/
Автор: Бондарь А.Г.
Теги: математика основы химической технологии математическое моделирование химическая технология
Год: 1973
Текст
математическое
моделирование
в химической
технологии
етгецкальною '^ ,. \* *
iй6£а£е$&шя' WCCP Г ' *!
А. Г. БОНДАРЬ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВИЩА ШКОЛА»
КИЕВ — 1973
6П7.1
Б81
УДК 518.5:66.011(075.8)
Математическое моделирование в
химической технологии. Бондарь А. Г.
«Вища школа», 1973, 280 с.
В учебнике описаны методы
моделирования и области их применения, а
также принципы построения и виды
математических моделей. Подробно
изложена методика составления кинетических
и гидродинамических моделей.
Рассмотрены математические модели
химических реакторов и вопросы перехода от
лабораторных опытных установок к
промышленным аппаратам. Приведены
примеры построения математических
моделей некоторых аппаратов химической
технологии. Отражены особенности
статистических математических моделей,
описана методика их составления как
на основе пассивного, так и активного
эксперимента. Изложены основные
положения оптимизации
химико-технологических процесссов, даны примеры
решения задач оптимизации
детерминированных и стохастических процессов.
Учебник предназначен для студентов
химико-технологических
специальностей вузов. Его смогут использовать в
своей практической работе также
инженеры-химики.
Табл. 25. Илл. 76. Библ. 50.
Редакция литературы по химии,
химической технологии, горному делу
и металлургии
Зав. редакцией 7\ С. Антоненко
3142-227
D M211(04)—73 0/—/6
© Издательство „Вища школа", 1973.
ПРЕДИСЛОВИЕ В середине текущего столетия
химическая технология вступила
в новый этап своего развития,
который характеризуется
созданием высокопроизводительной
аппаратуры, а также
разработкой систем автоматизации,
контроля, управления и оптимизации
не только отдельных процессов,
но и их взаимосвязанных
комплексов, т. е. целых производств.
Все это неразрывно связано со
значительным расширением
аналитических и
экспериментальных исследований, в результате
которых можно получить
необходимую информацию о технологических процессах, а также с
применением математических методов и электронной вычислительной
техники для рационального использования этой информации в
целях непрерывного прогресса химических производств.
В практической постановке подобных исследований и успешной
реализации их результатов на производстве важная роль
принадлежит инженерам химикам-технологам, которые должны владеть
методами кибернетики в химии и химической технологии и
пользоваться электронной вычислительной техникой.
Интенсивное проникновение кибернетики в химическую
технологию, происходящее в последние годы, привело к возникновению
нового научного направления — химической кибернетики, основным
методом которой является математическое моделирование, а
основным средством — электронные вычислительные машины.
Использование электронных вычислительных машин привело к
переоценке традиционных способов анализа явлений, к обогащению
методов исследований новыми идеями и концепциями, к
значительному расширению инструментария исследователя.
В изучении реально протекающих в природе процессов
особую роль стали играть математически формализованные модели.
Математическая модель — это относительная истина,
отражающая определенные особенности изучаемых явлений.
Формализованная на том или ином языке (дифференциальных или
разностных уравнений, теории автоматов и т. д.) математическая
модель отражает определенные свойства реальных процессов и
с ее помощью можно изучать эти свойства. Математическая
модель — это лишь специальный способ описания, позволяющий
для анализа использовать формально-логический аппарат
математики. Изучение математических моделей является основным
методом познания, используемым в естественных науках.
Например, на протяжении многих лет физики с успехом применяют
3
такой метод, добиваясь выдающихся успехов: ньютоновская
механика, квантовая механика, теория относительности и другие
математические модели надежно служат человеку, составляя
необходимую расчетную базу его практической деятельности.
Метод математического моделирования за короткое время
нашел конкретное применение в исследованиях и расчетах
химико-технологических процессов. При наличии математических
моделей успешно решаются задачи оптимизации технологических
процессов и управления ими. Однако еще сравнительно мало
специалистов химической промышленности достаточно знакомы
с принципами построения математических моделей и методами
их исследования для получения исходных данных в
проектировании новых или осуществлении оптимальных режимов
действующих химических производств. Это объясняется, во-первых,
сложностью и недостаточной изученностью процессов химической
технологии и, во-вторых, сравнительно слабым знанием
инженерами-химиками основ кибернетики.
В последнее время издано немало книг советских и зарубежных
авторов, в которых излагаются теоретические основы химической
кибернетики, приводятся результаты экспериментальных
исследований и научные обобщения. Но они в большинстве случаев
рассчитаны на хорошо подготовленного читателя и не могут быть
рекомендованы в качестве учебника. Предлагаемый учебник
составлен в соответствии с действующей программой и предназначен для
студентов старших курсов химико-технологических специальностей,
изучающих дисциплину учебного плана «Моделирование химико-
технологических процессов». Он также может быть полезен
широкому кругу специалистов химической промышленности для
ознакомления с основными положениями метода математического
моделирования и принципами построения математических моделей процессов
химической технологии.
В основу учебника положен курс лекций, который в течение ряда
лет читался автором студентам химико-технологического факультета
Киевского политехнического института.
При подготовке книги автор учел ценные советы проф. Плыгуно-
ва А. С, а также членов руководимой им кафедры; в подборе
материалов и оформлении главы VIII помогал канд. техн. наук Ста-
тюха Г. А. Всем им автор выражает искреннюю благодарность.
Автор весьма признателен рецензентам канд. хим. наук,
доц. Ковальчуку Д. С. и канд. техн. наук, ст. научному сотруднику
Караченцу Д. В. за советы и указания, высказанные при
рецензировании книги. Пожелания и замечания, направленные на улучшение
учебника, автор просит присылать по адресу: 252054, Киев-54, ул.
Гоголевская, 7, Издательство «Вища школа», редакция литературы
по химии, химической технологии, горному делу и металлургии.
ВВЕДЕНИЕ Во второй половине XX в. во
всех индустриально развитых
странах мира наблюдается
бурное развитие химической
промышленности . Среднегодовые
темпы роста этой отрасли
превышают в 1,5—2 раза темпы роста
промышленности в целом. Роль
химической науки и
промышленности в сфере материального
производства возрастает с каждым
годом: увеличивается объем
производства, непрерывно
расширяется ассортимент
производственной продукции, создаются новые
вещества и материалы,
повышаются требования к качеству и чистоте продуктов.
За последние 20—25 лет невиданными ранее темпами развивается
химическая промышленность в СССР. Совместными усилиями
советских ученых и инженеров разработаны и внедрены новые
технологические процессы, интенсифицированы действовавшие ранее,
сооружены мощные химические комбинаты. Работы советских
ученых и инженеров сыграли определяющую роль в быстром решении
химических аспектов атомной энергетики, получении жидкого и
твердого топлива для ракетной техники и осуществлении программы
космических исследований. Созданы отечественная кислородная и
криогенная отрасли промышленности, разработаны и внедрены
оригинальные методы производства фенола и ацетона из бензола,
синтетических спиртов, смол, каучуков, капролактама окислением
циклогексана и других полимерных материалов, выделены новые
отрасли промышленности (например, нефтеперерабатывающая,
нефтехимическая).
Достижения химической промышленности в нашей стране
явились результатом выполнения специальных постановлений Пленумов
ЦК КПСС и планов развития народного хозяйства. Дальнейшее
значительное развитие химической промышленности предусмотрено
Государственным пятилетним планом развития народного хозяйства
СССР на 1971—1975 гг., согласно которому, «в химической
промышленности будет освоено производство свыше 4 тысяч новых видов
химических продуктов, более чем удвоится выработка синтетических
волокон и пластмасс, возрастет выпуск высококачественных синте-
тичгских каучуков... Производство минеральных удобрений
достигнет в 1975 году 90 миллионов тонн против 55,4 миллиона тонн в
1970 году» г. Планом предусматривается также улучшение качества
1 Государственный пятилетний план развития народного хозяйства СССР на 1971 —
1975 годы. М., Политиздат, 1972, с. 30; 32.
5
выпускаемой продукции и повышение единичной мощности
агрегатов и установок.
Выполнение таких грандиозных задач требует фундаментальных
исследований и постановки большого числа поисковых работ с целью:
создания принципиально новой, более совершенной и
экономичной технологии и техники производства;
интенсификации существующих процессов, аппаратов и
оборудования;
автоматизации и оптимизации химико-технологических процессов.
В связи с этим основные проблемы и направления химической
технологии включают фундаментальные исследования
гидродинамики, тепло- и массообмена сложных химических систем при больших
скоростях, высоких давлениях и температурах; расширение
исследований кинетики химических реакций, осложненных явлениями
переноса тепла и массы, а также фазового равновесия, особенно
многокомпонентных систем; исследования с целью создания
высокоинтенсивных массообменных аппаратов, химических реакторов и целых
агрегатов большой единичной мощности и др.1
На современном этапе успешное решение поставленных задач
возможно на основе использования методов и средств кибернетики.
Поэтому особое значение имеют исследования по составлению
математических моделей, оптимизации и управлению отдельными
химико-технологическими процессами и химико-технологическими
системами, что неразрывно связано с усовершенствованием
химико-технологического образования и подготовкой высококвалифицированных
кадров. Инженеры химики-технологи должны владеть
прикладной математикой, технической кибернетикой и уметь применять
электронно-вычислительную технику.
Курс «Математическое моделирование химико-технологических
процессов» имеет целью вооружить будущих инженеров
современными методами решения сложных многофакторных задач химической
технологии, т. е. новым подходом к анализу и расчету
технологических процессов, аппаратов и агрегатов, а также ознакомить с
вопросами, касающимися управления химическим производством. Этот
новый подход в основном обусловливается:
большими успехами химической науки, решившей многие
проблемы переработки продуктов природы в продукты потребления;
возросшим уровнем химической технологии и техники производства;
расширением возможностей в области химического
машиностроения и приборостроения;
получением материалов, обладающих повышенной прочностью,
температуроустойчивостью, коррозиеустойчивостью и другими
качествами;
возросшим уровнем технических знаний ИТР и рабочих.
1 Подробно см. Ж а в о р о н к о в Н. М. Современная химическая технология
и ее задачи. — «Теоретические основы химической технологии», 1971, т. V,
№ 3, с. 355—367.
6
Наряду с указанными причинами важнейшим стимулом в
процессе формирования и разработки нового подхода является все более
широкое применение вычислительной техники (ВТ) в инженерных и
экономических расчетах, в исследованиях технологических
процессов, поскольку вычислительная техника позволяет проводить глу-
^бокий анализ физико-химической сущности изучаемых явлений.
Электронные вычислительные машины (ЭВМ) в настоящее время
стали эффективным средством машинных исследований,
моделирования процессов и математических экспериментов, а также управления
работой аппаратов, агрегатов, цехов и химических предприятий, j
Выполнение расчетов на ЭВМ в значительной мере устраняет
трудности, возникающие при решении многих задач химической
технологии. Как известно, подобные задачи требовали ручного счета
в течение многих лет, а в ряде случаев и не поддавались решению.
Следует подчеркнуть, что в последние годы методы оптимизации
стали составной частью технологических расчетов, эффективное
применение которых требует построения математического
описания исследуемого процесса и, как правило, использования ЭВМ.
Изучение курса «Математическое моделирование...» стало необхо-Л
димым в связи с изменением роли инженера на химическом предприя-^
тии. «Если ранее его функции сводились к наблюдению за
работой отдельных аппаратов цеха и исправлению дефектов в их
работе, то на современном химическом заводе инженер-технолог
выполняет функции управления заводом. Он теперь не
просто аппаратчик с высшим образованием, который полагается
лишь на свой опыт и интуицию, а действительный руководитель
производства, имеющий в качестве советчика и помощника
управляющую вычислительную машину» *. Чтобы стать таким инженером,
необходимо овладеть методами кибернетики в химии и химической
технологии.
Кибернетика — новая наука, однако за короткое время она
нашла плодотворное применение во многих областях техники,
экономики, медицины и даже искусства. Применение методов и средств
кибернетики в химической промышленности составляет сущность
химической кибернетики, изучение и знание которой позволит
решать многие проблемы, в том числе:
1. Оптимальное проектирование новых и интенсификация
действующих производственных процессов путем составления,
исследования их математического описания и оптимизации
технологических режимов.
2. Контроль за ходом процесса, получение необходимой
информации о нем и переработка этой информации. Информация может
поступать прямо в управляющие машины, которые автоматически
корректируют возникшие отклонения от нормального хода процесса.
1Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии.
М., «Химия», 1968, с. 8.
7
Это база для создания химических заводов будущего — заводов-
автоматов, полностью управляемых машинами.
3. Максимальное ускорение переноса результатов лабораторных
исследований новых процессов и технологических схем в
промышленность. Так как освоение нового химического процесса (от
лабораторных результатов до промышленной реализации) зачастую
длится многие годы, в течение которых могут появляться новые более
совершенные и эффективные способы проведения этого же процесса,
то приходится либо существенно переделывать, либо вовсе
отказываться от разработанных схем. Поэтому сокращение сроков освоения
технологических схем приобретает решающее значение.
4. Решение задач исследований и реализация процессов, которые
невозможно проводить без применения методов кибернетики ввиду
возникающих вычислительных или других трудностей.
Учебник состоит из девяти глав. Главы I—III содержат основные
положения и предпосылки метода математического моделирования,
общие принципы и схемы построения математических моделей, а
также характеристику двух направлений в химической кибернетике,
которые определяют исходные позиции при составлении
математического описания. В главах IV, Vи VI подробно рассматривается
методика построения кинетических, гидродинамических моделей и
моделей некоторых химических реакторов (математическое описание
детерминированных процессов). В главе VII приведены примеры
составления математических моделей процессов без химического
превращения, протекающих в аппаратах химической технологии»
В главе VIII изложена методика построения статистических
математических моделей (стохастические процессы), дана краткая
характеристика наиболее распространенных методов составления
статистических моделей и примеры к каждому из них. Поскольку основной
целью математического моделирования является оптимизация
химико-технологических процессов, заключительная — IX глава
содержит некоторые сведения об оптимизации и постановке задач
оптимизации, смысл и содержание которых иллюстрируются на конкретных
примерах. В приложения включены некоторые таблицы и
специальные термины, используемые при разработке статистических моделей.
Изложение материала предполагает, что студенты уже знакомы
с основами гидравлики, термодинамики, тепло- и массопередачи,
химической кинетики и вычислительной техники применительно к
решению инженерных задач. Математический аппарат учебника
соответствует вузовскому курсу высшей математики.
Особенности математического моделирования как метода
обобщающей науки — кибернетики, потребовали при написании
данного учебника использовать ряд положений других наук, а также
специальных понятий, процедур, методик, сущность которых могла
быть изложена лишь кратко вследствие ограниченного объема
книги (в каждом таком случае сделана ссылка на литературный
источник, где рассматриваемый вопрос освещен более полно).
Глава I. МЕТОДЫ Внедрению нового технологиче-
МОДЕЛИРОВАНИЯ ского процесса всегда предше-
И ОБЛАСТИ ИХ ствуют исследования, при прове-
TTPHMFWFWTTtt Дении которых применяются со-
xix~jriiv.i£jxi£jfijri./i ответствующие теоретические и
экспериментальные методы.
Исследуются также и действующие
производственные объекты для
установления оптимальных
условий их работы. Результативность
§ 1. роль теоретических исследований в том и ином слу-
и экспериментальных чаях зависит от удачного исполь-
методов в исследованиях. зования достижений как в об-
виды подобия, модели ласти изучаемого явления, так
и моделирование и в других областях. И здесь
возникают известные трудности, ибо
в наше время бурного развития всех отраслей науки и техники это
приводит к непомерному росту информации, которую нужно
воспринять современному специалисту.
Огромный рост количества информации мог бы существенно
затруднить дальнейшее развитие человеческого познания, если бы
вместе с расширением и углублением наук не проявлялись
тенденции к их синтезу, не создавались новые возможности передачи и
обработки информации. Процессы синтеза знаний, с одной стороны,
и автоматизация умственной деятельности, с другой стороны,
приводят к быстрому развитию обобщающих наук и появлению
новых (например, теория подобия, кибернетика). В создании
обобщающих наук большую роль играют математика и примыкающие к ней
полностью или частично математизированные науки и отдельные
дисциплины.
Значение математики и аналитических методов в общей системе
научных исследований все возрастает. Сейчас невозможно найти
область науки, техники и жизни вообще, куда бы не проникали
математика и аналитические методы исследований. Реальные факты
убедительно показывают положительную сторону такого
проникновения. И все самые высокие оценки нисколько не преувеличивают
значения математики.
Отмечая ведущую роль математики, аналитических методов, мы
в то же время не разделяем имеющейся в зарубежной литературе
тенденции отбросить опыт и ограничиться только абстрактным
подходом при изучении явлений. Сторонники такой тенденции считают,
что уже прошло то время, когда познание мира и исследования
происходящих в нем явлений нуждались в реальном эксперименте,
в привлечении математики для обработки полученных данных и для
описания объективно существующей действительности. То было,
якобы, время «детского возраста» науки. Физические и даже
технические исследования в их принципиальных построениях, по мнению
9
этих теоретиков, теперь могут быть сведены только к математическим
исследованиям, которые, являясь «свободным продуктом»
человеческого разума, не нуждаются ни в модельных, ни в натурных
экспериментах, ни в каких-либо аналогиях.
К сожалению, некоторые известные ученые-физики, чрезмерно
увлекаясь математизацией, стали на путь ухода от экспериментов
даже в физике, которая просто немыслима без опытов. Например,
английский ученый Дирак физику представляет как свод неких
отвлеченных представлений. Английский физик Эдингтон, немецкий
физик Вейцзеккер и некоторые другие ученые неоднократно
высказывались о том, что мир можно познать исключительно
аналитически, на основе некой системы аксиом, не прибегая к опытам. Это
свидетельствует о том, что математизация физики — явление само
по себе прогрессивное и положительное, может привести к
идеалистическому преувеличению значения отвлеченных логических
построений и самой математики. О снижении роли эксперимента в
технических исследованиях вслед за отдельными физиками стали
говорить и некоторые инженеры, неправильно оценивающие
возможности вычислительной техники и противопоставляющие ее
эксперименту [3].
Практика, однако, повседневно подтверждает, что развитие
всякой науки и тем более наук, являющихся основой для технических
дисциплин, начинается с наблюдения или экспериментального
исследования. Далее результаты наблюдений, опытов теоретически
обобщаются, высказываются гипотезы и развивается теория.
Соотношение теории и эксперимента в познании и сам процесс познания
глубоко научно определены В. И. Лениным: «От живого созерцания
к абстрактному мышлению и от него к практике — таков
диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» г.
В процессе познания большая роль принадлежит научным
гипотезам, которые иногда опережают возможности экспериментальных
исследований. В наше время бурного развития науки требуется
быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез с целью их отсева
или утверждения. Таким образом, отдавая должное теоретическим
методам, мы всегда должны помнить, что даже те науки, которые
принято называть «отвлеченными» и «чистыми» и которые, образно
говоря, создаются «на кончике пера», в конечном счете возникли
и получили дальнейшее развитие на базе эксперимента,
обеспечивающего их фактическим материалом на той или иной стадии их
формирования.
Научно-технический прогресс основан на тесной взаимосвязи
теории и эксперимента. Чем быстрее развивается теория и чем больше
накапливается научной информации, тем быстрее должны
развиваться экспериментальные методы и тем более тонкими и обобщающими
они должны быть. Эксперимент был и остается существенным инстру-
1Л е н и н В. И. Полное собрание сочинений, т. 29, с. 152—153.
10
ментом познания. Для инженера — эксперимент нетолько облегчает
подход к изучению той или иной проблемы, но и является средством
конкретного решения технических задач. Роль эксперимента
усиливается еще и тем, что он нередко помогает найти наилучший подход
к аналитическому решению.
Основой для постановки опытов самых разнообразных
направлений и проведения экспериментальных исследований процессов
является моделирование в различных его видах. Более того,
моделирование создает предпосылки для наиболее целесообразного сочетания
теории и эксперимента в научных исследованиях.
Методы моделирования базируются на подобии различных
объектов. При этом подобными называются те объекты, у которых
параметры, определяющие их состояние в любой момент времени и в любой
точке пространства, отличаются в определенное число раз, т. е.
масштабом подобия. Один из двух объектов, между которыми
существует подобие, принято называть объектом моделирования
(оригиналом), а другой — его моделью.
Создание моделей различных объектов и явлений оказалось
весьма эффективным средством познания реальной действительности.
В настоящее время моделирование используется при исследованиях
в самых различных областях науки и техники. Широкое применение
моделей объясняется тем, что модель дает возможность установить
в каждом явлении, объекте, процессе те основные закономерности,
которые присущи этим явлениям, объектам, процессам, и пренебречь
второстепенными, вспомогательными признаками. Однако до сих
пор еще не выработана единая терминология и отсутствует
общепринятая классификация моделей. В связи с этим воспользуемся
рекомендациями литературы [6, 9], в соответствии с которыми все модели
разделяются на знаковые (символические) и реальные (вещественные).
Знаковые (символические) модели являются
математическим описанием процессов, явлений, объектов и обычно называются
математическими моделями. Для построения таких моделей и
выполнения операций над ними используются различные разделы
математики (дифференциальное исчисление, математическая статистика,
теория графов и др.). При составлении знаковых (символических)
моделей математический аппарат должен обеспечивать наиболее
полное выражение свойств моделируемого объекта и поэтому его
выбор определяется характером и сложностью изучаемой системы.
Применительно к химической технологии под математической
моделью (знаковой, или символической) понимается совокупность
математических зависимостей, отражающих в явной форме сущность
химико-технологического процесса и связывающих его физические,
режимные, физико-химические, а также конструктивные параметры.
Реальные (вещественные) модели, которые являются
физическими объектами, разделяются на физические и реальные
математические. Физическая модель имеет одинаковую с изучаемым
объектом физическую природу и воспроизводит все его свойства.
11
Реальная математическая модель отличается по физической природе
от исследуемого процесса, но их математические описания (знаковые
модели) идентичны. Самыми универсальными моделирующими
устройствами (реальными математическими моделями) являются
средства современной вычислительной техники — электронные
вычислительные машины.
Изучение свойств объекта моделирования путем анализа
аналогичных свойств его модели представляет собой процесс моделирования.
В зависимости от характера и сложности тех или иных явлений при
их изучении могут быть использованы соответствующие методы
моделирования. Создание наиболее простых моделей по принципу
только геометрического подобия сходственных величин — так
называемое геометрическое моделирование, используется,
например, в геометрии, при составлении планов и схем. Однако такой вид
моделирования применяется в сравнительно узкой области
вследствие ограниченных возможностей геометрических моделей.
В научных и инженерных исследованиях принято различать
методы физического и математического
моделирования, которые основаны на принципах соответственно физического
или математического подобия. Все процессы, протекающие в
физически подобных объектах, характеризуются одинаковой физической
природой. Математически подобные объекты имеют различную
физическую природу, но описываются уравнениями одинакового вида.
При физическом моделировании в дополнение к геометрическому
подобию предусматривается подобие скоростей, сил, материальных
сред и т. п. Метод физического моделирования особенно удобен в
инженерных исследованиях, так как физическая природа модели и
объекта одна и та же, и физическая модель полностью воспроизводит
исследуемый процесс. Однако это положительное качество метода
не всегда может быть использовано. В ряде случаев исследователь
вынужден отказаться от воспроизводства физической картины
исследуемого процесса и воспользоваться принципом математической
аналогии, на котором основан метод математического моделирования.
Поскольку физическое и особенно математическое моделирование
являются важнейшим инструментом при постановке и проведении
современных исследований, они рассматриваются более подробно.
§ 2. физическое Физическое моделирование —
моделирование это метод исследований на
моделях, которые имеют одинаковую
с оригиналом физическую природу и воспроизводят весь комплекс
свойств изучаемых явлений.
Метод физического моделирования известен с XV в., им
пользовались Леонардо да Винчи, позднее Галилей и Ньютон. В конце
прошлого столетия этот метод стал применяться во многих отраслях
науки и техники. Особого внимания заслуживают работы В. Л. Кир-
пичева, который широко использовал физическое моделирование в
12
артиллерийском, строительном деле и при решении различных
научно-технических задач. Начиная с 1874 г., он опубликовал ряд
теоретических работ, сформулировал условия подобия упругих тел. Более
ста лет тому назад русский инженер-строитель железнодорожных
мостов Д. И. Журавский сделал важные теоретические выводы о
различных нагрузках стержней фермы моста и наглядно подтвердил
их на оригинальной проволочной модели. Примерно в то же время
английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали основы
теории моделирования кораблей. На базе экспериментов на
моделях эта теория в дальнейшем была развита русским академиком
А. Н. Крыловым.
Однако физическое моделирование не сразу получило признание.
Поучительным примером недооценки физического моделирования
является гибель английского броненосца «Кэптен» в 1870 г.
Эксперименты на модели построенного корабля показали неустойчивость
конструкции, и исследователем был сделан вывод, что корабль
должен опрокинуться даже при небольших волнениях. Но опыты с
«игрушечной моделью» не были приняты во внимание, и при выходе
в море броненосец перевернулся.
Недоверие к методу физического моделирования и недооценку
его отвергла сама жизнь. В ходе научно-технического развития
учение о подобии обогатилось плодотворными методами исследований,
которые получили названия анализ уравнений и анализ
размерностей. Появилась возможность устанавливать условия подобия и
закономерности физического моделирования, пользуясь прямой и
обратной теоремами подобия, а также л-теоремой, на которой
базируется анализ размерностей.
Таким образом, научной основой физического моделирования
стала теория подобия, которая в сравнительно короткое время
развилась в обобщающую науку. Этрму способствовала научная школа
акад. М. В. Кирпичева, работы А. А. Гухмана, М. А. Михеева,
П. К. Конакова, зарубежных исследователей Нуссельта, Рейнольд-
са и многих других. Теория подобия устанавливает условия
подобия модели и оригинала, дает возможность обобщать единичные
эксперименты в безразмерных комплексах (критериях подобия) и
распространять найденные зависимости на подобные системы.
В настоящее время метод физического моделирования, базируясь
на теории подобия, находит плодотворное применение в аэро- и
гидродинамике, кораблестроении, мостостроении, в
теплоэнергетике, при сооружении установок атомных станций, в химической
технологии для систем без химических превращений и в других
отраслях науки и техники. Этот метод позволяет получить
необходимый опытный материал, объяснить механизм изучаемых явлений,
создает предпосылки для подтверждения гипотез и выработки
теоретических положений. Кроме того, к преимуществам метода
физического моделирования следует отнести полное воспроизводство
процесса, наглядность, возможность регистрации наблюдений без
13
преобразующих устройств (они вносят дополнительные
погрешности и искажения) и изучения явлений, не поддающихся
математическому описанию.
Наряду с достоинствами метод физического моделирования имеет
и существенные недостатки:
при исследовании каждого нового процесса необходимо создавать
новую модель;
изменение параметров моделируемого объекта обычно вызывает
трудоемкие переделки модели или ее замену;
высокая стоимость моделей сложных объектов;
в ряде случаев метод имеет ограничения или совсем неприменим.
В частности, использование метода физического моделирования
затруднительно для систем, в которых протекают химические реакции
[1—6]. Последнее следует пояснить.
Известно, что законы элементарных актов собственно химических
превращений не зависят от масштаба эксперимента. Это должно
было бы послужить основанием для непосредственного переноса
результатов измерений в лабораторных условиях на установки
промышленных размеров. Однако наблюдения показывают, что в
действительности химические процессы в значительной степени зависят
от размеров реакторов. Отмеченное противоречие возникает потому,
что химическая реакция приводит к изменению состава реагирующей
смеси и температуры. Вследствие этого возникают процессы переноса
вещества и тепла, на скорость которых существенно влияет характер
концентрационного и температурного полей в реакторе, а указанные
поля зависят от формы и размеров реакционной системы. В свою
очередь состав и температура существенно изменяют скорость
химического превращения. В результате протекание химического
процесса в целом находится в сложной зависимости от размеров аппарата.
При изменении размеров реактора могут значительно измениться
как общая скорость превращения реагирующего вещества, так и
соотношение скоростей образования различных продуктов, т. е.
избирательность процесса. В реакционных аппаратах устанавливается
специфическое для данного масштаба распределение концентраций
и температур, вследствие чего наблюдаемые результаты по скорости
и избирательности химических процессов в значительной мере
зависят от размеров реактора [5]. Поскольку использование метода
физического моделирования обычно приводит к изменению размеров
моделируемого объекта, то при построении физической модели
реактора у модели могут появиться либо свойства, которые не присущи
оригиналу (реактору), либо некоторые свойства объекта в его
физической модели могут оказаться настолько ослабленными, что их
проявление в модели практически нельзя зарегистрировать.
Следовательно, создать физическую модель, подобную реактору, весьма
затруднительно. Отсутствие подобия здесь объясняется тем, что
сохранить одинаковое влияние физических факторов на скорость
химического превращения в реакторах разного масштаба невозможно.
14
Тем не менее исследователи неоднократно пытались найти
критерии подобия, характеризующие химическое превращение (работы
Дамкеллера, Босфорта, Дьяконова). Но все попытки оказались
безрезультатными. Следует, однако, отметить, что анализ критериев
Дамкеллера и сопоставление их с другими критериями подобия
позволили выяснить одну из причин неприменимости метода
физического моделирования для расчета реакторов. Чтобы
проиллюстрировать сказанное, рассмотрим систему, в которой протекает
химическая реакция. Исходя из теории подобия, для такой системы
можно составить критерии подобия, в частности критерий Рейнольдса
гл Wl
Re = , характеризующий гидродинамический режим, критерии
Дамкеллера Dai = Wrc , характеризующий химическое
превращение, и др. В приведенных критериях w и v — соответственно
скорость движения и коэффициент кинематической вязкости
реакционной среды, С — концентрация исходного реагирующего вещества,
wr — скорость реакции и / — определяющий линейный размер.
Критерии Re, Dai (другие критерии в целях упрощения нами не
рассматриваются) должны входить в обобщенную критериальную
зависимость, характеризующую изучаемую систему. Однако эти
критерии несовместны между собой, поскольку при Re = const
величина w обратно пропорциональна, а при Dai = const — прямо
пропорциональна величине /. Из приведенного сопоставления
следует, что для сохранения гидродинамического подобия скорость
потока w должна изменяться обратно пропорционально, а для
сохранения химического подобия — прямо пропорционально линейному
размеру /. Естественно, что в одном и том же процессе это невозможно.
Несовместность критериев подобия, во-первых, создает
непреодолимые трудности при составлении критериальных уравнений и,
во-вторых, указывает на то, что для химических реакторов, строго
говоря, полного подобия создать нельзя. Это ограничивает
применение метода физического моделирования в исследованиях
процессов химической технологии, но отнюдь не исключает его. Физическое
моделирование может успешно применяться в ряде технологических
исследований и расчетов, например для гидравлических или
тепловых систем с однофазным потоком. Такие системы сравнительно
просты и при их рассмохрении можно оперировать ограниченным
числом критериев [1 ].
Возможность применения физического моделирования можно
установить из анализа взаимосвязи / = d — к, где / — число
независимых параметров модели (степеней свободы); d — число
параметров, характеризующих процесс; к — число критериев подобия. Если
независимые параметры отсутствуют (/ <[0), то нет свободы выбора
параметров модели, и исходный аппарат не имеет себе подобного.
В таком случае физическое моделирование неосуществимо [6]. Число
критериев подобия, характеризующих процесс в реакторе, велико и,
15
как правило, превышает число параметров моделируемого процесса.
Иногда удается создать лишь приближенную физическую модель,
когда результаты протекания процесса в объекте моделирования
практически не зависят от некоторых критериев подобия, которые
по этой причине можно исключить.
В общем случае из-за изменения соотношения отдельных стадий
процесса в реакторе масштабный переход на основе физического
подобия и физического моделирования осуществить нельзя. Поэтому
масштабный переход к укрупненным, опытным и
полупромышленным установкам ранее преимущественно осуществляли
эмпирическим методом постепенного увеличения размеров реакторов. Однако
при таком подходе из-за невозможности научного предвидения
результатов протекания процесса число переходных стадий
оказывалось значительным, что приводило к большим затратам времени и
средств и не позволяло достигнуть оптимальных результатов.
Учитывая изложенное выше, некоторые авторы [4]
предлагают все технохимические расчеты разделить на две категории. К
первой категории рекомендуется относить расчеты, связанные с
физическими и в известной мере физико-химическими явлениями. Это —
процессы переноса тепла и массы вещества, которые протекают без
изменения химического состава рабочей среды, а именно:
теплообмен в нагревателях, холодильниках и других системах,
характеризующихся небольшим числом критериев подобия. Расчеты
таких процессов можно проводить на основе выводов теории подобия,
позволяющих результаты экспериментальных данных, полученные
на физических моделях, практически безошибочно переносить на
аппараты заводских масштабов.
Ко второй категории технохимических расчетов рекомендуется
относить расчеты, связанные с химическими процессами,
протекающими в реакционных аппаратах. При этом в реакторах
одновременно с химическими протекают и физические процессы (тепло- и мас-
сосбмен, диффузия и т. п.), которые, как уже отмечалось, зависят от
размеров аппаратов, их типа и других факторов, а результаты
исследований определяются масштабом реактора. В таких системах
использование метода физического моделирования наталкивается
на трудности принципиального характера вследствие того, что
системы уравнений, описывающие сложные процессы, дают большое
число критериев подобия, которые становятся'одновременно
несовместными [1, 4, 5, 6]. Поэтому в сложных случаях трудности
физического моделирования удается преодолеть применением метода
математического моделирования.
§ з. математическое Математическое моделирование
МОДЕЛИРОВАНИЕ является методом научного
исследования, который основан на
познании изучаемых процессов с помощью математической модели.
Этот метод базируется на математическом подобии. У математически
16
подобных объектов процессы обладают различной физической
природой, но описываются идентичными уравнениями. Отказ от
одинаковой природы модели и оригинала при сохранении сходства
математического описания расширяет диапазон применения метода,
позволяет сделать качественный скачок в развитии моделирования.
Возможность установления подобия между разнородными по
физической природе явлениями не случайна. В природе вследствие
ее материального единства для всех качественных разновидностей
материи имеются общие количественные соотношения. Это
позволяет обобщать процесс познания, отвлекаясь от деталей,
содержащихся в полном комплексе качеств вещей, от происходящих процессов,
и изображать те или иные их стороны математически в виде
функциональных связей, дифференциальных уравнений [3].
Тождественность математического аппарата, применяемого в разных отраслях
науки, не является делом простого «удобства» или теоретического
произвола, а выражением объективной возможности единого
подхода к разным по физической природе явлениям. Всем, кто отвергал
единый подход к явлениям разной природы, с исчерпывающей
ясностью дан ответ В. И. Лениным в работе «Марксизм и
эмпириокритицизм» (1908 г.). Рассматривая борьбу физиков, В. И. Ленин
писал: «Единство природы обнаруживается в «поразительной
аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным
областям явлений. «Теми же самыми уравнениями можно решать
вопросы гидродинамики и выражать теорию потенциалов. Теория
вихрей в жидкостях и теория трения газов обнаруживают
поразительную аналогию с теорией электромагнетизма и т. д.» г.
В качестве примера рассмотрим несколько различных по
физической природе явлений и их математические описания:
перенос тепла (тепловой поток) q = —X -т— (закон Фурье);
перенос вещества (поток вещества) / = —D —т— (закон Фика);
перенос количества движения (внутреннее трение) /тр = —|л -^-
(закон Ньютона);
перенос электричества i = j— (закон Ома).
Все приведенные дифференциальные уравнения имеют идентичную
математическую запись; в них входят соответствующие градиенты
dT dC dw
температуры -т—, концентрации —г-, скорости -т-~ и напряжения
-£-. Любой из указанных законов можно с использованием
определенных пересчетных коэффициентов интерпретировать, например,
на электрической модели, иллюстрирующей закон Ома. В
рассматриваемом примере электрическая модель является самой простой
1 Л е н и н В. И. Полное собрание сочинений, т. 18, с. 306.
17
и может быть применена для нескольких оригиналов с различной
физической природой, т. е. она становится универсальной. На такой
модели воспроизводится не сам физический процесс, а его
математическое описание или аналогия между законами, которые выражают
явления в оригинале и в модели.
Как для рассмотренного примера, так и для многих других
случаев практика научных исследований подтверждает, что вполне
правомерно представлять изучаемый процесс на модели, в которой
протекает другой по своей природе процесс, если математические
описания этих процессов изоморфны г. При этом используется как
изоморфизм, так и изофункционализм уравнений (способность
описывать определенные, отдельные стороны поведения системы без
полного описания всего ее поведения [3]).
На первых порах своего развития математическое моделирование
называлось аналоговым, так как принцип аналогии лежит в его
основе. Аналогией в логическом смысле называют суждение о каком-
либо частичном сходстве двух объектов. Это суждение позволяет на
основании сходства рассматриваемых объектов в каком-либо
отношении сделать вывод об их сходстве в других отношениях.
Пользуясь понятиями аналогии и изоморфизма, некоторые авторы
определяют математическое моделирование как метод исследований,
который использует принцип аналогии и основан на изоморфизме
дифференциальных уравнений (или других математических
выражений), описывающих различные по своей природе явления в
оригинале и в модели.
По сравнению с физическим математическое моделирование —
более универсальный метод. Математическое моделирование:
позволяет осуществить с помощью одного устройства
решение целого класса задач, имеющих одинаковое математическое
описание;
обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой,
введение переменных параметров, возмущений и различных начальных
условий;
дает возможность моделировать по частям (по «элементарным»
процессам), что особенно существенно при исследованиях сложных
объектов химической технологии;
использует весьма эффективное средство исследования
процессов — быстродействующую вычислительную технику, которая
непрерывно совершенствуется;
экономичнее метода физического моделирования как по затратам
времени, так и по стоимости.
В практике исследований процессов химической технологии с
помощью математического моделирования сравнительно просто
удается изменять параметры исследуемого объекта и выяснять их влия-
1 Изоморфизм — свойство одинаковости строения каких-либо
совокупностей элементов, совершенно безразличное к природе этих элементов.
18
ние на качество его работы в целом. Это возможно потому, что
деформация модели процесса изучается не на физической модели, а
непосредственно на математической модели при использовании
электронных вычислительных машин.
Существенным недостатком математического моделирования
является то, что применяемый в настоящее время математический
аппарат для составления математического описания не позволяет
во многих случаях с достаточной полнотой отразить свойства
изучаемой сложной химической системы. Принимаемые допущения
нередко ощутимо искажают сущность процесса, что значительно
снижает точность решения задач, несмотря на возможности современной
вычислительной техники обеспечить высокую точность решения.
Кроме того, при математическом моделировании не удается
визуально наблюдать за ходом процесса и практические приемы метода еще
недостаточно освоены инженерно-техническим персоналом.
Составление математических моделей объектов химической
технологии осуществляется по этапам, количество которых
определяется сложностью изучаемого объекта, наличием сведений о связях
между его параметрами и другой полезной информации. Однако
независимо от содержания, количества и последовательности
возможных этапов, в ходе математического моделирования объектов
химической технологии всегда приходится решать три основные задачи:
составление математической модели, нахождение ее решения и
проверка адекватности модели изучаемому процессу.
Задача составления математической
модели на любом этапе состоит, во-первых, в установлении связей
между параметрами процесса, а также дополнительных условий,
которые обычно называются граничными и начальными условиями, и,
во-вторых, в формализации процесса в виде системы математических
соотношений, характеризующих изучаемый объект. Математическое
описание составляется на основе материальных и энергетических
балансов, а также физических законов, определяющих переходные
процессы в объектах либо характеризующих специфические
особенности процесса. В систему математического описания в общем
случае могут входить алгебраические уравнения, обыкновенные
дифференциальные уравнения и в частных производных, эмпирические
формулы, логические условия и др.
Вторая задача заключается в реализации
математического описания, т. е. в решении математической
модели. Параметры (коэффициенты) составленных уравнений
функционально зависят от определяющих размеров
химико-технологического аппарата (диаметров, длин и т. д.), свойств обрабатываемых
веществ (плотностей, вязкостей и т. п.) и величин, характеризующих
протекание физико-химических процессов (констант скорости
реакции, коэффициентов диффузии и др.). Эти параметры либо задают
предварительно, либо рассчитывают, либо находят по формулам,
вытекающим из известных критериальных зависимостей. Нередко
19
для получения численных значений коэффициентов требуется
постановка специальных лабораторных опытов по изучению каждого
из происходящих в объекте процессов.
В отдельных наиболее простых случаях возможны точные
аналитические решения уравнений модели. Но, как правило, объекты
химической технологии отличаются сложностью и для реализации
их математических моделей применяется вычислительная техника
(АВМ и ЦВМ). Алгоритм машинного решения может быть записан
в виде программы или блок-схемы, которые вводятся в
вычислительную машину. Решения задачи на ЭВМ получаются в различных
вариантах в зависимости от параметров (коэффициентов), начальных
условий, возмущающих факторов, значения которых машина
позволяет изменять. Это дает возможность прогнозировать протекание
процесса в интересующем исследователя направлении.
Содержанием третьей задачи является проверка
адекватности (соответствия) математической модели исследуемому
процессу, которую необходимо проводить по той причине, что любая
модель является лишь приближенным отражением реального
процесса вследствие допущений, всегда принимаемых при составлении
математической модели. Решением этой задачи устанавливается,
насколько принятые допущения правомерны, и тем самым определяется,
применима ли полученная модель для исследуемого процесса. При
необходимости проводится коррекция математической модели.
С этой целью используются результаты измерений на самом объекте
или на его физической модели, воспроизводящей в сравнительно
небольших масштабах основные физические закономерности объекта
моделирования.
Поскольку метод математического моделирования позволяет
расчленять сложные процессы на более простые составляющие, то
перечисленные задачи могут решаться несколько раз (на отдельных
этапах).
Общая характеристика метода математического моделирования и,
в частности, содержание основных задач, которые решаются на
соответствующих этапах, свидетельствуют, что математическое
моделирование не противопоставляется физическому моделированию,
а скорее призвано дополнить его имеющимися средствами
математического описания и численного анализа. В связи с внедрением
математического моделирования метод физического моделирования
приобретает новое качество:, его успешно используют для
нахождения^ значений коэффициентов, входящих в уравнения
математической модели. Тем самым появляется возможность масштабировать
математически описанный процесс и устанавливать адекватность
модели изучаемому объекту.
Во многих случаях при изучении комплексных, сложных
объектов целесообразно комбинировать установки физического и
математического моделирования для совмещения преимуществ обоих
методов.
20
§ 4. моделирование В большинстве случаев решение
на электронных и анализ математических моде-
вычислительных лей аналитическими методами
машинах невозможны. Электронные
вычислительные машины устраняют
эту трудность и позволяют создавать реальные математические
модели. На таких реальных математических моделях можно
всесторонне исследовать физико-химические закономерности процесса и
масштабировать опытные данные для промышленного аппарата. Поэтому
средства современной вычислительной техники широко используются
как моделирующие устройства.
Эффективность математического моделирования на
вычислительных машинах заключается главным образом в огромных
преимуществах ЭВМ, которые не только значительно ускоряют расчетные
работы, но и открывают совершенно новые возможности в области
исследований. С возникновением и совершенствованием ЭВМ
появились качественно новые средства создания реальных
математических моделей и осуществления математического эксперимента.
ЭВМ разделяются на два различных класса — аналоговые
вычислительные машины (АВМ) и цифровые вычислительные машины
(ЦВМ), которые отличаются по принципу действия и некоторым
другим признакам, что предопределяет возможности машин
каждого класса и особенности подготовки решаемых задач к машинному
моделированию г.
Достоинства АВМ состоят в непрерывном их действии, большой
скорости решения и в сравнительно простой подготовке задачи
для ввода ее. в машину. Эти машины позволяют находить не
только конечный результат решения, но и моделировать ход самого
процесса во времени в соответствии с его действительным
протеканием в физическом объекте. Различие может быть лишь в масштабе
физико-химических величин, а в некоторых случаях и в масштабе
времени. Для АВМ характерны сравнительно простые методы
решения и наглядность выдаваемых результатов; эти машины
позволяют производить перестройку параметров модели и как следствие
получать различные варианты решения модели изучаемого процесса.
Рекомендации для практической работы на АВМ и методика
подготовки задач физико-химических исследований и моделирования
объектов химической технологии на этих машинах обстоятельно
изложены в учебной и технической литературе [18, 25, 26, 46].
АВМ наилучшим образом приспособлены для решения обыкно-
1 В дальнейшем во многих примерах решения находятся с помощью АВМ
или ЦВМ. Однако методика подготовки задач для машинного решения, а
также принципы составления блок-схем для АВМ, алгоритмов и программ для
ЦВМ в данном учебнике не рассматриваются, так как изучению учебной
дисциплины «Моделирование химико-технологических процессов» предшествует
курс «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах».
21
венных линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. При
решении уравнений в частных производных, которыми обычно
описываются химико-технологические процессы, затруднения
возникают в связи с тем, что в аналоговой машине представлена только
одна независимая переменная — время. Чтобы осуществить на АВМ
решение уравнений с двумя неизвестными переменными, необходимо
при подготовке задачи к машинному решению применить метод
разделения переменных или метод конечных разностей [25]. При
большем числе независимых переменных решение на АВМ
практически невозможно.
Существенными недостатками АВМ являются сравнительно
малая точность расчетов и недостаточная универсальность.
Применение АВМ наиболее рационально в тех случаях, когда точность
конечного результата допустима в пределах 0,5 -г- 10%. На АВМ не
удается воспроизводить многофакторные процессы, особенно при
сложных кинетических зависимостях. Поэтому для
математического моделирования каталитических и других сложных процессов
чаще всего применяются ЦВМ.
ЦВМ — это устройство дискретного действия. При
моделировании на ЦВМ на печать выводится совокупность чисел, отражающих
конечный результат протекания процесса. Картину же изменения
внутренних связей между физико-химическими величинами в ходе
решения получить нельзя. Структура математической модели при
использовании ЦВМ не сохраняется, теряется наглядность решения.
Причина этого — сам принцип дискретности работы цифровой
машины и необходимость предварительного преобразования
математического описания к удобному для моделирования на ЦВМ виду
при помощи различных численных методов. ЦВМ требует
трудоемкого программирования, что усугубляется разнообразием приемов
программирования для различных машин. Однако отмеченные
недостатки не могут умалить таких достоинств ЦВМ, как высокая
точность решений, универсальность, возможность применения этих
машин для исследования сложных объектов и решения самых
сложных уравнений, получение значительных объемов числового
материала, характеризующего различные варианты решения. Трудности
программирования преодолеваются созданием библиотек программ,
разработкой и освоением универсальных языков программирования
(например, АЛГОЛ, ФОРТРАН), а также внедрением методов
автоматического программирования [23, 24, 42, 48].
При решении конкретных задач моделирования необходимо
внимательно подойти к выбору типа вычислительной машины,
руководствуясь принципом целесообразности. Предпочтение тому или
другому типу машин следует отдавать лишь после тщательного
изучения их возможностей применительно к исследуемой проблеме.
Весьма перспективным для целей математического моделирования
является использование аналого-цифровых комплексов,
объединяющих преимущества АВМ и ЦВМ.
Глава II. ОСНОВНЫЕ Кибернетика как область зна-
ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ний начала формироваться в
средине XX в. на основе
достижений математики, математической
логики, теории вероятностей,
электроники, автоматики и
телемеханики, лингвистики,
биологии и других наук. Впервые
идеи и принципы кибернетики х
были сформулированы Норбер-
том Винером — математиком,
профессором Массачусетского
технологического института
§ 1. кибернетика. (США) в книге «Кибернетика,
управление, информация или управление и связь в
животном и машине» (1948 г.). По
оценке самого автора эта книга имеет предварительный, вводный
характер, поскольку не содержит подробного и систематического
построения новой науки. В ней приводятся размышления, догадки,
гипотезы, аналогии, сложные формулы и математические записи,
доступные лишь лицам, имеющим специальную математическую
подготовку, широкие обобщения автора и утверждения, что
кибернетика даст возможность объединить и упорядочить огромный
материал из разных областей знаний, позволит наладить сотрудничество
ученых различных специальностей и вооружит их общим языком,
общей методикой. Многие выводы Винер сделал на основе наблюдений
взаимодействия между живым (человеком) и машиной. Он
устанавливал аналогии в этом взаимодействии, пользуясь материалами и
выводами физиологов, физиков, механиков. Сравнивая функции
автоматических устройств, которые в то время уже широко использовались,
особенно в военной технике, с функциями живых организмов,
суммируя свои многолетние научные поиски и обширный материал
физиологов, физиков, математиков, Винер пришел к основным понятиям
кибернетики, которую назвал наукой о связи, управлении и
контроле в машинах и живых организмах.
В 50-х годах начался бурный период распространения и
утверждения кибернетики как науки, который характеризуется борьбой
ее сторонников и противников. Известное торможение в применении
методов кибернетики происходило вследствие неправильного
толкования содержания новой науки. По этому поводу акад. А. И. Берг
писал: «С сожалением приходится говорить, что еще совсем недавно,
в 1955—1957 гг. и даже позже, в нашей литературе были допущены
грубые ошибки в оценке значения и возможностей кибернетики.
Это нанесло серьезный ущерб развитию науки в нашей стране, при-
1 Слово «кибернетика» для названия науки об управлении человеческим
обществом впервые применил французский ученый Ампер в 1834 г.
23
вело к задержке в разработке многих теоретических положений и
даже самих электронных машин» *.
Новая наука появилась не случайно. Задолго до опубликования
«Кибернетики...» Винера в ходе научно-технического развития
создавались основы автоматического регулирования и управления на
базе теоретических разработок и обобщений практического опыта
работы различных автоматов. Проблемы автоматического
управления и автоматической связи приобрели необыкновенную
актуальность в военной технике, которая в канун и, особенно во время
второй мировой войны, обогатилась приборами и оружием,
отличавшимися высокой степенью автоматизации. Таким образом,
объективно создавались необходимые предпосылки и база для формирования
основ теории автоматического управления, которые впоследствии
стали важнейшим разделом кибернетики, а затем самостоятельной
научной дисциплиной.
Процессы управления можно наблюдать всюду — ив живых
организмах, и в автоматах, которые создаются человеком, и в обществе.
Но только в ходе формирования науки кибернетики была осознана
важнейшая идея единства законов, которым подчиняются процессы
управления, где бы они не протекали: в живой природе, в технике
(в машинах) или в человеческом обществе. Эта идея и была положена
в основу кибернетики Н. Винером.
Появление первых автоматов, бесспорно, убедило в практической
пользе автоматизации и, кроме того, имело не менее важные
следствия научного характера. Разобрав созданные автоматы по частям,
человек получил возможность изучить те простейшие структуры,
познание которых необходимо для создания теории и выявления
законов управления. Поэтому развитие теории управления
базировалось на технических достижениях, и теперь нередко утверждают,
что автоматы породили кибернетику.
Принцип единства законов управления в любых системах имеет
как познавательную, так и чисто практическую ценность. Он дает
возможность проверять на моделях различные гипотезы о
функционировании нервной системы и, наоборот, наблюдения за живыми
организмами порождают новые идеи и принципы конструирования
более совершенных автоматов. Следовательно, кибернетика, изучающая
процессы управления в широком плане, оказывается связанной со
всеми проявлениями жизни вообще и деятельности человека в
частности.
Процессы управления осуществляются в течение всей работы
автоматизированных установок (или в течение всей жизни
организмов) и представляют собой организацию и реализацию
целенаправленных действий. Эти процессы отражают сущность кибернетики,
которую акад. А. И. Берг определил как науку об оптимальном и
целенаправленном управлении сложными системами и процессами.
1Берг А. И. Кибернетику — на службу коммунизму.— Веб.: Возможное
и невозможное в кибернетике. М., «Наука», 1964, с. 216.
24
Современные системы автоматического управления выполняют
ряд функций человека и даже превосходят его в области управления.
Однако нельзя отождествлять человека и машину, человеческое
сознание и функции кибернетических систем. Современные системы
управления — это системы «человек и автомат», в которых человек,
вооруженный сложнейшей техникой, выступает командиром
производства.
Кибернетика возникла на благоприятной почве
научно-технического прогресса и развивается быстро и плодотворно. Большая
заслуга в формировании кибернетики как науки принадлежит
советским и зарубежным ученым А. Н. Колмогорову, Н. Винеру,
К. Э. Шеннону, А. И. Бергу, А. М. Ляпунову, А. А. Маркову,
У. Р. Эшби, Дж. Нейману, В. М. Глушкову и многим другим. В
настоящее время кибернетика проникла не только в технику,
экономику, естествознание, но и в общественные науки, лингвистику,
логику, медицину, и ей принадлежит большое будущее. Мощным
стимулом в развитии кибернетики послужило появление и быстрое
совершенствование новых электронных вычислительных,
программно управляемых и следящих устройств.
В отличие от таких наук, как физика, химия, которые
занимаются установлением и изучением общих свойств, строения,
превращения материи и основных форм ее движения, кибернетика изучает
законы преобразования информации в процессах управления.
Информация — одно из основных понятий кибернетики. Под
информацией понимают сведения о результатах каких-либо событий,
определяющих течение изучаеАмого процесса или явления *. Различают
структурную информацию, характеризующую внутреннее
состояние системы, и относительную (внешнюю) информацию,
проявляющуюся при соприкосновении двух объектов.
Кибернетика утверждает единство законов управления, где бы
они не протекали, и изучает машины, живые оргацизмы и их
объединения исключительно с точки зрения их способности воспринимать
определенную информацию, сохранять ее в «памяти», передавать
по каналам связи и перерабатывать в сигналы, направляющие их
деятельность в соответствующую сторону. Такие понятия, как
«связь», «управление», «контроль», в кибернетике имеют вполне
четкие определения.
Связью в кибернетике называются процессы восприятия
информации, ее хранения и передачи. Управление — это
переработка воспринятой информации в сигналы, направляющие
деятельность машин и организмов. Если машина или организм
способны воспринимать и использовать информацию о результатах своей
деятельности, то говорят, что они обладают обратной связью;
переработка такого рода информации в сигналы, корректирующие
1 Такое определение обычно применяется в прикладных целях при расчетах
химико-технологических систем.
25
деятельность машины или организма, называется в кибернетике
контролем, или регулированием.
Академик А. Н. Колмогоров в 1958 г. дал определение новой
науки, в котором более отчетливо подчеркивается своеобразие
кибернетики и центральное значение для нее понятия информации.
Согласно определению Колмогорова, кибернетика — это наука,
изучающая системы любой природы, способные воспринимать, хранить
и перерабатывать информацию и использовать ее для управления
и регулирования.
Большое значение в кибернетике имеет понятие «количества
информации». Это понятие в кибернетике сыграло роль, аналогичную
понятию энергии в физике, также дающему возможность с общей
точки зрения описать различные физические процессы. За
сравнительно короткий срок ученым удалось создать теорию информации,
которая позволила количественно характеризовать информацию.
Основные положения этой теории изложены в статье
«Математическая теория связи», опубликованной в 1948 г. американским
ученым К. Э. Шенноном.
В настоящее время теория информации — это научная
математическая дисциплина, имеющая широкое применение благодаря
абстрактной математической форме ее основных положений. Все
основные выводы теории информации излагаются в виде теорем и их
доказательств. В этой теории введена универсальная единица
измерения количества информации, которая называется бит. Смысл
этой единицы иллюстрирует простейший случай передачи
информации при рассмотрении совокупности двух равновероятных событий.
Например, при бросании монеты равновероятно выпадение герба
или цифры. До проведения опыта (бросание монеты)
предполагаются два равновероятных его исхода. После проведения опыта
получают информацию об исходе опыта (выпал герб или выпала
цифра). Эта информация соответствует одному биту.
Теория информации позволяет получить ряд важных
практических выводов. Например, используя математические выражения,
вытекающие из теории информации, можно определить пропускную
способность каналов связи \ возможные резервы в передаче
информации, количество информации сложных объектов, возможность ее
хранения и переработки. Такие данные используются при расчетах,
проектировании и исследованиях реальных объектов. Эта теория и ее
выводы успешно применяются при решении конкретных проблем
создания и совершенствования ЭВМ, телевидения, радио,
телеграфной и телефонной связи, управления космическими станциями,
кораблями и др.
Методы кибернетики применимы к любой системе. В последнее
время они успешно реализуются в химии и химической технологии
при решении первостепенно важной задачи — оптимизации химико-
1 В системе информация передается по каналам связи от одного ее звена к другому.
26
технологических процессов, т. е. нахождения наивыгоднейших
условий их проведения. С этой целью обычно составляется
математическая модель объекта химической технологии и применяются
соответствующие математические методы и средства кибернетики —
электронные вычислительные машины. Не менее важная задача
заключается в автоматизации и управлении сложными химическими
системами. Для автоматического поддержания заданного режима
работы аппарата необходимо прежде всего знать, какова
устойчивость этого режима.
Везде, где это технологически и экономически целесообразно,
следует работать на устойчивых режимах. Однако во многих
случаях наиболее выгодными оказываются неустойчивые режимы.
Иллюстрирующим примером являются процессы мягкого окисления
органических веществ, где на нижнем устойчивом режиме скорость
реакции крайне мала, а на верхнем устойчивом — велик выход
нежелательных продуктов [12]. Таким образом, подобные процессы
следует проводить с принудительным регулированием на среднем
неустойчивом температурном режиме для получения максимального
выхода ценных продуктов. Решение такой задачи расширяет круг
возможностей химической технологии.
Стремление к реализации подобных сложных задач привело к
интенсивному накоплению знаний на стыке двух наук —
кибернетики и науки о химической технологии. В связи с постановкой и
решением проблем химической технологии с использованием методов
и средств кибернетики в последние годы возникло новое научное
направление, получившее название химическая кибернетика (уже
достигнуты значительные результаты, опубликованы монографии,
сборники и другие источники информации, освещающие
теоретические и практические достижения в этой области).
§ 2, система, объект, По определению акад. А. И. Бер-
ПРОЦЕСС га, под сложной системой
следует понимать организованное
множество различных элементов, взаимосвязанных и выполняющих
определенные функции. В литературе [1] химическая система
представляется как совокупность происходящих физико-химических
процессов и средств для их реализации; там же рекомендуется
разделять все системы на малые и большие. Однако в настоящее время
еще четко не установлены критерии, оценивающие степень
сложности системы. Поэтому в дальнейшем изложении будем применять
понятие более узкое, но идентичное химической системе,— объект
химической технологии.
Объектом химической технологии условимся называть типовый
технологический процесс, идущий в аппаратуре определенного
конструктивного оформления (простой объект), или технологическую
цепочку, охватывающую несколько процессов и аппаратов (сложный
объект). Объекты химической технологии обычно находятся под
27
Рис. 1. Структура объекта.
влиянием различных факторов
(параметров, переменных). При
этом воздействие, поступающее
на вход объекта, называют
входной величиной, или входом, а
реакцию на выходе того же
объекта — выходной величиной, или
выходом. Между этими
величинами существует взаимосвязь,
которая характеризует
протекающий в объекте процесс. Объект
обычно подвергается
возмущениям, и для их компенсации
используют управляющие
воздействия. В общем виде объект
химической технологии можно
представить структурой, изображенной на рис. 1.
Совокупность параметров, которые воздействуют на объект,
принято разделять на группы в зависимости от характера и доли их
участия в процессе. В самом общем случае объект характеризуют:
входные величины (входы) — параметры xl9 лг2, ..., хп\ выходные
величины (выходы) — параметрыуъу2,.., ут\ управляющие
воздействия (управления) — параметры иъ и2, ..., ик; возмущающие
воздействия (возмущения) — параметры гъ z2, ..., zs.
При изучении объекта ищут не любые связи между параметрами,
а вполне определенные. Исследователя всегда интересует
взаимосвязь между входами и выходами, так как именно она
характеризует протекающий в объекте процесс. Однако установление этой связи
нередко представляет собой весьма сложную задачу вследствие
многофакторности и случайного характера возмущающих воздействий.
Взаимосвязь между параметрами может осуществляться по
различным каналам. Принято называть: «х — у» — основным каналом связи;
«и — tp> — каналом управления; «z — у» — каналом возмущения.
Каждая из перечисленных выше групп параметров характеризуется
вполне определенными их свойствами, которые необходимо учитывать
при установлении картины связей в объекте.
Входные параметры х( (i = 1, 2, ..., п). Входными
принято называть параметры, значения которых могут быть
измерены, но возможность воздействия на них отсутствует.
Предполагается также, что эти параметры не зависят от режима процесса.
Применительно к химической технологии входными параметрами
являются, например, контролируемый состав исходного сырья,
теплоносители, поступающие в аппарат, количество и качество которых могут
быть определены, но не подлежат изменению (поступающие
потоки из предшествующих стадий или исходных емкостей).
Управляющие параметры щ (i = I, 2, ..., к).
Объект химической технологии должен быть управляемым. Но обыч-
28
но он подвержен влиянию различных возмущений. С целью
компенсации этих возмущений на объект накладываются управляющие
воздействия, которые приводят его в устойчивое состояние, требуемое
по условиям протекания процесса. Таким образом, управляющими
называются параметры, на которые можно оказывать прямое
воздействие в соответствии с определенным выбором или предъявляемыми
требованиями, что позволяет управлять процессом. Для аппаратов
химической технологии управляющими параметрами могут быть
регулируемое количество исходной смеси, подаваемой в аппарат,
регулируемые давление в аппарате и температура теплоносителя и т. п.
В числе общих свойств входных и управляющих параметров важно
то, что они не зависят от процесса, протекающего в объекте, и
поэтому относятся к внешним параметрам.
Возмущающие параметры 2,(1 = 1, 2, ..., s).
Объект всегда подвержен внутренним и внешним возмущениям.
Возмущающими называют параметры, значения которых случайным
образом изменяются с течением времени и которые недоступны для
измерения. Это могут быть, например, различные примеси в
исходном сырье, постепенное изменение активности катализатора,
изменение температуры процесса за счет реакции, а также возмущения
любого иного характера.
Возмущающие воздействия могут как зависеть от процесса в
объекте, так и не зависеть от него и, следовательно, бывают
соответственно внутренними и внешними. К числу независящих от процесса
возмущений можно отнести неконтролируемые примеси в составе
питания (внешние возмущающие воздействия). Зависящими от процесса
возмущениями будут, например, изменения активности
катализатора (внутренние возмущающие воздействия). В том и другом случаях
параметры z{ являются неконтролируемыми возмущающими
воздействиями. Интенсивность их действия, точки приложения в
системе носят, как правило, случайный характер, и часто неизвестна их
природа (старение аппаратуры, изменение слоя накипи,
неконтролируемые примеси и т. п.).
Выходные параметры yt (i = 1, 2, ..., m). Под
выходными понимают параметры, величины которых определяются
режимом процесса и которые характеризуют его состояние,
возникающие в результате суммарного воздействия входных, управляющих и
возмущающих параметров. Поскольку назначение этих параметров
описывать состояние процесса, то их иногда называют параметрами
состояния, хотя они только характеризуют получаемую продукцию
и являются более узким понятием, чем такие характеристики режима
процесса, как температура, состав среды и т. п. Параметры yt
относятся к внутренним, так как зависят от режима процесса. Они
представляют собой количество и качество выходного продукта или
теплоносителя на выходе.
По соображениям целесообразного ведения технологического
процесса на входные, управляющие и выходные параметры обычно
29
накладываются ограничения, определяющие диапазон изменения
каждого параметра. Параметры рассмотренных групп, кроме
возмущающих, принципиально могут быть количественно оценены
(измерены, вычислены), так как их материальная природа известна.
Точность определения величин хь, щ и ^-зависит только от средств
количественной оценки и требований задачи. Возмущающие параметры
недоступны для измерения. Они проявляются лишь в том, что изменяют
картину влияния входных и управляющих параметров на выходные.
При отсутствии или незначительных возмущениях в объектах
можно однозначно определить влияние входных и управляющих
параметров на выходные. Если возмущающие воздействия велики
и вносят значительные искажения в характер связей в объекте, то
даже при известных входных и управляющих параметрах нельзя
говорить о точном воздействии входов и управлений на выходы,
а лишь о некотором измененном (искаженном) воздействии. Такие
возмущения обычно являются случайными. Наличие и степень
влияния случайных возмущающих воздействий в объектах определяется
сущностью (природой) процессов, протекающих в них. В связи с
этим по своей природе все процессы принято разделять на
детерминированные и стохастические. __
Детерминированными называются процессы, в которых
определяющие величины изменяются непрерывно по вполне определенным
закономерностям. При этом предполагается, что значения выходных
величин, характеризующих процесс (параметры состояния),
однозначно определяются заданием входных и управляющих воздей^
ствий. Примером детерминированного процесса может служить
процесс в проточном реакторе с мешалкой, в котором достигается
равномерное перемешивание.
Стохастическими называются процессы, в которых изменение
определяющих величин происходит случайным образом. При этом
значения выходных величин находятся в вероятностном
соответствии с входными и не определяются ими однозначно. Примером сто-~
хастического процесса может служить контактно-каталитический
процесс, в котором выход продукта изменяется с изменением
активности катализатора в зависимости от старения его во времени.
Для изучения сложных объектов удобно расчленять их на
технологические звенья, в которых протекают сходные между собой
процессы химической технологии. Установление признаков схожести
процессов осложняется тем, что химическая технология
характеризуется многообразием процессов, которые можно классифицировать
с разных позиций. Поэтому с целью выделения типовых процессов
химической технологии и определения их природы используют
несколько основных критериев:
1. Общность математического описания (модели) процессов. Это
по существу идентичность материальных и энергетических связей.
Такая общность модели учитывает физико-химические особенности
процессов.
30
2. Общность аппаратурно-технологического оформления
процессов, отражающая их целевое назначение и условия
реализации.
3. Общность особенностей автоматического управления, которая
связана с природой процессов. По этому признаку, как уже
указывалось, процессы могут быть или детерминированными или
стохастическими.
По характеру материальных и энергетических связей все
многообразие процессов химической технологии можно разделить на
5 основных классов: 1) гидродинамические, 2) тепловые, 3)
диффузионные, или массообменные, 4) механические и 5) химические.
Каждый из этих классов с учетом целевого назначения и условий
реализации в свою очередь делится на типовые процессы.
К классу гидродинамических относятся процессы перемещения
жидкостей и газов по трубопроводам и аппаратам, перемешивания в
жидких средах, процессы обработки неоднородных жидких и
газовых систем (очистка газов от пыли и туманов, разделение
суспензий и эмульсий путем отстаивания, фильтрования,
центрифугирования и т. п.). Скорость гидродинамических процессов определяется
законами механики и гидродинамики.
Класс тепловых процессов составляют процессы нагревания,
охлаждения, конденсации, выпаривания, теплообмена и т. п.
Скорость тепловых процессов определяется законами теплопередачи.
Класс диффузионных (массообменных) процессов связан с
переносом вещества в различных агрегатных состояниях из одной фазы
в другую (абсорбция, дистилляция и ректификация, адсорбция,
десорбция, растворение, кристаллизация, увлажнение, сушка,
сублимация, ионный обмен и др.). Скорость диффузионных процессов
определяется законами массопереноса.
К классу механических процессов относятся процессы дробления,
измельчения, грохочения, транспортирования твердых материалов,
гранулирования и др.
Класс химических процессов характеризуется большим
многообразием. Скорость химических процессов определяется законами
химической кинетики. Хотя эти процессы являются наиболее
важными, научная классификация их продолжает оставаться одной из
нерешенных задач химической технологии как науки. Попытки
разделения химических процессов на органические и неорганические,
по отраслевому, а также по некоторым другим признакам, оказались
неудачными, так как при этом не обеспечивалась строгость и полнота
классификации. В последнее время в литературе высказываются
мнения о том, что плодотворная классификация промышленных
химических процессов может быть создана на основе закономерностей,
установленных при изучении химической кинетики и механизма
реакций. Научно-обоснованная классификация и типизация
основных процессов химической технологии является одной из
важнейших задач химической кибернетики.
31
Объекты химической технологии, в которых протекают типовые
процессы, могут быть описаны статическими и динамическими
характеристиками, представляющими собой взаимосвязь между входными
и выходными параметрами. Статической характеристикой объекта
называют уравнение, определяющее зависимость выходных
параметров от входных в установившемся во времени режиме работы объек^
та. Статические характеристики необходимы для правильного
выбора аппаратов при проектировании технологического процесса,
определения нормальных режимов работы оборудования, оптимизации
технологических процессов и конструирования объектов с заранее
заданными свойствами.
В общем случае статические характеристики
химико-технологического объекта зависят от физико-химических свойств
перерабатываемых веществ, характера и степени достижения равновесия
процессов, конструктивного оформления аппаратов и определяются
из материальных и энергетических балансов объекта для
равновесных состояний. Статическая характеристика позволяет найти
отклонения выходного параметра при известном изменении
входной величины.
Уравнения статических характеристик могут быть линейными и
нелинейными в зависимости от свойств объекта. Поэтому по виду
математической записи статической характеристики объекты
называют линейными и нелинейными. В химической технологии чаще
всего встречаются нелинейные объекты, статические характеристики
которых в практических расчетах и исследованиях часто
линеаризуются. Под линеаризацией понимается замена нелинейной
функциональной зависимости линейной в определенном интервале
изменения входной величины хвх или в окрестностях определенного
значения входного параметра. Это позволяет применять хорошо
разработанный математический аппарат линейных уравнений.
Линеаризация статической характеристики допустима, так как
отклонения выходного параметра у в реальных условиях работы
объекта должны быть невелики.
При решении задач управления технологическими объектами
важно знать изменения выходных параметров во времени, т. е. их
динамические свойства. Динамической характеристикой объекта
принято называть уравнение, устанавливающее зависимость изменения
во времени выходной величины от вариаций входных возмущающих
пяоаметров. Универсальным видом описания динамической
характеристики является дифференциальное уравнение, которое
составляется на основе физических законов, характеризующих переходный *
процесс в объекте. Вид переходного процесса зависит от свойств
объекта и от закона изменения входных возмущающих воздействий.
В промышленных объектах возмущения, как правило, не носят хао-
1 Переходным называется режим перехода из одного установившегося
состояния в другое.
32
Рис. 2. Стандартный ступенчатый
сигнал (а) и стандартный импульсный
сигнал (б).
Рис. 3. Графическое изображение
постоянной времени.
тический характер, а являются либо медленно изменяющимися во
времени, либо скачкообразными.
Для определения динамических характеристик объекта и
возможности их сравнения друг с другом приняты типовые законы
изменения входных параметров, близкие к законам, которые
наблюдаются в реальных условиях работы объектов. В частности, в
исследованиях широко используются ступенчатое изменение входной
величины (ступенчатое возмущение на входе; и импульсное
изменение входной величины (импульсное возмущение на входе). Такие
входные возмущения принято называть типовыми сигналами. Если
величина типового сигнала равна единице — единичный скачок,
единичный импульс, то сигнал называется либо стандартным
ступенчатым, либо стандартным импульсным сигналом. Графическое
изображение стандартных сигналов, их математическая запись и
область определения функции даны на рис. 2.
Динамические характеристики объекта в зависимости от вида
входного возмущения имеют различную графическую интерпретацию
и разные названия. Реакция объекта на единичное входное
ступенчатое воздействие при условии, что до момента приложения этого
воздействия объект находился в покое, называется временной
характеристикой объекта. При импульсном единичном возмущающем
воздействии на входе динамическая характеристика носит название
импульсной кривой. Следовательно, временная характеристика либо
импульсная кривая — это отклик объекта соответственно на
ступенчатый или импульсный входной сигнал. Объекты химической
технологии часто изучаются с помощью временных характеристик,
так как они удобны в исследованиях и сравнительно просто могут
быть получены опытным путем на реальных объектах (так называ-,
емые кривые разгона).
С динамической точки зрения объекты химической технологии
можно также характеризовать их инерционностью. Не претендуя
2 3-24
33
на полноту определения этого понятия, укажем, что инерционность
технологического объекта — это постепенность изменения выходной
переменной при мгновенном изменении входной. Все реальные
объекты в той или иной степени обладают инерционностью.
Количественной оценкой (мерой) инерционности может служить постоянная
времени объекта Г, если рассматриваемый объект описывается
дифференциальным уравнением первого порядка (Т — постоянный
коэффициент при производной первого порядка). В таком случае
постоянная времени Т показывает, за какой промежуток времени
выходной параметр достиг бы своего установившегося значения, если бы
он изменялся с постоянной скоростью, равной первоначальной
(рис. 3). Для объектов, которые описываются дифференциальными
уравнениями более высокого порядка, понятие постоянной времени
условно можно выразить как Т = f (Тъ Т\, ..., Т\)у где Тъ Т\, ...
..., Т\ — постоянные коэффициенты при производных
соответствующего порядка. Характеристика инерционности по постоянной
времени Т (точная для объектов, описываемых дифференциальным
уравнением первого порядка, и приближенная для сложных объектов)
очень удобна, поскольку для многих объектов химической технологии
постоянная времени выражается отношением объема аппарата V (м3)
к расходу жидкости или газа v (м3/сек)> проходящему через аппарат.
Объекты химической технологии отличаются большой
инерционностью и для них постоянная времени иногда измеряется даже часами.
% 3. предпосылки Во многих случаях математиче-
к СОСТАВЛЕНИЮ и решению ское описание объекта хими-
дифференциальных ческой технологии имеет вид
уравнений, дифференциальных уравнений,
описывающих процессы практическая ценность которых
химической технологии обусловливается тем, что,
пользуясь ими, можно установить
связь между основными переменными процесса. При изучении
процессов с помощью дифференциальных уравнений, в инженерной
практике приходится рассматривать два аспекта: во-первых, как
составить дифференциальное уравнение, и, во-вторых, как его решить,
т. е. как получить соотношение между интересующими нас
переменными (параметрами), в которых производные отсутствуют.
Составление дифференциальных уравнений представляет собой
задачу, для которой в настоящее время нет общих методов решения,
и навыки в этой области могут быть приобретены лишь в
результате изучения конкретных процессов. Однако решение этой задачи
в общем случае может быть представлено следующими стадиями:
а) изучение сущности процесса и, по возможности, составление
наиболее четкого представления о его механизме, а также выяснение
законов, которыми можно в общих чертах охарактеризовать
изучаемый процесс, и возможность применения этих законов к
рассматриваемому процессу в их общей математической формулировке;
84
б) выбор дифференциального элемента системы (например,
элементарный объем dV) и математическая запись того, что происходит
в дифференциальном элементе за время dt с каждой переменной
процесса;
в) составление материальных и энергетических (тепловых)
балансов, связывающих дифференциальные изменения различных
переменных, исходя из такого общего принципа:
[приход] — [расход] = [накопление].
Решение полученных дифференциальных уравнений желательно
находить точными аналитическими методами. Преимущество точных
методов состоит в том, что общая запись решения сразу указывает,
какое влияние на процесс (на функцию) оказывает каждая
переменная. Решение дифференциальных уравнений усложняется с
повышением порядка, при наличии нелинейности, а также зависит от вида
производных (нормальные или частные), коэффициентов при пере»
менных и др. Поэтому методы решения дифференциальных
уравнений весьма разнообразны и для их практического использования
следует обращаться к специальной литературе.
Объекты химической технологии в ряде случаев с допустимым
приближением описываются обыкновенными линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Ниже
приведена аналитическая запись решений в общем виде для некоторых
групп уравнений, которые часто встречаются в инженерной
практике.
Группа однородных линейных дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами а0> аъ а2:
а) заданное уравнение приводится к виду
б) записывается характеристическое уравнение,
соответствующее заданному
а2г2 + агг + а0 = 0; (II.2)
в) корни характеристического уравнения
— ах ± 1/ а\ — 4а2а0
л,2 = ъ ; (Н.З)
г) общий вид решения зависит от корней характеристического
уравнения и может иметь одну из следующих записей:
если гх Ф г2 (корни различные и действительные), то
У= К*хХ +K***U* (Н-4>
если гх = г2 (корни равные и действительные), то
у=ег**(Х1 + Х2х); (II.5)
2*
35
Таблица 1
Вид частных решений j>4.H в зависимости от Q (х)
Вид правой части Q (*)
const
ахп + Ьхп~1 + • • . + d;
(х* + х2+х+ 1)
(*3)
еах
еах (ахп + bxn~l + . • . + d);
еа*(л;3 + л:2 + л:+1)
еаУ
sin Р*
cos р*
л: sin рл:
Частное решение уч н
Л4 • const
Лл;" + Вл:"-1 + . . . + D;
(Лл:3 + Ял:2 + С* + D)
Л*" + Вхп~1 + • • • + D;
(Ах9 + Як2 + Cx + D)
М-еах
еа* (Лл;п + Вхп~{ + •••+£);
еа* (Лл:3 + В*2 + С* + D)
еа* (Лл:п + Як"-1 + . . . + D)
A cos Рл: + Б sin P*
Л cos Рл: + В sin рл:
(Лл: + В) cos Р* + (Сх + D) sin рл:
Примечание. Если величина а численнр совпадает с какими-либо
значениями корней характеристического уравнения, то уч<н следует умножать:
на а: — при совпадении с одним из корней;
на х2 — при совпадении с двумя корнями;
на xk — при совпадении с k корнями;
на л;0 = 1 — при несовпадении корней.
если ri,2 = a ± §i (корни комплексные; а — действительная и
р/ — мнимая часть корней), то
у = еах (А,х cos Рл: + А,2 sin рл:), (II.6)
где Xt и К2 — постоянные интегрирования (определяются из условий
однозначности); е — основание натуральных логарифмов.
Группа неоднородных линейных дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами (правая часть урав-
36
нения может быть постоянной величиной или функцией аргумента):
а) заданное уравнение записывается в виде:
«2 -55- + ai 1БГ + а»у = Q W; (IIJ)
б) решение уравнения представляется как сумма:
У = Уот + #ч.н, (II.8)
где i/одн — общее решение однородного уравнения,
соответствующего заданному (находят по указанной выше методике); уч.н —
частное решение заданного неоднородного уравнения.
Частное решение уч.н зависит от правой части заданного
неоднородного уравнения. Форма записи частного решения уч.н для разных
видов правой части Q (х) приведена в табл. 1.
Применение операционного исчисления для решения
дифференциальных уравнений. Операционное исчисление устанавливает
некоторые свойства операционного соответствия или правила
преобразования по Лапласу, которые с практической точки зрения следует
рассматривать как математический прием, позволяющий
относительно просто решать дифференциальные уравнения. Кратко разъясним
этот прием.
Известно, что функцию можно определить как закон соответствия
между двумя множествами чисел: у = / (х), т. е. множеству чисел х
соответствует определенное множество чисел у. Но соответствие
может быть не только между величинами из разных множеств, но и
между функциями из разных множеств функций. При этом функция
одного множества называется оригиналом, а соответствующая ей
функция из другого множества — изображением:
f(t) ^ответствует^ ф {р)
оригинал изображение
Возможны различные формы преобразования функции
действительной переменной t в соответствующие функции комплексной
переменной р. Причины, побуждающие переход из области одних
функций в область других, могут быть разные, чаще всего это вызвано
стремлением упростить вычислительные действия с исходной
функцией. Широко применяемое в научных и инженерных исследованиях
преобразование Лапласа (оператор Лапласа) преследует такую же
цель и позволяет вместо дифференциальных уравнений оперировать
алгебраическими уравнениями. При этом преобразование
осуществляется следующим образом:
L[f(t)] = 0(p)=$f(t)e-ptdt, (II.9)
О
где L — символ прямого преобразования по Лапласу; р = а -\- f>i
(i = Y—1, а — действительная часть, Pi — мнимая часть
комплексной переменной р); ограничения, накладываемые на временную
функцию, /(0 = 0 ПРИ t < 0.
37
Преобразования по Лапласу
Таблица 2
Оригинал
Л = const
/
Г-
tn
eat
e-tf
Изображение
Л
р
1
Р2
2
п\
рп+1
1
р — а
1
р + й
Оригинал
e-attn
т е
t
1-е"
sin со/
cos со/
6(0
Изображение
п\
\ (Р + а)п+]
1
Тр+\
1
р(7> + 1)
0) 1
/1* + 0)2
Р
/>2 + О)2
1
Предположим, функция / (t) = А. Ее изображение по Лапласу
найдем в результате прямого преобразования, вычислив интеграл
(П.9):
Ф(р)=1'ле-р^ = Ае-^|0°=А.
VAV .) р \0 р
О
Практически операцию прямого преобразования по Лапласу по
формуле (II.9) каждый раз не выполняют, а пользуются готовыми
таблицами преобразований для наиболее часто встречающихся
функций. В табл. 2 в качестве примера приведены некоторые функции
/ (t) и соответствующие им изображения Ф (р).
Несмотря на то, что при составлении таблиц изображения Ф (р)
получены по оригиналам / (/), указанными таблицами можно
пользоваться и для обратного преобразования, которое имеет
обозначение L~\ т. е. находить соответствующий оригинал по известному
38
изображению. Если в таблицах не имеется такого изображения,
которое может быть получено в результате решения уравнения в
области р, то переход в область t осуществляется с помощью
формулы обратного преобразования Лапласа:
^-'[Ф(/>)] =/О =-^г J <t>(p)e-p'dt. (11.10)
а—too
Однако вычисление этого интеграла сопряжено с большими
трудностями, поэтому всегда следует предварительно использовать
любые доступные преобразования полученного изображения, чтобы
привести его к виду, удобному для нахождения оригинала по
таблицам преобразований.
В процедуре преобразований дифференциальных уравнений в
операторную форму и наоборот используются следующие основные
свойства операционного соответствия.
Свойство однородности. Если временная функция умножена на
постоянную величину, то и изображение должно быть умножено на
ту же постоянную величину:
Kf (t) —> КФ (р) или L [Kf (01 = КФ (/?). (И. 11)
Свойство сложения. Сумма оригиналов соответствует сумме их
изображений:
/i (0 + /2 (0 > *i (Р) + &2 (Р) или L [fx (01 + L [f2 (t)} =
= *i(p) + «.(p). (И. 12)
Изображение интеграла. Операция интегрирования в области
действительной переменной соответствует операции деления в
области комплексной переменной:
t г t
§f(t)dt—,^EL или L\\f(t)dt
У®-. (11.13)
Изображение производных. Операция дифференцирования в
области действительной переменной соответствует операции
умножения в области комплексной переменной. При нулевых начальных
условиях /г-кратному дифференцированию оригинала соответствует
умножение изображения на рп
/' (/) -^ рФ {р) Или L [/' (01 = РФ {р)\ (И. 14)
/<*) (/) > рпф (р) или i ^п) до] = рпф (ру (II 15)
Изображение функции с запаздыванием. Смещению аргумента
оригинала на постоянную величину т соответствует умножение
изображения на е-рх
/(/ _ Т) —+ ф (р) е-" или L[f(t — т)] = Ф (р) е~рх. (П. 16)
39
Преобразование дифференциальных уравнений практически
осуществляется путем использования правил соответствия и состоит
в переходе от независимой переменной t (время) к комплексной
переменной р. Это дает возможность заменить операции
дифференцирования и интегрирования более простыми операциями (умножение
и деление) и устранить трудности вычислений. Полученная таким
образом операторная форма записи дифференциальных уравнений
широко используется в научных и инженерных исследованиях.
Решение операторного уравнения является изображением
искомого решения. Чтобы найти решение в пространстве оригиналов,
необходимо совершить переход от изображения решения к его
оригиналу (обратное преобразование Лапласа). Последовательность
решения дифференциального уравнения с использованием
преобразований по Лапласу можно представить следующей схемой:
а) приведение исходного уравнения к операторной форме
(используются правила и таблица преобразований по Лапласу);
б) решение операторного уравнения;
в) нахождение решения исходного уравнения по решению
операторного уравнения (используются таблица преобразований по
Лапласу или формула (11.10)).
В результате действий с дифференциальными уравнениями в
операторной форме можно получить так называемую передаточную
функцию, которая широко используется для характеристики
исследуемого объекта как эквивалент дифференциального уравнения.
Смысл, этого понятия удобно проиллюстрировать на примере
преобразования дифференциального уравнения второго порядка:
ajf + а\У' + йоУ = *вх, (И. 1 7)
где у и Хвх — соответственно выходная и входная величины; а0, av
а2 — постоянные коэффициенты.
В результате преобразований по Лапласу (при нулевых
начальных условиях) это уравнение может быть записано в операторной
форме:
a#V (р) + alPY (р) + a0Y (р) - Хвх (р)
или
XJfc-aJ + 1 + a.-VW- (И"18)
Выражение ^ -^. называется передаточной функцией и обозна-
чается W (р). Таким образом, под передаточной функцией объекта
Понимают отношение изображения выходной величины к ивображе-
йию входной величины при нулевых начальных условиях. Если
выходным параметром является искомая функция, а входным
возмущение, то передаточной функцией будет отношение изображения
функции к изображению возмущения. Передаточная функция так
же, как и дифференциальное уравнение, полностью определяет
динамические свойства объекта. Зная передаточную функцию, можно
найти решение дифференциального уравнения, которое описывает
40
этот объект, совершив обратное преобразование по Лапласу*
у (t) - ZT1 [Y (/>)] = IT1 [W (р) Хвх (р)]. (И. 19)
При использовании передаточных функций в ряде случаев
упрощается вид математического описания объектов и облегчается работа
с ним. Если объект представить как совокупность элементов
(звеньев), то его характеристику можно составить, используя передаточные
функции этих элементов. При этом элементарные звенья следует
подбирать так, чтобы их передаточные функции имели простой вид.
§ 4. структурные схемы Объекты химической технологии
объектов многообразны по устройству, не-
химической технологии одинаковы по сложности,
отличаются физической природой
процессов и могут состоять из большего или меньшего числа элементов,
взаимосвязанных между собой. При изучении сложных объектов
удобно расчленять их на ряд звеньев и затем составлять из этих
звеньев структурные схемы. Составление структурных схем во
многих случаях облегчает нахождение математического описания
объекта в целом, если предварительно составить математические описания
отдельных его звеньев. В качестве звеньев в
химико-технологических объектах обычно выделяют участки, которые либо являются
повторяющимися элементами конструкции аппарата (тарелка
ректификационной колонны), либо отличаются от других участков типом
лимитирующего процесса, либо конструктивно представляют
самостоятельную часть установки, либо разнятся по виду переходных
процессов (динамическим свойствам).
Задача составления структурной схемы объекта является весьма
ответственной и трудно формализуемой, так как степень
детализации при разделении одного и того же объекта на звенья может быть
различной. Принципиально расчленение объекта на звенья не
имеет предела, поэтому выбор числа звеньев должен производиться не
произвольно, а с учетом уровня знаний о процессе, реальной
возможности решения получаемых уравнений и т. п.
В ряде случаев расчленение объектов на элементарные звенья
целесообразно проводить по их динамическим свойствам (по виду
переходного процесса). В каждом элементарном звене изменения
входной величины могут происходить по разным законам, в
соответствии с которыми переходные процессы будут различными.
Определение динамических характеристик элементарных звеньев и их
сравнение обычно проводятся при изменении входных величин по
типовым законам. В частности, в качестве входных возмущений
выбираются стандартный ступенчатый или стандартный импульсный
сигналы.
Элементарные звенья описываются соответствующими
дифференциальными уравнениями или характеризуются передаточными
функциями, которые имеют довольно простой вид. Характеристики
41
Рис. 4. Характеристики элементарных звеньев.
элементарных звеньев, которые
часто используются при
составлении структурных схем
объектов химической технологии,
приведены на рис. 4.
Общая (эквивалентная)
передаточная функция изучаемого
объекта будет зависеть от
количества звеньев и их
передаточных функций, а также от
порядка соединения звеньев между
собой. В структурных схемах
каждый элемент (звено) изображается
прямоугольником, а связи между
звеньями — линиями со
стрелками, которые показывают
направление прохождения сигналов (детектирующее свойство звеньев).
Кружки на схемах с указанием знаков сигналов обозначают
алгебраическое сложение сигналов.
Различают структурные схемы последовательного,
параллельного соединения и схемы с обратной связью. Передаточная функция
цепочки соответствующего соединения элементов определяется по
следующим правилам блок-алгебры.
Последовательное соединение элементов. Передаточная функция
W (р) двух последовательно соединенных элементов с передаточными
функциями Wx (p) и W2 (p) может быть записана так (рис. 5):
Рис. б. Параллельное
элементов.
^(р) = Шг = W*%\(P) = *»<"> • w*v>-
Аналогично для цепочки из п последовательно соединенных
элементов получим:
W(p) = W1(p).Wt(p) ... Wa(p). (И.21)
Таким образом, передаточная функция цепочки последовательно
соединенных п элементов равна произведению передаточных
функций этих элементов.
Параллельное соединение элементов. Предположим, что два
элемента с передаточными функциями Wx (p) и W2 (p) соединены
параллельно (рис. 6). Передаточная функция такой цепочки W (р) имеет
вид:
w<Р) - V§) =" ¥ЛР)х(р)ЛР) = wi0» + w>№• <IL22>
Тогда для п элементов, соединенных параллельно, запишем:
W(p) = W1(p) + W2(p)+ ... +Wn(p). (II.23)
Следовательно, передаточная функция цепочки параллельно
соединенных п элементов равна сумме передаточных функций этих
элементов.
Соединение элементов по схеме
с обратной связью. Для
получения передаточной функции W (р)
такой цепочки соединения
элементов с передаточными
функциями Wx (p) и W2 (p)
воспользуемся записанными в
соответствии с рис. 7 очевидными
равенствами:
Win) = Y{p) • W (о)- Y(p) •
W in) = Ylip)
W2KP) Y(p)
и X1(p) = X(p) + Y(p)-npu
положительной обратной связи
(обратное воздействие усиливает процесс); или Хх(р) = X (р) —
— Yx (p) — при отрицательной обратной связи (обратное
воздействие замедляет процесс).
В результате совместного решения этих уравнений получаем
два выражения для передаточной функции цепочки:
при положительной обратной связи
Рис. 7. Соединение элементов по схеме
с обратной связью.
при отрицательной обратной связи
WX(P)
^(Р) = ПР
(11.24)
(11.25)
WAp)W2(p)'
Формулы (11.24) и (11.25) часто используются в исследованиях
и расчетах, так как они характеризуют обратную связь, которая
проявляется в отраженном влиянии на процесс его собственного
действия. Понятие обратной связи является важнейшим понятием
кибернетики как основы управления в природе и в технике.
§ 5. ЭКСПЕРИМЕНТ
КАК ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ
О ПРОЦЕССЕ
(ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)
Исследования
детерминированных процессов проводят обычно
на основе известных
физико-химических закономерностей,
применимых к этим процессам.
Эксперименты при этом используются для уточнения (или определения)
коэффициентов математического описания изучаемого
детерминированного процесса и играют, таким образом, вспомогательную, хотя
и не второстепенную роль. Однако такая постановка исследований
не всегда возможна и прежде всего неприменима для изучения
стохастических процессов.
Если объект химической технологии сложен либо мало изучен
и теоретические сведения о нем (физико-химические основы проте-
44
Рис. 8. Схема «черного ящика».
кания процесса) отсутствуют или
имеются в очень ограниченном
объеме, эксперимент становится
основным средством получения
информации об объекте
исследования. В этом случае
экспериментатору доступен лишь контроль
(иногда управление) входных и
контроль выходных параметров.
Тогда говор ят, что объект
исследования является «черным ящиком».
Таким образом, под «черным ящиком» обычно понимают
модель объекта исследования, в котором наблюдению доступны
только входные и выходные величины, а внутренняя структура объекта
неизвестна1. При использовании понятия «черный ящик» также
предполагается наличие в объекте неконтролируемых и изменяющихся
случайным образом параметров, что приводит в конечном счете к
необходимости применения статистических методов планирования
экспериментов и обработки их результатов на ЭЦВМ.
«Черный ящик» относится к основным понятиям кибернетики и
требует от экспериментатора умения формулировать свою задачу в
кибернетических терминах. На схеме «черного ящика» (рис. 8)
стрелки справа изображают численные характеристики целей
исследования r/j (i = 1, 2, ..., m), которые принято называть выходами
«черного ящика», или реакцией объекта. Для наблюдения и
экспериментального измерения этих характеристик необходимо иметь
возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы
такого воздействия обычно обозначаются xt (i = 1, 2, ..., п) и
называются входами «черного ящика», или факторами. Иными словами,
фактор — это контролируемая переменная величина, принимающая
в некоторый момент времени определенное числовое значение.
Поскольку на факторы можно воздействовать, то определенное число
различных принимаемых значений фактора называют уровнями.
Выходная контролируемая и переменная величина yl9
принимающая в некоторый момент времени определенное значение, зависит
от факторов и связана с целью исследования. Поэтому в теории
планирования эксперимента ее принято называть параметром
оптимизации.
Число факторов, количество взаимосвязей факторов и
параметров оптимизации определяют сложность «черного ящика».
Статистический эксперимент позволяет при наличии определенной
информации о факторах и зависящих от них параметрах оптимизации
1 В некоторых случаях при решении задач управления технологическими
объектами даже известные структуры рассматриваются как «черный ящик»
с целью упрощенного представления изучаемого объекта.
45
построить математическую модель объекта исследования, которая
представляет собой уравнение, связывающее параметры
оптимизации и факторы. Такое уравнение называется функцией отклика.
Применение определенного вида воздействий на факторы дает
возможность резко сократить объем информации, необходимой для
получения функций отклика.
Для каждой конкретной задачи математическая модель (функция
отклика) составляется на основе опытных наблюдений в виде
таблиц дискретных значений xiu и yt (i = 1, 2, ..., п — количество
факторов; и=1, 2, ..., N — количество опытов) и соответствующих
статистических методов математической обработки
экспериментальных данных. Существенной предпосылкой для решения подобных
задач является выбор условий проведения опытов, который в
настоящее время осуществляется на основе теории планирования
эксперимента *.
В терминах «черного ящика» возможно проведение эксперимента
и для изучения детерминированных процессов. При этом достаточно
воспользоваться формальным сходством задачи определения
функции отклика при статистическом исследовании объекта и задачи
нахождения некоторой функции, характеризующей
детерминированный процесс. Принципиальная разница между такими задачами в
том, что при статистическом эксперименте имеются случайные
помехи, а при эксперименте на детерминированном объекте они
практически отсутствуют.
Характерным случаем применения понятия «черного ящика» к
исследованиям детерминированных объектов является
экспериментальное изучение гидродинамики технологических потоков. При
построении математической модели движущихся потоков оказалось
необходимым таким методом экспериментально получить выходную
величину — реакцию объекта на входное возмущение, которое
выбирается исследователем и может быть одним из стандартных
сигналов.
С физической точки зрения сигнал всегда представляет собой
какое-либо проявление сил природы: механическое движение,
электрический ток, распространение вещества, тепло, звук, свет,
радиоволны и т. п. В химии и химической технологии для исследования
гидродинамики рабочих сред (структуры потоков) в качестве сигналов
используют распространение вещества. Поясним причину такого
выбора. Известно, что в аппаратах химической технологии в
результате действия кинетических, гидродинамических факторов, а
также факторов тепло- и массообмена, в общем случае имеет место
неравномерность распределения частиц среды во времени как по
сечению потока, так и вдоль потока вследствие поперечного и
продольного перемешивания. При этом степень неравномерности
характеризует структуру среды или структуру реального потока.
1 Более подробно о статистических методах составления математического
описания объектов химической технологии см. в гл. VIII.
46
Степень неравномерности распределения частиц среды во
времени можно оценить по распространению вещества или по
концентрации вещества в потоке. Поэтому задача оценки структуры среды
практически сводится к отысканию кривой на выходе из аппарата
в виде изменения концентрации во времени после нанесения
возмущения по потоку на его входе. Указанный метод исследования
относится к обширному классу реакций на возмущения.
Возмущающим воздействием может быть введение в аппарат
вместе с поступающим потоком какого-либо индикатора (трассера), не
реагирующего со средой. При этом реакция объекта определяется
фиксированием изменений во времени содержания индикатора в
потоке на выходе из аппарата. Следовательно, в результате
прохождения сигнала (индикатора) через аппарат по виду реакции на его
выходе можно давать оценку структуры потока в аппарате или
определять модель потока.
В качестве индикаторов (трассеров) используют, например,
подкрашенные инертные газы или жидкости, растворы солей,
флуоресцирующие примеси, радиоактивные изотопы при соблюдении
обязательного условия, что они не претерпевают физико-химических
превращений в потоке.
В химической технологии реакции объектов на стандартные
входные сигналы (ступенчатый Свх = 1 (t) или импульсный Свх = 8 (t))
имеют специальные названия. При стандартном ступенчатом
сигнале на входе функция отклика на выходе из аппарата представляет
собой зависимость, которую называют F-кривой (обозначим ее FKV).
Графическое изображение F-кривой удобно представлять в
безразмерных координатах. Для этого концентрацию индикатора в
потоке на выходе С относят к его начальной концентрации С0 и откла-
дывают по оси ординат значения гкр = т^~» а также используют по-
нятие безразмерного времени 0 = —, где t — натуральное время;
V *
т = среднее время пребывания частиц потока в аппарате.
Типичная форма отклика на стандартный ступенчатый сигнал
изображена на рис. 9, из которого следует, что показатель FKp в потоке
Q
на выходе, равный -=-, изменяется от 0 до 1. ^-кривая по
существо
ву является временной характеристикой объекта, ее вид
определяется лишь свойствами или структурой потока (среды) в
аппарате.
При импульсной подаче индикатора на входе (стандартный
сигнал в виде дельта-функции) на выходе получается С-кривая, или
импульсная характеристика (обозначим ее Скр). По координатным
осям, в которых обычно строят С-кривую, аналогично предыдущему
случаю, откладывают безразмерные единицы (рис. 10). При этих
условиях площадь, ограниченная С-кривой, всегда равна единице.
Вид С-кривой также определяется структурой потока в аппарате.
47
Рис. 9. /^-кривая объекта химической
технологии.
Рис. 10. С-кривая объекта
химической технологии.
Поскольку математическая связь между /^-кривой и С-кривой
выражается соотношениями:
или
dFкр И _ с (t)
/7Kp(0 = JcKp(/)d/,
(11.26)
(11.27)
то ^-кривую называют интегральной, а С-кривую —
дифференциальной кривой.
Докажем справедливость этих выражений, пользуясь понятием
передаточной функции. Предположим, W (р) — передаточная
функция произвольного объекта; Фст(р)=— и ФИм(/?)=1
—соответственно стандартные ступенчатый и импульсный входные
сигналы; FKp (p) и Скр (р) — реакция объекта при ступенчатом и
импульсном входных сигналах (в области комплексной переменной р).
Запишем передаточную функцию при ступенчатом и импульсном
входных сигналах, и в равенстве (11.28) правую и левую части
умножим на р:
W(p)
FKP(P)
ст(Р)
Скр(Р)
^ш»
или pFKp (р) = W (р) Фст (р) р; (11.28)
или Скр (р) = W (р) Фим (р). (11.29)
Правые части равенств (11.28) и (11.29) одинаковы, так как
Фст (р) р = Фим (р), следовательно
pFKp(p) = CKp(p). (H.30)
Если произвести обратное преобразование по Лапласу
уравнения (11.30), то получим соотношение (11.26), поскольку операции
48
умножения на р в области комплексной переменной соответствует
операция дифференцирования по t в области действительной
переменной, а функция Скр (р) соответствует функцииСкр (t). F-кривая
и С-кривая могут быть записаны функциями натурального
времени— FKp (t) и Скр (0, либо в зависимости от безразмерного времени
0 = — в виде FKp (9) и Скр (9), т. е. в различных масштабах
времени (т — постоянная величина). В исследованиях часто возникает
необходимость перехода от одного масштаба времени к другому.
Если известна FKp (t), то при построении соответствующей ей
FKp (9) следует произвести сжатие по оси времени (изменить
абсциссы), поскольку 9 = —. При этом ординаты функции отклика
FKp (9) в соответствующих точках остаются теми же, так как
ступенчатое возмущение при t > О имеет неизменную ординату.
Следовательно,
FKp(t) = FKp(Q). (11.31)
При масштабировании С-кривой в отличие от ^-кривой нельзя
уменьшать только абсциссы, оставив неизменными ординаты, так
как входное возмущение является импульсом с определенной
амплитудой, а его отклик — импульсной кривой с измененной
амплитудой. Поэтому при сокращении масштаба времени /, например,
при изображении Скр (t) в масштабе времени 9 = —, необходимо
пользоваться зависимостью:
Скр(0 = -%^-- (И.32)
Формулу (11.32) можно получить на основе зависимости (11.27)
для аргументов t и Q. Если t -> со, то и 9 ->- оо, и справедливыми
будут равенства:
оо
^кр(0 = fcKP(/)d*= 1 (11.33)
FkP(B)= fCKp(9)d9= l. (11.34)
С учетом того, что аргумент 9 = —, уравнение (11.34) можно
записать так:
:'<р\~Г/
► оо О
зенств (11.33) и (11.35) и
**кр
Из сопоставления равенств (11.33) и (11.35) имеем:
dt (II.36)
49
В аналитических и экспериментальных исследованиях в равной
степени могут быть использованы F-кривая и С-кривая в
натуральном масштабе времени — FKP (0 и Скр (О, либо в зависимости от
безразмерного времени Э = —. Но при переходе от одного
масштаба времени к другому следует обязательно учитывать зависимости
(11.31) и (11.32).
Метод установления модели потока на ocHQBe информации о его
структуре в виде отклика на стандартное входное возмущение удобен
и прост. Практическая реализация этого метода состоит в том, что
фиксируют реакцию объекта на выходе (отбором проб,
самопишущим прибором либо другим способом) и затем полученные выходные
кривые сравнивают с аналогичными кривыми известных типовых
моделей. По результатам совпадений или отклонений дают оценку
структуры исследуемого процесса и строят модель, отражающую
гидродинамику данного потока.
В настоящее время
сформировались два основных направления
в химической кибернетике,
которые определяют исходные
позиции при составлении
математических моделей
химико-технологических процессов.
Первое направление
основано на принципе «черного
ящика» и может быть использовано
при отсутствии или весьма
ограниченном объеме теоретических
сведений о моделируемом
объекте, когда неизвестен даже
ориентировочный вид соотношений,
описывающих его свойства.
Уравнения математического описания в этом случае представляют
собой систему эмпирических зависимостей, полученных в
результате статистического обследования действующего объекта. Такие
модели называются статистическими и имеют вид корреляционных
и регрессионных соотношений, характеризующих связь между
входными и выходными параметрами объекта. Чтобы составить
статистическую модель, необходимо иметь достаточный объем исходного
статистического материала, который комплектуется на основании
статистических экспериментов.
В зависимости от способа сбора исходного статистического
материала различают пассивный эксперимент и активный
(планируемый) эксперимент. Пассивный эксперимент проводится в режиме
нормальной эксплуатации объекта и предполагает регистрацию
контролируемых параметров без внесения искусственных возмущений
в его работу. Очевидными преимуществами пассивного эксперимента
являются относительная простота его организации и
«невмешательство» в ход технологического процесса. Последнее, однако, имеет и
отрицательную сторону, поскольку для решения задачи выделения
полезной информации на фоне шума х требуется обрабатывать
значительные массивы экспериментальных данных. К самым
существенным недостаткам пассивного эксперимента следует отнести
ограниченность действия математической модели, составленной на его
основе, областью рабочего режима процесса. Кроме того, вследствие
сложности протекающих химико-технологических процессов не
1 В реальных объектах под влиянием посторонних явлений, протекающих в
каналах связи, сигналы, передающие информацию о процессе, искажаются. Эти
явления получили название помех, или шумов. При реализации химического процесса
часто наблюдается его «невоспроизводимость» (каждый раз он протекает иначе),
что объясняется высоким уровнем «зашумленности» химических процессов.
Выделение полезной информации из шумового поля и является основной задачей
анализа сложных процессов химической технологии.
Глава III. ПРИНЦИПЫ
ПОСТРОЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
51
всегда удается составить их математическую модель в рамках
теоретических предпосылок статистических методов.
Активный (планируемый) эксперимент предполагает, что на вход
исследуемого объекта подаются определенные воздействия, которые
заранее планируются в соответствии с некоторым оптимальным
критерием (методы планирования эксперимента). Такая постановка
эксперимента позволяет соблюсти теоретические предпосылки
статистических методов, резко сократить количество экспериментов и
получить математическую модель с минимально возможной ошибкой.
Однако из-за некоторых организационных осложнений
планируемый эксперимент не всегда удобно проводить на действующих
технологических объектах, поэтому обычно его широко используют при
исследовании опытных и пилотных установок. Но это не означает
что активный эксперимент неприменим на действующих
технологических процессах. Существует метод (точнее стратегия)
«эволюционного планирования эксперимента», когда в производственных
условиях одновременно с продуктом получают математическую модель
и на ее основе оптимизируют качественные показатели того же
продукта.
Результаты исследований последних лет свидетельствуют, что
для оптимизации сложных действующих объектов химической
технологии применение статистических математических моделей весьма
эффективно. Подобные модели успешно используются для целей
управления процессом, а также для корректировки и уточнения
гипотетических представлений об изучаемом процессе. Возможность
составления и реализации статистических математических моделей
для малоизученных и сложных объектов химической технологии
является несомненным достоинством первого направления.
Следует, однако, отметить, что построение статистических
моделей осуществимо лишь при наличии реального объекта, который
допускает выполнение определенного объема экспериментальных
исследований. Существенный недостаток этих моделей заключается
в узости их применения, которая объясняется: во-первых,
ограниченным действием модели в рабочем режиме процесса (экстраполяция
за пределы рабочего режима процесса недопустима); во-вторых,
невозможностью переноса действия модели даже на однотипный
объект. Эти ограничения затрудняют обобщение результатов,
получаемых при применении статистических моделей.
Второе направление в химической кибернетике,
определяющее исходные позиции при составлении математического
описания, базируется на изучении физической сущности и анализе
механизма процесса, наличии сведений о физической природе
моделируемого объекта и известных основных теоретических
закономерностях протекающего в нем процесса. При этом в состав
математического описания вводятся зависимости, связывающие параметры,
характеризующие изучаемый объект, в единую систему уравнений.
Среди таких соотношений могут быть выражения, отражающие фун-
52
даментальные законы сохранения вещества и энергии, уравнения,
описывающие физические и химические («элементарные») процессы,
протекающие в моделируемой системе. Кроме того, в состав
математического описания могут входить различные эмпирические и
полуэмпирические зависимости между некоторыми параметрами,
теоретическая форма которых неизвестна или слишком сложна, а также
ограничения на переменные параметры процесса.
В отличие от статистических, математические модели, которые
составляются, исходя из предпосылок второго направления,
качественно более правильно характеризуют моделируемый объект даже
при наличии недостаточно точных в количественном отношении
параметров модели. С помощью этих моделей можно изучать общие
свойства объектов моделирования, относящихся к определенному
классу; они лишены недостатков статистических моделей. Но
составление таких моделей требует по сравнению со статистическими
больших затрат времени и средств. Несмотря на это, второе направление
является весьма эффективным, поскольку расширяет наши знания
по целому классу процессов и способствует таким образом общему
прогрессу науки.
При построении математического описания процессов химической
технологии с позиций второго направления используется метод
математического моделирования. Этот метод основан на том, что
реальный процесс, протекающий в объекте моделирования и
характеризующий его свойства, рассматривается как сочетание различных
«элементарных» процессов, подчиненных закономерностям, которые
описываются определенными соотношениями. Поэтому составление
математической модели таким методом должно начинаться с
расчленения технологического процесса как единого целого на отдельные
составные части («элементарные» процессы), отражающие свойства
какого-либо одного класса явлений. В химической технологии в
качестве таких «элементарных» процессов могут рассматриваться:
собственно химическое превращение, перемещение веществ
(гидродинамика), перенос тепла и массы (тепло- и массопередача).
Таким образом, изучение процесса не в сложной совокупности,
а по частям — основное требование построения математической
модели с позиций второго направления в химической кибернетике,
позволяющее применять метод математического моделирования. При
этом математическая модель представляет собой математическое
описание изучаемого процесса, отражающее сущность протекающих
в объекте явлений путем установления взаимосвязи между
параметрами этого процесса. Параметры процесса с позиций второго
направления удобно различать по признакам, которые отражают
физический смысл каждого параметра (в отличие от разделения их на
группы входов и выходов с позиций «черного ящика»). В связи с этим
рекомендуется [16] различать такие классы параметров:
конструктивные, физические и «элементарных» процессов. В свою очередь,
каждый класс состоит из определенных групп параметров по
53
признакам их отношения к объекту моделирования или его модели.
Рассмотрим эти классы параметров применительно к процессам
химической технологии.
Конструктивные параметры разделяются на
структурные и геометрические. Под структурными параметрами
понимают описательные характеристики моделируемого объекта,
не имеющие численного выражения (например, описание движения
потоков различного типа). Структурные параметры значительно
влияют на вид математического описания, а также на результат
моделирования. Под геометрическими параметрами понимают
численные характеристики аппаратурного оформления моделируемого
объекта, например объем химического реактора, свободное сечение
аппарата с насадкой, удельная поверхность катализатора, число
секций реактора, число тарелок в ректификационной колонне и т. п.
Физические параметры — это параметры состояния
потоков и параметры свойств потоков, т. е. параметры, описывающие
физические характеристики потоков веществ моделируемого
объекта. Параметры состояния потоков представляют собой значения
величин, от которых зависит движущая сила «элементарных»
процессов, например температура в различных точках потока, состав и т. п.
Под параметрами свойств потоков понимают количественные
характеристики, не входящие непосредственно в выражения для
движущих сил «элементарных» процессов (теплоемкость, вязкость,
плотность, теплота испарения и т. д.). Эти параметры могут зависеть
от параметров состояния потока, например от состава и температуры,
что, в свою очередь, требует при математическом описании учета
соответствующих соотношений.
Параметры «элементарных» процессов —
это гидродинамические и физико-химические параметры,
используемые для описания механизма «элементарных» процессов,
например химических реакций, тепло- и массопередачи, движения
потоков фаз. Гидродинамические
параметры представляют собой
характеристики движения потоков
веществ в модели, обусловленные
видом описания движения
потока. Этой группе параметров
присущи некоторые черты,
свойственные группе структурных
параметров. Однако
гидродинамические параметры в отличие от
структурных, определяемых
конструктивным оформлением
объекта моделирования и не имеющих
численного выражения, зависят
от принятого описания
движения потоков и от физических
54
Рис. 11. Состав математического
описания.
параметров модели. Примерами гидродинамических параметров
являются коэффициенты продольного и поперечного перемешивания
вещества в потоке, число ячеек перемешивания в ячеечной модели
и др. Под физико-химическими параметрами понимают
характеристики процессов тепло- и массопередачи и химических реакций,
например коэффициенты тепло- и массопередачи, константы
скорости химических реакций, тепловые эффекты реакций и т. д.
Точность получаемых результатов моделирования зависит от того,
насколько полно отражены различные параметры реального объекта в
его математической модели. Однако сама по себе полнота
представления указанных параметров в модели еще не определяет качества
моделирования, которое также обусловливается точностью установления
взаимосвязи параметров, входящих в описание «элементарных»
процессов.
При составлении математических моделей необходимо соблюдать
условие, чтобы число уравнений и различных соотношений,
включаемых в математическое описание, было равно числу внутренних,
т. е. зависящих от режима моделируемого объекта, параметров,
которые находятся в результате моделирования. Состав
математического описания в общем виде можно представить блок-схемой (рис. 11).
§ 2. классификация За короткий срок моделирование
математических моделей стало общим методом научных
исследований различных
объектов во многих отраслях науки и техники, и в связи с этим в настоящее
время применяются самые разнообразные модели. Наиболее удобно
характеризовать модели на базе их классификации. В литературе
[3, 6, 16] приводятся заслуживающие внимания предложения по
этому вопросу, однако общепринятая классификация моделей еще
не выработана.
Знаковые (символические) математические модели, которые будут
рассматриваться в дальнейшем, в учебных целях целесообразно
классифицировать по нескольким признакам.
1. Параметры математических моделей в общем случае могут
изменяться во времени и в пространстве. При этом с учетом
пространственных признаков различают модели с распределенными
параметрами и модели с сосредоточенными параметрами. Если основные
переменные процесса изменяются во времени и в пространстве, то
модели, описывающие такие процессы, называются моделями с
распределенными параметрами. Обычно они имеют вид
дифференциальных уравнений в частных производных. Если основные
переменные процесса не изменяются в пространстве, а изменяются только
во времени, то математические модели, описывающие такие
процессы, называют моделями с сосредоточенными параметрами и
представляют их в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. По характеру режимов, протекающих в моделируемых
объектах, различают статические и динамические модели. Статическая
модель включает описание связей между основными переменными
55
процесса в установившихся режимах (в равновесном состоянии без
изменения во времени). Математическое описание статики химико-
технологического процесса состоит обычно из трех видов уравнений:
материального и теплового балансов, термодинамического
равновесия системы (характеристика движущей силы процесса) и скоростей
протекания процессов (например, химических реакций, тепло- и
массопередачи). Динамическая модель включает описание связей
между основными переменными процесса во времени при переходе
от одного режима к другому. Составление динамической модели
сводится к получению динамических характеристик процесса.
Универсальным видом описания динамической характеристики является
дифференциальное уравнение.
Совокупность статической и динамической моделей с
ограничениями и дополнительными условиями, определяющими
однозначность решения уравнений, называют полной математической
моделью процесса. Такая модель должна отражать связи между
переменными как в статике, так и в динамике. Составление и
исследование полной математической модели нередко связано со
значительными трудностями. Опыт применения моделей показывает, что для
многих задач по расчету реакторов и других аппаратов химической
технологии достаточно иметь математические модели, описывающие
процессы в статике.
3. По природе процессов, протекающих в моделируемых
объектах, различают модели детерминированные и вероятностные.
Если изучаемые процессы по своей природе характеризуются как
детерминированные, для которых предполагается, что параметры
состояния однозначно определяются заданием входных и управляющих
воздействий, то модели таких процессов называются
детерминированными. При составлении детерминированных моделей используют
различные классические методы математики и получают
дифференциальные уравнения, линейные разностные уравнения, интегральные
уравнения и операторы для сведения к алгебраическим моделям и др.
Если изучаемые процессы по своей природе характеризуются как
стохастические (случайные), то модели таких процессов
называются вероятностными. Для изучения стохастических процессов
обычно используют математический аппарат теории вероятностей, при
помощи которого параметры состояния оцениваются в терминах
математического ожидания, а возмущающие параметры
характеризуются вероятностными законами распределения.
§ з. особенности протекания Ранее отмечалось, что картина
химико-технологических протекания химических превра-
ПРОЦЕССОВ щений на микроуровне, т. е. по
на микро- и макроуровне законам классической
химической кинетики, без учета влияния
физических процессов тепло- и массообмена, резко отличается от
технологических процессов в производственных условиях. Микрокине-
56
тика изучает взаимодействия в химическом процессе на уровне
молекул в масштабах, не превышающих свободного пробега молекул.
К масштабам молекулярных взаимодействий, кроме акта
химического превращения, относятся также такие явления, как молекулярное
трение (вязкость), молекулярный перенос тепла (теплопроводность),
молекулярный перенос вещества (молекулярная диффузия).
В реальных аппаратах на химическую реакцию влияют
сопутствующие физические процессы, обусловленные тепло- и массообменом
и гидродинамической обстановкой. Протекание процесса в таких
условиях называют макроскопическим или на макроуровне. В
связи с этим принято различать микрокинетику и макрокинетику
химических процессов. Разумеется, что такое деление является в
известной степени условным, но оно позволяет дать количественную
оценку разным сторонам сложного химического процесса.
Современное понятие макрокинетики было введено в 1947 г.
Д. А. Франк-Каменецким. В дальнейшем макрокинетика оформилась
в специальный раздел химической кинетики, который стал основой
расчета химических реакторов и промышленных химических
процессов. С возникновением вычислительной техники наступил новый
этап развития макрокинетики, так как появилась реальная
возможность выполнять расчеты сложных химических процессов,
требующих большого объема вычислительной работы. Рассмотрение
вопросов макрокинетики получило дальнейшее развитие в работах
В. В. Кафарова, В. Г. Левича, М. Г. Слинько и других, а также
зарубежных исследователей С. Вэйласа, Р. Ариса, К. Г. Денбига,
О. Левеншпиля.
Макрокинетика изучает взаимодействия в химическом процессе
на уровне агрегатов молекул, в масштабах вихрей, капель или
газовых пузырей, т. е. в масштабах макрочастиц. Основной задачей
макрокинетики является установление законов переноса вещества и
энергии на макроскопическом уровне в реальных условиях проведения
химических процессов. Эта задача сводится к установлению
распределения концентраций и температур в реакторе в зависимости от
организации потоков реагентов, подвода (отвода) тепла, влияния диффузии.
Вполне понятно, что результаты исследований на микро- и
макроуровне будут отличаться между собой. По этой причине, несмотря на
большую тщательность предварительных лабораторных
исследований нового процесса (на микроуровне), при внедрении его в
производство сталкиваются со значительными трудностями. До недавнего
времени внедрение нового процесса происходило
многостадийно путем создания ряда опытных установок (физические модели
разных масштабов), на которых эмпирически («на ощупь») пытались
установить оптимальные условия работы. Это требовало длительного
времени, больших материальных затрат и не давало уверенности,
что выявлен самый лучший вариант.
В современных условиях интенсивного развития химической
промышленности, когда процессы проводятся при больших скоро-
57
Рис. 12. Схема разработки нового
технологического процесса.
стях реакций, высоких
температурах и высоких давлениях в
многофазных системах и отличаются
большой сложностью,
эмпирическое многостадийное внедрение
в производство новых
технологических процессов стало бы
огромным тормозом. Применение
математического моделирования
позволяет отказаться от
постепенного многократного
увеличения размеров опытной установки.
Но это не означает, что отпадает
необходимость в постановке
экспериментов. Опытная установка
и при математическом
моделировании включается как необходимый элемент разработки нового
процесса, но существенно изменяются ее роль и назначение. Исследования,
которые при этом проводятся на опытной установке, направлены не на
поиск оптимальных режимов в различных масштабах на физических
моделях, а на проверку адекватности математической модели, на
определение или уточнение ее коэффициентов, режимов потоков,
коэффициентов массо- и теплопередачи и т. п. Оптимальный режим затем
рассчитывается на основе решения математической модели с
использованием ЭВМ. В литературе уже имеются работы [5, 6, 16, 20, 29],
в которых освещены вопросы оптимального проектирования и
внедрения реальных процессов с применением математического
моделирования, а также приведены результаты решения конкретных
задач.
Разработку нового технологического процесса можно
представить двухступенчатой схемой (рис. 12). Применение методов
кибернетики начинается еще в лаборатории (первая ступень), где задача
предварительно решается на ЭВМ (АВМ) для выявления возможных
путей получения продукта. Затем из всех возможных отбирается
лучший вариант — оптимальный режим, и выполняется химический
эксперимент только в этих условиях. При таком подходе резко
сокращаются затраты труда, времени, реактивов и других
материальных средств. На этой ступени устанавливается (или уточняется)
механизм реакции, получаются кинетические кривые, определяются
константы скорости реакции, константы равновесия и т. п.
(исследования на микроуровне).
Результаты лабораторных исследований на первой ступени
являются исходными для перехода к промышленному получению нового
продукта. Чтобы исключить возможные ошибки при переходе от
лабораторной установки к промышленным масштабам, необходима
еще вторая ступень — исследование макрокинетики процесса в
аппаратах больших размеров для проверки хода процесса не в лабора-
58
торной колбе, а в укрупненном агрегате. Эти исследования также
проводятся с помощью ЭВМ (ЦВМ).
Прежде чем начать опыт на укрупненной экспериментальной
установке, исследователь вновь выполняет на ЭВМ расчеты
возможных вариантов и за короткое время получает ответы на все
интересующие вопросы. В частности, можно найти лучшие условия
проведения процесса (провести оптимизацию) или определить, при каком
количестве исходных реагентов получится продукт лучшего
качества, или в каком случае потребуется наименьшее время для будущего
производственного процесса. Решение интересующих вопросов
(информация о новом процессе) выдается машиной в виде таблиц или
графиков, анализ которых позволяет принять решение, какой режим
следует осуществить в производстве. Этот режим и проверяется на
укрупненной установке.
Данные второй ступени, подтвержденные опытом, можно с
уверенностью выдавать для проектирования новых промышленных
процессов. Расчет и исследование проектируемого процесса на ЭВМ как
на первой, так и на второй ступенях выполняется при использовании
математического описания процесса, составленного
соответственно на микро- и макроуровне.
На укрупненной опытной установке получают также
рекомендации, как поддерживать оптимальный режим или как управлять
процессом. Таким образом, методы кибернетики позволяют не только
создавать оптимальный процесс, но и систему управления им.
Однако в практике выполнения конкретных оптимальных
расчетов реакторов и других аппаратов химической технологии имеются
еще нерешенные вопросы и затруднения. Это объясняется
сравнительно небольшим опытом практического применения метода
математического моделирования, существенными отклонениями
математического описания (модели) от реального процесса и трудностями,
возникающими при выработке конкретных методик и рекомендаций
в силу многообразия химико-технологических процессов и особой
специфики каждого из них. По мере расширения наших знаний о
процессах и совершенствования способов их алгоритмизации эти
трудности будут уменьшаться и преодолеваться.
v § 4. схема построения В ходе математического модели-
математических моделей рования химико-технологиче-
ПРОЦЕССОВ ских процессов наиболее слож-
химической технологии ной и трудоемкой является
задача составления математического
описания, удачное решение которой определяет дальнейшую
разработку, ибо модель не только должна удовлетворительно отвечать
физическому смыслу изучаемого процесса, но во всех случаях
выбор способа математического описания и, соответственно выбор типа
модели, должен определяться возможностью и удобством ее
численной реализации. Рецептов по составлению математических моделей
59
для всех случаев, разумеется, дать нельзя, но из самой сущности
метода математического моделирования вытекает, что математическое
описание моделируемого объекта необходимо проводить по частям,
исходя из того, что реальный процесс представляет собой
сочетание «элементарных» процессов.
Практически составление математической модели осуществляют
по этапам. При этом наиболее часто применяют блочный принцип,
согласно которому каждый блок содержит более-менее
самостоятельный этап моделирования. Обычно построение математической
модели начинают с этапов формализованного описания тех
«элементарных» процессов, которые являются наиболее существенными для
данного объекта. На последующих этапах устанавливаются другие
возможные связи между параметрами. Заключительный этап состоит
в объединении полученных на всех предыдущих этапах описаний в
единую систему уравнений, которая является математическим
описанием объекта моделирования. Количество этапов, их содержание
и последовательность зависят от конкретной задачи.
Схему построения математической модели
химико-технологического процесса в первом приближении можно представить таким
образом:
1. Этап составления кинетических уравнений, описывающих
«элементарный» процесс химического превращения. Реализация
данного этапа требует предварительного изучения сущности химической
реакции и возможности применения известных кинетических
закономерностей. Затем следует установить механизм реакции,
кинетические характеристики и записать кинетические уравнения. Все это
осуществляется на базе экспериментальных лабораторных
исследований на микроуровне по законам классической кинетики (без учета
влияния физических процессов тепло- и массообмена).
На указанном этапе обычно используют АВМ или ЦВМ, что
позволяет значительно ограничить объем лабораторных опытов за
счет постановки направленного эксперимента для условий лучшего
из возможных вариантов машинных решений.
Полученные кинетические уравнения, описывающие
«элементарный» процесс химического превращения, принято называть
кинетической моделью. (Предпосылки и практические приемы составления
кинетических моделей рассмотрены в гл. IV).
2. Этап выбора типа основного аппарата (реактора). При
проектировании нового процесса следует иметь в виду, что тип
реактора, его размеры, наряду с режимными параметрами, являются
также искомыми. В ходе построения модели необходимо произвести
выбор типа реактора путем сравнения возможных вариантов с
учетом влияния на процесс особенностей конструктивного оформления
аппарата. С этой целью могут быть использованы последовательные
расчеты нескольких вариантов и выбор лучшего из них, анализ
лабораторных кинетических экспериментов, информация о работе
реакторов при осуществлении аналогичных процессов и др. В неко-
60
торых задачах тип реактора предусматривается исходными
требованиями.
3. Этап составления математического описания «элементарного»
процесса перемещения веществ или построение гидродинамической
модели. Для получения уравнений гидродинамической модели
необходимо провести всесторонний анализ физической сущности
процесса, изучить особенности структуры реагирующей среды (чаще всего
движущихся потоков) и принять некоторые допущения, позволяющие
упростить зависимости между параметрами и сохранить физическую
картину процесса.
Если принятые допущения не вносят существенных отклонений
от реального процесса, то рекомендуется применять типовые
гидродинамические модели или их комбинации, которые позволяют
описывать гидродинамические режимы сравнительно простыми
уравнениями, полученными для идеальных структур или реальных потоков
с известными упрощениями. Методика составления типовых
гидродинамических моделей движущихся потоков, в которых обычно
происходят химические превращения, подробно рассматривается в гл. V.
4. На следующем этапе изучаются процессы тепло- и массооб-
мена и составляются их математические описания в соответствии
с гидродинамическим режимом (структурой) движения реакционной
среды.
5. В ряде случаев исследуемые процессы могут отличаться
какими-либо особенностями, которые учитываются при моделировании
введением в математическое описание теоретических,
полуэмпирических и эмпирических соотношений между параметрами процесса.
Например,зависимость,характеризующая особенности растворимости
газа в жидкости, зависимость теплоемкости раствора от состава,
зависимость коэффициента массопередачи от скоростей потоков фаз.
6. При составлении математического описания некоторых
процессов необходимо принимать во внимание объективно
существующие ограничения на диапазон изменения ряда параметров. Например,
при моделировании процесса ректификации многокомпонентных
смесей для любой ступени разделения должно выполняться условие,
что сумма концентраций всех компонентов равна единице и
концентрация любого компонента может быть только положительной
величиной в пределах от 0 до 1.
7. Если по каким-либо соображениям требуется знать
закономерности протекания процесса в переходных режимах, то
дополнительно изучаются динамические характеристики моделируемого
объекта, которые учитывают изменение основных параметров во времени.
8. Заключительным этапом построения математической модели
является объединение описаний всех исследованных «элементарных»
процессов и формализованных других связей между параметрами
процесса в единую систему уравнений, связывающих параметры
конструктивные, физические и параметры «элементарных»
процессов.
61
Следовательно, для составления математической модели химико-
технологического процесса применяется синтез закономерностей,
которые устанавливаются химической кинетикой, гидродинамикой
и теорией массопер^едачи, термодинамикой и теорией теплопередачи,
с учетом изменений основных параметров во времени.
Необходимо, чтобы математическая модель достаточно точно
качественно и количественно описывала свойства моделируемого
объекта, т. е. она должна быть адекватна процессу. Поэтому в ходе
построения модели проводится проверка адекватности, в частности,
обязательно подтверждается справедливость гипотезы о механизме
реакции на этапе составления кинетической модели и адекватность
гидродинамической модели. При проверке адекватности
математического описания реальному процессу результаты
экспериментальных измерений на процессе нужно сравнивать с результатами
вычислений при решении уравнений модели для идентичных условий.
Таковы общие принципы построения математического описания
химико-технологических процессов. Этапы составления
кинетических и гидродинамических моделей, описывающих наиболее
существенные «элементарные» процессы, рассмотрены в гл. IV и V.
Глава IV. МАТЕ- Кинетика химических реакций в
МАТИЧЕСКОЕ значительной степени определя-
ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ ет химический процесс и играет
vifMHxiFrKOrn важную роль в химической тех-
.л.хшш ~i£ii/iwi и нологии. Она открывает возмож-
ПРЕВРАЩЕНИЯ ности сознательного управления
(КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ) промышленными процессами,
позволяет ставить и решать
вопросы их интенсификации. В
связи с этим установление
кинетических закономерностей
является необходимым условием при
разработке того или иного тех-
§ 1. основные понятия нологического процесса и управ-
химической кинетики ления им. Особенно это важно
при проектировании химических
реакторов методом математического моделирования, что, в
частности, следует из схемы составления математической модели.
Приведем некоторые сведения, относящиеся к кинетическим
закономерностям химических реакций.
Скорость реакции. Как известно, по признаку фазового
состояния различают гомогенные и гетерогенные реакции. Химическая
реакция, протекающая в пределах одной фазы, называется
гомогенной химической реакцией. Химическая реакция, протекающая
на границе раздела фаз, называется гетерогенной химической
реакцией.
Важнейшей количественной характеристикой процесса
химического превращения веществ является его скорость. Скорость
химической реакции — это изменение количества вещества в единицу
времени: для гомогенных процессов — в единице объема, для
гетерогенных процессов — на единице поверхности раздела фаз.
Математическая запись этого определения может быть представлена
так:
. dN , dN /тл7 i\
где N — количество вещества; т — время; V — объем; s —
поверхность раздела фаз. Следует учесть, что количество исходных веществ
убывает (dN < 0), а продуктов реакции возрастает (dN > 0).
Поэтому для исходных веществ производную (IV. 1) записывают со
знаком «минус» (dN < 0, di > 0), а для образующихся веществ —
со знаком «плюс» (dN > 0, dx > 0)."
Поскольку в химическом превращении участвуют несколько
веществ (исходные, промежуточные вещества, продукты реакции),
то имеется в виду не скорость химического превращения вообще,
а скорость по какому-либо компоненту. Если количество вещества N
выразить через концентрацию и объем (N = CV), то скорость
63
гомогенных реакций по исходному веществу с учетом формулы (IV. 1)
примет вид:
d(CAV) CAdV VdCA
WrA VdT Vdx VdT '
Во многих случаях V = const, тогда
dCA
W'A = —1T- (IV.2)
Следовательно, для системы, объем которой с течением времени
остается постоянным, скорость реакции по некоторому компоненту
определяется изменением концентрации этого компонента по времени.
Скорость химической реакции зависит от природы молекул
реагентов и внешних условий: температуры, давления, среды
(гидродинамика потоков, состояние поверхности раздела фаз, присутствие
посторонних примесей и т. п.). При заданных внешних условиях
(температура, давление, среда, в которой протекает процесс) скорость
реакции является функцией концентраций реагирующих веществ
w, = f(CA9CB, ... , С,). (IV.3)
В большинстве случаев эта зависимость скорости реакции от
концентраций реагентов выражается степенным законом (закон
действующих масс)
wr = kcn/cnB* ... qt, (iv.4)
где Са, Сву ..., С{ — концентрация исходных реагентов; па, пв, ...
..., п{ — порядок реакции поданному компоненту (показательстепени
при концентрации t-ro реагента); па + пв + • • • + nt = п—порядок
реакции, т. е. сумма порядков реакции по всем реагирующим
веществам, он определяет характер зависимости скорости от
концентрации; k — константа скорости реакции.
Следует подчеркнуть, что степенная зависимость от
концентраций реагирующих веществ практически всегда выполняется для
скоростей отдельных стадий химического процесса. При этом как
порядок по отдельному веществу, так и суммарный порядок
реакции всегда являются целыми положительными числами. Если речь
идет об отдельной стадии процесса, то порядок ее никогда не
превышает трех. Поэтому особо важное значение имеют в химической
кинетике реакции первого, второго и третьего порядка [13]. В общем
случае суммарный порядок многостадийной реакции может быть
нулевым, дробным либо целым числом; он определяется
экспериментально.
Кинетические уравнения. Из сопоставления уравнений (IV.2),
(IV.3) и (IV.4) получаем так называемые кинетические уравнения:
-ЧГ = ?(Сл>Св d) (IV-5)
или
dCA = kCn/CnBB ... Сп* (IV.6)
dX ™A ~В
64
Таким образом, уравнение, отражающее изменение концентрации
какого-либо вещества во времени в ходе химического превращения,
носит название кинетического уравнения, а кривая, соответствующая
этому уравнению,— кинетической кривой.
Константа скорости химического процесса — это параметр,
который входит в кинетическое уравнение (IV.6). Константа скорости
реакции k является наряду со скоростью реакции одной из основных
величин в химической кинетике. Как следует из закона
действующих масс (уравнение (VI.4)), константа скорости реакции k
показывает, с какой скоростью идет химический процесс при
концентрациях реагирующих веществ, равных единице. Зависимость константы
скорости реакции k от температуры наиболее часто выражают в
виде уравнения Аррениуса:
£_
k = k0e *r, (IV.7)
где Т — абсолютная температура; R — универсальная газовая
постоянная; Е — энергия активации; е — основание натуральных
логарифмов; k0 — предэкспоненциальный множитель (при Т -*-
-> со е° = 1 и k = k0).
Энергия активации. Понятие энергии активации Е определяется
существованием потенциальных барьеров, с преодолением которых
связано любое химическое превращение. Параметр Е для реакций,
протекающих в одну стадию, показывает, какой минимальной
энергией (в расчете на 1 моль) должны обладать реагирующие частицы,
чтобы они могли вступить в химическую реакцию. Частицы, энергия
которых больше или равна Е, называются активными, а параметр Е
в связи с этим называется энергией активации.
Энергия активации может быть определена, если известны
значения константы скорости реакции при двух различных
температурах. Пусть kx и k2 — константы скорости реакции при температурах.
Тг и 7V Тогда
£_ Е
Kt — AvqC , /vo — *^0
/?ln-
1 1
(IV.8)
Величину энергии активации выражают в калориях или джоулях
на моль.
Механизм химической реакции. Простые и сложные реакции.
В химической реакции не всегда происходит непосредственное
превращение исходных молекул в молекулы продуктов реакции. В
большинстве случаев реакция протекает в несколько стадий.
Совокупность стадий, из которых состоит химическая реакция,
называют механизмом химической реакции. При изучении химических
3 3-24
65
превращений в "первую очередь следует устанавливать механизм
химической реакции, поскольку именно он обусловливает
конкретный вид кинетического уравнения.
Стехиометрическое уравнение химической реакции, как известно,
показывает, в каких количественных соотношениях вещества
вступают во взаимодействие. Однако фактически реакция редко
протекает по схеме, описываемой стехиометрическим уравнением.
Например, реакция взаимодействия водорода и брома записывается
стехиометрическим уравнением:
Н2 +Br2^>2HBr. (IV.9)
В действительности же реакция протекает по более сложной
схеме [10]:
Вг2->2Вг;
Вг+Н2->НВг+Н;
H + Br2-*HBr+Br; (IV. 10)
Н+НВг->Н2 + Вг;
2Вг-*Вг2.
Таким образом, стехиометрическое уравнение (IV.9) отражает
суммарный эффект ряда реакций (IV. 10). Следовательно, о
механизме реакции нельзя судить только по ее стехиометрическому
уравнению. Практически механизм реакции устанавливается опытным
путем. С этой целью формулируют наиболее вероятные гипотезы
механизма изучаемой реакции и выбирают ту из них, Которая лучше
всего соответствует опытным данным, полученным для указанной
реакции.
Наиболее простым является механизм реакции, которая
протекает в одну стадию. Химические реакции, протекающие в одну стадию,
т. е. осуществляющиеся путем прямого перехода реагирующих
частиц в продукты реакции, называются элементарными реакциями.
Каждая элементарная реакция складывается из большого числа
одинаковых повторяющихся превращений исходных частиц —
элементарных актов химического превращения. Реакции, в
элементарном акте которых участвуют одна, две или три частицы,
называются соответственно мономопекулярными, бимолекулярными и
тримолекулярными. Реакции более высокой молекулярности
практически не встречаются.
Для элементарных реакций стехиометрические уравнения
всегда выражают истинный механизм химического превращения и,
следовательно, определяют кинетические уравнения в виде
степенной зависимости (IV.6), в которой, например, показатели степени Па,
Пв соответствуют стехиометрическим коэффициентам компонентов
А и В. Для элементарных реакций порядок реакции и ее молекуляр-
ность совпадают.
При отсутствии прямой связи между стехиометрическими и
кинетическими уравнениями реакции являются неэлементарными, их
66
стехиометрические уравнения не отвечают истинному механизму
химического превращения. Примером неэлементарной реакции служит
взаимодействие водорода и брома. По виду стехиометрического
уравнения (IV.9) такую реакцию можно было бы считать элементарной,
но ее стехиометрическое уравнение не описывает истинный
механизм реакции, о чем свидетельствует экспериментально
установленное для этого превращения следующее кинетическое уравнение [10]:
^ = -^L, (iv.ii)
Т ill ГИЁ1
+ 2 СВГ2
где kx и k2 — константы скоростей элементарных реакций,
охватывающие все пять элементарных стадий. Очевидно, уравнение (IV.11),
которое достаточно точно описывает опытные данные, нельзя
получить непосредственным применением закона действующих масс к
стехиометрическому уравнению реакции (IV.9). В рассмотренной и
во всех других одностадийных неэлементарных реакциях
стехиометрическое уравнение отражает суммарный эффект ряда элементарных
реакций.
По количеству стехиометрических уравнений, необходимых для
описания химического превращения, различают простые и сложные
реакции. Если одного стехиометрического уравнения достаточно,
чтобы описать протекание данной реакции, то ее относят к простым
реакциям. Если же для описания наблюдаемого течения реакции
необходимо несколько стехиометрических и кинетических
уравнений, то ее относят к сложным реакциям. Сложные реакции
разделяют на последовательные, параллельные и смешанные.
Приведем примеры простых элементарных реакций и соответ-
kCA;
ЬСаСв\
kCA\
kC aCbCq\
UCaCb\
kCnAy
где k — константа скорости реакции, которая отвечает компоненту
А (для первой, второй и четвертой реакций k также соответствует
константе скорости реакции стадии).
ствующие им кинетические уравнения:
k
A-+S,
A+B-yS,
2 А Ь S,
A + B + D^S, *
2Л + В ±~ S,
nA^^S,
dCA
dx
dCA __
dx
dx
dx
dCA
dx
dCA
dx
3*
67
Если в простой элементарной реакции участвует одинаковое
число молекул различных компонентов, то константы скорости
реакции, соответствующие любому компоненту, будут иметь равные
численные значения, т. е. kA = kB = ... = &s. Если же в реакции
участвует неодинаковое число молекул различных компонентов,
то кинетические уравнения нельзя считать достаточно
определенными и нужно указывать компонент, которому отвечает константа
скорости реакции.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим реакцию:
A + 2B^-+3S. (IV. 12)
Запишем выражения для скорости реакции:
по компоненту А
^±==-kACAC%; (IV. 13)
по компоненту В
^L=-kBCAC2By (IV. 14)
по продукту S
^- = ksCACl. (IV. 15)
Из стехиометрического уравнения (IV. 12) следует, что
dCA I dCB i dCs
—гг = --2--гга-г'-зг- (1УЛ6)
В результате сопоставления уравнений (IV. 13) — (IV. 16)
получаем соотношение между константами скорости, отвечающими
соответствующим компонентам, и стехиометрическими
коэффициентами:
h Ь Ъ
-^ = -f = -f = k, откуда kA = k\ kB = 2k и ks = 3£ (IV. 17)
или в общем случае
.*!. = -**« ... e J*-=k, (WAS)
где kAy kBy ks — константы скорости реакции, отвечающие
компонентам Л, В, S; k — константа скорости реакции стадии.
Чтобы избежать неопределенности в записи кинетического
уравнения, обычно используют константу скорости стадии, умноженную
на стехиометрический коэффициент компонента, по которому
выражается скорость реакции.
Большинство химических реакций являются сложными, т. е.
такими, которые протекают в несколько стадий и при этом могут
иметь прямое и обратное направления. Составление кинетических
уравнений сложных процессов основано на независимом
протекании элементарных реакций. Согласно этому, величина константы
68
скорости химической реакции не зависит от того, протекают ли в
данной системе одновременно и другие элементарные реакции [13].
В сложном химическом процессе одно и то же вещество может
принимать участие в качестве исходного или конечного компонента
на различных стадиях. Поэтому при составлении кинетических
уравнений сложной реакции ее представляют состоящей из нескольких
независимо протекающих элементарных реакций и для описания
каждой из них используют кинетические закономерности
элементарного акта химического превращения.
Полное изменение концентрации t-го компонента сложной
реакции будет алгебраической суммой скоростей его образования или
расходования на всех элементарных стадиях, где участвует в
реакции этот компонент. Сложные реакции математически
описываются системами дифференциальных кинетических уравнений,
количество которых определяется числом реагирующих веществ.
Приведем примеры сложных химических реакций и соответствующие им
кинетические уравнения:
последовательная реакция
^ - ьс •
A*us±+R -jf- = КС а - k2Cs;
dCR и г .
параллельная реакция
ЛУ dCs
УГАС -зг = *А,
~Т\ 2 А'
смешанная реакция
dC* ь с ■
^SC dCR un
dC<> -kc
Здесь ku ka, kt — константы скорости реакции соответствующих
стадий.
69
Константы химического равновесия. Многие химические
процессы протекают по схеме обратимых реакций, которые
характеризуются тем, что через некоторое время после их начала скорости прямой
и обратной реакции становятся равными друг другу и наступает
химическое равновесие. Такое состояние в каждом случае
определяется так называемой константой равновесия.
Константа химического равновесия К представляет собой
отношение констант скорости прямой и обратной реакций
/С= 4^ • (IV. 19)
Значения констант равновесия находят через парциальные
давления (для газов — Кр), либо как функцию концентраций
участвующих в реакции веществ (для жидкостей — Кс) по соответствующим
формулам.
Например, в реакции
пАА + пвВ ~i nRR + nsS (IV.20)
«2
для газов
. pnRpnS
Кр = А = ПРл, Рв, pR, Ps) = .Jl-JL-; dv.21)
^A yB
для жидкостей
Кс = A = ф {Ca> Cb, Cr, Cs) = -^fl. (IV.22)
Ca cb
Константы Кс и Кр между собой связаны зависимостью;
применительно к реакции (IV.20) эта зависимость имеет вид:
К с = Кр (RT){nA+nB) ~ in*+ns\ (IV.23)
Константа химического равновесия К определяется, как правило,
экспериментально. Если значение К известно, то константы
скоростей реакций kx и k2 соответственно в прямом и обратном
направлении могут быть найдены моделированием на АВМ кинетических
уравнений обратимой реакции типа (IV.20) [27].
Степень превращения. Практически при протекании химических
реакций исходные вещества превращаются полностью или
частично, что можно оценить значениями текущих концентраций
этих веществ. Однако значительно проще оценивать состояние
превращения исходного реагирующего вещества величиной так
называемой степени превращения. Если превращение вещества А
происходит полностью, то это соответствует степени превращения Ха = 1.
Если превращение вещества А совсем не происходит (реакция не
протекает), то Ха = 0. Степень превращения изменяется от 0 до
1, является безразмерной величиной и характеризует определенный
исходный реагент. Обычно ее выражают отношением [1; 11]:
ХА= N\~Na , (IV.24)
70
где NAq> Na — соответственно начальное и конечное количество
реагента; (Л^в — Na) — количество превращенного исходного
реагента. Делением на величину NAo достигается безразмерность Ха,
которая представляет собою долю исходного реагирующего
вещества, превращающегося в продукт.
Если V = const, то степень превращения определяется по
формуле:
Хл = Сл°~Сл > (IV-25>
из которой следует, что степень превращения — это отношение
разности начальной и конечной концентраций реагента к его начальной
концентрации. Степень превращения — параметр, который в
технологических расчетах часто применяется вместо концентрации.
Из формул (IV.24) и (IV.25) можно получить выражения для
подсчета NA или СА при известных Хл и Na0 или С^0:
NA = NAu(l-XA)\ (IV.26)
Сл=Са0(1-Ха). (IV.27)
Иногда при решении кинетических уравнений удобно скорость
химической реакции выражать функцией степени превращения.
Тогда при V = const:
__ dCA d[CAo(l-XA)] dXA
Если V Ф const, то зависимость wrA = / (Ха) можно найти в
результате такого преобразования выражения для скорости реакции:
м dN* - *№а.У~Ха)\ _ na0 ^ХА
rA Vdx Vdx ~~ V0 ' (l+aXA)dx*
При этом принято, что объем изменяется по линейному закону
V = V0(l + аХА) и коэффициент а = *~ о) , где V0 и V± —
"о
соответственно объем исходной реагирующей среды (ХА = 0) и
N
объем продуктов реакции при Ха = 1. Заменив -гг2- = САо, полу-
чим:
dxA
WrA = CA. ([ + axA)dx- (IV.29)
Сравнение формул (IV.28) и (IV.29) показывает, что их структура
одинакова.
Способы решения кинетических уравнений. Ранее уже
отмечалось, что кинетические закономерности химических превращений
могут быть описаны одним или системой обыкновенных
дифференциальных уравнений, при этом в указанных уравнениях:
dCA dCB dCs
левые части — это производные—т—, —-т— , —:— ..., правые части —
71
Рис. 13. Кинетические кривые простой
элементарной реакции первого порядка
к
А -* S (к примеру 1).
Рис. 14. Графическое определение кон-
k
станты скорости k реакции А -> S
(к примеру 1).
являются функциями искомых концентраций реагентов системы
С а, Св> ..., Сс (чаще всего степенными функциями).
В условиях постоянной температуры и определенной среды
входящие в эти уравнения константы скорости k±, k2, ..., kt можно
рассматривать как постоянные величины и тогда практически имеем
дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями с
постоянными- коэффициентами.
Для решения кинетических дифференциальных уравнений (или
систем) необходимо их проинтегрировать, применив один из
известных способов: аналитический, приближенного численного
интегрирования или машинный (на АВМ либо ЦВМ).
Аналитическим способом дифференциальные кинетические
уравнения могут быть проинтегрированы (решены) лишь для простых
k k k k
реакций типа: А -> S\ А + В -+ S; А + В + D -> S; пА ->S.
Пример 1. Составить и решить кинетическое уравнение простой
к
реакции первого порядка, протекающей по схеме A ->S.
Решение. Поскольку концентрация исходного вещества А
убывает, а продукта 5 — возрастает, то характер кинетических
зависимостей графически можно изображать кривыми (рис. 13).
Кинетическое уравнение такой реакции — это дифференциальное
уравнение первой степени с разделяющимися переменными:
dC* ъс
Такое уравнение легко решается аналитически
ел. °
72
Решение можно записать в нескольких видах: In л = — kx или
С а = CAoe~kx, либо In -j т?— = kx, если вместо Са подставить
i —лА
САо (1 - ХА).
Полученные решения можно использовать для графического
определения константы реакции k (рис. 14).
Пример 2. Составить кинетическое уравнение простой реакции
k
второго порядка А + В ~^S и найти его решение.
Решение. Кинетическое уравнение этой реакции содержит
две переменных С а и Св :
—± = —kCACB.
Св
Чтобы исключить переменную Св, следует ввести замену г ° = М,
использовать понятие степени превращения Ха и произвести
некоторые преобразования.
Поскольку по схеме реакции взаимодействуют моль А на моль В,
то
Г Г —Г Г и пи СЛо — СА __ СВ0 —СВ __ м СВ
^А0 — Ьд = Сд, — L>B ИЛИ g = ^ М g .
А0 А0 А0
Тогда Св = САо (М — Ха) и, кроме того, известно, что Са =
= СДо (1-Хл).
Подставим значения С а и Св в кинетическое уравнение:
"СЧ'Т~*Л)1 = - kCAo (l-XA) СЛ„ (М - Ха)
ИЛИ *Л т
Г dXA Г
о о
Интегрирование правой части последнего уравнения дает CAokx\
левая часть вычисляется по правилам интегрирования рациональных
дробей, то есть
*А
f dX _ 1 1п М~ХА
J (Х~1)(Х-М) М — 1 iUM(\-XA) #
Следовательно,
ipt'^T-^V^' где /И = "^7-
После преобразования последнего равенства решение принимает
вид:
\п-^Г = \п^-+(Св0-САо)кх.
A А$
73
2
Таблица 3
Решения кинетических уравнений некоторых простых и сложных реакций
75
Рассмотренные примеры показывают, что аналитическое решение
к
кинетических уравнений даже простых реакций (кроме А -> S)
требует громоздких вычислений, а в ряде случаев вообще
невозможно. В литературе приводятся точные решения кинетических
уравнений некоторых сложных реакций, стехиометрические
коэффициенты которых равны единице (табл. 3). Для сложных реакций,
описываемых системами кинетических дифференциальных
уравнений (как правило, нелинейных), найти решение аналитическим
способом крайне затруднительно.
При изучении реакций, кинетические уравнения которых не
поддаются аналитическому решению, исследователи вынуждены
были применять методы приближенного численного интегрирования.
Однако эти методы громоздки и требуют большого объема
вычислительной работы. По указанным причинам нередко приходилось
вообще отказываться от аналитического решения задачи и
пользоваться лишь эмпирическими данными.
В настоящее время при изучении кинетики химических реакций
(особенно сложных) рекомендуется пользоваться машинным
методом решения кинетических уравнений путем моделирования
процесса химического превращения на АВМ. Это позволяет сократить
количество трудоемких и длительных экспериментов, что
значительно облегчает и ускоряет работу исследователя. Таким образом,
решение кинетических уравнений на АВМ осуществляется во много
раз проще и быстрее. Но главное преимущество машинного метода
состоит в том, что на ЭВМ можно решать и те задачи, для которых
точное аналитическое решение невозможно, а приближенное
слишком трудоемко и связано с большими затратами времени.
Необходимость решения дифференциальных кинетических
уравнений или их систем возникает чаще всего в одной из следующих
задач:
1. Известна схема реакции и величины констант скорости
отдельных стадий. Требуется рассчитать концентрацию того или иного
компонента в некоторый момент времени или установить время, за
которое концентрация того или иного компонента достигает
определенного значения. Для этого достаточно найти уравнение
кинетической кривой по интересующему исследователя продукту.
2. Известна схема процесса и опытным путем найдены
кинетические кривые компонентов реакции. Необходимо определить
константы скорости отдельных элементарных стадий. В этой задаче
надо решить дифференциальное уравнение (или систему) в общем
виде с константами скорости в качестве параметров, а затем
подобрать такие значения параметров, которые приводят к совпадению
решений с найденными опытным путем кинетическими кривыми.
3. Схема процесса носит гипотетический характер. Требуется
установить соотношения между кинетическими характеристиками
системы (скоростями, текущими концентрациями, временем), позво-
76
ляющие проверить правильность предложенной схемы.
Гипотетические соотношения выбирают в общем виде с константами скорости в
качестве параметров и подставляют в них экспериментальные
данные. Если при этом соотношение не оправдывается — схему
отвергают, как не соответствующую опытным данным, если же
соотношение оправдывается, то это является более или менее веским доводом
в пользу правильности выбранной схемы [13].
При решении каждой из перечисленных задач следует сочетать
теоретические методы исследований и опытные данные. Третья
задача, которая чаще всего возникает при проектировании нового
технологического процесса, наиболее трудоемкая и требует
использования вычислительных машин. Решение такой задачи является
необходимой предпосылкой для составления математического описания
кинетики проектируемого процесса и построения математической
модели реактора.
§ 2. ОСОБЕННОСТИ Во всяком гетерогенном процес-
гетерогенных химических се взаимодействие между компо-
ПРОЦЕССОВ нентами происходит на
поверхности раздела фаз или в
непосредственной близости от нее. Гетерогенными системами могут быть:
жидкость (газ) — твердое тело; жидкость (газ) — жидкость и др.
Различают некаталитические гетерогенные процессы и
каталитические. К числу некаталитических относятся гетерогенные
процессы, протекающие как в системе из одного компонента (плавление,
кристаллизация, испарение, конденсация, возгонка), так и в
системах из двух и более компонентов (растворение, ректификация,
дистилляция и т. п.). Скорость таких процессов зависит от величины
и состояния поверхности раздела фаз (помимо факторов,
характеризующих каждый конкретный процесс). Скорость возрастает при
увеличении поверхности и при непрерывном ее обновлении, которое
обеспечивается за счет движения фаз (например, ректификация).
В гетерогенных каталитических процессах принимает участие
катализатор, который, как правило, составляет самостоятельную
фазу и оказывает сильное влияние на скорость реакции. Скорость
гетерогенных каталитических реакций обычно относят к единице
поверхности раздела фаз*
1 АС
wr = — — -^- (при V = const).
Во всех процессах гетерогенного катализа реакция протекает на
поверхности самого катализатора.
Гетерогенный катализ широко применяется в промышленной
практике, при этом наиболее часто встречаются гетерогенные
каталитические системы, в которых взаимодействие компонентов
происходит на поверхности раздела твердой и газообразной (или
жидкой) фаз. Твердой фазой, обычно, является катализатор. Имеются,
77
конечно, и такие химические процессы, которые протекают либо на
поверхности раздела жидкой и газообразной фаз (например,
гидрогенизация жидких нефтепродуктов, сатурация, или очистка
диффузионного сахарного сока с помощью углекислого газа), либо на
поверхности двух жидких фаз (например, нитрование бензола,
нитрование толуола).
Однако большинство промышленных каталитических процессов
осуществляется в гетерогенных системах твердое тело — газ (так
называемые газовые каталитические реакции). К числу таких
процессов относятся: синтез аммиака, метанола, винилацетата, высших
спиртов; окисление двуокиси серы, этилена, метанола, нафталина;
конверсия метана, окиси углерода. На ход перечисленных
гетерогенных каталитических процессов существенно влияют размеры и
природа поверхности твердой фазы; характер потока газа (жидкости)
у поверхности твердого тела (ламинарный или турбулентный режим);
процессы диффузии веществ, которые обусловливают движение
реагирующих компонентов к твердой поверхности и отвод от нее
продуктов реакции в газообразную (жидкую) фазу, так называемое
транспортирование веществ.
Для гетерогенных систем других типов в целом картина
аналогична, и кинетика гетерогенного каталитического процесса
определяется не только скоростью химического превращения, но и
скоростью диффузии, которая зависит от типа гетерогенной системы.
Следовательно, характерной особенностью гетерогенных
химических процессов является усложнение их явлениями диффузии и в
связи с этим в общем случае математическое описание скорости,
кроме обычных кинетических уравнений гомогенных реакций,
должно содержать еще и выражение массопередачи. Трудность состоит в
том, что не может быть одного универсального уравнения скорости,
так как выражение массопередачи зависит от типа гетерогенной
системы.
На скорость гетерогенного процесса влияет также
гидродинамическая структура потока или комбинация контактирующих
потоков. Каждому способу контактирования двух фаз отвечает
специфическая форма расчетного уравнения и, следовательно, методы
расчета гетерогенных систем каждого типа обладают своими
характерными особенностями [И, 19]. Однако общим для всех
гетерогенных систем является то, что кинетическое уравнение описывает
результирующую х (суммарную) скорость гетерогенного процесса,
включающую скорость химического превращения и скорость
диффузии. Составляющие суммарной скорости могут иметь близкие
значения или резко отличаться друг от друга. В зависимости от
соотношения между скоростью химического превращения и скоростью диф-
1 В дальнейшем скорость гетерогенного процесса, учитывающую скорость
химического превращения и скорость диффузии, будем называть суммарной.
78
фузии химические процессы в гетерогенных системах могут
протекать либо в кинетической, либо в диффузионной, либо в смешанной
области.
Химические процессы, протекающие в кинетической области,
характеризуются тем, что скорость собственно химической реакции
является наиболее медленной и лимитирует весь процесс, а скорость
движения потоков и их физические свойства на процесс не
оказывают заметного влияния. Для расчета таких процессов могут быть
использованы кинетические зависимости без учета влияния
диффузии, так как кинетика в целом определяется скоростью
химического превращения. Условия для возникновения кинетической области
создаются при низких температурах, низких давлениях и больших
скоростях газового потока.
Для химических процессов, протекающих в диффузионной
области, скорость диффузии реагентов к зоне реакций является
лимитирующей и зависит от скорости движения потоков и их физических
свойств. Чтобы рассчитать такие процессы, следует пользоваться
зависимостями, характеризующими диффузию, так как кинетика
реакции в целом обусловливается скоростью диффузии. В
диффузионной области скорость процесса сравнительно мало зависит от
температуры и практически не зависит от конкретных особенностей
химического механизма реакции. Скорости отдельных реакций отличаются
лишь постольку, поскольку коэффициенты диффузии
реагирующих веществ различны. Все реакции в диффузионной области имеют
первый порядок по концентрации реагирующего вещества при
постоянном общем давлении. Условия для возникновения^диффузион-
ной области создаются при высоких температурах, высоких
давлениях и малых скоростях газового потока.
Химические процессы в смешанной области протекают при
соизмеримых скоростях химического превращения и диффузии. Здесь
уже существенно одновременное влияние диффузии и кинетики
химического превращения и необходимо находить суммарную скорость
процесса. При этом механизм и уравнения скорости гетерогенных
каталитических реакций можно выражать через
давления'компонентов реакционной смеси и для описания скорости процесса
использовать концепцию адсорбции и десорбции реагентов и продукта
реакции на активных центрах [1]. Подбор уравнений кинетики
может производиться несколькими способами, в том числе и при
помощи вычислительных машин.
Из изложенного выше следует, что понятие лимитирующей
стадии как стадии, определяющей скорость процесса в целом, имеет
важное значение и поэтому исследование кинетики гетерогенных
систем обычно начинают с установления лимитирующей стадии
процесса. Наиболее просто ее распознают по температурному
коэффициенту суммарной скорости процесса. Сущность указанного метода
состоит в экспериментальном определении суммарной скорости
процесса при различных температурах.
7а
Рис. 15. Тепло- и массоперенос в
неподвижном слое катализатора
(система газ — твердое тело).
Если с изменением
температуры на 10° С суммарная скорость
процесса изменяется в 2—3 раза,
то, как следует из уравнения
Аррениуса, лимитирующей
стадией является собственно
химическое превращение
(кинетическая область). Если же с
изменением температуры на 10° С
скорость процесса изменяется
меньше, чем в 1,8 раза, то
лимитирующим будет массообмен
(диффузионная область). В
промежуточных случаях реакция
протекает в
диффузионно-кинетической (смешанной) области.
Другие методы определения лимитирующей стадии описаны в
литературе [1, 20].
При исследованиях гетерогенных процессов необходимо
установить также природу транспортных явлений (перенос вещества и
тепла), которые неодинаковы для разных типов гетерогенных систем.
В качестве примера приведем гипотезу о влиянии переноса в
случае гетерогенной системы твердое тело — газ, в соответствии
с которой выделяются такие стадии (рис. 15):
1) теплообмен и массообмен между внутренней областью
частицы твердой фазы (катализатора) и ее поверхностью;
2) теплообмен и массообмен между наружной поверхностью
частицы катализатора и потоком газа;
3) перенос тепла и вещества по слою твердой фазы;
4) теплопередача через наружную стенку.
Механизм процессов, протекающих в гетерогенных системах,
отличается сложностью и еще недостаточно изучен, несмотря на
существование многих теорий. Первые теоретические работы по
химической адсорбции на поверхности твердого тела принадлежат
Ленгмюру. Однако расчеты по уравнению Ленгмюра во многих
случаях не согласуются с опытными данными, вследствие принятых
при его выводе допущений, которые ощутимо искажают реальный
процесс.
В настоящее время в литературе опубликовано несколько
теорий г гетерогенного катализа:
теория промежуточных соединений — химическая теория катализа;
адсорбционная теория — физическая теория катализа;
теория поверхностных промежуточных соединений (Г. К. Боре-
сков, М. И. Темкин, Н. И. Кобозев);
1 Краткое изложение указанных теорий см. в кн.: Р о й т е р
в теорию кинетики и катализа. К., Изд-во АН УССР, 1962.
В. А. Введение
80
мультиплетная теория (Н. Д. Зелинский, А. А. Баландин);
теория активных ансамблей (Н. И. Кобозев);
электронные теории (Л. В. Писаржевский, С. 3. Рогинский,
Ф. Ф. Волькенштейн);
цепные теории (Н. Н. Семенов, В. В. Воеводский).
Эти теории все же не являются универсальными, так как каждая
из них удовлетворительно объясняет какую-либо сторону сложного
процесса катализа, а не весь процесс в целом.
Предпосылки, используемые различными авторами для
определения кинетических уравнений гетерогенно-каталитических
реакций, значительно отличаются, и до настоящего времени нет единого
мнения о пригодности тех или других кинетических моделей.
В инженерных расчетах реакторов с неподвижным слоем
катализатора практический интерес имеют кинетические уравнения,
основанные на представлениях Ленгмюра — Хиншелвуда, кинетические
уравнения Хоугена — Ватсона, степенная кинетическая модель.
Анализ указанных моделей и таблица кинетических уравнений для
различных реакций (гидрирование, дегидрирование, окисление,
разложение, полимеризация и др.) с учетом вида катализатора
приведены в работе [20].
§ 3. методы определения При проектировании или иссле-
кинетических довании работы реактора необ-
ХАРАКТЕРИСТИК ходимо знать механизм и ско-
ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИИ рость реакции, ее порядок,
константы скорости, степень
превращения, т. е. кинетические характеристики процесса химического
превращения.
Для элементарных реакций установление механизма и скорости
реакции не представляет затруднений, так как их стехиометрические
уравнения однозначно определяют математическое описание
скорости таких реакций.
Для неэлементарных реакций, когда стехиометрические
уравнения не отвечают истинному механизму химического превращения,
необходимо:
1) сформулировать наиболее вероятную гипотезу механизма
сложной химической реакции в виде последовательности
элементарных реакций;
2) получить опытные характеристики рассматриваемой
реакции;
3) сравнить их со значениями таких же характеристик,
рассчитанных по принятому механизму реакции. Если расхождения будут
значительными, то следует уточнить (или изменить) гипотезу
механизма и повторять сравнения, пока не будет достигнуто требуемое
совпадение. Опытные характеристики, как правило, получают на
лабораторных установках, пользуясь двумя основными
методами постановки кинетических экспериментов — интегральным и
81
Рис. 16. Схема интегральной установ- Рис. 17. Схема интегральной
установки для жидких гомогенных систем. ки для гетерогенных систем.
дифференциальным, которые отличаются друг от друга
математическим представлением величин в результатах эксперимента.
Если при проведении опытов скорость реакции
(дифференциальная величина) определяется непосредственно, метод называется
дифференциальным. Если же устанавливается количество вещества,
прореагировавшего за какой-то определенный промежуток времени
или на каком-то участке реактора, то метод называется
интегральным (поскольку измеряемые в опытах величины концентраций
реагентов являются интегралом от скорости реакции по времени или
длине слоя катализатора).
Интегральный метод применяется преимущественно для
получения данных о кинетике реакций в гомогенных жидких системах,
а также в гетерогенных системах газ — твердое. В проведении
исследований реакций, протекающих в гомогенных жидких системах,
методика сводится к постановке экспериментов на лабораторных
реакторах периодического действия. В результате анализа
отобранных проб находят ряд значений концентраций в зависимости от
времени, по которым строят кривые состав — время. Схема
интегральной лабораторной установки (статической) и графическая
интерпретация опытных данных показаны на рис. 16.
Применительно к гетерогенным реакциям в системах газ —
твердое интегральный метод состоит в экспериментальном измерении
концентрации реагента в различных точках трубки, заполненной
катализатором, через которую продувается поток реагирующего
газа. Схема интегральной установки (динамической) для
гетерогенных систем и графическое изображение опытных данных приведены
на рис. 17. Пробы отбирают на различных расстояниях от входа в
слой катализатора, что соответствует разному времени пребывания
в зоне реакции, которое можно определить по соотношению — = т,
где / — расстояние от входа в зону реакции до места отбора пробы,
82
см\ и — линейная скорость
потока газа через слой, см/сек.
Дифференциальный метод
используется главным образом для
исследований кинетики
каталитических реакций. При этом слой
катализатора в трубке (рис. 18, а)
выбирается настолько тонким,
чтобы изменение концентрации
реагента вдоль такого слоя было
невелико, следовательно,
Рис. 18. Схемы
установок.
дифференциальных
Очевидно, что в
дифференциальном лабораторном реакторе,
работающем по принципу малых
степеней превращения, градиенты концентрации сводятся к
минимуму (так называемые безградиентные реакторы). Это достигается
ограничением источника появления градиентов концентрации, т. е.
малыми степенями превращения. Дифференциальный метод требует
очень высокой точности химических анализов.
На принципе дифференциального реактора основаны проточно-
циркуляционные схемы с дополнительной турбулизацией потока
(рис. 18,6). В такой системе практически нет градиентов
концентрации в слое катализатора и в то же время обеспечивается более
ощутимая разность между входной и выходной концентрациями
реагента. В проточно-циркуляционной системе достигается полное
перемешивание газового потока за счет циркуляции реакционной смеси
через катализатор в замкнутом объеме при непрерывном поступлении
и выводе газового потока (скорость циркуляции «ц значительно
превышает скорость поступления и вывода потока и; обычно -^ > 20).
Циркуляция с большой скоростью осуществляется насосом высокой
производительности. При иц ^> и устанавливается общее конечное
изменение концентрации С0 — Ск, по которому определяется
скорость реакции, при бесконечно малом изменении концентрации
С — Ск в слое за каждый цикл (в слое градиенты практически
отсутствуют).
Математическая обработка экспериментальных данных для
расчета кинетических характеристик максимально упрощается, что
является важным преимуществом дифференциального
(безградиентного) метода. К недостаткам метода следует отнести: сложность
аппаратурного оформления, необходимость достаточных количеств
исходных веществ и времени для достижения стационарного
состояния, возможность в некоторых случаях усиления побочных реакций.
Интегральный метод лишен этих недостатков. Однако обработка
экспериментальных данных графическим или численным интегри-
83
рованием требует большой
точности, иначе возможны
значительные погрешности.
Методы обработки
экспериментальных данных, полученных
как в дифференциальном, так и в
интегральном реакторах,
описаны в литературе [1, 11,19,20,22].
Опыт последних лет
свидетельствует о целесообразности
применения вычислительной техники
при определении кинетических
характеристик. Методику
решения кинетической задачи на АВМ
(в общем виде) проиллюстрируем
на примере.
Пример 3. Определить константы скорости реакции по
интегральным экспериментальным кривым (рис. 19) с помощью АВМ для по-
следовательной реакции типа Л-^S-^i?.
Решение. Запишем систему дифференциальных
кинетических уравнений для рассматриваемой реакции:
dCA __
Рис. 19. Экспериментальные
кинетические кривые состав — время для
реакции А -> 5 -> R (к примеру 3).
84
Рис. 20. Структурная схема набора задачи на АВМ (к примеру 3).
Структурная схема для моделирования на АВМ, составленная
в соответствии с системой машинных уравнений (IV.31), приведена
на рис. 20. Машинным решением будут кривые Ua = h (t), Us =
= f2 (т) и Ur = /3 (т) (Рис- 20, а, б, в), вид которых зависит от
настройки потенциометров Кг и К2У моделирующих константы
скорости kx и k2. Если на поле записи регистрирующего прибора нанести
экспериментальные кривые СА = Фх (О» Cs = Ф2 (0> Cr = Фз (0 —
рис. 19, то последовательной регулировкой коэффициентов усиления
Ki и Кг соответствующих потенциометров можно достичь
совпадения машинных и экспериментальных кривых. При этом значения
настроек потенциометров /Сх, К2 будут отвечать искомым значениям
констант скорости k± и k2. Когда Мх Ф I, задача решается
аналогично, только соотношения между константами скорости ku k2
и настройками потенциометров /Сх, К2 будут определяться
величиной масштабного коэффициента Мт.
Моделированием на АВМ можно также устанавливать механизм
реакции, проверив несколько гипотез искомого механизма
последовательным совмещением экспериментальных и машинных кривых.
§ 4. построение Как уже отмечалось ранее, урав-
кинетических моделей нения кинетики процесса
(кинетическая модель) являются
основой математического описания химического реактора и от
точности, с которой они отражают кинетику химического процесса,
зависит точность всего последующего расчета реактора и адекватность
математической модели. В связи с этим проблеме кинетических
моделей химических процессов в советской и зарубежной литературе
уделяется значительное внимание (работы В. В. Кафарова,
М. Г. Слинько, И. И. Иоффе и Л. М. Письмена, В. В. Налимова и
Н. А. Черновой, Р. Ариса, С. Вэйласа, О. Левеншпиля и др.).
Для простых реакций установление кинетических уравнений и
расчет констант этих уравнений не представляют особых затруд-
85
Рис. 21. Схема построения
кинетической модели.
нений. При сложных реакциях
и, соответственно, сложных
уравнениях с большим числом
коэффициентов расчет становится
трудоемким, а нередко и
невозможным без применения
вычислительных машин.
Обычная процедура
составления кинетической модели [29 ]
может быть изображена следующей
схемой (рис. 21).
На первом этапе собирают
информацию о процессе в ходе
опытных исследований
(например, фиксируют изменение
концентрации исходного вещества во
времени — зависимость С от т), а также анализируют имеющиеся
теоретические обобщения. На втором этапе последовательно
строят гипотезы о вероятном механизме реакции, исходя из
теоретических и экспериментальных сведений о процессе. На третьем
и четвертом этапах составляют кинетические уравнения,
описывающие выбранный механизм реакции, и каким-либо способом
определяют значения констант скоростей реакций, которые
являются коэффициентами указанных уравнений. Затем по уравнениям
находят расчетные кинетические кривые или вычисляют значения
кинетических характеристик, соответствующих условиям, при
которых проводились эксперименты на первом этапе.
Содержанием пятого заключительного этапа является проверка
принятой гипотезы о механизме реакции. С этой целью сравнивают
расчетные и экспериментальные данные, полученные на четвертом
и первом этапах для одних и тех же условий. Если результаты
сравнения неудовлетворительные, т. е. расхождения между
расчетными и экспериментальными данными недопустимо велики, то
следует возвратиться ко второму этапу (выбрать новую гипотезу)
и повторять решение задачи до тех пор, пока не будет достигнуто
совпадение, удовлетворяющее требованиям данного исследования.
Выбор удачной гипотезы зависит как от количества и качества
теоретической и экспериментальной информации, так и от опыта
исследователя.
Наиболее сложным является четвертый этап, поскольку при
определении константы скорости реакции нередко возникают
существенные трудности. В настоящее время известны различные
методы установления этого важного параметра, основанные на сочетании
эксперимента и теории, которые применяются для нахождения
констант скоростей реакций соответствующего типа.
В результате проведения экспериментальных исследований и
использования соответствующих методов уже сейчас известны до-
86
статочно надежные значения констант скоростей для различных хи-
мических реакций. Однако еще многие реакции характеризуются
малонадежными константами, требующими для их уточнения
постановки новых измерений, или же вовсе не имеют количественных
характеристик.
В работе В. Н. Кондратьева [28] приведены данные о константах
скоростей газофазных реакций, кратко изложена сущность
применяемых в современной кинетике основных экспериментальных
методов определения констант скорости элементарных химических
процессов и дана критическая оценка результатам исследований
отечественных и зарубежных ученых в этой области. В числе
современных методов в указанной книге [28] рассмотрено также применение
вычислительной техники для определения вероятных значений констант
скорости реакций и приведены соотношения, найденные при помощи
ЭВМ, по которым вычисляются вполне надежные значения констант.
Отметим, что моделирование химической кинетики на ЭВМ и
постановка математического эксперимента позволяют выяснить
максимальное количество информации о процессе. При этом можно
установить, во-первых, варианты механизмов реакций, которые
согласуются с результатами экспериментального исследования процесса
и, во-вторых, значения параметров, описывающих данный механизм
реакции.
Задача определения кинетических констант сложной
реакции обычно формулируется как задача поиска минимума функции
многих переменных (предэкспонент, энергий активации и др.).
Подобную экстремальную задачу можно решать различными
способами. Опыт показывает, что эффективными при этом являются
методы нелинейного программирования. Большой объем
вычислений и нелинейность функций при решении таких задач требуют
применения для разработки кинетических уравнений (этапы 4 и 5)
АВМ либо ЦВМ (для очень сложных систем используют ЦВМ, чтобы
избежать ошибок вследствие невысокой точности АВМ). В общем
случае может оказаться полезным способ, при котором часть
процедур выполняют на АВМ (качественный анализ выбранного
механизма и вычисление ориентировочных значений констант в
кинетических уравнениях), а окончательный расчет осуществляют на ЦВМ.
Постановка и содержание задачи составления кинетических
уравнений предопределяют также возможность использования аналого-
цифрового комплекса для построения кинетических моделей.
Ниже рассматривается пример применения АВМ типа ЭМУ-10
для подтверждения принятого механизма и определения констант
скорости реакции при построении кинетической модели.
Пример 4. Требуется составить кинетическую модель процесса
этерификации этилового спирта уксусной кислотой, найти значения
констант скоростей и подтвердить механизм реакции.
Р е ш е н и е. 1. На первом этапе исследования получены
экспериментальные данные о степени превращения X прореагировавше-
87
/, сек
1 Х
64
0,25
103
0,345
137
0,421
164
0,474 !
Таблица 4 го основного исходного вещества
(уксусной кислоты) во времени
(табл. 4).
Поскольку рассматриваемая
реакция протекает как
обратимая, то экспериментально уста-
k
новлено также, что константа равновесия К = -}г- = 4,где£1и£2—
соответственно константы скорости прямой и обратной реакции
(искомые параметры).
2. На основании имеющихся сведений о процессе определяем
механизм изучаемой реакции в соответствии со следующим стехио-
метрическим уравнением:
СН3СООН + С2Н5ОН ~-СН3СООС2Н5 + Н20
или в общем виде
(IV.32)
(IV.33)
А + В Ц R + S.
Обозначим:
Сл0> Св0 — начальные концентрации исходных реагентов А и 5.
Поскольку изучаемая реакция (IV.32) протекает в условиях, когда
ни один из компонентов не взят в избытке, то САо = Св0. Обычно
берут нормальные концентрации исходных реагентов, поэтому
принимаем САо = 1 и Св0 = 1.
Ся0» £s„ — начальные концентрации получаемых продуктов R
и S. Так как в начале реакции продукты R и S отсутствуют, то
Cr. = Cs0 = 0.
Са — концентрация основного исходного реагента А в любой
момент времени t (текущая концентрация).
X = А° —4- = (1 —• СА) — степень превращения основного
исходного вещества А в момент времени t (при САо = 1).
Св, Cs, Cr — соответственно концентрации второго исходного
реагента и продуктов реакции в любой момент времени.
3. Математическое описание реакции (IV.33) представляет собой
систему четырех кинетических дифференциальных уравнений:
= — ^СаСв + ^CrCs*
dt
dCB
dt
dCs
dt
dCR
dt
= — кгСАСв + kfiRCsy
= ^CaCb — k2CRps9
= куСдСв — kfipps.
(IV.34)
4. Константы скоростей прямой и обратной реакции kx и k2,
которые являются коэффициентами в уравнениях (IV.34), определим
88
при помощи вычислительной машины. Система уравнений (IV.34)
записана в форме, удобной для моделирования на АВМ. Структурная
схема для ввода системы (IV.34) в машину должна содержать как
линейные решающие элементы (интегросумматоры, потенциометры,
инверторы), так и нелинейные (блоки умножения).
Как известно, для нелинейных уравнений, из которых состоит
система (IV.34), следует устанавливать индивидуальные масштабы
каждой из переменных. В данном случае это удобно сделать,
исходя из принятых начальных условий: САо = 1; Св0 = 1; С5о = 0;
Cr0 = 0. Максимальное значение СА будет равно начальной
концентрации САо = 1. Тогда
мА = JJ™*. = -!?£-« юо.
Аналогично находим, что Мв = ЮО. Пределом максимальной
концентрации каждого из продуктов реакции является единица.
Следовательно, масштабы Ms и Mr тоже будут равны 100. Таким
образом, для рассматриваемой задачи масштабы переменных
одинаковы:
М = МА = Мв = Ms = MR = 100.
Характер протекания процесса во времени (табл. 4) позволяет
принять натуральный масштаб времени, т. е. Мх = -— = 1 (т —
машинное время, t — реальное время). Пользуясь значениями
полученных масштабов, заменяем физические переменные (САу СвУ
„ „ I UA UB Us UR \
С5, CR) машинными I-^— , -^— , -^— , -^- 1 и преобразовываем
\ A D о г\ I
каждое уравнение системы (IV.34) следующим образом:
^_=_,1_^ + ,2^.; (,V.35>
MAdx х МАМВ ' 2 MRMS ч '
После подстановки в уравнение (IV.35) МА = Мв = Mr = Ms =
= М = 100 получим
^L = —jfex - 0,01 UaUb + К • 0,0 Ш/rf/s. (IV.36)
Блоки умножения АВМ характеризуются взаимосвязью между
выходным и входными напряжениями в виде уравнения:
^вых = 0,0ШВХ1(УВХ2. (IV.37)
Согласно уравнению (IV.37), для рассматриваемой задачи можно
записать такие равенства:
UBblXi = 0,0WAUB, (IV.38)
UBblXi = 0ft\URUs. (IV.39)
89
Рис. 22. Структурная схема набора задачи на АВМ (к примеру 4).
Тогда уравнение (IV.36) примет вид:
dUA
-£- - - кгиъыХ1 + £2[/ВЫХ2. (IV.40)
Если каждое уравнение системы (IV.34) преобразовать аналогичным
способом, то получают следующую систему машинных уравнений,
по которой составляют структурную схему (рис. 22):
dUA
Ат == ^l^BbIXt + &2^ВЫХ2,
• dUR
Поскольку масштабы переменных выбраны одинаковыми и
принят натуральный масштаб времени Мх = 1, то коэффициенты
усиления в машинных уравнениях системы (IV.41) имеют те же
числовые значения, что и искомые константы скорости прямой и обратной
реакций (IV.33), т. е. /Ci = Лх и /С2 = К-
Начальные условия, которые устанавливают на интегросумма-
торах (в единицах машинной переменной), соответственно равны:
Uah = CAoM= 100; Ubh = CBoM = 100; UsH = URu=--0.
Структурную схему (рис. 22) набирают по уравнениям системы
{IV.41) при любых значениях kx и k2 (настройки потенциометров),
которые удовлетворяют условию, что отношение -— = /( = 4 (та-
ких значений kx и k2 может быть очень много).
90
5. Для определения искомых
значений kx и k2 достаточно найти
вариант решения первого
уравнения системы (IV.41 ) — кривую
Uа = /i (т) или Сл = фх (0,
которая удовлетворительно
совпадала бы с экспериментальными
точками, нанесенными в
соответствующем масштабе на бумагу
самопишущего устройства по
данным табл. 4,т. е. установить
адекватность машинного решения
экспериментальным данным.
Рассматриваемая задача
решалась на аналоговой
вычислительной машине ЭМУ-10,
имеющей самопишущее устройство. Четвертое приближение дало
удовлетворительное совпадение экспериментальных точек и машинной
кривой 4 (рис. 23). При этом настройки потенциометров
соответствовали:
0,004 л ,
= 4 — кривая 1
Рис. 23. Определение констант скорости
реакции на АВМ (к пр имеру 4).
Key
1-е приближение
опытными точками;
2-е приближение -г1-
Key
опытными точками;
3-е приближение
опытных точек;
4-е приближение -—- =
точками вполне
А
k9.
0,001
0,008
0,002
0,00550
0,00138
0,00540
0,00135
удовлетворител ьно
не совпадает с
= 4 — кривая 2 не совпадает с
= 4 — кривая 3 отклоняется от
= 4 — кривая 4 совпадает с
(искомое реше-
опытными
ние).
Машинное решение — кривая 4 — определяет искомые значения
констант скоростей прямой и обратной реакций (£х = 0,00540 и
^2 = 0,00135) и одновременно подтверждает правильность выбора
механизма исследуемой реакции. Основным же результатом решения
рассмотренной задачи является кинетическая модель процесса в
виде системы уравнений (IV.34), в которой kx = 5,4 • Ю-3 и k2 =
= 1,35 • 10~3.
Следует отметить, что данную задачу можно решить
аналитическим методом, но при этом необходимо произвести значительный
объем громоздких вычислений:
а) преобразовать первое уравнение системы (IV.34) к виду
dx
,, — (#! Key) X Zk^X -j- /cj_J
(IV.42)
91
б) произвести интегрирование уравнения (IV.42) и получить
расчетную формулу:
1 1г1 (а — Уа2-а){а + Уа2-а — х)
, {а-у(г-аПа+уа.- а-Х) = у^ПГ^ (JV.43)
ГДе „ — fei _ * .
а~ Л,-Л, ~ l_ '
/С
в) преобразовать расчетную формулу (IV.43) для конкретного
случая, когда К = 4:
4 'втггзг = 0,579 (^-^); (IV.44)
г) определить из уравнения (IV.44) среднее значение (кг — &2),
используя опытные данные табл. 4;
д) вычислить kx и к2 по усредненному значению (kx — k2) и
условию К = т1- = 4.
Только перечисление вычислительных операции показывает,
что рассмотренная задача на АВМ решается значительно проще и
быстрее. Но главное преимущество машинного метода состоит в том,
что при помощи ЭВМ можно решать подобные задачи, для которых
точное аналитическое решение невозможно.
Глава V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ Любой химико-технологический
ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ процесс, как правило, сопровож-
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ВЕЩЕСТВ дается перемещением материаль-
^т^атттгтт^^т^Лтт^ ных потоков жидкости, газа или
(ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ твердых частиц Потоки могут
МОДЕЛИ) быть однофазными, т. е.
целиком состоять из одной фазы,
перемещаемой в некотором объеме
аппарата, и многофазными (в
частности, двухфазными), когда
процесс происходит в условиях
взаимодействия нескольких фаз
(например, газ — жидкость, жид-
§ 1. модели кость — твердое тело, газ — твер-
структуры потоков дое тело). Поэтому при
составлении математической модели
особое значение приобретает описание движения потоков веществ.
Однако гидродинамика реальных потоков настолько сложна, что
в настоящее время имеется возможность составить в общем виде
лишь уравнения для однофазных потоков (уравнения Навье — Сток-
са), но решение этих уравнений можно найти только в частных
случаях. Для более сложных систем (многофазные потоки) пока не
удается составить уравнения гидродинамики даже в общем виде.
Например, для простейшего из многофазных — двухфазного потока
типа газ — жидкость уравнения не могут быть записаны из-за
невозможности задания граничных условий на нестационарной
поверхности раздела фаз.
Такое положение вынуждает при составлении математических
описаний прибегать к использованию более простого,
приближенного представления о внутренней структуре потоков, т. е. возникает
необходимость познавать процесс через модели структуры потоков
в аппаратах.
Структура движущейся технологической среды характеризуется
степенью перемешивания частиц потока, которая определяет поле
концентраций и градиент температуры. Это важное обстоятельство
послужило предпосылкой для установления по признаку
перемешивания некоторых типовых моделей движущихся потоков.
К типовым прежде всего относятся модель идеального
перемешивания и модель идеального вытеснения. На возможность выбора
таких моделей впервые обратил внимание Н. И. Кириллов [17].
Хотя указанные модели — теоретические и соответствуют идеальным
потокам, однако в ряде случаев их можно использовать для
характеристики реальных потоков.
Кроме перечисленных, к типовым моделям гидродинамических
потоков относятся диффузионная, ячеечная и комбинированные
модели (потоки с застойной зоной, байпасированием и др.).
Диффузионная и ячеечная модели характеризуют реальные потоки. Эти
93
модели при предельных идеализированных условиях переходят в
одну из теоретических моделей — идеального вытеснения или
идеального перемешивания. Комбинированные модели также
представляют реальные потоки в сложных объектах и строятся сочетанием
более простых моделей, соответствующих отдельным участкам
сложного реального потока.
Модели структуры потока (гидродинамические модели)
математически записываются в виде дифференциальных уравнений, которые
выражают связь между наиболее характерными параметрами
процесса. Для химико-технологических объектов большей частью эту
связь имеет смысл находить, исходя из анализа явлений
перемещения и распределения вещества в данном потоке. Поэтому
универсальным видом гидродинамической математической модели является
уравнение, характеризующее изменение концентрации вещества в
потоке, которое обусловливается только движением. Поскольку в
рассматриваемом «элементарном» процессе перемещения веществ
изменение концентрации вызывается одними гидродинамическими
факторами, то при разработке гидродинамических моделей
принимается условие, что скорость химической реакции wr = 0.
В ходе составления математического описания нередко
приходится преодолевать некоторые противоречия и принимать
компромиссные решения. Чем больше используется параметров при
построении описания гидродинамики процесса, тем точнее модель будет
отражать реальный процесс. Но уравнения при этом усложняются
настолько, что в практических расчетах найти их решение весьма
затруднительно или невозможно. Слишком простое описание,
которое можно получить, если принять ряд упрощений и не учесть
часть параметров, легко решается. Однако этот путь, как правило,
не приводит к положительным результатам, так как решения
слишком упрощенных математических описаний могут недопустимо
отклоняться от соответствующих характеристик реального процесса.
Поэтому при формулировке допущений, принимаемых при
составлении математического описания гидродинамики процесса,
необходимо тщательно проанализировать имеющиеся теоретические сведения
и экспериментальные данные с тем, чтобы математическая модель в
достаточной степени отражала реальный процесс.
Таким образом, при построении модели структуры потока
следует учитывать, что модель должна:
а) отражать физическую сущность реального потока и в то же
время иметь достаточно простое математическое описание;
б) давать возможность определить ее параметры (коэффициенты
уравнений) экспериментальным или расчетным способом;
в) быть удобной для использования при расчетах конкретных
химико-технологических процессов.
Из этих общих требований необходимо исходить во всех
случаях построения модели и, кроме того, дополнять их специфическими
требованиями после выяснения особенностей, характерных для каж-
94
дого конкретного случая. В частности, если система состоит из двух
потоков, то модель следует выбирать для каждого из них. При этом
модели могут быть одинаковыми или разными. Например, для тепло-
обменного проточного аппарата типа «труба в трубе» оба потока
теплоносителей характеризуются структурой вытеснения (одинаковые
модели); для тарельчатого массообменного аппарата паровая
(газовая) фаза — это поток идеального вытеснения, а жидкая фаза —
идеального перемешивания (модели этих потоков разные).
При исследовании реального аппарата можно принимать в
качестве модели одну из идеальных структур, если реальный поток
с допустимым приближением отвечает модели идеального
перемешивания либо идеального вытеснения, или какую-нибудь модель
реального потока (диффузионную, ячеечную, комбинированную).
Разумеется, каждому объекту соответствует своя модель. Это может
быть одна из типовых моделей или отличная от них, построенная
для конкретного случая.
В настоящей главе рассматриваются типовые гидродинамические
модели, подробно излагается методика составления
дифференциальных уравнений этих моделей и находятся их решения, что
необходимо для приобретения практических навыков разработки моделей.
Кроме того, отметим, что типовые гидродинамические модели
довольно часто применяют в расчетах реальных аппаратов при
соответствующих уточнениях.
§ 2. МОДЕЛЬ
ИДЕАЛЬНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Характеристика модели. Модель
идеального перемешивания
представляет идеализированный
поток и является теоретической моделью. Согласно этой модели
принимается, что поступающий в аппарат поток мгновенно
распределяется по всему объему вследствие полного (идеального) перемешивания
частиц среды. При этом концентрация распределенного вещества во
всех точках аппарата и в потоке
на выходе из него одинакова.
Схематическое изображение
модели идеального перемешивания
приведено на рис. 24, пользуясь
которым можно записать
определение модели идеального
перемешивания в таком виде:
г> скачок р f>
вх (мгновенно) вых*
Дифференциальное уравнение
модели. Для получения
математической зависимости,
описывающей распределение
концентрации во времени, принимаем
следующие обозначения:
Рис. 24. Схематическое изображение
модели идеального перемешивания.
95
СВх, Свых, С — концентрация вещества в потоке соответственно
на входе, выходе и в любой точке объема аппарата, моль/м3\
V — объем зоны идеального перемешивания, м3\
v — объемная скорость потока (расход), поступающего в зону
идеального перемешивания и выходящего из нее (для проточных
систем принимается, что v сохраняет постоянное значение в любой
точке), мг1сек\
t — время, сек\
/вх, /вых, / — поток (количество вещества) соответственно на
входе, выходе и в любом месте системы, моль/сек.
Количество вещества (поток) в общем случае можно представить
как произведение расхода на концентрацию
I=vC. (V.1)
Для рассматриваемого объекта (рис. 24) входной и выходной
потоки будут:
/»х - vCBX; (V.2)
/вых = VCBUX. (V.3)
В установившемся режиме, когда Свх = const, справедливо
равенство /вх = /Вых и накопление массы вещества в аппарате не
происходит, т. е. сколько вещества поступает в аппарат, столько из
него и уходит в любой момент времени. Но в общем случае может
быть нанесено возмущение по составу потока на входе.
Предположим, что входная концентрация в какой-то момент времени
увеличилась. При этом установившийся режим нарушается и равенство
входного и выходного потоков не соблюдается, т. е. /вх (t) Ф /ВЬ1Х (/).
В результате в аппарате будет аккумулироваться некоторое
количество вещества ДМ, которое можно представить в интегральной
форме таким равенством:
АМ= J [/вх(0-/вых(01 Л. (V.4)
о
Для преобразования уравнения (V.4) разделим обе его части
на У и подставим вместо величин /вх (/) и /вых (/) их значения:
a» t
М = -f \ [Свх (0 - Свых (/)] dt. (V.5)
о
Левая часть равенства (V.5) — это изменение количества
вещества, отнесенное к единице объема, т. е. изменение концентрации ДС,
которое можно записать так:
-^- = ДС = С(/)-С(0), (V.6)
96
где С (t) — концентрация в любой момент времени (переменная
величина); С (0) = const — значение концентрации до начала
возмущения.
Тогда '
С (/) - С (0) = -f j [CBX (t) - Свых (/)] dt. (V.7)
о
В результате дифференцирования уравнения (V.7) получаем
изменение концентрации во времени в рассматриваемом потоке или
математическое описание модели идеального перемешивания в
дифференциальном виде:
-f- = -f (СВх-С). (V.8)
Отношение — характеризует среднее время нахождения
частиц в зоне идеального перемешивания; его принято называть
временем пребывания частиц в аппарате и обозначать т. Время
пребывания т является параметром модели идеального перемешивания,
который обычно определяется экспериментально либо расчетом.
Дифференциальное уравнение модели идеального перемешивания
обычно записывают с учетом параметра т:
-^=-1-(Свх-С). (V9)
Вид модели идеального перемешивания — уравнение (V.8) или
(V.9) показывает, что это модель с сосредоточенными параметрами,
так как основная переменная изменяется только во времени.
Уравнение (V.5), описывающее изменение концентрации в зоне
идеального перемешивания, в литературе иногда встречается в
таком виде:
У-§- = у(Свх-С). (V.10)
Уравнение (V.10) отражает распределение вещества в объеме
зоны с гидродинамической структурой идеального перемешивания.
Аналогичное по форме уравнение может быть получено, если
рассмотреть изменение другого характерного параметра потока,
например температуры Т> в потоке теплоносителя со структурой
идеального перемешивания. Тогда уравнение (V.10) запишется:
VcT^- = vcr(T„-T), (V.11)
где ст — теплоемкость вещества потока теплоносителя; Т —
температура в любой точке зоны идеального перемешивания (Т =
= Тъых)\ Тъх — температура на входе в зону идеального
перемешивания.
Уравнение (V. 11) характеризует распределение температуры в
потоке с гидродинамической структурой идеального перемешивания.
Решение дифференциального уравнения модели (V.9). Для
решения уравнения (V.9) воспользуемся методом преобразования
временной функции С (t) по Лапласу. Принимая во внимание, что
4 8-24
97
С (t) = Свых (t) и пользуясь соответствующими правилами,
запишем операторное уравнение, которое соответствует решаемому:
рСвых (р) = 4" 1С** (Р) - С™* (Р)] (V. 12)
или
W(P) = с;т™ = —L-. (V.13)
Выражение (V.13) является операторным уравнением модели
идеального перемешивания (изображением искомого решения
исходного уравнения (V.9)). Поскольку величина — имеет смысл
постоянной времени объекта Т, то уравнение (V.13) можно переписать в
следующем виде:
Уравнение (V.14) — это передаточная функция,
характеризующая модель идеального перемешивания. Чтобы получить решение
исходного дифференциального уравнения в области действительной
переменной /, необходимо произвести обратное преобразование по
Лапласу. При этом в соответствии с уравнением (11.19) решение в
общем виде записывается так:
C*m(t) = L-l[W(p)CBX(p)]. (V.15)
Искомая функция Свых (/) может принимать любые значения при
различных входных величинах Свх (/?), но обычно решения находят
для двух характерных случаев:
Свых (0 = FKp (0, когда Свх (0 = 1 (0 или Свх (р) = —,
и
Свых (0 = Скр (t), когда Свх (/) = б (/) или Свх (р) = 1.
Для рассматриваемого объекта, структура потока в котором
соответствует модели идеального перемешивания, указанные решения
имеют вид:
при ступенчатом стандартном сигнале на входе
кр
w = ^[-^rr-i] = a-e^).
(V.16)
при импульсном стандартном сигнале на входе
Обратные преобразования в данной задаче выполнены при
использовании табл. 2.
Графическая интерпретация аналитических выражений для F-
кривой (V.16) и С-кривой (V.17) показана на рис. 25 и 26. Как следу-
98
Рис. 25. Вид F-кривой модели
идеального перемешивания в соответствии
с уравнением FKp(t)= 1 — е х .
Рис. 26. Вид С-кривой модели
идеального перемешивания в соответствии
с уравнением Скр (/) = — е т .
ет из вида этих кривых и выражения для передаточной функции
(V.14), модели идеального перемешивания соответствует инерционное
звено первого порядка.
Решение дифференциального уравнения модели идеального
перемешивания легко и просто находится при помощи АВМ. Для
удобства составления структурной схемы уравнение (V.9) перепишем в
таком виде:
dCn
или
dt
^вых ==
X UBbIX
+-^св
+ i-cBX.
(V.18)
Структурная схема приведенного уравнения (V.18) изображена
на рис. 27.
Таким образом, получены аналитические, графические и
машинное решения модели идеального перемешивания; при этом
установлен характерный вид функций
отклика (/^-кривой и С-кривой)
при соответствующем
возмущении на входе в аппарат
идеального перемешивания. Вид этих
функций отклика определяется
структурой потока в аппарате.
Поскольку характер функции
отклика (реакции объекта)
известен, то можно решить обратную
задачу — экспериментально
получить /«"-кривую либо С-кривую
на исследуемом аппарате и
сравнить их с соответствующими
кривыми модели идеального
перемешивания. При удовлетвори-
Рис. 27. Структурная схема решения
на АВМ модели идеального
перемешивания.
4*
99
тельном совпадении 'экспериментальных и теоретических кривых
уравнение модели идеального перемешивания применимо для
оптимизации процесса в данном аппарате и других расчетов.
Реальные процессы, близкие к модели идеального
перемешивания. В химической технологии часто стремятся приблизиться к
условиям идеального перемешивания, устанавливая в аппаратах
специальные мешалки. При этом процессы, протекающие в
реальных аппаратах, в ряде случаев могут с достаточным для
практики приближением соответствовать модели идеального
перемешивания.
Наилучшим образом эта модель отвечает реальным потокам в
проточных аппаратах с мешалкой, у которых высота / мало
отличается от диаметра d, мешалка создает высокую степень
перемешивания и объемная скорость потоков v невелика. Именно в подобных
случаях можно достичь такого состояния, когда концентрация
вещества во всех точках объема аппарата становится практически
одинаковой, т. е. структура потока близка к модели идеального
перемешивания.
§ 3. модель Характеристика модели. Модель
идеального вытеснения идеального вытеснения — это
теоретическая модель с
идеализированной структурой движущегося потока. В соответствии с
моделью идеального вытеснения принимается поршневое течение без
перемешивания вдоль потока при равномерном распределении
концентрации вещества в направлении, перпендикулярном движению.
При этом время пребывания всех частиц в зоне идеального
вытеснения одинаково и равно отношению объема зоны вытеснения к
объемному расходу жидкости (или газа) т = —. Схематическое
изображение модели идеального вытеснения показано на рис. 28.
Дифференциальное уравнение модели. Для составления
математического описания модели идеального вытеснения выделим и
рассмотрим элементарную /-ю ячейку зоны потока вытеснения (рис. 29),
объемом Д V, длиною Az и сечением s2, равным единице (sx = 1 • 1).
В дополнение к ранее принятым введем такие обозначения:
и = средняя линейная скорость потока (для проточных си-
SB
стем принято считать, что и сохраняет среднее значение в зоне
вытеснения), м1сек\
sB — сечение зоны идеального вытеснения, л*2;
С (z, t) — концентрация в любом сечении потока вытеснения,
моль/м3\
C/_i, С/ — концентрация на входе и на выходе элементарной /-й
ячейки, т. е. в (/ — 1) и /-сечениях, моль1м*\
/вх = //-1 и /вых = Ij — потоки (количества вещества) на
входе и выходе элементарной /-й ячейки, моль/сек.
100
Рис. 28. Схематическое изображение
модели идеального вытеснения.
Рис. 29. Элементарный объем зоны
потока вытеснения.
Входной и выходной потоки для рассматриваемой /-й
элементарной ячейки в соответствии с уравнением (V.1) будут:
/вх - //_! = vCi-x = usfii-i; (V. 19)
/вых = /у = wC, = MSiC,. (V.20)
Аналогично предыдущему случаю количество вещества AAf,
которое будет аккумулироваться в элементарном объеме AV при
нарушении установившегося режима, когда //_i (t) Ф Ij (t), можно
выразить равенством:
t t
ДМ = j [//_! (О - /, (*)] dt = - и I [С, (/) - C/_i (0J Л. (V.21)
о о
Изменение концентрации в рассматриваемой /-й элементарной
ячейке АС/ получим, если разделим AM на объем этой ячейки А У,
тогда: t
где ДХС = С/ (/) — C/_i (0 — разность концентраций в смежных
/-й и (/ — 1) ячейках; АС/ = С/ (/) — С/ (0) — изменение
концентрации в элементарной ячейке; С/ (0) — значение концентрации до
начала возмущения; С/ (/)— концентрация в любой момент времени
(переменная величина); АV = sxAz = Az (так как принято, что
Sl = 1 . 1).
Поскольку Дг не зависит от /, уравнение (V.22) можно записать
так: t
С, (0 - Ct (0) = - и J М- Л. (V.23)
о
В результате дифференцирования правой и левой части
уравнения (V.23) по времени и перехода к пределу при Дг -> 0 получаем:
i^=_„lim *£-, (V.24)
dt az-*o Аг '
101
^—«-£-. (v-25>
Уравнение (V.25) описывает изменение концентрации С (г, /)
в элементарном объеме АV зоны вытеснения, но так как режим
течения поршневой, то уравнение справедливо и для всего потока.
Поэтому дифференциальное уравнение модели идеального вытеснения
в общем виде записывают:
-£---«-£. (V-26)
Математическая модель идеального вытеснения представляет
собой дифференциальное уравнение в частных производных,
поскольку основная переменная процесса — концентрация С (г, /) —
изменяется во времени и в пространстве. Как известно, так&я модель
называется моделью с распределенными параметрами.
Если вместо средней линейной скорости потока и в уравнение
(V.26) подставить ее значение и = —, то уравнение принимает
следующий вид:
*^ = -о^Г- <V'27>
Уравнение (V.27) отражает распределение вещества
(концентрации) в потоке с гидродинамической структурой идеального
вытеснения. Аналогичное по форме уравнение может быть также выведено,
если рассмотреть изменение другого характерного параметра,
например температуры Г, в потоке теплоносителя со структурой
идеального вытеснения. Тогда изменение Т (z, t) в потоке
теплоносителя за счет гидродинамики можно представить таким образом:
Vt -gjr = — vcT -g-, (V.28)
где ст — теплоемкость вещества потока теплоносителя; Т —
температура в любой точке зоны идеального вытеснения.
Модель в виде уравнения (V.28) часто используется для
описания гидродинамики потока теплоносителей в теплообменных
аппаратах, работающих по принципу вытеснения.
Решение дифференциального уравнения модели (V.26). Для
удобства выполнения преобразований по Лапласу, которые
целесообразно использовать при решении уравнения (V.26), запишем его в
следующем виде, учитывая, что С = / (г, t):
d[f(z,t)] = а [/(г, Qi (V29)
dt dz V • /
Операторное уравнение, составленное по известным правилам
преобразований, будет представлять собой обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка:
pfi(z.p) — ul&%J&. (V.30)
102
Общий вид решения уравнения (V.30) можно записать так:
Ф(г, р) = Яе и , (V.31)
где Ф (z, р) — изображение решения исходного дифференциального
уравнения (V.26); X — постоянная интегрирования.
Чтобы использовать уравнение (V.31) для конкретной задачи,
следует выбрать начальные и граничные условия. Начальные
условия в данном случае нулевые (этого требуют правила
преобразования по Лапласу), а граничные условия соответствуют z = 0 и z = /
(рис. 28). Постоянная интегрирования к легко определяется, если
воспользоваться первым граничным условием z = 0 и записать
уравнение (V.31) на этой границе:
Ф(0,р) = Ь. (V.32)
С учетом значения X = Ф (0, р) решение (V.31) операторного
уравнения (V.30) принимает вид:
Ф(г, р) = Ф(0, р)е и . (V.33)
Уравнение (V.33) позволяет найти изображение функции С (z, t)
в любом месте по длине зоны вытеснения, в частности, на выходе из
нее при z = I (второе граничное условие):
Ф(/,р) = Ф(0,р)е P U. (V.34)
В выражении (V.34) заменим — равной величиной т, исходя из
V lsB I
того, что т = — = —— = —, и запишем это выражение в виде
V USq tl
передаточной функции:
^)=!#f|f=e"PT' <v-35)
где Ф (/, р) — изображение выходной величины — концентрация на
выходе Свых {р)\ Ф (0, р) — изображение входной величины —
концентрация на входе Свх (р).
Чтобы получить решение исходного уравнения (V.26) в области
действительной переменной t> следует найденное изображение
подвергнуть обратному преобразованию по Лапласу. Тогда в
соответствии с уравнением (11.19) оригинал решения будет иметь вид:
Свых (0 - L-1 [Свых (р)] = L-1 [е~ртСвх (р)], (V.36)
где е~рт = W (р) — передаточная функция модели идеального
вытеснения; Свх \р) — возмущение на входе.
103
Рис. 30. Вид F-кривой модели
идеального вытеснения в соответствии с
уравнением FKp (t) — 1 (/ — т).
Рис. 31. Вид С-кривой модели
идеального вытеснения в соответствии с
уравнением Скр (/) = б (/ — т).
Под знаком L 1 в равенстве (V.36) записано изображение
функции с запаздыванием Свх (t — т). Следовательно, решение
дифференциального уравнения модели идеального вытеснения может быть
выражено
СВых (0 = Свх (/— т). (V.37)
Если на вход объекта со структурой идеального вытеснения
поступит возмущение в виде стандартного сигнала CBX(f) = 1 (t) или
Свх (0 = б (0, то функция Свых (/), согласно равенству (V.37),
соответственно выразится уравнениями ^-кривой или С-кривой:
Свых(0 = ^кР(0= 1(* —т);
СВЫх(*) = Скр(0 = в(* —т).
(V.38)
(V.39)
На рис. 30 и рис. 31 изображены графики ^-кривой и С-кривой,
построенные по уравнениям (V.38) и (V.39), которые показывают,
что выходная кривая повторяет по форме входное возмущение только
со сдвигом по времени на величину т.
Из анализа графиков ^-кривой и С-кривой модели идеального
вытеснения вытекает следующий практический вывод, которым
пользуются при экспериментальном изучении неизвестной структуры
потока в аппарате: если при стандартных ступенчатом или
импульсном входных сигналах на выходе потока получается их повторение
со сдвигом повремени, то это свидетельствует, что поток
соответствует модели идеального вытеснения. К аналогичному выводу .можно
также прийти, оценив передаточную функцию модели W (р) = е~рт,
которая в точности отвечает передаточной функции звена чистого
запаздывания. Следовательно, модель идеального вытеснения —
это типовое звено чистого запаздывания. Поскольку модель
идеального вытеснения записывается в виде дифференциальных
уравнений в частных производных и является моделью с распределенными
параметрами, то моделирование на АВМ процессов, описываемых
104
этой моделью, связано с известными трудностями. Однако в ряде
случаев для аппаратов, работающих по принципу вытеснения,
оказывается возможным заменить модель с распределенными
параметрами моделью с сосредоточенными параметрами, обеспечивая при
этом достаточную степень воспроизведения реальных условий
процессов. В частности, такую замену можно осуществить для проти-
воточного теплообменника, в котором оба потока теплоносителей
имеют структуру вытеснения, если допустима линеаризация
математических зависимостей, характеризующих изменение температуры
теплоносителей вдоль потока, т. е. когда соблюдается условие
6 < 2 (ДГб и ДТМ — большая и меньшая разности температур
теплоносителей).
В подобных случаях математическая модель представляет собой
систему уравнений, в которых основные параметры будут изменяться
только во времени (координата длины исключается). Решение таких
моделей на универсальных АВМ выполняется достаточно легко.
Реальные процессы, близкие к модели идеального вытеснения.
Модель идеального вытеснения широко используется в химической
технологии при описании аппаратов, работающих по принципу
вытеснения (например, трубчатых реакторов, теплообменников).
Достоинствами модели являются относительная простота
решения уравнений математического описания, построенного с
применением данной модели, и допустимая степень воспроизведения
реальных гидродинамических условий.
Практически трубчатые аппараты с большим отношением длины
трубок к их диаметру! -у- > 20] при турбулентном движении
жидкости или газа (Re > 2320) могут описываться как модели
идеального вытеснения. Это объясняется тем, что при -т- > 20 продольное
перемешивание незначительно и мало искажает поток вытеснения,
а турбулентное движение при этом обеспечивает равномерное
распределение концентрации по сечению аппарата.
§ 4. диффузионная МОДЕЛЬ Характеристика модели.
Диффузионная модель получила
широкое распространение при оценке реальных потоков в аппаратах,
в которых происходит продольное или продольное и радиальное
перемешивание (например, поток в слоях насадки колонных аппаратов).
Природа возникновения продольного и радиального
перемешивания весьма сложна. Исходя из теории массообмена, в настоящее
время считают, что перемешивание возникает в результате
молекулярной и конвективной диффузии. Молекулярная диффузия — это
перенос массы вещества молекулами (область микрокинетики).
Основным законом молекулярной диффузии является первый закон
Фика, согласно которому количество продиффундировавшего вещест-
105
ва пропорционально градиенту концентрации, площади,
перпендикулярной направлению диффузионного потока, и времени
dM^ — D-^- dFdt, (V.40)
дС
где dM — количество продиффундировавшего вещества; -г
градиент концентрации в направлении диффузии; dF — элементарная
площадь, через которую происходит диффузия (перпендикулярная
направлению диффузионного потока); dt — время диффузии; D —
коэффициент диффузии. Знак «минус» в уравнении (V.40)
показывает, что при молекулярной диффузии в направлении перемещения
вещества концентрация убывает.
Конвективная диффузия — это перенос вещества
макрочастицами среды, который определяется турбулентностью потока, его
гидродинамическим состоянием. Конвективная диффузия связана с
представлениями макрокинетики. Основной закон конвективной
диффузии (закон Щукарева) устанавливает, что количество вещества,
перенесенное от поверхности раздела фаз в воспринимающую фазу,
пропорционально разности концентраций у поверхности раздела фаз
и в ядре потока воспринимающей фазы, поверхности фазового кон-
такта и времени
dM = р (Cs — Cf) dFdt, (V.41)
где р — коэффициент массоотдачи; Cs — концентрация в
воспринимающей фазе у поверхности раздела фаз; Cf — концентрация в
ядре потока воспринимающей фазы.
Различают однопараметрическую и двухпараметрическую
диффузионные модели. Если при построении модели учитывают только
продольное перемешивание, а в радиальном направлении
концентрацию принимают постоянной, то такая модель называется однопара-
метрической. Эта модель характеризуется одним параметром,
учитывающим продольное перемешивание, который обозначается DL.
Основой однопараметрической диффузионной модели является
модель вытеснения, осложненная обратным перемешиванием.
Если задача требует, чтобы математическое описание учитывало,
кроме продольного, и радиальное перемешивание, то при
составлении модели необходимо ввести дополнительно второй параметр —
коэффициент радиального перемешивания —D R. Тогда модель
становится двухпараметрической. Она более точно отражает процесс,
но ее описание и решение значительно усложняются. Кроме того,
решение обычно имеет настолько сложный вид, что применять его
на практике крайне неудобно, поэтому двухпараметрическая модель
используется сравнительно редко и нами здесь не рассматривается.
Дифференциальное уравнение однопараметрической
диффузионной модели. Структуру потока, соответствующую
однопараметрической диффузионной модели, можно представить так: некоторая
технологическая среда перемещается со средней линейной скоростью и
в продольном канале, вдоль которого происходит перемешивание
106
за счет прямого и обратного
потоков при равномерном
распределении концентрации вещества
в направлении,
перпендикулярном движению. При составлении
математического описания такой
модели принимают следующие
допущения:
изменение концентрации
вещества является непрерывной
функцией координаты
(расстояния по длине канала);
концентрация вещества в
каждом сечении постоянна;
объемная скорость потока
v = usA и коэффициент
продольного перемешивания DL не изменяются по длине и сечению потока.
Выделим в рассматриваемом потоке элементарную у-ю ячейку
(рис. 32), ограниченную /-м и (/ -f 1) сечениями, объемом Д V,
высотою Дг и площадью поперечного сечения % = 1 • 1.
Обозначим:
/у — поток (количество вещества), проходящий через у-е
сечение;
/ж •
сечение;
Рис. 32. Элементарная ячейка потока
вытеснения с продольным
перемешиванием (диффузионного потока).
поток (количество вещества), проходящий через (/ + 1)
и,
пр
- линейная скорость прямого потока;
Иобр — линейная скорость обратного потока;
и — средняя линейная скорость потока;
ДУ = S-JS.Z = Az — объем элементарной у'-й ячейки;
С/_ь С/, С/+1 — концентрация вещества в элементарных
ячейках (индекс ячейки соответствует индексу концентрации, которая
в пределах каждой элементарной ячейки принимается постоянной).
Выразим количество вещества, поступающего в у-ю ячейку (//)
и уходящего из нее (/у+i), следующими уравнениями:
// = «npSiC/-! — Иобр SiC/; (V. 42)
//+i = Unpsfif — Иобр^Сж. (V.43)
Если использовать соотношение между линейными скоростями
потоков (рис. 32):
^пр — ^обр
(V.44)
и заменить в уравнениях (V.42) и (V.43) скорость ипр суммой и +
+ Иобр, а также ввести обозначения для приращения концентрации
Cj — Q_i = ДХС, C/+i — С/ = Д2С, то с учетом условия sx =
= 1 • 1 указанные уравнения примут вид:
/,= иС/-! —HoepAiC; (V.45)
Ii+x = uCi-uo6^C. (V.46)
107
В общем случае, когда на входе возникает возмущение по потоку,
равенство входного и выходного потоков не соблюдается, т. е.
Il (t) Ф //-i-i (0 и изменение массы веществ в неустановившемся
режиме выразится так:
*
Ш= J [//(0-/ж (01 Л. (V.47)
о
После подстановки значений /у (V.45) и //+1 (V.46) в равенство
(V.47) и простых преобразований получаем:
ДМ = { [Иобр (Л2С — AiQ — и (Су — Cy_i)] Л. (V.48)
6
Разделим обе части уравнения (V.48) на ДУ = 1 • Дг, а также
воспользуемся тем, что
tJt-AC/ = 0/(0-^(0), (V.49)
где ДСу — изменение концентрации в рассматриваемой
элементарной /-й ячейке; Cj (0) — значение концентрации до начала
возмущения (постоянная величина); Cj (t) — концентрация в любой
момент времени после нанесения возмущения (переменная величина).
Тогда
t
С, (0 - Су (0) = -L-1 [ыобр (А2С - ДХС) - иАгС] dt. (V.50)
0
Поскольку Дг не зависит от /, внесем по знак интеграла величи-
НУ ~Ai ДГ и П0ЛУчим:
С,(Ц-С,(0)-П "-У^-А-С _„А£.Ь (V.51)
о
Уравнение (V.51) дифференцируем по времени и переходим к
пределу при Дг -> 0:
-*' =lim
* Дг-0
А2С — AtC ЛХС
«обр Дг—д^ "-дТ"
(V.52)
Рассмотрим пределы, составляющие правую часть равенства
(V.52):
liffl^ili limA.C-^C а2С
д2-о Az dz Az-,0 Дг2 dz2
Если lim i/обр Дг = 0, то уравнение (V.52) превращается в
Az-vO
математическое описание модели идеального вытеснения, что
противоречит исходному условию задачи, которое предусматривает
перемешивание вдоль потока. Следовательно, этот предел не может быть
равен нулю; он характеризует обратный поток, являющийся
причиной продольного перемешивания. Поэтому указанный предел —
108
это математическая запись параметра DLy определяющего обратное
перемешивание в элементарной ячейке и во всем потоке, то есть
lim ИобрЛг= DL. (V.53)
Az->0
С учетом значений пределов, составляющих правую часть
выражения (V.52), последнее можно переписать так:
дС п д*С „ дС А7 гу1\
Уравнение (V.54) записано без индекса «/» на том основании,
что для ячейки с любым другим индексом можно получить
аналогичное выражение.
Зависимость (V.54) характеризует изменение концентрации по
длине зоны, для которой справедлива однопараметрическая
диффузионная модель, и есть уравнением однопараметрической
диффузионной модели в дифференциальной форме. Вид уравнения (V.54)
показывает, что диффузионная модель характеризуется распределенными
параметрами.
Следует отметить, что при отсутствии продольного
перемешивания (DL = 0) уравнение (V.54) превращается в уравнение модели
идеального вытеснения, что полностью соответствует физическому
представлению об однопараметрической диффузионной модели, как
о модели вытеснения, осложненной продольным перемешиванием.
Коэффициент продольного перемешивания DL, м2/ч> находится
опытным путем или вычисляется по расчетным формулам,
составленным для аппаратов различных типов. При экспериментальном
определении коэффициента продольного перемешивания DL его обычно
представляют в виде безразмерного комплекса. При этом
используют критерий Пекле Per. = 4t—, где L — определяющий линейный
UL
размер зоны (системы). Тогда коэффициент продольного
перемешивания в безразмерной форме имеет вид:
Безразмерный комплекс -р^— иногда называют «обратным
критерием Пекле», который характеризует только продольное
перемешивание.
Если вместо средней линейной скорости потока и в уравнение
(V.54) подставить ее значение и ■= —, то уравнение, описывающее
изменение концентрации в зоне, для которой справедлива
однопараметрическая диффузионная модель, принимает форму:
дС о п д2С 9% дС А7 КАЧ
где sa — поперечное сечение потока.
109
Аналогичное по форме уравнение может быть выведено, если
рассмотреть изменение другого характерного параметра, например
температуры Ту в потоке теплоносителя со структурой идеального
вытеснения, осложненной продольным перемешиванием. Тогда такое
уравнение будет отражать не распределение вещества, а
распределение температуры:
Vr ST = saDt -gjr — vcr ~эГ . (V.57)
где DT — коэффициент продольного переноса тепла; ст —
теплоемкость вещества потока теплоносителя.
Решение дифференциального уравнения модели (V.54) в общем
виде. Уравнение однопараметрической диффузионной модели
записано в частных производных. Решение уравнений такого типа можно
найти при помощи преобразований по Лапласу, для чего исходное
уравнение (V.54) удобно записать в следующем виде, принимая
во внимание, что С = f (z, /):
—Ft ~Ul d? u Tz • (V*b8)
Здесь Dlyl и — постоянные величины, a z не зависит от t.
Преобразуем по Лапласу уравнение (V.58), учитывая, что преобразованию
подлежат лишь временные функции:
РФ (г, р) = DL Щ^ - и ^Ж (v.59)
Чтобы записать решение обыкновенного однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами (V.60), необходимо определить корни характеристического
уравнения. В данном случае характеристическое уравнение
r2-~kr-lk = 0 <V-61>
(V.62)
Из выражения (V.62) видно, что корни гг и г2 — действительные,
разные; поэтому общий вид решения уравнения (V.60) в
соответствии с формулой (II.4) можно записать так:
Ф (г, р) = Хге^ + Vz> (V.63)
где Хх и К2 — постоянные интегрирования.
Для удобства дальнейших преобразований вводим обозначения
имеет два корня
П,2 =
™l ± V \X>l
h-t-
110
Рис. 33. Схема верхней границы диф- Рис. 34. Схема нижней границы
диффузионного потока. фузионного потока.
с учетом которых корни гг и г2 принимают вид гхл = Р ± а (по
модулю а > Р).
Следовательно, изображением искомого решения исходного
уравнения (V.54) в общем виде будет выражение:
Ф (г, р) = ^e(3+a) г + Ь2е(Р~а) \ (V.66)
Выбор начальных и граничных условий. Определение
постоянных интегрирования. Чтобы использовать изображение решения
уравнения диффузионной модели (V.66) для конкретного случая,
необходимо определить постоянные интегрирования %х и Х2. С этой
целью нужно выбрать начальные и граничные условия.
Начальные условия обычно принимаются нулевыми. Это,
во-первых, предусматривается правилами преобразования по Лапласу,
и, во-вторых, упрощает вид аналитических выражений. Если
начальные условия не нулевые, то следует соответствующими
преобразованиями представить исследуемую функцию при нулевых
начальных условиях.
Граничные условия могут быть различными. Например, можно
рассматривать аппарат, имеющий нижнюю и верхнюю границы
(случай замкнутого канала),или решать задачу для полузамкнутого
канала, имеющего одну границу. Решим задачу применительно к
проточному аппарату реальных, ограниченных размеров, т. е. для случая
замкнутого канала. Верхняя и нижняя границы его будут
отличаться определенными граничными условиями, которые следует найти
в виде соответствующих аналитических выражений.
Верхняя граница (г = 0) схематически представлена на рис. 33.
Рассмотрим элементарную ячейку, примыкающую к верхней
границе, объемом ДУ, высотою Az и поперечным сечением s2 = 1 • 1.
Концентрация вещества в этой элементарной ячейке С0 одинаковая
во всех ее точках ввиду малости Д F и наличия прямого и обратного
иг
потоков. Предполагается, что изменение концентрации на входе в
зону потока (на верхней границе) происходит скачкообразно, т. е.
поток поступает с концентрацией Свх, а затем вследствие обратных
потоков происходит перемешивание таким образом, что
концентрация сразу изменяется и в ячейке, примыкающей к верхней границе,
С0 будет отличной от СВХ (Свх Ф С0). Такое представление близко
к истине (так называемый концевой эффект).
Количество вещества, поступающее (1$) и покидающее (/в^х)
элементарную ячейку, примыкающую к границе, можно выразить
следующими уравнениями:
/2 = и^Сх = иСвх; (V.67)
/вых = "пр^Со — ИобрвА. (V-68)
Преобразуем уравнение (V.68), заменив ипр на и + "обр по
соотношению (V.44), а также пользуясь обозначением Сг — С0 = ДХС
и условием, что sx = 1 - 1:
/ffix - "С0 - t/обрАз 4г • (V-69)
Если Аг -> 0, то элементарный объем AV -> 0 и в предельном
состоянии аккумуляции вещества в нем не будет, т. е. на верхней
границе должно соблюдаться равенство:
lim/2= Hm/JL. (V.70)
bz-*0 Az-+0
Если в равенство (V.70) подставить значения /J2 и /В°2Х по (V.67),
(V.69) и воспользоваться обозначением lim и0бр Az = DLyTo полу-
(V.71)
2=0
чим: лп
. wCBX = i/C0-DL-^-
Уравнение (V.71) описывает связь между параметрами на верхней
границе и представляет собой математическое выражение первого
граничного условия, которое удобно представить в виде:
Свх - С0 — - дг
Нижняя граница (z = Н) схематически изображена на рис. 34.
Для установления второго граничного условия выделим п-ю
элементарную ячейку, примыкающую к нижней границе, объемом А У,
высотою Дг и поперечным сечением sx = 1 • 1. Аналогично
предыдущему считаем, что концентрация вещества в приграничной
элементарной /1-й ячейке Сп и в предшествующей ей (п — 1) ячейке C„_i
в пределах ячеек не изменяются. Пусть в n-ю ячейку, примыкающую
к нижней границе, поступает количество вещества /Вх\ а выходит
из нее — /Вых- Эти количества вещества выразятся уравнениями:
/ 2? - "nPCn_, - иобрСп; (V.73)
/ffi* = uCn. (V.74)
112
Из уравнения (V.73) можно исключить нПр» заменив его на и + иобр.
Тогда
/Й? = uCn-t - иобр (Сп - Crt_i). (V.75)
На нижней границе, где z = Н, высота ячейки Az = Я — z = О
и А V = 0. При этом аккумуляции вещества на нижней границе не
будет, что соответствует равенству:
/2? = /S2x. (V.76)
Подставим значения /J? и /^х из уравнений (V.75) и (V.74) в
равенство (V.76):
иСп-\ — «обр (СЛ — Сп-\) = иСПУ
или
ci (Сп — С,^) + Иобр (Сп - Сп-Х) = 0. (V.77)
Равенство (V.77) может соблюдаться только при условии, если
(Ся-Ся_,) = АяС = 0, (V.78)
где ДЛС — приращение концентрации у нижней границы.
Поскольку на нижней границе приращение концентрации равно
и дС
нулю, то, следовательно, при г = Я и производная -^- должна
равняться нулю. Таким образом, в окончательном виде второе граничное
условие записывается следующим равенством:
-g- = 0|z=H. (V.79)
Выражения для постоянных интегрирования Хх и Х2 в
уравнении (V.66) находят, используя граничные условия —уравнения (V.72)
и (V.79), которые в результате прямого преобразования по Лапласу
принимают вид:
первое граничное условие
*« = *<0.Р)-^-^Ь (V-80)
второе граничное условие
|2=0
ЛФ (Я, р)
dz
= 0|*.о. (V.81)
В операторных уравнениях (V.80) и (V.81) Фвх — возмущение на
входе (обычно известная функция); DL, и — параметры модели
(определяются экспериментально или расчетом); Ф (0, р) и Ф' (0, р),
Ф' (Я, р) — функция и производные, которые могут быть получены
на основании уравнения (V.66) при z = 0 и z = Я.
Запишем производную функции Ф (г, /?), выраженной
уравнением (V.66):
Ф' (г, р) = ^ (Р + а) е(р+а) 2 + К Ф - а) е(Р"а) *• (V.82)
113
Тогда выражения, входящие в уравнения (V.80) и (V.81), будут:
при г = О
Ф(0,Р) = К + К (V.83)
i*M. = ф. (0( р) = к ф + а) + к% ф _ а). (V<84)
при z — Н
Ф (Н, р) = V(P+a)" + К*Ф~а) Н, (V.85)
d*i^lL = ф> (//, р) = К,ф + a) е(Р+0"н + К2 ф - a) e(P"a) H. (V.86)
Чтобы найти постоянные интегрирования Хг и ^2, сначала
воспользуемся первым граничным условием — подставим в уравнение
(V.80) значения Ф (0, р) и Ф' (0, р):
Фвх = К + %2 ~ В± [Хх (р + а) + Х2 (р - a)]. (V.87)
Введем обозначение -у = а и преобразуем уравнение (V.87) к виду
2ФВх = Ml — а) + Ха (1 + a). (V.88)
Из уравнения (V.88):
2ФПх — Ml+a)
*i = "(l-'l) • (V.80)
Используем второе граничное условие — в уравнение (V.81)
подставим значение Ф' (Я, р) из равенства (V.86):
Ф' (Я, р) = MP + a)e(P+a) " + MP — «) e<P~a>" = 0. (V.90)
Если произвести замену -^- = а и преобразовать уравнение
(V.90), то получим равенство:
Реря 1К (1 + а) е«" + Х2 (1 — а) е~а"] = 0. (V.91)
Поскольку р Ф 0 и Я =т^= 0, то равенство (V.91) возможно при
условии:
Ях (1 + a) ea" + К2 (1 — а) е~а" = 0. (V.92)
Итак, получено два уравнения (V.89) и (V.92) с искомыми
константами %г и %2. В результате решения этой системы уравнений
постоянные интегрирования выразятся
2<Z>(1 — а)е~аИ
К = -тгй—- ш ; (V.93)
[(1 + а)2еаЯ — (1 — а)2е~аЯ] v
^.,:Г7^-ая, (V.94)
2Фвх(1+л)еа//
[(1 + а)2 еаН — (1 — а)2 е~а//]"
Значения аир, входящие в эти формулы, вычисляются по
выражениям (V.64), (V.65), а величина а — согласно обозначению а — -^-,
114
Решение дифференциального уравнения модели (V.54) для
объекта с замкнутым каналом. Конкретный вид решения для данного
случая может быть получен, если в общий вид решения (V.66) подставить
значения постоянных интегрирования %г (V.93) и Х2 (V.94) с учетом
граничных условий (V.80) и (V.81), определяющих указанный объект:
2Фвх(1-а)е-(х//е<Р+<*>2 2Фвх(1+а)еаЯе<Р-а)*
(2, Р) [(1+а)2еаЯ_(1_а)2е-аЯ] + [(1 + a)2eatf_(1_fl)2e-atfj'
или
(Zt P) [(1 + а)» е«" - (1 - а)» е-*"] ' <V'W'
Выражение (V.95) — это изображение искомого решения
уравнения диффузионной модели для объекта с замкнутыми границами
при соответствующих этому объекту граничных условиях (V.80) и
(V.81). По уравнению (V.95) можно определить изображение
реакции объекта Ф (г, р) в любой точке с координатой г по высоте
аппарата, если возмущение наносится в начальной точке, т. е. на входе в
аппарат (точнее на входе в зону модели).
Для того чтобы отыскать оригинал найденного в операторной
форме решения (V.95), его подвергают обратному преобразованию
по Лапласу L~x [Ф (z, p)\ и получают зависимость концентрации
от времени в любой точке по высоте (длине) аппарата. Чаще всего
исследователя интересует изменение концентрации во времени на
выходе из аппарата (г = Я), где обычно наблюдают опытную F-или
С-кривую. Сравнением такой опытной F- или С-кривой с расчетным
решением по уравнению (V.95) при Фвх — стандартном импульсном
или ступенчатом сигнале и z = Я проверяется адекватность модели
реальному процессу.
Если уравнение (V.95) записать при z = Я для изображения
функции на выходе — Ф (Я, р), то получим передаточную функцию
однопараметрической диффузионной модели:
Win) = Ф(И'Р) = ^И (V 96)
W W фвх [(1 + af е«" _ (1 _ af e-a"]' K V '
Чтобы найти уравнения F-кривой и С-кривой, необходимо
совершить обратные преобразования согласно равенству (11.19)
Свых (/) = FKP (0 = L~\W (р) СЦ (р)} = L~1[W (p) • -L] (V.97)
и
Свых (0 = Скр (/) = L"1 [W (р) С™ (/>)] « /Г1 [W (р). 1]. (V.98)
В таблицах преобразований нет выражений, записанных под
знаком LT1 в (V.97) и (V.98), поэтому уравнения для FKp (t) и Скр (t)
могут быть найдены вычислением интеграла (11.10) или специальным
способом. Характер графического изображения F- и С-кривых для
115
Рис. 35. Характерный вид
графического изображения (а — /"-кривой и
б — С-кривой) однопар а метрической
диффузионной модели.
однопараметрической
диффузионной модели показан на рис. 35.
Применение модели. Однопара-
метрическая диффузионная
модель значительно лучше, чем
модель идеального вытеснения,
соответствует процессам в
реальных аппаратах химической
технологии, в которых перемещение
веществ проводится по принципу
вытеснения, например, в
трубчатых реакторах, противоточных
колонных аппаратах и т. д. К
недостаткам этой модели относятся
сложность установления
граничных условий и необходимость
предварительной оценки коэффициента продольного перемешивания.
В практике технологических расчетов однопараметрическая
диффузионная модель дает возможность достаточно точно
воспроизводить свойства реального потока при исследовании многих аппаратов,
в частности, пленочных, распылительных, барботажных, пульса-
ционных, насадочных колонн, роторно-дисковых экстракторов, а
также трубчатых аппаратов (полых и заполненных насадкой).
Разумеется, модель может применяться и в других случаях, но
для всех названных аппаратов специальными исследованиями
установлены достаточно достоверные формулы для оценки значения
коэффициента продольного перемешивания, которые приводятся в
литературе [1, 2]. Поскольку в каждом случае важной задачей
является определение DL или безразмерного комплекса -р—,то
наличие соответствующих расчетных формул расширяет область
применения модели.
§ б. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ОБЪЕКТА
С ПОЛУЗАМКНУТЫМ КАНАЛОМ
И СТРУКТУРОЙ ПОТОКА,
СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ
ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ
Передаточная функция объектов
химической технологии, которые
описываются уравнением одно-
параметрической диффузионной
модели, имеет сложный вид
(V.96), что затрудняет ее
использование в расчетах. Если
выбрать граничные условия, при которых постоянные
интегрирования А,хи ?с2 в уравнении (V.66) будут более простыми, чем для случая
замкнутого канала, то передаточная функция может быть
значительно упрощена. С этой целью рассмотрим объект с нижней границей при
z = 0 и верхней границей при z = #->- со (полузамкнутый канал).
Основанием для выбора указанных границ послужило то
обстоятельство, что при очень большой высоте (длине) аппарата Н на вы-
116
ходе трудно зафиксировать реакцию объекта на входной
импульсный сигнал. Это происходит потому, что выходной сигнал
(концентрация индикатора на выходе) бывает настолько ослабленным, что
его проявление практически нельзя зарегистрировать. Такую
физическую картину математически можно формализовать в виде:
Игл Ф(г, р) = 0. (V.99)
Если воспользоваться ранее найденным уравнением (V.66) —
общим видом изображения решения Ф (г, р), то равенство (V.99)
можно представить так:
lim Ф (Я, р) = lim V(P+a)// + Ит Я2е(Р~а)Я = 0. (V. 100)
H-+OQ Н-+00 H-*OQ
Поскольку по модулю а > р, то второе слагаемое суммы пределов
уравнения (V.100) обращается в нуль. Отсюда
lim^e(P+a)// = 0. (V.101)
Выражение (V.101) является граничным условием при г =
«= Н -+ оо (верхняя граница), из которого очевидно, что
Л1 = 0. (V.102)
Второе граничное условие получим из уравнения (V.66) при
z = 0, то есть
Ф(0,р) = Я1 + Я2. (V.103)
Совместное решение уравнений (V.102) и (V.103) показывает,
что Я2 = Ф(0, p). (V.104)
В результате подстановки значений Х1 (V.102) и A,2(V.104) в
общий вид изображения искомого решения диффузионной модели
(V.66) имеем:
Ф (г, р) = Ф (0, р) е(р-а)2. (V. 105)
В реальном аппарате координата выхода z — конечная величина.
Обозначим ее /, тогда
Ф (/, Р) = ф (0, р) е(Р"а)/. (V. 106)
Уравнение (V.106) представляет собой изображение искомого
решения уравнения диффузионной модели при граничных условиях
z = 0 и z = #->oo.
Запишем операторное уравнение (V.106) в виде передаточной
функции:
^) = Ит£ = е<р-а>'' (V-107)
где Ф (/, р) — изображение выходной величины (концентрация на
выходе); Ф (0, р) — изображение входной величины (концентрация
на входе).
Полученная передаточная функция диффузионной однопарамет-
рической модели (V.107) значительно проще ранее найденного
117
выражения (V.96), и этой передаточной функцией можно
пользоваться при исследовании трубчатых и колонных аппаратов, имеющих
большую высоту (длину).
§ 6. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТА
ПРОДОЛЬНОГО
ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Применение уравнения однопа-
раметрической диффузионной
модели для описания
гидродинамики реальных потоков
ограничивается из-за отсутствия
надежных данных о коэффициенте
продольного перемешивания DL. Как правило, значенияDL находят
экспериментально, при этом следует иметь в виду, что величина DL
существенно зависит от изменения геометрических характеристик
аппаратов, свойств среды, режима перемешивания и других условий.
Известно несколько способов определения DL, основанных на
экспериментальных данных, которые затем подвергаются обработке
специальными математическими методами II, 29].
Рассмотрим сравнительно простой графо-аналитический метод
определения DL, который предусматривает использование опытных
данных, получаемых при стационарном вводе трассера в
исследуемый объект. Предположим, что в проточном аппарате происходит
движение потока в установившемся режиме. На расстоянии / от
входа в аппарат (рис. 36) вводится трассер (индикатор ) с постоянной
и небольшой скоростью таким образом, чтобы режим движения
основного потока практически не нарушался и оставался
установившимся (так называемый стационарный ввод трассера).
Если бы обратного потока не было (иобр = 0), то трассер не
попадал бы на участок «г = 0 -r- z = /» и вымывался основным потоком
из аппарата. Обратный же поток уносит часть трассера по
направлению к входу в аппарат и концентрация его на указанном участке
изменяется по некоторой кривой,
профиль которой определяется
режимом продольного
перемешивания (DL). Уравнение этой
кривой можно найти, исходя из
математического описания
диффузионной модели (V.54)
применительно к установившемуся
режиме л
му, т. е.при —57- = 0:
dt
d2C
dz*
Dr
^ = 0, (V.108)
Рис. 36. Схема стационарного ввода
трассера.
где С (г) — концентрация
трассера.
118
Чтобы получить решение уравнения (V.108), запишем
характеристическое уравнение:
r2--^-r = 0, (V.109)
UL
которое имеет два корня гх = 0 и г2 = -£- (действительные и разные).
UL
Согласно формуле (II.4), решение уравнения (V.108) будет иметь
общий вид:
С (г) = А^2 + Л2е"2
или
и
C(z) = A1+A^Z, (УМО)
где Ах и А2 — постоянные интегрирования, которые определяются
при использовании граничных условий.
Первое граничное условие при z = 0 было найдено ранее в виде
уравнения (V.72):
DL dC
С**-Со и dz
2=0
Определим выражения С («г), С0, Свх, которые соответствуют
рассматриваемой задаче, пользуясь общим видом решения (V. 110):
и
а) С (г) = -^ =А*Т^ еЗГ", а при г = 0 С (z)|2==0 = л2 -^-;
б) С0 = Ах + А2 (при г = 0);
в) Свх = 0 (поскольку трассер на вход не вводится, а подается
в точке с координатой z = /).
Если в уравнение (V.72) подставить значения для С (z), С0, 'Свх,
то первое граничное условие для данного случая запишется так:
о = л1 + л2--^-.-^-л2>
откуда
Л1 = 0. (V.111)
Исходя из уравнения (V.110) с учетом Ах = 0, второе граничное
условие при z = / будет иметь вид
C(z)\^l = Cl=A2^
или
!U/
Л2 = С/е °L . (V.112)
В результате подстановки постоянных интегрирования Ах
(V. 111) и А2 (V. 112) в выражение (V. 110) получим искомое уравнение
кривой изменения концентрации трассера:
C(z) = Cl<T~°ril~Z\ (V.113)
119
или после логарифмирования
_1п *£.—£-/
D,
г,
где
(-"4?)-
(V. 114)
значение вы-
Рис. 37. К графо-аналитическому
методу нахождения DL.
числяемой функции (обозначим ее
у)\ Q — известная концентрация
трассера в точке ввода (г = /);
С (г) — концентрация
трассера в любой точке на участке
«z = / -т- z = 0» (ее определяют
экспериментально).
В координатах у — z
уравнение (V.114) —это прямая линия
MN, тангенс угла наклона которой равен —^— (рис. 37). Точка М
лежит на оси z на расстоянии /, а точка N — на оси у на
расстоянии -jr— / от начала координат (при z = 0 у = у0= -~- / и при у = О
z = z0 = 0- Чтобы установить наклон прямой AfW, надо знать
какое-либо значение уг = — In —~^- = -^- (/ — г), которое можно
вычислить, используя экспериментальное значение С (z).
Практически ординату уг = — In -тЭ- находят для концентрации С (z) у
W
входа в аппарат, т. е. при z, близком к нулю.
Среднюю линейную скорость потока и определяют делением
экспериментального значения объемной скорости потока v (берут по
показаниям расходомера) на сечение потока sA (и = -2-1.
Искомая величина DL вычисляется по уравнению (V.114) при
нескольких экспериментальных значениях С (z), что позволяет с
большей точностью установить коэффициент продольного перемешивания.
§ 7. ячеечная МОДЕЛЬ Характеристика модели.
Типовые модели идеального
перемешивания, идеального вытеснения, диффузионная модель с
определенной степенью точности могут применяться для воспроизведения
структуры и гидродинамических свойств потоков в различных
аппаратах химической технологии. Однако идеальные модели в ряде
случаев неадекватны реальному процессу, а диффузионная модель
отличается сложностью. По этой причине для трубчатых и
колонных аппаратов, а также для каскадов последовательно
расположенных реакторов удобнее представлять реальные потоки в виде так
называемой ячеечной модели.
120
Рис. 38. Схематическое изображение ячеечной модели: а — колонный
аппарат; б — каскад последовательно соединенных реакторов полного
перемешивания.
Физическая сущность ячеечной модели заключается в том, что
движущийся материальный поток рассматривается состоящим из
ряда последовательно соединенных ячеек. При этом принимается,
что в каждой из таких ячеек поток имеет структуру полного
перемешивания, а между ячейками перемешивание отсутствует.
Количество предполагаемых ячеек идеального перемешивания п является
параметром, характеризующим ячеечную модель реального потока.
Если п = 1 ячеечная модель переходит в модель идеального
перемешивания, а если п -> со — в модель идеального вытеснения. Чем
больше принять ячеек, тем каждая из них точнее воспроизводит
режим идеального перемешивания, а весь аппарат при п -*■ со
соответствует, модели идеального вытеснения. Но практические
расчеты показывают, что принимать слишком большое п не имеет
смысла, так как ячеечная модель с числом ячеек п > 10 с
достаточной точностью воспроизводит свойства потока идеального
вытеснения.
Математическое описание ячеечной модели. Схематическое
изображение ячеечной модели дано на рис. 38. Структура потоков в
ячеечной модели соответствует, например, кипящему слою
(псевдоожижение) в колонном аппарате (рис. 38, а) или потоку в каскаде
реакторов идеального перемешивания (рис. 38, б).
Сущность ячеечной модели предопределяет такие
допущения:
а) в каждой ячейке поток имеет структуру полного
перемешивания, и концентрация С, не изменяется в пределах любой ячейки
(I = 1, 2,..., п — индекс ячейки);
б) между ячейками перемешивание отсутствует;
в) объемная скорость v не изменяется по длине и сечению
потока. Для удобства также принимается, что объемы каждой из
предполагаемых п ячеек одинаковы и равны Кх; сумма объемов всех
ячеек равна объему зоны, для которой справедлива ячеечная модель
121
(V = nVi); среднее время пребывания частиц в каждой ячейке тх =»
= —— = —, а среднее время пребывания в системе т = .
Поскольку в каждой ячейке поток находится в состоянии
идеального перемешивания, то для любой i-й ячейки справедливо
уравнение модели идеального перемешивания:
-^L-JL^-C,). (V.115)
Если учесть, что тх = —, то равенство (V.115) примет вид:
4--т--т<с'-'-с«>' (V.H6)
где t = 1, 2,..., я.
Система уравнений (V.116) представляет собой математическое
описание изменения концентрации в каждой из принятых п ячеек,
т. е. является системой уравнений ячеечной модели, которую
можно записать так:
dt
dC2
dt
dC3
dt
= -=-(Co-CJ,
(V.117)
dCn-i
dt
= — (Cn-2 — Crt_i),
-^-=^-(C„_1-C„).
Решение системы уравнений ячеечной модели. Ячеечную модель
правомерно представить объектом, состоящим из п элементарных
инерционных звеньев, которые
имеют одинаковые передаточные
функции W (р) = Тр + х . Струк-
п 00 г „ турная схема такого объекта
Рис. 39. Структурная схема ячеечной ,JV опч - *
модели. (Рис- 39) может быть изображена
в виде цепочки последовательно
соединенных звеньев (блоков). Чтобы найти передаточную функцию
всего рассматриваемого объекта, воспользуемся правилом
сочетания элементарных звеньев, согласно которому эквивалентная
передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев
(11.21) равна произведению передаточных функций этих звеньев:
^(р)-^1(р).1Г1(р)...1Гж(р)-1^гг.1^г...т71п-.
(V.118)
122
По уравнению (V.118) можно найти передаточную функцию ячеечной
модели применительно к реальным потокам в колонных аппаратах
или в каскадах последовательно соединенных реакторов.
Передаточная функция ячеечной модели, которая воспроизводит
свойства реального потока в каскаде аппаратов идеального
перемешивания, будет иметь вид:
^к(р)- СГ<Р! = ——т• (V-119>
V Свх(Р) (Тр+\)п V '
Если заменить Т на х1 (тх = -~ среднее время пребывания
частиц в одном аппарате каскада ], то
WK (р) = !——. (V. 120)
Из равенства (V.120) следует, что передаточная функция
ячеечной модели каскада WK (р), состоящего из п аппаратов идеального
перемешивания, равна произведению передаточных функций
отдельных аппаратов. Когда каскад составляют аппараты разных
объемов, то
^»>"(^+.)(xw>+l)-..(xrf+l)' (УЛ21)
где тх, т2, ..., тп— соответственно среднее время пребывания в
каждом аппарате каскада.
Следует иметь в виду, что каскад реакторов идеального
перемешивания можно представить ячеечной моделью, если между
аппаратами поток не подвергается никаким воздействиям.
Передаточная функция ячеечной модели, воспроизводящая
свойства реального потока в колонном аппарате, который
рассматриваем состоящим из п последовательных ячеек идеального
перемешивания, записывается так:
W (Р) = 1—тг = -7 ■—г-п- (V.122)
Покажем, что передаточная функция (V.122) при п ->■ оо
превращается в передаточную функцию, характеризующую поток
вытеснения. С этой целью запишем:
lim W (р) - lim- 5—^ • (V. 123)
123
Обозначим -^- = х; при п -> оо некоторая функция х -+ оо.
Если тир фиксированные величины, то
Из теории пределов известно, что lim ( |- 1) = е (второй
замечательный предел). Следовательно,
w(p^-^--e~px' (ул25>
где е~~рх — передаточная функция модели идеального вытеснения.
Полученное равенство (V.125) подтверждает, что при п -»■ оо
ячеечная модель будет иметь передаточную функцию такую, как
звено чистого запаздывания, т. е. превращается в модель идеального
вытеснения.
Операторные уравнения (V.120) — (V.122) и (V.125)
представляют собой изображения искомого решения математического
описания ячеечной модели. Если требуется найти решение в области
действительной переменной t> то необходимо произвести обратное
преобразование по Лапласу, согласно уравнению (11.19):
Свых (0 = ITl [Свых (р)] = L~l[W (р) Свх (р)], (V. 126)
где W (р) — передаточная функция ячеечной модели (V.120) или
(V.122); Свх (р) — входное возмущение.
Запишем выражение Свьх (t) при Свх (р) = 1, т. е. найдем
уравнение импульсной характеристики — Скр (0> каскада реакторов:
(V.127)
Из таблиц преобразований по Лапласу
^"-^Ьм^И- (V128)
Если принять, что т + 1 = п и а = —, то равенство (V.128)
можно переписать так:
е-ТУ'-Ь-'Г С-1*1 1
или Цр + Ч~) J
124
i^w (vP "fe" '■ - тL"' [^V^J' (V129>
Сравнивая равенства (V.127) и (V.129), получим:
Свых (/) = Скр (0 = 1^L_ (-JLp JL е"^, (V. 130)
где тг — время пребывания в одном аппарате каскада.
Выражение (V.130) является уравнением импульсной
характеристики каскада реакторов идеального перемешивания (С-кривая)
или искомым решением исходного математического описания
ячеечной модели каскада реакторов.
Если решить аналогичную задачу для колонного аппарата, т. е.
использовать передаточную функцию, согласно операторному
уравнению (V.122), то найдем:
Свых (/) = Скр (0 = 1^±w (4-)П_1 -f e~^~, (V. 131)
где т — среднее время пребывания во всем колонном аппарате.
Для получения уравнения F-кривой в данном случае наиболее
удобно использовать известную связь ее с С-кривой (11.27) FKl> (t) =■
t
= J Скр (0 dt (так как в таблицах преобразований по Лапласу
о
нет нужных соответствий) и вычислить интеграл:
' <о - Л i^Tjr (-f) i~ e~ dL (V-I32)
0 L J
В результате многократного использования метода
интегрирования по частям находим искомое уравнение /^-кривой каскада
реакторов:
—^г'ТеЧ i^w^fr^' <V133>
или
f4(0el_ri[i + JL + 4-.^-+ ••• +
+ 1~rW(irr\- <УЛ34>
125
Уравнение (V.134) удобно записать в виде следующей формулы:
FKp(/)=l-e" £ 4---T-- (V.135)
Здесь тх — среднее время пребывания в одном аппарате каскада;
п — количество аппаратов в каскаде; k — индекс любого члена
суммы (k =» 0, 1, 2, ..., п — 1).
Если в уравнении (V.132) под знак интеграла подставим Скр (/)
по формуле (V.131), то в результате вычисления этого интеграла
получим аналитическую запись /^кривой колонного аппарата,
структура потока в котором соответствует ячеечной модели:
FKP (0=1- е"^ J пИ4-)' • (У-136>
где т — среднее время пребывания во всем колонном аппарате;
п — количество ячеек примененной в исследовании ячеечной модели.
Наличие уравнений для С-кривой и /^-кривой дает возможность
проверить адекватность модели реальному процессу сравнением
расчетных кривых по формулам (V.130), (V.131) или (V.135), (V.136)
с соответствующими экспериментальными кривыми, полученными
на реальном объекте. Такое сравнение удобно проводить, если
имеются графики кривых изменения концентрации во времени.
Построим С-кривые по уравнению (V.130) для каскада
реакторов. В качестве примеров запишем несколько уравнений при
различных значениях п и одном и том же тх:
ах- 1, Скр(9 = -^-е";
п = б, cKP(/) = -L(-f)4lK^;
« = 75, CKp(/)=1ir(-^-)74J-e-i;
п -*оо, Скр (/) = б (t — Xj).
На рис. 40 графически изображены импульсные характеристики
(С-кривые) по соответствующим уравнениям при различном числе
аппаратов в каскаде. Аналогично на рис. 41 по уравнению (V.135)
построены /^-кривые ячеечной модели каскада реакторов для
различных п.
Табулирование функций Скр (0 — уравнение (V.130), FKp (0 —
уравнение (V.135) с целью получения необходимого количества точек
126
Рис. 40. С-кривые ячеечной моде- Рис. 41. F-кривые ячеечной модели
ли при различных п. при различных л.
при различных значениях параметра модели п и заданном т1 для
построения графиков (рис. 40 и 41) целесообразно проводить на
ЦВМ по заранее подготовленной программе.
Решение математического описания ячеечной модели — система
дифференциальных уравнений (V.117) — сравнительно просто
выполняется на АВМ, для чего уравнения записываются в
приведенном виде:
Ч - — — Чт — Ч>
~ и2- — Ч —— Ч>
ч = — ч + — с2,
(V.137)
Сп—1 = ~ Ч—1 + — Ч_2,
— Ч = — Ч — — Ч-ь
Структурная схема, составленная в соответствии с системой
приведенных уравнений (V.137), показана на рис. 42.
Применение ячеечной модели. При использовании ячеечной
модели для воспроизведения гидродинамических свойств реального
потока важно удачно выбрать число ячеек п, так как значение этого
параметра отражает степень перемешивания в аппарате и,
следовательно, его роль в ячеечной модели аналогична критерию Пекле
в диффузионной модели. Инженерные методы расчета числа ячеек я,
при котором достигалась бы адекватность ячеечной модели
реальному процессу, разработаны пока еще недостаточно.
При определении числа ячеек в ряде случаев можно
воспользоваться формальной аналогией между числом Пекле Ре и величи-
127
ной л. Оказывается, что между этими параметрами для колонных
аппаратов существует связь, которая с достаточной для
практических расчетов точностью выражается зависимостью:
uL рЧ
п
2D,
(V.138)
где и — средняя линейная скорость потока; L — высота зоны
потока (в насадочных колоннах — это высота насадки); DL —
коэффициент продольного перемешивания; PeL — критерий Пекле
(«диффузионный»).
По зависимости (V.138) можно вычислить п и вместо
диффузионной применить в исследованиях ячеечную модель, которая
значительно проще.
Ячеечная модель достаточно точно воспроизводит свойства
потоков в последовательно соединенных аппаратах с мешалками,
создающими интенсивное перемешивание (каскады реакторов), в
абсорбционных и экстракционных колоннах при некоторых
гидродинамических режимах, и удовлетворительно в аппаратах с псевдо-
ожиженным слоем.
В промышленности широко распространены аппараты
секционированные по высоте (по ходу потока) ситчатыми или решетчатыми
перегородками, которые обусловливают циркуляцию потока между
секциями. Рассмотренная выше простая ячеечная модель не может
интерпретировать гидродинамику движущейся среды в подобных
аппаратах. Для описания структуры гидродинамических потоков в
таких аппаратах в последнее время стали применять ячеечную
модель с обратным перемешиванием между секциями (ячейками), в
основу которой положена простая ячеечная модель с внесением в
ее уравнение соответствующих изменений. Ячеечная модель с
обратным перемешиванием используется, в частности, для изучения
процесса в секционированных барботажных реакторах, в аппаратах с
128
Рис. 42. Структурная схема решения
на АВМ математического описания
ячеечной модели /при /(= —).
псевдоожиженным слоем, в пульсационно-тарельчатых и роторно-
дисковых экстракторах. На основе ряда исследований проведен
математический анализ ячеечной модели с обратным перемешиванием,
определены предпосылки для установления числа секций, доли
обратного перемешивания и др. [14, 15].
§ 8. комбинированные Типовые гидродинамические мо-
модели дели идеального перемешивания,
идеального вытеснения,
диффузионная, ячеечная воспроизводят свойства потоков,
характеризующихся различной гидродинамикой, но в каждом случае
гидродинамический режим по своему упорядочен и отличается однородностью
структуры. Это сравнительно благоприятные случаи. При
характеристике движения реальных потоков бывает, что ни одна из
перечисленных гидродинамических моделей достаточно точно не
воспроизводит свойства потока. Последнее объясняется многими
причинами, в том числе тем, что в разных частях аппарата
устанавливается своя структура потока, что гидродинамика потока сильно
неупорядочена и наблюдаются явления такого рода, как
застойные зоны, байпасирование, рециклы, проскальзывание и т. п.
В подобных случаях прибегают к построению комбинированных
моделей на основе приведенных выше простейших моделей с
добавлением застойных зон, а также введением байпасирования и
рециркуляции отдельных частей потоков. Математическое описание
процесса при этом существенно усложняется, однако таким способом
удается достигнуть требуемой точности воспроизведения свойств
объекта моделирования.
Принцип построения комбинированных моделей состоит в том,
чтсГ исследуемый процесс рассматривается расчлененным на
отдельные участки (зоны), соединенные последовательно, параллельно
или по схеме с обратной связью, которые отличаются неодинаковой
структурой потоков. При этом комбинированная модель
представляет собой сочетание математических описаний всех зон,
составляющих процесс.
Количество зон и предполагаемый характер потока в каждой
зоне устанавливаются путем выяснения физической картины
процесса, в частности, по опытным кривым изменения концентрации
вещества в потоке на выходе при соответствующих входных возмущениях.
В ходе построения комбинированных моделей следует оценить
возможность применения для различных участков аппарата
математических описаний типовых моделей (идеального
перемешивания, идеального вытеснения, идеального вытеснения с продольным
перемешиванием, идеального вытеснения с продольным и
поперечным перемешиванием, ячеечной), а также учесть застойные зоны.
При изучении процесса в застойных зонах обычно предполагают,
что их содержимое неподвижно или очень медленно обменивается
б 3-24
129
с основным потоком, проходящим через аппарат. В первом
случае — представление теоретическое, второй случай приближается
к реальной ситуации, так как фактически абсолютно застойных зон
быть не может. На практике всегда наблюдается некоторый обмен
веществом между застойной зоной и другими частями аппарата,
осуществляемый за счет микро- и макроявлений.
Из изложенного выше вытекает важный для практических
расчетов вывод о том, что застойные зоны в сосуде представляют собой
относительно медленно движущиеся участки жидкости, которые,
тем не менее, можно с достаточным основанием считать полностью
неподвижными. Однако при нахождении времени пребывания
веществ в сосуде застойные зоны могут не приниматься во внимание
[11].
Исходя из положений теории застойных зон, сформулирован
признак наличия застойной зоны применительно к аппаратам
химической технологии. Принято считать, что если частицы потока
на каком-то участке аппарата остаются дольше, чем удвоенное
среднее время пребывания, то это свидетельствует о наличии там
застойной зоны. Указанное условие используется для вычисления объема
застойной зоны. Практические приемы, применяемые для
определения объемов застойных зон, приведены в литературе [1, 111.
Кроме перечисленных выше структур, при построении
комбинированных моделей необходимо учитывать и другие виды течения
жидкости (газа), которые могут возникать в реальных аппаратах.
Байпасный поток — часть жидкости (газа), движущаяся
параллельно сосуду или некоторой его зоне, в результате чего часть
потока попадает на выход аппарата, не претерпевая никаких
изменений (проскок части потока).
Циркуляционные потоки (рециклы или обратные потоки) — это
всякого рода возвраты потока. Они возникают потому, что часть
жидкости (газа), которая выводится за пределы сосуда или
определенной его части, возвращается в него снова и затем смешивается
со свежими порциями вещества на входе в сосуд или в некоторую
его зону.
Струйный поток (проскальзывание) — местный поток,
мгновенно переносящий вещество непосредственно из одной зоны сосуда
в другую.
Прежде чем приступить к построению комбинированной модели,
включающей перечисленные компоненты, необходимо тщательно
оценить влияние каждого из них на структуру потока в аппарате.
Зоны, которые мало изменяют гидродинамическую картину, лучше
не учитывать. Влияние компонентов на структуру потока принято
оценивать, исходя из объемов участков (зон), составляющих процесс.
Поэтому одна из основных задач заключается в определении
объемов зон объекта с различными типами течения жидкости (газа) [111.
При окончательном решении вопроса, какую зону включать в
математическое описание, а какую нет, следует иметь в виду, что с
180
увеличением количества зон можно описать процесс любой
сложности, однако математическое моделирование может усложниться
настолько, что модель окажется неприемлемой.
Ниже в качестве примеров рассматриваются некоторые
комбинированные модели объектов с усложненной структурой потока.
При этом математическое описание в виде дифференциальных
уравнений не записывается, а применяется методика составления
уравнений материальных балансов, структурной схемы сложного
объекта, нахождения его передаточной функции и изображения
решения. Затем, согласно выражению (11.19), отыскивается
оригинал решения — уравнение и графическая интерпретация
/^кривой, по характеру которой можно оценить структуру реальных
потоков.
Объект, сочетающий зоны идеального перемешивания и байпа-
сирования. Из схемы объекта (рис. 43) следует, что входящий поток
с объемной скоростью v раздваивается: часть потока поступает в
зону идеального перемешивания (его объемная скорость vx и
концентрация на входе Свх; этот поток мгновенно распределяется по
всему объему Vlt в каждой точке которого и на выходе из него
устанавливается концентрация Сг); другая часть — байпасный поток—
не претерпевает никаких изменений, проскальзывает сразу на
выход, минуя аппарат (его объемная скорость v2 и неизменяющаяся
концентрация Свх). Оба потока в точке М соединяются в один,
концентрация вещества в нем Свых и объемная скорость v = vx + v2>
при этом v2 = Ру, если Р — доля единицы (показывает, какую часть
общего расхода составляет байпасный поток), и v1 = (1 — Р) и.
В точке М (рис. 43), где байпасный поток /2 соединяется с
потоком /lf идущим с участка идеального перемешивания,
/вых(0 = ^вых(0 (V.139)
и
/вых (0 = Л (0 + h (0 = * А (0 + v2cBX (t). (v. 140)
Из сопоставления этих равенств следует:
Свых (0 = -i- С, (0 + 3- Свх (0, (V. 141)
где-^ = (1-р) и i-p.
Преобразуем выражение (V.141) в операторное уравнение:
Свых (р) = (1 -Р)С2(р) + рСвх(р). (V.142)
Чтобы исключить Cj (р) из уравнения (V.142), воспользуемся
передаточной функцией для участка идеального перемешивания
W (о) = Clip) = 1
Q(P) = C«(P)^jTFr. (V.143)
откуда
5*
131
Рис. 43. Схема объекта, сочетающего Рис. 44. F-кривая комбинированной
зоны идеального перемешивания и бай- модели — сочетание участков переме-
пасирования. шивания и байпасирования.
Если подставить это выражение для Сг (р) в уравнение (V.142),
то получим передаточную функцию рассматриваемого объекта W (р):
W(p) =
:(Р)
С*х(Р)
-=Р+(1-Р)-
1
Т^+1
(V.144)
Передаточная функция W (р) содержит информацию об объекте
в таком же количестве, как его математическое описание в виде
дифференциальных уравнений.
Искомое решение — уравнение F-кривой — найдем, совершив
обратное преобразование по Лапласу.
Свых (t) = />(0 = L"] [W(p) • Свх(р)]
или
FKV(t)-L~
где
1
р-т+(1
•Р).
1
тхр+ 1
±1
(V.145)
Свх (р) = стандартный ступенчатый сигнал на входе.
Воспользовавшись таблицами преобразований по Лапласу,
получим уравнение ^-кривой:
t
/7кр(0 = Р + (1—Р)(1—е П
(V.146)
Как следует из графика (рис. 44), построенного по уравнению
(V.146), F-кривая в начале координат имеет скачок за счет байпас-
ного потока, а затем изменение концентрации происходит
экспоненциально за счет зоны идеального перемешивания.
На практике ^-кривую обычно находят экспериментально и
используют как источник информации о структуре потока в
моделируемом объекте. Если характер опытной /^-кривой соответствует
кривой^ построенной по формуле (V.146), то правомерно полагать,
что рлоделируемый объект может быть представлен сочетанием зоны
132
Рис. 45. Схема объекта, сочетающего Рис. 46. Лкривая комбинированной
зоны идеального перемешивания и вы- модели — параллельное сочетание уча-
теснения. стков идеального перемешивания и
вытеснения.
идеального перемешивания и байпасного потока и для него
применима комбинированная модель, решением которой является
передаточная функция (V.144).
Объект, сочетающий параллельные зоны идеального
перемешивания и идеального вытеснения. Комбинированная модель такого
объекта, схематически изображенного на рис. 45, должна описывать
гидродинамику потока, часть которого сначала попадает в зону
идеального вытеснения, а затем в точке М соединяется с другой частью
потока, прошедшего зону перемешивания.
Аналогично предыдущему случаю, из уравнений баланса вещества
в точке Му где соединяются поток перемешивания (/х = vxC^) и
поток вытеснения (/2 = р2С2), можно найти:
Свых(0 = -?-Сх(/) + -^-С2(0, (V.147)
где Свых (t)9 СХ (0 и С2 (0 — концентрации на выходе: объекта, а
также зон перемешивания и вытеснения; vt vlf v2 — соответственно
общий расход и расходы в зонах перемешивания и вытеснения.
Обозначим -^— = (1 — Р) и -^- = р (Р — доля единицы) и
запишем полученное выражение в виде операторного уравнения:
СВЬ1Х(р) = (1 -р)Сх(р) + рС2(р). (V.148)
Значения Сх (t) и С2 (t) найдем из выражений передаточных
функций Wt (p), W2 (p) участков идеального перемешивания
(инерционное звено первого порядка) и идеального вытеснения (звено чистого
запаздывания):
Сг(р) _ 1
WAP) =
СвАР)
откуда
СЛР) =
Свх(Р)
TV+1
(V.149)
*.(Р>--#%- = е-**
свЛр)
133
Рис. 47. Схемы объекта, сочетающего последовательное расположение зон
идеального перемешивания и вытеснения (а и б) и соответствующие
структурные схемы (в и г).
ИЛИ
С2(р) = е-рт«Свх(/>).
(V.150)
После подстановки в уравнение (V.148) выражений для Сх (р)
и С2 (р) передаточная функция объекта принимает вид:
W(p) = -
■Лр)
Свх(р)
= (1-Р)-
1
%tP+l
+ ре
—РХ»
(V.151)
где тх
Vi
и т2 =
время пребывания в зонах идеального
vx v2
перемешивания и идеального вытеснения; Vl9 V2 — объемы этих
зон; Vi и v2 — объемные скорости (расходы) потоков в
соответствующих зонах.
Уравнение ^-кривой, которое является искомым решением,
можно получить, совершив обратное преобразование по Лапласу,
согласно выражению (11.19):
Свых(0 = F(t) =L~l[W(p) • Свх(р)}.
Поскольку Свх (р) = 1, то
^кр(0 = (1-Р)^1[ 1
-И+И-
k-PTj
-г-. ,-гг,- ,„ ---,. (V.152)
Воспользовавшись таблицей преобразований по Лапласу,
найдем:
/>(0 = (1-В)(1-е *<) + р.1(/-т2).
(V.153)
F-кривая, построенная по уравнению (V.153), имеет
своеобразный вид (рис. 46). Если опытная F-кривая, полученная на реальном
аппарате, совпадает с графиком, построенным по уравнению (V.153),
то можно применить комбинированную модель сочетания
параллельных зон идеального перемешивания и идеального вытеснения для
данного объекта. Следовательно, и в этом случае f-кривая является
источником информации о структуре потока в реальном аппарате,
134
для расчета которого может быть использована передаточная
функция объекта W (р) — уравнение (V. 151).
Объект, сочетающий последовательно расположенные зоны
идеального перемешивания и идеального вытеснения. Последовательное
расположение указанных зон можно представить в двух вариантах,
как это схематически показано на рис. 47 (схемы объекта а и б, их
структурные схемы в и г). Для установления передаточной функции
такого объекта наиболее удобно воспользоваться тем, что
передаточные функции составляющих участков известны: зона идеального
перемешивания — это инерционное звено первого порядка,
имеющее передаточную функцию Wx (р) = -—-р-р и зона идеального
вытеснения — звено чистого запаздывания, характеризующееся
передаточной функцией W2 (p) = е~рх*.
Передаточную функцию всего рассматриваемого объекта по
правилу последовательного соединения элементарных звеньев (11.21)
запишем как произведение передаточных функций этих звеньев:
w W = -т^г = wi 0>)w* 0") = -4JTT е~РХ' <v-154>
или при Свх (р) = — (стандартный ступенчатый сигнал)
Свых(/,) = -^-г.-^е-^, (V.155)
где Ti =» —— ит2 = —- время пребывания в зонах идеального
перемешивания и идеального вытеснения; Vx и V2 — объемы этих
зон; vx и v2 — объемные скорости (расходы) потоков в
соответствующих зонах.
В уравнении (V.155) произведение , . • — представляет
собой изображение уравнения F-кривой, т. е. FKp (p), поэтому
Свых(0 = FK?(t) = L~l[F(p) • е"рТ2]. (V. 156)
Совершив обратное преобразование по Лапласу правой части
уравнения (V.156), согласно свойству операционного соответствия
функции с запаздыванием (11.16), получим
FkpW-^kpP-t,). (V.157)
Из уравнения (V.157) видно, что F-кривая, характеризующая
структуру потока рассматриваемого объекта,— это функция с
запаздыванием со временем запаздывания т2.
Графическая интерпретация такой кривой в точности
соответствует F-кривой инерционного звена первого порядка, но со сдвигом
135
Рис. 48. F — кривая комбинированной
модели — последовательное сочетание
участков идеального перемешивания
и вытеснения.
Рис. 49. Схема объекта, сочетающего
участки идеального перемешивания и
застойной зоны.
на т2 (рис. 48). Следует, однако, иметь в виду, что хотя кривая,
изображенная на рис. 48, справедлива для обоих вариантов
последовательного сочетания зон идеального перемешивания и
идеального вытеснения, структура потоков будет зависеть от
расположения зон. Поэтому в данном случае реакция объекта на входное
ступенчатое возмущение не может служить однозначной
характеристикой реального потока и содержащаяся в ней информация
недостаточна (ее надо дополнить физическими представлениями о
реальном потоке).
Объект, сочетающий участки идеального перемешивания и
застойной зоны. Аппараты с застойной зоной довольно часто
встречаются на практике, так как участки относительно медленного обмена
веществом возникают во многих случаях. Застойная зона не всегда
очевидна, но влияние ее на структуру потока сказывается, и в
расчетах его нужно учитывать. Это, например, можно сделать, если
имеется возможность составить структурную схему сложного
объекта и найти его передаточную функцию. Однако в случае сочетания
участков идеального перемешивания и застойной зоны характер
соединения звеньев объекта неочевиден. Поэтому для анализа
комбинированной модели с застойной зоной применяется методика
составления материальных балансов всего аппарата и отдельно
застойной зоны.
Схема объекта, в котором поток включает участок идеального
перемешивания и застойной зоны и может быть описан
соответствующей комбинированной моделью, показана на рис. 49. При этом
приняты следующие обозначения:
V — объем всего аппарата; Vn — объем участка перемешивания;
V3 — объем застойной зоны; v — объемная скорость (расход) потока
на входе и выходе из аппарата; и0бм = Р^ — объемная скорость
части потока, устремленного в застойную зону или уходящего из
нее, где Р — доля единицы; Свх, Свых (С = Свых) — концентрация
136
вещества в потоке на входе и на выходе; С3 — концентрация
вещества в застойной зоне;
тп = —*Ц т3 = -3-, Т =а / (тп, т3, ...) — соответственно время
пребывания на участке идеального перемешивания, застойной зоны
и во всем объекте;
/вх, /вых. /вх, /вых — потоки (количества вещества)
соответственно на входе и на выходе из аппарата либо то же по застойной зоне.
В застойной зоне концентрация вещества может быть меньше
концентрации в аппарате (С3 < С) или больше (С3> С), вследствие
этого направление потока в застойной зоне инвертируется. В общем
случае между участком идеального перемешивания и застойной
зоной создается градиент концентрации grad Сф О и, следовательно,
происходит обмен веществом, т. е. /£х Ф /вь!х« Направление потока
зависит от знака grad С (всегда обратно знаку градиента).
Рассмотрим баланс потоков вещества, входящего и выходящего
из аппарата:
/BX = t;CBX; (V.158)
/вых = сСвых + Ообм (Свых — С3). (V. 159)
В общем случае /вх (О Ф /вых (0> в результате чего происходит
аккумулирование некоторого количества вещества AM в аппарате:
t
Ш = J [/вх (0 - /вых (01 dt. (V. 160)
о
Если обе части равенства поделить на Vn, подставить значения
/вх (V.158), /Вых (V.159), уобм = Р^ и произвести простые
преобразования, то получим:
t
-ТГ- = т- J [С« (0 - (1 + Р) Свых {t) + рСз (01 Ш; <У-161)
v п п о
при этом
-^- = АС = С (/) — С (0), (V. 162)
* п
где АС — изменение концентрации в аппарате в результате
нанесения возмущения на входе; С (0) — значение концентрации в
аппарате до начала возмущения; С (0 — концентрация в любой
момент времени (переменная величина).
При замене левой части уравнения (V.161) величиной
С (0 — С (0) и дифференцировании его по t, имеем:
-Ж-^-ЪГ [Свх (/) ~(1 + Р) Свых (/) + РСз ЮЬ (V. 163)
Равенство (V.163) запишем в виде операторного уравнения,
учитывая, ЧТО С = Свых^
рСвых(р) = ^-[Свх(р)-(1 + Р)Свых(/>) + рС3(/>)] (V.164)
137
или
Свых(р) = Свх(Р) [ТпР+'(1 + р)] +С3(Р) 1%аР+\1 + т • (V.165)
Следовательно, чтобы найти Свых (р), надо определить второе
слагаемое правой части равенства (V.165). Предварительно можно
предположить, что концентрация в застойной зоне является
некоторой функцией концентрации на выходе СВЫх, так как характер
изменения С3 не произвольный, а зависит от концентрации в
аппарате С (в данном случае С = Свых).
Для установления зависимости С3 (р) = Ф [Свых (р) ] составим
баланс потоков в застойной зоне:
/й = WW, (V.166)
/^х = ^обмС3. (V.167)
При нарушении динамического равновесия в застойной зоне
?/S (О Ф /»и (0) в ней аккумулируется некоторое количество
вещества:
t
ДМ3 = J [/2 (0 - /B3Jx (/)] Л. (V. 168)
Поскольку
ДСз _ АМз_ в Сз (/) _ Сз (0)> (у> 169)
то
*
С3 (0 - С3 (0) = -^ J [Свых (/) _ С3 (01 dU (V. 170)
3 о
где ДС3 — изменение концентрации в застойной зоне; С3 (0) —
значение концентрации в застойной зоне до начала возмущения;
С3 (0 — концентрация в застойной зоне в любой момент времени;
°бм = т3 — время пребывания в застойной зоне.
В результате дифференцирования уравнения (V.170) по /получим:
dC3 =4-[Свых(0-С3(0] (УЛ7Г)
dt т3
или в операторном виде
откуда
рС3 (р) = JL [Свых (р) - С3 (р)]9 (V. 172)
С3(р) = Свых(р)1^гту. (V.173)
Подставим значение С3 (р) из уравнения (V.173) в равенство
(V.165)
1 1В
Свых (Р) = Свх (/>) [ТпР + (1+р)] + Свых (Р) 1Тпр + (1+р)] • (Тз/>+1) •
(V.174)
1S8
Из уравнения (V.174) следует,
что выходная концентрация
зависит как от входной
концентрации (первое слагаемое), так и от
некоторой величины (второе
слагаемое), которая выражает
воздействие выходной
концентрации самой на себя. Этот вывод
дает основание полагать, что
рассматриваемый объект, в
котором имеются участок идеального
перемешивания и застойная зона,
можно представить как
соединение элементарных звеньев по структурной схеме с обратной связью.
Действительно, если обозначим:
Рис. 50. Структурная схема объекта,
сочетающего участки идеального
перемешивания и застойной зоны.
Wlip)~lw+W+W
W,(P) =
Р
ДтзР+1)
то уравнение (V.174) примет вид:
*->вых (р)^свх(р)-^Лр) +
(V .175)
(V.176)
или
[1-иМ/>Ы*Мр)]Св
(Р) • W,(P) ■ W2(P), (V.177)
(p) = W1(p)-CBX{p).
Из последнего равенства получаем выражение передаточной
функции рассматриваемого объекта:
W(p) = .
»
Wi(p)
СВХ(Р) 1-W1(P)-W2(P)
(V.178)
На рис. 50 приведена структурная схема с положительной
обратной связью, соответствующая объекту, который характеризуется
передаточной функцией W (р) — уравнение (V.178).
Если подставить в уравнение (V.178) значения Wx (p) — формула
(V.175), и W2 (p) — формула (V.176), то получим
»
(ТэР+1)
<?вх (Р) {ТпТзР2 + [Тп + Т3 (1 + Р)] р + 1} ' (V. 179)
Выражение [тп + т3 (1 + (5)1 имеет смысл среднего времени
пребывания частиц вещества в аппарате, структура потока в котором
включает участки перемешивания и застойной зоны. Поэтому
целесообразно обозначить:
7, = тп + т3(1+р). (V-180)
С учетом введенного обозначения передаточная функция объекта,
сочетающего участки перемешивания и застойной зоны, оконча-
139
тельно принимает вид:
W(p)
Свых(Р)
Свх(Р)
ГзР+ 1
ТпТзР2 + Тр + 1
(V.181)
При отсутствии застойной зоны (т3 = 0) уравнение (V.181)
превращается в формулу передаточной функции ячейки идеального
перемешивания:
Из уравнения (V.181) следует, что рассматриваемая
комбинированная модель характеризуется тремя параметрами Т, тп, т3 (или
соответствующими объемами зон) и может быть отнесена к числу
многопараметрических моделей.
Чтобы найти искомое решение математического описания этой
комбинированной модели при Свх (р) = — или Свх (р) = 1
(ступенчатое или импульсное возмущение на входе), необходимо совершить
обратное преобразование по Лапласу
FKV{t) = L
CKp(t) = L
— i
Т3Р+ 1
-И'
1
(V.182)
(V.183)
ТпТзР2+7>-Ы
Однако получить конкретные уравнения Лкривой либо С-кривой
в данном случае несколько затруднительно, так как в таблице
преобразований по Лапласу нет нужных соответствий и требуется
вычислить интеграл (11.10).
Информацию о реальном потоке, как и в предыдущих случаях,
можно получить из анализа F-кривой или С-кривой, найденных
экспериментально на реальном объекте. Графическое изображение
опытных ^-кривой и С-кривой
для аппарата перемешивания с
застойной зоной в сравнении с
аналогичными кривыми при
условии, что застойная зона
отсутствует, приводится на рис. 51.
При наличии застойной зоны
происходит аккумуляция некоторого
количества вещества в ее
объеме, которое пропорционально
площади между кривыми / и 2.
Отклонение опытной ^-кривой
2 от идеальной кривой 1
указывает на существование
в аппарате застойной зоны
(рис. 51, а).
Рис. 61. F-кривая (а) и С-кривая
(б) комбинированной модели —
сочетание участков идеального
перемешивания и застойной зоны.
140
Для оценки параметров рассматриваемой комбинированной
модели (время пребывания: тп, т3 и Т) можно использовать
экспериментальную импульсную кривую (С-кривую). При этом
исходят из того, что абсциссы центра тяжести площади под
импульсными кривыми 3 или 4 (рис. 51, б) соответственно равны времени
пребывания тп на участке перемешивания или времени пребывания Т
во всем аппарате с застойной зоной (Т> тп). Для установления
значений тп и Т разработана специальная методика. Качественным
показателем застойной зоны в аппарате и ее влияния на структуру
потока в нем является вытянутый «хвост» в левой части импульсной
кривой и смещение центра тяжести площади под кривой.
"' Итак, нами рассмотрены лишь простые комбинированные
модели. При этом получаемые передаточные функции (например,
случай с застойной зоной) имеют достаточно сложный вид. Очевидно,
что при описании структуры потока комбинированной моделью
важно определить не только количество зон, время пребывания в них
(или их объем), но и взаимосвязь между зонами, направленность
отдельных потоков, наличие байпасирования, проскальзывания
и т. п. Следовательно, в каждом конкретном случае при
использовании комбинированной модели для описания структуры потока
в аппарате требуется индивидуальный подход и тщательная оценка
физической картины протекающего процесса.
Глава VI, МАТЕ- Химическими реакторами при-
МАТИЧЕСКИЕ нято считать аппараты, в которых
МОДЕЛИ осуществляется химическое пре-
ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ SSSLS.SSS-'^SS
одного технологического
процесса. В соответствии с этим
определением к химическим
реакторам нельзя относить горелки
различных видов, двигатели
внутреннего сгорания, реактивные
двигатели, электрические бата-
§ 1. характеристика реи, аккумуляторы, поскольку
химических реакторов в таких и подобных устройствах
главным является не продукт,
получаемый в результате химической реакции, а тепловой или
электрический эффект, либо механическая работа.
В химической и смежных областях промышленности применяют
всевозможные типы реакторов, имеющие существенные различия.
Тем не менее установлены признаки, по которым все множество
реакторов можно классифицировать. В качестве таких признаков
(критериев) наиболее часто принимаются: фазовое состояние
реагентов, характер операций питания реагентами и удаления
продуктов реакции, режим движения реакционной среды, тепловой режим,
конструктивные особенности.
1. В зависимости от фазового состояния
реагирующих веществ реакторы могут быть гомогенными или гетерогенными.
Гомогенные реакторы заполняются реагентами, находящимися либо
только в газообразном, либо только в жидком состоянии. Если
вещества в реакторе находятся в различных агрегатных состояниях,
то такой реактор называют гетерогенным.
Этот критерий классификации не достаточно точный, так как
не учитывает фазового состояния продукта реакции.
2. По характеру операций питания (загрузки)
реагентами иудаления (выгрузки) продуктов реакции различают
реакторы периодического, непрерывного и полупериодического действия.
В реакторы периодического действия реагенты загружаются
одновременно перед началом процесса, а через определенное время,
необходимое для достижения заданной степени превращения,
выгружается продукт реакции. Основные параметры химического
процесса (состав, температура, давление) в них изменяются во времени.
Продолжительность реакции может быть измерена непосредственно.
Такие реакторы просты по конструкции и оснащаются небольшим
вспомогательным оборудованием. Они используются главным
образом для проведения опытных работ по изучению химической
кинетики, в малотоннажных производствах или для переработки
относительно дорогостоящих веществ.
142
Реакторы непрерывного действия (или с установившимся
потоком) имеют непрерывное питание реагентами и непрерывное
удаление продуктов реакции. Такие реакторы, как правило, работают в
установившихся режимах, за исключением периодов пуска и
остановки. В этом случае вместо продолжительности реакции, которая
не может быть непосредственно замерена, пользуются величиной
времени пребывания (контакта). Время пребывания определяется
как отношение объема реакционной смеси в реакторе к объемному
расходу (питание) реагентов: т =—.
Реакторы с установившимся потоком являются наиболее
экономичными для переработки больших количеств продуктов или при
реакциях, протекающих с высокими скоростями. Они требуют
специального вспомогательного оборудования (мешалки, барботеры,
инжекторы, теплообменники и т. п.), но зато позволяют надежно
управлять качеством целевых продуктов.
Реакторы полупериодического действия (или с
неустановившимися потоками) характеризуются различными вариантами питания
и удаления продуктов реакции (например, реагенты подаются
периодически при непрерывном удалении продуктов реакции, или
один реагент поступает периодически, а другой непрерывно). Такие
реакторы работают в переходном режиме и основные параметры
процесса в них изменяются во времени. Реакциями, протекающими в
этих аппаратах, легко управлять за счет подачи реагирующих
веществ, поэтому они широко используются в лабораторных условиях.
3. По режиму движения реакционной среды, или по
структуре потоков вещества, реакторы
подразделяют на аппараты идеального перемешивания, идеального
вытеснения, вытеснения с продольным перемешиванием, вытеснения с
продольным и радиальным перемешиванием, с комбинированной
структурой потока (модели структуры таких потоков рассматривались
в гл. V).
4. По тепловому режиму реакторы разделяют на
изотермические, адиабатические, политропические.
Изотермические реакторы имеют одну постоянную температуру
во всех точках реакционного пространства; скорость реакции в них
зависит только от состава реакционной среды. Изотермический
режим редко достигается без вспомогательных устройств для отвода
(подвода) тепла. Обычно для соблюдения изотермических условий
нужны теплоноситель, способный передать (отобрать) необходимое
количество тепла, и соответствующая поверхность теплообмена.
Адиабатические реакторы характеризуются тем, что они не
должны иметь обмена с внешней средой. Это практически достигается
хорошей тепловой изоляцией.
В реальных реакционных аппаратах не всегда удается
обеспечить изотермический или адиабатический режимы, и процесс
протекает политропически.
143
5. По конструктивным признакам реакторы
можно отнести к таким типам аппаратов: трубчатые, емкостные,
полочные, комбинированные.
Описанная классификация свидетельствует о том, что реальные
химические реакторы существенно отличаются друг от друга и,
следовательно, задача построения математических моделей таких
аппаратов должна решаться в каждом конкретном случае с учетом
особенностей процесса и конструктивного оформления. При этом
необходимо использовать модели определяющих «элементарных»
процессов (например, для реакторов непрерывного действия —
модели движения потоков веществ и химического превращения) и
присоединить к ним уравнения, описывающие тепловой режим, изменение
фазового состояния реагентов, конструктивные и другие
особенности.
Ниже приводятся в качестве иллюстрации примеры построения
математических моделей для наиболее простых химических
реакторов идеального перемешивания и идеального вытеснения, в которых
химические реакции протекают в изотермических установившихся
потоках газа или жидкости.
§ 2. математические модели Математическая модель химиче-
химических реакторов ского реактора идеального пере-
идеального перемешивания мешивания может с достаточным
приближением описывать
процессы в реальных проточных реакторах с устройствами,
осуществляющими интенсивное перемешивание, при небольших расходах и
малых отношениях длины реактора к его диаметру.
Уравнение такой модели имеет смысл записать в виде
математического выражения, характеризующего изменение концентрации
в реакционной среде во времени, которое обусловливается,
во-первых, движением потока (гидродинамический фактор) и, во-вторых,
химическим превращением (кинетический фактор). Поэтому
указанную модель следует строить на основе типовой модели
идеального перемешивания (V.5) с учетом скорости химической реакции,
т. е. записать изменение концентрации как алгебраическую сумму:
^ = ^(Свх-Свых) + а,г, (VI.1)
где w, — скорость химической реакции.
Аналогичных уравнений можно записать столько, сколько
веществ участвует в реакции. Тогда переменная С будет концентрацией
соответствующего 1-го вещества (Сa, Cs, ...,С$9 ...) и wr—скоростью
реакции по тому же i-му веществу. Система указанных уравнений
будет математической моделью рассматриваемого реактора
идеального перемешивания с учетом изменения Ct во времени
(динамическая модель).
144
Если принять, что исходным является вещество Л, и заменить
величины Свх = Са0у Свых = Са, wr = —wrA (вещество Л убывает),
а также представить время пребывания как отношение реакционного
объема к объемной скорости т =—• то уравнение (VIЛ) примет
вид:
-^=-t(Ca.-Ca)-w,a. (VI.2)
При установившемся режиме работы реактора, который харак-
АС
теризуется соблюдением условия —тт- = 0,уравнение (VI.2) можно
записать так:
±-(CAo-CA) = wrA, (VI.3)
откуда
Сл°~Сл (VI.4)
"га
Уравнение (VI.4) является статической моделью химического
реактора идеального перемешивания в общем виде.
Если скорость реакции выразить по образующемуся продукту
S, т. е. принять, что wr = wrs, CBX= CSo, С = С5, и подставить
соответствующие величины в уравнение (VI. 1), то в результате
преобразований получим аналогичную модель (в статике):
= cs-cSo (VI.5)
Mrs У '
Значения скоростей реакции по исходному веществу wfA или по
продукту реакции wts зависят от механизма и порядка реакции.
Следовательно, модели реактора идеального перемешивания —
уравнения (VI.4) или (VI.5), определяются кинетическим
выражением для скорости реакции.
Формулы (VI.4) и (VI.5) позволяют найти основные параметры,
характеризующие работу и экономичность химических реакторов
данного типа, т. е. дают возможность установить:
время пребывания исходного вещества в реакторе т, от величины
которого зависит объем аппарата (чем меньше т, тем меньше V);
изменение концентрации исходного вещества во времени СА =
= / (т); концентрации целевых и побочных продуктов Cs, Cr,...
Для этого достаточно промоделировать уравнение
математического описания химического реактора на АВМ или записать его
решение для конкретных типов реакций.
В качестве примеров найдем расчетные зависимости в
аналитической форме для вычисления времени пребывания веществ в
145
аппарате, концентраций исходного вещества и образующихся
продуктов для нескольких типов изотермических реакций,
протекающих при постоянном объеме в реакторе идеального перемешивания.
k
Пример 5. Простая элементарная реакция типа А -> S
Для решения задачи в формулу (VI.4) — модель реактора
идеального перемешивания в статике, подставляем значение скорости
реакции, которая, согласно закону действующих масс, в данном
случае выразится так: wrA = IiCa- Тогда
сЛ -с,
"л
*-:*ВГГ-- (у16)
Если воспользуемся известной зависимостью С а = Са0 (1 — Ха),
где Ха — степень превращения вещества Л, то получим уравнение
для определения т в зависимости от ХА:
Выражение для определения концентрации исходного вещества Л
легко находится из уравнения (VI.6)
c-w (VL8)
Пример 6. Параллельная реакция типа Л '
Скорость параллельной реакции данного типа по компоненту Л:
WrA = (&i + k2) Сд. Следовательно, время пребывания т, согласно
модели (VI.4), будет
или в зависимости от степени превращения
т= он-Jil-хл • (VL10)
Формулу для вычисления концентрации исходного вещества Са
получим из уравнения (VI.9)
с-жк' <VU1>
Чтобы найти расчетную зависимость для вычисления
концентрации Cs продукта S, используем модель (VI.5), в которой скорость
146
реакции выражается по получаемому продукту: wrs = АхСл.
Поскольку обычно CSo = 0, то
kl 1 + (й, + й2)т
откуда
«—mt&s;- <*■*>
Аналогично находим:
ki kt
Пример 7. Последовательная реакция типа А ->■ S -> /?
Очевидно, значения величин тиСл можно рассчитывать по
формулам (VI.6) — (VI.8), только в этом случае k =* kl9 то есть
или
*=мг^г <vu5>
с*—npfe- (VU6)
Расчетная зависимость для вычисления концентрации продукта
Cs получается в результате совместного решения уравнений:
Q Q
т = —~-—^- (модель реактора идеального перемешивания)
rs
и
Wrs = кгСл — kxCs (скорость реакции по продукту S).
При условии, что Cs0 = 0, имеем
Ъ= o + muVm ■ <™17>
Совместное решение аналогичных уравнений, составленных по
продукту R:
Т= С*~г**° И »*"*■&
с использованием выражения (VI. 17) для С5 при условии, что Cr0 =
= 0, дает расчетную зависимость
147
Пример 8. Обратимая реакция типа А ~~* S
Скорость реакции по компоненту А в данном случае тГА =
= ktCA — k2Cs- Чтобы избавиться в последнем выражении от Cs,
используем уравнение материального баланса:
САй + Cs0 = С а + Cs.
Обычно CSo = 0, поэтому Cs = САо — СА и
ЩА = (*i + k*) са- k2CAo. (VI. 19)
Тогда
_ сл0-сл С^о""с^ /VI«m
В результате преобразования уравнения (VI.20) в явной форме
относительно СА имеем:
Сл-Сл.^1**^. (VI.21)
Если подставим значение СА из уравнения (VI.21) в равенство
Cs = САо — СА, то получим расчетную зависимость для
вычисления Cs в таком виде:
с^1Ш»л- (VL22)
В ы в о д. В рассматриваемых частных случаях протекания
процесса в реакторе идеального перемешивания (см. примеры 5—8)
реакции описывались наиболее простыми стехиометрическими и
кинетическими уравнениями. Поэтому сравнительно просто были
найдены решения моделей в виде расчетных формул с учетом конкретных
типов реакций. Если же реальный химический процесс
характеризуется более сложной кинетикой, то для решения его
математического описания следует использовать ЭВМ.
§ з. математические модели С достаточным приближением мо-
химических реакторов дель идеального вытеснения со-
идеального вытеснения ответствует процессам в
трубчатых проточных аппаратах при
турбулентном движении потоков и больших отношениях длин труб
к их диаметрам l-j- > 20).
Построение математической модели реактора идеального
вытеснения проведем для реального трубчатого реактора,
удовлетворяющего указанным требованиям. При этом целесообразно записать
искомую модель в виде дифференциального уравнения, которое
описывает распределение вещества в реакционной среде как за счет
гидродинамических факторов, так и за счет химического
превращения.
Следовательно, в общем виде такое математическое описание,
построенное на основе типовой модели идеального вытеснения (V.26)
148
с~учетом влияния скорости химической реакции, должно быть
представлено алгебраической суммой:
-£-=-«-£-+«''■ (VL23)
Аналогичные уравнения можно записать для всех участвующих
в реакции веществ. В результате получим математическое описание
процесса в реакторе вытеснения с учетом изменения переменной С
(концентрация 1-го вещества) во времени, т. е. динамическую модель.
яг*
Для установившегося режима работы реактора, когда -^т- = О,
уравнение (VI.23) описывает статику процесса химического
превращения и после замены w, = —wrA (исходное вещество А убывает)
принимает такой вид:
«Тя"юм- (VI.24)
Дальнейшее преобразование уравнения (VI.24) проводим,
пользуясь следующими очевидными выражениями: линейная скорость
v , dV
и = — и элемент длины аг = .
sB sB
Тогда
wrA v v 7
В результате интегрирования уравнения (VI.25) и замены — =
= т получаем
--!-£-• (VL26)
ъ ГА
Уравнение (VI.26) является математической моделью
химического реактора идеального вытеснения в общем виде, которая
описывает статику процесса.
Выражение скорости реакции wfA по исходному веществу А
устанавливается в каждом конкретном случае в зависимости от
механизма и порядка реакции. Решение интеграла (VI.26) дает
возможность найти основную характеристику химического реактора —
время пребывания т, а также Сл = f (т) и концентрации продуктов
реакции. Если аналитическое решение интеграла (VI.26) затруднено
или невозможно, то следует использовать ЭВМ.
Приведем примеры аналитического решения математической
модели (VI.26) для некоторых частных случаев.
С этой целью рассмотрим изотермический реактор идеального
вытеснения, в котором химическая реакция в движущемся потоке
газа или жидкости протекает при постоянном объеме (реактор
непрерывного действия).
149
Задача состоит в том, чтобы найти расчетные зависимости в
аналитической форме для вычисления времени пребывания т,
концентрации исходного вещества С а и получаемых продуктов для
нескольких реакций, которые отличаются механизмом и порядком.
k
Пример 9. Простая элементарная реакция типа A ->- S
Скорость такой реакции wtA = UCa- Подставляем это значение
тГА в уравнение статической модели реактора идеального
вытеснения в общем виде (VI.26) и интегрируем:
СА
т==- J-ETe—^0пСл-1пСло)
СЛ0
или
* = -1Г1п-?7" <VI-27>
Известно, что Са — Сл0 (1 — Ха)- Тогда
т=-^-1п(1-Хл). (VI.28)
В результате преобразования уравнения (VI.27) получаем:
СА = СЛое-*т. (VI.29)
Пример 10. Параллельная реакция типа А ?
Поскольку для этой реакции скорость по компоненту A\wfA —
— (^i + ^2) С а, то выражения для % и Са будут аналогичны
формулам (VI.27) — (VI.29), только k следует заменить суммой (kx +
+ k2), то есть
*—ЙТО"-^ (VI.30)
.-^ир-*) (V.3.)
и Сл = СЛое-(*1+**)т. (VI.32)
Чтобы найти расчетную зависимость для определения Cs,
используем выражение для скорости реакции по продукту S
dCc
wro =
"S
= kxCA = k^Afi-^^.
rs dx
Из последнего равенства получаем
dCs = *1C^ie-(*1+*')tdT. (VI.33)
150
Интегрируем левую часть равенства (VI.33) в пределах от CSo
до Cs и правую — от нуля до т (при этом принимаем Cs0 = 0):
cs = т^ШГ САо 11 - e-(kM). (VI.34)
Аналогично находим формулу для расчета С#:
с* = -щть СаЛ1~ e_(ft,+ft,,x]- (vi.35)
Пример И. Последовательная реакция типа А -> S -* R
В данном случае скорость реакции по компоненту А: тГА = ^Сл;
следовательно, расчетные зависимости для вычисления т и С а будут:
т = --^1п-^ (VI.36)
либо 1
т = ±-1п(1-Хл) (VI.37)
и СА = CAfi-k>\ (VI.38)
Подставив в кинетическое уравнение
™rs=^- = hCA-hCs (VI.39)
значение Са по формуле (VI.38), получаем дифференциальное
уравнение:
^+k2Cs = k1CAoe-^\ (VI.40)
Если произвести замену переменных Cs = #, т = х и
обозначить &2 = Р> kiCA0e~klX = Q»to уравнение (VI.40) можно записать
так: du
-^ + ^ = Q. (VI.41)
Решение такого типа дифференциального уравнения имеет
следующий вид:
у = e~~$Pdx (J QjPdX + const). (VI.42)
Пользуясь формулой (VI.42), решение уравнения (VI.40) может
быть сразу записано в старых переменных:
х х
— § ktd% / х ^ktdx \ х
Cs = e ° I^A.e-*,Te° dxj = e~k'T j k.C^-^dx.
(VI.43)
После преобразования уравнения (VI.43) окончательно находим:
с* = -j^tkT Са. (е~м - е~м). (VI.44)
151
Формула (VI.44) пригодна для расчета при k2 ф kx. Если k2 = ku
то в правой части уравнения (VI.44) будет неопределенность типа
-Q-, которую следует раскрыть по правилу Лопиталя. В результате
получаем, что при kt = k2 концентрацию Cs нужно вычислять по
такой формуле:
Cs = kxCAoT<rk*\ (VI.45)
Чтобы найти расчетную зависимость для вычисления
концентрации С#, можно воспользоваться уравнением материального баланса
(при V = const и CSo = CRo = 0):
САо = CA+CS + CR. (VI. 46)
После подстановки значений С а и Cs в уравнение (VI.46) и
соответствующих преобразований имеем:
cR = сЛо (i +-^hr e~*lT + 17^ге^,т) • (VI-47)
Пример 12. Обратимая реакция типа A ^S .
При условии, что Cs0 = 0, скорость такой реакции в соответствии
с уравнением (VI. 19) будет:
WrA = (kl + *а) ^ — К^А^
Если это значение ауГл подставим в модель реактора вытеснения
(VI.26), то получим:
С dC
Интеграл (VI.48) может быть записан в таком виде:
сА
т_ 1 Г ^Р1 + ^)Сл~/г2СЛо] _
"" kt + k2 J (£г + £2) Сл — £2СЛо
или
т = - ' In f b + *c*-W*. }. (vi.49)
Если использовать равенство Сл= Сл0 (1 — Хл),то выражение
(VI.49) преобразуется так:
152
JAU
Формулу (VI.50) можно упростить, приняв обозначение
M = w <VI-5I>
Тогда 1 1 М — ХА
т°—VHg-1" м ' <VU52>
откуда хА = М11 — е-(*1+**)х]. (VI.53)
Если Хл найдено (или задано), то конечную концентрацию
исходного вещества С а легко определить по известному выражению
Са = Сл0(1 — Хл).
Расчетную зависимость для СА = / (т) можно получить из
формулы (VI.49). Для этого перепишем ее в таком виде:
-fe + *jT-ln[fe + ^-*^ *
ИЛИ e-<ft.4*jx = (^1 + ^)Сл-^Сл<|
Следовательно,
Сл = "*TfV ^ie_(*,+*',T + *•!• (VL54>
При условии Cs0 = 0 концентрация продукта 5 из уравнения
материального баланса выразится так: Cs = Сл0 — С а- Тогда
степень превращения вещества А
ХА = Са^°а = -^-. (VI.55)
Отсюда
С5 = САоХА. (VI.56)
Полученные расчетные формулы позволяют:
определить т и Cs, если известна степень превращения исходного
вещества Ха (или С а);
найти значение Ха и, следовательно, конечную концентрацию СА
при заданном времени пребывания т.
Вывод. Математические модели химических реакторов
идеального вытеснения в виде формул (VI.27), (VI.30), (VI.36), (VI.49)
получены для частных случаев (см. примеры 9—12), когда
протекающие в них реакции характеризуются наиболее простыми стехио-
метрическими и кинетическими уравнениями; при более сложных
механизмах реакций используются ЭВМ.
Следует отметить, что математическая модель, аналогичная
уравнению (VI.26), может быть использована также для описания
процесса в реакторе периодического действия, снабженном
интенсивным перемешивающим устройством.
Как известно, в реактор периодического действия реагенты
загружаются одновременно в начале операции и находятся в нем до
достижения требуемой степени превращения, а затем выгружаются
153
продукты реакции. Благодаря интенсивному перемешиванию в
таком реакторе в каждый момент времени состав реакционной среды
одинаков во всех точках реакционного пространства и изменяется
во времени с развитием реакции.
Следовательно, в периодическом реакторе полного
перемешивания в каждый определенный момент времени концентрация
исходного вещества А отличается от его концентрации в предшествующий
и последующий моменты времени, и в этом смысле модель такого
реактора является моделью полного вытеснения вещества по времени.
Идеализация этой модели заключается в принятом допущении о
полной однородности реакционной смеси во всех точках объема
реактора в определенный момент времени, т. е. считают, что градиент
концентрации в любом сечении в определенный момент времени
равен нулю, и концентрация изменяется лишь во времени.
Найдем математическое выражение для времени пребывания т
в рассматриваемом случае, используя математическую запись
скорости превращения реагента А:
wr
dNA
-J
"'A Vdx '
из которой получаем уравнение материального баланса в
дифференциальном видег
dNA = — wr AVdx. (VI.57)
Поскольку концентрация определяется числом молей компонента
NA
в единице объема, то Са = —п-. При постоянном объеме во время
реакции, что вполне допустимо в реакторе периодического действия,
*b-4^)_Ji£L. (VI.58)
В результате совместного решения уравнений (VI.57) и (VI.58)
имеем: с А
-^-. (VI.59)
СЛ0
Уравнение (VI.59) идентично уравнению (VI.26) для трубчатого
проточного реактора непрерывного действия (реактор вытеснения).
Отличие состоит лишь в том, что в периодическом реакторе
концентрация изменяется по координате времени, а в непрерывном
реакторе — по координате длины.
§ 4. сравнение Сравнение химических реакторов
химических реакторов можно проводить различными ме-
идеального перемешивания тодами. В частности, с этой це-
и идеального вытеснения лью удобно выбрать какой-либо
параметр, который определяет
работу и экономичность реактора, и оценить значение этого
параметра для рассматриваемых типов реакторов. В качестве такого
154
Рис. 52. Графическое сравнение
времени пребывания в реакторах идеального
перемешивания и идеального вытеснения
в зависимости от степени превращения.
параметра чаще всего используют
время пребывания т или другую
подобную характеристику.
При сравнении непрерывно
действующих реакторов
идеального перемешивания и
идеального вытеснения можно
воспользоваться аналитическими
расчетными зависимостями для
определения т, ранее выведенными
нами с учетом конкретных типов
реакций, механизмы протекания
которых являются наиболее
простыми. Для сложных, а также для
простых неэлементарных
реакций, когда прямая связь между
стехиометрическими уравнениями и выражениями скорости
отсутствует, составить такие удобные расчетные зависимости на основе
моделей реакторов идеального перемешивания и идеального
вытеснения не удается и приходится применять приближенные численные
методы или получать решения с помощью вычислительных машин.
Из анализа расчетных формул для вычисления т, Сл, С5, CR (см.
примеры 5—12) следует, что для одних и тех же реакций,
протекающих в одинаковых условиях, время пребывания реагентов в химичег
ском реакторе идеального перемешивания (тп) и в химическом
реакторе идеального вытеснения (тв) неодинаково.
Характер зависимости между тп и тв проиллюстрируем на
примере химических реакторов идеального перемешивания и идеального
вытеснения, в которых при одинаковых изотермических условиях
и постоянном объеме протекает простая элементарная реакция
первого порядка типа A -+S. С этой целью установим зависимость
величины — от степени превращения ХА и проанализируем ее.
Для простой элементарной реакции типа А Х- S время
пребывания реагентов в реакторах идеального перемешивания и
идеального вытеснения выражается соответственно формулами (VI.7) и
(VI.28).
Тогда отношение ^-, очевидно, будет функцией только степени
Тв
превращения Ха-
Тв
(1-ХА)Щ1-ХА)
(VI.60)
Полученную зависимость у = ^- = f (XA) удобно построить
Тв
графически (рис. 52) по нескольким точкам (табл. 5).
155
Таблица 5
Ха
Тп
Тв
0
1
0,5
1,5
0,7
2
0,8
2,5
0,9
4
Для вычисления значения
= — при ХА = 0 следует
неопределенность
У т.
раскрыть
типа -гг- по правилу Лопиталя.
Функция у (Ха) — непрерывна
и ограничена (ХА изменяется от 0 до 1). Такая функция имеет предел:
V(XA)
у(0) = lim ,
хА->о Ф \АА)
(VI.61)
где i|? (ХА) = ХА — числитель и ф (ХА) = (1 — ХА) In (1 — ХА) —
знаменатель формулы (VI.60).
Тогда
*/(0) = — lim —
хА->о __1п(1_Хл)_(1_Хл).
1
(1-Хд)
1
lim [ln(l—Хл) + 1]
хл-*о
= 1.
Вычисления у при других значениях Ха пояснений не требуют.
Из графика (рис. 52) видно, что время пребывания в реакторе
идеального перемешивания (тп) всегда больше, чем в реакторе
идеального вытеснения (тв). При этом, чем выше степень превращения
ХАу тем тп больше отличается от тв.
Поскольку время пребывания прямо пропорционально объему
аппарата, то необходимый объем реактора идеального
перемешивания всегда больше объема реактора идеального вытеснения. При
равных объемах степень превращения ХА в реакторе идеального
вытеснения достигает больших значений, чем в реакторе идеального
перемешивания. Следует отметить, что отношение объемов реакторов
увеличивается с повышением порядка реакции.
Однако некоторые реакторы идеального перемешивания
достаточно широко применяются в химической технологии, особенно в виде
каскадов реакторов. Это объясняется прежде всего простотой их
изготовления, легкостью регулирования температуры,
доступностью узлов аппарата, что облегчает очистку внутренних поверхностей.
Последнее имеет большое значение при проведении реакций,
протекающих с образованием отложений твердого вещества, например
при полимеризации, и при реакциях, сопровождающихся
смолообразованием.
По указанным причинам реакторы перемешивания обычно
используют для непрерывных процессов сульфирования, нитрования,
полимеризации и др. Эти реакторы широко применяют в
промышленности органического синтеза, при производстве пластических масс,
взрывчатых веществ, синтетического каучука и т. п. Реакторы
перемешивания применяют также там, где перемешивание предусматри-
156
вается технологией, например, для обеспечения диспергирования
газовых пузырей или твердых частиц в жидкой фазе или
диспергирования капель одной жидкости в другой (нитрование бензола или
толуола).
Реакторы вытеснения применяют для многих газовых реакций,
а также для некоторых жидкофазных реакций. В реакторах
вытеснения осуществляются процессы окисления окиси азота (стадия
производства азотной кислоты из аммиака), реакции хлорирования
(например, этилена) и сульфирования олефинов. Эти примеры относятся
к гомогенным реакциям, которые протекают в реакторах
вытеснения, представляющих собой трубу, заполненную лишь
реагирующей средой.
Реакторы вытеснения также широко используются для
проведения гетерогенных каталитических реакций (например, синтеза
аммиака, метанола, винилацетата, высших спиртов; окисления
двуокиси серы, этилена, метанола, нафталина; конверсии метана, окиси
углерода). В этом случае их заполняют зернами твердого
катализатора и часто называют реакторами с неподвижным слоем твердых
частиц.
§ 5. математическая модель В промышленной практике по
каскада реакторов технологическим соображениям
идеального перемешивания нередко требуется обеспечить
полное перемешивание и такую
степень завершения процесса, которую в единичном реакторе
достигнуть невозможно. В подобных случаях используют цепочку
последовательно соединенных реакторов идеального перемешивания, или
каскад реакторов.
Каскады реакторов широко применяются в химической
технологии, в частности, для окисления S02 в S03, для хлорирования
бензола и т. п. В промышленном исполнении каскады реакторов могут
быть также в виде секционных аппаратов (например, при конверсии
окиси углерода, окислении S02 в S03, синтезе метанола, синтезе
аммиака).
Изменение концентрации в каскаде реакторов (от начальной CUo
до CaJ удобно интерпретировать графически, как показано на
рис. 53. Каждый реактор каскада представляет собой одну ступень
изменения концентрации, так как концентрация в любом реакторе
последовательной цепочки изменяется скачком (мгновенно
распределяется по всему реакционному объему).
Если соединить вершины ступеней (точки, соответствующие
концентрациям на входе реакторов цепочки), то получим кривую,
которая в пределе стремится к экспоненте, т. е. к кривой,
характеризующей изменение концентрации в реакторе идеального вытеснения.
Чем больше ступеней изменения концентрации (или чем больше
аппаратов в цепочке), тем каскад реакторов ближе к режиму реактора
полного вытеснения. Последнее послужило основанием рассматри-
157
Рис. 53. График изменения
концентрации в каскаде реакторов: п — число
реакторов в каскаде (количество
ступеней изменения концентрации); СА.
С А — соответственно концентрации
на входе и на выходе каждого реактора
каскада (i «=» 1, 2, 3, ..., п).
вать трубчатый реактор
идеального вытеснения как цепочку
большого числа проточных
реакторов полного перемешивания
того же самого суммарного объе-,
ма (конструктивно — это
секционные аппараты).
Известно несколько методов
расчета каскада реакторов:
алгебраический, графические,
итерационный с использованием ЦВМ,
метод моделирования на АВМ.
Алгебраический метод расчета
каскада реакторов дает
возможность определить концентрацию
исходного вещества САп на выходе
последнего реактора или степень
завершенности процесса (степень
превращения Хдп) при выбранном количестве реакторов п, либо
найти число реакторов п, если известна требуемая степень превращения
Хап или конечная концентрация С^л. При этом за основу выбирается
модель идеального перемешивания (VI.4), в которой скорость
химического превращения wrA = / (СА) определяется механизмом и
порядком реакции. Кроме того, принимается, что питание каскада
постоянно и реакционные объемы всех реакторов равны, т. е. время
пребывания в каждом из них одинаково: тх = т2 = xt = — .
Формула (VI.4) справедлива для любого реактора каскада,
поэтому можно записать:
для 1-го реактора
са -са
1 WrAi
для 2-го реактора
са -са
Т2 - *1 Шм> .
для 1-го реактора
Т/ = Tf— ~"~" ' ,
1 * W'At
для /г-го реактора
Чя = ^1 = •
Если механизм и порядок реакции известны и, следовательно,
158
скорость реакции шГл может быть определена (например как
функция С а) у то 1
CAi_x = CAi + xxw;A, (VI.62)
где i= 1, 2, 3, ..., п.
При протекании в изотермических условиях простой реакции
первого порядка, скорость которой в любом реакторе каскада будет
wrA=kCAr уравнение (VI.62) для i-vo реактора примет вид:
с*-хт&' <VL63>
В соответствии с формулой (VI.63) найдем выражения для
концентраций:
в 1-м реакторе
' г — СА) .
во 2-м реакторе
w, — l+ kXi — (1 + kxf '
в я-м реакторе
СА= Са° . (VI.64)
" (i + ^i)"
По формуле (VI.64) можно рассчитать степень завершенности
процесса в каскаде реакторов или конечную концентрацию САп
при заданном числе реакторов п.
Если объемы реакторов разные и, следовательно, время
пребывания xt Ф тх, то в формуле (VI.64) знаменатель нужно заменить
произведением (1 + kxx) (1 + kx2) ... (1 + kxn).
С учетом того, что САп = САо (1 — ХАп), расчетная формула
(VI.64) может быть преобразована к виду:
Хл/г=1~(1 + Ь1Г/г. (VI.65)
Чтобы вычислить требуемое количество реакторов каскада при
заданном значении CAft, следует использовать выражение, которое
получается в результате логарифмирования и преобразования
уравнения (VI.64):
СА
n= Al . (VI.66)
Итак, расчетные формулы (VI.64) — (VI.66) алгебраического
метода для элементарной реакции первого порядка имеют простой вид
и дают достаточно точные результаты.
Применение этого метода для простых реакций более высоких
порядков, а также для большинства сложных реакций приводит к
громоздким расчетным формулам. Однако в настоящее время при
159
наличии вычислительных машин это не является препятствием. Тем
не менее в таких случаях все же удобнее проводить расчет
графическими методами, которые значительно проще и быстрее дают
результаты с достаточным для практики приближением при
непосредственном использовании данных эксперимента о скорости
химического превращения без предварительного определения констант
скорости реакции, знание которых для аналитического решения
обязательно.
Графические методы расчета каскада реакторов применяются с
целью определения необходимого числа реакторов для достижения
требуемой степени завершенности процесса или решения обратной
задачи. При этом исходными предпосылками являются модель
химического реактора идеального перемешивания в общем виде (VI.4)
и эмпирическая зависимость wrA = / (Сл).
Ранее было показано, что для любого *-го реактора каскада
математическая модель имеет вид:
CAi_l-CAi
' wrA{
Если реакционные объемы аппаратов каскада равны, т. е. хь =
= тх , то указанное равенство может быть записано так:
WrA( = f^—J-CAr (VI.67)
При известной входной концентрации Са1_1 уравнение (VI.67)
является линейным относительно концентрации на выходе.
Графическая интерпретация уравнения (VI.67) в координатах wrA, С а —
это семейство прямых линий с углом наклона a (tga = J.
Для первого реактора каскада уравнение (VI.67) принимает вид:
wrAi = -^--±CAi. (VI.68)
Две точки прямой (VI.68) для первого реактора определяются при
wrAi = 0 (CAt = САо) и при САг = О (yvrt = ^-) .
Рассматриваемый графический метод предусматривает
построение кривой wr = / (Са) по опытным данным (так называемая
кривая пути реакции, вычерченная на основе экспериментального
изучения процесса) и нанесение на этот же график прямой (VI.68) по
двум точкам (рис. 54). Абсцисса точки пересечения прямой (VI.68)
и кривой WrA= f (Са) определяет значение концентрации Сах на
выходе из первого реактора каскада и на входе во второй. Расчет
(графическое построение) повторяют для последующих реакторов
каскада до тех пор, пока не будет достигнута требуемая
концентрация на выходе Сап.
160
Рис. 54. Графическое определение Рис. 55. Графический расчет числа
числа реакторов п в каскаде (или СА ). аппаратов в каскаде реакторов иде-
п ального перемешивания.
При одинаковых объемах реакторов — время пребывания в
каждом из них равно тх и, следовательно, прямые будут параллельны.
Число точек пересечения прямых с кривой хюГА =/ (Са) определяет
количество реакторов (на рис. 54, точки /, 2, ...) для достижения
требуемой степени завершенности процесса (САп). Если объемы
реакторов каскада неодинаковы, то порядок графического расчета остается
тот же, только для каждого реактора вычисляется значение tg a(=
= , которое определяет наклон соответствующей прямой.
Другой графический метод основан на использовании уравнения
(VI.62). Так как скорость реакции wrA, является функцией
концентрации САг то и концентрация CAUmi также будет функцией САг
то есть
СА. _х = Cju + xxwrAi = f (CAi). (VI.69)
Значения этой функции графически изображены кривой Са1_1 =
= / (Са) на рис. 55.
Поскольку вытекающий из (i — 1) реактора поток является пи-
танием /-го реактора, то значения входной концентрации Са1_1
графически могут быть найдены как ординаты точек пересечения
биссектрисы угла координат с перпендикулярными линиями к оси
абсцисс, проведенными из соответствующих точек кривой / (С^.).
При этом ступени между кривой / (CAi) и биссектрисой отвечают
последовательно соединенным реакторам каскада. Таким способом
определяют число ступеней (количество реакторов л), необходимое
для получения требуемой конечной концентрации Сдп при i = п
Ал — А
или степени превращения Хап = ^ — .
Аа
6 3-24 161
Моделирование каскада реакторов на АВМ применяется для
исследования протекающего в нем процесса, в частности, для
определения общей степени превращения ХА и степени превращения в
отдельных ступенях Xal (либо конечных концентраций Саь и Слл),
а также времени выхода каждого из реакторов на стационарный
режим при заданном числе реакторов.
С этой целью составляют математическое описание процесса в
виде системы дифференциальных уравнений, которая, например,
при п «= 3 имеет вид:
^- = -±-(CAo-CAl)-wrAi,
■%р—-±-(Слш-СА1-*,Лш, (VI.70)
^---±-(Слй-СА1-и,,Аш.
Если wrAl = kCAp то система приведенных уравнений может быть
записана так:
сах = — CAl — kCAt + -— С А
Слг = ~-±-CA,-kCAi + -^CAl> (VI.71)
cas = — CAz — kCAz + — САг.
ll ll
Блок-схема, составленная в соответствии с уравнениями (VI.71),
изображена на рис. 56. Чтобы ввести задачу в АВМ, необходимо
выбрать масштабы переменных, вычислить коэффициенты — , k,
сА
возмущение—^ и выразить их, используя выбранные масштабы,
162
Рис. 56. Структурная схема
моделирования каскада реакторов на АВМ
1(л=3).
в единицах машинной переменной. Затем систему (VI.71) следует
записать в виде машинных уравнений, оформить структурную схему
набора задачи на коммутационном поле АВМ и произвести
машинное решение.
Расчет каскада реакторов итерационным методом на ЦВМ
требует составления алгоритма решения задачи с применением какого-
либо численного метода. В частности, для реакторов, в которых
скорость реакции является функцией концентрации исходного
вещества, наиболее удобно использовать формулу Ньютона
У^-»»-7Ш'. (VIJ2)
где / (ут) — функция, корни которой определяются; /' (ут) —ее
производная; ут — любое приближение корня функции / (ут) = 0;
ym+i—последующее более точное значение искомого корня; т —
номер итерации.
Если для любого порядка реакции р скорость реакции в t-м
реакторе выражается степенной функцией
«V, = kCpA{, (VI.73)
а время пребывания, согласно модели (VI.4), записывается в виде
формулы:
то в случае каскада реакторов равного объема (т, = тх; i = 1,
2, 3, ..., п — номер реактора) справедливо равенство
Сл^-Сл^кт^ (VI.74)
где Ti — время пребывания в любом реакторе каскада.
Обозначим долю непрореагировавшего вещества в t'-м реакторе
Р<«-^-- (VI.75)
Тогда
XAt = (СА._Х _ СА{)/СА.__Х = 1 — рг
В результате несложных преобразований уравнения (VI.74)
получим:
I-U-AtiC^PF. (VI.76)
Уравнение (VI.76) можно записать в виде некоторой функции
/(Р,) = Я«Р? + Р,-1=0, (VI.77)
если принять, что
Rt = kxfiXl,. (VI.78)
6* 163
Определение степени превращения в реакторах Хаь = 1 — Р,
сводится, таким образом, к нахождению корня Р/ уравнения (VI.77),
который расположен между нулем и единицей. Решение такой
задачи удобно выполнить методом итерации, используя для этого
формулу Ньютона (VI.72). Поскольку производная функции (VI.77)
ПР*) = «ГЧ1, (VI.79)
то формула Ньютона (VI.72), согласно принятым в рассматриваемой
задаче обозначениям, будет иметь вид:
pm+li, = pm, , (VI.80)
где ym+i = pm+i,/; ym = pm./.
Формула (VI.80) позволяет решить уравнение (VI.77) для любого
порядка реакции р. В качестве начального приближения можно
принять Рт>; = 1.
Конечная концентрация реагентов или доля непрореагировав-
шего вещества в выходящем потоке Рк составит:
в == °Ап = °Ax °А* . °А> .. °Ап~1 САп
СА0 СА0 CAt CA% °Ап-2 Сап-\
или, согласно обозначению (VI.75),
РК = РА ... Ьг-А = -тг-- (VL81)
Формулы (VI.75), (VI.78), (VI.80) и (VI.81) являются исходными
при составлении программы, по которой ЦВМ выполняет
вычисления значения р,, Саь и Рк. В программе следует предусмотреть вывод
на печать Pt-, Сл, и рК/, что дает возможность установить характер
изменения концентрации во всем каскаде, количество реакторов п,
которое будет соответствовать числу отпечатанных значений
Pj (i = 1, 2, ..., и), а также долю непрореагировавшего вещества А в
потоке на выходе из каскада РкГ
Методику расчета каскада реакторов с помощью ЦВМ
проиллюстрируем на примере.
Пример 13. В каскаде последовательно соединенных реакторов
непрерывного действия, оборудованных мешалками,
обеспечивающими полное перемешивание, протекает реакция, кинетику которой
описывается уравнением
wr = 1, 6С л76 к моль/(л -мин).
Требуется определить необходимое количество реакторов п, при
котором может быть достигнута степень превращения Хап = 0,95,
если начальная концентрация исходного вещества Са0 = 1,2 кмоль/л
164
объемная скорость потока v =
= 400 л/мин, реакционный объем
каждого аппарата V = 200 л.
Решение. Время
пребывания в каждом реакторе каскада
тх будет:
V 200 п -
т, = — = -ттлтг = 0,5 мин.
1 v 400 '
Конечная концентрация Слл:
Слп = СЛо(1 — Хап) =
= 1,2(1 —0,95) = 0,06 кмоль/л.
Доля непрореагировавшего
вещества А в потоке на выходе из
каскада рк должна составлять:
r °An °'06 п п*
Решение рассматриваемой
задачи целесообразно выполнить на
ЦВМ «Промшь»,
предназначенной для инженерных расчетов,
по итерационной циклической
программе (ИЦП). Блок-схема
этапов решения (алгоритм в
графической форме) приведена на
рис. 57. Точность вычисления Рис. 57. Блок схема алгоритма решения
значений Pt- по формуле (VI.80) заДачи (к примеру 13).
выбирается в зависимости от характера задачи. Для инженерных
расчетов обычное = 0,001. При этом логическое условие, которое
проверяется машиной для установления окончания вычислений,
можно записать так:
Поскольку для ЦВМ «Промшь» служебная команда условного
перехода (УП 1) проверяет условие S< 0 или S > 0 (S — результат
вычислений на сумматоре), то записанное условие следует
преобразовать к виду:
8 — I Pm+U — $m,i I > 0.
Для проверки этого условия предназначен блок 4.
В задаче предусматривается достижение степени превращения
Хап = 0,95, т. е. доля непрореагировавшего вещества А на выходе
из каскада должна составлять Рк = 1 — Хдп = 0,05. Поэтому
содержанием блока 7 является проверка условия Рк — рк/ > 0, где рК/ —
текущее значение Рк. Назначение остальных блоков очевидно.
165
Таблица 6
Адрес
числа
(№
ячейки)
01
02
03
04
05
06
07
Числа
Естественная
форма
1.2
1,6
0,5
0,76
0,05
0,001
1
Нормализованная форма
Порядок
1
1
0
0
— 1
— 2
1
Мантисса
12000
16000
50000
76000
50000
10000
10000
Пояснения
Сл = 1,2 — начальная концентрация
исходного реагента
k = 1,6 — константа скорости реакции
тх = 0,5 — время пребывания в любом
реакторе каскада
р — 0,76 — порядок реакции
Рк = 0,05 — доля непрореагировавшего вещества
в потоке на выходе каскада
8 = 0,001 —точность вычисления Р*
К. ■ = 1 • IV. 1 • Pi • Pi! 1 • Pi • Р.- • • Ря- теку-
1
щие значения рк (первое значение Рк = 1
записывается машиной)
При составлении программы для ЦВМ «Промшь» размещение
исходных данных задачи не вызывает никаких затруднений и
состоит по существу в заполнении бланка распределения памяти
(БРП)—табл. 6.
В полном соответствии с блок-схемой (рис. 57) по формулам
(VI.80) и (VI.81) составляется итерационная циклическая
программа, которая записывается в форме табл. 7.
Пояснения к программе (табл. 7).
Команды 00—07 соответствуют блоку / подготовки цикла
(рис. 57), записывают начальные значения pmJ = 1, fiK/ = 1,
Са£_х = Сл„ и показатель степени р— 1. Благодаря этим
командам программы обеспечивается восстановление исходных данных
при необходимости повторить вычисление с начального номера
команд программы.
Команды 08—14 осуществляют вычисление значений Rl9 а затем /?,-.
166
Таблица 7
Программа вычислений на ЦВМ «Промшь»
Команды
команд
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
символ
операции
Чт
Зп
Зп
Чт
Зп
Чт
Выч 1
Зп
Чт
In
Умн
ехр
Умн
Умн
Зп
Чт
Зп
Чт
адрес
числа
86
11
07
01
08
04
86
09
08
00
09
00
02
03
10
11
12
11
передача
управления
Пояснения
1=>S
Pm.i^ 1=>(U)> затем р^
Рк0=-1:^(07)> затем Рк,
сл =>5
S = САо => (08), затем СА
P=>S
/?-l=>S
S = р — 1 => (09)
СЛо=>5, затем СА(_{
\пСА =>S, затем In CA ,
ло н1—1
(р — 1) In САо ^> 5, затем (р — 1) In CA
ехр [{р - 1) In САо\ = Ср~1 г> 5, затем СРА~^
kCp~l=>St затем бС^Г1,
Л0 Л1—1
fr^C^1 => S, затем ^С^"1,
Л0 1 л1—\
Rx = Лт^"1 =>(10)t затем R{
$mti=>S
SePm./=M12)
Рт,/=>5
167
Продолжение табл. 7
Команды
команд
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
символ
операции
In
Умн
ехр
Умн
Умн
Сл
Зп
Чт
In
Умн
ехр
Умн
Сл
Выч 1
Дел
Выч 2
Зп
адрес
числа
00
09
00
10
04
86
13
11
00
04
00
10
И
86
13
11
11
передача
управления
Пояснения
lnpm>,^>S
(p-l)lnpm>^S
exp[(p-l)lnpmil.] = p£7/=>S
RiKl^S 1
PRi^/^S
pRfi^ + l^S
s = Py?1C-' + i^>(i3)
fW=>s 1
InPm^S 1
pmfW^s
exp (p In pm>(.) = fPmi => S
R$Pm,i^S
R&m,i + ''m.i^S
RiVm,i+K,i-^S
P«./-^=P«+U=»S
S = Pm+l./=»<U)
168
Продолжение табл. 7
1 Команды
№
команд
j 35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
символ
операции
Выч 1
ФР
Выч 2
УП 1
Чт
Ост
Умн
Зп
Ост
Чт
Умн
Зп
Ост
Выч 2
УП 1
Ост
адрес
числа
12
00
06
11
01
08
08
01
11
07
07
01
05
00
передача
управления
15
08
Пояснения
Рт-И./~""Рт./=^3
|Pm+U — Рт./'1^5
e-IPm+l./-Pm./l=>S
S >. 0 — выполняется команда № 39;
S < 0 — возвращение к команде № 15
fc=>5
5 = Pi => печать
СА. z=CAi_l Pi^5
S = СА => (08)
S = Сл => печать
fc=>S
РАс^^Рк,^
Рк^(07)
S = РК.Ф печать
pK-PK.^S
S^>0— выполняется команда № 50;
S < 0 — возвращение к команде № 08
Останов машины
169
Команды 15—34 вычисляют значения рт+и по формуле
(VI.80) для каждого реактора.
Команды 35—38 проверяют логическое условие е—| Pm+u—
— Рт.И > 0, обеспечивающее определение р, с принятой точностью е.
Команды 39—43 производят вывод на печать значения р,,
вычисляют и печатают CU. = Сл^Р*.
Команды 44—47 обеспечивают вычисление и печать текущего
значения рк/ — доли непрореагировавшего вещества А в потоке на
выходе каскада (при i = п машина печатает расчетное значение ркр>
равное или меньшее заданному рК£).
Команды 48—49 проверяют логическое условие рк — рк. > 0,
которое устанавливает окончание вычислений при достижении
заданной степени превращения.
Команда 50 — останов машины (расчет окончен).
Данные вычислений по составленной программе на ЦВМ «Про-
мшь» приведены в табл. 8.
Таблица 8
1 t = l,2, ...
. . . , п
Рг
см
К
ХА;
1
0,52843
0,63412
0,52843
0,47157
2
0,48504
0,30757
0,25631
0,74369
3
0,43554
0,13396
0,11163
0,88837
4
0,37950
0,050838
0,042364
0,957636 '
В результате расчета каскада реакторов на ЦВМ «Промшь»
получены необходимое количество реакторов п = 4 и значение ркр =
= 0,04 < рк, что обеспечивает заданную степень превращения
(Хл = 0,95), а также информация о характере изменения
определяющих параметров процесса.
§ 6. влияние температуры Характер протекания процесса
на протекание процесса в реакторах в значительной
в химических реакторах степени зависит от
температуры. Поэтому при расчете
химических реакторов необходимо учитывать:
во-первых, влияние температуры на выход (равновесную степень
превращения для обратимых реакций), скорость реакции и состав
получаемых продуктов;
170
во-вторых, тепловые эффекты реакций, которые в большинстве
своем протекают с выделением или поглощением тепла
(соответственно экзотермические и эндотермические реакции), поскольку эти
эффекты могут заметно изменять температуру реакционной массы.
Вследствие возникновения тепловых эффектов в реальных
процессах изотермические условия, как правило, не соблюдаются.
Протекание реакции возможно лишь на определенном
температурном уровне и в определенном интервале температур, которые
обеспечиваются подводом или отводом тепла с учетом тепловых
эффектов реакций. Для выбора желаемых значений температурного
уровня и температурного интервала определяющими являются
такие факторы:
физико-химические свойства реагирующей смеси (положение
химического равновесия, скорость и селективность основной
реакции, возникновение побочных реакций);
физические свойства реагирующей смеси (точка росы газовой
фазы, точка кипения и затвердевания жидкой смеси);
свойства используемого катализатора (спекание или термическое
отравление катализатора, его распад, старение, температура
зажигания);
свойства конструкционных материалов (механическая
прочность при нагреве, термическая стойкость, устойчивость против
коррозии при температуре реакции);
стоимость подогрева или охлаждения реагентов до температуры
реакции и поддержания желаемого температурного уровня
реакционной смеси.
Среди указанных факторов для обратимых реакций особое
значение имеет положение химического равновесия потому, что при
увеличении температуры равновесная степень превращения
увеличивается для эндотермических и снижается для экзотермических
реакций. Зная величину константы равновесия, можно вычислить
количества веществ в равновесных для исследуемой реакции
состояниях, а следовательно, и максимальные выходы продуктов
реакции в данных условиях.
Известно несколько способов поддержания реакционной смеси
в желаемом интервале температур; основные из них следующие:
регулирование начальной (входной) температуры смеси;
введение инертного вещества;
разделение реактора на адиабатические секции с
промежуточным охлаждением или подогревом реагирующей смеси;
отвод тепла во время реакции теплопередачей во внешнюю
среду (или наоборот);
циркуляция через внешний теплообменник специального
теплоносителя.
При изучении и количественной оценке этих способов тепловой
баланс процесса должен быть строго согласован с материальным
балансом. Уравнение, выражающее тепловой баланс химико-техноло-
171
гического процесса, протекающего как при нагревании, так и при
охлаждении реакционной среды, в наиболее общей форме можно
представить так:
Q1±Q2±Q3 = Q*+Qb+ Q.. (VI.82)
где Qx — тепло, вносимое в аппарат с перерабатываемым
материалом; Q2 — тепло, подводимое (знак «плюс») или отводимое (знак
«минус») от аппарата соответственно первичным или вторичным
теплоносителем; Q3 — тепловой эффект процесса (знак «плюс» — для
экзотермических, знак «минус» — для эндотермических реакций);
Q4 — тепло, уносимое из аппарата с продуктами реакции; Q5 —
тепло, расходуемое на нагревание отдельных частей аппарата; Q6 —
тепло, теряемое аппаратом в окружающую среду.
При непрерывном процессе температура отдельных частей
аппарата устанавливается на определенном уровне и в стационарном
режиме остается неизменной, поэтому величину Qb для
установившихся непрерывных процессов можно не учитывать. Тепло,
теряемое аппаратом в окружающую среду, как правило, составляет
незначительную долю в общем балансе тепла, и величиной Q6 в
расчетах обычно пренебрегают. Следовательно, уравнение,
суммирующее приход и расход тепла в реакторе непрерывного
действия, может быть записано в виде:
Q1±Q2±Q3 = Q*. (VI.83)
В адиабатическом и неизотермическом реакторах в стационарном
режиме устанавливается специфический для данного аппарата
профиль температуры. Характер распределения температуры в
реакционной зоне таких реакторов зависит от типа и размеров аппарата,
от структуры потока в нем, условий тепло- и массообмена, а также
от особенностей осуществляемых химических реакций.
Таким образом, тепловой баланс реактора составляется, исходя
из указанных общих соображений, для каждого конкретного
случая, В частности, уравнения тепловых балансов для типовых
моделей идеального перемешивания, идеального вытеснения,
диффузионной, комбинированных адиабатических и неизотермических
реакторов подробно рассмотрены в литературе [1, 11, 22]. Построенные
с учетом влияния теплообмена математические модели реакторов
представляют собой системы уравнений, для решения которых
следует применять АВМ и ЦВМ.
Исследование тепловыделения и теплообмена в химических
реакторах имеет весьма важное значение для определения
устойчивости режимов их работы. Строгая и завершенная постановка
задачи об устойчивости системы и методы ее решения впервые были
разработаны А. М. Ляпуновым. Работы А. М. Ляпунова явились
основой для проведения исследования устойчивости технических
систем, в том числе и химических.
Физически устойчивость следует понимать так: стационарное
состояние системы устойчиво тогда, когда какое-нибудь мал се
172
отклонение, возникшее в некоторый момент времени, после
устранения причины, вызвавшей указанное отклонение, постепенно исчезает
(с течением времени стремится к нулю) и исходное стационарное
состояние восстанавливается. Если же при незначительном
возмущении какого-либо параметра системы (например, температуры,
концентрации, давления) отклонения от стационарного состояния
системы нарастают во времени, то исходный стационарный режим
неустойчив.
Из всех факторов, обусловливающих устойчивое протекание
химических процессов в реакторах, наибольшее значение имеет
теплообмен при экзотермических реакциях. Различные возмущения
(изменение количеств или концентраций поступающих компонентов,
ухудшение теплоотвода, флуктуации состава исходной смеси)
могут вызвать резкое повышение температуры и так вывести процесс
из стационарного состояния, что он не возвратится к исходному
режиму. Указанная чувствительность экзотермических процессов в
химических реакторах к изменениям температуры, связанным с
возмущениями, объясняется весьма существенным различием в них
условий теплообразования и теплоотвода.
Действительно, с повышением температуры скорость реакции и,
следовательно, количество выделяющегося тепла возрастают
экспоненциально, тогда как теплообмен со стенкой
пропорционален первой степени разности температур. Вследствие этого,
говоря об устойчивости режимов работы химических реакторов, в
первую очередь имеют в виду их тепловую устойчивость. Математически
условие тепловой устойчивости химических реакторов записывают
так:
^£1>^р. (VI.84)
Исследования устойчивости работы химических реакторов
относятся к числу важнейших задач при проектировании этих
аппаратов.
Глава VII. МАТЕ- Теплообменные аппараты (тепло-
МАТИЧЕСКИЕ обменники) являются наиболее
МОДЕЛИ распространенными и необходи-
ттоптпртлтг мыми элементами различных тех-
пшилигшл. нологических и энергетических
ТЕПЛООБМЕННЫХ установок. На теплообменники
И АБСОРБЦИОННЫХ приходится значительная часть
АППАРАТОВ капитальных вложений и
эксплуатационных расходов. Так,
на современных
нефтеперерабатывающих заводах затраты на
теплообменные аппараты со-
§ 1. математические МОДЕЛИ ставляют до 50% капитальных
простейших типов • вложений, а эксплуатационные
теплообменных аппаратов расходы часто выше, чем для
других категорий оборудования.
Поэтому рациональное проектирование и установление
оптимальных режимов работы теплообменных аппаратов, в результате
которых перечисленные расходы снижаются хотя бы на 1 %, дают
значительный экономический эффект.
В проектных расчетах теплообменников следует использовать
ЭВМ, что позволит не только сократить время проектирования и
избавить проектировщиков от громоздких, неоднократно
повторяющихся вычислительных операций, но и выбрать наиболее удачный
вариант расчета [21]. Здесь уместно отметить, что в процессе
расчета приходится выбирать численные значения технологических и
конструктивных параметров, которые обычно колеблются в
достаточно широких пределах. К таким параметрам относятся, например,
скорость потоков, разность температур на входе или на выходе
потоков, диаметр и длина трубок, геометрия трубных решеток,
количество перегородок и др. Кроме того, размеры поверхности
теплообмена проектируемого теплообменника, как правило, округляют до
ближайшей величины нормализованного или стандартного аппарата
и, следовательно, принятые в расчете скорости потоков точно не
соответствуют таковым в спроектированном теплообменнике.
Таким образом, задача проектирования теплообменного аппарата не
исчерпывается определением расчетной поверхности теплообмена
и возникает необходимость исследования режимов работы
созданного теплообменника. В частности, очень важно проанализировать:
установившийся (стационарный) режим работы;
переходный процесс, возникающий в результате возмущений
на входе и определить время выхода аппарата на стационарный
режим;
оптимальные условия работы в зависимости от выбранного
критерия оптимальности. Эти и другие задачи могут быть успешно
решены при использовании метода математического моделирования
на основе статической или динамической моделей.
174
Математическое описание процесса в теплообменных аппаратах
удобно записать в виде выражения, которое характеризует
изменение температуры в потоке теплоносителя во времени, обусловленное,
во-первых, движением потока и, во-вторых, теплопередачей.
Если структура потока теплоносителя соответствует модели
идеального перемешивания, то для математического описания этого
потока можно использовать уравнение (V.11) с учетом источника
тепла, возникающего в потоке за счет теплопередачи:
VcT -^- = vcT (TBX -T)+ VqT1 (VII. 1)
или Vc^ dT_ = ^ (Гвх _Т)+ рклт^ (Vn 2)
где VqT = FKTkT — интенсивность теплообмена в реакционном
FK ЛТ
объеме V; qT = р удельная объемная интенсивность
источника тепла; F — поверхность теплообмена; Кт — коэффициент
теплопередачи; AT =(Т1—Т2)—разность температур первичного и
вторичного теплоносителей1 (движущая сила теплообмена).
Если перемешивание отсутствует и структура потока
теплоносителя отвечает модели идеального вытеснения, то для
математического описания этого потока можно использовать уравнение (V.28)
с учетом теплопередачи:
дТ дТ . /чтут о\
sBcr -sr = —vct-gr + sBqT- (VII.3)
Поскольку V = sbL, где L — длина зоны вытеснения, то
ЗДТ = ^^г1 = -г КАТ. (VII.4)
Тогда уравнение (VII.3) можно переписать так:
Vt 4г = -vc* -ж + -г к^т- (т5>
В уравнениях (VII.2) и (VII.3), которые представляют собой
математическое описание потоков теплоносителей соответственно в
режимах идеального перемешивания и идеального вытеснения с
учетом теплопередачи, принято, что коэффициент теплопередачи Кт
через стенку, разделяющую первичный («горячий») и вторичный
(«холодный») теплоносители, является постоянной величиной, не
зависящей от их объемных расходов vx и v2. Такое допущение
упрощает математические выкладки при решении задач оптимизации.
В тех случаях, когда зависимостью К7 = f (v) нельзя пренебречь,
следует установить ее характер и внести коррекцию в полученные
расчетные выражения.
1 В дальнейшем с индексом «1» обозначены параметры первичного теплоносителя
(рабочей среды, которая отдает тепло), а с индексом «2» — параметры вторичного
теплоносителя (рабочей среды, воспринимающей тепло).
176
Ряс. 68. Схематическое изображение Рис. 59. Схематическое изображение
теплообменника типа «перемешивание— теплообменника типа «перемешивание—
перемешивание». вытеснение».
Возможны три типа теплообменных аппаратов, в которых
движущиеся потоки первичного и вторичного теплоносителей
характеризуются моделями идеального перемешивания (VI 1.2) и
идеального вытеснения (VII.5):
1. Теплообменник типа «перемешивание — перемешивание»
(рис. 58). Математическая модель такого теплообменника
представляет собой систему двух уравнений типа (VII.2), записанных для
первичного и вторичного теплоносителей:
VVit ^Г = vlClT (Т1Я - 7\) - FKT (7\ - Т2\
(VH.6)
V2c2r -^ = v2c2T (Т2Н - Тг) + FKT (7\ - Г2),
где Тг — Т2 = А Г, при этом 7\ и Т2 имеют постоянные значения в
каждой точке объемов идеального перемешивания соответственно
Vx и V2\ Т\н, Ггн — начальные температуры первичного и вторичного
теплоносителей; Т\к— 7\ и Т^= Т2 —конечные температуры
первичного и вторичного теплоносителей.
Величина FKT (Тг — Т2) имеет знак «минус» в уравнении
описания потока теплоносителя, который отдает тепло, и знак «плюс»,
если тепло воспринимается теплоносителем.
2. Теплообменник типа «перемешивание — вытеснение» (рис. 59),
математическая модель которого включает уравнение (VI 1.2) для
потока первичного теплоносителя и уравнение (VI 1.5) для потока
вторичного теплоносителя:
VA, -^ = *А, <Т* - Тг) ~ М,Д7\
(VII.7)
дТ2 дТ2 , F г* дт
52В^2Т ~~fii ^2Т ~~g/ I J" ЛТА* ,
176
где ДГ*= 7\ — Г2, при этом значения 7\ остаются одинаковыми в
каждой точке объема идеального перемешивания, а Т2 изменяются
по длине зоны идеального вытеснения — Т2 (I).
3. Теплообменник типа «вытеснение — вытеснение» или так
называемый прямоточный теплообменник (рис. 60), для которого
математическая модель имеет вид системы двух уравнений типа (VII.5):
дТг __ дТ1 F к \т
* (VII.8)
д7*а д7"2 | F к лт
52в^2т ~~^ ^2С2т ~~^ I /Г т *
где AT = 7\ — Г2; при этом Тг и Г2 изменяются по длине
соответствующей зоны идеального вытеснения.
Для реальных теплообменных аппаратов, в которых структура
потоков теплоносителей приближается к структуре потоков
идеального перемешивания или идеального вытеснения, можно выбирать
одну из записанных моделей (VII.6) — (VII.8). В иных случаях
реальный теплообмен характеризуется моделями, промежуточными
между моделями идеального перемешивания и идеального вытеснения.
Если режим теплообмена описывается моделью с
сосредоточенными параметрами (VII.6), то решение такой модели сравнительно
легко выполняется на АВМ или другим способом.
Поскольку модель с распределенными параметрами
записывается в виде дифференциальных уравнений в частных производных
(например, (VII.8)), то
моделирование таких процессов на АВМ
связано с известными
затруднениями. Поэтому во многих
случаях модель с
распределенными параметрами заменяют
моделью с сосредоточенными
параметрами, если это не приводит
к большим искажениям. В
частности, такую замену можно
сделать для некоторых противоточ-
ных теплообменников при
соблюдении условия
4^-<2, (VII.9)
* В расчетах теплообменников обычно используют усредненное значение
разности температур ЛГ =» ЛГср = Г1ср — Г2ср, которую вычисляют по формуле
_ АГб-АГм
ЛТср~ , лгб *
177
Рис. 60. Схематическое изображение
теплообменника типа «вытеснение —
вытеснение».
где АТб и АГМ — соответственно большая и меньшая разности
температур теплоносителей на входе и на выходе (или ббльшая и
меньшая концевая движущая сила теплообмена).
§ 2. математическая МОДЕЛЬ В противоточных теплообменни-
противоточного ках (например, типа «труба в
теплообменника трубе», кожухотрубных) при вы-
С сосредоточенными полнении условия (VII.9) можно
параметрами с достаточной для практических
расчетов точностью производить
линеаризацию кривых изменения температур рабочих сред. При этом
изменение температуры по длине аппарата представляется линейным
законом, а средняя температура первичного и вторичного
теплоносителей определяется как средняя арифметическая величина:
и ^1ср = 0,5(Г1н + Г1к) (VII. 10)
Т2ср = 0,5(Г2н+Г2к). (VII. 11)
Средняя разность температур (движущая сила теплообмена)
выражается равенством:
* lcp •* 2cp« (VII. 12)
В данном случае вследствие линеаризации кривой изменения
температур по длине аппарата параметры 7\, Т2, Тст, AT будут
изменяться только во времени (координата длины исключается), и
математическая модель может быть записана в виде обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Схема потоков рассматриваемого теплообменника изображена
на рис. 61. На схеме дополнительно введены такие обозначения:
Qi и Q2 — количества тепла, передаваемые через поверхность
теплообмена Fx и f2;
ах и а2 — коэффициенты теплоотдачи соответственно со стороны
первичного и вторичного
теплоносителей;
Сет, Сет» Т'ст — вес,
теплоемкость и температура стенки
(принимаем, что Tict и Тгст близки
вследствие малой толщины
стенки, и при составлении уравнений
используем Тст вместо Т\ст и TWt).
Математическая модель
исследуемого теплообменника должна
включать:
уравнения теплового
баланса:
dQ1 = olclT(7\H-.7'ta)dfc(VII.13)
dQ2 = vic2T(T2K-TJdt; (VII. 14)
Рис. 61. Схема потоков в противоточ-
ном теплообменнике.
178
уравнения теплоотдачи:
dQ1 = а^ (Г1ср - Тст) dt; (VII. 15)
dQ2 = a2F2(TlCT -Г2ср) dt; (VII.16)
уравнение переходного режима (динамическая характеристика):
dQx — dQ2 = GCTccrdTcr. (VII. 17)
Уравнение (VII. 17) показывает, что при теплообмене в
неустановившемся потоке, когда dQx Ф dQ2, часть тепла аккумулируется
стенкой в любой момент времени переходного режима.
Если использовать равенства (VII. 10), (VII. 11), то уравнения
(VII. 13) — (VII. 17) образуют следующую систему:
dQi _ г, f \tih + Т1К т 1
~ЧГ ~~ 1Г! [ 2 CTJ '
dQl П Г 71 ?2Н 4" ■* 2К |
"Л <Vl|^cr 2 J'
-§1- = 0Лт(7'111-Г1к), (VII.18)
—-jj = v2c2T (12к У 2н)»
"dt dT "" UctCct ~dT~ •
' Система уравнений (VII.18) является математическим описанием
процесса теплообмена через стенку в противоточных теплообменных
аппаратах, для которых можно принять допущение о линейном
изменении температуры рабочих сред по длине аппарата.
Решение системы (VII. 18) нетрудно найти на АВМ, если привести
ее к виду, удобному для моделирования:
71 2 aQ2 | о^ 71
[drcT = rcT-rCT„ =^L- j(A_J^, (VII.19)
ГСтв 0
-^ = v 1clT (у 1н — 7iK),
"""iff" = ^2т U 2к " ' 2н)-
Чтобы систему (VII. 19) преобразовать в систему машинных
уравнений, необходимо выбрать масштабы представления физических
величин в единицах машинных переменных и масштаб времени
179
Mx = — (т—машинное время, t — реальное время). Поскольку в
системе (VII. 19) уравнения линейные, то для переменных Qlf Q2, а
также для всех температур (Tih, Ггн, Т\Ку Тгк, Гст) целесообразно
принять одинаковые масштабы, соответственно равные Мт= у и
Mq = -jj-. Тогда физические переменные в единицах машинных
переменных могут быть представлены такими выражениями: Т = тр ,
Q = -т^-, / = -д- и система (VII. 19) будет включать следующие ма-
шинные уравнения:
Мт ^\F\Mq di •" УИГ TWj '
t/w ^ 2Mr dUQ, . о ^ct ^
Mr <x2F2Mq dx ' Mr Mr '
т^-^-TG^jh^-^)*. (m20)
dx MQ MT ( lH i"''
d(7Q, мт _ f2c2T ,. .. .
ИЛИ
f/cr— Ucr, = /C7 j (t/Ql— C/Cl) dx, (VII.21)
^, = Я8(#1И-#1к).
^, = ^(^2K-^2„).
где Ki — K9 — коэффициенты передачи, которые соответственно
равны:
2МТМТ Мт Мт
Al - *XFXMQ ' А2 - ^ -jj— - А Д3 - -jj— - 1,
2МТМГ
^ = a2f2mq J tf5 = /C2 = 2; /Св = /С3=1;
A? ~ ^ctcct^q ' 8 "~ ЩМХ » A» "" AfrMt '
180
Рассмотрим задачу моделирования на ABM MH-7 процесса впро-
тивоточном кожухотрубном теплообменнике.
Пример 14. В кожухотрубном противоточном теплообменнике
узла контактирования производства серной кислоты (рис. 62)
происходит нагрев поступающего в контактный аппарат сернистого
газа S02 за счет тепла серного газа S03, выходящего из аппарата.
Исходные данные:
Поверхность теплообменника /^ == /?а ■= /? = 282 м2
Объемная скорость рабочих сред (S02 и S03) vx = v2 — 4400 м^*/ч
Удельная теплоемкость серного и сернистого газов с1т = с2т =
= 0,33 ккал/(м* • град)
Коэффициент теплоотдачи аг = а2 = 12 ккал/(м2Х
X ч • град)
Вес теплообменных труб GCT = 5400 кг
Удельная теплоемкость материала поверхности теплообмена при установившемся
режиме сст= 0,115 ккал/(кг - граду
Температура первичного теплоносителя (серного газа S03) на входе... Т1н = 470° С
Температура вторичного теплоносителя (сернистого газа S02) на входе ..♦..*
Т2н = 50° С
дгб
Известно, что условие < 2 соблюдается и в результате возможных возмуще-
ний температура серного газа на входе повышается до 7*1н (/) = 500° С, а
температура сернистого газа на входе остается постоянной.
В результате решения математической модели на АВМ требуется
найти:
а) кривую изменения температуры на выходе сернистого газа
S02 (вторичный теплоноситель), поступающего в контактный
аппарат при возможных
возмущениях;
б) максимальное отклонение
температуры на выходе
сернистого газа S02 (чтобы оценить,
допустимы ли отклонения
температуры S02, идущего на
контактирование, при возможных
возмущениях);
в) время переходного
процесса и проанализировать
динамические свойства объекта.
Решение. В качестве
условного нуля принимается
установившийся режим, при котором
в данном случае входные темпе-
k *ж* — обозначение нормального кубического метра.
181
Рис. 62. Схема теплообменника (к при»
меру 14).
ратуры равны 7\н (0) = 470° С и Т2н (0) = 50° С. Тогда отклонения
от условного нуля на входе первичного и вторичного
теплоносителей будут:
Т*ъ (0 = Т1Н (t) ~ Т1н (0) = 500 - 470 = 30° С;
7\х, (0 = Т2Н (0 - Г2Н (0) = 50 - 50 = 0° С.
Для решения задачи следует использовать математическую
модель в виде системы уравнений (VII. 19), в которой целесообразно
вместо Т\к и Г2к принять в качестве переменных отклонения от
условного нуля на выходе ТВЫХ1 (t), ТВЫХ2 (t), и соответственно
заменить Т1н на ТвХ1 (0 = 30° С и Г2н на ГВХ2 (*) = 0° С. Такая замена
возможна, так как дифференциальные уравнения, входящие в
систему (VII. 19),— линейные.
С учетом изложенного выше математическая модель (VII. 19) в
рассматриваемой задаче принимает вид:
7* 2 dQi , сугр гр
1 BbIXl " a1F1 * ~ЧП "^ Z CT ~ L вх"
гр * "V2 | 9Т Т
1 вь,х* "" ШГ2 W "*" z ст ~ вх"
о
—-^ = £/хС1т (i bxj / Bbixt)^
—jg = У2С2т (i вых2 i вх2)-
В результате преобразования уравнений системы (VI 1.22) в
машинные при использовании масштабов Мт, Mq, Mx получаем
систему машинных уравнений, аналогичную (VII.21)
^вых! == Ai -^ h А2^ст — Aat/BXii
^вых2 = — ^4 ^т2 + ^5^ст — K6UBXii
X
UCT- UCTo = *7 J (fV _ _^_) dT> (VII.23)
о
' jZ = As (^вхх ^BbixJ»
dUQ2
J7"~ == А9 (у вых2 ^вх2).
Чтобы определить величины /Сх — /С9, необходимо выбрать
численные значения масштабов Мт, Mq, Mt. В рассматриваемой
182
Рис. 63. Структурная схема решения
задачи на АВМ (к примеру 14).
задаче Мт следует вычислять для Tmax = TBXl = 30° С при £/тах =*
= 100 в, то есть
МТ = ^L = -М- = 3,33 в/г/7а<Э.
У max JU
В целях удобства дальнейших вычислений принимаем Мт =
= 2 el град.
Масштабный коэффициент Mq численно должен быть таким,
чтобы в уравнении переходного процесса перед интегралом получилась
единица (для соблюдения условия, что коэффициент усиления
интегратора К7 = 1). Поэтому из равенства
мт
7 GCTcCTMQ
вычисляем
^ = <%k = 5400 2 0,115 = °>322 * Ш-2 б/^
Поскольку коэффициенты при физических переменных в
уравнениях системы (VI 1.22) являются числами не одного порядка, то
масштаб времени Мх должен отличаться от единицы. Принимаем
Мх = 5 сек/ч (ускоренный масштаб времени) с тем расчетом, чтобы
коэффициенты усиления в уравнениях (VI 1.23) не превышали 10
(предел значений коэффициентов усиления для ABM MH-7).
Коэффициенты передачи в уравнениях системы (VI 1.23)
соответственно равны:
«> = 12^282 • ^ = °'591 • 10-3 • ^Н^ = 1'834'' *• = ^
/С, = 1; /С4 = /Сх = 1,834; К& = К2 = 2; Ke = Ks = U
183
Таблица 9
т, сек
] £/вЫХ2' в
ТвЫХ2» °С
f, мин
1
21
10,5
1 12
2
28
14
24
3
30,6
15,3
36
4
31,4
15,7
48
5
32
16
60
6
32,4
16,2
72
7
32,4
16,2
84
8
32,4
16,2
96
К? ~ 5400-0,115 ' "Л^" ~ °'161 ' 10 2 ' о,322 . 10~2 ~ 1;
К8 = 4400 • 0,33^-= 1452 . 0>3^; *°~"2 = 0,468; /С9=/С8=0,468.
Система машинных уравнений (VI 1.23) в окончательном виде
может быть записана так:
Umt = l,830Ql + 2UCT — UBXl,
UBblX2 = — 1,83£/Q, + 2I/CT - t/вх,,
f/ст = j (f/Ql - tf qJ dx + UC7o, (VII.24)
tfQl = 0,468 (UBXt-UBblXt),
f/Q2 = 0,468 (С/ВЫХё — t/BX2).
Для решения системы
машинных уравнений (VI 1.24) на АВМ
МН-7 выбираем нужные
решающие элементы, составляем и
оформляем структурную схему
(рис. 63).
Численные значения
возмущающих воздействий UBXt и UBXt в
единицах машинной переменной
с учетом масштаба Мт= 2 el град
будут:
UBXl = TBXtMT = 30. 2-60 в;
иМш = ТВХ2МТ = 0.
Рис. 64. Результаты решения задачи
на АВМ (к примеру 14).
184
Величину Uct0 — начальное условие, необходимое для решения
третьего уравнения системы (VII.24), следует определять при т = О,
пользуясь уравнениями той же системы. Несложные вычисления
показывают, что в данном примере при £/BXl = 60 в, UBXt = 0,
^выХ1 = 0 и i/вых, = 0, начальное условие UCTo = 2,1 е.
Результаты решения задачи на ABM МН-7, выполненного по
структурной схеме, изображенной на рис. 63, приведены в табл. 9
и на рис. 64, из которых видно, что максимальное отклонение
температуры на выходе составляет 16,2° С, время переходного
процесса —60 мин. Если такие динамические показатели процесса по каким-
либо соображениям не удовлетворяют заданным требованиям, то
принимают меры к их изменению (например, за счет увеличения
ai и а2> уменьшения GCT и т. п.).
§ 3. математическая модель Абсорбция, или процесс погло-
противоточного щения газов (паров) жидким по-
абсорбционного аппарата глотителем (абсорбентом),
широко используется во многих
отраслях промышленности: химической, металлургической, нефтяной,
пищевой и др.
В химической технологии абсорбция применяется, например,
для выделения из газовых смесей ценных компонентов (с
последующей десорбцией), очистки газов от вредных примесей, высушивания
газов, получения аммиачной воды.
При исследовании процесса абсорбции основным законом,
характеризующим равновесие в системах газ — жидкость, является
закон растворимости газов в жидкости, сформулированный Генри.
Согласно этому закону при данной температуре молярная доля газа
в растворе (растворимость) пропорциональна парциальному
давлению над раствором:
Fp = HX, (VII.25)
где Yp — равновесное давление газа над жидкостью; X —
содержание газа в жидкости; Н — коэффициент пропорциональности.
Движущей силой процесса абсорбции в любой точке по высоте
аппарата является разность между текущей концентрацией
компонента в газовом потоке Y и его равновесной концентрацией Ур,
которая отвечает концентрации абсорбируемого компонента X в
жидкости (уравнение (VI 1.25)):
ДГ = Y — Yp. (VII.26)
Расчетное значение движущей силы абсорбции обычно
определяется по логарифмической зависимости:
АК — ДУ
ДУ = —вх дгвых . (VII.27)
0/ вых
185
Рис. 65. Схема проточного насадочного
абсорбера.
Здесь ДУВХ и АУвых—концевые
движущие силы соответственно
на входе и на выходе.
Если отношение большей
концевой движущей силы к меньшей
не превышает 2, то величину ДУ
можно вычислить по формуле:
дг== АУб + АКм ^ (VII28)
Физические представления о
внутренней структуре потоков
процесса, протекающего в
абсорберах, дают возможность при
составлении математического
описания пользоваться моделями
идеального вытеснения, ячеечной, диффузионной и комбинированными.
Наиболее простой является модель вытеснения, которая часто
используется при исследованиях проточных насадочных абсорберов.
Особенно удобно применять модель вытеснения, когда допустима
линеаризация кривой изменения концентраций абсорбируемого
вещества в потоках по высоте абсорбера.
В практических расчетах условием, при котором возможна
линеаризация, является соблюдение неравенства:
4Йг<2' (VH.29)
где ДУб — большая концевая движущая сила массопередачи
(входная или выходная); ДУМ — меньшая концевая движущая сила
массопередачи (входная или выходная). В этом случае считают, что
концентрация абсорбируемого компонента по высоте аппарата
изменяется по линейному закону, и, следовательно, средняя
концентрация компонента в газе У и в жидкости X может определяться
как среднее арифметическое входной и выходной концентраций в
тазе и в жидкости:
у = квх+^вых ^ (уп.30)
X = Хвх+2*вых . (VII.31)
Движущая сила массообмена с учетом уравнения (VI 1.25)
выразится равенством:
ДУ = Y — HX. (VII.32)
Вследствие линеаризации кривой изменения концентрации
абсорбируемого компонента по высоте аппарата параметры У, X, ДУ
будут изменяться только во времени (координата длины
исключается), и математическая модель может быть записана в виде обык-
186
новенных дифференциальных уравнений. Удобство таких моделей
заключается в том, что процессы, описываемые ими, легко
моделируются на АВМ.
Рассмотрим схему потоков противоточного абсорбера,
изображенную на рис. 65. Математическая модель такого абсорбера
должна включать:
уравнение материального баланса по абсорбируемому компоненту
dM = av (7ВХ - Увых) dt; (VII.33)
уравнение массообмена между потоками
dM = $F(Y-Yp)dt; (VII.34)
уравнение переходного режима
dA1 = G"Sr; (VIL35>
зависимость, характеризующую особенности растворимости газа
в жидкости (уравнение равновесия фаз),
Ур = НХ. (VII.36)
В уравнениях (VI 1.33) — (VI 1.36) и на рис. 65 приняты
следующие обозначения:
М — количество компонента, поглощаемого жидкостью;
G — количество жидкости;
X, Хвх, ХВых — соответственно содержание компонента в
жидкости в любой точке, на входе и на выходе;
У у Уъху Увых— содержание компонента в газовом потоке в любой
точке, на входе и на выходе;
Yp — равновесное содержание компонента над жидкостью;
/ — время;
v — объемная скорость газового потока;
F — поверхность абсорбции (массопередачи);
Р — коэффициент массоотдачи от газа к жидкости;
Н — коэффициент пропорциональности;
а — коэффициент пересчета размерности.
Если использовать равенства (VI 1.30) и (VI 1.36), то уравнения
(VI 1.33) — (VI 1.35) можно представить следующей системой:
-^- = avYBX — avYBblx,
YBblx = -£- • -*£- + 2УР - Гвх, (VII.37)
) dYp = Yp-YVo = -g- J —dt.
Система уравнений (VII.37) является математическим описанием
процесса в противоточных насадочных абсорберах, при этом принято
187
допущение о линейном изменении по длине аппарата содержания
поглощаемого компоненту. Такая система сравнительно просто
решается на АВМ.
Ниже приводится пример составления и решения математической
модели с сосредоточенными параметрами противоточного абсорбера,
применяемого в производстве серной кислоты в качестве сушильной
башни для удаления влаги из сернистого газа.
Следует отметить, что результаты машинного решения такой
математической модели могут быть использованы для проектирования
системы автоматического регулирования и настройки
регулирующих устройств.
Пример 15. Требуется составить математическую модель с
сосредоточенными параметрами для процесса абсорбции влаги из
сернистого газа в производстве серной кислоты.
По технологическим соображениям влагу лучше всего поглощать
серной кислотой. Однако при этом происходят потери сернистого
газа, так как часть его абсорбируется кислотой.
С целью обеспечения постоянного содержания S02 в газовой
смеси на выходе из абсорбера, что регламентируется технологией
производства, необходимо иметь динамические характеристики
объекта для осуществления управления процессом абсорбции.
Исходные данные:
Объемная скорость газового потока v = 4800 м3/ч
Поверхность абсорбции F = 1276 м2
Количество 96,5% -ной серной кислоты в циркуляции G = 9000 кг
Коэффициент массоотдачи от сернистого газа к серной кислоте
Р= 0,0142 кг/(м2 • ч • ммрт.ст.)
Коэффициент пропорциональности при растворении сернистого газа в серной
кислоте Н* = 362 ммрт. ст./вес.%
Содержание сернистого газа на выходе из абсорбера в стационарном режиме
^вых= 7об-% (М,2 мм рт. ст.)
Содержание сернистого газа на входе в абсорбер в стационарном режиме . . .
YBX = 7 об.% (53,2 мм рт. ст.)
Возможность возмущения на входе по сернистому газу допускается в пределах
Увх = 0,05 — 1,0 об.%
(0,38—7,6 мм рт. ст.)
Процесс абсорбции близок к изотермическим условиям Т => 40° С
Известно, что условие ——— < 2 соблюдается
В результате решения математической модели исследуемого
абсорбера на АВМ необходимо найти:
кривую изменения концентрации S02 в газе на выходе из
абсорбера при возможных возмущениях;
* Коэффициент Н определяется по справочнику в зависимости от концентрации
кислоты и температуры.
** Содержание S02 в газе — 7 об.% соответствует оптимальному режиму
получения H2S04.
188
Рис. 66. Структурная схема решения задачи на АВМ (к примеру 15).
максимальное отклонение концентрации S02 в газе на выходе
с тем, чтобы оценить, допустимо ли получаемое отклонение при
возможных возмущениях;
время переходного процесса и проанализировать динамические
свойства объекта, а также оценить возможные изменения некоторых
параметров.
Решение. По соображениям, изложенным в примере 14,
для решения поставленной задачи целесообразно использовать
модель (VI 1.37), в которой в качестве переменных приняты отклонения
от условного нуля (в данном случае установившийся режим) и
соответственно заменены переменные Увх, YB.JX, Yp на их отклонения
*/вх, Уъых и ур. Затем надо определить численное значение
коэффициента пересчета размерностей а, который введен в уравнение (VI 1.33)
для согласования размерностей величин Увх, Увых (мм рт. ст.),
v (м3/ч) и М (кг). С учетом того, что 1 кмоль S02 (64 кг) имеет объем
22,4 м3 при общем давлении газовой смеси 760 мм рт. ст.,
числовое значение а может быть подсчитано так:
64
а = 22 4 - 760 = 0>0035 кг/(м3 • ммрт. ст.).
На основании изложенного выше и исходных данных (v, p, Z7,
Н, G) математическая модель принимает вид:
ST** 16,8^вх — 16,85гвых,
Увых = 0,11 - -4т + 2Ур ~ #вх, (VII.38)
о
189
Рис. 67. Результаты решения задачи
на АВМ (к примеру 15).
Чтобы систему (VI 1.38)
преобразовать в машинные уравнения,
выбраны масштабы: Мм = Юв/кг;
Му = 2 в/мм рт. ст. и Мх =
= 100 сек/ч.
В результате масштабных
преобразований система машинных
уравнений принимает
окончательный вид:
Ум — KiUBX — KiUbuxj
*Лых = KJJm + K3Up — KqUbx*
(VII.39)
Up= K5luMdT + UPot
о
Ks_0,n.^I-0,...^ = 2,2;
_ ЛУИТ _1 2-100
A5 ~ * MMMX _ * 10 - 100 — U'°-
Структурная схема решения задачи на ABM, соответствующая
системе уравнений (VII.39), изображена на рис. 66.
Таблица 10
т, сек
£/вых, в
Увых
t, мин
1
3,0
1,5
0,6
2
4,8
2,4
1,2
3
6,0
3,0
1,8
4
6,6
3,3
2,4
5
7,0
3,5
3,0
6
7,2
3,6
3,6
7
7,4
3,7
4,2
8
7,6
3,8
4,8
9
7,6
3,8
5,4
10
7,6
3,8
6,0
190
Для подсчета значений возмущения £/вх в единицах машинной
переменной принимаем, что изменение содержания SOa в газе на
входе составляет #вх = 3,8 мм рт. ст. (0,5 об.%). Тогда
Um = увхМу = 3,8 • 2 = 7,6 в.
Численное значение UPo (начальное условие, необходимое для
решения третьего уравнения системы (VI 1.39)), следует определять
при т = 0, пользуясь уравнениями той же системы, учитывая, что
U*x = 7,6 в и Uвыл = 0. При этом получаем UPo = —3,22 е.
Результаты решения задачи на АВММН-7 приведены в табл. 10
и на рис. 67.
Построенная динамическая характеристика (рис. 67) показывает,
что время переходного процесса в абсорбере составляет около 5 мин.
Чтобы сократить это время, следует увеличить коэффициент
пропорциональности Н или уменьшить количество циркулирующей
кислоты.
Глава VIII.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
§ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ
И ОБЩИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ
СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Математические модели,
описывающие детерминированные
процессы, рассматривались в
предыдущих главах. Для описания
стохастических процессов
широко применяются
экспериментально-статистические методы, при
этом эксперимент становится
основным источником информации,
а методы теории вероятностей и
математической статистики —
основным средством обработки
результатов эксперимента.
Экспериментально-статистические методы математического
моделирования целесообразно
классифицировать (рис. 68) как по способу сбора экспериментальных
данных (активный и пассивный эксперимент), так и по виду моделей
(математические модели статики и динамики объектов исследования).
Каждому сочетанию способа эксперимента и цели моделирования
соответствует определенная группа математических методов. В
частности, для составления математических моделей статики объектов
при пассивном эксперименте используются методы корреляционного
и регрессионного анализа, методы оценки параметров модели на
основе критерия максимума правдоподобия и минимума среднего
риска и др. Математические модели статики объекта при активном
эксперименте удается получить, например, методами факторного
эксперимента, методом ортогонального центрального композиционного
планирования, методом центрального композиционного рототабель-
ного планирования.
При построении математических моделей динамики объекта на
основе пассивного эксперимента
широко используются методы
теории случайных функций, метод
динамического регрессионного
анализа и ряд других; при
активном эксперименте
используются те же методы теории случайных
функций с учетом вида активного
воздействия (например, «белый
шум», последовательность
псевдослучайных сигналов).
Приведенная классификация
экспериментально - статистиче-
па лу . ских методов отнюдь не являет-
Рис. 68. Классификация эксперимен- совепшенной я пепечиглен
тально-статистических методов по- ся совершенной, а перечислен-
строения математических моделей. ные методы не исчерпывают всего
192
арсенала математических методов построения статистических
моделей. Однако такая классификация все же частично характеризует
степень разработанности методов описания исследуемых процессов
и их разнообразие. Ниже показана действенность некоторых из
перечисленных методов при исследовании процессов химической
технологии.
Ранее были разъяснены важные понятия
экспериментально-статистических методов (факторы, выходные параметры, функции
отклика) и основной принцип моделирования при использовании
экспериментально-статистических методов — представление объекта
исследования в виде «черного ящика» и определение связи между
выходным параметром и множеством входных параметров
(факторов). В общем виде связь между факторами х{, xj и выходной
переменной у в статике задается полиномиальным уравнением:
у = Ро + 23 Рл + 2 Р*л*/ + 2 Р/^2 + • • •. (vni. i>
где р,, Pt/, Ри — коэффициенты, характеризующие соответственно
линейные эффекты,эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты.
Логику появления полинома, как математической модели
объекта исследования, можно изложить следующим образом [32].
Исследователь полагает, что математическую модель объекта
принципиально можно представить дифференциальными уравнениями. Но,
учитывая то, что необходимых сведений о природе явлений в объекте
не имеется, сделать это не удается. Отсутствие дифференциальных
уравнений не дает возможности получить их решение — это
очевидно. Однако в общем виде искомое решение можно представить
функцией
У = / (*ъ *2. • • •. *«. Pi» Р* - -., Pn)t (VIII.2)
где хи х2, ..., хп — входные параметры; plt р2, ..., р„ —
коэффициенты модели. Тогда коэффициенты ро, Р,, pt/, Pt7 полинома (VIII. 1)
можно интерпретировать как коэффициенты ряда Тейлора, в
который «удается» разложить функцию (VIII.2) в окрестности некоторой
точки с координатами х10, х20, ..., хп0:
У — / V*10> X20i • • • » Хп0) ~Г fa Х\ "Г * "Т
1 & I \Х10> *20> • • ♦ » Xno) v v _1 I ]_ д / (-^Ю > *2Q» - • • ) Хпр) v2 1
(VIII.3)
Коэффициенты ро, р,, Р//, Pt7 называются коэффициентами
регрессии, а уравнение (VIII. 1)—уравнением регрессии. Обычно
используют полиномы не выше второго порядка, тогда коэффициент
Ро представляет собой константу и определяет значение функции
(VIII.2) в точке разложения в ряд Тейлора. Коэффициенты Р,, Р,/,
Р^ выражают влияние на выходной параметр у соответственно
7 3—24
193
фактора хь совместного влияния факторов х( и Xj и влияния
каждого фактора на величину кривизны параметра у.
Пользуясь статистическими методами, удается по данным
эксперимента (пассивного или активного) вычислить коэффициенты
полинома (VIII. 1). Однако, учитывая статистическую природу
рассматриваемых процессов, а также конечность экспериментальных
данных (обычно используется выборка экспериментальных данных),
исследователь получает оценки коэффициентов ро, (3,-, ft/, $и. Тогда
уравнение регрессии записывается так:
У = К + i btxt + 2 bijXiXj + jp Ъих\..., (VIII.4)
где г/ — оценка выходного параметра модели; xi — факторы
модели; п — число факторов; Ъь Ьц, Ъи — оценки коэффициентов
уравнения регрессии.
Уравнение регрессии (VIП.4) широко применяется для
построения статистических моделей статики объектов химической
технологии. С точки зрения исследования механизма процесса, его физико-
химических свойств полиномиальная модель не несет необходимой
информации. Действительно, зная лишь численные значения
коэффициентов ряда Тейлора, нельзя восстановить искомую функцию ни
тем более дифференциальные уравнения, описывающие процесс.
Однако уравнения регрессии оказываются очень ценными, если
их использовать для решения экстремальных задач — определения
оптимальных условий протекания технологических процессов,
оптимальных составов приготовления смесей, для статической
оптимизации управляемых объектов и ряда других задач.
Математическая модель в виде уравнения регрессии весьма удобна, так как
позволяет легко проводить ряд математических операций (методом
наименьших квадратов, «наращиванием» полинома), а также дает
возможность широко использовать ЭВМ при обработке
экспериментальных данных. Отметим также, что именно появление ЭВМ
подняло ценность полиномиальных моделей: объемы вычислительных
работ при расчете коэффициентов регрессии достаточно велики и
ранее это ограничивало возможности статистических исследований.
Для получения математических моделей динамики
стохастических процессов применение аппарата математической статистики,
рассматривающего случайные величины, поведение которых не
изменяется во времени, уже становится невозможным. Возникает
необходимость использовать случайные функции. Тем не менее
экспериментальное исследование технологического процесса
начинается с изучения связей между его входными и выходными
параметрами, т. е. с разработки статической модели процесса. Затем
исследуются изменения параметров объекта и связей между ними во
времени, что составляет уже предмет экспериментального изучения
динамики объекта.
194
Следует отметить, что эксперименты, проводимые для получения
статических характеристик, также протекают во времени. Однако
поскольку исследователя интересует только факт зависимости
выходных величин объекта от входных, то время эксперимента
исключается. Осуществляется это тем, что отсчеты производятся через
значительные промежутки времени, и тогда результаты измерения
некоторой величины хх в момент времени tx и величины х2 в момент
времени t2 оказываются некоррелированными, при условии,
конечно, что разность t2 — tx достаточно велика.
В последующем изложении рассматриваются только статические
модели стохастических процессов. Построение динамических моделей
стохастических процессов относится к специальным вопросам,
которые изложены, например, в монографиях [30, 34].
§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ Предпосылки к построению моде-
модели объектов на основе лей. При составлении математиче-
пассивного эксперимента ских моделей объектов, входные
параметры которых измеряются,
но не поддаются управлению либо их изменение ограничивается
технологическим режимом, используется пассивный эксперимент.
Суть его заключается в том, что исследователь, занимая
«пассивную» позицию, собирает некоторый объем экспериментальных
значений факторов хс и выходного параметра уи, которые обычно
записывает в таблицу исходных статистических данных (см.табл. 11).
К организации пассивного эксперимента предъявляются
определенные требования [33, 34, 44], выполнение которых обеспечивает сбор
доброкачественного статистического материала (например,
значения xiu и уи следует фиксировать в установившемся режиме,
одновременно).
Для получения статистических математических моделей в виде
полиномов на основе статистических данных, собранных при
пассивном эксперименте, в инженерной практике пользуются методами
корреляционного и регрессионного анализа. В процессе построения
статистической модели эти методы позволяют решить следующие
основные задачи:
а) выяснить, насколько удачно выбрана форма уравнения
регрессии;
б) вычислить коэффициенты регрессии для выбранного полинома;
в) определить наличие связи между выходным параметром у и
факторами xiy оценить количественно силу этой связи;
г) проверить точность вычисления коэффициентов регрессии
b0, bu ..., Ъп (оценить их значимость);
д) установить адекватность уравнения регрессии реальному
процессу.
Корреляционный и регрессионный анализ базируются на
теории вероятностей и математической статистике. Корректность
результатов обработки данных пассивного эксперимента при помощи
7*
195
методов корреляционного и регрессионного анализа обеспечивается
соблюдением исходных предпосылок, принятых при разработке
указанных методов.
В основе корреляционного анализа лежит предпосылка о том,
что переменные величины у (выходной параметр) и х{ (факторы)
являются случайными величинами и между ними может
существовать связь особого рода, так называемая корреляционная связь, при
которой с изменением одной величины изменяется распределение
другой.
Регрессионный анализ предполагает связь случайной величины
у и неслучайных переменных х{. Применение метода регрессионного
анализа правомерно при выполнении следующих условий:
1) результаты наблюдений у19 у^..., уи представляют собой
независимые нормально распределенные случайные величины;
2) факторы х1у х2, ...л^,..., хп измеряются с пренебрежимо малой
ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у и
некоррелирован ы друг с другом;
3) оценки дисперсий s\, s|,..., s«,..., s% значений выходного
параметра у, полученных при одинаковых условиях (в параллельных
опытах) должны быть однородными.
Обработка экспериментальных статистических данных при
использовании корреляционного и регрессионного анализадает
возможность решить указанные выше задачи построения статистической
математической модели в виде уравнения регрессии (VIII.4).
Статистические модели в виде линейных полиномов. В
исследованиях объектов химической технологии во многих случаях связь
между выходным параметром и факторами можно аппроксимировать
линейной зависимостью. Распространенность линейной зависимости
в инженерных расчетах связана с распространенностью так
называемого «закона равномерного накопления», когда изменение
некоторой величины у не зависит от запаса величины х. Кроме того,
приступая к исследованию процесса, априорных данных о котором
недостаточно, исследователи начинают с самых простых моделей
процесса, предполагая в дальнейшем введение соответствующих
поправок.
Рассмотрим простейшцй вид уравнения (VIII.4):
y = b0 + blXlt (VIII.5)
т. е. линейное уравнение с двумя неизвестными коэффициентами Ь0
и Ьх. Для определения модели (VIII.5) следует найти значения
коэффициентов Ь0 и Ьг. При отсутствии помех достаточно двух опытов,
чтобы решением уравнений
Ух = К + Vn> (Vln 6)
У 2 = К + Vl2
установить коэффициенты Ь0 и Ьг. Если исследуемая система
характеризуется линейной зависимостью и в ней не возникают помехи,
196
то все остальные экспериментальные данные должны укладываться
на прямую. Однако на практике всегда существует разброс
результатов, обусловленный влиянием случайных факторов. Тогда для
нахождения коэффициентов Ь0 и Ьг наблюдают N опытов и получают
переопределенную систему уравнений
Ух = Ь0 + Ьгхи,
у« о-г 1 и, (vni7)
Уы = Ь0 + Ьхх\ы.
В таком случае возникает задача усреднения экспериментальных
данных. Самым распространенным, хотя и не единственным,
способом усреднения является метод наименьших квадратов, который
содержит в себе требование минимума суммы квадратов отклонений
выходного параметра объекта и модели. Аналитически это
требование можно записать так
F=^(yu-y)' = mm (VIII.8)
или с учетом (VII 1.5)
F = I (Уи - bo - W = min- (VIH.9)
Выбор условия (VIII.8) является произвольным, хотя и достаточно
логичным. Доказано [33], что использование принципа наименьших
квадратов имеет ряд неоспоримых преимуществ как в простоте
вычислительных операций, так и в точности их результатов (при
достаточном объеме экспериментальных данных).
Таким образом, процедура нахождения коэффициентов
уравнения регрессии сводится к задаче определения минимума функции.
Известно, что необходимым условием минимума дифференцируемой
функции нескольких переменных является выполнение условия
равенства нулю частных производных функции по искомым
величинам (в данном случае по коэффициентам многочлена), то есть
-з£- = 2 2 (&.-А-&!*!«)i=o,
(VIII. 10)
OF
-мг = 2 2 (Уи — К — ViJ х1и = 0.
1 и=1
Перейдем к системе так называемых нормальных уравнений
«-1 «-1 (VIII. 11)
ьо 2 *i« + bi 2 *i« = S х1иУи,
ы=1 и=\ и=\
197
решение которой дает расчетные формулы для вычисления
коэффициентов Ь0, Ь±:
N N N
*! = -^ "7'» "^ > (VIH.12)
" 24,-24
N N N N
2j У и 2j x\u 2j х\иУи 2j *w
»« = Jf=LT u=iN Г1 • (VHi. 13)
Коэффициент fe0 проще найти по известному Ьг из первого
уравнения системы (VIII.11):
Ьо^У-Ьг*. (VIII. 14)
Уравнение (VIII. 14) показывает, что между коэффициентами Ь0 и Ьг
существует корреляционная связь.
Для оценки тесноты связи линейной зависимости используется
выборочный коэффициент парной корреляции ryXl9 который подсчи-
тывается по формуле:
N
£ (*ш — Х\) (Уи — У)
V.= "'(a,_„v, ■ (VI.U5)
где N — число экспериментов; хи у — средние значения фактора
и выходного параметра; sXl$ sy—средние квадратические
отклонения xlt у; при этом
*i = -rS^«' У=1Г^Уи' (Vin.16)
*х, = л/тг^т 2 {х*и - *i)2> sy = l/лг^т 2 (Уи - ~у)*-
(VIII. 17)
Как известно, коэффициент корреляции изменяется от —1 до
+1, т. е. | г | < 1, причем чем ближе гуХх к единице, тем сильнее связь
между исследуемыми величинами. Знак «плюс» коэффициента
^корреляции означает, что величины хх и у с точностью до случайных
погрешностей одновременно убывают или возрастают; знак «минус»
показывает, что величины хх и у изменяются в противоположном
направлении. В результате несложных преобразований имеем
г№ = ^Л- (VIIL18>
Тогда из уравнений (VIII.5), (VIII. 14) и (VIII.18) получаем еще одну
формулу записи уравнения регрессии
У-У = />,-?Ч*1-*|). (VIII. 19)
При расчете статистических зависимостей технологических
объектов чаще всего возникает необходимость найти линейную форму
связей п переменных
y = b0 + blXl + b2x2+ ..• +bnXny (VIII.20)
т. е. определить коэффициенты b0y bu ..., Ьп. Принципиально эта
задача не отличается от рассмотренного выше случая линейной
связи между двумя переменными. Однако возрастающие
вычислительные трудности заставляют прибегать к приемам, которые придают
процессу вычисления коэффициентов ряд особенностей.
Предположим, что проведен пассивный эксперимент и его
данные сведены в табл. 11, где N, как и ранее, число опытов; п — число
переменных факторов.
Выразим все переменные факторы в новом стандартизованном
масштабе, проведя нормировку всех значений случайных величин
по формулам:
</2 = ^; *?„ = i^L, (Viii.21)
где у°и , x°iu — нормированные значения выходного параметра и
факторов; */, xt — средние значения выходного параметра и факторов:
sy, sx. — соответствующие средние квадратические отклонения
У и xt:
Л/ 1 2 (*'« ~ Х№
i= 1, 2, ..., п\
и=1 2, ..., /V.
Из приведенных выше формул
видно, что в стандартизованном
масштабе началом отсчета для
каждого переменного фактора
принято его среднее значение, а
единицей измерения — величина
Таблица 11
№ опыта 1
1
2
3
и
N
Переменные факторы
*i
#12
#13
х\и
X\N
#1
$Хг
х2
#21
#22
#23
Х2и
X2N
Х2
xt
Xi
хи
#12
xi3
xiu
XIN
xi
sx
xi
xn
xn\
Xtl2
Хпз
xnu
xnN
xn
sx
Выходной
параметр
У\
У2
У2
У и
Ум
У
JnJ
199
среднего квадратического отклонения. Тогда в стандартизованном
масштабе все средние равны нулю, а дисперсии — единице, то есть
у» = о; x°t = 0; (VIII.22)
s20=l; s^=l. (VIII.23)
В результате нормировки, исходный статистический материал
выражается в новом масштабе, нормированные значения
переменных заносятся в таблицу, аналогичную табл. 11, и используются для
получения уравнения регрессии. В математической статистике
доказано, что уравнение регрессии между нормированными
переменными (в стандартизованном масштабе) не имеет свободного члена
и записывается так:
у» = а1х°1 + а2х°2+ ... +anxl (VIII.24)
Стандартизованный вид уравнения регрессии позволяет выявить
степень влияния каждого фактора на выходной параметр в одном
уравнении, а также сравнивать несколько уравнений, составленных
для различных объектов химической технологии. Выборочные
коэффициенты корреляции при использовании стандартизованного
масштаба имеют следующий вид:
N
v.; = тг=п • i^L-^ ~зт=т2^ (VIIL25)
'*>; =лг=-т2^/«; (Viii.26)
200
N N N N
чп 0 0 m-ч 0 0 , %~« 0 0. I жг-« 0 0
2 Уи^\и = «1 2 XluXlu + а* 2 Х{иХ2и + ' " +а«2 ХхиХпи,
и=1 и=1 м=1 и=1
N N N N
2 4&&I = fli S *2«*1« + «2 ^4иХ2и + ' • • + ал 2 *2и*2«»
ы=1 м=1 w=l w=l
Af N 0 О ^00 ^
2 9и*т = «1 2 A:"wXlM + а2 %ХпиХ2и + ' ' • + Ял 2 А:°"Л:""-
и=1 м=1 ы=»1 и=1
(VIII.29)
Используя уравнения (VIII.25) — (VIII.26), а также свойства
коэффициентов корреляции г 0 о = 1 и г 0 о = г 0 о, систему (VIII.29)
xixi xtXj xJxi
записывают через коэффициенты корреляции следующим образом:
г ух, = аг. 1 + fl^lXe + - • • + anrXlXn,
гУхг = ахГхЛ + а2. 1 + ... + a„/vnj (VIII.30)
^% = Vw + <V*„*. + ••• +an-l.
Выборочные коэффициенты корреляции, которые входят в
систему уравнений (VIII.30), должны быть статистически значимыми.
В математической статистике доказано, что условием значимости
коэффициентов корреляции является выполнение неравенства:
\rf/IZ2>t^N_2b (VIII.31)
V 1 - гух
где N — число опытов; tT — значение /-критерия, которое следует
находить по таблицам распределения Стьюдента для выбранного
уровня значимости q (например, q = 5%) и числа степеней свободы
/ = N — 2. Если в результате проверки по условию (VIII.31) какой-
либо коэффициент корреляции окажется статистически незначимым,
то его исключают из системы уравнений (VIII.30). Следовательно,
коэффициенты нормализованного уравнения регрессии (VIII.24)
а( определяются решением системы уравнений (VIII.30).
Процесс нахождения коэффициентов уравнения регрессии (VIII.20) удобно
выполнять, используя приемы матричной алгебры. При этом А'-матрицу
переменных факторов и К-матрицу наблюдений выходного параметра можно записать так:
II *oi *п • • • хп\ II Ух |
рва *12 • • • хпЛ hA i = о, 1, 2, . . . , п\
ЛГ-=1 ; К= : ; (VIII.32)
|. . . . Xiu . . . \\Уи
IхON *W • • • xnN\ \Ущ
201
Если не переводить векторы X и Y в стандартизованный масштаб \ то для
получения системы нормальных уравнений необходимо умножить
транспонированную Л*-матрицу соответственно на исходные Х- и Г-матрицы.
|*01 *02 ••• Хм\ 11*01 *11 ••• *пА II (00) (01) ... (0Л)|
Хц #12 • • • xipj *02 х12 • • • хпч 1(10) (11) ... (l/i)
*** = х . = ;
\Хп\ Хп2 ••• XnN\\ lxQN X\N ••• *niv|l |(я0) (ttl) ... (лл) |
(VIII.33)
11*01 *02 ••• *<w| 1^1 II \(°УЦ
*11 *12 ••• X\NVi l/2 0#)l
**K = Iх Г IH ' Г (VIH.34)
* 'I
Iхnl Xn2 ••• */zJv| 1^1 \Wl
где (t*/) = (ji)— элемент информационной матрицы Х*ХЧ стоящий на пересечении
N
f-й строки и /-го столбца и равен (ij) = 2 xiuxiu-
Например, элемент матрицы Х*Х при /= 1, /= 0 записывается так: (10) =
N N
а 2*1и*о«* Аналогично для матрицы X* Y— (iy) = S хшУи-
В матричной форме система нормальных уравнений имеет вид:
(X*X)B=X*Y. (VIII.35)
Матрица X* Y симметрична; если умножить уравнение (VI 11.35) на обратную
матрицу (Х*Х)~1у то найдем
(Х*ХГ1 (Х*Х) В = (Л-**)"1 (X* У). (VIII. 36)
Учитывая, что
(Х*Х)~1 (Х*Х) = £, (VIII.37)
где Е — единичная матрица, получим
В = (ЛГ**)"1 (X* Y). (VIII.38)
Здесь обратная матрица (Х*Х)~~1 с элементами сц вида:
С00 С10 • • • СП0
с01 сп ... сп1
(Х*Х)~1 = (VIII.39)
.... Oft . . J
II соп с\п - • • спп II
Из выражений (VI 11.34), (VI 11.38) и (VI 11.39) следует, что интересующие
нас коэффициенты регрессии (элементы матрицы В) определяются общим
выражением
п
h = 2 СП Ш *. / = 0, 1, 2, . .., п. (VIII.40)
/-0
1 Стандартизация экспериментальных данных в принципе не изменяет вывода.
202
Например, если i = 0, то
ьо = с00(0у) + с10(\у) + с20(2у)+ ... +спо(пу)~
N N N
== соо Zj хоиУи + сю ^j *ih#« + •' * + спо ^j хпиУи-
Переход к обычному виду уравнения регрессии в натуральном
масштабе (VIII.20) осуществляется по формулам:
bt = at -J*-; ft0 = у - 2 *Л- (VIH.41)
Sxi м
После вычисления оценок коэффициентов регрессии b0, bl9..., йл
необходимо проверить их точность, т. е. убедиться, случайно или
значимо каждый из вычисленных по статистическим данным Ь{
отличается от нуля (проверка нуль-гипотезы о равенстве нулю
генерального параметра р, = 0). Наиболее подробно о проверке
статистических гипотез изложено, например, в литературе [33,
43, 49].
Оценить значимость коэффициентов регрессии позволяет метод
регрессионного анализа, одна из предпосылок которого
предполагает отсутствие корреляции между факторами. При этом для
проверки значимости коэффициентов регрессии следует найти отношение
абсолютного значения коэффициента к его среднему квадратическому
отклонению U. = -L-LL и сравнить его с критерием значимости.
В математической статистике доказано, что каждое из таких
отношений является случайной величиной, которая имеет распределение
Стьюдента. Поэтому в процедуру проверки значимости
коэффициентов регрессии Ьс включается составление отношений tb. и сравнение
их со значением /-критерия, которое находят по таблицам
распределения Стьюдента для выбранного уровня значимости q (например,
q = 5%) и числа свободы /, то есть
-^- = Ч>^>- (VHI.42)
Если условие (VIII.42) соблюдается, то коэффициент bt значим
(нуль-гипотеза р, = 0 отвергается).
В практических расчетах нередко возникают трудности в
определении Sbr В теории регрессионного анализа доказывается, что
Однако при большом числе факторов пользоваться этой формулой
весьма затруднительно. Для определения коэффициентов Sb0 и Sbt
203
в простейшем случае (линейная зависимость от одного фактора у =
= ^о + ^Л) формула (VII 1.43) имеет конкретный вид:
.*S*?.- 2*«
Г "24,- 2Н
где So — дисперсия опыта (дисперсия воспроизводимости). При
числе факторов п > 2 подобные формулы из-за громоздкости не
используются и регрессионный анализ применяется в матричной форме,
а расчет выполняется на ЭЦВМ.
Для установления тесноты связи выходного параметра у и
факторов xt вычисляется коэффициент множественной корреляции
Я = У<*1Г»хг + <*2Гухя+ ••• +<Wv (VIII.44)
Если для определения коэффициентов парной корреляции гу*
взята выборка небольшого объема, то величина /?, вычисленная по
формуле (VI 11.44), покажет преувеличенную силу связи вследствие
систематической ошибки. Чем меньше число степеней свободы
выборки f = N — /, тем больше преувеличивается сила связи,
оцениваемая коэффициентом множественной корреляции R. Для
коррекции значения R рекомендуется формула:
R* = ]/l_(l_^)^i, (VIII.45)
где R* — скорректированное значение коэффициента
множественной корреляции; N — число опытов (объем выборки); / — число
связей, наложенных на выборку (для линейного полинома (VIII.20)
/ = п + 1 при числе факторов п).
Следует иметь в виду, что величина R будет мала, если не все
факторы, влияющие на у, введены в уравнение статистической
модели. Чем полнее учитываются переменные факторы выбранным
уравнением регрессии, тем ближе коэффициент множественной
корреляции к единице.
Когда величина R значительно отличается от единицы, в
уравнение регрессии необходимо вводить дополнительные переменные,
вновь находить коэффициенты уравнения регрессии и подсчитывать
величину коэффициента множественной корреляции. Отметим, что
причиной малости R может быть также нелинейность связи между
исследуемыми переменными. В этом случае следует заменить
линейный полином на уравнение вида (VIII.4) и применить
соответствующий метод обработки опытных данных.
204
При линейной связи между переменными коэффициент
множественной корреляции (VII 1.44) также ориентировочно оценивает
адекватность линейного уравнения регрессии, т. е. соответствие
полученной математической модели исследуемого объекта
экспериментальным данным.
Окончательная проверка адекватности модели проводится при
помощи статистических критериев, в частности, критерия Фишера.
Считается, что уравнение регрессии адекватно описывает
исследуемый процессе, если остаточная дисперсия s^cr выходной величины
уи% рассчитанной по уравнению регрессии относительно
экспериментальных данных ую не превосходит в статистическом смысле
ошибки опыта ($.
Остаточная дисперсия вычисляется по формуле:
&T=-f ^{Уи-Уи)\ (VHI.46)
где f = (Nm — I) — число степеней свободы; N — количество
опытов; т — число параллельных опытов; Nm — общее количество
опытов, результаты которых используют при подсчете
коэффициентов регрессии [50]; / — число связей (для линейного полинома / =
= п + 1, п — количество факторов).
Чтобы определить дисперсию опыта So (дисперсию
воспроизводимости), необходимо иметь несколько значений выходного
параметра, измеренных при одинаковых условиях (при тех же значениях
факторов). С этой целью проводятся параллельные (дублирующие)
опыты, и значения yuk в т параллельных опытах записываются в
отдельные графы таблицы исходных статистических данных. Затем
вычисляются выборочные дисперсии £и s|f ..., s2u,..., s% для каждой
группы параллельных опытов по формуле:
sl = ^±T^(yuk-yu)2, (VIII.47)
где т — число параллельных опытов (i « 1, 2, ,„, /я); ^ — экс-
— 1 т
периментальные значения выходного параметра; уи = — 2to —
т k=\
среднее значение выходного параметра по результатам
параллельных опытов.
Если выборочные дисперсии по каждой группе параллельных
опытов s2u sl9 ..., s2uy ..., s2N однородны \ то ошибка опыта (дисперсия
1 Однородность дисперсий Sp s\, ..., £N — одна из предпосылок регрессионного
анализа. Проверка однородности указанных дисперсий проводится при
использовании критерия Кохрена (см. с. 221).
205
воспроизводимости) вычисляется так:
N
sl = J^- . (VIII.48)
Число степеней свободы, характеризующее эту дисперсию, / =
= N (т— 1).
Линейное уравнение регрессии адекватно описывает
исследуемый объект, если выполняется неравенство
F = -22- < FT{fuf2h (VIII.49)
so
где FT — значение критерия Фишера (^-критерия), которое
следует находить по таблицам распределения Фишера для выбранного
уровня значимости q (в технических исследованиях обычно q =
= 5%), степеней свободы числителя fx = Nm — / = Nm — п — 1
и знаменателя f2 = N(m — 1). Сокращенная таблица значений
/♦'-критерия приведена в приложении 3 (подробнее в [35, 36,491). Если
Soct < so, т. е. ~^- < 1, то неравенство (VIII.49) всегда выполняет-
ся, поскольку все табличные значения критерия Фишера больше
единицы.
При соблюдении условия (VIП.49) можно считать, что
полученное уравнение регрессии адекватно, и это дает основание
исследователю остановиться на выбранных факторах #!, х2, ..., хп. В
противном случае число учитываемых факторов нужно увеличить или
заменить линейное уравнение регрессии нелинейным.
Если параллельные опыты осуществить не удается, то
рассчитать дисперсию опыта So не представляется возможным. Тогда вместо
проверки адекватности составленного уравнения регрессии
производится оценка качества аппроксимации опытных точек принятым
уравнением регрессии, т. е. проверяется, имеет ли это уравнение
смысл. Такая проверка достигается сравнением остаточной
дисперсии Sqct и дисперсии относительно среднего s2yy которая вычисляется
по формуле:
4 = тггт2 <*«-£)•. <VIIL5°)
где sl — дисперсия выходного параметра относительно среднего;
уи — экспериментальные значения выходного параметра; у =
= -дг 2 Уи — среднее значение выходного параметра в N опытах.
Уравнение регрессии имеет смысл, если дисперсия относительно
среднего s2y существенно больше, чем остаточная дисперсия 4ст» т. е.
206
Таблица 12
указанные дисперсии должны
отличаться значимо. Критерий
значимости (критерий Фишера) в этом
случае будет иметь вид
дисперсионного отношения:
F=-5L->1.(VIII.51)
SOCT
Условие, при выполнении
которого считают, что уравнение
имеет смысл, выражается
неравенством:
F>F«fuf* (VIIL52)
где FT — значение критерия
Фишера, которое находят по
таблицам распределения Фишера для степеней свободы ft = N — 1 и
/2 = N — / = N — п — 1 при выбранном уровне значимости q.
Если условие F > FT соблюдается, то уравнение регрессии имеет
смысл, так как дисперсии s2y и slCT отличаются не случайно, а зна-
чимо. В этом случае критерий F = -~- > 1 показывает, во сколько
ост
раз уменьшается рассеивание относительно полученного уравнения
по сравнению с рассеиванием относительно среднего. Чем больше
значение F превышает /ч^Л)» тем эффективнее уравнение регрессии.
Пример 16. Требуется составить математическую модель в виде
линейного полинома для некоторого объекта, имеющего два входных
параметра и один выходной
У=*о+&1*1 + *Л-
Экспериментальные данные заданы табл. 12 (параллельные опыты
в исследовании осуществить не удалось, т. е. т = 1).
Решение. 1. Найдем средние значения переменных и их
средние квадратические отклонения по формулам (VIII. 16), (VIII. 17):
*i = 3,0; *2 = 4,0; у = 11,0;
sXl = 1,8257; sXa = 2,3094; sy - 6,2982.
2. Определим значения всех переменных в стандартизованном
масштабе по формулам (VIII.21) и запишем в табл. 13.
3. Рассчитываем коэффициенты парной корреляции по формулам
(VIII.25), (VIII.26) и получаем систему уравнений (VIII.30):
0,65550 = ах • 1 + а2 - 0,55339;
0,43935 = ах • 0,55339 + а2. 1,
откуда аг = 0,59440 и а2 = 0,11042.
опыта
1
2
3
4
5
6
7
2
Факторы
*\
1
4
1
2
3
4
6
21
х2
3
2
5
1
4
5
8
28
Уи
5
13
9
4
11
12
23
77
Уи
5,44501
10,43406
8,11980
4,87905
11,00000
14,44623
22,67602
(Уи-'уиА
0,19804
6,58405
0,77475
0,77273
0,00000
5,98404
0,10496
14,41858
207
Таблица 13
JSfe опыта
1
2
3
4
5
6
7
2
о
—1,09544
0,54774
—1,09544
—0,54772
0,00000
0,54772
1,64320
0
*2
—0,43301
—0,86602
0,43301
—1,29903
0,00000
0,43301
1,73204
0
У
—0,95265
0,31755
—0,31755
-1,11143
0,00000
0,15878
1,90531
0 0
У *1
1,04357
0,17393
0,34786
0,60875
0,00000
0,08697
3,13075
5,39183
0 0
У *2
0,41251
—0,27500
—0,13750
1,44378
0,00000
0,06875
3,30007
4,81261
0 0
ххх2
0,47434
—0,47434
-0,47434
0,71150
0,00000
0,23717
2,84604
3,32037 ;
4. Находим коэффициент множественной корреляции по
формуле (VIII.44)
R -- 1/0,59440.0,65550 +0,11042 . 0,43935 - 0,5539.
5. Переходим к уравнению в натуральном масштабе, пользуясь
формулами (VI 11.41)
Ь± = 2,0505; 6, = 0,3011;
Ь0 = 11 — (2,0505 . 3 + 0,3011 • 4) = 3,6439.
Итак, составлено уравнение регрессии вида:
у = 3,6439 + 2,0505*! + 0,3011х2.
Значения выходного параметра, вычисленные по этому уравнению
регрессии, занесены в табл. 12. Остаточная дисперсия,
подсчитанная при т = 1 по формуле (VI 11.46) и данным табл. 12, равна 11,4652.
Дисперсия опыта (дисперсия воспроизводимости) si = 1,38010
(рассчитана по повторным измерениям в одной из экспериментальных
точек — т0 = 4; вычисление si в данном примере не приводится).
Рассчитываем ^-критерий и сравниваем его с FT по выражению
(VIII.49)
г sqct 11,4652 ъъ Р Q1
F = —T-= 1,3801 -8>3<^т = 9,1,
где FT = 9,1 —значение критерия Фишера для степеней свободы
f1== N — п— 1 = 7 — 2— 1=4, /2 = т0 — 1=4— 1=3
взято из приложения 3 для уровня значимости q = 5%.
Таким образом, найденное уравнение регрессии
удовлетворительно описывает изучаемый объект. Как показывает практика
научных и инженерных исследований, для объектов химической тех-
208
нологии иногда удается ограничиться линейной формой уравнения
регрессии.
Статистические модели в виде нелинейных полиномов. При
составлении статистических моделей объектов химической технологии
нередко возникает необходимость использовать нелинейную форму
связи, чаще — параболу второй, третьей или более высоких
степеней, реже — логарифмическую, гиперболическую, степенную или
показательную функциональные зависимости. В таких случаях
применяют метод регрессионного анализа, который с учетом
особенностей конкретных объектов приобретает ту или иную разновидность.
Чаще всего используют так называемый метод классического
регрессионного анализа для составления статистической модели в виде
полинома второй (или более высокой) степени, т. е. уравнение типа
(VIII.4).
Определение коэффициентов в уравнении (VIII.4), например,
для полинома второй степени при п переменных, производят
приемами, аналогичными рассмотренным ранее. Однако в этом случае не
требуется находить выборочные коэффициенты корреляции, которые
при нелинейной форме зависимости между исследуемыми
переменными теряют смысл [331. Итак, если степень полинома выбрана
заранее, то коэффициенты регрессии определяются по методу
наименьших квадратов, а исследование уравнения проводится по
статистическим критериям (в частности, адекватность модели
устанавливается по критерию Фишера, как и в случае линейной регрессии).
Метод классического регрессионного анализа достаточно
успешно применяется при составлении математических моделей химико-
технологических, металлургических и других процессов. Конкретные
разработки по этому методу приводятся в работах проф. В. В. Нали-
мова и его школы, опубликованных в журнале «Заводская
лаборатория» и в специальных сборниках, посвященных статистическим
методам обработки результатов экспериментов.
Метод Брандона. Если на основании предварительных
исследований примерно известен качественный характер влияния каждого
фактора х( на выходной параметр у (линейная или нелинейная
зависимость), то можно применять метод Брандона [34]. Метод
предполагает, что аппроксимирующая функция имеет вид:
п
У = Vi (*i) /2 (*«) • •. fn M = к П ft (*i)> (VI11.53)
где X — константа. Для удобства проверки расчета X принимается
равной среднему экспериментальных значений входного параметра
*.= 4"2Л = У. (VIII.54)
Чтобы увеличить точность обработки результатов наблюдений,
функции fi (xc) в выражении (VIII.53) следует располагать в поряд-
209
ке убывания влияния факторов х( на у. Расчеты начинают с того,
что нормализуют экспериментальные данные уиу разделив их на у\
Уи = — , и = 1, 2, ... , N. (VIII.55)
Дальнейшие операции по расчету составляющих функций ft (х£)
выполняют в следующем порядке.
1. На график наносят нормализованные значения у*и в
зависимости от значений х\и.
2. Анализ графика с учетом априорных сведений о свойствах
исследуемого объекта дает возможность выбрать вид первой
составляющей функции (VIII.53) — /х (х^. В простейшем случае
используют линейную функцию (уравнение регрессии)
/i(*i)=b01 + ftu*i. " (VIII.56)
3. Методом наименьших квадратов или любым другим методом
определяют числовые значения коэффициентов уравнения (VIII.56).
4. Из нормализованных значений выходного параметра ^у*и
исключают Д (хг) — значения первой составляющей функции у:
^ = w- (VIIL57)
5. Строят график первой остаточной функции уи\ от значений
фактора х2 и определяют вид второй составляющей функции /2 (х2).
Выбирают уравнение регрессии, которое может быть в простейшем
случае линейным
M*s)=*o2 + *ia*a (VIII.58)
и для конкретного уравнения рассчитывают коэффициенты
(например, Ь02 и Ь12 для уравнения (VIII.58)).
6. Из значений уи\ исключают /2 (х2) — значения второй
составляющей функции (VI 11.53):
*«=w (VIII-59>
7. В такой последовательности расчет повторяют до тех пор,
пока не будут определены составляющие последней остаточной
функции
-~Ш- (VI,,-60)
которая при такой последовательности расчета должна быть близка
к единице.
Найденные составляющие функции f( (x{) включают в уравнение
(VIII.53). Подстановкой экспериментальных значений хш (и =
= 1,2, ...,#; i= 1,2, ..., п) получают расчетные значения уи
аппроксимирующего уравнения (VIII.53), а затем проверяют адекватность
математической модели по известной уже формуле (VI 11.49) с при-
210
Таблица 14 Таблица 15
опыта
1
2
3
4
5
6
2
Уи
0,9841
0,9841
1,0476
0,9524
0,9682
1,0634
5,9998
*\и
10
15
12
18
11
10
76
ЧиУи
9,841
14,762
12,571
17,143
10,650
10,634
75,601
2
х\и
100
225
144
324
121
100
1014
1 я
а
1
2
3
4
5
6
Экспериментальные данные
х\и
10
15
12
18
11
10
х2и
5
6
9
7
5
8
х3и | Чи | У и
0,3
0,4
0,2
0,1
0,4
0,4
25
27
30
32
30
25
0,62
0,62
0,66
0,60
0,61
0,67
Уи
0,6267
0,6169
0,6592
0,5993
0,6191
0,6705
менением критерия Фишера. Если условие (VIII.49) не соблюдается,
то следует повысить степень уравнений регрессии составляющих
функций или ввести дополнительные факторы.
Пример 17. Предварительные исследования объекта химической
технологии показали, что зависимость между каждым из 4-х
факторов и выходным параметром (табл. 14) можно представить
линейными уравнениями, т. е. записать их в виде:
/*(*<) = &и + *1Л-
Необходимо определить коэффициенты каждой составляющей
функции.
Решение. Аппроксимирующую функцию
У = Vl (*l) /2 (*2> /з (*з) h (*4>
будем искать по методу Брандона.
Нормализуем экспериментальные данные, для чего по (VIII.54)
подсчитаем у (или коэффициент X)
7 — 0,62 + 0,62 + 0,66 + 0,60 + 0,61 + 0,67 _ Л м
у — — и,оо
и по формуле (VIII.55) найдем у*и. Затем проведем все расчеты,
необходимые для составления линейного уравнения регрессии (VI 11.56),
и результаты запишем в форме табл. 15.
По формулам (VIII. 12) и (VIII. 13), полученным методом
наименьших квадратов, определяем ft01, bllf то есть
fi (*i) = ! »°"9 — 0,0077228*!.
На рис. 69, а изображена функция и точки у*и = /х (хг).
Далее строим значения остаточной функции уи\9 вычисленные
по формуле (VI 11.57), и заносим их в табл. Л6 вместе с данными
для расчета коэффициентов регрессии /2 (х2).
211
Рис. 69. Графики составляющих функций (к примеру 17).
Уравнение регрессии /2 (х2) — второй составляющей функции
у — имеет вид:
f2(x2) = 0,8585 + 0,02123х2.
На рис. 69, б нанесена функция и точки уи1 = /2 (х2). Подобную
процедуру повторяют для нахождения функции /3 (х3) и результаты
расчетов сводят в табл. 17.
Уравнение регрессии /3 (х3) — третьей составляющей функции
у — имеет вид:
/,(*,) = 0,9791 + 0,0694х3.
На рис. 69, в изображена функция и точки уи2 = f3 (x3).
Аналогично находим /4 (л:4) — четвертую составляющую функции
/\
у, пользуясь табл. 18, в которую для удобства занесены значения
остаточной функции уи3 и данные, необходимые для расчета /4 (*4).
Уравнение регрессии четвертой составляющей функции имеет
вид:
М*4>= 1,0466—0э001656*4.
Указанная функция и точки уи3 = /4 (х4) приведены на рис. 69, г.
Окончательно уравнение, описывающее исследуемый
технологический процесс, записывается в виде (VIII.53):
у(х19 х2У *„ *4) = 0,63(1,0999—0,007228^) х
X (0,«585 + 0,02123лг2)(0,9791 — 0,0694л:3)( 1,0466 —0,001656*4).
После подстановки в приведенное выше уравнение
экспериментальных данных xt получим значения уиУ которые занесены в табл. 14.
Сравнение экспериментальных и расчетных данных, т. е. проверку
адекватности модели, можно проводить способом, описанным в
примере 16.
212
Таблица 16
№ опыта
1
2
3
4
5
6
2
Уи
0,9841
0,9841
1,0476
0,9524
0,9682
1,0634
ft (*1и)
1,0206
0,9820
1,0052
0,9588
1,0123
1,0206
Уи\
0,9642
1,0021
1,0422
0,9933
0,9564
1,0419
6,0001
х2и
5
6
9
7
5
8
40
х2иУи\
4,8210
6,0126
9,3798
6,9531
4,7320
8,3352
40,2837
2
х2и
25
36
81
49
25
64
280
Таблица 17
№ опыта
1
2
3
4
5
6
2
Уи\
0,9642
1,0021
1,0422
0,9933
0,9564
1,0419
U (*2и)
0,9647
0,9859
1,0496
1,0071
0,9647
1,0283
Уи2
0,9995
1,0164
0,9929
0,9863
0,9914
1,0132
5,9997
х3и
0,3
0,4
0,2
0,1
0,4
0,4
1,8
хЗиУи2
0,29985
0,40656
0,19858
0,09863
0,39656
0,40528
1,80546
2
х3и
0,09
0,16
0,04
0,01
0,16
0,16
0,62
Таблица 18
№ опыта
1
2
3
4
5
6
2
Уи2
0,9995
1,0164
0,9929
0,9863
0,9914
1,0132
h (*3tf)
0,9999
1,0069
0,9930
0,9860
1,0069
1,0069
УиЪ
0,9996
1,0094
0,9999
1,0003
0,9846
1,0063
6,0001
Ни
25
27
30
32
30
25
169
* ЧиУиЪ
24,990
27,254
29,997
32,010
29,538
25,158
168,947
2
х4и
625
729
900
1024
900
625
4803
213
Заключение. 1. В рассмотренных методах форма уравнения
регрессии задавалась исследователем заранее, затем определялись
коэффициенты и проверялась адекватность уравнения регрессии
изучаемому процессу. Дополнение уравнения регрессии каждым новым
членом требует от исследователя полного пересчета уравнения
регрессии, что весьма трудоемко даже при реализации его на ЭВМ г.
Значительный интерес поэтому представляет задача выявления
уравнения регрессии с одновременным определением и степени
полинома. Такая задача может быть решена методом последовательных
приближений, когда в качестве приближения рассматривают члены
полинома, а в качестве критерия прекращения вычислений —
остаточную дисперсию каждого приближения.
Не останавливаясь подробно на методах решения указанной
задачи, отметим, что значительных успехов на пути ее решения можно
достигнуть, используя ортогональные полиномы Чебышева ср, (*),
/ = 1, 2,..., я. Тогда уравнение регрессии может быть записано в
форме
£ = Po%(*) + Pi<Pi(*)+ ••• +РпФп(*). (VIII.61)
Метод построения коэффициентов регрессии с применением
полиномов Чебышева [33] дает возможность при уточнении уравнения
регрессии вычислять коэффициент лишь для вновь присоединяемого
члена полинома, в то время как остальные коэффициенты
уравнения остаются прежними.
2. Пассивные методы сбора экспериментальных данных о работе
объектов химической технологии привлекают внимание многих
исследователей тем, что интересующая их информация поступает в
процессе нормальной эксплуатации объекта. Это преимущество
значительно облегчает постановку эксперимента на промышленных
объектах и не усложняет взаимоотношений между исследователями
и технологами. В период интенсификации разработок математических
моделей объектов химической технологии указанное преимущество
способствовало практическому внедрению регрессионного анализа
для целей изучения химико-технологических процессов на основе
пассивного эксперимента. Опыт, однако, показал, что
регрессионный анализ, примененный при обработке данных пассивного
эксперимента, не всегда приводит к эффективным результатам. И дело
здесь не в самой эффективности классических методов
регрессионного анализа, а в невыполнении исследователями его основных
предпосылок.
Действительно, исследователь, приступая к изучению
технологического объекта, включает в программу изучения большое число
переменных факторов, предполагая в дальнейшем отбросить неко-
1 Это очевидно при рассмотрении матричной формы определения коэффициентов
регрессии. Так, добавление строк и столбцов в информационной матрице X*Xt
вызванное появлением нового члена полинома, изменит элементы обратной
матрицы (с-,), а вместе с этим и коэффициенты регрессии — см. формулу (VIII.40).
214
торые из них с помощью критерия Стьюдента. При исключении
незначимых факторов часто не учитывают, что переменные факторы
коррелированы между собой (это особенно характерно для
пассивного эксперимента). После пересчета уравнения регрессии оценки
коэффициентов регрессии изменяются. И хотя это обстоятельство
не оказывает существенного влияния на величину выходного
параметра при использовании уравнения регрессии в качестве
интерполяционного, тем не менее применить его для целей управления
невозможно. Кроме того, требование регрессионного анализа,
состоящее втом, что факторы xt должны измеряться с пренебрежимо малой
ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у и быть
некоррелированными между собой, почти всегда нарушается при пассивном
эксперименте (ошибка в их измерении часто превышает интервал
изменения самих факторов).
Следует отметить, что моделирование многомерных
регрессионных задач, проведенное с помощью ЭВМ на искусственных
примерах [37], продемонстрировало влияние ошибок в измерении
факторов и правомерность процедуры отбрасывания факторов. В
результате этого исследования показано, что ошибки при измерении
факторов и их коррелированность между собой приводит к
значительному искажению исходного уравнения. Отсюда, конечно, не
следует, что нужно полностью отказаться от пассивных методов
исследования объектов химической технологии. Корреляционный и
регрессионный анализы продолжают оставаться действенным
средством текущего анализа производства. Но данных пассивного
эксперимента, собранных при значительных ограничениях, высоком
уровне помех и нередко низком уровне оснащенности
производства контролирующими приборами, явно недостаточно, чтобы
построить математические модели, пригодные для управления и
оптимизации технологических процессов [31].
§ з. статистические модели Перед регрессионным анализом
объектов на основе как методом получения матема-
активного эксперимента тических моделей стохастических
(полный и дробный процессов значительные перспек-
факторный эксперимент) тивы появились после введения
в процесс экспериментирования
активного начала. Идеи планирования эксперимента, впервые
предложенные английским математиком Фишером, заставили по-новому
подойти к процессу экспериментирования. Пассивная позиция
исследователя сменилась активной постановкой оптимального плана по
управлению процессом эксперимента. Результаты такого
эксперимента обрабатывают по некоторому оптимальному алгоритму с
целью составления математической модели процесса в виде
линейного полинома (методы полного и дробного факторного эксперимента)
или нелинейного полинома (метод рототабельного планирования
эксперимента). Полученные таким образом математические модели, как
215
Таблица 19 уже отмечалось, эффективно ис-
Матрица планирования ПФЭ типа 22 пользуются при оптимизации и
управлении исследуемого процесса.
Полный факторный
эксперимент (ПФЭ). Сущность
факторного эксперимента состоит в
одновременном варьировании всех
факторов при его проведении по
определенному плану,
представлении математической модели
(функции отклика) в виде
линейного полинома и
исследовании последнего методами
математической статистики.
Построение плана факторного
эксперимента лучше всего
проиллюстрировать на примере. Предположим, что объектом
исследования является реактор, в котором выход продукта у (выходной
параметр или параметр оптимизации) зависит от двух факторов —
температуры в реакторе хг и давления в нем #2. При этом известно, что
изменение температуры от 60 до 80° С и давления от 1 до 1,5 атм
вызывает изменение выхода продукта. Обозначим максимальные и
минимальные значения факторов хг и х2 символами +1 и —1. Тогда все
возможные комбинации факторов при варьировании на двух
уровнях (минимальном и максимальном) будут определены четырьмя
опытами. Такой план экспериментов принято записывать в виде
матрицы планирования (табл. 19).
Во второй графе таблицы приведены значения фиктивной
переменной х0 (тождественно равной +1), которая понадобится при
вычислении свободного члена полинома. В первой строке таблицы
спланирован первый опыт, когда факторы хх и х2 находятся на
верхнем уровне, во второй строке — второй опыт при хг на нижнем и х2 —
на верхнем уровне и т. д.
Обозначения верхних и нижних уровней факторов символами
+ 1 и —1, фактически соответствуют кодированию факторов по
формуле:
*<=Т^' (VIH.62)
где х( — кодированные значения 1-го фактора (на верхнем или на
нижнем уровне); Xi0 — нулевой уровень натуральной переменной;
X, — верхний или нижний уровень натуральной переменной; АХ^ —
интервал варьирования натуральной переменной.
Пользуясь планом — табл. 19, можно после проведения
эксперимента определить коэффициенты линейного уравнения регрессии
y = b0+blXl+b2x2. (VIII.63)
опыта
j 1
2
3
4
*0
+1
+1
+1
+1
Планирование
хх
+ 1
— 1
+ 1
— 1
хг
+1
+1
—1
—1
Выходной
параметр
Уи
У\
Уг
Уь
Уа
216
Теперь, когда принцип построения плана факторного
эксперимента разъяснен, введем несколько определений.
Уровнем фактора называют такое значение фактора, которое
должно фиксироваться при проведении эксперимента. В данном
примере уровнями факторов будут 60 и 80° С, 1 и 1,5 атм.
Нулевой уровень, или нулевая точка, фактора — это некоторое
начальное значение фактора при составлении математической
модели процесса. Нулевыми уровнями, или центром эксперимента,
в рассмотренном примере являются 70° Си 1,25 атм.
Интервалом варьирования называют часть области определения
фактора, выбранную симметрично относительно его нулевого уровня.
» Правильный выбор центра эксперимента, интервалов и уровней
варьирования факторов имеет решающее значение для
действенности построенной математической модели, поскольку конечная цель
математического моделирования — оптимизация технологического
процесса.
Идеальным случаем при выборе нулевых точек факторов
является «попадание» центра эксперимента в область оптимальных
значений выходного параметра. Но такое выгодное обстоятельство
возможно лишь при очень высоком уровне априорной информации, на
который трудно рассчитывать при современном темпе исследования
и внедрения технологических процессов. Поэтому если имеется
некоторый опыт управления объектом исследования, то можно
принять в качестве нулевого уровня те величины факторов, которые
дали наилучшее значение выходного параметра.
Основное требование к интервалу варьирования состоит в том,
чтобы он не превышал удвоенной средней квадратической ошибки
фактора. Это требование связано с тем, что интервал между двумя
соседними уровнями должен значимо (неслучайно) влиять на
выходной параметр. Обычно интервал варьирования выбирается на
основании априорной информации и затем уточняется после получения
математической модели. Удачный выбор интервала варьирования
факторов гарантирует достоверность математической модели
объекта. Если интервал варьирования выбран неудачно, то его уточнение
потребует повторения экспериментов.
Важным элементом разработки плана эксперимента является
выбор числа уровней для каждого фактора. Наибольшее
распространение получило планирование факторов на двух уровнях, когда в
качестве уровней используются верхняя и нижняя границы
интервала варьирования. Постановка опытов по таким планам носит
название двухуровневого полного факторного эксперимента типа 2П,
где п — число факторов. Тогда для двух факторов число
экспериментов равно 22 = 4, для трех — 23 = 8 и т. д.
Двухуровневый план весьма эффективен особенно при п > 3,
когда для проверки адекватности модели располагают достаточным
количеством степеней свободы /, т. е. имеется превышение числа
опытов N над числом определяемых коэффициентов модели (п + 1).
217
Например, при плане 23, т. е. N = 8, f = N — (п + 1) = 8 — 3 —
— 1 = 4, а при плане 2б: / = 32 — 5 — 1 = 26.
Матрицей планирования называют план (типа табл. 19),
содержащий запись всех комбинаций факторов или части их в
кодированной форме. В частности, табл. 19 представляет собой матрицу
планирования для двух факторов на двух уровнях. Составление
матрицы планирования ведут на основе некоторых принципов
оптимальности. В инженерной практике таковыми являются
принцип ортогональности и принцип рототабельности.
Принцип рототабельности предполагает минимум дисперсии
предсказанного значения выходного параметра в любой точке
факторного пространства при равенстве дисперсий в точках,
расположенных на одинаковом расстоянии от центра плана [31 ]. Это требование
эквивалентно независимости дисперсии выходного параметра от
вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума
градиентными методами.
Принцип ортогональности позволяет при расчете
коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов
использовать следующие свойства:
n
2 XtuXiu = 0, i, J = 1, 2, ... , /2, [ф\\ (VIII.64)
N
2 хш = 0, i = 1, 2, ... , п; (VIII.65)
N
2 х?„ = #, I = 1, 2, ... , п. (VIII.66)
Условие, выраженное уравнением (VIII.64), называется
свойством ортогональности.
В уравнениях (VIП.64) — (VIII.66) п — число факторов, N —
число опытов, и — номер опыта (и = 1, 2, ..., N).
Подставив конкретные значения факторов матрицы (табл. 19)
в условия (VIII.64) — (VIII.66), можно показать, что полный
факторный эксперимент является ортогональным. Более того, в
математической статистике доказано, что он является и рототабельным,
и, как следствие рототабельности, дисперсии коэффициентов
регрессии не только минимальны, но и равны друг другу [31 ].
Выполнение условия (VIII.64) матрицей планирования ПФЭ легко проследить
на конкретном примере, используя понятия матричной алгебры. Рассмотрим план
типа 22 (табл. 19), для которого ^-матрица наблюдений и К-матрица-столбец
наблюдений имеют вид:
II + 1 + 1 + 1 | II ft II
Х= +1 ~* +1 I; К=Р2 l (VIII.67)
+ 1 +1 — М ft
I + 1 - 1 - 1 I I ft II
218
2ia
Найдем произведения матриц Х*Х и X* У:
II + 1 + 1 + 1 + 1 и I + 1 + 1 + 1 I II 4 О О П
Х*Х = + 1 -1 +1 -1 X + 1 ~~1 +1 = 0 4 О ; (VIII.68)
I + 1 + 1 - 1 - 1 I * J ^ I IJ II О О 4 I
II 4 II
2j У"хои
II ил II U==l
|| +1 +1 +1 +1II г М 4
X*Y= +1 -1 +1 -1X^=2^^. (VIII.69)
+ 1 +1 -1 -1 р "-1
II #4 У 4 |
2j Уихги
II к=1 И
Систему нормальных уравнений, согласно (VI 11.35), можно записать так:
II 4 II
/I Уихои
II 4 О О II | Ь0 В "7
О 4 О X bi I = I 2 Уи*хи • (VIII.70)
0 0 4 b2 U=l
" " 2 " 4 I
/ i УиХ2Ы
II Ы=1 ||
Для решения системы (VII 1.70) вычислим определитель (Л)
информационной матрицы Х*Х, присоединенную (союзную) матрицу М и обратную матрицу
(Х*ХГ1:
14 0 0 1
А = О 4 0=4-4 -4=64;
I 0 0 4 I
| 16 0 0 ||
М= 0 16 0 ; (VIII.71)
I) 0 0 16 1
II 16 II I! 1 Ц
Ь о о — о о
64 4
16 1
(Х*Х)-1 = \\ 0 —- 0 = 0 — 0 . (VIII.72)
64 4
16 1
О 0 0 0
II 64 || || 4 ||
Тогда искомая матрица-столбец В (решение уравнения (VI 11.70)) может быть
записана в окончательном виде так:
B = (X*X)~lX*Yt
то есть || ||
0 0 -2j УиХы*
4 "=1
Н 1 \ \ *
ЦП 1 Н
о о — ^ „ v
II 4 II ^j Уих2и
II w=l II
или
1 4 1 4 1 4
^о — -г- 2 #"*ош &i = -т- 2 У«*1"'» 62 = -т- 2 Уи^и- (VIH.74)
ы=1 м=1 ы=1
Итак, условие (VI 11.64) для матрицы ПФЭ выполняется: информационная
матрица нормальных уравнений Х*Х диагональна, все диагональные элементы
этой матрицы равны N, все диагональные элементы обратной матрицы (Х*Х)~1
равны ■=■ . Тогда формула (VI 11.40) примет вид
си N
1 N
bi - си № = -jj- 21 хшУи, 1 = 0,1,2 я. (VIII.75)
Таким образом, выбор матрицы планирования полного
факторного эксперимента при использовании в качестве модели полинома
первой степени обеспечивает оптимальное планирование в силу
следующих свойств:
а) все расчеты и вычисления проводятся крайне просто;
б) коэффициенты регрессии определяются независимо друг от
Друга;
в) дисперсии всех коэффициентов регрессии равны и
минимальны;
г) дисперсия выходного параметра не зависит от вращения
системы координат в центре плана, а зависит только от радиуса
исследуемой сферы факторного пространства — свойство рототабель-
ности [491.
В приложении 5 приведена последовательность достраивания
матриц ПФЭ от 22 до 26.
После построения матрицы планирования приступают к
проведению экспериментов. Поскольку на изменение выходного
параметра оказывают влияние помехи, план чаще всего реализуют
несколько раз (параллельные опыты) и получают т значений выходного
параметра, которые затем усредняют. Первоначальное число
параллельных опытов, как правило, принимают т = 2 -г- 4. При
проверке воспроизводимости число параллельных опытов уточняется (если
это требуется). Затем результаты экспериментов обрабатываются и
220
анализируются. Расчет коэффициентов регрессии проводится по
формулам г:
1 N
К = -jr 2 х0иди, (VI 11.76)
N
** = 4- S *1иУш «= 1, 2 nf (VIII.77)
1 "
Ь// = -it 2 *ш*,л, * ¥= /; *\ / = о, 1, 2, ..., л,
(VIII.78)
где Ьц — коэффициент регрессии, характеризующий
взаимодействие факторов xiuXfu.
Из формулы (VIII.76) видно, что свободный член уравнения
регрессии равен среднему арифметическому всех значений выходного
параметра, а из формул (VIII.77) и (VIII.78) вытекает, что для
расчета других коэффициентов регрессии необходимо в каждом
случае приписать значениям выходного параметра знаки
соответствующего столбца матрицы планирования, произвести алгебраическое
суммирование и разделить на число опытов.
После вычисления коэффициентов регрессии переходят к
статистическому анализу уравнения регрессии, который состоит из трех
основных этапов: 1) оценка дисперсии воспроизводимости (или
оценка ошибки опыта), 2) оценка значимости коэффициентов уравнения
регрессии и 3) оценка адекватности модели.
Основой суждения об ошибке опыта являются параллельные
олыты, которые можно ставить либо в центре эксперимента, либо в
каждой точке факторного пространства. Последнее осуществляют
в том случае, когда существуют подозрения, что дисперсии
выходного параметра в дублирующих опытах неоднородны. Выборочные
дисперсии для каждой группы параллельных опытов, как
указывалось ранее, находят по формуле (VI 11.47).
Проверку однородности дисперсий можно проводить по критерию
Кохрена в случае равенства числа параллельных опытов для
каждого условия опыта (для каждой строки матрицы планирования).
Критерий Кохрена рассчитывают по формуле:
2
^Лпач —
S7,
N 2 ' (VI 11.79)
ы=1
1 Благодаря свойству ортогональности (VI 11.64) система нормальных уравнений,
получаемая в результате использования метода наименьших квадратов,
превращается в систему независимых уравнений, из которых найдены формулы (VI 11.76)
и (VIII.77). Формула (VIII.78) записана по аналогии с (VIII.77), поскольку при
включении в матрицу планирования эффектов взаимодействия свойство
ортогональности сохраняется.
221
где s«max — максимальная из рассчитанных выборочных дисперсий
N
в т опытах; 2 & — сумма всех дисперсий по N опытам.
Если выполняется неравенство
Gmax<GT(fl,f2) (VIII.80)
для значений степеней свободы Д = m — 1, /2 = N и заданного
уровня значимости, например q = 5%, то гипотеза об однородности
дисперсии принимается. Тогда ошибка опыта si будет средним
арифметическим значением дисперсий в точках факторного пространства
N N m
si = ^ 2 si - тпгЬтг S 2 ы-йу. (viii.81)
Неоднородные дисперсии усреднять нельзя, поэтому если
условие (VI 11.80) не выполняется, то следует увеличить число
параллельных опытов.
Современная постановка исследований при планируемом
эксперименте в общем случае предусматривает отсеивание
несущественных факторов с тем, чтобы не вводить их в матрицу планирования.
Следовательно, все коэффициенты регрессии должны быть
значимыми. Однако статистический анализ найденного уравнения
регрессии все же включает проверку значимости как линейных эффектов,
так и эффектов взаимодействия, если они имеются (модель можно
получить в виде линейного или неполного квадратичного полиномов).
Это объясняется тем, что какой-либо коэффициент регрессии все же
может оказаться незначимым вследствие несовершенства
отсеивания несущественных факторов (из-за неудачного выбора интервала
варьирования или по другим причинам).
В соответствии со свойствами ПФЭ, дисперсии всех
коэффициентов регрессии должны быть равны. Поэтому в первую очередь
надо проверять значимость самых малых Ьь чтобы убедиться,
случайно или неслучайно (значимо) они отличаются от нуля. Как
указывалось ранее, для проверки такой гипотезы пользуются критерием
Стьюдента, который дает возможность убедиться, соблюдается или
не соблюдается неравенство (VI 11.42).
Таким образом, в процедуру проверки значимости коэффициентов
регрессии входит:
а) определение дисперсий коэффициентов регрессии s|., которые
при факторном планировании первого порядка для всех
коэффициентов регрессии равны и минимальны; для вычисления значений s£
пользуются формулой:
2 *о
\=-Ш> (VIII.82)
222
где N — число опытов, т — число параллельных опытов, Nm —
общее количество опытов;
б) составление отношений
здесь l/T"
в) проверка условия значимости по неравенству (VIII.42); при
этом tT следует находить по таблице распределения Стьюдента для
выбранного уровня значимости q и числа степеней свободы / =
= м (т— 1).
Если условие (VIII.42) выполняется, то проверяемый
коэффициент регрессии значимый и, наоборот, при несоблюдении
неравенства (VI 11.42) — коэффициент считают статистически незначимым,
т. е. равным нулю.
Если какой-либо из коэффициентов окажется незначимым, он
может быть выведен из состава уравнения без пересчета всех
остальных, так как при ПФЭ оценки несмешанные (коэффициенты
регрессии в этом случае некоррелированы друг с другом). Тем не менее при
сомнении в правильности выбора интервала варьирования
рекомендуется его расширить и повторить эксперимент. Если проверяемый
коэффициент Ь( все же окажется незначимым, его исключают из
уравнения регрессии.
Поскольку доверительные интервалы коэффициентов регрессии
в случае линейной и неполной квадратичной модели равны между
собой, то коэффициент регрессии можно считать значимым, если
его абсолютное значение превышает величину абсолютного
значения отклонения Д6,, то есть
|&,|>|ДЬ,|. (VIII.83)
При этом отклонение любого коэффициента регрессии можно
записать так:
А^ = ± Sb.tr. (VIII.84)
В практических расчетах для проверки значимости
коэффициентов bi наиболее часто используют выражения (VIII.83) — (VIII.84).
Чтобы проверить гипотезу об адекватности математической
модели, выраженной аппроксимирующим полиномом типа (VIII.20)
п
и объектом, представленным экспериментальными данными выход-
ного параметра уи, необходимо оценить отклонение1 (уи — уи) для
1 Если используются параллельные опыты, то вместо уи необходимо брать их
средние значения уи по группе опытов в строке матрицы планирования.
223
Таблица 20
*0
+
+
+
+
*1
+
—
+
—
*!
+
+
—
—
#3 == *1*2
+
—
—
+
*1*3
+
+
—
—
xtxz
+
—
+
—
ХхХ%хъ
+
+
+
+
Уи
Ух
У*
Уз
У*
Примечание. В этой и последующих таблицах единицы опущены с целью
более экономной записи матрицы планирования.
каждой комбинации факторов плана, т. е. рассчитать остаточную
дисперсию по формуле (VI 11.46) при /х = Nm — п — 1. Остаточная
дисперсия (или как ее называют в планировании эксперимента —
дисперсия адекватности) должна незначимо отличаться от
дисперсии, характеризующей ошибку опыта si (число степеней свободы,
характеризующее эту дисперсию f2 = N (т — 1)). Для сравнения
дисперсий вычисляют критерий Фишера и при соблюдении условия
(VI 11.49) для степеней свободы /1? /2 и уровня значимости q = 5%,
гипотеза об адекватности модели может быть принята.
Дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Полный факторный
эксперимент является весьма эффективным средством построения
математической модели исследуемого объекта, особенно при числе
факторов п > 3. Однако увеличение количества факторов
приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ типа 26 требует
постановки 64 опытов, а 27 — 128 опытов. Точность модели при
увеличении числа опытов естественно возрастает, но увеличение числа
опытов приводит к большим затратам средств и времени.
Практика показывает, что для получения достаточно точных
оценок коэффициентов уравнения регрессии можно обойтись
количеством опытов, меньшим чем в ПФЭ, используя метод дробного
факторного эксперимента (или дробных реплик), который является частью
j, j, j и т. д.) полного факторного эксперимента.
Сокращение числа опытов приводит к появлению корреляции
между некоторыми столбцами матрицы планирования, что не
позволяет раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты
взаимодействия, и следовательно, оценки получаются смешанными.
Рассмотрим идею дробных реплик на конкретном примере.
Предположим, что необходимо описать линейным уравнением некоторый
участок функции отклика от трех независимых переменных. Для
этого можно было бы использовать план полного факторного экс-
224
перимента типа 23 с 8-ю опытами. Ограничимся, однако,
полурепликой, или планом 23~\ т. е. четырьмя опытами, а произведение ххх2
плана ПФЭ приравниваем третьему фактору х3 (матрица 1,табл. 20).
По данному плану (матрица I) можно выразить коэффициенты
регрессии fe0, bl9 b2i &з» которые будут смешанными и каждый из них
оценивает при этом соответствующую сумму, что принято записывать
следующим образом:
ь\ -* Pi + Р2з;
ЬГР2 + Р13: (VIII.85)
^3->P3 + Pi2;
6o->-Po + Pl23>
где буквами греческого алфавита обозначены коэффициенты
регрессии генеральной совокупности (математические ожидания
соответствующих коэффициентов), а буквами латинского алфавита — их
оценки. В матрице I столбец хх совпадает со столбцом х2х3 (столбцы
х±х3, x2x3t хгх2х3 введены для пояснения), столбец х2 — со столбцом
хгх3, а столбец хгх2х3 со столбцом х0. Можно реализовать и другую
полуреплику, где х3 = —ххх2 (матрица II, табл. 21).
По матрице II смешанные оценки коэффициентов регрессии будут:
Ъ1\ -►Pi — Р2з>*
&2 -> Р2 Pi4*>
hu , ™ (VHI.86)
0з ->Рз — Pi2;
Ьо "> Ро — Pl23-
Объединив матрицы I и II, заданные табл. 20 и 21, получим план
типа 23, где линейные эффекты определяются раздельно.
Действительно, взяв среднее из сумм и разностей для первой и второй
систем смешанных оценок, выразим несмешанные оценки так:
U b\ + b\ a .
&1-* 2 **!' I
&2 + ^2 о
Ъ2-+ 2 ^Р2ИТ. Д.
(VIII.87)
Для построения дробных
реплик используют специальные
алгебраические выражения,
облегчающие выявление смешанных |
Таблица 21
х0
+
+
+
+
*1
+
—
+
—
*2
+
+
—
—
Х3 Х\Х%
—
+
+
—
Уи
Ух
Уг
Уз
У*
225
эффектов. Их называют генерирующими соотношениями и
определяющими контрастами.
Генерирующим называется соотношение, показывающее, какие
взаимодействия заменены новыми факторами (оно генерирует, или
создает, дробную реплику [49]). Так, рассмотренное выше
планирование типа 23-1 (полуреплика от 23) задавалось одним из следующих
генерирующих соотношений: х3 = хгх2 или х3 = —ххх2.
С генерирующими соотношениями можно производить
алгебраические операции: умножать обе части равенства на любые эффекты —
линейные, двойные, тройные и другие взаимодействия. При этом
фактор, возведенный в квадрат или другую четную степень,
заменяется единицей (xf* =1,7=1,2, 3,...). Умножим
генерирующие соотношения для плана 23-1 на х3:
xl = хгх2х3, х\ = —х±х2х3, (VIII.88)
или, учитывая сказанное выше:
1 = хгх2х3, 1 = —ххх2х3. (VIII.89)
Произведение (VIII.89) называют определяющим контрастом.
Определяющий контраст дает возможность установить
разрешающую способность дробной реплики, т. е. найти, какие из
коэффициентов являются несмешанными оценками роли факторов в процессе.
По принятому определяющему контрасту можно получить
соотношения, задающие все смешанные оценки для данной дробной
реплики. С этой целью следует умножить каждый фактор на
определяющий контраст. В рассматриваемом примере для первой
полуреплики плана 23 такие соотношения имеют вид:
Х-^ • 1 — ХлХ^Х2Х3 — -^2 3*
х2 • 1 = х2х1х2х3 = ххх3, (VIII.90)
Лд • 1 == Х3ХуХ2Х3 z=z Х±Х2>
что соответствует оценкам
&l-^Pl+p23> fe2-^P2 + Pl3> ft8-*Ps + Pl2>
а для второй полуреплики:
Xi = XiX}X2X3 = Х2Х3, ^1 ""*" Pi г23»
х2 = — х2ххх2х3 =• — х±х3, Ь2 ->■ р2 — р18; (VIII.91)
Х3 = Х3Х^Х2Х3 == «^1^2» ^3""** ГЗ Pl2*
В качестве примера составления плана дробного факторного
эксперимента рассмотрим полуреплику типа 24-1. План может быть
задан генерирующим соотношением л:4 = ххх2х3, т. е. тройное
взаимодействие факторов приравнивается фактору х4. Определяющим
контрастом является соотношение
1 = xLx2x3Xt. (VIII.92)
226
Умножим последовательно левую и правую части определяющего
контраста на соответствующие факторы и их взаимодействия, тогда
смешанные оценки определяются соотношениями:
Х1 == ^2^3^4> ^1 ""*" Pi "Г Р234*
Х2 = ХгХ3Х^ О2 -** Рг "Г Pl34i
■*3 ~ -^1^2-^4> *3""*" Рз I Pl24»
Xi = Xlx2x3, &4-vP4 + Pi23; (VIII.93)
■^1^2 == *3*4» ^12 ""*" Pl2 I Рз4»
*1*3 == *2*4> ^13 ""*" Pl3 "Г Р24»
*1*4 == -^г^З» "14 ""*" Г14 "Г РгЗ*
Если существуют априорные сведения, что все тройные
взаимодействия незначимы (статистически равны нулю), то, пользуясь
полурепликой типа 24~~\ можно найти раздельные оценки для
линейных эффектов и три совместные оценки для парных
произведений. План, позволяющий получить раздельные оценки линейных
эффектов, является целесообразным, так как он обладает высокой
разрешающей способностью.
В задачах построения интерполяционных полиномов иногда
бывает выгоднее использовать планы с низкой разрешающей
способностью, когда линейные эффекты оказываются смешанными с
парными взаимодействиями, но зато некоторые парные
взаимодействия определяются независимо от других эффектов. Подобные
требования выдвигаются исследователями на основе априорной
информации. Таким образом, каждая конкретная задача ставит свои
условия для составления планов дробных реплик. Тем не менее,
таблицы планов дробных реплик, приведенные, например, в
монографии [31], облегчают задачу исследователя по выбору и построению-
соответствующего плана эксперимента.
Расчет коэффициентов регрессии и исследование уравнения
регрессии при использовании метода дробного факторного
эксперимента аналогичны последовательности, изложенной при рассмотрении
метода ПФЭ.
Приведем пример реализации ДФЭ при изучении свойств
эластичного стыкующего герметика [38].
Пример 18. Требуется составить адекватное описание процесса
образования герметика в виде полиномиальной функции
У — I \ХЬ Х2* *3» X4J>
где у — предел прочности герметика на разрыв, кГ/см2; х± —
содержание парахинондиоксима в смеси; х2 — содержание двуокиси
марганца; х3 — содержание цемента; #4 — содержание
растворителя (все в граммах на 100 а бутилкаучука).
Vt8*
227
Решение. Матрица планирования эксперимента и
результаты его проведения даны в табл. 22. Для матрицы планирования
использовался метод ДФЭ — полу реплика 24-1 (см. с. 226).
Оценивались линейные эффекты и смешанные парные
взаимодействия,тройное взаимодействие приравнивалось нулю. В качестве основного
уровня принимались значения факторов, которые в
предварительных исследованиях дали удовлетворительные результаты. Для
проверки однородности дисперсий выходного параметра ставились
параллельные опыты (на каждый состав, согласно строке матрицы
планирования эксперимента, делали 4 параллельных закладки
герметика и проводили 4 испытания на разрывной машине).
Расчеты коэффициентов регрессии выполнялись по формулам
(VIII.76) —(VIII.78):
Ь0 = 4- 2 *оиУи = 4- (3,975 + 5,175 + 4,975 + 3,725 + 4,425 +
+ 4,050 + 4,900 + 4,975) = 4,5250;
*i = 4" ? х^и = 1Г(-3>975 + 5,175-4,975-3,725 +
+ 4,425 + 4,050 — 4,900 + 4,975) = 0,1312;
Ь2 = — 0,0187; Ь3 = 0,4812; 64 = — 0,0937;
623 = —0,0500; Ь13 = —0,0625; Ь12 = 0,0625.
Расчетное уравнение регрессии, таким образом, принимает вид:
у = 4,5250 + 0,1312*! — 0,0187х2 + 0,4812*3 — 0,0937*4 +
+ 0,0625*^2 — 0,0625^*3 — 0,05а:2л:з.
Для проверки однородности дисперсий по формуле (VIII.47)
вычисляем дисперсию s2u для каждой строки матрицы планирования
8
(табл. 22) и сумму дисперсий 2 4- Тогда
0,3692 Л,ПЛ
Umax - g 0,8843 ~~ иД1 /U
и условие (VIII.80) выполняется для значений показателей fx =
••=* т — 1=4 — 1 = 3, /2 = i\f = 8 и уровня значимости q = 5%
(см. приложение 4):
GmaK = 0,4170 < GT{fM = 0,4377.
Рассчитаем ошибку опыта si по формуле (VIII.81):
о
£ = 4" S s2 = 4- • 0,8843 = 0,1105.
228
Таблица 22
Наименование
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Опыты:
1
2
3
4
5
6
7
8
*0
+
+
+
+
+
+
+
+
хх
1,5
1,0
2,5
0,5
—
+
—
—
+
+
—
+
Факторы
х2
4,25
0,5
4,75
3,75
—
—
—
+
+
—
+
+
*3
54
12
66
42
—
+
+
—
—
— i
+
+
*4
95
5
100
90
—
—
+
+
+
—
+
Уи\
4,2
4,7
4,3
3,6
4,5
4,0
4,9
5,0
Выходной параметр
Уи2
3,4
5,1
5,2
3,7
4,2
3,6
4,7
4,9
УиЗ
4,0
5,6
4,7
3,9
4,4
4,5
5,1
5,1
УиА
4,3
5,3
5,7
3,7
4,6
4,0
4,9
4,9
Уи
3,975
5,175
4,975
3,725
4,425
4,050
4,900
4,975
Расчетные
2
su
0,1625
0,1425
0,3692
0,0158
0,0292
0,1367
0,0267
0,0092
значения
*Уи
3,913 |
5,137
4,875
3,913
4,175
4,175
4,875
5,137
Результаты вычислений: Ь0 = 4,5250; ^ = 0,1312; 62 = —0,0187; Ь3 == 0,4812; Ь4 -.
Ь12 = 0,0625; 2 s2u = 0,8843; s20 = 0,1105; s20CT = 0,0158.
-0,0937;
&is=-
-0,0625; &23 = — 0,05;
Примечание.
Столбцы хгх2У хгх3, х2х3 в табл. 22 не внесены; для вычисления коэффициентов при указанных парных
взаимодействиях использовались столбцы, полученные перемножением соответствующих факторов.
Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии,
характеризующих линейные эффекты и эффекты взаимодействия.
По формуле (VIII.82) находим дисперсию коэффициентов регрессии
2
J2 So 0,1105 ллл0/|г
Sbt = ~Ш = -8~4- = °>00345>
а отклонение ДЬ, — по формуле (VIII.84):
A&i= ±2,0639 "[/"0,00345= ±0,121,
при этом tT = 2,0639 — табличное значение критерия Стьюдента
для /х = 24 и 5%-ного уровня значимости (приложение 2).
Согласно условию (VIII.42) значимыми можно признать
коэффициенты при эффектах хг и х3. Следовательно, окончательно
уравнение регрессии (аппроксимирующий линейный полином) имеет
вид:
у = 4,525 + 0,1312*! + 0,4812лг3.
В последней графе табл. 22 записаны значения выходного параметра,
вычисленные по приведенному выше линейному полиному.
Остаточную дисперсию подсчитываем по формуле (VIII.46),
используя аппроксимирующий полином, при этом общее количество
опытов Nm = 8 • 4 = 32 и /х == 32 — 2 — 1 - 29. Тогда
Socx = 0,0158.
Сравнение дисперсий slCT = 0,0158 и si = 0,1105 показывает,
что уравнение регрессии адекватно описывает исследуемый процесс,
так как slCT <^ si (проверка по критерию Фишера в этом случае не
требуется).
Таким образом, прочностная характеристика герметика
преимущественно зависит от содержания в нем парахинондиоксима (х^ и
цемента (х8).
§ 4. статистические модели Наличие адекватной линейной
области оптимума математической модели стохас-
ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ тического процесса позволяет
исследователю использовать ее для
целей оптимизации. Применяя один из методов оптимизации,
например метод градиента или метод крутого восхождения (см. § 6,
гл. IX), можно достигнуть области оптимума исследуемого процесса.
После достижения области оптимума тем или иным методом, перед
исследователем стоит задача детального изучения поверхности
отклика.
Описать область оптимума линейным уравнением в большинстве
случаев невозможно, так как крутизна гиперплоскости факторного
пространства значительна, эффекты взаимодействия и квадратичные
эффекты обычно значимы. Поэтому область оптимума описывают
230
полиномами более высоких порядков, чаще всего полиномами
второго порядка (VIII.4).
Очевидно, что для получения математической модели (VIII.4)
количество необходимых опытов резко увеличивается при возрастании
числа членов аппроксимирующего полинома. В связи с этим меняется
представление о числе уровней, центре плана эксперимента и
принципах оптимальности применяемых планов. Решение этих вопросов
осуществляется различными методами. Наиболее широко в
инженерной практике для описания области оптимума используется
метод центрального композиционного рототабельного планирования
(ЦКРП), в названии которого отражены основные принципы его
построения.
Метод центрального композиционного рототабельного
планирования эксперимента. При планировании в рамках указанного
метода необходимо прежде всего произвести выбор нулевой точки,
числа уровней и принципа оптимальности.
Выбор нулевой точки. В качестве нулевой точки, как правило,
принимается центр ранее использованного плана (например, ДФЭ),
который после применения метода крутого восхождения дает
неадекватную линейную модель (значимыми оказываются эффекты
взаимодействия и квадратичные эффекты). При этом проведенные
эксперименты дополняются некоторым количеством специально
подобранных опытов (такие планы называются центральными и
композиционными).
Выбор числа уровней. При использовании математической модели
в виде полинома второго порядка двумя уровнями варьирования
факторов ограничиться нельзя. Естественно было бы предложить
планы на трех уровнях — типа Зп, однако теоретически доказано,
что такие планы будут неэкономичными с точки зрения количества
опытов [31].
Бокс и Уилсон показали, что, дополнив двухуровневый план ПФЭ
определенными точками факторного пространства, можно получить
оптимальный план. Ядро центрального композиционного плана
составляет ПФЭ типа 2п при п <; 5. Если п > 5, то можно
пользоваться дробными репликами, обеспечивающими раздельное
определение линейных эффектов и эффектов взаимодействия. План ПФЭ
дополняют некоторым количеством звездных точек, координаты
которых зависят от принятого принципа оптимальности. Общее
количество опытов при таком планировании определяется формулой
N = 2п + 2п + п0, (VIII.94)
где слагаемые—соответственно число опытов ПФЭ, звездные точки и
нулевые точки. По формуле (VIII.94) легко убедиться, что
предлагаемые планы экономичнее планов типа 3".
Принцип оптимальности. В методе ЦКРП принципом
оптимальности является рототабельность, обеспечивающая, как известно,
Vi+8*
231
Таблица 23
Наименование
Число опытов ядра
матрицы
Число звездных точек
Число нулевых точек
Величина а
ПФЭ типа 2"
п = 2
22=4
4
5
1,414
я = 3
23 = 8
6
6
1,682
Л = 4
2* = 16
8
7
2,000
гс=5
25 = 32
10
10
2,378
ДФЭ типа
2п—\
п=5
25-1 = 16
10
6
2,000 1
равномерное получение информации на исследуемой сфере
факторного пространства. Условия рототабельности задаются
соотношениями [31]:
N
2 х2ш - NX2, i = 1, 2, ... , п\ (VIII.95)
N N
2 */« = 3 2 х2шх% = ЗМ4, /,/ = 1, 2, ... , я, f # /, (VIII.96)
где Л/" — число опытов; п — число факторов; Х2 и А,4 — некоторые
произвольно выбираемые константы, связанные условием
^4 ^ П
%\ п + 2 *
(VIII.97)
Звездные точки строят на осях координат факторов и для полного
факторного эксперимента величина звездного плеча а равна
а=2Т (VIII.98)
а для дробного факторного эксперимента
а = 2~^, (VI11-")
где р — дробность реплики (р = 1 — полуреплика, р = 2 —
1 v
-г -реплика и т. д.).
Для выбора звездного плеча а, числа звездных точек и числа
нулевых точек можно пользоваться данными табл. 23 [36].
При рототабельном планировании на экспериментальные точки
в центре плана возлагается дополнительная миссия — сделать
дисперсию предсказанного значения внутри области
экспериментирования постоянной и не зависящей от расстояния до центра плана.
232
Это требование удовлетворяется, если константа Я4 не превышает
единицы, что определяется условием
ъ= tl%t' (VIIL100)
где п0 — число нулевых точек; п — число факторов; пг = N — п0.
Обработка планов второго порядка требует значительного
объема вычислений и лучше всего их выполнять на ЭЦВМ. Основная
задача вычислительной машины — получить обратную матрицу
нормальных уравнений с выдачей ее элементов на печать:
N Л/
2г/ц = Фу)> 2 ЪиУи = Ш*
V V (VIII. 101)
2 х]иУи = ("if), 2 xluxluyu = Щу).
Если обозначить
1 = А N
-2кА1(п + 2)14-п] ' " °' (VIII. 102)
2j хш
то с учетом (VIII. 101) коэффициенты регрессии можно определить
по формулам
b0 = ^\2*i(n + 2)(0y) — 2Xf2(iiy)\ ; (VIII. 103)
bt = -jr№\ (VIII. 104)
bu=4~ {с2 К" + 2) ^ - я] ("У) + *2 (1 - К) 2 («У) - 2 V (0г/)| ;
(VIII. 105)
Ь« = -Щ(1М- (VIII. 106)
Для плана, когда п = 3, приведенные формулы имеют вид:
Ь0 = 0,1663 (0#) — 0,05679 2J (»#); (VIII. 107)
&, = 0,07322 (i#); (VIII. 108)
6Й = 0,0625 (иу) + 0,006889 2 (иу) — 0,05679(0*/);
(VIII. 109)
Ьи = 0,\2ЬЩу). (VIII. ПО)
233
Дисперсии для коэффициентов регрессии рассчитываются по
формулам:
<- 2AXl72)s2°; №Ш)
4 = 4-= (viii. п2)
4= ^"»+^;<«-')^< . (VIII.ИЗ)
ii-ж- {VI,L114)
Статистический анализ результатов расчета планов второго
порядка в принципе остается таким же, как в рассмотренном выше ПФЭ.
Однако преобразования рототабельного планирования
видоизменили некоторые ранее приведенные формулы. Не вдаваясь в
подробности расчетов, приведем формулы, по которым устанавливается
адекватность уравнения регрессии, полученного методом ЦКРП.
Сумма квадратов, связанная с дисперсией, характеризующей
ошибку опыта, определяется результатами опытов в центре плана
и подсчитывается так:
S0 = 21 (Уои-~Уо)2 при /0 = п0 - 1, (VIII. 115)
где /о — число степеней свободы, соответствующее этой сумме.
Дисперсия опыта получается делением суммы (VIII. 115) на /0 =
= /i0— 1:
s£ = —**—. (VIII. 116)
Остаточную сумму квадратов отклонений (уи — уи) вычисляют
таким образом:
Soct = 2 (Уи- Уи)2 при /0CT = N- (* + 2)f+1) .
(VIII. 117)
Сумма квадратов SaA, характеризующая адекватность уравнения
регрессии, определяется как разность
5ад = 5ост — S0 При /ад = /ост — /о- (VIII. 1 18)
Тогда дисперсия, оценивающая адекватность модели,
2 ___ ^ад
5ад — -7
/ад
234
с числом степеней свободы /ад = N ("+ 2 (п0 — 1).
Расчетное значение критерия Фишера формируют как отношение
дисперсии адекватности к дисперсии опыта
F= У/** = ^L (VIII. 119)
и сравнивают с табличным FT для степеней свободы /ад и /0.
Значимость коэффициентов регрессии проверяется такЬке, как и
в ПФЭ.
Канонический анализ математической модели. Для целей
оптимизации исследуемого объекта математическую модель его часто
представляют в типовой канонической форме. Каноническая форма
уравнения регрессии второго порядка позволяет получить наглядную
геометрическую интерпретацию функции отклика в области
оптимума, что способствует как успешному продолжению исследований,
так и удобному представлению результатов.
Каноническое преобразование полинома второго порядка
заключается в переходе от уравнения (VIII.4) к стандартному
виду
Y-Ys = B11X2l + B22X22 + ... +BnnXl (VIII. 120)
где Ys — расчетное значение выходного параметра в новом начале
координат; Хх, ..., Хп — канонические переменные (новые оси
координат), являющиеся линейными функциями факторов; Вп, ..., Впп —
коэффициенты канонического уравнения.
Трудности геометрической интерпретации уравнения регрессии
второго порядка возрастают с увеличением числа факторов. При
п > 3 дать наглядное геометрическое представление функции
отклика, очевидно, невозможно, однако и в этом случае каноническое
преобразование дает хорошие результаты, если последовательно
рассматривать изменение двух факторов, считая остальные
стабильными. Такой прием позволяет получить серию контурных
кривых на плоскости для числа факторов п > 3. Однако объемное
изображение функции отклика при п = 3 также не дает исследователю
особых преимуществ.
При каноническом преобразовании уравнения регрессии второго
порядка для двух факторов (п = 2) получают уравнение
Y - Ys = ВпХ\ + B22Xl (VIII. 121)
Для уравнения (VIII. 121) в зависимости от знака и величин Вп и
В22 возможны четыре вида контурных кривых с равными значениями
параметра оптимизации (рис. 70):
а) Коэффициенты В1г и В22 имеют одинаковые знаки. Контурные
кривые в этом случае являются эллипсами. При Bit < 0 центр
235
эллипсов будет максимумом функции отклика, а при Ви > 0 —
минимумом. Если |В22| <|Яц|, то эллипс вытянут по оси Х2 и
наоборот.
б) Коэффициенты В1г и В22 имеют разные знаки. Контурные
кривые в этом случае являются гиперболами. Центр фигуры
называется «седлом», или «минимаксом». В зависимости от соотношения
абсолютных величин коэффициентов Вп и В22 изменение выходного
параметра по осям Xi, X2 будет различным.
в) Коэффициент В22 близок к нулю и центр фигуры находится
в любом месте оси Х2. Поверхность отклика представляет собой
«стационарное возвышение». На практике такой случай встречается
крайне редко.
г) Коэффициент В1г равец нулю. Центр поверхности отклика
находится на бесконечности. Поверхность отклика представляет собой
возвышение — «гребень».
Изложим кратко процедуру канонического преобразования
уравнения регрессии второго порядка в уравнение (VIII. 120) [36].
1. Начало координат переносят в новую точку факторного про-
странства5. Для этого уравнение регрессии второго порядка
дифференцируют по каждому фактору и приравнивают нулю. Решают
систему уравнений, находят координаты нового центра, подставляют
их в уравнение регрессии и получают значение выходного параметра
Ys в центре S. В уравнении регрессии исчезают члены первой
степени и изменяется свободный член:
Y - Ys = 2 biwi + S buxl (VIII. 122)
2. В новом центре производят поворот осей до совмещения с
главными осями поверхности функции отклика. Эта операция
выполняется по известным правилам аналитической геометрии. Например,
если при п = 3 необходимо определить канонические коэффициен-
236
Рис. 70. Контурные кривые функции
отклика области оптимума,
описываемого уравнением второго порядка
канонического вида.
ты Вп,В22> В33, то для этого составляют характеристический
детерминант и приравнивают его нулю, то есть
\(bn-B) 4Ai "Г6" I
"Г*» Ф22-В) 4-^3 =0. (VIII. 123)
J — hi ~Y b** (йзз — В) I
Решение (VIII. 123) записывается в виде уравнения
В* + аВ2 + $В +у = 0. (VIIIЛ 24)
Три корня его дают искомые значения коэффициентов уравнения в
канонической форме.
Для п > 3 характеристический детерминант (VIII. 123)
дополняется соответствующими строками и столбцами. Все вычисления
по обработке рототабельных планов и каноническому анализу
уравнений регрессии рекомендуется выполнять на ЭВМ.
Пример 19. При исследовании процесса экстракции циркония
трибути л фосфатом из азотнокислых растворов [39] в качестве
факторов и выходной переменной были выбраны х1у х2, у. Эти величины
связаны соотношениями
хг = log2ArH— 1,5;
*2 = 2(log2r + 2,5);
у = log2D
соответственно с равновесной концентрацией ионов водорода (*h),
концентрацией свободного трибутилфосфата в органической фазе
(Г), коэффициентом распределения (D). Предварительные
исследования показали, что для математической модели процесса необходимо
использовать рототабельное планирование второго порядка.
Матрица планирования и результаты экспериментов приведены в табл.24.
Необходимо определить коэффициенты уравнения
у = Ь0 + Ьгхг + b2x2 + bnx2i + b12xxx2.
Решение. Значения величин в рассматриваемом случае:
N = 12, п0 = 4, пг = 8, п = 2, Я4 = 0,75, А = 0,667 [см. формулы
(VIII.100), (VIII.102)].
Расчет коэффициентов &0, bly й2, blly b22, b12 проводился на ЭВМ
«Промшь-М» по формулам (VIII.103) — (VIII. 106). В результате
расчета получено уравнение регрессии
у = — 4,24820 + 3,60625*! + 0,77565л:2 + 0,78140х? +
+ 0,05880*2 + 0,00072498ххл:2. (VIII. 125)
237
Таблица 24
1 Матрица планирования
*0
хх
— 1
— 1
+ 1
+ 1
-У 2
+V2
0
0
0
0
0
0
Xl
—1
+1
—1
+1
0
0
-У 2
+V2
0
0
0
0
2
*1
+1
+1
+1
+1
+2
+2
0
0
0
0
0
0
2
*2
+1
+1
+1
+1
0
0
+2
+2
0
0
0
0
xtxt
+1
—1
—1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
Результаты опытов 1
Уи\
—7,94520
—6,25480
—0,29170
+ 1,36740
—7,18830
+2,05320
—5,28840
—3,05910
-4,33690
+4,18740
—4,19530
—4,19530
Уи2
—7,95220
—6,56050
1 —0,21430
+ 1,21430
—7,76480
+2,05680
—5,23290
—3,03520
—4,19000
—4,28800
—4,19270
—4,19270
УиЗ
—7,94870
—6,40770
—0,25300
| +1,29085
—7,47665
+2,05500
—5,26065
—3,07715
—4,26345
—4,23770
—4,19400
—4,19400
Уравнение регрессии можно найти, используя матричную запись системы
нормальных уравнений (VI 11.35)
(X*X)B = X*V,
то есть II (00) (01) ... (0л) | | Ь0 | J (Oy) |
I (10) (11) ... (\п) Ьг I I (\у)
I (пО) (я1) ... (/г/2) | 1 6Я J I (пу) I
«ли для конкретной задачи (табл. 24):
1 w 2*i 2*2 2*? 2*2 2*л II II ^о || || 2</ 1
^/j #j ^^ #i ^j Х^Х% ^^ Х\ £j *1*9 ^™J *1*2 ' 1 II I ^J *1^ I
II ^J 2 ^в *1*2 ^» *9 ^mJ *1*2 ^а 9 jbJ Х-^Хп 0<£ jj^ *2i/
^j JCi ^j Д^1 ^^j XiX% £t Xi 20a *1*9 ^J *1*2 ^11 II ^u *l£/ ||
II ^Li *9 ^mJ X-^Xn j^t Xn j£j XiXn j£j An ^j *1 9 II 22 1 ^« О.У
2^ *1*2 ^^ *1*2 ^_ *1*9 ^»J *1*2 ^U *1*9 ^e *1*2 12 I ^Ы *1*2^/
Здесь в суммах 2 инДекс «m> и количество опытов iV = 8 опущены для сокраще-
а=1
ния записи.
В результате подстановки числовых значений элементов матрицы имеем:
| 12 0 0 8 8 0 | II —43,930 |
0 8 0 0 0 0 28,850
*** = ° ° 8 ° ° ° • ЛГ*Г= 6,2052
В 8 0 0 12 4 0 | —24,160
8 0 0 4 12 0 —29,930
I 0 0 0 0 0 4 1 I — 0,0029 ||
238
239
Матрица (Х*Х) 1 получена по стандартной программе ЭВМ «Наири-С»:
II 0,25 0 0 —0,125 —0,125 О П
О 0,125 О О О О
(Х*ХГ{ = ° ° 0,125 О О О I
— 0,125 0 0 0,15625 0,03125 0 |
— 0,125 О О 0,03125 0,15625 О
И О О О О О 0,25 I
Тогда по уравнению (VIII.38)
В = (Х*ХГ1Х*Г
b0 = — 4,2482; bn = 0,78230; b22 = 0,05670;
bL = 3,60625; b2 = 0,77565; b12 => 0,000725.
Некоторая разница результатов расчета bllfb22 в матричной
форме и коэффициентов уравнения (VIII. 125) обусловлена различной
точностью работы вычислительных 'машин («Промшь-М» и
«Наири-С»).
Проверку адекватности уравнения регрессии (VIII. 125) следует
проводить по формулам (VIII. 111) —(VIII. 119).
Пример 20. Требуется произвести канонический анализ
уравнения регрессии
у = 85,14 + 3,43*! — 1,32*2 + 2,60*2 — 1,19*2 +3,00*^. (VIII.126).
Решение. Перенос начала координат в новую точку факторного
пространства осуществим с помощью следующих действий:
-^ = 3,43 + 2 • 2,60*! + 3,00*2 = 0;
-%L = — 1,32 — 2 • 1,19*2 + 3,00*х = 0;
*ls = —0,197; *2S = —0,802.
Подставляем значения x[S и x2s в уравнение регрессии (VIII. 126)
и получаем значение выходного параметра Ys = 85,33 в
центре S.
Для поворота осей в новом центре надо знать канонические
коэффициенты В1г и В22. Чтобы вычислить значения Вп и 522, приравняем
характеристический детерминант нулю
I (Ьп -В) -I" 6i2 I I (2,60 - В) -I-' 3'00 I
I 4"&21 (*22-Я)| IT"*3'00 (-1.19-B) I
или
Я2 —1,41Я —5,34=0.
Корни этого квадратного уравнения будут: Вп=3,12 и В22= —1,71.
Тогда уравнение регрессии в канонической форме примет вид:
Y —85,33 = 3,12*1 — 1,71X2.
В соответствии с приведенной выше классификацией контурные
кривые в области оптимума — гиперболы (Вп > О, В22 < 0). Для
определения оптимума по полученному уравнению в общем
случае следует пользоваться методом нелинейного
программирования. В рассматриваемом примере можно также применить «ридж
анализ» [49], который базируется на методе неопределенных
множителей Лагранжа.
Заключение. В области оптимума первоначально составляется
математическая модель в виде полинома второго порядка и
проводится ее исследование. Дальнейшие действия по уточнению модели
существенно зависят от поставленной цели и полученных
результатов исследования модели. Отправным пунктом является факт
адекватности или неадекватности математической модели.
В случае неадекватности модели следует повторить эксперимент,
включив в него дополнительные факторы (если это возможно), либо
перейти к математической модели в виде полинома третьего порядка.
Последнее решение приводит к значительным трудностям,
связанными с необходимостью реализации большого числа опытов.
Значительно усложняется и анализ математической модели, так как
кубические уравнения не имеют такой простой геометрической
интерпретации, как квадратные. Поэтому исследователи иным путем
получают адекватную модель [35].
Если найденная модель адекватна и в результате оптимизации
процесса на ее основе определено оптимальное значение выходного
параметра, то можно считать, что она является статической
математической моделью процесса.
Такая модель может быть основой как для создания
укрупненной лабораторной или полупромышленной установки, так и для
автоматизации процесса. Действительно, имея статическую модель,
можно выбрать схему автоматического регулирования, а область
статического оптимума является исходной областью для изучения
динамики процесса.
Глава IX. НЕКОТОРЫЕ Оптимизация в широком смысле
СВЕДЕНИЯ слова находит применение в нау-
ОБ ОПТИМИЗАЦИИ к<;> те*нике и в любой другой
области человеческой деятель-
ХИМИКО- ности. Понятие об оптимизации
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ возникло давно. Известно, на-
ПРОЦЕССОВ пример, что еще греческими
математиками была решена задача об
отыскании замкнутой линии
заданной длины /, ограничивающей
максимальную площадь. Такой
линией оказалась окружность.
Подобные задачи впоследствии
§ 1. понятие получили название изоперимет-
об оптимизации рических. В настоящее время
принято считать, что
оптимизация — это целенаправленная деятельность, заключающаяся в полу-
чении наилучших результатов при соответствующих условиях [16].
Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных
математических методов и уже в XVIII в. были заложены
математические основы оптимизации (математический аппарат бесконечно
малого, вариационное исчисление, численные методы и др.). Однако
до второй половины XX в. методы оптимизации во многих областях
науки и техники применялись очень редко, поскольку
практическое использование математических методов оптимизации требовало
огромной вычислительной работы, которую реализовать без
быстродействующей вычислительной техники было крайне трудно, а в ряде
случаев и невозможно. Особенно большие трудности возникали при
решении задач оптимизации процессов в химической технологии.
Расчеты процессов и аппаратов химических производств, как
правило, связаны с необходимостью выбора лучшего варианта из
многих возможных. Этот выбор до недавнего времени осуществлялся
на основе субъективной оценки и опыта проектанта или
исследователя. Но даже самые опытные исследователи не могли рассмотреть
и оценить разнообразные варианты, которые возникали при
проектировании новых или исследовании действующих производств.
Решение проблемы стало возможным благодаря постановке задач
оптимизации и нахождению оптимальных результатов с помощью
электронных вычислительных машин.
Постановка задачи оптимизации предполагает:
1. Наличие объекта оптимизации и выявление цели оптимизации;
при этом формулировка каждой задачи оптимизации должна
содержать необходимое требование установления экстремального
значения только одной величины.
2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают
возможность выбора значений некоторых параметров
оптимизируемого объекта (проектируемого или исследуемого). Объект должен
241
обладать определенными степенями свободы — управляющими
воздействиями, которые позволяют изменять его состояние в
соответствии с теми или другими требованиями.
3. Возможность количественной оценки оптимизируемой
величины, поскольку лишь при выполнении этого условия можно
сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.
Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью
работы рассматриваемого объекта. В общем случае объектом может
считаться любой производственный комплекс: аппарат, агрегат, цех,
завод, комбинат, отрасль промышленности. Оптимальный, или
наилучший, вариант работы объекта должен измеряться какой-то
количественной мерой — критерием оптимальности.
§ 2. критерий Критерием оптимальности, или
оптимальности. критерием оптимизации, на-
ограничения. зывается количественная оцен-
общая постановка ка оптимизируемого качества
задачи оптимизации объекта. На основании
выбранного критерия оптимальности
составляется так называемая целевая функция, или функция выгоды (ее
еще называют функцией качества, экономическим критерием),
представляющая собою зависимость критерия оптимальности от
параметров, влияющих на его значение. Вид критерия оптимальности
(или целевой функции) определяется конкретным содержанием
решаемой задачи оптимизации.
Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума
(максимума или минимума) целевой функции или критерия
оптимальности R.
Наиболее общей постановкой оптимальной задачи служит
выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки
(например, производительность, себестоимость продукции). Однако
в частных задачах оптимизации, когда объект является частью
технологического процесса (аппарат либо агрегат в масштабе цеха,
завода, комбината), не всегда удается или не всегда целесообразно
выделить прямой экономический показатель, который полностью
характеризовал бы эффективность работы рассматриваемого объекта.
В таких случаях критерием оптимальности может служить
технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность
работы агрегата (время пребывания, выход продукта или конечная
концентрация, температура и т. д.). В результате решения подобных
задач определяется оптимальное время пребывания и максимальная
концентрация целевого продукта для некоторых типов реакций,
устанавливается оптимальный температурный профиль в реакторе
вытеснения и т. п.
При постановке конкретных задач оптимизации как в терминах
экономических, так и технологических оценок критерий
оптимальности должен быть записан в виде аналитического выражения.
242
Во многих задачах, когда случайные возмущения невозможно
математически формализовать (обычно неизвестна ни величина, ни
характер их изменения) или они невелики, воздействия случайных
возмущений на объект приходится не учитывать. Тогда
оптимизируемый процесс рассматривают как детерминированный и
возмущающие параметры в его математическое описание не включают.
Критерий оптимальности детерминированного процесса в общем
виде может быть представлен как функция входных, выходных и
управляющих (оптимизируемых) параметров
R = R(xv х2, ... , хп\ у19 у2, .. . , ут\ иъ и2, ... , ик).
(IX.1)
Для описания совокупности входных, управляющих и выходных
параметров часто применяют векторную форму записи:
X == \X\i Х2> • • • > -^м/'
и =(uv и2, ... , ик), (IX.2)
У = (01, У* • • • > Упг)'
Тогда функция (IX. 1) принимает вид:
R = R(x, У, и). (1ХЗ)
Поскольку параметры у также являются функцией
оптимизируемых параметров и, то для фиксированных значений входных
величин х критерий оптимальности можно рассматривать как
функцию управляющих параметров:
# = #(»). (IX.4)
При этом всякое изменение значений управляющих параметров
двояко сказывается на величине критерия оптимальности.
Во-первых, прямо, так как управляющие параметры непосредственно
входят в выражение критерия оптимальности, и, во-вторых, косвенно —
через изменение выходных параметров процесса, которые зависят
от управляющих [16].
Если же случайные возмущения достаточно велики и их
необходимо учитывать при математическом описании, т. е.
оптимизируемый процесс — стохастический, то следует применять
экспериментально-статистические методы. Эти методы позволяют получить
математическую модель стохастических процессов в виде функции
yt = <р,(лг, и). (IX.5)
Модель (IX.5) справедлива только для некоторой локальной
области исследуемого пространства функции цели. Как показано
в гл. VIII, такая модель может быть записана в виде уравнения
регрессии, при этом управляющие и входные параметры объединены
в группу входов и являются факторами
У> -fdx). OX.6)
243
Тогда критерий оптимальности принимает следующий вид:
R = R(x). (IX.7)
Локальное действие математической модели (IX.7)
стохастических процессов приводит к необходимости использования
специальных поисковых методов оптимизации.
Связь между параметрами в равенстве (IX.4) или (IX.7) можно
установить в результате предварительного изучения свойств
оптимизируемого объекта (детерминированного или стохастического),
составления его математического описания и получения
математической модели в удобном виде. Поэтому большая часть методов
решения оптимальных задач основана на предположении, что
математическая модель оптимизируемого объекта известна.
Принципиально можно вместо математической модели
использовать сам оптимизируемый объект, на котором опытным путем найти
в удобной форме зависимость (IX.4) или (IX.7). Однако это
осуществимо лишь при наличии реального объекта и, кроме того,
экспериментальное изучение требует существенного вмешательства в
нормальное течение процесса, поскольку по результатам
измерения только одного режима нельзя установить, оптимален он или
нет. Таким образом, наличие математической модели процесса,
которая позволяет, не затрагивая по существу сам процесс, определить,
какое решение нужно принять, чтобы улучшить его режим, является
важным условием при решении задач оптимизации. Следует также
учесть, что, если математическая модель построена, то эксперимент
на процессе фактически заменяется экспериментом на его модели.
Для успешного использования математической модели при
решении задач оптимизации необходимо, чтобы модель достаточно
верно качественно и количественно описывала свойства
моделируемого объекта, т. е. была ему адекватна.
В задачах оптимизации детерминированных процессов различают
простые и сложные критерии оптимальности. Принято называть
критерий оптимальности простым, если требуется определить
максимальное или минимальное значение R без заданных условий на какие-
либо другие величины. Такие критерии оптимальности обычно
выбираются при постановке частных задач оптимизации в терминах
технологических оценок (например, максимальная концентрация
целевого продукта Стах некоторых типов реакций) и иногда в общих
задачах, если требуется найти производительность или
себестоимость целевого продукта без каких-либо условий на величины,
определяющие указанные экономические оценки.
Критерий оптимальности называется сложным, если необходимо
установить максимальное или минимальное значение R при
некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин.
Сложными будут, например, критерии оптимальности в задачах
определения максимальной производительности Bimax по /-му
продукту при заданной себестоимости s, или нахождение мини-
244
малъной себестоимости st-min i-ro продукта при заданной
производительности В( (предположим В,— const). К сложным относятся также
критерии оптимальности, если их аналитические выражения имеют
вид: R = R (и± • и2), где иг и и2 — оптимизируемые параметры.
Отметим, что выбор критерия оптимальности во всех задачах
оптимизации является весьма важным и достаточно сложным этапом
ее решения.
Процедура решения задачи оптимизации детерминированных
процессов обязательно включает установление (или выбор)
управляющих параметров (степеней свободы), возможность изменения
которых позволяет управлять процессом (для химических
реакторов это может быть температура, давление, состав исходной смеси
и др.).
Как только определены управляющие параметры, т. е.
установлено, чем оптимизировать, в большинстве задач оптимизации сразу
возникают ограничения на область изменения этих параметров
(переменных). Приведем несколько примеров возможных
ограничений:
1. В качестве управляющего воздействия выбрана температура
внутри реактора. При этом пределы изменения температуры
определяются условиями сохранения активности катализатора.
Конкретно: в реакторе окисления этилена температура не может
превышать 250° С, так как катализатор спекается и реактор выходит
из строя.
2. По соображениям взрывоопасное™ соответствующие
ограничения могут быть наложены на концентрацию компонентов
реакционной смеси. Например, содержание аммиака в воздушно-аммиачных
смесях, применяемых в агрегатах получения окиси азота в
производстве разбавленной азотной кислоты, ограничивается 10—11%, так
как содержание аммиака в воздушно-аммиачной смеси более 12%
может привести к взрыву.
3.'Управляющим параметром при оптимизации процесса в тепло-
обменных аппаратах может быть объемная скорость теплоносителя
(газа или жидкости). Величина этого параметра ограничивается
мощностью компрессора или насоса.
Следовательно, под ограничениями понимают некоторые
технологические величины, которые в процессе работы агрегата
(аппарата) не должны выходить из предписываемых технологией допусков.
В ряде случаев ограничения накладываются и по экономическим
соображениям. Ограничения на переменные могут задаваться в
различной форме: числом, процентным соотношением, уравнением,
неравенством.
Итак, кратко смысл задачи оптимизации детерминированных
процессов в общей постановке заключается в определении значений
управляющих параметров, оптимизирующих принятый показатель
качества — критерий оптимальности, который имеет максимально
или минимально возможную величину, при условии, что выполня-
245
ются ограничения на переменные, накладываемые технологическими,
эксплуатационными, конструктивными требованиями,
условиями устойчивости, пропускной способности, наличия сырья и т. п.
Поэтому для решения задач оптимизации необходимо:
а) составить математическую модель объекта оптимизации;
б) выбрать критерий оптимальности и сформировать функцию
цели (целевая функция может быть как без ограничений, так и с
ограничениями на значения отдельных параметров);
в) установить возможные ограничения, которые должны
накладываться на переменные;
г) выбрать метод оптимизации, который позволит найти
экстремальные значения искомых величин.
Процедура оптимизации стохастических процессов
принципиально не отличается от таковой для детерминированных процессов.
Однако особенность задач оптимизации стохастических процессов
состоит в том, что модель (уравнение регрессии) служит лишь
основанием поиска оптимума за пределами ее действия.
Принято различать задачи статической оптимизации для
процессов, протекающих в установившихся режимах, которые
решают вопросы создания и реализации оптимальной модели
процесса, и задачи динамической оптимизации, или задачи создания и
реализации системы оптимального управления процессом при
неустановившихся режимах эксплуатации, для решения которых
требуется изучение динамики процесса (например, пуск процесса или
перевод его с одного режима в другой при минимальных отклонениях
качества продукции, оптимальное управление периодическим
процессом).
§ з. методы решения Выбор метода решения оптималь-
оптимальных задач ной задачи — важнейший этап
оптимизации. Ему предшествует
построение математической модели, формулировка задачи и
формирование критерия оптимальности, так как в большинстве случаев
метод в значительной степени определяется постановкой
оптимальной задачи (ее содержанием), используемой математической
моделью объекта оптимизации и видом функции цели.
Удачно выбранный метод оптимизации должен привести к
конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или
же к получению наибольшего объема информации об искомом
решении. Чем сложнее объект оптимизации, тем труднее выбрать
метод решения оптимальной задачи. При выборе метода оптимизации
для рассматриваемой задачи нужно проанализировать известные
решения других задач и исходить из опыта их решения и
конкретного существа самой задачи. Следует отметить, что некоторые
методы специально разработаны для решения оптимальных задач
объектов, которые описываются математическими моделями
определенного вида.
246
Систематизация методов оптимизации применительно к
процессам химической технологии предусматривает их разделение на
несколько групп:
аналитические методы;
методы математического программирования;
поисковые методы оптимизации стохастических процессов;
методы автоматического поиска оптимума.
Рассмотрение указанных методов составляет содержание
отдельного курса, они подробно изложены в литературе [1, 16, 49, 29, 40,
41]. Приведем характеристику указанных методов и области их
применения.
I. Группа аналитических методов
оптимизации объединяет аналитический поиск экстремума функций,
заданных без ограничений, метод множителей Лагранжа,
вариационные методы и принцип максимума.
Аналитический поиск экстремума функций, заданных без
ограничений на независимые переменные, применяется к задачам, у
которых оптимизируемая функция имеет аналитическое выражение,
дифференцируемое во всем диапазоне исследований, а число
переменных невелико. Это наиболее простой метод, он базируется на
использовании математического аппарата по определению
экстремального значения функции, в результате приравнивания ее
производной нулю. Однако область применения указанного метода
невелика— это наиболее простые детерминированные процессы с
сосредоточенными параметрами без ограничений на основные переменные.
Метод множителей Лагранжа используется для решения задач
такого же класса сложности, как и в аналитическом поиске
экстремума, но при ограничениях типа равенств на независимые
переменные. При этом добавляется требование возможности получения
аналитического выражения для производных от аналитического вида
ограничительных уравнений и вводится некоторая
вспомогательная функция, содержащая неопределенные множители Лагранжа.
Использование указанной функции по определенной процедуре
позволяет свести задачу с ограничениями к обычной экстремальной
задаче без ограничений.
Множители Лагранжа можно применять для решения задач
оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач
динамической оптимизации. Область действия метода значительно
расширяется за счет использования множителей Лагранжа в качестве
вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более
сложных задач (например, в вариационном исчислении,
динамическом программировании).
Метод вариационного исчисления. В задачах оптимизации
химико-технологических процессов нередко критерии оптимальности
представляются в виде функционалов, решениями которых являются
искомые функции. В этих случаях задача заключается в нахождении
экстремума функционала, зависящего от одной или нескольких
247
неизвестных функций. Такие задачи возникают обычно при
статической оптимизации процессов с распределенными параметрами или
при динамической оптимизации (реакторы идеального вытеснения,
многослойные адиабатические реакторы и др.).
Вариационные методы позволяют свести решение оптимальной
задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений
Эйлера (нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
с граничными условиями на обоих концах интервала
интегрирования). Число уравнений указанной системы равно числу неизвестных
функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую
функцию находят в результате интегрирования данной системы.
При наличии ограничений типа равенств, имеющих вид
функционалов, применяют множители Лагранжа, что дает возможность
перейти от условной задачи к безусловной.
Область действия вариационных методов определяется
процессами, для которых решение характеризуется соответствующей
функцией от независимой переменной (например, выбор оптимального
температурного профиля в реакторе вытеснения).
Принцип максимума применяют для решения задач оптимизации
процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений.
Нахождение оптимального решения при использовании принципа
максимума сводится к интегрированию системы дифференциальных
уравнений, описывающих процесс, и сопряженной системы для
вспомогательных функций, которая вводится дополнительно. При этом
решение выполняется на основе теорем теории оптимальных
процессов.
Область применения принципа максимума охватывает задачи
широкого класса, особенно для оптимального управления.
II. Группа методов математического
программирования включает динамическое
программирование, линейное программирование и методы нелинейного
программирования.
Динамическое программирование — эффективный метод
решения задач оптимизации многостадийных процессов, для которых
общий критерий оптимальности описывается аддитивной функцией
критериев оптимальности отдельных стадий.
Метод предполагает разбивку анализируемого процесса во
времени или пространстве на стадии (ступени). В качестве стадии,
например, при разбивке в пространстве, можно принять единичный
элемент оборудования (тарелка в дистилляционной колонне или
реактор в каскаде реакторов). Обычно рассмотрение задачи начинается с
последней стадии процесса, и оптимальный режим всего процесса
определяется постадийно.
В химической технологии многие процессы протекают или могут
быть математически описаны как многостадийные управляемые
процессы. В частности, к ним относятся процессы, протекающие в
аппаратах периодического действия, каскадах реакторов идеального
248
перемешивания, многоступенчатых реакторах и теплообменниках,
реакторах вытеснения с секционированным теплообменом и др.
Линейное программирование — это метод для решения задач
оптимизации с линейными выражениями для критерия
оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных.
Такие задачи часто встречаются при оптимальном планировании
производства с ограниченным количеством ресурсов, для
обеспечения оптимального использования оборудования или экономичных
перевозок (транспортная задача) и др.
Для решения задач линейного программирования разработан
практически универсальный алгоритм, который дает возможность
итерационным способом находить оптимальные решения многих
задач химической технологии [163. При этом ограничения могут быть
как в виде равенств, так и неравенств.
Методы нелинейного программирования объединяют различные
способы решения оптимальных задач: градиентные, без градиентные,
случайного поиска и др. Они применяются для оптимизации как
детерминированных, так и стохастических процессов.
Общим для методов нелинейного программирования является то,
что их используют при решении оптимальных задач с нелинейными
функциями цели и ограничениями в виде нелинейных соотношений,
имеющих форму равенств или неравенств.
Все разновидности нелинейного программирования — это
численные методы поискового типа. Их сущность заключается в
определении набора независимых переменных, дающих наибольшее
приращение оптимизируемой функции. Техника поиска основана на
расчетах, которые определяют направление наиболее быстрого
изменения функции цели. Между собой методы нелинейного
программирования отличаются способом определения направления
движения к оптимуму, алгоритмизацией поиска, использованием
разных типов ЭЦВМ.
III. Группа поисковых методов
оптимизации стохастических процессов базируется на нелинейном
программировании. Однако эти методы существенно отличаются от таковых
при оптимизации детерминированных процессов нелинейным
программированием вследствие особенностей статистических
математических моделей.
Нелинейная функция цели, описывающая детерминированный
процесс, пригодна для поиска оптимума в некотором пространстве
переменных л:, у, а, очерченном определенными нелинейными
ограничениями, при этом поиск оптимума нелинейной функции цели
осуществляется в зоне действия математической модели.
Иначе обстоит дело, когда реализуется математическая модель
стохастических процессов, полученная
экспериментально-статистическими методами. Математическая модель в этом случае описывает, как
известно, исследуемый объект в некоторой локальной области
пространства переменных. Практически не встречаются задачи, где бы
9 3 24
249
Рис. 71. Графическая интерпретация Рис. 72. Графическая интерпретация
поиска оптимума методом Гаусса— оптимизации методом случайного по-
Зейделя. иска.
оптимум исследуемого процесса совпадал с областью
математического описания. Поэтому целевая функция используется лишь в
качестве основания, на котором будет построена стратегия поиска
оптимума за пределами действия статистической математической модели.
Поисковые методы отличаются большим разнообразием: с
различными модификациями их насчитывают несколько десятков. К
основным методам поиска можно отнести метод Гаусса—Зейделя,
метод случайного поиска, метод симплексов (безградиентные
методы); метод градиента, метод наискорейшего спуска и метод крутого
восхождения (градиентные методы).
Метод Гаусса — Зейделя. При оптимизации методом Гаусса —
Зейделя поиск оптимума исследуемого процесса осуществляется
поочередным варьированием каждого входного параметра до
достижения частного оптимума выходного параметра. Вначале
достигается оптимум по направлению одной из координатных осей при
фиксированных значениях входных параметров по другим
координатным осям. Затем, зафиксировав найденное значение выходного
параметра, переходят к варьированию другого входного параметра,
где вновь достигается частное значение оптимума и т. д. На рис. 71
изображены линии равного выхода целевой функции при двух
входных параметрах (л^и х2) и общие представления о действии метода
Гаусса — Зейделя.
Это наиболее простой метод оптимизации, который широко
используется в практике исследований в химии и химической
технологии. Следует, однако, отметить, что указанным способом редко
попадают в область оптимума. Чаще всего ограничиваются
однократным варьированием по каждой из координатных осей (точка В,
рис. 71), что главным образом связано с основным недостатком
метода — длительностью продвижения в область оптимума.
Метод случайного поиска. Основная идея метода заключается
в случайном выборе направления движения на каждом последующем
250
Рис. 73. Графическая интерпретация Рис. 74. Графическая интерпретация
поиска оптимума симплекс-методом. поиска оптимума методом крутого
восхождения.
шаге, который приводит к ухудшению выходного параметра (рис. 72).
Существует большое число разновидностей метода случайного
поиска, но всех их объединяет применение случайного вектора 8,
имеющего равновероятную возможность принимать различные
направления в исследуемом пространстве переменных. Для
формирования случайного вектора используются случайные числа. Метод
широко распространен при оптимизации стохастических процессов,
однако дает хорошие результаты лишь при небольшом числе
входных параметров, а также полезен в сочетании с другими методами.
Метод симплексов. Основной особенностью метода симплексов
является объединение процесса изучения исследуемого объекта и
процесса поиска оптимума, что достигается применением
специально построенного плана эксперимента в виде симплекса.
Симплексом называют простейший выпуклый многогранник, вершины
которого равноудалены от центра фигуры (например, симплекс на
плоскости имеет вид равностороннего треугольника, в трехмерном
пространстве — тетраэдра). Эксперименты ставятся в точках
исследуемого пространства, которые соответствуют координатам вершин
симплекса.
Симплекс обладает своеобразной особенностью: в нем можно
условно отбросить одну вершину и найти новую вершину,
симметричную отброшенной. На основе оставшихся и новой вершин строится
новый симплекс — зеркальное отражение исходного. Повторяя
такую процедуру, можно осуществить перемещение симплекса в
факторном пространстве.
Доказано, что, если каждый раз отбрасывать ту вершину, значение
выходного параметра в которой будет худшим по сравнению с
другими, то центр симплекса перемещается к оптимуму (рис. 73).
Симплексный метод поиска оптимума широко применяется при
оптимизации процессов как на этапе лабораторных, так и
промышленных исследований. Основное его преимущество заключается в
9*
251
сокращении числа экспериментов при высокой эффективности
поиска оптимума.
Метод градиента. При оптимизации градиентным методом поиск
оптимума исследуемого объекта совершается в направлении
наиболее быстрого возрастания (убывания) выходного параметра, т. е.
в направлении градиента, который определяется либо по имеющейся
модели (IX.6), либо по результатам п пробных движений в
направлении координатных осей. В первом случае вычисления
производятся по уравнению:
grad£(.r) = -gr/ + -£.y+ ••• + -*-*, (IX.8)
где -j- частная производная модели по /-му фактору;/, у, ...
..., k — единичные векторы в направлении координатных осей
факторного пространства (орты).
Если математическая модель стохастического процесса —
линейный полином (VIII.20), коэффициенты регрессии Ь{ которого явля-
ются частными производными разложения функции у = f (х) в ряд
Тейлора по степеням xi9 то поиск оптимума осуществляется в
направлении градиента с некоторым шагом А:
grad у(x)=b1h + b2h + ... +bnh. (IX.9)
Корректировка направления проводится после каждого шага.
Метод градиента вместе с его многочисленными модификациями
является весьма распространенным и эффективным методом поиска
оптимума исследуемых объектов.
Метод крутого восхождения. Метод крутого восхождения, или
метод Бокса — Уилсона, объединяет в себе положительные стороны
трех методов — метода Гаусса — Зейделя, метода градиента и метода
полного (или дробного) факторного эксперимента как средства
получения математической хмодели. Решение задачи методом крутого
восхождения выполняется так, чтобы шаговое движение
осуществлялось в направлении наискорейшего возрастания (или убывания)
выходного параметра, то есть по grad у (х). Однако, в отличие от
градиентного метода, корректировка направлений производится не
после каждого следующего шага, а по достижению частного
экстремума целевой функции (рис. 74) в некоторой точке М на данном
направлении, как это делают при реализации метода Гаусса—Зейделя.
В точке частного экстремума ставится новый факторный эксперимент,
составляется математическая модель и вновь осуществляется крутое
восхождение.
В процессе движения к оптимуму указанным методом регулярно
проводится статистический анализ промежуточных результатов
поиска. Поиск прекращается, когда становятся значимыми квадратич-
252
ные эффекты в уравнении регрессии. Это означает, что достигнута
область оптимума. Дальнейшее исследование области оптимума
проводится методом, изложенным в § 4, гл. VIII.
Пример 24 иллюстрирует практическое применение метода
крутого восхождения.
* IV. Группа методов автоматического
поиска оптимума объединяет способы нахождения оптимального
режима непосредственно на объекте с помощью автоматического
оптимизатора.
В системах автоматической оптимизации широко используется
аппаратура вычислительной техники. В простейших системах, где
не требуется высокая точность, применяются недорогие электронные
устройства непрерывного действия, для сложных объектов —
специализированные ЭВМ. Работа автоматического оптимизатора
может быть основана на различных методах, чаще всего на
рассмотренных нами поисковых методах оптимизации с той лишь разницей, что
наличие модели объекта здесь необязательно. При этом стратегия
поиска может быть случайная, симплексная, градиентная — на
основе пробных экспериментальных шагов, осуществляемых
оптимизатором. Подробно с автоматическими методами поиска оптимума можно
ознакомиться в монографии [40].
§ 4. частные задачи К частным задачам оптимизации
ОПТИМИЗАЦИИ химических реакторов можно от-
химических реакторов нести установление
оптимального времени пребывания
реагентов в аппарате топт, при котором достигается максимальный выход
целевого продукта Стах для некоторых типов реакций.
В качестве примеров рассмотрим такие задачи для
изотермических химических реакторов идеального перемешивания и
идеального вытеснения, в которых протекает последовательная реакция
fei fe2
типа A ->S -+ P (S — целевой
продукт).
Характер кинетических
кривых рассматриваемой
последовательной реакции (рис. 75)
показывает, что в данной задаче
существует максимум
концентрации продукта S при определенном
значении времени пребывания,
которое является топт.
Пример 21. Оптимизация ре-
актора идеального
перемешивания. Математическая модель
исследуемого процесса известна
(VI.5). Для частного случая, ког-
Рис. 75. Характер кинетических кри-
вых для реакции типа А -*■ S -» Р (к
примерам 21, 22).
253
да в реакторе протекает последовательная реакция A -+S ->■ Р,
расчетную зависимость для определения Cs, исходя из общего вида
математической модели, записывают как функцию одной
переменной т по формуле (VI. 17).
В данной задаче критерием оптимальности может служить
технологическая характеристика — концентрация продукта S. Тогда
аналитическое выражение критерия оптимальности будет иметь вид:
«-^)- ii + wHw • (1ХЛ0)
Поскольку никакие ограничения условиями задачи не
накладываются, то для определения топт необходимо продифференцировать
dR
уравнение (IX. 10) по т и производную -т— приравнять нулю
dR ЪРА, С + feiT) 0 + М ~ Was [fei С + М) + К С + *it)1
dt ~~ [(l + *,t)(l + MP
(IX.11)
В результате решения уравнения (IX. 10) находим:
Топт==уЬг- (1ХЛ2)
Чтобы вычислить Яшах, подставляем значение топт (IX. 12) в
уравнение (IX. 10) и получаем выражение для максимально
возможного выхода продукта S в изотермическом реакторе идеального
перемешивания
Ятах - CSmax = щZF^J ' (IX. 13)
Пример 22. Оптимизация реактора идеального вытеснения.
Пользуясь моделью реактора идеального вытеснения (VI.26) и
уравнением для скорости последовательной реакции по продукту S,
находим расчетную зависимость для Cs (т), соответствующую уравнению
(VI.44). Критерий оптимальности, как и в предыдущей задаче —
это R = Cs(t), поэтому аналитическое выражение функции цели
для случая реактора вытеснения будет:
* = CsW = -k^h; ^.(e~*lT-e-*»T). (IX. 14)
Для определения топт производную —т— приравниваем нулю, то есть
"§- = Т^ГСлЛ-К<Гк1Х + *,е-*'т) = 0. (IX.15)
254
Решение уравнения (IX. 15) имеет вид:
In А
Топ *l_ (IX. 16)
опт k k '
Если k2 = ki, то формула (IX. 16) непригодна для вычислений,
так как возникает неопределенность типа -^-. Значение
оптимального времени пребывания можно найти при переходе к пределу, когда
k
k2-+ kx. Обозначив -jr- = z, формулу (IX.16) перепишем так:
тоит = ^("1^ . (IX. 17)
Неопределенность типа -^- следует раскрыть по правилу Ло-
питаля:
, I- On 2)' 1
топт k=*2 = hm {ki2_kiy = -j^-. (ix. 18)
Значение максимально возможного выхода продукта S в
изотермическом реакторе идеального вытеснения Rmax = Csmax найдем,
если в выражение (IX. 14) подставим значение топт (IX. 16):
Rm^CSm^CA\^-)ki~k\ (IX.19)
Вывод. Значения оптимального времени пребывания и
максимальной концентрации целевого продукта S для реактора
идеального перемешивания и реактора идеального вытеснения различны.
Эти величины легко вычисляются, если известны константы
скоростей реакции kx и i2 при заданной концентрации исходного
вещества Са0-
§ 5. уравнение При проектировании теплообмен-
онтимальности ных аппаратов обычно искомыми
теплообменного аппарата величинами являются
поверхность теплообмена F и
соответствующий ей расход теплоносителя v2 (чаще всего вторичного) для
заданной тепловой нагрузки теплообменника Q.
Поэтому в задачах оптимизации теплообменников
целесообразно выбирать критерий оптимальности так, чтобы он учитывал
параметры F и и2 для заданной конструкции аппарата.
В терминах оценки экономической эффективности
теплообменника критерий оптимальности R может быть выражен как суммарные
затраты на эксплуатацию теплообменника в единицу времени, то есть:
R=sTv2 -f- SpFy (IX.20)
255
где sT — стоимость единицы объема вторичного теплоносителя,
руб1м*\ sF — стоимость единицы поверхности теплообмена с учетом
амортизации теплообменника, руб/(м2 • ч).
Задача сводится к отысканию оптимальных значений
управляющих параметров FOTlT и Угопт, при которых критерий оптимальности
R принимает минимальную величину.
Связь между параметрами F и v2 для конкретного типа
теплообменника следует определять, исходя из его математического
описания.
Если использовать математические модели (VI 1.6) — (VI 1.8)
простейших типов теплообменных аппаратов, работающих в условиях
установившихся режимов, т. е. при —±- = 0 и -р- = 0, то
получаем соответствующие выражения F (v2) для теплообменников:
типа «перемешивание — перемешивание»
Р __. ^2С2Т
kLi&L-i) ' (1Х-21)
типа «перемешивание — вытеснение»
f=_J^ln(l_4-gr), (IX.22)
типа «вытеснение — вытеснение»
,п[,_ • (1+ii£n)l
ь~ тт ^^7 • (ix.23)
v2c2T
где 8 и 9* обозначены безразмерные величины в соответствии с
формулами:
9=-fcfe- (IX.24)
e* = e+i = 4^-. (IX.25)
Поскольку F = F (v2), то критерий оптимальности, записанный в
виде уравнения (IX.20), является функцией одной переменной/? =
= R («к).
Чтобы найти необходимые условия оптимальности, следует
продифференцировать выражение (IX.20) по v2 и приравнять произ-
водную -j— нулю. В результате получаем уравнение:
ST + sf-^- = 0, (IX.26)
256
которому должны удовлетворять значения F0m и а2опт- При этом
фактически определению подлежит лишь значение и2опт, по
которому затем вычисляется оптимальная поверхность теплообменника.
Пример 23. Рассмотрим задачу оптимизации широко
распространенных теплообменников типа «перемешивание — вытеснение»,
которые могут быть представлены конструкцией реального тепло-
обменного аппарата с погружной поверхностью теплообмена в виде
змеевика.
Решение. Оптимальное значение расхода теплоносителя v2
в рассматриваемой задаче определяем из уравнения (IX.26), в
которое подставляем производную -:—, полученную дифференциро-
UV2
ванием по v2 функцииF (IX.22)
dF = £2T_fln/l L Г1С1Т\ I L__ X
dv* KT \ \ e »Аг/"ГЛ 1 olClT \
|_ \ e v2c2T)
1 0iClT 1 I
xir-^r'-jvA (IX-27)
ИЛИ
-^- = -*[1п(1-т)+т^г]' (IX-28)
где для новой переменной у принято обозначение:
^6^7- (IX.29)
В соответствии с уравнением (IX.26) имеем:
ST_s^[ln(l__L) + _i_] = 0 (IX.30)
ИЛИ
-^-'"('—H"1"^-- ox-si)
Левая часть уравнения (IX.31) представляет собой безразмерный
комплекс, для которого введено обозначение:
z = St^t
sFc2T ' (IX.32)
Безразмерный параметр z характеризуется стоимостными
показателями (sT и sF) и параметрами Кт и с2ту т. е. величина z обычно
известна в исходной постановке задачи оптимизации и может быть
рассмотрена как функция новой переменной у.
Тогда
/<*) = * = ln(l—LJ + .-Ltt. (1х.зз)
257
Уравнение (1Х.ЗЗ)
характеризует оптимальный режим работы
теплообменника данной
конструкции и поэтому называется
уравнением оптимальности.
Если по уравнению (IX.33)
найти yzi соответствующее
заданному (выбранному) значению г
и использовать выражение
(IX.29), то оптимальное
значение расхода вторичного
теплоносителя у20Пт может быть
определено по формуле:
v*™ = JT^y*- (IX.34)
Оптимальное значение поверхности теплообмена FonT Для данного
типа теплообменника следует вычислять по формуле (IX.22),
которая в результате подстановки у2опт (IX.34) принимает вид:
F™ = —Тк7ln t1 - i;)y*- dx -35)
Уравнение оптимальности (IX.33) не содержит в явной форме
никаких характеристик процесса и дает возможность абстрагироваться
от конкретного теплообменника благодаря введению новой
переменной у, что позволяет применить графический метод расчета,
основанный на использовании графического изображения правой части
уравнения (IX.33) в координатах f (у) — у (рис. 76). Решение
уравнения (IX.33) находят по графику как абсциссу у2 точки
пересечения кривой (IX.33) с прямой, параллельной оси абсцисс и имеющей
ординату, равную г.
Следовательно, для любого значения z на графике можно
измерить оптимальную величину переменной уг и по формулам (IX.34)—
(IX.35) вычислить оптимальные значения управляющих параметров
у2опт и ^опт, при которых затраты на эксплуатацию
теплообменника минимальны:
^min = STU2onT + sfF опт (IX. 36)
Графический метод определения оптимальных параметров
процесса в теплообменном аппарате на основе уравнения оптимальности
позволяет быстро и ^достаточной точностью получить различные
варианты расчета, что, в свою очередь, упрощает задачу
обоснованного выбора теплообменника и режима его работы.
0 \ 2уг 3 4 5 6 7 8 .У
Рис. 76. Графическая интерпретация
уравнения оптимальности теплообмен-
ного аппарата типа «перемешивание —
вытеснение» (к примеру 23).
258
§ 6. частная ЗАДАЧА Рассмотрим практическое прило-
поиска оптимума жение метода крутого восхож-
методом крутого дения для достижения локаль-
восхождения (планирование ной области оптимума исследу-
экстремальных емого процесса на конкретном
экспериментов) примере.
Пример 24. Требуется найти
оптимальный состав эластичного стыкующего герметика по
условиям примера 18 методом крутого восхождения.
Решение. Математическая модель рассматриваемого
процесса в примере 18 получена в виде линейного полинома с помощью
активного эксперимента в некоторой области пространства целевой
функции (по матрице планирования 24-1)- При этом она
подвергалась статистическому анализу (проверке воспроизводимости опытов,
значимости коэффициентов регрессии и адекватности) и
окончательно имела следующий вид:
# = 4,525 + 0,1312л:! + 0,4812*3,
где хг и х3 — содержание соответственно парахинондиоксима и
цемента в смеси; у — прочностная характеристика герметика.
Поиск оптимума по данной математической модели методом
крутого восхождения обычно производят в определенной
последовательности и результаты расчетов заносят в таблицу.
Применительно к рассматриваемому примеру указанную
последовательность поиска оптимума можно представить так:
1. Вычисляют произведения коэффициентов регрессии на
соответствующие интервалы варьирования значимых факторов (для
последующего определения шага движения по градиенту) г:
btbXt. (IX.37)
Для рассматриваемого примера (табл. 25) по факторам хг и х3
получаются произведения:
0,131 • 1,0 = 0,131;
0,481 . 12,0 = 5,780.
2. Фактор, для которого произведение (IX.37) максимально (в
примере — это лг3), принимают как базовый
(&,ДХ|)тах = CL. (IX.38)
3. Для базового фактора выбирают шаг варьирования крутого
восхождения ha (согласно мнению технологов в рассматриваемой
задаче шаг варьирования фактора х3 принят равным 12,0).
4. Производят пересчет произведений &^ДХ* для каждого
коэффициента уравнения
hl = {bi*aXi) ha, (IX.39)
1 Эта операция правомерна, поскольку факторы изменяются пропорционально
их коэффициентам регрессии и в соответствии с их знаками — см. уравнение
(IX.9).
259
Таблица 25
Наименование
Основной уровень Xt-0
Интервал варьирования ЛХ;
Коэффициенты уравнения регрессии bt
Произведения ЬЬАХ{
Выбор шага варьирования базового
фактора ha
Пропорциональный пересчет на ha
Округление шага варьирования
«Мысленные» опыты:
1
2
3
4
5
6
7
8
хх
1,5
1,0
0,131
0,131
0,273
0,3 -
2,8
3,1
3,4
3,7
4,0
4,3
4,6
4,9
Факторы
*2
4,25
0,5
—0,019
—
3,75
3,75
3,75
1 3,75
3,75
3,75
3,75
3,75
*з
54
12
0,481
5,780
12,0
12,0
12,0
78
90
102
114
126
138
150
162
ЛГ4
9,5
5
—0,094
—
90
90
90
90
90
90
90
90
Уи\
5,75
6,10
1 5,62
6,40
5,60
6,10
6,65
5,65
Выходной
Уи2
6,10
4,50
6,30
7,00
6,90
6,60
6,35
5,45
УиЪ
5,49
6,60
6,25
6,00
6,35
6,75
5,90
5,75
параметр
УиА
5,90
6,40
5,62
5,50
5,75
6,75
6,75
6,00
Уи
5,81
5,90
5,95
6,22
6,15
6,55
6,41
А. 1
5,041
5,557
6,073
6,589
7,105
7,621
8,130
5,71 1 -
где коэффициенты bt берутся со своими знаками. Отметим, что выбор
шага до некоторой степени произволен. Практически пользуются
следующей рекомендацией: при сложении величины шага с нулевым
уровнем фактора результат сложения должен выходить за пределы
экспериментальной области (хотя бъ\ для одного фактора) и не
выходить за пределы области определения фактора. Для облегчения
расчетов шаги варьирования по каждому фактору округляют.
В примере значение шага по хг округлено до 0,3 (табл. 25).
5. Каждый шаг поиска экстремума целевой функции образуется
последовательным прибавлением значений ht к нулевому уровню
(табл. 25, «мысленные» опыты, графы хг и х3).
6. По «мысленным» опытам рассчитывают значения выходного
параметра согласно уравнению регрессии
9 = b0 + y2btht, (IX.40)
где у = 1, 2, ... — число шагов поиска; п — число факторов.
7. «Мысленные» опыты через несколько шагов реализуются и,
таким образом, проверяется степень точности описания объекта
уравнением регрессии. Если ожидается значительный разброс
выходного параметра, реализуются все «мысленные» опыты. Стратегия
проведения опытов заключается в том, чтобы найти такие шаги, которые
приводят сначала к увеличению выходного параметра, а затем к его
уменьшению. В данном примере поиск оптимума прочностной
характеристики герметика можно прекратить после достижения
величин уи = 6,55 (6-й опыт) или уи = 6,41 (7-й опыт), поскольку
последующий шаг (8-й опыт) приводит к заметному ухудшению
прочностной характеристики.
В общем случае при выполнении расчетов необходимо иметь в
виду такие рекомендации:
а) при отыскании минимума выходного параметра каждый
коэффициент следует брать с обратным знаком;
б) если какой-либо из факторов в процессе движения к оптимуму
достигает границы области определения, то его можно
зафиксировать и продолжать движение к оптимуму по остальным факторам.
Точка факторного пространства, где достигнуто максимальное
значение выходного параметра, принимается в качестве нулевой.
Здесь вновь проводят активный эксперимент, получают линейную
модель и осуществляют крутое восхождение. Шаги при повторном
крутом восхождении выбираются меньшими, поскольку при
приближении к оптимуму кривизна поверхности отклика возрастает.
Поиск прекращают, когда при повторном эксперименте
коэффициенты линейной модели станут незначимыми, что
свидетельствует о выходе в область экстремума функции отклика, т. е. о
достижении так называемой «почти стационарной области». Поиск также
прекращают, если начинают нарушаться ограничения по другим
выходным параметрам.
261
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕКОТОРЫЕ ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ
СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Адекватность уравнения регрессии — соответствие уравнения регрессии опытным
данным. Обычно соответствие оценивают в пределах ошибки воспроизводимости.
Активный эксперимент — эксперимент при планировании и анализе
которого используются математико-статистические методы. При этом исследователь
активно вмешивается в эксперимент и в ходе эксперимента может изменить его
направление или постановку задачи.
Априорная информация — сведения об объекте, известные до опыта из
литературы, либо в результате опроса специалистов или предварительных
исследований.
Вероятность события — отношение числа случаев, при которых появляется
это событие, к числу всех равновозможных случаев (согласно классическому
определению). Вероятность события представляет собой меру возможности появления
какого-либо события в тех или иных определенных условиях, которые могут
повторяться неограниченное число раз. Вероятность события — это число,
которое не может быть отрицательным и не может быть большим единицы, т. е. для
любого события А его вероятность Р (А) находится в пределах 0 ^ Р (А) <^ 1.
Вероятность доверительная (Р8) — достаточно большая (обычно близкая
к единице) вероятность того, что отклонение выборочного параметра (Я*) от
генерального параметра (Я) не превысит по абсолютному значению какой-то принятой
величины е (е — допустимое отклонение Я от Я*).
Второго порядка математическая модель — уравнение второй степени.
Выборка (частичная совокупность) — значения случайной величины,
наблюдаемые в последовательности некоторого (ограниченного) числа экспериментов.
Генеральная совокупность (общая совокупность) — некоторая
неограниченная (практически очень большая) совокупность почти однородных предметов
(значений случайной величины).
Генеральный параметр — характеристика случайной величины или связи
между случайными величинами генеральной совокупности.
Генерирующее соотношение — соотношение, показывающее, какие
взаимодействия заменены новыми факторами при построении дробной реплики.
Дисперсия случайной величины (а2) — характеристика рассеивания случайной
величины около ее математического ожидания, или математическое ожидание
квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
Дисперсии оценка (s2) — сумма квадратов отклонений, деленная на
соответствующее число степеней свободы.
Дисперсия выборочная — дисперсия, вычисленная по данным выборки.
Дисперсия опыта (дисперсия воспроизводимости ^оспо» или so) —
дисперсия, характеризующая воспроизводимость эксперимента; вычисляется как сред-
262
нее арифметическое выборочных дисперсий результатов параллельных
(дублирующих) опытов, если указанные дисперсии однородны.
Дисперсия остаточная (дисперсия адекватности s^CT) — дисперсия,
характеризующая рассеивание опытных данных относительно уравнения регрессии.
Доверительный интервал случайной величины — интервал изменения
случайной величины, в котором ее значение с вероятностью, близкой к единице
(доверительная вероятность — 0,90; 0,95; 0,99), может практически считаться
достоверным.
Дробная реплика — план эксперимента, являющегося частью полного
факторного эксперимента. Число опытов, соответствующее данной реплике, чаще
всего определяется делением числа опытов полного факторного эксперимента
на число, кратное двум.
Значимость — соблюдение условия, когда некоторые статистики, найденные
по выборкам, отличаются друг от друга (или от других выбранных значений)
больше, чем можно было бы ожидать, в связи со случайными колебаниями в
выборках.
Интервал варьирования — разность между двумя натуральными значениями
факторов, соответствующая единице кодированного значения фактора; это часть
области определения фактора.
Канонический коэффициент — коэффициент уравнения, представленного
в канонической форме.
Каноническая форма — форма уравнения второй степени, характеризующая
тип поверхности отклика.
Кодирование факторов — линейное преобразование факторного пространства
с переносом начала координат в центр эксперимента и выбором масштаба по осям
координат в единицах варьирования факторов.
Композиционное планирование — планирование, основанное на
последовательном достраивании матриц с переходом к планам более высокого порядка.
Корреляция — статистическая связь, при которой с изменением одной
случайной величины сопоставляется изменение какой-либо численной
характеристики соответствующего ряда распределения наблюдаемых значений другой
случайной величины.
Коэффициент корреляции (г ) — статистика, характеризующая тесноту
(силу) корреляционной связи между случайными величинами, если эта связь
описывается линейным полиномом.
Коэффициент регрессии — коэффициент уравнения регрессии
(полиномиального уравнения).
Критерий значимости — случайная величина, распределение которой пред*
ставляет собой специально подобранную функцию, зависящую только от числа
опытов (числа степеней свободы); применяется для установления значимости
некоторых статистик. Обычно критерий значимости называют именем автора,
предложившего соответствующий вид распределения, и обозначают буквой этого
распределения, например, критерий Стьюдента (/-распределение), критерий
Фишера (F-распределение), критерий Кохрена (G-распределение).
263
Критерий Стьюдента характеризует отклонение статистики от ее генерального
параметра; применяется для определения значимости выборочных коэффициентов
корреляции, выборочных коэффициентов регрессии и др.
Критерий Кохрена характеризует отношение максимальной дисперсии к
сумме всех дисперсий по параллельным опытам; применяется для проверки
однородности выборочных дисперсий результатов параллельных опытов.
А
Критерий Фишера характеризует дисперсионное отношение F = —^-, где
4
Sj и s2 — оценки одинаковой генеральной дисперсии а2 (если отклонения
случайны); применяется, например, для проверки адекватности уравнения регрессии.
Крутого восхождения метод — математический метод планирования
эксперимента на стадии поиска экстремума функции отклика; основан на шаговом
движении в область оптимума по градиенту линейного приближения.
Линейный эффект — величина, характеризующая линейную зависимость
выходного параметра от значений соответствующего фактора; определяется
по величине и знаку коэффициента регрессии при соответствующем члене
первой степени в уравнении регрессии.
Математическое ожидание случайной величины — сумма произведений
каждого значения этой величины на соответствующую вероятность, или среднее
арифметическое всех значений, которые принимает случайная величина в Af опытах, если
число этих опытов неограниченно возрастает (N -> оо).
Матрица — упорядоченная, подчиняющаяся определенным правилам
система т тхп чисел (элементы матрицы), которые расположены в прямоугольной
таблице, имеющей т строк и п столбцов. Если тФп, то матрица называется
прямоугольной.
Матрица квадратная — матрица, у которой число строк равно числу
столбцов.
Матрица диагональная — квадратная матрица, у которой все матричные
элементы, за исключением расположенных на главной диагонали, равны нулю.
Матрица единичная (Е) — диагональная матрица, имеющая на диагонали
единицы.
Матрица транспонированная. Если в исходной матрице Л заменить строки
соответственно столбцами, то получается транспонированная матрица Л*.
Матрица присоединенная (союзная).- Если в исходной матрице Л все
элементы заменить на их алгебраические дополнения и транспонировать образованную
таким способом матрицу, то получается присоединенная (союзная) матрица.
Матрица обратная. Обратной матрицей по отношению к данной (А)
называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и с л е в а на
данную матрицу, дает единичную матрицу, т. е. АА~* = А~ХА = Е. Обратные
матрицы существуют только для квадратных матриц, определители которых не
равны нулю. Процедура получения обратной матрицы Л-1 : а) вычисляют
определитель исходной матрицы det Л, или А; б) находят союзную матрицу, если А Ф 0;
в) делят элементы союзной матрицы на определитель исходной матрицы.
Вычисление обратных матриц — трудоемкая задача, обычно производится на ЭЦВМ.
264
Матрица информационная (Х*Х) — матрица, полученная в результате
умножения слева матрицы значений факторов X на транспонированную матрицу
X* (является частью системы нормальных уравнений, записанной в матричной
форме).
Матрица ковариационная, матрица ошибок, или корреляционная (X*Х)~1 —
матрица, обратная информационной матрице.
Матрица планирования — стандартная форма записи условий эксперимента
с использованием кодированных значений факторов (безразмерных величин)
в виде упорядоченной системы чисел.
«Мысленные» опыты — опыты, условия проведения которых рассчитаны с
учетом интервалов варьирования факторов и соответствующих коэффициентов
регрессии на стадии крутого восхождения в область оптимума; при крутом восхождении
часть «мысленных» опытов реализуется с целью экспериментальной проверки
результатов крутого восхождения.
Натуральное значение фактора — именованное значение фактора.
Нулевой уровень — натуральное значение фактора, соответствующее центру
кодированной системы координат (центр планирования).
Определяющий контраст — соотношение, задающее элементы столбца
матрицы планирования, соответствующего фиктивной переменной. Используют
для определения разрешающей способности дробных реплик.
Ортогональное планирование — планирование эксперимента, соответствующее
N
условию ^S xiuxiu — О (VI 11.64) и позволяющее получать оценки коэффициентов
ы=1
регрессии, независимые друг от друга (несмешанные оценки).
Отклика поверхность — геометрическое изображение функции отклика
(геометрическая поверхность) в факторном пространстве.
Отклика функция — зависимость, характеризующая связь между откликом
(выходной величиной) и управляемыми параметрами (факторами).
Оценки методы — методы, при помощи которых можно с определенной
вероятностью сделать выводы относительно параметров распределения генеральной
совокупности случайной величины по ее выборке.
Оценка — характеристика, под которой понимают приближенное численное
значение случайной величины, полученное по выборке с определенной
доверительной вероятностью.
Пассивный эксперимент — эксперимент, который основан на регистрации
входных и выходных параметров, характеризующих объект исследования, без
вмешательства в эксперимент в процессе его проведения. Математико-статисти-
ческие методы применяются только после окончания эксперимента для обработки
собранных экспериментальных данных.
Параллельные измерения — измерения, выполненные при одинаковых
значениях факторов. Используются для оценки воспроизводимости эксперимента.
Первого порядка математическая модель — уравнение первой степени.
Планирование эксперимента — один из разделов математической теории
эксперимента; совокупность методов проведения активного эксперимента.
265
Полный факторный эксперимент — эксперимент, включающий все
возможные комбинации изучаемых факторов при выбранном числе уровней (обычно
на двух уровнях, а иногда на трех или четырех уровнях).
Почти стационарная область (область оптимума) — часть поверхности
отклика вблизи оптимума (экстремума).
Предсказанное значение выходного параметра — значение выходного
параметра, вычисленное с помощью математической модели.
Разрешающая способность дробной реплики — число несмешанных эффектов,
которые могут быть вычислены по данной дробной реплике.
Рототабельное планирование — планирование, инвариантное к вращению
координат, позволяющее получать значения выходного параметра с минимальными
дисперсиями на равном расстоянии от центра планирования.
Случайная величина — переменная, принимающая различные значения с
определенными вероятностями.
Смешанные оценки коэффициентов регрессии — оценки, в которых совместно
учитываются линейные эффекты и эффекты взаимодействия.
Статистики — числовые характеристики свойств распределения и связи,
вычисленные на основании выборок (частичных совокупностей) значений
случайных величин.
Сумма квадратов отклонений — сумма квадратов отклонений всех
наблюдаемых значений от их общего среднего.
Уравнение регрессии — математическая модель процесса, полученная
посредством математико-статистической обработки экспериментальных данных и
представленная в полиномиальной форме.
Уровень значимости (а) — понятие, выражающее вероятность, которой
решено пренебречь в данной области исследований. Обычно q — малая вероятность
(q= 1 — Р8, где Pg — доверительная вероятность), которую выбирают, исходя
,из конкретного содержания задачи (в технических исследованиях часто принимают
q= 5%).
Уровень факторов — значения факторов, которыми задаются при изучении
их влияния на выходной параметр.
Факторное пространство — пространство, координаты которого
соответствуют рассматриваемым факторам.
Факторный эксперимент — эксперимент, состоящий из одновременного
варьирования всеми факторами и проверки достоверности результатов математико-
статистическими методами.
Факторы — независимые переменные (входные параметры), которые
варьируются при проведении эксперимента; они изменяются целенаправленно.
Фиктивная переменная (х0) — переменная, принимающая только одно
значение: х0 = + 1. Используется при составлении системы нормальных уравнений;
вводится в матрицу планирования в отдельной графе.
Центр эксперимента — кодированные координаты условий проведения
эксперимента при фиксировании всех варьируемых факторов на нулевом уровне.
266
Число степеней свободы (показатель /) — понятие, учитывающее, что в
статистических ситуациях необходимо принимать во внимание связи, ограничивающие
свободу изменения случайных величин или число независимых состояний
(величин). Числом степеней свободы / выборки принято называть разность между
объемом выборки N и числом связей /, наложенных на эту выборку (/ = N — /).
Эффект взаимодействия — эффект, характеризующий совместное влияние
нескольких факторов на выходной параметр.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Значения критерия Стьюдента для уровней значимости q = 5% и q = 1%
Число
степеней
свободы f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Я = 5%
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,20Г
2,179
2,160
2,145
2,131
<7=1%
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
Число степе-
| ней свободы f
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
<7=5%
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
я = 1%
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
*2
268
р
.
►>
с
U
)
1
h
•
s
;
3
r
3
5
я
s
epc
с
к
3
A
i бол
5
оды f
VO
О
CO
о
«
епене
o
Числе
i 2 3
« о
[СЛО
й ев
я о»
ST и
8
<=>
о
о
ю
СМ
СО
СМ
СО
ю
rf
х a»
0) С
*5
^3
OCOCOtDNCOOO-'tOO
lOmcOCOCOCMaih-LO^CO
^O)00lTlTj<C0C0(N(N(N(N(N
Ю —■
CM
05(0ЮО-0000С0 CT> Ю Ю
CO^lOCDTthfNCJNlO^CO
C00500lO^COCO(N(N(N(N(N
Ю —■
CM
°°. t ю. N. t, N. °°. °. °°. ч ю. ^.
~ aT «Г ю Th со" со" со см" см" см" сч~
Ю —i
см
in^NcO^ — WO^'-O
O-^COOLOOOTf — (J) N (О Ю
а>ст>001От^сосососмсмсмсм
CM
COUtO(NOlOOO(NOO
iO^(O00CDOl^(Na)00N(O
00>OOinTf<COCOCO(N(N(N(N
CM
-^-hOOONOON-OIO)
<Х>^1^СТ>СООЮСМОО)1^СО
СОСЛООЮ'^'фСОСОСОСМСМСМ
CM
N^rtlNlOCO^CONlOin
°l °°. °°. Ч °°. i N. 4 ^i °. ^ °°.
00 05 00 (D "^ ^" CO CO CO CO (N (N
CO —
CM
C0r)<(DlO00N00N(N05O
OCOOi—"05СМ00ЮС0СМОО
TfOiOOCDr^TfCOCOCOCOCOCO
со —
CM
O-COlOO^NOOOCOO-H
CMCOOCMOCOOJCO'^COCM —
ослоюю^сосососососо
CO —.
CM
4 ^ ^. °Я 1 ю^ 1 °°. 4 4 ^ ^
't 05 СЛ CD Ю ^t Tf CO CO* CO CO* CO
CM *—
CM
COOOOl-^COiONCD — O^Oi
N-HtNlC^SCOOOONlO^
ЮО^СЛСОЮтС^^СОСОСОСО
CM
om^aJt^tDtoooooo
юоюс^г^-^^-^см — о oo
СГ)СТ)СГ)СГ)ЮЮ^,'чГ<'^''^нСОСО
— со—< — a> a> см см со т*< ю
—" OOC^^^OiOi^SiO^S^f^f^
«О — —
— IMCO^lOCDSOOGJO-CN
-н СО N -^ т^см—' -* 00О
CN ^ О О СО СО Ю Tf ^^l
COa>(NNOOiO^CMCJirt<
(N-H-oaicoioio сом
CNTfOOCOcDCDCOO СОЮ
со см --^ —- a> i>^ со со ^ со
CMlOCD-^fOOOJCn^fCOCM
i<CO(N(NOOONN СОЮ
-rfO)COQOO)OiO m^
Ю^СОСО-СЛСЛСО NCD
OtOCOCNCOOiOlO ЮЮ
COiO^^WOOO CON
CMCMCMCMCMCMCM — —"—'
h- О т^ 05 Ю N CO CO CO"*
N. ^. ф. ю. Ч N. 1 " 9.°l
см"смсмсм"см"см"см"см>см"^'
CNiOOlTfOCN^CJiOCn
OiCONNCD^COOJ «O
CMCMCMCMCMCMCMCMCMCM
СМСООЮ—•СОЮОО'—
ОСйСОООЬЮ^^ COIN
COCMCMCMCMCMCMCMCMCM
OO^cD-NOi-iCD CDN
—■■ —* О О 00 CO CO Ю "* °i
со"со"сососм"смсм"см"см"см
—' rt* о •* о in r^a>oo
-* CO CM CM —' CT> 00 Г-1>-СО
COCOCOCOCOCMCMCMCMCM
O-^OOCOOiCNCOOO ОСЛ
OONCDCO^CO(N — ОСЛ
COCOCOCOCOCOCOCOCOCM
NO'tOilONOOC) ^'^t1
CD CD Ю ^ CO -н с? С 0> 00
^т^т£т£^^т^т^О0СО"
СОт^ЮСООООООО
II
s
H
о
о
s
s
У
a
X
m
к
X
ев
о
о.
>>
к
в(
с*
О.
0>
3
S
•е-
к
S
О.
<V
н
S
Ои
X
S
X
си
3"
се
X
со
о
ft,
C5
*
CO
В
CM 3
S
перси
и
cf
альной
я
макс
3
вобод
»s
СТСПСН1
о
t;
Чис.
8
"*
CO
о
о
СХ)
f^.
со
CM
Й о я я
£ vo ex и -, _
£ О го СХ ^со^
u a 2 <u -
OOS5^H||
5 « £ S 3
Я ft X
— Я w
О СО
О СО
О СО
о"
СО —i
— СО
00 О
ю ^
о"
СМ 00
О г^
CD N
CD rf
cd"
—« CD
-* CD
CO т^.
N Ю
о
о ю
00 CM
00 О
N_ CD
CD
CD N
—■ CD
О —•
00 CD
CD
CD CO
LO CO
— CO
00 CD
o~
CM О
CO CO
CO Ю
00 CD
d
Tj« —
CO N
Ю N
°Я *°
CD
^ —<
00 N
ю о
00 N
О
N N
Ю LO
S ^
cd
CM N
CD N
CO CD
О CD
LO О
r- n
cd
Ю CD
00 CD
cd cd
cd
CM CO
о
о
LO
CM
со
CD
о
CO
о
CM
N
со
CD
CD
CO
^
"tf1
00
00
Tt«
N
О
Ю
LO
N
LO
LO
CD
CO
LO
00
CD
LO
LO
LO
CD
00
Ю
N
00
CM
CD
(
"4f
00
CD
CD
N
CD
n
Ю
CD
О
CD
"*
О N
О CD
О CD
CM —
CD
CO CD
LO ^
CM CM
о
CD CM
CD —
О CD
CO CM
cd"
LO LO
s 2
°я °°
о
00 OO
—« CD
—i LO
^ CO
О
—i CM
"* 00
CM CD
"* CO
cd"
N N
00 —•
CO OO
Tf CO
cd"
Th О
CD 0C
Ю CD
<ф CO
cd
CO Tf
00 00
N ~-
-* ^
cd"
CO N
CD ^
О rt*
LO Tt<
cd"
CD CO
^f О
Tt4 0O
LO^ Tf
cd"
0O CM
CD CO
Ю LO
О
00 —
CO CD
00 —
CD CD
cd"
CM 00
— О
Th 00
00 N
О
LO CD
CD
CM
Tf
CO
CO
00
00
N
CM
CM
CD
Ю
N
CM
^
Ю
CO
^
Ю
CM
CO
T*«
00
CO
CO
Ю
LO
Ю
CO
CD
CM
n
CO
n
о
CD
CO
N
о
CO
^
о
о
00
Tf
CM
CD
Ю
, ,
N
CM
N
N
о —«
LO —i
CM —
о
CD CD
—« -*
CD rf
CM О
CM CM
О 00
CM —■
cd"
CM CD
CD CM
^ CM
CM CM
о
CD 00
CM CD
00 Ю
°i °^
cd"
CD CD
CM LO
CD CD
°i ^
о
CO 00
ч* CD
О N
CO CM
cd"
ю —
00 О
— CD
CO^ CM
©
CM N
CD CD
CO О
CO^ CO
cd
Ю CD
CD OO
LO CM
CO CO
о
О rt«
~- 00
CD LO
CO CO
О
N N
N CM
CO О
"^1 "^
cd"
t^ Ю
ю r-
— h»
Ю rt4
о
00 LO
CD 00
h- CO
CD^ CD
О
00 CD
О
О
О
00
О
СО
LO
Ю
CD
CM
CO
о
CM
CO
LO
CO
CM
CD
CO
-*
CM
,
-^
LO
CM
CD
CD
CD
CM
CO
CM
00
CM
CD
CM
о
CO
^
CO
CO
CO
CO
r^.
CO
о
LO
^
Tt*
О
CM
о
CD
О
со ts.
CO CD
00 CD
О. О
о"
О CD
О 00
—* 00
1 о
cd"
со ^
о -*
^f —"
cd"
h- CD
CO CM
h- Tf
—< ~-H
о
О -н
см r^
О CD
CM —•
О
00 CD
CD CO
О t^
CM —i
o"
h- Ю
00 —
— 00
CM —«
о
CD —
CD —
CM CD
CM^ —
cd"
CD Tt*
CO CO
т^ О
CM^ CM
о
^ Ю
CM CD
CD —
CM CM
о
О CD
00 —
OO Tf
CM CM
cd"
rf 00
CD Ю
CM t^
CO CM
о
-4f CD
* CM ^
CD CO
CO CO
О
О CD
— О
Tf t>-
LO^ rf
CM LO
о
о
Ю
о
LO
t--
CD
О
CD
t^
00
О
00
О
•—<
CO
о
со
'—'
с—
ю
со
—<
см
см
Tt<
,
о
LO
—"
см
о
СО
ю
со
h-
i
СМ
CD
LO
О
СМ
см
ю
о
h-
см
Tt*
CD
00
СО
О
со
^- со
— со
rf СО
О О
о'
Г- h~
CD Ю
LO ^
cd"
CO rf
tJ* О
Г- CD
q о
о"
CM —i
тр Г-
CD N.
О О
cd"
СО —
— см
— CD
— О
О*
О ОО
CD Ю
— CD
~1 °
О
CD CM
— О
см о
—Н _4
о
CD —■
00 CD
СМ О
"~1 ~~*
cd"
ТХН (V,
N СО
СО ~
~* —X
cd"
СО N
CD СО
TF СМ
О
CD N
Ю N
CD СО
о"
N СО
О CD
CD LO
о"
^ О
LO 00
СО CD
см —
о
Tt4 CD
СО СМ
Tf CD
СО^ CM
cd"
^ CD
СМ СО
О
Ю
СМ
о
N
•*
СО
о
см
CD
"*
О
ю
CD
Ю
О
СО
N
О
Ю
'ф
N
О
о
00
N
О
N
СМ
00
о
N
00
00
о
00
CD
CD
О
СМ
00
о
CD
LO
CM
CD
N
LO
О
N
со
CM
о
-*
N CO
CD 00
:r о
о о
о"
"* О
СО СМ
СМ —|
о о
о"
CD Ю
~ CD
со —.
о о
о"
— 00
^ см
о о
о
N CD
CD CD
^ CM
О О
О
О CD
СМ N
Ю СМ
о о
cd"
см см
Ю CD
ю см
°- °
о"
со сч
я.
о
СО N
см со
CD CO
О О
CD
СМ —<
00 N
CD СО
О О
cd"
CD CD
CD —
N r^
О О
LO LO
CD CD
00 ^
СЭ
— CM
CO CO
— CD
— О
о"
N 00
CO CD
N CD
о"
О О
CD CM
О
о
°
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
°
о
о
о
8
°
°
О
О
о
°
°
о
с
°
о
о
о
о
о
о
о
°
о
о
о
о
°
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
°
о
8
269
©\
1Л
и
к
H
о
о
s
X
ев
X
«
(X
X
ffl
о
о.
>>
К
п*
ев
X
О.
X
О
ее
S
п.
а>
н
S
о.
к
S
X
<и
т
се
х
со
о
§
о.
CM
§
м
CM
иц ПФЭ о
гания матр
ь достраи!
П ос ле дов ател ьност
н
Номер опыта
++++
++++
++++
++l l
+ 1 + 1
++++
^ <М СО rf
++++
++++
1 1 1 1
++I 1
+ 1 + 1
++++
Ю СО Г^ 00
++++++++
1 1 1 1 1 1 1 1
++++I111
++II++I1
+I+I+I+I
++++++++
050 —<N0ClTf Ю<£>
1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1
++++++++111111II
++++1111++++III!
++11++11++11++11
+1+1+1+1+1+1+1+1
++++++++++++++++
Г«- 00 0> О —• <N £2 ^ ю CD h- 00 Oi О —' <N
—« —' — <М <М <М <М СЧ с^ CN CM <N <М СО СО СО
ЛИТЕРАТУРА
1. Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии.
Изд. 2. М., «Химия», 1971.
2. К а ф а р о в В. В. Моделирование химических процессов. М., «Знание»,
1968.
3. Веников В. А. Теория подобия и моделирование применительно к
задачам электроэнергетики. М., «Высшая школа», 1966.
4. Бесков С. Д. Технохимические расчеты. Изд. 4. М., «Высшая школа»,
1966.
5. С л и н ь к о М. Г. Моделирование химических реакторов.— В сб.:
Моделирование и оптимизация каталитических процессов. М., «Наука», 1965.
6. С л и н ь к о М. Г. Моделирование химических реакторов. Новосибирск,
«Наука», Сибирское отделение, 1968.
7. Б е р г А. И. Кибернетика — наука об оптимальном управлении. М.— Л.,
«Энергия», 1964.
8. К а ф а р о в В. В. Макрокинетика химических процессов.— «Успехи
химии», 1967, т. XXXVI, вып. 2.
9. Р а й б м а н Н. С. Что такое идентификация? М., «Наука», 1970.
10. В э й л а с С. Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов.
Под ред. проф. П. А. Семенова. М., «Химия», 1967.
11. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. М.,
«Химия», 1969.
12. Ф р а н к-К аменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в
химической кинетике. Изд. 2. М., «Наука», 1967.
13. Э м а н у э л ь Н. М., Кнорре Д. Г. Курс химической кинетики.
(Гомогенные реакции). Изд. 2. М., «Высшая школа», 1969.
14. Кафаров В. В. и др. Математический анализ ячеечной модели с
обратным перемешиванием между ячейками.—«Теоретические основы химической
технологии», 1968, т. II, № 1.
15. Выгон В. Г. Математическое моделирование процесса экстракции в пуль-
сационной насадочной колонне. Диссертация. МХТИ, 1968.
16. Б о я р и н о в А. И., Кафаров В. В. Методы оптимизации в
химической технологии. М., «Химия», 1969.
17. Кириллов Н. И. Теория равновесных концентраций при непрерывном
перетекании раствора и ее приложение для непрерывного и стандартного
проведения различных химических процессов.— «Журнал прикладной
химии», 1940, т. XIII, вып. 7.
18. Л е в и н Л. Методы решения технических задач с использованием
аналоговых вычислительных машин. М., «Мир», 1966.
19. И о ф ф е И. И., Письмен Л. М. Инженерная химия гетерогенного
катализа. М., «Химия», 1965.
20. Кафаров В. В., Михайлов Г. В. Введение в инженерные расчеты
реакторов с неподвижным слоем катализатора. Изд-во Московского химико-
технологического ин-та, 1969.
21. Клименко А. П., Каневец Г. Е. Расчет теплообменных
аппаратов на электронных вычислительных машинах. М.— Л., «Энергия», 1966.
271
22. Б р а й н е с Я. М. Введение в теорию и расчеты химических и
нефтехимических реакторов. М., «Химия», 1968.
23. П р о х о р о в В. И., П о г о р е л к о И. А., Яковлев В. А. Основы
программирования для электронных цифровых вычислительных машин. М.,
«Высшая школа», 1967.
24. Л а в р о в С. С. Универсальный язык программирования (АЛГОЛ 60).
Изд. 3. М., «Наука», 1972.
25. Л у ц е н к о В. А., Ф и н я к и н Л. Н. Аналоговые вычислительные
машины в химии и химической технологии. М., «Химия», 1969.
26. Ж и д к о в Б. А., Бондарь А. Г. Алгоритмизация расчетов в
химической технологии. К., «Вища школа», 1970.
27. Бондарь А. Г., П о т я ж е н к о И. А., Попович О. Т.
Определение констант скоростей обратимой реакции при использовании аналоговой
вычислительной машины.— «Реферативная информация о законченных
научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР. Химическая
промышленность», 1969, вып. 7. (К., УкрНИИНТИ).
28. Кондратьев В. Н. Определение констант скорости газофазных
реакций. М., «Наука», 1971.
29. О с т р о в с к и й Г. М., Волин Ю. М. Методы оптимизации
химических реакторов. М., «Химия», 1967.
30. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления. М., Физматгиз, 1960.
31. Н а л и м о в В. В., Чернова Н. А. Статистические методы
планирования экстремальных экспериментов. М., «Наука», 1965.
32. Налимов В. В. Теория эксперимента. М., «Наука», 1971.
33. П у с т ы л ь н и к Е. И. Статистические методы анализа и обработки
наблюдений. М., «Наука», 1968.
34. Ордынцев В. М. Математическое описание объектов автоматизации.
М., «Машиностроение», 1965.
35. А д л е р Ю. П. Введение в планирование эксперимента. М., «Металлургия»,
1969.
36. Т и х о м и р о в В. Б. Математические методы планирования эксперимента
при изучении нетканых материалов. М., «Легкая индустрия», 1968.
37. Веселая Г. Н., Егорова Н. В. О математических моделя.х
технологических процессов, полученных по данным пассивных наблюдений.— В сб.:
Проблемы планирования эксперимента. М., «Наука», 1969.
38. Г о р ю ш к о В. Е. и др. Разработка оптимального состава эластичных
стыкующих герметиков на основе теории планирования эксперимента.—
«Химическая промышленность Украины», 1970, № 6 (54).
39. Комиссарова Л. Н. и др. Применение математических методов
планирования эксперимента при изучении механизма экстракции циркония.—
«Заводская лаборатория», 1963, т. XXIX, № 3.
40. Грубо в В. И., Ивахненко А. Г., Мандровский-Соко-
л о в Б. Ю. Промышленная кибернетика. Справочник. К., «Наукова думка»,
1966.
41. Розенброк X., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-
химиков. М., «Мир», 1968.
272
42. Мак-Краген Д. иДорн У. Численные методы и программирование
на ФОРТРАНе. М., «Мир», 1969.
43. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. Изд. 2.
М., «Наука», 1971.
44. Бородюк В. П., Лецкий Э. К. Статистическое описание
промышленных объектов. М., «Энергия», 1971.
45. Ф р э н к с Р. Математическое моделирование в химической технологии.
М., «Химия», 1971.
46. Б о н д а р ь А. Г. Вычислительная техника в инженерных расчетах
(Конспект лекций для студентов химико-технологических специальностей и
специальностей химического машиностроения). К., 1970.
47. Г м у р м а н В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Изд. 4. М., «Высшая школа», 1972.
48. М а р т и н Ф. Моделирование на вычислительных машинах. М., «Советское
радио», 1972.
49. Р у з и н о в Л. П. Статистические методы оптимизации химических
процессов. М., «Химия», 1972.
50. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В.
Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.
Программированное введение в планирование эксперимента. М., «Наука», 1971.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адекватность 20, 62, 206, 221, 262
Адиабатические реакторы 143, 172
АЛГОЛ 22
Алгоритм 20, 165, 249
Анализ
корреляционный 195, 196
размерностей 13
регрессионный 195, 196, 209, 214
уравнений 13
Аналогия 18
Аналоговые вычислительные
машины 21, 22, 76, 87, 89, 162
Априорная информация 196, 262
Безынерционное звено 42
Бит 26
Блок-схема (ы)
алгоритма 165
моделирования на АВМ
(структурная) 85, 90, 99, 162
построения модели 86
структурные (объектов) 41
Вероятность
доверительная 262
события 262
Возмущения 28, 41, 47, 96
Время
запаздывания 42, 135
пребывания 97, 143, 155
Входы и выходы
объекта химической технологии 28
«черного ящика» 45
Выборка 194, 262
Генеральная совокупность 262
Генеральный параметр 203, 262
Генерирующее соотношение 226, 262
Гипотеза статистическая 203
Градиент величины 137, 154
Дельта-функция 33, 38
Дисперсионное отношение 207
Дисперсия
воспроизводимости (опыта) 206,
222, 234, 262
выборочная 205, 262
коэффициентов регрессии 222, 234
остаточная 205, 224, 263
относительно среднего 206
случайной величины 262
Дифференцирующее звено 42
Диффузионная область 79
Доверительный интервал 223, 263
Дробная реплика 224, 226, 263
разрешающая способность 226, 266
Дробный факторный эксперимент 224,
232, 259
Звездное плечо 232
Звездные точки 232
Звено чистого запаздывания 42, 104
Звенья элементарные (типовые) 41,42
Значимость(и) 263
коэффициентов регрессии 203, 222,
223
критерий 203, 263
условие 201, 223
Изображение 37, 38
интеграла 39
производных 39
функции с запаздыванием 39
Изотермический реактор 143, 149
Индикатор (трассер) 47, 118
Инерционное звено
первого порядка 42, 99
второго порядка 42
Инерционность объекта 34
Интервал варьирования 217, 263
Информация (и) 9, 25, 45
априорная 262
количество 26
относительная 25
структурная 25
Канал
возмущения 28
связи основной 28
управления 28
Канонический(ая)
анализ 235, 239
форма 235, 263
Каскад реакторов 157, 158, 160, 162,
163
Кибернетика 7, 23, 24, 25, 26
химическая 27, 31, 52
Кинетика химическая 31, 63
макрокинетика 57
микрокинетика 57
Кинетическая область 79
Кодирование факторов 216, 263
Комбинированные модели 129, 131,
133, 135, 136
Константы скорости реакции 65
температурная зависимость 65
Контроль (регулирование) 26, 27
Корреляция 263
274
Коэффициенты
канонические 235, 263
корреляции 263
— множественной 204
— парной 198, 201
продольного перемешивания 106,
109, 118
радиального перемешивания 106
регрессии 193, 198, 220, 233, 263
Кривая (ые)
импульсная 33
кинетические 65
отклика 47
разгона 33
С-кривая (дифференциальная) 47,
48, 49, 98, 104, 115, 125, 126, 140
F-кривая (интегральная) 47, 48,49,
98, 104, 115, 125, 126, 132, 134, 140
Критерий(и)
Дамкеллера 15
значимости 203, 263
Кохрена (G-критерий) 221, 264, 269
оптимальности 242, 243, 244, 254
подобия 15
Стьюдента (^-критерий) 203, 215,
264, 267
Фишера (^-критерий) 206, 207, 208,
235, 264, 268
Лимитирующая стадия гетерогенных
процессов 79, 80
Линеаризация 32
Математическая модель 3
вероятностная 56
гидродинамическая (ие) 61, 93
— диффузионная 105, 109
— идеального вытеснения 100, 102
— идеального перемешивания 95, 97
— комбинированные 129
— ячеечная 120, 122
детерминированная 56
динамическая 56, 179, 187
знаковая 11, 55
кинетическая 60, 85, 86
полная 56
реальная 11, 12
с распределенными параметрами
55, 102, 109
с сосредоточенными параметрами
55, 97
статистическая 51, 192
— первого порядка 199, 265
— второго порядка 194, 240, 262
статическая 55, 145, 149
химических реакторов
— идеального вытеснения 148
— идеального перемешивания 144
— каскада 157
Математическое моделирование 12,
16, 18
метод 12, 16, 18
на ЭВМ 21, 22
основные задачи 19, 20
основные этапы 60
преимущества, недостатки 18, 19
Математическое ожидание случайной
величины 264
Математическое описание 19, 53, 94
«элементарных» процессов 60, 61
Математическое программирование 248
динамическое 248
линейное 249
нелинейное 249
Матрица 264
диагональная 220, 264
единичная 202, 264
информационная 202, 214, 219, 220,
265
квадратная 264
ковариационная 265
обратная 202, 214, 264
прямоугольная 264
союзная 219, 264
транспонированная 201, 264
Матрица планирования эксперимента
218, 259, 260, 265
Метод наименьших квадратов 197
Метод (ы)
автоматического поиска 253
аналитического поиска экстремума
247
Брандона 209, 211
вариационного исчисления 247
Гаусса — Зейделя 250
градиента 252
дробного факторного
эксперимента 215, 224, 227
крутого восхождения (Бокса — Уил-
сона) 252, 259, 264
математического
программирования 248, 249
неопределенных множителей Лаг-
ранжа 247, 248
полного факторного эксперимента
215, 216
принципа максимума 248
симплексов 251
случайного поиска 250
центрального композиционного ро-
тотабельного планирования 231,263
«эволюционного планирования
эксперимента» 52
Моделирование И, 12
геометрическое 12
математическое — см.
Математическое моделирование
физическое 12, 13
275
Модель структуры потока 93
«Мысленные» опыты 260, 261, 265
Натуральное значение фактора 216,
265
Несовместность критериев подобия 15
Нулевой уровень (нулевая точка)
217, 231, 265
Нуль-гипотеза 203
Область оптимума 230, 259
Объект
моделирования 11
химической технологии 27, 41
— линейные 32
— нелинейные 32
Ограничения 61, 242, 245
Однородность дисперсий 196, 205, 221
Определяющий контраст 226, 265
Оптимизация процессов
автоматическая 253
динамическая 246
статистическая см. Методы
статическая 246
Ортогональное планирование 218, 265
Оценка (и) 265
выборочная 194, 221
дисперсии 262
коэффициентов регрессии 194
методы 265
несмешанная 225
смешанная 224, 225, 227, 266
Параллельные измерения 265
Параметр оптимизации 45
Параметры процессов
возмущающие 29
входные и выходные 28, 29
конструктивные 54
оптимальные 253, 256, 257
распределенные и сосредоточенные
55
физические 54
«элементарных» 54
Передаточные функции моделей
реакторов и процессов 40, 43, 48, 98, 103,
115, 116, 123
Переход масштабный 16, 20, 58
Планирование эксперимента 215, 265
Поверхность отклика 265
Полный факторный эксперимент 216,
266
Помехи (шумы) 51
Постоянная времени объекта 34
Почти стационарная область 266
Правила блок-алгебры 43
Преобразования по Лапласу
прямое 37, 98, 102, ПО, ИЗ, 124
обратное 39, 98, 103
Принцип
изоморфизма моделей 17, 18
оптимальности 231
ортогональности 218
рототабельности 218
составления моделей процессов
(блочный) 60, 86
«черного ящика» 45, 46, 51
Программа для ЭВМ 167
Процессы
детерминированные 30
переходные 32, 41
стохастические 30
химической технологии 31
«элементарные» 53, 61
Реакции химические
обратимые 70, 147, 152
параллельные 69, 146, 150
последовательные 69, 147, 151
простые 67
сложные 67
смешанные 69
Реакция объекта 45, 47
Реальная модель 11, 12
Регрессии
коэффициенты 193, 198, 220
уравнение 193, 194, 196, 199, 200,
266
Рототабельное планирование 266
Свойство
ортогональности 218
рототабельности 220
Связь 25
корреляционная 196, 198
обратная 25, 44, 139
Сигналы
стандартные
— импульсные 33, 46, 47
— ступенчатые 33, 46, 47
типовые 33
Симплекс 251
Система
нормальных уравнений 197
сложная 27
химическая 27
Случайная величина 266
Статистики 266
Степень
свободы 15, 206
превращения 70, 71
Теория
вероятностей 192
подобия 13
Управление 24, 25
Управляющие воздействия 28, 242
276
Уравнение(я)
дифференциальные 17, 34
кинетические 60, 64, 65
критериальные 15
оптимальности 258
регрессии 193, 194, 196, 199, 200,
266
стехиометрическое 66
Уровень значимости 266
Уровень фактора 45, 217, 266
Условия рототабельности 232
Факторное пространство 266
Факторы 45, 266
Физическая модель 13
Фиктивная переменная 216, 266
ФОРТРАН 22
Функция
отклика 45, 46, 265
целевая (выгоды) 242
Характеристика(и)
временная 33
динамическая 32
импульсная 47
статическая 32
числовые 266
Центр эксперимента 217, 266
Цифровые вычислительные машины
21, 22, 87, 165
Число уровней 231
Эксперимент
активный 51, 52, 192, 262
пассивный 51, 192, 195, 214, 265
статистический 45
факторный 215, 216, 266
Эффект взаимодействия 224, 267
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава I. Методы моделирования и области их применения
§ 1. Роль теоретических и экспериментальных методов в исследованиях. Виды
подобия, модели и моделирование 9
§ 2. Физическое моделирование 12
§ 3. Математическое моделирование 16
§ 4. Моделирование на электронных вычислительных машинах 21
Глава II. Основные понятия и определения
§ 1. Кибернетика. Управление. Информация 23
§ 2. Система, объект, процесс 27
§ 3. Предпосылки к составлению и решению дифференциальных уравнений,
описывающих процессы химической технологии 34
§ 4. Структурные схемы объектов химической технологии 41
§ 5. Эксперимент как источник информации о процессе (основные понятия) 44
Глава III. Принципы построения математических моделей
§ 1. Основные направления при построении математических моделей ... 51
§ 2. Классификация математических моделей 55
§ 3. Особенности протекания химико-технологических процессов на микро-
и макроуровне 56
§ 4. Схема построения математических моделей процессов химической
технологии 59
Глава IV. Математическое описание процессов химического превращения
(кинетические модели)
§ 1. Основные понятия химической кинетики 63
§ 2. Особенности гетерогенных химических процессов 77
§ 3. Методы определения кинетических характеристик химических реакций 81
§ 4. Построение кинетических моделей # 85
Глава V. Математическое описание процессов перемещения веществ
(гидродинамические модели)
§ 1. Модели структуры потоков 93
§ 2. Модель идеального перемешивания 95
§ 3. Модель идеального вытеснения 100
§ 4. Диффузионная модель 105
§ 5. Передаточная функция объекта с полузамкнутым каналом и структурой
потока, соответствующей диффузионной модели 116
§ 6. Графо-аналитический метод определения коэффициента продольного
перемешивания 118
§ 7. Ячеечная модель 120
§ 8. Комбинированные модели 129
Глава VI. Математические модели химических реакторов
§ 1. Характеристика химических реакторов 142
§ 2. Математические модели химических реакторов идеального
перемешивания 144
§ 3. Математические модели химических реакторов идеального вытеснения 148
278
§ 4. Сравнение химических реакторов идеального перемешивания и
идеального вытеснения 154
§ 5. Математическая модель каскада реакторов идеального перемешивания 157
§ 6. Влияние температуры на протекание процесса в химических реакторах 170
Глава VII. Математические модели некоторых теплообменных и
абсорбционных аппаратов
§ 1. Математические модели простейших типов теплообменных аппаратов 174
§ 2. Математическая модель противоточного теплообменника с
сосредоточенными параметрами 178
§ 3. Математическая модель противоточного абсорбционного аппарата . . 185
Глава VIII. Статистические математические модели
§ 1. Классификация и общий вид уравнений статистических моделей ... 192
§2. Статистические модели объектов на основе пассивного эксперимента. . . 195
§ 3. Статистические модели объектов на основе активного эксперимента
(полный и дробный факторный эксперимент) 215
§ 4. Статистические модели области оптимума объекта исследования .... 230
Глава IX. Некоторые сведения об оптимизации химико-технологических
процессов
§ 1. Понятие об оптимизации 241
§ 2. Критерий оптимальности. Ограничения. Общая постановка задачи
оптимизации 242
§ 3. Методы решения оптимальных задач 246
§4. Частные задачи оптимизации химических реакторов 253
§ 5. Уравнение оптимальности теплообменного аппарата 255
§ 6. Частная задача поиска оптимума методом крутого восхождения
(планирование экстремальных экспериментов) 259
Приложение I. Некоторые термины, используемые при составлении
статистических моделей " 262
Приложение 2. Значения критерия Стьюдента для уровней значимости q =
= 5% и q = 1% 267
Приложение 3. Значения критерия Фишера для уровня значимости q = 5% 268
Приложение 4. Значения критерия Кохрена для уровня значимости q = 5% 269
Приложение 5. Последовательность достраивания матриц ПФЭ от 22 до 25 270
Литература 271
Предметный указатель 274
Бондарь Алла Григорьевна
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ХИМИЧЕСКОЙ
ТЕХНОЛОГИИ
Издательство «Вища школа»
Редактор М. С. Xой нацкий
Переплет художника Г. М. Б о лю на
Художественный редактор С. П. Духленкс
Технический редактор Л. А. Стражник
Корректор М. С. Б л а ж кевич
Сдано в набор 25X11. 1972 г Подписано к
печати 4 VII. 1973 г. Формат бумаги 60X90Vi6 Бумага
тип. № 1. Печ. л. 17,5 Уч -изд л. 17,39.
Тираж 5000. Изд. №' 691. БФ 0Ь939. Цена 85 коп.
Зак. № 3—24.
Издательство «Вища школа», 252054, Киев-54,
ул. Гоголевская, 7.
Головное предприятие республиканского
производственного объединения «Полиграфкнига»
Госкомиздата УССР, г. Киев, ул. Довженко, 3.
1