Математическое моделирование в химической технологии - Фрэнкс P.

Автор: Фрэнкс P.

Теги: математическое моделирование химическая технология

Год: 1971

Похожие

Математическое моделирование в химической технологии

Моделирование и оптимизация тепломассообменных процессов в химической технологии

Математическое моделирование основных процессов химических производств

Общая химическая технология

Текст

ИЖИЧЕСКАЯ
ИБЕРНЕТИКД
Плютто В. П.
Практикум по теории автоматического
регулирования химико-технологических
процессов, 1970.
Бояринов А. И., Кафаров В. В.
Методы оптимизации в химической
технологии, 1970.
Луценко В. А., Финякин Л. П.
Аналоговые вычислительные машины
в химии и химической технологии, 1970.
Таубман Е. И.
Расчет и моделирование выпарных
установок, 1970-
Перое В. Л.
Основы теории автоматического регули-
рования химико-технологических про-
цессов, 1970.,
Масленников И. М., Цирлин А. М.,
Добролюбов Г. В.
Практикум по автоматике и системам
управления производственными процесса-
ми химической промышленности, 1971.
Р. Фрэнкс
Л4атематическое
МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ХИМИЧЕСКОЙ
ТЕХНОЛОГИИ
Перевод с английского
Бейлиной Д. К. и Ишмаевой Э. Ф.
под редакцией
Канд. техн, наук ТОРОПЦОВА В. С.
7 053 /э 3
3 '• > j'
{ iiaj
I Hl if—»» I rw
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ХИМИЯ»
МОСКВА•1971
MATHEMATICAL MODELING
IN CHEMICAL ENGINEERING
ROGER G. E. FRANKS
CONSULTANT: ENGINEERING COMPUTATION AND ANALYSIS
ENGINEERING DEPARTMENT
E. I. DU PONT DE NEMOURS & CO., INC.
1966
JOHN WILEY & SONS. INC
NEW YORK|LONDON)SYDNEY
66.0:5i.001.57
Ф86
Фрэнкс P. Математическое моделирование в химической технологии
В книге в доступной форме рассмотрены основные направления и методы матема-
тического моделирования применительно к типовым химико-технологическим процес-
сам. На примерах возрастающей?сложности (гидравлические емкости, колонные
аппараты, химические реакторы) показаны все стадии математического моделирова-
ния реальных процессов — постановка задачи, построение модели, решение ее на
цифровой вычислительной матине и анализ полученных результатов.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников инсти-
тутов, проектных организаций и предприятий всех отраслей химической промыш-
ленности и смежных с ней отраслей народного хозяйства, занимающихся вопросами
аппаратурно-технологического оформления и автоматизации производств. Она
может быть также полезна студентам старших курсов, аспирантам и преподавателям
вузов»
В книге содержится 281 рисунок, 10 таблиц и 252 библиографических ссылок.
3-14-2
70—88
Роджер .Фрэнкс
Математическое моделирование
в химической технологии
Издательство «Химия», М., 1971 г.
272 с.
Редактор Л. М. Сафонов Технический редактор В. В. Коган
Художник М-Ф. Ольшевский Корректоры: Р. А. Павлова, С, Л. Федотова
Подписано к печати 25/Ш 1971г. Формат бумаги бОхЭО'/и. Печ. л. 17.
Уч.-изд. л. 16,89. Тираж 8200 экз. Типогр. бум. № 2. Цена 1 р. 33 к.
Тем. план 1970 г. №88. Зак. 2163.
Ленинградская типография № 14 «Красный Печатник» Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Ленинград, Московский пр., 91.
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора .............................................. 8
Из предисловия автора...................................... И
Глава I. Общие положения.............................. • 13
Уравнения. Линейность. Уравнения в разрешенном и не-
разрешенном виде. Совместность уравнений. Достаточность
и избыточность. Дифференциальные уравнения. Уравнения
в частных производных.
Примеры....................................... 25
Литература.................................... 26
Глава II. Машинное решение уравнений.................... 27
Уравнения в разрешенном и неразрешенном виде. Решение
уравнений на цифровых вычислительных машинах. Решение
уравнений на аналоговых вычислительных машинах.
Неустойчивость решения. Колебательная неустойчивость.
Решение дифференциальных уравнений. Точность и ус-
тойчивость численного интегрирования.
Задачи........................................ 40
Литература ................................... 42
Глава III. Программное моделирование для^ цифровых вычислитель-
ных машин ............................................... 43
Язык программного моделирования MIDAS. Примеры со-
ставления программ решения задач на MIDAS. Язык про-
граммного моделирования MIMIC, DSL/90. PACTOLUS.
Задачи........................................ 60
Литература ................................... 61
Глава IV. Основы моделирования ......................... 62
Моделирование гидравлической емкости. Моделирование
емкости с учетом влияния уровня жидкости в ней на рас-
ход. Моделирование герметизированной гидравлической
емкости. Моделирование подогреваемой герметизированной
емкости. Моделирование процесса перемешивания
жидкости в емкости. Моделирование элементарной химиче-
ской реакции, осуществляемой при перемешивании жидких
компонентов в проточной емкости. Моделирование кине-
тики обратимой химической реакции, проводимой в гер-
метизированной емкости. Совместное использование урав-
нений материального и теплового балансов. Моделирование
емкости идеального смешения с паровой рубашкой. Моде-
лирование теплового и материального баланса емкости
с паровой рубашкой при изменении поверхности теплопе-
редачи. Кипение. Моделирование процесса кипения в герме-
тизированной емкости при наличии над поверхностью
жидкости газовой фазы. Моделирование процесса кипения
в проточной емкости, подогреваемой с помощью паровой
рубашки.
Задачи .................................. 85
Литература.....................,.......... 88
Глава V. Равновесие в многокомпонентной паро-жидкостной си-
стеме ..................................'......................... 90
Моделирование равновесной многокомпонентной паро-
жидкостной системы при кипении. Моделирование процесса
периодической перегонки. Конденсация. Коэффициент ак-
тивности. Моделирование процесса конденсации в много-
компонентной паро-жидкостной системе, состоящей пз
реактора, конденсатора и сборного бака.
Задачи ................................... 109
Литература ............................... 111
Глава VI. Кинетика химических реакций............ 112
Моделирование кинетики обратимой химической реакции,
проводимой в аппарате периодического действия. Модели-
рование системы, состоящей из проточного реактора
идеального смешения и конденсатора. Моделирование
кинетики гетерогенного каталитического процесса.
Задачи............................ 133
Литература. •....................... 136
Глава VII. Динамика газовых и жидкостных потоков............... 137
Истечение газов через сужающие устройства. Моделиро-
вание системы, состоящей из трех последовательно соеди-
ненных емкостей, заполняемых газом. Динамика пере-
мещения жидкости. Моделирование движения жидкости
в трубопроводе, соединяющем два резервуара. Модели-
рование перемещения жидкости насосами в системе тру-
бопроводов.
Задачи.............................. 148
Литература.......................... 150
6
Глава VIII. Моделирование процессов, протекающих в несколько
стадий ................................................. »»..... 152
Экстрактор. Ректификационная колонна. Ректификация
бинарной смеси. Разделение многокомпонентных смесей.
Тепловой и материальный балансы установившегося про-
цесса. Программа расчета разделения многокомпонентной
жидкой смеси при постоянной температуре (FSH).
Расчет разделения многокомпонентной смеси для адиаба-
тического процесса (AFSH). Расчет процесса ректифика-
ции с учетом фактора абсорбции (ABR). Процесс модели-
рования. Пример построения модели процесса ректифика-
ции, осложненного химической реакцией.
Задачи.............................. 177
Литература........................... 179
Глава IX. Системы с распределенными параметрами................... 181
Моделирование противоточного теплообменника. Моде-
лирование перемещения газа в трубопроводе. Модели-
рование процесса разделения газовой смеси. Модели-
рование процесса разделения в змеевиковом теплообмен-
нике. Моделирование процесса разложения в трубчатом
реакторе. Конденсация. Моделирование процесса конденса-
ции пара однокомпонентной жидкости на вертикальной
стенке. Моделирование процесса конденсации смеси па-
ров. Моделирование процесса конденсации многокомпо-
нентной паро-газовой смеси.
Упражнение.................................... 213
Задачи....................................... 215
Литература................................... 218
Глава X. Моделирование процессов, описываемых уравнениями
в частных производных . 220
Моделирование изменения температуры стержня, подо-
греваемого с одного конца. Моделирование жидко-жид-
костного противоточного теплообменника. Моделирование
распространения тепла в грунте от капсулы с радиоактив-
ными отходами. Моделирование процесса теплопередачи
в теплообменнике типа «труба в трубе». Моделирование
трубчатого каталитического реактора. Моделирование
кинетики процесса полимеризации.
Задачи ........................................ 244
Литература .................................... 246
Глава XI. Автоматическое регулирование химико-технологических
процессов ................................................... 248
Основные элементы системы автоматического регулирова-
ния. Измерительные устройства. Регуляторы. Исполни-
тельные механизмы и регулирующие органы. Моделирова-
ние системы автоматического регулирования температур-
ного режима реактора.
Задачи.................................. 262
Литература.............................. 265
Приложение ............................. 267
ОТ РЕДАКТОРА
За последнее десятилетие в нашей стране и за рубежом происхо-
дило интенсивное проникание методов кибернетики в химию и хими-
ческую технологию, что положило начало формированию новой
научной дисциплины — химической кибернетики. Основным методом
этой дисциплины является математическое моделирование, характе-
ризуемое строгим аналитическим подходом к описанию реальных
процессов химической технологии. Оно осуществляется на основе
фундаментальных законов физики и химии при широком использова-
нии средств современной вычислительной техники.
Однако моделирование химико-технологических процессов свя-
зано с рядом существенных трудностей. Основная из них — необхо-
димость проведения структурного анализа процесса, при котором
выявляются закономерности протекания отдельных составных частей
изучаемого процесса и их взаимосвязи. В настоящее время еще нельзя
дать рекомендаций по математическому описанию всего многообра-
зия реальных процессов химической технологии. Поэтому к решению
указанной задачи целесообразно привлечь широкий круг инженеров-
химиков, технологов, специалистов по конструированию химической
аппаратуры и по управлению.
Такие коллективы специалистов, получив определенные навыки
в описании типовых химико-технологических процессов, могут при-
нять активное участие в работах по математическому моделированию.
Именно такую цель поставил перед собой известный американский
специалист в области химической технологии и управления Роджер
Фрэнкс в книге «Математическое моделирование в химической тех-
нологии».
Книга Р. Фрэнкса написана на основе лекционного курса, про-
читанного автором для группы научных работников и инженеров
фирмы «Dupone de Nemoures». В ясной и доступной форме автор
знакомит читателей с основными идеями математического моделиро-
вания типовых процессов химической технологии.
Книга состоит из одиннадцати глав. Первая глава является вве-
дением и содержит сведения общеобразовательного характера, осталь-
ные главы построены по следующему принципу: введение, основной
8
текст в виде примеров и задачи для самостоятельного решения. При-
меры являются, как правило, постепенно усложняющимися элемен-
тами реальных химико-технологических процессов. Самостоятельное
решение предложенных задач позволит читателю закрепить сведения,
полученные при проработке основного текста.
Математический аппарат, примененный автором при изложении
материала, вполне доступен широкому кругу работников научных
и инженерно-технических институтов и проектных организаций хими-
ческой и смежных с ней отраслей промышленности.
Первые три главы книги знакомят читателей с основами модели-
рования с помощью аналоговых и цифровых электронных вычисли-
тельных машин.
Используемая Р. Фрэнксом система программного моделирова-
ния и языки MIDAS и MIMIC мало известны в Советском Союзе,,
но являются весьма доступными даже для лиц, не специализиру-
ющихся в области вычислительной техники. Простота применения
обусловливает перспективность использования системы и языков
программного моделирования, на которые ориентируется автор.
Это побудило нас оставить практически без изменения весь материал,
связанный с использованием этих языков. Однако для более основа-
тельного ознакомления с системой программного моделирования
и машинными языками MIDAS и MIMIC рекомендуем читателю изу-
чить дополнительную литературу, указанную в конце третьей главы.
Читателю также рекомендуется познакомиться с переведенным на
русский язык описанием машинного языка СИМУЛА, наиболее
близкого к вышеуказанным языкам. Описание этого языка также
включено в библиографию к третьей главе.
В последующих семи главах книги рассмотрены основные этапы
математического моделирования типовых химик о-технологических
процессов, проводимых в химических реакторах, конденсаторах,
ректификационных колоннах и других технологических аппаратах.
При этом математические модели строятся в наиболее простой и на-
глядной блочной форме.
Начиная с девятой главы, автор переходит от анализа процессов,
описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями,
к процессам, описываемым дифференциальными уравнениями в част-
ных производных. В десятой главе подробно рассмотрены методы
моделирования таких процессов.
Несомненной заслугой автора является единый методологический
подход к построению математических моделей химико-технологиче-
ских процессов различной сложности. В основу этого подхода поло-
жено ясное понимание физической сущности процесса и соблюде-
ние причинно-следственных связей, существующих в реальных
условиях.
Хотя большинство из рассмотренных автором примеров носит
учебный характер, некоторые из них (например, модели процессов
кипения, конденсации, ректификации) можно считать вполне при-
годными для практического использования.
9-
Одиннадцатая глава посвящена вопросам автоматизации химико-
технологических процессов. В этой главе рассмотрена классическая
функциональная схема системы автоматического регулирования
и приведены математические описания ее типовых элементов: датчи-
ков, регуляторов и регулирующих органов. В качестве примера
проведено моделирование системы автоматического регулирования
температурного режима реактора периодического действия. Однако
следует отметить чрезмерную упрощенность рекомендуемых методов
синтеза системы регулирования.
Известно, что основной целью математического моделирования
является оптимизация химико-технологических процессов. В книге
Р. Фрэнкса вопросы оптимизации только затрагиваются, но практи-
чески не решаются. Это — следующий этап, требующий знания спе-
циальных разделов математики. В отечественной и зарубежной
технической литературе имеется ряд работ, посвященных отдельным
вопросам оптимизации химико-технологических процессов. Система-
тическое изложение этих вопросов читатель найдет в недавно выпу-
щенной издательством «Химия» книге А. И. Бояринова и В. В. Кафа-
рова «Методы оптимизации в химической технологии».
Рекомендуемая широкому кругу читателей книга Р. Фрэнкса
«Математическое моделирование в химической технологии» несом-
ненно сыграет положительную роль в подготовке инженеров к пони-
манию и решению проблем оптимизации химико-технологических
процессов.
В. ТОРОПЦОВ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Цель этой книги — заинтересовать студентов старших курсов,
дипломированных инженеров-химиков и инженеров-практиков основ-
ными идеями математического описания типовых химико-технологи-
ческих процессов и моделирования их на вычислительных машинах.
Основной материал книги относится к расчету технологических
процессов и управлению ими; показано, что математическое модели-
рование может быть основой для экономического, количественного
и научного рассмотрения технических проблем в химической про-
мышленности.
Современное развитие вычислительной техники и создание новей-
ших систем программирования, таких, как программное моделиро-
вание, значительно упрощает решение уравнений математических
моделей и тем самым устраняет одну из основных трудностей, стоя-
щих перед инженерами при проведении аналитического исследования
процессов.
Необходимо отметить, что если само решение задачи можно облег-
чить путем рационального применения соответствующих вычисли-
тельных методов, то проблема математического описания процессов
в настоящее время является очень серьезной.
Инженеры должны уметь представлять физические явления в виде
уравнений при помощи математической символики. Это требует от
них умения абстрактно мыслить на основе экспериментальных дан-
ных, полученных из повседневной практики, и знания фундамен-
тальных физических законов, применимых к данному явлению.
Цель книги — стимулировать аналитические исследования. Она
является кратким изложением технического курса лекций в области
анализа технологических процессов, успешно используемого инже-
нерами фирмы «Дюпон» в течение последних четырех лет.
По сравнению со сложностью некоторых исследований с примене-
нием вычислительной техники, проводимых в настоящее время и из-
редка описываемых в литературе, большинство примеров, приведен-
ных в этой книге, являются элементарными. По этой причине она
должна рассматриваться как введение к математическому моделиро-
ванию процессов с применением вычислительной техники. Однако
И
в книге описано большинство общих принципов, присущих сложным
моделям. Первые три главы знакомят читателя с языками программ-
ного моделирования для цифровых вычислительных машин, наиболее
подходящими для моделирования типовых химико-технологических
процессов, описываемых обычно системами дифференциальных или
алгебраических уравнений. Современное программирование для циф-
ровых вычислительных машин все еще более громоздко, чем для ана-
логовых, но при исследовании сложных процессов решить получен-
ные системы уравнений можно, как правило, только на очень мощных
цифровых машинах. Поэтому в книге в основном говорится о цифро-
вом программировании. Целью первых трех глав является ознакомле-
ние читателя с использованием вычислительной техники для модели-
рования, но не обучение его тонкостям программирования.
Метод программного моделирования подробно поясняется в по-
следующих главах книги при составлении математических моделей
различных процессов.
Материал остально!! части книги расположен в порядке нараста-
ния сложности; метод анализа процессов путем математического
моделирования применяется при решении различных проблем, возни-
кающих при создании процессов в наиболее распространенных
областях химической технологии.
Описание развивается от рассмотрения отдельных систем с сосре-
доточенными параметрами через многостадийные процессы к процес-
сам с распределенными параметрами, описываемыми уравнениями
в частных производных.
В последней главе показано, как проблемы управления нелиней-
ными объектами могут быть решены путем моделирования без деталь-
ного изучения теории управления.
При изложении материала предполагается, что читатель хорошо-
знаком с основами тепло- и массопередачи, химической кинетикой,
гидравликой, термодинамикой, а также теорией автоматического
управления. Следовательно, основными читателями этой книги
будут студенты старших курсов, аспиранты и инженеры-практики,
которые хотят овладеть основами моделирования химико-технологи-
ческих процессов на вычислительных машинах.
Вплмингтон, Делавар,
август 1966 г.
РОДЖЕР ФРЭНКС
ГЛАВА I
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
За последние десять лет в химической, нефтеперерабаты-
вающей и нефтехимической отраслях промышленности развивается
тенденция аналитического подхода к проблемам проектирования
и управления процессами. Это стало возможным благодаря широкому
применению быстродействующих электронных машин для решения
сложных систем математических уравнений. Аналитический подход
к инженерным проблемам позволяет более глубоко понять внутрен-
ний механизм изучаемых явлений и глубже и шире проводить иссле-
дования различных вариантов технологического и аппаратурного
оформления процессов, а также эффективнее управлять существу-
ющими промышленными периодическими и непрерывными уста-
новками.
Наиболее крупные промышленные предприятия имеют в настоя-
щее время мощные вычислительные центры, оснащенные аналого-
выми и цифровыми вычислительными машинами, которые обслужи-
вают квалифицированные программисты. Для того чтобы шире
использовать возможности вычислительной техники, нужен штат спе-
циальных сотрудников, которые занимались бы изучением и анали-
зом процессов, их математическим описанием, а также требуются
специалисты-вычислители, занимающиеся поисками методов програм-
мирования уравнений, описывающих тот или иной процесс.
Составлением уравнений, описывающих реальные физические
системы, в настоящее время занимается узкий круг специалистов,
но эффективность их работы часто снижается из-за слишком широкого
диапазона решаемых задач. Если распространить методы аналитиче-
ского подхода к изучению процессов среди инженеров, не работающих
ни в области вычислительной техники, ни в области анализа систем,
а занятых конкретными производственными задачами, то более эф-
фективно будут использоваться как специалисты-вычислители, так
и вычислительная техника.
Поскольку химические процессы становятся все более сложными
и соответственно возрастает степень их автоматизации, появляется
необходимость аналитического подхода и к проблемам, связанным
с проектированием систем управления.
13
Анализ процессов на современном уровне обычно включает неко-
торую форму математического моделирования. Инженеров-химиков
должна привлечь возможность моделирования процессов, изучаемых
на лабораторных или пилотных установках, так как результаты таких
исследований могут быть распространены непосредственно на про-
мышленные установки.
Для одной и той же системы существуют различные математиче-
ские модели, каждая из которых служит для решения частной за-
дачи, связанной с изучением этой системы. Два обширных класса
образуют статические и динамические модели, и в каждом из них
степень детализации зависит как от решаемой задачи, так и от коли-
чества имеющихся исходных данных. Очень точное описание химико-
технологических процессов часто приводит к большой системе гро-
моздких уравнений. Хотя они и могут быть решены численными мето-
дами, но для аналитического исследования желательно, на основе
общих соображений, свести эту систему к более простой. Решение
такой системы для всех практических случаев будет вполне удовле-
творительным и точность его определяется исходными данными.
Одним из важных аспектов математического моделирования
является процесс составления уравнений. На практике установлено,
что если вся совокупность уравнений находится в логической или
причинно-следственной связи, то вычислительная модель является
устойчивой. Эта логическая последовательность уравнений, соответ-
ствующая природе и сущности наблюдаемого явления, называется
естественным расположением. Далее будет показано, что ключ
к пониманию внутреннего механизма процессов лежит в способности
выявить в них эту естественную причинно-следственную связь.
Для проведения анализа на современном уровне требуется более
высокая подготовка специалистов, которая должна расти по мере
усложнения методов анализа. Все более широкое применение вычи-
слительной техники сыграло особую роль в изменении требований
к специалистам.
До того, как применение вычислительной техники стало популяр-
ным, распространенными методами инженерного анализа было
(а кое-где остается и сейчас) сведение задачи к решению систем эле-
ментарных уравнений. Но такой метод анализа требовал огромных
усилий, имея при этом лишь академический интерес и малое практи-
ческое значение из-за чрезмерного упрощения изучаемого явления.
Значительное время уделялось овладению математическими приемами
и особенно методами решения дифференциальных уравнений. Дей-
ствительно, большинству инженеров-химиков преподавали курс
дифференциальных уравнений, но опыт показывает, что лишь незна-
чительная часть инженеров в своей практической деятельности
использует математические методы решения сложных систем уравне-
ний, а любые формальные знания, как известно, забываются, когда
ими не пользуются. ft
В табл. 1-1 приведена классификация математических уравнений,
жирной чертой выделен ограниченный круг уравнений, поддающихся
14
аналитическому решению. Уравнения, которые можно решить ана-
литически, из-за своей тривиальности имеют малое практическое
применение. Большинство проблем, связанных с исследованием
современных промышленных процессов, приводит к сложным систе-
мам нелинейных дифференциальных уравнений. Эти уравнения, как
правило, не решаются аналитически либо дают чрезвычайно громозд-
кие и, по существу, бесполезные ответы, или могут быть решены
лишь с помощью вычислительных машин.
ТАБЛИЦА I-t
Классификация математических проблем и возможность-
их решения аналитическими методами
Вид уравнения Типы уравнений
линейные нелинейные
одно несколько много одно несколько много
Алгебраи- ческое Просто Легко Трудно или невоз- можно Очень трудно Очень трудно Невоз- можно
Обыкно- венное дифферен- циальное Легко Трудно Трудно или невоз- можно Очень трудно Невоз- можно Невоз- можно
В частных производ- ных Трудно пли невоз- можно Трудно или невоз- можно Невоз- можно Невоз- можно Невоз- можно Невоз- можно
Аналитические методы исследования применяются в следующих
областях:
1. Изучение и улучшение существующих химико-технологиче-
ских процессов.
2. Проектирование новых процессов.
3. Совершенствование систем управления.
При этом анализируются процессы теплопередачи, гидродина-
мики, массопередачи, кинетики, а также динамика переходных
процессов регулирования.
В книге изложен общий подход и даны конкретные примеры по-
строения математических моделей. При этом предполагается, что чита-
тель знаком с основами гидродинамики, массо- и теплопередачи,
химической кинетики и автоматического управления, так как часто
модель типового процесса химической технологии одновременно
включает в себя все пять указанных процессов. На рис. 1-1 дана
общая схема проведения аналитического исследования, которую
можно грубо разделить на семь последовательных стадий.
15
Рис. 1-1. Общая схема процесса математического моделирования.
Первая стадия, возможно наиболее важная, — это постановка
задачи, поскольку не существует общих правил, которые были бы
достаточно полезны во всех случаях. Технические проблемы на-
столько разнообразны, что для успеха анализа должна быть ясна
природа данной конкретной задачи. Постановка задачи определяет
не только цель анализа, но и пути решения задачи.
Вторая стадия — это определение фундаментальных законов,
которым подчиняется механизм явлений, лежащих в основе про-
блемы. Теоретические основы процессов изучаются обычно по раз-
личным источникам, опубликованным и неопубликованным. Если
не удается подобрать удовлетворительную теорию, прибегают к по-
стулатам. Справедливость последних проверяется сравнением резуль-
татов решений математической модели, построенной на основе приня-
тых постулатов, с экспериментальными данными. Таким же образом
выясняется, какая из нескольких возможных теорий правильнее
отражает сущность изучаемых явлений. Быстрота подобного выбора
является одним из преимуществ аналитического подхода к исследо-
ванию процессов.
Третья стадия. На основе выбранной физической модели приме-
нительно к решаемой задаче записывается система соответствующих
математических уравнений. Этот необходимый шаг ведет анализи-
рующего к ясному и недвусмысленному пониманию и определению
проблемы.
В книге рассматриваются реальные процессы, описываемые
системой совместных алгебраических или дифференциальных урав-
нений, которые должны быть записаны в наиболее простой и ясной
. форме.
16
На данном этапе не требуется производить никаких действий,
кроме, если это возможно, упрощения уравнений путем пренебреже-
ния незначительными членами. Отбрасывая их, надо быть осторож-
ным и убедиться в том, что невключенный член действительно незна-
чителен в течение всего хода решения задачи. Иногда можно исклю-
чить из рассмотрения целые уравнения, пренебрегая малыми откло-
нениями некоторых переменных. Например, предположим, что
удельная теплоемкость многокомпонентной смеси, входящая в урав-
нение теплового баланса, изменяется, из-за малого изменения состава
смеси, всего лишь на 1 % от номинального значения, чем можно
во многих случаях пренебречь. Таким образом, прежде чем включить
уравнение в математическую модель, надо оценить влияние входя-
щих в него переменных на результат моделирования и по возможности
заменить слабо влияющие переменные постоянными средними вели-
чинами.
Четвертая стадия. Когда уравнения составлены, определяется
метод решения их совместной системы. Сначала надо произвести
естественное расположение уравнений с помощью построения блоч-
ной поточно-информационной диаграммы (схема связей отдельных
стадий технологического процесса). Диаграмму строим так, чтобы
было отчетливо видно, как может быть использовано каждое урав-
нение, с какой целью находится каждая переменная и каковы вну-
тренние связи между ними.
Этот метод является простым распространением на системы нели-
нейных уравнений классической схемы изображения совместных
систем линейных дифференциальных уравнений с помощью передаточ-
ных функций. Такая схема, наряду с логической причинно-след-
ственной связью в физической системе, дает ясную картину предпо-
лагаемого механизма изучаемого явления, а иногда обнаруживает
связи между переменными, которые не были очевидными на предыду-
щей стадии.
Вычислительной стадии предшествует еще один этап — анализ
информации, которую мы хотим получить при решении модели.
Составляя таблицу различных случаев, рассматриваемых для дан-
ной задачи, и информации, которая ожидается в каждом случае,
можно обнаружить избыточные ситуации и облегчить составление
программы расчета на последующей стадии.
Пятая стадия. Выбирается один из нескольких возможных
способов решения в зависимости от уровня проведенного исследова-
ния процесса и от сложности уравнений модели.
Шестая стадия — анализ модели. Фактически можно выделить
три основных уровня анализа модели. Если надо решить несложный
вопрос и уравнения достаточно просты, то ответ получают путем
просмотра модели, не решая входящие в нее уравнения. Ясно, что
этот метод не может быть распространен на более сложные случаи
без значительного увеличения количества неопробированных пред-
положений и допущений.
7 053^93 17
Следующий уровень анализа, опять очень ограниченный задачами
умеренной сложности, связан с решением уравнений аналитическими
методами. Как указывалось ранее, чтобы решить даже простейшие
системы нелинейных уравнений, требуется высокая квалификация,
которой обычно не имеет средний инженер-технолог.
Третий уровень анализа, проводимый с использованием ЭВМ,
представляет собой наиболее результативный, единственно целесо-
образный для задач высокой сложности путь.
Седьмая стадия — изучение и подтверждение результатов, полу-
ченных при решении математической модели. Любому непредполага-
емому заранее решению должно быть дано рациональное объяснение,
чтобы гарантировать себя от ошибок, которые могут появиться
в результате вычислений. На некоторых машинах циклы вычислений
строятся так, чтобы можно было проверить правильность хода реше-
ния математической модели.
За последние годы в результате применения вычислительной тех-
ники значительно изменилась методика получения количественных
результатов при аналитическом подходе к различным проблемам.
На рис. 1-2 схематически представлено положение, которое
существовало до того, как стали применяться вычислительные
машины.. В основном имелись два «узких места» — анализ проблемы
и решение уравнений, получающихся в результате построения мате-
матической модели. Часто усилия, затраченные на построение мате-
матической модели, практически пропадали даром, так как описы-
вающие ее,уравнения никаким образом не решались. Поэтому анали-
тический путь выглядел чисто академическим и не имел права на
существование в промышленности.
Единственным практическим путем эффективного решения техни-
ческих проблем был и оставался эксперимент, для чего создавались
специальные лабораторные или пилотные установки.
За последние 10—15 лет начали более широко использоваться
вычислительные машины, произошло упорядочение и объединение
машинных языков и особенно языков моделирования, благодаря
чему вычислительные машины стали почти полностью доступны
среднему инженеру, если он сумел преодолеть трудности, связанные
с анализом и построением математической модели.
На рис. 1-3 схематически показано, что остается лишь одно «узкое
место» при аналитических исследованиях — сама изучаемая про-
Проблемо
Математическое ------ Анализ
гетит
первое „узкое место"
Второе „ узкое место "
Рис. 1-2. Трудности математического моделирования до применения
вычислительной техники.
18
Проблема
диализ Математическое
ннализ моделирование
-^-Решение
Днализ
полученных
результатов
Первое „узкое место“
Рис. 1-3. Трудности математического моделирования.
блема, второе «узкое место» — решение уравнений — в настоящее
время уже не существует. Это можно заявить с твердой уверенностью.
Что касается содержания книги, то в первой части кратко изло-
жены основы аналоговой и цифровой вычислительной техники с точки
зрения их практического использования. Одна глава посвящена опи-
санию новейших языков моделирования MIDAS и MIMIC, которые
особенно удобны для решения систем нелинейных дифференциальных
уравнений.
Цель книги не в том, чтобы научить читателя технике программи-
рования (на эту тему есть много литературы), а в том, чтобы ознако-
мить его с простотой реальных программ и убедить, что второе «узкое
место» аналитического подхода к решению технических задач в самом
деле исчезло. Такой подход позволяет сконцентрировать внимание
на действительно «узком месте» проблемы — постановке задачи и ее
анализе. Основная задача состоит в том, чтобы преодолеть скован-
ность инженеров-практиков в обращении с вычислительной техникой,
развить их аналитические способности. Поэтому им предлагается
для начала ряд простых примеров из различных областей химической
технологии.
Прежде чем перейти к примерам, изложим ряд основных сведений
по математике, которые будут полезны в дальнейшем при чтении
этой книги.
УРАВНЕНИЯ
Уравнения можно разделить на две основные группы: алгебраиче-
ские и интегро-дифференциальные. Алгебраическое уравнение не
содержит переменных в виде производных. Например, уравнение
X = aY + b является алгебраическим, тогда как уравнение dXldt =
= aY + bZ дифференциальное, где dXldt — производная.
Линейность. Примером линейного уравнения является зависи-
мость давления на дне сосуда, заполненного жидкостью, от ее
уровня в сосуде (рис. Т-4):
Р = Ау4-Р0
где Ро — давление на поверхности, н/м1', Р — давление на глубине h, л<; у —
удельный вес жидкости, н/м?.
На рис. 1-4 дан график зависимости Р от h, представляющий со-
бой прямую линию. При любом уровне h данное изменение его Д/г.
будет вызывать соответствующее пропорциональное изменение давле-
ния АР.
2* 19
Рис. 1-4. Пример линейной зависимости.
Примером нелинейного уравнения является зависимость расхода
от перепала давления на вентиле:
<2 = frB
где Q — объемный расход, м3]сек\ кв — коэффициент пропускной способности
вентиля; (Рг — Р2) — перепад давления на вентиле.
В этом уравнении изменение расхода Q непропорционально изме-
нению перепада давления (Р, — Р2). Отметим, однако, что, рассма-
тривая это же уравнение относительно расхода Q и коэффициента
пропускной способности вентиля к„ при постоянном перепаде
(Pj — Р,), можно считать его линейным.
Уравнения в разрешенном и неразрешенном виде. Связь между
переменными в уравнении может быть явной и неявной- Явная связь
между переменными имеется, например, в уравнении расхода Q =
= 'квУР\ — Рг", Q может быть определено непосредственно из урав-
нения при данных Л,, Р2 и fcB, Примером неявной связи переменных
в уравнении является зависимость между расходом поступающей
жидкости QBX и уровнем h в емкости с переливом через край
и отбором снизу Q 2 (рис. 1-5). QBX в установившемся режиме связано
с h следующим соотношением: ()вх = 5,3-107 (/г. — Лпер)1’6 +
-г 1,59 • 104 кв (Л)0’5. Даже если QBX, кв и Лпер (высота перелива)
известны, то уровень h нельзя определить непосредственно из урав-
нения без дополнительных преобразований.
Совместность уравнений *. Рассмотрим схему, представленную
на рис. 1-6. Насос подает поток жидкости одновременно в два грубо-
Рис. 1-5. Пример нелинейной зависи-
мости.
1х '^вт т- %
i>kzz Р,
Чцсос . О,
* т Чг
------Р?
— 0? 2
Резервуар
Рис. 1-6. Пример описания системы
трубопроводов.
* Под совместностью автор понимает объединение уравнений в совместную
систему. — Прим. ред.
20
провода через вентили, понижающие давление до величин Р1 и Р2
соответственно. Уравнения, описывающие эту систему, могут быть
записаны следующим образом:
<?вх=е1+е2
'.'1 ' = ! Г
Q1 ~ ^'в2 Г Рвх— Р-2
где />'Е| и kBi — коэффициенты пропускной способности вентилей; Рвх — да-
вление в нагнетательной лпнпи насоса.
При данных 7Д, Р2, к&1, кв2 и QBX определяются три неизвестных
величины: расходы Q1, Q2 и Рвх. Ни одна из этих величин не может
быть найдена решением любого из приведенных выше уравнений.
Они могут быть вычислены только при решении всех трех уравнений
одновременно. Обобщая, можно сказать, что неизвестные в системе
уравнений определены неявно, т. е. не могут быть получены решением
одного любого уравнения.
Достаточность и избыточность. Приступая к решению системы
уравнений, необходимо определить число независимых уравнений
и число неизвестных. Независимыми уравнениями называют те,
которые не являются линейной комбинацией других уравнений
системы. Например, в системе
X + Y4-2Z = 5 (а)
3X-;-Y-}-2Z = 3 (б
2X + Y + 2Z = 4 (в)
уравнение (в) является полусуммой уравнений (а) и (б). Следова-
тельно, эта система содержит три неизвестных (X, Y и Z) и имеет
два независимых уравнения. Поэтому они не могут быть однозначно
решены относительно X, Y и Z- Это же замечание относится к систе-
мам дифференциальных уравнений.
Для систем, в которых число неизвестных больше числа независи-
мых уравнений, существует бесконечное количество решений *.
Однако если дополнительно сформулированы условия, которым
должно удовлетворять решение системы, то может быть найдено
интересующее нас решение. В том случае, когда решение должно
максимизировать или минимизировать некоторую функцию цели,
применяют методы линейного или нелинейного программирования.
Если же уравнений в системе больше, чем неизвестных, то при нахо-
ждении решения желательно использовать все имеющиеся уравнения
для уменьшения ошибок, возникающих при получении уравнений.
Это общие понятия для всех уравнений.
Если существует хотя бы одно. — Прим. ред.
21
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для понимания, что такое дифферен-
циальные уравнения, необходимо ясно пред-
ставлять себе смысл производной. Сим-
вол dXldt означает просто «скорость изме-
нения переменной X по отношению ко вре-
мени t *». Если X связано со временем 7,
как показано на рис. 1-7, то в каждой точке
кривой скорость изменения величины X,
определяемая производной dXldt, численно
равна углу наклона касательной к кривой
в этой точке.
Рис. 1-7. График изме-
нения величины X во
времени.
Если, например, сосуд наполняется со скоростью Q (t), то этот
символ означает, что скорость наполнения не постоянна, а является
функцией времени t, и уравнение скорости наполнения запишется
следующим образом: dVidt = <2- Другими словами, скорость напол-
нения Q, равная объемному расходу питания, связана со скоростью
изменения объема V во времени. Это дифференциальное уравнение
tn
можно записать в интегральном виде V = \Qdt, что означает:
о
«объем V в любой момент времени t есть накопление расхода Q за
период времени от 0 до t плюс объем в момент времени t = О».
Если наполняемый сосуд имеет постоянное поперечное сечение S,
то объем V = Sh, где h — высота жидкости в сосуде над начальным
уровнем. После преобразований получим:
dV
dt
d „ dh dS
—— (Sh) = 5 ——Г n ——
dt' dt dt
но так как dS/dt = 0 (S — константа), то
dV _ S dh
dt dt
т. e. скорость наполнения равна площади поперечного сечения S,
умноженной на скорость изменения уровня dh/dt.
Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок
входящих в него производных, определяемый числом раз дифферен-
цирования зависимой переменной. Уравнение, рассмотренное в пре-
дыдущем разделе, — первого порядка, потому что объем V дифферен-
цировался лишь один раз (dV/dt). Существуют уравнения более
высокого порядка. Например, классическое уравнение второго закона
Ньютона является дифференциальным уравнением второго порядка:
с№х]
dt2
[масса] X [ускорение] = [сила]
* При данном значении переменной t.
22
Интересно, что всякое дифференциальное уравнение любого
высокого порядка может быть заменено системой совместных диффе-
ренциальных уравнений первого порядка с помощью дополнитель-
ных переменных. В нашем случае такой переменной является ско-
рость v:
При получении модели невыгодно путем различных замен пере-
ходить к уравнению высокого порядка, так как при решении диффе-
ренциальных уравнений любого порядка на вычислительных маши-
нах они программируются как системы дифференциальных уравне-
ний первого порядка. Более важный аспект состоит в том, что основ-
ные связи, действующие в моделируемых процессах, описываются
уравнениями первого порядка. Например, приведенное уравнение
второго порядка (масса X ускорение = сила), в котором масса
постоянна, является частным случаем. Более фундаментальна
связь следующая:
[сила] = [скорость изменения количества движения] Е=-^-(тг)
[скорость] = [скорость изменения расстояния] v—dx/dt
Решая эти уравнения, следуют причинной связи, которая суще-
ствует между описываемыми ими явлениями в физической реаль-
ности. Задаваясь величинами силы и массы, меняющимися во вре-
мени, расчет соответствующего перемещения производят по следу-
ющей программе:
1. Интегрирование силы — количество движения.
2. Деление количества движения на массу — скорость.
3. Интегрирование скорости — перемещение.
Эта программа в схематическом виде представлена на рис. 1-8.
При таком подходе возможен очень четкий анализ каждого шага:
«сила приводит к изменению количества движения и скорость приво-
дит к изменению пути». Такой последовательный логический охват
физического явления — ключевой фактор в обеспечении успеха ана-
литического изучения. Полное уравнение этой системы
d dx \
—— т —— ] = Е
dt \ dt J
Рпс. 1-8. Схема решения дифференциального уравнения второго
порядка.
23
Рис. 1-9. Гра-
ничное усло-
вие.
не является наглядным и не может быть запрограм-
мировано в такой форме. Для нашей цели такая
форма записи является бесполезной.
Идея, продемонстрированная на приведенном
выше примере, является основой подхода к анали-
тическому исследованию и моделированию, изложен-
ным в этой книге. Опыт показывает, что очень
важно четко представлять себе физический смысл
аналитических выражений и зависимостей (т. е.
уравнений); такое ясное представление абсолютно
необходимо для программирования. В связи с этим
всегда есть смысл разложить на составляющие любое
сложное выражение, чтобы понять его, проанали-
непостижимо
зировать и облегчить программирование и решение.
Граничные условия. Для того чтобы получать конкретные реше-
ния дифференциальных уравнений, должны-быть заданы граничные
условия. Для примера рассмотрим уравнение изменения объема
жидкости в сосуде, приведенное выше: dV/dt = Q (рис. 1-9). Это урав-
нение определит объем жидкости V в любой момент времени t,
если будет задан начальный объем жидкости Ео в сосуде при t = 0.
Этот начальный объем называется начальным условием, необходи-
мым для решения дифференциального уравнения.
Если математическая модель содержит дифференциальные урав-
нения, то условия задаются для тех зависимых переменных, произ-
водные которых входят в модель. Примером является система урав-
нений, содержащая переменные X, Y и Z:
ву
~ =.X2-y2 + 3Z
at
^- = Y-2Z^X
X = 5Z2—У4-6
(1)
(2)
(3)
Для нахождения определенного решения этой системы требуется
задать значения Z и Y для частного значения независимой перемен-
ной t. Поскольку уравнение (3) алгебраическое, X определяется
автоматически. Если значения зависимых переменных задаются для
начального значения независимой переменной, то они называются
начальными условиями^ В некоторых случаях задают значения зависи-
мых переменных для различных значений одних и тех же независи-
мых переменных, их называют краевыми (граничными) условиями.
Число граничных условий определяется порядком дифференци-
ального уравнения. Например, для уравнения
-^- = з-х
dt*
требуется задать значения Хо и (dX/dt)0 при t = 0 как начальные
условия.
24
Уравнения в частных производных. Во всех предыдущих случаях
мы рассматривали дифференциальные уравнения, в которых произ-
водные относились к одной независимой переменной — времени.
Широкий и важный класс дифференциальных уравнений — уравне-
ния в частных производных — содержит частные производные
функции нескольких независимых переменных. Два следующие
сопоставимые примера демонстрируют различие между обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных
производных.
Пример 1-1. Рассмотрим хорошо перемешиваемую жидкость
в емкости, обогреваемой погруженным нагревателем, выделяющим
поток тепла Ф, дж'сек (рис. 1-10). Уравнение, определяющее темпе-
ратуру жидкости, запишется в виде
{тсТ} = Ф
где т — масса жидкости; с — удельная теплоемкость; Т — температура.
При этом предполагается, что вследствие хорошего перемешива-
ния жидкости во всех точках емкости температура одинакова. В этом
случае рассматривается лишь одна температура Г, что приводит
к одному обыкновенному дифференциальному уравнению с одной
независимой переменной — временем t.
Пример 1-2. Рассмотрим твердый брус, нагреваемый с одной
стороны и изолированный со всех других сторон (рис. 1-11). Соотно-
шение между температурой, временем и расстоянием от точки нагрева
описывается дифференциальным уравнением в частных производных:
dT №Т_
dt ~а dXt
где а — коэффициент температуропроводности.
Температура в этом уравнении является функцией двух перемен-
ных: времени t и расстояния X, т. е. в любой момент времени I,
температура меняется с изменением расстояния Xi или, наоборот,
в любом месте X, температура
Рис. 1-10. Процесс, опи-
сываемый обыкновенным
дифференциальным ура-
внением.
меняется со временем. Это уравнение
очень кратко и изящно опре-
деляет связь между переменны-
ми, трудно наблюдаемую в усло-
виях физической реальности.
Рис. 1-11. Система, описываемая
дифференциальным уравнением
в частных производных.
25
В последующих главах этой книги предлагается более упрощен-
ный, практический подход к этой проблеме, использующий метод
конечных разностей. При этом можно приближенно описать физи-
ческую систему в пределах аппроксимации обыкновенными диффе-
ренциальными уравнениями.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Арпе Р., Анализ процессов в химических реакторах, пер. с англ., Изд.
«Химия», 1967.
Батунер Л. М., И о з и и М. Е., Математические методы в химической
технике, изд. 5-е, Изд. «Химия», 1968.
Боресков Г. К., Слинько М. Г., Хим. пром., Л» 1 (1964).
Вильямс Т. Дж., Проектирование химико-технологических процессов
методами системотехники, изд. 2-е, Изд. «Химия», 1967.
Со. «Вопросы автоматизации процессов химической технологии», Государствен-
ный институт прикладной химии, вып. 59, Изд. «Химия», 1968.
Каф ар о в В. В., Еременко В. Е., Некоторые вопросы масштабиро-
вания химических реакторов, в сб. «Кибернетику на службу коммунизму»,
Изд. «Энергия», 4, 1967.
К а ф а р о в В. В., Хим. пром., № 4 (1966).
К а ф а р о в В. В., П л ю т т о В. П., Перов В. Л., Хим. пром.. № 3
(1964).
К о р с а к о в - Б о г а т к о в С. М., Хим. пром., № 9 (1965).
Л е в е н in п и л ь О., Инженерное оформление химических процессов, пер.
с англ., Изд. «Химия», 1969.
Островский Г. М., Вопросы оптимизации химико-технологического про-
цесса, в сб. «Кибернетику на службу коммунизму», Изд. «Энергия», 4, 1967.
Островский Г. М., Волин Ю. М., Методы оптимизации химических
реакторов, Изд. «Химия», 1967.
Попов В. В., Хим. п техн, топлив и масел, № 8 (1968).
Розен А. М., Моделирование процессов химической технологии на основе
теоретических закономерностей, в сб. «Алгоритмизация расчета процессов
и аппаратов», вып. 1, Киев, Изд. «Наукова думка», 1966.
Слинько М. Г., Этапы моделирования химических реакторов, в сб. «Все-
союзная конференция по химическим реакторам», т. 1, Новосибирск, 1965.
Уилсон А., У п л с о н М., Информация, вычислительные машины и про-
ектирование систем, Изд. «Мир», 1968.
Франк-Каменецкип Д. А., Диффузия и теплопередача в химиче-
ской кинетике, изд. 2-е, Изд. «Наука», 1967.
В е a v е u С. Н. I., М а г о и d a s N. G., Brit. Chem. Eng., 11, № 3 (1966).
ГЛАВА II
МАШИННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ
В этой главе рассматриваются основные принципы, па
которых построено автоматическое или машинное решение системы
совместных уравнений. Ее цель — убедить людей, занимающихся
аналитическими исследованиями или постановкой задач, в том, что
опытные программисты на современных вычислительных машинах
могут действительно решать любые уравнения, описывающие реальные
физические системы. Конечно, предполагается, что при этом поль-
зуются специальными методами для повышения точности решения
на аналоговых вычислительных машинах пли ускорения решения на
цифровых машинах, но эти вопросы не должны интересовать иссле-
дователя. Такие детали только отвлекают исследователя от суще-
ства проблемы, главной целью является постановка задачи и интер-
претация получаемых результатов.
Существует мнение, что знание техники программирования
(в частности, для решения систем уравнений) может быть полезно
для анализа решения уравнений, описывающих реальную физиче-
скую систему, и в этом есть доля правды. Однако убедиться в пра-
вильности модели и решения исследователь может, при соответству-
ющей организации программы счета, путем анализа промежуточных
величин при вычислении, что не требует от него знания тонкостей
программирования. Этот же аргумент часто приводят в пользу ана-
литических методов решения уравнений, считая, что сложные дей-
ствия и преобразования, которые требуются, чтобы получить анали-
тическое решение, дают возможность проникнуть в сущность задачи.
Такое утверждение справедливо лишь для тех редких случаев, когда
математик может решить систему уравнений аналитически. К не-
счастью, в огромном большинстве случаев, возникающих в практике,
система объединяет нелинейные алгебраические и дифференциаль-
ные уравнения, не допуская возможности аналитического решения
даже для опытных математиков. Во всяком случае весьма сомни-
тельно, чтобы средний инженер смог получить решение достаточно
сложной системы уравнений.
Знакомство инженеров с достижениями математики для овладе-
ния аналитическими методами исследования и техникой машинного
27
программирования (что, как полагают, необходимо для успешного
проведения численного решения) должно иметь положительный
эффект. Примеры, которые будут даны ниже, помогут читателю разо-
браться в принципах решения задач на цифровых и аналоговых вы-
числительных машинах и понять различие в подходе к решению в том
и другом случае.
УРАВНЕНИЯ В РАЗРЕШЕННОМ
И НЕРАЗРЕШЕННОМ ВИДЕ
Эти понятия уже рассматривались в гл. I. Однако имеет смысл
еще раз остановиться на различии уравнений в разрешенном и нераз-
решенном виде. Лучше всего это сделать на примере. Возьмем сле-
дующее уравнение:
Х = А-'-В
Величина X может быть получена непосредственно, если заданы
величины А и В. Теперь рассмотрим уравнение
Х= Ах+В
Снова заданы А и В, но величина X не может быть получена путем
прямого вычисления. Для того чтобы получить X, необходимо при-
бегнуть к некоторому искусственному методу расчета. В этом смысле
два совместных алгебраических уравнения, таких, как
ЗА + 2У=2 (а)
2X + 3Y = 4 (б)
тоже являются уравнениями в неразрешенном виде, так как вели-
чины X и Y не могут быть найдены непосредственно без некоторых
дополнительных преобразований. Решаемые на практике научные
п технические проблемы при переходе к аналитической форме пред-
ставления обычно приводят, как будет показано в последующих
главах, к системе совместных нелинейных алгебраических и диффе-
ренциальных уравнений в неразрешенном виде. Практически един-
ственным методом решения такой системы уравнений является их
машинное решение, возможное благодаря сверхвысоким скоростям
операций на современных вычислительных машинах. Приемы машин-
ного решения можно продемонстрировать на примере решения урав-
нений (а) и (б).
Эти уравнения можно решить путем простейших преобразований,
которые становятся очевидными при первом же взгляде на эти урав-
нения. Однако покажем на этом примере нахождение решения мето-
дом последовательных приближений, применяемом для решения
на вычислительных машинах более сложных задач, не поддающихся
простым преобразованиям. Необходимо иметь в виду, что в противо-
вес некоторым популярным неправильным представлениям вычисли-
тельная машина не может «думать». Фактически все, что она может
делать, — это четко выполнять операции, заранее предусмотренные
28
-1,8 —1,8 -/,4 -1.2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,it
Рис. П-1. Схема решения системы уравнений
методом последовательных приближений.
программистом. В нашем случае вычислительная машина (аналого-
вая или цифровая) получает следующие «инструкции»:
1. Решить уравнение (а) относительно X, используя «предпола-
гаемую» величину Y, равную, скажем, 3.
2. Подставить величину X, полученную на предыдущем шаге,
в уравнение (б) и решить его относительно У.
3. Повторить шаг 1, но использовать при вычислении новую
величину Y, найденную на шаге 2.
4. Повторять шаги 2, 3 и 1 снова и снова, до тех пор, пока при-
ращения величин X и Y от цикла к циклу станут пренебрежимо
малы.
Чтобы наглядно представить изменение результата в ходе реше-
ния, рассмотрим следующую таблицу величин, изменяющихся от
цикла к циклу:
Ц икл.............. О 1
Шаг 1, Х = . . —1,33 -0,81
Шаг 2, . . +2,22 +1,87
2 3 4 5 6
-0,58 -0,51 -0,44 —0/11 —0,40
+1,72 -1,67 +1,62 +1,61 +1,60
Как видно, величины X и Y сходятся к их окончательным значе-
ниям (—0,40 и 1,60) за шесть циклов. Если взять другое начальное
значение для У, вычисления обязательно приведут к этим же значе-
ниям X и У. В этом легко убедиться, если произвести соответству-
ющие расчеты вручную. Графически схема последовательных при-
ближений представлена на рис. П-1. Оба уравнения показаны на
рисунке как прямые линии, пересекающиеся в точке X = —0,4;
К = +1,6. Ступенчатая схема решения сходится окончательно
в точке пересечения этих прямых.
29
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ЦИФРОВЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ 13-«
Для того чтобы понять эту книгу, достаточно представлять себе
цифровую вычислительную машину как комплекс, состоящий пз
быстродействующего арифметического устройства, выполняющего
по заранее составленной программе арифметические и логические
операции (сложение, умножение, логическое отрицание и т. д.),
запоминающего устройства для хранения программы вычислений,
исходных данных и получающихся результатов, управляющего
устройства, автоматически выполняющего программу вычислений,
устройства ввода данных, необходимых для счета, и устройства
вывода промежуточных и окончательных результатов. Здесь не рас-
сматриваются детально подробности программирования, но надо
заметить, что между уравнениями и программой вычислений в машин-
ном коде имеется промежуточная стадия, которая состоит в приведе-
нии программы решения к виду блок-схемы или к форме информа-
ционного потока.
Для рассмотренных выше уравнений типичная блок-схема про-
граммы представлена на рис. П-2. Операция, выполняемая каждым
блоком, записывается внутри него. Вычислительная машина будет
выполнять вычисления согласно блок-схеме по замкнутому циклу
до тех пор, пока не будет выполнено условие, содержащееся в блоке
сравнения. При этом самые последние, соответствующие выполнению
этого условия, значения X и Y выводятся на перфокарту или ленту.
Полная последовательность операций, включая полдюжины циклов
по замкнутому контуру, выпол-
няется быстродействующей вы-
числительной машиной прибли-
зительно за миллисекунду.
Конечно, по мере того как
возрастает количество уравне-
ний, увеличивается время, тре-
буемое для получения решения.
Если время решения становит-
ся чрезмерно большим, чтобы
ускорить сходимость и умень-
шить общее время вычислений,
Сравнение
Печать
Хи Y
Рпс. П-2. Блок-схема программы решения на цифро-
вой вычислительной машине.
30
Рис. П-З. Блок-схема решения системы двух алге-
браических уравнений на аналоговой вычислительной
машине.
используются более тонкие математические методы решения или раз-
рабатываются специальные программы приближенного, менее точ-
ного решения.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НА АНАЛОГОВЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
На аналоговых вычислительных машинах уравнения решаются,
как уже указывалось, принципиально иным методом. Аналоговая
машина состоит из отдельных решающих элементов, каждый из кото-
рых выполняет элементарную математическую операцию (например,
сложение, умножение на постоянную величину, интегрирование),
и нелинейных блоков, воспроизводящих нелинейные функции.
Решение уравнений, независимо от их типа, порядка и линейности,
сводится к установлению простых связей между отдельными элемен-
тами аналоговой машины, соответствующих виду уравнения. Резуль-
тат решения получается путем непосредственного измерения изменя-
ющихся напряжений в определенных точках схемы. В качестве
основного решающего элемента используется операционный усили-
тель постоянного тока с большим коэффициентом усиления, который
может быть применен как сумматор, инвертор * и интегратор.
Для решения уравнений (а) и (б) взят сумматор, на котором, по
существу, складываются несколько напряжений постоянного тока.
Сумматор инвертирует знак суммы. Как показано на рис. П-З, выход
усилителя есть взятая с противоположным знаком сумма входных
напряжений, которые в данном случае равны 4-2/3 и —2/ЗУв. Если
мы зададим Y = —3 в, то выход усилителя будет равен 1,33 в, что
эквивалентно первому шагу вычислений на цифровой машине.
Если это напряжение, равное X, подать через потенциометр, умно-
жающий на постоянный коэффициент 2/3, на другой сумматор, на вто-
рой вход которого подано напряжение 4/3 в, то на выходе этого
* Блок аналоговой машины, изменяющий знак поданного на него напря-
жения. — Прим. ред.
31
Рис. П-4. Блок-схема и график решения системы двух алгебраи-
ческих уравнений.
усилителя получим —Y = 2,22 в. Эта новая величина Y может с по-
мощью переключателя быть подана на первый усилитель вместо
первоначально использованной величины напряжения (У = — 3).
Соединяя затем выход первого усилителя со входом второго, а выход
второго — со входом первого, получим замкнутую схему, где вели-
чины X и У будут изменяться непрерывно и одновременно как на
одном, так и на другом сумматоре и быстро сходиться к их конечным
установившимся значениям (рис. П-4).
Поскольку электронные усилители не являются безынерцион-
ными, то проходит конечный промежуток времени прежде чем дости-
гаются установившиеся значения величин X и У. Как видно из
рис. П-4, время, требуемое для окончания решения, составляет
несколько десятых миллисекунды. Но для любых практических
целей можно считать, что решение получается мгновенно.
Перейдем к следующему примеру. Предположим, что мы хотим
решить следующую систему уравнений:
ЗХ4-2У = 2
2Х4-ЗГ=4
Рис. П-5. Окончательная блок-схема набора задачи на аналого-
вой вычислительной машине.
32
Рис. П-6. График решения системы
алгебраических уравнений на ана-
логовой машине.
Рис. П-7. Блок-схема решения систе-
мы алгебраических уравнений.
Каждой величине Z соответствуют определенные значения реше-
ния уравнений относительно X и Y- Несколько видоизмененная по
сравнению с предыдущим случаем блок-схема этого решения на ана-
логовой машине показана на рис. П-5.
Как мы заметили выше, изменения величин X и Y от начала реше-
ния до состояния равновесия для каждого Z можно считать мгно-
венными. При этом можно получить решение относительно X и Y
при изменении величины Z во времени. Фактически Z может меняться
случайно, и получающиеся величины X и Y будут соответствовать
точному решению уравнения в каждый момент времени (рис. П-6).
Для лучшего представления схемы решения этих уравнений можно
составить блочно-поточно-информационную схему, на которой виден
путь следования сигнала, как показано на рис. П-7. По существу
эта схема говорит: «Если Z и У подставить в уравнение (а), оно может
быть решено относительно X, так как единственная неизвестная
величина, которая находится в левой части уравнения, вводится
извне. Этот X подставляется затем в уравнение (б), которое решается
относительно У, а получаемая величина У подставляется в урав-
нение (а)».
Более общая схема решения этой системы дана на рис. П-8. Она
означает: «Любой величине Z будут немедленно соответствовать опре-
деленные величины X и У». Читатель может попытаться мысленно
представить себе, как при изменении входной величины вычисли-
тельная машина автоматически и немедленно производит вычисления
соответствующих X и У согласно заложенной блок-схеме решения.
Неустойчивость решения. У неискушенного читателя могло
возникнуть представление, что машинное решение уравнений чрез-
вычайно простое дело и ведет прямо к цели. В известном смысле это
так, но на этом пути имеется несколько трудностей, наиболее серьез-
ная из которых — неустойчивость решения. Рассмотрим вновь перво-
начальные уравнения:
ЗХ + 2У = 2 (а)
2.¥+ЗУ=4 (б)
3 Заказ -163
Раньше уравнение (а) решалось для нахождения X, а уравнение
(б) — для нахождения Y. Теперь поменяем их местами, как показано
на рис. П-9. В результате машинного решения методом последова-
тельных приближений (начиная с произвольно выбранной величины
X = —2) после нескольких циклов решения получим:
Шаг 1 2 3 4 5
X —2 —4 -8,5 —16,5 —38,0
Y +4 _{-7 Д-13,75 +26,7 +56,0
На рис. П-10 графически показан
Можно видеть, что с каждым циклом
ход решения в этом случае,
вычисления мы удаляемся от
решения, которое находится в точке пересечения двух прямых.
Такое явление называется расходимостью. При этом как анало-
говые, так и цифровые вычислительные машины быстро приходят
в режим аварийной остановки. В задачу исследователя не входит
выявление математических причин расходимости решения линейных
и нелинейных уравнений, он должен лишь осознавать, что система
уравнений может быть плохо скомпонована, из-за чего появятся
трудности при получении решения.
Важно отметить, что когда система уравнений описывает устой-
чивую физическую систему, то всегда удается выбрать последова-
тельность вычислений, называемую естественным расположением,
которая приведет к устойчивому решению. В последующих главах
показано, как эти естественные расположения могут быть определены
для различных физических систем.
Можно также найти устойчивые схемы решения чисто математи-
ческими средствами. Например, каждое из двух уравнений, которые
только что рассматривались, должно быть решено относительно той
неизвестной (X или Y), при которой в данном уравнении коэффициент
имеет наибольшее значение. Другими словами, это означает, что
каждое уравнение решается относительно наиболее значимой неиз-
вестной переменной.
Колебательная неустойчивость. Другим типом неустойчивости,
возможным при решении задач как на цифровых, так и на аналого-
вых вычислительных машинах, является колебательная неустойчи-
вость. Особенно часто она встречается при решении нелинейных
алгебраических уравнений. Эта
неустойчивость объясняется пло-
хой подготовкой задач к решению
Рпс. П-9. Пример неправильного
построения итерационного контура
счета.
Рпс. П-8. Входная и выходная инфор-
мация при решении системы алгебраи-
ческих уравнений.
34
Рис. П-10. Схема решения методом последовательных
приближений в случае расходимости решения.
для обоих типов машин, а также, в случае аналоговых машин, не-
совершенством динамических свойств решающих элементов.
На данном этапе не имеет смысла детально останавливаться на
причинах и следствиях тех трудностей, которые могут встретиться.
Исследователю достаточно знать, что неустойчивости при решении
алгебраических систем уравнений можно избежать путем использова-
ния методов, с которыми хорошо знакомы специалисты по програм-
мированию. Следует твердо помнить, что такая неустойчивость
не может быть интерпретирована как характеризующая физическое
состояние реальной изучаемой системы. Колебательное решение
может отражать поведение физической системы лишь тогда, когда
математическая модель содержит дифференциальные уравнения.
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Как было показано в гл. I, вычислительные машины позволяют
решать любые типы уравнений (даже нелинейные), получающиеся
при описании поведения физических систем. Исследователь должен
быть знаком с основными принципами машинного решения для того,
чтобы доверять получаемым результатам вычисления, не вникая
в технику программирования. Для ознакомления с принципом реше-
ния дифференциальных уравнений на машине рассмотрим следующий
пример.
Емкость с площадью поперечного сечения, равной единице, на-
полняется жидкостью с объемным расходом Qr (t) (рис. П-11, я),
изменяющимся во времени, как показано на рис. П-11, б. Расход
жидкости, вытекающей из емкости через прямоугольный слив, равен:
(?2 = Kh*1'
где h — уровень жидкости над нижним краем сливного отверстия; К — коэф-
фициент пропорциональности.
3
35
Рис. П-11. К построению модели гидравлической емкости:
а — емкость с переливом; б — график изменения расхода Qi(t).
Дифференциальное уравнение для этой системы очень простое:
^-=С1(0-^3/2 (1)
Решение состоит в нахождении функции h (t), удовлетворяющей
уравнению (1). Поскольку в реальной ситуации (i) может быть
сложной функцией времени (рис. 11-11, б), то это уравнение не всегда
решается аналитически. Решение для любого Q, (t) легко осуще-
ствляется при использовании вычислительной машины. При отсут-
ствии машины решение можно получить вручную. Для этого перейдем
к уравнению в конечных разностях, заменив входящую в него произ-
водную разностью значений функции [Л.,- — h^], деленной на соот-
ветствующее приращение аргумента:
Л11 — 11 t
Для определенности будем считать К = 0,03, тогда
A^ = [<2i(0-Ws]A^ (2)
Значение Q± (i) в интервале принимается постоянным
п равным 0,5 [<2Х (£г_х) + (t,-)]. Величина Л.; в этом интервале
также грубо берется постоянной, но равной ее значению в момент
^•_1- Учитывая последнее замечание, уравнение (2) можно переписать
в виде
Мч= [<?1 (0)-0,03 1 At (3)
Из этого уравнения следует, что, зная Qr (ti) и h{_i, можно найти
величину АЛ.,-, а затем величину Л.; = необходимую для
расчета следующего значения &hM, и т. д. Так как значения Qr (t)
являются заданными, то для вычисления значения функции h (t)
при различных значениях аргумента t достаточно знать величину hn
в момент времени t0. Полагая hn = 0, получим следующую таблицу
значений функции h (t) при десяти значениях аргумента. Выбор
36
величин приращений аргумента, которые здесь принимаются рав-
ными между собой, рассмотрен ниже:
i
.....................
0.03+-Ч..............
i\hi..................
№i[ . . .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20 28,0 35,0 42 46,0 48 47 43 35 21
0 2.7 9,15 18 28,5 36 42 45 43 39
20 25,3 25,85 24 17.5 12 5 —2 -8 -18
20 45.3 71,15 95 112,6 124 129 127 119 101
Последняя строка в этой таблице представляет табличную форму
записи функции h (i), удовлетворяющей уравнению (3). Изложенный
метод расчета принципиально может быть применен для всех типов,
дифференциальных уравнений, но точность его невысока. В настоя-
щее время проводятся работы 17, цель которых повысить точность
п скорость решения дифференциальных уравнений численными
методами.
ТОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЧИСЛЕННОГО'
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Численный метод, описанный в предыдущем разделе, является
грубым приближением к истинному решению дифференциального
уравнения.
Следующий уровень решения, более точный, предполагает, что
приращение на каждом этапе подсчитывается дважды. На первом
шаге каждого этапа вычисления мы используем для расчета величину
Получив пересчитываем приращение положив вместо
/>,_! среднюю величину 4- 0,5ДЛ.г; вторично полученное значе-
ние Д/гг- используем для расчета \hM и т. д. Чем меньше выбираемая
величина приращения аргумента, тем выше точность решения, но
при этом увеличивается количество вычислительных операций, время
машинного счета и затраты на вычислительные работы. В связи с этим-
встает вопрос, какой нужно выбрать величину приращения аргу-
мента, чтобы получить решение с заданной точностью при минимально-
возможных затратах. На следующем примере рассмотрим характер
трудностей, возникающих при решении этого вопроса, и постараемся,
дать ответ на него.
Требуется найти решение уравнения
с начальным условием Y = 0 при t — 0 в интервале времени от О-
до 30 мин. Решаем задачу по методу, описанному в предыдущем
примере. Запишем уравнение в конечных разностях:
АУг = (1-Уг-) Mt
Разделим весь интервал на десять равных частей, т. е. положим
Aft- = Д£ = 3 мин. Результат решения уравнения с шагом Д1=
= 3 мин представлен ниже:
1 = 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
У=0 3 -3 +9 -15 +33 -63 +129 —255 +513
37'
Рис. П-12. Неустойчивое решение, вы-
званное большим шагом интегрирова-
ния (А / = 3).
Рис. П-13. Решение с шагом сче-
та A t = 1.
На рис. П-12 дан график такого решения, которое неустойчиво,
хотя нам хорошо известно, что точное решение этого уравнения
(экспонента Y = 1 — e"z) устойчиво.
Возьмем меньший шаг приращения времени, например, положим
Ai равным 1 мин'.
t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
П=0 111111111 1
На рис. П-13 представлено полученное решение и точное решение
в виде экспоненты. Решение с шагом = 1 также явно неудовлетво-
Рпс. П-14. Решение уравнения dY/dt--
~ 1—Y с различными шагами инте-
грирования .
рительно по сравнению с точ-
ным.
На рис. П-14 показано, что
при выборе все меньших шагов
(Ai = 0,5; 0,2; 0,1 мин) реше-
ния все более приближаются
к точному. Но, к сожалению,
при шаге приращения времени
Ai = 0,1 мин уже требуется
300 итераций для удовлетвори-
тельного приближения к дей-
ствительному решению. Даль-
нейшее изучение этого уравне-
ния и его решения показывает,
что в начальные моменты вре-
мени производная больше по
величине и при большом шаге
вычислений решение сильно
отличается от действительного,
а в конце решения это расхо-
ждение меньше. Поэтому для
решения уравнения с требуемой
точностью и для повышения
эффективности машинного счета
-38
необходимо изменять приращение аргумента: в начале считать.,
с малым шагом, увеличивая его к концу интервала.
При решении системы совместных уравнений выбор соответству-
ющего приращения независимой переменной, обеспечивающего доста-
точно точное решение для каждого уравнения, может быть серьезным
камнем преткновения. Эта проблема решается путем включения
в программу машинного решения специальной подпрограммы, да-
ющей возможность интегрирования с автоматическим выбором шага
в соответствии с заданным критерием ошибки. Если критерий ошибкхт
не выполняется при данном шаге хотя бы для одного уравнения
системы, то машина автоматически уменьшает шаг интегрирования
вдвое и повторяет расчет. Как только критерий будет выполнен,
процедура решения продолжается с шагом, равным удвоенной вели-
чине предыдущего.
В гл. III описаны удобные для моделирования машинные языки
MIDAS и MIMIC. При составлении программы на этих языках про-
граммисту достаточно написать в программе слово integrate (инте-
грирование), чтобы обеспечить автоматическое введение в программу
этой стандартной подпрограммы.
Хотя цифровые машины решают дифференциальные уравнения
в основном методом последовательных приближений, для сложных
систем уравнений существуют более тонкие методы численного инте-
грирования. Ошибка вычисления существует и при решении на ана-
логовых вычислительных машинах, и исследователь должен уметь
оценивать точность получаемого решения, особенно при интегрирова-
нии, где ошибки также интегрируются.
Чтобы решить на аналоговой машине дифференциальное уравне-
ние для описанной ранее задачи с емкостью, в которой изменение-
уровня во времени определяется уравнением dh/dt = (t) — Kh3/2r
нужно соединить необходимые для решения элементы так, как пока-
зано на рис. П-15. Интегрирование осуществляется с помощью опера-
ционного усилителя, выход которого является интегралом от суммы
входов, т. е. h = —а функции (1) и h 2 воспроизводятся,
с помощью блоков, вырабатывающих нелинейные функции.
Рис. 11-15. Блок-схема решения нелинейного диф-
ференциального уравнения dhjdt = Qt (t)—Kh3^2 на
аналоговой машине.
39'

Рпс. П-16. Входная и выходная пн-
формация при решении дифферен-
циального уравнения.
В итоге можно сказать, что диф-
ференциальные уравнения можно
решать как на аналоговых, так
и на цифровых вычислительных
машинах. Выбор типа машины
диктуется видом и объемом реша-
емой задачи, возможностями ма-
шины, требованиями к точности
решения, а иногда такими факто-
рами, как наличие той или иной машины или квалификацией про-
граммистов. Наибольшая информационная производительность будет
достигнута, несомненно, при соответствии решаемой задачи воз-
можностям применяемой машины. Вообще вопрос о преимуществах
аналоговых вычислительных машин по сравнению с цифровыми не
относится к компетенции исследователя.
Например, в разобранном выше случае для исследователя важно
лишь знать, что при известной функции времени Qx (I) можно найти
решение дифференциального уравнения, представленного на
рис. 11-16, относительно неизвестной h (£). Вообще решение системы
дифференциальных уравнений, описывающих реальные физические
системы, может быть получено независимо от сложности решения
автоматически и с высокой скоростью вычислений.
ЗАДАЧИ
Для ознакомления с практикой машинного решения предлагаются
следующие три задачи.
Задача 1. Поток на выходе из непрерывного проточного реактора
содержит три вещества, концентрации которых Ха, Хв и Хс- Уравне-
ния реакций, протекающих в аппарате, могут быть сведены к следу-
ющей системе совместных алгебраических уравнений:
Рис. П-17. Условные обозначения элементов аналоговых схем:
а — сумматор; б — инвертор; в — блок умножения; г —интегратор; д — блок
деления; е — нелинейный блок.
40
Нужно:
а) расположить эти уравнения в форме информационного потока г
как показано на рис. П-7;
б) составить блок-схему решения методом последовательных
приближений в соответствии с рис. П-2;
в) начиная с Хс = 0,5, производить расчет по замкнутому циклу,
пока не будет достигнуто приемлемое решение. Свести в таблицу
данные и результаты счета для каждого цикла, как показано на стр. 29.
Задача' 2. Даны уравнения:
— = У2 — XKJ-6
dt
dt
Нужно:
а) составить схему решения методом последовательных прибли-
жений в форме, удобной для программирования на цифровой вычи-
слительной машине;
б) используя следующие символы, которые применимы как для
аналоговых, так и для цифровых машин (рис. П-17), запрограмми-
ровать эти уравнения, игнорируя знаки инверсии для элементов
аналоговых вычислительных машин.
Задача 3. Взяв за основу обозначения рис. П-17, составить
программу решения следующих уравнений:
dY
2Н_ = Х-У2+ AXY
dt
где А, В и С — известные постоянные величины.
^L^X^—XY-lrZ^
at
AX-\-ZY=C
X2 — Z2 = D
d^Y , л dY
dt2 d£
V = + J e dt
e, = S — T
W^KiV
dT Кз /rr
~dl
T0=f(P)
BY —С
(G)
(b>
(r)
Найти V, e, T, T0, P и Wo, если известны Klt K<>, Кя, Кp W,
Wh C, S, H.
41
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. В е к с у G. A., S t е г п е К. Е., Basic Components of Analog Computers,
ISA Paper P. T. C.-38-1 (1958).
2. Chem. Eng. News., February (1961).
3. Franks R. G. E., Principles of Analog Computation, ISA Paper
73-NY60-1.
4. P h i 11 i p s J. C., Chem. Eng., April (1963).
5. S t г о n g J. D., Inst. Automation, 29, № 4 (1963).
6. S-c h i e s s e r W. E., J. Chem. Eng. Educ. (1966).
7. Long Branch N. J., Electronic Associates, «Analog Computer Appli-
cation in the Chemical Industries».
8. W i 11 i a m s T. J., Ind. Eng. Chem., 50, 1631 (1958).
9. S о г о к a W. W., Analog Metods in Computation and Simulation, New
York.
10. J о h n s о n C. L., Analog Computer Techniques, New York, 1956.
11. Hartley M. G., An Introduction to Electronic Analog Computers, Wiley,
New York, 1963.
12. Carlson A., Analog Simulation in Engineering, Wiley, New York, 1967.
13. Phis ter M., Logical Design of Digital Computers, Wiley, New York,
1958.
14. R a 1 s t о n A., W i 1 f H. S., Mathematical Methods for Digital Computa-
tion, Wiley, New York, 1960.
15. McCracken D. D., Digital Computer Programming, Wiley, New York,
1957.
16. S h e r m a n E. M., Programming and Coding Digital Computers, 1963.
17. Rosenbrock H. H., Storey C., Computational Technique for.
Chemical Engineers, 1966.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Вычислительная техника, Справочник, т. 1 и 2, под ред. Т. Хаски и Д. Корн,
Изд. «Энергия», 1964.
Каган Б. М., Тер-Микаэлян Т. М., Решение инженерных задач
на цифровых вычислительных машинах, Изд. «Энергия», 1964.
К а ф а р о в В. В., Л у ц е и к о В. А., Жури. ВХО пм. Д. И. Менделеева,
" 10, № 1 (1965).
Кафаров В. В., Луценко В. А., Применение аналоговых вычисли-
тельных машин для решения задач химической технологии, Труды Москов-
ского химико-технологического института им. Д. И. Менделеева, 1966.
Кафаров В. В., Методы кибернетики в химии и химической технологии,
Изд. «Химия», 1968.
Луценко В. А., Финякин Л. Н., Аналоговые вычислительные ма-
шины в химии и химической технологии, Изд. «Химия», 1969.
С л и и ь к о М. Г., Скоморохов В. В., Моделирование химических
процессов на аналоговых вычислительных машинах, в сб. «Средства аналого-
вой и аналогово-цифровой вычислительной техники», Изд. «Машинострое-
ние», 1968.
С л инь к о М. Г., Моделирование химических реакторов, Новосибирск,
Изд. «Наука», 1968.
Тетельбаум И. М., Электрическое моделирование, Физматгиз, 1959.
Шилейко А. В., Основы аналоговой вычислительной техники, Изд.
«Энергия», 1967.
Шилейко А. В., Цифровые модели, Изд. «Энергия», 1964.
Stein Marvin L., Computer Programming a Mixed Language Approach.,
Acad. Press., XIV, New York — London, 1964.
Г Л АВА III
ПРОГРАММНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДЛЯ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Задачи для решения на аналоговой вычислительной
машине программируются в следующей последовательности:
составляется структурная схема программы решения и ее блок-
схема;
определяется число и вид необходимых решающих элементов,
последовательность их соединения и параметры настройки этих эле-
ментов с учетом масштабов, выбранных для отдельных переменных.
Наибольшую трудность при аналоговом программировании пред-
ставляет процедура набора задачи на коммутационном поле соответ-
ственнее блок-схеме и отладка схемы, реализующей задачу.
Хотя в связи с этой трудностью для решения задач методом моде-
лирования необходимо основательное знакомство с аналоговой тех-
никой (гораздо большее, чем кажется на первый взгляд), все же про-
граммирование для аналоговых машин осваивается инженерами
гораздо легче, чем для цифровых.
За последние десять лет неоднократно делались попытки упро-
стить и унифицировать процесс программирования для цифровых
машин. С этой целью в настоящее время создаются системы програм-
много моделирования, позволяющие программировать задачи для
решения на цифровых машинах так же, как для аналоговых машин.
Но большинство существующих систем программирования лучше
подходит для того типа машин, для которого они создавались.
Достаточно удачными и получившими широкое распространение
вследствие их простоты и наглядности являются языки программиро-
вания MIDAS и MIMIC.*
MIDAS-программирование дает возможность программировать
задачи в блочном, подобном аналоговому, виде для цифровых ма-
шин. Оно в некотором смысле проще программирования для анало-
говых машин, так как в нем отсутствует довольно сложная для тех,
кто не очень хорошо знаком с аналоговым моделированием, процедура
* Для ознакомления с подобными системами программирования рекомен-
дуем систему программного моделирования СИМУЛА, описание которой пере-
ведено на русский язык — Прим. ред.
43
масштабирования и учета изменения знаков усилителями при соста-
влении блок-схемы задачи.
MIMIC является преемником MIDAS и располагает еще большими
возможностями. Эти языки объединяют все лучшее из предшеству-
ющих языков программного моделирования и открывают большие
возможности для проведения исследований на машинах инженерами,
не являющимися специалистами в области программирования для
цифровых машин (например, в программировании на языке
ФОРТРАН). По утверждению авторов машинных языков MIMIC
и MIDAS, «Языки программного моделирования могут быть усвоены
за два-три часа, эффективны для программирования и, что наиболее
важно, они делают цифровую машину похожей на аналоговую».
Существуют другие языки программирования, более удобные для
небольших цифровых машин. Они подробно описываются в литера-
туре (см., например, работы4-7). Программы, составленные на этих
языках, могут быть легко написаны также и на MIMIC или
MIDAS.
Нет сомнения, что в недалеком будущем появятся новые машинные
языки, которые будут еще более гибкими, эффективными и простыми.
Действительно, вполне возможно создание совершенной системы
программирования, в которой, например, для решения уравнения
будет достаточно ввести исходные данные непосредственно на перфо-
карты и по одной команде машина будет автоматически производить
необходимые вычисления. Символический код MIMIC довольно
близок к выполнению этих требований.
ЯЗЫК ПРОГРАММНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ MIDAS
Система состоит из большого набора математических стандартных
подпрограмм, подобных решающим операционным блокам аналого-
вых вычислительных машин. Эти стандартные подпрограммы или
блоки выполняют функции сумматоров, блоков умножения, деления,
интеграторов, функциональных генераторов и т. д. Программирова-
ние состоит в связывании этих блоков в последовательность, опреде-
ляемую уравнениями в соответствии с требованиями конкретной
решаемой задачи.
Первым шагом является подготовка структурной блок-схемы пред-
полагаемой программы. На основании этой схемы составляется под-
робный перечень входных и выходных величин для каждого из бло-
ков и мест ввода и вывода числового материала. Далее дается описа-
ние формы выдачи результатов и последовательности обращения
к подпрограммам. Вся зта информация записывается на языке MIDAS
и наносится на перфокарты, после чего подготовку задачи к решению
можно считать законченной.
Прежде чем начинать решение, необходимо ввести в машину стан-
дартную MlDAS-программу либо из магнитной памяти машины,
либо из библиотеки стандартных программ, соответствующей
44
данной машине. Кратко опишем наиболее важные блоки этой си-
стемы *.
Сумматор. Этот блок суммирует до шести величин. Выход является
их алгебраической суммой. Символическая форма обозначения сум-
матора в схеме может быть такой же, как соответствующего аналого-
вого элемента или, как предполагается в работах 1>2, это может быть
просто квадратик, внутри которого пишется буква 5 (см. рис. Ш-1).
Кроме буквы S ставится еще и число, обозначающее порядковый
номер элемента, в данном случае 3-
При составлении программы для большой задачи легче ориенти-
роваться и избежать ошибок в схеме, в которой каждый тип элементов
имеет свое обозначение.
Интегратор. Интегратор имеет только один вход, выходом его
является интеграл входной величины по независимой переменной,
обычно времени. Обозначается он, как показано на рис. Ш-2. Кроме
порядкового номера интегратор может иметь буквенное обозначе-
ние 13.
Блок умножения. Блок умножения можно обозначить квадра-
тиком с двумя входами и одним выходом — алгебраическим произве-
дением входных величин (рис. Ш-3). Там же дано обозначение
этого блока — Мб.
Блок деления. Его изображение подобно изображению блока
умножения, отличительной буквой является D (рис. Ш-4), а в пе-
речне (см. рис. Ш-16), который составляется при программировании,
числитель записывается первым, знаменатель — вторым.
Инвертор. Этот блок изменяет лишь знак входного сигнала,
т. е. сигнал на его выходе равен входному, но имеет обратный знак
(см. рис. Ш-5). Внутри квадратика пишется NEG и цифра — поряд-
ковый номер элемента.
Элементы переключения. Программой предусматривается авто-
матическое выполнение логических операций. Предположим, напри-
мер, что при математическом моделировании технологического про-
цесса в модель необходимо ввести мгновенное перекрытие одного
из двух параллельных трубопроводов (С или D) с тем, чтобы изме-
нить направление потока жидкости из трубопровода А (рис. Ш-6).
Сигнал В управляет клапанами так, что, когда В Д> 0, клапан
на линии С открыт, а на линии/) — закрыт, и наоборот. Этот процесс
может быть смоделирован и записан на языке MIDAS с помощью
блока, называемого выходным реле- Условное обозначение этого блока
и его функциональная схема показаны на рис. Ш-7. Реле модели-
рует работу клапанов. Когда В О, С = А и D ~ 0; когда В < 0,
D --= А и С = 0. Два других типа реле — входное реле и функциональ-
ный переключатель — изображены на рис. Ш-8, они обозначаются
на MIDAS соответственно IR и FSW.
* При составлении программы на MIDAS не надо учитывать изменения
.знаков при суммировании или интегрировании, что обязательно для аналого-
вого программирования.
45
с*? (X+Y~Z~
W -V «Эх? + W-V)
Рис. Ш-1. Сумматор.
Рис. Ш-3. Блок
Рис. Ш-2. Интегратор.
Рис. Ш-4. Блок
умножения. деления.
Рис. Ш-5. Инвертор.
Обозначение
Рис. Ш-6. Иллюстрация приме-
нения блока «выходное реле».
Рис. Ш-7. Функциональная схема
и обозначение блока «выходное
реле».
Блок произвольных функций. Довольно часто при решении тех-
нических задач, особенно когда задача основана на эксперименталь-
ных данных, приходится иметь дело с произвольными функциями,
которое определяют зависимость между некоторыми величинами X
и У и не могут быть выражены аналитически. При программирова-
нии на языке MIDAS можно довольно просто воспроизвести такую
функцию, задавая абсциссы и ординаты нескольких ее характерных
точек. Иногда берут до пятидесяти точек, но для того, чтобы задать
типичную функцию (за исключением очень редких случаев), доста-
точно взять не более пятнадцати—двадцати точек. Выбор точек,
характеризующих данную кривую, производится программистом,
который старается сосредоточить их в тех местах кривой, где имеются
резкие изменения кривизны (рис. II1-9).
Наилучшим способом определения разумного числа точек яв-
ляется проведение прямых линий от точки к точке с последующей
оценкой степени приближения серии прямолинейных отрезков
к кривой. Подпрограммы в зависимости от выбора метода аппрокси-
мации кривой (линейная или квадратичная кусочная аппроксимация)
Обозначение Функция
О, при. С^О
В, при.
Я.прцВ > О
В,приТ) = О
С,приЛ<0
Рис. III-8. «Входное реле» и «функциональный
переключатель».
Рис. Ш-9. Произвольная функция Y — f (X).
47
Линейная
аппроксимация
квадратичная
аппроксимация
обозначаются F или CF со-
ответственно (рис. III-10).
Детальное описание методи-
ки нанесения необходимых
для этого исходных данных
Рпс. III-10. Обозначение блока «пропз- на перфокарты можно найти
вольная функция». в работе 2.
Аналитические функции.
При программировании на
MIDAS наиболее часто встречающиеся аналитические функции
вводятся в программу в виде отдельных стандартных подпрограмм.
Достаточно лишь написать соответствующий оператор (табл. II1-1)
и функция будет автоматически включена в программу.
ТАБЛИЦА III-1
Функция Оператор функции Вход Выход
Абсолютная величина ABS А HI
Квадратный корень SQR А VА (4^0)
Экспонента Е А еА
Натуральный логарифм LN > А In А (А > 0)
Синус или косинус RES А sin А , cos А
Арктангенс АТ А arctg
Другие математические функции, не вошедшие в таблицу, всегда
могут быть получены при помощи генератора произвольных функций.
Числовые величины. Весь числовой материал можно разделить
на четыре группы: постоянные и переменные величины, начальные
условия для интеграторов и координаты XY для произвольных функ-
ций. Постоянные величины, как говорит их название, это величины,
которые остаются неизменными для всех циклов счета. Ими являются,
например, некоторые константы, используемые в генераторах стан-
дартных функций. Иногда цикл вычислений необходимо повторять
несколько раз подряд для разных значений некоторых констант,
используемых в задаче. Те величины, которые изменяются от цикла
к циклу, называются параметрами, и их значения записываются
в нужной последовательности в конце программы. Начальными усло-
виями для интеграторов являются постоянные интегрирования.
Если величина постоянной интегрирования не определена заранее
для какого-нибудь интегратора, то программа будет выполняться
с нулевым начальным условием для этого интегратора. Когда пере-
числяется совокупность параметров для отдельных циклов счета,
необходимо каждый раз восстанавливать начальные условия, если
они не нулевые.
48
Независимая переменная. Те-
кущее значение независимой пе-
ременной в программе обозначает-
ся IТ. Хотя это обозначение
принято для «независимого вре-
мени», независимая переменная
совсем не обязательно должна
быть временем: очень часто это,
например, длина или другая фи-
зическая величина.
Оператор остановки машины.
В программу включается оператор
Рис. Ш-11. Произвольная функ-
ция X — f (t).
остановки машины, который определяет, выполнена программа счета
полностью или нет. В случае выполнения программы счета машина
останавливается.
Окончанием программы счета, как правило, является достижение
определенного значения величины независимой переменной IТ, но
в программу могут вводиться и дополнительный условия, выполнение
которых приводит к остановке машины. В качестве таких условий
служат заданные значения некоторых переменных. Если задаются
несколько условий, то машина будет остановлена, как только будет
выполнено одно из них.
Кроме того, в программу должна быть обязательно включена вели-
чина максимального машинного времени, необходимого для решения
задачи (например, три или пять минут), так как в результате ошибки
в логической схеме решения задачи или в программе может оказаться
невыполненным условие остановки программы и оператор остановки,
который обозначается FINISH, не сработает.
Процедура интегрирования. Как указывалось в гл. II, принципи-
альная трудность при попытке решить дифференциальные уравнения
методом численного интегрирования состоит в выборе наиболее целе-
сообразного шага интегрирования. Если шаг интегрирования слиш-
ком большой, то в процессе счета будут накапливаться существенные
ошибки, особенно для уравнений с малыми постоянными времени.
С другой стороны, если взять небольшой шаг интегрирования (для
того чтобы преодолеть эту трудность), чрезмерно возрастет время
счета.
В процессе решения большинства задач имеются зоны (или интер-
валы времени), в которых происходят большие изменения различных
величин, что требует выбора малых шагов интегрирования, и зоны,
в которых переменные изменяются незначительно, что позволяет
увеличить шаг интегрирования.
В качестве простого примера рассмотрим решение уравнения
dYldt = X (t). Зависимость X (i) показана графически на рис. Ш-11.
Соответствующие приращения аргумента — шаги интегрирования —
представлены на этом же рисунке. Очевидно, что для участков кривой
со значительными изменениями кривизны должны быть выбраны
малые шаги интегрирования, и наоборот (см. гл. II).
4 Заказ 2163
49
Рис. Ш-12. Блок-схема программы решения уравнений материаль-
ного баланса, составленная на MIDAS.
Надо иметь в виду, что при решении задач на ЭЦВМ с использо-
ванием языка MIDAS интегрирование производится с переменным
шагом, величина которого выбирается автоматически в соответствии
с определенным критерием ошибки. Согласно этой схеме предусма-
тривается увеличение шага для того, чтобы уменьшить время счета,
когда это позволяет выбранный критерий ошибки. Различные спо-
собы введения критерия ошибки, которыми пользуются при програм-
мировании, и технические требования к выбору шага интегрирования
детально рассматриваются в литературе (см. например, работу12).
Пример Ш-1. Примеры составления программ решения задач
на MIDAS. Последовательность программирования на языке про-
граммного моделирования MIDAS продемонстрируем на примере
типичной математической модели, которая была получена при иссле-
довании одного из объектов химической технологии. Уравнения,
описывающие процесс, проводимый в реакторе идеального смешения,
могут быть_записаны следующим образом
А(РХа) = №1-22Хл-7? (1)
4(^в) = <21хв1-^в-л <2)
4(гхс)=л-^хс (3)
-^(DXd)=7?-<22Xd (4)
50
R = kVXAXB
(5)
-5Г=<?1-?2 (6)
Q1=F1 (V) (7)
Qi~ Fz (t) (8)
XA1 = F3(t) (9)
XB1 = ^4(t) (10)
В этих уравнениях неизвестными переменными являются ХА,
Хв, Хс, XD, V, R и Q2.
С чего начинать составление программы решения задачи — это
вопрос личного предпочтения. Определенных правил на этот счет
не существует. Если начинать с формирования производных, то соот-
ветствующие члены уравнения надо просуммировать, а затем проин-
тегрировать образованную в результате суммирования производную
для получения самой переменной (рис. Ш-12). Когда выходом блока
является произведение двух переменных (например VX,), то для того,
чтобы получить одну из этих переменных, надо разделить их произ-
ведение на другую. Таким образом получаются все необходимые
члены вида Q2Xi-
Величину R находят так, как показано на рис. Ш-13; ввод неза-
висимых переменных осуществляется по схеме, изображенной на
рис. Ш-14, а полная схема модели представлена на рис. Ш-15.
Блок-схема решения всей системы уравнений полезна как для
программирования, так и для отыскания ошибок, которые легче
увидеть при такой записи. Она также часто помогает понять поведе-
ние реальной физической системы, представленной уравнениями
данной математической модели. Каждый элемент блок-схемы обозна-
чен буквой и цифрой. Необходимо лишь соблюдать правило; два эле-
мента одного типа не должны одинаково обозначаться в схеме.
Удобная для ввода запись программы, осуществляемая путем
набивки на перфокарты, дана на рис. Ш-16. После того как перфо-
карты заполнены (одна перфокарта на строчку), они вместе с несколь-
кими контрольными перфокартами закладываются в цифровую
машину.
Перфокарты программы могут вводиться в машину в любом по-
рядке благодаря наличию автоматической сортировки, являющейся
характерной особенностью программы MIDAS. Машина автомати-
Рис. Ш-13. Блок-схема модели определения величины ско-
рости реакции, составленная на MIDAS.
4'
51
Рпс. Ш-14. Схема
ввода в программу
входных величин, яв-
ляющихся функция-
ми времени.
чески просматривает перфокарты и произво-
дит компоновку команд программы в нужной
последовательности. В результате логические
операции по сортировке перфокарт проводит
машина, поэтому программист может не обра-
щать внимания на порядок их расположения,
что экономит много времени, особенно при
решении больших задач.
Предположим, что в рассмотренном при-
мере через 43 сек в реактор начинает поступать
дополнительный поток Qa вещества А. Это
повлечет за собой прибавление члена Qa к пра-
вым частям уравнений (1) и (6) в момент вре-
мени t — 43 сек. Для соответствующего изменения математической
модели используется выходное реле, схематически представленное

Рис. Ш-15, Полная блок-схема программы.
52
столбец '7 15
11 SI
12 S2
13 S3
14 S4
15 S5
S‘ M1,HEG1,M7
S2 M8,NEG1,M2
S3 MG, М3
S4 MG, Mi
S5 P2, Fl
111 DI, Ft
М2 D2,F1
М3 D3, П
M4 Di, F1
Mi D4,F1
M5 11, К
MG M5.D2
M7 F2,F3
MG F4, F2
Di 11,15
D2 12,15
D3 13,15
Di 14,15
F1 15
F2 IT
ГЗ IT
F4 IT
04 IT
F!N(IT,E)
CON(E, K)
10(11,12,13,14,15)
Примечание. В столбце 7
перечислены Вее блоки схемы,
8столбце 15-Все входы -
блоков
Обозначения
Конец цикла, счета
Константы
Начальные условия
интегрирования
Рис. Ш-16.
Пример записи части программы в фор-
ме, удобной для набивки на перфокарты.
на рис. Ш-17. Заметим, что независимая переменная IT эквива-
лентна в данном случае времени t.
Когда выход сумматора 510 станет больше нуля, на выходе С
появится величина QA. Для лучшего понимания процедуры ввода
в программу этой дополнительной величины, полученной из уравне-
ний (1) и (6), дается табл. П1-2, в которой перечислены все входы
и выходы участвующих в этой операции блоков. Величина Qa, если
она постоянна, будет вводиться как дополнительная константа.
53
Рис. Ш-17. Схема ввода
в программу дополни-
тельной величины — по-
тока Qa.
Пример Ш-2. В этом примере соста-
вляется MIDAS-программа решения совме-
стных алгебраических уравнений. Для их
решения используется подпрограмма неяв-
ной функции, которая, по существу, заста-
вляет машину производить итерации до тех
пор, нока относительная ошибка между
двумя последовательными итерациями не
станет меньше заранее выбранной вели-
чины, обычно принимаемой равной 5-Ю-6.
Вообще говоря, вычислительная машина
может производить расчет любой величины,
если все входы заданы или применена специальная итерационная
подпрограмма. Машина не может решать системы совместных
алгебраических уравнений без этой подпрограммы и подбор других
стандартных подпрограмм в этом не поможет. В качестве примера
рассмотрим следующие уравнения:
Z = a1X4-biV
Q = ЪгУ
где 7i и Q рассчитываются из других уравнений задачи.
Первое уравнение используется для определения X, а второе —
для определения Y. Сначала применим некорректную программу
MIDAS, которая показана на рис. Ш-18. В этом случае известны
лишь Z и Q и машина не может выполнить операцию S1 до тех пор,
пока не определена величина Y. С другой стороны, не может быть
выполнена операция S2, пока неизвестна величина X. Если такая
программа будет задана машине, произойдет переполнение и машина
отпечатает ошибочный результат.
Преодолеть эту трудность помогает подпрограмма IMP, которая
начинает считать одну из переменных X или Y от некоторой произ-
вольной величины, выбранной программистом, и расчет производится
итерационным методом до достижения сходимости.
Правильное программирование решения этих двух уравнений
показано на рис. Ш-19. Для отдельных значений Z и Q величина Y
рассчитывается, начиная от значения, задаваемого в IMP стандарт-
Рис. Ш-18. MIDAS-программа, дающая расходящееся решение.
54
Рис.-Ш-19. Правильно составленная программа решения совместной системы
уравнений.
ной подпрограмме. Эта величина Y1 затем используется в контуре
для расчета X. После прохождения через блок IMP рассчитанное
значение X заменяется новой величиной и вычисления повторяются
до достижения заданного критерия точности сходимости. Ясно, что
такой контур счета может быть расходящимся (см. гл. II). Проверку
можно произвести до начала вычислений, оценивая так называемый
коэффициент усиления контура, который определяет, как будет
изменяться расчетная величина X при единичном изменении выхода
с IMP-блока. Если это изменение по величине меньше единицы, кон-
тур является сходящимся, если больше — расходящимся. Возмож-
ность расходимости делает программирование на MIDAS неприемле-
мым в настоящее время для больших систем, состоящих только из
алгебраических уравнений. Однако типичным случаем является такой,
когда несколько алгебраических уравнений входят в систему диффе-
ренциальных уравнений. Сходимость при этом может быть быстро
достигнута при правильном выборе уравнений для получения каж-
дой переменной. Этот вопрос разъясняется в последующих главах,
в которых на него обращено внимание в примерах. В литературе
описываются методы получения решения для особо трудных случаев
(см., например, работу 2).
Типичной системой, требующей предварительного анализа сходи-
мости, является система уравнений, описывающих сополимеризацию
трех мономеров — А, В и С. Уравнения кинетики реакции полимери-
зации
dA
~ кАААА + "АВА В + ,,!АСАС'
dY ~kBABA YkBBBB ~^кВСВС
= kCACA + СВСВ' + кСССС‘
и уравнения, составленные на основе допущений, принятых
для условного состояния равновесия
О = Р1Д S’+ "М С" — ctiSX • — а2СД •
0 = а1ВД'-|-у2ВС' — &1АВ'— р.2СБ'
2у= A' + B'YC
55
Рис. Ш-20. Программа решения задачи о сополимеризации трех мономеров.
(где N — общее количество радикалов) дают возможность опре-
делять концентрации радикалов А', В', Си самих мономеров
А, В п С во времени.
Для программирования последняя система уравнений преобра-
зуется следующим образом:
л. hAB' + yiAC-
-f- 026*
М + Р2с
С = N — А' —В’
Блок-схема программы для алгебраических контуров показана
на рис. Ш-20. Для нахождения А' и В' требуются два 1МР-блока,
а величина С может быть получена непосредственно из последнего
56
уравнения. На рис. Ш-21 при-
веден частичный перечень эле-
ментов IMP-блоков. В перечне
указан вход каждого 1МР-блока,
обозначенный символом А' или В'
соответственно, а также адрес
элемента, давшего расчетную вели-
чину. Эта информация записы-
вается на стандартной перфокар-
те. Начальная величина заносит-
Колонка 7 15
IMP1 !МР2 Л Б ОТ, D1 BOOT, В2 РДР (ЛDOT, BOOT)
Рис. Ш-21. Перечень к програм-
ме IMP.
ся на соответствующую перфокарту данных. Более подробно
с этим можно ознакомиться в литературе 2.
ЯЗЫК ПРОГРАММНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ MIMIC
MIMIC-программирование похоже на MIDAS-программирование,
однако оно имеет перед ним следующие преимущества:
1) обеспечивает в 10—15 раз большую скорость решения;
2) сохраняя всю простоту системы блочного программирования
на MIDAS, допускает также и символическое программирование,
подобное ФОРТРАНу;
3) расширяет возможности блоков. Например, блок умножения
может перемножать до шести величин; имеются генераторы произ-
вольных функций, в которых выходная величина является функцией
двух переменных (X и Z);
4) располагает дополнительными операторами, таким, как слеже-
ние и память, которые следят за изменением переменной до опреде-
ленного момента, а затем по команде фиксируют последнюю величину
и сохраняют ее значение до конца цикла счета (рис. III-22).
Кроме того, введен оператор поддержание нулевой команды,
который представляет собой стандартную программу, предназначен-
ную для поддержания значения переменной в течение заданного про-
межутка времени (отметим, что слово «время» здесь используется
не совсем точно, его надо понимать в смысле «независимая перемен-
ная». MIMIC позволяет широко изменять логические команды,
имеет блоки задержки во времени и готовые передаточные функции
уравнений первого порядка, что дает возможность использовать
одни и те же системы команд для различных переменных *.
Самое важное преимущество MIMIC по сравнению с MIDAS —
это, безусловно, возможность произвольного символического и блоч-
ного программирования и значительно более широкие логические
возможности. Символическое кодирование, подобное ФОРТРАНу,
фактически инструктирует машину, как автоматически составить
М IDA S-программу для задачи.
* MIMIC лучше применять для больших машин, таких, как IBM 7090,
7094, 7040, а также Нем. Rand 1107, 1108, так как MIMIC имеет емкость
до 2500 блоков, тогда как MIDAS — всего 900.
57
Слежение^м^^ х
\^г^Ц>иксироВанное
/\ значение Величины X]
/ I
/ ।
/ ।
/ ।
[______________________। _
t
Рис. Ш-22. Схема выполнения
операторов «слежение» и «па-
мять».
Например, уравнения, опреде-
ляющие переменные X, Y и Z,
как функции t
Х= ЗУ2 — 2 log Z-4-3,6ez
/УЛ7" . , 4
= (2X2 Л-YZ ^ — 11,3) 4-
db £i
dZ dX ; xr
-77 = “TV5 ' — X COS 1
dt di
будут запрограммированы перфо-
рированием следующих кодов на
три отдельные перфокарты:
Столбец 10 19
X 3*T*Y—2*LOG (Z) + 3.6*£ХР (Z)
Y INT ((2*X*X-yY*SQft(Z) — ll'3)/Z,YO)
Z INT (DER (X, У)* SQR (У) —X* COS (У), ZO)
Связь между символической записью и .уравнениями настолько
очевидна, что никаких объяснений не требуется. Вычислительная
машина, получившая закодированные подобным образом команды,
будет автоматически подразделять программу на серии операционных
шагов, а затем перейдет к решению уравнений для заданных началь-
ных условий. Фактически ликвидирована необходимость кодировать
части отдельных операций, хотя при желании это может быть сде-
лано. Перечень стандартных подпрограмм, применяемых при про-
граммировании на MIMIC, дан в табл. Ш-З. Однако лишь тщатель-
ное изучение описания MIMIC [3] даст читателю возможность оце-
нить его по достоинству.
Пример полностью запрограммированной в коде MIMIC задачи
приведен в Приложении; там же даны числовые результаты, получен-
ные при решении этой задачи.
Остановимся еще на двух распространенных языках программ-
ного моделирования: DSL/90 и PACTOLUS.
DSL/90
Язык программного моделирования DSL/907-9 такого же класса,
как MIMIC, разработан для машины IBM 7094. Он имеет некоторые
важные свойства, которые делают его более гибким и, тем самым,
более пригодным для решения задач управления. В частности, при-
меняя его, можно включать моделирующие подпрограммы DSL/90
в общую программу, записанную на языке ФОРТРАН. Ценным для
программиста является возможность выбора одного из методов инте-
грирования, предусмотренных в DSL/90, наиболее подходящего для
данной задачи: метода Милна, так называемого предварительно
вычисляющего корректора (подобного имеющемуся в MIDAS); метода
58
ТАБЛИЦА Ш-3
№ Функция Оператор № Функция Оператор
1 Сложение S UM или + 21 Дизъюнкция IOR
2 Вычитание SUB или — 22 Дополнение СОМ
3 Умножение МРУ или * 23 Произвольная функ- FUN
4 5 Деление Скалярное произве- DIV или / MAD 24 ция Подпрограмма BSP
6 дение Отрицание NEG 25 26 Ограничитель Выдержка времени LIM TDL
7 Абсолютная величи- ABS 27 Зона нечувствитель- DSP
8 на Равенство EQL 28 ности Включающая функ- IMP
9 10 Интегрирование Дифференцирование INT DER 29 ЦИЯ Максимум MAX
11 Корень квадратный SQR 30 Минимум MIN
12 Синус SIN 31 Генератор случайных RNU
13 14 Косинус Арктангенс COS ATN 32 чисел Генератор случайных RNG
15 16 Экспонента Логарифм EXP LOG 33 чисел (Гаусса) Мультивибратор MMV
17 Функциональный пе- FSW 34 Запоминание по TAS
18 реключатель Логический переклю- LSW 35 уровню Триггер FLF
19 20 чатель Конъюнкция Исключающее «или» (сложение по моду- лю 2) AND EOR 36 Сохранение значения величины на задан- ном временном интервале ZOH
Рунге — Кутта; метода трапеций, или метода парабол Симпсона.
Емкость программы ограничена тремястами интеграторами. Это
значит, что максимально может быть решена математическая задача,
которая включает не более 300 дифференциальных уравнений пер-
вого порядка.
Когда DSL/90 используется как подпрограмма общей программы,
составленной на ФОРТРАНе, программист может провести кон-
трольный счет и проанализировать входную и выходную информацию
отдельно для подпрограммы DSL. Другим важным преимуществом
такого совместного применения языков DSL/90 и Фортран является
возможность использовать любую из многих имеющихся в наличии
программ, которые записаны на языке Фортран в соответствии с тре-
бованиями языка DSL/90 (недавно то же самое было осуществлено
для программ на MIMIC).
PACTOLUS
Этот язык программирования предназначен для работы на вычи-
слительной машине IBM 1620 и описан в работе 10. В основном его
возможности значительно ниже, чем у языков MIMIC или DSL/90,
59
тем не менее он может быть полезен, когда в распоряжении исследова-
теля имеется только небольшая машина. Недавно была проведена
адаптация PACTOLUS для машины IBM ИЗО, этот язык назвали
1130CSMP, а для машины IBM 360 — CSMP/360. Популярность си-
стем программного моделирования все более растет, так как они
дают возможность исследователю практически обходиться без по-
мощи профессиональных программистов, хотя всего несколько лет
назад из-за сложности программирования это было совершенно
невозможно. Сегодня наличие библиотек стандартных программ
и языков программного моделирования, описанных выше, позволяет
исследователю самому производить машинное решение. Профессио-
нальные программисты, таким образом, требуются только для особо
сложных задач или в тех случаях, когда исследователь не хочет или
не может вдаваться в тонкости программирования и отладки про-
граммы. Программа для задачи, приведенной в тексте, в деталях
рассмотрена в Приложении. Задачи для упражнений, данные в конце
главы, предназначены для того, чтобы убедить исследователя в про-
стоте блочного программирования *.
ЗАДАЧИ
Составить программы для решения следующих уравнений (а, b
и с — известные константы) на
MIDAS. Повторить упражнения,
MIMIC.
Задача
блочно-ориентированном языке
используя символический код
1.
dY
~ =Y2 — ХУф-б
at
^=Х-ХУ + 2
неизвестные X, Y
Задача
Задача
3.
dY
dt
Х2—XY-J-W2
aX + WY = c
X2—W2=b
неизвестные X,- Y, W
I
d*Y
"dt*
dY
a—----bY = c
dt
Задача
4.
V ~ к^-}- кг J sdt
e — S—T
* Другая система программирования, более удобная при моделировании
на цифровое м.ишше тепловых и материальных балансов сложного хпмико-
техяологивсского процесса, разбирается в гл. VIII. — Прим. ред.
_____*_(Т -Т)
dt wc'a
To=f(P) -•
dP
w = H{Wi-W0)
w0=A(r0-r)
Л
Wt = f(V)
заданы к, W, С, /г1( /с2> Н, 8, Л,
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Harnett R. T., Sansom F. J., Warshawski L. M., Simu-
lation, 3, № 3 (1962).
2. Harnett R. T., Sansom F. J., Warshawski L. Ы.,
MIDAS Programming Guide, AD 430892.
3. Petersen H. G., Sansom F. J., SESCA Internal Meto 65—12.
4. Brennan R. D., Simulation, 3, № 2 (1963).
5. F r e e m a n D. E., Control Eng., November (1964).
6. Morris S. M., The Lehigh Analog Simulator, Lehigh University.
7. S у n W. M., Wyman D. G., DSL/90 User’s Guide, SHARE Library
3358.
8. M с С г а с к e n D. D., A Guide to FORTRAN Programming, New York,
Wiley, 1961.
9. Da hl in E. B., Linebarger R. N., Digital Simulation Applied
to Paper Machine Dryer Studies, 6th I. S. A. Pulp and Paper Symposium,
May, 1965.
10. В r e n n a n R. D., Fahidy T. Z., Inst. Control Systems (1966).
11. Franks R. G. E., A. I. Ch. E. Paper, February, Houston Meeting (1967).
12. Franks R. G. E., S chi ess er W. E., A. I. Ch. E. Paper, 59th
Annual Meeting, Detroit, December (1966).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Алгоритмы п алгоритмические языки, Изд. АН СССР, Вычислительный центр,
вып. 1, 1967.
Ефимова М. Н., Алгоритмические языки (Обзор зарубежных работ),
под ред. А. И. Китова, Изд. «Советское радио», 1965.
Левин Л., Методы решения технических задач с использованием аналоговых
вычислительных машин, Изд. «Мир», 1966.
Марковиц J., Хауснер Б., / Карр., Симскрипт (Алгоритмический
язык для моделирования), пер. с англ, под ред. Н. П. Бусленко, Изд. «Совет-
ское радио», 1966.
Схема реализации языка СИМУЛА-1 на ЭВМ УРАЛ-14, вып. 1, Центральный
экономико-математический институт АН СССР, 1969.
Универсальный язык программирования PL/I, пер. с англ, под ред. В. М. Ку-
рочкина, Изд. «Мир», 1968.
Blechman G. Е., Simulation, 3, № 4 (1964).
Burgin G. М., Simulation, 6, № 3 (1966).
Brennan R. E., Chim. et ind.-gen. chim., 100, № 9 (1968).
Frank A., L a p i d u s L., Ghem. Eng. Progr., 62, № 6 (1966).
Petersen H. E., Sansom F. I., MIDAS — How It Works and How
It’s Worked, Proc. Fall Joint Comput. Conf., 1964.
Roger A., IEEE Trans. Electr., Comput., 13, № 4 (1964).
Scott R., Hughes C., Chem. ana End., № 2 (1968).
Sherman P. M., Programming and Coding the IBM 709—7070—7094 Compu-
ters, New York — London, 1963.
ГЛАВА IV
ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В предыдущих главах подробно рассматривались основ-
ные этапы построения и исследования математической модели. Было
установлено, что на пути исследователя имеются две основные труд-
ности: построение модели на основе анализа закономерностей изуча-
емого явления и аналитическое решение уравнений полученной
модели.
Необходимо отметить, что главной задачей исследователя яв-
ляется преодоление первой и наиболее серьезной трудности, возни-
кающей при решении практических задач и заключающейся в по-
строении математической модели.
Развитие вычислительной техники и разработка простых методов
программирования для вычислительных машин (рассмотренных в пре-
дыдущих главах) убеждают читателя в том, что вторая трудность
в настоящее время практически устранена. Вместо аналитического
решения для исследования математической модели обычно удается
применить (и притом без особого труда) численные методы решения
на вычислительной машине.
При построении математической модели процесса можно восполь-
зоваться основными идеями блочно-ориентированного программиро-
вания, примененного, безусловно, на более высоком уровне. Про-
демонстрируем эффективность этого метода на следующем простом
примере. Допустим, что одно из уравнений математической модели
следующее:
4(^с)=СйХсй + Д-Г1УС1
Это уравнение по смыслу задачи должно быть решено относи-
тельно Хс; остальные его члены находят из каких-либо других урав-
нений математической модели. Блок-схема решения уравнения пока-
зана на рис. IV-1. Она же в коде MIMIC запишется следующим обра-
зом:
ХС = (1/А)*INT (QR*XCR+R—Vi*YCV)
Программа приводит прямо к цели: вводятся переменные Qr,
Xcr> Hi Ei, Yet и TV, производятся соответствующие математические
62
Рис. IV-1. Блок-схема решения дифференциального уравнения.
операции и, как общий результат, получается переменная Хс- Коли-
чество, вид и метод использования входной информации, необходи-
мой для получения данной выходной величины, зависят от вида реша-
емого уравнения. Предполагается, что формирование переменных,
которые вводятся извне, происходит за пределами блок-схемы.
Элементы блок-схемы, представленные на рис. IV-1, могут быть объ-
единены в более компактную схему (рис. IV-2). Таким образом, для
построения математической модели нужно соблюдать следующие
простые правила:
уравнений должно быть столько (не больше и не меньше), сколько
имеется неизвестных величин, определяющих поведение физической
системы',
любое уравнение может быть решено относительно какой-то
неизвестной величины в том случае, когда остальные входящие в него
неизвестные величины получены из других уравнений',
каждое уравнение решается относительно наиболее значимой
из входящих в него переменных', при ее выборе надо руководствоваться
физическими аспектами задачи.
Рис. IV-3. Схема гидравлической
емкости (к примеру IV-1).
Перечисленные правила, если
они корректно применяются,
должны привести к устойчивой
сходимости математической мот
дели.
Далее рассмотрим последова-
тельность построения математиче-
ских моделей различных физиче-
ских систем. Начнем с очень
простой системы, часто встречающейся во многих химико-техноло-
гических процессах, и постепенно будем усложнять задачу. Инфор-
мационные потоки в модели также постепенно будут усложняться
и становиться более громоздкими и разветвленными. Однако можно
заметить, что для построения математическот! модели более слож-
ного комплекса базовая (основная) модель почти не изменяется,
а к ней добавляется некоторое число уравнений; аналогично раз-
виваются блок-диаграммы информационных потоков.
Пример IV-1. Моделирование гидравлической емкости. Рассмот-
рим емкость, в которую поступает жидкость с известным расходом
расход вытекающей жидкости Q2. Требуется найти величину
уровня жидкости в емкости для любого момента времени t (рис. IV-3),
если расходы Qr и Q2 изменяются определенным образом во вре-
мени.
Уравнение материального баланса, которое в данном случае
является основным, может быть записано следующим образом:
[скорость накопления жидкости] = [приток] — [сток]
Скорость накопления жидкости — это изменение объема жидкости
во времени, т. е. dV/dt. Если площадь поперечного сечения емкости
равна S, а уровень жидкости Н, то объем жидкости будет равен SH.
Тогда dVldt можно представить как d (SH)!dt или, при постоянном
сечении, SdH/dt. Теперь можно написать для этой системы уравне-
ние, связывающее все три переменные:
- S^T = Q'-Qi
На рис. IV-4 показано, как это уравнение используется в модели
процесса, и указана вся входная и выходная информация. Модель
отражает тот факт, что, задавая величины двух расходов <21 и Qi
Входы
Модель системы
Вы
Рис. IV-4. Блок-схема модели гидравлической емкости.
Входы—модель системы—Выход
Рис. IV-5. Упрощенная модель
емкости.
Рис. IV-6. К примеру IV-2.
как непрерывные функции времени, можно вычислять величину про-
изводной dH/dt также как непрерывную функцию времени. Если
интегрировать эту производную (второй блок схемы), то получим
величину уровня в емкости Н как непрерывную функцию времени.
Обычно удобно включать второй блок, в котором интегрируется
производная, в первый блок как его часть, полагая, что если мы су-
меем определить величину производной dHldt, то она может быть
проинтегрирована и получена переменная Н. Учитывая это, упро-
щаем модель и сводим ее к схеме, представленной на рис. IV-5 *.
Для решения уравнения на вычислительной машине (или вручную)
надо задать функции QY (i), Q2 (t) и начальное значение уровня Но
(см. рис. IV-3). На этом примере была продемонстрирована основная
идея компактного представления дифференциального уравнения
в интегральной форме, удобной при блочном моделировании.
Более сложной является ситуация, в которой учитывается влия-
ние уровня в емкости на входной и на выходной расходы, как это
показано на следующем примере.
Пример IV-2. Моделирование емкости с учетом влияния уровня
жидкости в ней на расход. В этом случае (рис. IV-6) поток Q1 идет
через установленный на входе вентиль из системы с давлением Рг.
Давление после входного вентиля равно Р2 и зависит от уровня Н
и давления Р{г Отбираемый поток Q2 проходит через установленный
на отводном трубопроводе вентиль, давление после которого равно Р3.
На потоки <2г и Q? оказывает влияние изменение уровня Н в емкости,
пдэтому взаимосвязанные расходы так же, как и уровень, становятся
зависимыми переменными, в то время как независимыми перемен-
ными (кроме времени) остаются лишь давления Ро, PY и Р3. Всего
в этой физической системе имеются четыре зависимые переменные
величины: Q±, Н и Р2; для их нахождения, как мы заметили
ранее, требуется составить четыре уравнения. Первым является
то же самое уравнение материального баланса, что и в предыдущем
примере:
dH 1 Г ,
* Так как площадь поперечного сечения постоянна, ее величина задается
заранее и не является входом блока, подобно и Q2.
5 Заказ 2163 65
К нему добавляются два уравнения расходов через вентили:
Ci=ab1
<?2 = ^в2^^2 — Рз
rj\e кв1, кВ2 — коэффициенты пропускной способности вентилей.
Четвертое уравнение выражает связь давления Р2 с гидростати-
ческим напором Н‘.
Р2=Р0 + Яу
где у — удельный вес жидкости.
•’ Эти четыре уравнения могут быть объединены в модель тремя
различными способами, как это показано на рис. IV-7. Различие
между моделями состоит в том, что для определения зависимых пере-
менных выбраны различные уравнения. Хотя каждая из этих моделей
математически корректна, только первая модель имеет смысл с физи-
ческой точки зрения. В соответствующей этой модели блок-схеме
каждое уравнение используется в его естественных форме, а именно:
величины расходов Ср и Q2 изменяются в результате изменения давле-
ния в системе. Противоестественно было бы использовать уравнение
расхода через вентиль для нахождения из него давления (как это
сделано в моделях 2 и 3), а величину расхода определять из другого
уравнения. Такое расположение уравнений модели является приме-
ром отвлеченного подхода, который не отражает причинно-следствен-
ной связи, свойственной данному физическому явлению.
Подобным же образом уравнение материального баланса с мате-
матической точки зрения может быть решено относительно расхода
<21 (модель 3) или расхода Q2 (модель 2), если в уравнение ввести
уровень Н и один из расходов, которые получены из других частей
модели. Здесь оуятьнст связи между причиной и следствием, потому
что изменения расходов Qr и Q2 оказывают непосредственное влияние
на изменение уровня Н (а не наоборот), и уравнение материального
баланса должно быть использовано так же, как в модели 1. Можно
показать физическую несостоятельность моделей 2 и 3, кратко сфор-
мулировав их сущность следующим образом: если один из потоков
вводится в систему извне, то какова должна быть величина другого
потока, чтобыув результате наблюдаемого их взаимодействия уровень
в емкости был бы равен Н-
Имеются два важных соображения в пользу естественной модели
по сравнению с другими возможными математическими построениями.
Первое из них состоит в том, что естественная модель, основанная
непосредственно на причинно-следственных связях, поможет иссле-
дователю в уяснении механизма изучаемого физического явления.
Второе заключается в том, что неестественная с этой точки зрения
модель часто ведет к расходимости решения, в то время как естествен-
ной модели свойственна, как правило, вычислительная устойчивость.
Пример IV-3. Моделирование герметизированной гидравличе-
ской емкости. Этот случай во всем подобен предыдущему, за
66
Модель 2
Рис. IV-7. Различные способы построения модели емкости (к примеру IV-2)
5
Ро
Рис. IV-8. К примеру IV-3.
исключением того, что емкость
герметизирована(рис. IV-8) и
давление Ро над поверхно-
стью меняется, тогда как
в предыдущем примере оно
постоянно. Требуется уста-
новить связь давления Ро
с изменением уровня жид-
кости. Ясно, что при изме-
нении уровня жидкости газ,
находящийся над ее поверхностью, будет сжиматься или расши-
ряться, что приведет к изменению его давления. Полагая, что газ
в емкости подчиняется законам идеальных газов, связь менаду его
давлением и объемом можно выразить при помощи следующего
уравнения:
P0Vr = MRTr
где Р6 — давление газа; 7Г — объем газа; Тг — температура газа; М — масса
газа; R — газовая постоянная.
Предположим, что расширение и сжатие газа будет происходить
изотермически, т. е. температура Тг остается постоянной, а также,
что испарение с поверхности пренебрежимо мало (масса газа остается
постоянной).
Если площадь поперечного сечения емкости S, общий объем ее
Vo, а объем жидкости SH, то можно определить газовый объем Уг =
= Vo — SH. Эти два уравнения используются в модели так, как
показано на рис. IV-9. Полная модель, куда вошли эти уравнения,
представлена на рис. IV-10. Система уравнений математической
модели может быть решена, например, относительно изменения
уровня Н во времени для заданных режимов изменения Pi(t)
и Р2 (I). Практически подобное решение трудно получить анали-
тически, но оно может быть легко найдено численными методами
с использованием вычислительной техники любым квалифицирован-
ным программистом. Для этого достаточно представить ему такую
задачу в виде естественно расположенной модели, а далее все сво-
дится к программированию и простой вычислительной процедуре.
Больше того, запрограммировать задачу может сам исследователь,
если он воспользуется, например, символическим кодированием
на языке MIMIC, значительно упрощающим эту процедуру.
Отчетливое представление связи между физической системой
и уравнениями ее модели иногда помогает так построить математиче-
н Объем газа иг = v0 —SH УраВнение состояния газа Р0.

Рис. IV-9. Модель газовой полости.
68
р2
Рис. IV-10. Полная модель газо-жидкостной системы.
скую модель, чтобы она точно соответствовала схеме физических
связей системы. Иногда даже модель может быть расположена так,
чтобы иметь внешнее сходство с физической системой, как это пока-
зано для примера IV-3 на рис. IV-11. Для очень больших задач,
с целью наибольшей наглядности, полезно располагать блоки модели
последовательно, следуя очертаниям и конструкции изучаемой
системы.
Пример IV-4. Моделирование подогреваемой герметизированной
емкости. В примере IV-3 предполагалось, что изменение объема газа
было изотермическим. Предположим теперь, что происходит адиаба-
тическое изменение состояния системы, при котором температура
Рпс. IV-11. Совмещение блок-схемы математической модели с физи-
ческой системой.
69
газа не является постоянной,
а зависит от изменения объема.
При этом для газовой фазы мож-
но снова воспользоваться урав-
нением состояния идеальных
газов РоУр = MRTr, но, чтобы
определить давление Ро, долж-
Рис. IV-12. Модель газовой емкости ны учитываться изменения тем-
fl случае адиабатического процесса, пературы Тт и объема Vr.
Для определения температуры
необходимо иметь еще одно уравнение, отражающее связь между
работой сжатия и теплосодержанием.
При адиабатическом процессе тепло эквивалентно внешней работе
(или работе, произведенной газом), которая проявляется как измене-
ние теплосодержания газа. В соответствии с основными законами
термодинамики в данном случае можно написать следующие простые
выражения, связывающие внешнюю работу с увеличением внутрен-
ней энергии газа:
количество работы, затрачиваемой на изменение объема газа —
PodVr/dt;
тепловой эквивалент работы — l!JPodVT/dt‘,
скорость изменения теплосодержания газа — (МсуТг). Считая
М и су (теплоемкость) постоянными, эту величину можно записать
в виде McydTr!dt.
Окончательно имеем следующее уравнение:
[изменение теплосодержания] = [произведенная работа]
Mcv
dTr
dt
dVr
dt
При построении модели это уравнение может быть использовано
так, как показано на рис. IV-12. Вводя его в основную модель, полу-
ченную для примера IV-3, построим новую модель, показанную
на рис. IV-13.
При решении этой задачи имеется возможность использовать
хорошо известное соотношение Р0Гг = const для адиабатического
сжатия. Однако серьезным недостатком этого соотношения является
жесткое ограничение его применимости только к адиабатическому
процессу. Это замечание особенно важно учитывать, когда имеются
другие потери тепла в газовом объеме. При использовании модифици-
рованного (путем введения вместо Vr и Тг их значений из других
частей модели) уравнения состояния идеальных газов эти потери
могут быть очень просто включены в общее уравнение теплового
баланса процесса. Такая операция невозможна прш- использовании
уравнения изменения состояния газа для адиабатического процесса.
Пример IV-5. Моделирование процесса перемешивания жидкости
в емкости. В данном примере описание газо-жидкостной системы
70
Рис. IV-13. Полная блок-схема модели в случае
адиабатического ведения процесса.
усложняется рассмотрением процесса перемешивания. В реактор
поступают два известных по величине потока, состоящие из раствори-
теля, в котором растворены два компонента (А и В). Входные и вы-
ходные концентрации этих компонентов обозначим Cai, &ви
и Св.2 соответственно (рис. IV-14).
Уравнения, связывающие выходные концентрации растворенных
веществ с входными, записываются на основе простых материальных
балансов:
[скорость накопления] = [приток] — [сток]
= Qi^ai~ ^‘^А2 (материальный баланс компонента Л)
(I'Св^= QiCB1— Q2CB2 (материальный баланс компонента В)
Поскольку предполагается идеальное перемешивание, состав
отбираемого потока такой же, как и в емкости. Изменение объема
жидкости в емкости находят из уравне-
ния общего материального баланса:
dV
dt
<2i— Qz
Существует несколько возможных схем
объединения уравнений в математическую
модель. На рис. IV-15 представлена мо-
дель материальных потоков описываемой
системы, имеющая [смысл с физической
о-.
Рис. IV-14. Емкость с ме-
шалкой,
71

Ог
Рис. IV-15. Блок-схема модели емкости с мешалкой.
точки зрения. Соображениями физической целесообразности будем
руководствоваться и далее — при рассмотрении остальных урав-
нений. Так, для уравнений материальных балансов входами (вели-
чинами, которые вводятся из других частей модели) будем считать
все расходы, а выходом — изменение количества вещества в емкости.
Из общего уравнения материального баланса определяется объем
системы, а из уравнений балансов по отдельным компонентам, вводя
в них потоки QjC;. получаем количества компонентов VC:. Поскольку
объем V в эти уравнения также вводится извне, можно определить
интересующие нас концентрации на выходе из емкости. Следует
также отметить, что нет никакой необходимости как-либо преобразо-
вывать уравнения балансов по отдельным компонентам: хотя члены
VCi входят под знаком дифференциала, это обстоятельство не мешает
при решении уравнений.
Пример IV-6. Моделирование элементарной химической реакции,
осуществляемой при перемешивании жидких компонентов в проточ-
ной емкости. Предположим, что компоненты А и В вступают
в емкости в химическую реакцию, протекающую в соответствии со сле-
дующим стехиометрическим уравнением:
k
А-\ В C + D
В выходном потоке и в самой емкости содержатся четыре компо-
нента А, Б, С и D. Выражение, определяющее скорость реакции,
может быть записано так:
R=kVCACB
где R—скорость реакции в объеме V, моль/ед. времени; к — константа скорости
реакции.
Для введения этой реакции в основную модель системы будем рас-
сматривать Б как выход для балансов по компонентам А и В и как
72
вход для балансов по компонентам С и D. Уравнения материальных
балансов запишем теперь следующим образом:
[скорость накопления] = [приток] — [сток]
^-(^2)=^!-^^ 4-й)
^(fcC2W-^C2
W(VCD2)=R-Q2CD2
Другими словами, к основной модели, рассмотренной в примере
IV-5, надо лишь добавить балансы по компонентам С и D и дописать
Матвриапоный баланс по
ковтонентр 1J
Рис. IV-16. Модель реактора идеального смешения.
73
Рис. IV-17. Полная блок-схема модели газо-жидкостной системы при наличии
химической реакции.
член В к материальным балансам компонентов А и В. Величина В
получается из уравнения кинетики, входами в которое являются
величины СА2, СВг и объем V- Скорость химической реакции вводится
в уравнения материальных балансов компонентов А и В, а также С
иР. Полная модель для этой задачи показана на рис. IV-16.- На схеме
указано, какие величины приняты за входы и выходы для каждого
из уравнений — элементов модели.
Пример IV-7. Моделирование кинетики обратимой химической
реакции, проводимой в герметизированной емкости. Развивая далее
модель, полученную в примере IV-6, предположим, что реакция
является обратимой, т. е.
fenp
А + В C + D
*обр
Скорость реакции определяется теперь следующим образом:
R ~ \pVCA2CB2~^VVCC2CD2
Будем считать, что емкость, в которой происходит реакция, по-
добна рассмотренной в примере IV-4; замкнутый объем газа нахо-
дится над поверхностью жидкости и входной поток подается снизу
емкости из резервуара с известным давлением Р± через вентиль,
74
установленный на трубопроводе в фиксированном положении. Отби-
раемый из емкости поток Q2, так же как в примере IV-4, поступает
в емкость с известным давлением Р3 через вентиль, установленный
на отводном трубопроводе. Все уравнения для такой системы уже
были рассмотрены в этой главе, а полная модель для этого случая
показана на рис. IV-17.
СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ’УРАВНЕНИЙ
МАТЕРИАЛЬНОГО И ТЕПЛОВОГО БАЛАНСОВ
Обычно в любом процессе химической технологии, независимо
и одновременно с массопередачей, протекает процесс передачи энер-
гии, как правило, в виде тепла.
Ниже на простых примерах рассматриваются основные приемы
составления тепловых балансов любых сложных систем. Для правиль-
ного составления теплового баланса очень важно ясно представлять
себе элементарные процессы переноса тепла, из которых он склады-
вается. Форма построения теплового баланса та же, что и для мате-
риального баланса (см. гл. III). Отдельные тепловые потоки описы-
ваются дифференциальными или алгебраическими уравнениями,
которые затем объединяются в модель.
Пример IV-8. Моделирование емкости идеального смешения
с паровой рубашкой. На рис. IV-18 показана емкость с паровой
рубашкой, в которую подается поток жидкости Qx, а отбирается Q2
(объем/время). Объем жидкости в емкости обозначим через V. Изме-
нение объема подчиняется уравнению:
Тепловой баланс для емкости подобен материальному балансу,
рассмотренному в гл. III, т. е.
[скорость изменения энтальпии] = [входящее тепло] — [уходящее тепло]
тепло жидкости, содержащейся в емкости, — VcpT2\
тепло, поступающее в емкость в единицу времени с потоком <2i’ —
<21срГ1;
тепло, уходящее из емкости в единицу времени с потоком
жидкости Q2,— Q2cpT2;
Рис. IV-18. Емкость с паровой рубашкой.
75
Материальный Температура рубашки
баланс
Рис. IV-19. Блок-схема модели емкости с паровой рубашкой.
тепло, отдаваемое’греющим паром, — Ф = К (Г2 — 7'руС1)
Здесь Тг — температура входящего потока; Т, — температура содержимого
емкости; К — общий коэффициент теплопередачи через стенку рубашки, джЦсек X
Х.м2-°С); S — поверхность теплопередачи, м2; Tpvq — температура пара в ру-
башке, °C; с — теплоемкость жидкости, джЦкмоль • °C); р — плотность жидкости,
кмоль/мъ.
Подставляя эти члены в уравнение теплового баланса, получим:
~ (VcTic>) = Q1c[>T1 — ^P — Q2cc>T2
Так же как в примере, приведенном в гл. III, здесь предполагается,
что емкость является аппаратом идеального смешения и температура
Т2 во всех точках внутри нее одинакова и равна температуре выхо-
дящего потокаЛ^ Температура в паровой рубашке Труб является
функцией давления пара Рруб. При этом известно, что давление Рруб
автоматически может поддерживаться регулятором давления на
любом заданном значении. Запишем связь давления пара с темпера-
турой в общем виде:
Груб — f (Груб)
Эта функция, конечно, есть хорошо известное соотношение между
температурой кипения однокомпонентной жидкости и давлением.
Если решение производится на вычислительной машине, то нет необ-
ходимости аппроксимировать эту функцию и записывать ее аналити-
ческое выражение. Более удобно набрать эту функцию на одном из
функциональных блоков аналоговой вычислительной машины или
ввести в виде таблицы в цифровую машину.
Все эти уравнения могут быть объединены в модель, как показано
на рис. IV-19. Такое расположение уравнений является совершенно
логичным: материальный баланс используется для определения
объема V, из уравнения теплопередачи найдено тепло, отдаваемое
греющим паром, а из теплового баланса — температура в емкости Т2-
76
Рис. IV-20. Емкость идеального сме-
шения с паровой рубашкой.
Читатель помнит, что с матема-
тической точки зрения возмож-
ны и другие расположения,
однако в данном случае они
не имеют смысла с точки зре-
ния естественно-причинной свя-
зи изучаемого явления.
Пример IV-9. Моделирова-
ние теплового и материаль-
ного баланса емкости с паро-
вой рубашкой при изменении
поверхности теплопередачи.
Усложним пример IV-8 сле-
дующим образом:
1) вместо одного питающего
Qa и Qb, причем жидкость в каждом из них имеет свою теплоем-
кость — са и св;
2) предположим, что площадь теплопередачи между паровой
рубашкой и содержимым емкости значительно изменяется из-за изме-
нения уровня (рис. IV-20). Изменениями плотности пренебрегаем.
Общий материальный баланс для этого случая записывается сле-
дующим образом:
потока будем рассматривать два:
dV
Теплоемкость содержимого емкости равна:
21 .
----F R
Ра Рб
где С — концентрация, клоль/.w3; р — плотность, кмом^м3.
Теперь, чтобы определить концентрации С а и Св, требуется на
два уравнения больше.
Принимая во внимание, что
[скорость накопления] = [приток] — [сток]
имеем
г(гсг)_<?Б-е2сл
При изменении объема V поверхность теплопередачи S меняется
в соответствии со следующим уравнением:
„ л£2 4Р
4 *" D
где D — диаметр емкости.
До сих пор каждый последующий пример строился на основе
предыдущего, менее сложного примера. Это было сделано специально,
ибо узким специалистам, не знакомым с программированием для
вычислительных машин или с промышленными технологическими
77

системами, как правило, очень трудно составлять общую модель
(или, иначе говоря, полный информационный поток системы), даже
получив описания отдельных ее частей. Существует несколько под-
ходов к построению модели, но можно сформулировать следующие
основные положения, которые могут быть полезны при любом под-
ходе:
1. Записывают уравнения, связывающие существенные для процесса
величины.
2. В соответствии с естественными причинно-следственными
связями исследуемого процесса решают, каким образом должно быть
использовано каждое уравнение (т. е. какую неизвестную величину
надо определять из каждого уравнения).
3. Вводят граничные условия или начальные значения для всех
переменных, входящих в уравнения системы. При этом должно быть
столько начальных значений, сколько имеется дифференциальных
уравнений (в пересчете на дифференциальные уравнения первого
порядка).
4. Располагают уравнения в любой последовательности в зависи-
мости от личного предпочтения, имея в виду, однако, что должны
сохраняться основные связи, существующие между потоками инфор-
мации в изучаемой системе. В данном случае отдельные уравнения
объединяются между собой так, как показано на рис. IV-21.
5. Проводят окончательную проверку с тем, чтобы убедиться,
что все величины, необходимые для решения каждого отдельного урав-
нения относительно выбранной переменной, определяются из какого-
либо другого уравнения модели или являются известными констан-
тами.
Возьмем последний наиболее сложный пример IV-9 и на нем
покажем последовательность построения модели.
Составляем материальный баланс по компоненту А, который
используется для определения концентрации СА-
Аналогично для нахождения Св записываем материальный
баланс по компоненту В.
Общий материальный баланс составляется для определения
объема V-
Остальные уравнения, которые записываются для различных
процессов, протекающих в этой системе, позволяют найти
поверхность теплопередачи S;
поток тепла через эту поверхность Ф;
теплоемкость с;
температуру (определяют из теплового баланса);
температуру Груб (находят из функциональной зависимости
температуры кипения от давления).
В нашем примере:
Граничные условия Начальные значения
1- Qa для V
2. QB для Са
3- РРУб для Св
79
Рпс. IV-22. Тепловой баланс емко- Рис. IV-23. Зависимость давления
стл. пара от температуры.
J 4. (?2 ДЛЯ Г2
5. ТА
6- Тв
Теперь модель может быть запрограммирована непосредственно
для численного решения на машине.
КИПЕНИЕ
Изолированная емкость с жидкостью подогревается. Уравнение
теплового баланса в этом случае имеет вид (считаем, что потери
тепла нет): ,
[скорость изменения энтальпии] = [приход тепла] —[уход тепла]
jL(rcrp) = a>_o
где V — объем; с — теплоемкость; Ф — тепловой поток.
Этв уравнение можно использовать для определения температуры
(рис. IV-22), если величины V, Ф и с вводятся из других уравнений
модели.
, Пусть давление образующегося из жидкости вторичного пара
изменяется при изменении температуры, что показано схематически
на рис. IV-23. Пока температура не достигнет точки кипения, испаре-
нием можно пренебрегать.
При температуре кипения давление пара Рп стремится превысить
внешнее давление Р, т. е. Рп > Р, и это приводит к выделению иэ
кипящей жидкости такого потока вторичного пара, которым уже
нельзя пренебречь в тепловом балансе.
Если нет противодействия к уходу пара, то в ходе процесса не-
прерывно выделяется такое его количество, которого достаточно
для поддержания постоянной температуры кипения. Давление пара,
соответствующее температуре кипения, на бесконечную малую вели-
чину больше внешнего давления, но эта незначительная разность
является достаточной, чтобы обеспечить паровой поток, который
поддерживает создавшееся положение равновесия. Модель теплового
баланса при кипении представлена на рис. IV-24. Уравнение равнове-
сия, используемое для получения тп. содержит коэффициент К,
являющийся достаточно большим, чтобы сохранить разность (Рп —
— Р) очень малой. Эту модель можно назвать естественным опреде-
лением системы. Для наглядности она может быть перегруппиро-
вана, как показано на рис. IV-25. На этой блок-схеме указаны инфор-
мационные потоки и видно, что система имеет два входа (Р и ф)
и два выхода (Г и тп).
80
Рпс. IV-24. Блок-схема модели процесса кппенпя в замкнутом объеме.
Рис. IV-25. Более наглядная модель процесса кппенпя в замкнутом объеме.
Обшее давление Р
teзлобой поток Ф
Кипение 6
замкнутом
объеме
Температура Т
Расход пара тп
Рис. IV-26. Схема связи параметров процесса кипения
в замкнутом объеме.
Рис. IV-27. Упрощенная модель про-
цесса кппенпя в замкнутом объеме.
6 Заказ 2163
Рис. IV-28. Кипе-
Почти не искажая сущности процесса, можно
сказать, что при кипении отсутствует взаимо-
действие этих потоков между собой. Другими
словами, температура соответствует только обще-
му давлению в системе Р, а паровой поток —
только тепловому потоку ф. Это приводит к бо-
лее удобной макроскопической модели, показанной
на рис. IV-26. Тепловой баланс используется для
определения парового потока, тогда как давле-
ние Р в системе определяет температуру процес-
са. В большинстве случаев член уравнения теп-
лового баланса d (VcTp)/dt очень мал по сравнению
с величиной ф и им можно пренебречь. По-
ние в двухфазной скольку эта последняя схема является наи-
замкнутойсистеме, более 'удобной для реализации на вычисли-
тельной машине, то обычно ее и применяют.
Хотя последняя модель, строго говоря, не соответствует микро-
скопической сущности процесса кипения и его естественной модели
(рис. IV-25), она точно воспроизводит упрощенную макроскопиче-
скую структуру (рис. IV-27). При вычислениях на цифровой машине
это помогает обойтись без построения итерационного контура счета,
требующего дополнительных затрат машинного времени (см.
рис. IV-24), или, если расчет проводится на аналоговой вычи-
слительной машине, можно избежать искажений результатов,
вызываемых обратными связями с большими коэффициентами
усиления.
Подводя итоги, можно сказать, что для кипящей однокомпонент-
ной жидкости изменение температуры кипения может быть вызвано
только изменением общего давления в системе. При изменении ско-
рости нагревания изменяется лишь скорость образования пара.
В процессе кипения однокомпонентной жидкости существуют следу-
ющие причинно-следственные связи:
давление Р определяет температуру кипения Т;
поток тепла Ф определяет расход пара тП.
Пример IV-10. Моделирование процесса кипения в герметизиро-
ванной емкости при наличии над поверхностью жидкости газовой
фазы. Предположим, что емкость, содержащая однокомпонентную
жидкость, герметична и над поверхностью жидкости находится неко-
торое количество газа. Если нагревать эту емкость (рис. IV-28), то
температура будет возрастать до тех пор, пока не начнется кипение.
Выделяющийся при этом пар накапливается в газовом пространстве
и. следовательно, давление увеличивается. В свою очередь возраста-
ние давления вызывает увеличение температуры кипения. Поведение
такой системы иногда ошибочно принимается за доказательство того
факта, что увеличение температуры является якобы причиной увели-
чения давления. Ясно, однако, что давление возрастает вследствие
накопления в газовом объеме большого количества пара, причем этот
82
процесс может быть описан урав-
нением состояния идеальных газов:
VrP = MRT
I
_____________________________________________________________________i
/77п
где Vr — газовый объем.
В этом случае
включать в модель
энтальпии жидкости,
теплового баланса жидкости, заключенной в этом резервуаре,
необходимо
изменение
Уравнение
Рис. IV-29. Использование в моде-
ли уравнения теплового баланса.
имеет следующий вид:
Т
Ф
v
[скорость накопления тепла] = [приход тепла] — [отвод тепла]
±(УерТ) = Ф-тп (Х + сТ)
где (X -J- сТ) — энтальпия пара.
Проведя дифференцирование левой части и учитывая, что
dMjdt = — тп (скорость изменения массы газа), получим
dT
Vcp - = Ф — тпХ
Это уравнение в соответствии с изложенным выше должно быть
использовано, как это показано на рис. IV-29. Полная модель системы
приведена на рис. IV-30.
Пример IV-11. Моделирование процесса кипения в проточной
емкости, подогреваемой с помощью паровой рубашки.
Вернемся к рассмотрению первого примера настоящей главы,
усложненного следующим образом: жидкость в емкости нагревается
через паровую рубашку и кипит при температуре Т (рис. IV-31).
В математическую модель этого кипятильника входят одновременно
Рис. IV-30. Модель кипения в двухфазной замкнутой
системе.
6'
83
^Регулятор
давления
Температура Т
Объем V
^ГР^
материальный и тепловой балан-
сы. Материальный баланс жид-
кой фазы:
_ тп
dt р
где тП — поток вторичного пара; Q —
расход жидкости, поступающей в ем-
кость.
Материальный баланс паровой
фазы:
Рис. IV-31. Процесс кипения в двух-
фазной системе при условии отбора
пара.
dM„
—-—— = т„ — т
dt п
где т — ноток пара, проходящего че-
рез выходной вентиль.

Поскольку предполагается, что между жидкостью и паром все
время существует равновесие, при построении модели не нужно
уравнение теплового баланса пара. Температура пара принимается
равной температуре жидкости. Тепловой баланс жидкой фазы:
[изменение теплосодержания] == [входящее тепло][поток тепла от паровой
рубашки] — [теплосодержание паровой фазы]
д 1
— (VcT) = Q1CT^ [Ф- тп (сТ + М] у
где (сТ + л) приблизительно выражает энтальпию пара.
Давление в паровом пространстве находят из уравнения основного
закона газового состояния:
PVr = MRT
где 7Г = У о — V; 70 — общий объем емкости; V — объем жидкости в ней.
Температура определяется из соотношения, выражающего связь
между давлением и температурой кипения:
г = /(Р)
Если на выходе из емкости установлен вентиль, то расход пара
через него
т = къ VP(P-PO)
Тепловой поток Ф определяется так же, как в примере IV-8:
Ф = АГ(7’руб-7’)5
Резюмируя все сказанное выше, можно кратко записать последо-
вательность построения полной модели системы с учетом уравнений,
полученных для ее отдельных частей, и указать величины, которые
определяются из каждого уравнения.
А. Граничные условия:
1) входной поток — (2i‘,
2) температура этого потока —
84
3) давление в паровой рубашке — Рруе;
4) выходное давление — Ро.
Б. Уравнения: __________
1) расхода через вентиль [т = kBVР (Р — Ро)] используем для
определения т;
2) осйовного закона состояния идеальных газов [РУГ = МВТ] —
для определения Р;
3) материального баланса паровой фазы [dM/dt = — т] —
для определения массы М;
4) зависимости температуры кипения от давления [Т = f (Р)] —
для определения температуры Г;
5) тепла, поступающего через паровую рубашку [Ф = KS (Тру6—
— Г)] — для определения Ф;
6) теплового баланса (VcT) = Q±cT1 + [Ф—mn(cT
для определения парового потока тп;
7) материального баланса жидкой фазы [dV/dt = Qj. — znn p] —
для определения V;
8) газового объема [Уг = 70 — У] — Для определения Уг.
На рис. IV-32 показана блок-схема модели этого процесса.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Кинетика периодических процессов. Два потока
жидкости Qa и QB (м3'сек), состоящие из компонентов А и В соответ-
ственно, поступают в емкость идеального смешения; отбираемый пз
нее поток равен Q. Внутри емкости одновременно находится М молей
вещества и проходят следующие реакции;
.4+5 Д С —D
kz
А + В Е
kt
Константы скоростей этих реакций известны,- и общая форма
уравнения скорости реакции следующая:
5Л=/С„М.¥,Х/
где X — мольный состав; ко — константа скорости п-я реакции, сек"1.
Расход через выходной вентиль:
?, _________
<2 = -^ /5(Р-50)
где Р — давление на выходе из емкости, н/.ч2; — давление после вентиля?
р — плотность.
Величины Р и Ро известны.
Построить математическую модель системы, используя следующие
обозначения: S — поперечное сечение емкости, .и2; р,- — плотность
г-го компонента, кг/м3; М{ — молекулярный вес г-го компонента.
85
Рис. IV-32. Блок-схема модели процесса кипения в двухфазной системе при условии отбора пара.
Задача 2. Изменить мо-
дель (см. пример IV-10),
принимая во внимание, что
в паровом пространстве
находятся а молен инерт-
ного газа.
Задача 3. Иногда в про-
цессах используют две
Рис. IV-33. К задаче IV-3.
емкости, соединенные, как
показано на рис. IV-33. Компоненты А и В поступают в пер-
вую емкость, причем Qai = Qbi- Выходной поток, равный Qo
м3/сек, перетекает во вторую емкость, в которую через другой вход
добавляется поток, состоящий из компонента В (Qb^- Из этой емкости
отбирается жидкость, расход которой Qr- Предполагая, что содержи-
мое каждой емкости хорошо перемешивается, требуется построить
модель, которая позволяла бы определить изменения состава потока
во времени.
Задача 4. Предположим, что компоненты А п В (см. Задачу 3)
реагируют следующим образом:
k
А + В —-> С
где к—константа скорости реакции [кмоль/(сек’М?)].
Каким образом должна быть модифицирована модель из предыду-
щей задачи, чтобы учесть эту реакцию?
Задача 5. Предполагаем, что реакция (см. Задачу 4) является
экзотермической и что каждая емкость имеет охлаждающий змеевик,
снимающий часть тепла. Рабочая поверхность каждого холодильника
равна S, а температура хладоагента незначительно возрастает при
его прохождении через холодильник. Изменить модель задачи 4,
учитывая эффект охлаждения.
Задача 6. Поток однокомпонентной жидкости Q проходит через
теплообменник, куда подводится тепловой поток Ф. Температура
жидкости на входе в теплообменник равна Тх. После теплообменника
жидкость протекает через дроссель, теряет часть давления и сбрасы-
вается в емкость, объем которой равен У (рис. IV-34). Жидкая фрак-
ция собирается в низу емкости и отбирается через вентиль, давление
за которым равно Ре, а пар при давлении Р выходит через второй
вентиль, причем давление после него также равно Ро.
Рис. IV-34. К задаче IV-6.
87
Построить модель, которая определяла бы изменения расходов
отбираемых паровой и жидкой фаз в зависимости от изменения
во времени расхода Q на входе в теплообменник и потока тепла ф.
Обозначений
S — площадь.
А. В, С, D, Е — химические вещества.
Ct — концентрация г-го вещества.
сг — теплоемкость газа.
с — теплоемкость жидкости.
D — диаметр.
Q — объемный расход жидкости.
J — тепловой эквивалент работы.
кв —‘коэффициент пропускной способности вентиля.
к — константа скорости реакции.
М, — молекулярный вес t-го вещества.
М — масса.
Р — давление.
Ф — тепловой поток.
R — скорость реакции; универсальная газовая посто-
янная.
Т — температура.
t — время.
К — коэффициент теплопередачи.
V — объем.
тп — массовый расход пара.
Н — уровень.
р — плотность,
к — скрытая теплота парообразования.
Т — удельный вес.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИ ТЕРАТУРА
1. Carlson A., Inst. Control Systems, April (1965).
2. Worley С. IV., Franks R. G.. Pink J., Control Eng., June (1957).
88
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Агрессии И. И., Дмитриев Г. Т., Пикалов Ф. II., Гидра-
влика, Госэнергоиздат, 1964.
К а ф аров В. В., Усп. хим., 36, вып. 2 (1967).
Маньковский О. Н., Вельц Л. П., Алгоритм расчета состояния
среды по тракту теплообменного аппарата, в сб. «Алгоритмизация расчета
процессов и аппаратов химических производств на ЭЦВМ, технологическая
переработка и транспортировка нефти и газа», вып. 2, Киев, Изд. «Наукова
думка», 1967.
Мицкевич Ю. Г., Л и м а р о в В. Г., Передаточные функции непрерыв-
ных химических процессов в реакторе полного смешения, в сб. «Автоматизация
производственных процессов», вып. 4, Изд. «Наука», 1964.
Павлов К. Ф., Р о м а н к о в П. Г., Н оско.в А. А., Примеры и за-
дачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии, Изд. «Химия»,
1964.
Павлушенко И. С., Д е м ь я н о в а Е. М., О движении потока жид-
кости при перемешивании, ЖПХ, 39, вып. 7 (1966).
ГЛАВА V
РАВНОВЕСИЕ В МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ
ПАРО-ЖИДКОСТНОЙ СИСТЕМЕ
В гл. IV рассматривались принципы построения мате-
матической модели для процесса кипения однокомпонентной жидкости.
В этой главе разбирается более сложная и более общая задача моде-
лирования равновесия в многокомпонентной паро-жидкостной
системе как при кипении, так и при конденсации. Вообще понятие
равновесия является одним из краеугольных камней теоретических
основ процессов химической технологии. На паро-жидкостном равно-
весии при кипении основаны, например, процессы выпаривания,
ректификации, перегонки и др. Ясное понимание механизма устано-
вления равновесия необходимо при создании моделей типовых
химико-технологических процессов.
Пример V-1. Моделирование равновесной многокомпонентной
паро-жидкостной системы при кипении. Наиболее простым примером
многокомпонентной паро-жидкостной системы является емкость
идеального смешения, содержащая смесь трех жидких компонен-
тов — А, В и С (рис. V-1).
Емкость подогревается при атмосферном давлении Ро до кипения-
Температура кипения Т есть функция состава нагреваемой смеси
и давления Ро. Будем считать, что при кипении многокомпонентной
жидкости, как и однокомпонентной (см. гл. IV), количество подво-
димого тепла не влияет на температуру кипения, а лишь изменяет
величину образующегося потока пара. Так как кипение продолжается
(состав пара отличается от состава жидкости, за исключением азео-
тропных смесей), состав жидкости постепенно изменяется, вызывая,
Компоненты Д, В, С
Тепло
Рис. V-1. К приме-
ру V-1.
в свою очередь, изменение температуры кипе-
ния. Явление изменения температуры кипения
в зависимости от состава смеси, как уже гово-
рилось, часто ошибочно считают следствием
изменения количества подводимого тепла, что
в корне неверно.
Паровая фаза и жидкость, находящиеся
в равновесии, обычно имеют различные соста-
вы, и для любого компонента связь между
содержанием его в паре К, (в мольных долях)
90
Рис. V-2. Модель определения парциальных давлений компонентов паровой
фазы в равновесной паро-жидкостной многокомпонентной системе.
и содержанием в жидкости Xt (тоже в мольных долях) может
быть выражена для идеальных смесей следующим упрощенным
соотношением, основанном на законе Рауля:
РвУ/=Х,/,(7’)
где Р0У,- — парциальное давление i-го компонента в паровой фазе; функция
/; (Г) выражает связь между давлением и температурой кипения чистого г-го
компонента; Ро — общее давление в системе, в которой происходит кипение.
Приведенное выше уравнение показывает, что парциальное давле-
ние каждого компонента в паровой фазе пропорционально мольной
доле его в жидкой фазе. Равновесной температурой кипения является
температура, при которой каждый компонент жидкой фазы создает
такое парциальное давление пара, что сумма парциальных давлений
паров всех компонентов точно равна давлению в окружающей среде.
Это соотношение может быть положено в основу математической
модели (рис. V-2), предназначенной для нахождения парциальных
давлений компонентов Р0У,- при данном составе жидкой фазы Xt
и температуре Т. Для определения температуры Т, входящей в урав-
нения газо-жидкостного равновесия, в модели используется соотно-
шение Т = К (Ро — 2 P0Yt). Это соотношение выражает тот факт,
что при температуре кипения Т разность между окружающим давле-
нием Ро и суммой парциальных давлений компонентов крайне мала.
Величина К выбирается с таким расчетом, чтобы свести эту разность
практически к нулю. Например, если температура Т равна 100 °C
и К = 10е, то Ро =2 PqYi с-пренебрежимо малой ошибкой порядка
10'4. В некотором смысле это уравнение является моделью истинной
91
картины равновесия в паро-жидкостной системе: при чрезвычайно
малом отклонении от равновесия (ZJ0 ~ У Р0Уг-) происходит почти
мгновенное изменение температуры кипения и равновесие восстана-
вливается.
Таким образом, здесь, как и в предыдущих примерах, учиты-
ваются причинно-следственные связи изучаемого явления, что зна-
чительно облегчает построение математической модели и способствует
ее вычислительной устойчивости. При решении на аналоговой вычи-
слительной машине уравнение Т = К (Ро — У PqYi) преобразовы-
вается в дифференциальное уравнение dT/dt = К (Ро —
На рис. V-3 показана блок-схема решения модели на аналоговой
вычислительной машине. В качестве интегратора здесь применен
операционный усилитель с большим коэффициентом усиления и с кон-
денсатором малой емкости (0,001 мкф), включенным в цепь обратной
связи. Выбрав величину К = -t-Ю4 (что определяется допустимой
ошибкой интегрирования), получим время интегрирования порядка
10-3 сек, а разность между Ро и У Р(1 сводится практически к нулю.
Решение этой задачи можно также достаточно просто осуществить
на цифровой вычислительной машине, например, при помощи про-
граммирования на языке MIDAS (MIMIC) с использованием IMP
стандартной подпрограммы (см. гл. III). При таком решении входная
величина повторно заменяется на выходную с IMP-блока до тех пор,
пока разность между ними не станет меньше заранее выбранной
величины (здесь 5-Ю-6).
Предположим, что сумматор и блок IMP-подпрограммы связаны
так, как показано на рис. V-4: начиная от заданного значения темпе-
ратуры Т, в этом контуре будут осуществляться последовательные
итерационные циклы счета. Если подать на сумматор (рис. V-5)
величину К (Р0 — У Р0Уг), для которой выход сумматора Т' будет
отличаться от выхода IMP-блока, то IMP-блок будет продолжать
итерации до тех пор, пока Т' Т или (Ро — У POFZ) ?«0.
Решение в данном случае будет сходиться, так как У Ро У(- =/(- (Z).
Существуют варианты, когда решение будет сходиться либо очень
медленно, либо, если выбран-
ный коэффициент усиления
слишком велик, при счете может
возникнуть неустойчивость. Для
Phc.T,V-3. Блок-схема модели, пред-
назначенной для нахождения темпера
туры в равновесной паро-жидкостной
системе.
Рис. V-4. Использование IMP
стандартной программы в итера-
ционном контуре расчета темпе-
ратуры.
92
{Po-SPpYj)
Рис. V-5. Блок-схема контура расчета
температуры, составленная на MIMIC/
MIDAS.
того, чтобы обеспечить прием-
лемую сходимость и избе-
жать неустойчивости, должен
быть выбран оптималь-
ный коэффициент усиления
(рис. V-6). Величина К вы-
бирается исходя из числовых
значений Т и Ро так, чтобы
поддерживать усиление во
всем контуре счета, куда
входят уравнения равновесия, достаточно близким к единице, но
несколько меньше.
Для систем, в которых один компонент является доминирующим
в жидкой фазе, может быть использована несколько отличная модель
(рис. V-7). В этой модели из уравнения равновесия для преоблада-
ющего или «ключевого» компонента определяют температуру, а содер-
жание доминирующего компонента (Ус) в паре находят по-другому.
Такое изменение модели демонстрирует связь между физической при-
родой явления и математической моделью: в изучаемых системах
температура кипения устанавливается пропорционально составу
и компонент, содержащийся в жидкости в большем количестве, будет
иметь наибольшее влияние на температуру кипения. Когда можно
применить последнюю схему расчета, надо стремиться к этому, так
как она является более удобной для вычислений на цифровых маши-
нах. Сходимость решения по этой схеме достигается быстрее, чем по
предыдущей, и для аналоговых машин, поскольку уменьшаются
машинные шумы и погрешности расчета.
Пример V-2. Моделирование процесса периодической перегонки.
Теперь можно приступить к рассмотрению простой периодической
перегонки. Предположим, что некоторое известное количество жидко-
сти, содержащей смесь трех компонентов А, В и С, перегоняется в ре-
торте. Требуется получить такое математическое описание системы,
которое выражало бы изменение температуры и состава жидкой фазы
Рис. V-6. Схема включения итерационного контура расчета
температуры в общую модель системы, составленную
на MIDAS.
93
Рис. V-7. Модель определения температуры в равновесной паро-жидкостной
многокомпонентной системе при кипении в случае преобладания в ней одного
из компонентов.
как функции времени. Установка для проведения перегонки схемати-
чески показана на рис. V-8.
Реторта погружена в емкость с кипящей при температуре Г,
жидкостью. Температура содержимого реторты Т, а количество
жидкости в ней, выраженное в кмолях, в любой момент времени
равно М.
Тепловой поток Ф, подводимый к реторте от кипящей жидкости,
вызовет в ней выделение пара, поток которого, выраженный в кмолях
в единицу времени, обозначим та и назовем вторичным. Первые
уравнения, необходимые для построения модели, являются общими
для подобных систем: это уравнения материального баланса компо-
нентов. Материальный баланс г-го компонента в общем виде запи-
шется следующим образом:
т. е.
[скорость изменения количества жидкости в реторте] = [—паровэй поток]
Рис. V-8. Схема^перегонки к прп-
~ меру V-2.
где X;— мольное содержание i-ro ком-
понента в жидкости; Уг — мольное его
содержание во вторичном паре; М —
общее количество жидкости, оста-
ющейся в реторте, кмоль; тп —
скорость образования вторичного
пара, кмоль/сек.
Общий материальный баланс:
94
Уравнение теплового баланса, определяющее скорость парообра-
зования, можно записать как
[скорость изменения энтальпии жидкой фазы] = [входящий тепловой
поток] — [выходящий тепловой поток]
~^(МсТ) = Ф — тпН
где с — мольная теплоемкость, дж/(кмоль-сС)', Н — энтальпия образующегося
пара, дж/кмоль.
Иногда изменением энтальпии жидкой фазы можно пренебречь,
тогда
Ф = тпН
В зависимости от состава пара его энтальпия Н, в случае аддитив-
ности свойств смеси, может быть найдена по следующей формуле:
h = yaha + ybhb+ychc
Энтальпия каждого компонента является функцией температуры:
Я; = /(Т)
Средняя мольная теплоемкость с жидкой фазы может быть опре-
делена подобным образом в зависимости от теплоемкости компонен-
тов а (предполагается идеальная смесь):
с = ХАв А + ХВСВ + ХСсС
Температура Т определяется из уравнения равновесия, существу-
ющего между паровой фазой состава Уг и жидкой фазой состава Xt-
Как составляется и используется в модели уравнение равновесия,
уже было сказано в предыдущем разделе этой главы. Все эти уравне-
ния объединены в модель, которая представлена на рис. V-9. Тепло-
вой поток Ф находят так же, как в предыдущих примерах, но в этом
случае поверхность, через которую осуществляется теплопередача,
предполагается для упрощения постоянной. Отметим, что, поскольку
составлен общий материальный баланс, нет необходимости вводить
в модель материальные балансы для всех компонентов; содержание
основного компонента может быть найдено из условия ^Х^!-
Начальные условия для этой системы следующие:
начальное общее количество молей жидкости Мо;
начальное количество молей компонентов А и В: (МХа) о и (МХв) о*»
начальное теплосодержание жидкости (МсТ)0.
Еще одним параметром является температура во внешней емкости
Гц которая может либо оставаться постоянной во время опыта,
либо изменяться. Основными интересующими нас переменными
являются:
поток вторичного пара mn\
состав пара Y
состав жидкой фазы Х{’,
температура жидкости в реторте Т.
95
Рис. V-9. Математическая модель процесса перегонки.
Количество вычислительных операций определяется при програм-
мировании уравнений модели (см. рис. V-9) и на основе предваритель-
ной оценки изменения состава со временем при различных режимах
по 7\ (t).
КОНДЕНСАЦИЯ
На основе представлений о равновесии в паро-жидкостной системе
может быть построена модель процесса конденсации. На рис. V-10
показан парциальный конденсатор. Предположим, что температура
входящего пара в нем понижается до Т, при которой часть пара кон-
денсируется. Предполагается также, что состав пара, покидающего
конденсатор Уг, находится в равновесии с составом конденсата Xt.
96
Yu
Расход конденсата тк
Температура Т
СостаВ конденсата Х[
Расход пара тп
/ Температура Т
Жидкосту\ /
„ „ „ Состав пара р
РаоноВесие
Рис. V-10. Схема парциального конденсатора.
Для этого конденсатора могут быть написаны следующие уравне-
ния *:
общего материального баланса
== /»п-;- ,пк
материального баланса i-ro компонента
miYi i = ^nyi + w^i
уравнение равновесия для i-ro компонента
PY^XiMT)
Вообще при построении модели удобнее использовать тот факт,
что сумма содержаний всех компонентов, выраженная в .мольных
долях, равна единице, чем делать расчет по уравнению материаль-
ных балансов отдельных компонентов и общему уравнению мате-
риального баланса.
Так как температура Т является постоянной, то из уравнений,
написанных для равновесного состояния, можно найти величину
потока парового конденсата.
В конденсаторе конденсируется такая часть поступающего пара,
чтобы состав образующегося конденсата соответствовал парциальным
давлениям паров при температуре конденсации Т, в сумме точно
равным давлению в конденсаторе Р. Модель, представленная на
рис. V-И, основывается на этой естественной взаимосвязи между
параметрами процесса: величина парового потока в ней получается
из уравнения равновесия У. PYi = Р, записанного в его эквивалент-
ной форме 2 Ус = !•
* Предполагается, что в конденсаторе нет зоны застоя и, таким образом,
каждое из уравнений массового баланса будет алгебраическим,!, е. [приток] =
= [сток].
7 Заказ 2163
97
Важно помнить, что в таких системах, для которых можно запи-
сать больше уравнений, чем надо для решения их математической
модели, должны быть обязательно использованы те из них, в которых
заключены основные соотношения. Ими являются уравнения равно-
весия, содержащие данные о давлении пара для каждого компо-
нента.
Другая возможная схема, которая дает быструю сходимость ре-
шения, показана на рис. V-12. В этой модели поток вторичного пара
тпп вычисляется из уравнения материального баланса одного из
компонентов (компонента В), преобладающего по содержанию в вы-
ходящем паровом потоке, тогда как поток конденсата определяют
из общего материального баланса. Эта схема является более пра-
вильной для ситуации, в которой поток конденсата больше по вели-
чине, чем поток пара. Если происходит изменение в их соотношении,
то схема должна быть соответственно изменена.
Коэффициент активности 1-3. Для неидеальных многокомпонент-
ных систем простое соотношение PY; — f, (Г) X, для парожидкост-
ного равновесия не выдерживается из-за влияния компонентов
смеси на активность каждого компонента. Для того чтобы учесть этот
эффект, в уравнение вводится коэффициент активности:
Коэффициент активности данного компонента у{ есть функция
содержания других компонентов в смеси, например ул = f (Хв, Xd,
Рис. V-11. Модель процесса конденсации.
98
99
Рис. V-13. Способ включения в мо-
дель неидеальной паро-жидкостной
системы коэффициента активности.
Хс, Т)- Вид этой функции зави-
сит от того, какое соотношение
(Ван-Лаара, Маргулеса или др.)
выбрано для описания равнове-
сия системы. В модель коэффи-
циент активности может быть
введен так, как показано на
рис. V-13.
Пример V-3. Моделирование
процесса конденсации в многоком-
понентной паро-жидкостной системе, состоящей из реактора, конден-
сатора и сборного бака. Теперь рассмотрим уже довольно сложную
систему реактор — конденсатор, которая часто входит в состав про-
мышленных технологических установок. Этот пример разбирается
для того, чтобы наглядно показать, как упрощается математическое
описание заведомо сложной системы, равновесие в которой зависит
от совокупности многих параметров, если учитывать взаимодействие
истинных явлений и процессов, имеющих место в отдельных ее ча-
стях. Для того чтобы не усложнять задачи, взята система, отдельные
части которой уже были рассмотрены в этой главе и гл. IV.
На рис. V-14 показана установка, состоящая из реакционного,
аппарата с рубашкой, в которую подается греющий пар с известной
температурой Тп& В аппарат поступает постоянный по величине
поток жидкости, содержащей два компонента А и В, участвующих
в обратимой реакции по следующей схеме:
*пр
fto6p
где йпр — константа скорости прямой реакции; /собр — константа скорости
обратной реакции.
Будем считать, что реакция протекает лишь в самом аппарате.
Предположим, что реакция экзотермическая и тепловой эффект ее
равен qp, дж/кмоль вещества А или В. Объем жидкости в реакторе
зависит от температуры греющего пара в паровой рубашке, поскольку
при изменении этой температуры меняется величина теплового потока
и, следовательно, скорость образования вторичного пара. Все четыре
вещества (А, В, С и D) представлены как в паровой, так и в жидкой
фазе.
Вторичный пар проходит через установленный на входе в пар-
циальный конденсатор вентиль; конденсат из конденсатора соби-
рается в сборном баке, в котором, как предполагается, он полностью
перемешивается. Вытекающий из бака раствор подается обратно
в реактор, а несконденсировавшийся пар из конденсатора отводится
как конечный продукт. В конденсаторе поддерживается постоянное
давление Рк и входящий пар охлаждается до температуры Тк-
При построении математической модели этой системы нужно отра-
зить изменение во времени всех интересующих нас переменных
100
в определенных точках системы, для чего необходимо составить
дифференциальные уравнения, описывающие ее поведение в тех
областях, где происходят существенные накопления или изменения
массы и энергии (это обе фазы в реакторе, конденсаторе и сборном
баке).
Первым шагом в построении математической модели системы
реактор — конденсатор является выбор единой системы единиц
для всех уравнений. Действительно, для соотношений парожидкост-
ного равновесия обычно пользуются мольными долями Xi и Yi
(молъ!общее число молей), тогда как для уравнения скорости реак-
ции более удобно использовать концентрации С!- (в кмоль/. Пре-
образуем размерности основных величин, входящих в уравнение
скорости реакции:
Г кмоль "| Г "I Г кмоль "I Г кмоль "1
сек J |_ сек • кмоль J [_ .и3 J [_ .иЗ J J
В уравнении размерностей сделаем преобразования, которые
позволят перейти к уравнению в мольных долях:
“I Г л3 "I Г кмоль А "I Г кмоль В "1 Г кмоль ~1 ,
СеК J L сек • кмоль J КМОЛЬ J |_ КМОЛЬ J L -1г3 J 1
При этом само уравнение может быть записано в мольных долях
следующим образом:
М
Член М/V есть молярная плотность реагирующей смеси; если
изменения этого члена в результате колебаний состава невелики.
1

мо тцп
Конденсатор
Паро8ая_
рубашка'
Труб
Температура Т
CocmaBXt
Колшестбо
млеЗкости. И
Сборный бак
рец> Л/рец
т,; Хц
Рис. V-14. Схема технологической установки, состоя-
щей пз реактора, конденсатора и сборного бака.
101
он может быть объединен с константой скорости реакции к. Тогда
уравнение скорости реакции примет вид:
R=ktXAXBM
В рассматриваемом примере реакция обратима и уравнение ее
кинетики запишется в виде:
R = М (kinpXAXB ^юбр^с^о)
Поскольку константы скоростей прямой и обратной реакций /с1пр
и /с1обр являются функциями температуры, то уравнение кинетики
придется усложнить, введя в него эту температурную зависимость
в соответствии с законом Аррениуса:
, , -E„n/RT , , -Е„й /ВТ
^1пр — -4пре Р И ^'юбр — -4обре Р
Общий материальный баланс жидкой фазы в реакторе:
[скорость накопления] = [питание]-(-[рециркулирующий поток] —
— [поток вторичного пара]*
dM
Материальный баланс паровой фазы:
Материальный баланс сборного бака, жидкость из которого
поступает на рециркуляцию:
йЛ^рец
~ ~ тК ^рец
При составлении материального баланса по компонентам можно
предположить, что каждая фаза хорошо перемешана (с точки зре-
ния технологии это предположение часто бывает приемлемым).
Материальный баланс жидкой фазы по компонентам А и В в реакторе
запишется:
[скорость накопления] = [пцтание] — [рециркулирующий поток] —
— [поток вторичного пара] — [скорость химического превращения]
~&j~ МХ[ = J-]-трец^7 рец тв. i I И
* Паровой поток в этом уравнении — это поток пара тв.п, испаряющегося
с поверхности реактора, а не паровой поток, уходящий через вентиль т.2.
102
Для компонентов С яО материальный баланс жидкой фазы будет:
МХ( = ИрецХ; рец тв ПУ(- ]_ -р R
Материальный баланс паровой фазы для всех составляющих
запишется следующим образом:
i тъ. Д i 1 2
Материальный баланс сборного бака по компонентам:
-т— МрецХу рец = 7ЛКХ,- к трецХг- рец
Общий тепловой баланс жидкой фазы в реакторе:
[скорость накопления] = [приход тепла с жидкостьюJ-f- [теплопередача] +
+ [тепло реакции] — [тепло, уносимое вторичным паром]
(МсТ) = 7п1с1Г14- трецСрецГрец + KS (Труб— Т) + Я?р — тв. п (ЛТеТ1)
где с — теплоемкость, дж/ (кмолъ-°С), которая является функцией состава.
Под энтальпией вторичного пара здесь подразумевается средняя
теплота парообразования плюс энтальпия образовавшегося пара
(X + сТ)-
Предполагая идеальное смешение, мы можем следующим образом
выразить среднюю (молярную) теплоемкость через теплоемкости
отдельных компонентов:
Средняя удельная энтальпия пара (X + сТ) может быть опреде-
лена в нашем случае как
•Нв. п= 2 (^Н-СД) 1
L
Перенос тепла от паровой рубашки через поверхность S предпо-
лагается постоянным. Давление в паровом пространстве реактора обу-
словливается числом присутствующих молей Мп и рассчитывается
из материального баланса парового пространства:
Выражение RTa6c/Vn может быть использовано для расчета давле-
ния в паровом пространстве при замене Т на среднюю величину абсо-
лютной температуры Табс.
Температуру паровой фазы находят из соотношения равновесия
пар — жидкость, как описывалось в предыдущих примерах:
103
Рис. V-16. Модель для определе-
ния констант скоростей химиче-
ских реакций.
Рис. V-15. Модель для опреде-
ления скорости химической
реакции.
константа скорости оеа-<иии
-д
*/пр
& , — Д , p^t>Q/>PT
^70бр ^Обр^
Величина потока вторичного пара определяется по уравнению
теплового баланса.
Конденсатор рассматривается таким же образом, как описыва-
лось в предыдущем разделе, т. е. из уравнения равновесия VyK = 1
определяется доля сконденсировавшегося пара, а именно:
Объединение всех этих уравнений в математическую модель
является теперь довольно простой задачей, поскольку причинно-след-
ственные связи учитывались на каждом шаге построения модели.
Начать можно как угодно, с любого уравнения, в зависимости от
личного предпочтения, хотя методически лучше строить модель, начи-
ная с наиболее важного уравнения. В данном случае в качестве
ключевого можно выбрать уравнение скорости химической реакции.
Для того чтобы определить скорость реакции, в уравнение надо
ввести общее количество жидкой фазы М, выраженное в кмолях,
две константы скоростей реакций &1пр и /с1обр, мольные доли всех
компонентов Х{ (рис. V-15).
Возвращаясь несколько назад, увидим, что константы скоростей
реакций можно получить из уравнения Аррениуса после подстановки
в него температуры Т (рис. V-16). Число молей М получается из
уравнения общего материального баланса, тогда как мольные доли
отдельных компонентов Xt подсчитываются из материальных балан-
сов компонентов (рис. V-17).
Расчет температуры ведется по общему уравнению равновесия
"OuYi i = 1, а состав паровой фазы (в мольных долях) получается из
уравнений равновесия пар — жидкость для каждого компонента
(рис. V-18). Для расчета величин Уг j в уравнения равновесия тре-
буется ввести соответствующие величины Xz, выраженные в моль-
ных долях, температуру Т (уже найденные из других уравнений
модели) и давление 7Д. Объединенная схема модели до введения
величины Pj показана на рис. V-19.
104
Входы
Выходы
Рис. V-17. Математическая модель материального баланса реактора.
Из схемы видно, что для завершения построения модели требуется
еще давление Z\ и поток вторичного пара тъ_ п, получаемый из урав-
нения теплового баланса (рис. V-20). Для решения этого уравнения
нужна температура Т, общее число молей М и скорость реакции
(каждая из этих величин может быть взята из неполной модели,
представленной на рис. V-19) плюс энтальпия пара X + сТ, энталь-
пия рециркулирующего потока срецТрец и мольная теплоемкость с,
105
I___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________._________________J
Рис. V-18.
Использова-
ние уравне-
ний фазово-
го равнове-
сия для
нахождения
состава па-
ровой фазы
в реакторе.
Рис. V-19. Объединенная схема модели.
Тепловой, баланс
~yf (МсТ) = mtCfTt + Я7рецСреТрец + KS^T^ — т)+/?др — /77jn(Л + СТ)
fw \rr': сп тп |^Л + сТ) |етрВЦ Срец Треи
Рис. V-20. Модель теплового баланса жидкости в реакторе.
Рис. V-21. Модель определения расхода пара через клапан.
/^блХ/
Материальный баланс по компоненту i
Впаровом пространстве
^(MnYit)= - тгТу
тгЪг
Рис. V-22. Схема использования в общей модели
уравнения материального баланса i-того компонента,
находящегося в паровом пространстве реактора.
Вход \-------------------------------------------------------------- вьчой
I I
Рис. V-23. Математическая модель сборного бака.
Рис. V-24. Схема расчета средних энталь-
пий и теплоемкостей.
которые еще должны оыть
определены. Завершая мо-
дель парового пространства,
нужно ввести в уравнение
материального баланса ве-
личину парового потока.
Это дает возможность опре-
делить число молей пара
в паровом пространстве.
Имея эту величину, в свою
очередь, определяем давле-
ние из уравнения закона
газового состояния. Это да-
вление Pv позволяет опре-
делить расход пара нг2, про-
ходящего через вентиль, по
уравнению, описанному ранее. На рис. V-21 и V-22 показано, как
используется в модели эта группа уравнений.
Состав поступающего в конденсатор пара определяется из мате-
риальных балансов компонентов в паровом пространстве реактора.
Эти составы вместе с расходом пара тг вводятся в уравнения, описы-
вающие конденсатор, схема объединения которых в модель подобна
той, что показана на рис. V-11.
Из уравнений, описывающих материальные потоки в конденса-
торе, получим состав сконденсировавшейся жидкости Х1к, состав
пара YiK, количество пара нгп к и конденсата тк.
Сборный бак рассматривается как аппарат идеального смешения,
в котором состав отбираемого потока такой же, как средний состав
в баке. Скорость рециркулирующего потока — известная величина,
поэтому общее уравнение материального баланса сборного бака
можно использовать для того, чтобы определить число молей Mpeti
в этом баке. Из индивидуальных балансов компонентов можно найти
состав жидкости в сборном баке и, следовательно, в рециркулиру-
ющем потоке, направляемом в реактор. Эта информация о составе
используется также для того, чтобы определить теплоемкость рецир-
кулирующего потока (рис. V-23), необходимую для уравнения тепло-
вого баланса реактора. Так как температура в конденсаторе предпо-
лагается постоянной и тепловыми потерями пренебрегаем, то из
этого следует, что содержимое сборного бака имеет ту же самую тем-
пературу Рк. Если, однако, температура в конденсаторе изменяется
(со временем), то требуется применить более сложные зависимости
(см. задачу V-4). Теперь все контуры модели замыкаются, за исклю-
чением теплоемкости содержимого реактора и энтальпии вторичного
пара. В нашем случае эти величины получаются из уравнений, в кото-
рые входят составы жидкости Хг и пара Ya (рис. V-24).
На рис. V-25 представлена полная поточно-информационная
блок-схема модели системы со всеми внутренними и внешними свя-
зями, изображенная для наглядности в кратком, суммарном, виде.
108
Рис. V-25. Полная блок-схема модели процесса, протекающего в технологи-
ческой установке, состоящей из реактора, конденсатора и сборного бака.
Тщательное ее рассмотрение показывает, что нет ни одного входного
параметра для любого уравнения, который не был бы определен
как граничное условие задачи либо рассчитан из какого-нибудь урав-
нения.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Кипящая жидкость состоит из смеси веществ А, В
и С, содержание которых в мольных долях: Ха = 0,5; Хв —• 0,3;
Хс = 0,2.
Давления паров чистых компонентов заданы графически на
рис. V-26, давление в системе поддерживается постоянным. Опреде-
лить температуру кипения, проводя вычисления вручную и доби-
ваясь сходимости решения. При этом воспользоваться схемой повтор-
ных вычислений, представленной на рис. V-2.
Составить программу решения этой задачи на цифровой машине,
используя блочно-ориентированные языки MIDAS или MIMIC.
Задача 2. Определить, как изменится модель периодической
перегонки (см. пример V-2), если жидкая фаза содержит четвертый
компонент D, который практически не испаряется?
Задача 3. Поскольку реторта (см. Пример V-2) имеет сферическую
форму, учесть изменение поверхности теплопередачи при изме-
нении объема испаряемой жидкости в процессе перегонки.
Задача 4. Преобразовать модель, описанную в примере V-3,
учитывая следующие обстоятельства:
а) температура конденсации Т изменяется во времени;
б) с входящим потоком в реактор поступает третий компонент Е,
который не вступает в реакцию;
109
Рис. V-27. К задаче V-6.
Рис. V-26. График зависимости
ч— давлений паров чистых компонентов
от температуры (к задаче V-1).
в) в паровую рубашку подается поток пара с постоянной ско-
ростью.
Задача 5. Предположить, что в задаче IV-6 в емкость подается
жидкостной поток, состоящий из смеси трех идеально перемешанных
компонентов А, В и С. Составить модель, описывающую систему
в момент мгновенного равновесия.
Задача 6. Реактор (рис. V-27) представляет собой емкость, в ко-
торую подается газ путем его впрыскивания снизу. Скорость подачи
газа В в реагирующую с ним смесь составляет Мв кмолей!сек. Реак-
ция А + В -> С протекает в жидкой фазе. Вещество В хорошо
растворимо в жидкости. Расход поступающего в реактор реагента
А — Qa м?!сек. Реакция экзотермическая и при ее протекании выде-
ляется пар в количестве Мп кмолей/сек, состоящий только из компо-
нентов А и В (содержанием в нем продукта С можно пренебречь).
Регулятор уровня поддерживает уровень в емкости постоянным,
воздействуя на величину выходного потока Qo. Предполагая, что
содержимое реактора тщательно перемешано, построить модель,
которая определяла бы зависимость между составом выходного
потока и расходом реагентов А и В.
Обозначения.
А — постоянная в уравнении Аррениуса.
Е — постоянная в уравнении Аррениуса.
А — химический компонент.
В — химический компонент.
С — химический компонент.
D — химический компонент.
с — мольная теплоемкость.
тВ1П — весовой расход вторичного пара.
7р — удельная мольная теплота реакции.
ПО
Н — мольная паровая энтальпия.
к — константа скорости реакции.
?этк — расход конденсата.
М — весовое количество остающейся в реакторе жидкости.
Р — давление.
Ф — тепловой поток.
R — универсальная газовая постоянная пли скорость химической
реакции.
Т — температура.
t — время.
KS — коэффициент теплопередачи, умноженный на поверхность
теплопередачи.
лгп к— расход пара на выходе из конденсатора.
Xt — мольная доля i-ro компонента в жидкой фазе.
Yi — мольная доля i-ro компонента в газе.
у — коэффициент активности.
к — удельная теплота парообразования.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Hale Е., Pick J., Fried V., Villi m D., Vapor Liquid Equili-
brium, Pergamon Press, 1958.
2. О г у e R. V., Prausnitz J. M., Ind. Eng. Chem., 57, № 5 (1965).
3. O’Brien N. G., Turner R. L., Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 56,
№ 31 (1960).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Бабицкий А. Ф., Гидродинамические уравнения для парогазовых смесей,
в республиканском сборнике «Гидромеханика», вып. 3, 1967.
Бесков С. Д., Техно-экономические расчеты, изд. 3-е, Изд. «Высшая школа»,
1962.
Гарбер Ю. Н., Бовкун Р. А., ЖПХ, №2 (1968).
Гнусов а С. П., Возовик В. А., Расчет на ЭЦВМ паро-жидкостного
равновесия многокомпонентных смесей, в республиканском межведомствен-
ном сборнике «Нефтепереработка и нефтехимия», вып. 2, Киев, Изд. «Наукова
думка», 1967.
Дейч М. Е., Филиппов Г. А., Газодинамика двухфазных сред,
Изд. «Энергия», 1968.
Жуховицкий А. А., Шварцман Л. А., Физическая химия, Изд.
«Металлургия», 1968.
Каган Б. М., Гетерогенное равновесие, Изд. «Химия», 1968.
Мелвин-Хьюз Э. А., Физическая химия, кн. II, пер. с англ., Издат-
инлит, 1962.
Морачевский А. Г., Теоретические основы хим. технол., 3, № 2 (1969).
Попов В. В., Теоретические основы хим. технол., 2, № 1 (1968).
К а ф а р о в В. В., Бояринов А. И., Луценко В. А., Вето-
хин В. П., Теоретические основы хим. технол., 4, № 1 (1970).
ГЛАВА VI
КИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
При моделировании процессов химической технологии
в материальные и тепловые балансы входят уравнения химической
кинетики. Кинетические уравнения могут быть предметом самостоя-
тельного исследования при изучении механизма и условий оптималь-
ного проведения различных химических реакций.
Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений,
описывающей кинетику даже очень простой реакции, такой, напри-
мер, как Л . : Д к 5, связано со значительными вычислительными
трудностями.
Большинство реакций, лежащих в основе промышленных процес-
сов, имеют очень сложный механизм и протекают в несколько парал-
лельных и последовательных стадий. Поэтому только применение
вычислительной техники дает возможность успешно справиться
с решением подобных задач. ,
В этой главе будут рассмотрены три примера построения матема-
тических моделей с учетом кинетики химических реакций. В первом
из них для ознакомления с процедурой построения математической
модели проводится подробный анализ механизма и кинетики довольно
простой химической реакции, протекающей в аппарате периодиче-
ского действия.
Во втором примере рассматривается достаточно сложная химиче-
ская реакция, проводимая в аппарате идеального смешения. Этот
пример включен для того, чтобы продемонстрировать, кдк правиль-
ное построение математической модели, отвечающее естественной
структуре исследуемого явления, даже в сложных случаях позво-
ляет все же получить искомое решение (конечно, при условии исполь-
зования вычислительной техники).
Третий, самый сложный, пример взят с этой же целью из области
гетерогенного катализа.
На рис. VI-1 дается общая поточно-информационная схема исполь-
зования в модели процесса уравнений кинетики химических реакций,
протекающих в реакторе периодического или непрерывного действия.
При составлении материальных балансов по отдельным компонентам
в этом случае обязательно следует учитывать их накопление или
112
Рис. VI-1. Логическая схема построения математической модели
процесса с учетом кинетики химических реакций.
расход в результате химических превращений. Как обычно, уравне-
ния материального баланса решаются относительно концентраций,
и их величины подставляются затем в уравнения кинетики, которые
используются для определения скоростей отдельных реакций.
Если температура проведения реакции является величиной пере-
менной, то она должна учитываться в уравнении кинетики путем
коррекции констант скоростей реакций. Уравнения скоростей реак-
ций должны также включаться в модель в случае экзотермических
или эндотермических реакций при составлении теплового баланса,
который обычно вводят в модель процесса для определения темпера-
туры или величины парового потока при кипении (см. гл. V).
Пример VI-1. Моделирование кинетики обратимой химической
реакции, проводимой в аппарате периодического действия. Предпо-
ложим, что вещества А и В, взятые в соответствующих количествах,
идеально перемешаны и реагируют между собой по следующей схеме:
ft,
4 + В C + D
k,
С A-В Е
k4
АА-Е F
Отбирая в заранее определенные моменты времени пробы, можно
проследить за изменением содержания каждого вещества в реакцион-
ном объеме в ходе процесса. Однако, для того чтобы количественно
описать реакцию, требуется знать величины констант скоростей
реакций klt . • ке.
Прежде всего запишем уравнения скоростей реакций в зависи-
мости от концентраций участвующих в них веществ:
Я1 = й1РСлСЕ 7?4=й4УСе
Я2 = Й2 VСqC=
Вз — кзУС(,Св Г1в=='-АСр
где С — концентрация i-го компонента к.чоль/.ч3; V — реакционный объем,
•w3; Я/ — скорость /-той реакции, кмолъ/сек.
8 Заказ 2163 113
Теперь можно составить уравнения материального баланса для
каждого из участвующих в реакции компонентов:
0 -^2~ ^1+/?й—Т?5
в) + Л4 — /?з
4(ГСс)=Л1-^ + ^-Лз
jL(rcD) = p2_H2
-±(УС£) = 7?3-Л4+Яв-Л5
— (ГСк) = Л5-Т?в
Подробнее остановимся на используемых здесь при написании
уравнений кинетики методических приемах, особенно полезных в даль-
нейшем для более сложных случаев.
1. Когда объем V, входящий в каждый член уравнений, является
величиной постоянной, он исключается из обеих частей уравнения.
2. При нахождении констант скоростей реакции путем их под-
бора в соответствии с выбранным критерием адекватности экспери-
ментально полученных данных и теоретических кинетических кри-
вых обычно удобно применять модифицированную форму уравнений
скоростей превращения. Так, для обратимой реакции
feo6p
скорости реакций могут быть записаны следующим образом:
= кПрС дС £
Ri — k0Q^CqC д
где 7«пр и Аобр'— константы
скорости прямой п обратной реакций.
Тогда
Яобщ = ^пр ( А(' В — СсСD )
где К — 7сПр/ &обр •
В последнее уравнение введена величина К, называемая констан-
той равновесия. Константы &пр и К, определяющие кинетику данной
реакции, могут быть экспериментально получены различными спо-
собами: К — при исследовании состояния равновесия и /спр — путем
изучения степени превращения исходных веществ во времени до
момента достижения состояния равновесия.
114
Уравнения скоростей реакций после всех проведенных преобразо-
ваний могут быть представлены в следующей, наиболее удобной для
машинного решения форме:
*1 = *1 (саСв~^ Wd)
( Сссв~ СЕ^
Соответственно изменяется вид уравнений материального ба-
ланса:
са=— Лг-Лз
— Св= -7?! —т?3
йГс'с=7?1-дз
. ~СЕ-П,~и,
~dtcp=Ri
Эти уравнения, объединенные в модель, показаны на рис. VI-2.
Из уравнений частных материальных балансов определяются кон-
центрации Ci, а уравнения кинетики используются для нахождения
скоростей реакций Rj. Для составления программы решения этих
уравнений относительно изменений концентраций участвующих в
реакции компонентов во времени потребуются величины константKt,
к3, къ, Кг, К3 иК5. Эти величины можно получить экспериментально
или путем подбора на машине. При правильном их выборе, а также
при соответствии кинетических уравнений химизму реакций можно
получить хорошее совпадение расчетных результатов и эксперимен-
тально измеренных величин концентраций компонентов в соответ-
ствующие моменты времени.
Как уже говорилось, в том случае, когда нахождение величин ks
и К] экспериментальными методами затруднено, их можно найти
путем последовательных пересчетов уравнений кинетики до удовле-
творительного совпадения теоретических с практически полученными
кривыми. Для быстрого получения решения методом последователь-
ных приближений требуется высокоскоростная вычислительная
машина, работающая в итерационном цикле. Наиболее подходящими
для этой цели, скорее всего, являются специальные аналоговые
8'
115
Уравнения материальных Уравнения кинетики
балансов па компонентам реакций
Рис. VI-2. Модель реактора периодического действия.
машины. На такой машине уравнения могут быть решены повторно
много раз в секунду, а для удобства сравнения с практическими дан-
ными решения выводятся на электронный осциллограф. Изменяя
величины коэффициентов к и К, добиваются удовлетворительного
совпадения между собой расчетных и экспериментально снятых кри-
вых изменения концентраций всех компонентов во времени. В дан-
ном примере для случая периодического процесса, поскольку каж-
дая реакция является обратимой, сначала подбираются коэффи-
циенты К/, при которых совпадение экспериментально полученных
и расчетных величин равновесных концентраций (для заданных
начальных условий) можно считать удовлетворительным. Затем
таким же образом находят величины к,, добиваясь совпадения теку-
щих расчетных и экспериментально полученных концентраций этих
веществ.
Пример VI-2. Моделирование системы, состоящей из проточного
реактора идеального смешения и конденсатора. Этот пример, в кото-
ром рассматривается реакция, имеющая промышленное применение,
116
приводится для того, чтобы те, кто берется за большую, заведомо
сложную проблему в области изучения кинетики химических реак-
ций, чувствовали бы себя увереннее. Типичными чертами таких
реакций являются сложные пути их протекания и наличие побочных
реакций, в результате которых образуются, кроме основных, еще
и нежелательные побочные продукты. Хотя математическая модель
рассматриваемой в этом примере реакции может показаться очень
сложной, мы все-таки хотим рассмотреть ее, чтобы еще раз показать,
как исследование кинетики реальной сложной реакции, протекающей
в несколько параллельных и последовательных стадий, может быть
соответствующимобразом заменено машинным решением ее матема-
тической модели. Решение системы уравнений этой модели на вычис-
лительной машине не представляет больших трудностей и сводится
к простой автоматизированной процедуре счета.
На рис. VI-3 показана схема проточного реактора идеального
смешения, в котором проводится данная реакция. Один из реаген-
тов — жидкое вещество А подается в реактор сверху, а второй —
газообразный продукт В вводится снизу в избыточном количестве.
Из реактора непрерывно отбираются паровой и жидкостной потоки.
Паровой поток проходит через конденсатор, где пар частично конден-
сируется, и конденсат возвращается снова в реактор. Вещества,
отбираемые из реактора с газообразной и жидкой фазой, указаны
в табл. VI-1.
Основной реакцией является взаимодействие реагента А, раство-
ренного в веществе S, с газом В, который также очень хорошо рас-
творяется в этом растворителе, подаваемом в реактор в избыточном
количестве. Стехиометрическое соотношение этой реакции следующее:
44-2В —► P-y-iC
Написанная реакция является суммарной, на самом же деле она
протекает в несколько последовательных и параллельных стадий.
Допустим, что реакция разбивается на следующие элементарные
реакции:
АА-В —► JA-C
JA-B—> UA-C
Рис. VI-3. Реактор непрерывного действия.
117
ТАБЛИЦА VI-1
Исходные вещества Продукты реакции и не участвующие в реакции вещества
газообразные жидкие
Растворитель S Реагент А Реагент В Инертный газ I Растворитель Л1 Реагент В Основной продукт Р Побочный продукт С Побочный продукт D Инертный газ I Растворитель S Основной продукт Р Реагент А Реагент В Побочный продукт С Побочный продукт Е Побочный продукт F Побочный продукт G Побочный продукт Н Побочный продукт М
Кроме основного продукта Р, как показано в табл. VI-1, из реак-
тора отбирается некоторое количество побочных продуктов G, С, D,
Е, М, F и Н. На рис. VI-4 представлена схема протекания побочных
п основных реакций, в которой кружками показаны отдельные эле-
ментарные реакции, а квадратиками — вещества, которые полу-
чаются в результате протекания всей совокупности реакций в изме-
римых количествах. Таким продуктом является продукт Р. На этом
же рисунке схематически изображена тг-ная элементарная реакция.
Отражен в схеме и тот факт, что промежуточные компоненты J, U
и L являются высокоактивными соединениями и не накапливаются
в заметных количествах в отбираемом жидком или газообразном
продуктах.
Соединение Е образуется в соответствии со следующим стехио-
метрическим уравнением:
А-\-Р-\-В —>- Е+2С
Эту реакцию можно рассматривать как совокупность двух эле-
ментарных реакций, уравнения которых имеют вид:
А-\-В —> J-\-C
Рис. VI-4. Схема получения основного продукта.
118
Первая из этих реакций рассматривалась уже как одна из стадий
при образовании продукта Р. Соединение F образуется в результате
реакции
Е + Р —> F
Образование продукта Р может идти и другим путем, соответ-
ствующим следующим двум последовательным реакциям:
Е + 2С .V+L
Л'+S----> ЗСЧ-Р
Кроме того, имеют место реакции
Е + В О С
О ---> J> + C
Соединение М, являющееся одним из побочных продуктов, обра-
зуется в результате реакции
О + в —> М-ре
Будем считать также, что соединение М неустойчиво и распа-
дается с образованием веществ G, В, D и Р.
М ---> G (побочный продукт) + Z> +5
и
М > В + Р
Соединение Н также является побочным продуктом и обра-
зуется в результате следующей реакции:
Л- С ГСОС Н
Все эти реакции для наглядности могут быть объединены, как
показано на рис. VI-5. Число внутри каждого кружка обозначает
отдельную элементарную реакцию. Обратимые реакции обозна-
чаются кружками с двойными стрелками.
Эта схема отображает постулируемый механизм химической реак-
ции. Ясно, конечно, что для такой сложной реакции, возможно,
существуют и другие механизмы протекания. Все они должны быть
рассмотрены так же, как и данный механизм, и промоделированы
на вычислительной машине. Результаты моделирования сравни-
ваются с экспериментально полученными кинетическими данными
о процессе, на основании чего за действительный принимается наи-
более удовлетворительно сходящийся с практикой вариант.
Для построения математической модели, при помощи которой
определяется изменение во времени концентраций находящихся
в реакторе и поддающихся количественному измерению компонентов,
требуется составить уравнения материальных балансов по следующей
общей форме:
[скорость изменения количества компонента в реакторе] = [содержание во
входном потоке] — [содержание в отбираемом паровом потоке] 4- [содержание
119
Рис. VI-5. Общая схема постулируемого механизма реакции.
в рециркулирующем потоке] — [содержание в отбираемом жидкостном потоке] -[-
-[-[количество, образующееся в результате реакций]
Запишем уравнения для всех компонентов:
компонент А
( VXA) = f А ~<?оЛ - (*1 + Яб)
компонент Е
(Ухе) ~ — *?отб^£+(^в—Rs Ri—^ii)
компонент F
( vxf ) — — Сотб^р + (Ri)
компонент Р (продукт)
•Jj- (УХр)~ — Р"Ь RРрец — <2отб^р4- № + Яа + Яю+ R14— Rs — Rl'l
компонент М
= —0отб^^'-(^12 Яхз R1A
компонент Н
(РХн) = -<2отвХн+(Я5)
компонент G
(VXG) = — Cot6xg + ^,s)
120
компонент В
0 ^в) — ^в-'тп^в + ^Врец —(?0Тб^В~ (^14- Лд+ ^11 — Лхз — Т?]4)
компонент С
(VXC) ~~тп^с — <?отб-^С-Ь^'Срец4_^1'!'^2'4^з + Л4 — 27?д +
+ 3/?9 — Rt, + Я«'+ Яц4~ Ли)
Компонент D является инертным газом, поэтому можно объеди-
нить его с инертным газом, приходящим в систему с компонентом В.
В уравнении материального баланса для компонента В первый
член, вообще говоря, может быть записан более корректно: Fb (1 —
Xibx), но, поскольку Xibx мало (<4,0%), им можно пренебречь.
Таким образом получены балансы по каждому компоненту,
о котором известно, что он существует в измеримых количествах
в отбираемом продукте. Входящие в уравнения материальных балан-
сов величины скоростей реакций для удобства были записаны в со-
кращенном виде. При составлении математической модели эти вели-
чины должны быть заменены на соответствующие уравнения.
Чтобы было ясно, как используются в модели уравнения скоро-
стей реакций, необходимо принять во внимание следующие рассу-
ждения. Сначала рассмотрим прямое направление реакций 1, 2, 3
и 4, схематически изображенных на рис. VI-6. Поскольку компо-
ненты ./, U и L содержатся в реакторе в очень малых количествах,
лимитирующей по скорости из этих четырех реакций должна быть
реакция 1. По сравнению с реакциями 4 и 6 равновесие первой реак-
ции смещено далеко вправо. Скорость первой реакции
кмолъ/сек
где V — объем реактора, №; X, — мольная концентрация i-ro компонента,
кмоль/м3.
Как было указано выше, компонент U находится в реакторе в не-
значительных количествах, поэтому можно считать R2 = Bs. После
третьей реакции идут две
параллельно протекающие
реакции 4 и 8.
Уравнение скорости вось-
мой реакции:
RS~Vk»[xE(Xcy-±-xLXN']
С учетом того, что
7?4=7?з—Т?8 и R2=R3
Рис. VI-6. Схема образования веще-
ства Е.
121
Рис. VI-7. Использование. в модели уравнений кинетики для
расчета величин й4 и R8.
(так как вещество L имеется в реакторе в незначительном количестве)
Ri = R4 — Rg
кроме того
/?4 = \'kL1XL
и подставляя значение Xl в выражение для R8, получим:
R^Vk8(xEXl-^
Допустим, что уже известно R2 (см. ниже); Хц, Хе и Хс найдены
из других уравнений, а для констант скоростей реакций Zc(- и кон-
стант равновесия выбраны некоторые предполагаемые значения.
При этом может быть найдена соответствующая вычислительная
процедура для получения членов вида Xl!K8 и /с4АД, каждый из кото-
рых ограничен при стремлении
Равенство
Ri = Rz — Rs — 1 к^ХЕ
используется в модели для получения члена F/c4 Xl- Схема решения
показана на рис. VI-7.
Поскольку в реакционном объеме имеются лишь следы вещества
, то можно считать, что Rt = R2 + Re- Используем это соотноше-
ние для нахождения R2 и Re. Величина R2 = Vk2XjXB, а скорость
шестой реакции описывается уравнением Re = Vk6 XjXp- После
некоторых преобразований эти три уравнения могут быть использо-
ваны в модели для определения R2 и R6 методом последовательных
приближений. В выражении для Re заменим Xj на эквивалентную
ей величину R2'Vk2XB (рис. VI-8).
Чтобы избежать разбаланса в итерационном контуре счета, пре-
образуем выражение /?1==/?2-|-/?6в R2!Rt = R2I(R2 + 7?е) и под-
ставим вместо R2 и R6 соответствующие зависимости.
При этом получим выражение
Я2_______
Ri к2Х jX £-р к8Х jX р
122
которое можно упростить:
Д2 1
Дх 1 + сХр/Хв
где г=ке[к2.
Тогда
Д2 Д1(1 + гХр/Хв) 11 1+Хв/гХр)
Модель для нахождения Не и R2, полученная после соответству-
ющих преобразований, показана на рис.¥1-9. Она хороша тем, что
позволяет определять нужные величины прямым методом, не прибе-
гая к итерационной операции, как было в предыдущем варианте,
представленном на рис. VI-8.
Поскольку Хм ->-1/оо, то Однако, чтобы найти Т?8,
требуется найти сначала Хм- В модели для определения этой вели-
чины используется формула, приведенная на рис. ¥1-10:
В уравнения скоростей 10-, 11- и 12-й реакций (см. рис. VI-11)
входит концентрация компонента О- Хотя величина Хо~> 1/°°, чтобы
сбалансировать контуры для расчета этих скоростей, надо ввести
Рис. VI-8. Схема итерационного контура, предназна-
ченного для расчета Д2 и Яв.
Рис. VI-9. Схема расчета вели-
чин Д2 и R6.
Рис. VI-10. Схема определения
величины X v.
123
в модель, подобно предыдущему случаю, итерационный дополнитель-
ный контур для расчета Хо (рис. VI-11). Введя из других частей
модели концентрации Хе, А'в и Хс и определив
____Ди______
0 V (fcio + fcl2^n)
можно свести эти контуры к одному, как показано на рис. VI-12.
Уравнения скоростей оставшихся реакций следующие:
R1—Vk^XAXB
Rb = Vk-J.X Ахс 7Г-}
\ Л5 /
— ] kyXgXр
Я\5=Ук13Хм
Л14= Ук-^Хц
Этим заканчивается рассмотрение вопросов, связанных с описа-
нием кинетики химических реакций, протекающих в жидкой фазе
реактора.
Следующим этапом построения модели является описание всей
паро-жидкостной системы в состоянии равновесия.
Пусть в реакторе поддерживается постоянная температура и по-
этому нет необходимости составлять тепловой баланс системы. Реа-
гент В в газообразном виде подается в реактор в большом избытке.
Воспользуемся уравнением баланса вещества В, чтобы определить
выходной поток пара. Поскольку температура Т поддерживается
постоянной, то для аппарата идеального смешения содержание лету-
чих компонентов В, С и Р, а также растворителя S в газовой фазе
(пли же соотношение их концентраций Y/Х) можно записать следу-
ющим образом:
хв — ^sxs
* в = к в^в
с~ ^схс
Ур = КрХр
где К; = fa (Т)/р — константа Генри для <-го компонента.
Содержание в жидкой фазе инертного газа I, поступающего с пи-
тающим газовым потоком, и нерастворимого компонента D равно
нулю. Тогда уравнение материального баланса для компонента I
будет иметь вид:
+ Л13 = ^nYj
Эти уравнения используются для определения состава уходящего
потока пара. Математическая модель состояния равновесия газо-
124
Хо
Рис. VI-11.
Схема использования
уравнений кинетики для рас-
чета величин П1В, и Я12.
Рис. VI-12. Часть модели кинетики сложной реакции.
Рис. VI-13. Модель равновесной газо-жидкостной системы.
Рис. VI-14. Общая блок-схема модели реактора непрерывного действия.
жидкостной системы, куда входят материальные балансы для лету-
чих компонентов, показана на рис. VI-13. Поскольку растворитель S
подается в систему в большом избытке по отношению к растворен-
ным веществам, объем V можно рассматривать как величину постоян-
ную, что дает возможность определить из общего материального
баланса газовой и жидкостной фаз величину выходящего жидкост-
ного потока (?отб. Модель всего реактора представлена на рис. VI-14,
а схема информационных потоков на рис. VI-15.
127
Методика изучения механизма реакций основывается на измене-
нии величин констант ki^K^, входящих в уравнения скоростей реак-
ций, и сравнении в одинаковые моменты времени концентраций, полу-
ченных в результате решения уравнений кинетики, с эксперименталь-
ными данными для нескольких характерных начальных концентра-
ций реагентов или реакционных объемов V-
Эта расчетная процедура кажется, на первый взгляд, слишком
сложной, но, применяя вычислительную технику, можно легко спра-
виться с решением подобной задачи.
Имея экспериментально снятые кривые изменения концентраций
исходных веществ и продуктов реакций во времени, полученные для
различных температурных режимов ведения процесса, можно ре-
шить еще одну задачу исследования кинетики. Находя величины Kt
и kt для каждой температуры описанным ранее способом, можно
получить зависимость этих величин от температуры.
Математическая модель может быть также использована для на-
хождения оптимальных условий проведения процесса с точки зре-
ния получения максимального выхода целевого продукта или произ-
водительности объекта. Оптимизация рассматриваемого процесса
может осуществляться, например, путем изменения следующих пара-
метров системы:
величины реакционного объема;
соотношения концентраций реагентов, подаваемых в зону реакции;
количества растворителя в системе;
расходов поступающих реагентов;
температуры проведения процесса.
Должна быть также проверена возможность повышения выхода
целевого продукта путем проведения процесса в реакторе другого
Рис. VI-15. Блок-схема модели установки, состоящей из проточного реактора,
конденсатора и сборного бака.
128
типа, например в трубчатом (это требует незначительной модифика-
ции уравнения материального баланса, которая коснется в основном
членов, содержащих производные). Более подробно этот вопрос будет
рассмотрен в гл. X.
Изложенный выше подход к построению математической модели
может быть успешно применен при изучении кинетики самых раз-
личных, и даже очень сложных, химических процессов.
Пример VI-3. Моделирование кинетики гетерогенного каталити-
ческого процесса. Рассмотрим пример, взятый из области гетероген-
ного катализа. Опишем кинетику реакции гидрогенизации, проводи-
мой в аппарате идеального смешения. В ней принимают участие
вещества, находящиеся в трех различных фазах: в газовой фазе со-
держится водород (под большим давлением), в жидкой фазе — четыре
вещества: А, В, С и Н2, а в твердой фазе — катализатор, представля-
ющий собой слой зернистого материала. В этой системе происходят
следующие реакции:
А4-Нг —> В (1)
в + н2 > С ' (2)
Для экспериментального определения скоростей этих реакции
будем наблюдать за скоростью снижения давления в системе в ходе
их протекания. Общая скорость реакции зависит от скоростей про-
текания первой и второй реакций, которые могут быть соизмеримы
между собой или сильно отличаться друг от друга (например, лими-
тирующей стадией может быть вторая реакция). Наблюдая за изме-
нением во времени содержания вещества А в реакционной зоне для
первого случая или вещества В для второго случая, мы убедимся
в том, что взаимодействие веществ А, В и Н2 не может характеризо-
ваться посредством простого механизма, описываемого указанными
выше стехиометрическими уравнениями.
Теоретическое изучение каталитических реакций, протекающих
в сложной гетерогенной системе на твердом катализаторе, показы-
вает, что такие реакции имеют гораздо более сложный механизм,
в соответствии с которым должны определяться скорости реакций.
Будем предполагать, как это принято в теории катализа *, что на
поверхности катализатора, объем которого известен, имеется некото-
рое количество активных центров S. Реагирующие вещества диффун-
дируют к поверхности, взаимодействуют или адсорбируются актив-
ными центрами и реагируют между собой, а продукты реакции диф-
фундируют обратно в жидкую фазу, окружающую катализатор.
Каждый шаг может быть описан следующим образом:
1. А взаимодействует с о-свободным активным центром поверх-
ности катализатора
А А а
* Наряду с таким представлением о механизме каталитического гетероген-
ного процесса существует целый ряд других теорий. — Прим. ред.
9 заказ 21 S3
129
2. Н2 взаимодействует с о-свободным активным центром
И2+о Н2г
3. Л и Н2 взаимодействуют на активном участке катализатора:
Л+н2, — в,
4. В взаимодействует с о-свободным активным центром.
В + а Ва
5. В и Н,а взаимодействуют на активном участке катализатора
Я + Н2а — в2
6. На активном участке поверхности устанавливается равновесие
С'а с С в растворе:
С + о с.
Часто предполагают (и это обычно оправдывается на практике),
что одна из указанных выше стадий протекает с малой скоростью,
лимитирующей общую скорость реакции. Такое предположение
значительно упрощает процедуру расчетов.
Будем считать, однако, что в данной ситуации это допущение
не является удовлетворительным и для отражения сущности проте-
кающего процесса необходима более полная математическая модель.
Для ее построения сделаем следующие предположения:
1. Объем жидкой фазы в ходе химического процесса изменяется
незначительно.
2. Катализатор имеет S активных центров.
3. Объем газовой фазы равен Vr и в ней содержится только во-
дород.
4. Равновесие, существующее между водородом в газовой и жид-
кой фазах, удовлетворительно описывается уравнением:
где X1Г — мольная доля Н2 в жидкости; Р— давление.
5. Сжимаемость газовой фазы учитывается вводом в уравнение
состояния величины фактора сжимаемости Z.
6. В момент времени t = 0 жидкая фаза содержит А 0 молей
вещества Л плюс растворенный водород.
Адекватность полученной математической модели изучаемому
процессу можно проверить, сравнивая расчетные величины давления
в системе для различных моментов времени (начиная с t = 0) с экс-
периментально измеренными.
Чтобы составить уравнения, описывающие кинетику процесса
при таком механизме его протекания, надо отчетливо представлять
себе баланс в элементарном (единичном) реакционном объеме, со-
держащем катализатор, общее число активных центров которого
равно S. Некоторые из этих центров уже заняты, и число свободных
центров может быть определено так:
[свободные центры] = [общее число центров] — [занятые центры]
а = 5-(АвА^4-Са + Н27)
130
где Лг и другие аналогичные члены уравнения представляют собой число
центров, занятых одноименными реагентами.
Запишем уравнения для скоростей элементарных реакций, отве-
чающих принятому механизму их протекания:
7?i = /ci ^л°—Ла)
Т?.2= (Н2о---H2J
\ Л 2 J
Яз~
/?4= Л-4 ( Во-4 вЛ
\ Л4 J
Вй=к6(со--^-сЛ
где А, В, Н2 и С — число молей каждого из веществ, находящихся в единице
объема и представляющего' собой, вообще говоря, трехфазную систему; к —
константа скорости; К — константа равновесия для каждой реакции.
Если газовая фаза содержит только водород, то связь между да-
влением водорода Р и мольным содержанием водорода в жидкости
Хнг в состоянии равновесия выражается простым соотношением:
^=кхНг
где К — константа Генри.
V Н'2
н= ' N + I-12
где Н2 — число молей водорода, растворенного в жидкости; N — общее число
молей реагентов в данном объеме жидкой фазы (исключая водород).
Для того чтобы считать модель законченной, необходимо допол-
нить ее следующей системой уравнений материального баланса:
^Ш = Я1-7?3
А(н2;) = Я2-Я3-7?5
4 Ш = 7?3 + 7?4-Л5
(Q=.7?5 + 7?e
9'
131
Рпс. VI-16. Модель процесса гетерогенного катализа.
Баланс по водороду требует тщательного анализа. Если жидкость
насыщена водородом, как это предполагается в принятом допущении
о равновесии между водородом в жидкой и газовой фазах, тогда
баланс должен быть записан следующим образом:
А(н2 + М)=-Я2
где М — количество молей водорода в газовой фазе, занимающей объем V,
Давление водорода будет определятся по уравнению
ZPVr = MRT
где Z — фактор сжимаемости.
132
Вее эти уравнения объединены в модель, как показано
на рис. VI-16.
Обозначения
А -*• Р — химические компоненты.
Ci — концентрация i-го компонента.
Q — объемный расход жидкости.
F — массовый расход жидкости.
V — реакционный объем.
К — константа химического равновесия.
К — константа Генри.
к — константа скорости реакции.
г — отношение констант скоростей реакций.
N — общее число молей реагентов в данном объеме жидкой
фазы.
р. Р — давления.
R — скорость химической реакции.
тп — объемный расход пара.
X — мольная концентрация компонента в жидкой фазе.
Y — мольная концентрация компонента в газовой фазе.
Z — фактор сжимаемости.
S — число активных центров.
qp — тепловой эффект реакции.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Реакция между компонентами Ап В протекает в соот-
ветствии со следующим общим стехиометрическим уравнением:
4А + 4В —> C + D + E
где С = А,В; D = АВг\ Е = АВ.
Основываясь на бимолекулярности имеющих место элементарных
реакций, записать уравнения наиболее вероятного механизма ее
протекания.
Задача 2. В емкости находятся и Мв молей жидких веществ
А и В соответственно; эти вещества хорошо смешиваются между
собой и вступают в химическую реакцию, протекающую при постоян-
ной температуре (см. задачу 1).
Построить математическую модель, которая позволила бы про-
следить за количественным изменением содержания этих компонен-
тов в емкости с течением времени.
Задача 3. Предположить, что реакция, описанная в задаче 1, про-
текает в емкости идеального смешения, в которую поступают два
питающих потока Fa и Fb (кмолъ/сек), содержащие компоненты А
и В соответственно. Из емкости отбирается F кмолъ/сек жидкости.
Как изменить модель, построенную для задачи 2, чтобы удовлет-
ворить этому новому требованию?
Задача 4. Предполагая, что константы скоростей реакций (см. за-
дачу 1) зависят от температуры в соответствии с законом Аррениуса
133
Рис. VI-17. Схема к задаче VI-6:
] — парциальный конденсатор; 2 — общий кон-
денсатор; 3 — испаритель.
и что элементарные реакции
являются экзотермическими
(задан тепловой эффект
реакции — с^дж! кмоль реаген-
та 4), изменить математиче-
ские модели в задачах 2 и 3.
Задача. 5. Предположим,
что в реакционный объем
погружен охлаждающий зме-
евик (см. задачу 4), через
который протекает хладо-
агент со скоростью Рхя. Тем-
пература хладоагента на входе в змеевик — Т’хл.вх, а на выходе —
Тхл. вых- Допуская равномерное увеличение температуры вдоль
змеевика, изменить модель задачи 4, учитывая эффект охлаждения
емкости.
Задача 6. Помимо охлаждающего змеевика, как было в задаче 5,
дополнительный отвод тепла из емкости происходит за счет испаре-
ния реагирующих компонентов. Упрощенная технологическая схема
установки показана на рис. VI-17. Пар проходит парциальный кон-
денсатор 1, конденсат из которого соединяется затем с отбираемым
из реактора жидкостным потоком. Пар из парциального конденса-
тора, обогащенный реагентами А и В, поступает в общий конденса-
тор 2, из которого возвращается в реактор, смешиваясь на его входе
с питающим потоком. Отбираемый из реактора поток поступает в ис-
паритель 3, где подогревается за счет внешнего тепла, величина
потока которого равна Q вт.
Образующийся пар, также богатый компонентами А и В, конден-
сируется затем в общем конденсаторе.
Составить модель, предполагая, что:
а) при расчете следует учитывать только емкости реактора и ис-
парителя;
б) ко всем происходящим в системе процессам испарения и кон-
денсации можно применять закон Рауля;
в) температуры выходящих паровых потоков равны температу-
рам в парциальном Тп к и общем То к конденсаторах соответственно;
г) реакционный объем каждой емкости можно считать постоянным;
д) скорости реакций можно записать в форме R = VkX^Xj,
где Xi — мольная доля в жидкой фазе i-го компонента и V — моляр-
ный объем;
е) можно пренебречь химическим взаимодействием веществ в кон-
денсаторах и соединительных линиях.
Целью построения математической модели является нахождение
оптимальных параметров ведения процесса (уровней в емкостях,
температуры в реакторе и конденсаторах), позволяющих получать
максимальный выход продукта В- Созданная модель также должна
быть удобной для исследования возможностей управления установ-
кой в переходных режимах.
134
Задача 7. Реакция гидрогени-
зации
Л + Н2 —> В
проводится в непрерывном проточ-
ном реакторе идеального смешения
путем продувки водорода через
жидкость, содержащую < компонен-
ты Л, В и растворенный водород.
Избыточный водород вместе с испа-
рившимися компонентами А п В
удаляется из реактора с паровой
фазой (см. схему на рис. VI-18).
Предполагая, что процесс проводится
в изотермических и изобарных усло-
виях и что между паровой и жид-
Н2+Х'+<?
Рис. VI-18. Схема к зада-
че VI-7.
кой фазами достигается состояние равновесия, построить модель,
при решении которой можно было бы получить зависимость выхода
продукта В в отбираемом жидкостном потоке для различных значе-
ний скоростей питающих потоков, температур и давления.
Для упрощения будем считать, что реакция протекает в соответ-
ствии с идеальным представлением о механизме, описываемом про-
стым стехиометрическим уравнением. Изменение константы скорости
реакции соответствует закону Аррениуса, а равновесие в системе
«пар — жидкость» подчиняется закону Рауля.
Задача 8. Для проведения каталитической дегидрогенизации пары
этилбензола пропускают через слой катализатора под давлением Р.
Этилбензол разлагается, образуя стирол и водород в соответствии
со следующей реакцией:
СвН3С2Ы6 — * СвН6СН = СП2+Н2
Скорость реакции пропорциональна парциальному давлению ком-
понентов, причем константа скорости реакции к [кмолъ полученного
стирола/сек-н!(мг- кг катализатора)] зависит от температуры в соот-
ветствии с законом Аррениуса. Константа равновесия также является
функцией температуры. Известен тепловой эффект реак-
ции <7Р дж!кмолъ-
Реактор адиабатический, перепадом давлений в нем можно прене-
бречь. Поскольку реакция является эндотермической, то для под-
держания приемлемой ее скорости извне подводится некоторое коли-
чество тепла. Путем ввода в питающий поток довольно большого-
количества пара обеспечивается резерв тепловой энергии в системе.
Объемная плотность катализатора задана и равна р кг/м?. Катали-
затор находится внутри реактора в трубах большого диаметра.
Построить математическую модель реактора, при решении кото-
рой на вычислительной машине, варьируя величинами конструктив-
ных размеров реактора, можно получить оптимальную производи-
тельность его по стиролу.
135
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Mathews Т., Chem. Eng., May (1964).
2. Parker W. A., Prados J. W., Chem. Eng. Progr. 60, № 6 (1964k
3. В a t к e T. L., Franks R. G., James E. W., ISA J., 4, 14 (1957).
4. Williams T. J., Chem. Eng., April (1960).
5. Wagner W. F., Chem. Eng., April (1963).
6. Wheeler R. С. H., Kinney G. F., IRE Trans., PGIE IE3-70.
7. D a s s a u W. J., Wolfgang G. H., Chem. Eng. Progr., 59, № 4
(1964).
8. M a t h e w s T., Chem. Eng., August (1964).
9. M a у e r F. X., Spencer E. H., Proc. Inst. Aut. Conf., 15, Part 2
(1960).
10. В e u 11 e r J., Roberts J. B., Chem. Eng. Progr., 52, As 2 (1957).
11. Williams T. J., Chem. Eng. News, 40 (1962).
УЧЕБНИКИ
12. W a 1 a s S. M., Reaction Kinetics for Chemical Engineers, New York, 1959.
13. Levenspiel O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, New York.
1962.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Буровой И. А., Г о p и н В. Н., Ромм Р. Ф., Динамические модели
одного класса последовательных гетерогенных процессов, в кн. «Управление
элементарными химическими процессами и построение автоматических
систем с применением вычислительных машин», Изд. «Металлургия», 1967.
Вейл ас С., Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов,
Изд. «Химия», 1964.
Д ь я ч к о А. Г., О расчете коэффициентов дифференциальных уравнений
и кинетических констант по суммарной кинетической кривой изменения
концентрации одного из реагентов, в кн. «Управление элементарными хими-
ческими процессами и построение автоматических систем с применением
вычислительных машин», Изд. «Металлургия», 1967.
Заградник Р., Усп. хим., 30, № 10 (1961).
Панченков Г. М., Ж о р о в Ю. М., Определение кинетических величин
простых и сложных химических реакций, проводимых в проточных реакто-
рах, Труды Московского института нефтехимической и газовой промышлен-
ности, вып. 44, 1963.
С к и б и д а И. П., М а й з у с 3. К., Эмануэль Н. М., Усп. хим.,
.38, № 1 (1969).
Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г., Курс химической кинетики, Изд.
«Высшая школа», 1962.
Lindsay К., Ind. Eng. Chem., Fundament, 1, № 4 (1962).
Macnichol E. F., Jr., Proc. IRE, 47, № 11 (1959).
T r a m<b о u z e P., Genie chim., 86, № 6 (1961).
Wright R. S., Brit. Chem. Eng., 9, № 2 (1964).
ГЛАВА VII
ДИНАМИКА ГАЗОВЫХ И ЖИДКОСТНЫХ
ПОТОКОВ
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ ЧЕРЕЗ СУЖАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Расход газа через диафрагму, сопло или другое сужа-
ющее устройство при турбулентном истечении и некоторых обычно
принимаемых допущениях может быть представлен следующим урав-
нением:
G = кв /р(Р1_р2)
где — давление газа на входе; Рг — давление газа на выходе; Р — среднее
абсолютное давление при прохождении через сужающее устройство.
Коэффициент /св, характеризующий сужающее устройство, дол-
жен иметь такую размерность, чтобы G выражалось в единицах весо-
вого расхода. При расчетах можно принять, что среднее давление Р,
отражающее изменение плотности среды при дросселировании, равно
среднему арифметическому Рг и Р2. Если перепад давлений. (Рг—
Р„) мал по сравнению со средним значением давления (Р, 4- Р2)/2,
то удобно использовать как приближенное значение для Р либоР,,
либо Р2.
При Р3 sg 0,53Р! наблюдается надкритическое истечение. Это
значит, что если давление на выходе приблизительно в два раза
меньше входного давления, то газ будет течь через сужение (напри-
мер, вентиль) с критической скоростью, равной скорости звука.
Давление на выходе в этом случае не будет влиять на скорость потока
и, следовательно, на расход через дроссель. Величину критического
потока при нормальной температуре можно рассчитать по следующей
формуле:
<7 = 0,85 fcBPi
В общем случае, когда истечение может быть как докритическим,
так и надкритическим, расход рассчитывается в зависимости от ве-
личин Рг и Р2 по следующей формуле:
к
G = -^=Pif (P2JP1)
137
1 k8J
P0
Рис. VII-1. Движение газа в системе последо-
вательно соединенных емкостей.
где
/ (Р2/^1)=41-(Рг/^1)2]1/2 при P2>0,53Pi
И.
f (Л/Pi) = 0,85 при Р-2 0,53 Р1
Пример VII-1. Моделирование системы, состоящей из трех
последовательно соединенных емкостей, заполняемых газом. Пред-
положим, что имеется система, состоящая из трех емкостей объемом
У15 У? 11 соединенных между собой трубопроводами
(рис. VII-1). В первую ем-
'Рпс. VII-2. Математическая модель дви-
жения газа (к примеру VII-1).
кость нагнетается газ под
высоким давлением Рг при за-
крытом вентиле 1. Давление
на выходе после вентиля 3
поддерживается равным Ро,
а вентили 2 и 3, коэффи-
циенты пропускной способ-
ности которых соответствен-
но равны кв2 и квз, открыты.
В момент времени t = 0 от-
крывается вентиль 1, газ из
первой емкости начинает
заполнять две другие емко-
сти и вытекает через вен-
тиль 3- Для того чтобы по-
лучить математическую мо-
дель этого процесса, необ-
ходимо записать уравнения,
связывающие изменения да-
влений и расходов в систе-
ме. Если предположить, что
газ идеальный и расширение
его при дросселировании
изотермическое, то давление
в каждой емкости опреде-
ляется в соответствии с за-
коном состояния идеального
газа:

138
Масса газа Mt в емкости i определяется из уравнения материаль-
ного баланса:
Учитывая общее уравнение течения газа через дроссель, рас-
ходы G[ можно выразить через давления в каждой емкости:
Gi = ^= PiKPmIPl}
) 2
На рис. VII-2 показана модель, в которой полученные уравнения
используются для описания системы, состоящей из трех последова-
тельно соединенных емкостей.
ДИНАМИКА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Задачи, связанные с движением жидкости через трубопроводы,
могут быть разделены на две большие группы. К первой группе от-
носятся задачи, в которых рассматриваются длинные трубопроводы.
Основным сопротивлением движению жидкости в таких трубопро-
водах является сопротивление вязкого трения, пропорциональное
длине, а местные сопротивления незначительны. Вторая группа за-
дач — это задачи о коротких трубопроводах. При их расчете должны
учитываться потери энергии как по длине, так и на местных сопро-
тивлениях, поскольку эти потери в данном случае соизмеримы. Для
расчетов более простых длинных трубопроводов существуют про-
граммы решения на цифровых вычислительных машинах. Самой
интересной задачей такого рода является нахождение давлений в раз-
личных точках трубопроводной сети при заданном расходе и сечении
труб. Задачи о коротких трубопроводах значительно сложнее, но
четкое понимание основных закономерностей протекающих процес-
сов позволяет построить математические модели и для их решения.
Рассмотрим несколько примеров расчета коротких трубопрово-
дов, для простоты считая, что в них течет идеальная несжимаемая
и невязкая жидкость, плотность которой не зависит от давления.
Пример VII-2. Моделирование движения жидкости в трубопро-
воде, соединяющем два резервуара s“7. Вода протекает по короткому
трубопроводу, связывающему два резервуара (рис. VII-3). Будем
считать, что скорость ее движения во всех точках трубопровода оди-
накова, т. е. что мы имеем дело с жесткой водяной струей.
Если гидродинамиче-
ские напоры на концах
трубопровода различны,
в любом его поперечном
сечении на жидкость дей-
ствует давление, равное
(Hi—Н2~) Sy, где S — пло-
щадь поперечного сечения
трубопровода, а у — удель-
ный вес.
Резервуар / Резервуар 2
Рпс. VII-3. Схема движения жидкости
между двумя резервуарами.

Сила трения действует против направления потока. Если за поло-
жительное направление принимать направление течения жидкости,
то, используя формулу Хазена — Вильямса, можно,записать выра-
жение для этой силы: г-
^тр=_й£2Ш^_в5
тр Д4.87
тде D — диаметр трубопровода; к — коэффициент трения; Q — объемный рас-
ход жидкости (см. рис. VII-3).
Это значит, что при изменении направления движения потока F-p
изменяет свой знак. Результирующая сила будет равна сумме этих
двух сил:
Г OIOI0’85
Под действием этой силы будет изменяться момент количества дви-
жения массы воды.
Результирующая сила равна
(масса X скорость) = (LSpv) = ~ (LpQ)
dt dt dt
Подставив в последнее выражение значение результирующей
силы, запишем динамическое уравнение движения воды в трубопро-
воде:
ill \ О’/
О IQ I0-86
П4,87
Другими словами, расход является функцией разности напоров
Нг и Н2, которые определяются из уравнения неразрывности струи:
для резервуара 1
d (SiHi)/dt= —Q
для резервуара 2
d(S2H2)/dt=+Q
При помощи этих трех уравнений можно построить простую
модель (рис. VII-4), закономерность формирования которой полезно
использовать во многих более сложных случаях:
из уравнения баланса сил, действующих на жидкость в трубо-
проводе, определяется расход жидкости; из уравнения неразрыв-
ности — изменение объемов жидкости в резервуарах и, тем самым,
давления, вызывающие перемещение жидкости.
Это правило иллюстрируется рис. VI1-5 и применено в следу-
ющем примере.
Пример VII-3. Моделирование перемещения жидкости насосами
в системе трубопроводов. Насос, расположенный несколько выше
резервуара А, нагнетает из него воду с большой скоростью по на-
клонному трубопроводу Ly большого диаметра на высоту Нг, а затем
по трубопроводу вода поступает в резервуар В (рис. VII-6).
140
Насос выходит из строя и отключается, после чего возникает
разрыв потока воды. Движение воды в колене Li продолжается не-
которое время, но постепенно расход снижается, а затем направление
движения жидкости изменяется и вода частично вновь собирается
в насосе. Для того чтобы правильно сконструировать защиту системы
от гидравлического удара, необходима следующая информация:
объем воды в колене Llt возвращающейся к насосу;
скорость жидкости непосредственно перед отключением насоса.
Можно предположить, что в момент отключения насоса давле-
ние Ра в нем будет равно атмосферному. На другом конце трубопро-
вода вода выливается в открытый резервуар В, поэтому здесь давле-
ние также равно РА. Давление в верхней точке трубопровода Рх
не может быть ниже давления водяного пара при данной температуре
(и равного Ро). Предположим также, что Н2 )> 0,3 м.
Материальный баланс для колена Lv\
dMi/dt= —Qtf при Qi>0
(1)
dMjJdt — О при
где — масса воды в колене Ll-, Q — объемный расход воды; р — плотность.
Когда поток жидкости меняет направление (за положительное
принято направление движения жидкости от насоса), в верхней точке
Рис. VII-4. Математическая
модель течения жидкости по
короткому трубопроводу.
Материальные баланс
для резерВуара /
материальный! оаланс
для резервуара г
Уравнения
динамики
Расходы
Давления
Уравнения
материальных
балансов
Рпс. VII-6. Схема перемещения
жидкости насосом.
Рис. VI1-5. Логическая схема по-
строения математических моделей
течения жидкостных потоков.
141
происходит разрыв потока. Тогда справедливо второе из написанных
уравнений:
dMi/d« = 0 при (21-^0
Силы, действующие на жидкость в колене L^.
сила давления — S (РА — Pi)
(где S — площадь поперечного сечения трубопровода)
От I От I0,88
сила трения = — kli v- -у8!-—S
(где li — длина водяной струи в колене в любой момент времени)
сила тяжести = —Hi (Z1/L1) Sgp
Под воздействием этих сил изменяется момент количества движе-
ния жидкости d [(MiQi/S)Vdt.
Приравнивая, получаем следующее уравнение:
d fMiQi\ ,п пчо Q| Q I0,88 n rr h
В связи с тем, что величина Pi может быть определена только
тогда, когда оба колена соединены между собой потоком жидкости,
запишем систему уравнений, характеризующих движение во втором
колене Л2:
сила давления = (Pi — РА) S
сила трения = kl2 (Q2 | Qsl0’88/^4’87) S
сила тяжести = Н2 (h/Li) | Sgp
Под действием этих сил также изменяется во времени момент
количества движения.
После объединения отдельных частей уравнения получим:
= (3>
Материальный баланс для колена L2:
4г Мг=р (Q1-Q2) при
Qi>0 '
Q2>0
Q1^O
Q2>o
— М2=-Qzp при
at
142
Объединение уравнений (1) — (4) в модель представляет значи-
тельную трудность, так как имеется пять неизвестных: Q2, Мх,
М2, Pi и только четыре уравнения. Дополним модель соотношением,
определяющим величину Рг, рассмотрев сопутствующее явление:
если давление Рх больше минимального значения (давления паров
воды при данной температуре), водяная струя неразрывна и расходы
в обоих коленах одинаковы, Q, = Q2. Другими словами, так как
вода практически несжимаема, в любой точке водяного потока в тру-
бопроводе будет давление Р±. Это соображение можно представить
символически:
------------
В рассматриваемом примере величина может быть найдена
методом последовательных приближений при совместном решении
динамических уравнений (2) и (3) для воды в коленах 1 и 2 трубо-
провода при условии достижения равенства расходов Q. и Q2.
Короче говоря, эта модель отражает механизм явлений, действи-
тельно протекающих в трубопроводе, аналогично модели, отража-
ющей физическую сущность процесса кипения многокомпонентной
смеси (см. рис. V-2).
К сожалению, в таком виде схема непригодна для расчетов на вы-
числительной машине. Все уравнения модели являются дифферен-
циальными и решаются по шагам, причем и Q2 — фиксированные
величины для каждого интервала (шага) времени. Чтобы организо-
вать машинный счет давления Рг, в данном случае необходимо мето-
дом последовательных приближений находить его величину, которая
удовлетворяла бы специфическому критерию — равенству расходов
Qi и Q2 поочередно для каждого временного интервала счета. Для
этого в блок расчета давления Pi необходимо ввести контур обрат-
ной связи. Функцию указанного контура может выполнять следу-
' ющее дифференциальное уравнение
~ =(C1-W А
(где К — константа), полученное преобразованием алгебраического
критерия Pi = К {Qi—Q2) к виду, удобному для расчетов по шагам.
Хотя вода обладает некоторой сжимаемостью, такое критериальное
уравнение удовлетворительно отражает истинный механизм проте-
кающего физического явления. Величина К выбирается так, чтобы
поддерживать равенство величин и Q2 с заданной точностью.
Однако она не должна быть очень велика, поскольку при этом чрез-
мерно возрастает машинное время (большое К приводит к уменьше-
нию величины шага счета).
Такой метод расчета несложно осуществить и на аналоговой вы-
числительной машине. Критериальное уравнение на ней решается
(рис. VII-7) при помощи интегратора, образованного усилителем
143
уравнения dP-Jdt= К (Qr —
Q2) с помощью интегра-
тора.
с большим коэффициентом усиления и
конденсатором небольшой емкости в цепи
обратной связи. Это уравнение может
быть объединено с основной моделью,
показанной на рис. VII-8. Для решения
модели требуется задать первоначальную
величину (?1, равную Q2, после чего вы-
числительные процедуры, включающие
метод последовательных приближений,
приводят к равновесной величине Рг,
характеризующей устойчивую работу
насоса до момента его отключения. С этого момента Рг постепенно
падает и, наконец, достигает величины Ро, когда Q± перестает быть
равным Q2. Давление в образующейся полости становится рав-
ным Ро.
Модель (см. рис. VII-8), хотя она наглядна и математически устой-
чива, требует слишком большого машинного времени для получения
достаточно точного решения из-за большой величины К в уравнении
расчета давления и малых шагов интегрирования. Для уменьшения
времени счета можно упростить модель. Несмотря на то, что Рг
становится равным Ро, жидкость в обоих коленах Lr и Л2 может
быть рассмотрена как единая масса, описываемая одним уравнением
материального баланса и одним уравнением сохранения количества
движения.
При этом Р1 определяется из уравнения количества движения
для трубопровода L1 при постоянной массе М2 и Qi — Q2 == Q,
Материальный Материальный
баланс для колена 7 баланс для колена 2
Рис. VII-8. Блок-схема модели перемещения жидкости с помощью насоса.
144
полученных из общего динамического урав-
нения. Как только Рг становится равным Ро,
расчет повторяется в соответствии со схемой,
показанной на рис. VII-8. При таком рас-
чете не надо производить сложных вычис-
лений для получения Р±, как это делалось
при нахождении его неявным методом (по-
пытайтесь самостоятельно произвести даль-
нейшее упрощение модели, решая задачу,
предлагаемую в конце главы).
Пример VII-44. На рис. VII-9 показан
ряд насосов, разделенных на две группы:
А — постоянно работающие насосы и В —
отключаемые насосы. Все эти насосы пред-
назначены для нагнетания воды в систему
трубопроводов, разветвляющуюся на две
параллельные линии Ь2 и Z3. В момент
Рис. VII-9. Схема пере-
мещения жидкости в си-
стеме трубопроводов.
времени t = 0 группа
насосов В отключается. Это значит, что энергия нагнетания умень-
шается, скорость вращения рабочего колеса насоса уменьшается
и в конце концов оно начинает вращаться в другую сторону. Урав-
нение, описывающее вращение останавливающегося рабочего колеса
насоса, имеет вид:
I —5- =МВ
dt в
где I — момент инерции рабочего колеса; со — угловая скорость; М — враща-
ющий момент.
Вращающий момент есть функция скорости и расхода через насос:
или
/ <2В \
В связи с тем, что при остановке насоса величина со проходит
через ноль, требуются два уравнения, которые выражали бы связь
между гидравлическими характеристиками насоса. Будем считать,
что все насосы в группе В идентичны и работают синхронно. Напор
останавливающегося насоса есть функция скорости вращения и рас-
хода:
Н =

или
10 Заказ 2163
145
Общий напор зависит, конечно, и от работающих насосов. Вели-
чина расхода через работающий насос есть функция напора Н:
QA=f(H)
Если мы предположим, что имеется т работающих насосов и п
останавливаемых, расход воды в трубопроводе Ly будет равен:
Qi = mQA+nQB
Для точки соединения трубопроводов можно записать:
<21=<?г + <2з
Если давления на выходе трубопроводов L2 и L3 и на входе всех
насосов одинаковы и равны атмосферному давлению Ро, то уравне-
ния баланса движущих сил -для каждого из трубопроводов будут:
-^Г ’ = (Н1~Н0) +Н-Гч-к^ | Ci I0’86
u-t О 5
.^=(Hy-H0)-h2-k2Q2 | Q2 |°-85
at Jj g
-^-^(.Hy-Hy,}-h3-k3Q3 I Q3 |°’88
at og
Теперь мы имеем восемь уравнений и должны определить восемь
неизвестных: Qy, Q.z, Q3, и>в, QB, Мв, Н и Ну. Для этого необходимо
наиболее целесообразно расположить уравнения в модели. Если при-
держиваться основной схемы построения модели, данной на рис. VII-5,
то из уравнения баланса движущих сил бпределяют Qh а из уравне-
ния вращения рабочего колеса останавливающегося насоса — ско-
рость ®в; ее изменение связано с приложенным крутящим моментом
функциональной зависимостью
Оставшиеся четыре уравнения могут быть использованы следу-
ющим образом:
уравнение напора — для нахождения расхода через останавли-
ваемый^насос по схеме, показанной на рис. VII-10;
------—___— уравнение расхода работа-
п ющего насоса — для нахожде-
н у ния его расхода
~ол-/т
Рис. VII«10. Использование в модели
уравнений напора жидкости.
два последних уравнения
неразрывности
<21=<2г + <2з и = APnQB
146
для нахождения Нг и Н. Полная замкнутая модель показана на
рис. VII-11. При решении модели может возникнуть ряд трудностей,
связанных с чрезмерно большим временем счета итеративных конту-
ров, созданных на основе уравнений неразрывности струи для расчета
напоров Н1 и Н- Необходимы некоторые упрощения, аналогичные
проведенным в примере VI1-3. В данном случае они заключаются
в использовании уравнения равенства сил, действующих на жидкость
в трубопроводе, для получения Н1 при
'О ( , dQ3 \
С1-С2-гСз ^или = +
и уравнения работающего насоса для получения QA после пре-
образования
При решении уравнений на вычислительной машине можно полу-
чить интересующие нас переменные, такие, как расходы, скорость
вращения останавливающегося насоса и напор Н как'функции вре-
мени.
10'
147
ЗАДАЧИ
Задача 1. Из открытого резервуара жидкость через длинный тру-
бопровод течет в замкнутый объем, заполненный газом. В связи
с тем, что линия имеет большой диаметр и момент количества движе-
ния жидкости велик, равновесие в газовом объеме нарушается и газ
начинает сжиматься.
Построить математическую модель для определения переходного
процесса изменения давления в этом замкнутом объеме (рис. VII-12).
Предположить, что на выходе из резервуара поставлен вентиль для
того, чтобы уменьшить расход и предотвратить чрезмерное возраста-
ние давления в емкости. Определить место этого вентиля в модели.
Задача 2. Центробежный насос подает жидкость в реактор,
расположенный на некотором расстоянии от насоса (рис. VII-13, а).
При определенных рабочих условиях предполагается, что в линии,
соединяющей насос с реактором, образуются волны. Отбор жидкости
из реактора поддерживается постоянным. Над поверхностью
жидкости в реакторе имеется герметичная полость, заполненная га-
зом. Соотношение между выходным давлением и расходом для на-
соса известно (рис. VII-13, б). Построить модель системы, которая,
будучи реализована на вычислительной машине, может быть исполь-
Резер&уар
Рис. VII-12. Схема к задаче VII-1.
Хранилище
Рис. VII-13. Схема транспортировки жидкости из храни-
лища в технологическую установку (а) и график зависимо-
сти PL = / | <>] (б).
Рис. VII-14. Схема к задаче V1I-3.
148
D
Хранилище
Рис. VII-15. Схема перекачки расплавленного маталла.
зована для объяснения причин образования волн в линии подачи
жидкости в реактор.
Задача 3. В конце технологического цикла в автоклаве
(рис. VI1-14) закрывается паровой вентиль I на паровой линии и от-
крывается вентиль II на жидкостной линии, установленный для того,
чтобы в нужный момент содержимое автоклава церетекло в сепаратор.
Паровое пространство автоклава содержит только пары жидких
компонентов при высоком давлении. По мере того как автоклав опо-
рожняется, давление в нем падает, что, в свою очередь, вызывает
понижение температуры его содержимого. Сепаратор первоначально
заполнен инертным газом под давлением, меньшим, чем давление
в автоклаве.
Горячая жидкость, проходящая через вентиль II, затем раз-
деляется в сепараторе. Одна фракция превращается в пар, смеши-
вается с инертным газом и попадает из сепаратора в абсорбер, где
все пары абсорбируются растворителем, инертный газ проходит
абсорбер и выходит через вентиль III.
Предполагая, что газообразная фаза в сепараторе в любой момент
времени идеально перемешана и пренебрегая остатками жидкости
на дне сепаратора, построить математическую модель, которая по-
зволит определить изменение давления в абсорбере и расход газа
через вентиль III. Учесть, что падение давления при прохождении
через сепаратор и абсорбер пренебрежимо мало и истечение через
вентиль надкритическое.
Задача 4. Расплавленный металл непрерывно перекачивается
насосом из хранилища в реактор (рис. VII-15). Давление в реакто-
ре Р, а в хранилище Рп. В момент Г= 0 насос отключается, но вслед-
ствие инерции текущей массы металла скорость потока уменьшается
только через некоторый промежуток времени. В точке D возможно
образование вакуума в тот момент, когда жидкость в колене (б +
+ Ь2) изменит направление. При этом жидкость в трубопроводе Lt
тоже изменит направление движения вследствие действия давления Р.
Это изменение в конце концов достигнет точки Е, если колено (б +
149
+ Z2) освободится от b порции жидкости. При этом может произойти
разрыв трубопровода.
Предположим, что струя разрывается у самого реактора и что
сопротивление насоса с остановившимся рабочим колесом пропор-
ционально квадрату скорости.
Требуется построить математическую модель для вычислитель-
ной машины, которая позволит получить количественное решение
следующих вопросов:
какова масса возвращаемого потока жидкости в трубопроводе £х?
что будет с массой (Ъ + Ь2), когда жидкость из колена LT достиг-
нет точки Е?
При этом даны:
S — площадь поперечного сечения трубопровода;
р — плотность жидкого металла;
Ъ. с, d, Ьл, L2 — высоты и длины трубопроводов (см. рис. VII-15).
7стр — коэффициент трения трубопровода;
/схол — коэффициент трения рабочего колеса насоса при
остановке.
Обозначения
А — число постоянно работающих насосов.
В — число отключаемых насосов.
S — площадь поперечного сечения трубопроводов или резервуа-
ров
Л'в — коэффициент пропускной способности вентиля.
D — диаметр трубопровода.
g — ускорение силы тяжести.
Frp — сила трения.
I — момент инерции.
к — коэффициент трения.
L — длина трубопровода.
I — длина водяной струи.
М — масса воды (пример VII-3), вес газа (пример VII-1) или вра-
щающий момент (пример VII-4).
со — скорость вращения.
Р — давление.
Q — объемный расход.
И — уровень или напор (пример VII-4).
v — линейная скорость течения жидкости.
р — ПЛОТНОСТЬ жидкости,
у — удельный вес.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. S с h w еп Г G. V., McGregor W. К., ISA J., August (1956).
2. Н u n n R. J., M с I n t i г e R. L., Austin K. L., Chem. Eng. Progr.,
Symp. Ser., 56, № 1 (1960).
3. Kniebes D. V., Wilson G. G., Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 56,
№ 1 (1960).
4. Taylor E. H.,R eis m an A.,Deland E. С., В au d is t elH. H.,
Analog Computer Solution of a Complex Transient Hydraulic Problem in the
Power Industry,' ASME Paper 60-WA-5, 1961.
150
5. Kephart J. T., Davis К., Pressure Surges Following Water Column
Separation, ASME Paper 60-WA-120, 1961.
6. Ezekiel F. D., Paynter H. M., Computer Representations of Engi-
neering Systems Involving Fluid Transients, M. I. T. H-3 P-10, 1956.
7. В a 11 S. J., Inst. Control Systems, 36 (1963).
8. Childs D., Simulation, 3, № 3 (1964).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, Изд. «Наука», 1969.
Бретшнайдер С., Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы
расчета, пер. с польск. под ред. П. Г. Романкова, Изд. «Химия», 1966.
Дейч М. Е., Техническая газодинамика, изд. 2-е, перераб., Госэнергоиздат,
1961.
Дейч М. Е., Филиппов Г. А., Газодинамика двухфазных сред, Изд.
«Энергия», 1968.
Залманзон Л. А., Проточные элементы пневматических приборов кон-
троля и управления, Изд. АН СССР, 1961.
Киселев П. Г., Гидравлика, Основы механики жидкости, Госэнерго-
издат, 1963.
Левич В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматгиз, 1959.
Л о й ц я н с к и й Л. Г., Механика жидкости и газа, Изд. технико-теорети-
ческой литературы, 1950.
Семенов Н. И., Исследование гидродинамических сопротивлений при те-
чении газожидкостных смесей в горизонтальных трубах, Автореферат диссер-
тации, 1954.
Серрин Дж., Математические основы классической механики жидкости,
пер. с англ., Издатинлит, 1963.
ГЛАВА VIII
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ
В НЕСКОЛЬКО СТАДИЙ
В предыдущих главах проводилось математическое, опи-
сание в основном несложных процессов тепло- и массообмена, про-
текающих преимущественно в отдельных аппаратах идеального
смешения. Все эти процессы описывались системой обыкновенных
дифференциальных или алгебраических уравнений.
Однако в химической технологии существует целый ряд процес-
сов, когда взаимодействие или разделение веществ осуществляется
в несколько стадий. Наиболее типичным примером многостадийного
процесса разделения является процесс ректификации, осуществляе-
мый, например, в тарельчатой колонне. За счет подвода тепла в ки-
пятильник исчерпывающей части колонны в ней создаются встречные
потоки пара и жидкости. Межфазовый перенос веществ происходит
в несколько стадий; на каждой из них пар обогащается более летучим
компонентом, а жидкость — менее летучим.
Аналитическому исследованию многостадийных процессов до на-
стоящего времени препятствовали значительные трудности вычис-
ления, возникавшие при решении уравнений их математических
моделей. Но при современном уровне развития вычислительной
техники решение подобных задач в большинстве случаев стало воз-
можно. Это должно привлечь, несомненно, более широкое внимание
к исследованию химико-технологических процессов методом матема-
тического моделирования *.
В этой главе на ряде примеров будет показано, как строится мате-
матическое описание многостадийного процесса из описаний его
отдельных ступеней. Описание некоторых из них может осложняться
наличием побочных явлений, связанных, например с отбором или
подачей каких-либо веществ, которые надо учитывать при построе-
нии общей математической модели всего процесса. Другими словами,
из-за большого числа деталей и тонкостей, выявляющихся при по-
* В настоящее время в СССР создаются альбомы математических «писаний
типовых процессов химической технологии, — Прим. ред.
152
строении математической модели сложного процесса, нужно быть
особенно внимательными и более тщательно анализировать все
связи в изучаемой системе.
ЭКСТРАКТОР
Рассматривается жидко-жидкостная экстракция, осуществляемая
в N последовательных стадий. Каждая ступень состоит из смесителя
и отстойника. В смеситель подаются два потока жидкости, состоя-
щей соответственно из растворителя а, богатого растворенным веще-
ством, и растворителя (3, в котором содержится малое количество
растворенного вещества. Это вещество частично переходит в раство-
ритель р, где его растворимость значительно выше, чем в первона-
чальном растворителе а. Остаток и экстракт, образующие отдельные
фазы, разделяются в отстойнике под действием силы тяжести и отби-
раются в виде двух отдельных потоков и Qi (рис. VIII-.1).
Целью проведения процесса является достижение заданной кон-
центрации растворенного вещества в растворителе р (равной Xgi)
при начальной его концентрации в растворителе а — Хл и мини-
мально возможной остаточной концентрации растворенного вещества
в растворителе а.
На рис- VIII-2 представлена условная схема одной из ступеней.
На схеме обозначены составы и расходы поступающих и отбираемых
потоков. Все стадии соединены в последовательную цепочку, а потоки
первоначального раствора и растворителя р подаются в систему
противотоком так, чтобы обогащенный на предыдущей стадии ра-
створитель р контактировал с наиболее богатым растворенным ве-
ществом раствором а.
В динамике в общем случае потоки и составы на каждой стадии
могут изменяться во времени. Также предполагается, что на каждой
ступени достигается равновесие между содержанием растворенного
вещества в обеих фазах, причем равновесное соотношение концен-
траций выражается уравнением:
г
где К — коэффициент распределения.
Растворитель о; Растворитель ft
Смеситель
Рис. VIII-1. Схема процесса экстракции.
Ступень п
Рис. VIII-2. Условная схема
я-й ступени многостадийного
процесса экстракции.
153
Материальный баланс Зля ступени п
Рис. VIII-3. Математическая модель га-й ступени процесса экстракции.
Для построения математической модели, описывающей этот про-
цесс, требуются только два уравнения. В качестве первого берется
уравнение материального баланса растворенного вещества, учитыва-
ющее его содержание в обеих фазах для каждой стадии:
[скорость накопления] — [приток] — [сток]
(1ДХоП + VрХр,,) = QaXon_! + QpXpn+1 — <2аХаЛ —
Вторым уравнением является уравнение равновесия:
Xf. = KX„n
Для лучшей сходимости уравнение материального баланса должно
быть решено относительно Х$п, если К > 1, или относительно Х„п,
если К < 1. Если Хед и Хр„ — величины одного порядка (К 1),
то выбор переменной не имеет значения. В данном случае уравнение
материального баланса решается относительно Хр„, которую счи-
таем большей по величине. Для нахождения ХаП используется урав-
нение равновесия.
Математическая модель п-й стадии процесса экстракции предста-
влена на рис. VIII-3. Связь ступеней процесса между собой пред-
ставлена на рис. VIII-4.
Если процесс установившийся, то накопления растворенного
вещества в системе не происходит, производные в дифференциаль-
ном уравнении материального баланса для каждой из стадий могут
быть приравнены нулю и уравнения сведутся к виду:
QaX^ + QpX (ЗЛ+1 — QaX„e+ СрХрд
Для этого случая путем преобразования уравнения материаль-
ного баланса может быть получено простое выражение, связыва-
Рис. VIII-4. Схема объединения моделей отдельных стадий процесса-
154
ющее Хед, Хр„, отношение вели-
чин потоков QJQ$ и коэффициент
распределения К- Такое упроще-
ние является типичным результа-
том правильного аналитического
подхода к исследованию химико-
технологических процессов.
Таким же образом можно по-
строить математическую модель
значительно более сложной си-
стемы. Например, предположим,
что вещество С получается в ре-
зультате реакции
ЛЩВ C-\-D
Рис. VIII-5. Условная схема п-й
ступени процесса экстракции, ослож-
ненного химической реакцией.
которая проводится в растворителе а, содержащем катализатор.
Из четырех веществ, участвующих в реакции, только вещество С
растворимо в растворителе р с коэффициентом распределения К,
равным К = X'cJXcn, где Х'сп — мольная доля вещества С в (3-
фазе и Хсп — мольная его доля в а-фазе.
Как и в предыдущем случае, технологическая схема процесса
является противоточной. Математическая модель всей системы может
быть синтезирована из описаний ее отдельных стадий (рис. VIII-5),
которые идентичны.
Для некоторой стадии п имеем следующие уравнения:
1. Кинетика химической реакции в фазе а
R=va(knpxAxB-ko6pxcxD)
2. Материальный баланс компонента А
[накопление] = [подача] — [отбор] — [реакция]
4 (V^An) = Q.XAn_1-QaXAn-R
3. Материальный баланс компонента В
(Уa.XBn) = Qa.XBn_1 — QaXBn — R
4. Материальный баланс компонента С (для обеих фаз а и Р)
4 (^ЛсО + 4 y^'cn) = Q,Xcn-i-Q.XCn + Q^X'Cn+1-Q^X'Cn+R
5. Материальный баланс компонента D
W - с Л вл-1 - Q«xDn+R
6. Распределение компонента С
Хсп = ххСп
155
Рис. VIII-6. Блок-схема математической модели n-й ступени процесса.
Рис. VIII-7. Схема объединения моделей отдельных ступеней процесса.
Построение модели п-й стадии процесса, описываемой этими урав-
нениями, дано на рис. VIII-6. Схема чрезвычайно проста, материаль-
ные балансы отдельных компонентов используются для нахождения
их концентраций. Если константы скоростей реакции кпр и кобр
и коэффициент распределения К являются функциями температуры,
модель, показанная на рис. VIII-6 и повторенная для всей цепочки
из п стадий, может быть использована с некоторыми изменениями
для нахождения оптимального температурного режима для каждой
стадии. За критерий оптимальности в соответствии с постановкой
задачи может быть принята максимальная конечная концентрация Хе,
растворенного вещества в растворителе (j (при указанных в условии
задачи ограничениях). Задача может быть решена на ЭЦВМ методом
последовательных приближений. На рис. VIII-7 показана схема
связи отдельных стадий процесса между собой.
156
РЕКТИФИКАЦИОННАЯ КОЛОННА
Наиболее часто встречающимся в химической и нефтехимической
промышленности аппаратом является ректификационная колонна.
Она может служить типичным примером многостадийной противо-
точной разделительной системы. Из-за сложности протекающих
в ней физических явлений аналитическое исследование процесса
крайне затруднено. Наиболее простым, с точки зрения математиче-
ского описания, является процесс разделения бинарной смеси, наи-
более сложным — многокомпонентная неидеальная ректификация,
при которой на каждой из ступеней происходит химическое взаимо-
действие разделяемых компонентов, а также имеются побочные
питающие и отбираемые паровые и жидкостные потоки.
При моделировании ректификационной колонны обычно при-
меняют так называемый потарелочный метод, который состоит в по-
строении модели отдельной ступени и ее повторении при програм-
мировании для всех остальных ступеней. Для завершения модели
к ней присоединяют математические описания питающей тарелки,
кипятильника и конденсатора.
В этой главе даются примеры построения математической модели
статики и динамики процесса ректификации для общей ступени
колонны, начиная с самого простого случая разделения бинарной
смеси и кончая случаем неидеальной многокомпонентной ректифи-
кации.
Ректификация бинарной смеси. В первом приближении при мо-
делировании процесса ректификации колонна описывается по теоре-
тическим ступеням (тарелкам). Так, двадцатитарелочная колонна
с эффективностью тарелки, равной 70%, может быть адекватно заме-
нена четырнадцатиступенчатой теоретической равновесной колонной,
каждая из ступеней которой имеет разделительную способность,
равную V0,7 от разделительной способности тарелки описываемой
неидеальной колонны. На рис. VIII-8 схематически представлена
эквивалентная теоретическая тарелка, характеризуемая равнове-
сием между поднимающимся паром и жидкостью, покидающей дан-
ную ступень, что для бинарной смеси (для n-й ступени) может быть
выражено следующим образом:
=/(*«)
Рис. VIII-8. Эквивалентная теоретическая
тарелка.
157
Материальный баланс легколетучего компонента имеет вид:
(МХп) = Vn_iYn.i+Ln+iXn+1-VnYn-LaXn
Предполагая постоянный мольный переток и пренебрегая запаз-
дыванием в паровом потоке, запишем уравнения, связывающие
потоки пара и жидкости, поступающие на данную ступень и покида-
ющие ее:
dLn. _j- r
x dt
Второе уравнение содержит постоянную времени т, показыва-
ющую, что между поступлением потока жидкости £„+1 на n-ю сту-
пень и уходом жидкости Ln на следующую тарелку существует емкост-
ное запаздывание. Величину этой «гидравлической» постоянной вре-
мени т можно рассчитать, если знать геометрические параметры
тарелки и высоту перелива. .
Приведенные выше уравнения описывают процесс, проходящий
на любой из ступеней колонны, за исключением питающей тарелки
и кипятильника. В уравнение материального баланса по легколету-
чему компоненту, составленное для питающей тарелки, необходимо
ввести величину расхода питающего раствора, умноженную на соот-
ветствующую концентрацию FXp.
Для кипятильника материальный баланс можно записать следу-
ющим образом:
[скорость накопления данного компонента] = [поступление с потоком
жидкости с первой ступени] —[отбор с кубовым остатком] —[испарение]
(МХо) = LiXi-LoXo- VYo
Величина парового потока подсчитывается по уравнению
[паровой поток]=[тепловой поток] : [скрытая теплота парообразования]
т=4-
Величина теплового потока q, подводимого к кипятильнику,
предполагается в данном случае известной. Также известной счи-
тается величина отбираемого кубового остатка Lo.
На рис. VHI-9 представлена блок-схема модели этой колонны,
причем детально описана лишь одна ступень. Величина Lo показана
на рис. VHI-9 как один из входов модели.
Разделение многокомпонетных смесей. Наиболее общим случаем
ректификации является разделение многокомпонентных смесей.
Уравнения материального баланса по каждому компоненту соста-
вляются так же, как и в предыдущем случае, а именно: для компо-
нента i на п-й тарелке получаем:
(iXnMn) = i(n+l) 4~ I n-lYi(n-l) I'ni^n I nlYn
158
Рис. VIII-9. Блок-схема модели процесса ректификации
бинарной смеси.
Составы равновесных фаз в многокомпонентной системе связаны
следующими соотношениями:
где (Тп) — парциальное давление пара данного компонента; пп — общее
давление смеси на тарелке; 7 — отношение коэффициентов активностей компо-
нента соответственно в жидкой и паровой фазах.
При построении математической модели процесса разделения
многокомпонентной смеси методом ректификации поступают так же,
как при описании состояния равновесия в паро-жидкостной системе
(см. гл. V): из уравнений материальных балансов по отдельным ком-
понентам находят состав жидкой фазы (-Хп, а уравнения равновесия
используют для определения состава пара tYn и температуры Тп
на тарелке.
Для определения температуры на тарелке строится итерацион-
ный контур (см. гл. IV). Особенностью ректификационных колонн
является то обстоятельство, что так называемый ключевой компонент
смеси, по которому рассчитывается температура на тарелке, целесо-
образно менять в зависимости от его концентрации при переходе
от укрепляющей к исчерпывающей части колонны.
На рис. VIII-10 показана блок-схема модели процесса многоком-
понентной ректификации, в которой используется наиболее удобная
схема определения температуры на тарелках, основанная на условии,
что 1- Эта схема нахождения температуры в многокомпонент-
ной равновесной системе подробно описана в гл. V.
При построении модели было сделано предположение, что в ко-
лонне (в статике) соблюдается так называемый постоянный мольный
переток или, что то же самое, количество молей пара и жидкости,
поступающих и покидающих тарелку, не меняется по величине при
переходе от тарелки к тарелке. Это предположение не является спра-
ведливым для многих случаев ректификации. Для таких процессов
в модель дополнительно вводится уравнение теплового баланса,
которое используется для определения потока пара Vn, уходящего
с тарелки. Для определения потока флегмы Ln в модели используется
общий материальный баланс тарелки.
Уравнение теплового баланса связывает тепло, приносимое и ухо-
дящее с тарелки, с изменением энтальпии жидкости на ней следу-
ющим образом:
(,СптпТ п) = ?n + l Qn Qn
где Q — количество тепла, поступающее и уносимое с паром в единицу вре-
мени; q — количество тепла, поступающее и уносимое с потоком жидкости;
сп — теплоемкость жидкости на тарелке; тп — масса жидкости.
В связи с тем, что температура жидкости на тарелке меняется
во времени незначительно, величиной d(cra7n„Tre)/di можно прене-
бречь.
160
Рис. VIII-10. Блок-схема процесса многокомпонентной ректификации (для а-й
тарелки).
Энтальпия паровых и жидкостных потоков определяется через
энтальпию компонентов смеси и ее состав следующим образом:
где ff( — энтальпия компонента в паре (аналогично — для жидкости).
161
И Заказ 2163
Полная модель для одной ступени разделения четырехкомпонент-
ной смеси показана на рис. VII1-10. Построение ее типично для рав-
новесных систем: из материального баланса компонентов опре-
деляется расход жидкой фазы. Гидравлическая постоянная времени
тарелки вводится в модель путем аппроксимации уравнения гидро-
динамики, написанного для общей ступени колонны. Из уравнений
паро-жидкостного равновесия определяют состав пара, покидающего
тарелку, а его количество находят из уравнения общего теплового
баланса.
Имеются два основных аспекта изучения процесса ректификации.
Первый из них касается конструирования колонны и нахождения
оптимального технологического режима ее работы, второй связан
с управлением ректификационными установками. При решении задач
первого типа определяется число ступеней, необходимых для дости-
жения требуемой степени разделения исходной смеси, оптимальное
расположение питающей тарелки и боковых выводов и вводов пото-
ков, требуемая величина флегмового числа и т. д. Для этого типа
задач используются уравнения статики процесса, подобные приве-
денным на рис. VIII-10 уравнениям динамики, но из них исключены
члены, содержащие производные. Задачи оптимального проектиро-
вания (расчет статики процесса ректификации) решаются обычно
методами динамического программирования, наискорейшего спуска
и другими с применением цифровых вычислительных машин *.
При расчете задаются следующие величины:
состав и скорость подачи разделяемой смеси;
физико-химические характеристики разделяемых компонентов
(энтальпии, давления паров как функции температуры, активности
и т. д.);
требуемые условия разделения (составы и расходы кубового
остатка и дистиллата).
Процедура счета заключается в потарельчатом расчете секций
колонны и начинается обычно с кипятильника. По составу жидкости
в нем рассчитывают составы на всех тарелках до питающей ступени
снизу вверх. Затем, зная состав отбираемой паровой фазы сверху
колонны, проводят расчет составов сверху вниз. Сходимость расчета
проверяется в области питающей тарелки. При несовпадении соста-
вов жидкости и пара, полученных при расчете «сверху» и при расчете
«снизу», процедура повторяется при новых значениях числа ступеней,
флегмового числа, диаметра колонны и места ввода питания до до-
стижения заданной точности расчета. Введя в модель уравнение
критерия оптимальности, ее можно использовать для оптимального
проектирования процесса.
Для решения задачи оптимального управления используется
динамическая модель колонны 14-22. Эта задача может быть решена
как на цифровой, так и на аналоговой вычислительных машинах.
* В некоторых специальных случаях используются аналоговые или гиб-
ридные машины23’ 28 2?.
162
В случае многокомпонентной ректификации, проводимой в много-
ступенчатой колонне, решение системы уравнений математической
модели перерастает возможности даже очень больших цифровых
вычислительных машин и приходится прибегать к гибридным ма-
шинам 14’17.
Целью моделирования динамики процессов ректификации
является получение данных, необходимых для создания оптималь-
ных систем управления. Изучая закономерности протекания пере-
ходных процессов в колонне по основным каналам при наличии всех
возмущающих и управляющих воздействий, можно выбрать контуры
управления, сравнить различные структурные схемы, выбрать ре-
гулирующую аппаратуру и найти рабочие настройки регуляторов.
Для моделирования динамики необходимо располагать данными,
перечисленными ранее для расчета статики; необходимо также
знать:
конструктивные размеры тарелок и перегородок;
конструктивные размеры кипятильника и конденсатора;
предполагаемые каналы управления и регулирующую аппаратуру.
В уравнения материальных балансов при этом вводятся члены
с производными, характеризующими скорость накопления отдель-
ных компонентов в жидкой фазе на тарелке.
Пример моделирования динамики процесса одновременного раз-
деления и химического взаимодействия веществ приведен в конце
этой главы.
ТЕПЛОВОЙ И МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНСЫ
УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПРОЦЕССА
Далее в этой главе на примере статики процесса ректификации
показано, как строится программа расчета сложного процесса, со-
ставляемая из подпрограмм для отдельных типовых процессов, та-
ких, как разделение и конденсация, подпрограмм расчета развет-
вления потоков, материальных и тепловых балансов, химической
кинетики и т. д.
Такой метод программирования подобен описанному ранее (см.
гл. III) методу программного моделирования, предназначенному для
решения сложной системы уравнений на основе отдельных стандарт-
ных подпрограмм расчета элементарных математических функций
(синуса, косинуса, экспоненты, логарифма и т. д.). Современные вы-
числительные машины автоматически осуществляют над ними раз-
личные математические операции в соответствии с полной програм-
мой вычислений. Удобство такого метода программирования оче-
видно — он позволяет ускорить программирование больших задач.
Этот метод в настоящее время успешно распространяется в области
моделирования технологических процессов. Создаются стандартные
программы расчета отдельных типовых процессов.
Возможности каждой стандартной программы должны быть до-
статочными для обработки большого числа различных типов входных
данных. Сначала программа бывает довольно примитивной, потом
11
163
она развивается подобно MIDAS или MIMIC (см. гл. III). В литера-
туре описаны различные по сложности модели типовых технологиче-
ских процессов, находящиеся, если можно так сказать, на различ-
ных ступенях развития 1*11. Делаются попытки анализа этих моделей
с точки зрения создания наиболее полных и в то же время экономич-
ных описаний процессов, пригодных для целей оптимального кон-
струирования 2’7. Хотя предполагается, что возможности этих про-
грамм будут значительно расширены в ближайшем будущем, основ-
ные принципы их построения являются незыблемыми по своей при-
роде.
В этой главе далее излагаются общие принципы построения
гипотетической стандартной программы, подобной действительно
существующим программам, известным из литературных источни-
ков
При моделировании статики процесса разделения методом ректи-
фикации необходимо определить составы, температуры и расходы
потоков вещества в различных точках колонны и вспомогательных
аппаратов, входящих в промышленную установку. Для получения
такого объема информации требуется произвести большое число
вычислений, что доступно только мощным вычислительным машинам.
Программа компонуется из отдельных подпрограмм — блоков. По-
пытаемся описать как структуру ее нескольких основных элементов
(блоков программы), так и метод построения самой программы рас-
чета материального и теплового балансов системы в целом.
ПРОГРАММА РАСЧЕТА РАЗДЕЛЕНИЯ
МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОЙ СМЕСИ
ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ (FSH)
Поток жидкости Z (в кмолъ/сек), состоящий из смеси нескольких
компонентов, поступает в емкость, где при помощи соответствующего
устройства его температура доводится до величины Т (рис. VIII-11).
От величины этой температуры, называемой характеристической,
зависит выбор аппарата (парциальный конденсатор, кипятильник
и т. д.). Температура смеси на тарелке ректификационной колонны
также является одним из основных, ключевых параметров, опре-
деляющих интенсивность процесса разделения в этой сложной проти-
воточной паро-жидкостной системе.
Программа, вызванная из памяти машины символом FSH, рас-
считывает распределение каждого г-го компонента входного потока Z
между потоками уходящего пара F% и жидкой фазы Fj1.
Этот узел рассчитывается по уравнениям статики соответственно
конденсатора, кипятильника или тарелки ректификационной ко-
лонны, подобным ранее приведенным уравнениям динамики, но от-
личающимся от них отсутствием членов, содержащих производные.
Входными данными для программы являются содержание компонен-
тов в питающем растворе, их физические характеристики (летучесть,
давление паров), температура и давление, при которых должен осу-
164
р/;Т
Общий пароВой поток V
[ Парциальный ——
/—— конденсатор
I ЛаВлЕниа Р
I
Охлаждающая | ,
Вада И; Т
Входной поток
Z
Расход
компонента
Pi
Расход компонента Fj'
FSH
Температура Т
Давление Р
Общий, жидкостный поток
Расход компонента Fi~
Рис. VIII-12. Входная и выходная ин-
формация для подпрограммы FSH.
Рис. VIII-11. Примеры процессов, для
расчета которых можно применить про-
грамму FSH.
ществляться процесс ректификации. Входная и выходная информа-
ция для такой программы показана схематически на рис. VIII-12.
На рис. VIII-13 дана блок-схема входящей в эту программу подпро-
граммы расчета материального баланса i-того компонента смеси,
объединенного в один контур с уравнениями газо-жидкостного со-
стояния равновесия. При помощи этой подпрограммы решается си-
стема нелинейных алгебраических уравнений, причем, для расчета
константы Генри, входящей в уравнение равновесия, применена
специальная стандартная подпрограмма, обозначаемая • символом
HRY. Константа Генри является функцией нескольких переменных
(температуры, давления, состава смеси и физических свойств данного
компонента) и рассчитывается в этой подпрограмме очень точно.
На рис. VIII-13 также показаны величины, которые необходимо
задать или ввести из других блоков программы, кроме указанных
Рис. VIII-13. Блок-схема подпрограммы расчета материального баланса
i-го компонента.
165
Рис. УШ-15. Входная и
выходная информация для
стандартной программы
FSH.
выше для подпрограммы HRY. Такими величинами являются коли-
чество i-го компонента F£ в поступающем растворе, общий расход
уходящего пара V и отбираемой жидкой фазы L; выходами — со-
ставы отбираемых потоков X; и Yit которые подаются на вход бло-
ка ITR, входящего в программу FSH (см. рис. VIII-14). Этот блок
предназначен для расчета величины RT, равной отношению расхода
жидкостного потока L к общему расходу Z, поступающему в узел
разделения. В блоке ITR используется уравнение распределения
всех компонентов поступающей смеси между жидкостным и паровым
потоками, отбираемыми из этого узла:
2 ^—2^=0 '
Расчет осуществляется методом последовательных приближений;
выходная величина RT используется в программе для нахождения
расхода L, поскольку величина Z вводится в программу извне.
Поток пара V получается из уравнения общего мольного баланса
Z = L + V (рис. VIII-14). Подпрограмма ITR подобна описанной
(см. гл. V) подпрограмме на языке MIDAS, предназначенной для све-
дения к нулю суммы нескольких величин. В гл. V подробно объяс-
нена логическая схема построения такой подпрограммы, использу-
емой в программе для удовлетворения подобного критерия.
Полная информация для стандартной программы FSH предста-
влена на рис. VIII-15. Она может быть использована как подпро-
грамма при расчетах различных технологических процессов. Когда
основная модель рассчитывается итерационным методом, расчет под-
программы FSH производится при новой входной информации до тех
пор, пока не будет достигнута заданная точность расчета. Выходная
информация из подпрограммы FSH поступает в заданные блоки основ-
ной программы.
В следующем примере показано, как подпрограмма FSH объеди-
няется с основной большой программой.
166
Рис. VIII-16. Входная и выход-
ная информация для подпро-
граммы AFSH.
Рис. VIII-17. Схема построения програм-
мы расчета общего теплосодержания.
РАСЧЕТ РАЗДЕЛЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ
ДЛЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА (AFSH)
Эта программа предназначается для расчета конденсаторов, кипя-
тильников, тарелок ректификационных колонн при адиабатиче-
ском ведении процесса. Как составная часть в нее входит подпро-
грамма FSH, рассчитывающая составы и расходы отбираемых из
узла разделения потоков. Требуемая для этой подпрограммы темпе-
ратура определяется по уравнению общего теплового баланса Е =
— Е' с помощью итерационной подпрограммы ITR, в которой срав-
нивается тепло, поступающее в систему Е, и тепло, уходящее с пото-
ками пара и жидкости Е'. Для этого предварительно рассчитывается
энтальпия всех потоков по отдельным компонентам F а -+ Fin
(рис. VIII-16). Энтальпии этих потоков Ег Еп суммируются с под-
водимым извне теплом q, поток которого положителен для кипятиль-
ника и отрицателен для конденсатора (рис. VIII-17).
Для расчета энтальпии поступающих и отбираемых потоков слу-
жит специальная стандартная подпрограмма ETHL, в которой по со-
ставу всех потоков и физическим характеристикам компонентов
(энтальпия, теплота испарения и т. д.) определяется общее тепло-
содержание потока Е. Поток пара V и поток жидкости L на выходе
также состоят из F] иЕ^ потоков отдельных компонентов. Энтальпии
этих потоков рассчитываются при помощи той же стандартной под-
программы (рис. VIII-18). Температура Т этих потоков, необходимая
для расчета энтальпии, вводится из ITR стандартной подпро-
граммы.
Полностью блок-схема AFSH программы представлена
на рис. VIII-19.
Рис. VIII-18. Использование подпро-
граммы ETHL для расчета общего
теплосодержания.
167
РАСЧЕТ ПРОЦЕССА РЕКТИФИКАЦИИ
С УЧЕТОМ ФАКТОРА АБСОРБЦИЙ (ABR)
При помощи этой программы рассчитывается процесс разделения
в многокомпонентной паро-жидкостной системе, состоящей более чем
из одной ступени. Наиболее полно такой метод расчета описан в ли-
тературе 8. Данный метод * основан на использовании понятия
«фактор абсорбции» А: = Ln /(KinVn) и «фактор отпарки» S; =
= KinVn/Ln.
Эти факторы, как видно из уравнений, связаны между собой.
Для их расчета нужно знать следующие величины: потоки жидкости
Ln и пара Vln, уходящие с этой ступени; константу равновесия дан-
ного компонента на данной ступени К1п (рис. VIII-20). Константа
равновесия Kln=Yin[Xln, где Y{n, Xin — мольные доли этого компо-
нента соответственно в паровой и жидкой фазах.
Если в колонне N тарелок и факторы абсорбции и отпарки i-ro
компонента для верхней тарелки равны соответственно А? и Sf,
а для нижней — А” и Sf, то можно рассчитать степень извлечения
и степень отпарки этого компонента на каждой из N ступеней по сле-
дующим формулам:
Л‘э =/АДА?-(-1)4-0,25-0,5
&э = V 4-1)4-0,25 - 0,5
* Этим методом чаще всего выполняют проверочный расчет, состоящий
в нахождении флегмового числа, обеспечивающего данное разделительное дей-
ствие колонны при заданном числе тарелок. — Прим. ред.
Рис. VIII-19. Блок-схема A FSH стандартной про-
граммы.
168
Степень абсорбции (извлечения) и степень отпарки для данного
компонента во всей секции, состоящей из N ступеней (рис. VITI-21),
записываются следующим образом:
ф ^э-1
iS (Si3^+1-1
Для расчета этих величин создана на основе уравнения Эдми-
стера 8 специальная стандартная программа EDMTR. Для удобства
моделирования обозначим входные и выходные потоки пара
и жидкости для этой секции из N тарелок так, как показано на
рис. VIII-22.
Если вводить константы равновесия, необходимые для получе-
ния величин Sc используемых при расчете Ai3 и S{3, и мольные
расходы г-го компонента в обеих фазах на входе и на выходе дан-
ной секции из других частей модели, как показано схематически
Рис. VIII-22. Упрощенная схема
секции ректификационной колонны.
на рис. VIII-23, то по программе
EDMTR можно рассчитать ве-
личины ФгЛ и Ф18.
Рис. VIII-23. Входная и выходная
информация для программы EDMTR.
169
Рис. VIII-24. Блок-схема программы EDMTR, предназначенной для расчета
степени извлечения и степени отпарки i-ro компонента.
Рис. VIII-25. Блок-схема стандартной программы ABR,
Блок-схема программы Е DMTR для одного компонента показана
на рис. VIII-24.
Величины Ф1А и Ф18 используются в модели при расчете общего
материального баланса секции (по данному компоненту) следующим
образом:
ь?=ад+(1-®м)
170
В модели имеется несколько итера-
ционных контуров счета, основной из
них — ITR предназначен для расчета
потока пара по уравнению общего теп-
лового баланса (энтальпия всех поступа-
ющих в систему потоков равна энтальпии
отбираемых).
Такой метод расчета парового потока
использовался и подробно объяснялся
ранее (см. гл. V) для кипящей паро-жид-
костной смеси, находящейся в состоянии
Исходные ванные
для всех компонентов
/• ДВР г
F3
• Д*
г2 _ Г“.
Рис. VIII-26. Входная и
выходная информация для
стандартной программы
ABR.
равновесия.
При моделировании эта программа объединяется с другими про-
граммами, необходимыми для расчета процесса с учетом факторов
абсорбции и отпарки. Блок-схема всей программы ABR показана
на рис. VIII-25. Входная и выходная информация блока ABR пред-
ставлена на рис. VIII-26. Отметим, что стандартная подпрограмма
FSH здесь используется в несколько измененном виде, а именно:
величина отбираемой жидкой фазы RT принимает значение либо О,
либо 1, и в программе осуществляется итерационный цикл счета для
нахождения температур и Т г, необходимых для расчета
энтальпии уходящих потоков пара и жидкости Е® и Ej. Входные
величины для стандартной программы EDMTR также получают из
подпрограммы FSH, внутри которой рассчитываются константы
фазового равновесия, для чего используются подпрограммы HRI,
ITR и общий материальный баланс системы. Программа ABR вклю-
чается в модель расчета ректификационной установки, состоящей
из кипятильника, колонны и дефлегматора, так, как показано на
рис. VIП-28.
ПРОЦЕСС МОДЕЛИРОВАНИЯ
Наличие библиотеки заранее составленных стандартных про-
грамм, некоторые из которых уже были описаны, позволяет ускорить
моделирование процесса в целом, компойуя его модель из отдель-
ных блоков — подпрограмм.
В качестве иллюстрации рассмотрим процесс, схема , которого
представлена на рис. VIII-27. Для заданных величины и состава
питания F разделяемой смеси j компонентов; количества образующе-
гося пара V и потока флегмы, равного L, требуется рассчитать вели-
чину потоков дистиллата D, кубового остатка В и их состав. Колонну
можно разделить на несколько секций; общая программа для вычис-
лений на машине (рис. VIII-28) состоит из серии последовательных
обращений к отдельным подпрограммам («вызовов»).
Вызов AFSH — расчет разделения многокомпонентной жидкой
смеси для адиабатического процесса.
Вызов ABR — расчет процесса ректификации с учетом фактора
абсорбции.
171
ционной установ-
ки.
Рис. VI11-28. Модели-
рование ректифика-
ционной установки с
помощью стандарт-
ных программ.
Вызов PCON — расчет
дефлегматора (парциальный
конденсатор).
Вызов SPT — разделение
потоков.
Вызов ABR — расчет про-
цесса ректификации с уче-
том, фактора абсорбции.
Вызов CBL — расчет ки-
пятильника.
Подпрограмма AFSH, по
которой рассчитывается пи-
тающая тарелка, и подпро-
грамма ABR, используемая
для расчета секций колон-
ны, находящихся выше и
ниже питающей тарелки,
уже были описаны. Подпро-
грамма PCON, предназна-
ченная для расчета дефлег-
матора, представляет собой
расчет паро-жидкостного со-
стояния в системе при опре-
деленной температуре (по
этой программе рассчиты-
вается любой конденсатор). Подпрограмма SPT — это програм-
ма расчета разветвления потока жидкости на несколько основных
и вспомогательных потоков. По программе CBL рассчитывается
кипятильник. Она подобна программе AFSH и отличается тем, что
по ней можно рассчитать расход пара на выходе из кипятильника.
После окончания расчета печатаются нужные температуры, давления
и составы всех потоков в колонне и на ее выходе.
Все эти программы были специально разработаны для математи-
ческого моделирования химико-технологических процессов, их ма-
териальных и тепловых балансов в статике и в динамике.
Таких программ в настоящее время составляется все больше,
и те из читателей, которые хотят стать специалистами в этой области
знаний, должны внимательно следить за литературой по этому
вопросу 4’7.
Пример построения модели процесса ректификации, осложненного
химической реакцией. DHET — мономер получается в результате
следующей химической реакции 2о:
*пр
DMT + GLYCOL ------> DHET-J-MEOH
йобр
где /спр, /собр — константы скоростей прямой и обратной реакций, являющиеся
функциями температуры.
172
Реакция протекает экзотермически в жидкой фазе в аппарате
с несколькими тарелками. В паровой фазе содержатся только
GLYCOL и МЕОН, находящиеся в равновесии с жидкостью.
Жидкость и пар перетекают с тарелки на тарелку противотоком.
Предполагается, что количество жидкости на тарелках одинаково
и постоянно и пар почти не задерживается на каждой ступени.
GLYCOL и DMT отводятся с одного конца колонны, а пары гли-
коля — с другого.
Нужно: 1) начертить общую схему связи отдельных стадий между
собой, обозначив потоки и их составы подобно тому, как это сделано
на рис. VIII-7;
2) записать уравнения динамики процесса для п-й тарелки и рас-
положить их в форме модели, показанной на рис. VIII-6;
3) продумать, как при машинном расчете надо скомпоновать
из моделей отдельных стадий полную модель процесса.
Ретение.
Так как на каждой тарелке протекает химическая реакция, то
вся колонна не может быть заменена эквивалентной теоретической
системой равновесных тарелок, как это делается для обычной ректи-
фикационной колонны. В модели, кроме того, должна быть учтена
эффективность каждой тарелки, влияющая на процесс разделения.
Предполагается, что эффективность тарелки равна 70%.
Пусть количество молей жидкости на тарелке М — величина
постоянная; жидкость, расход которой равен L, течет от тарелки 0
к тарелке 7V, а пар V — наоборот, от 7V к 0.
Для простоты запишем уравнения химической реакции следу-
ющим образом:
*пр
А '-В C+D
fco6p
DMT + GLYCOL DHET + MEOH
Основные уравнения. Для п-й тарелки можно записать следу-
ющие уравнения:
1) кинетики химической реакции, протекающей в жидкой фазе
Rn= М (knpXAnXBn—ko6pXCnXDn)
2) материального баланса по компоненту А
[накопление] = [подача] — [отбор] — [превращение в результате реакции]
4 (МХАп) = (LXA)n-Вп
3) материального баланса по компоненту В
(МХВп) = (£Хв)л_1+ (ЕУв)„+1 _ (LXB)-{VYB)n-Rn
4) материального баланса по компоненту D
± (MXDn) = (LX^ + (VYD)n+1~(LXD)n~ (VYD)n+ Rn
173
I *27/7 । ^27л
Тарелка n
^bn~1
Рис. VIII-29. К выводу
уравнения паро-жидко-
стного равновесия.
5) фазового равновесия по компоненту В
Рп
хг* _ 13
* Вп~~^~ ЛВп
6) фазового равновесия по компонен-
ту D
Рп
XZ* _ ь» у
1 Dn „ ЛВп
7) концентрации компонента С в жидкой фазе, которая опре-
деляется из общего мольного баланса
ХСп = 1 _ (ХАп + ХВп + XDn)
Расчет температуры. Так как в паровой фазе находятся только
два компонента, равновесные концентрации которых Y*Un и Уд„, то
температуру на тарелке можно определить по уравнению
ADn
если известна хотя бы одна из этих величин, вторую находят из со-
отношения Удя = 1 — Уцп- Она используется в модели для расчета
эффективности тарелки.
Расчет эффективности тарелки. Принимаем, что на каждой та-
релке концентрация вещества в паровой фазе достигает лишь 70%
равновесной. Причиной отличия истинного состава паровой фазы
от равновесного является недостаточное для установления равнове-
сия между жидкостью и паром количество жидкости на тарелке.
На рис. VIII-29 показана тарелка, на которую поступает поток
пара Удп-х и уходит Уоге. Равновесной концентрацией компонента D,
соответствующей содержанию его в жидкой фазе, является Удп.
При прохождении пара через эту тарелку содержание в нем компо-
нента D может достигать максимум Удге. Однако эффективность
тарелки равна 70% этой величины, поэтому истинный состав пара
на тарелке находим по следующему уравнению:
Уэ^Уди-г+0.7 (УЬп-^г-1)
Истинное содержание в паровой фазе другого компонента можно
определить по уравнению
Хвп= 1 — XDn
Расчет теплового баланса. Чтобы упростить эту сложную задачу,
сделаем допущение, которое не оказывает существенного влияния
на точность результатов моделирования, но значительно уменьшает
количество вычислений.
174
(VH)n=(VH)l,^/?nAq,r Нп = Г(УЛп)
Поток пара-
Ступень п + 1 Ступень Г) Vn J Ступень п-1
у ^/7
л Yon .
Хцп-1
'Хвп Хуп-1
к
ч.
“•V —
По ток жидкости
Рис. VIII-31. Связь ступеней процесса между собой.
Допущение состоит в том, что пренебрегают изменением энталь-
пии жидкости на тарелке в ходе процесса. При этом упрощается
выражение теплового баланса паровой фазы: энтальпия пара, поки-
дающего тарелку, равна его энтальпии на входе плюс тепло реакции:
7пЯ„=(7Я)п+1+ЯпД9
Энтальпия Нп пара подсчитывается как функция его состава:
^ = /(KD„)
Уравнение теплового баланса используется для определения рас-
хода пара У„, покидающего тарелку. Из общего материального
баланса можно определить расход жидкости на выходе с тарелки.
В уравнение материального баланса жидкости вводится постоянная
времени, получаемая из уравнения гидродинамики тарелки, как
было показано ранее:
^л = I'n-l + ^re+l— Yn
Полная модель тарелки представлена на рис. VIII-30, а схема
связи отдельных ступеней — на рис. VIII-31.
Обозначения
А, В, С, D химические компоненты.
Ai — фактор абсорбции.
К — коэффициент распределения.
Н( — энтальпия i-ro компонента.
Ki — константа равновесия i-ro компонента.
Д<7 — удельная теплота реакции.
Kt(T) — парциальное давление насыщенного пара г-го компо-
нента.
к — константа скорости реакции.
176
*
L — расход жидкости.
М, т — масса вещества.
N — общее число ступеней или последняя ступень.
Р — давление.
Q — энтальпия жидкостного потока (или объемный расход
жидкости в экстракторе).
q — теплосодержание потока пара.
R — скорость реакции.
Т — температура.
t — время.
V — расход пара или объем жидкости.
Х{ — мольная доля г-го компонента в жидкости.
Yi — его мольная доля в паровой фазе (У* — в состоянии
равновесия).
Z, F — мольный расход вещества.
а, р — компонент или коэффициент в уравнении.
т — постоянная времени.
X — скрытая теплота парообразования.
у — отношение активностей данного компонента соответ-
ственно в паровой и жидкой фазах.
л — давление смеси на тарелке.
— общая степень абсорбции.
— общая степень отпарки.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Пар, состоящий из смеси двух компонентов В и С,
подается снизу в колонну-экстрактор, в которой имеются 26 тарелок.
Растворитель А поступает в экстрактор сверху и стекает вниз с та-
релки на тарелку. Компонент С совершенно не растворяется в ра-
створителе А, поэтому раствор, отбираемый из нижней части колонны,
обогащается компонентом В- Пар, который отбирается из верхней
части колонны, содержит все три компонента — А, В и С
(рис. VIII-32). Предполагается, что 26 реальных тарелок эквива-
лентны 20 равновесным теоретическим ступеням, а коэффициенты
активности компонентов А и В
равны:
?а = г1Хв + г2ха
Ув = г3ха + г4Хв
Нужно: построить математиче-
скую модель динамики процесса
экстракции, предназначенную для
определения изменения во времени
концентрации компонента В в рас-
творителе А на выходе из колонны
Растворитель Я Пар П+В +Д
Рис. VIII-32. [Схема экстрактора
к задаче VI П-1.
12 Заказ 2163
177
при изменении расхода растворителя или количества пода-
ваемого в колонну пара (при моделировании можно считать, что
в колонне перенос вещества из фазы в фазу эквимолярный);
изменить модель для случая неэквимолярного переноса вещества;
выяснить, как упростится модель, если рассматривать стационар-
ный режим экстракции?
Задача 2. N одинаковых реакторов идеального смешения соеди-
нены последовательно. Каждый из реакторов объемом V заполнен
растворителем 5. В первый реактор в момент времени, принимаемый
за начальный, подается раствор компонента А в растворителе S,
объемный расход которого равен Q (t), а концентрация компонента
А — С a (t). В этот же момент времени начинается отбор из послед-
него реактора.
Компонент А в результате химической реакции превращается
последовательно в В и С в соответствии со следующей схемой:
fel k$
А В С
kg k±
Предполагается, что эти реакции первого порядка и константы
их скоростей зависят от температуры. Прямые реакции являются
экзотермическими, удельные тепловые эффекты их известий и равны
Д<?1 и Дг/2 соответственно.
Нужно: построить модель, решая которую можно было бы опре-
делить изменение состава и температуры конечного продукта при из-
менении состава и расхода раствора, подаваемого в первый реактор
(при моделировании учесть, что процесс проводится во всех аппара-
тах в адиабатических условиях).
Задача 3. Вещество D получается в результате следующих хими-
ческих реакций:
А-- В —> С
А + С --> D
Процесс проводится в трубчатом реакторе в жидкой фазе
(рис. VIII-33). Жидкость в реакторе хорошо перемешивается бла-
годаря продольной диффузии и турбулентности ее течения. Практи-
чески реактор можно представить как последовательную цепочку
аппаратов идеального смешения, длина каждого из которых прини-
мается равной 0,2 м.
1 Рециркулирующий, поток Л, В, С, (П), (R)
Рис. VIII-33. Схема установки к задаче VIII-3.
178
В отбираемом из реактора растворе, кроме основного продукта D,
содержатся остальные компоненты А, В и С. Раствор подается в се-
паратор, в котором вещества А. В и С отделяются (но не полностью)
от продукта D и вновь подаются в рециркуляционном потоке на вход
реактора. Реакции протекают эндотермически, температура поддер-
живается постоянной при помощи подачи пара в рубашку. Скорость
реакции зависит от температуры в зоне реакции. Таким образом,
выход основного продукта определяется не только длиной реактора
(т. е. числом ступеней), но и температурой.
Предположим, что стоимость сепаратора зависит от степени раз-
деления, т. е.
6’ = /(^Ас, КВС1 К Се)
де Klc = рец/Х(-р; Xi рец — содержание i-ro компонента в рециркуляцион-
ом потоке; Х1р — содержание i-ro компонента в реакционной смеси.
Будем считать также, что стоимость насоса в линии рециркуля-
ции есть функция скорости рециркуляционного потока.
Нужно: построить модель для определения оптимальной общей
стоимости установки, состоящей из реактора, сепаратора и насоса
для выбранной производительности по продукту D.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Naphtali L. М., Chem. Eng. Progr., 60, № 9 (1964).
2. Ziebarth J. A., SPADE, A Computer Cost Estimating System, Ameri-
can Association of Cost Engineers, 8th National Meeting, 1964.
3. D о d r i 11 W. H., Using GIFS in the Analysis and Design of Process
Systems, Fall Joint Computer Conference, 1962.
4. GIFS, Generalized Interrelated Flow Simulation, Users Manual, Issued by
Service Bureau Corporation, 1962.
5. R a v i 1 z A. E., Norman R. L., Chem. Eng. Progr., 60, № 8 (1964).
6. L i n d a h 1 H. A., Chem. Eng. Progr., 61, № 4 (1965).
7. Shannon P. T., Mosier H., A Digital Computer Executive Pro-
gram for Process Simulation and Design, A. I. Ch. E. 53rd National Meeting,
May 1964.
8. E d m i s t e r W. С., A. I. Ch. E. J., 3, № 2 (1958).
9. R u b i n D. I., Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 58, № 37, 54 (1962).
10. Chem. Eng. Progr., 58, № 10 (1962).
11. Kessler M. G., Griffiths P. R., A Computer System for Process
Simulation, American Petroleum Institute, May 13, 1963.
12. A Study of a Contact Sulphuric Acid Plant Using PACER, Department of
Chemical Engineering, McMaster University, Hamilton, 1965.
13. Godfrey W. L., Benham R. D., Simulation, 4, № 1 (1964).
14. F r a n k s R. G., Chem. Eng. Progr., 60, № 3 (1964).
15. P e i s e r A. M., Grover S. S., Chem. Eng. Progr., 58, № 9 (1962).
16. Deland E. C., Wolf M. B., The Simulation of Multi-Component
Distillation, AD 286794, 1962.
17. J u r i S. H., Andrews J. M., Ind. Eng. Chem., 53, № 11 (1961).
18. R u s z k a у R. J., Chem. Eng., April (1963).
19. Ruszkay R. J., Analog Computer Simulation of a Solvent Recovery
Column, ISA J., 6, 2264 (1964).
20. R ecu el 1960 Communication № 3, Institute of Cellulose Research AKU,
Utrecht, 1960.
12'
179
21. Moczek J. S., Williams T. J., Approximation Models for the Dy-
namic Response of Large Distillation Column, 1962.
22. L a m b D. E., Pigford R. L., Rippin D. W. T., Chem. Eng.
Progr. Symp. Ser., № 36 (1961).
23. O’Brien N. G., Franks R. G., Chem. Eng., 55, № 21 (1958).
24. Garner H. G., Chem. Eng., April (1963).
25. Saletan D. I., Caselli A. V., Chem. Eng. Progr., 59, № 5 (1963).
26. Amundsen N. R., Pontinen A. J., Ind. Eng. Chem., 50, № 5
(1962).
27. Hansen D. N., Duffin J. H., Somerville G. F., Computa-
tion of Multistage Processes, Rheinhold Publishing Corp., 1962.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Альбом математических операций и алгоритмов управления типовых процессов
химической технологии, вып. 1, НИИТЭХИМ, М., 1965 г.
Аксельрод Ю. В., О кинетике абсорбции, осложненной химической реак-
цией, «Тепло- и массоперенос в технологических процессах и аппаратах
химического производства», Материалы совещания, т. 4, Минск, Изд.
«Наука и техника», 1968.
Багатуров С. А., Теория и расчет перегонки и ректификации, Гостоптех-
издат, 1961.
Бояринов А. И.,Кафаров В. В., Методы оптимизации в химической
технологии, Изд. «Химия», 1969.
Кафаров В. В., Основы массопередачи, Изд. «Высшая школа», 1962.
Кривсунов В. Н., Анисимов И. В., Хим. пром., № 3 (1963).
Кузин В. П., Теоретические основы хим. технол., 1, № 2 (1967).
Платонов В. М., Б ер го Б. Г., Разделение многокомпонентных сме-
сей, Изд. «Химия», 1965.
Плановский А. Н., Р а м м В. М., Каган С. 3., Процессы и аппа-
раты химической технологии, изд. 4-е, Изд. «Химия», 1968.
Холланд Ч. Д., Многокомпонентная ректификация, пер. с англ, под ред.
В. М. Платонова, Изд. «Химия», 1969.
Циборовскпй Я., Основы процессов химической технологии, Изд.
«Химия», 1967.
ГЛАВА IX
СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
В предыдущих главах было рассмотрено построение
математических моделей систем, описываемых обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями, обычно нелинейными, независимой
переменной в которых являлось время.
Дальнейшим логическим расширением задачи моделирования
химико-технологических процессов является описание систем
с распределенными параметрами. К ним можно отнести теплообмен-
ники, конденсаторы, трубчатые реакторы и другие аппараты, тех-
нологические параметры в которых изменяются не только во вре-
мени, но и по сечению и длине. Стационарные режимы и пере-
ходные процессы в таких системах описываются дифференциальными
уравнениями в частных производных; независимыми переменными
в общем случае являются время и пространственные координаты.
В этой главе рассматриваются лишь стационарные режимы ра-
боты различных технологических установок, причем, примеры рас-
положены в порядке возрастания сложности. При моделировании
будем пользоваться блочными способами построения моделей, по-
дробно описанными в предыдущих главах, учитывая при этом осо-
бенность рассматриваемых процессов, параметры которых меняются
в реакционном пространстве.
Пример IX-1. Моделирование противоточного теплообменника.
На рис. IX-1 изображен теплообменник типа «труба в трубе». Тре-
вн 2 и 7’нар2 жидкостных потоков на
| Тнар 2
I И.--------------------
| ч- — отнар -*------ I
^н/ твм__Тбнг
буется найти температуры Т
выходе из теплообменника,
если известны их входные
температуры Твк1 и Гнар1,
расходы твн и тнар,а также
геометрические размеры теп-
лообменйика и коэффициент
теплопередачи.
Решая . задачу методом
математического моделиро-
вания. сначала составим
Рис. 1Х-1Л Схема теплообменника «труба
в трубе».
181
t
Гт 7 ___Г* _ т
[^“Р ' йХ' dx J ] | j'нар
TZZZZZZZZZZ&ZZZ^^^
ь—*1
------>-х
Рис. IX-2. К выводу уравнения теплопередачи
через стенку теплообменника.
систему уравнений, связывающих неизвестные температуры с изве-
стными из условия задачи параметрами. При выводе уравнений
воспользуемся следующим, уже ставшим классическим, приемом:
вся поверхность теплообменника делится на отдельные элементар-
ные участки Дж по длине теплообменника (рис.ЛХ-2). Для эле-
ментарного участка составляется тепловой баланс, в котором учи-
тывается, что температура жидкости во внутренней и во внешней
трубах теплообменника меняется по его длине *. Поскольку отре-
зок Дж очень мал, то dTldx можно считать постоянной величиной
на всем участке Дж. Если Т — температура на входе элементарного
участка теплообменника, то температуру на его выходе можно пред-
ставить следующим образом:
Если за положительное принять направление, совпадающее с дви-
жением потока во внутренней трубе, то для наружной трубы темпе-
ратура на выходе элементарного участка теплообменника запишется
в виде
\ dx )
Поверхность теплообмена на участке Дж равна л/9Дж, где D —
средний диаметр внутренней трубы. Коэффициент теплопередачи
через эту поверхность обозначим К; тепло, передаваемое от одного
потока жидкости к другому на участке Дж, будет равно
Ф -- К (nZ) Д.т) (Тнар Твн)
где Т'нар и ?вн — температуры потоков жидкостей, протекающих в наружной
и внутренней трубах.
Тепловой баланс жидкости в наружной трубе запишется как
[приход тепла] = [уход тепла]
Г dT Нар 1
тнарснарТнар = ^нар “I тнарснар + ® Д^
* Имеется в виду так называемый случай идеального вытеснения, при ко-
тором изменение параметров по длине намного значительнее, чем в радиальном
направлении. — Прим. ред.
182
Рис. IX-3. Блок-схема моделирования температуры жидкости
в теплообменнике.
Это уравнение можно привести к виду, более удобному для моде-
лирования *:
тнарснар — = ~\~Ф
Аналогично можно представить тепловой баланс жидкости во
внутренней трубе:
dTBH , Л
твнСвн-^=+Ф
Модель для определения температуры жидкостных потоков на
выходе из теплообменника представлена на рис. IX-3. Задача ре-
шается на вычислительной машине; дифференциальные уравнения,
входящие в модель, интегрируются по длине теплообменника от х =
= 0 до х = L. При интегрировании необходимо знать величины 7'нар
и 7’вн при х = 0.
Температура жидкости, поступающей во внутреннюю трубу
теплообменника (первое граничное условие), задана и равна Тввг;
температура жидкости, покидающей наружную трубу теплообмен-
ника, 71нар2 (второе граничное условие) — неизвестна. Трудность
не устраняется, если начать расчет теплообменника с другого конца
при х — L. В этом случае надо «угадать» температуру жидкости,
вытекающей из внутренней трубы теплообменника Твп2. Поэтому
при расчете задаются, примерным значением 71нар2 и, зная Ткп],
интегрируют уравнения при этих граничных условиях, начиная
с х = 0. Если полученная при расчете величина температуры Т^ар i
не совпадет с заданной, вычисления проводятся при другом значе-
нии Т,нар2. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достиг-
нута требуемая точность совпадения заданной величины 71Hapj и ра-
счетной. Этот способ решения задач примитивен, но широко рас-
пространен. Он называется дроблением граничного условия.
* Так как в этом примере рассматривается стационарный процесс тепло-
передачи, то в уравнениях отсутствует член с производной температуры по вре-
мени.
183
?8н Температура жидкости*
^^~^8овнутренней трубе
-----I
'—Зщ___________J j "*‘7внг
Температура жидкости ’ 'l~*~THDpl
в наружной трубе ।
О*-------------—-------------1
Длина I L
Рис. IX-4. Графики изменения темпе-
ратуры жидкости во внутренней и на-
ружной трубах теплообменника.
обменника можно решить другие
Результаты расчетов могут
быть представлены в виде гра-
фиков изменения температуры
потоков жидкости по длине
теплообменника (рис. IX-4).
Алгоритм решения этой задачи
очень прост, сходимость дости-
гается на современной анало-
говой машине в доли секунды.
На цифровой вычислительной
машине задача решается при-
мерно за то же время.
При известных значениях
температуры на концах тепло-
задачи, в частности определить
общий коэффициент теплопередачи между потоками жидкости в теп-
лообменнике и его изменение при изменении расходов и температур
теплоносителей или диаметра внутренней трубы теплообменника.
Пример IX-2. Моделирование перемещения газа в трубопроводе.
Пусть по трубопроводу диаметром D перемещается сжатый газ.
Объемный расход газа обозначим через Q, массовый — через т,
давление — Р, а плотность газа — р.
Изменение давления газа по длине трубопровода связано с его
объемным расходом и диаметром трубопровода следующим соотно-
шением:
dP , Q2p
dL D*>
где X — коэффициент трения.
Поскольку по ходу движения газа давление уменьшается, то
будет падать плотность газа и расти его скорость. В случае изотер-
мического процесса плотность газа зависит только от давления газа:
Р=/(Р)
Так как объемный расход газа
т Л т
где т в кмольрек.
Модель такого процесса представлена на рис. IX-5, а. Усложним
ее, предположив, что газ, перемещаемый по трубопроводу, обмени-
вается теплом с внешней средой, в результате чего его температура
значительно изменяется по длине трубопровода.
Теперь в модель надо включить уравнение теплового баланса:
4r(mcT) = KnD(Tzp-T)
(ILs
где с — удельная теплоемкость газа; Гер — температура окружающей среды.
184
Рис. IX-5. Модель перемещения газа по трубопроводу.
Для того чтобы модель была корректна, надо ввести в уравнение
газового состояния, из которого в модели определяется плотность
газа р, его температуру Т, как показано на рис. IX-5, б.
Будем теперь считать, что коэффициент теплопередачи К ме-
няется по длине трубопровода из-за образования пристеночного
пограничного слоя, скорость газа в котором значительно отличается
от скорости газа в центре потока. Для учета изменений общего терми-
ческого сопротивления введем в модель следующее соотношение:
K=f(Q)
Если температура перемещаемого по трубопроводу газа велика
(например, в газовом холодильнике), то в модели, кроме тепло-
передачи за счет теплопроводности через пристеночный пограничный
слой, надо учесть теплопередачу излучением (рис. IX-6). Тепловой
поток от газа к стенке в этом случае будет равен:
Ф = лй [/г (T — TJ+a (Ti—Ti)]
где Т, — температура внутренней поверхности стенки трубопровода.
Уравнение теплового баланса для газа
следующим образом:
A (mcT) =nD [h (Г -?!) + « (Г* - Г})]
(ILj
Поскольку поток тепла через погра-
ничный слой для стационарного процесса
теплопередачи равен потоку тепла через
стенку, можно составить общий тепловой
(баланс, который используется в модели
для определения температуры внутренней
поверхности стенки трубопровода:
Ф = яД[/г(Г-Г1) + а (7’4-7’f)] =
= КлЛ) (Г1- 7ср)
записывается теперь
Стенка
Рис. IX-6. К примеру IX-3
185
Рис. IX-7. Математическая модель перемещения газа по тру-
бопроводу в случае адиабатического процесса.
Полная модель перемещения газа по трубопроводу представлена
на рис. IX-7. В этой модели учтено изменение диаметра трубопровода
по длине, т. е. D = / (L). Построенная модель может быть исполь-
зована, например, для опти-
мального конструирования
газового холодильника.
Пример IX-3. Моделиро-
вание процесса разделения
газовой смеси.1В этом случае
кроме процесса теплообмена
происходит еще и разделе-
Разделяемая
Рис. IX-8. Схема диффузионного
процесса.
186
Наружная
A"nSm
I
г——dr —i
1 * /_ сДОнолн 1
^нар/ *1 । (+ — dx А/
D
Р6н<
] Внутренняя
трубка
Рис. IX-9. К выводу уравненйя
массопередачи для примера IX-3.
Рис. IX-10. Схема массопередачи на эле-
ментарном участке АХ.
ние газовой смеси. Процесс проводится в аппарате, состоящем
из двух трубок. Внутренняя трубка выполнена из полунепроница-
емого материала (особого тонкого стекла), по наружной трубе про-
пускается газовая смесь, состоящая из двух компонентов (А и В),
один из которых гораздо легче проникает через стенку стеклянной
трубки. Смесь подается под давлением; после разделения обеднен-
ный компонентом А остаточный газ удаляется из наружной трубки
аппарата. Конечный продукт, обогащенный компонентом А, отби-
рается из внутренней стеклянной трубки (рис. IX-8). Конструк-
ция аппарата такова, что газы по внутренней и наружной трубкам
перемещаются противотоком.
Скорость проникания компонентов газовой смеси через стенку
зависит от свойств стекла, толщины стенки, диаметра трубки и пар-
циальных давлений этих компонентов во внутренней и наружной
трубках.
Для элементарного участка &х (рис. IX-9) это можно записать
следующим образом:
расход диф-
фундирующего
компонента
коэффи-
циент
диффузии
, Г разность парциальных давлении
[площадь] -----------Е----------------
1 L толщина стенки
(^нар i ^вн i
-----б------
где <2дг- — расход диффундирующего компонента; D — средний диаметр стеклян-
ной трубки; 6 — толщина ее стенки.
Парциальные давления компонентов зависят от их содержания
в газовой смеси и общего давления смеси:
T’laap нар /^нар И ^вн i = Квн
Материальный баланс для г-го компонента в наружной трубке
составляется подобно тепловому балансу теплообменника, рас-
смотренному подробно в этой же главе * (см. Пример IX-1). Схема
массопередачи для элементарного участка аппарата представлена
на рис. IX-10. ч
(dQнар I \
(?нар I Н Аж I -|- <2д ;
* Положительное направление оси ж совпадает с перемещением газа в на-
ружной трубке.
187
Это уравнение легко приводится к виду, удобному для модели-
рования:
^Снар i Q pl
dx \х
Подставляя в уравнение материального баланса этого компонента
в наружной трубке вместо (?д (, Рнар £ и Рвн t соответствующие выра-
жения, получим:
dQHap i / nD \
Г7 I £ J ^нар1 нар 1 гвн/ вн
Аналогично составляется материальный баланс для газа, про-
ходящего по внутренней трубке:
- (^иарУнар I - t)
Мольный состав газа Унар г и Увн i удобно заменить объемным
составом. Для компонента А, например, получим при такой замене
следующие выражения:
ВНЛ-^а + ^нВ
у__________^нар А
нар А <2нар ^-[-^нар В
Очевидно, что общее давление в наружной трубке выше, чем
во внутренней. Будем считать, что давление в наружной трубке
постоянно, а во внутренней меняется по длине, т. е.
РВн = / (*)
Для определения изменения давления по длине трубки введем
в модель следующее выражение, справедливое для ламинарного
течения газа:
ЛРъп }.]ип
dx pDi
где X — коэффициент трения; ц — средняя вязкость газа; р — средняя его
плотность; D — внутренний диаметр стеклянной трубки.
Среднюю вязкость газа можно рассчитать из уравнения
Массовый расход газа во внутренней трубке получим следующим
образом:
т = Рл^внА + Рв<?внВ
Средняя плотность газа
Р = “Рвн (Мд ^вн а + МВ Yвн В )
где Mi — молекулярный вес i-ro компонента.
188
Рис. IX-11. Математическая модель процесса диффузии.
Полная блок-схема математической модели этого процесса пред-
ставлена на рис. IX-11. Расположение в ней уравнений соответствует
физической сущности процесса: по разности парциальных давлений
определяют скорость диффузии, а из уравнений материальных балан-
сов находят расходы газа в наружной и внутренней трубках аппа-
рата.
189
Рис. IX-12. Графики изменения
давления и расходов компонентов
смеси по длине аппарата.
г
Рис. IX-13. Схема установки, предназ-
наченной для разделения многокомпо-
нентной жидкой смеси.
Как и в предыдущем примере, входящие в модель уравнения
интегрируются по длине аппарата от х — 0 до х = L. Для решения
дифференциальных уравнений надо знать граничные условия. Этими
условиями являются состав и расход газа в наружной и внутренней
трубках аппарата при х = 0. Что касается состава и расхода газа
в наружной трубке, они известны и равны входным <?“ар д и (?“ар в-
Величины (?°нА и Q°b„ в выбираются произвольно. Правильность
их выбора проверяется при решении, так как известно из условия
задачи, что при х = L во внутренней трубке практически отсутствует
расход газа.
Начальное давление Рвн смеси при х = 0 тоже задано по условию.
В ходе процесса оно распределяется по длине аппарата, достигая
максимума при х = L. Типичные графики решения модели пред-
ставлены на рис. IX-12. Эту модель можно использовать для опти-
мального конструирования аппарата разделения и нахождения
оптимальных условий проведения процесса.
Пример IX-13. Моделирование процесса разделения в змеевико-
вом теплообменнике. На рис. IX-13 показана схема установки раз-
деления, которая состоит из бака-питателя 1, змеевикового тепло-
обменника 2, где происходит нагревание и частичное испарение
исходной смеси за счет тепла паровой рубашки 5, и сепаратора 4,
в котором осуществляется разделение паровой и жидкой фаз. Темпе-
ратура в аппарате измеряется термопарами 3- Упрощенная схема
теплообменника показана на рис. IX-14. Состав жидкости на выходе
из змеевика находится в сложной функциональной зависимости от
температуры в паровой рубашке. Для определения условий ведения
f7
Многокомпо- I Рубашка ) 11
нентная смесь *' •" —
I--------------------1 |
Жидкость
Рис. IX-14. Упрощенная схема змеевикового тепло-
обменника .
190
процесса, при которых жидкость на выходе из змеевикового тепло-
обменника имела бы заданный состав, процесс исследуется методом
математического моделирования.
Для изучения физических закономерностей моделируемого про-
цесса предварительно проводились работы на небольшой опытной
установке. В частности, было установлено, что температура жидкости
при прохождении ее через змеевик в каком-то месте достигает точки
кипения за счет тепла, отдаваемого паром:
изменение энтальпии жидкости
по длине аппарата вт/м
тепло, передаваемое греющим паром
жидкости на единице длины
поверхности теплообмена вт/м
(тжеТ) — KS (Труб-Т)
(ILj
При ламинарном течении жидкости уравнение, выражающее
изменение давления по длине змеевика, запишется следующим
образом:
dP . тж
~dL^~D^
где тж — массовый расход жидкости в змеевике; D — диаметр трубы; к, — (
коэффициент трения, равный 128
Когда температура жидкости достигает точки кипения, начи-
нается интенсивное испарение, и вниз по трубе будет перемещаться
паро-жидкостная смесь, для которой уравнение изменения давления
по длине трубопровода запишется иначе:
dP ^2тжтп
~dL = №
где та — массовый расход пара.
Так как доля пара в жидкости увеличивается от начала к концу
трубопровода, то его влияние на общее давление будет также расти
по мере продвижения смеси по змеевику. Это обстоятельство необ-
ходимо учесть при построении модели. Температура кипения и состав
образующейся паровой фазы зависят от состава жидкости и общего
давления. Для определения этих параметров в модель вводятся
уравнения паро-жидкостного равновесия для компонентов смеси:
где Y[ — содержание в паровой фазе i-го компонента; Л} — его содержание
в жидкой фазе; /г- (Т) — давление пара чистого компонента; — отношение
активностей данного компонента в жидкой и паровой фазах.
Так как при перемещении смеси вдоль змеевика ее давление
Р и состав изменяются, то меняется и температура, которую опре-
деляют из уравнения общего материального баланса паровой фазы
191
= 1). Кроме того, с момента начала испарения в уравнении
теплового баланса для паро-жидкостной смеси необходимо учи-
тывать теплоту испарения жидкости:
Г изменение
[энтальпии
тепловой поток, передаваемый
паром на единице поверхности
теплообмена
теплота
паро об р аз ов ан ия
4т асТ) = KS (Труб-Т)- т‘пК
(11а
где т‘ — количество пара, образующееся в единицу времени на единице
длины змеевика; А, — скрытая теплота парообразования.
Количество пара
, dm„
mn~~dL~
Для удобства запишем материальный баланс жидкости следу-
ющим образом:
тж = "4о~"‘п
где
„• dm^
ГПж^^ГГ
При моделировании предполагается, что пар в змеевике нахо-
дится в равновесии с жидкостью состава Х{', из уравнений паро-
жидкостного равновесия находят равновесный состав пара Yt-
Состав пара определяется из уравнений материального баланса
компонентов, которые имеют вид:
ТТ п <) = mnXi
<л1а
Аналогично состав жидкой фазы определяется в модели из урав-
нений материального баланса компонентов:
(тжХ() — тпУп I
Для того чтобы построить полную математическую модель, фак-
тически необходимо объединить модели двух процессов: нагревания
жидкой многокомпонентной смеси до кипения и процесса
кипения в трубе.
Моделирование этого процесса можно провести двумя способами.
В первом случае модель строится таким образом, что при дости-
жении температуры кипения уравнение теплового баланса жидкости
в змеевике заменяется на уравнение теплового баланса паро-жидко-
стной смеси, используемое в модели для расчета расхода испаря-
ющейся жидкости т'п (рис. IX-15).
Второй способ построения модели более изящен и, кроме того,
более соответствует истинному механизму процесса (гл. V). Он
состоит в том, что в модель включается полное уравнение теплового
баланса, пригодное для расчета температуры обоих режимов. Опре-
192
Рпс. IX-15. Способ определения температуры процесса.
делив пз этого уравнения температуру, ее сравнивают с температурой
кипения паро-жидкостной смеси при данном составе жидкой фазы
и давлении в системе. Паровой поток, входящий в уравнение тепло-
вого баланса, рассчитывается следующим образом:
тп = 0
тп = К (Г Уравн)
Т ^равн
равн
Величина удельного теплового потока вводится в уравнение
теплового баланса, из которого рассчитывается температура про-
цесса, а затем снова вычисляется величина т'„ и т. д. Схема такого
способа определения температуры процесса и величины парового
потока представлена на рис. IX-16. Уравнение т' = К (Т — Трави)
должно быть преобразовано к виду, удобному для программирова-
ния на цифровой вычислительной машине или для аналогового
моделирования, так, как было показано в предыдущих главах.
Такой метод расчета, несмотря на то что он является более логич-
ным и компактным, часто оказывается весьма дорогостоящим из-за
больших затрат машинного времени. Это объясняется тем, что при
большой величине коэффициента К температура Т, полученная
13 Заказ 2163
Рис. IX-16. Схема расчета величин Т и т'п.
193
в результате расчета, становится почти равной Травн, и шаг интегри-
рования автоматически уменьшается.
Для уменьшения затрат машинного времени расчет температуры
обычно проводят в соответствии с «макроскопической» моделью
процесса, как показано на рис. IX-15.
Для того, чтобы учесть влияние паровой фазы на процесс тепло-
передачи в этой системе, надо ввести зависимость коэффициента
теплопередачи К от паровой рубашки к паро-жидкостной смеси
в змеевике от общего термического сопротивления поверхности
теплопередачи. Общее термическое сопротивление складывается из
сопротивления стенки (обычно, малого по величине), сопротивления
пленки конденсата на наружной поверхности змеевика, которым
также можно пренебречь во многих случаях, и сопротивления паро-
вой фазы, образующей оболочку, прилегающую к внутренней стенке
змеевика. Эта оболочка непрерывно и равномерно окружает
жидкость, протекающую в трубе, так как при «разрыве» оболочки
жидкость соприкасается со стенкой трубы и мгновенно испаряется*.
В подобных аппаратах на парообразование расходуется значитель-
ная доля всего передаваемого от рубашки потока тепла и образуется
большое количество пара, поэтому сопротивлением паровой оболочки
нельзя пренебрегать при расчете.’Используя такое представление
о механизме образования паровой оболочки вокруг жидкой фазы,
протекающей по трубе змеевика, можно записать эмпирическую
формулу, отражающую увеличение термического сопротивления
и, тем самым, уменьшение коэффициента теплопередачи:
где
Коэффициент пропорциональности и показатель степени п
можно получить путем обработки соответствующих данных с экспе-
риментальной установки. Блок-схема полной модели этого про-
цесса представлена на рис. IX-17. Имея представление о законо-
мерностях процесса, можно добиться правильного использования
каждого из входящих в модель Уравнений. Материальные балансы
компонентов в этой модели применяются для определения составов
жидкой и паровой фаз, уравнения фазового равновесия — для опре-
деления температуры смеси в змеевике и т. д. Решение на машине
такой математической модели не представляет особого труда.
* Такое представление о механизме кипения в трубах является упрощенным.
На самом деле пар и жидкость могут образовывать однородную эмульсию
или течь по трубе отдельными потоками, причем пар — в центре трубы, а жид-
кость — у стенок. — Прим. ред.
194
Рис. IX-17. Математическая модель процесса разделения многокомпонентной смеси в аппарате, выполненном в виде
змеевика.
13*
Рис. IX-18. Схема трубчатого реактора к примеру IX-5.
Интегрирование уравнений, входящих в модель, осуществляется по
длине змеевика.
Если по условию задачи задано давление на выходе из аппарата,
то решение повторяется при различных начальных значениях давле-
ния на входе в змеевик до получения нужного выходного давления.
Пример IX-5. Моделирование процесса разложения в трубчатом
реакторе. Для того чтобы использовать методы математического
моделирования для оптимального проектирования химико-техно-
логических установок или нахождения оптимальных режимов про-
ведения процессов, необходимо располагать уравнениями, описыва-
ющими гидродинамику, тепло- и массопередачу и кинетику хими-
ческих реакций, протекающих в изучаемой физической системе.
В этом примере рассматривается построение математической
модели процесса разложения этилена С2Н4, протекающего по сле-
дующей схеме:
С2Щ С2Н2 + Н2
С2Н2 —2С + Н2
Процесс проводится в трубчатом каталитическом реакторе в газо-
вой фазе, нагревание реакционного объема осуществляется электро-
нагревателем (рис. IX-18).
Необходимые для построения математической модели уравнения
кинетики процесса были первоначально записаны исходя из общих
теоретических закономерностей, а затем проверены с помощью
кинетических кривых, полученных на экспериментальной установке.
Эксперимент был организован следующим образом: в реактор по-
давались определенные количества этилена и инертного газа-раз-
бавителя, присутствие которого предотвращает возможность
образования взрывоопасных концентраций. Газовая смесь на выходе
из реактора охлаждалась водой, затем вода и газ разделялись в газо-
жидкостном сепараторе. Пробы газа для химического и масс-спек-
трального анализа отбирались после сепаратора. Температура
в реакционной зоне и в нескольких точках наружных стенок реак-
тора измерялась с помощью термопар.
При исследовании кинетики процесса предполагалось, что реак-
ции дегидрирования этилена и разложения ацетилена протекают
последовательно и их константы скоростей, подчиняющиеся закону
196
Аррениуса, связаны с температурой
в зоне реакции следующими уравне-
ниями:
I--..
Уравнение скорости разложения
этилена [в кмоль!(м? • сек)}'.
R^k^PYy
Рис. IX-19. К выводу уравнения
материального баланса для уча-
стка реактора.
где Р — давление газа; Yt — мольная доля этилена.
Аналогично скорость реакции разложения
(кмолъ!м3 • сек)
Т?2 = 2
ацетилена
где У2 — мольная доля ацетилена в газовой смеси.
Уравнение материального баланса газа на элементарном участке
длины Ах трубчатого реактора можно получить следующим образом
(рис. IX-19): скорость подачи данного компонента на участок Ах
составляет тУг, сцорость его ухода с участка Ах равна
mYi + Аж niYi
где тп —мольный расход газа на входе в реактор.
Общая скорость реакции на участке Ах (скорость реакции • объем):
R (л£>2/4) Аж
где D—диаметр реактора.
Материальный баланс газа на этом участке:
[подача] = [отбор]-}- [превращение в результате химической реакции]
тУ = £тпУ 4-Дж (mK)J R (
Аж
Это уравнение можно привести к виду, удобному для моделиро-
вания:
Так, для этилена
и для ацетилена

х
Т
I
I
Учитывая, что из каждого моля этилена образуется два моля
газа (С2Н2 + Н2), запишем уравнение общего материального баланса:
d
— m—R1
dx
лр2 \
4 )
197
Таким же образом составляется уравнение теплового баланса
для газа (рис. IX-20):
[приход тепла] = [уход тепла]
m?rcp + ?p (-^^~Az) + <7Harp (nD&x') = mTrcp + Ьх (тТтср)
Это уравнение можно привести к более простому виду:
л£>
Количество тепла, передаваемого в единицу времени от электро-
подогревателя газу через поверхность, приходящуюся на единицу
длины трубчатого реактора, может быть определено из упрощенного
уравнения теплопередачи, вполне пригодного в данном случае:
9нагр — (^ст _ ^г)
где Т„ — температура стенки реактора.
Коэффициент h можно получить при помощи несложного экспе-
римента. Через реактор пропускается инертный газ с такой же
скоростью и измеряется изменение его температуры в разных точках
по длине реактора при установившемся режиме. Получив кривую
изменения температуры по длине реактора, можно рассчитать вели-
чину h для отдельных отрезков &х по уравнению теплового баланса
газа, если знать температуру 7’ст стенки реактора:
dT _ hnD ,
dx mCp ст г
Поскольку нагревательные элементы установлены на некотором
расстоянии друг от друга, а на концах реактора имеются ненагрева-
емые участки, температура стенки TCJ также меняется по длине
реактора, т. е. Тст ~ f (х), как показано на рис. IX-21, и ее изме-
нение должно быть учтено при расчете Л.
Теплоемкость газа ср является функцией состава газовой смеси:
СР = Ylcpl + Y2Cp2 + Y»Cp3
где Y3 — содержание в газовой смеси инертного газа-разбавителя.
(тТгср)
ЧньгрЛЛдх
Рис. IX-20. К выводу уравнения
теплового баланса участка реактора.
Рис. IX-21. Изменение температуры
стенки трубчатого реактора по его
длине.
198
Рис. IX-22. Блок-схема модели каталитического процесса, проводимого в труб-
чатом реакторе.
Общий тепловой эффект реакции подсчитывается по тепловым
эффектам ее отдельных стадий:
9р = RiAqpl + R2\qp2
где Д gpi — теплота реакции дегидрирования этилена; Д др2 — теплота
реакции разложения ацетилена.
Изменение давления газа по длине реактора в первом приближе-
нии можно считать линейным и определить при помощи уравнения
dP _ Ро— 1
dx L
199
(при х = L давление в реакторе принимается равным атмосфер-
ному). Блок-схема модели процесса представлена на рис. IX-22.
Процедура ее построения не отличается от построения моделей
процессов, рассмотренных в предыдущих главах. Решение задачи
упрощается тем, что известны величины всех граничных условий,
необходимых для решения дифференциальных уравнений. Поэтому
не надо, как в предыдущих примерах этой главы, задаваться зна-
чениями параметров при х = 0 и решать задачу методом последова-
тельных приближений.
При решении модели на вычислительной машине можно исследо-
вать влияние производительности установки по этилену на состав
получаемой газовой смеси, а также изучить влияние зависимости
выхода основного продукта от температуры ведения процесса и найти
оптимальный температурный режим. Построив по результатам рас-
чета кривые изменения концентрации всех продуктов по длине
реактора и сопоставив их с экспериментальными данными, можно
проверить гипотезу о последовательном протекании реакций и уточ-
нить величины констант скоростей реакций.
Полученные результаты могут быть использованы при оптималь-
ном проектировании промышленной установки (подробно с решением
таких задач можно познакомиться по литературе, см., например 13).
КОНДЕНСАЦИЯ
В предыдущих примерах конденсаторы подробно не рассматри-
вались. В первом приближении считалось, что при понижении тем-
пературы пара, состоящего из смеси нескольких компонентов, до
определенного значения происходит его частичная конденсация,
причем несконденсировавшийся пар находится в состоянии равно-
весия с образовавшимся конденсатом.
Такой подход к математическому описанию конденсатора вполне
допустим во многих практических случаях, в частности при модели-
ровании очень больших поверхностных конденсаторов.
Однако иногда при моделировании процесса конденсации необ-
ходимо учитывать ее истинный механизм, имеющий барьерно-диффу-
зионный характер. Если, например, в смеси имеется неконденсиру-
ющийся газ, то при конденсации пара около поверхности конденса-
ции образуется слой газа, затрудняющий доступ пара к этой
поверхности. Кроме того, образующаяся пленка конденсата (в даль-
нейшем будем рассматривать только пленочную конденсацию) может
существенно изменить общий коэффициент теплоотдачи от пара
к стенке.
Ниже рассматривается построение моделей трех постепенно
усложняющихся случаев конденсации с учетом процессов массо-
и теплопередачи через образующиеся на поверхности конденсации
слои жидкости и неконденсирующегося газа. Во всех трех случаях
установившийся процесс считается стационарным и проводится в вер-
тикальных поверхностных конденсаторах.
200
стенке.
Пример IX-6. Моделирование процесса конденсации пара одно-
компонентной жидкости на вертикальной стенке. В этом примере,
который является самым простым, рассматривается конденсация
однокомпонентного пара на вертикальной стенке. Температура
хладоагента, текущего по другую сторону стенки, для простоты
принимается постоянной (рис. IX-23). При соприкосновении пара
со стенкой, температура которой значительно ниже температуры
насыщения, происходит конденсация, и поток конденсата, стека-
ющий по стенке вниз, образует пленку, уменьшающую общий коэф-
фициент теплоотдачи от пара к стенке.
Рассмотрим элементарный участок поверхности стенки, ширина
которого равна единице, а высота Дг (рис. IX-24). Пренебрегая
теплом, удерживаемым конденсатом, запишем сначала уравнение
для количества тепла, переданного через слой конденсата от пара
к стенке в единицу времени через единицу поверхности на высоте z.
Тепловой поток от пара к стенке при стационарном процессе равен
тепловому потоку через стенку к хладоагенту в любой ее точке.
у __у
о= 7. ——-—— = [теплопроводность] • [температурный градиент]
о
где X — коэффициент теплопроводности конденсата, вт/(м-°С); 6 — толщина
слоя конденсата в данном сечении; Тк — температура конденсации; Т~т — тем-
пература конденсата на границе со стенкой конденсатора, равная температуре
стенки.
Удельный тепловой поток через стенку:
9 = Кет (^ст Тхл)
где Кет — коэффициент теплопередачи через стенку; Тхп — температура хла-
доагента.
Но, с другой стороны, q — это тепло, выделяемое при конденса-
ции пара, т. е.
g=Wl
где W— скорость конденсации на высоте z; I — скрытая теплота испарения.
201
Рис. IX-25. Элементарный объем Рис. IX-26. К выводу уравнения ма-
в слое конденсата. териального баланса для участка слоя
конденсата.
Толщина слоя конденсата 6 на высоте z, отсчитываемой от верх-
него края стенки, может быть найдена из уравнения, связывающего
эту величину с объемным расходом жидкости Q, стекающей вниз
по стенке, через сечение на высоте z на единичном участке ширины
стенки:
0 = Pg63
v Зр
где н — вязкость; р — плотность; g — ускорение силы тяжести.
Кратко напомним вывод этого уравнения *.
Рассмотрим элементарный объем в слое конденсата (рис. IX-25),
толщина которого бу, а боковая поверхность равна единице. На этот
элемент жидкости будут действовать две силы: сила тяжести и сила
трения. Обозначим напряжение, приходящееся на боковую поверх-
ность элемента, ближайшую к наружной границе слоя конденсата,
через т, а на ближайшую к стенке — через (т + 6т). Будем считать,
что движение установившееся и ускорение движения жидкости
равно нулю; при этом получим следующее уравнение, связывающее
силы, действующие на выделенный элементарный объем жидкости:
с dt ~ ~ dt 2
pgoy = —5— оу так как от = — —— оу
dy ay
или
dt
Заменим- величину т, используя соотношение, связывающее ее
с вязкостью жидкости:
Т— [1 (dU /dy)
где U — скорость перемещения конденсата вдоль стенки.
dr dW dW
-5—=Ц ИлИ =
dy г dy* dy*
Pg
И
(1)
* При выводе уравнения для толщины слоя конденсата считается, что чи-
татель умеет свободно обращаться с выражениями, содержащими производные.
202
Интегрируя уравнение (1), получим
dy р
(2)
Теперь, при у = &
следовательно
du!dy = Q
r_.Pg
61>б
Интегрируя выражение (2), при у = 0 и U — 0 получим:
tz=--lF+f6y+C2
следовательно, С2 = 0, тогда
(*~т) <э>
Величину Q можно получить, интегрируя линейную скорость
жидкости по толщине слоя конденсата от у = 0 до у = 6:
в
Q = \Udy
О
Подставляя вместо U выражение (3) и интегрируя, получим:
0= Pg63
Зр
Другими словами, Q равно накоплению конденсата в объеме слоя,
ограниченном по высоте 0 и z, на единичном по ширине участке
стенки. В сечении, расположенном ниже на Az, протекает другое
количество жидкости; это изменение равно количеству конденсиру-
ющегося в единицу времени пара W (рис. IX-26) на участке
стенки Az.
Материальный баланс жидкости'на этом участке:
[приток] = [сток]

Так как в данном случае рассматривается конденсация пара,
состоящего из одного компонента, температура конденсации может
быть принята равной температуре кипения данного вещества при
общем давлении в конденсаторе, равном р.
Перечислим уравнения, описывающие процесс конденсации:
q = Wl — удельный тепловой поток, равен теплу, выделя-
емому при конденсации пара на единичной поверхности в единицу
времени;
203
Рис. IX-27. Первый вариант построения блок-схемы
модели процесса конденсации.
= —-----изменение расхода конденсата на участке Az, равно
скорости конденсации;
Q = ~"3ц---толщина слоя конденсата есть функция расхода
жидкости через сечение z\
{Т __т )
q = Л. - g—---удельный тепловой поток через слой кон-
денсата от пара к стенке;
q = К„ (Тст — Тхл) — удельный тепловой поток через
стенку.
При моделировании, имея пять уравнений, надо определить
столько же неизвестных (q, Q, 6, Тст и W). Для правильного по-
строения модели требуется хорошо понимать механизм процесса
конденсации: скорость конденсации W определяется в основном тем
количеством тепла, которое может быть отведено от конденсиру-
ющегося пара хладоагентом, что в первую очередь зависит от раз-
ности температур пара и хладоагента.
Блок-схема модели этого процесса, на которой показаны связи
между основными его параметрами, представлена на рис. IX-27.
Внимательно рассмотрев эту схему, можно выявить потенциальные
трудности, возникающие при машинном решении.
При z = 0 и 6 = 0 в уравнении теплового потока через слой
конденсата получается неопределенность вида 0 0. Для того, чтобы
избежать этой трудности, можно предположить, что при z = 0 тол-
щина слоя конденсата не равна нулю, и принять ее равной какой-то
малой величине. Но это не лучший способ, так как он заведомо
приводит к ошибке при расчете.
Правильным решением вопроса является объединение уравнений
теплопередачи через слой конденсата и стенку в одно, в результате
чего температура ТС1- исключается из рассмотрения.
204
Рис. IX-28. Второй вариант построения блок-
схемы процесса конденсации.
Вместо этих уравнений в модель вводится уравнение тепло-
передачи от пара к хладоагенту:
6ХСТ+Х
(^к ^хл)
Еще одним преимуществом использования в модели этого уравне-
ния является то, что исключается итерационный контур расчета
удельного теплового потока q.
Блок-схема улучшенного варианта модели процесса конденсации
представлена на рис. IX-28. При машинном ее решении можно
получить графики изменения скорости конденсации W по длине z
для различных значений температуры хладоагента Тхл, давления
пара р (и, тем самым, 7'к), толщины стенки бит. д. Эти данные можно
использовать при.проектировании конденсатора.
Пример IX-7. Моделирование процесса конденсации смеси паров8-10.
В случае смеси паров процесс конденсации протекает сложнее (по-
прежнему считаем, что характер процесса не изменяется, конденса-
ция остается пленочной). Скорость конденсации чистого пара
(см. пример IX-6) зависит в основном от скорости передачи тепла,
выделяющегося при конденсации, от пара к хладоагенту. В случае
конденсации смеси паров лимитирующим процессом по скорости
является диффузия пара к
через слой неконденсирующе-
гося газа или медленно кон-
денсирующегося компонента па-
ра (рис. IX-29).
При этом скорость диффу-
зии /-го компонента смеси
равна его коэффициенту диф-
фузии Fj, умноженному на гра-
диент концентраций dYf/di],
где ц — относительная толщина
слоя пара, равная действитель-
ной толщине, деленной на мак-
поверхности пленки конденсата
Рис. IX-29. Изменение температуры
при конденсации сложных многоком-
понентных смесей.
симальную:
W/=F
dYj
205
Интегрируя это уравнение от ц = 0 до ц = 1, получим скорость
конденсации /-го компонента:
W}=F{(Yj-Уравн/)
где Yj — его концентрация в потоке пара; Уравн / — содержание его в слое
пара вблизи поверхности раздела фаз, примем между паром этого состава и кон-
денсатом существует равновесие.
Содержание данного компонента в конденсате обозначим XpaBHJ-
В более общем случае кроме диффузии пара надо учитывать его
перемещение в направлении, перпендикулярном стенке, вслед-
ствие конвекции.
Общую скорость перемещения /-го компонента газа обозна-
чим Wf , где fj — его мольная доля в потоке конденсирующегося
пара, a W — общая скорость конденсации:
dYi
Wfi=Fi^ + WYi
где FjdYj[dr\ — скорость диффузии; WYj — скорость перемещения /-го компо-
нента пара в этом же направлении вследствие конвективного переноса.
Интегрируя это уравнение в пределах от ц = 0 до ц = 1, по-
лучим:
где Урявн/ — содержание данного компонента в паре у поверхности раздела
фаз; Yj — содержание его в потоке пара.
Тепло, выделяющееся при конденсации:
где I — скрытая теплота парообразования.
Тепло, передаваемое от пара к поверхности раздела фаз через
паровой слой, складывается из тепла, выделяемого при конденса-
ции qK, и тепла qT, поступающего в результате конвективного тепло-
обмена в слое пара, происходящего из-за разности температур 71,,
и Тк.
Поскольку для единицы толщины парового слоя
[К теплообмеГ] = [теплопроводность] + [конвекция]
1т = —h Wcnn {Тп Тк)
то, интегрируя это уравнение от ц = 0 до ц = 1, получим следующее
выражение для qT:
уг = Хп (Л, Тк) Ai
где At — поправочный коэффициент Акермана.
206
Он определяется из выражения
А = ----— где « = —г—
1 — е лп
Общее количество тепла, передаваемое паром конденсату через
слой газа, равно:
7т + 1к — 7-п (Лт ?к) , fjlj
Рассмотрим теперь случай конденсации пара в присутствии
инертного газа. Смесь пара и газа подается сверху вниз по трубе,
тепло отбирается потоком хладоагента, движущимся снаружи про-
тивотоком (рис. IX-30).
Температура поверхности конденсации Тк зависит от парциаль-
ного давления конденсирующегося пара, который находится в со-
стоянии равновесия с жидкостью у поверхности раздела фаз, т. е.
Гк=/ (Р, Уравн)
где Р — общее давление газовой смеси.
Чтобы упростить модель и, в частности, уравнение диффузии
будем считать, что fj = 1. Скорость конденсации в этом случае
W=F\n({ л _гравн\
\ 1 —Уп- /
где Уп — доля конденсирующегося компонента в паро-газовой смеси; F —
коэффициент его диффузии через слой инертного газа, скапливающегося около
стенок трубы.
Материальный баланс паро-газовой смеси на элементарном уча-
стке длины трубы Az (рис. IX-31):
W d
СГп=-— аД2 + РУп + Д2 — (УУП)
Это уравнение можно упростить:
на единицу длины.
±(УУп)=_^
dz р
где а — поверхность конденсации, приходящаяся
Рис. IX-30. Схема процесса конденса-
ции в присутствии инертного газа.
1
VY„+az^(VYn)
Рис. IX-31. К выводу уравне-
ния материального баланса па-
рогазовой смеси.
207
ТАБЛИЦА IX-1
ТУ=Л1п[(1-Уравн)/(1-Уп)] Уравнение диффузии решается относительно скорости конден- сации W
±. (7УП) = — dz v ' р Уравнение материального балан- са конденсирующегося компо- нента паро-газовой смеси ре-
шается относительно Уп
^(0) = -^ йх р Уравнение материального балан- са конденсата решается отно- сительно Q
Л- (У)= _-1Уа- dz 1 ’ р Уравнение общего материального баланса паро-газовой смеси ре- шается относительно V
d ~d~ (УепГпрп) = Хп (Уп Гк) ^1а Уравнение теплового баланса паро-газовой смеси решается относительно Тп
Л^= а (1 —е“), а = ^Спл — Уравнение для расчета попра- вочного коэффициента А'г
9 = <7к + 3т Уравнение для общего удельного потока тепла, передаваемого через газовую пленку конден- сату, решается относительно q
— Хп (Тп— Тк) Ai Уравнение теплообмена в слое газа решается относительно дт
qK=Wl Уравнение для теплоты конден- сации решается относительно 9к
Л,= а/(1 — е~а) Уравнение для расчета поправоч- ного коэффициента Акермана
/’Уравн = / (Гк) Уравнение паро-жидкостного равновесия решается относи- тельно У равн
В табл. IX-1 перечислены уравнения, составленные для этого
случая по аналогии с предыдущим; в ней указаны неизвестные вели-
чины, относительно которых решается каждое уравнение.
Завершая построение модели процесса, необходимо составить
уравнение для нахождения одного из важнейших параметров про-
цесса — Тк. Эта величина может быть найдена из уравнения тепло-
передачи от слоя конденсата к хладоагенту. Процедура составления
такого уравнения рассматривалась подробно для случая конденсации
чистого пара (см. Пример IX-6).
Не учитывая тепло, задерживаемое пленкой конденсата (в боль-
шинстве случаев оно незначительно), получим:
__ л^,ст .т \
7?<ЖСТ-^ К хл)
Чтобы рассчитать по этому уравнению Тк, надо знать величину
теплового потока q, передаваемого паром при конденсации и кон-
вективном теплообмене конденсату, а затем, вследствие разности
температур Тк и Тхл, — хладоагенту, и температуру Тхл хладо-
агента. Эти величины вводятся из других частей модели.
Температура хладоагента может быть найдена из уравнения
теплового баланса хладоагента *:
( ТхлОхлехлР) — Ча
Блок-схема модели процесса конденсации в присутствии инерт-
ного газа представлена на рис. IX-32.
Пример IX-8. Моделирование процесса конденсации много-
компонентной паро-жидкостной смеси. Теперь можно рассмотреть
общий случай конденсации смеси паров. Уравнения материального
баланса для каждого компонента в потоке пара и общего материаль-
ного баланса аналогичны рассмотренным в примере IX-7, т. е.
Материальный баланс для каждого компонента в пленке
конденсата:
d W
dz p ia
Общий расход конденсата определяется из уравнения его общего
материального баланса:
d п W
Q =-----а
dz р
Рассмотренное ранее уравнение диффузии
w=FiA1jr^L)
________ \ J1 1 п 1
* Поскольку потоки пара и хладоагента перемещаются противотоком,
в уравнении появляется знак «минус» перед Тхл.
14 Заказ 2163
209
I
может быть приведено к более удобному для моделирования виду:
/у —^п/
Уnj Yк/
W/F, 7
е > — 1
(значение Д может быть в общем случае и отрицательным, что ука-
зывает на обратное направление диффузии).
Это уравнение используется в модели для определения доли
j-го компонента в диффундирующем потоке паровой смеси. Темпе-
ратура наружной поверхности пленки конденсата определяется при
совместном решении уравнений паро-жидкостного равновесия и об-
щего мольного баланса паровой фазы на границе с пленкой кон-
денсата:
РУк,= Xjfj (Тк)
Ук/ — 1
Тепловой поток q = qT + qK находят из уравнения теплопередачи
через слой конденсата к хладоагенту;
’“ЖЖ
Температуру Тк, входящую в это уравнение, определяют из урав-
нения равновесия, а Тхл — из уравнения теплового баланса хладо-
агента. Тепловой поток qr находят, как и в предыдущем случае
(см. рис. IX-32), qK рассчитывают как разность q и qy, а затем опре-
деляют общую скорость конденсации W.
Модель, полученная в примере IX-7, может быть легко преобра-
зована для расчета конденсации смеси паров. Изменения, которые
надо внести в нее для этого, показаны на рис. IX-33. Средние тепло-
емкости, внутренние теплоты парообразования и т. д. легко рас-
считываются, если известен состав паровой смеси (так же, как это
делалось в предыдущих главах). Коэффициент диффузии Fj и коэф-
фициент теплопроводности X являются сложными функциями кри-
териев Шмидта и Прандтля, которые, в cbojo очередь, зависят от
характера движения и скорости пара, вязкости, теплоемкости ком-
понентов, геометрических размеров конденсатора и т. д.
В первом приближении в модель можно включить средние значе-
ния величин Fj и X. При более точных расчетах они должны быть
введены в модель как функций указанных переменных, о чем по-
дробно можно прочитать в работах 6>12. Для решения дифферен-
циальных уравнений, входящих в модель, не хватает некоторых
граничных условий (так как хладоагент течет противотоком). В дан-
ном случае расчет производится при произвольной начальной тем-
пературе хладоагента несколько раз, до совпадения известной его
конечной температуры с расчетной.
При математическом моделировании конденсаторов могут встре-
титься и другие трудности. Перечислим некоторые из них:
наличие химического взаимодействия в паре или в конденсате;
14* 211
I
Температура
/рубашки //
----- I ----
Рис. IX-34. Схема реактора к упражнению, глава IX.
сложная конструкция или последовательное соединение несколь-
ких аппаратов;
необходимость учета сопротивления диффузии пара через слой
конденсата9;
проведение процесса в конденсаторе-холодильнике, в котором
конденсат охлаждается до заданной температуры 1Х.
Эти и другие подобные дополнительные условия в большинстве
случаев моделируются путем присоединения к основной модели
одного или нескольких уравнений, что делает решение задачи более
громоздким, но не более сложным.
Упражнение. Вещество А реагирует с веществом В до образова-
ния продукта С в соответствии со следующим стехиометрическим
уравнением:
д-LT? --► С
Реакция протекает в трубчатом реакторе, в газовой фазе. Реактор
представляет собой большую трубу, заключенную в охлаждающую
рубашку (рис. IX-34). Скорость реакции пропорциональна пар-
циальным давлениям газов А н В, а константа скорости реакции
связана с температурой в зоне реакции уравнением Аррениуса.
При построении модели надо учесть, что реакция в высшей степени
экзотермическая и что по длине реактора происходит значительное
падение давления.
Пренебрегая изменением теплоемкости газа и учитывая тепло,
передаваемое им охлаждающей жидкости в рубашке, требуется
составить уравнения математической модели для случая стационар-
ного ведения процесса. В качестве независимой переменной принять
длину реактора.
Изменение параметров процесса по длине реактора следует учи-
тывать в следующих уравнениях:
1. Материального баланса компонентов.
2. Расчета температуры газовой смеси.
3. Расчета падения давления.
При составлении уравнений использовать следующие обозначения
(обратить внимание на их размерность — это необходимо для срав-
нения построенной блок-схемы и результатов расчета с реше-
нием, данным в Приложении);
к — константа скорости реакции, кмоль]/9 -н'м9-сек)',
213
т — расход газа, кмоль/'сек;
Тг — температура газа,°C;
Лл — температура охлаждающей жидкости, °C;
Р — давление, н/ж2;
R — скорость реакции, кмоль! м3 • сек;
qv — тепловой эффект реакции, дж! кмоль;
D — диаметр трубчатого реактора, м;
I — длина реактора, м;
К — коэффициент теплопередачи от газа к охлаждающей жидко-
сти, дж/м2'сек’ °C;
ср — средняя мольная теплоемкость при постоянном давле-
нии, дж!кмоль °C;
Y — мольная доля;
Mi — молекулярный вес /-го компонента газовой смеси.
Продумать, как должны быть использованы в модели отдельные
уравнения, и построить блок-схему модели. (Решение этой задачи
и программа расчета модели, составленная на языке MIMIC, а также
числовое решение для частного случая даны в Приложении.)
Обозначения
а — константа из уравнения (Пример IX-4) или боковая по-
верхность, приходящаяся на единицу длины трубы (При-
мер IX-7).
А, Е — константы из уравнения Аррениуса.
с — удельная теплоемкость-
D — диаметр.
т — массовый расход жидкости (Пример IX-1).
Fj — коэффициент диффузии /-го компонента.
j — общее содержание /-го компонента в конденсирующемся
потоке пара.
К — константа в уравнении (Пример IX-4).
q — удельный тепловой поток.
7Р — общий тепловой эффект реакции.
А</р — удельный тепловой эффект.
h — коэффициент теплоотдачи.
к — константа скорости реакции.
Шж — расход жидкости на элементарном участке длины (При-
мер IX-4).
L — длина.
Р — давление.
Ф — тепловой поток (Пример IX-1).
Q — объемный расход газа (Пример IX-3) или расход конденсата
(Пример IX-6).
к — коэффициент трения.
qK — тепло, выделяющееся при конденсации,
qT — тепло, поступающее к поверхности конденсата в результате
конвективного теплообмена в слое газа.
R — газовая постоянная или скорость реакции.
214
8 — толщина стенки или слоя конденсата.
К — коэффициент теплопередачи. \
U — скорость течения конденсата вдоль стенки.
V — количество испаряющейся жидкости в единицу времени
на единице длины аппарата.
W — скорость конденсации (Пример IX-6).
х — расстояние.
Yj — мольная доля /-го компонента в газовой смеси.
у — расстояние рассматриваемой точки в слое конденсата от по-
верхности конденсации.
зг— расстояние.
р — плотность.
а — приведенный коэффициент лучеиспускания или коэф-
фициент в уравнении Акермана.
р — коэффициент диффузии.
о, — вязкость.
I — скрытая теплота парообразования (Пример IX-6).
т — напряжение, приходящееся на единицу поверхности слоя
конденсата.
у — относительный коэффициент активности.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Если раствор соли пропускать по внутренней трубе,
сделанной из материала, проницаемого только для воды, то вода
начнет проникать во внешнюю трубу. Это явление диффузии раство-
рителя из раствора под действием разности концентраций по обе
стороны полупроницаемой перегородки, называемое осмосом, часто
используется для очистки воды от солей.
Соляной раствор прокачивается через трубу при высоком давле-
нии, входная концентрация соли в нем равна С кг'м3, коэффициент
диффузии для воды D кг/(м2-сек-н/м2).
Движущей силой процесса является разность давлений жидкости
во внутренней и наружной трубе (осмотическое давление воды
больше, чем раствора соли). Будем считать, что уменьшение осмоти-
ческого давления прямо пропорционально содержанию соли в рас-
творе.
Построить математическую модель, при решении которой можно
определить, как влияют на выход очищенной воды различные гео-
метрические и технологические параметры (длина трубы, скорость
подачи раствора, входное давление и т. д.). При построении модели
надо принять во внимание, что нельзя пренебрегать падением давле-
ния вследствие трения о стенки трубы.
Задача 2. Газообразное топливо подается по питающему трубо-
проводу из центрального хранилища в четыре пункта. На трубо-
проводе имеются четыре вентиля (рис. IX-35), с помощью которых
можно управлять подачей топлива. Расходы газа в боковые отводы,
обозначаемые соответственно т2, т., и т1 заданы. Давление Р0
за четвертым вентилем также известно.
215
Хранилище
Р,

т, тг т3
Рис. IX-35. Схема транспортировки газа к задаче IX-2.
Построить математическую модель для определения величины
давления на входе в питающий трубопровод, обеспечивающего необ-
ходимые расходы газа. При моделировании предположить, что
коэффициенты пропускной способности вентилей известны и равны А’В1.
Задача 3. Трубчатый реактор заполнен катализатором в виде
шариков малого диаметра, через слой которого пропускается реак-
ционная газовая смесь, состоящая из веществ А и В. Продуктами
реакции являются вещества R и S. В реакционной смеси содержится
также инертный газ I.
Реакция протекает по схеме
д + В --> + 5
со скоростью
k(PAPB-PRPSIK)
(1 + кАР А + кВРВ + kRPR + kSPS + kIPlY
где R кмоль/ (сек - кг) катализатора; Р, — парциальное давление г-го компонента;
К — константа равновесия; к — константа скорости реакции (две последние
величины являются функциями температуры в реакционной зоне).
Процесс осуществляется в адиабатическом реакторе. Предпола-
гается, что падение давления в слое катализатора пропорционально
квадрату весового расхода и толщине слоя катализатора и обратно
пропорционально четверти диаметра реактора.
Построить модель, при решении которой можно было бы опре-
делить, как изменяется состав получаемого продукта в зависимости
от температуры газовой смеси на входе, общего объема катализатора,
длины и диаметра слоя, состава исходных продуктов на входе
в реактор и т. д.
Задача 4. В подогреваемом трубчатом реакторе осуществляется
химическая реакция в жидкой фазе. Тепло, поступающее в реактор
от греющей рубашки, расходуется на то, чтобы поддерживать в реак-
торе температуру, равную температуре кипения реакционной смеси.
Будем считать, что при кипении испаряются только компоненты С
и D, причем С испаряется более интенсивно. Жидкая фаза в реакторе
при этом обогащается компонентом D, являющимся основным про-
дуктом реакции. Паровая фаза отводится в нескольких местах,
отстоящих на некотором расстоянии по длине реактора.
На основании экспериментальных данных получено следующее
выражение для изменения давления по длине реактора:
—(^1тж
где т% — расход жидкой фазы, кг/сек', Qn — расход пара, .А/сек.
216
Коэффициент теплопередачи К дж/(м2 -сек-°C) через стенку реак-
тора связан с расходами пара и жидкости следующим выражением:
^3 ~Ь ^4тж
1 +&sQn
Предполагая, что между паровой и жидкой фазой в реакторе
существует состояние равновесия, и что константа скорости реакции
зависит от температуры, построить модель, решая которую можно
определить зависимость состава конечного продукта от длины реак-
тора, расположения отводов пара, диаметра реактора, входного
давления и температуры в рубашке.
Задача 5. Сферические полимерные частицы (их средний диаметр
равен D), находящиеся во взвешенном состоянии в жидкой среде,
бомбардируются свободными радикалами. Скорость прохождения
радикалов через поверхность частицы г кмоль/ м^сек, а скорость диф-
фузии внутрь частицы пропорциональна градиенту концентраций
радикала в ней. Начальная скорость диффузии радикала внутрь
частицы равна кС'2, где С — концентрация радикала, кмоль ра-
дикала/.^3 частиц.
Построить модель для определения изменения .концентрации
радикала внутри частицы.
Задача 6. Лист толщиной <5Х (рис. IX-36) охлаждается в резуль-
тате соприкосновения с вращающимся металлическим барабаном,
толщина стенки которого равна б2. Внутри барабана течет хладо-
агент с температурой Тхл. Построить модель процесса, предполагая,
что падение температуры по толщине листа и барабана незначи-
тельно, а основное сопротивление тепловому потоку возникает на
границах хладоагент — барабан и барабан — наружная поверх-
ность листа.
При решении модели получить графики зависимостей темпера-
туры листа и барабана от толщины листа, скорости вращения бара-
бана и длины линии их соприкосновения.
Задача 7. Пленочный испаритель состоит из пучка вертикальных
труб (рис. IX-37), помещенных в кожухе. В кожух подается пар.
давление которого под-
держивается постоян-
ным. Тепло от пара
Рис. IX-36. Схема к зада-
че IX-6.
Рис. IX-37. Схема пленочного испарителя
к задаче IX-7.
217
Рис. IX-38. Схема абсорбера
к задаче IX-8.
деления расхода жидкой и
передается пленке жидкости, стека-
ющей сверху вниз по внутренней
поверхности труб. При нагревании
жидкости происходит ее частичное
испарение, образующийся пар отво-
дится из верхней части испарителя.
Поток питающей жидкости состоит
из смеси трех компонентов, все они
испаряются, но в разной степени.
Давление в испарителе постоянно.
Во всех точках испарителя между
жидкостью и паром существует со-
стояние равновесия.
Построить модель этого про-
цесса, предназначенную для опре-
ровой фаз на выходе из испарителя
в зависимости от остальных параметров, характеризующих течение
процесса.
Задача 8. В башне объемом V путем разбрызгивания однокомпо-
нентной жидкости, текущей противотоком (рис. IX-38), увлажняется
однокомпонентный газ. Расход жидкости равен тж, расход
газа — тг.
Построить модель процесса, предполагая, что на поверхности
раздела газовой фазы и капли жидкости достигается состояние
равновесия (т. е. температуры их равны между собой) и что при
испарении жидкости образуется насыщенный пар. При моделирова-
нии можно пренебречь теплотой парообразования и изменением
количества жидкости, считая, что испарение пренебрежимо мало.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. L i N. N., Long R. В., Henley Е. J., Ind. Eng. Chem., 57, № 3
(1965).
2. Charles M. E.,Govier G. W.,Hoggson G. W., Can. J. Chem.
Eng., February (1961).
3. К о г о у b a n E. S., Journal of Basic Eng., December (1961).
4. F r a n k s R. G., Chem. Eng., April (1963).
5. Hoogendorn C. J., Chem. Eng. Sci., 9 (1959).
6. К e r n D. Q., Process Heat Transfer, New York, 1950.
7. Sparrow E. M., Siegel R., ASME, 58-A-13 (1958).
8. F r a n k s R. G., O’Brien N. G., Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 56,
№ 31 (1960).
9. O’Brien N. G., Franks R. G., Munson J. K., Chem. Eng.
Symp. Ser., 55, № 29 (1957).
10. Colburn A. P., Hougen O. A., Ind. Eng. Chem., 26, 1178 (1934).
11. F a i r J. R., Lerner B. J., Am. Ind. Chem. Eng. J., 2, № 1 (1956).
12. H о 1 m e s J. T., Burns M. G., Chem. Eng., May (1965).
13. В a d d о ur R. F., Brian P. L. T. et al., Chem. Eng. Sci., 20 (1965).
14. Coughanowr D. R., Stensholt E. 0., Ind. Eng. Chem., 3, A’s 4
(1964).
15. Roberts S. M., Laspe C. G., Ind. Eng. Chem., May (1961).
218
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Г у х м а н А. А., Введение в теорию подобия, Изд. «Высшая школа», 1963.
Девятов Б. Н., Лапшин С. В., Передаточные функции и структур-
ные схемы теплообменных аппаратов как объектов регулирования, Изв.
Сибирского отд. АН СССР, № 8 (1960).
Девятов Б. Н., ДАН СССР, 150, № 5 (1953).
Кутателадзе С. С., Основы теории теплообмена, Машгиз, 1957.
Михеев М. А., Курс теплопередачи, Госэнергоиздат, 1949.
Письмен Л. М., И о ф ф е И. И., ДАН СССР, 144, № 3 (1962).
Р ягу зов В. Г., Уравнения возмущенного состояния теплообменника
и схемы их моделирования, Изв. вузов, Xs 1 (1966).
Франк-Каменецкий Д. А., Диффузия и теплопередача в химиче-
ской кинетике, Изд. «Наука», 1967.
ГЛАВА X
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ
УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Моделирование процессов, описываемых уравнениями
в частных производных, является логическим развитием и заверше-
нием всего предыдущего материала.
До сих пор в этой книге рассматривались процессы, при модели-
ровании которых получались системы линейных и нелинейных
алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Примеры подбирались таким образом, чтобы основные параметры
ведения процесса были функцией только одной независимой пере-
менной: либо времени, либо наиболее характерной пространственной
координаты (длины аппарата, радиуса и т. д.).
Нами были построены модели ряда химико-технологических
процессов, протекающих в аппаратах идеального смешения, в кото-
рых параметры во всех точках считаются равными между собой
и одинаково меняющимися во времени (независимая переменная —
время). Мы моделировали также стационарные процессы тепло-
и массопередачи в системах, в которых изменение параметров в ка-
ком-то одном направлении намного значительнее, чем в остальных.
Исключая из рассмотрения время и ограничиваясь решением одно-
мерной задачи, мы могли с достаточной точностью описать такой
процесс обыкновенными дифференциальными уравнениями, некото-
рых независимой переменной является пространственная ко-
ордината.
Однако в большинстве случаев основные параметры, характери-
зующие течение процесса (температура, давление, концентрации
и т. д.), зависят как от времени, так и от пространственных коорди-
нат. При нахождении соотношений, связывающих технологические
параметры с независимыми переменными, мы неизбежно приходим
к уравнениям в частных производных.
Общих методов для нахождения аналитического решения уравне-
ний в частных производных не существует, лишь для отдельных
частных случаев (обычно не представляющих практического инте-
реса) можно получить аналитическое решение задачи.
Если при исследовании инженерной задачи получаются уравне-
ния в частных производных, то обычно пользуются численными
220
методами их решения. Один из возможных численных методов со-
стоит в замене частных производных в уравнениях на отношения
конечных разностей, в результате чего дифференциальные уравнения
обращаются в алгебраические, разностные.
Более удобным методом численного решения, резко сокраща-
ющим число вычислительных операций, является переход от уравне-
ний в частных производных к системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, который осуществляется заменой всех частных
производных отношением конечных разностей, кроме одной, явля-
ющейся независимой переменной в полученной системе ©быкновен-
ных дифференциальных уравнений.
При таком методе, как и, при чисто разностном решении, вся
область, в которой ищется решение, разбивается на ряд зон. Мате-
риальные и тепловые балансы составляются и решаются для каждой
из зон последовательно, причем число уравнений в системе соответ-
ствует числу зон.
Методика выбора числа зон, которое является достаточным для
требуемой точности решения, описана в литературе1-3 и на ней
мы не будем останавливаться подробно. Можно лишь заметить, что
чем больше'число зон, тем ближе математическая модель к описыва-
емому физическому процессу, но это потребует большого числа
операционных блоков при решении задачи на аналоговой машине
или больших затрат машинного времени при ее решении на цифровой
вычислительной машине.
В большинстве случаев удовлетворительная точность решения
достигается при разделении области существования решения на
неожиданно малое число зон. Причем разделение этого пространства
обычно бывает неравномерным: там, где градиент изменения пере-
менных велик, зон больше, а там, где мал — меньше. Поэтому эта
операция обычно осуществляется при участии технолога — спе-
циалиста в области моделируемого процесса, который может заранее
предположить, как разделить изучаемую систему на зоны. Точность
аппроксимации при одном и том же числе зон может быть значи-
тельно повышена за счет правильного разделения на зоны.
Все сказанное выше объясняется далее на нескольких примерах,
взятых из различных областей химической технологии.
Пример Х-1. Моделирование изменения температуры стержня,
подогреваемого с одного конца 4>s. Аналитическое решение этого про-
стого примера можно найти в любом учебнике по теплопередаче,
однако он показывает, как при блочном математическом моделирова-
нии, успешно примененном в предыдущих случаях, учесть осо-
бенности систем, описываемых уравнениями в частных произ-
водных.
На рис. Х-1 приведена схема простейшей системы, представля-
ющей собой стержень, теплоизолированный с одного конца и по
бокам. В момент времени, принятый за начальный, температура
всего стержня одинакова и равна, например, 0° С. В этот момент
к неизолированному концу стержня подносится некоторое тело,
221
Изоляция
Металлический, стержень
УГ^ТТТ777777777777777777777777777Г/,
Рис. Х-1. К примеру Х-1-
Рис. Х-2. Графики распределения тем-
пературы по длине стержня в раз-
личные моменты времени.
нагретое предварительно до 100° С, причем температура этого тела
затем поддерживается постоянной.
На рис- Х-2 показано, как будет при этом изменяться во времени
температура стержня. Ясно, что в точках, находящихся на различных
расстояниях от неизолированного конца стержня, в одинаковые
моменты времени температура будет различной, т. е. Т — Т (t, х\
Дифференциальное уравнение в частных производных, которое
выражает зависимость температуры от времени и от расстояния
(от неизолированного конца стержня), как известно, имеет
следующий вид:
dT d»T
== а
dt------dx%
где величина а, называемая коэффициентом температуропровод-
ности, характеризует свойства материала стержня:
__ [теплопроводность]
[плотность] • [удельная теплоемкость]
При решении этой задачи описанным выше методом сначала
разделим стержень по длине на отдельные участки (рис. Х-3). Будем
считать, что температура всего участка одинакова и равна темпера-
туре в его центре. Предположим также, что стержень разделен на
одинаковые участки, т. е. расстояние между их центрами Дж есть
величина постоянная *.
При этом от участка п — 1 к участку п в единицу времени будет
передаваться некоторое количество тепла, которое обозначим qn^:
?„_i = [теплопроводность] • [площадь] • [градиент температуры]
a XS Тп-1~Тп
где S — площадь поперечного сечения стержня.
Аналогично тепловой поток от участка в + 1 к участку и:
о А <? ^"+1
* Грубую оценку «сверху» числа зон, на которые надо разделить стержень,
можно получить, исходя из требуемой точности нахождения распределения
температуры по длине и величины возмущения, прилагаемого к его неизолиро-
ванному концу.
222
Рис. Х-3. Схема разбиения стержня па от-
дельные участки.
Рис. Х-4. К выводу уравне-
ния теплового баланса стерж-
ня.
В результате можно записать уравнение теплового баланса уча-
стка п (см. рис. Х-4):
[скорость изменения [энтальпий во времени] = [сумма всех тепловых потоков]
4 [ср (УД.) тп]=ХУ + ЛУ
Путем простых преобразований это уравнение можно привести
к виду:
~diTn = PC (Д.)2 ЛО-НТ’л-н-г»)]
Это уравнение используется в модели для нахождения темпера-
туры Тп на участке п (рис. Х-5). Задача может быть также решена
непосредственно методом конечных разностей, но примененный
здесь комбинированный метод является более простым и наглядным,
а также требует гораздо меньше машинного времени.
Математическая модель всего стержня строится на основе описа-
ния отдельного его участка так, как показано на рис. Х-6 для пяти
участков.
Для повышения точности решения без увеличения общего числа
участков надо изменить их величины так, как показано на рис. Х-7
Поскольку градиент температуры в любой момент времени больше
на том конце стержня, где приложено возмущение, то эту часть
стержня делим на более мелкие участки, которые можно делать
крупнее по мере удаления от неизолированного конца стержня,
так как градиент температур уменьшается в этом направлении.
Решение полученной модели на вычислительной машине относи-
тельно несложно. При этом надо знать только величину возмущения
Рпс. Х-5. Модель нахождения температуры n-го участка
стержня.
223
Рис. Х-6. Схема объединения моделей пяти уча-
стков стержня.
7 2 3 4 5 S 7 3 9 Ю 11 12
Рис. Х-7. Улучшение схемы разбиения стержня.
То и начальные значения температур на каждом из участков
стержня. Хотя существует аналитическое решение этой задачи для
некоторых видов возмущений (например, для ступенчатого или
синусоидального), гораздо более удобно иметь программу решения
задачи на машине, что позволит получать решения для возмущений
произвольного вида.
В результате расчета можно построить графики изменения темпе-
ратуры по длине стержня в различные моменты времени или изме-
нения температуры во времени для каждой зоны.
Пример Х-2. Моделирование жидко-жидкостного противоточ-
ного теплообменникае>7. В гл. IX была построена модель жидко-
жидкостного теплообменника типа «труба в трубе» при стационарном
течении процесса. При решении уравнений модели находили распре-
деление температуры по длине теплообменника при изменении его
геометрических и технологических параметров-
Теперь рассмотрим более общий случай неустановившегося про-
цесса, когда зависимая переменная — температура является функ-
цией двух независимых переменных — времени и расстояния
от входа в теплообменник. Схема теплообменника представлена
на рис- Х-8.
Поскольку имеется более чем одна независимая переменная,
соотношение температуры, времени и длины может быть представлено
в виде уравнения в частных производных.
Инар III т | — — 'ы Т’вн о -—г- — г—~ 7вн ^нарб Рис. Х-8. Схема теплообменника Р типа «труба в трубе». Т" " 1 1—~| i '1—Н 1 1 1 1 т ~Г 1J—L ‘ 1 j 0Н । । । । । । ! । 1 ' 'наря ис. Х-9. Схема разбиения теплооб- менника на отдельные зоны.
224
п-1 П I I п + z
— I ТнО.р/7 I _ Наружная труба
т т . —I—Внутренняя
'Ън(п-г) I '8н/7 j 'BHfrw) труба
Рис. Х-10. п-я зова теплообменника.
Постараемся описать теплообменник по отдельным зонам и свести
решение задачи к решению системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, независимой переменной в которых было бы время.
Для этого используем метод конечных разностей, как было показано
в предыдущем примере.
В данном случае теплообменник достаточно разбить на десять зон
(рис. Х-9), причем в зону входят соответствующие участки как
наружной, так и внутренней трубы. Одна из зон представлена на
рис. Х-10. Жидкость в наружной трубе на этом участке течет от зоны
(n + 1) к зоне (п — 1), а во внутренней трубе — наоборот. Через
участок п непрерывно протекают потоки жидкости, тепло от потока
во внутренней трубе также непрерывно передается жидкости, теку-
щей в наружной трубе на этом участке.
Обозначим температуру в центре участков наружной и внутренней
труб в п-й зоне соответственно Тпарп и Твап- От жидкости, текущей
по внутренней трубе, к жидкости, текущей в наружной трубе тепло-
обменника, в единицу времени будет передаваться количество тепла
Фп~ К (лОЛГ) (Твн п Т’нар п)
где D — средний диаметр внутренней трубы; — длина зоны.
При составлении теплового баланса жидкости, текущей в наруж-
ной и внутренней трубах n-ой зоны, сделаем следующие предполо-
жения: в первом приближении будем считать, что температура на
границе двух зон равна среднему арифметическому значений тем-
ператур в центрах этих зон, т. е. температура жидкости, посту-
пающей в п-ю зону наружной трубы, может быть представ-
лена как 0,5 (Гнарп + ГнарСп+х)) и аналогично — температура
жидкости, поступающей во внутреннюю трубу в этой зоне,
будет равна 0,5 (Гви^-х) + Т’внп)- Уравнение теплового баланса
жидкости в каждой из труб для этой зоны может быть записано
следующим образом:
скорость
изменения
энтальпии
приход тепла
с потоком
жидкости
отвод тепла’
с потоком
жидкости
теплопередача
через стенку
трубы
15 Заказ 2163
225
Рис. Х-11. Математическая модель теплового баланса я-й зоны теплообменника.
Рис. Х-12. Схема объединения моделей четырех зон теплообменника.
Для участка наружной трубы в п-й зоне
(ср^' нзрТ’нар п) — Стнар ((Тнар п + Т’нар (п+1)) 0.5 (Тнар п+ Тнар (п-ц) 0,5] -j-Ф«
Для участка внутренней трубы в п-й зоне ।
(СР^ВпТБН п) — [(Т’вН «У ТВЯ (П-1>) 0,5 (Т’вн п 4‘7’вн (П+1>) 0,5] Фп
где I-'иар и 1’в,, — объемы жидкости в наружном и внутреннем участках трубы
в п-н зоне соответственно. Эти величины равны:
• V — Мл. / П2 _ ]Л ) V — п2
• нар— '.'-'нар '7вн' *вн—'7вн
где Рнар, £>вн — средние диаметры труб.
Уравнения теплового баланса можно использовать в модели
для определения температуры в центрах внутренней и наружной
труб этой зоны (рис. Х-11). Другие зоны, кроме первой и последней,
подобны описанной. Их связь показана на рис. Х-12. »
226
Крайние зоны (1-я и N-я) требуют специального рассмотрения.
На рис. Х-13 изображены две зоны (1-я и 2-я) и указаны темпе-
ратуры в их центрах и на выходе наружной трубы. Температура
жидкости на входе в первую зону, как было принято в этой задаче,
равна среднему арифметическому значений температур Тнар1 и Лира-
Температура жидкости на выходе из теплообменника 7’паг неизве-
стна. Ее можно принять равной (т. е. считать, что температура
в этой зоне не меняется) либо подсчитать приблизительно по формуле
Т’нар = ^нар 1 0,5 (Гнар 2 ^нар 1)
предполагая при этом, что изменение температуры от зоны 1 к вы-
ходу равно изменению температуры от зоны 2 к зоне 1.
Если теплообменник разделен на большое число зон, то в первом
приближении можно считать, что Гнар = Гнар1. Подобным же обра-
зом находим температуру жидкости на выходе внутренней трубы
(в последней зоне).
Предположим, что входные величины и 7\ар0 меняются
произвольно во времени, а расходы жидкости, поступающей в тепло-
обменник, изменяются во времени так, как показано на рис. Х-14.
Решая уравнения модели при указанных изменениях входных пара-
метров, можно получить распределение температур по длине тепло-
обменника в наружной и внутренней трубах и определить, дости-
гается ли требуемая степень охлаждения (нагревания) или нет.
Пример Х-3. Моделирование распространения тепла в грунте
от капсулы с радиоактивными осадками. Одним из методов оконча-
тельного хранения радиоактивных отходов в настоящее время яв-
ляется захоронение их в специальных капсулах глубоко под землей.
Радиоактивные вещества при этом продолжают некоторое время
выделять энергию, нагревая стенки капсулы и окружающий грунт.
Поскольку теплопроводность грунта невелика, то выделяемое тепло
рассеивается в нем очень медленно. Поэтому температура содержи-
мого капсулы постепенно поднимается, а затем падает, когда скорость
тепловыделения уменьшается. Процесс охлаждения имеет экспо-
ненциально затухающий
характер, он длителен,
время его исчисляется
несколькими годами
(рис. Х-15).
.Расход
т,т
Расход в наружной
I , трубе /т?цар
_i Температура на входе во
внутреннюю
Температура на Входе
в наружную трубу
Расход во внутренней
трубе /7?6н
I ^нар2 |
________---1 -I--------
I ।
Рис. Х-13. Конечная зона
теплообменника.
Рис. Х-14. Графики, изменения входных пара-
15*
227
Рис. Х-15. График изменения интен-
сивности теплоотдачи от капсулы
с радиоактивным веществом.
Поверхность
' земли
73^Т777СППС77777777777777ТУ77777777С7777/
Рис. Х-16. Схема захоронения радио-
активных отходов.
Количество вещества, которое можно хранить в одной капсуле,
зависит от того, какова максимальная температура, развиваемая
в капсуле при распаде радиоактивных остатков. Это связано с тем,
что при превышении определенной температуры может разрушиться
изоляция стенки и радиоактивное вещество проникнет наружу,
чего допускать нельзя.
Построив математическую модель процесса и решая ее для раз-
личных начальных условий (которыми является содержание радио-
активных остатков в капсуле в начальный момент времени), можно
предсказать характер изменения температуры в капсуле на не-
сколько лет вперед, если располагать данными об удельной интен-
сивности тепловыделения при распаде этого вещества.
Предположим, что капсула, объем которой равен V, целиком
заполнена и находится на такой большой глубине, что можно счи-
тать распространение тепла в грунте вокруг капсулы равномерным
и пренебречь его потерями от поверхности земли (рис. Х-16). В любой
момент времени температура капсулы будет выше температуры
окружающего грунта, т. е. тепло будет отводиться от капсулы. Рас-
считаем изменение температуры в капсуле как функцию времени.
Очевидно, что при составлении уравнений модели мы получим
уравнения в частных производных, так как имеются четыре незави-
симых переменных — время и три пространственные координаты.
Но поскольку тепло распространяется во все стороны равномерно
трех пространственных координат доста-
и симметрично, то вместо
Рис. Х-17. График изменения
температуры в зависимости от
расстояния от капсулы.
точно рассматривать одну независимую
переменную — радиальное расстояние
от капсулы. Другими словами, на оди-
наковом расстоянии от нее темпера-
тура одинакова во всех точках окру-
жающего пространства.
Первым шагом в построении ма-
тематической модели является разде-
ление окружающего капсулу простран-
ства на отдельные зоны. На рис. Х-17
представлена типичная кривая измене-
ния температуры по мере удаления
228
от капсулы. Из этого гра-
фика хорошо видно, что
вблизи капсулы темпера-
тура меняется значитель-
но, при удалении —
температурный градиент
уменьшается. Исходя из
этих соображений, разо-
бьем пространство вокруг
капсулы на зоны, шири-
на которых увеличивается
Х-18. Схема разбиения пространства
вокруг капсулы на сферические зоны.
собой объемы, заключенные между
концентрическими по отношению
по мере удаления от кап- рис.
сулы. Схематически такое
разделение изображено на
рис. Х-18. Зоны представляют
сферическими поверхностями,
к центру капсулы.
Рассмотрим п-ю зону. Как и ранее, будем считать, что темпера-
тура в зоне одинакова и равна температуре в ее центре Тп (рис. Х-19).
Уравнение теплового баланса для грунта, находящегося в этой зоне,
будет иметь следующий вид:
[скорость изменения! [тепловой поток! , [тепловой поток
[ теплосодержания J-’[от зоны (n —1)J ' [от зоны (и4-1)
/ тг гг, , (.Тп-\ Tn)Sn^i‘k . (Tn+l Тп) Snl\,
dt ' р пп)>' 0,5(Д/?„+х4-ДЯп)
где V„ — объем грунта в зоне га; Sn — средняя логарифмическая величина
поверхностей, проходящих через средние точки зон гаи (га + 1); с — теплоемкость
грунта; Л — коэффициент теплопроводности; р — плотность грунта.
Для двух крайних зон уравнения теплового баланса запишутся
по-другому, так как эти зоны требуют специального рассмотрения.
Зона, ближайшая к капсуле, получает тепло непосредственно от нее;
тепловой баланс для этой зоны можно записать следующим образом:
J у1 ОТ
~ = Fo<? -
dt и,о A/ij
где q — тепло, выделяемое единицей объема радиоактивного вещества (вт/м3)
в единицу времени (эта величина задана ио условию задачи и является гранич-
ным условием).
Вторая конечная зона находится на значительном расстоянии
от капсулы, и можно предположить, что ее температура равна тем-
пературе окружающего грунта, на который уже не оказывает суще-
ственного влияния тепло, распространяемое капсулой. Эту темпе-
ратуру также можно считать постоянной. При этом предположе-
нии запишем уравнение теплового баланса для последней зоны,
229
. Зона Зона . Зона
\ п-1 \ п \ п.1 \
\ '• \ \
R'<\ RO.1^\
11'
I 'о-' I Тп I Тп+1 ।
I " i ’ I * I
. I I
' TN \ Тгп(конотанта)
i
Рис. X-19. п-я зона.
Рис. X-20. К выводу уравнения
теплового баланса для n-й зоны.
температура которой почти не отличается от температуры окру-
жающего грунта (рис- Х-20).
d z_v rr х ^SN-1(T N-l~ Tn) , ^Sn(T^~Tn)
dt ( P NJN) Q^bR^bR^ + bRN
где Trp — температура грунта на расстоянии A7?N от точки с температурой ТЛ,.
Блок-схема математической модели процесса теплопередачи через
и-ю зону представлена на рис. Х-21. Схема объединения моделей
отдельных зон, а также входная и выходная информация для каждой
из них показаны на рис. Х-22. Решая уравнения модели, можно
определить температуру в капсуле и ее изменение по мере удаления
от капсулы для различных моментов времени. На рис. Х-23 даны
некоторые из полученных решений, представленные для нагляд-
ности в виде графиков. На рис. Х-23, а показано, как изменяется
в» времени температура в центре каждой из зон, а на рис. Х-23, б
построены графики изменения температуры в зависимости от ра-
диального расстояния от капсулы для отдельных моментов вре-
мени ti- Повторив расчеты для другого содержания радиоактивных
отходов в капсуле, установим, какое количество можно хранить
в одной капсуле, не нарушая требований техники безопасности,
т. е. не допуская повышения температуры до такой величины, при
которой капсула может разрушиться.
Пример Х-4. Моделирование процесса теплопередачи в тепло-
обменнике типа «труба в трубе». В этом примере рассматривается
стационарный процесс теплопередачи в теплообменнике типа «труба
в трубе», который описывается уравнением в частных производных,
причем обе независимые переменные являются пространственными
координатами. Тепло передается от жидкости, текущей по внутрен-
тей трубе теплообменника, к жидкости, перемещающейся противо-
током по наружной трубе (рис. Х-24). Течение жидкости во вну-
тренней трубе — ламинарное, а в наружной — турбулентное. Будем
считать также, что температура в каждом сечении наружной трубы,
перпендикулярном продольной оси теплообменника, одинакова, а во
внутренней зависит от расстояния от оси трубы и уменьшается
от центра к стенкам. Предположим также, что профиль изменения
скорости жидкости по сечению внутренней трубы известен.
230
Рис. Х-21. Блок-схема модели теплового баланса n-й зоны.
Рис. Х-22. Схема объединения моделей отдельных зон.
Рис. Х-23. Графики изменения температуры грунта в зависимо*
сти от времени и расстояния от капсулы.
Рис. Х-24. Схема к приме-
ру Х-4.
Внутренняя
труба
—— Наружная труба
Рис. Х-25. Схема разбиения вну-
тренней трубы на кольцевые зоны.
Зона 1-1
Зона i
Зона 1+1
Рис. Х-26. Кольцевая зона i-
Требуется построить математическую модель, предназначенную
для определения тепловой нагрузки в различных точках теплообмен-
ника, для его оптимального конструирования.
Первый шаг состоит в разделении внутренней трубы на опре-
деленное число концентрических кольцевых зон. В этом примере
взято десять зон (см. примечание к примеру Х-1). Температура
жидкости во внутренней трубе изменяется в радиальном направлении
тем сильнее, чем ближе к стенкам трубы, поэтому целесообразно
разделить объем внутренней трубы на кольцевые зоны, увеличивая
площадь поперечных сечений зон по мере уменьшения радиуса
кольца. Таким образом, кольцо, расположенное ближе к стенке,
будет иметь меньшую толщину (разность наружного и внутреннего
радиусов), чем кольцо, находящееся вблизи от центра трубы
(рис. Х-25).
Зная распределение скоростей по сечению внутренней трубы,
можно легко найти среднюю скорость жидкости в каждой зоне;
обозначим ее v, м/сек. Запишем уравнения теплового баланса для
сечения, находящегося на расстоянии z от входа жидкости в тепло-
обменник (рис. Х-26). В уравнение теплового баланса для г-той зоны
входят величины тепловых потоков от соседних зон, которые можно
подсчитать следующим образом:
и,
Лг,-.1 V.
где Ai = nDi {D( — среднелогарифмическая величин диаметров окружностей,
проходящих через центры i-той и (г + 1)-той кольцевых зон)*; (77-1— 7})/Д r/.j—
средний температурный градиент.
Уравнение теплового баланса для i-того кольца будет иметь вид:
(изменение энтальпии жидкости! __ Г сумма всех 1
I по длине аппарата ] [тепловых потоков]
где St — площадь поперечного сечения кольцевой зоны; с — удельная теплоем-
кость жидкости; р — плотность жидкости.
* Аналогично можно записать выражения для А(+1 и Дг_х,
232
В уравнение теплового баланса жидкости в наружной трубе
входят объемный расход жидкости в ней Qaap и температура
d
нар) = 7нар
Отрицательный знак в этом уравнении говорит о том, что
жидкость в наружной и внутренней трубах теплообменника течет
противотоком (за положительное направление оси z принято напра-
вление, совпадающее с движением жидкости во внутренней трубе).
Тепло передается от жидкости в наружной трубе к первому
от стенки кольцу внутренней трубы:
Знар = ZlDU (Ту. Т’нар)
где — общая проводимость стенки внутренней трубы и половины по толщине
первой кольцевой зоны.
Рис. Х-27. Блок-схема модели теплового баланса теплооб-
менника в случае ламинарного течения жидкости по вну-
тренней трубе.
233
7^qp Наружная труба
Температура То
Внутреняя труба
Катализатор
Н~:
z = 0
——Расстояние z
Рис. Х-28. Граничные условия для
расчета теплообменника.
Рис. Х-29. Схема трубчатого реак-
тора к примеру Х-5.
т
т
На рис. Х-27 представлена общая модель процесса теплопере-
дачи. Уравнение последнего, центрального, кольца, в которое тепло
поступает, но не уходит, содержит только один член. Для решения
уравнений модели на вычислительной машине необходимо задать
одиннадцать граничных условий. Если начинать расчет от z = О,
то для внутренней трубы теплообменника десять граничных условий
известны и равны между собой: ими является температура жидкости
на входе в теплообменник. Одиннадцатое граничное условие —
температура жидкости на выходе и'з наружной трубы теплообмен-
ника — является величиной неизвестной и ею необходимо задаться
(рис. х-28).
В результате решения уравнений модели получим значение
начальной температуры жидкости на входе в наружную трубу тепло-
обменника Гнар0 и сравним ее с заданной. Если эти величины не
совпадут, то, как подробно объяснялось в предыдущих примерах,
расчет проводится повторно при другом значении температуры
жидкости на выходе из наружной трубы Гнар1. Цикл счета повто-
ряется до совпадения (с заданной точностью) расчетной и заданной
температур жа входе в наружную трубу. Эта процедура легко
выполняется на современной вычислительной машине и занимает
очень мало машинного времени.
Принимаем вход во внутреннюю трубу теплообменника за начало
расчетов, так как из одиннадцати граничных начальных условий
десять известны. Если интегрирование начать при z == L и про-
должать до z = 0, то число итерационных циклов счета, необходи-
мых для совпадения граничных условий, будет значительно больше.
На всех этих примерах мы ознакомились с основными приемами
моделирования систем с распределенными параметрами, но эти при-
меры не имели большой ценности для практического использования.
Примеры, которые будут рассмотрены в этой главе, представляют
большой практический и научный интерес. К сожалению, в технике
интерес и сложность обычно являются синонимами и примеры Х-5
и Х-6 гораздо сложнее предыдущих.
Пример Х-5. Моделирование трубчатого каталитического реак-
тора. Трубчатый реактор заполнен катализатором (рис. Х-29) и по-
мещен в охлаждающую среду, температура которой поддерживается
постоянной. На вход реактора непрерывно подается реакционная
газовая смесь, содержащая вещества А и В, расход смеси равен
234
т кмолъ/сек. Вещества А и В вступают
в следующую реакцию, протекающую
в газовой фазе:
AAB-Xc+D
где /с, — константа скорости реакции, зави-
сящая от температуры и активности катали-
затора.
Активность катализатора к с тече-
нием времени падает со скоростью,
пропорциональной температуре реак-
ционной смеси в данной точке реактора.
Константа скорости реакции
*1 = */1 (Т)
Рис. Х-30. График изменения
температуры по сечению реак-
тора.
причем dkldt = (Т).
Реакция протекает экзотермически, причем ее тепловой эффект
очень велик. Можно предположить, что по этой причине темпера-
туры в центральной части реактора и у стенки его значительно отли-
чаются друг от друга.
Процесс нестационарный и кроме двух пространственных не-
зависимых переменных (длины и радиуса реактора) в уравнения
модели должна войти третья независимая переменная — время.
Таким образом, можно сделать вывод, что условия протекания про-
цесса меняются во времени, по длине реактора и по его сечению.
Для определения оптимальных условий ведения процесса (тем-
пературы хладоагента и его расхода в зависимости от состава газовой
смеси и ее расхода) с точки зрения получения максимального выхода
целевого продукта можно применить метод математического модели-
рования.
При построении модели, как и в предыдущих случаях, первым
шагом является разделение слоя катализатора на отдельные зоны.
Как показано на рис. Х-30, температура по сечению трубчатого
реактора меняется наиболее значительно у стенок, и поэтому в дан-
ном случае достаточно разбить реактор на четыре неравных по тол-
щине концентрических кольцевых зоны. Если задача будет решаться
на быстродействующей цифровой вычислительной машине или на
аналоговой машине, имеющей достаточную емкость, то можно раз-
бить слой катализатора на большее число зон, что, безусловно,
повысит точность решения.
Для того чтобы разбить реактор на зоны по его длине, необходимо
также примерно знать характер изменения температуры' в этом
направлении. В зоне, ближайшей ко входу в реактор, температура
в начальный момент выше, чем в последующих зонах, а затем она
очень быстро падает, так как через эту зону проходит сырье с наи-
большим содержанием исходных продуктов и активность катализа-
тора в ней сильно уменьшается во времени (катализатор вырабаты-
вается). Поэтому зона с максимальной температурой перемещается
235
Зона реакции.
3 момент t j
Зона реакции Длина трубы Z
В момент t?
Рис. Х-31. Изменение температуры по длине
реактора в зависимости от времени.
1 ----*- Продольные зоны
Рис. Х-32. Схема разделения на зоны трубчатого катали-
тического реактора.
по длине реактора (рис- Х-31). Чтобы получить достаточно хорошую
аппроксимацию, продольные зоны, на которые разбивается слой
катализатора, должны быть невелики. Из-за перемещения макси-
мума температуры вдоль реактора целесообразно, чтобы зоны были
равны по ширине. Разделим слой катализатора на 20 продольных
зон * (рис. Х-32).
Запишем теперь уравнения тепло- и массообмена для Ы-й зоны
(рис. Х-33). Так же, как и в случае теплообмена, массообмен проис-
ходит в двух направлениях — радиальном и осевом. Радиальный
перенос вещества осуществляется в основном диффузией, а осевой
(продольный) — конвекцией. Уравнения материального баланса
записываются для каждого из четырех компонентов и решаются
совместно. В эти уравнения входят потоки данного компонента,
поступающие и уносимые в радиальном и осевом направлении,
а также возникающие или исчезающие в ходе химического превра-
щения. Уравнения материальных балансов компонентов считаются
последовательно для каждой из продольных зон. В них учитываются,
кроме изменения потоков вещества от зоны Ьп — 1 через зону Ьп
в зону bn + 1, потоки вещества от зоны си через зону Ьп в зону ап-
* Для того чтобы проверить в дальнейшем правильность выбора такого
числа зон, надо запрограммировать задачу для 15 и 25 зон и сравнить резуль-
таты расчета.
236
Количество данного компонента в Ьп-й зоне изменяется также с изме-
нением скорости реакции R в этой зоне, т. е.
“скорость изменения-
содержания
компонента
- в объеме зоны Ьп _
осевой
конвективный
поток через
зону Ьп
радиальный '
диффузионный
поток вещества
_ через зону Ьп _
- превраще-
ние в хо-
де реакции
. в зоне Ьп _
~ (XMbnXbn) = mb (Xbn_+Xbn+)+D ( ХаПЛг^~- ХСПЛГСЬХЬ" М + й
где — число молей газа, находящееся в объеме bn-й зоны слоя катализа-
тора; D — коэффициент диффузии; Хц — мольная доля данного компонента;
S — площадь; Аг — приращение радиуса в этой зоне; R — скорость реакции.
Пусть ХЬп_ и ХЬп+ — мольные доли данного компонента соответ-
ственно в поступающем и уходящем потоке газа из данной зоны.
Можно предположить, что они равны величинам на границе
данной зоны, т. е.
Хьп- =0,5 (ХЬп +ХЬп^)
Х^п+ 0,5 (ХЬп-{ ХЬп+1)
Для того чтобы не усложнять задачу, будем считать, что внутри
каждой зоны происходит идеальное перемешивание газов. Вообще
говоря, степень перемешивания зависит от скорости газа, от доли
пустот в слое катализатора и степени диффузии в осевом направле-
нии. Принятое допущение тем справедливее, чем меньше зоны, на
которые разбит аппарат. При этом допущении можно считать, что
состав газа на выходе из зоны равен среднему составу в ней, т. е.
Хьп- — %Ьп-1
Xbn+ = ХЬп
Уравнения материального баланса составляются для каждого
из четырех компонентов: А, В, С и D. Скорость реакции вводится
в эти уравнения со знаком «минус» для компонентов А и В, со зна-
ком «плюс» — для компонентов С и D. Скорость реакции заменяется
следующим выражением:
В-Ьп — &МЬпк1Ьп (АХЬп} (вХЬп)
Величина к1Ьп (константа скоро-
сти реакции) является функцией тем-
пературы:
kibn~kbnfi (Гbn'i
Скорость падения активности
катализатора также является функ-
цией температуры:
п-1 у п ! п + 1 ,
g I Ъп-1
ап ।
Ьп
СП
Ъп+1

а I
С
kbn — ft
Рис. X-33. Зона bn.
237
г
Жм! В^-вп-И’ с^‘8пч
I D^BrH-1’ ^Вп + !
B%8n
С^вп
РХвп,

Ъп
J
Рис. Х-34. Блок-схема математической модели Ьп-а зоны реактора.
Температура в этой зоне, входящая в уравнения скорости реакции
и скорости падения активности катализатора, определяется из тепло-
вого баланса зоны. Уравнение теплового баланса по структуре
подобно уравнению материального баланса. В нем учитывается тепло,
приходящее с потоками газа, тепло, уносимое газом в радиальном
и осевом направлениях, и тепло, выделяемое в результате хими-
ческой реакции, т. е.
\МъпС = тЬс (.ТЬп. — Тьп+^+Ъ + Scb C\rcf>~
где <?р — тепловой эффект реакции.
238
На рис. Х-34 представлена блок-схема модели процесса для
зоны Ьп, которая выделена пунктиром. На этой схеме также пока-
заны информационные потоки, связывающие эту модель с моделями
остальных зон.
Если реактор разделен на значительное число зон, то при решении
задачи на аналоговой машине может не хватить операционных уси-
лителей для ее реализации. При умелом программировании, решая
задачу на цифровой вычислительной машине, удается учесть все
зоны, но за счет чрезмерного увеличения времени решения задачи.
Для уменьшения объема вычислительных операций программа
составляется для одной продольной зоны, состоящей из четырех
радиальных зон. Задача решается затем последовательно для каждой
из осевых зон. При этом в зависимости от времени рассчитываются
концентрации и температура, начиная с первой продольной зоны.
Эти величины хранятся в памяти машины и используются как вход-
ная информация для той же самой программы, которая применяется
для второй осевой зоны (также состоящей из четырех радиальных
зон). Эта процедура повторяется шаг за шагом последовательно
по всей длине реактора. Более подробно с программированием таких
задач можно ознакомиться в работе8. Вопросы, касающиеся техники
программирования, не могут быть рассмотрены подробно в этой
книге ввиду ограниченности ее объема.
Пример Х-6. Моделирование кинетики процесса полимеризации.
Одна из трудностей аналитического описания кинетики процесса
полимеризации заключается в том, что образующийся полимер
состоит из большого количества различных видов молекул, отлича-
ющихся длиной цепи (или молекулярным весом, зависящим от их
длины). Хотя длина цепи меняется дискретно в результате присоеди-
нения простого структурного элемента — звена, от построения
дискретной модели9 роста цепи обычно переходят к упрощенной
схеме, в которой предполагается, что длина цепи меняется
непрерывно во времени, т. е. при описании кинетики процесса
полимеризации обычно принимаются две независимые перемен-
ные — длина цепи N, характеризующая молекулярный вес обра-
зующегося полимера, и время t- Как было показано в преды-
дущих примерах, это приводит к уравнениям в частных произ-
водных.
Носителем цепи является молекула с одним непарным электро-
ном, называемым свободным радикалом. Свободный радикал обра-
зуется при разложении относительно нестабильного вещества —
инициатора. Свободный радикал взаимодействует с мономером,
разрывая его двойную связь, при этом вновь образуется неспаренный
электрон. В течение очень небольшого промежутка времени к расту-
щей цепи присоединяется множество мономерных молекул. Длина
цепи определяется временем от зарождения растущей цепи до ее
встречи в результате диффузии с другим свободным радикалом,
с которым она вступает в реакцию, что приводит к обрыву
цепи.
239
Молекулярный вес полимера N
Рис. Х-35. Зависимость молекуляр-
ного веса от состава в различные
моменты времени.
Рассмотрим очень простой
случай полимеризации:
1 (инициатор)--->• 2Я(свободный ради-
кал)
k
а
R ^M (мономер) ----> Са (начальный
полимерный радикал)
%
С04-М (мономер) ---> <Т
(1-й полимерный радикал)
kp
Сп-[-М (мономер) —> Сп+1 (иЦ-1)-й полимерный радикал)
*0
С^ + Су —> Px+y (обрыв полимерной цепи)
Процесс проводится периодически: в аппарат загружается исход-
ная смесь мономера и инициатора, и реакция осуществляется в той
последовательности, как записано выше. На рис. Х-35 показаны
типичные кривые распределения по молекулярным весам в образу-
ющемся полимере для различных моментов времени. Так как моле-
кулярный вес полимера, зависящий от степени полимеризации,
является одним из основных факторов, влияющих на свойства поли-
мера, то в процессе его получения, воздействуя на условия протека-
ния реакции, можно получить определенный средний молекулярный
вес полимера.
Как и в предыдущих случаях, разделим все возможные молеку-
лярные веса на отдельные группы — зоны. Предположим, что моле-
кулярные веса распределены на десять равных зон таким образом,
что они охватывают 95% предполагаемого распределения
(рис. Х-36). Молекулярный вес в зоне принимается равным среднему;
О 100 200 300 МЗО 500 600 700 800 900 1000
Молекулярный вес n
Рис. Х-36. Схема разбиения на зоны.
240
нения кинетики процесса по-
лимеризации.
например, в шестой зоне средний мо-
лекулярный вес равен 550 единицам
(за единицу принят молекулярный вес
исходного мономера). При таких допу-
щениях можно составить уравнения
кинетики для каждой зоны.
Обозначим общую весовую кон-
центрацию n-й зоны в полимере че-
рез Сп кг!м5, при этом средняя моль-
ная концентрация этой же зоны
выразится следующим образом:
Cn!Nn \п кмолъ/м8, где Nn — средний молекулярный вес n-й зоны
и Дтг — число видов Молекул в этой зоне.
Уравнение скорости роста цепи имеет вид:
Скорость-роста = ftp
где кр — константа скорости роста цепи; Ст — концентрация мономера, кг/м?‘,
Ni — молекулярный вес мономера; С/ — весовая концентрация свободного
радикала i-того молекулярного веса; Ni — молекулярный вес свободного ра-
дикала i.
Пусть п-я зона с одной стороны, ограничена радикалами i-ro
и с другой стороны /-го молекулярного весов (рис. Х-37).
Мольная концентрация полимерного радикала при этом на гра-
нице n-й зоны (рис. Х-37) выразится следующим образом:
С п-i I Сп \ 1
Nn-i • Nn)\n
где Лга — число видов свободных радикалов на участке, ограниченном центрами
зон п и (га -р 1).
Скорость роста цепи радикалов на границах n-й зоны может
быть определена как
Ri = kp^Ci и
-'т
где Ct и Cj — значения концентраций радикалов между зонами (п — 1)га,
га (га -f- 1) соответственно.
Цепь радикала Сп может быть также разорвана в результате
соединения с радикалом другого молекулярного веса или с таким же
радикалом. Уравнение скорости обрыва цепи имеет следующий вид
(если все распределение молекулярных весов разделено на 10 зон):
«=10
Ci
о._т, г.
п1~кр м
1¥ т
Если Сп — общая весовая доля зоны п, то распределение можно
считать сосредоточенным в характерной точке зоны п.
16 Заказ 2163
241
Запишем общий мольный баланс для этого характерного
радикала:
скорость роста
через границу
п/(п — 1)
скорость роста
через границу
”/(” + !)
Г скорость 1
[обрыва цепи]
В модели это уравнение используется для определения вели-
чины Сп.
Весовая концентрация полимера в зоне может быть подсчитана
по формуле
/ *
_Ё_ f Jjl \ — а- I _£l ^п-‘
dt \ Nn ) Ni ’ Nn-t
\ a
которую можно пояснить следующим образом: например, если изве-
стно, что в зоне молекулярные веса радикалов имеют 10 различных
значений, то в результате обрыва цепей могут образоваться 20 видов
полимерных образований, т. е. некоторый полимер, скажем Р-.
может быть образован комбинацией нескольких пар радикалов
(_/> + Pt) (Р3 + Р2) ит. и. Число возможных пар зависит от моле-
кулярного веса полимера. Очевидно, что полимер Рп образуется
ь
в результате комбинации где пределы суммирования
а
определяются следующим образом:
нижний предел
а = 1
а = п — 10
а = п — 9
для п <10
для четных и >11
для нечетных и >10
верхний предел
Ь = п]2 для четных п
b — (и—1)/2 для нечетных п
Поэтому уравнение материального баланса для полимера Рп
будет иметь вид:
d (JjiA-k (Х-Ср
dt J ~ N; Nn_t
\ a /
Зная Cn и Pn (весовые концентрации радикала и полимера),
концентрацию мономера можно определить как разность
/10 20 \
ст=м0- 2 М Ди
\п=1 п=1 /
242
Инициирующий радикал
Цепь радикалов зоны п
Полимер, образующийся Зп-ойзоие
Рис. Х-38 Блок-схема модели процесса полимеризации.
Скорость образования инициатора:
^R = ^wPl ^аРврт
Уравнение материального баланса для инициатора:
где член kaCR Ст — скорость роста цепи радикалов в первой зоне.
Эти уравнения можно скомпоновать в модель, как показано
на рис. Х-38. Модель относительно несложная и при разделении
на 10 зон содержит всего 42 уравнения.
Основным преимуществом этой модели является то, что с ее
помощью можно рассчитывать кинетику образования достаточно
сложных полимеров, цепи которых содержат иногда до ста тысяч
мономерных единиц. В этой модели, несколько усложняя ее, можно
учесть зависимость констант, входящих в уравнения кинетики,
от температуры, а также тепловые эффекты реакций.
Обозначения
S — площадь поперечного сечения аппарата (Пример Х-1).
а — коэффициент температуропроводности (Пример Х-1) или
площадь поперечного сечения кольцевой зоны (Пример Х-4).
с — удельная теплоемкость.
Ci — концентрация радикала.
D — диаметр или коэффициент диффузии (Пример Х-5).
16* 243
т — массовый расход вещества.
К — коэффициент теплопередачи.
g — удельный тепловой поток.
А — коэффициент теплопроводности.
к — активность катализатора (Пример Х-5).
к — константа скорости реакции.
I — длина.
М — мономер.
N — молекулярный вес.
Р — полимер.
R — радиус или радикал (Пример Х-6) или скорость реакции
(Пример Х-4).
г — радиус.
Т — температура.
V — объем.
z, х — расстояние.
t — время.
р — плотность.
ЗАДАЧИ
Задача 1. По периметру реактора болтами укреплен фланец.
Температура внутренней поверхности реактора Т (i) и температура
фланца резко колеблются, и существует опасность, что при этом
может произойти разрыв фланца.
Предполагая, что наружная поверхность фланца изолирована
и что изменение температуры в реакторе во времени известно, по-
строить модель для определения изменения температуры в точках А,
В и С (рис. Х-39).
Задача 2. В трубчатом реакторе протекает химическая реакция
по следующей схеме:
^пр
А-\-В C+D
*обр
Построить математическую модель, если известно, что реактор
является аппаратом
Рис. Х-39. Схема к
задаче Х-1.
идеального вытеснения, процесс в нем осуще-
ствляется непрерывно в жидкой фазе и режим
течения жидкости, вязкость которой очень
велика, — ламинарный.
По условию задачи заданы константы ско-
ростей прямой /спр и обратной кобр реакции,
а также распределение скорости жидкости по
сечению реактора v (R).
В результате решения уравнений матема-
тической модели требуется определить зави-
симость выхода продуктов реакции от длины
аппарата.
Задача 3. Предположить, что вместе с ве-
ществами А и В, участвующими в реакции,
244
в реактор поступает нейтральная жидкость, вязкость которой
также очень велика.
Как надо преобразовать модель, построенную для предыдущей
задачи, чтобы учесть в ней наличие нейтральной жидкости в реак-
ционной смеси? Усложнить модель, предполагая, что реактор не
является аппаратом идеального вытеснения (есть продольное пере-
мешивание) и концентрация реагирующих веществ меняется в ре-
зультате диффузии в радиальном направлении.
Задача 4. Для того чтобы уменьшить колебания температуры
жидкости, протекающей через какой-то аппарат, в него иногда по-
мещают слой металлических шариков небольшого диаметра.
Построить математическую модель, предназначенную для опре-
деления числа шариков (веса), необходимого для того, чтобы погасить
синусоидальные колебания температуры, амплитуда которых
равна А (в °C) и частота to (в Нсек). При моделировании считать,
что заданы коэффициент теплоотдачи от жидкости к твердой фазе,
теплоемкость жидкости и теплопроводность материала металличе-
ских шариков. Расход жидкости постоянен и равен Q м31сек.
Как изменится модель, если учитывать продольное перемешивание
жидкости в аппарате?
Задача 5. В аппарат периодического действия загружено некото-
рое количество водной суспензии, содержащей катализатор, частицы
полимера и инициаторов А и В.
Из веществ А и В на катализаторе образуется радикал:
A + B^R.
Радикалы могут реагировать друг с другом в этой среде следу-
ющим образом:
R +R — -> С
Если Сж — концентрация радикалов в воде, а Ств — их кон-
центрация в твердых частицах (для простоты считаем, что частица
имеет шарообразную форму и диаметр ее равен D), то скорость про-
никания радикалов Впр кмоль/(м2 • сек) через поверхность частицы
пропорциональна Сж кмоль радикала/ж3 (7?пр — кгСж), а скорость
диффузии радикала внутрь частиц пропорциональна градиенту кон-
центрации радикала:
^дифф = ^2 (Сж CTB)/dr
В твердой фазе радикалы реагируют друг с другом со скоростью,
пропорциональной квадрату их концентрации:
Rp — ^зСтв
Ясно, что содержание радикалов в воде сначала поднимается
до максимума, а затем медленно падает до нуля.
Построить модель для расчета содержания радикалов внутри
твердых частиц в зависимости от времени и расстояния от поверх-
ности частицы.
245-
Рис. Х-40. Схема
к задаче Х-7.
Задача 6. Преобразовать модель, построен-
ную для задачи IX-6 (гл. IX), так, чтобы
учесть изменение температуры по толщине
листа и от центра к внешней поверхности
барабана.
Задача 7. Частицы ионообменной смолы
помещены в раствор. Растворенное вещество
из раствора постепенно абсорбируется части-
цами, поскольку концентрация этого вещества
в частицах намного меньше, чем концентрация Ср в растворе.
Простейшая схема процесса ионообмена представлена на рис. Х-40.
Предположим, что изменение концентрации растворенного ве-
щества в тонкой пленке, окружающей каждую частицу, линейно,
а на границе частица — пленка жидкости концентрация растворен-
ного вещества Спов зависит от его концентрации на поверхности
твердой частицы дПов, т. е.
^ПОВ —: t (?пов)
Кроме того, известными величинами будем считать коэффициент
диффузии растворенного вещества через пленку жидкости D&, коэф-
фициент диффузии этого вещества в твердой фазе Z)TB, радиус ча-
стиц R и степень заполнения ими реакционного аппарата /.
Требуется построить модель для определения выходной концен-
трации растворенного вещества, если задана толщина слоя ионо-
обменной смолы в аппарате L, диаметр аппарата D, содержание
растворенного вещества в поступающем растворе С'о и скорость
подачи раствора v.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. F i s h е г М. Е., J. Assoc. Comp. Mach., 3 (1956).
2. Howe R. M., H a n e m a и V. S., Proc. I. R. E. (1953).
3. H i 11 у a r d W. F., Am. Ind. Chem. Eng., Buffalo (1963).
4. Branker A. V., Petroleum, July (1956).
5. Levine C. A., Opler A., Petroleum, July (1956).
6. F r i c k e L. H., Morris H. J., Otto R. C., Williams T. J.,
Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 56, № 3 (1960).
7. G г о u p e D., Aldred A. S., J. Meeh. Sci., 5 (1963).
8. Frank A., Lapidus L., Chem. Eng. Progr., January (1964).
9. Z e m a n R. J., Amundsen N. R., Chem. Eng. Sci., 20 (1965).
10. К i 1 k s о n H., Ind. Eng. Chem., 3, № 4 (1964).
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ БОЛЕЕ ГЛУБОКОГО
ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА. ГИДРОЛОГИЯ
И. О t о Ъ а К., Shibatami К., Kuwat а Н., Simulation, 4, № 2
(1965).
12. D ar ms D. A., Tyson Н; N., W. J. С. С. (1961).
13. Brown R. Н., J. A. W. W. A., August (1962).
14. О’С о n п о г D. J., F а 1 k L. I., F г а п к s R. G., The Analog Compu-
ter and Estuarine Pollution Problems, 18th Ind. Water and Wastes Conf., 1963.
246
15. S i m c i c N. F., Buker J. C., Analog Computer Analysis of a Direct
Iron Ore Reduction Process, ISA Paper-71-NY60.
16. Pedersen C. 0., ASME, 61-WA-214.
17. L e u n g P. K., Quon D., A Computer Model for the Regenerative Bed,
C. 1. C. Chem. Eng. Conf., Hamilton, Ont., 1964.
18. В r i a n P. L. T., В a d d о u r, R. F., E у m e г у J. P., Chem. Eng.
Sci., 20, (1965).
19. L a p i d u s L., Digital Computation for Chemical Engineers, Nev York,
1962.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Андриянов П. А., Масленников И. М., Инж.-физ. журн., 7,
№ 4 (1964).
Андриянов П. А..Масленников И. М., Хим. пром., № 12 (1963).
Бильмейер Ф., Введение в химию и технологию полимеров, пер. с англ,
под ред. В. Л. Каргина и Ю. М. Малиновского, Издатинлит, 1958.
Д о р р и М. X., Авт. и телемеханика, № 8 (1966).
Людмирский М. И., Математическое моделирование неустоявшихся ре-
жимов работы некоторых типов реакторов с циркуляцией части потока,
в сб. «Автоматизация химических и нефтехимических производств», № 4,
НИИТЭХИМ, 1965.
Файкин Г. М., Инж.-физ. журн., 22, № 4 (1967).
Фридлендер Н. А., Инж-физ. журн., 9, № 5 (1965).
К u m m е 1 М., Chem. Eng. Sci., 24, № 4 (1969).
ГЛАВА XI
АВТОМАТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Решение различных задач из области автоматического
регулирования явилось важнейшим стимулом развития математи-
ческого моделирования с применением вычислительной техники.
В настоящее время этим методом решаются очень сложные проблемы,
связанные с синтезом и анализом систем автоматического управления
технологическими процессами.
В этой главе дается математическое описание основных элементов,
наиболее характерных для систем регулирования химико-техноло-
гических процессов, а также рассмотрен пример построения матема-
тической модели системы автоматического регулирования и методика
ее исследования на электронной вычислительной машине.
Для того чтобы лучше понять излагаемый материал, а в дальней-
шем самостоятельно решать подобные задачи, читатель должен
предварительно ознакомиться с литературой по теории и технике
автоматического регулирования 1-3.
Следует отметить, что при решении задач автоматического регу-
лирования, связанных с выбором оптимальной структуры системы
автоматического регулирования, исследованием устойчивости или
качества регулирования, приходится прибегать к сложным и чаще
всего — приближенным методам расчетов, требующих хорошего
знания теории автоматического регулирования.
Решение таких задач методом моделирования на вычислительных
машинах позволяет не только получить более общее и точное решение
с учетом всех нелинейных зависимостей в исследуемой системе,
но и осуществить выбор оптимальной структуры САР или решить
другую задачу автоматического регулирования в гораздо меньшие
сроки.
Один из ведущих специалистов США в области математики и вы-
числительной техники Ричард Веллман еще в 1962 г. говорил, что
наступает такой момент, когда вычислительные машины, созданные
из металла и пластика, стали настолько совершенными, что симбиоз
человек — машина кажется вполне осуществимым. Человек ставит
задачу, обдумывает ее, производит на вычислительных машинах
248
необходимые для решения расчеты до тех пор, пока не получит
исчерпывающий ответ.
В настоящее время исследование сложных систем путем модели-
рования становится общепринятым методом и результатам, получен-
ным таким образом, можно вполне доверять при создании систем
автоматического регулирования сложных химико-технологических
процессов. Есть уверенность, что этот метод будет и в дальнейшем
развиваться и совершенствоваться.
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
На рис. XI-1 показана функциональная схема замкнутой про-
стейшей одноконтурной системы автоматического регулирования.
В теории автоматического регулирования технологические процессы
рассматриваются как часть системы автоматического регулирования
и называются объектами регулирования. Величины, которые харак-
теризуют состояние объекта (температура, давление, состав и т. д.)
и которые необходимо автоматически поддерживать на заданном
уровне в ходе ведения процесса, называются регулируемыми вели-
чинами (параметрами). Регулируемые параметры изменяются
под действием так называемых возмущающих воздействий-
Компенсация действия возмущающих воздействий осуществляется
управляющими воздействиями регуляторов, изменяющих при помощи
регулирующих органов подачу в систему вещества или энергии.
Связь между регулируемой величиной и управляющим воздей-
ствием регулятора может иметь разную степень сложности: она
может быть выражена математически одним уравнением или целой
системой сложных взаимосвязанных нелинейных выражений. В мате-
матическую модель системы автоматического регулирования как
основные составные части входят математические описания объекта
регулирования и регулирующего устройства.
Большинство предыдущих глав в этой книге посвящено непосред-
ственно методам построения математических моделей различных
технологических процессов, т. е. объектов регулирования. В этой
Рис. Х1-1» Функциональная схема замкнутой одноконтурной
системы регулирования.
249
Рпс. XI-2. Термопара, помещен-
ная в защитный чехол.
главе рассматривается математиче-
ское моделирование остальных эле-
ментов системы автоматического
регулирования. В заключение при-
водится пример математического опи-
сания всей системы автоматического
регулирования реактора периодиче-
ского действия, включая и сам объект.
Следует заметить, что математи-
ческое описание собственно техно-
логического процесса является зада-
чей очень сложной и трудоемкой;
по сравнению с ней описание дру-
гих элементов системы регулирования значительно проще.
Изменение регулируемой величины во времени, происходящее
в результате приложения какого-либо возмущения и вызванного
этим возмущением воздействия регулятора, называется процессом
регулирования,. Процесс регулирования описывается системой урав-
нений, связывающих входные и выходные величины для всех эле-
ментов системы. Процесс регулирования анализируется обычно
с помощью так называемых передаточных функций системы *, полу-
ченных путем преобразования этих уравнений.
Измерительные устройства. Для осуществления процесса регу-
лирования к объекту присоединяется система регулирования, одним
из основных элементов которой является измерительное устройство
(датчик). Измерительное устройство предназначено для измерения
действительного значения регулируемой величины. Оно является,
как правило, преобразователем регулируемой величины в выходной
сигнал, удобный для дальнейшей переработки или передачи. Иногда
измерительное устройство состоит только из чувствительного эле-
мента, иногда кроме него в датчик входит один или несколько пре-
образователей.
В химической технологии наиболее распространены три типа
датчиков: температуры, давления и расхода.
При математическом описании чувствительных элементов дат-
чиков, таких, как термобаллон, термопара или термометр сопро-
тивления, необходимо учитывать свойственную им динамическую
инерционность. На рис. XI-2 изображена термопара, помещенная
в защитный чехол. При измерении температуры защитный чехол
нагревается за счет тепла, отдаваемого измеряемой средой. Уравне-
ние динамики, связывающее температуру Тт и действительную
температуру Т жидкости, в которую помещен защитный чехол,
может быть получено следующим образом. Пусть разность темпера-
туры наружной и внутренней стенок защитного чехла равна (Г — Тп1)
* Подробнее с составлением передаточных функций систем регулирования
и их использованием для анализа процессов регулирования можно ознакомиться
в дополнительной литературе. — Прим. ред.
250
и К — общий коэффициент теплопередачи через стенку. Тогда тепло-
вой поток через стенку защитного чехла будет равен К (Т — Тт).
Предположим также, что термопара измеряет температуру внутрен-
ней стенки защитного чехла и что теплоемкостью собственно термо-
пары можно пренебречь. Кроме того, будем считать, что основным
термическим сопротивлением является сопротивление наружного
слоя защитного чехла и что среднюю температуру стенок защитного
чехла можно считать равной температуре термопары. При таких
допущениях может быть записано следующее уравнение теплового
баланса:
^(тсТт) = К(Т-Тт)
где тс — теплоемкость защитного чехла и термопары.
Поскольку теплоемкость тс является постоянной, упростим это
уравнение:
Выражение тс!К, имеющее размерность времени, называется
постоянной времени и обозначается буквой Т.
Приведенное выше дифференциальное уравнение может быть
записано в операторной форме путем замены производной d’dt
символом р.
При нулевых начальных условиях операторная форма записи
дифференциального уравнения совпадает с его записью после функ-
ционального преобразования по Лапласу. Это позволяет свести
решение дифференциального уравнения к решению алгебраического,
что гораздо проще. Такое преобразование широко используется
в теории автоматического регулирования.
Передаточная функция инерционной термопары представляет
собой записанное в операторной форме и разрешенное относительно
изображения выходной величины дифференциальное уравнение этого
звена:
тт_ 1
Т Тр+1
Блок-схема этого звена представлена на рис. XI-3. На
рис. XI-3, а дана модель звена в виде передаточной функции, из ко-
торой следует, что величина Т, умноженная на передаточную функ-
цию 1/(Т/? + 1), дает величину Тт, являющуюся выходом этого
звена.
а 6
Рис. XI-3. Математическая модель термопары.
251
Рис. XI-4. Математическая модель тер-
мопары, помещенной в защитный чехол
с толстыми стенками.
Рис. XI-5. Моделирование сигнала
рассогласования.
При построении математической модели, вообще говоря, можно
пользоваться и исходным дифференциальным уравнением или, как
его называют, оригиналом (что показано на рис. Х1-3,б). Как видно
из рисунка, после преобразования дифференциального уравнения
по Лапласу получаем более простое и наглядное выражение.
Когда термопара помещается в защитных! чехол с толстыми стен-
ками, среднюю температуру стенок чехла нельзя считать равной
температуре термопары. В этом случае из уравнения теплового
баланса, учитывающего динамику передачи тепла через толстые
стенки чехла, можно получить передаточную функцию такого эле-
мента, представленную на рис. XI-4.
Вообще говоря, выходом датчика температуры — термопары,
термобаллона или термометра . сопротивления являются соответ-
ственно Т. Э. Д. С., давление или ток, но при моделировании принято
для наглядности приводить эти величины к эквивалентным измене-
ниям температуры.
При построении модели сложной системы автоматического регу-
лирования обычно пренебрегают инерционностью датчиков расходов
и давлений, поскольку она несоизмерима с инерционностью самого
объекта регулирования (а иногда, чтобы не усложнять модель,
и инерционностью датчиков температуры).
Выходной сигнал с датчика передается к показывающему или
регистрирующему прибору. Прибор имеет встроенную шкалу, огра-
ниченную обычно нулем и некоторым максимальным значением
измеряемой величины. Шкала прибора выбирается в зависимости
от диапазона изменения данной величины в ходе ведения технологи-
ческого процесса.
Следующим шагом при построении математической модели си-
стемы регулирования является описание регулятора.
Регуляторы. Регулятор в зависимости от отклонения регулиру-
емой величины (например, Тт) от заданного значения (Т3) воздей-
ствует с помощью исполнительного устройства на регулирующий
орган.
Сигнал рассогласования между Тт и Т3 моделируется так, как
показано на рис. XI-5. Измеренное рассогласование передается
управляющему элементу регулятора механически (посредством пру-
жин и рычагов), электрически (в виде напряжения или тока) или
пневматически (давлением сжатого воздуха). Сигнал рассогласования
преобразуется управляющим элементом в регулирующее воздействие.
252
Рис. XI-6. Блок-схема модели идеаль- Рис. XI-7. Блок-схема модели пн-
ного пропорционального регулятора. тегрального закона регулирования.
Между регулирующим воздействием и отклонением регулируемой
величины от заданного значения существует зависимость, опре-
деляемая законом регулирования.
Закон, по которому осуществляется процесс регулирования,
выбирается в зависимости от статических и динамических свойств
объекта и определяется условиями обеспечения устойчивости си-
стемы регулирования и требуемым качеством процесса регулирова-
ния. В основу работы промышленных регуляторов положены следу-
ющие законы, связывающие изменение регулирующего воздействия у
п отклонение регулируемой величины е:
1. Пропорциональный закон регулирования, при котором
регулирующее воздействие, сформированное регулятором, про-
порционально рассогласованию 8; блок-схема идеального про-
порционального регулятора представлена на рис. XI-6.
Коэффициент кр называется коэффициентом усиления регуля-
тора. Он вычисляется как отношение изменения сигнала на выходе
регулятора, принятое за 100%, к вызвавшему это изменение сигналу
рассогласования, выраженному в процентах шкалы показывающего
пли регистрирующего прибора; у0 — вручную устанавливаемая
величина, иногда называемая ручной перестановкой.
2. Интегральный закон регулирования. В этом случае регулиру-
ющее воздействие на выходе регулятора пропорционально интегралу
сигнала рассогласования (рис. XI-7).
3. Комбинированный пропорционально-интегральный закон ре-
гулирования; блок-схема модели идеального ПИ-регулятора
представлена на рис. XI-8.
Константа 1/Ти, входящая в интегральную составляющую, имеет
размерность Нсек. Ее величина характеризует время, в течение
которого происходит автоматическая перестановка регулирующего
органа из одного крайнего положения в другое за счет интегральной
составляющей регулирующего воздействия. Интегральная составля-
ющая в этих регуляторах зависит еще и от величины коэффициента
усиления кр, в то время как пропорциональная составляющая не
зависит от величины 1/Ти- Вводя интегральную составляющую
в закон регулирования, можно свести к нулю рассогласование между
заданным и текущим значением регулируемой величины.
4. Сравнительно редко применяется дифференциальный закон
регулирования, который учитывает скорость изменения регулиру-
емой величины. Другими словами, выходной сигнал регулятора
пропорционален скорости изменения рассогласования:
253
у=л£+ ~^Secit ~
Рис. XI-9. Блок-схема модели Д-регу-
лятора.
Рис. XI-8. Блок-схема модели про-
порционально-интегрального регуля-
тора.
В чистом виде такой закон регулирования реализовать трудно,
так как обычно на среднюю величину рассогласования наклады-
ваются высокочастотные сигналы помех, которые значительно уси-
ливаются и искажают выходной сигнал. Поэтому в промышленных
регуляторах осуществляется ограниченное или затухающее воздей-
ствие по производной, при котором предварительно отфильтровы-
ваются высокочастотные сигналы помех. Передаточная функция
такого регулятора представлена на рис. XI-9.
На этом рисунке а — величина отношения амплитуд полезного
сигнала и сигнала помехи, а Тп — постоянная времени воздействия
по скорости. Наиболее удобной формой записи уравнения, связыва-
ющего рассогласование и выход такого регулятора при программи-
ровании для вычислительных машин, является следующая:
в — аевх+ I (евх е.) dt
хп .1
Для большинства промышленных регуляторов величины а ко-
леблются в пределах 5—20.
Чтобы перейти от рассмотренных выше идеальных регуляторов
к реальным, надо учесть еще, что у пропорционального, интеграль-
ного и дифференциального регуляторов величины управляющих
воздействий ограничены как сверху, так и снизу; иначе говоря,
они имеют предел. Полная модель пропорционально-интегрально-
дифференциального регулятора (ПИД) представлена на рис. XI-10.
При моделировании очень удобно входные сигналы измерять
в процентах от пределов измерения регулируемой величины. Для
блока сравнения это можно осуществить следующим образом:
гъх = Тз ЕТт ЛОО
где Е —шкала прибора.
Рис. XI-10. Модель пропорционально-дифференциально-интегрального регу-
лятора.
254
Рис. XI-11. Учет инерционности регулятора при построе-
нии его модели.
Величина рассогласования может изменяться от 0 до 100%.
Точно также величина z/max может быть принята за 100%, что экви-
валентно полному изменению выхода регулятора.
Подобно любому другому пневматическому, механическому
и электрическому прибору, регуляторы, несомненно, обладают инер-
ционностью. У современных регуляторов инерционность, характе-
ризуемая постоянной времени, обычно невелика (около нескольких
десятков секунд) и не имеет существенного значения по сравнению
с инерционностью типовых химико-технологических процессов, по-
стоянные времени которых измеряются минутами и даже часами.
Однако для некоторых специальных случаев инерционность регуля-
торов должна быть учтена в модели, что обычно достигается при-
соединением инерционных звеньев первого или второго порядка
последовательно с регулятором (рис. XI-11).
Исполнительные механизмы и регулирующие органы. Исполни-
тельные механизмы регуляторов предназначены для передачи регу-
лирующего воздействия непосредственно на регулирующие органы,
установленные на объекте регулирования.
Исполнительные механизмы представляют собой различные
электродвигатели, пневмо- и гидроприводы. Они воспринимают
регулирующий сигнал у от регулятора и перемещают золотники,
заслонки, задвижки или другие регулирующие органы, перемещение
которых, в свою очередь, изменяет площадь проходного сечения,
через которое дросселируется поток жидкости или газа, поступающий
или отбираемый из технологического аппарата (рис. XI-12). Модель
подобного звена уже строилась ранее (гл. VII). Расходная характе-
ристика клапана может быть выражена уравнением
mK = 4fcK /(.Р)
где кк — коэффициент пропускной способности клапана; А — степень его
открывания, которая изменяется от нуля (при полном закрывании) до единицы
(при полном открывании клапана).
Управляющее воздействие
Рпс. XI-12. Регулирующий
клапан.
Исполнительный
механизм
Расход
255
Управляющее Воздействие у
Рис. XI-13. Статическая ха-
рактеристика клапана.
Зависимость перемещения дроссе-
лирующего органа (например, золот-
ника) от регулирующего воздействия
при малых степенях открывания или
при малых изменениях расхода линей-
на, а при больших, как правило,
нелинейна, что показано на рис. XI-13.
В общем виде эта зависимость может
быть записана как
А = Цу)
Связь между перемещением зо-
лотника и регулирующим воздей-
ствием иногда нельзя описать уравнением усилительного звена.
В этом случае кроме статической характеристики надо знать еще
и динамические свойства этой связи. Например, очень большие
клапаны или клапаны без позиционеров могут иметь ограничения
по скорости перемещения штока с золотником. Ограничение по ско-
рости включается в модель следующим образом:
А = Ш
Вводя в модель передаточную функцию звена первого или, зна-
чительно реже, второго порядка, можно учесть и инерционность
клапана. Полная модель такого регулирующего клапана предста-
влена на рис. XI-14.
В некоторых случаях, когда качество регулирования зависит
от точности работы регулирующего органа, в модель должны вво-
диться уравнения, описывающие более тонкие эффекты, например
трение, гистерезис в исполнительном механизме и т. д.
Пример XI-1. Моделирование системы автоматического регулиро-
вания температурного режима реактора. Рассмотрим пример постро-
ения математической модели типичного химико-технологического
объекта — реактора периодического действия (рис. XI-15). Реак-
тор выполнен в виде толстостенного резервуара, в котором про-
водится химическая реакция:
где к — константа скорости реакции, которая находится в экспоненциальной
зависимости от температуры в зоне реакции.
Уравнение материального балан-
_________________ са вещества А:
A=f(y),^nr^v'mm
________где кХА — скорость реакции.
Рис. XI-14. Полная модель регу-
лирующего клапана.
Реакция протекает экзотерми-
чески; количество тепла, выделя-
256
777////7
Рубашка
Вода
Вторичный
регулятор
температуры
Термопара
Первичный Задание
- регулятор -**----
температуры
WZZZZZZZZZZZZZZZZ
Управляющие Воздействие
Рис. XI-15. Схема автоматического регулирования температурного режима
реактора периодического действия.
ТермОпара\Ууадание
Пар
У
емого в результате этой реакции в единицу времени, можно под-
считать следующим образом:
ЛХЛДдр = Ф
где А §р — тепловой эффект реакции.
Общий тепловой баланс для содержимого реактора запишется как
^-(МсТ’) = 5ст + Ф
В этом уравнении дст — тепловой поток от стенки к реактору.
Эта величина рассчитывается по следующей формуле:
(7ст = (Уст ' ’ Т)
где ах — коэффициент теплоотдачи от стенки; S — площадь теплоотдачи;
Уст — средняя температура стенок реактора.
В свою очередь, ТСТ находят из уравнения теплового баланса
стенки:
(Л7стсст7'ст) — ?руб 'Уст
где Мстсст — теплоемкость стенки; </руб — тепловой поток от рубашки к стенке.
Зависимость теплового потока, передаваемого от рубашки, свя-
зана с температурой жидкости в рубашке следующим образом:
^руб~ 4,'^S (Труб Гст)
' Температура рубашки может быть изменена подачей в нее холод-
ной воды или острого пара. Для этого на линиях подачи воды и пара
установлены регулирующие клапаны, управляемые сигналом, по-
ступающим от регулятора температуры. При росте температуры Т
17 Заказ 2163 257
Рис. XI-16. Статические характеристики
клапанов к примеру XI-1.
в реакторе выше заданного
значения клапан на линии по-
дачи охлаждающей воды откры-
вается, а на линии подачи
пара закрывается (рис. XI-16).
Температура в реакторе из-
меряется инерционной термо-
парой (с защитным чехлом),
постоянная времени которой
равна Т сек. Температура, вос-
принимаемая термопарой, свя-
зана с температурой в измеря-
емой точке следующим образом:
dTT
dt

Сигнал от датчика передается первичному пропорционально-
интегрально-дифференциальному регулятору, выходной сигнал
с которого является заданием для следующего регулятора, устано-
вленного по отношению к первому по каскадной схеме. Второй регу-
лятор, в свою очередь, получает сигнал от инерционной термопары,
находящейся в рубашке реактора. Этот регулятор управляет кла-
панами, которые регулируют расходы охлаждающей воды и пара.
Предполагая, что сама рубашка является аппаратом идеального
смешения, запишем уравнение ее теплового баланса, также необхо-
димое для построения математической модели:
(-^руб^руб^руб) — твсв^в 4“ тП^П‘ Уруб (WB 4- тп) св^ руб
где еруб-'Ируб — средняя теплоемкость жидкости в рубашке (так как это вода,
теплоемкость которой равна единице, то это величина фактически является
массой воды); тв — расход воды, подаваемой в рубашку; та — расход пара
на входе в рубашку; Нп — энтальпия пара; 7’в — температура поступающей
воды.
Для того чтобы началась реакция, жидкость, находящаяся в ре-
акторе, должна быть нагрета до определенной температуры. После
начала реакции, из-за того что реакция экзотермическая, темпера-
тура в реакторе начинает быстро повышаться. Увеличение темпера-
туры выше определенной может привести к нарушению безопасности
ведения процесса. Поэтому система регулирования должна обеспе-
чить с помощью подачи охлаждающей воды (или острого пара) авто-
матическое поддержание температуры в зоне реакции в за-
данных пределах.
Для нахождения закона регулирования, удовлетворяющего этим
технологическим требованиям, система может быть исследована
методом математического моделирования на вычислительной ма-
шине.
258
I
Рис. XI-18. Модель теплового баланса реактора.
w
17*
Сначала на основании уравнений, составленных для отдельных
элементов системы управления, строится полная модель, как это
делалось в предыдущих главах. Математическая модель, предназна-
ченная для выбора закона автоматического регулирования процес-
сом, должна связать два входа (расходы пара и воды) с выходами
(температурой в рубашке и реакторе). На рис. XI-17 представлена
часть модели, построенная на основании тепловых балансов рубашки
и стенки реактора. Тепловой баланс реактора используется в модели
так, как показано на рис. XI-18.
Каскадная система автоматического регулирования включает
регуляторы, инерционные термопары, являющиеся звеньями первого
порядка, и клапаны (также звенья первого порядка).
Статические характеристики клапанов можно получить из гра-
фика, представленного на рис. XI-16. При этом предполагается,
что перепад давлений на клапане постоянен и, тем самым, расход
жидкости или пара через него зависит лишь от положения золотника
по отношению к седлу клапана. Модель подачи воды и пара в ру-
башку представлена на рис. XI-19.
На рис. XI-20 показана блок-схема модели всей системы автома-
тического регулирования, состоящей из уравнений, описывающих
реактор и элементы системы автоматики.
Решая уравнения этой модели при различных значениях на-
строек регуляторов, выбранных из реально возможных их значений,
можно найти оптимальные настройки, при которых качество
процесса регулирования удовлетворяет технологическим требо-
ваниям.
Если же такие значения не будут найдены, надо изменить струк-
туру системы регулирования, добавляя в нее более сложные эле-
менты. Повторные вычисления и изменения системы управления
проводятся до получения требуемого результата. В конце концов
таким методом проб и ошибок может быть получено желаемое ка-
чество регулирования.
Рис. XI-19. Модель подачи воды и пара в рубашку.
260
4
Обозначения
А — химический реагент.
В — химический реагент.
а — максимальная скорость перемещения золотника клапана,
установленного на паровой линии.
Ь — максимальная скорость перемещения золотника клапана,
установленного на жидкостной линии.
А — проходное сечение клапана.
с — теплоемкость.
кк — расходная характеристика клапана.
т — массовый расход.
Яп — энтальпия пара.
а — коэффициент теплоотдачи.
Д<7„ — тепловой эффект реакции.
к — константа скорости реакции.
Р — давление.
Ф, q — тепловой поток.
Т — температура.
t — время.
К — общий коэффициент теплопередачи.
v — максимальная скорость перемещения золотника клапана.
М — масса жидкости.
МСУ — масса стенки.
сст — теплоемкость стенки.
X — мольная доля вещества в смеси.
Т — постоянная времени.
е — рассогласование.
а — отношение величин амплитуд.
ЗАДАЧИ
Задача 1. На рис. XI-21 показана технологическая схема про-
цесса сушки пленки. Пленка шириной h (м) и толщиной 6 (м) про-
ходит со скоростью v (м/сек) под генератором теплового излучения,
тепловой поток от которого равен q (вт/м). Влага удаляется с пленки
7 I < i
Ппенка *"
Рис. XI-21. Схема сушильной установки к при-
( меру XI-1.
262
Рис.. XI-22. Схема противоточного теплообменника
к задаче XI-2.
(с обеих сторон) со скоростью, пропорциональной разности темпе-
ратуры пленки и окружающей среды. Размеры поверхности, излу-
чающей тепло, следующие: длина Z, л; ширина h, м. На расстоянии L
(м) от генератора установлен прибор, измеряющий влажность пленки
после прохождения через сушильное устройство. Сигнал от датчика
влажности передается к пропорционально-интегральному регуля-
тору, который управляет сушкой путем изменения количества тепла,
излучаемого генератором. Тепловой поток q пропорционален упра-
вляющему сигналу у регулятора. Генератор в данном случае можно
рассматривать как звено первого порядка, постоянная времени
которого известна и равна Тген, сек. Датчик влажности также
является звеном первого порядка, его постоянная времени Тд, сек.
Предполагается, что неоднородностью температурного поля по
толщине пленки можно пренебречь и что потери тепла между гене-
ратором и датчиком влажности пропорциональны разности темпе-
ратур пленки и окружающей среды.
Построить математическую модель системы автоматического
регулирования этого процесса, предназначенную для нахождения
оптимальных настроек регулятора при условии, что начальная
влажность пленки является величиной переменной и меняется в за-
данных пределах.
Задача 2. На рис. XI-22 показан противоточный жидко-жидкост-
ной теплообменник, по внутренней трубе которого протекает поток
охлаждаемого продукта. Внешняя труба разделена перегородками
таким образом, что поток охлаждающей жидкости течет как бы
по спирали, под некоторым углом к центральной трубе.
Требуется поддерживать с большой точностью температуру на
выходе этого теплообменника, при условии, что температура про-
дукта на входе в теплообменник и количество его могут меняться.
Схема регулирования содержит регуляторы, управляющие рас-
ходом охлаждающей жидкости по каскадной схеме. Эти регуляторы
получают сигналы от датчиков расхода продукта и его температуры
на входе и на выходе из теплообменника. При решении датчики
температуры должны рассматриваться как звенья первого порядка,
управляющий клапан — как звено второго порядка.
263
Рис. XI-23. Схема подачи газа в форсунку к за-
даче XI-3.
Требуется исследовать эту систему регулирования с помощью
моделирования на вычислительной машине и найти оптимальные
настройки регуляторов, предварительно определив их структуру.
Задача 3. Два газообразных вещества подаются по трубопро-
водам к форсунке, на входе в которую они смешиваются между собой
(рис. Х-23). Эти вещества сжигаются в форсунке, причем температура
горения зависит от соотношения расходов QA и QB этих веществ
следующим образом:
у
а2<?А + аЗ<?в
где «j, а2, аз — константы.
Температура измеряется термопарой, постоянная времени кото-
рой равна Гт. Сигнал от датчика температуры ДТ поступает к регу-
лятору температуры РТ, а затем к вычислительному устройству ВУ,
выполняющему функцию регулятора соотношения PC. На это же
устройство подается сигнал от регулятора расхода РР вещества А,-
датчик расхода которого установлен на расстоянии Lj м от места
соединения трубопроводов. Выход регулятора соотношения является
заданием для регулятора расхода вещества В, управляющего регу-
лирующим органом, расположенным на расстоянии Z2 от точки
соединения трубопроводов. Расход вещества?! —определяющая пере-
менная величина, в зависимости от которой необходимо автомати-
чески менять расход вещества В.
Построить математическую модель системы регулирования, кото-
рая позволила бы произвести эксперименты на вычислительной
машине, для определения настройки регулятора расхода при задан-
ном диапазоне возмущений по расходу вещества А. При моделиро-
вании принять, что диаметры D всех трубопроводов и давления Р
в них равны между собой, а расстояние от точки соединения трубо-
проводов до форсунки реактора равно L3 м.
Задача 4. Изучить работоспособность системы автоматического
регулирования температуры в кубе ректификационной колонны
путем моделирования ее на вычислительной машине при максимально
возможных возмущениях по расходу L и ее составу X жидкой фазы
(рис. Х-24).
264
Кипятильник куба состоит
из ряда вертикальных труб, по
которым протекает кубовая
жидкость. Температура жидко-
сти регулируется подачей па-
ра в межтрубное пространство
кипятильника. При кипении
жидкость частично испаряется:
отбор кубового остатка произ-
водится регулятором в зависи-
мости от уровня жидкости в
кубе колонны. Пар подается
через редуцирующий клапан,
его расход регулируется ПИД-
Рис. XI-24. Схема кипятильника рек-
тификационной колонны к задаче XI-4
регулятором по температуре (измеряемой термопарой) на третьей
снизу тарелке колонны. Термопара инерционная является зве-
ном первого порядка, ее постоянная времени задана. Объем
парового пространства V и давление пара Р в кипятильнике
также заданы. Предполагается, что разделяется идеальная смесь
двух компонентов, колонна — тарельчатая с типовыми колпачками
и переливами. Эффективность каждой тарелки задана и равна Е,
давление на всех тарелках одинаково и равно р.
ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Е с k m a n D. Р., Principles of Industrial Process Control, Wiley, New
York, 1945.
2. Ceaglske N. H., Automatic Process Control for Chemical Engineers,
Wiley, New York, 1956.
3. В u с к 1 e у P. S., Techniques of Process Control, Wiley, New York, 1964.
3a. W i 11 i a m s T. J., Lauher V. A., Automatic Control of Chemical
and Petroleum Processes, Gulf Publishing Co., 1961.
4. F r a n к s R. G., Simulating the Rrocess Controller with an Analog Compu-
ter, ISA N. J., Section, 10th Annual Symposium, 1958.
5. Field W. B., ISA, 6, № 1 (1965).
6. V о g t J., Simulation, 4, № 4 (1964).
7. W о о d s F. A., Ind. Eng. Chem., 50, № 11 (1960).
8. Hydrocarbon Processing, 43, .У 12 (1964).
9. Straight P. E., M i c h a e 1 s F., ISA J., № 5 (1957).
10. Field W. B., ISA, PCT-I-58-1 (1958).
11. Mum me К. I., Zabel L. W., TAPPI, 43, № 4 (1962).
12. Franks R. G., ISA J., 5, № 9 (1958).
13. Linebarder R., Brennan R. D., Inst. Control Systems, October
(1965).
265
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Александровский Н. М., Дейч А. М. и др., Управление объек-
тами химической технологии с использованием их математических моделей,
МЭИ, Доклады на научно-технической конференции по итогам научно-иссле-
довательских работ. Секция автоматики и вычислительной техники, ч. 1,
1967.
Буровой И. А., Элиашберг В. М., Основы построения математ
ческих моделей некоторых технологических процессов для целей автомати-
зации, в сб. «Научные труды Государственного научно-исследовательского
института цветной металлургии», № 21, 1964.
Вольтер Б. В., Сальников И. Е., Устойчивость химического реак-
тора идеального перемешивания при автоматическом ведении процесса.,
Изв. вузов, Химия и химическая технология, № 4 (1967).
Девятов Б. Н., Авт. и телемеханика, 21, № 6 (1960).
Девятов Б. В., Теория переходных процессов в технологических аппара-
тах с точки зрения задач управления, Изд. Сибирского отд. АН СССР, 1964.
Каганов М. А., Л и с к е р И. С., Инж.-физ. жури., 7, № 4 (1964).
Кафаров В. В., Основные принципы составления математических описаний
процессов химической технологии для управления, в сб. «Алгоритмизация
расчета процессов и аппаратов химических производств», вып. 1, Киев,
Изд. «Наукова думка», 1966.
Крамере X., Вестертерп К., Химические реакторы, расчет и упра-
вление ими, пер. с англ., Изд. «Химия», 1967.
Корсаков-Богатков С. М., Механизация и автоматизация, № 1
(1965).
Кошарский Б. Д., Безновская Т. X. и др., Автоматические при-
боры, регуляторы й управляющие машины, справочное пособие, изд. 2-е,
Изд. «Машиностроение», 1968.
Корсаков-Богатков С. М., К вопросу о математическом описании
химического процесса для решения практических задач автоматизации,
в сб. «Автоматизация химических и нефтехимических производств», № 3,
НИИТЭХИМ, 1965.
Кэмпбелл Д. П., Динамика процессов химической технологии, пер.
с англ., Госхимиздат, 1962.
Теория автоматического управления, под ред. Нетушила А. В., ч. 1, Изд.
«Высшая школа», 1968.
Перов В. Л., Основы теории автоматического регулирования химико-
технологических процессов, Изд. «Химия», 1970.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Решение задачи, которая была дана для упражнения в главе IX.
Первый и, очевидно, наиболее важный шаг при решении задачи состоит
в определении скорости реакции. Как сказано в условии задачи, скорость реак-
ции пропорциональна парциальным давлениям реагирующих веществ А и В:
R = k(Tr) (PYj) (PY2)
где Ух — мольная доля вещества A; Y2 — мольная доля вещества В; Р — да-
вление в реакционной зоне; PYr — парциальное давление вещества A; PY2 —
парциальное давление вещества В.
Материальный баланс вещества а [в кмоль/ (м-сек)]:
d Вл D2
^(^1) =-------J-
Материальный баланс вещества В [в кмоль/ (м сек)]:
— (ту2) =------—
Материальный баланс вещества С [в кмоль/ (л-сек)]:
d . . Вл!)2
_(иУз) =-------—
Так как в реакторе находятся только три вещества, то последнее уравнение
для определения содержания продукта С можно заменить более простым:
^з=1-У1-У2
В результате реакции из двух молей исходных веществ образуется один
моль продукта. Уравнение общего материального баланса поэтому будет иметь,
совсем простой вид
Теперь можно записать уравнение теплового баланса (в вт/м)
(тсрТг)=~^ др - л DK (7Г- 7руб)
267'
Уравнение, связывающее падение давления по длине реактора с расходом,
температурой и давлением:
dP кГрМт2Тк
~dT = кР №
где М — средний молекулярный вес (в кгс/.ito.tb) реакционной смеси, зависящий
от ее состава:
лг=14* y2m2 4* У3М3
ТК — абсолютная температура газа в реакторе:
2’к = ?’г + 2739
Константа скорости реакции является функцией температуры:
к(ТК) = А ехр (— В/Тк)
Для упрощения уравнений материального и теплового балансов вместо
члена RnD2/i. введем новую переменную Ra'.
Ra = Rit Di/ti
Соответствующим образом изменим уравнение кинетики химической реак-
ции:
Ra=k(T^(PY±} (РУг)^1
Блок-схема модели реактора представлена на рис. 1. Структура модели проста,
в ней нет итерационных контуров счета, решение получаем, запрограммировав
систему дифференциальных и алгебраических уравнений при определенных
значениях начальных условий.
В этом упражнении были выбраны следующие значения начальных усло-
вий и констант:
„Д2/4 = 0,017 Л42;
~D — 0,468 ле;
= 714,4-105 дж/кмоль',
mYj = 1,33-10*4 кмоль/сек (Л);
mY2 — 5,33-10*4 кмоль/сек (В);
т0 = 6,66-10*4 кмолъ/сек — расход газа на входе в реактор;
7’г0 = 100° С — температура газа на входе в реактор;
Тхл = 102° С — температура в охлаждающей рубашке;
D = 0,15 м — диаметр реактора;
L = 60,0 м — общая длина реактора;
К = 0,69-Ю4 дж/(мг сек-°C);
ср = 4324-105 дж/(кмоль • °C);
Ра = 6,2-105 н/м2— давление газа на входе в реактор;
А = 0,12-10*3 — константа в уравнении Аррениуса;
В = 7377 — константа в уравнении Аррениуса;
Лгтр = 124-1,08 10е — коэффициент трения;
Мг = 41 — молекулярный вес вещества А;
М2 =74 — молекулярный вес вещества В-
М3 = 116 — молекулярный вес вещества С.
MIMIC — ПРОГРАММА ДЛЯ ТРУБЧАТОГО
РЕАКТОРА
(Титульная карта дается в столбце 1, здесь не представленном. Константы,
входящие в уравнения, непосредственно вводятся в машину).
В представленных ниже столбцах программы 10 и 19 указаны все перемен-
ные, которые должны быть рассчитаны, и уравнения, используемые в модели
268
Рис. 1. Блок-схема модели реактора.
для их расчета. В программе величины А-Тр7), Ткл, т, Тг обозначаются соответ-
ственно KF, DT, Т.Т, F и TG.
Столбец 10 Столбец 19
Y1 (INT(—RA,8.))/F
Y2 (INT(—RA,32.))/F
Y3 I.—Yl—Y2
F INT(— RA,40.)
Р INT(— KF*M* F* F*TK/(P* .031),90.)
М Yl*42.+Y2*74.+ Y3*116.
TG (INT(RA*38000.—31.2*(TG—TJ),0.))/F*23.)+100
RA KT*P*Y1*P*Y2*.196
КТ 17500*. EXP(—7377./TK)
ТК TG + 273 FIN(T,200.) — символ окончания счета. (Независимая перемен- ная в MIMIC-коде обозначается Т, хотя в данном случае ею является длина L)
HDR (LENGTH, PRESS, TEMP, MOLFRA, MOLFRB, MOLFRC) HDR
(FT, PSIA, DEGCEN) HDR — специальная карта, на которой указаны пе-
ременные и их размерность (т. е. которые
должны быть выведены на печать)
OUY (Т, Р, TG,
Yl, Y2, Y3)
OUT — выходные величины, печатаются на специальной карте
66, 10., 102 — значения констант, перечисленных в начале программы (они
приводятся в карте входных данных).
Программа решения этой задачи представлена в табл. 1.
таблица 1
Программа для трубчатого реактора в MIMIC-коде
CON (KF, DT, TJ)
Y1 Y2 Y3 М N КТ Р RA TG ТК (INT((-RA, 8-))/N (INT(—RA, 32.))/N 1, —Yl —Y2 Yl*42. +Y2*74. + Y3*116. INT(—RA, 40.) 17500. *EXP (-7377./ТК) INT (—KF*M*N*N*TK/(P*.O31), 90.) KT *P*Y1*P*Y2*.196 (INT(RA*38000.31’.2* (TG —TJ), O.))/(N*23.) +100 TG + 273
TS PS TGS FIN(T, 200) T/200 P/100 TG/500 HDR (LENGTH, PRESS, TEMP, MOLFRA, MOLFRB, MOLFRC) HDR (FT, PSIA, DEGCEN) HDR OUT(T, P, TG, Yl, Y2, Y3) OUT END
*** SORT DIAGNOSTICS FOLLOW***
Программа решения, в которой указаны функциональные блоки,
используемые для решения задачи (представляющие собой отдельные
операции, выполняемые в ходе решения) представлена в табл. 2.
270
СПИСОК ОПЕЧАТОК
№ Стр. Строки Напечатано Следует читать
1 191 17 сверху 128;и/pg 128p/pgn
9 194 16 снизу 1- г т<*-
3 195 212 Рис. 1Х-17 Рис. IX-33 Тепловой баланс кипящей жидкости тП^" = &S (Труб 7 равн) , d d г_ И7а dz р Тепловой баланс кипящей жидкости 77?ПЛ—7i«S (Труб ^ранн) f сТ — C1 равн O при 7’<7’РЗЫ1 1 rl V - Wa
4 dz . Р d iPl’ Wldl
5 215 10 сверху х— расстояние 1 5—-расстояние
6 226 Рис. Х-11 Тепловой баланс жидкости во внутренней трубе1 d г - - 0 5 -тт- У '°’5 рРви z' X [Увн (П+1) ВН (0-1)1 е ^В11 (’ I Тепловой баланс жидкости 1 во внутренней трубе I 4-Лшп = 0,5^Х dt внп рРв11 ( X [Тви (n-i> J ап in+l>} Ф„
Заказ 2163
IF
1
1
1
1
1
4
1
1
1.
1
21
2
2
2.
2
2
2'
2
2
3'
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
ТАБЛИЦА 2
*** FUNCTION — LANGUAGE PROGRAM GENERATED *«*
X LCV RESULT FTN A В c D E F
1 2 3 4 5 0 7 8 9 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 4 5 6 7 8 Y1 Y2 005 Y3 007 008 009 010 M 016 018 028 034 TG TK TS PS TGS 013 03 014 KT 020 021 04 P *124 026 RA 029 изо 031 032 033 00 001 01 ('03 02 N KF 6.60000—09 CON DIV DIV SUB SUB MPY MPY MPY ADD ADD MPY MPY MPY DIV ADD ADD FIN DIV DIV DIV DIV NEG EXP MPY MPY DIV NEG INT MPY MPY MPY SUB MPY MPY SUB INT NEG INT NEG INT NEG INT HDR HDR IIDR OUT *** p 1.00 KF 001 003 1. 005 Y1 Y2 Y3 007 010 P KF N 033 • 034 TG T T P TG 7377. 013 03 17500. 018 020 021 04 KT 024 026 TG RA 31.2 030 032 RA 00 RA 01 RA 02 LENGTH FT T URTHER DT 000+01 DT N N Y1 Y2 42. 74. 116. 008 009 .031 M 23. 028 100. 273. 200. 200. 100. 500. TK 014 N 016 90. P P .196 TJ 38000. 029 031 0. 8. 32. 40. PRESS PSIA P DIAGN FO TJ N TK Y1 Y2 TEMP DEGCEN TG OSTICS LLOW *“ TJ 1.0201 MOLFRA Y1 AND EXI 10+02 MOLFRAB Y2 .CUTION MOLFRC Y3
Рпс. 2. Графики изменения парамет-
ров процесса, построенные по резуль-
татам машинного решения задачи.
Решение задачи выдается машиной
в данном случае в виде шести колонок
чисел. В начале каждой из них указано
йазванпе каждой из переменных, дан-
ных в HDR-карте * (табл. 3). Числа
имеют вид х,ххххх ± уу, где последние
трп символа указывают порядок рас-
считанной величины. Если в резуль-
тате расчета требуется построить гра-
фики изменения вычисленных пере-
менных, то по специальной команде
они печатаются на картах удобного
формата.
На рис. 2 представлены резуль-
таты решения этой задачи в виде гра-
фиков. Если в ходе решения надо
повторить вычисления при различных
значениях некоторых параметров (на-
пример, температуры на входе в
реактор, состава исходного продукта
п т. д.), то это также можно преду-
смотреть при составлении программы,
указав все требуемые величины параметров на специальной карте, кото-
рая вводится в машину одновременно с основной программой.
таблица з
Н DR-карта
Длина FT Давление PSIA Время DEGCEN Мольная доля компо- нента А Мольная доля компо- нента В Мольная доля компо- нента С
0.00000 9.00000-1 01 1.00000+02 2.00000-01 8.00000-01 0.00000
1.000004-01 8.90353+01 1.05151+02 1.97405—01 7.99351—01 3.24403-03
2.00000+01 8.80506+01 1.09959+02 1.94154—01 7.98539-01 7.30722—03
3.00000+01 8.70469+01 1.14646+02 1.90167—01 7.97542-01 1.22917-02
4.00000+01 8.60246+01 1.19428+02 1.85323-01 7.96331-01 1.83460—02
5.00000+01 8.49838+01 1.24564+02 1.79437—01 7.94859—01 2.57032—02
6.00000+01 8.39238+01 1.34452+02 1.72191—01 7.93048—01 3-47619—02
7.00000+01 8.28434+01 1.37862+02 1.62963-01 7.90741—01 4.62969-02
8.00000+01 8.17390+01 1.48792+02 1.50257—01 7.87564—01 6.21783—02
9.00000+01 8.05998+01 1.71926+02 1.28294—01 7.82073—01 8.96329—02
1.00000+02 7.93021+01 3.63648+02 2.39616—08 7.50000-01 2-50000—01
1.10000+02 7.79236+01 2.73244+02 8.35306—12 7.50000—01 2.50000—01
1.20000+02 7.66974+01 2.14076 +02 1.00383-12 7.50000—01 2.50000—01
1.30000 +02 7.55690+01 1.75351+02 5-13339—13 7.50000-01 2.50000—01
1.40000+02 7.45015+01 1.50007+02 4.19791—13 7.50000-01 2.50000—01
1.50000+02 7.34704+01 1.33420+02 3.86570—13 7.50000-01 2.50000—01
1.60000+02 7.24589+01 1.22563+02 3.70110-13 7.50000—01 2.50000—01
1.70000+02 7-14559+01 1.15458+02 3.59971—13 7.50000—01 2.50000—01
1.80000+02 7.04539+01 1.10808+02 3.52735—13 7.50000—01 2.50000-01
1.90000+02 6.94473+01 1.07765+02 3.47029—13 7.50000-01 2.50000—01
2.00000+02 6.84327+01 1.05773+02 3.42220-13 7.50000-01 2.50000—01
* Автор при решении задачи пользуется следующими размерностями:
моль/мин вместо кмолъ/сек, фут — вместо м, psia — вместо н/м'1. Поэтому все
величины в программе начальных условий и констант, а также в таблице ко-
нечных результатов [имеют другие численные значения. — Прим. ред.