/
Автор: Бухгольц Н.Н. Воронков И.М. Минаков А.П.
Теги: физика механика теоретическая механика задачи по механике естественные науки
Год: 1949
Текст
Н. Н.ЗУХГОЛЬЦ, и, м. вегой ков
и А. П.МИНАКОВ
CFOPHMK ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Н. Н. БУХГОЛЬЦ, И. М. ВОРОНКОВ
и А. П. МИНАКОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего образо-
вания СССР в качестве учебного пособия
для университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1949 ЛЕНИНГРАД
12-5-2
Редактор Д. В. Д<арков.
Техн. редактор А. И. Сипелёаа.
Подписано к печати 12/Н—14/Ш 1949 г. 17,25 печ. л. 22 уч.-изд. л. 51 343 тип. зн. в печ. л.
Тираж 25000 экз. А-01614. Цена 7 р. 75 к. Переплёт 1 р. Заказ № 1703,
2-я типография «Печатный Двор» им. А. М. Горького Главно лиграфиз дата
при Совете Министров СССР, Ленинград, Гатчинская, 26.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к третьему изданию.............................. 5
СТАТИКА.
§ 1. Сложение и разложение сил .........................
§ 2, Равновесие системы сил, линии действия которых пересекаются
в одной точке ......................................... . •
§ 3. Параллельные силы ..............................•.........
§ 4. Теория пар и моментов. ............................. . . .
§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.......’. ..........
§ 6. Равновесие системы сил в плоскости ................
§ 7. Равновесие системы сил в пространстве..................• • . .
§ 8. Равновесие при наличии трения ............................
§ 9. Центр тяжести................................................
§ 10. Гибкая нерастяжимая нить..................................
7
15
21
26
31
36
59
64
74
82
КИНЕМАТИКА.
I. Кинематика точки.
§11. Равномерное и равномерно переменное прямолинейное движение. 83
§ 12. Переменное прямолинейное движение......-» . . •......... 93
§ 13. Определение траектории, скорости и ускорения точки из уравне-
ний движения в декартовых координатах........................100
§ 14. Определение траектории, скорости и ускорения точки из уравнений
движения в полярных координатах ...............".............10?
§ 15. Проекции ускорения на естественные оси (на касательную, главную
нормаль и бинормаль)........................... . . ....... 111
§ 16. Сложное движение точки ............................... 116
П. Кинематика абсолютно твёрдого тела.
§ 17. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси ........ 126
§ 18. Движение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, . . 129
§ 19. Плоско-параллельное движение твердого тела....... 132
| 20. Винтовое движение твердого тела..................... 141
§ 21. Сложение движений твёрдого тела....................... 144
ДИНАМИКА.
1. Динамика точки.
§ 22. Прямолинейное движение материальной точки................152
§ 23. Колебательное движение точки...................... • . . 162
§ 24. Криволинейное движение свободной материальной точки......167
!•
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 25. Центральные силы...........................................175
§ 26. Несвободное движение материальной точки....................179
§ 27. Относительное движение материальной точки..................191
II. Динамика системы.
§ 28. Принцип виртуальных перемещений ..........................
§ 29. Принцип Даламбера.........................................
§ 30. Теоремы о количестве движения системы и о движений центра
масс системы....................................................
§ 31. Теорема о моменте количества движения для системы.........
§ 32. Работа и мощность.........................................
§ 33. Теорема кинетической энергии..............................
§ 34. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.............
§ 35. Движение твёрдого тела параллельно плоскости..............
§ 36. Движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой.........
§ 37. Улар......................................................
§ 38. Уравнения Лагранжа (второго рода).........................
§ 39. Малые колебания системы около положения устойчивого равно*
-* весия........................................................
§ 40. Моменты инерции........................,..............» • •
197
203
213
217
223
225
233
240
248
252
257
263
271
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Третье издание «Сборнику задач по теоретической механике»
значительно дополнено по сравнению с предыдущими. В статике
помещён раздел о равновесии гибкой нерастяжимой нити. В кинема-
тику введён параграф о движении твёрдого тела, имеющего одну
неподвижную точку. В динамику точки введены новые параграфы
о колебаниях материальной точки, о центральных силах, об отно-
сительном движении материальной точки. В динамике системы и
твёрдого тела добавлены параграфы о движении твёрдого тела,
имеющего одну неподвижную точку, об уравнениях Лагранжа 2-го
рода, о малых колебаниях системы с одной и двумя степенями сво-
боды около положения равновесия и об ударе. Параграфы,
имевшиеся в предыдущих изданиях, значительно переработаны, неко-
торые задачи опущены и заменены другими, и, кроме того, добав-
лены новые задачи.
Авторы приносят глубокую благодарность всем лицам, указавшим
недостатки и погрешности в предыдущих изданиях.
СТАТИКА
§ 1. Сложение и разложение сил.
I. Равнодействующая двух сил, приложенных к точке О (фиг. 1), изобра-
жается диагональю параллелограма, построенного на векторах, изобра-
жающих силы, т. е.
R=*P + Q,
следовательно, величина равнодействующей определится из равенства
R = j/pa 4- Q’ 4-2PQ cos (Р, Q).
Углы между векторами Р, Q, R находятся из соотношений:
- Р __ Q____________ R
sin (Q, R) sin (Р, R) sin (Р, Q) ’
Кроме того,
R == Р cos (Р, R) + Q cos (Q, R).
2. Если сила Р задана проекциями на оси координат X, У, Z, то
р = ]Л№ + у2_|_22; cos(P,x)==^, cos(P,j») = ', cos(P, 2) = ^.
3. Если на точку О действует несколько сил, то их равнодействующая
изобразится замыкающей стороной векторного многоугольника, построен-
‘ного на векторах, изображающих силы (фиг. 2), т. е.
8
СТАТИКА
П-7
причём проекция равнодействующей на какое-либо направление / равна
алгебраической сумме проекций составляющих сил на то же направление, т. е.
/?( = £Л.
4. Если силы Л (Л„Y„Zt), Р, (Л2. Yt,ZJ, Р„(Хт У„, Z„) заданы
своими проекциями на оси координат, то равнодействующая их по величине
и направлению определяется равенствами:
Rx = KX, Ry — ^Y, Rz = ^Z,
R«/(EX)*-HE Г)« + (Е2)!,
\\X У У V 7
cos (/?, v) = , cos(/?,y)=»^-, cos(/?,z)=^.
1. Какой угол образуют силы, величины которых равны Fx — 30 кг
и F* = 40 кг, если величина их равнодействующей равна 50 кг ?
Ответ', а = 90°.
2. Две силы, величины которых равны 5 кг и 16 кг, составляют
угол в 60°; найти величину равнодействующей и углы, которые
она образует с каждой из сил.
Ответ'. 19л;г; 13Q10'25" и 46°49'35".
3. Как относятся величины сил Fx и /\2, если угол между ними
равен 135°, а величина равнодействующей равна величине F* мень-
шей силы?
Ответ'. Fx: F%— /2?
4. Определить угол между двумя силами, если эти силы и их
равнодействующая равны между собой по величине.
Ответ'. 120°.
б. Две силы образуют угол в 50°; величины этих сил отно-
сятся как 2:3. Найги углы, образуемые равнодействующей с каж-
дой из сил.
Ответ'. 30о19'41" и 19°40'19".
6. Сила Р разложена на две силы, из которых одна равна по
величине данной силе Р и составляет с ней угол а. Найти вели-
чину другой составляющей и угол {3 который эта составляющая
образует с силой Р.
Ответ'. 2Рsin у ; 3 — 90° — i.
Zt Ct
7. В Москве горизонтальная составляющая напряжения поля
земного магнетизма равна 0,182 единицы, а наклонение, т. е, угод,
который образует с горизонталью магнитная стрелка, подвешенная
8—151
СЛОЖЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ
9
за середину, равно 68° 30'. Определить величину I напряжения поля
земного магнетизма.
Ответ'. /=0,497 единицы.
8. На балку, заделанную в стену, действует сила Р под углом
в 40е к направлению балки. Найти силу, изгибающую балку, и силу,
растягивающую балку, если величина силы Р равна 1000 кг.
Ответ'. 642,79 кг и 766,04 кг.
9. Разложить силу Р> величина ко-
торой F — 14 кг, на две силы F\ и F*
так, чтобы было соблюдено условие:
F1-|-F2 = 16 кг, и чтобы угол между со-
ставляющими силами равнялся а= 60°.
Ответ'. •Fl = 6 кг и F2 — 10 кг
10. Сила, величина которой Р—Ь9кг, разложена на две соста-
вляющие, из которых одна образует с ней угол в 35°, а величина
другой равна 30 кг. Найти величину первой составляющей и угол
второй составляющей с силой Р.
Ответ'. 49,76 кг и 72°4' или 32,15 кг и 37°56'.
11. Силу R разложить на две силы р и Q так, чтобы они были
взаимно перпендикулярны и чтобы имела место пропорция
Р: Q = т : п.
Ответ'. Р—
тр
У т2 п2
пР
У т2 4- л2 *
12. Силу Р разложить на две силы так, чтобы величины их от-
носились как 2:1 и найти геометрическое
место концов первой из этих составляющих.
2
Ответ'. Окружность радиуса Р с
центром на линии действия силы Р, отсто-
4
ящим на Рот точки приложения этой силы.
13. Две силы, образующие данный угол,
проходят через две данные точки А и В\ их
равнодействующая имеет величину Р и на-
правлена по данной прямой CD. Найти гра-
фически эти силы.
14. Из трёх равных по величине сил
две крайних образуют со средней данный угол, равнодействующая
этих трёх сил изображается отрезком данной длины АВ. Найти гра-
фически эти силы.
15. Бревно тянут равномерно при помощи верёвки длиной I
с силой, величина которой равна Р; расстояние конца верёвки
10 СТАТИКА [16—18
л.
от земли равно h м. Найти величину F силы трения бревна о
землю.
Ответа При равномерном движении сила трения р, направленная
К задаче 15.
в сторону противоположную движению, должна быть равна по ве-
личине горизонтальной составляющей силы Р; отсюда получаем;
р~ру^№
— I
16. Самолёт летит горизонтально с постоянной скоростью. Сила
давления N воздуха на крыло самолёта перпендикулярна к плоскости
крыла, а величина её выражается так: ТУ=0,42 sin а, где s —
К задаче 16. К задаче 17.
площадь крыла, а — угол крыла с направлением движения и v — ско-
рость самолёта. Зная $, а и вес самолёта Р, определить величину
силы N и скорость V.
Ответ,'. Так как самолёт летит горизонтально, то величина вер-
К задаче 18.
тикальной составляющей силы 7V равна
его весу Р; отсюда получаем:
УУ=-----; v
СО8а
U,21 s sin 2 а ’
17. В точке А скрепления двух одина-
ковых стропильных ног АВ и АС подве-
шен груз весом Р. Определить величину
сийы S, растягивающей горизонтальную
балку ВС, если ВАС = а.
Р а
Ответ'. S=B^tgg-,
18. Радиомачта DB поддерживается двумя проволочными тягами АВ
и ВС. Определить отношение натяжений 7\ и Т8тяг АВ и ВС, предпола-
гая, что мачта не изгибается. Дано; АО = б м, DC я 9 м и DB ==12 м.
19-22]
СЛОЖЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ
11
л Л 39
Ответ',
19. В точке С шарнирного соединения двух равных стержней
АС и ВС подвешен груз весом Р. Найти реакции в шарнирах А
и В, если Z АСВ = а.
р
Ответ'. Ra = Rb =--------~
п °
zcos-^
20. Лампа весом Р=3кг подвешена при помощи двух шнуров
АВ и ВС, из которых
первый горизонтален.
Найти натяжения Tt и
этих шнуров, если
ЛВ~1,1л«, ВС —
= 1,8 м и DC — 2 м.
Ответ: 7^ = j/З кг;
Т9 = 2 /3 кг.
21. Верёвка
закреплённая в
АВС,
точке
К задаче 19.
К задаче 20.
А, перекинута через
ролики В и С. К концу D верёвки подвешен груз весом Р=» 100 кг.
Определить вертикальное давление на стойку BE, если £ а = 45° и
Z₽ = 60°.
Ответ: 50 (1 +1^2) кг.
22. Груз весом Р=100я;г подвешен к крану ЛВС. Определить
К задаче 21< К задаче 22.
усилия и S9 в стержнях АВ и ВС, если ЛЛ»кЗ,8л, АС я» 2 м
и ВС = 2,6 м.
12
СТАТИКА
[23—26
Ответ’. Sx — —190 кг, 5а=130^г. (Знак минус означает сжи-
мающее усилие).
23. Диаметр поршня паровой машины равен d см. Давление пара
с одной стороны поршня равно р ат, а с другой стороны равно
рй ат. (Атмосферой называется давление, равное 1 кг на 1 см*).
Найти величину силы Т, вращающей кривошип О А, если длина
кривошипа О А — г, длина шатуна АВ и угол поворота криво-
шипа АОВ = а.
. . nd?, ч sin (а4-3) ,, . о rsina
Ответ'. -у- (р — р0) • * Т— кг, причём sin р = -у—.
* Wo р *
24. Три нити связаны в узел С. Две из них перекинуты через
блоки А и В, и к концам их подвешены грузы весом Р=3кг н
Q = б кг. К концу треть-
ей нити подвешен груз
весом X.
Найти величину X, а
также углы <pj и <р2 ни-
тей АС и ВС с верти-
калью, если вся система
находится в равновесии и
если £ АСВ = 60°.
Ответ'. Х~1 кг\
<р1 = 38°13'; <ра = 21°4Г.
25. В точке А к телу приложены три силы: Fp Fa и F3, лежа-
щие в одной плоскости и образующие между собой углы в 105°,
135° и 120°. Определить величину и направление их равнодей-
ствующей, если F\ = 18 кг, F3 » 24 кг и F3 =* 30 кг.
Ответ'. R == 4,26 кг. Эта сила лежит между силами Fa и F3 и
образует с последней угол в 18°54'.
26. Величины трёх сил F{, F<>, F3, приложенных в одной точке,
относятся как 1:2:3; эти силы лежат в одной плоскости и обра-
зуют между собой равные углы.
27—311
СЛОЖЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ
13
Найти величины этих сил, а также направление их равнодействую-
щей, величина которой Р_ = 1®кг.
Ответ'. Fi = ?ъ = ~=кг\ F3 = lOj/Stf?. Угол между /?
и Fa равен 30°.
27. Три силы, пропорциональные сторонам данного треугольника,
приложены в серединах соответствующих сторон его и направлены
по перпендикулярам к этим сторонам внутрь треугольника. Дока-
зать, что такие три силы взаимно уравновешиваются, т. е. что их
равнодействующая равна нулю. Обобщить на многоугольник.
28. Дана плоская система четырёх сил, приложенных в одной
точке: заменить эту систему двумя эквивалентными ей силами, при-
ложенными в той же точке и параллельными двум данным прямым
или имеющими заданную величину (графически).
29. Вершины квадрата притягивают материальную точку, нахо-
дящуюся внутри его на расстоянии а от центра квадрата, силами
пропорциональными расстояниям (коэффициент пропорциональности
равен k). Найти равнодействующую этих сил.
Ответ'. Равнодействующая равна по величине 4 Ла и направле-
на к центру квадрата.
30. Даны пять сил, величины которых равны: Рг = 2 кг, Р^ —
= 3 ]/ 2 кг, Р& — 4 кг, Pt = 5 кг, Р^ — 1 кг и которые направ-
лены как показано на чертеже. Найти равнодействующую этих сил.
Ответ*. 2? = 0.
31. В окружности проведены диаметр АВ и две равные перпен-
дикулярные к нему хорды CD и EF. Найти равнодействующую
пяти сил, изображаемых векторами АВ, АЕ, AC, AD и AF.
Ответ'. /? = 3 АВ.
14
СТАТИКА
(32—35
32. В центре правильного п -угольника приложены п — 1 сил, на-
правленных к его вершинам: величина каждой из этих сил равна Р.
Найти величину равнодействующей.
Ответ', Р = Р,
33. Построить компланарные векторы А, Р, V, Q, а также
найти модуль каждого из них и угол, который он образует с осью
Ох, по следующим данным:
Ответ'.
Д=«2 /б;
Р»=/Т0;
V«=/10;
<2 = 5;
tgC4, х) =— 2 (вторая четверть),
tg (Р, х) я» i (первая четверть),
Q
tg (V, х) = — 3 (четвёртая четверть),
3
tg (Q, х) = (третья четверть).
34. Сила Р, величина которой равна 26 кг, разложена на три
взаимно перпендикулярные составляющие, величины которых отно-
сятся как 3:4:12. Найти величины этих составляющих и углы а,
р, у, которые они образуют с силой Р,
3 4 12
Ответ'. 6 кг, 8 кг, 24 кг, cos а =« , cos ₽ «= yg > cos 7 y-j.
35. На точку действуют четыре силы, проекции которых на пря-
моугольные оси Oxyz заданы таблицей:
1 II ill IV
Л== 1 2 0 2
10 15 — 5 10
z = 3 4 1 — 2
36—381
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
15
Найти величину равнодействующей и углы её «, р, у с осями.
Ответ'. /?='31, а = 80°43’, р = 15°35‘, т^=78°50'.
36. На точку действуют три силы, проекции которых на прямо-
угольные оси Oxyz заданы таблицей. Найти величину равнодей-
1 II III
X — 2 1 2
г= ю i 4 -2
7= в — 4 -2
ствующей и углы 9ц «fa, 9з, образуемые ею
Ответ'. R да 13, cos Ф< = ~^=,
TI ]/35
53 7
cos Фо =----Т==., COS Фз —-----7= .
13|Лзз’ 13J/3
37. К вершине А прямоугольного па-
раллелепипеда ABCDEF приложены три
силы, которые изображаются векторами
АВ, АС и AD. Найти их равнодействую-
щую.
Ответ'. R = 2AE.
38. В начале координат приложены силы /\ = 3/, Р9 — — 7J,
Р9 == 4Л, действующие вдоль осей х, у, z и сила Р4, модуль кото-
рой равен 3 й которая составляет равные углы со всеми тремя
осями. Найти величину равнодействующей /? этих сил и её углы
с осями.
Ответ'. R = /83 9,1104, а = 58°40', £= 125°30', у да 51°.
§ 2. Равновесие системы сил, линии действия которых
пересекаются в одной точке.
1. Необходимое и достаточное условие равновесия системы сил
Pi, Рп> линии действия которых пересекаются в одной точке, можно
выразить одним векторным равенством
/? = £Р=0 (1)
или тремя скалярными:
£Г==0, EZ=0, (2)
где X, К, Z обозначают проекции сил Р на оси координат.
В случае если система сил находится в одной координатной плоскости,
то одно из уравнений (2) отпадает.
Для решения задач статики можно пользоваться или аналитическим ме-
тодом [уравнения (2)], или графическим методом [уравнение (1)].
16
СТАТИКА
139—41
В случае, когда направление реакции заранее неизвестно (например,
в случае шарнира), при аналитическом методе решения задачи неизвестную
реакцию разлагают по осям координат и вводят в уравнения равновесия
в качестве неизвестных проекции этой реакции на оси координат.
Если в результате решения уравнений какая-либо из проекций реакций
окажется отрицательной, эго будет означать, что соответствующая слагаю-
щая направтепа в отрицательную сторону оси.
При графическом методе решения задачи вопрос, согласно уравнению
(1), сводится к построению замкнутого силового многоугольника. При реше-
нии задачи о равновесии трёх непарал тельных сил часто приходится пред-
варительно определять направление реакции, пользуясь теоремой о пересе-
чении трёх уравновешенных сил в одной точке.
39. Шар весом Р привязан нитью к неподвижной точке В, а в
точке А опирается на наклонную плоскость. Определить величину
К задаче 39.
К задаче 10.
реакции N в точке А и натяжение Т нити, если углы а и 8 известны.
Рассмотреть случаи: 1) а = р; 2) а = 0.
К7 Р sin 3 ™ Р cos а
Ответ: N=--------—~~ ; Т— —•
COS (а — р) COS (а — Р)
40. Цилиндр радиуса г весом Р привязан к неподвижной гори-
зонтальной плоскости канатом ACDB,
натяжение которого равно Т. Определить
--------------------------------величину реакции N в точке Е, если
\---------------/ расстояние АЕ^ЕВ~а.
। / Ответ: Ы^Р+-~~Т.
________________ 41. На двух одинаковых верёвках
Г________х АС и прикреплённых к неподвиж-
ным точкам А и В, лежащим на одной
Й горизонтали, требуется подвесить груз
весом Р. Какова должна быть длина
К задаче 41 верёвок, если максимальное натяжение,
которое может безопасно выдерживать
верёвка, равно и если расстояние АВ равно 2а?
, 2а7'0
Ответ: I ——------.
/4П —Ра
42—451
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
17
42. Материальная точка, помещённая на гладкую наклонную
плоскость, оказывается в равновесии или под действием силы Рь
направленной вверх вдоль линии наибольшего ската, или под дейст-
вием горизонтальной силы Р2. Найти вес этой точки.
Ответ'. Р~—,
У Pl-ГЛ
43. Ползун весом Р надет на гладкий тонкий стержень, кото-
рый может вращаться в вертикальной плоскости вокруг своего
конца О. При любом положении стержня на ползун действуют,
кроме силы тяжести, ещё три силы:
Pt = | Р> направленная вертикально вверх,
Ра=-^Р, направленная вдоль стержня в направлении от шарнира,
направленная горизонтально влево.
Найти, при каком положении стержня ползун будет в равно-
весии и какова будет при этом реакция стержня.
9 4
Ответ'. 1) 04®= 180°; Ni=-$P. 2) а2 = arcsin53°7'48”;
2
44. Между двумя вертикальными стенами висит на двух верёв-
ках фонарь весом Р; левая верёвка образует со стеной угол а, а пра-
вая— угол р. Найти натяжения 7\ и Т* обеих верёзок.
__r\ sin В w •-* sin и
Ответ: Т1=Р-г—/—
1 sin (а 4- р) * sin(a-f-P)
45. Условия предыдущей задачи, но фонарь прикреплён к оси
очень малого блока, свободно скользящего по гросу, закреплённому
2 Сборник задач
18
СТАТИКА
[46—48
в точках А и В. Найти натяжение троса, если известно, что AC-f-
-|- СВ = 1, а расстояние между стенами равно d.
Указание. Когда блок находится в положении равновесия
углы аир равны.
Р Pl
Ответ: Т} — „-----=------------- .
’ 2cos а 2[/72 — (Р
46. Нить с двумя грузами весом Р и Q на концах перекинута
через два малых блока, находящихся на одной горизонтали. В точке А
К задаче 45.
К задаче 46.
нити между блоками привязан груз весом G (<? s^P-j-0- Найти,
в каком отношении вертикаль, проходящая через точку А, делит
расстояние между блоками при равновесии системы.
Ответ'.
а g2 + Q2—Р2
G2-j-Pa — Qa *
К задаче 47. К задаче 48.
47. Три нити связаны в узел С; одна из них привязана к непо-
движной точке А, другая перекинута через блок В п к ней подвешен
груз в 5 кг. К концу третьей нити привязан груз в 9 кг. У гот
нити АС с вертикалью
равен 30°. Найти натя-
жение Т этой нити и
угол ср, который нить СВ
образует с вертикалью
при равновесии.
Ответ'. = 34°9'30
1\ = 5,61 кг, <ра =
=85°50'30", Т2=9,97 кг.
48. Шар весом Р опи-
рается в точках А и В
на две неподвижные плоскости, наклонённые к горизонту под уг-
лами а и 0. Найти реакции в точках А и В.
49—51]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИТ
19
_ кт Sin 8 „ .. sin а
Ответ-. №Р,
49. Змей АВ весом Р, привязанный нитью к неподвижной точке С,
удерживается в равновесии давлением ветра, перпендикулярным к
плоскости АВ. Определить угол ф плоскости змея с горизонтом и
силу давления ветра N, если известны угол а, который нить обра-
зует с горизонтом, и её натяжение Т. Произвести вычисления, пола-
гая Р=2 кг, Т=6 кг, а = 45°,
________ _ р
Ответ-. N= /Р2 -ф- Г2 4~ 2РТsin a; etg= tg а - »
ДГ=7,55 кг, ф = 34°12'.
50. Доказать, что в изображённой системе блоков, весами кото-
рых можно пренебречь, соотношение между величиной силы Q и
весом Р подвешенного груза выражается
при отсутствии трения следующей формулой:
Q __ Г1Г2г8
Т5” С&Сз *
где о — радиусы блоков, a ct — хорды, соот-
ветствующие дугам обхвата блоков верёв-
ками.
51. Блок О радиуса г висит на про-
волоке ADB-, к нему подвешен груз, вес
которого вместе с блоком равен Р. Опре-
делить натяжение Т проволоки, если АС =
^=СВ — а и ОС = Ь. Точки А и В лежат на
одной горизонтали.
Ответ-. Т=^- - ^^*=21 .
г*
20
СТАТИКА
(52—55
52. Однородный стержень АВ длиной 27 и весом Р находится
в равновесии в вертикальной плоскости, опираясь концами на две
наклонные плоскости, образующие между собой прямой угол.
Найти угол стержня с горизонтом, а также расстояние АО, если
известно, что одна из плоско-
стей образует с горизонтом угол а.
Bk г\ я
/Рр / 6$ Ответ'. 9 = —2а, ДО =
Л' S I/ = 2Zsina.
S ]7 53. Гладкая ось, составляющая
zz |р Д /! угол а с горизонтом, и неподвиж-
__ Р ный блок помещены в одной вер-
/ тикальной плоскости, как пока-
-------------------------—- зано на чертеже. На ось свободно
К задаче 52. К задаче 53. надето тело весом Р; к нему
привязана перекинутая через блок
верёвка, несущая на свободном конце груз весом Q и составляю-
щая с осью угол р. Найти угол р и давление тела на ось при
равновесии. Рассмотреть случаи: 1) a =90°; 2) a = 0.
Ответ'. 1) cosр= -yrsin a; N=|Pcosa—Q2— P^sin2a.
2) a = 90°; p = arccos ; ZV=/Q2 —/Л
3) a==0; p = 90°; TV—|P—Q[.
54. В узле О фермы сходятся четыре стержня. Усилия St и S3
в стержнях О А и ОС составляют по 10 т, причём стержни О А
и ОС испытывают растяжение. Определить усилия S2 и S4 в осталь-
ных двух стержнях ОВ и OD. Углы между направлениями стержней
указаны на чертеже.
Ответ'. S% = — 7,3 т\ S4 =— 2,7 т (знак минус показывает,
что стержни ОВ и OD испытывают сжатие).
55. На катеты проволочного прямоугольного треугольника АОВ,
установленного в вертикальной плоскости так, что гипотенуза его
56- -^81
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ
21
горизонтальна, надеты два шарика весом Р и Q, связанные нерастя-
жимой нитью.
Найти положение равновесия (угол OCD = cp), реакции в точках
С и D и натяжение нити при равновесии, если известно, что
£ВАО = а и что трение отсутствует. Рассмотреть случаи: 1) P—Q;
2) ср —а.; 3) а = 45°.
Ответ: tg ср = ~- ctg а.
Реакции: Nq = (P-J- Q) cos а; ^ = (P-f-Q)sin а.
Натяжение нити Т= у/ Р* sin2 а -|- Q2 cos'3 а.
66. Колечко А может свободно скользить по проволочной верти-
кально установленной окружности с центром в
привязаны с одной стороны гиря весом Р, а
перекинутая через очень малый блок, при-
креплённый в высшей точке В окружности,
и несущая на своём свободном конце груз
весом Q. Найти угол ср = АОВ и реакции в
точках А и В при равновесии.
Ответ: 1)9 = 2 arcsin ; Na = Р;
2) 9==к; NA—Q — Р; NB = 2Q.
точке и. к колечку
с другой — верёвка,
6
К задаче 56.
57. Груз весом в 6 000 кг подвешен на двух железных тяжах
с прямоугольным поперечным сечением, угол между которыми
равен 30°. Ширина тяжа равна 7 см. Какова должна быть наимень-
шая толщина тяжа, если допускаемое напряжение его равно 400 кг] см1.
Ответ: 1,2 см.
58. Круглая платформа диаметром в 1 м подвешена на трёх
одинаковых канатах, длиной 2 м каждый, сходящихся в одном узле.
Точки прикрепления канатов к платформе находятся на её окруж-
ности на равных расстояниях друг от друга. Вес платформы вместе
с лежащим в её центре грузом равен 150 кг. Определить диаметр
каната, если допускаемое напряжение его равно 55 кг] см*.
Ответ: (/=1,1 см.
§ 3. Параллельные силы.
1. Равнодействующая R двух параллельных сил Р и Q, направленных
в одну сторону, параллельна этим силам, направлена в ту же сторону, равна
по величине сумме этих сил и проходит чердз точку С, которая делит
внутренним образом расстояние АВ между точками приложения слагаемых
сил на части, обратно пропорциональные силам (фиг. 3).
22
СТАТИКА
[53—50
Если силы направлены в противоположные стороны (антипаралтельпы),
то равнодействующая равна по величине их разности, параллельна им,
направлена в сторону большей силы и проходит через точку С, которая
делит внешним образом расстояние АВ па части, обратно пропорциональ-
ные силам (фиг. 4). Следовательно, в обоих случаях;
р— Р I О R
К — Св~~ АС ~ АВ*
2. Пусть расстояния точки С до линий действия сил Р и Q равны
соответственно р и q, тогда
Рр = Qq,
т. е. моменты параллельных сил Р и Q относительно любой точки, лежащей
на линии равнодействующей равны по абсолютной величине.
Равнодействующая системы параллельных сил Ръ Р2>..., Рп, приложен-
ных в точках Ai(x1} у1г zt), Л2(х2, yz, z2),..., Ап(хп, yn, zn), параллельна
этим силам и равна по величине их алгебраической сумме, т. е.
1=1
координаты точки С(хс, ус, zc), через которую проходит линия действия
равнодействующей, определяются формулами:
v — YtPixi у — Y>Piyi 2 — YtPizi
с £_. Ус R—, ’с
где R и Pi в отличие от принятых в других случаях обозначений суть
алгебраические значения сил.
Точка С называется центром параллельных сил и не зависит от их
направления.
69. К концам А и В прямолинейного стержня весом Р=10 кг
подвешены два груза весом P1==10 кг и Р2 = 20 кг. Найги, где
нужно подпереть стержень, чтобы он был в равновесии.
Ответ: На расстоянии 3/8 длины стержня от точки подвеса
большего груза.
60. Сила R величиной в 100 я??, приложенная в точке А, разло-
жена на две параллельные ей силы Р и Q, приложенные в точках
В и С. Точки А, В и С лежат на одной прямой; Р=И30#г, а рас-,
стояние АВ равно 6 дм. Найти силу Q и расстояние АС.,
Ответ: Q — — 0,3 Р; ЛС = 26 дм.
61-67J
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ
23
61. Разложить силу Р на две параллельные ей силы так, чтобы
линия действия одной из них находилась от линии действия силы Р
на расстоянии а, а линия действия другой силы — на расстоянии Ь.
Ответ-. Р^Р-^-, Р> = Р-^.
Эти силы лежат по разные стороны от линии действия силы Р.
62. Разложить силу Р на две антипараллельные силы Рх и Р.2,
первая из которых находится на расстоянии а, а вторая на расстоя-
нии Ь<^а от линии действия силы Р.
Ответ- Р^-Р-Л-^- р, = Р-^.
Обе силы лежат по одну сторону от линии действия данной
силы Р.
63. В двух вершинах А и С треугольника приложены две силы,
равные Р, а в третьей вершине В при-
ложена сила, равная 2Р. Найти центр
этих сил.
Ответ: Искомый центр лежит на
середине медианы, выходящей из вер-
шины В.
64. Дан треугольник АВС и точка
М внутри его. В этой точке прило-
жена данная сила Р. Разложить эту
силу на три силы, ей параллельные,
направленные в ту же сторону и приложенные в вершинах
А, В и С треугольника (графически).
65. В вершинах данного тетраэдра приложены четыре равные и
параллельные силы, направленные в одну сторону. Найти центр этих
параллельных сил.
Ответ: Искомый
тетраэдра с точкой
3/4 этого отрезка от
центр лежит на отрезке, соединяющем вершину
пересечения медиан основания, на расстоянии
вершины.
66. Однородная балка весом Р=100 кг лежит симметрично на
двух опорах А и В, причём АВ = 2 м. На балку в точке С поло-
жен груз весом Q = 80 кг, причём АС = 1,5 лт. Определить давле-
ния на опоры.
Ответ: Ра = 70 кг, Рд=110 кг.
67. На трапеции АВ длиной в 40 см в точке С держится гим-
наст весом Р==56 кг, причём ДО =25 см. Определить натяжения
верёвок.
Ответ: Та^Ы кг, 7^ = 35 кг.
24
СТАТИКА
[68—70
68. Стержень АВ вместе с привязанным к нему в точке Е грузом,
вес которого равен Р, подвешен на двух параллельных каучуковых
шнурах СА и DB, которые в нерастянутом состоянии имеют одина-
ковую длину Zo. Сила натяжения шпура предполагается прямо про-
порциональной его относительному удлинению * /о, причём коэф-
1о
фициент пропорциональности равен k. Пренебреги весом стержня
АВ, определить длины шнуров СА и DB, если
АЕ = а и ЕВ~Ь.
К задаче 69.
Omeenv. CA = L-A~ °,
0 1 k (а + b)
£)S = Z04-
al0P
k[a + b) *
69. Полиспаст состоит из неподвижного блока
А и трёх подвижных В, С и D. Груз весом Q,
подвешенный к нижнему блоку D, удерживается
силой Р, приложенной к концу шнура, перекину-
того через неподвижный блок А. Пренебрегая
трением, определить зависимость между величи-
нами Р и Q, если собственный вес каждого из
подвижных блоков равен q. Обобщить задачу
для случая п подвижных блоков.
Ответ'. 1—.
70. Полиспаст состоит из трёх блоков, укреплённых на непод-
вижной обойме АВ, и трёх блоков, укреплённых на подвижной
обойме CD. Все эти блоки охватывает шнур, один конец которого
прикреплён к неподвижной обойме в точке В; на его другой конец
действует сила величиною Р. К нижней, подвижной обойме подвешен
71—731
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ
25
груз весом Q. Определить зависимость между величинами Р и Q
при равновесии, пренебрегая трением и собственным весом блоков
и обоймы и принимая, что все части шпура между блоками парал-
К задаче 70. К задаче 71.
дельны между собой. Обобщить вопрос на случай п подвижных
блоков.
Ответ: Р = -у-; при п блоках Р = -^-.
71. Балка цилиндрической формы весом Р=60 кг подвешена на
двух канатах. Найти натяжения Га и Тв этих канатов, если АС =
= 1,5 м и СВ = 0,5 м.
Ответ: ТА =7,5 кг, Тв = 22,5 кг.
72. Неоднородный брусок АВ весом Р подвешен за конец А на
нити, закреплённой в точке О. Точкой С он опирается на чашку
весов Роберваля, причём брусок занимает горизонтальное положе-
К задаче 72.
К задаче 73;
ние. Весы уравновешиваются гирей весом Q. Определить расстояние
центра тяжести бруска от его конца А, если расстояние АС —а.
_ аО
Ответ:
73. Сила Р, приложенная в точке А, разложена на три силы, ей
параллельные, Рп Р2 и Р3, приложенные в точках В, С и D. Найти
26 • статик! [74—76
величины составляющих сил, если Д7> = 15длг, АО — 20дм,
АС = 5 дм, Р—50 кг и Ра = 2Р3.
Ответ', Рх — 20 кг, Р2=20 кг, Р3 = 10 кг.
74. В вершинах А, В, С и D прямоугольника ABCD приложены
силы величиной в 5, 15, 35 и 45 кг. В точке О пересечения диаго-
налей этого прямоугольника приложена сила величиной в 20 кг.
Все эти силы перпендикулярны к плоскости прямоугольника и
направлены в одну сторону. Найти положение центра этих сил, если
АВ =4 см и Д£)=10 см.
Ответ'. Если стороны AD и АВ примем за координатные оси
х и у, то координаты искомого центра будут: х = 7,5 см, у —2 см.
75. На горизонтальную балку действуют 10 вертикальных си i,
направленных вниз, величиной в 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
и 100 кг. Точки приложения их находятся друг от друга на равных
расстояниях. Найти центр этих параллельных сил.
Ответ'. Искомый центр совпадает с точкой приложения силы
в 70 кг.
76. На тело действуют пять параллельных сил:
Л = 10 кг, приложенная в
Р2=15 »
Л = 30 »
Л=15
Л=- 10 кг » »
Найти величину равнодействующей
точке At (1; 2; 3)
» А2 (2; 3; 1)
» Д3(3;1;2)
» Л, (0; 1; 1)
» Ав (if 4.-1; 0)
этих сил и координаты их
центра.
Ответ'. R = 60 кг, х — 2,у~2, Z — 2.
§ 4. Теория пар и моментов.
Фиг. 5.
1. Парой сил называется система двух равных параллельных сил, направ-
ленных в противоположные стороны, линии действия которых не совпадают
(фиг. 5). Момент пары есть
векторная величина, числен-
ное значение которой равно
произведению величины од-
ной из сил пары на рас-
стояние между линиями
действия сил этой пары
(плечо пары), т. е.
| мом (Р, Р’)\~Рр,
момент пары перпендикуля-
''р
рен к плоскости пары и на-
правлен так, что пабтюдатель, расположенный в направлении этого вектора,
видит вращение, вызываемое парой, направленным против хода стрелки часов
(т. е. направление момента определяется по правилу правого винта, фиг. 6),
74—76)
ТЕОРИЯ ПАР И МОМЕНТОВ
27
Пару можно видоизменять любым образом при условии сохранения
величины и направления сё момента; момент пары ссгь вектор свободный,
т. е. за начало этого вектора можно выбирать произвольную точку.
Система нескольких пар, действующих в одной плоскости, или в парал-
лельных плоскостях эквивалентна одной паре, момент которой равен алгеб-
раической сумме моментов составляющих пар. Если пары действуют в
непараллельных плоскостях, то момент равнодействующей пары равен гео-
метрической сумме моментов составляющих пар.
2. Момент силы Р относительно центра О есть вектор, приложенный
в центре О и перпендикулярный к плоскости треугольника ОАВ (фиг. 7);
направление этого вектора определяется, как и в случае пары, по пра-
вилу правого винта, а его модуль (длина) равняется произведению вели-
чины силы на расстояние р от центра О до линии действия силы, т. е.
мом0 Р\=Рр;
момент равен численно удвоенной площади треугольника ОАВ (фиг. 7).
Если А (х, у, 0) есть точка приложения силы, а X, Y и Z = 0—проекции
силы, на координатные оси, то алгебраическая величина момента силы
относительно начала координат будет равна хУ —уХ (фиг. 8). Алгебраиче-
ская величина момента силы Р относительно центра Oi (а, Ъ, 0) равна
(х — a)Y—(у — Ь)Х
(фиг. 8).
3. Моментом силы Р относительно оси х называется алгебраическое
значение момента проекции силы на плоскость П, перпендикулярную к оси,
относительно точки пересечения оси с этой плоскостью, т. е. (фиг. 9)
момхР —момо [прдР].
Проекция момента силы Р относительно центра О на какую-либо ось х,
проходящую через О (фиг. 10), равна моменту силы Р относительно этой
оси, т. е. прд. [мом0Р] = момхР.
28
СТАТИКА
J77—81
4. Если сила Р(Х, F, Z) приложена в точке А (х, у, г) (фиг. 11), то
прх [moMqP] = момхР =yZ — zY,
npj, [момоР] = moMjjP = zX — xZ,
прг [момоР] ==мом<гР=хУ —уХ,
иначе говоря, моменты силы Р относительно осей координат равны соответ-
ствующим минорам таблицы
77. По сторонам прямоугольника ABCD, в котором AD~a и
АВ = Ь, действуют силы,
образующие две пары (Р, Р) n.(Q, Q'),
как указано на чертеже. При каком со-
отношении между величинами Р и Q эти
две пары взаимно уравновешиваются?
Ответ'. При условии
Р £
Q ~ а ’
К задаче 77. 78. Шесть пар действуют в одной пло-
скости. Величины их сил равны соот-
ветственно 5, 3, 2, 3, 1/2 и 1, а плечи соответственно равны 2, 1,
4, х, 6 и 3. Найти плечо х, если известно, что система этих пар
эквивалентна нулю и что первые три пары имеют положительный
момент, а остальные — отрицательный.
Ответ'. х = 5.
79. Одна из сил пары, лежащей в плоскости хОу приложена
в точке (2,2). Проекции этой силы равны: X=l, Y—— 5. Дру-
К задаче 81.
гая сила пары приложена в точке (4,3). Найти
величину момента этой пары.
Ответ'. L = 11.
80. Найти величину момента L пары, эквива-
лентной двум парам, лежащим во взаимно пер-
пендикулярных плоскостях, если величины сил
этих пар равны; Рг = Pi = 4 и Р2 = Р2 = 5, а
их плечи соответственно равны: ^ = 2 и f/9 = 3.
Ответ'. L == (P^Y (Р3с^ = 17.
81. Двенадцать равных по величине сил, образующих шесть пар
действуют по рёбрам куба ABCD, как указано на чертеже. Опре-
делить величину и направление момента разнодействующей пары,
если величина каждой силы равна Р.
Ответ'. Момент равнодействующей пары направлен по диаго-
нали DA и численно равен 2AD • Р.
82—87]
ТЕОРИЯ ПАР И МОМЕНТОВ
29
82. Сложить четыре пары, расположенные в четырёх гранях
правильного тетраэдра, моменты которых равны и направлены внутрь
тетраэдра.
Ответ'. Система данных пар эквивалентна нулю.
83. На тело действуют три пары. Проекции их моментов на
координатные оси приведены в таблице:
2 4 0
zy = 4 2 2
18 10 — 4
Определить величину L момента равнодействующей пары и углы
а, 8, у, образуемые им с осями.
Ответ: А = 26, а = 76°39'27", 0 = 72°4'4б", у = 22°37'12".
84. Одна из сил пары приложена в точке (5, 3, 10). Проекции
этой силы на координатные оси равны: Х=12, У — —8, Z—0.
Другая сила пары приложена в точке (4, 4, 10). Определить вели-
чину L момента пары и углы а, р, у, образуемые им с осями.
Ответ: L — 4, а = р = 90°, у = 0.
85. На тело действуют три пары. Силы первой пары приложены
в точках (1, 4, 7) и (—1, —4, —7). Проекции первой из этих сил
на координатные оси: Xj =—10, У1=10, Zt = 0. Силы второй
пары приложены в точках (2, 5, 8) и
(—2, —5, —8). Проекции первой из этих
сил: Аг2 — 8, = 0, Z2 = 12. Силы треть-
ей пары приложены в точках (3, 6, 9) и
(—3, —6, —9) проекции первой из этих
сил: Х8 = 0, У3 = 0, Z3==15.
величину момента равнодей-
ствующей пары и углы а, р, у, образуемые
им с координатными осями.
Ответ: L = 10 ]/485 220,23, а =
= 43°24', р = 132°56', у = 84°47'.
86- Из теории пар известно, что сила
не может уравновесить пару. Почему же
в винтовом прессе (существенная часть его
изображена на чертеже) пара (Р, Q) как
будто уравновешивается силой сопротивления W сжимаемого тела?
87. Прямоугольный параллелепипед ABCD весом Р= 10 кг и
размерами АВ — 6 дм, AD = 8 дм наклонен так, что его основание
образует с горизонтом угол ср — 30°. Определить момент его веса
относительно ребра А. При каком значении угла 9 этот момент
обратится в нуль?
30
СТАТИКА
[88—92
Ответ'. |момдР| = 5,98 кг дм, момд P=Q при = 36°52'1 Г'.
88. Верёвка длиной а, привязанная к столбу под углом а, натя-
гивается силой, величина которой равна Р. Определить момент этой
силы относительно точки А (опрокидывающий момент). При каком
значении угла а этот момент достигает наибольшей величины?
Ответ: момд Р| = уaPsin 2а; этот момент имеет наибольшую
величину при а = 45°.
катка равен Р, радиус
89- Вес цилиндрического трамбовочного
К задаче 87. К задаче 88/
К задачо 89.
его равен г. Определить горизонтальную силу Т, необходимую для
перекатывания катка через кирпич, высота которого равна h.
n]/7z(2r—Л)
Ответ: Т = Р——-—,—-.
г — h
90. Сила величиной Р= 10 кг направлена по прямой Зх-{-
4-4у —10 = 0. Определить абсолютную величину её момента отно-
сительно начала координат.
Ответ: 20.
91. Найти геометрическое место концов векторов, изображающих
силы, приложенные в данной точке А и имеющие относительно дан-
ного центра О данный момент L.
Ответ: Прямая, параллельная АО, лежащая в плоскости, пер-
пендикулярной к £ на расстоянии от прямой АО.
/1 xj
92. В точке (4,2) приложены три силы, проекции которых на
координатные оси равны: Л* = 5, Ft = 12, Х3 = 4, У3 = 3,
Х3=10, У3 = 0. Найти величину момента их равнодействующей
относительно начала координат.
Ответ: 22.
93— 97] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ 31
93. Величины трех сил, приложенных в трех вершинах данного
треугольника, пропорциональны противолежащим сторонам его; силы
направлены по перпендикулярам к этим сторонам внутрь треуголь-
ника. Доказать, пользуясь теоремой Вариньона, что эти три силы
взаимно уравновешиваются.
Указание. Следует доказать, что момент равнодействующей относи-
тельно каждой из вершин треугольника равен
нулю.
94. На дверь, вращающуюся вокруг
оси АВ, действует сила величиной Р= 2 кг,
лежащая в плоскости, перпендикулярной
к АВ, и направленная под углом а = 45° к
плоскости двери. Найти момент этой силы
относительно оси АВ, если ширина двери
а = 0,5 м.
Ответ: 0,71 кгм.
95. Найти величину момента относи- к задаче 91.
тельно начала координат силы Р, прило-
женной в точке (х, у, z) и направленной под углами а, {3, у к по-
ложительным направлениям координатных осей.
Ответ:
& V(У cos Т — z cos ?)* (2 cos а — х cos У)2 + (х ccs Р — У cos а)2 •
96. Дана сила, изображаемая вектором АВ и пучок прямых
с центром в некоторой точке О, не лежащей на линии действия
этой силы. Рассматривая моменты этой силы относительно прямых
данного пучка как векторы, приложенные в точке О и направленные
вдоль соответственных прямых, найти геометрическое место концов
этих векторов.
Ответ: Сфера, касающаяся плоскости треугольника ОАВ
в точке О и имеющая диаметр, численно равный удвоенной пло-
щади этого треугольника.
97- Найти в пространстве геометрическое место концов векторов,
которые приложены в данной точке А и моменты которых относи-
тельно другой данной точки О, отстоящей от А на расстоянии а,
одинаковы по величине и равны L.
Ответ: Круглый цилиндр радиуса , имеющий осью враще-
ния прямую О А.
§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
1. Всякая сила Р, приложенная в точке А, эквивалентна такой же,
по величине и направлению, силе Р', приложенной в точке В, и nape (Р, Р"),
момент которой равен моменту силы Р относительно точки В (фиг. 12).
Поэтому точки приложения всех сил, лежащих* в одной плоскости, могут
32
СТАТИКА
[93—97
быть перенесены в любую точку О этой плоскости (центр приведения),
причём в результате получится одна сила R—VPj (результирующая сила
или главный вектор) и пара, момент которой L равен по величине алге-
браической сумме моментов всех данных сил относительно центра привсде-
. ния О (результирующий или
главный момент) (фиг. 13).
2. При изменении центра
приведения результирующая
сила /? остаётся неизменной,
т. е. она есть инвариант пло-
ской системы сил, а результи-
рующий момент L получает
приращение, равное моменту
силы R относительно нового
центра приведения С\, т. е.
Li — L 4- момО1/?.
Если /?=ЕР,т^0, то всегда можно найти такой центр приведения О*,
чтобы результирующий момент относительно этого центра был равен нулю,
т. е.
Д’
f4
Чг'
VP
Фиг. 12.
Фиг. 13.
Л
L* = £ момо.;Р, = 0;
тогда результирующая сила /?* = /?, приложенная в центре О*, будет равно-
действующей плоской системы сил, так как система приводится к одной
этой силе; линия действия равнодействующей /?* называется центральной
осью плоской системы сил.
Если — то результирующий момент L не изменяется при
изменении центра приведения; в этом случае система сил приводится к одной
паре с моментом L.
Если R = Q и £=0, то система сил находится в равновесии.
3. Аналогично, все силы пространственной системы могут быть приве-
дены к произвольному центру О, причём в результате получается: 1) резуль-
тирующая сила R, равная сумме всех данных сил (глав-
Уд ный вектор), и 2) результирующая пара, вектор-момент
j которой L равен сумме векторов-моментов данных
(. сил Pi относительно центра О (главному моменту дан-
ной системы сил). Таким образом (фиг. 14),
R — YJPb L — 'r ыыл.о
4. При перенесении центра приведения из точки О
в какую-либо точку результирующая сила R остаёт-
ся неизменной, а результирующий вектор-момент L
получает приращение, равное момо R, т е.
Z-! = £ -|- момО1/?.
Следовательно, при перемене центра приведения результирующий мо-
мент L изменяется, как по величине, так и по направлению. Если вектор L
разложить на две составляющие: одну по направлению R, равную по вели-
чине |Z.cosa|, а другую — перпендикулярную к R, величина которой равна
L sin а, причём а есть угол между R и L, то первая составляющая пе изме-
няется при изменении центра приведения, ибо момО1 R, будучи перпендику-
лярен к R изменяет тотько вторую, перпендикулярную к R составляющую.
Таким образом, инвариантами пространственной системы сил являются:
1) результирующая сила R и 2) проекция результирующего момента L на
направление R, т. е. L cos а.
5. Если то всегда можно найти такой центр приведения О*, для
которого составляющая вектора L, перпендикулярная к R обращается в нуль.
Фиг. 14.
98—101] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
33
и следовательно, вся система сил приводится к силе /? и паре, вектор-мо-
мснтг'Еоторой L* параллелен этой силе (фиг. 14); в этом случае результирую-
щий вектор-момент имеет наименьшую абсолютную величину L* = |£cosa|;
прямая, проходящая через точку О* и имеющая направление векторов /? и
L*, называется центральной осью пространственной системы сил.
6. Совокупность силы и пары, вектор-момент которой параллелен силе,
называется дннамой. Следовательно, в общем случае пространственная си-
стема сил может быть приведена к динаме.
7. Если L cos а = 0, то система сил приводится к одной силе /?, т. е.
имеет равнодействующую. Если R = 0, то система сил приводится к одной
паре. В этом случае £ = cons.t.
8. Всякую систему сил в общем случае можно привести к двум непере-
секающимся и непараллельным силам, одна из которых имеет данную точку
приложения и данное направление.
98. К точкам А, В, С и D абсолютно твёрдого тела, лежащим
в одной плоскости, приложены силы, изображаемые векторами АВ,
ВС, CD, DE. Привести эту систему
сил к точке А. О- -~х
Ответ'. Главный вектор системы
равен вектору а главный мо- f
мент равен (численно) удвоенной /
площади многоугольника ABCDE.
99. Известно, что данная пло- К задаче 98.
ская система сил эквивалентна
одной равнодействующей силе R. Найти геометрическое место кон-
цов векторов, изображающих главные моменты этой системы отно-
сительно всех точек её плоскости.
Ответ: Плоскость, пересекающая плоскость данной системы сил
по линии действия силы R.
100. Данная плоская система сил эквивалентна одной силе R.
Найти в плоскости этой системы геометрическое место центров при-
ведения, относительно которых её главные моменты имеют данную
алгебраическую величину L.
Ответ' Прямая, параллельная линии действия силы /?, проведён-
jZ|
ная на расстоянии - - от последней.
К
101. Дана плоская система четырёх сил Pv Р2 Р3 и Р4; проек-
ции X и Y этих сил и координаты х, у точек их приложения при-
ведены в таблице
1 Рх А РЪ Pl
X 1 — 2 3 — 4
Y 4 1 — 3 — 3
X 2 — 2 3 — 4
У 1 — 1 —3 — 6
3 Сборник задач
34
СТАТИКА
[102—106
Привести эту систему к началу координат и найти уравнение
центральной оси (линии действия равнодействующей). 7
Ответ'. Модуль главного вектора R — -j/б, модуль главного
момента £0 = 9; уравнение центральной оси: х — 2у-Р9=0-
102. Перенести, не нарушая её эффекта, силу Р с проекциями
Р1, Pv — — 2, P, = 3 из точки её приложения (2, 2, 2) в точку
(- 1, 4, 4
Ответ’. В результате перенесения получится сила Р и пара с момен-
том, модуль которого L = уЛ 133, а направляющие косинусы равны:
6 _ 9 __ 4
1ЛТЗЗ ’ У133 ’ VT33 '
103. Даны три силы:
Рх (3, 5, 4) с точкой приложения (0, 2, 1),
Р2 (—2, 2, —6) с точкой приложения (1, —1, 3),
Р3 (-1, -7, 2) с точкой приложения (2, 3, 1).
Привести эту систему к началу координат.
Ответ'. В результате приведения получается пара с моментом,
модуль которого L = 3 у^бТ 23,43, а направляющие косинусы
16 __2____ _ 17
3|ЛбГ’ 3]Л61 ’ 3]ЛбТ ’
104. По рёбрам куба действуют, как показано на чертеже, шесть
сил величиной Р каждая. Найти наименьший главный момент £mln,
результирующую силу /?, центральную
ось, а также параметр динамы, если длина
ребра куба равна а.
Ответ-. Lm\n —Ра-, R~4Р. Цент-
ральная ось параллельна оси z и проходит
j через центры горизонтальных граней куба,
тт а
Параметр динамы равен .
105. Доказать теорему: проекции
onno.ro та главных моментов данной системы сил
л задаче w**.
относительно двух произвольных точек
пространства на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.
106. Даны: две точки, главный момент некоторой системы сил
относительно одной из этих точек и направление главного момента
той же системы сил относительно другой точки. Найти величину
этого второго момента.
Ответ’. Воспользоваться теоремой предыдущей задачи. Обозна-
чая через а вектор, соединяющий данные точки, и через и
Ц)7_110} ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ 35
главные моменты относительно этих точек, найдём
j ____________________________' а
где L® есть орт, определяющий направление £3.
107. Данная система сил, расположенных в пространстве, приве-
дена к двум силам. Доказать, что общий перпендикуляр к линии
действия этих сил пересекает центральную ось данной системы под
прямым углом.
108. По двум рёбрам куба действуют,' как показано на чертеже,
две силы, величиной Р каждая. Найти величину результирующей силы
К задаче 108.
R наименьшего результирующего момента Lmin> положение централь-
ной оси, а также параметр динамы, если ребро куба равно а.
Ответ'. Р — Р^2; Lmin = ~Pa^2. Параметр динамы равен
у а. Нейтральная ось проходит через точку 0, а, о) и центр
куба.
109. Три силы Р, Q, S действуют соответственно вдоль рёбер
EF~a, GB — b, AD = с прямоугольного параллелепипеда. Найти
условие существования равнодействующей этих трёх сил, а также
её величину.
Ответ'. Величина равнодействующей Р = }/Р2-}- Qa-}-5a. Усло-
вие её существования: aQS-J-Z>5,P-f-cPQ = 0.
ПО. Найти геометрическое место центров приведения данной
пространственной системы сил, относительно которых результиру-
ющий момент этой системы имеет данную величину L.
-t/~ _Ji
Ответ'. Круглый цилиндр радиуса г=—-„—имеющий
осью вращения центральную ось данной системы сил, причём R есть
величина главного вектора этой системы.
з*
36
СТАТИКА
[1Н—ПЗ
§ 6. Равновесие системы сил в плоскости.
1. Для того чтобы плоская система сил находилась в равновесии, необ-
ходимо и достаточно, чтобы силы системы удовлетворяли условиям:
Р — = 0 и £м°моР=0,
где О—произвольный центр; из первого уравнения следует, что при равно-
весии Rx = Рх = 0 и Rv — У Ру = 0; поэтому условия равновесия плоской
системы сил выражаются также следующими тремя уравнениями:
£РЛ = 0, = V]momoP = 0.
При решении задач нужно иметь в виду общие соображения, изложен-
ные в § 2, причём за центр моментов удобнее выбирать ту точку, в которой
пересекается большее число сил.
2. Если сумма моментов сил плоской системы относительно каждого из
трёх произвольных центров, не лежащих на одной прямой, равна нулю, то
система находится в равновесии, и наоборот.
ней
под
сия
а) Равновесие рычага (одно уравнение равновесия).
111. Неизменяемая система, состоящая из двух однородных стерж-
АС длины 2а и СВ длины 2Ь, жёстко соединённых в точке С
углом со подвешена на веревке СО. Найти положение равнове-
(угол а стороны АС с горизонтом). Показать, что при равнове-
сии центр тяжести ломаной АСВ находится
на вертикали, проходящей через точку С.
а2 4- b2 cos
tg а = ——;,
ь о2 sin ш •
Ответ:
112. Два однородных стержня А8 и ВС,
из которых
один вдвое короче другого
= 2/j, жёстко соединены друг
с другом под углом ср = 60°. Полученная
система подвешена на верёвке за конец А.
Определить угол а, составляемый стержнем
СВ с горизонтом при равновесии.
„ , 4 — 5coscp 1ЛЗ
Огпвет: tg а — .---- — .
ь 5 sin ср о
113. Неизменяемая система, состоящая из двух однородных
стержней АС и СВ, соединённых под прямым углом в точке С,
находится в положении равновесия в вертикальной плоскости, опи-
раясь на неподвижный, абсолютно гладкий круглый цилиндр радиуса г,
ось которого горизонтальна. Найти положение равновесия (угол а
стороны АС с вертикалью). АС = 2а и СВ — 2Ь.
Ответ:
tga =
(а -|- b)~r— а2*
114—115]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
37
114. Груз весом Q подвешен к краю однородной полусферы
радиуса г весом Р, положенной выпуклой стороной на горизонталь-
ную плоскость. Найти угол ср, который ось симметрии полусферы
образует с вертикалью в положении равновесия.
Указание. Расстояние центра тяжести С полусферы от сё центра О
равно 3/8 /.
ZS . 8 Q
Ответ', tg 9 = -3 • р .
115. Две верёвки прикреплены к неподвижной точке А; на од-
ной из них, длиной / = 18 дм, висит однородный шар радиуса г=
22 дм и весом Р=2 кг, на другой — подве-
шена гиря весом Q = 20 кг, причеши эта вторая
верёвка прилегает по некоторой дуге к шару,
отклоняя его в сторону. Зная, что вся си-
К задаче 114.
стема находится в равновесии, найти угол 9 между вертикалью и
той верёвкой, на которой висит шар.
Указание. Составить уравнение моментов относительно точки под-
веса А.
Or
Ответ-. ? = arcsin = 30°.
38
СТАТИКА
file—ns
116. В одной вертикальной плоскости находятся: горизонтальная
проволока MN и трубочка АО длиной Z, вращающаяся вокруг оси О,
отстоящей от проволоки на расстояние ОО' — а. К концу О тру-
бочки внутри её прикреплена резиновая нить, длина которой
в естественном состоянии равна длине трубочки, к свободному
концу этой резинки приделан крючок. Крючок накидывают на про-
волоку в точке причём А/У = АО = 1, и затем подвешивают
где-нибудь к трубочке такой груз, что она занимает горизонтальное
£_
^положение. Как будет изменяться угол, образуемый с горизонтом
осью трубочки, если передвигать крючок вдоль проволоки? Пред-
полагается, что сила натяжения резинки пропорциональна её удли-
нению.
Ответ*, Трубочка останется горизонтальной, в какой бы точке
проволоки ни находился крючок.
117. В ремённой передаче радиус ведущего шкива равен р,
а радиус ведомого равен г. На одну ось с ведомым шкивом наглухо
насажено колесо радиуса R. На ведущий шкив действует сила Р,
приложенная в точке 7V его
тельной к этой окружности;
окружности и направленная по каса-
к колесу в точке Л4 его окружности
привязан груз весом Q. Найти зави-
симость между Р и Q при равновесии.
п
Ответ*. P=Q-~
К задаче 118. 118. На концы прямолинейного ры-
чага АВ длиной а, вращающегося
вокруг точки О, действуют силы Р и Q, образующие с рычагом
углы а и р. Найти расстояние АО при равновесии и реакцию Ро
шарнира О.
Ответ-. = /?,= //» + Q’-2PQcos(a+₽).
119. На рычаг действуют три силы. Координаты их точек при-
ложения в прямоугольной системе, начало которой совпадает с за-
120—122]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
39
креплённой точкой рычага, равны: (0,2), (1, — 1), (1,1). Проекции
этих сил на те же оси равны: (5,0), (5,1) и (3, —3).
Какой величины силу нужно приложить в точке (1,2), чтобы
рычаг был в равновесии, если эта сила образует с положительным
направлением оси х угол, тангенс которого равен 3/4?
Ответ'. 10.
К задаче 120.
120. Три одинаковых стержня, весом которых пренебрегаем,
образующие между собой углы в 129°, неизменно соединены друг
с другом в точке О. На концах их находятся
центры шаров А, В и С, веса которых отно-
сятся как 1:2:3. Вся система может вращаться
вокруг горизонтальной оси О, перпендикуляр-
ной к плоскости, в которой лежат центры
шаров. Определить угол а стержня ОС с верти-
калью при равновесии.
Ответ', а = 30°.
121. Рычаг А В длиной в 20 дм вращается на
шарнире О. В точках А, С и В рычага прило-
жены силы в 15,5, 10 и 25,5 кг, перпендикуляр-
ные к АВ. Какой величины и какого направле-
ния силу, перпендикулярную к АВ, нужно приложить в точке D
для того, чтобы рычаг был в равновесии, если AC — CO — OD~
= 03?
Ответ'. Силу в 10 кгу направленную вверх.
122. Предохранительный клапан D парового котла соединён шар-
ниром А с рычагом О В длиной в 40 ем и весом в 1 кг, вращаю-
щимся на шарнире О, причём ОА = 5 см. В точке С рычага под-
15.5А?
25,5 Аг f
К задаче 121.
К задаче 122.
вешен груз весозя Р— 32,5 кг. Площадь клапана равна 25 см*.
Определить расстояние ОС при условии, чтобы клапан открывался
при давлении в котле, большем 10 ат. Одна атмосфера равна
1,03 кг на 1 см*. Весом клапана можно пренебречь.
Ответ'. ОС = 39 см.
40
СТАТИКА
J123—126
123. Угол наклонения магнитной стрелки равен 60°. Если к её
верхнему концу прикрепить гирьку в 1 г, то угол наклонения умень-
шается до 30°. Какого веса гирьку нужно прикрепить к концу
стрелки, чтобы она стала горизонтальной ?
Ответ'. Р/2 г.
Симметричный Т-образный рычаг
ACBD может вращаться вокруг гори-
//1 зонтальной оси С. Положение конца D
отмечается на круговой шкале. Требуется
п ! । проградуировать эту шкалу так, чтобы
Dtf 1 X прибор мог служить для взвешивания
----\q РЩ| грузов, прикрепляемых к концу В. Дано:
СВ=а, расстояние CS от оси вращения
К задаче 124. до центра тяжести 5 плеча СО равно Ь,
вес плеча CD равен Q.
Ра *
Ответ: tga=^- • -у, где а есть угол прямой CD с вертикалью.
Поэтому проградуировать шкалу можно так: подвесим в В груз,
равен единице и продолжим CD до пересечения с го-
ризонталью Ох в точке kv Разобьём затем прямую
Ох на равные отрезки:
Okx — —•—...
Соединив точки kx, k*, ks,. .. с точкой С прямыми,
получим на шкале точки, соответствующие 1, 2, 3...
вес которого
единицам веса.
125. Дифференциальный блок Вестона, схематически
изображённый на чертеже, состоит из двух неподвиж-
ных блоков OAF и ОВС, неизменно соединённых друг
с другом и вращающихся на общей оси О, и из
подвижного блока OXED. Края блоков снабжены зуб-
цами, на которые надеваются звенья замкнутой цепи
CBDEFA. Одна часть этой цепи свободно свешивается
К задаче 125. с блока OAF, к другой части, свешивающейся с бло-
ка ОВС, приложена сила Р. К блоку OXED подвешен
груз весом Q. Найти зависимость между Р и Q при равновесии,
если OB = R и О А = г. Трением и весом блока OXED пренебрегаем.
Ответ: Замечая, что натяжение цепи в частях FE и BD равно
1/i Q, и написав уравнение моментов относительно точки О, полу-
чим из него
Р-——~ Q
1 2R
126. Для блока Вестона (см. предыдущую задачу) определить:
1) величину силы Р, если Q = 600 кг, Л? = 30 см и г = 29 см;
127—129]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
41
2) отношение радиусов : г так, чтобы величина Р была в п раз
меньше веса Q.
Ответ'. 1) Р= 10 кг, 2) -к-.
б) Равновесие системы параллельных сил
(два уравнения равновесия).
127. Однородная балка А В длиной в 1,5 м и весом в 80 кг за-
ложена между двумя опорами С и D. К концу В балки подвешен
груз в 200 кг. Найти реакции
опор С и D, если ЛС=25 см
и CD — 30 см.
Ответ’. Nc = 686% кг,
ND=$5&h кг.
128. Однородная горизонталь-
ная балка длиной 1 = 5 м и ве-
К задаче 127.
сом Р= 30 кг лежит симметрично
на двух опорах А и В, отстоящих друг от друга на расстояние
<Z = 3 м. На свободные концы балки действуют вертикальные си-
К задаче 129.
К задаче 128.
лы, равные по величине F1 = 10 кг и F2 = 20 кг\ между опорами
на расстоянии x/^d от опоры А лежит груз весом Q = 20 кг.
Найти реакции опор.
Ответ’. Na — 36% =431/8 кг.
129. Однородная балка АВ длиной 2Z и весом Р лежит гори-
зонтально, свободно опираясь на две опоры С и D, удалённые от
концов балки на расстояние d. К концу А балки подвешен груз
весом Q, а на участке DB балка несёт равномерно распределённую
нагрузку, равную р на единицу длины. Найти реакции опор С и D.
Ответ-.
.. 2P(l-d) — 2QdA-pdOl — 3d)
1ND = —-----------------------
42
СТАТИКА
[130—132
130. В узлах В, Н, С, F и D симметричной фермы приложены
вертикальные силы в 1, 2, 3, 4 и 5 т. Определить реакции опор
А и Е, зная, что равнобедренные треугольники ABH, HCF и FDE
имеют равные основания.
Ответ'. Na=^^ т, /Уд = 9,17 т.
131. Три шкива С, D и Е, веса которых равны 10, 12 и 18 кг,
находятся на обшей оси, на расстояниях 10 см друг от друга. Опре-
6 С D
Ат
К задаче 130.
К задаче 131.
делить, на каком расстоянии от подшипника А нужно поместить
шкив С, чтобы давления на -подшипники А и В были равны. Рас-
стояние АВ = 1 м.
Ответ', х — 38 см.
в) Три уравнения равновесия.
132. Лестница АВ весом 15 кг, поставленная под углом в 60°,
опирается на гладкую вертикальную стену и негладкий горизонталь-
ный пол. Она удерживается в равновесии силой трения F, направ-
К задаче 132. К задаче 133.
ленной по ВС. Предполагая, что центр тяжести лестницы находится
на середине АВ, найти давления лестницы на пол и стену и вели-
чину силы трения F.
133_136] РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ сил в плоскости 43
Отвепг. Na — F=4,33 кг, N$ = 15 кг.
133. По доске АВ длиной 2а —2 м и весом Р = 20 кг, состав-
ляющей с горизонтальной плоскостью угол а = 30°, идёт человек
весом Q —64 кг. Он находится в точке D, причём AD — x.
Определить реакции в точках А и С в зависимости от х, если
5
= При каком значении х равновесие станет невоз-
можным?
Ответ: Ха = 0,8 j/ 3 (16х -{- 5), У а =72—38,4 х, Nc =
= 1,6 |ЛЗ ( 1 6jv —Р5). Равновесие невозможно при х^>17/8 м.
134. Однородная балка АВ, расположенная в вертикальной пло-
скости, прикреплена нижним концом к полу при помощи шарнира А,
а верхним концом В опирается на гладкую вертикальную стену.
К задаче 134. К задаче 136.
Даны: вес бачки Р, длина её 2а и угол наклона а. Найти полную
реакцию шарнира и реакцию стены.
Р
Ответ: Реакция стены горизонтальна и равна -^-ctga. Величина
полной реакции шарнира R_A~^V4pctg'za. Угол её с горизон-
том определяется из уравнения: tgq> = 2tga.
135. Условия предыдущей задачи, но шарнир помещается на верх-
нем конце В балки, которая нижним концом опирается на глад-
кий пол. Найти ре-акцию пола и полную реакцию шарнира.
Р
Ответ: Обе реакции направлены вертикально вверх и равны
136. Однородный стержень длиной 21 и весом Р прикреплён
шарниром В к стене, а в точке А опирается на ребро другой стены.
Найти реакции в точках А и В, если известно, что точка А отстоит
44
СТАТИКА
[137—138
от первой стены на расстояние а и находится на высоте, равной Ь,
над шарниром В.
Ответ'.
кт ту „ г. abl
Na~~P • Хв~Р(а2 + >
аЧ
137. Условия те же, что и в предыдущей задаче, но шарнира
нет, а стержень концом упирается в гладкую стену.
Найти угол а, а также реакции в точках А и В при равновесии.
Ответ', cosa—1/"-^-, NA=—2VB±=Ptga.
у L сиь Я
138. Однородный стержень длиной 2/ и весом Р прикреплён
шарниром В к стене, а в точке А опирается на неподвижный круглый
цилиндр радиуса г, центр которого удалён от стены на расстояние d.
К задаче 137.
К задаче 138.
Найти реакции в точках А и В, если угол а стержня с горизон-
том известен. Рассмотреть частные случаи: 1) когда стержень ка-
сается цилиндра своей серединой; 2) когда а = 0; 3) когда точки
В и О (центр цилиндра) находятся на одном уровне.
Ответ,'.
.. n I cos2 a ., n I cos2 a sin a
NA = P —-----;, Xb =P-3-------;-
A d—rsina ’ d — rsina
/cos’a ’
d— rsina
Частные случаи:
1) /cos a -J- rsin a — d, NA=Pcosa, Rb — Psina; сила
(полная реакция шарнира) направлена вдоль В А'
2) а = 0, Л'л =Р-'-, Хв=0, YB=P-^-;
3) r=dsina, N=P~~, X=^f, Y=~(<P— I -J <P — r:).
139—142]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
45
139. Условия те же, что и в предыдущей задаче, но шарнира
нет, а стержень концом В упирается в гладкую вертикальную стену.
Найти угол а при равновесии и реакции в точках А и В.
Ответ'. Угол а определяется из уравнения Z cos3 <z —|— rsin а— d =
Na = -^~, NB=Ptga.
COS a ’
140. Однородный стержень AB весом P и длиной 2Z прикреплён
нижним своим концом к полу при помощи шарнира, а верхним кон-
цом опирается на гладкую наклонную плоскость, образующую угол £
К задаче 141.
с горизонтом. Найти реакцию шарнира и реакцию стены, если из-
вестно, что стержень образует с полом угол а.
Ответ'.
.. Feos a Р cos a sin fl y R cos a cos fl I
B 2 cos ф — a) * A 2 cos ((3 —c) ’ A [ 2 cos (0 — a) J ’
141. Условия предыдущей задачи, но стержень свободно опи-
рается о пол и удерживается в равновесии при помощи привязанной
к верхнему его концу и перекинутой через блок С верёвки с гру-
зом веса Q на свободном конце.
Найти угол а стержня с полом при равновесий и реакции в
точках А и В.
Ответ: Если равновесие существует,
личным; условие равновесия выражается
равенством
Q = sin ₽;
р
реакция стены NB = cos !3, реакция по-
дл Р
ла Na == 2 .
142. Однородный стержень АВ длиной
2a = 3 м и весом Р= 30 кг опирается
то оно является безраз-
К задаче 142.
концом А на гладкий горизонтальный пол и на два ролика С и D.
Расстояние между роликами CD ~ b ==1,4 м. Ролик D располо-
46
СТАТИКА
1148—145
жен выше ролика С на h = 0,95 м. Определить давления стержня
на пол и ролики.
п i А2_ АЗ
Ответ: Л^=Р=30 кг, ND==NC=P^L^-------= 23,61 кг.
143. Однородный стержень АВ весом Р опирается на две не-
подвижные плоскости, составляющие с горизонтом углы а и р.
Определить реакции в точках А и В
и
К задаче 143.
угол ф при равновесии.
. ___sin?_____ n
sin(a-H)
Sin a p
sin(« + i3)
, 2 sin a , D
fq- co = . . . .—г-т — ctg p.
1 sint3 sin ь r
Ответ: Na
Nb ~
144. Однородный стержень AB нижним своим концом А при-
креплён к полу при помощи шарнира и удерживается под углом a
к горизонту при помощи привязанной к верхнему его концу В ве-
рёвки, которая прикреплена другим своим концом к стене и обра-
К задаче 144.
К задаче 115.
зует угол р с горизонтом. Найти натяжение Т верёвки и реакцию
шарнира, если вес стержня Р.
Ответ:
Р cos a
2 sin (fl — a)
P [' COS a sin 3 1
2 [ sin (h — a) J *
P COS a COS 3
2 sin(p — ci)*
145. Однородный стержень AB длиной 2a и весом P прикреп-
лён верхним своим концом при помощи шарнира к неподвижной
точке А. К нижнему его концу прикреплена верёвка, перекинутая
через расположенный на одной горизонтали с точкой А малый
блок С и несущая на своём свободном конце груз Q. Найти угол
а= / С АВ и реакцию шарнира при равновесии, если известно,
что С А = В А.
14€_149] РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ сил в плоскости 47
Ответ'.
СО8^=1^Ц2-±^, X4=-Qsin|, Fa=P-Qcos|.
z zr^ £ &
146. Условия предыдущей задачи, но точки А и С находятся на
одной вертикали. Найти положение равновесия и реакцию шарнира.
Ответ'. cq =/, CAB — 2 arcsin аа = 180°. В первом случае
реакция шарнира ТУд = Рг—Q2 и направлена по биссектрисе
угла С АВ. Во втором случае она равна | Q — Р |.
147. Однородный стержень весом Р и длиной 2а упирается верх-
ним своим концом А в абсолютно гладкую вертикальную стену, к
нижнему его концу В привязана нерастяжимая нить ВС, прикреп-
К задаче 146. К задаче 147. К задаче 148.
лённая к стене в точке С, лежащей над точкой А на одной с ней
вертикали; угол стержня со стеной равен а, угол нити со стеной ра-
вен р. Найти соотношение углов аир при равновесии, если плос-
кость АВС вертикальна и перпендикулярна к стене.
Ответ'. tga=2tgp.
148. Лестница АВ нижним своим концом опирается на горизон-
тальный гладкий пол, а на верхнем своём конце снабжена двумя крючка-
ми, накинутыми на металлический стержень, протянутый вдоль стены
параллельно полу. Найти реакцию стержня и реакцию пола, если
вес лестницы равен Р, длина её равна /, а на лестнице стоит, на
расстоянии а от верхнего конца, человек, весом G.
Ответ'. Na = £-р &, 2УВ =-Ц—О.
Z 4 Z 4
149. Квадратная доска ABCD весом Р подвешена на верёвке ВВ;
вершиной А опа опирается на неподвижную гладкую вертикальную
48
СТАТИКА
[150—152
стену ЕА. Определить реакцию стены в точке А, натяжение Т ве-
рёвки и угол ср, если АВ — ЗЕ = а.
Ответ: tgcp = ~, Г— О?А
О О О
160. Однородный стержень АЗ длиной 2а и весом Р опирается
своими концами на две абсолютно гладкие неподвижные плоскости,
К задаче 149.
угол между которыми равен а; с горизонталь-
ной плоскостью стержень образует угол р.
Стержень удерживается в равновесии нитью DC,
привязанной к точке D стержня и к непо-
движной точке С. Направление нити образует с
горизонтом угол у. Определить натяжение
нити Т и реакции в точках А и В.
Какому условию должен удовлетворять
угол у, для того чтобы равновесие было воз-
можно? Рассмотреть частные случаи этой за-
дачи: 1) у= 0; 2) а=90°.
Ответ:
Na
Р sin acosp
2 cos (а-|~р— у)’
P cos p cos y
2 cos (a-f-p— t)’
COS P COS (a — y) \
2 COS (a + P — Y) /
Условие возможности равновесия: 4<^Z.ACF, причём CF ±_AB.
151. В полусферическую гладкую чашку радиуса ОС —г поло-
жена однородная палочка АВ длиной 2а и весом Р. Определить
К задаче 150.
К задаче 151.
угол ср и реакции в точках А и С при равновесии. Найти также
условие возможности равновесия.
п a + l/a2 4-32 г2 а о
Ответ: cos ср — —— —---------; Nc — 3 ; NA = Р tg ср. Рав-
новесие возможно при а 2 г.
152. Вагонетка весом Р=з100 кг удерживается на наклонной
плоскости с углом a = 30° канатом, перекинутым через блок О и
параллельным плоскости. Определить давление колёс вагонетки на
153—155]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
49
плоскость в точках А и В и натяжение Г каната, если AD = DB =
== а — 0,75 м (D есть проекция центра тяжести С вагонетки на
наклонную плоскость), СЕ = Ь = 0,3 м.
Ответ'. Г=50 кг, Na=%3,30 кг, 53,30 кг.
163. Ось АВ подъёмного крана, вес которого равняется 1500 «г,
вращается в подпятнике В и под-
шипнике А. К крану в точке С под-
вешен груз в 800 кг. Определить
реакции в А и В, если расстоя-
ние AS = 4 м, расстояние центра
К задаче 153
тяжести крана О от оси АВ равно 1 м и расстояние точки С
от той же оси равно 2 м.
Ответ'. ХА ~ — 775 кг, УА=0, А4; —775 кг, YB =2300 кг.
154. Крап состоит из однородного стержня АС весом Р, вращаю-
щегося на шарнире А и привязанного к закреплённой точке В
цепью ВС. К концу С стержня подвешен груз
весом Q. Определить натяжение Т цепи и ре-
акцию в шарнире А, если углы аир изве-
стны. Как изменится величина натяжения Т в
случае, когда цепь станет горизонтальной?
„ (2Q-|-P)sina
Omeem-. Г=± ,
у ___ (2Q + P)sinasin(a4-₽)
Ла~ 2sin₽
V — pin (2<? + р) sin «cos (a-H) К задаче 154.
- 2sinp
155. В предыдущей задаче определить натяжение цепи, а также
величину и направление полной реакции /?д в шарнире, пренебрегая
весом стержня АС.
Ответ'. Реакция RA направлена по АС, 7? 4 = Q>
Q.
sinp
4 Сборник задач
50
СТАТИКА
[156—158
Равновесие нескольких тел.
в
К задаче 156.
При решении задач на равновесие системы, состоящей из нескольких
тел, нужно рассматривать отдельно равновесие каждого тела под действием
сил, приложенных к нему непосредственно, и реакций смежных с ним тел,
принимая во внимание
закон равенства действия
противодействию.
156. Лестница-
стремянка состоит из
двух одинаковых ча-
стей, связанных шар-
ниром С и цепочкой
DE. Найти реакции по-
ла, натяжение Т це-
почки и реакцию в шар-
нире, когда на лест-
нице стоит человек в
точке Н. Дапо: ДС = £С = 27; ОН = х; АО = ВЁ=а; вес стре-
мянки равен 2Р; вес человека равен Q; /_САВ = СВА = а,
К задаче 157.
Ответ: Na=P+ Q, NB=P+ —+ А' Q,
Т= etc.« Хс = Т, Ус — Q-
— 2(2/ — а) ъ ’ с с 4/
157- Два расположенных в вертикальной плоскости невесомых
стержня одинаковой длины АС = ВС— а соединены в точке С шар-
ниром, к которому подвешен груз Р, и опираются на горизонтальный
гладкий пол. Концы А и В связаны упругой нитью АВ, длина кото-
рой в свободном со-
стоянии равна Zo; натя-
жение нити предпо-
лагается пропорцио-
нальным удлинению
(коэффициент пропор-
циональности Л). Най-
ти соотношение между
весом Р и углом 2<р при
точке С. Найти такое
значение Р, при кото-
ром угол АСВ прямой.
К
158.
Ответ'. Р и ? связаны уравнением Р—26(2acos9—
Отсюда при = 45° получаем
Р=2Л(«/ 2 —Zo).
158. Два одинаковых однородных шара радиуса г, каждый из
которых имеет вес Р, положены внутрь полого, открытого с обоих
15S—160j РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
51
концов прямого цилиндра радиуса Р, стоящего на горизонтальном
шероховатом столе. Определить наименьший вес Q цилиндра, при
котором шары его не опрокидывают, пренебрегая толщиной стенок
цилиндра.
Указание. Определяя давления верхнего и нижнего шаров на стенки
цилиндра при равновесии, найдём
Nt=zNz =
P(R — r)
YR(2r—R)'
Затем пользуемся равенством момента пары N2) и момента силы Q от-
носительно точки А.
Отвепг.
Qrnin — 2Р
159. Две однородные полусферы связаны между собой при помощи
прикреплённого к ним шарнирами однородного стержня. Вес боль-
шей полусферы равен Ри ра-
диус её вес и радиус мень-
шей равны соответственно
Ро и г2; длина стержня Z,
вес его Q. Найти положе-
ние равновесия этой систе-
мы, когда она положена па К задаче 159.
гладкую горизонтальную
плоскость, т. е. найти углы <ft и <ft оснований полусфер и угол 9
стержня с горизонтом. (Расстояние центра тяжести полусферы ра-
диуса г от её центра равно 3/8 г.)
К задаче 160.
/о l 4 Q . 4 Q
Ответ', tgft^-^^, tg ft, =-g-,
1
sin^ = -y
G (1 — sin ft) — r2 (1 — sin ft,) .
160. В точке А потолка подвешен на верёвке
длиной b шар радиуса г, весом Р; в той же точке А
прикреплён при помощи шарнира однородный стер-
жень длиной 2а, весом Q. В положении равновесия,
изображённом на чертеже, верёвка и стержень обра-
зуют с вертикалью соответственно угол 9 и угол а.
Найти эти углы.
Указание. Выразить sin (<р -}- а) через Ь и г и воспользоваться урав-
нением моментов относительно точки подвеса А.
Vb (b 4- 2r) , Qa
Ответ’, etg а —-----—- 4- 4—.
ь г г рг»
dgiS = ^+*2
Р <. Ь + гу
Q аг ’
4
52
СТАТИКА
[161—163
подвешены в неподвижной
поддерживают третий шар
с ними веса. Найти зависи-
К задаче 161.
161. Два одинаковых гладких шара
точке О на двух одинаковых нитях и
одинакового
мость между углами аир.
Ответ', tg р = 3 tg а.
162. Невесомая палочка АВ длиной I
опущена одним концом в цилиндриче-
ский сосуд, высота которого й, диаметр а и
вес Р. Найти наименьший груз Q, ко-
торый, будучи подвешен к концу палоч-
ки В, в состоянии опрокинуть сосуд.
Найти также реакции в точках А и D в на-
чальный момент опрокидывания. Предпо-
лагается, что палочка не может сколь-
зить концом по стенке АС и что тол-
щиной стенок и дна цилиндра можно
пренебречь.
Указание. Рассматривая палочку и со-
суд как одно целое, пишем уравнение мо-
ментов сил Р и Q относительно точки О.
Далее, получаем условия задачи 136, так как Q уже определено.
Ответ: Q0 = Qmin — 2(Z-^d) ’ где AD — yf
КТ _^Qola__ Pal
d2 ~2d(l—d)
, lab
°~dr
1 d3 Г
163. На горизонтальный стол ставится абсолютно гладкий
внутри цилиндр диаметра а и весом Р. В него опускают однород-
К задаче 162.
ную палочку длиной 2Z и весом Q, которая занимает некоторое
положение равновесия под углом 9 к горизонту.
164—1661
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
53
Найти наименьший вес Qo палочки, которая в состоянии опро-
кинуть цилиндр, угол <р0 палочки с горизонтом и реакции в точ-
ках А и D в начальный момент опрокидывания. Толщиной стенок
цилиндра можно пренебречь.
1
Ответ. = Qmin —— Ра 8,
z I л/ а — ал/ I
cos
3 z—--*
4-;
Na = Qq
164. Близ концов А и В однородного горизонтального стержня
весом Р проделаны два небольших отверстия на расстоянии 2а
одно от другого. В эти отверстия пропущена нить длиной 2Z, к
середине которой привязан груз Q и концы М и N которой за-
креплены на одном уровне на расстоянии 2а друг от друга. Найти
угол а при равновесии системы, а также силу S, сжимающую стер-
жень.
Ответ', sin а — рДг), 5= i /Р (2Q + Р) •
* I V
165. Два касающиеся друг друга шара с радиусами гх и г2»
веса которых равны соответственно Рх и Р2, находятся в равнове-
сии, будучи подвешены на нити, перекинутой через малый блок О.
Найти условие равновесия.
Ответ! = Если шары сделаны из одинакового материала,
то это условие переходит в такое:
ООл (rtf
\rj *
166. Два однородных стержня: АВ длиной 2а и СЕ длиной 2Ь
и весом Q могут вращаться в одной вертикальной плоскости: пер-
54
СТАТИКА
[167—168
вый вокруг своей середины D, второй вокруг шарнира С, распо-
ложенного на одной вертикали с D на расстоянии CD — а. К концу В
стержня АВ привязан груз весом Р, благодаря чему он отклоняет
стержень СЕ от вертикального положения, упираясь в него кон-
цом А. Найти угол САВ = а при равновесии системы.
Л Qb
Ответ', а может иметь два значения: «1=и и = arccos
167. Невесомый шарнирный треугольник АВС поставлен в вер-
тикальной плоскости на звено АВ; к шарниру С подвешен груз
весом Р. Найти вертикальные и горизонтальные реакции в точках А
и В, если известно, что / С АВ — a, a Z, СВ А — р.
~ .. -.Sin a cosp .. cos а sin ,3 v
Ответ-. уА = Р^^у ХА = -ХВ=
_ р cos a cos 3
sin (« -f- fJ) ’
168. Дан треугольник предыдущей задачи, но весомый, соста-
вленный из однородных стержней; в точке С шарнира нет, а имеется
К задаче 168.
О
К задаче 16Э.
очень малая вертикальная гладкая площадь соприкосновения стержней.
Найги соотношение между углами а и р при равновесии, если
вес АС равен Рь а вес ВС равен Р2.
Ответ.’: .
165—172j
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
55
169. В неподвижную гладкую полусферическую чашку радиуса
7? = 30 дм с центром в точке О положены два шара Ot и О.г
одного радиуса г= 10 дм, но разного веса: первый шар весит 10 кг,
а второй 5 кг. Определить угол ср, образуемый прямой 00% с гори-
зонтальной плоскостью, а также реакции в точках А, В и С.
Ответ: ср = 49°6'24", TVA = 11,34 кг, NB = 5,67 кг, Мс = 3,78 кг.
170. Два одинаковых стержня АС и BD весом Р каждый, вра-
щающихся на шарнирах А и В, соединены шарнирами С и D
с третьим, горизонтальным стержнем CD весом Q. Вся система
находится в равновесии в вертикальной плоскости. Определить
реакции шарниров А и С, если угол а известен.
Ответ-. ХА == — 1 (Р J- (?) ctg a, Ya = P+~Q,
Xc = ^(P+Q)etga, yc== — ^.Q.
171. Четыре стержня равной длины и равного веса соединены
друг с другом шарнирами С, D и Е. Два крайних стержня вра-
щаются на шарнирах около лежа-
щих на одной горизонтали непо-
движных точек А и В. Вся си-
стема находится в равновесии а
вертикальной плоскости. Пока-
зать, что углы а и р связаны
соотношением tg а = 3 tg р.
172. Две одинаковые совер-
шенно гладкие доски АВ и АС,
длиной 2а и весом Р каждая,
соединены между собой шарни-
ром А и опираются на края стола
гричпо расположены относительно
в точках D и Е, будучи симме-
вертикали, проходящей через Л.
56
СТАТИКА
Ц73—178
Определить угол доски с вертикалью и реакции в точках D и Е,
если ширина стола DE равна 2Ь.
Ответ', sin
wo=wr=p|7’|.
173. Два однородных стержня, каждый длиной 2/ и весом Р,
связаны между собой шарниром С и опираются на гладкий непо-
движный цилиндр радиуса г с горизонтальной осью. Найти угол
К задаче 173.
К задаче 174.
АСВ — 2ср при равнове-
сии системы, реакции Nr
и TV2 цилиндра и реак-
цию шарнира.
Ответ’ Угол ср опре-
деляется из уравнения
Z sin3 ср—г cos^p = О. Ре-
акции цилиндра: =
р
= No — —:. Реакция
* sin ср
шарнира горизонтальна и
равна по величине Pctgcp.
174. Два расположенных в вертикальной плоскости однород-
ных стержня опираются нижними концами на гладкую горизонталь-
ную плоскость и друг на друга, а верхними — на две вертикаль-
ные гладкие стены. Длины стержней 2а, и 2а2, веса их Рх и Р2.
Найти зависимость между углами и а2 наклона стержней к гори-
зонту при равновесии.
Ответ'. tgat : tga2 = Pj :Р2.
175. Условия предыдущей задачи. Найти, каково должно быть
расстояние между стенами, чтобы угол
между стержнями был прямым.
л , о Л11/*Р} Pi
Ответ: d = 2 -----ау 1
1<Р1 + Р9 *
176. Клин представляет собой призму,
перпендикулярное сечение которой имеет
вид равнобедренного треугольника АВС
с углом 2a. Одной своей гранью АС
он опирается на неподвижную призму DE, а другой гранью ВС —
на призму FG, которая может скользить по гладкой горизонтальной
плоскости Л7У. На клин действует вертикальная сила Р, на призму
FG — горизонтальная сила Q. Найти зависимость между этими сила-
ми лри равновесии, пренебрегая трением и собственным весом клина.
с
К задаче 176.
Ответ: P=2Qtga.
177—180]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПЛОСКОСТИ
57
177. Два одинаковых гладких цилиндра, радиуса г и весом Р
каждый, лежат на гладком горизонтальном полу между двумя глад-
кими вертикальными плоскостями АС и BD. На них положен тре-
тий такой же цилиндр, как указано на чертеже. Определить реак-
ции в точках А и В, если CD — 2а.
Ответ'. Na = NB = ~Р —а- г---------.
2 /<« + г)(Зг-в)-
178. Рычажная система состоит из двух горизонтальных рыча-
гов ОВ и CD с осями вращения в О и Ot, соединённых шарни-
рами С и В с вертикальным стержнем СВ. К рычагу ОВ в точке А
К задаче 177.
К задаче 178.
подвешен груз весом Q, на конец рычага CD действует вертикаль-
ная сила Р. Найти зависимость между силами Р и Q при равнове-
сии системы, а также силу 5, растягивающую стержень ВС, если
О А — а, ОВ = Ь, ОуС = с, OXD = d, а весами рычагов и стержня СВ
можно пренебречь.
Ответ'. Р= Q-
179. Телеграфный столб АВ весом Р имеет подпору DC весом Q.
Натяжение телеграфной проволоки равно Т. Найти реакции в точ-
ках А и D, а также реакцию подпоры на столб
в точке С, если известны: угол а, АС = а и
ВС = Ь. Соединения в точках А, С и D предпо-
лагаются шарнирными.
Ответ'. Ха = — —-Т,
л а
уА = рЦд-а-^т^, xD=^~T,
YD = ^Q + a-±iTtga, Хс^^Т,
Yc = — \~Q~^—^Tiga\.
180. Найти аналитически усиаия в стержнях фермы, размеры ко-
торой даны на чертеже.
58
СТАТИКА
[181
Ответ'.
Ка стержня 1 2 ~ 3 4 5
Усилие +Р — ^-Р -\-Р —К£-Р +Л
где знак плюс обозначает растяжение, знак минус — сжатие.
К задаче 180.
181. В изображённых на чертежах фермах найти аналитически
реакции шарнира А и опоры В. Нагрузки в тоннах и размеры
даны на чертежах.
42
К задаче 1816.
Ответы', а) Реакция шарнира: R = ]/ ?62 № 23,71 т\ реакция
опоры W=24 т\ tg(/?, 1,91; (/G?) ъ 62°2Г.
б) Проекции шарнирной реакции: горизонтальная Х^\,24 т,
вертикальная Уя«7,86 т. Реакция опоры 10,21 т.
182—184J
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
59
182. Найги аналитически усилия в стержнях, пересекаемых сече-
ниями ab на фермах, изображённых на чертежах. Силы на чертеже
1826 даны в тоннах.
Знак плюс обозначает растяжение, знак минус — сжатие.
§ 7. Равновесие системы сил в пространстве.
Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно,
чтобы для какого-либо центра приведения имели место равенства ^ = 0
и £ = 0 (см. § 5). Если за начало прямоугольной системы координат (xyz)
примем центр приведения О, то условия равновесия аналитически выразятся
следующими шестью уравнениями:
^ = ^=0, Ry=£Y = 0,
Lx = 2 момх Р — £ (yZ — z Y) = 0,
Lv = У, momv P = У (zX— xZ) = 0,
Lz — £ момг P =2j (x—Ух) — °*
183. Доказать для любой си-
стемы сил, приводящейся к одной
равнодействующей, теорему Варинь-
она (момент равнодействующей ра-
вен сумме моментов составляю-
щих), вводя силу, уравновешиваю-
щую данную систему, и пользуясь
общими уравнениями равновесия.
184. Пластина
угольника АВС
К задаче 184.
весом Р, имеющая форму равностороннего тре-
со стороной а, опирается вершинами А, В и С на
60
СТАТИКА
[183—187
три взаимно перпендикулярные плоскости хОу, yOz и zOx. За вер-
шину А она привязана нитью к точке О, причём нить ОА делит
угол хОу пополам, а длина нити равна /. Найти реакции в точ-
ках А, В, С и натяжение Т нити, если OD — ОЕ.
Ответ'.
Na=P,
21— а
3 |/й24-2л/ —2/f ’
Т = р у2(2<-а)
3 + 2а/ — 21* *
Nв — Nс = Р
185. На горизонтальную плоскость положены три одинаковых шара
так, что они касаются друг друга, и затем обвязаны на уровне их цен-
тров перастяжимой нитью. На эти три шара кладётся такой же четвёр-
тый. Найти натяжение Т нити, если вес каждого из шаров есть Р.
Ответ: Т=Р-
186. Стержень АВ весом Р подвешен на двух параллельных
нитях С А и DB. Он переводится в новое положение А В ив этом
К задаче 186.
К задаче 187.
положении удерживается в равновесии
с данным моментом М. Найти угол
СА = DB = AB = l.
Ответ: sin % = р[ •
горизонтальной парой сил
поворота стержня <р, если
187. ^Круглый стол радиуса г имеет три ножки, концы которых
образуют равносторонний треугольник АВС со стороной а. Вес
стола равен Р и приложен в точке G, лежащей на оси стола. На
переднем крае стола в точке D лежит груз весом Q, причём OD I АС.
Найти давления ножек стола на пол. При каком значении Q стол
опрокинется ?
Ответ: NA = Д/с==^±^4- — . Если
° ауЗ ° ауЗ
. а а
то стол опрокинется при г—а’
188—ISO]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
61
188. Однородная пластинка весом Р, имеющая форму полукруга
радиуса г, может свободно вращаться на шарнирах А и вокруг
горизонтальной оси у, В конце М радиуса, образующего угол а
с осью у, приложена сила Q, перпендикулярная к плоскости пла-
стинки. Найти величину этой силы, если она удерживает пластинку
в положении равновесия под углом у к юризонту. Найти также
реакции шарниров.
Указание. Расстояние центра тяжести полукруга от его центра
4г
равно
Ответ', Q = ~ Р.
3~ sin а
Реакции: X — Q sin у cos2 ~ = Q sin 9 sin2 ,
Z — у—Q cos ф cos2 2 , —Q cos у sin
189. Дверь ABCD затворяется при помощи груза Q, подвешен
ного на верёвке AEF, перекинутой через блоки Е и F. Дверь
открытая на угол а, удерживается
в равновесии силой Р, прило-
женной в точке К и перпендику-
лярной к плоскости двери. Найти
зависимость между величинами
Р и Q. fl
Ответ’. P — Q cos J.
190. На платформе трёхколёсной тележки в точке М лежит
груз весом кг. Положение точки М определяется коорди-
62
СТАТИКА
1191—193
натами х = 1,1 лг, у — 0,75 м. Найти давление каждого колеса
тележки на пол, пренебрегая её собственным весом, если АВ — 1 ло
СЕ — 0,2 м и CD — 2,2 м.
Ответ'. Л/1 = 2,5 кг, iV2 —52,5 кг, ДГ3 = 45 кг.
191. Картина весом Р, имеющая форму прямоугольника со сто-
ронами 2а и 2Ь, подвешена на двух верёвках АО и ВО и опи-
рается па два гладких круглых костыля D и Е. Найти натяжения
верёвок и вертикальное давление картины на каждый из костылей,
если AK=BL = b, KC = CL = а, ОС= с, АО = ВО^= hi DC = СЕ.
Г, . 'Г Т Г> КТ КТ 1 Os4-^2 + f2—Р г,
Ответ: 7\= 7\—2 — Р, ND — NE=~—J_—П2----------Р.
192. Ворот состоит из барабана радиуса г и колеса радиуса R,
вращающихся на общем валу АВ. На барабан навёрнута верёвка D,
к концу которой подвешен груз весом Q. Ко-
лесо" также обмотано верёвкой, к концу
которой приложена горизонтальная сила
Р.
К задаче 192.
Найти зависимость между величинами Р и Q при равновесии, а
также реакции в подшипниках А и В, если АВ — 1, АС —а и
AD — b.
Ответ: Р = Q; если ось у направить по А В, ось х параллельно
силеР и ось z вертикально вверх, то Р, ZA — Q,
Хв = — уР, ZB=^-Q.
193. С горизонтальным валом трансмиссии неизменно соединены
два шкива радиусов А? = 0,4 м и г =0,2 м. Даны натяжения вет-
вей ремня, охватывающего первый шкив: 7\ — 340 кг и Д — 200 кг,
причём первая ветвь вертикальна, а вторая образует с вертикалью
угол в 45°. Натяжения ветвей ремня, охватывающего второй шкив,
194—195] РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
63
равны Тъ и Tit причём ветви параллельны и образуют с вертикалью
угол в 30°. Определить реакции подшипников А и В и натяжения Тл
и Г4, зная, что Tg—274 и что силы натяжения ремней и реакции
подшипников взаимно уравновешиваются (вал вращается равно-
мерно, сопротивления отсутствуют). Размеры даны на чертеже.
Ответ: 7^ = 560 кг, 7^ = 280 кг, Х1 = 257 кг, Zl — 643 кг,
— 304 кг, Z* = 565 кг.
194. Тяжёлое круглое кольцо подвешено в точке А при помощи
некоторого числа симметрично прикреплённых к нему нерастяжи-
мых нитей одинаковой длины. На получившийся таким образом
нитяной конус надевают другое круглое кольцо меньшего радиуса, но
такого же веса. Оказывается, что система приходит в равновесие, когда
второе кольцо лежит на серединах
стояний обоих колец от точки под-
веса А.
Указание. Предположить, что
число нитей известно и равно п.
Ответ: 2 :3.
195. Дифференциальный ворот
состоит из барабана М радиуса А?
и барабана N радиуса г, вращаю-
щихся на общем валу АА,. На
барабаны навёрнута верёвка, охва-
тывающая подвижной блок, к ко-
нитей. Найти отношение рас-
торому подвешен груз весом Q. Be- К задаче 195.
рёвка навёрнута таким образом,
что при вращении ворота она, сматываясь с одного барабана, нама-
тывается на другой. Части её, спускающиеся с барабанов, парал-
лельны между собой. К рукоятке ВС приложена сила величиной Р,
перпендикулярная к плоскости АВС. Сила такой же величины Р,
64
СТАТИКА
[193
перпендикулярная к плоскости приложена и к рукоятке
Найти зависимость между величинами Р и Q при равновесии, если
длина кривошипов АВ и А1В1 равна Z.
Ответ'. Заметив, что натяжение в частях верёвки, спускающихся
с барабанов М и N, равно 1/2 Q, приравниваем сумму моментов
всех сил, действующих на ворот относительно оси AAlt нулю и
из полученного уравнения находим
196. В дифференциальном вороте (см. предыдущую задачу)
радиус большего барабана Р — 25 см, а радиус кривошипов / = 0,4 м.
Каков должен быть радиус меньшего барабана г, чтобы сила Р
была в 100 раз меньше веса груза Q?
Ответ', г—23,4 см.
§ 8. Равновесие при наличии трения.
Если твёрдое тело А (фиг. 15). находящееся под действием системы
сил, опирается на поверхность неподвижного тела В, то в точке сопри-
косновения со стороны тела В на тело А действует некоторая реакция R.
В случае, если поверхности соприкосновения гладкие, реакция нормаль-
Фиг. 15.
на к этим поверхностям. В случае же негладкой
(шероховатой) поверхности реакция направлена
под острым углом а к общей нормали к со-
прикасающимся поверхностям и может быть
разложена на нормальную слагающую N {нор-
мальная реакция) и касательную слагающую F
{сила трения скольжения). При относительном
покое соприкасающихся тел сила трения может
иметь любое направление в касательной плоско-
сти к соприкасающимся поверхностям. Напра-
вление это определяется активными силами, дей-
ствующими на тело А. Величина силы трения
также определяется активными силами, но не
превышает некоторого предельного значения,
которое пропорционально величине нормальной
реакции, т. е.
где множитель пропорциональности /0 есть отвлечённое число, зависящее
от материала и состояния трущихся поверхностей; он называется коэффи-
циентом трения скольжения при покое или статическим коэффициен-
том трения скольжения.
Так как
/?=Artga, •
ТС
tga^/o —tg?0 и
где ср0 есть угол трения при покое. Если построить круглый конус с вер-
шиной при точке К соприкосновения трущихся тел и с углом при вершине
2<р0, то полная реакция Р лежит либо внутри этого конуса, либо на его
поверхности. Конус этот называется конусом трения при покое.
197—198]
РХВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
65
Если имеет место относительное скольжение трущихся тел, то сила
трения имеет направление, противоположное направлению относительной
скорости скольжения, а величина силы трения про-
порциональна нормальной реакции, т. е.
F=fN,
где множитель пропорциональности f есть коэффи-
циент трения скольжения при движении или ди-
намический коэффициент трения скольжения. Ко-
эффициент динамического трения меньше коэффи-
циента статического трения
Г<А.
Полная реакция в случае наличия скольжения
образует с нормалью угол <р, называемый углом
динамического трения. Он “удовлетворяет урав-
нению
/ = tg
Полная реакция направлена по одной из образующих круглого конуса,
осью которого служит общая нормаль к поверхностям трущихся тел, а угол
при вершине равен 2<р (конус трения) (фиг. 16).
197. Тело А весом Р лежит на горизонтальной плоскости. К
нему приложена сила Q, образующая с горизонтом угол а. Какова
должна быть величина этой силы Q, чтобы она могла сдвинуть
тело А, если коэффициент трения тела о плоскость равен /?
Ответ'.
fP
COS а-}-/ sin а
198. На наклонной плоскости с углом а лежит тело А весом Р.
К нему приложена сила Q, образующая с наклонной плоскостью
К задаче 197.
угол р. Какова должна быть величина силы Q при равновесии тела,
если угол трения тела о плоскость равен 9?
Ответ'. Р
sin (а 4- ср)
cos (3 — ср)
sin (а — ср)
COS ft 4- ср) ’
Б Сборник задач
66
СТАТИКА
[199—203
199. При каком коэффициенте трения f легче просто поднять
тяжёлое тело, чем втащить его по плоскости, образующей угол а
с горизонтом.
Ответ: При /^>tg ^45°— у) .
200. Лестница АВ длиной Ча и весом Р опирается концами на
вертикальную стену и горизонтальный пол. Коэффициент трения
в точке А равен 0,4, а коэффициент трения в точке В равен 0,5.
Определить угол а лестницы с вертикалью, при котором возможно
равновесие, считая, что центр тяжести лестницы лежит в сё середине.
Ответ: 45° >= а 2^0.
201. Однородная доска АВ длиной Ча и весом Р опирается на
горизонтальную плоскость и на неподвижную точку D, причём рас-
стояние DE точки D от этой плоскости равно h. Показать, что
К задаче 200.
К задаче 201.
К задаче 202.
предельный угол наклона доски а, при котором возможно равнове-
сие, определяется из уравнения
cos3 а — cos а + Д sin 2ф = 0,
1 2а *
где ср есть угол трения в точках
202. Два груза, веса которых
А и D.
равны Р и Q, лежащие на наклон-
ных плоскостях с углами аир,
Р
через блок. Найти отношение
связаны верёвкой,
при равновесии, если
перекинутой
угол трения
грузов о плоскости равен <р.
Ответ:
sin (3 ф-у) - . Р sin(P — у)
sin (а — у) "" Q sin (а + у>) *
203. Однородная цепочка длиной /, вес которой равен р на
единицу длины, свешивается со стола и удерживается в равновесии
силой трения. Найти коэффициент трения /, если известно, что
длина свисающего со стола конца равна а.
Ответ: 112^ ~г~—
7 I — а
204—207]
РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
67
204. Однородная доска опирается двумя опорами на горизон-
тальную шероховатую плоскость. Вес доски равен Р, коэффициенты
трения между опорами и неподвижной плоскостью равны соответ-
ственно /1 и /2; размеры да-
ны па чертеже. Найти макси-
мальную горизонтальную силу
Q, под действием которой до-
ска будет оставаться в равно-
весии.
Ответ: Q = у Р.
2 [Ь 4- (Л— f2)a]
К задаче 204.
205. Однородный стержень AS весом Р заложен между двумя
неподвижными опорами D и С. Коэффициент трения стержня об
опоры равен /. Какова должна быть длина I стержня, чтобы он на-
ходился в равновесии, если угол его с горизонтом равен a, DC — а,
ВС~Ь, а толщиной стержня можно пренебречь?
Ответ: I а 4- 2Ь 4- ~ te а.
206. Однородная палочка опирается своим нижним концом на
шероховатую горизонтальную плоскость и удерживается в равнове-
сии при помощи нити, привязанной к её верхнему концу, перекину-
той через неподвижный идеальный блок и несущей на своём конце
некоторый груз. Найти максимальный вес Q этого груза, зная коэф-
фициент трения f палочки о плоскость, угол а палочки с горизонтом
и её вес Р.
Ответ: Q — Р > гДе A = tga.
Если f— 0, то Q — ~ Р.
207. Однородный стержень АВ длиной 2а и весом Р опирается
на горизонтальную плоскость и неподвижный цилиндр радиуса г.
Коэффициент трения стержня о цилиндр и о плоскость равен /.
5*
68
СТАТИКА
[208—210
Каково наибольшее значение угла а, при котором стержень нахо'
дится в равновесии?
Ответ', sin а =
fr_
(!+/•) а
208. Однородный стержень АВ весом Р опирается на две взаимно
перпендикулярные плоскости, из которых одна образует с гори-
К задаче 208.
зонтом угол а. Каков угол 0 при равновесии, если угол трения
стержня о плоскости равен ср?
Ответ’, а. Ц- 2? 0 а — 2<?.
209. Тело А весом Р лежит на наклонной плоскости
с углом а. К нему привязана нить, параллельная плоскости и пере-
кинутая через блок В; к концу нити привязана чашка с гирями.
К задаче 209.
К задаче 210.
В тот момент, когда тело А начинает двигаться вверх по плоскости,
нагрузка на чашке равна Q. Определить коэффициент трения тела
о плоскость.
Ответ’. f=
Q—Psina
Р COS а
210. Доска ОД, вращающаяся на шарнире О, опирается в точке В
на шар весом Р, лежащий на неподвижной горизонтальной плоскости.
К концу А доски подвешен груз весом Q. Весом доски прене-
брегаем. Определить угол а при равновесии, если угол трения
шара о доску и о горизонтальную плоскость равен ср?
Ответ'. а^2ср.
211—214]
РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
69
211. Материальная точка, находящаяся под действием силы тяжести,
может перемещаться с трением по окружности радиуса г, располо-
женной в вертикальной плоскости. На какой высоте над уровнем,
проходящим через центр окружности, материальная точка может быть
в равновесии, если коэффициент трения равен /?
Ответ', ---------
212. Ящик шкафа имеет длину а и ширину Ь; на передней его
стенке имеются
стояние между
две симметрично расположенные ручки А и В, рас-
которыми равно h. Найти, при каком коэффициенте
К задаче 212.
трения f нельзя выдвинуть ящик за одну ручку, прилагая к ней
какую угодно силу, нормальную к передней стенке ящика.
Ответ', .
7 h
213. Прямоугольный однородный параллелепипед ABCD весом Р
опирается гранью АВ на шероховатую наклонную плоскость MN,
угол которой с горизонтом постепенно возрастает. При каком угле а
параллелепипед начнёт скользить вдоль плоскости или опрокинется
вокруг ребра Л?
Ответ'. *Если -у<У» то произойдёт опрокидывание при а =
== arctg yj если то произойдёт скольжение при a = arctg/,
где f—коэффициент трения.
214. Однородная пластинка ABCD квадратной формы весом Р,
расположенная в вертикальной плоскости, опирается вершиной D
на вертикальную шероховатую стену, а стороной АВ на неподвиж-
ную точку Е. Коэффициент трения f для стены и для опоры Е
Один и тот же. Найти минимальное значение f при равновесии,
70
СТАТИКА
[215—217
если пренебречь малым углом а стороны AD с вертикалью, а также
малым расстоянием BE.
Ответ'. fmin — |/ 2 — 1 0,4142.
215. Прямой круглый цилиндр А удерживается в равновесии
на шероховатой наклонной плоскости при помощи невесомой, не-
растяжимой и вполне гибкой верёвки, которая одним концом при-
креплена к поверхности цилиндра, далее протянута параллельно
К задаче 214. К задаче 215. К задаче’216.
плоскости, перекинута через блок В и на другом конце несёт груз
весом Q. Найти условия равновесия, если вес цилиндра равен Р, угол
наклона плоскости равен а, а коэффициент трения равен /.
Ответ'. Равновесие имеет место при условиях tga^2/ и
„ Р ,
Q = sin а.
216. Однородная балка длиной 2/ и весом Р опирается нижним
концом на шероховатую горизонтальную плоскость, а в точке С —
на неподвижную точку, высота которой над плоскостью равна Л. Наи-
меньшее значение угла q —ОАО, при котором балка ещё может
находиться в равновесии в описанном положении, есть <у0. Найти
коэффициент f трения в точке А (трением в точке С пренебре-
гаем).
Ответ', f
I sing у0 cos у о
h — I sin у0 cos8 у0 '
217. Два клина А и В, коэффициент трения между которыми
равен f=tgq, могут двигаться без трения в своих направляющих.
Решить и исследовать следующие задачи: 1) к клину А приложена
сила Р,; какую силу нужно приложить к клину В, чтобы’
Клин Д двигался равномерно в сторону действия силы Р2;
218—219]
РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
71
2) к клину В приложена сила какую силу Р2 нужно прило-
жить к клину А, чтобы клин В двигался равномерно в сторону
действия силы Q2? Силы Р и Q параллельны соответствующим на-
правляющим.
Ответ'. 1) = Рх
sin (Р + ?).
sin (а-f- <р) ’
решение возможно при любом зна-
чении у.
2) Pb — Qz > ПРИ сила А действует против дви-
жения клина А; при ср = а Р$ = 0; при сила Р2 имеет
К задаче 217.
направление движения клипа А (заклинивание), при равномер-
ное движение невозможно ни при какой величине силы Р2.
218. Однородный цилиндр, опирающийся в точке В на вертикаль-
ную шероховатую стену, удерживается в равновесии гибкой нитью,
прикреплённой к нему в точке С и к стене — в точке Л. Найти
наименьший угол а
между нитью и стеной
при равновесии и со-
ответствующие ему на-
тяжение нити и реак-
цию стены, если вес
цилиндра равен Р и
коэффициент трения в
точке В равен /.
К задаче К задаче 219.
218.
£
Г
Ответ'. sina==
/+!</* —I
(/ЭИ).
219. Шкив радиуса г тормозится при помощи двух колодок
А и В. Тяга EF шарнирно соединена в точке F с левой колодкой,
а в точке Е— с концом прямоугольного рычага, который может
вращаться вокруг оси D., связанной с правой колодкой, и к концу С
72
СТАТИКА
[220—222
которого приложена сила Р под прямым углом к плечу DC, парал-
лельному тяге EF. Зная длины г, 13. 1&, 1Ъ, Ц и углы а и р, а
также коэффициент трения f колодок о шкив, найти момент, тормозя-
щий шкив.
Ответ'. Pfr[-^- fsin а-4- ~ cos a'j -4- ~
L А \ 1 4 ] 1 ЛА
cos
220. Два одинаковых шарика А и В, весом Р каждый, связан-
ные нерастяжимой питью,
положены на неподвижный
полуцилиндр.
Центральный угол а дуги АВ известен. Угол трения шариков о ци-
I
К задаче 222.
линдр равен <р. Каков должен быть
угол при равновесии?
Ответ’.
90° — у + | — <?.
221. Найти вертикальное усилие S,
которое надо приложить к нижнему
кубу, чтобы вытянуть его вверх.
Известно, что неподвижные плоскости
образуют с горизонтом углы по 45°,
что все три куба имеют одинаковый
вес Р и что коэффициент трения ку-
бов о наклонные плоскости равен /,
а между кубами он равен
Ответ-. s= 2+f+f^-P.
1 “Г JJ1
222. Подъёмное приспособление состоит из двух одинаковых
прямоугольных рычагов АС В, скреплённых шарнирами с поперечи-
ной СС. Верхние подушки А и А могут вращаться па концах
плеч СА и раздвигаются клином Л1, а нижние полушки, вращаю-
щиеся на осях В и В, зажимают поднимаемый груз весом Р.
Зная длины Zj и Z2, углы а и р, а также угол трения между
223—225]
РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
73
верхними подушками и клином, найти такой коэффициент трения
нижних подушек о стенки груза, при котором последний может
быть ими удержан. Весом самого приспособления пренебрегаем.
Ответ'. r. . z-Z* • <—тт—
71 4 + [/itg(a — <?)— 4]tg?
223. Прямой круглый цилиндр радиуса R и весом Q имеет по-
середине заточку, радиус которой равен г, и удерживается в равно-
весии на шероховатой наклонной плоскости силой трения и весом Р
груза, привязанного к свободному концу нити, намотанной на
шейку заточки. Найти условия, при которых возможно равновесие,
а также вес Р уравновешивающего груза и давление цилиндра на
плоскость при равновесии, если угол плоскости с горизонтом
равен а, а коэффициент трения равен /.
Ответ'. 1) Условия возможности равновесия: tg а ^/, /?sina<"r.
р___ QRsiVia _________ Qrcosa
' Г — Rsina ’ Г — /?sina •
224. Материальная точка весом Р положена на негладкую гори-
зонтальную плоскость; она отталкивается неподвижным центром О,
лежащим в этой плоскости, силой, пропорциональной расстоянию,
причём коэффициент пропорциональности равен k. Определить
область равновесия точки, если коэффициент трения равен /.
Ответ’. Круг с центром в О радиуса
225. Вал лебёдки, вращающийся вокруг неподвижной оси А,
находится в равновесии под действием тангенциальной силы Q и
сил трения, развиваемых тормозной лентой, которая натягивается
при помощи рычага с неподвижной осью В, к концу которого
приложена сила Р. Найти величину силы Р, зная коэффициент тре-
ния f и угол обхвата а ленты. Размеры указаны па чертеже.
Указание. Воспользоваться формулой Эйлера: Л — где и Га —
величины сил, приложенных к концам тормозной ленты.
74
СТАТИКА
[226
Ответ'. Р=-*^ + 1)— Q.
(е?а— 1) а
226. Нить, сходящая с барабана А, перекинута сначала через
К задаче 226.
блок В, свободно насаженный на
палец рычага ЕЕ, а затем — через
неподвижный блок О. Шкив EI, со-
ставляющий одно целое с барабаном,
охватывает тормозная лента; концы
ленты прикреплены к рычагу ЕВ,
к которому подвешен груз Р. Найти
натяжение Q нити, пренебрегая тре-
нием в блоках А, В и G и весом
рычага; коэффициент трения тормоз-
ной ленты о шкив известен и ра-
вен /, размеры и угол а показаны на
чертеже. Исследовать случай /^=0.
Ответ'. Q =----------------~ ---------
2сО — 1) cos2 ~ — (aef* — b)d
<ы __
Р (см. указание к за-
даче 225).
§ 9. Центр тяжести.
1. Если при разбивке тела на части вес отдельной части есть р, а коор-
динаты центра тяжести этой части х, у, г, то координаты центра тяжести
всего тела будут
^рх %ру
Х°--vV ’ ~ V---’
ЬР %Р
г° 2р
Если тело однородно, то веса частей тела пропорциональны их объёмам,
т. е. /7 = тДг', где у — вес единицы объёма; в этом случае центр тяжести
тела совпадает с центром тяжести объёма, координаты которого будут
ZxAfl ZyAw Xtz&v
А°~ v , Уо — —— > Zo — —^~
Выражения Z xkv, SyA®, Z гД© называются статическими моментами
объёма относительно соответственных координатных плоскостей (уг),(2х)и(ху).
Для координат центра тяжести однородной плоской фигуры, принимая
во внимание, что веса пропорциональны площадям, получим
Z хд$ ZyAs
= ^ = -7—
где As — площади частей фигуры, s — площадь всей фигуры; выражения
J]xAs, называются статическими моментами площади относительно
осей у и х.
Подобным же образом получим выражения для координат центра тя->
жести однородной кривой линии в виде
ZxAZ ZyAZ ZzAZ
л"» — » » У о — > z0------.—.
227—2281
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
75
2. Для нахождения центра тяжести объёма, площади или кривой нужно
разбить данный геометрический образ на части, для каждой из которых центр
тяжести известен, и затем составить соответствующие статические моменты.
При этом нужно иметь в виду, что: 1) если тело имеет плоскость симмет-
рии, то центр тяжести лежит в этой пло-
скости; 2) если тело имеет ось симметрии, то
центр тяжести лежит на этой оси; 3) если те-
ло симметрично относительно точки, то центр
тяжести лежит в центре симметрии.
Если тело имеет пустоты (полости), то при
нахождении центра тяжести объём этих поло-
стей считается отрицательным; аналогично оп-
ределяется центр тяжести для площадей с от-
верстиями. Например, центр тяжести площа-
ди круга радиуса Я с круглым отверстием
радиуса г и расстоянием с между центрами
(фиг. 17) находится от центра круга О на рас-
стоянии
w/?* • 0 — "г2с
Л’° ~(/?2 — г2)
Г2С
/?2 —г2 •
3. Если объём, площадь или линия делятся на бесконечно малые эле-
менты, то в выражении координат центра тяжести суммы заменяются соот-
ветственно объёмными, поверхностными и криволинейными интегралами.
Теоремы Гюльдена-Паппуса.
I. Площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской линии
вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и её не пересекающей, равна
длине вращаемой дуги, умноженной на длину окружности, которую описы-
вает центр тяжести этой дуги.
II. Объём тела вращения, описанного плоской фигурой, вращающейся
вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры и не пересекающей её, равен
произведению площади фигуры на длину окружности, описанной её центром
тяжести.
а) Центр тяжести линий.
227. Однородная проволока согнута в виде прямого угла со
сторонами а и Ь. Найти положение её центра тяжести.
Ответ'. Если примем сто-
роны прямого угла за коор-
динатные оси, то координаты
искомого центра тяжести будут *
х 2(а + ^) ’ * L II.
^2 К задаче 227. К задаче 228.
У= 2{а + Ь) *
228. Определить положение центра тяжести полупериметра пра-
вильного шестиугольника, сторона которого равна а.
76
СТАТИКА.
[229—233
Ответ'. Центр тяжести лежит на оси симметрии на расстоянии
а
от центра шестиугольника.
229. Пользуясь теоремой Гюльдена, определить поверхность тора,
т. е. тела, полученного от вращения окружности радиуса R вокруг оси,
находящейся на расстоянии I от
центра окружности, причём 1^>R.
Ответ'. S—to&Rl.
230. Определить по теореме
Гюльдена поверхность тела, полу-
ченного от вращения дуги круга с
центральным углом 2а и радиусом R
вокруг её хорды.
Ответ'. S=4z/?2(sina—a cos a).
К задаче 23L 231. Найти положение центра
тяжести симметричной стержневой
фермы ABCD, размеры которой таковы: Д£? = 6 М, CD = 3 м и
DE — 1 м.
Ответ'. Центр тяжести лежит на прямой ЕС на расстоянии
1,587 м от точки Е.
232. Определить расстояние центра тяжести контура кругового
К задаче 233.
сектора с центральным углом в 90° и радиусом R от центра круга.
Ответ', х =
3 V2
к 4
R.
б) Центр тяжести площадей.
233. Определить координаты центров тяжести плоских фигур,
размеры которых в сантиметрах даны на чертежах.
234—2401
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
77
Ответы'. 1) «г = 0, у =15,1 см,
2) х = 10,1 см, у = 5,1 см,
3) х== 1,125 см, у = 35,2 см,
4) х = 0, у = 49,64 см.
234. Показать, что расстояние центра тяжести площади КРУГО-
23
вого сегмента от центра круга равно где ' есть длина хорды
сегмента, а s — его площадь.
235. Пользуясь теоремой Гюльдена, найги объём тора (см. за-
дачу 229).
Ответ*. V =.2я2/?2/.
236. Определить по теореме Гюльдена объём тела, полученного
вращением кругового сегмента с центральным углом 2а и радиусом R
вокруг его хорды.
Ответ’. V — 2я/?3 fsin а — а cos а — sin3 а .
237. Найти положение центра тяжести фигуры, составленной из
равнобедренного прямоугольного треугольника и квадратов, построен-
ных на его гипотенузе и катетах.
Ответ'. Центр тяжести лежит на высоте, опущенной из вершины
прямого угла на гипотенузу, на расстоянии этой высоты от ги-
потенузы.
238. Из круга радиуса R вырезан прикасающийся к нему круг
вдвое меньшего ра-
диуса. Найти положе-
ние центра тяжести
оставшейся части.
Ответ*. Центр тя-
жести лежит на пря-
мой, соединяющей цент-
ры кругов, на расстоя-
нии 1/е R от центра
ббльшего круга.
К задаче 238.
239. Координаты вершин четырёхугольника ABCD таковы:
Л (4,4), В (5,7), С (10,10), D(12,4). Вычислить координаты его
центра тяжести.
Ответ’, х = 8,2; у = 6,2.
240. На прямой АВ построены две полуокружности радиусов R
и г. Найти расстояние центра тяжести заключённой между ними
площади от их общего центра О.
78
СТАТИКА
[241—246
Ответ*, у
241. Фигура состоит из полукруга радиуса и прямоугольника
с основанием, равным диаметру полукруга, и высотой h. Каково
должно быть отношение -4-, чтобы центр тяжести всей фигуры со-
н
впадал с центром полукруга О?
~ . h V 6
Ответ*. — ,
к о
242. Размеры фигуры ACDEFB указаны на чертеже. Найти
графически положение центра тяжести этой фигуры, а затем вы-
К задаче 241.
К задаче 242.
К задаче 243.
числить его координаты, принимая за координатные оси стороны
АВ и АС.
Ответ*. х —7; у = 8.
243. Найги координаты центра тяжести фигуры, представляющей
собой три чегверти круга радиуса Р.
4Р
Ответ*. х~у —— — 0,14
Уд
244» Доказать, что центры тяжести площади и контура описан-
ного около окружности многоугольника лежат на одном диаметре
и расстояния их от центра окружности относятся как 2:3.
245. Однородная треугольная пластинка весом Р лежит горизон-
тально, опираясь вершинами на три неподвижные точки. Каковы
давления на опоры?
р
Ответ*. -х- .
О
246. Четыре человека должны поднять однородную треугольную
плиту АВС. Два из них берут плиту за вершины В и С. В каких
точках Л1 и N сторон АВ и АС должны держагь плиту двое дру-
217—2511
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
79
гих, чтобы её вес распределился поровну между всеми четырьмя
людьми ?
Ответ-, AM = АВ, ДМ = ~ АС,
О о
247. Три человека должны поднять однородную доску, имеющую
форму параллелограмма так, чтобы вес её распределился между
ними поровну, причём один из них берёт доску за вершину. Где
должны держать доску двое других?
Ответ*. В серединах сторон параллелограмма, пересекающихся
в вершине, противолежащей запятой.
248. Из прямоугольной однородной доски требуется выпилить
с края прямоугольное отверстие данной ширины с и некоторой
длины h, расположенное симметрично относительно продольной оси.
Какова должна быть эта длина h, чтобы:
1) центр тяжести оставшейся площади ока-
зался возможно ближе к краю LM доски,
2) центр тяжести оказался на краю АВ
самого отверстия.
Ответ'. В обоих случаях
К задаче 248.
h = ^[b-V Ь(Ь-с)} .
249. Данная плоская фигура (площадь) разбита на три части,
центры тяжести которых лежат в точках С1г С2 и С3. При каком
условии центр тяжести всей данной фигуры совпадёт с центром
тяжести площади треугольника CjC^Cg?
Ответ'. При условии, что площади трёх частей, на которые
разбита фигура, равны.
250. Круглая однородная пластинка находится в равновесии,
будучи подпёрта в своём центре О. В каких точках А1г Л2, Л8 на
её окружности падо положить три разных груза, веса которых равны
Рр Р2, Р8, чтобы она сохранила равновесие?
Ответ* Углы AtOA3, А$ОА3, A3OAt такие же, как и в том
случае, если бы силы Р„ Р2, Р8, действуя вдоль OAlt OAit ОА3,
находились в равновесии. • ’
в) Центр тяжести объёмов.
251. На полушар, опирающийся выпуклой поверхностью на гори-
зонтальную плоскость, ставится круглый конус, радиус основания
которого г равен радиусу полушара. При каких значениях высоты h
этого конуса равновесие будет устойчивым?
80
СТАТИКА
[252—255
Ответ'. h<^r /3.
262. Тело состоит из цилиндра и конуса, сложенных своими
равными основаниями. Высота цилиндра равна /7, высота конуса
К задаче 251. К задаче 254.
равна h. Каково должно быть от-
ношение ,чтобы центр тяжести
этого тела совпадал с центром
основания конуса?
Ответ'. = iZ 6.
п
253. Показать, что расстояние
центра тяжести объёма шарового
сегмента от центра шара равно
nd4 ,
, где а есть диаметр основа'
ния сегмента, a v — его объём.
254. Из круглого цилиндра с
радиусом основания R и высо-
той Н вырезан цилиндр, имеющий
с ним общую ось и общую пло-
скость основания, причем радиус
г — R, а высота Л = -^-/7. Найти
основания этого цилиндра
положение центра тяжести ос-
тавшейся части.
Ответ'. Центр тяжести лежит на оси симметрии на расстоянии
,3/о8 Н от нижнего основания цилиндра.
255. Однородное тело состоит из цилиндра, радиус основания
которого г—5 см и высота Z = 30 см, и двух скреплённых с ним
К задаче 255.
шаров с радиусами R = 13 см и см. Определить положе-
ние центра тяжести этого тела.
Ответ: Центр тяжести лежит на оси 00 г на расстоянии 10,37 см
от точки О.
256—261J ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ . 81
266. Однородное тело состоит из двух цилиндрические шкивов
с радиусами R и /?х и высотами 2а и 2av сидящих на цилиндри-
ческом валу радиуса г, причём расстояние между шкивами равно 2/г.
Найти положение центра тяжести этого тела.
Ответ'. Расстояние искомого центра тяжести от середины рас-
стояния между шкивами равно
г — (a^h) R*
alV + aJtl + hr*
257. Доказать, что центр тяжести усечённой пирамиды лежит
на прямой, соединяющей центры тяжести нижнего и верхнего её
оснований, на расстоянии
— IL 4-2 -р3s
~' 4 S + j/ss-j-s
от нижнего основания, где S — площадь нижнего основания,
S — площадь верхнего основания и Н — высота пирамиды.
258. Определить расстояние центра тяжести усечённого конуса
от нижнего основания, если радиусы нижнего и верхнего оснований
конуса равны R и г, а высота его равна Н.
~ Н 7?24-2/?г + Зга
Ответ-, z = ‘, -——-
4 R* 4- Rr 4- г2 ’
259. Дан шаровой сектор с радиусом R* Какова должна быть
высота его сегмента h, чтобы расстояние центра тяжести сектора
от центра шара равнялось —
Ответ'. h = 2R -п~~4г ,
Зп
260. Из усечённого конуса, радиусы нижнего и верхнего осно-
ваний которого равны R и г, а высота равна Н, вырезан круглый
цилиндр радиуса р, имеющий с конусом общую ось и одинаковую
высоту Н. Найти расстояние центра тяжести оставшейся части от
нижнего основания конуса.
Ответ- £-/у*а + 2^4-Зг2-6Р2
твет. z —- п4_Зр:2) .
261. Через центр О шара радиуса 7? проведены три взаимно
перпендикулярные координатные плоскости. Определить координаты
и расстояние г от точки О центра тяжести объёма, заключённого
между этимц. тремя плоскостями и поверхностью шара.
Ответ-. x^y~z = -<rR) г—3- R.
о о
6 Сборник задач
82
СТАТИКА
[262—264
262. Найти по теореме Гюльдепа объём и поверхность шарового
пояса, высота которого равна h, если радиус шара равен /?, а радиус
оснований пояса равен г»
Ответ', v = кА (6 г2 4~ А2), $ = 2кА7?.
263. Найти по теореме Гюльдена объём тела, образованного
вращением прямоугольного треугольника, катеты которого равны
а и Ь, вокруг его гипотенузы с.
„ Г С2А2
Ответ', v — -5------.
о с
264. Определить положение центра тяжести тела, состоящего из
двух конусов, имеющих общее основание радиуса R и высоты At и А2.
Ответ'. Центр тяжести лежит на оси симметрии на расстоя-
Ai — Аа
нии от центра О основания конусов.
§10. Гибкая нерастяжимая нить.
1. Если на гибкую нерастяжимую нить, закреплённую в своих концах
А и В, действуют силы, непрерывно распределённые по всей длине нити,
то при равновесии нить принимает форму некоторой кривой (фиг. 18);
в каждой точке нить испытывает натяжение Т, направленное по касательной
к этой кривой. Если сила, отнесённая к единице
В длины нити в данной точке М будет F, то уравне-
f У пие равновесия нити в векторной форме имеет вид
Ао)
ds 1
F или
Фиг. 18. —— n° + F=0. (Г)
ds 1 р 1
где -с0 и п° — единичные векторы направлений касательной и главной нормали
в точке М, а р — радиус кривизны в той же точке. В проекциях на оси
координат эти уравнения принимают вид
или
dT
ds
dx
ds
и т-
1 ds2 1 х
(2)
(2')
Проектируя векторное уравнение (Г) на касательную, главную нормаль
и бинормаль, получим уравнения равновесия нити в естественной форме:
-5г+*=0’ <3>
+ = (4)
Fb — Q< (5)
ГИБКАЯ НЕРАСТЯЖИМАЯ НИТЬ
83
Из уравнения (5) видно, что при равновесии пить располагается так,
что сила F лежит в соприкасающейся плоскости.
2. Если сила F центральная, т. е. линия действия этой силы для любой
точки нити проходит через неподвижную точку, то при равновесии нить
располагается по плоской кривой. Если сила F является производной от
потенциала U. т. е. если F=grad U, то урав-
нение (1) даёт скалярный интеграл
Т 4- U — const. (6)
3. Если направление силы F постоянно,
то при равновесии нить располагается по
плоской кривой, плоскость которой парал-
лельна F, кроме того, проекция натяжения
нити на направление, перпендикулярное к си-
ле есть величина постоянная для всех точек
нити.
4. Пусть нить находится в равновесии в
однородном поле тяжести (тяжёлая нить);
тогда F=f, где у — вес, отнесённый к еди-
нице длины в данной точке. Если нить однородна и имеет во всех точках
одну и ту же площадь поперечного сечения, то 7 —const для всех точек.
В этом случае, если ось у направить вертикально вверх (фиг. 19), урав-
нения равновесия нити (2) принимают вид
d
ds
Разложим натяжение нити Т на горизонтальную и вертикальную со-
ставляющие Н и V, так что
(7)
причём
Н — Тсо$а — Т
ds
тогда уравнения (7) можно написать в
03
V=rsina.= r-4^-;
виде
dV
~dT^
откуда имеем
Н — const, V — ys -f- с,
(8)
(9)
(Ю)
т. е. горизонтальная проекция натяжения нити во всех точках постоянна,
(ср. п°3).
При равновесии нить в этом случае располагается по цепной линии,
уравнение которой при расположении координатных осей, указанном па
фиг. 19, будет
х х \
у = -у- (е а aJ, или y = ach-^-, (11)
где
а=-^- = ОС (12)
есть постоянная линейная величина (параметр цепной линии). Если стрела
провеса нити достаточно мала, то цепную линию можно апроксимировать
параболой, уравнение которой
1
,=а+__£_. (13)
6*
84
СТАТИКА
[265—268
Второе из уравнений (10) даёт возможность определить вертикальную
проекцию натяжения Т, а именно: если отсчитывать длину нити s от низшей
точки С нити (т. е. если $=СЛ1), то так как в этой точке И —0 и 8 — 0,
произвольная постоянная с — 0, и мы имеем
V = ys, (14)
т. е. вертикальная составляющая V натяжения равна весу части нити СМ.
На основании уравнений (8) имеем
Н == V ctg а = ys ctg а,
Т = Н 1/ 1 -4- tga а — Н sec а = —У-—
г । ь sm а
(15)
Выражению Т можно дать другой вид. Так как из (11)
X dy U х
tg а = . - = sh - —,
& dx а
то _____
Т = 14-sh2-^- = /7cli —,
Г а а
или, принимая во внимание (11) и (12),
Т = уу, (16)
т. е. натяжение в каждой точке нити равно весу отрезка нити, длина кото-
рого равна соответствующей ординате цепной линии.
265. Однородная цепь весом Q подвешена на двух крючках
А и В, лежащих на одной горизонтали и вбитых в вертикальные
стены. Зная угол а, который касательная к цепной линии в точке В
образует с горизонталью, определить силу, стремящуюся вытащить
крючок В из стены. <
Ответ: Q ctg а.
266. Тяжёлая однородная цепь длиной 2Z и весом Q подвешена
концами в двух точках, лежащих на одной горизонтали. Зная
стрелу провисания /, определить натяжение на концах.
/2 I /2
Ответ'. Т — Q-
267. Однородная тяжёлая цепь длиной 2Z подвешена концами к двум
Точкам А и В, лежащим на одной горизонтали. Касательная в точке В
образует с юризонтом угол в 45°. Найти стрелу провисания цепи.
Ответ*. /=(/^2—1)Z.
268. Тяжёлая однородная нить длиной I подвешена концами
к двум точкам А и В, не лежащим на одной горизонтали; каса-
тельные к нити в этих точках образуют с вертикалью углы аир.
Найти разность высот точек А и В.
. а — р
sin--
Ответ: ---------—I.
sin
269—273]
ГИБКАЯ НЕРАСТЯЖИМАЯ НИТЬ
85
269. Цепь длиной /=33лт подвешена в двух точках, лежащих
на одной горизонтали; расстояние между этими точками равно
d = 32,4 м. Показать, что натяжение в самой нижней точке цепи
приблизительно в 1,5 раза больше веса цепи.
270. На каком расстоянии друг от друга надо расположить
точки подвеса тяжёлой однородной цепи длиной 21, лежащие на
одной горизонтали, чтобы натяжение цепи в каждой из этих точек
равнялось весу всей цепи? Найти также угол а касательной к цепи
в точках подвеса с горизонталью.
Ответ', d—l\f 3 In 3; а =
г о
271. Однородная цепь весом Q подвешена в двух точках А и В.
Натяжение цепи в самой нижней её точке С имеет данную вели-
чину И. Часть АС цепи имеет длину lv а часть СВ—длину /2.
Определить координаты токек А и В, предполагая, что ось у
проходит через точку С, а ось х совпадает с основанием цепной
линии АСВ.
Ответ'.
//(/1 + 4) VW + (4 + 4)2//8-4Q
ХА~ Q__________ //(4 + 4)
V _.!./> I W1 + 4)2
у а — у 4 + Q2
v_//(4 + 4),n V /1<?2 + (4+4)2//2 + 4<2
в~ Q //(4 + 4)
1- 7/2(4+ 4)2
Ув—у 4-i-------Q2-—•
272. Однородная цепь длиной 2Z подвешена в двух точках Ли В,
лежащих на одной горизонтали. Вес единицы длины цепи равен д.
В средней точке С цепи к ней подвешен груз весом Р, причём рас-
стояние точки С от линии АВ равно h.
Определить: 1) натяжения 1\ и в точках С и В; 2) угол
ср между касательными, проведёнными в точке С к цепным линиям
АС и СВ; 3) параметр а цепных линий АС и СВ.
Ответ". Tt = P<+^~fta> , Т2 = P'+Sg+A‘) ,
cos ’ = + “ = 2- ]/(+— 1) ++Z+*)(7'+Z~~А)•
273. Тяжёлая однородная цепь длиной I подвешена концами
к неподвижному горизонтальному стержню при помощи двух неболь-
ших колец, которые могут скользить с трением по стержню. Зная
угол трения ср определить, при каком расстоянии d между кольцами
возможно равновесие цепи.
Ответ; d I tg с? In ctg Д-.
£
86
СТАТИКА
[274—278
274. Однородная тяжёлая нить перекинута через два очень
малых идеальных блока, расположенных на одном уровне и удалён-
ных на расстояние а один от другого; при этом концы нити висят
свободно. Найти наименьшую длину нити, при которой возможно
её равновесие.
Ответ' 1—ае, где е — основание натуральных логарифмов.
275. Неоднородная тяжёлая нить подвешена в двух точках.
Вывести следующую формулу для радиуса кривизны нити:
J'2
Р IgH
где Т—натяжение в данной точке нити, у — линейная плотность
её в той же точке и Н—натяжение в низшей точке нити.
276. Неоднородная тяжёлая нить подвешена в двух точках.
По какому закону должна изменяться вдоль нити её плотность,
чтобы нить приняла форму дуги окружности радиуса R? Плотность
нити в низшей точке равна у0. Найти также натяжение нити в лю-
бой её точке.
Ответ'. у =
Tog#
cos2
cos
где s’ — длина дуги нити, отсчитываемая от низшей её точки.
277. Неоднородная нить с переменной плотностью находится
в равновесии в поле силы тяжести. Изменение плотности вдоль нити
дано уравнением у =f(s), где —длина дуги нити. Показать, что
дифференциальное уравнение фигуры равновесия нити можно пред-
ставить в виде
где
А = const, р — ~
1 п
278. Неоднородная пить, находящаяся в равновесии в поле
силы тяжести, имеет форму циклоиды, выражаемой следующими урав-
нениями:
х~ 7? (sp4- sin яр);
y = R (1 — cos яр),
причём ось у имеет вертикальное направление. Найти закон изменения
плотности вдоль нити, если в низшей её точке плотность равна у0.
[7 s \23 — 3/g
1 — [-4#) J
где s—длина дуги циклоиды, отсчитываемая от низшей точки.
279—282]
ГИБКАЯ НЕРЛСТЯЖИМАЯ НИТЬ
87
279. Однородная нить, линейная плотность которой равна у,
находится в равновесии в силовом поле постоянного направления,
параллельного оси у, величина напряжения поля является некоторой
функцией от у, т. е. У =f(y). Найти вид функции /, если нить
имеет форму параболы, уравнение которой
^=4-+
и если натяжение в низшей точке нити равно TQ. Определить также
натяжение в каждой точке нити.
Ответ'. У =----. где А — —1
Уу 1
Т=2ТУу.
280. Однородная нить находится в равновесии в поле центральной
силы, являющейся функцией расстояния г от центра. Вывести
следующую формулу для величины силы:
dr *
где С = const, a h есть длина перпендикуляра, опущенного из
центра силы на касательную к нити.'
281. Пользуясь формулой предыдущей задачи, показать следую-
щее: 1) если однородная нить, находящаяся в равновесии в поле
центральной силы, имеет форму окружности, причём центр силы
лежит на этой окружности, то сила обратно пропорциональна кубу
расстояния; 2) если однородная нить, находящаяся в равновесии
в поле центральной силы, имеет форму логарифмической спирали
с полюсохм в центре силы, то сила обратно пропорциональна
квадрату расстояния.
282. Однородная нить, линейная плотность которой равна у,
находится в равновесии в поле центральной притягивающей силы,
причём напряжение поля имеет постоянную величину k. Найти фи-
гуру равновесия нити, если известно, что в некоторой точке нити,
расстояние которой от центра силы равно г0, натяжение нити равно
^о = Л1Гго-
Ответ'. Равносторонняя гипербола.
КИНЕМАТИКА.
I. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.
§ 11. Равномерное и равномерно переменное прямолинейное
движение.
Равномерным движением точки называется движение с постоянной
скоростью. Если величина скорости равномерного движения равна v, то
путь s, пройденный за промежуток времени t, будет
S — vt. (1)
Если точка движется так, что величина её скорости изменяется пропор-
ционально времени, то такое движение называется равномерно переменным.
В этом случае скорость точки в момент t будет
v~v0 + af, (2)
где v0— есть начальная скорость, а — ускорение равномерно переменного
движения. Если векторы а и v имеют одинаковое направление, то движение
называется равномерно ускоренным, если их направления противоположны,
то — равномерно замедленным. Путь s, пройденный точкой за промежуток
времени t при равномерно переменном движении, выражается так:
s = v0/-|--^—• (3)
Исключая из (2) и (3) t, получим зависимость между v и а в виде
u = ]/‘t/2_|-2as. (4)
При vo = O последняя формула переходит в
v = y2as •
В случае движения тела скорости и ускорения его точек вообще
различны; поэтому говорить, что «тело движется равномерно или равномерно
ускоренно», можно только в том случае, если все точки тела движутся
с равными скоростями и ускорениями, т. е. если тело движется поступа-
тельно, ибо тогда движение тела определяется движением какой-либо
одной его точки.
283. Поезд № 1 отходит со станции А в 3 часа и приходит
на станцию В в 5 час. 30 мин.; поезд № 2 отходит со станции В
В 4 часа 30 мин. и приходит на станцию А в 7 час.
Расстояние между А и В равно 75 км. Определить графически,
место и время встречи поездов,
Qmeetn\ в 5 час. на расстоянии 60 км от А.
284—290] РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОМЕРНО переменное движение 89
284. График равномерного движения представляет собой прямую,
которая на оси времён отсекает отрезок а — — 2 см, а на оси
расстояний отрезок Ь — 5 см. На первой оси 1 см соответствует
промежутку времени в 1 час; на второй оси 1 см соответствует
расстоянию в 10 км. Найти скорость этого движения.
Ответ', v — 25 км/час.
285. Удары молота повторяются через каждые п сек. Какой
промежуток времени отделяет два последовательных удара этого
молота для человека, удаляющегося от него со скоростью v м/сек,
если скорость звука равна с м/сек! (Решить графическим методом.)
Ответ.'. ггх —п —-—.
1 с — v
286. Машинисты для определения скорости поезда иногда поль-
зуются следующим приёмом: если подсчитать число оборотов веду-
щего колеса паровоза за время 9/8 D сек, где D — величина
диаметра колеса в дециметрах, то это число окажется почти в точ-
ности равным скорости поезда, выраженной в км/час. Доказать
верность такого расчёта.
V 287. Самолёт летит с постоянной горизонтальной скоростью я;
с пего *в трубу наблюдают неподвижный предмет А. В некоторый
момент времени угол между зрительной трубой и вертикалью равен
Спустя t сек, тот же угол становится равны.м Найти высоту
h полёта. .
Ответ-, h = —— ------- V - 77 '
tg?A-tg?i цу, 4. 9 г
288. Две точки выходят одновременно из данных пунктов А и
В и движутся прямолинейно и равномерно. Скорость первой точки
дана по величине и направлению; скорость второй точки задана по
величине. Найти (построением) направление этой
скорости так, чтобы точки встретились.
(Задача может иметь одно, два и ни одного
решения.)
289. Две прямолинейные дороги пересекаются
в точке С под прямым углом. По ним движутся
две машины по направлению к точке С, выходя
одновременно из пунктов А и В с постоянными к задаче 289.
скоростями и Найти, в какой момент tx
расстояние I между машинами будет наименьшим и в какой момент t*
оно будет снова равно начальному расстоянию А5 = /о, если АС = а,
а ВС = Ь.
Ответ-. /mln=
V1 T- va у Vf -|- ^2
290. Ружейная пуля, вылетая из ствола длиной в 1 м, имеет
скорость 400 м/сек. Предполагая движение нули внутри ствола
90
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[291—295
равномерно ускоренным, определить ускорение и продолжительность
этого движения.
Ответ', t — 0,005 сек, ускорение равно 80 000 м/сек1.
291. В шахту бросают камень без начальной скорости; звук от
удара камня о землю услышан через 7,7 сек после начала падения
камня. Определить глубину шахты, если скорость звука равна
350 м/сек, а ускорение падения g-=10 м/сек*.
Ответ* 245 м.
292. Шарик, катящийся по наклонному жёлобу, прошёл в тече-
ние трёх последовательных секунд 2 м, а в течение трёх следую-
щих за ними секунд 4 м. Определить ускорение шарика.
Ответ* 2/9 м/сек1.
293. Паровоз идёт со скоростью *п0 = 15. м/сек. На протяжении
пути <?=34 м даётся контрпар, вследствие чего скорость паровоза
падает с г»0 до и = 5 м/сек. Найти, в течение какого времени да-
вался контрпар.
Ответ*, t ——;—= 3,4 сек.
t'o + t'
294. Определить скорость действия фотографического затвора,
если при фотографировании шарик, падавший без начальной ско-
рости вдоль сантиметровой шкалы от нулевого деления, дал -на
негативе полоску от деления пл до деления л2.
Г _ _______ j ________ __
Ответ*. t — у (У
295. Тело брошено вертикально вверх в пустоте* в поле силы
тяжести. Написать формулу для пути, пройденного телом за время
t сек, считая от начала движения.
Ответ*. Путь, пройденный телом к моменту времени, заключён-
ному в интервале
g9
определяется по формуле
а = ^ —
а при
он определяется по формуле
g
296—301] РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОМЕРНО ПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
91
296. Определить начальную скорость и высоту подъёма h
пули, упавшей на землю через Т сек после вертикально произве-
дённого выстрела. (Сопротивление воздуха не принимается во вни-
мание.)
Ответ: = h—^gT*.
297. Санки, выходя из точки А без начальной скорости, скаты-
ваются равномерно ускоренно с горы АВ, а затем едут по гори-
зонтальной плоскости равномерно замедленно до остановки в точке С.
Зная длину AB = sl, расстояние ВС = 8% и время t, в которое
санки проходят весь путь АВС, найти
ускорение ах и замедление а2 при дви-
женчи санок по АВ и ВС.
Отпет- а ___2
ответ. а, —
51г в с
2 («! + s2)2
а2—-----7/2--• К задаче 297.
298. Тело падает в пустоте без начальной скорости; через /п
сек после начала его падения бросают второе тело тоже без началь-
ной скорости. Через сколько времени после начала падения пер-
вого тела расстояние между обоими телами станет равным а м?
. Ответ:
2 г gt0
299. Тело брошено в пустоте по вертикали вверх с начальной
скоростью v0', через ^<^-~-сек после начала его движения бро-
сают вверх другое тело с той же начальной скоростью т>0. Через
сколько секунд после начала движения первого тела и на каком
расстоянии от его исходного положения оба тела встретятся?
Ответ: Lgf*j.
300. Два тела, расстояние между которыми в начальный момент
равно 100 м, движутся навстречу друг другу: первое равномерно
со скоростью Uj = 3 м/сек, второе — равномерно ускоренно с началь-
ной скоростью т?0 = 7 м/сек и ускорением а = 4 м/сек*. Найти место
и время встречи этих тел.
Ответ: Через 5 сек на расстоянии 15 м от начального положе-
ния первого тела.
301. Две точки движутся по прямой линии навстречу друг другу
с ускорениями ах = 6 м/сек* и а% = 4 м/сек* и начальными скоро-
92
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[302—305
стями т?01 = 10 м]сек и т>02= 15 MjceK. Начальное расстояние между
ними равно 750 м. Через сколько времени они встретятся?
Ответ’. Через 10 сек.
302. Две точки движутся по прямой линии в одном и том же
направлении с ускорениями ах и аг и начальными скоростями г»01 и
и02; начальное расстояние между ними равно s. Через сколько вре-
мени точки придут в совпадение? Сколько решений может иметь
задача?
Ответ', Искомое время t находится из уравнения
(aj — а2) f2 4“ 2(vt — v2) t — 2s = 0.
При имеем одно решение; при и совпадения
не произойдёт; при ai<^a2, и (А — —|—2s (at — а2)^>0
задача имеет два решения.
303. Ломаная О АВ изображает диаграмму скорости. Определить
по этой диаграмме путь, пройденный за промежуток времени от
/=0 до / = 60 мин.
Ответ-. 15 км.
304. Диаграмма скорости равномерно переменного движения
СВ — З1/^ см. На оси абсцисс 1 см изображает промежуток вре-
мени в 10 мин, а на оси ординат — скорость в 1 км{мин. Опреде-
лить ускорение этого движения в м[сек\
Ответ: Mlceic1.
144 '
305. Две остановки трамвая находятся друг- от друга на рас-
стоянии 400 м. В течение первых 10 сек при разгоне вагон дви-
жется равноускоренно; затем идёт равномерно со скоростью
36 км[час\ последние 10 сек перед остановкой вагон движется
равнозамедленно. Построить график скорости вагона и определить
его среднюю скорость.
Ответ: г»Ср=8 MjceK.
306]
ПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
93
306. Человек pQcroM /г2 м проходит с постоянной скоростью с
под фонарём, высота которого над землёй равна hr м. Найти, с ка-
♦ W \ м
^7777777777777777777777777ШПш77777777777777777^77Т77П
К задаче 306.
кой скоростью v движется по земле конец Л'1 тени человека.
Ответ’ v = - , с.
hy — h%
§ 12. Переменное прямолинейное движение.
Если точка движется по прямой по закону
(1)
то алгебраическое значение скорости точки выражается формулой
(2)
а алгебраическое значение ускорения будет:
dv dzx ... ... _
W~dt ~ dtz~~^
Если построить графики функций x = /(Z) и г» = /' (I), то полученные кри-
вые называются соответственно графиком движения (или кривою расстоя-
ний) и графиком скорости (или кривою скоростей).
Ускорение точки можно представить ещё в виде;
dv dx dv
dx di dx
(4)
Если точка совершает прямолинейное гармоническое колебание по за-
кону
х — a sin (со/),
то период это. о колебания будет
2к
СО
а частота
1 со
(5)
(6)
v”T“2n’
94
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[307—313
307. Точка движется прямолинейно по закону: x = 5t-\-$P.
Найги среднюю скорость точки за промежуток времени между
началом 10-й и концом 12-й секунды, а также истинную скорость
её в каждый из этих моментов.
Ответ', -а* =131 м/сек\ ^ = 113 м/сек\ т>2 = 149 м/сек.
308. Точка движется прямолинейно по закону: x — i? — 4/24-
10/4-1- Найти её скорость и ускорение в моменты: /=0, /=1
и / = 2. Определить также наименьшую скорость точки и построить
кривую скоростей.
Ответ: ^=10; 7^ = 5; тт2 = 6; ^mIn — 42/3; ^’о =— Wi =
s=— 2; и>2 = 4. Кривая скоростей — парабола.
309. Кривая скоростей представляет собой первую четверть окруж-
ности радиуса 5 см. Масштаб на оси абсцисс 20 сек в 1 см, мас-
штаб на оси ординат 10 м/сек в 1 см. Определить путь, пройден-
ный телом до остановки.
Ответ: $ = 3 926 м<
310. Для данного движения тела кривая скоростей представляет
собой параболу с вертикальной осью, обращённую вогнутостью
вверх и проходящую через начало координат. Определить время,
в течение которого тело пройдёт путь данной величины $lf и ско-
рость тела в конце этого пути, если в начальный момент уско-
рение те ia равно w0} а в конце пути st это ускорение имеет вели-
чину 'Wj.
Ответ: 4=1/ о------г——L|/ о,.. ' t ~~ *
311. Точка движется прямолинейно по оси х, причём её ускоре-
ние пропорционально её абсциссе, т. е, rw = k^x, где k — постоян-
ный коэффициент. Найти закон движения точки, если в начальный
момент л = 0 и 'p = u0.
Ответ: х — -^ (cht — e~kt).
1
312. Точка движется
её среднюю скорость за
с переменной скоростью Найти
промежуток времени от /, до /2.
Ответ: и*
313. Точка
отрицательным
движется замедленно по прямой линии с переменным
ускорением w = —/(0-и останавливается через Тсек
314—317]
ПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
95
после начала движения. Показать, что величина пути, пройденного
точкой, выразится так:
т
s = J t • f (f)dt.
314. Точка совершает гармоническое колебание по закону:
х — a sin I y tI.
При х=хх и л = х2 скорость точки равна соответственно и
Найти амплитуду а и период Т этого колебания.
/П 1 Г ^2*1-'Г n l/*!------------Х1
Omeetm а = I/ : Г= 2я I/ .
Г vl—v* * г V? — Vi
315. Точка движется прямолинейно по закону: х = ~
найти её скорость и ускорение как функции от х.
Ответ', v = со у^л2 — a2; w = аЛх.
316. Закон движения шахтной клети при гармоническом подъёме
выражается следующей формулой:
. Н гл ч
h— 2-(1 —cos ср),
где Н — полная высота подъёма, cp = j/r^t, а = const. Опреде-
лить скорость и ускорение клети как функции а также время
Т подъёма клети на высоту Н.
Ответ: v = 1/ sin ср; w —a cos ср;
Г 2 т т г 2а
317. Переменное ускорение шахтной клети во время ускоренного
движения выражается следующей формулой:
ч ® = «p-sin2^),
где а и — постоянные величины. Найти скорость клети и прой-
денный ею путь через t сек после начала движения, зная, что на-
чальная скорость клети равна нулю.
96
Кинематика точки
{318—321
318. Пить А/ИС закреплена одним концохм в неподвижной точке
А, затем продета сквозь глазок на ползуне М и привязана другим
концом к ползуну С. Ползун М движется с постоянной заданной
скоростью v , длина нити равна /, отрезок АЕ равен h и перпендику-
лярен к DE. Найти скорость ползуна С в зависимости от расстоя-
К задаче 318.
К задаче 319.
ния АЛ1 — х. Чему равна эта скорость, когда ползун М проходит
через точку Е?
„ >11/ l~~h
Ответ: | vc | = |/ ' *о*
319. К концам нити, перекинутой через два небольших блока А
и В подвешены грузы и Л'12. Точку С нити, которая в началь-
ный момент совпадает с точкой D, тянут по вертикали DC вниз
К задаче 320.
с постоянной скоростью и. Найти
скорость грузов, если AD =
= DB — а.
Ответ: v — —- - —.
u2l2 + а2
320. По земле бежит человек и
тащит за верёвку тележку, нахо-
дящуюся на возвышенном горизон-
тальном помосте. Найти скорость
V тележки и её ускорение w, если скорость человека постоянна и
равна и, а разность высот конца верёвки и тележки равна а. Найти
также скорость тележки геометрически (построением).
Ответ: v —
su
uzcA
W =--------------
(а2 4- ь2)3/8 ’
где $ есть длина пути, пройденного человеком.
Построение скорости: скорость тележки равна проекции вектора
и на направление верёвки.
321. Топкий стержень OL, вращаясь вокруг неподвижной точки
О с постоянной угловой скоростью <«, двигает колечко Л4, нани-
занное на неподвижную проволоку, отстоящую от точки О на рас-
322—325J
ПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
97
стояние а. Найти скорость
стояния О'М s= s.
Ответ: v — а<о -4- —
1 а ’
и ускорение колечка как функции рас-
<W
322. Изогнутый под прямым углом стержень О АВ вращается в
своей плоскости вокруг неподвижной точки О с постоянной угло-
вой скоростью «о. В той же
плоскости находится неподвижная
К задаче 322.
прямая LN, отстоящая от точки
скорость и ускорение точки М
если известно, что ОА = г.
О на расстоянии ОО'—а. Найти
пересечения стержня с прямой LN,
„ а — г cos ср
Ответ: v = ш-----------— ’
есть угол АОО .
sin2 ср
о 2а cos — г (1 4- cos2 ср)
W — ---------—-J, где ф
sin8 <р * т
,-пГ
и ускорением
323. Уравнение прямолинейного движения точки, совершающей
затухающие колебания, имеет вид: х — ae~nt • sin (kt -|- а). Показать,
что между абсциссой х, скоростью v
существует следующая зависимость:
324. Стержень О А вращается вокруг
неподвижной точки О с угловой ско-
ростью со. К концу А стержня привя-
зана верёвка, перекинутая через неболь-
шой блок В и несущая на свободном
конце груз Л4. Показать, что скорость
груза выражается формулой sin а,
где h = OB и а — 2.0 В А.
325. Кривошип О А вращается во-
круг неподвижной точки О с постоян-
ной угловой скоростью ш и приводит
в движение соединённый с ним шарнирно в точке А стержень ВС,
концы которого С и В скользят но двум неподвижным прямым Ох
7 Сборник аадаЧ
w этой
точки
К задаче 324.
К задаче 325.
98
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
(326—329
и Оу. Определить скорость и ускорение точек В и С в зависимо-
сти от угла поворота ф кривошипа, если ОЛ = ВА = АС = а.
Ответ: Vc — — 2пю sin ф; wc — — cos ф.
т/в = 2п<осо8ф; ^в —— 2а<о28П1ф.
326. Кривошип О А—Г, вращаясь равномерно вокруг неподвиж-
ен делает один оборот за Т сек. При помощи шатуна
приводит в
Ох. Найти
ноЙ точки
АВ = I он
по прямой
движение ползун, причём точка В движется
скорость ползуна в зависимости ог углов
АОВ — г? и ABO —
Ответ: v — — г<о
cos и
2тс .
где <о = р- (угловая скорость
вошипа).
кри-
327. При условиях предыдущей задачи, предполагая, что отно-
г .
шение -у мало и, следовательно, угол <р остается малым, найти
приближённые выражения для скорости и ускорения ползуна.
Указание; Положить приближённо cos<р = 1.
Ответ:
v =— г® япф-}-^ sin 2ф^; W —— rw21 совф-ф- у cos 2ф .
328. Ползун А приводится в движение вдоль стержня КВ при
помоши шнура АС, продетого через неподвижное колечко С и на-
матывающегося па колесо, которое вращается с постоянной угло
к
К задаче 328.
вой скоростью а>. Найти скорость v ползуна как функцию расстоя-
ния АВ = х, если ВС—а, а радиус колеса равен R.
Ответ: v — R<o *----1---,
х
329. Ползун В приводится в движение посредством нити, нама-
тывающейся на шкив радиуса R. Найти скорость ползуна как функ-
цию расстояния О В = х, если угловая скорость колеса равна а>.
330—332]
ПЕРЕМЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
99
О т вет: v = Rw — —.
]/х2 —А»2
330. Стержень ОА вращается с постоянной угловой скоростью
о) вокруг своего конца О. К другому его концу привязана нить,
которая перекинута через небольшой блок В и несёт на свободном
конце груз D. Найти скорость этого груза в зависимости от угла у,
если дано: OA — R, ОС —а, СВ — Ь.
„ Асов®— «sin®
Ответ: Vo — ’ — aR.
V‘2R(a cos + A sin <p) 4- a? -f- & + A?2
331. Точки А и В соединены стержнем. Точка А движется по
окружности с центром на оси Oz в плоскости, параллельной плоско-
сти хОу\ точка В может скользить но прямой Суг, параллельной
оси Оу. Найти скорость точки В в зависимости от угла ф, если
даны: OOi = h, ОС —a, O,A = R. АВ = I
и скорость Т’д точки А. " L
Исследовать случай, когда h — a. (
Ответ: Ди /? /
[. (а — R cos®) sin® ] ~
с os ф -4-~-у- — - — ри д. s
—Л2—(n —A?cos<p)a J и
332. Стержень ОД длиной 2R вращается К задаче 332.
с постоянной угловой скоростью <о вокруг
своего конца О. Другой его конец А закреплён шарниром на окруж-
ности диска радиуса R, который может свободно скользить между
двумя параллельными направляющими ОВ и DB. Найти скорость
центра С диска в зависимости от угла АО В —а.
Ответ:
v = <oR 2 sin а -С ( 2 sin а — 1
cos а
j/ sin а (1 —sill а)
7*
100
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§13. Определение траектории, скорости и ускорения точки из
уравнений движения в декартовых координатах.
1. Движение точки известно, если для любого момента времени известны
её координаты, т. е. если даны уравнения:
У=М), z=ft(t), (1)
где правые части обозначают данные однозначные, непрерывные и диффе-
ренцируемые функции времени.
На уравнения движения (1) можно смотреть как на уравнения траекто-
рии точки в параметрической форме, причём время t играет роль параметра.
Исключая t из уравнений (1), получим уравнения траектории в виде
<р(х,^) = 0, ф(у,г) = 0.
Если точка движется в плоскости (ху), то движение её определяется двумя
уравнениями:
(2)
Исключая t из уравнений (2), получим уравнение траектории
F(x,y) = 0.
2. Дифференцируя по времени координаты х,у, z, получим соответствую-
щие проекции скорости:
dx dy dz
Vx~dty vy~di' Vz~dt'
(3)
откуда
, , 1 dx .. 1 dy . . 1 dz
co, (о,x) = - , cos (v.y) COS (о, *)= ~ Ж •
Возводя уравнения (3) в квадрат и складывая, получим
2 dx2 + dy2 -f- dz2_____________________ds9
v ~ dt* —dt9'
откуда
I ds
\di
(4)
где ds есть элемент дуги траектории. Из уравнений (3) вытекает, что направле-
ние скорости совпадает с направлением элемента дуги траектории, т. е. ско-
рость точки направлена по касательной к траектории.
3. Дифференцируя координаты два раза по времени, получим соответст-
вующие проекции ускорения:
d2x day ______daz
Wx~dtat wy~dF'
ОТКуДа
, , 1 dax , . 1 day . . 1 daz
cos (co, x) — — -ns-: cos (co.y) = — ~~ > cos (те>z) = ~ •
' ’ ' w dt2 \ г-'/ w a/ di2
4. Если из произвольной точки О (полюса) проводить векторы, геометри-
чески равные скорости движущейся точки, то концы этих векторов дадут
3331
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ
101
кривую, которая называется годографом скорости. Обозначим через tq, С
координаты точки годографа; тогда
„ dx ,, ... dy ,, ... ,, л dz ____,,
S — v* — —dt —— Vz—dt f9 '
Исключая из этих уравнений ti получим уравнения годографа в виде
ф(^71) = 0, ^(tj,С) = 0.
Примечание. Во всех задачах этого параграфа, где нет особого ука-
зания, за единицу длины принимается метр,аза единицу времени —секунда.
333. В следующих задачах по заданным уравнениям движения
точки найти её траекторию, скорость и 'ускорение.
1) jc=15 /*, у = 4 —20/2;
найти также тот промежуток времени Т, в течение которого точка
пройдёт участок траектории, заключающийся между осями координат.
Ответ-. Траектория 4x-j-3y—-12=0; v = 50/,
3
гу = 50, cos (w, х) — у,
/ ч 3 z . 4
cos to, л) =-Е-, cos («',>') = — -г-;
о о
, А 4
cos (w,>)——у;
Т =
5 ’
2) x=\-t\ y=^t* + 2.
Ответ’, Траектория 2х—Д'—|—2 = 0; г>=]/5/2, cos(®, х) =-Цт—,
cos (s>,y)=j/5; w = 2 у/5 /, cos(w, , cos(w,y) = ^ у/5.
3) х=2е‘ — 1, ,у = 2е#4-1.
Ответ' Траектория х—д/—|—2 = 0; у=2/2?,
1Л2 т/Т
cos О, х) — 2 > cos(©,j)==-у-;
2 ’
w = 2\/‘2et; cos(w,a) =-у-> cos(w,j/) =
4) x = a cos (bt), y = c — a cos (bt) (a 0, b 0).
Ответ’ Траектория x -J-j = c\ v — ab2 | sin (bt)
sin (bt)
COSfr.X)^-^---,
cos «u-)= ® = C*V2|COS(W)|,
cos (bt) z_ ..X cos (bt)
cos(ni,x) = -r-cos—, cos ices wi‘
5) x — a cos’ t, у = b sin2t (a^>0, b^> 0).
102
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[333
Ответ' Траектория ® = с]sin 2/|; -зу = 2 с | cos 2/1»
где с = yf с? 4- Ь*.
Точка совершает колебательное движение на отрезке траекторий,
заключённом между осями координат.
6) х — a cos (<»/), у = a sin (<of) (а^>0, <о^>О).
Как изменится движение точки, если положить:
х = a sin (<of ), у = a cos (<о/) ?
Ответ'. Траектория — окружность радиуса а с центром в начале
координат; движение точки происходит по этой окружности против
часовой стрелки и имеет период Скорость z/ = tz<o; ускорение
•w а<оа и направлено к центру окружности.
При изменении уравнений движения получится та же траектория и
прежний период, но движение точки происходит по часовой стрелке.
7) х ~ a cos (<о/), у — b sin (<of) (а, b и о положительны).
Найти также годограф скорости.
^2 уЗ
Ответ'. Траектория — эллипс 4~ ^2= 1 •
Движение точки происходит против часовой стрелки и имеет пе-
риод Скорость ъ — ^^ауъ-^-Ь^х2,; ускорение щу = о2г и на-
правлено к центру эллипса, причём г обозначает модуль радиуса-
вектора движущейся точки, проведённого из начала координат.
₽2 „2
Годограф скорости — эллипс —
8) х—Р — 6f,y = 2,5f.
Ответ*. Траектория — парабола 4уэ — 60 у — 25 х = 0 (ось пара-
болы параллельна оси х)\ v = 4fz — 241 -f- 42,25; ни = 2 (ускоре-
ние параллельно оси x).
9) x~aeht, y—be~kt.
Ответ*. Траектория — гипербола xy~ab't v — kr, где г—модуль
радиуса-вектора движущейся точки; -ау = AV (ускорение имеет напра-
вление радиуса-вектора).
10) jc==|(eftx4-e-^), y = -"-(ew—e~kt).
Найти также годограф скорости.
Ответ*. Траектория—гипербола^—-^=1; — b*x*-[- а4у2;
?г=Л2г, где г—радиус-вектор движущейся точки; ускорение на-
333] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 103
правлено по радиусу-вектору от центра гиперболы. Годограф ско-
са г2
рости — гипербола ' = k2.
11) х~аР, y = bt2; найти также годограф скорости.
Ответ'. Траектория — полукубичсская парабола Ь^х2 — й2_у3;
v = tyf 9a2t'24b\ tg (v, х)w — 2у/Г9а'2Ь2bi, tg(w,x) =
Годограф скорости.— парабола.
12) х = 2а cos2 (kt), у ~а sin (2kt).
Ответ: Траектория — окружность радиуса а, проходящая через
начало координат и касающаяся оси у; v—2ka; w — 4k2a, ускоре-
ние направлено по радиусу окружности к центру.
13) х = 2t\ y = 3t\ z = 4 А
Ответ: Равномерно ускоренное движение попрямей 4_у = 6л = 3г
с ускорением <w — 2 yf 29.
14) х — 2 cos(3Z), у —2 sin (3/), z=At.
Ответ: Равномерное движение со скоростью v — 2 Z13 по вин-
товой линии, которая лежит на поверхности круглого цилиндра
радиуса г=2, имеющего осью вращения ось z. Ускорение но — 18;
ускорение перпендикулярно к оси z и пересекает эту ось.
15) х — R sin2 (kt), y — R cos (kt), z — sin (2kf).
Ответ: Траектория имеет форму сферической восьмёрки, распо-
ложенной на сфере радиуса R, и является
линией пересечения этой сферы с пара-
болическим цилиндром
v2 = /?а —Rx,
или с круглым цилиндром
22_|_л2— Rx— 0;
v = kR ]/1 sin2 (kt);
id = k2R jZ4 —cos2 (kt).
Точка движется по траектории в напра-
влении abedeefa.
16) л: = п-[-а./(0, у = £-f-0-f(t),
Какова должна быть функция f (t), чтобы движение было равно-
мерно переменным?
104
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[334—337
Ответ'. Траектория — прямая —-— — — = ——;
/«* + ₽’+т*/'(0; w — /аа + ₽2+т*/”(0;
движение будет равномерно переменным в том случае, когда f(t)
представляет собой многочлен второй степени.
334. Точка движется по коническому сечению
_у2 — 2тх — пх* = 0
с постоянной по величине скоростью с. Найти проекции скорости этой
точки на оси координат.
_ .су т-}-пх
Ответ*. ,и_г = -ь- ——======, = -п ---------.
]Л'2 4- (т 4- пх)а ) У
335. На чертеже изображён шарнирный механизм, состоящий из
стержней OAt, OBit САЛ, CBlt имеющих длину а, и стержней Л]/?2,
BtАг, А^В3, В*А9, АЯВ^, В3А^ длиной 2а. Найти траектории, опи-
сываемое шарнирами Дь Аъ, А3, Л4 при движении шарнира С вдоль
оси х.
Ответ*. Эллипсы --------и»—=• 4-А=1, где п — номер шарнира
(zzi — 1) а 1 а
(п — 1, 2, 3, 4).
336. Линейка АВ эллипсографа скользит концами А и В по двум
направляющим прямым Ох и Оу, причём точка В движется с посто-
К задаче 335.
у
в
К задаче 336.
янной скоростью с. Найти скорость и ускорение точки М линейки,
если МА —а, МВ = Ь и £ ОБА — <р.
Ответ', v = —]/a2 -j- b* ctg2 <у>; w = ? f * 8.
а 4-0 ь (д4_^)Ъ'8
337. Кривошип О А, вращаясь с постоянной угловой скоростью
<» вокруг неподвижной точки О, приводит в движение ползун В при
помощи шатуна АВ, с которым он соединён шарниром в точке А.
Определить траекторию, скорость и ускорение точки С шатуна, если
ОА—АВ — 1 и АС—а.
338—340J ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ
105
Ответ: Траектория Ч~ (/—а)2 = 1; v = “>-ОС , где С—точка
шатуна, симметричная с С относительно точки A; т = <о* • ОС.
338. Стержень, конец А которого скользит по неподвижной пря-
мой Ох с постоянной скоростью с, проходит через муфту, вращаю-
щуюся на шарнире вокруг неподвижной точки В. Определить тра-
екторию, скорость и ускорение (как функции угла 9) точки М
стержня, если AM = О В = а.
Ответ: Траектория (у — а)8 (у8 — я8) -}- х9у9 == 0;
_ ... £>Z г - ... -
v = c у 1 — 2 sin3 9 -j- sin4cp; w= - sin39y l-ф-З cos3 9.
339- Кривошип OA = r вращается с постоянной угловой ско-
ростью a> вокруг неподвижной точки О;
при помощи шатуна АВ он приводит у Л
в движение ползун, причём точка В
движется по прямой Ох. Найти траек- q Л'' ^^'=54^ В
торию точки С шатуна, если АС=
= СВ — а. Определить также скорость
этой точки в зависимости от углов К задаче 339.
/,ЛО£ = 9и £ABO=ty.
Ответ: Уравнение траектории 4л9 (а9—у9) = (х9-ф-Зу8-|-а9—г2)9“
гш
2 cos 4*
]/ cos89-}- 4sin9-cos«р*sin(срЦ-ф).
340. При условиях предыдущей задачи найти приближённые выра-
жения для проекций на координатные оси скорости и ускорения
точки С, предполагая, что отношение мало, и, следовательно*
угол ф остаётся малым, так что можно положить tg ф = sin ф.
Ответ: v* —— rco (sin 9sin 2 9), vy = у гео • cos 9;
‘zyJC = — rco8 (cos 9cos 29), wy —— 2 г 0)2 *sin 9.
106
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[341—344
341. Однородная цепочка длиной I движется сначала по гори-
зонтальной прямой АО, а потом по наклонной прямой ОВ, образую-
д щей с первой угол 2а; найти траекторию
Z центра тяжести цепочки.
Ответ'. Если за оси координат взять
биссектрисы углов 2а и смежного с ним,
то уравнение искомой траектории будет:
К задаче 341. sin а о , Z .
У — -7—2- * х + т sin а,
s /cos2 а 1 4
это есть уравнение параболы, вписанной в угол АОВ.
342. Шар радиуса R вкатывается по двум пересекающимся под
углом 2ср и одинаково наклонённым к горизонту прямым. Найти траек-
торию центра этого шара.
Ответ’. Четверть эллипса
абсцисс; б) палочка скользит
торого есть
х2 . у2 .
, р L где осью х являет-
\sin<p j
ся биссектриса угла между данными
прямыми, ось у перпендикулярна к
плоскости этих прямых, а начало ко-
ординат взято в точке их пересече-
ния.
343. Палочка АВ длиной 2а сколь-
зит концом В по оси у, а концом
А — по некоторой кривой, уравнение
которой есть
у =/(х).
Найти траекторию середины па-
лочки. Рассмотреть частные случаи:
а) палочка скользит концом А по оси
концом А по эллипсу, уравнение ко-
V®
— 4- —= 1
4a2
Ответ’, у = /(2х) j/a3 — х\
2
Частные случаи: а) х*-]-у* = а*; б)у = 0 или 1,
344. Прямая FM вращается с постоянной угловой скоростью о>
в плоскости данного эллипса вокруг его фокуса F. Найти скорость
точки М пересечения этой прямой с эллипсом.
345] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ 107
Ответ’ v = il~ V г№а—г), где r — FM, а а и b — полуоси
эллипса. %
345. Точка описывает циклоиду с постоянной по величине ско-
ростью с. Показать, что проекция этой точки на ось у движется
с постоянным ускорением. Уравнения циклоиды:
х = R(9-я-sin ср), j/ = 7?(l— cos 9).
Обратная задача: найти кривую, если известно, что проекция
движущейся по ней с постоянной по величине скоростью с точки
на некоторую пересекающую сё и лежащую в её плоскости прямую
имеет постоянное ускорение а.
Ответ’. Взяв данную прямую за ось х, а точку пересечения её
с кривой за начало прямоугольных осей, найдём, что искомая
кривая есть циклоида:
у — R arc cos 4~ x(2R—
\ Л\ J
с2
где R — ^. Следовательно, образующий круг имеет радиус R и
катится по прямой х—27?.
§ 14. Определение траектории, скорости и ускорения точки
из уравнений движения в полярных координатах.
Если движение точки задано уравнениями в полярных координатах:
г=А(0> ?=/г(0.
то, исключая из этих уравнений время /, получим уравнение траектории в
полярных координатах
Величина скорости точки определяется по формуле
v — 1^ г* -f- rav2»
где г есть проекция скорости на направление радиуса-вектора (радиальная
скорость), a r'-f — проекция скорости на направление, перпендикулярное к ра-
диусу-вектору (трансверсальная скорость); ср есть угловая скорость враще-
ния радиуса-вектора. Угол между скоростью и радиусом-вектором опреде-
ляется по формуле
. . rdxo
tg(e,r)=?=—.
Величина ускорения точки определяется по формуле
где 'll)г — г— г?3 (радиальное ускорение), w? = 2гу г ? = ~ (транс-
версальное ускорение).
108 КИНЕМАТИКА. ТОЧКИ (346
Угол между ускорением и радиусом-вектором определяется по формуле
tg (w,r) = ^.
Секторной скоростью называется производная по времени от площади а»
описанной радиусом-вектором г точки за время /, в течение которого он
повернулся на угол <?:
°* = у
346. В следующих задачах по заданным уравнениям движения
точки найти её траекторию, скорость и ускорение.
1) г—at, (f> = bt.
Ответ'. Архимедова спираль r = ~<p; v — ayf \ Д-b9t9,
tg (^, r) — bt=q','W = ab 4 4~ b9t\ tg (w, f)= — bl~ — —.
b
2) r=at, <y==y.
Ответ'. Траектория — гиперболическая спираль r= —;
т>=~/£*-Н3, tg(^,r) =—у = —ф; w = fg(w,r) = K.
3) r=eat, c?~bt.
ay
Ответ'. Траектория — логарифмическая спираль r = eb ;
•v — tg(®, r) = == const; да = (a3 -f- b9) r, tg(w,r) =
2ab
= ^=^==const
4) r=/a(a + 2cf), 9 — / — arc tg .
Ответ', Равномерное движение co скоростью с по развёртке
круга радиуса а, уравнение которой в полярных координатах
имеет вид
1Л г8 — а2 > V" г2 — а* \
4?=^----------аГС‘е а---------1-
5) г=г0(1 —of).
at
T^at’
Ответ'. Траектория—гиперболическая спираль г =
асимп-
1 + ?’
тота которой отстоит от полюса на расстоянии г0, образуя угол,
равный тс—1 (в радианах) с положительным направлением полярной
оси;
®=т°У<г"+г3' *g(®-'-)=-7-=-(1+<p): да = 7г-
347—351] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ
109
347. Даны уравнения движения точки:
y — bt, q = at.
Найти уравнения траектории в полярных и декартовых координатах.
Ответ’. г=------Д— ,* X — у ctg (-£- у);
asincp \v 1
м ь
дратрисы с асимптотой у — — w.
это — уравнение ква-
348. Точка описывает плоскую траекторию; радиальная скорость
точки положительна ,и постоянна, а радиальное ускорение отри-
цательно и обратно пропорционально кубу расстояния от полюса, т. е.
vr = с 0, <wr — — -р (а 0).
Найти траекторию и секторную скорость точки, если известно, что
при t, равном нулю, г=г0 и 9 = % и что 9^>0.
агб
Ответ’, г—-----------------г,
а — сг0 (? — ?о)
а — — const.
349. Точка описывает плоскую
торная скорость пропорциональна
диаяьная скорость постоянна, т. е.
траекторию. Известно, что сек-
модулю радиуса-вектора, а ра-
о — ^аг, vrt=b (я>0, Ь>0),
и что 9= 0 и г=г0 при t — О. Найти траекторию точки и уравне-
ния движения.
ъ
— <р
Ответ’. Траектория — логарифмическая спираль гх= гое ; урав-
нения движения:
г=г04-^, 9 = j In(£/ + *
350. Зная, что в плоском движении точки модуль её скорости
есть величина постоянная, равная с, а угловая скорость вращения
радиуса-вектора тоже постоянна и равна <о0, найти уравнения дви-
жения и траекторию точки, если г = 0 при 9«=0.
е
Ответ’. Окружность радиуса
ной оси.
касающаяся в полюсе поляр-
351. Доказать следующий способ построения касательной к
архимедовой спирали (см. задачу 346, 1): соединив движущуюся
по
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[352—356
точку М с полюсом О, восставим из О перпендикуляр к ОМ и
на этом перпендикуляре отложим в сторону вращения радиуса-
вектора отрезок О А, равный ~. Прямая, проведённая через М
перпендикулярно к МА, и будет касательной к спирали в точ-
ке М.
352. Точка описывает эллипс. Пользуясь тем, что сумма радиусов-
векторов, соединяющих эту точку с фокусами эллипса, сохраняет
постоянную величину, показать, что нормаль к эллипсу делит угол
между радиусами-векторами пополам. Точно так же показать,
что касательная к гиперболе делит угол между радиусами-век-
торами, соединяющими точку касания с фокусами гиперболы, по-
полам.
353. Точка описывает параболу. Пользуясь тем, что* расстояния
её от директрисы и от фокуса параболы всё время равны между
собой, показать, что касательная к параболе образует с радиусом-
вектором и с осью параболы равные углы.
354. Прямолинейный стержень вращается вокруг своего непо-
движного конца О с постоянной угловой скоростью оэ0. Вдоль стержня
скользит ползун с постоянной скоростью v0. Найти траекторию и
скорость ползуна, если в начальный момент (при t — 0) г=0 и
9 = 0.
Ответ'. г—— ср; v = г>0 V1 <4 /2.
соо
355. Прямолинейный стержень вращается вокруг своего непо-
движного конца О с постоянной угловой скоростью вдоль стержня
скользит ползун со скоростью, пропорциональной расстоянию пол-
зуна от оси вращения, причём коэффициент пропорциональности
равен k. Найти траекторию ползуна и его скорость,
Г если известно, что г=г0 и 9 = 0 при t — 0.
I [I л
k ________
Ответ'. г — гйешо ; v = г у е1 •
356- Эксцентрик ОЕ, полярное уравнение профиля
которого относительно неизменно с ним связанной
полярной оси ОР есть
r = F(9),
вращается с угловой скоростью
<» = 9 = F1(/)
вокруг неподвижной точки О. Эксцентрик толкает штифт АВ, про-
должение оси которого всё время проходит через точку О. Найти ско-
рость и ускорение штифта. Рассмотреть в частности случай эксцен-
357—3581 ПРОЕКЦИИ УСКОРЕНИЯ НА ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОСИ 111
трнка с прямолинейным профилем, уравнение которого имеет вил
г=рм=^ <а>°)
при условии, ЧТО <0 = const.
„ dr d2r g . drd<a
Ответ', v = , - <o; = л ш '7/ •
dq ’ a?2 1 d'f dt
В случае эксцентрика с прямолинейным профилем
asin<p l-j-sin2© „
v = —<0: w — —!—X—L
cos2 <р cos3 ср
357. Точка движется по поверхности прямого эллиптического'
цилиндра по винтовой линии, наклонённой под углом а к образую-
щим цилиндра; секторная скорость проекции этой точки на плоскость,,
перпендикулярную к образующим цилиндра, постоянна и равна с.
Найти скорость точки.
л 2с .
Ответ: -и — cosa ’ где —’Длина перпендикуляра, опущенного-
из центра перпендикулярного сечения цилиндра на касательную к
этому сечению, проведённую через проекцию движущейся точки.
358. Исходя из общих выражений радиального и трансверсаль-
ного ускорений, показать, что в случае отсутствия ускорения дви-
жение точки будет прямолинейным и равномерным.
§ 15. Проекции ускорения на естественные оси
(на касательную, главную нормаль и бинормаль).
1. В каждой точке траектории можно построить три взаимно перпен-
дикулярные прямые, непосредственно связанные с траекторией: касатель-
ную, главную нормаль и бинормаль. Эти прямые образуют так называемые
естественные оси, начало которых находится в движущейся точке. Так как
вектор вполне определяется своими проекциями на три взаимно перпенди-
кулярные направления, то ускорение чю определяется или проекциями на
неподвижные оси координат (xyz\ как в § 13, или проекциями на каса-
тельную, главную нормаль и бинормаль, т. е. на естественные оси (xnb).
Вектор чо всегда лежит’ в соприкасающейся плоскости траектории
(т. е. в плоскости, проходящей через три бесконечно близкие точки траек-
тории), а так как бинормаль есть перпендикуляр, восставленный в данной
точке траектории к соприкасающейся плоскости, то проекция w на бинор-
маль всегда равна нулю, т. е.
wb==0.
(Если кривая — плоская, то соприкасающаяся плоскость есть плоскость этой
кривой.)
Проекция чо на касательную равна производной от модуля скорости
по времени, г. е.
112
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[359—360
(при условии, что ось г направлена в сторону движения), а проекция
ла главную нормаль равна
где р есть радиус кривизны траектории в данной точке.
Отсюда
2. Если движение точки задано в декартовых координатах, то можно
определить радиус кривизны траектории следующим образом:
из уравнений движения
*=Л(П, У=/»(0, *=Л(0
находим
г \ dt) ^\dt) ^\dt) ’
№=]/
У \ dt2 ) + ) ^\dt*) ’
.далее
dv d-jf / dx\a , (dy\* . (dz\*
\dt) +\di) +Ы ’
— = ~f
откуда определяется p.
3 Если точка движется по окружности радиуса /?, то
I ds I rJ I ГЛ I ,
HsH* л|=я|“1,
где w — угловая скорость вращения радиуса-вектора точки.
Проекции ускорения точки на касательную и нормаль будут
Wt — R —AV,
(при условии, что положительное направление касательной совпадает с
положительным направлением отсчёта углов и дуг), а следовательно,
W==/?|/" 4-0)4, tg(tO,V)=^.
359. Доказать, что при надлежащем выборе масштабов угол,
иод которым нормальное ускорение видно из конца вектора ско-
рости, равен углу, под которым вектор скорости виден из центра
кр'ивизны траектории в данной точке.
360. Точка описывает плоскую траекторию с постоянной по
величине скоростью *и0; продолжение вектора её ускорения всё
время проходит через данную неподвижную точку О; начальное
расстояние движущейся точки от О равно а. Определить траекторию.
Ответ’, Окружность радиуса а с центром в точке О.
361—-364)
ПРОЕКЦИЯ УСКОРЕНИЯ НА ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОСИ
113
361. Показать, что в плоском движении величина скорости
точки может быть выражена так:
где р — радиус кривизны траектории, а — угол, образуемый ско-
ростью с некоторой неподвижной прямой, расположенной в той
же плоскости, в которой движется точка.
362. При плоском движении точки угол а между скоростью и
ускорением остаётся постоянным. Показать, что в этом случае ве-
личина скорости точки может быть выражена следующей формулой:
v = vQe — с (т ~~ то),
где 9 — угол, образуемый скоростью с некоторой неподвижной
прямой, расположенной в плоскости движения; <р0 и v0 — началь-
ные значения этого угла и скорости и c — ctga.
363. Показать, что если движение точки задано в декартовых
координатах уравнениями:
х=Л(О. y=A(t), z=f9(f),
то тангенциальное и нормальное ускорения могут быть выражены
следующими формулами:
= 4 (** +.У.У + ZZ ),
® п=4 / Су?—z'yY + (—**)’ + (*у —ух)^
В частности, для плоского движения
а, —
У^ + у" У*’+у‘’
а радиус кривизны траектории
(*‘+у8)3/»
Р 1<у— ух\ ’
364. Точка описывает плоскую кривую, причём прямая, по кото-
рой направлено её ускорение w, всё время проходит через непод-
вижную точку О, Показать, что в этом случае
где v — величина скорости точки, а г—модуль её радиуса-векто-
ра, относительно О. Знак берётся в том случае, когда ускоре-
ние направлено от точки О и знак — в противном случае,
8 Сборник задач
11'4
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[365—368
365. Точка описывает плоскую траекторию так, что проекция её
скорости на ось х сохраняет всё время постоянную величину с.
Показать, что в этом случае величина ускорения выражается так:
М V8
"ср*
где v — величина скорости точки, а р — радиус кри-
визны траектории.
К задаче 366. 366. Точка М описывает плоскую кривую. Линия
её ускорения в пересечении с кругом кривизны обра-
зует хорду МА = Z. Выразить величину ускорения через величину
скорости и длину этой хорды.
2v*
Ответ:
367. Точка описывает или эллипс:
х== a cos (kt), у = b sin (kt),
или гиперболу:
или параболу:
х = — t\ у = pt.
Показать, что радиус кривизны в какой-нибудь точке этих кривых
равен
а*Ь*
Р— дз
в случаях эллипса и гиперболы и
рх'л
Р = V
в случае параболы; величина h в первых двух случаях обозначает рас-
стояние касательной в выбранной точке от центра эллипса или ги-
перболы, а в последнем случае — расстояние касательной от вер-
шины параболы.
368. Точка движется по винтовой линии с постоянной по вели-
чине скоростью Т’о. Определить величину и направление её уско-
рения, а также радиус кривизны траектории.
Ответ'. Ускорение направлено по внутренней нормали цилиндра,
на котором расположена винтовая линия, и равно по величине
Vq cos’ а р
™ = —R—; радиус кривизны р = —,
где — радиус цилиндра, и а—угол наклона винтовой линии.
369—3731 ПРОЕКЦИИ УСКОРЕНИЯ НА ЕСТЕСТВЕННЫЕ ОСИ
115
369. Уравнения движения материальной точки, брошенной со
скоростью v0 под углом а к горизонту в пустоте, имеют вид:
x=at, y—bt — (a = ,z>0cosa0, b ~ *у0 sin a0).
Найти радиус кривизны траектории в зависимости от абсциссы х;
в частности—для вершины траектории.
Отвепг. р = ^7 [а2 4" » для вершины
370. Мост имеет форму параболы _у = — 0,005 я®, причём х и у
выражены в метрах. Паровоз идёт с постоянной скоростью, равной
72 км/час. Найти величину ускорения паровоза в вершине параболы.
Ответ'. W — 4 м/сек*.
371. Даны уравнения движения точки:
x=at, j = = a • chZ;
найти траекторию и радиус кривизны траектории в зависимости от
ординаты у.
Ответ*. Траектория — цепная линия:
J,=ech(^),
радиус кривизны
372. Точка описывает окружность радиуса R с начальной ско-
ростью ,у0. Ускорение точки образует с её скоростью постоянный
угол а. Найти величину скорости точки, как функцию времени.
Ответ’, v
v0R
R—Vo • Ctga •/’
373. Точка движется по окружности радиуса R по закону
s = at*.
Чему равна величина ускорения точки? Когда эта величина стано-
вится равной а и сколько оборотов сделает точка к этому моменту?
Ответ', w — у а
оборотов
— a/)4; w — a при t — ^'t число
8*
116
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
(374—376
374. На шкив радиуса /? = 0,5 м навёрнута верёвка, к свобод-
ному концу которой подвешен груз. Груз опускается по закону:
$ = 0,6/® и приводит во вращение шкив. Найти
©ускорение точки М, лежащей на окружности шкива,
через 1 сек после начала движения.
Ответ: 12/, = 3,12 Mjceic1,
375. Математический маятник длиной 7=10 см
совершает колебания по закону:
9 = 0,01 тг cos (107),
। где 9 — угол отклонения маятника от вертикали.
К задаче 374. Найти касательное, нормальное и полное ускорения
маятника.
Ответ* w = к2 sin4 (107) 10 000 cos2 (10/) см[сек\
376. Точка движется с постоянным тангенциальным ускорением а
по окружности радиуса /?, выходя из состояния покоя. Через
сколько секунд после начала движения тангенциальное и нормаль-
ное ускорения станут численно равны между собой?
Ответ:
t=V*
г а *
§ 16. Сложное движение точки.
1. Если точка движется относительно системы отсчёта, которая в свою
тоже движется, то получается сложное движение точки. В этом
движение
очередь
случае
Фиг. 20.
точки относительно подвижной системы называется
относительным: движение точки вместе с подвиж-
ной системой — переносным (или влечением), а дви-
жение относительно системы отсчёта, принятой за
неподвижную — абсолютным. Если vr — скорость
относительного движения, — переносного, а
v — абсолютного, то
V = фг + Фе.
Наоборот, если по данным скоростям абсолют-
ного и переносного движений нужно найти скорость
относительного движения, то нужно из скорости
абсолютного движения вычесть (геометрически) ско-
рость переносного движения, или. что то же, к век-
тору v прибавить (геометрически) вектор (—<ое),
так как
•ог = v — = v + (— ve).
2. Если ускорение относительного движения будет wr, переносного ые,
я абсолютного w и если подвижная система отсчёта движется поступи*
тельно> то
377—381) СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ точки J 17
Если же подвижная система отсчёта движется не поступательно, а со-
вершает в данный момент вращение с угловой скоростью ы, то кроме отно-
сительного и переносного ускорений появляется ещё добавочное ускорение
Wk, так что в этом случае
w = wr -f- we -J- wk (теорема Кориолиса).
Ускорение Wk определяется формулой
w& = 2(i>xvr.
Модуль вектора «Уд равен
Wk = 2<o^r sin (w, vr),
а направление его перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор •ог
и параллельной оси переносного вращения (фиг. 20).
377. Пароход проходит расстояние 7 = 216 км по течению реки
в tx = 10 час, а то же расстояние против течения — в = 15 час. Найти
скорость v% парохода относительно воды и скорость течения реки
Ответ', v< — 1 --- = 3,6 км/час, = l А-- = 18 км/час.
378. Сколько времени пассажир, едущий в поезде со скоростью
•pj = 40 км/час, будет видеть проходящий мимо него встречный
поезд, длина которого 7=150 м и скорость va = 35 км/час?
Ответ*, t = тг = 7,2 сек.
10 (vx 4- %)
379. Велосипедист едет со скоростью и. Найти абсолютные ско-
рости и педалей при вертикальном и горизонтальном поло-
жении педального кривошипа, если длина этого „
кривошипа равна а, а его угловая скорость ----------- ------------Ш
равна «). д ц
Ответ*. 1) При вертикальном положении
= и -4- v% = u — аш. , \
* 1 ) (7 *
2) При горизонтальном положении 1
К задаче 380.
Vi = tf3 = у а9 4“ а w •
380. Две точки движутся равномерно с противоположно на-
правленными скоростями ©i и ©2 по параллельным прямым / и II,
а третья точка — по параллельной им прямой со скоростью о8.
Расстояния между прямыми равны соответственно т и п. Найти
величину скорости v3, если во всякий момент движения все три
точки лежат на одной прямой.
Ответ*. Щ = + ^2) +
381. Пуля прошла вагон, шедший со скоростью vt км/час по
прямому пути. Известно, что выстрел был произведён перпендику-
118
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[382—385
лярно к направлению движения вагона и что выходное отверстие пули
находится на а м дальше от передней (считая по направлению
движения вагона) стенки вагона, чем входное. Найти скорость
пули, если ширина вагона равна b м.
Ответ’. г»2 — jg^ MjceK.
382. Прямая АВ движется поступательно со скоростью пер-
пендикулярной к АВ, а прямая CD — поступательно со скоростью
перпендикулярной к CD. Найти величину скорости V точки М пе-
_ рссечения этих прямых, если угол между ними
У равен а.
А-----Ответ’.
v = — 2 vt щ cos а.
К задаче 382. 383. Точка В движется по прямой Ау с по-
стоянной скоростью vlt а подзорная труба CD
движется поступательно с постоянной скоростью параллельной
прямой Ах. Под каким углом следует поставить трубу, чтобы точка
В не уходила из поля зрения трубы?
Ответ’. tgy — —.
384. Корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью
Человек, стоящий на палубе, подбрасывает вертикально вверх мя-
чик с начальной скоростью я0. Найти, пренебрегая сопротивлением
воздуха, траекторию мячика и его абсолютную скорость.
Ответ'. Траектория — парабола с вертикальной осью и парамет-
-
ром -у-. Скорость v = у (г>0 — gt)% •
385. Частицы воды поступают из направляющего колеса тур-
бины в рабочее колесо со скоростью и = 7,57 м[сек, которая
образует с направлением касательной к внутренней окружности
386—389] СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ точки 119
♦ •
направляющего колеса угол а = 40°. Какой угол должны состав-
лять лопатки рабочего колеса с направлением касательной к окруж-
ности этого колеса в месте входа воды, если вода вступает в ра-
бочее колесо без удара? Наружный диаметр рабочего колеса
D — 450 мм и число оборотов турбины в минуту п = 320.
х о 60й sin а д *71 о
Отвепг, tg 0 == —н---гтг----, р = 71°.
s г пОп — 60п COS а ’ “
386. Лодка переплывает реку шириной d. Лодка плывёт так,
что её относительная скорость равна по величине и и образует с бе-
регом реки угол а.
Определить время, в течение которого лодка переплывёт реку,
считая, что скорость течения реки одинакова по всей ширине реки.
387. Лодка находится в точке Л; по какому направлению она
должна переплывать реку, чтобы пристать в точке В, если отно*
К задаче 386,
К задаче 387,
сительная скорость лодки и = 2 м/сек* а скорость течения реки
с —0,5 м/сек и одинакова по всей её ширине?
Ответ’, cos? —0,25.
388. Найти условие скорейшей переправы через реку, ширина
которой равна d, а скорость течения постоянна, одинакова по всей
ширине реки и равна ф, если величина относительной скорости лодки
равна и.
Ответ', Скорость и перпендикулярна к берегу.
389. Скорость течения реки, ширина которой равна d, воз-
растает пропорционально расстоянию от берега, где она равна
нулю, достигая на середине реки значения с. Лодка движется по
реке с постоянной относительной скоростью и, перпендикулярной
к направлению течения. Найти траекторию лодки, а также место,
где она причалит к противоположному берегу.
Ответ', Приняв точку О отправления лодки от берега за на-
чало координат и направив ось х параллельно течению, а ось у
120
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1390—393
перпендикулярно к нему, найдём уравнение траектории от точки О до
середины реки
(парабола); вторая половина траектории симметрична первой относи-
(cd d \ .. cd
. , тс). Место причала х = -х— .
4и L ] г 2и
390. На чертеже изображена схема привода качающегося кон-
вейера с кулисным механизмом. Кривошип О А — 204 мм делает
70 оборотов в минуту. Расстояние ОС = 565 мм\ плечо коро-
мысла R —196 мм. Определить скорости концов D и Е ко-
ромысла DE при том положении механизма, когда / <р — 30°.
Ответ* ^ = 0,52 MjceK.
391. Прямая АВ неподвижна, а окружность радиуса г вращает-
ся в плоскости чертежа с постоянной угловой скоростью со
вокруг точки О этой прямой. Найти скорости и ускорения точки
пересечения М окружности с прямой АВ в
в-у—> —г-4 ёё движении: 1) по прямой АВ, 2) по окруж-
( Г>ХГ \ ности.
I у Ответ*. 1) vt = со ]/4г2 — s2 — <»h, =
\ J = <o2s (направлено к О).
2) т/2 — 2rco, — 4г<о2 (направлено к центру),
К задаче 392. где s—OM*, h — длина хорды, проходящей
через 714 перпендикулярно к АВ.
392. Прямая АВ движется поступательно с постоянной скоростью
с, перпендикулярной к АВ, в плоскости неподвижной окружности ра-
диуса г. Найти скорость v и ускорение точки М пересечения этой
окружности с прямой АВ.
С cz
Ответ*, v = sip-- J w — r sinS^ (направлено вдоль прямой AB
от 714 к В).
393. Кулачок движется поступательно справа налево с постоян-
ной скоростью vQ. Уравнение его контура в осях О^ху, неизменно
394—397]
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
121
с ним связанных, известно. Найти угловую скорость а> палочки,
длина которой равна I и которая шарнирно скреплена с неподвиж-
ной точкой О и опирается свободным концом на кулачок. Найти затем
такую форму кулачка (уравнение его контура), при которой палочка
будет вращаться с постоянной угловой
скоростью <оо.
Ответ' 1) ——-------,
у+%У^уг
2) х — ~ arcsin /72 —у2 — I.
394. Лодку Л1, уносимую течением реки, подтягивают верёвкой к
точке А берега. Найти траекторию лодки, принимая последнюю за точку
и считая, что скорость q течения реки
постоянна по всей её ширине, а скорость
наматывания верёвки постоянна и равна с,2
и что относительная скорость лодки на-
правлена вдоль верёвки
Ответ', r=rQ ctgfca0 tgft a,
где
a=*
Условия предыдущей задачи, но
нет, а гребец всё время направ-
К задаче 394.
395.
верёвки
ляет лодку в точку А берега, сообщая
лодке постоянную относительную скорость Найти
лодки. Исследовать случай = сР
~ cosfc+1a0 sin&-1 a 9
Ответ-. Л- • , где a= ’ ,
k = .
C2
В случае c2 = q имеем параболическую траек-
торию.
396. Центробежный регулятор Уатта вращает-
ся вокруг неподвижной вертикальной оси ОС с
угловой скоростью <dp Шары А и В в то же
время удаляются от оси, вращаясь вокруг С
с угловой скоростью <о2 = ~ . Найти абсолютную
скорость шаров в зависимости от угла <р, если
Ответ', v = a JAdI sin2 -f-
397. Прямая вращается в неподвижной плоскости
конца О с постоянной угловой скоростью <й. Когда
траекторию
К
задаче 396.
С А — СВ — а.
вокруг своего
прямая нахо-
122
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[398—400
дится в положении Ох, из точки О начинает двигаться вдоль неё
точка М. Подобрать такой закон движения точки по прямой,
чтобы она имела постоянную по модулю абсолютную скорость V,
Найти траекторию и ускорение точки.
Ответ’, 1) ОМ = г= — sin <о/.
2) Траектория — окружность
v
радиуса , касающаяся оси
Ох в точке О. 3) Ускорение 2w
(направлено к центру ок-
ружности).
398. Точка М участ-
вует одновременно в двух
движениях, характери-
зуемых скоростями
и 5Р2. Скорость пер-
К задаче 397.
К задаче 398,
пендикулярна к Ох, скорость перпендикулярна к радиусу-векто-
ру ОМ точки, а модули их и постоянны. Найти траекторию
и ускорение да точки.
Ответ' 1) Траектория
2) да =
const
Г2
г = —,---------(коническое
4- Vi cos <₽ v
сечение);
399. Окружность О радиуса а вращается в своей плоскости
вокруг неподвижной точки С с постоянной угловой скоростью <о
против часовой стрелки. Точка М движется по этой окружности
по часовой стрелке с угловой скоростью 2w. В начальный момент
точки М, О и С лежат на од-
ной прямой. Определить абсо-
лютную траекторию точки М,
её скорость и ускорение.
Ответ'. Траектория — пря-
мая МС', v = 2tzo) sin otf; да =
= со2г, где г—расстояние точ-
ки М от С.
400. Точка движется по
К задаче 400. поверхности шара со ско-
ростью v, которая образует с
проходящим через точку меридианом постоянный угол а. Опреде-
лить траекторию точки.
Решение. Движение точки по поверхности шара мы можем пред-
ставить себе слагающимся из двух движений: по меридиану со скоростью w
и по параллели со скоростью и. Если обозначим широту и долготу дви-
жущейся точки через 6 и то эти скорости выразятся так:
„ dO Л dcp
= и «=/?cosO^-,
401—403] СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ точки 123
где Л? —радиус шара. Так как скорости « и w взаимно перпендикулярны,
то, принимая во внимание условие задачи, будем иметь
w = v cos а, и = v sin а,
или
г, d0 п л d'f
/? ,Г = t/ cos а и /? cos 6 ~ = v Sin а;
dt dt ’
отсюда, деля первое уравнение на второе, получаем
I d0 d0 .
------ = ctga или - = zzidv,
cos 0 dtp b cos О т>
где т =s ctg в; интегрируя, находим
Jd0 Р . , „ , , ( я 0 \ , ~
^- = J mdtp-f-C, или Intg --------2^ = —z/itp+C.
Если предположим, что при <р = 0 угол 0 также равен нулю, то С=0 и
окончательно получим
4 { Я 0\
,g (т-?)=*-"”•
Это и есть уравнение искомой траектории в сферических координатах;
кривая эта называется локсодромой. При возрастании <р угол 0 также
возрастает: 0 = л/2 при ср = оэ; это показывает, что движущаяся точка
достигает полюса, обходя вокруг него бесконечное число раз. Проекция
локсодромы на плоскость экватора представляет собой спираль, для кото-
рой центр шара О является асимптотической точкой.
401. Точка описывает плоскую траекторию, имеющую форму
восьмёрки, в направлении, показанном стрелками. Сама траектория
вращается по часовой стрелке вокруг оси, перпендикулярной к пло-
скости траектории и проходящей через какую-нибудь неподвижную
точку О этой плоскости. Указать, как направле-
по добавочное ускорение точки в различных её /* Л
положениях на траектории. ( )
Ответ'. На правой петле добавочное уско-
рение направлено внутрь петли, а на левой—
наружу (по нормали к траектории). К задаче 401.
402. Точка М равномерно движется по часовой стрелке по окруж-
ности радиуса г, делая /г, оборотов в секунду, а окружность в то
же время равномерно вращается против часовой стрелки вокруг
своего центра, делая п оборотов в секунду. Найти абсолютное уско-
рение точки М.
Ответ: w = 4~^г(п —
403. Точка описывает некоторую плоскую кривую. Рассматри-
вая движение точки, как сложное, состоящее из двух: относитель-
ного— скольжения по радиусу-вектору и переносного — вращения
радиуса-вектора вокруг полюса, показать, пользуясь теоремой
Кориолиса, что проекции полного ускорения на радиус-вектор
124
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
(404—406
и на перпендикуляр к нему соответственно равны
d* 2r dy \а 1 d I а dff\
'di2 r\~dFj H 7di\rdtJ>
где г и ср — полярные координаты.
404. По хорде диска, равномерно вращающегося вокруг оси,
проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости,
движется с постоянной относительной скоростью точка М, выходя
из середины хорды. Найти абсолютные скорость и ускорение точки М
в зависимости от её положения на хорде. Даны: угловая
скорость <о диска, относительная скорость и точки М,
*” расстояние а хорды от центра диска, расстояние х
точки М от середины хорды.
Ответ'. 1) v = и)* -}- л3а>2;
2) w = <о Y (tzw Jz 2п)2 + Jt3coa;
е! . Х<*>2
К задаче 404. ускорение образует угол arcsin - - с перпенди-
куляром к хорде.
405. Равнобедренный прямоугольный треугольник ОАВ вращается
с постоянной угловой скоростью <о в своей плоскости вокруг
К задаче 405.
вершины О, а некоторая точка М движется с по-
стоянной относительной скоростью вдоль сторо-
ны АВ, проходя АВ за время одного оборота
треугольника.
Найти абсолютные скорость и ускорение
точки в тот момент, когда она находится в А,
если АВ — а.
Ответ'. Скорость равна по величине
v — 8к2 + 4к 4~ 1
Z7C г
и направлена под углом а = arctg (4k-}- 1) к гипотенузе треугольника
вправо от неё. Ускорение равно по величине w = — V2к2 -j- 2к -р 1
и направлено под углом
₽ = агс‘в (aqn)
к гипотенузе влево от неё.
406. Горизонтальная прямая трубка вращается вокруг вертикаль-
ной оси с постоянной угловой скоростью со. Шарик, находящийся
в трубке, движется в пей по закону г= у (е®* -ре-wZ)> где г — Рас"
стояние шарика от оси вращения трубки. Найти модули абсолютной
скорости и абсолютного ускорения шарика как функции от г.
Ответ', ® == w |/2г2 — а2; — 2а>2j/74—а2.
407—411] СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ точки 125
407. Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоро-
стью ф вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной
к его плоскости. По диаметру диска движется, выходя из его
центра, точка по закону
s = R sin (w/).
Найти абсолютные траекторию, скорость и ускорение точки.
р
Ответ'. Траектория—окружность радиуса -у, проходящая через
центр диска. Абсолютная скорость равна а абсолютное уско-
рение равно 2/^ш2.
408. Плоскость Оху вращается вокруг начала координат О
с переменной угловой скоростью и. Движение точки в этой пло-
скости задано уравнениями: х — (/), У =/г (О- Найти проекции
абсолютного ускорения точки па подвижные оси Ох и Оу.
п а (1(0
Ответ: — -,-,z-2ш -г,— х—у
х dt* at at 1
d2y . о dx о . d<o
+2“ у+хм-
409. В предыдущей задаче, полагая <о = const, найти относи-
тельное движение точки в двух случаях при условии: 1) абсолютное
ускорение точки совпадает с её переносным ускорением; 2) абсо-
лютное ускорение совпадает с относительным ускорением.
Ответ'. 1) Траектория — окружность, описываемая с угловой ско-
ростью 2ш. 2) Траектория — окружность с центром в начале коор-
(D
динат, описываемая с угловой скоростью
410. Тележка В крана перемещается по горизонтальной балке ОА
со скоростью и — 2 м/сек. Кран вращается в то же время вокруг
вертикальной оси Oz с угловой скоростью и = 0,3 \/сек, Определить
абсолютное ускорение тележки в тог момент, когда расстояние
ОЯ = 5% м.
Ответ’. w=l,3 м/сек*.
411. Точка /И, выходя из вершины конуса О, движется равно-
мерно по образующей конуса со скоростью V, а сам конус вра-
щается, вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью <о. Найти
величину абсолютного ускорения точки М через t сек после нача-
ла движения.
Ответ'. w = гк» sin а <лЧ* -|- 4.
126
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[412
412. Точка Л1 равномерно движется по меридиану шара ра-
диуса R со скоростью ц а вращается вокруг вертикального
К задаче 411.
диаметра с постоянной угловой скоростью <о. Найти абсолютное
ускорение точки М в зависимости от угла ср.
Ответ', w «= 4» V+ 2wa/?2 (1 sin2 <р) xf2 4- 7?4о>4 cos2 «р.
К
II. КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 17. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое
движение, при котором две точки тела остаются неподвижными. Отсюда
следует, что все точки прямой, проходящей через эти две
с “ неподвижные точки, будут тоже неподвижны. Эта прямая
_____называется осью вращения. При вращении вокруг Непс-
C.___v движной оси все точки тела описывают окружности, пло-
/ скости которых перпендикулярны к оси вращения, а
/ центры лежат на оси вращения.
/г Вращательное движение определяется в данный мо«
/ мент осью вращения и угловой скоростью вращения а»;
i । последняя представляет собой вектор, направленный по
оси вращения так, чтобы, смотря с конца вектора, мы
Фиг. 21. видели вращение против стрелки часов. Угловая скорость
есть вектор скользящий.
Точка М тела (фиг. 21), находящаяся на расстоянии R от оси вращения,
имеет величину скорости
v = <^R.
Скорость точки как вектор, может быть определена формулой
Z>=wX г.
413—419) ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
127
Величина ускорения точки М равна
, tg(w,/?)=—
413. Тело, выходя из состояния покоя, начинает вращаться, равно-
ускоренно с угловым ускорением е 1/сек*. Найти, какова будет его
угловая скорость <о \/сек, а также соответствующее число п оборо-
тов в минуту через /' мин или /" сек после начала движения. Найти
также угловое перемещение N тела в оборотах за этот же проме-
жуток времени.
Ответ: <в = е/м = 60 ef; п = ~ st" = е/',
W^Lera=== —еЛ.
4>г л
414. Колесо, получившее начальную угловую скорость <ов, сде-
лало п оборотов и остановилось вследствие наличия сопротивлений
движению. Найти угловое ускорение е, предполагая вращение равно-
замедленным.
Ответ'. е=——.
416. Тело, вращаясь равноускоренно из состояния покоя, приобрело
в течение 10 сек угловую скорость <о —30 1/cev. Сколько оборотов
сделало тело за эти 10 секунд?
Ответ'. Приблизительно 24 оборота.
416. Вентилятор делает 4200 об/мин. Как велик может быть его
диаметр, если окружная скорость вентилятора не должна превышать
88 м/сек!
Ответ: D 0,4 м,
417. Определить скорость точек земной поверхности, лежащих
на широте Москвы (<~ 55°), при суточном вращении Земли.
Ответ: Приблизительно 950 км/час.
418. Точка А колеса движется со скоростью vlf а точка В, ле-
жащая на одном радиусе с А на расстоянии I от неё, обладает ско-
ростью Найти угловую скорость колеса.
Ответ: <о = Рз у.
419. Два шкива А и В соединены бесконечным ремнём; диаметр
первого ^ = 1 м, диаметр второго бъ = 1,5 м. Шкив В делает
100 оборотов в минуту. Найти скорость точек ремня v и угловые
скорости обоих шкивов.
Ответ: г/= 7,854 м/сек, <о1== 15,708 1/сек, <оа= 10,472 1/сек,
128
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛл
[420—425
К задаче 420.
420. На чертеже изображена схема сложной ремённой передачи.
Шкивы II и III сидят на общей оси и неизменно соединены друг
с другом. Диаметры шкивов: dA — 200 мм,
d% == 500 мм, d3 — 300 мм и d& = 100 мм.
Сколько оборотов в минуту делает шкив
с диаметром rf4, если шкив с диаметром dt
делает 500 об/мин?
Ответ'. я4 = 600 об/мин.
421. Зубчатое колесо, имеющее zx
зубцов и делающее п1 оборотов в минуту,
сцеплено с шестерней, имеющей зуб-
цов; на общей оси с этой шестернёй си-
лит жёстко связанное с ней зубчатое колесо, имеющее z3 зубцов; оно
сцеплено с другим зубчатым колесом, имеющим z4 зубцов. Опреде-
лить число оборотов в минуту этого последнего колеса.
К задаче 422.
Ответ: п, = — пг с
* Zaz< 1
422. Найти отношение (передаточ-
ное число) k = — угловых скоростей
для зубчатых колёс радиусов гъ г2,
г3, г4, находящихся в показанном на чертеже зацеплении.
Ответ*. k = (—I)"-1 —, где п есть число зубчатых колёс.
К задаче 423.
423. Шкив Ол радиуса rt делает п оборотов в
минуту; он соединён бесконечным ремнём со шки-
вом О2 радиуса г2. Определить линейную скорость
точки А шкива радиуса О2Д =/?, неизменно со-
единённого со шкивом
Ответ*, v — п.
424. Определить ускорение точки, находящей-
ся на расстоянии г от оси тела, которое рав-
номерно вращается вокруг этой оси, делая п обо-
ротов в минуту.
Ответ', -w 0,011г/Л
425. Найти центростремительное ускорение в суточном движении
точки земной поверхности, находящейся на широте 9°.
Ответ*. wn = 53 • 1010T?cos9^/ce/v2, где/? -
радиус Земли в метрах.
426—429] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, имеющего неподвижную точку 129
426. Колесо машины радиуса 0,3 м, вращаясь равномерно, делает
1000 оборотов в минуту. Найти его угловую скорость, а также
скорости и ускорения точек, лежащих на окружности колеса.
Ответ: <о= 104,7 \jceK, V — 31,41 м}сек> w — 3289,9 м]сек\
427. Груз, привязанный к верёвке, навёрнутой на горизонтальный
вал, опускается равноускоренно без начальной скорости. В первые
t сек он прошёл расстояние h м. Найти угловое ускорение вала, если
радиус его равен г м.
Ответ: \/сек*,
ri
428. Шахтная клеть поднимается равноускоренно из состояния4
покоя с ускорением 2 м!сек\ Скольким оборотам в минуту будет
соответствовать угловая скорость барабана подъёмной установки
через 4 сек после начала движения и каково будет ускорение точек,
лежащих на окружности барабана, если диаметр его d = 5 м?
Ответ: п == 30,57 об/мин', -ЗУ = 25,15 м}сек\
429. На обод шкива, имеющего горизонтальную ось, намотана
верёвка, на свободном конце которой подвешен груз. В некоторый
момент груз начинает опускаться равноускоренно, приводя во вра-
щение шкив. Найти ускорение точки его обода в зависимости от
высоты Л, на которую опустился груз, если радиус шкива равен /?,
а ускорение груза равно а.
Ответ: w— R* 4/za , tg (w, /?) = ^ . •
§ 18. Движение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную
точку.
1. Если твёрдое тело имеет одну неподвижную точку, то, согласно тео-
реме Даламбера, для каждого момента времени существует мгновенная ось
вращения, проходящая через неподвижную точку, и
мгновенная угловая скорость w. Скорость какой-нибудь
точки тела М будет
о = й X г, v =u>d,
где г и d имеют значение, указанное на фиг. 22. Про-
екции скорости v на неподвижные оси координат xyz,
согласно формулам Эйлера, получаются из выражения
® = (ох г —
i j k
Wy (tig
xyz
(2)
Выражение для ускорения точки М получим, дифференцируя равен-
ство (1) по времени; имеем
dw .
w = — х г + “ X v = ®вр +^ос .
(3)
Ь Сборник задач
130
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
(430
Так как — == s есть угловое ускорение, которое, очевидно, равно скоро-
сти конца вектора w, то составляющая ускорения wBp, называемая враща-
тельным ускорением, выразится так:
w вр. = 8 X r> wbP. = er sin (•> г); (4)
эта составляющая перпендикулярна к плоскости, проходящей через виг.
Составляющая
Woc — »Xf; woc = <Л/ (5)
называется осестремительным ускорением и направлена перпендикулярно к
вектору w от М к Ох.
2. При движении твёрдого тела с одной неподвижной точкой О мгновенная
ось вращения, определяемая вектором w, описывает в неподвижном простран-
стве конус с вершиной в точке О, который называется неподвижным аксои-
доМ; в подвижном пространстве, неизменно связанном с движущимся телом,
мгновенная ось
описывает конус с вершиной в точке О; этот конус
называется подвижным аксоидом. При движении
тела подвижной аксоид катится без скольжения по
неподвижному.
3. Если твёрдое тело, неизменно связанное с
подвижным трёхгранником x'y'z', движется вокруг
неподвижной точки О, то положение тела в каж-
дый момент может быть определено эйлеровыми
углами <р, и 0, как показано на фиг. 23. Угол
называется углом собственного вращения тела,
угол ф — углом прецессии, а 0—углом нутации.
Соответственно этому движение тела, при котором
изменяется только называется собственным вра-
щением тела; движение, при котором меняется ф,
называется прецессией; при изменении угла 0 иро-
также
Фиг. 23.
исходит движение, называемое нутацией. Если 0= const H«p=const, то
движение тела называется регулярной прецессией. Так как углы <р, и 0
вполне определяют положение твёрдого тела с одной неподвижной точ-
кой, то движение такого тела может быть задано уравнениями:
0=/3(О.
(6)
430. Круглый конус, подвешенный вершиной в неподвижной
точке О, вращается вокруг своей геометрической оси ОС с постоян-
К задаче 431.
ной угловой скоростью coj и, кроме того, качается подобно маят-
нику вокруг горизонтальной оси Оу, перпендикулярной к ОС. В какой
431—434] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
131
момент, т. е. при какой угловой скорости <о2 качания, мгновенная
ось вращения лежит на поверхности конуса, если высота его равна ht
а радиус основания равен
Ответ: <о2 = ~ <о..
* л 1
431. Диск радиуса г катается без скольжения по плоскости, опи-
сывая окружность радиуса R с постоянной угловой скоростью <о1
и сохраняя свою плоскость вертикальной. Найти осестремительное
woc. и вращательное жР. ускорения точки 2И, положение которой
на ободе диска определяется углом ср, показанным на чертеже.
Ответ'. woc. — |/"(г2-|-^2) (^2 4“ r2c°s2 у) sin у t
^вр. == ^ / Я2 + г2 cos2 ср.
432. Круглый конус с высотой h и углом 2а при вершине катается
без скольжения по плоскости, вращаясь вокруг оси Oz с постоян-
ной угловой скоро-
стью <Ор Найти ускоре-
ния -аУвр. и woc. точки А
основания конуса.
Ответ',
h п
вр- sin а ь
гуос. = 2а>1 cos2 а.
433. Координатный
трёхгранник Oxyz К задаче 432.
вращается с угловой
скоростью со вокруг оси, проходящей через точку О и образующей
с координатными осями равные углы. Найти скорости трёх точек,
лежащих на биссектрисах трёх положительных координатных углов
на расстоянии г от О.
Ответ: -и, = = х/3
far
434. Тело вращается вокруг оси, проходящей через начало коор-
динат. Скорость точки М (1, 0, 1) тела равна •и1=4 м}сек и
образует с осью абсцисс угол а, = 45°; скорость точки /И2 (3, 4, 0)
образует с осью абсцисс угол а2, причём cos а2 = — 0,8. Найти урав-
нение мгновенной оси вращения, мгновенную угловую скорость «>
и скорость ©2 точки Л42.
3 г— г~
Ответ'. х = -гу — г> <о = у 17 \/сек, = 7,5 • у 2 м[сек.
132
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[435~ 438
435. Тело вращается вокруг оси, проходящей через точку
Л10(2, 1, 3), с угловой скоростью о> = 25 \/сек, причём направляющие
косинусы вектора <о равны: 0,60, 0,48, 0,64. Определить скорость
точки М (10, 7, 11) тела.
Ответ', v — 10 м/сек.
436. Показать, что в случае регулярной прецессии, т. е. когда
углы Эйлера выражаются так:
9 = at, ф ~bt, с,
где а, Ь, с — постоянные величины, проекции углового ускорения
тела на подвижные оси выражаются так:
ех = ab sin с cos {at), = — ab sin с • sin (at), = 0.
А
С
438.
в
К задаче
437. Показать, что скорость точки тела, подвижные координаты
которой в данный момент равны х== — a cos 9, _y==asin<p, z = a
(а — постоянное), имеет в этот момент
такие проекции на подвижные оси:
vx — а [ф sin (0—9)—(9 в) sin я?]»
г^ = —atycos (6 —<p)-H?-M)cos<jp],
v2 = a sin 6,
и что величина этой скорости не зависит от
9, где <р — угол собственного вращения,
4— угол прецессии, 6 — угол
438. Применяя формулу
для скоростей точек М и N
колеса дифференциального
изображённого на чертеже,
что угловые скорости вращения этого
и ОС выражаются следующими форму-
нутации.
Ф —0) X/*
планетного
механизма,
показать,
колеса
лами:
вокруг
осей АВ
2 — + ш = toi —
2 ’ 2г*
где o)j и ю8 — угловые скорости горизонтальных колёс.
§ 19. Плоско-параллельное движение твёрдого тела.
1. Если твёрдое тело движется параллельно плоскости (т. е. так, что
расстояния его точек до этой плоскости остаютс'я постоянными), то всякая
прямая, проведённая в теле перпендикулярно к плоскости, движется посту-
пательно, причём скорость и ускорение этой прямой параллельны направляю-
щей плоскости. Отсюда следует, что для определения плоско-параллельного
движения тела достаточно рассмотреть движение сечения тела какой-либо
плоскостью, параллельной направляющей плоскости, и таким образом дви-
439] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 133
жение сводится к движению плоской фигуры в её плоскости, т. е. к так
называемому плоскому движению.
Положение неизменяемой плоской фигуры в её плоскости вполне опре-
деляется положением двух точек фигуры Л и В или положением отрезка АВ,
следовательно, движение неизменяемой фигуры сводится к движению пря-
молинейного отрезка, с которым фигура неизменно связана.
Всякое перемещение плоской фигуры из одного заданного положения
в другое заданное положение может быть достигнуто поворотом фигуры
вокруг некоторого центра Р, который называется центром (или полюсом)
конечного вращения', подобным же образом перемещение фигуры из данного
положения в соседнее (бесконечно близкое) может быть получено беско-
нечно малым вращением фигуры вокруг центра Р, который называется
мгновенным центром (полюсом) вращения; следовательно, мгновенный центр
вращения есть та точка, вокруг которой в данный момент фигура вращается,
а поэтому скорость мгновенного центра равна нулю.
Движение плоской фигуры состоит из непрерывной последовательности
перемещений её из одного положения в другое, бесконечно близкое; поэтому
это движение можно рассматривать как непрерывную последовательность
бесконечно малых вращений вокруг различных бесконечно близких мгновен-
ных центров. Геометрическое место мгновенных центров на неподвижной
плоскости есть непрерывная кривая, которая называется неподвижной поло-
дией (центроидой)', геометрическое место мгновенных центров на плоско-
сти движущейся фигуры называется подвижной полодией. Движение плоской
фигуры может быть получено, если подвижную полодию (неизменно связан-
ную с движущейся фигурой) катить без скольжения по неподвижной поло-
дии (неизменно связанной с неподвижной плоскостью) (теорема Пуансо).
Точка прикосновения полодий есть мгновенный центр вращения фигуры для
данного момента (фиг. 24).
2. Для определения мгновенного центра вращения фигуры достаточно
знать направления скоростей двух каких-либо точек этой фигуры; тогда
Фиг. 26.
мгновенный центр будет в точке пересечения перпендикуляров, восстав-
ленных из этих точек к направлениям их скоростей (фиг. 25).
3. Если известна скорость какой-нибудь точки фигуры и направление
скорости другой её точки, то можно определить скорости всех точек фи-
гуры. Действительно, построив по данным направлениям скоростей точек
А и В мгновенный центр Р, получим (фиг. 26)
VA — АР,
где с» — мгновенная угловая скорость фигуры. Далее, скорость точки Af
МР —
vM^.MP=vr Ар nvMA_MP.
4. Проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление
отрезка равны.
439. Найти абсолютные скорость и ускорение точки на ободе
колеса радиуса г, катящегося без скольжения с постоянной ско-
ростью и по прямому рельсу.
134
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[440—143
Ответ'. 1) Скорость t/ = 2«cos-|-, где ср — угол между радиуса-
ми, проходящими через данную точку и через высшую точку обода;
<о всегда проходит через эту высшую точку.
2) Ускорение w —у и направлено к центру колеса.
440. Найти абсолютную скорость v концов горизонтального диа-
метра колеса автомобиля, движущегося прямолинейно со ско-
ростью и.
Ответ: v — u 2; скорости направлены под углами в 45°
и — 45° к этому диаметру.
441. Цилиндр, лежащий на горизонтальной плоскости, обмотан
верёвкой, один конец которой прикреплён к цилиндру, а другой
свободен. Найти угловую скорость цилиндра и скорость его центра,
если свободный конец верёвки тянут параллельно плоскости и пер-
пендикулярно к оси цилиндра с постоянной скоростью с и если ци-
линдр катится без скольжения.
Ответ: Обозначив радиус цилиндра через г, имеем: угловая ско-
С с
о>= , скорость центра v = 9 »
442. Шарнирный плоский механизм состоит из четырёх стержней
AD — BC — 2а, AB — CD — 2c<_2a,
связанных шарнирами в точках А, В, С и D, причём сторона АВ
неподвижна (антинараллелограмм, поставленный
дс на малое звено). Найти полодии стержня CD.
\ Ответ: Обе полодии — одинаковые эллипсы
I \ с полуосями а и ]/а2—с2; фокусы первого сов-
падают с А и В, второго — с С n'D. Точка ка-
- сания полодий есть Р (мгновенный центр вра-
щения).
К задаче 442. 443. Найти в антипараллелограмме предыду-
щей задачи соотношение между углами ср, —
= / РАВ и <р.2— 180°— / РВА, а также между угловыми скоро-
стями о, = и <1)3 = ^ звеньев AD и ВС.
* ПТ л пт
Ответ-. =
sin w3 rt AG r a2 -4- c2 + 2ac cos
— АР, ГЪ = ВР,
где rt =
135
444—447| ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
4
444. Найти полодии антипараллелограмма (см. задачу 442), по-
став ченного на большое звено АВ. Известно, что
Л£ = С£) = 2с>ЛС = ££> = 2а.
Ответ’. Две одинаковые гиперболы
равной 2я, первая с фокусами в Л и В,
вторая — в С и D.
445. Прямой угол АМС движется
в своей плоскости так, что конец А
скользит по оси ординат, а сторона МС
всё время проходит через точку В, ле-
жащую на оси х на расстоянии а от О.
Найти полодии, если АМ = ОВ.
с действительной осью,
С
К задаче 444.
Ответ'. Уравнение неподвижной полодии у2 = (2х— а) а, это
есть парабола с директрисой Оу, фокусом в точке В и парамет-
ром, равным а. Уравнение подвижной полодии у*— (2xt— а) а, где
xi и У1 — координа-
ты в подвижной систе-
ме с началом в М и
осью хи направленной
по МА; таким обра-
зом, подвижная поло-
дия есть парабола с
директрисой МС, фо-
кусом в Л и парамет-
ром а.
446. Шарнирный
механизм («инверсор»
Л/
К задаче 445.
К задаче 446
или «прямило» Липкина)
причём
имеет указанное на
чертеже устройство,
ОМ — ОА —г,
MC—MD=l,
AC — CB—BD~AD~a.
Найти траекторию точки В при движении механизма.
Ответ'. Прямая, перпендикулярная к МО, отстоящая от М на
/а —да
расстояние —.
447. Доказать, что концы векторов скоростей точек прямого
отрезка, движущегося по неподвижной плоскости, лежат на одной
прямой.
Указание. Скорости концов отрезка разложить на продольные и
перпендикулярные к отрезку компоненты. Рассмотреть отдельно вращение
и продольное перемещение отрезка.
136
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[448—450
448. На прямолинейном отрезке АВ, движущемся в неподвижной
плоскости, найти точку М, скорость которой направлена вдоль
самого отрезка. Найти эту скорость, расстояние h мгновенного центра
от отрезка, а также мгновенную угловую скорость отрезка АВ.
Даны величины скоростей концов отрезка vt и v^, углы и а2
этих скоростей с отрезком, а также длина отрезка I.
Ответ,'.
АМ — 1
sin at cos а2
sin (aj— a2) ’
v = vi cos a.i — cos a2,
tgai —tga2 *
<o = T(tgai—tg>x2).
449. Палочка движется в плоскости хОу так, что нижний её
конец А скользит по оси Ох, а сама она касается окружности ра-
диуса г с центром в О.
Найти: скорость изменения угла О АВ (если скорость конца А рав-
на v), а также полодии палочки и её мгновенную угловую скорость со.
dy
dt
Ответ'. 1)
—г где х—О А, ч>=£ОАВ.
xl/x3 —га ’
2) Уравнение неподвижной полодии х4— г3х3— г3_у3==0.
К задаче 449.
3) Подвижная полодия—парабола yit—rxl, осью уг служитесь
палочки, начало подвижных осей в точке А.
4) <»=-Т
dt*
450. Палочка движется в плоскости Оху так, что нижний её
конец А скользит по оси х, а сама она всё время проходит через
точку Л4(0, Л).
Найти полодии и мгновенную угловую скорость палочки, если
скорость конца А равна v (ср. с задачей 449).
Ответ'. 1) Начало неподвижных осей (х„ у/,) возьмём в точке М,
а оси — параллельными Ох и Оу. Подвижные оси: начало в А,
ось 5 направлена вдоль палочки. Тогда уравнением неподвижной
полодии будет х^ — Нуу это есть парабола; уравнение подвижной
полодии £4 — № (I2 tqs) — 0-
2) Мгновенная угловая скорость
hv а
ю = + W х = 0А.
451—454] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА 137
451. Палочка АВ длиной I скользит концами по сторонам пря-
мого угла хОу. Найти полодии движения и траектории точек па-
лочки. Найти также скорость v и ускорение w некоторой её точки Л4,
отстоящей от конца А на длину т, в предположении, что скорость
конца А постоянна и равна и.
Ответ". 1) Траектории — эллипсы — 1*
2) Неподвижная полодия — круг радиуса I с центром в О. По-
движная полодия— круг радиуса £ с центром в середине палочки.
3)^==Ц-^н, = —-yUCtgq?, tg(^x) = —j-—ctgq>.
4) wx = 0, wy =—/явйЙр Уск0Рение параллельно
оси у, 9 — угол палочки с осью х.
452. Жёсткий угол АО В — ср движется в своей плоскости так,
что сторона О А всегда проходит через неподвижную точку Ж, а
другая сторона — через неподвижную точку N.
Найти полодии этого движения.
Ответ: Неподвижная полодия — окружность, проходящая через О,
М и N, подвижная — окружность вдвое большего радиуса, чем пре-
дыдущая, с центром в О. Мгновенный центр вращения (точка сопри-
косновения полодий) находится на неподвижной полодии в точке,
диаметрально противоположной точке О.
в
453. Палочка АВ длиной I движется в неподвижной плоскости так,
что конец её А скользит по внутренней стороне неподвижной окруж-
ности радиуса а сама она всегда
проходит через точку Л1 этой окружности.
Найти траектории точек палочки, а также
полодии её движения.
Ответ: 1) Траектория точки, удалённой на
расстояние а от конца А, есть «улитка» Паскаля, к задаче 453.
уравнение которой имеет вид р = 2г cosO — а,
если за полюс взять Л4, а полярную ось провести через О.
2) Неподвижная полодия — данная окружность. Подвижная поло-
дия— окружность с радиусом 2г и центром в А,
454. Прямая АВ вращается в плоскости вокруг некоторой точ-
ки О, отстоящей от этой прямой на расстояние ОС — -у-. Найти
огибающую мгновенных скоростей всех точек прямой.
Ответ: Парабола у* = 2рх, отнесённая к осям СО и АВ с на-
чалом в С.
138 КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [455—458
455. Кривошип О А вращается вокруг точки О с постоянной угло-
вой скоростью со; при помощи шатуна АВ он приводит в движение
ползун В, Показать, что скорость ползуна равна а>«0£), причём D
К задаче 455.
К задаче 456.
есть точка пересечения АВ с перпендикуляром, восставленным в точке
О к прямой ОВ.
456. Скорость точек передаточной цепи велосипеда относительно
рамы равна м; найти скорость v центра заднего колеса, если его
радиус равен /?, а радиус его шестерни равен г,
„ в
Ответ', v — u-y,
457. В шарнирном параллелограмме ОАСВ точка О неподвижна,
звенья О А и ОВ вращаются равномерно по часовой стрелке с угло-
выми скоростями ши®,; ОА = а, ОВ — b. Найти неподвижную и
подвижную полодии для звеньев АС и ВС.
Ответ'. Окружности с центрами в О, А и В.
458. Два стержня АС и ВС соединены шарнирами между собой
в точке С и с двумя ползунами А и В, которые движутся прямо-
К задаче 458.
линейно со скоростями Ф и фР Найти графически скорость точки С
и мгновенные центры вращения стержней АС и ВС.
Ответ-. На СВ и. продолжении АС отложим отрезки СЬ и С а,
соответственно равные проекциям скоростей и ф на направле-
ния СВ и АС; из точек а и b проводим перпендикуляры к Аа
и ВЬ, которые пересекутся в точке D. Отрезок CD изобразит
скорость точки С. Перпендикуляры, проведённые к АВ и CD соот-
ветственно из точек А и С, пересекутся в искомом центре вращения
стержня АС.
459—461] ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
139
459. Шарнирный параллелограмм ABCD имеет на продолжении В А
неподвижную точку О и на продолжении CD ролик £, который
может кататься по неподвижному лекалу MN. Оп-
ределить графически мгновенные центры вращения
всех сторон параллелограмма.
Решение: Найдём сначала мгновенный центр
вращения звена CD. Скорость точки Е направлена по
касательной к кривой MN. Вообразим ещё другой шар-
нирный параллелограмм AOOtC. При движении ролика
Е точка Oi будет двигаться по окружности с центром
в О; следовательно, направление перпендикуляра к её
скорости совпадает с прямой OiO; отсюда заключаем,
что мгновенный центр вращения стороны DC лежит
на пересечении продолжения OjO и нормали ЕС^ Так
как точки А и В принадлежат звену ОВ, вращающе-
муся вокруг О, то мгновенные центры вращения сто-
рон BD и АС лежат соответственно в точках Са и С3.
460. Диск катится без скольжения по прямой
с постоянной скоростью ф0. Стержень АВ скреп-
лён шарнирно с точкой В окружности диска и
скользит концом А по той же прямой. Найти ско- К задаче 459
рость конца А стержня в зависимости от угла 9
поворота диска. Длина стержня, равна Z, радиус диска равен г.
Ответ-. v = 2v0 sin2(—}[ —— —in y — + 1 \ .
yj/z3 — 4r3sin4 /
461. 1) Найти центроиды естественного трёхгранника данной пло-
которого движется по этой кривой. 2) Если
ской кривой, вершина
обозначить угол смеж-
ности через 6, то мож-
но написать:
ds ds d3
дифференцируя это вы-
ражение по времени,
найдём:
dv
dt
К задаче 460.
d<o , dp
Что выражает второе слагаемое правой части полученной формулы?
Ответ: Центроидами служат эволюта данной кривой и ось
естественного трёхгранника, направленная по главной нормали. Вто-
рой член в полученной формуле выражает ускорение мгновенного
центра скоростей.
140
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[462—466
462. На чертеже изображена схема кривошипного механизма с
качающимся цилиндром, который может вращаться вокруг неподвиж-
ной точки С. Определить угловую скорость 2 цилиндра в зависимости
от угловой скорости <п кривошипа АВ и угла
поворота его <р, зная, что АВ = а и ВС = Ь.
л ~ a (b cos 9 — д) <t>
Ответ*. 2— -а , ,а—п .
463. На чертеже изображена схема механизма
насоса Гольста; построить мгновенный центр вра-
щения звена CD.
Ответ-. Продолжим линии AOj и О^В до пере-
сечения их в точке К- Искомый центр вращения
лежит на пересечении линии КС с перпендикуля-
ром, восставленным в точке D к линии OXD.
К задаче 462.
464. На чертеже изображена схема двукриво-
шипного механизма. Зная скорость точки А, найти
графически скорость ползуна С.
465. Прямолинейный отрезок АВ постоянной
длины скользит концами А и В по сторонам
прямого угла хОу. Найти построением такую окружность в по-
движной плоскости, которая катится (со скольжением) по данной
неподвижной прямой. *
Ответ". Центр искомой окружности лежит в пересечении по-
движной полодии с прямой, проведённой из точки О параллельно дан-
ной неподвижной прямой.
466. Парабола у2 = 2рх катится без скольжения по неподвижной
прямой. Найти траекторию фокуса параболы.
Указание. Угол между осью параболы и перпендикуляром к неподвиж-
ной прямой равен углу между скоростью фокуса и этой прямой; кроме того,
направление скорости есть направление касательной к искомой траектории.
Ответ*. Цепная линия у = chf—j •
467—470|
ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
141
467. Обратить предыдущую задачу, т. с. найти подвижную поло-
дию, если известно, что одна из точек её плоскости описывает цеп-
р /2х \
ную линию у = ch I —J и что неподвижной полодией является
прямая у — 0.
Ответ: Парабола.
468. Логарифмическая спираль r=aekV катится без скольжения
по неподвижной прямой. Найти траекторию её полюса.
Ответ: Прямая линия, наклонённая к данной неподвижной пря-
мой под углом а = arctg k.
469. Обратить предыдущую задачу, т. е. найти подвижную по-
лодию, если одна из точек её плоскости описывает прямую линию
и если неподвижной полодией является прямая, образующая с пер-
вой угол а.
470. Прямая катится без скольжения по неподвижному кругу
радиуса R. Найти траектории точек, неизменно связанных с этой
прямой, в частности, точки, совпадавшей в начальный момент с цен-
тром неподвижного круга.
Ответ: -х = — R a cos а С cos a -j- ij sin а,
у == R а sin а — £ sin а -|~ т] cos а,
где х и у — неподвижные координаты, начало которых лежит в
центре неподвижной окружности, ось х параллельна начальному
положению подвижной прямой, а а — угол прямой с осью х. По-
движные оси (£, т)) совпадают в начальный момент с неподвижными.
Для С = iq — 0 получаем х = — R a, cos а, у — R а sin а, т. е. спираль
Архимеда.
§ 20. Винтовое движение твёрдого тела.
1. Если твёрдое тело вращается с угловой скоростью <о вокруг непо-
движной оси и, кроме того, обладает поступательным движением, скорость
которого и направлена по оси вращения, то оно совершает винтовое дви-
жение. В этом случае все точки тела описы- .
вают винтовые линии, помещающиеся на круг-
лых цилиндрах, радиусы которых равны рас-
стояниям точек тела до оси вращения; эта ц
ось в случае винтового движения называется
винтовой осью или осью вращения-скольже-
ния (фиг. 27). ------------
Точка А1, находящаяся на расстоянии г 1пг
от винтовой оси, описывает винтовую линию,
помещающуюся на цилиндре радиуса г. Если Фиг- 27. фиг* 28.
развернуть этот цилиндр в плоскость, то па
этой плоскости винтовая линия представится вообще в виде некоторой
кривой; угол а, образуемый этой кривой с образующими цилиндра, будет
в общем случае меняться. Такая винтовая линия называется винтовой ли-
нией переменной крутизны. Если угол а постоянен, то имеем винтовую
линию постоянной крутизны; на развёртке цилиндра она изобразится в
виде прямой (фиг. 28). Расстояние между точками, в которых винтовая ли-
142 КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (471—474
ния пересекает последовательно одну и ту же образующую цилиндра, назы-
вается шагом винта. Если h'—шаг винта, г — радиус цилиндра и а — угол
крутизны, то имеет место соотношение
h . .
Ъ— = ctg а:
2пг s *
таким образом, винтовая линия вполне определяется двумя из упомянутых
величин.
V V
Если ши» постоянны, тоЛр=2л —. Величина р=— называется пара-
ад ад
метром винтовой линии; очевидно, Л = 2пр.
Из последней формулы ясно, что если тело имеет винтовое движение,
то винтовые линии, описываемые точками тела, имеют одип и тот же шаг,
а следовательно, и параметр; крутизна же их (угол а) будет увеличиваться
с увеличением расстояния точки от винтовой оси.
2. Всякое перемещение твёрдого тела из одного положения в другое
эквивалентно винтовому перемещению (теорема Шаля). Поэтому движение
тела можно, представить как непрерывную последовательность бесконечно
малых винтовых движений; геометрическое место мгновенных осей в про-
странстве образует линейчатую поверхность, называемую неподвижным
аксоидом. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в движущемся
теле называется подвижным аксоидом.
471. Скорость точки А тела равна v и образует с осью враще-
ния-скольжения угол а; найти скорость скольжения и и угловую
скорость вращения ш, если расстояние точки А от оси равно «.
Л ttsina
Ответ’, u=v cos a, <о =--------.
’ а
472. Доказать правильность следующего построения мгновенной
оси вращения-скольжения:
Из произвольной точки пространства О проводим три вектора
OAf ОВ и ОС, геометрически равных скоростям трёх каких-нибудь
точек тела М, ЛГ и 7Й". Мгновенная ось перпендикулярна к пло-
скости, проходящей через точки А, В и С.
Пусть т, т, та и т’Ь будут проекции точек Л4 и ЛГ и их
скоростей на эту плоскость; точка пересечения перпендикуляров,
восставленных в точках т и tri к проекциям та и mb, принадле-
жит мгновенной оси.
ABCDEFQH с ребром, равным а м. Скорость
точки А равна а м/сек и направлена по АО;
скорость точки В равна a j/ 2 м/сек и направ-
лена по скорость точки С равна а /2 м/сек и
параллельна DF. Определить положение мгновен-
ной оси вращения-скольжения, скорость скольже-
ния и и угловую скорость вращения <о.
Ответ’. Ось вращения-скольжения совпадает
с АО; и —а м/сек\ <о = 1 сею~\
473. Дан куб
6 н
К задаче 473.
474. Найти в винте (©, <о), где © — поступательная, aw — угловая
скорости, геометрическое место точек, скорость которых равна v j/2.
475—479j винтовое движение твёрдого тел\ 143
Ответ' Круглый цилиндр радиуса г = =р (параметр винта) с
осью, совпадающей с осью винта.
475. Винт, шаг которого равен /г, движется в гайке с поступатель-
ной скоростью v. Найти его угловую скорость.
2w 60 v
Ответ: = или п= -^-об/мин.
476. Радиус винта равен г см, угол наклона нарезки равен а.
Винт этот вращается в гайке с угловой скоростью \[сек. Найти
его поступательную скорость х».
Ответ: w = r<octga см}сек.
477. Каков должен быть шаг h винта, чтобы его угловая ско-
рость со равнялась численно поступательной его скорости v мм/сек?
Ответ: h — 2я 6,3 мм.
478. Какое соотношение существует между расстояниями гу и г2
от оси винта двух его точек, лежащих на одном диаметре, если
скорости этих точек взаимно перпендикулярны, а поступательная и
угловая скорости винта равны но величине v и <о?
(v V 2
Ответ: — ( — 1 — р .
479. Дифференциальный винт имеет устройство, указанное на
чертеже. Шаг первого винта есть hu шаг второго, движущего пол-
К задаче 479.
зушку, Л2. Найти скорость v ползушки, если первый винт имеет
правую нарезку, а второй — правую или левую, а ручка вращается
так, что первый винт ввинчивается, делая п оборотов в минуту.
Ответ: 1) Второй винт имеет правую нарезку:
® 60 "
2) Нарезка второго винта — левая: v —
вление скорости v считаем положительным
Ло -{“Л1 -
~~бб 77 ’ пРичём напра-
справа налево.
144
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[480—481
480. На чертеже схематично изображён пресс. Нарезки винтов
имеют обозначенное направление; шаги их равны hr и йа. Угол пол-
зушки А равен а. Найти скорость
ползушки, если ручка делает п
оборотов в минуту против часо-
вой стрелки.
К задаче 481.
Ответ'. Ползушка поднимается со скоростью о = п ctg <z.
481. Коленчатый пресс состоит из шарнирного ромба, две вер-
шины которого скреплены шарнирами с ползушками С и В диффе-
ренциального винта с нарезками одинакового шага А; ось винта
может свободно перемещаться поступательно вверх и вниз, скользя
концами в раме пресса.
Найти скорость точки А, если ручка пресса делает п оборотов
в минуту по часовой стрелке.
Ответ*. Точка А опускается со скоростью = где
« = Z С АВ — CD В. (Скорость оси винта вдвое меньше.)
§ 21. Сложение движений твёрдого тела.
1. От сложения поступательных движений получается поступательное
движение, скорость которого равна сумме (геометрической) скоростей сла-
гаемых движений.
2. Вращение с угловой скоростью w и поступательное движение, ско-
рость которого ф перпендикулярна к оси вращения,
£4 У дают вращение с той же угловой скоростью « вокруг
* оси, параллельной данной и находящейся от неё на
* v
расстоянии d = — (фиг. 29).
1 , 3. Вращение с угловой скоростью « и поступа-
тельное движение со скоростью V, параллельной оси
Фиг. 29. вращения, дают винтовое движение с параметром .
4. Так как угловая скорость вращения есть вектор скользящий, то вра-
щения, оси которых пересекаются, складываются в одно вращение, угловая
482—483)
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА
145
скорость которого равна сумме (геометрической) угловых скоростей слагае-
мых вращений (аналогия со сложением сходящихся сил). При сложении вра-
щений вокруг осей параллельных также имеют место теоремы, аналогич-
ные соответствующим теоремам о сложении параллельных сил.
5. Пара вращений есть совокупность двух вращений вокруг параллель
ных осей с равными угловыми скоростями, направленными в противополож
ные стороны. Пара вра-
щений эквивалентна по-
ступательному движению
со скоростью, перпенди-
кулярной к плоскости па-
ры и по величине равной
Моменту пары, т. е. (фиг.
v — (i>d;
таким образом, скорость
поступательного движе-
ния'аналогична моменту
Фиг. 30.
•. 31. Фиг. 32.
пары сил.
6. Угловую скорость w можно перенести из точки А в точку В (фиг. 31),
прибавляя соответствующую пару вращений, т. е. поступательную скорость
(ср. п. 2 этого параграфа).
7. Если тело совершает несколько вращений около различных осей, то
векторы угловых скоростей w можно перенести, как векторы сил в статике,
в произвольный центр О, н результате чего получится (фиг. 32) результи-
рующая угловая скорость й — и результирующая скорость поступатель-
ного движения © —£мом0ю; разлагая скорость v по направлению вектора Й
и по направлению, перпендикулярному к Й, получим винтовое движение
„ л . v sin а
с осью, параллельной й и отстоящей от й на расстояние а = —~— и с па-
г/coso л ~
раметром р — —, где а есть угол между ы и Эта винтовая ось назы-
вается мгновенной винтовой осью (или мгновенной осью вращения-скольже-
ния). Если й = 0, получим поступательное движение; если вектор о перпен-
дикулярен к Й, то вращательное (ср. «Статика», § 5).
482. Равнобокий клин с данными углами а помещён между двумя
брусками А и В, которые движутся прямо-
линейно по горизонтальной плоскости с
данными скоростями и v9. Определить
скорость поступательного движения клийа.
К задаче 482.
Ответ', v —
lAvi -|~ v2 — cos 2а
2 cos a
483. Прямолинейный стержень АВ скользит концами по двум
взаимно перпендикулярным направляющим Ох и Оу, которые вра-
щаются вокруг точки О с постоянной угловой скоростью о). Угол
наклона стержня к линии Ох изменяется по закону 9 = 90ztcof.
Определить абсолютную траекторию какой-нибудь точки М стержня.
Ответ'. В обоих случаях траектория — окружность, описываемая
с угловой скоростью 2<о.
10 Сборник задач
146
КЙНВМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[484—487
484. В центре О неподвижной окружности радиуса R имеется
ось, вокруг которой вращается стержень ОМ («водило»), длина ко-
торого равна р. На конец водила насажено свободно колесо
радиуса r — R— р, лежащее в плоскости окружности и прикасаю-
щееся к ней с внутренней её стороны. Найти графически точку на
окружности малого колеса, скорость которой проходит через точкуД—
конец диаметра, перпендикулярного к ОМ.
Найти аналитически эту скорость.
Ответ'. Искомая точка лежит на пере-
сечении прямой AN с малой окружностью,
где N—точка пересечения прямой ОМ с
этой же окружностью
У>+(2р-Я)’
где 2 — угловая скорость водила.
485. Стержень АВ длиной 2а («водило») вращается в неподвиж-
ной плоскости вокруг своего конца А с постоянной угловой скоро-
стью 2 по часовой стрелке. На конце В водила насажено свободно
колесо радиуса а, вращающееся в той же плоскости, но в противо-
положную сторону с постоянной угловой ско-
[ ростью относительно водила. Подобрать а>
....) так, чтобы абсолютное ускорение точки М ко-
\ J леса, лежащей в данный момент* над водилом,
было равно нулю.
К задаче 185. Ответ'. <о = (1 1^2) 2.
486. Условия предыдущей задачи, но требуется найти абсолют-
ное ускорение некоторой точки М, движущейся с постоянной угловой
скоростью (относительной) о»! по окруж-
ности колеса по часовой стрелке, в тог
момент, когда эта точка находится над
водилом. Исследовать полученную фор-
мулу для случаев | | == | <*> | и == О,
К задаче 487.
Ответ*. 1) w = а [(<«2 —о»)2
-|~ 2 (a>j — со) 2 — 22];
2) Первый частный случай: w== — а22; второй случай: =
= а[(2—со)2 —— 222].
Положительным направлением угловых скоростей считаем направ-
ление по часовой стрелке, а ускорений — вправо от М.
487. Колесо I неподвижно. На его ось насажено свободно во-
дило О А, вращающееся вокруг О с угловой скоростью 2. На водиле
насажены колёса II, III и IV, находящиеся в зацеплении между со-
бой и с колесом I.
488—490]
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
147
Найти угловую скорость колеса IV относительно водила, а
также его абсолютную угловую скорость о>4.
Ответ’, о>л = (—1)п-^2; <оя— £}, где п _ число
гп гп
колёс. Для п = 4 находим 0J4 = A Q; to4 = A~j~. r< q
488. На общей оси сидят свободно колесо I и водило Я; на
конце водила насажено, тоже свободно, колесо III, которое нахо-
К задаче 488.
дится во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом IV. Зная
числа зубцов zlt z3, z^ этих колёс, найти соотношение между угло-
выми скоростями колеса I и водила, скорость которого равна <о2.
Ответ: ад, — I 1 — — ) <о2.
\ zi /
489. На валу I заклинено колесо III, а на валу II—диск, на
котором помещены свободно на шипах колёса IV. Эги колёса нахо-
дятся во внутреннем зацеплении с колесом-муфтой V, надетой сво-
бодно на ось I. Зная числа зубцов всех колёс
и числа л3 и д2 оборотов колеса III и вала II, f
найти число лв оборотов муфгы.
Z I •' I
Ответ’. ns~(n3—я2) — -| л2.
гъ \nJ \ D /
490. На оси АВ сидят свободно колёса IV А/
и V, а также рама I, на которой могут вращаться за аче
два жёстко связанных между собой колеса II задаче
h III. Зная числа зубцов z2~ 120, z3-~ 118, z4== 116 hzb = 118,
а также угловые скорости и «4 рамы и колеса IV, найти угловую
скорость <ов колеса V.
<о. 29<в.
Ответ: <о8 • gg—- .
10*
148
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА
1491—496
К задаче 491.
491. На оси АВ сидят свободно два конических колеса IV и V
и втулка I параллельного им колеса (не изображено па чертеже).
На втулке сделана наклонная муфта, в которой может свободно
вращаться двустороннее колесо II— III,
находящееся в зацеплении с кониче-
скими колёсами IV и V. Зная угло-
вые скорости <ов и ojj колеса V и
д втулки, а также числа зубцов на всех
колёсах, найти угловую скорость ко-
леса IV.
Ответ'. <о4 = £«(oe (1 — k)ш1,
» • гъ
где k — ——
492. Колесо радиуса г катится без скольжения по другому колесу
радиуса R, снаружи или внутри его, обходя его п раз в минуту.
Найти абсолютные угловые скорости и соа в обоих случаях.
я г л R— г
Ответ: /г; = 30 —г~
493. Тело вращается одновременно вокруг трёх параллельных осей
в одну сторону с одной и той же угловой скоростью со. Опреде-
лить положение оси и угловую скорость результирующего вращения.
Ответ: Ось проходит через центр тяжести треугольника АВС,
где А, В и С суть точки пересечения данных осей с перпендику-
лярной к ним плоскостью, угловая скорость 2 = Зю.
494. Вопрос предыдущей задачи в предположении, что вращение
вокруг оси В направлено противоположно двум другим вращениям.
Ответ: Ось проходит через вершину D параллелограма ABCD,
для которого АС служит диагональю; 2 = <о.
495. Тело вращается вокруг горизонтальной оси ОА с постоян-
ным угловым ускорением, равным 3 сел;-2; эта ось в свою очередь
вращается вокруг неподвижной вертикальной оси О В с угловым
ускорением, равным 4 сед;-2. Найти угловую скорость результи-
рующего вращения, если в начальный момент тело находилось в по-
кое, а также неподвижную и подвижную аксоиды.
Ответ: 2 = 5/; аксоиды—два круглых конуса с осями О А и ОВ.
496. В данный момент времени тело обладает двумя вращениями
с угловыми скоростями <о2 = 3 сек-1 и <0j == 3 сел;-1 и поступа-
тельным движением со скоростью v = 6м/сек. Векторы wlt <о3 и V
лежат в одной плоскости. Определить результирующее движение
тела, если а=60° и /,£ = 30°.
497—500}
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА
149
Ответ'. Вращение с угловой скоростью 2 = 2]/3 секвокруг
оси, перпендикулярной к параллельной плоскости чертежа и от-
стоящей от этой плоскости на расстояние j/3 м.
497. Тело обладает двумя вращениями вокруг осей Оу и Oz со
скоростями (01 и (i).2 и поступательным движением вдоль оси
скоростью v. Определить
положение оси вращения-
скольжения, угловую ско-
рость вращения и скорость
скольжения.
Ответ'. Ось вращения-
скольжения проходит через
Оу со
К задаче 496.
точку с координатами
y = z = 0, х
Vtt>s
^1 + ^2
2 = о>2*, величина скорости скольжения
К задаче 497.
К задаче 49Э.
К задаче 500.
498. Сложить два антипарадлельных винта (о>, и (— о, — ?>),
винтовые оси которых находятся на расстоянии d
друг от друга.
Ответ* Поступательное движение со скоростью
V = «к/, перпендикулярной к плоскости осей дан-
ных винтов.
499. Тело участвует одновременно в трёх вра-
щениях вокруг трёх осей, расположенных по двум
сторонам и одной диагонали (ОА, ВС и СО) квад-
рата ОАВС, причём соответственные угловые скорости пропор-
циональны длинам этих отрезков.
Заменить эту систему вращений вращением вокруг оси, проходя-
щей через О, и соответственным поступательным
движением. Заменить затем эту систему одним
вращением.
Ответ*. 1) Вращение вокруг оси, проходящей
через О и параллельной ВА с угловой скоростью
2; поступательное движение со скоростью,
численно равной ОА-ы, перпендикулярной к пло-
скости квадрата и направленной к читателю.
2) Вращение вокруг оси ВА с угловой ско-
ростью а)]/2, где <о есть угловая скорость во-
круг оси ОА.
500. Куб, ребро которого равно п, вращается одновременно
с равными по величине угловыми скоростями Wj и вокруг двух
150
КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
[501—504
своих непараллельных и неперссекающихся рёбер AD и ОС, как
указано на чертеже Сложить эти вращения.
Ответ: Винт с осью, идущей от середины ребра О А к середине
ребра FG и параметром (ср. задачу 108).
501. Тело вращается одновременно с угловыми скоростями, рав-
ными по величине ш, вокруг шести осей, расположенных, как по-
а
казано на чертеже, по рёбрам куба. Заменить эту
систему вращений винтом. (Ребро куба равно а.)
Ответ: Винт, ось которого проходит через
середины верхней и нижней граней. Угловая ско-
рость 2 = 4о> (направлена снизу вверх), поступатель-
ная скорость V= аш и направлена сверху вниз
(левый винт).
К задаче 501. 502. Сложить три вращения ц)ь ь>3, ш3 вокруг
трёх взаимно перпендикулярных осей, расположен-
ных, как показано на чертеже, вдоль рёбер прямоугольного параллеле-
пипеда, которые соответственно равны а, b и с.
Ответ: Винт. Угловая скорость Q = ы?2 -j-
__ . Т ^,<ллЬ — <п2о>,с -4- <ич<о2а
Поступательная скорость V =
503. Прибавить к винту (<о, <о) поступательную скорость v' под
углом а к его оси.
Ответ: Ось винта параллельна данной оси и находится от неё
на расстоянии d = ~ sin а. Угловая скорость останется прежней.
Поступательная скорость будет равна v v' cos а.
504. Тело участвует одновременно в шести винтовых движениях,
оси которых расположены по рёбрахм куба, как показано на чертеже.
505—506] СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ твёрдого ТЕЛА.
151
Найти результирующее движение, если угловые скорости и посту-
пательные скорости для всех винтов имеют равные модули <о и v.
Ответ: Винт, ось которого — диагональ куба, проходящая че-
рез О. Угловая скорость 2 = 2]/Зо>. Поступательная скорость У =
= 2j/r3‘». Параметр равен параметру каждого из составляющих
винтов.
505. Дифференциальная передача имеет показанное на чертеже
устройство. Ось АВ, на которую насажены свободно два кониче-
ских зубчатых колеса I и II радиуса R, имеет
палец ОС, на который насажено тоже свободно
колесо III радиуса г. Колёсам I и II сообщены ско-
рости В «л и л2 оборотов в минуту.
Найти: 1) угловую скорость 2 колеса III по
отношению к оси АВ, 2) его угловую скорость <о3
(или число /?3 оборотов в минуту) вокруг оси ОС,
3) его аксиоды.
Ответ: Считая положительным направлением
вращения колёс I и II и оси АВ то, при котором
I 8
С
К задаче 505.
эти колёса видны
из точки А вращающимися по часовой стрелке, и положительным вра-
щением колеса III то, при котором оно видно из точки С вращаю-
щимся по часовой стрелке, найдём
1) а-^(и,+л1)=^±^;
... /„ „ ч R ws—R
2) ®з== 7.
3) Неподвижный аксоид — круглый конус с вершиной в О и
высотой, направленной по оси АВ\ угол а между образующей этого
конуса и высотой равен
arcctg
<•*2 *4~ ад1 г
R *
Подвижной аксоид — тоже круглый конус с осью, направленной
по ОС, и катящийся по предыдущему.
506. Диск радиуса R, плоскость которого образует угол а с вер-
тикалью, катится без скольжения по горизонтальной плоскости,
описывая на ней окружность, причём ось диска всё время проходит
через центр этой окружности О.
Найти аксоиды и абсолютную угловую скорость со диска, а также
угловую скорость <о0 диска вокруг его оси, линейную скорость v0
центра диска, линейную скорость его высшей точки, если центр
диска описывает полную окружность равномерным движением в те-
чение Т сек.
152 КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (507—508
Ответ.1'. Неподвижный аксоид— горизонтальная плоскость, по
которой катится диск. Подвижной аксоид — прямой конус, основа-
нием которого служит диск, а вершиной точка О.
cos8 а о 2г 2г
= — —~ ® = у ctg а, <оо = у cosec а.
507. Тело А вращается с постоянной угловой скоростью 2 во-
круг оси, совпадающей с одним ребром куба, равным а. Тело В на-
К задаче 507.
ходится в винтовом движении (to, ©), ось ко-
торого совпадает с другим ребром этого же
куба, как показано на чертеже. Найти движе-
ние тела В относительно тела А.
Ответ’. Винтовое движение. Величина угло-
вой скорости равна 23-|-<a2, а величина по-
ступательной скорости равна (v—aQ).
у Уа -J- <о8
Уравнения винтовой оси:
_ 4- аш*
У~ 2s 4-<оа ’
508. Два колеса радиусов и г вращаются равномерно в парал-
лельных плоскостях независимо одно от другого вокруг своих
осей Oj и О2, как показано на чертеже, с раз-
ными угловыми скоростями, абсолютные
/ *_величины которых равны 2 и <о.
( gT\ \ 7) ) Найти относительные скорость v' и
I у ; tty J ускорение w' точки А окружности второго
\ колеса, если расстояние между осями Ot
и О2 равно а.
К задаче 508. Ответ’. v' — г(<о -j- 2) — «2; w' =
= г(со-{-2)2 — «23, причём положительным
направлением <о' на чертеже считаем направление вниз от А, а поло-
жительным направлением w' — направление вправо от А,
ДИНАМИКА.
I. ДИНАМИКА ТОЧКИ.
§ 22. Прямолинейное движение материальной точки.
Если материальная точка массы т движется прямолинейно по оси х, то
дифференциальное уравнение движения точки будет
d2x „ ...
т 0)
где X есть проекция на ось х силы, действующей на точку. Эта проекция Л
вообще зависит от времени, положения точки и скорости, т. е.
x=x(t,x,$.
При некоторых частных предположениях относительно проекции силы X
легко получить первые интегралы уравнения движения, а именно:
1. Если X зависит только от времени, т. е. Х—Х (/), то, написав левую
/п dv
часть уравнения (1) в виде т-^ и интегрируя по /, получим интеграл
количества движения
t
mv — mv0 — I X(t)dt. (2)
Если X= const, to mv— mv0 — X-t, г. e. приращение количества дви-
жения равно импульсу силы за данный промежуток времени. *
2. Если X зависит только от положения точки, т. е. Х=А"(х), то, пре-
образовав левую часть уравнения (1) к виду
d2x dv do dx dv
dta dt dx dt dx
и интегрируя по x, получим интеграл кинетической энергии
(3)
Если Х= const, то -------™~=Х(х— х0), т. е. приращение кинети-
ческой энергии равно работе силы на данном пути.
154
ДИНАМИКА точки
[509—511
(4)
Если U (х) есть функция, дифференциал которой равен элементарной
работе силы, т. е.
dU (x) = Xdx,
то интеграл кинетической энергии можно написать в виде
^_^=г/(х)-с/(х0).
Функция U (х) называется силовой функцией или потенциалом.
3. Если X зависит только от скорости, то имеем
dv V/ ч
,n^-=A-(o.
откуда
т dv
интегрируя, получим
V
Jm dv
Vfl
(5)
откуда, интегрируя, находим х
т. e. i=f (v).
4. Для определения x в функции t, т. e. для нахождения закона движе-
ния точки нужно интегрировать уравнения (2), (3) и (5), заменяя v через
dx „
и разделяя переменные. Что касается случая силы, зависящей от скоро-
сти, то в этом случае можно поступать ещё так: пользуясь равенствами
, .. т dv
dx = v dt и = «6 получаем из них
mv dv .
V
fmvdv z x tj
I -trr-r, T« e. x=v(v). Исключая v
J X(v) ’
Vo
из уравнений t =f (v), x = (v), получаем
x = Ф (/),
т. e. находим закон движения.
509. Тело весом Р = 750 кг движется по горизонтальной прямой
под действием постоянной силы F, направленной по этой прямой,
с ускорением 4^ = 1/2 м/сек\ Найти величину этой силы.
Ответ'. F = w = 38,226 кг.
У>о1
510. Тело весит Р кг. Найти массу этого тела в технической
системе единиц, а также выразить его вес в динах.
Ответ’. 1) т — 0,102 Р кг сек1/м, 2) 981 000 Р дин.
511. Найти вес тела, если оно, имея начальную горизонтальную
скорость у0= 10 м/сек, прошло под действием силы F = 20 кг.
прямолинейный горизонтальный участок пути s==200 м за время
£ — 5 сек.
512—518J ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки 155
Ответ- = 161/аДж. >
512. Свободная материальная точка массы /я—2 т. е. м. *),
движется прямолинейно под действием постоянной силы F, величина
которой равна 10 кг. Начальная скорость точки т>0 = 10 м/сек.
Найти скорость точки через 8 сек после начала движения.
Ответ'. 50 м/сек. *
513. Свободная материальная точка движется прямолинейно под
действием постоянной силы F, величина которой равна 20 кг.
Начальная скорость точки ^=10 м/сек. Через 5 сек после начала
движения точка имеет скорость v = 20 м/сек. Найти массу точки.
Ответу т — 10 т. е. м.
514. На тело весом в 10 кг, лежащее на гладкой горизонталь-
ной плоскости, действует постоянная горизонтальная сила F, вели-
чина которой равна 100 дин. Какую скорость приобретёт тело,
пройдя расстояние в 2 д, если его начальная скорость равна нулю?
Ответ'. 2 см/сек.
515. Во сколько времени постоянная горизонтальная сила, вели-
чина которой равна F кг, действуя на тело весом Р кг, увеличит
в п раз его начальную скорость, равную м/сек, если тело дви-
жется прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости?
Ответ’, t — 0,102 (п — 1)фп сек.
ст/7 Г v ' V
516. С какой силой надо затормозить автомобиль весом Ркг,
чтобы в течение t сек понизить его скорость с до v м/сек!
Ответ'. F кг.
g *
517. На концах верёвки, перекинутой через блок, массой кото-
рого пренебрегаем, висят с одной стороны гиря весом Р, а с дру-
гой— гиря такого же веса и привесок весом р. Найти величину
ускорения, с которым будет двигаться эта система, если её предо-
ставить самой себе. (Трением и сопротивлением воздуха пренебре-
гаем.)
Ответ', w —
2Р-\-р 6
518. Груз весом Р кг подвешен на пружинных весах к гондоле
аэростата. Каково будет показание весов, если аэростат движется
вертикально с постоянным ускорением w м/сек*!
*) т. е. м. — техническая единица массы.
156 динамика точки [519—526
Ответ'. Рх = Р (1 ±0,102 ®) л:г, где знак «-J"3* соответствует
поднятию, а знак « — » опусканию аэростата.
519. Тело весом Р кг тянут с ускорением w м/сек* по шерохо-
ватой горизонтальной плоскости при помощи привязанной к нему
горизонтальной верёвки. Найти натяжение верёвки Г, если коэффи-
циент трения равен /.
Ответ' 7,= Z?(/-}_ 0,102 ги)кг.
520. Молот весом Р=3 т падает с высоты h =1,5 м на поко-
вочную болванку; деформация болванки происходит в течение
•с = 0,01 сек. Определить среднюю величину силы давления молота
на болванку.
Ответ'. F— Р (1 )~ ^8,9тс
521. Снаряд весом 343 кг вылетает со скоростью в 500 м/сек
из ствола орудия, длина которого 5 м. Определить силу давления
пороховых газов на снаряд, считая эту силу постоянной.
Ответ'. 875 т.
522. Снаряд весом в 7 кг вылетает со скоростью 700 м/сек,
оставаясь внутри ствола в течение 0,01 сек. Определить среднюю
величину силы давления газов на снаряд.
Ответ'. 50 000 кг.
523. В момент прекращения действия пара поезд имеет скорость
21 м/сек. Зная, что коэффициент трения равен 0,005, определить,
какое расстояние поезд пройдёт до остановки.
Ответ'. 4,5 км.
524. Санки,, пущенные скользить по горизонтальной поверхно-
сти льда, останавливаются, пройдя расстояние в 70 м. Найти на-
чальную скорость санок, если коэффициент трения /= 0,07.
Ответ'. ^ = 9,8 м/сек,
525. Снаряд весом в 12 кг, достигая крепостного вала, имеет
скорость -ио = 420 м/сек и входит в вал на глубину 1,5 м. Опре-
делить среднюю величину силы сопротивления движению снаряда.
Ответ: 72 000 кг.
526. Найти начальную скорость г»0 пули винтовки весом р — 10 г
и диаметра d = 8 мм, если давление пороховых газов при выстреле
равно 600 кг/см* и если пуля испытывает это давление в течение
0,002 сек.
Ответ'. т>е^590 м/сек.
527—533] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ материальной точки 157
527. Доказать, что для двух тел, приведённых одновременно
в движение из состояния покоя равными силами, действующими
в течение одного и того же времени, имеет место следующее соот-
ношение;
ТИК2 . mv2 V____т
где ТИ и т— массы, а V и v — скорости этих тел.
528. Пилот поднимается на аэростате с вертикальной скоростью V.
Когда он достигает высоты h над землёю, он бросает груз (бал-
ласт). Через сколько времени груз упадёт на землю? Сопротивле-
нием воздуха пренебрегаем.
г» 4- v + Р^2 +
Ответ: t —-----—-----!—-—.
g
529. Горизонтальная пить, которая может выдержать, не обры-
ваясь, натяжение в 10 кг, привязана к грузу весом 2 кг, лежащему
на горизонтальной плоскости. Зная, что коэффициент трения между
грузом и плоскостью равен 0,1, найти наибольшее ускорение, кото-
рое можно сообщить грузу при помощи этой нити.
Ответ’. 48,02 м}сек*.
530. На каком пути s постоянная сила, величина которой равна
F кг, действуя на тело массы т т. е. м., увеличит его начальную
скорость м}сек в п раз? >=»—k
(п2 — 1) mvl
Ответ: s = -—м.
г Z
531. Копровая баба весом Р—90 кг поднимается на высоту
h = 1 м; при последнем ударе свая уходит в грунт на глубину
$ — 1 см. Какую наибольшую нагрузку в кг/см* выдержит эта свая,
нс давая осадки, если считать сопротивление грунта движению сваи
постоянным, а поперечное сечение сваи равным 15 дм* и если мас-
сой сваи можно пренебречь?
Ответ’. 6 кг/см*.
532. Точка массы т — 0,1 т. е. м. движется прямолинейно по
закону s = /4—12/3-|-60/2, причём s выражено в метрах, a t
в секундах. Найти величину силы, действующей на эту точку.
В какие моменты эта сила имеет наибольшую или наименьшую вели-
чину?
Ответ: F = 1,2 (t* — 61 10) кг’ Fmin = 1,2 кг при t «=3 сек.
533. Точка массы т— 12 т. е. м. совершает гармоническое коле-
бание по оси х:
х = 5 cos f-J t \,
168
ДИНАМИКА ТОЧКИ
1534—538
причём х выражается в метрах, a t—-в секундах. Выразить проек-
цию на ось х силы, действующей на точку, в функции от х.
Ответ: X = — 3 т?х кг.
534. Найти закон прямолинейного движения свободной точки
массы т под действием периодической силы F — am cos (kt), зная
начальную абсциссу точки х0 и её начальную скорость г/0.
Ответ: х = хй -j- Д W — Д cos (kt) .
535. Неподвижный центр О притягивает точку массы т силой
Г=р/игл, где г—’расстояние точки от этого центра и р— посто-
янный коэффициент. В начальный момент г0 = а и скорость точки
1/0 = 0. Через сколько времени точка достигнет центра О? Рассмо-
треть частные случаи: 1) л = 1; 2)п =— 2; 3) п — — 3; 4) п — — 1.
а
Ответ', t = 1/"f dx — .
V 2р J lfan+l—xn+l
о г
Частные случаи:
з
1) 2) / = -^=; 3) t=-^= ; 4) Z = al/Z
7 2/р ’ 7 2/2^ * 7 ]/р * Г 2р*
536. Материальная точка массы т отталкивается от неподвижного
центра О силой, величина которой F — pmr, где г — расстояние
точки от этого центра. В начальный момент г0 = а и т/0 — 0. Найги
скорость, которую приобретает точка, когда она пройдёт путь s =а.
Ответ', v = а Зр.
537. Материальная точка притягивается к неподвижному центру
О силой, пропорциональной массе точки и обратно пропорциональ-
К задаче 538.
ной кубу расстояния, причём коэффициент
пропорциональности равен р. В начальный
момент расстояние точки от О равно а, а
скорость её равна нулю. Найти закон дви-
жения точки.
Ответ', х— а1 — р/3.
538. При падении тела М внутри Земли
в стволе очень глубокой шахты ускорение
прямо пропорционально расстоянию тела от
центра Земли. Найти время t, в течение
котЪрого тело пройдёт данный путь s, а
также его скорость v в конце этого пути, если тело начинает
падать с поверхности Земли без начальной скорости, предполагая,
что сопротивления отсутствуют.
532—542} • ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 15е)
Ответ', t = Jj arc cos 2 1 — gs ,
где R — радиус Земли.
539. Тело падает без начальной скорости с большой высоты на
поверхность Земли. Найти его скорость и закон движения, прини-
мая во внимание, что сила притяжения изменяется с расстоянием
по закону Ньютона, и пренебрегая сопротивлением воздуха.
Ответ'. Если Н есть начальное расстояние тела от центра Земли,
х — то же расстояние в некоторый момент t и R — радиус Земли,
то
_________________________________________________
—x) + 7farcsin|/^^y
При падении из бесконечности
При падении с малой высоты (сила притяжения постоянна)
= У 2g (И — х).
540. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с на-
чальной скоростью т»0. Найти, принимая во внимание силу ньюто-
новского тяготения и пренебрегая сопротивлением воздуха, па какую
максимальную высоту и в течение какого времени поднимется тело,
если радиус Земли равен R,
Ответ:
ь /? ^ 8 Т_________
Лжах — Af - . , 1
2gR —
541. Найти кинетическую энергию, приобретённую телом, упав-
шим без начальной скорости на поверхность Земли с очень большой
высоты h (принимая во внимание изменение силы тяжести с высотой
ио закону Ньютона и пренебрегая сопротивлением воздуха). Поль-
зуясь найденным ответом, определить температуру метеора с тепло-
ёмкостью с = 0,2, весом Р=1 кг, если механический эквивалент
тепла равен 427 кгм, радиус Земли /? = 6 375 400 м и h — oo,
предполагая, что при ударе о землю вся кинетическая энергия метеора
превращается в тепло.
Ответ: 1) Ph -^г-.кгм. 2) 74 650°С.
7 /?4- h 1
542. Шар весом в 10 г движется по вертикали вниз под дей-
ствием силы тяжести и испытывает сопротивление воздуха; закон
160
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[543—547
его движения имеет вид: $ = 327/— 109(1 —e~3t), причём $ выра-
жено в сантиметрах. Определить силу сопротивления воздуха как
функцию скорости V.
Ответ: ЗОи дин.
543. Шар массы т падает без начальной скорости по вертикали
вниз под действием тяжести в сопротивляющейся среде, сила сопро-
тивления которой пропорциональна первой степени скорости и рав-
на по величине R — kmv, где Л — постоянный коэффициент про-
порциональности. Найти закон движения шара.
Ответ: $ = 4- / — Л(1 — e~bt\.
k z
544. Лодке сообщена начальная скорость т/0 = Qj&jceK. Через 69 сек
после начала движения эта скорость уменьшается вдвое. Найти
закон движения лодки, если сила сопротивления воды пропорцио-
нальна скорости лодки.
Ответ: х — 600 (1 — е ~~ 0,01 *)•
545. Тело весом Р кг брошено вертикально вверх с начальной
скоростью Предполагая, что сила сопротивления воздуха про-
порциональна квадрату скорости тела, причём коэффициент пропор-
циональности равен р., найти, с какой скоростью тело упадёт обратно
на землю.
Ответ; v = vn I/ -g-,---г-.
° Г Р + jwg
546. Лодке сообщена начальная скорость -и0. При своём движе-
нии лодка испытывает сопротивление воды, сила которого пропор-
циональна квадрату скорости лодки, причём коэффициент пропор-
циональности равен km, где т — масса лодки. Через какой проме-
жуток времени скорость лодки станет вдвое меньше начальной?
Ответ: t = ~— сек.
kv0
547. Шар массы т падает без начальной скорости по вертикали
вниз под действием силы тяжести; сила сопротивления воздуха выра-
жается по величине так: R — kayu*, тле k — постоянный коэффи-
циент пропорциональности, а — площадь большого круга падающего
шара, р— плотность воздуха и v — скорость шара. Найти скорость
шара v и пройденный им путь s, как функции времени. К какому
пределу стремится скорость v при безграничном возрастании /?
Ответ: v = c«th f—; s=— In ch (—) где c* =~~~ ; l*m v —c
\C ] * g \C ]' Лар ’ Г -» oo
548—5511 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
161
548. Тело начинает падать из точки А без начальной скорости
в среде, сила сопротивления которой R = kmv, где k—коэффициент
пропорциональности, т— масса тела, и v — его скорость. Одновре-
менно с этим из точки В, находящейся на той же вертикали, ниже
точки А на а единиц длины бросают другое тело с начальной ско-
ростью г0, направленной вертикально вверх. Найти, где и когда
встретятся эти тела? Каково условие возможности встречи?
Ответ: Время встречи: Т=ъ-1п ----------г). Путь, пройденный
\ Vg —— CLR j
первым телом ло встречи со вторым: Т—. Условие воз-
можности встречи: т»0^>аЛ.
549. Материальная точка массы т кгсек^лг1 движется горизонтально,
начиная движение со скоростью MjceK в среде, сила сопротивле-
ния которой /? = &]/-и кг, где v есть скорость точки и k — постоян-
ный коэффициент. Найти, где и когда остановится точка.
2 tit г—
Ответ'. Точка остановится через / = у у ф0 сек, пройдя путь
2 m /• —
М'
550. Материальная точка массы т движется прямолинейно без
начальной скорости в сопротивляющей среде так, что равнодействую-
щая всех сил, приложенных к этой точке, равна по величине
a -\-bv — cv*, где v — скорость точки, а а, b и с — постоянные
положительные числа. Выразить скорость точки v и пройденный
ею путь s как функции времени. К какому пределу стремится вели-
чина v при /~>со?
Ответ: 1) v~—> где а и •—корни трёхчлена
а -4- bv — счР, и /г — ,
1 т
2) limz/ = a,
t ~> со
3) s=a<+i±iIn^+3.
7 1 k a-J-fi
551. Вагон весом Р, получивший начальную скорость г/(), испы-
тывает сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости,
причём коэффициент пропорциональности равен k. Определить
путь, пройденный вагоном до остановки, если коэффициент общего
трения равен /.
/1 р 1 1 । kv%\
Ответ: s = ^ln l + jjsrJ..
11 Сборник задач
162
ДИНАМИКА ТОЧКИ
f552—553
552. Самолёт весом Р==1300 кг перешёл на пикирование с на-
чальной скоростью г/0 — 270 км/час. Сила сопротивления воздуха
Р = си* кг, где с = 0,08 кг сек*/м*. Найти пройденный самолё-
том путь s, в конце которого его скорость достигает величины
км/час.
Ответ’, s = In с Еж 830 м.
2с g Р — cv%
553. Найти пробег s самолёта (путь, пройденный от посадки до
остановки), если вес самолёта Р=1400 кг, посадочная скорость
гго = 9О км/час, коэффициент трения /== 0,1, сила сопротивления
воздуха R — Cj^ кг (лобовое сопротивление), подъёмная сила
F — CyV2 кг и качество самолёта (т. е. отношение коэффициента
подъёмной силы к коэффициенту лобового сопротивления) k =
= = 5.
Сх
Указание. 1) В момент приземления величина подъёмной силы /
равна весу самолёта Р; 2) при вычислении пробега предпола1ается, что мотор
выключен.
Ответ’, s 220 м.
§ 23. Колебательное движение точки.
Если на точку массы т действует сила, притягивающая её к неподвиж-
ному центру и пропорпиональная расстоянию до этого центра, то уравне-
ние движения этой точки будет
или» если положить — w2,
т .
d^x
(1)
Общее решение уравнения (1) имеет вид
х «е a sin (W Ц- е)> (2)
где а и < (амплитуда и начальная фаза) — произвольные постоянные. Урав-
нение (2) есть уравнение гармонического колебания с частотой
v =е — = — 1/~— (3)
v 2« 2к V т 1 '
Произвольные постоянные а и г определяются пз начальных условий.
Если в начальный момент (при 2=»0)
dx
К Хд, *еа Оо,
ТО _
хН"Г, ««S=arctg^. ед
Если общее решение уравнения (1) взять в форме
№* A cos wt 4- В sino>Z,
S53J КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 163
то произвольные постоянные А и В выразятся так:
Л = х0, В = И.
(П
При колебании точки в сопротивляющейся среде кроме восстанавливаю-
щей силы, пропорциональной расстоянию, на точку действует ещё сила
сопротивления /?, и уравнение движения точки получает вид
dsx
mdp—~~kx+^
Если величина R пропорциональна первой степени скорости, т. е. если
6' ,
то, полагая — — о, предыдущее уравнение можно написать так:
+ + (5)
общее решение этого уравнения при о > b будет:
х = e~bta sin (of + е) = e~bt (Д cos + В sin ®t), (6)
где ____
® = j/"<oa — <Z <o.
Уравнение (6) есть уравнение затухающих колебаний; величина где
Т = — есть период колебания, называется логарифмическим декремен-
том затухания.
Если па точку кроме восстанавливающей силы и силы сопротивления
среды действует еще внешняя возмущающая сила F, то уравнение движе-
ния точки будет
или, при тех же обозначениях,
d2x , r>tdx , „ Fx
-r„ + ® x s= — . (7)
dt3 dt 1 m 47
Если const, то общее решение уравнения имеет вид
р
х = e~b(a sin (<# е); (8)
если сила F изменяется периодически, т. е. Fx =s тР sin (pi), то
х = 77г^'^77та sin & + + e~bta sin <9)
у (<wa—p2)2-|-4ps62
где ,
( 2bp \
Ч = агс<я(-^ф).
Первый член правой части уравнения (9) представляет собой вынужденные
колебания точки, а второй — свободные колебания, которые с течением
времени затухают. Величины а и • — произвольные постоянные, опреде-
ляемые начальными условиями. При р, близком к ш, амплитуда вынужден-
ных колебаний имеет максимум, и происходит явление резонанса.
Если сопротивление отсутствует = то формула (9) переходит в
такую:
р
х ~ sin W + а sln 4- •) (10)
11
164
ДИНАМИКА ТОЧКИ
1554—559
и ярлепие резонанса наступает при р = ш; в этом случае общий интеграл
получает вид
д- =— о cos (и/) Ц- a sin (со/ 4-8)’ (Ю
z<o
т. е. амплитуда вынужденных колебаний с течением времени неограниченно
возрастает.
554. Груз весом Р подвешен к концу В эластичного шнура,
другой конец которого закреплён в точке А. Груз поднимают в
точку А и затем отпускают без начальной скорости. Найти наи-
большее удлинение шнура, если его естественная длина равна Zo,
а статическое удлинение под действием силы Р равно Хст.
Ответ: Хтах = Хст + /*ст (Хст + 2/0).
555. Материальная точка массы т--2т е. м. притягивается к
неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию точки
от этого центра; на расстоянии в 1 м величина силы равна 8 кг.
Найти закон движения точки, если в начальный момент = 1 м и
v0 — 4 м{сек.
Ответ', х — 2 sin 2/ -|- cos 2/.
556. Точка совершает гармоническое колебание по закону
л = 3 sin 2/— cos 2/. Найти амплитуду и период этого колебания.
Ответ’. а==]/10; Т=3,14 сек.
557. Груз весом Р — 2 кг подвешен в точке А на пружине,
которая в естественном состоянии имеет длину Zo — 40 см. Стати-
ческое удлинение пружины, вызываемое этим грузом, равно 4 см.
Груз приведён в положение М и отпущен без начальной скорости
Определить период колебаний груза и наибольшую силу натяжения
пружины, если АМ0 = 42 см.
Ответ: Г = 0,4 сек\ Fmax =с 3 кг.
558. К свободному концу упругой горизонтальной балки, дру-
гой конец которой закреплён неподвижно, подвешен на пружине
груз весом Р кг. Упругая сила балки пропорциональна стреле про-
гиба /, а сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению;
статическое удлинение пружины под действием силы Р равно Хст,
а статическая стрела прогиба балки равна /ст. Определить период
колебаний груза. Массой балки и пружины пренебрегаем.
'Г О 1 / ^СТ + Ат
Ответ: Т == 2тг 1/ —J.
г £
559. Прямоугольный параллелепипед весом 40 кг с квадратным
основанием, сторона которого равна 0,5 л#, плавает в воде в вер-
тикальном пол ожени 1. Применяя закон Архимеда, найти период
колебания, которое получит параллелепипед, если его вывести из
560—564J
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
165
положения равновесия в вертикальном направлении и затем отпу-
стить.
Ответ'. Т — 0,8тт I/ 0,8 сек.
т 9,01
560. Груз весом Р подвешен на пружине, другой конец кото-
рой прикреплён к нерастяжимой верёвке, навёрнутой на шкив. Шкив
вращается равномерно, а груз опускается с постоянной скоростью
Внезапно шкйв останавливается. Определить наибольшее удлинение
пружины и наибольшую силу натяжения её, если статическое удли-
нение пружины под действием силы Р равно Аст.
Ответ'. Хтах = Хст F — J Fm^ *=*Р 1 + -7=-
r g \ у glcT
коэффициент
точки, если
равно 8, а её
561. Материальная точка массы т—1 движется прямолинейно
под действием силы притяжения к неподвижному центру О, про-
порциональной расстоянию точки от этого центра, причём коэффи-
циент пропорциональности равен 25. Сила сопротивления окружаю-
щей среды пропорциональна скорости точки, причём
пропорциональности равен 6. Найти закон движения
в начальный момент расстояние точки от центра О
скорость равна нулю.
Ответ', х = 2е~31,(3 sin 4/ -j- 4 cos 4f).
562. Материальная точка массы т = 2 совершает прямолинейные
колебания по оси х под действием восстанавливающей силы, про-
порциональной расстоянию точки от начала координат, причём коэф-
фициент пропорциональности равен 8, и возмущающей силы /* =
= 4cos/Z. Найти закон движения'точки, если в начальный момент
хп= 0 и = 0.
2
Ответ', х = у (cos/ — cos 2/).
563. Материальная точка массы т притягивается каждым из
двух неподвижных центров Ог и Ог с силой, пропорциональной рас-
стоянию, причём коэффициент пропорциональности равен с. Найти
период прямолинейного колебания точки.
Ответ'. Т —2т. |/" .
564. Прямолинейная трубка ОА вращается в вертикальной пло-
скости вокруг горизонтальной оси О с постоянной угловой ско-
ростью со. В трубке находится тяжёлый шарик массы т, прикреп-
лённый к пружине, другой конец которой закреплён в точке О.
Найти закон движения шарика относительно трубки, если упругая
сила пружины пропорциональна её удлинению, причём коэффициент
166
ДИНАМИКА ТОЧКИ
(565—569
пропорциональности равен с. В начальный момент трубка горизон-
тальна, относительная скорость шарика равна нулю, и пружина
имеет естественную длину /0.
Ответ: х = [А2 — <о3 cos (я/)] Ц- -а ^2- рп (<о/) — sin («/)j ,
где k^ — ^n n^ — k2 — <о2 при условии, что Л^>со.
565. При условиях предыдущей задачи найти: 1) закон относи-
тельного движения шарика в том случае, когда со=Л; 2) при ка-
кой угловой скорости трубки наступит явление резонанса.
Ответ: 1) x = lQ +-J t • ^sin(urf);
2) <» = /£.
566. Материальная точка совершает прямолинейные колебания
в сопротивляющейся среде под действием силы, пропорциональной
расстоянию этой точки от неподвижного центра О. Сила сопро-
тивления среды пропорциональна скорости точки. В начальный мо-
мент х„ = 0 и == 1 м)сек. Зная, что период «колебания Т— 2 сек,
а декремент D — , найти закон движения точки.
Ответ: х — — 2"z sin (я/).
7t
567. Материальная точка весом 10 кг совершает прямолинейные
колебания под действием силы, пропорциональной расстоянию точки
от неподвижного центра О. На расстоянии 1 м эта сила равна 2 кг.
Сопротивление окружающей среды пропорционально скорости
точки. После трёх полных колебаний амплитуда уменьшается
в 10 раз. Найти период колебаний точки.
Ответ: Т — 4,52 сек.
568. К пружине, один конец которой закреплён неподвижно,
подвешены два одинаковых груза; длина пружины при этом увели-
чивается на 2 см. Определить амплитуду и период колебаний, кото-
рые будет совершать один из этих грузов, если второй оборвётся.
Ответ: а = 1 см, Т — 0,2 сек.
569. Тело весом Р=4,9 кг, погружённое в жидкость, подве-
шено на пружине, статическое удлинение которой под действием
силы Р равно 1 см. Свободный конец А этой пружины совершает
вертикальные колебания около неподвижной точки Ло по закону
у = 0,05 sin (5^0, ГДе У обозначает расстояние А0А, выраженное
в метрах. Сила сопротивления жидкости при движении тела про-
570]
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
167
порционапьна его скорости и при скорости в 1 м(сек равна 1,57 кг.
Найти амплитуду вынужденных колебаний тела.
Ответ', а = 6,7 см.
570. Груз, имеющий массу т, подвешен на пружине к верти-
кально движущемуся ползуну В кривошипно-шатунного механизма.
Длина кривошипа О А —г, длина шатуна АВ = 1. Кривошип вра-
щается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со. Сила
натяжения пружины пропорциональна её удлинению, причём коэф-
фициент пропорциональности равен с. В начальный момент угол
поворота кривошипа ф==0, точка А занимает низшее положение, и
груз находится в состоянии равновесия. Найти закон движения
груза, приняв за начало координат начальное положение груза и пред-
полагая, что отношение у мало, так что членами, содержащими это
отношение в степени выше второй, можно пренебречь.
Г/ r\ k2
Ответ'. у= г I (1 1 (1 — cos kt) ___^а- (cos —- cos kt) 4-
+ "<C0S 2Ш/-C0S Й)] ’ ГДе = й •
§ 24. Криволинейное движение свободной
материальной точки.
1. Если на свободную материальную точку массы т действует сила
/Г(А', У, Z), то дифференциальные уравнения движения точки будут:
dzx v d2y
di2 dt2
d2z а
Эти уравнения можно написать в виде:
м . dQ „ dx dy dz\
или в векторной форме ~=F, где вектор Q(,zz jy, ,п at ’ ,ndi) есть
количество движения материальной точки. Отсюда следует, что производ-
ная по времени от проекции количества движения на неподвижную ось
равна проекции силы на ту же ось.
2) Умножая второе из уравнений движения на х, а первое на—у и
складывая, получим
d Г / dy „
if (* й ~y at ) = xY ~yX=M0MZ'
т. e. производная no времени от момента количества движения относи-
тельно оси z равна моменту силы относительно той же оси-, круговой
перестановкой букв получим аналогичный результат для осей х и у. Обозначая
момент количества движения относительно начала координат через Go, по-
лучим выражение этой теоремы в векторной форме
“Оо
-г- = момоА
168
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[570
Если сила F находится в одной плоскости с осью z, то mom^F=0 и,
следовательно, получаем интеграл
dy dx „
х -.р- —у ~ С.
at dt
Переходя от декартовых координат к полярным (г, ?), получим этот
интеграл в виде
№ —— С
r dt ~
Величина г* представляет собой удвоенную секторную ско-
рость проекции движущейся точки на плоскость (ху), поэтому
„ С .
dt “ 2 ’
отсюда вытекает теорема площадей: если момент силы относительно
какой-либо неподвижной оси равен нулю, то секторная скорость проек-
ции движущейся точки на плоскость, перпендикулярную к этой оси, по-
стоянна. !
Если направление силы постоянно проходит через неподвижный центр О
(центральная сила), то траектория точки есть плоская кривая, которая лежит
в плоскости, проходящей через центр О и начальную скорость точки, а дви-
жение точки в этой плоскости происходит по закону площадей, т. с. с по-
стоянной секторной скоростью, ибо в этом случае Go — const.
3. Умножая дифференциальные уравнения движения точки соответственно
па dx, dy, dz и складывая, получим
dx d2x-\-dy d2y-\-dz d2z t „
m ------1J-------------= Adx -|- Ydy -f- Zdz,
HO
2 _ dx2 + dy2 + dz2
V ~ dt2
а потому 4
d — Xdx'+ Ydy + Zdz — F cos (F, v)ds,
т. e. дифференциал кинетической энергии равен элементарной работе
силы, (теорема кинетической энергии).
Если
X dx 4- Y dy 4- Z dz as dU (x, у. z),
или
y_dU~ V—^L 7-^L
дх’ dy> dz ’
то предыдущее уравнение даёт интеграл в виде
mv2 mu2 rr, . гг/ ч
~2------У’ z) — u(x0, У o’ zo)-
Функция U(х, у, z) называется силовой функцией’, следовательно, если
существует силовая функция, то приращение кинетической энергии равно
приращению силовой функции, причём последнее, как видно из определения
силовой функции, равно работе силы на пути между точками (х, у. z) и
(х0, Уо. z0)‘> таким образом, в случае существования силовой функции работа
силы, не зависит от пройденного пути, а зависит только от начального
и конечного положений материальной точки, на которую действует
эта сила.
571—576]
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
169
4. Вместо того чтобы проектировать векторное уравнение движения
материальной точки на неподвижные оси координат, можно проектировать
его на естественные оси подвижного трёхгранника (т. е. на касатель-
ную, главную нормаль и бинормаль траектории движущейся точки). В этом
случае получим «естественные» уравнения движения точки:
dv vs
nl — ^Fn, 0 = Fb,
dt xt p n u
где F\, F„, Fb обозначают соответственно проекции силы F на касательную,
главную нормаль и бинормаль траектории.
571. Самолёт летит с постоянной горизонтальной скоростью v
на высоте h над землёй; с него в трубу наблюдают некоторый
неподвижный объект. Какова должна быть величина угла трубы
с вертикалью, чтобы ..бомба, брошенная в этот момент с самолёта,
попала в цель? Сопротивление воздуха в расчёт не принимается.
1 /~~2~
Ответ', tg ер = I/ —т-.
6 т 0 г gh
572. Начальная скорость снаряда т>0 = 490 м/сек. Под каким
углом к горизонту следует бросить этот снаряд из начала коорди-
нат, чтобы он попал в точку с координатами х = 700 м, у/= 680 м?
Ответ: 45°.
573. Из пушки, стоящей на башне высотой в 50,2 м, вылетает
снаряд со скоростью т>0 = 500 м/сек под углом а = 30° к гори-
зонту. Через сколько времени и на каком расстоянии от места
выстрела снаряд упадёт на землю? Сопротивление!воздуха в расчёт
не принимается. Указание: принять g= 10 м/сек\
Ответ: Через 50,2 сек па расстоянии 21 735 м.
574. Стрелок стреляет в цель, находящуюся от него на расстоя-
нии 40 м, и при этом держит ружьё так, что цель находится на
продолжении линии ствола. Насколько ниже цели ударит пуля, если
сё скорость равна 400 м/сек! Сопротивление воздуха в расчёт нс
принимается.
Ответ: На 4,9 см.
575. Под каким углом к горизонту следует выпустить снаряд,
начальная скорость которого равна 500 м/сек, чтобы попасть в цель,
отстоящую от места выстрела на расстоянии 5 км7 Сопротивление
воздуха в расчёт не принимается.
Ответ: otj = 5°39', а2 = 84°21’.
576. Из данной точки А одновременно бросают материальные
точки с одинаковой по величине скоростью по различным на-
правлениям, лежащим в одной вертикальной плоскости. Доказать,
что если движение происходит в пустоте, то в каждый данный
момент все эти точки располагаются на одной окружности.
170
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[577—531
677. Материальная точка Mt брошенная иод некоторым углом
к горизонту (в пустоте), описывает параболическую траекторию.
Доказать, что в каждый данный момент эта точка имеет такую же
по величине скорость, как при свободном
------‘.I---------- падении без начальной скорости из точки N
v------------------директрисы траектории в точку М этой тра-
ектории.
Ум 578. С крепостной башни производятся
/ два выстрела, причём начальные скорости
снарядов равны по величине, лежат в одной
К задаче 577. и тод же вер-гикальнОй плоскости и на-
правлены под углами 04 и а2 к горизонту;
оба снаряда попадают в одну и ту же точку на поверхности Зем-
ли. Найти высоту h башни, предполагая, что поверхность Земли
вокруг башни горизонтальна и что сопротивление воздуха отсут-
ствует.
г-» 1
Ответ\ /? =—-
S
etg (gt 4-
tg «1 + tg аг ’
579. Из точки А наклонной плоскости, образующей угол ср
с горизонтом, бьёт в вертикальной плоскости струя воды с началь-
ной скоростью т»0 под некоторым углом а к горизонту и падает на
наклонную плоскость под прямым углом к ней. Найти угол а.
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
Ответ: tg а = 2 tg ср -|“ с*£ Я5*
580. Материальная точка массы т — 2 т. е. м. описывает кри-
волинейную траекторию. В данный момент точка занимает положе-
ние М и имеет скорость ^=3 м/сек. Действующая на точку сила
в этот момент равна 10 кг и составляет с направлением скорости
угол в 150°. Haiti ги радиус кривизны траектории в точке М.
Ответ: р = 3,6 м.
581. Точка М массы т притягивается неподвижным центром О с
силой F — kPtnr, где k — постоянный коэффициент и г—расстояние
точки Л1 от О. В начальный момент расстояние г0 —а, а скорбеть
образует с направлением ОЛ10 угол а. Найти уравнения движения
точки М и её траекторию, принимая прямую ОМ0 за ось х.
Ответ: х —a cos (kt)-}-~ sin (kt);
S1T1 а « г
= sin(A/);
траектория
л® — 2 etg a • xу 4- etg2 a 4 - ? k 2— == a1
ь J i ъ 1 Slll2 a /•'
(эллипс с центром в начале координат).
582—586J
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
171
682. Решить предыдущую задачу в предположении, что точка Af
отталкивается центром О.
Ответ: х — ~ a (ekt 4~ e~kt) 4- V° 5 а (ekt — e~kt);
,9
уравнение траектории
х9 — 2 ctg а • ху 4-у2 (ctg2 а —
(гипербола с центром в начале координат).
583. Точка М с массой т притягивается п. неподвижными точ-
ками Alt A3f А3,..., А„, массы которых соответственно равны
mit т.2) т3,, тп. Величина силы, с которой каждая из точек At-
притягивает точку М, равна Fi = kmtri, где k—постоянный коэф-
фициент, одинаковый для всех точек, mt — масса точки А,- и rz — MAt.
Пусть точка С есть центр масс то-
чек Az. Показать, что точка М дви-
жется так же, как если бы она притя-
гивалась по тому же самому закону точ-
кой С, масса которой равна тл-\-т3-\-
К задаче 584.
с силой, величина кото-
584. В вершине С равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС, в Д
котором гипотенуза АС = 2а, нахо-
дится точка Л1 массы т, не имеющая
начальной скорости. Каждая из трёх
вершин треугольника притягивает точку М
рой равна F — k^mr, где г есть расстояние точки Л'1 от соответ-
ствующей вершины треугольника.
Найти траекторию точки М и её скорость.
Ответ'. Уравнение траектории х-^~3у = а;
-к?
• a/?sin(y/ 3 • kt).
585. Найти полную энергию свободной материальной точки,
движущейся по эллиптической орбите с полуосями а и b вокруг
центра, притягивающего эту точку с силой, пропорциональной рас-
стоянию, и находящегося в центре эллипса, причём коэффициент
пропорциональности равен k.
у
Ответ: E=-^k (а34~62).
586. Два неподвижных центра А и В притягивают свободную
материальную точку Л4 с силами, пропорциональными расстоянию.
172 динамика точки [587—592
причём коэффициент пропорциональности для обоих центров равен k.
Найти силовую функцию, эквипотенциальные и силовые линии.
Ответ-. U——k (F 4- rj) > гдс г=АА1 и г[ = ВА1.
Эквипотенциальные линии — окружности с центром в середине
отрезка АВ; силовые линии — прямые, выходящие из середины АВ.
587. Вопрос предыдущей задачи в предположении, что центры
А и В притягивают точку М равными силами постоянной вели-
чины F.
Ответ'. U=— F(r-4~ri)» эквипотенциальные линии — эллипсы
с фокусами в А и В; силовые линии — софокусные гиперболы.
588. Точка массы т~\ движется в плоскости хОу под дей-
ствием силы, проекции которой на оси координат равны: . 16л',
Ухзх — 4у, в начальный момент Л'о = 1, у() = 0, цоггз=О, v0y^2.
Найти траекторию точки.
Ответ: х = 1 — 2у~.
589. Материальная точка притягивается к центру Оу и отталки-
вается от центра 0% силами, пропорциональными расстоянию, причём
коэффициенты пропорциональности для обоих центров равны. По-
казать, что при любых начальных условиях точка описывает пара-
болу.
590. Показать, что выражение работы силы F в полярных коор-
динатах имеет следующий вид:
г * ф
A — j FrdrA~ | Fprdq,
Го To
где Fr и Fp — проекции силы на радиус-вектор и на направление,
перпендикулярное к нему.
591* Свободная материальная точка массы т описывает эллине:
x = acos(£Z), .у == 6 sin (А/). Вычислить работу силы, действующей
на эту точку, за время от t0 — 0 до t = .
Ответ: А = >1&- (а2 — &2).
592. Силовое поле имеет силовую функцию £/= kr-\-C, где г —
расстояние точки поля от начала координат. Найти величину и на-
правление силы.
Ответ: Центральная отталкивающая сила постоянной величины
с центром в начале координат.
593—598] КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ свободной точки 173
593. Материальная точка массы т движется в плоскости хОу
под действием силы, проекции которой равны:
v_dU
ду ’ г ~ дх ’
Доказать, что в этом случае имеет место следующее соотно-
шение:
mvxvy — U -{- const.
594. Проекции силы на оси координат имеют следующие выра-
жения:
апх + а19у 4- а13г; Y = а91х -J- а^у 4 anz\
Z=<z31x4-a32^4-fl33z,
где коэффициенты при х, у и z постоянны. Определить, при каких
условиях существует силовая функция, и, если эти условия выпол-
нены, найти эту функцию.
Ответ-.
(йцХ9 4-а22/4- a33z*) 4-ai2xy4~ a^yz4-ai{zx4-С
при Условии
— я23 = я32 и <231 = а13»
595. Трубка согнута в виде окружности, уравнение которой
х94-у2 = а2. Шарик, находящийся в трубке, движется под действием
силы, имеющей проекции Х—£у*, У=£ху, где k = const. Найти
работу этой силы на участке траектории, заключающемся между
точками (0, а) и (а, 0).
Ответ: А =- 4 ka3.
596. Материальная точка массы т притягивается неподвижным
центром О с силой, пропорциональной расстоянию г точки от этого
центра, причём коэффициент пропорциональности равен k. Написать
интеграл энергии.
Ответ-, mv*-J- kt3 => const.
597. Материальная точка описывает параболу у2 = 2рх под дей-
ствием двух равных по величине сил; одна из этих сил направлена
к фокусу параболы и обратно пропорциональна расстоянию точки
от этого фокуса; другая сила параллельна оси абсцисс и направлена
в положительную сторону этой оси. Показать, что точка движется
по параболе равномерно.
598. Материальная точка (снаряд) массы т брошена с начальной
скоростью под углом а0 к горизонту. Сила сопротивления воз-
духа /?=е—kmgv, где k — постоянный коэффициент и в? — ско-
174
ДИНАМИКА ТОЧКИ
{599—604
рость точки. Найти движение точки. Показать, что траектория её
имеет вертикальную асимптоту. Найти также предельную скорость
точки.
Ответ'
.. 1
11ГП Ц = - .
/->оо k
599. Материальная точка движется под действием центральной
силы в сопротивляющейся среде. Показать, что каков бы ни был
закон сопротивления, точка описывает плоскую траекторию, пло-
скость которой проходит через центр силы.
600. Доказать, что при движении снаряда при любом законе
сопротивления воздуха имеет место следующее соотношение:
______£_
dx2 v® *
где vx есть проекция скорости на горизонтальную ось.
601. Материальная точка притягивается к оси х силой, перпен-
дикулярной к этой оси и пропорциональной массе точки и её рас-
стоянию от той же оси, причём коэффициент пропорциональности
равен Л2. Найти траекторию точки, если в начальный момент
лго = О, у0 —Л, а начальная скорость точки равна va и параллельна
оси х. В каком . месте траектории скорость точки достигает наи-
большей величины?
/ kx \
Ответ'. y = hcos\ —); скорость имеет максимальное значение
в точках пересечения траектории с осью абсцисс.
602. Материальная точка описывает эллипс под действием цен-
тральной силы, направленной к центру эллипса О. Показать, что
в любом положении М скорость точки выражается так:
v^^-ON,
где ON — полудиаметр, сопряжённый с ОМ, и Т—период обраще-
ния точки вокруг центра О.
603. Материальная точка движется под действием силы, парал-
лельной оси ординат и обратно пропорциональной кубу расстояния
точки от оси абсцисс. Показать, что при любых начальных условиях
точка описывает коническое сечение.
604. Материальные точки с одинаковой массой, притягивающиеся
к неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию,
начинают движение из одной и той же точки Мй с различными
начальными скоростями; показать, что, если концы векторов, изо-
605—6061
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ
175
бражающих эти начальные скорости, лежат на одной прямой,
параллельной ОЛ40, то точки описывают эллипсы с одинаковой пло-
щадью.
605. Материальная точка отталкивается от центра и притя-
гивается к центру О2 силами, пропорциональными расстоянию, при-
чём коэффициент пропорциональности в первом случае равен
а во втором случае равен А2. Показать, что точка описывает эллипс,
гиперболу или параболу в зависимости от того, будет ли отноше-
ние меньше, больше или равно единице.
§ 25. Центральные силы.
При движении под действием центральной силы F материя тьная точка М
(фиг. 33). описывает плоскую траекторию с постоянной секторной скоростью,
т. е. в этом случае имеет место уравнение
2^. = |МОМО®| = Г2^. = С; (I)
плоскость траектории проходит через центр силы О и
ной скорости точки ф0. Если в начальный момент г= г0
и ®з=ф0, то
с » roVo sin (r0, v0)<
n 1
Полагая - == н, получим для скорости точки выражение
V аш С
a2,
(2)
откуда, зная полярное уравнение траектории п=/(ср), Фиг. 33.
можно определить скорость в любом положении дви-
жущейся точки.
Связь между центральной силой, действующей па материальную точку,
и траекторией этой точки выражается формулой Бинэ
тс2 и2
(3)
где знак плюс относится к притягивающей силе, а знак минус — к отталки-
вающей. Если сила задана как функция полярных координат г и ср, то,
интегрируя уравнение (3), находим u^f (ср), т. е. уравнение траектории
точки, и обратно, если дано уравнение траектории и = /(ср), то по уравне-
нию (3) можно определить закон, по которому изменяется величина цен-
тральной силы, действующей па точку.
606. Материальная точка массы т описывает окружность радиу-
са а, притягиваясь некоторой точкой А этой окружности. Найти
силу притяжения и скорость точки как функции её расстояния г от
точки Д.
Ответ:
ГЪ »
2а с
и = где
~ — постоянная секторная
скорость точки.
176 ДИНАМИКА ТОЧКИ (607—313
607. При условиях предыдущей задачи показать, что годограф
скорости есть парабола.
608. Материальная точка массы т описывает эллипс с полуосями
а и b под действием силы притяжения к его центру. Когда точка
находится в конце большой полуоси, её скорость равна Найти
силу притяжения F как функцию радиуса-вектора г движущейся
точки.
609. Материальная точка движется под действием центральной
силы, являющейся функцией расстояния г этой точки от центра
силы. Величина скорости точки изменяется обратно пропорционально
этому расстоянию, т. е. v = y. Найти траекторию точки, если её
с
секторная скорость равна -%,
k _______
Ответ'. Логарифмическая спираль: г = гоес , где k = j/g2 — с2.
610. Под действием центральной силы материальная точка описы-
вает лемнискату, полярное уравнение которой г2 = д2 cos 2ср, причём
полюс совпадает с центром силы. Показать, что величина силы
обратно пропорциональна седьмой степени расстояния.
611. Найти величину центростремительного ускорения •w Луны
в её движении по орбите, считая орбиту круговой, и показать, что
это ускорение будет равно ускорению gx силы земного притяжения,
если эта сила изменяется с расстоянием по закону Ньютона. Дано:
ускорение силы земного притяжения у поверхности Земли
gя» 9,81 м/сек\ радиус лунной орбиты гя«:60 7?, где радиус зем-
ного шара 7? 6 370 000 м; время обращения Луны вокруг Земли
7=27 дней 7 час. 43 мин.
Ответ', w = 0,0027 м]сек\ (Этим путём Ньютон убедился
в справедливости открытого им закона всемирного тяготения.)
612. Материальная точка движется под действием центральной
силы. Даны по величине и направлению скорости этой точки в трёх
её данных положениях. Найти построением при помощи циркуля и
линейки центр силы.
613. Материальная точка массы т притягивается к неподвижному
„ г- 10/л
центру силой г = -р-, где г есть расстояние точки от этого
центра. В начальный момент полярный угол % — 0, г0 — 1 и г»0 = 2,
причём начальная скорость составляет с радиусом-вектором точки
угол в 46°. Найти уравнения движения точки в полярных координа-
тах и определить её траекторию.
614—622] ЦЕНТРАЛЬНЫЕ силы 177
Ответ’.
г=/ 1+2J/2Z —6/2; 9= r(e2v-b3e~2v) = 4’
614. Материальная точка притягивается к неподвижному центру
или отталкивается от него силой, пропорциональной расстоянию.
Показать, что при любых начальных условиях траектория точки
в первом случае есть эллипс, а во втором случае — гипербола.
615. Планета описывает эллипс с эксцентриситетом е. Зная ско-
рость планеты vt в перигелии, найти её скорость v2 в афелии.
Ответ: -и..
1 -j-e 1
616. Найти годограф скорости планеты в её движении по орбите.
Ответ’. Окружность.
617. Материальная точка массы т описывает эллипс, большая
полуось которого равна а, под действием силы ньютоновского при-
тяжения F = , направленной к фокусу эллипса. Вывести фор-
мулу v* = н(у — у], где v — скорость точки и г—её расстояние
от центра силы.
618. При условиях предыдущей задачи показать, что скорость
точки в конце малой оси эллипса равна у у.
619. При условиях задачи 617 показать, что среднее геометри-
ческое скоростей точки в концах каждого диаметра её орбиты имеет
постоянную величину, равную скорости точки в конце малой оси.
620. Материальные точки, находящиеся под действием силы
ньютоновского притяжения к данному центру, брошены из одного
и того же места с одинаковой по величине скоростью в разных
направлениях, лежащих в одной плоскости с центром силы Показать,
что геометрическое место центров их эллиптических орбит есть
окружность.
621. Материальная точка движется под действием центральной
силы. Показать, что если радиус кривизны траектории изменяется
обратно пропорционально кубу расстояния касательной от центра
силы, то сила пропорциональна расстоянию.
622. Материальная точка движется под действием центральной
силы. Доказать следующую теорему: если сила пропорциональна
расстоянию, то радиус-вектор <и точки годографа скорости описы-
вает площади, пропорциональные соответствующим временам. Дока-
зать также обратную теорему.
12 Сборник задач
178
ДИНАМИКА ТОЧКИ
(622—629
623. Материальная точка описывает криволинейную траекторию
под действием центральной силы. В начальный момент радиус-век-
тор точки и её скорость равны по величине соответственно г0 и v0,
причём начальная скорость перпендикулярна к радиусу-вектору.
Через некоторый промежуток времени радиус-вектор точки стано-
вится равным г и составляет с направлением скорости угол а.
Найти скорость точки в этот момент.
Ответ'.
г sin а
624. Материальная точка массы т описывает под действием
центральной силы логарифмическую спираль r = «eft<₽. Найти вели-
чину силы и годограф скорости.
1 с
Ответ-. 1) F = тс3(1 +А3) • -р~> где ~~ постоянная секторная
скорость точки.
2) Годограф скорости — логарифмическая спираль.
626. Материальная точка отталкивается от неподвижного центра
силой, изменяющейся по закону Ньютона. Показать, чю в этом
случае точка описывает гиперболу, причём центр силы находится
в том из двух фокусов этой гиперболы, который отстоит дальше
от движущейся точки.
626. Материальная точка массы т описывает под действием
центральной силы кардиоду г —а (1 Ц- ccs<p). Найти величину силы
и скорости точки как функции от г, если при ср~ 0 скорощь точки
имеет данную величину г0.
Ответ'. F =
г4
8«8 .
—
О
627. Вывести следующую общую формулу для величины цеп-
in dh
тральной силы:/7 = —где ,п— масса материальной точки,
г — её расстояние от центра силы, с — удвоенная секторная ско-
рость и h — расстояние касательной к траектории от центра силы.
Указание. Воспользоваться теоремой площадей и уравнением кине-
тической энергии.
628. Пользуясь формулой предыдущей задачи, показать, что:
1) если точка описывает окружность, причём центр силы лежит
на этой окружности, то сила обратно пропорциональна пятой сте-
пени расстояния; 2) если точка описывает логарифмическую спираль
с полюсом в центре силы, то сила обратно пропорциональна кубу
расстояния.
629. Материальная точка массы т описывает некоторую орбиту
Под действием центральной притягивающей силы F. Как нужно изме-
нить величину силы F, чтобы относительное движение точки но
629J НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 179
данной орбите осталось неизменным, но чтобы эта орбита, не
изменяя своего вида, вращалась вокруг центра силы.
Ответ'. К данной силе нужно прибавить силу, величина которой
изменяется обратно пропорционально кубу расстояния притягиваемой
точки от центра притяжения. (Теорема Ньютона о вращающихся
орбитах.)
§ 26. Несвободное движение материальной точки.
Движение материальной точки называется несвободным, если точка
принуждена во время движения оставаться на данной поверхности или
линии, которые являются связями, стесняющими свободу движения точки.
При решении задачи о движении несвободной материальной точки к силам,
действующим на точку, нужно присоединить реакцию связи и рассматривать
точку под действием всех этих сил как свободную.
Если точка принуждена двигаться по идеально гладкой неподвижной
поверхности под действием силы F(X, Y, Z), то поверхность действует
на точку силой N, нормальной к поверхности, поэтому дифференциальные
уравнения движения точки будут:
d^jc d^\) d^z
т -ftp- — X-}- Ncos (N,x), m - = F4-ATcos (Nfy), m = Z-j- N cos (N, z).
Если уравнение поверхности есть f (х, у, z) — Q, то
df_ . df df
dx dy dz
cos (N, x) = , cos (JN, y) — -ftj, cos (N, z)— -q- ,
где
г \dx J 1 \ dy J 1 \dz J
Присоединяя к трём уравнениям движения уравнение поверхности,
находим из этих четырёх уравнений х, у, z, N как функции времени.
Пусть точка под действием силы F(X, Y, Z) должна двигаться по задан-
ной линии, уравнения которой
fi (х, У, z) = 0, А (х, у, z) — 0.
Так как линия есть пересечение поверхностей Л=0и А “О, то точка
находится под действием силы F и реакций этих поверхностей 2V, и 2Va;
следовательно, дифференциальные уравнения движения точки будут:
d^x
т ~dt'r= М cos (М, *) + Nz cos (Nz х),
т -ft^~ — Y + Nt cos {Nit y) + M cos (Nt, y),
d^z
m -ftp- = Z4- Nt cos (Ni, z) 4- cos (7V2j z),
причём косинусы нормальных реакций поверхностей ft — 0 и А = 0 опреде-
ляются, как и в предыдущем случае. Присоединяя к трём уравнениям движе-
ния два уравнения линии fi(x, у, z) = 0 и fs (х, у, z) = 0, получим пять
уравнений, из которых определятся х, у, z, Ni и N2.
Если точка должна двигаться по заданной плоской кривой y~f(x} под
действием силы, лежащей в плоскости этой кривой, то реакция связи N
12*
180
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[630—631
направлена по нормали к траектории. Дифференциальные уравнения движе-
ния в этом случае будут:
т = X + N cos (N, х), т — Y + W cos (N, у),
причём __________
COS(M х) = — cos(N, у) = ~ и ds = |/dx.
Присоединяя к двум уравнениям движения точки уравнение кривой
y=f(x), получим три уравнения для определения х, у, N. Дифференциаль-
ные уравнения плоского движения несвободной материальной точки можно
написать ещё в «естественной» форме, а именно, в проекциях на касатель-
ную и нормаль:
dv п tnv2 „ , ..
= — =F„ + N.
Уравнение движения свободной материальной точки в векторной форме
имеет вид
т w = F.
Это уравнение можно переписать так:
F + (—mw)—0.
Вектор (— mw), равный произведению массы точки на вектор, противо-
положный ускорению, называется силой инерции. Таким образом, сила, дей-
ствующая на свободную точку, и сила инерции в каждый момент движения,
находятся в равновесии. Если точка несвободна, то к действующей силе
нужно присоединить реакцию связей N, и уравнение движения будет:
F+N+ (— т^) =0;
отсюда следует, что сила действующая, реакция связей и сила инерции
в каждый данный момент уравновешиваются (принцип Даламбера).
Проекции силы инерции (— mw) на оси декартовых координат, очевидно,
будут равны
d2x d2y d2z
~m~dF’ ~m-d^^
а проекции этой силы на естественные оси (на касательную, главную нор-
маль и бинормаль траектории) равны
dv va п
— т —г?, — т —, 0.
dt р
Для несвободной материальной точки в случае идеальных связей, не
зависящих явно от времени (стационарных), имеет место теорема кинетиче-
ской энергии в той же форме, как и для свобод-
ной точки.
А
К задаче 630.
630. Материальная точка
плоскости, под действием
выходя из А без начальной
каком угле а наклона пло-
в течение которого точка
если О В = а = const
спускается
по наклонной
силы тяжести,
скорости. При
скости время,
пройдёт путь АВ, будет наименьшим,
Ответ'. При а — 45°.
631- Материальная точка, выходя из А без начальной скорости,
спускается под действием силы тяжести по негладкой наклонной
632—635] НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
181
плоскости АВ с углом наклона а и длиной $. Угол трения точки
о плоскость равен у. Найти скорость, с которой точка приходит в В,
„ iZo sin (а — ф)
Ответ'. т»= I/ 2gs —
V ° cos <f>
632. Санки, выходя из точки А без начальной скорости, едут
сначала по наклонной плоскости А В с углом наклона а, а затем по
горизонтальной плоскости ВС до точки С, где они останавливаются.
Определить коэффициент трения /, если AB = s1 и ВС = в%.
Ответ’. f =
Si sin а
Si cos a-|-s2 *
633. На чертеже изображены наклонная
с горизонтом угол а и точка О, лежащая
плоскость, образующая
над этой плоскостью.
Материальная точка спускается под дейст-
вием силы тяжести из точки О без началь-
ной скорости по гладкому желобку ОА.
Какой угол р должна образовать прямая О А
с вертикалью, чтобы точка достигла на-
клонной плоскости в кратчайшее время?
К задаче 633.
Ответ’. ₽ = -g-.
634. Из некоторой точки А пространства одновременно начинают
спускаться по гладким прямым желобкам, имеющим всевозможные
направления, материальные точки
под действием силы тяжести. Найти,
на какой поверхности будут распо-
ложены эти точки в некоторый мо-
мент /, если их начальные скорости
равны нулю.
Ответ’. На сфере радиуса
высшая точка которой совпадает с
точкой А.
635. В доске, образующей угол а
с горизонтом, требуется просвер-
лить прямой канал АВ так, чтобы
материальная точка, положенная без
начальной скорости в его верхнее
отверстие, прошла под действием
К задаче 635.
силы тяжести сквозь доску в крат-
чайший срок. Найти, пренебрегая трением, под каким углом ср к
вертикали должен быть просверлён этот канал^
Ответ', ср = ~ .
А
182
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[636—637
636. В вертикальной плоскости имеется пучок негладких прямых
желобков. В центре О пучка помещают ряд материальных точек и
отпускают их одновременно без начальной скорости так, что по
каждому желобку движется только одна точка. Найти: 1) геометри-
ческое место этих точек через /j сек после начала движения,
2) геометрическое место точек, в которых движущиеся материаль-
ные точки приобретут одну и ту же скорость vt, при условии, что
единственной активной силой является сила тяжести.
Ответ'. 1) Проведём через центр О пучка в его плоскости две
окружности радиуса такие, что диаметры их, выходящие из
точки О, образуют с вертикалью угол ср, равный углу трения. Кри-
вая, состоящая из двух дуг ОВХА и ОВ^А этих окружностей, будет
первым искомым геометрическим местом.
2) Вторым искомым геометрическим местом являются две пря-
мые, которые образуют с горизонтом угол, равный углу трения, и
пересекают вертикаль, проходящую через центр пучка, на расстоя-
V?
нии от него.
2g
637. Материальная точка выходит без начальной скорости из
точки А шероховатой наклонной плоскости АО, образующей угол а,
с горизонтом и движется вниз по этой плоскости под действием
силы тяжести до точки О, где переходит на другую шероховатую
наклонную плоскость ОВ, образующую угол а2 с горизонтом, под-
нимается по ней до некоторой точки В, где останавливается, и
638—639] НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
183
потери
угол
находящаяся
скорости.
равен углу
точка,
затем движется обратно. Найти: какой угол с горизонтом образует
прямая АВ, соединяющая точки А и В, если коэффициент трения
одинаков для обеих плоскостей и в точ-
ке О не происходит
Ответ'. Искомый
трения.
638. Материальная
в поле силы тяжести, пущена с началь-
ной скоростью вверх по шероховатой
наклонной плоскости, образующей угол
а с горизонтом, причём коэффициент тре-
ния равен /. При каком условии точка вернётся в исходное поло-
жение, в течение какого времени она будет подниматься и как
далеко поднимется?
Ответ'. Возвращение возможно при условии a^>arctg/. Движе-
ние точки вверх — равномерно замедленное с ускорением
w = — (sin аЦ- /cos а) =—
Точка будет подниматься в течение времени
1 Wi
и остановится, пройдя путь *
S =:-^-
1 2wj ’
после чего пойдёт вниз с ускорением
= g (sin а — /cosа)
и вернётся в
исходное положение через промежуток времени
после начала
v0
Т=—1
____________________1
j/’wi \ ]/"wi j/wa
движения, имея скорость
1
^ = ^0
sin (а — ср)
sin (а + <?) ’
трения.
пущено с начальной скоростью т>в вверх по шерохо-
где ср — угол
639. Тело
ватой наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту. Коэффи-
циент трения равен /; сила сопротивления воздуха равн^
F = kmgv\
184
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[640—643
где т — масса тела, v— его скорость и k — коэффициент пропор-
циональности. С какой скоростью тело, спускаясь обратно вниз,
пройдёт исходное положение?
„ 1 Г sin а—/cos а
Ответ'. т>1 = тг01/ —--;-7—-—.
1 и г sin а -j- / cos a -f-
640. Правильный пятиугольник ABCDE со стороной а распо-
ложен в вертикальной плоскости так, что нижняя сторона CD го-
ризонтальна. Найти времена, в течение которых материальная точка
пройдёт отрезки ВС, АС и ЕС, спускаясь по ним без начальной
скорости, под действием силы тяжести, если никаких сопротивлений
движению нет.
Ответ'. Искомые времена образуют геометрическую прогрессию,
первый член которой есть
1/_ ь
Г g sin 72° ’
а знаменатель равен
2 cos 36°.
641. Равносторонняя гипербола и круг, построенный на её дей-
ствительной оси как на диаметре, расположены в вертикальной
плоскости так, что действительная ось гиперболы вертикальна. До-
казать, что если А и В—две точки гиперболы, расположенные на
одной горизонтали, а Л1 — некоторая точка указанного круга, то
сумма квадратов времён, в течение которых материальные точки
проходят отрезки AM и ВМ, спускаясь по ним без начальной ско-
рости под действием силы тяжести, равна — и не зависит от выбора
точки М, где h есть высота горизонтали АВ над центром данных
кривых. (Сопротивления движению отсутствуют.)
642. Шарик массы т, к которому привязана резинка длиной I
(в нерастянутом состоянии), нанизывают на прямую проволоку,
образующую с горизонтом угол а ^>9, где 9 ость угол трения
шарика о проволоку. Свободный конец резинки прикрепляют к этой
же проволоке на расстоянии / кверху от шарика и затем шарик
отпускают. Найти закон движения шарика до его первой остановки,
если сила натяжения резинки пропорциональна её относительному
удлинению, причём коэффициент пропорциональности равен с.
~ mgl sin (я — w) Г, (। Г с А"!
с cos ср L \ ’ т* / J
643. Шарик М весом Р, привязанный нитью AM к неподвижной
точке А, описывает горизонтальную окружность с постоянной ско-
644-—647]
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
185
ростью. Зная длину нити I и её угол с вертикалью а, определить
натяжение нити, F, скорость шарика и и время Т, в течение кото-
рого он описывает полную окружность.
Ответ’. F —----, -и — sinal/ gi - Т=2тг1/— cos а
cos а ’ f cos а ’ г g
644. Математический маятник
отведён от вертикали на 90° в
начальная вертикальная скорость
ника в зависимости от угла ср.
Ответ'. F = Р ^3 sin ср4--|^,
длиной Z, вес которого равен Р,
положение 7И0, и ему сообщена
Найти натяжение F нити маят-
645. Математический маятник
равновесия некоторую начальную
длиной I получил в положении
горизонтальную скорость, после
К задаче 643.
чего отклонился от вертикали
рость маятника.
Ответ'. v= 2)/gt • sin .
на угол а. Найти начальную ско-
646. В полый конус с углом 2а, вращающийся вокруг своей
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со, положен
шарик М весом Р\ шарик находится в покое относительно конуса.
Найти давление N шарика на конус и расстояние k.
Р е
Ответ: N = . h — Ч etg2 а.
sin я * W8 ь
647. В чашку, имеющую форму эллипсоида вращения с полу-
осями а и Ь, вращающуюся вокруг своей вертикальной оси с по-
стоянной угловой скоростью со, положен шарик М весом Р; шарик
находится в покое относительно эллипсоида.
Определить расстояние h.
Ответ: h = a—fX-.
186 ДИНАМИКА точки [648—654
648. Из шахты поднимается при помощи подъёмника груз угия
в 112 кг. Давление груза на подъёмник во время движения
равно 126 кг. Найти ускорение подъёмника.
Ответ*. ю — ~-м/сек\
О
649. Найти форму свободной поверхности воды в цистерне,
входящей в состав поезда, идущего с постоянным ускорением w по
горизонтальному прямому пути.
Ответ*. Плоскость, наклонённая к горизонту под углом
, • w
а — arctg —.
650. Мост имеет форму дуги, самая нижняя точка которой на-
ходится на середине моста; радиус кривизны в этой точке дуги
равен р. Наибольший неподвижный груз, который может выдержать
середина моста, равен Р. Найти, при какой скорости v движущегося
Р
по мосту груза весом — мост разрушится. Предполагается, что
мост не деформируется и что л^>1.
Ответ* v у[ gp (л — 1).
651. Определить возвышение одного рельса железной дороги
над другим на закруглении так, чтобы давления движущегося паро-
воза на оба рельса были одинаковы, если ширина колеи равна 6,
скорость паровоза равна v и радиус закругления пути равен р.
Ответ*, п = —г— .. —
V +
652. Определить кориолисово давление на рельс (на правый
или на левый?) паровоза весом Р= 100 т, идущего пол Москвой
в направлении меридиана со скоростью V— 100 км [час, если ши-
рота Москвы <р = 56°.
Ответ*. ~ 34 кг.
653. Шарик, масса которого равна /л, нанизан на горизонталь-
ную проволочную окружность радиуса г. Зная коэффициент трс-г
ния /, определить, какую начальную скорость нужно сообщить ша-
рику, чтобы он сделал по окружности один полный оборот.
Ответ*, -и2 = rgsh (4/я).
654. Шарик весом 0,49 #г, лежащий на горизонтальном столе,
привязан нитью длиной l=Qy1 м к неподвижной точке О; ему
сообщена начальная скорость — 4,9 м(сек, перпендикулярная к
направлению нити. Найти скорость шарика и натяжение нити через
2 сек после начала движения, если коэффициент трения равен 0,2,
Ответ*. 1) 0,98 м(сек\ 2) 0,07 кг..
655—659] НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки 187
656. Шарик скатывается под действием силы тяжести по вну-
тренней поверхности негладкой, неподвижной полусферы радиуса г,
выходя без начальной скорости из конца горизонтального диаметра.
Зная коэффициент трения /, найти скорость, с которой шарик до-
стигает самой нижней точки полусферы.
Ответ', v* — (1 — 2/2 — 3/ • е~Р).
656. В трубке, согнутой в горизонтальной плоскости в виде
окружности и имеющей прямоугольное поперечное сечение, помещён
небольшой кубик, две грани которого изогнуты по форме трубки
так, что кубик может перемещаться в ней, касаясь гранями её стенок.
Найти закон движения этого кубика, принимая во внимание трение
на двух гранях, на нижней и на изогнутой боковой, если в началь-
ный момент кубику, сообщена скорость т'о вдоль трубки и если
коэффициент трения на обеих трущихся гранях равен /. Найти
так же время Т, по истечении которого кубик остановится.
Ответ', s — —-1; Т^=~ где a = arctg —т2—, ₽ =
f L cos a J р ’ V rg ’
= у rg, а г есть радиус окружности, описываемой центром тя-
жести кубика.
657. Колечко весом Р, надетое на гладкую проволочную окруж-
ность радиуса г, плоскость которой вертикальна, может свободно
перемещаться по этой окружности. В начальный момент колечку
сообщают скорость направленную по касательной к окружности.
Найти скорость колечка в зависимости от его положения на окруж-
ности, а также реакцию N окружности.
Ответ', v — у/ vf - 2gr (cos % — cos 9),
N==P 2 cos % -j- -J.— 3cos^,
где есть угол между радиусом-вектором колечка и неподвижным
вертикальным радиусом окружности, направленным вверх;
658. В условиях предыдущей задачи найти, какое соотношение
существует между и % и углами: при котором точка оста-
навливается в своём движении по окружности, и ^>2, при котором
её давление на окружность равно нулю.
Ответ: cos cpj = cos <р0 +cos <р3.
659. Жёлоб имеет форму окружности радиуса г, которая уста-
новлена в вертикальной плоскости. В начальный момент в низшую
точку жёлоба кладут шарик и сообщают ему горизонтальную ско-
188
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[660
рость Vq. Найти, какова должна быть эта начальная скорость,
чтобы: 1) шарик пришёл в круговое движение, 2) чтобы шарик выскочил
из жёлоба и 3) чтобы шарик получил колебательное движение ма-
тематического маятника.
Указание. Положение шарика на окружности определяется углом ?
между его радиусом-вектором и неподвижным радиусом, проходящим через
самую нижнюю точку окружности.
Ответ', Если Sgr^v*, то шарик обходит всю окружность,
причём величина его скорости изменяется в пределах от
до / —4gr.
Если 2gT<^<^5g7', то шарик покидает окружность при
<р = arccos -В- (1 — <* 180°
т \ %gr /
со скоростью
Если 0<^v^^2gr, то шарик колеблется по окружности, причём
изменение направления движения происходит при
<р = arccos (1 — < 90°.
660. По рельсам, расположенным в вертикальной плоскости
и образующим круглую петлю CDEF радиуса г, скатывается те-
лежка. Движение начинается без начальной скорости из точки А,
К задаче 660.
находящейся на высоте h над низшей точкой С петли. Участок
пути АВ — произвольной формы, часть ВС — горизонтальна. Найти,
пренебрегая сопротивлениями, какова должна быть высота Л, чтобы
тележка смогла ойисать окружность CDEF.
Ответ'. г; если то тележка соскочит с рель-
сов, а если h^r, то она скатится обратно..
661—665]
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
189
661. Циклоида расположена в вертикальной плоскости так,
что ось её вертикальна, а вогнутость в вершине А обращена
кверху.
Материальную точку Л1 помещают в некотором месте циклоиды,
причём ДЛ4=:$0, и сообщают ей скорость дп, направленную по ка-
сательной к циклоиде вверх. Найти закон движения точки, пред-
полагая, что на точку действует только сила тяжести.
Указание. Воспользоваться формулой, определяющей длину дуги
циклоиды: я=|Л8гу, где г—радиус круга, производящего циклоиду.
Ответ'. s==s0cos
662. При условиях предыдущей задачи доказать, что если на-
чальная скорость материальной точки равна нулю, и если эту точку
неизменно связать с производящим циклоиду кругом, то при дви-
жении точки по циклоиде производящий круг катится с постоянной
угловой скоростью ы === j/~-~-.
663. Материальная точка спускается под действием силы тя-
жести по гладкой кривой, расположенной в вертикальной плоскости.
При этом известно, что точка удаляется от горизонтали, проходя-
щей через её начальное положение с постоянной скоростью с.
Найти эту кривую.
Ответ'. х2=~^у3— полукубическая парабола. (Начало коор-
динат— в начальном положении движущейся точки, ось х— гори-
зонтальна, ось у направлена вниз.)
664. Материальная точка движется без трения под действием
силы тяжести по нижней ветви астроиды,
уравнение которой имеет вид
ха/з +У/в = (2г)8/«.
Найти, в течение какого времени точка,
выходя с ничтожно малой скоростью из
положения (— 2г, 0), достигает положе-
ния (0, —2г).
Ответ'. Т= 61/ — = 3 Т«, где —
? ё
время свободного падения с высоты 2г.
К задаче 664.
665. Найти такую кривую, расположенную в вертикальной пло-
скости, чтобы два шарика, помещаемых в точке О этой кривой,
двигаясь без трения под действием силы тяжести, приходили одно-
190
ДИНАМИКА ТОЧКИ
(666—671
временно в другую сё точку, причём один шарик должен скаты-
ваться но кривой, а другой — по её хорде. Начальные скорости
шариков равны нулю.
Указание. Уравнение кривой составить в полярных координатах
с полюсом в точке О; полярная ось вертикальна.
Ответ' г2 — a* sin 2ср— лемниската, ось симметрии которой на-
клонена под углом 45° к горизонту.
666. По внешней стороне параболы с горизонтальной осью,
уравнение которой у$ — 2х, скатывается без трения и без началь-
ной скорости шарик, начальная ордината которого j/0 = 2. В какой
точке шарик соскочит с параболы?
Ответ'. В точке (0,5; 1).
667. Шарик, скатывается по внешней стороне гладкой параболы
с вертикальной осью, выходя из вершины параболы с некоторой
заданной начальной скоростью. Доказать, что давление шарика на
параболу изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны
параболы.
668. Шарик весом Р скатывается без трения по дуге эллипса
с полуосями а и Ь, причём малая ось эллипса вертикальна. Определить
давление шарика на эллипс в самой нижней точке, если шарик на-
чинает движение без начальной скорости из конца большой оси
эллипса.
г , л«\
Ответ'. Р (1 -1- 2 -х ).
669. Материальная точка, находящаяся* под действием силы
жести, совершает колебания с малой амплитудой по гладкой,
подвижной кривой, лежащей в вертикальной плоскости, около низшей
точки О этой кривой. Показать, что период этих малых колебаний
выражается формулой Т— 2тг j/'-—,
ной кривой в точке О.
670. Формулу предыдущей задачи для периода Т применить
к случаям колебания точки: 1) по параболе с вертикальной осью
и 2) по цепной линии с вертикальной осью.
тя-
не-
где р0 — радиус кривизны дап-
Ответ'.
1)
где р — параметр параболы;
2) T=2tf(/|,
где а—параметр цепной линии.
671. Показать, что колебания циклоидального маятника в среде,
сила сопротивления которой пропорциональна скорости, затухают,
оставаясь изохронными.
672—674)ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЦГГ
672. Материальная точка, находящаяся под действием силы тя-
жести и принуждённая оставаться на поверхности неподвижного
гладкого круглого цилиндра радиуса г с вертикальной осью, полу-
чила начальную горизонтальную скорость Показать, что если
развернуть цилиндр на плоскости, то траектория этой точки пре-
вращается в параболу.
673. Материальная точка, весом которой можно пренебречь, при-
нуждённая оставаться на поверхности круглого цилиндра радиуса г,
получила начальную скорость ©0, направленную под углом у к обра-
зующей цилиндра. Найти движение точки, если коэффициент трения
между точкой и поверхностью цилиндра равен /.
Ответ: Точка движется по винтовой линии по закону
s
= ' In fl
/sm2y \ 1 г
674. Материальная точка движется с начальной скоростью т»0 по
поверхности негладкого, неподвижного шара радиуса а, притяги-
ваясь к его центру силой F по закону Ньютона = Какой
путь пройдёт точка до остановки, если коэффициент трения равен /?
Ответ: s — ~ in----?—о~.
2f 1 av*
k
§ 27. Относительное движение материальной точки.
При движении материальной точки относительно подвижной системы
отсчёта, движение которой относительно основной, инерциальной системы
отсчёта известно, к силам, непосредственно приложенным к движущейся
точке, нужно добавить ещё переносную и кориолисову силы инерции, опре-
деляемые но переносному и добавочному ускорениям, так что векторное
уравнение движения точки относительно подвижной системы будет иметь
вид
tnvor — F — mwe — mwk, (1)
где we, wk обозначают соответственно ускорения относительное, пере-
носное и добавочное. В проекциях па оси координат подвижной системы
дифференциальные уравнения относительного движения точки напишутся
так:
mx = Fx — mwex — 2т (шуг —
myz&Fy*— mwey — 2т (ч>гх — <nxz),
m'z *=*Fe — тмег — 2m (w^y — Шух),
(2)
где x, у, z — координаты движущейся точки в подвижной системе отсчёта.
Если точка находится относительно подвижной системы в равновесии, то
wf — wk = 0 и уравнение относительного равновесия точки будет:
F—wwe==G. (3)
192
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[675—677
Теорема кинетической энергии в относительном движении точки выражается
так:
d
F • dr — mwe • dr.
(4)
ибо работа кориолисовой силы инерции в относительном движении равна
нулю.
675. Вагон движется прямолинейно с постоянным ускорением а.
Определить относительную траекторию тела, свободно падающего в
вагоне, если начальная относительная скорость тела равна нулю. Н..Й-
ти также относительное горизонтальное перемещение тела за время
его падения, если начальное расстояние тела от пола вагона равно h.
Ответ'. 1) Прямая линия; 2) — ~ (знак минус указывает на то, что
g
это перемещение направлено в сторону, обратную ускорению вагона).
676. К доске, движущейся поступательно по вертикали вниз с по-
стоянным ускорением прикреплён математический маятник
длиною I. Найти период малых коле-
баний маятника.
Ответ'. Т= 2т: 1/—-—.
V g — a
677. Гладкий прямоугольный клин
с углом а движется прямолинейно по-
ступательно по горизонтальной пло-
скости без начальной скорости с посто-
янным ускорением а. На клин кладут
шарик М, который начинает скатывать-
ся по клину. Зная вес Р шарика и предполагая, что его начальная
относительная скорость равна нулю, найти абсолютную траекторию,
относительное и абсолютное ускорения шарика, а также реакцию N
клина. Разобрать частные случаи: 1) д—gtga и 2) а = — getga.
Ответ'. 1) Траектория —- прямая Ах—By —О, где
А = (g sin а — a cos а) sin а,
В = а 4- (g sin а — a cos а) cos а,
причём начало подвижных осей х и у взято в начальном положении
Л10 шарика.
Относительное ускорение
= g sin а — a cos а.
Абсолютное ускорение
== g‘2 4- а3 sin а.
Реакция клина
W== Р Icos а 4- — sin а).
\ г g J
678—679] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки 193
Частные случаи:
1) Уравнение траектории имеет вид у— 0, т. е. клин движется,
увлекая неподвижно лежащий на нём шарик; в этом случае
cos а *
2) Уравнение траектории имеет вид х = 0, т. е. клип уходит
из под шарика, который падает свободно; в этом случае
Аг=0.
678. Гладкая проволочная окружность радиуса г, плоскость ко-
торой вертикальна, движется поступательно в вертикальном направ-
лении с постоянным ускорением а. Найти относительную скорость
колечка, надетого на эту окружность, а также реакцию АГ окруж-
ности, если вес колечка равен Р.
Ответ'. vr — yf ^-^2 + (cos— cos<р0) г.
+ (3cos<p —2cos<p0)r+^j,
где знак -J- соответствует случаю, когда переносное ускорение на-
правлено вверх; ср— угол радиуса-вектора колечка с вертикальным
радиусом окружности, направленным вниз.
679. Трубка произвольной формы, осевая линия которой лежит в
горизонтальной плоскости, вращается с переменной угловой скоростью Q
вокруг неподвижной вертикальной оси О
(перпендикулярной к чертежу). В этой
трубке находится шарик М массы т.
Найти силы инерции этого шарика и при-
ложенные к нему действующие силы, счи-
тая известными: радиус кривизны р труб-
ки в любой её точке, расстояние г шарика
от оси вращения О в данный момент, его
скорость и относительно трубки и коэффи-
циент трения f между шариком и трубкой.
Ответ'. I. С и л ы инерции: 1) Ко-
риолисова сила, равная по величине 2 та (2
и направленная по нормали к трубке;
2) центробежная сила в переносном движении, равная по вели-
чине тг№ и направленная по радиусу-вектору г от оси вращения;
3) тангенциальная сила инерции в переносном движении, равная
по величине и перпендикулярная к г;
4) центробежная сила в относительном движении, равная по ве-
ти? .. л
личине - - и направленная по внешней нормали трубки;
13 Сборник задач
194 динамика точки [680—683
5) тангенциальная сила инерции в относительном движении, рав-
ная пг~ и направленная по касательной к трубке.
II. Действующие силы: 1) вес шарика Р — mg;
2) вертикальная реакция трубки — — Р;
3) горизонтальная реакция трубки N.b направленная по нормали
к трубке, причём
N* = т | ~~ zb 2«Q—rQ2cos(p, г)— r^sin(p, г) J;
4) сила трения, направленная по касательной к трубке противо-
положно относительной скорости и равная fN, где N есть полная
реакция трубки, равная по величине yf Nl-j-Nz.
680. В гладкой, горизонтальной, прямолинейной трубке, вращаю-
щейся с постоянной угловой скоростью о) вокруг вертикальной оси,
проходящей через конец трубки, находится шарик массы т. В на-
чальный момент расстояние шарика от оси вращения равно а, а его
скорость относительно трубки равна пулю. Найти закон относи-
тельного движения шарика вдоль трубки и горизонтальную реак-
цию трубки.
Ответ', х = a ch (со/); М = Ъатль* sh (<«/).
681. При условиях предыдущей задачи найти абсолютную тра-
екторию, абсолютную и относительную скорости шарика, при вы-
ходе его из трубки, а также время когда шарик выскочит из
трубки, если длина трубки равна 2а.
Ответ’. 1) Уравнение абсолютной траектории в полярных коорди-
натах: r=ach<¥>.
2) va — yfl а<&. 3) vr — yf 3 a<o, 4) tY — — In (2-}-}^3).
682. Гладкая трубка, осевая линия которой имеет форму некоторой
плоской кривой, вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг
неподвижной точки О в горизонтальной плоскости В трубке на-
ходится шарик М; его начальное расстояние от О равно г0, а на-
чальная скорость относительно трубки равна пулю. Показать, что
относительная скорость шарика выражается так:
1)г = ф V
где г есть расстояние шарика от точки О в данный момент.
683. Шарик поступает с некоторой начальной относительной
скоростью vrn в открытый конец В прямой трубки длиной Z, вра-
щающейся в горизонтальной плоскости вокруг другого своего, не-
подвижного конца А с постоянной угловой скоростью <о. Найти,
какова должна быть наименьшая величина vr(t начальной относитель-
ной скорости, чтобы шарик дошёл до точки А,
684—686] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
195
Ответ: Искомая скорость равна переносной скорости шарика в
начальный момент, г. е. в тот момент, когда шарик находится в
точке В,
684. Прямолинейная трубка АВ длиной I вращается в горизон-
тальной плоскости вокруг неподвижной точки О с постоянной угловой
скоростью <0, причём О A— Rx и О В —R^. Внутри трубки может дви-
гаться без трения шарик Л1 массы т. Найти относительное движение
шарика, если в начальный момент он находится в точке А и его
начальная относительная скорость равна vrQ. Определить также гори-
зонтальную реакцию 7V трубки, время tu по истечении которого шарик
выскочит из трубки, и его относительную скорость vrl в этот момент.
Ответ: AM = s= [(аа> vrQ) -}-
N = та [(а<о ^г0) — (асо —- vr0) е~ wt
RI — а3];
< =_Lln “(°+') + »,-.
Vrl — + 0)2 (^2-^1),
где
Rl-Rl-P
21
К задаче 684.
685. Согнутая в виде окружности радиуса г трубка вращается
в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью <о во-
круг одной из своих точек А. Внутри трубки может перемещаться
без трения шарик массы т. Зная, что начальная относительная
скорость шарика равна vro, найти его относительную скорость и
горизонтальную реакцию N трубки. Определить также период Т
малых колебаний шарика около положения относительного равно-
весия.
Ответ: — v2q -f- 2 До2 (cos ср — cos <p0);
[ +
N=mr
<d‘2 cos
T
(0
где есть угол между радиусом-вектором шарика, проведённым из
центра О окружности, и диаметром АО.
686. Колечко весом Р надето па гладкую проволочную кривую
y=f(x), проходящую через начало координат и вращающуюся
вокруг вертикальной оси Оу с постоянной угловой скоростью со.
Какую форму должна иметь эта кривая, чтобы колечко находилось
в относительном равновесии в любом положении на этой кривой.
Найти также реакцию Az кривой. (На принципе этой задачи осно-
вано действие астатического регулятора.)
13*
196
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[687—690
Ответ'.
1) Парабола у^= '2^ х
2) N^Pjfl + ^y.
687. Шарик массы т может двигаться без трения внутри пря-
молинейной горизонтальной трубки, вращающейся вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через конец трубки. С какой угловой скоро-
стью должна вращаться трубка, чтобы горизонтальное давление
шарика на трубку оставалось постоянным? В начальный момент
расстояние шарика от оси вращения равно г0, угловая скорость
трубки равна <»0 и отношение относительной скорости шарика к его
переносной скорости равно } 2. Найти также в этом случае относи-
тельное ускорение wr шарика и его абсолютную траекторию.
Ответ' <о =----—0----; -wr = ro&o= const; r=rQe* 2**,
688. Прямолинейный стержень ОД скользит по гладкой гори-
зонтальной плоскости, вращаясь вокруг своего неподвижного конца О
с постоянной угловой скоростью со, и толкает шарик массы т,
лежащий на этой .плоскости. Найти закон относительного движения
шарика вдоль стержня, если коэффициент трения между шариком и
стержнем равен /. В начальный момент шарик находится на рас-
стоянии а от точки О и его скорость относительно стержня равна
пулю.
Ответ: х ~ 1 -|- ~|-/) О 1 — /)*-[-.
+ ( /ПТ2 ~f) ш (ГЯ=72 +/)' ]•
689. Определить, принимая во внимание суточное вращение Земли,
относительное движение материальной точки, движущейся без трения
с начальной относительной скоростью v0 в горизонтальной плоско-
сти на широте 9°.
Ответ: Равномерное движение по окружности радиуса
где о) есть угловая скорость вращения Земли.
690. Материальная точка массы т может свободно двигаться без
трепня в плоскости zOx, вращающейся вокруг неподвижной вертикаль-
ной оси О.г с постоянной угловой скоростью со. Найти относитель-
ное движение этой точки, если она находится под действием силы
тяжести и если её начальные координаты равны xQ и а на-
чальная относительная скорость равна нулю. Определить также
реакцию Л/ вращающейся плоскости.
Ответ: х~~- -J- е~~ ш{
N = тхй<^- — е~
z~z
о 2 ’
691—692]
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
197
691. -Материальная точка положена на гладкую горизонтальную
плоскость Оху, вращающуюся вокруг неподвижной вертикальной
оси Oz с постоянной угловой скоростью со. Точке сообщена неко-
торая начальная скорость, лежащая в этой плоскости. Показать, что в
относительном движении точки имеют место следующие равенства:
1) х1 -|-у2— w2 (х3 -р-У2) — const,
2) ух — ху — о> (л:3 у/2) = const
692. Материальная точка Л1 массы т находится на гладкой го-
ризонтальной плоскости, вращающейся вокруг неподвижной вер-
тикальной оси, проходящей через точку О плоскости, с постоян-
ной угловой скоростью <о, и притягивается к точке О силой,
величина которой равна F = /«oo3r, где г—расстояние точки Л1
о г О. Показать, что в относительном движении при любых на*
чальных условиях точка М описывает окружность с угловой ско-
ростью 2со.
II. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ.
§ 28. Принцип виртуальных перемещений.
Виртуальным перемещением системы называется всякое перемещение,
допускаемое в данный момент связями, а действительным — то, которое
система фактически получает под действием данных сил. Если связи си-
стемы не зависят от времени, то действительное перемещение является
одним из виртуальных.
Если сообщить системе элементарное виртуальное перемещение, то сила
Р(Х, Y, Z), приложенная к точке ТИ^совсршит элементарную работу, рав-
ную
PSr — PSs cos (Р, Sr) = Х8х -ф- Убу + Z8z,
где Sr (8х, Sy, 8z)— элементарное перемещение точки М. Начало виртуаль-
ных перемещений состоит в том, что для равновесия системы с идеаль-
ными связями необходимо и дбетаточно, чтобы для каждого виртуаль-
ного перемещения сумма элементарных работ всех активных сил рав-
нялась нулю (при удерживающих связях), т. е. в декартовых координа-
тах (Ху Zy х2, у2, z2,..., хП, уп, zn):
п
1 = 1
и в независимых параметрах (qt, q<y-,qk):
k
Q ySqу = О,
\== 1
откуда
Qi = O, Q8==0,..., Qk=Q,
где
У Cy{.
\ dflv ldqs dqj
i = 1
есть обобщённая сила.
В эти уравнения работа реакций идеальных связей не входит.
198
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[693—696
693. Невесомая точка 714, нанизанная на проволочную полуокруж-
ность АМВ, притягивается точками А и В с силами, пропорцио-
нальными расстоянию, причём коэффициент пропорциональности для
обеих точек равен k. Найти положение
равновесия, а также давление точки на
проволоку, если радиус полуокружности
равен г.
Ответ'. Равновесие безразличное; точ-
ка находится в равновесии в любом месте
на полуокружности. Давление точки на
проволоку равно 2kr.
694. Шарик, положенный в гладкую трубку, расположенную в
горизонтальной плоскости и имеющую форму эллипса с большой
осью, равной 2а, притягивается к фокусам этого эллипса силой,
обратно пропорциональной квадрату расстояния, причём коэффици-
ент пропорциональности для одного фокуса равен Л2, а для другого
фокуса равен Л?. Определить радиусы-векторы г и в положении
равновесия шарика.
2а k 2aki
Ответ', г— , , , г. — -г-.--1-.
695. На вертикальную проволочную полуокружность радиуса г на-
низаны два шарика весом Р и Q, связанных нерастяжимой нитью дли-
К задаче 695.
ной 21. Найти положение равновесия (угол а нити с горизонтом)
при отсутствии трения.
„ , l(Q—P)
Ответ-. tg« = ?p-r,
696. Тяжёлая однородная цепочка, к концам которой прикреп-
лены шарики А и В весом Р и Q положена на поверхность глад-
кого полуцилиндра радиуса г. Определить угол ср, который пря-
мая ОС, перпендикулярная к АВ, образует с горизонталью при
равновесии. Угол а дан, вес единицы длины цепочки равен у.
Ответ'.
t „ (Р + Q) cosa-|- 2 ry sin а
® “ {Р — Q) sin а
697—701J
ПРИНЦИП ВИРТУ ХЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
199
697. Противоположные вершины шарнирного параллелограм-
ма ABCD связаны нитями АС и BD, натяжения которых равны Тх
и Т2. Доказать пропорцию 7\ : = АС : ВО.
К задаче 697.
К задаче 699.
К задаче 700.
698. Решить методом виртуальных перемещений задачи: 117, 125,
147, 176 и 186 из отдела «Статика».
699. Найти угол ср, определяющий положение равновесия системы,
состоящей из двух однородных стержней О А
и АС, изображенной на чертеже. Даны:
АС —2а, АО — ОВ — а. Вес стержня АО
равен Р, вес стержня АС равен 2Р.
Ответ'. Искомый угол определяется из
уравнения
cos2 9 — 0,2 cos ср — 0,5 = 0,
откуда
cos ^ = 0,1 нй 1/0,51.
Сколько ответов имеет задача?
700. На шкив радиуса г, неизменно скреплённый с зубчатым ко-
лесом радиуса /?, действует вертикальная сила Q; па шкив радиуса
/?1, неизменно скреплённый с шестерней радиуса действует сила Р.
Найти зависимость между силами Р и Q
при равновесии.
К задаче 701.
Ответ: у =^.
701. Тело А, лежащее на горизон-
тальной плоскости ВС, находится между
двумя равнобедренными клиньями с уг-
лами 2а и 23. На первый клин действует
вертикальная сила Р; на второй клин вертикальная сила Q. Найти
зависимость между этими силами при равновесии.
Ответ'. =±=
tg.A
200
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
|702—706
702. Равносторонний шарнирный шестиугольник, основание ко-
торого закреплено неподвижно, находится под действием сил Р,
— Р и Q, как показано на чертеже. Найти зави-
симость между этими силами при равновесии.
Угол а известен.
Ответ'. Q — Р • tg а.
703. Показать, что условием равновесия на
весах Роберваля является равенство P—Q неза-
висимо от положения грузов на чашках весов.
704. На средний шарнир В коленчатого прес-
са АВС действует в его плоскости горизонталь-
ная сила Р. Какая сила Q, приложенная в точ-
ке С и направленная по прямой СА уравнове-
шивает эту силу Р? (АВ = ВС, Z. АВС = 2а.)
Ответ'. Q = -%- Pig а.
705. Плоский шарнирный механизм имеет показанное на чертеже
К задаче 703.
устройство. Стержни ОА, OB, AD, ВС,... не-
весомы и образуют ряд ромбов. ОК — пружин-
ные весы. Найти, сколько будут показывать
весы, если внизу подвешен груз весом Q кг.
Ответ’. пС[кг, где п — число ромбов (в слу-
чае, изображённом на чертеже п — 3).
706. Найти условие равновесия сил в изображённом на чертеже
К задаче 704.
прессе, если горизонтальные силы Р и — Р действуют перпендику-
лярно к ручке, I — длина каждой ручки, h— шаг винта.
Ответ’. Q = 4np \ .
w h
707—709]
ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
201
707. Найти при условии равновесия механизма соотношение сил:
Р— горизонтальной и Q — вертикальной, действующих па поршень
К задаче 706.
К задаче 707.
С и па палец А кривошипа, как показано на чертеже. Углы а и ср
известны.
Ответ',
Q____ sin (а — w)
Р cos а - cos (? *
708. Однородный стержень весом Р опирается верхним концом
на негладкую вертикальную стену* (коэффициент трения равен /),
а нижним — на гладкий горизонтальный стол и удерживается в рав-
новесии в вертикальной плоскости при помощи привязанной к
его нижнему концу и протянутой по столу верёвки, которая пе-
рекинута затем через блок и несёт на
своём свободном конце груз весом Q.
Найти, при каких значениях угла наклона
стержня а возможно равновесие, а также
реакции в точках А и В.
Ответ'. tga= пРич^м
№ =<?/1 +*'!;
NB = P+kQ.
К задаче 708.
709. Однородная палочка АВ = а весом Р положена в непо-
движный сосуд, имеющий форму параболоида вращения. Определить
положения равновесия. Уравнение параболы х* = 2ру.
Ответ'. Если а^2р, то существует только одно положе-
ние равновесия, при котором палочка горизонтальна; если же
«^>2/?, то кроме горизонтального существует ещё другое положе-
ние равновесия, при котором палочка проходит через фокус пара-
болы.
202
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
1710—713
710. Однородный стержень АВ = а весом Р опирается одним
концом па гладкую вертикальную стену, а другим концом — на глад-
кий неподвижный профиль. Каков должен быть этот профиль, чтобы
стержень в любом положении оставался в равновесии?
Ответ-. Эллипс х3 -ф- (2у — а)2 — а2.
711. На неподвижный круглый цилиндр радиуса г, ось кото-
круглый цилиндр ра-
рого горизонтальна,
положен однородный
К задаче 709.
К задаче 710.
К задаче 711.
ось которого
первого цилиндра.
также горизонтальна
В каком равновесии
или неустойчивом?
и перпендикулярна
будет эта система:
диуса
к оси
безразличном, устойчивом
Ответ'. Если Г1<^г, то равновесие устойчивое; если то
равновесие неустойчивое.
712. Определить методом виртуальных перемещений усилие
в стержне 3 фермы, изображённой па чертеже. Дапо AD = DB = 8 м;
DC = 4 л; Р — 3 т.
Ответ'. 53 = 3 т.
713. В шарнирном параллелограмме ABCD звено AD неподвижно.
Вдоль этого звена может скользить без трения ползун А, соединён-
ный шарнирно со стержнем LK, который в свою’ оЧербдь • соединён
шарниром К со звеном ВС. К точке С приложена сила направ-
ленная вдоль ВС, а к ползуну приложена сила F2, направленная по
ЬА. Показать, что при равновесии величины сил F1.n Fit находятся
„ .Fi . tg?
* следующей зависимости: 1—
714—716j
ПРИНЦИП ДЛЛАМБЕРА.
203
714. Шарнирный четырёх с ороииик ABCD поставлен на звено
AD. В точке В приложена сила Ft, перпендикулярная к звену АВ,
а в точке С — сила F2, перпендикулярная к CD. Найти зависимость
между величинами сил Ft и F% при
известны.
равновесии, если
углы а и р
Ответ'.
715. Однородный стержень О А весом Pt может вращаться на
неподвижном шарнире О в вертикальной плоскости. Конец А этого
стержня соединён шарнирно с другим однородным стержнем АВ
весом Р2. К концу В второго стержня при-
ложена горизонтальная сила F. Найти углы
а и р стержней с горизонталью при рав-
новесии.
Ответ', tg а = ; tg ₽ = .
716. Две точки А и В, связанные нера-
стяжимой нитью, могут скользить по двум
гладким неподвижным прямым Ох и Оу,
образующим между собой угол а. Эти
точки отталкиваются от
точки О силами, пропорциональными расстоянию, причём коэффи-
циент пропорциональности для точки А равен kit а для точки В
равен k2. Найти углы р и -у нити с прямыми ОА и ОВ в положе-
нии равновесия.
Ответ' tg2p —
ki sin 2а
~F ki cos 2а ’
tg2T
ks sin 2а
ki + COS 2а *
/д _ sin а
F2 sin р *
§ 29. Принцип Даламбера.
Нели к каждой материальной точке движущейся системы приложить
силу инерции этой точки, то все активные силы, действующие на си-
стему, реакции связей, и силы инерции будут уравновешены. В этом со-
стоит принцип Даламбера для системы.
Силой инерции называется сила, равная по величине массе точки, умно-
женной на величину ускорения этой точки, и направленная противоположна
ускорению, т. е. равная — mw (см. § 26).
204
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(717—721
717. Через неподвижный блок перекинута пить, к концу которой
подвешены грузы
жж
весом Q и Р, причём P^>Q. Найти ускорение w
грузов, натяжение Т нити и реакцию N оси О
блока, пренебрегая массой блока.
р_ Q 2PQ .. 4PQ
Ответ: w — Т—
718. В предыдущей задаче найти ускорение
грузов, учитывая массу блока, при условии, что
скольжения нити по блоку не наблюдается. Вес
блока равен G, а его радиус инерции относи-
тельно оси О равен k.
Ответ: w
P-Q
P+q + WG^
К задаче 717.
719. В задаче 717 найти скорость и ускоре-
ние грузов как функции времени, полагая P—2Q
и принимая во внимание силу сопротивления возду а, величина ко-
торой прямо пропорциональна скорости грузов, причём коэффициент
пропорциональности для обоих грузов равен у. == km, где т масса
меньшего груза. В начальный момент скорость грузов равна нулю.
[ 1 -2/8«
Ответ: — — е w — ~з^е
720. Найти угловое ускорение е ступенчатого блока, массой ко-
торого можно пренебречь, а также натяжения обеих нитей и реак-
цию оси блока, если веса грузов равны
Р и р.
Ответ: е = £'• Натяжение пра-
1 К" ~г
вой нити Ту = рР‘ Натяжение
левой нити T2 = ^2-i-^-Рр. Реакция
ocnW=^±^)’i-P/>.
721. Через неподвижный блок, мас-
сой которого можно пренебречь, пере-
К задаче 720. К задаче 721. кинута нить, на одном конце которой
подвешена гиря в 3 кг, а на другом
конце — второй (невесомый) блок; через этот второй блок также
перекинута нигь, на концах которой подвешены гири в 1 и 2 кг.
С каким ускорением будет двигаться гиря вЗллг?
Ответ:
722—725J
ПРИНЦИП ДЛЛАМБЕРА
205
722. Тело весом Q положено на горизонтальную тоскость;
к нему привязана пить, перекинутая через блок, к концу которой
подвешена гиря весом Р. Найти ускорение w, с которым будет
по граням неподвиж-
К задаче 724.
двигаться тело, и натяжение нити Т, если коэффициент трения тела
о плоскость равен f.
„ „ P-fQ PQO+f)
Ответ-. w = g-p; Т=' •
723. Два груза А и В весом Р и Q, связанных нитью, переки-
нутой через невесомый блок, могут скользить
ной призмы, причём коэффициент трения ра-
вен /. Найти ускорение w, с которым будут
двигаться грузы, если углы а и р известны.
О/пвепг.
Р (sin а —f cos а) — Q (sin р + / cos р)
w — g — pa-Q '
724. Клип А весом Р с углом а опи-
рается одной стороной о гладкую вертикаль-
ную степу, а другой стороной о гладкую
призму В весом Q, которая может скользить без трения по непод-
вижной горизонтальной плоскости. Найти ускорения w и кли-
на и призмы, а также давление N клина на
призму.
Ответ'.
_ Р а _________________ Ptga
w ~ Р AQ g — P + Q
«г__ PQsine________ К задаче 725.
Р cos2a -]- Q sin2 а '
725- Прямоугольный клин с углом а весом Р поставлен на глад-
кую горизонтальную плоскость. На пего кладут тело весом Q, могу-
щее скользить по клину без трения. Найти движение этой системы, а
также давление па горизонтальную плоскость и давление тела на клин.
Ответ: Ускорение клина
Q sin 2a
цу = ------------— <r.
2(P-PQsin2a) ь
206
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[726—728
Ускорение тела относительно клипа
(Р+ (?) sin а
P-J- (?sin2a '
Давление на горизонтальную плоскость
N
_ P(P+Q)
Р -\Q sin2 а '
Давление тела на клин
Л т PQ cos а
~ Р -4- Q sin2a •
К задаче 726.
привязанной
726. Однородный стержень АВ длиной 2а может вращаться во-
круг шарнира А, который скользит вниз по неподвижной вертикаль-
ной прямой с постоянным ускорением В на-
чальный момент стержень находится в покое, и угол
отклонения его от вертикали ср = %. Найти период
колебаний стержня около вертикального положения,
если угол 90 мал.
Ответ-. Т= 2тг -7 4а—т-.
Г 3(g — w)
727. Палочка АВ весом Р и длиной 2а имеет на
конце А шарнир, который передвигают при помощи
к нему нити по неподвижной горизонтальной прямой Ох.
С какой скоростью надо двигать шарнир А, чтобы палочка враща-
лась вокруг него по часовой стрелке равно-
А мерно с угловой скоростью <х> ? Выразить эту
// скорость v в функции угла 9, если в началь-
// ный момент 9 = % и v — 0.
„ т Si sin о0
о------ Д'-------- Ответ-. ^ = -113,—
ы sin
К задаче 727. ..
728. К однородному прямоугольному па-
раллелепипеду весом Р, стоящему на шерохо-
ватой горизонтальной плоскости, привязана ниже его центра тяжести
верёвка, к концу которой приложена горизонтальная сила, величина
которой равна Т. Исследовать графически движение этого паралле-
лепипеда, если угол трения 9 дан.
Ответ: Три уравновешенные силы: действующая сила Q (равно-
действующая сил Т и Р), полная реакция плоскости Г (равнодейст-
вующая силы трения и нормальной реакции плоскости, равной весу
параллелепипеда) и сила инерции J, приложенная в центре тяжести
С параллелепипеда, должны пересекаться в одной точке; сила Q и
сила инерции пересекаются на горизонтали, проходящей через центр
729—731]
ПРИНЦИП ДА.ЛЛМБЕРЛ
207
тяжести; сила F при движении может лежать только в полосе ABMN\
поэтому движение без опрокидывания возможно лишь тогда, когда
линия действия силы Q лежит внутри угла OA1N. В противном случае
сила Т вызовет движение с ___=*_
опрокидыванием или по ча-
совой стрелке или против
неё.
729. Однородный тонкий
прямой стержень весом Р и
длиной / равномерно вра-
щается с угловой скоростью
<о в горизонтальной пло-
скости вокруг своего непо-
движного конца А. Найти
усилие F, возникающее бла-
годаря вращению в каком-
нибудь его поперечном се-
чении, отстоящем на рас-
стояние х от точки А.
p,ti2
Ответ: F= Cyr- (F — х^).
730. Найти натяжение в сцепке между вагонами поезда, если
сила тяги паровоза постоянна и равна F, поезд идёт равномерно
ускоренно, а коэффициент общего трения равен f.
Ответ: Натяжение в сцепке между А?-м и k -1- 1-м вагонами
(считая от паровоза) равно
S^F-рРн
где Р есть вес всех вагонов, a Pk — пес первых k вагонов. Изме-
нится ли этот ответ, если поезд идёт равномерно?
731. Однородная цепочка перекинута через горизонтальное ребро
О двугранного угла и может скользить без трения в вертикальной
плоскости по граням этого угла. Найти движение этой цепочки, на-
тяжение *9 в какой-нибудь её точке, а также наибольшее натяжение
в точке О. Даны: I — длина цепочки, т — масса единицы длины це-
почки, а и (3 — углы с горизонтом левой и правой граней двугран-
ного угла.
Ответ: Если обозначим через х длину отрезка цепочки, лежа-
щего на левой грани, то
сРх р
~ i [* sin а + (а?—1) sin Е].
Отсюда
х = Aect + Be~ct -|- а,
208
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[732—733
где
А — 2 (Х° ~ а + с’) ’ -2(Хо а е)'
« £ ( • I • о\ Zsin3
с2 — -v sin а -4 sin В ) а = —---;—~-
I \ 1 г / ’ sin а 4“ sin р
(х0 и т»0 — начальное значение х и начальная скорость цепочки).
Если обозначим расстояние некоторой точки цепочки па левой грани
от ребра О через х, то
8 = ^2 (х — х') (7 — х) (sin а -|- sin Р).
Натяжение в точке О
Р
= ,3- (sin a —|—sin ?) х U — х);
^omax = ^-P(sina + sinP), при х = ^-,
где Р — вес всей цепочки.
V)
К задаче 732.
732. На горизонтальный вал падеты два неизменно соединённых
с ним шкива радиусов г и rv на которых навёрнуты веревки, несу-
щие на своих концах грузы весом р и Найти
угловое ускорение е вала, натяжения 7’ и Тх ве-
рёвок, а также общую реакцию N подшипников,
в которых вращается вал, если трение отсутствует
и если вес вала со шкивами равен Р, а их об-
щий момент инерции равен J.
Отеепке=^^.; =
733. Тело вращается с постоянной угловой
скоростью <о вокруг неподвижной оси Z. Масса
расстояние его центра тяжести от оси вращения
тела равна 714, а
равно а. Доказать, что центробежные силы материальных частиц
тела приводятся к динаме, параметр которой равен
усЕ—xcD
Р ~~~ Ма*
и ось которой пересекает ось вращения тела в точке
__ хсЕ
z^~ Ala2
734—736]
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
209
где Хс и ус — координаты центра тяжести тела, Е — Е mzx и
D = £ myz (центробежные моменты инерции).
731. Вертикальный стержень вращается в подпятнике В и под-
шипнике А. В точке О с ним жёстко соединён второй стержень
CD, причём О А —а и ОВ—b и СО —OD — 1. Пренебрегая соб-
ственным весом стержней, найти реакции подшипника и подпятника,
К задаче 734. К задаче 735. К задаче 736.
если угловая скорость стержня постоянна и равна со, а на концах
С и D прикреплены шары весом р каждый и если угол AOD — a.
Ответ’. Реакция подшипника горизонтальна, лежит в
AOD и равна по величине
плоскости
Ra =
рГ2 sill 2а
реакция в подпятнике Rn — — (2р -J- Ra)-
735. Жёсткий прямой угол АОВ, массой которого можно пре-
небречь, прикреплён в вершине О при помощи шарнира к верти-
кальной оси z так, что может вращаться вокруг точки О в верти-
кальной плоскости, а также вокруг оси z. На концах А и В к нему
прикреплены грузы, которые можно принять за материальные точки
весом РА и А. Найти, при какой угловой скорости со вокруг оси
z стержень АО будет составлять с вертикалью данный угол а, если
АО = Z, и ВО = Z.2.
Ответ’. <о2 =
sin а — COS а
(PJl—P^l) sin а cos я
736. Прямой однородный стержень АВ может вращаться в вер-
тикальной плоскости вокруг своей неподвижной точки О. Через
эту точку проходит вертикальная ось г, вокруг которой стержень
14 Сборапк задач
210
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(737—739
равномерно вращается, делая п оборотов в минуту. Какой угол
а = const образует стержень с осью z, "если ОА^а и ОВ-=^Ь,
причём
1350 £
Ответ’, cos а = —, °
~2п3
а—b__
а2 — ab + Ь2
737. Однородный равнобедренный прямоугольный треугольник ABQ
весом Р прикреплён при помощи шарнира, находящегося в вер
К задаче 737.
шине А, к неподвижной вертикальной оси, про-
ходящей через колечко, приделанное к другой его
вершине С. Треугольник вращается вокруг этой
оси по инерции с угловой скоростью <о.
Какова должна быть величина угловой ско-
рости о>, чтобы реакция в точке С оказалась рав-
ной нулю? Определить также при этом условии
реакцию в точке А.
5
Ответ'. a)=^/r2g, Ra=^P^
738. Однородный стержень АОВ изогнут под
прямым углом и прикреплён в вершине О при
помощи шарнира, вокруг которого он может вращаться в верти-
кальной плоскости, к вертикальному стержню, вращающемуся с
постоянной угловой скоростью со вокруг своей оси z. Найти вели-
чину <о, если постоянный угол отклонения стороны АО от вертикали
равен а, и если АО = а и ОВ = Ь.
_ о 3 а2 sin а — Ь2 cos а
Ответ’ ы = • г-»—-.=г-------g-
2 (а3 — о3) sin a cos а °
739. К вертикальному стержню ОВ прикреплена при помощи
шарнира однородная палочка ОА длиной 2а и весом Q, которая
7*0—742)
ПРИНЦИП ДХЛХМБЕРА
211
может вращаться вокруг точки О в вертикальной плоскости. К концу А
палочки привязана гибкая нить, проходящая через прикреплённый
на стержне небольшой блок В и несущая па своём свободном конце
груз весом Р. Какой постоянный угол 9 может со-
ставлять палочка с вертикалью, если сообщить ей
постоянную угловую скорость ш вокруг оси ОВ
и если ОА — ОВ?
Ответ'. Искомый угол определяется из уравнения
2Qwan sin 2qp — 'igQ sin 9 -j-&Pg sin = 0.
740. Однородный стержень изогнут под прямым
углом и вращается с постоянной угловой ско-
ростью <о в своей плоскости вокруг своего непод-
вижного конца О. Найти изгибающий момент от
сил инерции для какого-нибудь поперечного сече-
ния стержня, взятого на стороне ОА в расстоянии
Даны: длина а стороны ОА, длина b стороны АВ
р
Ответ'. М = к- <о Ьх.
К задаче 740.
X от точки О.
и вес её Р.
741. К вертикальному стержню ОС прикреплены при помощи
шарнира О два одинаковых стержня АО и ВО, длиной 2а и весом Р
каждый, так, что они могут вращаться в верти-
кальной плоскости вокруг точки О. К концам А
и В этих стержней привязаны нити длиной 2а
каждая, поддерживающие ползун весом Q, сво-
бодно насаженный на ось СО. Найти угол 9 от-
клонения стержней от вертикали и натяжение Т
нитей, если угловая скорость вращения этой си-
стемы вокруг оси СО постоянна и равна
Ответ', cos 9
Т.
чдшЦ1 Р)’
2a^PQ
742. Соединённая концами однородная цепочка
дайной / и весом Р положена на горизонтальный
шероховатый диск и имеет вид окружности ра-
диуса г. Затем диск начинают равномерно вра-
щать вокруг вертикальной оси, проходящей через
।
К задаче 741.
центр этой окружности. При какой угловой скорости со лиска по-
почка разорвётся, если она способна выдержать растягивающую си-
лу, не большую F кг?
Ответ'. а>
212
ДИ»АМИКЛ СИСТЕМЫ
1743—74G
743. Два однородных стержня ОА и ОВ весом Р каждый при-
креплены концами при помощи шарнира О к вертикальному стержню ОС,
а их концы А и В привязаны нерастяжимыми горизонтальными нитями
к точке С этого стержня. Треугольник АОВ начинают вращать
с постоянной угловой скоростью <о вокруг оси ОС. Найти натяже-
ние Т нитей, если: О А — 0В = а и АС =
К задаче 743.
— СВ = 1.
0meem\
Pl / 1 . 2«М
2 । 3g j
744. Условия и вопрос предыдущей задачи,
но треугольник АОВ обращён вершиной О
(шарниром) кверху. При какой угловой ско-
рости натяжение нитей будет равно нулю?
Ответ:
Pl/2^ 1 \
2 (,3g- '
745. В вертикальной плоскости имеется тонкая пластинка весом Р.
точка О которой закреплена на шарнире. Через эту точку прово-
дят вертикальную ось Оу и начинают вращать пластинку вокруг
этой оси с постоянной угловой скоростью со. Найти,
на какой угол а отклонится пластинка от оси Оу и
какова будет реакция в шарнире О, если рассто-
яние центра тяжести С пластинки от точки О равно а.
Ответ: sin а = Jxy;
где Jxv есть центробежный момент инерции пла-
стинки.
К задаче 745.
746. Плоскую плиту, вес которой равен Р, вращают с постоянной
угловой скоростью «) вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной
к её плоскости. Найти давления на подшипники, в которых лежит
ось, если центр тяжести плиты отстоит ог оси вращения на расстоя-
ние а и если подшипники находятся на одинаковом расстоянии от
плиты.
Подставить цифры: Р — 1000 кг, а а — 1 мм, со = 3000 оборо-
тов в минуту.
Ответ: Полагая найдём,
что давление на
каждый под-
шипник изменяется в пределах
т. е. приблизительно в пределах от 4500 кг до 5500 кг.
743—746J
ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ
213
§ 30. Теоремы о количестве движения системы
и о движении центра масс системы.
Силы, приложенные к точке системы АГ (х, у, z) с массой т, м^жчо
разделить на две группы: 1) силы, которыми действуют на эту точку нее
остальные точки системы, т. е. внутренние силы; равнодействующую их обо-
значим Yi, Z[) и 2) внешние силы, равнодействующую которых обо-
значим Re (Хе, Yc, Ze). Тогда уравнения движения точки М будут
т ^2 = Хе +
т di* ~ + Z'1'
(1)
Сложив уравнения, относящиеся к оси х для всех точек системы, получим
но ^Л^=0, так как силы взаимодействия точек системы по третьему закону
Ньютона попарно равны и противоположны; поэтому имеем
аналогично для других осей
причём суммирование распространяется на все точки системы,
а) Эти уравнения можно написать в виде
(3)
т. е производная по времени от суммы проекций количеств двинсенич на
какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил на эту ось. Если
сумма проекций внешних сил на ось равна нулю, то сумма проекций коли-
честв движения на эту ось постоянна.
Ь) Принимая во внимание, что
тх — Мхс
^ту=Мус>
mz ~MzCi
214
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
J747—750
уравнения (2) можно написать так:
d?xc
М~-
dt-
d2yc
' dt2
dzzr
м-Л
dt2
7
(4)
)
откуда следует теорема о движении центра масс: центр масс системы дви-
жется, как свободная материальная точка, в которой сосредоточены
массы всей системы и к которой приложены силы, равные действующим
на систему внешним силам.
747. Две свободные материальные точки А и В с массами тг
и т% взаимно притягиваются по закону Ньютона. В начальный момент
точка В имеет скорость ©2, направленную по АВ, а точка А — ско-
К задаче 717. К задаче 749.
рость перпендикулярную к
АВ. Определить траекторию
и скорость центра масс этих
точек.
Ответ'. Центр масс дви-
жется прямолинейно со ско-
ростью
v~ V tn^vi +
тг + т2
748. Из орудия весом в 125 т, поставленного на гладкую горизон-
тальную платформу, вылетает снаряд весом в 350 кг с горизонтальной
скоростью 550 м!сек. Пренебрегая массой пороховых газов, определить
величину и направление скорости, которую получает при этом орудие.
Ответ: Скорость орудия равна 1,54 м!сек и направлена в сто-
рону, противоположную движению снаряда.
749. Однородный тонкий стержень АВ, опирающийся концом А
на гладкий горизонтальный пол, вначале находится в покое и обра-
. зует с полом угол а; затем он начи-
Д д__________________-/в _ нает падать под действием силы тя-
...... жести. Определить траекторию точ-
—------------------------ки
К задаче 750. Ответ: Если примем горизонталь
АС за ось х, а вертикаль, прохо-
дящую через центр тяжести стержня, за ось у, то уравнение иско-
мой траектории будет
4~ ^2 =*1 (эллипс).
л8 1 4а2 v 7
750. На одном конце лодки, находящейся в покое, в точке А
стоит человек; он переходит затем на другой её конец в точку В.
Определить, пренебрегая сопротивлением воды, на какое расстояние
751—754]
ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ
215
влево передвинется при этом лодка, если вес лодки равен Р, вес
человека равен р и АВ —2а.
Ответ:
2а .
Р + р
751. Две тяжёлые свободные точки А и В с равными массами
находятся в начальный момент на одной вертикали. Точке А сооб-
щена начальная горизонтальная скорость *а0;
начальная скорость точки В равна нулю.
Определить траекторию центра масс этих
точек и проекции. vx и vy его скорости.
ГА 1 4-
Ответ: vx = -уг>0, vy =— ^траекто-
рия— парабола.
752. Три свободные точки А, В и С с К задаче 751.
равными массами взаимно притягиваются по
закону Ньютона. Начальная скорость точки А равна k • АВ и на-
правлена по АВ; начальная скорость точки В равна k ВС и направ-
лена по ВС. Определить величину и направление скорости, кото-
рую нужно сообщить точке С, чтобы центр масс этих трёх точек
оставался в покое.
Ответ: Искомая скорость равна k • С А и направлена по С А.
753. На конце однородной доски, лежащей па совершенно глад-
кой горизонтальной плоскости, стоит человек, который в некото-
рый момент начинает иттп вдоль доски с постоянной относительной
скоростью и. Найти абсолютную скорость v и перемещение х чело-
века, а также абсолютную скорость и перемещение Xj доски за
время t, если масса её равна Л1, а масса человека равна т.
Ответ: v — и, х = at. «,
т ,
X, —------г—Г=- lit.
1 т 4- М
754. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит
обруч радиуса а и массы Л1, вдоль которого в некоторый момент
начинает ползти с постоянной относительной скоростью и жук массы т.
Найти траектории центра обруча и жука.
Ответ: Центр обруча и жук описывают концентрические окруж-
ности радиусов
т ~ М
с центром в точке> делящей их начальное расстояние друг от друга
обратно пропорционально их массам.
216
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
1755 -759
755. Человек весом Р с гирей весом р в руках прыгает иод
углом а к горизонту со скоростью vl} и, достигнув наибольшей
высоты, бросает гирю назад с относительной горизонтальной ско-
ростью и. Насколько увеличится благодаря этому дальность прыжка.
Ответ'. На —, uvn sin а.
gP 0
756. Решить задачу 729 при помощи теоремы о движении центра
инерции системы.
757. Паровоз подвешивают (для испытания на уравновешивание
поступательно движущихся масс) па цепях и затем пускают в хот машину
паровоза. Найти амплитуду колебаний, которые будет совершать паро-
воз благодаря поступательному движению его частей. Даны: вес посту-
пательно движущихся частей р, вес остальных частей Р, длина хода
поршней $; кривошипы правой и левой сторон стоят под углом а
друг к другу.
Ответ', a — scos у .Подставить числовые значения: Р = 90 т,
/? = 600 кг, 7 = 60 см, а = 90°.
758. Часы с маятником поставлены па небольшую тележку,
которая может без трения катиться по прямым горизонтальным
рельсам в направлении, параллельном плоскости качания маятника;
в некоторый момент часы пускают в ход. Найти абсолютную траек-
торию конца маятника, если длина его равна/, вес чечевицы равен р,
вес часов без маятника равен Р, вес тележки равен Q и их общий
центр тяжести совпадает с точкой подвеса маятника; чечевицу маят-
ника можно принять за материальную точку, а весом штанги пре-
небречь.
Ответ: Эллипс, большая полуось которого вертикальна и равна Z,
P-PQ 1
а малая равна „ , Z.
Р + Q -рр
Центр этого эллипса совпадает с проекцией центра тяжести всей
системы на горизонталь, проходящую через точку подвеса.
759. На концы однородного прямого бруска длины I и массы /И,
движущегося на гладкой горизонтальной плоскости, действуют вдоль
К задаче 759.
его оси две силы Р и Q. Найти ускорение бруска, а также натя-
жение в каком-нибудь его поперечном сечении, если P>Q.
р__ Q
Ответ'. Ускорение бруска равно
760—762]
ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
217
Натяжение в сечении, отстоящем на расстоянии х от точки при-
ложения силы Q, равно
Т=* (R-Q) + Q-
760. На прямоугольный клип весом Р, лежащий на абсолютно
гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но мень-
ший клин, весом р, как показано на чертеже. Найти, насколько
сместится большой клин, когда малый клин спустится совсем вниз,
К задаче 760.
К задаче 761.
если горизонтальный катсг большого клипа равен а, а горизонталь-
ный катет малого клипа равен Ь.
Ответ: Большой клин сместится на
р
Р+Р
{а — Ь) влево.
761. Найти абсолютную траекторию шарика А массы т, скаты-
вающегося по поверхности абсолютно гладкого цилиндра массы /II
и радиуса г, лежащего на абсолютно гладко.! горизонтальной пло-
скости.
Ответ: Эллипс с полуосями .— г и г.
762. Две точки одинаковой массы могут скользить без трения —
первая по неподвижной прямой Ох, а вторая — по неподвижной
прямой Оу, перпендикулярной к Ох. Эти точки взаимно притяги-
ваются по закону Ньютона. Показать, что центр масс этих точек
описывает коническое сечение с фокусом в точке О.
§ 31. Теорема о моменте количества движения для системы.
Умножая первое из уравнений (1) § 30 на —у, а второе на х, склады-
вая и суммируя по всем точкам системы, получаем
2т -у dt^)=2{xYe ~уХе}+2 (*r< ~yXi) •
Второй член правой части ^7 (xYi—уХР) есть сумма моментов внутрен-
них сил относительно оси г; он равен пулю, так как внутренние силы попарно
218
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
J763—764
равны и противоположны, следоватетьно, имеем
V ( d2y d2x\ V / ч;
/ т Х лй>' ~ У м — 7 (х}
dt2 dt2 v
или
dt
dy dx
dt ? dt
Таким образом, получаем для трёх осей уравнения
d V ! dz
— у т у -т, — z
dt^ < dt
d V I dx
dt2^mVdt X dt]
d V I dy dx
/ tn xfr—y,.
dt \ dt dt
л)=20'/‘-гУ-)’
Эти уравнения выражают теорему о момептах~количества движения, а именно:
производная по времени от суммы, моментов количества движения отно-
сительно неподвижной оси равна сумме моментов внешних сил относи-
тельно той же оси. Если сумма моментов внешних сил относительно какой-
либо оси, например х, равна пулю, то
— z
A,
где А — постоянная, г. е. момх (///с») == А.
Так как
dz dy о dsv
ydi-zdt=2-di-’
где —г есть секторная скорость проекции движущейся точки на плоскости
dt
(yz), то
d3v A
т. e. сумма произведений масс точек системы на секторные скорости их
проекций на плоскость (yz) есть в этом случае величина постоянная.
763. Через блок с горизонтальной осью перекинута верёвка, за
концы которой хватаются два человека с массами т и пг на рас-
стоянии а и а от горизонтальной плоскости, проходящей через ось
блока, и начинают влезать вверх, причём достигают блока одно-
временно. Когда это произойдёт, если массой блока можно прене-
бречь и всякие сопротивления движению отсутствуют?
Ответ'. Через Г =*» ~|Лначала движения.
764- Условия предыдущей задачи, но массы людей равны и отно-
сительная скорость одного из них равна нулю, а другой влезает
с относительной скоростью и. Найти, как будет двигаться (вместе
с верёвкой) первый человек.
765—76SJ
ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
219
Ответ: Он будет подниматься со скоростью
1
2 U‘
765. Горизонтальной платформе радиуса г весом Р, имеющей
вертикальную ось, проходящую через центр платформы О, сооб-
щается начальная угловая скорость <о0. Человек А весом р, нахо-
дившийся в начальный момент в центре платфор- __________
мы, идёт вдоль радиуса ОБ. Найти угловую ско- f
рость вращения платформы как функцию рас- / r
стояния О А — х, принимая платформу за однород- Г ' р
ный диск. \ /
ргг '
Ответ: <о = ~р^р2рха ’ К задаче 765.
766. Горизонтальная трубка О А весом Р и длиной 2а вместе
с шариком, находящимся в ней на расстоянии а от конца О и при-
вязанным нитью к этому концу, сначала
вращается по инерции вокруг вертикаль- .. f ------
ной тоси, проходящей через точку О с по- 2
стоянной угловой скоростью %. Затем нить к задачс 766.
перерезают. Определить угловую скорость
вращения трубки в тот момент, когда шарик вылетает из неё, если
вес его равен р.
4Р + Зр
Ответ-. ш =
767. Однородный горизонтальный диск радиуса г весом Р
может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
О диска. По краю диска ползёт жук Б весом р,
причём движение совершается по закону АВ = f
•=.s=xl^aP. В начальный момент диск находится в / г \
покое. Найти угловую скорость и угловое уско- t о 1А
рение е диска. \ 7
Ответ: <о = , е • к задачс 767-
768. По горизонтальной платформе, вращающейся вокруг верти-
кальной оси, проходящей через её центр, идёт человек, описывая
окружность радиуса г с центром на той же оси. Найти угловую
скорость платформы, если относительная угловая скорость человека
равна со, вес платформы равен Р, вес человека равен р, а момент
инерции платформы относительно оси вращения равен J» В началь-
ный момент вся система находится в покое.
Ответ: 2 =-----7 в
220 ДИНАМИКА СИСТЕМЫ J769- 773
769. При условиях предыдущей задачи найти абсолютное угло-
вое перемещение человека за вДмя, когда он сделает один оборот
на платформе, предполагая, что момент инерции платформы равен
~ R'2 и что Р = р, R — г.
2g
2
Ответ.'. <9 = к-
т о
770. Па твёрдом теле, насаженнохМ на неподвижную вертикаль-
ную ось, находится жук. В некоторый момент он начинает ползти
гак, что проекция его на горизонтальную плоскость П, неизменно
связанную с телом, движется по определённому закону по заданной
траектории. Доказать, что угловая скорость тела выражается сле-
дующим образом:
dt
или
.dt?
?dtm
dt J-f-wip2
где £ и •/] — координаты жука относительно осей, лежащих в пло-
скости П и имеющих начало на оси вращения. - момент инерции
тела относительно этой оси, т — масса жука; р и — полярные
координаты в той же плоскости, причём полярная ось совпадает
с осью а полюс находится на оси вращения.
771. Вдоль образующей однородного круглого конуса массы М,
ось которого вертикальна, а вершина обращена вверх, просверлён
тонкий канал. Конусу сообщают угловую скорость <о0 вокруг его
оси и одновременно с этим опускают в верхнее отверстие канала
шарик массы т, не сообщая ему начальной скорости. Какова будет
угловая скорость конуса в тот момент, когда шарик выскочит из
канала?
w0
Ответ', со =--——
14-1^
772. Условия задачи 768, но платформа имеет форму квадрата
со стороной 2а; вес человека равен весу платформы, ось вращения
платформы проходит через её центр. Человек идёт по стороне квад-
рата с относительной скоростью и = const, выходя из вершины
кватрата. Выразить угол поворота 6 платформы в функции t,
Отзет-. в = arc tg •
773. Стержень, имеющий форму прямого угла АОВ, может вра-
щаться вокруг своей вертикальной стороны АО. На горизонтальную
сторону его насажен груз С массы т. В начальный момент груз
774—7751 теорема о моменте количества движения
221
находится на расстоянии а от точки О, и системе сообщают угло-
вую скорость <о0 вокруг оси О А. Найти зависимость между угловой
скоростью стержня <о и расстоянием ОС = х,
если момент инерции стержня относительно °' гг-| *
оси АО равен J. "
J -j- ma2 11
Ответ', w = i»n -----г
774. Три точки Л1Ь Л1? и Л13 с равными
массами притягиваются друг к другу по какому
угодно закону; в начальный момент точки не-
подвижны. Для некоторого последующего мо-
мента известны: 1) положения всех трёх точек, К задаче 773.
2) величина и направление скорости точки
Alt и 3) прямая, вдоль которой направлена скорость точки Ah.
Найти (графически) величину скорости точки /М.2 и направление и
величину скорости точки 7И3 в этот момент.
775. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит
произвольной формы пластинка
ции которой равны соот-
ветственно А1 и А; на пла-
стинке сидит жук массы т.
В некоторый момент жук
начинает ползти с извест-
ной скоростью (относитель-
ной) по пластинке, описывая
на ней известную траекто-
рию. Найти движение пла-
стинки и жука, пользуясь
теоремами количеств движе-
ния и моментов.
Указание. Пусть С —
абсолютно неподвижный центр
тяжести системы (пластинки и
жука), Oq и О — центр тяжести
масса и центральный радиус инер
К задаче 775.
пластинки в начальный момент и в некоторое другое время; Д, и А — поло*
жения жука в те же моменты.
Возьмем две системы координат: неподвижную (х,у) с началом в центре
тяжести С системы и осью х, проходящей через начальное положение жука,
и подвижную (£, •/,)» неизменно связанную с пластинкой, относительно кото-
рой движение жука известно; её начало возьмем в центре тяжести О пла-
стинки; в начальный момент ось £ проходит через Д„ Усол между осями $
и х, отсчитываемый против часовой стрелки, обозначим через 6.
Движение пластинки рассматриваем как сложное, состоящее из двшке-
ния её центра тяжести, определяемого в полярных координатах /? и а, соот-
ветствующих декартовым координатам (х, у), и из вращения вокруг центра
тяжести, угловую скорость пластинки обозначим через
G —
dt
222
ДИНАМИКА СИСТЕМ Ы
[776
Коорпинаты жука будут: абсолютные полярные г и а’, соответствующие
декартовым х, у, и относительные полярные р, ®, соответствующие декарто-
вым 8. Т/J относительную углозую скорость жука обозначим через
Кривая А0А — абсолютная траектория жука, О^О — абсолютная траекто-
рия центра тяжести доски.
Ответ'.
n rfO Q Ш 0 Д Г
—/Д (А2 + р«) + Л4А« pJ<0; J т (k* 4- Р2) + Mk* ’
2) /? — — qp — — q уФ + т(2 ; а = 6 ср -J- it;
3) r = (l —g)p = (l—+ ; а' = 64-^, где ? =
Углы, отложенные против часовой стрелки — положительны, а
отложенные по часовой стрелке — отрицательны.
776. Решить следующую задачу, пользуясь результатами преды-
дущей или независимо от них.
На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит пластинка
с массой /И и центральным радиусом инерции k\ на ней сидит жук
массы т на расстоянии I ст её центра тяжести О. В некоторый мо-
мент жук начинает ползти с постоянной относительной угловой ско-
ростью со по нарисованной на пластинке окружности радиуса I с цент-
ром в той же точке О. Найти движение пластинки и жука.
Ответ'. Центр тяжести О пластинки описывает окружность ра-
диуса
, т
т-\-М
с центром в неподвижном общем центре тяжести С системы (пластинки
и жука) с постоянной угловой скоростью
ш _____(g+jM)*!-.
1 + 1
а сама пластинка вращается в то же время вокруг точки О в обрат-
ную сторону с постоянной угловой скоростью
о_____________ml2
т1г + (т-\-М)к*
Жук описывает окружность радиуса
/ м *
т~\-М
с центром в точке С с той же абсолютной угловой скоростью <Вр
777—7821
РАБОТ \ И МОЩНОСТЬ
223
777. Частный случай предыдущей задачи. Жук ползёт с постоян-
ной относительной угловой скоростью w по обручу радиуса Z, рас-
положенному на абсолютно гладкой плоскости, масса которого равна
массе жука. Найги движение обруча и жука, а также определить,
на какой угол повернётся обруч вокруг своего центра в то время,
как жук сделает по обручу один оборот, и каково будет абсолют-
ное угловое перемещение центра обруча.
Ответ: Центр обруча и жук описывают одну и ту же окруж-
ность радиуса % с центром в абсолютно неподвижном центре
тяжести системы, двигаясь с одинаковой абсолютной угловой ско-
ростью 2/асз» причём обруч вращается в это время вокруг своего
центра с угловой скоростью */8 ш. Неподвижная полодия есть окруж-
ность радиуса J/2 Z, центр которой совпадает с центром тяжести
системы. Подвижная — самый обруч. Качение полодии происходит
в сторону, противоположную движению жука. Искомые угловые пе-
ремещения равны —120° и -(-240°.
§ 32. Работа и мощность.
778. Рабочий переносит 25 кирпичей весом по 3 кг каждый на
высоту в 10 м. Собственный вес рабочего равен 65 кг. Определить
произведённую им работу.
Ответ: 1400 кг.
779. Пешеход весом в 65 кг идёт по горизонтальному пути. При
каждом шаге величиной в 75 см центр тяжести его тела поднимается
на 20 мм. Определить работу, произведённую пешеходом на пути
в 3000 м.
Ответ: 5200 кгм.
780. Копровая баба, весом в 500 кг должна подниматься 14 раз
в течение одной минуты на высоту 1,5 м. Сколько рабочих потре-
буется для этой работы, если мощность каждого рабочего в среднем
равна 7 кгм/сек!
Ответ: 25 человек.
781. Водопад даёт в течение каждой секунды 10 мъ воды, па-
дающей с высоты 6 м. Определить мощность этого водопада.
Ответ: 800 л. с. (лошадиных сил).
782. Паровой насос, работая без перерыва, поднимает в течение
суток 3240 т воды на высоту 30 м. Мощность машины, приводя-
щей в движение насос, равна 30 л. с. Найти коэффициент полезного
действия её.
Ответ: 0,5.
224
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[783—790
783. На колесо водяной мельницы, коэффициент полезного дей-
ствия которого 0,6, падает вода с высоты 3 м. Какое количество
воды должно падать на колесо в течение 1 сек, чтобы сообщить
ему мощность в 15 л.с.?
Ответ: °/« -Ия.
784. Пароход идёт равномерно со скоростью 10 узлов. Мощность
его машины равна 5000 л.с., а- коэффициент полезного действия её
равен 0,6. Определить силу сопротивления воды движению парохода;
1 узел ^1,85 км}час.
Ответ: Приблизительно 44 т.
785. Автомобиль весом (вместе с нагрузкой) в 2 т проходит
расстояние в 30 км со скоростью 15 км{час по'дороге, имеющей
подъём в 50 м. Коэффициент трения дороги равен 0,05. Определить
мощность автомобильной машины, если коэффициент полезного дей-
ствия её равен 0,6.
Ответ: 9,6 л.с.
786. Двигатель мощностью в 100 л.с. с коэффициентом полез-
ного действия 0,6 должен поднимать груз со скоростью 1 м}мин.
Определить наибольшую величину груза, который может быть под-
нят при помощи этого двигателя.
Ответ: 270 т.
787. Паровая машина поднимает молот весом в 300 кг 120 раз
в минуту на высоту 1 м. Мощность машины равна 10 л.с. Найти
коэффициент полезного действия её.
Ответ: 0,8.
788. По линии трамвая курсируют 300 вагонов со средней ско-
ростью 15 км]час\ вес каждого вагона равен 12 т. Сопротивление
трения при движении вагона равно 0,02 его веса. Определить мощ-
ность машин трамвайной станции.
Ответ: 4000 л.с.
789. Насос с мощностью в 5 л.с. и коэффициентом полезного дей-
ствия 0,6 должен поднять 900 м3 воды на высоту 9 м. Сколько
времени потребуется на эту работу?
Ответ: 10 час.
790. Машина мощностью в 5 л.с. с коэффициентом полезного
действия 0,8 поднимает груз в 10 т по наклонной плоскости дли-
ной в 10 м с углом наклона в 15°. Сколько времени потребуется
для этого подъёма, если угол трения груза о плоскость <р=1°30'?
Ответ: 1 м. 35 с.
791—793]
ТЕОРЕМА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
225
791. Давление пара на поршень паровой машины равняется
5 кг/см*. Диаметр поршня равен 20 см, длина его хода равна 40 см.
Определить мощность машины, если поршень делает 100 рабочих
ходов в минуту.
Ответ'. 14 л.с.
792. Каков должен быть диаметр поршня одноцилиндровой паро-
вой машины при давлении пара на поршень в 4 атмосферы, скорости
поршня в 2 м/сек и мощности машины в 75 л.с. (1 атмосфера —
= 1 кг/см*)?
Ответ'. 6? = 30 см.
793. Определение мощности машины можно произвести следую-
щим образом. На вал машины надевают чугунный шкив, который
центрируют и закрепляют
наглухо винтами. На шкив
надевают две связанные
болтами деревянные ко-
лодки, одна из которых
имеет коромысло с чаш-
кой для грузов. Противо-
вес Р подбирается так,
чтобы свободно надетый
на вал нажим находился
в равновесии без гирь в
К задаче 793.
горизонтальном положении, т. е. так, чтобы коромысло проходило
между двумя неподвижными балками А и В. Испытание начинается
с того, что затягивают болты колодок до тех пор, пока машина не
даст требуемого числа оборотов. Коромысло прижимается при этом
к неподвижной балке А. Затем начинают накладывать на чашку гири
до тех пор, пока плечо не отстанет от А и не займёт горизонталь-
ное положение между А и В.
Определить мощность машины, если вес гирь известен и равен
Q кг, длина плеча равна I м, а число оборотов вала в минуту
равно п.
Ответ', N =. 0,0014 ‘Qin л.с.
§ 33. Теорема кинетической энергии.
Применяя теорему кинетической энергии к точке М (х, у, z) системы,
получим:
»(Хе dx+ Ye dy -|- Ze dz) 4- (X/ dx -f- У( dy -|- Zt dz).
Суммируя эти уравнения для всех точек системы, получим
d = £ (Л€ dx -Ь Уе dy + Ze dz) 4 £ (Xi dx + Yi dy + Z( dz).
Сборник вадач
226
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[794—795
Сумма кинетических энергий всех точек системы называется кинети-
ческой энергией системы. Таким образом, имеем теорему: дифференциал
кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ сил
внешних и внутренних. Сумма элементарных работ внутренних сил системы
вообще не равна нулю, так как расстояния между точками системы изме-
няются и, следовательно, внутренние силы производят работу, но для
абсолютно твёрдого тела эта сумма равна нулю, так как все .точки такого тела
согласно определению находятся на неизменном расстоянии друг от друга.
Поэтому для абсолютно твёрдого тела имеем
VI mi)2
= 2 + Г^У + Zedz).
Интегрируя последнее уравнение между двумя положениями системы
А и В, получим для абсолютно твёрдого тела
( / , 2 jB ^2 2 )л—J Е (Xedx-[-Ye dy -^Zedz),
(А)
т. е. приращение кинетической энергии твёрдого тела при перемещении
из положения А в положение В равно сумме работ, произведённых внешними
силами при этом перемещении.
Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна кинети-
ческой энергии массы всей системы, сосредоточенной в её центре масс,
сложенной с кинетической энергией движения системы относительно
центра масс.
Следовательно, если М — масса всей системы, V—скорость центра
масс, о— скорости точек системы в абсолютном движении, v' — скорости
точек системы в движении относительно центра масс, то
2 тVй_____AIK2 ( V mv'*
2 ” 2 ‘ Z 2 *
794. Два одинаковых диска вращаются с одинаковой угловой
скоростью: один — вокруг оси, проходящей через его центр и пер-
пендикулярной к его плоскости, другой — вокруг
одного из своих диаметров. Какой диск обладаег
большей кинетической энергией и во сколько
раз?
Ответ'. Кинетическая энергия первого диска
н больше в два раза.
796. Круглый цилиндрический сосуд с ра-
диусом основания г вращается вместе с нахо-
дящейся в нём жидкостью вокруг своей верти-
кальной оси с угловой скоростью w. Свободная
К задаче 795. поверхность жидкости принимает при этом фор-
му параболоида вращения. Зная расстояния h, Н
и плотность жидкости р, определить кинетическую энергию враща-
ющейся жидкости.
Ответ'. тгршМ (н-----------h
** V о
796—8021
ТЕОРЕМА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
227
796. Вычислить в килограммометрах кинетическую энергию обода
чугунного махового колеса, делающего 100 оборотов в минуту,
если внешний радиус обода /? = 26 дм, внутренний радиус г » 24 дм,
ширина обода 3 дм и удельный вес чугуна 7,2.
Ответ.'. 237 300 кгм.
797. Сани весят Р кг, а экипаж 3/4 Р кг, причём две трети его
веса приходятся на его кузов, а одна треть — на колёса. Как отно-
сятся между собой работы, которые надо затратить, чтобы сообщить
саням и экипажу одинаковую скорость, если сопротивления движе-
нию отсутствую?, колёса катятся без скольжения, и их можно рас-
сматривать как обручи (т. е. считать спицы и в гулки невесомыми)?
Ответ'. Работы одинаковы.
798. Найти работу, необходимую для поднятия оконной шторы
весом в Р кг, состоящей из п деревянных дранок, отделённых друг
от друга промежутками длиной каждый в а см. Найти ту же работу
в случае сплошной шторы того же веса и длины I см.
Ответ: 1) А = 0,005 Ра(п—1) кгм.
2) А, = 0,005 Pl кгм.
799. Найти кинетическую энергию снаряда диаметром d — 30,5 см
и весом Р=400 кг, вылетающего из орудия со скоростью
v = 800 м/сек, если шаг винтовой нарезки ствола h ж 10,675 м.
(Снаряд можно принять за массивный цилиндр.)
Ответ: Т^-^- р 2 *]««12 851 200 кгм.
800. В задаче 753 найти работу, затраченную человеком на
приведение системы в движение.
Ответ: А = 6 •
801. Цепочка длиной I лежит нй горизонтальном столе так, что
половина её свешивается со стола. Вначале цепочка находится
в покое. Определить скорость v цепочки в тот момент, когда конец
её окажется на краю стола.
Ответ: = * ]/ /.
802. На шкив радиуса г весом Q, вращающийся вокруг гори-
зонтальной оси О, навёрнута верёвка, к концу которой привязана
гиря весом Р‘, вначале система находится в покое. Найти угловую
скорость шкива в тот момент, когда груз опустится на расстояние Л.
2 ц f Р
Ответ: = — Тр+ТГ •
228
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[803—808
803. В задаче 765 найти работу, затраченную человеком на
изменение кинетической энергии системы, если относительная
скорость человека и известна.
„ л Р Г ч Р™
Ответ: А — и2------—s
2^ \ Pr2 -J- Zpx*
804. Нить, один конец которой закреплён в точке А, охватывает
подвижной блок О, к которому подвешен груз весом Р, и неподвижный
блок к другому концу нити привязан груз весом Q, причём
Q */2 Р. Определить ско-
рость груза Q в зависимости от
расстояния h, а также его уско-
рение да, пренебрегая массой
блоков. В начальный момент
система находится в покое и
Л = 0.
Ответ:
805. Винт, ось которого вертикальна, движется под действием
своего веса в неподвижной гайке без трения. Шаг винта равен h\
радиус инерции винта относительно его оси равен k. Найти уско-
рение да поступательного движения винта и угловое ускорение s
его вращательного движения.
Ответ: да = , е = .
’ Л24-4п2Ла •
806. Шкиву радиуса г сообщена начальная угловая скорость,
соответствующая п оборотам в минуту. Сколько оборотов сделает
шкив до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен /?
Ответ: оборотов.
807. Каток радиуса г катится без скольжения по горизонтальной
плоскости. Начальная скорость его центра равна ^0. Какое рас-
стояние s пройдёт центр катка'до его остановки, если ковффиииент
трения качения равен 8?
Ответ: .
808. Садовый каток, имеющий форму круглого цилиндра, радиу-
са г лежит иа земле так, что ручка его, одинакового с ним веса,
опирается о землю. Центру катка сообщают начальную скорость т0.
809—812] ТЕОРЕМА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
220
Найти, на каком расстоянии остановится каток, если коэффициент
грения качения равен 8, а коэффициент трения между ручкой катка
и землёю равен f (центр тяжести ручки находится в её середине).
Ответ: s =----
2^ У+З-А-)
809. Доска весом Р положена на два катка весом р каждый.
К задаче 808.
К задаче 809»
На доску действует горизонтальная сила Q. Определить ускорение w,
которое приобретает доска.
Ответ: w = 4p^-g-
810. Цилиндр радиуса г может катиться без скольжения по
горизонтальной плоскости. Центр тяжести цилиндра находится
в точке С, причём расстояние ОС = а. Радиус инерции цилиндра
относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и про-
ходящей через С, равен Л. Найти угловую скорость цилиндра как
функцию угла ср, который
прямая ОС образует с верти-
калью. В начальный момент
цилиндр находится в покое и
Ответ:
^2,^ 2ag (cos — cos у0)
г8a2-f-—г 2д г cos ср ’
811. Однородный стержень
нире О в вертикальной плоскости. Какую угловую скорость <о нужно
сообщить стержню в начальном вертикальном положении, чтобы
угол наибольшего отклонения его от вертикали равнялся 90°?
О
УХ
^90°‘
К задаче 810.
ли
К задаче 811.
ОА длиной 2а вращается на шар-
0
Ответ: <о
812. Прямоугольная пластинка, ширина которой равна Ь, а высота
равна h, может вращаться без трения вокруг вертикальной оси АВ,
лежащей в её плоскости, проходящей через её середину и парал-
лельной стороне h. На конце В оси надет шкив С радиуса г, на
который намотана гибкая, нерастяжимая нить; другой конец нити
230
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[813—815
перекинут через блок D, находящийся на одном уровне со шкивом,
и к нему привязан груз весом Р, приводящий во вращение пластинку.
Найти закон движения груза, если вес пластинки равен Q, начальные
скорости равны нулю и никаких сопроти-
влений движению нет.
Ответ*. Движение груза — равномерно ус-
рга
коренное с ускорением w = vy-2 -745, g, где
< Г “l ц/л,
к есть радиус инерции пластинки
относительно оси вращения АВ.
813. Однородная палочка весом Р и дли-
ной а может свободно вращаться в про-
К задаче 812. странстве вокруг своего неподвижного конца.
В начальный момент её приводят в горизон-
тальное положение и сообщают угловую скорость % в горизонталь-
ной плоскости. Найти, какой наименьший угол 9 с вертикалью
будет составлять палочка во время движения?
У казаки е. При наименьшем угле отклонения от вертикали все точки
палочки имеют только горизонтальные скорости.
Ответ*, cos9 = 1/1 -4-л2 — п, где
814. По наклонной плоскости спускаются два совершенно одина-
ковых цилиндра (или шара), причём первый скользит без качения,
второй катится без скольжения. Найти отношение высот, на которые
опустятся оба цилиндра (или шара) по прошествии некоторого
промежутка времени, если оба они начинают движение одновременно
и без начальных скоростей?
р2 I Д2
Ответ*. Искомое отношение л =-----—, где г—радиус ци-
линдра (или шара), a k — радиус инерции относительно соответ-
ствующей оси (для цилиндра — относительно продольной оси сим-
метрии, для шара—относительно его диаметра). Для цилиндров
3 7
л = -к-, для шаров п — -=~.
£ о
815. Для определения момента инерции якоря динамомашины
(не вынимая якоря и вместе с тем учитывая трение) можно
поступить так: наматывают на вал якоря верёвку, привешивают
к свободному её концу груз весом pt и определяют время в течение
которого груз опустится на некоторую высоту h (верёвку можно
перекинуть через блок); затем делают то же самое с другим грузом
весом наблюдая время в течение которого он опустится на
ту же самую высоту h.
816—8181 ТЕОРЕМА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
231
Найти момент инерции якоря, принимая во внимание трение
в подшипниках и зная радиус R его вала. (Момент трения считаем
постоянным и не зависящим от веса груза.)
g(Pi— Pi) —
Ответ'. J — /?2---------
Рг \
*§ )
816. Стержень массы т может свободно перемещаться в верти-
кальной неподвижной муфте А. Нижним концом он опирается на
гипотенузу абсолютно гладкого клина массы Л-1, который лежит на
абсолютно гладкой горизонтальной плоско-
сти. Вследствие давления на него стержня
клин движется горизонтально, а стержень
при этом опускается. Найти ускорения обо-
их тел.
Ответ'.
Ускорение стержня w «• ^ско’
рение клина iwl = -w etg а.
у
К задаче 816.
человек, качающийся
следующим образом
колебаний (раскачиваться): путь вниз от выс-
817. Доказать, что
на качелях, может
увеличивать амплитуду
шей точЛ! до момента прохождения через равновесное положение он
совершает, согнувшись (или присевши), а в момент прохождения через
это положение — сразу выпрямляется и в таком положении совершает
весь подъём.
Ответ'. Обозначим через а угол отклонения качелей от вертикали
в начальном положении, а через р— угол их с вертикалью в конце
подъёма. Воспользовавшись теоремой кинетической энергии и теоре-
мой моментов (при прохождении системы через положение равно-
весия, где происходит скачок угловой скорости качелей), получим
2
• а а
sin-r
где Jx и Zj обозначают момент
вращения и расстояние центра
первом положении человека, а .
при втором положении человека.
—
инерции системы относительно оси
тяжести системы от этой оси при
г,2 и /3 обозначают те же величины
Отсюда следует, что р^>а.
818. Между двумя параллельными очень близкими гладкими
горизонтальными плоскостями положен очень маленький шарик
с массой т^, к нему привязана одним концом идеальная нить,
232
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[819—820
которая проходит сквозь очень малое отверстие, проделанное
в верхней плоскости, и прикрепляется другим своим концом к очень
маленькому шарику, лежащему на верхней плоскости и имеющему
К задаче 818.
влениями, найти: 1) уравнения
ординатах, 2) натяжение нити
-7 массу тх. В начальный момент
у нить натянута, шарик с массой
находится на расстоянии г0 = а
от отверстия, и ему сообщают
скорость и, перпендикулярную
к направлению нити. Принимая
шарики за материальные точки
и пренебрегая всякими сопроти-
движения точки т{ в полярных ко-
о время движения.
’ Ответ*. 1) г = + пЧ* ср = arc tg (у tj, где п = и ^4?^,
с а?п?т.й
Z) о — .
819. Две свободные материальные точки с массами тх и /я.3
притягиваются друг к другу силой, пропорциональной их массам и
обратно пропорциональной квадрату расстояния, причём коэффициент
пропорциональности равен k. Вначале точки находятся в покое, и
расстояние между ними равно а. Найти скорости этих точек в тот
момент, когда расстояние между ними станет вдвое меньше.
Otneetnz = т* ~\f ; \ ;
1 2 г a (mt 4- т2) ’
з/ 2k
Va — m, I/ —
* 1 Г a (/«л-j-/Л2)
820. Тонкий прямолинейный стержень, массой которого можно
пренебречь, может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг
своей неподвижной точки О, отстоящей от его конца А на расстоя-
ние а. К этому концу наглухо прикреплена материальная точка
массы Л4, а по другую сторону от О на стержень надего колечко В
с массой т, которое может скользить по стержню без трения.
В начальный момент колечко В находится в покое на расстоянии
г0 от О, а стержню сообщают угловую скорость со0. Найти скорость»
колечка В относительно стержня, а также составить дифференциальное
уравнение его траектории в полярных координатах.
dr _ -i f Ma* 4- mr* f л 8>
dep У Ma2 4“ mro °' *
821—822J ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО тела вокруг неподвижной оси 233
821. Однородная прямая палочка длиной I вращается на гори-
зонтальной плоскости вокруг одного своего конца и гонит перед
собой шарик одинаковой с нею массы. В начальный момент шарик
находится в покое очень близко от неподвижного конца палочки,
а палочке сообщают некоторую угловую скорость. Найти угол
между абсолютной скоростью шарика и направлением палочки в
тот момент, когда шарик находится на самом конце палочки (сходит
с неё).
Ответ', ср = arc tg 26° 33’ 54".
822. На прямой круглый цилиндр, ось которого вертикальна и
служит осью вращения, накручена винтообразно трубочка; в эту
трубочку опускают сверху тяжёлый шарик, который, двигаясь вниз
вдоль трубочки, приводит её во вращение. Найти угловую скорость О
трубочки, а также абсолютную скорость т; шарика в тот момент,
когда он выходит внизу из трубочки. Даны: М — масса трубочки,
т — масса шарика, г — радиус цилиндра, h — шаг винтовой линии?.
п — число витков трубочки; массой цилиндра и сопротивлениями
движению пренебрегаем.
Ответ'. Й = ** c°s— u} v » и ]/1 — р (2 — р) cos9a,
где
I / Ignh h tn
"==Г l-t*cos‘a> tgo = ‘2HT’ + •
§ 34. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси, то сумма моментов
количеств движения его частиц относительно
(фиг. 34):
S mv • г=£ тгъ <о =
где J—момент инерции тела относительно оси вра-
щения.
На основании теоремы о моменте количества
движения для системы дифференциальное уравнение
движения тела в этом случае будет
7^г^2мом°(Р)’
dw
или, так как ш ,
dt
оси вращения равна
Фиг. 34.
В правой части этого уравнения стоит сумма моментов всех сил относи-
тельно оси вращения.
Давление тела на ось находим, применяя принцип Даламбера, причём
силы инерции разлагаем на касательные и радиальные составляющие.
234
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[823—827
Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси с угловой скоростью <о = —будет
Т = *"2" mv2 = /яо)ага=
где J—момент инерции тела относительно оси вращения.
823. Найти момент силы трения в подшипниках, если колесо,
пущенное со скоростью л0 оборотов в минуту, остановилось через Т сек.
Ответ: , где J есть момент инерции колеса относительно оси
вращения.
824. К колесу радиуса г, вращающемуся с угловой скоростью
вокруг оси О, прижимают радиальной силой АГ тормозную колодку АВ.
Через t сек после этого колесо вследствие трения останавливается.
©Определить величину коэффициента трения /. Мо-
-4 мент инерции колеса относительно оси вращения
У равен J.
U Ответ-.
К задаче 824. 825. На неподвижное вначале маховое колесо весом
Р кг радиуса R м действует пара с моментом L кгм,
плоскость которой перпендикулярна к оси колеса. Через сколько
времени колесо приобретёт скорость в п оборотов в минуту, если
радиус инерции колеса относительно его оси равен k м?
. Pk^n
Ответ: t-—^—r-ceK.
826. Прямоугольная пластинка ABCD со сторонами а и b весом Р
вращается вокруг вертикальной оси АВ с начальной
угловой скоростью <о0. Каждый элемент пластинки
испытывает при этом сопротивление воздуха, направле-
ние которого перпендикулярно к плоскости пластинки,
а величина прямо пропорциональна площади элемента
и квадрату его скорости; коэффициент пропорцио-
нальности равен k. Через какой промежуток времени
угловая скорость пластинки уменьшится вдвое ?
К задаче 826.
4Р
Ответ: t — .
827. Вес маховика Р=4,9 т, его радиус м, а радиус
инерции k = 1 м. Силы натяжения ремня Ft = 400 кг и «= 200 кг.
Определить угловое ускорение маховика. Найти также его кинети-
ческую энергию Т через 10 сек после начала движения,
Ответ: 1) е = 0,8 1/сек1\ 2) Т = 16000 кгм.
828—832) ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
235
828. Два шкива С\ и <?2 радиусов г, и г2 и весом и Р2
соединены бесконечным ремнём. К ведущему шкиву Ot приложен
вращающий момент Lt; к шкиву О2 при-
ложен момент сопротивления Z2. Опре-
делить угловые ускорения обоих шкивов,
если радиусы инерции их равны соответ-
ственно ki и k^.
Ответ'. 8t
МЛ r* — La rjg
P.klrl + P^rl
К задаче 827.
_ И (Л rs — LtrAg
* Pik^+P^rl •
829. Однородный прямой круглый цилиндр, размеры и вес ко-
торого известны, подвешивают к потолку при помощи упругой
проволоки, прикреплённой к центру его верхнего основания. Затем
его поворачивают на угол вокруг оси и опускают; благодаря
упругости закрученной проволоки цилиндр начинает совершать кру-
тильные колебания. Найти закон этих колебаний, если известно, что
для закручивания проволоки на угол ср к цилиндру нужно прило-
жить пару, расположенную в плоскости, перпендикулярной к его
оси, момент которой равен Л2?, где k* есть коэффициент пропорцио-
нальности.
(k
-7—- t
]/ J
относительно оси вращения.
, где J — момент инерции цилиндра
830. Однородный гонкий стержень подвешен верхним концом
к неподвижной точке и висит вертикально. Найти, какую наимень-
шую начальную угловую скорость надо сообщить стержню, чтобы
он мог сделать полный оборот вокруг точки подвеса в вертикаль-
ной плоскости, если длина стержня равна 2/.
Ответ: а»0 =
831. Прямой однородный стержень АВ весом Р подвешен кон-
цом А к неподвижной точке. В начальный момент стержню при-
дают вертикальное положение, так что конец В находится над точ-
кой подвеса, и отпускают без начальной скорости. Найти давление
на точку подвеса при прохождении стержня через нижнее верти-
кальное положение.
Ответ: 4Р.
832. Найти равнодействующую сил инерции материальных точек
плоской фигуры, которая вращается с переменной угловой ско-
ростью вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к её плоскости.
286 ДИНАМИКА СИСТЕМЫ [833—835
Ответ-. Равнодействующая проходит через центр качаний фи-
гуры и геометрически равна силе инерции центра тяжести фигуры,
в котором сосредоточена вся её масса.
833. Однородный прямой стержень качается в вертикальной
плоскости около своего верхнего конца О. Найти величину изги-
бающего момента в каком-нибудь сечении А стержня, отстоящем
на расстояние х от точки О, в тот момент, когда стержень обра-
зует с вертикалью угол 9, зная длину стержня 2Z и его вес Р.
Найти также то сечение стержня, где изгибающий момент имеет
в данный момент наибольшую величину (опасное сечение).
Указание. Искомый момент равен сумме моментов относительно
точки Л сил тяжести и сил инерции, приложенных к части стержня, лежа-
щей по одну сторону от точки А (ниже этой точки).
Ответ’. Искомый момент равен (2Z — х)* х\ для опасного
2/
сечения расстояние хж»-^,
834. Найти горизонтальную (Z?v) и вертикальную (/?Л,) проекции
реакции оси физического маятника, отпущенного без начальной
скорости из положения, определяемого углом % отклонения маят-
ника от положения равновесия. Найти потом проекции этой же
реакции на прямую, соединяющую точку подвеса с центром тяже-
сти маятника (7?г), и на перпендикуляр к этой прямой, лежащий
в той же вертикальной плоскости (7?р).
Ра2
Ответ: Rx — (3 cos 9 — 2 cos %) sin 9;
Рай
Ry = -ja~ [(3 cos 9 — 2 cos 9rt) cos 9 — 1] + P;
[(2й3+k*)cos тр — 20’’cos %];
D r a2 — k2 .
Kp = P —8— sin 9,
где a — расстояние центра тяжести маятника от оси вращения,
k — радиус инерции маятника относительно этой оси, Р—его вес.
835. Маятник, имеющий форму прямого тонкого стержня дли-
ной Z, приводят в горизонтальное положение и затем отпускают без
начальной скорости. Найти угол а между полной реакцией непо-
движной оси вращения стержня и этим стержнем.
Ответ: = A fgy, где — угол стержня с вертикалью.
836—840) ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
237
836. Колесо может вращаться в вертикальной плоскости вокруг
горизонтальной оси. Вес колеса равен Р, расстояние его центра
тяжести от оси вращения равно а. В некоторый момент колесо
начинают вращать с постоянным угловым ускорением е, выводя его
из состояния покоя. Найти горизонтальную и вертикальную проек-
ции динамической реакции оси в тот момент, когда
колесо сделало п оборотов после начала движения.
Ра
Ответ: Rx = — е [4тгл sin (2kw) — cos (2tc/z )],
' S
Ry = — s [4k/z cos (2дл) sin (2~«)j.
S
Полная реакция
R = e у 16irV+ 1.
К задаче 837.
837. Диск радиуса R весом P вращается во-
круг вертикальной оси z с постоянной угловой
скоростью причём ось вращения проходит через
центр тяжести диска, совпадающий с его центром О, и образует
угол а с нормалью к его плоскости. Найти горизонтальные ре-
акции в точках А и В, если АЕ>~1.
Ответ: N = N = PF№_ } 2а>
л В 81g
838. Вычислить давление на подшипники в паровой турбине
с горизонтальной осью, вращающейся со скоростью «==30 000
оборотов в минуту и весящей Р кг, если
радиус её г — 20 см, расстояние между под-
шипниками -1- /2 = 35 см и если
бины сидит немного косо на оси,
ней угол в 88°, но центр тяжести
на оси вращения.
Ответ: Динамическое давление
близительно 1000 Ркг.
равно при-
диск тур-
образуя с
его лежит
839. На каком расстоянии х от центра К задаче 838.
тяжести маятника должна находиться его
ось вращения, чтобы период колебания был наименьший?
Ответ: x^=k, где k — радиус инерции маятника относительно оси,
проходящей через его центр тяжести и параллельной оси вращения.
840. Два шарика А и В одинакового веса соединены тонким
стержнем, вращающимся в вертикальной плоскости вокруг непо-
238
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(841—844
движной точки. О. Найти период колебания этого маятника, прене-
брегая весом стержня; АО = а, ОВ = Ь.
Ответ'. 7 = 2тс 1/*г—•
г (a— b)g
841. Тонкая однородная пластинка, имеющая форму прямоуголь-
колебания вокруг неподвижной оси АВ,
ника ABCD, совершает
приведённая длина этого
составляющей с вертикалью угол а = 30°;
ширина пластинки AD — а = 0,5 я.
Определить период малых колебаний
пластинки.
Ответ'.
7^2tc1A-S—^1,6 сек.
г 3gsina ’
842. Круговой сектор радиуса г ка-
чается около горизонтальной оси, нор-
мальной к его плоскости и проходящей
через вершину его центрального угла.
Найти этот угол, если известно, что
маятника равна половине дуги сектора.
Ответ', sin -J = 0,75; а = 97°10'53".
843. Однородный диск радиуса г ==15 см совершает колебания
вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости диска
и проходящей через точку С, причём ОС ” г'
Найти период малых колебаний диска, а также по-
ложение центра качаний.
Ответ'. 7^1 сек. Центр качаний — точка А.
844. Маятник состоит из прямолинейного стерж-
К задаче 843. ня и прикреплённого к его концу полого шара,
массами которых можно пренебречь. Полость шара
наполняют один раз жидкостью, а другой раз — твёрдым веще-
ством той же плотности, что и жидкость.
Найти приведённые длины маятника в обоих случаях, если ра-
диус инерции объёма полости относительно её диаметра равен k,
а расстояние её центра от оси маятника равно а.
(Предполагается, что между жидкостью и стенками полости нет
трения и что вещество, наполняющее полость во втором случае,
не может двигаться внутри её.)
, в8 4- /г8
Ответ'. В первом случае ж» с, во втором случае «««—- — .
845—850] ВРХШЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
239
845. Маятник состоит из невесомого прямого стержня, на кото-
ром закреплены два однородных шара одинаковой плотности; ра-
диусы шаров равны а и Ь, а расстояния их центров от точки под-
веса равны сих. Каково должно быть расстояние х, чтобы при-
ведённая длина этого маятника имела наименьшее из возможных
значений?
Ответ: х определяется из уравнения
5Ь3х^ -1- 10 а3 сх— (ба3с2-|-2ав -j- 26s) — 0.
846. Маятник состоит из двух однородных прямолинейных стерж-
ней длины 2а и 26, жёстко соединённых концами под прямым
углом. Горизонтальная ось вращения маятника проходит через вер-
шину этого угла. Положение маятника в вертикальной плоскости
определяется углом 9 меньшего стержня с горизонтом. Найти
наибольшее значение этого угла, если в начальный момент 9 = 0,
и маятник начинает ко юбаться без начальной скорости.
Ответ: 9тах = 2с*, где 9* — значение угла 9, соответствую
щее положению равновесия маятника.
847. Условия предыдущей задачи. Найти приведённую длину I
маятника.
Ответ: I —
4 а8 &8
3 у*
848. Найти период малых колебаний маятника, состоящего из
проволочной дуги окружности, подвешенной к горизонтальной оси,
нормальной к плоскости дуги и проходящей через её середину.
Центральный угол дуги равен 2а, а радиус дуги равен г.
Ответ: 7’к=2тг|/Г-^ (не зависит от а).
849. Однородный круглый диск сначала качается вокруг своей
горизонтальной касательной, потом этот же диск качается вокруг
горизонтальной оси, нормальной к его плоскости и проходящей
через какую-нибудь точку его окружности. Найти отношение при-
ведённых длин для первого и второго случаев.
Ответ: у--^2.
1% о
850. При какой длине / маятник, состоящий из однородного
круглого цилиндра, качающегося около одного из диаметров
своего основания, радиус которого равен г, будет отбивать секунды?
Ответ: Искомая длина определяется из уравнения
240
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[851—853
Если г мало, то
4^
3
2М-
851. Доказать, чго если к физическому маятнику прикрепить
в центре качаний ^материальную точку какого угодно веса, то
период колебаний маятника не изменится.
§ 35. Движение твёрдого тела параллельно плоскости.
Положение твёрдого тела, движущегося параллельно плоскости, можно
определить координатами центра тяжести (^) относительно неподвижных
осей (£rj и углом <р, который (фиг. 35) определяет положение тела относи-
тельно осей (ху), параллельных неподвижным (£ () и имеющих начало
в центре тяжести. Так как всякое движение системы кинематически и
динамически можно рассматривать состоящим из
У поступательного движения, вместе с центром
тяжести и движения относительно центра тя-
жести, причём в данном случае движение отно-
®сителыго центра тяжести есть вращение вокруг
1 оси, проходящей через центр тяжести и перпен-
дикулярной к плоскости -СР, то дифференциальные
х уравнения движения тела будут:
,1—.--------------« ^=2*
фиг‘ 35' = У м°мс Р — У (xY — УХ),
где Р(Х, К) — силы, действующие на тело, a Jc—момент инерции тела
относительно оси, проходящей через центр тяжести и перпендикулярной
К ПЛОСКОСТИ SOiq
Кинетическая энергия твёрдого тела в этом случае на основании
теоремы Кёнига будет
т г-И"< (Я’-фл+мят
852. Шкив радиуса г весом Р обмотан нитью,
конец которой прикреплён к потолку. Найти уско-
©ренис с которым движется центр шкиза при
падении его вниз, угловое ускорение б шкива и
натяжение нити Т.
Ответ', w = gt s «= || , ^Р.
К задаче 852. 853. Цилиндр весом Р катится без скольжения
под действием своего веса по наклонной плоско-
сти с углом а. Определить ускорение w центра О, давление /V
цилиндра на плоскость и силу трения F, препятствующую сколь-
жению цилиндра.
854—856] ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ПАРАЛЛЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ
241
Ответ'. = ^sina, /V—Pcosa, F =Р sin а.
854. Решить предыдущую задачу, предполагая, что трения
между цилиндром и плоскостью нет.
Ответ', w =g sin a, TV = P cos a.
855. Однородный стержень AB длиной 2a укреплён на шарнире
в точке Л; в начале он неподвижен и занимает горизонтальное положе-
ние. В тот момент, когда стержень проходит через вертикальное по-
ложение, шарнир А освобождают, и стержень становится свободным.
К задаче 853.
К задаче 855.
К задаче 856.
При дальнейшем движении центр тяжести его описывает параболу,
а сам стержень вращается вокруг центра тяжести. Сколько обо-
ротов сделает стержень за то время, в течение которого его центр
тяжести опустится на расстояние Л?
Ответ', п — 2-1/~ —. '
г Л
856. Однородный стержень АВ длиной 2a и весом Р движется
под действием своего веса, скользя концами А и В по гладкой вер-
тикальной стене и гладкому горизонтальному полу. Определить
угловую скорость стержня со и давления его N и на стену
и пол в функциях угла ср, если в начальный момент стержень
неподвижен и <р = ^0. При каком значении <р стержень отойдёт от
стены ?
Отвепг. ш =]/~ (sin% — sin <р),
3
N— Р (3 sin <р — 2 sin %) cos ср,
TVi — j Р(1 — 6 sin % sin <р -f~ 9 sin4 <j>).
Стержень отойдёт от стены при
2 .
sin яр = sm <р0.
16 Сборник задач
242
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
1857—859
Примечание. Если в той точке стены, где находится верхний конец А
стержня в начальный момент, подвесить маятник, состоящий из невесомого
твёрдого стержня длиной 4/3 а с тяжёлой точкой на конце, привести затем
маятник в такое положение, чтобы он составлял продолжение стержня, и,
наконец, отпустить одновременно и маятник и стержень, то оба тела будут
во время движения оставаться параллельными друг другу до того момента,
когда стержень отойдет от стены, а реакция в точке подвеса маятника ста-
нет равной нулю.
857. Однородная палочка АВ длиной 2а и весом Р положена
в гладкий неподвижный полуцилиндр с центром О, причём
/, АОВ = 90°. Палочка движется под действием своего веса. Опре-
делить угловую скорость палочки <о и реакции Na и Nb в точках
А и В. В начальный момент палочка находится в покое и угол
9 — Z. Ло ОС = 45 . Точка С —центр тяже-
сти палочки.
Ответ'. <о =j/^- (sin ср — sin <?0),
Wa=4p (10sln<p ---------COS Cp) — 6],
NB = ^P[^2 (10sin94-coscp)— 6].
858. Чечевица маятника имеет форму диска, который может
свободно вращаться без трения вокруг своего центра. Найти без
вычислений траектории точек чечевицы при движении маятника.
В начальный момент система находится в покое.
Ответ'. Траектория любой точки А диска есть окружность
радиуса, равного расстоянию от точки О подвеса маятника до
центра Ot диска; центр С этой окружности является четвёртой
вершиной С параллелограмма OOiAC.
859. Данное тело, будучи поставлено в известные начальные
условия, совершает плоско-параллельное движение под действием
определённой системы сил. Подобрать такую систему из двух
жёстко связанных между собой материальных точек (лежащих на
прямой, проходящей через центр масс тела в плоскости его движе-
ния), которая была бы динамически эквивалентна данному телу
(т. е. будучи поставлена в те же условия, что и тело, совершала
бы одинаковое с ним плоское движение). Тот же вопрос, но точек
три и все они расположены на одной прямой, причём средняя
совпадает с центром масс тела.
Ответ'. Расстояние а{ одной из заменяющих точек от центра
масс тела произвольно. Обозначив через М, mlt т2 — массу тела
и массы обеих точек, через —центральный радиус инерции
тела, через а2 — расстояние второй точки от их центра масс, ко-
660—864] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПАРАЛЛЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ 243
торый совпадает с центром масс тела, найдём:
Ад ТИАд
О “»=^> mi=a2+k2 = ^+4"’
MkZ Mkl .J . kl
2) т, == —----i--r> ,Wt> == ---7—।-v> тъ 714 1------------
' 1 di (#1 ~Ь d2) d2 (fij 4- d2) \ di d2
860. Полая сфера, внутренний радиус которой равен г, а на-
ружный 7?, наполнена жидкостью такой же плотности, как и её
стенки. Сферу кладут на шероховатую наклонную плоскость, по
которой она скатывается без скольжения, проходя некоторый
путь х за время t. Сравнить это время с временем в течение
которого сплошная сфера той же плотности и такого же радиуса R,
что и первая, скатывающаяся по той же наклонной плоскости,
пройдёт такой же путь х. Сравнить также пути х и хи пройден-
ные обеими сферами в одинаковые промежутки времени t.
„ * Л Г 2" х 7п5 % /?
Ответ-. |/ 1 ?-6 , 7п°—2“~ ’ где п г *
861. Круглый однородный цилиндр массы М и радиуса г ска-
тывается без скольжения по наклонной плоскости, угол которой
с горизонтом равен а. Вокруг цилиндра обмотана нить, конец А
которой тянут вверх по наклонной плоскости
Найти ускорение ту центра тяжести ци-
линдра и натяжение нити Т. Исследовать слу-
чаи: а —0 и а =90°.
Ответ*.
с ускорением а.
К задаче 861.
862. Условия предыдущей задачи. Найти, с каким ускорением
надо тянуть вверх пить, чтобы цилиндр вращался па месте. Найти
натяжение нити при этом. Разобрать случай а = 90 .
Ответ*. a = 2g sin а, Т = Mg sin а.
863. Найти условие возможности чистого качения (без скольже-
ния) круглого цилиндра радиуса г, положенного без начальной ско-
рости на шероховатую наклонную плоскость, угол которой с горизон-
том равен а, если коэффициент трения равен f. Радиус инерции ци-
линдра относительно оси вращения его равен А.
А2 + г2
Ответ*, tg а —/•
864. Круглый цилиндр радиуса г положен на наклонную плоскость,
угол которой с горизонтом равен а; коэффициент трения равен /.
Найти движение цилиндра, если условие чистого качения не соблю-
16*
244
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
1865—866
^2 г2
дено, т. е. если1£а^>—— /, где k — радиус инерции цилиндра
относительно его оси вращения. Вначале цилиндр находится в покое.
Ответ'. Цилиндр будет скользить и катиться.
1) Ускорение его центра тяжести, или ускорение поступатель-
ного движения
и груза и
при кото-
вращатель-
будет ос-
К задаче 865.
sin (a — tp)
— ar--'----IZ
COS у *
где 9 = arctg/ (угол трения);
2) угловое ускорение цилиндра
jrcos a.
865. Круглый цилиндр, масса которого равна М, радиус равен г,
радиус инерции равен А, положен на совершенно гладкую наклон-
ную плоскость, угол наклона которой
равен а. На цилиндр намотана гибкая не-
весомая нить, протянутая вверх по плос-
кости, перекинутая через неподвижный
блок, массой которого можно пренебречь,
и несущая на своём конце груз массы т.
Найти: 1) движение цилиндра
натяжение нити; 2) условия,
рых возможно только одно
ное движение цилиндра; 3) условие, при котором груз
таваться неподвижным, и натяжение нити при этом.
Ответ'. 1) Ускорение центра тяжести цилиндра
w — A [mr- sin a -J- (Af sin a — m)k* 2} g.
Угловое ускорение цилиндра
е = 2 Amgr cos3 (45° — % a).
Натяжение нити
Т= 2 AMmgk2 cos3 (45° — >/а a).
Ускорение груза
‘ЗУ. = А [тг2 — (Al sin а — т) /с3] g, где А — .—, ... . а ,-8.
1 1 4 * 7 J {т 4-Л1)Ла4-»1г8
1
Л8 S1T1 ft е .а О •
2) = ~^а- __ sin (следовательно, /г г sin а, что в случае
однородного цилиндра даёт а<^30°).
оч т k2 . _
3) пг? = —о sin а, Т= mg.
' М А2+г2 * 6
866. Условия предыдущей задачи, но масса блока равна р-, а
плоскость вертикальна (а = 90°). Найти движение этой системы и
натяжение нити. Правильность найденного ответа можно проверить,
867—868] ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ПАРАЛЛЕЛЬНО плоскости 245
положив в нём р = О, а в ответе предыдущей задачи, положив
а = 90°. Результаты этих подстановок должны быть тождественны.
867. Круглый цилиндр, вес которого равен Р, радиус равен R, а
радиус инерции относительно геометрической оси равен /г, надет на
горизонтальную ось, кото- _
рая может скользить без тре- V е
ния между неподвижными
рейками, так что цилиндр
может и вращаться и дви-
гаться поступательно в го-
ризонтальном направлении.
К задаче 867.
На середине цилиндра имеется шейка радиуса г, на которую намо-
тана верёвка, другая верёвка намотана на самый цилиндр. К концам ве-
рёвок приложены горизонтальные силы Q и Т. Найти движение ци-
линдра и исследовать его в зависимости от величины силы Т. (Изо-
бразить графически зависимости между поступательным и угловым
ускорениями цилиндра и величиной силы Т.)
Ответ’. Ускорение поступательного s' у
движения f X
Q— Т I \
= ^~Р~g' \ уУ / g
угловое ускорение вращения
TR — Qr
6 — Р/.2 S* К задаче 868.
868. Круглый цилиндр, вес которого равен Р, радиус равен /?,
радиус инерции относительно геометрической оси равен А, снабжён про-
дольными зубцами и может катиться без трения по горизонтальной зуб-
чатой рейке. На середине цилиндра имеется шейка радиуса г, на которую
намотана, как указано на чертеже, верёвка; к концу этой верёвки при-
ложена горизонтальная перпендикулярная к оси цилиндра сила Q.
Найти движение цилиндра и реакцию (горизонтальную) F рейки.
С? —— у*
Ответ* Угловое ускорение е = g-«’вГлГьг S- Ускорение поступи-
* R “I л
Q R (R___Н
тельного движения w— р*. Реакция рейки
Р R А2 с
р__р> k2 И- Rr гл
246
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[869—870
869. Условия предыдущей задачи, но зубцы отсутствуют, а пло-
скость шероховатая (коэффициент трения равен /). Изучить движение
цилиндра в зависимости от величины силы Q, считая, что коэффи-
циент трения f в покое и в движении одинаков.
Ответ'. Если (см. прилагаемый график)
k* + rR
то имеем чистое качение (без скольжения) вправо с ускорением
г» Q R — г
W “ Р ’ /?2 + /г2
Если Q^>Qi и, следовательно, QZ>fP> то
т. е. продолжается движение вправо, но это уже не чистое качение,
а качение, соединённое со скольжением контактной точки вправо.
Положительное угловое ускорение ej (вращение по часовой стрелке)
уменьшается с возрастанием Q, обращается в нуль при
<2 = <2»=/Ру,
потом становится отрицательным (вращение против часовой стрелки)
и остаётся таким, возрастая по абсолютной величине.
870. Однородный круглый цилиндр весом Р положен на наклон-
ную плоскость, угол которой с горизонтом равен а и удерживается
в равновесии при помощи огибающей его верёвки, концы которой
закреплены в точках А и В так, что часть АС идёт вдоль плоско-
сти, а часть DB ей параллельна. Найти ускорение центра тяжести
цилиндра, а также натяжение обеих частей верёвки, если конец ве-
рёвки В будет освобождён и к нему будет приложена данная сила
Q, параллельная плоскости и направленная вверх.
Ответ'. Ускорение центра тяжести цилиндра.
2(2Q — Psino)
w=i - -ЗР-------
871—872) ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ПАРАЛЛЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ 247
Натяжение верёвки BD равно Q. Натяжение верёвки АС равно
i-(Psina-|~Q),
О
871. Однородный круглый цилиндр весом Pt обмотан верёвкой
и положен на шероховатую горизонтальную плоскость; свободный
конец верёвки протянут горизонтально, как показано на чертеже,
перекинут через неподвижный блок (без
массы и трения) и несёт груз весом
Найти, предполагая, что цилиндр ка-
тится без скольжения, ускорение
центра тяжести цилиндра ускорение
груза и натяжение верёвки Т. *
4 Р.
Ответ-. 3p, + 8p,
ЗР,Р,
К задаче 871.
; Г— .
872. Цилиндр радиуса г (или шйр того же радиуса) весом Р
катится под действием силы тяжести внутри неподвижного цилиндра
большего радиуса /?, образующие которого горизонтальны, начиная
движение из состояния покоя. Найти движение цилиндра при усло-
вии чистого качения и нормальную реакцию /V неподвижного цилиндра,
если коэффициент трения скольжения равен /, а радиус инерции
цилиндра (или шара) равен k (относительно оси, проходящей через
центр тяжести и параллельной образующим неподвижного цилиндра).
Ответ’, Обозначив через 9 угол между радиусом большого ци-
линдра, проходящим через центр тяжести малого, и вертикалью, а
через 90 — начальное значение этого угла, найдём, что цилиндр бу-
дет катиться без скольжения при условии
tg % ^2—/= 3/ (Для шаРа tg 9о 4 /),
при этом центр тяжести цилиндра
тическому маятнику длиной
<=№-у+Д)=|(^_г)
будет двигаться подобно матема-
{для шара I —
I (К -'•)]
В случае цилиндра реакция
N= 4(7 cos 9 — 4cos90).
О
В случае шара
W — у (17 cos 9 —10 cos 90).
248
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[873—875
873. Доска весом Рх движется по негладкой горизонтальной
плоскости под действием горизонтальной силы F. Коэффициент
трения между доской и плоскостью равен /. На доске лежит одно-
родный сплошной круглый цилиндр ве-
сом Р2, который может кататься по доске
без скольжения. Определить ускорение
доски.
К задаче 873.
Ответ*. w = ——
874. Прямой 'однородный стержень весом Р опирается одним
концом на гладкий горизонтальный пол, образуя с полом угол в 60°;
стержень начинает падать, выходя из состояния покоя. Определить на-
чальное давление стержня на пол.
Ответ'. ~Р.
875. Прямой однородный стержень весом Р подвешен в гори-
зонтальном положении на двух параллельных нитях, прикреплённых
к его концам. Найти натяжение одной из нитей в тот момент, когда
другую пережигают.
Ответ', -г.
4
§ 36. Движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой.
При движении вокруг неподвижной точки в каждый момент тело имеет
мгновенную угловую скорость w и кинетический момент 0 = х По
теореме о кинетическом
моменте имеем (фиг. 36)
dO ,
dt=L' (О
где L — сумма моментов
внешних сил относитель-
но неподвижной точки.
Если уравнение (1) отне-
сти к подвижной систе-
ме координат (хуг), не-
изменно связанной с те-
лом, то получим
<?) = £. (2)
1. Если твёрдое тело, имеющее ось симметрии, движется вокруг непо-
движной точки О, вращаясь вокруг оси симметрии z с достаточно большой
угловой скоростью coj (гироскоп), то оно под действием момента внешних сил L
совершает ещё вращение вокруг неподвижной оси z’ (прецессию) с угловой
скоростью w. Полагая угловую скорость прецессии достаточно малой, можно
приближённо считать, что кинетический момент О всё время направлен п )
оси симметрии тела z (фиг. 37) и равен Ja>2, где J есть момент инерции тела
876] ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ точкой 249
относительно оси симметрии. Если 0^ = const, то из уравнения (2) имеем
£ + (?«»! X <о) = О, (3)
т. е. момент внешних сил L уравновешивается моментом сил инерции
Ло1Хю=/С, который называется гироскопическим моментом и направлен пер-
пендикулярно к плоскости, проходящей через ось симметрии гироскопа и ось
прецессии. Очевидно, К — Jwjtosin (<оь to). Если ось гироскопа г закреплена
в подшипниках, то прецессия, сообщённая гироскопу извне, вызывает гиро-
скопический эффект в виде пары с моментом К, которая действует на
ПОДШИПНИКИ.
2. Если за оси подвижной системы координат (xyz), связанные с телом,
взять главные оси инерции тела, то уравнение (2) в проекциях на подвиж-
ные оси приобретает вид (уравнения Эйлера):
причём
Zr 4* С4 — /у) I
/у "Ь (Zr Zr) = Ly, }
, dto^ , f t , X Г I
Zj J- (Jy Jx) = Lz, |
dt> . n . , do
сод. = sin 6 sin <₽+ -г? cos tf
dt J ' dt
db . л dO .
tov s= < sin 9 COS V —-y. Sill <f>,
y dt dt
d6 , dtp
<02= Jc0S<f+^,
где <p, ф, 0 —углы Эйлера (см. Кинематика, § 18).
Пусть, например, твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z с
постоянной угловой скоростью о>, причём центр тяжести тела О лежит на этой
оси и Л- — Jy^=- Jz- Так как в данном случае Jx—Jy, то за оси координат х
и у можно выбрать любые взаимно перпен-
дикулярные оси в плоскости, перпендикуляр-
ной к оси z. Тогда, взяв ось х в плоскости z'Oz
(фиг. 38), получим
to*. — — и sin a, toy = 0, wz — и cos а.
Подставляя в уравнения (4), получим
Lx — 0, Ly — — (Jx — Jz) ш2 sin a cos a =
— Zs "Lx sin 2a, Lz — 0;
2 ’ z
следовательно, момент сил инерции будет на-
давлен по оси у, т.. е. перпендикулярно к пло-
скости z'Oz, и вызовет в подшипниках А и В
равные и противоположно направленные реак-
ции величиной (при условии АО = ОВ)
-z —х «о2 sin 2a,
где d==AB.
876. Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна,
делает 250 оборотов в минуту. Вес вращающейся части равен 18 т,
радиус инерции равен 1,43 м. Определить гироскопическое давление
250 динамика системы |877—882
на подшипники, расстояние между которыми равно 5,55 м при по-
вороте судна с угловой скоростью, равной 10° в секунду.
Ответ.-. 3 т.
877. Гироскоп, в котором А = В = 2С, вращается по инерции
вокруг центра тяжести, совершая регулярную прецессию. Зная угловую
скорость <Oj собственного вращения гироскопа и угол между осью ги-
роскопа и осью прецессии 6 = 60°, найти угловую скорость прецес-
сии <о2.
Ответ'. <о2 = 2(1^.
878. Однородный круглый диск вращается по инерции вокруг
своего центра тяжести. В начальный момент диску была сообще-
на угловая скорость вокруг некоторой оси, составляющей с пло-
скостью диска угол а. Определить угловую скорость прецессии
и угол р, который ось прецессии составляет с плоскостью диска.
Ответ'. <о2 — coj 1 3 sin2a; tg р = 2 tg а-
879. К твёрдому телу с одной неподвижной точкой, вначале на-
ходящемуся в покое, приложена система сил, главный момент кото-
рой относительно неподвижной точки равен L. Показать, что под
действием этих сил тело начинает вращаться вокруг того диаметра
эллипсоида инерции (относящегося к неподвижной точке), в конце
которого плоскость, касательная к эллипсоиду, перпендикулярна к
вектору L.
880. Доказать, что если кинетический момент твёрдого тела в
движении вокруг неподвижной точки всё время перпендикулярен к
мгновенному угловому ускорению тела, то кинетическая энергия
тела постоянна.
881. Показать, что при движении тела вокруг неподвижной точки
по инерции: 1) прямая, по которой направлен кинетический момент
тела описывает в теле конус
v1 2ГД Л 2TB P + v 2TC )z u
(где T — кинетическая энергия тела, А, В и С — его главные момен-
ты инерции, Q — модуль кинетического момента), 2) прямая, перпен-
дикулярная к мгновенной угловой скорости тела, описывает конус
Л'2 । У* I z* _ Л
. G8 *' Ga i _ —
1 2ТА 1 2ТВ 1 2ТС
(оси х, у, z совпадают с главными осями инерции тела в неподвиж-
ной точке).
882. Центр D однородного диска радиуса г, катящегося без
скольжения по горизонтальной плоскости, неизменно связан с непо-
883—8861 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО тела с одной неподвижной точкой 25J
движной тдчкой Е. Показать, что динамическое давление в точке Н
выражается так:
N = (С (ab -\-hr)b — A(hb— ar) г] Й2,
где Q — угловая скорость, с которой прямая ED вращается вокруг
вертикальной оси FEt b = ED, а и h — расстояния, указанные на
чертеже, А и С — главные моменты инерции диска, относящиеся
к точке Е, г*.
883. Доказать, что при движении твердого тела вокруг неподвиж-
ной точки по инерции при условии, что А = В С, угол между
образующей и осью неподвижного йксоида не может быть больше
19 28'.
884. Вывести формулу для главного момента внешних сил относи-
тельно неподвижной точки, способных создать регулярную прецессию:
С — A <оа
С
cos О
пользуясь теоремой Резаля.
885. Тело вращения с осью симметрии Oz вращается вокруг не-
подвижной оси OzXi проходящей через центр тяжести О тела. Найти
динамические давления тела на подшипники, пользуясь теоремой Ре-
заля, если известны: угловая скорость тела о», угол 0 между осями Oz
и Ozv моменты инерции тела С (относительно оси Oz) и А (эква-
ториальный), а также расстояние Z между подшипниками.
С А
Ответ'. — <°2 sin 26.
886. Тяжёлый симметричный гироскоп совершает регулярную пре-
цессию вокруг вертикальной оси OZi, причём угловая скорость <о
собственного вращения вокруг оси Oz очень велика по сравнению
с угловой скоростью прецессии. Найти приближённое выражение для
горизонтальной силы реакции в неподвижной точке О, если известны:
252
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(887
вес тела Р, расстояние Zc от точки О до центра тяжести тела, момент
инерции его С относительно оси z и угол 0 между осями zt и z.
Ответ'. F — „ sin 0.
Cagua
»
887. Однородный тяжёлый диск вращается вокруг оси Oz с по-
стоянной угловой скоростью w и, кроме того, качается как маятник
вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа.
Доказать, что собственное вращение диска не влияет па период его
колебаний как маятника.
§ 37. Удар.
1. При соударении двух тел, скорости которых до удара равны и
и направлены по прямой, соединяющей центры тяжести этих тел и пер-
пендикулярной к общей касательной плоскости в точке удара, тела после
удара изменяют свои скорости. Если скорости тел после удара будут Щ и
»i, то
+ ^афа = mtih -J- т..и2, (1)
ul — U2 — -~e(vl — т>2), (2)
где /иилг2 — массы соударяющихся тел, а е — величина, зависящая от упру-
гих свойств тел, называемая коэффициентом восстановления. Если е — 0,удар
называется абсолютно неупругим; если е=1, то — абсолютно упругим; во-
обще 0 е 1. Из уравнения (1) и (2) имеем выражения для скоростей после
удара
<»+£>; И1==ф8+<?1=®?К1±£). (3)
1+ 1 + ^?
та пц
При ударе происходит уменьшение кинетической энергии на величину
2. Количество движения, приобретённое системой при ударе, равно сумме
всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе, т. е,
bQ=zMbvc=%S(e)t (5)
где М — масса всей системы.
888—8911
УДАР
253
Изменение кинетического момента системы относительно неподвижного
центра равно сумме моментов внешних ударных импульсов относительно
того же центра, т. е.
V момф S(e)t (6)
В случае абсолютно твёрдого тела, ектируя уравнение (6) на главные оси ной точке, получим: имеющего в инерции (х, еподвижную точку, про- у, z) тела в неподвиж-
момх S’,
(Wyl “уо) = J МОМу (7)
Л Ki — <°го) — J мом2
Если твёрдое тело имеет неподвижную ось, например осьг, то
Jz • («1 — «>о) = момг S', (8)
где w0 и — угловые скорости тела до и после удара.
888. Вагонетка, весящая вместе с грузом 1600 кг, набегает со
скоростью 1,9 м(сек на порожнюю вагонетку весом 1200 кг, стоя-
щую неподвижно. Определить скорость обеих вагонеток после удара,
если коэффициент восстановления е = 0,5.
Ответ,’. 0,68 м!сек и 1,6 м(сек.
889. Вагонетка, весящая 1600 кг, набегает с некоторой скоростью
на другую вагонетку, весящую 1200 кг и стоящую неподвижно.
После удара обе ваго'петки проходят одно и то же расстояние, рав-
ное 2% первая за время /j—3,1 сек, а вторая за время 1,3 сек.
Считая движение вагонеток после удара равномерным, определить
коэффициент восстановления.
Ответ', е = 0,47.
890. Шарик падает с некоторой высоты h на неподвижную гори-
зонтальную плоскость. При втором ударе о плоскость шарик, от-
скакивая от неё, достигает высоты . Определить коэффициент вос-
становления.
Ответ'. е = —Д—.
J/2
891. Копровая баба весом Q = 350 кг падает с высоты Ь — 2м.
При последних п — 25 ударах свая, вес которой q = 50 кг, уходит
в грунт на глубину s = 5 см.
Считая удар неупругим, определить наибольшую нагрузку, кото-
рую может выдержать свая, не давая осадки.
Ответ'. /?=Q-|-^ + /2-^L^306/w.
254
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
|892—898
892. Паровой молот весом Q^ — lm ударяет кусок металла, вес
которого вместе с наковальней Qq — 15 т. Определить коэффи-
циент полезного действия молота, если коэффициент восстановления
£ = 0,6.
Ответ: tq = (1 — £2) = 0,6.
893. На материальную точку, имеющую скорость V, действует
ударная сила
F, вследствие чего скорость точки становится
равной и. Показать, что работа силы F за время
удара равна 5т;* cos где 5 — величина импульса,
сообщённого точке, и 9 — угол между
векторами S и я*.
894. Биллиардный шар, выходя из М и отразив-
шись четыре раза от бортов, возвращается опять
в М. Считая удар вполне упругим, доказать, что
шар описывает при этом параллелограмм, стороны
которого параллельны диагоналям биллиардного
стола.
К задаче 894. 895. Два шара весом 20 кг и 36 кг движутся
навстречу друг другу. Скорость первого шара до
удара равна 8 м/сек. Определить скорость второго шара при
условии, что после удара оба шара останавливаются. Удар не-
упругий.
Ответ: 4,44 м/сек.
896. При ударе двух шаров равных масс потерянная энергия
составляет 1/3 начальной энергии шаров. Показать, что в этом случае
£а<^1/3, где е — коэффициент восстановления.
897. Три совершенно упругих шара с массами mif тг и zn3 на-
ходятся в покое на одной прямой. Первому шару сообщают некото-
рую скорость vlt направленную по этой прямой. Считая величины mit
т3 и заданными, определить, какова должна быть масса второго
шара т%, чтобы скорость, полученная после удара третьим шаром,
была наибольшая.
Ответ: тг — ]/тхт^.
898. п шаров с массами тъ тъ тя, ••», тп находятся в покое на
одной прямой. Первому шару сообщают скорость vit направленную
по этой прямой. Найти скорость, приобретённую последним шаром
после удара, если коэффициент восстановления для всех шаров ра-
вен е.
Ответ: ип = (1 4- е)п 1-~
п 4 1 J +1
+ т,
«уу—9051
УДАР
255
899. Плоская пластинка движется в своей плоскости так, что
точка О пластинки имеет скорость ®й, а угловая скорость вращения
пластинки вокруг О равна с%. Радиус инерции пластинки относи-
тельно точки О равен k. Расстояние точки О от центра тяжести С
пластинки равно /. Угол между направлением ОС и скоростью
равен а. Точка О мгновенно закрепляется. Найти угловую скорость
пластинки после закрепления этой точки.
. vJsina
Ответ". <w = co0-j—.
900. К однородному прямолинейному стержню весом Ри длиною /,
закреплённому на шарнире О и находившемуся в покое, приложен
в точке А (посредством удара) импульс <$ в направ-
лении, перпендикулярном к стержню. Стержень от- cW
клоняется при этом от вертикали на угол а. Найти
величину S, если расстояние О А = к. -Д х
~ о п 1 • «1<2?
Ответ". 5 — P . sin o I/ \
h 2 г с \ -
901. Плоская пластинка находится в покое;
радиус инерции пластинки относительно её центра
тяжести С равен к. К пластинке приложен им-
пульс S, причём расстояние СК линии удара К задаче 900.
от центра тяжести равно h. Найти положение
мгновенного центра вращения пластинки непосредственно после удара.
Ответ", Искомый центр вращения О лежит на продолжении ли-
нии КС, причём расстояние СО — (точка К есть центр удара пла-
стинки относительно точки О).
902. При условиях предыдущей задачи показать, что точки О иК
обладают свойством взаимности, т. е. что точка О является центром
удара пластинки относительно точки К.
903. Две материальные точки с равными массами движутся в од-
ной плоскости с любыми скоростями, заданными по величине и на-
правлению. Построить мгновенный центр, вокруг которого начнут
вращаться эти точки, после того как они мгновенно соединяются
твёрдым невесомым стержнем.
904. Три свободные материальные точки А, В и С, имеющие рав-
ные массы, образуют в данный момент равносторонний треугольник
и движутся с равными скоростями, направленными соответственно по
линиям АВ, ВС и СА. Эти точки мгновенно соединяются твёрдыми,
невесомыми стержнями. Показать, что потерянная при этом энергия
составляет 3/4 начальной энергии системы.
905. В доску весом Р, могущую вращаться вокруг горизонталь-
ной оси О и вначале находящуюся в покое, в точке А ударяет пуля
256
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(906—908
весом р, причём скорость пули перпендикулярна к плоскости доски.
После удара пуля остаётся в доске, а доска отклоняется от верти-
кали на угол а. Зная этот угол, найти скорость пули до удара, если
радиус инерции доски относительно оси О равен k, а расстояния
//////м центра тяжести доски и точки А от той же оси равны
соответственно I и а.
I
Ответ', v = 2 sin
а
С
А
906. Однородный стержень длины 2/, движущийся
поступательно в плоскости чертежа со скоростью V,
перпендикулярной к стержню, наталкивается на опо-
л I
ру А, находящуюся от его конца на расстоянии-^- .
Определить угловую скорость стержня и скорость его
центра тяжести после удара, считая удар неупругим.
К задаче 905.
Ответу
Gv
<о = —:
7Г
3
и — у V.
907. Однородный стержень, вращающийся на шарнире О, откло-
няют от вертикали па угол «1 и отпускают без начальной скорости.
После удара об опору А стержень отклоняется от вертикали на
угол аа<^ар Определить коэффициент восстановления.
аз
s,nT
Ответу k = -----
«1
sm-2
908. Два маятника могут вращаться вокруг горизонтальных осей Oi
и О$, перпендикулярных к плоскости чертежа. Моменты инерции
маятников относительно этих осей равны Jt и Левый маятник от-
клоняют от вертикали на некоторый угол и затем отпускают, В мо-
909—9101
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА (ВТОРОГО РОДА)
257
мент удара его угловая скорость равна <в0. Определить угловые ско-
рости обоих маятников после удара, если коэффициент восстановле-
ния равен е, а расстояния точек О] и О2 от линии удара
равны между собой.
Ответ: <02= ~ г г 7 "
909. Пластинка произвольной формы движется в своей
плоскости. Некоторую точку пластинки мгновенно закреп-
ляют. Как нужно выбрать эту точку, чтобы пластинка
остановилась?
Ответ: Искомая точка совпадает с центром удара
пластинки относительно мгновенного центра, вокруг ко-
торого вращалась пластинка непосредственно до закреп-
ления этой точки.
3
910. Однородный прямолинейный стержень длины 2Z
и массы М может вращаться в вертикальной плоскости к зада-
на шарнире О. К нижнему концу его при помощи шарни- че 910.
ра О' присоединён второй такой же стержень. Когда оба
стержня находятся в покое, нижнему стержню сообщают импульс S,
приложенный в середине А стержня и направленный перпендику-
лярно к стержню. Определить угловые скорости обоих стержней
и скорость точки А после удара.
„ 3 S 3 S 6 S
Ответ- <»i= н ж • jw- г’А=Т'ЛГ
§ 38. Уравнения Лагранжа (второго рода).
Пусть положение системы определяется независимыми координатами qt,
q2,..., Яп> если 9ТИ координаты известны как функции времени, движение
системы вполне определено.
Кинетическая энергия системы
т =
i I
при переходе от декартовых координат к независимым qlt qs,..., qn выра-
жается функцией второй степени от обобщённых скоростей qlt од-
нородной, если связи системы явно пе зависят от времени.
Уравнения движения системы в независимых координатах имеют вид
= (*=1,2,. ..,п} (1)
dt\dqj dqt
и представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний второго порядка относительно неизвестных функций qu qSi qn. Ин-
тегрируя эту систему, находим независимые координаты qlr q2, ..., qn как
функции времени t и 2п произвольных постоянных, определяемых началь-
17 Сборник задач
258
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[911—912
ными условиями. Таким образом, дня составления уравнений Лагранжа (1)
необходимо прежде всего выразить кинетическую энергию системы Т в
зависимости от координат q2,..., qn и их производных по времени, затем
,, дТ дТ
найти частные производные — (обобщённые импульсы) ------- и определить
d<7* dqi
действующие на систему обобщённые силы Q2.
Для того чтобы определить соответствующую координате обобщён-
ную силу Qi, нужно сообщить системе элементарное перемещение, при ко-
тором изменялась бы только координата qL, и вычислить сумму элементар-
ных работ всех действующих на систему активных сил 6Л при этом пере-
мещении. Тогда
= (2)
откуда определяем Qt.
Если действующие на систему активные силы имеют общий потенциал
U(q* q*>-> qn}> то
<?i = ^. <• = !. (3>
и уравнения (1) приобретают вид
((=1.2......(4)
dt \dqt dqi dqi
Если введём функцию
L = Т + U,
которая называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом, то
уравнения (4) можно написать в виде
d
dt
at_\
“=0
(/ = 1,2,..., и).
(5)
Функция Лагранжа L, как видно из её выражения, представляет собой раз-
ность между кинетической и потенциальной энергией системы и зависит ог
К задаче 911.
координат qit..., qn и их производных по времени
(]i, qn (обобщённых скоростей).
911. Через блок, массой которого можно прене-
бречь, перекинута нить; к одному концу этой нити
подвешен груз массы mlt а к другому концу —
небольшой (невесомый) блок, через который пере-
кинута вторая нить, несущая на концах грузы
и Л13 с массами и т3. Найти движение этой
системы, если в начальный момент
>1=.У1о» Уъ=Уы, У1=Ую и Уъ=у.2О.
Ответ:
У1 У о) У ю /Пл (та 4- тя) 4- 4mjns
2 ’
__ । , । 2/П] (m.j — т.,) gt2
У^ У20 У20 т2 (т£ /л3) 4- 4щ2/«3 ’ 2 *
912. Два шкива и с массами и т2 и радиусами г, и г?
обмотаны нитью, которая перекинута через блок М3 массы тА и
eis—9iej
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА (ВТОРОГО РОДА)
259
радиуса r3, вращающийся без трения вокруг неподвижной оси О.
Найти угловое ускорение % блока и ускорения центров обоих шки-
вов, предполагая, что нить не скользит по блоку и что центры шки-
вов движутся по вертикальным прямым (<р8— угол
поворота блока Л13).
Ответ: =;
(tn,, + + 2” тг)г»
3 4- m8) +
— 3
3 (ту + тл + уОТз)
3(т1 + /Па) + /»1
-----------------з— g‘
3 (/Их 4" "1“ 2‘ ,n
К задаче 912.
913. Свободная материальная точка движется под действием не-
которой силы. Показать, что обобщённые силы в сферических ко-
ординатах таковы: 1) проекция действующей силы на радиус-вектор;
2) момент этой силы относительно оси z и 3) момент действующей
силы относительно прямой, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к меридиональной плоскости, в которой находится
движущаяся точка.
914. Пользуясь методом Лагранжа, написать уравнения движения
свободной материальной точки в цилиндрических координатах.
Ответ: т(г — пр’2) = Fr; т (rip 2гф) = Fp: mz = Fz, где Fr —
проекция действующей силы на радиус-вектор г, Fp — проекция
силы на направление, перпендикулярное к г,
и Fg — проекция силы на ось z. <
916. Точка Mi с массой тА вынуждена
fl /VZ\У___________скользить без трения по горизонтальной не-
—и подвижной прямой Ох: точка М2 с мас-
сой т2 соединена с первой стержнем дли-
К задаче 915. ны Z, массой которого пренебрегаем, и.
может двигаться только в вертикальной
плоскости, проходящей через эту прямую. Найти функцию L
Лагранжа для этой системы двух точек, если на них действует
только сила тяжести.
Ответ: L = у (т j т.г) х 2 -|—2 (/ф* — 2х<р sin 9) I—m2gl si n 9,
где x — абсцисса точки Mlf а 9 — угол прямой MtM9 с осью х.
916. Составить функцию Лагранжа (кинетический потенциал)
для: 1) физического маятника, 2) симметричного волчка, опираю-
щегося на неподвижную опору и находящегося под действием только
17*
260
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[917—920
силы тяжести, приняв за параметры: угол ср собственного вращения
волчка (вращения вокруг оси симметрии), угол нутации 6 (угол
между осью симметрии волчка и вертикалью) и угол прецессии ф.
(Точка О соприкосновения волчка с опорой лежит на оси симмет-
рии волчка и остаётся неподвижной.) 3) Для двух свободных мате-
риальных точек М1(х1, ylt ^) и Л12(х2, у2, z2), притягивающихся
по закону Ньютона.
Ответ'. 1) L = 7ф2 Ц- Mga cos ср, где ср —угол отклонения маят-
ника от положения равновесия, J—момент инерции маятника отно-
сительно оси вращения и а — расстояние центра тяжести маятника
от этой оси.
2) L — ~ [J (ф2 sin2 6 + 62) -J- /г (ф ф cos О)2] — Mga cos6, где Jz
момент инерции волчка относительно оси симметрии; J—момент
инерции его относительно оси, проходящей через неподвижную
точку О и перпендикулярной к оси симметрии, и а — расстояние
центра тяжести волчка от точки О.
3) i = Ф [т, -Ы+г‘) + т, (Л* + ф] +
I_____________кпцт2_______
' - x2)2 + (y,-ytf + - z# ’
917. Решить методом Лагранжа задачи 721, 725, 816, 852, 871.
918. Вывести из уравнений Лагранжа уравнения движения пло-
ской пластинки, движущейся в своей плоскости под действием си-
стемы сил, расположенных в той же плоскости.
919. Регулятор Уатта состоит из четырёх одинаковых стержней
ОА, ОВ, АС и ВС длиною I каждый, двух шаров А и В, имеющих
каждый массу т, и муфты С с массой М, кото-
О рая может скользить по вертикальной прямой
Oz. Соединения стержней в точках О, А, В и С —
/ -X шарнирные. Точка О неподвижна. Вся система
/ \ может вращаться без трения вокруг неподвижной
оси ®z'
\ / Пренебрегая массой стержней и принимая за
\ / параметры угол 9 = Z ВОС и угол 6 поворота
\ / системы вокруг оси Oz, составить уравнения
Лагранжа и получить из них интегралы площа-
дей и энергии.
г Ответ'. 1) Z2 [(2Л1 sin2^ Ф2 w sin2 тб2] ~
К задаче 919. = 2Z(Al+w)£COS94- h (интеграл энергии),
2) 2т1г sin2 ср • 6 = С (интеграл площадей).
920. Два одинаковых стержня АС и ВС, длины I и массы т
каждый, могут скользить без трения концами А и В по неподвиж-
921—924]
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА (ВТОРОГО РОДА;
261
ной вертикальной прямой Oz и вращаться вокруг этой прямой;
в точке С они соединены шарниром. Найти движение этой системы,
принимая за параметры угол 9 = / ACD, угол 6 поворота системы
вокруг оси Oz и расстояние z — OD, где D есть середи- д
па отрезка АВ. В начальный момент
9 = 90, 6 = 0, z = z0, ф = 0, 6 = б0 и z = 0.
Ответ', sin — sin <р0 • cos (60 cos <р0/); п
tgG = -~^tg(60cos<ip00; * = *0 + ^г.
921. Условия задачи 919, но регулятор вращается г
вокруг вертикальной оси с постоянной угловой ско- задаче 920.
ростью <о. Найти, при каком условии возможно отно-
сительное равновесие регулятора, и определить период малых ко-
лебаний около положения равновесия.
К задаче 922.
Ответ'. Т = — ]/1 + 2 ~ sin9 ?0, где — угол, соответ-
ствующий положению относительного равновесия регулятора; равнове-
1 Г р / \
сие возможно при условии, чти <oj> у ® (1 -f- — ) •
922. Через блок, вращающийся вокруг горизонтальной оси О,
перекинута нерастяжимая верёвка, к одному концу которой подвешен
груз массы т; другой конец А верёвки прикреплён
к вертикальной пружине, конец В которой закреплён
неподвижно. Сила натяжения пружины пропорцио-
нальна её удлинению, причём коэффициент пропор-
циональности равен с. Определить период колебаний
груза, зная, что масса блока, приведённая к его
окружности, равна М и что верёвка не может сколь-
зить по блоку.
Ответ'. T=2tz j/" .
923. Вывести методом Лагранжа третье из ура-
внений Эйлера для твёрдого тела, вращающегося во-
круг неподвижной точки: Сваг-\-{В — А)<ахо>у = Lz,
приняв за параметр угол cf> собственного вращения тела (вокруг
оси z).
Указание. Нужно воспользоваться выражением для кинетической
энергии тела Сш|) и кинематическими формулами, вы-
ражающими и через эйлеровы углы и их производные по времени.
924. Моменты инерции двух сцеплённых зубчатых колёс радиусов
г, и г9 относительно осей вращения равны и Ja. К первому колесу,
Зак. 1703.
262
Ц1НАМИКА СИСТЕМЫ
[925—928
находящемуся в покос, приложен импульсивный момент 2)?, напра-
вленный вдоль оси вращения. Пользуясь уравнением Лагранжа,
найти угловые скорости обоих колёс.
Указание. Для решения задачи нужно уравнение Лагранжа умножи!ь
на dt и проинтегрировать в пределах от 0 до т, где *с — продолжительность
действия приложенной пары.
8М 2)1 • гхг2
Ответ- 0,,= ^-^; Ъ =-j^. -
926. В шарнирном параллелограмме ABCD масса каждого из
стержней АВ и DC равна т^ масса стержня равна т^. Угол BAD
равен 0. Стержень AD закреплён неподвижно. В точке В к параллело-
грамму приложен импульс S, направленный по линии ВС. Найти ско-
рость точки В, а также кинетическую энер-
с гию, приобретённую всей системой.
Ответ'. 1) vB = 2 ^S1——
-g- 4- /»я
2) Г=-
2
Ss sin2 0
-g- Illi -J- Wjj
926. Тело массы М может двигаться без трения в неподвижной
гайке с правой винтовой нарезкой, шаг которой равен h. К телу
приложены данный импульс S и импульсивный момент 9Ji, напра-
вленные вдоль винтовой оси в противоположные стороны. Опреде-
лить приобретённую телом угловую скорость, если радиус инерции
тела относительно винтовой оси равен k.
Ответ'. = , где р== (параметр винта).
927. Система с одной степенью свободы движется в потенциаль-
ном силовом поле. Вывести уравнение движения этой системы
в форме Лагранжа из принципа сохранения энергии.
928. Для системы с одной степенью свободы, положение которой
определяется параметром qt выражения кинетической и потенциаль-
ной энергии имеют вид Т= * Aq\ где A = fJ(q) и П=/2(^)-
Показать, что уравнение движения системы можно представить
в следующей форме:
л (?) ?+4л (?) • ?•+г, (?) == о.
Применить это уравнение к случаю движения тяжёлой точки
по циклоиде, принимая за параметр дугу s циклоиды, и показать,
что циклоидальный маятник является строго изохронным,
929—932| МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 263
929. Для данной системы с двумя степенями свободы выраже-
ния кинетической и потенциальной энергии имеют следующий вид:
п=й1+м:.
где a, b, at и Ьх—положительные постоянные. Найти движение
этой системы.
Ответ',
q% = A sin (kt -ф- a); qr =s q (а s^n 2 + в) +
где/г= j/ Ьс*-\-2Ьх и А, а, q и С—•постоянные, определяемые
по начальным условиям движения.
930. Для данной системы с двумя степенями свободы выраже-
ния кинетической и потенциальной энергии имеют следующий вид:
гЧ(<гД;+9Ж): п=«'+ма.
где а, Ь, а{ и Ьх — постоянные. Показать, что зависимость между
и ? может быть выражена следующим уравнением;
где k, h и /0— некоторые постоянные.
931. Показать, что если функция Лагранжа (кинетический по-
тенциал) имеет вид L = LX -}-/(/), где А, не зависит явно от вре-
мени, то в этом случае имеем следующий интеграл;
k
2^-«'.=ii+const-
932. Доказать, что если — ^ = <pz (/==!> 2,..., k),
где Ф и фд являются функциями переменных qit и t, то имеет
место следующее соотношение:
k k
/=1 1
§ 39. Малые колебания системы около положения
устойчивого равновесия.
1. Если механическая система находится в равновесии под действием
сил, имеющих потенциальную функцию (J (qlt qz.....qn), и если для неко-
торой конфигурации U имеет максимум (а следовательно, потенциальная
энергия V =. — U — минимум), то система в этой конфигурации находится
в состоянии устойчивого равновесия. Для исследования малых колебаний
системы около положения устойчивого равновесия предположим, что для
264
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[929—932
этого положения £7 = 0 и ql = qi=z. . . = = 0 и что, кроме того, вблизи
этого положения координаты qt и их производные по времени q^ достаточно
малы (малые движения); тогда, развёртывая функцию U в ряд Маклорена и
принимая во внимание, что для положения равновесия
^ = 0
(i=l, 2,
п),
получим
U — — *2 cik ЧМь + члены высшего порядка.
/, fe=i
Ограничиваясь для малых движений первым членом разложения, имеем
(1)
U — 2 УМь'
i,k^l
причём U есть определённо отрицательная квадратичная форма (так как
разложение произведено вблизи максимума U). Разлагая таким же образом
кинетическую энергию
и ограничиваясь членами второго порядка, получим
п
т~ 4 аиЛйь (2)
где aik есть значение Aik при ^ = ^2 = . . . = ^л==0.
Уравнения малых движений получим, подставляя в уравнения Лагранжа
---------=-5— (/= 1, 2,.,., П)
dt dqt dq{ dq-t '
значения U и Т из (1) и (2), а именно п
2 4" cikQk) == 0 fe=l Систему (3) интегрируем подстановкой (7~:1, 2... .. я). (3)
?ft = afesin(<o/4-e). . . Подставляя (4) в систему (3), получим п (k «1,2,. п). (4)
^ak(—aik^ + cik) = Q fe=i (/«=1, 2». • ч я). (5)
Исключая ak из системы однородных линейных уравнений (5), получим для
определения ш8 детерминантное уравнение л-й степени (уравнение частот)
— й11щ2 + «11» — Л18<°2 + «13» ’ - •» — tfiX 4~ сш
— a21o>2 + c2i, — a„wa + — nte<o2 4- ctn
— «Л1<°а + «Л1> — ала“2 4- «Л2.............— Лпп^ + спп [
Можно доказать, что при сделанных предположениях все корни уравнения (6)
926—9321 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ 265
будут положительны, а следовательно, все а> действительны; таким образом,
малые движения системы будут представлять собою наложение гармониче-
ских колебаний с периодами
2~ 2л 2л
----------------------------* ' г - • •» ‘~~’ •
wn
2. Частные случаи, а) Возьмём систему с одной степенью свободы.
Кинетическая энергия такой системы имеет вид
где q — координата системы. Полагая для положения равновесия д==0,
развёртывая /(g) в ряд Маклорена и огоапичиваясь членом второго порядка,
получим
где я =»/(()), причём, конечно, / (0) > 0. Таким же образом разлагаем функ-
цию U (д):
<7(?)«C/(0) + 9a-(0) + lt/-'(0)9> + . .
где
— c^U" (0),
так как
tf(0)=«f/'(0) = 0.
Подставляя в уравнение Лагранжа, имеем
aq 4- cq = О,
откуда
д = з sin ( 4- ej,
т.е. будет иметь место гармоническое колебание с периодом Т = 2г j/"
Ь) Пусть система имеет две степени свободы; тогда кинетическая энер-
гия системы имеет вид
Т— Инд? 4“ 2>412giga 4- ^22^2)-
причём коэффициенты Ли, Д12, Л22 суть функции координат и д2. Разтагая
эти коэффициенты в ряд Маклорена и обозначая их значения для ^=s^a=z0
(т. е. первые члены разложения) через ап, als, «28, получим для малых дви-
жений
т—4 («ид?+2л12дхд2 4- «гад?). (7)
причём, так как Т положительна, то
«и > 0, «гг > 0, а\2 —ana2s < 0.
Разлагая потенциальную функцию U д2), получим
гт, > I f^U\ , 1 [7W\ ®l
. „/ <W \ , fSPUX ,1 ,
+2(w,’a+w) + ’лены высшего пиряда-
266
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(933
принимая во внимание, что для положения равновесия
=:(д =0
’ \^1/о W/o
и обозначая значения вторых производных для ^ = ^2 = 0 соответственно
через еи, с12 и с22 получим для малых движений
V— — j (Сц^ 4- 2clsq1q2 4- Css?!), (8)
причём сп>0, с22>0, с?2 — СцС.^ < 0, так как в положении устойчивого
равновесия U имеет максимум. Подставляя значения Т и U из (7) и (8)
в уравнения Лагранжа, имеем
«11(71 4“ «15<7 S + <41(71 4" С12(7® = 0» )
«21(71 4- «32(72 4- <41*71 4“ С22^2 *== 0. )
Для интегрирования этой системы положим
qx — ax sin (wt 4-е), </2 = j2 sin (Ы 4~ «),
подставляя в (9), получим
ai(—«и012 4“ ffn) 4" аз (—«12°>3 4” £is)5=3 у
«2 (— «21^ 4- <41) 4" «3 (— «52wa 4“ <4з) = 0. J ' ’
Исключая из системы (10) at и аа, имеем уравнение
I — Лисо® 4-СИ, — «1го>г4-С1з __0 (11)
I — Й21ш8 4“ e»t< — «.а^8 4“ ^s®
или
(«ПШ2 — Си) (ai2w2 — с28) — (alsw2 — с12)а = 0.
Это уравнение второй степени относительно <о8 и даёт для <о2 два действи-
тельных и положительных значения; следовательно, для частот <о получаются
четыре значения ±ы1 и :fcw2.
Таким образом, малые движения системы представляют собой наложе-
ние двух простых гармонических колебаний с периодами
933. Точка Л1Х массы тх привязана нитью длины 1Х к неподвиж-
ной точке О. К точке Л1Х привязана вторая точка Л/2 массы т%
при помощи нити длиною Z2. Найти уравнения малых колебаний
этой системы в вертикальной плоскости, принимая за параметры
углы 6j и 62 нитей с вертикалью. Найти также периоды нормальных
колебаний этой системы в частном случае, когда Z2 —4 и Wj — Mp
Ответ'. 1) ht = Ci(g— sin (ntt 04) ~h
+ Q U — sin (/z2Z 4- aa);
09 = С^п\ sin (ntf 4~ ai) + G4ws sin (n^ 4~ aa)»
где д, и й‘3 суть положительные корни уравнения
934—936J
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
267
934. Однородный тонкий стержень ОА длины Ц и массы mt
может вращаться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной
точки О. К свободному концу А этого стержня при помощи шар-
нира присоединён второй стержень АВ длины и массы т^. Найти
зависимость между углами О, и 02 стержней с вертикалью и време-
нем t при малых колебаниях этой системы в вертикальной пло-
скости.
(2 \
g —3 ) sin (,zi^ 4~ ai) +
+ — -g sin (ла/ 4- а3),
03 = Сх1гп\ sin (z/j/ ai) 4- sin (n^t 4“ aa)>
где zij и л2 суть положительные корни уравнения
(4 + 3И)- 6g (Ц-ЙЦ-1±^) + 9g« = О,
в котором Р ~ ~ .
935. Три нити связаны
ты через небольшие блоки
в точке С: две из них перекину-
А и В и несут на концах равные
грузы массы' тх\ к концу третьей нити
подвешен груз с массой /я2, причём тг 2/и;.
Найти период малых колебаний этой системы около положения
равновесия, если С А — СВ = а.
Ответ*. Т == 2к 1/ , где и. = — и aft — угол
Г #(2}а — l)sine0 г тя 0 J
нити АС с вертикалью при равновесии системы.
936. Однородный сплошной шар радиуса г может кататься без
скольжения по внутренней поверхности неподвижного цилиндра
радиуса R с горизонтальной осью. Найти длину математического
маятника, период колебаний которого равен периоду малых колеба-
ний шара около положения равновесия.
Ответ: I = 1,4 (R — г).
268
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[S37—941
937. При условиях предыдущей задачи найти период малых коле-
баний шара, предполагая, что трения между шаром и цилиндром нет.
ГУ 'Г п 1 Г~Я — Г
Ответ'. Т == 2тг I/ ----.
Г g
938. Неоднородный круглый цилиндр радиуса г может кататься
без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Рас-
стояние центра тяжести цилиндра от его геометрической оси равно а.
Радиус инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр
тяжести и параллельной образующим цилиндра, равен k. Найти
период малых колебаний цилиндра около положения устойчивого
равновесия.
ГУ . 'Г о l/(r —й)24-/г3
Ответ*. Т = 2я I/ 1!.
Г ag
989. Однородный тонкий горизонтальный стержень АВ длины 2а
подвешен концами на двух вертикальных нитях одинаковой длины I
(бифилярный подвес). Определить период колебаний, который будет
совершать стержень, если его повернуть на небольшой угол вокруг
вертикальной оси, проходящей через его середину, и затем отпустить.
Ответ'. Т = 2г. 1/ у-.
г og
940. Два одинаковых стержня АС и BD длины I и массы тх
каждый могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точек
А и В, лежащих на одной горизонтали; они соединены при помощи
шарниров с третьим горизонтальным стержнем CD массы тг и
длины, равной расстоянию АВ. Найти
р о период малых колебаний этой системы
\ около положения равновесия.
Ovi Отвепг.
К задаче 941. К зада- 941. Горизонтальная балка АВ массы
че 942. м скреплена концами с двумя вертикаль-
ными стойками СА и DB. К середине
балки па верёвке длиной I подвешен груз массы т. При небольшом
горизонтальном отклонении верхнего конца стойки горизонтальная
реакция изогнутой стойки, действующая па балку, пропорциональна
этому отклонению, причём коэффициент пропорциональности равен с.
Показать, что частоты двух нормальных колебаний этой системы
около положения равновесия определяются из уравнения
Mln* — [(Ж 4“ т) g -ф- 2d] /г2 -j- 2cg — 0.
942—944J
МАЛЫЕ КОЛЁБАНИЯ СИСТЕМЫ
269
942. Однородный прямолинейный стержень О А длины I весом Р
может вращаться на шарнире О вокруг верхнего конца вертикальной
упругой стойки ОВ, нижний конец В которой закреплён неподвижно.
При небольшомгоризонтальномотклоненииверхнего конца стОйкиупру-
гая горизонтальная сила, действующая на стержень, пропорциональна
этому отклонению, причём коэффициент пропорциональности равен с.
Найти малые колебания стержня около положения равновесия,
принимая за параметры горизонтальное отклонение х верхнего конца
стойки и угол 6 стержня с вертикалью. В начальный момент л:—О,
6 = 6О, х = 6 = 0.
Ответ: х = —----------------------L- [cos («/) — cos («./)]»
6 = K cos ”"Т cos (”2^] ’
где n, и п2 сугь положительные корни уравнения
943. При условиях предыдущей задачи показать, что при боль-
шой величине коэффициента с периоды двух нормальных колебаний
приближённо (с точностью до величин порядка —выражаются
так:
944. При малых колебаниях системы с тремя степенями свободы,
положение которой определяется параметрами qit qit qS) выраже-
ния для кинетической энергии и силовой функции имеют следующий
вид:
+ Й + ^=^ + ^3 — 4 q\— 2^.
Найти движение системы, зная, что в начальный момент
71 = 710» 72 = 720» 7з = 7зо и ^=^==^3 = 0.
Ответ:
| [3 (7ю — 7зо) cos 2/ J- (?10 — 2^0 + ?30) cos /б/ +
+ 2 + 7зо + 7зо) cos /3f\, _
7з == 4 (7ю ~ 2^20 + cos / 6 / + (710 J- ?ао + ?30) cos /3 /],
7з == 4 Н 3 (710 — 7зо) cos 2/ -ф- (?10 — 2#30 -f- ?30) cos /б t +
+ 2 (7ю + 7-ю 4- 7з0) cos /3/].
270
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
[845—947
945. Трубка, имеющая форму окружности ра тиуса а, может
вращаться без трения вокруг вертикального диаметра АВ\ момент
инерции трубки относительно диаметра равен J. В трубке может
перемещаться без трения материальная точка массы т. Когда трубка
; вращается с постоянной угловой скоростью <о0,
точка находится в положении относительного рав-
L новесия Л40, причём АОМ^ — а0. Найти период
малых колебаний около положения 714О, которые бу-
j \\ дет совершать точка, если ей сообщить небольшую
и । относительную скорость, направленную по касатель-
11 /) ной к трубке.
X Л Г J-H««ssin2a0
* Ответ'. Т —----------• I/ ->- - 2- g z1 □ —г •
^4=^ (а0 sin a0 г J + та2 (1 + 3 cos3 a0)
946. Прямолинейная трубка ОА может врй-
К задаче 945. шаться без трения в горизонтальной плоскости
вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей
через точку О. В трубке находится шарик массы т, соединённый
с точкой О при помощи пружины. Упругая сила пружины про-
порциональна её удлинению, причём коэффициент пропорциональ-
ности равен с. Когда трубка вращается с постоянной угловой
скоростью а>0, шарик находится в положении
равновесия Мо. Момент инерции трубки относительно
равен J. Найти период малых колебаний, которые
будет совершать шарик около положения Л40, если
ему сообщить небольшую относительную скорость
вдоль трубки.
относительного
оси вращения
J-А тг*
У(/г2__сО2) + //|Г2(Л2_ЬЗиг)>
где = ~ и г0 = ОЛ10 при условии ^^>cd0.
947. Шкив радиуса г и массы вращается во-
круг горизонтальной оси О\ шкив обмотан верёвкой,
к свободному концу которой подвешен груз массы т. Расстоя-
ние центра тяжести С шкива от оси О равно а, причём у
Момент инерции шкива относительно
Найти период малых колебаний этой
оси вращения
системы около
т
М ‘
равен Jo.
положения
равновесия:
Ответ'.
Т~2
Jo + mA
Mga cos a0 ’
где a0 — угол прямой ОС с вертикалью, соответствующий положе-
нию равновесия системы.
945—947J
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
271
§ 40. Моменты инерции.
1. Моментом инерции системы материальных точек относительно оси
называется сумма произведений массы т каждой точки на квадрат её рас-
стояния г от этой оси, т. е» величина У тг2 (осевой момент инерции). Момен-
том инерции относительно полюса называется сумма произведений массы
каждой точки на квадрат её расстояния от полюса (полярный момент инерции).
При определении моментов инерции для сплошных тел тело разбивается
на элементарные объёмы; тогда масса элемента тела будет равна р dv, где
р —объёмная плотность, и момент инерции равен
Ш
причём интегрирование распространяется на весь объём тела. Подобным,
же образом моменты инерции материальной поверхности и линии выразятся
поверхностным и криволинейным интегралами вида
J Р и J* Р
распространёнными соответственно на всю поверхность и на линию, причём
р' и р" будут поверхностная и линейная плотности, a df и dl — элементы
поверхности и линии. Размерность момента инерции есть
(масса) X (длина)2.
При определении моментов инерции геометрических тел «массы» элемен-
тов считаются равными этим элементам; таким образом, моменты инерции
объёма поверхности, линии выразятся соответственно интегралами:
И™
а размерности их будут (длина)3, (длина)1 и (длина)3.
Момент инерции У гиг2 может быть выражен произведением Mk2, где М
есть масса всей системы, a k — так называемый радиус инерции’, следо-
вательно, момент инерции данной системы определяется её массой и радиу-
сом инерции.
Возьмём произвольную точку системы и проведём через неё прямо-
угольные оси координат; тогда моменты инерции системы относительно
осей х,у, z соответственно равны
а момент инерции относительно начала координат О равен
'o=2ffl(jc2+-),2+2')'
Для сплошных тел эти суммы обращаются в объёмные интегралы, причём
т = pdxdy dz.
272
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
(048
2. Момент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инерции
относител но параллельной оси, проходящей через центр тяжести, сложен-
ному с произведением массы всей системы на квадрат расстояния между
этими осями, т. е. r . > о
J—Jc Л1аа,
где Jc—момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести,
а — расстояние между параллельными осями.
3. Моменты инерции плоской геометрической фигуры относительно осей
х и у будут соответственно равны (фиг. 39)
4"=2-уМ/’
или
J* J* x2dxdy.
Полярный момент инерции относительно начала О будет
или
”О = [ f (^ + V‘)dxdy.
Очевидно,
Jo 4“-V
4. Момент инерции призматического тела относительно какой-либо оси,
параллельной образующей (перпендикулярной основанию), равен моменту
инерции площади основания относительно точки
• f пересечения оси с плоскостью основания, при-
чём поверхностная плотность р' = ph, где р —
объёмная плотность тела, h — его высота.
Следовательно, момент инерции будет равен
j~^h. r2df.
если тело однородно, то
х ;______________- J=ph У r2df = phf,
о
Фиг. 39. где J'—соответствующий момент инерции пло-
щади основания.
948. Найти момент инерции гонкого прямого стержня АВ дли-
ной I относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа
и проходящей через точку О. Длина перпендикуляра, опущенного
из О на АВ, равна k, а расстояние основания этого перпендикуляра
от^середины С стержня равно а.
Ответ'. Jo== УМ Z2 4“ 4~ где М —масса стержня.
949—955]
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
273
949. Найти момент инерции площади треугольника относительно
одной из его сторон.
Ответ'. J= h^M, где М — масса треугольника, a h — высота,
опущенная на ту сторону, относительно которой вычисляется момент
инерции.
950. Найти момент инерции площади трапеции, параллельные
стороны которой равны а и Ь, а высота равна Л, относительно
стороны, равной а.
Ответ'. J= i Mh* •
о a -f- о
951. Найти момент инерции площади равнобедренного треуголь-
ника с основанием а и высотой h относительно вершины, проти о-
положной основанию.
Ответ'. J= (а*12Л2).
952. Найти моменты инерции эллиптической пластинки с полу-
осями а и b относительно осей и центра О.
Ответ'. Ja — * Mb\ Jb — ^ ТИа2; Jo = (а2 -|- £2).
953. Найти моменты инерции объёма прямоугольного паралле-
лепипеда со сторонами а, b и с относительно его сторон и центра
тяжести О.
Ответ'.
+ Jo + & + <?).
954. Найти момент инерции объёма круглого цилиндра с радиу-
сом основания г и высотой h относительно любой оси, проходящей
через центр тяжести цилиндра и параллельной его основанию.
Ответ-. (Зг8 ^)-
955. Найти моменты инерции объёма круглого конуса с радиусом
основания г и высотой h относительно оси вращения (Jj) и относи-
тельно любого диаметра его основания (J2).
Ответ'. = М (Зг2 + 2Л2).
х/418 Сборник задач
274 динамика системы {956—963
956. Найти момент инерции объёма усечённого круглого конуса
с радиусами оснований Z? и г и высотой h относительно оси вра-
щения.
Ответ-. /=о,зл1^+^+^+^+-‘.
957. Найти момент инерции объёма параболоида вращения с радиу-
сом основания г и высотой h относительно оси вращения.
Ответ'. J=^Mri.
О
958. Найти моменты инерции объёма эллипсоида с полуосями
а, b и с относительно его осей и центра О.
Ответ-. Ja=^M(bi+<?), J„ = | М (с3 + с3),
Л = |л(а3 + П /О=|Л1(Я3 + *3 + С3).
959. Круг радиуса г вращается вокруг неподвижной оси у, лежа-
щей в плоскости этого круга и отстоящей от его центра на рас-
стояние R^>r. Найти момент инерции полученного тела вращения
(тора) относительно оси у, если масса этого тела равна М,
Ответ'. Jy = M 4 •
960. Доказать теорему: «момент инерции тела относительно
точки О равен моменту инерции относительно центра тяжести
тела С, сложенному с произведением массы тела на квадрат рас-
стояния ОС».
961. Чтобы геометрически изобразить зависимость между момен-
тами инерции тела относительно параллельных осей данного напра-
вления, делают следующее построение: проводят плоскость, перпен-
дикулярную к направлению осей, и от точки пересечения каждой
из осей с этой плоскостью откладывают вдоль оси отрезок, про-
порциональный моменту инерции тела относительно этой оси. Найти
геометрическое место концов этих отрезков.
Ответ'. Параболоид вращения.
962. Доказать, что в эллипсоиде инерции наименьшая из трёх
его полуосей не может быть меньше расстояния от центра эллипсоида
до прямой, соединяющей концы двух других осей.
963. Основание (произвольного вида) однородного цилиндра лежи г
в плоскости хОу, а его образующие параллельны оси z. Доказать,
где Л1— масса цилиндра, а Н—его высота.
964—965)
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
275
964. Плотность неоднородного шара радиуса R на расстоянии г
от его центра выражается формулой
?=₽.(1 — «£)•
Определить радиус инерции шара относительно его диаметра.
Ответ'. k — R I4 ~1 .
Г 35 —21а
96Б. Найти зависимость между радиусом основания R и высо-
той Н однородного круглого конуса при условии, что эллипсоид
инерции относительно его вершины обращается в шар.
Ответ'. R — 2H.^
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
«ГОСТЕХИЗДАТ»
Москва, Орликов пер., 3
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ КНИГИ:
Александров В. Л., Техническая гидромеханика. Изд. 3-е,
перераб. Допущено Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия для высших учебных заведений. Стр. 431.
Цена 9 руб. <50 к.
Кочин Н. Е., Кибель И. А. и Розе Н. В., Теоретическая гидро-
механика, т. I. Издание четвёртое, переработанное. Допущено
Министерством высшего образования СССР в качестве учебника
для университетов. Стр. 535. Цена 16 руб.
Кочин Н. Е., Кибель И. А. и Розе Н. В., Теоретическая гидро-
механика, т. II. Издание третье, переработанное и дополненное.
Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве
учебника для университетов. Стр. 612. Цена 16 руб,
Лейбензон Л. С., Курс теории упругости. Издание второе, ис-
правленное и допочненпое. Допущено Министерством высшего об-
разования СССР в качестве учебника для университетов. Стр. 464.
Цена 12 руб.
Лойцянский Л. Г. и Лурье А, И., Курс теоретической меха-
ники, часть I. Издание четвёртое, дополненное и переработанное.
Допущено Министерством высшего образования СССР в качестве
учебного пособия для высших технических учебных заведений.
Стр. 399. Цена 13 руб.
Лойцянский Л. Г. и Лурье А. Им Курс теоретической меха-
ники, часть II. Издание четвёртое, дополненное и переработанное.
Допущено Министерством Высшего образования СССР в качестве
учебного пособия для высших технических учебных заведений.
Стр. 580. Цена 18 руб.
Мещерский И. В., Сборник задач по теоретической меха-
н и к е Издание пятнадцатое, под редакцией А. И. Лурье. Допущено
Министерством высшего образования СССР в качестве учебного
пособия для высших учебных заведений. Стр. 328. Цена 8 руб.
Суслов Г. ^Теоретическая механика. Издание третье, посмерт-
ное, под редакцией проф. Н. Н. Бухгольца и В. К. Гольцмана.
Допущено Всесоюзным Комитетом по делам высшей школы при
СНК СССР в качестве учебника для университетов. Стр. 655.
Цена 25 руб.
Филоненко-Бородич М. М.» Т е о р и я упругости. Изд. 3-е, перерабо-
танное и значительно дополненное. Допущено Министерством выс-
шего образования СССР в качестве учебника для высших техни-
ческих учебных заведений. Стр. 300. Цена 8 р. 50 к.
Книги продаются в книжных магазинах КОГИЗ’а и других книго-
торговых организаций^ а также высылаются наложенным платежом без
задатка. Заказы шлите по адресу:
Москва, центр, Куйбышевский проезд, № 8, МОГИЗ
«КНИГА ПОЧТОЙ»