлению.
Эта теорема и представляет закон количеств движения.
Он изображается тремя уравнениями такого вида, как E0),
т. е. по одному уравнению для каждой координатной оси.
74. Закон живых сил. Оставим на время закон количеств
движения и выведем закон живых сил. Эти два основные
закона очень удобно рассматривать параллельно и сравни-
сравнительно; выяснив сходство и различие их, мы увидим, в каких
случаях должен применяться тот или другой закон.
Закон живых сил мы получим, также исходя из простого
явления — падения тяжелых тел. Когда путь, пройденный па-
падающим телом, есть h, то скорость падения v получается
из формулы:
v* = 2gh,
если начальная скорость была равна нулю. Если же имелась
начальная скорость vQ, то по прохождении пути h получается
скорость v, определяемая уравнением:
Умножая на массу падающего тела т, получим:
mv2 /iivq
~2 2~ == т" '
или, заменяя произведение mg весом тела Р:
mv2 mv?
Половина произведения из массы на квадрат скорости
называется живой силой движущегося тела !). • Разность
mv2 miC
!) «Vis viva» —по латыни. Термин этот ведет свое начало от
Лейбница. Но прежде часто называли живой силой произведение mv1,
а не половину его.

ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ 175
стоящая в левой части уравнения E1), есть приращение
живой силы,, происшедшее на пути h.
В правой части равенства E1) находится произведение
силы на пройденный путь. Оло называется работой силы Р,
произведенной ею на протяжении пути h.
Приняв эти термины, мы прочтем уравнение E1) в виде
следующей теоремы:
Живая сила, приобретенная телом при про-
прохождении известного пути, равна работе, про-
произведенной силой на протяжении этого ггути.
Для падения тяжелых тел эта теорема не дает ничего
нового; она только выражает другими словами давно известные
законы явления. Но для нас уравнение E1) имеет значение
как тип, под который мы постараемся подвести гораздо более
сложные случаи движения.
Первое усложнение состоит в том, что, движение часто
бывает не прямолинейное, а криволинейное. Мы знаем, что
тогда ускорение по касательней равно производной от ско-
скорости по времени -т:.
(XV
Но, с другой стороны, мы получим то же ускорение, если
возьмем слагающую Р cos <р внешней силы по касательной и
разделим ее на массу движущейся материальной точки т.
Приравнивая эти два выражения, получим для криволинейного
движения:
dv Pcos'?
Tt т~~щ
Между тем для прямолинейного движения получается:
d_u Р
dt HI'
Единственное различие между этими двумя выражениями со-
состоит в том, что в случае криволинейного движения вместо
полной силы Р стоит ее проекция Pcoscp на касательную к
пути. Такое сходство указывает, что все выводы относительно
величины скорости, полученные для прямолинейного движения,
можно прямо применить и к случаю криволинейного, заменив
лишь силу Р ее проекцией Pcos у. Поэтому мы можем еде-

176 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
лать это и с уравнением D4) и получим:
о
г. E2)
Условимся здесь называть работой силы произведение
Pcosf-k, тогда уравнение E2) может быть прочтено в форме
буквально той же самой теоремы, как и уравнение E2) для
прямолинейного движения.
Введем дальнейшее усложнение: пусть сила Pcos'p не по-
постоянная, а изменяется на протяжении пути h. Тогда уравне-
уравнение E2) можно применять только на протяжении бесконечно
малого пути dh. Весь путь h разделим на бесконечно малые
части dh и применим уравнение E2) для каждой из этих ча-
частей. Последовательные значения скоростей назовем буквами:
а значения силы Р cos а для последовательных частей полного
пути h пусть будут:
Тогда получим ряд уравнений:
mu2 oti/
--?=Pcosa-(
дай?
mo, mv2
-~ rp- = Pz cos 'f 2 • dh,
mV1 mul
mu
Сложим все эти уравнения; в результате в левой части,
по сокращении, получим:
mV'- miig
~2 Т'
т. е. живую силу, приобретенную на протяжении всего пути h.
В правой же части получим сумму элементарных работ, т. е.

СРАВНЕНИЕ ЗАКОНОВ 177
сумму работ, произведенных силою на протяжении элементов
пути. Число членов суммы бесконечно большое, и для обо-
обозначения ее примем символ:
h
г»
\ Pcos ydh.
о
Итак, суммирование даст нам уравнение

mV~ mvl Г
- ^= \Pcosfdh, E3)
о
которое на словах выражается той же теоремой о жиг ой силе,
как и пргжде, а именно, указывает на равенство между при-
приобретенной живой силой и работой.
Наконец, введем последнее усложнение: вместо одной
материальной точки введем произвольную механическую си-
систему. Ее можно рассматривать как совокупность произволь-
произвольного числа материальных точек; заменяя все внешние и вну-
внутренние связи силами, мы можем каждую из этих точек
считать свободной, и, следовательно, можно для каждой из
них написать уравнение такого же вида и содержания, как E3).
Напишем все эти уравнения и затем просуммируем их. Получим:
Это уравнение выражает закон живых сил для си-
систем ы:
Живая сила, приобретенная всей системой
на протяжении известных путей ее точек, рав-
равна сумме работ, произведенных на этих путях
силами, приложенными ко всем точкам системы.
75. Сравнение закона количеств движения с законом
живых сил. Как в тот, так и в другой из этих законов вхо-
входят скорости движения — начальные и конечные. В этом
состоит сходство двух законов. Посмотрим, в каких отноше-
отношениях они различаются между собою; 1акое сравнение укажеч
нам, когда нужно применять первый закон и когда — второй.
12 В. Л. Кирпичев

178 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
В уравнение количеств движения входят проекции сил,
умноженные на элементы времени, и для каждой материальной
точки сумма импульсов представляется бесконечной суммой
Если проекции сил выражаются как некоторые функции
времени, то такая бесконечная сумма изобразится определен-
определенным интегралом
t
нижний предел которого соответствует начальному моменту
времени, а верхний — окончательному. Такой интеграл может
быть найден, причем или мы получим точное выражение его
в известных функциях, или выразим его величину прибли-
приблизительно, при помощи формул для квадратур. Если это отно-
относится ко всем материальным точкам системы, то вторая часть
уравнения E0), т. е.
о
будет найдена, и, следовательно, мы получаем уравнение,
в которое входят не ускорения, как в начале Даламбера,
а скорости. Это уже будет интеграл уравнений дви-
движения; итак, в этом случае закон количеств движения может
быть назван интегралом количеств движения.
Обращаясь к уравнению живых сил, мы встречаемся с бес-
бесконечной суммой, в которой проекции сил умножаются на
элементы пути:
Р cos cp dh ~\- Px cos <f1 dh -j-...
Если проекции сил представляют известные функции прой-
пройденного пути, то эта бесконечная сумма изобразится опреде-
определенным интегралом
h
\Pcosfdh;
5

СРАВНЕНИЕ ЗАКОНОВ 179
пределы интегрирования — начальное и окончательное поло-
положение движущейся точки. Такой интеграл может быть най-
найден. Если это относится ко всем точкам системы, то мы
получим сумму работ всех сил
л
2 р cos <?dh
и будем знать ее величину. Тогда уравнение E4) будет инте-
интегралом уравнений движения; это—интеграл живых сил.
Итак, оба наши закона дают интегралы уравнений дви-
движения; закон количеств движения дает такой интеграл, когда
проекции сил суть функции времени; закон живых сил дает
интеграл в тех случаях, когда проекции сил представляют
функции пройденного пути. Этим определяется выбор того
или другого закона для решения частного заданного вопроса.
Укажем для примера на задачу внутренней баллистики
зная давление пороховых газов в пушке, найти скорость,
с которой снаряд вылетит из орудия. Давление пороховых
газов во время выстрела — не постоянное, а изменяется по
некоторому закону; явление это исследуется опытом при по-
помощи различных приборов. Иногда эти приборы автографи-
автографические, т. е. сами чертят диаграмму, изображающую посте-
постепенное изменение давления. Предположим, что мы имеем
прибор, который изображает изменение давления в зависимости
от времени. Тогда для нахождения скорости вылета снаряда
мы должны воспользоваться законом количеств движения. Но
если наш прибор показывает давление пороховых газов в за-
зависимости от пути, пройденного снарядом по каналу орудия,
то нужно обратиться к закону живых сил: пользуясь им, най-
найдем скорость.
Закон живых сил приходится применять довольно часто,
так как многие силы природы суть функции расстояния. Та-
Такова, например, сила всемирного тяготения; вероятно, таковы же
и многие молекулярные действия. Очень распространенная
физическая гипотеза, ведущая свое начало со времен Ньютона,
допускает, что все, вообще, силы природы имеют такой ха-
характер, т. е. зависят только от расстояний между материаль-
материальными частицами. Принимая эту гипотезу, мы получаем обшир-
обширную область применения закона живых сил.
12*

180 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЬНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Но на практике, пользуясь разними приборами и искус-
искусственными средствами возбуждения движения, мы нередко
получаем силы как функции времени. Это в особенности часто
встречается теперь с распространением машин переменного
тока, пользуясь которыми получают силы, изменяющиеся по
закону.
P=Asmkt E5)
(t—время, А, к — постоянные), или по закону, изображаю-
изображающемуся суммой членов такого вида, как E5), но с различными
численными величинами коэффициентов Л, k. В этих случаях
нужно обращаться к закону количеств движения.
Когда сила постоянная, то можно безразлично применять
как закон количеств движения, так и закон живых сил.
76. Какие неизвестные исключаются при составлении
уравнений количеств движения и живых сил. Легко видеть,
что при соС1авлении уравнения количеств движения исклю-
исключаются все внутренние силы. Это есть следствие третьего
закона Ньютона, т. е. равенства между действием и противо-
противодействием. Внутренние силы в системе будуг всегда встре-
встречаться по две равные и противоположные. Когда же составляем
импульс силы, то берем проекцию силы на координатную ось
и умножаем ее на элемент времени; эги выражения для двух
равных, но прошвоположных сил будут равны, но с обрат-
обратными знаками. Следовательно, эти два импульса взаимно
сократятся, и все внутренние силы исчезнут из уравнения
количеств движения. Такое исключение значительного числа
неизвестных, притом таких, которые трудно определить, ука-
указывает на особое значение закона количеств движения и на
важность его для приложений.
Обращаясь теперь к уравнению живых сил, видим, что
в него будут входить работы внутренних сил, т. е. проекции
сил, умноженные на перемещения тех точек, к которым силы
приложены. Действительно, хотя взаимодействия двух мате-
материальных точек равны и прямо противоположны, но переме-
перемещения этих точек могут быть неодинаковы. Тогда работы
двух взаимных сил не будут по абсолютной величине равны
между собою и, следовательно, не произойдет сокращения
этих работ и исчезновения внутренних сил из уравнения.
Итак, говоря вообще, внутренние силы не исчезают из

ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ 181
уравнения живых сил. Но мы увидим в тринадцатой беседе,
что в частных случаях такое исчезновение происходит, и тогда
уравнение живых сил приобретает особое значение.
Из уравнения живых сил исчезают те внешние силы,
которые приложены к неподвижным точкам; действительно,
работа этих сил всегда равна нулю. Сюда относятся многие
реакции опор и тому подобные силы. Применяя уравнение
живых сил, мы их исключаем и можем совершенно игнориро-
игнорировать эти реакции.
Так как работа силы Р для перемещения s равна произ-
произведению Pcosy-s, то эта работа обращается в нуль в случае,
когда угол <р равен ^-. Следовательно, при составлении урав-
уравнения живых сил исчезнут все те силы, которые перпендику-
перпендикулярны к перемещениям своих точек приложения. Вот еще
разряд сил, исчезающих из этого уравнения, чем упрощается
решение.
Между тем, импульс силы, приложенной к неподвижной
точке, не равен и^лю. Также не обращается в нуль импульс
той силы, которая перпендикулярна к перемещению. Следова-
Следовательно, эти два разряда сил не исчезают из уравнения коли-
количеств движения. Например, реакции неподвижных опор будут
входить в эти уравнения явным образом. Поэтому уравнение
количеств движения может быть применяемо для нахождения
таких реакций, и в этом состоит его значение для приложений.
Уравнение живых сил для такой цели
вовсе непригодно, так как реакции в него
совсем не входят.
Вот, например, вопросы, дли реше-
решения которых следует применять урав-
уравнение количеств движения:
а) В кинетической теории
газов мы считаем, что давление газа на Фиг. ИЗ.
стенку сосуда получается вследствие ря-
ряда ударов, производимых частицами газа на стенку. Для опре-
определения такого давления отделим часть аЬ (фиг, ИЗ) от
остального сосуда и приложим к ней удерживающую силу Х\
она и измеряет искомое давление Система "наша будет со-
состоять нз этой части стенки и ударяющих в нее частиц газа;
к этой системе прикладываем закон количеств движения по

182 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
направлению перпендикуляра к аЬ. При этом силы, развиваю-
развивающиеся в местах удара частиц газа о стенку ab, исключаются,
так как это внутренние силы; нам не нужно знать ни величин,
ни законов для этих сил. Это исключение очень упрощает
вывод. Как известно, в результате получается комбинирован-
комбинированный закон Мариотта и Гей-Люссака.
б) Скорость, с которой передается давление
в твердом теле. Пусть на конце бруска (фиг. 114) при-
приложена сжимающая сила. Сжа-
тие, производимое ею, пере-
Р
дается по длине бруска посте-
постепенно, от одного конца к дру-
гому, с некоторою скоростью,
которую желаем определить.
Фиг. 114. Положим, что по прошествии
времени t сжатие будет пере-
передано до сечения cd. Применим закон количеств движения по
направлению сжатия части бруска abed и будем рассматривать
движение этой системы в течение времени t. Здесь мы имеем
одну внешнюю силу Р. Все же силы упругости, появляю-
появляющиеся в abed вследствие сжатия, исключаются, так как это —
внутренние силы.
Действительно, в начальный момент скорости всех точек
этой части равны нулю, а потому равно нулю и количество
ее движения. Для определения количества движения в мо-
момент t надо вычислить скорости точек в этот момент. Так
как сжатая часть движется как одно целое, то достаточно
определить скорости точек в сечении dc. Пусть за промежу-
промежуток времени At сжатие распространяется на часть бруска
длины kx. Тогда по закону Гука сжатие этой части выра-
выразится формулой
РХх
Еч '
где Е—коэффициент упругости, а а площадь поперечного
сечения. Но это сжатие и есть тот отрезок, который сече-
сечение cd проходит в течение промежутка М времени. Следова-
Следовательно, скорость точек сечения cd в момент t будет равна
P_dx
Evdt '

ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ 183
При однородном материале бруска скорость v распростра-
распространения сжатия постоянна. Поэтому длина х сжатой к моменту t
части бруска будет: x = vt, откуда
dx
— = v
dt
Масса рассматриваемой части есть рха, где р— плотность ма-
материала бруска. Следовательно, количество движения рас-
рассматриваемой части в момент i будет
Р dx хР
Импульс внешней силы за этот промежуток t времени есть
Pt=zP —
Следовательно, по закону количества движения имеем:
хР_ Рх_
откуда
т. е. скорость распространения сжатия (или
растяжения) равна корню квадратному из ко-
коэффициента у п р у г ос ти м ате р и а л а,
разделенного на плотность.
в) Давление, производимое на
сосуд жидкостью, протекаю щ'е й
через него (фиг. 115). Положим, что мы
желаем определить величину этого давления
по вертикальному направлению или, наоборот,
обратную искомому давлению вертикальную
реакцию X опоры, которая удерживает сосуд.
Здесь нужно рассматривать количество движе-
движения по направлению реакции X. Все давления между текущей
жидкостью и стенками сосуда представляют внутренние силы,
которые поэтому исключаются из уравнения. Следовательно,
избрав для решения нашего вопроса закон количеств движе-
Фиг. 115.

184
ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
ния, мы избавляемся от необходимости разбирать все эти
давления и искать их значения.
Нужно принять во внимание, что давление жидкоеiи во
время движения не всегда следует гидростатическому закону
Фиг. 116.
Фиг. 117.
Фиг. 118.
Фиг. 119.
(см. § 38), поэтому, если бы пришлось рассматривать давле-
давления, то это повлекло бы за собою очень значительные усложне-
усложнения, а вследствие сложности выводов нередко в этом вопросе
делали ошибки и приходили к невер-
неверным результатам.
г) Применяя закон количеств дви-
движения, решают в гидравлике следую-
следующие вопросы: найти давление, про-
производимое движущейся струей воды
на прямую лопатку (фиг. 116, 117)
или на ковш колеса Пельтона (фиг.
118), или найти реакцию вытекаю-
вытекающей струи на сосуд, содержащий
жидкость (фиг. 119), и т. д. И здесь достигается исключение
давлений между водою и лопаткой, или ковшом, или сосудом.
77. Векторный характер закона количеств движения.
Выводя этот закон, мы разложили движение на три коорди-
координатные оси и рассмафивали отдельно каждую из трех проек-
проекций; полученное уравнение E0) относится к одной из них.
Такое же уравнение мы можем написать и для двух других
координатных осей, и вообще для любого постоянного направ-
направления, причем в каждом из таких уравнений величины mV,
mv0 будут представлять собой проекции количества движения
точек системы на это направление, а Р—проекцию силы на
то же направление. Иначе обстоит дело с живой силой. Из
формул E1), E2), E3) и E4) видно, что живая сила.^как

ВЕКТОРНЫЙ ХАРАКТЕР ЗАКОНА КОЛИЧР.СТВ ДВИЖЕНИЯ 185
величина, равная работе силы, не имеет направления в про-
пространстве (потому что работа не обладает направлением), и в
этом заключается еще одна черта различия между уравнением
количеств движения и уравнением живых сил. В первое вхо-
входят величины, имеющие определенное направление; количества
движения суть векторы. Между тем, живая сила не есть
вектор; она относится к разделу скаляров, величин, не
имеющих направления.
Для избежания недоразумений заметим, что можно было бы
вывести уравнение количеств движения так же, как мы выво-
выводили уравнение живых сил, т. е. не разлагая криволинейное
движение на три прямолинейных, а рассматривая полную
величину скорости.
Известно, что произведение массы на ускорение равно
силе- т- е' mw=P,
где w есть ускорение. Но так как полное ускорение есть
предел отношения геометрической разности скоростей
к соответствующему промежутку времени, при условии, что
промежуток времени аремнтся к нулю, т. е.
.. v' — v dv
w = lim —-гт— = -it ,
At — О
то можно написать:
dv n
тж=р-
Умножая его на dt и интегрируя в пределах от нуля до t,
получим для одной материальной точки:
t
tnV tnvu = \ Иа., (об)
о
причем в левой части E6) стоит уже геометрическая (векторная)
разность количеств движения, а в правой — геометрическая
сумма всех элементарных импульсов за промежуток времени
от нуля до t. Написав такое уравнение для каждой точки
системы и сложив эти уравнения, получим:
t

186 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Геометрическая сумма количеств движения всех точек си-
системы в данный момент называется количеством движения
системы; что же касается выражения ^Pdt, стоящего под
знаком интеграла в правой части E7), то оно представляет
собой геометрическую сумму элементарных импульсов всех сил,
действующих на точки системы. Но так как в сумму ^Р
входят все как внешние, так и внутренние силы, действую-
действующие на точки системы, причем внутренние силы попарно равны
и противоположны, то внутренние силы из этой суммы исклю-
исключаются и остаются только внешние; поэтому правая часть E7)
есть сумма элементарных импульсов внешних сил.
Уравнение E7) выражает собой теорему: количество
движения, приобретенное всей системой (в гео-
геометрическом смысле), равно геометрической
сумме импульсов, сообщенных внешними си-
силами.
78. Сохранение количеств движения. Важный частный
случай получается, когда имеем систему, на которую не дей-
действуют внешние силы. Тогда, так как внутренние силы исклю-
исключаются, уравнение E7) получает вид:
2»iV— 2m"o = O, или
т. е. количество движения всей системы не
изменяется с течением времени; оно сохраняет
свою начальную величину. В этом состоит закон сохра-
сохранения количеств движения.
79. Пример приложения закона количеств движения.
Разберем до конца вопрос о давлении, производимом на сосуд
водой, которая протекает через него.
Примем следующую постановку задачи: вода течет по
трубе abed (фиг. 120) непрерывной струей, заполняя сплошь
всю трубу, притом движение установившееся. Этим
термином обозначают такое движение, при котором в каждой
точке внутри трубы явления не переменяются с течением
времени, а остаются постоянными, т. е. в каждой точке дав-
давление, а также величина и направление скорости остаются
неизменными.
Пусть через каждое сечение трубы протекает в секунду
объем воды Q. Труба сделана неподвижной посредством при-
прикрепления ее к опоре. Требуется определить вертикальное

ПРИМЕР ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
187
давление, производимое трубою на опору, или, наоборот,
найти обратную этому давлению реакцию опоры X.
Вода вступает в трубу в верхнем отверстии ее аЪ (пло-
(площадь которого назовем Fo) со скоростями Ко, направленными
перпендикулярно к аЬ и наклоненными к вертикали под углом аа.
Постоянное давление в этом сечении назовем р0; оно сов-
совпадает с направлением скорости Vo.
Вода вытекает из нижнего отверстия cd; площадь этого
отверстия, скорость воды в нем, угол наклона ее и давление
жидкости в отверстии назо-
вем теми же буквами, что Ро
и для верхнего отверстия,
но только с другим подстроч-
подстрочным индексом, а именно,
примем обозначения: Fu Vlt
ах, рх. Здесь давление рх на
воду, заключающуюся в тру-
трубе, прямо противоположно
скорости V1.
. Заметим, что давления
р0 и рх иногда представляют
действие атмосферы. Но в
некоторых случаях эти давле-
давления могут значительно отли-
отличаться от атмосферного. Это
будет, например, в том слу-
случае, когда вода втекает в
отверстие аЪ из особого резервуара, наполненного жидкостью;
истечение воды из cd тоже может происходить не в атмосферу,
а в особый резервуар, наполненный водою и находящийся под
некоторым напором.
Чтобы найти вертикальную реакцию X, напишем для оси,,
направленной вниз, уравнение количеств движения для сово-
совокупности сосуда abed и жидкости, в данный момент t напол-
наполняющей его. Так как движение установившееся, т. е. в каж-
каждой точке явления не изменяются с течением времени, то нет
надобности брать в рассмотрение продолжительный период
времени. Достаточно рассмотреть очень небольшой и даже
бесконечно малый промежуток времени dt; так мы и сделаем
и напишем уравнение количеств движения для этого беско-
Фиг. 120.

188 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
нечно малого времени. Для этого нужно прежде всего вычис-
вычислить количество движения, приобретенное жидкостью abed
в течение времени dt по вертикальному направлению. Составим
выражение для этого количества движения.
За время dt жидкость, наполняющая сосуд abed, получит
бесконечно малое перемещение; частицы, которые лежали
в сечении ab, займут положение" а'Ь'; частицы, которые зани-
занимали выходное сечение cd, перейдут в положение c^dv По-
Подобным же образом передвинутся и прочие частицы воды.
Перейдя в другие точки трубы, эти частицы изменят свои
скорости, так как в разных местах по длине трубы скорости,
вообще говоря, неодинаковые. Совокупность всех этих изме-
изменений для всех частиц воды, наполняющей сосуд, и доставит
полное изменение количества движения.
Пользуясь тем обстоятельством, что движение установив-
установившееся, мы можем очень просто определить это полное изме-
изменение количества движения, происшедшее за время dt. Для
этого заметим, что начальное количество движения всей
жидкости abed можго рассматривать состоящим из двух частей:
первую часть составляет количество движения объема воды
abab\ а вторую часть — количество движения объема a'b'cd.
По прошествии времени dt наша жидкость занимает
объем a'b'cxdx\ ее количество движения можно рассматривать
состоящим из двух частей: первую часть представляет коли-
количество движения части cdcldi, а вторую часть — количество
движения части a'b'cd.
Из этого описания видно, что вторые части количеств
движения одинаковы для начала и конца промежутка dt. Сле-
Следовательно, изменение количества движения, происшедшее за
это время, определяется разностью количеств движения объе-
объемов воды cdcldl и aba'b'.
Эти объемы одинаковы, так как через каждое сечение
трубы проходит одинаковое количество жидкости, а именно,
Q в единицу времени, т. е. за время dt пройдет объем Qdt.
Масса этой воды получается умножением ее объема,
т. е. Qdf, на вес единицы объема у и делением на уско-
ускорение тяжести g. Чтобы получить изменение количества
движения по вертикальному направлению, нужно массу умно-
умножить на разность вертикальных проекций скоростей, т. е. на
Vx cos ах — Vo cos a0.

ПРИМЕР ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 189
Окончательно находим нужное нам изменение количества
движения в таком виде:
Q "^ dt(V1 cos аг — V0cosa0). E8)
Перейдем теперь к составлению суммы импульсов внеш-
внешних сил.
Мы уже знаем, что взаимные давления между частями
жидкости abed, а также давления между текущей жидкостью
и сосудом, представляют внутренние силы нашей системы и
потому не войдут в наше уравнение. В него необходимо ввести
следующие внешние силы: а) вес жидкости и сосуда; их со-
совокупность назовем Р; б) реакцию X опоры на наш сосуд;
эту реакцию считаем направленной вверх; в) внешние давле-
давления на сечения аЬ и cd, ограничивающие нашу жидкость. Эти
давления будут:
а их вертикальные проекции:
p0F0 cos a0, p1F1 cos av
Так как мы желаем найти изменение количества движения
по вертикали, направленной вниз, то импульсы вертикальных
сил, идущих вниз, должны считать положительными, а им-
импульсы сил, направленных вверх, следует взять со знаком минус.
Сумма всех импульсов будет:
{p0FQ cos a0—p1F1 cos аг -j- P—X) dt.
Приравнивая ее выражению E8), найденному для приобре-
приобретенного количества движения, и сокращая на dt, найдем.
Q -£ (Vt cos ах — Vo cos a0) =PqFu cos ao—p1F1 cos ax + P—X.
Отсюда получаем искомую реакцию X:
X=puFu cos a0 —p1F1 cos at -j- P-\- Q ^{VQ cos a0— Vx cos a,).
Это реакция опоры на сосуд; обратное ей даваение сосуда
на опору будет иметь то же численное значение, но противо-
противоположное направление. В этом выражении первые три чле-
на p0F0 cos a0, p]Fx cos аъ Р представляют статическую
часть давления, т. е. то давление на опору, которое получи-
получилось бы, если бы жидкость, наполняющая сосуд, не двигалась.

190 ЗАКОН КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Последний член, т. е.
E9)
изображает прибавочное давление, происходящее от
движения жидкости в сосуде; это — динамическое давле-
давление. Оно может быть положительным или отрицательным,
смотря по величине вертикальных проекций скоростей Vo cos a0,
V1 cos av
Если эти проекции одинаковы, то динамическое давление
обращается в нуль.
Мы рассматривали вертикальное давление, но совершенно
тем же путем могли бы найти и горизонтальное давление
нашего сосуда на опору. Динамическая часть этого давления
будет, очевидно:
Q J(Fosinao — Vjsina).
Эту задачу можно применять к различным практическим
вопросам. Например, наш сосуд может представлять трубу,
по которой ведут воду для водопровода или для водяного
колеса. Такие трубы часто приходится проводить по уклону
горы, они прикрепляются к опорам, расположенным на скате.
Уравнения наши можно применять или ко всей трубе,
> или к любой ее части.
б) в) В заключение заме-
заметим, что вопросы о ве-
величине давлений, произ-
производимых водою в слу-
случаях, которые изобра-
изображены на фиг. 116—119,
решаются буквально так
же, как только что было
сделано.
Применяя закон количеств движения, мы сразу можем пред-
предсказать, что для трех случаев, представленных на фиг. 121,
давление воды на лопатку в случае а будет наибольшее, а
в случае b — наименьшее.
Фиг. 121.

ДЕСЯТАЯ БЕСЕДА
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН МОМЕНТОВ
КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
80. Доказательство закона моментов количеств движе-
движения. Мы уже говорили (§ 72), что одним из приемов для полу-
получения этого закона может служить принцип отвердения.
Нужно написать, что сумма моментов внешних сил и сил
инерции для любой оси равна нулю. Выбирая за ось моментов
поочередно каждую из трех координатных осей, мы получим
три уравнения, разбор которых
и приведет к закону, состав-
составляющему предмет этой беседы.
Вместо этого мы предпочи-
предпочитаем нижеследующий прием вы-
вывода, в котором постепенно
переходим от простейших слу-
случаев к более сложным.
Начнем с плоского дви-
движения одной матери-
материальной точки. Возьмем
(фиг. 122) два бесконечно близ-
близких положения этой точки М
и М', т. е. путь, проходимый
в течение бесконечно малого времени М, и отметим скорости
V и V' в этих положениях. Скорость V можно с геометри-
геометрической точки зрения рассматривать как проистекшую из ско-
скорости V, которая получила некоторую прибавку. Для этого,
проведя через М линии МА и MB, равные и параллельные
скоростям V и V, построим параллелограм МАВС, имею-
имеющий своей диагональю V. Составленный таким образом чер-
чертеж показывает, что скорость V" есть результат геометриче-
Фиг. 122.

192 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
ского сложения скорости V и прибавки МС. Величина МС
называется изменением скорости; ее назовем буквою К.
Известно, что величиной ускорения движения в точке М
называется предел ^ , получающийся с уменьшением Lt до
нуля, т. е. с приближением М к М. Направлением ускоре-
ускорения в точке М называется предел направления стороны
МС нашего параллелограма.
Выберем в плоскости движения некоторую постоянную
точку О и будем искать моменты различных отрезков отно-
относительно О. Понятие о моменте силы всем известно, но это
понятие можно распространить и на любые другие прямоли-
прямолинейные отрезки, например на скорости; момент их опреде-
определяется и находится совершенно так же, как эго делается,
когда отрезок изображает силу.
Для параллелограма сил имеем, что момент равнодейст-
равнодействующей (т. е. диагонали) равен сумме моментов составляю-
составляющих (т. е. сторон параллелограма). Теорема эта, принадле-
принадлежащая Вариньону, представляет чисто геометрическое соот-
соотношение, нисколько не связана с понятием о силе и справедлива
для всякого параллелограма, что бы ни представляли его
стороны. Поэтому мы можем применить ее и к нашему парал-
лелограму скоростей МАВС. Получим:
или
момент V = моменту V-f-момент К,
момент К= моменту V—момент V.
В этот вывод входит момент диагонали МВ~ V, т. е. ско-
скорости V, проведенной через точку М. Но здесь можно про-
произвести замену и вместо момента отрезка MB вставить от-
отрезок M'V, т. е. скорость V, проведенную через точку М'.
При такой замене плечо момента относительно О изменится
на величину расстояния между MB и M'V, т. е. на длину а,
которая есть величина второго порядка. Это сле-
следует из того, что как хорда ММ', так и угол между этою
хордой и MB, представляют бесконечно малые величины. Но
бесконечно малую величину второго порядка мы можем отбро-
отбросить при самом начале вывода и сохранить только члены
первого порядка.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНА 193
Итак, в нашем последнем уравнении можно допустить,
что при нахождении момента скорость V' считается прило-
приложенной в точке М', а скорость V— в точке М.
Умножим обе части последнего уравнения на массу т
движущейся точки; получим:
момент {тК) = моменту (mV) — момент (mV).
Произведения mV и mV представляют количества движения
массы т в положениях М и М'. У нас входят во второй
части моменты этих количеств движения. Разность их пред-
представляет приращение момента количества движения, проис-
происходящее при переходе движущейся точки из М в М'.
Сам момент количества движения обозначим буквою ]i, a
приращение его — знаком Дц. Затем разделим обе части
равенства на At и перейдем к пределу. Предел момента (тК),
деленного на М, равен пределу частного -?-,. Но в пределе
отношение К к М обращается в ускорение, а произведение
массы на ускорение есть сила. Следовательно, левая часть
уравнения будет момент силы, действующей на массу т. Для
обозначения его применим букву М. Находящийся в правой
Д[1 .
части предел~ будет производная повремени от и, т. е. от
момента количества движения. Итак, получаем для плоского
движения одной точки уравнение:
М=% F0)
которое выражает теорему:
Для каждого положения материальной точ-
точки момент силы равен производной по вре-
времени от момента количества движения.
Теперь немного усложним вопрос: пусть движение не
плоское. Тогда его можно проектировать на координатные
плоскости и рассматривать каждую из проекций отдельно.
Конечно, и сила также должна быть проектирована на эти
плоскости. На каждой координатной плоскости получим пло-
плоское движение; будем брать моменты относительно начала
координат, или, другими словами, относительно оси, перпен-
перпендикулярной к плоскости проектирования; например, если
13 В. Л. Кирпичев

194 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
проектируем на плоскость ху, то моменты будем брать относи-
относительно оси z. Все предыдущие выводы можно применить
к такой проекции движения, и мы попрежнему получим урав-
уравнение
"=%■
Затем делаем дальнейшее усложнение; от материальной
точки переходим к системе, т. е. совокупности материальных
точек. Введем силы связей, тогда каждую материальную
точку можно считать свободной и применять к ней уравнение
F0), если движения всех точек проектируются на одну и ту
же неподвижную плоскость. Напишем для всех точек системы
такие уравнения и сложим их. По обыкновению, означая
суммирование знаком 2, получим:
Во второй части можно сумму производных заменить
производной от суммы, следовательно, будет:
2/и=^E». F1)
Это уравнение выражает для любой системы следующую те-
теорему, или закон моментов количеств движения:
В каждое мгновение сумма моментов внеш-
внешних сил относительно некоторой оси равна
производной по времени от суммы моментов
количеств движения, взятых для той же оси.
81. Разъяснение закона моментов количеств движения.
Уравнение F1) содержит во второй своей части производные
от скоростей по времени, следовательно, по отношению
к координатам это будет дифференциальное уравнение второго
порядка. Такого порядка всегда оказываются уравнения дви-
движения, получающиеся от применения начала Даламбера. Сле-
Следовательно, наше уравнение F1) пока не есть интеграл
уравнения движения; это только новая комбинация уравнений
движения. Но оно во многих случаях может быть проинте-
проинтегрировано, а именно, всегда, когда сумма моментов ^М есть
явная функция времени. Тогда мы получаем интеграл урав-

ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ 195
нения движения, т. е. уравнение, содержащее в себе ско-
скорости.
Интеграл получается также для двух простейших случаев:
а) когда ~£М величина постоянная; б) когда ~£М—0.
В последнем случае получится:
откуда
2 И = const, F2)
т. е. сумма моментов количеств движения для
всей системы есть величина постоянная; она
не изменяется и во все время движения сохраняет свою на-
начальную величину. В этом случае, т. е. когда "£]М=0,
получается закон сохранения моментов количеств
движения, аналогичный закону сохранения количеств дви-
движения.
82. Какие неизвестные исключаются при составлении
уравнения моментов количеств движения. Прежде всего
видно, что внутренние силы систе-
системы, подчиненные закону равен-
равенства между действием и противо-
противодействием, все исключаются. В
самом деле, две равные и проти-
противоположные силы Р, Р' (фиг. 123)
для любой оси О дают моменты,
которые численно равны, а знаки
имеют противоположные; следова-
следовательно, эти моменты сокращаются
при составлении суммы моментов
сил. Итак, в уравнении F1) оста- „
ются только внешние силы. Такое
полное исключение внутренних сил составляет значительное
упрощение.
Но и некоторые внешние силы могут исключаться из
уравнения F1), если их моменты будут нулями. Эго полу-
получится для всех сил, параллельных оси, а также для всех сил,
пересекающих ось. Но выбор оси вполне зависит от нас;
уравнение справедливо для всякой неподвижной оси. Во мно-
многих случаях удачным выбором оси можно достигнуть исклю-
13»

196
ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
чения значительного числа внешних сил, чем уравнение зна-
значительно упрощается.
Для примера укажем на водяные турбины. Разбирая дви-
движение их с помощью закона моментов количеств движения,
мы исключаем следующие силы: а) все внутренние силы, т. е.
взаимные давления внутри жидкости, а также давления между
жидкостью и вращающимся колесом; б) если за ось моментов
возьмем ось турбины, то исключаем реакции опор этой оси;
если она вертикальна, то исключается вес воды и самого
колеса. Такое же исключение веса происходит обыкновенно
вследствие симметрии располо-
расположения и в турбинах, вращаю-
вращающихся около горизонтальной оси.
Из этого следует, что за-
закон моментов количеств движе-
движения есть 1еорема, наиболее удоб-
удобная для решения вопроса о дви-
движении турбин.
Основная формула теории
турбин, данная уже Эйлером,
может быть получена путем, ана-
аналогичным тому, каким в § 79
была выведена величина давле-
давления на трубу протекающей по
ней жидкости. Пусть колесо тур-
турбины, вращающейся около вер-
вертикальной оси Oz, имеет канал abed между внешним ободом
радиуса гх и внутренним радиуса гг (фиг. 124). В канал
все время поступает вода со скоростью vt под углом а,
к внешнему ободу и выходит из канала со скоростью v2 под
углом а2 к внутреннему ободу. Пусть движение воды, уста-
установившееся в том смысле, что скорости v1 и vz и углы (*!
и а2 не зависят от положения канала.
Требуется определить момент сил давления воды на стенку
канала относительно оси Oz вращения турбины. Для этого
рассмотрим систему материальных точек, составленную водой,
заполняющей канал abed в данный момент t. Искомый момент
равен по величине и противоположен по знаку моменту сил
реакции стенок канала на эту массу воды. Этот последний
момент и будем определять.
Фиг. 124.

МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ 197
Пусть через промежуток времени At канал занял положе-
положение a'b'c'd', а рассматриваемая масса жидкости переместилась
в положение аф^с^. Так как движение воды установившееся,
то момент количества движения массы воды, заполнявшей
в момент t объем abed, равен моменту количества движения
массы, заполняющей в момент ^—f—Д^ объем a'b'c'd'. Следо-
Следовательно, приращение А\ь момента количеств движения рас-
рассматриваемой системы за промежуток времени At равно раз-
разности моментов количеств движений масс воды, заключенных
в объемах c'd'c1d1 и a'b'a1b1. Если вес воды, протекающей
через канал в единицу времени, обозначим через Q, то массы,
заключенные в этих объемах c'd'cld1 и a'b'a1b1, будут равны
— Д^, где — g ускорение силы тяжести. Пренебрегая измене-
нием скорости ме^ду сечениями а'Ь' и аф^, с одной стороны,
и между c'd' и cxd^, с другой, получим, что приращение
момента количеств движения за время At будет:
Ajjl = ^ At (v2r3 cos а2 — v^ cos ах),
так как плечи соответствующих моментов, очевидно, равны
г2 cos a2 и rx cos at.
Внешними силами для рассматриваемой системы являются
вес и реакции стенок канала. Так как момент веса относительно
вертикальной оси Oz равен нулю, то в теорему о моменте
количеств движения войдет только искомый момент М сил
реакции стенок, и формула
дает:
«=£
j {v2r2 cos a2 — «л cos a,).
Это и есть формула Эйлера.
83. Момент сил инерции. По началу Даламбера внешние
силы уравновешиваются с силами инерции. Посмотрим на урав-
уравнение F1) с этой точки зрения. В левой части его имеется
момент внешних сил для некоторой оси, следовательно,
величина .

198 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
стоящая в правой части, взятая со знаком минус, представ-
представляет момент сил инерции относительно той же оси.
84. Сколько уравнений дает закон моментов количеств
движения. Уравнение F1) можно применять для любой не-
неподвижной оси, т. е. переменяя эти оси, можно получить
сколько угодно таких уравнений. Подобно этому и уравнения
количеств движения можно применять к любому направлению,
к проекции движения на всякую ось. Выберем три коорди-
координатные оси и напишем для них как уравнение количеств дви-
движения, так и уравнения моментов количеств движения; полу-
получим шесть уравнений. Легко убедиться в том, что дальнейшей
переменой осей мы получим уравнения, которые представляют
следствия прежних шести уравнений, следовательно, не полу-
получим ничего нового. Для этого вспомним, что наши уравне-
уравнения получаются из принципа отвердения - и представляют
условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.
А для равновесия твердого'тела необходимо и достаточно вы-
выполнение шести уравнений равновесия. Все остальные
условия равновесия, как проекции на любую ось, так и мо-
моменты для любой оси, будут следствиями этих шести и не
дадут ничего нового.
Итак, наши законы — количеств движения и моментов
количеств движения — дают нам только шесть уравнений.
Когда возможно интегрирование, т. е. если сумма проекций
внешних сил и сумма их моментов заданы как функции вре-
времени, то мы с помощью этих двух законов можем получить
не более шести интегралов уравнений движения.
85. Момент количеств движения для твердого тела,
вращающегося около неподвижной оси. Чтобы дать более
определенное представление о новом введенном нами понятии
«момент количеств движения», вычислим этот момент для
твердого тела, вращающегося около неподвижной оси; эту
ось и примем за ось моментов. Каждая частица тела дви-
движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси О. Пусть
угловая скорость вращения будет со. Возьмем некоторую ча-
частицу тела, находящуюся на расстоянии г от оси и имеющую
массу т. Скорость ее будет cor, она направлена по перпенди-
перпендикуляру к радиусу г. Количество движения имеет величину
ттг, F3)

ПРИМЕР
199
а направление его совпадает с направлением скорости. Мо-
Момент этого количества движения относительно оси О полу-
получится умножением величины E6) на радиус г, что даст:
СО/ЙГ3.
Суммируя эти величины для всех частиц тела, получим
момент количества движения всего тела
или, по вынесении за знак суммы множителя ш, общего для
всех членов суммы:
A = 0J/ЯГ3.
Но сумма 2mr2 есть не чт0 иное, как момент инерции
тела относительно оси О. Следовательно, в случае вра-
вращения твердого тела около неподвижной оси
момент количеств движения относительно
оси вращения равен про-
произведению из угловой ско-
скорости на момент инерции
тела для оси вращения.
86. Пример. Цилиндр, который
может вращаться около вертикаль-
вертикальной оси 00 (фиг. 125), имеет на
поверхности винтовой желобок; в него
вложен маленький шарик т. Найти
движение этой системы под действием
силы тяжести (и при отсутствии вред-
вредных сопротивлений).
Эта система имеет две степени
свободы. Движение ее состоит в том, что шарик опускается
по желобку со скоростью V, а цилиндр вращается около оси
с угловой скоростью со. Имеем две неизвестные V, в), которые
нужно найти.
Назовем угол наклона винтовой линии через <р, радиус
цилиндра через а, его момент инерции относителено оси OQ
через J.
Применим закон моментов количеств движения относительно
оси 00. Все внутренние силы, например давление между
шариком и желобком, исключаются. Реакция опор оси также
аш\т
Фиг. 125.

200 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
исключается. Никакие внешние силы, кроме тяжести, не дейст-
действует. Но тяжесть исключается из нашего уравнения, потому
что она параллельна той оси, для которой берутся моменты.
Итак, все силы исключены. Следовательно, получается сохра-
сохранение первоначальной величины момента количеств движения.
Пусть вначале наш прибор был в покос, т. е. начальная ве-
величина момента количеств движения была равна нулю. Такое
же значение должен сохранить момент количеств движения
и далее, во все время движения. Выразим это условие урав-
уравнением.
Момент количеств движения цилиндра равен
Что же касается шарика, имеющего массу т, то он обладает
скоростью V вдоль желобка и, кроме того, скоростью ото,
так как участвует во вращении цилиндра. Горизонтальная
скорость шарика будет по алгебраической величине равна
т— Fcos cp;
на вертикальную скорость его не обращаем внимания, так
как она параллельна оси 00 и дает момент, равный нулю.
Следовательно, моментом количества движения, соответствую-
соответствующего горизонтальной скорости, будет:
am (<яа — V cos у).
Складывая его с моментом количества движения цилиндра
и приравнивая сумму их нулю, получим:
a{J-\-ma2) — am V cos 'f = 0. F4)
Вот одно из уравнений для нахождения неизвестных <о, V.
Чтобы получить другое уравнение, нужно обратиться к закону
живых сил. Мы докончим этот пример в тринадцатой беседе
(стр. 268).
87. Другая форма закона моментов количеств движения.
Эта форма прежде называлась теоремой Резаля; но потом
оказалось, что она была найдена значительно раньше Резаля
английским математиком Гейуорд. Во многих случаях очень
удобно применять закон моментов количеств движения именно
в этой форме, которая дает очень простую и поучительную
картину движения.

ДРУГАЯ ФОРМА ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 201
Для получения такой формы заметим, что момент коли-
количеств движения, как всякий момент, можно изображать в виде
вектора. Подобно тому как в статике, момент силы относи-
относительно некоторой оси х откладывается в виде отрезка по оси х,
так же будем поступать и с моментами количеств движения.
Величины этих моментов относительно трех координатных
осей обозначим р.х, р. р.г и
будем откладывать их по
осям х, у, z (фиг. 126).
Результат геометрического
сложения этих трех величин
представится на чертеже
вектором ОА, имеющим из-
известное направление и вели-
величину; мы его будем называть
полной величиной момента
количеств движения системы,
или, еще лучше, осью мо-
моментов количеств движения,
а также вектором моментов
количеств движения. Начало
этого вектора всегда совпа-
совпадает с началом координат;
конец его, или, иначе, конец
оси, т. е. точку А, будем
называть полюсом.
При движении системы вектор ОА, вообще говоря, изме-
изменяет с течением времени свое направление и величину, а по-
поэтому полюс А движется, описывая некоторую кривую (фиг. 126).
Рассмотрим движение полюса. С этой целью напишем урав-
уравнения моментов количеств движения для трех координатных
осей. Называя суммы моментов внешних сил относительно
осей х, у, z через Мх, М , Мг, получим эти уравнения:
M* — ~di' My— dt ' M*— dt • (bi>>
Говоря о движении полюса А, мы можем считать, что \},х,
]iv, ]ig представляют координаты этой движущейся точки.
Производные этих координат, т. е.
Фиг. 126.
x
dt ?
dt

202 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
изображают скорости движения полюса по направлению
трех координатных осей. Уравнения F5) могут быть прочи-
прочитаны следующим образом:
Скорости полюса по координатным осям
равны соответствующим моментам внешних
сил.
Если мы будем рассматривать не проекции моментов сил
Мх, Myt Мг, а полный момент сил, т. е. геометрическую
сумму этих проекций, то можем истолковать уравнения F5)
в форме следующей теоремы:
Скорость полюса для каждого мгновения
равна по величине и совпадает по направле-
направлению с полным моментом внешних сил.
В этом и состоит теорема Гейуорд-Резаля. Оказывается,
что скорость полюса и полный момент внешних сил геомет-
геометрически тождественны. Зная, как изменяется момент сил,
имея картину этого изменения, мы буквально применяем ту
же картину к движению полюса, предсказываем это движение.
И обратно, зная движение полюса, найдя скорость этого
движения, мы предсказываем величину и направление полного
момейта внешних сил.
Следует обратить внимание на эту картину движения и
вдуматься в полученную теорему. Возьмем для сравнения
движение материальной точки, масса которой равна единице.
Оно зависит от силы, действующей на точку, а у нас дви-
движение полюса зависит от момента сил. Но особенное раз-
различие заключается в том, что при движении материальной
точки величина силы и ее проекций дает величину ускоре-
ускорения движения (или его проекций). Между тем, при движе-
движении полюса величина момента дает не ускорение, а ско-
скорость полюса; моменты сил равны скоростям полюса. Когда
момент сил равен нулю, то и скорость полюса равна нулю.
Когда момент сил постоянный, то и скорость полюса постоян-
постоянная, т. е. мы имеем здесь движение без инерции; с пре-
прекращением сил сейчас же прекращается и движение полюса.
Чтобы поддерживать это движение, необходимо постоянное
действие сил. В этом состоит глубокое отличие движения
полюса от движения материальной точки. Полюс не обладает
способностью сохранять свою скорость после прекращения
силы. Можно сказать, что сила (или, точнее, момент сил)

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЮСА 203
держит полюс в узде, не позволяет ему ни разбегаться, ни
отставать. Полюс принужден в точности повторять изменения
силы; его скорость точно отражает, или копирует, эти изме-
изменения. Представим себе, что мы нарисовали чертеж или диа-
диаграмму, изображающую последовательные величины и направ-
направления момента сил: эта самая картина будет изображать
последовательные величины и направления скорости полюса.
Положим, что мы разбираем, исследуем какой-нибудь сложный
случай движения. Делаем некоторое предположение, догадку
относительно этого движения, и желаем проверить правиль-
правильность этой догадки. Для этого определим движение полюса;
если оно не вполне согласуется с изменением момента сил,
то наша догадка неверна. Наоборот, согласие момента сил
со скоростями полюса есть успокоительный результат. Этим
приемом можно пользоваться при разборе сложных явлений,
например движения гироскопов и т. m Таков смысл теоремы
Гейуорд-Резаля.
Не следует удивляться тому, что мы имеем здесь движе-
движение без инерции. Полюс не есть материальная точка, снабжен-
снабженная массой; он изображает только отвлеченное представление,
а теорема Гейуорд-Резаля дает геометрическое описание явле-
явлений движения системы. Закон инерции не имеет сюда ника-
никакого отношения.
88. Устойчивость движения полюса. Скорость полюса появ-
появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением сил,
и величина этой скорости пропорциональна этим силам (точнее,
их моментам). Перемещения же определяются скоростями и
временем. Поэтому удары и другие так называемые мгновен-
мгновенные силы, т. е. силы, действующие в течение очень корот-
короткого времени, могут только очень мало изменить движение
полюса. Другими словами, это движение обладает свойством
устойчивости: оно мало изменяется от действия мгновенных
сил ударов, сотрясений. Но эта устойчивость отличается от
всем известной устойчивости при равновесии. Когда тело,
находящееся в устойчивом равновесии, получит удар или тол-
толчок, то оно начинает колебаться взад и вперед около равно-
равновесного положения; колебания эти могут продолжаться до-
довольно долго после прекращения толчка. На движение же
полюса толчок оказывает влияние только в течение короткого
времени своего действия, и колебаний не получается; как

204 ЗАКОН МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
только прекратится толчок, сейчас же прекращается и его
влияние; остающихся явлений, колебаний, представляющих
как бы воспоминание о полученном толчке, полюс не пока-
показывает.
Нужно привыкнуть к этим особенностям движения полюса,
которые кажутся парадоксами, потому что на движение по-
полюса часто ошибочно смотрят как на движение материальной
точки. От такого неправильного взгляда происходит кажу-
кажущаяся парадоксальность и движений волчка, гироскопа и тому
подобных приборов; они как будто бы нарушают все законы
динамики.

ОДИННАДЦАТАЯ БЕСЕДА
ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ
ДВИЖЕНИЯ. ГИРОСКОПЫ
89. Движение твердого тела, имеющего одну непо-
неподвижную точку. Мы рассмотрим здесь случай движения, пред-
представляющий поучительный пример приложения закона моментов
количеств движения. Все сложные и разнообразные явления
Такого движения хорошо уясняются и освещаются нашим
законом. Предварительно напомним основную теорему о дви-
движении твердого тела, которое имеет неподвижную точку:
Всякое бесконечно малое движение такого
тела есть непременно вращение около мгно-
мгновенной оси. Эта ось непрерывно изменяет свое положение
как в теле, так и в пространстве.
Теорема эта может быть рассматриваема как обобщение
теоремы Шаля, относящейся к плоскому движению. Здесь мы
имеем движение не плоское; одна точка тела неподвижна, и
всякая другая точка должна во все время движения не изме-
изменять своего расстояния от неподвижной, следовательно, должна
оставаться на поверхности шара, имеющего центром непо-
неподвижную точку.
Итак, здесь движение не плоское, а сферическое. Вооб-
Вообразим на поверхности указанного шара любую фигуру и при-
применим к ней буквально все те рассуждения, которые мы из-
излагали в § 25 для плоского движения; получим то обобщение,
которое мы только что высказали.
Бесконечно малое вращение около мгновенной оси всегда
можно разложить на три вращения около трех взаимно пер-
перпендикулярных осей. Угловая скорость при этом заменяется
тремя составляющими угловыми скоростями, совершенно также,
как некоторая сила заменяется тремя составляющими силами.

206 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
90. Главные оси. Мы уже объяснили (см. § 49) понятие
о главной оси твердого тела. Проведя в нем три координат-
координатные оси х, у, г, составим произведение из массы частицы
тела т на две ее координаты xz, yz; затем сложим такие
выражения для всех частиц тела. Получатся суммы ^mxz,
2 tnyz. Если обе эти суммы равны нулю, то ось z называется
главною осью тела для начала координат. Таково определение.
Главные оси обладают замечательными свойствами, из ко-
которых отметим следующее.
Проведем через опору перпендикулярно к оси вращения Oz
две координатные оси Ох, Оу. Тогда моменты касательных
сил инерции относительно осей Ох, Оу равны нулю, если Oz —
главная ось для точки О.
Момент касательных сил инерции относительно оси вра-
вращения Oz, как мы видели (§ 35), равен произведению угло-
вого ускорения -гг на момент инерции J относительно оси Oz.
91. Момент количеств движения. Касательные силы
инерции вращения около оси представляют векторы, прило-
приложенные к каждой частице тела и обладающие следующими
свойствами: а) эги векторы перпендикулярны к радиусу г;
б) величины этих векторов пропорциональны массе частицы от
и радиусу г, т. е. равны произведению из mr на некоторый
множитель, одинаковый для всех частиц тела, а именно: -п .
Очевидно, здесь не важна величина или алгебраическое
выражение этого множителя, а имеет значение только одина-
одинаковость его для всех частиц. Так же несущественно то, что
здесь идет речь о силах, а не о каких-либо других векто-
векторах. Статическое выражение момента и условия равновесия
моментов представляют чисто геометрические теоремы, в ко-
которых сила фигурирует как геометрический линейный отрезок,
т. е. как вектор, и сущность понятия о с и л е здесь не
при чем. Поэтому все, что только что было сказано о каса-
касательных силах инерции, можно приложить и к любому дру-
другому вектору, обладающему теми же свойствами, т. е. пер-
перпендикулярному к радиусу и пропорциональному произведению
массы на радиус.
Это замечание позволяет нам приложить к моментам ко-
количеств движения то, что мы знаем о касательных силах

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 207
инерции. При вращении около оси Oz с угловой скоростью ю
количество движения частицы т будет перпендикулярно к ра-
радиусу г и равно скорости этой частицы со/-, умноженной на
массу, т. е. со/яг.
Поэтому, если ось Oz есть главная ось, то моменты ко-
количеств движения относительно перпендикулярных к ней осей Ох
и Оу будут равны нулю, момент же количества движения
относительно оси Oz будет равен произведению Уш из момента
инерции J для оси Oz на угловую скорость вращения со
относительно этой оси.
Итак, для главных осей мы получаем очень простые вы-
выражения момента количеств движения. Вот почему, изучая
движения твердого тела, прежде всего нужно определить его
главные оси, чтобы получить наиболее простые выражения.
Этим упрощением всегда можно воспользоваться, так как
в каждой точке тела наверное имеются три главные оси,
взаимно перпендикулярные между собой (см. § 50).
Пусть координатные оси х, у, z, проведенные через не-
неподвижную точку О нашего тела, будут главные оси. Мо-
Моменты инерции относительно этих осей обозначим через
х1 у* z'
Элементарное движение тела есть непременно вращение
около некоторой мгновенной оси. Угловую скорость этого
вращения разложим на три угловые скорости р, q, s по осям
координат. Тогда полное количество движения любой частицы т
нашего тела представит равнодействующую из трех количеств
движения, соответствующих трем вращениям р, q, s.
Момент количеств движения относительно одной из о.сей,
например Ох, получим, складывая моменты трех отдельных
слагающих вращений. Но, так как ось Ох есть главная, то
получим, что для нее момент того количества движения, ко-
которое происходит от вращения q около оси Оу, равен нулю.
Также будет равен нулю момент того количества движения,
которое происходит от вращения s около оси Oz. Наконец,
момент того количества движения, которое вызывается враще-
вращением около оси Ох, будет равен Jxp. Складывая эти моменты,
получим, что полный момент количества движения для оси Ох
равен Jxp.
Подобно этому получим для осей Оу, Oz моменты коли-
количеств движения Jyq, J^s.

208 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЙ
Так просты оказываются эти выражения при выборе для
координатных осей направлений главных осей. При всяком
другом направлении координатных осей получились бы гораздо
более сложные формулы.
92. Ось (вектор) момента количеств движения. Мы можем
теперь в точности указать этот вектор для твердого тела, имею-
имеющего неподвижную точку, и, таким образом, получить вполне
конкретное представление об этом механическом понятии.
Проекции этого векто-
вектора на оси х, у, z
(фиг. 127) будут: Jxp,
Jyg, Jzs.
Отложим эти отрез-
отрезки один за другим па-
параллельно осям, т. е.
проведем ломаную ли-
линию Oabc, и построим
-*~х равнодействующий век-
вектор Ос, Это и будет
вектор (или ось) момен-
моментов количества движе-
движения. Конец его, точка с,
Фиг. 127. будет полюс.
Для сравнения изо-
изобразим на том же чертеже мгновенную ось вращения. Проек-
Проекции угловой скорости вращения около этой оси на оси коор-
координат выше были нами обозначены через р, q, s. Сложим их
геометрически, т. е. проведем ломаную линию Ode/, стороны
которой Od, de, ef параллельны осям х, у, z и равны вели-
величинам р, q, s. Результат сложения будет равнодействующая
Of; она изобразит направление мгновенной оси.
Мы видим, что, вообще говоря, ось моментов количеств
движения не совпадает с мгновенной осью и может сильно
от нее отличаться. Совпадение произойдет только тогда, если
•"х == "> == "\г>
тт. е. когда все три момента инерции для трех главных осей
нравны между собою. Но такое равенство представляет редкий
случай. Если оси проведены через центр фигуры тела, то
равенство выполняется для шара, для куба; искусственно

СЛУЧАЙ БЫСТРОГО ВРАЩЕНИЯ ОКОЛО ОСИ ФИГУРЫ 209
можно подобрать много таких форм, для которых это равен-
равенство выполняется. Для них явления движения получаются
в наиболее простой форме. Но в приложениях такие формы
почти не встречаются, и обыкновенно ось моментов количеств
движения не совпадает с мгновенною осью.
В приложениях мы почти всегда имеем дело с телами
вращения, имеющими определенную геометрическую ось фи-
фигуры. Мгновенная ось может заметно отличаться от оси
фигуры, а также и от оси моментов количеств движения.
Вообще говоря, это три совершенно различные прямые, про-
проходящие через неподвижную точку тела; их не следует сме-
смешивать между собою. Поводом к смешению служит то, что
все эти три линии носят название «ось», и случаи такой
путаницы довольно многочисленны. Ф. Клейн, который в своей
замечательной «Теории волчка» !) посвящает одну главу изло-
изложению существующей популярной литературы по вопросу
о волчках и гироскопах, приводит много примеров такого
смешения понятий. Иногда авторы популярных объяснений
в начале своих рассуждений под словом ось подразумевают
ось фигуры, а в конце уже говорят о мгновенной оси, не за-
замечая этой перемены. Такое смешение понятий отнимает
всякую ценность получаемого вывода.
93. Случай быстрого вращения около оси фигуры. Мы
постараемся не сделать ошибки, о которой говорили в конце
предыдущего параграфа, и, употребляя в наших рассуждениях
слово «ось», будем указывать, о какой из трех упомянутых
осей идет речь. Но заметим, что в наиболее важных для
приложений случаях (волчки, гироскопы, вращение Земли)
эти три оси очень близки между собою и почти совпадают.
В этих случаях угловая скорость вращения около оси фигуры
во много раз превышает две другие угловые скорости для
Двух других главных осей; моменты же инерции для этих
осей не представляют такой значительной разницы в величине.
J) К1 е i n F. und Sommerfeld, Theorie des Kreisels. Эта
книга дает гораздо больше, чем обещает ее заглавие. Движение
волчка дает повод автору рассмотреть значительное число основных
вопросов механики и высшей математики.
[На русском языке теория^ гироскопов элементарно изложена
в книге: Николаи Е. Л., Теория гироскопов. Гостехиздат, 1948
{Прим. ред.).]
'4 В. Л. Кирпичей

210 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Положим, наша ось х есть ось фигуры. Так как угловая
скорость р значительно больше, чем q и s, то мгновенная
ось будет очень мало отклоняться от оси х. При поставленных
нами условиях величина Jxp будет значительно больше, чем
J q, Jzs; поэтому ось моментов количеств движения будет
очень близка к оси фигуры. Таким образом, направления всех
трех осей — мгновенной оси, оси моментов количеств движе-
движения, оси фигуры — почти совпадают между собою. Мы раз-
различаем их во время наших рассуждений, но при опытах и
демонстрациях нельзя будет заметить разницы между этими
тремя осями. Легче всего наблюдать положение оси фигуры;
то, что опыт укажет для нее, может быть без заметной
ошибки относимо и к оси моментов количеств движения. Од-
Одним словом, различая указанные три оси при наших рассуж-
рассуждениях, мы можем при поверке выводов опытом во многих
случаях допустить совпадение направлений всех трех осей.
Так, например, выводы об устойчивости движения полюса,
изложенные в конце предыдущей беседы, дают много указа-
указаний на движение оси фигуры.
94. Тела вращения. Если х есть ось фигуры такого
тела, а оси у и z расположены по экватору его, то симмет-
симметрия тела указывает на необходимость равенства моментов
инерции для осей у, z, т. е. будем иметь:
Это соотношение значительно упрощает разбор движения
тела, и явления вращения его около неподвижной точки ока-
оказываются заметно проще, чем в общем случае, когда 3 и
Jz не равны между собою.
Заметим при этом, что равенство двух моментов инерции
может получиться не только для тел вращения, но и для
других форм, например для прямоугольной призмы, основание
которой есть правильный многоугольник четного числа сторон.
Даже для тел несимметричной формы, при некотором распре-
распределении масс, может получиться то же равенство J' =zJ2.
Движение тел такой формы ничем не будет отличаться от
движения тел вращения.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 211
Затем докажем одну теорему, которая имеет особое зна-
значение при разборе движения волчка, гироскопов и т. п.
Теорема. Если имеем тело вращения, и мо-
момент внешних сил для оси фигуры его равен
нулю, то угловая скорость вращения около
этой оси (т. е. слагающая р наших формул) будет
величина постоянная.
Мы докажем эту теорему, пользуясь законом моментов
количеств движения в той форме, которую ему дали Гейуорд
и Резаль. Напомним, что этот закон относится к моментам,
взятым для неподвижной оси; его нельзя прямо приме-
применять к оси фигуры тела, которая движется и непрерывно
изменяет свое положение. Но мы прибегаем к следующему
приему: выберем какое-нибудь мгновение времени за началь-
начальное и положения главных осей тела в это мгновение за
оси х, у, z. Затем пусть эти оси отвердеют, сделаются не-
неподвижными; тело же продолжает двигаться, и для следую-
следующего мгновения главные оси тела уже не будут совпадать
с осями х, у, z. Закон моментов количеств движения будем
применять к таким отвердевшим, неподвижным осям х, у, Z.
Доказательство удобнее вести, не делая с самого начала
предположения, что существует равенство
Jу — J г»
лучше ввести это равенство при конце доказательства. На
фиг. 128 пусть отрезки Оа, OjS, Oy изображают начальные
величины момента количеств движения для осей х, у, z\ эти
величины будут: Jxp, Jyq, Jzs. При прошествии бесконечно
малого времени dt главные оси переместятся и займут поло-
положения Оа.', 0$', Оу'. Вместе с тем изменится угловая ско-
скорость, и проекции ее на главные оси уже будут отличаться
от р, q, s. Новые величины этих проекций обозначим через
p-\-dp, q-{-dq, s-{-ds;
новые значения моментов количества движения для главных
осей будут: Jx(p-{-dp), Jy(q-\-dq), J3{s-\-ds). Эти значе-
значения отложим в виде отрезков Оа', 0$', Of.
Теперь посмотрим, как переместился полюс, т. е. конец
оси моментов количеств движения. Положение полюса в на-
начальный момент получим, сложив геометрически отрезки Оа,
0$, Оу, а положение по прошествии времени dt—сложив
14»

212 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
отрезки Оа', О)', Of. Перемещение полюса можно рассма-
рассматривать как составное или результирующее из перемещений
точек а, р, у, т. е. составное из перемещений ста', $$', YY'-
Если нужно проектировать перемещение полюса на какую-
нибудь ось, то вместо такой проекции'можно взять сумму
проекций на ту же ось перемещений яш', Рр', YY* ^ко-
рость полюса по той же оси получится, если разделить
его перемещение на элемент времени dt, т. е. нужно взять
Фиг. 128.
сумму проекций перемещений ал', ffi, YY' и разделить эту
сумму на dt.
Сделаем это для оси Ох. По теореме Гсйуорд-Резаля
скорость полюса будет равна моменту Мх внешних сил для
оси Ох.
Начнем с перемещения аа'. Рассматривая треугольник Оаа'
и проектируя на ось х, получим (при том направлении сторон,
которое обозначено на чертеже стрелками):
пр. Оа-^-пр. аа' = пр. Оя'.
Но угол между Ох и 0%' бесконечно мал; при проекти-
проектировании нужно Оо.' умножить на косинус этого угла, а ко-
косинус малого угла отличается от единицы величинами второго
порядка. Поэтому вместо косинуса можно поставить единицу,
и, следовательно, проекция Оа' будет равна самой длине Оа.'.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 213
Следовательно, уравнение проекций получает форму:
Оа +пр. аа' = 02',
т. е.
Jxp-\-np. ai'~Jx{p-\-dp),
откуда
пр. aa' = Jxdp.
Деля же на dt, получим проекцию скорости перемещения аа':
J* dt • К}
Переходим к перемещению $$'. Длина Ор, во-первых, увели-
увеличивается, во-вторых, поворачивается и занимает положение 0$'.
Увеличение длины не дает никакой проекции на ось Ох; рас-
рассмотрим только поворачивание. От У
чего оно происходит? Движение всего
тела, а следова1ельно, и линии 0E,
в течение бесконечно малого време- \
ни dt может быть рассматриваемо как R
о г
-*-У
происходящее от совокупности трех
вращений около осей х, у, гс угло- / \ \
вымн скоростями р, q, s. Вращение
около оси Оу не сообщает точке [$
никакого перемещения. Вращение Фиг. 129.
около Ох перемещает точку fS в пло-
плоскости yOz, следовательно, соответствующая проекция пере-
перемещения на ось Ох равна нулю. Остается вращение около
оси z. При этом вращении, если оно положительное, т. е.
направлено по стрелке на фиг. 129, точка J3 идет вниз и дает
отрицательную проекцию перемещения на ось Ох. Угол по-
поворота за время dt будет:
sdt.
Само перемещение получится, если умножить этот угол
на длину O$ = Jyq; с точностью до бесконечно-малых высшего
порядка проекция этого перемещения на Ох равна самому
перемещению, т. е. получаем проекцию
— sdtJyq.

214 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Деля на dt, найдем соответствующую скорость:
Подобным же образом найдем скорость, отвечающую пе-
перемещению YY'. Если вращение около оси у, т. е. q, положи-
положительное (по стрелке на фиг. 130), то проекция перемещения
YY' будет положительная; величина скорости получится из
(II) заменой в нем радиуса J q ра-
радиусом J2s, и скорости s скоро-
скоростью q; получим проекцию третьей
скорости:
-\-Jzsq. (Ш)
Складывая три проекции скорости
полюса (I), (II), (III) и приравнивая
эту сумму моменту Мх, получаем.
Фиг. 130. J»% + 9s{J.-Jy) = Mx. F6)
Мы могли бы получить два подобных же уравнения для
осей Оу и Oz или прямо написать их по аналогии с F6).
Это будут три знаменитых эйлеровых уравнения движения
твердого тела. Но нам они не нужны в общем виде. Мы раз-
разбираем частную задачу: у нас тело вращения; следовательно,
Затем у нас по заданию момент Мх внешних сил для оси
фигуры тела равен нулю. Тогда уравнение F6) дает:
откуда р = const., т. е. угловая скорость около оси фигуры
есть величина постоянная, что и требовалось доказать. HiaK,
мы убедились в верности теоремы, высказанной в начале па-
параграфа. Оказывается, что если внешние силы дают момент Мх,
равный нулю, т. е. если внешние силы пересекают главную
ось х или ей параллельны, то угловая скорость около этой оси
постоянная; но это справедливо только тогда,
когда

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 215
т. е. если имеем тело вращения около оси х
или аналогичный случай симметричного рас-
расположения масс.
Замечание. При равенстве двух главных моментов
инерции, например Jy и )г для осей у, г, оказывается, что
все оси, лежащие в плоскости yz, будут главные оси тела;
моменты инерции для всех этих осей одинаковы и равны J
В этом случае вместо разложения угловой скорости на три
главные оси можно применять разложение ее на две главные
оси. Пусть ОМ есть мгновенная ось вра-
вращения, а отрезок ОМ изображает величину
угловой скорости (фиг. 131). За одно
направление разложения примем ось Ох
(ось фигуры в случае тела вращения); за
другое направление разложения выберем
линию ON, лежащую в плоскости хОМ
и перпендикулярную к Ох. Ось ON лежит
в плоскости yz, следовательно, будет глав-
главная. Итак, обе оси, на которые разложена
угловая скорость, будут главные. А всякая
главная ось обладает тем свойством, что
для нее проекция момента количеств движения выражается
очень просто, а именно равна произведению угловой скорости
на момент инерции для этой оси. Если проекции угловой
скорости на OX, ON назовем через р, q, то проекции мо-
момента количеств движения для тех же осей будут: J'хр, Jyq.
Мы бы могли и в случае неравенства величин Jy и Уг раз-
разложить угловую скорость ОМ так же, как только что делали:
т. е. на слагающие по главной оси Ох и по линии ON, ле-
лежащей в плоскости хОМ и перпендикулярной к Ох. Но тогда
ON не будет главной осью, и проекция момента количеств
движения для нее получает сложное выражение. В этом случае
такое разложение бесполезно; гораздо проще разложить ско-
скорость по трем главным осям; тогда получим для проек-
проекций момента количеств движения простые выражения: JAp,
Jyq, Jzs.
Вообще, в этом вопросе главные оси имеют значение именно
вследствие простоты получающихся для них проекций момента
количеств движения. Вот почему мы выбираем исключительно
главные оси; по этой причине для тел вращения можно при-

216 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
менять разложение на две оси, а в случае неравенства вели-
величин Jy и Jг такое разложение непригодно.
Применяя для тел вращения разложение на две оси, мы
могли бы несколько проще доказать нашу теорему о по-
постоянстве угловой скорости р относительно оси фигуры тела.
На самом деле, пусть (фиг. 132) начальное положение оси
фигуры есть Ох, и началь-
начальная угловая скорость разло-
разложена на два направления Ох
и Оу; проекции момента ко-
количества движения изобра-
изобразятся отрезками Оа, 0$. По
прошествии времени dt ось
фигуры займет новое поло-
положение Оа', и величина мо-
*' мента количества движения
изобразится отрезком Оа'.
Теперь уже разложение дела-
делает В' ется по направлениям Оа' и
Ор', причем О[Г, вообще
говоря, не будет та же самая
линия нашего вращающегося
тела, которая в начальный момент занимала положение Оу;
но это будут две бесконечно близкие линии вращающегося
тела. Легко показать, что проекция перемещения [5|5' на ось
х — величина второго порядка; поэтому ее отбросим. Оста-
Остается только проекция перемещения аа', для которой получаем
попрежнему выражение:
Jxdp.
Соответствующая проекция скорости полюса будет равна
1 dp
О
Фиг. 132.
а так как по заданию момент внешних сил для оси Ох равен
нулю, то по теореме Гейуорд-Рсзаля эта проекция скорости
полюса равна нулю, и мы получаем:
J*dt '
т. е. р = const.

СЛУЧАЙ, КОГДА НЕ ДЕЙСТВУЮТ ВНЕШНИЕ СИЛЫ
217
Фиг. 133.
Мы не делали этого упрощения и исходили из общего
случая, желая попутно получить эйлеровы уравнения. В даль-
дальнейших выводах относительно тел вращения будем постоянно
применять разложение по двум
осям. Так мы поступим при разборе
следующего вопроса.
95. Движение тела вращения,
имеющего неподвижную точку, в
случае, когда на него не действуют
внешние силы. Чтобы устранить
действие веса, мы подопрем наше
тело в центре тяжести. Это возможно
при помощи двух способов:
а) Волчок Максвелла (фиг.
133). Телу волчка придана форма
вроде колокольчика с тяжелым краем;
центр тяжести приходится внутри
полости колокольчика, и ось ОС,
на которую насажен волчок, оканчи-
оканчивается острием в центре тяжести О.
При такой^форме можно опереть вол-
волчок его центром тяжести на подстав-
подставку В, которая не будет мешать дви-
движению волчка.
б) Гироскопы Фесселя,
Бонненбергера, Фуко (фиг.
134, 135). Тело гироскопа Л (фиг. 134)
посажено на ось ВС, которая имеет
карданову подвеску, т. е. ось вращает-
вращается в кольце, имеющем цапфы D, Е,
перпендикулярные к ВС. Цапфы вра-
вращаются в обойме DFE, которая^сама
может свободно (без трения) пово-
поворачиваться около вертикальной оси.
Для достижения такого поворачива-
поворачивания употребляют два средства: или обойма DFE имеет ци-
цилиндрический хвое г GH, свободно вращающийся в неподвиж-
неподвижной подставке К, или обойма DFE подвешена на тонкой нити
Ьа (фиг. 135), которая почти не представляет сопротивления
поворачиванию обоймы около вертикальной оси.
Фиг. 134.

218 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
В таких приборах действие тяжести устранено, и, сообщив
волчку или гироскопу некоторый толчок, мы получаем дви-
движение поинерции. (Пренебрегаем сопротивлением воздуха
и трением на осях.) В чем будет состоять это движение?
Начальный момент количества движения волчка изобразим
по величине и по направлению вектором ОМ (фиг. 136); так
как внешних сил вовсе нет, то момент количеств движения
не будет изменяться, следовательно, полюс М неподвижен.
Фиг. 135.
Пусть ОА изображает положение оси фигуры волчка для лю-
любого мгновения. Разложим угловую скорость вращения и мо-
момент количества движения на два направления: по оси фигу-
фигуры ОА и по линии ON, к ней перпендикулярной; составляю-
составляющие угловой скорости назовем р, q; составляющие моменты
будут: Jxp, Jyq\ последние изображены на чертеже отрезками
Оа, 0$. Складывая их по правилу параллелограма, получим
полный момент количеств движения для рассматриваемого
мгновения; он должен быть равен начальному значению мо-
момента ОМ.
Но угловая скорость р около оси фигуры волчка, по до-
доказанному должна быть постоянная, так как реакции опор этой
оси дают для нее момент, равный нулю. Следовательно, отре-
отрезок Оа, равный Jxp, сохраняет во все время движения одну

ГИРОСКОП ФУКО И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ 219
и ту же величину, а отсюда следует, что угол ш (между осью
фигуры О А и осью постоянного момента количества движе-
движения) тоже не должен изменяться. Поэтому линия Оа. должна
или быть неподвижной, или описывать круговой конус около
ОМ. Но первое невозможно, так как вследствие существова-
существования скорости q ось фигуры ОА должна перемещаться. Итак,
ось фигуры А должна описывать круговой конус около оси
моментов количеств движения.
Можно задать себе вопрос: с какой скоростью будет про-
происходить это коническое движение? Общая симметрия всех
условий с несомненностью указывает, что эта скорость должна
быть постоянною.
Итак, единственное возможное в нашем воп-
вопросе движение есть равномерное коническое
движение оси фигуры около оси моментов ко-
количеств движения. Равномерное коническое движение
оси фигуры называется регулярной прецессией. Таким
образом, для тела вращения, имеющего непод-
неподвижную точку, движение по инерции есть не-
непременно регулярная прецессия. Гораздо более
сложным движение по инерции бухет для тела, для которого
не существует равенства моментов инерции Jy и Jг.
96. Гироскоп Фуко и доказательство вращения Земли.
Рассмотрим движение гироскопа, которому сообщено вращение
около оси его фигуры со значительной скоростью. При такой
подвеске гироскопа, как на фиг. 134, 135 (а также и для
волчка Максвелла, фиг. 133), на гироскоп не могут переда-
передаваться никакие силы, кроме незначительного трения и сопро-
сопротивления воздуха. Гироскоп можно считать движущимся по
инерции около подпертого своего центра тяжести, который
увлекается Землею при ее вращении. Оставим в стороне по-
поступательное движение гироскопа, одинаковое с движением
его центра тяжести, и будем говорить только о вращении ги-
гироскопа около центра тяжести. Единственное возможное дви-
движение его оси фигуры есть, как доказано в § 95, регулярная
прецессия около оси моментов количеств движения, которая
неизменна. Если в начале движения, при сообщении гироскопу
быстрого вращения, ось фигуры не получит никакого бокового
толчка, то мы имеем только вращение гироскопа около оси
фигуры;- тогда эта ось совпадет с осью моментов количеств

220 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
движения; скорость полюса вначале равна нулю, а никаких
внешних пар нет, следовательно, скорость полюса и далее
должна оставаться равной нулю. Поэтому ось фигуры и дальше
будет совпадать с осью моментов количеств движения, т. е.
будет сохранять неизменное положение в пространстве.
Следовательно, она может служить для указания, что Земля
вращается. Ось фигуры гироскопа будет перемещаться отно-
относительно Земли; это движение, которое мы будем наблюдать, —
движение кажущееся, а в действительности происходит обрат-
обратное— перемещение Земли относительно неизменной оси гиро-
гироскопа.
Направим ось фигуры гироскопа на некоторую произволь-
произвольную неподвижную звезду; тогда эта ось будет и далее на-
направлена на ту же звезду, как на неподвижный предмет, т. е.
нам будет казаться, что ось фигуры гироскопа вместе с из-
избранной звездой производит суточное обращение около Поляр-
Полярной звезды.
В этом должно состоять явление для описанного свобод-
свободного гироскопа. Иногда утверждают, что ось фигуры гиро-
гироскопа Фуко стремится стать непременно параллельно оси Земли,
т. е. стремится направиться на Полярную звезду. Предыду-
Предыдущие обт яснения показывают, что это не так. Ось фигуры
гироскопа не участвует во вращении Земли, и на нее не дей-
действуют никакие устанавливающие силы, стремящиеся придать
ей то или другое направление. Она сохраняет по инерции то
случайное направление, которое ей было придано вначале.
97. Устойчивость гироскопа. Для правильного понимания
этого явления необходимы некоторые пояснения. Возьмем ги-
гироскоп Фуко или волчок Максвелла, но не будем сообщать
им вращения около оси фигуры. Установим ось фигуры по
известному определенному направлению и затем предоставим
гироскоп самому себе, стараясь при этом не сообщить
никакого толчка. Так как на гироскоп не действуют никакие
силы, то по инерции ось фигуры должна сохранять неизмен-
неизменное положение. Следовательно, она не будет участвовать во
вращении Земли. Итак, она будет показывать всегда на одну
и ту же неподвижную звезду и, таким образом, демонстриро-
демонстрировать вращение Земли. Но зачем же тогда сообщают гироскопу
вращение, да еще с громадной скоростью, если то же самое
дает невращающийся гироскоп?

УСТОЙЧИВОСТЬ ГИРОСКОПА 221
Нетрудно убедиться в том, что описанный опыт с невра-
щающимся гироскопом, наверное, не удастся, потому что та-
такой гироскоп неустойчив. Уже при начале невозможно избе-
избежать сообщения оси его хотя небольшого толчка; предостав-
предоставленная сама себе ось пойдет по направлению толчка и очень
скоро значительно изменит свое начальное направление. Такое
же изменение будет происходить и от дальнейших случайных
толчков, сотрясений и т. д. Получив толчок, ось фигуры по
инерции будет двигаться по направлению толчка.
Ничего подобного не произойдет, если гироскоп вращается
около своей оси с большой скоростью. Он устойчив и почти
вовсе не поддается действию толчков. Сущность этого свой-
свойства устойчивости определяется теоремой Резаля. Если
скорость вращения гироскопа около его оси велика, а толчки
незначительны, то ось фигуры гироскопа будет очень близка
к оси моментов количеств движения, и при наблюдениях можно
считать, что эти две линии совпадают. Но движение оси мо-
моментов количеств движения, или движение полюса, представ-
представляет, как мы видели, движение без инерции; полюс пере-
перемещается только во время действия силы, и когда сила пре-
прекращается, то и полюс останавливается; всякие толчки как
начальные, так и последующие, изменяют это движение
только в течение своего действия, а так как оно
кратковременно, то изменение будет очень невелико, незаметно,
и потом не остается никакого дальнейшего следа этого толчка.
Между тем, если движение имеет инерцию, то небольшой
толчок сообщает движение, продолжающееся с постоянной
скоростью, и с течением времени произойдет значительное
удаление от первоначального положения, хотя сила уже давно
перестала действовать.
Возьмем волчок Максвелла невращающийся и произведем
быстрый удар молотком по концу оси; она начнет двигаться
по направлению толчка и скоро совершенно изменит свое
первоначальное направление. Но пусть волчок вертится с боль-
большой скоростью, и произведем тот же удар. Ось почти не
подвинется от такого удара, потому что он кратковремснен,
и ось не получит остающейся скорости движения по направле-
направлению удара. Действие удара будет состоять в том, что изме-
изменит положение полюса, но изменит очень мало, так как
действует короткое время. После удара ось фигуры волчка

222 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА MOMI-HIOB КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Q
в
—*~ж
немного не совпадает с полюсом. Затем начнется движение
по инерции. По доказанному ось фигуры при этом должна
описывать конус около полюса; конус будет иметь очень
небольшое растворение, и из пределов этого конуса ось
фигуры не выйдет, хотя бы прошло значительное время.
Вот в чем заключается устойчивость быстро вращающихся
гироскопов и вот почему для демонстрации вращения Земли
необходимо пользоваться гироскопами, делающими значитель-
значительное число оборотов в секунду.
Такова предложенная Фуко демонстрация вращения Земли.
98. Усилия, необходимые для изменения направления
оси быстро вращающегося тела. Имеем тело вращения А
(фиг. 137), которому сообщили
быстрое вращение около оси
его фигуры ВС. Затем сооб-
сообщаем оси вместе с телом А
равномерное поворачивание око-
около оси Оу, причем концы оси
В, С описывают круг. Для
этого нужно приложиib в точ-
точках В, С некоторые силы.
Требуется найти величины и
направления этих сил.
Опыт, соответствующий этой
задаче, можно произвести сле-
следующим образом: возьмем ру-
руками за подшипники, в которых
вращаются концы оси В, С,
и сообщим оси насильственно
круговой поворот CDB. Тогда
в наших руках мы получим ощущение тех сил, разыскание
которых требует поставленная задача.
Мы предполагаем поворот равномерным, чтобы устранить
усложнение, вызываемое неравномерностью. Если наша ось
была в покое, то по необходимости в начале движения по-
появится неравномерность; но мы устраняем из рассмотрения
этот период движения, предполагаем, что он кончился и
установилось равномерное движение. Допускаем, что вредных
сопротивлений нет. Оставляем в стороне те давления на под-
подпоры В, С, которые происходят от веса и других внешних

ИЗМЕНЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ОСИ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 223
сил; эти давления легко находятся по правилам статики. Мы
же ищем только те силы, которые должны действовать в точ-
точках В, С вследствие динамических причин, т. е.
вследствие того, что тело А вращается около оси ВС; если
бы тело А не вращалось, то искомые нами силы, очевидно,
не существовали бы и равномерное вращение около О под-
поддерживалось бы само собою вследствие инерции.
Обозначим через р угловую скорость вращения тела около
оси фигуры. Угол поворота около оси Оу обозначим через у,
соответствующая угловая скорость будет равна -%. Момент
инерции для оси фигуры обозначим через Jx, а для оси Оу,
к ней перпендикулярной, — через Jy. Тогда проекции момента
количеств движения будут равны:
для оси Ох Jxp,
Эти моменты на чертеже изображены отрезками 0<х и О[5.
Во время движения, по заданию, угловая скорость пово-
поворота -^ постоянная. Также остается постоянной и скорость р,
потому что внешние силы (т. е. те поворачивающие силы,
которые действуют на точки В, С) приложены на оси фигуры
и дают для нее момент, равный нулю, а при этих условиях,
как было доказано в § 94, скорость р остается постоянной.
Итак, обе угловые скорости р и -£ постоянные, следователь-
следовательно, длины отрезков Оа, 0$ не изменяются во время дви-
движения.
Применим теорему Резаля и рассмотрим движение проек-
проекции полюса по той оси Oz, которая перпендикулярна и к оси
фигуры Ох, и к оси поворота Оу. Точка ($ не меняет своего
положения, следовательно, проекция перемещения ее равна
нулю. Точка а описывает дугу круга аа', около центра О;
для времени dt длина аа' получится умножением радиуса Оа,
т. е. J , на бесконечно малый угол поворота d-p. Проекция аа'
на ось Oz, при отбрасывании бесконечно-малых выше первого
порядка, равна самой дуге аа', т. е.

224 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
Деля на время dt, получим проекцию скорости движения по-
полюса на ось Oz: jm
По теореме Резаля, эта проекция скорости равна моменту М
внешних сил относительно оси Oz. Для осей Ох, Оу ско-
скорости полюса равны нулю, следовательно, моменты внешних
сил для этих осей тоже равны нулю.
Таким образом, оказывается, что искомые силы Q, которые
действуют в точках В, С, даю г для оси у момент, равный
нулю; следовательно, эти силы параллельны оси Оу. Вели-
Величина их должна быть такова, чтобы момент для оси z, т. е.
момент пары M — QL, равнялся скорости полюса, т. е. чтобы
M = Jxp%. F7)
Уравнение F7) дает не только величину, но и знак момента М,
следовательно, указывает, в какую сторону должны быть
направлены силы Q, приложенные в В и С. Если р и -~
оба положительные или оба отрицательные, то и М положи-
положительный. Момент пары М будет отрицательный, если р и —
разных знаков.
Направление положительного вращения ~ показано на
tit
чертеже стрелкою. Для вращения р имеем такое правило:
станем на положительной оси х и будем оттуда смотреть на
наше вращающееся тело, расположенное у начала координат;
если вращение происходит по часовой стрелке, то р положи-
положительное. Наконец, знак момента пары определяется, если
стать на положительной оси z и глядеть оттуда к началу
координат на ВС; если силы Q стремятся сообщить враще-
вращение по часовой стрелке, то М положительный.
Применяя это правило, необходимо располагать оси Ох и
Oz так, как у нас на чертеже, т. е. чтобы переход от л; к г
совершался поворачиванием на 90° в сторону положительного
вращения (р. Наша формула F7) выведена при таком распо-
расположении осей, и оно должно соблюдаться и при применениях
этой формулы. Действительно, при выводе формулы мы счи-
считали, согласно со сделанным чертежом (фиг. 137), что при

ИЗМЕНЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ОСИ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 225
положительном моменте количеств движения Оа и при пово-
повороте в сторону увеличения ш проекция перемещения полюса
на ось z положительная. Это указывает, что направление
положительной оси z должно быть такое, как на чертеже, а не
обратное ему.
Направление сил Q для случая положительных/? и -^пока-
-^показано на фигуре. Эго—силы, которые нужно приложить к оси
вращающегося тела, чтобы поворачивать эту ось. Конечно,
само вращающееся тело реагирует в точках В и Сна связь,
принуждающую ось поворачиваться по направлениям, прямо
противоположным этим нарисованным силам Q.
Таким образом мы решили нашу задачу и вполне опре-
определили величины и направления сил Q, которые нужно при-
приложить к концам оси, чтобы производить поворот этой оси.
Оказывается, что силы Q перпендикулярны к плоскости
поворота, т. е. к плоскости круга BDC. Если мы произво-
производим поворот в горизонтальной плоскости, то силы Q верти-
вертикальны. При повороте в вертикальной плоскости силы Q
будут горизонтальны; они идут не по направлению пути то-
точек В, С, а всегда перпендикулярно к этому пути.
Такой результат с первого раза представляется удиви-
удивительным и даже парадоксальным. Но легко убедиться в пра-
правильности его с помощью простого опыта. Нужно попробовать
поворачивать руками ось быстро вертящегося тела, — например
гироскопа, велосипедного колеса. Мы тогда почувствуем, что
ось сопротивляется повороту, стремится вырваться из рук
и оказывает на наши руки давления, реакции. По ощущению
в руках мы убедимся, что при повороте в горизонталь-
горизонтальной плоскости ось давит на руки двумя вертикальными
силами, и обратно.
Итак, силы Q перпендикулярны к пути своих точек при-
приложения. Следовательно, работа, производимая си-
силами Q, равна нулю. И этот результат некоторым
представляется парадоксальным. Но в нем нет ничего удиви-
удивительного или особенного; мы имеем множество случаев сил,
работа которых равна нулю; таковы все реакции неподвижных
опор. Наоборот, если бы силы Q производили некоторую
работу, то мы получили бы абсурдный результат. При пово-
повороте нашей оси с вертящимся телом скорость вращения не
16 В. Л. Кирпичев

226 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
изменяется; следовательно, живая сила остается постоянной,
а потому и работа сил Q должна равняться нулю; если бы
эта работа имела некоторую положительную величину, то мы
имели бы явление, в котором бесследно исчезает работа.
99. Примеры. При качке судов оси вращающихся
машин насильственно увлекаются судном и поворачиваются
в вертикальной плоскости; следовательно, в подшипниках осей
к статическим давлениям прибавляются динамические силы
того же рода, как рассмотренные нами в предыдущих пара-
параграфах. Если ось вращается быстро (центробежные циркуля-
циркуляционные насосы, динамомашины, паровые турбины), то до-
дополнительная динамическая прибавка будет значительна, и ее
нужно принимать во внимание при расчете подшипников.
Направление этого дополнительного давления определяется
по вышеизложенному правилу. Так, например, если ось рас-
расположена поперек судна (фиг.
138), то при поперечной
качке дополнительные давления
горизонтальны и идут параллельно
оси судна.
Явление, нами рассматривае-
Фиг. 138. мое, должно было бы проявить-
проявиться в значительной степени в так
называемом м а х о в о з е, при прохождении им кривых. Махово-
зом было названо приспособление, которое предложил инж. Шу-
берский для облегчения подъема тяжелых товарных поездов на
крутые уклоны. Для этого всегда пользовались живой силой са-
самого поезда-—разгоняли его перед подъемом. Шуберский для
увеличения живой силы поезда прибавил маховоз, особый
вагон, несущий на себе горизонтальную ось с двумя тяже-
тяжелыми маховиками; она лежит на трущихся катках, передаю-
передающих движение колесам вагона. На горизонтальных участках
маховики не вращаются, но перед большим подъемом раз-
разгоняют маховики, запасают в них значительную живую силу,
которая потом истрачивается на подъем поезда по уклону.
Шуберскнй предлагал ставить два маховика из литой стали
с радиусами около 1,8 м, при общем весе около 26 /и; им
сообщается окружная скорость до 140 м/сек1).
х) Данные взяты из брошюры Шуберского: «Маховоз как сред-
средство.., и т. д.», 1864 г.

СВЯЗАННЫЙ ГИРОСКОП
227
Если при такой скорости маховиков поезд будет проходить
кривую с радиусом около 100 м, то динамические силы Q от
поворота оси маховоза получатся равными около 8—9 т, т. е.
будут громадные. Так как поворот будет происходить почти
в горизонтальной плоскости, то эти силы-будут вертикальны.
100. Связанный гироскоп. В §§ 96—98 мы рассматривали
гироскоп, который имел полную свободу вращаться относи-
относительно любой оси, проходящей
через неподвижную точку. Теперь
свяжем, стесним несколько эту
свободу. Например (фиг. 139),
в гироскопе Бонненбергера уни-
уничтожим возможность вращения
обоймы около вертикальной оси
EF, для чего зажмем винтом эту
ось. Остаются возможными вра-
вращения около оси гироскопа АВ
и около оси цапф CD.
Или возьмем обойму с быстро
вертящимся колесом (фиг. 140), ко-
которую мы рассматривали в § 98 и
которую поворачивали, действуя на
концы С, D. Приделаем к ней
(фиг. 140) цапфы Е, F, которые
могут вращаться в подшипниках не-
неподвижной подставки. Теперь движение нашей обоймы связано,
оно не может быть ничем иным, кроме вращения около оси цапф
EF.
Сравним явления, получающиеся при введении этих свя-
связей, с прежним случаем свободного гироскопа, предполагая,
что и теперь, как и прежде, имеем быстрое вращение около
оси АВ.
Прежде гироскоп Бонненбергера (фиг. 139) показывал
значительную устойчивость оси АВ. Удары молоточком в точ-
точку А почти не изменяли положения этой оси; после удара
она описывала конус, мало удаляясь от своего положения до
удара. Теперь оказывается, что совершенно исчезла всякая
устойчивость оси АВ; взявшись рукой за точку Л, мы можем
вращать кольцо с гироскопом около цапф CD и при этом не
встречаем никакого сопротивления. Слабый удар молоточком
Фиг. 139.
15*

'228 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
в точку А сообщает кольцу поворот около оси CD на чет-
четверть окружности и более.
Или обратимся к фиг. 140; прежде, взяв обойму руками
в точках С, D и поворачивая ее по кругу CKD, мы ясно
чувствовали, что обойма с гироскопом стремится вырваться
из рук; мы нашли силы Q, представляющие такое стремление.
Теперь, действуя на С, D, не встречаем никакого сопротивле-
сопротивления и можем легко описать полу-
полукруг CKD или сделать несколько
поворотов.
Такие опыты со связанными
гироскопами представляют, пожа-
пожалуй, наиболее поразительное явле-
явление в этой области. Гироскоп по-
потерял прежнее упорство и делается
послушным; обойма его поворачи-
поворачивается без сопротивления. Иногда
стараются свести все явления ги-
гироскопа к следующему принципу:
плоскость вращения гироскопа
устойчива и стремится сохранить
свое направление, сопротивляется
всякому изменению своего направ-
направления. Мы видим, что этот прин-
принцип совершенно неприменим к толь-
только что рассмотренным связанным
гироскопам. Здесь плоскость вра-
вращения не оказывает никакого сопротивления изменению своего
направления. Следовательно, этот принцип не общий; он не
содержит в себе описания всех явлений гироскопа; некото-
некоторые явления подходят под этот принцип, другие решительно
противоречат ему.
Общим механическим принципом, пригодным для истол-
истолкования всех гироскопических явлений, служит теорема Резаля.
Применим ее к случаю фиг. 140. Пусть так же, как в § 98,
Оа изображает величину момента количеств движения по
оси Ох. Положим, что обойма идет по кругу DKC, по на-
направлению стрелки. Тогда перемещение полюса аа' дает про-
проекцию его скорости на ось z; следовательно, по теореме
Резаля должна существовать внешняя пара, дающая момент
Фиг. 140.

СВЯЗАННЫЙ ГИРОСКОП 229
около оси z. Прежде (в § 98) эта пара представлялась си-
силами Q, Q на концах, рукоятки С, D. Но теперь этих сил
нет; отсутствие их указывается ощущением наших рук, про-
производящих поворот и не встречающих сопротивления. Между
тем, теорема указывает, что должна существовать внешняя
пара, имеющая осью линию Oz и моментом — проекцию ско-
скорости полюса на Oz. Где же эта пара приложена? Так как
она внешняя, то может действовать только в местах прикос-
прикосновения нашей обоймы к внешним предметам. Вспомним
о неподвижной подставке, в которой вращаются цапфы Е, F.
Прежде ее не было, а теперь она существует и может ока-
оказывать давления на цапфы Е, F. Ясно, что теперь в подшип-
подшипниках должны появиться давления R, перпендикулярные к цап-
цапфам и образующие ту пару, которая необходима для объяс-
объяснения явления. Совершенно аналогично этому в гироскопе
Бонненбергера (фиг. 139) появятся давления на цапфы С, D.
Давления на цапфы относятся к разряду пассивных сил;
они не производят механической работы. Но ведь совершенно
таковы же были и силы Q, указанные в § 98; разницы нет.
Таким образом явления связанного гироскопа вполне объяс-
объясняются, и ничего парадоксального здесь нет. Если это явление
с первого раза поражает нас, то только потому, что присут-
присутствие сил R незаметно. Но, если
нужно, то можно опытом обнаружить
их и даже измерить их величину.
Вообще, это явление нисколько не
удивительнее, например, следую-
следующего опыта, который часто демон-
демонстрируется.
На деревянном столике располо-
расположена горизонтальная ось с колесом
А (фиг. 141Л, силы инерщщ кото-
которого хорошо уравновешены; при бы- Фиг. 141
строи вращении колеса не получается
ударов и сотрясений. Но, если мы намеренно нарушим
уравновешивание, вставляя грузики в дырочки колеса, то
появляются сильные удары, сотрясения; колокольчик, при-
приделанный к столику, звонит, столик прыгает и т. д.; этим
указывается на существование неуравновешенных сил инерции.
Теперь стесним свободу столика, для чего нагрузим его

230 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
тяжелыми гирями или притянем его болтами к фундаменту.
Сотрясения прекращаются, колокольчик не звонит. Однако
силы инерции остались прежние; мы только не замечаем
видимых признаков их присутствия, потому что они уничтожают-
уничтожаются реакциями, на которые мы не обращаем внимания, так как
они действуют в неподвижных точках. Аналогично этому мы
не замечаем сил R в связанном гироскопе.
101. Направляющая пара. Итак, отличие, связанного
гироскопа от свободного состоит в том, что в первом воз-
возможна передача пары сил от подставки на гироскоп, а во
в юром этого не может быть. Например, поворачивая около
вертикальной оси подставку свободного гироскопа (фиг. 134),
мы нисколько не изменяем движение его оси. Но такой поворот
окачивает действие на связанный гироскоп, рассмотренный в
§ 100, и заставляет ось его АВ (фиг. 139) стать вертикально.
От подставки на связанный гироскоп передается направляю-
направляющая пара, устанавливающая ось его известным образом.
Обращаясь к прежней фиг. 140, видим, что оправа гиро-
гироскопа будет поворачиваться около оси цапф EF только тогда,
когда внешняя пара имеет слагающую момента, направленную
по оси z. Действительно, при повороте около оси EF полу-
получается проекция скорости полюса а на ось г, следовательно,
должна присутствовать внешняя пара, момент которой идет
по оси z. Это будет направляющая, устанавливающая пара.
Движение полюса по оси z будет продолжаться, пока суще-
существует такая внешняя пара; с исчезновением пары произойдет
остановка полюса, и прекратится поворачивание оправы гиро-
гироскопа. Следовательно, эта оправа будет останавливаться
в таком положении, при котором внешней пары или вовсе
нет, или когда ось этой пары будет расположена в пло-
плоское 1 и ху, т. е. в плоскости, определяемой осью гироскопа АВ
и осью цапф EF.
102. Действие вращения Земли на связанный гироскоп.
Подстапка гироскопа стоит на Земле и участвует в ее враще-
вращении. Ог этого появляется направляющая пара, которая
}-с1анавливает ось гироскопа по определенному направлению,
согласно тому правилу, которое объяснено в предыдущем
параграфе.
Пусть NS (фиг. 142) — ось Земли; гироскоп, имеющий
такую же оправу, как на фиг. 140, стоит в каком-нибудь

ДЕЙСТВИЕ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ НА СВЯЗ\ННЫЙ ГИРОСКОП 231
месте К поверхности Земли. Подставка гироскопа стоит на
Земле и участвует в ее вращении: движение подаавкп можно
считать сосюящим из поступательною, кошрое для всех
точек тождественно с движением точки
К, и из вращения около оси, параллель-
параллельной земной оси. Для нас интересно только
это вращение; оно вызывает давления на
цапфы, образующие направляющую пару;
ось ее параллельна земной оси. На осно-
основании выведенного в предыдущем пара-
параграфе нетрудно получить следующие за-1
ключения относительно явлений, которые
покажет связанный гироскоп, имеющий
такое устройство, как на фиг. 140.
А, Первая установка. Располо-
Расположим ось цапф EF горизонтально и пер-
перпендикулярно к плоскости меридиана. Тогда
линия CD может поворачиваться в плоскости меридиана.
Действием направляющей пары, ось которой параллельна оси
Земли, гироскоп установится так, чю прямая CD
станет параллельно осгг Землгг (фиг. 142).
Б. Вторая установка. Ось цапф EF
установлена вертикально, так что ось гироскопа
может поворачиваться в горизонтальной плоскости.
Действием направляющей пары линия CD устано-
установится в плоскости меридиана (фиг. 143).
Таким образом несвободный гироскоп, вслед-
вследствие действия вращения Земли на его подставку,
устанавливается подобно магнитной стрелке. Эшм
явлением можно пользоваться как одним из дока-
доказательств вращения Земли.
Мы ограничиваемся этими примерами гироско-
гироскопического движения в самом простом его виде.
Они далеко не исчерпывают вопрос; существует еще
много разнообразных конструкций гироскопов, пред-
представляющих очень интересные явления. Для всех
их теорема Резаля дает значительное освещение и часто
полное объяснение вопроса; основное требование — это
согласие скорости движения полюса с момен-
моментом внешней пары. Смотря с этой точки зрения, мы
N
\С
i
ТО
I
I
I
Фиг. 143.

232 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
увидим, что явления, казавшиеся с первого взгляда парадо-
парадоксальными, должны быть признаны вполне естественными и
необходимо вытекающими из основного закона механики —
закона моментов количеств движения.
103. Астрономическая прецессия и нутация. Эти явления
движения Земли вполне объясняются и изображаются теоремой
Резаля; они представляют не что иное, как движение по-
люса'(т. е. конца оси моментов количеств движения), про-
происходящее от действия внешней пары и вполне согласующееся
с последовательными изменениями оси этой пары. Полюс
своей скоростью точно копирует изменение момента пары.
Знлипт
Эклипт
Фиг. 144.
Фиг. 145.
Прецессия, как известно, состоит в том, что ось Земли
(фиг. 144), сохраняя свое наклонение к плоскости эклиптики,
описывает круговой конус около перпендикуляра к плоскости
эклиптики; это коническое движение очень медленно, и для
полного оборота требуется около 26 000 лет.
Еще Ньютон указал, что причиной прецессии является
отступление фигуры Земли от шарообразной формы. Земля
сплющена у полюсов и имеет избыток вещества у экватора.
Мы можем считать, что к правильному шару как будто бы
сделана дополнительная прибавка (сфероидальный избыток)
вроде кольца КК, надетого на экватор и представленного
для ясности в искаженном виде на фиг. 145. Ньютон объ-
объяснил прецессию действием притяжения Луны и Солнца на
это дополнительное кольцо.

АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ПРЕЦЕССИЯ И НУТАЦИЯ 233
Заметим, что прецессионное движение происходит очень
медленно по сравнению с суточным вращением Земли около
оси; полный оборот прецессии требует, как только что было
указано, около 26 000 лет.
Следовательно, если применим наше разложение угловой
скорости вращения на две скорости — одну по оси фигуры,
а другую по одной из осей, лежащих в плоскости экватора,
то вторая из этих скоростей будет значительно меньше пер-
первой. Поэтому ось моментов количеств движения почти совпа-
совпадает с осью фигуры Земли. Рассматривая результаты наблю-
наблюдений над движением Земли, мы можем допустить совпадение
этих осей. Полюс, т. е. конец оси моментов количеств
движения, будет некоторая точка а, лежащая на земной оси.
Зная направление вращения Земли около оси (оно показано
стрелками у полюсов), мы видим, что точка а должна при-
приходиться со стороны южного полюса. Действительно, при
таком положении а, если мы, стоя у этой точки, будем
смотреть на Землю, то увидим ее вращающейся по часовой
стрелке.
Итак, астрономические наблюдения указывают нам на кру-
круговое движение полюса а.
По теореме Резаля это движение вызывается соответ-
соответствующей внешней парой, и легко показать, что притяжение
Луны и Солнца на дополнительное кольцо Земли и дает
именно такую пару.
Рассмотрим притяжение Луны, которая вследствие своей
близости к Земле играет в прецессии ббльшую роль, чем
Солнце').
Разбирая это притяжение, мы можем вместо истинного
движения рассматривать относительное движение, т. е. Землю
будем считать неподвижной, а Луну — описывающей почти
круговую орбиту около Земли. Для простоты пренебрежем
наклоном плоскости орбиты Луны к плоскости орбиты Земли
и будем считал», что орбита Луны совпадает с эклиптикой.
Двигаясь по своей орбите, Луна в течение одного обраще-
обращения последовательно изменяет свое положение, и, строго
говоря, надлежало бы разобрать действие ее на Землю для
!) Прецессия от влияния Луны в два раза с лишним превышает
прецессию, производимую Солнцем.

234 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
этих различных положений. Но, пользуясь тем, что полное
время обращения Луны (один месяц) гораздо меньше, чем
период прецессии B6 000 лет), мы можем ввести упрощение,
аналогичное тому, которое применяется при вычислении веко-
вековых возмущений планет, а именно, — вместо движущей-
движущейся Луны введем неподвижное кольцо, которое
имеет форму орбиты
Луны, и на этом кольце
распределим равномер-
равномерно массу Луны; самое коль-
кольцо будем считать круговым, т. е.
пренебрежем эксцентриситетом
орбиты. Притяжение этого лун-
лунного кольца LL (фиг. 146) на
дополнительное кольцо КК Зем-
Земли дает пару сил Q, Q; ось
ее лежит в плоскости орбиты
Луны и перпендикулярна к оси
фигуры Земли.
Положение оси пары можно
определить еще следующим
образом: назовем перпендику-
перпендикуляр ТМ к плоскости лунной
орбиты осью этой орбиты. Осью
пары Q, Q будет линия, перпен-
перпендикулярная к оси Земли и к оси
лунной орбиты.
Теперь, рассматривая проис-
происходящую прецессию, мы видим,
вполне соответствует скорости по-
прецессия получает свое есгествен-
\ Ось поры
Фиг. 116.
что ось указанной пары
люса а и, следовательно,
ное объяснение.
Подобно Луне действует и Солнце.
Нутация. Мы считали в виде первого приближения,
что плоскость лунной орбиты совпадает с плоскостью эклип-
эклиптики. Теперь введем поправку; эти две плоскости наклонены
между собой под углом около 5° и пересекаются по некото-
некоторой линии, называемой линией узлов {NN на фиг. 147).
Наклон лунной орбиты мало изменяется с течением времени,
и можно не обращать внимания на это изменение. Но гораздо

АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ПРЕЦЕССИЯ И НУТАЦИЯ
235
существеннее изменение линии узлов. Она постепенно переме-
перемещается, вращаясь около центра Земли Т, и делает полный
оборот в 18V2 лет (приблизительно). Можно описать это
явление, сказав, что перпендикуляр к лунной орбите ТМ
описывает конус около оси эклиптики TS, употребляя на пол-
полный оборот \&v2 лет1).
Фиг. 147.
Но мы видели, что ось пары, которая производит пре-
прецессию, перпендикулярна к линии ТМ и к оси Земли. Сле-
Следовательно, эта ось пары получает периодическое изменение
своего положения с периодом в 18!/2 лет.
Такое изменение оси пары должно отозваться, по теореме
Резаля, на движении полюса, которое принуждено согласо-
согласоваться с изменениями оси внешней пары. Поэтому полюс
должен описывать не правильный круг, а волнистую линию
*) Такое движение узлов лунной орбиты вызывается возмущаю-
возмущающим действием Солнца на движение Луны.

236 ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
с периодом волн в 18г/2 лет. Соответственно этим волнам
земная ось в своем коническом движении получает колеба-
колебания по 9 секунд в ту и другую сторону, то приближаясь
к оси конуса, то удаляясь от него. Это явление называется
нутацией; оно было открыто из наблюдений Бредлеем в 1747 г.
Для нас это явление представляет интересный пример при-
приложения теоремы Резаля !).
J) Подробнее о прецессии земной оси см. в книге: Розе Н. В.,
Динамика твердого тела. Ленинград, 1932. (Прим. ред.)

ДВЕНАДЦАТАЯ БЕСЕДА
ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
104. Вывод закона площадей. Закон моментов количеств
движения, служивший предметом двух предыдущих бесед,
может быть представлен в другой форме, которая иногда
очень удобна для описания некоторых механических явлений.
Эта новая форма прежнего закона есть закон площадей.
С понятием о площади, описываемой движущимся
телом, мы встретились в первый раз в механике материаль-
материальной точки, разбирая движение планет вокруг Солнца. По пер-
Фиг. 148. Фиг. 149.
вому закону Кеплера площадь pSp' (фиг. 148), описываемая
радиусом-вектором pS, идущим от планеты р к Солнцу S,
изменяется пропорционально времени. Такое движение пла-
планеты примем за тип и посмотрим, насколько можно подойти
к этому типу в общем случае движения.
Для этого нужно прежде всего обобщить понятие о пло-
площади, описываемой движущимся телом. Если имеем плоское
движение материальной точки (фиг. 149) от Ж к М', то, вы-
выбрав в той же плоскости произвольную точку О, можем
говорить о площади, описываемой точкой М около О, т. е.
о секторе MOM'. Если у нас несколько материальных точек,

238
ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
то нужно принять во внимание их массы. Условимся дли
каждой из них брать произведение сектора MOM' на массу
точки от и за произведением этим сохраним название пло-
площади, описываемой точкой около центра О.
Если движение точки не плоское, то мы можем проекти-
проектировать его на три координатные плоскости и рассматривать
движение каждой проекции отдельно как плоское. Рассматри-
Рассматривая, например, плоскость ху, будем говорить о площади,
описываемой около начала координат О. Точнее, будем гово-
говорить, что эта площадь описывается около оси Oz, перпенди-
перпендикулярной к плоскости ху.
Возьмем одну из таких проекций (фиг. 150). Начальное
положение материальной точки есть М' (левая точка фигуры);
она движется по М'ММ", и мы
рассматриваем площадь, описывае-
описываемую около точки О. Положим,
что по прошесгвии времени t точка
массы т приходит в М; тогда по
нашему определению площадью,
описанной за это время, будет
произведение из массы т на пло-
площадь сектора М'ОМ; это произве-
произведение обозначим буквою ш. Затем
предположим бесконечно малое
приращение времени At; наша точка пройдет бесконечно
малый путь ММ" (М" есть правая точка фигуры); описывае-
описываемая ею площадь получит бесконечно малое приращение Дсо,
которое представляется произведением из от на площадь
MOM".
Припомним следующее рассмотрение бесконечно малого
перемещения, часто применяемое в кинематике при изучении
ускорений. Движение ММ" рассматривается как составное
из двух. Первое составляющее движение есть равномерное,
идущее по касательной, с той скоростью V, которую движу-
движущаяся масса от имела в точке М; в этом движении за время
At проходится путь, равный V-At, изображенный на чертеже
отрезком ММ. Второе составляющее движение (его называем
девиацией) есть NM"; с точностью до величин второго
порядка это движение можно считать равноускоренным, с на-
начальной скоростью, равной нулю, и с ускорением, равным
Фиг. 150.

ВЫВОД ЗАКОНА ПЛОЩАДЕЙ 239
ускорению k нашей массы т в точке М\ путь ЛШ", пройден-
пройденный в течение времени 4/, будет равен -^ kit2 ]).
Рассматривая нашу фигуру, видим, что площадь MNM"
есть величина порядка выше первого, так как все три сто-
стороны ее бесконечно малы. Также и площадь ОЛ'АГ — вели-
величина порядка выше первого, потому что сторона МЛ1"—вто-
МЛ1"—второго порядка. Поэтому, ограничиваясь величинами первого
порядка, мы можем считать равными между собою две пло-
площади: 1) сектор ОММ" и 2) треугольник OMN, и вместо
сектора можно взять этот треугольник. Площадь его будет
равна:
4
(/ — перпендикуляр из О на касательную MN). Умножая пло-
площадь на массу т, получим по нашему определению.
Ао)=:— mVl\t.
Но произведение mVl есть момент количестра движения отно-
относительно оси, проведенной через О перпендикулярно к пло-
плоскости чертежа. Называя его буквою р, получаем:
Делим на ht и переходим к пределу, т. е. постепенно при-
приближаем Д^ к нулю.
Пределом дроби ~ будет производная -^следователь-
-^следовательно, имеем.
dm 1
т. е. производная от описанной площади по времени равна
половине момента количества движения.
!) Этот способ рассмотрения сводится'к тому, что считают уско-
ускорение постоянным на протяжении пути ЛШ". Тогда здесь можно
применить законы движения под действием постоянной силы, т. е,
законы параболического движения.

240 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
Если имеем не одну движущуюся точку, а совокупность
их — систему, — то для каждой точки можно написать урав-
уравнение, аналогичное F8). Складывая их, получим в левой
части производную от полной площади, оиисанной всеми точ-
точками системы, а в правой части — половину момента коли-
количеств движения всей системы. Следова1ельно, между опи-
описанной площадью и моментом количеств движения системы
существует такая же зависимость, как имеющая место для
одной материальной точки.
Обратимся теперь к общим уравнениям F5) (стр. 201), изо-
изображающим закон моментов количеств движения, и введем
в них описанные площади взамен моментов количеств движе-
движения. Называя площади, описанные системою на плоскостях
координат zOy, zOx, xOy, через Qx> Q пгу получим эти
уравнения в такой форме:
F9)
Здесь MXf M Мг—моменты внешних сил для осей ко-
координат. Уравнения F9) выражают прежний закон, но в дру-
другой форме; теперь вместо рассмотрения моментов количеств
движения мы рассма1риваем площади, которые описывают
точки системы. Эту форму назовем законом площадей.
Она особенно удобна в тех случаях, когда момент внеш-
внешних сил для какой-нибудь из осей равен нулю. Тогда полу-
получим соответствующее уравнение
которое интегрируется и дает:
Здесь С и С"— две постоянные интегрирования. Вторая из
них всегда может быть сделана равной нулю. Действительно,
она изображает величину площади, уже описанной до началь-
начального момента времени. Но мы всегда можем условиться счи-
считать описанную площадь, начиная с того положения системы,
когда t равно нулю; это равносильно положению:
С' = 0.

НЕИЗМЕННАЯ ПЛОСКОСТЬ 241
Тогда имеем:
т. е. описанные площади пропорциональны
временам. Эю представляет собою обобщение первого
закона Кеплера. Такой результат получится, если момент внеш-
внешних сил для избранной нами оси равен нулю, например если
внешние силы пересекают эту ось или ей параллельны. Мы
говорим внешние силы, потому что внутренние силы не
входят в наши уравнения и не оказывают никакого влияния
на величину площади, описываемой системой.
Величина ~-^- представляет площадь, описываемую систе-
системой в единицу времени. Она сохраняет одну и ту же вели-
величину во все время движения.
105. Закон сохранения площадей. Если внешних сил
вовсе нет, то момент их для любой из координатных осей
равен нулю. Тогда для каждой координатной плоскости полу-
получим закон сохранения площадей, т. е. описываемые
площади будут пропорциональны времени. Такой результат
получится для изолированной системы, в которой дей-
действуют только внутренние силы, т. е. которая устранена от
всяких внешних влияний.
106. Неизменная плоскость. Закон сохранения площадей
по своему содержанию тождествен с законом сохранения
моментов количеств движения. В самом деле, iaK как имеем
зависимость
dt — 2 '
то из последнего уравнения § 104 получаем:
т. е. удвоенная, описываемая в единицу времени, площадь есть
момент количеств движения, взятый для оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к той плоскости, на которой рассматриваем проекцию
движения. Если система изолированная, то для всех трех ко-
координатных осей получаем постоянство момента количеств
движения; отсюда следует, что и равнодействующий, или
полный момент количеств движения имеет постоянную вели-
величину и постоянное направление.
16 В. Л. Кирпичев

242 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
Плоскость, к нему перпендикулярная, называется неиз-
неизменной плоскостью, так как она остается одна и та же
во все время движения. Рассматривая площади, описываемые
на этой плоскости, конечно, получим, так же как и
для всякой другой плоскости, что эти площади пропорцио-
пропорциональны времени; величина площади для единицы времени
равна половине равнодействующего момента. А так как (при
разложении на три взаимно перпендикулярных направления)
равнодействующая больше всякой из своих составляющих,
то величина площади, описываемой в едини-
единицу времени на неизменной плоскости, больше
чем на всякой другой плоскости.
107. Астрономические приложения закона сохранения
площадей. Неизменная плоскость нашей планетной си-
системы. Плоскости орбит Земли и других планет изменяют
свое положение в пространстве вследствие взаимных возму-
возмущающих действий; ни одна из них не может считаться непо-
неподвижной и не может служить для отсчитывания от нее пере-
перемещений. Но планетная система, если пренебречь влиянием
на нес звезд, есть система изолированная, следовательно,
в ней есть неизменная плоскость, которая сохраняет
свое положение, и к ней должны быть относимы все разно-
разнообразные движения планетной системы.
Положение неизменной плоскости определяется тем усло-
условием, что она перпендикулярна к оси моментов количеств
движения; следовательно, зная массы планет и их скорости,
можем определить положение неизменной плоскости нашего
мира. Такое определение было сделано Лапласом приблизи-
приблизительно. Так как орбиты всех больших планет мало уклоняют-
уклоняются от орбиты Земли, то неизменная плоскость почти совпа-
совпадает с земной орбитой; угол между ними составляет около
1°,7698, а долгота восходящего узла—114°,3979. Эти числа
относятся к 1750 г.; они изменяются с течением времени,
так как орбита Земли переменяется от возмущений; но изме-
изменение их очень медленное и едва заметное даже за период
в 100 лет.
108. Дальнейшее приложение закона площадей к изу-
изучению движения солнечной системы. Эллиптическое движе-
движение планет есть первое приближение, получающееся при
предположении, что на планету действует только притяжение

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ЗАКОНА ПЛОЩАДЕЙ 243
Солнца. Так как, кроме Солнца, планету притягивают и все-
прочие тела нашей системы, то получается движение, отли-
отличающееся от эллиптического и гораздо более сложное. Но
во всяком случае действие Солнца есть преобладающая сила,
приложенная к планете. Она значительно больше возмущаю-
возмущающих сил, т. е. притяжений других планет. Поэтому отступ-
отступления от правильного эллиптического движения хотя заме-
замечаются при точных наблюдениях, но они очень невелики.
Это позволяет применить для получения второго приближе-
приближения следующий прием. Будем считать, что все-таки планета
движется по эллипсу, но ч'то этот эллипс медленно и посте-
постепенно изменяется. Мы считаем, что изменяются все элементы
эллипса: его большая полуось (а), эксцентриситет (е), угол
наклона орбиты к неизменной плоскости (а), время обраще-
обращения (Г) и т. д.; все это — не постоянные величины, а функции
времени. Другими словами, мы вводим понятие о мгновен-
мгновенном эллипсе, беспрестанно изменяющемся. Найдя первое
приближение, — т. е. кеплерово эллиптическое движение,—
и определив для этого эллипса те постоянные величины, ко-
которые его характеризуют (а, е, ср и т. д.), мы затем изменяем
эш постоянные, предполагаем их функциями времени. Вот —
сущность метода изменения постоянных, приме-
применяемого при изучении планетных возмущений. Конечно, тот
же метод может быть применен и для других задач динами-
динамики; это — общий динамический метод.
Нелишне заметить, что элементы плане 1ных орбит изме-
изменяются очень медленно; найдя величины этих элементов для
какого-нибудь мгновения, мы можем применять эти величины
без изменения в течение многих лет для нахождения положения
планеты и не получим при этом большой ошибки.
Принимая теперь, что движение по мгновенному эллипсу
есть точная картина явления, применим ко всей планетной
системе закон сохранения площадей. Но для ускорения вы-
вывода введем еще два упрощающих допущения:
а) Будем считать Солнце неподвижным и стоящим в фо-
фокусе того эллипса, который описывает планета. Правильнее
было бы рассматривать, что и Солнце и планета движутся
по эллипсам около общего их центра тяжести, но так как
масса Солнца гораздо больше массы планеты, то движе-
движением Солнца можно пренебречь.
16*

244 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
б) Пренебрежем движением всех спутников, а массы их
присоединим к массе планеты.
За координатные плоскости примем неизменную плоскость
и две плоскости, к ней перпендикулярные, и выразим сначала
закон сохранения площадей для неизменной плоскости.
Называя массу планеты через т, а элементы ее мгновен-
мгновенного эллипса через а, е, <р, Т, получим:
а) площадь этого эллипса равна:
pi-
b) проекция ее на неизменную плоскость, умноженная на
массу, будет:
т-па2 Vl —г3 cos у;
c) площадь, описанная в единицу времени:
тпа2 У 1 — е2 cos <p
Так как эллипс беспрестанно изменяется, то последнее
выражение мы можем применять только для бесконечно мало-
малого времени di и для него имеем описанную площадь:
G0)
Теперь вспомним третий кеплеров закон: квадраты времен
обращений пропорциональны кубам средних расстояний, т. е.,
обозначая постоянную величину буквою с, имеем 1):
или
Т =
J) Строго говоря, имеем:
(М -\-m) —j = const.,
где М — масса Солнца, т—масса планеты. Но, так как отношение т
к М очень мало, то можно писать уравнение G1) и считать с оди-
одинаковым для всех планет.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ЗАКОНА ПЛОЩАДЕЙ 245
Вставляя это в G0), получим площадь, описанную одной
планетой:
УУТ=7*со
Сложим такие выражения для всех планет. Общая сумма
должна по закону сохранения площадей выражаться некото-
некоторой постоянной величиной, умноженной на время dt. Сложе-
Сложение обозначим знаком 2; постоянные Ус, тт можем отбросить;
тогда получим:
2(я* У"а V1 — е3 cos <р) = const. G2)
Вот какой результат дает нам закон сохранения площа-
площадей. Он устанавливает некоторую зависимость между изме-
изменяющимися величинами полуосей, эксцентриситетов и накло-
наклонов орбш всех планет.
Эти элементы не могут изменяться так, что происходит
увеличение всех величин а, 1—е2, costp. Некоторые из них
могут увеличиваться, но другие при этом должны умень-
уменьшайся, так чтобы сумма G2) оставалась равна некоторой
постоянной величине. Эта постоянная представляет собою как бы
некоторый неизменный фонд, отпущенный на все пла-
планеты и распределяемый между ними. Такая неизменность уже
отчасти предсказывает устойчивость планетной системы.
Подобные же результаты мы получим, применяя закон
сохранения площадей к двум другим координатным плоско-
плоскостям. Обратимся к фиг. 151; на ней плоскости координат и
плоскость орбиты изображены помощью их пересечений с по-
поверхностью шара, центр которого 5 есть Солнце; xSy есть
неизменная плоскость; ось z перпендикулярна к ней; KNM
представляет часть орбиты планеты. Точку N (пересечение
па нагнем шаре плоскости орбиты с неизменной плоскостью)
назовем восходящим узлом; угол NSy есть долгота восходя-
восходящего узла; его назовем а. К и М означают точки пересече-
пересечения на нашем шаре плоскости орбиты с координатными пло-
плоскостями zSy, xSy. Угол k сферического треугольника NKP
есть угол между орбитой и координатной плоскостью zSy.
Угол т сферического треугольника NMT есть угол орбиты
с координатной плоскостью xSz.

246
ЗАКОН ПЛОЩАДРЙ
Уравнение площадей для координатной плоскости zSy
будет отличаться от (/2) только тем, что вместо угла ^нуж-
^нужно поставить угол А, а для координатной плоскости xSz—
угол т.
Для определения углов k и т проведем перпендикуляр
SL к плоскости орбиты KNM. Он составит с осями х, у, г
углы k, m, (р. Плоскость, проходящая через ось Sz и этот
перпендикуляр, пересечет плоскость xSy по прямой SH, пер-
пендикулярной к линии узлов SN. Построим координатную
ломаную SQHL. Тогда, проектируя SL на прямую Sx, полу-
получим, с одной стороны,
SG = SL- cos k,
а с другой,
SG = SH- cos a = SL ■ sin f • cos a.
Отсюда
cos /& = sm<p-cos a.
Точно так же
OH=SL-cos m
и
= SH- sin a = 5Z, • sin cp • sin a.

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ЗАКОНА ПЛОЩАДЕЙ 247
Отсюда
cos m = sin cp- sin a.
Следовательно, для плоскости zSy уравнение площадей на
основании формулы G2) будет
2 {т V~a • V\— ег■ sin <р cos a) = const., G3)
а для плоскости zSx.
2 (от Vа У 1 — е^- sin cs • sin a) = const. G4)
Все три уравнения G2), G3), G4), которые нам дает за-
закон сохранения площадей, имеют одинаковый характер. Они
Фиг. 152.
связывают изменения следующих элементов орбиты: большой
полуоси а, эксцентриситета е, наклона орбиты <р, долготы
восходящего узла а.
В планетном мире замечается еще одно интересное явле-
явление возмущенного движения: перемещение линии апсидов.
Так называется линия, соединяющая между собою перигелий Р
и афелий А (фиг. 152), т. е. точку, где планета ближе
всего к Солнцу, с точкой наибольшего удаления рт Солнца,

248 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
Перемещение линии апсидов состоит в том, что прямая РА
поворачивается, все время проходя через Солнце. Так как при
этой пертурбации размеры эллипса остаются прежние, то не
изменяется и площадь, описываемая планетой в единицу вре-
времени, а вследствие этого закон сохранения площадей не дает
никаких указаний на этот вид возмущенного движения.
109. Изменение скорости вращения Земли при охлаж-
охлаждении ее. Так как в этом явлении участвуют только внут-
внутренние силы, то здесь может быть применен закон сохране-
сохранения площадей. Землю будем считать правильным шаром,
одинаковой плотности во всей ее массе. Пусть вследствие
охлаждения радиус Земли R^ уменьшится и сделается равным
R = R1(\—n), G5)
причем п — очень малая дробь. Пренебрегая степенями этой
дроби, получим зависимость между новым и прежним объемом
V=VX A— Щ ...
с тою же степенью точности найдем, что отношение новой
плотности к прежней будет:
§ = §! A-f Зл). G6)
Угловые скорости вращения Земли около ее оси — новую
и прежнюю — назовем w, oj1 . Нам нужно определить сумму
площадей, описываемых в единицу времени около осп Земли
при ее вращении всеми массами, составляющими земной шар,
и выразить, что эта сумма не должна изменяться от охлаж-
охлаждения. Здесь приходится сравнивать движения двух тел, ге-
геометрически подобных, но разной плотности. Объемы соот-
соответственных частей их относятся, как кубы радиусов; геомет-
геометрические площади, описываемые соответствующими точками,
относятся, как произведения из угловой скорости на квадрат
радиуса. Следовательно, понимая слова «описываемая площадь»
в динамическом смысле, т. е. как произведение этой площади
на массу, получим отношение описываемых площадей до ох-
охлаждения и после него:

ВЕРТЯЩИЙСЯ РЕБЕНОК 249
Оно должно быть равно единице. Вставляя сюда отношения
радиусов и плотностей G6) и G7), получим:
">г 1 1 __ 1
ш 1+Зя A — nf '
откуда, отбрасывая все степени п, кроме первой, найдем:
?i=l_L-3« — 5га=1— 2л,
или, с той же степенью точности,
±=1+2п. G7)
Итак, дробь 2« показывает относительное увеличение уг-
угловой скорости, а следовательно, уменьшение продолжитель-
продолжительности суток вследствие охлаждения.
ПО. Влияние движения поездов, кораблей и пр. на
скорость вращения Земли. Вообразим себе, что значитель-
значительное число судов, поездов и т. д. движутся вокруг Земли
в направлении ее вращения. Если эти движения
не компенсируются движениями в обратном направлении (т. е.
против вращения Земли), то для сохранения преж-
прежней величины суммы описываемых площадей необходимо должна
уменьшиться угловая скорость вращения земного шара около
его оси, т. е. должна увеличиться продолжительность суток.
Пусть вес эти суда, поезда и т. д. по прошествии времени t
сразу останавливаются; тогда появится прежняя скорость вра-
вращения Земли, но за время t уже произойдет некоторое от-
отставание вращения Земли, т. е. запаздывание астрономиче-
астрономического времени.
111. Вертящийся ребенок. Еще примером на закон со-
сохранения площадей может служить известная детская игра.
Ребсн'ж, ныгяпув руки в горизонтальном положении вправо
и влево, сообщает своему телу быстрое вращение около вер-
вертикальной оси; затем сразу опускает руки вниз, вдоль тела.
При этом уменьшаются площади, описываемые частями рук,
а следовательно, должно получиться соответствующее увели-
увеличение площадей, описываемых остальным телом, т. е. должно
получиться-заметное увеличение угловой скорости вращения
тела, которое сказывается быстрым толчком, производящим
даже небольшое головокружение.

250 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
112. Неправильное применение закона сохранения пло-
площадей к движению человека и животных. Это неправиль-
неправильное применение излагалось во многих учебниках и сильно
укоренилось, так что стоит о нем упомянуть и заняться
опровержением этого заблуждения.
Начнем следующей выпиской из «Механики» Делоне '):
«Если мы предположим, что какое-нибудь живое существо
изолировано в пространстве и что к нему не приложено ни-
никакой внешней силы, то не только это живое существо не
будет в состоянии переместить свой центр тяжести, но, кроме
того, для него окажется невозможным сообщить своему телу
вращение около этой точки. В самом деле, как бы оно ни
действовало своими мускулами, оно может развить только
внутренние силы; отсутствие внешних сил вызывает то
следствие, что сумма описанных площадей, проектированная
на произвольную плоскость, проходящую через центр тяжести,
сохраняет постоянную величину; следовательно, она должна
постоянно оставаться равной нулю, так как по нашему пред-
предположению живое существо первоначально было неподвижно,
т. е. первоначально эта сумма равнялась нулю».
Несмотря на правильность этого рассуждения, выводимое
из него заключение, сделанное Делоне, а за ним и многими
другими, о невозможности для живого существа повернуть
свое тело около какой-нибудь оси, оказывается неверным.
Делоне говорит, что, если одна часть тела повернется около
оси в одну сторону, например вправо, то другая часть должна
повернуться около той же оси в обратном направлении; пло-
площади, описанные вправо, компенсируются площадями, описан-
описанными влево, и дают сумму площадей, равную нулю; общий
же поворот всего тела в одну сторону не может произойти.
Хотя мы замечаем, прибавляет он, что человек, стоя на полу,
может повернуться около вертикальной оси, но такой поворот
происходит не без участия внешних сил. Здесь самую важ-
важную роль играет трение подошв ног о пол: оно дает для
вертикальной оси необходимый момент внешних сил. Если бы
!) Del aunay M. Ch., Traite de Mecanique ratlonelle, 3-е изд.,
1862, § 229. Замечательный учебник известного астронома, члена
Парижской академии наук; отличартря особой ясностью и простотой
изложения,

НЕПРАВИЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ 251
такого трения не было, например, если бы пол был абсолютно
гладкий и скользкий, то вращение было бы невозможно.
Лица, приводящие такое доказательство, не замечают, что
при этом они опровергают только возможность живому су-
существу повернуться всем своим телом в одну сто-
сторону, без сообщения отдельным частям тела, кроме этого
вращения, еще различных других движений. Они доказы-
доказывают только то, что человек или животное не может сооб-
сообщить себе такое вращение, какое получает волчок или другое
вполне неизменяемое тело. Но живые существа могут сооб-
сообщать своим отдельным членам разнооб-
разнообразные движения; можно вращать руки
или ноги относительно остального ту-
туловища и так подобрать эти движения,
что они компенсируют вращение всего
туловища, т. е. эти дополнительные
движения рук или ног дают площадь,
равную, но обратную по знаку той
площади, которую описывает остальное
тело, вращаясь около некоторой оси. фиг_ jrj3.
Таким образом явление этого вращения
не будет противоречить закону сохранения площадей. Предста-
Представим себе какое-нибудь тело, могущее без сопротивления вра-
вращаться около оси О, часть которого т (фиг. 153) может
двигаться относительно остального тела по кругу mm'. При
этом движении части т радиус-вектор От описывает около
оси О то положительные, то отрицательные площади (т. е.
то по часовой стрелке, то против нее). За один полный оборот
по кругу mm' получается избыток положительных площадей
над отрицательными, измеряемый площадью круга mm'. Для
соблюдения закона сохранения площадей требуется компенса-
компенсация, т. е. должна быть описана в отрицательном направлении
площадь, равная упомянутой; итак, все тело должно повер-
повернуться против часовой стрелки на некоторый угол около оси О.
При непрерывном вращении массы т по кругу mm' получится
непрерывное вращение тела около оси О.
Механизм движений, с помощью которых живое существо
может сообщить себе вращение, вполне согласуется с объяс-
объясненным выше. Вообразим себе стоящего человека; для вра-
вращения около вертикальной оси он должен своей рукой

252 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
производить коническое движение, при котором кулак его
описывает круг, обозначенный на нашей фигуре буквами mm'.
При этом не требуется, чтобы обязательно было трение подошв
его ног о пол, и вращение всего тела можно получить, стоя
на абсолютно гладкой плоскости.
Это лучше всего демонстрируется «скамейкой проф. Жу-
Жуковского», которая состоит из небольшой горизонтальной пло-
площадки, поставленной на шарики и могущей вращаться без
сопротивления. Став на эту площадку, человек с помощью
описанного нами движения руки без труда сообщает своему
телу вращение около вертикальной оси.
Первые возражения против заключения Делоне о невоз-
невозможности живому существу сообщить себе вращение были
высказаны Марселем Депре, который основывался на том факте,
что падающая кошка всегда становится на ноги. Следова-
Следовательно, она может повернуться, как нужно, во время падения,
хотя при этом на нее не действует никакой внешний момент,
а исключительно внутренние силы. Сняв с падающей кошки
ряд снимков мгновенной фотографией, М. Депре убедился,
что кошка при этом производит лапкой ряд поворотов, соот-
соответствующих движению точки т на фиг. 153.
113. Радиометр Крукса. Этот интересный прибор, как
известно, состоит из алюминиевых крыльев (фиг. 154), кото-
I рые помещены в разреженное пространс1во
и могут там вращаться около вертикаль-
вертикальной осн. Одна сторона крыла — полиро-
полированная метллическая; противоположная
сторона— матовая, закопченная. При дей-
действии теплоты или свега эта миниатюрная
мельница приходит во вращение.
Такое движение радиометра объясняют
ударами на его крылья, производимыми
теми частицами воздуха, KOicipue s не
большом количестве остаются в резер-
' вуаре радиометра, несмотря на образова-
образование там сильного разрежения. Если это
объяснение справедливо, то причиной движения крыльев слу-
служат силы, которые мы должны назвать внутренними, когда
будем рассматривать систему, состоящую из этих крыльев и
резервуара. Освободим эту систему от действия горизонталь-

РАДИОМЕТР КРУКСА 253
ных внешних сил; для этого повесим резервуар на тонкой
длинной нити. Теперь мы можем применить к нашей системе
закон сохранения площадей; будем говорить о площадях, опи-
описываемых около вертикальной оси радиометра. Если первона-
первоначально мельница была в покое, то сумма описанных площа-
площадей была равна нулю. Эта величина не может измениться
действием внутренних сил, следовательно, когда крылья мель-
мельницы начнут вращаться в положительном направлении, то ре-
резервуар должен поворачиваться в обратном на-
направлении и описывать отрицательные пло-
площади, компенсирующие положительное вращение
крыльев.
Величина площади, описанной в единицу
времени при вращении тела около некоторой оси,
равна половине произведения из угловой ско-
скорости на момент инерции тела для той же оси.
В самом деле, площадь, которую какая-нибудь
частица т описывает около центра О, равна, как
это следует из фиг. 155: m-~-r2f, сумма же та-
таких площадей, составленная для всех частиц
тела, дает: -^-ср ^jnr2. Но ^jnr2 и есть момент инерции тела
относительно оси О. При равномерном вращении величина
угла <р для единицы времени равна угловой скорости.
Поэтому, если назовем моменты инерции крыльев и резер-
резервуара через У, У, а их угловые скорости ш, ш', то должны
иметь: Уо> — /'«>' = О, '
или ?LL
если первоначальная скорость была равна нулю. Если же
вначале крылья вертелись со скоростью <в0, а резервуар удер-
удерживали от вращения, то разность /со — У'»'должна равняться
первоначальной величине описанной площади, т. е. Ую0.
Вот — ряд заключений, которые нам дает закон сохранения
площадей, если признать, что причину движения крыльев со-
составляют удары частичек воздуха. Если эти заключения под-
подтвердятся опытом, то указанная гипотеза может считаться
доказанной.

254 ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ
Опыты хорошо согласуются с предыдущими выводами.
Для того случая, когда первоначальная скорость мельницы
равна нулю, получилось:
ji
1-й опыт: отношение моментов инерции= — = 77; от-
ношение угловых скоростей = -7 = 81,7;
2-й опыт: отношение моментов инерции = 17; отноше-
отношение угловых скоростей =17,3;
3-й опыт: отношение моментов инерции = 45; отноше-
отношение угловых скоростей = 47,5 *).
!) Для того чтобы уменьшить сопротивление вращению резерву-
резервуара, опыт был сделан в пустоте.

ТРИНАДЦАТАЯ БЕСЕДА
ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
114. Случай, когда работа внутренних сил равна нулю.
Еще в девятой беседе был выведен этот закон, заключаю-
заключающийся в том, что при движении системы приобретенная
системой на протяжении известного пути жи-
живая сила равна сумме работ всех внешних и
внутренних сил, действующих в системе.
Мы тогда уже обратили внимание на то, что при этом
законе не происходит в каждом частном случае исключения
внутренних сил. Вообще говоря, они входят в уравне-
уравнение живых сил в виде работы, и это затрудняет применение
закона живых сил. Часто приходится отказываться от него и
искать другой закон для решения встретившегося вопроса.
Возьмем, например, вопрос об изменении скорости вращения
Земли вследствие ее охлаждения; попытаемся решить его с
помощью закона живых сил. При охлаждении земной шар
уменьшается в объеме, стягивается, частицы его сближаются,
и внутренние силы производят некоторую работу, которая
должна быть введена в уравнение.
Но мы затрудняемся написать выражение для этой
работы, а потому принуждены отказаться от применения здесь
закона живых сил. Для решения нашего вопроса нужно взять
такой закон, в который внутренние силы вовсе не входят.
Таков закон площадей, которым мы и воспользовались в
§ Ю9.
Мы уже указывали, чго в некоторых случаях работа внут-
внутренних сил обращается в нуль; тогда мы избавляемся от при-
присутствия этих неизвестных в уравнении живых сил, и закон
этот получает особое значение для приложений. Особенно
важны следующие два случая.

256
ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Первый случлй. Если форма тела во время
движения не изменяется, т. е. если расстоя-
расстояния между частицами его остаются прежние,
то работа внутренних сил, действующихмежду
этими частицами, равна нулю.
Делая такое утверждение, мы предполагаем согласно с
общепринятым взглядом, что взаимное действие между двумя
частицами т, т' (фиг. 156) приводится к двум равным и
прямо противоположным силам Р, Р', идущим по прямой,
которая соединяет частицы т, т'; силы могут быть или при-
притягательные, или отталки-
вательные.
Докажем эту теорему.
Ь Она очевидна для того
случая, когда перемеще-
перемещения тс, т'е двух частиц
равны и параллельны; тог-
тогда рабош двух сил Р
и Р' численно равны и по
знаку противоположны;
сумма работ этих двух
сил равна нулю. Но рас-
рассмотрим случай, когда
перемещения этих частиц
та и т'Ь не одинаковы.
Сумма работ двух сил
Р и Р' не изменится, если
к перемещениям точек т, т' мы прибавим одинаковые и парал-
параллельные перемещения тс и т'е, т. е. если вместо перемеще-
перемещения та возьмем геометрическую сумму двух перемещений на та
и тс, или диагональ тй параллелограма, построенного на та и
тс, а вместо т'Ь возьмем диагональ m'f, представляющую
геометрическую сумму перемещений т'Ь и т'е. Действиiелыю,
работа силы для перемещения, идущего по диагонали, равна
сумме работ той же силы для перемещений, идущих по сто-
сторонам параллелограма. Следовательно, замена перемещений
та, т'Ь перемещениями по диагоналям md, mf означает при-
прибавку двух работ: работы силы Р для перемещения тс и
работы силы Р' для перемещения т'е. А так как тс и т'е
равны и параллельны то сумма этих двух работ равна нулю.
Фиг. 156.

СЛУЧАЙ, КОГДА РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ РАВНА НУЛЮ 257
Итак, замена сторон та, т'Ь диагоналями md, m'f не изменяет
суммы работ сил Р и Р'.
Это справедливо для какой угодно величины и направле-
направления прибавочных перемещений тс, т'е, лишь бы эти два пе-
перемещения были равны и параллельны. Теперь выберем для
них определенное направление и величину, а именно, возьмем
тс равным и противоположным та. Тогда полное перемеще-
перемещение точки т, как составное из двух равных и противополож-
противоположных, будет равно нулю, т. е. точка т сделается неподвиж-
неподвижной; работа приложенной к ней силы равна нулю. Остается
только работа силы Р', действующей на точку т'.
Этот прием — остановки одной из двух частиц—мы мо-
можем применять одинаково как в том случае, когда расстояние
частиц т, т' не изменяется, так и для случая, когда при
перемещении происходит изменение mm'. В обоих случаях
мы можем пользоваться этим упрощением; одну частицу бу-
будем считать неподвижной и разбирать только работу, произ-
производимую на другой частице.
Но по условию расстояние между частицами т, т' не из-
изменяется во время движения. Точка т неподвижна, следова-
следовательно, /га' движется не иначе как по поверхности шара, име-
имеющего центр т, а радиус mm'. Сила же Р' идет по пря-
прямой mm', т. е. по радиусу шара; следовательно, она всегда
перпендикулярна к перемещению точки т', т. е. работа этой
силы постояЖю равна нулю. Итак, обе силы дают работы,
равные нулю, и наша теорема доказана.
Мы уже видели в десятой беседе, какое важное значение
эта теорема имеет для приложений закона живых сил.
Второй случай. Переходим ко второму случаю, когда
работа внутренних сил тоже оказывается равной нулю.
Если фигура тела изменяется во время дви-
движения, но под конец движения форма и раз-
размеры тела восстанавливаются прежние, то
полная работа внутренних сил за все время
движения равна нулю.
Эта теорема имеет место, если относительно внутренних
сил Р, Р', действующих между двумя частицами т, т'
(фиг. 157), прежнюю гипотезу об их равенстве и противопо-
противоположности дополним еще следующей гипотезой: общая вели-
величина сил Р, Р' зависит исключительно от величины расстояния
17 В. Л. Кирпичев

258 закон живых сил
между частицами т, т' и ни от чего больше. Другими
словами, мы допускаем, что, как только расстояние между
частицами т, т' делается прежнее, то и силы Р, Р' по-
получают прежнюю свою величину, хотя бы при этом напра-
, вление линии mm' в пространстве изме-
изменилось.
с Мы далее разберем подробно эту
гипотезу, а теперь займемся доказатель-
доказательством указанной теоремы.
Выше было доказано, что при на-
нахождении суммы работ двух сил Р, Р',
представляющих взаимодействие частиц
т, т', всегда можно считать одну из
этих частиц неподвижной. Пусть это
будет частица т (фиг. 157). Элементар-
Фиг. 157. ное перемещение т'а другой частицы
можно разложить на два перемещения
т'Ь, т'с, из которых одно идет по линии mm', соединяющей
частицы, а другое — перпендикулярно к этой прямой. Работа
силы Р' для второго из этих перемещений равна нулю, так
как перемещение перпендикулярно силе. Остается работа силы
Р' для перемещения т'Ь, направленного по той же прямой,
как сила; эта элементарная работа будет равна произведе-
произведению силы на перемещение т'Ь, т. е. на изменение расстоя-
расстояния между частицами; следовательно, работа будет равна
Р'<т'Ь. Эта. работа может быть и положительной и отрица-
отрицательной в зависимости от направления силы Р' и от ха-
характера изменения расстояния mm', т. е. в зависимости от
того, происходит ли увеличение или уменьшение этого рас-
расстояния.
Конечная работа для конечного изменения расстояния mm'
получится через суммирование элементарных работ. При со-
составлении суммы нужно принять во внимание, что внутренняя
частичная сила Р обыкновенно изменяется с изменением рас-
расстояния mm': она есть функция этого расстояния. Изобразим
эту изменяемость графически (фиг. 158); по абсциссам, на-
начиная с точки О, откладываем изменения длины mm', а по
ординатам — соответствующие величины силы Р. Получается
кривая О1Р, изображающая зависимость частичной силы, т. е.
силы взаимодействия частиц m и т', от изменения расстояния

СЛУЧАЙ, КОГДА РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ РАВНА НУЛЮ 259
между частицами (т. е. от удлинения или сжатия этого
расстояния). Когда первоначальное расстояние получит удли-
удлинение ОК, то частичная сила изображается ординатой Ю.
Если- затем удлинение получит бесконечно малое приращение
КК', то сила произведет элементарную работу, величина ко-
которой равна произведению Kl-КК' т. е. измеряется заштри-
заштрихованной на чертеже площадью КИ'К'. Конечная работа,
производимая силой Р при удлинении от нуля до On, бу-
будет равна сумме элемен-
элементарных работ, т. е. из-
измеряется площадью
OlPnKO, заштрихован-
заштрихованной по контуру. Ра-
Работа эта будет отри-
отрицательная, так как ча- я»
стичные силы противят- °~
ся изменению формы.
При восстановлении
первоначальной формы
тела, т. е. при постепенном уничтожении удлинения прямой mm',
частичные силы производят положительную работу, способствуют
такому восстановлению. По нашей гипотезе относительно частич-
частичных сил они зависят исключительно от расстояния между части-
частицами. Поэтому, когда удлинение, постепенно уменьшаясь,
дойдет до величины ОК, частичная сила примет то же зна-
значение К1, которое она имела при растяжении, в момент по-
получения удлинения ОК. Это справедливо для всех •значений
удлинения, т. е. закон изменения частичной силы при восста-
восстановлении формы будет изображаться той же кривой PVIO,
которая представляла постепенное изменение частичной силы
при растяжении. Поэтому работа частичных сил при восста-
восстановлении формы изобразится прежней площадью кривой
OlPnKO; но теперь эта работа положительная, а при растя-
растяжении она была отрицательная. Складывая эти две работы —
одну для удлинения, а другую для восстановления формы,
мы получим в сумме, что работа частичных сил *равна нулю.
Это справедливо для каждой пары частиц, входящих в состав
тела, следовательно, справедливо и для всего тела, т. е.
мы получим тот результат» на который указали прежде: если
форма тела изменяется во время движения, но под конец
17»

260 ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
рассматриваемого пути тело принимает ту первоначальную
форму, которую оно имело в начале пути, то общая сумма
работ всех внутренних сил равна нулю.
Мы можем приложить эту теорему к движению любой
машины, рассматривая период движения от пуска в ход ма-
машины до полной ее остановки. При пускании в ход к частям
машины прикладываются различные силы, изменяющие форму
частей. Эти силы действуют во все время хода машины,
иногда сохраняя постоянную величину, иногда изменяясь. Но,
когда машина останавливается, то действие указанных сил
прекращается, и все части машины принимают первоначальную
форму. Следовательно, работа внутренних сил за весь этот
период движения равна нулю, и мы можем совершенно не
принимать во внимание внутренние силы в уравнении живых
сил, если применяем такое уравнение ко всему периоду дви-
движения машины от начала пуска ее в ход до полной остановки.
115. Выражения для живой силы в частных случаях.
Рассмотрим несколько основных случаев определения живой
силы; они встречаются в приложениях так часто, что необ-
необходимо иметь для них готовые формулы, которыми можно
пользоваться, когда понадобится.
Поступательное движение. Так как в этом дви-
движении все частицы имеют одинаковую скорость, то, называя
эту скорость через V, а массу всего тела — через М, полу-
получаем для живой силы выражение
Вращение твердого тела около оси. Если уг-
угловая скорость равна со, то для частицы, находящейся на
расстоянии г от оси и имеющей массу т, получаем: ско-
скорость га, квадрат ее г2со2, живая сила -~- г2со2. Суммируем жи-
живые силы всех частиц; получаем для живой силы всего тела:
Вынесем общий множитель ^ш3 за знак суммы; получим:

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО МГНОВЕННОЙ ОСИ
261
Выражение ^тг2 нам знакомо: это — момент инерции
тела относительно оси вращения. Итак, в этом случае жи-
живая сила равна половине произведения мо-
момента инерции на квадрат угловой скорости.
116. Вращение твердого тела около мгновенной оси.
Так как эта ось беспрестанно изменяет свое положение в теле,
то удобнее заменить угловую скорость около этой оси тремя
ее проекциями на три взаимно перпендикулярные направле-
направления, сохраняющие в теле постоянное положение. За эти на-
направления следует взять три главные оси тела; тогда получим
наиболее простое выражение для живой силы.
m(x.y,z)
-*-x
z
/
\У
Фиг. 159.
Фиг. 160.
Пусть р, q, r будут слагающие угловой скорости по глав-
главным осям х, у, z. Найдем скорость для любой частицы тела,
имеющей координаты х, у, Z (фиг. 159). Для этого найдем
сначала проекции этой скорости на оси, и с этой целью рас-
рассмотрим отдельно вращения р, q, r.
Вследствие вращения р около оси X в сторону часовой
стрелки (фиг. 160) частица т получает скорость, равную про-
произведению из р на радиус р и направленную перпендикулярно
к этому радиусу. Проекции этой скорости будут:
на ось х: . .0,
» » у...—psina = —р? — =—Р%1

262
ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
При вращении q около оси у получим подобным же об-
образом проекции (фиг. 161):
на ось X ■..-{- qz,
> > .у...О,
■» ■» z... —qx.
Наконец, вращение г около оси г дает проекции (фиг. 162):
на ось х. .. —гу,
» » у... -f- гх,
» » Z...0.
Складывая все проекции, приходящиеся на одну и ту же
ось, получаем проекции скорости v:
на ось x...qz — гу,
» » у...гх—pz,
» » z. . .ру — qx.
Квадрат скорости v будет равен сумме квадратов этих
проекций; умножая на половину массы т частицы, получаем
живую силу частицы т:
у т \{qz —
rx —pzY -f {py —
G8)
Остается просуммировать это выражение для всех частиц
тела, и мы получим его живую силу.
Фиг. 161.
Фиг. 162.
Суммирование сделаем в таком порядке: сначала произве-
произведем возвышение в .квадрат двучленов выражения G8). Полу-
Получим члены двух родов: члены первого рода будут содержать
квадрат какой-нибудь координаты, а члены второго рода бу-

ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 263
дут содержать произведение двух различных координат. Сум-
Суммирование будем делать для каждого рода отдельно и посто-
постоянные величины р, <7, г будем выносить за знак суммы 2-
У нас получатся суммы двух видов: первого вида с квадратами
координат, т. е. "£тх2, ~^ту2, ^тгг, и второго вида — с
произведениями координат, т. е, Vmx_y, Vmxz, ~^myz.
По определению понятия о главных осях все суммы вто-
второго вида равны нулю,, и соответствующие члены исчезнут.
Окончательно получим следующий результат суммирования:
~ {q* ^mz* + г» 2 mf + г2 2 тх* +
или
у [р2 2 т Су'+*2) + <72 2 w (х2 + *3>+г2 2 »(^2 4-
Но выражения (/-{-z2), (д;2-[-^3), (-«2+^3) представляют
квадраты расстояний частицы от от осей х, у, г. Соответ-
Соответствующие суммы ^m(y2-{-z2), ^m{x2-\-z2), ,tn(x2-\-y2)
дают величины моментов инерции для главных осей х, у, г.
Называя эти моменты инерции через Ju J2, J%, получим очень
простое выражение для живой силы:
(Л/>2 + Л72 + Л^Ь G9)
117. Движение центра тяжести и движение около центра
тяжести. Во многих случаях удобно рассматривать движение
системы как совокупность двух движений: в первом из них
все точки системы двигаются одинаково с ее центром тяжести;
второе есть движение около центра тяжести, который при
этом считается неподвижным. При таком разложении полу-
получается простое выражение для живой силы, а именно: нужно
определить живую силу для каждого из ука-
указанных двух движений отдельно и затем ариф-
арифметически сложить эти два выражения.
Эту теорему всего удобнее доказать, определяя движение
двумя системами декартовых координат. Одна из них, имею-
имеющая оси S, 7), С, пусть будет неподвижна; к ней отнесем

264 ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
движение центра тяжести; его координаты для этих осей на-
назовем: Е, 7], £.
Для другой координатной системы начало возьмем в центре
тяжести, а оси ее х, у, z ■ направим параллельно неподвиж-
неподвижным осям £, 7), £. Это будет подвижная система координат,
перемещающаяся вместе с центром тяжести. Координаты
какой-нибудь массы т относительно подвижной системы на-
назовем х, у, г. Тогда координаты той же массы относительно
неподвижных осей будут:
* + £, У+Ъ * + С- (80)
Проекции скорости будут производные от координат. Поэтому
рассматривая движение массы т относительно подвижных
осей, будем иметь проекции скоростей этого относи-
относительного движения:
dx dy dz ,R1.
Tt' dt ' Si' { '
Проекции же скоростей действительного дви-
движения массы т будут равны производным от координат
(80), т. е.
dx_,d% dy,dt\ dz ,dl ,RI?,
dt ~<~dt> dt ~T~di' Tt i df [ '
Наконец, проекции скорости центра тяжести системы будут
равны производным от координат этой точки, т. е.
d\ di\ dt.
Составим выражение для полной живой силы массы т; квад-
квадрат ее скорости равен сумме квадратов ее проекций (82);
следовательно, живая сила будет равна:
или, по раскрытии квадратов двучленов:
Ы
Ы +U") +U) +Ы +Ы +UJ

ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 265
Теперь нужно просуммировать такие выражения, распро-
распространяя их на массы система. Для различных масс получим
разные координаты х, у, z, но величины £, г], £ для всех
масс будут одинаковы. Имея это в виду и выводя общие
множители за знак суммы, получим для живой силы системы
выражения:
Но так как начало подвижной координатной сисюл.ы прохо-
проходит через центр тяжести системы, то по определению такого
центра имеем:
Дифференцируя по времени эти выражения, находим:
Вследствие этих равенств уничтожаются три последние члена
в выражении для Т. Остается рассмотреть остальные два
члена этого выражения.
Так как
есть квадрат скорости центра тяжести с .стем-л, j У т озна-
чает сумму всех масс, составляющих систему, то Т2 представ-
представляет живую силу, которую система имела бы, если бы все
части ее двигались одинаково с центром тяжести.
Далее, видим, что величина
at) -r[dt) -r [at)

266 ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
есть квадрат скорости того движения, которое масса т имеет
относительно центра тяжести системы.
Следовательно, Тг означает живую силу для движения
системы относительно ее центра тяжести. Оказывается, что
истинная живая сила системы равна сумме этих двух живых сил
что мы и желали доказать.
Для примера возьмем движение железнодорожного поезда.
Кроме общего поступательного движения, одинакового с цент-
центром тяжести, колеса имеют еще вращательное движение. Пусть
скорость поступательного движения есть V\ массу всего поезда,
включая и колеса, назовем М; угловую скорость вращения
одного из колес обозначим буквою ю, а момент инерции ко-
колеса относительно его оси назовем J. Живая сила поезда будет
равна:
где сумма 2 должна быть распространена на все колеса.
118, Работа силы тяжести. Эта внешняя сила встречается
в приложениях очень часто, а потому подготовим общее вы-
выражение для работы силы веса в произвольно"?! системе.
Выберем основную горизонтальную плоскость, к которой
будем относить высоты всех частей системы. Пусть одна из
частиц, имеющая вес р, во время движения переместилась
так, что ее первоначальная высота Ло над основной плоско-
плоскостью превратилась в А. При этом вес р произведет работу,
равную произведению его на вертикальное перемещение
Ао — h. Сложим работы весов всех частиц системы; получим
полную работу веса:
(84)
Назовем высоту центра тяжести системы для начала дви-
движения Я0) а для конца его Я; вес всей системы пусть будет Р.
По определению центра тяжести имеем зависимости:
Подставим эти значения ^рК и 2'°^ в (^), тогда получим;
Н), (85)

ПРИМЕРЫ
267
Фиг. 163.
т. е. работа всех сил тяжести в системе равна произведению
из полного веса системы на понижение ее центра тяжести.
Если работа внутренних сил равна нулю, а кроме тяжести
нет других внешних сил, то выражение (85) изображает ве-
величину изменения живой силы
системы при рассматриваемом
перемещении.
119. Примеры. Цилиндр
катится без скольжения по на-
наклонной плоскости (фиг. 163).
Радиус цилиндра назовем че-
через R, его массу — через М,
момент инерции относительно
оси его — через J. Пусть на-
начальная скорость равна нулю; по опускании цилиндра на вы-
высоту h скорость его поступательного движения получит не-
некоторую величину V, а в то же время он приобретет неко-
некоторую угловую скорость вращения <о. Так как цилиндр катится
без скольжения, то между величинами К и со существует
зависимость:
Ra>=V,
т. е.
Живая сила цилиндра будет, на основании теоремы § 117,
1 1 1 У
равна сумме двух живых сил: — MV2 и — Jtf^-rr-^V2.
Работа силы тяжести будет равна произведению веса ци-
цилиндра Mg на понижение его центра тяжести h. Получаем
следующее уравнение живых сил:
из которого найдем скорость V, а деля ее на R, получим
угловую скорость. Получаем:
MR»

268
ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Если бы такое тело спускалось с наклонной плоскости н е
вращаясь, то имели бы:
Фиг. 164.
следовательно, вращение уменьшает скорость V.
Аналогичный результат получим при сравнении следую-
следующих двух движений (фиг. 164): а) маятник, состоящий
из шара Р, подвешенно-
го на невесомой нити;
б) тот же шар, катящийся
по круговому желобку.
Во втором случае качания
будут медленнее, чем в
первом.
Тяжелая части-
частица, движущаяся по
винтовому желобку. Мы начали решать эту задачу в
§ 86 и получили уравнение F4):
<a(J-\- та2) — am V cos <p = 0.
Докончим ее, т. е. составим второе уравнение, связывающее
неизвестные V и ш. Для этого нам послужит закон живых
сил. Назовем момент инерции цилиндра, несущего винтовой
желобок, относительно оси его через J. Тогда живая сила
этого цилиндра будет:
уЛ>а. (86)
Опускающаяся по желобку частица т получает, как мы ви-
видели, скорость, состоящую из двух слагающих: горизонтальной
скорости аа — V cos <p и вертикальной скорости V sin <р.
Сумма квадратов этих слагающих даст квадрат полной
скорости. Следовательно, живая сила частицы т будет равна
^ т Г(асо — V cos срJ + (V sin <pJl . (87)
Полная живая сила частицы и вращающегося цилиндра будет
равна сумме выражений (86) и (87).
Что касается работ сил, то здесь имеем только работу
веса частицы т; при опускании частицы на высоту у работа
будет равна mgy.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 269
Так как начальные скорости по заданию равны нулю, то
уравнением живых сил будет:
/ю2 -j- т [(дао — V cos срJ -\- (V sin уJ] = 2tngy. (88)
Соединяя его с уравнением F4), найдем обе скорости V и ш.
Нетрудно видеть, что как опускание частицы т, так и вра-
вращение цилиндра будут происходить равноускоренно.
120. Устойчивость вращения твердого тела. Мы знаем,
что в каждой точке тела есть три главные оси; они об-
обладают тем свойством, что при вращении около них без дей-
действия активных сил силы инерции взаимно уравновешиваются.
Когда сообщено вращение около главной оси, то оно будет
продолжаться по инерции без перемены. Между тем, если
сообщено вращение около неглавной оси, то для поддержки
его необходимы внешние силы на оси. Если их нет, то ось
вращения будет мгновенной, беспрестанно изменяющей
свое положение в теле и в пространстве.
Только главные оси обладают свойством быть постоян-
постоянными осями, около которых вращение поддерживается инер-
инерцией, без помощи внешних сил. Этим свойством обладают все
три главные оси.
Но постоянство оси, при отсутствии внешних сил,
еще не означает ее устойчивости. Этим последним тер-
термином мы называем способность тела мало изменять свое
вращение от действия на него небольших толчков, т. е. от
кратковременного приложения к нему небольших сил.
Положим, что первоначально тело вращалось около глав-
главной оси и что действием толчка ось вращения изменилась,
т. е. тело после толчка вращается около мгновенной, беспре-
беспрестанно переменяющейся оси. Сейчас же после толчка эта
мгновенная ось по необходимости очень близка к первона-
первоначальной оси, так как предполагаем небольшой толчок. Иногда
затем, с течением времени, мгновенная ось постепенно уда-
удаляется от первоначальной, и в скором времени это удаление
делается очень заметным; тогда мы говорим, что первоначаль-
первоначальная ось вращения была неустойчивая. Если же после
толчка мгновенная ось хотя с течением времени изменяет свое
положение в теле и в пространстве, но, тем не менее, откло-
отклонение ее от первоначальной оси все время остается очень
малым, то мы называем первоначальную ось устойчивой.

270 ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
Рассмотрим общий случай, когда три момента инерции
Л> Л> Л Для главных осей не равны между собою. Из этих
трех моментов один — наибольший, другой — наименьший, а
третий — средний. Легко доказать, что как ось наибольшего
момента, так и ось наименьшего момента будут устойчивы.
Для доказательства мы кроме закона живых сил применим
закон моментов количеств движения.
Пусть первоначальное тело вращалось около первой глав-
главной оси, обладающей моментом инерции Ju и имело угловую
скорость р0. Начальная величина живой силы есть t:J\P^;
начальный момент количеств движения для первой оси ра-
равен /iP0> а Для Двух других осей этот момент равен нулю.
После толчка тело будет вращаться около некоторой мгно-
мгновенной оси, не совпадающей с главной. Скорость вращения
около мгновенной оси можем разложить на три скорости по
главным осям; эти слагающие (они переменные) назовем/?, q, r.
Тогда живая сила будет равна (см. § 116):
Момент количеств движения после толчка будет иметь
своими проекциями на главные оси величины (см. § 91)
JiPi ^г1> •!%<"■ Полная же величина момента количеств движе-
движения jljl получится как равнодействующая трех проекций, т. е.
будет равна:
После толчка тело опять предоставлено самому себе, и
внешние силы на него не действуют. Следовательно, при
дальнейшем движении как живая сила его Т, так и полный
момент количеств движения [л, должны сохранять постоянные
величины, притом эти величины должны очень мало отли-
отличаться от первоначальных значений живой силы и момента
количеств движения, имевшихся до толчка, так как толчок по
предположению очень невелик.
Будем считать толчок бесконечно малым; тогда, обозначая
через аир бесконечно малые величины, получим:
1) условие постоянства живой силы
= JiPl + ^' (89)

УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 271
2) условие постоянства момента количеств движения
Исключим из этих уравнений р и р0; для этого (89) нужно
умножить на Jx и затем вычесть (90) из (89). Получим:
•М-Л — Jz)qZJrJs{Ji— 7»)/*=/^ — Р = а' — р, (91)
где (а' — р) — бесконечно малая величина.
До сих пор мы не говорили ничего о сравнительной ве-
величине моментов инерции Ju У2, У3. Теперь предположим,
что J1 — наибольший из них; следовательно, первоначально
вращение происходило около оси наибольшего момента инер-
инерции. Тогда Jx—У2^>0, Л — Л^>0; следовательно, оба члена
левой части уравнения (91) положительные, а так как сумма
их должна быть бесконечно мала, то и каждый из членов
должен быть бесконечно мал. Отсюда следует, что q и г
должны быть бесконечно малы. Итак, во все время движения
по инерции после толчка скорости q и г бесконечно малы;
а так как вращение после толчка состоит из трех слагающих
р, q, r, то, очевидно, направление мгновенной оси вращения
в теле будет бесконечно мало отличаться от первой главной
оси, имеющей моментом инерции Jv т. е. от первоначальной
оси вращения.
Нетрудно доказать, что и в пространстве направле-
направление мгновенной оси будет все время очень близко к перво-
первоначальному направлению оси вращения. Для этого рассмот-
рассмотрим направление вектора моментов количеств движения. До
толчка этот вектор совпадал с первоначальным направле-
направлением той главной оси тела, около которой происходило вра-
вращение. Толчок мог изменить направление вектора моментов
количеств движения в пространстве лишь бесконечно мало.
После толчка внешние силы не действуют, следовательно,
положение указанного вектора неизменно. Но он получается
как равнодействующий из трех моментов по главным осям
J1p, J2q, J3r, следовательно, направление равнодействующей
этих трех векторов может лишь бесконечно мало отличаться
от первоначальной оси вращения, а так как J2q и J3r—ве-
J3r—величины бесконечно малые, то направление скорости р, а следо-
следовательно, и мгновенной оси, может лишь бесконечно мало
отличаться от первоначальной оси вращения.

272 закон живых сил
Таким образом приходим к заключению, что в движении,
происходящем после толчка, мгновенная ось вращения и
в теле и в пространстве будет лишь бесконечно мало
отклоняться от первоначальной оси вращения. Следовательно,
эта ось, т. е. ось наибольшего момента инерции, устойчива.
Возьмем теперь случай, когда первоначально вращение
происходило около оси наименьшего момента инер-
инерции. В этом случае имеем: •^i<^^2<C-^8i следовательно,
в уравнении (91) члены J2{Ji—J2) q2, -/3(Л—Л) г* °ба от-
отрицательные. А так как их сумма равна бесконечно малой ве-
величине а' — [J, то каждый из этих двух членов должен быть
бесконечно мал; отсюда следует, что д и г бесконечно малы.
Одним словом, мы можем буквально повторить все предыду-
предыдущие рассуждения и убедимся, что ось наименьшего момента
инерции также устойчива.
Но, если первоначальное вращение происходит около глав-
главной оси, имеющей такой момент Jb что •/8<CA<C^2j то
в уравнении (91) член J3(J1 — JB) r2 положительный, а другой
член 72(У:—У2) qz — отрицательный. Поэтому здесь мы не
можем сделать заключения, что р г бесконечно малы. Сле-
Следовательно, здесь неприменимы и все последующие рассуж-
рассуждения, с помощью которых мы доказывали, что оси наибольшего
и наименьшего момента инерции устойчивы. Для оси, имею-
имеющей средний момент инерции, необходим отдельный, особый
разбор вопроса. Мы его не будем дзлать, а укажем только
на результат: оказывается, что эта ось неустойчивая.
В случае тела вращения два глазных момента инерции
равны мекпу собою; например, J2 = J3. Третий главный мо-
момент инерции, а именно, момент инерции тела для оси его
фигуры, или больше остальных д^ух, или меньше их обоих,
т. е. он или наибольший, или наименьший. Предыдущие рас-
рассуждения показывают, что ось фигуры будет всегда устой-
устойчива. Можно было бы доказать, что остальные главные оси
неустойчивы.
121. Теорема Даниила Бернулли. Прилагая закон живых
сил к устанозившемуся движению жидкости, получим теореиу
Д. Бернулли. Это — основная, главная теорема гидродинамики,
имеющая многочисленные приложения при изучении течения
воды в реках, каналах, трубах, при исследовании действия
воды в водяных двигателях и т. д До недавнего времени

ТЕОРЕМА ДАНИИЛА БЬРНУЛЛИ 273
эта теорема была почти единственным теоретическим резуль-
результатом, которым пользовались в гидравлических приложениях.
Не доказывая эту теорему в общем виде, ограничимся той
частной формой ее, которая имеет значение в гидравлике.
Укажем точные условия, при которых имеет место после-
последующий вывод. Мы рассматриваем жидкость идеальную, т. е.,
во-первых, несжимаемую, а во-вторых, не представляющую
никакого сопротивления таким изменениям формы, которые
не сопровождаются изменением объема; следовательно, это —
жидкость, совершенно лишенная вязкости. Задание таких
свойств жидкости приводит к тому, что работа внутренних
сил ее равна нулю. Мы также допустим отсу!ствие трения
между жидкостью и стенками сосуда или трубы, в которых
течет жидкость.
Мы рассматриваем движение вполне установившееся, т. е.
в каждой точке пространства, наполненного жидкостью, яв-
явления не изменяются с течением времени; направление и ве-
величина скорости в этой точке, величина внутреннего давления
у этой точки остаются постоянными во все время движения.
Разбираем движение тяжелой жидкости в сосуде любой
формы ABDC (фиг. 165) между сечениями АВ и CD и пред-
предполагаем выполненными следующие условия 1) допускаем
движение правильными струями; 2) давление по всему сече-
сечению АВ одно и то же {pi), и все частицы, проходящие че-
через АВ, имеют одну и ту же скорость (V^, направленную
нормально к АВ; 3) те же условия выполнены и в сечении CD;
здесь давление р2, скорость V2.
В течение бесконечно малого времени di частицы, которые
были расположены в сечении АВ, пройду г путь Vxdt и при-
придут в А'В'. Частицы, находившиеся в сечении CD, пройдут
путь V2dt и займут положение CD'. Применим закон живых
сил к этому движению массы жидкости ABDC, передвинув-
передвинувшейся в A'B'D'C
Начальная живая сила нашей системы состоит из двух
частей, живой силы жидкости ABB'А' и живой силы жидко-
жидкости A'B'DC. Окончательная живая сила тоже может быть
рассматриваема как совокупность двух частей: живой силы
жидкости A'B'DC и живой силы жидкости CDD'C. Мы ви-
видим, что живая сила объема A'B'DC входит как в выражение
начальной живой силы, так и в выражение окончательной
18 В. Л. Кирпичей

274
ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ
живой силы; притом в обоих выражениях живая сила этого
объема одна и та же, потому что движение жидкости уста-
установившееся, т. е. скорость жидкости в любой точке К этого
объема одинакова как для начального момента времени, так
и для окончательного. При нахождении живой силы, приобре-
приобретенной за время dt, мы должны вычесть начальную живую
силу из окончательной; при этом сократится живая сила объ-
объема A'B'DC, и останется только разность живых сил объе-
объемов CDD'C и ABB'А'.
А А'
Фиг. 165.
Эти объемы равны между собою, так как жидкость несжи-
несжимаемая. Если назовем буквою Q объем жидкости, протекаю-
протекающей через каждое сечение в единицу времени, то указанные
объемы будут равны Qdt.
Вес единицы объема жидкости назовем через у> тогда
масса жидкости, протекающей за время dt, будет равна
Qdt—; наконец, искомая приобретенная живая сила выра-
выразится разностью:
Перейдем к работе действующих сил. Мы уже видели,
что работа внутренних сил в идеальной жидкости равна нулю.
Также обращается в нуль работа давлений д, производимых
на жидкость стенками сосуда или трубы, в которой она те-
течет; эти давления всегда перпендикулярны к пути, проходи-
проходимому частицами, движущимися по стенкам, если движение

ТЕОРЕМА ДАНИИЛА БЕРНУЛЛИ 275
происходит правильной струей; следовательно, сила и пере-
перемещение взаимно перпендикулярны, т. е. работа равна нулю.
Остаются только работа веса и работа сил давлений ри pz
на сечениях АВ, CD, которыми ограничена наша движущаяся
система.
Для получения работы веса нужно взять вес всей жидко-
жидкости ABDC и умножить на понижение ее центра тяжести,
происходящее при переходе из ABDC в положение A'B'D'C.
Заметим опять, что в обоих положениях имеем общий объем
A'B'DC, который как бы вовсе не переместился, так что центр
тяжести его остался на прежней высоте. Поэтому рассматри-
рассматриваемое перемещение жидкости эквивалентно тому, как будто
бы объем элементарной части ABB'А' опустился и занял по-
положение CDD'C.
Произведенная при этом работа равна весу элементарной
части, т. е. Qydt, умноженному на понижение центра тяжести
объема ABB'А' при опускании его в положение CDD'C.
Это понижение при отбрасывании бесконечно малых высших
порядков может считаться равным разности Н уровней цент-
центров тяжести предельных сечений АВ и CD. Итак, работа веса
будет равна
QdtfH.
Работа сил давлений рх на сечение АВ получится следую-
следующим образом: р1 означает давление на единицу площади;
если сечение АВ имеет площадь F, то полная сила давления
будет равна pxF. Ее нужно умножить на пройденный путь,
т. е. на Vxdt\ получим работу p1FV1dt. Но произведение FVX
есть объем Q жидкости, протекающей в единицу времени,
следовательно, работа будет равна
pxQ dt.
Она положительная, так как направление силы совпадает с на-
направлением перемещения.
Работа сил давления рг найдется подобным же образом
и будет равна
—p2Qdt.
Она отрицательная, так как здесь сила направлена в сторону,
противоположную перемещению.
18*

276 закон живых сил
Складывая все работы, получим сумму их
Приравнивая это выражение приобретенной живой силе,
получаем уравнение живых сил
или, по сокращении:
Это уравнение и выражает теорему Даниила Бернулли.
Величины —, — измеряют давления, имеющиеся в жидко-
жидкости в сечениях АВ и CD. На самом деле, р1 и рг пред-
представляют эти давления в единицах сил, приходящихся на еди-
единицу площади (например в кг/см2); деля их на у> получим
высоты столба жидкости, уравновешивающей такие давления.
Такое измерение давления жидкости высотой ее столба часто
применяется; приборы, производящие такое измерение, назы-
называются пьезометрами, высота столба в них называется пьезо-
пьезометрической высотой1). Обозначая эти высоты для сече-
сечений АВ и СО через hlt h2, получаем теорему Бернулли
в форме:
— /li)t (92)
т. е. при движении жидкости от АВ к CD приобретается
такая же скорость, как при падении тяжелого тела с высоты
При выводе мы допустили, что как в сечении АВ, так
и в сечении CD скорости всех частиц параллельны между
собою. Поэтому наше уравнение можно применять не к лю-
любым двум сечениям трубы, по которой течет жидкость,
а только к тем, которые удовлетворяют этому условию, на-
*) Обыкновенно, пьезометр измеряет не полною величину давле-
давления, а превышение этого давления над атмосферным.

ТЕОРЕМА ДАНИИЛА БЕРНУЛЛИ
277
пример для фиг. 166, к сечениям, отмеченным цифрами /,
£f of 4.
Возьмем частный случай; пусть ось трубы будет горизон-
горизонтальная прямая; тогда для каждых двух сечений ее разность
уровней Н будет равна нулю, и мы получаем из уравне-
уравнения (92) следующее условие.
Фиг. 166.
Следовательно, сумма пьезометрической высоты и величины ^—
(т. е. высоты, отвечающей скорости течения) будет одинакова
для сечений трубы, отмеченных на
фиг. 166 цифрами /, 2, 3, 4. Но ско-
скорости течения по трубе изменяются
обратно пропорционально площадям се-
сечений. Отсюда следует, что пьезомет-
пьезометрическая высота будет изменяться одно-
одновременно с изменением поперечных сече-
сечений и в ту же сторону, т. е пьезометрическая высота будет
значительна там, где происходит расширение трубы; эта вы-
высота будет малая в суженных местах трубы. Этот результат
хорошо демонстрируется прибором (фиг. 167), в котором про-
происходит истечение окра-
окрашенной жидкости, при
постоянном напоре. Сте-
Стеклянные трубочки а, Ь,
с, * d, поставленные в
разных местах по длине
течения, указывают пьезо-
пьезометрические высоты, т. е.
давления в этих местах.
Если в одном месте
трубки сечение будет
очень сильно сужено по сравнению с выходным отверстием,
в котором давление равно атмосферному, то в суженном сече-
сечении давление может оказаться значительно ниже атмосфер-
атмосферного. Делая опыт с водою при обыкновенной комнатной тем-
температуре, можем достигнуть такого понижения давления, что
вода в суженном сечении будет кипеть.
Фиг. 167.

278 закон живых сил
122. Применение закона живых сил к изучению дви-
движения машин. При изучении движения машин для первого
приближения пренебрегают упругостью частей машины и счи-
считают их телами абсолютно твердыми. Так как машина, состоя-
состоящая из связанных между собою твердых тел, почти всегда
есть система с полными связями, т. е. система с одной сте-
степенью свободы, то движение ее определяется одной перемен-
переменной, а потому для исследования движения машины достаточно
одного уравнения. За такое уравнение обыкновенно берут
уравнение живых сил; оно очень удобно для этой цели, так как
прямо дает скорости, т. е. те именно элементы движения, ко-
которые имеют особое значение в практическом употреблении
машин, при их службе.
В машинах всего чаще встречаются движения поступа-
поступательное и вращательное, для которых выражение живой силы
получается очень просто. Движения, не относящиеся к этим
двум разрядам, почти всегда представляют плоские
движения; следовательно, это необходимо будут враще-
вращения около мгновенного центра. Зная положение мгновенного
центра, мы могли бы выразить живую силу как произведе-
произведение угловой скорости на момент инерции относительно этого
центра.
При этом придется определять моменты инерции для различ-
различных центров, изменяющих свое положение в теле; но все эти
моменты инерции легко определяются, когда известен момент
инерции для центра тяжести тела; для этого нужно восполь-
воспользоваться теоремой, выведенной в § 50.
Здесь очень удобен следующий прием: тело (фиг. 168)
заменяется тремя массами М{, Мг, М3, сосредоточенными
в центре тяжесш Сив двух точках А, В, лежащих на
одной прямой с центром тяжести. Подберем эти массы так,
что сумма их будет равна массе нашего тела, а сумма их
моментов инерции для точки С будет равна моменту инерции
тела для той же точки.
Подбор масс сделаем таким образом: пусть J есть момент
инерции нашего тела для его центра тяжести; обозначим
расстояния АС, СВ, АВ буквами а, д, I. Тогда нужно
взять:

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ЖИВЫХ СИЛ
279
Третья масса Ms получится как остаток по вычитании Мх-\-Мг
из полной массы тела М.
Действительно, при таком подборе получаем, что момент
инерции нашей системы трех масс для центра тяжести С
будет равен:
что и требуется. Тогда на основании формулы B5) § 50 и
для всякой другой точки О момент инерции нашего тела
будет равен моменту инерции около этой точки получен-
полученной системы из трзх масс. Действительно, для момента инер-
инерции тела около точки О имеем:
J0~Jc-{-Md?.
Так как вследствие равенства М1-а = М2-Ь центр тяжести
системы трех масс Мъ М2, М3 совпадает с центром тяжести С
тела, то и для системы масс
момент инерции J'o около
центра О связан с их момен-
А В
Фиг. 168.
Фиг. 169.
том инерции Jc около центра тяжести С той же формулой:
откуда и следует, что
,J
0.
Точки А, В могут быть выбраны где угодно на линии,
проходящей через С. В частном случае шатуна паровой ма-
машины (фиг. 169) самое удобное выбрать точки Л и В
в центрах цапф.
Исследование движения машин при помощи закона живых
сил значительно облегчается применением графического ме-
метода, который излагается во всех курсах прикладной механики.

ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ БЕСЕДА
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
123. Консервативные системы. Закон сохранения энер-
энергии, т. е. учение о постоянствг энергии в природе, есть
универсальный физический закон, охватывающий все разнооб-
разнообразные физические явления. Он установлен, главным образом,
экспериментально на основании массы опытов и наблюдений,
показавших, что энергия никогда не теряется; в случаях ка-
кажущегося исчезновения ее всегда можно установить, что
здесь произошло не уничтожение энергии, а преобразование
ее в другую форму, притом в эквивалентном количестве.
Сюда относятся преобразование чисто механической энергии
в теплоту, свет, электричество и все прочие взаимные пре-
преобразования этих видов энергии, химической энергии и т. д.J).
При определенных условиях можно считать справедливым
частный случай закона сохранения энергии — закон сохране-
сохранения механической энергии. Для этого необходимо, чтобы все
силы, действующие в рассматриваемой механической системе,
были консервативными.
Консервативными, или потенциальными,
силами называются, как известно, такие силы, работа кото-
которых на пути между какими-нибудь двумя точками А я В
(фиг. 170) не зависит от вида траектории. Следовательно,
работа этих сил будет одинаковой и в том случае, когда
материальная точка движется из Л в Б по траектории А1В,
и в том случае, когда она движется по траектории А2В.
Консервативные силы являются функциями только координат
точек приложения силы.
*) В общем виде закон сохранения энергии впервые был выдви-
выдвинут и качественно сформулирован М. В, Ломоносовым в 1748 г.
(Прим. ред.)

УРАВНЕНИЕ ЖИВЫХ СИЛ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЙ 281
Для консервативных сил всегда существует такая функция,
называемая потенциальной или силовой, частные производные
которой по координатам дают проекции силы на соответ-
соответствующие оси. Силовая функция, взятая с обратным знаком,
представляет собою не что иное, как потенциальную энергию.
Свойством консервативности обладают многие силы при-
природы, например, силы тяготения, упругие
силы, силы притяжения или отталкивания двух
электрических зарядов и т. п. Примером не- /
консервативных сил могут служить силы
трения или силы сопротивления среды. Не-
Неконсервативные силы записят не только от
координат точки приложения, но и от других
факторов; так, например, сила сопротивления
жидкости движущемуся в ней телу зависит от ф
скорости движения тела. Неконсервативные
силы не обладают потенциалом- и работа их на пути между
какими-нибудь точками А и В зависит от вида траектории.
Для консервативных сил работа на замкнутом пути, как
легко видеть, равна нулю; для неконсервативных сил это не
имеет места.
Механические системы, в которых все силы консерватив-
консервативные, называются консервативными системами.
Строго консервативных систем в природе не существует, од-
однако, во многих случаях с большой точностью можно считать
те или иные системы консервативными.
§ 124. Уравнение живых сил для консервативной си-
системы. Начнем с какого-нибудь начального положения си-
системы, которое назовем нулевым; живую силу всей системы
для этого положения обозначим через То. Для положений А
и В употребим подобные же обозначения, но с индексами А,
В вместо нуля, т. е. живые силы обозначим через ТА, Тд.
Работу всех сил, при переходе из нулевого положения в по-
положение А назовем РА, а такую же работу для перехода из
нулевого положения в В обозначим через Рв.
Пусть все силы, действующие на систему, консервативные.
Тогда работы РА и Рв вполне определяются положениями А и В,
и мы найдем уравнения живых сил для перехода из нулевого
положения в положение А:
ТА — Тй = РА (93)

282 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
и для перехода из нулевого положения в положение В:
ТВ—ТО^=РВ. (94)
Вычитая (93) из (94), находим:
Т т —р р
1 В 1 А ^В ^А>
ИЛИ
Тв-Рв = та-Ра- (95)
Живые силы—всегда величины положительные," что же ка-
касается работ Рв, РА, то они могут быть как положитель-
положительными, так и отрицательными. Чтобы избавиться от отрица-
отрицательных величин, прибавим к обеим частям уравнения (95)
постоянную величину С, которую подберем так, чтобы ве-
величины С—Рв и С — Рд, которые обозначим U& и UA,
были положительные для всех положений системы. Тогда
уравнение (95) получит вид:
TB + UB=TA + UA, (96)
т. е. оказывается, что для любого положения системы ■ сумма
живой силы и величины U одинакова. Величина U, опреде-
определяемая работой консервативных сил, обладает тем свойством,
что значение ее для положения В определяется исключи-
исключительно этим положением и не зависит от положения А и от
других возможных положений системы. Величины UB, UA на-
называются потенциальными, или запасными, энергиями
системы для положений В, А. Живая сила называется ки-
кинетической энергией системы. Исак, уравнение (96) вы-
выражает следующий закон для всякой консервативной системы:
В каждом положении системы, движущейся
под действием консервативных сил, сумма ее
кинетической и потенциальной энергий есть
величина постоянная.
Эта сумма называется полной механической энергией
системы, или, кратко, энергией системы. Она сохраняет по-
постоянную величину. При движении изменяется только рас-
распределение энергии между ее кинетической и потенциальной
частями, между видимой и запасной энергией. Запас энергии
то увеличивается за счет видимой энергии, то уменьшается,
когда видимая энергия растет.

УРАВНЕНИЕ ЖИВЫХ СИЛ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 283
Вот содержание закона сохранения энергии, если ограни-
ограничиться рассмотрением механических процессов, происходящих
под действием консервативных сил.
Мы должны объясниться по поводу прибавленной нами
величины С. Так как она произвольная, то и величина по-
потенциальной энергии произвольная; по нашему желанию мы
можем делать к ней любую прибавку. Но эта прибавка
должна быть одинакова для всех положений
системы. Потенциальная энергия есть запас энергии;
мы замечаем изменение этого запаса, увеличение или умень-
уменьшение его, но нам совершенно неизвестна полная величина
запаса; вот почему величина С может быть произвольною;
она изображает нашу догадку или произвольное предположе-
предположение о величине запаса.
Для примера рассмотрим систему, в которой действует
сила тяжести. Потенциальная энергия определяется весом и
высотой центра тяжести; но от какого уровня нужно считать
эту высоту? При решении частных вопросов мы можем из-
изменять этот уровень. Нужно только выбрать его так, чтобы
центр тяжести никогда не опускался ниже избранного уровня,
тогда потенциальная энергия будет всегда положительная.
Здесь мы поступаем подобно тому, как при изучении высоты
воды в реке или в море: основной уровень, от которого от-
считываются высоты, нужно взять ниже наиболее низкого
возможного стояния воды. Кроме этого условия, мы не ста-
ставим других ограничений, а потому основной уровень, нуле-
нулевая точка, до известной степени произволен, может быть
изменяем по нашему усмотрению.
Вот, например, какой можно сделать выбор величины по-
потенциальной энергии: между всеми возможными положениями
системы выберем такое, для которого получается самая боль-
большая живая сила, и примем, что для этого положения потен-
потенциальная энергия равна нулю, т. е. что израсходован весь
запас ее. Называя эту живую силу Гтах, получим для вся-
всякого другого положения системы из закона сохранения энер-
энергии следующее соотношение:
которое позволяет найти величину потенциальной энергии для
всякого положения системы.

284
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Но нет необходимости непременно придерживаться этого
правила для определения потенциальной энергии; можно из-
изменять его; вообще, безусловная величина потенциальной
энергии не представляет интереса в динамике. Важно знать
не безусловные величины, а разность потенциальных энергий
для двух различных положений.
125. Простые примеры на закон сохранения энергии.
а) При движении планеты вокруг Солнца потенциальная
энергия есть результат ра-
работы силы притяжения. Так
как при удалении планеты
от Солнца эта работа Р отри-
отрицательна, то запас потенци-
потенциальной энергии
U—С — F
Фиг. 171.
при этом увеличивается. Если
же планета приближается к Солнцу, то работа Р положи-
положительна, а потому запас потенциальной энергии уменьшается.
Поэтому живая сила, а следовательнио, скорость планеты,
должна уменьшаться при удалении планеты от Солнца и уве-
увеличиваться при сближении этих тел. Наибольшая скорость
получается в перигелии Р (фиг. 171), т. е. в точке, где пла-
планета всего ближе к Солнцу S; в афелии А,
т. е. в точке, наиболее удаленной то Солнца,
скорость планеты наименьшая.
б) На теорему Д. Бернулли можно смо-
смотреть как на частный случай закона сохра-
сохранения энергии. Пьезометрическая высота есть
мера запаса энергии.
в) Тело М (фиг. 172) качается на пру-
пружине. Здесь потенциальная энергия есть запас
работы, заключающийся в изогнутой пружине.
Он наибольший для крайних положений
тела М; тогда кинетическая энергия равна
нулю. В среднем положении пружина вовсе не изогнута, и по-
потенциальная энергия равна нулю; в этом положении получа-
получается наибольшая скорость тела М.
126. Рассеяние энергии. Можно указать на многие яв-
явления, в которых как будто бы не получается подтвержде-
Фиг. 172.

РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ 285
ния начала сохранения энергии, а напротив, ясно видна по-
потеря энергии, рассеяние ее. Нетрудно придумать опыты,
наглядно указывающие на такое кажущееся рассеяние энер-
энергии. Самое простое явление этого рода есть трение. Сделаем
такой опыт: на столике поставлены тяжелые нагруженные
салазки; усилием нашей руки мы передвигаем эти салазки
от левого края столика к правому и затем обратно возвра-
возвращаем их на левый край. При этом опыте нами истрачена
значительная работа. Во что она превратилась? Какая энер-
энергия получилась из этой работы? Мы не замечаем появления
скорости, следовательно, нет кинетической энергии. Затем
части нашей системы, состоящей из столика и санок, под
конец опыта пришли в то же взаимное расположение, в ко-
котором они находились в начале; следовательно, работа вну-
внутренних сил равна нулю, и потенциальная энергия не изме-
изменилась. Итак, работа наших рук истратилась, а взамен ее
мы не замечаем ни появления эквивалентного количества ки-
кинетической энергии, ни получения потенциальной энергии;
работа наших рук рассеялась, исчезла без остатка и без следа.
Самое простое истолкование этого противоречия заклю-
заключается во введении силы трения. Между салазками и столи-
столиком действует сила трения, которая всегда противоположна
движению, а потому дает отрицательную работу; эта отри-
отрицательная работа и поглотила отчасти движущую работу,
произведенную нашими руками.
Кроме того, при трении получается нагревание [трущихся
тел, возникает некоторое количество тепловой энергии, в ко-
которую и перешла часть работы, произведенной руками. Сле-
Следовательно, рассеяние энергии было только кажущееся, и
явления трения не противоречат закону сохранения энергии.
Кажущееся рассеяние энергии вследствие трения и появ-
появление взамен того теплоты часто происходят в грандиозных
размерах. Вода наших рек при течении их от истока к устью
опускается со значительной высоты, а ее скорость и кинети-
кинетическая энергия при этом не только не увеличиваются, а
даже обыкновенно уменьшаются. Огромное количество энер-
энергии, измеряемое произведением веса текущей воды на высоту
ее падения, истрачивается на трение (трение воды о русло,
трение струй воды между собою при водоворотах, ударах
воды и т. д.) и преобразовывается в тепло.

286 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
На фабриках и заводах значительная часть энергии, ко-
которую доставляет двигатель (паровой или водяной), тратится
на трение. Очень поучительно подумать о такой трате и под-
подсчитать ее. Например, крупная бумагопрядильня требует для
своего движения паровую машину мощностью в тысячу и более
лошадиных сил. Следовательно, она расходует громадное ко-
количество энергии. Но во что превращается эта энергия? Что
мы получаем взамен? Результат работы бумагопрядильни за-
заключается в том, что хлопчатая бумага, вата, превращается
в пряжу, в нитки, т. е. получается новое расположение ча-
частиц хлопка одних относительно других. Этому новому рас-
расположению отвечает увеличение потенциальной энергии, но
оно так незначительно по сравнению с истраченной энергией,
что эту потенциальную энергию почти не стоит принимать
в расчет. Почти вся работа громадного двигателя прядильни
тратится на трение приводов и машин, т. е. преобразовы-
преобразовывается в теплоту. Количество выделяющейся при этом теп-
теплоты настолько велико, что бумагопрядильню не нужно ота-
отапливать даже при таких сильных морозах, которые бывают
в Ленинграде и Москве. Летом теплота, выделяющаяся от
трения, производит в бумагопрядильне трудно выносимую
духоту, против которой борются усиленной вентиляцией.

ПЯТНАДЦАТАЯ БЕСЕДА
ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
127. Исторические сведения. С законом живых сил и
началом сохранения энергии тесно связан вопрос о вечном
двигателе («perpetuum mobile»), т. е. об устройстве такой
машины, которая, будучи раз приведена в движение, затем
будет непрерывно двигаться сама и никогда не остановится.
Мало того, желают еще, чтобы машина при своем движении
постоянно производила некоторую полезную работу — молола
зерно или поднимала воду и т. д., не требуя для преодоле-
преодоления таких сопротивлений никакой посторонней движущей силы,
не вызывая ни расхода топлива, ни действия ветра или те-
текущей воды, а черпая энергию из самой себя, из взаимного
действия своих частей. Эго—-машина, которая должна да-
давать работу даром, без всякого расхода. История исканий
вечного двигателя в высшей степени интересна для механики,
потому что она тесно переплетена с историей установления
основных законов динамики. Но в ней заключается еще осо-
особый общий интерес, так как мы имеем в ней поучительный
образец человеческих исканий, стремлений и, в особенности,
заблуждений, через которые приходится проходить человече-
человечеству по пути к истине.
Мы не находим в классической древности попыток при-
придумать машину, которая дала бы даровую работу, да и
трудно ожидать, чтобы в то время стали заниматься таким
вопросом. У греков и римлян промышленность была слабо
развита, а многочисленный класс рабов давал работу почти
даровую, так что не было цели искать еще новый источник
дешевой энергии. Нужно полагать, что прежде всего начали
думать о вечном движении философы и ученые, и только

288 ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
впоследствии появились изобретатели, имевшие в виду прак-
практические цели.
Одно из ранних упоминаний о вечном двигателе отно-
относится к половине XIII столетия, а именно, к 1269 г. Это
год, когда была написана знаменитая в свое время рукопись
Пьера-де-Марикур о магнитах. В ней автор, изложив законы
магнитных явлений, пытается с помощью магнитов получить
perpetuum mobile').
Уже Леонардо-да-Винчи A452—1519) доказывает невоз-
невозможность вечного движения. За Леонардо повторяет то же до-
доказательство Кардано A501—1576): он указывает, что нельзя
устроить часы, которые заводятся сами собою и сами подни-
поднимают вверх гири, движущие механизм2), а в конце XVI сто-
столетия некий Эдмунд Джентилл утверждает, что он изобрел
вечный двигатель, имеющий силу, достаточную, чтобы двигать
мельницу3). Следующие затем два столетия XVII и Х\/Ш очень
богаты изобретениями, претендующими быть perpetuum mobi-
mobile. И в XIX столетии число предложений этого рода не умень-
уменьшается.
Изобретения эти редко приводились в исполнение; чаще
всего все кончалось на бумаге; составлялся рисунок машины,
описание ее, а во множестве случаев нет даже и этого, и все
ограничивается торжественным уверением, что великая задача
решена и вечное движение найдено. Обыкновенно изобрета-
изобретатели не могли получить достаточного количества денег для
приготовления своей машины.
Но было несколько случаев исполнения проектов perpetuum
mobile в больших размерах, и сохранились отзывы современ-
!) Впоследствии эта рукопись была напечатана, и есть новейшие
перепечатки ее. См. Duhem, Les origines de la Statique, т. I, стр. 57.
2) См. в той же книге Дюгема, гл. IV.
8) В книге Dircks Henry, Perpetuum mobile or Search for
Self-motive, «Power», 1861, содержится масса данных по истории
этого вопроса, собрание патентов, описание машин, отзывы совре-
современников, мнения ученых. Все собрано с большим трудолюбием и
возможной полнотой и представляет очень ценный материал, хотя
совершенно сырой, не приведенный в систему и необработанный.
Автор даже не решил сам для себя вопрос о возможности или не-
неисполнимости задачи, составляющей предмет его книги. Он стоит на
распутье, прислушиваясь к мнениям лиц, считающих вечный двига-
двигатель за химеру, но симпатии его и надежды, очевидно, на стороне
противоположного мнения.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 289
ников, видевших эти машины. Самый заметный случай этого
рода, получивший широкую известность, представляет колесо,
изобретенное Орфиреусом в 1712 г. и представленное им ланд-
ландграфу Гессен-Кассельскому в 1717 г. Огромное колесо, ко-
которое Орфиреус изготовил для ландграфа A2 футов диамет-
диаметром, могло поднимать груз в 70 фунтов на значительную
высоту), было помещено в особой комнате; вход в нее был
заперт и запечатан печатью ландграфа. Через два месяца от-
открыли это помещение, и оказалось, что колесо попрежнему
вертелось.
Известие об этом факте быстро распространилось по всей
Европе и вызвало сенсацию как в среде правителей того вре-
времени, так и среди ученых. Появившееся в немецких газетах
печатное сообщение об изобретении Орфиреуса попалось на
глаза Петру Первому, который сильно заинтересовался им;
это сообщение послужило для Петра первым поводом к на-
начатию переговоров с знаменитым немецким философом Воль-
Вольфом об основании Академии наук. «Петр приглашал Вольфа
приехать на каких угодно условиях в Петербург, только бы
он согласился усовершенствовать изобретение Орфиреуса» ').
Из числа тогдашних ученых особенное внимание на этот при-
прибор обратил известный физик, лейденский профессор Граве-
занд2). До нас дошло письмо Гравезанда к Ньютону, в ко-
котором голландский ученый сообщает результаты своего ос-
осмотра колеса Орфиреуса. Оказывается, что Гравезанд считал
задачу о построении вечного двигателя возможной; внутреннее
устройство колеса Орфиреуса он не мог осмотреть, так как
оно было тщательно закрыто, но, тем не менее, Гравезанд
дает довольно благоприятный отзыв и склонен думать, что
Орфиреусу удалось построить машину, имеющую вечное дви-
движение.
Конец всего этого дела, вызвавшего такие неумеренные
надежды, был очень печален для Орфиреуса. Обидевшись на
то, что ландграф не дал ему обещанной крупной денежной
награды (около 200 000 рублей) и что, не соблюдая обещан-
1) Милюков Н., Очерки по истории русской культуры, II, 288.
'*) Прибор его, служащий для демонстрации явлений удара упругих
шаров, до сих пор фигурирует в каждом физическом кабинете. Из-
Известен также и до сих пор не потерял значения способ Гравезанда
определять величины коэффициентов упругости.
19 В, Л. Кирпичев

290 ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
ного секрета, показали его изобретение «ученому» Гравезанду,
Орфиреус разломал свое колесо «на атомы», как выражается
один писатель. Такой конец должен убедить нас в том, что
Орфиреус был обманщик, испугавшийся, что при исследовании
учеными его обман сейчас же будет обнаружен.
Еще раньше Орфиреуса (около 1649 г.) знаменитый мар-
маркиз Уорчестер, один из первых изобретателей паровой машины,
человек с богатой фантазией и необыкновенной изобретатель-
изобретательностью, также вообразил, что он изобрел вечный двигатель.
В сочинении Уорчестера «Сотня изобретений»а) «perpetuum
mobile» находится под № 56.
Подробного описания нет; говорится, что машина состояла
из колеса диаметром в 14 футов, вращавшегося на горизон-
горизонтальной оси и содержавшего внутри себя 40 грузов по 50
фунтов каждый; вследствие некоторого неизвестного устрой-
устройства эти грузы с одной стороны колеса (например с правой)
всегда оказывались на фут дальше от центра колеса, чем при
нахождении их на другой стороне колеса (левой); «не угодно
ли вам обсудить последствия этого»,—говорит маркиз в зак-
заключение своего описания.
Эта идея Уорчестера — построить колесо, которое всегда
будет иметь перевес с одной стороны и потому всегда должно
вращаться в известном направлении,— занимала очень многих
и породила массу конструкций и предложений. Все эти при-
приборы должны, по мнению изобретателей, двигаться вследствие
своей собственной тяжести.
Неуспех простых конструкций вызвал различные усложне-
усложнения; вводили в состав приборов воду, например насос качает
ее вверх на водяное колесо, а это последнее, вращаясь, дол-
должно приводить в движение тот самый насос, который качает
на него воду и т. д. Отчаявшись в действии веса, принима-
принимались за другие силы: пробовали пользоваться капиллярными
силами, явлениями эндосмоза, магнетизмом и т. д.
В XV11I столетии изобретатели много занимались устрой-
устройством автоматов, подражавших движениям человека и живот-
животных. Тогда были изготовлены знаменитые автоматы: утка
*) «A Century ot the Names and Rcantlings of Inventions by me
already, practised». Это — перечисление, или каталог, изобретений,
сделанных маркизом; оно перепечатано в приложении к биографии
Уорчестсра, написанной Дёрксом.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 291
Вокансона, флейтисты Вокансона и Дроза, тамбурннист Вокан-
сона, игрок в шахматы Кемпелея и др.1). Теперь мы смотрим
на подобные приборы как на игрушки, но тогда изобретатели,
занимавшиеся изготовлением автоматов, преследовали серь-
серьезную цель; это была все та же идея получить даровую дви-
движущую силу. Надеялись построить автомат, который будет
производить постоянную работу, совершенно, как живое су-
существо. Тогда еще не был выяснен источник энергии живых
существ, на них смотрели как на некоторый хитрый механизм
и думали, что стоит только устроить машину, подражающую
движениям человека, и мы получим работника.
Первые попьпки устроить вечный двигатель относятся к
тому времени, когда динамика еще не существовала и законы
движения тел не были известны. Развитие этой науки, выяс-
выяснение явлений движения и работы нисколько не повлияли на
изобретателей вечного движения; эти фантазеры совершенно
игнорировали науку и остались вовсе не затронутыми ею.
Идея вечного движения владела их умами как нечто неоспо-
неоспоримое; ни малейшего сомнения в возможности осуществления
ее у них не появляется, никогда даже не подвергается раз-
разбору вопрос об исполнимости задачи — получить даровую ра-
работу из механизма. Все, иногда недюжинные, силы ума и фан-
фантазии обращаются на придумывание подробностей.
Эта твердая, ни на чем не основанная, вера в возможность
получения дарового источника энергии поразительна в особен-
особенности потому, что у людей науки мы, наоборот, постоянно
встречаем противоположное убеждение о невозможности веч-
вечного двигателя. Ученые, способствовавшие развитию механики,
обыкновенно принимали эту невозможность как постулат, как
нечто не требующее доказательств. Свои выводы и доказа-
доказательства законов механики ученые XVI, XVII и XVIII столетий
часто основывают на этом постулате: у них приведение к
perpetuum mobile играет ту же роль как reductio ad absur-
dum2) в чистой математике. Так было даже раньше установ-
установления основных законов динамики, до зарождения первых на-
начатков этой науки. Мы уже приводили мнения по этому во-
вопросу Леонардо-да-Винчи и Кардано.
!) См. «Лексикон чистой и прикладной математики» Буняковского,
статья «Automate».
2) Приведение к нелепости.
19»

292 ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
В самой первой своей работе Галилей приводит невозмож-
невозможность вечного движения как аксиому; он пользуется ею, чтобы
доказать, что твердое тело, имеющее такую же плотность,
как жидкость, в которую оно погружено, будет находиться
в равновесии 1),
К этому же разряду соображений относится вывод усло-
условий равновесия'на наклонной плоскости, сделанный Стевином
A548 1620) *и,послуживший основанием для установления
закона параллелограма сил. Стевин ведет свои рассуждения,
вообразив следующий механизм: на
двускатную наклонную плоскостьАВС
(фиг. 173) положена бесконечная
цепь; она по необходимости должна
находиться в равновесии. Действи-
тельно, допустим обратное и предпо-
предположим, что цепь начнет двигаться
в известном направлении, скользя по
плоскости; при этом скольжении рас-
расположение центра тяжести цепи отно-
относительно наклонной плоскости не
изменяется, следовательно, остаются
все прежние условия действия сил. Условия — те же, что
были вначале, следовательно, если вначале получалось сколь-
скольжение, то оно должно продолжаться и далее в том же на-
направлении. Итак, получается perpetuum mobile, а это невоз-
невозможно, следовательно, допущение об отсутствии равновесия
неверно. Доказав равновесие цепи ABCD, Стевин находит,
что равновесие не нарушится, если будет отброшена часть
цепи ADC. А тогда имеем равновесие двух кусков цепи АВ
и ВС, веса которых пропорциональны длинам скатов АВ и ВС;
вот и получили закон равновесия грузов на наклонной пло-
плоскости.
Есть сведения, что Кеплер также высказывался против
возможности вечного двигателя2).
Декарт в одном из своих писем к Мерсену говорит: «Мне
пришлось видеть много квадратур круга, вечных движений и
х) Duhem, Les origlnes de la Statique, т. I,' стр. 241.
г) В указанной книге Дёркса есть ссылка на письмо Кеплера по
этому поводу, относящееся к 1607 г.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 293
разных других мнимых доказательств, которые оказались лож-
ложными» ').
Затем перейдем к Гюйгенсу, которому динамика обязана
первыми своими успехами, после установления Галилеем зако-
законов движения материальной точки под действием постоянной
силы. Гюйгенс первый рассматривает движение системы; он
первый вводит переменные силы, ему принадлежит идея о
центробежной силе.
Один из самых важных выводов Гюйгенса есть разбор дви-
движения сложного маятника; он открыл существование цент-
центра качания. При этом выводе Гюйгенс основывается на не-
невозможности «perpetuum mobile»2).
Лейбниц пользовался тем же постулатом в знаменитом споре
о том, как следует измерять силу движущегося тела, т. е.
давление, которое такое тело произведет на встретившееся
ему препятствие3). Некоторые ученые утверждали, что за меру
такой силы нужно принять произведение массы движущегося
тела на его скорость. Лейбниц же настаивал, что такая мера
определяется произведением массы на квадрат скорости. В
письме к Денису Папину Лейбниц, поддерживая свое мнение,
указывает, что принятие другого мнения ведгт к допущению
возможности вечного двигателя, т. е. он пользуется этим со-
соображением как доводом приведения к нелепости.
Появление в XVII столетни массы заявлений о будто бы
найденном решении задачи о вечном движении вызвало пот-
потребность в ясном и простом доказательстве того, что устрой-
устройство машины, служащей непрерывным источником работы,
противоречит основным законам механики. Одно из первых
доказательств этого рода принадлежит знаменитому матема-
математику Лагиру и было сообщено Парижской академии наук
в 1678 г. Так как, несмотря на это, изобретатели постоянно
обращались в Академию с заявлениями о том, что ими найден
вечный двигатель и с просьбами о рассмотрении таких изоб-
г) Duhem, Les origines de la Statique, т. II. стр. 58.
2) Л а г р а н ж Ж., Аналитическая механика, том I, стр. 306. Го-
стехиздат, 1950.
3) Такое давление движущегося тела Лейбниц называл живой
силой (Vis Viva) в противоположность мертвой силе (Vis Mortua),
т. е. давлению, производимому неподвижным телом. Отсюда произо-
произошел современный термин: живая сила.

294 ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
ретений, то в 1755 г. Академия постановила оставлять без
ответа заявления и предложения, касающиеся вечного двига-
двигателя. Однако эта мера не достигла своей цели и не остано-
остановила потока фантастических предложений. И теперь еще каж-
каждому профессору механики беспрестанно приходится иметь
дело с изобретателями подобных химер. По своему личному
опыту я должен сказать, что это почти всегда лица очень
почтенные, добросовестно преданные идее, но увлеченные ею
так сильно, что они абсолютно глухи к доводам рассудка.
На них не действуют не только словесные, логические дока-
доказательства, но даже такое сильное фактическое доказательство,
которое им представляют своей полной инертностью продукты
их изобретательности, изготовленные их собственными руками.
Мне приходилось видеть изобретателей, только что окончив-
окончивших, после долгих трудов, свой «вечный двигатель». Абсо-
Абсолютная неподвижность этого прибора нисколько не смущает
изобретателя, который обыкновенно объясняет ее самым мало-
маловажным обстоятельством: или размеры прибора недостаточны,
или один из зубцов многочисленных зубчатых колес механизма
не вполне верен. Как только изобретатель получит возмож-
возможность, он немедленно приступит к повторению своего меха-
механизма в большем масштабе или с более точными зубьями и
вполне уверен в будущем успехе. Здесь мы уже имеем дело
с материалом интересным не для механики, а для психологии.
§ 128. Доказательство невозможности вечного * двига-
двигателя. С точки зрения динамики вопрос о вечном двигателе
крайне прост и вполне разрешается законом сохранения энер-
энергии. При этом вовсе не нужно рассматривать отдельно раз-
различные предложенные конструкции, а можно сделать сразу
общее заключение для всех.
Какой бы мы ни устроили механизм, но,, если в нем из
внешних сил действует только сила тяжести его частей, то,
наверное, работа, произведенная тяжестью за известное время,
измеряется произведением веса машины на понижение ее центра
тяжести, происшедшее в это время. Таким образом запас ра-
работы, доставляемый силой тяжести, определяется возможным
наибольшим понижением центра тяжести машины. Прибавив
сюда начальную живую силу машины, получаем полный запас
работы, который имеется в нашей системе. Этот запас неве-
невелик и скоро будет израсходован отчасти на вредные, отчасти

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕВОЗМОЖНОСТИ ВЕЧНОГО ДВИГАТЕЛЯ 295
на полезные сопротивления, преодолеваемые машиной; затем
машина должна остановиться. Надежда на то, что машина сама
будет периодически поднимать опустившиеся грузы и, таким
образом, вновь получать источник работы, совершенно неос-
неосновательна. Если центр тяжести машины сначала опустится,
а затем поднимется на прежнюю высоту, то полная работа
веса за весь этот период движения будет равна нулю; следо-
следовательно, тяжесть не может служить непрерывным источником
работы.
Совершенно такое же заключение может быть сделано и
относительно других сил — упругости пружин, капиллярных
сил, магнитного притяжения,— так как все они имеют кон-
консервативный характер, т. е., если рассматривать такой
период движения, что в конце его все части машины придут
в положение, одинаковое с начальным их взаимным размеще-
размещением, то работа, доставленная силами за весь этот период,
равна нулю. Опять оказывается, что здесь нет источника
энергии, который мог бы постоянно пополнять расход ее.
Машина будет двигаться некоторое время, преодолевая раз-
различные сопротивления, пока не израсходует весь первона-
первоначальный запас энергии, затем она остановится. Это про-
произойдет даже тогда, если машина работает впустую, т. е. не
преодолевает никакого полезного сопротивления, а движет
только свои собственные части. Все равно и при таком дви-
движении получаются различные вредные сопротивления, которые
мало-помалу поглотят первоначальную механическую энергию
машины, и она должна будет остановиться. Все такие при-
приборы представляют не источники энергии, а рассеива-
тели энергии, превращающие ее мало-помалу, через пос-
посредство трений разного рода, в теплоту.
Итак, невозможность вечного двигателя основана на том,
что все силы, действующие в машине, имеют консервативный
характер или уменьшают её механическую энергию. Конечно,
получился бы другой результат, если бы силы были
другого характера, а именно, такие, что при возвращении
всех частей машины в начальное их расположение мы получали
бы сумму работ не равную нулю, а представляющую некото-
некоторую положительную величину. Это была бы система не кон-
консервативная, не сохраняющая энергию, а система, накопляю-
накопляющая энергию, аккумулятивная. Будем повторять цикл

296 ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
явлений, т. е. совокупность движений, приводящих в конце
цикла к тому же расположению частей машины, какое было
вначале. Каждый цикл нам даст положительную работу, и мы
можем при большом числе повторений накопить значительное
количество энергии и пользоваться ею для наших целей, для
производства разнообразных полезных работ. Но для этого
нужно иметь аккумулятивную систему, а все физические ис-
исследования показали, что ни одна машина таковой не является.
Однако утопающий хватается за соломинку, и люди, ве-
верующие в вечный двигатель, готовы заняться отысканием ак-
аккумулятивных систем и сил. Большие надежды были возбуж-
возбуждены заглавием одного мемуара знаменитого астронома Эри:
«О некоторых условиях, при которых возможно вечное дви-
движение» г). Но условия, о которых говорит Эри, представляют
не что иное, как аккумулятивную систему, а где мы ее най-
найдем? Ведь требуется, чтобы при возвращении системы в началь-
начальное положение получался избыток работы сил, действующих
внутри системы, которая должна быть при этом изолиро-
изолирована, т. е. не должна получать энергию извне.
!) Мемуар этот, написанный в 1829 г., перепечатан в приложении
к цитированной нами книге Дёркса.

ШЕСТНАДЦАТАЯ БЕСЕДА
УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
129. Мера удара. Удар действует лишь в течение очень
короткого, трудно измеримого по своей малости, времени,
а между тем, в результате получается заметное изменение
скорости. Так как это изменение произошло в течение очень
короткого времени, то ускорение получает очень большую
величину, а следовательно, и силы, т. е. произведения ускоре-
ускорения на массу, тоже очень велики. Итак, особенности явления,
называемого ударом, заключаются в том, что в течение очень
короткого времени действуют громадные силы. В отличие от
других случаев эти силы называют мгновенными. Хотя,
по существу, они не отличаются от всех других сил, рас-
рассматриваемых в динамике, но малость времени действия мгно-
мгновенных сил заставляет применять в случае удара особые приемы
исследования, почему вопрос об ударе рассматривается от-
отдельно.
В случае удара очень неудобно и часто невозможно при-
применить обычные приемы измерения сил весами, динамометрами
и т. д. Также невозможно применять динамический способ
измерения сил, т. е. определение их по величине ускорения;
здесь невозможно заметить величину ускорения. Трудность
увеличивается еще тем обстоятельством, что мгновенная сила
и соответствующая величина ускорения — величины перемен-
переменные; за тот короткий промежуток времени, когда происходит
удар, сила и ускорение изменяются, начиная от нуля, пере-
переходя к наибольшей величине и опять опускаясь до нуля.
Поэтому для мгновенных сил необходимо установить особый
прием их измерения и особую меру этих сил. Изучая неко-
некоторую мгновенную силу Р, заставим ее действовать на опреде-
определенное покоящееся тело массы т; пусть результатом удара

298 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
будет то, что это тело получило скорость V; такой опыт дает
нам понятие о величине мгновенной силы. Применим к этому
опыту закон количеств движения; так как имеем дело с пере-
переменной силой, то импульс, или толчок ее, определится суммой
элементарных толчков, произведенных в течение времени
удара t, т. е. импульс будет равен
Приравнивая его приобретенному количеству движения,
получим:
t
mV=\pdt.
о
Скорость V после удара может быть измерена, и количе-
количество движения mV мы найдем. Оно дает указание на величину
силы, действовавшей при ударе; правда, постепенное измене-
изменение силы Р остается неопределенным, но оно нам и неинте-
неинтересно. Но зато мы получаем величину суммы всех толчков,
произведенных силой в короткое время удара, т. е.
t
Pdt;
этого нам будет достаточно. Эту величину суммы толчков мы
и примем за меру величины удара и для краткости будем
называть ее прямо ударом. Величина его, как видим, может
быть определена опытом, измерением V и массы т. Например,
этим путем можно найти удар, производимый при выстреле
пороховыми газами на снаряд; масса снаряда известна, а для
измерения скорости снаряда существуют многочисленные при-
приборы.
Итак, в случае мгновенных сил мы будем измерять их,
т. е. измерять удар, с помощью сообщаемого ими количества
движения mV. Для возможности численного решения вопросов
о движении мы должны иметь такую меру для всех действую-
действующих в нашем вопросе мгновенных сил, т. е. предварительно
мгновенные силы должны быть измерены указанным способом.
Этот прием заменяет для мгновенных сил то измерение с помо-

ВИДОИЗМЕНЕНИЕ НАЧАЛА ДАЛАМБЕРА ДЛЯ СЛУЧАЯ УДАРА 299
щью весов, динамометров, индикаторов, которое мы применяем
для определения сил не мгновенного характера, действующих
в течение н е очень короткого времени.
Следует обратить внимание на то, что введенная нами
мера мгновенных сил не однородна с общепринятой мерой сил.
Действительно, для мгновенных сил имеем произведение массы
на скорость, а для нечгновенных мерою служит произведение
массы на ускорение; но скорость и ускорение неоднородны,
а именно, обозначая размерность длины через L, а размерность
времени через Т, получаем размерности: для скорости -=-, для
ускорения р■
Поэтому, если бы в одном и том же уравнении некоторые
члены содержали мгновенные силы, а другие — немгновенные,
то в последних должен был бы входить дополнительный мно-
множитель той же размерности, как время; эго требуется необ-
необходимым условием однородности членов. Но подобный случай
нам никогда не встретится; при действии мгновенных сил
всегда можно пренебречь всеми остальными силами; они очень
малы по сравнению с мгновенными и за короткое время удара
не могут заметно влиять на движение системы.
13Э. Видоизменение начала Даламбера для случая
удара. Такое видоизменение вызывается тем, что в случае
мгновенных сил нужно ввести особую меру сил — импульсы
их,— а следовательно, и уравнение должно получить соответ-
соответствующее преобразование, так чтобы вместо самих сил вхо-
входили их импульсы, т. е. меры ударов. При этом, как только
что было указано, можно совершенно отбросить все силы
немгновенного характера, потому что время действия удара
очень мало. По той же причине можно считать, что в тече-
течение времени удара точки системы вовсе не переместились,
т. е. можно пренебречь теми очень малыми перемещениями,
которые произойдут за время удара. Все это влечет за собой
значительное упрощение рассмотрения действия удара. По
окончании явления удара, т. е. по прекращении действия
мгновенных сил, необходимо опять принять во внимание все
силы.
Чтобы рассуждать о видоизменении начала Даламбера,
изобразим его в той форме, которую оно получает, если при

300 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
менять декартовы координаты и механическую систему рас-
рассматривать как совокупность материальных точек. Тогда усло-
условие равновесия активных сил и сил инерции представляется
уравнением C3) (см. стр. 137):
SH=°- (97)
Под знаком 2 стоит то, что относится к одной материаль-
материальной точке т, а знак 2 показывает, что нужно сложить по-
подобные выражения для всех точек системы. Величины X, Y, Z
представляют проекции активных сил. Члены
<Рх <Ру d?z
m m т
изображают проекции сил инерции. Наконец, Ьх, by, bz
изображают возможные перемещения.
Переходя к случаю мгновенных сил, умножим это уравне-
уравнение на элемент времени dt и проинтегрируем его в пределах
от 0 до t, изображающих начало и конец удара. У нас
появятся члены:
t
\xdt,
о
t
\Ydt,
Ъ
Ъ
которые изображают величины ударов, производимых на точку от.
Их обозначим буквами /, К, L. Затем перейдем к членам,
выражающим силы инерции, например к члену
Умножая на dt и интегрируя, получим вместо —, т.е. вместо
второй производной, первую производную, т. е. скорость -£-
по оси х. Но интегрирование происходит в пределах от 0 до t,
следовательно, нужно взять разность скоростей окончательной
и начальной, которые обозначим через и' и и.

ВИДОИЗМЕНЕНИЕ НАЧАЛА ДАЛАМБЕРА ДЛЯ СЛУЧАЯ УДАРА 301
Таким образом получим, по интегрировании члена (98),
выражение
— /га (и' — и) = ти — ти'. (99)
Полученное выражение (99) есть разность количеств движе-
движения начального и окончательного, т. е. до удара и после
удара. По принятой терминологии эта разность должна быть
названа количеством движения, потерянным во
время удара, или, короче, потерянным количеством движе-
движения.
Сказанное о проекции силы инерции на ось х относится
и к двум другим осям; для них проекции начальных скоро-
скоростей назовем через v, w, а окончательных скоростей —
через v', w'. Таким образом результатом нашего преобразо-
преобразования уравнения (97) будет следующее уравнение:
2{[/ + я(а — u')]bx-\-[K-{-m{v —v')]by +
■\-[L-\-m{w—т')]Щ = 0. A00)
Сравнивая его с первоначальным уравнением (97), выра-
выражавшим начало Даламбера, видим, что в новом уравнении
1) вместо активных сил X, Y, Z появились удары /, AT, L;
_. <Рх d?y йгг
2) вместо сил инерции —т~Ш^ '—тШ' —т~Ш появились
потерянные количества движения: т(и — и'), m(v — v'),
m(w — w'). Но уравнение Даламбера выражало, что активные
силы уравновешиваются с силами инерции. Следовательно,
наше новое уравнение выражает, что приложенные
к системе активные удары уравновешиваются
с количествами движения, потерянными при
ударе.
Так видоизменяется начало Даламбера в случае удара.
И здесь вопрос приводится к равновесию, но уравновешива-
уравновешиваются активные удары и потерянные количества движения.
Мы, следовательно, можем пользоваться известными законами
статики, притом можем в частных случаях брать эти законы
в любой форме, можем применять декартовы или другие ко-
координаты; можем брать алгебраические или геометрические
формы законов равновесия или пользоваться словесными тео-
теоремами, изображающими законы равновесия в частных случаях,
и т. д. Форма уравнения A00) служила нам лишь как про-

302 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
стой символ, в котором заключаются все условия равновесия
для всех частных случаев, и потому была удобна для до-
доказательства общей теоремы. Но нет надобности всегда об-
обращаться к ней, когда решаем частные вопросы, для которых
законы равновесия известны.
131. Примеры. 1. Две массы т, т', связанные
гибкой, нерастяжимой нитью, движутся на на-
наклонных плоскостях АВ, ВС (фиг. 174). Пусть на-
начальные скорости их равны нулю. На массу т действует по на-
направлению стрелки М удар,
величина которого равна К.
Требуется найти скорость V,
которую получат эти массы
после удара. Величина ско-
скорости одинакова для обеих
масс, так как нить нерастя-
нерастяжима; направления скоро-
Фиг. 174. стей показаны на фигуре
стрелками.
Условие равновесия для этой системы очень просто: сила,
действующая на т по направлению нити от В к Л, должна
равняться силе, действующей на т! по направлению от В к С.
Здесь, кроме удара К, нужнЧ) ввести потерянные количества
движения, т. е. разности 0 — mV, 0— m'V. Итак, условие
равновесия будет:
К— mV=m'V,
откуда находим скорость:
т -\-т''
2. Вращение твердого тела около неподвиж-
неподвижной оси. Пусть тело, вначале находившееся в покое, приведено
во вращение ударом. При вращении около неподвижной оси
условие равновесия сил заключается в том, что сумма момен-
моментов всех сил относительно оси вращения равна нулю. Следо-
Следовательно, мы получим уравнение движения, выразив, что
момент удара, сложенный с моментом потерянных количеств
движения, дает в сумме нуль.
Величину момента удара (т. е. произведение величины
удара на плечо его относительно оси) назовем М, и пусть ре-

ПРИМЕРЫ 303
зультатом удара будет вращение по направлению удара с окон-
окончательной угловой скоростью со. Мы знаем, что при такой
скорости момент количеств движения будет равен со/, где
/—момент инерции тела относительно оси вращения; но на-
начальное количество движения равно нулю, следовательно, мо-
момент потерянного количества движения равен
О — со/.
Условие равновесия будет:
М—0O = 0;
отсюда находим угловую скорость, получающуюся вследствие
удара:
М
ш=-т>
т. е. угловая скорость равна моменту удара,
разделенному на момент инерции.
Сравним этот результат с тем, который получается в случае
сил немгновенных. Соответствующий вопрос был рассмотрен
в § 35, и мы получили, что угловое ускорение равно
моменту внешней силы, разделенному на мо-
момент инерции.
Итак, в случае удара получается теорема, отличающаяся
от § 35 только тем, что теперь вместо момента силы по-
появляется момент удара, а вместо углового ускорения имеем
угловую скорость.
Заметим, что, вообще, то видоизменение начала Даламбера,
которое мы получили для случая удара, находится путем
интегрирования, и потому уравнения, получающиеся при этом,
представляют интегралы уравнений движения, т.е.
дают скорости, а не ускорения.
3. Баллистический маятник. Этот прибор долгое
время применялся для измерения начальной скорости ядер и
пуль при вылете их из артиллерийских орудий '). Он состоит
из массивного маятника (фиг. 175), качающегося на оси О;
внутри имеется чугунный котел В, наполненный песком; в него
ударяется ядро сейчас же по вылете из канала пушки; ядро,
Теперь он заменяется электробаллистическими приборами.

304
УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
Фиг. 175.
засев в песке, соединяется с маятником в одно целое. Дейст-
Действием удара сообщается маятнику угловая скорость ш около оси
вращения О; измерив ее, мы можем определить скорость ядра V.
Здесь мы имеем случай вращения твердого тела около
неподвижной оси, т. е. тот же вопрос, как и в предыдущем
примере. Но, рассматривая ядро и маятник как одну систему,
мы видим, что при ударе между
ними появляются взаимные силы,
всегда равные и противоположные:
одна из них — действие ядра на
маятник, а другая — обратное дей-
действие маятника на ядро. Совокуп-
Совокупность моментов таких двух сил
всегда будет равна нулю, и следо-
следовательно, силы удара вовсе не
войдут в наше уравнение. Оста-
Останутся только потерянные количе-
количества движения. Момент их для
маятника будет равен—<aJ (J—
момент инерции маятника относительно оси вращения). Потерян-
Потерянная скорость для ядра представляется разностью V — аш,
где а — расстояние направления скорости V от оси О. Момент
количества движения, потерянного ядром, получится умноже-
умножением потерянной скорости на массу ядра /и и на плечо а
относительно оси О. Поэтому уравнением равновесия будет:
— <uJ-\-ma(V—ясо) = О.
Отсюда, зная со, найдем скорость ядра V.
Мы бы могли получить сразу это уравнение, пользуясь
законом сохранения моментов количеств движения отно-
относительно оси О.
Что касается угловой скорости <о, то она найдется из
наблюдения угла, на который отклоняется маятник вместе
с ядром после выстрела. Пусть этот угол есть а, а расстояние
центра тяжести G всей системы от оси привеса равно /
(фиг. 176). Маятник отклоняется до тех пор, пока его живая
сила не будет поглощена работой веса его. При перемещении
центра тяжести О в точку остановки Н этот центр подни-
поднимается на высоту
GK=l(l— cos a).

ЦЕНТР УДАРА 305
При этом вес Р-\-р маятника с ядром дает работу, числен-
численная величина которой равна (P-\-p)l{\— cos а).
Живая сила системы тотчас после удара будет состоять
из живой силы ядра ~mV2 и из живой силы о
маятника, равной половине произведения из
квадрата угловой скорости на момент инер-
инерции маятника J. Поэтому уравнение живых
сил дает:
~ {mV2-f йJУ) == (/>+/>) / A — cos a),
откуда найдем со.
132. Силы связи при ударе. Эти силы
будут иметь характер мгновенных сил, т. е.
будут очень велики, но кратковременны. Для
них примем ту же меру, что и для приложенных ударов,
т. е. величину импульса
t
за время удара. Измеренные таким образом силы связи будем
называть ударами на связи. Мы знаем, на основании
начала Даламбера, что силы связи должны уравновесить и
активные силы и силы инерции. Поэтому в случае удара,
пользуясь видоизменением начала Даламбера, получим следую-
следующее правило для нахождения ударов:
Удары на связи должны уравновесить как
активные приложенные удары, так и количе-
количества движения, потерянные во время удара.
По этой теореме находим силы связи при ударе.
Если, например, имеем случай тела, вращающегося около
неподвижной оси, то силами связи будут удары на ось в ме-
местах опоры ее. Эти удары найдутся совершенно так же, как
находятся реакции на подпоры оси по данным внешним
силам; но вместо внешних сил нужно ввести приложенные
внешние удары и потерянные количества движения.
133. Центр удара. Из предыдущего понятно, что если
имеем твердое тело, вращающееся около неподвижной оси,
то удары, приложенные к этому телу, вообще говоря,
20 В. Л. Кирпиче»

306
УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
передаются на ось, т. е. в опорах появятся мгновенные силы,
удары на ось. Но в некоторых случаях такие удары отсут-
отсутствуют, их вовсе не будет, несмотря на то, что к телу при-
приложены сильные удары. Разберем: при каких условиях это
получается, т. е. когда удары не будут переда-
передаваться на ось?
Рассмотрим случай, когда на тело, находившееся в покое,
подействовал один активный удар К. Так как внешние удары
уравновешиваются с потерянными количествами движения, то
ясно, что отсутствие ударов на ось может получиться только
при соблюдении следующего условия: все потерянные коли-
количества движения должны приво-
приводиться к одной равнодействующей,
которая должна быть равна и прямо
противоположна удару К. Тогда
эти количества движения непосред-
непосредственно уравновесятся с А", и не
потребуется никаких дополнитель-
дополнительных сил на оси для получения
равновесия, т. е. на ось не пере-
передается никакого удара.
Разберем подробно это усло-
условие. Ось вращения примем за ось г;
при вращении около этой оси все
количества движения составляют
прямой угол с направлением оси z, следовательно, и равно-
равнодействующая их тоже составляет прямой угол с направлением z,
т. е. не имеет слагающей, параллельной оси z. Отсюда пер-
первое условие.
Удар К должен составлять прямой угол
с направлением оси вращения.
Координатную плоскость ху проведем перпендикулярно
к оси г и притом так, чтобы эта плоскость заключала в себе
направление удара К; ось х расположим перпендикулярно к
удару К, ось у будет параллельна удару К (фиг. 177).
Возьмем частицу тела, имеющую массу т и находящуюся
на расстоянии г от оси вращения. Координаты этой частицы
назовем х, у, z. Если тело вследствие удара получит угловую
скорость со, то количеством движения частицы т будет.
тш,
Фиг. 177.

ЦЕНТР УДАРА 307
а проекции этого количества движения на оси х, у будут
равны:
-\-тш sin а, .—яшгсоэа,
или иначе:
-\-тшг~, —/ясог—,
т. е.
-\- пилу, — max.
Суммируя эти величины по всей массе тела М, получим ко-
количества движения всего тела:
по оси х . .. -\~ шV ту,
* » у .. . —ш^тх.
Если назовем массу всего тела М, а координаты его центра
тяжести хй, у0, то, как известно:
следовательно, предыдущие величины проекций количества
движения всего тела заменятся следующими:
для оси х . .. -\- (йМу0,
» » у .. . — (аМх0.
Так как эти значения отличаются от проекций потерянного
количества движения только знаком, то они равны проекциям К.
Но удар К дает для оси х проекцию, равную нулю, так
как он перпендикулярен к ней, следовательно, проекция пол-
полного количества движения тоже должна быть равна нулю.
Отсюда получаем:
т. е. центр тяжести тела должен лежать в плоскости zOx,
т. е. в плоскости, проведенной через ось вращения перпенди-
перпендикулярно к удару К. Это правило можно высказать также
следующими словами, определяющими направление удара:
Удар должен быть перпендикулярен к пло-
плоскости, проведенной через ось вращения и
центр тяжести тела.
20*

308 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
Это второе условие. Оно включает в себя и первое
условие.
Затем продолжаем замену всех количеств движения одной
равнодействующей, которая должна быть равна и прямо про-
противоположна К. Для этого компоненты количества движения
каждой массы т, т. е. величины
по оси х . .. -\- ыту,
» » у . . . —еднх,
перенесем из точки т в место, занимаемое проекцией этой
точки на плоскости хОу, добавляя соответствующие пары.
При таком переносе получим пары с моментами
amyz, amxz,
а суммируя их для всего тела, получим пары с моментами
Оба эти момента должны быть равны нулю, так как в ре-
результате сложения должна получиться равнодействующая,
лежащая в плоскости хОу. Итак, имеем:
т. е. третье условие, которое состоит в следующем'
Ось вращения должна быть главною осью
для нашего начала координат, т. е. для точки, в кото-
которой ось вращения пересекается плоскостью,
проведенной через направление удара пер-
перпендикулярно к оси вращения.
Итак, мы привели все количества движения к одной равно-
равнодействующей, параллельной оси у и равной
R = aMu>, A01)
где а есть координата хй центра тяжести тела. Чтобы узнать,
на каком расстоянии Ъ от оси О находится эта равнодейству-
равнодействующая, напишем, что момент ее равен сумме моментов количеств
движения отдельных масс. Этот последний момент, как мы
знаем, равен произведению угловой скорости со на момент
инерции J тела относительно оси О. Итак, получаем:

СЛУЧАЙ ОСИ ВРАЩЕНИЯ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ТЯЖРСТИ 309
или, вставляя величину R, получим:
Ь = Жа' 002)
Но равнодействующая должна быть прямо противоположна
удару К, следовательно, величина Ь дает расстояние удара К
от оси вращения. Итак, имеем четвертое и послед-
последнее условие:
Расстояние удара от оси вращения должно
быть равно -гг-.
Ма
Точка С пересечения удара с нашей осью х называется
центром удара. Вспомнив наши выводы относительно
сложного маятника (§ 35), видим, что центр удара совпадает
с центром качания нашего тела, если его рассматривать как
сложный маятник с осью вращения Ог.
При соблюдении перечисленных выше четырех условий
удар вовсе не передается на ось. Заметим, что относительно
центра тяжести ставится только одно требование: этот центр
должен лежать в плоскости zOx, т. е. плоскости, проведен-
проведенной через ось вращения перпендикулярно к направлению
удара, но нет необходимое™, чтобы этот центр лежал непре-
непременно на оси х.
134. Случай, когда ось вращения проходит через
центр тяжести. Возьмем частный случай, когда центр тяжести
лежит на оси вращения; тогда
а = 0,
и мы получаем из A02):
Ь = оо,
т. е. удар не будет передаваться на ось только в том слу-
случае, если он приложен к телу на бесконечном расстоянии от
оси. Другими словами, если ось вращения проходит через
центр тяжести тела, то все удары, приложенные к телу, бу-
будут передаваться на ось. Притом всякий удар будет
передаваться на ось в полной своей величине.
Действительно, если имеем а = 0, то равнодействующая
количеств движения R [уравнение A01)] будет равна нулю,
т. е. количества движения составляют пару, имеющую своею
осью ту ось Z, около которой вращается тело. Такая пара
может уравновесить только пару. Вообразим, что кроме
удара К (фиг. 17«), у нас приложены еще два противопо-

310
УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
Фиг. 178.
ложные удара на ось О, а именно К' и К", которые равны и парал-
параллельны заданному удару К. Прибавка таких двух противопо-
противоположных ударов ничего не изменяет,
и следовательно, удары на оси оста-
остаются прежние. Но теперь имеем,
во-первых, пару ударов К, К", кото-
которая уравновесится с парой количеств
движения. Во-вторых, остается удар
К', который и передается целиком на
ось, т. е. на ее опоры.
Этот частный случай имеет осо-
особое значение в машинах. Мы знаем,
что вращающаяся часть машины часто
уравновешивается, следовательно,
центр тяжести не лежит на оси вра-
вращения. Предыдущий вывод показы-
показывает, что в машинах все удары,
приложенные к их уравновешен-
уравновешенным вращающимся осям, целиком
передаются на опоры оси и портят эти опоры.
135. Простой опыт, демонстрирующий существование
центра удара. Нужно повесить палку с загнутой ручкой
(фиг. 179) на опору В (опорой может служить
веревка, натянутая горизонтально). Попытками
легко определить положение такой точки С, что
удар, приложенный в этом месте, не сбрасывает
палку с опоры как в том случае, если удар
идет справа, так и в случае удара с левой
стороны; эти удары сообщают палке качания
около оси В. Точка С будет центр удара. Про-
Производя удары в какую-нибудь точку D, лежа-
лежащую ниже С, заметим, что удар справа сбрасы-
сбрасывает палку, а удар слева—не сбрасывает ее. Для
точки Е, расположенной выше центра удара, полу-
получаем обратное явление: удары справа не сбра-
сбрасывают палку, а удары слева сбрасывают ее с опоры.
136. Практические случаи, когда важно знать положе-
положение центра удара, а) Баллистический маятник. Здесь
необходимо достигнуть того, чтобы удар снаряда в маятник
не передавался на ось качания маятника.
О)
В
Фиг. 179.

ПРИЛОЖЕНИЯ
311
б) То же относится и к прибору Шарпи, который приме-
применяется в механических лабораториях для ударной пробы ме-
металлов и состоит из маятника, ударяющего при своем кача-
качании в тот брусок металла, прочность
которого желаем исследовать.
в) Сюда же относится молот-ча-
я т н и к, предложенный некогда горным
инженером Талем для ковки (фиг. 180):
качания сообщаются маятнику особыми
паровыми цилиндрами.
г) Лобовые молоты, применяемые для
ковки на заводах, движимых водяной
силой (фиг. 181). Кулак водяного колеса
поднимает молот, подпирая его у В; за-
затем, по проходе кулака, молот падает, вращаясь около точки О.
д) При ковке ручными молотами важно, чтобы место
удара С (фиг. 182) было приблизительно центром удара для
Фиг. 180.
Фиг. 181.
Фиг. 183.
точки А, где кузнец держит молот рукою; тогда удары почти
не передаются на руку.
е) Курок ружья (фиг. 183) разбивает ударом пистон;
важно достигнуть того, чтобы удар не передавался на
ось О, около которой вращается курок: этим устраняется пор-
порча оси.
137. Еще два приложения. I. Если на ось z удар К
вовсе не передается, то, очевидно, нет никакой надобности
устраивать опоры для этой оси; и без них действием удара К,
будет сообщена угловая скорость вращения около оси z.
Эта ось будет свободная ось вращения для удара К.
Явление эго можно показать на опыте, взяв тело, лежащее
на горизонтальной плоскости, при отсутствии трения; нечто
подобное происходит при ударе кием в биллиардный шар.

312 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
Если, при том же ударе, выберем другую ось вращения,
то окажется, что на нее передается удар; следовательно, для
возможности вращения необходимо, чтобы ось имела опоры,
была связана; это уже не сво-
I бодная ось вращения, а на-
насильственная.
q, о I N- Возьмем тяжелую балку,
.—j J *-—, лежащую на двух опорах, А, В
Е ' ZT~^ (фиг. 184), предположим мгно-
А В венное разрушение опоры В.
Фиг. 184. Это равносильно приложению
в точке В удара, обозначен-
обозначенного стрелкою. Наша балка получит стремление вращаться
около оси, которая определится по правилам, изложенным
в § 133. Если эта ось приходится между А и В (точка О),
то левый конец балки поднимется над опорой. Если же упо-
упомянутая ось лежит вне опор (точка О'), то такого припод-
приподнимания не получится.
138. Закон количеств движения и закон моментов ко-
количеств движения для случая удара. К законам количеств
движения и моментов количеств движения приложимо то же
самое видоизменение, которое мы объяснили для начала Да-
ламбера. При этом нужно принимать во внимание только
мгновенные силы и, конечно, исключительно внешние, так
как внутренние удары все исключаются.
139. Закон живых сил в случае удара. Применяя теорему
живых сил, мы не получаем непременного исключения внутрен-
внутренних сил. Следовательно, и внутренние удары, вообще говоря,
не исчезают из уравнения, а должны быть приняты во внимание.
Полное исключение работы внутренних ударов между
частями системы происходит только в частном случае, когда
к концу удара тела вполне восстанавливают свою форму,
которую они имели до удара; мы знаем, что при этом работа
внутренних сил, произведенная ими за все время удара, равна
нулю. При таких условиях внутренние удары не изменяют
живой силы системы.
Заметим, что подобные случаи вполне упругих ударов
довольно редки.
При неупругом ударе, когда к концу удара первоначаль-
первоначальная форма тела не вполне восстанавливается, мы нме§м неко,-

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О НЕУПРУГОМ УДАРЕ 313
торую работу внутренних сил ударявшихся тел. Эта работа
всегда отрицательная, так как тела всегда сопротивляются из-
изменению своей формы. Следовательно, результатом неупругого
удара между частями системы будет уменьшение живой силы.
Другими словами можно сказать: при неупругих ударах про-
происходит потеря живой силы. Между тем, количество движе-
движения системы никогда не изменяется от внутренних ударов
ее частей, даже если эти удары неупругие.
Мы не будем останавливаться на всем известных частных слу-
случаях удара двух упругих и неупругих шаров, а рассмотрим бо-
более общим образом вопрос об изменении живой силы при ударе.
140. Общэе понятие о неупругом ударе. Мы будем на-
называть неупругим ударом всякое быстрое (почти мгновенное)
введение новой связи в систему; связь эта изменяет
условия возможных перемещений; не-
некоторые перемещения, которые преж-
прежде дозволялись, становятся невозмож-
невозможными вследствии введения новой свя-
связи. При этом будем предполагать, _-^=^=д-^,
что введенная новая связь затем =^иг-=^=;
остается в системе и не уничтожается.
В этом случае введенная связь назы-
называется длительной.
Под это обобщенное понятие о
неупругом ударе подходит не только Фиг. 185.
все то, что называется неупругим уда-
ударом в общежитии, но и многое другое. Так, например, пусть
(фиг. 185) струя воды встречает плоскую лопатку ab, заста-
заставляющую ее растекаться по сторонам; это новая, постоянная
связь, и, следовательно, мы должны считать это неупругим
ударом, хотя имеем дело с двумя упругими телами — водою
и твердой лопаткой. Во избежание неловкостей терминологии
лучше отказаться вовсе от терминов: упругий удар и неупругий
удар. Будем называть всякое быстрое введение связи —
ударом. Для быстрого уничтожения существующей связи при-
примем термин: вз ры в. Тогда то, что называется в общежитии
упругим ударом, будет представлять совокупность двух явле-
явлений— удара и взрыва; сначала вводится новая связь — одно
ударяющееся тело связывает движение другого, а затем эта,
связь уничтожается, и оба тела ддлаютсч свободными.

314 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
141. Потеря живой силы при ударе. Теорема Карно.
Если слово удар понимать в смысле введения новой связи,
то всякий удар влечет за собою потерю живой силы. Размер
этой потери определяется теоремой Карно, которую мы сей-
сейчас выведем
Мы будем говорить о внутренних ударах, т. е. об
ударах между частями системы, следовательно, о таких, при
которых вызываются взаимные мгновенные силы, подчиненные
закону равенства между действием и противодействием. Эти
силы не войдут в уравнение, даваемое видоизменением на-
начала Даламбера, а так как внешних приложенных ударов
в нашей задаче нет, го в уравнении останутся только поте-
потерянные количества движения. Обозначим для какой-нибудь
частицы т ее скорости до удара по трем координатным
осям через и, v, w; скорости же после удара — через
и', v', w'. Тогда для точки, имеющей массу т, потерянные
количества движения по координатным осям будут равны
т(а — a'), m(v— f'), m{w—w').
Так как потерянные количества движения уравновешиваются,
то мы применим начало возможных перемещений. Количества
движения точки т должны умножаться на возможные для
этой точки перемещения, и общая сумма таких произведений
для всей системы должна быть равна нулю. До после удара,
т. е. с введением новой связи, возможными перемещениями
оказываются те, которые дозволяются новой связью; этому
условию удовлетворяют те бесконечно малые перемещения,
которые получатся в действительности после
удара Так как скорости после удара будут и', v', о/, то,
называя элемент времени через dt, получим такие действи-
действительные перемещения точки w
u'dt, v'dt, w'dt i).
Их нужно ввести в качестве дозволенных перемещений. Сле-
Следовательно, уравнение равновесия потерянных количеств дви-
2) Если мы возьмем скорости до удара и, v, w, то соответствую-
соответствующие им бесконечно малые перемещения и dt, v dt, w dt не будут отно-
относиться к числу возможных, дозволяемых новой связью, и потому не
годятся для нашего уравнения, которое выражает равновесие коли-
количеств движения, потерянных во время удара.

ПОТЕРЯ ЖИВОЙ СИЛЫ ПРИ УД\РР. ТЬОРЕМЛ КАРНО 315
жения, даваемое началом возможных перемещений, будет:
2W К" ~ e') u'dt + (v — v') v'dt + (™ — и»') «>'<#]} = 0.A03)
Живая сила до удара определяется суммой
а после удара она равна
-g-2 «(я'»+ «>'* +да'»);
следовательно, живая сила, потерянная при ударе, будет:
Т = у ]Г га («2 + V* + да3) — ~]£ от (а'3 + г»'2 -\- ™'2)- A04)
Но из уравнения A03), сокращая на di, попучим.
0 = 2 т {аи' -J- от' + ffi'ffiF') — 2 »»(м'2 + г''2 + 'и''а)
Последнее уравнение вычтем из A04); получим-
т=1
2 m (аа' ~Ь vv'
что легко преобразовать в такую форму.
Это выражение и представляет теорему Карно. Оказыва-
Оказывается, что Г всегда положительно, т. е. при ударе всегда
теряется живая сила. Последнее уравнение указывает и
величину этой потери. Так как и — и', v — v' и w — w' оз-
означают, в проекциях на координатные оси, величины скоростей,
потерянных при ударе, то
•i-2 m Ke — и
есть живая сила, вычисленная для потерянных скоростей.
Итак, по теореме Карно имеем:
Живая сила, потерянная при ударе, полу-
получится, если вычислим живую силу системы,
отвечающую потерян ным скоростям.

316 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
Эта теорема имеет многочисленные приложения при изу-
изучении движения машин. Потеря живой силы, с практической
точки зрения, означает денежный расход, который нужно
стараться, по возможности, уменьшить. Поэтому всегда тща-
тщательно изучают эту потерю и следят за нею.
В особенности часто приходится применя гь теорему Карно
в гидравлике, где постоянно встречаются удчры струй воды
между собою или удары воды о лопатки, ковши колес и т. д.
В курсах гидравлики теорему о потере живой силы при ударе
обыкновенно называют теоремой Борда, и даже нередко ав-
авторы этих курсов утверждают, что теорема Борда есть не-
нечто отличное от теоремы Карно и требующее особого дока-
доказательства. Но, рассматривая приводимые этими авторами
доказательства, мы видим, что они только повторяют тот
ход рассуждений, путем которого мы пришли к теореме
Карно.
Следствие. Представим себе, что мы с помощью внеш-
внешнего приложенно! о удчра приводим в движение твердое тело,
находящееся в покое. Если это тело свободно, то вся работа
удара пойдет на сообщение телу живой силы. Если же тело свя-
связано, то произойдет удар между телом и связью, следовательно,
будет потерч живой силы; поэтому при той же величине
удара сообщенная живая сила будет меньше, чем в случае
свободного тепа. Итак, при данной величине удара наиболь-
наибольшая живая сила получится для того случая, когда тело со-
совершенно свободно.
Но свободное тело вследствие удара К (фиг. 177) по-
получит вращение около оси О, положение которой определя-
определяется правилами, которые мы излагали в § 133, говоря о
центре удара. Эту ось мы назвали свободной осью для
случая удара К', все прочие оси будут насил ь ст в ен н ые,
и для получения вращения около них требуется поддержка
опор, связь. Мы видим, что свободная ось обладает следую-
следующим свойством: при вращении около нее получается наиболь-
наибольшая живая сила.
142. Взрывы. Мы определили взрыв как внезапное унич-
уничтожение связи в системе. Результатом его получается увели-
увеличение свободы движения. Некоторые перемещения, которые
не дозволялись связью, после уничтожения ее оказываются
возможными. Вследствие взрыва всегда получается увеличение

взрывы 317
жрзой силы системы, и значение этого увеличения определя-
определяется те ремой, вполне сходной с предыдущей теоремой Карно,
а имеиго.
Живая сила, приобретенная при взрыве, по-
получится, если вычислить живую силу системы,
отвечающую приобретенным скоростям.
Под названием «приобретенная скорость» нужно подразу-
подразумевать разность между скоростью после взрыва и скоростью
до взрыва, т. е. при прежних наших обозначениях разности:
и' — и, v' — v, w' — w, здесь и, v, w — скорости до взрыва,
a', v', w' — скорости после взрыва.
Теорема эта доказывается совершенно аналогично преды-
предыдущей теореме Карно, так что придется повторить все преж-
прежние рассуждения. Начинаем с видоизмененного начала Далам-
бера, которое относится ко всем случаям мгновенных сил, а
следовательно, и к взрывам. Нужно написать условие равно-
равновесия количеств движения, потерянных при действии мгновен-
мгновенных сил, т. е. величин т(и — и'), m{v—v'), m(w — w').
Но в случае взрыва возможные перемещения будут дру-
другие, чем при ударе. Здесь нужно взять те перемещения, ко-
которые были возможны до взрыва, т. е. до уничтожения связи.
В этом можно убедиться следующим рассуждением: мы при-
применяем начало возможных перемещений с той целью, чтобы
исключить из уравнения неизвестные мгновенные силы, раз-
развивающиеся при взрыве; но для этого нужно взять непременно
те перемещения, которые были дозволены до разрушения
связи, когда точки приложения двух взаимных мгновенных
сил имели одинаковые перемещения. После взрыва эти пе-
перемещения могут быть неодинаковы для двух взаимных сил,
и такие перемещения не годят-
годятся для исключений неизвест- г-—— j _ п, ?
ных мгновенных сил. "S' Т . " i
Для примера рассмотрим раз- 6
рыв какого-нибудь стержня в фиг# 136-
машине; по сечению аЪ он раз-
разделяется на две части / и 2 (фиг. 186). В месте разрыва по-
появляются две равные и прямо противоположные силы Р, Р'.
До разрыва точки приложения их имеют одинаковые переме-
перемещения, и сумма работ сил для этих перемещений равна нулю.
Но этого не будет после разрыва.

318 УДАР И МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ
Итак, составляя условие равновесия потерянных количеств
движения, мы должны взять те перемещения, которые были
возможны до взрыва, т. е. udt, -vdt, wdt; тогда вместо преж-
прежнего уравнения равновесия A03) получим следующее:
2т[{и — и') и dt-{-{v — v') vdt-\-{w — w')wdt] = 0. A05)
Живой силой, приобретенной при взрыве, будет разность
окончательной и начальной живой силы, т. е.
Прибавим к правой части последнего равенства выражение
A05), сокращенное на dt; получим:
— 2 tn (аи' -J- vv' -j- turn'),
а это простым преобразованием приводится к виду:
[{и' — й)з + К — fJ-f (да' — w)% A06)
в котором и заключается указанная общая теорема о взрывах.
Действительно, формула A06) указывает, что Т всегда поло-
положительно, т, е. всегда есть выигрыш живой силы: величи-
величина этого выигрыша определяется вычислением живой силы для
скоростей, приобретенных при взрыве.
143. Примеры. Кроме взрыва гранат и, вообще, действия
взрывчатых веществ, укажем еще на следующие явления,
входящие в категорию взрыва по данному нами опре-
определению:
а) На подъемной машине, стоящей колесами на рельсах,
поднят цепью тяжелый груз. Вдруг цепь разрывается по не-
недостатку прочности, или мы нарочно особым приспособлением
быстро уничтожаем соединение груза с цепью (это делается
при опускании в море тяжелых бетонных массивов, из кото-
которых строят набережные, молы, брекватеры и другие примор-
приморские сооружения). При таком быстром разрыве или разъеди-
разъединении цепи подъемная машина подпрыгивает над рельсани

ПРИМЕРЫ 319
затем, падая вниз, может поломать свои колеса. Для устра-
устранения этого колеса нужно делать стальными и очень прочными,
б) Мы имеем машину для пробы прочности металлов и
производим на ней растяжение и разрыв брусков. Если испы-
испытываемый материал не пластичен (чугун, инструментальная
сталь), то разрыв бруска происходит мгновенно, что пред-
представляет явление взрыва. При этом иногда расстраиваются
соединения частей машины, соскакивают болты, муфты,
кольца и т. д.

СЕМНАДЦАТАЯ БЕСЕДА
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
144. Модели, или образцы. Часто случается, что вопросы
динамики пли математической физики, различающиеся между
собою по существу, приводят к уравнениям, совершенно оди-
одинаковым по виду. Аналитическая форма уравнений оказы-
оказывается одинаковой для двух и более вопросов, хотя буквы,
входящие в члены уравнений, изображают в этих вопросах
совершенно различные, часто неоднородные величины. Такое
формальное сходство позволяет применять одинаковые мате-
математические приемы для интегрирования н разрешения урав-
уравнений; мы пользуемся решением, полученным для одного
вопроса, и применяем его для других, изображающихся та-
такими же уравнениями. Один вопрос служит моделью, или
образцом, для нескольких других; мы можем прямо списать
готовое уже решение, находя совершенно излишним вновь
повторять все прежние выкладки и выводы.
Такие случаи сходства довольно часты, и на это не всегда
обращают должное внимание в курсах по прикладной меха-
механике. Вместо того чтобы ограничиться ссылкой на давно
известный образец и взять готовое решение, разбирают во-
вопрос вновь и совершенно самостоятельно, без всякой связи
с другими.
. Мы укажем на некоторые типы, встречающиеся чаще
других.
145. Первый тип: равноускоренное движение. Равноуско-
Равноускоренное движение встречается в массе вопросов. Оно может
быть прямолинейным или криволинейным; можно говорить
о движении точки или о движении тела; при поступательном
движении мы говорим о линейной скорости, а при вращатель-
вращательном— об угловой скорости, но и те и другие движения

ПАДЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА, СНАБЖЕННОГО ПАРАШЮТОМ 321
могут быть равноускоренными; в § 119 мы имели пример
равноускоренного движения по винту. Но во всех этих слу-
случаях формулы получаются одинаковые, — это известные фор-
формулы падения тяжелых тел.
146. Второй тип: вертикальное падение тяжелого те та,
снабженного парашютом. На это тело действуют вес и со-
сопротивление воздуха; последнее будем считать пропорциональ-
пропорциональным квадрату скорости. Ускорение силы тяжести назовем g,
а для ускорения, производимого сопротивлением воздуха, при-
примем обозначение: и3
где v—скорость, k—коэффициент, определенный опытом.
Так как эти два ускорения противоположны одно другому,
то полное ускорение, направленное вниз, будет равно
Но, с другой стороны, полное ускорение в прямолинейном
движении, по самому определению понятия об ускорении,
есть производная скорости по времени, следовательно, имеем:
7t=s-e#' A07)
Последнее уравнение легко интегрируется, так как перемен-
переменные v и t в нем разделены; притом в левой части равенства
приходится интегрировать очень простую дробную функцию,
а интеграл правой части будет:
Произведем интегрирование, а произвольную постоянную
определим по условиям, относящимся к началу движения,
принимая начальную скорость равной нулю, т. е. имеем
условие: при t = Q v = 0.
Результатом интегрирования будет уравнение
21 В. Л. Кирпиче»
, k + v_2gt
III ~ • / ■
k — v к '

322 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
а переходя от логарифмов к степенным функциям, найдем:
ek+l
Если путь, пройденный за время t от начала движения, на-
назовем s, то скорость v будет равна:
ds
V==di-
Подставляя это выражение в уравнение A08), получаем зави-
зависимость между ds и dt; полученное уравнение в виде
г? _ ё
ds ,еч е к
dt в* _gj
легко интегрируется, и мы получаем:
к*.
=r— In
g
Таким образом, вопрос вполне решен.
Полагая в уравнении A08) t=oo, получаем v = k, т. е.
коэффициент k представляет предел, к которому стремится
скорость движения с увеличением времени. Приблизительное
значение этой предельной величины легко находится на
опыте, так как уже по прошествии не очень большого вре-
времени движение делается почти равномерным; скорость этого
равномерного движения и может быть принята за .величину
коэффициента k. Это самый простой прием для нахождения
коэффициента сопротивления воздуха.
147. Примеры. Изложенная простая задача (решенная еще
Ньютоном, в «Началах», но в другой форме) служит типом
для многих вопросов прикладной механики; мы приведем два
примера.
1. Крылач. В часах и других приборах нередко приме-
применяют приспособление для получения равномерного движения,
состоящее из нескольких быстро вращающихся крыльев, ко-

ПРИМЕРЫ
323
торые встречают при своем движении значительное сопротив-
сопротивление воздуха. Упрощенный прибор этого рода изображен
на фиг. 187. Здесь А— барабан, приводимый во вращение
грузом В; на оси барабана сидят крылья С, С.
Так как здесь имеем вращение около неподвижной оси,
то нужно брать моменты сил около этой оси. Сумма момен-
моментов внешних сил и сил инерции
должна быть равна нулю. Из
внешних сил моменты дают вес
груза В и сопротивление воздуха
на крылья С; трением пренебре-
пренебрегаем.
Если г есть радиус барабана,
то момент груза В будет равен
его весу р, умноженному на г.
Величина сопротивления воздуха
пропорциональна квадрату скоро-
скорости крыльев; если назовем скорость опускающегося груза В
через v, то скорость крыльев может быть принята равной
vR
•—[R — длина крыла); сопротивление будет равно
kv2 ~y
(k — коэффициент, определяемый опытом). Момент сопротив-
сопротивления воздуха получится умножением этого сопротивления
на плечо /?, причем произведение следует взять со знаком
минус.
Далее, сила инерции опускающегося груза В будет равна
. dv
Фиг. 187.
а ее момент
dv
Момент сил инерции всех вращающихся частей будет от-
отрицательный и измеряется произведением углового ускорения
на момент инерции J этих частей относительно оси вращения.
Угловое же ускорение получится, если разделить линейное
ускорение окружности барабана на его радиус г, следовательно,
21*

824
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
угловое ускорение будет равно
1 dv
г df
Соединяя все эти моменты, получим уравнение
, , R2 r, dv Idv . п
Обращая главное внимание на переменные величины, мы
можем написать последнее уравнение в форме:
где А и В—постоянные. Таким обозначением мы привели
наше уравнение к совершенному формальному согласию
с уравнением A07) предыду-
предыдущего параграфа и, следователь-
следовательно, можем воспользоваться пре-
предыдущим решением, сделав
только замену букв.
2. Движение парово-
паровоза вниз по уклону, ког-
когда закрыт впуск пара
в цилиндры. В этом случае
движущей силой является та слагающая веса поезда, которая
идет параллельно уклону (фиг. 188). Назовем синус угла
уклона а через i, вес паровоза с тендером через Р, а вес
всех вагонов через Q; движущая сила равна
P+Q
Фиг. 188.
Опыты показывают, что сопротивление движению вагона может
бытьпринято пропорциональным весу его, и на 1 /я поезда равно
где V—скорость движения, jx, X — коэффициенты. Подобная
же формула представляет и сопротивление паровоза с тенде-
тендером, но коэффициенты >х, ). должны быть заменены другими,
которые назовем \ilt Xx. Итак, сопротивление вагонов будет равно

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДЕНЖЕНИЬ 325
а паровоза с тендером —
F
Масса всего поезда равна
P+Q
g '
а ускорение его изображается производной скорости —,
Следовательно, уравнением движения будет:
1 dV
Опять, обращая главное внимание на переменные величины,
видим, что это уравнение имеет форму:
(А, В — постоянные), следовательно, мы пришли к прежнему
типу и можем воспользоваться прежним решением.
Наблюдение за движением поезда вниз по уклону пред-
представляет один из способов изучения сопротивления поезда
движению.
При этом, пользуясь приведенным нами решением, можно
найти коэффициенты 1, \i, 1г, ц1.
148. Третий тип: гармоническое движение. Простейший
случай этого типа получается, когда материальная точка т
(фиг. 189) движется по прямой линии
Ох под действием притяжения к не- § h* . Р — г
подвижному центру О, если сила ^ ___j
притяжения прямо пропорциональна
расстоянию между массой т и при- Фиг. 189.
тягивающим центром.
Пусть масса движущейся точки есть т, а величину силы
притяжения обозначим через kx. Она направлена прямо про-
противоположно координате х, следовательно, ускорение по на-
направлению положительной оси х будет равно
kx
т '
Приравнивая эту проекцию общему выражению для ускоре-
d2x
ния в прямолинейном движении, т. е. -^, получим уравне-
22 В. Л. Кирпичев

326 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ние движения
d2x kx
~Ш ~т '
или
^_|-ла* = 0| A09)
где величина — обозначена в форме квадрата /г2, с целью
отметить, что эта величина положительная.
Уравнение движения A09) здесь оказывается одним из
самых простых случаев линейных дифференциальных уравне-
уравнений. Оно, как известно, интегрируется при помощи тригоно-
тригонометрических функций.
Общий интеграл этого уравнения должен содержать две
произвольные постоянные, так как уравнение это второго
порядка. Этот интеграл будет:
х = a cos [nt —«), A09а)
где а, а. — произвольные постоянные. Нетрудно проверкой
убедиться, что он удовлетворяет уравнению A09).
Скорость движения будет равна:
^— — nasin{nt — a). A10)
Для определения произвольных постоянных нужно знать
начальные данные движения, т. е. величину отклонения х и
dx
скорости —г, нашей массы для того мгновения, которое счи-
считаем началом времен. Примем за начальное положение то,
при котором масса т находится на наибольшем удалении от
центра; в этом положении скорость движения равна нулю;
следовательно, формула (ПО) должна для £ = 0 дать
dx
т. е. .
— «a sin (— а) = 0.
Отсюда заключаем, что произвольная постоянная а должна
равняться нулю. Тогда для х получаем:
х — a cosnt, (HI)

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
327
и при ^ = 0 имеем:
= а,
т. е. другая произвольная постоянная представляет наиболь-
наибольшее отклонение массы т от центра.
Из формулы A11) ясно, что движение массы т будет
колебанием около центра О; масса будет отклоняться по обе
стороны центра на величину + а, т. е. а представляет амп-
амплитуду колебаний. Полный период колебания соответствует
полному периоду тригонометрической функции, т. е. 2тт.
Называя время полного (двойного) колебания через Т, получим:
A11а)
m
Геометрический вывод. Все предыдущие формулы
для гармонического движения можно получить также и дру-
другим, элементарным, спосо-
способом, основываясь на том,
что это движение можно
рассматривать как проек-
проекцию равномерного движе-
движения по кругу на диаметр
этого круга. Действитель-
Действительно, если масса m движется
равномерно по кругу ради-
радиуса г (фиг. 190), то уско-
ускорение движения направ-
направлено к центру и равно
«г Фиг. 190.
— (v — скорость движе-
движения). Следовательно, сила, которая сообщает такое движение,
тоже направлена к центру и равна —-. Проекция ее на диа-
диаметр АС будет равна:
cos a = —- — =
mv2
Эта проекция пропорциональна х, следовательно, закон изме-
изменения силы такой же, как заданный для гармонического дви-
движения. Игак, все явления гармонического движения можно
получить, рассматривая проекцию кругового равномерного
22*

328
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
движения. Диаметр круга представляет амплитуду колебания;
величина -у заменяет коэффициент к; следовательно,
i= /1- <'<*>
Время одного колебания Т будет равно времени кругового
оборота, т. е. —, а это попрежнему равно
2тт
/!■
Тип гармонического колебания встречается во
множестве случаев движения. Сюда относятся, во-первых, все
упругие колебания систем, име-
,=-—' ющих одну степень свободы.
-=—--=. Например:
^^S=- • 1 1. Масса от (фиг. 191) ка-
качается на упругой пружине ab
(массой пружины пренебрегаем).
2. Колебания массы m на
винтовой пружине (фиг. 192)
(опять пренебрегаем массой пру-
пружины).
3. Крутильные колебания
тела А на проволоке аЪ (фиг.
193); тело вращается около оси
ab, закручивая и раскручивая
проволоку в ту и другую сторо-
сторону. Сопротивление проволоки
кручению дает момент, стремя-
Фиг. 192. щийся восстановить первона-
первоначальную форму; этот момент
пропорционален углу закручивания х\ назовем его kx\ он дол-
должен быть взят со знаком минус, так как направлен противо-
противоположно увеличению х.
Так как здесь имеем вращательное движение около оси,
то нужно написать, что момент силы — kx уравновешивает
момент силы инерции; а этот последний равен произведению
d2x
из углового ускорения —j на момент инерции / нашего тела А

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
329
относительно оси (мы пренебрегаем массой самой скручи-
скручиваемой проволоки). Таким образом получаем уравнение дви-
движения:
,d*x ,
J di? — ~
(ИЗ)
Оно согласуется с A09); только теперь х представляет не
линейное отклонение, а угол. Вместо прежней массы т теперь
появился момент инерции, который, как мы это видели уже
несколько раз, во вращательном движении играет ту же роль
о
3-L.
Фиг. 193.
Фиг. 194,
как масса при движении материальной точки и при поступа-
поступательном движении твердого тела.
4. Такое же уравнение, как (ИЗ), получим и для коле-
колебаний балансира карманных часов (фиг. 194).
5. Колебания более сложных упругих систем, имеющих
не одну, а несколько степеней свободы, могут быть подве-
подведены под тот же гармонический тип. Для этого нужно ввести
так называемые нормальные колебания.
6. Колебания маятника при небольших размахах его тоже
будут гармонические. Возьмем сначала простой маятник (фиг.
195); точка О служит центром, к которому тяжесть стремится
вернуть массу т, подвешенную на ниги длины /. Здесь воз-
возвращающая сила есть та слагающая веса, которая направлена
по касательной; она равна произведению из веса р качаю-
качающейся точки на синус угла отклонения. При малых отклоне-

330 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ниях синус можно заменить углом; тогда сила по касатель-
касательной буди? равна
рл.
Она пропорциональна углу а, т. е. пропорциональна отклоне-
отклонению От, которое назовем х, а силу обозначим kx, так что
к— I ■
Ускорение по касательной получится делением силы на
массу т; его нужно взять с минусом, так как сила идет про-
противоположно направлению увеличения х. Итак, это ускоре-
ускорение будет равно
kx
т '
Но мы имеем общее выражение для ускорения по касатель-
касательной в криволинейном движении
<Рх_
dt? '
Приравнивая эти два выражения, получаем:
d?x_ k_
dfi~~ тХщ
Это уравнение согласно с A09); но здесь движение не пря-
прямолинейное, а криволинейное, и х не прямолинейный отрезок,
а дуга. Следовательно, период колебания по A11 а) будет равен
так как
k = ~ .
7. Что касается сложного маятника, то мы уже
знаем, как подвести его движение под тип простого маят-
маятника (§ 35).
При этом длину / надо заменить величиной -д- , так что
время качания сложного маятника определяется формулой
7 = 2

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 331
где J — момент инерции тела относительно оси вращения О
(фиг. 62), М—масса тела, а — расстояние центра тяжести
от оси вращения. Поэтому, если заставим тело качаться
около оси О и найдём время качания Т, то можем опреде-
определить момент инерции J около оси вращения. Применение
этого приема возможно только для осей, не проходящих че-
через центр тяжести. Но, найдя момент инерции для оси О, не
проходящей через центр тяжести, мы сейчас же можем вычис-
вычислить момент инерции для параллельной ей оси, проведенной
через центр тяжести. Для этого послужит уравнение B5) § 50.
Вместо того чтобы для определения момента инерции
каждого исследуемого тела приделывать к нему ось качания,
удобнее организовать опыты в следующей форме. Имеется
готовый прибор, состоящий из некоторого постоянного маят-
маятника, время качания которого и его момент инерции заранее
определены. К этому маятнику могут быть прикреплены те
тела, момент инерции которых требуется найти. Вследствие
прикрепления тела к маятнику время качания будет отлич-
отличное от первоначального. Опыт даст нам сумму моментов
инерции первоначального прибора и прикрепленного к нему
тела, а так как момент инерции прибора известен, то вычи-
вычитанием найдем момент инерции прикрепленного тела.
Укрепляя это тело в приборе в разных положениях, мо-
можем найти моменты инерции его для разных осей.
Эллипсоид инерции тела будет вполне известен, если мы
найдем шесть коэффициентов уравнения B7) § 50, т. е. Jx,
Jr 7г, Dyt, Dzx, DX},.
Для этого нужно сделать шесть опытов, заставляя тело
качаться около шести различных осей и определяя для каж-
каждой из них моменты инерции. Вставляя в уравнение B7) ве-
величину момента инерции и соответствующие значения углов
оси а, E, y, мы получим по одному уравнению для каждого
опыта. Всего будет шесть уравнений, из которых найдем
шесть величин Jx, Jy, Jz, Dyz, Dzx, Dxy.
Для тел вращения достаточно найти момент инерции от-
относительно двух осей: оси фигуры и оси, к ней перпендику-
перпендикулярной. Этим определяется эллипсоид инерции.
Определив положение эллипсоида инерции в теле, мы
будем знать положение главных осей тела. Следовательно,
вышеизложенное дает способ для нахождения главной оси

332
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
тела, т. е. решает задачу, часто встречающуюся при изго-
изготовлении быстро вращающихся частей машин. Но это реше-
решение очень неудобно для практического применения, и им
никогда не пользуются. Взамен того на заводах производят
уравновешивание вращающихся частей так, как это описано
у нас в % 52.
8. Небольшие колебания су-
судов на спокойной поверхности моря
(фиг. 196) также подходят под test—
гармонический тип. Щ^ '
L
Фиг." 196.
Фиг. 197.
9. Наконец, укажем на те колебания столба воды в со-
сообщающихся сосудах (фиг. 197), которые происходят при
нарушении равновесия. Если пренебрежем трением, то малые
колебания будут гармонические. Этот вопрос рассматривается
Ньютоном в «Началах» с приложением к волнообразному дви-
движению.
14Э.тГармоническое движение в машинах. Очень распро-
распространено следующее преобразование движения, называемое
О С
Фиг. 198.
кривошипным механизмом (фиг. 198). Кривошип г вращается
равномерно около центра О и посредством шатуна I сооб-
сообщает прямолинейное попеременное движение ползуну и сое-
соединенному с ним телу В. Это прямолинейное движение
приблизительно можно считать гармоническим. Сходство по-

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В МАШИНАХ
333
лучается очень близкое, если длина шатуна /в пять и более
раз превышает длину кривошипа; тогда движение ползуна
будет очень мало отличаться от движения точки С", т. е.
проекции пуговки кривошипа С, а мы видели, что проекция
С" имеет гармоническое движение.
Кривошипный механизм применяется в паровых, газовых
машинах, насосах и т. д. как для поршней, так ц для золот-
золотников.
Популярное построение, называемое диаграммой Цейнера,
служащее для изображения движения золотника, есть не что
иное, как построение гармони-
гармонического движения,. а именно,
формулы
x = acos {nt— a).
Оно состоит в следующем
(фиг. 199): откладываем угол
у О А, равный а, и на луче О А'
засекаем отрезок ОА, рав-
равный а. Затем строим круг на
ОА как на диаметре. Вели-
Величины nt представляются угла-
углами, образуемыми переменны-
переменными лучами ОВ, ОВ', ОВ"
с осью Оу. Так как угол
ОВА вписан над диаметром, то он прямой; следовательно:
ОВ = О А • cos /_ АОВ = a cos {nt — a).
Итак, величины х представляются хордами ОВ, ОВ',
ОВ",... нашей диаграммы 1).
Часто применяются двойные золотники; каждый из
них движется особым кривошипным механизмом, следовательно,
они получают перемещения:
x = a cos {nt—a),
xl = a1zos {nt — а').
Фиг. 199.
!) Та же диаграмма может представить величины функции
as\n(nt-{-<i)\ для этого послужат те же лучи ОВ, ОВ',.. но углы nt
придется отсчитывать от оси Ох в сторону, противоположную дви-
движению часовой стрелки.

334 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Один золотник скользит по другому, и относительное
перемещение их определяет открывание и закрывание окошек,
впускающих и выпускающих пар. Для нахождения такого
относительного перемещения нужно знать сумму или раз-
разность перемещений A:-}-*! или х — х1. Цейнер дал прием
для построения этих величин; результат такого движения,
вызываемого двумя кривошипными механизмами, он изобра-
изображает с помощью одного фиктивного кривошипного механизма,
для которого строит диаграмму по прежнему правилу. Чтобы
получить сумму х-\-х^, нужно посту-
поступить следующим образом (фиг. 200):
откладываем угол уОА — аи длину
ОЛ = а. То же делаем и для дру-
другого механизма; для него угол
уОА' = а' и длина OA' = av. Затем
строим параллелограм на сторонах ОА
и ОА'. Получаем диагональ парал-
лелогEама ОВ, на которой как на
~* диаметре нужно построить круг. Хор-
Хорды ОВ", ОВ', ОВ этого круга дают
искомые величины х-\-хь если nt
представляется углами уОВ", уОВ',
уОВ. Действительно, проекции ОА и ОА' на ОВ' равны х
и хъ а сумма этих проекций должна равняться проекции диаго-
диагонали ОВ, т. е. ОВ', так как угол ОВ'В прямой.
Очевидно, это построение есть не что иное, как извест-
известное и постоянно применяемое в теории света построение
Френеля для сложения двух гармонических колебаний, раз-
различающихся амплитудами а, ах и фазами а, а'.
Таким образом мы видим, что в двух совершенно раз-
различных областях науки применяются одинаковые построения.
Такое сходство решений вызывается тем обстоятельством,
что и в теории света, и в кривошипном механизме мы
имеем дело с гармоническим колебанием.
150. Четвертый тип: колебания, когда действует сопро-
сопротивление, пропорциональное скорости. Возьмем гармониче-
гармоническое движение, разобранное в § 148, и дополним его тем,
что кроме силы — kx, стремящейся вернуть точку т в центр О,
введем еще сопротивление, величина которого пропорциональна
величине скорости. Сила сопротивления всегда направлена

КОЛЕБАНИЯ, КОГДА ДЕЙСТВУЕТ СОПРОТИВЛЕНИЕ 335
противоположно скорости. Поэтому сила этого рода может
быть представлена в уравнении движения членом, имеющим
форму:
, dx
где h — постоянный коэффициент, а множитель— — изображает
(It
величину, всегда равную и противоположную скорости.
Ускорение, вызываемое сопротивлением, найдется делением
силы на массу т и будет равно
h_dx
Indt '
Уравнение движения будет отличаться от уравнения A09)
этим дополнительным членом. Мы получим:
d?x k h dx
k
Попрежнему обозначим — через /г2, а для обозначения част-
частного — введем букву /. Получим следующее уравнение дви-
движения:
dzx , ,dx I , л
+?+пх0 A15>
Оно, так же как и прежнее A09), относится к разряду
линейных дифференциальных уравнений и интегрируется при
помощи давно известных приемов.
Мы прямо приведем интеграл этого уравнения: правиль-
правильность его желающие могут проверить подстановкой в A15);
общность же решения указывается тем, что интеграл
содержит две произвольные постоянные. Найдем величину
которую обозначим через п.'. Обыкновенно сила сопротив-
сопротивления невелика, и величина l\ifz значительно меньше, чем я2.
Тогда радикал, обозначенный буквою п', вещественный.

336 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Рассмотрим этот случай; для него мы имеем решение:
-In
х — ае 2 cos {n't — a).
Это решение отличается от A09а), полученного при отсут-
отсутствии трения, только тем, что вместо постоянной амплитуды
а появился множитель
ае 2 ,
постепенно убывающий с течением времени. -Следовательно,
это движение можно рассматривать как периодическое коле-
колебание с постепенно уменьшающейся амплитудой; колебания
понемногу затухают вследствие трения. Период колебаний
попрежнему определяется периодом косинуса, следовательно,
время двойного колебания получится из A11а) заменой
буквы п величиной п'. Итак, период будет равен1):
т,_2я
, ' —7?'
В большинстве случаев, с которыми приходится иметь
дело, сопротивление невелико, и значение и', которое равно
Vn2 — 1Uf2, очень мало отличается от п. Тогда мы можем
принять, что период Т равен —, т. е. малое сопротивле-
сопротивление не изменяет периода колебаний.
Случай, когда сопротивление настолько велико, что п'
делается мнимым, мы не будем разбирать.
Рассмотренный тип представляет явления многих колеба-
колебательных движений.
1. Сюда относятся колебания маятника, который встре-
встречает при своем движении сопротивление воздуха.
2. Сюда относятся различные упругие и другие колеба-
колебания, упомянутые в § 148; там мы предполагали отсутствие
сопротивлений, но в действительности такие сопротивления
всегда будут, а потому колебания постепенно затухают.
3. Те же уравнения представляют колебания магнитной
стрелки в обыкновенном гальванометре или колебания по-
подвижной рамки с обмоткой в гальванометре Депре-Дарсонваля
и тому подобные колебания в приборах для электрических
!) Величина -^-fT' называется логарифмическим декрементом.

КОЛЕБАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ ПАРОВЫХ , МАШИН ЗЗ7
измерений. Здесь появляются сопротивление воздуха и сопро-
сопротивление, представляемое тушителем колебаний (демпфером);
обе эти силы пропорциональны скорости. Возьмем, например,
гальванометр Депре-Дарсонваля. Рамка при колебаниях пово-
поворачивается около вертикальной оси; угол поворота от поло-
положения равновесия назовем х\ тогда угловая скорость будет —,
d^x
а угловое ускорение -~т-г. На рамку действует сила, стре-
стремящаяся установить ее в равновесном положении; эта сила
пропорциональна углу х; ее момент обозначим kx. Сопро-
Сопротивление воздуха и сопротивление вследствие токов, индуци-
индуцирующихся при колебании в магнитном поле прибора, оба
пропорциональны угловой скорости; величины моментов этих
j.dx их
сил назовем /-- и g -т .
Наконец, момент сил инерции, получающихся при вра-
вращении, равен произведению из углового ускорения на момент
d?x
инерции вращающегося тела, т. е. J-тл- Принимая во вни-
внимание направление этих моментов, получим уравнение дви-
движения:
,dzx , ., . ч dx
т. е. прежний тип.
151. Колебания регуляторов паровых машин. Если мы
рассмотрим собственные колебания такого регулятора1),
то придем к тому же типу затухающих колебаний.
Чтобы не усложнять вопрос обстоятельствами, происходящими
вследствие большей или меньшей сложности конструкции
регулятора, мы возьмем самый простой регулятор, а именно,
регулятор Штранда. Это одна из более новых конструкций;
судя по имеющимся в литературе данным, регулятор этот
действует хорошо.
Он относится к разряду маховичных регуляторов,
т. е. вращается рядом с маховиком на главном валу машины.
Схема (фиг. 201) изображает этот вал А и заклиненное на
!) То-есть колебания регулятора, отцепленного от регулируемого
прибора.

338
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
нем колесо В. На последнем расположен регулятор D, ко-
который вращается вместе с колесом и может, кроме того,
скользить по диаметру колеса, направляясь особыми высту-
выступами С, С, отлитыми за одно целое с колесом В. Регулиру-
Регулирующим прибором служит эксцентрик D; регулирование состоит
в том, что увеличивается или уменьшается эксцентриситет
этого эксцентрика относительно оси вала А; при изменении
эксцентриситета изменяется ход золотника, распределяющего
пар, и тем усиливается или ослабляется действие пара в
машине.
Действие регулятора заключается в следующем: центро-
центробежная сила скользящего регулятора отбрасывает его по
J '
л
f
-9:
h
Фиг. 201.
Фиг. 202.
диаметру колеса В; этому сопротивляется пружина Е, кото-
которая стремится вернуть скользящую часть в ее среднее,
центральное положение: давление пружины пропорционально
отклонению регулятора от его центрального положения. Для
быстрого тушения колебаний введен катаракт F; этот неболь-
небольшой прибор, изображенный с большими подробностями
отдельно на фиг. 202, предназначен для произведения трения,
пропорционального скорости движения; для этого нужно
ввести трение жидкости. Катаракт состоит из цилиндра /,
наполненного маслом, с поршнем g; сообщение полостей,
приходящихся с двух сторон поршня, производится трубоч-
трубочкой // с краном т. Масло, проходя со стороны h на сто-
сторону k, испытывает трение в трубке //ив кране т, который
можно прикрывать более или менее для изменения трения;
это сопротивление можно считать пропорциональным скорости.

КОЛЕБАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ ПАРОВЫХ МАШИН 339
Рассмотрим относи тельное движение скользящего
регулятора по диаметру колеса для случая равномерного
вращения вала А. Это будет прямолинейное поступательное
движение некоторой массы т. На нее действуют следующие
силы: а) центробежная сила и упругость пружины Е; обе
они пропорциональны величине отклонения х центра тяжести
регулятора от центра вала х; совокупность их может быть
изображена одной силой, пропорциональной отклонению х и
стремящейся вернуть регулятор в его центральное положение,
предполагая, что сила упругости пружины больше центро-
центробежной; б) трение, вызываемое катарактом; оно пропорцио-
пропорционально скорости скользящего движения, т, е. производной
отклонения х:
dx
dt *
Итак, здесь имеются все черты того типа затухающих коле-
колебаний, который мы рассматриваем, и мы получаем прежнее
уравнение:
Сделаем замечание по поводу трения регуляторов. В при-
приведенной нами конструкции регулятора имеется катаракт,
вызывающий трение жидкости, которое пропорционально ско-
скорости движения. Мы уже видели, что действие этого трения
dx
изображается членом —h ~тг, который представляет силу,
всегда направленную в сторону, противоположную скорости
dx
-rr, т. е. силу, всегда противоположную движению.
Катаракт своим трением быстро тушит колебания, и по-
потому часто настоятельно рекомендуют применение его в ре-
регулирующих приборах. Но присутствие его не абсолютно не-
необходимо; и без катаракта имеется трение частей регулирую-
регулирующего прибора, которое тоже способствует тушению колебаний;
поэтому нередки регуляторы без катарактов. С динамической
точки зрения они отличаются от предыдущего тем, что в них
трение не будет пропорционально скорости; при плохой смазке
частей регулятора это будет трение твердых тел, которое
от скорости почти не зависит и может считаться постоянным.

340 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Это постоянное трение нужно ввести в уравнение A16) вместо
члена h -т?,
at
Но здесь необходимо озаботиться, чтобы вводимая в урав-
уравнение сила трения всегда шла противоположно движению.
Когда происходит та часть колебания, при которой х увели-
увеличивается, то трение должно итти в сторону уменьшения, т. е.
трение идет в ту же сторону, как и сила kx, стремящаяся вер-
вернуть колеблющееся тело в его центральное положение. Назы-
Называя величину трения буквою /, получим уравнение движения:
m
Но рассмотрим теперь ту часть колебания, когда масса m при-
приближается к своему центральному положению, т. е. когда х
уменьшается; тогда трение, как противоположное движению,
идет в сторону увеличения х, т. е. оно противоположно силе kx,
стремящейся вернуть массу в ее центральное положение. По-
Поэтому уравнение движения будет:
mg-/+b: = 0. A18)
Оно отличается от A17) знаком члена /.
Оказывается, что в случае постоянной величины трения
мы имеем дело с разрывной величиной, которая при перемене
направления движения сразу меняет свою величину с -J-/на
—/. Вследствие»такого разрыва нельзя составить одно урав-
уравнение, которое непрерывно представляет все явления колеба-
колебаний. Приходится иметь дело с двумя различными уравнени-
уравнениями A17) и A18), из которых одно относится к части коле-
колебания, когда движение идет в сторону увеличения х, а другое
нужно применять для той части колебания, когда движение
направлено в сторону уменьшения х. Имея два разных урав-
уравнения, получаем два различных интеграла, каждый с двумя
произвольными постоянными. Это значительно усложняет во-
вопрос; теперь нельзя получить общее аналитическое решение,
дающее величину перемещения х для всего времени движения,
до полного затухания колебаний. Приходится рассматривать
последовательно и особо каждое отдельное одиночное коле-
колебание и для каждого из них особо определять произвольные
постоянные.

КОЛЕБАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ ПАРОВЫХ МАШИН
341
Пусть О (фиг. 203) означает среднее, центральное, поло-
положение колеблющейся точки. Начинаем с крайнего положения А
и рассматриваем часть колебания АВ; к ней применимо \ рав-
равнение A17); нужно взять интеграл его к определить произ-
произвольные постоянные из данных, относящихся к точке А, т. е.
из условий, что здесь скорость равна нулю, а величина х
равна амплитуде ОА. Затем разбираем размах ВА'\ здесь при
движении х увеличивается, следовательно, нужно взять урав-
уравнение A18); произвольные
В В'В"
А" А1 А
Фиг. 203.
постоянные его определятся
по данным, относящимся к
точке В. Далее разбираем
размах А'В'; к нему приме-
применимо уравнение A17); произвольные постоянные интеграла нужно
определить вновь, по данным, относящимся к точке Л'. Потом
разбираем следующий размах В'А" и т. д. При этом оказывает-
ся> что велишны размахов уменьшаются, и когда скорость
обратится в нуль на таком расстоянии от центра О восста-
восстанавливающей силы kx, где ее величина меньше силы / трения,
то движение прекращается.
Такое усложнение, вызываемое тем, что трение не пред-
представляется непрерывной функцией, очень затрудняет решение,
а потому часто для облегчения прибегают к приблизительному
В
f
рассмотрению, состоящему в том, что разрывную величину
заменяют непрерывной. Такая замена представлена графически
на фиг. 204: вместо функции, которая графически изобра-
изображается разрывной линией ABcCDeEF, можно ввести непре-
непрерывную кривую Oabcdefg.

342 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В вопросах о трений постоянное трение +/ часто заме-
, dx
няют трением, пропорциональным скорости, т. е. h-тг, под-
подбирая величину h так, чтобы это трение, в среднем, как можно
меньше оглшалось от/. Такая замена в регуляторах и дру-
другие машинах допустима, в особенности при тщательной, обиль-
обильной смазке, которая не только уменьшает величину трения,
но, сверх того, приближает характер этой силы к трению жидких
тел, т. е. к закону пропорциональности первой степени ско-
скорости.
Все эти замечания о введении трения в уравнения движе-
движения имеют общее значение и относятся не только к регуля-
регуляторам, но и ко многим другим механизмам и физическим при-
приборам, в которых при колебательном движении действует
трение.
В первых работах относительно колебания регуляторов
паровых машин не было обращено внимание на то, что в слу-
случае постоянного трения мы имеем разрывную величину,
откуда следует необходимость рассматривать каждый размах
колебания отдельно и пользоваться двумя различными урав-
уравнениями A17) и A18). Оба эти уравнения соединяли в одно
и писали их в форме:
m^r±f+kx + z = 0*). A19)
Затем по ходу вывода требовалось найти третью пронз-
сРх
водную -ту для подстановки ее в другое уравнение вопроса
(в уравнение живых сил главного вала машины с маховиком).
Для нахождения этой величины дифференцировали уравнение
A19), причем ошибочно предполагали, что производная члена
;+;/, как производная постоянной величины, будет равна нулю.
3ihm путем трение совершенно исключалось и не попадало
в окончательное уравнение.
Один из важных выводов этой теории состоял в том, что
регуляторы, в коюрых действует только постоянное тре-
трение, неустойчивы, т. е. при изменениях движущей силы по-
получают значительные размахи, поаененно увеличивающиеся.
1) Здесь мы буквой z обозначили дополнительные члены, входя-
входящие то] ла, когда рассматриваются Солее сложные случаи действия
реплятора, чем разобранный нами.

принужденные (насильственные) колебания 343
Между тем, для правильного дейстпш регулятора необходимо,
чтобы начавшиеся колебания быстро потухали. Теория ука-
указывала, что такое потухание происходит, если трение пропор-
пропорционально скорости, т. е. имеет характер трения жидкости.
Отсюда выводилось заключение: для устойчивости регулятора
необходим катаракт.
Это заключение вызвало возражения со стороны инженеров
практиков; они указывали на существующие примеры ре-
регуляторов, которые оказывались устойчивыми, хотя не имели
катаракта. Некоторые на этом основании совсем отрицали
правильность указанной теории регуляторов.
Теперь мы знаем, что эта теория была вполне верна в своих
основаниях и сохраняет свое значение н в настоящее время.
Единственный недосмотр ее состоял в исключении члена +/'
при дифференцировании уравнения A19); при этом трение вовсе
как бы не существует, и без сомнения, регулятор без трепня
получается неустойчивым, так как нет силы, которая тушит
колебания.
Конечно, такое исключение члена +f с помощью дифферен-
дифференцирования математически неправильно; этот член не есть по-
постоянная величина, а разрывная функция. При сущее 1вовашш
такого трения вопрос не может бьпь разрешен так же, как
в случае непрерывных функций; мы уже показали, что в слу-
случае постоянного трения необходимо рассматривать отделы'о
каждый размах колебания.
152. Пятый тип: принужденные (нагичьетоенчые) Koie-
бания. Опять будем рассматривать прямолинейное колебаюль-
ное движение материальной точки, но ввезем еще дальней-
дальнейшее усложнение. Кроме а) силы — kx, стремящейся всепа
вернуть точку га в ее центральное положение, и б) силы со-
сопротивления — h -jr, пропорциональной скорости, введем eire
одну внешнюю силу, идущую, так же как и прочие силы,
по линии движения массы т. Пусть эта новая сила будет
переменная, гармонического типа, т. е. значение ее
определяется тригонометрической формулой
Е cos pt,
где Е, р — постоянные величины. Такая сила изменяется в пре-
пределах + Е, и период ее полного колебания определяется

344 динампчрскпе модели
периодом косинуса угла pt. Обозначая этот период через 7\,
получим:
Посмотрим, каково будет движение точки m под действием
такой периодической силы. Сила инерции материальной точки
будет, как прежде, —mTtr' Склавдвая все силы, в том
числе и силу инерции, и приравнивая сумму нулю, получим
уравнение движения:
сРх , , dx , „ , п
— m —^ — kx — п — -\~ Е cos pt = 0.
Деля на m и вводя обозначения
от ~п ' m~Jf m~~Cl>
получим уравнение:
ё+/^+я3*==£1СО8^- A20)
Опять имеем линейное дифференциальное уравнентге вто-
второю порядка, но теперь это уравнение содержит в правой
части своей вместо нуля величину Ercosp(.
Такие уравнения интегрируются при помощи давно извест-
известил* общих приемов.
Если мы найдем одно какое-нибудь частное решение хг
с)то"О уравнения, т. е. такую функцию времени, которая удов-
л с воряег уравнению A20), то общий инге1рал получи'си,
е\ /1! к хх прибавить выражение общего интеграла следующего
которое отличается от заданного A20) только тем, что в пра-
правой части его вчесю периодической силы стоит нуль. Мы
знакомы с этим уравнением A21); знаем, что оно представ-
представляет свободные затухающие колебания точки ж; выше мы уже
получили общий интеграл этого уравнения. Теперь для реше-

ПРИНУЖДЕННЫЕ (H\CIL11,CTBFHHU] ) К01ЕБЛНИЯ 345
ния нашего нового вопроса нужно прежний общий интеграл
прибавить к хг.
На этот результат нужно смотреть следующим образом: xt
означает движение, зависящее от периодической силы Е cos pt,
а кроме того, к этому движению присоединяются свободные
колебания, которые происходили бы в случае отсутствия пе-
периодической силы; эти последние колебания понемногу зату-
затухают.
Так как мы вполне изучили свободные колебания, то ос-
остается найти функцию, названную нами хъ т. е. частный ин-
интеграл, удовлетворяющий уравнению A20). Значение х1 легко
находится; попробуем для этой функции тригонометрическую
форму
хх — a cos (pt — s)
(а и е — постоянные.) Подстановка в A20) дает результат:
а (п?—р2) cos {pt — s)— fp a sin (pt — s) = £'1 cos pt. A22)
Но мы можем сделать следующую замену:
cos pt = cos (dt—e -f- e) = cos £ cos (pt — s) — sin e sin (pt — e).
Вставим такое преобразование zospt во вторую часть уравне-
уравнения A22). Тогда все члены его могут быть разделены на две
группы: члены первой группы имеют общий множитель
cos(pt — е), а члены второй группы имеют общий множитель
sin (pt—s). Первая группа будет:
[а (га3—-р2) — Е1 cos e] cos (pt—г),
а вторая группа:
(Z^sins—fpa) sin (pt — s).
Для того чтобы уравнение A22) удовлетворялось при всяком/,
первая и вторая группы должны, каждая отдельно, обращаться
в нуль. Это условие влечет за собою следующие два равенства:
а(пг—р2) — £]coss = o> и™ а (я2—/;2) = £icose,
fpa — £'1sins = 0, или fpa =
Из них получаем величины неизвестных а и е, входящих в вы-
выражение х^. Для этого делим второе уравнение на первое;
получим: ,„
* £
23 В. Л. Кирпичей

346 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Затем, найдя s, получаем из второго уравнения:
Следовательно, хг будет равно
х1=-лру—cos (pt — s).
Это — периодическая функция; следовательно, хх представляет
колебательное периодическое движение, оно называется при-
принужденным, или насильственным колебанием,
производимым силой Р=Е cospt.
Период принужденного колебания определяется величи-
величиною р, следовательно, он одинаков с периодом силы Р, и
время полного (двойного) колебания будет равно
Г
Но мы замечаем, что в выражении для х1 косинус берется
от угла pi—^e, между тем как сила Р содержит косинус от pt.
Итак, здесь имеем разность фаз, измеряемую углом е;
колебания л^ отстают на s от колебаний силы Р.
Величина s положительная, если п~^>р, т. е. когда время
одного колебания силы Р, равное
больше, чем величина
которая представляет время колебания нашей точки т, когда
она колеблется свободно, без принуждения. В этом случае
колебания хх действительно отстают от колебаний силы Р.
Если же имеем случай п<^р, т. е. Tt<^T, то 8 отри-
отрицательное, т. е. происходит не запаздывание, а опережение.
Колебание хх опережает изменения силы Р.
153. Накопление колебаний (резонанс). Особый, заме-
замечательный случай получается, когда имеем р = п, т. е. если
период силы Р одинаков с периодом свободных колебаний
нашей точки т.

СЛУЧАЙ, КОГДА ДЕЙСТВУЕТ НЕСКОЛЬКО ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИЛ 34?
Тогда имеем из A23):
tg е = оо,
т. е. разность фаз s равна у. При этом получаем:
sin s= 1,
а из общей формулы A24)
а-
находим, что в этом случае амплитуда а получит свою наи-
наибольшую величину
pf
Это случай резонанса, когда даже небольшая периодиче-
периодическая сила может сообщить колебания со значительной ампли-
амплитудой. Резонанс получается, когда период силы, производя-
производящей насильственные колебания, одинаков с периодом свобод-
свободных колебаний.
Следует обратить внимание на то, что при резонансе раз-
разность фаз между движением точки т и изменением силы Р
всегда равна -=■ , т. е. представляет четверть полного
(двойного) колебания.
154. Случай, когда действует несколько периодических
сил. Пусть этих сил несколько и все они имеют гармони-
гармонический характер, т. е. переменные их величины изображаются
формулами вида:
P=Ecos(pt—a)
при различных значениях Е, р, а для разных сил. Тогда
уравнение движения массы т будет отличаться от A20)
только тем, что во вторую часть его будет входить не одна
сила, а сумма всех сил. Обозначая суммирование знаком 2»
получим:
где _е_
1 m
Это уравнение интегрируется подобным же образом, как и
прежнее A20).
23*

348 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
155. Примеры принужденных колебаний. Случаи их
довольно часты в акустике; сюда относятся колебания под-
подставок и опор музыкальных инструментов, фортепианной деки,
резонаторных ящиков и т. д. Под тот же тип подходят мно-
многие из явлений действия переменных токов. Возьмем, напри-
например, цепь (фиг. 205), в которую введены последовательно зна-
значительное сопротивление R, прибор с большой самоиндукцией L
Фиг. 205.
и конденсатор емкости С. Пусть в части цепи АВ действует
переменная электродвижущая сила, вызывающая между А
и В разность потенциалов, которая изменяется по закону
е = Е sin pt.
В цепи получится переменный ток, сила которого х опре-
определяется следующим уравнением:
. d2x , п dx . х
L + R + p
Оно вполне согласуется с разобранным в § 152, н все сделан-
сделанные там выводы применяются и к этому случаю действия
переменного тока.
Резонанс, часто встречается во многих явлениях. Когда
период насильственных колебаний или толчков, сообщаемых
внешней причиной, одинаков с периодом свободных, есте-
естественных колебаний тела, то ряд очень небольших толчков
может сообщит^ телу заметные и даже значительные колеба-
колебания. «Дыханием Галилей привел в движение тяжелый маятник,
тиканием одних часов Эликот пустил в ход другие, причем
вторые часы были отделены стеною от первых», говорит
Тиндаль в своей статье «Дух и наука». Явлением резонанса
пользуются дети, раскачивая качели, гибкие скамейки и т. п.
Так же поступают при раскачивании колоколов.
Иногда в мостах вследствие резонанса могут получиться
такие значительные колебания, что они становятся опасными

ПРИМЕРЫ ПРИНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
и даже могут повлечь за собою обрушение мое га. Такое
разрушение не раз случалось с ценными мостами старинной
конструкции, коюрые не имели достаточной жесткости; для
них период свободных колебаний довольно значтельный,
1—2 секунды, и можег совпасть с периодом ритмических
толчков, производимых ногами людей, которые идут по мосту.
При прохождении военного отряда, идущего в ногу, совпаде-
совпадение шагов многих людей может вызвать обрушение моста;
поэтому обыкновенно требуют, чтобы солдаты не шли в ногу
при переходе по цепному мосту. В новых постройках совер-
совершенно отказались от таких недостаточно жестких мостов.
Современные конструкции висячих мостов имеют гораздо
большую жесткость, чем старинные цепные мосты, и этим
устранена опасность обрушения от накопления колебаний.
В машинах при движении их производятся толчки, обык-
обыкновенно ритмические, и потому часто получаются явления
резонанса, опасные колебания, сильные раскачивания частей,
если период свободных колебаний этих частей совпадает
с периодом насильственных толчков. Таковы толчки, сообщае-
сообщаемые паровыми машинами при попеременном движении поршня
взад и вперед. Подобным же образом может действовать и
переменный электрический ток1).
Когда явления резонанса в машинах становятся заметными
и делаются неудобными и даже опасными для прочности, то
их устраняют тем, что изменяют период толчков, т. е. период
насильственных колебаний. Если, например, эти толчки про-
происходят от попеременного хода поршня машины, то нужно
изменить скорость этого хода; этим уничюжается совпадение
периодов свободных и насилье!венных колебаний, и резонанс
прекращается.
Поразительный случай резонанса представляют колебания
металлического корпуса морских судов, вызы^ремые толчками
при ходе паровой машины судна. Корпус громадного паро-
парохода колеблется, как камертон, образуя узлы и пучности;
эти колебания иногда делаются невыносимыми для лиц,
J) «Однажды автор наблюдал замечательный случай альтернатора,
который издавал непрерывный и пронзительный воюший звук. При-
Причиной в этом случае было случайное совпадение между числом пере-
перемен тока и числом периодов вибрации некоторых массивных желез-
железных частей» (Том с он С, Линамомашины, т. II, стр. 1015),

350 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
находящихся на судне. Такой неприятный резонанс устраняют,
изменяя период толчков, т. е. изменяя число оборотов, делае-
делаемых паровой машиной в минуту.
Мы видели выше, что при резонансе между толчками
силы и колебаниями тела получается разность фаз ровно
в четверть периода. Это позволяет на опыте определить при-
причину резонанса, если колебания в точности отмечаются на
особых записывающих приборах и там же отмечаются одно-
одновременные положения поршней машин. Этим путем иногда
удавалось установить, что из двух паровых машин, движу-
движущих пароход, одна оказывает преимущественное влияние на ви-
вибрацию судна. Иногда, в случае уравновешенных машин, таким
путем удавалось доказать, что движения их поршней не Могут
быть причиною вибраций судна и что причину нужно искать вдру-
гих обстоятельствах, например в неправильностях гребного винта,
лопасти которого иногда отличаются одна от другой, и т. п.
Такую же разность фаз нужно иметь в виду при уравно-
уравновешивании вращающихся частей машин теми приемами,
о которых мы говорили в § 52.
156. Шестой тип: колебания маятника при значитель-
значительной величине его размахов. Знание законов движения в этом
случае позволяет применять маятник как точный прибор для
измерения малых промежутков времени. Такое применение
сделано в электробаллистическом приборе Навье, служащем
для измерения скорости, которую имеет артиллерийский снаряд
по вылете его из орудия. Перед орудием ставятся два щита
из проволок на некотором расстоянии один от другого;
летящий снаряд разрывает эти щиты один после другого, и
если будет найдено время, проходящее между этими двумя
разрывами, то скорость снаряда определится, так как рас-
расстояние между щитами известно. Для измерения этого вре-
времени и служит электробаллистический маятник. Первоначаль-
Первоначальное положение его ОА (фиг. 206) горизонтальное, и он
удерживается в этом положении электромагнитом; при раз-
разрыве первого щита размыкается ток этого электромагнита, и
маятник начинает двигаться. При разрыве второго щита про-
происходит замыкание тока, и маятник останавливается в каком-
нибудь положении В. Зная законы движения маятника, можем
определить время движения из А в В, т. е. время между
моментами разрыва двух щитов.

КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА
351
Мы уже знаем (§ 35), что всегда можно найти такой про-
стой маятник, который будет качаться вполне согласно
с движением сложного маятника. Поэтому можем ограничиться
изучением движения просто-
простого маятника. Пусть длина
его /; качаясь, он отклоняет-
отклоняется вправо и влево от верти-
Фиг. 206.
Фиг. 207.
кали (фиг. 207) на угол а. Точка т представляет любое поло-
положение маятника; соответствующий ему переменный угол откло-
отклонения маятника от вертикали обозначим 0. В этом положении
проекция ускорения тяжести g на касательную будет равна
— g'SinO. Но та же проекция ускорения может быть выражена
иначе, если воспользоваться общими законами криволинейного
движения точки. Ускорение выразим в функции дуги Am,
считаемой от точки А в сторону увеличения угла 0; длина
этой дуги равна /*); ускорением будет вторая производная этой
дуги по времени. Приравнивая между собою эти два выражения
для ускорения по касательной, получим уравнение движения '):
!) Эхо уравнение отличается от уравнения A9) § 35 тем, что
угол 9 отсчитан от вертикали и в направлении вращения против
часовой стрелки, в то время как в уравнении A9) § 35 угол tp отсчи-
отсчитан от горизонтали и в направлений вращения по часовой стрелке.
Полагая в уравнении A9) § 35
и получим написанное уравнение для угла 9.

352 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЬЛИ
Отсюда, принимая обозначение
получаем:
~ 4- н2 sin 6 = 0. A25)
Будем интегрировать это уравнение; для этого умножим оба
члена его на -jr; тогда интегралы обоих членов легко нахо-
находятся, и получим:
4(fy . A26)
Чтобы найти произвольную постоянную С, обратимся
к крайней точке В; для нее имеем:
а скорость, т. е. ~г , в этой точке равна нулю. Делая под-
подстановку в A26), найдем:
а вычитая это из A26), находим:
K = «2{cos6 —cosa). A27)
Это первый интеграл нашего дифференциального уравне-
уравнения движения A25). Нетрудно видеть, что это интеграл жи-
живых сил для движения из В в я,
Для дальнейшего интегрирования произведем с уравнением
A27) следующие выкладки: сначала извлечем квадратный корень:
^ — cos a);
потом разделим в полученном уравнении переменные 6 и /:
ш ==ndt. A28)
У 2 (cos в — cos a)
Время t будем считать от момента, когда маятник нахо-
находится в среднем своем положении А; тогда угол 0 = 0. Сле-
Следовательно, по интегрировании A28) между пределами 0 и i

КОЛЕБ\НИЯ МАЯТНИК\ 353
найдем:
е
л'= I ;7vf7=rf=^7^ • A29)
, _ х.-_ J —cos a)
Заменим косинусы углов посредством синусов половинных уг-
углов, т. е.
cos 0 = 1— 2sin2-^-, cosa=l—2sin2i.
Тогда интеграл A29) приведется к форме
~ \ — ■ A30)
sin2 ~ — sin3 тг
Теперь введем новую переменную к, связанную с 6 условием:
.8 .а
sm-^ = e sin <2 ,
и для краткости назовем sin тг одной буквой к. Имеем:
Для частного значения 8== 0 получаем:
« = 0,
а для 0 = а величина и обращается в единицу. Вводя новую
переменную и в A30), получим:
а
da
«/=!-/"■==.. A31)
Полученный интеграл содержит в себе радикал из функции
четвертой степени от и; следовательно, он относится к раз-
разряду эллиптических интегралов.
Не касаясь чисто математической стороны вопроса, заметим
только, что можно найти с известным приближением числен-
численные значения этого интеграла для. выбранной величины а;
такие вычисления сделаны, и мы имеем таблицы численных
значении этого эллиптического интеграла для различных зна-
значений и и при различных величинах модуля к. Этими таблица-
таблицами и пользуются, когда нужно иметь величины эллиптических

354 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
интегралов, подобно тому как мы пользуемся таблицами лога-
логарифмов или таблицами тригонометрических величин.
С- помощью таблиц эллиптических интегралов мы решаем
все вопросы о движении маятника. Например, если нам дан
угол отклонения 0, то мы можем определить соответствующее
ему время t. Для этого, конечно, должен быть задан наиболь-
наибольший угол отклонения маятника, т. е. а. Сначала вычисляем
модуль к, равный sin -^, а затем уже, взяв таблицы для этого
модуля, получаем для каждого выбранного нами угла 6, или,
что все равно, для каждого значения величины и, которая
1 . в
равна -г- sin -^, величину интеграла, т. е, величину tit; раз-
делив ее на я, получаем время t.
Если желаем найти время полного размаха, то находим
из таблиц величину интеграла, отвечающую значению 6 = а,
т. е. когда u = k. Эта величина интеграла даст нам значе-
значение nt для части размаха от средней точки А до крайней В;
деля эту величину на п и умножая на 4, получим время
полного (двойного) колебания маятника.
К тому же типу мы приходим и при разборе других во-
вопросов динамики, например рассматривая движение гирос-
гироскопа.
157. Пример из теории упругости. Уравнения того же
типа, как только что выведенные, встречаются при рассмотре-
рассмотрении одного вопроса из теории упругости, а именно при рас-
рассмотрении формы, которую примет упругая проволока при
действии на нее двух сил Р, Р', приложенных к концам про-
проволоки (фиг. 208). Кривая изгиба будет состоять из двух
симметричных половин АВ и АВ'; среднюю точку ее А примем
за начало, от которого будем отсчитывать длину s дуги этой
кривой. Длина дуги s принимается за независимую перемен-
переменную, и форма кривой определяется путем вывода зависи-
зависимости s от того угла 0, который образует касательная в
любой точке т нашей кривой с линией сил Р, Р'. Частное
значение угла б, получающееся для конца проволоки, назовем а.
Для определения изгиба нужно иметь меру гибкости
проволоки; такой мерой служит произведение коэффициента
упругости материала, из которого сделана проволока (Е), на
момент инерции поперечного сечения проволоки (J). Частное

ПРИМЕР ИЗ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
35Г)
-gj обозначим одной буквой п2. Уравнение упругого равнове-
равновесия между внешней силой Р и внутренними упругими силами,
которые развиваются при
изгибе, получается следу-
следующее ]):
ds2
-}-rt2sin6 = 0.
т
Сравнивая его с урав-
уравнением A25) качаний ма-
маятника, видим замечатель-
замечательное сходство между ними.
Для лучшего выясне-
выяснения этого сходства на
фиг. 209 нарисованы ря- Фиг. 208.
дом маятник и изогнутая
пружина; соответствующие в этих двух вопросах точки и
величины обозначены одинаковыми буквами; А означает сред-
Фиг. 209.
нюю точку, В и В'— крайние точки. Для маятника 6 есть
угол отклонения его нити от вертикали, а для проволоки О
означает угол отклонения касательной от линии сил Р, Р'.
В вопрос о маятнике входит время t, считаемое от момента
перехода через среднюю точку А. Для проволоки вместо того
имеем длину ее s, считаемую от средней точки Л.
!) Мы его приводим без доказательства; вывод желающие найдут
в большинстве сочинений по теории упругости и сопротивлению
материалов.

356
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Итак, имеется полное соответствие этих двух явлений;
одно может быть принято за модель, за образец для дру-
другого. Полученный нами для маятника интеграл A31) непосред-
непосредственно применяется к проволоке, и мы получаем:
ns
а
da
где попрежнему модуль k означает величину sin -=-, а перемен-
ная и связана с углом О
зависимостью:
Фиг. 210.
Такая аналогия между
двумя явлениями разного
рода очень поучительна
и полезна для выяснения
их. Мы можем восполь-
воспользоваться проволокой и с
помощью ее представить
картину качаний маятни-
маятника; для этого нужно пре-
В дварительно разделить
проволоку по ее длине
на равные части и затем
согнуть так, чтобы полу-
получи 1ь крайний угол а, рав-
равный наибольшему углу
отклонения маятника (фиг.
209). Направления каса-
касательных в точках деления
А, а, Ъ, с, d, e, f, g, В будут показывать направления
нити маятника получающиеся но прошествии равных проме-
промежутков времени.
При различных амплитудах а получаются разные законы
■колебаний маятника, соответственно этому изменяются и фор-
формы изогнутой пружины. Несколько частных случаев изобра-
изображены на фиг. 210—213. На каждой из фигур [нарисованы
m
Фиг. 211.

Пример из теории упругости
357
8
Фиг. 212.
т
рядом колеблющийся маятник и изогнутая пружина с обо-
обозначением соответственных точек одинаковыми буквами1 при
этом легко сопоставлять
эти дпа явления. Фиг. 210
относится к случаю, ког-
когда маятник колеблется,
отклоняясь от вертикали
на 90° в каждую сторону.
На следующих затем фи-
фигурах угол отклонения
больше 90°, а на послед-
последней фиг. 213 представлен
случай, когда угол откло-
отклонения почти 180°, т. е.
маятник описывает почти
полный круг.
Изложенная аналогия
между явлениями качания
маятника и одним из слу-
случаев изгиба проволоки
представляет частный слу- „
чай более широкой а на-
логии Кирхгофа; он
показал, что для каждого Фиг. 213.
случая движения твердо-
твердого тела, подпертого в одной точке, имеется аналогия в явле-
явлениях деформации проволоки, на которую действуют изгибаю-
изгибающие и крутящие силы и пары.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналогия Кирхгофа 357
Аппеля теорема 1S3
Бернулли теорема 272 и д., 284
Брусок лишний в ферме 76
Вектор 185
— момента количеств движения твер-
твердого тела, имеющего неподвижную
точку 201, 208
Весы Квинтенца 34
— мостовые 31 и д.
— Роберваля 32
Взрыв 313, 316 и д.
Влияние на скорость вращения Земли
движения поездов, кораблей и пр. 249
— ее охлаждения 248
Водослив Томсона 146 и д.
Возмущения планет 243
"Волна трохоидальная 101
Волчок 98, 204, 209 и д.
— Максвелла 217, 221
Вращение твердого тела около непод-
неподвижной оси 90 и д.
Высота пьезометрическая 276, 284
Вязкость жидкости 149
Гейуорда-Резаля теорема 200 и д.
Гироскоп 204, 209 и д. 220
— Боннебергера 217, 227
— свободный 220
— связанный 227
— Фесселя 217
— Фуко 217, 219 и д.
Груз подвижной на мосту 109
Давление жидкости на сосуд при еЕ
движении 183, 186
— — динамическое 190
статическое 189
— опор 108
— — динамическое 108
■ статическое 108
Даламбера начало 82 и д.
для случая удара 299
Двигатель вечный 287 и д.
Движение волчка 204
— гармоническое 325
в машинах 302 и д.
— жидкости в трубке 148
— — установившееся 188
Движение относительно центра тяжести1
263 ид.
— планет 242 и д., 284
— поезда 165 и д.
— твердого тела, имеющего одну не-
неподвижную точку 205 и д.
— турбины 196
— центра тяжести 263 и д.
— центральное 143
Девиация 238
Диаграмма Цейнера 333
Доказательство начала возможных пе-
перемещений Лагранжа 20 и д.
Фурье 27
Жернов мельничный 131
Жидкость вязкая 149
— идеальная 149
Жуковского рычаг 69 и д.
Закон движения центра тяжести 156
и д., 161
— живых сил 96, 174 и д., 180 и д„
255 и д.
для случая удара 312
— Кеплера третий 144
— количеств движения 171,180, 184 и д.
-- для случая удара 312
— моментов количеств движения 171,
191 и д., 194
для случая удара 312
— Ньютона третий 156
— однородности 143
— площадей 237 и д., 240
— Савара 145
— сохранения количеств движения 186
моментов количеств движения 195
площадей 241
энергии 280 и д., 249 и д.
«Звук оси» 131
Измерение сил инерции 106
Импульс силы 171
Инверсор Лилкина 58
Интеграл живых сил 179
— количеств движения 178
Исключение сил связи 12
Карно теорема 314
Катаракт 338 и д.
Кеплера третий закон 144

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
359
Кирхгофа аналогия 358
Колебания воздуха в подобных тру-
трубах 144
— гармонические 328 и д.
— затухающие 336, 337
— маятника при значительных разма-
хах 350 и д.
— при сопротивлении, пропорциональ-
пропорциональном скоростк 334
— принужденные (насильственные) 343
и д , 348 и д.
— регуляторов паровых машин 337 и д.
Количество движения 171
, потерянное во время удара 301
Коэффициент вязкости 150
Крукса радиометр 252
Крылач 322
Кулиса 65
Лагранжа доказательство начала воз-
возможных перемещений 20 и д.
Линия апсидов 247
Липкнна инверсор 5S
Маховик 109
Машина паровая 58, 135
— пароходная, уравновешивание сил
инерции 135
— простая 41
Маятник баллистический 303, 310
— двойной 94
— падающий 97
— простой (математический) 93, 329
— сложный (физический) 93,144, 309, 330
— электробаллистический 350
Мера удара 297
Механизм кривошипно-шатунный 58, 71
— кулисный 65
— плоский 57 и д.
Момент инерции 92, 120 и д.
главный 12В
центробежный 124
цилиндра 127
цилиндрического кольца 128
— количеств движения 191 и д.
твердого тела, вращающегося
около неподвижной оси 198
— силы относительно оси 37
Направление видимое силы тяжести 100
— кажущееся силы тяжести на волнах
101 и д.
Начало возможных перемещений 18 и д.,
35 и д., 73
, доказательство Лагравжа 20
и д.
, — Фурье 27
, приложения 28
— Даламбера 82 и д., 96
для случая удара 299
Нить гибкая 44
Нутация 234
Ньютона теорема о подобии 141
Обращение механизмов 57
Ось вращения насильственная 312, 316
свободная 311, 316
Ось главная 114, 126, 206 и д. 269, 308 ;
— момента количеств движения -'
KSySSi д
Отвердение, принцип — 43 и д
Охлаждение Земли, влияние на изменр
ние скорости вращения 248
Падение тяжелого тела, снабженного
парашютом 21
Параллелограм сил 25
Парашют подъемника 98
Паровоз, уравновешивание сил ипео-
ции 132 *
Перемещение возможное (дозволяемое)
16 и. д., 19 '
План скоростей 69
Плоскость неизменная 241
планетной системы 242
Поезд, его движение 165 и д.
—, его торможение 168 и д.
Положение центра тяжести при различ-
различных характерах равновесия 54
Полюс 201 и д.
Нравило золотое механики 41 и д.
Пресс коленчатый 41 и д.
Прецессия Земли 232 и д.
— регулярная 219
Прибор Рейнольдса 113
Принцип отвердения 43, 170
— подобия 143
Прогиб моста динамический 110
Работа элементарная 19
Равновесие безразличное 49
— неустойчивое 49 и д.
— плоских механизмов 57 и д.
— системы 13 и д.
под действием силы тяжести 52
и д.
— твердого тела, погруженного в жид-
жидкость 55
свободного 35 и д , 47
связанного 38, 48, 74
— тяжелого эллипсоида на горизон-
горизонтальной плоскости 55
— тяжелой жидкости 55
во вращающемся сосуде 103 и д.
— устойчивое 48 и д.
— ферм 75 и д.
— части жидкости 44
Радиометр Крукса 252
Рассеяние энергии 284 и д.
Реакция связи 19
Регулятор маховичиый 337
— Уатта 59
Резонанс 346, 348 и д.
Рейнольдса прибор 113
Риттера способ 78
Рычаг дифференциальный 29—31
— Жуковского 69 и д.
Савара закон 145
Связь 12
— двусторонняя 17—18
— длительная 313
— идеальная 19

360
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Связь односторонняя 17—18
— частиц в твердом теле 17
в жидкости 17
Сила внешняя 155, 161
— внутренняя 12, 10S, 155
— вязкости жидкости 149
— движущая 40
— «живая» 174, 260, 293
, потерянная при ударе 314
— —, приобретенная при взрыве 317
— инерции 83, 106, 109, Ш, 115 и Д.
— — касательная 91, 116 и д., 128
центробежная 91, 111, 116 и д.
— консервативная (потенциальная) 280
— мгновенная 297
— потерянная 87
— реакции связи 19
— связи 12 и д. 73 и д., 87
— — при ударе 305
— сопротивления 40
— трения 19, 20. 73, 285
— центростремительная 111
Система аккумулятивная 295
— консервативная 280 и д.
— материальных точек 11
— с одной степенью свободы (с пол-
полными связями) 39, 58 и д.
Системы сил равнодействующие (экви-
(эквивалентные) 14, 45 и д.
Скаляр 185
Скамейка Жуковского 252
Скат вагонный 130
Скорость критическая движения жид-
жидкости в трубе 14S
—, потерянная при ударе 314
—, приобретенная при взрыве 317
— распространения сжатия 183 и д.
— угловая 90
Сопротивление воды или воздуха дви-
движению твердых тел 145—146
Способ отрезывания углов в ферме 79
— Риттера 78
Степени свободы 35 и д,
в машинах 40
Теорема Аппеля 153
— Бернулли 272 и д. 284
— Гейуорда-Резаля 200 и д.
Теорема Карно 314
— Ньютона о подобии 141
— о трех центрах вращения 62 и д.
— Шаля 58 и д., 205
Томсона водослив 146 и д.
Точка материальная 11
Трение 19, 20, 73, 285
— регулятора 339 .
Трохоида 101
Уатта регулятор 39
Удар 297 и д.
— на связь 305
— неупругий 313
Уравновешивание сил инерции 115 и д.
Ускорение касательное 91
— угловое 90, 92
— центростремительное 91
Устойчивость вращения твердого тела
269 и д.
— гироскопа 220 и д.
— движения полюса 203, 220 и д.
— равновесия 48 и д.
— — судов на воде 50
Ферма 76 и д.
Формула Эйлера в теории турбин 197
Фурье доказательство начала воз-
возможных перемещений 27
Цейнера диаграмма 333
Центр вращения мгновенный 60 И д.
— качания 94, 293, 3J9
— масс, движение его 156 и д.
— тяжести, положение его при различ-
различных видах равновесия 54
— удара 305 и д., 310
Четырехугольник шарнирный 57, 64
Шаля .теорема 58 и д., 205
Эйлера формула в теории турбин 197
Эллипсоид инерции 125, 331
Энергия кинетическая 2t2
— полная 282
— потенциальная 282 и д.