Автор: Рид М.  

Теги: алгебра   геометрия  

ISBN: 5-03-001792-5

Год: 1991

Текст
                    LONDON MATHEMATICAL
SOCIETY STUDENT TEXTS. 12
Undergraduate Algebraic Geometry
MILES REID, Mathematical Institute, University of Warwick
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
Cambridge
New York New RocbeUe Melbourne Sydeey
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
ВВОДНЫЕ КУРСЫ
М.РИД
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ДЛЯ ВСЕХ
Перевод с английского
Б. 3. ШАПИРО
МОСКВА «МИР»
1991


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому переводу 5 Предисловие 7 § 0. Неформальное введение 8 Почему же алгебраическая геометрия? Проблема выбора матери- материала; различные геометрические категории, необходимость привлече- привлечения коммутативной алгебры, частично определенная функция; репу- репутация автора. Необходимые предварительные сведения, взаимоотно- взаимоотношение курса с различными предметами, список рекомендуемых книг Гл. 1. Поиграем с плоскими кривыми 16 § 1. Плоские коники 16 Общее представление о IP2 и однородных координатах; соотноше- соотношение между А2 и IP2; параметризация. Каждая гладкая коника в IP2 изоморфна IP1. Простые случаи теоремы Безу: прямая пересекает кривую степени d в d точках, коника пересекает кривую степени d в Id точках. Линейная система коник, проходящих через точки Ри-..,Рп. § 2. Кубики и групповой закон 32 Кривая (у2 = х(х — 1)(х - X)) не может быть рационально пара- параметризована. Линейные системы Sd(Pi,... , Рп); пучок кубик, прохо- проходящих через 8 точек «в общем положении». Групповой закон на ку- кубике «Таинственная» гексаграмма Паскаля. Добавление к гл. 1. Кривые и их род 48 Топология неособых плоских комплексных кубик. Неформальное обсуждение рода кривой: топология, дифференциальная геометрия, модули, теория чисел, Морделл—Вейль—Фальтингс. Гл. 2. Категория аффинных многообразий 54 § 3. Аффинные многообразия и Nullstellensatz 54 Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе; соответствия V и /, неприводимые алгебраические множества, топология Зарисского, формулировка Nullstellensatz. Неприводимая гиперповерхность. Нор- Нормализация Нётер н доказательство Nullstellensatz; редукция к случаю гиперповерхности. §4. Функции на многообразиях 73 Координатное кольцо и полиномиальные отображения, морфиз- мы и изоморфизмы, аффинные многообразия. Поле рациональных функций и рациональные отображения, доминантные рациональные отображения и композиция рациональных отображений. Стандарт- Стандартные открытые множества. Закон сложения на эллиптической кривой является морфизмом. ОГЛАВЛЕНИЕ 149 Гл. 3. Приложения 88 § 5. Проективная и бирациональная геометрии 88 Мотивировка: существуют многообразия, не содержащиеся ни в каком аффинном многообразии. Однородные соответствия V я I. Проективное и аффинное Примеры: квадратичные поверхности, по- поверхность Веронезе. Бирациональная эквивалентность, рациональные многообразия. Каждое многообразие бирациональио эквивалентно гиперповерхности. Произведения. § 6. Касательное пространство и иеособость, размерность 102 Мотивировка: теорема о неявной функции, многообразия и глад- гладкие многообразия. Определение аффинного касательного простран- пространства. Множество неособых точек является плотным. Касательное пространство и т/т2, инвариантное определение касательного про- пространства. Размерность X равна tr degkk(X). Разрешение особенно- особенностей с помощью раздутий. § 7. 27 прямых на кубической поверхности 112 Прямые на неособой кубической поверхности S. Доказательство существования прямой методом исключения. Пять пар прямых, пе- пересекающих данную прямую. S рациональна. Классическая конфигу- конфигурация из 27 прямых. Гессиан. Случай, когда все прямые рацио- рациональны. § 8. Заключительные комментарии 125 История и социологический аспект. Выбор тем, высоконаучные комментарии и технические замечания. Вместо предисловия. Благо- Благодарности. Предметный указатель 143
ББК 22.14 Р49 УДК 512.7 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Рид М. Р49 Алгебраическая геометрия для всех: Пер. с англ. Мир, 1991. — 151 с. ISBN 5-03-001792-5 — М. Автор, известный английский математик, поставил себе целью преодолеть страх математиков перед алгебраической геометрией, подобный страху нематематиков перед математикой. Примеры, задачи, рисунки и мотивировка занимают в книге больше ме- места, чем формальный аппарат теории. Автор осторожно доводит читателя до содержа- содержательных результатов теории проективных алгебраических многообразий и оставляет его после критического обсуждения обобщений и обоснований (пучки, схемы и т. п.)- Секре- Секреты специалистов, обычно сообщаемые лишь ученикам наедине, опубликованы здесь в открытую. Для математиков всех специальностей от студентов-младшекурсников до алгебраи- алгебраических геометров, а также физиков-теоретиков. _ 1602050000-246 Р 9 — 91 041@1)—91 ББК 22.14 Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-001792-5 (русое.) ISBN 0-521.35662-8 (англ.) © Cambridge University Press, 1988 © перевод на русский изык, с авторскими измене- изменениями и дополнениями, Б. 3. Шапиро, 1991 Алгебраическая геометрия оказала большое влияние на развитие математики. Это объясняется, главным образом, ее тесными связя- связями с другими разделами: анализом (эллиптические, абелевы и авто- морфные функции, дифференциальные уравнения), теорией чисел, алгеброй. В последние десятилетия интерес к алгебраической гео- геометрии значительно увеличился в связи с ее многочисленными при- приложениями к математической физике. Сейчас ее методы применя- применяются не только математиками, но и в многочисленных физических работах. Круг лиц, интересующихся алгебраической геометрией, очень расширился, но это пока мало отразилось на соответствующей учебной литературе. Существует много прекрасных руководств, в которых излагаются определенные разделы алгебраической геомет- геометрии, но, по большей части, — это монографии, использующие до- довольно сложный математический аппарат и, главное, предполагаю- предполагающие уже некоторые навыки чтения математической литературы. Предлагаемая читателю книга профессора Уорикского университета Майлза Рида «Алгебраическая геометрия для всех» занимает совер- совершенно особое место. Автор — известный специалист в области ал- алгебраической геометрии, один из создателей яркого и быстро разви- развивающегося сейчас направления в этой области. Его книга не ставит цели изложить глубокие результаты и методы алгебраической гео- геометрии, имеющие многочисленные приложения. Зато в ней чита- читатель найдет мотивировки основных понятий, тщательное исследо- исследование некоторых ключевых примеров: то, что составляет дух алгеб- алгебраической геометрии и без понимания чего изучение специальной литературы ничего не дает. Автор не уклоняется от разъяснения во- вопросов, которые обычно обходят: например, чем в принципе отли- отличаются друг от друга запасы непрерывных, дифференцируемых, ана- аналитических и рациональных функций? Или: зачем вводится проек- проективное пространство? Первая глава книги — это мост, соединяющий алгебраическую геометрию с элементарной аналитической геометрией. В ней речь идет всего лишь о плоских кривых 2-й и 3-й степени, но уже здесь возникают важные для всей алгебраической геометрии понятия и постановки вопросов. На основе накопленного фактического мате- материала автор может пояснить без доказательств основные свойства
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ кривых произвольной степени, связанные с понятием рода кривой, которое он обсуждает в его топологическом, дифференциально- геометрическом и теоретико-числовом аспектах. Уже иа примере плоских кривых выясняется, что геометрическую интуицию алге- алгебраической геометрии можно поставить на твердую почву, лишь привлекая некоторый алгебраический аппарат. Эти связи исследу- исследуются во второй главе. Наконец, в третьей главе демонстрируется эффективность введенной алгебраической техники. Она дает воз- возможность строго определить понятие размерности алгебраического многообразия, особой и неособой точки, касательного пространства, бирационального соответствия. Все эти понятия находят примене- применение в предпоследнем параграфе, где доказывается один из самых известных и красивых результатов алгебраической геометрии: су- существование 27 прямых на неособой поверхности 3-й степени. Книга написана ясно, прозрачно и интересно. Она читается легко и с удовольствием. Чтение ее требует самых минимальных матема- математических познаний, которыми обладает студент 3-го курса матема- математических и физических факультетов или технических институтов. Исключением являются, может быть, некоторые простейшие алге- алгебраические понятия: кольца, идеала, поля... . С ними легко позна- познакомиться по любому курсу «Высшей алгебры». Книга М. Рида несомненно облегчит широкому кругу лиц, инте- интересующихся алгебраической геометрией, проникновение в эту об- область математики. При подготовке перевода был использован любезно предостав- предоставленный автором текст второго английского издания. И. Р. Шафаревич. ПРЕДИСЛОВИЕ В последние годы появилось несколько хороших учебников по алгебраической геометрии для аспирантов или студентов старших курсов, но среди них (насколько мне известно) нет пособия, предна- предназначенного для начального ознакомления с предметом. Эти скром- скромные записи возникли из лекционного курса, который я читал два года подряд для третьекурсников Уорикского университета. Цель их — дать замкнутое введение в алгебраическую геометрию именно на этом уровне.
§ 0. Неформальное введение Цель этого параграфа — дать представление о предмете как зле- менте математической культуры. Логически он не является частью курса, и достаточно его просто бегло пролистать. @.1) Грубо говоря, (алгебраическое) многообразие1* — это сово- совокупность точек, определяемая системой полиномиальных урав- уравнений: V 0) в IR2 где к — поле, a fi€k[Xi,..., Х„\ — многочлены. Примерами могут служить плоские кривые С: (f(x, у) или в С2. ГхУ CCCXD yi=(x+l)x2 (х + 00с2 - е) При попытке исследовать V сами собой возникают некоторые вопросы. Теоретико-числовые вопросы. Например, как для к = Q и VcQ" найти все точки многообразия V или убедиться в их отсутствии? По ряду исторических причин представляет интерес следующий частный случай: сколько решений имеет уравнение х" + у" = 1, x,y€<Q, л ^ 3? Вопросы такого типа обычно называют диофантовыми задачами. Топологические вопросы. Какова топология многообразия V в наиболее часто встречающихся случаях к = IR или к = С? Очевид- " В этой книге слово «многообразие» (variety) обычно означает «алгебраическое многообразие». Гладкие, топологические и др. многообразия (manifolds) снабжаются соответствующими эпитетами. — Прим. перев. § 0. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ ными топологическими инвариантами являются, например, компо- компоненты связности изображенных выше кубических кривых. Вопросы из теории особенностей. Какова топология многообра- многообразия V в окрестности точки Р € К? Пусть /: Vi -* Vi — регулярное отображение одного многообразия в другое (например, полиноми- полиномиальное отображение IR2 -* IR); какова топология и геометрия отобра- отображения / в окрестности точки Р€ V\1 @.2) Имеются два возможных подхода к изучению много- многообразий. Конкретный подход. Для заданных многочленов/< зачастую нам помогают понять устройство многообразия V те или иные ухищре- ухищрения, использующие явный вид//. Это прекрасно удается, когда раз- размерность л и степени многочленов f; малы или когда f; подобраны особенно удачно. Но трудности быстро возрастают, и скоро насту- наступает момент, когда с помощью одной лишь изобретательности в вычислениях продвинуться достаточно далеко не удается. Общий подход. Изучение свойств многообразия V сразу подво- подводит нас к таким ключевым понятиям, как регулярные функции на V, неособость, касательные плоскости, размерность многообразия и т. д. Например, то обстоятельство, что кривые, скажем упомяну- упомянутые выше кубики, одномерны, известно читателю из элементарной геометрии, а что может представлять собой особенность, сразу ста- становится ясным из приведенного выше рисунка. При написании вводного курса по алгебраической геометрии возникает следующая изначальная проблема: достаточно приемле- приемлемое изложение «общего» подхода требует введения такого количе- количества определений, что они заполняют весь курс, вытесняя из него содержательную часть. Таким образом, тут необходим компромисс, и я решил осветить небольшую часть общей теории, постоянно ра- работая с конкретными примерами. Поэтому книга покрывает всего лишь часть основного материала, который следовало бы изложить в систематическом курсе. С другой стороны, я надеюсь, что каж- каждый параграф снабжен достаточным числом упражнений и примеров. @.3) Главная особенность алгебраической геометрии — примене- применение исключительно полиномиальных функций (вместе с рациональ- рациональными). А почему? Рассмотрим на открытом интервале U С IR еле-
10 § О. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ дующие кольца функций: C°(U) — кольцо всех непрерывных функций /: U-* IR; C°(U) — кольцо всех гладких (т. е. бесконечно дифференцируе- дифференцируемых) функций; C(U) — кольцо всех аналитических функций (т. е. сходящихся степенных рядов); R[X] — кольцо многочленов, рассматриваемых как полиноми- полиномиальные функции на U. Имеют место очевидные включения R[X] С С* (U) С С° (У) С С С0(У). Эти кольца функций соответствуют важным геометриче- геометрическим категориям: C°(U) — категории топологических пространств, C°°(U) — гладкой категории (категории гладких многообразий), C{U) — категории вещественно-аналитических многообразий, IR[A] — категории алгебраических многообразий. Необходимо, от- отметить, что за каждым из этих включений стоят огромные разли- различия, приводящие к несхожести важнейших характерных свойств гео- геометрий в разных категориях. Так, любое введение меры на C°(U), хотя это и не подчеркивается в начальном курсе анализа, приводит к тому, что гладкие функции будут иметь меру 0 среди непрерыв- непрерывных (более того, если наудачу выбрать непрерывную функцию, то с вероятностью 1 она окажется нигде не дифференцируемой, подоб- подобно траектории броуновского движения). Отличие C(U) от C°°(U) можно продемонстрировать на примере поведения функции /(х) = ехр(- 1/х2); это стандартная гладкая функция, ряд Тейлора которой в точке 0 к ней не сходится. Пользуясь ей, можно легко построить гладкую «шапочку» /: IR -> IR, такую, что Дх) = 1 при 1x1 < 0,9 и Дх) = 0 при Ixl ^ 1. Гладкая «шапочка» Аналитическая функция на U, напротив, продолжается (как схо- сходящийся степенной ряд) до функции, комплексно-аналитической в подходящей области в С. Поэтому если /е C"(U) обращается в нуль на вещественном интервале, то она тождественно равна нулю (согласно результатам из комплексного анализа). Это — одно из проявлений свойства «жесткости», характерного для аналитической геометрии в противоположность дифференциальной топологии. 0. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ 11 @.4) Полиномиальных функций крайне мало, ведь кольцо мно- многочленов ЩХ\ является счетномерным линейным IR-пространством, тогда как уже кольцо C"(U) несчетно, и даже переход к рациональ- рациональным функциям (т. е. расширение кольца ЩХ\ до его поля частных IR(x)) дает не слишком много. В разд. B.2) будет приведен пример «жесткости», характерной для алгебраической геометрии. Возмож- Возможность построения геометрии, используя только это множество функций, замечательна уже сама по себе, и не удивительно, что при разработке этой теории возникает ряд трудностей: Построение теории на базе коммутативной алгебры. Топология и дифференциальная топология могут использовать всю совокуп- совокупность результатов е-6-анализа, изучаемого в целом ряде предметов на I и II курсах. В алгебраической геометрии с ее кольцами много- многочленов нам вместо него придется изучать кольцо к[Х\,..., Х„] и его идеалы. Другими словами, вместо математического анализа нам нужно разрабатывать коммутативную алгебру. В качестве типично- типичного примера возьмем Nullstellensatz1*. Несмотря на очевидность ее интуитивного смысла (различные идеалы функций в k[Xi,..., Х„] определяют разные многообразия V С к"), ее доказательство содер- содержит длинное отступление, связанное с условиями конечности в ком- коммутативной алгебре. Рациональные отображения и функции. Другой трудностью, воз- возникающей из-за желания работать с многочленами, является необ- необходимость введения «частично определенных» функций. В дальней- дальнейшем мы увидим, что в силу упомянутой выше «жесткости» для не- некоторых (в действительности для всех проективных) многообразий не существует отличной от константы регулярной функции (см. упр. 5.1, S.12 и обсуждения в разд. (8.10)). Рациональные функции (т. е. «функции» вида /= g/h, где g и А — многочлены) не определены там, где знаменатель обращается в нуль. У алгебраических геомет- геометров имеется хотя и часто порицаемая, но твердо укоренившаяся традиция использовать термины «рациональная функция» и «раци- «рациональное отображение» для обозначения функций и отображений, определенных лишь частично. Таким образом, рациональное ото- отображение f:V\ > Vi вовсе не является отображением; в таких случа- случаях становится также общепринятым употребление стрелки с разры- 0 Теорему Гильберта о нулях. См. замечание автора и примечание переводчика на стр. 62. — Прим. перев.
12 § 0. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ вом. (Читателю, у которого это вызывает чувство дискомфорта, я рекомендовал бы сразу прекратить чтение и заняться вместо этого теорией категорий.) Эта трудность — не такой уж и пустяк. Даже регулярные ото- отображения (или морфизмы, а они-то и являются настоящими ото- отображениями) приходится определять как рациональные отображе- отображения, регулярные во всех точках Р€ К (т. е., точнее говоря, можно выбрать знаменатель так, чтобы он не обращался в нуль в точке Р). С этим же тесно связана сложность внутреннего определения многообразия. В этом курсе (и, насколько мне известно, в других сходных курсах) определяются аффинные многообразия К С А" и квазипроективные многообразия V С IP" но определение много- многообразия как такового без апелляции к объемлющему пространству отсутствует. Грубо говоря, многообразием следовало бы считать то, что получается при «склеивании» некоторого числа аффинных многообразий по изоморфным открытым подмножествам. Однако язык, на котором мы в настоящий момент изъясняемся и на кото- котором даже изоморфизм определяется более или менее явно лишь с помощью рациональных функций, слишком груб для этого. Подхо- Подходящим средством описания этого «склеивания» являются пучки, ко- которые подробно рассматриваются в специальных учебниках. @.5) Сказав столько о недостатках алгебраического подхода к геометрии, замечу, что на сегодняшний день почти все важные ал- алгебраические многообразия, возникающие где бы то ни было, явля- являются квазипроективными, и можно их с большим удовольствием изучать, не слишком заботясь о тонкостях определений. Чисто алгебраические конструкции алгебраической геометрии яв- являются ее наиболее существенными достоинствами: ее можно при- применять к любому полю, а не только к IR или С. Так, можно рас- рассматривать геометрию над полями характеристики р. Не говорите: «Подумаешь, экая важность — характеристика р. Это же просто конечные поля». Во-первых, на геометрию над конечными полями опираются существенные разделы теории групп, равно как и боль- большие куски из комбинаторики, используемые в информатике. Во-вто- Во-вторых, имеется много интересных бесконечных полей характеристики р. Кроме того, на более глубоком уровне, конечные поля присут- присутствуют и работают в самих (Q и С. Большинство глубоких резуль- результатов об арифметике многообразий над (Q существенно используют геометрию над С или над конечными полями и их алгебраическими замыканиями. Завершим на этом наше введение. Неформальные обсуждения § 0. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ 13 будут продолжены в разд. B.15), а общеобразовательные бесе- беседы — в заключительном § 8. @.6) Структура книги такова. Главы 1 и 3 предназначены для описания некоторых важных задач, которые можно исследовать средствами алгебраической геометрии. Глава 2 является введением в упоминавшуюся в разд. @.4) коммутативную алгебру и в категор- ный язык алгебраической геометрии. (Читатель, склонный к мигре- мигрени, может в этой главе принять некоторые из доказательств на ве- веру, так как этот материал стандартен, а профессиональная репута- репутация автора пользуется заслуженным уважением.) § 8 содержит всякую всячину, которая может оказаться интерес- интересной или полезной читателю, но не укладывается в рамки основного текста, как-то: немного об истории и о социологическом аспекте со- современной алгебраической геометрии, указания на связь основного материала с более продвинутыми разделами, технические замеча- замечания и т. д. Предварительные сведения, необходимые для этого курса Алгебра: квадратичные формы, простейшие свойства коммута- коммутативных колец и их идеалов, области главных идеалов и однознач- однозначное разложение на множители. Теория Галуа: поля, кольца многочленов, конечные расширения, алгебраические и трансцендентные расширения, сепарабельность. Топология и геометрия: определение топологического простран- пространства, проективное пространство IP". (Впрочем, этот вопрос будет подробно рассмотрен далее.) Математический анализ в IR": частные производные, теорема о неявной функции. (Впрочем, по мере необходимости я буду напоми- напоминать все нужные сведения.) Коммутативная алгебра: желателен (но не обязателен) опыт ра- работы с коммутативными кольцами. Взаимоотношения данного курса с различными предметами Комплексный анализ. Алгебраическая кривая над С является од- одномерным комплексным многообразием, а регулярные функции на ней голоморфны. Таким образом, наш курс тесно связан с теорией комплексных функций (даже если эта связь и не всегда очевидна). Алгебраическая теория чисел. Например, связь с последней тео- теоремой Ферма.
14 § 0. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ Теория катастроф. Катастрофы являются особенностями, кото- которые практически всегда задаются многочленами, так что изучение геометрии особенностей — это алгебраическая геометрия в чистом виде. Коммутативная алгебра. Алгебраическая геометрия служит мо- мотивировкой для изучения коммутативной алгебры, а коммутатив- коммутативная алгебра составляет технический аппарат алгебраической геомет- геометрии, так что оба этих предмета взаимно обогащают друг друга. Упражнения к § 0 0.1. (а) Покажите, что х при фиксированных значениях {у, г) является кратным корнем уравнения х3 + ху + г = 0 тогда и только тогда, когда х = - 3z/2y и 4у3 + 27 г2 = 0; (b) это уравнение имеет 3 простых кория по х тогда и только тогда, когда 4у3 + 27г2 < 0; (c) нарисуйте поверхность S: (х3 + ху + г = 0) в IR3 н ее проекцию иа плоскость О. г); (d) а теперь для проверки загляните в любую книгу или статью по теории ка- катастроф. 0.2. Пусть /€ ЩХ, У] и С: (/" = 0) С IR2. Назовем точку РеС изолированной, если существует е > 0, такое, что СС\В(Р, в) = Р. Приведите пример, когда С имеет изолированные точки. Докажите, что если Pi С — изолированная точка, то /: IR2 -* IR должна иметь в точке Р максимум или минимум, и выведите отсюда, что частные производные В//Эх и hf/by обращаются в точке Р в нуль. Это доказы- доказывает, что изолированная точка вещественной кривой является особой. 0.3. Кубические кривые, (i) Нарисуйте график функции у = 4х3 + бх2 и найдите точки его пересечения с горизонтальными прямыми у = t для целых t в интервале f- I. 3J; (И) нарисуйте кубические кривые у2 = 4х3 + бх2 - t для тех же значений t. Список рекомендуемых книг Большая часть приведенной ниже литературы является учебни- учебниками для студентов-старшекурсников. На некоторые из них в основ- основном тексте имеются ссылки. Fulton W. Algebraic curves, Springer. (Эта книга является наиболее толковой из серьезных учебников и не требует других пособий. Гла- Главы 1—6 вполне могут служить элементарным введением, хотя ме- местами материал изложен суховато.) Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Нау- Наука, 1972. (Это — серьезный учебник, но гл. 1 и § 2.1 — вполне под- подходящий материал для начального курса.) Гриффите П., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. В 2-х т. — М.: Мир, 1982. (Комплексно-аналитический подход.) Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проектив- проективные многообразия. — М.: Мир, 1979. 0. НЕФОРМАЛЬНОЕ ВВЕДЕНИЕ 15 Mumford D. Introduction to algebraic geometry. (Эта книга не слишком проста для начального чтения, но она непосредственно подводит к ключевым моментам. Многие алгебраические геометры моего поколения познакомились со своей специальностью по этим заметкам. Недавно она вышла в серии Springer Lectures Notes of Math. 13S8 и, таким образом, теперь уже имеется не только в виде маленькой красной книги.) Kendig К. Elementary algebraic geometry, Springer. (Изучаются вза- взаимоотношения между алгебраической и комплексно-аналитической геометриями.) Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1982. (На- (Настольная книга профессиональных алгебраических геометров, вклю- включающая в себя намного более сложный материал. Содержание гл. 1 можно рассматривать как начальный курс в очень сжатой форме.) Берже М. Геометрия, тт. 1 и 2. — М.: Мир, 1984. (Особенно существенны некоторые сведения из параграфов в ч. 4 о квадратич- квадратичных формах и квадриках.) Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. (Прекрасный учебник.) Kunz E. Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhauser. Matsumura H. Commutative ring theory, Cambridge. (Более углуб- углубленный курс коммутативной алгебры.) Mumford Dl Curves and their jacobians. Univ. of Michigan Press. (Эти лекции предназначены для широкого круга читателей, но сложность материала в них быстро возрастает.) Клеменс Г. Мозаика теории комплексных кривых. — М.: Наука, 1984. (Содержит много интересного.) Brieskorn E., Knorrer H. Plane algebraic curves, Birkhauser. Beauville A. Complex algebraic surfaces, LMS Lecture Notes, Cam- Cambridge. (Имеется также издание на французском языке в серии Asterisque.) Kollar J. The structure of algebraic threefolds: An introduction to Mori's program, Bull. Amer. Math. Soc., v. 17 A987), p. 211—273. (Пре- (Прекрасный путеводитель по одной из активно развивающихся об- областей.) Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry, Oxford. (Прекрасный старый учебник, содержащий много информации, но в нем постоянно ощущается недостаток строгости.) Coolidge J. L. Treatise on algebraic plane curves, Oxford and Dover.
Глава 1 ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ § 1. Плоские коники Для мотивировки определения проективной плоскости займемся геометрией коник. Проективная геометрия впервые появляется на втором курсе в лекциях по геометрии. Напомню некоторые основ- основные положения, делая упор на однородных координатах, но никак не затрагивая геометрию линейный подпространств и двойное от- отношение. Главная задача студента заключается в том, чтобы полу- получить представление, как геометрические идеи (например, мысль о том, что «точки на бесконечности» соответствуют асимптотиче- асимптотическим направлениям кривых) выражаются через координаты. При- Привлекательной чертой алгебраической геометрии является взаимо- взаимодействие интуитивной геометрической картины (подсказывающей, чего следует ожидать) с точной формулировкой в координатах (поз- (позволяющей извлечь из интуиции пользу). A.1) Пример параметризованной кривой. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике Х2 Y2 = Z2, как, например, в треугольниках C, 4, 5) и E, 12, 13) (что было известно каждому древнему египтянину). Как найти все целые решения этого уравнения? Оно однородно, и, следовательно, пары чисел х = X/Z, у = Y/Z образуют окруж- окружность Ciipc2 + у2 = 1) С IR2, которая, как Легко убедиться, может быть параметризована следующим образом: х = 2Х/(Х2 + 1), у = (X2 - 1)/(Х2 + 1), где X = х/A — у). Это и задает все решения: X=2lm, Y=l2- т m2 § 1. ПЛОСКИЕ КОНИКИ 17 где /, т € Z взаимно просты. (Если и / и т нечетны, то все перемен- переменные следует разделить на 2.) Заметим, что из однородности уравне- уравнения вытекает, что если (X, Y, Z) — решение, то (КХ, X Y, XZ) также является решением. Возможно, эта параметризация уже известна читателю из школьной программы. Как бы то ни было, в ее справедливости лег- легко убедиться. Однако если вы с ней не были знакомы, то можете легко ее получить с помощью простой геометрической конструкции, а именно линейным проектированием из данной точки: Пусть Р = (О, 1)€СиХ€<Р — произвольное рациональное число. Тогда прямая L\, имеющая угловой коэффициент -X и проходящая через точку Р, пересекает С еще в одной точке Qk. Этот способ по- построения отображения с помощью линейного проектирования неод- неоднократно встретится нам в дальнейшем. A.2) Аналогичный пример. С: (IX2 + Y2 = 5Z2). Тот же метод приводит к параметризации IR -* С, задаваемой формулами 2V5X „ 2Х2 - 1 х = У 1 + 2Х2 * Эта параметризация позволяет получить полную информацию о ве- вещественных точках кривой С; в вещественном случае между этим примером и предыдущим нет существенных различий. А как обсто- обстоит дело в случае рациональных коэффициентов? Предложение. Если рациональные числа а, Ь, с?<$ удовлетворя- удовлетворяют уравнению 2 а2 + Ь1 = 5 с2, то (а, Ъ, с) = @, 0, 0). Доказательство. Умножив (в случае необходимости) числа а, Ъ и с на их общий знаменатель и разделив на их общий множитель, сведем задачу к случаю, когда а, Ь, с — целые числа, не все крат- кратные 5. Кроме того, если 51л и 516, то 2515с2, т. е. 51с, что противо- противоречит сделанному предположению. Теперь, рассматривая значения 2-1263
18 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ а и Ъ по модулю 5, мы легко придем к противоречию. Действитель- Действительно, так как любой квадрат сравним по модулю 5 с 0, 1 или 4, то для сравнения по модулю 5 выражения 2л2 + Ь2 имеются следую- следующие возможности: 0 + 1, 0 + 4, 2 + 0, 2 + 1, 2 + 4, 8 + 0, 8 + 1 или 8 + 4. Однако ни одно из этих чисел не может быть представлено в виде 5с2. Ч.т.д. Заметим, что приведенное рассуждение является чисто арифме- арифметическим. A.3) Коники в IR2. Коникой в IR2 называется плоская кривая, за- задаваемая квадратным уравнением: q(x> У) = а*2 + Ьху + су2 + dx + еу + f = 0. Все читатели заведомо знакомы с классификацией невырожден- невырожденных коник: (а) эллипс •<Ь) парабола (с) гипербола О W ) ( х'у* 7* F тх1 кроме них имеется еще ряд вырожденных случаев: (d) изолированная точка, задаваемая уравнением х2 + у2 — 0; (е, f, g) пустое множество, задаваемое одним из следующих трех уравнений: (е) х2 + у2 = - 1, (f) х2 = - 1 или (g) 0 = 1. Эти три уравнения различны, хотя в IR2 они определяют одно и то же мно- множество нулей. (Рассмотрите, например, множество их комплексных решений.) (п) прямая х = 0; (i) пара пересекающихся прямых ху = 0; (j) параллельные прямые х(х - 1) = 0; (к) «двойная прямая» х2 = 0. Последний случай: A) плоскость, задаваемая уравнением 0 = 0, его вы можете включать или не включать по своему усмотрению. A.4) Проективная плоскость. Определение «с потолка»: IP2, = (прямые в IR3, проходящие через начало координат) = = (отношения X:Y:Z) = = (IR3\ {0})/ ~ , где (X, Y, Z)~ (\X} \Y, \Z), если \€ IR\{0}. § 1. плоские коники 19 (Искушенному читателю не составит труда перенести это опре- определение со случая IR3 на произвольное векторное пространство над любым полем и перейти от явных формул, записанных в выбран- выбранной системе координат, к бескоординатным формулировкам.) Для того чтобы представить отношение X: Y: Z для Z ^ 0, до- достаточно положить х = X/Z ну— Y/Z. Этим мы упрощаем рас- рассмотрения, так как исходное отношение задается теперь парой ве- вещественных чисел. Другими словами, класс эквивалентности троек (X, Y, Z) по отношению ~ имеет единственный представитель (л:, у, 1), третья координата которого равна 1. К сожалению, Z все-таки может обращаться в нуль, и в этом случае наш способ выбора представителя класса эквивалентности не годится. Приведенное рассуждение показывает, что IPj^ содержит экземпляр пространства IR2. Прямая общего положения в IR3, проходящая через 0, не содер- содержится в плоскости (Z = 0) и, значит, пересекает плоскость (Z = 1) в единственной точке, которая и представляет этот класс эквива- эквивалентности (см. рисунок). А R* " R3\(Ol ->1Р| по формуле (*, у) -« (х, у, 1) Прямые, лежащие в плоскости (Z = 0), не пересекают плоскость (Z = 1). Следовательно, они соответствуют не точкам из IR2, a асимптотическим направлениям или пучкам параллельных прямых в IR2. Таким образом, читатель может представлять себе, что Р2? состоит из плоскости IR2, к которой добавлено по одной «точке на бесконечности» для каждого пучка параллельных прямых. При та- такой точке зрения выкладки следует проводить в IR2, затем с по- помощью каких-нибудь «асимптотических» соображений постараться угадать, что происходит на бесконечности, и, наконец (в случае не- необходимости), доказать свою догадку с помощью однородных ко- координат. Определение с помощью прямых в IR3 придает всему бо- более респектабельный вид, так как при таком определении все точки в 1Р^ равноправны. Группы преобразований занимают в геометрии центральное по- положение. Свойства геометрической фигуры представляют интерес
20 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ лишь тогда, когда они инвариантны относительно соответствующе- соответствующего типа преобразований. Аффинная замена координат в IR2 имеет вид Г(х) = Ах + В, где х = (л; у) € IR2, A — обратимая 2 х 2-матри- ца, а. В — вектор сдвига. Если матрица А ортогональна, то преоб- преобразование Т является евклидовым. Известно, что любая невырож- невырожденная коника приводится евклидовым преобразованием к одной из указанных выше форм (а)—(с). В качестве упражнения покажите, что произвольная коника приводится аффинным преобразованием к одной из форм (а)—A). Проективное преобразование проективной плоскости Р\ имеет вид Г(Х) = MX, где М — обратимая 3 х 3-матрица. Легко опреде- определить действие этого преобразования на аффинном куске IR2 С Р^. Оно совпадает с частично определенным преобразованием IR2 —> IR2, а именно с дробно-линейным преобразованием . где м _ \.AJ.B\ -\cd\e\- При ас + dy + е = 0 Т, разумеется, не определено. Проективные преобразования могут показаться не слишком наглядными; однако они встречаются в реальной жизни. Так, две различные фотографии одного и того же (плоского) объекта связаны проективным преоб- преобразованием (см., например, рисунки в книге [Берже, 4.7.4]). Выпуск- Выпускник математической специальности, занимающийся работой по рас- расшифровке фотографий со спутников (будь то в мирных целях для Министерства лесного хозяйства или в рамках открывающей боль- большие перспективы для карьеры рейгановской политики стратегиче- стратегической оборонной инициативы), будет тратить большую часть своего времени, вычисляя проективные преобразования. Проективные преобразования неявно используются на протяже- протяжении всей книги, что обычно маскируется словами «выбрав подходя- подходящим образом координаты, можно считать, что...». A.5) Уравнение коники. Неоднородный квадратный многочлен q(x, у) = ах2 + bxy + cy2 + dx + ey + f соответствует однородному квадратному многочлену Q(X, Y, Z) = aX2 + bXY + cY2 + dXZ + eYZ+fZ2. Это соответствие можно воспринимать как способ преобразования § 1. ПЛОСКИЕ КОНИКИ 21 или как биекцию q *+ Q, заданную формулами Qix, У) = Q(X/Z, Y/Z, 1), где х = X/Z, у = Y/Z, и, в обратную сторону, Q = Z2q(X/Z, Y/Z). Коникой CclP2 называется кривая "С: {Q(X, Y, Z) = 0), где Q — однородный квадратный многочлен. Заметим, что соотноше- соотношение Q(X, Y, Z) = 0 корректно определено на классах эквивалентнос- эквивалентности, так как ?>(ХХ) = X2Q(X) для любого Хе IR. В качестве упражне- упражнения покажите, что ограничение проективной кривой С на аффинный кусок IR2 совпадает с аффинной коникой, задаваемой условием «7 = 0. «Бесконечная удаленная прямая» и асимптотические направле- направления. Точки из Р2, для которых Z = 0, соответствуют отношениям вида (X:Y:0). Эти точки образуют «бесконечно удаленную пря- прямую», являющуюся экземпляром проективной прямой Рр = IRU {оо} (так как отображение (X: Y) -> X/Y задает биекцию По определению прямая L на Р2 задается уравнением аХ + bY + cZ = 0, и L проходит через точку (X, Y, 0) тогда и толь- только тогда, когда аХ + bY = 0. В аффинных координатах та же прямая задается уравнением ах + by + с = 0, так что все прямые с одним и тем же отношением а:Ь проходят через одну точку на бесконеч- бесконечности. Это явление описывается словами: «Параллельные прямые пересекаются на бесконечности». Примеры, (а) Гипербола (*Va2 - y2/b2 = 1) в IR2 соответствует в Р2; кривой С: (Х2/аг - Y2/b2 = Z2). Ясно, что это кривая пересе- пересекает прямую (Z = 0) в двух точках (а, ±Ь, 0)еР2г, соответству- соответствующих очевидным образом асимптотам гиперболы. Заметим, что аффинными координатами в аффинном куске (X * 0) на Р2 являются и = Y/X, v = Z/X. Таким образом, в этом куске кривая С является эллипсом (и2/Ь2 + v2 = 1/а2). (В упр. 1.7 читателю предлагается взглянуть на это глазами художника.) (Ь) Парабола (у = тес2) в IR2 соответствует в Р2, кривой С: (YZ = тХ2); эта кривая пересекает прямую (Z = 0) в единствен- единственной точке @, 1, 0). Значит, в Р2 «две ветви параболы пересекаются на бесконечности». Заметим,, что это утверждение интуитивно со- содержательно (может быть, вам это покажется неправдоподоб- неправдоподобным?). Однако прийти к нему, рассматривая ситуацию изнутри IR2,
ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ невозможно. Не исключено даже, что там это утверждение просто не имеет смысла. A.6) Классификация коник в IP2. Пусть к — поле произвольной характеристики, отличной от 2. Напомним два результата из ли- линейной алгебры квадратичных форм: Предложение А. Имеет место следующая естественная биек- ция: С однородные*) С квадратичные*) С симметричные*) \ квадратные \ = j формы [ <i?^ j билинейные \, {многочлены) (. к3 -»к ) (. формы в к3 ) задаваемая формулой \ а Ъ d\' аХ1 + 2bXY + cY2 + 2dXZ + 2eYZ + fZ2 ** b с e \. \_d e /J Квадратичная форма невырожденна, если невырожденна соот- соответствующая билинейная форма, т. е. невырожденна ее матрица. Теорема В. Пусть V — векторное пространство над к и Q.V-+ к — квадратичная форма. Тогда в V существует такой ба- базис, что Q - zxx\ е„х2п, где Si € k. [Это доказывается с помощью процесса ортогонализации Грома—Шмидта (если вам эти слова о чем-либо говорят).] Очевид- ОчевидХ2 р но, что для Х€&\@1 замена х,—> Хх, переводит е, в Х~2е,. Следствие. Любая коника в IP2, в подходящей системе коорди- координат приводится к одной из следующих форм: (а) невырожденная коника, С:(Х2 + У2 - Z2 = 0); (/3) пустое множество, задаваемое уравнением X2 + Y + Z2 = 0; G) пара прямых, задаваемая уравнением X2 - Y2 = 0; E) точка @, 0, 1), задаваемая уравнением X2 + Y2 = 0; (е) двойная прямая, задаваемая уравнением X2 = 0. В этот список можно по желанию включить и всю плоскость P2R, заданную уравнением 0 = 0. Доказательство. Любое вещественное число е либо равно 0, ли- либо является квадратом с точностью до знака. Следовательно, как § 1. ПЛОСКИЕ КОНИКИ 23 и в предыдущей теореме, нам достаточно рассмотреть только слу- случай, когда коэффициенты многочлена Q равны е/ = 0, ± 1. Кроме того, так как нас интересует только множество точек (Q = 0), то Q можно умножать на -1. Эти соображения сразу приводят к ука- указанному списку. Ч. т. д. По поводу этого следствия необходимо сделать два замечания. Во-первых, приведенный список намного короче списка из разд. A.3); например, три невырожденных случая (эллипс, парабола, ги- гипербола) из A.3) соответствуют случаю (а), кроме того, случаи пар параллельных и пересекающихся прямых с проективной точки зре- зрения также не различаются. Во-вторых, этот список получается из общих алгебраических соображений намного проще. A.7) Параметризация коники. Пусть С — невырожденная непус- непустая коника на 1Р^. Тогда, согласно следствию A.6), кривая С про- ективно эквивалентна кривой (XZ = Y2) (в новых координатах (X + Z, Y, Z - X)), т. е. кривой, параметризуемой отображением (U: V) - (U2:UV:V2). Замечание 1. Обратное отображение ?: С -» Р^ задается соот- соответствием (X:Y:Z) ~ (X:Y) = (Y:Z). Отношение в левой части определено при X & 0, а отношение в правой части — при Z ^ 0. Согласно терминологии, которую мы введем позже, Фи* являют- являются взаимно обратными изоморфизмами многообразий. Замечание 2. На протяжении- §1,2 молчаливо предполагается, что непустые невырожденные коники проективно эквивалентны кривой (XZ = Y2); над полем характеристики * 2 это обосновыва- обосновывается в упр. 1.5. (Читатель, интересующийся характеристикой 2, дол- должен считать это определением невырожденности коники.) A.8) Однородные формы от двух переменных. Пусть F(U, V) — ненулевой однородный многочлен степени d от переменных U и V с коэффициентами в заданном поле к (следуя традиции, будем для обозначения однородных многочленов использовать термин «форма»): F{U, V) = adU" + ad-.iUd'lV+ ... + aiUiVd-i + ... + a0V. Очевидно, что с F связан неоднородный многочлен от одной пере- переменной _ /() + ad-iu + ... + aiu' + ... + а0. /(и) = adU + adiu
24 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Ясно, что для всех а € к Да) = 0 ф (и - аIД«) *(U- aV)\F(U, V) «-F(a, 1) = 0. Значит, нули многочлена / соответствуют нулям формы F на IP1, отличным от точки A, 0) (т. е. «точки а = оо»). Что же означает наличие у F нуля на бесконечности? F(\, 0) = 0 » ad = 0 » deg/< rf. Определим теперь кратность нуля многочлена f на Р1 как: (i) кратность нуля многочлена / в соответствующей точке a € А:; или (ii) d - deg/, если точка A, 0) является нулем. Таким образом кратность нуля многочлена F в точке (а, 1) — это наибольшая степень выражения (U - а V), на которую делится F, а для точки A,0) — наибольшая степень V, на которую делится F. Предложение. Пусть F(U, V) — ненулевая форма степени d от переменных Ц V. Тогда F имеет на Р1 не более d нулей. Более того, если поле к алгебраически замкнуто, то F имеет на Р1 ровно d нулей (при условии, что они подсчитываются с учетом опреде- определенной выше кратности). Доказательство. Пусть т„ — кратность нуля многочлена F в точке A, 0). Тогда по определению величина d — /и» — это степень неоднородного многочлена /, и утверждение сводится к общеизвест- общеизвестному факту, что многочлен / от одной переменной имеет не более deg/ корней. Ч.т.д. Заметим, что над алгебраически замкнутым полем многочлен F разлагается в произведение F = П Х|"' линейных форм X,- = OiU + biV. С этой точки зрения точка A, 0) соответствует фор- форме X» = V и ничем не отличается от всех остальных точек. A.9) Простые случаи теоремы Безу. Теорема Безу утверждает, что общее число точек пересечения двух плоских кривых С и D сте- степеней deg С = т и degZ> = n равно тп при условии, что (i) поле алгебраически замкнуто; (ii) точки пересечения подсчитываются с правильной крат- кратностью; (ш) кривые рассматриваются на IP2, чтобы правильно учитывать пересечение «на бесконечности». Замкнутое доказательство см., например, в книге [Fulton, p. 112]. § 1. плоские коники 25 В этом разделе мы рассмотрим случай, когда одна из кривых явля- является прямой или коникой. Теорема. Пусть L с IP* — прямая (соответственно С С Р* — невырожденная коника) и D С Р* — кривая, определяемая условием D: (Gd(X, Y, Z) = 0), где G — форма степени d от переменных X, Y, Z. Предположим, что L <LD (соответственно С <LD)\ тогда # [LDD] < d (соответственно # [CDD] < Id). В действительности имеется естественное определение кратности пересечения, при котором приведенное неравенство выполняется для «числа точек, подсчитанного с кратностями», а если к алгебра- алгебраически замкнуто, то это неравенство превращается в равенство. Доказательство. Прямая LCP% задается уравнением X = 0, где X — линейная форма. Для наших целей удобно задать ее парамет- параметрически следующим образом: X=a(U, V), Y=b(U, V), Z = c(U, V), где а, Ь, с — линейные формы от Ц И Так, например, если X = аХ + &Y + yZ и 7^0, то L можно задать так: X=U, Y=V, Z = -(a/y)U-!H3/y)V. Аналогично, согласно A.7), невырожденная коника может быть па- параметризована следующим образом: X=a(U, V), Y=b(U, V), Z=c(U, V), где а, Ь, с — квадратичные формы от переменных U и V. Это выте- вытекает из того, что С проективно эквивалентна кривой (XZ = Y2), ко- которая имеет следующую параметризацию: (X, Y, Z) = (С/2, UV, V2). Таким образом, С имеет вид х~ Y Z = М ~ и2' UV где М — невырожденная 3 х 3-матрица. У / параметризованная прямая параметризованная коника
26 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Теперь задача отыскания пересечений L (соответственно С) с D сво- сводится к отысканию таких значений отношения (U: V), что F(U, V) = Gd(a(U, V), b(U, V), c{U, V)) = 0. ' Так как F является формой степени d (соответственно 2 d) от пе- переменных Ц К то искомый результат вытекает из A.8). A.10) Следствие. Если Pi,..., Ps € Р^ — набор попарно различ- различных точек, никакие 4 из которых не коллинеарны, то существует не более одной коники, проходящей через Pi Р5. Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют такие коники Ci и С2, Сп* Сг, что CiflC2D {Pi Ps}. Коника Ci непустая, и, следовательно, если она невырожденна, то, согласно A.7), проективно эквивалентна параметризованной кривой Ci = l(U2, UV, V2)\(U, V)tPl]. В силу A.9) Ci С С2. Пусть теперь Q2 = 0 — уравнение кривой С2; тогда для всех (U, F)e Р1 имеем Qi(U2, UV, V2) = 0, и легкие вычисления показывают (см. упр. 1.6), что Q2 кратно XZ - Y2, а это противоречит неравенству Ci & С2. Предположим теперь, что Ci вырожденна. Снова воспользовав- воспользовавшись A.6), убеждаемся, что она является либо парой прямых, либо одной прямой. Теперь легко показать, что где L\, Li — различные прямые. Следовательно, ( \ Значит, 4 точки из набора Pi,..., Ps лежат на Lo, что вступает в противоречие с условием. Ч.т.д. A.11) Пространство всех коник. Пусть _ Г квадратичные") _ Гсимметричные") __ 6 2 ~ (^формы на R3j = [зх З-матрицыЗ = § 1. ПЛОСКИЕ КОНИКИ 27 Если QdSz, то она имеет вид Q = аХ2 + 2bXY + ... +fZ2. Для точки Ро = (Хо, Yo, Zo) € Р^ рассмотрим отношение Ро € С: (Q = 0). Оно записывается следующим образом: Q{X0, Yo, Zo) = аХ\ + 2bX0 Yo + ... + /Z2 = 0, и для фиксированной точки Ро это уравнение линейно по (а, Ъ, ... ..., У). Таким образом, S2(Po) = \Q$S2\Q{Po) = 0} = IR5 С S2 = IR6 является пятимерной гиперплоскостью. Аналогично набор точек Рх,..., PntP2R задает i,..., Рп)= \QtS2\Q(Pd = 0, i = l,..., л}; возникает система из п линейных уравнений относительно 6 коэф- коэффициентов (а, Ъ,..., f) коники Q. В качестве следствия получаем та- такой результат: Предложение. dimS2(Pi,..., Рп) 2> 6 - л. Естественно предположить, что «для набора точек Pi,..., Р„ общего положения» неравенство превращается в равенство. Стро- Строгое утверждение таково. Следствие. Если п ^ 5 и никакие 4 точки из набора Р\,..., Рп не коллинеарны, то ,..., Рп) = 6- п. Доказательство. Из следствия A.10) вытекает, что при л = 5 dimS2(Pi,..., Ps) ^ 1, что и составляет требуемое утвержде- утверждение для этого случая. Если п < 4, то можно добавить точки Рп + 1,..., Ps, сохраняя условие неколлинеарности всех четверок. Так как каждая, точка налагает не более одного линейного условия, то получаем 1 = dimS2(Pi,..., Ps) > dimS2(Pi,..., Рп) - E - ri). Ч.т.д. Заметим, что произвольные 6 точек Pi,..., Рв € Р^ могут и не лежать ни на какой конике. A.12) Пересечение двух коник. Как мы убедились ранее, две ко- коники часто пересекаются в четырех точках:
28 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ И наоборот, согласно следствию A.11), для заданных четырех то- точек Р\,..., Р4 при выполнении подходящих условий SziPi,..., Pi) является двумерным линейным пространством. Следовательно, вы- выбрав в SziPi Р4) базис Qi, Qi, мы определим две коники d и Сг, такие, что С1ПС2 = [Pi,..., Рл]. Кроме того, имеется много разных конфигураций для кратных пересечений неособых коник: IP, IP + 2Q ЪР + Q 4P (см. упр. 1.9 по поводу соответствующих уравнений). A.13) Вырождение коник в линейном пучке Определение. Пучком коник называется семейство вида каждый элемент этого семейства является плоской кривой, линейно зависящей от параметров (X, /t). Отношение (Xl/t) следует представ- представлять себе как точку на Р1. Из рассмотрения примеров становится ясно, что при некоторых значениях (К'.ц) коника С(х,,о вырождается. Действительно, если рас- рассмотреть детерминант det (Q) симметрической 3 х 3-матрицы, со- соответствующей квадратичной форме Q, то легко заметить, что (х,д)вырожденна » det(X??i = 0. § 1. ПЛОСКИЕ КОНИКИ 29 Если Qi a Qi заданы симметрическими матрицами, то указанное условие приобретает следующий вид: F(X, /*) = a b d b с e d e f + Ц a' b' d' b' c' e' d' e' f = 0. Отметим теперь, что F(X, ц) — однородная кубическая форма от переменных X, ц. Если в свою очередь применить к F предложение разд. A.8), то получим следующее утверждение. Предложение. Пусть С(\,Д) — пучок коник на Р%, содержа- содержащий хотя бы одну невырожденную конику (rn. e. F(\, ц) не равна тождественно нулю); тогда он содержит не более трех вы- вырожденных коник. В случае k = IR этот пучок содержит по крайней мере одну вырожденную конику. Доказательство. Кубическая форма имеет не более трех нулей, а в вещественном случае она имеет не менее одного нуля. A.14) Пример. Пусть Pi,..., Р4 — четыре точки в Pj?, никакие три из которых не коллинеарны. Тогда пучок С(\, д> коник, проходя- проходящих через точки Pi P4, содержит три вырожденных элемента, а именно пары прямых Ln + L34, Li3 + Lu, Ьц + Ь2з, где ?у — прямая, проходящая через точки Л и Ру. Рассмотрим теперь пучок коник, порождаемый многочленами Qi = Y2 + rY + sX + t и Qi = Y — X2, и попытаемся найти точки пересечения Pi,..., Pa. р, = (в., ah . Y1 + rY + sX + t = О
30 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Это можно сделать следующим образом: A) Найдем три отношения (к'.р), для которых коники С(х,^) вы- рожденны. Согласно изложенному выше, это сводится к нахожде- нахождению трех корней кубики F(k, /*) = det ( X 0 0 5/2 0 1 г/2 s/2 г/2 t D/ - -10 0 0 0 1/2 0 1/2 0 - 2rX/t2 - B) Разобьем две из вырожденных коник на пары прямых (что потребует решения двух квадратных уравнений). C) Определим четыре точки Pt как точки пересечения этих прямых. Этот способ приводит к следующей геометрической интерпрета- интерпретации для редукции общей квартики в теории Галуа (см., например, [ван дер Варден. Алгебра. — М.: Наука, 1976, гл. 8, § 64]). Пусть к — поле и/(А") = X* + гХ2 + sX + t е к[Х] — многочлен четвертой степени (квартика). Тогда две параболы Ci и Сг пересекаются в че- четырех точках Р-, = (a,-, а2), где т — четыре корня многочлена /. При этом прямая Ьц = PtPj задается так: Lij: (У = (а,- + aj)X - ащ), а приводимая коника Lu + Y2 + Y + определяется уравнением + а2)(а3 + си)Х2 + sX + t = 0, или, что эквивалентно, соотношением Qi - (ai + йгг)(вз + cu)Qi = 0. Следовательно, три значения отношения /t/X, для которых коника XQi + 11Q2 распадается в пару прямых, таковы: - fa + а2)(аз + си), -(fli + а3)(а2 + си), - (ai + си)(аг + аг). Кубическое уравнение, корнями которого являются указанные три значения, называется присоединенной кубикой, ассоциированной с квартикой. Она может быть вычислена через элементарные сим- симметрические функции, однако это достаточно трудоемкое занятие. Описанный же геометрический метод приводит к довольно элегант- элегантному выводу для присоединенной кубики, требующему только вы- вычисления детерминанта 3 х 3-матрицы. Эти рассмотрения заимствованы из книги [Берже, 16.4.10 и 16.4.11.1]. JJ, ПЛОСКИЕ КОНИКИ 31 Упражнения к § 1 1.1. Параметризуйте конику С: (х2 + у2 = 5) с помощью пучка прямых, прохо- проходящих через точку B, 1), и как следствие найдите все рациональные решения уравне- уравнения х2 + у2 = 5. 1.2. Пусть р — некоторое простое числа Поэкспериментируйте с разными р и угадайте необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение х2 + у2 = р имело рациональные решения. Докажите свою догадку (указание приводится после упр. 1.9 — ручаюсь, что без него вам не справиться!). 1.3. Докажите утверждение из A.3) о том, что любая коника в R2 с помощью аффинного преобразования приводится к одной из стандартных форм (а) — A). (Ука- (Указание. С помощью линейного* преобразования х « Ах приведите старший член ах2 + Ьху + су2 к одной из следующих форм: ± х2 ± у2, ± х2 или 0. После этого дополните получившееся выражение до полных квадратов по х и по у так, чтобы по возможности избавиться от линейной части.) 1.4. Проведите подробное сравнение аффинных коник из A.3) с проективными кониками из A.6). 1.5. Пусть к — произвольное поле, характеристика которого отлична от двух, а К — трехмерное векторное пространство. Пусть Q: V -* к — невырожденная ква- квадратичная форма на V. Покажите, что если ненулевой вектор 0 ^ е\ € V удовлетворя- удовлетворяет условию Qiei) = 0, то существует такой базис е\, ег, ej пространства V, что <2(х\в\ + хгег + хзвз) = XiX} + ах\. (Указание. Рассмотрите симметрическую били- билинейную форму ч>, ассоциированную с Q. Так как <р невырожденна, то существует та- такой, вектор ег, что ч>(е\, ei) = 1. Теперь найдите подходящий вектор ег.) Докажите, что непустая невырожденная коника С С 1Р| проективио эквивалентна кривой (XZ = Y2). 1.6. Пусть к — поле, содержащее не менее четырех элементов, и пусть С: (XZ = У2) С 1Р|. Докажите, что если Q(X, Y, Z) — квадратичная форма, обраща- обращающаяся на С в нуль, то Q = \(XZ - У2). (Указание. Если вы действительно не мо- можете сделать это самостоятельно, воспользуйтесь рассуждениями из доказательства леммы B.5).) 1.7. Рассмотрим в IRJ две плоскости A: (Z = 1) и В: (X = 1). Прямая, проходя- проходящая через нуль и пересекающая плоскость А в точке (х, у, 1), пересекает плоскость В в точке A, у/х, 1/х). Рассмотрим отображение <р: А — -» В, определенное соотно- соотношением (х, у) i-> (у' = у/х, z' = 1/х). Что представляет собой образ при отображе- отображении <р (i) прямой ах = у + Ь; пучка параллельных прямых ах = у + Ь (а фиксировано, Ъ меняется); (ii) окружностей (х — IJ + у2 = с при переменном с (разберите 3 случая: с > 1, с = 1 и с < 1). Постарайтесь представить себе результаты этого упражнения как изображение кривых, лежащих иа плоскости (Z = 1), которое нарисует на плоскости (X = 1) ху- художник, находящийся в точке 0. Что происходит в тех точках, где <р или <р~' не определены? 1.8. Пусть Pi,..., Ра — попарно различные точки на IP2, никакие 3 из которых не коллинеариы. Докажите, что существует единственная система координат, в кото- которой эти точки совпадают с точками A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1) и A, 1, 1) соответ- соответственно. Найдите все коники, проходящие через Pi,..., ft, где ft = (a, b, с) — еще одна точка, и воспользуйтесь этим для того, чтобы получить новое доказательство следствия A.10) и предложения A.11).
32 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ 1.9. В разд. A.12) приведен набор различных вариантов пересечения пары коник. Выпишите уравнения, которые показывают, что каждый из этих вариантов действи- действительно реализуется. Найдите все особые коники в соответствующих пучках. (Указа- (Указание. Вы избежите многих неприятностей, воспользовавшись симметрией и подходя- подходящей системой координат.) Указание к упр. 1.2. Из элементарной теории чисел известно, что -1 является квадратичным вычетом по модулю р тогда и только тогда, когда р = 2 или р ш Imod4. 1.10. (Детерминант Сильвестра.) Пусть к — алгебраически замкнутое поле, и пусть заданы, как и в разд. A.8), квадратичная и кубическая формы от переменных U и V: q(U, V) = aoU2 + ai UV + a2 V\ + biUzV+ c(U, V) = boU* + biUzV+ bzUV1 + Докажите, что q и с имеют общий корень (п'.т) 6 IP1 тогда и только тогда, когда > а\ а% det do й\ Qi flo ct\ ctz be b\ Ъ% Ь% bo b\ Ъ% Ьъ = 0. (Указание. Покажите, что если q и с имеют общий корень, то 5 элементов U2q, UVq, Vхq, Uc и Vc не порождают все пятимерное векторное пространство форм четвертой степени и, следовательно, линейно зависимы. И наоборот, воспользуйтесь единственностью разложения на множители в кольце многочленов k[U, V\ для получения информации о соотношениях вида Aq = Be, где А и В — формы от переменных (Ц V), deg/1 = 2, degB = 1.) 1.11. Обобщите результаты упр. 1.10 на случай двух форм от переменных U, V произвольных степеней num. § 2. Кубики и групповой закон B.1) Примеры параметризованных кубик. Так же как коники, могут быть параметризованы и некоторые плоские кубики: Декартов лист (нодальная кубика). С: (у2 = дг + х2) С IR2 является образом отображения <р'. IR1 -> IR2, заданного формулой t *•* (t2 - 1, t3 - f) (проверьте и убедитесь); Полукубическая парабола (каспидальная кубика). С: (у2 = х3) С И?2 является образом отображения <р'. IR1 -> IR2, заданного формулой § 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 33 -- 0 -<i 0 Декартов лист У1 = Х> + X* Полукубическая парабола ,2 = у.} у ~ х- Параметрюомнные кубвческве кршвые Потратьте некоторое время на изучение особенностей кривой- образа и отображения <р. Эти примеры будут часто встречаться в дальнейшем, поэтому поизучайте их уравнения [см. упр. 2.1—2.2]. B.2) Кривая (у2 = х(х - 1)(х - X)) не имеет рациональной пара- параметризации. Параметризуемые кривые обладают замечательными свойствами. Например, если мы решаем диофантову задачу, то можно надеяться получить, как и в разд. A.1), способ описания всех рациональных точек. Найденная в A.1) параметризация имела вид х = /(/), У = g(t), где /и g — рациональные функции, т. е. отно- отношения двух многочленов. Теорема. Пусть к — поле, характеристика которого не равна 2, a \tk, X ?s 0, 1. Пусть f, g€ k(t) — такие рациональные функ- функции, что / = g(8 ~ Dig - X). (*) Тогда f, g?k. Это утверждение эквивалентно тому, что не существует отлич- отличного от константы отображения 1R1 - -* С: (у2 = х(х - 1)(х - X)), задаваемого рациональными функциями. Это обстоятельство отра- отражает свойство сильной «жесткости» алгебраических многообразий. Доказательство этой теоремы состоит из арифметических вы- вычислений в поле k(t) и использует тот факт, что k(t) — поле част- частных кольца k[t], являющегося областью с однозначным разложени- разложением на множители. Само доказательство достаточно длинное, и поэ- поэтому читатель должен либо его детально разобрать, либо сразу 3-1263
34 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ перейти к разд. B.4). В упр. 2.12 приводится очень похожий пример доказательства несуществования, основанного на арифметике над Q. Доказательство. Используя тот факт, что k[t] — область с од- однозначным разложением на множители, представим / и g в виде / = r/s, где г, s € k [t] и взаимно просты, g = p/qt где р, q€k[t] и взаимно просты. После приведения к общему знаменателю (*) принимает вид r2q3 = s2p(p - q)(p - \q). Далее, так как г и s взаимно просты, то сомножитель s2, стоящий в правой части, должен делить q3; аналогично, так как р a q взаим- взаимно просты, то сомножитель q3, стоящий в левой части, должен де- делить s2. Итак, s2lq3 и q3\s2, а значит, s2 = aq3, где ad к {а является единицей в кольце k[t] и, следовательно, лежит в к). Тогда aq = (s/qJ является квадратом в k[t]. Кроме того, г2 = арф - q)(p - \q). Из разложения в произведение простых сомножителей вытекает те- теперь, что существуют такие ненулевые константы Ъ, с, d€k, что Ьр, с(р - q), dip - \q) являются квадратами в k[t]. Если нам удаст- удастся доказать, что р и q — константы, то из сказанного выше будет следовать, что г a s — также константы, и теорема будет доказана. Чтобы убедиться, что р и q — константы, рассмотрим алгебраиче- алгебраическое замыкание К поля к. Тогда р, q € K[t] удовлетворяют условиям следующей леммы. B.3) Лемма. Пусть К — алгебраически замкнутое поле, а р и qtK[t] — взаимно простые элементы. Предположим, что четыре различные линейные комбинации (т. е. \р + pq для четырех раз- различных отношений (К'.ц) € Pg) являются квадратами в K[t\; тогда р, qtK. Доказательство (метод бесконечного спуска Ферма). Заметим, что и посылка и утверждение леммы не меняются при замене р, q на р' = ар + bq, q' = cp + dq, где а, Ъ, с, rfe К и ad - be & 0. Следовательно, мы можем считать, что заданными квадратами являются р, р- q, р- \q, q. 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 35 Имеем р = и2, q = v2, где и, у € K[t] взаимно просты и max{degM, degy) <max{deg# Предположим от противного, что maxfdegp, degq) положителен и является минимальным на множестве всех пар р, q, удовлетворяю- удовлетворяющих условиям леммы. Тогда справедливы два следующих ра- равенства: р - q = и2 - у2 = (м - и)(и + у), р - \q = и2 - Ху2 = (и - ци)(и + /*у) (где ц = V\) являются квадратами в K[t], а в силу взаимной просто- простоты и и у квадратами будут также и - у, и + у, и - ци, и + ци, что противоречит минимальности maxjdegp, deg^l- Ч.т.д. B.4) Линейные системы. Обозначим через Sd пространство всех форм степени d от переменных X, Y, Z. (Напомним, что форма — это просто однородный многочлен.) Каждый элемент F€Sd един- единственным образом представляется в виде F=ZaUkXiYjZk, aijktk, где сумма берется по всем i, j, k~? 0, таким, что / + j + k = d. Это, разумеется, означает, что Sd является векторным /t-npo- странством с базисом Z", Zd-lX, Zd~xY, Xd~lZ, Xd-2YZ,..., Yd~1Z, Xd, Xd~lY, Xd-2Y2,..., Yd а, в частности, что dimSd = ( 1. Для набора точек Л Р„е Р2 положим Sd(Pi Р„) = [F6 Sd\F(Pi) = 0,. i = 1,..., л} С Sd. Каждое из условий F(P,) = 0 (точнее F(X, F;, Z,) = 0, где Л = = (Xr. Yi-.Zi)) задает на F одно линейное соотношение. Таким обра- образом, Sd(Pi,.... Рп) является векторным пространством размерности не менее
36 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ B.5) Лемма. Предположим, что к — бесконечное поле, и пусть FdSd. (i) Пусть L С Р* — прямая. Если F э 0 на L, то F делится в кольце k[X, Y, Z] на определяющий многочлен прямой L. Это означает, что F = Н- F', где Н = О — уравнение L, a F' € Sd - i. (ii) Пусть С С IP* — непустая невырожденная коника. Если F = 0 на С, то F делится в кольце k\X, Y, Z] на определяющий многочлен коники С. Это означает, что F = QF', где Q = О — уравнение коники С, a F' tSd-i- Если это утверждение кажется вам очевидным, то можете счи- считать, что у вас хорошая интуиция. Вы угадали частный случай Nullstellensatz. Теперь докажите его самостоятельно и переходите к разд. B.6). Доказательство, (i) Выбрав подходящие координаты, мы мо- можем считать, что Н = X. Тогда для любого FdSd существует един- единственное представление вида F - Х- Fk-i + G(Y, Z). Чтобы его по- получить, достаточно сгруппировать все одночлены, содержащие X, в первое слагаемое, а то, что осталось, будет многочленом только от Y и Z. Имеет место следующая цепочка эквивалентностей: F = О на L <* G = О на L » G(Y, Z) = 0. Последняя эквивалентность спра- справедлива в силу A.8). А именно, если G(Y, Z) ^ 0, то он имеет не более d нулей на IP*, тогда как если к бесконечно, то Р1к также бе- бесконечно. (ii) Выбрав подходящие координаты, добьемся, чтобы Q = XZ - Y1. Покажем теперь, что для любого Ft Sd существует единственное представление вида F= Q-Fd-i + Л(Х, Z)+ YB(X, Z). А именно, если в многочлене F заменить всюду Y2 на XZ - Q, то результат подстановки будет иметь по У степень < 1, т. е. будет иметь вид А(Х, Z) + YB(X, Z). Коника С является параметризован- параметризованной коникой (см. разд. A.7)) с параметризацией X = U2, Y = UV, Z = V2. Таким образом, Fs 0 на С » A(U2, V2) + UVB(U2, V2) = 0 на С » » А (С/2, V2) + UVB(U2, V2) = 0€ к[Ц V] » А(Х, Z) = В(Х, Z) = 0. Последняя эквивалентность вытекает из раздельного рассмотрения членов четной и нечетной степени формы A(U2, V2) + UVB(U2, V2). Ч.т.д. § 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 37 В упр. 2.2 рассматриваются аналогичные «явные» случаи Nullstellensatz. Следствие. Пусть L: (Н = 0) с Р\ — прямая {соответственно С: {Q = 0) С IP* — невырожденная коника). Предположим, что на Pi зафиксирован набор точек Р\,... , Р„, и рассмотрим простран- пространство Sd(Pi,..., Pn) для некоторого фиксированного d. Тогда (i) если Pi PatL, Pa + i,..., PniL и а> d, то (ii) если Pi,..., , Pa + \, — , Pn$C и a >2d, mo n) = Q-Sd-2(Pa+l,..., Pn). Доказательство, (i) Если F — однородный многочлен степени d и кривая D: (F = 0) пересекает L в точках Pi,..., Ра, где а > d, то в силу A.9) получаем, что LCD. Тогда по доказанной лемме F=HF'. Далее, так как Ра + \ PniL, то очевидно, что F' e Sd- i(Pa+1,..., Pn). (ii) To же самое рассуждение проходит и во втором случае. Ч.т.д. B.6) Предложение. Пусть к — бесконечное поле, a Pi,... ..., Р» € IP* — набор различных точек. Предположим, что никакие 4 точки из Pi, ..., Ps не коллинеарны и никакие 7 из них не лежат на невырожденной конике. Тогда ft) = 2. Доказательство. Будем для краткости говорить, что набор то- точек является конконическим, если все точки этого набора лежат на невырожденной конике. Доказательство предложения B.6) распада- распадается на несколько случаев. Основной случай. Никакие 3 точки не коллинеарны и никакие 6 не конконичны. Это случай «общего положения». Предположим противное. Пусть dim S3 (Pi,..., Ps) > 3, и пусть Pg и Рю — несовпадающие точки на прямой L = Pi Pi- Тогда dimS3(Pi,..., Рю) > dimS3(Pi,..., P&)-2>1. Таким образом, существует 0 & F€ S3 (Pi, ..., Рю). Согласно след- следствию B.5), F = Н- Q, где Q€ S2(P3,..., Pi). Получаем следующее противоречие с предположением: если Q невырожденна, то 6 точек
38 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Рг,..., Pg являются конконическими, а если Q — пара прямых или двойная прямая, то по крайней мере 3 из них коллинеарны. Первый вырожденный случай. Пусть Plt Р2, Рг$Ь коллинеарны и L: (Н = 0). Пусть Р9 — четвертая точка на прямой L. Тогда в силу следствия из разд. B.5) S3(PU ..., Р9) = Н- S2(P4,..., Рг). Кроме того, так как никакие четыре из точек Р4,..., Рг не коллине- коллинеарны, то в силу следствия A.11) dimS2(P4,..., Р%) = 1 и, значит, dim S3 (Pi,..., Рэ) = 1, откуда вытекает, что dimS3(Pi,..., Рг) < 2. Второй вырожденный случай. Предположим, что Р\,... ,РЬ = С — конконический набор, где С: (Q = 0) — невырожденная коника. Тогда если Р9 € С — точка, отличная от Л,... , Р6, то опять в силу следствия из разд. B.5) получаем S3(PU..., P9) = Q-Sl{P1, P8); прямая L - PtPs определена однозначно, так что S3 (Pi,..., Р9) — одномерное пространство, порожденное QH. Следовательно, dim S3 (Pi,..., Ps) < 2. Ч.т.д. B.7) Следствие. Пусть Сг, Сг — две кубические кривые, пересе- пересечение которых состоит из 9 различных точек, С\Г\Сг = {Pi,..., P9\. Тогда кубика D, проходящая через точки Pi, ..., Рг, проходит так- также и через Р9. Доказательство. Если какие-нибудь четыре точки из набора Рг,..., Рц лежат на одной прямой I, то Ci и Сг пересекают L не менее чем в четырех точках и, значит, содержат ее, что противоре- противоречит предположению относительно пересечения С\Г\Сг- По тем же причинам никакие 7 из указанных точек не могут быть конкониче- конконическими. Таким образом, в рассматриваемом случае выполнены усло- условия предложения B.6), откуда следует, что § 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 39 это означает, что многочлены F\ и Fi, задающие кривые d и Сг, образуют базис пространства S3 (Pi, ..., Pz). Следовательно, D за- задается уравнением G = 0, где G = XFi + iiF2. Далее, так как F\ a Рг обращаются в точке Р9 в нуль, то G также равно нулю. Ч.т.д. B.8) Групповой закон на плоской кубике. Пусть к С С — некото- некоторое подполе в С, a Fd k[X, Y, Z] — кубическая форма, определяю- определяющая (непустую) плоскую кривую С: (F = 0) С Pit. Предположим, что F удовлетворяет следующим двум условиям: (a) F неприводима (а значит, С не содержит ни прямой, ни коники); (b) для любой точки Р € С существует единственная прямая L С Pi, такая, что Р — кратный нуль функции F\L- Заметим, что геометрический смысл условия (Ь) заключается в том, что С должна быть неособой и что прямая L, о которой идет речь, является касательной к С (L = ТрС) (см. упр. 2.3). Это наблю- наблюдение послужит нам в § 6 мотивировкой общего определения неосо- бости и касательных пространств к многообразию. Зафиксируем произвольную точку О € С и выполним следующее построение. Построение, (i) Для А € С обозначим через А третью точку пере- пересечения С с прямой ОА. (И) Для А, 3€С обозначим через R третью точку пересечения прямой АВ с С и определим сумму А + В формулой А + В = R (см. рисунок на следующей странице). Теорема. Описанная конструкция задает на С структуру абеле- вой группы, нулем (нейтральным элементом) которой является точка О. Доказательство. Здесь суть дела составляет проверка ассоциа- ассоциативности. Мы начнем с простых наблюдений. (I) Покажем, что операции сложения и взятия обратного элемен- элемента корректно определены. Если Р, Q$C — любые две точки, то либо Р & Q и прямая L = PQ С Pi однозначно определена, либо р = Q и тогда в силу предположения (Ь) существует единственная прямая 1сР|, такая, что Р — кратный нуль функции F\L. В обо- обоих случаях F\L является кубической формой от двух переменных, имеющей два заданных нуля с координатами в к. Тем самым она разлагается в произведение трех линейных множителей. Следова- Следовательно, во всех без исключения случаях определена третья точка пе-
40 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ ресечения R и ее координаты принадлежат к. Отметим, что разре- разрешены все вырожденные случаи Р = Q, Q = R, Р = R или Р = Q = R. Алгебраически они соответствуют тому, что F\i имеет кратные корни, а геометрически — касательным и точкам перегиба. = л + в Кубическая кривая и групповой закон на ней (II) Проверка того, что заданная точка О является нейтральным элементом, выполняется автоматически: так как точки О, А, А кол- линеарны, то при построении суммы О + А мы с помощью прямой L = ОА получаем третью точку пересечения А, а затем с помощью той же прямой L = О А возвращаемся к исходной точке А. (III) Проверку равенства А + В = В + А можно, пожалуй, оста- оставить читателю. (IV) Чтобы найти обратный элемент, мы аналогично п. (i) по- построения определим точку О. Точнее, пусть L — прямая, такая, что F\l имеет в точке О кратный нуль, и определим О как третью точ- точку пересечения L с кривой С. Легко убедиться, что для любой точки А € С третья точка пересечения прямой О А с С является обратным элементом к А. B.9) Теперь я докажу ассоциативность изучаемой операции для «достаточно общих» точек. Предположим, что на кривой С заданы_ три точки А, В и Е. Тогда при построении суммы (А + В) + Е = 5 нам понадобятся следующие четыре прямые (см. предыдущий рисунок): _ _ _ Li.ABR, Lr.ROR, L3: ERS, L4: SOS. § 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 41 При построении суммы (В + Е) + А = Т необходимы следующие четыре прямые: Mi: BEQ M2: QOQ М3: AQT и М4: ТОТ Нужно доказать, что 5=7', для чего, очевидно, достаточно дока- доказать, что 5 = Т. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две кубики: А = Li + М2 + Ьъ и D2 = Mi + L2 + М3. Тогда по построению получаем СП А = [А, В, Е, О, R, R, Q, Q, S], СПА = [А, В, Е, О, R, R, Q, ~Q, Т]. Если теперь 9 точек А, В, Е, О, R, R, Q, Q, S попарно различны, то кубики С и А удовлетворяют условиям следствия B.7). Значит, А должна проходить через точку 5, что возможно лишь при S = Т. Чтобы закончить наше рассуждение, можно воспользоваться разными методами. Наиболее последовательный из них заключает- заключается в полном описании случая кратных пересечений двух кривых (грубо говоря, в терминах «идеалов пересечений»); утверждением, соответствующим следствию B.7), является лемма М. Нётера (см. [Fulton, p. 120, 124]). B.10) Я набросаю схему одного варианта доказательства «по не- непрерывности», в котором используется то, что к С С. Для произ- произвольной кривой С обозначим через Сс С 1Р? ее комплексификацию, т. е. множество отношений (X: Y: Z) комплексных чисел, удовлет- удовлетворяющих тому же уравнению F(X, Y, Z) = 0. Если ассоциатив- ассоциативность имеет место для всех А, В, Е€СС, то, очевидно, она выпо- выполняется и для всех точек кривой С. Поэтому можно считать, что * = С. Заинтересованному читателю не составит труда доказать сле- следующие два утверждения (см. упр. 2.8). Лемма, (i) A + В — непрерывная функция от А и В; (ii) для любых трех точек А, В, Е€С существуют три точки А', В', Е' € С, расположенные в произвольно малых окрестностях точек А, В, Е соответственно и такие, что построенные по ним 9 точек А', В', Е', О, R, R, Q, Q, S попарно различны. Групповой закон — это отображение <р: С х С-* С, заданное формулой (А, В) •-» А + В. В силу утверждения (i) леммы отображе-
42 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ ние (р непрерывно и, значит, тем же свойством обладают следую- следующие два отображения (приношу извинение за громоздкость): f=<po(ax idc) и g = <f>o(idc x <p): С х С х С-* С, заданные формулами (А, В, Е) -> (А + В) + Е и А + (В + Е). Кроме того, из (ii) вытекает, что подмножество U С С х С х С тех троек {А, В, Е), для которых 9 точек, участвующих в построении, различ- различны, является плотным. Таким образом, из приведенного рассужде- рассуждения следует, что на множестве U отображения fug совпадают, а так как они непрерывны, то совпадают всюду. Ч.т.д. Замечание. Доказательство по непрерывности в том виде, в ко- котором оно приведено, использует топологию поля С и поэтому не является чисто алгебраическим. В действительности, как мы уста- установим позднее (см. D.14)), групповой закон <р является морфизмом многообразий <р: С х С -> С, и оставшейся части доказательства можно также придать чисто алгебраическую форму. А именно, под- подмножество в С х С х С, для которого упомянутые 9 точек различ- различны, открыто и плотно в топологии Зарисского, а два морфизма, совпадающие на открытом плотном множестве, совпадают всюду. (Я надеюсь, что это замечание создаст у читателя некоторое пред- представление о том, что его ожидает в остальной части курса. Если читатель сочтет его неубедительным, то он вправе его пока проиг- проигнорировать.) B.11) Теорема Паскаля (таинственная гексаграмма). На чертеже изображен шестиугольник ABCDEF, лежащий в Р*, па- пары противоположных сторон которого продолжены до пересече- пересечения в точках Р, Q, R. Предположим, что все 9 точек и 6 прямых § 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 43 на чертеже различны; тогда А, В, С, D, E, F конконичны Р, Q, R коллинеарны. Эта знаменитая теорема — аналогичное применение следствия B.7) и приведена здесь только для того, чтобы доставить читателю удовольствие. Конечно, у нее имеются и другие доказательства (см. любой учебник по геометрии, например, [Берже, 16.2.10 и 16.8.3-5]). Доказательство. Рассмотрим две тройки прямых Li: PAF, L2: QDE, L3: RCB и Mi: PCD, Mr. Q8A, M3: REF, изображенных на чертеже. Пусть кривая Ci равна L\ + Lz + Ьг, а кривая Сг равна М\ + Мг + Мъ ¦ Теперь все подготовлено для при- применения следствия B.7), так как очевидно, что С\ и Сг — кубики, удовлетворяющие условию С1ПС2 = [А, В, С, D, Е, F, P, Q, R]. Предположим, что точки Р, Q, R коллинеарны и L = PQR — прямая. Пусть Г — коника, проходящая через А, В, С, D, Е (ее су- существование и единственность вытекают из предложения A.11)). Тогда по построению L + Г — кубика, проходящая через 8 точек А, В, С, D, Е, Р, Q, R. Значит, в силу следствия B.7) она должна содержать точку F. По предположению F$L, поэтому обязательно F € Г, что приводит к конконичности указанных шести точек. Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что точ- ки А, Д С Д Еу F лежат на конике Г, и пусть L = PQ. Тогда L + Г — кубика, проходящая через точки А, Д С, D, E F, P, Q. Поэтому в силу следствия B.7) она должна проходить и через точку R. Да- Далее, R не может лежать на конике Г (так как в противном случае Г является парой прямых и некоторые из 6 прямых на чертеже должны совпасть). Таким образом R €L, т. е. точки Р, Q, R колли- коллинеарны. Ч.т.д. B.12) Перегиб, нормальная форма. Каждая кубика в приводится к нормальной форме С: (Y2Z = Хъ + aXZ2 + bZ3), или (**) или, в аффинной записи, у = х3 + ах + Ъ.
44 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Рассмотрим такую кривую С. Где она пересекает бесконечно уда- удаленную прямую L: (Z = 0)? Это легко вычислить: надо подставить Z = 0 в определяющий многочлен F=- Y2Z + X3 + aXZx + bZ3 и получить F\l = X3. Это означает, что F\L имеет в точке Р = @, 1, 0) трехкратный нуль. Чтобы понять, какой это имеет геометрический смысл, положим У= 1 и запишем уравнение в аффинном куске, со- содержащем точку @, 1, 0), с координатами (х, z): z = х3 + axz1 + bz3. Эта кривая с большой точностью аппроксимируется кривой z = x3: При таком поведении кривой С говорят, что она имеет в точке @, 1, 0) перегиб. Более общим образом, точка перегиба Р кривой С определяется условием, что существует прямая L С Р*, такая, что F\l имеет нуль кратности ^ 3 в точке Р (см. упр. 2.9). В дей- действительности в силу B.8 (Ь)) необходимо, чтобы L = 7>С и чтобы кратность равнялась 3 в силу A.9). Нетрудно переписать это усло- условие через первые и вторые производные определяющего многочле- многочлена. Например, если определяющее уравнение имеет вид у = f(x), то условие наличия перегиба есть просто d2f/dx2(P) = 0. На чертеже это соответствует кривой, у которой «выпуклость вверх» меняется на «выпуклость вниз». Имеется общий критерий того, что плоская кривая имеет точку перегиба, в терминах гессиана; см., например, [Fulton, p. 116] или упр. 7.3 (ш). Можно показать (см. упр. 2.10), что верно и обратное утвержде- утверждение: если плоская кубика С имеет точку перегиба, то ее уравнение приводится к нормальной форме (**), как выше. B.13) Упрощенный групповой закон. Нормальная форма (**) особенно удобна для описания группового закона. Возьмем точку перегиба О = @, 1, 0) в качестве нейтрального элемента. При этом групповой закон особенно упрощается по следующим причинам: (a) С = [О) UСо: (у2 = х3 + ах + Ь), где Со — аффинная'кривая. Это позволяет рассматривать С как аффинную кривую, лишь время от времени вспоминая о находящейся на бесконечности точке О — нуле группового закона. (b) Прямые, проходящие через О и являющиеся основными ком- компонентами (см. B.8 (i))) при определении группового закона, зада- § 2. КУБИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 45 ются в однородных координатах уравнением X = XZ, а в аффинных координатах — уравнением х = X. Любая такая прямая пересекает кривую С в точках (X, ± V(X3 + аХ + Ь)) и на бесконечности. Сле- Следовательно, если Р = (х, у), то точка Р, определяемая согласно B.8 (i)), jDneeT координаты (х, -у). Таким образом, преобразование Р -> Р является естественной симметрией (х, у)'— (х, -у) кривой Со: а + в (с) Процедура взятия обратного элемента для группового закона 2.8 (IV) использует точку О, которая строится как третья точка пе- пересечения единственной прямой L, такой, что F\l имеет в точке О кратный нуль. В нашем же случае эта прямая совпадает с бесконеч- бесконечно удаленной прямой L: (Z = 0) и L Г) С = 3 О. Таким образом, О = О, и взятие обратного элемента упрощается до -Р = Р. Теперь я в состоянии переформулировать групповой закон в виде упрощенного варианта теоремы B.8). Теорема. Пусть кубическая кривая С приведена к нормальной форме (**). Тогда на С существует единственный групповой закон, такой, что точка О = @, 1,0) является нейтральным элементом, взятие обратного имеет вид (х, у) -> (л; -у) и для всех Р, Q, /? € С P + Q + R = O#P, Q, R коллинеарны. Упражнения к § 2 2.1. Пусть С: (у2 = х1 + х2) С IR2. Покажите, что любая прямая, проходящая че- через точку @, 0), пересекает С еще в одной точке, и получите в качестве следствия рассмотренную в разд. B.1) параметризацию кривой С. Проделайте то же самое для (у2 = х1) и (х3 = у3 - у*).
46 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ 2.2. Пусть ip: IR1 -> IR2 — отображение t — (t2, t3). Докажите непосредственно, что любой многочлен/€ R[X, У], обращающийся в нуль на образе С = <e(R'), делится на Y2 - X3. (Указание. Воспользуйтесь методом доказательства леммы B.5).) Опре- Определите, каким свойством должно обладать поле к для того, чтобы сформулирован- сформулированный результат был верен для отображения <р: к -* к2, заданного приведенной формулой. Проделайте то же самое для отображения t <- (t2 - 1, t3 - t). 2.3. Пусть С: (f ~ 0) С к2 и Р = (a, b)iC. Предположим, что &/дх(Р) * 0. До- Докажите, что прямая L: (В//дх(Р) ¦ (X - а) + Bf/dy(P) ¦ (Y - Ь) = 0) является касательной к кривой С в точке Р, т. е. единственной прямой L на плоскос- плоскости к2, для которой /II имеет в точке Р кратный корень (этот вопрос подробно раз- разбирается в разд. F.1)). 2.4. Пусть С: (у2 = х3 + 4х) — кривая, на которой мы рассматриваем упрощен- упрощенный групповой закон B.13). Покажите, что касательная прямая к С в точке Р = B, 4) проходит через точку @, 0), и выведите отсюда, что Р — точка порядка 4 относи- относительно группового закона. 2.5. Пусть С: (у2 = х3 + ах + Ь) С R2 — неособая кубика. Найдите все точки по- порядка 2 относительно группового закона и выясните, какую группу они образуют (придется рассмотреть два разных случая). Теперь поясните в геометрических терминах, как бы вы стали искать на С все точки порядка 4. 2.6. Пусть С: (у2 = х3 + ах + Ь) С R2. Напишите программу для ЭВМ, которая изображает часть кривой С и выполняет групповую операцию, т. е. запрашивает координаты точек А и Д затем рисует соответствующие прямые и выдает координа- координаты точки А + В (работайте с вещественными переменными). 2.7. Пусть С: (у2 = х3 + ах + Ь) С к2, А = (xi, yi) и В = {хг, Уг). Покажите, как задать координаты точки А + В в виде рациональных функций от xi, yi, Хг, Уг. (Указание. Если F(X) — многочлен третьей степени и вам известно два его кория, то, зиая лишь один из коэффициентов F, можно найти и третий корень. Ответ на этот вопрос не является единственным, так как рациональные функции имеют много правильных представлений. Один из возможных ответов приводится в разд. D.14).) 2.8. С помощью уравнения касательной прямой к кривой С в точке А найдите формулу для 2А относительно группового закона на С и проверьте, что оиа получа- получается в пределе из соответствующей формулы для А + В при В, стремящемся к А. (Указание. Воспользуйтесь упр. 2.7, а в случае необходимости обратитесь к разд. D.14).) 2.9. Пусть х, z — координаты иа плоскости к2 и /€ к[х, г]. Запишем / в виде / = а + bx + cz + dx2 + exz + fz2 + ... . Задайте в терминах коэффициентов а, Ь, с, ... условия, которые должны выполнять- выполняться, чтобы (i) P=@, 0)€ С: (/•=<)); ii) касательная прямая к С в точке Р совпадала с (г = 0); (Ш) Р являлась точкой перегиба кривой С, а касательная прямая в точке Р совпа- совпадала с (z = 0). (Напомним, что, согласно B.12), РеС является точкой перегиба, если определена касательная прямая L и /U имеет в точке Р корень кратности, ие меньшей 3.) 2.10. Пусть С С Pit — плоская кубика, и предположим, что Р € С — точка переги- перегиба. Докажите, что с помощью подходящей замены координат на р? можно привести § 2. КУВИКИ И ГРУППОВОЙ ЗАКОН 47 С к нормальной форме (Y2Z = X3 + aX^Z + bXZ1 + cZ3). (Указание. Выберите ко- координаты так, чтобы Р совпадала с @, 1, 0), а касательная прямая в точке перегиба совпала с (Z - 0). Тогда, согласно результатам предыдущего упражнения, в локаль- локальных координатах (х, z) У войдет в единственный квадратичный по нему член Y2Z, а остальные будут линейными по У. Покажите, что от линейных по У членов можно избавиться путем дополнения до полного квадрата.) 2.11. (Групповой закон на полукубической параболе.) Рассмотрим кривую С: (г = х3) С к2. Она является образом при биективном отображении <р: к -* С, а именно при t — (t, t3). Поэтому она наследует групповой закон аддитивной группы к. Докажите, что это единственный групповой закон на С, для которого точка @, 0) является нейтральным элементом и P+Q + R = Q*>P, Q, R коллинеарны для всех Р, Q, R(.C. (Указание. Вам поможет следующее тождество: (а - Ь)(Ь - с)(с - а)(а + Ь + с). С точки зрения проективной геометрии С является кривой {Y2Z = X3), т. е. нашей старой знакомой, имеющей в начале координат касп, а в точке @, 1,0) — перегиб. А суть дела заключается в том, что обычная конструкция определяет групповой за- закон на дополнении к особой точке. 2.12. (Задача поставлена Леонардо Пизанским по прозвищу Фибоначчи около 1220 г.) Докажите, что для целых чисел и, v € Z и2 + v2 и и2 - v2 являются квадратами => v = 0. Указание (принадлежит П. де Ферма, см. Cassels J. W. S., Journal of Zondon Math. Soc. 41 A966), p. 207): Шаг 1. Сведите задачу к решению системы х2 = и2 + v2, у2 = и2 - v2, (*) где х, у, и, v являются попарно взаимно простыми. Шаг 2. Рассмотрите остатки по модулю 4 и установите, что х, у, и должны быть нечетными, а у — четным. Шаг 3. Покажите, что 4 пары сомножителей в левых частях приведенных ниже выражений не могут иметь общего множителя, не являющегося степенью 2: (х - и)(х + и) = V2, (и -у)(и +у) = v2, (**) (х - у)(х + у) = 2v2, Bи - х - у)Bи + х + у) = (х - уJ. Шаг 4. Заменив в случае необходимости у на —у, можно считать, что 4 f x — у. Рассмотрите теперь четность сомножителей левых частей соотношений (**) и дока- докажите, что х - и = 2v\, и - у = 2«i, х - у = 2х\ а 2и - х - у = 2у2, где i, Vi, xu
48 ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Шаг 5. Покажите, что щ, vi, X\, у\ является другим решением (*), для которого yi < у, и с помощью «бесконечного спуска» получите противоречие. Сравните это рассуждение с доказательством в B.2), которое проще только тем, что не приходится заботиться о двойках. Добавление к гл. 1 Кривые и их род B.14) Топология неособой кубики. Легко видеть, что неособая плоская кубика С: (у2 = х3 + ах + Ь) С Р2? имеет один из следую- следующих двух видов: Таким образом, топологически С является либо одной окружнос- окружностью, либо объединением двух окружностей (разумеется, если учи- учитывать одну точку на бесконечности). Чтобы изучить этот вопрос над С, воспользуемся другой нормальной формой С: (у2 = х(х- l)(x-\))U{oo). Какова же топология С С Ответ — это тор: Идея доказательства заключается в том, чтобы рассмотреть ото- отображение тг: С-> Р*., заданное формулами (X, Y, Z) « (X, Z) и « -. A, 0). В аффинных координатах оно имеет вид (х, у) •-> х, т. е. является двулистным накрытием, соответствующим ветвям графика функ- функции у = ± у/х(х - 1)(х — X). Всем известно, что Р? гомеоморфна римановой сфере S2 (гомеоморфизм устанавливается с помощью ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛ. 1. КРИВЫЕ И ИХ РОД 49 стереографической проекции). Рассмотрим на Р^ «функцию» у(х) = ±Vx(jf - 1)(х — X). Она двузначна вне точек {0, 1, X, «): Разрежем Р? вдоль двух путей 01 и Х«. Двулистное накрытие распадется на 2 куска, на каждом из которых функция у однознач- однозначна. Таким образом, (штриховка показывает, как соединяются два куска при склеива- склеивании). Чтобы понять, что происходит, раскроем разрезы: B.15) Обсуждение понятия рода. Неособая проективная кривая С имеет над С единственный топологический инвариант, а именно род g = g(Q: - g дырок ¦ Например, аффинная кривая С: (у2 = fzg + i(x) = Д (х ~ ад) С С2 4-1263
ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ Топология С гомеоморфна: фундаментальная группа: Алгебраическая/комплексно-аналитичес- Алгебраическая/комплексно-аналитическая геометрия вложения, явные описания: автоморфизмы: модули: Дифференциальная геометрия существует естественный класс римановых метрик постоянной кривизны: Диофантовы задачи если к = Q или к — числовое поле, т. е. [к : Q] < °о то: G одиосвязна с= рс ш ас 3-мериая группа проективных преобразований отсутствуют постоянная положительная кривизна Ск = 0 или Pi ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛ. 1. КРИВЫЕ И ИХ РОД 51 С = Сз С Р* = C/(Z ®Жт) сдвиги, определяемые груп- групповым законом х конечная группа 1 модуль (двойное отношение или ./-инвариант) нулевая кривизна (т. е. плоская) Ск — конечно порожденная абелева группа (теорема Морделла—Вейля) g > 2 похожа на свободную группу с 2g образующими не имеют простого описания, но, например, почти все кривые рода 3 изоморфны неособым кривым с4 с р2с конечная группа 3g - 3 модулей постоянная отрицательная кривизна Ск — конечное множество (теорема Фальтннгса, гипотеза Морделла)
ГЛ. 1. ПОИГРАЕМ С ПЛОСКИМИ КРИВЫМИ где /2g + i — многочлен от х степени 2g + 1 с попарно различными корнями т, может быть соотнесена с римановой поверхностью yff в точности так же, как в разд. B.14), и может рассматриваться как двулистное накрытие римановой сферы PJ-, разветвленное в 2g + 1 точках а,- и точке оо. То же рассуждение показывает, что род этой кривой равен g. В качестве другого примера укажем, что род неособой плоской кривой Са С Р^ степени d задается формулой g = g(cd)=(d-iy B.16) Реклама. Комплексные кривые (= компактные римановы поверхности) встречаются в огромном числе математических задач от диофантовой арифметики, теории функций комплексной пере- переменной и топологии в малых размерностях до уравнений математи- математической физики. Поэтому спешите купить комплексную кривую се- сегодня же. Свойства кривой в необыкновенно высокой степени определяют- определяются ее родом, а в особенности одной из трех возможностей g = О, g = 1 или g ^ 2. Наиболее примечательные аспекты этого разби- разбиения на три класса приведены в таблице на стр. 50—51. Эти сведе- сведения входят в обязательный минимум знаний каждого математика. В качестве неполного решения диофантовой задачи, приведенной в разд. A.1)—A.2), а затем еще раз в B.1), укажем, что кривая мо- может быть параметризована рациональными функциями тогда и только тогда, когда g = 0. При рассмотрении конкретного поля мо- может оказаться, что данная кривая рода 0 совсем не имеет ?-значных точек (например, коника из A.2)), но если у нее есть хотя бы одна точка, то ее можно параметризовать над к так, чтобы ее,?-значные точки находились в биективном соответствии с Р*. Любая кривая рода 1 изоморфна кубике, подобной той, которая была описана вы- выше, и на ?-значных точках определен групповой закон (конечно, при условии, что это множество непусто, так как не существует такого объекта, как пустая группа. Если к — числовое поле, например, к = Q, то ?-значные точки образуют абелеву группу, которая явля- является конечно порожденной (теорема Морделла—Вейля). Что же ка- касается кривой, род которой ^2, то в настоящее время известно, что число ее ?-значных точек конечно. Это — знаменитая теорема, доказанная Фальтингсом в 1983 г., за которую он удостоился в 1986 г. филдсовской премии. Таким образом, например, для любого п > 4 кривая Ферма х" + у" — 1 содержит не более конечного числа рациональных точек. ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛ. 1. КРИВЫЕ И ИХ РОД 53 Над С кривая С рода 1 топологически является тором, и на ней определена групповая операция, так что с аналитической точки зре- зрения она представляется в виде С = C/(Z©Zt): Изоморфизм между этим факторпространством и плоской кри- кривой Съ С Р^ задается голоморфным отображением <р: С -* Съ, т. е. своего рода «параметризацией» кривой Съ, однако <р не выражается через рациональные функции (в силу B.2)) и является бесконечно- листным накрытием. Именно теория двоякопериодических функций комплексной переменной явилась одной из вершин анализа 19-го ве- века (^-функция Вейерштрасса, ^-функция Римана). Другим важным обстоятельством является то, что различные периоды т, как правило, соответствуют разным кривым, т. е. все они гомеоморфны стандартному тору S1 x S1, но не изоморфны как алгебраические или комплексно-аналитические кривые. Период т является модулем, т. е. комплексным параметром, управляющим изменением комплексной структуры на заданном топологическом многообразии S1 X S1. Читателю, желающему больше узнать о кривых, можно пореко- порекомендовать книгу [Mamford D. Curves and their Jacobians], первая часть которой написана достаточно неформально, или книгу [Клеменс].
Глава 2 КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ § 3. Аффинные многообразия и Nullstellensatz Большую часть первой половины этого параграфа составляет материал по коммутативной алгебре. Отметим, что здесь и далее термин кольцо обозначает коммутативное кольцо с единицей. Так как коммутативная алгебра не является основным предметом этой книги, то ниже я постараюсь, чтобы излишние детали нас не тор,- мозили. C.1) Предложение-определение. Следующие условия в кольце А эквивалентны: (i) Каждый идеал IС А конечно порожден, т. & для каждого идеала I С А существуют такие /i,..., Л € /, что I = (Д,..., /*). (И) Условие обрыва возрастающих цепей: каждая возрастающая цепь /i С ... С 1„ С ... идеалов кольца А стабилизируется, т. е. начиная с некоторого ме- места, In = In+i - ... • (iii) Каждое непустое множество идеалов в кольце А имеет максимальный элемент. Если выполнены эти условия, то кольцо называется нё- теровым. Доказательство, (i) => (ii). Рассмотрим цепочку /i С ... С 4 С ... и положим / = \JIm ¦ Очевидно, что / также является идеалом. Если /= (/i, ..., /*), то каждый из элементов ft принадлежит /т(|) для некоторого m(i). Взяв т = тах(/л(/)), получим, что / = 1т, и цепоч- цепочка стабилизируется, начиная с члена 1т. Импликация (ii) => (iii) очевидна. (На самом деле в доказатель- доказательстве используется аксиома выбора.) (iii) => (i). Пусть / — произвольный идеал. Положим Ф = {/С I\J — конечно порожденный идеал). Согласно свойству (iii), Ф имеет максимальный элемент, который мы обозначим через /о. Но тогда /о = Л поскольку в противном случае для любого /€/\Уо идеал Jo + Af также является конечно порожденным и строго содержит Jo. Ч.т.д. § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 55 Для тренировки докажите, что Z и к[х] являются нётеровыми кольцами. C.2) Предложение, (i) Пусть А — нётерово кольцо, а I — неко- некоторый идеал в А. Тогда факторкольцо В = А/1 является нё- теровым. (ii) Пусть А — нётерова область целостности, А С К — ее по- поле частных, a S с А — некоторое подмножество, не содержащее нуля. Положим В = A[S~l\ = {a/b€K\ а€А, Ь = 1 или является произведением элементов из S]. Тогда В также является нётеровым. Доказательство сводится к следующему упражнению: опишите в обоих случаях идеалы в кольце В через идеалы в кольце А. (Некото- (Некоторые указания см. в упр. 3.4). C.3) Теорема (Гильберта о базисе). Если А — нётерово кольцо, то кольцо А[Х] также нётерово. Доказательство. Пусть / — некоторый идеал в А [X]. Докажем, что / конечно порожден. Определим идеал Jn старших коэффициен- коэффициентов многочленов и-й степени, принадлежащих идеалу /, следующим образом: Л = {а€/413/= аХп + bn-iX"'1 + ... + &о€/). Тогда Л является идеалом в А и такие идеалы вложены друг в дру- друга, т. е. Jn С Л +1. (Докажите это, пожалуйста, самостоятельно.) Используя свойство (ii) стабилизации возрастающих цепей, получа- получаем, что существует номер N, такой, что Jn = Jn+i = ... • Теперь систему образующих идеала / можно построить следую- следующим образом. Пусть ац,..., а^ф для / < N — образующие идеала /j. Обозначим (как и в определении /г) для каждого а,* через /* = OikX1 + ... € / многочлен /-й степени из /, старший коэффици- коэффициент которого равен atk. Покажем, что множество l/i*l/ = 0,..., N, Лг=1,..., 1и@)
56 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ порождает 7. Рассмотрим принадлежащий J многочлен g степени т. Его старший член равен ЬХ, где b€Jm. Тогда в силу свойств идеала Jm имеем Ь - 2>ст,кат,к (здесь т = т', если т ^ N, в против- противном случае т' = N). Рассмотрим теперь gi = g-Xm'm'-ЕстЧ/ш,л. Коэффициент при члене степени т равен нулю по построению, и, таким образом, deggi < degg - 1. Следовательно, по предположе- предположению индукции g записывается в виде комбинации /ш, которые, та- таким образом, порождают J. Ч.т.д. Следствие. Если к — поле, то любая конечно порожденная k-алгебра является нётеровой. Любая конечно порожденная А:-алгебра является кольцом вида А = k[ai,..., а„]. Значит, А порождается (как кольцо) полем к и элементами а\,..., ап. Очевидно, что любое такое кольцо изоморф-" но факторколыгу кольца многочленов, А = к[Х\,..., Хп]/1- Поле является нётеровым кольцом, и индукцией, использующей теорему C.3), легко показать, что k[Xi,..., Х„] — нётерово кольцо. Следо- Следовательно, его факторкольцо является нётеровым в силу C.2(i)). Ч. т. д. C.4) Соответствие V. Пусть к — произвольное поле, а А = к[Х1г..., Хп]. Следуя странному обыкновению алгебраических геометров0, обозначим через А? = к" и-мерное аффинное пространство над полем к. Для данного многочлена f(X\,..., Xn)€A и точки Р = (ci,..., а„) € А? будем рассматривать элемент f(a\,..., a/t) € к как «значение функции / в точке Р». Определим соответствие у {идеалы J С А] -* {подмножества X с А?} следующим образом: /~ V(J) = {P€ Ank\f(P) = 0 для всех /€/). Определение. Подмножество X С AjJ называется алгебраическим множеством, если X = V(I) для некоторого /. (Это — то же самое, что (алгебраическое) многообразие, но последний термин желатель- желательно зарезервировать.) Заметим, что в силу следствия C.3) идеал / 1}A" — алгебраическое многообразие, в то время как к" — это всего лишь мно- множество точек. Читатель может при желании считать это чистым педантизмом (см. разд. D.6), а также (8.3)). § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 57 конечно порожден. Если / = (/i,..., /r), то очевидно, что V(I) = {Р€ Апк\МР) = 0 для всех / = 1,..., -г], т. е. алгебраическое множество — это просто совокупность точек, удовлетворяющих конечному числу полиномиальных уравнений. Если / = (/) — главный идеал, то мы будем использовать обо- обозначение V(f) для V(I) (это разумеется, то же самое, что V: (/"= 0) в обозначениях § 1 и 2). C.5) Предложение-определение. Соответствие V обладает сле- следующими формальными свойствами: (i) F@) = A2; V(A) = 0; (ii) / С J => V(I) D V(J); ¦ (iii) V(I1ni2)= (iv) V( 2 /x) = П V{h). X€Z \€l Таким образом, алгебраические подмножества в AjJ являются замкнутыми множествами в некоторой топологии на А?, называ- называемой топологией Зарисского. Сформулированные свойства очевидны, за исключением вклю- включения С в (ш). Для его доказательства предположим, что Р$ V(h)U V(I2); тогда существуют такие /€ h и g € h, что f(P) ^ 0 и g(P) 9^ 0. Таким образом, fgdhC\I2, но fg(P) ?± 0. Следовательно, PiV{hf\I). Ч.т.д. Топология Зарисского на А? индуцирует топологию на любом алгебраическом множестве X С А?. Замкнутыми подмножествами в X являются алгебраические подмножества. Важно отметить, что топология Зарисского на алгебраическом многообразии является очень слабой и сильно отличается от при- привычной топологии метрических пространств, таких, как R". Напри- Например, замкнутое по Зарисскому подмножество в А* либо совпадает с А*, либо конечно (описание топологии Зарисского на А| см. в упр. 3.12). Если k = IR или к = С, то замкнутые по Зарисскому мно- множества замкнуты и в обычной топологии, так как многочлены яв- являются непрерывными функциями. В действительности они явля- являются очень специальными открытыми или замкнутыми подмно- подмножествами. Так, например, непустое открытое по Зарисскому подмножество в IR" является дополнением к подмногообразию и тем самым автоматически плотно в IR". Топология Зарисского может вызвать затруднение у некоторых студентов. Так как она употребляется только как удобный язык и
58 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ее содержательный аспект незначителен, это трудности скорее пси- психологического, чем технического характера. C.6) Соответствие J. Определим некоторый вариант соответ- соответствия, обратного к соответствию V, {идеалы У С А] +- {подмножества ХС А?) формулой 1(Х) = У € A\f(P) = 0 для всех PtX] ~Х, т. е. подмножество X отображается в идеал функций, обращающих- обращающихся на X в нуль. Предложение, (a) JC Г=> I(X) D /(У); (b) для любого подмножества JTCAj имеем Xс V(I(X)); ра- равенство выполняется тогда и только тогда, когда X — алгебраи- алгебраическое множество. (c) для любого JcA имеем JС I(V(J)) (последнее включение может быть строгим). Доказательство. Пункт (а) тривиален. Включения в пп. (Ь) и (с) являются тавтологиями. А именно, так как 1(Х) определяется кайс множество функций, обращающихся в нуль во всех точках, принад- принадлежащих X, то для любой точки из X все функции из 1(Х) обраща- обращаются в ней в нуль. «Конечно, это совершенно неоспоримо; я и сам так, Пятачок, думаю». Оставшаяся часть п. (Ь) доказывается легко. Если X = V(I(X)), то X является алгебраическим множеством, так как оно есть мно- множество нулей некоторого идеала. И обратно, если X = V(Io) являет- является алгебраическим множеством, то 1(Х) по крайней мере содержит /о, так что V(I(X)) С V(h) = X. Есть две различные причины, по которым включение J С С I(V(J)) в п. (с) может оказаться строгим. Их важно разобрать, так как они подсказывают правильную формулировку Nullstel- lensatz. Пример 1. Предположим, что поле к не является алгебраически замкнутым, и пусть /€ к[Х] — нетривиальный (отличный от кон- константы) многочлен, не имеющий корней в поле к. Рассмотрим иде- идеал J = (/) С к[Х]. Тогда J * к[Х], так как 1^7. Но V(J)= {P€Al\f(P) = 0} = 0. § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 59 Следовательно, I(V(J)) = k[X] (так как любая функция обраща- обращается в нуль во всех точках пустого множества). Значит, если рассматриваемое поле не является алгебраически замкнутым, то у нас может не оказаться нужного количества ну- нулей. Вот довольно подходящий пример: многочлен X2 + Y2 в IR2, который определяет единственную точку Р = @, 0), т. е. V(X2 + Y2) = {/»). Однако существует много многочленов, не крат- кратных X2 + Y2, которые также обращаются в нуль на {Р}, и на са- самом деле 1(Р) = (X, Y). Пример 2. Для любого f€k[Xi,..., Хп] и а ^2 многочлен f определяет ту же совокупность точек, что и /, т. е. f"(P) = о о/(Р) = 0. Поэтому V(f) = V(f) и f€l(V(f)), но, как правило, f$(f). Это видно уже на примере IR2: в § 1 упоминалась «двойная прямая», определяемая уравнением X2 = 0. Единственный смысл, который можно этому придать, заключается в том, что сле- следует считать прямую (X = 0) двукратной. Но сама прямая как мно- множество точек не подозревает ни о какой кратности. C.7) Неприводимые алгебраические множества. Алгебраическое множество X С Ajf называется неприводимым, если не существует его представления X=XlUX2, Хи ХгЩХ в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. Например, алгебраическое подмножество V(xy) С А* состоит из двух координатных осей. Очевидно, что оно представляется в виде объединения V(x) и V(y) и, следовательно, приводимо. Предложение, (а) Если X С А" — алгебраическое множество, а 1(Х) — соответствующий идеал, то X неприводимо тогда и только тогда, когда идеал 1(Х) прост; (Ь) любое алгебраическое множество имеет (единственное) раз- разложение вида X = XiU...UXr, (*) где Xi неприводимы и для Подмножества Xi в формуле (*) называются неприводимыми компонентами множества X. Доказательство, (а) В действительности я докажу, что X приводимо » 1(Х) не прост.
60 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ (=») Предположим, что X=Xil)X2, где Хх, Х2 — собственные ал- алгебраические подмножества множества X. Условие, что Х\ являет- является собственным подмножеством в X, означает, что существует /i 6 I(Xi) \ I(X). Аналогично, из того, что Х2 — собственное под- подмножество в X, следует существование f2 6 I(X2)\I(X). Произведе- Произведение /i/г обращается в нуль во всех точках множества X, т. е. fif2 € 1(Х). Следовательно, 1(Х) не прост. (<=) Предположим, что 1(Х) не прост, тогда существуют fx, /2Ц(Х), такие, что fif2Zl{X). Пусть 1Х = {1{Х), /i) и V(h) = Хц тогда Х\ строго содержится в Л" и является его алгебраическим под- подмножеством. Аналогично, положив 12 = (I(X), f2) и V(I2) = X2, по- получим, что Х2 строго содержится в X. Но A"CA"iU^2, ибо для всех Р 6 X из fif2(P) = 0 следует, что либо /i(Р) = 0, либо /2(Р) = 0. (Ь) Прежде всего докажем следующее утверждение: алгебраиче- алгебраические подмножества в AjJ удовлетворяют условию обрыва убываю- убывающих цепей, т. е. произвольная цепочка XXZ)X2Z) ... DXnD ... стабилизируется на некотором месте Xn = Xn+i= ... .Это вытекает из стабилизации возрастающей цепи идеалов I{Xi) С 1(Х2) С ... С 1(Х„) С .... Таким образом, в точности, как в предложении C.1), получаем, что любое непустое множество Ф алгебраических подмножеств (!) в AjJ имеет минимальный элемент. Для доказательства (Ь) выберем теперь в качестве Ф множество алгебраических подмножеств в А?, не имеющих разложения (*). Если Ф = 0, то п. (Ь) доказан. С другой стороны, если Ф Ф 0, то в силу утверждения (!) существует минимальный элемент Л Ф, что сразу приводит к одному из следующих двух противоречий. Ес- Если X неприводимо, то X $ Ф — противоречие. Если X приводимо, то X = XXUX2, где Xi, Х2 строго содержатся в X, vi Х\, Х2$Ф в силу минимальности Хе Ф. Итак, каждое из Хх, Х2 обладает разло- разложением (*) в объединение неприводимых компонент; взяв объеди- объединение этих объединений, получим разложение (*) для X, а значит, Х$Ф. Это противоречие доказывает, что Ф = 0; тем самым реша- решается вопрос о существовании из п. (Ь). Доказательство единствен- единственности является легким упражнением (см. упр. 3.8). Ч.т.д. Приведенное доказательство п. (Ъ) является типичным образцом рассуждения алгебраистов. Будучи логически безупречным, оно по- § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 61 чти полностью затемняет существо дела. В действительности суть состоит в том, что если X не является неприводимым, то оно раз- разлагается в объединение X = Хх 1)Х2. То же самое имеет место для Xi, Х2 в т. д. В конце концов мы должны добраться до неприводи- неприводимых алгебраических множеств, так как иначе возникала бы беско- бесконечная убывающая цепочка. C.8) Теперь я перейду к формулировке и доказательству Nullstel- lensatz. Любое ее доказательство обязательно содержит некоторую внутреннюю трудность, и я предпочитаю разбить его на 2 части. Сначала сформулирую без доказательства одно утверждение из коммутативной алгебры, которое будет доказано в C.15) ниже (в действительности некоторые части этого доказательства будут иметь явно геометрический смысл). Трудный факт. Пусть к — (бесконечное) поле и А = к[аи ..., ап] — конечно порожденная Аг-алгебра. Тогда А — поле =» А алгебраично над к. Для того чтобы хотя бы приблизительно дать представление о том, почему это утверждение верно, заметим, что если t € А транс- цендентно над к, то k[t] является кольцом многочленов и, таким образом содержит бесконечно много простых элементов (согласно рассуждению Евклида). Следовательно, расширение к С k(t) не яв- является конечно порожденным как Аг-алгебра, так как среди знамена- знаменателей конечного числа элементов pi/qt б k(t) может содержаться только конечное число простых. C.9) Определение. Пусть / — идеал в кольце А; его радикалом называется rad/= V7= {/€Л1/"€/ для некоторого л). rad/ является идеалом, так как из того, что f, gerad/, вытекает, что /", gm € / для некоторых пит. Следовательно, /, если r^n+m-1. Идеал / называется радикальным, если /= rad/. Заметим, что простой идеал радикален. Нетрудно показать, что для области с однозначным разложением на множители, такой, как k[Xi Х„], радикал rad/ главного идеала вида /=(/), где / = П /"' (разложение в произведение степеней различных простых сомножителей) равен (/red), где /re(i = Uft.
62 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ (ЗЛО) Nullstellensatz (теорема Гильберта о нулях). Пусть к — ал- алгебраически замкнутое поле. Тогда (a) Любой максимальный идеал кольца многочленов А = = к[Х\,..., Хп] имеет вид тр = (Хх - ах,..., Хп - ап) для некото- некоторой точки Р = (ai ап) 6 А?, т. е. совпадает с идеалом 1(Р) всех функций, обращающихся в точке Р в нуль. (b) Пусть JcA — некоторый идеал, отличный от А; тогда V(J) * 0. (c) Для любого J С А I(V(J)) = rad/. Основное содержание теоремы заключено в п. (Ь), утверждаю- утверждающем, что если идеал J отличен от всего кольца к[Х\,..., Х„], то он имеет в А? нули. Заметим, что утверждение п. (Ь) абсолютно неверно над алгебраически незамкнутым полем к, так как если /6 к[Х] — многочлен, отличный от константы, то порождаемый им идеал не совпадает со всем кольцом к[Х], однако вполне может оказаться, что V(f) - 0 С А*. Название теоремы (Nullstelle = нуль многочлена + Satz = теорема) должно помочь вам запомнить ее со- содержание. (Советую вам придерживаться немецкого названия, если вы не желаете прослыть невеждами0.) Следствие. Соответствия V и I [ идеалы I С А} U индуцируют биещии [радикальные идеалы] и U [простые идеалы] [подмножества A"CAjJ) U [алгебраические подмножества] U (неприводимые алгебраические) (^ подмножества J Справедливость этого утверждения следует из того, что в силу C.6(Ь)) для любого алгебраического подмножества X имеем V(I(X)) = X, и того, что в силу C.10 (с)) для любого радикального идеала J I(V(J)) = J. " Этот совет автора относится, разумеется, к англоязычному читателю, для ко- которого такая терминология почти традиционна, но мы сочли возможным последо- последовать ему и в русском переводе. — Прим. перев. 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 63 Доказательство Nullstellensatz (использующее C.8)). (а) Пусть т с к[Х\,..., Х„] — максимальный идеал. Обозначим через К кольцо к[Х\,..., Х„]/т, а через <р — композицию естествен- естественных отображений <р: к -* k[Xi,..., Хп] -* К. Тогда К является полем (так как идеал т максимален) и конечно порождено как Аг-алгебра (так как оно порождается образами элементов Xt). Поэтому в силу C.8) <р: к-> К является алгебраическим расширением полей. Но к алгебраически замкнуто, следовательно, <р — изоморфизм. Для всех i элемент Xi$k[X\ Хп] отображается в некоторый элемент bi€K. Поэтому, если положить а,<= <p~l(bi), то получим Xi — ai€ Кег [к[Х\,..., Х„] -*К] = т. Следовательно, существуют ai ап 6 к, такие, что (Хг - ai Хп - ап) С т. С другой сто- стороны, очевидно, что в левой части стоит максимальный идеал, так что (Xi - а\,..., Хп — ап) = т, и это доказывает (а). Импликация (а) =» (Ь) доказывается просто. Если J * А = = к[Х\,..., Х„], то существует такой максимальный идеал т коль- кольца А, что J С. т (существование т легко получить из условия обры- обрыва возрастающих цепей). Согласно (а), идеал т имеет вид т = (Хг - tfi,..., Х„ - ап). Тогда условие J С т означает попросту, что f(P) = 0 для всех /е/, где Р = (а\,..., а„). Следовательно, Р6 V{J). Доказательство импликации (Ь) =» (с) основано на следующем хитром трюке. Пусть /С к[Хг,..., Хп] — любой идеал и /€ к[Х\ Х„]. Введем дополнительную переменную Y и рассмот- рассмотрим новый идеал /i = U /Г- 1) с к[Хи..., Х„, У], порожденный идеалом J и fY - 1. Грубо говоря, V(Ji) является многообразием, состоящим из тех Р 6 V(J), для которых f(P) * 0. Точнее, точка Q6 V(Ji) С А?+1 является набором из п + 1 чисел Q = (ел а„, Ь), таких, что g(ai,..., а„) = 0 для всех g 6 /, т. е. Р = (аи ..., а„) 6 V{J), f(P) • Ь = 1, т. е. ДР) /ОиЬ ДР) -1 Предположим теперь, что f(P) = О для всех Р6 V(J). Тогда из только что сделанного замечания вытекает, что V(J\) =¦ 0. Теперь из (Ь) следует, что 1 6 J\, т. е. существует разложение (**) 1 = S&/i + go(JY - 1) 6 k[Xlt..., Хп, У], где ft> € J, a go, gi 6 к[Хи ..., Х„, У].
64 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Рассмотрим, каким образом входит Y в правую часть формулы (* *). Кроме множителя во втором члене, явно содержащего У, он может входить во все #,. Предположим, что YN — наибольшая из степеней У, входящих в^и все #,. Если умножить обе части фор- формулы (* *) на fN, то получится соотношение вида f = 2G,№,..., Хп, fY)ft + G0(Xi,..., Х„, fY)ifY - 1), (* * *) где Gt — это просто fNgi, записанные как многочлены от перемен- переменных Xi Хп и /У. (* * *) есть не что иное, как равенство двух многочленов в коль- кольце k[Xi,..., Хп, Y], приведя которое по модулю/У- 1 получим f = Zhi(Xu ..., Xn)fi 6 k[Xi,..., Xn, Y]/(fY - 1). Обе части этого уравнения являются элементами кольца к[Х\,... ..., Хп]. Так как естественный гоморфизм к[Х\,..., Х„] •-» к[Х\,... ..., Хп, Y]/(fY - 1) инъективен (он является просто включением к[Хи ..., Хп] в к[Хг,..., Xnllf'1] (как подкольца в его поле част- частных), то fN = Zht(Xu ..., Xn)fi 6 к[Хи ..., Хп], т. е. fN$J для некоторого N. Ч.т.д. Замечание. В некоторых учебниках доказательство сокращается благодаря тому, что (* *) объявляется тождеством. Тем самым оно остается справедливым при подстановке Y = f~l. Это, безус- безусловно, верно, но я предпочел привести более детальное доказа- доказательство. C.11) Примеры, (а) Гиперповерхности. Простейшим примером многообразия является гиперповерхность V{f): (/= 0) С AJJ. Если к алгебраически замкнуто, то имеет место очевидное соответствие между неприводимыми элементами /6 к[Хх,..., Хп] и неприводи- неприводимыми гиперповерхностями. А именно, из Nullstellensatz следует, что два различных неприводимых многочлена f\ и /г (не кратные друг другу) определяют различные гиперповерхности V(J\) и V(f%). Это совсем неочевидно (и, например, неверно над IR), хотя и может быть доказано без использования Nullstellensatz с помощью теории исключений — намного более явного метода, в котором явственно ощущается колорит XIX века (см. упр. 3.13). (Ь) За исключением случая гиперповерхностей, большинство ал- алгебраических многообразий задаются «кучей» уравнений. Вопреки интуиции обычно для задания идеала 1(Х) требуется много образу- § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 65 ющих (намного больше коразмерности X). Я приведу пример кри- кривой С С А*, для задания идеала /(С) которой требуется 3 образую- образующих. Предположим, что к — бесконечное поле. Рассмотрим снача- сначала идеал / = (uw - v2, и3 - mv). Он не прост, так как /Э w(uw - v2) - у(и3 - mv) = u(w2 - uhj), но и, w2 - u2v $ J. Поэтому V(J) = V{J, u)UV(J, w2 - u2v). Очевидно, что V(J, и) — это прямая (и = v = 0). Утверждается, что другая компонента С = V(J, w2 - u2v) является неприводимой кри- кривой. Действительно, С задается системой uw = v2, и3 = vw, w2 = u2v. Я утверждаю, что С С А3 является образом отображения <р: А1 -* С С А3, заданного формулой t » (t3, t4, t5). Чтобы убе- убедиться в этом, следует заметить, что если и * 0, то v, w ^ 0. Поло- Положим t = у/и; тогда t = w/v и t2 = (v/u)(w/v) = w/u. Следовательно, v = wVm2 = t4, и: = v/(v/u) = t4/t = t3 и w = tv = t5. Значит, С неприводима, так как если С - Хх UX2, где XiCC, и fi(u, v, w) € I(Xi), то для всех t один из fi(t3, t4, ts) обязательно обращается в нуль. Так как ненулевой многочлен имеет не более конечного числа нулей, то один из /i и f% должен тождественно рав- равняться нулю, а значит, fi€l(C). Этот пример есть образец изящного мономиального задания. Вообще же угадать неприводимые компоненты многообразия до- довольно трудно, а еще сложнее доказать их неприводимость. Анало- Аналогичный пример приводится в упр. 3.11. C.12) Конечные алгебры. Перейдем теперь к доказательству C.8). Пусть А С В — кольца. Как обычно, В называется конечно порожденным над А (или конечно порожденным как Л-алгебра), ес- если существует конечное число элементов bi,..., bn, таких, что В = A[bi,..., bn], т. е. если В как кольцо конечно порождено коль- кольцом А и элементами bi bn. Сравните это определение со следующим: В — конечная А-алге- бра, если существует конечное число элементов bi bn, таких, что В = АЬ\ + ... + АЬп, т. е. В — конечно порождена как А-мо- дуль. Здесь имеется существенное различие между порождаемостью как кольца (когда допускаются любые полиномиальные выражения от Ы) и порождаемостью как модуля (когда 6,- могут входить лишь линейно). Например, к[Х] является конечно порожденной Аг-алгеб- 5-1263
66 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ рой (она порождается одним элементом X), но не является конеч- | ной А:-алгеброй (так как ее размерность как А:-векторного простран- • ства бесконечна). ' j Предложение, (i) Пусть А с В С С — кольца. Тогда, если В — f конечная А-алгебра и С — конечная В-алгебра, то С — конечная А-алгебра. (ii) Если А С В — конечная А-алгебра и * € Д то х удовлетворя- удовлетворяет нормированному уравнению над А, т. е. существует соот- соотношение х" + an-ix"~l + ... + ао = 0, где а-,6 А (обратите внимание, что старший коэффициент равен 1). (iii) И наоборот, если х удовлетворяет нормированному уравне,- нию над А, то В = А[Х] — конечная А-алгебра. Доказательство. Пункты (i) и (iii) являются простыми упражне- упражнениями (ср. с аналогичными результатами для расширений полей). Для доказательства (ii) воспользуемся довольно неочевидным «де- терминантным трюком» (который не является моим изобретени- изобретением). Предположим, что В = ZAbi. Тогда хЫ 6 В для всех i, т. е. су- существуют константы ац€А, такие, что Перепишем это условие в виде § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 67 = 0. где 8ц — единичная матрица. Пусть теперь М — матрица вида Mtj = (х8ц - аи), а Д = detM. Из стандартных утверждений линейной алгебры выте- вытекает, что Mb = 0, где b — вектор-столбец с элементами фх,..., bn). Следовательно, 0 = (M*dj)Mb = ДЬ, (где М**' — присоединенная матрица). Поэтому A fa = 0 для всех /. При этом, так как 1в€Д является линейной комбинацией bi, то Д = Д • 1в = 0, что и дает нам, наконец, искомое соотношение det(jrS(/ - ay) = 0. Очевидно, что оно задается нормированным мно- многочленом относительно переменной х с коэффициентами из А. Ч. т. д. C.13) Нётерова нормализация. Теорема (лемма о нормализации Э. Нётер). Пусть к — бесконеч- бесконечное поле, а А = k[ai,..., ап] — конечно порожденная к-алгебра. Тогда существуют т ^.п и у\ ут?А, такие, что (i) у\,..., ут алгебраически независимы над к; (ii) А — конечная к\ух ут]-алгебра. ((i) означает, как обычно, что не существует нетривиального полино- полиномиального соотношения, которому удовлетворяли бы yt. Алгебра- Алгебраист выразит эту мысль так: естественное (сюрьективное) отображе- отображение k[Yi,..., Ym] -* к\ух,..., ут] С А является инъективным.) Утверждается, что, как и можно было ожидать, расширение ко- колец может быть построено в два этапа: сначала добавляются алге- алгебраически независимые элементы, а затем «производится алгебраи- алгебраическое расширение». Впрочем, (ii) намного точнее, так как в нем утверждается, что каждый элемент кольца А не просто алгебраичен над к\у\ ут], но удовлетворяет нормированному (т. е. со стар- старшим коэффициентом 1) уравнению над этим кольцом. Доказательства Пусть / — ядро естественной сюръекции /=кег{ВД Xn]-*k[ai ап]=А\. Предположим, что 0 ¦? /6 /. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить Х\,..., Хп-\ на некоторые Х{,..., Хп-\ так, чтобы преобразовать / в нормированное уравнение относительно переменной ап над кольцом А' = к[а{,..., an'-i]. Запишем а{ = ai - аю„, пп-i = йГи-i - <хп-хап. (где а/ являются неизвестными пока элементами поля к). Тогда 0=f(a{ + сцап пп-х + ап-\ап, а„). Утверждение. При подходящем выборе элементов ах,... ..., an-i € к многочлен ДХ{ + ахХп *„'_! + а„-хХп, Хп) является нормированным относительно переменной Х„.
68 FJL_2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Используя это утверждение, будем доказывать теорему индукци- индукцией по п. Если / = 0, то доказывать нечего, так как а\,..., ап .алге- .алгебраически независимы. В противном случае возьмем 0^/6/; пусть он,..., а„-1 удовлетворяют условиям сформулированного утверж- утверждения. Тогда / задает нормированное соотношение относительно переменной ап с коэффициентами из А' = к[а{,..., an'_i]. В силу предположения индукции существуют у\,..., ут€А', такие, что A) у\,..., ут алгебраически независимы над к; B) А' — конечная к\у\,..., ут] -алгебра. Тогда А = А ' [а„] конечна над А ' (в силу C.12(ш))). Следовательно, согласно C.12 (i)), А конечна над к\у\,..., ут], что и доказывает теорему. Осталось только доказать утверждение. Пусть d — deg/; запишем f=Fd + G, где Fa — однородный многочлен степени d и degG < d - 1. Тогда f(X\,..., Xn-i, Х„) = f{X{ + <x\Xn,..., Xn-i + ап-\Хп, Хп) = + (члены, содержащие Хп в степенях<tf- 1). Если теперь Fdipn,..., aa-i, 1) ^ 0, то все сделано. Так как Fd — ненулевой многочлен, то нетрудно проверить, что нужное условие выполняется для «почти всех» значений oti an-i (доказатель- (доказательство этого обсуждается в упр. 3.13). Ч.т. д. C.14) Замечания. (I) В действительности из доказательства C.13) следует, что в качестве yi,..., ут можно выбрать т общих линей- линейных форм от ai,..., ап. Чтобы оценить важность теоремы C.13), положим / = кег {К[ХХ,..., Х„] -* k[ai,..., ап] = А}, и предполо- предположим для простоты, что /прост. Рассмотрим V — V(I) С AjJ. Пусть т: А? -»А™ — линейное проектирование на подпространство с коор- координатами у\,..., утл р - it\v: V~* А™. Можно показать, что из ус- условий (i) и (ii) в C.13) вытекает, что прообраз р~1(Р) каждой точки Р € А™ является непустым конечным множеством (см. упр. 3.16). (II) Доказательство C.13) имеет также простую геометрическую интерпретацию. А именно, набор из п - 1 линейных форм от п пе- переменных определяет линейную проекцию х: AjJ -¦ А?. Слои про- проекции 7г образуют (л - 1)-мерное семейство параллельных прямых. Нетрудно показать, что фиксированный многочлен /€ / задает нор- нормированное уравнение по последней переменной Хп тогда и только тогда, когда эти параллельные прямые не являются асимптотами § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 69 многообразия (/ = 0). В терминах проективной геометрии это озна- означает, что точка на бесконечности @, ai,..., «„_ г, 1) е PJ" \ опреде- определяющая параллельное проектирование, не лежит в проективном за- замыкании поверхности (/ = 0). (III) Приведенное выше доказательство не проходит в случае ко- конечного поля (см. упр. 3.14). Однако сама теорема верна без каких бы то ни было ограничений на к (см. [Mumford, Introduction, p. 4] или [Атья, Макдональд G.9)]. C.15) Доказательство C.8). Пусть А = k[ai,..., а„] — конечно порожденная Аг-алгебра. Предположим, что у\,..., ут € А такие же, как в C.13), а В = к\у\,..., ут]. Тогда А — конечная Д-алгебра, и по условию она является полем. Если бы было известно, что В — поле, то из этого мгновенно вытекало бы, что т = 0. Это означало бы, что А — конечная Аг-алгебра, т. е. конечцое расшире- расширение поля к, и утверждение было бы доказано. Поэтому нам оста- осталось доказать следующее предложение. Лемма. Если А — поле и В с А — такое подкольцо, что А — конечная В-алгебра, то В — поле. Доказательство. Для любого 0 ^ Ъ € В в А существует обрат- обратный элемент Ъ~х 6 А. Далее, в силу C.12 (ii)) из условия конечности следует, что Ъ ~х удовлетворяет нормированному уравнению над В, т. е. существует соотношение Ъ~п + eB-i6"(""X) + ... + aib'1 + во = 0, где at б В. Умножив его на Ьп~ь, получим Ь~х = - (an-i + ап-гЪ + ... + а<>Ьп~1)*.В. Следовательно, В — поле. Это рассуждение доказывает C.8) и за- верщает доказательство Nullstellensatz. C.16) Для того чтобы все наши рассуждения проходили в харак- характеристике р, полезно сделать следующее небольшое уточнение. Оно понадобится нам в дальнейшем только один раз, и читатель не зна- знакомый с понятием сепарабельности из теории Галуа, может не те- терять времени и переходить к разд. C.17). Добавление. Если в предположениях C.13) поле к является, кро- кроме того, алгебраически замкнутым, а кольцо А — областью целост- целостности, поле частных которой обозначается через К, то элементы
I 70 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Ух,..., ут 6 А можно, как и выше, выбрать так, чтобы помимо ус- условий (i), (ii) выполнялось (ш) к{у\,..., ут) С К — сепарабельное расширение. Доказательство. Если поле к имеет характеристику 0, то любое его расширение сепарабельно. Поэтому будем считать, что к имеет характеристику р. Так как А — область целостности, то идеал / прост. Следовательно, если / Ф 0, то он содержит неприводимый элемент /. Для каждого i имеет место следующая альтернатива: ли- либо / сепарабелен по Xi, либо /€ к[Х\,..., Xf,..., Х„]. Утверждение. Если f несепарабелен по всем Xi, то f = gp для некоторого g, что противоречит неприводимости /. Согласно предположению, / имеет вид f=F(Xp,..., Xpn), где Ftk[Xi Х„]. Если это так, то пусть g 6 k[Xi Х„] — многочлен^ получаемый взятием корня ^-й степени из каждого коэффициента F. Тогда, при- применив нужное количество раз тождество (а + bf = а" + V в харак- характеристике р, получим, что / = gp. Следовательно, любой неприводимый многочлен / сепарабелен по крайней мере относительно одного из Х{, для определенности относительно Хп. Далее, проводя в точности такие же рассуждения, как и выше, получим, что ДХ{ + счХп,..., Хи'_! + ап- iXn, Хп) дает нормированное сепарабельное соотношение на ап над кольцом А' = k[a{ eB'-i]- Искомый результат доказывается с помощью такого же индуктивного рассуждения, в котором на этот раз ис- используется то обстоятельство, что композиция сепарабельных расширений полей сепарабельна. Ч.т.д. C.17) Редукция к случаю гиперповерхности. Напомним следую- следующий результат теории Галуа. Теорема о примитивном элементе. Пусть К — бесконечное поле и К с L — конечное сепарабельное расширение. Тогда существует такой xtL, что L = К(х). Более того, если L порождается над полем К элементами zi,..., Zk, то х можно выбрать в виде линейной комбинации Sa;Z;. § 3. АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И NULLSTELLENSATZ 71 (Это непосредственно вытекает из основной теоремы теории Га- Галуа. Действительно, если К с М является нормальным замыканием L над К, то К с М — конечное расширение Галуа рассматриваемо- рассматриваемого поля. Таким образом, в силу основной теоремы между К и М существует только конечное число промежуточных расширений. Промежуточные подполя между К и L образуют конечный набор {Kj) isf-векторных подпространств в L. Значит, можно выбрать хбL, который не лежит ни в одном из них. Если даны zi,..., Zk, не принадлежащие ни одному из Ki одновременно, то х может быть выбран в виде ЛГ-линейной комбинации zi. Тогда К(х) = L.) Следствие. При выполнении условий леммы Нётер о нормали- нормализации C.13) существуют yi,..., ym + itA, удовлетворяющие за- заключению теоремы C.13) и, кроме того, условию, что поле част- частных К кольца А порождается над к элементами yi,..., ym + i. Доказательство. В силу C.16) мы можем считать, что К — се- сепарабельное расширение поля k(yi ут). Если А = k[xi,..., х„], то *,-, разумеется, порождают К как расширение поля k(yi,..., ут), так что подходящая линейная комбинация ym + i элементов xi с коэффициентами из к\у\ ут] порождает искомое расширение. Приведя все к общему знаменателю, можно выбрать ут + \ в виде линейной комбинации Xi с коэффициентами из к\ух,..., ут], т. е. принадлежащим кольцу А. Ч.т.д. Алгебраический смысл доказанного заключается в том, что рас- расширение к С К, которое само по себе не обязано быть чисто транс- трансцендентным, может быть получено как композиция чисто трансцен- трансцендентного расширения к С k(yi,..., ут) = Ко и примитивного алге- алгебраического расширения Ко С К = Ko(ym + i). Другими словами, К = к(у\,..., Ут + i), а между образующими имеется единственное алгебраическое соотношение. Геометрическое значение этого резуль- результата станет ясным в E.10). Упражнения к § 3 3.1. Область целостности называется областью главных идеалов, если каждый идеал / из А является главным, т. е. имеет вид /.= (в). Найдите прямое доказа- доказательство того, что идеалы в области главных идеалов удовлетворяют условию обрыва возрастающих цепей. 3.2. Покажите, что область целостности А является областью с однозначным' разложением на множители тогда и только тогда, когда каждая возрастающая це- цепочка главных идеалов стабилизируется и каждый неприводимый элемент кольца А прост.
гл. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ 3.3. (i) Докажите следующую лемму Гаусса. Если А — область с однозначным разложением на множители и f, g € А [х] — многочлены с коэффициентами из А, то простой элемент из А, являющийся общим делителем коэффициентов произведе- произведения fg, является общим делителем либо коэффициентов /, либо коэффициентов g. (ii) В начальном курсе общей алгебры доказывается, что если К — поле, то К[Х] — область с однозначным разложением на множители. Докажите индукцией по л, что k[Xi,..., Х„] является областью с однозначным разложением на множители. Для этого сравните разложение в k[Xi,..., Х„] с разложением в k(Xi,... ..., Х„-.х)[Х„], пользуясь для приведения к общему знаменателю леммой Гаусса. 3.4. Докажите предложение C.2 (ii)). Пусть А — область целостности. К — ее поле частных и 0 $ S С А — некоторое подмножества Положим В = A [S~'] = [a/b € К\а € А и Ъ = 1 или является произведением элементов из 5). Докажите, что идеал I из В полиостью определяется своим пересечением с А, и установите, что из нетеровости А следует нётеровость В. 3.5. Пусть J = (XY, XZ, YZ) С k[X, Y, Z]. Найдите V[J] с А3. Является ли оно . неприводимым? Верно ли, что J = I(V(J)I Докажите, что J не может быть порож- порожден двумя элементами. Пусть теперь J' = (XY, (X - Y)Z). Найдите V(J') и вычис- вычислите пк1У'. 3.6. Пусть J = (Хг + Y2 - 1, Y - 1). Найдите /€ /(К(У))\У. 3.7. Пусть J = (X2 + Y2 + Z2, XY + XZ + YZ). Найдите V(J) и I(V{J)). 3.8. Докажите, что неприводимые компоненты алгебраического множества опре- определены однозначно (что было сформулировано без доказательства в C.7(Ь))). Это означает, что если V = [^JVt = \_)Wj — два несократимых разложения множества V в объединение неприводимых компонент (т. е. Vi <?V., для i ^ V), то V> получа- получаются из Wj перенумерацией. 3.9. Пусть/ = X2 - Y2 и g = X3 + XY2 - Y3 - X2 Y - X + Y. Найдите неприво- неприводимые компоненты множества V(J, g) С А*,. 3.10. Пусть J = (uw — о2, w3 - и3). Покажите, что V(J) имеет две неприводимые компоненты, одной из которых является кривая С из C.11 (Ь)). Докажите, что ту же кривую С можно задать двумя уравнениями uw - о2 и u5 - 2u2vw + w3 = 0. Здесь дело в том, что второе уравнение, ограниченное на ква- квадратичный конус (uw = v2), становится похожим на полный квадрат. 3.11. Пусть /= v2 — uw, g = u* — vw, h = w2 — u3v. Опишите многообразие VW- & й) С А3 так, как это делалось в духе C.11 (Ь)). Выясните, имеют ли V(f, g), V(J, А) и V(g, h) другие интересные компоненты? 3.12. (i) Докажите, что над любым полем к алгебраическое подмножество в А1к либо конечно, либо совпадает с А*. Выведите отсюда, что топология Зарисского является кофинитной топологией. (ii) Пусть к — произвольное поле я f, g € к[Х, Y] — неприводимые элементы, не кратные друг другу. Докажите, что V(f, g) конечно. (Указание. Обозначьте через К поле к(Х). Докажите сначала, что / и g не имеют общих делителей в области главных идеалов K[Y]. Выведите отсюда, что существуют такие р, q ? K[Y], что pf + qg = 1. Далее, приводя р и q к общему знаменателю, покажите, что сущест- существуют h € к[Х\ и а, Ь € к[Х, У], такие, что h = qf + bg. Сделайте из этого вывод, что имеется лишь конечное число допустимых значений для Л'-координаты точек из УЦ-, g).) § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 73 (ш) Докажите, что любое алгебраическое множество V С А| является объедине- объединением конечного числа точек и кривых. 3.13. (а) Пусть к — бесконечное поле и /€ k[Xi,..., Х„\. Предположим, что / — не константа, т. е. /4 к. Покажите, что V(f) ^ А?. (Указание. Предположите, что в/входит переменная Х„ и рассмотрите разложение/= ~Zat(X\ Xn-i)X"n. Воспользуйтесь теперь индукцией по л.) (b) Предположим, что поле к алгебраически замкнуто, а/ такой же, как и в п. (а). Пусть/имеет по переменной Х„ степень т и а„(Х\,..., Xn-i)X%является его стар- старшим членом. Покажите, что если ат ^ 0, то существует конечное непустое множе- множество точек из V(f), соответствующих каждому набору значений (Xi Хп-Ц. Вы- Выведите отсюда, в частности, что если л > 2, то V(J) бесконечно. (c) Объединяя результаты п. (Ь) и упр. 3.12 (ш), докажите, что если к — алгебраи- алгебраически замкнутое поле, то различные неприводимые многочлены /€ к[Х, Y] опреде- определяют различные гиперповерхности в А^ (ср. с п. (а) разд. 3.11). (d) Обобщите результат п. (с) на случай А?. 3.14. Приведите пример, показывающий, что доказательство леммы Нётер о нормализации, приведенное в C.13), не проходит для конечного поля к. (Указание. Найдите многочлен f(X, К), для которого /v(a, 1) = а4 - а, так что Fd(a, 1) = 0 для всех а € к.) 3.15. Пусть А — кольцо и А С В — конечная /1-алгебра. Докажите, что если т — максимальный идеал в А, то тВ ^ В. (Указание. Предположим противное, а именно что В = тВ. Тогда если В = "ZAbi, то bi = "Zaubj для всех i, где ауб т. Докажите теперь, что Д = detEy - ву) = 0, и получите, что \в € т. Противоречие. (См. также [Атья, Макдональд, предл. 2.4 и след. 2.5].) 3.16. Пусть А = k[ai о«] удовлетворяет посылкам леммы Нётер о нормали- нормализации C.13). Положим / = ker[k[Xi Х„\ -* k[ai, ..., а„] = А] и рассмотрим V = V(I) в A J. Предположим для простоты, что / прост. Пусть Yi Ym — общие линейные формы от Х\ Хт. Обозначим через т: А? -» А? линейную проекцию, определенную формами Yi, ..., У™, и положим р= tt\v: V-* А?. Докажите, что из C.13(i)) и C.13(ii)) вытекает, что прообраз р'1(Р) любой точки Р € А" является конечным множеством, которое непусто, если к алгебраически замкнуто. (Указание. / содержит нормированные соотношения над k[Yi,..., Ym\ относительно всех X,. Из этого легко вытекает условие конечности. Для доказательства непустоты воспользуйтесь упр. 3.15, чтобы получить, что для любой точки Р = (Ъ\ Ьт) € А? идеал Jp = I + (Yi - bi, ... , Ym - Ь„) не совпа- совпадает с k[Xlt... , Хт]. Затем примените утверждение о непустоте из Nullstellensatz.) § 4. Функции на многообразиях В этом параграфе я работаю с фиксированным полем к. Начи- Начиная с D.8A1)) и далее поле к будет предполагаться алгебраически замкнутым. Читатель, который будет считать, что к = С, потеряет немного, а психологически, возможно, будет легче. В некоторых случаях для упрощения обозначений поле к не указывается.
74 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ D.1) Полиномиальные функции. Пусть V С Ajf — алгебраиче- алгебраическое множество, а /(К) — его идеал. Тогда факторкольцо k[V\ = k[Xi,..., Xn]/I(V) естественным образом отождествляется с кольцом функций на К Точнее, определим полиномиальную функ- функцию на Vкак отображение /: V-* к вида Р -¦ F(P), где Fe ?[Ai,... ..., -Yn]. Это означает, что / является ограничением отображения F: А" -» к, заданного многочленом. Согласно определению /(К), два элемента F, G € k[Xi Х„] определяют одну и ту же функ- функцию на V тогда и только тогда, когда F(P) - G{P) = 0 для всех Рб К т. е. тогда и только тогда, когда F - Gtl(V). Определим коорди- координатное кольцо k[V] следующим образом: k[V] = {/: V-* k\f — полиномиальная функция] = = k{Xu..., Xn]/I(V). Оно является наименьшим из колец функций на V, содержащих ко- координатные функции Xi (наряду с полем к), так что в этом случае традиционное название достаточно естественно. D.2) к[У] и алгебраические подмножества в К Алгебраическое множество X С А" содержится в V тогда и только тогда, когда 1{Х) D /(К). С другой стороны, идеалы кольца k[Xi,..., Х„], со- содержащие /(К), находятся в очевидном биективном соответствии с идеалами в к[Хх Xn]/I(V). (Поразмышляйте, не торопясь, если вам это не кажется очевидным. Действительно, идеал /, такой, что /(К) С JС k[Xi,..., Хп], соответствует идеалу J/I(V). И обратно, идеал /о в к[Х\,..., Xn]/I(V) соответствует своему прообразу в к[Хи..., Хп].) Поэтому следующие соответствия / и V: у {идеалы /С к [у]}-» {подмножества X С V), заданное формулой /~ V(I) = {Р6 V\f{P) = 0 для всех /6/), и {идеалы 7С к[V\}*-{подмножества XС V], заданное формулой I(X) = lftk[V] \f(P) = 0 для всех PtX) <->X, определяются так же, как в § 3, и имеют аналогичные свойства. § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 75 В частности, алгебраическое множество V снабжено топологией За- рисского, замкнутыми множествами которой являются алгебраи- алгебраические подмножества (разумеется, эта топология индуцирована на V как на подпространстве топологией Зарисского на А"). Предложение. Пусть V С. А" — алгебраическое подмножество. Следующие условия эквивалентны: @ V неприводимо; (ii) для любых двух открытых подмножеств 0 ^ СД, Uz С V имеем UiCMJz^ 0; (iii) любое непустое открытое подмножество U С V является плотным. Все эти утверждения вполне тривиальны. Неприводимость V означает, что V не может быть представлено в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств, a (ii) является просто переформулировкой этого замечания в терминах дополнений, так как САП С/г = 0 * V= (K\ C/i)U(K\ C/2). Подмножество топологического пространства является плотным тогда и только тогда, когда оно пересекается с любым открытым множеством, так что (iii) — это просто переформулировка (ii). D.3) Полиномиальные отображения. Пусть К С А" и W С Ат — алгебраические множества. Обозначим через Хг,..., Хп и Yx,..., Ym координаты на А" и Ат соответственно. Определение. Отображение /: V-* W называется полиномиаль- полиномиальным, если существует набор из т таких многочленов F\,..., Fm€ €k[Xi,..., Хп], что для всех Рб V f(P) = (FUP),..., Fm(P)NA?. Это определение является очевидным обобщением приведенного выше понятия полиномиальной функции. Утверждение. Отображение /: V-* W является полиномиаль- полиномиальным тогда и только тогда, когда для всех j композиция отобра- отображений fj = Yjof полиномиальна: we. at 0-я координатная функция)
w Это очевидно. Действительно, пусть / задано набором Fi,... ..., Fm; тогда композиция имеет вид Р ~ Fj(P) и является, очевид- очевидно, полиномиальной функцией. Обратно, если fj$k[V] для всех у, то при любом выборе Fjб к[Хх Хп], таких, что fj = Fjmodl(V), получается представление / в виде полиномиального отображения, заданного набором (Fi Fm). В свете этого утверждения отображение / может быть записано в виде /= СЛ,..., fm). Композиция полиномиальных отображений определяется оче- очевидным образом. Если К С A", W С Ат и U С А1 — алгебраические множества, a. f: V~* W и g:W-* U — полиномиальные отображе- отображения, то go/: V-* U также полиномиально; действительно, если / задано многочленами Fx,..., Fm ?к[Хг,..., Хт], a g задано мно- многочленами Gi,..., Gi?k[Yi,..., Ym], то gof задается много-, членами Gi(Fi,..., Fm),..., Gi(Fu ..., Fm) 6 k[Xu ..., Xn]. Определение. Полиномиальное отображение/: V-* W алгебраи- алгебраических множеств называется изоморфизмом, если существует поли- полиномиальное отображение g: W'-* V, такое, что fog = gof= id. Мы уже приводили несколько примеров полиномиальных ото- отображений. Так, отображения параметризации IR1 -¦ С С IR2 из B.1), задаваемые формулами t •-» (t2, /3) или t -> (t2 — 1, t3 - t), а также отображение к -* С С А* из C.11 (Ъ)), заданное формулой t ~ (/3, f, t5), явно имеют требуемый вид. Кроме этого при обсуждении нор- нормализации Нётер рассматривалось алгебраическое множество КС А? и общая проекция р: V-* А™, определенная т «достаточно общими» линейными формами Y\,..., Ym. Так как У/ являются ли- линейными формами от координат Xi в А™, то это отображение поли- полиномиально. С другой стороны, параметризация окружности из разд. A.1) за- задается рациональными функциями, а не полиномиальными, так как в знаменателе стоит выражение (X2 + 1). По той же причине не го- годится также и обратное отображение (X, Y) > t — Y/X любой из особых кубик С С IR2 на IR1 (точнее, не годится данная запись). D.4) Полиномиальные отображения и k[V] Теорема. Пусть, как и выше, V с Aj? и W с А™ — алгебраиче- алгебраические множества. § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 77 (I) Полиномиальное отображение /: V-* W индуцирует гомо- гомоморфизм колец /*: k[W] -* k[V], определяемый взятием компози- композиции функций. А именно если g?k[W] — полиномиальная функция, то f*(g) = 8°f также полиномиальна и g -¦ gof определяет гомо- гомоморфизм колец и в действительности даже гомоморфизм к-алгебр /*: k[W] -* k[V]. (Заметим, что это отображение действует в сторону, обратную /.) (II) И обратно, любой гомоморфизм к-алгебр Ф: k[W] -> k[V] имеет вид Ф = /* для некоторого однозначно определенного поли- полиномиального отображения f:V~* W. Таким образом, (I) и (II) показывают, что отображение С полиномиальные [отображения /: V W (гомоморфизмы к-алгебр^ {ф: k[W]~*k[V] у заданное формулой /•-»/*, является биекцией. (III) Если f:V-*Wu g:W-+ U — полиномиальные отображе- отображения, то два кольцевых гомоморфизма (g of)* = fog*: k[U]-> k[V] совпадают. Доказательство. (I) В силу того, что говорилось в D.3), f*(g) является полиномиальным отображением V -* к и, следовательно, fis) € k[V\. Очевидно, что f*(a) = а для всех а 6 к (так как к рас- рассматривается как множество постоянных функций на V, W). И на- наконец, тот факт, что /* — кольцевой гомоморфизм, получается ав- автоматически, так как и k[W] и k[V] являются кольцами функций. (Кольцевая структура определяется поточечно; так, например, для ?ь #2 € k[W] сумма gi + gz определяется как функция на W, такая, что (gi + gz)(P) = gi(P) + gz(P) для всех Р€ W. Следовательно, /Ъ + a)(Q) = (gi + &)(Ле» = giifiQ) + &CAQ)) =/«i(Q) +/a(Q). Надеюсь, что никто не станет читать этой ерунды?) (III) просто означает, что композиция отображений ассоци- ассоциативна. (II) Доказательство этого пункта более замысловатое, хотя его содержательная нагрузка ничуть не выше, чем у прочих пунктов. Для всех / = 1,..., т обозначим через yt € k[W] i-ю координатную функцию на W; значит, k[W] = k[yu ..., Ут] = да,..., Ym]/I(W). Таким образом, задано отображение Ф: k[W] -»k[V] и можно определить // € k[V] формулой ft = Ф($
78 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Рассмотрим отображение /: V-* А™, определенное набором функций f(P) = (fi(P), ¦¦¦, fm{P)). Оно полиномиально, так как fi?k[V]. Более того, можно утверждать, что / отображает К в W, т. е. ДК) С W. В самом деле, предположим, что G 61{W) С A:[Yi Ym]; где левая часть означает, что в полиномиальное выражение G под- подставлены элементы yi кольца. Следовательно, Ф(р(у1,..., ут)) = = 0€k[V], и так как Ф — гомоморфизм Ат-алгебр, то k{V\ Э 0 = ,..., ут)) = ) Ф(ут)) = ./i — функции на К и G(fi,..., fm) б k[V\ является по определению функцией вида Р ~ G{fi{P),..., fm(P)). Этим доказано, что для точ- точки Рб К и произвольного G$I(W) координаты (fi(P),..., /т(Р)У точки/(/>) удовлетворяют соотношению G(fi(P),..., fm(P)) = 0. Поскольку W — подмножество в А™, определяемое тем, что Ge/(W) обращаются на нем в нуль, получаем что f(P) б Ж Это доказывает, что рассматриваемое отображение / является полино- полиномиальным отображением V-* W. Чтобы убедиться, что два гомо- гомоморфизма /*, Ф: k[W] <-> k[V\ А:-алгебр совпадают, достаточно прове- проверить, что они совпадают на образующих, т. е. /*(уд = Ф(уд. Неслож- Несложный анализ способа построения / (в начале доказательства п. (U) выше) показывает, что это действительно так. Совершенно аналогичное рассуждение устанавливает, что отображение / однозначно опреде- определяется условием /*(уд = Ф(у/). Ч.т. д. D.5) Следствие. Полиномиальное отображение f:V-*W явля- является изоморфизмом тогда и только тогда, когда f:k[W]-+ -* k[V\ — изоморфизм. Пример. Над бесконечным полем к полиномиальное отобра- отображение р: А1к -> С: (У2 = X3) С А2к, заданное формулой Г** (Г2, Г3), не является изоморфизмом, так как в этом случае гомоморфизм <р*: к[С] = к[Х, Y]/(Y2 - X3) -* к[Т] задается формулой X -¦ Г2, Y >-> Т3. Образ <р* является Аг-алгеброй, порожденной Г2 и Г3, a kit1, Т3] строго содержится в к[Т] (Пожа- (Пожалуйста, убедитесь, что вам понятно, почему Г2 и Тг не порождают к[Т]. Тут я вам помочь не берусь.) § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 79 Заметим, что <р биективно и, следовательно, имеет вполне хоро- хорошее обратное отображение ф'.С-*Ак, задаваемое формулой (X, У) « 0 при X = Y= Ои(Х, У)« Y/ X в остальных случаях. По- Почему же в таком случае <р не является изоморфизмом? Дело в том, что на С имеется меньше полиномиальных функций, чем на А1. На самом деле вы могли бы догадаться об этом и сами, так как в кольце А:[А1] = к[Т] есть полиномиальная функция с ненулевой производной в точке 0. Создается ощущение, что <р «сплющивает касательные векторы в точке 0». D.6) Аффинные многообразия. Пусть к — поле. Аффинным мно- многообразием я буду называть неприводимое алгебраическое подмно- подмножество KCAJJ, определенное с точностью до изоморфизма. Теорема D.4) означает, что координатное кольцо k[V\ является инвариантом многообразия V с точностью до изоморфизма. Это позволяет нам дать определение многообразия, в котором меньше используется объемлющее пространство А%. Наше желание добить- добиться такого определения вызвано довольно смутными причинами, и с практической стороны читатель не много потеряет, если проиг- проигнорирует его. В дальнейшем аффинное многообразие будет пони- пониматься в указанном выше смысле (переходите к п. D.7)). Определение. Аффинным многообразием над полем к называет- называется подмножество V вместе с кольцом k[V\ А>значных функций /: V-* к, такие, что (i) k[V\ — конечно порожденная А>алгебра; (ii) при некотором выборе образующих х\,..., х„ в кольце k[V\ отображение V-*Al, заданное формулой Р - (Х1(Р),..., х„(Р)), определяет вложение V как: неприводимого алгебраического мно- множества. D.7) Поле функций. Пусть V — аффинное многообразие. Тогда координатное кольцо k[V\ многообразия V — это область целост- целостности, элементами которой являются ?-значные функции на V. Определение. Полем функций k(V) многообразия К называется поле частных k(V) = Quot(A:[Kl) кольца k[V]. Элемент /6 k(V) на-
80 ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ зывается рациональной функцией на V. Заметим, что f€k(V) является по определению отношением / = g/h, где g, Л € k[V] и Л Ф 0. . Априори из-за нулей функции Л /не является функцией на V. Тем не менее / корректно определена в точке Р$ V, если h(P) jt 0, так что она является по крайней мере «частично определенной» функцией. Сейчас мы введем терминологию, подкрепляющую это понятие. Определение. Пусть f?k(V) и Р€ V. Скажем, что / регулярна в точке Р или что Р принадлежит области определения функции /, если существует представление / = g/h, где & А € k[V\ и Л(Р) & 0. Важное обстоятельство, которое следует иметь в виду, заключа- заключается в том, что, как правило, k[V] не является областью с одно- однозначным разложением на множители, т. е. для /€ k(V) могут су- существовать принципиально разные представления/= g/h (см., на- например, упр. 4.9). Через dom/= {/>€ V\f регулярна в точке Р) обозначим область определения функции / и запишем 0у,р = {/€ k(V)\f регулярна в точке Р) = *[F][{AwlIA(i>) * 0}]. Тогда 0у,р С k(V) является подкольцом, называемым локальным кольцом многообразия V в точке Р. D.8) Теорема. (I) dom/ является открытым и плотным в топо- топологии Зарисского множеством. Предположим, что к алгебраически замкнуто; тогда (II) dom/= (т. е. полиномиальная функция — это регулярная рациональная функция). Более того, для любого А € k[V] положим Vh = V\ K(A)= [P€ V\h(P) *()}; тогда (III) dom/ э Vh ¦ /€ k[V\ [A~1]. Доказательство. Определим идеал знаменателей функции /€ k[V] соотношением Df= {h€k[V]\hf$k[V]) С k[V] = = [h?k[V]\ существует представление /= g/h, где gik[V\(J{0]. § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 81 Из первой строки очевидно, что D/ является идеалом в k[V\. Тогда автоматически получаем, что V\ dom/= {i>€ KlA(i>) = 0 для всех А€?>/} = V(Df), так что V \dorn/ является алгебраическим множеством в V. Следо- Следовательно, dom/ = V \ V(D/) — дополнение к замкнутому множе- множеству, и, таким образом, оно открыто в топологии Зарисского. Оче- Очевидно, что dom/ непусто и, значит, в силу упр. 4.2 плотно. Далее, используя п. (Ь) из Nullstellensatz получим dom/= Ко V(Df) = 0 о 1 €?»/, т. е. ftk[V]. И, наконец, dom/Э Vh <» А обращается в нуль на и в силу п. (с) из Nullstellensatz для некоторого и, т. е. f=g/hn?k[V][h~1]. Ч.т.д. аффинное много- D.9) Рациональные отображения. Пусть V образие. Определение. Рациональным отображением f:,V > А? назы- называется частично определенное отображение, заданное рациональны- рациональными функциями /ь ..., /п, т. е. ЛР) = (fi(P),.... /-(/»)) Для всех i>€f|dom/-. По определению dom/= f]domfi. Как и ранее, / называется регу- регулярным в точке Р € К тогда и только тогда, когда Р € dom/. Рацио- Рациональное отображение V * W двух аффинных многообразий К С А" и W С А определяется как рациональное отображение /: V > А, такое, что /(dom/) С Ж Два примера рациональных отображений были описаны в конце разд. D.3). D.10) Композиция рациональных отображений. Композиция go/ рациональных отображений f:V > W и g\W * U может быть не определена. Эта трудность вызвана тем, что рациональное отображение не является настоящим отображением; в естественном и очевидном смысле композиция определена на множестве dom/D Df~1(domg), которое вполне может оказаться пустым (см. упр. 4.10). 6-1263
ГКГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Эта же проблема возникает и при алгебраической трактовке. А именно, пусть / задано набором /ь ..., /m € k(V), так что /: V - -» W С Ат по формуле Р ~ где i*€ ndom/ь Любая функция g € k[W] имеет вид g = GmodI(W) для некоторого G€fc[Yi Ym], и композиция go/= G(/i,... ,/т) корректно определена в fc(V). Таким образом, так же как в разд. D.4), имеет место гомоморфизм ^-алгебр /*: k[W]->k(V), соответствующий функции /. Однако если h€k[W] лежит в ядре отображения /*, то выражению f*(g/h) нельзя придать никакого смысла, т. е. /* не может быть продолжено до гомоморфизма по- полей k(W)-*k(V). Определение. Отображение /: V > W называется доминант- доминантным, если /(dom/) плотно в W в топологии Зарисского. Геометрически это означает, что для любого рационального отображения g: W > U прообраз /~ ^domg) С dom/ является от- открытым плотным множеством в топологии Зарисского, так что композиция go/ определена на открытом плотном подмножестве в К и является частично определенным отображением V —> U. С алгебраической точки зрения / доминантно <¦/*: k[W\ -* k[V] инъективно. Для заданного g€k[W] получаем, что g € kerf* « /(dom/) С V(g), т. е. /* не является инъективным тогда и только тогда, когда /(dom/) содержится в собственном алгебраическом подмножестве многообразия W. Очевидно, что композиция g о/ рациональных отображений / и g определена, если / доминантно. В этом случае go/ является ра- рациональным отображением с компонентами /*(&). Заметим, что область определения go/, очевидно, содержит f~1(domg)r\domf, но вполне может быть больше (см. упр. 4.6). § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 83 D.11) Теорема. (I) Доминантное рациональное отображение f:V' - -* W определяет гомоморфизм полей /*: k(W) -* k(V). (II) Обратно, к-гомоморфизм $:k(W)-> k(V) индуцируется од- однозначно определенным доминантным рациональным отображе- отображением f:V- -» W. (III) Если fug доминантны, то (go/)* = fog*. Доказательство получается небольшим изменением рассужде- рассуждения из D.4). D.12) Морфизмы из открытого подмножества аффинного мно- многообразия. Пусть V и W — аффинные многообразия, a U с V — открытое подмножество. Определение. Морфизмом f:U-+ W называется рациональное отображение /: V > W, такое, что U с dom/, т. е. / регулярно во всех точках />€?/. Если ?/i С V и Сг С W — открытые множества, то морфизм /: Ui -* Uz — это просто морфизм /: ?Д -» W, такой, что /(?А) С С/г. Изоморфизмом называется морфизм, имеющий двусторонний об- обратный морфизм. Заметим, что если V и W — аффинные многообразия, то по п. (II) теоремы D.8) {морфизмы /: V-* W] = [полиномиальные отображения f:V-+W\; Левая часть этого соотношения содержит рациональные объекты, подчиненные условиям регулярности, в то время как правая часть определяется более непосредственно через многочлены. Пример. Параметризация полукубической параболы А1 -¦ -¦С: (У2 = X3) из разд. B.1) индуцирует изоморфизм А1 \ {0} = s С \ {@, 0)) (детали см. в упр. 4.5). D.13) Стандартные открытые подмножества. Пусть V — аффин- аффинное многообразие. Для /€ k[V\ обозначим через Vf открытое мно- множество Vf= V\ V(f) = [Р€ V\f(P) #0]. Такие К/ называются стандартными открытыми множествами в V. Предложение. V/ изоморфно аффинному многообразию, и
КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Доказательство. Идея заключается в рассмотрении графика функции fl. Аналогичный прием использовался при доказатель- доказательстве импликации (Ь) =» (с) в Nullstellensatz C.10). p: (X, У) - X q:\ - (X, F(X)-1) t' p (/ к : л = 0) {YF a = О V Пусть J = V(VO С k[Xi Х„]. Выберем F€ k[Xu ..., АГИ] так, что /=Fmod/(JO- Положим теперь /=(J, YF - 1) С k[Xu ... ..., -X», Y] и KG) Легко проверить, что отображения, изображенные на диаграмме, являются взаимно обратными морфизмами многообразий W я Vf. Утверждение о координатном кольце содержится в теореме D.8). Ч.т.д. Стандартные открытые множества V/ важны тем, что они обра- образуют базис топологии Зарисского на И А именно, каждое открытое множество U С V является объединением множеств V/ (так как лю- любое замкнутое подмножество имеет вид V(I) = П У if) Для некоторого идеала). Таким образом, смысл сформулированного ре- результата состоит в том, что каждое открытое множество ?/€ V есть объединение открытых множеств Vf, которые являются аф- аффинными многообразиями. D.14) Пример. В § 2 я обсуждал групповой закон (А, В) — А + В на плоской неособой (проективной) кубике С С Р2. Пусть Со: О2 = х3 + ах + Ь) — неособая аффинная кубика (см стр. 85). Я покажу сейчас, что групповой закон определяет рациональное отображение <р: Со х Со > Со и что <р является морфизмом там, где ему положено быть. Хотя я не буду на этом останавливаться, замечу, что то же рассуждение может быть использовано, чтобы получить другое доказательство «по непрерывности» ассоциатив- ассоциативности группового закона, которое пригодно для любого поля (см. обсуждения в разд. B.10)). § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 85 А + В Нетрудно убедиться (см. упр. 2.7), что если А = (х, у), В = = (х', у') и х^х', то, обозначив через и отношение (у- - У'У(х - х'), можно определить координаты третьей точки пере- пересечения Р= (х", у") следующим образом: х" =f(x, у, х', у') = и2 - (х + х'), У" = Six, у, х', у') = и3 + хи + у'. Так как х" и у" являются рациональными функциями координат (х, у), (х', у'), то это означает, что <р: Со X Со > Со является ра- рациональным отображением. Из явного вида формул следует, что при х ^ х' отображение <р является морфизмом, так как в этом слу- случае знаменатель и не обращается в нуль. Пусть теперь х = х' и у = - у'; тогда координаты х" и у" должны обращаться в беско- бесконечность, и это соответствует тому, что прямая АВ пересекает про- проективную кривую С в точке О = @, 1, 0) на бесконечности. Если же х = х' и у = у' Ф 0, то и в этом случае точка Р = (х", у") до- должна быть корректно определена. Я утверждаю, что / и g в таких точках на Со х Со являются регулярными функциями. Чтобы убе- убедиться в этом, заметим, что из у2 = х3 + ах + b и у'2 = х'3 + ах' + Ъ вытекает, что г ,г г ,г i ,л У ~ У - х - х/3 + а(х - х'); следовательно, для рациональных функций на Со х Со имеет место тождество и = (у - у')/(х - х') = (х2 + хх' + х'2 + а)/(у + у').
ГЛ. 2. КАТЕГОРИЯ АФФИННЫХ МНОГООБРАЗИЙ Из вида знаменателя следует, что и (а также / и g) регулярна при Следствием наших выкладок является такое утверждение: групповой закон <р: Со х С * Со является морфизмом в точке (А, В) € Со X Со при условии, что А + В Ф 0. Упражнения к § 4 4.1. Проверьте, что утверждения § 4 по D.8 A)) включительно выполняются над любым полем к. Продумайте, в частности, что они означают для конечного поля. Приведите контрпример к D.8A1)), если поле к не является алгебраически замк- замкнутым. 4.2. Пусть <р: А1 -> А3 — полиномиальное отображение, заданное формулой X « (X, X2, X3). Докажите, что образ отображения <р является алгебраическим под- подмножеством С С А3 и что *>: А1 -» С — изоморфизм. Попробуйте получить обо- обобщения. 4.3. Пусть tpn: А1 -> А2 — полиномиальное отображение, заданное формулой X « (X2, Xя). Докажите, что если л четно, то образ <ря изоморфен А1 и <р„ является двулистным накрытием вие 0. Покажите, что если л нечетно, то <р„ — биекция, и задайте рациональное отображение, обратное к <р„. 4.4. Докажите, что морфизм <р: X -* У двух аффинных многообразий является изоморфизмом между X и подмногообразием <р(Х) С У тогда и только тогда, когда индуцированное отображение Ф: k[Y] -> к[Х] сюръективно. 4.5. Пусть С: (Г2 = X3) С А2. Тогда (а) параметризация /: А1 -> С, заданная формулой Gй, Г3), является полиноми- полиномиальным отображением; (Ь)/ имеет рациональное обратное отображение g: С > А1, определяемое фор- формулой (X, У) - Y/X; (c) domg = С\(@, 0)); (d) / и g задают взаимно обратные изоморфизмы А1 \ @) г С \ (@, 0)). 4.6. (i) Покажите, что область определения отображения g о/ может быть строго большей, чем dom/П/ (domg). (Указание. Это может произойти, если g и/явля- и/являются взаимно обратными рациональными отображениями. Попробуйте рассмотреть / и g из упр. 4.5). (И) Большинство курсов анализа функций нескольких переменных содержат такие примеры, как функция f(x, у) = лгуДх-2 + у2). Объясните, как получается, что функ- функция /, ограниченная на любую гладкую кривую, проходящую через @, 0), является гладкой, а как функция двух переменных она даже не непрерывна. 4.7. Пусть С: (У2 = X3 + X2) С А2. Уже знакомая нам параметризация кривой <р'. А1 -> С задается полиномиальным отображением Г« Gй - 1, Г3 - Г), но она <р'. А1 -> С задается полиномиальным отображением Г« G 1, Г Г), но оа не является изоморфизмом (а почему?). Определите, является ли изоморфизмом ограничение <р': А1 \ A) -+ С: § 4. ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ 87 4.8. Пусть С: (У3 = X* + X3) С А2. Покажите, что отображение (X, Y) - X/Y определяет рациональное отображение <р: С > А1, и его обратным является поли- полиномиальное отображение <р: А1 -> С, параметризующее С. Докажите, что <р ограни- ограничивается до изоморфизма А1 \ ( 3 точки) s С\ (@, 0)). 4.9. Пусть V:(XT = YZ) С А4. Объясните, почему k[V] ие является областью с однозначным разложением на множители. (Уловить идею нетрудно, намного труд- труднее получить строгое доказательство.) Пусть / = X/Y€ k(V); найдите dom/ и дока- докажите, что оиа строго больше, чем множество точек (Y = 0) с V. 4.10. Пусть/: А1 -» А2 задано формулой X — (X, 0), a g: А2 » А1 — рацио- рациональное отображение, заданное формулой (X, У) — X/Y. Покажите, что композиция g о/ нигде не определена. Выясните, на каком максимальном подмножестве поля функций /(А1) определена g'. 4.11. Определите и изучите понятие произведения двух алгебраических множеств. А именно, (i) докажите, что если V С AJ и W С А™ — алгебраические множества, то V х W С AJS+m также алгебраично; (ii) приведите примеры, показывающие, что топология Зарисского на V х W не является произведением топологий Зарисского на К и на W: (ш) докажите, что если V и W неприводимы, то V х W неприводимо; (iv) докажите, что если Иг V и W = W, то Vx Ws V х W. 4.12. (а) Докажите, что любая функция /€ А:(А2), не регулярная в начале коорди- координат @, 0), не регулярна также в точках некоторой кривой, проходящей через @, 0); (Ь) Докажите, что множество А2 \ @, 0) не является аффинным многообразием. (Указание. Для доказательства п. (а) используйте тот факт, что А:(А2) = к(Х, Y) яв- является полем частных кольца к[Х, У] с однозначным разложением на множители, и результат упр. 3.13(Ь). Для доказательства п. (Ь) предположите, что А2 \ @, 0) аффинно, и определите его координатное кольцо. Используя следствие D.S), получи- получите противоречие.)
щ Глааа 3 ПРИЛОЖЕНИЯ § 5. Проективная и бирациональная геометрии Целью первой части § 5 является обобщение результатов § 3—4 на проективный случай. За исключением нескольких содержатель- содержательных моментов, это делается вполне автоматически. Оставшаяся часть параграфа посвящена бирациональной геометрии, т. е. изуче- изучению введенного в конце § 4 поля функций k(V). Этот материал оди- одинаково хорошо вписывается и в проективный, и в аффинный контекст. E.0) Почему же проективные многообразия? Кубическая кривая С: (Y2Z = X3 + aXZ2 + bZ3) С IP2 является объединением двух аффинных кривых Со: О2 = х3 + ах + Ь) С А2 (кусок (Z = 1) кривой С) и Ci:(zi = x\ + axizl + bzl) С А2 (кусок (У = 1)), склеенных с помощью изоморфизма Со \ (у = 0) -» Ci \ (zi = 0), заданного формулой (х, у) -» (х/у, \/у). В качестве существенно более простого примера можно взять пространство IP1 с однородными координатами (X, Y), которое яв- является объединением двух экземпляров А1 с координатами хо и у\ соответственно, склеенных друг с другом с помощью изоморфизма А1 \ (хо = 0) -» А1 \ Oi = 0). заданного формулой Хо — 1/ХЬ. § 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 89 Обычная иллюстрация выглядит так: (стрелки ¦* обозначают склеивание). Важно понимать, что эти многообразия строго больше любого аффинного многообразия. Действительно, при естественном опреде- определении морфизма (которое мы скоро введем) легко убедиться, что ни для какого п не существует непостоянных морфизмов IP1 -¦ А" или С->Ап (см. упр. 5.1 и 5.12 и обсуждения в (8.10)). Одним из решений этой проблемы является введение понятия «абстрактного многообразия» V как объединения V = (J Vt аффин- аффинных многообразий по модулю подходящего склеивания. В силу ана- аналогии с определением многообразий в топологии эта идея склеива- склеивания может показаться привлекательной, однако она приводит к многочисленным техническим трудностям. Работа с проективными многообразиями устраняет эти сложности путем использования го- готового объемлющего пространства IP", так что (за исключением не- некоторой возни с однородными многочленами) изучать такие много- многообразия ненамного сложнее, чем аффинные. В действительности, хотя это и не столь очевидно на элементарном уровне знаний, про- проективные многообразия представляют собой на удивление естест- естественный полигон для изучения алгебраических многообразий (это кратко обсуждается с высоконаучной точки зрения в (8.11). E.1) Градуированные кольца и однородные идеалы Определение. /€ к[Хо Х„] называется однородным много- многочленом степени d, если где а,0 ,•„ ^ 0, только если /0 + ... + in = d. Любой многочлен /€ к[Хо,..., Х„] обладает однозначным раз- разложением вида/ = Уо +/i + ... +/n, где fa — однородный много- многочлен степени d, d = 0, 1,..., N.
ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Предложение. Если f — однородный многочлен степени d, то f(\X0,..., \Хп) = \"f(X0,..., Х„) для всех X € А:. Если поле к бесконечно, то верно и обратное. Доказательство. Попробуйте и убедитесь. Определение. Идеал IС к[Х0,..., Хп] называется однородным, если для всех /€/ однородное разложение / = /о +/i + ... + /n удовлетворяет условию ft € / для всех /. Это эквивалентно тому, что / порождается (конечным числом) однородных многочленов. E.2) Однородные соответствия V и J. Пусть IP* — это и-мерное проективное пространство над полем к с однородными координата- координатами Хо,..., Х„. Тогда/€ к[Хо,..., Хп] не является функцией на IPJj, так как по определению Р* = ?п+1\{0}/~, где ~ отношение экви- эквивалентности, заданное условием (Хо,..., Х„) ~ (КХо,..., \Х„), \€к\ [0], а/ — функция на к" +1. Тем не менее, если/однородна, для точки Р € IP" выражение f(P) = 0 корректно определено. А именно, пусть Р = (Хо:... :Хп), т. е. (Хо,..., Х„) — представитель класса эквивалентности точки Р в кп+1\ {0}, Тогда, поскольку /(XX) = Xd/(X), из соотношения f(X0,..., Х„) = 0 вытекает, что f(\Xo,..., \Хп) = 0, т. е. условие f(P) = 0 не зависит от выбора представителя. Учитывая это, определим, как и выше, соответствия ("однородные идеалы") •?/ f подмножества") lJCk[Xo,..., Х„] j (ДСр* j соотношениями V(J) = {Р с !Р*1Д.Р) = 0 для всех однородных /€ J] и I(X) = [f€k[X0,..., Xn]\f(P) = 0 для всех Р€Х]. В качестве упражнения убедитесь, что вам ясно, почему 1(Х) — од- однородный идеал. Соответствия V и / обладают теми же формальными свойства- свойствами, что и их аффинные прототипы, введенные в § 3 (например, V(Ji + Jz) = V(J\) П V(J2)). Подмножество вида V(I) называется ал- алгебраическим подмножеством в Р*, и, так же как и в аффинном случае, IP* снабжено топологией Зарисского, замкнутыми подмно- подмножествами в которой являются алгебраические подмножества. § 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 91 E.3) Проективная Nullstellensatz. Так же как и в аффинном слу- случае, чисто формальная проверка показывает, что I(V(J)) D rad J для любого идеала J и что V(I(X)) = X для любого алгебраического множества X. Имеется ровно одно место, в котором требуется про- проявить осторожность. А именно, тривиальный идеал A) = к[Хо,... ..., Х„] (все кольцо) определяет пустое множество в к"+1, а следо- следовательно, и в PJt, как и должно быть; в то же время идеал (Хо,... ..., Хп) определяет @) в к"*1, который также соответствует пусто- пустому множеству в Р?. Идеал (Хо,..., Х„) является весьма неудобным исключением (связанным с пустым множеством) для некоторых ут- утверждений однородной теории, и его традиционно называют несу- несущественным идеалом. Таким образом, однородный вариант Nullstellensatz имеет сле- следующий вид. Теорема. Пусть к — алгебраически замкнутое поле. Тогда (i) V(J) = 0 ¦ radJ Z> (Xo Х„); (ii) если V(J) Ф 0, то I(V(J)) = rad/. Следствие. I и V определяют взаимно обратные биекции (однородные радикальные \ идеалы J С к[Хо Х„], {jnaKue, что J Ф к[Х0,..., Х„] U однородные простые идеалы J С к[Хо Хп], такие, что J Ф к[Хо Хп] i алгебраические подмножества i^ATCP" U неприводимые алгебраические подмножества X с Р" Доказательство. Пусть тг: An+1 \ @) -» Р" — отображение, определяющее Р". Пусть J — однородный идеал / С к[Х0,..., Х„]. Временно обозначим через V(J) CA" + 1 аффинное алгебраическое множество, определенное идеалом /. Так как J однороден, то Vй (J) обладает следующими свойствами: (а0,..., а«) € V(J) # (Ха0,..., Ха„) € V(J), и V(J) = V(J) \ {0}/ ~ с Р". Следовательно, V(J) = 0* V(J) С {0} « radJ Z> (ЛЬ, - , Хп), где в последней импликации используется аффинная Nullstellensatz.
ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Кроме того, если V(J) & 0, то 4» /€ radJ. Ч.т-Д. Использованное выше аффинное подмножество V(J) называет- ся аффинным конусом над проективным алгебраическим подмноже- подмножеством V{J). E.4) Рациональные функции на V. Пусть V С Р* — неприводи- неприводимое алгебраическое множество и I(V) С ?№,..., -Хп] — его идеал. Прямого способа определить регулярные функции на V через мно- многочлены нет. Действительно, хотя многочлен F6 к[Х0,..., Хп] и за- задает функцию на аффинном конусе над V, но (см. случай d = О в предложении E.1)) эта функция постоянна на классах эквивалент- эквивалентности только в том случае, когда F имеет степень 0, т. е. является - константой. Таким образом, с самого начала нам придется рабо- работать с рациональными функциями. Определение. Рациональной функцией на V называется (час- (частично определенная) функция /: V * к, заданная соотношением f(P) = g(P)/h(P), где g, A 6 к[Х0,..., Х„] — однородные многочле- многочлены одинаковой степени d. Заметим, что в случае h(P) j? О частное g(P)/h(P) корректно определено, так как для всех 0 # X € к g(\X)/A(XX) = \"g(X)/\dA(X) = g(X)/A(X). Далее, очевидно, что g/h и g'/h' определяют одну и ту же рациональную функцию на V тогда и только тогда, когда А' g - g' А € I(V), так что множество рациональных функций явля- является полем k(V)= [g/h\g, h€k[X0,..., Х„] однородны и одинаковой степени, h$I(V)\/ ~, где отношение эквивалентности, g/h ~ g'/h' *h'g- g'h€l(V). k(V) называется (рациональным) полем функций многообразия V. Следующие определения ничем не отличаются от аффинного случая. Пусть fdk{V) и i*€ V; назовем функцию /регулярной в точке Р, если существует представление / = g/h, где g и А — одно- однородные многочлены одинаковой степени, такие, что h(P) Ф 0. Вве- § 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 93 дем обозначения dom/= {i*€ V\f регулярна в точке Р] и &V.P = (/€ k(V)\f регулярна в точке Р]. Очевидно, что dom/C V является плотным открытым по Зарис- скому множеством в V (доказательство как в D.8A)), а^,?с k(V) является подкольцом. E.5) Аффинное покрытие проективного многообразия. Пусть КС Р" — неприводимое алгебраическое множество, и предположим для простоты, что V <f-(Xi = 0) ни для одного /. Мы знаем, что IP" может быть покрыто п + 1 аффинными кусками А^ с аффинными (неоднородными) координатами Х(р,..., XIi, X)%i,..., Х%~>, где = Xj/Xi для j* i. Положим Уф = КЛА<д. Тогда Кд С А® является, очевидно, аф- аффинным алгебраическим множеством, так как о/A, д40),..., х^оу) = 0 для всех однородных /€/(К), что является набором полиномиальных уравнений относительно ко- координат (д^0),..., д^0)) точки Р. Для определенности здесь и далее там, где это будет удобно, мы будем считать, что / = 0. Читатель должен понимать, что все это верно для любого другого аффинно- аффинного куска многообразия V. Ущ называются стандартными аффин- аффинными кусками многообразия V. Предложение, (i) Соответствие К— К<о> = КПА) задает биекцию неприводимые алгебраи- алгебраические подмножества КС IP" Гнеприводимые алгебраи- j V<?.(Xo = 0) [ ¦* ] ческие подмножества [, № С А?» ) а обратное соответствие получается взятием замыкания в топо- топологии Зарисского. (ii) Пусть /*(К) С к[Хо,..., Х„] — введенный в этом параграфе однородный идеал подмножества КСР" а /°(К@)) С к\Х\,... ..., Хп] — обычный неоднородный идеал подмножества
ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ F@) С А"о) (как в § 3). Тогда IH(V) и /в)(^<о)) связаны следующим образом: /" = {/A, *!,..., *„)!/€/*(Ю), а ), где () где нижний индекс в обозначении /*(F)d означает взятие всех чле- членов степени d. (iii) k(V) s k(V(p)), и для всех f?k(V) область определения функции f как функции на К<о> совпадает с К@) П dom/. Доказательство. Утверждения (i) и (ii) очевидны. Докажем (iii). Если & h€ k[Xo,..., Х„] — однородные многочлены степени d и h$I(V), то отношение g/h € k(V), ограниченное на К(о), совпадает . с функцией g(l, Хх/Хо Xa/X0)/h(l, Xi/Xo,..., Xn/Xo); Это определяет отображение k(V)-+ к(Уфу), и легко понять, что яв- является его обращением. E.6) Рациональные отображения и морфизмы. Рациональные отображения проективных (или аффинных) многообразий определя- определяются с помощью кольца k(V). А именно, если КС Р" — неприво- неприводимое алгебраическое множество, то рациональным отображением V —> А™ называется (частично определенное) отображение, задан- заданное формулой Р ~ (fi(P),..., fm(P)), где /i,..., /m € k(V). Рацио- Рациональное отображение V > !Pm определяется формулой Р •-» ~(fo(P):fi(P):...'-fm(P)), rnefo,fi,...,fmtk(V). Заметим, что если О ?? g€k(V), то gfo, gfi,..., g/m определяют то же самое рацио- рациональное отображение. Следовательно (предположив, что образ мно- множества V при отображении / не лежит в меньшем проективном под- подпространстве (Хо = 0)), можно считать далее, что /о = 1. Отсюда вытекает, что имеет место биекция между следующими двумя множествами: (рациональные отображения /: V > Ат с Рт} и {рациональные отображения /: V - -* Рт\ f(V) <?(Х0 = 0)}, так как оба этих вида отображений задаются наборами из т эле- элементов fi € k(V). § 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 95 Определение. Рациональное отображение /: V > Рт называет- называется регулярным в точке />€ V, если существует представление /= (/о /т), такое, что (i) каждая из /о,..., fm регулярна в точке Р; (ii) fi(P) Ф 0 по крайней мере для одного из ft. Второе условие необходимо для того, чтобы отношения различ- различных fi были определены в точке Р. Если / регулярна в точке Р (что, как и раньше, обозначается выражением Р € dom/), то /: U'-* Аф с Рт является морфизмом подходящей открытой окрестности точки Р е U С V. Достаточно взять U = C\dom(fj/fi), где fi(P) ^ 0; тогда/— морфизм, заданный набором {fj/fi)j=o,i m- Если U С V — открытое подмножество проективного много- многообразия V, то морфизмом /: U -> W называется рациональное ото- отображение f'V * W, такое, что dom/ D U. Таким образом, мор- морфизм — это просто всюду регулярное на U рациональное ото- отображение. E.7) Примеры. A) Рациональная норм-кривая. Это очень прос- простой пример изоморфного вложения /:Р'^Сс IP, обобщающий параметризованную конику из разд. A.7), который часто встречает- встречается в проективной и алгебраической геометрии. Определим ото- отображение формулой (X: Y) « {Xm:Xm-lY:...: Ym) (выписав все одночлены степени т от переменных X и Y). Действуя последовательно, получим, что (i) / — рациональное отображение, так как оно задается набо- набором «X/Y)m, (X/Y)"-1 1); (ii) / — морфизм при Y Ф 0 в силу только что написанной фор- формулы, а если Y = 0, то X Ф 0, и работает такой же трюк с {Y/X); (iii) образом отображения / является множество точек (Хо:...: Хт) С Рт, таких, что т. е. t: Х2) = ... = (ATm_i: Хт), = Х\Хг, ХоХ* = Х\Хъ, и т. д.
96 Всем этим условиям можно одновременно придать удобную детер- минантную форму rank Х2 Хг Хъ 'm-11 :m J Хт — X, (это условие на ранг означает, что равны нулю детерминанты всех 2 х 2-миноров). Эти однородные уравнения определяют алгебраи- алгебраическое множество С С IPm. (iv) нетрудно построить обратный морфизм g: C-* IP1. Для это- этого следует отобразить точку множества С в отношение (Хо:Х{) = ... = (Xm-i:Xm)? P1. В качестве упражнения выясните, что тут нуждается в проверке, и проведите эту проверку. B) Линейная проекция, параметризующая квадрику. Отображение. тг: IP3 - -» IP2, заданное формулой (Хо, Хи Х2, Хъ) « (Xi, Х2, Хъ), является рациональным отображением и морфизмом вне точки Ро = A, 0, 0, 0). Пусть Q С Р3 — квадратичная гиперповерхность и точка Ро лежит на Q. Тогда каждая точка Р на Р2 соответствует некоторой прямой L в Р3, проходящей через Р. В общем положении прямая L пересекает Q в точке Ро и в некоторой второй точке <р(Р). Например, если Q: (Х0Хъ = Х\Х2), то отображение <р: Р2 * Q, об- обратное к отображению ttIq:Q —> Р2, имеет вид (Х\, Х2, Хъ) " (XiXz/Хъ, Х\, Х2, Хъ). Здесь использована в точности та же идея, что и при параметриза- параметризации окружности в разд. A.1). В качестве вознаграждения (см. упр. 5.2) можно найти donnr и dom<p и дать геометрическую интерпретацию особенностей отобра- отображений тг и <р. E.8) Бирациональные отображения Определение. Пусть V и W — аффинные или проективные мно- многообразия. Тогда рациональное отображение f: V > W называет- называется бирациональным отображением (или бирациональной эквива- § 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 97 лентностью), если оно имеет рациональное обратное, т. е. суще- существует рациональное отображение g: W * V, такое, что fog = idw и gof= idK. Предложение. Следующие три условия на рациональное ото- отображение /: V - -* W эквивалентны: (i) / — бирациональная эквивалентность; (И) /доминантно (см. D.10)) и f: k(W) -* k(V) — изоморфизм; (iii) существуют открытые множества Vo С V и Wo С W, та- такие, что f, ограниченное на Vo, является изоморфизмом /: Ко-> Wo. Доказательство. Отображение /* определяется так же, как и для аффинных многообразий, и эквивалентность (i) <» (ii) устанавлива- устанавливается так же, как в разд. D.11). Импликация (iii) =» (i) очевидна, по- поскольку изоморфизм /: Vo~* Wo и его обратный g = f~l: Wo~* Vo являются по определению рациональными отображениями между V и W. Важная импликация (i) => (iii) доказывается более замысловато, хотя и это доказательство не особенно содержательно (если хотите избежать головной боли, приступайте к разд. E.9)). А именно, согласно предположению (i), имеются взаимно обратные ра- рациональные отображения f.V * W и g: W * V. Положим V = dom/C V и <р =f\v,: V'-*Wn аналогично W' = domg с W и ф = W-* V. На диаграмме w все стрелки обозначают морфизмы, и совпадение idiyl ,_1и, = <раф как морфизмов вытекает из совпадения idw = f°g как рациональ- рациональных отображений. Следовательно, для всех i>€^~1K' = Р. Положим теперь F0 = <p~1^~1K' и Wo = yl/~l<p~lW'. Тогда по построению <p:V0->\l/~1V является морфизмом. При этом \I/~1V С Wo, поскольку из P€\f/~1V вытекает, что <р(ф(Р)) = Р. Таким образом, P€\l/~1<p~lW' = Wo. Следовательно, <p:Vo~*Wo является морфизмом; это же верно и для ф: Wo~> Vo. Ч.т.д. E.9) Рациональные многообразия. Введенное в E.8) понятие би- бирациональной эквивалентности является ключевым в алгебраиче- 7-1263
98 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ской геометрии. Условие (ш) предложения означает, что «плоть» многообразий V и W совпадает, хотя они могут немного отличать- отличаться на «ребрах». Примером использования бирациональных преобра- преобразований является раздутие особого многообразия, чтобы получить неособое (см. F.12) ниже). Важным частным случаем предложения E.8) является следующий результат. Следствие. Для заданного подмногообразия V следующие усло- условия эквивалентны: (a) поле функций k(V) является чисто трансцедентным расши- расширением поля к, т. е. k(V) = k(h,..., tn) для некоторого п; (b) существует открытое плотное множество Ко С V, изо- изоморфное открытому плотному подмножеству С/о С А". Многообразие, удовлетворяющее этим условиям, называется ра- рациональным. Условие (Ь) является точной формулировкой того факта, что многообразие V может быть рационально параметризо- параметризовано п независимыми переменными. Неявно это понятие уже не- несколько раз появлялось в этой книге (например, в A.1), B.1), C.11(b)), E.7(ii))). Большое число элементарных приложений алге- алгебраической геометрии в других областях математики так или иначе связано с рациональными многообразиями. E.10) Редукция к случаю гиперповерхности. Простым следстви- следствием обсуждений нормализации Нётер в конце § 3 является тот факт, что любое многообразие бирационально эквивалентно гиперповерх- гиперповерхности. Прежде всего, так как класс бирациональной эквивалентнос- эквивалентности зависит только от открытого плотного множества, а любое от- открытое множество содержит открытое плотное подмножество, изо- изоморфное аффинному многообразию (в силу D.13)), то достаточно рассмотреть только аффинные многообразия V с А". В разд. C.17) было показано, что существуют элементы yi,..., ym+i€ k[V], по- порождающие расширение полей к С k(V) и такие, что у\ ym ал- алгебраически независимы, а ут+1 алгебраичен над к(у\,..., ут). Та- Таким образом, эти элементы определяют морфизм V-* Am + 1, кото- который задает бирациональную эквивалентность многообразия V и гиперповерхности V С А + \ E.11) Произведения. Если V и W — аффинные многообразия, то в некотором естественном смысле V х W также является много- многообразием. А именно, если К С А" и W С А™, то V X W является § 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 99 подмножеством в Ап + т, заданным условием ь..., «»); (ft /Зт)I/(а)=0 V/€/(K)> Легко проверить, что произведение V х W сохраняет свойство не- неприводимости. Заметим, впрочем, что топология Зарисского на произведении не является произведением топологий Зарисского со- сомножителей (см. упр. 5.10). Случай проективных многообразий не столь очевиден. Чтобы определить понятие произведения, мы должны убедиться, что Р" х IP™ само является проективным многообразием. Заметьте, что оно никоим образом не изоморфно рп+т (см. упр. 5.2(ii)). Чтобы убедиться в проективности IP" x Pm воспользуемся конструкцией, близкой по духу к конструкции из E.7A)). А именно, зададим вло- вложение (вложение Сегре) <р: IP" X !Pm -> Sn,m С IP", где N = (п + l)(m + 1) - 1, следующим образом. Пусть PN — проективное пространство с од- однородными координатами о n;j = O т. Удобно представлять себе, что С/у реализованы в виде матрицы С/оо ... Uom С/ю unm Определим теперь <р следующим образом: ((Хо,..., Х„), (УЬ, ••• ..., Ут)) - (XiYj)i = o „;J=o т. Очевидно, что <р — корректно определенный морфизм, и образ 5R,m, как легко видеть, является проективным многообразием, заданным соотношением rank [С/оо ... UOm С/ю ?/- т.е. det uik uu = 0 m. Определим обратное отображение Sn, m -* IP" x Pm следующим об- образом. Для каждой точки Р€ Sn,m существует по крайней мере одна пара (/, у), такая, что Щ(Р) & 0. Зафиксируем эту пару D у) и зада- зададим отображение Sn,m ЭР » ((С/о,,..., Unj), (Un,..., Uim)) € Р" X Pm. Т
1.00 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Заметим, что конкретный выбор пары (i, j) не имеет значения, так как ранг матрицы Uij(P) равен 1 и, следовательно, все ее строки и столбцы пропорциональны. Отсюда нетрудно заключить, что если V с (Рли W С Рт — про- проективные многообразия, то V х W С Р" х Рт s Sn,m С PN также проективно (см. упр. 5.11). Упражнения к § 5. 5.1. Докажите, что регулярная на Р1 функция является константой. (Указание. Пользуясь обозначениями разд. E.0),предположите, что /€ Аг(Р') регулярна во всех точках Р1. Примените предложение D.8A1)) к аффинному куску А@), чтобы показать, что / = р(хо) € к[хо]. Тогда в другом аффинном куске А(»> имеем / = p(\/yi) € к\у\\. Но как же p(l/yi) может быть многочленом?) Выведите отсюда, что ни для какого т не существует непостоянного морфнзма Р1 -» Ат. 5.2. Квадрика в Р3. (i) Покажите, что вложение Сегре пространства Р1 х Р1 (как в E.10)) задает изоморфизм Р1 х Р1 и квадрики = Q: С Р3. (ii) Каковы образы в Q двух семейств прямых [р] х Р1 и Р1 х {р} на Р1 х Р1? Воспользуйтесь этим, чтобы построить непересекающиеся прямые на Р1 х Р1, и как следствие получите, что Р1 х Р1 ф Р2. (То обстоятельство, что квадратичная поверхность имеет две системы образую- образующих прямых, находит применение в архитектуре. Если вам необходимо построить искривленную поверхность из бетона, то возможность задать ее форму, используя линейные ребра жесткости, является очевидным преимуществом. (См. [Берже, 14.4.6—7 и 15.3.3], где приведены обсуждения н рисунки.) (ш) Покажите, что имеются две прямые на Q, проходящие через точку Р = = A, 0, 0, 0), и что дополнение U к этой паре прямых является образом простран- пространства А1 х А1 при вложении Сегре. (iv) Покажите, что при проекции tIq: Q » Р2 (в обозначениях E.7B)) U изо- изоморфно отображается на экземпляр А2, а две прямые, проходящие через точку Р, отображаются в точки иа Р2. (v) Вычислите dom<p и сютт (в обозначениях E.7B)) н дайте геометрическую интерпретацию особенностей отображений ж и <р. 3 5. ПРОЕКТИВНАЯ И БИРАЦИСНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИИ 101 5.3. Какие из приведенных ниже выражений задают рациональные отображения <р: IP" - -* Pm проективных пространств соответствующих размерностей (л, т = 1 или 2)? В каждом случае вычислите &от<р, укажите, является ли <р бирациональным, и если является, то опишите обратное отображение. (а) (х, у, гУ« (* У); (Ь) (х, у) - (х, у, 1); (с) (х, у) » (х, у, 0); (d) (л; у, г) » (Ух, \/у, (e) (х, у, г) - ((х3 + уъУг\ y2/z2, 1); (f) (х, у, z) » (х2 + у2, у2, у2). l/z); 5.4. Рациональной норм-кривой третьей степени называется (см. 5.7A)) кривая С С Р3, определенная пересечением трех квадрнк С = Qi П Q2 П Q}, где Qi: (XZ = У2), Qi\ (XT= YZ), Qy. (YT = Z2). Эта кривая называется также скрученной кубикоп, где «скрученная» означает, что рассматриваемая кривая не является плоской. Проверьте, что для любых двух ква- квадрик Qi и Qj пересечение Qi П Q/ = CU /,у, где /у — некоторая прямая. Значит, кривая С в трехмерном пространстве отличается от пересечения любых двух квадрик. 5.5. Пусть Qi:(XZ=Y2) и F: (XT2 - 2YZT + Z3 = 0). Докажите, что С = Qif\F является скрученной кубикой нз упр. 5.4. (Указание. После умножения F на X и вычитания подходящего кратного Q\ получается точный квадрат.) 5.6. Пусть С С Р3 — неприводимая кривая, определенная соотношением С = Qil~\Q2, где Q\\ (ТХ = q\) н Qi\ (TY - qi), a qi и qi — квадратичные формы от A; Y, Z. Покажите, что ограничение проекции тт: Р3 - -> Р2, заданной формулой (X, Y, Z, Т) -> (X, Y, Z), задает изоморфизм кривой С н плоской кривой D С Р2, определенной уравнением Xq% = Yq\. 5.7. Пусть <р: Р1 -» Р1 — некоторый изоморфизм. (Представьте график <р как под- подмногообразие в Р1 х Р1 s Q С Р3. Проделайте то же самое для двулистного накры- накрытия <р: Р' -> Р\ заданного формулой (X, У) - (X2, У2). 5.8. Докажите, что любая неприводимая квадрика Q С. Р"+' рациональна, т. е. покажите, что если Р € Q — неособая точка, то линейная проекция IP"+' на Р" инду- индуцирует бнрациональное отображение Q » Р" (как на рисунке из E.7B))). 5.9. Запишите уравнение каждой нз следующих плоских кривых в 3-х стандартных аффинных кусках и определите пересечение этих кривых с координатными осями: (a) y2z = х3 + axz2 + .bz3; (b) xY + x2z2 + y2z2 = 2xyz(x + y + z); (c) xz3 = (x2 + y2)y2. 5.10. (i) Докажите, что произведение двух неприводимых алгебраических мно- множеств неприводимо. (Указание. Подмножества вида V х [w] непрнводнмы для w€ W. Для заданного разложения V х W = UiDUi рассмотрите подмножества Wt = [w € W\ V х (w) С Ui], i = 1, 2.) (ii) Опишите замкнутые подмножества в топологии на А2 = А1 х А1, которая является произведением топологий Зарисского сомножителей. Найдите замкнутое подмножество в топологии Зарисского на А2, которое не имеет такого вида. 5.11. (а) Пусть Ада н А<5) — стандартные аффинные кускн на Р" и Рт соответ- соответственно. Проверьте, что при вложении Сегре нз E.11) А"о> х A3) изоморфно отобра- отображается на аффинный кусок многообразия Sn.m С Р", который мы обозначим через S(o> С AN, н что N координат в AN переходят при ограничении в Х\, ..., Х„, Yi, ... ... , Ym и nm произведений XtYj. (b) Пусть V С Р" н W С Рт. Докажите, что произведение V х W является проек- проективным подмногообразием в Р" х Pm = Sn,m С PN. (Указание. Произведение аффин- аффинных кусков К(о) х W(o> С А"*1" является, как объяснялось в E.11), подмногообразн-
102 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ем, заданным многочленами. Покажите, что каждый нз них является ограничением на Ап+т = S<o) однородных многочленов от переменных Utj.) 5.12. Пусть С — кубическая кривая из разд. E.0). Докажите, что любая регуляр- регулярная функция / на С является константой. Проведите доказательство в следующей последовательности: Шаг 1. Применяя D.8A1)) к аффинному куску Q», запишите / в виде / = = р(х. y)tk[x, у]. Шаг 2. Вычитая подходящее кратное выражения у - х1 - ах - о, добейтесь, чтобы р(х, у) имело вид р(х, у) = q(x) + уг(х), где q, г € к[х]. Шаг 3. Применяя D.8A1)) к аффинному куску С(„), запишите / = q(xi/zi) + (l/Zi)r(*i/zi) 6 *[Q-)]. Таким образом, существует многочлен S(xi, Zi), такой, что q(xi/zi) + (l/zi)r(xi/zi) = S(xi, zi). Шаг 4. Выполнив приведение к общему знаменателю и используя тот факт, что [С(»)] = k[xi, Zi]/g. где g = z2 - x\ - axizi - bz\, получите следующее полиноми- полиномиальное тождество в кольце к[х\, Zi]: Qm(Xl, Zl) + Rm-l(Xi, Zl) * S(Xi, Zl)Z?+ A(Xl, Z\)g, где 8п иЯя-i - однородные многочлены указанных степеней. Шаг 5. Теперь, если разложить S = S+ + S~ н А = А* + А~ в сумму членов четной и нечетной степеней и заметить, что g содержит только члены нечетной сте- степени, то тождество при четном т распадается на два: QmmS + Z?+ A-g И Яш-! mS'zT+ A +g- Аналогичное разложение имеет место для нечетного т. Шаг 6. Qm — однородный многочлен степени т. Следовательно, A ~g имеет сте- степень > т. Рассматривая член наименьшей степени в А ~ g, докажите, что Qm делится на zi. Аналогичное свойство имеет место для Rm-i- Взяв минимальное значение т в тождестве шага 4, докажите, что q(x) имеет степень 0 и г(х) = 0. 5.13. Поверхность Веронезе. Изучите вложение *>: Р2 -* Р5, заданное формулой (X, Y, Z) « (X2, XY, XZ, У2, YZ, Z2). Напишите уравнения, определяющие образ S = *>(Р2), н докажите, что <р — изоморфизм (выписывая уравнения для обратного морфизма). Покажите, что прямые на Р2 переходят в коники в Р5, а коники на Р2 переходят в скрученные квартики в Р5 (см. E.7)). Для любой прямой / С Р2 обозначим через х(/) С Р5 проективную плоскость, на- натянутую на конику <рA). Покажите, что объединение х(/) по всем / С Р2 является кубической гиперповерхностью Ф С Р5 (Указание. Вы можете, как в разд. E.7) н E.11), записать уравнения, задающие S, в виде условия rank М < 1, где М — симметриче- симметрическая 3 х 3-матрица, элементы которой — однородные координаты на Р5. Покажите, что Ф задается уравнением Ф: (detM = 0). Дальнейшие детали см. в [Semple, Roth, p. 128]. § 6. Касательное пространство и неособость, размерность F.1) Неособые точки гиперповерхности. Пусть /€ k[Xi,..., Х„] — неприводимый многочлен, /$к. Положим V =¦ V(f) С А". Пусть § 6. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО И НЕОСОБНОСТЬ, РАЗМЕРНОСТЬ 103 Р = {а\ а„) € V — точка и / — прямая, проходящая через точку Р. Так как Р € V, то Р, очевидно, является корнем /I/. Вопрос. Когда Р — кратный корень /I/? Ответ. Р является кратным корнем тогда и только тогда, когда / лежит в аффинном подпространстве Тр V: fe -^ (P) • (Xi - ад = (Л С А", которое называется касательным пространством к К в точке Р. Для доказательства параметризуем / так: l:Xi = а( + ЫТ, где Р = («1,..., а„), а фх Ь„) — направляющий вектор прямой /. Тогда/I/ = /(..., а,- + Ъ-,Т,...) = #(Г) является многочленом по Т, и мы знаем, что Т = 0 является одним из корней g. Следовательно, т. е. 0 — кратный корень g P) = 0 @) = 0, а 1 / С TPV. Определение. Р € К С А" называется неособой точкой поверх- поверхности V, если df/dXi(P) ^ 0 для некоторого /. В противном случае Р называется особой точкой V. Очевидно, что если Р — неособая точка, то TPV является (и- 1)-мерным аффинным подпространством в А", и TpV = A" для особой точки Р. F.2) Замечания, (а) Использовавшиеся выше частные производ- производные df/dXi(P) в действительности можно считать формальными алгебраическими операциями (а именно, d/dXi переводит X? в пХ?'1). Дифференциальным исчислением здесь и не пахнет.
104 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ (b) Предположим, что к = IR или к = С и df/dXt(P) * 0. Для определенности положим / = 1. Тогда отображение р: А" -+ А", за- заданное формулой (Лл,..., Х„)~ {f, Хг,..., Х„), имеет в точке Р ненулевой якобиан. Таким образом, по теореме об обратной функции существует окрестность Р € U С А" точки Р, такая, что р\и- U-*p(U) С А" является диффеоморфизмом С/ и открытого множества /?([/) в А" (в обычной топологии пространств IR" или С"). Это означает, что р\ц — биекция, ар ир являются диффе- дифференцируемыми функциями (вещественных или комплексных) пере- переменных. Другими словами, (f, Х2,..., Х„) задают новую дифферен- дифференцируемую систему координат в А" в окрестности точки Р. Отсюда вытекает, что окрестность точки Р на V: (f = 0) диффеоморфна от- открытому подмножеству в А" с координатами (Хг,..., Х„). Зна- Значит, V в окрестности неособой точки Р является гладким много- многообразием с локальными координатами (Хг Х„). F.3) Предложение. Множество FnOnsmg = {PtV\P неособа} яв- является плотным открытым по Зарисскому множеством в V. Доказательство. Дополнением к FnOnsing является множество KSing особых точек, которое определяется системой df/dXt(P) = 0 для всех /, т. е. Э/ Э/ sing — V If, дХ„ оно замкнуто по определению топологии Зарисского. Так как V не- приводимо (согласно C.11)), то для того, чтобы доказать, что от- открытое множество Knonsmg является плотным, достаточно (согласно предложению D.2)) показать, что оно непусто. Рассуждая от про- противного, предположим, что оно пусто, т. е. V = V{f) = Fsing. Тогда каждый из многочленов df/dXi обращается в нуль на всем V. Сле- Следовательно (опять в силу C.11)) получаем, что они должны делить- делиться на/в кольце k[Xi Хй]. Но производная bf/bXi, рассматри- рассматриваемая как многочлен от переменной Xi, имеет степень, строго меньшую, чем многочлен /. Следовательно, если df/dXi делится на /, то df/dXi = 0 как многочлен. Над полем С это, очевидно, воз- возможно, только если переменная Xt не входит в многочлен /. Таким образом, если это выполняется для всех i, то / равен комплексной константе, что невозможно. Над произвольным полем к условие df/dXi = 0 выполняется, только если многочлен / несепарабелен по переменной Xi, т. е. если char А: = р и Xt входит в / только в р-й степени. Если это выполняется для всех /, то, согласно рассужде- § 6. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО И НЕОСОБНОСТЬ, РАЗМЕРНОСТЬ 105 нию из разд. C.16), многочлен / является в кольце ДгГАл,..., Х„] р-й степенью, что противоречит неприводимости /. Ч. т. д. F.4) Касательное пространство. Определение. Пусть К С А" — подмногообразие, а УэР = = (аи ..., an)€V — его точка. Положим для любого f?k[X\,... ..., Хп] Это линейный неоднородный многочлен (т. е. линейный член плюс константа), являющийся линейной частью многочлена / в точке Р. Определим теперь касательное пространство к К в точке Р соот- соотношением где пересечение берется по всем / F.5) Предложение. Функция V -» Ы, заданная правилом Р >-> dim Тр V, полунепрерывна сверху (в топологии Зарисского мно- многообразия V). Другими словами, для любого г подмножество S(r) = {P€ V\dimTpV2 r] С V замкнуто. Доказательство. Пусть (/!,..., fm) — набор образующих идеала I(V). Легко видеть, что линейная часть g?P любого многочлена g€l(V} является линейной комбинацией линейных частей fi, что упрощает определение TpV до следующего: TPV= П U3 = 0)С А". Далее с помощью элементарной линейной алгебры получаем, что /*€ S(r) » матрица ( .' (Р)\ имеет ранг <и - г » \aXj }i= l,...,m, 7 = 1, п » каждый (n - г + I) x (n - г + 1>минор матрицы \-^^ \dXj обращается в нуль. Каждый элемент матрицы dfi/dXj(P) является многочленом по Р.
106 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Следовательно, каждый минор — это детерминант полиномиаль- полиномиальной матрицы и тем самым многочлен. Таким образом, S(r) С К С А" — алгебраическое подмножество. Ч. т. д. F.6) Следствие-определение. Существует целое число г и от- открытое плотное подмножество Vo С V, такие, что dimTPV = г для всех PtV0 и dimTPV^r для всех Р€ V. Назовем г размерностью многообразия V, dim V = г, и скажем, что точка P€V неособая, если dim ТР V = г, и особая, если dim Тр V > г. Многообразие называется неособым, если каждая его точка не- неособая. Доказательство. Пусть г равняется минимуму {dimlpK}, где минимум берется по всем точкам Р€ V. Тогда очевидно, что S(r - 1) = 0, S(r) = V и S(r + 1) строго содержится в V. Следовательно, множество S(f) \ S(r + 1) = (Р€ V\dimTPV = г) открыто и непусто. Ч. т. д. F.7) Из F.3) следует, что если V = V(J) С А" — гиперповерх- гиперповерхность, определяемая некоторым многочленом /, отличным от кон- константы, то dim V = п — 1. С другой стороны, в случае гиперповерх- гиперповерхности координатное кольцо имеет вид k[V] = k[X\, ..., Xn]/(J), т. е., предположив, что Х\ входит в / нетривиальным образом, по- получаем для поля функций представление k(V) = k(X2, ..., Хп)[Хг]/(Л, т. е. оно получается из поля к присоединением п - 1 алгебраически независимых элементов и затем взятием примитивного алгебраиче- алгебраического расширения. Определение. Пусть к С К — расширение полей. Степенью трансцендентности поля К над к назовем максимальное число эле- элементов из К, алгебраически независимых над к. Оно обозначается через trdeg^^f. Элементарная теория степени трансцендентности расширений полей К/к с формальной точки зрения вполне аналогична теории размерности векторных пространств. Что означает алгебраическая независимость данных элементов оц ат € К над к, нам уже из- известно (см. C.13)). Они порождают трансцендентную часть расши- j 6. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО И НЕОСОБНОСТЬ, РАЗМЕРНОСТЬ 107 рения, если К/к(оц, ..., ат) алгебраично, и образуют трансцен- трансцендентный базис, если они алгебраически независимы и порождают трансцендентную часть. Легко доказывается утверждение, что трансцендентный базис является максимальным алгебраически не- независимым множеством и минимальным порождающим множе- множеством; кроме того, любые два трансцендентных базиса в К/к со- состоят из одинакового числа элементов (см. упр. 6.1). Таким образом, для гиперповерхности К С А" имеем dimK= п — \ - trdegkk(V). Оставшаяся часть этого параграфа по- посвящена доказательству того, что равенство dim V = tr deg*?(K) вы- выполняется для произвольных многообразий, с помощью редукции к случаю гиперповерхностей. Прежде всего мы докажем, что для любой точки многообразия Р € V касательное пространство ТР V, которое до настоящего момента определялось с помощью конкрет- конкретной системы координат в объемлющем пространстве А", в действи- действительности имеет локальное инвариантное определение в окрестнос- окрестности точки Р€ V. F.8) Инвариантная природа пространства Тр V. Начиная с этого момента, мы будем связывать с каждой точкой Р-{а\,... ..., а„)€ VC А" новую систему координат Х[= Xt - m, перенося тем самым точку Р в начало координат Р = @,..., 0). Тогда TpVс С А" — линейное подпространство в к". Обозначения. Обозначим через тр идеал точки Р в к[V], а че- через МР идеал №...., Хп) с к[Хи ..., Х„]. Тогда очевидно, что тР = Mp/I(V) С k[V]. Теорема. Во введенных обозначениях (а) имеет место естественный изоморфизм векторных про- пространств (TpV)* = l где ( )* обозначает двойственное векторов пространство. (Ь) Если функция fik[V\ такова, что f(P) ?¦ 0, и V/C V, как и в разд. D.13), — стандартное аффинное открытое множество, то естественное отображение Tp(yf)-*TPV является изоморфизмом.
108 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Доказательство п. (а). Обозначим через (&")* векторное про- пространство линейных форм на к", т. е. векторное пространство с ба- базисом Х\,..., Хп. Так как Р = @, ..., 0), то для любой функции f?k[Xi Хп] ее линейная часть fp естественно является элемен- элементом из (к") *. Определим отображение d: МР -»(к") *, сопоставляя /6 МР элемент dj = /j>°. Отображение d сюрьективно, так как элементы Xi 6 МР отобра- отображаются в естественный базис пространства (к")*. Кроме того, kevd = Mp, так как /j>J)= 0 »/ начинается с квадратичных по Х\,..., X членов »/6Mj>. Следовательно, МР/Мр = (к")*. Это и есть утверждение (а) для частного случая V = А". В общем случае имеет место отображение ограничения (к")* -+ G>К)\ двойственное включению TpV С к", пе- переводящее линейную форму X на к" в ее ограничение на Тр V. Взяв композицию рассмотренных отображений, получаем D:Mp-*(kn)*->(TPV)*. Композиция D сюрьективна, так как сюрьективно каждое из состав- составляющих отображений. Покажем, что ядро отображения D совпадает с МР + I(V) и, значит, = МР/(Мр что нам и требуется. Чтобы доказать это утверждение, воспользу- воспользуемся тем, что /€ker?> <*fpx)\TPv = 0 ,p Для некоторых (так как TPVC к" является векторным подпространством, опреде- определенным условием gp° = 0 для g€l(V)). Цепочка эквивалентностей продолжается: */- Smgi 6 М% для некоторых & gI(V) о/6 Мр + I(V). Ч. т. д. i Доказательство п. (Ь) теоремы F.8) остается читателю (см. упр. 6.2). F.9) Следствие. С точностью до изоморфизма TPV зависит только от окрестности точки Pev. Точнее, пусть Р б Vo С V и Q 6 Wo С W — открытые подмножества аффинных многообразий и (р: Vo -+ Wo — изоморфизм, переводящий Р в Q; тогда имеет ме- § 6. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО И НЕОСОБНОСТЬ, РАЗМЕРНОСТЬ 109 сто естественный изоморфизм Тр Vo -* Tq Wo . Следовательно, dim7>Fo = dimTQW0. В частности, если V и W — бирационально эквивалентные многообразия, то dim V = dim W Доказательство. Переходя к меньшей окрестности точки Р в V, мы можем считать, что Vo изоморфно аффинному многообразию (предложение D.13)). Тогда и Wo обладает теми же свойствами, а отображение р индуцирует изоморфизм k[Vo] = k[W0], переводя- переводящий тр в /ид. Последнее утверждение верно, поскольку в силу E.8) V и W содержат изоморфные открытые плотные подмножества. F.10) Теорема, dim К = trdegAr(F) для любого многообразия. Доказательство. Этот факт уже установлен, если V — гиперпо- гиперповерхность. С другой стороны (в силу E.10)) каждое многообразие бирационально эквивалентно гиперповерхности, а обе части дока- доказываемого соотношения для бирационально эквивалентных много- многообразий одинаковы. Ч.т.д. F.11) Неособость и проективные многообразия. Хотя приведен- приведенные результаты были получены для случая аффинных многообра- многообразий, понятие неособости и размерности непосредственно примени- применимы к произвольному многообразию V. А именно, точка Р€ V не- неособа, если она является неособой в содержащей ее аффинной части Ко С К В силу следствия F.9) это понятие не зависит от выбора Vo. С другой стороны, для проективного многообразия Fc IP" касательное пространство к К в точке Р иногда удобно рассматри- рассматривать как проективное подпространство в (Р". Я дам определение только для случая гиперповерхности. Пусть V = V(f) — гипер- гиперповерхность, определенная формой (т. е. однородным многочле- многочленом) /€ к[Х0,..., Хп] степени d и Кэ Р = (ао,..., ап); тогда уравне- уравнение Hdf/dXt(P) • Xii = 0 задает в Р° гиперплоскость, которая играет роль касательного пространства к К в точке Р. Если Р 6 Ада, то эта проективная гиперплоскость является проективным замыканием аффинной касательной гиперплоскости к Кдо в точке Р, что легко проверяется с помощью формулы Эйлера: если/€^[Л!о,..., Х„] — однородный многочлен степени d, то = df.
по ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ В силу этой формулы для того, чтобы определить, является ли точ- точка Р € Р" особой точкой на многообразия V, нам достаточно прове- проверить п + 1 из п + 2 условий f(P) = 0, ?L = 0,..., п. Так например, в случае, если степень многочлена / не делится на char/:, имеем а/ (Р) = О для 1 = 0,..., п =» f(P) = О, и точка Р€ V являегся особенностью. F.12) Пример. Раздутие. Пусть В = А2 — плоскость с координа- координатами (и, v) и а: В -+ А2 — отображение (м, у) >¦+ (л: = м, j = му). Оче- Очевидно, что а — бирациональный морфизм. Он отображает у-ось /: (и - 0) в точку 0 и является изоморфизмом вне этого исключи- исключительного множества. Постараемся выяснить, что произойдет под действием а с кривой С: (f = 0) С А2. Вопрос нетривиален только в случае, когда С проходит через точку 0. Очевидно, что а ~' (С) С В является алгебраическим подмноже- подмножеством, определенным формулой (/о а) (и, v) = f(u, uv) = 0. Так как по предположению точка 0 принадлежит С, то прямая /: (и = 0) со- содержится в а (С), или, эквивалентно, u\f(u, uv). Легко понять, что наибольшая степень и, на которую делится Дм, и v), равна на- наименьшей степени т - а + Ъ одночленов хауь, встречающихся в /, т. е. кратности f в нуле. Значит, а'1 (С) является объединением исключительной кривой а ~1 @) = / (взятой с кратностью т) и новой кривой Ci, определенной многочленом /i {и, v) = f(u, и v)/um. Рас- Рассмотрим следующие примеры: (a) f=ax- у (Ь) / = у2 - х2 + ... или где многоточие обозначает члены более высокой степени. Очевид- Очевидно, что в случае (а) функция / имеет кратность 1 я fi = <х — v + ... ' (где многоточие обозначает члены, которые делятся на и). Таким образом, С\ также является неособой и пересекает / в точке @, а) трансверсально. Это означает, что а заменяет точку 0 € А2 на пря- прямую /, точки которой соответствуют касательным направлениям в точке 0 (за исключением прямой (х = 0)). В случае (b) /i = v2 - 1 + ..., т. е. Ci имеет над точкой 0 € С две неособые точки @, ±1). Тем самым раздутие а «разделяет две ветви» особой § 6. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО И НЕОСОБНОСТЬ, РАЗМЕРНОСТЬ 111 кривой С. В случае (с) fl = v2- и, т. е. Ci неособа, но над точкой 0 она касается стягиваемой кривой /. В обоих случаях (Ь) и (с) отображение а заменяет особую кри- кривую С неособой кривой Си которая бирационально эквивалентна С (благодаря введению «новых координат» и = х, v = y/x). Это и принято понимать под разрешением особенностей. В случае пло- плоских кривых разрешение можно сделать с помощью цепочки разду- раздутий (примеры см. в упр. 6.6, а дальнейшие подробности — в книге [Fulton, p. 162—171]); В этом случае процесс разрешения особенно- особенностей дает об особенностях подробную информацию. Знаменитая тео- теорема X. Хиронаки гарантирует возможность разрешения особен- особенностей с помощью раздутий (в любой размерности над полем нуле- нулевой характеристики). Это — ключевой теоретический результат, который сводит изучение многообразий с точностью до бирацио- нальной эквивалентности к исследованию неособых многообразий. Однако сам процесс разрешения особенностей с помощью раздутий является в общем случае очень сложным и не всегда способствует пониманию особенностей или многообразий, их содержащих. Упражнения к §6 6.1. Пусть к С К — расширение полей, a («i,..., иг) и (vi, ..., vs) — два набора элементов поля А". Предположим, что ui, ..., и, алгебраически независимы, a Vi, ... ... , V, алгебраически порождают расширение к С К. Докажите, что г < s. (Указание. Шаг индукции заключается в том, чтобы предположить, что uh ... , и,-, y,+ i,... ..., Vs алгебраически порождают К/к н рассмотреть и*+1.) Выведите отсюда, что любые два трансцендентных базиса в К/к имеют одинаковое число элементов. 6.2. Докажите теорему F.8 (Ь)) (Указание. I(Vj) = (I(V), Yf - 1) с к[Хи ..., Хп, Y], так что если Q = (ai,..., в», Ь) € V/, то Tq^/ с A" + 1 определяется уравнениями для касательной плоскости 7> V С А" и одним уравнением, включающим К) 6.3. Найдите все особые точки следующих кривых в А2: (а) у2 = х3 - х, (Ь) у2 = х3 - бх2 + Эх; (c) xzy2 + х2 + у2 + 2ху(х + у + 1) = 0; (d) х2 = х* + у*; (е) ху = х6 + у6; (f) х3 = у2 + х* + у*; (g) х?у + ху1 = х* + у4. 6.4. Найдите все особые точки поверхностей в А3, заданных уравнениями (а) ху2 = г2; (Ь) х2 + у2 = г2; (с) ху + х3 + у3 = 0. (Вам будет полезно нарисовать в меру своих возможностей вещественные частн этнх поверхностей. Алгебраические геометры, как правило, рисовать не умеют.) 6.5. Покажите, что гиперповерхность Ул с Р", заданная уравнением Х% + Xi + ... + неособа (если d ие делится на char к). = 0,
112 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ 6.6 (а) Пусть С,СА2 — кривая, заданная многочленом /„ = у2 - х2"*1, а: В -* А2 — отображение из F.12), а / = а"'(О). Покажите, что ^-'(Сл) разлагается в объединение / и кривой, изоморфной C-i. Докажите, что особенность кривой С может быть разрешена цепочкой из п раздутий. (Ь) Покажите, как разрешить особенности следующих кривых с помощью одного или нескольких раздутий: (i) у1 = х4, (ii) уъ = х5, (ш) (у2 - х2)(уг - х5) = Xs. 6.7. Докажите, что пересечение гиперповерхности К С А" (не являющейся гипер- гиперплоскостью) с касательной гиперплоскостью Тр V особо в точке Р. §7. 27 прямых на кубической поверхности В этом параграфе SCIP3 будет означать неособую кубическую поверхность, заданную однородной кубикой / = f(X, Y, Z, Т). Рас- Рассмотрим прямые / в Р3, лежащие на S. G.1) Следствия неособости. Предложение, (а) Через любую точку PeS проходит не более трех прямых, лежащих на S. Если этих прямых две или три, то они лежат в одной плоскости (см. рисунки). уэС^ (Ь) Произвольная плоскость П С Р3 пересекается с поверхнос- поверхностью S по одной из следующих трех кривых: (i) неприводимая кубика; (ii) коника и прямая; (ш) три различ- различные прямые. Доказательство, (а) Если / С S, то / = ТР1С TPS, так что все прямые на поверхности S, проходящие через точку Р, содержатся в плоскости TpS. В силу (Ь) их число не превышает 3. (Ь) Докажем, что кратные прямые исключаются. Пусть П : (Г = 0) и /: (Z = 0) С П ; если прямая / является кратной прямой пересечения SOIL , то / имеет вид f=Z2-A(X, Y, Z, Т) + ТВ(Х, Y, Z, Т), где А — линейная, а В — квадратичная формы. Тогда поверхность S: (/¦ = 0) имеет особенность во всех точках, где Z = Т = В = 0. Это множество непусто, так как оно является множеством нулей формы В на прямой 1:{Z=T= 0). § 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 113 G.2) Предложение. Существует по крайней мере одна прямая I, лежащая на S. Имеется несколько способов доказательства этого факта. Стан- Стандартное рассуждение основано на подсчете размерностей. А имен- именно, прямые на Р3 параметризуются четырехмерным многообрази- многообразием, и для того чтобы прямая / лежала на S, требуется выполнение четырех условий (поскольку ограничение / на / является кубической формой, четыре коэффициента которой должны обращаться в нуль). Требуется некоторое усилие, чтобы превратить это рассужде- рассуждение в строгое доказательство, так как само оно показывает лишь, что множество таких прямых имеет размерность ^0, а не то, что оно непусто (в разд. (8.15) обсуждается традиционное доказа- доказательство и трудности, с которыми приходится в нем сталкиваться). Вполне логично считать предложение выполненным (т. е. огра- ограничиться рассмотрением кубических поверхностей, содержащих пря- прямые). Ниже я привожу прямое доказательство предложения G.2) путем явных координатных рассмотрений и исключений. Оно под- подразделяется на четыре шага. Если вы предпочитаете пропустить его, переходите к G.3). Шаг 1 (предварительная конструкция). Для любой точки Р € S кривая, по которой S пересекается с каса- касательной плоскостью TpS, является плоской кубикой С = SO TpS, которая, согласно упр. 6.7, имеет особенность в точке Р. Можно предположить, что кривая С неприводима, ибо в про- противном случае точка Р лежит на прямой в S и доказывать нечего. Таким образом, С — каспидальная или нодальная плоская кубика и в подходящих координатах (X, Y, Z, Т) в (Р3 TpS:(T=Q), P=@, 0, 1, 0) и С: (X2Z = У3) или (XYZ = X3 + У3). Какая из этих возможностей реализуется в точке Р € S, зависит от матрицы вторых производных (матрицы Гессе) функции f в Р. Детальнее это изучается в упр. 7.3, содержащем набросок доказа- доказательства (в характеристике ^ 2) того, что каспидальный случай обя- обязательно реализуется в какой-нибудь точке Р € S. Для простоты я доказываю предложение G.2) в каспидальном случае. В принципе доказательство точно так же проходит и в но- дальном случае, но исключения становятся довольно неприятными 8-1263
114 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ (см. упр. 7.10). Итак, предположим, что f=X2Z-Y3 где g = g2(X, Y, Z, T) — квадратичная форма; g(Q, 0, 1, 0) ^ 0 в силу гладкости поверхности S в точке Р, так что можно положить ?@, 0, 1, 0) = 1. Шаг 2 (формулировка основного утверждения). Рассмотрим пе- переменную точку Ра = A, а, а3, 0) € S. Любая прямая в Р3, проходя- проходящая через Ра, пересекает дополнительную плоскость П: (X = 0) в точке Q — @, Y, Z, Т). Записываем условие, что прямая Ра Q содер- содержится в S, в терминах а и Q; разлагая/(ХР« + nQ) «¦ 0 по степеням X и ц, получаем PaQ С S # A(Y, Z, T) = B(Y, Z, Т) = C(Y, Z, Т) = 0, где А, В и С — формы степени 1, 2 и 3 от (Y, Z, Т), в коэффициен- коэффициенты которых входит а. Основное утверждение. Существует нормированный многочлен- «результант» Rzi(ci) от а степени 27, такой, что R(a) = 0#A = B=C=0 имеет общий нуль (i;: f: т) в Р2. Это утверждение доказывает G.2), так как из него следует что для каждого корня а многочлена R существует точка Q = @:i»: f :т) в П, такая, что прямая PaQ лежит в S. Идея доказа- доказательства здесь — стандартное вычисление, связанное с исключени- исключением переменных, основанное на упр. 1.10. Остальная часть доказа- доказательства заключается в точном выписывании А, В и С Шаг 3 (полярная форма). Поляризацией однородного многочле- многочлена / называется форма от двух наборов переменных {X, Y, Z, Т) и (X', У, Z', Т'), задаваемая формулой MX, Y, Z, Т; X', У, Z', T') = ^X' +^Y' +^Z' +^Т\ Из определения касательного пространства (см. F.4) и F.10)) ясно, что для Р = (ДГ, Y, Z, D6S и P*Q = QC', Y', Z', Г')€Р3 Ясно, что fi(.P\ Q) = 0 * прямая PQ касается S в Р. XV,<Р; Q) + \n2MQ; P) + m3 § 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 115 так что для Р ^ Q € Р3 четыре условия ДР) = МР; Q) = /i(Q; Р) = f(Q) = 0 являются необходимыми и достаточными для того, чтобы прямая / = PQ лежала на S: (/"= 0). Более геометрически, они утверждают, что прямая / касается S в обоих точках Р и Q, т. е. /I/ имеет в этих точках два двойных кория и в силу предложения A.8) / С S. Поляризация многочлена f=X2Z- Y3 + gT — это /j = 2XZ-X' - 3Y2Y' +X2-Z' + g(X, Y, Z, T)T' + T-gi. Здесь gi - gi(X, Y, Z, T;X', Y',Z', T') — поляризация квадратич- квадратичной формы g, определяемая аналогично, и, значит, gi — симметри- симметрическая билинейная форма, такая, что gi(P; P) = 2g(P). Подставляя Ра = A, а, а3, 0) и Q = @, Y, Z, Т), получаем урав- уравнения для Ра Q С S в виде А = В = С = 0, где А = Z- Зог2У+ g(l, а, <х3, 0)Т, Я = -3«У2 + Ы1, «. «3, 0; 0, Y, Z, Т)Т, С = - Y3 + ?@, Y, Z, Т)Т. Шаг 4 (исключение). Исключим теперь Y, Z, Г из трех предыду- предыдущих уравнений, следя за старшими степенями переменной а. Заме- Заметим, что, так как g(Q, 0, 1, 0) = 1, *A, а, а3, 0) = а6 + ... = аF), где ... обозначает члены меньшей степени по а; таким образом, аF) — нормированный многочлен шестой степени. Тогда условие А = 0 выражает Z как линейную форму от У и Г, Z = 3or2y-eF)r. Подставляя это соотношение в В и пользуясь билинейностью gi, получаем Я = - 3aY2 + gi(l, а, а3, 0; 0, Y, За2У-аFJГ Т)Т = = boY2 + biYT + Ъг Г2, где bo - - За, bi = gi(l, <х, а3, 0; 0, 1, За2, 0) = 6а3 + ..., Ъг = gi(l, а, а3, 0; 0, 0, - аF), 1) = - 2а9 + ....
116 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Аналогично, подставляя выражение для Z в С и разлагая квадра- квадратичную форму g, получаем C=-Y3 + ?@, Y, 3<x2Y-ai6)T, T)T=c0Y3 + CiY2T+czYT2 + aT\ где 0> = - 1, сг = ?@, 1, За2, 0) = 9а4 + ..., сг = gi@, 1, За2, 0; 0, 0, -в»», 1) = - 6а8 + ..., съ = ?@, 0, -аF), 1) = а12 + .... Теперь в силу упр. 1.10 В и С имеют общий нуль (у'.т) в том и только том случае, если det bo b\ Ъг bo bi Ьг bo Ь\ Ьг Co Ci сг Съ Co Ci c2 = 0. Этот детерминант есть многочлен от а, и не трудно видеть, что его старший член получается из старших членов элементов матрицы -За 6а3 -2а9 -За 6а3 -2а9 -За 6а5 -2а9 det -1 9а4 -6а8 а12 -1 9а4 -6а8 а 12 = а27 • det ¦3 6 -2 -3 6 -2 -3 6 -2 ¦19-6 1 -19-6 1 = а 27 Это завершает доказательство основного утверждения. G.3) Предложение. Для данной прямой I с S существует пять пар прямых (/,, If) на S, пересекающих I так, что (i) /U/,-U// лежит в одной плоскости при каждом i = 1 5; (ii) (/,-и//)П(/,-и//) =0 для i*j. Доказательство (заимствовано из [Beauville, р. 51]). Пусть П — некоторая плоскость в Р3, содержащая /. Тогда ПП5 = / + коника § 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 117 (так как /In делится на уравнение прямой /). Эта коника может быть как особой, так и неособой: А Требуется доказать, что существует ровно пять различных плоско- плоскостей П, D I, для которых коника особая. Тогда сформулированное в п. (ii) утверждение о том, что прямые, лежащие в различных пло- плоскостях, не пересекаются, будет вытекать из G.1 (а)). Рассмотрим прямую /: (Z = Т = 0). Можно разложить / следую- следующим образом: / = АХ1 + BXY +CY2 + DX + EY+F, (•) где Л В, С, D, Е, F?k[Z, T\, А, В и С — линейные формы, D и Е — квадратичные формы, & F — кубическая форма. Если рас- рассмотреть это уравнение как уравнение переменной коники на плос- плоскости (X, Y), то эта коника будет особой тогда и только тогда, когда A(Z, Т) = 4ACF + BDE - АЕ2 - B2F - CD2 = 0. (Здесь Д равен обычному детерминанту, умноженному на 4, если характеристика не равна 2; в характеристике 2 это утверждение яв- является легким упражнением.) Точнее, любая плоскость, проходящая через прямую /, задается как П: (jiZ = \Т). Если ц *¦ 0, то можно считать, что ц = 1, так что Z = \ Т. В однородных координатах (X, Y, Т) на плоскости П полу- получим /In = Т- Q{X, Y, Т), где Q = A(\, 1)Х2 + В&, 1)XY+C(\, 1)Y2 + + ?>(Х, 1)ТХ+Е(\, 1)ГУ+/"(Х, 1O*. Детерминант A(Z, T) является однородной квинтикой, поэтому в силу A.8) он имеет пять нулей с учетом кратности. Чтобы доказать предложение G.3), надо показать, что детерминант не имеет крат- кратных корней. Это также будет следствием неособости поверхнос- поверхности S.
118 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Утверждение. A(Z, T) имеет только простые корни. Предположим, что Z = О — корень многочлена Д, а П: (Z = 0) — соответствующая плоскость. Мне нужно доказать, что Д не де- делится на Z2. Как следует из приведенного выше рисунка, пересече- пересечение П П S состоит из трех прямых, и, в зависимости от того, пере- пересекаются ли они в одной точке, можно выбрать координаты так, что либо (i) /: (Г = 0), /,: (X = 0), /,': (У = 0), либо (и) I: (Т= 0), Л: (X = 0), 1{: (X = Т). Следовательно, в случае (i) / = XYT + Zg, где g — квадрика; в обозначениях формулы (•) это означает, что В = Т + aZ и Z\A, С, D, E, F. Следовательно, по модулю членов, кратных Z2, Д = - T2E(modZ2). Кроме того, точка Р = @, 0, 0, 1) принадлежит S, и неособость поверхности S в точке Р означает, что член ZT2 входит в F с нену- ненулевым коэффициентом. В частности, F не делится на Z2. Поэтому Z = 0 — простой корень Д. В случае (ii) можно провести аналогичную выкладку (см. упр. 7.1). G.4) Следствие, (а) Существуют две непересекающиеся прямые I, mCS. (b) поверхность S рациональна (т. е. бирационально эквива- эквивалентна Р2; см. E.9)). Доказательство, (а) В силу G.3 (Н)) можно прямо взять Л и /г. (Ь) Рассмотрим две непересекающиеся прямые /„ т с S и опреде- определим рациональные отображения <р: S > lx m и ф: I х т > S следующим образом. Если PtP3\ (/Urn), то существует един- единственная прямая п, проходящая через точку Р и пересекающая и / и т: Р?п и 1Пп* 0, тПп * 0. Пусть Ф(р) = AПп, /иПи)€/ х т. Этим определяется морфизм Ф: Р3 \ (/Um)-»/x m, слой которого над (Q, R)€Ix m является прямой QR на Р3. Опре- Определим <р: S >1 х т как ограничение отображения Ф на S. 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 119 И в обратную сторону, определим для (Q, R)el x m прямую n = QR на Р3. В силу предложения G.3) существует только конеч- конечное число прямых на S, пересекающих /. Таким образом, для почти всех значений (Q, R) n пересекает S в трех точках [Р, Q, R], из которых Q и R — заданные точки на / и т. Следовательно, если задать отображение ф: I х т > S правилом (Q, R) •-» Р, то ф является рациональным отображением, так как отношение коорди- координат точки Р является рациональной функцией отношений координат точек Q и R. Очевидно, что <р и ф являются взаимно обратными. Ч. т. д. G.5) Я хочу найти все прямые на S с помощью конфигурации из предложения G.3), состоящей из прямой / и пяти непересекаю- непересекающихся пар (/,-, If). Любая другая прямая п С S должна пересекать в точности одну прямую из пары (/*, If) для всех / = 1 5. Это вытекает из того, что в Р3 прямая п пересекает плоскость IU и И OS = /U/,U//; кроме того, я не может пересекать одновременно U и //, так как это противоречило бы G.1 (а)). Следующая лемма, утверждающая, что прямая п однозначно определяется тем, с каки- какими из прямых /, и // она пересекается, позволяет упорядочить остальные прямые. Мы будем говорить, что прямая п инцидентна прямой /, если 1Пп ^ 0. Лемма. Если h,..., Ц С Р3 — непересекающиеся прямые, то либо все четыре прямые /,- лежат на гладкой квадрике, li,... ..., U С Q С Р3, и тогда они имеют бесконечно много общих инци- инцидентных им прямых; либо четыре прямые /,- не лежат ни на какой квадрике, h,... ..., U <?Q, и тогда они имеют одну или две общие инцидентные им прямые. Доказательства Имеется несколько способов доказательства (см. упр. 7.2) существования гладкой квадрики QD h h-
120 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ При подходящем выборе координат она имеет вид Q: (XT - YZ) и содержит два семейства прямых (образующих). При этом любая прямая, инцидентная прямым 1\,..., /з, должна лежать на квадрике Q, так как она имеет с Q три общие точки. Далее, если U fiQ, то U П Q = {1 или 2 точки), и образующие из другого семейства, проходящие через эти точки, являются общими инцидентными h U прямыми. Ч.т.д. G.6) 27 прямых. Пусть / и т — две непересекающиеся прямые на S. Как уже указывалось, т пересекает в точности одну прямую для каждой из пяти пар (U, If) прямых, пересекающихся с /. Перену- Перенумеровав прямые в этих парах, будем считать, что т пересекается с //, / = 1,..., 5. Обозначим прямые, пересекающиеся с / или т, сле- следующим образом: Значит, пятью парами прямых, пересекающих т, являются (/,, /,"), / = 1,..., 5. Применив к прямой т предложение G.3(Н)), получим, что I" не пересекается с lj при / ^ j. С другой стороны, каждая пря- прямая на S должна пересекать одну из прямых /, lj или //. Следова- Следовательно, //" пересекает lj при / ^ j. Утверждение. (I) Если п С S — некоторая прямая, отличная от 17 рассмотренных, то п пересекает в точности три из пяти пря- прямых /г,..., /5. (II) Обратно, при любом выборе трех чисел {/, j, к] из множе- множества {1, 2, 3, 4, 5) существует единственная прямая i,jk С S, пере- пересекающаяся с /,, lj, Ik- Доказательство. (I) Четыре заданных непересекающихся пря- прямых на S, очевидно, не лежат все одновременно на неособой ква- квадрике Q, так как в противном случае получалось бы, что Q С S, а это противоречит неприводимости S. Если п пересекает не менее четырех из прямых //, то в силу лем- леммы G.5) п = I или п = т, что противоречит условию. Если п пере- пере§ 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 121 секает не более двух из прямых /,-, то она должна пересекать не менее трех из прямых //. Пусть она пересекает, скажем, или 1{, Ц, Ц, /j или /г, /3', Ц, Is- В силу изложенного выше / и 1{ являются общими инцидентными этим пяти непересекающимся прямым 1{, Н> Ц> U и h прямыми. Тем самым, опять в силу леммы G.5), полу- получаем, что если п пересекает не менее четырех из них, то либо п = / либо п = I", т. е. то же самое противоречие. (II) Из предложения G.3) вытекает, что существуют десять пря- прямых, пересекающих h, из которых до настоящего момента фигури- фигурировали только четыре (а именно /, 1{, т и If). Шесть других прямых должны пересекать в точности две из оставшихся четырех прямых /4\ ) возможностей, каждая h,..., /5. И существует в точности 6 = ( - из которых реализуется. Ч.т.д. Следовательно, прямые на S — это {/, т, U, /,-', /,-", hjk}, а их общее количество равно 1 + 1 + 5 + 5 + 5 + 10 = 27. G.7) Конфигурация прямых. Другой способ перечисления: на 5 лежат прямые /, h,..., h, l{,..., Ц, а также 16 других прямых, пересекающих нечетное число из прямых h, ..., k, а именно I" пересекает только U; lijk пересекает только h, lj, k', т пересекает все h,..., /5. Легко убедиться, что во введенных обозначениях отношение ин- инцидентности между 27 прямыми на S имеет следующий вид: / пересекает /г /5, 1{ Ц; h пересекает /, т, 1{, 1{и luk для всех шести возможностей выбо- выбора U, к] с {2, 3, 4, 5); 1{ пересекает /, h, If (четыре возможности для j ^ 1) и lijk (четыре возможности для {/, j, к} С [2, 3, 4, 5)); 1{ пересекает т, k, lj (четыре возможности для у ^ 1) и 1цк (четыре возможности для {/, j, к} С [2, 3, 4, 5)); /ш пересекает /ь h, /3, /us, /245, /345, Ц, Ц, Ц, Ц- Эта комбинаторная конфигурация имеет много различных пред- представлений, и некоторые из них имеют гораздо более симметрич- симметричный вид, чем приведенный выше (см., например, [Semple, Roth, p. 122—128 и 151—152]). 9-1263
122 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Упражнения к § 7 7.1. Докажите п. (ii) утверждения из предложения G.3). (Указание. Так же как и в приведенном доказательстве случая (i), / имеет вид / = Х(Х - Т)Т + Zgt При этом коэффициенты/имеют вид А = Т + aZ, D = - Т2 + Zl, где / — линейная фор- форма, так что Z\B, С, Е, F, и Z не делится на D. Кроме того, из неособоети поверх- поверхности S в точке @, 1, 0, 0) вытекает, что С = cZ, где с г* 0. Вычислите теперь A(Z, T) по модулю Z2.) 7.2. Докажите, что для трех непересекающихся прямых h, h, h С Р3 существует иеособая квадрика Q Э /i, h, h. (Указание. Возьмите по три точки Я,-, Я/, Р"= h на каждой из них и, аналогично A.11) или B.4), покажите, что существует по край- крайней мере одна квадрика Q, содержащая их. Следовательно, // С Q для каждой /,. Покажите, что Q гладкая, — разберитесь, например, что происходит, если Q — пара плоскостей.) 7.3. Гессиан. Пусть / = fd(xo, ... , х„) — форма степени d от хо, ... , х„, определя- определяющая гиперповерхность У: (f = 0) С Р"; предположим для простоты, что характе- характеристика не равна 2 и ие делит d - 1. Пусть /г, = df/dxi и /г,*, = d2f/dxidxj — пер- первая и вторая производные функции /. Разложение Тейлора формы / в окрестности точки Я € IP" имеет вид где , = f(P) — линейная и квадратичная формы: /'> = 2/„(Я) • XI и /2) = A/2)S/W(P) ¦ xixj. Если Я € У — особая точка, то /(Я) и /**' обращаются в Я в нуль, и поведение У или / в окрестности Я определяется до второго порядка квадратичной формой /®\ Аналогично, если Я € У — неособая точка, то поведение формы /, ограниченной на гиперплоскость 7> К (или особое сечение гиперплоскостью К Л 7> К), определяется формой У*2). Определим матрицу Гессе формы / (относительно координат хь,... ... , хп) формулой H{f) = H(f, х) = \fxftj\ij и гессиан h(f) = h(f, х) как детерминант h(f) = dettf(/). (i) Пусть х{— 'ZaijXj — проективная замена координат с невырожденной (л + 1) х (л + 1)-матрицей А = (аи). Если g(x') = f(A\), то докажите, что матрица Гессе преобразуется так: ') = ('A)H(f, x)A, где 'А — транспонированная матрица. Выведите отсюда, что h(g, x') = = (detAfhtf, x). (ii) Рассмотрите аффинный кусок Уф С А"о гиперповерхности У: if = 0), как в E.5). Пусть Я € Ущ — неособая точка, а П = 7> Ущ — аффинная касательная плос- плоскость; обозначим через <р ограничение на П определяющего многочлена f/xiдля Уф. Проверьте, что разложение Тейлора функции <р в точке Я начинается с невырожден- невырожденной квадратичной формы <рт (от л - 1 переменных) в том и только том случае, когда h<f)(P)* 0. (Указание. Используя п. (i), сведите все к случаю Я = A, 0, ... , 0) и Тр У: (xi - 0). Тогда ipm — это нижний правый (л - 1) х (л - 1)-блок проективной матрицы Гессе H(f). Воспользуйтесь равенством fXi(P) = 0 для / ^ 1 и формулой Эйлера 2jf*<*j' XJ = (d - l)fx,, чтобы показать, что матрица H{f) имеет в точности j по одному ненулевому элементу в строке и столбце с номером 0. § 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 123 (Ш) Пусть С: (/" = 0) С IP' — невырожденная плоская кубическая кривая; выведи- выведите из (ш), что Pi С является точкой перегиба тогда и только тогда, когда H(f)(P) = 0. Из теоремы Безу следует, что (/"= #(/) = 0) С Р2 непусто (см. A.9) и (Fulton, p. 112]). (iv) Пусть S: if = 0) С IP3 — неособая кубическая поверхность. Докажите, что ес- если Я € S не принадлежит ни одной прямой, лежащей в S, то пересечение S П 7>S является каспидальиой кубикой тогда и только тогда, когда H(f)(P) = 0. Выведите отсюда существование сечеиий, имеющих вид каспидальных кубик, как требуется на шаге 1 доказательства предложения G.2). 7.4. (i) Докажите, что если Я € S — особая точка кубической поверхности, то су- существует по крайней мере одна прямая / С S, проходящая через Я (а «в общем поло- положении» таких прямых 6). (ii) Если X С IP4 — иеособая кубическая гиперповерхность (трехмерная кубика) и Я € А", то существует по крайней мере одна прямая I С X, проходящая через точку Я (а «в общем положении» 6). (Указание. Выпишите уравнение для X в координатах, в которых Я = A, 0, ... , 0).) 7.5. Покажите, что рациональное отображение <р: S — -»/ х m из следствия G.4 (Ь)) в действительности является морфизмом. Покажите, что оио стягивает в точки пять прямых на 5. 7.6. Найдите 27 прямых иа диагональной кубической поверхности (поверхности Ферма) S: (X3 + У3 + Z3 + Т3 = 0) С IP3 с помощью плоскостей вида (X = q У), где q3 = 1. 7.7. nycTbS С IP3 — кубическая поверхность, заданная уравнением S: (f = 0), где ДХ, Y, Z, T) = ZX2 + TY2 + (Z - d2T)(Z - e2T)(Z - /Г), ad, e, f— различные ненулевые элементы поля к, I с S — прямая, заданная уравне- уравнением Z = Г = 0. Рассматривая, как и в предложении G.3), переменную плоскость, содержащую прямую /, получите уравнения 10 прямых на S, пересекающихся с /. 7.8 (предложено Р. Касдагльи). Рассмотрим кубическую поверхность S<o) С R3, заданную в аффинных координатах уравнением х2 + у2 + z2 - 2xyz = 1 + X2, (•) где X € R, X > 0, — константа, (i) Переписывая (*) в виде (х - yzJ = (у2 - 1)(г2- 1) + Х2, получаем, что S<o) имеет 4 полы, уходящих в бесконечность. С другой стороны, со- соответствующая проективная поверхность S С IPR пересекает бесконечность по трем прямым XYZ = 0. Используйте это, чтобы описать топологию поверхности S. (ii) Рассматривая (*) как уравнение переменной колики в (х, дО-плоскости с пара- параметром z, покажите, что четыре пары прямых, лежащие в 5<о>, которые пересекают (Z = 0) иа бесконечности, задаются уравнениями z = ц, х = 0* ± Х)^; z = - /i, х = (~ii ± \)у; z = 1, х - у = ±Х z =- I, х + у =±\, где/12= 1 +Х2. Изобрази- Изобразите поверхность 5@) в R3 и ее 24 прямые на дисплее компьютера либо смастерите ее гипсовую модель. 7.9. Случай, когда все прямые рациональны. Предположим, что chark ^ 2, и пусть S: (/"= 0) — иеособая кубическая поверхность, где / = А (X, У) • Т - В(Х, Y)- Z + (члены степени > 2 от Z и Г).
124 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Тогда S: (/*= 0) содержит /: (Z = Т = 0) и касательная плоскость в точке Р = = A, X, 0, 0) — это TpS: A(\, Х)Г = 5A, X)Z. (i) Используйте линейные замены координат в плоскостях (X, У) и в (Z, Г),- что- чтобы привести А, В к А = X2 + A У2, В = XY (где Д 6 Аг)> а если Д — полный квадрат, то к А = X2, В = Y2. (ii) Предположим, что S также содержит прямую ш: (X = Y = 0) и для упроще- упрощения обозначений что Л = X2, В = Y2. Пусть /,-, / = 1, ..., 5, — пять общих иицедеит- ных /ил прямых, и обозначим через Р,- = A, X/, 0, 0) = //Л/ точки пересечения / и //. Докажите, что и что /;: (У = Х,*, Г = X2Z) при / = 1 5 f=X2T- Y2Z + X(a5Z2 + 03ZT+ ахТ2) - Y(o*Z2 + 01ZT + Т2), где ах as — элементарные симметрические функции от Xi, ... , Х5. (iii) Найдите остальные прямые иа 5. (Указание. /,' и /,"содержатся в плоскостях, которые вы уже знаете. Рассуждая, как в G.6), нетрудно показать, что каждая пря- прямая, пересекающая все три прямые A, k, /3, задается условием (nZ + Т):Х = = (t$Z + тхТ): Y = а '. 0 для некоторого а '¦ 0 6 IP1, где п тз — элементарные симметрические функции от Xi, ... , X)). 7.10. Это упражнение для тех, кто любит длинные вычисления или имеет доступ к программам компьютерной алгебры. Если неособая кубическая поверхность 5 со- содержит в качестве сечения нодальную кубическую кривую С, ее уравнение можно записать в виде / = XYZ - X3 У3 + Tg. Пусть Ра = (а, а2, 1 + а3, 0), где а/0, « — переменная точка кривой С и Q = @, Y, Z, Т). Тогда, представляя f(KPa + iiQ) через поляризацию многочлена /, как в шаге 3 доказательстве предложения G.2), покажем, что прямая PaQ лежит в S тогда и только тогда, когда А = В = С = 0, где А = (-2а4 + a) Y + a3Z + g(a, a2, 1 + а3, 0)Т, В = aYZ - За2 У2 + gx(a, а2, 1 + а3, 0; 0, У, Z, Т)Т, С = - Y3 + g@, У Z, Т)Т. Докажите, что существуют нормированный «результант»-многочлен Rn(a) от а сте- степени 27 со свободным членом 1, такой, что R(a) = 0*>А=В имеют общий нуль (ч: f: т) в IP2. (Указание. Разрешая А — 0 относительно Z (и получив при этом а3 в знаменателе), подставляем выражение для Z в В и С, чтобы получить бинарные квадрику и кубику от У и Z. Затем, используя детерминант Сильвестра, исключаем У и Z. Трудность этого случая состоит в том, что детерминант из старших членов обращается в нуль. Это происходит из-за того, что А, В, С имеют тривиальный общий нуль Q = Ра = @, 0, 1, 0), когда а = 0 или «. A priory детерминант имеет члены с а18, .:., а5 и нужно вычислить четыре первых и четыре последних коэффициента, чтобы доказать, что на самом деле он имеет вид -1а15 + ... - 1 -а2.) § 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 125 § 8. Заключительные комментарии Студент не обязан готовить этот заключительный параграф к экзамену, но тем не менее отдельные места могут представлять для него интерес. История и социологический аспект современной алгебраической геометрии (8.1) Введение. Алгебраическая геометрия за последние 30 лет за- заняла в математике приблизительно такое же положение, какое зани- занимает сама математика в окружающем мире. Ее уважают и боятся куда больше, чем понимают. В то же время те «практические» во- вопросы, которые мне задают английские коллеги или старшекурсни- старшекурсники Уорикского университета, обычно настолько элементарны, что покрываются либо этой книжкой, либо книгой [Атья, Макдональд]. Дальнейшее описание современного развития предмета — всего лишь попытка объяснить этот парадокс. При этом я никак не пре- претендую на объективность. (8.2) Предыстория. Алгебраическую геометрию в XIX в. питали несколько разных источников. Прежде всего это — собственно гео- геометрическая традиция, т. е. проективная геометрия (и начертатель- начертательная геометрия, представлявшая во времена Наполеона большой ин- интерес для военных), изучение кривых и поверхностей как таковых, геометрия конфигураций. Затем это — теория функций комплексно- комплексного переменного, представление о компактной римановой поверхнос- поверхности как об алгебраической кривой и ее чисто алгебраическое построе- построение через поле функций. Над всем этим — глубокая аналогия меж- между алгебраическими кривыми и кольцом целых чисел числового поля, а также потребность в алгебраическом и геометрическом язы- языке для теории инвариантов, сыгравшей важную роль в развитии аб- абстрактной алгебры в начале XX столетия. Первые десятилетия XX в. ознаменовались глубоким расколом. С одной стороны, геометрическая традиция изучения кривых и по- поверхностей плодотворно развивалась работами блистательной итальянской школы (наряду со своими собственными вполне впе- впечатляющими достижениями она сыграла значительную роль в раз- развитии топологии и дифференциальной геометрии), однако доказа- доказательства все более настойчиво аппелировали к «геометрической ин- интуиции», и даже Maestri не были в состоянии проводить рассуждения на должном уровне строгости. С другой стороны, не- недавно сформировавшиеся полки коммутативной алгебры заклады-
126 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ вали фундамент и новую технику доказательств. Примером разли- различия между этими двумя подходами является спор между Чжоу и ван дер Варденом, с одной стороны (им удалось доказать существо- существование алгебраического многообразия, параметризующего простран- пространство кривых заданного рода и степени), и Севери, с другой сторо- стороны, который всю свою жизнь творчески использовал такие про- пространства и в преклонных годах горько сетовал на вторжение алгебраистов (да еще и не итальянцев!) в свою область. Особенно его задевали неявные намеки на то, что работам его собственной школы не хватает строгости. (8.3) Строгость, первая волна. Вслед за введением абстрактной алгебры Гильбертом и Эмми Нётер строгие основания алгебраиче- алгебраической геометрии были заложены в 20-е и 30-е годы ван дер Варде- Варденом, Зарисским и Вейлем (обычно заслуги ван дер Вардена замал- замалчивают, по-видимому, из-за того, что большое число математиков послевоенной поры, включая некоторых ведущих алгебраических геометров, считало его коллаборационистом). Центральной задачей их программы было построение алгебраи- алгебраической геометрии над любым полем. Ключевая трудность здесь за- заключается в том, что многообразие нельзя определить просто как множество точек. А именно, когда вы начинаете с рассмотрения многообразия V С А? над заданным полем к, то оно является не просто подмножеством в к". Вам придется также рассмотреть все ЛГ-значные точки многообразия V, где к С К — расширение полей (см. обсуждения в (8.13 (с)). Это одна из причин использования сим- символа А? для обозначения Аг-значных точек многообразия А", кото- которое хотелось бы считать существующим независимо от конкретно- конкретного поля к. Необходимость смены основного поля в ходе рассуждений силь- сильно увеличивает технические и концептуальные трудности (не говоря уж об обозначениях). Тем не менее около 1950 г. вейлевская система оснований геометрии вошла в употребление настолько, что тради- традиционные геометры (например Ходж и Пидо) были вынуждены ис- использовать ее в своих книгах, что существенно затруднило (по мое- моему мнению) восприятие этих книг. (8.4) Эра Гротендика. В период примерно между 1955 и 1970 гг. в алгебраической геометрии господствовали парижские математи- математики, вначале Серр, а затем главным образом Гротендик и его школа. Важно не впасть в недооценку влияния подхода Гротендика, особен- особенно теперь, когда он уже до некоторой степени вышел из моды. Это i 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 127 был период, когда были сделаны огромные идейные и технические продвижения, и благодаря систематическому использованию поня- понятия схемы (более общего, чем многообразие, см. (8.12)—(8.14) ни- ниже) алгебраическая геометрия получила возможность впитать в се- себя практически все достижения топологии, гомологической алге- алгебры, теории чисел и т. д. и даже сыграть важную роль в их развитии. Сам Гротендик удалился со сцены около 1970 г., когда ему было едва за сорок, что следует расценивать как трагическую утрату (все началось с того, что он покинул Институт высших ис- исследований (IHES), протестуя против финансирования науки воен- военными.) Любой работающий алгебраический геометр хорошо зна- знаком с большими фрагментами созданной в тот*период мощной тех- техники, многие из которых еще нуждаются в доступном изложении. С другой стороны, культ личности Гротендика имел серьезные побочные эффекты. А именно, многие математики, посвятившие большую часть своей жизни освоению вейлевских оснований, были вытеснены из алгебраической геометрии или подверглись насмеш- насмешкам. Насколько мне известно, лишь один или два из них сумели адаптироваться к новому языку. Кроме того, целое поколение сту- студентов (преимущественно французских) пребывало в глупой уверен- уверенности, что если задачу нельзя облачить в рафинированный аб- абстрактный формализм, то ею не стоит заниматься, и тем самым лишили себя естественного для математика пути развития, когда он начинает с маленьких задач, которые ему по силам, и, опираясь на них, развивает свою деятельность. (Я знаю реальный случай, когда диссертация по арифметике кубических поверхностей вначале не была принята, поскольку «естественно строить конструкцию над общими локально нётеровыми окольцованными топосами». Это не шутка.) Многие из тогдашних студентов не представляли себе более достойного занятия, чем «etudier les EGAs». Начало изучения тео- теории категорий как таковой (являющееся, согласитесь, одним из на- наиболее бесплодных интеллектуальных занятий) также относится к этому периоду. Впрочем, не следует сваливать всю вину на Гротен- Гротендика, так как сам он применял теорию категорий к решению задач вполне успешно. С той поры мода переменилась. На недавней конференции во Франции я, комментируя изменение ситуации, получил в ответ сар- саркастическое замечание: «Однако скрученная кубика является пре- прекрасным примером про-представимого функтора». Я понимаю, что некоторые из математиков, имеющие в настоящее время отношение к финансированию науки, пострадали в тот период интеллектуаль- интеллектуального терроризма, и в результате заявки для создания научных про-
128 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ектов составляются так, чтобы максимально уменьшить их связь с алгебраической геометрией. Помимо очень небольшого числа его собственных студентов, которым удалось выдержать гонку и выжить, люди, которые из- извлекли наибольшую пользу из идей Гротендика и развивали их на- наиболее успешно, испытывали его влияние на расстоянии. К ним от- относятся гарвардская школа (через Зарисского, Мамфорда и М. Ар- тина), московская школа Шафаревича и, может быть, также японская школа коммутативных алгебраистов. (8.5) Большой взрыв. История не закончилась в начале 70-х гг., и алгебраическая геометрия не стала с той поры менее подвержен- подверженной колебаниям моды. В 70-е гг., хотя ряд крупных школ имел свои собственные специальные интересы (Мамфорд и компактификация пространства модулей, гриффитсовские школы теории Ходжа и ал- алгебраических кривых, Делинь и «веса» в когомологиях многообра- многообразий, Шафаревич и .КЗ-поверхности, Иитака с последователями и классификация многомерных многообразий и т. д.), мне казалось, что все мы в основном верили, что занимаемся одним предметом и что алгебраическая геометрия остается монолитным зданием (и в действительности завоевывает смежные территории). Может быть, это объяснялось наличием одного или двух специалистов, владеющих всем кругом вопросов. В середине 80-х гг. ситуация изменилась, и в настоящее время кажется, что алгебраическая геометрия распалась на дюжину или более школ, которые друг с другом мало взаимодействуют: кривые и абелевы многообразия, алгебраические поверхности и теория До- нальдсона, трехмерные многообразия и классификация в высших размерностях, ЛГ-теория и алгебраические циклы, теория пересече- пересечений и исчислительная геометрия, обобщенные теории когомологий, теория Ходжа, характеристика р, арифметическая алгебраическая геометрия, теория особенностей, уравнения математической физи- физики, теория струн, применения компьютерной алгебры и т. д. Дополнительные замечания и «высоконаучные» комментарии В этом параграфе перемешаны элементарные и сложные темы. Так как он отчасти является напутствием для университетских пре- преподавателей, использующих эту книгу как учебник, а также должен завлечь заинтересованных студентов в дебри алгебраической гео- геометрии, то какая-то часть материала может показаться трудной. § 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 129 (8.6) Выбор тем. Темы и примеры, рассмотренные в этой книге, частично подбирались из прагматических соображений, чтобы сте- степени были поменьше, а вычисления попроще, а также чтобы дать представление о «классификации многообразий». Так, материал о кониках применим до известной степени к любой рациональной кривой, а кубические поверхности являются наиболее важными при- примерами рациональных поверхностей дель Пеццо. Кубические кри- кривые с групповым законом являются примерами абелевых много- многообразий. Утверждение в разд. B.2) о том, что неособая кубика не является рациональной кривой — это самый первый шаг классифи- классификации. Пересечение двух плоских коник в разд. A.12)—A.14) и пере- пересечение двух квадрик в Р|, используемое в упр. 5.6, также уклады- укладываются в похожую схему, причем пересечение двух квадрик в Р* за- задает другой класс поверхностей дель Пеццо, а семейство прямых на пересечении двух квадрик в Pjt является двумерным абелевым многообразием. Род кривой и деление на 3 класса, приведенные в таблице на с. 50—51, являются эскизом классификации многообразий. Мне хоте- хотелось бы включить побольше материала о роде кривой, в частности, как его вычислять через топологическую эйлерову характеристику или через индекс пересечений в алгебраической геометрии. Это — важные упражнения для молодых геометров. Однако этот матери- материал вполне составил бы отдельный лекционный курс для начинаю- начинающих, так же как и комплексно-аналитическая теория эллиптических кривых. (8.7) Вычисления и теория. Другим обстоятельством, на которое следует обратить внимание, является то, что в этой книге основной упор делается на случаи, которые можно разобрать с помощью яв- явных вычислений. Когда из общей теории вытекает существование некоторой конструкции, то получение для нее явных координатных выражений является полезным упражнением, позволяющим сохра- сохранить ощущение реальности, что вполне уместно для начального курса. Однако это не должно скрывать тот факт, что в действи- действительности теория предназначена для изучения трудных случаев, ког- когда выписывание явных формул, как правило, ничего не дает. (8.8) R и С. Читатель, которого интересует вещественный слу- случай, возможно, будет разочарован тем, что после рассмотрений над R в § 1—2 мы переходим в § 3 к рассмотрениям над произвольным полем к, которое сразу же предполагается алгебраически замкну-
130 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ тым. Я рекомендую таким читателям проявить настойчивость, так как имеется много взаимосвязей между вещественной и комплекс- комплексной геометрией и некоторые из них весьма удивительны. Вопрос о вещественных точках вещественного многообразия является очень трудным и в основном представляет большой интерес для немногих специалистов по вещественной алгебраической геометрии. В любом случае получение всей информации о множестве комплексных то- точек, как правило, является важной подготовительной частью. Дру- Другой очевидной взаимосвязью геометрии над IR и С является то, что л-мерное неособое комплексное многообразие является 2л-мерным вещественным дифференцируемым многообразием. Например, ал- алгебраические поверхности — это главный источник построения гладких четырехмерных многообразий. Наряду с этими довольно очевидными связями имеется ряд не столь очевидных: (а) из особенностей плоских кривых С С С2 при пересечении с границей маленького шара возникают узлы в S3 и (Ь) в конструкции твисторов Пенроуза четырехмерное многообразие (с римановой метрикой специального типа) рассматривается как множество вещественных точек четырехмерного комплексного многообразия, параметризующего рациональные кривые на ком- комплексном трехмерном многообразии (так, вещественная четырех- четырехмерная сфера S4, на которой мы существуем, отождествляется с совокупностью вещественных точек комплексного грассманиана GrB, 4) прямых в ?>3С). (8.9) Регулярные функции и пучки. Читатель, который правиль- правильно усвоил понятие рациональной функции/€ к(Х) на многообразии X и понятие регулярности функции / в точке Р € X (разд. D.7) и E.4)), уже имеет достаточно хорошее интуитивное представление о пучке 0х. Для каждого открытого подмножества U С X множество всех регулярных функций U-* к &х(У) = {/6 k(X)\f регулярна во всех точках Рб U) = С\@х.р p(.U является подкольцом в поле к{Х). Пучок йг есть просто семейство колец йг(?/), где U пробегает все открытые подмножества в X. Очевидно, что любой элемент локального кольца 0х,р (см. опреде- определения в разд. D.7) и E.4)) является регулярным в некоторой окрест- окрестности U точки Р, так что 0х,р = П 0x(U). Вот и все: имеется PW фиксированная совокупность рациональных сечений, и сечения пуч- § 7. 27 ПРЯМЫХ НА КУБИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 131 ка над открытым множеством U просто являются рациональными сечениями, регулярными во всех точках P$U. Этот язык адекватно описывает любой пучок без кручения на неприводимом многообразии с топологией Зарисского. Конечно, ес- если многообразие X приводимо или если вы захотите работать с более сложными пучками либо воспользоваться комплексной топо- топологией, то потребуется настоящее определение пучков. (8.10) Глобально определенные регулярные функции. Если X — проективное многообразие, то единственными рациональными функциями /6 к(Х), которые регулярны во всех точках Р$Х, явля- являются константы. Это общее свойство проективных многообразий, аналогичное теореме Лиувилля для функций одного комплексного переменного. Для многообразий над С оно вытекает из компакт- компактности и принципа максимума (многообразие X С Р? компактно в комплексной топологии, поэтому модуль глобально голоморфной функции на X должен достигать максимума), но непосредственное доказательство в алгебраической геометрии оказывается на удивле- удивление трудным (см., например, [Хартсхорн I. 3. 4]). Постоянство ре- регулярной функции на проективном многообразии в действитель- действительности — теорема конечности, связанная с конечномерностью кого- мологий когерентных пучков). (8.11) Удивительная универсальность проективной алгебраиче- алгебраической геометрии. В разд. @.4) кратко упоминалось о вейлевском определении абстрактного многообразия (аффинные алгебраические множества склеиваются по изоморфным открытым подмножест- подмножествам). С ним легко работать в терминах пучков. Если исходить из этого, то желание работать с многообразиями, вложенными в фик- фиксированное пространство Р*, может показаться с первого взгляда слишком ограничительным. Я хочу кратко изложить современную точку зрения на это обстоятельство. (а) Поляризация и положительность. Прежде всего многообра- многообразия, как правило, рассматриваются с точностью до изоморфизма, т. е. говоря, что многообразие X проективно, мы подразумеваем, что X может быть вложено в некоторое PN, т. е. изоморфно замкнутому подмногообразию Хс PN, как в E.1)—E.7). Квазипроек- Квазипроективность означает изоморфизм с локально замкнутым подмного- подмногообразием в PN, т. е. с открытым плотным подмножеством проек- проективного многообразия. Проективность включает в себя свойство полноты, т. е. X не может быть вложено в качестве открытого плотного множества ни в какое большее многообразие.
132 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Собственно выбор настоящего вложения X ¦-» PN (или очень обильного расслоения <ЙгA), сечения которого будут однородными координатами в Pv) часто называют поляризацией и пишут-(Я", <ЙгA)) для указания того, что этот выбор сделан. Кроме условия полноты проективные многообразия X С PN удовлетворяют усло- условию «положительности степени». А именно, если V С X есть Аг-мер- ное многообразие, то V пересекается с общим линейным подпро- подпространством Р^~* в положительном конечном числе точек. И наобо- наоборот, критерий Клеймана утверждает, что некоторая степень линейного расслоения на полном многообразии X может задать проективное вложение многообразия X, если его степень на каждой кривой С СХ непременно больше нуля (т. е. > е• (любая разумная мера кривой С)). Положительность такого типа тесно связана с вы- выбором келеровой метрики на комплексном многообразии (римано- вой метрики с правильным условием согласования с комплексной структурой). Поэтому мы понимаем проективность как условие ти- типа «положительной определенности». (b) Универсальность. Удивительным обстоятельством является то, что многие проблемы алгебраической геометрии решаются в рамках проективных многообразий. Конструкция многообразий Чжоу, упоминавшаяся в разд. (8.2), является одним из таких приме- примеров. Другим служит работа Мамфорда 60-х гг., в которой он по- построил многообразия Пикара и многие пространства модулей как квазипроективные многообразия (схемы). Теория Мори (благодаря которой были достигнуты важные принципиальные продвижения в классификации многообразий, имеющих отношение к рациональ- рациональности, см. [Kollar]) является наиболее свежим примером. Ее идеи и техника являются по сути своей проективными. (c) Узость абстрактных многообразий. Кривые и неособые по- поверхности автоматически являются квазипроективными. Но суще- существуют абстрактные многообразия, не являющиеся квазипроектив- квазипроективными (особые поверхности или неособые многообразия размернос- размерности >3). Однако если вам потребуются эти конструкции, то почти наверняка захочется также рассмотреть многообразия Мойшезона (алгебраические пространства М. Артина), которые являются объ- объектами алгебраической геометрии, более общими, чем абстрактные многообразия; они получаются при более свободной трактовке «склеивания локальных кусков». Теоремы об абстрактных многообразиях часто доказываются сведением к квазипроективному случаю. Так что будут ли доказа- доказательства в терминах квазипроективных многообразий или подроб- подробности процесса редукции к квазипроективному случаю полезными, §8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 133 важными и интересными или окажутся только средством легко по- получить пригодную для публикации работу, зависит от конкретной задачи, индивидуальных интересов и потребностей студента. Не- Недавно было доказано, что неквазипроективное неособое абстракт- абстрактное многообразие, или многообразие Мойшезона, обязательно со- содержит рациональную кривую. Однако доказательство (принадле- (принадлежащее Дж. Коллару) проведено с помощью теории Мори и является «махровой» проективной алгебраической геометрией. (8.12) Аффинные многообразия и схемы. Координатное кольцо k[V] аффинного многообразия Кнад алгебраически замкнутым по- полем к (определение D.1)) удовлетворяет двум условиям: (i) оно является конечно порожденной ^-алгеброй; (И) оно является областью целостности. Кольцо, удовлетворяющее этим двум условиям, очевидно, имеет вид k[V\ для некоторого многообразия Уя называется геометриче- геометрическим кольцом (или геометрической к-алгеброй). В гл. 2 содержатся два ключевых теоретических результата. Одним из них является теорема D.4), утверждающая в точности, что отображение F-> k[V\ = А есть эквивалентность между катего- категорией аффинных алгебраических многообразий и категорией, двойст- двойственной к категории геометрических Аг-алгебр (хотя я вымарал все упоминания о категориях как непригодные для юных читателей). Другим является Nullstellensatz C.10), утверждающая, что простые идеалы в k[V\ находятся в биективном соответствии с неприводи- неприводимыми подмногообразиями в V. Точки многообразия V соответству- соответствуют максимальным идеалам. Эти результаты в совокупности отождествляют аффинные мно- многообразия V с аффинными схемами геометрических колец (ср. также с определением D.6)). Простой спектр Spec А определен для произвольного кольца (коммутативного и с единицей) и является множеством всех прос- простых идеалов кольца А. Он снабжен топологией Зарисского и струк- структурным пучком. Это и есть аффинная схема, соответствующая кольцу А (см. детали в [Mumford, Introduction] или [Хартсхорн, гл. II]). Имеется несколько различных причин, вследствие которых аф- аффинные схемы являются более общим понятием, чем аффинные многообразия. Каждая из них важна, и мы кратко остановимся на них в разд. (8.14). Важно понимать, что для геометрического кольца А - k[V\ простой спектр Spec А содержит в точности ту же информацию, что и многообразие Л, и ни граном больше. Nullstellensatz обеспечи-
134 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ вает нас большим запасом максимальных идеалов (/п„ для всех то- точек v € V), а любой другой простой идеал РСА является пересече- пересечением максимальных идеалов по всем точкам неприводимого под- подмногообразия УС V: Полезно и (по крайней мере, грубо говоря) допустимо игнорировать различие между многообразиями и схемами и писать V = Spec A, v вместо mv и представлять себе простой идеал Р = /(У) («общую точку») как своего рода метку для прачечной, пришитую всюду плотно на материи подмногообразия У. (8.13) Что такое точка? Большинству студентов никогда не по- понадобится никаких сведений о схемах, выходящих за пределы мате- материала из разд. (8.9) и (8.12). Следует только помнить, что понятие «общая точка» используется в различных технических смыслах и ча- часто означает нечто совсем иное, чем выражение «достаточно общая точка». Этот раздел предназначен для читателя, перед которым стоит проблема чтения современной литературы; здесь даются некоторые пояснения к различным понятиям точки в теории схем, что, вероят- вероятно, является одним из основных камней преткновения для начи- начинающих. (а) Теоретико-схемные точки многообразия. Предположим, что к — поле (не обязательно алгебраически замкнутое), IС к[Х\,... ..., Хп] — идеал и А = k[Xi Х„]/1. Положим V= V(I) С К", где к С К — выбранное алгебраическое замыкание. Точки из Spec A ненамного сложнее, чем в случае геометрического кольца из разд. (8.12). Согласно очевидному усилению Nulistellensatz, максималь- максимальный идеал в А определяется точкой v = (а\,..., ал) € К С К", т. е. имеет вид /я„ = У€А\ДР) = 0) = (xi - ffi х„ - ап)ПА. Легко показать, что различные точки v 6 V С К" соответствуют од- одному и тому же максимальному идеалу т„ в кольце А тогда и толь- только тогда, когда они сопряжены над к в смысле теории Галуа (так как А состоит из многочленов с коэффициентами из к). Таким обра- образом, максимальным спектром Specm А является многообразие V «с точностью до сопряжения» (т. е. факторпространство по действию группы Gal К/к на V). Каждый простой идеал Р в А соответствует, 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 135 как в разд. (8.12), неприводимому подмногообразию У = V(P) с V (с точностью до сопряжения над к). Идеал Р€ Spec А называется теоретико-схемной общей точкой многообразия У и к нему по- прежнему можно относиться как к метке на У. Топология Зарисско- го на Spec А организуется таким образом, что Р всюду плотна в У. Максимальные идеалы в А называются для отличия замкнуты- замкнутыми точками. Если С: if - 0) С а? — неприводимая кривая, то у нее имеется ровно одна теоретико-схемная общая точка, соответ- соответствующая идеалу @) в С[Х, Y]/(f), в то время как у поверхности S наряду с собственной общей точкой, плотной в S, имеется по од- одной общей точке для каждой неприводимой кривой С С S. Теоретико-схемные точки важны при определении Spec А как множества с топологией и пучком колец (а также в коммутативной алгебре и при изучении в алгебраической геометрии таких понятий, как окрестность общей точки неприводимого подмногообразия; см. п. (i) разд. 8.14). Однако точки многообразия V с К" со значениями в алгебраическом замыкании к С К больше соответствуют геомет- геометрическому представлению о точке и называются геометрическими точками. Это напоминает ситуацию с топологией Зарисского мно- многообразия V, которая служит скорее «сферой обитания» структур- структурного пучка €?v, чем полноправным геометрическим объектом. (Ь) Точки со значениями в поле в теории схем. Если Р — прос- простой идеал кольца А (а значит, Р 6 Spec A — точка), то поле выче- вычетов в точке Р является полем частных области целостности А/Р и обозначается через к(Р). Оно является алгебраическим расшире- расширением основного поля к тогда и только тогда, когда идеал Р макси- максимален. Точка многообразия V с коэффициентами из расширения к С L (точка (ei,..., ап) € V(I) С ?"), очевидно, соответствует гомо- гомоморфизму А-* L (заданному формулой Xi '•-» а,), ядром которо- которого является простой идеал Р в А, или, что эквивалентно, вложе- вложению к(Р) •-» А. Если Р = mv — максимальный идеал и L = К — ал- алгебраическое замыкание поля к, то именно выбор вложения А/ти - k(v) ¦-» К определяет координаты соответствующей точки многообразия V с К", или, другими словами, выделяет эту точку из набора сопряженных по Галуа. Это — геометрические точки многообразия К Для любого расширения к С L гомоморфизм Аг-алгебр А -* L, соответствующий L-значной точке многообразия V, можно приукра- приукрасить так, чтобы он выглядел более оправданным. Напомним пре- прежде всего, что многообразие — это больше, чем множество точек. Даже если оно состоит из одной единственной точки, необходимо
136 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ указать, над каким полем оно определено. Так, Spec L = • = pU является многообразием, состоящим из единственной точки, опре- определенной над L. В силу эквивалентности категорий D.4) морфизм SpecL -» К (включение точки, определенной над L) должен быть го- гомоморфизмом Аг-алгебр А = k[V]-*L = k[pti]. Подводя итог связи между теоретико-схемными точками и точ- точками со значениями в поле, можно сказать, что точка Рб Spec A = V является простым идеалом кольца А и тем самым со- соответствует гомоморфизму факторизации A-*A/PcQuot(A/P) = k(P) в поле. Если L — произвольное поле, то L-значная точка в V — это гомоморфизм А -* L. Теоретико-схемная точка Р соответствует тавтологическим образом точке со значениями в поле, но это поле к(Р) меняется от точки к точке. Если К — алгебраическое замыка- замыкание поля к, то ЛГ-значные точки многообразия V С К" являются в точности геометрическими точками; ЛГ-значная точка v «сидит» в замкнутой теоретико-схемной точке /п„ и имеет заданное включение A/mv = k(v) •* К. (с) Общие точки в основаниях Вейля. В разд. (8.3) упоминалось об особых свойствах точек в основаниях Вейля. А именно, много- многообразию V, определенному над полем к, разрешается иметь L-знач- ные точки для любого расширения к С L. Это свойство, очевидно, проистекает из теории чисел, но имеет следствия также и в геомет- геометрии. Например, если С — окружность х2 + у2 = 1, определенная над полем к = Q, то точка Pi, = Bтг/(тг2 + 1), (тг2 - 1)/(тг2 + 1)) является С-значной точкой С. Так как тг трансцендентно над (Q, то любой многочлен f?<Q[x, у], обращающийся в нуль в точке Рж, кратен х2 + у2 - 1. Таким образом, Рт является €)-общей точкой кривой С, т. е. она не лежит ни в каком меньшем подмногообразии в С, определенном над (Q. Другими словами, сопряженные к Рт от- относительно действия группы AutC( = «Gal(C/Q)») точки плотны в С. Так как Рт — это (Q-общая точка, то, если о точке Рж доказывает- доказывается утверждение, в котором используются только рациональные многочлены, то это утверждение будет справедливо и для всех то- точек кривой С. В действительности это уже учитывается понятием L-значной точки, описанным в п. (Ь), и геометрический смысл общих точек наиболее ясно может быть выражен на этом языке. Например, поле § 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 137 ср(тг) просто является чисто трансцендентным расширением, так что <?)(т) = Q(X), и морфизм SpecQ(X) -» С — рациональная пара- параметризация кривой С, обсуждавшаяся в разд. A.1). Грубо говоря, разрешается вместо трансцендентного или неизвестного тг подстав- подставлять любые «достаточно общие» значения. Вообще, конечно по- порожденное расширение к С L является полем функций многообра- многообразия W над к. Предположим, что <р: SpecL -* V = Spec A — точка, соответствующая гомоморфизму Аг-алгебр А -*¦ L с ядром Р. Тогда <р продолжается до рационального отображения f:W--*V, образ которого плотен в подмногообразии Y = V(P) С V, так что <р или <c(Spec?) является общей точкой в У со значениями в поле. (d) Точки как морфизмы в теории схем. Обсуждения п. (с) пока- показывают, что L-значная точка многообразия V неявно содержит ра- рациональное отображение W - -* V, где W — многообразие, бираци- онально эквивалентное Spec/, (т. е. L = k(W)). Геометр может представлять себе это как множество точек, параметризованное многообразием W. Вообще, S-значная точка (где S — произвольная схема) интере- интересующего нас многообразия X (или схемы) может быть определена просто как морфизм S-* X. Если X = V(I) С AJt — аффинное под- подмногообразие с координатным кольцом к[Х] и S = Spec Л, то S-значная точка соответствует, согласно D.4), гомоморфизму Аг-ал- гебр к[Х]-*А, т. е. л-набору (а\ а„) = а элементов из А, удовлетворяющему для всех /€ / соотношению /(а) = 0. С высоконаучной точки зрения это — апофеоз определений мно- многообразия. А именно, если точкой многообразия X называется про- просто морфизм, то само X является просто функтором S -» X(S) = {морфизмы S -* X] на категории схем. (Суета, которую я развел вокруг обозначения А" в примечании на с. 56, уже отражает это обстоятельство. И хотя это может показаться странным, приведенные метафизичес- метафизические заклинания очень полезны в техническом отношении, и много- многообразие, определяемое как функтор, является основным понятием при современном подходе к пространствам модулей. Если рассмат- рассматривается геометрический объект, который может «алгебраически зависеть от параметров» (такой, как пространственные кривые дан- данной степени и рода), то естественно возникает желание наделить множество всех допустимых объектов структурой алгебраического многообразия. Более того, вас может заинтересовать поиск семей- семейства объектов над пространством параметров, которое является 10-1263
138 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ «универсальным» или «содержит все допустимые объекты». Мно- Многообразие параметров этого универсального семейства обычно наиболее непосредственно определяется как функтор (однако потре- потребуется еще доказать, что это многообразие существует). Например, упоминавшееся в разд. (8.2) многообразие Чжоу представляет функтор S-» (семейство кривых, параметризованных многообразием S). (8.14) Как схемы обобщают многообразия? Теперь я отдельно обсужу три причины, по которым аффинные схемы являются более общими объектами, чем аффинные многообразия. В патологиче- патологических случаях эти обстоятельства могут встречаться в любых комби- комбинациях, а также вместе с глобальными трудностями, обсуждавши- обсуждавшимися в разд. (8.11) или даже вместе с такими новыми явлениями, как /7-адическая сходимость или эрмитова метрика Аракелова. К счастью, соображение объема спасает меня от необходимости углубляться дальше в эти пленительные сюжеты. (i) Алгебры не исчерпываются конечно порожденными. Предпо- Предположим, что С С S — кривая на неособой аффинной поверхности (над С, если угодно). Кольцо 0s, с = {/С k(S)\f=g/h, где А {/с) С k(S), называется локальным кольцом поверхности S относительно кри- кривой С. Элементы /€ 0s, с регулярны на открытом множестве в S, содержащем открытое плотное подмножество кривой С. Теория де- делимости в этом кольце просто великолепна и связана с геометриче- геометрическим понятием нулей и полюсов мероморфных функций. А именно, С локально определяется одним уравнением (у = 0), где у € /с — ло- локальная образующая, и любой ненулевой элемент ft 0s, с имеет вид / = у"/о, где л € Z, а /о — обратимый элемент кольца 0s,с- Кольцо с таким свойством называется кольцом дискретного нормирования в честь дискретного нормирования / -» п, которое вычисляет поря- порядок нуля функции / вдоль кривой С (п < 0 соответствует полю- полюсам). Элемент у называется локальным параметром кольца 0s,c- Теория схем позволяет нам теперь непосредственно рассматри- рассматривать Spec 0s, с как геометрический объект, а именно как топологиче- топологическое пространство (—), состоящее только из двух точек: замкну- замкнутой точки — максимального идеала (у) (т- е. общей точки кривой С) и незамкнутой точки — нулевого идеала (т. е. общей точки по- поверхности S). Получаемое преимущество имеет не только техниче- технический характер, так как несложная коммутативная алгебра колец дискретного нормирования, конечно, использовалась для получения § 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 139 алгебро-геометрических результатов и результатов теории функций комплексного переменного (например, об идеалах функций или о локальном поведении над кривой С разветвленного накрытия Т-* S в терминах расширений полей k(S) с к(Т)) задолго до изобретения схем. Более важно, что теория схем дает нам здесь точный геомет- геометрический язык и простую картину в локальной алгебре. Это лишь один пример, относящийся к локализации или к поня- понятию «окрестности общей точки подмногообразия», иллюстрирую- иллюстрирующий преимущества для обычной геометрии, возникающие из-за рас- рассмотрения более общего спектра кольца, чем конечно порожденная алгебра над полем. Аналогичным примером является рассмотрение общей точки SpecA-(JF) многообразия W как многообразия, полу- полученного пересечением всех непустых открытых подмножеств в W (ср. с (8.13 (с)), подобно улыбке чеширского кота, которая остается после исчезновения самой кошачей мордочки. (ii) Нильпотенты. Кольцо А может содержать нильпотентные элементы. Например, А = к[х, у]/(у2 = 0) соответствует «двойной прямой» 2/ С А|, которая рассматривается как инфинитезимальная полосообразная окрестность прямой. Элемент кольца А имеет вид f(x) + sfi(x) (где е2 = 0). Таким образом, он выглядит как разложе- разложение многочлена в ряд Тейлора в окрестности /, оборванное на чле- членах первого порядка. Если вы будете тренироваться по нескольку раз в день, то научитесь представлять себе этот элемент как функ- функцию на двойной прямой 21. Нильпотенты позволяют работать в теории схем с рядами Тей- Тейлора, усеченными до любого порядка, т. е. скажем, изучать точки многообразия методами теории рядов. Они являются важными в контексте задач теории модулей, упоминавшейся в конце (8.13 (d)). Например, они обеспечивают точный язык описания деформаций первого порядка геометрических объектов (как объектов над про- пространством параметров Spec(Ar[e]/(e2 = 0)) и позволяют рассматри- рассматривать их как касательные векторы к универсальному многообразию параметров. Они также приводят к большому числу явлений, не имеющих классических аналогов, например к связям между несепа- рабельными расширениями полей и алгебрами Ли векторных полей на многообразиях в характеристике р. (ш) Долой основное поле. Пусть р — простое число, а Z(p> С Q — подкольцо, состоящее из рациональных чисел, не содер- содержащих р в знаменателе. Z<p) является еще одним примером кольца дискретного нормирования с параметром р. В нем есть единствен- единственный максимальный идеал 0 *рЖф>, полем вычетов которого явля- является Жфу/рЖф-, s ?Р = U(p). Если F€ Тф)\Х, Y], то можно рассмот- ю*
140 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ реть комплексную кривую Сс: (F = 0) С А? или привести функцию F по модулю р, получив в результате /, и рассмотреть, кривую Ср: if = 0) С Ар . В какого типа геометрический объект можно включать и комплексную кривую и кривую над конечным полем? Можно ли считать такой объект вполне геометрическим — это уже вопрос точки зрения, но схема Spec Ж(р)[Х, Y]/(F) именно это и позволяет сделать. И опять, технически эта идея не является новой, так как приве- приведение кривой по модулю р применялось, начиная с XYIII в., а вей- вейлевские основания содержат целую теорию «специализаций», зани- занимающихся этим. Преимуществом является новый взгляд на кривую Spec Жф) [X, Y]/(F) над кольцом дискретного нормирования Z<p) как на геометрический объект, расслоенный над Spec (Z<p))( = (—)); кривые Сс и Ср являются общим и специальным слоями соответ- соответственно. Аналогично, для Fe Z[X, Y] схема SpecZfA", Y]/(F) является гео- геометрическим объектом, содержащим для каждого простого р кри- кривую Ср: (fp = 0) С А^ над ?р, где fp — редукция F по модулю р, и одновременно кривую Сс: (F = 0) С А|, и называется арифме- арифметической поверхностью. Кроме того, она содержит еще много дру- других объектов. В частности, для каждой точки с?Сс, координаты которой являются алгебраическими числами, она содержит экзем- экземпляр Spec <Q[c] и, следовательно, почти всю информацию о кольце целых чисел числового поля Q(c), определяемого точкой с. Каким бы уродливым ни выглядел этот объект с первого взгляда (к тому же к нему можно привыкнуть, если поупражняться), тем не менее он является важнейшей компонентой современной теории чисел и основным объектом, на котором зиждятся работы Аракелова и Фальтингса. (8.15) Доказательство существования прямых на кубической по- поверхности. Каждый взрослый алгебраический геометр знаком с тра- традиционным доказательством предложения G.2) с помощью подсче- подсчета размерностей (см., например, [Beauville, Complex algebraic sur- surfaces, p. 50] или [Мамфорд, Алгебраическая геометрия]). Мы коррт- ко напомним его перед тем, как остановиться на его трудностях. Множество прямых в Р3 параметризуется четырехмерным грасс- манианом Gr = GrB, 4), а кубические поверхности — проективным пространством S = PN кубических форм от (X, Y, Z, Г) (на самом деле размерность N равна 19). Обозначим через Z с Gr х S под- подмногообразие инцидентности: § 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ 141 Z = {(/, АО, /6Gr, Так как кубические формы, обращающиеся в нуль на заданной пря- прямой /, образуют Р^, то с помощью проекции на первое слагаемое Z -+ Gr легко вывести, что Z — рациональное /V-мерное многообра- многообразие. Вторая проекция р: Z -* S является морфизмом двух TV-мерных многообразий, и, следовательно, (i), либо образ р(Х) является TV-мерным многообразием в S и, таким образом, содержит открытое плотное подмножество в S, ли- либо каждый слой проекции р имеет размерность ^1. (ii) Z является проективным многообразием и потому образ p(Z) замкнут в S. Так как существуют кубические поверхности, на которых имеет- имеется только конечное множество прямых, то вторая возможность в п. (i) отпадает, и поэтому любая достаточно общая кубическая по- поверхность содержит прямые. Значит, из (ii) вытекает, что p(Z) = S, и каждая кубическая поверхность содержит прямые. Это рассуждение кажется мне неподходящим для начального курса по двум причинам: в утверждении (i) используются результа- результаты о размерностях слоев, которые, хотя и являются приемлемыми с интуитивной точки зрения, особенно для студентов, заканчиваю- заканчивающих изучение курса), но доказать их строго трудно. Кроме того, (ii) является теоремой о полноте проективного многообразия, что также нуждается в доказательстве (с помощью теории исключения, компактности или с привлечением всей мощи валюативного крите- критерия полноты). Насколько мне известно, приведенное доказательство предложе- предложения G.2) является новым. Осведомленный читатель заметит его связь с другими традиционными доказательствами, использующи- использующими векторные расслоения. А именно, на грассманиане GrB, 4) име- имеется тавтологическое векторное расслоение ранга 2 (состоящее из линейных форм на прямых в Р3). Ограничение уравнения / кубиче- кубической поверхности на каждую прямую / С Р3 определяет сечение s(f)e S3E третьей симметрической степени расслоения Е. И нако- наконец, то, что каждое сечение расслоения S3E должно обращаться в нуль, вытекает либо из обильности Е, либо из рассуждений с клас- классом Чженя (что также приводит к магическому числу 27). Вместо предисловия. (8.16) Благодарности и имена, имена. Попытка перечислить всех математиков, которые внесли вклад в мое образование, была бы тщетной. Я особенно обязан моим официальным руководителям
142 ГЛ. 3. ПРИЛОЖЕНИЯ Пьеру Делиню и Питеру Свиннертону-Дайеру (это было до того, как последний стал преуспевающим политиком и известной личнос- личностью). По-видимому, больше всего сведений я почерпнул из книг" Да- Давида Мамфорда, а своим пониманием (таким как оно есть) гротен- диковского наследия обязан Мамфорду и Делиню. На мое мировос- мировосприятие и как математика, и как человека в большой мере повлиял Андрей Тюрин. Мое представление о том, каким должен быть первоначальный университетский курс по алгебраической геометрии, частично сфор- сформировалось под влиянием курса, составленного около 1970 г. Свин- нертоном-Дайером для третьекурсников Кембриджа й читавшегося в последующие годы им и Барри Теннисоном. Моя книга является в некоторых аспектах его прямым продолжением, и ряд упражне- упражнений был дословно заимствован из списков упражнений Теннисона. С другой стороны, я извлек большую пользу из той свободы в вы- выборе материала, которая принята для курсов лекций в Уорике, а также из философии преподавания (явно сформулированной Кри- Кристофером Зиманом), согласно которой опыт исследователя должен быть одним из решающих обстоятельств при выборе того, как и чему следует учить. «Подмигивающий тор», появляющийся в B.14), стал мне изве- известен от Джима Йеллса, сообщившего мне, что он узнал его от X. Хопфа (и что он, по-видимому, восходит к более старой немец- немецкой традиции искусства построения математических моделей и ил- иллюстраций). Я должен поблагодарить Каролину Сериес, Франса Оорта, Джона Джонса, Улфа Персёна, Дэвида Фаулера, анонимно- анонимного рецензента и Дэвида Транаха из ЦУП за полезные замечания к препринтному варианту этой книги и извиниться за то, что в неко- некоторых местах я либо не смог в полном объеме реализовать их по- пожелания, либо предпочел следовать своим собственным планам. Я благодарен Мартине Егер за ряд исправлений к первому изда- изданию, а Исао Вакабаяси — за внимательное чтение текста, позволив- позволившее исправить много неточностей. Особенно я признателен Р. Чэп- мену и Б. Брюсу, указавшим наиболее серьезную ошибку первого издания (я не использовал гессиан в начале доказательства предло- предложения G.2), ссылаясь на неверное утверждение, вынесенное в упражнения). ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абстрактное многообразие (abstract variety) 12, 88, 89, 131, 132 Алгебраически замкнутое поле (algebraically closed field) 24, 58, 62, 73, 86, 129, 133, 134, 136 — независимые элементы (-inde- (-independent elements) 67, 98, 106, 111 Алгебраическое (под)множество (algebraic (sub-)set) 56—61, 72, 73, 74, 87, 90—93 Асимптотическое направление (asymptotic direction) 16, 19, 21, 68 Аффинная замена координат (affine change of coordinates) 20, 31 — кривая ( — curve) 44, 49, 88 — схема (-scheme) 133, 138 Аффинное многообразие (affine va- variety) 12, 79, 81, 83, 87, 133, 138 — накрытие проективного много- многообразия (-covering of projective variety) 93 — пространство AJ (—space) 56, 59, 68, 72, 73, 74, 76, 86, 87, 88, 101, 102, 103, 110, 126, 137 Аффинные координаты (affine coor- coordinates) 21, 43, 44, 48, 93, 123 Аффинный конус над проективным многообразием (affine cone over projective variety) 91, 92 — кусок проективного многообра- многообразия (—piece of projective variety) 21, 44, 88, 93, 101, 122 Бирациональная эквивалентность (birational equivalence) 96—98, 109, 111, 118, 137 Бирациональное отображение ( bira- birational map) 96—98, 101, 110 Вещественная геометрия (real geo- geometry) 129—130 Вложение Сегре (Segre embedding) 99 Геометрическая точка (geometric point) 135 — Аг-алгебра (~Ar-algebra) 133 Геометрическое кольцо (geometric ring) 133 Гессиан (Hessian) 44, 122, 142 Гиперповерхность (hypersurface) 64, 70—71, 73, 98, 102—104, 109 Групповой закон на кубике (group law on cubic) 39—42, 44—47, 51, 84 Декартов лист см. нодальная кубика Детерминант Сильвестра (Sylvester's determinant) 32 Диофантовы задачи (Diophantine problems) 8, 16—17, 31, 33, 47, 52 Доминантное отображение (domi- (dominant map) 82, 97 Бесконечно удаленная прямая (line Евклидово преобразование (Eucli- at infinity) 21 dean transformation) 20